La Transformada inversa de Laplace Ejercicios resueltos y propuestos

Amabilesnuez1 4 views 33 slides Oct 24, 2025
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About This Presentation

Este material muestra 13 ejercicios resueltos de transformada inversa en modo paso a paso y propone para su solución 12 ejercicios sobre el tema mostrado y además muestra sus soluciones.


Slide Content

Ing. Amabiles Núñez, MSc.
13 Ejercicios resueltos y 12
propuestos con sus soluciones

-1

- 1 -


Transformada inversa de Laplace.
Resumen: Ing. Amabiles Núñez, MSc.

La transformada inversa de Laplace de una función F(s), es una función f(t) ,
designada por , tal que cumple:
Al igual que en el caso de la transformada directa, también se cumple la
linealidad:

El método más común para hallar la transformada inversa de una función F(s)
es a través de las tablas. Pero en algunos casos es necesario previamente
trasformar la función F(s) mediante algunos métodos clásicos.
* Transformación del trinomio cuadrado (no reductible).
Sea entonces podemos trasformar algebraicamente a
F(s) de la siguiente manera:
Cuya transformada de Laplace se considera inmediata:

* Descomposición en fracciones parciales.
Es el mismo método usado en las integrales indefinidas. Toda función en la
forma fraccionaria , - siendo P(s) y Q(s) polinomios tales que el
grado de P(s) sea menor que el del Q(s), puede expresarse como una suma
de fracciones parciales.

Podemos identificar cuatro casos particulares:

-1
�(�) �(�) =�(�)

-1
∝�(�)+ ?????? �(�) = ∝ �(�) + ?????? �(�)
-1


-1

�(�)=
1
�
2
+��+�
�(�)=
1
(�+ℎ)
2
+??????
2
����� ??????=
�
2
� ??????
??????
=�−??????
??????
�(�)=
�(�)
�(�)


-1
�(�) =
1
??????
??????
−ℎ??????
�????????????(??????�)

- 2 -


a) El denominador es un producto de factores lineales distintos y
ninguno se repite.
�(�)
�(�
1�+�
1)(�
2�+�
2)
=
�
�
+
�
(�
1�+�
1)
+
�
(�
2�+�
2)


b) El denominador es un producto de factores lineales y algunos
se repiten.
�(�)
(�
1�+�
1)(�
2�+�
2)
2
=
�
(�
1�+�
1)
+
�
(�
2�+�
2)
2
+
�
(�
2�+�
2)


c) En el denominador existen factores cuadráticos que no se
repiten.
�(�)
(�
1�+�
1)(�
2�
2
+�
2�+�
2)
=
�
(�
1�+�
1)
+
(��+�)
(�
2�
2
+�
2�+�
2)


d) En el denominador existen factores cuadráticos que se
repiten.
�(�)
(�
1�
2
+�
1�+�
1)
3




Los procedimientos para obtener los coeficientes de los
numeradores en cada uno de estos cuatro casos, se muestran a
continuacion.

=
(��+�)
(�
1�
2
+�
1�+�
1)
3
+
(��+�)
(�
1�
2
+�
1�+�
1)
2
+
(��+�)
(�
1�
2
+�
1�+�
1)

- 3 -

Transformada inversa.
Procedimientos para obtener los coeficientes en los distintos casos
de la “Descomposición en fracciones parciales” como método para
resolver transformadas inversas de Laplace.
FACTORES LINEALES NO REPETIDOS
Por cada factor del tipo (??????−??????
�) no repetido, en el denominador de F(s), debe
aparecer el siguiente término en el desarrollo en fracciones parciales

Cuya transformada seria:


Y el cálculo del coeficiente Aj se efectúa multiplicando a F(s) por el factor
(??????−??????
�) y evaluando en la raíz ??????=??????
�. Obteniéndose


FACTORES LINEALES REPETIDOS
Por cada factor del tipo (??????−??????)
�
en el denominador de F(s), deben aparecer
los siguientes términos en el desarrollo en fracciones parciales

Cuya transformada seria:



Y el cálculo de los coeficientes Aj se efectúa de la siguiente forma

�
??????
(�−??????)
??????
+
�
??????−1
(�−??????)
??????−1
+ . . .+
�
2
(�−??????)
2
+
�
1
(�−??????)


�
??????
(�−??????)
??????
+
�
??????−1
(�−??????)
??????−1
+ ...+
�
2
(�−??????)
2
+
�
1
(�−??????)

-1

�
�=
1
(�−�)!
lim
�→??????
{
�
[??????−�]
��
[??????−�]
([(??????−??????)
�
]??????(�))}
=
�
??????
(�−1)!
�
??????−1
�
??????�
+
�
??????−1
(�−2)!
�
??????−2
�
??????�
+ . . . +�
2 ��
??????�
+�
1�
??????�

�
�
(�−??????
�)

{
�
??????
(�−??????
??????)
}= �
????????????
??????
????????????

-1

�
�=lim
�→??????
�
{ (??????−??????
�)??????(�)}

- 4 -


FACTORES CUADRÁTICOS NO REPETIDOS
Fórmula para la obtención de la Transformada Inversa de Laplace en
los casos de Factor Cuadrático irreductible no repetido.
Caso: Binomio cuadrado ( ??????
??????
+??????
??????
).
 Por cada factor del tipo ( ??????
??????
+??????
??????
) no repetido, en el denominador de
F(s), debe aparecer el siguiente termino en el desarrollo en fracciones
parciales:

Cuya transformada seria:

Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el
factor ( ??????
??????
+??????
??????
). Y evaluando en la raíz ??????=??????�. Obteniéndose

Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los
coeficientes.






Caso: Trinomio cuadrado irreductible no repetido: (??????+�)
??????
+�
??????
.
 Por cada factor del tipo (??????+�)
??????
+�
??????
en el denominador de F(s), debe
aparecer el siguiente termino en el desarrollo en fracciones parciales:

�(�+ℎ)+��
((�+ℎ)
2
+�
2
))

��+??????�
(�
2
+??????
2
)
= � ??????��(??????�)+� �??????�(??????�)
-1


��+??????�
(�
2
+??????
2
)
�??????�+??????�=lim
�→??????�
{[( ??????
??????
+??????
??????
)]??????(�)}
�=
1
??????
??????�[ lim
�→??????�
{[( ??????
??????
+??????
??????
)]??????(�)} ]
�=
1
??????
??????�[ lim
�→??????�
{[( ??????
??????
+??????
??????
)]??????(�)} ]

- 5 -


Cuya transformada seria:


Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el
factor (??????+�)
??????
+�
??????
y evaluando en la raíz �=−ℎ+��. Obteniéndose

Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los
coeficientes.




FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS
Fórmula para la obtención de la Transformada Inversa de Laplace en
los casos de Factor Cuadrático irreductible repetido.

