Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana Juan de Burgos.pdf

MUY INTERESANTE

1. ALGEBRA LINEAL
Y GEOMETRIA CARTESIANA
Juan de Burgos
A.0 0
0A.0
0 0A=
a
T e r c e r a e d ic i ó n

2. ALGEBRA LINEAL
y
geometría cartesiana
Tercera edición
Juan de Burgos Román
Catedrático de Matemática Aplicada de la Escuela
Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos
Universidad Politécnica de Madrid
MADRID · BOGOTÁ · BUENOS AIRES * CARACAS · GUATEMALA · LISBOA
MÉXICO · NUEVA YORK · PANAMÁ · SAN JUAN · SANTIAGO · SAO PAULO
AUCKLAND · HAMBURGO · LONDRES * MILÁN · MONTREAL · NUEVA DELHI · PARÍS
SAN FRANCISCO · SIDNEY · SINGAPUR · ST. LOUIS · TOKIO · TORONTO

3. Contenido
PR Ó L 0(;0 A LA PRIMERA EDICIÓN........................................................... xiü
PRÓLOGO A LA SEGUNDA EDICIÓN........................................................... xvn
PRÓLOGO A LA TERCERA EDICIÓN
........................................................... ixx
INICIACIÓN: LINEALIDAD Y RANGO
P A R T E I
Introducción.............................................................................................................. 2
Capítulo L Sistemas de ecuaciones lineales; el método de Gauss................. 3
a Primeras definiciones. Equivalencia......................................................... 3
1.1. Sistemas de ecuaciones lineales....................................................... 3
1.2. Sistemas equivalentes....................................................................... 8
P El método de Gauss..................................................................................... 12
1.3. Matrices escalonadas y sistemas escalonados
.................................. 12
1.4. El método de Gauss........................................................................... 16
1.5. Sistemas homogéneos con menos ecuaciones que incógnitas......... 21
Capítulo 2. Rango (de vectores y de matrices)
................................................ 22
a Vectores de n componentes........................................................................ 22
2.1. El espacio vectorial K"..................................................................... 23
2.2. Dependencia e independencia lineal................................................. 26
p Rango de un sistema de vectores............................................................... 30
2.3. Rango. Operaciones elementales....................................................... 30
2.4. Cálculo del rango de un si.stema de vectores
.................................. 34
y Rango de una matriz................................................................................... 36
2.5. Existencia y cálculo del rango......................................................... 36
2.6. Matrices equivalentes
....................................................................... 40
Capítulo 3. Operaciones con matrices; matriz inversa
................................... 42
a Matrices; álgebra de matrices.................................................................... 43
3. l . Primeras definiciones......................................................................... 43
3.2. Producto de matrices......................................................................... 46
3.3. Traspuesta de una matriz.................................................................. 54
3.4. Relación entre las operaciones elementales y el producto............. 55
3.5. Multiplicación de matrices por bloques............................................ 60
P Matrices invertibles
.................................................................................... 62
3.6. Definición y primeras propiedades................................................... 62
3.7. Cálculo efectivo de la inversa.......................................................... 65
3.8. Caracterizaciones de las matrices invertibles................................... 67
vii

4. CONTENIDO
C a p í t u l o 4. D e t e r m i n a n t e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
a Definición y valor de un determinante
. . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1. D e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z c u a d r a d a
. . . . . . . . . . . . . . 7 2
4.2. E x p r e s i ó n del valor d e u n d e t e r m i n a n t e
. . . . . . . . . . . . 75
4.3. C á l c u l o efectivo d e u n d e t e r m i n a n t e
. . . . . . . . . . . . . . 8 3
P Propiedades: desarrollo de un determinante, determinante de la matriz
inversa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 8 5
4.4. D e t e r m i n a n t e d e u n p r o du c to : c o n s e c u e n c i a
. . . . . . . . . . . 85
4.5. Desarrollo p o r los e l e m e n t o s d e u n a l í n e a
. . . . . . . . . . . . 8 7
4.6. M a ü i z i n v e r s a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.7. R a n g o d e m e n o r e s d e u n a m a t r i z
. . . . . .. . . . . . . . . . 9 3
y Teoremas de Cramer y de Rouché
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6
4.8. S i s t e m a s d e C r a m e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8
4.9. T e o r e m a d e R o u c h é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9
Ejercicios y p r o b l e m a s a la p a r t e 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3
E n u n c i a d o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
S o l u c i o n e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
ALGEBRA LINEAL
PARTE II
C a p í t u l o s . E s p a c i o s v e c t o r i a l e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 16
a Espacios, subespacios y combinaciones lineales
. . . . . . . . . . . 1 16
5.1. C o n c e p t o d e e s p a c i o v ec to r ia l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2. S u b e s p a c i o s vec to r ia le s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3. D e p e n d e n c i a e i n d e p e n d e n c i a lin ea l
. . . . . . . . . . . . . . . 120
P Bases, Coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4. E s p a c i o s d e d i m e n s i ó n finita
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5. C o o r d e n a d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6. R a n g o d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s
. . . . . . . . . . . . . . . . 137
y Suma de subespacios
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.7. S u m a y s u m a d i r e c t a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.8. D i m e n s i ó n d e la s u m a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
C a p í t u l o 6. A p l i c a c i o n e s l i n e a l e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 49
a Aplicaciones lineales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 49
6.1. D ef i n i c i ó n y p r o p i e d a d e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2. I s o m o r f i s m o s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
P Matrices de las aplicaciones lineales
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 0
6.3. E c u a c i o n e s y m a t ri z d e u n a a pl ic a ci ón l ineal
. . . . . . . . . . 1 60
6.4. M a t r i c e s e q u i v a l e n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
y Operaciones con aplicaciones lineales
. . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.5. E s p a c i o s vectoriales d e h o m o m o r f í s m o s y d e m a ü i c e s
. . . . . 176
6.6. Anillo d e e n d o m o r f í s m o s . M a t r i c e s invertibles
. . . . . . . . . 1^^
8 Sistemas de ecuaciones lineales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1^5
6.7. V a r i e d a d e s a f í n e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.8. T e o r e m a d e R o u c h é
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
€ Espacio dual
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 90
6.9. E s p a c i o d u a l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.10. A p l i c a c i ó n dua l o t r a s p u e s t a
. . . . . . . . . . . . . . . . .. 1^^

5. í x
f Factorízjación L U de una matríz (’·')
. . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 5
A. 13. Existencia de la factorízación L U........................................................ 616
A. 14. Factorízación L D U................................................................................... 623
A. 15. Resolución de un sistema de ecuaciones acudiendo a la factoríza*
ción L U....................................................................................................... 623
A. 16. Factorízación L D U ..................................................................................... 623
Ejercicios y p r o b l e m a s a la p a r t e 1 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 6
Enunciados................................................................................................................. 196
Soluciones.................................................................................................................. 202
P A R T E III
C a p í t u l o 7. F o r m a s c u a d r á t i c a s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 8
a Formas cuadráticas. Conjugación
. . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 8
7.1. F o r m a s b ilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 8
7.2. F o r m a s c ua dr á ti ca s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 8
7.3. C o n j u g a c i ó n respecto d e u n a f o r m a c u a d r á t i c a . . . . . . . . . 2 2 4
p Diagonalización de una forma cuadrática
. . . . . . . . . . . . . 2 3 1
7.4. F o r m a diagonal ( c o n g r u e n c i a )
. . . . . . . . . . . . . . . . . 2 31
7.5. D ia go n al iz a ci ón efectiva d e u n a f o r m a c ua dr á ti ca
. . . . . . . 2 3 4
y Formas cuadráticas reales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 9
7.6. F o r m a s definidas y ley d e inercia
. . . . . . . . . . . . . . . 2 4 0
7.7. E x p r e s i ó n c a n ó n i c a d e u n a f o r m a c u a d r á t i c a
. . . . . . . . . . 2 4 6
C a p í t u l o 8. E s p a c i o s vectoriales e u c l í d e o s
. . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3
a Producto escalar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 4
S . L P r o d u c t o escalar d e v e c t o r e s
. . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 4
8.2. N o r m a s y á n g u l o s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 9
P Vectores ortogonales y ortonormales
. . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 6
8.3. B a s e s o r t o n o r m a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 7
8.4. P r o y e c c i ó n o r t o g o n a l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 7
y Transformaciones ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 4
8.5. T r a n s f o r m a c i o n e s o rt og o na le s
. . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 5
8.6. M at ri c es o r t o g o n a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 0
8.7. T r a n s f o r m a c i o n e s ortogonales e n 2 y 3 d i m e n s i o n e s
. . . . . . 2 9 7
8 Producto mixto y producto vectorial
. . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 4
8.8. P r o d u c t o m i x t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 5
8.9. P r o d u c t o vectorial
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 8
6 Pseudoinversa. Solución según mínimos cuadrados (’*'*). . . . . . . 3 1 3
A . 16. D e s c o m p o s i c i ó n d e u n a matriz e n valores principales
. . . . . 6 2 5
A . 17. A pl i c a c i ó n y matriz p s e u d o i n v e r s a s
. . . . . . . . . . . . . 6 2 9
A . 18. A p r o x i m a c i ó n d e soluciones p o r m í n i m o s c u a d r a d o s
. . . . . 3 1 3
Ejercicios y p r o b l e m a s a la p a r t e III
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 4
E n u n c i a d o s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 4
S o l u c i o n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 0
( · ) Véase el Apéndice 6.
( · · ) Véase el Apéndice 7.

6. a Autovalores y autovectores............................................................................ 32(;
9.1. Autovalores y autovectores. Polinomio característico
................... 325
9.2. Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor
.............. 335
9.3. Complejificación de un espacio vectorial real................................. 341
P Endomorfismos diagonalizjobles.................................................................... 345
9.4. Diagonalización (por semejanza)..................................................... 345
9.5. Diagonalización ortogonal................................................................. 353
Ejercicios y problemas a la parte IV ...................................... ............................ 364
Enunciados....................................................................................................... 364
Soluciones........................................................................................................ 368
G E O M E T R ÍA C A R T E S I A N A
PA R T E V
Capítulo 10. Los espacios geométricos E i J ........................................ 374
a Axiomas y definiciones............................................................................... 374
10.1. Los espacios geométricos bi y tridimensionales
............................ 374
10.2. Las rectas y los planos
..................................................................... 380
P Geometría plana (afin y euclídea).............................................................. 383
10.3. Problemas afínes (en el plano E ^)................................................... 383
10.4. Problemas euclídeos (en el plano £ j ) ............................................. 391
y Geometría tridimensional (afin y euclídea)................................................ 402
10.5. Ecuaciones de rectas y planos.......................................................... 402
10.6. Posiciones relativas de rectas y planos........................................... 409
10.7. Angulos y disuincias (en £3) ............................................................ 420
Ejercicios y problemas a la parte V — .............................................................. 436
Enunciados...................................................................................................... 436
Soluciones....................................
................................................................... 440
PA R T E VI
Capítulo 11· Cónicas: estudios particular y general
......................................... 446
a Estudio particular de las cónicas................................................................ 446
11.1. Las tres cónicas................................................................................. 447
11.2. Primeras propiedades de las cónicas
............................................... 456
P Estudio general de las cónicas................................................................... 467
11.3. Las cónicas: ecuaciones y tangencia.............................................. 468
11.4. Ecuaciones reducidas y clasifícación de las cónicas
................... 476
11.5. Elementos de las cónicas
................................................................ 485
Capítulo 12. Cuádricas: estudios particular y general.................................... 4%
a Estudio particular de las c ú p ric a s............................................................ 4%
12.1. Las cinco cuádricas........................................................................ 497
12.2. Primeras propiedades de las cuádricas...........................................
P Estudio general de las cuádricas...............................................................
12.3. Las cuádricas: ecuaciones y tangencia........................................... 523
PARTE IV
Capítulo 9. Diagonalización de endomorfismos y de m a trice s........................ 3 2^

7. 12.4. E cuaciones red ucidas y c la sifica ció n de las c u á d r ic a s
....................... 534
12.5. E lem entos de las c u á d r ic a s
........................................................................... 554
Ejercicios y problemas a la parte VI............................................................. 564
E n u n c ia d o s............................................................................................................................ 564
S o lu c io n e s.............................................................................................................................. 569
APENDICES
1. Algebra básica.......................................................................................... 577
2. Diagonalización por bloques de una transformación ortogonal.................... 590
3. Forma canónica de Jordan......................................................................... 594
4. Espacio afín (de dimensión n e N).................................................................... 601
5. Espacio afín ampliado (puntos del infinito)................................................ 612
6. Factorización L U de una matriz................................................................. 616
7. Pseudoinversa. Solución en el sentido de los mínimos cuadrados................. 625
Alfabeto griego................................................................................................ 617
Referencias bibliográficas............................................................................... 619
índice.............................................................................................................. 621

8. INICIACIÓN:
LINEALIDAD T RANGO
íntTüííu£CÍón.
1. 5tst£míi5 de. ecuaciones íineaícs: eí método de Gauss.
2. Rango (de vectores y de tnatríces).
3. Operaciones con matrices: matriz inversa.
4. Det£rminante5.
Ejercicios y proSíetnas.
RELUDIO introito o a^prdio, en eíque se
fuéía a^o, por ib aeneraípoco y no siempre
bastante, acerca ae Ibp
ecuaciones finales e l iranio», (as
imatrices» y (os ideterminantes», queriendo así ofrecer
a((ector, tanto una fierramienta que (e permita
manejarse con so(tura y eficacia, en (o que (ueao vendrá,
como una referencia y un cobijo a (os que poder acogerse
cuando, pronto, se estudien conceptos más abstractos y
generales.

9. Introducción
Este modo de iniciar un curso de «Álgebra Lineal», hablando de los «sistemas
de ecuaciones lineales» y del «rango», no es ninguna tontería. Hay importantes
motivos para ello: Bien es verdad que, desde un punto de vista lógico y formal,
quizá habría que pensar en emprender la tarea presentando en primer lugar a
los «espacios vectoriales», luego a los «hormomorfismos» o «aplicaciones li­
neales» entre espacios vectoriales, más tarde a las «inatrices» y, con todo ello
y algo más, abordar debidamente el estudio de los «sistemas de ecuaciones
lineales» y de otras cuestiones. Creemos, no obstante, que la didáctica dice otra
cosa.
Los conceptos deberán presentarse de la manera que mejor puedan enten­
derse, la cual no es, generalmente, la que demanda la lógica. Ello no debe
impedir que, al final del proceso de aprendizaje, los conocimientos adquiridos
terminen formando el entramado adecuado, de suerte que, a la postre, se
consiga que los saberes queden pertinentemente estructurados.
Con el correr de los años, han sido muchos los problemas que han desem­
bocado en sistemas de ecuaciones lineales, de las que ha habido que hallar las
soluciones. Al abrigo de estos procesos de búsqueda de soluciones, y al de otros
desarrollos similares, se han ido perfilando los conceptos de vector, matriz,
rango, homomorfismo, etc.; no ha ocurrido al revés. Por ello, entendemos que,
al menos ahora, al comienzo, todos estos conceptos se deben dar a conocer
respetando su «antigüedad». Piénsese que aquello que primero se resolvió fue,
a no dudarlo, lo que era más fácil de resolver.
Es obvio que con el poco bagaje de conocimientos que, a estas alturas, se
nos supone, no nos va a ser posible llegar al fondo de las cuestiones que aquí
se abordan; tiempo tendremos para ello más adelante.
Este capítulo introductorio pretende cubrir varios objetivos, todos ellos
valiosos. Este capítulo es el escalón que permitirá acceder a una estancia que
está situada más alta de lo que es ordinario. Este capítulo es la base en la que
sustentar los conceptos abstractos que luego vendrán. Este capítulo será la
herramienta o instrumento que permitirá manejarse con soltura en lo que sigue.
Este capítulo es el germen de multitud de ideas y conceptos que pueblan el
«álgebra lineal».

10. Sistemas de ecuaciones
lineales; el método
de Gauss
CAPÍTULO
1
a PRIMERAS DEFINICIONES.
EQUIVALENCIA
¡CUIDADO CON LA
PALABRA «LINEAL»!
lay que avisar que. en el hablar
ndioarío de las gentes, hoy día
e está utilizando la palabra li-
leal para denotar a lo que es
ODStante. Así, cuando se dice
(ue se ha producido un «aumen-
o lineal del sueldo» de unos tra-
>ajadores y que dicho aumento
la sido de A euros, se nos quiere
ndicar que a todos y cada uno
je los trabajadores se le ha
iumentado el sueldo en una mis-
na cantidad, A euros, constante
jara todos. Si en esto de las su­
bidas de sueldos, la linealidad
íignificase lo mismo que en Ma-
lemáticas, una subida lineal de
iin 10 por 100, pongamos por
;:aso. significaría que al que ga­
na 100 se le aumenta en 10 y al
que gana 200 se le aumenta en
20; esta subida no es «constan­
te» es «proporcional» a lo que se
gana.
Según ya reza en el título de este libro, los problemas que nos van a ocupar
son los «lineales», entendiendo por tales a aquellos en los que al duplicar,
triplicar, etc., la causa, acontece que se duplica, triplica, etc., el efecto;
también se requiere que, al sumar las causas, se sumen los efectos. Así, por
ejemplo, si las causas vienen representadas por jc e y. que denotan a dos
números cualesquiera, y el efecto es a = 3jc — ly^ este a depende linealmente
de los jc e y.
Los problemas directos son aquellos en los que los datos conducen direc­
tamente, sin rodeos, a los resultados. Si lo que se conocen son los resultados
y se buscan los datos que se necesitarían para obtener dichos resultados, se está
considerando un problema inverso (o recíproco). Los sistemas de ecuaciones
lineales tienen esta condición de problema inverso; en ellos, hay que hallar los
datos (x e y, por ejemplo) que, en un problema de tipo lineal, conducirían a
unos resultados que nos son conocidos (a y (i, por ejemplo). Así, en un sistema
como él
hay que hallar los valores ác x c y (que se llaman incógnitas) que conducen a
los resultados a y p (que son dados).
1.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Debemos empezar precisando el significado de los distintos términos que va­
mos a utilizar en lo que sigue:

11. ÁLGEBRA LINEAL
[«01]
DEFINICIONES
Un sistema de m ecuaciones lineales en las n incógnitas x^^ x^ es
todo conjunto de relaciones del tipo:
Ecuación primera: + « 12^:2 + "· + ciy„x„ ==
Ecuación segunda: « 22-^2 **’ ~ ^2
Ecuación m-ésima: a„^^Xy + //l/I n ftl
f í l
Los a,y (coeficientes) y los />,· (términos independientes) son escalares
dados; es decir, elementos de un cuerpo cualquiera**^ Se dice que los
escalares a,, a^,a„ constituyen una solu ción de S si al tomar jc, = a„
X2 = 0Í2, x„ = a„, las m ecuaciones se convierten en igualdades; resot-
ver S es hallar todas sus soluciones. Se dice que un sistema es com patible
si tiene alguna solución y que es in com patible si carece de ellas; cuando
es compatible, se dice que es d eterm in ado si tiene una sola solución e
indeterm inado si tiene más de una.
(·) El cuerpo K de los escalares pue de ser cualquiera. P u e d e suponerse, si ello faciliu
la comprensión de estas cuestiones, q u e K es el cuerpo real (/C = R ) o q u e es el cuerpo
complejo (K= C).
Discutir un sistema de ecuaciones es analizar si éste tiene soluciones y, caso
de tenerlas, cuántas tiene.
EJEMPLOS
L x + > + z= 6
a: + )i-z = 0
X +z = 4
x + y = 3
Este sistema (en las incógnitas x, y , z ) tiene solución
única que es la (j:, y, z) = (1, 2, 3); se trata, pues, de un
sistema compatible y determinado.
2. x + y + z = 6
x + y - z = 0
x + y =3
JC + y + 2z = 3
Este sistema es compatible indeterminado, ya que tiene
infinitas soluciones; éstas son todas las (x, y, 2) = («>
3 — a, 3), donde a es un número real cualquiera.
3.■*+ y + z = 6
x+ y - z = 0
-2x-2y = 1
Este sistema es incompatible, carece de soluciones.
Nótese que al sumar las tres ecuaciones se llega
a 0 = 7.

12. : ECUACIONES LINEALES; EL MÉTODO DE GAUSS
Q SIGNO SUMATORIO;
ÍNDICES MUDOS E INDICES LIBRES
1. Para escribir de manera abreviada una suma como la se
recurrirá a la leü-a griega S (sigma mayúscula), que recibe el nombre de
signo sumaíorioy y se pone:
P , + />, + ··· + /> „= i P,
Aquí se ha recurrido a la letra y, que se llama índice mudo, que no tiene
un valor determinado; se supone que j varía recorriendo todos los valores
naturales 1, 2. n. La letra j se puede sustituir por otra letra cualquiera,
sin que por ello varíe el resultado; esto es:
n n n
lpj=lp,= I
ja,\ A -1 0-1
Así, por ejemplo, las m ecuaciones del sistema S (de [001]) pueden ponerse
en la forma:
n n n
2. Por otra parte, para denotar de manera conjunta a todas y cada una de las
m ecuaciones del sistema 5, se puede recurrir a otro índice, que llamaremos
i y representará a cualquiera de los números 1, 2, m, y poner:
a,.,,ti + a¡2X2 + - + = b¡ para / = 1, 2
....m [5]
Aquí / es un índice libre; para cada valor que se le dé a /, se va a obtener
una de las ecuaciones del sistema S,
3. Recurriendo ahora a un índice libre i (que varía de 1 a m) y a un índice
mudo (que varía de 1 a n), el sistema S se puede expresar como sigue:
n
Z a¡jXj = b, (i = 1, 2
......m) [5]
J EXPRESION MATRICIAL DE UN SISTEMA
Lo que distingue a los sistemas de ecuaciones lineales, diferenciando a unos
de otros, son sus coeficientes y sus términos independientes. Para caracterizar
a un sistema de ecuaciones, como el
^ ^ ^ /de m ecuaciones: / = 1, 2, m \
L a y X j = b, (1=1 ,2.......m) · ^ ^
jm\ ^ ^ \con n incógnitas: 7=1, 2, ..., n ]

13. ÁLGEBRA LINEAL
basta con saber los valores que toman los siguientes escalares;
a¡j (coeficiente que afecta a la incógnita y-ésima de la ecuación /-ésimas)
b¡ (término independiente de la ecuación /-ésimas)
Un sistema de ecuaciones queda, pues, determinado en cuanto se conozca
la tabla rectangular, o matriz, que forman sus coeficientes y sus términos
independientes, situados todos ellos en la misma posición relativa que ocupa­
ban en el sistema. Nótese que esta tabla es lo que queda del sistema al
prescindir en él de las incógnitas y de los signos (+ e = ). Concretando:
[002]
Sea dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, al que
llamaremos [5]:
a¡^x^+a,2Xi + - + a¡„x„ = b¡
02lJC| + fl22^2 + - + " 2 A , = ¿2
[S]
a„,Xi + a„2X2 + - + a ^ „ = b^
Se llaman matriz de los coeficientes, matriz de los términos independien­
tes y matriz del sistema (o ampliada) a las siguientes tablas rectangula­
res^*^ A, B y formadas por escalares:
’ «11
«21
« 1 2
« 2 2
- « l »
· · · « 2 «
; B =
í»2♦ AD —
«11
« 2 .
« 1 2
« 2 2 · " « 2 » ¿ 2
:
» / t t s —
« « 2
A . « m i « m 2 - « m .
De manera abreviada y, por el momento, también simbólicamente, el
sistema S se expresará poniendo:
se llama columna o vector
columna de las incógnitas
(*) Posteriormente, se precisará y se completará la d efmi c ió n d c matríz. D c m o m e n t o
nos basta c o n saber q u e la matriz A. por ejemplo» cs u n a tabla rectangular de m-n escalares
dispuestos en m filas y n columnas. L a fila i<ésíma d e A cs la sucesión d e escalares
c o l u m n a y-ésima d c A cs la sucesión de escalares (que e n A aparecen
dispuestos venicalmente). S e dice q u e el e le me n to a,j, q u e está situado e n la fila i y e n la
c o l u m n a y, es el e lemento q u e o c u p a cl lugar (i, J) o ij.

14. CUACIONES LINEALES; EL MÉTODO DE GAUSS
J SISTEMAS HOMOGENEOS
Los sistemas de ecuaciones que tienen nulos sus términos independientes, se
llaman homogéneos. Esto es:
[003]
Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo si es dcl tipo:
im
Abreviadanienic, se pondrá
AX = O, donde O cs inairiz
(de una sola columna) cuyos
elementos son todos nulos
Todo sislcma de ecuaciones lineales homogéneo [//| tiene» al menos, la
solución JC, = = ··· = jc^ = O, llamada solución trivial o nula, por lo que
siempre cs compatible. Será compatible indeterminado si tiene alguna
solución no nula.
Las combinaciones lineales de las soluciones de un sistema homogéneo
son, también, soluciones de éste; es decir:
á y 0 son soluciones de H =>
=> Á á '^ fjL0 es solución de / / (A y /t escalares)
(♦) Por razones de brevedad, se ha llajiiado A " (a ,
...... or^). y
AA + + /i/3,
......Ao, +
COMPROBACIÓN
Expresando el sistema homógeneo en la forma abreviada X UijXj = O, com o á
y p son soluciones, se sabe que
H n
X a¡¡Xj = O y Z = O (para í = 1, 2
..................m)
Por tanto, \ á + también es solución, ya que (para / = 1, 2
.......m):
n n
X a„{ka,+ n P ) = X (Aa,j«^ + =
>-·
= A X a,.a, + At X a¡fi, = A- 0 + /i-0 = 0
>-i J - l

15. Al g e b r a l in e a l
I a la «cantidad» de
\ut tienen los conjun-
s se les clasifica en
• INFINITOS. Si C es
0 finito, se dirá que
número finito de ele-
C cs un conjunlo in-
lirá que C tiene infí-
;ntos. No es correcto
iste último caso, que
1 número infinito de
infinito no es un nú-
E JE R C IC IO
Se desea com probar que, si un sistema de ecuaciones lineales tiene más de una
solución, entonces el sistem a tiene infinitas soluciones. M ás exactam ente, va­
mos a probar que:
Dado un sistema de ecuaciones lineales
Σ a¡jXj = b¡ (con / = 1, 2, .... m)
SI
á = ( a ,, a^. .... a J
0 = (l3,,/3„
son dos raíces distintas del sistema, entonces se verifica que
a) á - /3 = («I - )3,, Ü2 — - /3„) es raíz del sistem a homogéneo
2 atjXj = 0.
b) á + A (á — p) es raíz del sistem a dado X a¡jX¡ = b¡ para todo escalar A.
RESOLUCIÓN
a) Σ α,/α^ - β ) = Σ a¡¡a¡ - Σ Uyfij = b ¡ - b ¡ = 0
J J J
luego a - β es raíz del sistem a hom ogéneo.
b) Σa¡JÍ_a¡ + A (a ,- βι)] = Σa¡jO¡ + A Σa¡j{aj- β^) = b¡+ \ - 0 = b¡
j J j
luego á + Λ(ά — β) es raíz del sistem a dado para cualquier A.
1.2. SISTEMAS EQUIVALENTES
Para resolver un sistema de ecuaciones, se le irá «reduciendo» a otros sistemas
que sean más simples; eslo es, se buscarán sistem as que tengan las mismas
soluciones que el dado y que resulten cada vez más fáciles de resolver. A los
sistemas que tienen las mismas soluciones se les llam a equivalentes; de ellos
nos ocupamos ahora:

16. "EMAS DE ECUACIONES LINEALES: EL MÉTODO DE GAUSS
^ EQUIVALENCIA DE SISTEMAS; OPERACIONES
ELEMENTALES
[004]
LAS OPERACIONES
ELEMENTALES
un sistema de ecuaciones)
►;]: intercambio, de las ecua­
ciones i y j ésimas.
► Ai]: Multiplicar por A ^ O la
ecuación /-ésima.
* i' + Aj]: sumar, a la ecua­
ción i-ésima, A por
la y-ésima.
Dos sistemas de ecuaciones (con las mismas incógnitas) se dicen equi­
valentes si tienen las mismas soluciones, o sea, si toda solución de
cualquiera de ellos es también solución dcl otro.
Propiedad fundamental de la equivalencia.-U n sistema de ecuaciones
lineales es equivalente a cualquiera de los sistemas que resultan de rea­
lizar, en aquél, cualesquiera de las singuientes manipulaciones, que se
llaman operaciones elementales:
I C a m b i a r el orden con el que figuran las ecuaciones en el sistema.
2.° M ultiplicar una de las ecuaciones por cualquier escalar no nulo.
3.^ Sumarle, a una de las ecuaciones, otra cualquiera de ellas.
4.® Aplicar, reiteradamente, cualesquiera de las operaciones anteriores
(en particular, sumarle a una ecuación, cualquier combinación lineal
dc las demás)
NOTA: Hay quienes consideran también como operación elcmeniaJ (cosa que no hare­
mos no.sotros) a la siguicnlc: suprimir una ecuación que sea combinación lineal de otras
ecuaciones del sistema.
( ♦ ) Por definición, las combinaciones lineales de las ecuaciones + />,y + c,r = d^ y
a¿x + bjV + CjT =» rfj son las ecuaciones
(a fl, + + (ab, + J3b2)y + (aec, + /Sc2)z = or^, +
donde ar y p .son escalares cualesquiera.
Nótese que entre las operaciones elementales del apartado 4.°, cabe destacar la
siguiente: sustituir una cualquiera de las ecuaciones por una combinación lineal
de otras y de ella misma de manera que el coeficiente que multiplica a ésta
sea no nulo.
Vamos aquí a simplificar la notación llamando
E^(x) = a.yXf -h 0 , ^ 2 + *·· + (para / = 1, 2
......m)
con lo que el anterior sistema de ecuaciones S (véase [002]) se expresará en la
forma S*
E,(x) = 0
E2Íx) = 0
IS l

17. 10
Al g e b r a uneal
Con este Upo de notación, la propiedad anterior asegura que. por ejemplo, son
equivalentes los siguientc.s sistemas:
£,(jf) = 0
£ j(í) = 0>
£,(-?) = oJ
2£,(;t) = 0
3 £j(.f)-£ j(.f) = 0
£ ,(í) = 0.
£ ,( /) = Oí
2 £ j( jf ) + 3 £ ,( jt) = 0
J £3(jE )-£ ,(í) + 5£j(x) = oJ
DEMOSTRACION
VECTORES
Aquí, para dcnouu· a las sucesio­
nes (Xi,X2
.....x„) y (a „ a j.....
Jc n escalares, se ha recurrido a
íscribir JC y o. A estos elementos
?e les llamará vectores. Un poco
r\ás adelante se estudiarán con
Jetenimiento estos objetos mate-
náticos; de momento, sólo he­
lios necesitado de sus combina­
ciones lineales: si
“ = (« |. ",)
(P
........P.)
« llama Ad-*f a
(Aíir, + /x/9,
.......Aof, + /X/3J
A y son escalares).
Los casos 1.®) y 2.®) son obvios; el caso 4 “) se reduce a aplicar reiteradamente
los resultados de los casos que le preceden. Por ello, sólo consideraremos el ¡
caso 3.®).
Para señalar que jc, = a ,, jc, = ofj» ~ solución del sistema,
se dirá que la solución es la x = á, esto es, se ha llamado ;
I
.f=(A·,, A·,
......X,) y á = (o·,, a ,, ..., Qf„) ,
Para verificar que la propiedad es cierta en el caso 3.®), no hay más que '
darse cuenta de que las siguientes afirmaciones son equivalentes entre sí:
á es solución
del sistema
£,(Á) = 0 ‘
£2(jO = 0
EJX) = 0
se verifican se verifican á cs solución
las igualdadeslas igualdades del sistema
£,(«) = O £,(d) + £ j ( á ) = 0£ , (jc) + £ 2 (jc) = 0
£2(5) = 0 £2(5) = 0 E2(x) = 0
E já ) = 0
OBSERVACIÓN
Sea S un sistema de m ecuaciones lineales y sea S' un sistema formado por m
combinaciones lineales de aquellas. Es evidente que toda solución de S es.
también, solución de S'. Sin embargo, en general puede haber soluciones de S'
que no lo sean de S. Así puede ocurrir en los dos ejemplos siguientes, en los
que se toma para 5 ' uno de los 5¡ o S^:
£,(í) = 0
E2(j0 = 0
£ ,(^ = 0.
[ÍI
£,(x) = 0
£3(;0 = o
£ ,(í) + £j(jc) = 0.
£ ,( J ) - £ j( jí) = 0
[5¡] ; £ , ( í ) - £ ,( x ) = 0
£ ,( jt ) - £ ,( J ) = 0
[Sí]

18. Tómese, en concreto
£,(jt) = x,+X2-2, £,(x) = X2+-*3 ~ 2 y £j(i) = Xj + JC| - 2
En este caso, S tiene una única solución que es la x, = 1, JC2 = 1, X3 = 1. El
sistema S[ tiene infinitas soluciones, que son las jc, = A (cualquiera), jCj = 2 — A
y JC3 = 2 - A. El sistema 5^ tiene infinitas soluciones, que son las
Xi= X2 = Xy = Á (cualquiera).
EJEM PLO
IES; EL MÉTODO DE GAUSS 1 1
Recurriendo a la propiedad anterior y aplicándola atinadamente, se pueden
resolver los sistemas de ecuaciones. Así, por ejemplo, el siguiente sistema S es
equivalente a los 5' y 5 " y la resolución de este último es elemental:
(1.“) — JC+ y 'l·2 z = 9
(2.®)—► 3jcH-6y~5z = 0
(3.“) — 2x + 4 y -3 z = l
IS]
(r) = (l.“) - 2z = 9
(2') = (2.“) - 3(1.“) - 3>^ - 1 Iz = - 2 7 V [S']
(30 = (3.“) - 2 ( 1 . “) - 2 y - 7z=-17j
(rO = (l') JC+ 2z = 9
(2'') = (2') - 3>^-llz=-27y [5"]
(3") = 3 ( 3 ') - 2 ( 2 ') - z = 3
La solución de 5 " es, evidentemente, la z = 3, y = 2, j c = 1, que es también
la solución del sistema dado.
□ENFOQUE MATRICIAL
Si se conoce la matriz de un sistema, éste también se conoce y, por ello, se
podrá resolver. Al ser mucho más cómodo manejar solamente la matriz, en
lugar de todo el sistema, así se hará, con lo que simplificaremos el proceso de
resolución. En este sentido, es útil observar que la anterior propiedad [004],
sobre sistemas equivalentes, puede formularse en los siguientes términos:

19. Tómese, en concreto
£ ,(í)= .r ,+ X2-2. £ j(í)= jc2 + j c , - 2 y E ,{x ) = Xy + x ^ - 2
En este caso. S liene una única solución que es la jc, = I. JC2 = I, JCj = L El
sistema 5¡ tiene infinitas soluciones, que son las jc, = A (cualquiera), jCj = 2 - A
y jCj = 2 - A, El sislema S[ tiene infinitas soluciones, que son las
JC, = JC2 = JC, = A (cualquiera).
EJEMPLO
Recurriendo a la propiedad anterior y aplicándola atinadamente, se pueden
resolver los sistemas de ecuaciones. Así. por ejemplo, el siguiente sistema S es
equivalente a los 5' y 5" y la resolución de este último es elemental:
(1.“) — y + 2z = 9 ‘
( 2 . * ) - 3.c + 6 y - 5 z = 0 > [S]
(3.“) — 2x + 4y~3z = 1.
(l') = (L“) ^ jc+ y + 2z = 9 )
(20 = (2.·) - 3(1.“)-^ 3y - 1 Iz = “ 27 > [S']
(30 = (3.-)-2(1.“) - 2 y- 7 z= -1 7 j
( r O = (r> x+ y + 2z = 9
(2 '0 = (20 - 3 y - llz = -2 7 ^ [S '']
(3'') = 3 (3 0 -2 (2 0 - z = 3
4LES: EL MÉTODO DE GAUSS 1 1
La solución de S'* es. evidentemente, la z = 3. y = 2. jc = 1. que es lambién
la solución del sistema dado.
□ENFOQUE MATRICIAL
Si se conoce la matriz de un sistema, éste también se conoce y. por ello, se
podrá resolver. Al ser mucho más cómodo manejar solamente la matríz. en
lugar de lodo el sistema, así se hará, con lo que simplificaremos el proceso de
resolución. En este sentido, es útil observiu· que la anterior pmpiedad [004].
sobre sistemas equivalentes, puede formularse en los siguientes términos:

20. 12 ÁLGEBRA UNEAL
[005]
LAS OPERACIONES
ELEMENTALES
(en las filas de una matriz)
[/ ^ j ]: intercambio, de las filas i
y j ésimas.
[/—♦ A/]: Multiplicar por A O la
nía /-ésima.
[/—► / + Áj]: sumar, a la fila /-ési­
ma, A por la y-ésima.
j
Un sistema de ecuaciones lineales AX — B equivalente a cualquiera de j
los que se obtienen de realizar operaciones elementales en las filas de su |
matriz ; se llaman operaciones elementales a las siguientes manipula- |
ciones: ;;
1.° Cambiar el orden en el que, en aparecen las filas. ;
2.*^ Multiplicar una fila por un escalar no nulo. j
3.° Sumarle, a una fila, otra cualquiera de ellas. |
4.** Aplicar, reiteradamente, cualesquiera de las operaciones anteriores |
(en particular, sumarle, a una fila, cualquier combinación lineal de j
las demás). !
EJEMPLO
Para resolver el siguiente sistema S (que es el ya considerado en el último ejemplo), si
manejamos (en lugar de todo el sistema) solamente su matriz AB, al realizar operaciones
elementales en sus filas, se obtiene
> - +2 2=9·) " 1 1 2 9· 1.‘
6> - -5z = 0> [ 5] ; / © = 3 6 - 5 0 * -2.·
4> r -3z = I J
2 4 - 3 1 _ — 3.‘
( ! ' ) = ( ! . “ ) ^
' 1 1 2 9·
(2') = (2.“ ) -3( l . * ) - 0 3 - 1 1 -2 7
(3' ) = (3.“ ) -2( l . “ ) - _ 0 2 - 7 —1 7.
d " ) = ( l ' ) - ' 1 1 2 9·
(2" ) = ( 2' ) - 0 3 - 1 1 - 2 7
(3” ) = 3(3' ) -2(2' ) - . 0 0 1 3.
Esta última matriz lo es de un sistema que se resuelve trivialmente; su
solución, que es la misma que la de 5, es la jc = 1, = 2, z = 3.
EL MÉTODO DE GAUSS
MATRICES ESCALONADAS
V SISTEMAS ESCALONADOS
Nos vamos a referir aquí a unos sistemas de ecuaciones, especialmente fáciles
de resolver, a los que luego reduciremos todos los demás sistemas: todo ’
sistema de ecuaciones lineales resultará ser equivalente a alguno de los sis­
temas escalonados.

21. ACIONES LINEALES; EL MÉTODO DE GAUSS 13
[006]
Se llaman matrices escalonadas a aquellas matrices en las que:
1."
2.°
Cada una de las filas (a partir de la 2.“) comienza con una sucesión
de ceros que tiene algún cero más (uno como mínimo) que la fila
anterior. Nótese que si hubiera filas formadas sólo por ceros, éstas
serían las últimas filas de la matriz.
En las filas en las que algún elemento no es nulo, el primero de
éstos (que llamaremos cabecera de la fila) es un l^*\
Se llaman matrices escalonadas reducidas a las matrices escalonadas
en las que. además, se verifica:
3.° En las columnas en las que están ubicadas las cabeceras de las
filas, todos los demás elementos son nulos.
A la matriz traspuesta^**^ de una matriz escalonada se la suele llamar
«matriz escalonada por columnas».
Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema escalonado
(respectivamente, sistema escalonado reducido) si su matriz de coefi­
cientes es escalonada (respectivamente, escalonada reducida).
( ♦) Este requisito podría omitirse sin que, por ello, varíase, en esencia, el proceso y
los razonamientos que haremos a continuación.
(*♦) matriz traspuesta de A se obtiene al cambiar, en A, las filas por las columnas.
MATRIZ
ESCALONADA
0 = elementos nulos
1 = elementos unidad
♦ = elementos cualesquiera
(todos los que están sobre cada
uno de los elementos l pueden
hacerse nulos)
EJEM PLOS
En cada uno de los siguientes ejemplos, con los que se pretenden aclarar las
anteriores definiciones, se da un sistema de ecuaciones escalonadas, su matriz
ampliada y su solución, si la tiene:

22. Al g e b r a lin e a l
SISTEMA;
MATRIZ:
j + 4)· + I + « = 1
_v + 2í ~ u — 4
I — 4tt = 9
« = - 2
SOLUCION:
'a: = 2 - 3z + i!
X + 3j - i'= 2' '1030-1 2' y = 7-5z
y + 5z = 7 015007 z = cualquiera
u + 2t' = — I_00012-1. M = -1 - 2ü
V = cualquiera
= 2 — 3z + »
^ +3z -i>= 2 ' "l030- I2‘ y = 7 - 5 z
y + 5z = 7 0l5007 z = cualquiera
« + 2r = -1 00012- l m = -1-2i)
0 = 0‘**\000000_ V = cualquiera
X +3z -1’= 2 ' ‘l03 l)-1i 2'
> + 5z = 7
»
0l500
;
1 .sistema incompatible
« + 2r = - 1 0 00 1 21 - i
0 = 4 '“ >00 0ü0; 4_
141 1 1
0 12-14
0 0 1- 49
000 1 -2
u= -2
z= I
y = 0
2
J l DISCUSIÓN DE LOS SISTEMAS ESCALONADOS
HM)7| Sea 5, un sistema escalonado de tn ecuaciones lineales con n incógnitas;
sea M la matriz de los coeficientes de S,. De las m filas de M, llamaremos
r al número de ellas que tienen algún elemento no nulo; las m — r últimas
tilas de M sólo contienen ceros. Respecto de la compatibilidad del sistema
S,. se verifica:
1.® 5, es compatible si y sólo si sus últimos m - r términos indepen­
dientes son todos nulos.
2."^ Suponiendo que los m - r últimos términos independientes son nu­
los, el sistema 5, es compatible determinado si r = /i y es compatible
indeterminado si r< n (nótese que no es posible que r > n ) .
( · · ) Est(K tipos de ecuadoncs no son usuales y, ello, sobre lodo cuando, como aquí, son datos
de partid^ Sin embargo, pueden aparecer, y de hecho aparecen con frecuencia« cuando el sistemi
de ecuaciones es el resultado de aplicar operaciones elementales en un sistema dado.

23. MES: EL MÉTODO DE GAUSS 15
COMPROBACION
Esta verificación puede reducirse al caso de sistemas escalonados reducidos.
En efecto: si no es reducido, recurriendo a ciertas operaciones elementales,
que se localizan trivialmente, se obtiene un sistema 5^ equivalente a 5^ esca­
lonado reducido, con el mismo valor de r y con los mismos m — r últimos
términos independientes. Si para S' las cosas son como se dice en el enunciado,
es obvio, entonces, que también lo son para y, por ello, bastará considerar
aquí a los sistemas escalonados reducidos.
XiX,..
t t t
Xl Jf2·
♦ ♦
.X,.
t ♦
l ^ O O ^ O O * « 1 ♦ ♦ ♦ ♦
1_1 0 ♦ 0 0 ♦ ♦ 1 00 ♦ ♦ ♦
r * 0 0 ♦ ♦ ¡ 1 0 ♦ ♦ ♦
0 lio ♦ * r1 0 10 0 ♦ ♦
H i ♦ * 10 0 ♦ 4i
0 0
Términos independientes
Supongamos, pues, que es un sistema escalonado reducido. La discusión
de resultará más fácil de obtener si, previamente, alteramos el orden de las
incógnitas x,, Xj, ..., x„, que pasaremos a llamarlas x¡, Xj, ..., x', y ello del modo
que ahora se indica: si las cabeceras de las sucesivas filas de la matriz M son
los elementos de lugares (1, 1), (2, /i), (3, k), ..., (r, /), entonces tomamos
X - l Xl,
las restantes m - r incógnitas se tomarán en el mismo orden relativo que tienen.
Haciendo esto, el sistema queda de la forma siguiente (para ciertas constan­
tes: coeficientes c¿j y términos independientes //,):
•^1 (^Ir+I -^r+I ^In Xn)
•^2 “ ^2 ” Xf+Í ^ ^ ^2n K)

24. Al g e b r a u n e a i
Aquí, los h¡ son los términos independientes de 5/, ios c son umjs ciertíA
escalares» que forman parte de ia matriz M. A la vista ae la forma 5* de
presentar el sistema 5,, resultan evidentes las afirmaciones 1/ y 2.· de! anterior
enunciado.
1.4. EL METODO DE GAUSS
Todo sistema de ecuaciones lineales 5 se va a poder reducir a uno escalona­
do S/y es decir, realizando adecuadas operaciones elementales en 5, siempre
se conseguirá un sistema escalonado 5^. equivalente a S, Si el sistema 5 cs
compatible, como la resolución de S, es üivial» según acabamos de ver en el
apartado anterior, resulta que tenemos ya a nuestro alcance un procedimiento
práctico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, que no es otro, en
esencia, que el método de eliminación de Gauss, que aquí se considera.
□ELIMINACION SUCESIVA DE INCOGNITAS
[008]
Dado un sistema S de m ecuaciones en las n incógnitas jc,, jcj, ..., x„,
eliminar la incógnita es obtener un sistema S' equivalente a 5, también
de m ecuaciones y con las mismas n incógnitas, tal que la incógnita jc,
no interviene en ~ 1 de las ecuaciones de S, es decir, del siguiente tipo:
JCj
......Jt,) = o'
..= 0
[Si-, ............................
^2* ***’ O
£■2(^1. Xz.......Xn) = O
E„{x,, Xj, .... JT„) = O E„(X2
.......X.) = O
[S'l
OBSERVACIONES
Supongamos que se ha eliminado jc, y llamemos S, al sistema de las m - 1
últimas ecuaciones de 5, (que tiene n - 1 incógnitas). Si en S, pudiéramos
eliminar ahora otra incógnita (la x^) y seguir así sucesivamente, llegaríamos, al
fínal del proceso, a un último sistema S“, equivalente a S, en el que cada
ecuación tendría una incógnita menos que la ecuación anterior; S* sería del tip<i:
.. Jt,) = O
.. x„) = 0
.. -0 = 0f í “l

25. \LES; EL MÉTODO DE GAUSS 17
Con el signo de interrogación que se ha puesto en la última ecuación de
5“, se quiere señalar que este proceso puede concluir de manera distinta,
dependiendo de las ecuaciones que se consideren y, en particular, de si ni es
mayor, menor o igual que n. Este sistema 5“ es, previsiblemente, más fácil de
resolver que el 5. En el caso de compatibilidad, se comenzará resolviendo la
última ecuación de 5", que nos dará el valor de si 5“ sólo tiene esta incógnita
(la jc^), o una cierta jc^ en función de las
......Avanzando ahora de
abajo a arriba y llevando a cada ecuación el resultado obtenido en la siguiente,
se van despejando las sucesivas incógnitas, hasta llegar a la primera ecuación,
de la que se obtiene finalmente x^.
En los sistemas de ecuaciones lineales, el anterior proceso de eliminación
se puede realizar fácilmente recurriendo a las operaciones elementales; nótese
que, en esencia, se trata de conseguir un sistema equivalente al dado que sea
escalonado. Esto es lo que se hace en el siguiente ejemplo:
EJEM PLO
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones, cuya matriz ampliada es la
que se indica a su derecha (en este sistema, a denota a un parámetro):
x + 2y+ 2= r "l 2 1 r^1.“
I t + >’ + 3z = - 4 2 1 3 - 4^2."
X - >’-H(fl + 2)z = “ 3 f l - 5
^ 15);
1- 1 a-\ - 2- 3 f l - 5— 3.“
4x + 2y + (tí + 6)z = -3 íT - 8 _42 a + 6 - 4 . “
Al intentar resolver el sistema e ir, piu*a ello, eliminando incógnitas me­
diante operaciones elementales en las filas de la matriz, obtenemos sucesiva­
mente las siguientes matrices, que conducen al sistema 15,] que es equivalente
al dado y escalonado:
r =1.· —'l2 1 f
2' =2. · -2(1.·)—0- 3 1 - 6
3' = 3 . · - 1.·—0- 31 + a - 3 a- 6
4' =4 .·-4 (1 .·)—_^0 - 62 *f a-3 a ^ -- 12_
r ' = r ’ l 2 1 r
2' ' = -2' —0 3 - 1 6
3 ' ' = 3 ' -2'—0 0 a-3fl
4 - = 4 ' -2(2' ) -0 0 a- 3 <
r - = i- "l 2 1 l‘JC +2>^ + z = r
2- '= 2'' - 0 3 - 1 6 3>-z = 6
3'" = 3'' - 0 0 a -3fl
♦
az' - 3 a
0 0 0-3a(a 0 == -3fl(a - 1)

26. Al g e b r a l in e a l
La ultima ecuación de [5,J sólo se verifica si el paràmetro a toma uno de los
valoies a = 0 o ti = 1. Por elio, concluimos que:
• Para a # 0 y a ^ 1, [S) es incompatible.
» Para a = 0,15] es compatible indeterminado, pues es equivalente al sistema
x + 2y + z = i
3 y - z = 6
0 = 0
0 = 0
2 = A cualquiera
’ , que tiene las soluciones: ^ y = 2 + A/3
5A/3
<y = ¿ + A
U = - 3 -
Para a = 1, [5] es compatible determinado, pues es equivalente al sistema:
x + 2y + z= I
3 y - z = 6
z = - 3
, que tiene sólo la solución:
- 3
^ 1
^ 2
□ MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
[009J
Sea S el sistema de ecuaciones lineales Y,a¡jXj = bt ( / = 1, 2, m y
J
7=1,2, n)\ sea /ÍB su matriz ampliada.
Se dice que un elemento a¡j =5^ O se utiliza de p ivo te hacia abajo (o hacia
arriba o ambas cosas) si en las filas de se realizan aquellas operaciones
elemenuiles que transfonnan a a¡j en 1 y convierten en O a los demás
elementos, de la columna j, que están por debajo (o por arriba o ambas
cosas) del üij. Todo elemento no nulo a¡j de A puede utilizarse como
pivote.
Utilizando como pivotes a ciertos elementos de A, elegidos de modo
idóneo para realizar adecuadas operaciones elementales en las filas de A,
siempre es posible transformar S en un sistema equivalente que sea
escalonado e, incluso, que sea escalonado reducido.
Si S es compatible, para resolver este sistema se puede proceder de dos
maneras:
1.®
2.®
Hallando el citado sistema escalonado, pero no reducido, despe­
jando la incógnita de cabecera de su última ecuación y, avanzando
de abajo a arriba, sustituir el valor hallado para cada incógnita en
la ecuación anterior, de 1a que se despeja una nueva incógnita
(método de eliminación de Gauss).
Hallando el sistema escalonado reducido, de cada una de sus
ecuaciones se despeja (directamente) la incógnita que esté en su
cabecera (eliminación de Gauss-Jordan).

27. LES; EL MÉTODO DE GAUSS 1 9
COMHKOtíACJONl-S
—Cercioréiiionos primero de que cuiilquicr clemciilt) ^ O se puede ulili/ar de
pivote. Para ello, realicemos las siguientes operaciones elenienlales en las Illas
de Primero dividamos la lila de lugar i por con lo que el elemento de
lugar (/■, j) pasa a valer l; después, a la lila de lugar h ^ i le restamos la lila
de lugar i nuiltiplicada |X)r con lo que el elemento de lugar (//. j) se trans­
forma en 0. Al repetir esta líltima operación para todos los fi > i (o h < i o am­
bas cosas), todos los elenientos que están por debajo del (/, j) (o por arriba o
ambas cosas) pasan a ser O, con lo que í/,, ha podido ser utilizado como pivote.
— Veamos ahora cómo obtener un sistema escalonado \ que sea equiva­
lente al .V. lin la primera columna de A hay algini elemento no nulo^*'; inter­
cambiando dos filas de si Cuera preciso, se obtendría en el lugar (1. 1) un
elemento no nulo; utilizándolo de pivote, se transfonnan en O todos los ele­
mentos situados por debajo de él. Con esto, la 1.“ columna está ya en la forma
deseada. Si todos los elementos que quedan por debajo del (1. 2) son nulos, se
deja la 2.“ columna como está; si alguno de ellos es no nulo, intercambiando
dos lilas si fuera preciso, .se le lleva al lugar (2. 2) y. luego, se le utiliza de
pivote para íuuilar lodos los elenientos que están situados por debajo de él. Con
esto, las 1.“ y 2.“ columnas están ya en la forma deseada. Se pasa ahora a la 3.“
columna, con la que se procede de manera análoga y se reitera el proceso hasta
llegar a la última columna de la matriz de coeficientes, con lo que ésta queda,
después de aplicarle las o|)eraciones elementales, en forma escalonada.
—Comprobemos que .se puede conseguir que el susodicho sislema escalo­
nado (equivalente a 5) .sea reducido. Para ello, partimos del sistema escalonado
5, (no reducido), obtenido como .se ha indicado en el párrafo anterior. Fijé­
monos ahora en la cabecera de cada una de las ecuaciones no nulas de S^\ a
los lugiu*es que ocupan estas cabeceras les llamaremos (1. 1). (2. /j), (3. Z,). ...»
(r. i^). Utilizando como pivote al elemento de lugíu* (r. /^). se convierten en
ceros lodos los elementos que están por encima de él; luego, utilizando como
pivote al elemento de lugar (r — 1. /,._,). se convierten en ceros todos los
elementos situados por encima de él; .se reitera este proceso hasta, finalmente,
transformar en cero al elemento situado encima del de lugar (2. ij). De todo
ello, resulta que el sistema (equivalente a S) que así se ha obtenido es. obvia­
mente. e.scalonado reducido,
—Respecto de cómo resolver los sistemas escalonados y los escalonados
reducidos, no hay nada importante que añadir a lo ya dicho en su de.scripción.
Q OBSERVACIONES (RANGO Y GRADOS
DE LIBERTAD)
Sea S un sistema compatible de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Su­
pongamos que hemos aplicado el método de Gauss-Jordan y que de él se ha
obtenido un sistema escalonado reducido S,, equivalente a S,
(*) Si no lo hubiere, en S no apureceríu lu incógniia jt,. pues iodos sus ct>cricicnics serían
nulos; eslo es, .r, seríu lu primera incógnita y no es así.

28. ÁLGEBRA LINEAL
El sistema sin más que alterar adecuadamente el orden de sus incógni-
tas^*\ esto es, de cambiar sus subíndices, se puede expresar en la siguiente
forma E^ (que ya fue analizada al finalizar [007]:
0 = 0
m — r
Si es r = fi, el sistema tiene solución única; si es r</i, el sistema tiene
infinitas soluciones. En este segundo caso, al tomar para las incógnitas jc^+,,
unos valores cualesquiera, nos encontramos con que hay unos únicos valores
para ,r,, Xj» —» junto con aquellos, forman una solución del sistema. Para
expresar que los valores de las n - r incógnitas ..., x^ (incógnitas secun­
darias) se pueden elegir libremente, se acostumbra a decir, que las soluciones
del sistema forman una familia con n — r grados de libertad. El valor que toma
n - r es fijo, es decir, depende del sistema S pero no del camino que se haya
seguido para obtener E^. Esta afirmación, que quizá le parezca evidente al
lector, no se ha demostrado aún; lo haremos, más adelante, cuando volvamos
sobre este asunto de los sistemas de ecuaciones.
Al echar una ojeada al sistema 5*, se ve que en él hay r ecuaciones
«efectivas» (las r primeras) y que las m - r restantes son identidades, se
satisfacen para cualesquiera valores de las incógnitas. Esta situación viene a
reflejar lo que ocurre en S: de entre las m ecuaciones de 5, va a haber r que
son independientes, de manera que cada una añade una nueva exigencia, y
las m - r restantes resultarán ser consecuencia de las r primeras. Para expresar
esto, diremos que r es el rango del sistema 5 o de la matriz de sus coeficien­
tes. Más adelante veremos que estas consideraciones intuitivas tienen total
justificación.
(*) Si no se altera el orden de sus incógnitas, es decir, manteniendo su numeración, el sistema
5, tendría la siguiente expresión:
\ - (cw,. A ,, + - + CuX,)
0 = 0
0 = 0
• + C„X,J
/j, ..., /, son las r índices que
señalan los lugares en que están
situadas las cabeceras de las
\ccuaciones del sistema S,

29. £ DE ECUACIONES LINEALES; EL MÉTODO DE GAUSS 21
SISTEMAS HOMOGÉNEpS CON MENOS
ECUACIONES QUE INCOGNITAS
[010]
Sabemos que los sistemas lineales homogéneos tienen siempre solución; estos
sistemas pueden ser o compatibles determinados, cuando sólo tienen la solución
nula, o compatibles indeterminados y, entonces, tienen infmitas soluciones,
pues si tienen una solución también son soluciones suyas todas las proporcio­
nales a aquélla. Pues bien, vamos a considerar aquí una condición suficiente
para que los sistemas homogéneos tengan infmitas soluciones:
Sea 5;, un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
«,,A, + = O
a,,A·, + «jjx, + - + = O
«mi·*! + = O
(5„:
Si 5;, tiene menos ecuaciones que incógnitas, o sea, si es /w<«, entonces
Sf, tiene alguna solución no nula y, por tanto, tiene infmitas soluciones
(*) Se supone que los escalares son los elementos de un cuerpo infinito, como R o
como C: no se consideran aquí los cuerpos, K, finitos (esto es. de un número finito de
elementos).
DEMOSTRACION
Aplicando el método de Gauss al sistema 5;,, siempre es posible obtener un
sistema escalonado 5, equivalente al 5^; el sistema 5, ha de ser también
homogéneo, como resulta obvio. De acuerdo con la discusión de los sistemas
escalonados que se hizo en [007] nos encontramos con que, en nuestro caso, co­
mo todos los términos independientes son nulos y es r ^ m < n (se llama r,
como siempre, al niímero de ecuaciones de 5, que tienen sus primeros miem­
bros no nulos), resulta que (segtín se dijo en [(X)7]) S^ es compatible indeter­
minado, luego también lo es 5^.
Como S^ ha resultado tener más de una solución, S^, tiene entonces alguna
solución no nula; sea ésta la (a,, ofj» ···» ^n)· Consecuentemente, también son
soluciones de S^ todas las infinitas (Acr,, Aaj, ..., Aor„) para cualquier escalar
A, como se comprueba trivialmente.

30. CAPÍTULO
2
Rango
(de vectores
y de matrices)
Ya hemos tenido, anteriormente, un encuenü*o con el rango, cuando hablábamos
del proceso de resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Recuérdese que
allí, al estudiar un sistema de m ecuaciones, desechábamos todas las que eran
combinaciones lineales de otras y, a la postre, terminábamos quedándonos,
solamente, con aquellas que, en número mínimo, eran independientes unas de
otras y tales que de ellas dependían todas las rechazadas. Este número mínimo
de ecuaciones era el rango.
Vamos ahora a precisar este concepto y a profundizar en él. Esta tarea la
haremos desde los puntos de vista vectorial y matricial.
OíVECTORES DE n COMPONENTES
A poca Física que hayamos es­
tudiado, habremos visto que esta
ciencia está «plagada» de vecto­
res: las fuerzas, las velocidades,
los campos eléctricos, etc. La
cosa no fue siempre así; los vec­
tores entraron en la Física con
no poca resistencia por parte de
muchos, incluso de gentes emi­
nentes. A este respecto, bueno es
recordar que el gran físico Lord
Kelvin llegó a decir que «los
vectores nunca han tenido la me­
nor utilidad para nadie».
Mas adelante, cuando sea preciso, hablaremos de los espacios vectoriales
abstractos con toda la generalidad que nos sea necesaria. Por el momento no
nos hace falta tanto; sólo hablaremos aquí de los «vectores de n componen­
tes», situados ya en el terreno de lo abstracto, pero no muy lejos de los
vectores elementales que, de seguro, hemos venido utilizando en nuesü*os
estudios anteriores. Hablar aquí de los «vectores de n componentes» nos ha
de ayudar, en su momento, a llegar sosegadamente al concepto de espacio
vectorial.
Todos conocemos ya los vectores geométricos (segmentos orientados del
espacio) y sabemos que, recurriendo a las coordenadas, se pueden identificar
con las lemas de números reales, o sea, con los vectores de tres componentes
reales. Los vectores de n componentes están ya haciéndonos falta, hay que
hablar de ellos sin demora. Nótese, a este respecto, que en los apartados
anteriores ya se ha recurrido tímidamente a ellos cuando se echó mano de
objetos como el x = Xj, ..., jc„), que nos sirvió para representar a todos y
cada uno de los elementos de la sucesión x^, jCj, ..., x„.
Abundando en la conveniencia de estudiar aquí los vectores de n compo­
nentes y no otros más generales, que se aplazan para más adelante, hay que
argüir otra razón de importancia: Las propiedades de los vectores de n compo­
nentes, que nos va a costar muy poco comprobar, se tomarán como punto de
partida para definir vectores en general. Conocer dichas propiedades nos va a
pemutir entender las razones por las que los vectores abstractos se definen dcl
modo que se hace y no de otra manera.
22

31. ORES Y DE M A T R IC E S ) 2 3
2.1. E l. ESPA C IO V E C T O R IA L A'
L a s s i g u i e n t e s d e f i n i c i o n e s g e n e r a l i z a n , d e n u m e r a n a t u r a l y o b v i a , a la s n o ­
c i o n e s d e v e c t o r e s d e 2 y d e 3 c o m p o n e n t e s ( q u e n o s s o n c o n o c i d a s ) a s í c o m o
líLs d e s u s u m a y d e p r o d u c t o p o r u n e s c a h u - . C o n t o d o e l l o s e o b t i e n e u n a
e s t r u c t u r a a l g e b r a i c a q u e , s e g ú n s e v e r á m á s a d e l a n t e , n o e s o t r a q u e la d e
e s p a c i o v e c tí> r ia l d e d i m e n s i ó n n .
ÍOIIJ
D E F IN IC IO N
D a d o s u n n ú m e r o n a t u r a l n ( l i j o ) y u n c u e r p o /w ( e n p a r t i c u l a r AT = IR o
A' = C ) , a c u y o s e l e m e n t o s l l a m a r e m o s e s c a l a r e s , s e l l a m a n « v e c t o r e s d e
n c o m p o n e n t e s » d e l c u e r p o K ( e n p a r t i c u l a r , r e a l e s o c o m p l e j a s ) a l o s
e l e m e n t o s q u e s e e s p e c i f i c a n e n I e n t r e l a s q u e h a y e s t a b l e c i d a s l a s d o s
o p e r a c i o n e s q u e s e d e t a l l a n e n II:
II.
L S e l l a m a n v e c t o r e s d e n c o m p o n e n t e s d e l c u e r p o K a l a s s u c e s i o n e s
o s i s t e m a s o r d e n a d o s d e n e s c a l a r e s d e e s d e c ir * a l o s e l e m e n t o s
d e I C , E s t o s v e c t o r e s s o n , p u e s , l o s o b j e t o s :
d o n d e
a « ( l i „ «2 ,
w ,, U j
.......... u„ s o n e s c a l a r e s ( d e l c u e r p o K )
M, s e l l a m a c o m p o n e n t e / - é s i m a d e ii
t i e t i c n i g u a l e s s u s r e s p e c t i v a s c o m p o n e n t e s ; e s t o e s , s i p a r a
1 = 1 , 2 , //.
S e l l a m a s u m a ü + D, ú c d o s v e c t o r e s ü y 0 , y s e l l a m a p r o d u c t o Am,
d o n d e Á e s u n e s c a l a r , a l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s :
i7 = (li,, U 2
............ ¡ O
0 = (v^, Ü2
....... v j
14^(14^, u„)
A e s u n e s c a l a r
— ^ Aw = ( A w ,, A « 2
..........A w „)
E J E M P L O
A s í , p a r a l o s s i g u i e n t e s v e c t o r e s d e 5 c o m p o n e n t e s :
i7 = ( 3 , - 2 , O, 2 , 4 ) ; Í T = ( 2 , 1, - I , 2 , 3 ) ; h> = (O , 7 . - 3 , 2 , 3 )

32. 24
Al g e b r a l in e a l
los vectores ü + O, ü — O, —2w y 2m — 3<f + tv son los:
« + 0 = (5, - I , - I , 4, 7)
ü - 0 = (l, - 3 . i, 0. I)
- 2 w = (0, - 1 4 . 6. - 4 . - 6 )
2m - 3 í + = (0. 0. 0. 0. 0)
Supongamos que, en una empre-
sa, las citas se comunican dando
un vector (a, 6, c), donde a es la
hora, b es el día y c es el mes.
Así (12. 24, 04) es una cita para
las 12 del día 24 de abril. Si
alguien se equivoca en cl orden
y comunica que lu cita cs (04,
24, 12), cl citado deberá acudir
a las 4 de la madrugada dcl día
dc nochebuena.
OBSERVACIONES
1. Un vector de n componentes no es un conjunto de /i escalares, sino un
elemento de AT*. Si las n componentes de un vector se colocan en distinto
orden, ya no encaman al mismo vector; éste pasa a ser otro.
2. Es co.stumbre denotar a los vectores de distinto modo que a los e.scalares;
para distinguir a aquéllos se suele poner una tilde o una flechita .sobre la
letra que los simboliza o, también, escribir ésta con letra negrita. Ello, que
suele resultar útil, sobre todo al principio, no es algo necesario; es más,
cuando se tiene bastante hábito en el manejo de vectores y escalares, puede
llegar a ser incómodo y tedioso verse en la obligación de escribir las
referidas tildes.
3. Se suele decir que el vector Áü cs proporcional al vector ü y que Á es la
constante de proporcionalidad.
4. Si a es un escalar no nulo, «dividir el vector ü por a » es multiplicar el
vector ü por el escalar i/a,
5. Vectores fila y vectores columna. Para señalar que las componentes de un
vector ü se escriben una detrás de otra, en el mismo renglón, se suele decir
que ü aparece como vector fila. Si las componentes de ü se escriben en
vertical, poniendo cada una debajo de su anterior, .se dice que ü se presenta
en forma de vector columna:
u =
Con esta notación en forma de columna, las operaciones entre vectores se
presentarán en la siguiente forma:
«i'
O í7 =
« 2
:
Wl u, + y,
U|
Aw,“
"2
+ =
^2 + t^2
:
; Á
"2
=
Awj
J*n, U '· 1
Q PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
CON VECTORES
Para los vectores de n componentes y en relación con la suma y el producto
por un escalar, se verifica:

33. DRES Y DE MATRICES) 25
t012]
Si ¿4, 0 y w son vectores de n componentes (n escalares de un cuerpo K;
en particular, reales o complejos) y si A y /x son dos escalares, entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(w + ü) + vv = w + (i; + vv)
w + iJ=t5-f-w
¿4 + ó = ü, donde ó = (O, O, 0) se llama vector nulo
Para cada w. existe un vector — w tal que w + ( - « ) = ¿?;
Si w = (Wp Uj, u„), entonces -w = (-w ,, ···» “ ^n)
Al vector - ü se le llama opuesto del ü.
A(zJ + íO = Aw + AíT
(A + fx)ü = \ ü + fiü
KijjLÜ) = (A/i)/7
lw = «
а) O ü - o y A¿; = o
б) Áü = ó => [A = O o M = ó]
c) (-A)w = A(-í7)=-(A«)
Obsérvese que las últimas propiedades se han separado de las primeras con
una raya horizontal; con ello se quiere indicar que, cuando se definan los
espacios vectoriales abstractos, las ocho primeras propiedades serán las que
caractericen a los vectores y las tres últimas van a ser consecuencias de
aquéllas.
COMPROBACION
Las anteriores propiedades se comprueban trivialmente; hagámoslo, como ejer­
cicio, para dos de ellas (la 5 y la b)\
• Llamando w = (w,, Wj» ···» y ^ = (*^p ···» *^n)» propiedad 5 se tiene:
Á(Ü^l·Ü) = A[(m,, Mj, u„) + (ü,, ^2, v„)] =
= A(w, + üp Wj + ···. “« + O =
= [A(w, + y,), A(w2 + ^2)* -M A(w„ + y„)l =
= (Aw, + APj, ÁU2 + Awj, ·..» Aw„ + Áv„) =
= (Aw„ Awj, AwJ + (Ai;„ ÁVj, ...» AuJ = Áü + ÁC
• La propiedad ¿>), en lugar de comprobarla directamente, que no sería difícil,
vamos a obtenerla como consecuencia de las primeras propiedades. Nótese
que esta propiedad se puede enunciar diciendo que: de ser Aw = ó y A ^ O,
entonces se verifica que w = á Así ocurre, ya que por ser A O existe A’ *
y, por tanto (multiplicando por \ " ‘):
Áü = d A-*'(Aw) = A-*ó (A-'A)m = J lM = d ü = d

34. Al g e b r a l in e a i
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA IJNEAL
Vamos ahora a concretar una idea c|ue ya hemos manejado anteriormente y
que, en lo que sigue, va a seguir siendo enormemente frúctifera; n concepto dé
«vector que depende linealmente de oü-os»
^ COMBINACIONES LINEALES;
DEPENDENCIA LINEAL
[013J Se dice que un vector v es una combinación lineal de los vectores w,, Oj,
...» ü,, O que 0 depende linealmente de ellos si, paia algunos escalares x,,
jCj, ..., JC;,, se verifica:
V = jc,5, + JC2W2 + ·" + x^úf,
La dependencia lineal es transitiva: si D depende linealmente de unos
vectores y cada uno de éstos depende linealmente de otros, entonces í
depende linealmente de los últimos.
Se dice que un sistema (o conjunto) de vectores 5 = {i;,, ..., 0^] es un
sistema ligado o linealmente dependiente si se verifíca una de las siguien­
tes condiciones (1) o (II), que son equivalentes entre sí:
(I) Alguno de los vectores de S depende linealmente de los demás.
(II) Para algunos escalares A,, A2, ..., A^ que no son todos nulos es:
A,i;| +A202 + - + A y = J
DEMOSTRACIÓN
I. Comprobemos en primer lugar la transitividad de la dependencia lineal. Se
supone que v depende linealmente de los w„ .......ü^, y que cada uno de
estos a^ depende linealmente de los esto es, para ciertos
escalares A, y se verifica que:
De aquí se infiere que:

35. donde se hu Humado
h
«, = X
Resulta, pues, que ü depende linealmente de los Wj, según había que
comprobar.
2. También debemos comprobar que las condiciones 1 y 11 son equivalentes;
eslo es, que 1 => II y que 11 => 1. Así ocurre, en efecto:
I => II La hipótesis es, ahora, que alguno de los v¡ depende linealmenle
de los demás; vamos a suponer que dicho vector es el 0, (de no
ser así, cambiamos la numeración para que lo sea), es decir, que
para algunos escalares A2. ...» A^, es:
y, = A,Ü2 + A3¿J3 + ... + A A
Pasando íJ, al segundo miembro y llamando A, = - I , resulta que
ó = A,ü,-f A2ÍJ2 + - +A,,0^
luego se verifica la condición II, como había que probar, ya que
los A,. A2. .... Áf, no son todos nulos por ser A, = - 1 # 0.
II => I La hipótesis es ahora que A,tJ, + ÁjVj + *** + = ó para algunos
escalares Á¡ no todos nulos. Podemos, pues, suponer que es A, # O
(de no ser así, cambiando la numeración se consigue que lo sea),
lo que nos permite poner:
■RICES) 27
y .=
A
iJ,+ ■
{-'é
es decir, uno de los vectores de S (el tJ,) depende linealmente de
los demás, esto es, se verifica la condición I.
EJEMPLOS
1. El vector nulo. ó. es combinación lineal de cualesquiera vectores w,, Wj, ...,
üf,, ya que
ó = Ow, + 0Ü2 + ·· + OM;,
Por tanto si ó es uno de los vectores de un sistema 5, entonces S es
linealmenle dependiente.
2. Sean m,, Wj. üy y € los siguientes vectores de 4 componentes:
«, = (2, - 1 , 5, 1)
fÍ2 = ( - L 3, - 2 , 0) í? = (l, -8, I, - I )
W3 = (3, 1, 8, 2)

36. Al g e b r a lineal
El vector ü depende linealmente de los vcctores üj y Wj, ya que:
Im, - 2w2 - IÙ3
Nótese que» en este caso, € también puede expresarse de otros modos como
combinación lineal de los 5,» «2 y ^3» y^
íJ = 3tt, - íÍ2 ~ y i; = -w, - 3^2 + OW3
Señalemos» de paso» que la última igualdad nos permite afirmar que O es
una combinación lineal de los w, y (solamente).
3. Sea S = {íí» í» c) el sistema formado por los siguientes vectores
d = (l, 4,-2) , í=(4, 1,7) y c = (2, -1, 5)
Este sistema 5 es un sistema ligado ya que 2a - 3b + 5c = ó. Nótese que,
para cualesquiera que sean los vectores ¿f y è (de tres componentes), el
sistema 5' = ¡a» b, c, d, é] también es ligado» ya que
2 ó - 3 ^ + 5 c + 0 j + 0 # = ó
PROBLEMA
Pruébese que, si á,» áj. ···» son p vectores de n componentes y si es /? > n,
entonces S = {¿f„ ...» á^,] es un sistema ligado.
RESOLUCIÓN
Denotemos a los vectores dados, áy, del siguiente modo:
......flny) para y = 1 » 2 ........p
Hay que comprobar que existen unos ciertos escalares jc„ jCj, ...» x no todos
nulos y tales que ^
xfiy + x^á^ + - + Xpá^ = ó
es decir, de manera que:
-^l(fl|I» ^21* —» ^nl) ^22» —» ^*«2)
----
^np) = (0. O, ...» 0)
Esta igualdad vectorial equivale a las n ecuaciones (escalares) que resultan de !
i
.’i
■
I

37. (DE VECTORES Y DE MATRICES) 29
igualar a cero cada una de las componentes de la suma dcl prinicr inicinhro,
esto es, al sistema;
10141
+ ··· + = O
+ ··· +
|W|
Como H es un sislema homogéneo que liene nuiyor número de incógnitas (p)
que de ecuaciones (n), según ya sabemos (véase (OlOl) dicho sislema tiene
alguna solución no nula, que es lo que había que comprtibiu^.
□INDEPENDENCIA LINEAL
Si unos veciorcs no formiin un sislema ligado, diremos que son linealmenle
independientes; más precisamente:
Se dice que un sislema (o conjunto) dc vectores 5 = {íí,. í\· » tin
sistema Ubre o lineabnente independiente si se verifica una dc las siguien*
tes condiciones (A) o {B\ que son equivalentes entre sí:
(A) El sistema S no cs linealmenle dependiente, cs decir, ninguno de
los vectores de 5 depende linealmente de los demás.
(fi) La única combinación lineal dc vectores de S que es nula es la que
tiene todos sus coeficientes nulos; esto es:
A,íJ| + + - + =
(A,. Aj, .... A^ escalares).
A| — Aj — ·A, = 0
COMPROBACIÓN
Si comparamos las condiciones (A) y (fi) con las (I) y (II) de la dependencia
lineal (véase [013]). nos encontramos con que (/\) es la negación de (1) y (fi)
cs la negación dc (II). Como (I) y (II) son equivalentes, según ya se demosü-ó.
concluimos de ello que umibién son equivalentes sus negaciones (/\) y (fi).
EJEM PLO
Los vectores a, b y c (de 5 componentes):
ó = (3. 1. 7 , - 5 . 4) . ^ = ( 0 . 2, 4, - 3 , - 2 ) y c = (O, 0. -6, 5. l)

38. ÁLGEBRA UNEAL
forman un sistema libre, ya que la relación aü fib + ye = ó sólo se verifica
para a — /3 = y = 0. Así ocurre, en efecto, ya que la citada relación equivale
al sistema:
3 a = O
a + 2/S = 0
7 a + 4)3 - 6 y = O
- 5 a - 3 / í + 5 r = 0
4 a - 2)0 + y = O
que sólo tiene (obviamente)
la solución a = O, yS = O, y = 0.
RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES
Dado un conjunto de vectores no nulos, estam os interesados en estudiar si hay
algunos de ellos lales que satisfagan a los dos requerim ientos siguientes: 1) que
formen un sistema independiente; y 2) que los dem ás vectores dados dependan
linealmente de ellos. Vamos a probar que lales sistem as existen y que todos
ellos tienen el m ism o núm ero de vectores, que se llam a rango del conjunto de
vectores dado.
B
RANGO. OPERACIONES ELEMENTALES
TEOREMA (EXISTENCIA DEL RANGO)
ÍÜ15J
Para cualquiera que sea el sistema 5= lí5|, Vj, üp] de p vectores, no
todos nulos, se verifica que;
(I) Hay algún sistema 5o de vectores de S tal que: 1) es linealmente
independiente; y 2) todos los demás vectores de S dependen lineal­
mente de los de
(II) Todos los sistemas S^, de vectores de S, que satisfacen a los reque­
rimientos 1) y 2) tienen el mismo número de vectores.
Para cada sistema 5= {t?,, C , ,D„\ de vectores no nulos, existe pues un
número r tal que: a) hay algún sistema formado por r vectores de S que
es linealmente independiente; y b) todo sistema formado por más de r
vectores de S es linealmente dependiente. Este número r es. entonces, el
mayor número de vectores linealmente independientes que hay en 5; a él
se le llama rango de 5 y se pone:
r = rang S

39. 31
DEMOSTRACIÓN
Hemos de comprobar la veracidad de las dos proposiciones (I) y (II). Las demás
afirmaciones del enunciado son consecuencias obvias de (I) y (II).
(I) Esla proposición la comprobaremos por inducción sobre p\ esto es, veri­
ficaremos que es cierta para p - \ y probaremos que, de ser cierta para
p - m , entonces lambién lo es para = I. Esta proposición (I) es
evidentemente cierta para /? = I ya que, como ahora es 5 = {O,) con
tJi =5¿ ó. la proposición se satisface obviamente para = 5. Suponiendo
ahora que la proposición (I) es cierta para los sistemas S que tengan p = m
vectores, debemos comprobar que también lo es si S tiene p = m + I vec­
tores. Consideremos, para ello, los dos ca.sos que pueden presentarse (los
m f 1 vectores son independientes o son dependientes). Si los m + I
vectores de S son independientes, entonces la propiedad se verifica para
5(, = 5. Si los m + I vectores de S son linealmente dependientes, entonces
uno de ellos depende linealmente de los demás; llamemos a aquel
con lo que los demás son iJ,, Dj, ..., En este ca.so, como el sistema
S' = (yp ^2» · ·» vectores, para él existe el sistema que
asegura la proposición (I); esta proposición (I) se verifica, entonces, (para
S) si se toma 5o = ya que este es independiente y todos los vectores
de S (incluyendo el ÍJ„+,) dependen, obviamente, de los de
(II) Procederemos por reducción al absurdo; esto es, partiendo de que la
proposición es falsa, encontraremos una contradicción. Supongamos,
pues, que hubiera dos sistemas que llamaremos y Sq\ que cumplie­
ran lo exigido en (I) y tuvieran distinto número de vectores. Si denotamos
So = (t?|. ^2. y So = (»V,, M>2. ..., vi>j
lo que se ha admitido es que r y s son distintos; supongamos, por
ejemplo, que es r< s. Pues bien, vamos a comprobar que por verificarse
que es r< 5 y que para 5/, se cumple lo exigido en (I), el sistema
S¡/ no puede ser linealmente independiente; esta contradicción conduce
a la veracidad de (II). Vamos, pues, a comprobar que existen algunos
escalares jc,, jCj. ···. Xs todos nulos y tales que
s
XyWy + 0:2^2 + - + ^ » O sea E x¡w¡ = o [ 1 ]
/-I
Como todos los vectores de 5, y en particular los de Sq\ dependen
linealmente de los vectores de resuha que para unos ciertos escalares
Uj¡ se verifica que
r
ajfij (para » =1.2, ..., s)
Recurriendo a estas igualdades, la relación [I] puede expresarse del si­
guiente modo:
6 = ' Lx¡w,= 'Lx, i a¡,C, = I s xflO = Z I xfl C = i I í
<-i V - ' 7 < - u - i y -i V - i 7

40. Al g e b r a lin e a l
esto es:
s \
I O u X ,
/ » ' / ' \
?, + I Ü 2 , X tí>2 + - I «„JC,
v-l y v-l ^ V-l /
0 = 0 (21
Como {tJ„ 0 } ,P,) es un sistema linealmente independiente, la relación
[2] se verifica si y sólo si son nulos todos los escalares que figuran en
ella; esto es, si:
I
i-l
[3J
La relación [3] es un sistema lineal homogéneo de r ecuaciones con las s
incógnitas x,, x,. Como se ha supuesto que es r< s, resulta que el
sistema [3] tiene alguna solución no nula (según se probó en [010]). Como
[31 cs equivalente a [1], nos encontramos con que [1] se verifica para
algunos escalares x,, x ^ ,.... x^ no todos nulos» como queríamos comprobar.
OBSERVACIÓN
Para hallar el rango de un sistema de vectores habrá que ir desechando aquellos
vcctores que resulten ser combinación lineal de los que van quedando, hasta
que éstos formen un sistema independiente; el número de vectores de éste es
el rango buscado. Conviene proceder, para ello, de una manera metódica, como
por ejemplo:
Sea 5 un sistema, de p vcctores no todos nulos, del que se quiere hallar el
rango. Tomemos un vector no nulo de 5; sea éste el iJi. Si todos los vectores
de S dependen linealmente de (?,. entonces el rango es 1. Si en 5 hay algún
vector que no dependa linealmente de O,, al que llamaremos y los demás
vectores dependen de los tJ, y üj, entonces el rango de S cs 2. Si en S hay un
vector, que llamaremos Vy que no dcf)ende linealmente de los y d jy todos
los demás vectores dependen linealmente de 0,, D2 y Vy entonces el rango de
5 es 3. Prosiguiendo de este modo, se liega a cnconü*ar (a lo más es p etapas)
el rango de 5.
EJERCICIO
Sean S = { iJ,, üp] y = í? 2» ·*·* sistemas de vectores.
Sabiendo que S cs un sistema independiente y que los vectores de 5' dependen
linealmente de los de 5, comprobar que rang 5' ^ p.
RESOLUCIÓN
El sistema 5 U 5 ' = {m,
......i?„ ..., (?„} tiene rango /?, ya que sus p primeros
vcctores son linealmente independientes y todos los restantes dependen lineal-
mcnte de ellos. El rango de S' no puede ser mayor que p, pues si lo fuese,
habría más de p vectores de S \ y por tanto, de S U S \ que serían linealmente
independientes, lo que cs falso ya que el rango de cs p.

