KHÓA LUẬN- Nguyễn Thanh oig8ug7yfyfydTây.docx

math

1. Lý do chọn đề tài
Trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay, Chương trình Giáo dục Phổ thông 2018 đã đưa ra
định hướng phát triển năng lực toàn diện cho học sinh, trong đó nhấn mạnh vai trò quan trọng
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BẠC LIÊU
KHOA SƯ PHẠM
-----

-----
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH Ở LỚP 10
SVTH: NGUYỄN THANH TÂY
MSSV: 217140209032
NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN HỌC
Bạc Liêu, 2025

2. Lý do chọn đề tài
Trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay, Chương trình Giáo dục Phổ thông 2018 đã đưa ra
định hướng phát triển năng lực toàn diện cho học sinh, trong đó nhấn mạnh vai trò quan trọng
LỜI CAM ĐOAN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BẠC LIÊU
KHOA SƯ PHẠM
-----

-----
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH Ở LỚP 10
GVHD: TS. NGÔ TRÚC PHƯƠNG
SVTH: NGUYỄN THANH TÂY
MSSV: 217140209032
NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN HỌC
Bạc Liêu, 2025
Bạc Liêu, 02/ 2025

3. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp này là do tự bản thân thực hiện với sự hỗ
trợ của giáo viên hướng dẫn. Khóa luận này không sử dụng tài liệu sao chép từ các công
trình nghiên cứu của người khác. Các dữ liệu thông tin được sử dụng trong Khóa luận là
đáng tin cậy và được trích dẫn rõ ràng.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này!
Người làm khóa luận
i

4. LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Quý Thầy cô Khoa
Sư Phạm, Trường Đại học Bạc Liêu đã tạo cơ hội cho tôi được học tập, rèn luyện và tích
lũy kiến thức, kỹ năng để thực hiện khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn đến giảng viên hướng dẫn cô Ngô Trúc Phương đã
tận tình chỉ dẫn, theo dõi và đưa ra những lời khuyên bổ ích giúp tôi giải quyết được các
vấn đề gặp phải trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài một cách tốt nhất.
Trong quá trình thực hiện khóa luận, do còn hạn chế kinh nghiệm thực tế, chắc
chắn không tránh khỏi những sai sót. Tôi kính mong nhận được sự chỉ dẫn và góp ý từ
quý thầy cô để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Cu
ối cùng, tôi xin chúc Quý Thầy Cô luôn thật nhiều sức khỏe và đạt được nhiều
th
ành công trong công việc.
ii

5. MỤC LỤC
iii

6. LỜI MỞ ĐẦUviii
1. Lý do chọn đề tài.............................................................................................................................viii
2. Mục đích nghiên cứu.........................................................................................................................x
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.....................................................................................................x
4. Nội dung nghiên cứu..........................................................................................................................x
5. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................................................x
7. Ý nghĩa của đề tài..............................................................................................................................xi
8. Cấu trúc khoá luận...........................................................................................................................xi
CHƯƠNG 1................................................................................................................................................1
CƠ SỞ LÝ LUẬN......................................................................................................................................1
1.1. Mô hình hóa toán học trong dạy học Toán....................................................................................1
1.2. Năng lực mô hình hoá toán học.....................................................................................................2
1.3. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hoá toán học.........................................7
1.4. Đánh giá năng lực mô hình hoá toán học trong dạy học Toán...................................................16
1.5. Kết luận Chương 1........................................................................................................................18
CHƯƠNG 2..............................................................................................................................................20
DẠY HỌC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10 THEO ĐỊNH
HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC .................................................20
2.1. Nội dung hệ phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10......................................................20
2.2. Phân tích cơ hội hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trong
dạy học hệ phương trình và hệ bất phương trình.............................................................................27
2.3. Tổ chức dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS thông qua nội dung hệ
phương trình và hệ bất phương trình................................................................................................33
CHƯƠNG 3..............................................................................................................................................61
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ..................................................................................................................61
3.1. Giới thiệu về thực nghiệm............................................................................................................61
3.2. Kết quả thực nghiệm....................................................................................................................64
3.3. Kết luận chương 3.........................................................................................................................70
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .................................................................................................................72
1. Kết luận............................................................................................................................................72
2. Kiến nghị..........................................................................................................................................73
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................................................76
PHỤ LỤC.................................................................................................................................................79
iv

7. KẾ HOẠCH BÀI DẠY CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH .............79
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
v

8. DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ
vi

9. MỤC LỤC
vii

10. LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay, Chương trình Giáo dục Phổ thông 2018
đã đưa ra định hướng phát triển năng lực toàn diện cho học sinh, trong đó nhấn mạnh vai
trò quan trọng của năng lực toán học. Một trong năm năng lực cốt lõi của môn Toán là
năng lực mô hình hóa toán học – khả năng nhận diện, phân tích các tình huống thực tiễn
và xây dựng các mô hình toán học để giải quyết vấn đề. Đây không chỉ là một yêu cầu
trong dạy học mà còn là kỹ năng cần thiết để học sinh áp dụng toán học vào các lĩnh vực
thực tiễn. Tuy nhiên, theo nghiên cứu của Trần Kiều và các cộng sự (2005) và bài viết của
Nguyễn Thị Hằng (2017) thì thực trạng dạy học Toán ở các trường phổ thông hiện nay
vẫn còn nhiều hạn chế. Phần lớn các giờ học vẫn nặng về lý thuyết và luyện tập các kỹ
thuật giải toán, chưa chú trọng đến việc rèn luyện khả năng mô hình hóa toán học hay gắn
kết nội dung học tập với các vấn đề thực tế. Điều này dẫn đến việc học sinh chưa nhận
thấy ý nghĩa của toán học trong đời sống và chưa hình thành được khả năng vận dụng
toán học để giải quyết các bài toán thực tiễn.
Hệ phương trình và hệ bất phương trình trong chương trình Toán lớp 10 là một nội
dung quan trọng, không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Các bài toán về tối ưu hóa, phân bổ nguồn lực, kinh tế và kỹ thuật đều có thể được mô
hình hóa và giải quyết thông qua hệ phương trình hoặc hệ bất phương trình. Do đó, việc
phát triển năng lực mô hình hóa toán học thông qua dạy học nội dung này là cần thiết và
có ý nghĩa lớn đối với việc nâng cao chất lượng giảng dạy Toán ở trường phổ thông.
Trên thế giới các nghiên cứu quốc tế đã khẳng định vai trò quan trọng của mô hình
hóa toán học trong phát triển năng lực toán học như nghiên cứu của Blomhøj và Carlsen
(2006), nghiên cứu của C. S. Lee (2010),... Ở Việt Nam, mô hình hóa Toán học đã được
nghiên cứu và ứng dụng mạnh mẽ trong dạy học toán những năm gần đây.
Nguyễn Danh Nam (2013) giới thiệu phương pháp và quy trình mô hình hóa sử
dụng trong tổ chức các hoạt động toán học ở trường phổ thông. Thông qua các hoạt động
này, giáo viên cho học sinh (HS) thấy được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, giúp
các em rèn luyện các thao tác tư duy toán học và kỹ năng nhìn nhận các hiện tượng thực
tiễn bằng con mắt toán học. Qua đó, nâng cao kỹ năng sử dụng ngôn ngữ và các công cụ
toán học trong giải toán ở trường phổ thông.
viii

11. Lê Hồng Quang (2019) nghiên cứu lí thuyết thông các nghiên cứu trong và ngoài
nước về năng lực, năng lực mô hình hóa toán học của học sinh, dựa vào kết quả nghiên
cứu thực tiễn đã được kiểm nghiệm về năng lực được tác giả đề xuất. Kết quả nghiên cứu
đề xuất được khung năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trung học phổ thông bao
gồm 6 năng lực cơ bản c
ùng các chỉ báo, bao gồm: Năng lực nhận diện tình huống mô
hình toán học từ bối cảnh thực tiễn; Năng lực sử dụng ngôn ngữ trong quá trình mô hình
hóa toán học; Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán; Năng lực xây dựng mô
hình toán học; Năng lực làm việc với mô hình toán học; Năng lực đánh giá, điều chỉnh
mô hình. Phần cuối của nghiên cứu, tác giả đưa ra một số góp ý hướng đến phát triển các
thành tố năng lực mô hình hóa toán học của học sinh. Từ đó, nâng cao chất lượng dạy học
Toán cho học sinh trung học phổ thông trong thời gian tới.
Trịnh Thu Vân (2023) nghiên cứu các lý thuyết năng lực toán học hóa tình huống
thực tiễn và đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực
tiễn thông qua dạy học chủ đề “bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”
lớp 10 trong chương trình GDPT 2018 ở trường THPT.
Nguyễn Ái Quốc và Nguyễn Vũ Quỳnh Như (2024) trình bày một mô hình toán
học quá trình dạy học giải quyết các vấn đề thực tiễn và minh họa quá trình đó trong dạy
giải các bài toán thực tiễn chương trình Toán 10 tại Trường THPT Phú Nhuận, Thành
phố Hồ Chí Minh. Kết quả dạy học thực nghiệm cho thấy giải quyết các vấn đề thực tế
thông qua quá trình mô hình hóa toán học đã phát triển các yếu tố năng lực mô hình hóa
toán học cho học sinh.
Nguyễn Ái Quốc & Nguyễn Huỳnh Phương Thy (2024) đề xuất quy trình dạy học
giải các bài toán thực tiễn nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh
trung học phổ thông và minh họa quá trình này thông qua dạy học giải quyết vấn đề thực
tiễn với nội dung hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Toán 10). Thông qua các thí
nghiệm giải các bài toán thực tiễn sử dụng hệ bất đẳng thức bậc một hai biến đã giúp học
sinh phát triển các thành phần năng lực mô hình hóa toán học.
Có thể thấy, năng lực mô hình hóa toán học là một lĩnh vực đang được nghiên cứu
mạnh mẽ, với nhiều ứng dụng thực tiễn trong giáo dục. Việc phát triển năng lực này
không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học mà còn chuẩn bị cho họ khả năng
giải quyết các vấn đề thực tiễn trong cuộc sống. Đề tài “Phát triển năng lực mô hình hóa
toán học cho học sinh trong dạy học hệ phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10” sẽ
tập trung vào hướng phát triển năng lực mô hình hoá toán học thông qua dạy học hệ
ix

12. phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10 qua việc xây dựng hệ thống bài giảng, bài
tập mô hình hóa toán học và đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng học tập.
Từ những lý do trên, tôi chọn nghiên cứu đề tài "Phát triển năng lực mô hình hóa
toán học cho học sinh trong dạy học hệ phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10"
với hy vọng góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông,
đáp ứng những yêu cầu cấp thiết của giáo dục trong thời kỳ đổi mới.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất các biện pháp nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học
sinh lớp 10 thông qua dạy học nội dung hệ phương trình và hệ bất phương trình.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu:
+ Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh.
+ Nội dung kiến thức hệ phương trình và hệ bất phương trình lớp 10.
- Phạm vi nghiên cứu:
+ Nội dung: biện pháp phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh.
+ Sách: Toán 10, Bộ sách Kết nối tri thức.
4. Nội dung nghiên cứu
- Tổng hợp cơ sở lý luận về năng lực mô hình hóa toán học và phương pháp dạy
học phát triển năng lực này.
- Khảo sát thực trạng phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh lớp 10
trong dạy học hệ phương trình và hệ bất phương trình.
- Đề xuất các biện pháp dạy học cụ thể nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán
học.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp
đề xuất.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Tìm hiểu các tài liệu liên quan đến năng lực
mô hình hóa toán học, dạy học Toán, và các nghiên cứu về hệ phương trình, hệ bất
phương trình.
- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm:
Tiến hành dạy thử nghiệm một số bài giảng theo hướng phát triển năng lực mô
hình hóa toán học cho học sinh lớp 10.
x

13. Quan sát và đánh giá phản hồi từ học sinh.
- Phương pháp phân tích và tổng hợp dữ liệu: Phân tích kết quả thực nghiệm, so
sánh kết quả học tập của học sinh trước và sau khi áp dụng các biện pháp đề xuất.
7. Ý nghĩa của đề tài
7.1. Ý nghĩa khoa học
Bổ sung lý luận về năng lực mô hình hóa toán học: Nghiên cứu giúp làm rõ khái
niệm, cấu trúc và các mức độ phát triển của năng lực mô hình hóa toán học trong dạy
học.
Xác định các yếu tố ảnh hưởng đến quá trình mô hình hóa toán học: Khóa luận sẽ
phân tích những khó khăn mà học sinh gặp phải khi thực hiện mô hình hóa, từ đó đề xuất
các biện pháp hỗ trợ hiệu quả.
Góp phần vào đổi mới phương pháp dạy học toán: Việc tích hợp mô hình hóa vào
giảng dạy hệ phương trình và hệ bất phương trình sẽ giúp nâng cao hiệu quả dạy học,
đồng thời tạo cơ sở cho các nghiên cứu tiếp theo về mô hình hóa trong giáo dục toán học.
7.2. Ý nghĩa thực tiễn
Nâng cao khả năng ứng dụng toán học của học sinh: Phát triển năng lực mô hình
hóa giúp học sinh không chỉ học toán theo hướng lý thuyết mà còn biết vận dụng toán
vào giải quyết các vấn đề thực tiễn.
Hỗ trợ giáo viên trong đổi mới phương pháp giảng dạy: Giáo viên có thể sử dụng
các biện pháp đề xuất trong khóa luận để thiết kế bài giảng theo hướng mô hình hóa, giúp
học sinh hiểu sâu hơn về bản chất của hệ phương trình và hệ bất phương trình.
Góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông: Việc tích hợp mô
hình hóa vào giảng dạy giúp học sinh phát triển tư duy logic, tư duy sáng tạo và khả năng
giải quyết vấn đề, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục theo chương trình GDPT 2018.
8. Cấu trúc khoá luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của khoá luận gồm 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận
Chương 2. Dạy học hệ phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10 theo định
hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học
Chương 3: Một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học
sinh trong dạy học hệ phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10.
xi

14. CHƯƠNG 1.
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Mô hình hóa toán học trong dạy học Toán
1.1.1. Khái niệm mô hình hóa
Từ định nghĩa về mô hình ta có thể thấy, muốn có mô hình con người ta phải tạo ra
nó từ tình huống thực tiễn, quá trình tạo ra mô hình chính là mô hình hóa (modelling).
Ogborn (1994) cho rằng: Mô hình hóa là suy nghĩ về một thứ nhân tạo đơn giản hơn. Mô
hình hóa là thay thế đối tượng gốc bằng một mô hình nhằm thu thập các thông tin quan
trọng về đối tượng bằng cách tiến hành các nghiên cứu thực nghiệm trên mô hình. Gierre
(1988) cho rằng: Mô hình hóa là mô tả một tình huống trong thực tế nhằm mục đích giải
quyết một vấn đề hoặc câu hỏi trong tình huống đó. Mô hình hóa vừa là cách làm việc,
vừa là cách suy nghĩ. Nó bao gồm một quá trình lặp đi lặp lại, đòi hỏi sự sáng tạo và phát
minh trong đó kiến thức toán học, Khoa học và Kĩ thuật được áp dụng để mô tả tình
huống mới. Xét trên phương diện dạy học, Nguyễn Danh Nam (2016) cho rằng: Mô hình
hóa được biết đến như một phương pháp dạy học, cung cấp cho học sinh hiểu khái niệm
của vấn đề, giúp học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình
huống thực tế. Mô hình hóa giống như một phương pháp nghiên cứu khoa học, giúp học
sinh biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác nhau.
Đây chính là môi trường để học sinh khám phá các kiến thức toán học. Tóm lại, mô hình
được d
ùng để mô tả một đối tượng thực tiễn nào đó, song mô hình không thể thay thế cho
vật mẫu. Mô hình hóa là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết vấn đề nào đó xuất
phát từ tình huống thực tiễn.
1.1.2. Mô hình hóa Toán học
Theo Aristides C. Barreto (2010), mô hình hóa Toán học là một mô hình trừu
tượng, sử dụng ngôn ngữ Toán học (các đồ thị, phương trình, hệ phương trình, hàm số,
các kí hiệu Toán học,…) để biểu diễn và mô tả đặc điểm của một sự vật, hiện tượng hay
một đối tượng thực được nghiên cứu. Nguyễn Danh Nam (2016) dựa vào quan điểm
của Edwards và Hamson (2001) để đưa ra khái niệm mô hình hóa Toán học là quá trình
chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề Toán học thông qua việc thiết lập và giải
quyết các mô hình Toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến
mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận. Nói cách khác, mô hình hóa Toán học
1

15. chính là quá trình giải quyết vấn đề thực tế bằng công cụ và ngôn ngữ Toán học. Vấn đề
của tình huống thực tiễn được chuyển đổi sang vấn đề Toán học ph
ù hợp và ngược lại.
Theo Lê Thị Hoài Châu (2014), mô hình Toán học là sự giải thích ngôn ngữ Toán học cho
một hệ thống ngoài Toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống
này. Quá trình mô hình hóa Toán học là quá trình xây dựng một mô hình Toán học cho
vấn đề ngoài Toán học, giải quyết vấn đề bằng ngôn ngữ Toán học trong mô hình đó, rồi
kiểm tra và đánh giá kết quả trong ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mô hình nếu cách giải
quyết không thể chấp nhận.
Như vậy, có thể nói, mô hình hóa Toán học được hiểu là sử dụng các công cụ Toán
học để mô tả các tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống đó dưới dạng ngôn ngữ
Toán học, đưa bài toán thực tiễn thành bài toán Toán học ph
ù hợp. Quá trình chuyển đổi
giữa tình huống thực tiễn và tình huống Toán học tuân theo một quy trình nhất định với
những quy tắc đặc biệt để xây dựng giả thuyết Toán học, từ đó học sinh có thể dễ dàng
nhìn nhận các vấn đề thực tiễn. Mô hình hóa Toán học là một hoạt động phức tạp, chuyển
đổi giữa Toán học và thực tiễn.
1.2. Năng lực mô hình hoá toán học
1.2.1. Năng lực toán học
Trước tiên, năng lực được định nghĩa là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát
triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện cho phép con người huy động,
tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý
chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt được kết quả mong muốn
trong những điều kiện cụ thể.
Năng lực toán học là một loại năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học. Có rất
nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học. Ở Việt Nam, trong những năm gần đây,
các nhà nghiên cứu toán học thường nhắc tới quan niệm năng lực toán học của các nhà
giáo dục toán học Đan Mạch và đề xuất của tác giả Trần Kiều (Viện Khoa học Giáo dục
Việt Nam). Theo Blomhøj & Jensen (2007): “Năng lực toán học là khả năng sẵn sàng
hành động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định”. Theo Niss
(1999): “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử dụng các khái niệm toán học
trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong
hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)”.
2