Caso: Binomio cuadrado (??????
??????
+??????
??????
)
??????
.
Por cada factor del tipo (??????
??????
+??????
??????
)
??????
en el denominador de F(s), deben aparecer
los siguientes términos en el desarrollo en fracciones
Cuya transformada seria:



Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el
factor (??????
??????
+??????
??????
)
??????
y evaluando en la raíz �=??????�. Obteniéndose


�(�+ℎ)+??????�
((�+ℎ)
2
+??????
2
))
= �??????
−ℎ??????
??????��(??????�)+� ??????
−ℎ??????
�??????�(??????�)
-1

���+��=lim
�→−ℎ+��
{[(??????+�)
??????
+�
??????
]??????(�)}
�=
1
�
??????�[ lim
�→−ℎ+��
{[(??????+�)
??????
+�
??????
]??????(�)} ]
�=
1
�
??????�[ lim
�→−ℎ+��
{[(??????+�)
??????
+�
??????
]??????(�)} ]

�(�
2
−??????
2
)+2??????��
(�
2
+??????
2
)
2
+
��+??????�
(�
2
+??????
2
)
{
�(�
2
−??????
2
)+2??????��
(�
2
+??????
2
)
2
+
��+??????�
(�
2
+??????
2
)
}=
-1

−2??????
2
�+2??????
2
��=lim
�→??????�
{[(??????
??????
+??????
??????
)
??????
]??????(�)}
= �� ??????�??????(??????�)+�� ���(??????�)+� cos (??????�)+����(??????�)

- 6 -

Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los
coeficientes.



Y el cálculo de los coeficientes C y D se efectúa derivando con respecto a s la
ecuación que se obtiene de multiplicar a F(s) por el factor (??????
??????
+??????
??????
)
??????
. Y
posteriormente se evalúa en la raíz �=??????�. Obteniéndose





Caso: Trinomio cuadrado irreductible repetido ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
.
Por cada factor del tipo ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
en el denominador de F(s), deben
aparecer los siguientes términos en el desarrollo en fracciones

Cuya transformada seria:




Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el
factor ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
y evaluando en la raíz ??????=−�+��. Obteniéndose

�=−
1
2??????
2
??????�[ lim
�→??????�
{[(??????
??????
+??????
??????
)
??????
]??????(�)} ]
�=
1
2??????
2
??????�[ lim
�→??????�
{[(??????
??????
+??????
??????
)
??????
]??????(�)} ]
(2??????�−2??????
2
�)+(2??????�+2??????
2
�)�=lim
�→??????�

�
��
([(??????
??????
+??????
??????
)
??????
]??????(�))
�=
�
??????

1
2??????
2
??????�[ lim
�→??????�

�
��
([(??????
??????
+??????
??????
)
??????
]??????(�)) ]
�=−
�
??????
+
1
2??????
2
??????�[ lim
�→??????�

�
��
([(??????
??????
+??????
??????
)
??????
]??????(�)) ]

�((�+ℎ)
2
−�
2
)+2��(�+ℎ)
((�+ℎ)
2
+�
2
)
2
+
�(�+ℎ)+��
((�+ℎ)
2
+�
2
)
{
�((�+ℎ)
2
−�
2
)+2��(�+ℎ)
((�+ℎ)
2
+�
2
)
2
+
�(�+ℎ)+��
((�+ℎ)
2
+�
2
)
}=
-1

−2�
2
�+2�
2
��=lim
�→−ℎ+��
{[((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
]??????(�)}
= ���
−ℎ�
??????�??????(��)+���
−ℎ�
���(��)+��
−ℎ�
cos (��)+��
−ℎ�
���(��)

- 7 -

Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los
coeficientes.



Y el cálculo de los coeficientes C y D se efectúa derivando con respecto a s la
ecuación que se obtiene de multiplicar a F(s) por el factor ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
.
Y posteriormente se evalúa en la raíz ??????=−�+��. Obteniéndose






CASO GENERAL(utilizando factores lineales complejos)
Si en el denominador de F(s) existe un factor del tipo ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????

Una solución sería transformarlo en un producto de factores lineales complejos
Repetidos. Y resolver en consecuencia.

Es decir, por cada factor del tipo ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
en el denominador de F(s),
deben aparecer los siguientes términos en el desarrollo en fracciones


Cuya transformada seria:

�=−
1
2�
2
??????�[ lim
�→−ℎ+��
{[((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
]??????(�)} ]
�=
1
2�
2
??????�[ lim
�→−ℎ+��
{[((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
]??????(�)} ]
(2��−2�
2
�)+(2��+2�
2
�)�=lim
�→−ℎ+��

�
��
([((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
]??????(�))
�=
�
�

1
2�
2
??????�[ lim
�→−ℎ+��

�
��
([((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
]??????(�)) ]
�=−
�
�
+
1
2�
2
??????�[ lim
�→−ℎ+��

�
��
([((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
]??????(�)) ]
((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
= (??????+�+��)
??????
(??????+�−��)
??????

�
??????
(�+ℎ+��)
??????
+ . . .+
�
1
(�+ℎ+��)
+
�
??????
(�+ℎ−��)
??????
+ . . .+
�
1
(�+ℎ−��)

=
�
??????
(??????−1)!
�
??????−1
�
−ℎ�
�
−���
+ . . . +�
2�
−ℎ�
�
−���
+�
1�
−ℎ�
�
−���

+
�
??????
(??????−1)!
�
??????−1
�
−ℎ�
�
���
+ . . . +�
2�
−ℎ�
�
���
+�
1�
−ℎ�
�
���

- 8 -


Y el cálculo de los coeficientes Aj Y Bj se efectúa multiplicando a F(s) por el
factor ((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
y evaluando en la raíz ??????=−�+��. En el primer
caso, y evaluando en la raíz ??????=−�−��. En el segundo caso. Como se indica a
continuación.




Y para el resultado final, si se desea expresar el resultado en términos de
funciones trigonométricas, se deben utilizar las siguientes identidades:





�
�=
1
(??????−�)!
lim
�→−ℎ+��
{
�
[??????−�]
��
[??????−�]
([((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
]??????(�))}
�
�=
1
(??????−�)!
lim
�→−ℎ−��
{
�
[??????−�]
��
[??????−�]
([((??????+�)
??????
+�
??????
)
??????
]??????(�))}
�
���
=cos(��)+� ���(��); �
−���
=cos(��)−� ���(��);
cos(��)=
??????
��??????
+??????
−��??????
2
; sen(��)=
??????
��??????
−??????
−��??????
2�

cosh(��)=
??????
�??????
+??????
−�??????
2
; sen(��)=
??????
�??????
−??????
−�??????
2

�
��
=cosℎ(��)+���ℎ(��); �
−��
=cosℎ(��)−���ℎ(��);

- 9 -

Ejercicios Transformada Inversa de Laplace

Encuentre la Transformada Inversa de Laplace para cada F(s) indicada

Ejercicio.1:

Solución:






Así










Ejercicio.2:

Solución:
De acuerdo a la propiedad Traslación en el dominio de t se tiene:



Entonces



Realicemos primero la transformada inversa de la derecha






??????(�)=
4+2�
�
2
−8�+25

4+2�
�
2
−8�+25
=
4+2�
(�−4)
2
+9
=
2(�−4)+12
(�−4)
2
+9

=
2(�−4)
(�−4)
2
+9
+
12
(�−4)
2
+9


-1


4+2�
�
2
−8�+25
= 2
-1


(�−4)
(�−4)
2
+9
+ 4
-1


3
(�−4)
2
+9

??????(�)=
??????
−4�
�
2
+8�+20


-1

1
�
2
+8�+20
=

-1

1
(�+4)
2
+4

�(�)
-1


�(�) =
=
??????
−4�
2
�????????????(2�) =
�
−4�
2


-1

2
�
2
+4

=�
−4�


-1

1
�
2
+4

�(�)=2�
4�
cos(3�)+4�
4�
sen(3�)

�
−4�
�
2
+8�+20
=
-1

??????(�−4)
-1


1
�
2
+8�+20
[ ]
�=(�−4)
??????(�−??????)
-1
�(�) �
−??????�
�(�) =
-1

�=(�−??????) [ ]

- 10 -


Luego, sustituyendo





Efectuando la translación en el tiempo y ordenando
















�(�)=
�
(−4�+16)
sen(2�−8)
2
??????(�−4)
�=(�−4)

�
−4�
�
2
+8�+20
=
-1

??????(�−4) [ ]
�
−4�
2
��??????(2�)

- 11 -


Propiedades de la Transformada inversa de Laplace

a) Transformada inversa del integral de F(s):





Resuelva:

Solución:










Aplicando la propiedad,

Y así


Y si recordamos que

Esto puede escribirse, si se desea, de la siguiente manera:




?????? � ��

�
=
1
�
L
-1

?????? � L
-1

?????? � ��

�
= ??????�(
�−3
�+1
)=??????� �−3 −??????� �+1
??????�(
�−3
�+1
) L
-1

?????? � =
1
�+1

1
�−3
= �
−�
−�
3�
L
-1

L
-1

L
-1

−?????? � =
1
�−3

1
�+1
?????? � =
1
�+1

1
�−3

?????? � ��

�
=
1
�
L
-1

?????? � =
1
�
�
−�
−�
3�
L
-1


??????�(
�−3
�+1
) =
�
−�
−�
3�

�
L
-1

�
��
?????? � ��
�
= ?????? −?????? � = −?????? �
(Propiedad de Transf. Laplace.) 0 Derivando con respecto a s y
aplicando la REGLA DE LEIBNIZ:
Ejercicio.3
:
���ℎ 2� =
�
2�
−�
−2�
2

??????�(
�−3
�+1
) =
−2�
�
�
���ℎ 2� L
-1

- 12 -


b) Propiedad del desplazamiento en el tiempo:




Resuelva:

Solución:















��
−2�
�
2
−9
L
-1

�
−??????�
?????? � = L
-1

?????? �−?????? ?????? � L
-1

�= �−??????
{�
−2�
(
�
�
2
−9
)} = ?????? �−2
L
-1
{
�
�
2
−9
}L
-1


t = (t-2)
= ?????? �−2 ���ℎ 3�

t = (t-2)
= ?????? �−2 ���ℎ 3�−6
Ejercicio.4
:

- 13 -

Aplicación del Método Heaviside

EJERCICIO 5:
Determine la transformada inversa de laplace de:




Obtención de los coeficientes (Ver Factores lineales repetidos - página 3)











Sustituyendo:







�=lim
�→3
{(�−3)
3
�(�)} = lim
�→3
{
2�
3
−�
2
+9
�
3
} = 2

�(�)=
�
(�−3)
3
+
�
(�−3)
2
+
�
(�−3)

+
�
�
3
+
�
�
2
+
�
�

-1
{�(�)} =
1
2
��
2
�
3�
+���
3�
+��
3�
+
1
2
��
2
+��+�
�(�)=
2�
3
−�
2
+9
�
3(�−3)
3
�=
1
2
lim
�→0
{
�
��
(
(6�
2
−2�)(�−3)
3
−3(�−3)
2
(2�
3
−�
2
+9)
(�−3)
6
)} = −
5
27

�=lim
�→3
{
�
��
[
2�
3
−�
2
+9
�
3
]}=lim
�→3
{
(6�
2
−2�)�
3
−3�
2
(2�
3
−�
2
+9)
�
6
}= −
2
9

�=
1
2
lim
�→3
{
�
��
(
(6�
2
−2�)�
3
−3�
2
(2�
3
−�
2
+9)
�
6
)} =
5
27

�=lim
�→0
{�
3
�(�)} =lim
�→0
{
2�
3
−�
2
+9
(�−3)
3
} = −
1
3


�=lim
�→0
{
�
��
[
2�
3
−�
2
+9
(�−3)
3
]}=lim
�→0
{
(6�
2
−2�)(�−3)
3
−3(�−3)
2
(2�
3
−�
2
+9)
(�−3)
6
}=−
1
3

�(�)=�
2
�
3�

2
9
��
3�
+
5
27
�
3�

1
6
�
2

1
3
�−
5
27

{�(�)}
-1


�(�) =

- 14 -

EJERCICIO 6:
Determine la transformada inversa de laplace de:



a) Método 1 (Ver CASO GENERAL utilizando factores lin. Complejos- pg. 7)
 Descomposición en fracciones parciales.

 Transformada inversa.

 Obtención de los coeficientes.






 Sustituyendo estos valores.





Método 2

 Descomposición en fracciones parciales.

�(�)=
2�−3
�(�
2
+1)
�(�)=
�
�
+
�
(�−??????)
+
�
(�+??????)


-1
{�(�)} =�+��
??????�
+��
−??????�

�=lim
�→0
{��(�)} = lim
�→0
{
2�−3
(�
2
+1)
} = −3
�=lim
�→??????
{(�−??????)

�(�)} = lim
�→??????
{
2�−3
�(�+??????)
} =
3
2
−??????
�=lim
�→−??????
{(�+??????)

�(�)} = lim
�→−??????
{
2�−3
�(�−??????)
} =
3
2
+??????

-1
{�(�)} =−3+
3
2
−?????? �
??????�
+
3
2
+?????? �
−??????�

=−3+
3
2
(�
??????�
+�
−??????�
)−??????(�
??????�
−�
−??????�
)
�(�)=−3+3cos(�)+2 ���(�) 
�(�)=
�
�
+
��+�
(�
2
+1)
=
�
�
+
��
(�
2
+1)
+
�
(�
2
+1)
�(�)=
2�−3
�(�
2
+1)

- 15 -


 Transformada inversa.

