Límites Indeterminados - Infinito sobre Infinito.pdf

Calcular límites al infinito e indeterminados

1. L´IMITESINDETERMINADOS : INFINITO SOBRE
INFINITO

2. CONTENIDO
1
FUNCIONESRACIONALES
2
FUNCIONESNORACIONALES

3. FU N C I O N E SRAC I O NA L E S
Ten encuenta que...
En general, toda expresi´on de la forma
cnx
n
dondenes un n´umero real positivo, se tiene que
l´ım
x→∞
(cnx
n
) =∞sicn>0
l´ım
x→∞
(cnx
n
) =−∞sicn<0

4. FU N C I O N E SRAC I O NA L E S
Ten encuenta que...
En particular, toda expresi´on polin´omica de la forma
cnx
n
+cn−1x
n−1
+...+c2x
2
+c1x+c0
dondenes un n´umero real positivo, se tiene que
l´ım
x→∞
Γ
cnx
n
+cn−1x
n−1
+...+c2x
2
+c1x+c0
˙
=∞sicn>0
l´ım
x→∞
Γ
cnx
n
+cn−1x
n−1
+...+c2x
2
+c1x+c0
˙
=−∞sicn<0

5. FU N C I O N E SRAC I O NA L E S
Ejemplo
El l´ımite de cada una de las siguiente funciones es
1
l´ım
x→∞
Γ
2x
3
−10x+7
˙
=∞
2
l´ım
x→∞
Γ
−3x
2
+1000x+200
˙
=−∞
3
l´ım
x→∞
ȷ
1
2
x
4
−7x
3
+2x
2
−100
ff
=∞
4
l´ım
x→∞
ˇ
4x
3/2
−5x−1000
ı
=∞

6. FU N C I O N E SRAC I O NA L E S
L´ımitesIndeterminados-Infinito
sobreInfinito
l´ım
n→∞
(f(x))=
∞
∞

7. FU N C I O N E SRAC I O NA L E S
L´ımite al infinito de una Funci´on Racional: infinito sobre infinito
Si
f(x) =
anx
n
+an−1x
n−1
+an−2x
n−2
+···+a1x+a0
bmx
m
+bm−1x
m−1
+bm−2x
m−2
+···+b1x+b0
Entonces,
l´ım
n→∞
(f(x)) =
∞
∞
=⇒Indeterminaci´on

8. FU N C I O N E SRAC I O NA L E S
Estrategiaparacalcularl´ımiteal
infinitodeunafunci´onracionalf(x)

9. FU N C I O N E SRAC I O NA L E S
Sea
l´ım
n→∞
ȷ
anx
n
+an−1x
n−1
+an−2x
n−2
+···+a1x+a0
bmx
m
+bm−1x
m−1
+bm−2x
m−2
+···+b1x+b0
ff
Si,
n>m→l´ım
x→∞
(f(x)) =∞
n=m→l´ım
x→∞
(f(x)) =
an
bm
n<m→l´ım
x→∞
(f(x)) =0

10. FU N C I O N E SRAC I O NA L E S
De acuerdo con la anterior estrategia, si
n>m
l´ım
x→∞
ȷ
6x
3
−7
2x
2
−5x
ff
=∞
n=m
l´ım
x→∞
ȷ
6x
3
−2x
2
2x
3
+2
ff
=
6
2
n<m
l´ım
x→∞
ȷ
6x
2
−2x
2x
3
+2
ff
=0

11. FU N C I O N E SNORAC I O NA L E S
Teorema
Sir>0 es un n´umero racional, entonces
l´ım
x→∞
ȷ
1
x
r
ff
=0
Sir>0 es un n´umero racional tal quex
r
est´a definida para toda
x, entonces
l´ım
x→−∞
ȷ
1
x
r
ff
=0

12. FU N C I O N E SNORAC I O NA L E S
Estrategiaparacalcularl´ımiteal
infinitodeunafunci´onf(x)definida
como
f(x)=
k
p
p(x)
q(x)
´of(x)=
p(x)
k
p
q(x)
siendop(x)yq(x)funciones
polin´omicas

13. FU N C I O N E SNORAC I O NA L E S
Ejemplos 1
l´ım
x→∞
√
4x
2
+10
5x−1
!
2
l´ım
x→∞
ȷ
6x
2
−3x+2
√
4x
4
+6x+2
ff

14. FU N C I O N E SNORAC I O NA L E S
Ejemplo
Para calcular
l´ım
x→∞
√
4x
2
+10
5x−1
!
es necesario utilizar la estrategia de divir el numerador y el deno-
minador por la expresi´onx
n
dondenes el grado del.
En este caso, como nuestra expresi´on polin´omica es x+1, en-
tonces se divide el numerador y denominador porx
1

15. FU N C I O N E SNORAC I O NA L E S
Soluci´on
l´ım
x→∞
√
4x
2
+10
5x−1
!
=l´ım
x→∞




√
4x
2
+10
x
5x−1
x




=l´ım
x→∞




r
4+
10
x
2
5−
1
x




=
l´ım
x→∞
r
4+
10
x
2
!
l´ım
x→∞
ȷ
5−
1
x
ff
=⇒l´ım
x→∞
√
4x
2
+10
5x−1
!
=
v
u
u
u
u
u
u
u
t
l´ım
x→∞






4+
10
x
2
0






l´ım
x→∞






5−
1
x
0






=
√
4
5
=
2
5

16. FU N C I O N E SNORAC I O NA L E S
Ejemplo
Para calcular
l´ım
x→∞
ȷ
6x
2
−3x+2
√
4x
4
+6x+2
ff
es necesario utilizar la estrategia de divir el numerador y el deno-
minador por la expresi´onx
n
donde 2 es el grado del.
En este caso, como nuestra expresi´on polin´omica es x
2
−3x+2,
entonces se divide el numerador y denominador porx
2
.

17. FU N C I O N E SNORAC I O NA L E S
Soluci´on
l´ım
x→∞
ȷ
6x
2
−3x+2
√
4x
4
+6x+2
ff
=l´ım
x→∞




6x
2
−3x+2
x
2
√
4x
4
+6x+2
x
2




=l´ım
x→∞




6−
3
x
+
2
x
2
r
4+
6
x
3
+
2
x
4





18. FU N C I O N E SNORAC I O NA L E S
Soluci´on
l´ım
x→∞
ȷ
6x
2
−3x+2
√
4x
4
+6x+2
ff
=
l´ım
n→∞






6−
3
x
0
+
2
x
2
0






v
u
u
u
u
u
u
u
t
l´ım
n→∞






4+
6
x
3
0
+
2
x
4
0






=
6
√
4
=
6
2
=3

19. FU N C I O N E SNORAC I O NA L E S
Ejercicios
Encuentre el l´ımite de cada una de las siguientes funciones
1
l´ım
x→∞
ȷ
10x−4
√
4x
2
+3x+36
ff
2
l´ım
x→−∞
ȷ
16−10x
3
√
x
6
+2x+9
ff
3
l´ım
x→−∞
√
3x
2
+x+1
2x−7
!