16. Theo chương trình giáo dục phổ thông mới môn Toán 2018 nêu rõ: “Giáo dục toán
học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và
năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực
mô hình hoá toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học,
năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học” (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018).
Trong môi trường học tập, năng lực toán học đóng vai trò như một nền móng vững
chắc, không chỉ hỗ trợ việc tiếp thu kiến thức trong các môn khoa học tự nhiên và kỹ
thuật, mà còn là công cụ đắc lực giúp học sinh phát triển tư duy logic, khả năng phân tích
và giải quyết vấn đề. Toán học rèn luyện khả năng suy luận, lập luận chặt chẽ, từ đó giúp
học sinh hình thành tư duy phản biện, đánh giá thông tin một cách khách quan. Hơn nữa,
việc học toán còn giúp học sinh phát triển khả năng tư duy trừu tượng, khái quát hóa,
những kỹ năng cần thiết để tiếp cận và giải quyết các vấn đề phức tạp. Tóm lại, năng lực
toán học là một yếu tố then chốt, không chỉ giúp học sinh đạt thành tích tốt trong học tập,
mà còn trang bị cho các em những kỹ năng cần thiết để thành công trong cuộc sống và sự
nghiệp.
1.2.2. Năng lực mô hình hoá toán học
Maaß (2006) định nghĩa năng lực mô hình hoá toán học bao gồm các kĩ năng và
khả năng thực hiện quy trình mô hình hoá toán học nhằm đạt được mục tiêu xác định.
Kaiser (2007) cho rằng, năng lực mô hình hoá toán học đặc trưng cho khả năng thực hiện
toàn bộ quy trình mô hình hoá toán học và phản ánh về quá trình đó. Theo Henning và
Keune (2004), năng lực mô hình hoá toán học là tổ hợp những thuộc tính của cá nhân
người học như kiến thức, kĩ năng, thái độ và sự sẵn sàng tham gia vào hoạt động mô hình
hoá toán học nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả; nghiên cứu này còn xác định
năng lực mô hình hoá toán học một cách chi tiết, bao gồm khả năng xây dựng mô hình,
thông dịch giữa thế giới thực và thế giới toán học, làm việc với mô hình toán học như
chính xác hóa và đánh giá các mô hình toán, phản ánh về kết quả của các mô hình đó
điều chỉnh quy trình mô hình hóa nếu cần thiết.
Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực mô hình hóa toán học. Theo Blomhoj
và Jensen (2007), năng lực mô hình hoá toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai
đoạn của quy trình mô hình hoá toán học với một tình huống cho trước. Theo Nguyễn
Danh Nam (2016), năng lực mô hình hoá toán học được cho là sự sẵn sàng của một ai đó
để thực hiện tất cả các phần của quy trình mô hình hoá toán học trong một tình huống
3

17. nhất định. Theo Đỗ Thị Thanh (2020), năng lực mô hình hoá toán học là khả năng ứng
dụng, thông hiểu, diễn tả - giao lưu và giải quyết các vấn đề liên quan đến mô hình hoá
toán học. Các tác giả (Verschaffel, L. and E. De Corte, 1997; Nguyễn Thị Nga, 2014; Lê
Thị Hoài Châu, 2014; Nguyễn Danh Nam, 2015) coi năng lực mô hình hóa toán học như
là khả năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, hay là khả năng áp dụng những
hiểu biết Toán học để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng Toán học. Các tác giả đều
có những quan điểm khá tương đồng khi cho rằng, các thành tố của năng lực Toán học
hóa tình huống thực tiễn của học sinh trung học phổ thông bao gồm:
- Năng lực thu nhận thông tin Toán học từ tình huống thực tiễn: Khả năng quan
sát tình huống thực tiễn; khả năng tưởng tượng, chuyển đổi các ý tưởng từ thực tiễn thành
các yếu tố Toán học; khả năng ước lượng, dự đoán các kết quả có thể xảy ra của tình
huống.
- Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống: Khả năng xác
định yếu tố trọng tâm của tình huống; khả năng thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố,
đánh giá mức độ phụ thuộc của các yếu tố; khả năng loại bỏ những gì không bản chất.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ Toán học: Khả năng sử dụng
ngôn ngữ tự nhiên ngắn gọn, chính xác để diễn đạt các tình huống; Khả năng sử dụng
ngôn ngữ Toán học để chuyển đổi các bài toán thực tiễn sang dạng Toán học và giải bài
toán đó.
- Năng lực xây dựng mô hình Toán học: Khả năng phát hiện ra yếu tố trọng tâm
của tình huống thực tiễn; khả năng biểu diễn các đại lượng thực tế bằng ngôn ngữ Toán
học; Khả năng biểu đạt các mối quan hệ giữa các đại lượng bằng các mệnh đề Toán học,
các biểu thức chứa biến, đồ thị, biểu đồ,...; Khả năng khái quát hóa các tình huống thực
tiễn theo quan điểm của Toán học.
- Năng lực làm việc với mô hình Toán học: Khả năng giải toán trên mô hình, dựa
vào lời giải bài toán nêu ra được kết quả của mô hình; Khả năng biến đổi mô hình Toán
học theo ý cá nhân; Khả năng d
ùng mô hình phán đoán tình huống thực tiễn.
- Năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình: Khả năng kiểm tra, đối chiếu
kết quả; khả năng phê phán, phát hiện giới hạn của mô hình; khả năng vận dụng suy luận
có lí vào việc đưa ra các mô hình toán cho tình huống thực tiễn và biết so sánh tìm ra mô
hình hợp lí hơn.
4

18. Tuy nhiên, thực tế nhiều tác giả cũng cho rằng, không thể đồng nhất năng lực mô
hình hóa với năng lực Toán học hóa các tình huống thực tiễn. Theo Blum và Jensen
(2007), năng lực mô hình hóa Toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của
quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán nhằm giải quyết các vấn đề Toán học được đặt
ra. Các thành tố của năng lực mô hình hóa Toán học bao gồm: 1) Đơn giản giả thuyết; 2)
Làm rõ mục tiêu; 3) Thiết lập vấn đề; 4) Xác định biến, tham số, hằng số; 5) Thiết lập
mệnh đề Toán học; 6) Lựa chọn mô hình; 7) Biểu diễn mô hình thích hợp; 8) Liên hệ lại
vấn đề trong thực tiễn.
Trong nghiên cứu này, tôi quan niệm năng lực mô hình hóa Toán học như Chương
trình Giáo dục phổ thông 2018. Tôi đồng ý với Blum và Jensen (2007) rằng, năng lực mô
hình hóa Toán học được hình thành thông qua các giai đoạn của quy trình mô hình hóa.
Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018, năng lực mô hình hóa
toán học gồm các thành tố sau:
Sử dụng các mô hình toán học (gồm: công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,...)
để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế.
Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập.
Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách
giải quyết không ph
ù hợp (Bộ GD-ĐT, 2018).
Như vậy, có thể hiểu “năng lực mô hình hoá toán học” là khả năng thực hiện đầy
đủ các giai đoạn của một quy trình mô hình hoá toán học để giải quyết một vấn đề, bài
toán thực tiễn. Năng lực này thể hiện qua việc thực hiện được các hành động: sử dụng mô
hình Toán học (công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,...) để mô tả tình huống xuất
hiện trong một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp, giải quyết được những vấn đề
toán học trong mô hình được thiết lập, thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh
thực tế và cải tiến được mô hình nếu cách giải quyết không ph
ù hợp .
Bảng 1.1. Yêu cầu cần đạt về năng lực mô hình hoá toán học của học sinh
THPT (Nguồn: Bộ GD và ĐT, 2018)
Thành tố Biểu hiện của học sinh trung học phổ thông
Nhận biết được bất phương trình
và hệ phương trình bậc nhất ba ẩn và
Nhận biết được bất phương trình và hệ
bất phương trình bậc nhất ba ẩn và hệ bất
5

19. hệ bất phương trình . phương trình.
Biểu diễn được miền nghiệm
của bất phương trình trên mặt phẳng
tọa độ.
Nhận biết được khái niệm
nghiệm của hệ phương trình bậc nhất
ba ẩn. Giải được hệ phương trình bậc
nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss.
Tìm được nghiệm của hệ
phương trình bậc nhất ba ẩn bằng máy
tính cầm tay.
Vẽ được đường thẳng biểu diễn
phương trình ax + by = c.
Xác định đúng miền nghiệm (tô đậm
hoặc gạch chéo) dựa trên dấu của bất phương
trình 
Hiểu và phát biểu được định nghĩa
nghiệm của hệ 3 phương trình bậc nhất ba ẩn.
Nhận dạng được hệ có nghiệm duy
nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
Thực hiện được phép biến đổi sơ cấp
trên hệ phương trình (như đổi chỗ phương
trình, nhân với hằng số khác 0, cộng tuyến
tính các phương trình).
Nhập chính xác hệ số của hệ phương
trình vào máy tính.
Thể hiện và đánh giá lời giải
trong ngữ cảnh thực tế và điều chỉnh
mô hình nếu cách giải quyết chưa ph
ù
hợp.
Vận dụng được kiến thức về hệ hất
phương trình vào giải quyết bài toán thực tiễn
(ví dụ: bài toán tìm cực trị của biểu thức F =
ax + by trên miền nghiệm là một đa giác) và
điều chỉnh mô hình nếu cần thiết.
Vận dụng được cách giải hệ phương
trình bậc nhất ba ẩn vào giải quyết một số bài
toán Vật lí (tính điện trở, tính cường độ dòng
điện trong dòng điện không đổi,...), Hoá học
(cân bằng phản ứng,...), Sinh học (bài tập
6

20. nguyên phân, giảm phân,...).Vận dụng cách
giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn để giải
quyết một số vấn đề thực tiễn cuộc sống (ví
dụ: bài toán lập kế hoạch sản xuất,...).
1.3. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hoá toán học
Trong bối cảnh giáo dục hiện đại, việc chuyển đổi từ phương pháp dạy học truyền
thống sang các phương pháp tiếp cận mới, tập trung vào phát triển năng lực của người
học, đang trở thành xu hướng tất yếu. Trong đó, dạy học theo định hướng phát triển năng
lực mô hình hóa toán học nổi lên như một phương pháp hiệu quả, giúp học sinh không
chỉ nắm vững kiến thức toán học mà còn có khả năng ứng dụng chúng vào giải quyết các
vấn đề thực tiễn.Mục tiêu chính của phương pháp này là phát triển khả năng chuyển đổi
các tình huống thực tiễn thành các mô hình toán học, từ đó rèn luyện kỹ năng phân tích,
giải quyết vấn đề và tư duy phản biện cho học sinh. Nội dung dạy học tập trung vào các
vấn đề thực tiễn, có tính ứng dụng cao, kết hợp kiến thức toán học với các môn học khác,
sử dụng các tình huống mở để khuyến khích học sinh tự khám phá và tìm tòi.
Đã có nhiều nghiên cứu đưa ra quy trình mô hình hoá toán học. Các quy trình tuy
có các giai đoạn, các bước khác nhau nhưng cũng có nhiều nét tương đồng.
Theo Blum & Leiss (2007) – Mô hình 7 bước trong dạy học mô hình hóa toán học
là:
- Bước 1: Đọc hiểu nhiệm vụ đã cho và xây dựng mô hình cho tình huống đó;
- Bước 2: Đơn giản hóa và xác định các biến ph
ù hợp nhằm xây dựng mô hình
thực của tình huống;
- Bước 3: Từ cơ sở mô hình thực, chuyển sang mô hình toán;
- Bước 4: Giải bài toán bằng kiến thức toán học để tìm kết quả;
- Bước 5: Chuyển kết quả toán học thành trở lại giải quyết vấn đề của thực tiễn;
- Bước 6: Xác định tính ph
ù hợp của kết quả với mô hình thực;
- Bước 7: Trình bày cách giải quyết cho tình huống thực.
Ví dụ 1.1 : Có 1 xưởng sản xuất 2 loại sản phẩm, mỗi cân sản phẩm loại I cần 2
cân nguyên liệu và 30 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 40000 đồng. Mỗi cân sản
7

21. phẩm loại II cần 4 cân nguyên liệu và 15 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 30000
đồng. Xưởng có 200 cân nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Hỏi giám đốc của xưởng nên
cho sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu cân để có mức lợi nhuận cao nhất?
- Bước 1: Đọc hiểu nhiệm vụ và xây dựng mô hình tình huống
Một xưởng sản xuất 2 loại sản phẩm với giới hạn nguyên liệu và thời gian, mục
tiêu là tối đa hóa lợi nhuận. Thông tin đã cho gồm:
Loại I: 2 kg nguyên liệu, 30 giờ, lời 40.000đ/kg
Loại II: 4 kg nguyên liệu, 15 giờ, lời 30.000đ/kg
Tổng nguyên liệu: 200 kg
Tổng giờ làm việc: 1200 giờ
Nhiệm vụ: Tìm số kg của mỗi loại sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất
- Bước 2: Xác định các biến
Gọi : số kg sản phẩm loại I, là số kg sản phẩm loại II.
Điều kiện: (do sản phẩm không âm)
Bước 3. Lập mô hình toán học
Ràng buộc:
Nguyên liệu: (kg)
Thời gian: (giờ)
Hàm mục tiêu (cần tối đa hóa)
H(x;y) =
Bước 4: Giải bài toán toán học
Phương pháp: biểu diễn hình học và tìm điểm nguyên trong miền nghiệm.
Bước 1: Biểu diễn hệ bất phương trình lên mặt phẳng tọa độ.
Bước 2: Xác định miền nghiệm .
Bước 3: Tính giá trị tại các đỉnh của miền nghiệm để tìm giá trị lớn nhất
8

22. Từ đó, bài toán trở thành: Tìm x và y thỏa mãn hệ bất phương trình
sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng (d'): và (d''):
.
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (*) là phần mặt phẳng
không được tô màu ở hình vẽ dưới đây.
Giá trị lớn nhất của đạt giá trị tại một trong các điểm
.
Ta có: , , . Giá trị lớn nhất
của khi .
Bước 5: Diễn giải kết quả thực tế
Để đạt lợi nhuận cao nhất (2 triệu đồng), giám đốc xưởng nên sản xuất:
20 kg sản phẩm loại I
40 kg sản phẩm loại II
Bước 6: Kiểm tra tính phù hợp của mô hình
9

23. Kiểm tra lại:
Nguyên liệu:
(đúng )
Thời gian:
(đúng)
Thỏa tất cả ràng buộc Nghiệm ph
ù hợp và tối ưu.
Bước 7: Trình bày cách giải quyết cho tình huống thực
Trong thực tế sản xuất, với giới hạn về nguyên liệu và thời gian, việc tối ưu hóa lợi
nhuận là rất quan trọng. Dựa vào mô hình toán học và phân tích, xưởng nên sản xuất 20
kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để đạt lợi nhuận tối đa là 2 triệu đồng.
Phương pháp này giúp nhà quản lý đưa ra quyết định hiệu quả dựa trên dữ liệu định
lượng.
Theo Stillman, Galbraith & Brown (2007). Họ đề xuất một quy trình mô hình hóa
gồm các bước sau:
Bước 1. Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống;
Bước 2. Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán;
Bước 3. Giải toán;
Bước 4. Giải thích kết quả toán;
Bước 5. So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí;
Bước 6. Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình không được chấp nhận);
Bước 7. Lặp lại quá trình (nếu mô hình không được chấp nhận)
Cũng Ví dụ 1.1, ta áp dụng 7 bước theo Stillman, Galbraith & Brown như sau:
Bước 1: Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống
Hiểu: Bài toán là một tình huống thực tế trong sản xuất có giới hạn tài nguyên
(nguyên liệu, thời gian), yêu cầu tối ưu hóa lợi nhuận.
Đơn giản hóa:
Chỉ có 2 loại sản phẩm
10

24. Mỗi loại tiêu tốn nguyên liệu và thời gian cụ thể
Lợi nhuận mỗi loại đã biết
Ràng buộc là tài nguyên có hạn
Xây dựng lại:
→ Đây là bài toán tối ưu hóa : tìm giá trị tối đa của một hàm số dưới các điều kiện ràng
buộc.
Bước 2: Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán
Biến số:
: số kg sản phẩm loại I
: số kg sản phẩm loại II
Ràng buộc:
Nguyên liệu:
Thời gian:
Điều kiện không âm:
Hàm mục tiêu (tối đa hóa lợi nhuận):
Bước 3: Giải toán
Giải hệ bất phương trình sau:
¿
Hàm mục tiêu (cần tối đa hóa)
Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng (d'): và (d''):
.Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (*) là phần
mặt phẳng không được tô màu ở hình vẽ dưới đây.
11

25. Giá trị lớn nhất của đạt giá trị tại một trong các điểm
.
Ta có: , , . Giá trị lớn nhất
của khi .
Bước 4: Giải thích kết quả toán
Kết quả toán học cho thấy:
Nếu xưởng sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg loại II, thì sẽ đạt lợi nhuận tối
đa là 2.000.000 đồng.
Điều này ph
ù hợp vì:
D
ùng đúng 200 kg nguyên liệu:
D
ùng đúng 1200 giờ lao động:
Bước 5: So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí
Hợp lý: Kết quả thỏa tất cả ràng buộc
Phê phán:
Mô hình giả định rằng nguyên liệu và thời gian sử dụng chính xác (không có dư
thừa hoặc hỏng hóc)
Mô hình chưa tính đến rủi ro thực tế: hư hỏng, thay đổi giá nguyên liệu, chi phí cố
định
Bước 6: Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình không được chấp nhận)
12

26. Trong trường hợp cho rằng cần dự phòng nguyên liệu, hoặc mỗi sản phẩm phải sản
xuất tối thiểu bao nhiêu kg, thì mô hình cần bổ sung ràng buộc mới.
Ví dụ:
Bước 7: Lặp lại quá trình (nếu mô hình không được chấp nhận)
Nếu có ràng buộc mới hoặc dữ liệu thay đổi (giá nguyên liệu tăng, số giờ bị giới
hạn hơn…), ta lặp lại quá trình từ Bước 1 để xây dựng mô hình mới.
Theo Nguyễn Danh Nam (2015) đưa ra quy trình MHHTH gồm các bước:
-Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn
đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế;
-Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra;
-Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học mô
tảtình huống thực tiễn;
-Bước 4: Sử dụng kiến thức toán học ph
ù hợp để giải bài toán;
-Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán họctrong bối
cảnh thực tế;
-Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lí và tối
ưu của mô hình đã xây dựng;
-Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình
có độ phức tạp cao hơn, ph
ù hợp với thực tế.
C
ùng
Ví dụ 1.1, ta áp dụng 7 bước theo Nguyễn Danh như sau:
Bước 1: Tìm hiểu, phân tích, đơn giản hóa vấn đề
Giả sử:
x: số kg sản phẩm loại I sản xuất.
y: số kg sản phẩm loại II sản xuất.
Các giới hạn:
13

27. Tổng nguyên liệu không vượt quá 200 kg.
Tổng thời gian sản xuất không vượt quá 1200 giờ.
Mục tiêu: Tối đa hóa lợi nhuận.
Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các yếu tố
Nguyên liệu:
Sản phẩm I: cần 2x kg.
Sản phẩm II: cần 4y kg.
→
Thời gian:
Sản phẩm I: cần 30x giờ.
Sản phẩm II: cần 15y giờ.
→
Lợi nhuận:
Tổng lợi nhuận H(x;y) =
Bước 3: Mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học
Mô hình toán học:
¿
Hàm mục tiêu:
Bước 4: Giải bài toán
Giải hệ bất phương trình sau:
¿
Hàm mục tiêu (cần tối đa hóa)
14

28. Trong mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng (d'): và (d''):
.Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (*) là phần
mặt phẳng không được tô màu ở hình vẽ dưới đây.
Giá trị lớn nhất của đạt giá trị tại một trong các điểm
.
Ta có: , , . Giá trị lớn nhất
của khi .
Bước 5: Hiểu và diễn giải lời giải
Xưởng nên sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để đạt lợi
nhuận cao nhất là 2 triệu đồng.
Điều này vẫn đảm bảo không vượt quá 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ lao động.
Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình
Kiểm tra tính hợp lý:
Nguyên liệu d
ùng:
kg →đạt điều kiện
Thời gian d
ùng: giờ
→đạt điều kiện
Tính tối ưu:
Đã xét tất cả đỉnh của miền nghiệm → đảm bảo tối ưu .
Hạn chế:
Mô hình chưa tính đến chi phí phụ trợ khác, rủi ro thực tế, v.v.
15