 Obtención de los coeficientes. [Multipliquemos todo por �(�
2
+1)]






 Sustituyendo estos valores.



EJERCICIO 7:
Determine la transformada inversa de laplace de:

 Descomposición en fracciones parciales.
(Ver FACTORES CUADRATICOS NO REPETIDOS - pg. 4, a=2, h=-1, k=1.)



 Transformada inversa.


-1
{�(�)} =�+�cos(�)+����(�)
�(�)=−3+3cos(�)+2 ���(�)
2�−3 =�(�
2
+1)+��
2
+��
 [
�+�=0
�=2
�=−3


 [
�=−3
�=3
�=2


2�−3
�(�
2
+1)
=
�
�
+
��
(�
2
+1)
+
�
(�
2
+1)
2�−3 =(�+�)�
2
+��+�
�(�)=
20�
(�
2
+4)(�
2
−2�+2)
�(�)=
��+2�
(�
2
+4)
+
�(�−1)+�
((�−1)
2
+1))

-1
{�(�)} =�cos(2�)+����(2�)+� �
�
���(�)+� �
�
���(�)
=
��
(�
2
+4)
+
2�
(�
2
+4)
+
�(�−1)
((�−1)
2
+1))
+
�
((�−1)
2
+1))

- 16 -

 Obtención de los coeficientes.
El cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por
el factor (??????
??????
+??????) y evaluando en la raíz �=2??????.




Multipliquemos ambos lados de la ecuación por: (�
2
+4)



Al evaluar �=2?????? se anula el último término de la derecha y nos queda





Igualando partes reales e imaginarias

Multipliquemos ambos lados de la ecuación por: ((�−1)
2
+1))



Al evaluar �=1+?????? se anula el primer término del lado derecho de la
ecuación, y nos queda




Igualando partes reales e imaginarias
 Sustituyendo estos valores.



�(�)=−2cos(2�)−4 ���(2�)+2�
�
���(�) +6�
�
���(�)
20�
(�
2
+4)(�
2
−2�+2)
=
��+2�
(�
2
+4)
+
�(�−1)+�
((�−1)
2
+1))
20�
(�
2
−2�+2)
= ��+2�+
�(�−1)+�
((�−1)
2
+1))
(�
2
+4)
20(2??????)
((2??????)
2
−2(2??????)+2)
= �(2??????)+2�
40??????
−2−4??????
=2�??????+2� ⟹ −8−4??????=2�??????+2�
 [
�=−2

�= −4


6+2??????=�+�??????
 [
�=2

�=6


20�
(�
2
+4)
=
��+�
(�
2
+4)
((�−1)
2
+1))+ �(�−1)+�
20(1+??????)
((1+??????)
2
+4)
= �((1+??????)−1)+�

- 17 -

EJERCICIO 8:

Determine la transformada inversa de laplace de:
 Descomposición en fracciones parciales.



 Transformada inversa.

 Obtención de los coeficientes.
Multiplicaremos por s y por los factores lineales repetidos.
Las raíces son: 0,+??????,−??????
















 Sustituyendo estos valores.




�(�)=
1
�(�
2
+1)
2
�(�)=
1
�(�+??????)
2(�−??????)
2

-1
{�(�)} =�+���
−??????�
+� �
−??????�
+���
??????�
+� �
??????�

�(�)= 1−
1
2
� ���(�)−���(�) 
=
�
�
+
�
(�+??????)
2
+
�
(�+??????)
+
�
(�−??????)
2
+
�
(�−??????)

-1
{�(�)} =1−
??????
4
��
−??????�

1
2
�
−??????�
+
??????
4
��
??????�

1
2
�
??????�

�=lim
�→0
{��(�)} = lim
�→0
{
1
(�+??????)
2(�−??????)
2
} = 1
�=lim
�→−??????
{(�+??????)
2
�(�)}=lim
�→−??????
{
1
�(�−??????)
2
} = −
??????
4

�=lim
�→−??????
{
�
��
(�+??????)
2
�(�) }=lim
�→−??????
{
−(�−??????)
2
−2�(�−??????)
�
2(�−??????)
4
} = −
1
2

�=lim
�→??????
{(�−??????)
2
�(�)} = lim
�→??????
{
1
�(�+??????)
2
} =
??????
4

�=lim
�→??????
{
�
��
(�−??????)
2
�(�) } = lim
�→??????
{
−(�+??????)
2
−2�(�+??????)
�
2(�+??????)
4
} = −
1
2

- 18 -

Ejercicio 9: ( Ejercicio anterior por otro metodo)
Determine la transformada inversa de laplace de:
 Descomposición en fracciones parciales.

 Obtención de los coeficientes. [Multiplicamos todo por �(�
2
+1)
2
]






 Sustituyendo estos valores.

 Transformada inversa.









�(�)=
1
�(�
2
+1)
2
�(�)=
�
�
+
��+�
(�
2
+1)
2
+
��+�
(�
2
+1)
�(�)=1−
1
2
� sen(t)−cos (�) 

[




�+�=0
�=0
2�+�+�=0
�+�=0
�=1

[




�=1
�=−1
�=0
�=−1
�=0


1 = �(�
2
+1)
2
+(��+�)�+(��+�)(�
2
+1)�
=(�+�)�
4
+��
3
+(2�+�+�)�
2
+(�+�)�+�
�(�)=
1
�

�
(�
2
+1)
2

�
(�
2
+1)
{�(�)} = {
1
�
}−
1
2
{
2�
(�
2
+1)
2
}− {
�
(�
2
+1)
}
-1


-1


-1


-1

- 19 -

Ejercicios de Transformada inversa de Laplace utilizando el
Teorema de la Convolución










EJERCICIO 10:
Resuelva:


Solución







Y así





En lo sucesivo, haremos uso de las tablas de Convolución de funciones.
= ∫��� (�)���(�−�) ��
??????
0
= ���(�) ∫���
2
(�)��−���(�) ∫cos(�)���(�) ��
??????
0

??????
0


= ���(�)[
1
2
�+
1
2
���(�)cos(�)] −���(�) [
1
2
���
2
(�)]

=
1
2
� ���(�)
�
(�
2
+1)
2

-1

Teorema de Convolución
Teorema de la Convolución
�(�)∗�(�) la operacion de convolucion entre las funciones � ?????? �
Y Sea,
Entonces,
�(�)= �(�)
�(�)�(�) =�(�)∗�(�)
-1
�(�)= �(�)



�
(�
2
+1)
2

-1

=cos(�)∗���(�)
�
�
2
+1

1
�
2
+1

-1

�
(�
2
+1)
2
=
-1

=
1
2
� ���(�)

- 20 -

EJERCICIO 11:
Resuelva:

Solución






Luego,



EJERCICIO 12:
Resuelva utilizando el teorema de la convolucion:


Solución
Completando cuadrados en el numerador,


Que puede ser escrito como






1
�
4(�
2
+1)

=
1
6
�
3
−�+ ���(�)

?????? �� ???????????? ??????��??????� ��� �� �����??????��??????��
��� ??????=?????? � ??????=� �� ����??????�:
�
3
∗���(�)= �
3
−6�+ 6���(�)

=
1
6
�
3
∗���(�)
1
�
4

1
�
2
+1

-1

1
�
4(�
2
+1)
=
-1

-1


1
�
4(�
2
+1)

-1

Y de la Tabla_10A (línea 7) de Convolución de funciones se extrae:
= 1−2 [���
2
(�)∗��� (2�)]


??????=1  ���
2
(??????�)∗���(2??????�)=
−����(2�)+2���
2
(�)
4

-1


�
4
+8�
2
+8
�(�
2
+4)
2

-1

�
4
+8�
2
+8
�(�
2
+4)
2
=
-1

(�
2
+4)
2
−8
� (�
2
+4)
2
=
-1

1
�

8
� (�
2
+4)
2

=
-1

2
�(�
2
+4)

2
(�
2
+4)

-1


1
�
−2
(Ver la Tabla_6_TL)

(Teorema de Convolución Y la Tabla_8)

- 21 -


Luego,


Y así


Que pudiera ser escrito como:


EJERCICIO 13
Resuelva utilizando el teorema de la convolucion:

Solución






Y así



-1

�
4
+8�
2
+8
�(�
2
+4)
2
= ??????��
2
(�)+
1
2
����(2�)

=1−2
−����(2�)+2���
2
(�)
4
=1+
����(2�)
2
−���
2
(�)

-1

�
4
+8�
2
+8
�(�
2
+4)
2

= 1∗??????��ℎ
2
( 3�)

-1

�
2
−6
�
2
(�
2
−12)
=
-1

1
�

�
2
−6
�(�
2
−12)

(Ver la Tabla_6_TL)

-1

�
2
−6
�
2
(�
2
−12)
=
3
12
���ℎ 2 3 � +
1
2
�
-1

�
2
−6
�
2
(�
2
−12)

?????? �� ???????????? ??????��??????� ���
(�����??????��??????�� ��� ???????????? ��??????�??????�)
��� ??????= ?????? �� ����??????�: 1∗���ℎ
2
( 3�)=
���ℎ 2 3 � +2 3 �
4 3



=
1
2
[1+cos (2�)+����(2�)]

- 22 -

Se efectuó una
conversión
trigonométrica


Ejercicios Propuestos TI_1
Calcule la transformada inversa de Laplace indicada.
1

2

3

4



5

6

7



8

9

10



11 12

RESPUESTAS
1
�
2??????
(
17
10
cos(3�)+
1
10
���(3�))+�
??????
(5t−
17
10
)
2
1
2
(t−2)
2
??????(�−2)
3
−���(�)??????(�−)
4
�
−2??????
cos(�)−3�
−2??????
���(�)
5
(1−�
−(??????−1)
)??????(�−1)
6 (1−�+�
??????−2
) ??????(�−2)
7
2�
2
�
−??????
+4��
−??????
+5�
−??????
+�−5
8
(1−cos(�))??????(�−2)
9
�(�)=
3
2
+
3
2
�
2??????
− 2�
??????

10
�(�)=
�
2??????
4
(8 ??????��(4�)+ 7���(4�))
11
�(�)= � �
2??????


12
�(�)=
�
2??????
2
(4�+3)−
�
2??????
2







-1


(7??????
2
−41??????+84
(??????−1)
2
(??????
2
−4??????+13)


-1


??????
−2??????
??????
3


-1

??????
−????????????
??????
2
+1


-1


s−1
(??????
2
+4??????+5)


-1


??????
−??????
??????(??????+1)


-1


??????
−2??????
??????
2
(??????−1)


-1

(??????
2
−2??????+1
??????
2
(??????+1)
3


-1


??????
−2??????
??????(??????
2
+1)


-1


??????
2
+4??????−4
(??????−2)
2
(??????+2)



-1

??????
2
−2??????+3
??????(??????
2
−3??????+2)



-1


2??????+3
(??????
2
−4??????+20)



-1


??????
2
+4??????+4
(??????
2
−4)
2

- 23 -



�
�
2
−??????
= ??????��ℎ ?????? �
-1


� �
−�
0�
�
2
−??????
= ??????��ℎ ??????(�−�0) µ(�−�0)
-1


Tabla 8
Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace


Linealidad:

Traslación en el dominio de s:

Traslación en el dominio de t:


Propiedad Escalar


Transformada de


Transformada Inversa de algunas funciones
















En las siguientes identidades:










��(�)+??????�(�) = � �(�) + ?????? �(�)


-1

-1

-1

�
??????�
�(�)
-1

�(�−??????) =
-1


??????/??????
??????



1
�
??????
=
�
??????−1
(�−1)!

-1

�(�−??????)
-1
�(�) �
−??????�
�(�) =
-1

�=(�−??????) [ ]
????????????

??????
0>0

�
�
�
=
1
�
�(��) =


-1

??????

�=�/
-1
�(�) [ ]
??????>0

1
�
??????
=
�
(??????−1)
(�−1)!

-1


�
−�
0�
�
??????
=
(�−�
0)
??????−1
(�−1)!
µ(�−�
0)
-1


1
(�+??????)
= �
−??????�



-1


�
−�
0�
(�+??????)
= �
−??????(�−�
0)
µ(�−�0)
-1


1
(�+??????)
??????
=
1
(�−1)!
�
−??????�
�
??????−1



-1


�
−�
0�
(�+??????)
??????
=
(�−�
0)
??????−1
(�−1)!
�
−??????(�−�
0)
µ(�−�
0)
-1

??????
0>0

??????>0


1
�
2
−??????
=
���ℎ ?????? �
??????

-1


�
−�
0�
�
2
−??????
=
���ℎ ??????(�−�0)
??????
µ(�−�0)
-1


1
�
2
+??????
=
��� ?????? �
??????

