Ley del coseno

1. ESCUELA SUPERIOR
POLITÉNICA DEL LITORAL
Allison Elena Moreira Vega
27 de julio de 2012

2. •Introducción
•Ley del Coseno
•Demostración
•Ejercicio
•Bibliografía

3. El teorema del coseno es una
generalización del teorema de Pitágoras
en los triángulos no rectángulos que
relaciona un lado de un triángulo con
los otros dos y con el coseno del ángulo
formado por estos dos lados.

4. En todo triángulo el cuadrado de la longitud de
un lado es igual a la suma de los cuadrado de
las longitudes de los otros lados, menos el
doble producto de estas longitudes por el
coseno del ángulo que forman.
c
2
= a
2
+ b
2
– 2ba. Cos γ

5. -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
A
B
C
c
b
a
s M
Ley del Coseno con
respecto al lado c
Cos γ = b – s / a
Despejamos s
a . Cos γ = b – s
s = b – a . Cos γ
1
h
γ

6. Por teorema de Pitágoras
sacaremos la hipotenusa del
triangulo AMB
c
2
= s
2
+ h
2

2
Para calcular el triangulo
CMB por el teorema de
Pitágoras tendremos:

a
2
= h
2
+ (b-s)
2



3
3
h
2
= c
2
- s
2
h
2
= a
2
- (b-s)
2

7. Igualamos las ecuaciones 2 y 3 en
las que despejamos h
2 = 3
c
2
- s
2
= a
2
- (b-s)
2
Lo resolvemos
c
2
- s
2
= a
2
- (b
2
-2bs+s
2
)
c
2
- s
2
= a
2
-b
2
+2bs-s
2
c
2
= a
2
-b
2
+2bs

h
2
= c
2
- s
2
2
h
2
= a
2
- (b-s)
23

8. s = b – a . Cosγ
1
Como ya tenemos solo una s la
remplazamos con la s de la
primera ecuación
c
2
= a
2
-b
2
+2bs
c
2
= a
2
-b
2
+2b (b – a . Cosγ)
Por propiedad distributiva
tendremos
c
2
= a
2
-b
2
+2b
2
– 2ba. Cos γ
c
2
= a
2
+ b
2
– 2ba. Cos γ

9. Las tres variables, depende del lado y el
ángulo que estemos buscando
b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac. Cos β
c
2
= a
2
+ b
2
– 2ba. Cos γ

10. c
a
b
60º
A
B
C
Solución:
Ejercicio 1
100 millas
150 millas
?

11. Entonces por definición de congruencia de triángulos
sabemos que β: 120º
Aplicamos la ley de Cosenos con respecto al lado b
b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cos(120º)
b
2
= (1oo millas)
2
+ (150 millas)
2
– 2(1oomillas )(150 millas)
(-1/2)
b
2
= 1oooo millas
2
+ 225oo millas
2
– 15000millas
2
b
2
= 47500 millas
2
b = √47500 millas
2
b = 217, 9449 millas

12. Ejercicio 2
Solución :
b
c a
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
A C
B
7m
5m 8m

13. Aplicamos la Ley de los Cosenos:
b
2
= a
2
+ c
2
– 2ac cos(β)
Despejamos:
cos(β) = a
2
+ c
2
– b
2
/ 2ac
cos(β) = (8m)
2
+ (5m)
2
– (7m)
2
/ 2(8m)(5m)
cos(β) = 40m
2
/ 80 m
2
cos(β) = ½
β = cos
-1
(½)

β = 60º

14. •Fundamentos de matemáticas ESPOL

•http://
www.youtube.com/watch?v=UDdxdYZav4A
•https://sites.google.com/site/timesolar/teoremapitagoras/leycoseno