kafarov_Clase 1. metodos en ingenieria qc

Resolución de ecuaciones diferenciales

1. MÉTODOS EN INGENIERÍA QUÍMICA II
CLASE 1
Ph.D. VIATCHESLAV KAFAROV
ANDREA CAMILA ARÉVALO
ALEXANDRA GUATIBONZA
Escuela de Ingeniería
Química

2. Actividades durante el semestre
•Alfinaldecadaclase,seasignaráuntallerquedebenentregaratravésdelaplataforma
Moodle.Elenlaceestaráhabilitadoduranteunasemana.
•Alfinaldecadacorte,sehabilitaráuncuestionarioenlaplataformaMoodleconejercicios
derepasoparaelparcial.Elplazomáximoparasusoluciónesdeunasemana.
•Serealizaráunparcialporcadacorte(cuatroentotal).Sudesarrolloseráenhoradeclasey
debenenviarlaevidenciafotográficaatravésdelcorreomé[email protected]
•Unavezsehayanorganizadotodoslosgruposdeexposición,debendescargarel
documentoPDF“Plantilladeplaneación”,ubicadoenlapestaña“Exposiciones”delMoodle
ydiligenciarlo,paraposteriormentesubirloalenlace“Organización”.Elplazomáximopara
adjuntarestearchivoesdedossemanas.
•Undíaantesdelapresentación,cadagrupodebesubirundocumentoPDF,conun
resumendelaexposiciónatravésdelenlace“Documentoescrito”,ubicadoenlapestaña
“Exposiciones”delMoodle.

3. •EnlaplataformaMoodle,enlapestaña“Exposiciones”,seencuentraunarchivoPDF
llamado“Recomendacionesparahablarbienenpúblico”acompañadodeunainfografía,
debenhacerlarespectivalecturaparaaplicarestassugerenciasdurantelaexposición.
Además,acadagruposeleasignaráunejerciciodeacuerdoaltemaseleccionado,que
deberáexplicardurantelapresentación.
•Alfinalizartodaslasexposiciones,sehabilitaráunQuizquedeberánresolveren30
minutos,sobretodoslostemasexpuestos.
•Duranteelsemestre,enlapestaña“ÉticadelosIng.Químicos”,estánhabilitadosdos
documentosPDFllamados“Ley842de2003”y“Ley18de1976”ycincovídeossobrela
éticadelosIngenierosQuímicosyalgunosdesastresocurridosenlahistoria.Deberánleer
yvisualizarestosarchivos,puesalfinaldelsemestreseentregaráuncasodeestudiopara
quetodosexpresensuopiniónenunforo,yademásmanifiestenloaprendidoconestos
documentosyvídeos.

4. Actividad
Porcentaje
(%)
Talleres
(20 %)
Talleres y cuestionario primer corte 5
Talleres y cuestionario segundo corte 5
Talleres y cuestionario tercer corte 5
Talleres y cuestionario cuarto corte 5
Parciales
(40 %)
Parcial primer corte 10
Parcial segundo corte 10
Parcial tercer corte 10
Parcial cuarto corte 10
Exposición
(30 %)
Tarea de organización 5
Tarea documento escrito 5
Exposición 15
Quiz 5
Panel de discusión
(10 %)
Vídeos y documentos PDF 5
Caso de estudio 5
Total 100

5. HISTORIA Y DESARROLLO DE LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
LasecuacionesdiferencialesordinariassurgieronenlaúltimadécadadelsigloXVIIy
enlasprimerasdelsigloXVIIIgraciasaIsaacNewton(1643-1727)yGottfried
WilhelmLeibniz(1646-1716).
Gottfried Leibniz (1646-1716)
Isaac Newton (1643-1727)

6. 1666
Newton comienza a
escribir su libro
“Método de las
Fluxiones y
Fluentes”
1674
Leibniz habría
comenzado a
trabajar en su
versión del cálculo,
sin saber nada de
las Fluxiones de
Newton.
1676
Henry Oldenburg,
secretario de Royal
Society, le comunica
a Leibniz el
anagrama de
Newton.

7. Polémica Newton-Leibniz
6accdoe13eff7i319n4o4q3r4s8t12ux
“Dada una ecuación con cantidades Fluentes, determinar las Fluxiones y viceversa”
Leibniz le dio respuesta a este anagrama y Newton comprobó que ambos plantearon y
desarrollaron el Cálculo Infinitesimal.