-1


�
−�
0�
�
2
+??????
=
��� ??????(�−�0)
??????
µ(�−�0)


-1


�
�
2
+??????
= ??????�� ?????? �


-1


� �
−�
0�
�
2
+??????
= ??????�� ??????(�−�0) µ(�−�0)
-1

- 24 -


Tabla 9
Transformada Inversa de Laplace

Transformadas del binomio cuadrado
























2??????�
(�
2
+??????
2
)
2
= � �??????�(??????�)


-1


2??????�
(�
2
−??????
2
)
2
= � �??????�ℎ(??????�)


-1


2??????(�−�
0)
((�−�
0)
2
+??????
2
)
2
= � ??????
�
0�
�??????�(??????�)


-1


2??????(�−�
0)
((�−�
0)
2
−??????
2
)
2
= � ??????
�
0�
�??????�ℎ(??????�)


-1


�
2
−??????
2
(�
2
+??????
2
)
2
= � ??????��(??????�)
-1


�
2
+??????
2
(�
2
−??????
2
)
2
= � ??????��ℎ(??????�)
-1


(�−�
0)
2
−??????
2
((�−�
0)
2
+??????
2
)
2
= � ??????
�
0�
??????��(??????�)
-1


(�−�
0)
2
+??????
2
((�−�
0)
2
−??????
2
)
2
= � ??????
�
0�
??????��ℎ(??????�)
-1


??????
(�
2
+??????
2
)
= �??????�(??????�)


-1


??????
((�+�
0)
2
+??????
2
)
= ??????
−�
0�
�??????�(??????�)


-1


??????
((�−�
0)
2
+??????
2
)
= ??????
�
0�
�??????�(??????�)


-1


�
(�
2
+??????
2
)
= ??????��(??????�)


-1


(�+�
0)
((�+�
0)
2
+??????
2
)
= ??????
−�
0�
??????��(??????�)


-1


(�−�
0)
((�−�
0
)
2
+??????
2
)
= ??????
�
0�
??????��(??????�)


-1


??????
((�+�
0
)
2
−??????
2
)
= ??????
−�
0�
�??????�ℎ(??????�)


-1


??????
((�−�
0
)
2
−??????
2
)
= ??????
�
0�
�??????�ℎ(??????�)


-1


(�+�
0)
((�+�
0
)
2
−??????
2
)
= ??????
−�
0�
??????��ℎ(??????�)


-1


(�−�
0)
((�−�
0
)
2
−??????
2
)
= ??????
�
0�
??????��ℎ(??????�)


-1

- 25 -

Tabla 10A Convolución de Funciones
Trigonométrica*Trigonométrica
�??????�(��)∗�??????�(��)
1
2�
[�??????�(��)−�� cos (��)]
�??????�(��)∗�??????�(��)
1
(�
2
−�
2
)
[� �??????�(��)−� sen (��)]
�??????�(��)∗���(��)
1
2
� �??????�(��)
�??????�(��)∗���(��)
�
(�
2
−�
2
)
[���(��)−cos (��)]
���(��)∗���(��)
1
2�
[�??????�(��)+�� cos (��)]
���(��)∗���(��)
1
(�
2
−�
2
)
[� �??????�(��)−� sen (��)]
�??????�
2
(��)∗�??????� (2��)
−�� �??????�(2��)+2 �??????�
2
(��)
4�


�??????�
2
(��)∗�??????� (��)
�
2
���
2
(��)−2�
2
���(��)+(2�
2
−�
2
)
�(4�
2
−�
2
)


���
2
(��)∗�??????� (2��)
�� �??????�(2��)+2 �??????�
2
(��)
4�


���
2
(��)∗�??????� (��)
−�
2
���
2
(��)−(2�
2
−�
2
)���(��)+2�
2
�(4�
2
−�
2
)


���
2
(��)∗��� (2��)
2�� ���(2��)+3 �??????�(2��)
8�


���
2
(��)∗��� (��)
�� �??????�(2��)+(2�
2
−�
2
)�??????�(��)
�(4�
2
−�
2
)


�??????�
2
(��)∗��� (2��)
−2�� ���(2��)+�??????�(2��)
8�


�??????�
2
(��)∗��� (��)
−�� �??????�(2��)+2�
2
�??????�(��)
�(4�
2
−�
2
)


�??????�
2
(��)∗�??????�
2
(��)
−3�??????�(2��)+2�� ���(2��)+4��
16�


�??????�
2
(��)∗�??????�
2
(��)
�
3
�??????�(2��)−�
3
�??????�(2��)+2���(�
2
−�
2
)
8��(�
2
−�
2
)


�??????�
2
(��)∗���
2
(��)
−�??????�(2��)−2�� ���(2��)+4��
16�


�??????�
2
(��)∗���
2
(��)
−�(2�
2
−�
2
)�??????�(2��)+�
3
�??????�(2��)+2���(�
2
−�
2
)
8��(�
2
−�
2
)


���
2
(��)∗���
2
(��)
5 �??????�(2��)+2�� ���(2��)+4��
16�

- 26 -

���
2
(��)∗���
2
(��)
�(�
2
−2�
2
)�??????�(2��)+�(2�
2
−�
2
)�??????�(2��)+2���(�
2
−�
2
)
8��(�
2
−�
2
)



Hiperbólica*Hiperbólica
�??????�ℎ(��)∗�??????�ℎ(��)
�� ���ℎ(��)−�??????�ℎ(��)
2�


�??????�ℎ(��)∗�??????�ℎ(��)
1
(�
2
−�
2
)
[� �??????�ℎ(��)−� senh(��)]
�??????�ℎ(��)∗���ℎ(��)
� �??????�ℎ(��)
2


�??????�ℎ(��)∗���ℎ(��)
�
(�
2
−�
2
)
[���ℎ(��)−cosh (��)]
���ℎ(��)∗���ℎ(��)
�� ���ℎ(��)+�??????�ℎ(��)
2�


���ℎ(��)∗���ℎ(��)
1
(�
2
−�
2
)
[� �??????�ℎ(��)−� senh (��)]
�??????�ℎ
2
(��)∗senh (2��)
�� �??????�ℎ(2��)−2�??????�ℎ
2
(��)
4�


�??????�ℎ
2
(��)∗senh (��)
�
2
���ℎ
2
(��)−2�
2
���ℎ(��)+(2�
2
−�
2
)
�(4�
2
−�
2
)


���ℎ
2
(��)∗senh (2��)
�� �??????�ℎ(2��)+2�??????�ℎ
2
(��)
4�


���ℎ
2
(��)∗senh (��)
�
2
���ℎ
2
(��)+(2�
2
−�
2
)���ℎ(��)−2�
2
�(4�
2
−�
2
)


���ℎ
2
(��)∗���ℎ (2��)
2�� ���ℎ(2��)+3 �??????�ℎ(2��)
8�


���ℎ
2
(��)∗���ℎ (��)
�� �??????�ℎ(2��)+(2�
2
−�
2
)�??????�ℎ(��)
�(4�
2
−�
2
)


�??????�ℎ
2
(��)∗���ℎ (2��)
2�� ���ℎ(2��)− �??????�ℎ(2��)
8�


�??????�ℎ
2
(��)∗���ℎ (��)
�� �??????�ℎ(2��)−2�
2
�??????�ℎ(��)
�(4�
2
−�
2
)


�??????�ℎ
2
(��)∗���ℎ
2
(2��)
�??????�ℎ(4��)+4�??????�ℎ(2��)−12��
48�


�??????�ℎ
2
(��)∗���ℎ
2
(��)
�(2�
2
−�
2
)�??????�ℎ(2��)−�
3
�??????�ℎ(2��)−2���(�
2
−�
2
)
8��(�
2
−�
2
)


