kafarov_Clase 10 metodos en ingenieria qc..pdf
HenryArizaParra
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Aug 31, 2025
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About This Presentation
Resolución de ecuaciones diferenciales
Slide Content
MÉTODOS EN INGENIERÍA QUÍMICA II
Clase 10
PH.D. VIATCHESLAV KAFAROV
ANDREA CAMILA ARÉVALO
ALEXANDRA GUATIBONZA
Correo: [email protected]
Escuela de Ingeniería
Química
Clase 10
PH.D. VIATCHESLAV KAFAROV
ANDREA CAMILA ARÉVALO
ALEXANDRA GUATIBONZA
Correo: [email protected]
Escuela de Ingeniería
Química
PROPIEDADES
OPERACIONALES
Noesconvenienteutilizarladefinicióndelatransformadaconintegral
cadavezquesedeseaencontrarlatransformadadeLaplacedeuna
funciónf(t).
Portanto,estudiaremosdiferentespropiedadesoperacionalesdela
TransformadadeLaplacequeahorrantrabajoypermitenconstruiruna
listamásextensadetransformadassintenerquerecurrirala
definiciónbásicayalaintegración.
OPERACIONALES
Noesconvenienteutilizarladefinicióndelatransformadaconintegral
cadavezquesedeseaencontrarlatransformadadeLaplacedeuna
funciónf(t).
Portanto,estudiaremosdiferentespropiedadesoperacionalesdela
TransformadadeLaplacequeahorrantrabajoypermitenconstruiruna
listamásextensadetransformadassintenerquerecurrirala
definiciónbásicayalaintegración.
TRASLACIÓN EN EL EJE s
Siseconocela
transformadadeLaplace
deunafunción�,
ℒ�(�)=�(�)
Esposiblecalcularlatransformadade
Laplacedeunmúltiploexponencialde�.Es
decir,ℒ�
??????�
�(�),sinnungúnesfuerzo
adicionalquenoseatrasladarodesplazar.
•Si ℒ�(�)=��y �es cualquier
número real, entonces:
ℒ�
??????�
�(�)=F(s−a)
PRIMER TEOREMA
DE TRASLACIÓN O
DESPLAZAMIENTO
Siseconocela
transformadadeLaplace
deunafunción�,
ℒ�(�)=�(�)
Esposiblecalcularlatransformadade
Laplacedeunmúltiploexponencialde�.Es
decir,ℒ�
??????�
�(�),sinnungúnesfuerzo
adicionalquenoseatrasladarodesplazar.
•Si ℒ�(�)=��y �es cualquier
número real, entonces:
ℒ�
??????�
�(�)=F(s−a)
PRIMER TEOREMA
DE TRASLACIÓN O
DESPLAZAMIENTO
Ejemplo:
1.Usando el primer teorema de traslación evaluar: ℒ�
5�
�
3
ℒ�
5�
�
3
= ℒ�
3
�→�−5
=
3!
�
4
�→�−5
=
6
(�−5)
4
2. Usando el primer teorema de traslación evaluar: ℒ�
−2�
cos4�
ℒ�
−2�
cos4�= ℒcos4�
�→�−(−2)
=
�
�
2
+16
�→�+2
=
�+2
(�+2)
2
+16
1.Usando el primer teorema de traslación evaluar: ℒ�
5�
�
3
ℒ�
5�
�
3
= ℒ�
3
�→�−5
=
3!
�
4
�→�−5
=
6
(�−5)
4
2. Usando el primer teorema de traslación evaluar: ℒ�
−2�
cos4�
ℒ�
−2�
cos4�= ℒcos4�
�→�−(−2)
=
�
�
2
+16
�→�+2
=
�+2
(�+2)
2
+16
FORMA INVERSA DEL TEOREMA DE
TRASLACIÓN
Paracalcularlainversade�(�−�),
sedebereconocer��,para
encontrar�(t)obteniendola
transformadadeLaplaceinversade
��ydespuésmultiplicar�(t)por
lafunciónexponencial�
??????�
ℒ
−1
�(�−�)=ℒ
−1
�(�)
�→�−??????
=�
??????�
�(�)
Donde, ��=ℒ
−1
�(�)
TRASLACIÓN
Paracalcularlainversade�(�−�),
sedebereconocer��,para
encontrar�(t)obteniendola
transformadadeLaplaceinversade
��ydespuésmultiplicar�(t)por
lafunciónexponencial�
??????�
ℒ
−1
�(�−�)=ℒ
−1
�(�)
�→�−??????
=�
??????�
�(�)
Donde, ��=ℒ
−1
�(�)
Ejemplo:
1.Evalúe: ℒ
−1
2�+5
(�−3)
2
Solución:
Unfactorlinealrepetidoesuntérmino(�−�)
??????
,dondeaesunnúmerorealynesun
enteropositivo≥2.Si(�−�)
??????
apareceeneldenominadordeunaexpresiónracional,
entoncessesuponequeladescomposicióncontienenfraccionesparcialescon
numeradoresydenominadoresconstantes�−�,(�−�)
2
,…,(�−�)
??????
.Enestecaso,�=
3y??????=2
2�+5
(�−3)
2
=
�
�−3
+
�
(�−3)
2
2�+5=��−3+�
Multiplicandopor
(�−3)
2
�=2�=11
1.Evalúe: ℒ
−1
2�+5
(�−3)
2
Solución:
Unfactorlinealrepetidoesuntérmino(�−�)
??????
,dondeaesunnúmerorealynesun
enteropositivo≥2.Si(�−�)
??????
apareceeneldenominadordeunaexpresiónracional,
entoncessesuponequeladescomposicióncontienenfraccionesparcialescon
numeradoresydenominadoresconstantes�−�,(�−�)
2
,…,(�−�)
??????