41. GO (DE VECTORES Y DE MATRICES) 33
EJEMPLO
Sea 5 = {J, h, c, d] el sistema formado por los vectores:
J = (l, 0. 0. O, 1)
í=((), 2. 0. 2, 0)
c = (3, 0. 3, O, 3)
J=(l. 2, 3. 2, I)
Los vectores á, b y c forman un sistema independiente, ya que la relación
a ü -^ l^ b + y c — d equivale a:
a + 3y = 0 ; 2)3 = 0 ; 3^ = 0
cuya única solución es la a = yS = y = 0. Por otra parte, d es una combinación
lineal de las J, y c, ya que d - - 2 J + f *f c. Por tanto, el rango de S es
rang 5 = 3.
^ RANGO Y OPERACIONES ELEMENTALES
Igual que ocurría con los sistemas de ecuaciones lineales, también aquí las
operaciones elementales juegan un papel importante. Allí (véase [004]), al
realizar operaciones elementales en un sistema de ecuaciones lineales, no va­
riaban las soluciones de éste. Aquí vamos a comprobar que, al realizar opera­
ciones elementales en un sistema de vectores, no varía su rango.
[016]
LAS OPERACIONES
ELEMENTALES
un sistema de vectores)
j\. intercambio, de los vec­
tores i y j ésimos.
A/j: Multiplicar por A O el
vector í-ésimo.
/ + Ay]: sumar, al vector
i-ésimo, A por el
vector 7-ésimo.
Propiedad fundamental del rango: el rango de un sistema de vectores no
se altera si se realizan en él cualesquiera operaciones elementales. Se
llaman operaciones elementales a las siguientes manipulaciones:
1. Intercambiar el orden con el que figuran los vectores en el sistema.
2. Multiplicar uno de los vectores por cualquier escalar no nulo.
3. Sumarle, a uno de los vectores, otro cualquiera de ellos.
4. Aplicar, reiteradamente, cualesquiera de las operaciones anteriores
(en particular, sumarle, a un vector, cualquier combinación lineal de
los demás).
NOTA: Hay quienes consideran tumbién como operación elemental (cosa que no hare­
mos no.solros) a la siguiente: suprimir un vector que sea combinación lineal de otros vectores
del sistema.
COMPROBACIÓN
La conservación del rango a! realizar operaciones elementales del tipo 1 es
evidente; para la operación 4, como es consecuencia de las tres anteriores, no
hay nada que demostrar. Sólo habrá que comprobar la conservación del rango
frente a las operaciones 2 y 3. Estas dos propiedades podemos englobarlas en

42. Al g e b r a u n e a l
una sola quc diga: cl rungo de un sL*vienìa 5 — (m» u‘. cs igual al del
sistema S* = t h·. ...), donde u = a« + para a ^ 0 (sì es ^ = 0, se
obtiene la operación 2; si « = /?== K se obtiene la operación 3). P;u*a demostrar
esto, recurnrcmos al rango r del sistema U\ w*. ...I y distinguiremos dos
casos:
a) El vector ù depende linealmente de En este supuesto, es nmg 5 * r.
Como cs evidente que. ahi>ra. u = aü + fiC también depende linealnicme
de 5,^ rcNulüi que rang 5' = r. Por tanto, S y 5' tienen igual ningo.
b) El vector ü no depende linealmente de iV En este supuesto, es
rang S = r + I. AhiKa. ü* tampivo depende linealmente de pues si m
no fuese, como es w = (l a ) u - { f i a)C, resultaría que ít dependería li-
nealnieme de cuando se ha supuesto lo contrario. Resulta de ello
que S' tiene rango r ^ 1. luego S y 5' tienen, también en este caso, igual
rango.
CAI.C I 1.« OKI. RANÍÍO l)K l’N SIS'I KMA
l)K \ Kí 'IORKS
Para hallar el rango Je un sisiema .V. cs aconsejable pn>ceder sisteniáticamentc,
aplicando adecuadas operaciones elenurntales. hasta obtener un sistema en el
que halUr el rango sea algt> clenientaL El rango de 5. por ser igual al de este
último, «erá ya contKido.
J PR()l‘()SICI()N
10171
DfcJoS — (i). í . .... sistema formado por los vectores de n componentes:
J = <1,..... tf.) r«.
.... t>.) h, .
·· ^
sea =
= c,. O c, ..
Rcali¿ar operaciones elementales en 5 equivale a hacer las operaciones
en las filas de la matriz K Utilizando como pivotes (véase [()09J) a ciertos
elementos de M, elegidos de modo idóneo para realizar adecuada.s ope·
ncHHKs elementales en las filas de M. siempre cs posible transformar 5
en un sistema equivalente 5, que sea escalonado (véase [OOóJ). esto es.
tal qiK cada vector (a partir del 2.®) comience con una sucesión de ceros
que liene algún cero más (uno como mínimo) que la fila anterior. El rango
de que cs igual al de 5. cs el número de vectores no nulos que contiene.

43. TRICES) 35
COMPROBACIÓN
Respecto de cómo conseguir el sistema escalonado 5, del que se habla en el
enunciado, no hay más que seguir el camino, ya conocido, para transformar M
en una matriz escalonada aplicando operaciones elementales a sus filas (véase,
en [0091, lo dicho al describir el método de Gauss).
Sólo tenemos, pues, que compmbar que el rango de es igual al número r
de vectores no nulos que contiene. Comencemos recordando que es de la forma
S,= (m,, w,» — "r. Ò
......ó\
donde la primera componente no nula dc cada m,, a la que denotaremos por
ocupa algún lugar más a la derecha que la dc Nótese que lo que debemos
comprobar es que Mj. ..., son lineaimente independientes. Así ocurre, en
efecto, ya que la relación a,M, + + ♦·· + « À = ^ (donde los a¡ son esca­
lares) equivale al sistema
a,«,i = 0
ar,» + «2*^21 “ ^
(con los ♦ .se denotan a las restantes componentes de los vectores m,) y este
sistema sólo liene. obviamente, la solución nula a, = a j = ··· = a , = 0.
EJEM PLO
Siguiendo el j^rocedimiento antes descrito, calculemos el rango del sistema
S = |J , c, dy è]y siendo:
J = (l, 3, 2, - 1 , I, 4)
* = ( 1 . 4 , 1 , 1 , 2 . 3)
c = (2, 5, 5. 1. 3. 7 )
J = ( 2 , 4. 6. - I . 2. 8)
f = (3 , 8, 7, 0 , 4 , 1 1 )
Realizando sucesivas operaciones elementales en las filas de la matriz cuyos
vectores fila son los a, b, c, d, é, se obtiene;
— l 3 2-114
à 0 1- l2l-1
c* = c - 2 á—0“ ll3l - l
d '= d - 2 á—0-2 2 10 0
è ' = è - 3 à—0-1 l31- l
(♦) Los vectores ú, son del tip o ü¡«(O, ..., 0, ii„ , ♦ , ♦ ) ; los * son escalares cualesquiera.

44. —13 2- l14
b - ^ b · —01-1 2 1- l
c " = c '+ b' 00 0 52- 2
d*' = <?' + 2b'—00 0 52- 2
00 0 00 0
—l3 2-1l4
b '" = b " —01- l2l - l
—0 0 0 52 -2
—00 0 0 0 0
-00 0 0 0 0
El rango de este último sistema es 3, pues b*" y c''' son independien­
t e s y J '" = ò y é'"' = ó; por tanto, el rango del sistema dado, 5, es 3.
Una matriz que tenga m filas y n columnas puede concebirse como un sistema
(sucesión) de m vectores (vectores fila) de n componentes cada uno de ellos;
la maü-iz también es un sistema (sucesión) de n vectores (vectores columna)
de m componentes cada uno. Concretando, para la matriz
« I I « 1 2 - - « I n
« 2 1^ 2 2 · · '^ 2 ;- « 2 n
> \ =
| « / I« , 2 ^
« y
- « in
« « 2 · · ’
%
l(w son escalares (de un cuerpo AT; en particular e R o e C), para
1=1,2, m y j = l, 2, ...» n. Los vectores Illa y los vectores columna son:
(vector fila i-ésima)—^ (a,,, a¡2, «,„)

45. )RES Y DE MATRICES) 37
(para cada uno de los valores / = 1, 2
......m se obtiene un vector fila de A, que
tiene n componentes)
(vector columna y-ésima) —♦
(para cada uno de los valores y = I, 2, n se obtiene un vector columna, de
A, que tiene m componentes).
Pues bien, los vectores fila, de A, tienen el mismo rango que los vectores
columna; más exactamente:
□TEOREMA DEL RANGO
1018]
Para cualquiera que sea la matriz A = la^], de m filas y n columnas (esto
es, de tamaño m x /i), se verifica que el rango del sistema de sus m
vectores fila (que se llama rango de filas de A) es igual al rango del
sistema de sus n vectores columna (que se llama rango de columnas de
A). A cualquiera de estos dos rangos, iguales entre sí, se le llama rango
de la matriz A.
DEMOSTRACION
Llamamos r y r' a los rangos de filas y de columnas de la matriz A. Vamos a
comprobar que es r' ^ r y r', de lo que se infiere que r y r son iguales.
Solamente comprobaremos que es r'^r, pues la relación r ^ r ' se pruebe de
modo totalmente análogo.
Si el rango de filas de A es r, entonces hay r filas de A que son linealmente
independientes y las restantes filas dependen de ellas. Cambiando el orden de
las filas, si fuera necesario, se puede suponer que las r primeras filas de A son
independientes. Llamando / al_ vector fila de lugar /, se sabe, pues, que para
/ = r + l, r + 2, ..., m, la fila f es combinación lineal de las esto
es, para ciertos escalares se verifica que
fi = « ,i/i ^aJi *'· ^irfr / = r + 1, r + 2, ..., m)
Esto equivale a poner que las componentes del vector del primer miembro son,
respectivamente, iguales a las de la suma del segundo miembro, es decir, a:
r
+ - + «iAn = I »0,%

46. Al g e b r a lineal
(para / = r + I, r + 2
......m y ; = I, 2, .... n). Por tanto, la columna j-ésima de
A, que llamiu^emos c^. se puede poner en la forma:
c¡ — (fl|y. Oy, .... fl,y, Or+iy. ···.
^ r r '
= "l/. fljj
......Orj, ^ ...... ^ «m/.“»./
^ /í" I 1
= rt,/l. O, .... O, ,, «„,,) +
+ 1
.O, ar,+2 2..............."m2) +
+ «r/0, 0
...... 1, «r+tr» ·*- 0 =
ÍI,/, + + - + V V
Resulta entonces que todos los vectores columnas de A dependen linealmente
de los r vectores que intervienen en esta última suma (que los hemos llamado
t?2» ···» ^r) y» por rango r* de columnas de A no puede ser mayor que
el número total r de vectores para 1, 2, r, (véase el ejercicio que
sigue a [0151, en la página 32); esto es, se verifica que r' ^ r, como se quería
comprobar.
1 CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ
De lo dicho hasta ahora, primero al relacionar el rango de un sistema de
vectores con las operaciones elementales (véase [016]), después cuando se
sistematizó el cálculo del rango de un sistema de vectores (véase [017]) y,
también, al defmir los rangos de filas y de columnas de una matriz, que
resultaron ser iguales, de lodo ello, se desprenden las siguientes conclusiones:
[019] Para cualquiera que sea la matriz A = [a^], de m filas y n columnas, se
verifica que:
2."
El rango de filas (o de columnas) de A no se altera si se realizan en
las filas (o las columnas) de A cualesquiera operaciones elementales.
Utilizando como pivote (véase [009]) a ciertos elementos de A,
elegidos de modo idóneo para realizar adecuadas operaciones ele­
mentales en las filas (o las columnas) de A, siempre es posible
transformar A en una matriz escalonada A^, El rango de filas (o de
columnas) de la matriz E, que es igual al de /\,,, es el número de
filas (o de columnas) no nulas que contiene.

47. ^\CES) 39
EJEMPLO
Como ejemplo, de aplicación inmediata del método descrito, calculemos los
rangos de filas y de columnas de la siguiente matriz A, que deberán resultamos
¡guales:
1
2
“ 1
3
3
5
3
- 4
- 2
1
2
- I
1
- 3
- 3
2
2
5
- 3
9
Para el rango de filas, al realizar las operaciones elementales, en filas, que
se indican a continuación, se llega a:
i r = 1.“ — 1 3 - -2 1 2
2.·' = 2.· - 2 ·i.· — 0 --1 5 -5 1
3r = 3.*-f 1.· 0 6 0 - 2-1
4.·' = 4.· ~ 3 ·1.· — 0 -13 5 -1 3
i r ' = 1.·' —’ l3- 2 1 2
2 ' = 2 — 0-1 5-5 1
3.·" = 3.*'+ 6 · 2.*'— 00 30-32 5
4.·” =4.* '- 13- I · '— 00-60 64 --10
—' l3- 2 1 2'
) Mtrt — 2
— 0-1 5-5 1
— 0 030-32 5
^r^' = 4r ' + 2-3r ‘' — 0 0 0 0 0
= >4'
= A '- = A ^
Como la matriz escalonada A^ tiene tres filas no nulas, resulta que el rango
de filas de A, y, por tanto de A, es 3,
Para el rango de columnas, al realizar las operaciones elementales, en
columnas, que se indican a continuación, se obtiene:
i r = L·
2 . · ' = 2 . · - 3 · 1.·
3.*' =^3.· + 2 · 2.·
4 . · ' = 4 . · - 1.·
5.*' = 5.· - 2 · 2.·
1 0 0 0 0
2-15-5 1
-1 6 0-2 - 1
3 - 1 3 5 - 1 3

48. i r
9 · '' :i r
3.*'' =3.-' + 5 · l y
r 4 .- = 4 r- 5 * 2 .· '
3 *" = 5.“' + 2.·'
-
l 0 0 0 0“
2 - l 0 0 0
__
l 6 30- 3 2 5
3 - 1 3 -60- 6 4- 1 0 _
7 u/r/ _ I OM
- a//#
= 2
atf
-
:30
“
30-4.
5.“'" = :
-
1 0 000'
2 --l 000
-l 6 100
3 -13 --200
esia última matriz escalonada tiene tres columnas no nulas, luego su rango de
columnas, que es igual al de A, vale 3.
OBSERVACIÓN
realizar operaciones elementales se conserva
el rango debe mantenerse siempre que se
otras que sean combinaciones lineales de
no aumenta, pero puede disminuir. Así, por
A formada por tres columnas independientes,
^1» ^2 y 'o rang A = 3; sea A' la matriz cuyas columnas son
= 2c, ~ C2 ~ Cy Las tres columnas de A' son
+ ci + C3 = ó, luego rang A' < 3, con lo que
Según lo que venimos diciendo, al
el rango. Ello no significa que
sustituyan filas o columnas por
aquéllas; al hacer esto, el rango
ejemplo, consideremos una matriz
c¡ = - c , + c2,ci = -c,+c3yci
linealmente dependientes, pues c¡
rang A' < rang A.
MATRICES EQUIVALENTES
Más adelante, cuando se habla de las matrices de las aplicaciones lineales, se
volverá sobre este concepto de equivalencia de matrices y, entonces, se le dará
un enfoque nuevo y de mayor alcance. No obstante, la estrecha relación que
existe entre el rango y la equivalencia de matrices, hace aconsejable que sea
ahora, y no más adelante, cuando se introduzca este concepto.

49. DRES Y DE MATRICES) 41
Í020J
Dos matrices del mismo tamaño m x n (ambas con m lilas y ;i columnas)
se dicc que son matrices equivalemes si tienen el mismo rango. Para el
conjunto de las matrices m X la equivalencia es (etectivamentc) una
relación de equivalencia; es decir, es rellexiva, simétrica y transitiva. Hay
tantas Chuses de esta equivalencia como posibles valores del rango /·, los
cuales son todos los números naturales comprendidos entre r*() y
r = nu'n (m, «)» ambos inclusive.
De entre tenias las matrices m x n que tienen rango r, interesa destacar
la que hemos llamado C,. que tiene tínlos sus elementos nulos excepto
los r primeros elementos de su diagonal que valen I. Esta matriz
se llama representante canónico o matriz canónica de equivalencia de las
matrices m x n que tienen rango r.
Aplicando adecuadas o(Kracíones elementales, en tilas y en columnas,
cualquier matriz m x n de rango r se puede translomiar en
C\
(*) luí diagonal de una niatri/ está formada por los elementos que iK:upan los lugares
(I. I). (2. 2). (33)» ...
COMPROHACIONES
• Es trivial comprobar que la equivalencia de matrices es reflexiva (toda matriz
tiene el mismo rango que ella misma), es simétrica (si rang A = rang B,
entonces rang B = rang A) y es transitiva (si rang A = rang B, y
rang B = rang C, entonces rang A = rang C).
• matriz tiene rango r pues sus r primeras filas (y columnas) son
linealmente independientes y todas las restantes son nulas.
• Según ya sabemos (ver ((K)9|), realizando las oportunas operaciones elemen­
tales. a una matriz m x n que tenga rango r, es posible obtener una matriz
escalonada con r filas no nulas, las cuales tienen a 1 como elemento de
cabecera, esto es. como primer elemento no nulo. Utilizando como pivotes a
estas r cabeceras y aplicando operaciones elementales en columnas, se ob­
tiene una matriz cuyos únicos elementos no nulos son dichas r cabeceras,
que valen 1. Sin más que permutar ahora, si ello fuera preciso, algunas
columnas, se obtiene ya la matriz C,,

50. CAPÍTULO
3
Operaciones con matrices;
matriz inversa
Es ahora momento de hablar sobre las matrices y hacerlo con algún dete­
nimiento. No se trata de contar aquí muchas cosas acerca de ellas, sino de
traer a colación algunas cuestiones que nos permitan avanzar con cierta
holgura en los próximos capítulos. Nos referimos en concreto a la suma de
matrices, al producto por un escalar, a la multiplicación de matrices, a la
matriz inversa, cuando exista, y a las principales propiedades relacionadas con
todo ello.
Poder recurrir a las matrices desde los primeros momentos, aunque ello sólo
sea como apoyo, en ejemplos y en problemas, puede sernos de inestimable
ayuda.
Detrás de todo esto de las matrices hay una idea básica: la de familia o
sistema de elementos que dependen de dos índices. Éste es el caso, por ejemplo,
del horario de salidas de los trenes de una determinada línea férrea; aquí, las
horas de salida de los trenes dependen de las siguientes «variables discretas»
o índices: i = (número del tren) y y = (número de la estación). Si llamamos
a la hora de salida del tren /-ésimo de la estación y-ésima, la tabla de los
horarios de salida será la «matriz» cuyo elemento de lugar (/, j) es h¡j. En esle
caso, como en otros muchos, los elementos h¡j (horas de salida) se representan
recurriendo a una «tabla de doble entrada» y se pone:
Número de la estación
1= 1
P
/ = 2
s
TT
•s
i
1
:
i = m
7=1 7 = 2 ...
i
8,05 8,25 9,00 9,40 10,05 ! 10,35
9,15 9,30 9,55 10,25 10,45 11,00
— — — — — —
— — — — —
— — — — — —
19,00 19,30 20,20 21,20 21,55 22,30
(*) También, por ejemplo. ; = l puede ser «Robledal de las cabras»; y * 2 , puede ser «Vi-
llachica del Páramo»; i = n podría ser «San Veremundo de la Vera».
( · ♦ ) Por ejemplo, i = 1 cs «tren expreso»; i = 2 cs un «tren rápido»; i « m cs un «tren corr«o*·
12

51. OPERACIONES CON M A T R IC E S ; M A T R IZ IN V E R S A 43
a MATRICES; ÁLGEBRA DE MATRICES
Venimos recurriendo a las matrices desde las primeras páginas, pero de ellas
sólo se ha dicho, por no haber necesitado más, que son tablas rectangulares de
escalares. Es obligado, pues, dar ahora las definiciones pertinentes.
3.1, P R IM E R A S D E F IN IC IO N E S
SOBRE U DEFINICIÓN
DE MATRIZ
¿Qué se entiende por tabla rec­
tangular? ¿Qué son filas y qué
son columnas? Para salvar estas
objeciones, se puede dar la si­
guiente definición dc matriz:
Dados m, rt e y si / y y son
/={l,2
....w} yy= {1,2 .....n]y
se llama matriz de tamaño mxn,
de escalares de un cuerpo K, a
toda aplicación A: I x J - * K;
la imagen por A de un par (/, j)
se le llama elemento de lugar
(iJ ) de y le representaremos
poniendo
Se llama matriz de tamaño m x n, constituida por escalares de un cuerpo
K (en particular, K = U o K - C ) , a cualquier tabla rectangular A formada
por m · n escalares, dispuestos en m filas y n columnas. Se llama
elemento de lugar (/, j) o ij de A al escalar que está situado en la
intersección de la fila /-ésima (para / = 1, 2, m) y la columna y-ésima
(para7 = 1,2, ..., n)\ si a este elemento se le llama la matriz se denota
poniendo:
«11tí,2 - «12 ··’« I n '
A =
«21«22 -«2.,
0 A =
«21«22 -«2n
-"mi «„,2 - «m2 -«mJ
Abreviadamente, también se suele escribir A — la¡j]. Cuando se quiera
señalar expresamente que la matriz A tiene tamaño m x /i, se la denotará
poniendo A^^„, Dos matrices de igual tamaño, A = {a¡^ y B = [tf¡j]y se
dicen matrices iguales si tienen respectivamente iguales los elementos
que ocupan los mismos lugares, esto es. si a¡j = b¡j para / = 1, 2, ..., m y
y = 1, 2, ..., m,
Al conjunto de las matrices de tamaño m x /i se le denota por (K),
donde K es el cuerpo de escalares, o simplemente Si m = /í, se
simplifica la notación y. en lugar de se pone
Si m = n, se dice que A es matriz cuadrada; si m ^ n, se dice que A es
rectangular. Si para i > j es a¡j = O, se dice que A es triangular superior,
si para i < j es a,y = O, se dice que A es triangular inferior; si para i ^ j
es a¡j = O, se dice que A es matriz diagonal. Se llama diagonal de A a la
sucesión a^^a^iQ^v^. Matriz escalar es una matriz diagonal que tiene
iguales todos los elementos de su diagonal. Si w = 1, se dice que A es
matriz fila: si n = l, se dice que A es matriz columna. Si A es cuadrada
y, para cualesquiera i y 7, es a¡j = aj¡ o si cs a^¡ = —aj¡ se dice, respecti­
vamente, que A es matriz simétrica o que A es matriz antisimétrica.
EJERCICIOS
Si A = [a¡jl es la matriz que se da al final de este enunciado, analícese en qué

52. Al g e b r a u n e a i
casos es: 1) iriangular superior; 2) triangular inferior; 3) sim étrica, esto es. tal
que sus elementos y a¡¡ son iguales (para / = I, 2, 3 y y = I. 2, 3).
X + > x - z
x - y y y - ^ z
Loc + z - 2 z -y zj
RESOLUCIÓN
1. Han de ser a,, = = «32 = O, esto esac-y = 0, j: + z - 2 = üyz->' = 0.
que se verifica parax = y = z= 1 solamente. La solución es, pues, la matriz
A, que figura al final de este ejercicio.
2. Ha de ser a,2 = «,3 = 023 = 0* ®sto es + y = 0. jc - z = O e y + z = O, que
se verifica para = —y = z, lo que conduce a las matrices /4j que figuran
al final.
Ha de ser «12 = 021· «n = «3i y < »a= "32· esto es, jc + >- = x - > '. jt~z =
= jt + z ~2ey + z = z — y. que se verifica para y = O, z = 1 y x cualquiera;
luego las soluciones son las matrices A,:
3.
A ,=
“l 2 0 “ JC 0 oí ’jc X j c - f
0 1 2 ; ^2 — 2jc -JC 0 ; >^3-JC 0 1
_0 0 L 2 { x - \ ) 2x JC. .jc-l 1 1,
□SUMA (DE MATRICES)
Y PRODUCTO POR UN ESCALAR
Al dar ahora, tan pronto, las definiciones de suma de matrices y de producto
de escalar por matriz, no disponemos aún de una justificación suficiente de las
mismas. Por ello, nos ha parecido oportuno presentar aquí un ejemplo en el
que se puede apreciar que las citadas definiciones van a ser provechosas:
EJEMPLO PRELIMINAR
Un ludopata adquiere 7 boletos de cada una de las loterías 1.*, 2.* y 3,*; por
cada uno de ellos paga la cantidad c,, Cj y Cy respectivamente, y obtiene, en
premios, las cantidades P{> Pi y Py· ocasión, adquiere 4 boletos y, ahora,
las cantidades anteriores pasan a ser cJ, y p¡, p^ respectivamente. El
jugador hace balance económico (para determinar, el muy iluso, cuál de las
loterías le es más propicia); los gastos y los beneficios pnxiucidos con la loteria
/-ésima son 7c/ + 4c,' y lp¡ + 4p¡, Nuestro hombre, que a pesar de tcxio C5
metódico y ordenado, realiza sus cuentas de manera conjunta y agrupa tixlos
sus cálculos poniendo:
Pi c¡ P p 7c, + 4<·; lp^ + Ap\'
<^2 Pl+ 4<^í Pl=Ic^ + 4c2 Ipi + 4/>'
Sy Py, Sy P \, _7cj + 4r; 7/), + 4/>;_

53. OPERACIONES CON M A T R IC E S ; M A T R IZ IN VER SA 45
ni ludópatu de nuestro cuento acaba de inventar la suma de matrices y el
producto de un escalar por una matriz.
[022J
EL ESPACIO VECTORIAL
De aquí a p oco, cu an d o en un
capítulo próxim o h a b lem o s d e la
csinictura de «esp acio vectorial»,
tendremos ocasión d e c o m ­
probar que, allí, se arrancará d e
un conjunto donde se d efin en
una suma y un producto por e s ­
calar que han de sa tisfa cer a
unos axiomas, que no so n sin o
las propiedades 1 2 .·, 3 .“, 4 .·,
a,h,cyd que, aquí, se estudian
para las matrices.
Dadas dos matrices A = y fi = del mismo tamaño m x n y
formadas por escalares de un cuerpo cualquiera, .se llama suma A + B ^
la matriz A + B = [a. + h¡jl de tamaño m x n\ esto es, la suma, que
siempre existe, se define mediante:
« n « 1 2- « I n ■ b n ^ 1 2 -
. « m i« m 2 · · * « m n . ^f« 2 · · ·
a«, +
«n « 1 2 - « i n
Ao„ Aa,j ·
=
_ « m l « m 2 " * « f» ü i. ·'
1.·) (A+B) + C = A + (B + Q
2.*) A + 0 = 0 + A = A [II
3.·) A + { - A ) - - { - A ) + A ^ O [II]
4.“) A + B = B + A
'a) (A + /xM = M M
b) Á(A + B) = ÁA + AS
c) A(/M) = (AmV1
d) \A = A
Se llama producto \A (A escalar) a la matriz XA = (Aú,^], de tamaño
m X n\ eslo es, el producto por escalar, que siempre existe, se define
mediante:
Propiedades. Para cualesquiera que sean las matrices A, fi y C, del mismo
tamaño^m x ;i, y para cualesquiera escalares A y /x. .se verifica:
[I] 6) se llama matriz mda, de tamaño m x n, y cs aquella cuyos
elementos son todos iguales al escalar nulo.
[II] - A = [-a,y] se llama rmtriz opuesta de A = [a^J y es aquella, de
tamaño m x n, cuyos elementos son los escalares opuestos de los
respectivos elementos dc A

54. ÁLGEBRA LINEAI
COMPROBACION
Todas estas propiedades se demuestran con gran facilidad. Para ello, bastará
con recurrir a que, como ya sabemos (véase la definición de cuerpo), las citadas
propiedades son ciertas para los escalares, esto es, se verifican si se susiituycn
las matrices A, fí y C por escalares a, b y c (o a¡p y c^. Así, por ejemplo,
la propiedad A(A + B) = AA + ÁB se satisface como consecuencia de ser
A(tíy + bi¡) = Áüij + Áh^^ (para i = l, 2, ..., m y y = 1, 2
......n).
EJERCICIO
Hallar dos matrices X e y, de tamaño 2x3, tales que
siendo.
3X+y = A
4X + 2K=fí
3,a 1 0'
y B -
■3 4 2
2 1/2 5
J ^
2 1 8
RESOLUCION
Operando de acuerdo con las anteriores propiedades, esto es, igual que si X, y,
A y B fuesen escalares, el sistema dado es equivalente a cada uno de los
siguientes:
6X + 2y =2A -3 X + A = KX = A - ¡ B
4X + 2Y=B 2X = 2 A - By = - 2 A + ¡ B
Por tanto, X e K han de valer:
0 - i - r
; y = ~ 2 A + ¡ B =
■ -3/20 r
1 0 1 - 3 -1/2 -6
3.2. PRODUCTO DE MATRICES
Es seguro que, a estas alturas, todos conocemos ya algo, aunque sea poco, sobre
el producto de matrices y que, por ello, es probable que no nos resulte chocante,
cuando no estrafalaria, la manera de definir dicho producto. Pero, además, ia
multiplicación de matrices no se define, en general, cuando éstas tienen el
mismo tamaño, como podría esperarse, sino que para que un producto AB tenga
sentido, va a ser necesario que A tenga tantas columnas como filas tiene B, Y
es que esta definición es la que es, y no es otra, para que sea de utilidad en el
momento de componer aplicaciones lineales, cosa ésta que queda para más
adelante.

55. ONES CON MATRICES; MATRIZ INVERSA 47
Como aquí se ha opiado por presentar a las matrices lo antes posible, para
que sirva de herramienta desde el primer momento, nos vemos obligados a dar
una pequeña justificación de la referida definición de producto, lo que se intenta
con el siguiente ejemplo.
liJEMPLO PRELIMINAR
Supongamos que en un centro de enseñanza que se llama «Instituto Superior
de Futurología» se va a seleccionar a ires becarios, de entre los cinco aspirantes
que abajo se relacionan, y que ello se hace atendiendo a las calificaciones que
hayan obtenido en determinadas materias. Los aspirantes y sus calificaciones
son los que figuran en la siguiente tabla o matriz, que llamaremos A:
Calificaciones
obtenidas por
los aspirantes
Sigisberta
Prócolo
1
EL
Geroncia
ß ayulo
Juventino
Materias
Astrologia Cartom ancia Auguración Aruspicina
û||
7
"12
5
"iJ
8
"14
10
«21
5
"22
9
"2»
7
"14
8
10
"12
7
"31
6
"34
8
"41
9
"42
6
"43
10
"44
7
8
"52
7
"53
9
"54
8
Para la concesión de las becas se han establecido unos haremos que, según
al departamenio al que vaya a ir destinado el becario (que llamaremos depar­
tamentos I.®. 2." y 3.”). dan distinto «peso» a cada una de las calificaciones
obtenidas por los aspirantes. Estos «pesos» son los que se señalan en la siguien­
te matriz, que llamaremos B:
«Pesos» del
n barem o de
selección
1.·)Astrologia
*5
2/)Cartom ancia
13.-)Auguración
4.·)Aruspicina
D epartam ento
1.“ 2.“ 3.°
ft.. ' ft,. '-5
ft. ' ft„ '
ft., 2.S
ft« 3 ft« 5
Totales 10 10 10

56. Al g e b r a uneal
Estos haremos functonuji linealmente, esto es, para cada dcpartamcnu). j|
puntuación total que obtiene un aspirante es la suma de los productos de sus
notas por los respectivos «pesos» que se les asigna en el departamento en
cuestión. Así» el aspirante Báyulo (aspirante número 4) para el departanicnio
3.° obtiene la puntuación c^, siguiente:
C43 = 9 X 1,5 + 6 X 1 + 10 X 2»5 + 7 X 5 = 79,5
o sea,
Procediendo de igual modo con los demás aspirantes y departamentos, se
obtienen t(xias las puntuaciones; al disponer éstas en la correspondiente tabla
de doble enUada, se obtiene la siguiente matriz, que llamaremos C:
Puntuación total
de los aspirdntes en
cada departamento
Departamentos
2.«I
Sigisberta
<APrócolo
0
c
Í2
’s-
Geroncia
<
Báyulo
Juventino
<^11
7 6 71.5
<^«3
87,5
65,58 0 7 4
8 0 74,5
C33
7 7
1
87,5 7 2
<^43
79,5
í*51
82,5
CS2
7 7
CS3
81,5
NOTA: Los aspirantes elegidos (los de mayor puntuación) son: para el primer
departamento, Báyulo; para el segundo, Prócolo; para el tercero. Sigisberta.
Donde el elemento de lugar (ij) de la matriz C es la suma de los productos
de los elementos de ia fila i-ésima de A por los correspondientes elementos de
la columna J-ésima de B\ eslo es:
4
Se dice que esta matriz C es el producto de la matriz A por la matriz B:
este producto ha podido realizarse debido a que el número de columnas de Á
es igual al número de filas de B, Se pone:
C ^ A B o [c^]=^\ajlh^]

57. I MATRICES; MATRIZ INVERSA 49
Q DEFINICIÓN DE PRODUCTO DE MATRICES
[023] Dadas las matrices A = [a^f^ cuyo tamaño es m x p y B — dc tamaño
p x n (nótese que B tiene tantas filas, p, como columnas liene A), cons­
tituidas ambas por escalones de un mismo cuerpo, se llama producto AB
o A · fi. de i 4 por fi, a la matriz C = [ c ,y ] de tamaño m x n cuyo elemento
de lugar (ij) es:
í(/ = + - + a ^ b p j = í a j > ^ ¡
« U « 1 1 - « 1 , .
:
:
h; b , .
«,t 0(3 - «//.I
« m i « m 2 **’ « m /í _
A . '
í
Así. por ejemplo, al multiplicar tas siguientes matrices, de tamaños 2 x 4
la primera y 4 x 3 la segunda, se obtiene la matriz 2 x 3 que se indica:
"l - 2 3
'2 - 1 5 - 3 ' 3 6 - 1
4 2 - 3 - 5 2 7 - 2
4 1 5
---------------2
---------------2
r '
3 22 - 1 8
16 - 2 2 - 9
t i ,
------------4
1 + ( -1)
( -2) + (-l)
3 +(-1)
3 +5
6 +5
(-D + 5
2 +(-3)
7 +(-3)
(-2)+ ( - 3 )
1 +2
(-2)+ 2
3 + 2
x 3 + ( - 3 ) x 2 + ( - 5 ) x 4
X 6 +(-3) X 7 +(-5) X 1
X (-l) + ( - 3 ) X ( - 2 ) + ( - 5 ) X 5
CASOS PARTICULARES
Concretamos aquí el valor del producto AB para algunos casos de especial
interés:

58. Al g e b r a l in e a i.
Si A es matriz fila (I x p) y B es cualquiera (p X n), entonces:
b,.
[a, «3
¿ I I b¡2
¿2, ¿22
A-
' ÍC| Cj
donde c,= S ( /= 1, 2, ..., n)
A-l
Si A es cualquiera (w x /?) y B es matriz columna (p x 1), entonces:
_
' í ’ · "
_
« 1 1 « 1 2 *· · « 1 ^
« 2 1 « 2 2 ·
· · « V ^ 2
’— :
;
. « m i« m 2 ·
A .
dondeC¡ = Z a ,*
* -i
(í = 1, 2 , m )
Si A es una matriz fila (1 x p) y B es una matriz columna (p x 1), entonces:
'b,
[a , «2
Aj
le]
donde c = a^b^
h-\
• Si A es matriz columna (m X 1) y fl es matriz fila (1 x „). entonces:
" « i '
í^ll ‘·· < ^ i„ '
«2
^21C22
[^1 ¿?2 ·*’ ^„1 =
:
^^ml^m2 *
donde
{i I, 2, .... m \ j ^ 1, 2, n)

59. lATR lZ INVERSA 51
• Si una de las matrices que se multiplican es una matriz escalar E (véa­
se [021]), entonces:
A£ =
EB'^
« 1 2 * e0 ...0“’ay,ea, 2 6- «1/
^21 « 2 2 · 0e ...0 a2,eÜ2 2e···
" m 2 *
00 - e ···mp ^
= eA
e0 -0" b,2 - tri»,,eb,j ··
0e ...0
^2,b22 - b2n
efri.
00 -e bp2 - Kn ebPiebp2 ■
= eB
EJERCICIO
Estudiar si existe alguna matriz real A de tamaño 3 x 2 tal que AA‘ = A donde
A^ (traspuesta de A) se obtiene de cambiar filas por columnas en A e / es la
matriz unidad (de tamaño 3 x 3).
RESOLUCIÓN
Hay que analizar si existen algunos números reales a, a \ b, b \ c y d lales que:
cr'_
u ^
■ a^^a·^ 4* íí'¿7'ac + fl'c'· "10 0”
ab c
b' b \
=ab + fl'/?'¿72 + ¿7'^¿7C + ó'c'=01 0
_Cc'_
a'
_flC + fl'c'¿>c + b'c· 4- .00 1_
Como + b^-^b'^ y + han de valer 1, han de existir 6^ y Oy
(ángulos entre O y 27t) tales que
a = eos dy, b = eos $2, c = eos 6^
a' = sen = sen c' = sen 0^
Por otra parte, como ab + a'b' = O, resulta que eos (^, - ^j) = O, o sea “ ^2 “
= ±7t/2, ± 3tt/2; análogamente - 0^ y ^2“ ^3 valdrían ±7t/2 ó ±37r/2.
Este resultado es contradictorio ya que, de ser así, como se puede poner
6^, - ^3 = (^, - ^2) " ^ 3) encontraríamos con que - 0^ debería va­
ler O, ±7T ó ±27t y no ±7t/2 ó ±37t/2 como se acaba de decir. Por tanto, el
problema propuesto carece de solución.

60. [ 0 2 4 ]
□ PROPIEDADES DEL PRODUCTO
Así como para la suma de matrices y para el producto por un escalar, se
verificaban las mismas leyes que rigen para los escalares, para el producto la
cosa es distinta; ahora, aunque algunas leyes siguen siendo ciertas, otras ya no
son aquí de aplicación.
Para cualesquiera que sean las siguientes matrices se verifican las
propiedades:
l.
2.
3.
(distributivas).
{AB)C = A{BQ (asociativa).
A (B ^ B ') ^ A B -\ AB'
{A-¥A')B^AB'\-A'B\
A I - A e I B - B , donde I es la siguiente matriz cuadrada, llamada
marriz unidad:
" 1 0 0 O’
0 1 0 O
0 0 1 O
0 0 0 1
4.
5.
6.
O.
AB t BA (en general); esto es, el producto no es conmutativo.
Puede ser A B - 0 sin que sean A = 0 o B = 0 (cuando sea AB
A ^ O y Bi^OySC dirá que A y B son divisores de cero).
El conjunto de las matrices cuadradas de cierto tamaño n x n
(donde n es cualquiera, pero fijo), con las operaciones suma y pro­
ducto de matrices, es un anillo unitario no conmutativo y con divi­
sores de cero.
(*) Se exige, obviamente, que tengan sentido todos los productos que aquí intervienen.
Los tamaños de las matrices deberán ser, pues, los: A y A* dc tamaño m x p; B y B' dc
tamaño p xn \ C dc tamaño n x q\ / cuadrada de tamaño p x />.
COMPROBACIONES
l. Llamando A = (a^j, B = y C = (c^J. se tiene:
(AB)C··
M B Q = laJ
I laAjkt=
_Jf*
/_
=
Estos dos resultados, esto es, los elementos de lugar (ik) dc {AB)C y de

61. V T R IZ IN V E R S A 53
A(BC), son evidentemente iguales para cualesquiera que sean i y k, luego
(Ali)C = (AB)C.
2. Llamando A = [o,*], B = y B' = se tiene:
A{B + B') = [aJ\b^ + h'^]: 'LajD^ + 'LaJ?'^
= \au,\\b^\^-[a,,]\h'^\=AB + AB'
3.
4.
Análogamente si comprueba que es {A + A')B = AB 4 A'B,
Las igualdades Al — A e ¡B B se obtienen de hacer e — \ en el último de
los «casos particulares» del apartado anterior, eslo es, lomando como caso
particular de matriz escalar £ a la matriz unidad I.
Para que existan los dos productos AB y BA, es necesario que los tamaños
de A y de fí sean m x n y n x m (para algunos m y n); en tal caso. AB es
de tamaño m x m y BA lo es de tamaño n x n. Para que AB y BA existan
y sean de igual tamaño hace falta, pues, que sea m = n, es decir. A y B
deberán ser cuadradas y de igual tamaño (n x n). Aún en este caso. AB y
BA serán, generalmente, distintasasí. por ejemplo; para las siguientes
matrices A y fí de tamaño 3x3, es ABi^ BA\
l 2 5“ "-3 0 2‘
A =-2 13; fí =4 3 -3
1 0-l_ .-1 -1 1.
" 0 1 r ■ -1 - 6 - 1 7 “
Afí =7 0 - 4 ; BA = - 5 11 32
-2 l 1 2 - 3 - 9
5. Comprobemos que existen divisores de cero, dando algunos ejemplos:
O
2 l --3
1 0 - 2 f 2 l --7 0 0 0
3 - 1 0 2-1 0 -- l 000
_ - 4-1 1 _
1 - 3 ' "3 9" 00'
2 -613 00
O
6. Para este conjunto de las matrices cuadradas n x n, además de la suma,
también el producto es una operación interna, esto es, dos matrices n x n
siempre se pueden sumíu y multipliciu* y los resultados son también ma­
trices del mismo tamaño n x n. Pues bien, con estas dos operaciones
es un anillo ya que: a) por verificarse las propiedades 1.“, 2.*, 3.* y 4.* de
la suma (véase [022]). es un grupo abeliano; y h) se verifica también
la asociatividad del paxiucto y las distributivas (que son las propiedades 1."
(*) Si A y fí son tales que AH « BA, se dice que A y B conmutan o pcnnulan entre sí.

62. ÁLGEBFiA LINEAI
y 2.· recién comprobadas). Este anillo es unitario, no conmutativo y con
divisores de cero, según se acaba de comprobar en las anteriores propie­
dades 3.*, 4.* y 5.".
B
. TR.\SPUESTA DE UNA MATRIZ
A cada matriz A se le va a asociar otra matriz A \ que se llama traspuesta dc
aquella; A^ es el resultado de cambiar» en A, las filas por las columnas. Aquí,
al tiempo que se define la trasposición de matrices, también se consideran sus
principales propiedades.
[025J Dada una matriz A, de tamaño m x /i, se llama traspuesta de A a la matriz
A\ de tamaño n x w, que tiene por elemento de lugiy (ij) al elemento de
lugar (ji) de A, para i = 1,2, n y j = 1. 2, m. La correspondencia
A —*A\se llama trasposición de matrices.
Propiedades. Para cualesquiera matrices A y fi, se verifica:
1.“ (A ')' = A (la trasposición es involutiva).
2.· ÍA + BY = a ' + fi' (A y fi del mismo tamaño).
3.· (A A )'= ÁA‘ (A escalar cualquiera).
4." (ABy = B'A' (A de tamaño m x p; B de tamaño p x ///).
Si A es una matriz cuadrada, decir que A es simétrica equivale a decir
que A =A ^ decir que A es antisimétrica equivale a decir que A = -A^
Para cualquiera que sea la matriz cuadrada M, la matriz M M ' es
simétrica y la Af - Af' es antisimétrica.
COMPROBACIÓN
Con excepción de la propiedad 4.“. que se prueba a continuación, el resto de
las afirmaciones del enunciado se comprueban trivialmente. Para la 4.“. llaman­
do a,,, a ;, y a los elementos de lugar (rs) dc A, A', fi y fi', respectiva­
mente, se tiene:
[elemento (ij) de (AB)'] = [elemento (¡i) de AB] = £ a . ^ .
(elemento (y) de B'A'] = S = I = I
f* h h
Como (AB)‘ y B'A' han resultado tener los mismos elementos, han de ser
iguales.

63. iT R IZ IN V E R S A 55
E JE R C IC IO
Compruébese que cualquier matriz cuadrada M se puede expresar como suma
de dos matrices que son una simétrica, 5, y otra antisiméünca, A. Compruébese
también que tal descomposición es única.
RESOLUCIÓN
La descomposición Af = 5 -f A se consigue tomando
donde S y A son, según sabemos, simétrica y antisimétrica, respectivamente.
Supongamos que se dispone de oü-a descomposición Af = 5' + A'; de ser así,
resultaría que
5 + A = 5'+A' luego 5 - 5 ' = A '-A
Nótese que S - S ' es simétrica y A '-A es antisimétrica. Llamando
y a los elementos de lugar {ij) de 5 - 5' y de A' - A, como estas matrices
son iguales, ha de ser = a¡j y ahora bien, como Sj¡ = s¡j y = a¡j,
resulta que
(para cualesquiera i y j). De aquí se deduce, pues, que = a^j = O para cuales­
quiera i y 7, esto es, que 5 - 5' == O y A - A' = O, o sea 5 = 5' y A = A' que
prueba la unicidad de la descomposición.
Lo que aquí se ha hecho no ha sido otra cosa que expresar una matriz
cualquiera M = [m¡j] en la forma:
K j ] = 5 [m¡j + mj¡] + ^ [m¡j - r n ^ J
Así, por ejemplo:
"2 4 5‘ ■ 27/2 5/2-■ 0 1/25/2-
3-1 6
=
7/2-13/2+-1/2 0 9/2
.0- 3 7. _5/23/27 .. - 5 / 2 - 9 /20 .
RELACION ENTRE LAS OPERACIONES
ELEMENTALES Y EL PRODUCTO
Empecemos recordando que las operaciones elemenüiles (véase [016]), sobre
un sistema de vectores (que aquí serán las filas o las columnas de una matriz),
son de uno de los siguiente tipos:

64. ÁLGEBRA UNEAL
• Tipo consiste en intercambiar los vectores /-ésimo y ;-ésimo.
• Tipo [i—♦ Ai] consistente en multiplicar el vector /-ésimo por el escalar A ^ 0.
• Tipo [/—► i + 7] consiste en sumar el vector 7-ésimo al vector /-ésimo.
• La aplicación reiterada de cualesquiera operaciones de los tipos anteriores.
Vamos ahora a comprobar que las operaciones elementales, en una matriz
Ay se pueden realizar, también, multiplicando a A por unas matrices adecuadas:
si las operaciones elementales son en filas, hay que multiplicar por la izquierda
(premultiplicar), de A, y si lo son en columnas, hay que multiplicar por la
derecha (posmultiplicar):
[026] Sea A una matriz de tamaño m x n dada. Se verifica que:
1. Si y son operaciones elementales que, actuando respectivamente
sobre las filas y las columnas de A, conducen a e\A) y e'(A), en­
tonces:
e^A) = FAy donde F = /„ = unidad m x m
e'(A) = A C , donde C = /„ = unidad n x n
2. Sea e la operación elemental que consiste en aplicar una operación
a filas y una operación e"" a columnas. Entonces, al aplicar y e'
una tras otra (en cualquier orden), la matriz A se transforma en ia
maniz e(A), que vale:
e(A) == FAC, donde
f = e<UJ
C = eV„)
3. Si la matriz dada A tiene rango r, entonces hay ciertas operaciones
y (sobre filas y columnas, respectivamente) tales que:
FAC =
■ Ir 0 '
. 0 0
donde
f^= e’a j
C = e'(/„)
I, = unidad r x r
NOTA: Rccucrdcsc que a esta última matriz se le llamó (en (020]) matriz canónica dc
equivalencia de la matriz dada A,
DEMOSTRACIÓN
Se suelen llamar matrices elementales a las matrices cuadradas, de cualquier
tamaño p y.p , que se obtienen de aplicar a la matriz unidad, de tamaño x p,
las operaciones elementales de los tres tipos básicos, eslo es, las e

65. lA T R IZ IN V E R S A 57
~ l/—♦ A/| con A O y e, = [/—♦ / + j\. Las matrices elementales son, pues,
las siguientes:
1.·
e\(D =
‘ 1
0 ·“ l
.
• •
1 ··· ü ^ j
T
l
í
i j
Matriz cuadrada cuyas únicos elementos no nulos son: 1) los elementos de la
diagonal, que valen l, excepto los dos ceros que se señalan; y 2) los elementos
de lugares ij y ji que valen 1. Aquí e, es la operación = \ i^ j] .
2.· l
A
;
Matriz cuadrada que tiene nulos lodos los elementos no situados en la diagonal:
los de la diagonal valen 1 excepto el de lugar i7, que se señala, que vale A ^ 0.
Aquí € 2 es la operación = (/—" AiJ.
3.· 1
" í
Matriz cuadrada que tiene lodos los elementos de su diagonal valiendo I, su
elemento de lugar ij también vale 1 y todos sus demás elementos son nulos.
Aquí ^3 es la operación = [i-* i
También son maüices elementales las el{l) y que son las tras­
puestas de las ^5(1), ^ (/) y e[{¡). respectivamente.
1. Sólo vamos a ocupamos de las operaciones elementales sobre las filas; para
las operaciones sobre las columnas se puede razoniu de manera análoga.
Empezaremos abordando los casos en los que la operación e es una de las
íf|, € 2 y ey Para probar cada uno de ellos, no hay mas que premultiplicar

66. Al g e b r a l in e a i
A por cada una de las matrices elementales e\{í), e[{í) y e[{í) y comprobar
que el resultado cs igual a e\(A), e[(A) y e[{A), respectivamente; así ocun-c,
en efecto, ya que obviamente:
e[(I)A y e[(A) sone\{l)A y e\(A) son
ambas iguales a: ambas iguales a:
eyiDA y e^M)
ambas iguales a:
[fila J de A] í —» A [fila i de A\ [fila i + fila j]
(fila í de A\
(sólo se señalan las ñlas que son diferentes de las de A; las que coinciden
con las de A se denotan poniendo simplemente puntos suspensivos).
Recurriendo a que la propiedad ha resultado ser cierta para las tres
operaciones elementales básicas, se puede comprobar que también lo cs
para cualquier otra operación elemental e, pues ésta cs composición dc
aquéllas. La comprobación de esto se puede reducir al caso en el que e es
la composición de dos operaciones e' ye'* (por ejemplo, e, y ej) para las
que ya se cumple la propiedad; dicha comprobación es evidente (para
simplificar la notación, se ha puesto F, F ' y F " en lugar de e\í)^ e'\\) y
respectivamente):
2.
3.
e\A ) = e ''\e '\A ) ) = F " · e '\A ) = F "
Esta propiedad es consecuencia inmediata de la anterior, ya que:
e(A) = e\e\A )) = e\A) · C = FAC (si primero se aplica e^)
e(A) = e\e^{A)) = F ♦ e'^iA) = FAC (si primero se aplica e')
Sabemos (véase [019]) que hay unas ciertas operaciones elementales, que
ahora llamaremos e' y tales que aplicando una tras otra (e^ a filas y
a columnas) transforman la matriz A en la matriz canónica de equivalen­
cias, que llamaremos Recurriendo, pues, a la anterior propiedad 2, se
tiene que
C ,= é?V(>4)) =
C, = eV(>^)) =
’- e \A ) C : ^ F A C
F - e \A ) ^ F A C
(si primero se aplica e^)
(si primero se aplica e"")
OBSERVACION
A la vista de cuanto venimos diciendo, resulta evidente que: Si e es la operación
elemental que consiste en aplicar las operaciones en filas e\, e[, ..., e[ (en este
orden) y las operaciones en columnas é\, e\, e\ (en este orden), entonces la
ü-ansformada e{A), de una maüiz A (de tamaño m x n), es igual a:
e(A) = FAC

67. ^4 A T R IZ IN V E R S A 59
donde:
F - siendo F^ = e%!) para /= !, 2, ..., h
C=C,C2...Q siendo Cj = ej(f) para 7=1, 2, ..., k
EJEM PLO
Realiceníios operaciones elementales en la siguiente maüiz A, de tamaño 3 x4,
primero en las filas y luego en las columnas, hasta llegar a su matriz canónica
de equivalencia Q . Si, al tiempo, realizamos las mismas operaciones elemen­
tales en la correspondiente matriz unidad (cuando las operaciones son en filas
se realizan en /j^ ; cuando son en columnas se realizan en 74^4), obtendremos
también dos matrices F y C, de tamaños 3 x 3 y 4 x 4, que permiten poner
FAC = Q . En concreto, con las operaciones elementales que se indican delante
de cada una de las siguientes etapas, se va obteniendo sucesivamente:
"132 - r "1 0 0“
A =242 1
i ^3x3 “
0 1 0 ; /4X4 —
_462 5_ .001_
2« f _2“f -2· l“f'
3“f— 3“f - 4 ‘ l"f>—
(sobre las /jx3 y A)
I o o
-2 1 o
-4 o I
1 000
010 0
0010
0 0 0 1
I 3 2 - r
0-2 - 2 3
0-6 - 6 9
= [F'\A']
3*f— 3’f-3 -2 "f
(sobre las F' y A')
1 O O
-2 1 O
2 - 3 1
1 3 2 - 1 '
O -2 -2 3
0 0 0 0
^ [ F - \ A - ]
2* f — (-1 /2 )2 “ f
(sobre las y A'')
“l 0 0 1 3 2 - r
—1 - 1 /2 001 1- 3 /2
.2 - 3 10 0 0 0.
2«c-^2“c - 3 · L“c
3*c— 3 - C - 2 · l*c
4“c -^ 4 * c -f l“c
(sobre A '" e
1 0 0 O
O 1 1 - 3 /2
0 0 0 O
1 - 3 - 2
O 1 O
O O 1
0 0 0
C

68. 3"c— 3“c - 2 ‘c
4"c— 4‘ c+(3/2)2*c
(sobre las A"' y C )
■
l00 0
010 0
000 0
l-31-7/2
0l- l3/2
00 1 0
000 l
i
C"
Todo esto, nos permite poner
esto es:
FAC = C„ donde F = F " ', C = C ” y C=A'',
“1 0 0‘ '13 2 - n
1 - 1 / 2024 2 1
.2 - 3 1..4 6 2 s j
"1-31-7/2''l0 0o‘
01-13/20 100
00l 0
,000 1_0000
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
POR BLOQUES
□SUBMATRICES Y BLOQUES
Dada una matriz A, se llama submatriz de A que definen los índices de filas
í|. h* ··'» y índices de columnas 7,, 7*2» ^ matriz, de tamaño p x í»
cuyo elemento de lugar (/i, es el elemento de lugar (v ;* ) de A. Los elementos
de la submatriz son aquellos en los que se cruzan las filas y columnas elegidas.
Si los índices (de filas y de columnas) son consecutivos, la submatriz se llama
bloque o caja.
□ DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES
Dada una maüiz A, de tamaño m x n, considérese una sucesión creciente de
índices de filas O < m, < = aí y una sucesión creciente de índices
de columnas 0<n, < n j< *·· <«^ = /i. Sea A¡j el boque de A que definen las
filas comprendidas entre las + l y m, (ambas inclusive) y las columnas
comprendidas entre las + 1 y rij (ambas inclusive). Se dice que A se
descompone en bloques cuando se la expresa en función de los ^ bloques
A^/, éstos forman p filas y q columnas y quedan situados como si se tratara de
elementos de una matriz:

69. \TR\Z INVERSA 61
A =
An
...
^12
...
>42,
.
t
...
□MULTIPLICACIÓN POR BLOQUES
Sean dadas dos matrices y y considérese su producto Suponga­
mos que A se descompone en los bloques A¡^ que determinan los índices de
filas (O< m, <^2 < ··· < = m) y de columnas (0< p y< p2< — < P y - p ) y
supongamos, también, que B está descompuesto en los bloques B,,j que deter­
minan los índices de filas (0< p y< p2< — < P y - p ) y de columnas
(O < /I, < ^2 < — < = n). Pues bien, se verifica que el producto C = AB puede
expresarse en bloques como el resultado de multiplicar A por B operando con
los bloques y B,,j como si se tratara de escalares. Más exactamente:
[A J · [B,j\ = [Q ]
(A¡h* Bf,j y C¡j bloques)
donde C¡j es el siguiente bloque (para / = 1, 2, a y j = \, 2, fi):
C¡j = X Ajf^Bf^j = A¡yByj + A¡2B2j H ^ ^iy^yj
COMPROBACIÓN
Expresemos la matriz A como suma de las matrices A^Ü. que se obtiene de
mantener, en A, el bloque A¡^ y sustituir por ceros a todos los demás elementos.
Análogamente, expresemos B como la suma de las correspondientes matrices
Bfj. Haciendo esto, para el producto AB se obtiene:
A = 1 A.?
hr
B = l B *
‘J
/ / = 1, 2
........ a \
^AB= 1 A¡fB» r. í= l. 2........ y
U = l. 2
....... P /

70. Al g e b r a u n e a l
‘o ·.. 0... o' "o *. 0... o 'V; ■* 0... 0
0 ·- K
... 00 ■• l^sj
... 0 o -
•
... 0
0 ·. 0... 0 ··• 0... 0 o • 0... 0
Veamos lo que se puede decir acerca del produci« A*B^. Si cs r#í,
entonces este producto es la matriz nula pues al multiplicar cualquier nía de la I.·
por cualquier columna de la segunda se obtiene una suma de sumandos lodos nu­
los. Si es r = s, en el producto sólo pueden aparecer elementos no nulos en el blo­
que P¡„ de lugar (iJ), cuyos elementos son (salvo sumandos nulos) los producios
de las filas de por las columnas de o sea, ha de ser P¡j = A,Ji^j. Al sumar
lodos estos productos AíBf¡, resulta que el bloque de lugar (iJ) es, pues, la suma
de todos los posibles P¡j, que es el resultado que se había anunciado para Q .
[027]
MATRICES INVERTIDLES
Nos vamos a ocupar ahora de una cuestión de gran utilidad: se trata del estudio
de aquellas matrices que, siendo cuadradas, tienen inversa, así como de sus
propiedades y de las de sus inversas.
DEFINICION Y PRIMERAS PROPIEDADES
Ir i
Una matriz cuadrada A, de tamaño n x n, se dice que es invertible (o
inversible) si existe olra matriz, de igual tamaño, que se llama matriz
inversa de /t y se denotará por A ~\ tal que:
A A~'’= A~'A= ¡ (/ = matriz unidad)
Si A y ñ son matrices cuadradas, de tamaño n x m. se verifica:
1. Si A liene inversa, entonces sólo liene una inversa. Con mayor ge­
neralidad, lambién se verifica que, si dos matrices A' y A ", de tamaño
n X n, son tales que AA' = /, y A " A —l, entonces Á tiene inversa y
esA-'=A'=A".
2. Si A y Ô tienen inversa, entonces el producto AB lambién tiene
inversa, que vale;
( A f i) - '= e - '/t- ·
3. Si A tiene inversa, entonces su traspuesta A' también tiene inversa,
que vale;
(A')-' = (A -')'

71. o p e r a c i o n e s c o n M A T R IC E S : M A T R IZ IN VER SA 6 3
COMPROHAdONííS
1. Supongamos que /\' y de lamaño n x n, son tales que AA' ™ A"A ^
entonces será:
A'· = A··! = A'\AA·) = {A''A)A· = M ' = A'
Por tanlo. A' ^ A** y esta matri/ satisface a lo exigido para ser matriz
inversa de A. Por otra parte, nótese que si i4' y A'' fuesen, ambas, inversas
de A se verificaría que AA' - / y A"A » / y. según se acaba de ver. habría
de ser A' — A '\ luego todas las posibles inversas de A son iguales.
2. Aquí hay que comprobar que al multiplicar, por la derecha y por la
izquierda, la matriz AH por la matriz ir^A~ \ los dos productos que resultan
son iguales a la matriz unidad. Así ocurre:
M /?)(/í'‘/\'*') = /\(/iyí =/\/\ ' = /
= /r* (/\-'/\)/i = irUti = / r '/ i = /
3. Debemos comprobar que al multiplicar A* por (A’ */ se obtiene la unidad
/. tanto si .se multiplica por la derecha como si se hace por la izx]uierda;
esto es cierto, ya que:
EJERCICIO
Sean A y B dos matrices in vertibles. En función de la matriz M inversa de
M -A B , que se supone conocida, determínense A“ ' y B \
RESOLUCION
Las matrices invertibles de ta­
maño n x n forman grupo mul­
tiplicativo. Esto, que ocurre con
los elcmenios inverUbles de un
anillo unitario cualquiera, signi­
fica: 1) que el producto de ma­
trices invertibles es. a su vez,
invenible; 2) que la matriz uni­
dad es invertible: 3) que el pro­
ducto es asociativo, y 4) que si
A es invertible, entonces lam­
bién lo es A“'.
Sabemos que
Af ' = (A B r' = fi 'A"
Si premultiplicamos por B y, luego, posmultiplicamos por A. resulta que
^ B{B = (BB^)A^' = IA"' = A’ '
= (B'A-')A = ¿Í“ ‘(A“ 'A) = 5-7 = íB”*
BM-'
M~'A'
esto es, las inversas pedidas son A"* = BM * y B~' 'A,

72. [028J
□ ALGUNAS PROPIEDADES RELATIVAS
A LA INVERSA
A causa de su ulterior utilidad, reseñamos aquí algunas propiedades relaciona*
das con la matriz inversa; se trata de las siguientes:
1. Si A es una matriz cuadrada que tiene una fila o una columna nula,
entonces A no es invertible.
2. Si y4p Ajy .... Ap son matrices invertibles, del mismo tamaño, entonces
también es invertible su producto AyA2-.Ap y se verifica que:
3. Al aplicar a la matriz unidad I (de cualquier tamaño) una operación ele­
mental £, ya sea a sus filas ya a sus columnas, la matriz £(/) que así se
obtiene es invertible.
ÁLGEBRA LINEAL
COMPROBACIÓN
1. Si i4 tiene la fila i-ésima nula, entonces para cualquiera que sea la maüiz
B, de igual tamaño, la matriz AB también tiene nula su fila /-ésima, luego
AB /. Por ello, A no puede tener inversa. Análogamente, si la columna
/-ésima de A es nula, entonces BA tiene nula su columna /-ésima, para
cualquier maüiz cuadrada B, de igual tamaño que A , luego A B ^ I y, por
ello, A no tiene inversa.
2. Aplicando reiteradamente la anterior propiedad 2 de [027], se puede poner:
(A,A2..Apr' = [A, · (A2..,Ap)]-^ = ( A2. . . A ^ ) “ U r * =
= lA2ÍAy,Ap)r^ ·Ar' = {Ay.Apr^Aj'A;^ =
3. Sólo consideraremos el caso de operaciones elementales en filas, esto es,
supondremos que es E — E^\ para operaciones elementales en columnas se
puede razonar de modo análogo.
Vamos a empezar suponiendo que E^ es una cualquiera de las tres opera­
ciones elementales básicas, que en la demostración anterior (la de [026]) ha­
bíamos llamado y y también [/—► A/] con A =3^ o y ( /—► / + » ;
es decir, comenzaremos probando que las matrices elementales ÉHf)> y
E \l) son invertibles. Esto es evidente ya que estas tres matrices admiten como
inversas respectivas a las matrices elementales que se obtienen al aplicar, a la
unidad /, las operaciones elementales [ / ^ /]. [/-♦ (1/A)/] y [/—► / - / | , como se
comprueba trivialmente.
En el caso general, la operación E \!) es el resultado de aplicarle, a /,
sucesivas operaciones elementales básicas E¡, E[,E[ (de uno de los tres tipos
anteriores), por lo que E \I) = donde F, = E[(/) para i = 1, 2, h.
Ahora bien, según se acaba de decir, todas estas matrices F^ son invertibles

73. .ERACIONES c o n M A T R IC E S ; M A T R IZ IN V E R S A 65
y, según la anterior propiedad 2, de ello se desprende que también lo es su
producto, esto es, que £'(/) es invertible, como deseábamos comprobar.
3.7. CALCULO EFECTIVO DE LA INVERSA
Realizando operaciones elementales en las filas o en las columnas de una matriz
invertible, y si se procede de manera atinada, siempre se puede transformar la
matriz en la unidad. Este resultado se utiliza para obtener un algoritmo que nos
permita hallar, fácilmente, la matriz inversa.
[029]
2.
3.
Si A/ es la matriz escalonada por filas (por columnas) que se obtiene
aplicando unas ciertas operaciones elementales en filas (en columnas)
a una matriz cuadrada A, entonces todos los elementos de la diagonal
de M son no nulos sí y sólo si A es invertible.
Si A es una matriz cuadrada invertible, entonces su matriz canónica
de equivalencia es la matriz unidad. A esta matriz se puede llegar, a
partir de A, realizando operaciones elementales, en A, solamente a
filas o, también, solamente a columnas. Si y e"" son operaciones
elementales que aplicadas, respectivamente, a las filas o a las colum­
nas de A conducen a la unidad /, es decir, tales que e\A) = / y
É?‘'(A) = /. entonces:
A-^ = e\í) y A~^ = e^(í)
La inversa A"', de una matriz invertible A. se puede hallar del
siguiente modo: se realizan adecuadas operaciones elementales en A
y. las mismas operaciones, en la matriz unidad /. y todo ello se hace
sólo en filas o sólo en columnas, hasta conseguir que A se transforme
en /, lo cual siempre es posible; en ese momento, la transformada de
/ es A"'.
COMPROBACIÓN
Vamos a considerar el caso de filas; para el de columnas se razona de manera
análoga.
1. Llamemos / a la operación elemental que transforma A en M, esto es,
tal que M = e\A) = e^(/) A. Si A es invertible, como también lo es e^{/)
(véase [028], 3), nos encontramos con que el producto de ambas, que es
M, es invertible; por tanto, M no puede tener ninguna fila nula (véase [028],
1) y, en consecuencia, todos los elementos de su diagonal son no nulos (si
alguno fuese nulo, su última fila sería nula). Recíprocamente, si los ele­
mentos de la diagonal de M son lodos no nulos, se puede seguir el proceso

74. Al g e b r a lineal
que se indica en el próximo apartado 2, que nos conduce a la existencia
de i4’ ‘» como había que comprobar.
2, Supongamos que, a partir de A, hemos encontrado ya la anterior matriz
escalonada M, que tiene no nulos todos los elementos de su diagonal.
Realizamos ahora nuevas operaciones elementales, en las filas de M, para
llegar a la matriz unidad. Esto es fácil: basta con tomar como pivotes a
los sucesivos elememos de la diagonal principal, empezando por el último
y avanzando hacia el primero; cada vez que se utiliza uno de ellos como
pivote, se le puede convertir, a él, en un 1 y transformar en ceros a todos
los elementos situados sobre él, al tiempo que se conservan los ceros ya
conseguidos anteriormente. Es claro que así se llega a la matriz unidad.
3. Llamando a la operación elemental resultante de todas las anteriores, nos
encontramos con que / = e\A) = e\í) · A. Haciendo otro tanto con las co­
lumnas y llamando e"" a la correspondiente operación elemental, se verifi­
cará que ¡ - e^{A) A · e%¡)· Si denotamos A ' = e\l) y A " = eHí), los
anteriores resultados se expresan poniendo A ' A - I y AA*' - I , luego dc
ello se desprende (véase [027], l) que existe y que es = A ' =A",
o sea que
c'(/) = « '(/) = A -'
con lo que concluye esta comprobación.
E J E M P L O
Para hallar la matriz inversa de la siguiente matriz A, procediendo como se
acaba de indicar, esto es, realizando operaciones elementales en filas, a partir
de las matrices A e / o, lo que es igual, a partir de la matriz [A | /], se obtiene:
'13 - 2 ‘ "13 - 2 10 0 '
A =24 0; lA|/] =2 4 0 0 10
_35-1 . .3 5 -1 0 0 1.
— 1*
— 2·
— 3*
r ' = 1· —
2*' = 2"-2· 1·—
3*'=3‘ - 3 · 1·-«
I 3 2
0 - 2 4
0 - 4 5
1 O O'
- 2 1 O
- 3 O 1
2 " '= ( - 1 / 2 ) 2 · ' ' —
3·" = 3 ·'-2 .2 · —
1 3 -2
O 1 -2
0 0 - 3
1 O O'
1 - 1/2 0
1 - 2 1
l* "' = l*''-(2/3)-3*''-
2 * " '= 2 · " - ( 2 / 3 ) · 3 ·''-
3 · " '= ( - 1 /3 ) . 3·"
1 3 0
O 1 O
O O 1
1/3 4/3 - 2 /3 '
1/3 5/6 - 2 / 3
- 1 /3 2/3 -1 /3 .

75. OPERACIONES CON M A T R IC E S : M A T R IZ IN V E R S A 6 7
J ü IV ^ jo//^
__^ 2«^ '*
Ί 0 0 - 2 /3- 7 /64/3'
0 10 1/3 5/6 -2 /3
3"*''= 3 '" ' — . 001- 1 /32/3- 1 /3 .
■\l\A-'i
Como el primer bloque de esta última matriz es la unidad /, resulta que el
segundo bloque es A ~ ‘; por tanlo:
- 4 - 7 8'
2 5 - 4
- 2 4 - 2
CARACTERIZACIONES DE LAS MATRICES
in v e r t ib l f:s
L(i existencia de la inversa de una matriz dada está íntimamente ligada a otras
propiedades de ésta que tienen, también, gran interés. Nos referimos fundamen­
talmente a:
[030]
En un anillo cualquiera se veri­
fica que un elemento es regular
si y s ó lo si no es divisor de cero.
Si el anillo es unitario, entonces
sus elementos invertibles son t o ­
dos regulares; pero, en general,
puede haber elementos regulares
que no admiten inverso. Para el
anillo unitario que forman las
matrices n x n se verifica, ade­
más, que toda matriz regular es
invertible.
Una matriz cuadrada A, de lamaño n x n, es invertible si y sólo si se
verifica una cualquiera de las siguientes condiciones (que resultan, por
ello, equivalentes entre sí):
1.
2,
3.
4.
5.
Existe otra matriz B, de igual tamaño, tal que A B - l y, en este
supuesto, es A “^ = B,
Existe otra matriz B, de igual lamaño que A, tal que B A = I y, en
este supuesto, es A“ * = i?.
La matriz A tiene rango n.
La matriz A es rcf^ular o simplificable. Esto es, se verifica que:
siempre que sea A P - A Q o P A - QA, para algunas matrices P y Q
de tamaño n x «, entonces es P - Q . (Las matrices que no son
regulares se llaman singulares.)
La matriz A no es divisor de cero. Se dice que una matriz
de tamaño n x n , es un divisor de cero si existe alguna matriz
de tamaño n x n, tal que M N - O o NM = O.
NOTA: Más tarde veremos (en |040j) que lus maüices regulares se caracterizan también
por ser aquellas matrices cuadradas que tienen determinante no nulo.
DEMOSTRACIONES
1. Si A es invertible, entonces esta condición primera se cum ple obviamente
para B - A ^ K Si se cum ple esta propiedad primera, entonces A ha de ser
invertible, pues de no serlo se presentaría la siguiente contradicción: Re-

76. curramos a que siempre existe una operación elemental tal que la matriz
M - e%A) es escalonada. Si A no fuese invenible, la matriz escalonada M
tendría nulo alguno de los elementos de su diagonal (véase [029], 1), luego
M tendría nula alguna de sus filas (la ijltima al menos) y, como
MB = e\A)B = e\í)AB = e\f)I = e\r)
nos encontramos con que MB, que tiene alguna fila nula (por tenerla Mi
sería igual a e\í), que es matriz invertible (véase [028], 3); como una
matriz invertible no puede tener una fila nula, hemos dado con la contra­
dicción anunciada.
2. Esta propiedad se prueba de análoga manera que la anterior.
3. Recurramos aquí, también, a que existe alguna operación elemental tal
que la matriz M = e\A) = e^(I)A es escalonada. Tengamos en cuenta que:
M y A tienen el mismo rango (véase [019]), que M tiene rango n sí y sólo
si todos los elementos de su diagonal son no nulos y que todos ios ele>
mentos de la diagonal de M son no nulos sí y sólo si A es invertible (véase
[029], 1). De estas tres propiedades se desprende que A tiene rango n sí y
sólo si A es invertible.
4 y 5. Para comprobar estas dos propiedades, bastará con cerciorarse de que
son ciertas las implicaciones a), b) y c) que figuran a continuación, o, lo
que es igual, las a), b) y c'), ya que c') equivale a c):
a) A invertible A regular.
b) A regular A no divisor de cero.
c) A no divisor de cero => A invertible.
c') A no invertible => A divisor de cero.
a) Si A es invertible, en el caso de ser AP = AQ o PA = QA, multi­
plicando por A ^ \ se obtíene:
AP = AQ => A '\A P )= ^ A '\A Q ) => ¡P = IQ => P ^ Q
PA = QA =» {PA)A'^^{QA)A'^ => P l ^ Q l => P = G
lo que prueba que A es regular.
h) Si A es regular y en el caso de ser AP = O o QA = O, se tendrá:
AP=^0 => AP = AO => P ^ O
QA = O Q A -O A =!> Q = O
lo que prueba que A no es divisor de cero.
c') Empecemos recordando que, para cualquiera que sea A, existe una
operación elemental tai que la matriz M = e\A) es escalonada. Si A no
es invertible, entonces M tiene, al menos, su última fila nula (ya que algún
elemento de la diagonal de M ha de ser nulo; véase [029J, 1). Llamando
P a la matriz que tiene todos sus elementos nulos excepto el de lugar (/i, n)
que vale 1, es evidente que Pi^ O y MP = O. Pues bien, si es F = e\í).
6 8 ÁLGEBRA LINEAl

77. IIZ IN V E R S A 69
corno cs M = e\A) = FA, preniulliplicaiiclo a ambos miembros de esta
igualdad por /^ resulta que
0 = P M ^ PiFA) = {PF)A
Pero PF es la matriz que tiene sus n — I primera filas nulas y su última
fila es igual a la última fila de F, que no es nula, pues F es regular; por
tanto PF ^ O y (PF)A = O, lo que significa que PF es divisor de cero (por
la izquierda). Nótese que cambiando, en el anterior razonamiento, filas por
columnas, se obtiene que A es, lambién, divisor de cero por la derecha.

78. CAPITULO
4Determinantes
Entre nuestros conocimientos, aunque no sean muchos y estén algo «oxidados»,
seguro que se encuentra aquello del volumen de un paralelepípedo. Recordemos
|ue, si las aristas de éste vienen representadas por unos vectores á = (eip Oj, Oj),
^2. b^) y c = (Cp Cj» C3) (en ejes cartesianos rectangulares), entonces su
volumen resulta ser el siguiente número V:
V = üybyCy + (hbyCy + Ü^byCj " üybjCy “ ^ üybyCj =
fl, 6, c,
«2 ^2 ^2
«3 ^3 ^3
donde el último miembro es una forma abreviada de expresar el segundo, al
que se ha llamado «determinante» de la matriz que tiene por columnas a los
vectores á, fi y c. Recuérdese también que si se cambia el orden de los vectores
á, 5 y c, puede alterarse el signo de V, de ahí que a V se le llame algo así
como «volumen orientado» o «volumen con signo». Este número V, no sólo
nos da, pues, el volumen, que vale \V\ (valor absoluto de V), sino que también
nos informa de la «orientación» que se ha dado al paralelepípedo, esto es, del
orden en el que se toman sus aristas.
Pues bien, se va a generalizar el concepto de determinante, al caso de
matrices cuadradas de cualquier tamaño /? x y se va a hacer de manera que
sigan verificándose ahora las propiedades de las que goza el volumen orientado.
Así, pues, se va a pedir que: l) Si a una arista (la arista á) se la prolonga o
reduce multiplicando por una cantidad A (la nueva arista es A ^, entonces el
volumen queda multiplicado por A; 2) Si una arista (la arista a) se descompone
en suma de dos (se pone a = a, + áj), entonces el volumen resulta ser la suma
de los volúmenes de los paralelepípedos que (manteniendo las demás aristas)
resultan de sustituir la arista que se descompone por cada uno de sus compo­
nentes (las a, y áj); 3) Si dos aristas coinciden (por ejemplo, á = fi), entonces
el volumen es nulo; 4) El paralelepípedo cuyas aristas son los vectores de la
referencia cartesiana, tiene volumen unidad. También se verificarán, como
consecuencia, otras propiedades, que se irán detallando en su momento, de entre
las que destacamos una ya citada anteriormente: Si al definir el paralelepípedo,
lo que se hace dando sus aristas, éstas se dan en distinto orden por que se
permutan dos de ellas, entonces el volumen cambia de signo.
70

79. 71
aDEFINICIÓN Y VALOR
DE UN DETERMINANTE
Aquí, al menos al principio, vamos a precisar de una notación específica con
la que pueda apreciarse, de manera clara y explícita, que una matriz está
formada por filas o por columnas y en la que se señale quiénes son éstas.
Empecemos, pues, con ello:
[031]
En lo que sigue, una matriz cuadrada A = [a^], de tamaño n x n y con los
escalares a¡j de un cuerpo cualquiera, se denotará también recurriendo a sus
columnas o a sus filas poniendo:
A = [a¡j] = ···» =
^ « 1
« 1 1
« 2 1
« 1 2
« 2 2
« 1 «
« 2 .
« n i « n 2 « n n
Î Î Î
donde:
a¡j = elemento de lugar (/, j) de A
= columna /-ésima de A
^á: = fila /-ésima de A
Cuando se quiera destacar la columna /-ésima (igual se puede hacer con
filas) y no tenga especial importancia quiénes son las restantes columnas, se
pondrá:
A = [ -'a ,—] en lugar de A = [^â^ %
Para señalar que la /-ésima columna de A es w (igual se procedería con
columnas), se pondrá:

80. 72
Algebra l i n e a l
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
La siguiente definición responde a lo ya dicho en la anterior introducción.
Este modo de presentar las determinantes tiene obvias ventajas, frente al de
dar, sin más, la expresión que proporciona el valor del determinante, det A.
de una matriz A. Aquí buscaremos una expresión para det A y lo haremos de
modo que el valor que de ello resulte verifique a los requerimientos que,
previamente, se han fijado. Con esta vía, constructiva, quedará justificada la
fórmula, ya conocida de todos, del determinante de una matriz; no obstante,
esta vía tiene el inconveniente de que, a posteriori, hay que comprobar que
dicha fórmula, no sólo satisface a lo exigido, sino que es la única que lo hace.
[032]
La aplicación determinante (de
una matriz nx/i).
d c t : . u ^ ( / o -a:
A·—deti4
se dice que es una fonna multi-
lineal alternada. Se llama for­
ma porque su espacio de llegada
es el cuerpo K de escalares. Se
dice que es multilineal para in­
dicar que es lineal respecto de
cada una de las columnas (con­
diciones 1/ y 2.·), Se dice que
es alternada para señalar que se
verifica la propiedad a de [033]).
Se llama detenninante a una aplicación que a cada matriz cuadrada
A = lOfj] le asigna un escalar, que se llama determinante de la matriz A
y se denota poniendo
det A , d e ir« ,. ó
(♦*)
de manera que se cumpla, para cualesquiera índices / y y, que:
I det [% *·· ^á¡ + = det ["fl, - 'fl/ - % ] + det ' - "flj.
2.® det [^fl, — A'fl^ ··' *'fl^] = A det ['a, — (A escalar)
3.“ det - {/“ = ll) - = ü) - 'f l j = O (o sea, "fl, = ^áj => det A = 0)
4.“ det / = 1 (/ = matriz unidad).
En la presente definición se pueden sustituir las columna de A por sus
filas; más adelante se verá que de ambos modos se llega a un mismo
resultado.
Se llama determinante de orden n al determinante de una matriz de
tamaño n x n.
( ♦ ) Por % se denota a la columnii de lugar i de la matriz A.
(**) Al determinante de A ,sc le denota también poniendo \A\.
Antes de comprobar que los determinantes así definidos existen y que cada
matriz tiene un único determinante, analicemos algunas de sus propiedades, en
el supuesto de su existencia y unicidad:

81. 73
Para los determinanlcs, como consecuencia de la anterior definición, se
verifican las siguienies propiedades:
a) det [% ·■. (/-’ = ü) *·· ( r = - ‘^«„1 = ~del [% · · = D ·· ( / == ü) - ^á„l
h) detrí7,.-(r* = í5)-^tíj = 0.
r) det ["V7, — (i** = S ■••‘’«„I = 0 (A^ escalmes cualesquiera)
d) del (-«, - (»·" = + S A/£¡P - % ] = del (‘ü, ···- 'á j .
DEMOSTRACION
a) Sustituyendo las filas /-ésima y 7-ésima, ambas, por ii + ü, se obtiene una
matriz para cuyo determinante se tiene:
0 = det [··· (í‘ = i2 + 17)... ( / = M + V) - ] = det l··· (i^ = i7) ··. = ü) ·.·] +
+ det [..·(/" = w) i r = V) ··♦] + det [··* (/*' = v) - ( / ' = «) ·.*] +
+ det 1··· (1·“ = f) - O" = P) -1 = det 1··· (i“ = i7) - (j" = H) ··] +
+ det [•••(i·” = P) · · · ( / = «) -I
(las igualdades (l), (2) y (3) son consecuencia de las hipótesis 3.*. 1.* y
3.· de [032J. respectivamente). Así pues, este ijltimo miembro es nulo, lo
que no es otra cosa que la igualdad «). que había que comprobar.
b) Tomando A = O en la hipótesis 2.“ de [032] se obtiene que:
det [ .». (r = ó) -·] = det [ ··(/" = Od) *] = O det [··. (/" = ó) »·] = O
c) Recurriendo a las hipótesis 1.·, 2." y 3." de [032]. se obtiene:
det I - (i“ = I A/áj) -1 = I det |··· (i- = A/cij) ■■■] =
= l A j det (···(/” = •1 = S A.0 = O
J^í J^i
d) De acuerdo con la hipótesis 1.* de [032] y con la anterior propiedad c). se
obtiene:
dei[-(«'“ = '« ,+ l A / á , )···] =
= det I - (»·“ = «,) ···] + det [··· ((-' = S A ‘a¡i ···] =det | · · · -1 + 0

82. Á L G E B R A LINEAL
□RESUMEN
Lo dicho hasta ahora sobre las determinantes, en hi defínición [032] y en las
propiedades ya demostradas en [032], se puede expresar, también, diciendo:
f034] Para el determinante detA. de una matriz cuadrada A. se veritica lo que
sigue. Si una columna de A es combinación lineal de otras columnas (en
particular, si es nula o si es igual a oü^ columna), entonces del A = O, Sí
a una columna de A se la multiplica por un escalar A. entonces det A
queda multiplicado por A. Si una columna de A se descompone en dos
sumandos, entonces det A es igual a la suma de los determinantes de las
dos matrices que resultan de sustituir, en A. aquella columna por cada
uno de los sumandos. Si a una columna de A se le suma una combinación
lineal de otras columnas, con ello no se altera el valor del det A. Si dos
columnas de A se permutan. enu*e sí. entonces det A cambia de signo. El
determinanie de la matriz unidad vale I.
Según se probará después, las anteriores propiedades se verifícan también
para las filas; esto es, donde arriba dice columna, puede ponerse fíla y.
con ello, todo lo allí dicho sigue siendo cierto.
EJERCICIOS
1. Compruébese que el siguiente determinante A es nulo;
f l , ¿7,-c, c,-fl,
Así ocurre ya que. si a su tercera columna la sumamos la primera y la
segunda, con lo que el determinante no varía, resulta:
fl, - />, ¿7, - c,
Ü2 -02 b 2 - C2
-b y - Cy
= 0
2. Compruébese que el siguiente determinante A es un múltiplo entero del
número 41; para comprobarlo será de gran utilidad tener en cuenta que
4141, 943. 2993 y 9717 son múltiplos de 41:
4 1 4 1
0 9 4 3
2 9 9 3
9 7 1 7

83. 75
La propiedad cs cierta ya que. sumando a la 4,** columna la 3.* multiplicada
por 10 más la 2.“ por l(K) más la I.* por KKK), con lo que no varía el valor
del determinante, resulta:
A =
41 4 4141 4 1 4 41 X a
09 4 943 094 41 X p
2 9 92993 29 9 41X y
9719717 9 7141X S
= 41 = 41 X w = múltiplo de 41
(a, )3, % 5 y n son unos ciertos números naturales.)
EXPRESION DEL VALOR
DE UN DETERMINANTE
A partir de la anterior defmición, vamos a obtener una expresión que propor­
cione el valor del determinante de una matriz en función de los elementos de
ésta. Pero, antes de entrar en ello, conviene que empecemos recordando algo
de lo que ya sabemos acerca de las permutaciones o sustituciones y de las
trasposiciones.
SUSTITUCIONES (RECORDATORIO)
Sea dado un conjunto de N elementos, que pcxiemos suponer que es cl
A^= (1, 2, .... n\. Para permutar estos elementos, esto es, para colocarlos en
distinto orden, bastará con recurrir a una aplicación biyectiva N, que
representaremos escribiendo debajo de cada / e su imagen ít</), es decir,
poniendo:
1 2
l 1
\fT{\) (Til)

84. [036J
Á L G E B R A LINEAL
Estas biyecciones de en N se llaman permutaciones o sustituciones de n
elementos. Con una de ellas, a :N -^N , los elementos de N, que inicialmcnie
se les supone formando la sucesión natural (1, 2, n), se consideran ahora
formando la nueva sucesión (ít<1), (An))· En total, hay n\ sustituciones
de n elementos; al conjunto de todas ellas se le denota por La composición
de dos sustituciones es otra sustitución; la biyección inversa (t~\ de una sus­
titución (7, es también una sustitución
Se llaman trasposiciones a aquellas sustituciones en las que, salvo dos
elementos de N, que vamos a llamar / y y, todos los demás permanecen fijos
(esto es, coinciden con su imagen); los dos elementos que varían se transforman
cada uno de ellos en el otro, esto es i*-^j y Toda sustitución puede
expresarse como composición de trasposiciones. Se verifica, además, que si
or= 7^o...o7j y ^7= r'o ...o r¡ sott dos descomposicioncs, de una sustitución a,
en producto (composición) de trasposiciones, entonces p y q tienen la misma
paridad (ambos son pares o ambos son impares). Se dice que una sustitución
es par o impar según que se descomponga, respectivamente, en un número par
o impar de ü*asposiciones. Se llama signo de una sustitución o- al valor €(ír)
definido mediante:
€{(r) =
+ 1, si a es par
- 1 , si (T cs impar
PROPIEDAD
Veamos, en primer lugar, un resultado que utilizaremos aquí y en otros lugares:
Si A es una matriz cuadrada, de tamaño n x n , cuyas columnas son ‘'á,, ""dj,...,
y para cualquiera que sea la sustitución a e se verifica:
det[(I.“ = 'fl^,,), = = =
^€(a)áci[%,^a2,
DEMOSTRACIÓN
En efecto: si o‘ fuese, en particular, una trasposición, esta propiedad sería la
[033], a), ya demostrada. Si or no es una trasposición, la podemos descomponer
en trasposiciones y aplicar, sucesivamente, la propiedad [033], a) a cada una
de ellas; como cada vez que hagamos esto se produce un cambio de signo en
el determinante, al final se obtiene un determinante que es el de partida afectado
del signo + ó - según que sea par o impar el número de tra.sposiciones, esto
es, multiplicado por eia), como había que comprobar.
( ♦) El conjunto de las sustituciones de n elementos, cs un gmpo respecto de ta compo­
sición de aplicaciones, que se llama grupo simétrico o de las sustituciones de ;t elementos.