�??????�ℎ
2
(��)∗�??????�ℎ
2
(2��)
�??????�ℎ(4��)−8�??????�ℎ(2��)+12��
48�


�??????�ℎ
2
(��)∗�??????�ℎ
2
(��)
�
3
�??????�ℎ(2��)−�
3
�??????�ℎ(2��)+2���(�
2
−�
2
)
8��(�
2
−�
2
)

- 27 -

���ℎ
2
(��)∗���ℎ
2
(2��)
7�??????�ℎ(4��)+4�??????�ℎ(2��)+12��
48�


���ℎ
2
(��)∗���ℎ
2
(��)
�(�
2
−2�
2
)�??????�ℎ(2��)+�(2�
2
−�
2
)�??????�ℎ(2��)+2���(�
2
−�
2
)
8��(�
2
−�
2
)



Trigonométrica - Hiperbólica
sen (��)∗senh (��)
1
(�
2
+�
2
)
[−� �??????�(��)+� senh (��)]
sen (��)∗�??????�ℎ
2
(��)
�
2
���ℎ(2��)+4�
2
cos (��)−(�
2
+4�
2
)
2�(�
2
+4�
2
)


sen (��)∗���h (��)
�
(�
2
+�
2
)
[���ℎ(��)−cos (��)]
sen (��)∗���ℎ
2
(��)
�
2
���ℎ(2��)−(2�
2
+4�
2
)cos(��)+(�
2
+4�
2
)
2�(�
2
+4�
2
)


cos (��)∗senh (��)
�
(�
2
+�
2
)
[���ℎ(��)−cos (��)]
cos (��)∗�??????�ℎ
2
(��)
−2�
2
�??????�(��)+�� �??????�ℎ(2��)
�(�
2
+4�
2
)


cos (��)∗���h (��)
1
(�
2
+�
2
)
[� �??????�(��)+� senh (��)]
cos (��)∗���ℎ
2
(��)
(�
2
+2�
2
)�??????�(��)+�� �??????�ℎ(2��)
�(�
2
+4�
2
)


�??????�
2
(��)∗senh (��)
�
2
���
2
(��)+2�
2
���ℎ(��)−(2�
2
+�
2
)
�(4�
2
+�
2
)


�??????�
2
(��)∗�??????�ℎ
2
(��)
�
3
�??????�(2��)+�
3
�??????�ℎ(2��)−2���(�
2
+�
2
)
8��(�
2
+�
2
)


�??????�
2
(��)∗���h (��)
−�� �??????�(2��)+2�
2
�??????�ℎ(��)
�(4�
2
+�
2
)


�??????�
2
(��)∗���ℎ
2
(��)
−�(2�
2
+�
2
)�??????�(2��)+�
3
�??????�ℎ(2��)+2���(�
2
+�
2
)
8��(�
2
+�
2
)


���
2
(��)∗senh (��)
−�
2
���
2
(��)+(2�
2
+�
2
)���ℎ(��)−2�
2
�(4�
2
+�
2
)


���
2
(��)∗�??????�ℎ
2
(��)
�(�
2
+2�
2
)�??????�ℎ(2��)−�
3
�??????�(2��)−2���(�
2
+�
2
)
8��(�
2
+�
2
)


���
2
(��)∗���h (��)
�� �??????�(2��)+(2�
2
+�
2
)�??????�ℎ(��)
�(4�
2
+�
2
)


���
2
(��)∗���ℎ
2
(��)
�(�
2
+2�
2
)�??????�ℎ(2��)+�(2�
2
+�
2
)�??????�(2��)+2���(�
2
+�
2
)
8��(�
2
+�
2
)

- 28 -





Exponencial - Trigonométrica
??????
????????????
∗���(��)
1
(�
2
+�
2
)
[�??????
????????????
+� �??????�(��)−� ��� (��)]
??????
????????????
∗�??????�(��)
1
(�
2
+�
2
)
[�??????
????????????
−� �??????�(��)−� ��� (��)]
??????
????????????
∗�??????�
2
(��)
4�
2
??????
????????????
+�
2
���(2��)−2���??????�(2��)−(�
2
+4�
2
)
2�(�
2
+4�
2
)


??????
????????????
∗���
2
(��)
(2�
2
+4�
2
)??????
????????????
−�
2
���(2��)+2���??????�(2��)−(�
2
+4�
2
)
2�(�
2
+4�
2
)



Exponencial - Hiperbólica
??????
????????????
∗���ℎ(��)
1
2�
[��??????
????????????
+ �??????�ℎ(��)]
??????
????????????
∗���ℎ(��)
1
(�
2
−�
2
)
[�??????
????????????
−� �??????�ℎ(��)−� ���ℎ (��)]
??????
????????????
∗�??????�ℎ(��)
1
2�
[��??????
????????????
− �??????�ℎ(��)]
??????
????????????
∗�??????�ℎ(��)
1
(�
2
−�
2
)
[�??????
????????????
−� �??????�ℎ(��)−� ���ℎ (��)]
??????
2????????????
∗�??????�ℎ
2
(��)
1
8�
[(2��−2)cosh(2��)+(2��−1)senh(2��)+2]

??????
????????????
∗�??????�ℎ
2
(��)
4�
2
??????
????????????
−�
2
���ℎ(2��)−2���??????�ℎ(2��)+(�
2
−4�
2
)
2�(�
2
−4�
2
)


??????
2????????????
∗���ℎ
2
(��)
1
8�
[(2��+2)cosh(2��)+(2��+3)senh(2��)−2]

??????
????????????
∗���ℎ
2
(��)
(2�
2
−4�
2
)??????
????????????
−�
2
���ℎ(2��)−2���??????�ℎ(2��)−(�
2
−4�
2
)
2�(�
2
−4�
2
)

- 29 -

Tabla 10B Convolución de Funciones
�
??????
∗??????�????????????����??????��?????????????????? − �
??????
∗????????????���??????�??????????????????�
�(??????)�(??????))