.Enestecaso,�=
3y??????=2
2�+5
(�−3)
2
=
�
�−3
+
�
(�−3)
2
2�+5=��−3+�
Multiplicandopor
(�−3)
2
�=2�=11
2�+5
(�−3)
2
=
2
�−3
+
11
(�−3)
2
ℒ
−1
2�+5
(�−3)
2
=2ℒ
−1
1
�−3
+11ℒ
−1
1
(�−3)
2
Ahora,
1
(�−3)
2
es ��=
1
�
2
desplazada tres unidades a la derecha. Ya que ℒ
−1
1
�
2
=�se
tiene que:
ℒ
−1
1
(�−3)
2
=ℒ
−1
1
�
2
�→�−3
=�
3�
�
ℒ
−1
2�+5
(�−3)
2
=2�
3�
+11�
3�
�
(�−3)
2
=
2
�−3
+
11
(�−3)
2
ℒ
−1
2�+5
(�−3)
2
=2ℒ
−1
1
�−3
+11ℒ
−1
1
(�−3)
2
Ahora,
1
(�−3)
2
es ��=
1
�
2
desplazada tres unidades a la derecha. Ya que ℒ
−1
1
�
2
=�se
tiene que:
ℒ
−1
1
(�−3)
2
=ℒ
−1
1
�
2
�→�−3
=�
3�
�
ℒ
−1
2�+5
(�−3)
2
=2�
3�
+11�
3�
�
2. Evalúe:
Solución:
Observandoeldenominador,setienequeesunpolinomiocuadrático�
2
+4�+6que
notieneraícesrealesyportanto,notienefactoreslinealesreales.Enestecaso,es
posiblecompletarelcuadrado.
�/2+5/3
�
2
+4�+6
=
�/2+5/3
(�+2)
2
+2
ℒ
−1
�/2+5/3
�
2
+4�+6
Se debe arreglar el numerador manipulando las constantes:
1
2
�+
5
3
=
1
2
�+2+
5
3
−
2
2
=
1
2
�+2+
2
3
Ejemplo:
Solución:
Observandoeldenominador,setienequeesunpolinomiocuadrático�
2
+4�+6que
notieneraícesrealesyportanto,notienefactoreslinealesreales.Enestecaso,es
posiblecompletarelcuadrado.
�/2+5/3
�
2
+4�+6
=
�/2+5/3
(�+2)
2
+2
ℒ
−1
�/2+5/3
�
2
+4�+6
Se debe arreglar el numerador manipulando las constantes:
1
2
�+
5
3
=
1
2
�+2+
5
3
−
2
2
=
1
2
�+2+
2
3
Ejemplo:
�/2+5/3
(�+2)
2
+2
=
1
2
�+2+
2
3
(�+2)
2
+2
=
1
2
�+2
(�+2)
2
+2
+
2
3
1
(�+2)
2
+2
ℒ
−1
�/2+5/3
�
2
+4�+6
=
1
2
ℒ
−1
�+2
(�+2)
2
+2
+
2
3
ℒ
−1
1
(�+2)
2
+2
ℒ
−1
�/2+5/3
�
2
+4�+6
=
1
2
ℒ
−1
�
�
2
+2
�→�+2
+
2
32
ℒ
−1
2
�
2
+2
�→�+2
ℒ
−1
�/2+5/3
�
2
+4�+6
=
1
2
�
−2�
cos2�+
2
3
�
−2�
sin2�
(�+2)
2
+2
=
1
2
�+2+
2
3
(�+2)
2
+2
=
1
2
�+2
(�+2)
2
+2
+
2
3
1
(�+2)
2
+2
ℒ
−1
�/2+5/3
�
2
+4�+6
=
1
2
ℒ
−1
�+2
(�+2)
2
+2
+
2
3
ℒ
−1
1
(�+2)
2
+2
ℒ
−1
�/2+5/3
�
2
+4�+6
=
1
2
ℒ
−1
�
�
2
+2
�→�+2
+
2
32
ℒ
−1
2
�
2
+2
�→�+2
ℒ
−1
�/2+5/3
�
2
+4�+6
=
1
2
�
−2�
cos2�+
2
3
�
−2�
sin2�
Ejemplo:
3. Resuelva el siguiente problema con valores iniciales.
�
′′
−6�
′
+9�=�
2
�
3�
�0=2
�
′
0=17
Solución:
Usando la linealidad se tiene que:
ℒ�′′−6ℒ�
′
+9ℒ�=ℒ�
2
�
3�
Reemplazando ��=ℒ�(�)y evaluando las condiciones iniciales :
�
2
��−��0−�
′
0−6���−�0+9��=
2
(�−3)
3
3. Resuelva el siguiente problema con valores iniciales.
�
′′
−6�
′
+9�=�
2
�
3�
�0=2
�
′
0=17
Solución:
Usando la linealidad se tiene que:
ℒ�′′−6ℒ�
′
+9ℒ�=ℒ�
2
�
3�
Reemplazando ��=ℒ�(�)y evaluando las condiciones iniciales :
�
2
��−��0−�
′
0−6���−�0+9��=
2
(�−3)
3
�
2
−6�+9��=2�+5+
2
(�−3)
3
�−3
2
��=2�+5+
2
(�−3)
3
��=
2�+5
(�−3)
2
+
2
(�−3)
5
��=
2
�−3
+
11
(�−3)
2
+
2
(�−3)
5
��=2ℒ
−1
1
�−3
+11ℒ
−1
1
(�−3)
2
+
2
4!
ℒ
−1
4!
(�−3)
5
Entonces, como
ℒ
−1
1
�
2
�→�−3
=��
3�y ℒ
−1
4!