8. 1675
•Leibniz escribió la ecuación
Acto en donde ideó el signo de la integral.
1676
•El término aequatiodifferentaliso ecuación
diferencial, se usó por primera vez en el año 1676
por Leibniz.
Última
década del
siglo XVII
•James y Johannes Bernoulli, introducen el término de
“Integrar” una ecuación diferencial, así como el
proceso de “separatioindeterminatarum”.
1692
•Johannes Bernoulli
desarrolló “Multiplicación
por un factor integrante”.
Johann y James Bernoulli

9. En este punto, los métodos desarrollados eran incompletos y la teoría
general de las ecuaciones diferenciales no podía ser propuesta.

10. 1724
•J. F. Riccattiestudió la
ecuación:
1768
•Leonard Euler .“InstitutionesCalculi
Integralis” siendo esta la primera teoría de
las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
1766
•D’ Alembert. Solución general de una
Ecuación Diferencial lineal no
homogénea.
Último
cuarto del
siglo XVIII
•Lagrange. Principio de
Superposición y el Método de
variaciones de parámetros

11. 1820
•AugustinLouis Cauchy. Existencia de soluciones de
la Ecuación Diferencial y’= f(t,y).
1890
•Charles Picard. Método de aproximaciones
sucesivas. Teorema de existencia y unicidad
de las Ecuaciones diferenciales de orden n.
Segunda
mitad del
Siglo XIX.
•Poincaréy Liapunov. Funciones
especiales, dando lugar a la Teoría
Cualitativa de las Ecuaciones
Diferenciales
ECUACIONES
DIFERENCIALES
J. H. Poincaré(1854-1912) y
Alexander Liapunov(1857-1918)

12. ECUACIÓN DIFERENCIAL
•Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a una
o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial
(ED)

13. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES POR TIPO
•Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
•Ecuaciones Diferenciales Parciales.
Ecuaciones
diferenciales
ordinarias (EDO)
Contiene solo derivadas
de una o más variables
respecto a una sola
variable
independiente.
��
��
,
�
2
�
��
2
,
�
3
�
��
3
,…
Ecuaciones
diferenciales
ordinarias (EDO)
y’, y’’, y’’’
Solo se usa solo hasta la
tercera derivada, de la
cuarta en adelante se
escribe como �
(??????)
en
lugar de y’’’’
De manera general:
�
??????
�
��
??????
,�
(??????)

14. ??????�
??????�
+
??????�
??????�
=2�+�
Por ejemplo:
x y y, dos variables
dependientes.
t, Una sola
variable
independiente
2�
��
�
2
�
��
2
+�
2
��
��
=�
2
+2�
??????�
??????�
=�
′
�=????????????�(�)
??????�
??????�
+
??????�
??????�
=2�+�

15. Ecuaciones
diferenciales
parciales (EDP)
Contienen derivadas
parciales de una o más
variables dependientes
de dos o más
variables
independientes.
Ecuaciones
diferenciales
parciales (EDP)
??????�
??????�
,
??????
2
�
??????�
2
,
??????
3
�
??????�
3
,…
�
��,�
��,�
��…

16. Por ejemplo:
Ecuación unidimensional de onda
??????
2
�
??????�
2
=�
2
??????
2
�
??????�
2
�
��=�
2
�
��
Ecuación unidimensional del calor:
??????�
??????�
=�
2
??????
2
�
??????�
2
t y x, dos variables
independientes.
�
�=�
2
�
��

17. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES POR ORDEN
Las Ecuaciones Diferenciales (sean EDO o EDP), se pueden clasificar según su orden:
•Ecuaciones de primer orden.
•Ecuaciones de segundo orden.
•Ecuaciones de tercer orden, etc. (Orden superior).
El orden lo define la mayor derivada que se presenta en la ecuación diferencial.
�
3
�
��
3
−3�
�
2
�
��
2
+5
��
��
=4�
Derivada
tercera
Derivada
segunda
Derivada
primera
La ecuación
diferencial
es de tercer
orden.