�(??????)∗�(??????))
�∗�??????�(??????�)
1
??????
2
[??????�−�??????� (??????�)]
�
2
∗�??????�(??????�)
1
??????
3
[??????
2
�
2
+2cos (??????�)−2]
�
3
∗�??????�(??????�)
1
??????
4
[??????
3
�
3
−6??????�+6�??????� (??????�)]
�
4
∗�??????�(??????�)
1
??????
5
[??????
4
�
4
−12??????
2
�
2
−24cos(??????�)+24]

1
??????
??????+1
((−1)
??????+2
2�!cos(??????�)+(??????�)
??????
+∑[
(−1)
??????
�!
(�−2�)!
(??????�)
??????−2??????
]
??????/2
??????=1
)

1
??????
??????+1
((−1)
??????+1
2�!�??????�(??????�)+(??????�)
??????
+∑[
(−1)
??????
�!
(�−2�)!
(??????�)
??????−2??????
]
(??????−1)/2
??????=1
)

�∗??????��(??????�)
1
??????
2
[1−??????�� (??????�)]
�
2
∗??????��(??????�)
2
??????
3
[??????�−�??????�(??????�)]
�
3
∗??????��(??????�)
3
??????
4
[??????
2
�
2
+2cos (??????�)−2]
�
4
∗??????��(??????�)
4
??????
5
[??????
3
�
3
−6??????�+6�??????� (??????�)]



�
??????
∗�??????�(??????�)
n Impar
n Par
�
??????
∗??????��(??????�)=
�
??????
[ �
??????−1
∗�??????�(??????�)]

� ??????��??????�� ≥1; ??????≠0

- 30 -



�(??????)�(??????))

�(??????)∗�(??????))
�∗�??????�
2
(??????�)
1
4??????
2
[??????
2
�
2
−�??????�
2
(??????�)]
�
2
∗sen
2
(??????�)
1
24??????
3
[4??????
3
�
3
+3�??????�(2??????�)−6??????�]
�
3
∗sen
2
(??????�)
1
8??????
4
[??????
4
�
4
−3??????
2
�
2
+3sen
2
(??????�)]
�
4
∗sen
2
(??????�)
1
40??????
5
[4??????
5
�
5
−20??????
3
�
3
−15�??????�(2??????�)+30??????�]
(−1)
??????+2
2
�!
2
??????+2
??????
??????+1
�??????�(2??????�)+∑[
(−1)
??????−2??????+2
2 �!
(2�−1)!2
??????−2??????+3
??????
??????−2??????+2
�
2??????−1
]
(??????+2)/2
??????=1

(−1)
??????+1
2
�!
2
??????+1
??????
??????+1
sen
2
(??????�)+∑[
(−1)
??????−2??????+1
2 �!
(2�)!2
??????−2??????+2
??????
??????−2??????+1
�
2??????
]
(??????+1)/2
??????=1




�∗e
????????????

1
??????
2
[??????
????????????
−??????�−1]
�
2
∗e
????????????

1
??????
3
[2??????
????????????
−??????
2
�
2
−2??????�−2]
�
3
∗e
????????????

1
??????
4
[6??????
????????????
−??????
3
�
3
−3??????
2
�
2
−6??????�−6]

�
??????
∗e
????????????
=



�
??????
∗sen
2
(??????�)
n Impar
n Par
�
??????
∗cos
2
(??????�)=
�
??????+1
�+1
− �
??????
∗sen
2
(??????�)

� ??????��??????�� ≥1; ??????≠0
�!
??????
??????+1
[??????
????????????
−∑
(??????�)
??????−??????
(�−�)!
??????
??????=0
]

� ??????��??????�� ≥0; ??????≠0

- 31 -

Tabla 10C Convolución de Funciones
�
??????
∗????????????�??????����??????���
�(??????)�(??????))

�(??????)∗�(??????))
�∗�??????�ℎ(��)
1
�
2
[−��+�??????�ℎ⁡(��)]
�
2
∗�??????�ℎ(��)
1
�
3
[−�
2
�
2
+2cosh⁡(��)−2]
�
3
∗�??????�ℎ(��)
1
�
4
[−�
3
�
3
−6��+6�??????�ℎ⁡(��)]
�
4
∗�??????�ℎ(��)
1
�
5
[−�
4
�
4
−12�
2
�
2
+24cosℎ(��)−24]

1
�
??????+1
(�!cosh⁡(at)−(��)
??????
−∑[
�!
(�−2�)!
(��)
??????−2??????
]
??????/2
??????=1
)

1
�
??????+1
(�!�??????�ℎ(��)−(��)
??????
−∑[
�!
(�−2�)!
(��)
??????−2??????
]
(??????−1)/2
??????=1
)

�∗���ℎ(��)
1
�
2
[−1+���ℎ⁡(��)]
�
2
∗���ℎ(��)
2
�
3
[−��+�??????�ℎ(��)]
�
3
∗���ℎ(��)
3
�
4
[−�
2
�
2
+2cosh⁡(��)−2]
�
4
∗���ℎ(��)
4
�
5
[−�
3
�
3
−6��+6�??????�ℎ⁡(��)]



�
??????
∗�??????�ℎ(??????�)
n Impar
n Par
�
??????
∗??????��ℎ(??????�)=⁡⁡⁡
�
??????
[⁡�
??????−1
∗�??????�ℎ(??????�)]

�⁡??????��??????��⁡≥1;⁡⁡⁡??????≠0

- 32 -


�(??????)�(??????))

�(??????)∗�(??????))
�∗�??????�ℎ
2
(��)
1
4�
2
[−�
2
�
2
+�??????�ℎ
2
⁡(��)]
�
2
∗senh
2
⁡(��)
1
24�
3
[−4�
3
�
3
+3⁡�??????�ℎ(2��)−6��]
�
3
∗senh
2
⁡(��)
1
8�
4
[−�
4
�
4
−3�
2
�
2
+3⁡�??????�ℎ
2
⁡(��)]
�
4
∗senh
2
⁡(��)
1
40�
5
[−4�
5
�
5
−20�
3
�
3
+15�??????�ℎ(2��)−30��]

�!
2
??????+2
�
??????+1
�??????�ℎ(2��)−∑[
�!
(2�−1)!⁡2
??????−2??????+3⁡
�
??????−2??????+2
�
2??????−1
]
(??????+2)/2
??????=1

�!
2
??????+1
�
??????+1
senh
2
(��)−∑[
�!
(2�)!⁡2
??????−2??????+2
⁡�
??????−2??????+1
�
2??????
]
(??????+1)/2
??????=1




Convolución con la unidad
1∗�??????�(��)
1−���⁡(��)
�
1∗�??????�ℎ(��)
���ℎ(��)−1
�

1∗cos⁡(��)
�??????�(��)
�
1∗cosh⁡(��)
�??????�ℎ(��)
�

1∗sen
2
⁡(��)
2��−�??????�(2��)
4�
1∗senh
2
⁡(��)
�??????�ℎ(2��)−2��
4�

1∗cos
2
⁡(��)
2��+�??????�(2��)
4�
1∗cosh
2
⁡(��)
�??????�ℎ(2��)+2��
4�


1∗t
??????

�
??????+1
�+1
1∗e
????????????

??????
????????????
−1
�


�
??????
∗senh
2
(??????�)
n Impar
n Par
�
??????
∗cosh
2
(��)=⁡
�
??????+1
�+1
⁡+⁡[�
??????
∗senh
2
(��)]

�⁡??????��??????��⁡≥1;⁡⁡⁡�≠0