Límite por Aproximación

Límites por Aproximación: El limite de una función f(X) es el valor L, al cual se aproxima a la función a medida que la variable X toma valores cada vez mas cercano a “a”.

1. LIMITES Barquisimeto, 2014 Participantes: José Torralba C.I.Nº 25.563.386 Yonathan Silva C.I.Nº 25.526.076 Carlos Rodríguez C.I.Nº 18.526.175 Yeferson Vega C.I.Nº 22.263.829 REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO PEDAGÓGICO “LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA” BARQUISIMETO – ESTADO LARA

2. LIMITE Límite por Aproximación… A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función. El limite de una función f(X) es el valor L, al cual se aproxima a la función a medida que la variable X toma valores cada vez mas cercano a “a”. Escribimos : Lim f(x ) =L X a

3. Por ejemplo, ¿cuál es el valor de cuando X=1 ? Sustituimos valores y resolvemos   Lim X 1 ¡Pero es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con X = 1 vamos a acercarnos poco a poco a los valores cada vez mas cercanos en dos procedimientos por la izquierda y por la derecha. (X 2 -1) (X-1) (1 2 -1) = (1-1) = (1-1) (1-1)

4. Empezaremos por la izquierda 0 0,9 0,99 1 Se procederá a sustituir los valores de X (en este caso serán dos numero cércanos al 1 entre los que tenemos al 0,9 y 0,99 ya que son los valores que se acercan por la izquierda, si lo desean pueden llevar estas cifra a mas de dos números después de la coma) y luego resolvemos Lim (x 2 -1) = (0 2 ,9) -1 = 0,81-1 = - 0,19 = 1,9 X 0,9 (x-1) (0,9)-1 0,9 -1 -0,1 Lim (x 2 -1) = (0 2 ,99) -1 = 0,9801-1 = - 0,0199 = 1,99 X 0,99 (x-1) (0,99)-1 0,99 -1 -0,01 Los resultados obtenidos en estos procedimientos serán el valor de “Y” X Y 0,9 1,9 0,99 1,99

5. Ahora proseguimos por la derecha 1,01 1,1 2 Nuevamente se sustituyen los valores de X (ahora serán 1,1 y1,01 , ya que son los valores que se acercan por la derecha) y luego resolvemos Lim (X 2 -1) = ((1 2 ),1) -1 = 1,21-1 = 0,21 = 2,1 X 1,1 (X-1) (1,1)-1 1,1 -1 0,1 Lim (x 2 -1) = ((1) 2 ,01) -1 = 1,0201-1 = 0,0201 = 2,01 X 1,01 (x-1) (1,01)-1 1,01 -1 0,01 Los resultados obtenidos en estos procedimientos serán el valor de “Y” X Y 1,1 2,1 1,01 2,01

6. Vemos que cuando X se acerca a 1, (X 2 -1) se acerca a 2, decimos que: (X-1) El límite de (X 2 -1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2. (X-1) Y con símbolos se escribe: Lim (X 2 -1) = 2 X 1 (X-1)

7. 2) Ejemplo Calcular : Lim 2X²-6X = 2(3)²-6(3) = 18-18 = (INDERTEMINADO) X 3 X²-2X-3 (3)²-(2)-3 7-6-3 0 Por la izquierda: 2 2,9 2,99 3 Lim 2(2,9)² -6(2,9 ) = 16,88 - 17,9 = -0,58 =1,48717 X 2,9 (2,9)²-2(2,9)-3 38,41-5,8-3 -0,39 Lim 2(2,99)² -6(2,99) = 17,88-17,94 = -0,06 = 1,50375 X 2,99 (2,99)²-2(2,99)-3 8,99-5,98-3 -0,0399 X Y 2,9 1,49 2,99 1,50

8. Ahora procederemos a calcular por la derecha 3 3,01 3,1 4 Lim 2(3,1)² -6(3,1) = 19,22 – 18,6 = - 0,62 = 1,5121 X 3,1 ( 3,1)²-2(3,1)- 3 9,61-6,2-3 - 0,41 Lim 2(3,01)² -6(3,01) = 18.12-54,36 = - 0,0602 = 1,5012 X 3,01 ( 3,01)²-2(3,01)- 3 9,06-6,01-3 - 0,0401 Luego: Lim 2X²-6X = 1,50 X 3 X²-2X-3 X Y 3,1 1,51 3,01 1,50

9. 3) Ejemplo: Calcular: Lim: 2X ² -X-1 = 2(2)²-(2)-1 = 8-2-1 = 1 X 2 X²-x (2)²-(2) 4 - 2 2 En este ejemplo obtuvimos un 1 lo que significa que ya a terminado. 2 NOTA: Cuando el ejercicio nos de un resultado diferente a 0 habrá terminado.

10. Limite por Teorema: Ejemplo: Calcular los siguientes límites: a) Lim X ²+6 X 2 X²-3 Se procederá a hacer el mismo procedimiento que el de aproximación. Sustituimos el valor X por el limite que nos den en este caso es el 2. (2)²+6 = 10 (2)²-3 1 Como en este caso nos da un número determinado proseguiremos con el siguiente ejemplo.

11. b) Lim 2X ²-5x+2 = 2(½)²-5(½) = X ½ 2X²-x-1 2 (½)²-(½)-1 NOTA : Cuando el limite es de la forma se procede a factorizar ( ó a racionalizar ) para luego simplificar y evaluar nuevamente Factorizando: Empezamos por el numerador 2X²-5x+2 Se colocaran los números en el mismo orden con sus respectivos signos.

12. 2 -5 2 ½ 1 -2 2 -4 0 Luego se procederá a colocar el valor de X (en este caso ½), y se multiplicara por el primer número de la fila (en este caso 2 señalándolo con una flecha hacia abajo, dejándolo debajo de la línea) el resultado obtenido en la multiplicación se colocara en forma lineal (dependiendo que signo tenga el numero multiplicado se colocara y se procederá a sumar o restar) y se continuara hasta obtener 0. Ahora procedemos a colocar nuevamente el numerador con la igualdad de los valores obtenidos en la procedimiento A este numerador se le disminuye una X al bajarlo de su posición original a lo que quedara en este caso: 2X²-5x+2 = (2X-4).(X-½)

13. Y se multiplicara por la variable X con el signo contrario y el número utilizado en la multiplicación anterior (½) “NOTA: Cuando el limite sea negativo pasa hacer positivo y así respetivamente” Ahora vamos con el denominador 2X²-X-1 2 1 -1 ½ 1 1 2 2 0 2X²-x-1=(2X+2).(X-½) Ahora para calcular el límite colocaremos el resultado que de el numerador y el denominador así:

14. Después cancelamos los iguales Lim F(x) = 2X ²-5x+2 = (2X-4).(X-½) X ½ 2X²-x-1 (2X+2).(X-½) y sustituiremos nuevamente el valor de X Lim (2X-4) = 2(½ )- 4 = -3 = 1 X ½ (2X-2) 2 (½)+2 3 Y así concluimos con el ejercicios.

15. Muchas Gracias esperamos que les guste nuestro trabajo y que les sirva de ayuda