�
5
�→�−3
=�
4
�
3�
��=2�
3�
+11��
3�
+
1
12
�
4
�
3�
2
−6�+9��=2�+5+
2
(�−3)
3
�−3
2
��=2�+5+
2
(�−3)
3
��=
2�+5
(�−3)
2
+
2
(�−3)
5
��=
2
�−3
+
11
(�−3)
2
+
2
(�−3)
5
��=2ℒ
−1
1
�−3
+11ℒ
−1
1
(�−3)
2
+
2
4!
ℒ
−1
4!
(�−3)
5
Entonces, como
ℒ
−1
1
�
2
�→�−3
=��
3�y ℒ
−1
4!
�
5
�→�−3
=�
4
�
3�
��=2�
3�
+11��
3�
+
1
12
�
4
�
3�
Ejemplo:
4. Resuelva el siguiente problema con valores iniciales.
�
′′
+4�
′
+6�=1+�
−�
�0=0
�
′
0=0
Solución:
ℒ�′′+4ℒ�′+6ℒ�=ℒ1+ℒ�
−�
�
2
��−��0−�
′
0+4���−�0+6��=
1
�
+
1
�+1
�
2
+4�+6��=
2�+1
�(�+1)
��=
2�+1
�(�+1)(�
2
+4�+6)
4. Resuelva el siguiente problema con valores iniciales.
�
′′
+4�
′
+6�=1+�
−�
�0=0
�
′
0=0
Solución:
ℒ�′′+4ℒ�′+6ℒ�=ℒ1+ℒ�
−�
�
2
��−��0−�
′
0+4���−�0+6��=
1
�
+
1
�+1
�
2
+4�+6��=
2�+1
�(�+1)
��=
2�+1
�(�+1)(�
2
+4�+6)
Yaqueeltérminocuadráticoeneldenominadornosefactorizaenfactoreslineales
reales,seencuentraqueladescomposiciónenfraccionesparcialespara�(�)es:
��=
1/6
�
+
1/3
�+1
−
�/2+5/3
�
2
+4�+6
��=
1
6
ℒ
−1
1
�
+
1
3
ℒ
−1
1
�+1
−
1
2
ℒ
−1
�+2
�+2
2
+2
−
2
32
ℒ
−1
2
(�+2)
2
+2
��=
1
6
+
1
3
�
−�
−
1
2
�
−2�
cos2�−
2
3
�
−2�
sin2t
reales,seencuentraqueladescomposiciónenfraccionesparcialespara�(�)es:
��=
1/6
�
+
1/3
�+1
−
�/2+5/3
�
2
+4�+6
��=
1
6
ℒ
−1
1
�
+
1
3
ℒ
−1
1
�+1
−
1
2
ℒ
−1
�+2
�+2
2
+2
−
2
32
ℒ
−1
2
(�+2)
2
+2
��=
1
6
+
1
3
�
−�
−
1
2
�
−2�
cos2�−
2
3
�
−2�
sin2t
TRASLACIÓN EN EL EJE t
LafunciónescalónunitarioofuncióndeHeaviside,esunafunciónespecialquees
elnúmero0(desactivada)hastaciertotiempo�=�yelnúmero1(activada)después
deesetiempo.
•La función escalón unitario
��−�se define como:
��−�=
0,0≤�<�
1 �≥�
FUNCIÓN ESCALÓN
UNITARIO
LafunciónescalónunitarioofuncióndeHeaviside,esunafunciónespecialquees
elnúmero0(desactivada)hastaciertotiempo�=�yelnúmero1(activada)después
deesetiempo.
•La función escalón unitario
��−�se define como:
��−�=
0,0≤�<�
1 �≥�
FUNCIÓN ESCALÓN
UNITARIO
��−�sedefinesoloenelejetnonegativo,puesestoestodoloqueinteresaen
elestudiodelatransformadadeLaplace.
Cuandounafunción�definidapara�≥0semultiplicapor�(�−�),lafunción
escalónunitario“desactiva”unapartedelagráficadeesafunción.
Ejemplo:
��=2�−3
Paradesactivarlapartedelagráficade�para0≤�<1,entonces:
���(�−�)=2�−3�(�−1)
elestudiodelatransformadadeLaplace.
Cuandounafunción�definidapara�≥0semultiplicapor�(�−�),lafunción
escalónunitario“desactiva”unapartedelagráficadeesafunción.
Ejemplo:
��=2�−3
Paradesactivarlapartedelagráficade�para0≤�<1,entonces:
���(�−�)=2�−3�(�−1)
Lafunciónescalónunitariotambiénsepuedeusarparaescribirfuncionesdefinidas
portramosenunaformacompacta.
Porejemplo,lafunciónportramos0≤�<2,2≤�<3,�≥3esigualque:
��=2−3��−2+�(�−3)
Unafuncióngeneraldefinidaportramosdeltipo:
��=
�(�)0≤�<�
ℎ(�)�≥�
��=��−����−�+ℎ��(�−�)
Análogamente,unafuncióndeltipo:
��=
0,0≤�<�
��,
0,
�≤�<�
�≥�
��=�(�)��−�−�(�−�)
portramosenunaformacompacta.
Porejemplo,lafunciónportramos0≤�<2,2≤�<3,�≥3esigualque:
��=2−3��−2+�(�−3)
Unafuncióngeneraldefinidaportramosdeltipo:
��=
�(�)0≤�<�
ℎ(�)�≥�
��=��−����−�+ℎ��(�−�)
Análogamente,unafuncióndeltipo:
��=
0,0≤�<�
��,
0,
�≤�<�
�≥�
��=�(�)��−�−�(�−�)
Ejemplo:
Expreselasiguientefuncióndefinidaportramosentérminosdefuncionesescalón
unitario.