18. El grado corresponde al exponente de la derivada mayor,así como se muestra a
continuación.
(�
′′
)
3
+(�
′
)
4
−2��=4�Segundo orden; tercer grado.
3��+�
′
−2�
2
=�′′′ Tercer orden; primer grado.
??????
5
�
??????�
5
+2�
??????
2
�
??????�
2
+(
??????�
??????�
)
3
=0 Quinto orden; primer grado.

19. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES POR LINEALIDAD
•Ecuaciones diferenciales lineales.
•Ecuaciones diferenciales no lineales.
�
??????�
�
??????
�
��
??????
+�
??????−1
�
??????−1
�
��
??????−1
+⋯+�
1�
��
��
+�
0��=??????(�)
La variable dependiente y ytodas sus derivadas y’, y’’,…, �
(??????)
deben ser de primer
grado; además, los coeficientes de �
0,�
1,…,�
??????de las derivadas y’, y’’,…, �
(??????)
deben depender a lo más de la variable independiente x.

20. 2��
′
+�
2
�=7�+2Ecuación lineal; primer orden; primer grado.
4�
??????�
??????�
+3
??????�
??????�
+5�=1+4�Ecuación lineal; primer orden; primer grado.
�
′′
+5��
′
−12�=12�Ecuación no lineal; segundo orden; primer grado.
Por ejemplo:

21. ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SEGUNDO ORDEN Y ORDEN SUPERIOR

22. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
Los problemas con valores iniciales (PVI), son aquellos en donde se busca una solución
y(x)de una ecuación diferencial, tal que y(x) satisfaga condiciones impuestas sobre una
función y(x)o sus derivadas. Los valores de y(x) y de sus primeras n-1 derivadas en un
solo punto �
0, y(�
0)=�
0, y’(�
0)=�
1,…, �
(??????−1)
(�
0)=�
??????−1se llaman condiciones iniciales.
Laspalabrascondicionesinicialessurgendelossistemasfísicosdondelavariable
independienteeseltiempot,dondey(t)=�
0yy’(�
0)=�
1,representanlaposiciónyla
velocidadrespectivamentedeunobjetoalcomienzooaltiempoinicial�
0.

23. Por ejemplo:
Se tiene que una solución de la Ecuación Diferencial de segundo orden x’’+16x=0, está
dada por:
�=??????
1cos4�+??????
2sin4�
Si se requiere determinar una solución del problema con valores iniciales
�
??????
2
=−2; �′
??????
2
=1
Si aplicamos la primera condición a la solución dada de�
??????
2
=−2, tenemos que,

24. �
??????
2
=??????
1cos(
4??????
2
)+??????
2sin
4??????
2
=−2
�
??????
2
=??????
1cos(2??????)+??????
2sin(2??????)=−2
�
??????
2
=??????
11+??????
20=−2
??????
11=−2
??????
1=−2

25. Aplicando ahora la segunda condición inicial dada por �′
??????
2
=1,
tenemos que derivando la solución,
�=??????
1cos4�+??????
2sin4�
�′=−4??????
1sin4�+4??????
2cos4�
�′
??????
2
=−4(−2)sin(
4??????
2
)+4??????
2cos(
4??????
2
)=1
�′
??????
2
=8sin(2??????)+4??????
2cos(2??????)=1
�′
??????
2
=8(0)+4??????
2(1)=1
4??????
21=1
??????
2=1/4

26. Portanto,lasolucióndelaEcuacióndiferencialdex’’+16x=0evaluadaenlas
condicionesinicialeses:
�=−2cos4�+
1
4
sin4�
Solución particular

27. EXISTENCIA Y UNICIDAD
EXISTENCIA
•¿Existe la solución del problema? ¿La ecuación diferencial
tiene solución?
•¿Alguna de las curvas solución pasa por el punto
establecido de condición inicial (x0,y0)?
UNICIDAD
•Si existe solución, ¿es única?
•¿Cómo podemos estar seguros de que hay precisamente
una curva solución que pasa a través del punto (x0,y0)?

28. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
Sean ??????
??????�,??????
??????−��,…,??????
��,??????
��y g(x)continuas en un intervalo I,
y sea ??????
??????�≠�para toda x en este intervalo. Si x = �
�es cualquier
punto en este intervalo, entonces una solución y(x)del problema con
valores iniciales existe en el intervalo y es única.