29. Ưu điểm:
Dễ áp dụng trong thực tế, rõ ràng về mục tiêu và ràng buộc.
Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô
hình có độ phức tạp cao hơn, phù hợp với thực tế.
Có thể mở rộng bài toán bằng cách:
Thêm yếu tố chi phí vận hành, khấu hao máy móc.
Tính đến yếu tố rủi ro, như nguyên liệu thiếu hụt hoặc năng suất thay đổi.
1.4. Đánh giá năng lực mô hình hoá toán học trong dạy học Toán
Các tình huống và bài tập mô hình hóa cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp.Vì vậy việc xây dựng thang đo đánh giá năng lực mô hình hoá toán
học, giáo viên cần chú ý đến các cấp độ mô hình hóa. Dưới đây là cách đánh giá cấp độ
mô hình hóa toán học:
- Cấp độ 0: Không hiểu tình huống
+ Đây là cấp độ thấp nhất, thể hiện sự thiếu hụt hoàn toàn về khả năng hiểu và tiếp
cận vấn đề.
+ Học sinh không thể bắt đầu bất kỳ quá trình nào liên quan đến mô hình hóa, kể
cả việc phác thảo hay ghi chú.
+ Điều này cho thấy học sinh cần được hỗ trợ cơ bản để hiểu rõ vấn đề.
- Cấp độ 1: Hiểu tình huống nhưng không kết nối toán học
+ Học sinh có thể nắm bắt được bối cảnh của vấn đề, nhưng không thể liên kết nó
với các khái niệm hoặc công cụ toán học.
+ Học sinh chưa thể cấu trúc hoặc đơn giản hóa tình huống để tìm ra hướng giải
quyết.
+ Đây là bước đầu tiên trong việc hiểu vấn đề, nhưng học sinh cần được hướng dẫn
để chuyển sang bước tiếp theo.
- Cấp độ 2: Mô hình thực tế nhưng không toán học hóa
+ Học sinh có thể xây dựng một mô hình thực tế, tức là hiểu được các yếu tố và
mối quan hệ quan trọng của vấn đề.
16

30. + Tuy nhiên, học sinh gặp khó khăn trong việc chuyển đổi mô hình thực tế này
sang ngôn ngữ toán học.
+ Học sinh cần được hỗ trợ để chuyển đổi mô hình thực tế sang mô hình toán học.
- Cấp độ 3: Toán học hóa nhưng không giải quyết rõ ràng
+ Học sinh có thể chuyển đổi tình huống thực tế thành một bài toán toán học.
+ Tuy nhiên, học sinh gặp khó khăn trong việc áp dụng các kiến thức và kỹ năng
toán học để giải quyết bài toán một cách rõ ràng.
+ Học sinh cần được hướng dẫn để áp dụng các phương pháp giải quyết toán học.
- Cấp độ 4: Giải quyết bài toán toán học
+ Học sinh có thể thiết lập bài toán toán học từ tình huống thực tế, giải quyết bài
toán bằng kiến thức toán học và đưa ra kết quả cụ thể.
+ Đây là cấp độ thể hiện khả năng áp dụng toán học để giải quyết vấn đề.
- Cấp độ 5: Kiểm nghiệm kết quả trong thực tiễn
+ Học sinh không chỉ giải quyết bài toán toán học mà còn có thể kiểm nghiệm kết
quả trong mối quan hệ với tình huống thực tế ban đầu.
+ Học sinh có khả năng đánh giá tính hợp lý của kết quả và điều chỉnh mô hình
nếu cần thiết.
+ Đây là cấp độ cao nhất, thể hiện khả năng mô hình hóa toán học một cách toàn
diện. Đánh giá cấp độ mô hình hóa toán học theo các tiêu chí như đã nêu mang lại nhiều
ưu điểm vượt trội, tạo ra một phương pháp đánh giá toàn diện và hiệu quả. Phương pháp
đánh giá cả quá trình học sinh thực hiện mô hình hóa, từ việc hiểu vấn đề đến việc kiểm
nghiệm kết quả điều này giúp giáo viên có cái nhìn sâu sắc về năng lực thực sự của học
sinh, không chỉ đơn thuần là khả năng tính toán. Các cấp độ được mô tả chi tiết, giúp giáo
viên và học sinh dễ dàng nhận biết sự tiến bộ qua từng giai đoạn. Ngoài ra việc đánh giá
theo cấp độ giúp giáo viên xác định những khó khăn cụ thể của học sinh và đưa ra sự hỗ
trợ ph
ù hợp.
1.5. Kết luận Chương 1
Chương này đã làm sáng tỏ tầm quan trọng của mô hình hóa toán học trong dạy
học Toán, từ việc định nghĩa khái niệm đến việc phân tích quy trình, năng lực và đánh giá
17

31. năng lực mô hình hóa toán học. Qua đó, ta thấy rằng mô hình hóa toán học không chỉ là
một phương pháp dạy học, mà còn là một công cụ mạnh mẽ giúp học sinh phát triển tư
duy và kỹ năng cần thiết cho cuộc sống.
Mô hình hóa toán học không chỉ là một phương pháp dạy học, mà còn là một triết
lý giáo dục, hướng tới việc giúp học sinh phát triển tư duy phản biện, khả năng giải quyết
vấn đề và kỹ năng ứng dụng toán học vào cuộc sống. Nó tạo ra một cầu nối vững chắc,
giúp học sinh nhận thức được sự liên kết mật thiết giữa toán học và thế giới thực tiễn, từ
đó khơi dậy niềm đam mê và hứng thú học tập.
Quy trình mô hình hóa toán học bao gồm các bước từ xác định vấn đề, toán học
hóa, xây dựng mô hình, giải quyết mô hình, diễn giải và đánh giá kết quả, đến ứng dụng.
Năng lực mô hình hóa toán học, bao gồm khả năng chuyển đổi vấn đề thực tiễn
sang ngôn ngữ toán học và ngược lại, là một năng lực quan trọng cần được phát triển ở
học sinh. Việc đánh giá năng lực này cần được thực hiện một cách toàn diện, sử dụng đa
dạng các phương pháp và công cụ đánh giá, để có cái nhìn sâu sắc về sự tiến bộ của học
sinh.
Tuy nhiên, việc áp dụng mô hình hóa toán học trong dạy học cũng đặt ra những
thách thức không nhỏ, từ việc thiếu hụt tài liệu và tài nguyên, đến năng lực của giáo viên
và sự thay đổi trong tư duy của học sinh. Để vượt qua những thách thức này, cần có sự
phối hợp chặt chẽ giữa nhà trường, gia đình và xã hội, c
ùng với sự đầu tư vào việc nâng
cao năng lực giáo viên và đổi mới phương pháp đánh giá.
Việc đánh giá cấp độ mô hình hóa toán học theo các tiêu chí rõ ràng và chi tiết là
một công cụ hữu ích, giúp giáo viên và học sinh nhận biết sự tiến bộ và điều chỉnh
phương pháp dạy và học một cách ph
ù hợp.
Tóm lại, mô hình hóa toán học là một phương pháp dạy học hiệu quả, giúp học
sinh phát triển toàn diện các năng lực cần thiết để thành công trong thế giới hiện đại. Việc
áp dụng thành công phương pháp này đòi hỏi sự nỗ lực và tâm huyết của nhà trường, gia
đình và xã hội, nhằm tạo ra một môi trường học tập tích cực và khuyến khích sự sáng tạo
của học sinh.
18

32. CHƯƠNG 2.
DẠY HỌC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở LỚP 10
THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
2.1. Nội dung hệ phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10
2.1.1. Nội dung hệ phương trình và hệ bất phương trình trong Chương trình
GDPT môn Toán 2018
Trong Chương trình Giáo dục phổ thông (GDPT) môn Toán năm 2018, một trong
những nhiệm vụ then chốt là phát triển năng lực toán học cho học sinh, đặc biệt là năng
lực mô hình hóa toán học. Hệ phương trình và hệ bất phương trình được xem là các nội
dung chủ chốt trong giảng dạy, không chỉ trong Đại số mà còn có ảnh hưởng sâu rộng
đến việc hình thành khả năng ứng dụng toán học trong thực tiễn cho học sinh ở cấp trung
học phổ thông.Nội dung về hệ phương trình được thiết kế nhằm phát triển năng lực giải
quyết vấn đề và mô hình hóa toán học cho học sinh. Cụ thể, học sinh không chỉ học cách
giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình mà còn được rèn luyện kỹ năng áp dụng
vào các tình huống thực tiễn.
Trong Chương trình GDPT môn Toán 2018, nội dung về hệ phương trình và hệ bất
phương trình được tích hợp một cách hợp lý nhằm phát triển toàn diện năng lực toán học
cho học sinh. Việc đưa các bài toán thực tiễn vào giảng dạy giúp học sinh thấy được ứng
dụng của toán học trong đời sống, từ đó tăng cường hứng thú và khả năng vận dụng kiến
thức. Theo Chương trình GDPT môn Toán 2018, nội dung hệ phương trình và hệ bất
phương trình được quy định như sau:
* Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Bảng 2.1. ….
Kiến thức Kỹ năng và yêu cầu cần đạt
- Học sinh được làm quen
với hệ phương trình bậc nhất ba
ẩn, là hệ gồm ba phương trình
tuyến tính với ba ẩn số x,y,z.
- Nhận diện được cấu trúc
của hệ phương trình tuyến tính
nhiều ẩn.
- Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng
phương pháp khử Gauss, thông qua các phép
biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình (như đổi chỗ
phương trình, nhân với hằng số khác 0, cộng
tuyến tính các phương trình).
- Tìm được nghiệm hệ phương trình bậc
nhất ba ẩn bằng máy tính cầm tay
19

33. - Vận dụng được cách giải hệ phương trình
bậc nhất ba ẩn vào giải quyết một số bài toán Vật
lí (tính điện trở, tính cường độ dòng điện trong
dòng điện không đổi,...), Hoá học (cân bằng phản
ứng,...), Sinh học (bài tập nguyên phân, giảm
phân,...).
- Vận dụng cách giải hệ phương trình bậc
nhất ba ẩn để giải quyết một số vấn đề thực tiễn
cuộc sống (ví dụ: bài toán lập kế hoạch sản
xuất,...).
* Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Chủ đề Kiến thức Kỹ năng và yêu cầu
cần đạt
- Học sinh được làm
quen với hệ phương trình
bậc nhất ba ẩn, là hệ gồm
ba phương trình tuyến tính
với ba ẩn số x,y,z.
- Nhận diện được
cấu trúc của hệ phương
trình tuyến tính nhiều ẩn.
- Giải hệ phương
trình bậc nhất ba ẩn bằng
phương pháp khử Gauss,
thông qua các phép biến
đổi sơ cấp trên hệ phương
trình (như đổi chỗ phương
trình, nhân với hằng số
khác 0, cộng tuyến tính các
phương trình).
- Tìm được nghiệm
hệ phương trình bậc nhất
ba ẩn bằng máy tính cầm
tay
- Vận dụng được
cách giải hệ phương trình
bậc nhất ba ẩn vào giải
quyết một số bài toán Vật lí
20

34. (tính điện trở, tính cường
độ dòng điện trong dòng
điện không đổi,...), Hoá
học (cân bằng phản
ứng,...), Sinh học (bài tập
nguyên phân, giảm
phân,...).
- Vận dụng cách giải
hệ phương trình bậc nhất
ba ẩn để giải quyết một số
vấn đề thực tiễn cuộc sống
(ví dụ: bài toán lập kế
hoạch sản xuất,...).
- Học sinh nhận biết
được dạng hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn.
- Hiểu cách biểu
diễn hình học của một bất
phương trình là nửa mặt
phẳng.
- Biết cách xác định
miền nghiệm của hệ bất
phương trình bằng cách lấy
giao các miền nghiệm của
từng bất phương trình
thành phần.
- Biểu diễn được
miền nghiệm của bất
phương trình và hệ bất
phương trình bậc nhất hai
ẩn trên mặt phẳng tọa độ.
- Vận dụng được
kiến thức về bất phương
trình, hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn vào giải
quyết bài toán thực tiễn (ví
dụ: bài toán tìm cực trị của
biểu thức F=ax+by trên
một miền đa giác,...).
Ngoài ra, chương trình còn khuyến khích giáo viên tạo ra các tình huống học tập
gắn liền với đời sống, giúp học sinh không chỉ nắm vững kiến thức mà còn biết cách vận
dụng linh hoạt để giải quyết các vấn đề thực tế. Theo tài liệu tập huấn hướng dẫn thực
hiện chương trình môn Toán, chương trình mới nhấn mạnh việc "phát triển năng lực toán
21

35. học cho học sinh thông qua việc giải quyết các vấn đề thực tiễn, sử dụng mô hình toán
học để mô tả và giải quyết vấn đề" .
2.1.2. Nội dung hệ phương trình và hệ bất phương trình trong Toán 10 (Bộ
sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
Vì sao chọn bộ sách này
Kết nối kiến thức toán học với các tình huống thực tiễn là điều cần thiết để khơi
dậy sự hứng thú học tập của học sinh, từ đó giúp các em thấy được giá trị và ứng dụng
của toán học trong cuộc sống hàng ngày. Trong bối cảnh hội nhập toàn cầu ngày nay, việc
xây dựng một bộ sách giáo khoa Toán 10 được thiết kế theo định hướng "Kết nối tri thức
với cuộc sống" đã phản ánh rõ nét tinh thần này. Bộ sách giáo khoa hiện đại không chỉ
mang tính chất tra cứu mà còn giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, khả năng giải
quyết vấn đề và kỹ năng làm việc nhóm thông qua các hoạt động học tập đa dạng và
phong phú.
Chúng tôi lựa chọn bộ sách này bởi lý do trên và ….
* Hệ bất phương trình
* Hệ phương trình
Nội dung về hệ phương trình trong sách giáo khoa chuyên đề Toán 10, bộ sách Kết
nối tri thức này không chỉ tập trung vào việc phát triển kỹ năng giải bài tập mà còn chú
trọng đến việc xây dựng kĩ năng tư duy phản biện.
Trong sách Toán 10, nội dung hệ phương trình bậc nhất ba ẩn được định nghĩa như
sau:
Trong đó, là ba ẩn số, và các hệ số không đồng thời
bằng 0. Một bộ ba số được gọi là nghiệm của hệ nếu thay vào ba phương trình
trên đều thỏa mãn đồng thời.
22

36. Phương Pháp Giải :
Phương pháp Gauss là một kỹ thuật d
ùng để đơn giản hóa hệ phương trình tuyến
tính bằng cách biến đổi hệ ban đầu thành một hệ có dạng tam giác (hoặc bậc thang). Từ
đó, ta có thể dễ dàng tìm nghiệm của hệ phương trình.
Các phép biến đổi cho phép:
Nhân một phương trình với số khác 0:
Ví dụ: Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2.
Đổi chỗ hai phương trình trong hệ:
Ví dụ: Hoán đổi vị trí phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai.
Cộng/trừ các phương trình đã được nhân với một số:
Ví dụ: Lấy phương trình thứ nhất nhân với 3 rồi cộng vào phương trình thứ hai để loại bỏ
một ẩn.
Các bước thực hiện:
Bước 1: Sắp xếp hệ phương trình sao cho hệ số của ẩn đầu tiên trong phương trình
thứ nhất khác 0.
Bước 2: D
ùng phép biến đổi để loại bỏ ẩn thứ nhất trong các phương trình còn lại.
Bước 3: Lặp lại quá trình với các ẩn tiếp theo cho đến khi hệ có dạng tam giác.
Bước 4: Giải hệ từ dưới lên để tìm nghiệm.
Ứng dụng thực tế:
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn được ứng dụng trong nhiều bài toán thực tế, chẳng
hạn như:
+ Giải quyết các bài toán liên quan đến ba đối tượng có mối quan hệ phụ thuộc lẫn
nhau.
+ Tính toán trong các bài toán về phân chia tài sản, chia đều công việc, hoặc phân
bổ nguồn lực.
+ Ứng dụng trong các bài toán thực tế có lời văn, như bài toán về số cây trồng, chi
phí sản xuất, v.v.
23

37. Ví dụ 2.1 : Một cửa hàng đang chuẩn bị ba loại gói quà Tết khác nhau là gói A,
gói B và gói C. Mỗi gói A gồm 2 gói kẹo, 1 gói mứt và 1 gói trà. Mỗi gói B gồm 1 gói
kẹo, 2 gói mứt và 1 gói trà. Mỗi gói C gồm 1 gói kẹo, 1 gói mứt và 2 gói trà. Để phục vụ
đơn hàng đặc biệt, cửa hàng cần đóng tổng cộng 15 gói kẹo, 14 gói mứt và 16 gói trà.
Hỏi cửa hàng cần chuẩn bị bao nhiêu gói A, B và C để đáp ứng đúng yêu cầu?
Theo sách giáo khoa toán 10- Kết nối tri thức thì hệ bất phương trình được định
nghĩa là :
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình
bậc nhất hai ẩn có dạng:
Trong đó:
x, y là hai ẩn số.
là các hệ số thực.
Các hệ số và trong mỗi bất phương trình không đồng thời bằng 0.
Một cặp số (x, y) được gọi là nghiệm của hệ bất phương trình nếu khi thay vào
từng bất phương trình trong hệ, các bất đẳng thức đều đúng đồng thời.
Cặp số là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi
đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.
Cách xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm miền nghiệm
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tập hợp tất cả các điểm (x, y) trên mặt
phẳng tọa độ thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ.
Miền nghiệm này được xác định bằng cách tìm giao của các miền nghiệm riêng lẻ
của từng bất phương trình trong hệ.
Có thế xác định miền nghiệm theo các bước sau:
24

38. Bước 1: Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và
gạch bỏ (tô màu) miền còn lại.
Bước 2: Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên
c
ùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm
của hệ bất phương
trình đã cho.
Ứng dụng thực tế
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện phổ biến trong các bài toán thực tế
như:
Lập kế hoạch sản xuất, chi tiêu hợp lý: ví dụ như tối ưu hóa lợi nhuận hoặc chi phí
dưới các ràng buộc tài nguyên.
Phân bổ nguồn lực: phân chia nguyên liệu, nhân công, thời gian.
Bài toán lựa chọn phương án tối ưu khi có giới hạn về số lượng, chi phí, thời gian,
…
Ví dụ: Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm A và B, với giới hạn về nguyên vật
liệu và công suất. Việc xác định lượng sản phẩm cần sản xuất sao cho không vượt quá
khả năng và vẫn tối đa hóa lợi nhuận là một bài toán mô hình hóa bằng hệ bất phương
trình hai ẩn.
Một điểm đặc biệt trong nội dung của bộ sách chính là sự khéo léo trong việc lồng
ghép kiến thức vào các dự án nhóm. Học sinh sẽ có cơ hội làm việc c
ùng nhau trong các
tình huống thực tiễn, từ việc lập kế hoạch cho một chuyến đi học đến việc thiết lập ngân
sách cho một sự kiện. Qua đó, học sinh không chỉ học được kiến thức mà còn rèn luyện
kỹ năng giao tiếp và làm việc nhóm. Theo đánh giá của Nguyễn Thị Tân An (2021), bộ
sách này đã lồng ghép khéo léo tư tưởng mô hình hóa toán học, giúp học sinh không chỉ
tiếp cận kiến thức mà còn có cơ hội thực hành những kỹ năng cần thiết trong việc giải
quyết các vấn đề thực tiễn. Điều này không chỉ giúp học sinh xây dựng tư duy phân tích
mà còn hình thành khả năng tự học và tự nghiên cứu.
Sự hình thành tư duy này sẽ không chỉ giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc
cho việc học tập trong tương lai mà còn góp phần tạo ra một cộng đồng học hỏi tích cực,
nơi mà toán học không chỉ được nhìn nhận như một môn học mà còn như một công cụ
mạnh mẽ để giải quyết các vấn đề thực tiễn trong xã hội. Qua đó, học sinh sẽ không chỉ
25