85. 77
□VALOR DE UN DETERMINANTE
[037]
El determinante detA, de una matriz A = [«,J, de tamaño n x n, es igual
a cualquiera de las dos expresiones [I] y [II] siguientes:
(·)
detA= I 02.^2) ···“;
detA= I
peífn
'nain)
'p(n)rt
[I]
[II]
Debido a que las anteriores expresiones [I] y [II] son iguales se puede
asegurar que:
1. Para cualquiera que sea la matriz cuadrada A, si A* es su traspuesta,
se verifica que:
deti4^ = det A
2. Todas las propiedades de los determinantes de las matrices que se
refieren a sus columnas son también válidas si se las refiere a las
filas y recíprocamente.
(*) El determinanic de A es igual a la suma de lodos los n! producios del lipo
o* también, dcl tipo tales que: 1) en cada producto hay un
elemento, y sólo uno. de cada fila de A y, al tiempo, hay un, y sólo un, elemento de cada
columna de A\ y 2) el signo (± ) es + ó ~ según que sea par o impar, respectivamente, la
pcnnutación (h, k, /) de (1, 2
....../i).
DEMOSTRACION
Procederemos por sucesivas etapas:
á) Si det A existe (cosa que, según luego veremos, es verdad), entonces es
igual a la expresión [II]. En efecto, poniendo los vectores colunma de A
en función de los vectores columna canónicos ..., es decir,
recurriendo a que (para / = 1, 2, ..., n)\
« u
i
l
1
0
l
0
«2.
0
+ Ú2i
1
+ . . .
0
.«n/J
_ 1 _ 1 _
n
I

86. resulta que, de acuerdo con propiedades ya conocidas, se verifica:
n n n
det A = del ["«„ ‘íij
.'á„| = det L a , Z .............. Z
[a-i /-í
n
= X det ....... a,„%\ =
h,*
.../· 1
= i a,. · · · « , „ del l(l.‘ = 'c,)(2.“ = v * ) - ( « “ = 'é,)]
fl.*
.../- I
Siempre que dos de los índices h, k, / sean iguales, este último deter­
minante será nulo (la matriz tiene dos columnas iguales); por ello, en està
última expresión, los únicos sumandos que no son nulos son aquéllos en
los que (/i, k, /) es una permutación de (l, 2, n), esto es, cuando
existe alguna sustitución p, de n elementos o sea de tal que p ( \ ) - k
p(2) = k, p(l) = n. Por todo ello, podemos continuar poniendo (con la
ayuda de la propiedad a) recién demostrada):
det A = X ^p(|)|^p(2)2*’*^Vn)nd^^ ·*’» “
pñifn
S '^2. ···. '«»]
pe^n
Como este último deternünante es el determinante de la matriz unidad, que
vale l, hemos llegado ya a la expresión [11]. Es decir, si la definición de
determinante (véase [032]) es consistente, o sea, si proporciona realmente
algún valor para det A, éste es el de la fórmula [111.
b) Las expresiones [1] y [11] son iguales. Para comprobar esto, recurriremos a
que: 1 ) piu-a cualquiera que sea la sustitución p 6 S/'„, su recíproca (o
inversa) es también una sustitución rr = p "' e 2) que cuando p recorre
lodo también íj = p~ ‘ recorre todo y recíprocamente, y 3) que p y
(j — p~^ tienen el mismo signo. Téngase también en cuenta, que en el
producto ííp(,)iflp(2)2*••^p(n)n interviene en 11), el factor genérico se
puede poner, recurriendo al índice ¿/ = p(/?), en la forma De todo
ello, si en la expresión [ll] se reordenan los factores del producto
^p<i)i^p(2)2'**^/Kn)n manera que sean los primeros índices, en lugar de los
segundos, los que queden en orden natural, se tiene:
[II] = L = (reordenando)
Al g e b r a l in e a l
(1)
^ C(p)a,^-l(j)ÍÍ2p->(2)‘**^np*'‘(«) ^ ^(^)^lcr(n^2ír(2)*’‘^n«Xn)
/I aiFn crm ifn
( l ) D ebido a que £(p) «= c (/j" ‘) y Humando r r * / ) " ' ; nótese que si p rccom? íf ,. lamblrn
tr recorre íf«.

87. 79
c) Nótese que aún no se ha probado que los determinantes existan; ¿quién
nos asegura que los requerimientos que se impusieron en su definición son
compatibles? Hasta este momento lo que se ha hecho es suponer que existe
algún valor para del A, que satisface a lo exigido en la definición, y
comprobar que. entonces, ese hipotético valor de del A debería ser el que
proporciona la fórmula |I|. o la jllj. Estamos, pues, obligados a verificar
que el valor que proporciona la expresión jlj, o la |II), satisface a las
condiciones 1.“. 2.“, 3.“ y 4.“ (véase [032|) de la defmición de determinante.
Así ocurre, ya que para el valor que proporciona la expresión [III, se
verifica que:
1. det [ % . . . + 'á ; '... X ] = I ... ... =
/j Q !/w
fieí/n /Iñífn
= det [ ' J , . . . “á„l + detl'í?, ...'í7,"
2. det f'í7 ,...A 'á ,. . . . ' « „ ] = I «/J)a,Ki)i=
/tmU'n
/Itt í/n
3. Si las columnas /-ésima y y-ésima de una matriz A = [a^j] son iguales,
esto es. si a^¡ = a^j para todo r. vamos a probar que det A = 0. En dicho
supuesto, vamos a agrupar de dos en dos a los términos del desarrollo
[/|. de manera que junto a uno cualquiera de ellos, como el
- I(M —p —^ —/) es permutación de (12—/i)|,
se considera el que resulta de intercambiar los índices p y q, esto es. el:
^ l(hk-’q --p -l) es permutación de (1 2-w )|
Como = Upj y resulta que los dos términos anteriores son
iguales, salvo el signo; éste es distinto ya que las permutaciones
(hk-'p-'-q — l) y {hk--'q^"p-"l) tienen distinta piuidad (pues de una se
pasa a la otra mediante la trasposición p —* q, q —*p). Así. pues, la
suma de estos dos términos es nula. Repitiendo este emparejamiento
con todos los términos de la expresión [I|. se obtiene que el valor de
det A es cero.
4. Consideremos ahora que la matriz A = [a¡j] es la unidad I. es decir,
que a¡j = 1 si / y que a¡j = O si i i^j. En este caso, la expresión [I]
conduce al siguiente resultado
det/\= S £(p)a^i,i"^2)2-«p(n)»=+"i.a2 2-«„» + 0 + 0 + ."+O =
/><! í/’rt
= 1 X 1 X ... X 1 = 1

88. ÁLGEBRA LINEAI
d) Sólo nos queda por comprobar que deti4' = det/V. Esto es cierto ya que,
llamando A = [a,j) y A' = [aJ], donde a\¡ = a¡¡, resulta:
.<·)
d e t/l'= I
peífn
(2)
= I £(p)flip(,)a2^2, " V « .)=
(Las igualdades (l) y (2) proceden de las expresiones [II] y [I] del deter­
minante.)
EJEMPLOS
L Los determinantes de las matrices de tamaños 2 x 2 y 3 x 3 , es decir, los
determinantes de órdenes 2 y 3, tienen los siguientes desarrollos.
«11 «12
«21 «22
- « I I « 2 2 ~ « I 2 « 2 I
«11«12«13
^21 «22«23
= + a i j O j j a , , + 0,302,032
« J I «32«33- 0,302203, - 0,202,033 - 01,023032
(las reglas mnemotécnicas que se utilizan para recordar este resultado se
conocen con el nombre de regla de Sarrus).
Los desarrollos de los determinantes de órdenes mayores que 3 conducen
a expresiones larguísimas, muy poco manejables; por ello, para obtener el
valor de un determinante de orden mayor que 3, se siguen otros métodos,
de los que hablamos en otros lugares de este capítulo. Para hacemos una
idea del «tamaño» de estos desarrollos, obtengamos el más corto de ellos,
= f ln « 2 2 « 3 3 « 4 4 “ « il « 2 2 « 3 4 « 4 3 + « l l « 2 3 « 3 4 « 4 2
- a , i a 2 3 « 3 2 « 4 4 + « 1 1 « 2 4 « 3 2 « 4 3 " « l l « 2 4 « 3 3 « 4 2 +
+ « 1 2 « 2 l « 3 4 « 4 3 “ « 1 2 « 2 I « 3 3 « 4 4 + « I 2 « 2 3 « 3 I « 4 4 "
- a , 2 « 2 3 « 3 4 « 4 l + « I 2 « 2 4 « 3 3 « 4 I " « Í 2 « 2 4 « 3 l « 4 3
+ a i j í l 2 l « 3 2 « 4 4 ~ « I 3 « 2 I « 3 4 « 4 2 « I 3 « 2 2 « 3 4 « 4 l
“ « I 3 « 2 2 « 3 I « 4 4 + « | 3 « 2 4 « 3 l « 4 2 “ « I 3 « 2 4 « 3 2 « 4 I +
+ f l | 4 « 2 l « 3 3 « 4 2 ~ « I 4 « 2 l « 3 2 « 4 3 « I 4 « 2 2 « 3 l « 4 3 “
- ú | 4 « 2 2 « 3 3 « 4 l + « M « 2 3 « 3 2 « 4 l ~ « 1 4 « 2 3 « 3 l « 4 2
el de orden 4:
«11 «12«13« 1 4
«21«22«23 «24
«31 «32 «33 «34
«4,«42«43«44

89. 81
3. El determinante de una matriz triangular superior (o inferior) es igual al
producto de los elementos de su diagonal; esto es:
«11 « 1 2« 1 3 - « I n
0
« 2 2« 2 3 - « 2 .
0 0
« 3 3 - « 3 n
0 0 0
Así ocurre ya que los demás términos del desarrollo de este determinante,
por tener un elemento (único) de cada fila y, también, de cada columna,
son todos ellos nulos.
4. Si la primera columa (o fila) de una matriz tiene todos sus elementos nulos
excepto el de lugar (I, 1). su determinante vale:
«11 « 1 2 « 1 3
O Ü22 ^23
o
o
« 2 2 « 2 3
« 3 2 « 3 3
^n2 “/i3
Pues los términos no nulos del desarrollo del primer determinante son res­
pectivamente iguales a los del desarrollo del segundo multiplicador por o,,.
EJER C IC IO S
1. Compruébese que el siguiente determinante, llamado determinante de Van-
dennonde, toma el valor que se indica:
1 1 1
... 1
a b c k
a^b^^ ... I^
o"-'
bn-\
c"-'...
= ^ { b - a ) (c -a ) ’- { k - a ) ·
.(c-¿7)-.(^-¿7)·

90. Al g e b r a lin eal
RESOLUCION
Restando a cada fila la anterior multiplicada por el determinante queda en
la forma:
1 1 1
O b - a c - a
O b(b - a) c{c - a)
O b’^ '\ b - a ) c^'’\ c - a )
1
k - a
k ( k - a )
k r - \k - ‘ á)
^ ( b - a ) { c - a y - { k - a )
I 1
b c
-2 ^1-2
- k
1
k
r^-2
Repitiendo con este último determinirnte, y con los que se vayan obteniendo
(que también son de Vandermonde), el proceso anterior se llega al resultado
del enunciado.
2. Hállese el valor del siguiente determinante de orden n:
0 1 1 ... 1
1 O 1 ·.. 1
1 1 O I
1 1 1 ... O
Si a cada una de las n — 1 primeras filas se la resta la última fila y, en el
determinante que así se obtiene, a la última fila se la suman todas las demás
filas, se llega a:
- l00 -01 - 100 ·. 0 l
0- 10 ..0l 0- l0 .. 0 1
00- l ·.01 =00- 1 .. 0 1
000 ..“ 11 000 ..- 1 1
11l ·.10 000 .. 0 n - \
^ ( - i r ' ( n - l )

91. 83
CALCULO EFECTIVO DE UN DETERMINANTE
Para hallar un determinante de orden n mayor que 3 no es aconsejable recurrir
al desarrollo de éste como suma de n\ términos, cada uno de los cuales es un
producto de n elementos. Esla vía es, salvo en casos triviales, larga, larguísima,
enormemente tediosa. Los desarrollos de un determinante que luego veremos
(desarrollo por elementos de una fila o columna), tampoco suelen proporcionar
métodos numéricos que resuelvan el problema de modo eficaz. Lo aconsejable
para calcular determinantes es hacer uso de las propiedades fundamentales de
los determinantes, con las que introducíamos el tema (véase [032] y [033]), y
aplicarlas con método y acertadamente para ir transformando el determinante
en otros que sean cada vez más fáciles de calcular, hasta llegar a uno que se
halle trivialmente (por ejemplo, el determinante de una matriz triangular).
Nótese que, según se acaba de indicar, el método que aquí se propone, para
hallar detA, recurre a realizar adecuadas operaciones elementales en las filas
y en las columnas de la matriz A.
^ DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO
Para hallar el determinante de una matriz cuadrada A = [a¡j\, de tamaño
n X n, hágase lo que sigue:
a) Si a,| =?^0, no hay aquí, en a), nada que hacer y se pasará directa­
mente al apartado /?). Si £/,, = 0 y =?^0 para algún /, permútense
las filas 1.“ e /-ésima, con lo que el determinante cambia de signo y
tiene el elemento de lugar (1,1) distinto de cero. Si todas las a,, son
nulas, el problema ya está resuelto pues es detA = O, y no hay nada
más que hacer.
h) Se puede ya suponer que queremos hallar un determinante A„ cuyo
elemento de lugíu* (1, 1) es no nulo. A los elementos de la primera
columna los llamaremos (para simplificar notación) a^,
siendo a, =^0. Restémosle a la fila /-ésima lo que resulta de multi­
plicar la 1.“ fila por a ,/a , y hagamos esto para / = 2, 3, ..., «; con
ello, no se ha alterado el valor del determinante, que sigue valiendo
A„, y los elementos de la primera columna pasan a ser a,. O, O
......
0. El determinante A„ se puede, pues, poner en la forma A„ = a,A„_,,
donde A„., es el determinante, de orden w - 1, que resulta de supri­
mir la primera fila y la primera columna de A„,
c) Con el determinante A„., se repite el proceso anterior y, así, se le
reduce a un determinante A^^j» orden /i - 2. Reiterando este pro­
ceso, se llega a un determinante de 3.®^ o de 2,^ orden, que se calcula
trivialmente.

92. Algebra lineal
Este procedimiento admite múltiples variantes que, segiín los casos, pueden
llegar a abreviar el proceso. En particular, puede ser preferible que. en lugar
de hacer la operación elemental (/· f) - · J.*), se realice en
su lugar la operación (/·/")—* a |í/·/" )“ a,(/·/") (el determinante quedaría
ahora multiplicado por a,), con lo que se evitarían las divisiones por a,, que
hace más largo el desarrollo del método.
EJEMPLO
Siguiendo los pasos que se acaban de indicar, para hallar el siguiente deternii·
nante, se puede proceder como se señala:
(2)'
(3)'
(4)'
(5)'
0 3 2 1 -4- d )
4-202 6-(2 )
A =1 -2 13 5^(3 )
3-3-15 5-(4 )
5 -1-11 6 3-(5 )
(1)' = (3)— 1 -2 1 35
(2)'= (2): 2— 2-10 1 3
(3)' = (1)A =- 203 --2 1- 4
(4)' = (4) 3- 3 --1 5 5
(5)' = (5) 5-1 -■1 6 3
= (!)'
— 1- 21 3
= (2)-2(1)'— 03 -•2 - 5
= (3)' A =- 20 3 -2 1 -·<
= (4 )'-3 (1 )'-* 0 3 -4 - 4-IC
= (5 )'-5 (1 )'— 09 -6 - 9-2 2
- 2
3 -2 - 5 -7
3 - 2 1 - 4
3 - 4 - 4 -1 0
9 -6 - 9 -22
(2)’" = (2)” ^ 3
- 2-5 - 7
(3)'" = (3)"-(2)" - ^
W'" = (4)"-(2)''
- 2
0
0
0
- 2
6 3
1 -3
= -6
0
- 2
6
1
3
-3
(5)"'= (5)"-3(2)” -*006 -1
06
- ·
= - 6 ( - 3 6 - 12) = 288

93. 85
P PROPIEDADES:
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE,
DETERMINANTE DE LA MATRIZ
INVERSA
DETERMINANTE DE UN PRODUCTO:
CONSECUENCIA
Aquí, la cuestión central es comprobar que el determinante (como aplicación
que a cada matriz A le asocia el escalar det A) es lineal respecto del producto,
esto es. que el determinante de un producto de matrices es igual al producto
de los determinantes de aquéllas. Hay quienes esta propiedad la resumen
diciendo que el determinante es una función multiplicativa.
DETERMINANTE DEL PRODUCTO
DE DOS MATRICES
[039]
Para cualesquiera que sean las matrices cuadradas A y B, del mismo
tamaño, se verifica que
det(A5) = (detA )(det5)
DEMOSTRACION
Llamemos A/ a la matriz producto, AB = M = lm¡j], cuyo elemento de lugar
(/. j) es ntfj = úubyj + + ··* + a,Ay matrices A y fi se suponen de
tamaño n x n). Entonces, la columna de lugar j de M (para y = l, 2, ..., n),
en función de las columnas de A, es:
+ '¿ A y + - + '«A y = i '5A y
/>=!
Resulta entonces que:
det (AB) = det A/ = det ["m„ =
= det
*-i
= I d e ir á * ,‘á*.
h . k
...../ - I

94. [ 0 4 0 ]
Á L G E B R A LINEAL
Si en (/i, k, /) hubiera algún índice repelido el último determinarne
sería nulo (pues tendría dos columnas iguales); podemos, pues, suponer que
(/», ky..., /) es una permutación de (l, 2
......n), es decir, que h = (TÍÍ),k =
.... / = a<w) para cierta sustitución ít, que recorre Por ello y recurriendo,
también a la propiedad [036], resulta que:
det(/\fi)= X det ['^¿i^i), .... ~
= det["£Í„ '«2, .... ‘^ííjí Z =
\pe ifn /
: det/\(det B)
EJERCICIO
Para cualesquiera que sean las matrices cuadradas A y fi, de igual tamaño, se
verifica que
det íAB) = det (A'B) = det (AB') = det (A'B') =
= det (BA) = det (BA') = det (BA') = det (B'A')
RESOLUCIÓN
Como cl determinante de una matriz es igual al de su traspuesta, todas
las determinantes del primer renglón son iguales entre sí, por ser iguales
a (dctA)(detfi). Análogamente, los del segundo renglón son iguales a
(det fi)(det A), que es igual al producto anterior.
U DETERMINANTE NO NULO Y MATRIZ INVERSA
Las matrices regulares, de tamaño n x n, han resultado ser (véase [030]) las
que tienen inversa (son invertibles) y. también, aquellas cuyo rango es n. Pues
bien, vamos a obtener aquí recurriendo a los determinantes, otra caracteriza­
ción de las matrices regulares:
Una matriz cuadrada A es regular (o invertible) si y sólo si su determi­
nante es distinto de cero; dicho de otro modo: A es singular (no regular)
si y sólo si deti4 = 0. Si A es regular, entonces
‘^"■’ " » - 5 5 7

95. 87
d e m o s t r a c i ó n
Veamos primero que, si clel/\ O, eiilonces A es regular. Así es ya que. si A
luese singular, entonces el rango de A sería menor que a/, luego A tendría una
columna que sería combinación lineal de las demás, y, consecuentemente,
sería detA = O, que va contra la hipótesis.
Veamos ahora que, si A es regular, entonces se verifica que detA i^i).
Como A es regular, existe su inversa A"', siendo AA ' = /. Cntonces, como
el determinante de un producto es igual al producto de |os determinantes, de
AA~' = / se deduce que
(detA)(detA"') = det/= 1 I I ]
Por tanto, detA y del A“' son no nulos (si alguno fuese nulo, lo sería su
producto) y, en particular, es del A 0. Finalmente, despejando det A "‘ de 111,
se obtiene la igualdad del enunciado.
KJKRCICIO
Analíce.se si hay alguna matriz cuadrada A de tamaño // impar que sea regular
y tal que A '= —A^ (considerar los casos de A real y A compleja).
RESOLUCIÓN
Tomando determinantes, de A' = —A*’ se desprende que detA = (— 1)" (delA)^ =
= —(det A )\ Como A debe ser regular, es detA O, luego (delA)^ = — 1. En el
caso real no hay, pues, solución. En el caso complejo sí hay soluciones; por
ejemplo:
/ O
O i
DESARROLI.O POR LOS ELEMENTOS
DE UNA IJNEA
Seleccionemos una línea cualquiera (fila o columna) de una matriz cuadrada
A = [íiy], de tamaño n x n\ supongamos que dicha línea es la fila /-ésima. En
el desarrollo de su determinante, det A = i) ± dos elementos cuales­
quiera de la línea elegida no pueden figurar, ambos, en un mismo término
del desarrollo; en cada uno de estos términos aparece como factor
uno, y sólo uno, de dichos elementos. Sacando cada uno de los referidos
elementos «,,, .... ¿¿,>,1 de la fila /-ésima, como factor común en los sumandos
en los que figura, se llega a que
delA=fl,^,+ «2,^2 + ...-f

96. Á L G E B R A LINEAL
para unos ciertos coeficientes Cj, Cj, ...♦ c„. Pues bien vamos a ocuparnos ahora
en buscar quiénes son estos coeficientes y, consecuentemente, a obtener una
nueva expresión para det A.
^ DESARROLLO DE UN DETERMINANTE
POR UNA LÍNEA
[041] Sea A = la y] una matriz cuadrada, de tamaño nxn. Para cada elemento
a¡j de A, se conviene en llamar:
• menor de a¡j es el escalar m¡j = det donde A,j es la submatriz que
resulta de suprimir, en A, la fíla /-ésima y la columna y-ésima.
• Adjunto o co/actor de a¡j es el escalar = (~ ly^MetA,;^^
Para cualquiera que sea el índice í(í = 1 , 2 , n), se verifíca que:
dei A = a,, «i, + + - + a,„a¡„
desarrollo por elementos
de la fila /-ésima de A
___ídesan
\de la
desarrollo por elementos
columna /-ésima
DEMOSTRACION
Probaremos la validez del desarrollo por elementos de una columna (la /-
ésima); análogamente se puede proceder para el caso de una fila. Para ello,
descompongamos dicha columna como sigue:
«1/ 1 0 " o “
(hi 0 l
+ ·** + a„.
0
0 0 1_
con lo que se obtiene que det A se puede poner:
det A = det = det ‘á,··· I
= Z a»,det ('á, - ( f - = a„c, +

97. donde
"l2 ·
• 0
- Oln
"21^22 ·
• 0
í^2«
"/.I"/,2 ·• 1
"«1"«2 ·
• 0
-
= dct/i;,
(columna /")
(la matriz A[- se obtiene sustituyendo, en A, la columna /-ésima por una
columna de /* - 1 ceros y un uno en el lugar /í-ésimo).
En consecuencia, sólo hay que comprobar que c*,, = detAj[, es igual al ad­
junto a^· del enunciado (para /i = 1, 2. n) esto es, que
det= ( - l)^’*^^det A;,, (A^,, = submatriz adjunta de! elemento í/^^, en A)
Vamos a ello. En la matriz AJ¡, intercambiemos la columna /-ésima por la
columna que le precede y repitamos, sucesivamente, esta operación hasta llevar
a ia columna /-ésima al primer lugar, de modo que las restantes columnas
quedan en el mismo orden relativo que tenían en Aj'^, y en A. Nótese que se ha
realizado un total de / — 1 cambios de columnas; por ello, llamando AJ/ a la
matriz que así se obtiene, se verifica que detAJ[, = ( —lydet A¿/. En la matriz
A^/ intercambiemos ahora la fila /i-ésima por la fila que tiene delante y repi­
tamos. sucesivamente, esta operación hasta llevar a la fila /i-ésima al primer
lugar, de modo que las restantes filas quedan en el mismo orden relativo que
tenían en AJ'/. y en A/,^. y en A. Nótese que se ha realizado un total de /? - 1
cambios de filas; por ello, llamando AJ¡/' a la matriz que así se obtiene, se
verifica que detA/,/ = Conviene destacar que si en A¡,'/ se pres­
cinde de la 1.“ fila y de la 1.“ columna, la submatriz que se obtiene no es otra
que la A^^. que se cita en el enunciado. De todo lo dicho, resulta que:
"l♦ ··· ♦
0
;
A.,
_0
dctA;, = ( - D 'det/i;; = ( - ly^^det/»;;' = ( - ly^^det
:(-l)'* * d e U » , = a»,
(los ♦ denotan a elementos de la fila /i-ésima de A)
con lo que concluye la demostración.

98. Para el siguiente determinante, al desarrollarse por los elementos dc su segunda
columna, se obtiene:
EJEMPLO
132 1
2- 1 4 1 2 1
2 1- 1 4
= 3 (-l)'" *3- 1 6+ 1(
-1)2*:
3 --1 6
32-1 6
5 2 - 1 5 2 -1
5- 42 -1
1 2 1 1 2 1
+ 2( -l)^ * '2 - 14 + ( - 4 ) ( -
l)4^í
2 - 11 4=
5 2 - -1 3 -11 6
3(2 + 24 - 30 + 2 0 - 3 24)+ 1(1 + 6 + 60 + 5 + 6-- 12) -
-2(1 + 4 + 40 + 5 + 4 - 8 ) - 4 ( - 6 - 2 + 24 + 3 + 4 - 24) ^
= 33 + 6 6 - 9 2 + 4 = 11
CONSFXUENCIAS
A partir del desam>llo de una matriz por los elementos dc una línea, se deducen
las siguientes propiedades:
10421
S\ A = (fl^) es una matriz cuadrada, de tamaño n x y llamando a. al
adjunto o cofactor de su elemento (para /, 7= 1, 2, n), se verifica
que:
(I) La suma de los productos de los elementos de una línea de A (fila
o columna) por los adjuntos de los respectivos elementos de una
línea paralela a aquella, es cero; es decir:
*·* = o (para las filas)
+ 024^2/ *** + ^ni^nj ~ ^ (p^í^ coIumnas)
(II) Llamando 5^ a los símbolos de Kronecker o elementos de la matriz
unidad (esto es, 8^j = l si 1 =7 y 5,^ = O si / ^7), es:
=(:
det A si i = j
o si i

99. 91
DEMOSTRACIÓN
(I) Consideremos el caso de filas; para coiuninas se razonaría de igual ma­
nera. Recurramos a la mairi/ auxiliar ii = \h j que coincide con la A salvo
en la fila 7; la fila j de H es igual a la fila i de A, de manera que ii tiene
iguales sus filas i y j. Nótese que. en Ii, los adjuntos de
los elementos de su fila 7, coinciden con los respectivos adjuntos
de los elementos de la fila j de A. Como M tiene dos filas iguales,
su determinante es nulo; desarrollando éste por los elemenlos de su fila
7, se obtiene que
(II) Para / =7\ el primer miembro es el desarrollo de det/\ por los elementos
de la línea (fila o columna) /, luego la igualdad es cierta. Para i ^7, se
acaba de probar que el primer miembro es O, luego la igualdad también
es cierta en este caso.
MATRIZ INVERSA
A partir de los últimos resultados obtenidos en el apartado anterior, que se han
resumido en [042], se puede obtener fácilmente la expresión que da la matriz
inversa de una matriz regular dada A.
EXPRESION DE LA MATRIZ INVERSA
Sea A = \a¡j\ una matriz cuadrada, de tamaño n x n. Se llama matriz
adjunta (o de cofactores) de A a la matriz *A = [a^]. de tamaño n x n.
cuyos elementos son las = (adjunto de a^). Se verifica que:
(I) A ' *A^ - *A‘ 'A = (detA)/ (/ = unidad n x n)
(II) (detA)(det *A) = (detA)"
(III) Si A es regulíu*. es decir, si A = delA=^0, su inversa A” ‘ vale:
(i) -
«21 : ««1
A A
: ^
«12 «22 : ««2
A A Ì A
«in «2n ! "«n
A A i A

100. d e m o s t r a c ió n
Llamemos X al elemento de lugar (/. j) de la matriz M '; esto cs. se pone
(I) De acuerdo con la definición de producto de matrices y recurriendo a b
anterior «consecuencia» ( I I ) de [042J. se concluye que los elementos del
producto A -* A '— [c^] son:
Cj, = I = L a/*«/* = + - + ".»«/» “ ¿v
A-l h~l
luego, como S^j es el elemento de lugar ii,J) de la matriz unidad /, resulta
que A = (det A)/, como había que comprobar. Análogamente se pro­
cede con el otro producto, el M ' · A.
(II) Tomando determinantes en la igualdad /\ · = (detA)/, ya probada en
(I), se obtiene que:
(det A) * (det = det [(det A)/] = (det A)" det / = (det A)"
como det *A^ = det *A, queda así probada la igualdad (II).
(111) Ahora que det A ^ O, la igualdad (1) se puede poner, dividiendo por
A = det A, en la forma:
A = /
lo que significa que la maüiz MVA es la inversa de A, como había que
comprobar.
EJERCICIO
Sea A una matriz regular que tiene todos sus elementos enteros. Pruébese que
los elementos de A“ ' son también números enteros si y sólo si det A = ±1.
RESOLUCIÓN
Como los elementos de A son enteros, también lo son sus adjuntos (ya que son
sumas de productos de elementos de A), esto es, la matriz adjunta *A tiene
todos sus elementos enteros. Llamemos A = det A.
• Si A = ± 1 como A - = M'/A = ± M ' y M tiene todos sus elementos enteros,
resulta evidente que también los tiene A~*.
/M'\
Uj Ui

101. 93
Supongamos ahora que A ' liene Unios sus elemcnlos enteros, lin este su­
puesto, será:
= M'/A
(clct/\)(ticlM) = (deM)'' A(,dcl M) = A"
A|del(AA ')1 = A" AlAMcM '| = A'‘ cieM
1
'a
Como tiene lodos sus elementos enteros, entonces det A"* es entero, es
decir, 1/A es entero, lo que ohliga a que sea A = ±1.
OBSERVACIÓN
Para calcular, dc modo efectivo, la inversa dc una matriz regular, no es acon­
sejable recurrir a la anterior expresión dc la inversa (/\” ‘ = M'/A), pues ello
conduce a procedimientos excesivamente laboriosos. La inversa se calcula con
mucha mayor eficacia utilizando el método ya descrito en |029|.
RANÍK) DE MENORES DE UNA MATRIZ
Cuando, tiempo atrás (véase [018]), se definió el rango de una matriz, se
empezó hablando del rango de sus filas y del rango de sus columnas y, luego,
comprobamos que eran iguales. Consideramos ahora otro concepto de rango,
el rango de menores de una matriz, y comprobiu*emos que viene a coincidir
con el rango ya conocido; puede, pues, suponerse que el rango por menores no
es otra cosa que una nueva forma de presentar el mismo rango que hemos
venido manejando hasta ahora.
MENORES DE UNA MATRIZ
Dada una matriz A = [a¡jl de tamaño m x n cualquiera, y elegidas las p
filas /„ ¡2, ..M ip y las p columnasA» p ^ m y p ^ n ) ,
se llama menor, de orden p de A, que determinan las p filas y las p
columnas elegidas, al determinante de la submatriz de A, de tamaño/?x/7,
que forman los elementos a , situados en los cruces de las filas y
columnas elegidas; esto es, al aeterminante:
%u - %Jn
A/ =
%h -

102. Algebra lineai
Conviene insistir en que los elementos que intervienen en el menor Af son
(sólo) aquellos que están ubicados en alguna de las p líneas elegidas y. también,
se hallan en alguna de las p columnas elegidas; esto es, se U-ata de los elementos
situados en las p* intersecciones de las citadas filas y columnas, que son los
que se señalan con asteriscos encerrados en las cuadrículas del siguiente es-
quema:
s
· [ * ] · · · · [ * ] ·
t t
RANGO DE MENORES
[ 0 4 5 1
Dada una matriz A, de tamaño rn x n, consideremos todos sus menores: los de
orden l, los de orden 2.... (hasta llegar al menor de los tn y n). De todos ellos,
nos van a interesar los que son no nulos, que serán de distintos órdenes. Pues
bien, al mayor de estos órdenes (de menores no nulos) se le llamará rango de
menores de la matriz A. Es decir, este rango es p si hay alguna submaüiz de
tamaño p x p, de A. que sea regular y todas las submatrices cuadradas de mayor
tamaño que p son singulares. Se verifica que este rango no es, en esencia, algo
nuevo sino, más bien, otro modo de definir el rango:
Se dice que p cs el «rango de menores» de una matriz A, de tamaño
m x n cualquiera, si A tiene algún menor de orden p que no es nulo y
todos los menores de A de orden mayor que p son nulos; o sea, p es el
mayor de los órdenes de los menores no nulos de A.
El «rango de menores» de una matriz A, cualquiera, es igual al rango de
la matriz r = rangA.

103. 95
DEMOSTRACIÓN
En primer lugar vamos a introducir una simplificación. Si se cambian entre sí
dos filas o dos columnas, entonces r — rang A no varía, segiín ya sabemos, pero
tampoco se altera el rango de menores, /?, puesto que la única modificación
que pueden experimentar los menores es un cambio en su signo, luego los
menores nulos siguen siendo los mismos y, en consecuencia, p no se altera.
Estamos, pues, autorizados para permutiu* filas y para permutar columnas, en
la matriz A, del modo que más nos cuadre.
Comprobaremos primero que p ^ r y después que es r ^
• [Se verifica que p ^ r.] Sabemos que hay un menor de orden p át A que es
no nulo; según lo que se ha dicho al principio, podemos suponer que dicho
menor es el determinante de la submatriz P formada por las p primeras filas
y las p primeras columnas de A. Como P tiene determinante no nulo, sus p
columnas son linealmente independientes. Recurramos ahora a la submatriz
Q que forman las p primeras filas de A (el tamaño áe Q cs p x n). Las p
primeras columnas de Q, por ser las columnas de />, son linealmente inde­
pendientes, luego el rango de Q es al menos p y, por ello, sus p filas son
linealmente independientes. Como estas p filas son filas de A, nos encontra­
mos con que A tiene, al menos, p filas independientes, luego el rango de A
es al menos p, es decir, se verifica que p ^ r.
- ¿
/
7^
H
/K— n
---------tT
• [Se verifica que r ^ p . ] Sabemos que en A hay r filas linealmente indepen­
dientes; podemos suponer, de acuerdo con lo que se dijo al comienzo, que
dichas filas son las r primeras. Llamemos S a la submatriz que forman estas
r primeras filas (el tamaño de 5 es r x n); el rango de S es r. Por esto,
sabemos que en S hay r columnas linealmente independientes; también po­
demos suponer ahora que dichas columnas son las r primeras. Recurramos a
la submatriz R que forman las r primeras filas y las r primeras columnas de
A\ esta matriz /?, de tamaño r x r, tiene sus r columnas linealmente indepen­
dientes y, en consecuencia, tiene determinante no nulo. Por tanto, det/? es
un menor de orden r no nulo; como p es el mayor de los órdenes de los
menores no nulos, se ha de verificar que r ^ p .

104. Al g e b r a lineal
SISTEMAS DE CRAMER
Para empezar, analizaremos un caso fácil, útil y frecuente; se trata de un ti^
de sistema de ecuaciones que es compatible y con solución única. Para él,
vamos a obtener una fórmula que proporciona la solución. Hay que advertir
desde el principio que el resultado de este teorema tiene mucha mayor utilidad
teórica que práctica.
[048] Un sistema de ecuaciones lineales A X - B se dice que es un sistema de
Cramer si su matriz de coeficientes A es cuadrada y regular: esto es, si
el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas y su determinante es
no nulo (se llama determinante de este sistema a A = det A). Los sistemas
de Cramer son, pues, los siguientes:
«21.V, + ^22^2 + - + a2^^ =
«11«12 - «1,
«Î1«22 - «2.
1 con A s
««2 -"«1^1 + ^^«2*^2 + - + (^.ur<n = ^
Regla de Cramer. Todo sistema de Cramer tiene una y sólo una solución;
ésta es (para el anterior sistema AX = B):
A,
donde A,, Aj
......A„ son los determinantes de las matrices que se obtienen
al sustituir, en la matriz A del sistema, la columna 1.“. 2.\ .... n \ respec­
tivamente. por la columna de términos independientes.
DEMOSTRACION
El sistema, con notación matricial. es el AX = B, donde A es una matriz
cuadrada regular, esto es. con inversa A ~\ El sistema es equivalente a
X = A ‘B, ya que: 1) premultiplicando en el sistema por A“ ', se obtiene
X = A~ B\ y 2) premultiplicando aquí por A. se obtiene el sistema. Podemos,
pues, afirmar que el sistema tiene solución única y que ésta es X - A ''B .

105. 9 9
Recurriendo a la expresión de (véase [043]), la solución se puede poner:
•^1
« I I « 2 1 : j« « 1 bl
X2
= x -
«12« 2 2 i 1 « n 2 b l
=
. « I n« 2 « : ^ A -
a„¿?, + a2i/?2 + ··· + OtnA
A.”
(·)
__ 1
+ « 2 2 ^ 2 + ·
·· + « n 2 ^ n
_ 1
‘-‘ I
A ” A
·* + « n n ^ n .
Por tanto, x¡ = A, A (para / = 1, 2, n \ como había que comprobar.
EJEM PLO
Aunque la Regla de Cramer no es un método práctico para hallar la solución
(numérica) de un sistema (es preferible, salvo en casos triviales, el método de
Gauss), a título de ejemplo vamos a resolver un sistema con la ayuda de la
Regla de Cramer. Aplicando esta regla al siguiente sislema, se obtiene:
2x+ y - 3 z =
n
2 I - 3
-JC + 5y + z =4 A = - 1 5 1 = - 4
3 x - 2 y ~ 4 z = -ij 3- 2 - 4
1 1 - 3 2 1 - 3 2 1 1
4 5 1 - 1 4 1 - 1 5 4
- 1 - 2 - 4
= 3 ; y =
3 - 1- 4
= 1 ; z =
3 - 2 - 1
A A A
= 2
. TEOREMA DE ROUCHE <·*'
Una vez analizados los sistemas de Cramer, los más sencillos, vamos a apoyar­
nos en lo allí obtenido para estudiar un caso general cualquiera. Estamos
interesados, aquí, en el estudio de la compatibilidad, y no en la búsqueda de
las soluciones.
( ♦) El desarrollo dc \ (para / = I. 2
.......n) por los elementos de su columna i-ésima cs
A, = a^Jb^ + a^Jbj + ··· +
(* ♦) Este teorema admite una formulación más completa que la que ahora se considera. Más
adelante se amplía lo que aquí se dice (véase [106]).

106. Á L G E B R A LINEAI
[049] Considérese un sistema de ecuaciones lineales cualesquiera, como el
siguiente:
A X ^ B
Discusión del sistema. Dependiendo del número n de incógnitas y de los ;
rangos de las maüices A y M (áe coeficientes y ampliada), se tiene:
1) AX = B cs compatible (con alguna solución) <=> rang/íB = rang A. !
2) AX = B tiene una y sólo una solución <=> rangy4B = rang A = n. ■
3) A X - B tiene más de una solución <=> rangi4B = rang >4 < n. !
DEMOSTRACIÓN
Vamos a recurrir a los vectores columna de A y a la columna de B, que
denotaremos por y con lo que el sistema dado queda en la
forma
A la vista de esto, es evidente que el sistema tiene alguna solución si y
sólo si es una combinación lineal de · ·» '^/i» que equivale a decir
que la última columna de y4B (esto es, la de B) es combinación lineal de las n
primeras columnas de i4B (esto es, de las columnas de A). Esto último, a su
vez, significa que el rango de A no varía si se le añade la columna 5, es decir,
que rang A = rangAB. Con esto queda probado el apartado 1).
Como los rangos de A y de AB o valen n o son menores que n, para
comprobar los otros dos apartados bastará con ver que:
a) Si hay dos soluciones distintas, entonces es rang A = rangAB <n.
b) Si rang A = rangAB < n , entonces hay al menos dos soluciones.
a) Si hubiera dos soluciones distintas jc- = a¡ y x¡ = (para / = 1, 2
.......n),
se habría de verificar que:
n n
X ^á¡a¡ = ^b y X luego (restando):
/-I i- l
'fl,(a, - /3,) + = ó
Ahora bien, como alguno de los a,· - ha de ser no nulo (pues las
soluciones eran distintas), esta relación significa que las columnas de A
son linealmente dependientes, es decir, que rangA < ;i. Además, por haber
solución, es rangAB = rangA.

107. m in a n t e s 101
b) Por ser rang A = rang AB, hay alguna solución (para / = 1. 2, .... /i);
pues bien, por ser rang A < n, vamos a poder encontrar otra solución. Como
el rango de A es menor que n (número de columnas de A), hay alguna
combinación lineal de ellas (con coeficientes no todos nulos) que es igual
a ó; esto es:
**’ + ~ ^ (P^ra alguna A, no todos nulos)
Resulta entonces que
n n fl
X 'áj(üf,. + A,) = X + X = *"b-l· o = ^b
esto es. x¿ = + A, (para i = l, 2. .... ri) es solución del sistema y es solución
distinta de la x^ = a¡, pues alguno de los A, es no nulo.
□SOLUCIONES DE UN SISTEMA COMPATIBLE
[050] Se considera aquí un sistema de ecuaciones lineales AX = B, que se su­
pone compatible (rang A = rangAB):
+ a,>t2 + - + =/?,
«;,x, + «a*, + - +
Llamaremos:
r = rimgA = rangAR
Se puede suponer^*^ que el menor que forman las r primeras filas y las r
primeras columnas de A es no nulo (menor principal); de ser así, el
sistema AX = B es equivalente al siguiente (llamado sistema principal):
**’ («Ir+I^r+I ***
Sistema principal
Para cualquiera que sean los valores que se les den a las incógnitas
x„ el sistema principal (que se convierte entonces en un sistema de
Cramer) se satisface para unos únicos valores de las incógnitas jc,
......av
(incógnitas principales), que dependen, pues, de los valores que se asig­
narán a las ....
( ♦ ) Como r = rung>4, hay algún menor de orden r dc A que no cs nulo. Si este menor
no fuese el del enunciado, se podría conseguir que lo fuese sin más que cambiar cl orden
de colocación de las incógnitas y alterando los subíndices con los que se numera a las
variables.

108. Á L G E B R A UNEAl
COMPROBACIÓN
Las m - r últimas filas de /ÍB son combinaciones lineales de las r primerai.
luego las m - r últimas ecuaciones son combinaciones lineales de las r primc'
ras; por ello, al prescindir de las /w — r últimas ecuaciones se obtiene un sistema
(el principal) que es equivalente al AX = B,
Al dar valores arbitrarios a el sistema principal se convierte en
uno de r ecuaciones con r incógnitas cuyo determinante es no nulo (pues es el
menor principal), esto es, pasa a ser un sistema de Cramer. Este sistema (para
cada conjunto de valores que se tomen para x„) conduce, pues, a unos
únicos JC,
L l CASO DE LOS SISTEMAS HOMOGENEOS
Al aplicar los resultados anteriores a los sistemas homogéneos, esto es, a los
que tienen nulos sus términos independientes, se obtiene:
[051] Considérese cualquier sistema de ecuaciones lineales que sea homogéneo,
es decir, que tenga nulos todos sus términos independientes:
a„;r, + + ··· + = O
aj,.r,+a;j,Vj + - + flj^„ = 0
A X ^ O
(I)
(lí)
(III)
+ ··· + a ^ „ = O
El sistema AY = O es siempre compatible, pues tiene, al menos, la
solución .t, = O, = O, .... x„ = O, que se llama solución nula.
El sistema A X = 0 tiene alguna solución no nula si, y sólo si.
rang A < n.
Si A X - 0 tiene tantas ecuaciones como incógnitas (o sea, si
m = w), entonces tendrá alguna solución no nula si, y sólo si,
det A = 0 .
COMPROBACIÓN
Respecto de un sistema general AX = B, la novedad estriba ahora en que es
B - 0 y, por ello, la relación rangy4B = rangA se verifica siempre, luego
A X - 0 es compatible. Según sabemos, del teorema de Rouche, el sistema
tendrá más de una solución si, y sólo si, es rangAB = rangA < ri; como ahora
la igualdad rangAB = rang A se cumple siempre, habrá más de una solución y,
por ello, alguna solución no nula si rangA < /i, Finalmente, si w = /í, la con­
dición rang A < n equivale a la det A = 0.

109. e j e r c i c i o s y p r o b l e m a s A 0 3
Ejercicios y problemas a la parte \
E N U N C IA D O S
I .l. Resolver los sistem as dc ecuaciones:
fl)x - 2 y + z = 5)
2 r - y - 2 z = - l
x-^-3y-l· z
b)
U . R esolver, en el c aso d c ser c o m p atib les, los siste­
m as dc ecuaciones:
b) y - z = 3'
2jc — y + 4z = 3
3 x - ^ 2 y - 2 = 8.
1»5. Esiudiar la compalibWidad dc\ siguicnic sistem a, en
función del parámevro a , y resolverlo cuando sea
com paiible:
;c + 2>+ =
3x + l y + 5z — 5ii = 3 >
5jc + \2 y + “ 1 u = a )
1.6. R esolver el si guíenle sisiem a de ecuaciones*.
x-¥ y + z - 3 u - V 2 ü = 4^
jc + 2 y - 2 i - 5 M - 2 ü = - 3 >
3 a c - y - 3 z - u-v4ü= 4)
1.7, Resolver el siguienlc sislema dc ccuacioncs*.
I J . Hallar los valores del parámetro a que hacen com­
patibles a los siguientes sistemas. Para dichos valo­
res dc a , resolver éstos:
a) X + 3y + z = O'
2 r + y - 3 z = 5
-JC + 7> + 9z = a
b)
1.4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) X ,- jtj + l t j - x < = O'l
2x,+ X j- x,+ x,= 4I
- X , + 2x2+ Xj - 2x^ = - 2
3x, - Xj - 3xj + X, = I ,
b ) x ^ + x ^ + X j - x^ = 0^
2t, + 3X2 + Jtj - 3X4 = O l
-3x, - Zij - 2x, + 4x4 = O
4x, + 2*2 + 5;tj - 2x4 = 1,
X - y + z - u = %]
2x + 4y + 2 z-u = 5\
3jt + 2 y - z =5i
2x+ y - u = 5]
1.8. DiscuÜT, en fundón de\ paràmetro a, e\ siguienve
sistema de ecuaciones y resoWcrto cuando sea com-
paübk;
1.9.
x+ y -
3x + ay + OI = 5 '
4x + ay = 5 ]
Sea S un sistema dc m ecuadoncs \\nea\es <
incógmUts. Sabiendo que es m<n, piuébese
puede ser 'mcompaúÜe o compalMe \nd(
nado, pero no puede ocumr que ven^a u
so\uci6n.

110. 104
Al g e b r a lineal
1.10. Resolver el sislcma:
.t, + JT2+ J C 3 - 2 r ^ “ 44r3 = - 3
JC, + jTj “ JTa + 2x4 + I t j = I
.t, + *^2 “ Xj 2.tj “ 3
JC, + 5 ^ 2 ~ ^-*^3 + 30:3 = — I
;r, + 2x2-2c3 + 2c4 + 3x,= I
I .l l . Discutir (en función de a ) y resolver cuando sea
compatible el siguiente sistema de ecuaciones:
L12. Si ninguno de los vectores m,, ¿2» —» depende
linealmente del sistema 5 = {t?,, i?2* ···* ¿puede
ocurrir que alguna combinación lineal de aquéllos
dependa linealmente de 5?
1.13. Estudiar si los siguientes sistemas de vectores de
son linealmente dependientes o independientes:
ü) ( ( 5 ,3 » 4 ) » (1 ,3 ,2 ) ,( K M ) 1
d) {(3.2, 0 , ( 1 . - 3 , 2 ) , ( - 1 , - 2 ,3 ) 1
1.14. Si ü y € son dos vectores distintos, analizar si al­
gunos de los vectores (2 + Á)ü + (3 - A)¿j (A = es­
calar) pueden ser iguales.
1.15. Sean 5 = {C,, 02.......“i* ·*·♦ “íI
sistemas de vectores. Si cada uno de los 5 y 7 es
linealmente independiente y todos los vectores de T
son independientes de 5, ¿el sistema S u T h a de ser
independiente?
1.16. Sea S = {á,, Mj* ···· “/»I sistema de vectores de
R". Si ts p > «, compruébese que el sistema S es
linealmente dependiente.
1.17. Estudiar si el sistema 5 = {m, v, vi»} de vectores de
es linealmente dependiente o independiente, en
los siguientes casos:
a) M = (l, 0, - / ) , í; = (0, /, - I ) , w ^ (i, 1, I + /)
b) M = ( l > / , - I ) , i; = (0, 1, I + 2 i ) ,
ñ' = (l, I + /, - I )
1.18. Sean dados los vectores
w = (2, 3, 5) . ¿J = ( l , 2 , 3) y ü> = (2, 1,3)
Analizar si existen algunos escalares a,, y c, tales
que los vectores:
X = a,ü-l· h^O'hCyW
y = biü -I- C2>v
z^ ayu + hyu-i-cyw
sean linealmente independientes.
1.19. Sean a,, iJj
......los vectores de R" que tienen los
siguientes componentes: el vector ü, (para 1 = i, 2,
.... n) tiene todas sus componentes valiendo 1 ex­
cepto la de lugar / que vale /i. Hallar el rango de
{m,. ¿2. ♦·’. ú„] en función de h.
1.20. Hallar el rango del sistema:
(«,. «2» «3. «4. «5^ «6l
siendo:
m, = (2, 6, - 1 . 0 , - I )
iÍ2 = (2, -2 . I . - 3 .2 )
«3 = (3. 4. 1. -1 . 2)
«, = (1. -2 . 2, - 1 .2 )
«5=: (-1 ,0 , 1.2, 1)
iJ^ = (l,8 , -3 , 1, -4 )
1.21. Sean /e== {m„
.......m^} y 5 = {P,. .......v^] dos
sistemas de igual número de vectores (de R". por
ejemplo) cuyos rangos respectivos son rys. Consi­
dérese el sistema 7* = {w>/ = w, + / / = 1, 2 ,.... pV
Pruébese que rang T ^ r - h s .
1.22. Hallar el rango de la siguiente matriz:
1 1 - 1 1 -2 -1
4 _5 7 - 2 - 4 - 6
2 5 - 8 4 - 3 l
3 «3 4- 1 - 3 -4j

111. e j e r c ic io s y p r o b l e m a s 1 0 5
1 2 0- 5- 3- 2 "
3 1 - 1 3 2 4
- 20 2 1- 1 5
2- 3 1 3 2 - 1
1 - 1 3 - 1 - 22
4 3- 1- 2- 12 .
1.23. Hallar cl rango dc la siguicnie matriz:
A =
1.24. Hallar los valores dc a y /3 para los que cl rango
dc la matriz A es lo más pequeño posible:
1 3-2-1 4
-2112-3
3-4 3 1-2
3 3 O a 3
3 2-3-3 p
1.28. Hallar los números reales jr, y, z, u y v para los que
se verifica:
“.r 2 '
- 1 V
‘ 5 1“
0 y
li 0
=- 3 0
^Z I . 1 2 .
1.29. Sabiendo que AM = B, donde A, By M son matrices
cuadradas de igual tamaño, y si A y son triangu>
lares superiores y no nulas. Se pide:
fl) Analizar si M ha de ser triangular superior.
h) Enconü-ar alguna condición suficiente que per­
mita garantizar que M es uiangular superior.
130. Sean A y fi dos matrices cuadradas de igual tamaño
que son siméüicas. Hallar una condición necesaria
y suficiente para que su producto AB sea simétrica.
I J i . Hallar siendo A la matriz:
1.25. Hallar el rango de la siguiente matriz compleja:
1
2 + 1
- 1 + i
t
1
I +1
3/ 3'
1 + 2 / 4 + i
l + i - 1 + i
O eos 0 sen 0'
eos O O - 1
sen B 1 0.
132. Hallar una matriz A tal que:
1.26. Hallar el rango de la siguiente matriz, de tamaño
nxn:
X0 0 0 · 0
y
y
X00 · · 0 0
0y
X0 · · . 0 0
0 0
2
y
X — 0
•
0
:
0000 · ·
•
JC
:
0
0 0 0 0 · · ·
y
JC
1.27,
para JC # O c y # O
Analizar, primero, los casos n = 3 y n = 4.
Sea M = AB cl producto dc las matrices A y B.
Compruébese que si A tiene una fita nula, entonces
también M tiene una fila nula y que si B tiene una
columna nula, entonces M también tiene una colum­
na nula.
' I - 7 r
O 8 38
O O 27
133. Hallar A", para n € N , donde:
1 I O'
O 1 1
O O 1
1.34. Hallar para p^n, donde A cs la siguiente matriz
de tamaño nxn:
A =
‘o I 0 ··· o'
00 1 .·· 0
00 0 ‘• 0
0 0 0 ··· 1
0 00 ··♦ 0

112. 106
Á L G E B R A LINEAI
1.35. Calcular <4* y <4’ , donde A es la matriz de tamaño
n X n:
“10 0··· 0‘
110· 0
A =111· .. 0
1 1 1 ·• 1
a) Compruébese que el producto de A(a, h) por
A{a\ h') es también una m a tri/ de la familia.
b) Analícese si A{a, h) tiene matriz inversa perte­
neciente a la familia.
(Indicación: reciírrasc a las matrices Af = i4 (l. l)e
A matriz unidad, expresando A(a, h) como combi­
nación de ellas.)
1.36. Hallar todas las matrices de tamaño 4 x 4 que
conmutan con la siguiente matriz A:
I
1
O
o o
0 0 0
I o o
I 1 o
i 1
1.37. Una matriz cuadrada M tal que = M se llama
«idempotcnte». Sabiendo que A y B son matrices
cuadradas tales que A -A B y que B = BA, com­
pruébese que A y B son idempotentes.
138. Se llama traza de una matriz A = [a¡j]y cuadrada de
tamaño n x n, & la suma de los elementos de su
diagonal; eslo es, a:
iT(A)• o¡,
í-1
-a.. + ··· + ««
Compruébese que, si >4 y son matrices del mismo
tamaño n x n, se verifica que:
1. \x(AB)^lT{BA)
2. tr(A 4')> 0si/lífea
IJ 9 . Considere la familia de las matrices A(a, h), de
tamaño n x n, dependientes de los parámetros reales
a y h, siguientes:
1.40. Sean A y i? dos matrices cuadradas del mismo ta­
maño. Si A es invertible y A y B conmutan, prué­
bese que A~^ y B también conmutan.
1.41. Hallar la matriz inversa, si existe, de cada una de
las siguientes matrices:
’ 1 4r '1 1 5 '
A^3 7 9 ; 5 =4 10 16
J 5 1_ .2 5 8_
1.42. Hallar la inversa de la matriz:
' 1- 1 2 1"
“ 2 3- 4 1
5- 811- 4
- 2 3- 4 2 .
1.43. Hallar las inversas de las matrices:
" l 00o ' "l0 0 o '
1 10 0
; 5 =
2100
1 1 1 0 32l0
1 1 1 1 4321
A{a, h)'-
ah a a·· fl " 1.44. Hallar la inversade lamatriz:
a ah a ··· a
aaah ·• a ‘ - 2- 9- 85'
.4 =
- 3- 1 2106
0 - 2 21
aa • ah^
- 2“ 6 53

113. e j e r c i c i o s y p r o b l e m a s 1 0 7
1.45. Sea A una matriz cuaiirailji dada (al que / \ ’ =* O,
Considérese la t'amilia que fornian las matrices:
Af(A) = / ♦ A/\ 4 (AV2M^ , para Á e U
Compruébese que la Camilia cs un gnipi) abeliano
(conmutativo) respecto del proílucto dc matrices;
hallar M(A)
1.46. Sean A y H dos matrices cuadradas, de tamailo n x n.
Se dice que /\ cs semejante con H, y se pone /\ /í,
si existe una inatri/ regular l· tal que í i · t* ^ A í \
Compruébese que:
1. {A^B) => /K - / r (para /i e N cualquiera)
2. La scmejan/a dc mairíccs cs una relación de
equivalencia para cl conjunto de las ma­
trices dc tamafio n x n,
1.47. Hallar la matri/. inversa de la matriz. A:
A «
"1 0 0... ()-
a1ü... 0
a 1... 0
j ffl" ' ... 1_
1.48. Hallar la inversa dc la siguiente matriz compleja:
I 2 - 1 - 1 + 2i‘
I 2 - 2 + í
- I - 2 + 1 2 - 2 i
1.49. Sea A la matriz cuadrada, dc tamaño n X n, cuyos
elementos son:
íí, si i
h, si i ^ j
elemento de lugar (i, j) de A ■
Hallar a y b para que se verifique la relación A^ = /.
1.50. Sean /I y 5 dos matrices cuadradas; S cs simétrica.
Analícese si se verifica que:
a) A'A cs simétrica.
b) A'SA cs simétrica.
c) A antisimétrica => A^ simétrica.
</) A regular = ( / l “ ')'' (;i e N ).
1.51. Se dice (lue una niatri/, cuadrada A dc elementos
complejos cs unitaria si:
/ t / í '- /
(/T denota a la matriz conjugada de A, esto cs.
aquélla cuyos elementos son los números complejos
conjugados de los respectivos elementos de A). Se
pide:
a) listudiar si la inversa y la traspuesta de una
matriz unitaria son matrices unitarias.
h) Si A cs unitaria, hallar |d e t/\|.
c) S\ A y B son matrices unitarias dcl mismo
tamaño, estudiar si AB cs también una matriz
unitaria.
1.52. Si /\ cs una matriz cuadrada tal que A^^O (matriz
nula), hallar A{! ± /\)". para n =» 2, 3. ...
1.53. Halhu* la matriz inversa de la matriz cuadrada dc
tamaño n xn :
1 11 1... r
1 22 2... 2
1 2 3 3
... 3
1 2 3 4... 4
1 2 3 4... „
1.54. Kc.solvcr la ecuación:
,ra h c
a X c b
hc Xa
c haX
1.55. Resolver la ecuación:
1
.V
.v + 2
1 I
.v'
Ix + I 3.V
= 0

114. 1 0 8
Al g e b r a lineal
1.56. Hallar el valor del determinarne:
or^ a/3 nr/3 pT
afi cr 0^ afi
aP a' afi
a fi a fi
1.57. Hallar el determinante de la siguiente matriz, com­
probando que no depende de x:
1.61. Calcular el determinante:
n 1 1 1
/ I 2 1 1
/ I 1 3 1
/I 1 I 4 - 1
/lili
1.62. Sean A y B dos matrices cuadradas de igual tamaño.
Hállese el determinante de la siguiente matriz M en
’ COS(j + fl,)eos (JC + fl,)eos (jc + «3)
A =sen(jr + fl,)sen (jr + Uy)sen (x + Oi)
Af =
A B
^sen (02 - flj)sen(fl,- f l ,) sen (tí, - «2),
B A
Si fl,, a¡ y flj pertenecen al intervalo )-7 r/2 , 7t/2|,
hallar la relación entre ellos para que A sea singular.
1.58. Calcular los siguientes determinantes:
3 - 1 34 3 9 - 1 2
4- 3 5 6 1 4 90
4 4 I3
; A , -
25- 1 1
35 - 67 65 2 1
1.59. Calcular los siguientes determinantes:
1.60. Calcular el siguiente determinante:
1 3 5 2 2
3 6 9 5 1
6 5 7 4 2
1 6 8 5 0
14 6 3 1
975 2 10114 1
4- 8 83 - I 4 5 - 1
6- 58 4
; Aj =
5 8 - 4 4
75 37 2 4 1 1
1.63. Calcular el determinante de orden n:
X l+ y t •*1+3’2 - ·*!+>’,
X i+ y i J^2+y2 ··· -*2+y»
-*,+.V2
1.64.Sea A = [a¿j] una matriz cuadrada de tamaño nxn
y considérese la nueva matriz B = [a¡j + k\, que se
obtiene de sumar un mismo escalar k a cada uno de
los elementos de A. Hállese det B en función de k,
de los adjuntos a¡j de los elementos de i4 y de deti4.
1.65. Se considera el siguiente determinante de orden n:
1 + a,«2 ^3
«l1 a„
1 + 0.
: ; :
"1«2"3
Obtener la relación que liga a A„ con Cal­
cular A^.
1.66. Sea /\ una matriz cuadrada, de tamaño nxn, anti-
simétrica (A^ = -A). Demuéstrese que si n es impar,
entonces del A = 0.

115. e j e r c i c i o s y p r o b l e m a s 1 0 9
1.67. Calcular los determinan les de orden n:
1 2 3
... fl
- 1 0 3.. . ft
- 1- 2 0
. . . /I
- 1- 2- 3... 0
1
•^1 *^2 •^1.
1 .V, + a,
'^2
1
*^2 x„
1
J^2
1.68. Considérese el determinante de orden n:
a + x, X 2 Xy
X, a-^X2 Xy Xn
X, X2 a+Xy Xn
X, X. Xy a^x„
1.70. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones, resol­
viéndolo siempre que sea posible:
ax + M’ + ^ * Ì
.V + aby + z = h \ {a, /; e R son parámeiros)
X-l· /?>' + ÍÍ2 = l J
1.71. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
a,v, + Px2 + - + oíXn-i + = Oj
Px, + ax2 + - + «^„-1 + <xx„ =
1.72. Discutir y resolver, en caso de compatibilidad, el
sistema:
+ by+ 2 “ O
+ y + h z= w (a, h eU a
ax
ax-l· y
a v + y + z = b
son parámetros)
1.73. Discutir, según los valores de los parámetros a y h,
y resolver, en su caso, el siguiente sistema de ecua­
ciones:
Obtener \ en función de A„_, y, de ello, hallar A„.
1.69. Obtener la relación que liga a con A„siendo
el siguiente determinante de orden n:
JC, - ^3+Jf4= O
ax, + J^3+a'4= o
bx,-hx2 -X 4 = -\
X2 + bXy + JÍ4 = a
0 11 l -... i
1 0XJC ··· JC
1 X0X ··· JC
1 JCX0 ♦·· X
1 JCXJC ··· 0
Calcular A_.
1.74. Discutir, según los valores de los parámetros a y b,
el siguiente sistema de ecuaciones. Resolver el sis­
tema para a = 3 y b = 2:
2x, Xj 3j^4 x^ 2
-j: ,+ .t2 + JT, + 2A\, + lr , = 3
JC, + .t2 + 3jt, + 2v, = 6
X2-\-2xy + ax^+ x^ = b

116. 110
1.75. Discutir» según los valores de los parámetros reales
a y b, el siguiente sislema de ecuaciones (// + i
ecuaciones con n + I incógnitas). Resolver el siste­
ma cuando sea compatible;
x„ + ax„,^=a
a{x^ + JT2 + - +'ï„)
1.76. Resolver el .sistema de ecuaciones lineales:
ix^+ 2x1+ (I+/)X3 + (1 ” /V4= “ 2 + /
( 1 — /)x, -f ¿c, - 2X3 — 2/X4 = 2
- 2 x ,+ (l+ />2+ ¿ r ^ - (2-/)X4= 2-3/
3ú, — 21x2 + ( I — 2í)X2 — X 4 = O
1.77. Sean A y B matrices de tam años f» x n y m y
supóngase que r = rang A = rang < m , n, Con¿
dérese el sislema de ecuaciones AX = H, donde J(e\
la matriz de incógnitas, de tam año n x 1.
componen A y H y Xeiv bloques del siguiente moda
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _Al g e b r a u n e í i
'A, A ,'
; B = : x =
X
»3 - .B ,. A .
donde A^ es una matriz regular de tamaño r x r , B
y X^ son de tam año r x J . Se pide: '
fl) Obtener, en función de dichos bloques las so­
luciones del sistema.
b) Obtener las soluciones del sistema:
x + 2V-+- z - f 9u+ I5 v = -2
2x + 3 V + z+l7// + 21i;= 1
- x + y + z - S u+ l ü = 1
x + 13>» + 8z+ \2u + 94v= -l

117. JOLUCIONES 111
SOLU CIO NES
I.I.a)
J C = 1, y = - 1 , 2 = 2
b)jc = 2, y = - 3 , z = 1
1.2.a)El sistema es incompatible.
b)jc = 2 - z, y = 1 + 2e, z cualquiera.
IJ.a)
a = -10; JC = 3 + 2z. y = - 1 -z,z cualquiera.
b)a = - l ; j r = 2, y = - l , z = 0
1.4.a)X, = I, ^ 2 = 1 , ^ 3 = 1.A'4 = 2
b)JC, = 2, JC2 = 0, JT, = -1, JC4 = 1
1.5.a =í 4; JC = 8 — 182 + 11M, y = - 3 + 7z — 4m
1.6.X =3 + w — 2v, y = ~ 1 + 2m + y, z = 2 — v
1.7.X -4, y = - 2 , z = 3, M = 1
1.8. Si a = o, el sisiema es incompatible.
Si a = 5, hay infinitas soluciones:
JC = 5z , y = \ - 4z
Si a O y a 5. hay solución única:
I 1
JT= I » y = - . z = -
a a
1.9. Reducir el sistema S a uno escalonado reducido y
analizar éste.
1.10. jr, = - 1 + JC5, jCj = O, JCj = JC5, JC4 = 1 - JC5
LU. Para a = ~ 2 el sistema es incompatible. Para
úr=l, el sistema admite infinitas soluciones:
. c = l - y - z . y cualquiera, z cualquiera. Para
or - 2 y or # I , el sislema tiene solución única:
- - f - U .
or + 2
.12. Si, por ejemplo:
1
a + 2
z = -
a + 2
M, = (1,0,0) , = (0,1,0)
iJ,=(l, 1, 1) , ^J = (l, 1, - I )
p = h = 2 ; ÍJ, + 02 = 2/í, + 2ü2
1.13. a) Linealmente dependiente.
h) Lineaimente independiente.
L I4 . Son todas distintas.
1.15. Puede no serlo, como en el ejemplo:
p = q = 2 , P, =(1,0, 0) , 02 = (O, 1,0)
M, = (1,0,1) . «2 = (0,1,1)
aquí es m, + = íJ, + Wj
1.16. Supóngase que hay una combinación lineal de las
tif que es nula; recurriendo a los componentes se
obtiene un sistema de ecuaciones lineales homogé­
neo con más incógnitas (los e.scalares) que ecuacio­
nes, que tendrá, pues, solución no nula.
1.17. a) Dependiente:/M — 1 i; = >v.
b) Independiente.
1.18. No existen: los ü, v y w no son independientes y
los J C , y, z dependen de ellos, luego son dependientes
siempre.
1.19. Si /i 1 - n y /i 1, cl rango es /i; si /» = 1 - n, el
rango es /i - 1; si /i = I , el rango vale 1.
1.20. rang S = 4.
1.21. Sean y 0^ sistemas independientes
de /? y 5. Todos los vectores de T dependen lineal­
menle de los vectores de ...» w, Vj ]
y aquí hay no más de r + 5 veclore.s.
1.22. El rango es 3.
1.23. El rango es 4.
1.24. of = 1, = 7; el rango mínimo cs 3.
1.25. rang A = 2.
1.26. Para n = 3, rangA = 3 si jc ¥= - y y rangA = 2 si
x - - y . Para n = 4, rangA = 4 si jc^±v y
rang/4 = 3 si x = ± y . Para n par rangA = n si
x ^ ± y y rang/\ = /i - 1 si x = ± y . Para n impar,
rang A = n si .r # - y y rang A - n - \ si .c = - y .

118. 1.27. Si = O, V h, enionccii.
m,y = X a ,J }^ = Z 0/>^ = 0. vy
h h
Piira columnas se procede igualmente.
1.28. x = I , y = - l , z = 2, m = 3, t;=i
1.29. a ) Puede no serio; así ocurre con:
112
___________________
1 2 ■3 - 2 ’
y M —
0 0 1 3
b) Que A sea invertible.
IJO . Que A y B conmuten.
IJ l. A^^O.
'I - 1 1
1.32. A =0 2 2
.0 0 3
”1 n 5"
1.33. A" = 0 1 n
.0 0 L
"1 0 0 0“
2 1 0 0
1.35. A^ =
3 2 I 0
jt n - \ /I - 2
1 0
3 1
6 3
con s. ·
-ifi-l '^„-2
/(Í-I)
Al g e b r a lineai
1.36.
fa 0 0 0
b a 0 0
c b a 0
d c b aA
para a, />, r , </ escalares cualesquiera.
1.37. = (AB){AB) = /4(/?>4)fi = = AA
igual se procede con
1.38. I. Ambos trazos valen ^a^bj^.
ij
2. tr(AA') = I ( a / > 0 .
ij
1.39. a) El producto vale a M + /3/, donde
a aa'{nhh'— 2) , — 1)(/í'~ 1)
/?) A”‘= A (í7p/i,), con
I
/i, = 2 - / i - / í y fl, =
---------------------------
' l)(l-/i-n)
(para /í I, /i I ~ n y a # 0).
1.4(). AB = BA => A ^\A B )A ''^=A -\B A )A '' =>
= ❖ IBA-^=A-^B¡ => BA-^=A'^B
1.41. A ' :
1.42. A ” ‘ =
“- I9 3 i r
3 --1/2- 3 / 2
4 -‘ 1/2 - 5 / 2 .
“ I - 1- 2 - 4 “
2 4 0 ~ 3
1 3 1 0
-0 - 1 0 1.
; no existe B'K
1.43. A-’ :
1 0 0 0'
-1 1 0 0
0 - 1 1 0
0 0-11

119. SOLUCIONES 113
" 1 0 0 0 “
- 2 1 0 0
1 - 2 1 0
0 I - 2 L
"0 I 0 - 2 “
1 - 2 1 2
0 - 2 3 - 3
.2 0 ■ - 3 - 2 .
1.44. A-'··
1.45. M(0) = l. = = +
M (A )-'= W (-A ).
1.46. I. B'' = BB-B =
= (P-'AP){P’ 'AP)-(.P 'AP) =
= P ^AA -AP = P''A'’P.
2. A = r ' A I ==> A -A ;
A~S B = P^'AP => A =PBP ' B~A·,
(A -B y B - Q
=> (B = P 'AP y C=Q-'BQ) =»
A ~ C
1.47. / ! - · =
C =(PQr^A(PQ)
‘ 1 00 - 0 '
- f l1 0 ···0
=
0- f l1 · 0
. 0 00 ···
L
1.48. A - ‘ =
- i I + 2/ i
I - í I - ;
I O I
1.49. Póngase ,4 en la forma A = a l = hB. Solución;
fl=±(/i — 2):n y h=^T2:n
1.50. Los cuatro apartados son ciertos.
1.51. a) Ambos son unitarios.
b) Id eM l = I.
c) AB es unitaria.
1.52. A (/± A r = A.
L53. y4"* =
1.54. Tiene 4 soluciones, que son:
Xx = - a — b - c ; jCj = fl + 6 — c
- a b c ; x ^ = a - h c
Sólo tiene la raíz x = \ (de sexto orden de multipli­
cidad).
‘ 2-1 0 0 0 0“
-1 2-1 0 0 0
0-1 2-1 0 0
0 0 - 1 2 0 0
0 0 0 0 2 -1
. 0 0 0 0 -1 1.
1.55.
1.56.
L57.
L58.
1.59.
L60.
1.61.
1.62.
1.63.
Desarrollando por la última fila:
úciA = -s e n ’ (fl, - a^) - sctr (a^ - a ,) -
-sen"(fl,-flj)
La condición es fl, = flj = fl^.
A, = 130 ; A2 = 6 I.
A, = 100 ; A2=150.
A = - 5 .
A = /i!
det M = [det {A + 5 )] · [det (A - B)].
A, =.v,+y, ; A2 = - (j: , -j:2 )C y ,-V j)
A„ = O para n > 3.
1.64. áeíB = óciA+k X
1.65.
1.66.
A , = A„.,+fl„ ; A„
del = det ( - /\ ') = ( - 1 )" (iet >4 ' = ( - 1 )" del A =
= -d e i/4 , luego del A = O.

120. 114
ÁLGEBRA LINEAI
1.67. A, = n ! ; A2 =
1.68.A«*flA.,
+ jr, +Xj + ··· + jtJ
1.69. A, = ( - i r V - ^ - . r A , . ,
1.70. Para 6 = 0 y a - \, sisíema incompatible. Para
b = () y 1, sistema incompatible. Para ü = 1 y
b = \ , infinitas soluciones: x ^ a , >' = /3,
r = I — a — Para a = I y 6 ^ I, sistema incom­
patible. Para a = - 2 y /> = -2 , infinitas soluciones:
j: = 3flr, )>=l/2(a-l). z = a. Para ¿i=-2 y
- 2 , sistema incompatible.
1.71. .r,
flr S fly - ( a ( n - \) + P\a,
. \>*i
____________
( a - / 3 ) ( o r ( n - D + /31
1.72. Para /> = I y a-O, compatible indeterminado; las
soluciones son (x. y, c) = (or. /3. I - ^). Para ò = I
y a ^ 0. compatible indeterminado; (x. y, z) = (a,
I - /9 - flor). Para 6 ^ 1 y a = O, sistema com
patible determinado: (x, y. 2) = ((¿> + 2) : ú, - 1
- 1). Para fl = O y ¿ = - 2 , sistema compatible in
determinado; (x, y, z) = (a . - 1 , - 1 ) . Para 6 ^ - 1
2 y a = 0, sistema incompatible.
1.73. Si # - 2 , el sistema tiene solución única:
- 2
‘b-h2
fl-f 6 - I
Ò + 2
fl- I
'0 + 2
Ò + 2
Si Ò = “ 2. el sistema es incompatible.
1.74. Para I. hay infinitas soluciones (con un pará.
metro). Para ¿1= I y 1, no hay solución. Para
= I y 6=1, hay infinitas soluciones (con dos
parámetros). En el caso a = 3» 6 = 2, las soluciones
son. para A € IR cualquiera:
= -A + 2Xj=-2A-3
I 7
•"’ “ 2
1.75. Si tí = O, hay solución única a·, = jt2 ~ =0.
, = 6. Si tí # O y tí ^ ± ^/¡/ñ, hay solución única,
que es la:
= ··· = .
_tí(l -fc )
‘ l - tí*«
b -a ^ n
Si es t í = ± V ¡ Í ^ y 6 # 1. no hay solución. Si
r t= ±>/r/w y 6 = 1» hay infinitas soluciones, que
son (para A e R cualquiera):
jr,=jcj = -
1.76. Xy = i
±^n
1 - / ♦ .^3 = 2/ , x^ = - I .
1.77. tí) ^2 cualquiera, X, = i 4 r ‘(5, - A2X2I
h) u y V cualesquiera:
~x~" 1 2 r
" í
" - 2 “
y=2 3 -1 1
. z ._1 1 1.
9w + 15i; '
17m + 21i;
_ “8w + 7t ; _
' -6-9m -2i ) '
9 + 1/ - 3i;
-14-2w -5i?

121. ALGEBRA
LINEAL
5. E5pacios x'cctoriaf«.
6. /Xpíicaciones íitieaíes.
Ejercicws y pwóíetnas.
A
u n cuando ésta ha resultado ser ía segunda parte, a
causa de fiaSer otra que ía procede, no deja poreíío de
ser (a primera, ya que es (a mas importante y principal de
cuantas componen esta oSra, 'Empero no se fia de. alarmar
nadie por ello, que aquello que tiene mayor interés no suele ser (o
más d ifíc il y, aquí, s i Sien se mira, en elfondo de cuanto se dice
sólo hay un concepto Básico, sobre e l que reposa todo e l negocio, e l
concepto de i lo lineal^, A no dudarlo, esta idea nos hade ser
fa m ilia r y conocida de antiguo, pues nos fu e presentada por
nuestros maestros, cuando, siendo aún tiernos escolares, nos
hablaron de la iregla de tres».

122. CAPÍTULO
5 Espacios vectoriales
A estns alturas nos es ya imprescindible abordar el tema de los vectores con ma­
yor amplitud; se hace necesario generalizar la noción de «vector de n compo­
nentes» que hemos venido manejando hasta ahora en la primera parte o «Inicia­
ción; linealidad y rango». El modelo a generalizar es el conjunto de lodos los
vectores de /f" (/i número natural fijo; K cuerpo» por ejemplo, K = R), junto con
las operaciones «suma» y «producto por escalar». Las propiedades de las que
goza este modelo concreto, que coinciden con las de otros muchos ejemplos, se
lomarán como punto de partida, es decir, formarán la axiomática de los espacios
vectoriales. Siempre que se cumplan estos axiomas, se dirá que la estructura en
cuestión es un espacio vectorial; aquí nada importa cual sea la naturaleza de los
vectores que se consideren ni el modo de definir las operaciones, con tal de que
se verifiquen los axiomas, que es el único requisito que en esto se exige.
a ESPACIOS, SUBESPACIOS
Y COM BINACIONES LINEALES
5.1. CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL
I0S2I
Sea un conjunto dado, a cuyos elementos llamaremos cectores. Se
considera también un cuerpo K (en particular /í· = R y íC = C), a cuyos
elementos llamaremos escalares. Se dice que V es un espacio vectorial
sobre K si se dispone de las siguientes operaciones «suma» y «producto
por escalar» y se satisfacen las propiedades que ahajo se detallan:
I." Una operación (+) interna en V' (suma de vectores) tal que se
cumplen los siguientes axiomas (de la suma);
• (« + P) + »i· = í7 + (fj + iv) Vfi, P, w e V (asociatividad) (8,1)
•M + í?=i; + M V«, iJeV (conmutabilidad) (S.2)
• 3deV (vector nulo) tal que « + ó = m para cualquier tJ e V (8.3)
• Para cada ü eV existe —úeV tal que « + (-ü) = d (8.4)
(cada vector ü e V tiene un vector opuesto - « e V)
2.® Una operación externa (producto por escalar), que a cada pareja
Áe K, ü eV asocia un vector A«, tal que se cumplen los siguientes
axiomas (del producto por escalar):
• A(M + tO = A« + Aí5 ya.üeV VAeA· (P.l)
• (A + /i)i¡ = Áü + fiú V M e V V A, /t 6 AT (P.2)
• Á(fiü) = (Áfi)ü ^/ileV \f\,ueK (P.3)
• lí7 = ú (1 = unidad de ^ VweV (P.4)
16

123. s/E C T O R IA L E S 117
O B SER V A C IO N ES
• Usualmente, el cuerpo K será para nosotros = R o /C = C. Si es = R. el
espacio vectorial se llama real; si /T = C, el espacio vectorial se llama com­
plejo.
• Los cuatro axiomas que afectan sólo a la suma (los englobados en el aparta­
do 1), se pueden resumir diciendo que (V, -f) es un grupo conmutativo. Los
otros cuatro axiomas (los englobados en el apartado 2) regulan el modo de
«actuar» los escalares del cuerpo K sobre el grupo (V, + ).
• Por ser (V, + ) un grupo, se verifica que el vector nulo ó es único, que cada
vector ü tiene un solo opuesto —w, que sies« + íJ=« + vv entonces es 0 = vv.
Como en todo grupo, también aquí se pone w — en lugar de w + ( —íO.
E JE M P L O S
Además del espacio vectorial AT* (véase [01IJ y [012]), que nos ha servido de
modelo, conviene citar a los siguientes:
1. El conjunto V = 9 '(C , K), de las funciones definidas en un conjunto C y
con valores en el cuerpo K, es un espacio vectorial sobre K respecto de las
siguientes operaciones: dadas /, ^ e V y A e /T, se llaman / + g y A/ a las
funciones de C en /T definidas por:
'/ + g es tal que ( / + g)(x) = f(x) + g(x) \ / x e C
Áf es tal que (A/)(Jc) = A/(jc) VjceC
3.
El conjunto V = K[x]y de los polinomios con coeficientes en AT y con una
indeterminada jc, es un espacio vectorial sobre K respecto de las operacio­
nes usuales de suma de polinomios y producto de un escalar por un
polinomio.
El conjunto V = de las matrices de tamaño m x n (cuyos elementos
pertenecen a un cuerpo K) es un espacio vectorial respecto de la suma de
matrices y del producto de un escalar por una matriz (véase [022])
□ CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS
[053]
En un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, para cualesquiera que sean
a, V e V y Á, /X e V , se verifica que:
1. \d = d
2. oa = d
3 . Am = ó (A=0 ó a = d]
4. [Am = /LiM y m#ó] => A = /t
5. [Am = AS y AítO] => u = ü
6. (-A )m = A(-m)=-Am

124. 118
Á L G E B R A LINEAL
DEMOSTRACIÓN
1.
2.
3.
4,
5.
6.
Ad = Md + <5) = Ad + Ád; restando Áó, se obtiene o ~ A<5.
Oú = (O + 0)fi = Oú + Om; restando 0<7, se obtiene d = Om.
Si fuese A = O, ia propiedad seria cierta. Si es A # O, entonces existe A'*;
multiplicando por A~% se obtiene A"^Am) = A“ 'ó, o sea. (A"'A)»7 = ó, esto
es li7 = 5. luego ü = ó.
Se sabe que Áü — fiü = ó, o sea, (A — n)ü = ó; como es ü ^ ó , según la
propiedad anterior ha de ser A - /i = 0; es decir, \ = fi.
Se sabe que Aü - Ai = ó, o sea, A(ií — C) = 5; como e.s A 9*= O, según la
propiedad anterior ha de ser jJ - tT = ó, es decir. i7 = C.
( - \ ) ú + Á ü - ( - \ +Á)ü = Oü = ú, luego (-A)i7=-A/7. Por otra pane,
A ( -m) + Aü = A(—ú + ú) = A<5 = luego A(—ü) = —Aü.
SUBESPACIOS VECTORIALES
Se llaman subespacios de un espacio veciorial V a aquellos subconjunlos de V
que son, a su vez, espacios vectoriales respecto de las mismas operaciones de
V. Al concTCiar y desarrollar lo aquí dicho, obtenemos;
DEFINICION Y CARACTERIZACION
DE IX)S SUBESPACIOS
Í054)
Sea V' un espacio vectorial sobre K (cuerpo) y sea U un subconjunto de V,
L Definición.— Se dice que U es un subespacio vectorial de V si las
operaciones de V son. también, operaciones para U y, con ellas, (J
es un espacio vectorial sobre K.
2. Caracterización.—Se verifica que U es un subespacio vectorial de V
si, siendo í/ # 0 , se cumplen Ia.s dos condiciones a) y h):
a) ü, C e U ü + ü e U
b) Áe K, US U Áü e U
Esta.s condiciones a) y b) se pueden sustituir, ambas, por la condición c):
c) [ü, e e U y Á, f i e K] => Áü-¥ f i ü e V
Se dice que el vector Áü + fiC (para cualesquiera que sean los escalares A
y cs una combinación lineal de los vectores ü y ü.

