La Transformada inversa de Laplace Ejercicios resueltos y propuestos
Amabilesnuez1
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Oct 24, 2025
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About This Presentation
Este material muestra 13 ejercicios resueltos de transformada inversa en modo paso a paso y propone para su solución 12 ejercicios sobre el tema mostrado y además muestra sus soluciones.
Size: 5.73 MB
Language: es
Added: Oct 24, 2025
Slides: 33 pages
Slide Content
Ing. Amabiles Núñez, MSc.
13 Ejercicios resueltos y 12
propuestos con sus soluciones
-1
- 1 -
Transformada inversa de Laplace.
Resumen: Ing. Amabiles Núñez, MSc.
La transformada inversa de Laplace de una función F(s), es una función f(t) ,
designada por , tal que cumple:
Al igual que en el caso de la transformada directa, también se cumple la
linealidad:
El método más común para hallar la transformada inversa de una función F(s)
es a través de las tablas. Pero en algunos casos es necesario previamente
trasformar la función F(s) mediante algunos métodos clásicos.
* Transformación del trinomio cuadrado (no reductible).
Sea entonces podemos trasformar algebraicamente a
F(s) de la siguiente manera:
Cuya transformada de Laplace se considera inmediata:
* Descomposición en fracciones parciales.
Es el mismo método usado en las integrales indefinidas. Toda función en la
forma fraccionaria , - siendo P(s) y Q(s) polinomios tales que el
grado de P(s) sea menor que el del Q(s), puede expresarse como una suma
de fracciones parciales.
a) El denominador es un producto de factores lineales distintos y
ninguno se repite.
�(�)
�(�
1�+�
1)(�
2�+�
2)
=
�
�
+
�
(�
1�+�
1)
+
�
(�
2�+�
2)
b) El denominador es un producto de factores lineales y algunos
se repiten.
�(�)
(�
1�+�
1)(�
2�+�
2)
2
=
�
(�
1�+�
1)
+
�
(�
2�+�
2)
2
+
�
(�
2�+�
2)
c) En el denominador existen factores cuadráticos que no se
repiten.
�(�)
(�
1�+�
1)(�
2�
2
+�
2�+�
2)
=
�
(�
1�+�
1)
+
(��+�)
(�
2�
2
+�
2�+�
2)
d) En el denominador existen factores cuadráticos que se
repiten.
�(�)
(�
1�
2
+�
1�+�
1)
3
Los procedimientos para obtener los coeficientes de los
numeradores en cada uno de estos cuatro casos, se muestran a
continuacion.
Transformada inversa.
Procedimientos para obtener los coeficientes en los distintos casos
de la “Descomposición en fracciones parciales” como método para
resolver transformadas inversas de Laplace.
FACTORES LINEALES NO REPETIDOS
Por cada factor del tipo (??????−??????
�) no repetido, en el denominador de F(s), debe
aparecer el siguiente término en el desarrollo en fracciones parciales
Cuya transformada seria:
Y el cálculo del coeficiente Aj se efectúa multiplicando a F(s) por el factor
(??????−??????
�) y evaluando en la raíz ??????=??????
�. Obteniéndose
FACTORES LINEALES REPETIDOS
Por cada factor del tipo (??????−??????)
�
en el denominador de F(s), deben aparecer
los siguientes términos en el desarrollo en fracciones parciales
Cuya transformada seria:
Y el cálculo de los coeficientes Aj se efectúa de la siguiente forma
FACTORES CUADRÁTICOS NO REPETIDOS
Fórmula para la obtención de la Transformada Inversa de Laplace en
los casos de Factor Cuadrático irreductible no repetido.
Caso: Binomio cuadrado ( ??????
??????
+??????
??????
).
Por cada factor del tipo ( ??????
??????
+??????
??????
) no repetido, en el denominador de
F(s), debe aparecer el siguiente termino en el desarrollo en fracciones
parciales:
Cuya transformada seria:
Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el
factor ( ??????
??????
+??????
??????
). Y evaluando en la raíz ??????=??????�. Obteniéndose
Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los
coeficientes.
Caso: Trinomio cuadrado irreductible no repetido: (??????+�)
??????
+�
??????
.
Por cada factor del tipo (??????+�)
??????
+�
??????
en el denominador de F(s), debe
aparecer el siguiente termino en el desarrollo en fracciones parciales:
Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el
factor (??????+�)
??????