39. nắm vững kiến thức mà còn có khả năng vận dụng chúng linh hoạt trong mọi tình huống,
từ cuộc sống hàng ngày đến các lĩnh vực nghề nghiệp trong tương lai.
2.2. Phân tích cơ hội hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho
học sinh trong dạy học hệ phương trình và hệ bất phương trình
Chủ đề hệ phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10 là một trong những nội
dung cốt lõi của chương trình Toán THPT. Không chỉ mang ý nghĩa lý thuyết thuần túy,
chủ đề này còn tạo ra nhiều cơ hội cụ thể và thiết thực để phát triển năng lực mô hình hóa
toán học cho học sinh thông qua các tình huống gắn liền với thực tiễn.
Bên cạnh hệ phương trình, hệ bất phương trình cũng được thiết kế một cách sáng
tạo, khuyến khích học sinh tự thiết lập và giải quyết các bài toán có tính thực tiễn cao.
Học sinh không chỉ xử lý lý thuyết mà còn ứng dụng vào các tình huống thực tế, giúp các
em phát triển khả năng phân tích và đánh giá, từ đó đưa ra quyết định đúng đắn.
Trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018, năng lực mô hình hóa toán học được xác
định là một trong các năng lực cốt lõi cần hình thành và phát triển cho học sinh. Việc dạy
học chủ đề hệ phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10 mang lại nhiều cơ hội thuận
lợi để tổ chức các hoạt động học tập hướng tới phát triển năng lực này.
Nguyễn Thị Tân An (2021) khẳng định rằng việc học sinh tiếp cận các bài toán thực tiễn
thông qua hệ phương trình và hệ bất phương trình là một cơ hội để các em thực hành và
trải nghiệm quy trình mô hình hóa một cách toàn diện. Theo bà, “quá trình mô hình hóa
bao gồm nhiều bước quan trọng: từ việc nhận diện vấn đề trong thực tế, xây dựng mô
hình toán học, áp dụng các công cụ toán học để giải quyết bài toán đến việc kiểm tra và
giải thích tính hợp lý của kết quả.” Những nội dung như hệ phương trình tuyến tính hai
ẩn và hệ bất phương trình tuyến tính hai ẩn đặc biệt quan trọng, vì nó là “mảnh đất lý
tưởng để phát triển năng lực hiểu biết định lượng,” qua đó giúp học sinh không chỉ hiểu
kiến thức lý thuyết mà còn biết cách áp dụng vào thực tế (Nguyễn Thị Tân An, 2021)
Đỗ Đức Thái và Đỗ Tiến Đạt (2017) cũng nhấn mạnh rằng “để phát triển năng lực toán
học, giáo viên cần xây dựng các tình huống học tập có tính mở, có mối liên hệ với thực
tiễn, khuyến khích học sinh suy nghĩ độc lập và thảo luận nhóm.” Việc tự do thảo luận và
khám phá kiến thức không chỉ kích thích tính tò mò của học sinh mà còn giúp các em
nhận thức rõ hơn về vai trò của toán học trong đời sống hàng ngày.
Cụ thể, các kiến thức như giải hệ phương trình ba ẩn, giải hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn, biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, hay xét tính tương thích của một hệ
phương trình, đều có thể được tích hợp trong các bài toán mô hình hóa thực tế như:
Tính toán chi phí sản xuất, tiêu thụ trong các mô hình kinh tế đơn giản (ví dụ: hai xưởng
sản xuất với sản lượng và chi phí khác nhau).
26

40. Lập kế hoạch phân phối tài nguyên sao cho tối ưu hóa một yếu tố (chi phí, thời gian, nhân
lực).
Giải quyết các bài toán lựa chọn phương án dựa trên ràng buộc thực tế (ví dụ: lựa chọn
gói dịch vụ ph
ù hợp với ngân sách).
Mô hình hóa các tình huống đánh giá khả năng xảy ra đồng thời nhiều điều kiện (ví dụ:
v
ùng nghiệm của hệ bất phương trình biểu diễn tập hợp các phương án thỏa mãn đồng
thời nhiều yêu cầu trong thực tế).
Thông qua việc giải quyết các bài toán như trên, học sinh có cơ hội được trải nghiệm đầy
đủ các bước trong quy trình mô hình hóa toán học, bao gồm:
1.Nhận diện vấn đề thực tiễn và phát hiện yếu tố toán học có liên quan
2.Thiết lập mô hình toán học dưới dạng hệ phương trình hoặc hệ bất phương trình
3.Giải mô hình toán học bằng các kỹ thuật đại số đã học
4.Diễn giải kết quả trong ngữ cảnh thực tế và đánh giá tính hợp lý của lời giải
Việc lồng ghép các bài toán có yếu tố thực tiễn vào dạy học hệ phương trình và hệ bất
phương trình giúp học sinh phát triển:
- Năng lực chuyển hóa tình huống thực tế thành mô hình toán học;
- Năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề;
- Tư duy phản biện và khả năng đánh giá kết quả trong bối cảnh thực tế.
Ví dụ 1:
Một cửa hàng cần vận chuyển 3 loại hàng hóa: gạo, đường và muối đến ba địa điểm A, B
và C. Ba xe tải được huy động để thực hiện nhiệm vụ này. Mỗi xe đều có thể chở mỗi loại
hàng một phần, và tổng tải trọng mỗi xe là như nhau: 2 tấn.
Số lượng hàng mỗi xe chuyên chở được như sau:
Xe 1 chở được 800 kg gạo, 700 kg đường, và 500 kg muối.
Xe 2 chở được 600 kg gạo, 900 kg đường, và 800 kg muối.
Xe 3 chở được 1.200 kg gạo, 500 kg đường, và 700 kg muối.
Tổng cộng cửa hàng cần vận chuyển:
2.600 kg gạo,
2.100 kg đường,
27

41. 2.000 kg muối.
Hỏi cần sử dụng mỗi xe bao nhiêu chuyến để vận chuyển đủ lượng hàng?
Quy trình mô hình hóa toán học
1. Nhận diện yếu tố toán học:
- Gạo, đường, muối là ba đại lượng cần phân phối.
- Mỗi loại hàng tương ứng với một phương trình.
- Ba ẩn là số chuyến đi của mỗi xe: x, y, z
2.Thiết lập mô hình toán học:
Gọi:
x: số chuyến xe 1
y: số chuyến xe 2
z: số chuyến xe 3
Lập hệ phương trình dựa theo khối lượng cần vận chuyển:

(Lưu ý: các đơn vị là kg nên tất cả đều hợp lý)
3.Giải hệ phương trình ba ẩn:
Giải bằng phương pháp Gauss. (Học sinh có thể d
ùng máy tính cầm tay hoặc trình bày tự
luận theo yêu cầu).
4.Diễn giải và đánh giá:
Nếu nghiệm thu được là các số nguyên dương, ta có phương án vận chuyển khả thi. Nếu
ra nghiệm không nguyên, cần đánh giá lại giả thiết hoặc làm tròn một cách hợp lý trong
thực tế.
Ý nghĩa mô hình hóa và năng lực phát triển
- Học sinh hiểu được cách xây dựng mô hình từ thực tế, phân biệt đại lượng cần tìm
(ẩn) và dữ liệu đã cho.
- Giải hệ ba ẩn giúp phát triển năng lực tính toán, tư duy logic.
- Diễn giải và kiểm tra kết quả gắn với tình huống giúp học sinh phát triển tư duy
phản biện và đánh giá tính thực tiễn.
28

42. Ví dụ 2:
Một tổ sản xuất dự định làm hai loại sản phẩm A và B trong một ngày. Để sản xuất 1 sản
phẩm loại A cần 2 giờ gia công và 3 giờ lắp ráp. Để sản xuất 1 sản phẩm loại B cần 4 giờ
gia công và 2 giờ lắp ráp. Tổng thời gian gia công trong ngày không vượt quá 80 giờ.
Tổng thời gian lắp ráp trong ngày không vượt quá 60 giờ. Ngoài ra, do giới hạn về
nguyên vật liệu, tổ sản xuất không làm quá 20 sản phẩm mỗi ngày. Hỏi có thể sản xuất tối
đa bao nhiêu sản phẩm loại A và B trong ngày mà không vi phạm các điều kiện trên?
Quy trình mô hình hóa toán học
1. Xác định ẩn số:
Gọi là số sản phẩm loại A, là số sản phẩm loại B.
2. Thiết lập mô hình toán học (hệ bất phương trình):
Từ đề bài, ta có các ràng buộc:

3. Giải và biểu diễn miền nghiệm:
Học sinh có thể biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ để xác định v
ùng thỏa mãn
tất cả điều kiện.
Có thể d
ùng phương pháp thử nghiệm giá trị nguyên trong miền nghiệm để tìm tổ hợp
(x,y) tối ưu.
4.Diễn giải và đánh giá:
Sau khi tìm được tập nghiệm, học sinh có thể chọn ra phương án có tổng số sản phẩm lớn
nhất hoặc đáp ứng một yêu cầu cụ thể (ví dụ: ưu tiên sản phẩm A hơn sản phẩm B).
Học sinh cũng cần đánh giá tính hợp lý và khả thi của kết quả trong thực tế.
Ý nghĩa mô hình hóa và năng lực phát triển
- Qua bài toán này, học sinh được phát triển:
- Năng lực xác định yếu tố toán học trong tình huống thực tế;
- Năng lực thiết lập mô hình bằng hệ bất phương trình;
- Năng lực tư duy không gian khi biểu diễn miền nghiệm;
- Năng lực đánh giá, lựa chọn và giải thích phương án tối ưu.
Ngoài ra, những nội dung này còn thuận lợi để tổ chức hoạt động nhóm, học tập khám
phá, thảo luận theo hướng mở, từ đó giúp học sinh phát triển thêm năng lực hợp tác và
29

43. giao tiếp toán học. Việc giải và biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng tọa độ cũng là tiền đề để
học sinh làm quen với cách trực quan hóa mô hình toán học, một kỹ năng quan trọng
trong nhiều lĩnh vực khoa học.
Tóm lại, việc dạy học hệ phương trình và hệ bất phương trình không chỉ đơn thuần truyền
đạt kiến thức, mà còn là một cơ hội rõ ràng và khả thi để phát triển năng lực mô hình hóa
toán học cho học sinh. Nếu được thiết kế ph
ù hợp, các hoạt động dạy học trong chủ đề
này hoàn toàn có thể giúp học sinh hình thành thói quen tư duy mô hình, giải quyết vấn
đề thực tiễn một cách khoa học và sáng tạo.2.3.1. Tổ chức dạy học các khái niệm, định lý
cho học sinh thông qua giải các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề hệ phương trình
và hệ bất phương trình
Trong chương trình Toán 10 theo định hướng phát triển năng lực, việc dạy học không chỉ
đơn thuần là truyền thụ kiến thức mà cần hướng tới việc hình thành và phát triển các năng
lực toán học, trong đó có năng lực mô hình hóa toán học – một năng lực cốt lõi trong
chương trình GDPT 2018 (Bộ GD&ĐT, 2018). Theo Blum & Leiß (2007), quá trình mô
hình hóa toán học bao gồm các bước: hiểu tình huống thực tế, xây dựng mô hình toán
học, giải mô hình, diễn giải kết quả và đánh giá. Do đó, việc tổ chức dạy học các khái
niệm, định lý thông qua bài toán gắn với thực tiễn cần được thiết kế theo quy trình mô
hình hóa rõ ràng, thay vì chỉ dừng lại ở việc lồng ghép tình huống.
a) Mục tiêu khi tích hợp mô hình hóa toán học vào dạy khái niệm, định lý
Hình thành kiến thức một cách tự nhiên thông qua việc giải quyết vấn đề thực tiễn có sử
dụng công cụ toán học.
Tạo cơ hội cho học sinh trải nghiệm đầy đủ các bước của quá trình mô hình hóa toán học.
Giúp học sinh hiểu rõ vai trò của các khái niệm, định lý như là công cụ giải quyết vấn đề
thực tế.
Phát triển đồng thời năng lực mô hình hóa, năng lực giải quyết vấn đề và tư duy toán học.
b) Cách tổ chức dạy học theo định hướng mô hình hóa
Giáo viên có thể tổ chức hoạt động học tập theo các bước chính trong quá trình mô hình
hóa (Blum & Leiß, 2007):
Tình huống khởi động: Đưa ra vấn đề thực tiễn có yếu tố toán học (ví dụ: tính toán chi
phí, phân phối sản phẩm...).
Phân tích yếu tố toán học: Học sinh nhận diện các đại lượng, mối quan hệ, từ đó chuyển
hóa tình huống thực tiễn thành bài toán toán học.
Xây dựng mô hình toán học: Học sinh thiết lập hệ phương trình hoặc hệ bất phương trình
mô tả tình huống.
30

44. Giải mô hình toán học: Vận dụng kiến thức để giải hệ, từ đó xuất hiện nhu cầu học khái
niệm hoặc định lý mới.
Diễn giải và đánh giá: Học sinh giải thích kết quả, kiểm tra tính hợp lý, quay lại thực tế
và rút ra kết luận.
c) Ví dụ minh họa theo quy trình mô hình hóa
Ví dụ 1: Hệ phương trình ba ẩn
Tình huống thực tế:
Một cửa hàng phân phối ba loại gạo: gạo A, B và C. Trong kho, người quản lý ghi lại
khối lượng các loại gạo trong ba đợt nhập hàng như sau:
Đợt 1: 10 bao gạo A, 5 bao gạo B, 2 bao gạo C, tổng 320 kg.
Đợt 2: 3 bao gạo A, 8 bao gạo B, 4 bao gạo C, tổng 290 kg.
Đợt 3: 6 bao gạo A, 2 bao gạo B, 10 bao gạo C, tổng 430 kg.
Câu hỏi đặt ra: Mỗi bao của từng loại gạo A, B, C nặng bao nhiêu kg?
Xây dựng mô hình:
Học sinh đặt ẩn, lập hệ phương trình ba ẩn.
Nảy sinh nhu cầu:
Làm sao giải hệ ba phương trình ba ẩn? → giáo viên giới thiệu phương pháp khử Gauss.
Giải mô hình và diễn giải:
Giải hệ, kết luận mỗi bao gạo nặng bao nhiêu kg.
Đánh giá:
Kiểm tra tính hợp lý của kết quả trong ngữ cảnh thực tế.
Ví dụ 2: Hệ bất phương trình hai ẩn
Tình huống:
Một học sinh muốn mua kẹo và bánh để tặng bạn bè.
Mỗi gói kẹo giá 2.000 đồng, mỗi gói bánh giá 5.000 đồng.
Bạn ấy chỉ có 20.000 đồng và muốn mua ít nhất 2 gói kẹo.
Tổng số gói bánh và kẹo không quá 6 gói vì túi đựng có hạn.
Câu hỏi đặt ra:
31

45. Bạn ấy có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu gói bánh và kẹo, sao cho thỏa mãn điều
kiện?
Xây dựng mô hình:
Học sinh lập hệ bất phương trình thể hiện các ràng buộc.
Nảy sinh nhu cầu:
Làm sao biểu diễn và tìm nghiệm của hệ bất phương trình? → giáo viên giới thiệu khái
niệm và cách giải.
Giải mô hình:
Vẽ miền nghiệm, tìm giá trị tối ưu.
Đánh giá:
Đưa ra phương án hợp lý nhất để mua được số lượng ph
ù hợp.
d) Vai trò giáo viên và học sinh
Giáo viên: Không chỉ là người truyền đạt mà còn là người thiết kế tình huống, định
hướng hoạt động mô hình hóa, và tạo điều kiện để học sinh chủ động kiến tạo kiến thức.
Học sinh: Trải nghiệm vai trò của “người giải quyết vấn đề thực tiễn bằng công cụ toán
học”, từ đó hình thành tư duy mô hình hóa và hiểu sâu sắc vai trò của kiến thức toán học.
đ) Ý nghĩa sư phạm
Nghiên cứu của Nguyễn Thị Đông Thảo & Nguyễn Phú Lộc (2023) cho thấy rằng dạy
học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo hướng tình huống thực tiễn giúp học sinh
phát triển mạnh mẽ năng lực giải quyết vấn đề và mô hình hóa toán học.
Việc dạy khái niệm, định lý thông qua bài toán mô hình hóa giúp học sinh thấy rõ mối
liên hệ giữa toán học và cuộc sống, hình thành kiến thức một cách có ý nghĩa, góp phần
phát triển năng lực mô hình hóa – một năng lực cần thiết trong học tập và thực tiễn. Cách
tiếp cận này chuyển trọng tâm từ “dạy cái gì” sang “học để làm gì” và từ “truyền thụ kiến
thức” sang “giải quyết vấn đề”.
2.3. Tổ chức dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS thông qua
nội dung hệ phương trình và hệ bất phương trình
2.3.1. Tổ chức dạy học các khái niệm, định lý cho học sinh thông qua giải các
bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề hệ phương trình và hệ bất phương trình
Trong chương trình Toán 10 theo định hướng phát triển năng lực, việc dạy học
không chỉ đơn thuần là truyền thụ kiến thức mà cần hướng tới việc hình thành và phát
32

46. triển các năng lực toán học, trong đó có năng lực mô hình hóa toán học – một năng lực
cốt lõi trong chương trình GDPT 2018 (Bộ GD&ĐT, 2018). Theo Blum & Leiß (2007),
quá trình mô hình hóa toán học bao gồm các bước: hiểu tình huống thực tế, xây dựng mô
hình toán học, giải mô hình, diễn giải kết quả và đánh giá. Do đó, việc tổ chức dạy học
các khái niệm, định lý thông qua bài toán gắn với thực tiễn cần được thiết kế theo quy
trình mô hình hóa rõ ràng, thay vì chỉ dừng lại ở việc lồng ghép tình huống.
a) Mục tiêu khi tích hợp mô hình hóa toán học vào dạy khái niệm, định lý
Hình thành kiến thức một cách tự nhiên thông qua việc giải quyết vấn đề thực tiễn
có sử dụng công cụ toán học.
Tạo cơ hội cho học sinh trải nghiệm đầy đủ các bước của quá trình mô hình hóa
toán học.
Giúp học sinh hiểu rõ vai trò của các khái niệm, định lý như là công cụ giải quyết
vấn đề thực tế.
Phát triển đồng thời năng lực mô hình hóa, năng lực giải quyết vấn đề và tư duy
toán học.
Tổ chức dạy học theo định hướng mô hình hóa
Giáo viên có thể tổ chức hoạt động học tập theo các bước chính trong quá trình mô
hình hóa (Blum & Leiß, 2007):
1.Tình huống khởi động: Đưa ra vấn đề thực tiễn có yếu tố toán học (ví dụ:
tính toán chi phí, phân phối sản phẩm...).
2.Phân tích yếu tố toán học: Học sinh nhận diện các đại lượng, mối quan hệ,
từ đó chuyển hóa tình huống thực tiễn thành bài toán toán học.
3.Xây dựng mô hình toán học: Học sinh thiết lập hệ phương trình hoặc hệ bất
phương trình mô tả tình huống.
4.Giải mô hình toán học: Vận dụng kiến thức để giải hệ, từ đó xuất hiện nhu
cầu học khái niệm hoặc định lý mới.
5.Diễn giải và đánh giá: Học sinh giải thích kết quả, kiểm tra tính hợp lý,
quay lại thực tế và rút ra kết luận.
c) Ví dụ minh họa theo quy trình mô hình hóa
33

47. Ví dụ 1: Hệ phương trình ba ẩn
Tình huống thực tế:
Một cửa hàng phân phối ba loại gạo: gạo A, B và C. Trong kho, người quản lý ghi
lại khối lượng các loại gạo trong ba đợt nhập hàng như sau:
Đợt 1: 10 bao gạo A, 5 bao gạo B, 2 bao gạo C, tổng 320 kg.
Đợt 2: 3 bao gạo A, 8 bao gạo B, 4 bao gạo C, tổng 290 kg.
Đợt 3: 6 bao gạo A, 2 bao gạo B, 10 bao gạo C, tổng 430 kg.
Câu hỏi đặt ra: Mỗi bao của từng loại gạo A, B, C nặng bao nhiêu kg?
Xây dựng mô hình:
Học sinh đặt ẩn, lập hệ phương trình ba ẩn.
Nảy sinh nhu cầu:
Làm sao giải hệ ba phương trình ba ẩn? → giáo viên giới thiệu phương pháp khử
Gauss.
Giải mô hình và diễn giải:
Giải hệ, kết luận mỗi bao gạo nặng bao nhiêu kg.
Đánh giá:
Kiểm tra tính hợp lý của kết quả trong ngữ cảnh thực tế.
Ví dụ 2: Hệ bất phương trình hai ẩn
Tình huống:
Một học sinh muốn mua kẹo và bánh để tặng bạn bè.
Mỗi gói kẹo giá 2.000 đồng, mỗi gói bánh giá 5.000 đồng.
Bạn ấy chỉ có 20.000 đồng và muốn mua ít nhất 2 gói kẹo.
Tổng số gói bánh và kẹo không quá 6 gói vì túi đựng có hạn.
Câu hỏi đặt ra:
Bạn ấy có thể mua được nhiều nhất bao nhiêu gói bánh và kẹo, sao cho thỏa mãn
điều kiện?
34