125. s V E C T O R IA L E S 119
DEMOSTRACIÓN
• Es evidente que 1 => 2 ya que (/ # 0 , pues ó e /í, y las condiciones a) y b)
signitlcan que las operaciones de V son operaciones para U,
• También se cumple que 2 => 1, ya que para U se verifican entonces todos
los axiomas de espacio vectorial; en efecto: Las condiciones a) y h) significan
que las operaciones de V son operaciones para U. Los axiomas S .l, S.2, P .l,
P.2, P.3 y P.4 de espacio vectorial (ver [052]) se verifican en U, ya que se
verifican en V, El axioma S.3 se verifica ya que, como existe ÜqS U
y, por tanto, 0m„ e U, es decir, <5 e í/. Finalmente, también se verifica el
axioma S.4 ya que, si ü e í/, entonces (“ l)w € U, es decir, -w e U,
• Píu*a concluir, comprobemos que las dos condiciones á) y b) equivalen a la
condición c). Si se verifican a) y b), entonces Áil e U y jjlv e U (por a) y de
aquí se infiere que ÁU + fjLV e U (por b). Si se verifica c), tomando A = = l
se obtiene a) y tomando /¿ = 0 se obtiene b).
O B SER V A C IO N ES
1. El vector nulo ó pertenece a lodos los subespacios de un espacio V.
2. Un espacio veclorial V tiene como subespacios, entre otros posibles, al
conjunto 0 = [o]^ formado sólo por el vector nulo, que se llamará subes­
pacio nulo. El propio espacio V es un subespacio de sí mismo. Los demás
subespacios de V, distintos de O y V, se llaman subespacios propios.
E JE M P L O S
1. El conjunto (/ = ((x, y, z) e — 2y + 4z = 0) es un subespacio vecto­
rial del espacio
2. El conjunto de los polinomios complejos cuyo grado es menor o igual que
5 es un subespacio del espacio de los polinomios complejos.
3. El conjunto que forman las matrices reales simétricas de tamaño 7 x 7 es
un subespacio del espacio vectorial de las matrices reales de tamaño 7x7.
□ INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS
[055] La intersección de cualesquiera subespacios de un espacio vectorial V es,
a su vez, un subespacio de V.
DEMOSTRACIÓN
Llamemos í/ a la intersección y sea uno cualquiera de los subespacios que
se intersecan. Nótese en primer lugar que el vector nulo ó pertenece a todos
los Vi, luego d e U y entonces es (/ # 0 . Si m, iJ e (7 y para cualesquiera
escalares A y /x, como ü y v pertenecen a todos los U¡ y éstos son subespacios,
resulta que A/J + piV pertenece a todos los í/„ luego también es de (/, como
había que comprobar.

126. 120
ÁLGEBRA UNEAl
EJEMPLO
Sea V el espacio vectorial real de las funciones de R en R. Sea U^ el subespacio
de V que fonnan las funciones acotadas y su el subespacio de V que forman
las funciones polinómicas. La intersección t/, n (/, es un subespacio, que etti
fonnado por las funciones constantes.
OBSERVACIÓN
La unión de subespacios, de un espacio vectorial V, en general no es un sub­
espacio de V. Así, por ejemplo, en el espacio veciorial considérense los
subespacios t/, y siguientes:
U^ = {(x,0)eñ■/xeU] y t/j = |(0. y) 6 RVy e Rl
El conjunto no es subespacio ya que, por ejemplo, «, = (1, 0) y
«2 = (O, 1) son vectores de U^ U í/^ y, sin embargo, su suma ú, + Mj = (1, 1) no
pertenece a t/, U U^.
B
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
COMBINACIONES LINEALES
[0561
Sí S es un sistema de infmitos
vectores de un espacio V. se lla­
ma T(5) al conjunto de todas las
combinaciones lineales de cual­
quier cantidad finiui de vectores
de V. Se verifica que Y{S) cs un
subespacio de V; este subespacio
T(5) es el menor subespacio que
incluye a 5 y se llama subespa­
cio engendrado por S.
Definición.— Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K; sea S = (ü,,
^2» -M un sistema de vectores de V. Se llaman combinaciones
lineales de los vectores de 5 a los vectores
donde A,, Aj, ..., A^ son escalares cualesquiera (del cuerpo K).
Teorema.— El conjunto de todas las combinaciones de los vectores de 5
es un subespacio vectorial, que se llama subespacio engendrado por S y
se denota poniendo T (5 ) o
= {A,m, + Ajüj + ··· + ApKp/A,. e K para / = 1,2
.....p]
También se dice que S es un sistema generador de T(51. Este subespacio
Y{S) es el menor de todos los subespacios que incluyen a 5.
(*) S cs un conjunto de vectores dados en un cierto orden.
( ♦ · ) Este subespacio, que otros denotan poniendo <S> o (S], también se suele llamar
«envolvente lineal de S» o «clau.sura lineal de 5».
DEMOSTRACIÓN
• Veamos primero que T (5 ) es un subespacio, esto es, que si f, m eV (5)
también aü + ¡iw es de V(5) piu*a cualesquiera a, /3 e K. Así ocurre, ya que,
por la definición de V(iy), existen ciertos A^, /i. g AT (/ = 1, 2 ,p) tales que:

127. [057]
121
ü, vveY(5) => tJ= A , y >v = = í^
=> av-l· /3w = (ú?A, + + ··· + (aÁ^ + PfJip)üp =>
=> av + p w e Y{S)
• Todo subespacio que incluya a 5 ha de contener a las combinaciones lineales
de los vectores de 5, esto es, ha de incluir a y (5 ). Como, además, y ( 5 ) es
subespacio que incluye a 5, se concluye de todo ello que Y(.S) es el menor
subespacio que incluye a 5.
E JE M P L O S
1. En el espacio vectorial W , los vectores m = (l, 2, O, 0), y = (O, 3, —1,0)
y VV = (O, O, 5, 4) engendran el subespacio:
T (m, íj, vv) = {(A, 2A + 3/t, -/X 4- 5v, 4v)/A, /i, v e R)
2. En el espacio vectorial R[jc], de los polinomios reales con una indetermi­
nada JC, considérense los polinomios:
/7(jc)=l-jc : q ( x ) = \+ x ^ y r{x)==2x + x^
El subespacio vectorial engendrado por p(x), q{x) y r{x) está formado por
todos los polinomios siguientes (al variar or, y e IR):
apix) + 0q(x) + yr(x) = ( a + ¿8) + ( - a + 2y)x + {p + [I]
Nótese que dicho subespacio no es otro que el de los polinomios de grado
menor o igual que 2, ya que cualquiera de estos polinomios a + bx +
puede expresarse en la forma [I], sin más que tomar a = 2a \- b - 2 c ,
) 3 = - a - /? + 2cy y = a + b - c .
Q SISTEMAS EQUIVALENTES DE VECTORES
Sean S = (m„ Mj, .... ü ) y T = (ü,, tJj, ü^) dos sistemas de vectores de
un espacio vectorial V. Se dice que S y T son sistemas equivalentes si
engendran el mismo subespacio, 'V{S) = °V(T), esto es, si todo vector de
uno cualquiera de los sistemas S o T depende linealmente de los vectores
del otro. Esta relación (entre sistemas de vectores de V) es evidentemente
una equivalencia, es decir, es reflexiva, simétrica y transitiva.
E JE M P L O
Considérense los siguientes vectores de IR^:
á = ( l. O, 1) ; í=(0, 1, 1) ; c = (l, 1,2)
« = (2,1,3) y ü = (l, 2, 3)
Según se com prueba fácilmente los subespacios T (á , b, ^ y V(ü, e) son

128. 122
Á L G E B R A l in e a i
íguaIcSt y«i que ambos están formados por los vcctores (x, z) € R tales (|uc
x + y = Z . P o T tanto (ó, b, c ) y (m, ff) son sistemas equivalentes.
Q VECTORES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Se dice que unos ciertos vectores son linealmente dependientes si entre ellos
existe alguna relación de tipo lineal, es decir, si están ligados linealmente o,
más precisamente, si alguna combinación lineal de ellos (con coeficientes no
nulos) da como resultado el vector nulo. En caso contrario, los vectores se dirán
linealmente independientes.
[058]
Sea S un sistema de infinitos
vectores de un espacio vectorial.
Se dice que S es un sistema li­
nealmente independiente o libre
si son linealmente independien­
tes todos los subconjuntos finitos
de 5. Si alguno de estos subcon­
juntos es linealmente dependien­
te, se dice que S es linealmente
dependiente.
Sea 5 = (/7,,
.......ii^) un sistema de vectores de un espacio vectorial V
sobre un cuerpo K,
• Se dice que S es un sistema linealmente independiente o sistema libre
si la única combinación lineal de ellos que vale ó es la que tiene todos
sus coeficientes nulos; esto es, si
A, w, + A2W2 + ·*· - Ò
(A|, A2, ...» A^ G K)
A,=0, A3 = 0, ..., a = 0
• Se dice que S es un sistema linealmente dependiente o sistema ligado
si no es un sistema libre, esto es, si existen algunos escalares A,, Aj,
..., A^ no todos nulos tales que A,m, + AjWj +
Se dice que un vector depende linealmente de otros si aquél es igual a
una combinación lineal de éstos.
EJEM PLOS
1. En ñ \ los vectores w = (2, I, - 5 ) , t) = (1, - 4 , 2) y m> = (1, 2, - 4 ) forman
un sistema linealmente dependiente, ya que
2 (2. 1. - 5 ) - 1 ·(!, -4, 2)-3 (l, 2, - 4 ) = (O, O, 0)
es decir A« + (UtJ + viv = ó para A = 2, ^ = - 1 y v = - 3 que no son lodos
nulos.
2. En U \ los vectores ü = (l, O, 0), <?=(!, 1, 0) y >v = (l, I, 1) son líneal-
mente independientes. En efecto, la relación A« + /le + v»í· = ó equivale a
(A, O, 0) + (/t, /i. 0) + (v, V, V) = (O, O, 0) o sea ^
cuya única solución es la v = O, /x = O y A = 0.

129. VECTORIALES 123
3. En el espacio veclorial real R), de las funciones de R en R, el sistema
(sen X, cos x, sen (7r/4-^x)) es linealmente dependiente ya que, como
sen
(tt \ rr 1T yjl ^¡2
cos X -f cos -7 sen x — — cos x + — sen x
4 2 2
resulta que entre las tres funciones existe una combinación lineal de coe­
ficiente no nulo que es igual a la función nula:
y¡2 cos + >/2 sen J C — 2 sen (tt/2 + j c ) = O , V a* e R
OBSERVACIONES
• Si uno de los vectores de un sislema es el vector nulo, entonces el sistema
es linealmente dependiente.
• Si M ó, entonces el sistema S = (ü) es lineaimente independiente. Un siste­
ma (w, iJ), formado por dos vectores, es linealmente dependiente si y sólo si
uno de ellos es proporcional al otro.
• Si un sislema S de vectores es linealmenle dependiente, entonces también lo
es cualquier sistema que resulte de añadir algún vector a S.
• Si un sistema S de vectores es linealmente independiente, entonces también
lo es cualquier sistema que resulte de prescindir de alguno dc los vectores
de 5.
□ PROPIEDADES DE LA DEPENDENCIA
Y DE LA INDEPENDENCIA
1059) Se consideran aquí vectores de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K:
1. Un sistema de vectores S = (w,, Wj» ···♦ linealmenle dependiente
si y sólo si alguno de sus vectores depende lineaimente de los demás.
2. Si un vector w depende linealmente de los vectores w,, m,» ···» y
éstos dependen, a su vez, de otros vectores iT,, iJj» —» entonces vv
depende de estos últimos.
3. Dos sistemas de vectores 5 = (w„ Wj» .··, y 7 '= (iJp Dj, ...» t?p) son
equivalentes, o sea, y ( 5 ) = V(T), si y sólo si todo vector de uno de
los sistemas depende linealmente de los vectores del otro, y recípro­
camente.
4. Si 5 es un sistema linealmente independiente de vectores y es un
vector que no depende de los vectores de S, entonces el sistema
5U{i;) también es linealmente independiente.

130. Á L G E B R A LINEAL
DEMOSTRACIÓN
1. Si el sistema 5 es linealmente dependiente, entonces existen algunos esca­
lares A,, Aj, .... Ap no todos nulos (A, # O para algún i) tales que:
A,M, + AjMj + - + Aptt, = ó
Podemos suponer que es A, = O (intercambiando los subíndices 1 e /, si
fuera preciso), lo que nos permite poner:
luego uno de los vectores de 5, el w,, depende linealmente de los demás.
Recíprocamente, si uno de los vectores de 5, que podem os suponer que es
ú,, depende linealmente de los demás, rCvSulta que (para ciertos escalares
/I2,/xp ha de ser:
«1 = M2W2 + - + M A
luego,
( - 1)m, + /¿2W2 + = ó
Como este último primer coeficiente es —1^0, resulta que los vectores
de S son linealmente dependientes.
2. Se sabe que para ciertos escalares Aj, Aj, A^ se verifica que
w - A,w, + AjWj + + A M = X kfii
/-I
También se sabe que, para cada / = 1, 2 , p, existen ciertos escalares /i,.,,
M.71 ··*» tales que:
«i = + - + M //, = í M /y
De ello se deduce entonces que:
W > = í ( i
es decir,
M = ¿ a¡e,
y-i ‘

131. donde
», = I
luego u depende linealmente de los íJ,, Üj, v^.
3. Si T (5 ) = y (7 ), entonces todo vector de cualquiera de estos dos subespa­
cios, en particular los vectores que lo engendran, pertenecen también al
otro subespacio, o sea, dependen linealmente de los vectores que engendran
a este último, que es lo que se deseaba comprobar. Recíprocamente, si los
vectores de S dependen linealmente de los de T, como todo vector de y (5 )
depende linealmente de los vectores de 5, según la propiedad anterior
resulta que los vectores de V (5) depende linealmente de los vectores de T,
es decir, que Y(S)<zV{T). Como, además, se sabe que los vectores de T
dependen linealmente de los de 5, nos encontramos con que también se
verifica que T(7^ c Y (5 ). Por tanto, es V (5) = T (7 ), como había de probar.
4. Sea 5 = (m,, Wj, ..., Suponiendo que
Ají?, + A2M2 + *·* + \ü p + AttJ = ó
hay que probar que es = A, = A 2 = ··· = A^ = 0. Si fuese
resultaría que
- ^ 1«2 + ···· +
A \
_ ^
' \ M /
que es falso, pues v no depende linealmente de los á,, ¿2» Por tanto,
concluimos que ha de ser /a = O y, en consecuencia, se verifica que
A,W| + A2W2 “ ó
Ahora bien, como (w,, «2, es un sistema linealmente independiente,
de esta última relación se desprende que A, = Aj = ··· = A^ = O, con lo que
concluye la demostración.
□ TEOREMA FUNDAMENTAL
DE LA INDEPENDENCIA LINEAL
Sea V un espacio vectorial que está engendrado por un cierto sistema
G = (w,, Wj, M^), de un número finito p de vectores. Si / = (ü,, üj» ···>
üf) es un sistema independiente, formado por h vectores, entonces se
verifíca que h ^ p .

132. Á L G E B R A LINEAL
DEMOSTRACION
Vamos a proceder por reducción al absurdo: suponiendo que es p < h obten-
dremos una contradicción.
Por ser G un sistema generador de V, el vector iJ, e V se puede expresar
en la forma i?, = A,w, + donde alguno de los escalares A. es
no nulo ya que (pues tJ, € / e / es independiente) y podemos suponer,
pues, que es A, # 0; por tanto, de la anterior igualdad se puede despejar w,, que
resulta ser, así, combinación lineal de los ···» “p· ^ ~ («j. «2*
i¡3, ..., üp) es generador de V, de lo dicho se desprende que:
Gy — (^l, M2» W3, ..., Üp)
es generador de V. Por ser G, un sislema generador de V, el vector Ü2E V st
puede expresar en la forma = f^i^i + ^ 3^3 *'* los es­
calares /¿2» M3» ···» M/, pueden ser todos nulos, pues íJ, y Vj son independientes
(pues ambos son de /) y podemos suponer, pues, que es /Xj ^ 0; por tanlo, de
la anterior igualdad se puede despejiu· Wj» resulta ser, así, combinación
lineal de los tJ,, íj» ^3» ···» Como G, = (í,, «2^ M3, ..., m^) es generador de V,
de lo dicho se desprende que:
G2 = (y„ ^2» “3» — ^p)
es generador de V. Reiterando este proceso /? veces, se obtiene fmalmente que:
= .... í,)
cs generador de V. Por tanto, el vector que hemos supuesto que existe al
admitir que es h > p , ha de ser una combinación lineal de los vectores de G^,
lo cual no es posible debido a que / = (0,, tÍ2» ^3» ···» ^h) un sistema indepen­
diente. Esta contradicción obliga a desechar la relación p < h .
BASES. COORDENADAS
B
. ESPACIOS DE DIMENSIÓN FINITA
Nos vamos a ocupar aquí de aquellos espacios vectoriales que están generados
por un número finito de vectores, esto es, tales que todos sus vectores son
combinaciones lineales de un número finito de ellos. Estos espacios se llamarán
de dimensión finita aunque, de momento y hasta que hayamos definido lo que
es la dimensión, los llamaremos de tipo finito.
En un espacio vectorial de tipo finito, tienen especial interés aquellos
sistemas generadores que son, además, independientes; a ellos se los llama
bases. Todo vector del espacio se podrá poner de una única manera como
combinación lineal de los vectores de una base; a los coeficientes de esta
combinación se les llama coordenadas del vector dado.

133. ESPACIOS V E C T O R IA L E S 127
□ESPACIOS DE TIPO FINITO. BASES
[061]
Un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K, se dice que es de tipo finito
si está generado por un número finito de vectores, es decir, si en V existe
algún sistema de vectores 5 = (m„ w>, itp) tal que V = T(5).
Si V es de ripo finito, se dice que un sistema de vectores B = (c,, é j,..., éJ
es una base de V si se verifica una cualquiera de las dos condiciones
siguientes, que son equivalentes entre sí (como después se prueba):
1.“ Definición: B es un sistema generador de V que, además, es sistema
linealmente independiente.
2.^ Definición: todo vector de V se puede expresíu* de una sola manera
como combinación lineal de los vectores de B.
5c dice que un sistema S de in-
Initos vectores de un espacio V
;s una base infinita de este si 5
:s independiente y genera lodo
/. Esto es si: 1) cualquier sub-
:onjunlo finito de 5 es lineal-
ncnte independiente, y 2) cual·
|uier vector de V es una
:ombinación lineal de algún
¡ubconjunto finito de 5.
DEMOSTRACIÓN
a) Comprobaremos primeraracnie que 1=> 2 “. Como B es sistema generador
de V, todo vector v e Ves combinación lineal de los vectores de B\ veamos
que esta combinación es única. Supongamos que hubiera más de una:
ÍJ = A,C, + Á2Í2 + - + y V = + **· +
Restando miembro a miembro, se obtendría que:
(A , - /x ,)é , + (A2 - M2M2 + ·*· ( K ^
Como se ha supuesto que B es un sistema independiente, resulta que los
coeficientes de esta última combinación lineal son todos nulos, es decir,
será:
A, = /X,, Aj = “ /^n
Luego las dos expresiones iJ = 2 y tJ = X fjL¡é, son la misma, como había
que comprobar.
b) Veamos ahora que 2." 1 Como todo y e V es combinación lineal de
los vectores de este sistema B es generador de V. Comprobemos que B
es, también, independiente. Supongamos, para ello, que existieran ciertos
escalares A,, Aj, ..., A„ tales que
^ = A ,^·,+A 2^'2+- + A„£„
Si recurrimos a que, obvimente, se verifica que:
ó = Oé, + 0¿2 + *·· + Oé„
[I]
m i

134. Al g e b r a lineal
nos encontramos con que [I] y [II] son dos maneras de expresar el vector
ó como combinación lineal de los vectores de B\ por tanto, según nuestra
hipótesis ambas coinciden, es decir, se verifica que
A, = 0 , A2 = 0, A^ = 0
lo que permite asegurar que B es un sistema linealmente independiente.
EJEMPLOS
1. En el espacio vectorial (en el que K es el cuerpo de escalares), los n
vectores:
e, = (1, O, 0
......0), = (O, 1, O, ..., 0).......e„ = (O , O, 0 ........ 1)
forman una base, que se llama base canónica de IC\ Así ocurre, en efecto,
ya que B = (é„ e^
......O es:
• Sistema generador, puesto que cualquier vector jCj, x„) de Af" es
combinación lineal de los vectores de B, ya que:
(Xi. X2. Xn) = Xi(U O, ..., 0) + JC2(0, 1
......0) + +or,(0, O, ..., 1)
• Sislema independiente, ya que la relación A , + Aj^2 ****** *^
equivale a (A,, A2,A„) = (O, O ,..., 0); es decir, a A, = A, = ··· = A„ = 0.
2. En el espacio veclorial de las matrices reales de tamaño m x w, las
m * n siguientes matrices E¡j (para / = 1, 2, /w y 7 = 1, 2, n) forman
una base, siendo:
E¡j = matriz que liene nulos lodos sus elementos excepto el que ocupa el
lugar ij, que vale la unidad
En efecto: B = [E¡j/i 6 1, 2, ..., m; 7 = 1, 2, ..., n] es generador e indepen­
diente, pues:
• Cualquier matriz A = [a¡j] de es combinación lineal de las matrices
de B, ya que
m n
A = [a¡j] = X Z a.E.
/-ly-i
• La única combinación lineal nula de las matrices E^ cs la que tiene todos
los coeficientes nulos, ya que:
Í Í a,^£^ = 0 = ► [A,J = 0
=> A^ = 0 (1= 1, 2, ..., m\ j = 1, 2, n)

135. D R IA LE S 129
A esta base {E^y//- 1, 2 ,m \j =1,2,..., ;i) la llamaremos base usual
de
3. En el espacio vectorial V de los polinomios reales de grado menor o igual
que n (con una indeterminada jc), el siguiente sistema fí de /i + 1 polino­
mios es una base:
... O
Así ocurre ya que B es independiente y genera todo V, como se comprueba
trivialmente. A esta base B la llamaremos base usual del espacio vectorial
de los polinomios de grado menor o igual que «.
□EXISTENCIA DE BASES
[062]
Cualquier sistema generador de un espacio vectorial de tipo finito, V O,
incluye a una base de V. En consecuencia, todo espacio vectorial V O
de tipo finito tiene alguna base.
DEMOSTRACIÓN
Sea G = (M|, Mj» · ·» sistema finito de vectores que engendre a V;
un tal sistema G existe ya que V es un espacio de tipo finito. Si los vectores
de G son linealmente independientes, entonces G es base de V y el teorema es
cierto. De no ser así, alguno de los vectores de G depende linealmente de los
demás; si es m, dicho vector, el sistema (7'^ = G — {mJ engendra también al
espacio V. Si (7'^ fuese linealmente independiente, entonces sería una base de
V y el teorema se cumpliría. Si (7*^ fuese linealmente dependiente, procediendo
como ya se hizo con G, se obtiene un nuevo sistema (7*^ = — {«7^) que es
generador de V. Al reiterar este proceso, obteniendo así sucesivos sistemas G,
G*’\ ..., llega un momento en el que se obtiene una base de V y ello
ocurre antes de llegar a un sistema pues si se llegase (en el peor de los
casos) a un como este sistema tendría un solo vector, y generaría todo
V ^ O, dicho vector no podría ser nulo, luego sería base de V.
TEOREMA DE LA DIMENSION
[063] Todas las bases de un espacio vectorial K O, de tipo finito, tienen igual
número de vectores. A esle número se le llama dimensión dcl espacio V
y se le representa poniendo dim V
Se conviene en que el espacio V = O tiene dimensión O,
( * ) Una vez que hemos llegado a defmir lo que es la dimensión en los espacios de tipo
fmiio, a estos espacios los llamaremos en adelante «de dimensión finita».

136. ÁLGEBRA UNEAL
[064]
DEMOSTRACION
Hay que probar que para cualesquiera que sean las bases B y B' át
el número de elementos de 5 y w' es el número de elementos de B ', se verifica
que n - n \ En efecto:
Como B es un sistema generador ác V y B' es un sistema independiente,
del teorema fundamental de la independencia lineal se desprende que n'^n.
Intercambiando ahora los papeles de fi y B \ se obtiene análogamente que
n ^ n \ Por tanto, ha de ser n =
QPROPIEDADES DE LAS BASES Y LA DIMENSION
Si 5 = (M|, Üj, üp) es un sistema de vectores de un espacio vectorial V
de dimensión finita, entonces se verifica que:
1. Si 5 = (w,» üp) es un sistema generador de V, entonces p ^ dim V,
2. Si 5 = (i7,, wp es un sistema independiente, entonces p < dim V,
3. Si 5 = (Wp M ) es generador de K y dim V = p, entonces S es base
de V.
4. Si 5 = (/7p üp) es independiente y dim V = p, entonces S es base
de V.
DEMOSTRACION
1. Sabemos que 5, por ser un sistema generador de V, incluye a una base dc
V y, por ello, la dimensión de V, que es el número de vectores de una base,
no puede ser mayor que el número p de vectores de 5, es decir, ha de ser
dim V ^ p ,
2. Recurramos a que una base fi de V es un sistema independiente. Según cl
teorema fundamental de la independencia lineal (véase [060]), como S es
generador y fi es independiente, el número p de vectores de 5 es menor o
igual que el número de vectores de fi, o sea, ha de ser p ^ dim V.
3. Como S es un sistema generador de V, sabemos que S incluye a una base
de V; una tal base debe de ser todo 5, ya que el número de vectores de
cualquier base es dim V, que es igual al número p de vectores que tiene 5.
4. Supongamos que S no es base, es decir, que no genera todo V. Habría
entonces un vector independiente de S y, por ello, 5 ' = 5U ) sería
un sistema independiente. De ser así y de acuerdo con la propiedad 2,
como 5' es independiente y tiene p 1 vectores, se verificaría que
p + I ^ dim K, que es falso dado que p = dim V. Esta contradicción prueba
que 5 es base de V,
O BSERV A C IO N ES
l. La dimensión de un espacio vectorial V es el número máximo de vectoiies
de V linealmente independientes.

137. VECTORIALES 131
2. La dimensión de un espacio vectorial V es el número mínimo de vectores
de un sistema generador de V.
TEOREMA DE LA BASE INCOMPLETA
[0651
En un espacio vectorial V de dimensión finita, todo sistema linealmente
independiente de vectores puede completarse hasta obtener una base.
Dicho con mayor precisión:
Si V es un espacio vectorial de dimensión finita ;i y si S = (m,, Mj» —»
es un sistema independiente de p vectores de V, donde p < n , entonces
es posible encontrar (mejor dicho, existe) algún sistema 5' de r i - p
vectores de V, tal que SUS* sea una base de V, Es más, los vectores de
5' se pueden tomar de entre los de una base dada cualquiera fí = (e,,
...> e j de V.
DEMOSTRACION
Obviamente, esta proposición se habrá comprobado en su totalidad si se prueba
que, dada la base fí = (^i, éj, é J , los vectores de S' se pueden elegir de
entre los de fí. Veamos si esto es cierto.
En fí hay algún vector é¡ que no depende linealmente de 5, pues de lo
contrario, como fí es generador de V, también lo sería S y esto es falso ya que
p < n. El sistema SU de /; + l vectores es, pues, linealmente independiente.
Si /7+ l = este sistema es base y la propiedad queda probada; si
/? + 1 < «, el proceso continúa.
En fí — [é¡] hay algún vector ij que no depende linealmente de 5U {é,} pues
de lo contrario, como fí es generador de V, también lo sería SU {e,} y esto es
falso ya que p + \< n . El sistema SU{é¿, éj] de p + 2 vectores es, pues,
linealmente independiente. S\ p + 2 = n, este sistema S U (é,, éj] es base y la
propiedad queda probada; si p + 2 < n, el proceso continúa.
Al cabo ác n - p etapas, este camino desemboca en el sistema SUS' que
se buscaba.
EJEMPLO
En el espacio vectorial los vectores á = (l, - l , 2) y ¿ = (0, l, - 2 ) son
linealmente independientes y, por ello, es seguro que hay algún vector c e W
tal que (ó, 6, c) es una base. Es más, el vector c, que se puede elegir de muchas
maneras, puede ser, en particular, uno de los tres vectores de la base canónica
(o también de cualquier otra base), que son los ^,=(1,0, 0), 6 2 = (O, l, 0) y
^3 = (O, O, 1). Nótese que c no puede ser ya que es combinación lineal
de fl y pues e, = ó + í . Sin embargo, sí puede tomarse c = ¿ 2 P4?s, segiin
resulta fácil comprobar, ¿ 2 es linealmente independiente de los á y b.

138. 12
Á L G E B R A LINEAL
□ DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO
[066] Si U es un subespacio de un espacio veclorial V y si V tiene dimensión
finita, entonces U también tiene dimensión finita y se verifica que
dim dim V, donde el signo = sólo es válido en el caso de ser U - V ,
DEMOSTRACION
Si í / = (9 la propiedad es evidente; se supondrá, pues, que U tiene algún vector
no nulo. En U hay sistemas independientes y lodos ellos tienen no más de
n = dim V vectores» ya que dichos sistem as lo son de vectores independientes
de V. Si m es el número m áxim o de vectores que resultan tener tales siste­
mas, es m = dim V, Como, según se ha dicho, es m ^ tu se concluye que
dim U^ dim V. Para que sea dim ü = dim V, esto es, m = dim V, es necesario
y suficiente que U incluya a un sistem a independiente (de ru vectores) que sea
base de V, o sea, que U — V.
m
COORDENADAS
Lo que hace del concepto de base algo realmente útil es que, recurriendo a una
de ellas, cualquier vector queda identificado mediante los coeficientes de la
única combinación lineal que lo expresa en función de los vectores de aquélla.
A estos coeficientes se les llama coordenadas. En un espacio de dimensión
finita, si se dispone de una base, conocer un vector viene a ser lo mismo que
conocer sus coordenadas.
Í067I
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, sobre un cuerpo K. Dada
una base B = (é,, .... é„) de V, se sabe que para cada vector jF e V
existen unos únicos escalares x^,
.....K tales que:
x = x,i,+ x 2 é 2 + -+ x „ e „ (I)
Pues bien, se dice que la n-upla o sucesión de n escalares (j;,, x-¡, ..., x„)
es el sistema de coordenadas del vector x en la base B. Cuando se
sobreentiende cuál es la base B que se considera, para señalar que jk,, x^,
.... x„ son las coordenadas^*’ de x, en lugar dc recurrir a la expresión (1),
se suele poner:
x(xy, JCj, .... x„) o abreviadamente jf(jc,.)
(*) Se llaman «componentes» dc! vector i respecto dc la base 0 a los n vectore.s x^fy
**'* X/fn'

139. VECTORIALES 133
EJEMPLO
Los vectores ü, = (1. O, 0), «j = (1. 1, 0) y «, = (1, 1, 1) forman una base de
0?’, según se comprueba fácilmente. En esta base, las coordenadas de un vector
V = (jc, y, z) son los escalares x - y, y - z, z, ym que:
(jc-y)ÍJ, + Cv-z)«2 + ZMj = [ac-y].(l,0,0) + [)--z]-(l, 1,0)+ z d . I, D =
= (jr - >- + y - z + z, y - z + z, z) = ( JC , y, z) = (jt, >-, z) = t)
j ISOMORFISMO DE COORDENADAS
Vamos a estudiar con algún detalle la aplicación biyectiva que a cada vector Jc,
de un espacio V de dimensión finita n, le asocia la n-upla (jc„ .... de sus
coordenadas, que es un vector del espacio vectorial K* (donde K es el cuerpo de
escalares).
Esta aplicación biyectiva es especialmente intei^sante ya que permite «iden-
tificaD> cada vector x e V con su sistema de coordenadas (;c,, JCj,.... x J e ÍC. Esto
de identificar significa que, prescindiendo de la naturaleza concreta de los vec­
tores de V y salvo cuestiones de notación, no hay nada que diferencie a los
vectores de V de los de /T", de modo que, desde el punto de vista del álgebra,
X y (.r,, X2, ..., x J pueden considerarse como una misma cosa. Esto último
significa que si se opera (suma y producto por escalar) con unos ciertos vectores
de V y se hace luego lo mismo con sus sistemas de coordenadas, el vector que
se obtiene al principio tiene por coordenadas al resultado de la segunda opera­
ción. Para expresar este hecho, se dirá que V y K" son espacios vectoriales
isomorfos. Precisemos ya lo hasta aquí dicho:
[O6 8J Sea V un espacio vectorial de dimensión /i, sobre un cuerpo A'. Dada una
base i? = (^,, ···» é„) de V, se considera la aplicación «COOR», que a
cada vector le asocia su sistema de coordenadas; esto es:
X COOR X = (JC„ X2» ···» Xn)
(x. es la coordenada de lugar i (para / = 1, 2, n) de x en la base dada B).
Esta aplicación es «lineal» para la suma y para el producto por un escalar,
esto es, tal que, para cualesquiera J c, y e V y A, e /í, se verifica:
COOR (Áx -f /xy) = A (COOR a") + /x (COOR y)
Hay que notar que la aplicación recíproca de la COOR también es
biyectiva y lineal. Por todo ello, se dice que la aplicación COOR es un
isomorfismo (biyectiva y lineal) del espacio V en el IC\ También se dice
que V y fC' son espacios isornorfos^*^ o identificables.
( ♦ ) De ISO, igual, y morfo, forma.

140. DEMOSTRACIÓN
De acuerdo con la definición de la aplicación COOR, se tiene;
si COOR .f = (j:„ Xt.
......jc„), entonces i = + JC/2 ''" ■·+ = S
si COOR y = Cy,. >1, .... y„). entonces y = y^é^ + + ... +
De ello resulta que el vector Ajc + / i y se expresará en la forma:
__________________________________________ Aujebra i
Ax + /iiy = A
' n / n \ n
I x^i + M S yÁ = I (Ax, +
,/-! / \i- i /
luego la coordenada /-ésima de Ax + es Ax, + fiy·,, con lo que se obtiene-
COOR (Ax + y.y) = (Ax, + ny^, Ax^ + ¡xy^
......Ax„ + /xyj =
= A(x„ Xj, .... x„) + /xCy„ )»2. ···> }'„) = A (COOR x) + (COOR y)
Para acabar, comprobemos que la aplicación recíproca de COOR que de­
notaremos por V, también es lineal, esto es, que:
/(A x* + Mí'*) = A/(x*) + Mfiy*)
para cualesquiera x*, y* e K" y fi e K. Como COOR es biyectiva, la anterior í
igualdad es equivalente a la
COOR lf{Áx* + fiy*)] = COOR [A/(x*) + fifiy*)]
Teniendo en cuenta que la composición de COOR y / es la identidad y que
COOR es lineal, la anterior igualdad equivale a la:
Ax* + /iy* = A COOR [/(x*)] + fi COOR [f(y*)] = Ax* + ¡xy*
que es evidentemente cierta.
□CAMBIO DE COORDENADAS
Si se dispone de dos bases B y B* en un mismo espacio vectorial V, cada vector
Jt € V tendrá dos sistemas de coordenadas, uno respecto de cada base. Si se
conoce una base respecto de la otra, va a ser posible relacionar unas coorde­
nadas con otras; las relaciones que ligan a los dos sistemas de coordenadas se
llaman «ecuaciones del cambio de coordenadas». Así, por ejemplo, si (é,, íj)
es una base de el vector ü = expresarle en la base que forman
los vectores cJ = é, -I- éj y éj, queda:
« = •*1 í(c¡ +éj) + X2 j(c¡ - ¿2) = ^ ! - ^ é\ Y ' e’i
esto es, las nuevas coordenadas de ü son {(Xy +X2) y 5^, - a^).

141. DRIALES 135
[069J
Sea V un espacio vectorial de dimensión n, sobre un cuerpo K. Sea
B = (C|, é j
......é„) una base de V, en la que el sistema de coordenadas de
un vector í e V se denota por (.r„ ... jc„). Sea B' = (é¡, éj, .... una
nueva base de V, en la que cl sistema de coordenadas de jf es (a‘ ¡ , Xj. ..., .v,';).
Si se conocen los vectores de 8' en función de los de B, es decir, si se
conocen los escalares q¡j que permiten poner:
n
é] = S <7/, (para ; = 1. 2, ..., n)
i-i
O sea:
(I)
entonces el sistema dc coordenadas (j:,, ;r,
.......jt,) valdrá, en función del
(X|, Xj» ····
o sea:
x¡ - X <i^'j (para »=1,2, .... n)
(II)
.·*, = (¡.A + (¡nA + - + 9 „ X
Estas ecuaciones (II) pueden expresarse matrícialmente poniendo:
'x>' <7ii9|2 ··· </l»
X = QX', donde X =
•*2
X' = Q =
921922 · ■· 92-
Ji-I9„2 ··· 9 „ « .
Q se llama «matriz del cambio de coordenadas»*** y es una matriz regular
o invertible; .su matriz inversa es la matriz del cambio dc coordenadas
inverso, esto es, del que se obtiene al pasar de la base B' a la base B.
( * ) La matriz Q es la que gobierna en las ecuaciones (II), que matriciulmente son
X - QX\ En la relación (T) gobierna la matriz Q\ traspuesta dc Q\ a la matriz Q* se la
suele llamar matriz del cambio dc base. Nótese que no sería correcto expresar las relaciones
( I) de forma matricial. pues para poderlo hacer habría que recurrir a algo que no se define:
matrices columna cuyos elementos fueran los vectores y cosa ésta que carece de
sentido, ya que los elementos dc cualquier matriz son escalares y no vectores.

142. El vector genérico í e V se expresa, en una y cua base, en la forma:
n n
í-i y-i
De la segunda de estas relaciones y de las ecuaciones (I), se obtiene:
DEMOSTRACIÓN
(A)
x - % x'¡e¡ = % x'¡
j - l J - l \f=l u-i V*‘ /
Esta relación informa de que ^x'jC¡¡j es la coordenada de lugar / de x en la
base B, o sea, que es igual a x¡ (véase la primera de las dos relaciones (A))\
luego
n
X¡ (para / = 1, 2, ...» n)
Supongamos ahora que cambiamos nuevamente de base, pasando de la base
B' a la base B de partida; llamando P a la matriz de este cambio de coorde­
nadas, se verifica que X' = PX, Combinando esta relación con la anterior
X = QX\ se obtiene que:
X = Q X ' = (QP)X y X' = PX-={PQ)X'
Como estas relaciones son ciertas para cualesquiera matrices columna X y
X \ resulta que QP - 1 y PQ = I, es decir P y Q son la una inversa de la otra
y, consecuentemente, son regulares.
EJERCICIO
Hallar las coordenadas del vector ü = (jc, y, z) e W en la base B' = {é\, éJ),
donde
= (1,2,0) ; éí = ( - 3 , - 7 , 1) ; ^ '= ( 0 , - 2 , 1)
RESOLUCIÓN
Al expresar los vectores de B' en la base canónica B = (^,, se obtiene
lo señalado en (I). Por tanto, llamando jc,, y jCj a las coordenadas pedidas se
verificará lo señalado en (II):
(H)
■e|= ~x~'1 - 3 0 '
(1) ·S '^ = -^ e ^ -l€ 2 + e„y
=
2 - 7 - 2
- 2 ¿j + C3 .z ..0 1 i_
-Xi.

143. 35 V E C T O R IA L E S 137
De este último sistema despejamos jr,, jtj y Jt,. para lo que basUrá con hallar
su matriz inversa; haciendo esto, se obtiene:
'-« r■ -5 3 6 ' x ' x, = - 5 x + 3y + 6z
=- 2 1 2
yo sea 'Xj=-2jt+ y + 2z
-Jfj.. 2 - 1 - i __z_ .jf3= 2 x - y - z
RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES
Cuando hablamos del rango por primera vez (véase [015]) lo hicimos sólo para
el caso de vectores de R” y no se pudo dar una definición plenamente satis­
factoria de él, ya que no conocíamos, entonces, nada ni de las bases ni de la
dimensión. Vamos ahora a completar lo dicho entonces.
[070]
Se llama rango de un sistema S = (w,, de un número finito de
vectores de un cierto espacio, a la dimensión del subespacio que engendra
5; el rango se denota poniendo rang 5, de modo que:
rang 5 = dim [T(5)]
El rango de S es, pues, el mayor número de vectores linealmente inde­
pendientes que hay en S.
O B SE R V A C IO N E S
1. Un sistema de vectores 5 = (w,, üj, üp) es linealmente independiente si
y sólo si su rango es igual al número p de vectores que lo forman.
2. En un espacio vectorial de dimensión finita n, un sistema de vectores es
generador si y sólo si su rango es n.
J CÁLCULO DEL RANGO
Anteriormente, cuando se estudió el rango en el caso de los vectores de n
componentes (véase [015] y [016]), se obtuvo un método práctico para hallarlo,
recurriendo a las operaciones elementales. Vamos a ver aquí que calcular el
rango de un sistema de p vectores de un espacio vectorial de dimensión n, se
reduce a calcular el rango de sus p n-uplns de coordenadas, que son p vectores
de n componentes, ya que uno y otro rango son iguales.

144. Á L G E B R A UNEAi.
Í0711 Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, que tiene dimensión n\
en V se adopta una base B, Dado un sistema finito 5 = (w,, ü^) de
vectores de V y si S* - («,*
......w*) es el correspondiente gistema de
sus ;j-uplas de coordenadas (vectores de AT"), se verifica que:
1. + + +
2. rang S = rang 5*.
DEMOSTRACION
1. Nótese que» para cualquiera que sea el vector ^ e V» se ha denotado por x*
al vector J c * = COOR .í» donde COOR es el isomorfismo de coordenadas,
de V en Af* (véase [068])» y que, por tanto (por ser COOR lineal):
(A,í7, + + A ^ ) * = KfiT + + .·* +
Nótese, también» que las coordenadas de x e (vector cualquiera) en la
base B son las mismas que las coordenadas de j c* e AT" en la base canóni­
ca. En particular, los vectores S A,w, y 1 A,m¿* (para i = l, 2, ...»p) tienen
las mismas coordenadas, respecto de las referidas bases. La coordenada
/i-ésima (para /? = I, 2» ...» n) de estos dos vectores vale 2 (se suma
para / = 1» 2» ...» p\ u¡,, es la coordenada /i-ésima de i¡¡). Resulta entonces
que tanto la condición 2 Áfi¡ = ó como la S Áfi^ = ó son, ambas, equiva­
lentes a las n relaciones X A,w,^ = O y, por ello, son equivalentes entre sí»
como había que comprobar.
2. Según se acaba de probar, entre los vectores de S hay las mismas relaciones
de dependencia lineal que entre los vectores de 5*. De ahí que unos ciertos
vectores de S son linealmente independientes si y sólo si lo son los corres­
pondientes vectores de 5* y, por ello, S y S* tienen el mismo rango.
EJEM PLO
En el espacio vectorial ^ ^3, de las matrices reales de tamaño 2x3, conside­
remos el sistema 5 = (Af,, AÍfj, M^, M^), formado por las cuatro matrices:
Af,=
Echando mano de la base usual de ^2x3’ vectores de ctwdenadas
de las matrices dadas son, respectivamente
■| 0 0' 2 - 1 0' ■3 1 2 0 3 2
2 1 - 1
A#2-
3 0 1 4 2 0
A /,=
0 3 - 3
iJ, = (l, O, O, 2, 1, - 1 )
í73 = (3, 1» 2, 4» 2» 0)
íJ2 = (2» - 1 , 0» 3, O, 1)
^4 = (O, 3, 2, O, 3, - 3 )
El rango del sistema dado S es igual al rango de S* = (r,, is, t \ i\). El

145. ¡V E C T O R IA L E S 139
rango de este sistema, de vectores de R‘, lo calcularemos recurriendo a las
operaciones elementales:
rang
= rang
*1 002l
2- l030
5* =rang
3 l242
0 32 03
"1 0 0 2 1- l '
0- 10- l- 2 3
0 l2 - 2 - 1 3
0 32 0 3-3_
_
1 0 0 2 1-1*
0- 10- 1- 2 3
0 0 2 - 3 - 3 6
0 0 2 - 3 - 3 6
/2 .‘ — 2 . * - 2 ·
\3 .“^ 3 . " - 3 · 1.“^
/3.·— 3." + 2."
^4.·— 4.· + 3 .2 .“
SUMA DE SUBESPACIOS
SUMA Y SUMA DIRKCTA
Según ya vimos ímteriormenle (véase 1055)). dados dos subespacios y Uj.
de un cierto espacio vectorial V, el subconjunto O (/j de V es un subespacio
de V y, además. í/jOL/j es el subespacio mayor de cuantos están incluidos en
í/, y en U2· Sin embargo, el subconjunto í/, U Uj no es. en general, un subes­
pacio de V (véase [0551). Así, pues, aunque í/, Uí/j es el menor de todos los
subconjuntos de V que incluyen a í/, y a í/j» como no es subespacio, no será
el menor de entre los subespacios que incluyen a í/, y a 6/2· en lo
que sigue nos vamos a ocupar de dicho subespacio mínimo, que existe, al que
se llamará suma de los subespacios <7, y í/2 y denota por -f ¿/j.
SUMA DE DOS SUBESPACIOS
[072] Sean (/, y U2 dos subespacios, de un espacio vectorial V. Se llama suma
de U^ y U2 al conjunto, que se denota poniendo í/, + í/2» defmido me­
diante
Este conjunto es un subespacio de V; es más, se trata del menor de todos
los subespacios de V que contienen a (/, y a í/j·

146. Á L G E B R A LINEAL
DEMOSTRACIÓN
El subconjunto í/, + í/j es subespacio ya que, si m y t; son de Vi y para
cualesquiera escalares Á y /jl, como w = m, + y íT = y, + tJj para ciertos
t?, 6 (/, y lí,» ^2 ^ ^2» resulta que
Áü-l· f i v - (Aw, + /ly,) + (Aíí2 + M^2) e í/, + í/2
pues Am, + /LtíJ, e f/, y Awj + ^ ^2·
Todo vector u, e í/, es de la suma t/, + í/2» puede poner
M, = <7, + o con o € ¿/j; por tanto, t/j. Análogamente, también
í / j c í / , + (/j. Para acabar, hemos de comprobar que si iJ es un subespacio la!
que (/, c t/ y t/jC í/, entonces + í / j c L/; esto es así, ya que:
/7 e ¿7, + ^2
i7 = z7, + W2
Mj 6 {/,, «2 G í/2
M = í7, + ¿2
í7,, «2 e í/
í7e í /
SUMA DE VARIOS SUBESPACIOS
(0731
wSean í/,. í/j» ···» subespacios, de un espacio vectorial V. Se llama suma
de estos subespacios al siguiente conjunto de vectores:
X í/, S í/, + í/j + ... + í/^ * {Ki + üj + ... + ajü, e U¡ píiTd i = 1, 2,..., p)
Este conjunto es un subespacio de V; es más, se trata del menor de todos
los subespacios de V que contienen a todos los t/, (/ = 1, 2, p).
DEMOSTRACION
Siguiendo los mismos pasos de la demostración anterior, se comprueba trivial­
mente la veracidad de cuanto se acaba de decir. Así, por ejemplo, para ver que
'1 U¡ (/ = 1, 2, ..., p) es un subespacio, se tiene:
fü, v s l U ,
^A, ¡JL escalares^
ÍM = Slí,., V = lV i
> ( í = 1. 2
.......p)
^A, /t escalares
Aí7 + /LtiJ = X (Aw, + ^
^Am,. + /xí;¿g U, ( / = i, 2, ..., p)j
\ü-\- fiv e 'lU f
EJEMPLOS
L En el espacio vectorial V = W , consideremos los subespacios
í/, = {(a, A O , 0)/a, )SeR) y í/^ = {(O, A, 0 )/A ,/i 6 R)

147. V E C TO R IA LE S 141
La suma de estos dos subespacios está formada por los vectores
(üf, -f A, /X-, 0) para a, fi, Á y recorriendo IR. Resulta entonces evidente
que dicha suma es:
^1 ^2 = y, z, 0)/x, y, z e R)
Obsérvese que cualquier vector de la suma se puede obtener, como suma
de un vector de i7, y otro de l/j* de muchas maneras; así, por ejemplo:
(2, 3, - 1 , 0) = (2, 13. O, 0) 4- (O, A, - 1, 0)
para cualesquiera /3, A e R tales que + A = 3.
2. En el mismo espacio V=IR^, consideremos ahora los subespacios:
(/; = {(«, 0,0, 0)/aeR) y (/^ = {(O, A,/i, 0 )/A ,/i e R)
La suma U[ + Uj es, evidentemente:
+ ^2 = Z, 0)/x, y, z e R)
que es la misma que en el caso anterior. Entre estos dos ejemplos hay una
notable diferencia: contrariamente a lo que ocurría antes, cualquier vector
de la suma U[ + C/j se puede expresar de una única manera como suma de
un vector de U[ y otro de í/,; esta descomposición es la:
(X , y, z, 0) = (x. O, O, 0) + (O, y, z, 0)
Pues bien, cuando, como aquí, la descomposición sea única, la suma de
subespacios se llama suma directa.
SUMA DIRECTA
[0741
Sean í/,, í/,
.......Up subespacios de un espacio vectorial V.
Deñnición.— Se dice que í/,, í/^ ,.... son subespacios independientes o
que t/, + í/j + - + í/p es una suma directa de subespacios y se la escribe
en la forma í/, ® í/j ® — ® si cualquier vector dc dicha suma de
subespacios puede expresarse dc una única forma como suma de vectores
dc í/,. í/,, .... t/,; esto es, si:
«, + ««, + - + M, = « ; + «2 + - + « ;
K„ «; e U, para / = i, 2, p
Caracterización.— La suma í/, + í/j + ··· + í/, es directa si y sólo si
=> ü¡ = d (para/= I, 2, .... p) (11)
«, + «2 +• + «p = ó
a, e U¡ ( i = h 2, ..., p)

148. 1. Veamos que (I) implica (II). La relación w, + Wj + — + = ó se puede
expresar en la forma:
í7i + «2
------h = <5 + ó H------f- ó donde ü¡ e í/^· y ó 6
y entonces, aplicando (I) a este caso en el que ü\ = ó, obtenemos que «, = ò
para / = 1, 2, ..., p. como había que probar.
2. Veamos ahora que (II) implica (I). Si se verifica que X w,. = S ü\ con
ü\ e (para / = 1, 2, ..., p \ se verificará también que S (m- - ú\) = ó con
ü¡ - ü¡ 6 Ui (para / = 1, 2, ..., p) y entonces, aplicando (I) a este caso, se
concluye que w, - m,' = ¿>, o sea u¡ = para / = 1, 2, ..., p, como había que
comprobar.
DEMOSTRACION
E J E R C I C I O
Comprobar que si la suma de varios subespacios es directa, entonces también
es directa la suma de algunos (cualesquiera) de ellos. Esto es:
í/, + - + { / , + - + í/^\ ^ / t / . +
\ es directa
p
es suma directa
RESOLUCIÓN
Hay que comprobar que, si ¿7,
------l· m,, = o para ciertas m, e ..., üf^ 6 í/„,
entonces es w, = - = ü^ = ó. Así ocurre, ya que com o la suma de todos, los p,
subespacios es directa, se verifica que:
w, H— + ó + —l· d = o
\üi e í / „ . . . . e u j \ m , 6 í / „ . . . . U f c e C / * . ó e
...... 5 e U j
w, = Ó, ..., ü^ = ó, d = ó, ..., ó = ó
E J E M P L O
Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales (con una indeterminada jc).
Sean í/, y í/j subespacios:
(/, = {p(x) e V/p( 1) = p ( - 1) = 0) = (c(jc)(x^ - 1 )/c(x) e V}
U2 = {polinomios de grado menor que 2} = {o + bx/a, h b U ]
(nótese que los polinomios p(x) tales que p (l) = 0 y /?(—1) = 0 son los divisi­
bles por X — \ y por jc + 1, es decir, los de la forma c(jc) (a* ~ 1 ) (a· + 1), donde

149. )S VECTORIALES 143
cU ) es un polinomio). La suma Í7, -f L/j es todo el espacio V ya que cualquier
polinomio p(x) e V se puede poner en la forma
p(x) = c(x)(x^- l) + (a ^b x )
donde c(x) y a + bx son el cociente y el resto de la división de p(x) entre x ^ - 1,
Como esta división conduce a unos únicos cociente y resto, la anterior descom­
posición es única y, por ello, la suma í/, + Uj es directa.
i SUMA DIRECTA DE DOS SUBESPACIOS
Además de particularizar, para el caso /? = 2, lo ya dicho para la suma de p
subespacios, estudiaremos aquí una caracterización típica de la suma directa de
dos subespacios, que no es válida para p > 2 .
[075]
Sean (/, y IJj dos subespacios de un espacio vectorial V. De acuerdo con
la definición general, í/, + Uj será surm directa, lo que se denota po­
niendo í/, ® ¿/j, si se verifica una cualquiera de las dos condiciones
siguientes (I) o (II), equivalentes entre sí:
w, -f «2 = «[ + => [w, = w¡ y ¿2 = ^ ]
í7, + Wj = ó => í7, = «2 = ^
(donde m,, e (/, y e
(I)
ín>
Los subespacios y b \ son independientes si y sólo si su intersección es
nula; esto es:
[U .nU ^^O ] (IID
DEMOSTRACION
La equivalencia de (I) y (II) ya se probó en [074]; probemos la (III):
1. Comprobemos la implicación viendo que (si í/, + directa), de ser
M 6 í/, n í/ji se verifica que ü - ó . Como ü + {-ü) = o y ü e y - ü e Uj,
de la condición (II) se deduce que ü = d, como había que comprobar.
2. Comprobemos la implicación <= viendo que (si (/, O í /2 “ ^)» ser
Ü2 = d con Q, e (/, y «2 s ^2^ se verifica que w, = Ü2 = o. Así ocurre,
ya que como w, = - ü j donde m, e í/, y -M j ^ ^2» resulta que «, y son,
ambos de í/, y de í/2» luego ¿7, y son nulos por pertenecer a — O,
O B SE R V A C IO N
Up es directa, entonces la inter-Si la suma de varios subespacios í/j, U2,
sección de cada dos de ellos es nula, U ^nU j- O para / ^7, pero el recíproco
es falso (en general). En efecto:

150. Algebra lineai
• Si la suma + ··' + í/^ cs dirccca. entonces tam bién lo son todas
las sumas U, para i ^ j (con i, j = K 2. p) y, según se acaba de
oocnpa>bar, de ello se deduce que (/¿O = O.
• Sí U ^n U ,-O para cualesquiera i ^7. puede ocurrir sin em bargo que la
suma ÍA + — no sea directa. Así ocurre» por ejemplo, en el
espacio vectorial R \ con los siguientes subespacit>s í/,, U2 y Vy
í/, = lía. fi, 0)/a, f i e R í ; í/> = |(0 . O, y)/y e R )
A, A ) /A € R )
Es evidente que U^nU^ » V^nU^ = t / » n í / , = y que í/, + í/2 + ¿Z, no
es directa por no ser única la descompi>sición üe un veccor de dicha suma:
(o, P. 0) ^ (O, 0, y) + (A. A, A) = ( « -f /i, /í + h. O) + (O. O, y + /r) +
+ (A - /i, A - /f, A - /i)
J SI MA DE SI BESPACIOS UNIDIMENSIONALES
(«761 Sea V' un cspocío vectorial y sea (w,. i?,, ijp un sistem a llnito de
vecforcH de V*. Se verifica que:
1 tü subopacio que cQgendra iu,» ü., .... ú^) cs i^uial a la sum a de los
p fuhc4MM:io« que en|^ndran vectort^s del sistem a; esto cs:
n a ,, ... ^ V(ü,) + V{a^) + · · -f V{ü^)
2. El floem a lú,, — li^) de vecti>fcs no nulos cs linealm ente inde­
pendiente u y M o M \o% subespacios que engendran sus p vectores
dcnen ^ m a direcu: evto e&:
f « .·
.......^ / V ífl,. a, .......................«^) ^ \
\ InkpcaduBte J \ - y ( i i , ) ® T ( « j ) ® — ® Y ( i i ) /
DfJtOSTR.AaOS
1. La iguaklad a demostrar es evidente pues lo» subespacios de su primer y
de MI vgundo miembrm csián formados, am bos, por los m ism os vcclorcs,
que «on lo»;
A|“i + Ajfi, + — + (A,, Aj
.....A^ escalares cualesquiera)
2. La suma de los V (¿,) es directa si y sólo si;
A , i i , + A j á , + - + = ó
A|, Aj, A, escalares
A , « , — A j ú j — · · · — A ^ p — ó

151. «aOS VECTORIALES 145
Ahora bien como todos los vectores üj, ü son no nulos, resulta que:
\ a ^ = 5 « A ,= A 2 = - = A^ = 0
luego la suma de los subespacios es directa si y sólo si el sistema
(Wi, ¿¡2, üp) es independiente, como había que comprobar.
SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS
[077]
En un espacio vectorial V, dos subespacios í/, y Uj se dicen suplemen-
tarios si cualquier vector w e V se puede expresar de una sola m anera
como suma, w = z7i + de un vector w, e í/, y otro üj e í/2· Según lo
que se acaba de decir acerca de la suma directa de dos subespacios, se
verifica que:
Los subespacios
y L/2 de V son
suplementarios
/ t / , + í/j = V\
\ u , n u ^ = o )
E JE M P L O
Sea V el espacio vectorial de las funciones de R en U. Se dice que una función
/ e V es par si se verifica q u t f ( - x ) =/(jc) para todo x e R; se dice que / e V
es impar si / ( -jc) = ~/(jc) para todo jc e R. Es fácil com probar que
í/, = ( / e V //es par} y 1 / 2 = [ f e V /fts impar)
son dos subespacios de V, La única función que es par e im par es la función
nula, ya que debe ser f(x) = -/(Jc) para todo jc e R; por tanto í/, O i/j = O. Por
otra parte, toda función / e V se puede poner en la forma:
(1 espacio vectorial V, se di·
le un subespacio U cs mdxl·
;i cs el suplementario de al-
subcspacio unidimensional,
ubespacio U es máximal si
sslriclamcnte incluido en V
a, í/c Vy í / ^ VO y no hay
in subespacio que le in-
estrictamcnte, salvo el
o K
f(x) = / , W + /2(^)
siendo
/(jc) + / ( -jc)
y A(x) ■
f ( x ) - f ( - x )
y estas dos funciones / , y/2 son par e impar, respectivamente; por ello, resulta
que í/, + 6^2 ” Resumiendo: y Uj son subespacios suplem entarios de V.

152. Q DIMENSIONES Y BASES DE LOS SUBESPACIOS
SUPLEMENTARIOS
[078] En un espacio vectorial V de dimensión finita, se verifica que:
- 1 ✓ i I
suplementarios de V.
es una base de C/,;
2.
3.
(B -B y U B j es '
^una base de Vj
y ü2 subespacios'^
^suplementarios de Vj
I V, y Ü 2 \
subespacios
suplementarios
\ de V ,
4. Todos subespacio de V tiene aJgtjn subespacio suplementario.
DEMOSTRACION
1. Hay que comprobar que cualquier w e V puede expresarse de una sola
manera como combinación lineal de los vectores de y Como
V = í/, © í/j» se sabe que ü se puede expresar de una sola manera como
suma w = w, + í¡2 con w, e í/, y e t/j· Com o y B^ son bases de t/, y
í/j* los vectores w, y Wj se pueden poner de manera única como combina­
ciones lineales de los vectores de y B^, respectivamente. Consecuencia
de todo ello es que ü se puede poner com o com binación lineal de los
vectores de 5 y que eslo se puede hacer de una sola manera.
2. Esta propiedad es consecuencia de la anterior, ya que las dimensiones de
V, í/j y í/j son los números fh y /ij de vectores que tienen B, i?, y Bv
respectivamente, luego /i = n, + nj ya que B=^ B^U B^y PiBj = 0.
3. Hay que comprobar que í/, + í/j = V y que Í7, n í/j ~
• Veamos que Í7, -f t/^ = V. Com o B es base de V, cualquiera w £ V se
puede expresar (para ciertos escalares Á¡) en la forma
ú = (A,^-, + ... + A /,) + (A,„^‘,^. + ... + A / , )
donde el vector dcl primer paréntesis es de t/, y el del segundo es de
í/j, luego w 6 í/, + í/j. En consecuencia í/, + í/j = V'.

153. vectoriales 147
• Veamos que í/,n í/j = O. Si ü e í/,O t/2, recurriendo a que y
bases de í/, y de í/j, ü se podrá expresar recurriendo a una y otra base,
con lo que para ciertos escalares Á, será:
A,e, H
------1- = ü
+ - + A„é„ = M
luego
A hora bien, com o B es base de V, de la últim a relación se deduce que
todos los escalares A, son nulos y en consecuencia es « = ó, o sea, el
único vector de U^ n í/j es el ó, com o había que com probar.
4. Si el subespacio es todo V o si es O, entonces Ó o K es, respectivam ente,
su suplem entario. Si el subespacio es propio, entonces tiene alguna base;
sea B^ una tal base. C om pletem os B^ hasta obtener una base de V y
llam em os fij ^»1 sistem a de vectores que se han añadido. Según la propiedad
anterior, el subespacio YiB^) es suplem entario del dado.
E J E M P L O
En el siguiente subconjunto í/, es suplem entarío de y tam bién lo es
del U'^.
U, = \ { x ,y ,Q ) lx ,y ^ R \ ; t / j = {(O, O, z)/z e R )
í/j = { ( a , o , a ) / a e R )
U na base B^ de (/, está formada por (1, O, 0) y (O, 1, 0); una ba.se Bj de í/j
está form ada por (O, O, 1); una base B'^ de í/^ está form ada por (1, 1, l). Nótese
que y B ,U B j son, las dos, bases de R ’.
Q FÓRMULA DE LAS DIMENSIONES
(O DE GRASSMANN)
[079] Si y í/j son dos subespacios de un espacio vectorial V de dimensión
finita, se verifica que
dim Vy + dim V^ = dim ((/, -4- V ^ + dim (/, n V^
DEMOSTRACION
Sea Bo = (e„ «2» ··» O V^nV^· Sabemos (véase [065]) que esta
base se puede completar hasta obtener una base de (/, y que también es posible

154. ÁLGEBRA LINEAI
ampliarla hasta conseguir una base de í/j; sean fi, y fij ^^ichaí; bases:
fi, = fioU5, = (^,
.......e J U ia ,........ü,) base de í/,
fi. = fioU52 = (éy
.......O U ( tJ p .... tJ,) base de í/j
Vamos a comprobar que fi = fioU5, USj es una base de U^ -H í/2 con lo que,
como consecuencia, se habrá probado la fórmula de las dimensiones ya que sería
dim í/, = m + r dim (í/, + C/j) = /n + r + ^
dim U2 = w -f 5 dim ((/, O í/j)
• Veamos primeramente que fi es sistema generador de C/, + í/j* Cualquier
vector ü de esta suma se puede expresar en la form a w = w, + «2 ^
y ¿2 6 t/2; como fi, y fij son bases de y U2, resulta que w, y ¿3 son
combinaciones lineales de los vectores de B^^US^ y de BqUS2, respectiva­
mente, con lo que w = m, ·+■ ¿2 es com binación lineal de los vectores de
fi()U5,U52 = fi, como había que comprobar.
• Veamos ahora que fi es un sistema independiente. Supongamos, para ello,
que existen ciertas escalares “í y ^^*es que:
S 4- S a f i f + 1 ¡ijVj = ¿J (/: = 1
.......m; / = l, ..., r ; ; = 1, ..., s)
Llamando vv = 2 A /^ + 2 a,w·. que depende linealmente de fi, = fi^US, y por
ello pertenece a í/,, nos encontramos con que w> = - 2 y entonces vv e í/j,
pues depende linealmente de S2CB2. Por tanto, resulta que vi’ e l/, D í/2» luego
vv es una combinación lineal de fi«. o sea vv = 2 (para /? = 1, ..., m) para
ciertos escalares /i,,. Por tanto, 2 + 2 pjVj = ó y, como fi2 = fioUSj es
sistema independiente, de aquí se deduce que = O para /? = l, ..., m y que
/3y = 0 para y=l, ..., Como todos los ¡3j son nulos, resulta que
2 Aj^é¿ + 2 a,M-= 5 y, como fi, = fioU5, es sistema independiente, de esta
igualdad se deduce que son nulos todos los escalares A^. y a,.. Resumiendo:
si una combinación lineal de vectores de fi es nula, ha de tener nulos todos
sus coeficientes, como había que comprobar.

155. Aplicaciones lineales
CAPÍTULO
6
Después de haber hablado, en el capítulo anterior, sobre los espacios vectoria­
les, priKede que ahora nos ocupemos de las aplicaciones entre ellos que «con-
ser\'an» la suma y el producto por un escalar. Estas aplicaciones, que se llaman
homomorfísmos (de homo, semejante o igual, y morfomo. forma) o aplicacio­
nes lineales, son aquellas en las que la suma de dos vectores se transforma en
la suma de sus transformados y el doble, el triple, etc., de un vector se
transforma en el doble, el triple, etc., de su transformado. Podemos decir, pues,
que las aplicaciones lineales son aquellas que «respetan» la estructura de
espacio veciorial.
Hay un gran número de fenómenos que. al menos en primera aproximación,
se conducen de mcxio lineal. Así ocurre, por ejemplo, con las deformaciones
elásticas de un cuerpo sometido a ciertas fuerz«is: si cuando las fuerzas que
actúan en un punto son P y P ' se producen, respectivamente, unas deforma­
ciones D ^ D' se supone que. para deformaciones pequeñas.^cuando actúen las
fuerzas kF y F P' se prcxlucirán las deformaciones kD y D-\r D \ respectiva­
mente. Esta hipí')tesis. que algunos llaman «principio de superposición» y qi^e
es una buena aproximación de la realidad, significa que la aplicación
que a cada fuerz^T le asocia la deformación que produce, es lineal entre espacios
vectoriales.
a APLICACIONES LINEALES
6.1. DEFINICION Y PROPIEDADES
□ HOMOMORFISMOS
O APLICACIONES LINEALES
149

156. [ 0 8 0 ] Dados dos espacios vectoriales V y W, ambos con el mismo cuerpo de
escalares K, y una aplicación / : V— W, se dice q u e / e s un homomorfismo
o aplicación lineal si para cualesquiera ü, v e V y Á , f i e K s e verifica:
f{ÁÚ + fiv) = Xf(ú) + ^ m
Es obvio que esta condición equivale a que. para cualesquiera ü, v e V y
todo A e k , sea:
f ( ü + i o = m + m y f { \ a ) = x m
Una aplicación lineal / : V—* IV en la que IV = V recibe el nombre de
endomorfismo.
EJEMPLOS
L La aplicación / : R ’ —► definida mediante
f(x, y, z) = ( 2 x - y + 4z, - 3 x + 5>> + 6z)
es lineal, del espacio vectorial R ’ en el R^.
En general, también es lineal la aplicación / : R" —► R”* en la que:
<=i i=l
2. Si í/| y í/j son dos subespacios suplementarios de un espacio vectorial V,
o sea, si V = í/| ffi í/j, se llaman proyecciones a las aplicaciones:
p r - V ^ U , ; p , : V ^ U ,
Û ·-* Û,
donde « = «, + es la descomposición de un vector ¿i e V es suma de
«I e í/, y Mj e í/j. Estas proyecciones son, ambas, aplicaciones lineales.
3. Sea V' = '^[0, 1] el espacio vectorial dc las funciones reales que son con­
tinuas en el intervalo [O, 1]. La aplicación
<p{x)dx

157. NEALES 151
CS lineai entre espacios vectoriales, ya que
(A ^W + /x^jc))dlr =
(p(x)dx^ fJLi/Kx) dx = áH<p) +
4. De entre lodas las posibles aplicaciones lineales de un espacio V en otro
VV, hay dos que son triviales; se trata de las siguientes:
• La aplicación nula c;: V—♦ VV, en la que o{ü) = ó para lodo ü eV .
• La aplicación identidad i : V—* VV, en la que i(ü) = ü para todo m e V.
□P R I M E R A S P R O P I E D A D E S
[081]
Sea f : V - ^ W una aplicación lineal entre espacios vectoriales, sobre el
mismo cuerpo K, Se verifica que:
1. ¿ ¿ A,./(«,.) (V a ¡e V y V Á¡e K para / = 1, 2, ..., p)
En particular f(ó) = o y f( - ü ) = ~ /(« ) para cualquier ü eV .
2. Si («,, Mj» ···» %) es un sistema dependiente de vectores de V, entonces
(/(W|). /(W2)» ··'» /("p)) sistema dependiente de VV.
3. Si, además de que / : V^—► es lineal, también se sabe que g: VV—► U
es aplicación lineal, entonces su composición gof:V-~^U es, a su
vez, una aplicación lineal.
NOTA: si (/7,, ü^) cs un sistema independiente de V, el sistema (/(d ,), .... f(ü^)) de W
puede ser dependiente o independiente, según los casos.
DEMOSTRACION
1. Este resultado se obtiene aplicando reiteradamente la definición de aplica­
ción lineal. Tomando todos los A, nulos, se obtiene f{d) = ó. Tomando
A, = — 1 y los demás e.scalares nulos, se llega a /(~ m ) = -/(m ).

158. 2. Sabemos que hay unos ciertos escalares A,, Aj, .... \ no todos nulos talei
que;
ó = A,m, + Ajüj + - + Apíip
Por tanto, como / es lineal, se verificará que:
Á tíiE B R A LINEAI
d = f( ó )= fi = A ,/(tt,) + Aj/(« 2) + - + A /( « p
y, por tanto, /( « ,) ,/(fij), ..., / ( ü ^ forman un sistema dependiente.
3. Para cualesquiera í2„ 6 V y A,, Aj e K, como f y g son ambas lineales,
se verifica que
( « » / ) ( A , « , + AjK-j) = g [ / ( A ,f i , + \ , a , ) ] = « [ A , / ( « , ) + A J í ñ j ) ] =
= A ,^ ( / ( t t ,) ) + A jg ( /( i? j) ) = A , ( g o / ) ( f i , ) + A j ( g o / ) ( « j )
por lo que gofes efectivamente lineal.
EJEMPLO
Considérese la aplicación lineal /:R ^ -* IR ^ definida por:
f(x< y, z) = (x, y)
Lx)s vectores ú = (l. O, 0) y 5 = (O, I, 0) son linealmente independientes y
también lo son sus imágenes /{«) = (1, 0) y /(i5) = (0, 1). Sin embargo, los
vectores á = (l. O, 1) y b = (2. O, 0) también son independientes, pero sus
imágenes f{á) = ( 1, 0) y f{b) = (2, 0) son dependientes. De este ejemplo se
desprende que, en general, la independencia de vectores no es una propiedad
que se conserve por las aplicaciones lineales.
ll NÚCLEO E IMAGEN; RANGO
Asociados a toda aplicación lineal / : V—^ W, hay dos subespacios que desem­
peñan un papel destacado; se trata del núcleo» subespacio de V que forman los
vectores que tienen a ó por imagen, y del subespacio /(V ) de W, al que se
llama imagen de / ,

159. SALES 153
[082]
Si / : V—* W es una aplicación lineal entre espacios vectoriales, sobre un
mismo cuerpo K, entonces:
1. El conjunto imagen /(V ) es un subespacio vectorial de W, que se
llama imagen de la aplicación lineal / y se denota por Im (/).
2. Si (ü,, ÜJ, es un sistema generador de V. entonces (/(¿ i),
/(¿b)’ —» /(Wp)) es un sistema generador de /(V ) = Im (/). Se llama
rango de / a:
rang / = dim (Im (/)) = rang ( f(m,), / (m,), / (iÍj), ..m
3. El conjunto / “'(o) = (m e Vlf{ü) = o} cs un subespacio vectorial de
V, que se llama núcleo de la aplicación lineal / y se denotará por
N u c(/).
4. Si el espacio V tiene dimensión finita, se verifica que:
dim Nuc ( /) + dim Im ( /) = dim V
NOTA: Algunos autorts, a la dimensión del núcleo lu Human «nulidad» de la aplicación
lineal.
DEMOSTRACIÓN
1. Debemos comprobar que, si w,, Wj e /(V ) y para cualesquiera A„ Aj e K,
el vector A,h·, + AjU-j pertenece a /(V ). Así ocurre ya que w^=fla^) y
yi>2 = /(Mj) para unos ciertos m,. m, e V, luego
A,»v, + A jtíj = A , / ( t t , ) + Aj/(Mj) = / ( A , « , + AjMj)
que pertenece a /(VO ya que A,«, + Aj«2 e ^·
2. Hay que comprobar que cualquier w ef(V ) es una combinación lineal de
las f(ü¡). Así ocurre ya que, como existe « e V tal que /(« ) = w y como el
sistema (fi,, fij, .... «,) genera V, resulta que existen ciertos escalares A„
Aj. .... A^ tales que
vi- = /(fi) = /(A ,fi, + AjM, + - + Á^a^) = A ,/(tt,) + A j/(«j) + ··■ + A/(fip)
3. Si M|, fij e Nuc (/), hay que probar que A,«, + Ajúj también es del Nuc (/),
para cualesquiera A,, Aj e /í. Así es, ya que:
M|, «2 e Nuc ( /) => /(« ,) = / ( «2) = ®
=> /(A ,fi,+ AjM2) = A,ó + A2Ó = ó => A,m, + A jtt^ e N u c í/)
4. Si V tiene dimensión fmita, entonces también la tiene N u c (/); sea
B = (#,, .... ép) una base de N u c (/). Completando esta base con cierto

160. Al g e b r a
UNEAL
sistema de vectores 5 = (í7,, ü^) se obtiene una base de V. Dado ¡
que es un sistema generador de V, resulta que el sislema ^
f(B\JS) = (/(#,)
....../( é p , f{ü,) ......../(«V )
es un generador de /(V). Como /(é,) = ó (para / = I, p) pues i. es del
núcleo, resulta que los q vectores
=/(M|), mV = / (w^)
forman un sislema generador de fiV), Si se demuestra que estos vectores
son linealmente independientes, entonces formarían base de /(V), que ten­
dría entonces dimensión q, y por ello la propiedad quedaría comprobada, ya
que la dimensión de Nuc {/) es p y que la de V es /? + q.
Veamos, pues, que (u>,, w^) es un sistema independiente. Para ello,
supongamos que
/¿jvv, + - + fji^w^ = o para ciertos /x,, .... fJL^ e K
De ser así. como w¡ = y f es lineal, se obtiene que
ó = Mi/(Wi) + - + =/(MiW| + - +
luego /X, w, + ··· + pertenece al núcleo de / y, por ello, es combina­
ción lineal de los vectores de la base 8, es decir, para ciertos escalares A,,
.... Áp se verificará que
>^1^1 = o
Ahora bien, como BUS es un sistema independiente, de la última re­
lación se deduce que todos sus escalares son nulos y en particular
= —= /x^ = 0, de lo que se deduce que las vv,, .... ví>^ son lineaimente
independientes.
EJEMPLOS
L Sean V y W los siguientes espacios reales:
V = {funciones polinómicas p(x) = abxcx^ dx^ (de grado ^3)1
W = ^(R. R) = ( funciones de R en R) 1
i
Considérese ia aplicación lineal F : V—♦ W definida por I
i
F(p{x))=p\x) I
I
o sea ?
F(a + bx + cx^ + dx') = b + 2cx + ^dx^ ■

161. 155
La imagen de F es el subespacio de W formado por los polinomios de
grado menor o igual que 2. El núcleo de F es el subespacio de V que
forman los polinomios constantes. Nótese que:
dim V = 4 ; dim Im (F) = 3 ; dim Nuc (7 0 = 1
2. Sea la aplicación lineal definida por
f{x. y. z) = (x + z, y - z , x - ^ y, X - y -^21)
Como = (1, O, 0), üj = (O, 1, 0) y üj = (O, O, 1) es un sistema generador
de los vectores
v v , = M ) = (1 .0 , 1, 1) ; vv2=/(«2) = (0. 1, K - 1 ) ;
>^3= / ( "3) = (l. “1.0, 2)
generan f{W ) y, por ser VV3 = vv, ~ m>2, resulta que
Im (/) = y(H>,, vvj) = {(a, p, a + p, a - /3 )/a , p eU ]< zW
El núcleo de / está formado por la (jc, y, z) e W tales que
x-l·z = y - z = x - ^ y - x - y + 2z = 0
Como este sistema de ecuaciones es equivalente al j c = —y = —z, resulta:
N u c (/) = {{x, -X, - x ) /x e R)
Nótese que
dimR^ = 3 ; d im Im (/) = 2 ; d i m N u c ( / ) = l
E J E R C I C I O
S i / : V—» Wes una aplicación lineal entre espacios vectoriales (sobre un mismo
cuerpo AT), demuéstrese que:
á) Si V es un subespacio de V, entonces f( V ) es subespacio de VV.
b) Si W es un subespacio de W, entonces f~ \W ') es subespacio de V.
RESOLUCIÓN
a) Esta cuestión se prueba de igual modo que la anterior propiedad 3.*; basta
con sustituir, allí, V por V \
b) Hemos de comprobar que si m, y Wj son de entonces también lo
es el vector A,w, para cualesquiera escalares A, y Aj. Como

162. *Í>I = /(« i) y **^2 = /< ^ ) SO" *1® ''^‘^‘0'· A|*V| + Ajtv, lam.
bien pertenece a este subespacio, es decir,
A,»v, + AjtVj = A ,/ ( i í,) + A j/{ «2) = / ( A ,M | + AjMj) e ÍV'
lo que signifíca que Am, + Amj es de /~'(W ''), como había que probar.
E
.2. ISOMOFISMOS
□APLICACIONES LINEALES INVECTIVAS
Según tendremos ocasión de ir comprobando más adelante, de entre las apli·.
caciones lineales, las inyectivas son especialmente importantes. Ellas son las·
que conservan la dimensión, las que tienen por núcleo al subespacio nulo, las
que transforman una base cualquiera del espacio origen en una base del espacio
imagen. Analicemos con detalle estas características de las aplicaciones lineales
inyectivas:
f083J
Sea f \ V —*W una aplicación lineal entre espacios vectoriales, sobre el
mismo cuerpo K, Se verifica que:
1. La aplicación lineal / es inyectiva si y sólo si N u c (/) = O.
2. Si V tiene dimensión finita, entonces / es inyectiva si y sólo si
dim V = d im /(V ).
3. Si fi = éj, ..., é J es una base de V, entonces / es inyectiva si y
sólo si /(fi) = (/(é ,). /(éj)« ..., f(é^)) es una base de / ( ^ . es decir,
si y sólo si /(fi) es un sistema independiente dc vectores de W.
DEMOSTRACIÓN
I. Si / es inyectiva, de .ser f{ü) — 6 para ü = V , como f(d) = d, los vcctoiw
ü y d tendrían ia misma imagen por / (inyectiva), luego sería ü = <5; así,
pues, ó es el único vector de Nuc ( /). Recíprocamente, si Nuc ( /) = O, de
ser /(m,) = /(m2) para algunos m„ e V, sería
/(m, - Mj) = /(M |) - / ( « i ) = d, luego a , - a ^ £ Nuc ( /)
y como Nuc (f) = 0 resulta que m, - = d, o sea m, = M2, lo que prueba
que / es inyectiva.

