LÍMITE_FUNCIÓNes introducción a los límites. Ejemplos

Ejemplos de como resolver límites básicos

1. El concepto de límite es la base fundamental
con la que se construye el cálculo infinitesimal.
El límite de una función es el valor al que tiende
una función cuando la variable independiente
tiende a un número determinado.
L)x(flim
ax


14/10/2025 1

2. ¿Qué le sucede a la función




x
xx
)x(f
a medida que la variable x se acerca al valor 1?
x
f(x)

x x
. ...
. ... 


)x(flim
x
MÉTODO DE APROXIMACIÓN
14/10/2025 2

3. x
f(x)
?
xx
x
lim
x











)x(flim
x
14/10/2025 3

4. x
f(x)
?
x
x
lim
x






)x(flim
x

14/10/2025 4

5. 1
2
lim
2
1 

x
xx
x

1
12
lim
1 


 x
xx
x
2lim
1


x
x
321 
14/10/2025 5

6. 102
8
lim
2
3
2 

 xx
x
x
 
 252
422
lim
2
2 


 xx
xxx
x
52
42
lim
2
2 


 x
xx
x 3
4
9
12



14/10/2025 6

7. 39
2
lim
0


x
x
x
39
39
39
2
lim
0




x
x
x
x
x
 
 



 2
2
0
39
392
lim
x
xx
x
 
x
xx
x
392
lim
0


1262 392lim
0


x
x
14/10/2025 7

8. x
f(x)
?
xxx
xxx
lim
x











.)x(flim
x

14/10/2025 8

9. Para calcular el límite de una
función , se puede emplear:
 Aproximación
 Factorización
 Racionalización
 Evaluación
 Gráfico
 L´Hospital
14/10/2025 10

10. LÍMITES LATERALES
La función f tiene el límite derecho L
cuando x tiende a a por la derecha, lo que
se escribe
L)x(flim
ax



De forma similar, la función f tiene el límite
izquierdo M cuando x se aproxima a a por
la izquierda , lo que se escribe
M)x(flim
ax


14/10/2025 11

11. LÍMITES
LATERALES
14/10/2025 12

12. L)x(flim
ax



L)x(flim
ax



14/10/2025 13

13. TEOREMA: Sea f una función definida
para todos los valores de x cercanos a
x = a , entonces:
L)x(flim
ax


L)x(flim)x(flim
axax



si y solo si
14/10/2025 14

14. Considere la función
definida por 





0x , 1x
0x , x
)x(f



)x(flim
x



)x(flim
x
-1
1
existe no xf
x
)(lim
0
14/10/2025 15

15. 





1x , x-
1x , x
)x(f
2
?)x(flim
x





)x(lim
x




)x(lim
x
existe no)x(flim
x


-2
2
14/10/2025 16

16. 








-1x , x-2
-1x , x
)x(f
3
?)x(flim
x


3
2xy
2
4xy
14/10/2025 17

17. 













2x ,
2x ,
)(
2
4
22
23
2
2
x
x
x
xx
xf
?)x(flim
x


14/10/2025 18

18.  














3,
65
123
3,
5418
27
)(
2
3
x
xx
x
x
x
x
xf
?)(lim
3


xf
x
14/10/2025 19

19. 14/10/2025 20
 














1
1
8726
1
78
810
3
2
23
x
x
xx
x
xx
xxx
xf
,
,
)(
?)(lim 

xf
x1

20. LÍMITES AL
INFINITO
14/10/2025 21

21. Considere la función





x
x
)x(f
x
f(x)
5000 7500020000 2500001000000


)x(flim
x
14/10/2025 22

22. 465
73
lim
23
2


 xx
xx
x
X -500000 -6000000-40000000
f(x)
14/10/2025 23

23. 