48. Xây dựng mô hình:
Học sinh lập hệ bất phương trình thể hiện các ràng buộc.
Nảy sinh nhu cầu:
Làm sao biểu diễn và tìm nghiệm của hệ bất phương trình? → giáo viên giới thiệu
khái niệm và cách giải.
Giải mô hình:
Vẽ miền nghiệm, tìm giá trị tối ưu.
Đánh giá:
Đưa ra phương án hợp lý nhất để mua được số lượng ph
ù hợp.
d) Vai trò giáo viên và học sinh
Giáo viên: Không chỉ là người truyền đạt mà còn là người thiết kế tình huống, định
hướng hoạt động mô hình hóa, và tạo điều kiện để học sinh chủ động kiến tạo kiến thức.
Học sinh: Trải nghiệm vai trò của “người giải quyết vấn đề thực tiễn bằng công cụ
toán học”, từ đó hình thành tư duy mô hình hóa và hiểu sâu sắc vai trò của kiến thức toán
học.
đ) Ý nghĩa sư phạm
Nghiên cứu của Nguyễn Thị Đông Thảo & Nguyễn Phú Lộc (2023) cho thấy rằng
dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo hướng tình huống thực tiễn giúp học
sinh phát triển mạnh mẽ năng lực giải quyết vấn đề và mô hình hóa toán học.
Việc dạy khái niệm, định lý thông qua bài toán mô hình hóa giúp học sinh thấy rõ
mối liên hệ giữa toán học và cuộc sống, hình thành kiến thức một cách có ý nghĩa, góp
phần phát triển năng lực mô hình hóa – một năng lực cần thiết trong học tập và thực tiễn.
Cách tiếp cận này chuyển trọng tâm từ “dạy cái gì” sang “học để làm gì” và từ “truyền
thụ kiến thức” sang “giải quyết vấn đề”.
2.3.2. Tổ chức hướng dẫn học sinh quy trình mô hình hóa toán học để giải
quyết bài toán thực tiễn
Trong bối cảnh hội nhập toàn cầu ngày nay, việc xây dựng một bộ sách giáo khoa
Toán 10 được thiết kế theo định hướng "Kết nối tri thức với cuộc sống" đã phản ánh rõ
35

49. nét tinh thần này. Bộ sách giáo khoa hiện đại không chỉ mang tính chất tra cứu mà còn
giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, khả năng giải quyết vấn đề và kỹ năng làm việc
nhóm thông qua các hoạt động học tập đa dạng và phong phú.
Nội dung về hệ phương trình trong sách giáo khoa chuyên đề Toán 10, bộ sách Kết
nối tri thức này không chỉ tập trung vào việc phát triển kỹ năng giải bài tập mà còn chú
trọng đến việc xây dựng kĩ năng tư duy phản biện.
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bao gồm ba phương trình dạng:
Trong đó, là ba ẩn số, và các hệ số không đồng thời
bằng 0. Một bộ ba số được gọi là nghiệm của hệ nếu thay vào ba phương trình
trên đều thỏa mãn đồng thời.
Phương Pháp Giải Tham Khảo Cho Hệ Phương Trình Bậc Nhất Ba Ẩn (Phương
Pháp Gauss)
Giới thiệu:
Phương pháp Gauss là một kỹ thuật d
ùng để đơn giản hóa hệ phương trình tuyến tính
bằng cách biến đổi hệ ban đầu thành một hệ có dạng tam giác (hoặc bậc thang). Từ đó, ta
có thể dễ dàng tìm nghiệm của hệ phương trình.
Các phép biến đổi cho phép:
Nhân một phương trình với số khác 0:
Ví dụ: Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2.
Đổi chỗ hai phương trình trong hệ:
Ví dụ: Hoán đổi vị trí phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai.
Cộng/trừ các phương trình đã được nhân với một số:
Ví dụ: Lấy phương trình thứ nhất nhân với 3 rồi cộng vào phương trình thứ hai để loại bỏ
một ẩn.
Các bước thực hiện:
36

50. Bước 1: Sắp xếp hệ phương trình sao cho hệ số của ẩn đầu tiên trong phương trình
thứ nhất khác 0.
Bước 2: D
ùng phép biến đổi để loại bỏ ẩn thứ nhất trong các phương trình còn lại.
Bước 3: Lặp lại quá trình với các ẩn tiếp theo cho đến khi hệ có dạng tam giác.
Bước 4: Giải hệ từ dưới lên để tìm nghiệm.
Ứng dụng thực tế:
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn được ứng dụng trong nhiều bài toán thực tế, chẳng
hạn như:
+ Giải quyết các bài toán liên quan đến ba đối tượng có mối quan hệ phụ thuộc lẫn
nhau.
+ Tính toán trong các bài toán về phân chia tài sản, chia đều công việc, hoặc phân
bổ nguồn lực.
+ Ứng dụng trong các bài toán thực tế có lời văn, như bài toán về số cây trồng, chi
phí sản xuất, v.v.
Ví dụ:
Một cửa hàng đang chuẩn bị ba loại gói quà Tết khác nhau là gói A, gói B và gói
C.
Mỗi gói A gồm 2 gói kẹo, 1 gói mứt và 1 gói trà.
Mỗi gói B gồm 1 gói kẹo, 2 gói mứt và 1 gói trà.
Mỗi gói C gồm 1 gói kẹo, 1 gói mứt và 2 gói trà.
Để phục vụ đơn hàng đặc biệt, cửa hàng cần đóng tổng cộng 15 gói kẹo, 14 gói
mứt và 16 gói trà. Hỏi cửa hàng cần chuẩn bị bao nhiêu gói A, B và C để đáp ứng đúng
yêu cầu?
Kết nối kiến thức toán học với các tình huống thực tiễn là điều cần thiết để khơi
dậy sự hứng thú học tập của học sinh, từ đó giúp các em thấy được giá trị và ứng dụng
của toán học trong cuộc sống hàng ngày.
Bên cạnh hệ phương trình, hệ bất phương trình cũng được thiết kế một cách sáng
tạo, khuyến khích học sinh tự thiết lập và giải quyết các bài toán có tính thực tiễn cao.
37

51. Học sinh không chỉ xử lý lý thuyết mà còn ứng dụng vào các tình huống thực tế, giúp các
em phát triển khả năng phân tích và đánh giá, từ đó đưa ra quyết định đúng đắn.
Theo sách giáo khoa toán 10- Kết nối tri thức thì hệ bất phương trình được định
nghĩa là :
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình
bậc nhất hai ẩn có dạng:
Trong đó:
x, y là hai ẩn số.
là các hệ số thực.
Các hệ số và trong mỗi bất phương trình không đồng thời bằng 0.
Một cặp số (x, y) được gọi là nghiệm của hệ bất phương trình nếu khi thay vào
từng bất phương trình trong hệ, các bất đẳng thức đều đúng đồng thời.
Cặp số là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi
đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.
Cách xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm miền nghiệm
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tập hợp tất cả các điểm (x, y) trên mặt
phẳng tọa độ thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ.
Miền nghiệm này được xác định bằng cách tìm giao của các miền nghiệm riêng lẻ
của từng bất phương trình trong hệ.
Có thế xác định miền nghiệm theo các bước sau:
Bước 1: Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và
gạch bỏ (tô màu) miền còn lại.
Bước 2: Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên
38

52. c
ùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm
của hệ bất phương
trình đã cho.
Ứng dụng thực tế
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện phổ biến trong các bài toán thực tế
như:
Lập kế hoạch sản xuất, chi tiêu hợp lý: ví dụ như tối ưu hóa lợi nhuận hoặc chi phí
dưới các ràng buộc tài nguyên.
Phân bổ nguồn lực: phân chia nguyên liệu, nhân công, thời gian.
Bài toán lựa chọn phương án tối ưu khi có giới hạn về số lượng, chi phí, thời gian,
…
Ví dụ: Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm A và B, với giới hạn về nguyên vật
liệu và công suất. Việc xác định lượng sản phẩm cần sản xuất sao cho không vượt quá
khả năng và vẫn tối đa hóa lợi nhuận là một bài toán mô hình hóa bằng hệ bất phương
trình hai ẩn.
Một điểm đặc biệt trong nội dung của bộ sách chính là sự khéo léo trong việc lồng
ghép kiến thức vào các dự án nhóm. Học sinh sẽ có cơ hội làm việc c
ùng nhau trong các
tình huống thực tiễn, từ việc lập kế hoạch cho một chuyến đi học đến việc thiết lập ngân
sách cho một sự kiện. Qua đó, học sinh không chỉ học được kiến thức mà còn rèn luyện
kỹ năng giao tiếp và làm việc nhóm. Theo đánh giá của Nguyễn Thị Tân An (2021), bộ
sách này đã lồng ghép khéo léo tư tưởng mô hình hóa toán học, giúp học sinh không chỉ
tiếp cận kiến thức mà còn có cơ hội thực hành những kỹ năng cần thiết trong việc giải
quyết các vấn đề thực tiễn. Điều này không chỉ giúp học sinh xây dựng tư duy phân tích
mà còn hình thành khả năng tự học và tự nghiên cứu.
Sự hình thành tư duy này sẽ không chỉ giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc
cho việc học tập trong tương lai mà còn góp phần tạo ra một cộng đồng học hỏi tích cực,
nơi mà toán học không chỉ được nhìn nhận như một môn học mà còn như một công cụ
mạnh mẽ để giải quyết các vấn đề thực tiễn trong xã hội. Qua đó, học sinh sẽ không chỉ
nắm vững kiến thức mà còn có khả năng vận dụng chúng linh hoạt trong mọi tình huống,
từ cuộc sống hàng ngày đến các lĩnh vực nghề nghiệp trong tương lai.
39

53. 2.2. Phân tích cơ hội hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học
cho học sinh trong dạy học hệ phương trình và hệ bất phương trình
2.3. Nội dung phát triển năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học hệ
phương trình và hệ bất phương trình
2.3.2. Tổ chức hướng dẫn học sinh thiết lập quy trình mô hình hóa toán học để
giải quyết bài toán thực tiễn
Trong dạy học hiện đại, việc dạy học không còn dừng lại ở việc truyền thụ kiến
thức mà hướng đến phát triển năng lực cho người học, đặc biệt là năng lực vận dụng kiến
thức vào giải quyết các vấn đề thực tiễn. Năng lực mô hình hóa toán học (MHHTH) –
một trong những năng lực toán học cốt lõi được xác định trong Chương trình GDPT 2018
– có thể được hình thành và phát triển mạnh mẽ thông qua quá trình tổ chức dạy học các
khái niệm và định lý thông qua giải các bài toán thực tiễn.
Theo Nguyễn Ái Quốc và Nguyễn Huỳnh Phương Thy (2024), để phát triển năng
lực MHHTH, cần tổ chức hoạt động học tập mà ở đó học sinh có thể trực tiếp trải nghiệm
quy trình mô hình hóa: từ việc phân tích tình huống thực tế, phát hiện mối quan hệ giữa
các đại lượng, đến việc xây dựng mô hình toán học và giải quyết bài toán. Cụ thể trong
chủ đề hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh có thể làm việc
với các bài toán như tối ưu hóa chi phí, phân phối nguồn lực, kế hoạch sản xuất, lựa chọn
phương án hợp lý,... Những bài toán này có nội dung gắn với đời sống hàng ngày, dễ tiếp
cận nhưng lại chứa đựng các mối quan hệ đại số mà học sinh cần khám phá và biểu diễn
bằng phương trình hoặc bất phương trình.
Theo Trịnh Thu Vân (2023), việc tích hợp tình huống thực tiễn vào dạy học bất
phương trình và hệ bất phương trình không chỉ giúp học sinh hiểu sâu bản chất kiến thức
mà còn tạo điều kiện cho các em phát triển tư duy phản biện, kỹ năng giao tiếp và hợp tác
nhóm – những yếu tố cấu thành năng lực toàn diện của người học trong thế kỷ 21.
Ngoài ra, Nguyễn Ái Quốc (2023) cho rằng việc sử dụng hình thức tranh luận,
phản biện khoa học trong quá trình giải bài toán thực tiễn sẽ thúc đẩy mạnh mẽ năng lực
giao tiếp toán học – một phần quan trọng trong quá trình mô hình hóa. Khi học sinh được
giải thích, bảo vệ và điều chỉnh mô hình của mình trước bạn bè hoặc giáo viên, các em
đang thực hiện quá trình “diễn giải kết quả” – bước cuối c
ùng trong chu trình mô hình
hóa toán học mà các nhà nghiên cứu như Blum & Leiss (2006) đã chỉ rõ.
40

54. Dựa theo các nghiên cứu tiêu biểu của Blum & Leiß (2007), Stillman, Galbraith &
Brown (2007), cũng như các tài liệu trong nước như Nguyễn Danh Nam (2015) mà tôi đã
nêu ở chương I, đề tài của tôi xây dựng quy trình mô hình hóa toán học gồm 5 bước cơ
bản sau:
Bước 1: Tình huống khởi động (Xây dựng và giới thiệu tình huống thực tiễn)
Giáo viên đặt ra một bài toán có nội dung gắn liền với thực tiễn như chi tiêu hợp lý, sản
xuất, phân bổ tài nguyên,… nhằm kích thích sự hứng thú và định hướng cho học sinh
thấy được nhu cầu vận dụng toán học để giải quyết vấn đề. Việc thiết kế tình huống cần
đảm bảo tính mở, tính thực tế và ph
ù hợp với trình độ của học sinh. Mô hình của Blum &
Leiß (2007) được lựa chọn vì chú trọng đến vai trò của bối cảnh thực tiễn trong việc khởi
động tư duy mô hình hóa.
Bước 2: Phát hiện yếu tố toán học (Phân tích tình huống thực tiễn)
Học sinh thực hiện phân tích tình huống để xác định các đại lượng, biến số và mối quan
hệ giữa các yếu tố. Đây là bước trung gian giúp học sinh chuyển hóa từ ngôn ngữ đời
sống sang ngôn ngữ toán học. Theo Swetz & Hartzler (1991), bước này giúp học sinh rèn
luyện tư duy phân tích và kỹ năng xác định vấn đề trong mô hình hóa.
Bước 3: Xây dựng mô hình toán học (Thiết lập hệ phương trình hoặc hệ bất phương
trình)
Từ các mối quan hệ đã phân tích, học sinh xây dựng hệ phương trình hoặc hệ bất phương
trình phản ánh tình huống thực tiễn. Đây là bước trung tâm của quá trình mô hình hóa,
đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức toán học để biểu diễn mối quan hệ một cách chính
xác. Bước này kế thừa mô hình của Blum & Leiß (2007), cho phép học sinh chuyển từ tư
duy đời sống sang tư duy toán học một cách rõ ràng.
Bước 4: Giải mô hình toán học (Tìm nghiệm cho hệ đã thiết lập)
Học sinh sử dụng các phương pháp toán học đã học như phương pháp thế, phương pháp
cộng đại số, hoặc sử dụng phần mềm hỗ trợ như GeoGebra để giải hệ phương trình hoặc
hệ bất phương trình. Việc thực hiện bước này giúp củng cố và vận dụng kiến thức toán
học trong bối cảnh mới, phát triển năng lực giải quyết vấn đề. Theo Swetz & Hartzler
(1991), bước này đóng vai trò quan trọng trong việc gắn kết kỹ năng toán học cơ bản với
tư duy mô hình hóa.
Bước 5: Diễn giải và đánh giá kết quả (Phân tích nghiệm và điều chỉnh mô hình)
Sau khi tìm được nghiệm, học sinh cần diễn giải nghiệm trong bối cảnh thực tế, đánh giá
tính hợp lý và khả thi của kết quả. Nếu nghiệm không ph
ù hợp hoặc chưa sát với thực tế,
41

55. học sinh cần đề xuất điều chỉnh mô hình. Tài liệu của Nguyễn Ái Quốc & Nguyễn Vũ
Quỳnh Như (2024) nhấn mạnh vai trò của bước này trong việc phát triển năng lực tư duy
phản biện và năng lực đánh giá của học sinh – những phẩm chất cần thiết trong giáo dục
hiện đại.
Lý do lựa chọn quy trình mô hình hóa toán học 5 bước trong dạy học hệ
phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10
Việc lựa chọn quy trình 5 bước trong mô hình hóa toán học để tổ chức dạy học hệ
phương trình và hệ bất phương trình ở lớp 10 được xác lập dựa trên các căn cứ lý luận và
thực tiễn sau:
- Thứ nhất, quy trình 5 bước ph
ù hợp với định hướng phát triển năng lực của
Chương trình giáo dục phổ thông 2018. Trong đó, năng lực mô hình hóa toán học được
xem là một thành phần quan trọng của năng lực toán học, giúp học sinh vận dụng kiến
thức để giải quyết các vấn đề thực tiễn. Quy trình gồm: (1) Tình huống khởi động, (2)
Phát hiện yếu tố toán học, (3) Xây dựng mô hình, (4) Giải mô hình, và (5) Diễn giải –
đánh giá kết quả, là một quá trình logic, gần gũi với tư duy thực tế của học sinh phổ
thông.
- Thứ hai, quy trình này có cơ sở lý luận, được dựa trên từ mô hình mô hình hóa 6
bước của Blum & Leiß (2007) – một mô hình phổ biến trong giáo dục toán học hiện đại,
đồng thời được rút gọn và điều chỉnh ph
ù hợp với năng lực học sinh Việt Nam. Ngoài ra,
nhiều nghiên cứu trong nước như của Nguyễn Ái Quốc & Nguyễn Vũ Quỳnh Như
(2024), Nguyễn Hồng Phương Thảo (2024) cũng áp dụng mô hình tương tự trong dạy học
toán học thực tiễn.
- Thứ ba, quy trình này giúp tổ chức hoạt động dạy học theo định hướng phát triển
phẩm chất và năng lực học sinh một cách rõ ràng. Mỗi bước tương ứng với một năng lực
cụ thể như: nhận diện vấn đề, tư duy trừu tượng hóa, biểu diễn toán học, giải quyết vấn
đề và phản biện – đánh giá. Điều này tạo điều kiện thuận lợi cho việc thiết kế hoạt động
học tập, đánh giá quá trình học tập và sản phẩm học tập của học sinh.
Từ những lý do trên, đề tài tôi lựa chọn quy trình mô hình hóa toán học 5 bước làm cơ sở
để thiết kế các hoạt động dạy học hệ phương trình và hệ bất phương trình nhằm phát triển
năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 10.
42

56. Tóm lại, việc tổ chức quy trình mô hình hóa toán học theo các bước trên không chỉ
giúp học sinh hiểu sâu kiến thức về hệ phương trình và hệ bất phương trình, mà còn rèn
luyện cho các em khả năng vận dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn, góp
phần phát triển năng lực toán học toàn diện trong chương trình Giáo dục phổ thông 2018.
Ví dụ 1:
Bài toán: Một HS dự định tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ
Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm
thiệp loại lớn có giá 20 nghìn đồng. HS này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ
yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Em hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi
loại để có được nhiều tiền nhất
Áp dụng 5 bước:
Bước 1: Tình huống khởi động:
Giáo viên giới thiệu tình huống: "Trong dịp Tết, nhiều bạn học sinh tranh thủ sáng
tạo các sản phẩm thủ công để bán ở hội chợ. Một bạn học sinh dự định làm các tấm
thiệp xuân thủ công để bán gây quỹ. Tuy nhiên, bạn có giới hạn về thời gian và phải đảm
bảo làm số lượng tối thiểu theo yêu cầu hội chợ. Làm sao để bạn đó kiếm được nhiều tiền
nhất từ việc làm thiệp?"
→ Đây là một bài toán thực tế liên quan đến lập kế hoạch tối ưu hóa trong điều
kiện có giới hạn tài nguyên (thời gian, số lượng).
Bước 2: Phát hiện yếu tố toán học.
Học sinh nhận diện được các yếu tố:
Có hai loại sản phẩm: thiệp loại nhỏ và thiệp loại lớn.
Mỗi loại thiệp cần thời gian khác nhau để làm và mang lại mức lợi nhuận khác
nhau.
Có giới hạn tổng thời gian (30 giờ).
Có ràng buộc về số lượng tối thiểu (ít nhất 12 tấm thiệp).
Đây là bài toán tối ưu hóa có thể mô hình hóa bằng hệ bất phương trình tuyến tính
và hàm mục tiêu.
Bước 3: Xây dựng mô hình toán học:
43