��=
20�,0≤�<5
0, �≥5
Solución:
Con �=5, ��=20�y ℎ�=0,
se obtiene :
��=20�−20��(�−5)
Expreselasiguientefuncióndefinidaportramosentérminosdefuncionesescalón
unitario.
��=
20�,0≤�<5
0, �≥5
Solución:
Con �=5, ��=20�y ℎ�=0,
se obtiene :
��=20�−20��(�−5)
La función de escalón unitario es muy utilizada en el análisis de
sistemas de control.
Por ejemplo, en un sistema
para controlar el encendido
y apagado automático de
una bomba que suministra
agua a un tanque, la función
de escalón unitarioresulta
muy útil.
El valor de 0 y 1 indican si la
bomba está desactivada o
activada,respectivamente, y
su automatización se realiza
respecto al nivel de agua del
tanque.
Por lo tanto, si se establece
que el nivel del agua en el
tanque debe ser de 5 metros,
la señal de entrada del
proceso es igual a 1 cuando
el nivel sea diferente a 5, y
es igual a 0 cuando el nivel
sea igual a 5.
u(t)
t(min)
3
1
0
La función algebraica que representa esta gráfica es:
��−3=
0,�<3
1,�≥3
Esto indica que a partir del minuto 3, la bomba se
enciende, pues el nivel del agua en el tanque no es igual a 5
metros.
sistemas de control.
Por ejemplo, en un sistema
para controlar el encendido
y apagado automático de
una bomba que suministra
agua a un tanque, la función
de escalón unitarioresulta
muy útil.
El valor de 0 y 1 indican si la
bomba está desactivada o
activada,respectivamente, y
su automatización se realiza
respecto al nivel de agua del
tanque.
Por lo tanto, si se establece
que el nivel del agua en el
tanque debe ser de 5 metros,
la señal de entrada del
proceso es igual a 1 cuando
el nivel sea diferente a 5, y
es igual a 0 cuando el nivel
sea igual a 5.
u(t)
t(min)
3
1
0
La función algebraica que representa esta gráfica es:
��−3=
0,�<3
1,�≥3
Esto indica que a partir del minuto 3, la bomba se
enciende, pues el nivel del agua en el tanque no es igual a 5
metros.
Sin embargo, en el control de procesos, las señales de entrada en un
sistema son variadas.
Asumiendo que la gráfica corresponde a una señal de entrada en
el sistema tipo rampa, la función algebraica que describe este
comportamiento es:
�(�)=
�+1,0≤�<2
0,�≥2
Esta función definida por tramos se puede escribir de la siguiente forma utilizando el escalón unitario:
��=�+1−�+1��−2
��=�+1(1−��−2)
t
f(t)
2
3
0
1
sistema son variadas.
Asumiendo que la gráfica corresponde a una señal de entrada en
el sistema tipo rampa, la función algebraica que describe este
comportamiento es:
�(�)=
�+1,0≤�<2
0,�≥2
Esta función definida por tramos se puede escribir de la siguiente forma utilizando el escalón unitario:
��=�+1−�+1��−2
��=�+1(1−��−2)
t
f(t)
2
3
0
1
•Si ��=ℒ�(�)y �>0, entonces
ℒ��−��(�−�)=�
−??????�
�(�)
SEGUNDO TEOREMA
DE TRASLACIÓN O
DESPLAZAMIENTO
Siempreque�(�)semultiplicaporunafunciónexponencial�
−??????�
,�>0,la
transformadainversadelproducto�
−??????�
�(�)eslafunción�desplazadaalolargodel
eje�.
•Si ��=ℒ
−1
�(�),la forma inversa
del teorema es
ℒ
−1
�
−??????�
�(�)=��−��(�−�)
FORMA INVERSA
DEL SEGUNDO
TEOREMA DE
TRASLACIÓN
ℒ��−��(�−�)=�
−??????�
�(�)
SEGUNDO TEOREMA
DE TRASLACIÓN O
DESPLAZAMIENTO
Siempreque�(�)semultiplicaporunafunciónexponencial�
−??????�
,�>0,la
transformadainversadelproducto�
−??????�
�(�)eslafunción�desplazadaalolargodel
eje�.
•Si ��=ℒ
−1
�(�),la forma inversa
del teorema es
ℒ
−1
�
−??????�
�(�)=��−��(�−�)
FORMA INVERSA
DEL SEGUNDO
TEOREMA DE
TRASLACIÓN
Ejemplo:
1. Evalúe: ℒ
−1
1
�−4
�
−2�
Solución:
De acuerdo con las identidades �=2,��=
1
(�−4)
, ℒ
−1
�(�)=�
4�
Entonces,aplicandolaforma
inversadelsegundoteorema
detraslación.
ℒ
−1
1
�−4
�
−2�
=�
4�−2
�(�−2)
1. Evalúe: ℒ
−1
1
�−4
�
−2�
Solución:
De acuerdo con las identidades �=2,��=
1
(�−4)
, ℒ
−1
�(�)=�
4�
Entonces,aplicandolaforma
inversadelsegundoteorema
detraslación.
ℒ
−1
1
�−4
�
−2�
=�
4�−2
�(�−2)
ℒ
−1
�
�
2
+9
�
−??????�/2
Ejemplo:
1. Evalúe:
Solución:
De acuerdo con las identidades �=
??????
2
,��=
�
(�
2
+9)
, ℒ
−1
�(�)=cos3�
Entonces,aplicandolaforma
inversadelsegundoteorema
detraslación.
ℒ
−1
�
�
2
+9
�
−??????�/2
=cos3�−
??????