163. 2. De acuerdo con la propiedad anterior y con la fórmula (082|, 4) se obtiene:
/in y ectiv a o N u c (/) = 0 «=> clim N uc(/) = 0 <=>
«=> d im V = d i m / ( V ) + 0
3. Finalmente, dada una base B = éJ de V, como f(B) es un sistema
generador (de n vectores) de /(V)» se verifica que:
f{B) base de f{V) <=> f(B) independientemente rang/(B ) = « <=>
<=> dim /(V ) = = dim U <=> /inyectiv a
O B S E R V A C I Ó N
Una aplicación lineal entre espacios vectoriales sobre un mismo
cuerpo A', es inyectiva si y sólo si todo sistema linealmente independiente de
vectores de V tiene por imagen a un sistema de vectores de VV que también es
linealmente independiente.
ONES LINEALES 157
COMPROBACIÓN
• Si / es inyectiva, dado un sistema (k,, .... lí^) de vectores independientes de
V, el sistema imagen (/(m,), f(Wp)) también es linealmente independiente,
puesto que (para A,, A^ e K):
L A,/(«,.) = ó / ( ¿ AjM,) = d ^ ¿ A,«, = ó ^
(-1 \/-l / i-l
=» A, = - = Ap = 0
Si la imagen de cualquier sistema independiente de V es un sistema indepen­
diente de VV, se verificará en particular que dado w it ó en V, ha de ser
f{ü) ó. De ello resulta, pues, que Nuc ( /) = O y, por tanto, / es inyectiva.
E J E M P I . O
La aplicación lineal definida mediante
f(x. y. z) = (x. x +y, y+ z,x·^ y + z)
es inyectiva ya que las imágenes de los vectores de la base canónica (é,,
éj) de son los vectores
/ ( l , 0 , 0 ) = (l, 1.0, 1) ; /(O, l ,0 ) = (0, 1. 1, 1) ; /(O, O, I) = (O, O, 1,1)

164. ÁLGEBRA LINEAI
que forman una base de la imagen, ya que son Unealmente independientes, pues-,
’1 1 O r
0 1 1 1
0 0 11.
La inyectividad de / también se podía haber comprobado viendo que
N uc(/) = 0 ; así es, ya que:
N uc(/):
X = 0
x + y= 0
y + z= 0
x + y + z= 0
r , = o
:<y = 0<=> N u c (/):< y = 0 <=> N u c (/) = 0
.2 = 0
I ISOMORFISMOS
Cuando se dispone de una aplicación lineal, entre dos espacios vectoriales V y
VV, que además es biyectiva, puede considerarse que V^ y W son iguales, se
pueden identificar. Desde el punto de vista de los espacios vectoriales, no hay
nada que permita diferenciar a V' de W. Estas aplicaciones lineales y biyectivas
se llaman i.somorfismos:
1084) Se llama isomorfismo a una aplicación entre espacios vecto­
riales sobre el mismo cuerpo K, que sea lineal y biyectiva. Si f: V - ^ W
es un isomorfismo, los dos espacios vectoriales .se dicen isomorfos. Un
isomorfismo f :V—*V, de un espacio en sí mismo, recibe el nombre de
automorfísmo.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
La composición de dos isomorfismos es, también, un isomorfismo.
Una aplicación lineal / : V^—► W es isomorfismo si y sólo si:
Im (/) = VV y N u c (/) = 0
Si V tiene dimensión finita, una aplicación lineal f : V —^W es un
isomorfismo si y sólo si:
dim V = dim /(V O = dim W
Si V tiene dimensión finita, una aplicación lineal / : V—* V es auto-
morfismo si y sólo si es inyectiva o si y sólo si es sobreyectiva.
Si / : V-* W es un i.somorfismo, entonces : W'— V también es un
isomorfismo.
Dos espacios vectoriales de dimensión finita (sobre el mismo cuerpo
K) son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión.

165. 159
DEMOSTRACIÓN
1. Como al componer aplicaciones lineales se obtienen aplicaciones lineales
y al componer biyecciones se obtienen biyecciones, resulta obvio que al
componer isomorfismos se obtienen isomorfismos.
2. Por definición, / es sobreyectiva si y sólo si Im (/) = W. Según [083], 1),
/ es inyectiva si y sólo si Nuc (/) = O.
3. Esta propiedad se deduce fácilmente de:
/sobreyectiva /( V ) = W <=» d im /(V )= d im W
/ inyectiva «=> dim Nuc (/) = O <=> dim V = dim /(V )
4. Si en el caso anterior se toma W = V, resulta que / es isomorfismo si y
sólo si dim V = dim /(V ), es decir, si y sólo si /e s sobreyectiva. La anterior
igualdad entre dimensiones equivale a la dim N u c(/) = 0, o sea, a que /
sea inyectiva.
5. Nótese primeramente que, como / : V—► W es biyectiva, existe su aplicación
recíproca / " ' : V, que es biyectiva. Hay que probar que / " ' es lineal,
es decir, que / ” ‘(Aw -H fxv) es igual a A /“ ‘(w) + para cualesquiera
a, V e W y /jL e K\ dicha igualdad equivale a la igualdad de sus imágenes
por / y esta última es cierta ya que, como:
/(/"'(A w -H fjLV)) = A¿7 + /¿ü
y, dado que / es lineal, es
/(A /-'(w ) + fJLf-\v)) = X f { r \ ü ) ) + = Aw + fiv
6. Según se probó en [068], si dim V= n, el espacio V es isomorfo al ÍC;
igualmente, si dim W = n. también W es isomorfo a /^ . Si V y W tienen la
misma dimensión, n, existen pues dos isomorfismos y
g :K'"—^W, luego V y W son isomorfos ya que ^© / : es un isomor­
fismo. Recíprocamente, si V y W son isomorfos, entonces existe un iso­
morfismo f :V —^W y, según la anterior propiedad 3.“, ha de ser
dim V = dim W .
E J E M P L O S
L Sea V un espacio vectorial, sea U un subespacio de V y sean {/, y í/j dos
subespacios suplementarios de U respecto de V, esto es, tales que V =
= t/© í/, y V = í/© C/j* cualquier w, e {/,, como entonces m, e V,
existen unos únicos w e í/ y «2 ^ ^2 tales que w, = w -f Wj; pues bien, la
aplicación f:U y —*U2 definida mediante /(w,) = Wj es un isomorfismo de
í/, en Uy
2, El espacio vectorial R" es isomorfo al espacio vectorial V de los polinomios
de grado menor que n. Un isomorfismo entre ellos lo es la aplicación
/ : dada por
/ ( « o + a , x + - + = («0.
....a „ - i )

166. MATRICES DE LAS APLICACIONES
LINEALES
En el caso de dimensión finita» para manejamos debidamente con las aplica­
ciones lineales, vamos a recurrir a las coordenadas. Es decir, dada una aplica­
ción lineal f : V - * W y elegidas sendas bases (é¡) en V y (üj) en W, nos varaos
a ocupar en obtener las coordenadas yj, de la imagen y = f(x) en W, en función
de las coordenadas jc,» del vector origen x en V. En las ecuaciones que propor­
cionan las yj, en función de las x¡, intervienen unos coeficientes que caracterizan
a la aplicación / y son las coordenadas, en la base (üj) de W, de los vectores
imágenes de los vectores de la base (e¡) de V. Dichos coeficientes
intervienen en las ecuaciones con estructura de matriz; en ésta, las columnas
son las coordenadas de los vectores
Hemos de señalar que, si V tiene dimensión finita n, la aplicación lineal
f \ V —^W queda definida de modo inequívoco en cuanto se conozcan las n
imágenes /(é,), de los vectores de una base {é¡) de V. Con sólo conocer estos
n vectores imagen, y por el hecho de ser / lineal, quedan determinadas las
imágenes de todos los vectores de V.
ECUACIONES Y MATRIZ
DE UNA APLICACIÓN LINEAL
□ DETERMINACION
DE UNA APLICACIÓN LINEAL
1Sea V y W dos espacios vectoriales, sobre un mismo cuerpo K, Si
fi = (é,, é,, é„) es una base de V y dado un sistema cualquiera í
5 = (vvj, vï>2, w„) de vectores de IV, existe una aplicación lineal
f : V —^W, y una sola, tal que
/(^ i) = vv„ fié^) = h>2, ..m f(é„) =
DEMOSTRACIÓN
Vamos a recurrir a las coordenadas de los vectores de V en la base B\ para
cada vector i e V, llamaremos (a,, X2, ...» x„) a su sistema de coordenadas. De

167. 161
existir una tal aplicación lineal / , habría de verificarse que:
/ U ) = / |
( \
X Xfii
/
n n
Así pues, la única solución posible del problema es la aplicación
x ^ f ( x ) = XyWy + X2W2 **· +
Si esta aplicación fuera lineal, la demostración habría acabado. Veamos que así
es: para cualesquiera jc, jc' e V y A, A' e se tiene:
f(Áx + Á'x') = X (coordenada /-ésima de Ajc + A 'jc' )m>í —
/-I
= S (Aj:, + A'jc/)vv, = A S Jt,>v, + A' X x¡w¡~ A/(jc) + A7‘(x')
/ - I i - l i - l
E JEM PLO
Sea / : una aplicación lineal de la que se sabe que
■3 r 1 - r
/ ( l . o , 0) =
2 4
; / ( 0 . 1.0) =
- 5 5
/(O, O, 1) =
2 - 2
- 3 4
Como los vectores é, = (1, O» 0). ¿ 2 = (O, L 0) y #3 = (O, 0. 1) forman una base
de W (la base canónica), se puede a.segurar que hay una y sólo una aplicación
/ que cumple lo exigido; dicha aplicación está dada por:
/(jc,y, z ) = x / ( l , 0 , 0) + y/(0, l ,0 ) + ^ ( 0 . O» l) =
3jc + y + 2 z JC - y - 2 z
2jc - 5y - 3z 4jc + 5y + 4z
Q E C U A C I O N E S
D E U N A A P L I C A C I Ó N L I N E A L

168. [ 0 8 6 ] Sean V y (V dos espacios vectoriales, sobre el mismo cuerpo K. Sea
(é,. c,. .... una base de V en la que las coordenadas de x e V son
(x,, x¡ , ..., -t„); sea (»7,, Mj, .... iij una base de IV en la que la.s coordenadas
áe y e W son Cv,, >>2. .... y J . Si f:V ~ * W es la aplicación lineal que
transforma éj en f(é¡) = w¡ (para j = \ , 2
.......n) y si, utilizando coorde­
nadas. estos vectores son los w¡ =
.........................------entonces la
imagen y = f(x) de un jE 6 V' viene dada, por sus coordenadas, mediante
>’( = ·" + " íA /' = 1. 2, ..., m). Resumiendo:
/(C,) =
f(éi) = a,¡a, + flj2“ 2 + - + Omi»m
=» <
y ,= fl,,jt, + 0,^*2+ ···+ « , A
>2 = OitXj + a^iXi + - + fl2^„
ñéj) = X a¡/¡¡
í-I
para 7= I, 2, n
+ - + a»,A
/ " \
yi= 'LauX j
/
y-í
para / = 1, 2, m
COMPROBACION
Como / es lineal y recurriendo a las coordenadas de jc e V, se obtiene (pa­
ra 7= 1, 2, ...» /I e / = 1, 2, m):
y= f(x) = / ( X Xj S) = X j:/(é j) = X x / Z a¡jU¡) =
i i
< y
De esta relación se deduce que X es la coordenada /-ésima de y, es decir,
y, = l a ^ ¡ . ^
}
EJEM PLO
Con.sideremos la aplicación lineal en la que
/( l.O , 0) = (3, 2 , - 1 , 1) ; / ( l , 1, 0) = (5, - 4 , 1, - 2 )
/ ( l , I. 1) = (2, 1. - 6 . 3)
Recurriendo a la linealidad de / se obtienen fácilmente las imágenes de los

169. JEALES 163
vectores de la base canónica de
/ ( l . 0 .0 ) = (3, 2. - 1 . 1)
/(O. I. 0) = / ( ! , 1, 0) - / ( i . 0. 0) = (2. - 6 , 2. - 3 )
/(O. 0. l ) = / ( l , l. 1. 0) = ( - 3 , 5. - 7 , 5)
Recurriendo ya al resultado anterior, se obtiene que
/ (j:„ jTj, X ,) = ( y „ y^, y^)
viene dado por:
□
y, = 3x, + 2xj - 3jc,
y ¡ = 2 x ,- 6 x , + 5x,
y ,= - Ix, + 2 x ¡ - 7x,
>4 = ·*! - 3Xi + 5x,
MATRIZ DE UNA APLICACION LINEAL
De acuerdo con el anterior resultado, en el caso de dimensión finita una
aplicación lineal x —*y=f(x) queda determinada por unos ciertos escalares a¡j
(coeficiente de jc,· en la expresión que da y^. Estos escalares intervienen, en la
ecuación de / , formando una matriz, de la que vamos a ocupamos. En términos
de matrices, las conclusiones que se acaban de obtener acerca de la ecuación
de una aplicación lineal se pueden expresar como sigue:
[087] Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita, sobre un mismo
cuerpo K, Sea (é,, ..., é„) una base de V y sea («,, ..., ü J una base de W\
en ellas, llamaremos (a*,, ..., j c „ ) e (y,, ..., y„) a las coordenadas de Jc e V
y de y e VV.
m
Si f :V—^W es la aplicación lineal en la que f{éj)= X a¡/¡¡ (para
y = 1, 2, ..., n), entonces x ^ y - f{x) admite la siguiente ecuación matri­
cial, respecto de las bases anteriores:
■>r
Vi “22
« I n
O abreviadamente
[}'/] = kylU ,]
ó Y = AX
Se dice que A = [a¡j] es la matriz de la aplicación lineal f respecto de
las bases (éj) út V y (ü¡) de W.
NOTA: Como se habrá observado, las columnas dc A son las mairíccs columna dc las
coordenadas, en la base (m<), dc las imágenes dc los vectores dc la base

170. ÁLGEBRA LINEAI
EJERCICIO
Hallar el núcleo y la imagen de la aplicación lineal tal que:
/ ( 1 .0 , 0 ,0 ) = ( 1 , - 1 , 2 ) : / ( 0 , 0 , 1 ,0 ) = ( 4 , - 1 . 5 )
/(O, I. O, 0) = (2, l, 1) ; /(O. 0. 0. 1) = ( - 1 . - 5 , 4)
En concreto, se piden sendas bases del núcleo y de la imagen.
RESOLUCIÓN
Respecto de las bases canónicas de W y la ecuación matricial, K = AX, de
la aplicación lineal es:
1 2 4 - r
=
- 1 1 - 1 - 5
-Vj-
21 5 4 .
L-^4.
El núcleo lo forman las soluciones de f(x) = ó, que si se usan coordenadas
se pone en la forma AX= O. Para resolver este sistema lineal homogéneo,
realizando operaciones elementales en las filas de su matriz A, se obtienen
sucesivamente las matrices:
'1 2 4- r "1 2 4 - r '1 02 3 '
0 3 3 - 6 0 1 1- 2 0 1 1- 2
.0- 3 - 3 6. .0 00 0_ .0 0 0 0 .
Por tanto, los vectores del núcleo son los que cumplen (para a , )8 e R):
Xy = - 2 a -3 )3
X 2 ^ - a +2)8
— a
luego
( - 2 , - 1 , 1, 0) y ( - 3 , 2, O, 1) forman base de N u c (/)
La imagen es el subespacio de R ’ que engendran las cuatro columnas de A,
Realizando operaciones elementales en las columnas de A se obtienen siste­
mas de columnas equivalentes al dado; al proceder de este modo, se obtiene
sucesivamente:
■ 1 0 0 0 ' 1 0 00 ' "1 00 0 '
- l3 3 - 6 - 1 1 0 0 1 1 00
2- 3- 3 6 . . 2 - 1 00 ..0- 100 .

171. JEALES 165
Por tanto, los dos vectores columna no nulos de la última matriz generan la
imagen y, como son independientes, son base de ella; esto es:
(I, 1, 0) y (O, 1, —1) forman base de Im (/)
OBSERVACIÓN
[0881
Sean y espacios vectoriales de dimensiones n y m, ambos sobre
un mismo cuerpo K, en los que se consideran sendas bases (por ejemplo,
= y = IC con las bases canónicas). Al conjunto de las aplica­
ciones lineales de en se le denotará por WJ; se pone
piu-a designar al conjunto de las matrices de tamaño m x ri (con elementos
del cuerpo K), La aplicación
f A — matriz de /
que a cada aplicación lineal le hace corresponder su matriz asociada en
las bases elegidas, es una biyección.
Por ello y abusando del lenguaje, hay ocasiones en las que se confunde una
aplicación lineal con su matriz asociada. Así, por ejemplo, hay quien dice «sea
la aplicación lineal A» en lugar de decir «sea la aplicación lineal cuya matriz
es A».
□RANGO DE LA MATRIZ ASOCIADA
En el caso de dimensión finita, una aplicación lineal y su matriz asociada,
respecto de cualesquiera bases, tienen el mismo rango. En particular, las ma­
trices asociadas a los isomorfismos son las matrices regulares. Es decir:
[089] Sea / : VV una aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimen­
sión finita, ambos sobre el mismo cuerpo K, y sea A la matriz asociada
a / , respecto de cualesquiera bases de y W. Se verifica que:
1. El rango de la aplicación lineal / es igual al rango de su matriz
asociada A.
2. La aplicación lineal / es un isomorfismo^*^ si y sólo si su matriz
asociada A es regular.
( · ) Nótese que aquí, en este apartado 2. se supone que dim V = dim W y, por tanto. A cs
cuadrada.

172. 1. Llamemos {e^
........ éJ a la base que se toma en V, con lo que
5 = ( /( ^ ,) ,...» / ( O ) sistema generador de /(V ). Recuérdese que las
columnas de A son las columnas de coordenadas de los vectores de 5. De
acuerdo con la definición del rango de una aplicación lineal (véase (082)),
de lo que se acaba de decir se desprende que:
r a n g /= rang/(VO = rang 5 = rang de columnas de A = rang A
2. En este caso, se consideran espacios de la misma dimensión,
dim V * dim \V = n, con lo que A exS cuadrada, de tamaño n x /i. Nótese
que / es isomorfismo si y sólo si ra n g /= w ; nótese también que A es
regular si y sólo si rang A = /i. Resulta entonces obvio que / es inyectiva
si y sólo si A cs regular.
COMPROBACIOS
UUNIPLO
Sea V' el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que
2 y considérese la aplicación lineal / : V— definida por
fia -f- hx + cjt) ® (fl + /? — 2¿', 2í/ + /; + c, 2a + he)
Hallar h e R para que / no sea un isomorfismo. Para dicho valor de k
hallar una base de la imagen Im (/).
RESOLUaÓS
B valor buscado de /r es aquel que hace singular a la matriz A de / (en la base
usual de V y en la canónica de R'); realizando, pues, operaciones elementales
en las columnas de A, se tiene sucesivamente:
■| 1 - 2 ' '1 0 0 ' '1 0 0"
2 1 1 2 - I 5 2 1 0
.2 3 h. .2 1 A + 4 . 2 - 1 h + 9,
U matriz A cs singular para /r = - 9 . Para este valor, el rango de A vale 2,
la dimensión de Im (/) cs 2 y una base de este espacio la forman las
dos columnas no nulas de la última matriz, es decir, los vectores (1, 2, 2) y
(O, 1, - I ) d c R \

173. JEALES 167
MATRICES EQUIVALENTES
[0901
Q MATRICES ASOCIADAS A UN MISMO
HOMOMORFISMO
Cuando (en [087]) hablamos de la matriz A asociada a una aplicación lineal
/ : V—♦ W, se eligieron sendas bases en V y IV y, respecto de ellas, se determinó
dicha matriz A. Si las bases de V y VV se cambian por otras, la matriz asociada
será distinta de la anterior. Nos ocupamos aquí de analizar la relación que liga
a la nueva matriz asociada, A \ con la antigua A, en función de las maü-ices de
los cambios de coordenadas que se hagan tn V y W. El resultado de este análisis
será que A y A' son matrices equivalentes (véase [0201):
Sea / : V'—♦ VV una aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimen­
sión finita, ambos sobre un mismo cuerpo K, y sea A la matriz asociada
a / respecto de ciertas bases de V y VV. Si en y VV se cambian las bases
y llamando P y Q a las matrices de los respectivos cambios de coorde­
nadas, entonces la matriz asociada a / en las nuevas bases es la
A· =^or^AP.
Dos matrices A y A \ ambas de igual tamaño m x «, se dicen matrices
equivalentes^*'^ si están asociadas a una misma aplicación lineal de ÍC' en
ÍC' (respecto de bases adecuadas) o, lo que es lo mismo, si existen dos
matrices regulares P y Q, de tamaños respectivos n x n y m x m. tales
que A' = Í2 "U P .
( ♦ ) En [020] se dijo que dos mutríccs mxn eran equivalentes si tenían el mismo rango;
enseguida veremos que ésta y aquélla defìnición coinciden.
DEMOSTRACION
Llamemos X e K a las matrices columna de coordenadas de un i e V' y de
y=zf(j^^ respecto de las bases primitivas. Entonces la ecuación matricial de /
en dichas bases es Y = AX. Si X' e Y' son las matrices columna de coordenadas
de JC e y en las bases nuevas, la ecuación de / en dichas bases es K' =A'X'
(para una cierta matriz A \ que buscamos). Como sabemos que X = PX' y que
Y= QY\ se puede poner:
Y = AX'
X = PX·
Y=QY'_
QY'^APX' r = {Q-^AP)X'
r = A'X'
(·)
A '= Q ’ ^AP
( ♦ ) Estas dos relaciones se verifican para toda matriz columna dc coordenadas X\

174. La implicación recíproca afirma que si A' = Q donde P y Q son regulares,
entonces A y A* están asociadas a una misma aplicación lineal (en unas ciertas
bases). Esto se comprueba fácilmente:
Stü f:íC -^ IC la aplicación lineal que respecto de las bases canónicas (por
ejemplo) tiene por ecuación a la Y = AX. Realizando, en IR” y en R'", los
cambios de coordenadas X = PX' e >'= QY\ se pasa a operar en unas nuevas
bases en las que la matriz de / es la Q” ‘AP (según se acaba de ver); es decir,
e s A \
EJEM PLO
Sea la aplicación lineal que, respecto de las bases canónicas (éj,
éj. é^) de !R^ y (w,, ¡¡2) de tiene por ecuación a:
>’| 3 0 - 2 ' 3 0 - 2 '
_.V2.
- 1 4 5
^2*
- 1 4 5
es la matriz de /
Al cambiar de bases en W y IR\ pasando a las nuevas bases (é¡, cJ» ^3)
y wí):
>¡ = (1, 3» 0) = é,i-3é2
é' = (l. O, 2) = éy-hlé,
U ; = (0, 4, -2) = 4é2-2é,
la matriz de / pasa a ser
ü \ = { 2 , 1) = 2m, +W2
m' = (4, 3) = 4/7, + 3Ü2
A*
2 4
l 3
3 0 - 2
- 1 4 5
1 l O'
3 0 4
0 2-2
4 - 6 3
5 11-2
PROPOSICION
La equivalencia entre matrices de igual tamaño es una relación reflexiva,
simétrica y transitiva (esto es, es una de las llamadas relaciones de
equivalencia^*\
( ♦ ) Sobre las relaciones de equivalencia, véase [368), en el Apéndice A.4, al final dcl
libro.

175. LEALES 169
DEMOSTRACIÓN
La equivalencia entre matrices es reflexiva (toda matriz A es equivalente a sí
misma), ya que A = I~'AI„, donde /„, e /„ son matrices unidad (de los pertinentes
tamaños), que son regulares. Es simétrica (si A es equivalente a A', entonces
A' es equivalente a A), ya que si es A' = Q~'AP entonces es A = Q A 'P '\ que
se puede poner A = S~'A'R, donde R = P ' y 5 = .son regulares. Es transi­
tiva (si A es equivalente -á A' y A' es equivalente a A ”, entonces A es
equivalente a A"), ya que si A' = Q~'AP (con P y Q regulares) y A " = S''A 'R
(con R y S regulares), entonces
A " = S-'Q-'APR = (QSy'A(PR)
donde PR y QS son matrices regulares.
1092]
J MATRICES EQUIVALENTES Y RANGO
Según ya se ha hecho notar hace poco, hemos dado dos definiciones distintas
de equivalencia: Primeramente, en [020], se dijo que dos matrices de igual
tamaño eran equivalentes si tenían el mismo rango; en [090] acabamos de decir
que las matrices equivalentes son las que están asociadas a una misma aplica­
ción lineal. Nos ocuparemos aquí en comprobar que ambas definiciones son
equivalentes.
Vamos también a relacionar todo ello con algo de lo que ya se habló
anteriormente en [020] y en [026]; nos estamos refiriendo a las matrices
canónicas de equivalencia.
Sea dada una matriz A de tamaño m x n (cuyos elementos pertenecen a
un cuerpo K) que tiene rango r. Llamemos Q a la siguiente matriz de
tamaño m x n:
C =
0
_ 0 0
donde
7^= matriz de unidad de tamaño r x r
O denota a matrices nulas
Se verifica que las matrices A y C, están astx^iadas a una misma
aplicación lineal (de ÍC en ÍC”h respecto de bases adecuadas; es decir,
A y C, son equivalentes. Este resultado se expresa diciendo que A
es diagonalizable por equivalencia y que es la matriz que resulta
de hacer la diagonalización. Se dice que C, es la matriz canónica
de equivalencia de A.

176. Algebra lineal
DEMOSTRACIÓN
Sea f : ¡ C —*tC la aplicación lineal que en ciertas bases (las canónicas, por
ejemplo) tiene a A por matriz asociada. Sea (é,, .... i^) una base de Nuc(/),
que completaremos con ciertos vectores (m,, ...» ü^) hasta obtener una base dc
nótese que í + r = ai. Los vectores >v, = /(w,), ...» = f{ü^) forman una
base de lm (/); completemos adecuadamente esta base, con ciertos vectores
vv,+i» basta obtener una base de /f". La matriz asociada a / respecto dc
las bases
= (m..........., é,) de K'
l» ···» ^m)
no es otra que ya que sus columnas son las matrices columna de coordc'
nadas, respecto de la base i9„. de las imágenes de los vectores de que son
..., vv^ ó, ..., o.
[093J
De lo hasta aquí dichose deduce que dos matrices A y A' son equi­
valentes, si y sólo si se verifica una cualquiera de las tres condiciones
siguientes (las cuales son equivalentes entre sí):
1.
2.
3.
Están asociadas a una misma aplicación lineal, respecto de bases
adecuadas.
Las matrices A y A' son del mismo tamaño y tales que A' = QT^AP
para ciertas matrices cuadradas regulares P y Q.
Las matrices A y A' son del mismo tamaño y tienen igual rango.
( ♦ ) Véase [0201 y [090].
DEMOSTRACION
La equivalencia entre 1 y 2 ya se comprobó en [090].
La condición 1 implica la 3, ya que el rango de una matriz es igual al rango
de su aplicación lineal asociada (véase [089], l) y, entonces, como A y A' están
asociadas a una misma aplicación lineal, tienen ambas el mismo rango que ella
(además de tener, obviamente, el mismo tamaño).
La condición 3 implica la 2. En efecto: la 3 implica que A y A' tengan,
ambas, la misma matriz canónica de equivalencia (llamamos r al rango de
A y dc A') y que, por ello, se pueda poner
C,= Q M P y C .^ Q '^ W P '
para ciertas matrices regulares P, P \ Q y Q \ de donde:
A· ^ QX.P"-^ = Q-^Q'APr'-^ = ((? '“ ' 0 - U ( P r “ ‘)
cs decir, se cumple la condición 2, ya que y PP' ‘ son regulares.

177. 171
O B S E R V A C I O N E S
Vamos a hacer algunas consideraciones acerca de la relación
que guarda una matriz A, de tamaño m x n y rango r, con su matriz canónica
de equivalencia Q .
1. Recuérdese que (véase [026]) existen dos operaciones elementales e* ye'*
tales que aplicando e* a las filas de A y aplicando, después, e*' a las
columnas de la maUiz ya obtenida, se llega finalmente a la matriz C^. Si
e* se aplica también a las filas de la matriz unidad m x m, se obtiene la
matriz 0” '; si e'* se aplica también a las columnas de la matriz unidad n
X n, se obtiene la matriz P, esto es:
En C, = Q'“^AP, las matrices C ^P y Q son:
C, = e-[^;(A)J ; e '* = e ;( /J ; P^e*c\K)
2. En la reciente demostración de diagonalizabilidad por equivalencia de la
matriz A, se han hecho unos razonamientos, relacionados con la imagen y
el núcleo de la aplicación lineal asociada a A, que nos permiten obtener
las siguientes conclusiones:
Si / : V—► VV es la aplicación lineal que, respecto de ciertas bases, tiene
a A como matriz asociada (de tamaño m x n y rango r) y si C^= Q'^AP
es su matriz canónica de equivalencia, entonces:
• las r primeras columnas de P son las columnas de coordenadas de los
vectores de una base de /„(/),
• las n — r últimas columnas de Q son las columnas de coordenadas de los
vectores de una base de N uc(/).
3. Consideremos ahora el conjunto de todas las matrices de un cierto tamaño
m X n. Para cada valor de r (comprendido entre O y el menor de las m y
n), todas las matrices de rango r forman una clase de equivalencia (formada
por matrices equivalentes entre sí); a esta clase pertenece la matriz que
se tomará como representante de la misma (representante canónico de
equivalencia).
E J E R C I C I O
Sea f : W - * W la aplicación lineal que, respecto de ciertas bases:
(<?,, ¿2, ^3, éJ de y (m„ « 3) de W

178. ÁLGEBRA LINEAL
tiene asociada la siguiente matriz A:
>4 =
I 2 O - r
- 5 - 9 - 4 O
- 8 - 1 4 - 8 - 2
Se pide:
1. Una base de IIÍ* y otra de R ' respecto de las cuales / tenga asociada
la matriz canónica de equivalencia.
2. Bases del núcleo y de la imagen de / .
RESOLUCIÓN
1. Realizando adecuadas operaciones elementales en las filas de la matriz
(i41/3]^*^ se obtiene fácilmente una matriz \A' | donde A' es triangular
(escalonada) superior:
'1 2 0- 1 1 0 0 ' ■ 10 0‘
[A'\Q-'] =0 1 - 4 - 5 5 1 0 ; e =
- 51 0
.00 0 0 - 2- 21. . - 82 1.
Realizando ahora operaciones elementales en las filas de la matriz
\A*ll^*^^ se obtiene fácilmente una matriz \CJP], donde C, es la matriz
canónica de equivalencia de A\
L ^ J
■12 0 - r"10 0 0"
0 1 - 4 - 5 0 10 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 - 2- 8- 9
010 0 0 14 5
0 0 10 0 0 1 0
00 0
1.
,0 0 0 1.
Conocidas P y Q (que no son únicas; con otras operaciones elementales se
obtendrían unas P y Q distintas), unas bases de W y W en las que / tiene
por maüiz a son:
( · ) Una matriz que resulta de escribir A y poner a su derecha ia maüiz unidad 3 x 3 .
( · ♦ ) Matriz que resulta de escribir A* y poner debajo de ella la matriz unidad 4 x 4 .

179. EALES 173
Base de R·*
é¡ = è,
è '= 2è,+ é,
èj = —8t, + 4é¡ + éj
C4 = —9è, + 5^2 + #4
Base de
M¡ = M, — SWj — 8Mj
W2 - 2ùj
«3
2. Como rang/ = rangA = 2, resulta que la imagen de / tiene dimensión
r = 2 y el núcleo de / tiene dimensión « ~ r = 4 - 2 = 2. Por ello, las bases
pedidas son:
• Una base de Im ( /) = (los r primeros vectores de la nueva
base de W) = (w¡, Mj)
• Una base de Nuc ( /) = (los n - r últimos vectores de la
nueva base de é^).
□ MATRICES DE UN ENDOMORFISMO.
MATRICES SEMEJANTES
Para acabar este asunto de las matrices asociadas a una aplicación lineal
/ : V—» W, vamos a analizar el caso en el que V = W , es decir, supondremos
que / e s un endomorfismo, de V en V. Ahora, en lugar de manejar dos bases,
una en V y otra en W, únicamente habrá una, a la que se referirán todos los
vectores: los ;c e V y los /(Jc) e V.
[094]
Sea / : V un endomorfismo, en el espacio vectorial V de dimensión
finita n sobre un cuerpo K, y sea A la matriz asociada a / respecto de
cierta base de V. Si en V se cambia la base y llamando P a la matriz del
respectivo cambio de coordenadas, entonces la matriz asociada a / en la
nueva base es la A' = P~‘AP.
Dos matrices cuadradas A y A \ del mismo tamaño n x n, se dicen
matrices semejantes si están asociadas a un mismo endomorfismo de ÌC
en ÌC (respecto de bases adecuadas), lo que equivale a que exista una
matriz regular P, de tamaño n x «, tal que A' = P'^AP,
DEMOSTRACION
Las anteriores afirmaciones se comprueban como se hizo en [090]. Concreta­
mente, basta con suponer que ahora es W = V y Q = P\ con ello, lo allí
demostrado es de aplicación a este caso.

180. Algebra lineal
e j e m p l o
Sea /;R’— el endomorfismo que respecto de la base canónica, tiene aso­
ciada ia matriz
A =
2 O r
O 1 1
- 1 1 3
Hallar la matriz asociada a / en la base (m,, »2, Mj). donde
(í, = ( 1 ,1 ,0 ) ; M; = ( 1 ,0 ,1 ) ; i7, = ( 0 ,1 , 1 )
RESOLUCIÓN
La matriz P de cambio de coordenadas y su inversa P~' (que se obtiene
fácilmente) son:
'1 1 0 ' ' 1/2 1/2- 1 / 2 '
1 0 I : p~' = 1/2- 1 /21/2
-0 ' 1. . - 1 / 21/2 1/2.
Por tanto, la matriz de / en la nueva base será la
A' = P -'A P -
■3 2 0‘
0 3 0
O O 1
□DETERMINANTE DE UN ENDOMORFISMO
[095]
Para cualquiera que sea el endomorfismo / : V—♦ V, de un espacio vec­
torial V de dimensión finita, todas las matrices asociadas a / en las
distintas bases de V tienen el mismo determinante, que se llama determi­
nante del endomorfismo / y se representa por det / . Este resultado puede
enunciarse, de modo equivalente, diciendo que dos matrices cuadradas
que sean semejantes tienen el mismo determinante.
Sean B = (é,,
.......é„) y B' = (é¡, é ') dos bases de un mismo
espacio vectorial V. Se dice que B y B' son dos bases con la misma o
con distinta orientación si es positivo o negativo, respectivamente, el
determinante del automorfismo / que transforma B en B \ esto es aquél
para el que f(é¡) = é¡ para / = 1, 2, ..., n. Las bases de V se dividen en
dos clases, que tienen orientaciones distintas.

181. DEMOSTRACIÓN
1. Si A y y4' son matrices de un mismo endomorfismo / : V—♦ V o si A y A'
son semejantes, sabemos que existe una matriz regular P tal que
A' — P AP. Tomando determinantes en esta igualdad, se obtiene:
d e t/\' = (d etP )‘ ‘(det A )(detP) = det A
2. Para el conjunto de todas las bases de V, la relación definida por
<=> (B y B* tienen la misma orientación)
en una equivalencia. En efecto, llamando (B, B') al endomorfismo que
transforma la base B en la base B \ se tiene:
• B ^ B \f B ya que {B, B) = / (identidad) y det / = 1 > 0 .
• B ^ B ' ya que (^ ', 5) = (5, 5 ') " ‘ y, como det(i5, 5 ') > 0 , será
det(i5', B) = [áet{B, 5 ') ] “ ‘ > 0 .
• B ^ B ' y B'^B·* => B ^ B ' \ ya que {B, B'*) = (B\ B'*)o(B, B*), luego
si det(fi, B ')> O y áti(B \ B " )> 0 será
det(i5, 5 " ) = [det(fi', 5 ")][d e t(fl, 5 0 ] > 0
En esta relación de equivalencia hay dos clases. En efecto: sea 5, una base
cualquiera y llamemos ^ resulte de cambiar el primer vector é,
de fí, por - é , . Es evidente que fi, y son de distinta ciase, pues det (5,, fij) =
= det ( - / ) = “ l. Para cualquier otra base B, como
det(fi, B,) = [det(fi„ B,)][det(fi, 5,)] = - d e t( f i, B,)
resulta que B tiene la misma orientación que una de las 5 , o y distinta
orientación que la otra.
________________________________175
OPERACIONES CON
APLICACIONES LINEALES
Las operaciones de las que nos vamos a ocupar aquí son las usuales entre
funciones en general. Hablaremos de la suma de dos funciones, del producto
de un escalar por una función y de la composición de dos funciones. Acontece
que cuando se suman, cuando se multiplican por escalares y cuando se com­
ponen funciones que son lineales, se obtienen nuevas funciones lineales.
Este asunto se analizará con detalle; se van a estudiar las estructuras alge­
braicas que con las susodichas operaciones, se originan en los conjuntos dc las
aplicaciones lineales. En concreto, se analizarán la conjunta <X(V, WO, de los
homomorfismos del espacio V en el W, el conjunto ^{V), de los endomorfismos

182. ÁLGEBRA LINEAL
de V, y el conjunlo GUV), de los automorfismos de V. El primero resulta ser
un espacio vectorial; el segundo, un anillo; el tercero, un grupo.
Todo lo anterior cobra, para nosotros, especial relevancia sí V y W tienen
dimensión finita. En estos casos, recurriendo a las matrices asociadas a \m
aplicaciones lineales, se establece un paralelismo entre las estnicluracioncs
algebraicas de los homomorfísmos y de las matrices. Mejor dicho, se definen
las operaciones entre matrices de modo que exista isomorfismo entre cada
estructura algebraica de homomortismo y su correspondiente estructura de
matrices.
ESPACIOS VECTORIALES
DE HOMOMORFISMOS Y DE MATRICES
En primer lugar consideraremos el conjunto de las aplicaciones lineales entre
dos espacios V y W distintos, en general, dedicando particular atención aJ caso
de dimensión finita, en el que intervienen las matrices.
□ESPACIO VECTORIAL iC (V, W)
[096]
Se denota por £f(V, VV)'’’ al conjunto de las aplicaciones lineales del
espacio V en el IV, ambos sobre un mismo cuerpo K. Se consideran la
suma/ + 5 y el producto A / usuales, para cualesquiera f y g de WO
y todo A 6 AT:
(f+g)(M)=f(Ü) + g(ü) . (A/)(íí) = A/(i7) (V ú eV O
Las aplicaciones f + gykf son lineales. Estas operaciones confieren a
£¿(V, MO estructura de espacio vectorial, sobre el cuerpo K. Esto es. para
cualesquiera f. g , h e X(V, WO y A, e Af, se verifica:
(f+ g) + h = f+ { g + h)
f + 0 = 0+ / = /
/ + ( - / ) = o
A ( / + ^ ) = A /+ A g
(A + fi)f= A /+ n f
1 / = /
{o es la aplicación nula. La aplicación —/ , o sea ( —/)(m ) = -f{S)·
« 6 V, cs lineal.)
(*) También .se suele poner Hom(V, WO,

183. EALES 177
DEM O STRAC IO N
• Las funciones / + g y Á f son lineales ya que. para cualesquiera ü,, m, e V y
a ,, or, e a:, se verifica;
( / + «)(«! «I + « 2«j) =/(«!«, + «jfi:) + + t t j i i i ) = l«,/(ü,) +
+ + ( a , s ( « , ) + r t,g ( íJ ,) ] = a , l / ( ü , ) + g(M ,)] + a , l / ( í 3 j ) + «(.Mj)] =
= « A / + + « } ( /+
( A / ) ( « ,m, + a j í J j ) = A /( < * ,« , + a ,M j) = A l « , / 0 7 , ) + =
= « , A / ( « , ) + a ; A / ( « , ) = a , ( A / ) ( i J , ) + a j ( A / ) ( M j )
• Para com probar que. con estas operaciones. Í£(V, W) c s un su bespacio dcl
esp a cio S ’íV', VV). de las ap licacion es cualesquiera de V' en W. Esta com p ro­
b ación se reduce a ver que, si d o s ap licacion es / , y de V en VV. son lin ea les,
tam bién c s lineal la a^ f^ + a , / j , para cualesquiera <*,. a , e K; esto e s justa­
m ente lo que acabam os d e com probar.
Ü ESPACIO VECTORIAL
10971 So denota por al conjunto dc las matrices dc tamaño m x n. con
elementos de un cierto cuerpo K\ cada una d c ellas, A. se corrcsptmde
biyectivatncnic con su aplicación lineal asociada (de 1C en íT"; respeclo
dc las bases c a n ó n ica s). La suina A + B y c\ pnxlucto ÁA. para cuales-
ijuierj A. fl e y A e A*, son las matrices de definidas de uno
cualquiera de h)s dos modos siguiente,s'"> (equivalentes entre sí):
1. Si A = (tí^l y fi = entonces A + W = 1<J^, + h^] y XA-
2. A + /? y AA s<in las matrices a.sociadas a las aplicaciones lineales + /#
y A/,, donde y / , son las aplicaciones lineales asociadas a A y B.
Estas operaciones confieren a .((„,, estructura de espacio vectorial
ist>morfo al ífíA.', A"), dc manera que; para cualesquiera A, B, C 6
y A, /i e A', se verifica:
(A + B) + C = A + (B + 0
A + (7 = 0 + A = A
.4 + (-A ) = 0
A+B=B+A
A(A + B) = AA +AB
(A + m)A = AA + /M
(A/Lt)A = A(/iA)
IA = A
(O ea la matriz nula. La matriz -A = “ (aJ = opuesta dc A.)
( ·) Para explicitar el cuerpo A' de escalares, en lugar dc se pondría
( · · ) B primero «le d h » y* fue adelantado en [0221·

184. [0981
DEMOSTRACIÓN
• Las aplicaciones lineales y fg son las que tienen por ecuaciones a
:(jcp--(> -,) = (2 V y ) y /« : Uy)-" (> () = (2 V y )
Por ello, las ecuaciones de y A/, son:
/^ + /« : (X,) - * + W y =^ ) <''"«)·*■/)
Resulta, pues, que las matrices asociadas a / , + /« y A/, son:
[matriz de +/«) = [a,j + h^] y [matriz de A/,] = [Aa^,]
Eslo confirma que las dos definiciones de suma y de producto por un escalar
coinciden.
• El segundo de los dos modos de definir las anteriores operaciones entre
matrices permite asegurar que la biyección entre M„,^„ y ít(K'\ K”') es un
isomorfismo y, como K ”) es un espacio vectorial, de ello se desprende
que también lo cs
Algebra lineal
DIMENSIÓN DE K***) Y DE
Los espacios vectoriales /T"’) y tienen, ambos, dimensión
m · n. Una base del segundo de ellos está formada por las m · n matrices
(para / = 1, 2
......m y ; = 1, 2. .... n) siguientes:
= matriz de tamaño m x n que tiene todos sus elementos nulos
excepto el que ocupa el lugar ij, que es igual a la unidad.
(A esta base la llamaremos base usual de
DEMOSTRACIÓN
El espacio tiene dimensión m · n y una base suya es formada por las E¡j,
segiín ya se comprobó en el ejemplo 2 de [061]. El espacio IT) también
tiene dimensión m · n, ya que es isomorfo al
E JE R C IC IO
Comprobar que las siguientes aplicaciones lineales f , g y h, de en llì^ son
(como elementos del espacio vectorial íf(IR \ R^)) linealmente dependientes
fix. y.z) = { x - y ·^ 2z, 3x + y)
gix, y, z) = i3x + y, -JC + 5y + 4z)
hix, y, z) = ( I r + z, JC + 3y -f 2z)

185. LEALES 179
■| - 1 2 '310 2 0 1
3 1 0 -15 4
; M ,=
1 3 2
RESOLUCIÓN
Las aplicaciones f, g y h serán linealmente dependientes si y sólo si lo son sus
matrices asociadas:
Estas tres matrices son linealmente dependientes si y sólo si lo son sus
vectores de coordenadas, respecto de la base usual, que son:
iV = (l. - 1 , 2 , 3 , 1.0)
17, = (3. 1.0. - 1 . 5. 4)
0, = {2, O, 1. 1. 3. 2)
Estos vectores son linealmente dependientes, pues 0/+ 0^ = 20,,, luego tam­
bién lo son f, g y h.
ANILLO DE ENDOMORFISMOS.
MATRICES INVERTIBLES
Q COMPOSICIÓN DE HOMOMORFISMOS
Y PRODUCTO DE MATRICES
Tanto la composición de aplicaciones lineales (véase [0811, 3) como el producto
de matrices (véase [023]) nos son ya conocidos. Recogemos aquí estas cues­
tiones para relacionarlas entre sí. justificando así la definición de producto de
matrices que, tal y como está en este momento, parece un tanto caprichosa.
(099] Dados tres espacios vectoriales V, W y U, los tres sobre el mismo cuerpo
K, toda aplicación lineal g :V -*W se puede componer con cualquier
aplicación lineal / : VV— (/, siendo el resultado fog: V— U una nueva
aplicación lineal.
Siempre que las siguientes composiciones tengan sentido, se verifica que
(/· fi y homomorfísmos; Á escalar):
(fog)oh =fo{goh) ( 1)
(f-^g)oh = fo h-^go h ( 2)
ho (f+ g )= h o f-l·h o g (3)
Mfog) = (A /)o ^ = /o(A íj) (4)

186. Algebra lineai
DEMOSTRACIÓN
En [081] 3) ya se comprobó que la composición de dos aplicaciones lineales
es otra aplicación lineal. Sólo hay, así. que probar las cuatro igualdades del
enunciado. Éstas son ciertas ya que, para cualquiera que sea el vector x al que
se le aplique unas y otras composiciones de funciones, se verifica que (se omite
la (3) por analogía con la (2));
(I)
U f o g h h m = (fog)(h(x))=mh(x)))]
lfo(.goh)i(x) = / I ( í »A)(-t)J =f(g(h(x)))
[ (/+ g)‘ h]M = ( / + g)(h{x)) = m x ) ) + g(h(x))
[foh + = {f«h)(x) + (goh)(x)=f(.h(x)) + g(h(x))
l M f > g m = MfogKx) = A /(íU ))
í(A/)oírIW = (A/)(/?(.t)) = Áf(g{x))
(2)
(4)
[1001 Dadas las matrices A e y B e y haciendo corresponder cada
una de ellas con su aplicación lineal asociada (f^ifC'—^fC'y IC,
respecto de las bases canónicas), se llama producto · Zí o a la
matriz de definidad de uno cualquiera de los dos modos, equi­
valentes entre sí:
1. Si A - [aJ y B - entonces AB = fe,·.] con = ¿
2. AB cs la mauñz asociada a la aplicación lineal
Siempre que los siguientes productos tengan sentido, se verifica que, si
A, B y C son matrices y A es escalar:
{AB)C=^A{BO
iA+B)C=^AC-\- BC
CiA^-B)^C A + CB
\(AB) = (\A)B = A(\B)
(*) i = I, 2»...» m yy = 1. 2 .n. Esta definición ya ha sido considerada en f023]: allí
ne comenu y desarrolla extensamente, se analizan los casos más interesantes y se hacen
observaciones al respecto.
DEMOSTRACION
• Las aplicaciones lineales / , y son las que tienen por ecuaciones a:
fa '■ (X/) (y*) = (X para y = 1, 2........ n
/i= I, 2
.......p
i = 1. 2
........ m

187. 181
Pòr clk>, las cciuiciooc:^ ik son:
A · / · : < v * - (O = < 1 a^K I V * . ) ) = d . d .
» i ■ > *
Resulta, puc%. quc la matriz asociada a / * · / ·
(Mairi/ de A ·/# ! * ^ 1 . *looik S
lo cual prueba que ìùs dui dtfimcione^ dadas de paxiucio son. en efecto,
coincidenceií.
• La* cuauo igualdades que figunin al final de e^ e enunciado s%>n consecuencia
o h v u de U% corrt%poodicnun igualdades, entre apItcaciiHies lineales, que
acabanιo^ de coasidenir en el anicnur enunciado (UWJ. NiSiese a este respecto
que laü biyeccionc!!
ye convierten en iUMnorfismo% al c\Mi!^iderar la ctwnposición de aplicaciones
en J { K \ y el pnxlucto de niaihcei^ en Recuérdese que, pi>r otra
piarte. U» prv)f>iedades del producto de matnces fuenm ya estudiadas anterior­
mente (véa.^ 10241>.
UKRC t( l<>
Sean / :R ’- · R·* y f :R ^— R ' l » apbcmmvici lineales que (letien por ecuaciones a:
/ ; U . V. z ) * ^ / U · ir. r> * U ^ 2> ♦ 3c, -J t f y -t- 5 :)
f : ( K . V. 2« - r, 3ii — 4 r )
Hallar las ecuackine» m atrnu lei (en Na.%c% canónica») de j ? ·/ y de /oju (nótese
que. en e»te c&w>. amh&^ cofnpoMCMJOci tienen in fid o ).
RESOLUaÓS
Las malnceü de / y f «oo la.%
A f,-
1 2 3
1 5
y
'1 r
2 - !
.3 - 4 .
Por tanto, las ecuaciones pedidas soo
x~‘03 8‘x~
y, z ) —" M , ' M ,·y
=33 1 y
.2.72 .z.
u 1 4- 1 3 u
t 1 6- 2 2 0

188. Un caso particular del anterior, que tiene especial relevancia, es aquel en el
que las aplicaciones lineales que se componen 1o son de un espacio V en sí
mismo (endomorfismos en V) o, si hablamos del producto de matrices, aquel
en el que se multiplican matrices cuadradas, del mismo tamaño. En estos
supuestos, la composición de endomorfismos o el producto de matrices cuadra­
das son operaciones internas para el conjunto, de endom orflsm os o de matrices
cuadradas, que ahora se considera. Con la suma y con esta nueva operación de
la que estamos hablando, se obtienen estructuras algebraicas de anillo, de las
que pasamos a ocupamos.
J ANILLOS DE ENDOMORFISMOS Y DE MATRICES
Se denotará por al conjunto de los endom ortlsnios de V; la suma
y la composición de aplicaciones son operaciones internas para iE{V).
Ella.s le confieren estructura de a n i l l o u n i t a r i o , no conmutativo y con
divisores de cero; esto es, i£(V) es grupo abeliano para la suma y, además,
se verifica (para cualesquiera/, g, h e ^(V)):
(fo^)oh= fo(goh)
/o ( ^ + / l ) = / o ^ + / o / /
ig-^h)of = g o f-h h o f
f o i io f zrzf (/ = apHcación idéntica)
fo g z ^ g o f (en genera!)
f ^ g - o f /= í> ó g = o] (en general)
(^) Con la notación de (096], ^{V) no es otra cosa que V); lambién se le suele
denotar poniendo End(K).
( ♦ · ) Véase el Apéndice A.9 al final dcl libro.
DEMOSTRACIÓN
El que la suma y la composición de aplicaciones son operaciones internas para
Í6(\0 son consecuencias obvias de lo dicho en [096] y [099]. Respecto de las
igualdades anteriores, las tres primeras ya se consideraron en [099] (para un
caso más general), la cuarta es evidente. Para verificar las dos últimas relacio­
nes, bastará con poner sendos ejemplos:
1. Sea V el espacio vectorial de los polinomios p(x) de coeficientes reales;
sean /, ^ e X(V) los endomorflsmos:
f:pix)^f(p(x))^p(-x)
g : p ( x ) ^ g(p(x))=^p'{x)
Las composiciones f<>g y g o f son distintas ya que:
/[^(flo + a^x + OjX^ + üyX^z-^ ··· + a^x^)] 2 a ^ -f - ± na^xT"^
g[f(oQ + tt\X + ^ 2 ^ **■ *'* ^ n ^ ) l = “ ^1 2 ^ 2 ^ “ 3fl3jc^ + - ^
son dos polinomios distintos.

189. O’UCACIONES LINEALES 183
2. Sea V el espacio vectorial de las sucesiones indefinidas de números reales'*^
y considérense las siguientes aplicaciones / : V— V y g que evi­
dentemente son lineales:
f(X\t -Xj* X3* X4* ···♦ •^2/J-P •^2n» ···) ” (-^1» O, Xj, O, X2nti* ·")
^(•^1» «^2» •^3» X4* *··* ^T/t* ···) ~ **2» X4* ··'» ^Tn* ··')
Ninguna de ellas es el endomorfismo nulo y, sin embargo, las dos compo­
siciones g<»f y fo g son nulas.
[1021
Recibe el nombre de álgebra la
siguiente estructura algebraica:
un conjunlo A dolado de dos
operaciones internas, que llama­
remos suma ( + ) y producto ( · ) ,
y de un producto por escalares
(elementos de un cierto cuerpo
K) lales que: 1) A con la suma y
el producto es un anillo; 2) A
con ia suma y el producto por
escalares es un espacio vectorial,
y 3) para cualesquiera \ e K
y fl, fl' 6 A, se verifica que
A(fl · fl') =s (Áa) · fl' = fl · (A fl').
Los conjuntos X(V) y de los
endomorfismos en un espacio
vectorial V y de las maüices
cuadradas de tamaño n, son ál­
gebras respecto de las operacio­
nes usuales. También es un álge­
bra el conjunlo de los poli­
nomios con coeficientes en un
cierto cuerpo.
Se denota por al conjunto de las matrices cuadradas de tamaño w.
con elementos de un cierto cuerpo K\ la suma y el producto de matrices
son operaciones internas para M„. Ellas le confieren estructura de anillo*^^
unitario, no conmutativo y con divisores de cero; esto cs, M„ es
un grupo abeliano para la suma y, además, se verifica (para cualesquiera
A. B, C e MJ:
(AB)C=^A(BC)
A{B + Q = A B ^ A C
(B -f- C)A = BA-^CA
Al = IA= A (/ = matriz unidad)
ABi^BAj (en general)
AB = 0 ^ [ A - 0 o B - 0 ] (eo general)
Este anillo es isomorfo al X{K'% de los endomorfismos de /T".
(') .it, no es olrd cosa que (véase ÍÜ97)). Si hubiera necesidad de señalar cuál era
el cuerpo K de escalares, en lugar de ponerla AIJ/C)·
f í Véase el Apéndice A.9 al final del libro.
DEMOSTRACIÓN
La biyección, entre M.„ y X(K‘), que a cada matriz le hace corresponder su
endomorfismo asociado, respecto de la base canónica, es lineal respecto de la
suma y dcl producto-composición, ya que de acuerdo con las definiciones de
estas operaciones (véase 1097) y [lOO]), para cualesquiera A, B e jM„, es:
[Endomorfismo de + fí] = [End. de >4] 4- [End. de fi]
[Endomorfismo de AB\ = [End. de /\]<>[End. de 5]
(*) En este espacio, la suma y el producto por escalar se definen, como para sucesiones
limitadas, mediante:
(Jf|. X2
.....···) + (>'1· >2 ...........y.· ···) “ (·*« ·+· yi^ «2 ·»■ .V2 .............>’......)
A(x,, Xj
.....x^, ..,) = (Ajf,, Aaj, A.V ...)

190. ÀLGEBRA LINEAL
Por tanto, dicha biyección es un isomorfismo y, como X{K") es anillo respecto
de la suma y la composición, también los respecto de la suma y el producto.
Como el primer anillo es unitario, también lo es el segundo. Las dos últimas
relaciones se verifican fácilmente con algunos ejemplos, como los siguientes;
1. Para matrices cuadradas A y fi, en general es AB # BA, como en el caso:
AB =
1 - 3 ‘'2 0 '- 7 - 3 '
2 4 3 1 8 4
BA =
2 O
3 1
1 - 3
- 2 4
2 - 6
1 - 5
2. Para matrices cuadradas A y ñ, el producto AB puede ser nulo sin que
lo sean ni A ni B, como en el caso:
1 - 24 0' 0 0
- 3 6 2 0 0.
□AUTOMORFISMOS Y MATRICES REGULARES
Recordemos que en un anillo, como los if(V) y ií,, recién analizados, los
elementos que tienen inverso desempeñan un papel destacado; el conjunto que
forman los elementos con inverso es un grupo respecto del producto, que se
llama grupo multiplicativo del anillo (véase [3981, en el Apéndice 9). Vamos
ahora a ocupamos de dichos elementos que son: en i£( V), los automorfismos de
V o aplicaciones lineales biyectivas de V en V\ y en las matrices cuadradas
regulares o invertibles.
11031
Se denota por GL(V) al conjunto de los automorfismos de un espacio
vectorial V, es decir, de los endomorflsmos f : V —*V que son biyectivos.
Este conjunto GL(V) es un gmpo respecto de la composición de aplica­
ciones, que recibe el nombre de grupo lineal de V.
Se denota por GL(n) al conjunto de las matrices cuadradas regulares^’^
(de escalares de cierto cuerpo K), Este conjunto GL{n) es un grupo
respecto del producto de matrices, que recibe el nombre de grupo lineal
de tamaño n.
Los grupos GUJC) y GL(n) son isomorfos.
( ♦ ) Recuérde.sc que una matriz cuadrada A de tamaño « x n cs regular si se cumple uiia
cualquiera dc las siguiente.s condiciones equivalentes entre sí: A tiene inversa, A es simpü-
ficablc para el producto, A no es divisor dc cero, áelA^O (véase [0271. (0301 y [040]).

191. 185
DEMOSTRACIÓN
Los conjuntos GUy) y GL(n) son grupos por tratarse de los conjuntos que
fonnan los elementos inversibles de los anillos ^{V) y respectivamente
(véase [398], en el Apéndice 9). Los grupos GL(IC) y GL(n) son isomorfos ya
que los anillos ^(IC) y son isomorfos.
E JE M PLO
Seas V el espacio vectorial de los polinomios p(x) de coeficientes reales y
considérese la aplicación
/ : V — V , p {x)^ f(p {x ))^ p {x )^ x p \x )
Nótese que la expresión de f{p{x)) es:
/(tío + + — + a ^ ) = «o + + — + (aí + 1 )a X
Esta aplicación / es evidentemente lineal y biyectiva; se trata, pues, de un
automorfismo de V, e.sto es, / e GLáV). El automorfísmo recíproco (o inverso)
del / es el / “ ‘ definido por
/- '( 6 „ + V + <>í^ + - + ¿ X ) = í»o + Y -^ + j ^ + - + ; ^ ^
Nótese que, para cualquier polinomio ^(jc) e V, se puede poner
q{t)dt , / - ' (9(0)) = <?(0)r \q { x )) = \
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Este tema de los sistemas de ecuaciones lineales lo venimos arrastrando desde
la primera página. No es casualidad. Hemos querido empezar el estudio del
Algebra Lineal por donde es más fácil y procurándonos, lo antes posible,
herramientas y útiles que nos facilitarán el estudio de esta disciplina. Por ello,
en primer lugar, antes que ninguna otra cosa, nos las vimos con los sistemas
de ecuaciones lineales. Pero, obviamente, no pudimos entonces abordar este
asunto con la extensión debida, cosa ésta que hemos venido haciendo a medida
que nos ha sido posible. Con lo que aquí vamos a considerar, daremos por
concluido el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.
Todo cuanto decimos a continuación será en tomo del teorema de Rouché,
sobre el que ya dijimos algo en [049); no obstante, lo que allí se obtuvo no
pudo ser suficiente, por lo que nos vemos obligados a completarlo ahora.
Nuestro objetivo es comprobar que las soluciones de un sistema de ecuaciones
lineales (compatible) forman una «variedad afín». Por ello, empezaremos defi­

192. 186
ÁLGEBRA LINEAL
niendo estas variedades» comprobaremos después que, en una aplicación lineal,
la imagen recíproca de un vector es una variedad lineal y acabaremos demos­
trando el Teorema de Rouché.
B
. VARIEDADES AFINES
Las rectas y los planos, de R \ son las variedades afines que, a buen seguro,
primero hemos conocido. El plano que pasa por a e y tiene como vectores
de dirección a los iíj y üj (linealmente independientes), no es otra cosa que el
conjunto de todos los x e U ^ que se pueden poner en la forma:
jf = tí + A,m, -f (al variar Ap Aj e U)
Obsérvese que si llamamos U al subespacio de que engendran w, y
el referido plano es el conjunto
{Jc = tí + í7 / M € (/) (plano que pasa por a y tiene a U por dirección)
Este conjunto, que se llama variedad afín, se denota por á-^ U. Pues bien,
en general, se define:
[104]
Si U es un subespacio del espa­
cio vectorial V. la relación enü-e
vectores C y O' de V dada por
0 — O*eU es una equivalencia;
el correspondiente conjunlo co­
ciente, que se denota por V/U
eslá formado por las clases [í?],
que son las variedades afines
[0] = + t/. Las operaciones de
V son compatibles con esta equi­
valencia, lo que permite definir
en V/U las operaciones suma y
producto por escalar mediante
[w] [C] = (m -f- P) y A[c] = [AíJ].
Con estas operaciones. V/U es
un espacio vectorial que se lla­
ma espacio vectorial cociente.
En un espacio vectorial V, se llama variedad afín que pase por ó e V y
que tiene por dirección al subespacio UaV, al siguiente conjunto de
vectores, que se denota por á + U:
Dos variedades afínes á, + í/| y ¿¡2+ U2 son iguales si y sólo si se
verifícan las dos condiciones siguientes a, - g í/j = í/j·
DEMOSTRACIÓN
Antes de entrar en materia, conviene notar que, de acuerdo con la defínición,
para cualquiera que sea el subespacio vectorial U, se verifíca que ó ^ U - V y
s\ á e ü , también es á + í/ = (/.
1. Supongamos en primer lugar que a, - e £/, = í/j· Entonces, será:
fl, + í/, = tí, + í/j = {tí, + / «2 e U2] = {¿2 + («I - á.) -f ¿2 / Ü2 e I/2I =
= [Ü2 + [(tí, - Ù2) + W2I / W, - flj) + «2 e V2] =
= {tí2 + í ? ' /m' / M ;eí/2 )= tí2 + L ^ 2

193. apucaciones lineales 187
2. Supongamos ahora que d^ + í/, = ^2 + ^2· evidente que esta igualdad
equivale a la (á, - + í/, = (^2 ~ ^0) ^2» donde á ^ e V puede ser cual­
quiera; tomando Aq ~ obtiene que í/, = (á, - ¿r,) + í/j· Como ^ e t/,,
ha de existir un il e U2 tal que ó = (Jj - ó,) -f- o sea, á, ~ J j “ “ Y
entonces resulta que J, - ¿íj e (/2·
Por otra parte, como ha resultado que ¿2 ^ ^2» podemos asegu­
rar que (¿2 - tí,) + ^2 ~ ^2 (y^ es obvio que, si a e í/, entonces
tí + ¿/ = (/). Dado que anteriormente hemos obtenido que í/, =
= (tí2 —tí,) + U2, de esta igualdad y de la anterior se concluye que es
U^ = U2, con lo que concluye la demostración.
IMAGEN RECIPROCA DE UN VECTOR
(105) Sea / : V—► W una aplicación JineaL entre los espacios vectoriales V y VV,
y considérese un vector fijo h eW . Se verifica que:
1. Sí h ^ Im (/), entonces f~ \b ) =
2. Si h e Im {f), es decir, si existe algún ^ í^l que /(io) = en­
tonces f^ \b ) es la siguiente variedad afín:
/-'(£■ )= j(„ + N uc ( /)
DEMOSTRACIÓN
El apartado 1 es evidente. El apartado 2 es consecuencia de la siguiente cadena
de equivalencias:
X E f - \ b ) <=> b = m o f % ) = m ^ f(x-Xo) = ó <=>
<=> x - x ^ e N u c i f )Í € f o + N uc(/)
Sea / : V-* IV una aplicación li­
neal entre espacios vectoriales.
El espacio vectorial cociente
lV/Nuc(/) está fomiado por las
clases [f] = t» -1- Nuc (/); esta
clase (el es el conjunto de todos
los vectores de V que tienen la
misma imagen que el vector
f e V. Este espacio cociente es
isomofío al espacio imagen
lm(/); la aplicación ·-♦/(*?)
es un isomorfismo entre ellos
{teorem a d e is o m o r f is m o ) .
E JE M P L O S
1, Sea V el espacio vectorial de las funciones de R en R que son derivables
y tienen derivada continua; sea W el espacio vectorial de las funciones de
U en R. La aplicación derivada
D : V - W , / - - D ( / ] = / '
es lineal. Dada una función ^ g VV, respecto de su imagen recíproca por
D, puede ocurrir:
• D^^[<p] = <t>, si <p no es una función continua.

194. Al g e b r a u n e a l
• o \(p\ = {/(, + c / c e R) = /o + R, donde ^ es una primitiva de (p, en
el caso de que (p sea una función continua.
Nótese que. en este segundo supuesto, la imagen recíproca D '1^1 cs el
conjunto de todas las primitivas de que es lo que se llama integral
indefmida de (p.
2. Sea / : R^ — R^ la aplicación lineal de ecuación
/U , y, z) = (2x-‘ y, - x + z)
La imagen recíproca del vector (l, 3) e R^ esta formada por lodos los
vectores (x, y, z) e R^ tales que
2 j c - y = I
-X + z = 3
o sea
X = cualquiera
y = “ 1 + 2 x
= 3 + JC
Es decir,
r ' ( i , 3 )= {(a, - 1 + 2a, 3 + a ) / a e R) =
= (0, - l , 3 ) + { ( a , 2a, a)/aeR) =
= (0, - 1 , 3) + N u c(/)
6.8. TEOREMA DE ROUCHE
Vamos a hablar aquí de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
jCj, jCj, jc„; los coeficientes del sistema son elementos de un cierto cuerpo K,
en el que se buscan las soluciones:
o AX = B (matricialmente)
donde A = [a,y), de tamaño m x w, es la matriz de los coeficientes, X = [Xj] la
matriz columna de las n incógnitas y B = \b¡] es la matriz columna /wxl de
los términos independientes; AB = \a¡¡ \ h¡] se llama matriz ampliada.

195. JEALES 189
[106]
Sean dadas A e y B e sca X e jìì^^, desconocida (incógnita).
Se verifica que (ieorenia de Rouché):
L E1 sistema AX = B, de m ecuaciones lineales con ti incógnitas, tiene
alguna solución si y sólo si rang/fò =rangA ; el sistema tiene solu­
ción única si y sólo si rang/fò = rang/\ = n.
2. Si el sistema es compatible, entonces sus soluciones forman la varie­
dad afín:
(Soluciones i4X = ^) = + {Soluciones de AX = O)
donde Xq es una solución de AX = B y donde el conjunto de las
soluciones de la ecuación homogénea AX O es el núcleo de la
aplicación lineal X ^ Y = AX (este núcleo tiene dimensión n - r).
(*) Al conjunto de las soluciones de un sistema se le suele llamar la «solución gcneraU
del mismo: si se considera una sola solución, se la llamará «solución particular». Con esta
terminología, se dirá que la solución general de un sistema AX = B es igual a una solución
particular de él más la solución general del sistema homogéneo asociado, AX = O.
COMPROBACION
La parte l del teorema ya se comprobó anteriormente (véase [049]). Nos ocu­
paremos. pues, fundamentalmente de la parte 2. aunque algo diremos también
de aquélla.
Al recurrir a la aplicación lineal / : R'*—♦ R"' que está asociada (en las bases
canónicas) a la matriz >4. esto es. a la K = AX. queda de manifiesto que
las soluciones de la ecuación AX — B constituyen la imagen recíproca de B,
esto es, f~\B)^*^ que. de acuerdo con lo dicho en [105]. 2; es:
r \ B ) = Xo + Nuc (/) = Xo + {X / AX = O) =
= Xo + {Soluciones de AX = O)
Por tanto, el conjunto de las soluciones es el que se decía en el enunciado.
Para que exista solución de AX = es necesario y suficiente que B perte­
nezca a la imagen de / . es decir, que la columna B sea combinación lineal de
las columnas de A, o sea. que AB tenga el mismo rango que A. Además, la
solución será única si y sólo si. además de ser rangAB = rangA. se verifica que
Nyc (/) = o . o sea, rangA = ran g / = n - O = n. con lo queda también compro­
bada la parte 1 del teorema.
(♦) Para no complicar la notación, se pone H en lugar de ò = (/?,,
......esto es, se abusa
de notación escribiendo matrices columna, como B, en lugar de vectores, como b.

196. ÁLGEBRA LINEAL
ESPACIO DUAL
Históricamente» en geometría plana la dualidad era entendida conio una corres­
pondencia que trasportaba las propiedades de los puntos convirtíéndolas en
propiedades de las rectas y recíprocamente. Así, por ejemplo, «estar alineados»
(los puntos) se convertía en «pasar por un punto» (las rectas). Con la dualidad,
las propiedades lineales entre puntos daban lugar a propiedades lineales entre
rectas.
Al tratar algebraicamente estas cuestiones, los puntos han dado lugar a
vectores y las rectas, al recurrir a sus ecuaciones, han conducido a las funciones
lineales. La dualidad pasa, así, a ser una correspondencia entre vectores y
«formas lineales» que permite dotar a estas últimas de estructura de espacio
vectorial en el que se reflejan las propiedades de aquéllos. Este espacio vecto­
rial de las formas lineales se llama «espacio dual» del espacio de vectores del
que se partió.
6.9. ESPACIO DUAL
[107]
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Se llama forma lineal en
V a toda aplicación lineal del espacio vectorial V en K (espacio vectorial
sobre sí mismo). Es decir, la aplicación <p:V—*Kcs una forma lineal si
(para cualesquiera m, iJ e V y A, e ^0 se verifica que:
(p{\ü + = \<p{ü) + fx(p(v)
Al espacio vectorial i£(K, K) (véase [096]), de estas formas lineales en
V, se le denota por V* y recibe el nombre de espacio dual de V.
OBSERVACIONES
1. De acuerdo con lo dicho en [096], para el espacio dual V*, es:
V *-\(p'.V -*K ! <p lineal}
donde
k < p + f i i j i: u*->(Á<p + tii/i)(a) = A ^ (tt) + /tiVH«)

197. 2. Toda forma lineal (p \ V—► K es una aplicación sobreyectiva, salvo que sea
ip-o. En efecto: si es ^ # o, entonces (p{ü^ ^ O para algún € V. Dado
entonces cualquier k e K, será
k k
para ü = —— Wy, es (p(ü) = —— ^
luego las imágenes <p{ü) para w e V recorren todo AT. En particular, tomando
^ = 1, existe algún ü tal que ^(w) = 1.
191
EJEM PLO S
L Para el espacio vectorial real V = R). de las funciones reales de IR
en R, la aplicación
<p:V^U,
cs una forma lineal.
2. Para el espacio vectorial real V= R \ una forma lineal lo es la aplicación
* ^ : R·’ —* R dada por
(x. y. z) <p{x. y y z) = 5x-^ 8v - 6z
El espacio dual V* estaría constituido por todas las aplicaciones ^ : R^ —► R
del tipo
(f(Xy y y z) = Í/JC + by + cz
(para unas ciertas a, b,c e R). Cada forma lineal queda, pues, caracterizada
por la tema («, b, c), que puede ser considerada como su sistema de
coordenadas.
□BASE DUAL
En el último ejemplo que acabamos de considerar, se puede apreciar que,
operando en la base canónica de R \ es fácil obtener una base para su dual.
Esta base la constituyen las tres formas lineales y <py siguientes:
<pr>(x. y. z)^-^(Py(x, y. z) = x
<Pi *· (x^ y* Z) ^2(x* y* z) = y
(Py'Áx. y. z)^(Py(x. y.z) = z
Cualquier otra forma lineal se puede poner, en efecto, como combinación de
estas tres:
<p(x> y, z)-üX-\- by + cz = a<py(x, y, z) + btp2(x, y, z) + C(py(x, y, z)

198. 192 ÁLGEBRA LINEAI
[1081
O sea» (p = a<p^ + bfp^ + c<py Además (p2 y ^3 son independientes y, por
ello» constituyen una base, como se había anunciado.
Pues bien, lo aquí dicho se verifica en general, siempre que se considere
un espacio V de dimensión finita, como pasamos a comprobar.
Si es un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, que tiene dimensión n
y s\ B - (é,, es una base de V, entonces el espacio dual V*
también tiene dimensión n y una de sus bases es 5* = (^,, ^2* ···*
que se llama base dual de 5, siendo (para / = 1, 2, ..., n)
(Pi\V-*K , x ^ ( p f,x ) -x ¡
(x¡ = coordenada /-ésima de x en B)
Las coordenadas de una forma lineal i/r e V* en la base dual B* son los
escalares 0(é,),
......tp(é„y
DEMOSTRACIÓN
Obsérvese en primer lugar, que las n formas (p¡ pertenecen a V* es decir, que
son lineales. Así ocurre ya que, para cualesquiera x, y e V y Á, fi e K es:
(PfiÁx + fiy) = coordenada /-ésima de (Áx + fiy) =
= \x¡ + fiy¡ = Á(p¡(x) + fi<p¡(y)
Nótese también, que (p¿(éj) vale O si es y vale l si es / = j. Debemos
comprobar que B* = ·· ♦ <P„) un sistema independiente que genera
todo V*. En efecto:
B* es linealmente independiente ya que (para A,, A2» A„ e K):
n n
^Á¡(pi = o => Za,<p/m) = 0 , V S e V =»
/-I
X A,v>Xé;) = 0 ( / = l . 2
......n) => A^ = 0 0 = 1 . 2........n)
B* genera V*, ya que para cualquiera que sea tfieV* y llamando j:,, Xi
.....
a las coordenadas en B de un jc e V cualquiera, se tiene:
i K ^ = 0Í Z J r Á ) = X x¡iHéi) = ¿ <P,{x)iKé¡)
\í-t } i-i <-i

199. NEALES 193
y como eslo se verifica para todo x e V, se concluye que
0 = i + >Kéi)9i + - +
luego if/ es combinación lineal de las como había que com-
probíir.
Nótese finalmente que la última igualdad informa de que los escalares
.... son las coordenadas de ^ en la base fi*.
6.10. APLICACION DUAL O TRASPUESTA
[109]
Sean V y W dos espacios vectoriales, ambos sobre el mismo cuerpo K, y
sea V* y W* sus respectivos espacios duales. Se llama aplicación dual o
traspuesta de una aplicación lineal / : V—♦ VV a la siguiente aplicación / ♦
PiU-a cualquiera que sea la aplicación lineal / , su aplicación dual / *
también es lineal. Se verifican además las siguientes propiedades:
1. ( A / - f / x ^ ) * = + V / . ^ 6^ ( V . W ), VA./xe/C.
2. V /:Ü ^{K U O . e i£(W. í/).
Nótese que / * transforma cualquier <p: VV—^ K lineal en la aplicación
f ( < p ) : V ^ W - ^ K . ú — / * ( í P ) ( w ) = ( < P » /) ( « ) = < ? (/(« ))
que es lineal (ya que resulta de componer aplicaciones lineales) de V en K, esto
es. f*{(p) es efectivamente una forma lineal de V^*.
DEMOSTRACION
• La aplicación f* es lineal ya que. para cualesquiera <p, ijf e W* y Á, p. s K,
se verifíca (como ahora veremos) que:

200. En efecto: para cualquier m e K es:
/*(Av> + = ((A<P + - (A<p + =
= Á<p{f(ii)) + fiilK fíB )) = Á (< p»f)(ü) + fi(i¡>of)(úf =
= A f * ( , p m + i i f i m a ) =
• Las propiedades I y 2 del enunciado son ciertas ya que:
1. Para cualquier ^ e VV* y todo ü e V, es:
(A / + fig)*(<p)(ü) = (po(Á/+ !ig)(a) = <p{(\f + !J.g)ia)) =
= <p(Kf(a) + ngiü)) = A ^{/(«)) + ti(p{g(a)) =
= A ( ^ ® /)( m ) + /i.(^ » í> )(íí) = Áf*(<p)(Ü) +
2. Para cualquiera que sea 'l' e U*, es
(f*og*)(i/,) =f*(g*(^)) -f*{iliog) = (^ o j? )* /]
^ A P L I C A C I Ó N D U A L Y M A T R I Z T R A S P U E S T A
[llOJ
Sea V y W dos espacios vectoriales, ambos sobre un mismo cuerpo K,
que se suponen de dimensión finita, y sean B y C bases de V y W. Si
una aplicación lineal / : V'—♦ W tiene a A como matriz asociada, respecto
de las bases B y C, entonces su aplicación dual o traspuesta V*
tiene por matriz asociada, en las bases duales C* y a la matriz A\
traspuesta de A.
DEMOSTRACIÓN
Sean B = (é„ ^2» -m é ^ y C - (w,, .... mJ. S\ A = [a^j] es la matriz de / en las
bases B y C, entonces
m
f(éj) = X (para ; = 1, 2
......n)
Dada cualquier r e W*, hay que encontrar las coordenadas de = en
B* en función de las coordenadas de r en C*. Según lo obtenido en (108), unas
y otras coordenadas son = r(w,) y cTj = oiéjX Por tanto, se tiene:
= O) = = /*(T)(íj) = = r{f(éj)) = t I
V · - !')■
= ¿ a¡yT(M,.) = X a„r, (para ; = 1, 2
......n)
i-l

201. LINEALES 1 9 5
Así, pues, el elemento de lugar ji de la matriz asociada a / * es igual al elemento
de lugar ij de la matriz de / ; esto es, la matriz de / * es la traspuesta de la
matriz de / .
□ESPACIO BIDUAI,
[111] Dado un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K, se llama espacio bidual
de V al espacio dual de V*, al que se representa por V**.
Para cada ü e V, la aplicación V*—» K, es un elemento
de V**. La aplicación F: V—* V**, F{ü) = F{¡ es lineal inyectiva. Si V es
de dimensión finita, F es un isomorfismo, que permite identificíu- V con
su bidual V**, que recibe el nombre de isomorfismo canónico.
DEMOSTRACION
• Para cualquier ü e V, la aplicación F^ es lineal (luego pertenece a V**) ya
que, para ^ e V* y A, /x e /C, es:
Fa(Á<p + pili) = (K(p + p\l/)(ü) = \<p(ü) + = AFfl(<p) + pF^i^)
• La aplicación F es lineal ya que, para w, t? e V y A, /i e AT, es
F(Ai7 + /¿ü) = \F{ü) + /xF(iJ)
puesto que para cualquiera que sea (p e V*, se verifica que:
F(\ü + pv)(<p) = Fai7+míj(^) = =
= X F M + p F M = (AF„ + pF,){<p) = (AF(m) + pFm(<p)
• La aplicación lineal F es inyectiva ya que su núcleo es nulo, pues está
formado por las m e V tales que Fq = o, esto es, tales que = O para to­
do e V*, o sea, tales que <p{ü) - O para toda fonna lineal tp e V*, lo cual
sólo ocurre para íi = ó.
• Si V tiene dimensión finita, dim V = «, entonces V* también tiene dimensión
n (véase [108]). Como V** = (V*)* resulta que V** tiene la misma dimen­
sión que V* es decir V** tiene dimensión n. Este resultado conduce a que
la aplicación lineal F:V--*V** que es inyectiva sea, ahora, también so­
breyectiva, es decir, a que F sea un isomortismo.
FACTORIZACION LU DE UNA MATRIZ
(Véase el Apéndice 6, en la página 616.)