57. Gọi:
: số tấm thiệp loại nhỏ (2 giờ/tấm,10000đ)
y: số tấm thiệp loại lớn (3 giờ/tấm, 20.000đ)
Tổng thời gian không vượt quá 30 giờ:

Tổng số thiệp ít nhất 12 tấm:

Số lượng không âm:

Hàm mục tiêu – tổng tiền thu được:
(nghìn đồng)
Bước 4: Giải mô hình toán học:
Ta có hệ bất phương trình:
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền
nghiệm của HBPT (I).
Miền nghiệm của HBPT (I) là tam giác ABC(kể cả biên) . Hàm đạt
giá trị lớn nhất khi là tọa độ của một trong
các đỉnh .
Ta có:
.
44

58. Suy ra lớn nhất khi .
Vậy, để có được nhiều tiền nhất thì bạn HS đó cần vẽ 6 tấm thiệp nhỏ và 6 tấm
thiệp lớn.
Bước 5: Diễn giải và đánh giá kết quả:
Kết luận:
Vẽ 6 thiệp nhỏ và 6 thiệp lớn.
Tổng thời gian sử dụng: 2×6+3×6=30 giờ → đúng giới hạn.
Tổng thiệp: 6+6=12 → đúng yêu cầu.
Thu nhập: 10×6+20×6=180 nghìn đồng → tối ưu.
Không cần điều chỉnh mô hình.
Biểu hiện năng lực và mức độ đạt được của học sinh.
Cấp
độ
Diễn giải Biểu hiện cụ thể của học sinh trong bài
toán này
0 Không hiểu tình
huống
- Không xác định được đây là bài toán tối
ưu có ràng buộc thời gian và số lượng.
- Không biết cần tìm gì hoặc không khởi
động được lời giải.
1 Hiểu tình huống
nhưng chưa kết nối toán
học
- Nhận ra có 2 loại thiệp, biết giới hạn 30
giờ, nhưng không biểu diễn được bằng bất
phương trình.
- Nói được tổng số thiệp ≥ 12, nhưng
không biết cách gán biến hay chưa chuyển sang
ngôn ngữ toán học.
2 Nhận diện yếu tố
toán học nhưng chưa
mô hình hóa đầy đủ
- Gọi được ẩn (x: số thiệp nhỏ, y: số thiệp
lớn), biết tổng thời gian: , nhưng bỏ
sót điều kiện tổng số thiệp ≥ 12 hoặc chưa xây
dựng được hàm mục tiêu.
3 Xây dựng được - Thiết lập được đầy đủ mô hình:
45

59. mô hình nhưng giải
chưa đúng hoặc thiếu
bước
Và hàm mục tiêu
nhưng giải sai điểm, chọn sai miền nghiệm hoặc
kết luận thiếu logic.
4 Giải đúng mô
hình toán học
- Xác định chính xác miền nghiệm, tìm
đúng các đỉnh (nếu vẽ hình), tính được giá trị
hàm F tại các điểm và chọn phương án tối ưu (thu
được nhiều tiền nhất).
5 Diễn giải và
kiểm nghiệm kết quả
- Kiểm tra lại nghiệm tìm được có thỏa
điều kiện không.
- Giải thích rõ: “Bạn nên vẽ x thiệp nhỏ và
y thiệp lớn, thu được ... đồng, không vượt quá
thời gian và đúng yêu cầu của hội chợ.”
- Có thể đưa thêm lý do chọn phương án
đó (ví dụ: bán thiệp lớn lời hơn nên ưu tiên…).
Ví dụ 2 : Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid trong thức
ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipid. Mỗi
kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid. Biết rằng gia đình này chỉ
mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng;
1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam
thịt lợn.Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất
Bước 1: Tình huống khởi động
Giáo viên nêu tình huống:
“Một gia đình muốn tiết kiệm chi phí nhưng vẫn đảm bảo nhu cầu dinh dưỡng mỗi ngày.
Họ cần chọn lượng thịt bò và thịt lợn phù hợp. Em hãy giúp họ tìm cách tối ưu hóa chi
tiêu.”
46

60. Bước 2: Phát hiện yếu tố toán học
Protein cần thiết: Ít nhất 900 đơn vị/ngày.
Lipid cần thiết: Ít nhất 400 đơn vị/ngày.
Thịt bò (kg):
Protein: 800 đơn vị/kg
Lipid: 200 đơn vị/kg
Giá: 250 nghìn đồng/kg
Giới hạn mua: Tối đa 1,6 kg
Thịt lợn (y kg):
Protein: 600 đơn vị/kg
Lipid: 400 đơn vị/kg
Giá: 160 nghìn đồng/kg
Giới hạn mua: Tối đa 1,1 kg
Bước 3: Xây dựng mô hình toán học
Gọi:
: số kg thịt bò (kg)
: số kg thịt lợn (kg)
Mục tiêu: Tối thiểu hóa chi phí:
Điều kiện ràng buộc:
(protein)
(lipid)
Bước 4: Giải mô hình toán học:
47

61. Ta có hệ bất phương trình
Bài toán trở thành: Tìm thỏa mãn hệ bất phương trình sao cho
nhỏ nhất.
Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm ; ;
; .
Nhận xét: nghìn, nghìn, nghìn,
nghìn.
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong
thức ăn thì và .
Bước 5: Diễn giải và đánh giá kết quả:
Gia đình nên mua:
48

62. 0,3 kg thịt bò
1,1 kg thịt lợn
→ Tổng chi phí thấp nhất là 251 ngàn, đồng thời đảm bảo đủ ≥ 900 protein và ≥
400 lipid.
Biểu hiện năng lực và mức độ đạt được của học sinh.
Cấp
độ
Diễn giải Biểu hiện cụ thể của học sinh trong
bài toán này
0 Không hiểu tình
huống
- Không xác định được các yếu tố liên
quan (protein, lipid, chi phí).
- Không gán biến, không tiếp cận được vấn đề
tối ưu.
1 Hiểu tình huống
nhưng chưa kết nối toán
học
- Nhận ra có hai loại thịt, có giới hạn và
mục tiêu là chi phí, nhưng chưa biết mô hình
hóa bằng bất phương trình và hàm mục tiêu.
2 Nhận diện yếu tố
toán học nhưng chưa mô
hình hóa đầy đủ
- Gọi được ẩn x (kg bò), y (kg lợn),
nhưng thiếu hoặc sai hệ bất phương trình.
- Có thể mô tả đúng bằng lời nhưng chưa viết
thành công thức toán học.
3 Xây dựng được mô
hình nhưng giải chưa đúng
hoặc thiếu bước
- Thiết lập được đầy đủ mô hình:
Và hàm mục tiêu .
Nhưng xác định sai miền nghiệm, tính sai giá
trị chi phí hoặc chọn sai điểm tối ưu
4 Giải đúng mô hình
toán học
- Xác định được tất cả các điểm thỏa
mãn ràng buộc (ví dụ: A(0.3; 1.1)), tính đúng
chi phí tại các điểm.
49

63. - Tìm được nghiệm tối ưu:
x=0.3,y=1.1, chi phí 251.000 đồng
5 Diễn giải và kiểm
nghiệm kết quả
- Sau khi tìm được nghiệm tối ưu, học
sinh kiểm tra lại toàn bộ điều kiện (đủ protein,
lipid, không vượt quá giới hạn).
- Diễn giải bằng lời rõ ràng: “Gia đình
nên mua 0.3 kg bò và 1.1 kg lợn để đủ dinh
dưỡng với chi phí thấp nhất 251.000 đồng.”
- Có thể nhận xét thêm: “Thịt lợn cung
cấp lipid hiệu quả hơn..., nên ưu tiên.”
Ví dụ 3: Ba người c
ùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lý kho,
quản lý văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lý kho và
người quản lý văn phòng là 164 triệu đồng, còn của người quản lý kho và tài xế xe tải là
156 triệu đồng. Mỗi năm, người quản lý kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu
đồng. Hỏi lương hằng năm của mỗi người là bao nhiêu?
Bước 1: Tình huống khởi động
Giáo viên nêu tình huống:
“Trong một công ty, mỗi nhân viên có mức lương khác nhau. Nếu biết tổng lương của
một vài người và mức chênh lệch giữa họ, em có thể tính được lương của từng người
không?”
Bước 2: Phát hiện yếu tố toán học
Nhân viên:
Quản lý kho (Q)
Quản lý văn phòng (V)
Tài xế xe tải (T)
Thông tin lương:
Tổng lương của Q + V = 164 triệu đồng.
50

64. Tổng lương của Q + T = 156 triệu đồng.
Lương Q hơn T 8 triệu đồng: Q = T + 8.
Bước 3. Xây dựng mô hình toán học
Gọi:
: lương của quản lí kho (triệu đồng/năm)
: lương của quản lí văn phòng (triệu đồng/năm)
: lương của tài xế xe tải (triệu đồng/năm)
Ta có các mối quan hệ:
Tổng lương của quản lí kho và quản lí văn phòng →
Tổng lương của quản lí kho và tài xế xe tải→
Quản lý kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng →
Ta xây dựng được hệ phương trình :
Bước 4. Giải mô hình toán học:
Ta có hệ phương trình:
Từ (3):
Thay vào (2):
Bước 5. Diễn giải và đánh giá kết quả:
Vậy :
51

65. Lương của quản lí kho là : 82 triệu đồng
Lương của quản lí văn phòng: 82 triệu đồng
Lương của tài xế xe tải: 74 triệu đồng
Kiểm tra:
đúng
đúng
đúng
Kết quả hợp lý và thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biểu hiện năng lực và mức độ đạt được của học sinh.
Cấp
độ
Diễn giải Biểu hiện cụ thể của học sinh trong
bài toán này
0 Không hiểu tình
huống
- Không xác định được các đối tượng
và đại lượng liên quan.
- Không biết cần tìm gì, không gán biến..
1 Hiểu tình huống
nhưng chưa kết nối toán
học
- Biết có ba người và ba mối quan hệ,
nhưng không viết được phương trình hoặc
không gán được biến cho từng người.
2 Nhận diện yếu tố
toán học nhưng chưa mô
hình hóa đầy đủ
- Gọi được ẩn (ví dụ: x – quản lý kho,
y – quản lý văn phòng, z – tài xế), nhưng
thiếu 1 trong 3 phương trình hoặc nhầm dữ
kiện.
3 Xây dựng được mô
hình nhưng giải chưa đúng
hoặc thiếu bước
- Viết đúng hệ:
Nhưng giải sai (nhầm biến, sai phép
tính, không kết luận).
52

66. 4 Giải đúng mô hình
toán học
- Giải đúng:
x=82,y=82, z=74 (đơn vị: triệu đồng)
-Ghi kết luận hợp lý, có thể kèm đơn
vị.
5 Diễn giải và kiểm
nghiệm kết quả
- Sau khi giải, học sinh thay ngược kết
quả vào 3 điều kiện ban đầu để kiểm tra.
- Diễn giải: “Quản lý kho và văn
phòng đều nhận 82 triệu, tài xế nhận 74 triệu.
Kho nhiều hơn tài xế đúng 8 triệu.”
- Nhận xét: “Quản lý văn phòng bằng
quản lý kho, tài xế thấp hơn...”
Ví dụ 4: Một nhóm học sinh đi xem phim gồm ba loại người: học sinh, sinh viên
và người lớn.
Tại rạp chiếu phim, giá vé như sau:
Học sinh: 40.000 VNĐ
Sinh viên: 50.000 VNĐ
Người lớn: 70.000 VNĐ
Tổng cộng có 30 người trong nhóm.
Tổng số tiền họ trả là 1.600.000 VNĐ.
Số sinh viên bằng số người lớn.
Yêu cầu: Hỏi có bao nhiêu học sinh, sinh viên và người lớn trong nhóm?
Bước 1: Tình huống khởi động:
Giáo viên giới thiệu tình huống thực tế:
"Khi đi xem phim theo nhóm, việc tính toán chi tiêu là rất cần thiết. Ví dụ, một
nhóm gồm học sinh, sinh viên và người lớn cùng đi xem phim. Mỗi đối tượng có mức giá
vé khác nhau. Nếu biết tổng số người và tổng số tiền đã chi trả, liệu ta có thể xác định
được mỗi loại có bao nhiêu người? Đây là một tình huống thực tế cho thấy toán học giúp
ta quản lý tài chính hợp lý."
Bước 2: Phát hiện yếu tố toán học
53

67. Nhóm người:
Học sinh (HS)
Sinh viên (SV)
Người lớn (NL)
Thông tin:
Tổng số người: 30 người.
Tổng số tiền vé: 1.600.000 VNĐ.
Giá vé:
Học sinh: 40.000 VNĐ/người.
Sinh viên: 50.000 VNĐ/người.
Người lớn: 70.000 VNĐ/người.
Điều kiện: 
Có 3 điều kiện:
Tổng số người là 30.
Tổng tiền là 1.600.000 VNĐ.
Số sinh viên bằng số người lớn.
Bước 3: Xây dựng mô hình toán học
Gọi:
: số học sinh (vé 40.000đ),
: số sinh viên (vé 50.000đ),
: số người lớn (vé 70.000đ).
Biết:
Tổng cộng 30 người
Tổng tiền là 1.600.000 VNĐ
Số sinh viên bằng số người lớn
54

68. Khi đó, ta có hệ phương trình sau:
Bước 4: Giải mô hình toán học
Thay thế biến để rút gọn hệ
Từ (3):
thay vào (1) và (2):
(1):
(2):
Giải hệ hai ẩn và }
Từ (1'):
Thay vào (2'):
Bước 5: Diễn giải và đánh giá kết quả
Kết quả:
Học sinh: 10 người
Sinh viên: 10 người
Người lớn: 10 người
Kiểm tra lại tổng tiền:
10×40.000+10×50.000+10×70.000=400.000+500.000+700.000=1.600.000
 (đúng)
Biểu hiện năng lực và mức độ đạt được của học sinh.
55

69. Cấp
độ
Diễn giải Biểu hiện cụ thể của học sinh trong bài toán
này
0 Không hiểu
tình huống
- Không xác định được cần tìm số người theo
nhóm.
- Không gán được biến cho các đại lượng cần tìm.
1 Hiểu tình
huống nhưng chưa
kết nối toán học
- Biết có 3 nhóm người và giá vé, tổng người
là 30, nhưng không viết được phương trình, chỉ mô tả
bằng lời.
2 Nhận diện
yếu tố toán học
nhưng chưa mô
hình hóa đầy đủ
- Gọi được biến (x: học sinh, y: sinh viên, z:
người lớn), nhưng viết thiếu phương trình (ví dụ: bỏ
quên y=z).
3 Xây dựng
được mô hình
nhưng giải chưa
đúng hoặc thiếu
bước
- Viết đúng hệ:
Nhưng giải sai (nhầm biến, sai phép tính,
không kết luận).
4 Giải đúng mô
hình toán học
- Tính đúng: x=10,y=10,z=10
- Kết luận rõ ràng: “Có 10 học sinh, 10 sinh
viên và 10 người lớn” .
5 Diễn giải và
kiểm nghiệm kết
quả
- Kiểm tra ngược lại:
10×40000+10×50000+10×70000=1.600.000
- Giải thích rõ ràng mối quan hệ: “Số Sinh
viên=số Người lớn = 10, nên số Học sinh = 30 –
2×10 = 10”
- Có thể mở rộng: “Nếu số người thay đổi, ta
vẫn d
ùng mô hình để tính...”
56

70. Trong quá trình dạy học môn Toán, thực hiện mô hình hóa giúp học sinh hiểu được
ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; phát triển khả năng phân tích,
suy luận, lập luận và giải quyết vấn đề toán học trong những tình huống khác nhau. Từ
đó, học sinh hứng thú hơn trong học tập, đặc biệt là phát triển được năng lực mô hình hóa
toán học. Thông qua hoạt động mô hình hóa toán học, học sinh có cơ hội phát triển các
thao tác tư duy, kĩ năng giải quyết vấn đề, đặc biệt là thấy được mối liên hệ giữa toán học
với thực tiễn, yêu thích học tập môn Toán hơn. Như vậy, việc dạy học giải bài toán thực
tiễn sẽ giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hóa toán học, đáp ứng được mục tiêu
dạy học phát triển năng lực toán học cho học sinh theo yêu cầu đổi mới giáo dục hiện
nay.
Theo Nguyễn Danh Nam: “Khi sử dụng Toán học để giải quyết vấn đề, tình huống
thực tiễn thì mô hình Toán học và quá trình mô hình hóa Toán học là những công cụ cần
thiết” . Tuy nhiên, trên thực tế , học sinh hay mắc những sai lầm thường gặp như xây
dựng sai mô hình (Xác định không đúng công thức tính, thiết lập không đúng phương
trình biểu thị mối quan hệ của các đối tượng) hoặc mô hình mà học sinh xây dựng phản
ánh không đúng bối cảnh thực tiễn mà bài toán muốn đưa ra. Do vậy, học sinh cần xác
định các biến số của bài toán và mối quan hệ của những biến số này, điều này giúp các
em hiểu rõ hơn về tính chất, cấu trúc bài toán.Yêu cầu học sinh sự trừu tượng hóa, cách
biến đổi những yếu tố thực tế trở thành phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình… hoặc một mô hình Toán học quen thuộc có thể tính toán được. Những kĩ năng
quan trọng mà người học cần có là: Xác định đúng ẩn, số lượng các ẩn và điều kiện của
các ẩn; hoặc vẽ được hình minh họa cho các mối quan hệ của các đối tượng trong bài
toán. Xác định đúng mối quan hệ của các ẩn; xác lập được các biểu thức, phương trình
hay bất phương trình, hình vẽ để mô tả mối quan hệ giữa các ẩn số (đại lượng), mối quan
hệ có mặt trong bài toán.
Theo Cao Thị Hà, Nguyễn Thị Ánh Tâm (2024) thì mục đích của việc dạy Toán ở
trường phổ thông xét cho c
ùng là phải hình thành cho học sinh năng lực sử dụng tri thức
Toán học vào giải quyết các vấn đề của cuộc sống xung quanh họ. Trong dạy học Toán ở
trường phổ thông, các bài toán có chứa bối cảnh thực là công cụ hữu ích để giúp quá trình
dạy học đạt được mục đích này. Đặc biệt, với cấp Trung học phổ thông, việc giải quyết
các bài toán có chứa bối cảnh thực lại càng quan trọng vì các bài toán này thường đã khá
gần gũi với các yêu cầu của cuộc sống thực.
57

71. Như vậy, có thể nói, mô hình hóa Toán học được hiểu là sử dụng các công cụ Toán
học để mô tả các tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống đó dưới dạng ngôn ngữ
Toán học, đưa bài toán thực tiễn thành bài toán Toán học ph
ù hợp. Quá trình chuyển đổi
giữa tình huống thực tiễn và tình huống Toán học tuân theo một quy trình nhất định với
những quy tắc đặc biệt để xây dựng giả thuyết Toán học từ đó học sinh có thể dễ dàng
nhìn nhận các vấn đề thực tiễn. Mô hình hóa Toán học là một hoạt động phức tạp, chuyển
đổi giữa Toán học và thực tiễn theo cả hai chiều. Vì vậy, đòi hỏi học sinh phải có nhiều
năng lực khác nhau trong các lĩnh vực Toán học khác nhau, đồng thời có kiến thức liên
quan đến tình huống thực tiễn.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Chương 2 đã trình bày cơ sở lý luận và thực tiễn cho việc phát triển năng lực mô
hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hệ phương trình và hệ bất
phương trình lớp 10 theo định hướng chương trình giáo dục phổ thông 2018 và sách giáo
khoa Kết nối tri thức với cuộc sống. Từ những phân tích và tổng hợp, có thể rút ra một số
kết luận quan trọng như sau:
Thứ nhất, năng lực mô hình hóa toán học là một năng lực thiết yếu trong dạy học
Toán hiện đại, giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tiễn, phát
triển tư duy logic, tư duy phản biện và nâng cao năng lực giải quyết vấn đề. Việc rèn
luyện năng lực này ph
ù hợp với định hướng phát triển phẩm chất và năng lực toàn diện
trong chương trình giáo dục phổ thông mới.
Thứ hai, qua tham khảo các nghiên cứu trong và ngoài nước. Đề tài của tôi đề xuất
mô hình 5 bước phát triển năng lực mô hình hóa toán học, gồm:
Tình huống khởi động: Giáo viên giới thiệu tình huống thực tiễn có tính mở và gần
gũi nhằm khơi gợi hứng thú và định hướng vấn đề cần giải quyết.
Phát hiện yếu tố toán học: Học sinh phân tích tình huống, xác định các đại lượng,
biến số và mối quan hệ – tạo tiền đề cho việc thiết lập mô hình.
Xây dựng mô hình toán học: Học sinh thiết lập hệ phương trình hoặc hệ bất
phương trình phản ánh đúng bản chất của vấn đề thực tiễn.
Giải mô hình toán học: Học sinh vận dụng các kiến thức toán học đã học để tìm
nghiệm cho hệ đã xây dựng, qua đó rèn luyện kỹ năng toán học trong bối cảnh mới.
58