2
��−
??????
2
Se puede simplificar un poco
con la fórmula adicional para
el coseno.
ℒ
−1
�
�
2
+9
�
−??????�/2
=−sin3���−
??????
2
−1
�
�
2
+9
�
−??????�/2
Ejemplo:
1. Evalúe:
Solución:
De acuerdo con las identidades �=
??????
2
,��=
�
(�
2
+9)
, ℒ
−1
�(�)=cos3�
Entonces,aplicandolaforma
inversadelsegundoteorema
detraslación.
ℒ
−1
�
�
2
+9
�
−??????�/2
=cos3�−
??????
2
��−
??????
2
Se puede simplificar un poco
con la fórmula adicional para
el coseno.
ℒ
−1
�
�
2
+9
�
−??????�/2
=−sin3���−
??????
2
FORMA ALTERNATIVA DEL SEGUNDO
TEOREMA DE TRASLACIÓN
Si la función g(t) no tiene la forma precisa de desplazamiento ��−�del segundo teorema
de traslación, entonces: Para encontrar la transformada de Laplace de ���(�−�)es
posible arreglar ��en la forma requerida ��−�usando álgebra.
Por ejemplo:
ParadeterminarlatransformadadeLaplacede�
2
�(�−2),setendríaqueforzar��=�
2
alaforma�(�−2)
�
2
=�−2
2
+4�−2+4
TEOREMA DE TRASLACIÓN
Si la función g(t) no tiene la forma precisa de desplazamiento ��−�del segundo teorema
de traslación, entonces: Para encontrar la transformada de Laplace de ���(�−�)es
posible arreglar ��en la forma requerida ��−�usando álgebra.
Por ejemplo:
ParadeterminarlatransformadadeLaplacede�
2
�(�−2),setendríaqueforzar��=�
2
alaforma�(�−2)
�
2
=�−2
2
+4�−2+4
ℒ�
2
�(�−2)=ℒ�−2
2
��−2+4�−2��−2+4�(�−2)
Cadatérminosepuedeevaluarconelsegundo
Teoremadetraslación,perocomoestasoperaciones
sontardadasyconfrecuencianoobvias,esmás
simpleutilizarlaformaalternativaaesteTeorema.
FORMA ALTERNATIVA
DEL SEGUNDO
TEOREMA DE
TRASLACIÓN
????????????��(�−??????)=??????
−??????�
????????????(�+??????)
2
�(�−2)=ℒ�−2
2
��−2+4�−2��−2+4�(�−2)
Cadatérminosepuedeevaluarconelsegundo
Teoremadetraslación,perocomoestasoperaciones
sontardadasyconfrecuencianoobvias,esmás
simpleutilizarlaformaalternativaaesteTeorema.
FORMA ALTERNATIVA
DEL SEGUNDO
TEOREMA DE
TRASLACIÓN
????????????��(�−??????)=??????
−??????�
????????????(�+??????)
Ejemplo:
1. Evalúe: ℒcos��(�−??????)
Solución:
��=cos�
�=??????
��+??????=cos�+??????=−cos(�)
ℒcos��(�−??????)=−�
−??????�
ℒcos(�)
????????????�??????��(�−??????)=−
�
�
�
+�
??????
−??????�
Por la fórmula de adicción para la función coseno
1. Evalúe: ℒcos��(�−??????)
Solución:
��=cos�
�=??????
��+??????=cos�+??????=−cos(�)
ℒcos��(�−??????)=−�
−??????�
ℒcos(�)
????????????�??????��(�−??????)=−
�
�
�
+�
??????
−??????�
Por la fórmula de adicción para la función coseno
Ejemplo:
2. Resuelva el siguiente problema con valores iniciales:
�
′
+�=��,�0=5,donde ��=
0, 0≤�≤??????
3cos(�),�≥??????
Solución:
Lafunción�sepuedeescribircomo:��=3cos��(�−??????),entoncespor
linealidadyporlasfraccionesparcialessetiene:
ℒ�′+ℒ�=3ℒcos��(�−??????)
���−�0+��=−3
�
�
2
+1
�
−??????�
�+1��=5−
3�
�
2
+1
�
−??????�
2. Resuelva el siguiente problema con valores iniciales:
�
′
+�=��,�0=5,donde ��=
0, 0≤�≤??????
3cos(�),�≥??????
Solución:
Lafunción�sepuedeescribircomo:��=3cos��(�−??????),entoncespor
linealidadyporlasfraccionesparcialessetiene:
ℒ�′+ℒ�=3ℒcos��(�−??????)
���−�0+��=−3
�
�
2
+1
�
−??????�
�+1��=5−
3�
�
2
+1
�
−??????�
��=
5
�+1
−
3
2
−
1
�+1
�
−??????�
+
1
�
2
+1
�
−??????�
+
�
�
2
+1
�
−??????�
Se tiene con �=??????que los inversos de los términos dentro del paréntesis son:
ℒ
−1
1
�+1
�
−??????�
=�
−�−??????
�(�−??????) ℒ
−1
1
�
2
+1
�
−??????�
=sin(�−??????)�(�−??????)
ℒ
−1
�
�
2
+1
�
−??????�
=cos(�−??????)�(�−??????)
��=5�
−�
+
3
2
�
−�−??????
��−??????−
3
2
sin�−??????��−??????−
3
2
cos�−??????�(�−??????)
5
�+1
−
3
2
−
1
�+1
�
−??????�
+
1
�
2
+1
�
−??????�
+
�
�
2
+1
�
−??????�
Se tiene con �=??????que los inversos de los términos dentro del paréntesis son:
ℒ
−1
1
�+1
�
−??????�
=�
−�−??????