202. 196 ÁLGEBRA UNEAI
Ejercicios y problemas a la parte II
E N U N C I A D O S
I L I . Sean V^ y V2 dos espacios vectoriales (con cl m is­
mo cuerpo de escalares) y considérese el producto
cartesiano V, x Vj, en el que se definen la suma y
el producto por un escalar mediante:
(ÍJp + Ci) = (íJ,+/J¡, 0 2 + 0^2)
Á{0^y 02) = (Áüjy ÁU2)
Pruébese que con estas operaciones el conjunto
V, X V2 es un espacio vectorial. Si V^ y V2 tienen
dimensión finita» compruébese que:
dim (V, X V'2) = dim V^ + dim V2
grado m enor o igual que 4, se consideran lo« po>
linomios:
p^ix) = 3 “ 2jc-fjr^-»-4j:^ + >c^
P2Íx) = x + +
Pi(x) = 7 - 8ji + 3jt^ +
(¿i, ^ e R fijos). H allar a y h para que el subcspB'
cío que engendran p,(jr), pjix) y p^ix) tenga dimen­
sión 2. Hallar una base cualquiera de este sube»·
pació y determ inar las coordenadas en ellas de los
tres polinom ios dados,
II.5. Hallar el valor que hay que asignar ai parámetro
a para que las siguientes m atrices no formen ba&e
del espacio veclorial de las mutrices cuadra­
das de tam año 2x2:
real respecto de las operaciones usuales. Se consi­
deran las siguientes funciones de ''^((R, IR):
sen X, 1, ^ jc^, x” (n e N dado)
Analícese si la primera es una com binación lineal
de las demás.
II.3. Considére.se el espacio vectorial V = Muiy de las
matrices cuadradas de tamaño 2 x 2, y sea 5 = (A/,,
Afj. M^) el sistema formado por las matrices:
a) Com probar que 5 es una base de V.
b) Hallar las coordenadas jc,, Xy x^ en la base
S de una matriz genérica M de V\
II.2. C om pruébese que el conjunto ^ ( R , R), de las fun­
3 2 2 1 6 5 5 4
ciones continuas de R en R, es un espacio vectorial 2 1 I 0 4 2 4 a
II.6. En el espacio vectorial de las matrices reales y
sim étricas de tam año 3 x 3. se consideran las ma­
trices:
0 0' 0 !'
0 1 0 1
1 1
^4 =
I 0'
0 0 1 0
■ 1 2 - r
2 3 4
“ I 4 - 2 .
I 3 2
3 2 6
.2 6 0.
^3 =
2 7 3·
7 3 9
3 9 1
‘ 2 4 - 2 ’
4 6 8
- 2 8 -4.
1 4 5'
4 I 8
5 8 2
M-
a h
c d
Hallar la dim ensión y una base del subespacio que
engendran estas 5 m atrices. O btener las ax>rden»-
das de todas ellas en la base elegida.
II.7. En el espacio vectorial V = Í?(IR , R), de las fun­
ciones de R en R, se consideran el sistema de
funciones:
IL4. En el espacio vectorial V de los polinom ios de 5 * ( 1. sen x, eos sen 2 \\ eos 2x)

203. fl) Comprobar que 5 es linealmenle indepen­
diente.
b) Hallar una base B del subespacio que engen­
dran las funciones;
fiix) = 1 - 2 sen .t + 3 eos jr - sen Zx
/ j U ) = sen .r + CCS jr - 2 sen 2jc - eos Iv
/,(jr) = 2 - eos .V + sen I r + 3 eos 2x
f^ix) = 1 + 4 sen JT ~ 2 eos .r -
- 2 sen + eos Zx
fiix) = 4 + sen X - eos a + 5 eos Zx
c) Completar la base B hasta obtener una base
del subespacio engendrado por S.
11.8. En el espacio vectorial V de los polinomios reales
de grado menor o igual que n (con una sola inde­
terminada ,r), .se considera la base usual B = {\, x,
A .... x"). Compniébese que f l ' = ( l , . r - a ,
(x - a)^
......{X “ tí)"), donde íi e R es dado, cs una
base dc V y hállese la matriz del cambio de cíwr-
denadas que resulta de cambiar la base B por la B\
11.9. En el espacio vectorial V = de las matrices
reales de tamaño 2 x 2, se consideran los sistemas
5 = (M ,. A f,. My, M J y Γ = ( ^ , . yv,. N,, N,),
donde:
I 2
1 1
2 5
1 3
- 2 I
3 - 2
3 - 2
I O
A^4 =
I O
I o
1 - I
2 - I
O - I
3 - 2
l O
y
O 4
2 I
Comprobar si 5 y 7 son sistemas equivalentes. Ha­
llar bases de los subespacios que engendran S y T,
11.10. Sea V e! espacio vectorial de los polinomios de
grado menor o igual que n (dado). Sea pix) un
polinomio cualquiera de V y considére.se el sistema
B = (p (r). P'ixl P'\x)
......P‘" V ) )
Analizar si es o no una base de V, en función
dc quién sea pix),
11.11. Sea A una matriz cuadrada de tamaño n x n; sean
Cp C ,, ...♦ Cp matrices columna de tamaño n x 1.
Pmébese que:
a) Si los vectores columna /\C ,, /\C ¿ ,...»AC^ son
linealmente independientes, entonces también
lo son los Cp C,. .... C^.
h) Si A cs regular y C ,, .... son linealmente
independientes, entonces lambién lo son /4C,,
AC......AC^.
11. 12. En el espacio vectorial Í^(IR, K ). de las funciones
de W en R, se consideran las funciones:
/,( .t ) = U x) -
......f„ix) =
Compruébese que e.stas n funciones .son lineal-
mcnte independientes sí y .sólo si los númems rea­
les <i|, « 2, .... a„ son tixlos distintos.
11.13. Sean 5 = (m„ ü,
......i7^) y 5' = (m¡. 1I3 .......ií;) dos
sistemas de p vectores, dc un cierto espacio vec­
torial V. Demuéstrese que:
rang (i7, + w¡. lí, +
......+ Ap <
< rang S + rang S'
Si Ai y A* son dos matrices de igual tamaño, com­
pruébase que:
rang {A + A') < rang A + rang A'
11.14. Demostrar que, s\ U, V y W son subespacios vec­
toriales de un cierto espacio, entonces:
a) ( í ; n v ) + ( í / n w ) c í / n ( v + V V )
h) ( Í / + v o n ( í / + W 03{/ + (v n v v )
Determinar algún ejemplo en el que los signos de
inclusión de a) y h) no lo sean de igualdad.
11.15. Considérense los sistemas dc polinomios S =
-iPiix). P2ÍX)* P^ix)) y T=iqyix), q.ixl q,{x)),
donde:
Piix) = 1 + 2 r + + 3 .í' + 2x*
/>2(jf) = 3 + . r + 5 .r ^ - 6 x ' + 6Lc·*
P^ix)=^\ -f jr + 3.r^ + 2x"

204. 198
ÁLGEBRA LINEAL
^,(.t) = 2 + x + 4 .r - lr ^ + 4.r"
<7jU) = 3+jc + 3x^~lr^ + 2x"
gM) = 9 + 2 r + 3jr- -
Sean U y V los subespacios, del espacio vectorial
de los polinomios reales, que engendran S y T.
Hallar la dimensión y una base de cada uno de los
subespacios U + V y Un V.
I I . 16. Sean í/,. U,
......U^, subespacios de un cierto espa­
cio veciorial V. Compruébese que la suma
í/, + í / j es directa si y sólo si para cual­
quier 1= 1, 2, ♦..» p se verifica que:
-I- - + í/,_, + í/,^, + - ’^U^) = 0
11.17. Sean l/, y ¿Z, las siguientes subespacios del espa­
cio vectorial real R":
= IU|. Xi
..... e = 0)
£ / i = i ( . r , . j t j . . . . . X,) € R - / X , = j r , = · · · = x,}
Analizar si U^ y U2 son subespacios suplementa­
rios de R" obteniendo la descomposición de cual­
quier li E R en suma m - ü, + ü^, con e U^ y
ü. e U..
11.18. Sea V
ciones
= ? (R . R) el espacio vectorial de las fun­
de R en R y considérense los conjuntos:
í^, = t/6 V '//(l)= /(-D = 0)
t/ 2 = { /e V/f es afín)
(la función / se dice afín si cs f{x) = a + ¿>.t para
ciertos a y b fijos). Pruébese que U^ y U^ son
subespacios suplementarios de V.
11.19. Sea V' = ^ ( ( 0 ,II) , R) el espacio vectorial de las
funciones continuas de [O, I ] en R. Se pide:
a) Dado un número natural « y si / € V cs una
función que toma, al menos, n valores distin­
tos. analizar si las n funciones /( x ) , f{xŸ,
f i x Ÿ.........J { x T forman un sistema linealmente
independiente de V.
b) Analizar si í/, y í / j son subespacios suplemen­
tarios de V, siendo:
U,= f e V
i .
f{x)dx = 0
11.20. Sean í/, V. í/,» U^. V, y subespacios de un cierto
espacio vectorial. Si la suma í/ + V es directa y si
t / = í / , e í / , y V = V,©V2. compruébese que la
suma U, + U2 + V', + ^ 2 es directa.
11.21. Si i4 y son dos matrices cuadradas del mismo
tamaño simétricas, compruébese que AB cs simé*
trica si y sólo si AB = BA.
11.22. Sea A una matriz ntxp y sea B una matriz px/i.
Pruébese que:
1. rang (>4ií) ^ rang i4
2. rang {AB) < rang B
11.23.Sean /4 y dos matrices cuadradas de igual tama­
ño tales que A es invertible, N es mihilpotcnte (o
sea, ^ O) y N conmuta con A "*. Pruébese que
A + N cs inversible hallando su matriz inversa.
(Indicación: recúrrase a la igualdad ( / + A/)** =
= /- A / + A/--A/\..)
11.24. Analícese si el conjunlo M formado por todas las
matrices de la forma:
11.25.
11.26.
11.27.
/\ =
I a b
O I c
O O l
(û, b, c e U)
es o no un grupo multiplicativo.
Sean V y VV dos espacios vectoriales reales; sea
(é„ ¿2, ^3, 64) una base de V y sea (m,, m,. «i)
una base de W. Si / : V —♦ VV cs la aplicación lineal
defínida por:
fié,) = M, + «2 - 4Ú3 fié,) = 3tí, + u,
fié^) = 2/7, + w, - 2ü, fié,) = w, + 2ü,
se pide hallar:
a) Ecuaciones de / en las bases dadas.
b) Una base de Nuc ( / ) y otra de Im ( / ) .
Sea dado un espacio veciorial V de dimensión fi­
nita y con.sidérc.sc un endomorfismo f:V-*V.
Pruébe.se que, s i / y / * » / llenen igual rango, enton­
ces Nuc ( / ) n Im ( / ) = O.
S e a /: R ’ —► la aplicación lineal que respecto de
las bases canónicas tiene asociada a la siguiente
matriz A:
^2= Ife V/f es constante)
l 2 3
3 4 l

205. e j e r c ic io s Y p r o b l e m a s 199
IU9.
a) Hallar la mairiz D canónica de equivalencia
dcA.
b) Hallar unas bascs^ B = ( í , , éj* ^3) de W y
C = (m ,, Üj) de R ’ respecto de las cuales la
matriz dc / sea la canónica.
c) Analizar sí existe alguna aplicación lineal g tal
que alguna de las/«»g o sea la identidad.
IIÍ8 . Sea I : R^ — R^ la aplicación identidad y llamemos
B = ( í|, ^2» ^3) a la base canónica de U \ Se pide:
a)
b)
Una base f i' de R^ tal que al referir la aplica­
ción i a B* (base dcl espacio R^ de partida) y
a B (base del espacio R ' de llegada), la matriz
asociada sea la A que figura al final del enun­
ciado.
Una base B’* de R ’ tal que al referir la apli­
cación I a B (base del espacio R^ de partida)
y a f i" (base del espacio R^ de llegada), la
matriz asociada sea A:
A =
O O - r
0 1 O
1 O O
Sea y el conjunto formado por todas aquellas ma­
trices A = [fl^J cuadradas de tamaño n x n tales que
las sumas de los elementos de cada una de sus filas
y dc cada una de sus columnas son, todas, iguales;
llamaremos a este número S(A):
S{A) = + a¡2 + ··* + 0« = fly +
( V /,y = l,2 ......n)
a) Analizar si V es un espacio vectorial (con las
operaciones usuales) y si 5 : V — R. >4 — S(A),
es una forma lineal.
b) Llamando 7 a la matriz n x n que tiene todos
sus elementos iguales a la unidad, priiébcse
que:
las matrices son de tamaño 2 x 2 y si la matriz
dada es:
Af =
I h
- 1 I
{h parámetro dado)
se pide:
1. Expresión general de las matrices de .4í.
2. Estudiar si en M hay divisores de cero.
3. Estudiar si .U es un cuerpo.
11.31. Sea j(( el conjunto formado por las matrices reales
de tamaño n x n que son de la forma:
0 0 0“
^10 0
AU*„ .r,
......x„) = 0
• Vi
donde a : , , j c , , ..., x„ recorren R. Se pide:
1. Expresar i4(jr,, j C j ,a„ ) en función de / = i4 ( 1,
O, 0), dc E = /\(0 , I , 0) y dc las poten­
cias de E.
2. Comprobar que M es un espacio vectorial y
hallar una dc sus bases.
3. Hallar la matriz inversa de A(I. 2, 3, n).
IU2. Sea / : R"* —» R^ un endomorfismo del que se
sabe que:
/( l, 1,0, 0) = (0, 1,0, -1 )
/( l,0 , 1,0) = (1, 1, 1,0)
IAeV] [ 3 a 6 R , AJ = JA = aJ]
Hálle.sc a en función de A.
c) Si A e V es regular, compruébese que 5(A ) ^ O
y que A “ * E V, H allar 5 (A ~ ') en función de
S(A).
IIJO. Sea M. el conjunto de las matrices reales cuadradas
y que conmutan con una cierta matriz dada. Com-
pmébese que .U es un anillo respecto de las ope­
raciones usuales. Suponiendo a partir de ahora que
Hallar la matriz asociada a / , respecto de las bases
canónicas, en cada uno de los siguientes supuestos:
1. Nuc ( / ) = Im ( / ) .
2 . / o / = / (identidad).
3. / o / = /
I I J 3 . Sean (#,, é,. e j y (m,, m,» « j· «4» «5) las bases
canónicas dc R^ y R*. Considérese la aplicación
lineal / : R^ — R* definida por:

206. 200
ÁLGEBRA UNEAL
/(C j) = 2M2-M,4-W,4-2M3
fiéy) = M, + 2Ü2 + W4 + (7,
M ) = M, + 4í?2 - W3 + 2w4 + 3ws
Se pide;
1. Ecuaciones d e /e n las bases canónicas de W
yUK
2. Ecuaciones de / en la base (^, + éj, ^2 "" ^3·
^1+ ^ 3 + ^4» ^3 - ^ 4) de y la canónica
de R^
3. Hallar bases de Nuc ( / ) y de Im ( / ) .
4. Hallar un subespacio V de R^ tal que la res­
tricción de / a V sea inyectiva y tenga la mis­
ma imagen que / .
11.34. Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales
de grados menor o igual que 2; sean:
A?(;c)= I + j : + ^ q (x )= \+ 2 jr rix)=x-^x^
J = (2. 0. I ) í = ( 3 . 1 . 0 ) c = d . - 2 . 3)
Considérese la aplicación lineal / : V—* R^ definida
por:
f{p(x))^á f(q{x)) = b fiiix)) = c
1. Hallar la matriz de / respecto de las bases (1.
X, jf^) de V y la canónica de R \
2. Hallar la matriz de / respecto de las bases
ip(x), q(x), r(x)) de V y (á, b, <f) de
3. Hallar una base B de V, tal que respecto de
ella y de la base canónica de R^ la matriz de
/ sea la unidad I (compruébese previamente
que ello es posible).
H.35. Dadas las matrices de igual tiunaño:
“ I 5 ~ l 2“ '2 0 1 2“
A =2 1 4 1 B =1 - 1 2 3
. 1 2 I fl_ .0 2 - 3 - 4 _
donde a es el número real para el que A y B son
equivalentes:
Hallar a.
Hallar dos matrices regulares P y Q tales que
3. Si es / : R ‘* -» R ^ la aplicación lineal asociad*
a la matriz A respecto a las bases canónicas,
hallar una base B át y otra base C de
R^ respecto de las que la matriz asociada
a / sea B.
11.36. Sea V e l espacio vectorial de los polinomios reales
de grado menor o igual que 2 y considérese la
aplicación lineal / : V en la que (para cicrta
a, p e R):
/ ( i . I . l ) = 2 ^ + a r , /(O , - I , I ) = ax + /3r
/(O . 0 , \ ) = P + ( a - \ ) x
1. Hallar a y P para q u e /n o sea inyectiva.
2. H allar bases de Nuc ( / ) y de Im ( / ) , en fun­
ción át a y p.
3. Hallar el subespacio imagen por la aplicación
/ del í / = { ( ú , b, c) G R V ^ + c = ¿7 + c = 0|,
según los valores át a y p.
11.37.
11.38.
11.39.
Sean / : R^—► R “* y ^ : R"*-
neales tales que:
► W dos aplicaciones li-
a) /í = g o / es la proyección .sobre el subespacio
ICVm >^2» >'3) 6 R Vy2 = >^3l paralelamente al
vector ( I . - 1 . 0 ) .
b) A'=/og es tal que su núcleo es Nuc(Jt) =
= {(x,. Xj. X3. x J e R7x3 = 0. X,+X2=X4|
y además k{\, 0. 0. 0 ) = ( l , I. 2, I) y
m 0. I . 0 ) = ( I . 0. 1. 1).
En las bases canónicas de y R ^ se pide:
1. La matriz ác h y sendas bases de im {h) y de
Nuc (h).
2. M atriz de ^ y sendas bases de Im (k) y Nuc [k).
3. Sabiendo que g es una aplicación sobreyectiva.
hallar el núcleo y la imagen de / .
S e a / · V-* W una aplicación lineal de la que se
conoce Im ( / ) y un subespacio í / c V de Nuc (/).
Si es (p: U - * W la restricción de / a t/. hallar el
Nuc(v>) y la Im ( ^ ).
Sea V el e.spacio vectorial real de las funciones de
R en R, con las operaciones usuales. Considérese
las aplicaciones F: V y C : V — R^ definidas
por:
Fia, b, r ) = fl sen’ x + b cos^ x + c
G (/U )) = ( / ( 0 ) ,/( - 7 r /2 ) )

207. e j e r c ic io s y p r o b l e m a s 201
1. Comprobar que F y G son lineales y hallar sus
núcleos y sus imágenes.
2. Si t / c V es el subespacio de las funciones
constantes, hallar F HU).
3. Hallar bases de W y de F{W) respecto dc las
que la matriz de F sea la canónica (de equi­
valencia).
4. Hallar la ecuación y el núcleo de la aplicación
GoF.
11.40. Sea (p: V-* V un endomorfísmo del espacio vecto­
rial V de dimensión n. Compruébese que los endo­
morflsmos / : V —♦ V tales que <p^f=o forman en
conjunto Y que es un espacio vectorial; hallar la
dimensión de éste.
11.41. Sea / ; V—* W una aplicación lineal cualquiera en­
tre espacios vectoriales de igual dimensión (finita).
Compruébese que / se puede expresar como suma
de dos isomorfismos.
11.41 Sea/: V -» tV una aplicación lineal entre espacios
vectoriales de dimensión finita; sea dim V = n y
dim W=m. Pruébese que / es inyectiva si y sólo
si existe una aplicación lineal g :W —*V tal que
g^f=i (identidad en V).
11.43. Sea / : V—* W una aplicación lineal entre espacios
vectoriales de dimensión finita; sea dim V —n y
dim VV = m. Pruébese que / es sobreyectiva si y
sólo si existe una aplicación lineal g'.'W—^V tal
que/«^ = i (identidad en W).
11.44. Sea f :V -^ V un endomorfismo tal que
i +af + o, donde i es la identidad en V y
a y b son dos escalares dados. Comprobar que /
es un automorfismo hallando su inverso.
11.45. Sea f : V - * V un endomorfismo en V con
d im V = n . Compruébese que N u c ( /) = l m ( / ) si
y sólo si n es par, rang / = n/2 y / ® / = o.
11.46. Sea V un espacio vectorial real de dimensión 3 y
sea fi = (Cp éj. éy) una base de V. Se considera la
forma lineal V'—► R que satisface a:
; v?(«2-^’3) = 3 ; éy) = Ar
Hallar:
fl) La ecuación de <p en la base R,
h) Coordenadas dc (p en la base f i* . dual dc fi.
11.47. Sea B = iéy, #2· ^3) 1“ hase canónica de y con­
sidérense tres formas lineales <p, (Jf y Vf en R \ dc
las que se sabe:
• (piéO^U <P(é2) = fl, = O (fl e R dado).
• íAíé, + i^) = 3, ifKé^ + ^2 - 2éy) = 1.
• Nuc (rj) = {(jCp jcj) e R V jt, jTj + = 0).
7)(éi) - 2 { h e U dado).
1. Hallar las ecuaciones de ^ y r; en la base fi.
2. Hallar las coordenadas dc 0 y 17 en la base
B \ dual de fi.
3. Hallar la relación que deben guardar a y b para
que (ip, tj/, 77) sea un sistema lineaimente de­
pendiente de V*.
H .48. En el espacio vectorial R^ se considera la siguiente
base fi = (M„ «2. wj):
/ 7 , = d . - 1 , 3 ) , ¿2 = Í 0. í. - O » "3 = (0»3, - 2)
Hallar la base dual f i * = ( ^ „ ^ 2» ^ 3) ba.sc fi.
IL 4 9 . Sea V el espacio vectorial de los polinomios reales
de grado menor o igual que 1. Sean : V'— R y
(P2:V —^U las formas lineales:
p{x)dx ; <p2{p(x)) =p(x)dx
Comprobar que (</},, (p^) es una base del espacio
V*, dual de V', y hallar la base ( /7,(jt), P2Íx)) de V'
que liene a (^ p ^ 2) ^^^1*
11.50. Sea V un espacio veclorial sobre un cuerpo K y
sea f :V —^K una forma lineal. Compruébese que
el subespacio U = Nuc ( / ) es máxima! de V, o sea,
es suplementario de un subespacio unidimensional
de V.
11.51. Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y
sea U un subespacio máximal de V, eslo es. U es
suplementario de un subespacio unidimensional de
V'. Pniébcse que existe una forma lineal f :V —^K
cuyo núcleo es U.

208. I.I.
I I.2.
I U .
11.4.
11.5.
11.6.
II.7 .
SOLUCIONKS
Indicación: si (iJ,. m,......es una base de V, y
£Fj. .... 0J es una base de Vj, compruébese que los
siguientes vectores forman una base de V, x Vj
(w,. d i (J., ó)
......(i7„ <5), (<5. f,). (íJ, V2) ........O
R) es subespacio de i^íR, R). La función
sen.t no es combinación lineal de 1, x, -t"
pues aquélla se anula para infinitos valores de x.
JT, = ÍI - - r + ¿/, = - f l + + c .
jrj = f l - c . . r , = c.
fl = 8, h - 9 \ (Piix), pj{x)) es base. PjCt) =
= 5px(x) - 2p2Íxl
a =5 3.
La dimensión es 3; una base es la i? = (A/|.
M5); Mj = 2iW„ iVf, = -M, + 2M3.
I ^ relación a -f ¿ sen .t + r eos .r + d sen 2x +
+ 6» eos 2jr = O para todo .r e R sólo tiene la solu­
ción a - h = c = d=e==Q (tómense para x los va­
lores O» tt/ 2 , tt. 3 tt/2 , 7t 4 . por ejemplo).
^ = (fi(xhf2Íx)^fi(^))' Á\ añadir a B las funciones
sen 2x y eos Ix se obtiene una base de VíS').
11.8.I - f l fl^ - f l ' :
O I 2fl 3fl‘ j
O O l - 3 f l j
0 0 0 1 :
0 0 0 0
( - l ) V
fl«'·
Nótese que esta matriz cs regular para todo fl e R.
11.9. Recurrir a la base usual. Los dos sistemas .son
equivalentes y engendran el mismo espacio; una
base de éste es la ^ = (£ „ £ ,), donde:
1 -1 0 1 0 2
0 0
^2 =
1 0
^1 =
0 1
11.10. El sistema B es ba.se si y sólo si p(x) es de grado n.
11.11. Indicación 1 Á^iAQ - A d ÁC,l Recurrir al con·
trarrecíproco. Si A es regular, de ser X Á,(ACi)^0,
sería 1 A'^ · O = O.
11.12. Recurrir al método de inducción. La relación
1 A /(jr) ■ O (I = l . 2
.....fl), si se la divide por/,(/)
y, luego, .se deriva conduce a la correspondiente
relación para n - l funciones.
11.13. Sean Í / = T ( 5 ) y 6/' = T ( 5 ' ) . Los vectores ú^ + a;
pertenecen a V U \ luego:
rang (w, + ú /) ^ dim {U + U' ) <
^ dim U + dim U' = rang S + rang 5'
Para el caso de las matrices, recurrir a sus vectores
columna (o fila) y aplicar el resultado anterior.
11.14. fl) Téngase en cuenta que V c V + V V y que
W c U'; b) ténga.se en cuenta que V D V n W y
que WziVny/, Contraejemplo: en R^ tomar:
( ; = { ( / . / ) / / 6 R } V = {{x ,0 )/x e U )
y
W = l ( 0 , . v ) / y 6 R )
11.15. La dimensión de í / -I- V es 3 y una base suya cs la
iPiix)* Piix), (f\ix))· La dimensión de U n V ts 1 y
una base suya es la (2 + jc + 4 jr - 3jr* + 4 / ) .
11.16. Indicación: supóngase que existe jc it <5 en la inter-
.sección del enunciado; se puede poner jf = jtj +
+ ··· + JC/-1 + j:/fi H
------Toda suma Xü, se
puede entonces poner también en la forma:
(w, + X,) + ... -f- (M ,., + - X) +
11.17. í/, n í / j = O, Cualquier (y ,,
......y J e R^ se pue­
de poner:
(yp >'2
.......>’n) = U h •'•2» Xn) + ¡ ......O
'" " O '! +.V 2 + ··· + >’„ ) :n y
(1=1,2
...../I).

209. s o l u c io n e s 203
II.I*· U,nUi = o. Para cualquier ^ e V se puede poner:
<p(x) = (a + bx) +f(x)
donde:
f{x) = <p(x) - (fl + bx) es tal que / ( l ) = / ( - ! ) = 0 .
11.19. fl) Es indcpendienle: la relación S A / ( x y » 0 ini-
plica 1 kj\xp)^ = O para los n puntos x^ dcl enun­
ciado; este sistema sólo liene la solución nula (su
detemiinante es de Wandermonde).
b) V = í/,®£/2 pues y todo
^ .t) e V se puede poner fp{x) =f{x) + h con
h =
es tal que
ip{x)dx y f { x )-ip {x )-h
fix)dx^O
lUO. Recurrir a que una suma es directa si y sólo si
(5 + <5 + — + ó es la única manera de descomponer
d en suma de vectores de los subespacios suman­
dos.
l U l . AB^BA -=> (ABy = B‘A‘ = BA--AB
=> AB simétrica
AB simétrica => AB = {AB)' => AB = B‘A* = BA
II J I Sean y aplicaciones lineales
asociadas á A y B.
rang {AB) = dim /( ^ (R " )) , rang A = dim /( R '')
rang B = dim ^(R")
b) (1, -2. 1» 0) y (1. -1. 0. 1) forman base de
Nuc ( / )
(1, O, 2) y (O, 1, -6) forman base de Im ( / ) .
11.26. Si existiese á ^ ó en Nuc ( / ) y en Im (/), lómese
una base de Im ( / ) que incluya a á y hállese una
base de Im (/®y).
11.27. a) D
h)
I O O
O 1 O
í, = (K 0. 0), é.^{\. -1/2. 0). ^3 =
(5, - 4 . I )
m, = (1 .3 ). i7, = (0» I )
c) g » / no puede ser la identidad y / « ^ sí lo puede
ser. Tómese para ^ :R ^ —* R \ por ejemplo, la
aplicación que en las bases (iJ^) y {éj) tiene por
matriz a la traspuesta de D .
11.28. a) - ^ , ) .
b) e,. é,).
11.29.a) V es subespacio de S es forma lineal ya
que S{XA + fiB ) = ÁS{A) + piS{B). h) a = S{A). c)
El rango de A no se altera al sumar a una dc sus
filas todas las demás; en = / y = / mul­
tiplicar por J y recurrir a la propiedad anterior;
5*(i4”' ) = l : . m
11.30.
11.31.
a
Si h > O, no hay; si h ^ O, los divisores de cero
se obtienen para a = ±
Es cuerpo si h ^ 0.
A(jc,, jTj, JC3, . . . . x„) = j r , / + x^E - f XyE^ + — -I-
4-
Ji tiene dimensión n\ una de sus bases está
formada por A ( l, O, ....0), A (0, 1. ...» 0). ...,
A(0. 0
..... 1).
g{R!')<zW => 1.'• ; /(i? (R '’) ) c 5 ( R '’) = » 2.· 3. A d . - -2. 1.0
......0).
11.23.A + /V = A (/ + A “ *AO; (A + A O ” * = ( / + A * ' W ‘ ‘ ;
tómese /Vf = A - W ; (A + AT)” ' = i 4 *
11.32. 1." 1
2
-1
-1
0
-1
- r
-1
1IJ4.S i; /€ .( t ; y 4 . f i e . t í ' e .U 1 -1 0-1
1 - a a c - b"
.-1 0 1 0_
A “ ' =0 l - c
2.■ 0 0 1- r
0 0 1_
2 -1 -1- 2
11.25.
fl) = . t , + 2X2 + 3X3 + X4. V2 = JC,
. V j = - 4 j r , - 2 y 2 + 2x^
+ X2 + JT3,
0
.-1
0
0
1
1
0
o_

210. i4
ÁLGEBRA U m
3.■ Ü0I0’ “ 1/2 0 O'
100->1 (?=2 “ 21/2
0 0I0 I -1 0_
01I.
3. . 0. 0, 0), (2,0.0,
1. \.y»=
Jtl + X,+ x,
(-•6. 0, 1, 4)
yi=2xi+2xj + 4.t*
y j= jc,-;cj-x*
y , = .tj + ac j+ 2 x ^
yj=-;c, + 2jci + .t, + 3jc<
2. y, = x ;-x i + 3x’j
y , = 2x; + 6 . t j - l t i
y , » - x j + .xi
y* = x; + 3 j c i - x i
y , = x ’, + xi + 3 x i - 2 x ;
3. (-1. - I , 0) y (-1. -2, 0, 1) forman base
dc Nuc (/)
(I, 0, I, 0. - I) y (I. 2, 0, I, I) forman base
dc Im (/)
4. V =\(a. p.O.O)€R^/a. ^e«)
2.
3. En V \a nueva base
3 1 4 ,
U 3 S . I . a = l
2. P =
C :(l/2 , 2, I). (0. - 2 . 1/2,0)
11.36. 1. a = 2ofi = 0
2. Si «9^2 y/3#0,Im(/)=Ky Nuc (/) = (?
S ia = 2y^itO,
Im (/) = r(2r + M y 5 + ·»^).
N uc(/)=r(l, I, - I)
Siy0 = O, Im (/) = T O ,
Nuc (/) = y(( 1,2,0). (0. a -1 . J))
3. Si a 2. /(ó-) = r W : si = 2, /(5·) = 0.
11.37. I. n 1 - I
0 0 1
0 0 1.
Nuc (/t)= ra, -I , 0)
Im (A) = r ( ( 0 . I. !). (I. 0. 0))
2. ri I I - I '
1 1 0 - I
2 2 1 -2
_l 1 I - i j
Nuc (¿) = r((l. - 1 . 0. 0). (I, 0. 0. /))
Im (¿) = T ((I. I, 2. I). (I. 0, 1. /))
3. Im ( /) = Im (i), Nuc (/> = Nuc (A)
11.38. Nuc (¡P) = O, Im (y>) = Im (/)
11.39. I. Nuc (F) = {(fl, a. -a) e U^/a e RJ,
Im (/O — {a + sen^ jr.-a, /9 e R)
Nuc (C) = { /e VyytO) = / ( - TT/2) = 0}.
Im (C) = R2
2. F'(U )= {(a,a,c)elH ^/a,ceSt}
3. En K ’ ; (1. 0. 0 ), ( I , I . 0 ) y ( - 1 . - 1 , ))·
En sen^ x, I

211. s o l u c io n e s
2 0 5
4. ((7®F)(a, b, c) = (¿7 + c, - a + r),
Nuc (C °F ) = {(tí, - t í , tí) e R V tí € R )
11.40. Nótese q u c /e V <=> Im ( / ) c N u c (^ ). El espacio
y es isomorfo al Nuc (^ )), luego tiene di­
mensión n · d, donde d es la dimensión de Nuc {(p).
[1.41. Tómense bases en las que la matriz de / es la
canónica (de equivalencia) C^. Póngase C, = 2 / +
+ ( C , -2/)» donde I es la unidad n x /i; 21 y
C, - 2/ son regulares.
11.42, Tómense en V y VV bases en las que la matriz
de / es la canónica (de equivalencia) C/, f inyec­
tiva si y sólo si r= n . Si r = n , g puede ser el
homomorfismo de matriz Cj. Si /, la matriz
de / no puede tener una columna nula, luego
r = rt.
11.43, Como en el ejercicio anterior, recurramos a f
es sobreyectiva si y sólo si r = n. Si r = nu g puede
ser el homomorfismo de matriz Cj. Si f^g = L la
matriz de / no puede tener una fila nula, luego
r = m.
11.44, Buscando ‘ de la forma ai + fif, se obtiene
y*' · =s —fl — bf.
11.45. Recuérdese que dim Nuc ( / ) + dim Im ( / ) “ /i y
q u e / o / = í7 equivale a Im ( / ) c N u c ( / ) .
11.46. a) y, 2) = 6j t + y - 2 z
b) Coordenadas de ^p = (6, I. -2)
11.47. l. vKj:,. JT2» Jf3) = *«i+íW2
0( j:„ jTi, x^) = 3^2 + ^3
ViXi. Xi. Jt,) = 2a·, + 2jc2 ♦- 2bx^
2. ip:(\, a, 0 ). ^ : ( 0 , 3. I ) , t 7 : ( 2 , 2 . 2b)
3. tí + 3¿> = I
11.48. = 1^ si / = y·; = 0. si i
'PÁXr .y, z)=x . ÍP2(JC. y . z) = 7 x - 2 y - 3z
(^,(jc. y. 2) = - 2 x + y + z
11.49. = 2 - 2x. p^{x) = “ (1 /2 ) + /.
11.50. Como / ^ o, existe e V tal q u e/(íí„) # 0; se ve­
rifica que V(Pq) ®U—V.
11.51. Se sabe que existe € V tal que T (0o)®í/= V;
para cada jf e V, existen unos únicos A e y m € V
tales que jc = A0<, + ü. Tómese f{x) = A.

212. 7. Formas cuadráticas.
8, Espacios vectoriaíes eudideos.
Ejercicios y probíemas.
A
q u í, cuando (as variabíes (que fueron ((amadas
independientes) varían, que ese es su cometido, y
arrastran en su variar a las funciones (que antaño
tamóién se ((amaban i(as variabíes dependientes»), va a
acontecer que (a variación de éstas, (as funciones, será
cuadrática (respecto de( variar de (a variab(e, que será nuestra
referencia sobre e( modo de variar).
fía y que ñacer notar que, aun pareciendo paradójica, no por edb
nos separamos de (o que es (a Uneaddad, que nos acompañará
fiasta etfinaí, 'Esto de estudiar (o cuadrática no es capricfio. ‘Es
necesidad; sin edb, nada podríamos decir sobre (as cosas def
i medir», y ya es (tora de erwaramos con (as distancias y con (os
ángu(os.
Ü(^uerde e( (ector cuando recitaba e í teorema de Tiuyoras y decía:
€e(''cuadrado^' de (a hipotenusa es iguaía (a suma de (os
'"cuadrados"' de (os catetos».

213. CAPÍTULO
7 Formas cuadráticas
Hay dos maneras de abordar las cuestiones que componen esta tercera parte
dcl libro. Se podría empezar con el estudio de los espacios vectoriales euclí­
deos, esto es, introduciendo el concepto de produelo escalar, con el que un
espacio vectorial real pasa a ser euclídeo, y después generalizar, hablando de
las formas cuadráticas. A este camino se le suponen ventajas de tipo didáctico,
pues va de lo particular a lo general, pero obliga a reiterar no pocas cuestiones
que, con distinto alcance y quizá cambiando de nombre, es necesarío estudiar
en uno y otro caso.
Acontece, además, que el paso de un producto escalar a una forma cua­
drática general se produce relajando las exigencias de aquel, esto es, prescin­
diendo de algunos de sus axiomas. Con ello, aquél que estudió primero el
producto escalar y se acostumbró a su modo de funcionar, propenderá a creer
que las formas cuadráticas se comportan, en todo, dcl modo que él ya conoce
y, por eslo, ha de costarle mucho discernir cuáles, de entre todas las propiedades
que le son familiares, siguen siendo válidas y cuáles ya no lo son.
Consecuentes con lo anterior, hablaremos en primer lugar sobre las formas
cuadráticas, en esle capítulo, y dejaremos para después el estudio del producto
escalar, que trataremos en el próximo.
a FORMAS CUADRÁTICAS. CONJUGACION
7.1. FORMAS BI LINEA LES
Antes de abordar el estudio de las formas cuadráticas, es necesario decir
algunas cosas sobre las formas bi lineales, que son soporte de aquellas.
Se llaman aplicaciones bilineales aquellas funciones de dos variables que
son lineales respecto de cada una de ellas, esto es: para que una aplicación
( x . y ) ^ m y )
sea bilineal se requiere que, al tom arx = a o y = b, valores fijos arbitrariamente
elegidos de las variables, las funciones
b) e y — /(fl, 30
sean lineales. Más exactamente, se conviene en decir;
208

214. s CUADRÁTICAS 209
[1121
FORMA BILINEAL SOBRE UN ESPACIO
VECTORIAL
S e a V u n e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e el c u e r p o K y c o n s i d é r e s e u n a
a p l i c a c i ó n /, q u e a c a d a p a r d e v e c t o r e s le a s i g n a u n e s c a l a r e s decir:
f-.VxV^K,
S e d i c e q u e / c s u n a f o r m a bilineal s o b r e V si s e v e r i f i c a q u e :
/ ( A i + A'jf', y) = A / W , .v) + A'/(í', .>0, V i . x'. .v e V . V A . A ' e /í
f(x, ¡ly + M 'y') = M / a y) + m ' M y '). V í . % f e V . V m ’ e
E l c o n j u n t o d e las f o r m a s b i l i n e a l e s s o b r e V, q u e d e n o t a r e m o s p o r ^(V),
e s u n e s p a c i o vectorial, s o b r e K, r e s p e c t o d e las o p e r a c i o n e s u s u a l e s
( s u m a d e f u n c i o n e s y p r o d u c t o d e f u n c i ó n p o r escalar).
(*) Para nosotros, los casos importantes son AT = R y AT = C .
(**) A la función / se la llama «forman debido a que toma sus valores en el cuerpo K
de los escalurcs.
DEMOSTRACIÓN Y COMENTARIOS
1. S e g i í n y a d i j i m o s , e s t a s a p l i c a c i o n e s s e l l a m a n bil i n e a l e s p o r q u e s o n l i n e a ­
les r e s p e c t o d e c a d a u n a , s u s v a r i a b l e s ; e s decir, d e b i d o a q u e las d o s
c o n d i c i o n e s q u e s e las e x i g e s i g n i f i c a n q u e s o n l ineales las s i g u i e n t e s
a p l i c a c i o n e s :
P a r a c a d a y e V fijo, la a p l i c a c i ó n / ( _ , y ) : jf y).
P a r a c a d a j c e V fijo, la a p l i c a c i ó n f(x, _ ) : V - — A:, y-^f(x, y ) .
2. L a s d o s c o n d i c i o n e s d e la d e f i n i c i ó n p u e d e n r e s u m i r s e e n la s i g u i e n t e : p a r a
c u a l e s q u i e r a Jc, x\ y, y' e V y A , A', fjL, jjls K es:
f(Áx -f A'jc', fiy + / x y) = A m M y) + Áfifix. y') + A > / ( X ' , y ) + A V'/lJc', f )
3. Si / e s u n a f o r m a bilineal. e s e v i d e n t e q u e , p a r a c u a l e s q u i e r a v e c t o r e s
JC, y e V , s e verifica:
Ax, o) = / ( ( 5 , y ) = O
Í O - V ) = - M > 0
4. P a r a verificar q u e 9 ^ ( V ) e s u n e s p a c i o vectorial, h a y q u e p r o b a r q u e si
9 & ( V ) y h, k e K, e n t o n c e s hf + kg e A s í o c u r r e , y a q u e p a r a
c u a l e s q u i e r a j c , x\ y, y' e V y A , A \ /t, /x' e V cs:

215. Al g e b r a lineal
(/, / + kg)(\x + A'jt', y ) = /{/(Ai + A'x'. y ) + kg(Ax + A'i ' . y) =
= /i[A/(Jf, y) + A'/(jt', y)) + ¿(Aí>(í. y) + A'giX', y)ì =
= A(/i/+ *s)(x, j?) + A'(A/+ fcj?)(x'. ji)
(V+ kg){x, fi9 + fi'y') = M(V+ jO + + kgKx. f )
(esta s e g u n d a s e c o m p n i e b u d e igua) m a n e r a q u e la p r i m e r a ) .
EJEMPLOS
1. L a a p l i c a c i ó n / : R ^ x » R , q u e a c a d a p a r d e v e c t o r e s jf = (jr,, x^,
y - CV|. yì) le a s i g n a el v a l o r
f(x. y ) = A ( X i , -*2). ( y i . >’2)] = - 6A |V2 + S j r j y , + 4 x ^ 2
e s u n a T o r m a bilineal s o b r e R ^ . N ó t e s e q u e e s t a f o r m a bilineal se puede
e x p r e s a r m a t r i c i a l m e n t e p o n i e n d o ;
f(x, y) = U, Xi\
2. Si : V—* y ^2 · ^ son f o r m a s lineales, e n t o n c e s la aplicación
/ : V X V - K, (X, y) ^ / ( x , y) = v,(J0<P2(y)
e s u n a f o r m a bilineal.
3. L l a m a n d o V al e s p a c i o vectorial d e las f u n c i o n e s d e [O, 1 ] e n R q u e tienen
d e r i v a d a c o n t i n u a , la a p l i c a c i ó n
■3 -6W
5 4
..V2.
f(.x)g'(x)dx
O
e s u n a f o r m a bilineal. lo q u e s e c o m p r u e b a f á c i l m e n t e r e c u r r i e n d o a la
linealidad d e la integral y d e la d e r i v a d a .
OBSERVACIÓN
A u n c u a n d o a q u í n o h a g a m o s u s o d e ella, t i e n e inte r é s c o n o c e r la siguiente
g e n e r a l i z a c i ó n , e n la q u e « l o bilineal» e n t r e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s s e considera
c o n la m a y o r g e n e r a l i d a d :
D a d o s tres e s p a c i o s ve c t o r i a l e s U,VyW, t o d o s ell o s s o b r e el m i s m o cuerpo
K, se d i c e q u e u n a a p l i c a c i ó n / : U x V — V V e s bilineal si, p a r a cualesquiera
ü, ü* G U, V, ü' e V y y e k , s e verifica q u e :
/(Am + y a \ ü) = A/(w, V) + A 7 (m '. 0)
na, Áv + A'ÍJ') = a / ( m . ti) + a 7 ( í í , e')

216. fORMAS
c u a d r á t ic a s 211
EJERCICIO
S e a / ; V x V —* K u n a f o r m a bilineal. P r u é b e s e q u e la a p l i c a c i ó n / ♦ : V x V — * K
d e f i n i d a m e d i a n t e
f*(x.y)=f(y,x).
es u n a f o r m a bilineal ( a / · s e la l l a m a a d j u n t a o t r a s p u e s t a d e /) .
RESOLUCIÓN
P a r a c u a l e s q u i e r a x, x', y, y' e.V y ^ K es:
f*(\x + k'x‘, f ) =f(y, A.f + A'jE') = A /(y, x) + A '/(y , x') =
= A /* ( i, y ) + A 7*(jE ', ^
f*(x, Xy + X'f) =f(Xy + X'y', x) = Xf(y, x) + X’f(y\ x) =
= X f { x , y) + X 'f*(x, f )
Q EXPRESIÓN ANALÍTICA
DE UNA FORMA BILINEAL
[113]
S e a V u n e s p a c i o vectorial, s o b r e el c u e r p o K y s e a / : V x V—*K u n a
f o r m a bilineal. S i V tie n e d i m e n s i ó n ny si B = é„) e s u n a b a s e
d e V, e n t o n c e s p a r a c u a l e s q u i e r a x, y e V es:
f(x,y)= X a¡jX¡yj = X'AY=[x,X2..jc„]
i.J-1
II
a
12
«21 «22
yi
y2
d o n d e las a¡j s o n los e s c a l a r e s a,y d o n d e jc, e .y, d e n o t a n a las
c o o r d e n a d a s d e jc e y, e s t o es, jc = e y = d o n d e A = [a,^] e s
m a t r i z ;i x n\ y d o n d e X e K s o n las m a t r i c e s c o l u m n a d e las c o o r d e n a d a s
d e Jc e y.
S e d i c e q u e A e s la matriz (de Gram) de la forma bilineal f e n la b a s e B.
L a c o r r e s p o n d e n c i a f— ^A e s u n i s o m o r f i s m o d e l e s p a c i o vectorial S S ( V ) ,
d e las f o r m a s bilineales s o b r e el e s p a c i o V d e d i m e n s i ó n n, e n el e s p a c i o
vect o r i a l M , d e las m a t r i c e s c u a d r a d a s n x n.
(♦) Nótese que X'AYen una matriz de tamaño I x 1 cuyo único elemento cs el escalar
y,a¡jxyj, con el que se identifica dicha matriz.

217. 1. D e a c u e r d o c o n la d e f i n i c i ó n d e f o r m a bilineal, s e v e r i f i c a q u e
fix, y) =/(SXié„ y) = ^ y ) = Z x¡f{é¡, X y ¡é )i =
= Z éj)\ = Zl,x¡xja¡j = X a,jX,Xj
i ’ i i iJ
2. E n el s u p u e s t o d e d i s p o n e r d e la b a s e B (fija), la c o r r e s p o n d e n c i a q u e a
c a d a f o r m a bilineal / e 9ft(V) le a s i g n a s u m a t r i z A e M„ e s biyectiva.
N ó t e s e q u e , d a d a A, la a p l i c a c i ó n (jc, y ) ^ X ' A Y e s u n a f o r m a bilineal,
c o m o s e c o m p r u e b a f á c i l m e n t e .
E s t a b i y e c c i ó n f*-*A e s u n i s o m o r f i s m o e n t r e l o s e s p a c i o s vectoriales
^(V) y j1í„, y a q u e p a r a c u a l e s q u i e r a e ^ ( V ) y A , /x e AT es:
m a t r i z d e [ A / + fj,g] = A [ m a t r i z d e / ] + yLt[matriz d e
e n e f e c t o : si A y fi s o n las m a t r i c e s d e / y gy la m a t r i z d e A / + fig es la
ÁA + fiB, y a q u e ( p a r a c u a l e s q u i e r a jc, y e es:
( A / + fJLgXx. y) = y) + y) = A X ' A Y + fiX'BY = X\\A + fiB)Y
DEMOSTRACIÓN
E J E M P L O
S e a f : W x W —*U\a f o r m a bilin e a l d e f i n i d a p o r
/((jfp X2. Xy). CVp ^2» y^)) = 2a:,y, - 3x,y2 + x^yi + ^Xiy^ + - x^y^
L a e x p r e s i ó n m a t r i c i a l d e / e n la b a s e c a n ó n i c a d e W es:
-X'AY
L a m a t r i z A' d e / e n la n u e v a b a s e (w,, Wj, «3), d o n d e w, = (2, O, 0),
«2 = ( L2, 0) y «3 = ( - 3 , 1, 1), será:
"2“ 3 6"
> r
/((jTp -^3)1 CVp >^2. 3^3» = Ul-^2^3]l 0 0
.04 -1 _-y.i-
7 ( W j* « i ) / ( W p ¿2) / ( w „ M3) · " 8 - 8 - 6“
/ ( W2, w ,) f(Ü2. «2) / ( «2» W3)= 8 - 2 - 9
J ( M 3 t M i) / ( W3» W2) /( « 3 » “ 3)_ . - 1 0 21 9 .
OBSERVACIONES
1. U n a f o r m a bilineal / € ^ ( V ) , d o n d e el e s p a c i o V t i e n e d i m e n s i ó n /i, q u e d a
d e t e r m i n a d a e n c u a n t o s e c o n o z c a n l o s e s c a l a r e s éj\ sie n d o

218. 213
2.
B - (é,, ^2, .... èj u n a b a s e d e V, D i c h o d e o t r o m o d o , hi m a t r i z A =
c a r a c t e r i z a a la f o r m a bilineal /.
C o n v i e n e n o t a r q u e p a r a e x p r e s a r m a t r i c i a l m e n t e el v a l o r d e / ( x . y), a d e m á s
d e recurrir a la m a t r i z A, c o m o s e h a h e c h o y h a r e m o s e n el futuro, l a m b i é n
s e p u e d e h a c e r u s o d e la m a t r i z A*\ p a r a elio, c o m o X'AY e s u n a m a t r i z
1 X 1 y. p o r tanto, c o i n c i d e c o n s u t r a spuesta, s e p u e d e p o n e r
f(x, K = (X‘A V)· = VA‘X
H a y q u i e n e s p r e f i e r e n p o n e r Y'A^X, e n l u g a r d e X'AY, y d i c e n q u e la m a t r i z
d e / e s A\ e n l u g a r d e A.
3. C o m o , si d i m V = /i, el e s p a c i o v e c t orial Sft(V) e s i s o m o r f o al y es t e
ú l t i m o tiene d i m e n s i ó n rr, resulta q u e ^ ( V ) tiene d i m e n s i ó n L a b a s e
u s u a l d e ! ^ ( V 0 e s l á f o r m a d a p o r las f o r m a s b i l i n e a l e s ( p a r a
/, 7=1,2. .... ri) d e f i n i d a s m e d i a n t e :
y
o
Ui CAMBIO DE BASE. MATRICES CONGRUENTES
L a m a t r i z A a s o c i a d a a u n a f o r m a bilineal / e ^ ( V O d e p e n d e d e la b a s e q u e s e
l o m e e n V, I n t e r e s a a n a l i z a r c ó m o v a r í a la m a t r i z A c o n la b a s e ; las m a t r i c e s
a s o c i a d a s a u n a m i s m a f o n n a bilineal /. r e s p e c t o d e las distintas b a s e s d e V.
s e d i c e q u e s o n c o n g r u e n t e s e n t r e sí:
[1141
S e a f:V X V — » K u n a f o r m a bilineal, d o n d e V c s u n e s p a c i o vectorial,
s o b r e el c u e r p o K, q u e tie n e d i m e n s i ó n n. S i A e s la m a t r i z a s o c i a d a a /
e n u n a p r i m e r a b a s e d e V y si e s la m a t r i z a s o c i a d a a / r e s p e c t o d e
o t r a biuse, e n t o n c e s s e verifica q u e :
A^=^P'AP
d o n d e P e s la m a t r i z d e l c o r r e s p o n d i e n t e c a m b i o d e c o o r d e n a d a s
D o s m a t r i c e s , A y A\ c u a d r a d a s y del m i s m o t a m a ñ o n x n, se d i c e n ma­
trices congruentes si e x iste a l g u n a m a t r i z r e g u l a r P tal q u e A ' = P*AP, D o s
m a ü i c e s s o n c o n g r u e n t e s si e s t á n a s o c i a d a s , a m b a s , a u n a m i s m a f o r m a
bilineal, r e s p e c t o d e distintas ba s e s . P a r a el c o n j u n t o j(í„, d e las m a t r i c e s
n X /I, la c o n g r u e n c i a d e m a t r i c e s e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a .
(·) Esta matriz P cs la que pcrmilc poner X = PX\ donde X y X' son las matrices
columna de coordenadas, de un mismo vector genérico, en la primera y la segunda bases,
respectivamente.

219. ÁLGEBRA LINEAL
DEMOSTRACION
1. S e a n Jc, y e V d o s v e c t o r e s c u a l e s q u i e r a ; l l a m e m o s X y X ' e K e K' a las
m a t r i c e s c o l u m n a d e c o o r d e n a d a s d e ;c e y e n la p r i m e r a y e n la s e g u n d a
b a s e , r e s p e c t i v a m e n t e , d e m a n e r a q u e X = PX' e K = PY\ P o d e m o s , e n t o n ­
c e s p o n e r :
S e g ú n e s t e r e s u l t a d o , la m a t r i z A' a s o c i a d a a / en la n u e v a b a s e es:
A ' ^ F A P ( P r e g u l a r )
2. E l r e c í p r o c o e s e v i d e n t e : si A ' = P ' A P , d o n d e P = [p¡¡[ e s u n a m a t r i z re­
gular, e n t o n c e s A y A ‘ e s t á n a s o c i a d a s a u n a m i s m a f o r m a bilineal. E n efec­
to: s e a fe ^(K") la f o r m a bilineal q u e e n la b a s e c a n ó n i c a (è,, éj, O
d e K" t i e n e a s o c i a d a a la m a t r i z A; e n la b a s e ( w „ «n)» ^ ^ n d e
üj = (se s u m a p a r a / = 1, 2, ..., «), la n u e v a m a t r i z d e / e s la P'AP,
3. P a r a c o m p r o b a r q u e la c o n g r u e n c i a d e m a t r i c e s e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a ­
len c i a e n c o m p r o b e m o s q u e e s reflex i v a , s i m é t r i c a y transitiva:
• E s reflexiva, p u e s t o d a m a t r i z A e s c o n g r u e n t e c o n s i g o m i s m a d e b i d o a
q u e A = VAIy d o n d e I e s la m a t r i z u n i d a d , q u e e s r e g u l a r .
• E s s i m é t r i c a , p u e s si A e s c o n g r u e n t e c o n A\ e n t o n c e s A' e s c o n g r u e n t e
c o n A , y a q u e :
A ' = P ' A P ( P r e g u l a r ) = » A = ( P - > ) ^ A ' ( P - ' )
d o n d e P " ‘ e s regular.
• E s transitiva, p u e s si A e s c o n g r u e n t e c o n A ' y A ' l o e s c o n A'\ e n t o n c e s
A e s c o n g r u e n t e c o n A " , y a q u e :
A ' = P ‘AP (P r e g u l a r )
A ' ' = G ^ A ' e (Q r e g u l a r )
A" = (PQyA(PQ)
d o n d e PQ e s regular.
E J E M P L O
S e a / : x R la f o r m a bilineal:
m y) = / ( ( j c , . jcz). O ',. >-2)) = ^Xiyi + +1
A I e x p r e s a r e s t a f o r m a bilineal e n lo b a s e (á,, Mj), d o n d e
1) y Mj = ( 4 . - 3 ) ,

220. TICAS 215
lu m a t r i z d e / será:
P'AP^
E s decir, la e x p r e s i ó n d e / e n las n u e v a s c o o r d e n a d a s j c ( j c ¡ , j c ó ) e jKy\f yí) cs:
Ax,y) = 2x',y2 + x2y\-x'iy2
- 1 |· 8 9 - 1 4 0 2
4 - 3 1 0 II
• - 3
1 - 1
^ FORMAS BILINEALES SIMÉTRICAS
Y ANTISIMÉTRICAS
[115]
S e a V u n e s p a c i o veciorial, s o b r e u n c u e r p o K, yfiVx V — ♦ K u n a f o r m a
bilineal. S e d i c e q u e :
• / e s simétrica si J{y, x) = / (jc, y), V jc. y e V.
• / e s antisimétrica si / ( y , x) = ~/(jc, jO» V i , y g V
T o d a f o r m a bilineal e s * ’^ s u m a d e u n a f o r m a bilineal s i m é t r i c a /, y o t r a
a n t i s i m é t r i c a
d o n d e
L o s c o n j u n t o s y d e las f o r m a s biline a l e s s i m é t r i c a s y an t i ­
s i m é t r i c a s , son^*^ s u b e s p a c i o s s u p l e m e n t a r i o s d e l e s p a c i o ^ ( V ) , d e las
f o n n a s bilineales.
S i el e s p a c i o V t i e n e d i m e n s i ó n finita y si i4 e s la m a t r i z d e u n a f o r m a
bilineal f:Vx V — K, r e s p e c t o d e u n a b a s e c u a l q u i e r a , e n t o n c e s :
[ / s i m é t r i c a <=> A s i m é t r i c a ] y [ / a n t i s i m é t r i c a <=> A a n t i s i m é t r i c a ]
S i A e s la m a t r i z d e u n a f o r m a bilineal /, las m a t r i c e s A , y A^ d e /, y /,
s o n (’):
A,= ^i\A^A·] y A, = { [ A - A ‘]
( n ó t e s e q u e A = A , + A„).
(*) Aquí se requiere que el cuerpo K Icnga «característica distinta de 2», lo que significa
que 1 + 1 ^ O (donde 1 es la unidad de AT y O su elemenio nulo). Esto es cierto, obviamente,
pura ii: « R y a: » C, que son los casos de niayor interés para nosotros.

221. ÁLGEBRA UNEAL
DEMOSTRACIÓN
1. N ó t e s e q u e / , y /, s o n f o r m a s bilineaJes, p u e s s o n s u m a y diferencia dc
f o r m a s bilineales y éstas f o r m a n e s p a c i o vectorial ( v é a ^ [112]). E s evidente
q u e e s s i m é t r i c a y /, a n t i s i m é t r i c a ; t a m b i é n e s o b v i o q u e s u s u m a es /
H a y e n e s t o u n p o s i b l e fallo q u e , h a s t a a h o r a , h e m o s i n t e n t a d o ocultar.
S e trata d e lo siguiente: t o d o lo d i c h o f u n c i o n a s in p r o b l e m a s si se pone:
M y) +/(jc, y) = [/(x, y) ^ 1 + Í M y) fl]
C o m o el p r i m e r m i e m b r o e s (1 + \)f(Xy y) = 2 / ( i , y), si 1 + 1 O (o sea,
si 2 ^ 0), t o d o c u a n t o s e h a o b t e n i d o a n t e r i o r m e n t e e s c o r r e c t o , p u e s se
o b t i e n e d e d i vidir p o r 2 ^ O e n la ú l t i m a i g u a l d a d . P e r o si el c u e r p o K
t u v i e s e característica 2, e s t o es, si f u e s e 1 + 1 = 0 , e n t o n c e s los resultados
a nter i o r e s n o ser í a n ciertos.
2. P a r a c o m p r o b a r q u e ^,(V) y ^ ^ ( V ) s o n s u b e s p a c i o s , h e m o s d e v e r q u e las
c o m b i n a c i o n e s lineales A / + fig d e d o s f o r m a s b i l i n e a l e s s i m é t r i c a s o anti­
s i m é t r i c a s f y g s o n , r e s p e c t i v a m e n t e , s i m é t r i c a s o a n t i s i m é t r i c a s ; así ocu­
rre, y a q u e p a r a c u a l e s q u i e r a Jc, y e V es:
• {f y g s i m é t r i c a s ) = » ( A / + fig)(x, y) = A / ( x , y ) + fMgix, y) =
= A / ( y , x) + jjigiy, X) = ( A / + fJLg)(y, i).
• if y g a n t i s i m é t r i c a s ) = > (A/-f- /JLg)(Xy y) = Áf(x, y) + fxg(x, y) =
= ~ A/(y, X) - fig(y, x) = ~ ( A /+ fLg)(y, x).
3. L o s s u b e s p a c i o s S S / V ) y S 5 ^ ( V 0 s o n s u p l e m e n t a r i o s e n ® ( V ) y a q u e :
• S u s u m a e s 9 S ( V ) , p u e s t o d a f o r m a bilineal / s e p u e d e p o n e r / = / , + / ,
( c o m o s e v i o e n 1), c o n /, e S S / V ) y e 2 6 ^ ( V ) .
• S u i n t e r s e c c i ó n e s n u la, p u e s s i / f u e s e s i m é t r i c a y a n t i s i m é t r i c a , entonces
p a r a c u a l e s q u i e r a x, y e V sería /(jc, y) = / ( y , x) = - / ( y , jc), luego
2/(x, jO = O d e d o n d e/ ( x , >0 = O ( se s u p o n e q u e 2 # O, o sea, q u e K tiene
característica distinta d e 2 ) p a r a c u a l e s q u i e r a Jc, y s V, e s d e c i r , / = o,
c o m o se h a b í a d i c h o .
4. E n el c a s o d e d i m e n s i ó n f m i t a , las f o r m a s / s i m é t r i c a s y a n t i s i m é t r i c a s son
las q u e t i e n e n m a t r i z A = [a¡j] s i m é t r i c a y a n t i s i m é t r i c a , r e s p e c t i v a m e n t e .
E n efecto:
• / s i m é t r i c a f(x, ^ =f(y, x), V i , J o I = I aj.y,x„ Vx, y
I I U
I UijXjj = I aj,yjX„ V i . y o S (oy - V i , >'
(/ (/ íj
^0(1 = Oj¡, V i , j ^ A = A ' < > A s i m é t r i c a .
• / a n t i s i m é t r i c a a¡¡ = -aj¡. \/i, j A = -A' <=» A an t i s i m é t r i c a .
5. Si A e s la m a t r i z d e /, r e s p e c t o d e cierta b a s e , y l l a m a n d o X e K a las
m a t r i c e s c o l u m n a d e c o o r d e n a d a s d e los v e c t o r e s g e n é r i c o s i, y e V se tiene
( n ó t e s e q u e Y'AX e s u n m a t r i z 1 x 1 , l u e g o c o i n c i d e c o n s u traspuesta):

222. 217
fS.x> y) = 5 [f{x, T) +f{y, JC)] = 'i [X'AY- Y‘AX\ = | [X 'A Y -X ‘A’Y\ =
= X'[j (A + A')]K => 5 (A + A') es la malriz de f.
Análogamente se procede con f„ y se obtiene la matriz j (A — A').
E J E M P L O S
L Considérese la forma bilineal / : R ’ x R’ —»R dada por:
ñx, y) =ñ(x„ X2, Xi), (y,, yi, y,)) = a«,y, + + yx¡y2 + 5x,>3 -
- 2íjy, + £tj>-3 - 4xjy^ + {x^y^ =
= X'AY
a s~
= [X,X2X}]6yeya
. - 24
->3-
La forma / será simétrica si se toma )3 = 6. 5 = - 2 y f = 4, pudiendo ser
a, P y í cualesquiera. La forma / será antisimétrica si se toma a = O, y = O,
^ = 0, 5 = 2 y e = - 4 . Al tomar para los parámetros valores
cualesquiera, la descomposición de / en suma de una forma simétrica y
otra antisimétrica se obtiene, recurriendo a sus matrices, poniendo
A = A ^ + A, con:
a3 + ^ /2 -■1 + 5/2·
A, = n > l + ^ ') =2 + m y 2 + e/2
_ - l +8/22 + C/2 L
0- 3 + m 1 + S/2~
A„ = -Í(A -A ') =- 3 +m 0 - 2 + e/2
1 + 5 /2- 2 + £/2 0_
2. Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas de [O, 1] en IR. La
aplicación
VxV— IR, (/, iO -"
es una forma bilineal simétrica.
f(x)g(x)dx

223. ÁLGEBRA UNEAL
FORMAS CUADRÁTICAS
L a v a r i a c i ó n d e tipo c u a d r á t i c o n o n o s d e b e r e s u l t a r e x t r a ñ a , p u e s e s la q u e
g o b i e r n a e n los p o l i n o m i o s h o m o g é n e o s d e s e g u n d o g r a d o , d e c u a l q u i e r n ú m e r o
d e variables, c o m o el
w(jc, y) = ax^'^ bxy-^ ( d e d o s v a r i a b l e s )
P a r a e s t u d i a r tales f u n c i o n e s , las c u a d r á t i c a s , s e r e c u r r i r á a las f o n n a s
bilineales s i m é t r i c a s , d e las q u e a q u é l l a s s e d e r i v a n . A s í , p a r a la anterior
f u n c i ó n ú}(x, y ), e c h a r e m o s m a n o d e la a p l i c a c i ó n bilineal
f((x, y), ( x \ y')) = a x x '-l·^ (xy' + x'y) + 0 7'
N ó t e s e q u e e s t a / s e h a e l e g i d o d e m a n e r a q u e al l o m a r x = x' c y = y \ se
c o n v i e r t e e n la o). E s t e m o d o d e p r o c e d e r , al g e n e r a l i z a r l o , c o n d u c e a decir
q u e , si / ( j c , y) e s bilineal s i m é t r i c a , e n t o n c e s £«;(jc) = /(jc, jc) e s c u a d r á t i c a .
[116]
DEFINICION
S e a V u n e s p a c i o vectorial, s o b r e u n c u e r p o K. S e l l a m a n formas cua­
dráticas, d e f i n i d a s e n V, a las a p l i c a c i o n e s cü:V—*K q u e c u m p l e n lo
e x i g i d o e n u n o d e los d o s p u n t o s s i g u i e n t e s ( q u e s o n e q u i v a l e n t e s entre
sO:
I. D a d a u n a f o r m a bilineal s i m é t r i c a f:V x s e l l a m a f o r m a
c u a d r á t i c a a s o c i a d a a / a la a p l i c a c i ó n
x^cü(JO^f(x,x)
U. L a a p l i c a c i ó n co: V-* K e s u n a f o r m a c u a d r á t i c a si s e verifíca:
a) 0}(\x) = Á^o)(JO, V x e V y V A e A :
h) L a a p l i c a c i ó n / : V x d e f í n i d a m e d i a n t e la relación^*'
f(^^ jO = 5 [w(x + v) - (ü(x) “ v)]
e s bilineal (simétrica), A / s e la l l a m a forma polar d e o>.
(*) Se supone que el cucipo K tiene característica distinta de 2 (cosa que ocurre si
/T = R o si = C), es decir, si I + 1 ^ O, o .«jca 2 ^ O, lo que permite llegar a este relación
tal como eslá. con el 1/2 que hay en su segundo miembro.

224. 219
DEMOSTRACIÓN
1. Empecemos comprobando que I II. De verificarse I, sería:
á) (o(\x) Ajc) = Áf(x, Áx) = \-f(x, x) = Á ^ x )
b) <o(x + y ) - (o{x) - (o(y) =f(x + i + y) - ü>(JO ~ cüiy) =
= [ M í) y) +f(y. x) + / ( y , >)] - <o(x) - w(y) =
= wix) + 2f(x, y) + (ü{y) ~ ú)(x) - cj(y) = 2f(x, y)
Por tanto (como 2 ^ 0 ) dividiendo por 2 se confirma lo dicho en el
apartado b) de II.
2. Veamos ahora que, en el caso de cumplirse II, o>(jc) es igual a /(jc, jc). De
acuerdo con b) y tomando x — y, se obtiene que
m x ) = 'ilü){2x)-2a}{x)]
Ahora bien, de acuerdo con «), es <o(2x) = 4o>(jc) y llevando este resultado
a la última igualdad, .se obtiene que /(jc, jc) = a>(,v), como había que com­
probar.
EJEM PLOS
1. Si V es el espacio vectorial de his funciones continuas de [O, 1] en R, la
aplicación
/ : V x V - ^ R , m . y O ) ) ^x(t)y(t)dt
es una forma bilineal simétrica. La forma cuadrática asociada a / es la
aplicación:
x(t)^dx
2. Sea/ : x R‘ —► IR la forma bilineal simétrica definida mediante la expre­
sión:
M y) = / ( U i » ( y p > 2 » = + 5j:2>^2 =
8 - 3 '
- 3 5y2.
La forma bilineal asociada a / es la aplicación ít>:R^—►R siguiente:
a>(jc) = o)(Xi, X2) =/((JC|, ^2)» -^2)) = “ 6x^x2 + =
= [x^ X2]
8 -3·
- 3 5
/2 .
‘X‘AX

225. 20 ÁLGEBRA LINEAL
OBSERVACIONES
1. Si (o:V-^ K es u n a f o r m a c u a d r á t i c a , e n t o n c e s (o(ó) = O, lo q u e s e prueba
t o m a n d o A = 0 e n <ú{\x) ^ X(o(xy N ó t e s e q u e , e n g e n e r a l , el recíproco
p u e d e n o verificarse, o sea, í«;(fl = 0 n o i m p l i c a x-d\ así para
_y) = ^ e s ^ 1 1) = O, a u n q u e el v e c t o r jc = (1, 1) n o s e a el vector
n ulo.
2. L a e x p r e s i ó n q u e p r o p o r c i o n a la f o r m a p o l a r / e n f u n c i ó n d e í o, e sto cs:
M y) ^k[(o{x + y)- (o{x) - (o{y)]
t a m b i é n s e p u e d e p o n e r d e la s i g u i e n t e m a n e r a
f(x.y)^\[(o{x^y)-a>{x-y)]
c o m o s e p u e d e c o m p r o b a r f á c i l m e n t e .
3. P a r a definir u n a f o r m a c u a d r á t i c a <ú p u e d e r e currirse, t a m b i é n , a f o r m a s
bilineales n o simétricas. S i ^ : V x V — ► K e s u n a f o r m a bilineal cualquiera,
la a p l i c a c i ó n (ú \V—*K d e f i n i d a p o r u)(x) = g(x, x) e s c u a d r á t i c a ; la f o r m a
p o l a r d e e s t a cj e s la a p l i c a c i ó n / : V x V — *K q u e v i e n e d a d a p o r
/(^» y) = 5 [(^(x -^y)- (o(^ - (o(y)] =
= 5 [g(x+y,x + y)~ g(x> X) - g(y, y)] =
= í [«(·?. ·?) + g(x, y) + giy, x) + g(y, y) ~ g(.x, x) - giy< íO] =
= 5 [«(-i. y) + giy, -í)]
4. A p l i c a c i ó n lineal a s o c i a d a a u n a f o r m a c u a d r á t i c a . D a d a u n a f o r m a c u a ­
drática (o:V—*Kysisc l l a m a / a s u f o r m a p o l a r , p a r a c a d a v e c t o r w e V
las a p l i c a c i o n e s p a r c i a l e s / ( _ , ü) y / ( w , _ ) d e f i n i d a s p o r
f U , ü ) : x ^ M ü ) y f ( ü y ^ ) : x ^ m x )
s o n a p l i c a c i o n e s lineales d e V e n K, s e g ú n s e d i j o e n [ 1 1 2 ] , e s decir, son
f o r m a s lineales o e l e m e n t o s d e l e s p a c i o d u a l V * . C o m o a h o r a / e s simétri­
ca, estas d o s f o r m a s l i n e a l e s / ( _ , ü) y / ( m , _ ) s o n i g u a l e s . P u e s bien, la
a p l i c a c i ó n ( a s o c i a d a a w):
(0^: V * M — ^ ü)^(ü) = / ( w , _ ) = / ( _ , ü)
e s u n a a p l i c a c i ó n lineal y a q u e , p a r a c u a l e s q u i e r a w, tJ e V y A , /u e es:
(Oj^ÁÜ + flV) = \ú)J,Ü) + flCü^iÜ)

226. c u a d r á t ic a s 221
debido a que para cualquier vector í e V ck:
w,(Áü + /itJ)(/) =f(Áü + /jLv, _)(x) = f( \ a + flC, Jt) =
= Áf(ü. Jc) + tifie, Jl) = Áf(ü. _ ) ( i ) + /if(e, _)(JC) =
= ÁtüJüHJc) + = (X ú fJ Ú ) + / iw J O H J O
J MATRIZ DE UNA FORMA CUADRÁTICA.
CAMBIO DE BASE. RANGO
[117] S e a V u n e s p a c i o v e c i o r i a l , s o b r e el c u e r p o K, y sea cj :V-^ K u n a f o r m a
c u a d r á t i c a c u y a f o r m a p o l a r c s /. S i V t i e n e d i m e n s i ó n n y si B - (£,, ¿2,
...» éJ e s u n a b a s e d e V, e n t o n c e s p a r a c u a l q u i e r a q u e s e a jf e V es:
= Z OuXiXj = = [x, JC, - x„]
d o n d e A = [a^j] e s la m a t r i z s i m é t r i c a n x n tn la q u e = f(é¡, é j), q u e
s e l l a m a matriz de la forma cuadrática w e n la b a s e B, y d o n d e X = [jcJ
e s la m a t r i z c o l u m n a d e c o o r d e n a d a s d e jc e n B .
i'llfl|2 · «1/
«21Ou ·
.
·0« .
S i e s la m a t r i z d e (o r e s p e c t o d e o t r a b a s e B\ e n t o n c e s
A ' = P ‘AP
d o n d e P e s la m a t r i z ( r e g u l a r ) d e l c a m b i o d e c o o r d e n a d a s ^ * ^ q u e s e
p r o d u c e al c a m b i a r la b a s e B p o r la B\ A s í . p u e s . A y A* s o n c o n g r u e n t e s
( v é a s e [ 1 1 4 ] ) .
T o d a s las m a t r i c e s a s o c i a d a s a la f o r m a c u a d r á t i c a <0, e n las d i s t i n t a s
b a s e s d e V , t i e n e n el m i s m o r a n g o , al c u a l s e le l l a m a rango de la forma
cuadrática to:
r a n g co = r a n g A
(*) La ecuación del cambio de coordenadas cu X = PX\ donde X y X' son las columnaü
de coordenadas, de un mismo vector, en las bases B y B\ respectivamente.
DEMOSTRACIÓN
S e g ú n s a b e m o s , la e x p r e s i ó n de/(jc. y) e s ( v é a s e [ 1 13])/(.f, y) = X'AYx t o m a n d o
a q u í JC = y . s e o b t i e n e q u e a>{x) = X*AX.

227. Al cambiar de base, veririca que (véase f i x . y) = X'*A'y* donde
A ' = P‘A P \ lomando ^ = y, se obtiene que A ’ = P*AP es la matrix de «> en \a
nueva base B ' .
Como P es regular, A y A* son matrices equivalentes'*' y, por tanto, tienen
el mismo rango. En consecuencia, la anterior definición de rango de c»
consistente.
OBSERVACIÓN
Nótese que la matriz A es simétrica, por serlo la forma polar / , y que tambiétv
lo son todas las matrices A ' — P 'A P congruentes con A.
Por ser A simétrica, eslo es, com o a¡j = para todos \o s i y j, la expres\6n
de co{JO se puede expresar en la forma:
OyX,Xj = + 2 a¡¡x¡xj
ij-» h-=l
así, para n = 3, se tendría:
uKx) = (a,,jc^ +
E J E R C I C I O
De una forma cuadrática o>; R ’ —► R se sabe que
íi>(é,) = O = “ 2 toCé,) = 5
« ( é j + C3) = 5 <«>(é, + C3) = 6 a>(.é, + = - A
(donde é„ y son los vectores de Va base canónica).
Hallar la expresión analítica de to.
RESOLUCIÓN
Llamando / a la forma polar de ta, sabem os que
/ ( c „ c,) = w (c,) = O
/ ( C j , é j ) = t t ííCi) = - 2
/ ( é j , é j ) = o ) ( é j ) = 3
/ ( é , , é j ) = I l o > ( é , + é l ) - t u C é j ) - = - \
/ ( C2» C j ) = 5 + é , ) - = 2
/ ( ¿ „ é , ) = i i M e , + c , ) - a > C é » ) - |
(·) Nótese que se puede poner A' “ Q*‘AP, donde Q"‘ * P'.

228. ncAS 223
P o r t a n t o c o n o c e m o s y a t o d o s los e l e m e n t o s d e la m a t r i z s i m é t r i c a d e /, y
d e O), e n la b a s e c a n ó n i c a , lo q u e p e r m i t e p o n e r :
■ 0 - 13 / 2 'W
Jt;, X j ) = l.r, X, Jtj] - 1 - 2 2 ^2
.3,/2 2 3 .-'^3-
- Z t í + 3 x 5 " 2jc,jc2 + + 4x^^
^ ESPACIO VECTORIAL
DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS
S e a V u n e s p a c i o vectorial, s o b r e el c u e r p o K. E l c o n j u n t o d e las f o r m a s
c u a d r á t i c a s d e V' e n K, al q u e d e n o u u - e m o s p o r e s u n e s p a c i o
vectorial, s o b r e K, r e s p e c t o d e las o p e r a c i o n e s u s u a l e s ( s u m a d e f u n c i o n e s
y p r o d u c t o d e f u n c i ó n p o r escalar).
L a c o r r e s p o n d e n c i a q u e a c a d a f o r m a c u a d r á t i c a , d e le a s i g n a s u
f o r m a p o l a r , f o r m a bilineal s i m é t r i c a d e í®,(V)» c s u n i a s o m o r t i s m o e n t r e
e s p a c i o s v e c t oriales.
Si V t i e n e d i m e n s i ó n n y e l e g i d a u n a b a s e e n V , la c o r r e s p o n d e n c i a q u e
a c a d a f o r m a c u a d r á t i c a , d e le a s i g n a s u m a t r i z a s o c i a d a , e n e s a
b a s e , c s u n i s o m o r f i s m o d c l e s p a c i o ve c t o r i a l 2i{V) e n el e s p a c i o v e c t o r i a l
d e las m a t r i c e s s i m é t r i c a s d e t a m a ñ o n x n.
DEMOSTRACIÓN
1. P a r a c o m p r o b a r q u e a ( K ) e s u n e s p a c i o vectorial, b a s t a r á c o n c o m p r o b a r
q u e c s u n s u b e s p a c i o d e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e las f u n c i o n e s d e V e n K, e s t o
cs, q u e 1 ( V 0 c s n o v a c í o (lo q u e e s o b v i o , p u e s la a p l i c a c i ó n n u l a e s
c u a d r á t i c a ) y q u e
[û;, o;' e a ( V ) y A , A ' 6 /T]
E s t o c s así y a q u e . si / y / ' s o n las f o r m a s p o l a r e s át cd y ú)\ e n t o n c e s
A a ; + A'ü > ' e s la f o r m a c u a d r á t i c a a s o c i a d a a A / + A ' / ' ( q u e e s bilineal y
s i m é t r i c a , y a q u e 3 6 , ( V O e s e s p a c i o vectorial); e s t o c s así y a q u e , p a r a
c u a l q u i e r jí e V cs:
(Aü> + A 'w ')(jc ) = k w i x ) + A 'íu '(x ) = A M JO + A y '(jc , y ) =
= Í A / + A 7 ' ) ( x , x)
2. L a c o r r e s p o n d e n c i a q u e a c a d a f o r m a bilineal s i m é ü i c a / e 9 & / V ) le a s i g n a

229. ÁLGEBRA LINEAL
s u f o n n a c u a d r á t i c a a s o c i a d a í o e 2 , ( V 0 e s b i y e c t i v a ( s u r e c í p r o c a a s o c i a a
c a d a f o r m a c u a d r á t i c a s u f o r m a p o l a r ) ; e s t a c o r r e s p o n d e n c i a , s e giín ya
s a b e m o s ( v e r [ 1 1 6 ] ) , v i e n e d a d a p o r :
S6,( V ) 2,( / · - ♦ cü, s i e n d o ü)(x) = / ( i , x)
a ( V 0 - S 5 / n (0 ^ 1 s i e n d o M }?) = - í^^U) “ ^*>001
E s t a b i y e c c i ó n e s u n i s o m o r f i s m o e n t r e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s y a q u e , s e g ú n
s e a c a b a d e c o m p r o b a r e n el a p a r t a d o a n t e r i o r , e s l i n e a l ( p a r a la s u m a y
p a r a el p r o d u c t o p o r esca l a r ) , e s d e c i r :
^ / = f o r m a p o l a r d e to \ / A / + A ' / ' e s la f o r m a '
= f o r m a p o l a r d e (o'j p o l a r d e Áu) -f A'io' ^
3. L a c o r r e s p o n d e n c i a q u e a c a d a f o r m a c u a d r á t i c a at le a s i g n a s u m a ü i z
s i m é t r i c a A , r e s p e c t o d e la b a s e d a d a , e s b i y e c t i v a d e S ( V O e n el e s p a c i o
d e las m a t r i c e s n x n s i m é t r i c a s . N o s e s t a m o s r e f i r i e n d o a la b i y e c c i ó n q u e
y a c o n o c e m o s , e s t o e s a la d a d a ( p a r a c u a l q u i e r x e V) p o r :
w ( x ) = X ‘AX (X = c o l u i n n a d e c o o r d e n a d a s d e jc)
E s t a b i y e c c i ó n e s u n i s o m o r f i s m o e n t r e l o s r e f e r i d o s e s p a c i o s , y a q u e si A,
A ' s o n las m a t r i c e s d e a>, cú' e 2 . ( V ) y p a r a c u a l e s q u i e r a A , A ' e /C es:
(Xo) + A'o)')(x) = X(o{x) + A'o;'(jc) = XX^AX + X ' X W X = X\XA + A ' A ' ) X
e s decir, d i c h a b i y e c c i ó n e s lineal e n t r e e s p a c i o s v e c t o r i a l e s , o sea:
^ A = m a t r i z d e (o '
[A' = m a t r i z d e (ü%
^ la m a t r i z A A + A ' A ' e s ^
J a a s o c i a d a a Xío-tX^o)'^
CONJUGACION RKSPECTO
DE UNA FORMA CUADRÁTICA
R e c u é r d e s e q u e , c u a n d o s e e s t u d i a b a el p r o d u c t o e s c a l a r e n R \ s e d i j o q u e d o s
v e c t o r e s x t y e r a n o r t o g o n a l e s si s u p r o d u c t o e s c a l a r e r a n u l o . P u e s bien, si
se sustituye el p r o d u c t o e s c a l a r (jc, y ) - ^ x · y p o r u n a f o r m a b i l i n e a l c u a l q u i e ­
ra (jc, y ) * ^ f i x , y), e s t o es, si e n l u g a r d e la r e l a c i ó n jc · .y = O s e c o n s i d e r a la
/(i, y) = O, s e d i c e q u e jc e y s o n c o n j u g a d o s , e n v e z d e o r t o g o n a l e s . Esta
g e n e r a l i z a c i ó n c o n s e r v a m u c h a s d e las p r o p i e d a d e s d e la o r t o g o n a l i d a d d e
vectores, p e r o n o todas. A s í , p o r e j e m p l o , s a b e m o s q u e u n v e c t o r fijo
p u e d e ser o r t o g o n a l a t o d o s los v e c t o r e s d e l e s p a c i o ; s i n e m b a r g o , e n caso
general, p u e d e h a b e r a l g ú n v e c t o r J ^ ó tal q u e / ( a , jc) = O p a r a t o d o v e c t o r i
del e s p a c i o .

230. ICAS zzs
□VECTORES CONJUGADOS
[119]
S e a ü): V—» K u n a f o r m a c u a d r á t i c a , e n el e s p a c i o vect o r i a l V s o b r e el
c u e r p o K, y s e a / l a f o r m a p o l a r d e a>. S e d i c e q u e x, y e V s o n vectores
conjugados r e s p e c t o d e o r e s p e c t o d e / si s e verif i c a q u e / { j c , y) = 0.
S i V t i e n e d i m e n s i ó n finita y si A e s la m a t r i z s i m é t r i c a d e w e n u n a
cierta b a s e d e V. e n t o n c e s x, y e V s o n c o n j u g a d o s r e s p e c t o d e si y
s ó l o si X*AY — O (relación de conjugación), d o n d e X c Y s o n las m a t r i c e s
c o l u m n a d e c o o r d e n a d a s d e j c e y.
O B S E R V A C I O N E S
1. C o m o f(x, y)=^X*AY, la r e l a c i ó n d e c o n j u g a c i ó n s e o b t i e n e t r i v i a l m e n t e
a n u l a n d o e s t a ú l t i m a e x p r e s i ó n .
2. E l v e c t o r n u l o o e s c o n j u g a d o d e t o d o s los v e c t o r e s d e l e s p a c i o , y a q u e
f(x, ó ) = O p a r a c u a l q u i e r a q u e s e a Jc e V.
3. L a r e l a c i ó n d e c o n j u g a c i ó n r e s p e c t o d e (o e s s i m é t r i c a , e s t o es, si x e s c o n ­
j u g a d o d e y e n t o n c e s y e s c o n j u g a d o d e .f, E s l o e s e v i d e n t e y a q u e / ( x , v) =
=fiy, x), p u e s la f o r n i a p o l a r / e s s i m é t r i c a .
4. S e d i c e q u e d o s c o n j u n t o s d e v e c t o r e s ( e n particular, d o s s u b e s p a c i o s ) s o n
c o n j u g a d o s r e s p e c t o d e la f o r m a c u a d r á t i c a co si c u a l q u i e r v e c t o r d e u n o
d e ellos e s c o n j u g a d o d e t o d o s los v e c t o r e s d e l otro.
E J E M P L O
S e a ► R la f o r m a c u a d r á t i c a
(oix) = w ( j C p jCj) = jcf + 3a,a-2 +
L o s v e c t o r e s j ^ = (2, - 3 ) e = (6, - 5 ) s o n c o n j u g a d o s r e s p e c t o d e o) y a
q u e , c o m o la f o r m a p o l a r d e cj es:
/((.r,JCi). ( y „ >2» = + 1 (x,y2 + Xiy^) + Ix^y^
r e s u l t a q u e f(xa, >o) ~ ^·
H a l l e m o s a h o r a t o d o s los v e c t o r e s y = (y,, yi) q u e s o n c o n j u g a d o s , r e s p e c t o
d e w . d e l v e c t o r x^ = (2. - 3 ) . P a r a ello, p o n i e n d o /(x^, .>0 = O s e o b t i e n e :
2v, + M 2 v j - 3 y , ) - 6 y j = O o s e a 5 y , + 6 y j = 0

231. ÁLGEBRA UNEAL
P o r t a n t o , t o d o s l o s v e c t o r e s c o n j u g a d o s d e f o r m a n el s i g u i e n t e subcspa-
c i o d e O?*:
{ ( > „ > j ) 6 R V 5 y , + 6).j = 0 )
A é s t e s e le l l a m a s u b e s p a c i o c o n j u g a d o d e jc,,; d e e s t o s s u b e s p a c i o s varaos
a h a b l a r a c o n t i n u a c i ó n .
□ SUBESPACIO CONJUGADO DE UN VECTOR
[120]
S e a u n a f o r m a c u a d r á t i c a , e n el e s p a c i o v e c t o r i a l V s o b r e el
c u e r p o K, y l l a m e m o s / a la f o r m a p o l a r d e S e a x ^ e V un v e c t o r fijo.
S e v e r i f i c a q u e :
I. E l c o n j u n t o q u e f o r m a n l o s v e c t o r e s c o n j u g a d o s d e e s decir,
e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e V, s e le l l a m a subespacio conjugado
d e l v e c t o r x „ r e s p e c t o d e o>.
2, S i oK.Xq) ^ O, el s u b e s p a c i o ^(JCy) e s s u p l e m e n t a r i o d e l s u b e s p a c i o
y(jCo), q u e e n g e n d r a
3. S i ú)(Xq) ^ o y si (;co, jc,, jc„^,) e s u n a b a s e d e V ( s e h a s u p u e s t o
q u e d i m V=n), e n t o n c e s ^(Xq) a d m i t e p o r b a s e a (w,, ...,
s i e n d o
a, = i , - A A c o n = ^
( p a r a ; = 1, 2, .... n - I).
D E M O S T R A C I Ó N
1. H a y q u e c o m p r o b a r q u e , si x,x' e ^(x„) y \,Á’eK, e n t o n c e s A i +
t a m b i é n p e r t e n e c e a %(x„); a s í o c u r r e , y a q u e :
x ,x ’ e^(x„) =» = 0 => f(X o ,^ + ^'^''>"
= A/(-fo, i ) + A ' / ( ^ . i ' ) = A 0 + A ' 0 = 0 = > A i + A ' i ' e W
2. T o d o e s t r i b a e n v e r q u e %(x„)9°V(Xo) = V, e s t o es, q u e :

232. • La suma de y es V, Esto es así dehido a que tixio j? e V se
puede poner x = (x — f donde este último sumando pertenece a
Y(jÍq) para todo Á e K y el otro sumando, x - Ajc„. se puede conseguir
que sea de ^(x^) si se toma para A el escalar que haga:
/ ( V x - A x „ ) = 0
o sea
/(Xo, X ) - Á w i x J = o
es decir,
« < í , l
• i.a intersección de ^€(Xo) y TíXo) es nula ya que si Jü pertenece a
ha de ser X = Ax„. para algún A e A’, y para que jP sea también de ^^(x«)
ha de verificarse que /(x„, x) = 0. luego tiene que ser:
M .. Ax„) = ()
eslo es
AMjf») * O
luego A = O (pues üH.fo) tanlo jP = OjP„ «<5 cs el único vector de
la intersección.
3. Como ^€(X(,)® y(jp„) = V y las dimensiones de V(Xo) y V' son 1 y /i, resulta
que tiene dimensión /¡ - ¡, Para comprobar que («,, .... ü„ ,) cs una
base de debemos comprobar, pues, que los vectores son lodos de
y forman un sistema ¡ndepcndienle. Veamos que así ocurre:
• Los vectores t\ (para 1=1.2, w - I) son de '€(x„) ya que:
/(Jf». ú ,) =/(x„, X, - A^J =/(x„, X,) - A M ^ u ) =
í</(X())
• E l s i s t e m a («,, .... c s i n d e p e n d i e n t e y a q u e , si /i,
.... /i„_, s o n
e s c a l a r e s , cs:
/·,«, + - + /I..,« ,., = ó =» h,ii, - A,i„) + - + - A„ ,i«) = <5 =>
= » /i,i, + - + + ( - / i , A ,
------=
=» (/i, = O
....../i.., = O, - / i , A ,----------K iK-> = «I =* f‘> = - = *» 1 =
(la i m p l i c a c i ó n c o n ( ·) e s cierta d e b i d o a q u e (i,„ x,, .... i „ _i) e s ba.se
d e VO.