72. Diễn giải và đánh giá kết quả: Học sinh phân tích nghiệm trong bối cảnh thực tế,
đánh giá tính hợp lý và đề xuất điều chỉnh mô hình nếu cần thiết.
Mô hình này được xây dựng trên cơ sở kế thừa có chọn lọc các nghiên cứu của
Blum & Leiß (2007), Stillman, Galbraith & Brown (2007) và Nguyễn Danh Nam (2015),
đồng thời được điều chỉnh ph
ù hợp với đối tượng học sinh lớp 10 và nội dung chương
trình hiện hành.
Thứ ba, việc lựa chọn chủ đề hệ phương trình và hệ bất phương trình để tổ chức
dạy học mô hình hóa là hoàn toàn hợp lý. Chủ đề này có nhiều tiềm năng để xây dựng
các tình huống thực tiễn đa dạng, từ các bài toán phân chia, quy hoạch, lựa chọn phương
án tối ưu,... đến các bài toán có tính ứng dụng trong đời sống hàng ngày. Đồng thời, đây
cũng là nội dung cơ bản và quan trọng trong chương trình lớp 10, giúp học sinh hình
thành kỹ năng toán học nền tảng để phục vụ việc mô hình hóa.
Tóm lại, chương 2 đã cung cấp nền tảng lý luận và thực tiễn để từ đó xây dựng kế
hoạch thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm hiệu quả của mô hình 5 bước trong việc
phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh. Các nội dung này sẽ được cụ thể
hóa và triển khai trong chương tiếp theo của đề tài.
59

73. CHƯƠNG 3.
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Một số …
3.2. Thực nghiệm sư phạm
3.2.1. Giới thiệu về thực nghiệm
Trong nghiên cứu này, thực nghiệm sư phạm được tổ chức nhằm kiểm nghiệm tính
hiệu quả của việc tổ chức dạy học chủ đề “Hệ phương trình và hệ bất phương trình” lớp
10 theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh.
Thực nghiệm được tiến hành tại Trường THPT Hiệp Thành, Thành phố Bạc Liêu
với hai nhóm học sinh: lớp 10C1 (lớp thực nghiệm) và lớp 10C2 (lớp đối chứng). Cả hai
lớp có trình độ học tập tương đối đồng đều, được giảng dạy bởi c
ùng một giáo viên để
đảm bảo tính khách quan trong giảng dạy.
Mục đích:
Mục đích của thực nghiệm sư phạm là kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của việc tổ
chức dạy học theo định hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp
10, thông qua chủ đề “Hệ phương trình và hệ bất phương trình”. Cụ thể, thực nghiệm
nhằm:
- Khảo sát khả năng học sinh vận dụng kiến thức toán học để xây dựng mô hình từ
các tình huống thực tiễn;
- Đánh giá năng lực giải quyết bài toán trong mô hình toán học;
- Quan sát khả năng diễn giải, kiểm nghiệm và điều chỉnh mô hình trong bối cảnh
thực tế.
Thực nghiệm được tiến hành tại Trường THPT Hiệp Thành, tỉnh Bạc Liêu với hai
lớp 10 có trình độ học tập tương đương:
Quy trình thực nghiệm bao gồm:
Trong khuôn khổ nghiên cứu, tôi đã tiến hành một thực nghiệm sư phạm quy mô
nhỏ nhằm kiểm nghiệm hiệu quả của dạy học theo mô hình 5 bước mô hình hóa toán học
đối với học sinh lớp 10.
Số lượng: 2 nhóm, mỗi nhóm 5 học sinh
60

74. Đặc điểm: Cả hai nhóm có trình độ học tập tương đương, được chọn ngẫu nhiên từ
c
ùng một lớp
Phân nhóm:
Nhóm lớp 10C1 (thực nghiệm): được dạy học theo quy trình mô hình hóa 5 bước
Nhóm lớp 10C2 (đối chứng): không được dạy mô hình hóa, không định hướng giải
theo mô hình
Sau khi dạy nhóm 10C1 theo mô hình hóa 5 bước, cả hai nhóm đều được yêu cầu
làm c
ùng một bài kiểm tra gồm hai bài toán thực tiễn có tính mô hình hóa, thuộc nội dung
hệ phương trình hoặc hệ bất phương trình.
“ Câu 1: Ba bạn Nhân, Nghĩa và Phúc đi vào căng tin của trường. Nhân mua một
ly trà sữa, một ly nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90 000 đồng. Nghĩa mua một ly
trà sữa, ba cái bánh ngọt và trả 50 000 đồng. Phúc mua một ly trà sữa, hai ly nước trái
cây, ba cái bánh ngọt và trả 140 000 đồng. Gọi x,y,z lần lượt là giá tiền của một ly trà sữa,
một ly nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó.
a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x,y và z.
b) Tìm giá tiền của một ly trà sữa, một ly nước trái cây và một cái bánh ngọt tại
căng tin đó.
Câu 2: Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8
ha. Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha
đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Biết rằng, bác Năm chỉ có thể
sứ dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất
phương trình, rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (triệu đồng) là số tiền bác Năm thu được khi trồng x ha ngô và y ha đậu
xanh. Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số hecta ngô và đậu xanh mà bác Năm nên trồng để thu được nhiều tiền
nhất.”
Tổ chức dạy học thực nghiệm:
3.1.1. Thực nghiệm 1 – Dạy học theo mô hình hóa toán học (10C1)
61

75. Nhóm học sinh lớp 10C1 được yêu cầu giải quyết các tình huống thực tiễn thông
qua quy trình 5 bước mô hình hóa toán học bao gồm:
Tình huống khởi động
Phát hiện yếu tố toán học
Xây dựng mô hình toán học
Giải mô hình toán học
Diễn giải và đánh giá kết quẩ
Giáo viên khởi động bằng một tình huống thực tế có ý nghĩa, giúp học sinh phát
hiện vấn đề cần giải quyết.
Trong quá trình học tập, học sinh được khuyến khích nêu giả thuyết, đưa ra mô
hình, lựa chọn hướng giải, giải thích và đánh giá kết quả.
Giáo viên giữ vai trò điều phối, gợi mở và hỗ trợ khi cần, tránh can thiệp sớm vào
quá trình học tập của học sinh.
3.1.2. Thực nghiệm 2 – Dạy học truyền thống (10C2)
Lớp 10C2 vẫn học c
ùng nội dung toán học, nhưng được dạy theo phương pháp
truyền thống: giáo viên trình bày bài toán mẫu, học sinh thực hành theo hướng dẫn,
không tổ chức hoạt động mô hình hóa hay tình huống thực tiễn.
Phương pháp thu thập và xử lý dữ liệu:
Để đánh giá hiệu quả của quá trình thực nghiệm, tôi đã sử dụng kết hợp định lượng
và định tính:
Định lượng: Qua kết quả bài kiểm tra cuối mỗi đợt dạy học, học sinh được đánh
giá theo thang 6 cấp độ mô hình hóa (từ 0 đến 5).
Định tính: Thông qua quan sát hoạt động lớp học, ghi chú tương tác nhóm, phỏng
vấn nhanh học sinh.
Thang đánh giá năng lực mô hình hóa toán học:
Dựa trên các nghiên cứu trước (Blum & Leiß, 2007; Kaiser & Stillman, 2009), quá
trình mô hình hóa toán học được phân thành 6 cấp độ:
62

76. Cấp độ Mô tả năng lực
0 Không hiểu tình huống; không khởi động được quá trình mô hình hóa.
1 Hiểu tình huống nhưng chưa kết nối được với nội dung toán học.
2
Xây dựng được mô hình thực tiễn nhưng không chuyển hóa được sang
mô hình toán.
3
Mô hình hóa thành bài toán toán học nhưng giải chưa chính xác hoặc
chưa đầy đủ.
4 Giải đúng mô hình toán học.
5
Diễn giải kết quả, kiểm nghiệm và điều chỉnh mô hình ph
ù hợp với
thực tiễn.
3.2.2. Kết quả thực nghiệm
a) Kết quả tổng quát
Lớp Số
học sinh
Trung
bình điểm
kiểm tra
Học
sinh đạt cấp
độ 4-5 (%)
Học
sinh đạt cấp
độ 3 (%)
Học
sinh ở cấp
độ 0-2 (%)
10C1
(Thực
nghiệm)
5 8.2 3/5
(60%)
1/5
(20%)
1/5
(20%)
10C2
(Đối chứng)
5 6.4 1/5
(20%)
1/5
(20%)
3/5
(60%)
Phân tích chi tiết:
Trung bình điểm kiểm tra: Lớp 10C1 đạt trung bình 8.2 điểm, cao hơn đáng kể so
với lớp 10C2 là 6.4 điểm. Điều này cho thấy học sinh lớp thực nghiệm không chỉ tiếp thu
kiến thức tốt mà còn làm bài kiểm tra mô hình hóa hiệu quả hơn.
Tỉ lệ đạt cấp độ cao (cấp độ 4–5): Có đến 60% học sinh lớp thực nghiệm đạt từ cấp
độ 4 trở lên, tức là các em đã thực hiện được quá trình mô hình hóa đầy đủ: từ xây dựng
mô hình đến giải quyết và kiểm nghiệm kết quả. Trong khi đó, lớp đối chứng chỉ có 20%
63

77. đạt được điều này, cho thấy phương pháp truyền thống chưa thực sự giúp học sinh phát
triển năng lực mô hình hóa toàn diện.
Tỉ lệ học sinh ở cấp độ thấp (cấp độ 0–2): Tỷ lệ học sinh lớp 10C2 dừng lại ở các
cấp độ thấp (không hiểu tình huống, không chuyển hóa được thành mô hình toán học)
chiếm tới 60%, trong khi lớp thực nghiệm là 20%. Điều này phản ánh rõ rệt hiệu quả của
phương pháp dạy học định hướng mô hình hóa trong việc giúp học sinh tiếp cận và giải
quyết các bài toán thực tiễn.
b) Phân tích kết quả theo cấp độ mô hình hóa
Cấp độ Mô tả năng lực mô hình hóa
Số HS đạt được
(nhóm 10C1)
Số HS đạt được
(nhóm 10C2)
0
Không hiểu tình huống thực tiễn,
không khởi động mô hình
0 1
1
Hiểu tình huống nhưng không
kết nối được với yếu tố toán học
0 1
2
Phân tích được thực tế nhưng
chưa thiết lập được mô hình toán học
1 1
3
Thiết lập được mô hình nhưng
giải chưa rõ ràng hoặc sai sót
1 1
4 Giải đúng mô hình toán học 2 1
5
Kiểm nghiệm và diễn giải kết
quả trong thực tiễn
1 0
64

78. Biểu đồ trên thể hiện số học sinh đạt từng cấp độ mô hình hóa toán học (0–5) của
hai nhóm:
Nhóm 10C1 (được dạy theo mô hình hóa 5 bước): không có học sinh ở cấp độ 0–1,
và có nhiều học sinh đạt cấp độ cao (4–5).
Nhóm 10C2 (không được dạy): tập trung nhiều ở cấp độ thấp, không có học sinh
đạt cấp độ 5.
c) Đánh giá định tính
Các kết quả định tính thu được thể hiện sự khác biệt rõ rệt giữa hai phương pháp
dạy học được áp dụng.
Đối với nhóm lớp 10C1 (lớp thực nghiệm):
Học sinh thể hiện mức độ hứng thú cao hơn với các bài toán thực tiễn. Ngay từ
bước khởi động, nhiều em đã chủ động đặt câu hỏi, đưa ra phán đoán ban đầu và trao đổi
tích cực với giáo viên cũng như bạn học.
65

79. Tương tác nhóm diễn ra sôi nổi, học sinh tích cực thảo luận, chia sẻ quan điểm,
giải thích và tranh luận về các hướng tiếp cận bài toán. Các buổi học thường ghi nhận
không khí học tập năng động, có sự tương tác hai chiều giữa giáo viên và học sinh.
Năng lực phản biện và diễn giải toán học được thể hiện rõ: nhiều học sinh có khả
năng trình bày ý tưởng mô hình hóa một cách logic, sử dụng được ngôn ngữ toán học kết
hợp với các lập luận từ thực tế để giải bài toán.
Khi gặp các tình huống chưa từng gặp trong sách giáo khoa, học sinh lớp 10C1 tỏ
ra linh hoạt trong tư duy và chủ động vận dụng kiến thức đã học để giải quyết vấn đề,
thay vì chờ đợi hướng dẫn trực tiếp từ giáo viên.
Trong quá trình giải bài toán thực tiễn, học sinh không chỉ dừng lại ở bước giải mà
còn thể hiện được khả năng kiểm tra và đánh giá tính hợp lý của kết quả, điều chỉnh mô
hình nếu cần thiết – đặc điểm tiêu biểu của năng lực mô hình hóa ở cấp độ cao.
66

80. 67

81. Đây là bài kiểm tra của 1 bạn học sinh lớp 10C1
đã thực hiện đầy đủ các bước trong quy trình mô hình
hóa toán học:
- Ở cả hai câu hỏi, bạn đều hiểu rõ tình huống thực tế,
xác định đúng các đại lượng cần tìm (xem Hình 3. …).
- Thiết lập đúng hệ phương trình và hệ bất phương
trình từ các dữ kiện đề bài, sử dụng thành thạo kiến
thức đã học để giải.
- Quá trình giải được trình bày logic, chính xác, có thử
lại nghiệm và kiểm chứng kết quả.
- Đặc biệt, bạn biết diễn giải kết quả về mặt thực tiễn
(giá tiền từng món, chiến lược trồng trọt hiệu quả), cho
thấy khả năng đánh giá mô hình và kết nối toán học
với thực tiễn.
=> Đánh giá: Bài làm đạt cấp độ 5 – mức cao nhất
trong thang đánh giá năng lực mô hình hóa toán học.
Đối với nhóm lớp 10C2 (lớp đối chứng):
Học sinh tiếp cận bài học theo lối mòn quen thuộc, chủ yếu nghe giảng, ghi chép
và làm theo các bài tập mẫu do giáo viên hướng dẫn.
Trong các giờ học có lồng ghép bài toán thực tiễn, học sinh gặp nhiều khó khăn
trong việc hiểu và chuyển hóa tình huống thành ngôn ngữ toán học. Các em thường yêu
cầu gợi ý cụ thể hoặc hướng dẫn trực tiếp từ giáo viên.
Tương tác trong lớp chủ yếu là một chiều: giáo viên đặt câu hỏi, học sinh trả lời
ngắn gọn, ít có tranh luận hoặc phát triển ý tưởng sâu hơn.
Khi được yêu cầu giải thích hoặc trình bày quá trình xây dựng mô hình, nhiều học
sinh khó khăn trong việc d
ùng ngôn ngữ toán học và lập luận thực tiễn, cho thấy năng lực
diễn giải và phản biện còn yếu.
Học sinh ít có xu hướng kiểm tra lại kết quả hoặc đánh giá sự ph
ù hợp của lời giải
với thực tế. Họ thường dừng lại sau khi tìm được kết quả số học, chưa phát triển được tư
duy mô hình hóa toàn diện.
68

82. Đây là bài làm kiểm tra của bạn học sinh 10C2, qua đó ta có thể thấy:
- Bạn hiểu được nội dung tình huống thực tế, có thể kể lại đúng các dữ kiện bằng lời.
- Tuy nhiên, bạn chưa biết chuyển hóa dữ kiện đó thành biểu thức toán học (chưa viết
được phương trình, bất phương trình).
- Không có quá trình thiết lập mô hình hoặc lời giải cụ thể.
- Bài làm hoàn toàn dừng lại ở việc trình bày lại đề bài và thông tin, không tiến hành giải
toán.
=> Đánh giá: Bài làm đạt cấp độ 1 – học sinh hiểu đề nhưng chưa kết nối được với nội
dung toán học để xây dựng mô hình.
3.3. Kết luận chương 3
Từ các kết quả thực nghiệm định lượng và định tính đã thu được, có thể rút ra
những kết luận sau:
1.Hiệu quả rõ rệt của mô hình dạy học theo hướng mô hình hóa toán học:
Kết quả kiểm tra cho thấy, học sinh lớp 10C1 (nhóm thực nghiệm, được dạy theo
mô hình hóa 5 bước) có điểm trung bình là 8.2, cao hơn đáng kể so với lớp 10C2 (đối
chứng – không được dạy mô hình hóa) là 6.4. Ngoài ra, 60% học sinh lớp 10C1 đạt cấp
độ 4–5 trong thang đo năng lực mô hình hóa, trong khi lớp 10C2 chỉ có 20%. Điều này
69

83. khẳng định dạy học theo mô hình hóa giúp học sinh hiểu sâu hơn, tăng khả năng tư duy
và vận dụng kiến thức một cách hiệu quả.
2.Năng lực mô hình hóa toán học được phát triển toàn diện:
Phân tích theo 6 cấp độ năng lực mô hình hóa cho thấy học sinh lớp 10C1 trải đều
từ cấp độ 2 đến 5, trong đó có học sinh đạt cấp độ 5 – thể hiện được khả năng kiểm
nghiệm và điều chỉnh kết quả trong bối cảnh thực tế. Trong khi đó, lớp 10C2 có học sinh
ở cả cấp độ 0 và 1 – tức là không hiểu hoặc không biết kết nối tình huống với yếu tố toán
học. Việc dạy học theo mô hình hóa đã giúp học sinh lớp 10C1 phát huy tốt hơn khả năng
tiếp cận bài toán thực tế tốt hơn.
3.Thay đổi trong thái độ học tập và tư duy toán học của học sinh:
Qua quá trình dạy học và quan sát trực tiếp, học sinh lớp nhóm 10C1 thể hiện sự
chủ động hơn trong tiếp cận bài toán, tích cực tham gia thảo luận, tự đặt vấn đề và đề
xuất hướng giải. Các em không còn bị bó buộc bởi khuôn mẫu giải sẵn, mà biết linh hoạt
điều chỉnh hướng làm bài theo từng tình huống cụ thể. Tư duy toán học của học sinh
không chỉ cải thiện về nội dung mà còn phát triển theo chiều sâu – logic, phản biện và
sáng tạo.
4.Khả năng ứng dụng toán học vào thực tiễn được nâng cao:
Bài kiểm tra được thiết kế dưới dạng tình huống thực tế (liên quan đến chi tiêu, sản
xuất, phân bổ nguồn lực…), và kết quả cho thấy học sinh lớp 10C1 đã vận dụng được
kiến thức toán học vào giải quyết bài toán đời sống. Học sinh biết lập mô hình, phân tích
tình huống, giải quyết và đánh giá kết quả trong bối cảnh thực tế. Đây là minh chứng rõ
ràng cho thấy việc đưa mô hình hóa vào giảng dạy giúp học sinh kết nối toán học với
cuộc sống – một năng lực trọng tâm trong chương trình giáo dục phổ thông mới.
5.Khẳng định tính khả thi và cần thiết của việc đổi mới phương pháp dạy học:
Từ thực nghiệm nhỏ với quy mô 2 nhóm học sinh có lực học tương đương, có thể
thấy việc áp dụng mô hình hóa 5 bước vào dạy học không những khả thi trong điều kiện
lớp học hiện nay mà còn mang lại hiệu quả . Mô hình này giúp học sinh phát triển tư duy
toàn diện, hứng thú với toán học, nâng cao năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn. Do đó,
việc mở rộng áp dụng mô hình dạy học này là cần thiết, góp phần đổi mới phương pháp
dạy học toán theo định hướng phát triển năng lực.
70