�(�−??????) ℒ
−1
1
�
2
+1
�
−??????�
=sin(�−??????)�(�−??????)
ℒ
−1
�
�
2
+1
�
−??????�
=cos(�−??????)�(�−??????)
��=5�
−�
+
3
2
�
−�−??????
��−??????−
3
2
sin�−??????��−??????−
3
2
cos�−??????�(�−??????)
��=5�
−�
+
3
2
�
−�−??????
+sin�+cos��(�−??????)
Identidadestrigonométricas
??????�=
????????????
−�
, �≤�<??????
????????????
−�
+
�
�
??????
−(�−??????)
+
�
�
????????????�(�)+
�
�
??????�??????�,�≥??????
Entonces, la solución del problema con valores iniciales es:
−�
+
3
2
�
−�−??????
+sin�+cos��(�−??????)
Identidadestrigonométricas
??????�=
????????????
−�
, �≤�<??????
????????????
−�
+
�
�
??????
−(�−??????)
+
�
�
????????????�(�)+
�
�
??????�??????�,�≥??????
Entonces, la solución del problema con valores iniciales es:
DERIVADAS DE UNA TRANSFORMADA
LatransformadadeLaplacedelproductodeunafunción�(�)con�,sepuedeencontrar
derivandolatransformadadeLaplacede�(�).SisesuponequeFs=ℒ�(�)existeyque
esposibleintercambiarelordendeladerivadaydelaintegral,entonces:
�
��
��=
�
��
0
∞
�
−��
����=
0
∞
??????
??????�
�
−��
����=−
0
∞
�
−��
�����=−ℒ��(�)
ℒ��(�)=−
�
��
ℒ�(�)
LatransformadadeLaplacedelproductodeunafunción�(�)con�,sepuedeencontrar
derivandolatransformadadeLaplacede�(�).SisesuponequeFs=ℒ�(�)existeyque
esposibleintercambiarelordendeladerivadaydelaintegral,entonces:
�
��
��=
�
��
0
∞
�
−��
����=
0
∞
??????
??????�
�
−��
����=−
0
∞
�
−��
�����=−ℒ��(�)
ℒ��(�)=−
�
��
ℒ�(�)
ℒ�
2
�(�)=ℒ�∗��(�)=−
�
��
ℒ���=−
�
��
−
�
��
ℒ��=
�
2
��
2
ℒ�(�)
Por ejemplo, para encontrar la transformada de Laplace de �
2
�(�):
•Si��=ℒ�(�)y ??????=1,2,3…entonces:
ℒ�
??????
�(�)=−1
??????
�
??????
��
??????
�(�)
TEOREMA DERIVADAS
DE TRANSFORMADAS
En términos generales:
2
�(�)=ℒ�∗��(�)=−
�
��
ℒ���=−
�
��
−
�
��
ℒ��=
�
2
��
2
ℒ�(�)
Por ejemplo, para encontrar la transformada de Laplace de �
2
�(�):
•Si��=ℒ�(�)y ??????=1,2,3…entonces:
ℒ�
??????
�(�)=−1
??????
�
??????
��
??????
�(�)
TEOREMA DERIVADAS
DE TRANSFORMADAS
En términos generales:
Ejemplo:
1.Evalúeℒ�sin??????�
Solución:
��=sin??????�,��=
??????
�
2
+??????
2
, ??????=1
ℒ�sin??????�=−
�
��
ℒsin??????�=−
�
��
??????
�
2
+??????
2
=
2??????�
(�
2
+??????
2
)
2
Aplicando el teorema derivadas de transformadas, se tiene:
1.Evalúeℒ�sin??????�
Solución:
��=sin??????�,��=
??????
�
2
+??????
2
, ??????=1
ℒ�sin??????�=−
�
��
ℒsin??????�=−
�
��
??????
�
2
+??????
2
=
2??????�
(�
2
+??????
2
)
2
Aplicando el teorema derivadas de transformadas, se tiene:
Paraencontrartransformadasdefunciones�
??????
�
??????�
,sepuedeutilizarelprimer
teoremadetraslaciónoelteoremadederivadasdetransformadas.
Primer teorema de
traslación
ℒ��
3�
=ℒ�
�→�−3=
1
�
2
�→�−3
=
1
(�−3)
2
Teorema derivadas
de transformadas
ℒ��
3�
=−
�
��
ℒ�
3�
=−
�
��
1
�−3
=�−3
−2
=
1
(�−3)
2
??????
�
??????�
,sepuedeutilizarelprimer
teoremadetraslaciónoelteoremadederivadasdetransformadas.
Primer teorema de
traslación
ℒ��
3�
=ℒ�
�→�−3=
1
�
2
�→�−3
=
1
(�−3)
2
Teorema derivadas
de transformadas
ℒ��
3�
=−
�
��
ℒ�
3�
=−
�
��
1
�−3
=�−3
−2
=
1
(�−3)
2
Ejemplo:
2.Resuelvaelsiguienteproblemaconvaloresiniciales
�
′′
+16�=cos4��0=0,�
′
0=1
Solución:
Transformando la ecuación diferencial, se obtiene
�
2
+16��=1+
�
�
2
+16
��=
1
�
2
+16
+
�
(�
2
+16)
2
2.Resuelvaelsiguienteproblemaconvaloresiniciales
�
′′
+16�=cos4��0=0,�
′
0=1
Solución:
Transformando la ecuación diferencial, se obtiene
�
2
+16��=1+
�
�
2
+16
��=
1
�
2
+16
+
�
(�
2
+16)
2
ℒ
−1
2??????
(�
2
+??????