233. ÁLGEBRA LINEAL
EJERCICIO
S e a la f o r m a c u a d r á t i c a d e f i n i d a , e n la b a s e c a n ó n i c a , m e d i a n t e :
z) = “* 3 / + + 4xy + 6xz = [x y z\
'123 ‘ V
2- 30
y
= r/U f
. 30 1.. z.
H a l l a r tres v e c t o r e s d, b y c c o n j u g a d o s d o s a d o s r e s p e c t o d e y tales que
f o r m e n b a s e d c W ( h a y m u c h a s s o l u c i o n e s d e e s t a c u e s t i ó n , s e p i d e u n a de
ellas). H a l l a r t a m b i é n la m a t r i z d e cj e n la b a s e (¿/, b, c) q u e s e o b t e n g a .
RESOLUCION
T o m e m o s p a r a d u n v e c t o r c u a l q u i e r a tal q u e w(d) ^ 0; p o r e j e m p l o , « = (1, O, 0).
L o s v e c t o r e s í? y c h a n d e estar e n el s u b e s p a c i o c o n j u g a d o d e d, q u e es el:
Ix y ZÌA = O o sea, JC + 2y + 3 z = O in
T o m e m o s p a r a b u n v e c t o r c u a l q u i e r a d e e s t e s u b e s p a c i o ; p o r e j e m p l o ,
(1, I, - 1 ) . El v e c t o r c, a d e m á s d e estar e n el a n t e r i o r s u b e s p a c i o , l a m b i é n
h a d e p e r t e n e c e r al s u b e s p a c i o c o n j u g a d o d e b, q u e e s él:
[X y z]A ' O o sea, - y + 2z = 0 [2]
P o r tanto, el v e c t o r c, q u e h a d e v e r i f i c a r a (Ij y a |2J, p u e d e ser el
c = (-7,2, 1).
E n la b a s e (d, b, c). la m a t r i z d e w será:
w(fl)/(<3. b)/ ( « . c)’ 1 00'
A ' =M s) w ( í )A b , c)=0- 30
. A c , s)f ie , h) _00- 6 0 .

234. ricAS 229
[121]
Q FORMAS CUADRÁTICAS ORDINARIAS
Y DEGENERADAS. NÚCLEO
S e a (o:V—*K u n a f o r m a c u a d r á t i c a , e n el e s p a c i o v e c t orial V s o b r e el
c u e r p o K, S e l l a m a núcleo de la forma cuadrática <ú al c o n j u n t o q u e
f o r m a n los v e c t o r e s d e V q u e s o n c o n j u g a d o s , r e s p e c t o d e o), d e t o d o s
los v e c t o r e s d e V. E s t e c o n j u n t o e s u n s u b e s p a c i o d e V y s e le d e n o t a p o r :
N u c {(ú) = {x 6 V/f{x, y ) = O, V y G V] ( / = f o r m a p o l a r d e c j )
S e d i c e q u e w e s una forma cuadrática ordinaria si N u c ((o) = O. S e d i c e
q u e (O e s u n a forma cuadrática degenerada si n o e s ordina r i a , e s t o es. si
e.xiste a l g ú n v e c t o r Xq^ó q u e e s c o n j u g a d o r e s p e c t o d e co d e t o d o s los
v e c t o r e s d e V,
S i d i m V = n y si e s la m a t r i z d e cj e n u n a cierta b a s e d e V, e n t o n c e s
el n ú c l e o d e c j e s t á f o r m a d o p o r los x e V tales q u e :
N u c (cj) : A X - O ( X = c o l u m n a d e c o o r d e n a d a s d e x)
E n e s t e c a s o , d e d i m e n s i ó n finita w, s e verifica q u e :
r a n g a> = /í — d i m [ N u c (íc;)1
(o> o r d i n a r i a ) <=> r a n g =
( c j d e g e n e r a d a ) <=> r a n g cj<n
(·) Pura que un vector Jc .sea dcl núcleo no basta con que sea / (jc» x) = 0; cuando se
verifica esta relación, cs decir, si es = O, se dice que jc cs autoconjugado respecto de <o.
DEMOSTRACIÓN
• E l c o n j u n t o N u c (o>) es, r e a l m e n t e , u n s u b e s p a c i o d e V y a q u e , p a r a jc,, jc, e V
y A p A j e es:
6 N u c (o») = » f(xt,y)=m,y) = 0, V y e V = >
= > / ( A , i , + A j X j . y ) = A , / ( i „ > ^ + Aj/(jCj. y ) = A , 0 + A , 0 = 0 = >
= » A , í , + A j i , e N u c ( w )
• E n el c a s o d e d i m e n s i ó n finita es:
X e N u c (<ü) f i x , y ) = 0,\f y e V
o K ' A X = 0 . V K e » AX = 0
lo q u e p e r m i t e a f i r m a r q u e AX = 0 es la e c u a c i ó n d e N u c («o).

235. d i m [ N u c (<i))l = d i m ( s o l u c i o n e s de A X = O] =
= /I - r a n g A = n — r a n g w
(ú) ordina r i a ) <=> N u c ((o) = 0 <=> d i m [ N (6>)] = 0 ^
<=> r a n g (o = n
(ú) d e g e n e r a d a ) <=> ( w n o o r d i n a r i a ) <=> r a n g ^
<=> r a n g (o<n
EJEMPLO
S e a í j: R ’— ► R la f o r m a c u a d r á t i c a q u e , r e s p e c t o d e la b a s e c a n ó n i c a , tiene por
e x p r e s i ó n a:
y. '^y^-^4xy-2xz- 2yz
E l n ú c l e o d e (o lo f o r m a n los v e c t o r e s (jc, y, z) tales q u e :
ÁLGEBRA LINEAL
• Como consecuencia de lo anterior; resulta que:
’ 3 2 - r “jc"’o"
2 1 - I =0
.-1 -1 0__z_.0.
L a m a t r i z d e este s i s t e m a ( q u e e s la m a t r i z d e e n la b a s e c a n ó n i c a ) tiene
r a n g o 2, l u e g o el n ú c l e o d e (o t ie n e d i m e n s i ó n 3 - 2 = L F á c i l m e n t e s e obtiene
q u e la s o l u c i ó n d e este s i s t e m a e s el c o n j u n t o d e v e c t o r e s (x, y^ z) = ( a , o)
p a r a a e R ; p o r tanto:
N u c ( o > ) = ( ( a , -a, a)¡a e R )
r a n g cu = 2 ; ct> e s d e g e n e r a d a
OBSERVACIÓN
R e c u é r d e s e q u e ( v e r la 4.“ o b s e r v a c i ó n q u e s i g u e a [ 1 1 6 ] ) , d a d a la f o r m a
c u a d r á t i c a a c u y a f o r m a p o l a r l l a m a r e m o s /, s e l l a m a b a aplicación
a s o c i a d a a cu a la
cu/. V-^ V* , M— (úJ,Ü) =/(m , _ ) = / ( _ , ü)
q u e e s lineal. E l n ú c l e o d e e s t á f o r m a d o p o r a q u e l l o s v e c t o r e s <2 e V tales
que / ( i í , _ ) e s la a p l i c a c i ó n nula, e s t o es, tales q u e / ( i i , y) = O, p a r a t o d o e V,
lo q u e e q u i v a l e a d e c i r q u e ü p e r t e n e c e al n ú c l e o d e w. A s í , p u e s , el núcleo
d e u n a f o r m a c u a d r á t i c a (o n o e s o t r a c o s a q u e el n ú c l e o d e s u a p l i c a c i ó n lineal
a s o c i a d a

236. c u a d r á t ic a s 231
^ DIAGONALIZACIÓN DE UNA FORMA
CUADRÁTICA
R e c u é r d e s e q u e . e n el c a s o d e d i m e n s i ó n finila, la m a t r i / s i m é t r i c a A a s c K ’i a d a
a u n a f o r m a c u a d r á t i c a (o \ V—* K v < u í a al c a m b i a r la b a s e q u e s e t o m e e n V,
p a s a n d o a s e r la m a t r i z A' = P*AP ( d o n d e P e s la m a t r i z r e g u l a r d e c a m b i o d e
c o o r d e n a d a s ) , q u e e s c o n g r u e n t e c o n A, L a s m a t r i c e s c o n g r u e n t e s c o n la m a t r i z
A s o n las m a t r i c e s a s c K i a d a a la t o r m a c u a d r á t i c a u> r e s p e c t o d e las distintas
b a s e s d e V.
V a m o s a o c u p a r n o s a q u í d e e l e g i r b a s e s a p r o p i a d a s e n V d e m a n e r a q u e ,
e n ellas, las m a t r i c e s a s o c i a d a s a cj r e s u l t e n e s p e c i a l m e n t e sencillas; e n c o n ­
c reto, s e d e s e a q u e d i c h a m a t r i z s e a d i a g o n a l . V e r e m o s d e a q u í a p o c o q u e
s i e m p r e h a y a l g u n a b a s e e n la q u e s e c o n s i g u e d i c h a d i a g o n a l i z a c i ó n d e o>.
D i c h o d e o t r o m o d o , e n la c l a s e q u e f o r m a n t o d a s las m a t r i c e s c o n g r u e n t e s c o n
u n a m a t r i z c u a d r a d a , d a d a a r b i t r a r i a m e n t e , h a y a l g u n a d e tales m a t r i c e s q u e e s
d i a g o n a l .
B
□
. FORMA niACONAI. (CONGRUENCIA)
EXISTENCIA DE BASES DE VECTORES
CONJUGADOS
1122] S e a io:V—*K u n a f o r m a c u a d r á t i c a , d e f i n i d a e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l V
s o b r e u n c u e r p o K. S i V t i e n e d i m e n s i ó n finita, e n t o n c e s e x i s t e a l g u n a
b a s e d e V f o r m a d a p o r v e c t o r e s c o n j u g a d o s , d o s a d o s r e s p e c t o d e oi.
DEMOSTRACION
L l a m e m o s / : V x V - * A' la f o r m a p o l a r d e w .
E n el c a s o p a r t i c u l a r w = o ( a p l i c a c i ó n n u l a ) la p r o p i e d a d s e v e r i f i c a o b ­
v i a m e n t e . p u e s d o s v e c t o r e s c u a l e s q u i e r a s o n c o n j u g a d o s r e s p e c t o d e o> = o. S e
s u p o n d r á p u e s q u e e s w ^ o.
D e m o s t r e m o s la p r o p i e d a d p o r i n d u c c i ó n s o b r e d i m V. S i d i m V ^ = l , la
p r o p i e d a d e s e v i d e n t e . H a y . p u e s , q u e d e m o s t r a r q u e si la p r o p i e d a d e s cierta
p a r a e s p a c i o s d e d i m e n s i ó n - 1, e n t o n c e s t a m b i é n lo e s si d i m V = n.
S e a e V u n v e c t o r tal q u e o>(¿5,) O ( n ó t e s e q u e h a d e s e r ^ ó), el c u a l
e x i s t e p u e s s e h a s u p u e s t o y r e c u r r a m o s al s u b e s p a c i o V , = '^(«,) c o n ­
j u g a d o d e M, r e s p e c t o d e cu. q u e t iene d i m e n s i ó n n - l y e s s u p l e m e n t a r i o d e l
T ( m , ) ( v é a s e 1 1 2 0 ) , 2). L a a p l i c a c i ó n w:V^-^K, r e s t r i c c i ó n d e w a V\. e s
u n a f o r m a c u a d r á t i c a c u y a f o r m a pohit e s /: x A*, r e s t r i c c i ó n d e / a
V , X V,. P o r la h i p ó t e s i s d e i n d u c c i ó n , c o m o d i m ~ l. e n V, h a y a l g u n a

237. Al g e b r a lineal
b a s e (i¡2
...H„) f o r m a d a p o r v e c t o r e s c o n j u g a d o s , d o s a d o s , r e s p e t o d e
D c t o d o ello resulta q u e p a r a (í?,, Mj. ···. “«) c u m p l e lo q u e s e e x i g í a e n el
e n u n c i a d o , p u e s :
• E s b a s e d e V, y a q u e (<7j
...m„) e s b a s e d e V , y V = V ,
• S u s v e c t o r e s s o n c o n j u g a d o s d o s a d o s , p o r s e r l o l o s Mj, .... entre sí y,
t a m b i é n , c a d a u n o d e ellos c o n p u e s p e r t e n e c e n al s u b e s p a c i o V,
c o n j u g a d o d e
Q DIAGONALIZACIÓN DE UNA FORMA
CUADRATICA
E n el c a s o d e d i m e n s i ó n fmita, t o d a f o r m a c u a d r á t i c a co e s d i a g o n a l i z a h l e ; esto
se p u e d e h a c e r d e m u c h a s f o r m a s , o b t e n i é n d o s e r e s u l t a d o s distintos e n u n a s y
otras. P a r a ello se r e c u r r e a las b a s e s q u e s e a c a b a n d e e s t u d i a r ; e x p r e s a n d o o>
e n u n a tal b a s e , s u m a t r i z a s o c i a d a v a a s e r d i a g o n a l .
A l e x p r e s a r este a s u n t o e n t é r m i n o s d e m a t r i c e s , s e o b t i e n e el siguiente
r esultado: d e e n t r e t o d a s las m a t r i c e s c o n g r u e n t e s c o n u n a m a t r i z simétrica
d a d a , h a y a l g u n a s q u e s o n d i a g o n a l e s . V e a m o s q u e las c o s a s s o n c o m o a c a b a ­
m o s d e adelantar:
[1231
2.
Si ü; : e s u n a f o r m a c u a d r á t i c a , d e f i n i d a e n u n e s p a c i o vectorial
V d e d i m e n s i ó n n, s o b r e el c u e r p o K, e n t o n c e s e x i s t e a l g u n a b a s e
5 = (m,, w j d c V e n la q u e la m a t r i z D a s o c i a d a a íw es
d i a g o n a l , o sea, tal q u e e n d i c h a b a s e es:
ü,{x) = X^DX-^d^x]-{-d2xÍ+- + d„xi
Diagonalizar una forma cuadrática c j e s h a l l a r u n a tal b a s e fi y la
c o r r e . s p o n d i e n t e m a t r i z D .
E l r a n g o d e c j e s el n ú m e r o d e e l e m e n t o s n o n u l o s q u e h a y e n la
d i a g o n a l d c D. S u p o n i e n d o q u e los p o s i b l e s d¡ n u l o s o c u p a n los
ú l t i m o s lugares, es:
r e s el r a n g o d e c j
d¡ O p a r a / = 1, r
3. D a d a u n a m a t r i z s i m é t r i c a A c u a l q u i e r a , d e t a m a ñ o n x w, existe
a l g u n a m a t r i z r e g u l a r P , d e t a m a ñ o n x /i, uú q u e D = P'AP e s u n a
m a t r i z d i a g o n a l . Diagonalizar por congruencia u n a m a t r i z si m é t r i c a
A c s hallar las a n t e r i o r e s m a t r i c e s D y P .
(♦) X cs la columna dc coordenadas .tj
.....útiXeV en la base B, Los cicmenios
dc la diagonal dc D son rf, =» <o(w,) para /* I, 2, n.

238. 233
DEMOSTRACIÓN
2.
3.
S e g ú n s e a c a b a d e c o m p r o b a r ( v é a s e [ 1 2 1 ) ) e x i s t e u n a b a s e B = (w,, Wj, ...»
¿4„) d e V f o r m a d a p o r v e c t o r e s c o n j u g a d o s , d o s a d o s r e s p e c t o d e e s t o
es, tal q u e / ( w , , m.) = O p a r a i # j ( c o n /, y = 1, 2..... n). d o n d e / e s la f o r m a
p o l a r d e oj. C o m o , p o r o t r a parte, la m a t r i z d e e o e n la b a s e B t i e n e p o r
e l e m e n t o d e l u g a r ij al e s c a l a r /(«,, üj), re s u l t a q u e e s t a m a t r i z t i e n e n u l o s
t o d o s s u s e l e m e n t o s n o s i t u a d o s e n la d i a g o n a l p r i n c i p a l (/ ^ y), e s decir,
d i c h a m a t r i z e s d i a g o n a l .
E l r a n g o d e <o e s i g u a l al r a n g o d e c u a l q u i e r a d e s u s m a t r i c e s a s o c i a d a s
y, e n parliculiu*, r a n g w = r a n g D. C o m o el r a n g o d e D e s i g u a l al n ú m e r o
d e e l e m e n t o s n o n u l o s d e s u d i a g o n a l , la p r o p i e d a d a d e m o s t r a r e s y a
e v i d e n t e .
R e c u r r a m o s a la f o r m a c u a d r á t i c a í o : K ' ' —* K q u e t i e n e a A p o r m a t r i z
r e s p e c t o d e la b a s e c a n ó n i c a . S e g ú n s e a c a b a d e d e c i r e n el p u n t o anterior,
h a y a l g u n a b a s e B d e K" e n la q u e la m a t r i z d e w e s d i a g o n a l ; s e a D e s t a
m a t r i z . S i e s P la m a t r i z d e l c a m b i o d e c o o r d e n a d a s q u e s e p r o d u c e al
p a s a r d e la b a s e c a n ó n i c a a la b a s e B, e n t o n c e s ( v é a s e [ 1 1 7 ] ) e s D = P*AP,
c o m o h a b í a q u e c o m p r o b a r .
EJEMPLO
C o n s i d é r e s e la f o r m a c u a d r á t i c a d e f i n i d a m e d i a n t e
Xj, X3. X4) = [x, X2 X3 XaÍ
12 -1 r
’jc."
2 3-21X,
-1-2 9 - 5
1 1 - 5 5 _
.•*4.
'X*AX
S u p o n g a m o s q u e s e q u i e r e d i a g o n a l i z a r w d e m a n e r a q u e la b a s e e n la q u e
s e o b t e n g a la d i a g o n a l i z a c i ó n s e a u n a (m,, Wj» ^3, M4) d e l tipo:
lí, = (jc, o, o, 0 ) «2 = (y, z. O, 0 ) W3 = (m, y, 0 ) = (ar, /3, % S)
T o m e m o s m, = (l. O, O, 0). C o m o h a d e s e r c o n j u g a d o d e i7„ d e b e s e r
(.V z O 0 ] A [ 1. O, O, O r = O , o s e a y + 2 z = O
P o r tanlo, t o m a m o s = (2, - 1 , O, 0). C o m o h a d e s e r c o n j u g a d o d e z7,
y d e üjs h a d e s e r
[u V w 0 ] i 4 [ l O O 01'- O
1« y w 0]A[2 - 1 O o r = 0
u + 2u “ Vi’ = O
i; = 0

239. ÁLGEBRA LINEAL
P o r l a n í o , t o m a m o s w , = (1,0, l, 0). C o m o h a d e s e r c o n j u g a d o d e
d e M , y d e Mj, h a d e ser:
1 «^ y 5 | A | 10 0 0 1 ' = 0 í/ + 2 f ) - y+ S = 0
1 «f i y « M ( 2- 1 0 01 = 0 ► 0 sea < fi + S = 0
1«P y 5 1 A H0 1 01 = 0 . 8 y - 4 5 = 0
P o r t a n t o , t o m a m o s «4 = (3, - 2 , l, 2).
C o m o ^ü{tl^) = l, ít>(iÍ2) = - 1. (o(tl^) = 8 y tü(ú^) = 6, r e s u l t a q u e la matriz
a s o c i a d a a (o e n la h a s e ((7,, m,. /7„ Ñ^) e s
D'·
1 0 0 0
0-10 0
0 0 80
0 0 0 6
N ó t e s e q u e e s t a d i a g o n a l i z a c i ó n e x p r e s a d a m a i r i c i a l n í e n t e , D = P ‘AP, sería:
'l 00()■ 1 2 - 1 r’ 1213“ "l 0 00'
2- 10 0 2 3 -2 10- l 0 - 2 0 - 1 0 0
1 0 10 - 1- 2 9 - 5 0 0 1 1 0 0 80
3- 2 12
11 - 5 5 _0 0 0 2 _ J) 0 0 6 _
E s c o n v e n i e n t e o b s e r v a r a q u í q u e l o s v e c t o r e s = p a r a c u a l e s q u i e r a
( p a r a 1= l, 2, 3. 4), t a m b i é n s o n c o n j u g a d o s d o s a d o s y f o r m a n u n a
b a s e d c R** e n la q u e la m a t r i z d e oj e s d i a g o n a l y l os e l e m e n t o s d e s u d i a g o n a l
s o n w ( f , ) = fljcüíii,). T o m a n d o , e n t o n c e s , cv, = I, í/j = I, o , = \A8 y = %/6, nos
e n c o n t r a m o s c o n q u e , e n la b a s e (¿F^), la m a t r i z d e o) e s d i a g o n a l y tiene su
d i a g o n a l f o r m a d a p o r los e l e m e n t o s l , — 1, 1 y l .
I)IA(;ONAfJZACION EFKCTIVA
DE UNA FORMA CUADRÁTICA
P a r a d i a g o n a l i z a r p o r c o n g r u e n c i a u n a m a t r i z c u a d r a d a A q u e s e a simétrica,
s e p u e d e recurrir a las o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s ; c a d a o p e r a c i ó n e l e m e n t a l se
realizará, p r i m e r o , e n las filas d e A y, d e s p u é s , la m i s m a o p e r a c i ó n , e n las c o ­
l u m n a s d e la m a t r i z y a o b t e n i d a ( se p u e d e , t a m b i é n , a c t u a r p r i m e r o s o b r e las
c o l u m n a s y d e s p u é s s o b r e las filas; el r e s u l t a d o e s el m i s m o ) . P r o c e d i e n d o d e
e s t e m o d o s e o b t i e n e n s i e m p r e m a t r i c e s c o n g r u e n t e s c o n A\ e n t r e ellas están,
o b v i a m e n t e , las m a t r i c e s d i a g o n a l e s q u e s o n c o n g r u e n t e s c o n A. M á s e x a c t a ­
m e n t e :

240. TICAS 235
[124] 1.
DIAGONALIZACIÓN (POR CONGRUENCIA)
USANDO OPERACIONES ELEMENTALES
S e a A u n a m a t r i z c u a d r a d a s i m é t r i c a . Si E e s u n a o p e r a c i ó n e l e m e n ­
tal, J a m a t r i z £ ( A ) q u e r e sulta d e a p l i c a r £ a filas y a c o l u m n a s e n
A C) e s c o n g r u e n t e c o n A y tal q u e :
d o n d e .
EiA) = FAC
F = EHí) = r e s u l t a d o d e a p l i c a r E a las filas d e / ( u n i d a d )
C = £*"(/) = r e s u l t a d o d e a p l i c a r £ a las c o l u m n a s d e /
/ N ó l e s e q u e C y £ s o n r e g u l a r e s y q u e £ = C ' )
2. S e a u n a f o r m a c u a d r á t i c a , e n u n e s p a c i o vect o r i a l V d e
d i m e n s i ó n finita s o b r e el c u e r p o K, q u e t i e n e e c u a c i ó n (o(x) = X*AX,
e n u n a cierta b a s e . S i £ e s u n a o p e r a c i ó n e l e m e n t a l p a r a la q u e
D = £(i4) e s u n a m a t r i z d i a g o n a l , e n t o n c e s w t i e n e e x p r e s i ó n d i a g o n a l
w{x) = al realizar el c a m b i o d e c o o r d e n a d a s X = CX\
(*) Primero se aplica £ a lus filas de A y, después, se aplica E a las columnas de la
matriz ya obtenida. También se puede aplicar E primero a columnas y luego a filas.
C OMPROBACIÓN
1. S e g ú n y a s a b e m o s ( v é a s e [0 2 6 ] ) , al a p l i c a r a las filas d e u n a m a t r i z M u n a
o p e r a c i ó n e l e m e n t a l £ , y al a p l i c a r a s u s c o l u m n a s u n a o p e r a c i ó n e l e m e n t a l
£2 s e o b t i e n e n , r e s p e c t i v a m e n t e , las m a t r i c e s
E'(M) = F M E¡(M) = M C
c o n F = E{(I) ^ c o n C^E^ÍM)
P o r ello, la m a t r i z E(A) s e p u e d e p o n e r e n la f o r m a :
E(A) = E^(£^(A)) = E\FA) = (FA)C = FAC
c o n F = EHD y C = E ’([)
E s o b v i o y c o n o c i d o q u e f y C s o n t r a s p u e s U la u n a d e la otra. T a m b i é n
s a b e m o s ( v é a s e [ 0 2 8 ] , 4 ) q u e F y C s o n m a t r i c e s r e g u l a r e s . D e e s t o resulta,
p u e s , q u e
E(A) = C'AC c o n C r e g u l a r ,
e s decir, q u e E{A) e s c o n g r u e n t e c o n A.

241. ÁIJGEBRA uneal
2. Si l) = E(A) e s m a t r i z d i a g o n a l , c o n la o p e r a c i ó n E s e h a b r á diagonalizadó
p o r c o n g r u e n c i a la m a t r i z A, e s t a d i a g o n a l i z a c i ó n s e r á la d a d a por
/) = C^AC. P o r ello, c o n E s e o b t i e n e » c o m o c o n s e c u e n c i a , la diagonaüízí.
c i ó n d e la f o r m a c u a d r á t i c a (o\ e s t a d i a g o n a l i z a c i ó n s e c o n s i g u e , pue&, a)
c a m b i a r d e b a s e e n V d e m a n e r a q u e s e a C la m a t r i z d e c a m b i o de
c o o r d e n a d a s .
Q DIAGONALIZACIÓN EFECTIVA
DE UNA FORMA CUADRÁTICA
R e a l i z a n d o a d e c u a d a s o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s » s o b r e filas y s o b r e columnas,
s i e m p r e e s p o s i b l e d i a g o n a l i z a r p o r c o n g r u e n c i a u n a m a t r i z A s i m é ü * i c a dada.
E s t o es, a p l i c a n d o u n a s ciertas o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s , e n las filas y eo las
c o l u m n a s d e s u m a t r i z s i m é t r i c a , t o d a f o r m a c u a d r á t i c a ( e n el c a s o d e d i m e n ­
s i ó n finita) e s d i a g o n a l i z a h l e :
[1251
P a r a c u a l q u i e r a q u e s e a la m a t r i z s i m é t r i c a A, e x i s t e a l g u n a o p e r a c i ó n
e l e m e n t a l E tal q u e la m a t r i z D = E(A) e s d i a g o n a l . C o m o E{A) es
c o n g r u e n t e c o n A, c o n u n a tal o p e r a c i ó n e l e m e n t a l s e d i a g o n a l i z a p or
c o n g r u e n c i a a la m a t r i z A\ d i c h a d i a g o n a l i z a c i ó n e s;
d o n d e
D ^ P ' A P
D = E{A) ; P = E V ) y P'= E>{f)
U t i l i z a n d o c o m o p i v o t e s a l o s e l e m e n t o s II, 2 2 , ..., s u c e s i v a m e n t e , y
r e a l i z a n d o la m i s m a o p e r a c i ó n e n filas y e n c o l u m n a s a A ( m a t r i z simétri­
ca), s e v a n o b t e n i e n d o s u c e s i v a m e n t e m a t r i c e s e n c u y a s 1 2 “,..., fila
y c o l u m n a s o n n u l o s t o d o s l o s e l e m e n t o s n o u b i c a d o s e n la d i a g o n a l . Si
a l g u n o d e d i c h o s e l e m e n t o s ü f u e s e n u l o , e n t o n c e s p r e v i a m e n t e , a las fila
y c o l u m n a / - é s i m a o s e l a s s u m a o t r a s p o s t e r i o r e s , o s e las p e r m u t a c o n
ellas, d e m o d o q u e , c o n e s t o , r e s u l t a u n e l e m e n t o II, 2 2
....n o nulo.·
P r o c e d i e n d o d e e s t e m o d o , a In p o s t r e se a c a b a o b t e n i e n d o u n a m a t r i z
d i a g o n a l D = E(A\
Si, al t i e m p o q u e s e h a c e l o d i c h o c o n A, s e a p l i c a n las m i s m a s
o p e r a c i o n e s a las filas ( s ó l o n l a s filas; n o a l a s filas y c o l u m n a s ) d e la
m a t r i z u n i d a d í, se o b t i e n e s i m u l t á n e a m e n t e P' ~ E'{f).
(*) E{A) es la matriz si se obtiene aplicando E primero a las filas de .4 y, dcNpües, *
las columnas dc la matriz que se haya obtenido. \jí% matrices E*U) y E'[f) se <»bucncn M
aplicar E a las filas y columnas, respectivamente, de la matriz unidad /.

242. CO M P R O B A C I Ó N
V e a m o s q u e el m é t o d o d e s c r i t o c o n d u c e , r e a l m e n t e , a la d i a g o n a l i z a c i ó n p o r
c o n g r u e n c i a d e A ( s i m é t r i c a ) y v e á m o s l o p o r i n d u c c i ó n s o b r e el t a m a ñ o n d e
A, P a r a w = 1 la m a t r i z A e s d i a g o n a l , p o r lo q u e . s in n e c e s i d a d d e h a c e r n a d a ,
el m é t o d o f u n c i o n a . S u p o n i e n d o q u e el m é t o d o f u n c i o n a p a r a m a t r i c e s s i m é t r i ­
c a s d e t a m a ñ o ( « - 1) x (/i - 1), h a y q u e c o m p r o b a r q u e t a m b i é n f u n c i o n a p a r a
las d e t a m a ñ o n x n. S e a , p u e s , A u n a m a t r i z s i m é t r i c a n x n.
• S u p o n g a m o s p r i m e r o q u e el e l e m e n t o d e l u g a r 11 d e A e s n o n u l o . U t i l i z a n d o
a e s t e e l e m e n t o c o m o p i v o t e , e s o b v i o q u e , c o n las o p o r t u n a s o p e r a c i o n e s
e l e m e n t a l e s s o b r e filas, s e t r a n s f o r m a n e n c e r o s t o d o s los e l e m e n t o s s i t u a d o s ,
e n la p r i m e r a c o l u m n a , p o r d e b a j o d e l 11. C o m o A e s s i m é t r i c a , si a h o r a s e
r e a l i z a n las m i s m a s o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s s o b r e las c o l u m n a s d e la m a t r i z
o b t e n i d a , s e l l e g a a u n a m a t r i z s i m é t r i c a A ' q u e t i e n e n u l o s , e x c e p t o el
e l e m e n t o 11, t o d o s l os d e m á s d e s u s p r i m e r a fila y p r i m e r a c o l u m n a . L a
m a t r i z A , q u e r e s u l t a d e p r e s c i n d i r , e n A ' , d e e s t a s p r i m e r a fila y p r i m e r a
c o l u m n a e s s i m é t r i c a y d e t a m a ñ o {n- \)x (n - 1). D e a c u e r d o c o n n u e s t r a
h i p ó t e s i s d e i n d u c c i ó n , e s t a m a t r i z A , s e p u e d e d i a g o n a l i z a r r e a l i z a n d o ciertas
o p e r a c i o n e s e l e m e n t í ü e s e n filas y, las m i s m a s , e n c o l u m n a s . H a c i e n d o e s t a s
m a n i p u l a c i o n e s e n la m a t r i z c o m p l e u A ' , e s e v i d e n t e q u e s e o b t i e n e la
d i a g o n a l i z a c i ó n p o r c o n g r u e n c i a d e la m a t r i z s i m é t r i c a d a d a A .
• S u p o n g a m o s a h o r a q u e el e l e m e n t o d e l u g a r 1 1 e s n u l o . S i n o f u e s e n u l o
a l g u n o d e l os e l e m e n t o s //, p o d e m o s e m p e z a r c o n el i n t e r c a m b i o l . " Z l / ® ( e n
filas y c o l u m n a s ) , c o n lo q u e s e o b t i e n e u n a m a t r i z s i m é t r i c a c u y o e l e m e n t o
d e l u g a r 11 e s n o n u l o ( p u e s e s el a n t e r i o r e l e m e n t o ii); p r o c e d i e n d o a h o r a
c o n e s t a m a t r i z d e l m o d o i n d i c a d o e n el p u n t o anterior, s e o b t i e n e la d i a g o ­
n a l i z a c i ó n b u s c a d a . S i t o d o s los e l e m e n t o s ii s o n n u l o s y n o lo e s a l g u n o d e
l os /l, p o d e m o s e m p e z a r c o n la o p e r a c i ó n l.“- ^ 1.“ + /" ( e n filas y c o l u m n a s ) ,
c o n l o q u e s e o b t i e n e u n a m a t r i z s i m é t r i c a c u y o e l e m e n t o d e l u g a r 11 n o e s
n u l o ( y a q u e e s i g u a l al d o b l e d e l a n t e r i o r ii); p r o c e d i e n d o a h o r a c o n e s t a
m a t r i z d e l m o d o i n d i c a d o e n el p u n t o anterior, s e o b t i e n e la d i a g o n a l i z a c i ó n
b u s c a d a .
F i n a l m e n t e , .si t o d o s l o s e l e m e n t o s li s o n n u l o s , la d i a g o n a l i z a c i ó n p o r
c o n g r u e n c i a d e A s e r e d u c e a la d e la m a t r i z s i m é t r i c a d e t a m a ñ o (/i - l) x
X ( n - 1) q u e r e s u l t a d e p r e s c i n d i r d e s u s p r i m e r a fila y p r i m e r a c o l u m n a .
_________________________________________237
EJEMPLO
S e a » R la f o r m a c u a d r á t i c a q u e r e s p e c t o d e la b a s e c a n ó n i c a (#,, Cj, c,, ej
t i e n e a s o c i a d a la s i g u i e n t e m a t r i z s i m é t r i c a A :
0 2 6 0*
2 1-12
' ^ " 6 - 1 3 -3
0 2-35

243. ÁLGEBRA LINEAL
Para diagonalizar w, diagonalicemos A por congruencia realizando en sus
nías y columnas las siguientes operaciones elementales, que también realizare­
mos en las filas de la matriz unidad;
Primera ( l.‘)z l(2 .·)
Segunda ( 2 .* ) - (2.‘) - 2(1.“), ( 3 .* ) - (3.*) + (1.“) y (4.·)-^ (4.*) - 2(1.*)
Tercera (3.·)-* (3.“) + 2(2.*) y (4.·)— (4.*) - (2.“)
Cuarta (4.*)— 2(4.*) + (3.‘)
Procediendo de este modo se obtiene sucesivamente:
1 2 -1 2“ ‘o 1 0 o’
2 0 6 010 0 0
\6 3 - 3 0 0 1 0
20-3 0 0 0 1_
’ l0 0 o '‘o 1 0 o ”
0-4 8 - 4 1- 2 0 0
0 8 2 - 1 0 1 1 0
0 -4 -1 1_ 0- 2 0 1_
‘i 0 0 o"0 l 00
0-4 0 0 1- 2 00
0 0 18- 9 2 - 3 1 0
^0 0-9 - 1 0 0 1
” l0 0 o‘ 'o 1 0 o"
0•4001- 2 0 0
0 0 18 0 2- 3 0 11
0 0 0 2 0 - 3 1 : i
Por tanto, hemos obtenido la siguiente expresión diagonal de <»>:
<t}(x) = x ^ - 4 j ^ + 1&*^ + 2jcí
donde x,, Xj, x,. x^ son las coordenadas del vector x en la siguiente nueva base
(«„ Mj. «3, M^);
«, = é j
Ú2 = é ,- 2 é 2
Mj = 2é, - 3éj + (?4
a, = -3 ^4 + #3 + 2«4

244. 239
OBSERVACIÓN
S e a <t) ; V — ► K u n a f o r m a c u a d r á t i c a , d o n d e V e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e d i m e n ­
s i ó n n s o b r e el c u e r p o K. S u p o n g a m o s q u e e n cierta b a s e (í,, ¿j, .... é„) d e V
la e x p r e s i ó n d e í«>(í) p a r a Jt e V es:
n
Z ü i j X ¡ X j = X ' A X
ij-l
S e a Wj» — » ^n ) *5^se e n la q u e co t i e n e e x p r e s i ó n d i a g o n a l , e s t o es,
tal q u e
(o(x) = d,x\^ + d^x':^ + - + dX^ = X'^DX·
S e a F la m a t r i z d e l c o r r e s p o n d i e n t e c a m b i o d e c o o r d e n a d a s , d e m a n e r a q u e
X = PX'. D e n o t a n d o a la m a t r i z e n la f o r m a q u e a c o n t i n u a c i ó n s e i n d i c a ,
el c a m b i o d e c o o r d e n a d a s , X' = s e p u e d e p o n e r :
a , Û2
b, b\
L Xft ~ ^\X\ ^2X2 ^Xfí
P o r ta n t o , la e x p r e s i ó n d i a g o n a l d e ü) {x) n o s p e r m i t e p o n e r :
üKx) = d,(a¡x¡ + fljx, -I- - + a„xj^ +
+ + fcjJCj + - -I- V n ) ^ + (I)
+ d„(l,X, + l^2 + - + lnX.Ÿ
O b s é r v e s e q u e el r e s u l t a d o d e t o d o e s t o s e p u e d e r e s u m i r d i c i e n d o q u e la
e x p r e s i ó n (o(J0 = la¡jX¡Xj s e h a p u e s t o c o m o s u m a d e c o n s t a n t e s p o r c u a d r a d o s
d e e x p r e s i o n e s l i n e a l e s d e las v a r i a b l e s ; o b s é r v e s e q u e e s t a s e x p r e s i o n e s ,
o f o r m a s , l i n e a l e s s o n i n d e p e n d i e n t e s e n t r e sí p o r s e r P r e g u l a r . E s t e m o d o
(I) d e e s c r i b i r (o{x) r e c i b e el n o m b r e d c « d e s c o m p o s i c i ó n e n c u a d r a d o s »
d e la f o r m a c u a d r á t i c a .
FORMAS CUADRÁTICAS REALES
S e l l a m a n f o r m a s c u a d r á t i c a s r e a l e s a a q u é l l a s q u e e s t á n d e f i n i d a s e n u n e s p a c i o
v e c t o r i a l real: a s í p u e s , a q u í l o s e s c a l a r e s v a n a s e r l o s n ú m e r o s reales. P o r
ello, v a m o s a p o d e r h a b l a r a h o r a d e « e s c a l a r e s p o s i t i v o s » y d e « e s c a l a r e s

245. n e g a t i v o s » , c o s a q u e n o s e p u e d e h a c e r , e n g e n e r a l , c o n u n c u e r p o d e escalares
c u a l q u i e r a .
E n e ste a p a r t a d o n o s o c u p a r e m o s d e a q u e l l a s c u e s t i o n e s , relativas a una
f o r m a c u a d r á t i c a real a» : V — R , e n las q u e i n t e r v i e n e la r e l a c i ó n d e o r d e n «
e n t r e n ú m e r o s r e a l e s y, e n particular, c o n el s i g n o q u e t o m a la i m a g e n ú>(S),
d e u n v e c t o r x eV.
Al g e b r a l in e a i
. FORMAS DEFINIDAS Y LEY DE INERCIA
Q FORMAS CUADRÁTICAS DEFINIDAS
Y SEMIDEFINIDAS
[126] S e a V u n e s p a c i o v e c t o r i a l real y c o n s i d é r e s e la f o r m a c u a d r á t i c a real
ü): V—* IR; s e a / la f o r m a p o l a r d e w. S e d i c e q u e w o q u e / es:
definida^*
semidefinida
p o s i t i v a si [a;(;c) > O p a r a l o d o jc ^ ó d e V I
n e g a t i v a si [<o(x)<0 p a r a t o d o x ^ d áe V]
p o s i t i v a si [ú){x)^0, V J c e V, y íi> n o e s d e f i n i d a ]
n e g a t i v a si [ú)(x) ^0, V x e V, y a/ no es d e f i n i d a ]
Si d i m V = n, si D e s u n a m a t r i z d i a g o n a l a s o c i a d a a o; e n u n a cierta
b a s e ( q u e s a b e m o s q u e ex i s t e ) y l l a t n a n d o d , , d2. d „ a lo s e l e m e n t o s
d e la d i a g o n a l d e D , s e v e rifica q u e :
1. o; e s d e f i n i d a
2. cu s e m i d e f i n i d a
p o s i t i v a <=> / = 1 , 2, n ]
n e g a t i v a <=» ( ^ , < 0 . / = 1 , 2, n ]
p o s i t i v a <=> V i y d^ = 0 p a r a a l g ú n /J
n e g a t i v a <=> V i y = 0 p a r a a l g ú n /J
(·) Aun cuando los términos «definida positiva» y «definida negativa» son los utiliza­
dos. quizá fuese preferible sustituirios por «positivamente definida» y «negativamente
definida* o. también, por «estrictamente positiva» y «estrictamente negativa».
DEMOSTRACIÓN
S e a n x,, x^, x^ las c o o r d e n a d a s d e u n v e c t o r jc e n la b a s e d e l e n u n c i a d o ; a
é sta la l l a m a r e m o s ( m „
....w„). C o n d i c h a n o t a c i ó n , es:

246. 241
1. C o n s i d e r e m o s el c a s o d e (o d e f i n i d a p o s i t i v a ( p a r a w d e f i n i d a n e g a t i v a s e
p r o c e d e d e m o d o a n á l o g o ) .
• S i e s d e f i n i d a p o s itiva, e n t o n c e s h a d e s e r d¡>0 p a r a / = 1, 2. .... n,
y a q u e si p a r a c i e r t o i f u e s e d¡ ^ O, t o m a n d o Jc = ü¡ sería w(JO = d¡ ^ O,
q u e n o e s p o s i b l e y a q u e c s jc ^ ó.
• S i d¡>0 p a r a / = 1, 2. .... n, e n t o n c e s cj e s d e f i n i d a positiva. E n e f e c t o ,
d a d o o, c o m o a l g u n a d e s u s c o o r d e n a d a s n o e s n u l a , p o r e j e m p l o ,
JC, ^ 0. r e s u l t a q u e :
íí>(jc) = J,jc] + d2x\ + + d„x¡^ ^ d¡xf > O
2. C o n s i d e r a m o s el c a s o d e u) s e m i d e f i n i d a p o s i t i v a ( p a r a u) s e m i d e f i n i d a
n e g a t i v a s e r a z o n a a n á l o g a m e n t e ) .
• S i o> e s s e m i d e f i n i d a p o s i tiva, e n t o n c e s h a d e s e r d¡ ^ O p a r a t o d o i, p u e s
si f u e s e d^ < O p a r a a l g ú n /, t o m a n d o Jc = ü¡ sería o)(jc) = d¡ < O, q u e n o
e s p o s i b l e . A d e m á s , t i e n e q u e s e r d¡^ = O p a r a a l g ú n /„ y a q u e d e n o s e r
así cü ser í a d e f i n i d a .
• S i d¡ ^ O p a r a t o d o i y, a d e m á s . d¡^^ = 0. e n t o n c e s o) h a d e s e r s e m i d e f i n i d a
n e g a t i v a . E n e f e c t o , p a r a t o d o Jc e V. los n s u m a n d o s d e la e x p r e s i ó n d e
co(x) s o n n o n e g a t i v o s , l u e g o cü(x) > 0; p o r o t r a p a r t e p a r a x = s e r á
<o(x) = = 0.
EJEMPLOS
1. L a f o r m a c u a d r á t i c a w : R ’— * R d a d a p o r
ü)(x, y,z) = 3^ + (x-yf + (x + y - z f = + 2 / + z*- 2acz-2yz
e s d e f i n i d a p o s i t i v a y a q u e :
uAx, y, 2) = 0 o (j: = 0, j c - y = 0 , ;c + y - z = 0 ) <=> ac = y = z = 0
2. S i V e s el e s p a c i o v e c t o r i a l d e las f u n c i o n e s i n t e g r a b l e s d e [O, 1 ) e n R , la
f o r m a c u a d r á t i c a
"1
Í.Í : V — R . / - * w ( / ) = f(xfdx
, O
e s s e m i d e f i n i d a p o s i t i v a y a q u e , c o m o / (jc) '5» O e n |0. I], es:
’1
f{x)dx^O
_ o
y, a d e m á s , w{f) = O p a r a a l g u n a f u n c i ó n / n o n u l a , c o m o la s i g u i e n t e :
f(x) = O p a r a x * { y / ( i ) = 1

247. ÁLGEBRA LINEAL
E J E R C I C I O
H a l l a r los v a l o r e s d e a e R p a r a los q u e la s i g u i e n t e f o r m a cuadrática
» R e s d e f i n i d a p o s i t i v a o s e m i d e f i n i d a positiva:
y, z) = + 2y^ + az^ + 2jcy + 2ayz
RESOLUCION
D i a g o n a l i c e m o s w p o r c o n g r u e n c i a ( s ó l o n o s i n t e r e s a u n a m a ü i z diagonal
a s o c i a d a a (ú\ n o tiene a q u í utilidad ha l l a r la c o r r e s p o n d i e n t e b a s e d e R^);
r e a l i z a n d o o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s e n filas y e n c o l u m n a s d e la m a ü i z d e w,
s e o b t i e n e s u c e s i v a m e n t e :
” l 1 ()■ ” 1 0 ()■
1 2 a 0 1 a
_0 a ^0 a a _
"10 0
01 0
0 0a -
P o r tanto» e n u n a cierta b a s e , e n las q u e las c o o r d e n a d a s d e u n v e c t o r xeü
s e d e n o t a n p o r jc,, jcj, ^^3, es:
R e s u l t a e n t o n c e s q u e
of< 0 o üf> 1
ar = 0 o 1
0 < a < 1
a - a ^ < Q
a = O
a - a^>Q
O) n o e s d e f i n i d a ni s e m i d e f i n i d a
(ú e s s e m i d e f i n i d a p o s i t i v a
Ù) e s d e f i n i d a p o s i t i v a
O B S E R V A C I O N E S
H a y m u c h a s f o r m a s c u a d r á t i c a s q u e n o s o n ni d e f i n i d a s ni semidefinidas.
c o m o h a q u e d a d o d e m a n i f i e s t o e n el e j e r c i c i o anterior. N o e s t a m o s , pues,
c l a s i f i c a n d o las f o r m a s c u a d r á t i c a s ; s o l a m e n t e h e m o s d e s t a c a d o a l g u n a s de
ellas (las d e f i n i d a s y s e m i d e f i n i d a s ) , q u e t i e n e n e s p e c i a l r e l e v a n c i a .
H a y q u i e n e s l l a m a n f o r m a s c u a d r á t i c a s p o s i t i v a s a las q u e s o n definidas
p ositivas o s e m i d e f i n i d a s p o s i t i v a s y, t a m b i é n , f o r m a s c u a d r á t i c a s negativas
a las q u e s o n d e f i n i d a s n e g a t i v a s o s e m i d e f i n i d a s n e g a t i v a s . E s t o es, dada
u n a f o r m a c u a d r á t i c a real co: V — ► R , s e s u e l e definir:
1 ( 0 positiva]
[(O n e g a t i v a ]
o Mjc) ^0 , V j c e V n
<=> M x ) ^ ( ) . V j c e V n
Si íu: V — » R e s u n a f o r m a c u a d r á t i c a d e f i n i d a p ositiva, e n t o n c e s - w es una
f o r m a c u a d r á t i c a d e f i n i d a n e g a t i v a y r e c í p r o c a m e n t e .

248. jlS c u a d r á t i c a s 243
S e a ùj: R u n a í b r m a c u a d r á t i c a q u e » e n cierta b a s e ( ^ „ ...» e^) d e V,
t i e n e a s o c i a d a la m a t r i z A = \a¡¡[. S i io e s d e f i n i d a p o s i t i v a , e n t o n c e s los
e l e m e n t o s «,,, ÍI22» .... s o n t o d o s p o s i t i v o s » y a q u e = uAi,) > O p a r a / = 1.
2, n. S i n e m b a r g o , n o e s s u f i c i e n t e c o n q u e t o d o s lo s s e a n p o s i t i v o s
p a r a p o d e r a s e g u r a r q u e o) e s d e f i n i d a p ositiva. A s í » p o r e j e m p l o , la f o r m a
c u a d r á t i c a » I R d a d a p o r
y ) = 3 jc.v
t i e n e p o s i t i v o s los c o e f i c i e n t e s d e + y p e r o n o e s d e f i n i d a p o s i t i v a p u e s »
p o r e j e m p l o , ü>(1, - 2 ) = - 1 < 0 .
□MATRICES SIMÉTRICAS DEFINIDAS
• S e d i c e q u e u n a m a t r i z real s i m é t r i c a A d e t a m a ñ o n x n es d e f i n i d a p o s i t i v a
si X'AX > O p a r a t o d a m a t r i z c o l u m n a X O, de t a m a ñ o n x I, E s decir, A
es d e f i n i d a p o s i t i v a si e s m a t r i z d e u n a f o r m a c u a d r á t i c a d e f i n i d a p o sitiva.
D e a n á l o g a m a n e r a s e d e f i n e n las m a t r i c e s s i m é t r i c a s d e f i n i d a s n e g a t i v a s y
s e m i d e f i n i d a s p o s i t i v a s y n e g a t i v a s . E s t o es:
[1271 Matrices definidas y semidefinidas. S e d i c e q u e u n a m a t r i z real y s i m é t r i ­
c a A » d e t a m a ñ o n x n, e s d e f i n i d a po s i t i v a , d e f i n i d a n e g a t i v a , s e m i d e f i ­
n i d a p o s i t i v a o s e m i d e f i n i d a n e g a t i v a si l o es» r e s p e c t i v a m e n t e , la f o r m a
c u a d r á t i c a ♦ R a s o c i a d a a la m a t r i z A e n la b a s e c a n ó n i c a .
S i D e s u n a m a t r i z d i a g o n a l c o n g r u e n t e c o n A ( q u e s a b e m o s q u e e x i s t e )
y l l a m a n d o d^, d^. d,^ a los e l e m e n t o s d e la d i a g o n a l d e D , s e v e r i f i c a
q u e :
l. A es d e f i n i d a
2. A s e m i d e f i n i d a
p o s i t i v a <=> K > 0 , f = l, 2, ..., n ]
n e g a t i v a <=> [d¡<0, i = 2» n]
p o s i t i v a <=> W ^ O » V / y d,^ = 0 p a r a a l g ú n
n e g a t i v a <=> [d¡ ^ 0 , V / y d¡^^ = O p a r a a l g ú n i j
DEMOSTRACIÓN
L a m a t r i z D e s t á a s o c i a d a a la f o r m a c u a d r á t i c a w e n u n a d e t e r m i n a d a b a s e d e
R " ; p o r tanto» s e g ú n lo a n t e r i o r m e n t e d e m o s t r a d o , l o s a p a r t a d o s l) y 2 ) s e
v e r i f i c a n si s e s u s t i t u y e A p o r lo. C o m o e n e s t o d e s e r d e f i n i d a o s e m i d e f i n i d a ,
lo q u e le o c u r r a a (ú le o c u r r e l a m b i é n a A ( p o r d e f i n i c i ó n ) , r e s u l t a q u e los
a p a r t a d o s l) y 2 ) s o n c i e r t o s (lal y c o m o e s t á n e n u n c i a d o s , e s t o es, p a r a la
m a t r i z A),

249. 244
Al g e b r a lineal
1 1 2 8 1
ü i LEY DE INERCIA DE SYLVESTER. SIGNATURA
D a d a u n a f o r m a c u a d r á t i c a o), d e f u i i d a e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l V d e d i m e n s i ó n
n, h a y b a s e s d e V e n las q u e ( v é a s e [123]) la e x p r e s i ó n d e u)(x), p a r a i e V, es:
ío{x) = dyx\ + d^xl + - + d^^
d o n d e
d.i^O
..
tí < r e s el r a n g o d e lor a n g o
: c o o r d e n a d a i - é s i m a d e x
E n n u e s t r o c a s o , c u a n d o lo e s u n a f o n n a c u a d r á t i c a real, e s t o s d¡ ( n o nulos)
s e r á n p o s i t i v o s o n e g a t i v o s y. c a m b i a n d o si e s n e c e s a r i o el o r d e n d e los vectores
d e la b a s e , s e p u e d e s u p o n e r q u e los p o s i t i v o s o c u p a n l o s p r i m e r o s lugares y
los n e g a t i o s los ú l t i m o s . L l á m e n l o s p el n ú m e r o d e l o s d¡ q u e s o n positivos,
q u e los p o d r e m o s d e n o t a r p o n i e n d o d¡ = aj\ l os r e s t a n t e s d¡ s e r á n n e g a t i v o s y
los p o d r e m o s d e n o t ; u * p o n i e n d o d¡ = — fl·. C o n ello, r e s u l t a q u e o)(.f) se p u e d e
p o n e r :
(ü{x) = 1(0,.r,)’ + - + {a^x/\ - ((a,,,
Pues bien, se verifica que el número /> de sumandos positivos que hay en
lu anterior expresión es el mismo para todas las bases en las que oH-v) adopta
forma diagonal. Veamos esto con detalle;
Sea V' un espacio vcctoríal real de dimensión finita y <0: V—· R una forma
cuadrática (real). Los números p y <-/ de elementos po.sitivos y negativos
de cualquiera de las matrices diagonales asociadas a <0, en hus correspon­
dientes bases de V, son invariantes, los mismos para todas las diagonali-
zaciones; esto cs. los números p y q sólo dependen de w. Se llama
signatura de a> al par:
sig (a>) = (p, ({) (nótese que /> + r = rang w)
DEMOSTRACIÓN
Sean («,. fij,..., ü„) y (ü¡, « j..... m') dos bases de V en las que a» tiene asociadas
matrices diagonales; sean p y p' e\ número de elementos positivos de una y
otra matriz. Hemos de probar que p = p'.
Para ello recurramos a los siguientes subespacios 1/ y W de V:
í/ = V(jJ„ y w=y(«;.
+ 1*
Nótese que la restricción de a> a í/ es definida positiva pues tiene aswiada,
en la base («„ ..., ü^), una matriz diagonal con los elementos de su diagonal

250. CUADRÁTICAS 245
t o d o s p o s i t i v o s . T a m b i é n h a y q u e n o t a r q u e la r e s t r i c c i ó n d e ¿o a W e s s e m i -
d e f i n i d a n e g a t i v a p u e s tie n e as(x;iada. e n la b a s e ...» ú'), u n a m a t r i z
d i a g o n a l sin e l e m e n t o s p o s i t i v o s .
R e s u l t a e n t o n c e s q u e £ / n t V = = 0 , y a q u e si X i ^ o f u e s e d e í / f i V V , p o r s e r
d e ¿/ s e v e r i f icaría q u e > O y p o r s e r d e W s e verificaría q u e (o(x) < O y
e s t a s d o s d e s i g u a l d a d e s s o n i n c o m p a t i b l e s . P o r tanto, c o m o í/ + WcV, s e r á
// = d i m V ^ d i m (¿7 + IV) = d i m í/-f d i m W - d i m U n W p-l· (n - p ' ) O
es decir n ^ n -l· {p— p*), lo q u e e q u i v a l e a q u e s e a p^p*. i n t e r c a m b i a n d o l o s
p a p e l e s de p y p* y r e p i t i e n d o a s í l o h a s t a a q u í d i c h o , s e o b t i e n e q u e t a m b i é n
h a d e s e r p'^p. P o r c o n s i g u i e n t e , s e v e r i f i c a q u e p = p \ c o m o h a b í a q u e
c o m p r o b a r .
Q SIGNATURA DE UNA MATRIZ SIMÉTRICA
Í129J
S e l l a m a signatura d e u n a m a t r i z real y s i m é t r i c a A d e t a m a ñ o n x n á
la s i g n a t u r a d e la f o r m a c u a d r á t i c a » ( R a s o c i a d a a la m a t r i z A
e n Ja b a s e c a n ó n i c a . S e v e r i f i c a q u e :
1. L a s i g n a t u r a d e u n a m a t r i z real y s i m é t r i c a A e s s i g A — {p, q), d o n d e
p y q s o n i o s n ú m e r o s d e e l e m e n t o s p o s i t i v o s y n e g a t i v o s d e c u a l ­
q u i e r m a t r i z d i a g o n a l c o n g r u e n t e c o n A.
2. L a s i g n a t u r a d e u n a m a t r i z r e a l y s i m é t r i c a A e s i n v a r i a n t e p o r
c o n g r u e n c i a , e s d e c i r , e s i g u a l al d e c u a l q u i e r m a t r i z A ' = F*AP
( d o n d e P e s r e g u l a r ) , c o n g r u e n t e c o n A,
D E M O S T R A C I O N
I. L a s m a t r i c e s d i a g o n a l e s c o n g r u e n t e s c o n A s o n m a t r i c e s d i a g o n a l e s a s o ­
c i a d a s , t o d a s ellas, a la f o r m a c u a d r á t i c a íü, e n l as c o r r e s p o n d i e n t e s b a s e s .
P o r t a n t o , s e g ú n s e a c a b a d e p r o b a r e n [ 1 2 8 ] , t o d a s e s t a s m a t r i c e s t i e n e n
i o s m i s m o s números p y q de e l e m e n t o s p o s i t i v o s y n e g a t i v o s y el p a r (/?,
q) e s Ja s i g n a t u r a d e w, l u e g o d i c h o p a r e s la s i g n a t u r a d e A,
2. C o m o l a s m a t r i c e s d i a g o n a l e s q u e s o n c o n g r u e n t e s c o n A* s o n l a s m i s m a s
q u e s o n c o n g r u e n t e s c o n >4, y d e a c u e r d o c o n la p r o p i e d a d p r e c e d e n t e ,
r e s u l t a q u e A' y A t i e n e n el m i s m o r a n g o .
E JE M PL O
H a l l e m o s Ja s i g n a t u r a d e J a s i g u i e n t e m a t r i z s i m é t r i c a A:
1 2 0 - 1
2 3 1 - 2
0 1- 5- 2
- 1 - 2 - 2

251. 46 ÁLGEBRA LINEAL
P a r a ello, d i a g o n a l i c e m o s A p o r c o n g r u e n c i a ; e s t o lo h a r e m o s realizando
las s i g u i e n t e s o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s ( e n ñ l a s y e n c o l u m n a s ) :
P r i m e r a ( 2 . * ) - » (2.*) - 2(1.*) y (3.*)— (3.·) + (I.*)
S e g u n d a ( 3 . · ) - ( 3 . · ) + (2.·)
T e r c e r a (4.·) — (4.*) - (l/2)(3.*)
P r o c e d i e n d o d e e s t e m t x l o s e o b t i e n e s u c e s i v a m e n t e :
= D
'i0 0 o‘’i00o‘ ”l0 0 o"
0 -1 1 0 0 -1 0 0 0-100
01 -5-20 0 - 4-2 0 0 - 40
0 0 -2 - 1 _0 0 -2-l_0000 _
P o r tanto, resulta q u e :
( n ú m e r o d e e l e m e n t o s p o s i t i v o s d e D J = l
( n ú m e r o d e e l e m e n t o s n e g a t i v o s d e D] = 2
sig/\ = (l, 2)
EXPRESION CANONICA DE UNA FORMA
CUADRATICA
PROPOSICION
[130]
S e a co:V-*R u n a f o r m a c u a d r á t i c a , e n e! e s p a c i o v e c t o r i a l real V d e
d i m e n s i ó n n. S i s i g o ; = (/7, q), c o n lo q u e r = /? + e s el r a n g o d e (o,
e n t o n c e s e x i s t e a l g u n a b a s e d e V e n la q u e la m a t r i z d e w e s la siguiente
m a t r i z d i a g o n a l C , q u e l l a m a r e m o s m a t r i z c a n ó n i c a d e ío:
1
O
- 1
q
P - 1
o o
n - r
0.
s i g = q)
r a n g oí = /? + ^ = r
d i m V ' = / i
S i ( X p JCj
...s o n las c o o r d e n a d a s d e u n v e c t o r ;c e V e n la c i t a d a base,
e n t o n c e s ia e x p r e s i ó n d e ¿u(Jc) es:
= [-tj + + - + 4] (expresión canónica)

252. DEMOSTRACIÓN
Como la signatura de oj es (/?, q), resulta que cualquiera de las matrices
diagonales asociadas a co tiene p elementos positivos y q elementos negativos.
Sea («,, «2» ···» “/») bases en las que o>(jc) adopta expresión diagonal;
entonces, para ciertos escalares ...» positivos, es:
oAx) = [í/,AT,'^ + - + d^x'p] - lí/p+|Xp+i + ··· +
donde (x¡, X2» —» K ) coordenadas de x en («2, Wj, w„). Es evidente
que, com o (J,, Wj» · ·» ^n) una base de V, también forman base los vectores
<?,, ^2» ···. siguientes:
^ ^ Wy para / = 1, 2, ..., r (recuérdese que d¿>0)
i c u a d r á t i c a s
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _247
para / = r + 1, w
Con este cam bio de base, las nuevas coordenadas (x,, Xj, ..., x„) y las
antiguas están relacionadas mediante:
x ¡ = -)= x ¡ para /= !, 2, r
yjd.
x¡ = X. para / = r + 1, w
lo que llevado a la anterior expresión de co(x), conduce a
w(x) = fx f + - + + - + x;]
A sí pues, en la base (e^, ¿2, e^) la m atriz de cj es la canónica.
□ PROPOSICIÓN
D o s m a t r i c e s r e a l e s y s i m é t r i c a s A y A', del m i s m o t a m a ñ o , s o n c o n g r u e n ­
t e s si, y s ó l o si, s i g A = s i g A'. S i la s i g n a t u r a d e A v a l e s i g i 4 = {p,q),
e n t o n c e s A e s c o n g r u e n t e c o n la m a t r i z d i a g o n a l C c u y a d i a g o n a l e s 1, .f,, 1,
— 1, — I, O , ..., O (p « u n o s » , q « m e n o s u n o s » y el r e s t o « c e r o s » ) ; a C
s e l a l l a m a matriz canónica de congruencia d e A.
DEMOSTRACION
• Si A y A ' s o n c o n g r u e n t e s e n t o n c e s e s t á n a s o c i a d a s a u n a m i s m a f o r m a
c u a d r á t i c a m, e n u n a s c i e r t a s b a s e s . P o r t a n t o , s i g A = s i g o > y s i g <4' = s i g (o,
d e d o n d e r e s u l t a q u e s i g A = s i g A'.

253. A 8
Al g e b r a lineal
Si i4 y .4' t i e n e n la m i s m a s i g n a t u r a , q u e l l a m a r e m o s (p, q), e n t o n c e s a m b a s
s o n c o n g r u e n t e s c o n la a n t e r i o r m a t r i z c a n ó n i c a C y, pt)r ello, s o n c o n g r u e n t e s
e n t r e sí.
OBStRVACION
R e c u é r d e s e q u e la c o n g r u e n c i a d e m a t r i c e s e s u n a r e l a c i ó n d e equivalencia»
p a r a el c o n j u n t o íf, d e las m a t r i c e s c u a d r a d a s s i m é t r i c a s d e t a m a ñ o n x n. T o d a s
las m a t r i c e s d e 5^, q u e s o n c o n g r u e n t e s e n ü x ' sí f o n n a n u n a c l a s e d e e q u i v a ­
lencia: c a d a c l a s e es t á f o r m a d a por t o d a s las m a t r i c e s q u e t i e n e n u n a m i s m a
signa t u r a . C o m o r e p r e s e n t a n t e d e la c l a s e d e m a t r i c e s q u e t i e n e n signatura
(/?. q) se t o m a r á la m a t r i z c a n ó n i c a C ( d i a g o n a l ) cuya d i a g o n a l e s
l
.... K - 1 . .... - 1 * 0 , O
E l n ú m e r o d e c l a s e s d e la r e l a c i ó n d e c o n g r u e n c i a , e n t r c m a t r i c e s simétricas
d e t a m a ñ o n x n. e s e n t o n c e s (n -f |)(w 4 2 ) : 2.
J CARACTERIZACIÓN DE LAS FORMAS
CUADRÁTICAS DEFINIDAS V SEMIDEFINIDAS
IM21 S e a u n a f o r m a c u a d r á t i c a , e n u n e s p a c i o v e c t o r i a l real V d e
d i m e n s i ó n n. S e verif i c a q u e :
1. w cs d e f i n i d a p o s i t i v a
2. e s d e f i n i d a n e g a t i v a
3. Ù) s c m i d e f i n i d a p o s i t i v a
4. tü s c m i d e f i n i d a n e g a t i v a
<=> sig = (n, 0).
<=> sig (O = (O, n),
<=> sig íü = (r, 0), con r<n,
^ sig OI = (O, r), con r<n.
DEMOSTRACIÓN
S e a D u n a m a t r i z d i a g o n a l a s o c i a d a a a>, e n u n a c i erta ba.se, y l l a m e m o s í/,,
^2' .... a los e l e m e n t o s d e la d i a g o n a l d e D . D e a c u e r d o c o n lo y a dicho
( v é a s e | I 2 6 | ) s o b r e las f o r m a s c u a d r á t i c a s d e f i n i d a s y s e m i d e f i n i d a s , se tiene
( s ó l o s e c o n s i d e r a el c a s o « p o s i t i v o » ; p a r a el « n e g a t i v o » s e r a z o n a d e igual
m o d o ) :
• L a f o r m a c s d e f i n i d a p o s i t i v a si, y s ó l o si, t o d o s l o s d¡ s o n positivos,
lo q u e e q u i v a l e a q u e s e a s i g = (n, 0).
L a f o r m a ct> c s s c m i d e f i n i d a p o s i t i v a si, y s ó l o si, n i n g ú n c s negativo
y a l g u n o d e ellos c s n u l o , lo q u e e q u i v a l e a q u e s e a s i g o) = (r, 0), d o n d e
r<n.

254. 5 c u a d r á t i c a s 249
□ CARACTERIZACIÓN DE LAS MATRICES
SIMÉTRICAS DEFINIDAS
S e a A u n a m a t r i z real y s i m é t r i c a » d e t a m a ñ o n x n. L l a m e m o s a la
m a t r i z d i a g o n a l d e t a m a ñ o n x n c u y a d i a g o n a l p r i n c i p a l e s 1, 1,
— I, .f., — l, O, O ( p « u n o s » , q « m e n o s u n o s » y el r e s t o « c e r o s » ) . S e
v e r i f i c a q u e :
1. A e s d e f i n i d a p o s i t i v a
2. A e s d e f i n i d a n e g a t i v a
3. A s e m i d e f i n i d a p o s i t i v a
4. A s e m i d e f i n i d a n e g a t i v a<=>
A e s c o n g r u e n t e c o n ( u n i d a d ) .
A e s c o n g r u e n t e c o n /q „ = - / .
A e s c o n g r u e n t e c o n s i e n d o r<n,
A e s c o n g r u e n t e c o n s i e n d o r<n.
DEMOSTRACIÓN
S e a la f o r m a c u a d r á t i c a a s o c i a d a a la m a t r i z A e n la b a s e c a n ó n i c a .
D e a c u e r d o c o n la d e f i n i c i ó n d e m a t r i c e s s i m é t r i c a s d e f i n i d a s y s e m i d e f i n i d a s
( v é a s e [ 1 2 7 ] ) , s e t i e n e ( s ó l o s e c o n s i d e r a el c a s o « p o s i t i v o » ; p a r a el c a s o
« n e g a t i v o » s e r a z o n a d e i g u a l m o d o ) :
• A e s d e f i n i d a p o s i t i v a si, y s ó l o si, lo e s co; e s t o e q u i v a l e a q u e la s i g n a t u r a
d e (O s e a (;i, 0), lo q u e s i g n i f i c a q u e /„.o e s la m a t r i z c a n ó n i c a d e w , e s
d e c i r , q u e A e s c o n g r u e n t e c o n /„.o·
• i4 e s s e m i d e f i n i d a p o s i t i v a si, y s ó l o si, lo e s o>; e s t o e q u i v a l e a q u e s e a
s i g o> = (r, 0 ) p a r a c i e r t o r<n, lo q u e s i g n i f i c a q u e e s la m a t r i z
c a n ó n i c a d e co, e s decir, q u e A e s c o n g r u e n t e c o n q ( d o n d e r<n).
OBSERVACION
S e g ú n la a n t e r i o r c a r a c t e r i z a c i ó n d e las f o r m a s c u a d r á t i c a s r e a l e s (o : V — ► U
( d o n d e d i m V=n) d e f i n i d a s y s e m i d e f i n i d a s ( v é a s e [ 1 3 2 ] ) , las e x p r e s i o n e s
c a n ó n i c a s d e e s t a s f o r m a s s o n ( a q u í jc„ Xj» ···» s o n las c o o r d e n a d a s d e u n
v e c t o r JC e V , e n la b a s e e n la q u e s e o b t i e n e la e x p r e s i ó n c a n ó n i c a ) :
(O e s d e f i n i d a p o s i t i v a - ♦ íu(jc) =
w e s d e f i n i d a n e g a t i v a — ► w(.f) =
Ù) s e m i d e f i n i d a p o s i t i v a — ► ú>(jc) =
Ù) s e m i d e f i n i d a n e g a t i v a — ♦ íü(Jc) =
x l + 4 + - + ^ n
------xi
+ ··· + J y ( c o n r < n )
-x] -x^
------Jcj ( c o n r<n)

255. ÁLGEBRA LINEAL
fO
EJEMPLO
O h c c n g a m o s la e x p r e s i ó n c a n ó n i c a , h a l J a n d o t a m b i é n la c o r r e s p o n d i e n t e base
(W|, «2. Mji), d e la f o r m a c u a d r á t i c a q u e e n la b a s e c a n ó n i c a tiene
p o r e x p r e s i ó n a
V. z) = . r ^ + 4xy - 4xz + 4yz
P a r a ello, d i a g o n a l i c e m o s p o r c o n g r u e n c i a la m a t r i z d e (o, q u e l l a m aremos
A, h a s t a llegar a la m a ü i z c a n ó n i c a d e c o n g r u e n c i a . E s t o s e c o n s i g u e c o n las
s i g u i e n t e s o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s ( e n filas y e n c o l u m n a s ) :
p r i m e r a ( 2 . - ) - (2.-) - 2 ( 1 / ) y (3.·)— (3/) + 2 ( 1 / )
s e g u n d a ( 3 . · ) - ^ (3.*) + 2 ( 2 / )
tercera (2.·)— (2.*): y¡3 y (3.‘) — (3."): 3
c u a r t a (2.“):;=. (3.·)
C o n ello, s e o b t i e n e :
‘ 1 2 - 2 1 0 0' ’1 0 0 1 0 0'
(A 1/1 = 2 1 2 0 I 0 0 - 3 6 -2 1 0
.-2 2 1 0 0 1_ 0 6 -3 2 0 1.
O
-3
O
1 O O
-2 1 O
-2 2 1
I O O
O -i O
O O 1
1 0 0'
-2 /> /5 i/v 5 o
- 2 / 3 2 / 3 1/3,
0 0 -
l 0 0
- 2 / 3 2/3 1/3
- 2 / ^ \lS O .
«, = (1, O, 0)
Mj = (-2/3, 2 / 3 , 1 / 3 )
« , = ( - 2 / V 3 , l/>/3, 0 )
□CRITERIO DE SYLVESTER
P a r a a v e r i g u a r si u n a f o r m a c u a d r á t i c a e s d e f i n i d a p o s i t i v a o d e f i n i d a negativa,
s e d i s p o n e d e l s i g u i e n t e criterio d e c a r á c t e r p r á c t i c o :

256. 5 c u a d r á t ic a s 251
[134]
S e a <0: V —* R u n a f o r m a c u a d r á t i c a , e n el e s p a c i o v e c t o r i a l r eal V d e d i ­
m e n s i ó n n. S i j4 = |ü,y] e s la m a t r i z d e o> ( e n u n a b a s e c u a l q u i e r a d e V),
s e a n A„ Aj, .... l o s d e t e r m i n a n t e s A, = d e t A¡, d o n d e
«ll -
s e v e r i f i c a q u e :
1 . [w d e f i n i d a p o s i t i v a ]
2. [w d e f i n i d a n e g a t i v a ]
« · [ A , > 0 p a r a / = 1, 2, .... w].
<=> [(-1 )'A, > 0 p a r a < =1,2
....n].
D E M OSTRACION
Sea (Wp Wj, ...» ü„) la b a s e e n la q u e A e s m a t r i z d e cj; s e a n (jc,, Xj, x„) las
c o o r d e n a d a s d e u n jc e V r e s p e c t o d e d i c h a b a s e .
a) [ I m p l i c a c i ó n => d e l A p a r t a d o IJ S i c«; e s d e f i n i d a p o s i t i v a , e n t o n c e s
t a m b i é n l o e s s u r e s t r i c c i ó n a c u a l q u i e r s u b e s p a c i o d e V y, e n particular,
lo e s s u r e s t r i c c i ó n (o¡- o)\y^ al s u b e s p a c i o VA = y ( w , , ..., w,) p a r a / = 1, 2,
n. L a m a t r i z d e e n la b a s e ( w „ ..., ü¡) d e V. e s la m a t r i z A¡. C o m o
úJi e s d e f i n i d a p o s i t i v a , s u m a t r i z e s c o n g r u e n t e c o n la m a t r i z u n i d a d I ( d e
t a m a ñ o / x /), e s deci r , h a y u n a m a t r i z r e g u l a r P ( d e t a m a ñ o / x /) tal q u e
A, = FiP = FP, T o m a n d o d e t e r m i n a n t e s e n e s t a i g u a l d a d , s e o b t i e n e q u e
A · = ( d e t Pf>0 ( p a r a / = 1, 2, ..., n), c o m o h a b í a q u e c o m p r o b a r .
h) [ I m p l i c a c i ó n < = d e l A p a r t a d o 1 ] D e m o s t r e m o s e s t a i m p l i c a c i ó n p o r i n ­
d u c c i ó n s o b r e n. L a i m p l i c a c i ó n e s e v i d e n t e p a r a n= \ . S u p o n i e n d o , p u e s ,
q u e la i m p l i c a c i ó n e s cierta p a r a las f o r m a s c u a d r á t i c a s e n e s p a c i o s d e
d i m e n s i ó n - I, h e m o s d e p r o b a r q u e t a m b i é n lo e s e n los d e d i m e n s i ó n
n. C o n s i d e r e m o s la r e s t r i c c i ó n (o' = (oly, d e (o al s u b e s p a c i o í/ = y ( M „ ...»
N ó t e s e q u e co' e s u n a f o r m a c u a d r á t i c a e n u n e s p a c i o d e d i m e n s i ó n
n - 1 c u y a m a t r i z a s o c i a d a e n la b a s e (m,, .... e s ia m a t r i z y q u e ,
p o r ello, l o s d e t e r m i n a n t e s d e la h i p ó t e s i s s o n , p a r a (o\ los A , > 0 , A j > 0 ,
A ^ _ , X ) . A s í p u e s , s e g ú n la h i p ó t e s i s d e i n d u c c i ó n , w* e s d e f i n i d a
p o s i t i v a y, p o r ello, e x i s t e u n a b a s e (#,. ..., d e U e n la q u e la m a t r i z
d e cj' e s la u n i d a d , d e t a m a ñ o (/i - 1) x ( « - 1). P o r tanto, la m a t r i z d e w
e n la b a s e ( é ,
....ü„) d e V e s d e l t i p o

257. ÁLGEBRA LINEAL
0 ··· 0
m
0 l - 0 Cj
00 ··· 1
c»-.
Cj - c , - i
^ p a r a c i e r t o s e s c a l a r e s \
^ 2
.... c „ . „ c ^ e R /
T a m b i é n s e r á m a t r i z d e w, e n la b a s e q u e c o r r e s p o n d a , a q u e l l a q u e se
o b t i e n e d e r e alizar tn A* la s i g u i e n t e o p e r a c i ó n e n filas y e n c o l u m n a s :
( n - é s i m a ) — ► ( / i - é s i m a ) - [c,(l.“) + C2(2.*) + — + - 1)*]
H a c i e n d o e s t o s e o b t i e n e la s i g u i e n t e m a t r i z A** ( q u e t a m b i é n e stá asociada
a ü) p o r s e r c o n g r u e n t e c o n A*):
‘ 10... 00'
01... 00
:
0 0 ... 10
0
m
0... 0</_
d o n d e d e s el e s c a l a r
\d = c„- (Cy
C o m o A y A** e s t á n a m b a s a s o c i a d a s a s o n c o n g r u e n t e s y, p o r ello,
p a r a cierta m a ü i z r e g u l a r P e s A ' ' = P^AP\ t o m a n d o d e t e r m i n a n t e s e n esta
i g u a l d a d , s e o b t i e n e :
j = d e t = (d e t P ) ‘( d e t A) = ( d e t P)^ A , > O
C o m o h a r e s u l t a d o s e r d>0, n o s e n c o n t r a m o s c o n q u e s i g A'* =(n, 0),
l u e g o sig (ü = («. 0), e s decir, cd e s d e f i n i d a p o s i t i v a , c o m o h a b í a qu e
c o m p r o b a r .
c) [ A p a r t a d o 2] L a f o r m a w e s d e f i n i d a n e g a t i v a si, y s ó l o si, - w es
d e f i n i d a positiva. C o m o la m a t r i z d e - c o c s -A = d e a c u e r d o
c o n el a p a ñ a d o 1, resu l t a q u e e s d e f i n i d a p o s i t i v a si, y sólo si,
s o n p o s i t i v o s los d e t e r m i n a n t e s d e las m a t r i c e s -A^ ( p a r a /=1, 2, ...V
n). D a d o q u e
de t ( ~ A , ) = ( - i y det A, = ( - i y A ,
d e l o d o lo d i c h o s e c o n c l u y e q u e co e s d e f i n i d a n e g a t i v a si, y sólo si
( - 1 ) ' A , > 0 p a r a i = 1, 2, ..., n, c o m o h a b í a q u e c o m p r o b a r .

258. Espacios vectoriales
euclídeos
CAPÍTULO
Los «vectores geométricos» que ya conocemos de antiguo, aquellos que lla­
mábamos «segmentos orientados», tenían bastantes más atributos que los que
tienen los que venimos manejando últimamente. Bien es verdad que las pro­
piedades de éstos son reflejo de las de aquéllos, pero también es cierto que las
nociones de longitud (distancia) y de ángulo entre vectores se han quedado en
el camino que, al generalizar, nos llevó desde los vectores libres del espacio
ordinario a los espacios vectoriales abstractos.
Ya es momento de ocupamos de estas nociones olvidadas y ello lo haremos
incorporando, a nuestro espacio vectorial general, una nueva urdimbre algebrai­
ca en la que sustentar los referidos conceptos de distancia y ángulo. Nos
estamos refiriendo al «producto escalar». Si dotamos, al espacio vectorial, de
un producto escalar, vamos a poder trasladar, al terreno de lo abstracto, las no­
ciones de longitud y ángulo; esto se hace de modo que se conserven las pro­
piedades que a ellas les son propias.
¿Cómo introducir el concepto de producto escalar de manera que las cosas
sigan funcionando, en lo esencial, como en el caso de los segmentos orientados?
Aquí hay que actuar, como en todo proceso de abstracción, mirando con
atención al producto escalar concreto, entre vectores geométricos, el cual nos
es (o nos debiera ser) muy familiar, y extraer, con lucidez, .sus propiedades
esenciales, aquellas que lo caracterizan, de las que se deducen los demás. Estas
propiedades, enunciadas para el caso general, serán nuestro punto de partida,
esto es, serán los axiomas del producto escalar.
Y ya, para acabar esta introducción, hagamos una ob.servación de interés:
los escalares no pueden ser aquí elementos de un cuerpo cualquiera, han de ser
números reales o complejos. Para nosotros el caso de interés es el caso real;
no nos ocuparemos del producto escalar complejo. En resumen, en este capítulo
el cuerpo de e.scalares será K = U .
253

259. Al g e b r a
lineai
01 PRODUCTO ESCALAR
«.1. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
□DEFINICION
[135]
S e a V u n e s p a c i o vectorial real y c o n s i d é r e s e u n a a p l i c a c i ó n q u e a cada
p a r d e v e c t o r e s (j c, y) d e V le a s i g n a u n n ú m e r o real, q u e s e denotará
p o n i e n d o .v > y. S e d i c e q u e u n a tal a p l i c a c i ó n
V x V - (x, y)^x-y
e s u n producto escalar, o u n p r o d u c t o i n t e r n o , si p a r a c u a l e s q u i e r a que
s e a n x, x\ y e V y Á, Á' e U s e v e r i f i c a q u e :
1. x y^y-L
2. (^c4-A'x')-y = Ajc-y + A'jc''y.
3. jc-jc>0 p a r a t o d o x^d.
D i c h o d e o t r o m o d o , u n p r o d u c t o e s c a l a r e n V e s c u a l q u i e r aplicación,
d e V X V e n R , q u e s e a bilineal, s i m é t r i c a y d e f i n i d a p o sitiva.
S e l l a m a espacio vectorial euclideo a t o d o e s p a c i o v e c t o r i a l real dotado
d e u n p r o d u c t o escalar.
E J E M P L O S
1. C i t e m o s , e n p r i m e r lugar, el e j e m p l o q u e n o s h a s e r v i d o p a r a introducir
este t e m a . E l p r o d u c t o e s c a l a r ( u s u a l ) e n t r e v e c t o r e s libres del espacio
verifica a la anter i o r a x i o m á t i c a . R e c u é r d e s e q u e el p r o d u c t o escalar ü · p,
d e d o s v e c t o r e s libres ií y tJ, s e d e f i n í a c o m o el p r o d u c t o d e s u s módulos
p o r el c o s e n o de l á n g u l o q u e f o r m a n , e s d e c i r :
Ü ' v = \ ü \ \ v \ cos(w, v)
2. E n ü ' e los v e c t o r e s d e R " , s e g ú n s e c o m p r u e b a c o n fac i l i d a d , la relación
( x „ ^2, ..., x„) · (yy, y^
....y„) = x^y^+ X2y2 + - +
d e f i n e u n p r o d u c t o escalar, q u e l l a m a r e m o s producto escalar canónico; coa
él, R " e s p u e s u n e s p a c i o v ectorial e u c l í d e o , q u e s e l l a m a espacio vectorid
euclídeo usual R ”.