84. Tóm lại, kết quả thực nghiệm đã chứng minh rằng dạy học theo định hướng mô
hình hóa toán học không chỉ cải thiện kết quả học tập mà còn phát triển toàn diện các
phẩm chất và năng lực toán học cho học sinh. Đây là một hướng đi đúng đắn trong bối
cảnh đổi mới giáo dục hiện nay.
71

85. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Từ những kết quả nghiên cứu và thực nghiệm, có thể rút ra các kết luận sau:
Năng lực mô hình hóa toán học là một năng lực cốt lõi và cần thiết trong dạy học Toán
hiện đại. Trong bối cảnh chương trình giáo dục phổ thông mới nhấn mạnh vào việc phát
triển năng lực cho học sinh, năng lực mô hình hóa không chỉ giúp học sinh hiểu sâu bản
chất của kiến thức toán học mà còn trang bị cho các em khả năng vận dụng toán học vào
giải quyết các vấn đề thực tiễn. Đây là một năng lực tổng hợp, đòi hỏi học sinh phải quan
sát, phân tích tình huống, xác định yếu tố toán học, chuyển hóa thành ngôn ngữ toán học,
giải và đánh giá kết quả trong bối cảnh thực tế. Vì vậy, phát triển năng lực này là một
định hướng quan trọng trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán.
a.Việc xây dựng và triển khai dạy học theo định hướng mô hình hóa là hoàn toàn
khả thi ở cấp THPT.
Qua thực nghiệm tại trường THPT Hiệp Thành, việc thiết kế hoạt động học tập
theo quy trình mô hình hóa 5 bước (tình huống khởi động – phát hiện yếu tố toán học –
xây dựng mô hình – giải mô hình – diễn giải và đánh giá kết quả) đã được triển khai
trong chủ đề “Hệ phương trình và hệ bất phương trình” lớp 10. Các hoạt động dạy học đã
được tổ chức với sự linh hoạt, sáng tạo, khai thác tình huống thực tiễn ph
ù hợp với khả
năng nhận thức của học sinh.
b.Học sinh lớp thực nghiệm cho thấy sự tiến bộ rõ rệt cả về kiến thức và năng lực
mô hình hóa.
So với lớp học theo phương pháp truyền thống, học sinh lớp thực nghiệm có điểm
kiểm tra trung bình cao hơn, tỷ lệ đạt cấp độ cao (cấp độ 4–5) cao hơn và tỷ lệ học sinh ở
cấp độ thấp (0–2) thấp hơn. Không chỉ dừng lại ở kết quả, quá trình quan sát và thu thập
phản hồi còn cho thấy học sinh lớp thực nghiệm có thái độ học tập tích cực hơn, kỹ năng
làm việc nhóm tốt hơn và tư duy phản biện phát triển hơn. Các em có khả năng nhìn nhận
vấn đề từ góc độ thực tiễn, sử dụng được toán học như một công cụ để giải quyết vấn đề,
đồng thời có khả năng đánh giá, phản biện và điều chỉnh lời giải – những yếu tố đặc
trưng của tư duy mô hình hóa.
72

86. c.Thang đo đánh giá 6 cấp độ mô hình hóa toán học là công cụ hữu ích trong đánh
giá năng lực học sinh.
Việc sử dụng thang đo từ cấp độ 0 đến cấp độ 5 giúp giáo viên có thể quan
sát được tiến trình phát triển năng lực mô hình hóa của học sinh một cách cụ thể và chi
tiết. Công cụ này không chỉ giúp nhận diện mức độ đạt được của học sinh mà còn định
hướng cho việc điều chỉnh phương pháp, nội dung và hình thức tổ chức dạy học ph
ù hợp
hơn trong thực tiễn. Đây là một minh chứng cho quan điểm: đánh giá không chỉ là để
kiểm tra kết quả, mà còn là công cụ hỗ trợ dạy học.
2. Kiến nghị
Từ kết quả nghiên cứu và thực nghiệm đã thực hiện, tôi xin đề xuất một số kiến
nghị nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán theo định hướng phát triển năng lực
mô hình hóa toán học:
2.1. Đối với giáo viên
1.Cần được bồi dưỡng thực tế về cách dạy học theo hướng mô hình hóa toán học
Để dạy học hiệu quả theo định hướng mô hình hóa, giáo viên không chỉ cần hiểu lý
thuyết về mô hình hóa mà còn cần được tiếp cận với các ví dụ cụ thể, cách tổ chức tiết
dạy thực tế, và kinh nghiệm xử lý tình huống trong lớp học. Vì vậy, các buổi tập huấn sư
phạm ngắn hạn, hội thảo chuyên đề, hoặc sinh hoạt tổ chuyên môn sẽ giúp giáo viên ứng
dụng mô hình hóa dễ dàng hơn vào từng bài giảng cụ thể.
2.Chủ động tích hợp tình huống thực tiễn vào các bài dạy quen thuộc
Giáo viên không nhất thiết phải thay đổi toàn bộ giáo án, mà có thể bắt đầu bằng
cách lồng ghép các tình huống thực tế đơn giản (mua bán, tính toán chi phí, lập kế hoạch,
năng suất lao động...) vào các bài học quen thuộc như hệ phương trình, bất phương trình,
hàm số,... Điều quan trọng là giúp học sinh thấy được yếu tố toán học ẩn trong thực tiễn,
từ đó dẫn dắt các em bước vào tư duy mô hình hóa một cách tự nhiên.
3.Tăng cường tổ chức hoạt động nhóm và đặt câu hỏi mở
Trong giờ học, giáo viên nên khuyến khích học sinh thảo luận, nêu giả thuyết,
kiểm tra và bảo vệ lời giải. Việc sử dụng câu hỏi mở, phiếu học tập có tình huống thực tế
hoặc yêu cầu học sinh đưa ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp các em phát triển tư duy
73

87. mô hình hóa tốt hơn. Giáo viên đóng vai trò là người dẫn dắt, định hướng và khích lệ
thay vì chỉ giảng giải.
4.Sử dụng linh hoạt công cụ hỗ trợ đơn giản, dễ tiếp cận
Trong điều kiện dạy học thực tế, giáo viên nên ưu tiên các công cụ dễ triển khai
như bảng phụ, phiếu học tập, hình ảnh tình huống, thay vì phụ thuộc hoàn toàn vào công
nghệ cao. Nếu có điều kiện, có thể tận dụng thêm GeoGebra, máy chiếu, để học sinh trực
quan hóa tốt hơn quá trình mô hình hóa. Quan trọng hơn cả là cách tổ chức hoạt động và
hướng dẫn học sinh phân tích, đánh giá mô hình, chứ không chỉ dừng ở việc trình chiếu.
2.2. Đối với học sinh
1. Tích cực tiếp cận bài toán thực tiễn bằng tư duy toán học
Học sinh cần rèn luyện thói quen đặt câu hỏi khi gặp tình huống thực tế: “Vấn đề
này có thể d
ùng toán để giải không?”, “Có đại lượng nào cần tìm?”, “Có mối quan hệ nào
giữa các yếu tố?”... Từ đó, các em sẽ tự hình thành tư duy mô hình hóa – một kỹ năng
quan trọng để giải quyết các vấn đề trong học tập cũng như trong cuộc sống.
2. Chủ động rèn luyện các bước mô hình hóa toán học qua từng bài tập
Khi làm bài tập toán có yếu tố thực tiễn, học sinh nên rèn luyện đầy đủ 5 bước mô
hình hóa:
Xác định tình huống bài toán
Phân tích và phát hiện yếu tố toán học
Thiết lập mô hình toán học (hệ phương trình, bất phương trình…)
Giải mô hình toán học
Diễn giải và đánh giá kết quả
Việc luyện tập đều đặn theo quy trình sẽ giúp học sinh nâng cao năng lực phân
tích, suy luận và tư duy logic.
3. Tích cực tham gia thảo luận, chia sẻ và phản biện lời giải
Học sinh nên chủ động trình bày cách giải của mình, lắng nghe cách làm của bạn,
và biết đặt câu hỏi hoặc phản biện khi thấy có điều chưa hợp lý. Việc trao đổi nhóm và so
74

88. sánh mô hình giúp học sinh hiểu sâu hơn bản chất bài toán và cải thiện năng lực diễn giải,
kiểm nghiệm – đặc trưng của cấp độ cao trong mô hình hóa toán học.
4. Tăng cường kết nối toán học với đời sống xung quanh
Học sinh nên quan sát và tìm hiểu các tình huống trong đời sống có thể áp dụng
toán học như: chi tiêu cá nhân, đo đạc, năng suất lao động,... Những hoạt động này sẽ
giúp học sinh thấy được toán học là công cụ quan trọng để phân tích và ra quyết định
thực tiễn, từ đó tăng động lực học tập và ý thức tự học.
2.3. Đối với nhà trường
1.Tạo điều kiện chuyên môn cho giáo viên đổi mới phương pháp dạy học
Nhà trường nên khuyến khích giáo viên tích cực đổi mới phương pháp giảng dạy
theo hướng phát triển năng lực, trong đó có năng lực mô hình hóa toán học. Việc xây
dựng kế hoạch sinh hoạt chuyên môn, tổ chức các buổi chia sẻ kinh nghiệm dạy học theo
mô hình hóa, hoặc thực nghiệm sư phạm nội bộ sẽ tạo môi trường học hỏi hiệu quả và lan
tỏa chuyên môn trong tổ Toán.
2.Khuyến khích lồng ghép dạy học gắn với thực tiễn trong các môn học
Ban giám hiệu nên định hướng và khuyến khích giáo viên thiết kế bài giảng có tính
ứng dụng thực tiễn cao, giúp học sinh thấy được vai trò của toán học trong cuộc sống. Có
thể triển khai các chuyên đề theo chủ đề thực tế, các hoạt động trải nghiệm để giúp học
sinh rèn luyện năng lực mô hình hóa một cách trực tiếp và sinh động.
75

89. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Nguyễn Thị Tân An (2012), “Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học Toán”, Tạp chí
Khoa học, Trường Đại học Sư phạm TP. HCM, Số 37, tr. 114-122.
Nguyễn Thị Tân An (2014), “Sử dụng toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết
định lượng của học sinh lớp 10”, Trường Đại Học Sư phạm TP HCM.
Nguyễn Thị Tân An,”Hỗ trợ quá trình xây dựng mô hình thực và mô hình toán học của
học sinh”, Tạp chí Khoa học Đại học Huế: Khoa học Xã hội và Nhân văn, Tập 130, Số
6A, 2021, Tr. 101–115.
Aristides C. Barreto, (2010), “Reference Center for Mathematical Modeling in
Teaching”, Brazilian Precursors.
Lê Thị Hoài Châu, (2014), “Mô hình hóa trong dạy học đạo hàm, Tạp chí Khoa học”,
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
Trần Dũng (2004), “Sử dụng mô hình hóa toán học trong chương trình toán phổ thông
để nâng cao khả năng giải quyết vấn đề cho người học”, Tạp chí Giáo dục, Số 04, tr.
139-148.
Blum, W. & Leib D, (2006), “How do students and teachers deal with mathematical
modeling problems? The example “Sugarloaf””, In Haines, C. Galbraith P., Blum, W.
and Khan, S., Mathematical modeling (ICTMA 12): Education engineering and
economics Chichester: Horwood Publishiong, p.222 -231.
Cao Thị Hà & Vũ Thị Duyên (2024), “Vận dụng đặc thù tiến trình dạy học mô hình hóa
toán học ở trường phổ thông”, Tạp chí Giáo dục,Tập 24, số 11, tr. 20-25.
Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu & Hồ Ngọc Đại (2005), “Giáo dục học hiện đại”, Nhà
xuất bản Giáo dục Việt Nam.
Stillman, Browwn & Galbraith, (2008), “Research into teaching and learning of
application and modling in Australia.”
Nguyễn Thị Hằng (2017), “Rèn luyện kĩ năng giải toán trong dạy học giải bài tập
phương trình đường thẳng cho học sinh lớp 10”, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Giáo
dục - Đại học Quốc gia Hà Nội.
76

90. Nguyễn Bá Kim (2016), “Phương pháp dạy học môn Toán”, Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam.
Nguyễn Thị Đông Thảo & Nguyễn Phú Lộc (2023),” Thiết kế tình huống dạy học hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học
cho học sinh”, Tạp chí Thiết bị Giáo dục.
Nguyễn Danh Nam (2013), “Phương pháp mô hình hóa trong dạy học toán ở trường
phổ thông”, Kỷ yếu Hội thảo khoa học cán bộ trẻ các trường sư phạm toàn quốc, Nhà
xuất bản Đà Nẵng.
Lê Hồng Quang (2019), “Thực trạng năng lực mô hình hóa toán học của học sinh Trung
học phổ thông”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Tập 64, số 4, tr.
137-153.
Lê Hồng Quang (2020), “Nhận diện và cấu trúc khung năng lực mô hình hóa toán học
của học sinh Trung học phổ thông”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội,
Tập 64, số 7, tr. 120-129.
Swetz, F. J., & Hartzler, J. S. (1991).” Mathematical modeling in the secondary school
curriculum:A resource guide of classroom exercises”. Reston, Virginia: National Council
of Teachers of Mathematics.
Nguyễn Ái Quốc & Nguyễn Huỳnh Phương Thy (2024), “Dạy học giải bài toán thực
tiễn nội dung ‘Hệ bất phương trình bậc hai ẩn (Toán 10) nhằm phát triển năng lực mô
hình hóa toán học cho học sinh”, Tạp chí Giáo dục, Tập 24, số đặc biệt tháng 1/2024, tr.
43-48.
Lê Hồng Thái (2024), “Xây dựng tình huống dạy học hình học không gian (Toán 11)
nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh”, Tạp chí Giáo dục, Tập 24,
số đặc biệt tháng 10/2024, tr. 55-59.
Đỗ Đức Thái (2018), “Dạy học phát triển năng lực toán Trung học cơ sở”, Nhà xuất bản
Đại học Sư phạm Hà Nội.
Nguyễn Thị Thu Thảo (2020), “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh
thông qua dạy học một số chương trình lớp 12”, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Giáo
dục - Đại học Quốc gia Hà Nội.
77

91. Lê Văn Tiến (2012), “Phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông”, Nhà xuất bản
Đại học Sư phạm TP. HCM.
Trịnh Thu Vân (2023), “Phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn thông qua
dạy học chủ đề Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”, Luận văn
Thạc sĩ, Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội.
78

92. PHỤ LỤC
KẾ HOẠCH BÀI DẠY CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH
Lớp thực nghiệm: 10C1-Trường THPT Hiệp Thành
Chủ đề: Hệ phương trình và hệ bất phương trình
Tiết học: 1 tiết (45 phút)
Hình thức tổ chức: Dạy học theo nhóm – dạy học định hướng mô hình hóa toán học
I. Mục tiêu bài học
a) Kiến thức:
Củng cố và vận dụng kiến thức về hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, hệ bất phương
trình.
Vận dụng toán học để giải quyết các tình huống thực tiễn có liên quan đến hệ
phương trình và hệ bất phương trình.
b) Năng lực:
Năng lực mô hình hóa toán học: nhận biết yếu tố toán học từ tình huống, xây dựng
và giải mô hình, đánh giá kết quả.
Năng lực giải quyết vấn đề, hợp tác nhóm và giao tiếp toán học.
c) Phẩm chất:
Trung thực, chủ động, tích cực học tập.
Gắn kết toán học với thực tiễn cuộc sống.
c) Chuẩn bị
Giáo viên: đề bài tình huống, bảng phụ, máy chiếu.
Học sinh: Dụng cụ học tập, máy tính cầm tay, tinh thần hợp tác nhóm.
II. Tình huống học tập
Tình huống 1 – Bài toán hệ phương trình.
Một học sinh vào nhà sách để mua đồ d
ùng học tập. Trong 3 lần mua:
Lần 1: bạn mua 1 quyển sách giáo khoa, 2 quyển vở và 1 cây bút bi hết 46.000
đồng.
79

93. Lần 2: bạn mua 2 quyển sách giáo khoa và 1 cây bút bi hết 51.000 đồng.
Lần 3: bạn mua 1 quyển sách giáo khoa, 1 quyển vở và 2 cây bút bi hết 49.000
đồng.
Biết giá mỗi món là như nhau ở cả 3 lần mua. Hỏi giá tiền của 1 quyển sách giáo
khoa, 1 quyển vở và 1 cây bút bi là bao nhiêu?
Bước mô
hình hóa
Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của học sinh
1. Tình
huống khởi động
Giới thiệu 3 lần mua
hàng, đặt câu hỏi: “Các em
cần tìm điều gì?”
Đọc tình huống, xác định
nhiệm vụ là tìm giá sách, vở, bút bi
2. Phát hiện
yếu tố toán học
Hướng dẫn xác định ẩn
x, y, z tương ứng với giá từng
món
Thảo luận đặt x, y, z, ghi lại
dữ kiện mỗi lần mua
3. Xây dựng
mô hình toán học
Gợi ý viết hệ phương
trình từ các lần mua
Viết hệ phương trình:
4. Giải mô
hình toán học
Hướng dẫn học sinh
giải hệ phương trình bằng
phương pháp Gauss.
Hỗ trợ học sinh khi
cần.
Giải hệ bằng phương pháp
Gauss, kiểm tra lại nghiệm.
5. Diễn giải
và đánh giá kết
quả
Đặt câu hỏi: “Nghiệm
có hợp lý không? Giải
thích?”
Kết luận: Giá từng món là
bao nhiêu, diễn giải theo thực tế
Tình huống 2 – Bài toán hệ bất phương trình
Trường THPT tổ chức một buổi nhạc hội gây quỹ. Có hai loại vé được bán: vé học
sinh và vé người lớn.
Vé học sinh giá 30.000 đồng, người lớn giá 50.000 đồng.
80

94. Nhà trường chỉ in tổng cộng 200 vé.
Sức chứa của hội trường tối đa 8 triệu đồng tiền vé.
Hỏi nên phát hành bao nhiêu vé học sinh và bao nhiêu vé người lớn để thu được số
tiền cao nhất mà vẫn đảm bảo hai điều kiện trên?
Bước mô
hình hóa
Hoạt động
của giáo viên
Hoạt động của học sinh
1. Tình
huống khởi động
Đưa ra bài
toán giới hạn số vé và
thu tiền
Xác định nhiệm vụ: tối ưu tiền thu từ
vé học sinh/người lớn
2. Phát hiện
yếu tố toán học
Hướng dẫn đặt
x: vé HS
y: vé người
lớn
và nêu điều
kiện
Xác định được mối quan hệ giữa các
biến:
1. Tổng số vé không vượt quá 200:
2. Tổng doanh thu không vượt quá
8.000.000 đồng:
(Có thể đơn giản hóa bằng cách chia
cả hai vế cho 10.000): →
3. Xây
dựng mô hình
toán học
Gợi ý thiết lập
hệ BPT và hàm
F = 30x + 50y
Lập được hệ bất phương trình

Và hàm mục tiêu là : F = 30x + 50y
Vẽ miền nghiệm, xác định các đỉnh
4. Giải mô
hình toán học
Hướng dẫn
tính giá trị F tại các
đỉnh
Tính F từng điểm, chọn F lớn nhất
81

95. 5. Diễn giải
và đánh giá kết
quả
Đặt câu hỏi:
“Kết quả có hợp lý
không?”
Trình bày số vé tối ưu; giải thích tại
sao đây là phương án tốt nhất
III. Đánh giá kết quả
Định lượng: Dựa vào bài kiểm tra theo 6 cấp độ mô hình hóa (0–5).
Định tính: Dựa vào thái độ học, mức độ hợp tác, trình bày và lập luận mô hình.
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN
(Ký và ghi rõ họ tên) (Ký và ghi rõ họ tên)
82