 

xxx
xxx
lim
x
14/10/2025 24

24. 


x
x
lim
x
R. 1.5
14/10/2025 25

25.  
3
2
63
92
871
lim



xx
xxx
x
14/10/2025 26

26. xx
xx
lim
x 




R. -1
14/10/2025 27

27. FUNCIÓN
RACIONAL
14/10/2025 28

28. Una función racional es de la forma
)x(q
)x(p
)x(f
donde p(x) y q(x) son polinomios 
q(x)≠0
El dominio de una función racional es toda
la recta real, excepto los valores de x que
anulan al denominador. Ej.:


x
x
)x(f




x
x
)x(g
14/10/2025 29

29. Una función racional es de la forma
)x(q
)x(p
)x(f
donde p(x) y q(x) son polinomios 
q(x)≠0


x
x
)x(f




x
x
)x(g
14/10/2025 30

30. ASÍNTOTAS
VERTICALES,
HORIZONTALES
Y OBLICUAS
14/10/2025 31

31. ASÍNTOTA VERTICAL
Se dice que la recta x = a es una asíntota
vertical de la gráfica de f(x) , si al menos
una de las siguientes proposiciones es
cierta:



)x(flim
ax



)x(flim
ax


)x(flim
ax
La gráfica de una función racional no
corta a sus asíntotas verticales.
14/10/2025 32

32. ASÍNTOTA HORIZONTAL
Se dice que la recta y = b es una asíntota
horizontal de la gráfica de f(x) , si al
menos una de las siguientes proposiciones
es cierta:
b)x(flim
x


b)x(flim
x


La gráfica de una función puede cortar
a su asíntota horizontal.
14/10/2025 33

33. ASÍNTOTA OBLICUA
Si una función racional tiene asíntota
oblicua no puede tener asíntota horizontal.
Si f es una función racional de la forma
)x(q
)x(p
)x(f
donde p(x) y q(x) son polinomios y el grado de
p(x) es 1 más que el grado de q(x) ,entonces:
)x(q
)x(r
bmx)x(f 
La recta y = mx + b es una asíntota
oblicua para la gráfica de f.
14/10/2025 34

34. Graficar la función:



x
x
)x(f
14/10/2025 35

35. 14/10/2025 36

36. Graficar la función:
xx
x
)x(f





14/10/2025 37

37. 14/10/2025 38

38. Graficar la función:





xx
x
)x(f
14/10/2025 39

39. 14/10/2025 40

40. Graficar la función:




xx
x
)x(f
14/10/2025 41

41. 14/10/2025 42

42. ASINTOTAS
OBLICUAS
14/10/2025 43

43. Graficar la función:
x
xx
)x(f



14/10/2025 44

44. 14/10/2025 45

45. Graficar la función:




x
x
)x(f
14/10/2025 46

46. 14/10/2025 47

47. Graficar la función:




x
xx
)x(f
14/10/2025 48

48. 14/10/2025 49

49. CONTINUIDAD DE
UNA FUNCIÓN
14/10/2025 50

50. Se dice que la función f es CONTINUA en
el número a si y solo si satisface las tres
condiciones siguientes:
 f(a) existe
existe )x(flim
ax

 f(a) )x(flim
ax


Si una de las tres condiciones no se
cumplen para a , se dice que la función
f es DISCONTINUA en a.
14/10/2025 51

51. 






x, x
x, x
)x(f
¿Es continua f(x) en x = 2?
14/10/2025 52

52. 






x, x
x, x
)x(f
¿Es continua f(x) en x = 1?
14/10/2025 53

53. 










x ,
x,
x
xx
)x(f
¿Es continua f(x) en x = 3?
14/10/2025 54

54. 






x, x
x, x
)x(f
¿Es continua f(x) en x = -1?
14/10/2025 55

55. 







x, 3e
x,
x
x
)x(f
x
¿Es continua f(x) en x = 0?
14/10/2025 56

56. ¿En qué valor la constante A es
continua la función f(x) para todo
número real?







x,xx
x, Ax
)x(f
14/10/2025 57