2
)
2
=�sin??????�Además, como
Entonces,identificando??????=4yaplicandoelteoremadetransformadainversa,se
obtiene:
��=
1
4
ℒ
−1
4
�
2
+16
+
1
8
ℒ
−1
8�
�
2
+16
2
��=
1
4
sin4�+
1
8
�sin4�
−1
2??????
(�
2
+??????
2
)
2
=�sin??????�Además, como
Entonces,identificando??????=4yaplicandoelteoremadetransformadainversa,se
obtiene:
��=
1
4
ℒ
−1
4
�
2
+16
+
1
8
ℒ
−1
8�
�
2
+16
2
��=
1
4
sin4�+
1
8
�sin4�
TRANSFORMADAS DE INTEGRALES
CONVOLUCIÓN:
Silasfunciones�y�soncontinuasportramosen 0,∞),entoncesunproducto
especial,denotadopor�∗�,sedefinemediantelaintegral:
�∗�=
0
�
�??????�(�−??????)�?????? Convolución de �y �.
Laconvoluciónde�∗�esunafunciónde�.Porejemplo:
�
�
∗sin�=
0
�
�
??????
sin(�−??????)�??????=
1
2
(−sin�−cos�+�
�
)
CONVOLUCIÓN:
Silasfunciones�y�soncontinuasportramosen 0,∞),entoncesunproducto
especial,denotadopor�∗�,sedefinemediantelaintegral:
�∗�=
0
�
�??????�(�−??????)�?????? Convolución de �y �.
Laconvoluciónde�∗�esunafunciónde�.Porejemplo:
�
�
∗sin�=
0
�
�
??????
sin(�−??????)�??????=
1
2
(−sin�−cos�+�
�
)
0
�
�??????��−??????�??????=
0
�
��−??????�??????�?????? �∗�=�∗�
•Si ��y �(�)son funciones continuas pro
tramos en 0,∞)y de orden exponencial:
ℒ�∗�=ℒ�(�)ℒ�(�)=���(�)
TEOREMA DE
CONVOLUCIÓN
La convolución de dos funciones es conmutativa:
�
�??????��−??????�??????=
0
�
��−??????�??????�?????? �∗�=�∗�
•Si ��y �(�)son funciones continuas pro
tramos en 0,∞)y de orden exponencial:
ℒ�∗�=ℒ�(�)ℒ�(�)=���(�)
TEOREMA DE
CONVOLUCIÓN
La convolución de dos funciones es conmutativa:
Ejemplo:
1.Evalúeℒ
0
�
�
??????
sin(�−??????)�??????
Solución:
Con ��=�
�
y ��=sin�
ElteoremadeconvoluciónestablecequelatransformadadeLaplacedelaconvolución
de�y�eselproductodesustransformadasdeLaplace.
ℒ
0
�
�
??????
sin(�−??????)�??????=ℒ�
�
ℒsin�=
1
�−1
.
1
�
2
+1
=
1
(�−1)(�
2
+1)
1.Evalúeℒ
0
�
�
??????
sin(�−??????)�??????
Solución:
Con ��=�
�
y ��=sin�
ElteoremadeconvoluciónestablecequelatransformadadeLaplacedelaconvolución
de�y�eselproductodesustransformadasdeLaplace.
ℒ
0
�
�
??????
sin(�−??????)�??????=ℒ�
�
ℒsin�=
1
�−1
.
1
�
2
+1
=
1
(�−1)(�
2
+1)
•ℒ
−1
����=�∗�
FORMA INVERSA DEL
TEOREMA DE
CONVOLUCIÓN
Ejemplo:
1.Aplicandolatransformadainversacomounaconvolución,evalúe:ℒ
−1
1
(�
2
+??????
2
)
2
Solución:
Sea ��=��=
1
�
2
+??????
2
por lo que:
��=��=
1
??????
ℒ
−1
??????
�
2
+??????
2
=
1
??????
sin??????�
−1
����=�∗�
FORMA INVERSA DEL
TEOREMA DE
CONVOLUCIÓN
Ejemplo:
1.Aplicandolatransformadainversacomounaconvolución,evalúe:ℒ
−1
1
(�
2
+??????
2
)
2
Solución:
Sea ��=��=
1
�
2
+??????
2
por lo que:
��=��=
1
??????
ℒ
−1
??????
�
2
+??????
2
=
1
??????
sin??????�
ℒ
−1
1
(�
2
+??????
2
)
2
=
1
??????
2
0
�
sin????????????sin??????(�−??????)�??????
Con ayuda de la identidad trigonométrica:
sin�sin�=
1
2
cos�−�−cos(�+�)
�=???????????? �=??????(�−??????)
ℒ
−1
1
(�
2
+??????
2
)
2
=
1
2??????
2
0
�
cos??????2??????−�−cos??????��??????=
1
2??????
2
1
2??????
sin??????(2??????−�)−??????cos??????�
�
0
ℒ
−1
1
(�
2
+??????
2
)
2
=
sin??????�−??????�cos??????�
2??????
3
−1
1
(�
2
+??????
2
)
2
=
1
??????
2
0
�
sin????????????sin??????(�−??????)�??????
Con ayuda de la identidad trigonométrica:
sin�sin�=
1
2
cos�−�−cos(�+�)
�=???????????? �=??????(�−??????)
ℒ
−1
1
(�
2
+??????
2
)
2
=
1
2??????
2
0
�
cos??????2??????−�−cos??????��??????=
1
2??????
2
1
2??????
sin??????(2??????−�)−??????cos??????�
�
0
ℒ
−1
1
(�
2
+??????
2
)
2
=
sin??????�−??????�cos??????�
2??????
3
TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL: Cuando ��=1y ℒ�(�)=��=1/�.