29. Por ejemplo:
Dada la siguiente ecuación diferencial de un PVI definido en el intervalo I(-1,1), determinar
si se cumple el Teorema de existencia y unicidad.
�−��
′′
−���
′
+��=�en I(-1,1)
y(0) = 0; y’(0)= 1

30. SianalizamoselTeoremadeexistenciayunicidadparaestePVI,tenemosque,
1−��
′′
−2��
′
+2�=�
??????
��
??????
��??????
��
??????�
Secumplequelasfunciones�
2�,�
1�,�
0�y??????�soncontinuasenel
intervaloI(-1,1)yademás,�
??????�queenestecasoes�
2�=(1−�)nuncase
anulaenI.Asípues,comosecumpleelTeoremadeexistenciayunicidad,es
posibledecirquelaecuacióndiferencialtieneunaúnicasoluciónenelintervalo
(-1,1).

31. PROBLEMAS DE VALORES EN LA
FRONTERA
La variable dependiente y o sus derivadas se especifican en diferentes puntos, es decir, las
condiciones que limitan el problema están dadas por
��=�
0, ��=�
1
A este tipo de problema se les conoce como Problema con valores
en la frontera (PVF) y a los valores ��=�
0, ��=�
1como
condiciones en la frontera.

32. Para una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la
frontera podrían ser:
��=�
0, ��=�
1
��=�
0, �′�=�
1
�′�=�
0, �′�=�
1
Cabe resaltar que un PVF puede tener muchas, una o ninguna solución.

33. Por ejemplo:
LafamiliadedosparámetrosesunasolucióndelaEDy’’-2y’+2y=0enelintervalo
(-∞,∞).Determinarsisepuedeencontrarunmiembrodelafamiliaquesatisfagalas
condicionesenlafrontera:�0=1,�′??????=0.
La solución general de la ED está dada por:
�=�
1�
�
cos�+�
2�
�
sin�
Evaluando la primera condición de frontera dada por �0=1, tenemos que
�0=�
1�
0
cos0+�
2�
0
sin0=1
�0=�
1=1
�
1=1

34. �=�
�
cos�+�
2�
�
sin�
�=�
�
(cos�+�
2sin�)
�′=�
�
(cos�+�
2sin�)+�
�
(�
2cos�−sin�)
�′=�
�
(cos�+�
2sin�+�
2cos�−sin�)
�′(??????)=�
??????
(cos??????+�
2sin??????+�
2cos??????−sin??????)=0
�
′
??????=�
??????
(−1+0�
2−�
2−0)=0
�
′
??????=�
??????
−1−�
2=0
�
2=−1
�=�
�
cos�−�
�
sin�

35. BIBLIOGRAFÍA
•J. BenitezLopez, “Breve historia de las ecuaciones diferenciales,” vol. 0, no. 0, 2008.
•J. Nápoles and C. Negrón, “La historia de las ecuaciones diferenciales ordinarias contadas
por sus libros de texto,” Rev. Electrónica Didáctica las Matemáticas. Univ. Autónoma
Querétaro., vol. 3, no. 2, pp. 33–57, 2002.
•E. Matijasevic, “Leibniz y Newton: la inercia de la soberbia,” Acta Médica Colomb., vol. 35,
no. 4, pp. 157–165, 210AD.
•“Slideshare.net.” [Online]. Available: https://es.slideshare.net/adalbertochamorro/historia-
ecuacionesdiferenciales.
•“Wikipedia.org.” [Online]. Available:
https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_las_ecuaciones_diferenciales#Inicios.
•Greenberg, M. (1990). Advanced Engineering Mathematics. LimusaWiley.
•Zill, D., & Cullen, M. (2009). Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la
frontera. Cengage Learning.

36. EJERCICIOS A RESOLVER
1. Determinar si se cumple o no el Teorema de existencia y unicidad en el siguiente PVI
�
2
�
′′
+��
′
+�=1 x˃0 �1=3;�′1=−1
2. Resolver el problema con valor inicial, cuya solución general es �=�
1�
�
+�
2�
−2�
�
′′
+�
′
−2�=0 �0=4;�′0=−5
3. La familia de dos parámetros es una solución de la ED y’’-2y’+2y= 0 en el intervalo (-
∞, ∞). Determinar si se puede encontrar un miembro de la familia que satisfaga las
condiciones en la frontera: �0=1, �
′
(??????)=−1.