la distribucion de poisson

1. LA DISTRIBUCION DE POISSON Carlos Andrés H errera

2. EJE TEMÁTICO Historia y utilidad Propiedades de un proceso de Poisson Aplicaciones

3. HISTORIA La distribución de Poisson se llama así en honor a su creador, el francés Simeón Dennis Poisson (1781-1840). Esta distribución es utilizada para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros cuyo resultado lo representa una variable discreta.

4. UTILIDAD La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados. Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.

5. Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña. Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado, como por ejemplo: distancia, área, volumen o tiempo definido.

6. EJEMPLOS DE VARIABLES ALEATORIAS La llegada de un cliente al negocio durante una hora. Las llamadas telefónicas que se reciben en un día. El numero de accidente de trafico que ocurren en un cruce durante el día. cada una de las anteriores variables aleatorias se caracterizan por ser un numero de ocurrencia de cierto suceso durante un periodo de tiempo.

7. PROPIEDADES DE UN PROCESO DE POISSON La probabilidad de observar exactamente un éxito en el segmento o tamaño de muestra n, es constante. El evento debe considerarse un suceso raro. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos. Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución de Poisson.

8. LA FUNCIÓN P(x=k) ) A continuación se observa la función de probabilidad de la distribución de Poisson. Donde: P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k. λ ˃ 0 = Lambda es el numero promedio de ocurrencias por unidad de tiempo. La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828 X = es el numero de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo [ 0,t ] K = 0,1,2,3,….; es el número de éxitos por unidad.

9. EJEMPLO 1) Los sabados por la mañana, los clientes entran en una pequeña tienda, de un centro comercial suburbano a una tasa esperada de 0,50 por minuto. Halle la probabilidad de que el numero de clientes que entran en intervalo especifico de 10 minutos es: 3 A lo mas 3

10. APROXIMACION DE LA BINOMIAL A LA DE POISSON Sea X es una variable aleatoria binomial con parámetro n y p. si n es grande ( n≥ 100), y p pequeña (p≤0,01) y n y p puede aproximarse por la distribución de Poisson con parámetro λ = np. Bajo de estas condiciones se cumple que: B(k ; n ; p) P(k ; np) K= 0, 1, 2,… los siguientes ejemplos ilustran algunos de los problemas en los que la distribución de Poisson puede ser aplicada como aproximación a la distribución binomial.

11. la distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. La distribución de Poisson parte de la distribución binomial. Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson. Se tiene que cumplir que: p < 0.10 p * n < 10

12. La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, se aplica el modelo de distribución de Poisson: Al realizar el cálculo se tiene que P(x = 3) = 0.0892 Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%. EJEMPLOS 1

13. 2) La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012 ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos ? solución: En este ejemplo nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por lo que se aplica el modelo de distribución de Poisson: El resultado es P (x = 5) = 0.04602 Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.

14. TABLA DE PROBABILIDAD DE POISSON Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden resolver los ejemplos anteriores. Para esto, se deben conocer los valores X y λ . - X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K. - λ es el número promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n . Del ejemplo 1: λ = 0.02 * 300 = 6 Del ejemplo 2: λ = 0.012 * 800 = 9.6