ℒ
0
�
�??????�??????=
�(�)
�
0
�
�??????�??????=ℒ
−1
�(�)
�
Y la forma inversa es:
Ejemplo:
1.Sesabepara��=sin�que��=1/(�
2
+1),portanto:
Sepuedeusarenlugardelasfraccionesparcialescuando�
??????
esunfactordeldenominadory
��=ℒ
−1
�(�)esfácildeintegrar.
ℒ
0
�
�??????�??????=
�(�)
�
0
�
�??????�??????=ℒ
−1
�(�)
�
Y la forma inversa es:
Ejemplo:
1.Sesabepara��=sin�que��=1/(�
2
+1),portanto:
Sepuedeusarenlugardelasfraccionesparcialescuando�
??????
esunfactordeldenominadory
��=ℒ
−1
�(�)esfácildeintegrar.
ℒ
−1
1
�(�
2
+1)
=
0
�
sin??????�??????=1−cos�
ℒ
−1
1
�
2
(�
2
+1)
=
0
�
(1−cos??????)�??????=�−sin�
ℒ
−1
1
�
3
(�
2
+1)
=
0
�
(??????−sin??????)�??????=
1
2
�
2
−1+cos�
Etcétera.
−1
1
�(�
2
+1)
=
0
�
sin??????�??????=1−cos�
ℒ
−1
1
�
2
(�
2
+1)
=
0
�
(1−cos??????)�??????=�−sin�
ℒ
−1
1
�
3
(�
2
+1)
=
0
�
(??????−sin??????)�??????=
1
2
�
2
−1+cos�
Etcétera.
TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN
PERIÓDICA
FUNCIÓNPERIÓDICA:Siunafunciónperiódicatieneperiodo??????,??????>0,entonces
��+??????=�(�).
•Si �(�)es continua por tramos en 0,∞), de
orden exponencial y periódica con periodo T:
ℒ�(�)=
1
1−�
−�??????
0
??????
�
−��
����
TEOREMA
TRANSFORMADA DE
UNA FUNCIÓN
PERIÓDICA
PERIÓDICA
FUNCIÓNPERIÓDICA:Siunafunciónperiódicatieneperiodo??????,??????>0,entonces
��+??????=�(�).
•Si �(�)es continua por tramos en 0,∞), de
orden exponencial y periódica con periodo T:
ℒ�(�)=
1
1−�
−�??????
0
??????
�
−��
����
TEOREMA
TRANSFORMADA DE
UNA FUNCIÓN
PERIÓDICA
EJERCICIOS A RESOLVER
1.Useelteoremadetransformadadederivadasparaevaluarlassiguientestransformadasde
Laplace.
a. ℒ�cos2� b. ℒ��
−10�
2.UselatransformadadeLaplacepararesolverelproblemaconvaloresinicialesdado.
�
′′
+9�=cos3��0=2, �
′
0=5
3.ResolverutilizandoelteoremadeTraslaciónenelejes.
ℒ�
3
�
−2�
4.Siseaplicaunpulsodemagnitud3yduraciónde10segundosaunsistemadecontrol,
queserepresentaalgebraicamentedelasiguienteforma:
��=
3,0≤�<10
0,�≥10
Represente este pulso gráficamente y halle la
transformada de Laplace de la función ��
1.Useelteoremadetransformadadederivadasparaevaluarlassiguientestransformadasde
Laplace.
a. ℒ�cos2� b. ℒ��
−10�
2.UselatransformadadeLaplacepararesolverelproblemaconvaloresinicialesdado.
�
′′
+9�=cos3��0=2, �
′
0=5
3.ResolverutilizandoelteoremadeTraslaciónenelejes.
ℒ�
3
�
−2�
4.Siseaplicaunpulsodemagnitud3yduraciónde10segundosaunsistemadecontrol,
queserepresentaalgebraicamentedelasiguienteforma:
��=
3,0≤�<10
0,�≥10
Represente este pulso gráficamente y halle la
transformada de Laplace de la función ��
Por consiguiente se da la serie generalizada de Fourier
??????=0
∞
(??????,Φ??????)
Φ??????
2
Φ
??????
FUNCIONES ORTOGONALES
•Greenberg, M. (1990). AdvancedEngineeringMathematics.
LimusaWiley.
•Kreiszyg, E. (1962). Matemáticas Avanzadas Para Ingeniería.
LimusaWiley.
•Zill, D., & Cullen, M. (2009). Ecuaciones diferenciales con
problemas con valores en la frontera.CengageLearning.
•Smith, C. & Corripio, A. (1991). Control automático de
procesos. Teoría y práctica. Limusa.
•Veintimilla, G. (2015). Diseño de un sistema que controla el
encendido y apagado automático de dos Bombas. (Trabajo de
Titulación) UTMACHALA, Unidad Académica de Ingeniería
Civil, Machala, Ecuador.
BIBLIOGRAFÍA
??????=0
∞
(??????,Φ??????)
Φ??????
2
Φ
??????
FUNCIONES ORTOGONALES
•Greenberg, M. (1990). AdvancedEngineeringMathematics.
LimusaWiley.
•Kreiszyg, E. (1962). Matemáticas Avanzadas Para Ingeniería.
LimusaWiley.
•Zill, D., & Cullen, M. (2009). Ecuaciones diferenciales con
problemas con valores en la frontera.CengageLearning.
•Smith, C. & Corripio, A. (1991). Control automático de
procesos. Teoría y práctica. Limusa.
•Veintimilla, G. (2015). Diseño de un sistema que controla el
encendido y apagado automático de dos Bombas. (Trabajo de
Titulación) UTMACHALA, Unidad Académica de Ingeniería
Civil, Machala, Ecuador.
BIBLIOGRAFÍA
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