+�
??????
y evaluando en la raíz �=−ℎ+��. Obteniéndose
Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los
coeficientes.
FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS
Fórmula para la obtención de la Transformada Inversa de Laplace en
los casos de Factor Cuadrático irreductible repetido.
Caso: Binomio cuadrado (??????
??????
+??????
??????
)
??????
.
Por cada factor del tipo (??????
??????
+??????
??????
)
??????
en el denominador de F(s), deben aparecer
los siguientes términos en el desarrollo en fracciones
Cuya transformada seria:
Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el
factor (??????
??????
+??????
??????
)
??????
y evaluando en la raíz �=??????�. Obteniéndose
Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los
coeficientes.
Y el cálculo de los coeficientes C y D se efectúa derivando con respecto a s la
ecuación que se obtiene de multiplicar a F(s) por el factor (??????
??????
+??????
??????
)
??????
. Y
posteriormente se evalúa en la raíz �=??????�. Obteniéndose
Caso: Trinomio cuadrado irreductible repetido ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
.
Por cada factor del tipo ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
en el denominador de F(s), deben
aparecer los siguientes términos en el desarrollo en fracciones
Cuya transformada seria:
Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el
factor ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
y evaluando en la raíz ??????=−�+��. Obteniéndose
Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los
coeficientes.
Y el cálculo de los coeficientes C y D se efectúa derivando con respecto a s la
ecuación que se obtiene de multiplicar a F(s) por el factor ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
.
Y posteriormente se evalúa en la raíz ??????=−�+��. Obteniéndose
CASO GENERAL(utilizando factores lineales complejos)
Si en el denominador de F(s) existe un factor del tipo ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
Una solución sería transformarlo en un producto de factores lineales complejos
Repetidos. Y resolver en consecuencia.
Es decir, por cada factor del tipo ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
en el denominador de F(s),
deben aparecer los siguientes términos en el desarrollo en fracciones
Y el cálculo de los coeficientes Aj Y Bj se efectúa multiplicando a F(s) por el
factor ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
y evaluando en la raíz ??????=−�+��. En el primer
caso, y evaluando en la raíz ??????=−�−��. En el segundo caso. Como se indica a
continuación.
Y para el resultado final, si se desea expresar el resultado en términos de
funciones trigonométricas, se deben utilizar las siguientes identidades:
�
��
?????? � ��
�
= ?????? −?????? � = −?????? �
(Propiedad de Transf. Laplace.) 0 Derivando con respecto a s y
aplicando la REGLA DE LEIBNIZ:
Ejercicio.3
:
���ℎ 2� =
�
2�
−�
−2�
2
Obtención de los coeficientes.
El cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por
el factor (??????
??????
+??????) y evaluando en la raíz �=2??????.
Multipliquemos ambos lados de la ecuación por: (�
2
+4)
Al evaluar �=2?????? se anula el último término de la derecha y nos queda
Igualando partes reales e imaginarias
Multipliquemos ambos lados de la ecuación por: ((�−1)
2
+1))
Al evaluar �=1+?????? se anula el primer término del lado derecho de la
ecuación, y nos queda
Igualando partes reales e imaginarias
Sustituyendo estos valores.
Ejercicios de Transformada inversa de Laplace utilizando el
Teorema de la Convolución
EJERCICIO 10:
Resuelva:
Solución
Y así
En lo sucesivo, haremos uso de las tablas de Convolución de funciones.
= ∫��� (�)���(�−�) ��
??????
0
= ���(�) ∫���
2
(�)��−���(�) ∫cos(�)���(�) ��
??????
0
Teorema de Convolución
Teorema de la Convolución
�(�)∗�(�) la operacion de convolucion entre las funciones � ?????? �
Y Sea,
Entonces,
�(�)= �(�)
�(�)�(�) =�(�)∗�(�)
-1
�(�)= �(�)
Y de la Tabla_10A (línea 7) de Convolución de funciones se extrae:
= 1−2 [���
2
(�)∗��� (2�)]
Tabla 10C Convolución de Funciones
�
??????
∗????????????�??????����??????���
�(??????)�(??????))
�
??????
∗�??????�ℎ(??????�)
n Impar
n Par
�
??????
∗??????��ℎ(??????�)=
�
??????
[�
??????−1
∗�??????�ℎ(??????�)]
Convolución con la unidad
1∗�??????�(��)
1−���(��)
�
1∗�??????�ℎ(��)
���ℎ(��)−1