260. 255
O B S E R V A C IO N E S
1.
De los axiomas se deduce que, en un espacio vectorial euclídeo V. para
y-i S E V y A, A' e R, se verifica que:
• x(Ay + A y ) = Ajc-y + A 'jc -y '.
• JC · Ó = 0.
Estas propiedades se demuestran fácilmente; quedan, pues, como ejercicio.
2. El tercero de los axiomas del producto escalar se puede enunciar también
diciendo que:
para todo jceV y jc-jc = 0<=>Jc = ó
La equivalencia de ésta y la anterior forma de enunciar este axioma es
clara; téngase en cuenta a este respecto que · ó = 0.
3. Para denotar el producto escalar de dos vectores jc e y, además de Jc · y se
suele poner también (jc, y) ó (jc|>0· Cuando se precise indicar cuál es el
producto escalar que se está manejando en V, al correspondiente espacio
euclídeo se le representa poniendo (V, (K (, » o (V, (|)), respectiva­
mente.
4. Aun cuando aquí no precisemos de ello, bueno es conocer que en el
caso complejo el segundo axioma del producto escalar se sustituye por
y · JC = JC · y, donde jc-y es el complejo conjugado de x y. Sin esta pre­
caución, las axiomas serían incompatibles, pues nos encontraríamos con
que, siendo jc · jc > O para todo xi=^ ó, si tomamos y = ix, sería
^ = (¿f) · (lc) = (í^)jc · JC = -JC · JC < O para un cierto y¥ ^ d ,\o que va con­
tra el axioma 3.
E JE R C IC IO S
L En el espacio vectorial V = ^(7, R), de las funciones reales que son con­
tinuas en un intervalo compacto / = [a, b], se puede definir el producto
escalar de dos funciones f, g mediante
f{x)g(x)dx
Veamos que para esta definición se cumple la axiomática del producto
escalar:
f(x)g(.x)áx-
g{x)f(x)dx = ( g \f)
. ( A / + A '/ 'l « ) =
+ A'
(A/(Jc) + \'f'(x))g(x)dx = Af(x)g{x)dx +
/ ' W j?'W d x - Á { f \ g ) + A '( /' 1 g)

261. • ( / ! / ) = f(x?dx> o si (7 (ya q u e la integral d e u n a f u n c i ó n con-
d n u a n o n e g a t i v a , c o m o /(Jc)^ q u e n o e s la f u n c i ó n n u l a , e s e s m ' c t a m e m e
positiva).
2. E n el e s p a c i o vectorial V = d e las m a t r i c e s r e a l e s d e t a m a ñ o « x n, se
p u e d e definir u n p r o d u c t o e s c a l a r d e d o s m a t r i c e s A = \a¡j] y [¿.]
m e d i a n t e
(A, B) = tra z a (AB‘) = Z a^jb^j
ij'i
v e a m o s q u e p a r a esta f o r m a d e defi n i r {A, B) s e v e r i f i c a n los tres a x i o m a s
d e l p r o d u c t o escalar:
• (-4. fl> = X a^¡b^ = X = {B, A).
• {ÁA + y A', B) = l (ÁOy + y,¡a\¡)b,¡ = A , I + A ' 2 a\p^ =
= A</i, B) + B).
• {A, A) = Y. a,ja¡j = S flj > O s a l v o s\ A = [a,y] = O.
i.J ij
□ EXPRESIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR
[136]
S e a V u n e s p a c i o vectorial e u c l í d e o ^ * \ S i d i m V = n , si (é,, ···» O
u n a b a s e d e V y si s e c o n o c e n los p r o d u c t o s e s c a l a r e s (para i,
7 = 1 , 2 , . . . , w), e n t o n c e s el p r o d u c t o e s c a l a r Jc · y, d e d o s v e c t o r e s cuales­
q u i e r a Jt, y e V, e s igu a l a:
X gijx^yj-X^GY s i e n d o
— u - i
8ij = é^-éj (/, 7 = 1, 2, ..., n)
O = m a t r i z n x n
d o n d e (jc,, ..., x,¡) e (y,, ..., y„) s o n las c o o r d e n a d a s d e j c e y y X e K son
s u s c o l u m n a s d e c o o r d e n a d a s . L a m a t r i z G = [^,y], q u e s e l l a m a matriz
métrica ( o d e G r a m ) d e l p r o d u c t o e s c a l a r e n la b a s e d a d a , e s u n a matriz
s i m é t r i c a d e f i n i d a p o s i t i v a ( v é a s e [127] y [ 1 3 4 ] ) .
A l realizar u n c a m b i o d e b a s e , l l a m a n d o P a la m a t r i z d e l c o r r e s p o n d i e n t e
c a m b i o d e c o o r d e n a d a s (X = PX'\ la m a t r i z m é t r i c a e n la n u e v a base
e s la
G' = P ' C P ( G y G' c o n g r u e n t e s )
(*) Salvo indicación en contra, el producto escalar de dos vectores xcj?dcV se denotará
poniendo i · No obstante, en lugar de llamar V al espacio vectorial euclídeo, formalmente
debiéramos designarle escribiendo (V, ·).

262. D E M O S T R A C I Ó N
S i b i e n e s c i e r t o q u e c u a n t o s e a c a b a d e d e c i r n o s e s y a c o n o c i d o , d e l t e m a
a n t e r i o r , y a q u e el p r o d u c t o e s c a l a r e n u n a f o r m a b i l i n e a l s i m é t r i c a d e f i n i d a
p o s i t i v a , n o e s t á d e m á s q u e , p o r m o t i v o s p e d a g ó g i c o s , h a g a m o s las c o m p r o ­
b a c i o n e s p e r t i n e n t e s .
• L a e x p r e s i ó n d e l p r o d u c t o e s c a l a r s e o b t i e n e d e l s i g u i e n t e m o d o ;
x - y = ( L X ié,) · ( E y jé ,) = X · {y ¡é ¡) = z · é ) = z x ,y ¡g y
» J ij i.j ij
E x p r e s a n d o m a t r i c i a l m e n t e e s t e ú l t i m o r e s u l t a d o , s e o b t i e n e d i r e c t a m e n t e q u e
x-y- X ‘G Y ( n ó t e s e q u e , e n rigor, X^GY e s u n a m a t r i z d e t a m a ñ o l x 1 c u y o
ú n i c o e l e m e n t o e s el n ú m e r o x · y). N ó t e s e q u e , c o m o = é¡ · éj = ij · e¡ = gj¿,
la m a t r i z G e s s i m é t r i c a .
• A l r e c u r r i r a u n a n u e v a b a s e y p r o d u c i r s e el c a m b i o d e c o o r d e n a d a s X = PX'
( a q u í X y X' s o n las c o l u m n a s d e c o o r d e n a d a s a n t i g u a s y n u e v a s , r e s p e c t i ­
v a m e n t e , d e l m i s m o v e c t o r x\ r e s u l t a q u e :
x y = X'GY= (PX'yG(PY') = X'\P*GP)Y'
l u e g o P^GP e s la m a t r i z m é t r i c a d e l p r o d u c t o e s c a l a r , G\ r e s p e c t o d e la n u e v a
b a s e d e V.
• O b s é r v e s e f i n a l m e n t e q u e , c o m o x-x>0 p a r a t o d o x^d, r e s u l t a q u e , la
f o r m a b i l i n e a l s i m é t r i c a (jc, y)*-^Jc-y (es de c i r , el p r o d u c t o e s c a l a r ) e s
d e f i n i d a p o s i t i v a . C o n s e c u e n t e m e n t e , G = [g¡j] e s u n a m a t r i z s i m é t r i c a d e f i ­
n i d a p o s i t i v a .
OS
_______________________________________257
OBSERVACIONES
1. C o m o el p r o d u c t o e s c a l a r e s c o n m u t a t i v o , x · y = y· x, p o r l o q u e la m a t r i z
m é t r i c a G e s s i m é t r i c a , r e s u l t a q u e el p r o d u c t o x · v p u e d e e x p r e s a r s e d e
c u a l q u i e r a d e las f o r m a s :
jc.y = X ' C K ; x y ^ r c x
2, S a b e m o s q u e , e n c u a l q u i e r b a s e d e V, la m a t r i z m é t r i c a G ( s i m é t r i c a ) e s
d e f i n i d a p o s i t i v a . E s t o , s e g ú n s a b e m o s , p u e d e e x p r e s a r s e d e c u a l q u i e r a d e
las s i g u i e n t e s m a n e r a s :
• C e s tal q u e X*GX>0 p a r a t o d a c o l u m n a X e ./íí„xi n o n u l a .
• s i g G = (/?, 0); e s d e c i r , G e s c o n g r u e n t e c o n la m a t r i z u n i d a d , la c u a l es,
p u e s , la m a t r i z c a n ó n i c a d e c o n g r u e n c i a d e G .

263. S e verifica q u e A , > 0 , A j > 0 . . . . . A , > 0, d o n d e A , ( p a r a i = l, 2.
e s el d e t e r m i n a n t e
«11 ·'
'· 8u
=
gn ·■■ gii
( e n p a r t i c u l a r > 0 y d e t G > 0, y a q u e - A, y d e t C - Aj.
C o n v i e n e n o t a r q u e p a r a q u e G s e a d e f i n i d a p o s i t i v a e s necesario, aun
c u a n d o n o e s s u f i c i e n t e q u e g ¡ i >0, 822^ ^ » ··» p u e s t o que
«,/ = «(«.> O·
E J E R C I C I O
D e u n p r o d u c t o e s c a l a r e n t r e v e c t o r e s d e 0?^, s e s a b e q u e , l l a m a n d o (é,. é^, é,)
a la b a s e c a n ó n i c a , s e v e r i f i c a q u e :
· ^ , = 2 6 2' Í2 = 5 é^ = a
Cj · ¿3 = -2 c, · «3 = - 1 C, · «2 = 3
1. H a l l a r la e x p r e s i ó n d e e s t e p r o d u c t o e s c a l a r , e n la b a s e c a n ó n i c a .
2. D e t e r m i n a r los v a l o r e s d e a p a r a l o s q u e l o a r r i b a d e f i n i d o sea, real­
m e n t e , u n p r o d u c t o escalar.
3. P a r a a = 3, h a llar la m a t r i z m é t r i c a d e l p r o d u c t o e s c a l a r e n la base
(Wj, «2» W3) s i e n d o
w, = (1,0,0) , W2 = ( 1 » - 2 , 0 ) y W3 = (l,2, t 3 )
RESOLUCIÓN
1. L a m a t r i z m é t r i c a p e d i d a será, p o r d e f i n i c i ó n , la:
'è^ · é^«1 « jé| · éj ■ 2 3- r
G =C j é, é , C-3
=
3 5-2
éjCj
^3 · .-1 -2 a.
P o r ello, la e x p r e s i ó n d e l p r o d u c t o e s c a l a r será:
■ 2 3- rV
(x,y,z)-{x',y',z') = [x y z]3 5-2y’=
.- 1- 2 a_.z'.
^ 2xx’ + 5yy' + azz' + 3(xy' + x'y) - + x'¿^ _ 2(yz' + y'z)

264. 2. L a c o n d i c i ó n a i m p o n e r e s q u e G s e a d e f i n i d a p o s i t i v a , l o q u e e q u i v a l e
q u e s e a n p o s i t i v o s l o s tres d e t e r m i n a n t e s s i g u i e n t e s
A , = 121 = 2
2 3
3 5
= 1 A , = d e t G = a - 1
P o r t a n t o , l o d e f i n i d o e s u n p r o d u c t o e s c a l a r si y s ó l o si e s a > 1.
3. L a n u e v a m a t r i z m é t r i c a G' será:
’1 0 O ' " 2 3 - r '1 1 r ' 2 - 4 5 ‘
G' = p'GP =1 - 2 0 3 5 - 2 0 - 2 2
=
- 4 10 - 9
.1 2 3. . - 1 - 2 3. .0 0 3. 5 - 9 31.
8.2. NORMAS Y ANGULOS
NORMA DE UN VECTOR
[137]
R e c u é r d e s e q u e , c u a n d o s e e s t u d i a n l o s v e c t o r e s g e o m é t r i c o s , al h a b l a r d e l
« m ó d u l o » o « l o n g i t u d » d e u n v e c t o r á y r e l a c i o n a r l o , d e s p u é s , c o n el p r o d u c t o
e s c a l a r , s e l l e g a a q u e
a · a = ( l o n g i t u d d e l v e c t o r áf
V a m o s a e c h a r m a n o a q u í d e e s t a r e l a c i ó n p a r a , a p o y á n d o n o s e n el p r o d u c t o
e s c a l a r , d e f i n i r la « n o r m a » d e u n v e c t o r , q u e e s c o m o s e l l a m a a h o r a a l o q u e ,
e n el c a s o d e l o s s e g m e n t o s o r i e n t a d o s , e r a la l o n g i t u d .
S e a V u n e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o . P a r a c u a l q u i e r v e c t o r jc e V , c o m o
J C-JC^O, e x i s t e el s i g u i e n t e n ú m e r o real ||jc||, q u e r e c i b e el n o m b r e d e
nonna d e l v e c t o r x:
||jc|| = ( d e f i n i c i ó n d e n o r m a )
P r o p i e d a d e s d e la n o r m a . S i jc e y s o n v e c t o r e s d e l e s p a c i o v e c t o r i a l
e u c l í d e o V y p a r a A e R , s e v e r i f i c a q u e :
1. ||jc|| > O p a r a xi^ o; a d e m á s \\d\\ = 0.
2 . ||Aj c|| = |a1I|jc||. .
3. |jc · y l ^ ||jc|| \\y\\ ( d e s i g u a l d a d d e S c h w a r z ) .
4 . ||jc + y|| ^ Hj cII + lljll ( d e s i g u a l d a d d e M i n k o w s k i ) ,

265. Algebra unsi
DEMOSTRACIÓN
1. P a r a jt#ó, s a b e m o s q u e e s x- x > i), l u e g o yJx-JOO, e s d e c i r lli||>0.
N ó t e s e q u e ||ó|| = -Jd -ó = = 0.
2. \\Ax\\ = [(Ajc) · (Ajf)] = lA'(.r · JOÌ = ^/Á^^/FÌ = |A| ||x||.
3. S i jc = ó o si > = 0, e s t a p r o p i e d a d e s e v i d e n t e , p u e s d i c e q u e es 0<0;
s u p o n d r e m o s , p u e s , q u e es ó e y ó. R e c u r r a m o s a u n o cualquiera de
los d o s v e c t o r e s
y e x p r e s e m o s q u e s e v e r i f i c a q u e v · v^O; h a c i e n d o e sto, o b t e n e m o s qut
■f ^ y '
llU'll ~ llyll/
y e sta ú l t i m a r e l a c i ó n e s e q u i v a l e n t e a la q u e q u e r í a m o s p r o b a r .
4. E c h a n d o m a n o d e la d e s i g u a l d a d d e S c h w a r z , p o d e m o s p o n e r :
IIjc + 0 = (x + y)-(x + y) = \\x\\^ + 2(x-y) + ||y||* =s
« l u - i p +2\m iiyii + \\0= [ikii +
y, e x t r a y e n d o la raíz c u a d r a d a , s e o b t i e n e la d e s i g u a l d a d d e M i n k o w s k L
1 CONSECUENCIAS
1. S e d i c e q u e u n v e c t o r ü e s unitario o n o r m a l i z a d o si ||f7|| = L Si jf es un
v e c t o r n o n u l o , e n t o n c e s l os s i g u i e n t e s v e c t o r e s w, y q u e tienen la
d i r e c c i ó n d e jc, s o n unitarios:
" '■p ii " ■ ■ ' H i
E n efecto: las n o r m a s d e e s t o s v e c t o r e s v a l e n K y a q u e :
iim ip =»7 · M.= í + — ) · (+ — ) = = l!d!í=1
2. P a r a v e c t o r e s x e > d e u n e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o , s e verifica que:
(x e y s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s ] <=> |.v · v| = ||.»i| ||>i|

266. nO RIALES EUCLÍDEOS 261
A s í o c u r r e : S i x o j» s o n n u l o s la p r o p i e d a d e s e v i d e n t e . N ó t e s e q u e d o s
v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s si y s ó l o si ||y||jc= ±\\x\\y, e s t o es,
si y í ^ l o si l l y l U ^ llflly = ó, e s t o es, si y s ó l o si la n o r m a d e l v e c t o r
\\y\\x^ \\x\\y e s n u l a , o se a , si y s ó l o si:
O = ( l l y l U - T \\x\\y). ( l l y l U T 1U|1>^) = 2 | U I P 1 | ; ; 1 P 2 l | J c | | ||y||(í · y)
l o q u e e q u i v a l e a \\x\\ ||y|| = ±(jc · y), c o m o h a b í a q u e c o m p r o b a r .
3. P a r a v e c t o r e s .r e y d e u n e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o , s e v e r i f i c a q u e :
E n e f e c t o : d e a c u e r d o c o n la p r o p i e d a d t r i a n g u l a r , es:
lUII = \\(X-y) + yll « lU -y\\ + WyW l u e g o ||;tl| - lly|| « IU ->11
II vil = ll(y - .t) + Jtll ^ IU - y|| + lUII l u e g o j| j^|| - ||i|| « \\x - >j|
l a s d o s ú l t i m a s r e l a c i o n e s e q u i v a l e n a la q u e h a b í a q u e c o m p r o b a r .
EJEMPLOS
1. E n R " , c o n el p r o d u c t o e s c a l a r c a n ó n i c o , la n o r m a d e u n v e c t o r v a l e :
IKx,, X^, ..., X„)|| = y¡x\ + 4 + - + ^ n
E n e s t e c a s o , la d e s i g u a l d a d d e S c h w a r t z p e r m i t e escribir:
(jc,;y, + x^y^ + - + x„yf « (.rf + Arf + - + + - + yl)
2. E n el e s p a c i o v e c t o r i a l d e las f u n c i o n e s r e a l e s q u e s o n c o n t i n u a s u n
i n t e r v a l o c o m p a c t o [a, fc], c o n el p r o d u c t o e s c a l a r
( / 1 « ) =
la n o r m a d e u n a f u n c i ó n / v a l e :
ll/ll ^
f(x)g(,x)dx
fixŸdx
1/2
A q u í , la d e s i g u a l d a d d e S c h w a r z d i c e q u e
fb
f(x)gix)cLx
Cb
\ J
f(xfdx g(xfdx

267. 3. En el espacio veclorial de las matrices de tamaño /i x /i, con cl
producto escalar {A, B) = traza ( A B \ la norm a de una matriz A = [a,^ vafe
iiAii= i 4
/.y-i
La desigualdad de Schwartz es, en este ejemplo:
( n \2 / n \ / /I
i a^jbJ < ( i 4 ) ( I b l
íj-i / \u-i / Vj-> .
□ OBSERVACION (ESPACIO NORMADO)
La norma se puede defmir, sin necesidad de recurrir a un producto escalar,
generalizando lo aquí dicho. Para ello, se toman, com o punto de partida,
aquellas propiedades, de las antes demostradas, que son propias de la norma,
es decir, en las que no interviene el producto escalar. En concreto, se define:
Se llama espacio vectorial normado a un espacio vectorial real V en el que
hay definida una norma, entendiendo como tal a toda aplicación
II \\:V^U, x ^ M
para la que se verifica que, para cualesquiera x, e V y A e R, es:
1. ||jc|| > O para x ^ ó \ además, ||j|| = 0.
2. ||Ax|| = |A|lU1|.
3. lli + yll^lUII + b l l .
Evidentemente, todo espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial
normado. El recíproco no se verifica en general.
E J E R C I C I O
Compruébese que, si jc, y, z son vectores de un espacio vectorial euclídeo, se
verifica que:
a) \U + y + z1l' = \\x\P + llylP + llzlP + 2x-y + 2x-z + 2y-z.
b) I U + y l P + I U - # = 2 | U - | | ^ + 2 1 1 ^ 1 1 1
COMPROBACIÓN
a) ||jc + y + z||^ = (jt + > + ¿)-(x + y + z) = í-x + :y-y + z-z +
+ (i-y + >-i) + (^-z + z-^) + (>-z + z-y)= IWP+ llv|P +
+ ||z||^ + 2i-:y + 2jp-z + 2:y-z.

268. b) l|x + y l P + I U - # = (x + :y)-(x + jO + ( j e - > ) - ( i - > ’) =
= [lUIP + WyW^ + 2x-y] + [IWI^ + Il ylP -2xy] = 2\\x\\^ + 2||>||*
E J E R C I C I O
En un espacio vectorial euclideo V, se llama distancia del vector x al vector y
al siguiente nùmero real d(x, y):
d(x,y) = \\x -y \\
Demuéstrese que, para cualesquiera vectores x, y, z e V, se verifican las
siguientes propiedades:
1. d(x, y) > O si X # y; además, d{x, x) = 0.
2. d ix,y) = d{y, x).
3. d{Xy z ) ^ d ( x , y) + d(y, z) (desigualdad triangular).
RESOLUCIÓN
1. Si X ^ y, entonces ü = x — y d, con lo que
d(x,>0 = l|;c - y || = ||M ||>O
Además
d(x, x) = \\x - x|| = llóll = O
2. d(x, y) = Ili - y\\ = | | - ( y - x)|j = | - H Hy - xH = Hy - í || = d(y, x).
3. d(x, z) = \\x - ¿II = ||(í - y) + (y - z)|| \\x - y|| + ||y - f|| =
= d(x, y) + d{y, z).
iTORIALES EUCLÍDEOS
J COSENO DEL ANGULO DE DOS VECTORES
El concepto de ángulo, defmido con exactitud, y el análisis detallado de cuanto
ello lleva consigo se ha sacado de aquí (véase Apéndice 11) pues, adem ás de
precisar de conceptos que aún no hemos tratado, se considera que son cuestio­
nes que, por su dificultad, nos desbordan en un momento, com o éste, en el que
se com ienza a estudiar todo ello. Para empezar a tratar de estas cuestiones, nos
va a ser suficiente con los conocimientos que, sobre ángulos, se suponen
conocidos de estudios anteriores.

269. [138] S e a n í e y d o s v e c t o r e s n o n u l o s d e u n e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o V. El
á n g u l o q u e f o r m a el v w t o r xi^d con el v e c t o r yi^ó '*^ q u e s e denota
p o n i e n d o á n g(jt, ó ( i j O . q u e d a c a r a c t e r i z a d o p o r s u c o s e n o , q u e vale:
c o s ( x ,
X'ÿ
11x11 ILvIl
O b v i a m e n t e , r e c u r r i e n d o al á n g u l o d e x # ó c o n j? # ó , s u p r o d u c t o escalar
s e p u e d e e x p r e s a r e n la f o r m a c l á s i c a :
x-:v = I W I l l j ^ l l c o s a , j?)
L a m e d i d a d e l á n g u l o á n g ( x , y ) e s d e la f o r m a ff + Ikir ( d o n d e kel)
p a r a u n c i e r t o 6 e [O, tt].
S i d i m V=n y (é,, éj, éJ e s u n a b a s e d e V , e n t o n c e s l o s e l e m e n t o s
d e la m a t r i z m é t r i c a G = [g,j] d e l p r o d u c t o e s c a l a r e n d i c h a b a s e (véase
[ 1 3 6 ] ) s e p u e d e n p o n e r e n l a f o r m a
8ij = lié,II Iléyll e o s {é¡, éj)
S e l l a m a n cosenos directores d e l v e c t o r J ^ ó e n l a a n t e r i o r b a s e a los
c o s e n o s d e l o s á n g u l o s á n g ( j f , é,·) p a r a / = 1, 2 , n.
(*) La defìnición precisa de ángulo se puede estudiar, conociendo antes algo acerca de
las rotaciones en el plano, en el Apéndice 11.
COMPROBACION
N ó t e s e q u e , c o m o s e s u p o n e xi^ ó tyi^ 5,\íí. d e s i g u a l d a d d e S c h w a r t z se puede
e s c r i b i r e n la f o r m a
Pilligli ■ *'114II.vil
P o r ta n t o , s i e m p r e e x i s t e u n y s ó l o u n d e [O, n] tal q u e
x y
e o s 8 = ■—
lU-ll ll>1l
R e s u l t a , p o r t a n t o , q u e la e x p r e s i ó n d a d a e n el e n u n c i a d o p a r a el cos(x,.^
t i e n e s e n t i d o .

270. OBSERVACIONES
1. L a e x p r e s i ó n q u e d a c o s(jc, > 0 p u e d e i n t e r p r e t a r s e c o m o u n a m a n e r a d e
d e t e r m i n a r c u á l e s el á n g u l o q u e f o r m a ;c c o n y. P o r ello, s e s u e l e d e c i r
q u e el á n g u l o á n g ( ^ y) e s a q u e l c u y o c o s e n o e s (x*y)\ 1|jc|| \\y\\.
2. D o s v e c t o r e s x ^ ó e y ^ ó s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s si y s ó l o si el
á n g u l o á n g (x, y) m i d e O o tt. E n e f e c t o : r e c u é r d e s e q u e x e y s o n l i n e a l ­
m e n t e d e p e n d i e n t e s si y s ó l o si \x · y\ = l U H ||yl| ( v é a s e la s e g u n d a c o n s e ­
c u e n c i a d e [ 1 3 7 ] ) , e s t o es, si y s ó l o si cos(Jc, y ) = ± 1, l o q u e e q u i v a l e a
d e c i r q u e el á n g (;c, y) m i d e O o tt.
3. L o s á n g u l o s á n g (x, y) y á n g (Ajc, y), p a r a x=^ o, yi^ ó y son i g u a l e s
si e s A > O y s u p l e m e n t a r i o s si e s A < 0. E n e f e c t o :
" IíaíiT M " ü í M M " íÁi
L u e g o p a r a A > O a m b o s á n g u l o s s o n i g u a l e s y p a r a A < O s o n s u p l e m e n ­
t a r i o s ( s u s c o s e n o s s o n o p u e s t o s ) .
4 . S e a V u n e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o d e d i m e n s i ó n «, s e a (^,, éo* — » O
b a s e d e V y s e a G = [g¡j\ la m a t r i z m é t r i c a d e l p r o d u c t o e s c a l a r e n d i c h a
b a s e . P a r a c u a l q u i e r a q u e s e a el v e c t o r jc e V , a d e m á s d e l as c o o r d e n a d a s
(jc,, X2, ..., x„) d e JC q u e h e m o s v e n i d o m a n e j a n d o , s e d e f i n e n u n a s n u e v a s
c o o r d e n a d a s (jc,*, j c ^ , ..., jc*) m e d i a n t e jc,?^ = jc · e¡, A las p r i m e r a s s e las l l a m a
c o n t r a v a r i a n t e s y a las n u e v a s c o v a r i a n t e s :
_________________________265
( a : , , JC2, . . . , j c „ ) s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s
contravariantes o p a r a l e l a s d e l v e c t o r Jc
( j c , * , j c ^ , j c * ) s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s
covariantes o p e r p e n d i c u l a r e s d e l v e c t o r jc
<=> X = + X2Í2 + ·“ + x„é„
<=> J C f * = J C · é,. ( / = 1, 2, ..., n)
D e a c u e r d o c o n la d e f i n i c i ó n an t e r i o r , s e p u e d e p o n e r ( p a r a 7 = 1,2, ..., n):
jcf = X · éj = ( X x,éi) · éy = L (é¡ · éj)x¡ = Z gijXi
q u e , r e c u r r i e n d o a las m a t r i c e s c o l u m n a X y X * d e las c o o r d e n a d a s c o n ­
t r a v a r i a n t e s y c o v a r i a n t e s , c o n d u c e a:
X * = G X ó X = G " ' X *
A s í q u e s e p u e d e n c a l c u l a r u n a s c o o r d e n a d a s e n f u n c i ó n d e las o t r a s y
c u a l q u i e r a d e l o s d o s s i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s p e r m i t e d e t e r m i n a r i n e q u í ­
v o c a m e n t e al v e c t o r .

271. ÁLGEBRA LINEAI
EJERCICIO
S e a V u n e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o t r i d i m e n s i o n a l y s e a (é,, Cj, é,) u n a base
d e V d e lo q u e s e s a b e q u e :
lk-,ll = i . M = . Il¿,|| = 2
( Cc3) = 90° , ( C « j ) = 6 0 ’ . ( C é 2 ) = 1 3 5 “
1. H a l l a r la m a t r i z m é t r i c a d e l p r o d u c t o e s c a l a r e n la b a s e d a d a .
2. H a l l a r el á n g u l o q u e f o r m a n l o s v e c t o r e s x e y s i g u i e n t e s :
= - é j + é j . j ; = 2 é , - é j
RESOLUCIÓN
1. L o s e l e m e n t o s d e la m a t r i z m é t r i c a G = [5,y] s o n :
«11 = «I · f =1 « 2 3 = «2 · «3 = 11^211 ll^sll e o s ( ¿2, ¿3) = O
Su = «2 · ^2 = 11^211^ = 2 «13 = é, · C j = lié, II lléjil e o s ( c „ éj) = I
«33 = «3 · C3 = ll«3ll' = 4 = é , . é , = lié,II lléjl e o s ( é „ éj) = - 1
P o r tanto, C v a l d r á
C =
1 - 1 1
-1 2 0
1 O 4
2. C a l c u l a n d o p r i m e r o ||jt||, ||y|| y x· y, s e o b t i e n e (X e Y s o n las co l u m n a s
d e c o o r d e n a d a s d e Jc e
x x = X'GX=li
y.y=Y'GY=4
x y = X'GY= 1
c o s ( í , >0 =
1. x-y _
___
lUllllyll 2 ^ / π
IU-|| = V ñ
11^^11 = 2
VECTORES ORTOGONALES
Y ORTONORMALES
S e g ú n b i e n s a b e m o s » el p r o d u c t o e s c a l a r e s la h e r r a m i e n t a i n d i s p e n s a b l e para
p o d e r m a n e j a r las c u e s t i o n e s e u c l í d e a s , l o n g i t u d e s y á n g u l o s ; d e ahí q u e sea
m u y d e s e a b l e c o n s e g u i r q u e s u e x p r e s i ó n a n a l í t i c a , e n c o o r d e n a d a s , s e a lo más
s i m p l e p o s i b l e . D i c h o d e o t r o m o d o , i n t e r e s a q u e la m a t r i z m é t r i c a se a cuanto

272. HALES EUCLÍDEOS 267
m á s s e n c i l l a m e j o r . P u e s b i e n , c o m o el p r o d u c t o e s c a l a r e s u n a f o r m a b i l i n e a l
s i m é t r i c a , e x i s t e n b a s e s e n las q u e la m a t r i z métrica es d i a g o n a l ; e s t a s b a s e s
s e l l a m a n o r t o g o n a l e s . P e r o , e s m á s , c o m o el p r o d u c t o e s c a l a r es, a d e m á s ,
d e f i n i d o p o s i t i v o , h a y b a s e s e n las q u e d i c h a m a t r i z e s la u n i d a d ; e s t a s ú l t i m a s
b a s e s s e l l a m a n o r t o n o r m a l e s .
P o r o t r a p a r t e la o r t o g o n a l i d a d , o p e r p e n d i c u l a r i d a d , e n t r e v e c t o r n o e s u n
a s u n t o n u e v o ; r e c u é r d e s e q u e d o s v e c t o r e s g e o m é t r i c o s á^óybi^d se d e c í a n
o r t o g o n a l e s si el á n g u l o q u e f o r m a b a n e r a r e c t o , e s d e c i r , si e o s (<5, b) = 0 ; e s t o ,
a s u v e z , e q u i v a l e a d e c i r q u e J · = 0. A q u í t o m a r e m o s e s t a r e l a c i ó n p a r a
d e f i n i r la p e r p e n d i c u l a r i d a d ( o b s é r v e s e q u e , c o n ello, s e c o n s i d e r a q u e el v e c t o r
n u l o e s o r t o g o n a l a c u a l q u i e r v e c t o r ) , c o n l o q u e , n u e v a m e n t e , e s t a m o s g e n e ­
r a l i z a n d o , a e s p a c i o s v e c t o r i a l e s e n g e n e r a l , l o q u e c o n o c í a m o s d e l c a s o c o n ­
c r e t o d e l o s « s e g m e n t o s o r i e n t a d o s » .
8.3. BASES ORTONORMALES
SISTEMAS ORTOGONALES
Y ORTONORMALES DE VECTORES
[139]
Sea V un espacio ve cto ria l euclídeo. Se dice que Jc e V e J e V son
vectores ortogonales si .f · ,v = 0; cuando así ocurra, se pondrá jc ± y . Se
dice que j e V es un vector normalizado o unitario si 1|.?|1 = 1.
Dado un sistema (« ,, ü^, ..., w^), de vectores de V, se dice que:
si ü¡’ üj = 0 para i ^ j
(ü ,, «2, .... «p) es
sistema ortogonal
(« ), « 2
....... üp) es
sistema ortonormal
SI u ¡· Uj ~
0 para i ^ j
1 para i - j
para {i,j- 1. 2, .... n)
Se v e rific a que, si (« ,, « j.......«^) es un sistem a o rto g o n a l de vectores
no nu lo s de V o, en p a rtic u la r, si es un sistem a o rto n o rm a l, entonces
este sistem a ( « „ « 2
......ü^) es linealm ente independiente.

273. ÁLGEBRA LINEAL
DEMOSTRACIÓN
O b s é r v e s e p r i m e r a m e n t e , q u e t o d o v e c t o r d e u n s i s t e m a o r t o n o r m a l e s unitario
y, p o r tanto, n o n u l o . A s í , p u e s , la p r o p i e d a d s ó l o e s n e c e s a r i o d e m o s ü ^ l a en
el s u p u e s t o d e s e r (w,, .... ü^) o r t o g o n a l y d e v e c t o r e s n o n u l o s .
S i p a r a u n o s c i e r t o s e s c a l a r e s A ,, A j , A ^ e R s e v e r i f i c a q u e :
A,/7i + A2M2+ ··*“*" = ó
m u l t i p l i c a n d o e s c a l a r m e n t e p o r ( p a r a / = 1, 2, ..., n), c o m o «,-w, = 0 para
i ^ y, n o s e n c o n t r a m o s c o n q u e A,(m, · ii¡) = m, · í5 = O, a h o r a b i e n , p o r ser w, ^ ó,
s e v e r i f i c a q u e ü, · w, O lo q u e , j u n t o a la a n t e r i o r i g u a l d a d , c o n d u c e a A, = 0
( p a r a / = 1, 2, ..., n\ q u e p r u e b a la i n d e p e n d e n c i a lineal d e (m,, ¿2» ···» ^p)·
O B S E R V A C I O N E S
• D o s v e c t o r e s n o n u l o s x¥^ó e ó s o n o r t o g o n a l e s si y s ó l o si f o r m a n
á n g u l o recto, p u e s e n e s t e c a s o jc · .y = O e q u i v a l e a e o s {x, > 0 = O· E l rector
n u l o e s o r t o g o n a l a c u a l q u i e r v e c t o r jc, y a q u e ò · jc = 0. N ó t e s e t a m b i é n q u e
el v e c t o r n u l o e s el ú n i c o v e c t o r q u e e s o r t o g o n a l a t o d o s l o s v e c t o r e s del
e s p a c i o .
• S u p o n g a m o s q u e (m,, u,
.... s i s t e m a o r t o g o n a l , e s decir, tal q u e dos
c u a l e s q u i e r a d e s u s v e c t o r e s s o n o r t o g o n a l e s . Si, a d e m á s , t o d o s s u s vectores
s o n n o n u l o s , el s i s t e m a s e p u e d e « n o r m a l i z a r » , l o q u e s i g n ifica q u e los
v e c t o r e s
_ /í, __ W “» _
" ' ■íM ’ " ^ "ííÍü...... "'’" I M
f o r m a n u n s i s t e m a o r t o n o r m a l . N ó t e s e q u e c a d a u n o d e los v e c t o r e s í,, q u e
e s unitario, t i e n e la m i s m a d i r e c c i ó n y el m i s m o s e n t i d o q u e el c o r r e s p o n ­
d i e n t e v e c t o r ¿f,.
C o m o el p r o d u c t o e s c a l a r e s u n a f o r m a bil i n e a l s i m é t r i c a , resulta q u e los
v e c t o r e s x, y e V s o n o r t o g o n a l e s si y s ó l o si s o n c o n j u g a d o s r e s p e c t o d e la
f o r m a bilineal s i m é t r i c a f:Vx V — ► R , /(jc, y) = xy.
EJERCICIO (TEOREMA DE PITÁGORAS)
E n u n e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o V, d o s v e c t o r e s x,yeV s o n o r t o g o n a l e s si, y
s ó l o si, p a r a ellos s e ver i f i c a la r e l a c i ó n d e P i t á g o r a s , e s t o es:
xiy ^ IU + >ll*=IUIP+llylP

274. RESOLUCIÓN
P a r a c u a l e s q u i e r a v e c t o r e s Jf, e V , s e v e r i f i c a q u e :
IU + = (í + .V) · (X + jO = í · JC + 2í · y + y . y = lUIP + 2^ · y + ll y|P
P o r c o n s i g u i e n t e , s e v e r i f i c a n las s i g u i e n t e s e q u i v a l e n c i a s ;
IU + yll* = IUIP+llylP <=> x - y = 0 «=> Jcly
EJEMPLO
______________________ __________________269
S e a V el e s p a c i o v e c t o r i a l d e las f u n c i o n e s r e a l e s q u e e s t á n d e f i n i d a s y s o n
c o n t i n u a s e n el i n t e r v a l o [ — tt, tt]. C o n s i d é r e s e , e n V , el p r o d u c t o e s c a l a r
d e f i n i d o m e d i a n t e :
( f l g ) =f{x)g{x)dx
E l s i g u i e n t e s i s t e n i a d e f u n c i o n e s e s u n s i s t e m a o r t o g o n a l :
{ 1 , s e n x , cosjc, s e n l t , e o s 2 c , ..., s e n p j r , c o s p . * )
A s í o c u r r e d e b i d o a q u e s o n n u l o s t o d o s l o s p r o d u c t o s e s c a l a r e s s i g u i e n t e s ;
(s e n / u 1 s e n b : ) y ( c o s / u r | c o s b r ) , para h ^ k
( s e n / u l c o s f c t ) , (1 | s en/u) y (Hcosfcv) , /» y ¿ c u a l e s q u i e r a
N ó t e s e q u e , c o m o las n o r m a s d e e s t a s f u n c i o n e s s o n :
||l|| = V5ir , | | s e n / L c | | = \ ^ . I l e o s / u | | = VÍt-
el s i g u i e n t e s i s t e m a d e f u n c i o n e s e s o r t o n o r m a l :
__L-, _L senhx, -r= cos/u / h=\,2, ..., p
yjlv· y/n

275. Q BASES ORTONORMALES
[140] S e a V u n e s p a c i o ve c t o r i a l e u c l í d e o d e d i m e n s i ó n f m i t a . A u n a b a s e dc
V q u e s e a s i s t e m a o r t o g o n a l u o r t o n o r m a l s e la l l a m a r á » r e s p e c t i v a m e n t e »
hase ortogonal o hase ortonormal d e V, S e v e r i f i c a q u e :
1. U n a b a s e d e V e s u n a b a s e o r t o g o n a l o u n a b a s e o r t o n o r m a l si»
y s ó l o si» e n ella la m a t r i z m é t r i c a d e l p r o d u c t o escalar es,
r e s p e c t i v a m e n t e » u n a m a t r i z d i a g o n a l o la m a t r i z u n i d a d .
2. T o d o e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o d e d i m e n s i ó n finita V tiene bases
o r t o n o r m a l e s .
3. P a r a hall a r u n a b a s e o r t o n o r m a l = (£,» ^2» — » O ^ partir
d e u n a b a s e c u a l q u i e r a = ¿2» b a s t a r á con^*^ d i a g o ­
na l i z a r p o r c o n g r u e n c i a la m a t r i z m é t r i c a G ( c o r r e s p o n d i e n t e a ia
b a s e d a d a o b t e n i e n d o q u e I = P'GP\ las c o l u m n a s d e P son
las c o l u m n a s d e c o o r d e n a d a s d e lo s v e c t o r e s d e Bq r e s p e c t o d e la
b a s e B, S e p u e d e c o n s e g u i r q u e P s e a t r i a n g u l a r s uperior» c o n lo
q u e T ( é , » ...» ép) = T(í7,, ..., il^) p a r a p=\,2, ...» n.
(*) No es éste el único «método dc ortonormalizíición de una base». Otro método,
equivalente a éste es el de Gram-Schmidt, de! que se habla un poco más adelante (véa­
se (1411).
DEMOSTRACION
1.
2.
3.
R e c u é r d e s e q u e » e n u n a b a s e (m,» Wj» ···» m a t r i z m é ü i c a dcl
p r o d u c t o e s c a l a r e s la C = [g¡j] c o n g¡j = ü¡ · üj ( p a r a /, 7 = 1, 2»...» n). Esta
m a t r i z e s d i a g o n a l si ü¡ · Wy = O p a r a i # 7, e s d e c i r » si la a nterior base es
o r t o g o n a l . L a m a t r i z G e s la u n i d a d si ü¡ · Wy = O p a r a y · üj=\ para
/=;» e s decir, si la b a s e e s o r t o n o r m a l .
P a r a c o m p r o b a r q u e e x i s t e n b a s e s o r t o n o r m a l e s , n a d a m e j o r q u e obtener
a l g u n a d e ellas. A e s o n o s d e d i c a m o s e n el p r ó x i m o p u n t o .
D e a c u e r d o c o n la d e f i n i c i ó n d e p r o d u c t o e s c a l a r y l l a m a n d o / (jc» y) = i
la a p l i c a c i ó n f:Vx R e s u n a f o r m a b i l i n e a l s i m é t r i c a d e f i n i d a posi­
tiva; n ó t e s e q u e » c o m o la matriz m é t r i c a G e s la m a t r i z d e / e n la base B.
e n t o n c e s G e s d e f i n i d a p o s i tiva. P o r t a n t o ( v é a s e [133])» exis t e u n a base
Bq d e V e n la q u e la m a t r i z d e / e s la u n i d a d ; e s t a b a s e es» d e acuerdo
c o n lo d i c h o e n el a n t e r i o r a p a r t a d o I» u n a b a s e o r t o n o r m a l . N o se olvide
que» s e g ú n y a s a b e m o s » s e v e r i f i c a q u e I = P ' G P » p a r a cierta m a t r i z regular
P » y q u e las c o l u m n a s d e P s o n las c o l u m n a s d e c o o r d e n a d a s d c los
v e c t o r e s d e la b a s e fi^» q u e e s t a m o s b u s c a n d o » r e s p e c t o d e la b a s e B, de la
q u e p a r t i m o s .
L a d i a g o n a l i z a c i ó n 1=^ P'GP, d e la m a t r i z G » s e p u e d e llevar a cabo
m e d í a n t e o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s d e m u l t i t u d d e f o r m a s . C o m o G es
d e f i n i d a p o s i t i v a y t a m b i é n lo s o n t o d a s las m a t r i c e s c o n g r u e n t e s c o n ella,

276. _____________________________________________ ^
r e s u l l a q u e l o s e l e m e n t o s d e l u g a r e s 11, 2 2 , nn d e t o d a s e s t a s m a t r i c e s
s o n n o n u l o s ( m á s e x a c t a m e n t e , s o n p o s i t i v o s ) . P o r ello, e n el p r o c e s o d e
d i a g o n a l i z a c i ó n , m e d i a n t e o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s , n i n g u n o d e l o s e l e m e n ­
t o s q u e s i r v e n d e p i v o t e v a a s e r n u l o . A s í , p u e s , las o p e r a c i o n e s e l e m e n ­
t a l e s p u e d e n h a c e r s e t o d a s ellas « d e a r r i b a a a b a j o » , e s de c i r , d e m a n e r a
q u e u n a l í n e a (tila o c o l u m n a ) n u n c a s e utilice p a r a influir e n o t r a a n t e r i o r
a ella. P r o c e d i e n d o , p u e s , d e e s t e m o d o , e s e v i d e n t e q u e s e c o n s i g u e q u e
la m a t r i z P s e a t r i a n g u l a r s u p e r i o r ; a d e m á s , l o s e l e m e n t o s d e s u d i a g o n a l
s o n n o n u l o s , y a q u e e s r e g u l a r . D e lo d i c h o h a s t a a q u í s e i n fiere q u e el
v e c t o r ép d e la b a s e ( p a r a p = l, 2, ..., n) s e r á d e l a f o r m a
~ « 2^2 ·** ■·" (parsi c i e r t a s a , e R , c o n ^ 0 )
l o q u e p e r m i t e a s e g u r a r q u e T ( è i , é^) = T ( « , , ...,
EJERCICIO
S e a n y d o s e n d o m o r f i s m o s , d e l e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í ­
d e o V. S e d i c e q u e / * e s el endomorfismo adjunto d e / si s e v e r i f i c a q u e :
f(x) *y — X' f*(y\ p a r a c u a l e s q u i e r a x, y eV, S e d i c e q u e / e s u n endomor­
fismo simétrico si s e v e r i f i c a q u e f(x) · y = ^ * / ( y ) » p a r a c u a l e s q u i e r a x, y e V.
S i V t i e n e d i m e n s i ó n finita n y y A * s o n las m a t r i c e s d e / y / ♦ e n u n a
b a s e o r t o n o r m a l d e V , p r u é b e s e q u e :
1. f* es el e n d o m o r f i s m o a d j u n t o d e / si, y s ó l o si. A* e s la m a t r i z
t r a s p u e s t a d e A .
2. / e s u n e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o si, y s ó l o si, A e s u n a m a t r i z s i m é t r i c a
( A ^ = A ) .
RESOLUCIÓN
S e a n X e K las m a t r i c e s c o l u m n a d e las c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s x e y. L a s
c o l u m n a s d e c o o r d e n a d a s d e f{x\ f*{x) y fiy) s o n :
f(x):X'=AX . f*(x):X* = A*X . f[y):r = AY
S i t e n e m o s e n c u e n t a q u e , p o r s e r la b a s e o r t o n o r m a l , la m a t r i z m é t r i c a d e l
p r o d u c t o e s c a l a r e s la u n i d a d ( G = /). s e tiene:
1. L a r e l a c i ó n f(.e) · y = ; ? · / * ( y ) , V x . y e V , e q u i v a l e a c a d a u n a d e las:
(AX)'IY = X'KA *Y) , V X . K e ,
X'A'Y=X'A*Y , V X ,
A ' = A *

277. ÁLGEBRA LINEAL
2. Repitiendo lo anterior para / * = / y A* = A, se obtiene A' = A.
EJERCICIO
Sea V el espacio vectorial de los polinomios, con una indeterminada x, reales
de grado menor que tres. Considére.se en V el producto escalar definido me­
diante:
(p(x) I q(x)) =p(x)q(x)dx
-I
Hallar una base ortonormal de este espacio vectorial euclídeo.
RESOLUCION
Consideremos la base usual (1, jc, .r) y hallemos la matriz métrica del producto
escalar G en esta base:
\^dx = 2 d l x ) ^
-1
xdx = 0
“I
- I
3
(xlx^) =x^dx = O
- 1 i
/ d x = -
G =
2 O 2/3
O 2/3 O
.2/3 O 2/5 J
Diagonalicemos por congruencia esta matriz G:
■ 2 02/310 0' " 2 0 0 1 0 0‘
ÍC |/] =02/3 0 0 I 0ÛÎ02/3 0 0 10
.2/3 02/50 0 1_
. 00 8/5 - 1 03.
■ | 0 0 i/v 5 0 0'
0 1 0 0>/3/2 0= U\P']
. 0 0 1
0 :3y/S/S.
Por tanto, una base ortonormal de V será la (#|, ^2» ^3) donde
1 /3 _
2 ^ / 5
( - 1 + 3 ; c ^ )

278. s e c t o r ia l e s EUCLIDEO S 273
Nótese que (a, hx, c - 3cx^) es una base ortogonal de V para cualesquiera
a^O, f>¥=0 y Ct^O. En particular, lo es ( I , j c , —1/2 + "í/Ij?)', estos polinomios,
que valen 1 para x - \, son los tres primeros «polinomios de Legendre», que
juegan un importante papel en ecuaciones diferenciales.
□ OBSERVACIÓN (PROCESO DE
ORTONORMALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT)
[141]
Dada una base B = (w,, w„), del espacio vectorial euclídeo V de dimensión
finita, existen bases ortogonales de V^, que denotaremos por é^), tales
que y ( é |, = V(W|, « 2» ···* ^p) /? = 1. 2, n. Una de estas bases es
aquélla en la que vale:
= «p - («1^1 + - + “p -iV .) con a,. = (para / = 1, ..., p-\)
Si se «normaliza» la base (é,, ^n)» obtiene la base ortonormal
(é¡, ^2, é'), donde - iplWipW; para esta última base también se cumple
que y (é ¡, é^) = y(w „ Up) p a r a p = l, 2
.......n.
DEMOSTRACION
Recurramos al método de inducción, sobre p. Para n = 1, la propiedad es
evidentemente cierta. Suponiendo que la propiedad es cierta para p - 1 vecto­
res, veamos que también lo es para p. Admitimos, pues que (é,, ..., es un
sistema ortogonal de vectores no nulos tal que ..., = y(w,,
El vector ip que se define en el enunciado es ortogonal a los é,, ya
que, multiplicando escalarmente ép por (para / = 1, ..., p - 1), se obtiene:
+ - + V V i) * - « A · =
Finalmente, según resulta fácil comprobar con detalle, se verifíca que:
V{é„..., é^) = ra,
.....«,) = y(fi,.............a^)
Las afirmaciones que, en el enunciado, se refieren a (é¡, é j , .... #') son evidentes.

279. 7 4
Á LG EBR A LINEAL
(1421
Q TEOREMA DE LA BASE ORTONORMAL
INCOMPLETA
En un espacio vectorial euclídeo V de dim ensión finita, todo sistema onononnal
de vectores puede completarse hasta obtener una base ortonormal. Dicho con
mayor precisión:
Si V es un espacio euclídeo V de dim ensión finita n y si S = (e,, ..., é^)
es un sistem a ortonormal de p vectores de V, donde p < n, entonces existe
algiin sistem a S’ = .... é„), ác n - p vectores de V, tal que SUS' es
una base ortonormal de V,
DEMOSTRACIÓN
Para empezar, comprobemos que existe un vector V , e V tal que (è,
......
es un sistema ortonormal. Como p < n, existe algún vector ü e V que es
independiente del sistema dado 5; consecuentem ente, el vector
e = ( a ,é , + + ··· + , donde a ,, a j, ..., a ^ e U
es no nulo para cualesquiera que sean estos escalares. Pues bien, existen ciertos
a ,, ..., para los que è es ortogonal a è ,, ···» es decir, tales que
para / = 1, 2, ..., p. A sí ocurre, ya que esto equivale a:
O = M · - X ajiéj · é¡) o sea ü · é, = (para i = 1, 2, ..., p)
Para estos valores de los el vector é es, pues ortogonal a los é,,
y por ello el vector -é/WeW es tal que (é„ ..., es un sistema
ortonormal.
Reiterando este proceso n - p veces» nos encontram os con que existe un
sistema ortonormal ( é , , ..., ..., que, com o es independiente y consta
de n vectores, es base (ortonormal) de V, con lo que concluye la demostración.
EJERCICIO
En el espacio vectorial euclídeo canónico R^, se consideran los siguientes
vectores é, y éj, que son ortogonales:
é, = ( l . O,-1, 1) y e-2 = (2» 1,2, 0)
Completar el sistema ortogonal (é ,, éj) hasta obtener una base ortogonal de R*.

280. EOS 2 7 5
RESOLUCIÓN
A ñadam os dos vectores al sistem a (é ,, é^) hasta obtener una base (cu alq u ie­
ra) de R*; tales vectores pueden ser, por ejem p lo, los m = (O, O, 1, 0 ) y
i5 = (0 . O, O, I). La matriz métrica del producto escalar en la base (é,, ü, í)
será la:
é, · aé,-v 30- 1r
éj-Méj-B
=
09 20
M é, M é ja-ü ü-C - 12 10
J j - é ,e-é^ is-a0-(!_ 10 0 1_
D iagonalizando (por congruencia) la matriz G haciénd olo de m odo que
no se alteren los vectores é, y (que es p osible, pues éstos son ortogon ales),
se obtiene:
[G |/h
O O
0 0 0
9 6 0
6 6 3
3 6
1 0 0 o'"■300010 0 o"
010 0
s
0 90 0 0 1 0 0
10 3 0 00 18 9 3 -2 9 0
-1003_00 9 6 -1 0 03_
3 0 0 0 1 0 0 0
09 0 0 010 0
00 18 03 -290
000 6 -5 2-96_
é| =
=(1.0. -1, 1)
¿2 =é2
=
(2.I. 2, 0)
3é,- 2 é ,+ 9m ( -I. -2, 2, 3)
¿4=-5é,+ 2cj-9M + 6e = (-l, 2, O, I)
Por tanto, los anteriores vectores f , y son solu ción del problem a, ya que
(è ,, #2. «3» «<) es base ortogonal de R “'.
^ COORDENADAS Y PRODUCTO ESCALAR
EN UNA BASE ORTONORMAL
C om o ya se dijo, el interés de las bases ortonorm ales radica en que, en ellas»
la expresión del producto escalar se sim p lifica al m áxim o y a que, por tanto,
ocurre lo propio con las fórm ulas que proporcionan las longitudes y los án gulos.
Ha llegad o el m om ento de verificar que las cosas son com o se esperaba:

281. Á L G E B R A LINEAI
[143] Sea V un espacio vectorial eu clíd eo de dim ensión finita, en el que se
considera una base ortonormal (é ,, ¿2* > ^n)· Llamando (jc„ jCj, jrJ e ’
(y\y -M y„) » ias coordenadas de dos vectores cualesquiera Jt. y € V,
en la base dada, se verifica que:
1. +
2. ||;f|| = V ^ + ^ + . . . + ^ .
3. x , = x - S ¡ = ||i||e o s ( ^ , C-) (para / = 1, 2, .... n)
DEMOSTRACIÓN
1. La primera fórmula se obtiene, de la ya con ocida x ■ y = 1 g¡jxpcj (véa­
se [ 1 3 6 ] ) , teniendo en cuenta que ahora la matriz G = [g¡^ es la unidad.
2. Como lUlp = x x , la expresión de ||.í|| se obtiene de tomar i = ji en la
fórmula anterior y extraer luego la raíz cuadrada.
3. Multiplicando escalarmente por S¡ a los dos m iem bros de la igualdad
-f = - f | ^ i + V2 + - + V »
com o la base (é ,, ..., c„) es ortonorm al, resulta que x e¡ = x¡. Nótese
finalmente q u ex - i ¡ = | | í || e o s( x , é¡).
EJER CIC IO
Sea (c„ Si, é-¡) una base ortonormal de un esp acio vectorial euclídeo tridimen­
sional. Compruébese que, para ciertos a , ^ e IR, los tres vectores
M, = a Í 2 + PSy ; Mj = oréj + ; f ij = a é , + /Scj
son unitarios y tales que cada dos de ello s forman un ángulo de 60°.
RESOLUCIÓN
l|f i,ll = W = I M = « ^ + i 9 ^ = l
eos ( « „ M j) = eos (i¡2, « j ) = eos (M j, m ,) = « j S = 1 ■ 1 · c o s 6 0 ® = 1 / 2 j
El sistem a formado por las ecuaciones a^ + /3^= i y 2 a 0 = l tiene las solo- ¡
ciones a = /3 = ± l/v 5 . i

282. fiy —» ^n) una base ortonormal de un espacio vectorial eu clíd eo V, de
dim ensión n. Pruébese que, para cualesquiera que sean los vectores ü, ü e V,
se verifica que
w · ü = 07 · . è,) + (M . + ... + (ü . i,){ü . O
E JE R C IC IO
RESOLUCIÓN >
Sabem os que las coordenadas de u son los escalares w, = ü · é¡ y que las
coordenadas de v son los escalares = (para i = 1, 2, .... n). C om o el
producto escalar ü · v vale m . 0 = S «,1;^ trayendo aquí las anteriores exp resion es
de w, y se obtiene la fórm ula del enunciado.
8.4. PROYECCION ORTOÍ.ONAL
El problem a que aquí se plantea es ya con ocido de geom etría elem ental; se
trata de lo siguiente: dados un vector x, de un cierto esp acio vectorial eu clíd eo
V, y un subespacio vectorial U, de V (por ejem plo, si V = R*^, U puede ser un
plano vectorial), se busca la «proyección ortogonal de jc sobre í/» , que es aquel
vector j c „ de L/, si existe, tal que j c-jc„ es ortogonal a U. En geom etría
elem ental, esta cuestión siem pre tenía solución única; ahora, en general, lo
sigu e teniendo siem pre que U tenga dim ensión finita.
La proyección ortogonal jc„ de x sobre U se su ele llamar tam bién «la m ejor
aproxim ación de j c m ediante vectores de í/» . E llo es debido a que ||jc - jc„|| es
la m enor de las normas |1 jc ~ ü|| para ü recorriendo U. Esto es, la p royección
ortogonal de j c sobre í / va a proporcionar la «m ínim a distancia» de jc a í/.

283. Á L G E B R A LINEAI
Q SUBESPACIO ORTOGONAL
1144] Sea V un espacio vectorial eu clíd eo. Se d ice que dos subespacios de V
son ortogonales si cualquier vector de uno de ello s es ortogonal a todos
los vectores del otro.
Dado un subespacio U, del espacio vectorial eu clíd eo V, el conjunto
í/^ = U e V/;c‘/7 = 0, Vweí/)
es el mayor de los subespacios de V que son ortogonales a ( / y se verifica
que U n U ^ = O, Se d ice que es el subespacio ortogonal de U,
Si V tiene dim ensión finita, entonces el subespacio ortogonal
de un subespacio cualquiera U de V, es suplem entario de U, o sea,
Para señalar que esto ocurre, se d ice que es el suplemen­
tario ortogonal de U, Si (ép ..., i^) es una base ortononnal de í / y se la
com pleta hasta obtener una base ortonormal (é ,,
entonces ..., eJ,
e„) de V.
DEMOSTRACION
1. El conjunto es subespacio de V ya que no es vacío (pues ó le pertenece)
y, si X, y e y A, /£ e R, para cualquiera que sea w e í/, se verifica que
(Ajc + · w = \(x · w) + /¿(y · w) = AO + /xO = O
2.
3.
luego Ajc + /¿y e como había que comprobar.
La intersección U r\U ^ es nula ya que, si j c e í / y j c e deberá ser
JC · JC = O, o sea, se con cluye que x = ó.
Como U tiene dim ensión finita, sabem os (véase f l4 0 ] , 2) que existe una
base ortonormal suya (é ,, ..., Por el teorem a de la base ortonormal
incom pleta (véase [142]), la base anterior se puede com pletar hasta obtener
una base ortonormal (é ,, ..., ..., e^) de V, Los vectores son
de pues son ortogonales a todo vector de U,
Por otra parte, cualquier vector x bV, expresándolo en la anterior base
se puede poner:
JC = w + w , donde
luego Í / + = V. Com o sabem os que U ( M J ^ - O, resulta de todo ello
que í/© = V,

284. 2 7 9
V eam os, finalm ente, que é„) es una base de Según sabe­
m os, ..., é„) es un sistem a ortonormal de vectores de y, por tanto,
si no fuese una base de habría algún vector no nulo è e ortogonal
a los de donde resultaría que è e U, y esto no es p osib le puesto
que u n U^ = O.
E JE M P L O
En el espacio vectorial eu clíd eo canónico IR^, con sid érese el su bespacio b id i­
m ensional
U = {(fl, a, b, b) e W / a, b s R )
El subespacio suplem entario ortogonal de U es el
t/, = ( ( a , - a , )3, - P ) e U * ¡ a, P e U ]
En efecto: Cualquier vector de í/, es ortogonal a todos los de í/ , lu ego U^<zU^,
C om o dim = 4 - dim í / = 2 y también dim í/ , = 2, resulta que í / , = U^.
E JE R C IC IO
Si U es un subespacio de un esp acio vectorial V de dim ensión finita, co m ­
pruébese que {U ^Y = U.
RESOLUCIÓN
Sea (# ,, una base ortonormal de í/ , que com pletada con d uce a la base
ortonorm al (é ,, ..., de V, con lo que í / ‘^ = T (^ p + p O · N ó tese
que ( é ,, ép, é„) es base de V que com pleta (ortonorm alm ente) a la b ase
(^^+p de U^, de donde resulta que (e ,, es una base de (U ^ y ; c o ­
m o (# ,, éJ era base de í/ , se con clu ye que (U ^ y = í/ .
O B S E R V A C IO N
Si V es un esp acio vectorial eu clíd eo que no tien e d im ensión finita, un su b es­
p acio su yo U y éi subespacio ortogonal a este U^ pueden no ser suplem en tarios.
Es d ecir que, aun cuando siem pre se verifica que U D U ^ - O, \a sum a U U^
(que es directa) puede no ser todo el esp acio V, com o ocurre en el sig u ien te
ejem plo:

285. ÁLG E B R A LINEAI
Sea V el espacio vectorial eu clíd eo de las fun cion es polinóm icas, definidas
en [O, 1], con el siguiente producto escalar;
( p k ) =
p(x)q(x)dx
Sea U el subespacio, de V, que forman las fun cion es polinóm icas que tienen
nulo el término independiente. N o cuesta dem asiado trabajo comprobar'*' que
no existe ninguna función polinóm ica no nula que sea ortogonal a todas las de
U\ dicho de otro m odo, se verifica que = O, En este ejem plo es ( / + í/^ it V.
E JE R C IC IO
Sea / : K—► V un endom orfism o, en el esp acio vectorial eu clíd eo V. Supóngase
que / es sim étrico, esto es, tal que jc · f ( y ) - f{x) · y para cualesquiera x, y
(véase el primer ejercicio de [140]). Pruébese que el n úcleo de / y la ima­
gen de / son dos subespacios suplem entarios y ortogon ales, es decir, que cada
uno de ello s es el suplem entario ortogonal del otro.
RESOLUCIÓN
Llamemos N = Nuc { f ) t l — Im ( / ) . S e verifica que
1. N n / = O, ya que si jc e NC\I, será:
C om o -f e yv, ha de ser f{x) = ó\ com o jc e /, ha de ser x = /(>^ para
algún y € V; com o f es sim étrico, es Jc· f { y ) = y ·/ (jc) , esto es:
x * x = ^ y - ó = 0 , lu ego x - ó
2. yV© / = V, ya que yvn / = O y (v éa se [0 8 2 ], 4)
dim N + dim I - dim [N uc ( / ) ] + dim [Im ( / ) ] = dim V
3. N tí son ortogonales ya que, si x e // e e /, se verificará que f(x)-ó
c y ~ f ( ^ para algún f e V y, por ser / sim étrico, es
x - y = x ’ f(z) = z - m = z - d = 0
luego X e y son ortogonales, com o había que comprobar.
(* ) Dado p(jr) = Oo + a^x + + a / · , compfuébcsc quex^pix) = O para í = 1, 2
.....n + 2 cs la
sistema lineal, de /i + I ecuaciones lineales en las n + I incógnitas a ,
....... fl.. que tic«
determinante no nulo y. por ello, su única solución es <io = a, = ··· = = 0.

286. RIALES EUCLlDEOS 2 8 1
ü PROYECCIÓN ORTOGONAL
Y MÍNIMA DISTANCIA
(1451
Sea V un espacio vectorial euclídeo, en el que se consideran un subespa­
cio í / c V y un vector ^ e V. Se dice que:
a ) El vector es p ro yecció n o rto gon a l de x sobre U ú x^ s ü y
x - x ^ e (el vector es ortogonal a ií).
h) El vector e 1/ es el «m ás pró xim o » a jc de entre los vectores de U
si lU — xJI es el menor de los valores ||jf- wt| para ü e U.
Se verifica que un vector x^ es la proyección ortogonal de jc sobre U si,
y sólo si, es el más próximo a x de entre los vectores de U. Esto es:
a) <=> b)
Dados U y x, en V, la proyección ortogonal y el vector más próximo son
únicos (cuando existen).
D E M O S T R A C IO N
En lo que sigue, nos va a ser útil recurrir a que, para cualesquiera que sean los
tres vectores jc, m y jc„, se puede poner
lU - mIP = ll(x - Xu) + (·*« - m)IP = K·* “ x J + (Xu ~ «)1 · K-f - Xu) + (·?« - «)1 =
= \\x - x J P + IK - «11^ + 2{x - x j ■ (í„ - M) [ 1]
1. Comprobemos en prim er lugar que a) =» /?). Suponemos, pues, que jc^ e t /
es tal que jc - e . Para cualquiera m e í/, resulta que Jc„ - w e t / y, por
e llo , JC - Jc„ y jc„ - M son ortogonales, luego su producto escalar es nulo, lo
que llevado a la igualdad |IJ conduce a:
\\x - «11^ = \\i - x X + IK - «11^ > IIjí - í j p
Así, pues, ||,f - jf„|| ha resullado ser la menor de las |U — «II para X e U.
2. Comprobemos ahora que b) =» a). Partimos de que x^e U es tal que
ll-f ~ -«„II ^ lU - m|| para todo « e (/; por ello, de la igualdad (1) se despren­
de que:
l|f„ - «11^ + 2(X - x„) ■ - iJ) > O para ttxio u b V

287. Al g e b r a lin ea l
Nótese que, cuando ü recorre U, el vector u = ü - también recorre todo
U, con lo que la relación anterior se puede expresar de la siguiente forma:
llw'IP ^ l(x ~ jcJ · ü para todo ü' s U [11]
Supongamos que la propiedad a dem ostrar fuese falsa, esto es, que i - i ,
no fuese ortogonal a algún e U (obviam ente sería Üq ó), o sea, que
(jc ~ jc^) ‘ M(j o para algún Wjj e U\ llam em os entonces c al número
c = ( j c- x J Üq^O. Tomemos para vector ü \ de la relación [II], au
para h e U cualquiera; haciendo esto, nos encontram os conque para lodo
h e U habría de ser
/í^llwoll^ ^ 2c/í , luego h ^ 2c/||/7olP > O
que no se verifica para todo h e R. Esta contradicción nos lleva a que
h) => a) es verdadera.
Para concluir, veamos que no hay más de un jc„. Nótese que, como a) <=> b),
bastará con probar que la proyección ortogonal jc„ (si existe) es única.
Sabemos que (si existe x J es jc = jc„ - f (x - xjy donde x ^ e U y x-x^e (J^\
ahora bien, como la suma U + es directa (pues UnU^ = O; véase
[144]), la anterior descomposición de jc en suma de un vector de t/ y otro
de es única, luego existe una sola proyección ortogonal jc„.
E J E R C I C I O
En el espacio vectorial euclídeo canónico W, considerem os el vector
x = (7, 1, —6, 9) y el subespacio U = V((í, b, c), donde
á = (l, - 2 , O, 0) , í=(0, 1,2, 1) , c = (-l,0, l, 1)
Se pide la proyección ortogonal de jc sobre U.
RESOLUCIÓN
Hay que descomponer jc en la forma x = x^ + y, donde jc„ e (7 e y es un vector
ortogonal a í/. Un vector y = (a, P, % S) será ortogonal a í/ si, y sólo si, es or­
togonal a a, ¿ y c, esto es, si:
a - 2)3 = 01
)3 + 2y+ 5 = 0
— a + 7 + 5 = OJ
de donde se obtiene fácilmente que:
y = ( o r , P, y, S) = p(2, l, - 3 , 5) para p g I

288. v e c t o r ia l e s EUCLIDEOS 2 8 3
El su b esp acio U está form ado por los vectores (jc,, jCj, JC3, x^) q ue son
o rtogon ales al vector hallado (2, 1, ~3, 5) y, por e llo , tien e por ecu a ció n a:
(/: 2jc, + jCj — 3^3 H" 5JC4 = O
A sí, p ues, hay que hallar p de manera que el vector
jc, = i - p ( 2 , 1, - 3 , 5) = ( 7 - 2 p , 1 - p , - 6 + 3p, 9 -5 p )
p ertenezca a U, o sea, de manera que
2(7 - 2p) + (1 - p) - 3 ( - 6 + 3p) + 5(9 - 5p) = O
de donde se ob tien e que p = 2. R esulta en ton ces que la p royección p edida es:
jc, = (3, -1,0, -1)
Q COEFICIENTES DE FOURIER
[146]
S ea V un esp acio vectorial eu clíd eo , en el que se con sid eran un su b ­
esp a cio t / c V y un vector x s V , Si U tien e d im en sión fin ita y si
(¿7,, W2, ..., üp) es una base ortogonal de U, en to n ces e x iste la p ro y ecció n
ortogonal jc„ de Jc sobre U y es:
[I]
donde
(para 1=1, 2
.......p)
L os escalares a¡ se llam an co e ficien te s de Fourier de jc resp ecto de la
base ortogonal (m,, Új, de U.
DEMOSTRACION
H em os de com probar que, para el x^ que se ob tien e de |I ], se v er ific a que jc - jc„
e s ortogonal a Í7, es decir, que Jc - jc,^ es ortogonal a tod os lo s vecto res de ü,
que es tanto com o decir que es ortogonal a lo s vecto res m,, Mj, de
la b ase dada de U, T enem os, pues, que com probar que (;c - jc„) · m,. = O para
/ = 1, 2, ..., p; así ocurre ya que. com o la b ase (w,, Wj, ..., ü^) es ortogon al, se
tiene:
( í - x„) ■ = [-f “ , |j «y«y] · «, = -í · M, - ^1) « / « , · M,) = x - ü ¡ - a.M, · m, =

289. EJERCICIO
En un espacio vectorial euclídeo V se consideran un vector jc y un sistema
ortogonal de vectores no nulos (wp Wj» ···» Demuéstrese que
je·«,
+
X ·
\ 11^21
JC· a
(Desigualdad de Bessel)
RESOLUCION
La proyección ortogonal de jc sobre el subespacio U que engendra el sistema
ortogonal (m,, üp) es, según sabemos de [146]:
x ü ,
donde
Por tanto, como el sistema («,, Wj» —» es ortogonal, resulta que:
llxJP =
X U:
Por otra parte, como en la descomposición jc = jc,^ + (jc — jc„) los vectores jc^ y
JC - jc„ son ortogonales, resulta que
llxlP = lU jP + \\x - i j p > lU JP = ^ J
como había que comprobar.
TRANSFORMACIONES ORTOGONALES
Vamos a proceder aquí, como hemos venido haciendo hasta ahora a lo largo
del capítulo. Retomamos lo ya estudiado con anterioridad, en este caso lo
relativo a las aplicaciones lineales, e incorporamos a ello el producto escalar.
Así, nos ocuparemos de las aplicaciones lineales que «funcionan bien» en su
relación con las longitudes y los ángulos, que son «compatibles» con la estruc­
tura euclídea que se añade a los espacios vectoriales. Esta compatibilidad
estriba en la «conservación del producto escalar»: el producto escalar de dos
vectores cualesquiera es igual al producto escalar de sus imágenes.
Tales aplicaciones, que se llaman ortogonales, no son tan novedosas como
pudiera, quizá, parecer. Hay que hacer notar que en los casos de los espacios

290. CIALES EUCLlDEOS 2 8 5
de dim ensión 2 ó 3, las susodichas transform aciones son lo s «m ovim ien tos» en
el plano o en el espacio ordinario; esto s «m ovim ien tos», convierten cualquier
figura en otra que es igual a aquélla, es decir, que tiene sus m ism as form a y
tamaño.
8.5. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES
APLICACIONES ORTOGONALES
[1 4 7 ]
S e d ice que una ap licación lineal f : V —^W, entre los esp acios vectoriales
eu clíd eo s V y W, es una aplicación ortogonal si conserva el producto
escalar, lo que sign ifica que:
= \ / x . y e V
Si f : V - * W es una aplicación ortogonal, en tonces se verifica que
1.® / conserva las normas, esto es, | | / (jc)|| = l|jc|| para todo jc e V,
2.® / conserva los ángulos, esto es, ( /(J 0 7 7 (y )) = V x , y e K
3.® / e s una aplicación inyectiva.
La com posición de dos aplicaciones ortogonales es una aplicación ortogonal.
DEMOSTRACIÓN
1. Para cualquier vector ;c e V, es:
ll/(x)|p = /(x ) · /(x ) = x x = lUIP, lu ego I l/( í) ll = lUII
2. Para cualesquiera vectores x, y e V, es:
cos(/(í). f(y )) = " n í é l l "
3 . Dados X, y e V , si es f(x) = / ( jO entonces es x -y, ya que
ll-f - vil = ||/(Í - .V)|| = Il/(.f) - /( jOll = ll<5|| = o
4. Sean f : V - * W y g : W - * U ap licacion es ortogon ales, entre lo s esp a cio s
vectoriales eu clíd eos V, W y U. La com p osición g ° f : V —> U e s ortogonal

291. ÁLGEBRA LINEAL
ya que, además de ser lineal por serlo f y g, conserva el producto escalar,
ya que piu*a cualesquiera x, y e V es:
[ig-f){x)] · lig -fK y )] = g ( m ) · g{f(y)) = / W ♦ f iy ) = i · y
EJEM PLO
Vamos a defmir una aplicación ortogonal / : IR^—► entre los espacios vec­
toriales euclídeos canónicos R^ y R^. Para ello , recurramos a un sistema orto-
normal (Ò, b) de vectores de R^ y tom em os
/{JC, y) = x a y b V (jc, y) e R^
Esta aplicación / , que es evidentem ente lineal, conserva el producto escalar,
ya que:
/U» y) ' /(^ ', >') = + yb) · (jc'á -H / b ) = \xx' -f Ojc>^' + Oyx' 4- l y / =
= xr' + y / = (x, y) · ix \ y')
O B SE R V A C IO N ES
1. Sea / : V—♦ W una transformación ortogonal, entre los espacios vectoriales
euclídeos V y W. De las anteriores propiedades se deduce trivialmente que:
si (tt,, «2, ..., üp) es un sistem a ortogonal u ortonormal de vectores de V,
entonces (/(w ,), /(m j)· ···» /(w^)) es un sistem a ortogonal u ortonormal,
respectivamente, de vectores de W.
2. En la anterior definición de aplicación ortogonal se han impuesto condi­
ciones superabundantes; pidiendo m enos (aparentem ente) se puede obtener
el mismo resultado. En concreto, se verifica que (véanse Ejercicios 111.38
y 111.39):
La aplicación / : V—► W, entre los espacios vectoriales euclídeos V y W, es
ortogonal si se cum ple una cualquiera de las tres condiciones siguientes,
que son equivalentes entre sí:
• / es lineal y conserva el producto escalar.
• / con.serva el producto escalar.
• / es lineal y conserva la norma.
3. Según ya hemos visto, toda aplicación ortogonal es inyectiva; si, además, es
sobreyectiva, recibe el nombre de isomorfismo ortogonal. Si / : V— W es
un isom orfism o ortogonal, es evidente que la aplicación recíproca
/ “ ' : W—► V también es un isom orfism o ortogonal. La com posición de dos
isom orfism os ortogonales es, también, un isom orfism o ortogonal.
Si / : V—» W es una aplicación ortogonal y el espacio vectorial euclídeo tie­
ne dimensión finita n, com o / es inyectiva, para que sea un isomorfismo
ortogonal es necesario y suficiente que W también tenga dimensión fi­
nita n.
J T R A N S F O R M A C I O N E S O R T O G O N A L E S
A partir de ahora hablaremos, casi exclusivam ente, de aplicaciones de un
espacio V en sí mismo. Es más, nos vam os a ocupar sólo del ca.so de dimensión
finita, que es el que aquí interesa de m odo especial.

292. r ía l e s EUCLlDEOS 2 8 7
[148] S ea / : V —♦ V una a p lic a ció n lin ea l (en d o m o rfism o ), en e l e s p a c io v e c to ­
rial e u c líd e o V, D e acu erdo con la d e fin ic ió n d e a p lic a c ió n o rto g o n a l
(v é a se [1 4 7 )), se d ic e q u e / e s una transfonmición ortogonal si c o n se rv a
e l p rod ucto esca la r. S i d im V = n. e n to n c es se v erifica:
1. U n en d om orfism o / : V —► V (co n dim V = n) es una tran sform a­
c ió n ortogon al si, y s ó lo s i, la im agen por / de una b ase orton or­
mal de V e s , tam bién, b ase ortonorm al de V.
2. D adas d o s b ases orton orm ales (^ ,, ...» éJ y (é\, ¿i, .... eú) d e
V, e x iste una única transform ación ortogon al / : V tal q ue
= (para / = 1. 2
.......n).
3. S ea A la m atriz dc un en d om orfism o / : V—* V resp ecto de una
b ase cualquiera (/7j, w„) de V\ sea G la m atriz m étrica d el
producto escalar de V en dich a b ase. El en d om orfism o / e s una
transform ación ortogonal si y só lo si
G ^ A 'G A
4 . Sea A la matriz de un endom orfisnio / : V—► V resp ecto d e una ba­
se ortonorm al ( é ,, de V. El en d om orfísm o / e s una
transform ación ortogonal si y só lo si
A ^ A ^ l
5. El conjunto de las transform aciones ortogon ales en V (d e d im en ­
sión tlnita) forman grupo, resp ecto de la co m p o sició n de ap lica ­
cio n es, que se representa por 0(V ) y recibe el nom bre dc grupo
ortogonal de V.
DEMOSTRACION
S i / es ortogonal, com o conserva ángulos y norm as, transforma cualquier
base ortonormal en un sistem a ortonormal de n vectores, que es una base
ortonormal de V, pues dim V = /i.
R ecíprocam ente, supongam os que (^,, e^y e„) es una base ortonorm al de
V y que ( / ( # i ) . / ( ^ i ) · —»/(^ «)) también es base ortonorm al. C ualesquiera
vectores jc. y e V pueden expresarse, recurriendo a sus coordenadas, en la
forma
X = ,|j x¡é¡ e y = ,|j (x¡, y¡ e R )
(nótese que í · > = jc,.v, + + - + -««y»)

293. Como / es lineal y ( / ( é ,)
....../(é „ )) es base ortonorm al será:
/(jc) · f iy ) = / (2x.é,) · = ( 2xj(e¡f) · (2 =
= l l X f y j M ) f ( é j ) = + X 2 y i + - + · >
Así, pues. / conserva el producto escalar y, com o es lineal, es ortogonal.
2. Según sabemos (véase [085]), hay una única aplicación lineal /:V -* V
que transforma la base (é ,, ·*·* O ^ 2, ..., éí). Ahora bien,
de acuerdo con la propiedad precedente, este endomorfismo / e.s una
transformación ortogonal.
3. Denotemos por X e K a las colum nas de las coordenadas de dos vectores
i , y e V. El endomorfismo / será ortogonal si y sólo si f(x) · / ( y ) es igual
a X · y para cualesquiera Jc, y € V, esto es:
(A X )'G {Á Y )^X 'G Y 6 X W A ) Y = X^GY, Vx,yeV
Esta última exigencia, por serlo para cualesquiera colum nas X e K, equivale
a la igualdad A^GA = C.
4. Para demostrar esta propiedad no hay más que repetir lo dicho para lo
anterior, tomando ahora G = / (matriz unidad), que es la matriz méüica en
una base ortonormal.
5. Como todas las transformaciones ortogonales en V son automorfismos,
bastará con comprobar que 0 (V ) es un subgrupo del grupo lineal GUV)
(véase [103]). Esto último es cierto ya que la com posición de transfonna*
ciones ortogonales es transformación ortogonal, toda transformación orto­
gonal tiene recíproca, que también es ortogonal, y la aplicación idéntica es
ortogonal.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ÁLG E B R A LINEAL
E JER CIC IO
Sea endomorfismo definido, m ediante
/ ( 1 , 0 ) = (1, -1) y /(O , 1) = (2, - 1 )
Sabiendo que, para cierto producto escalar de IR^ el endom orfism o / cs una
transformación ortogonal, hallar la matriz m étrica G de dicho producto escalar
en la base canónica.
RESOLUCIÓN
Denotemos a la matriz G com o abajo se indica y tengam os en cuenta que la
matriz A del endomorfismo / en la base canónica es:
1 2
•1 - 1
; G =
JC y
y z

294. •OS
2 8 9
La m atriz G debe ser tal que G ^ A 'G A . R ealizando eslc últim o producto e
id en tificán d olo con G, se obtiene:
j c = j c -2y + z
y = 2jc - 3y + z
z = 4 x - 4 y - l· z
, que equivale a
Jt = A
y = Á f A e R)
.Z = 2A
H ay, p ues, infinitas solu cion es, que son todas las matrices
G = A
1 1
1 2
/q u e son definidas '
\p o sitiv a s para A >0^
O B S E R V A C IO N E S
1.
2 .
Supongam os que f : V - ^ V es una transformación ortogonal, definida en el
esp a cio vectorial eu clíd eo V. Por ser ortogonal es lineal e inyectiva. Si V
tien e dim ensión finita, entonces / es biyectiva, com o lo es toda aplicación
lineal inyectiva entre espacios vectoriales de la m ism a dim ensión finita
(véase [084]). Ahora bien, si V no tiene dim ensión finita, entonces la
transform ación ortogonal f : V - * V pudiera no ser sobreyectiva, com o prue­
ba el sigu iente ejem plo:
Sea V el esp acio vectorial de los polinom ios reales. Según es fácil com ­
probar, la sigu iente expresión de (p(x) | q(x)) d efine un producto escalar en
el esp acio V:
p(x) = flo + üyX + - -f a„x^
q(x) = + b^x -H - H- b ^
(si dos polin om ios son de distinto grado, añadánsele sum andos nulos al de
m enor grado hasta igualar al grado del otro). Sea / : V—► V la aplicación
definida m ediante f(p (x ))= x p (x )\ esta aplicación es evidentem ente lineal
y conserva el producto escalar, lu ego se trata de una transformación orto­
gon al. Pues bien, a pesar de ello , / no es sobreyectiva ya que los p olin o­
m ios constantes (y no nulos) no pertenecen a la im agen de / ,
La anterior caracterización [148], 1), de las transform aciones ortogonales,
en esp acio de dim ensión finita, puede generalizarse fácilm ente al caso en
el que / : V —* W es una aplicación lineal, V tiene dim ensión finita y W es
cualquiera. En este supuesto, se verifica que / (lineal) es una aplicación
ortogonal si, y só lo si, la im agen por / de una base ortonormal de V es un
sistem a ortonormal de vectores de W.
Lo m ism o ocurre con la propiedad [148], 2), sobre existencia y unicidad,
que se generaliza obviam ente: si (^,, éjy ...» es una base ortonormal del
esp a cio vectorial eu clíd eo V y si (m,, Wj» ··» ^n) sistem a ortonormal dc
vectores del esp acio vectorial eu clíd eo W, entonces existe una única apli­
cación ortogonal / : V—♦ IV tal que f(é¡) = m, para i = 1, 2, n.

295. ÁLG E B R A LINEAL
3. Una transformación ortogonal f : V - ^ V se llama automorfismo ortogonal
si es biyectiva; si V tiene dim ensión finita, toda transformación ortogo­
nal / : V—» V es automorfísmo ortogonal. Las autom orfism os ortogonales
de un espacio vectorial euclídeo forman grupo respecto de la composición de
aplicaciones.
8.6. MATRICES ORTOGONALES
Para estudiar una ü*ansformación ortogonal, las ba.ses más idóneas son las
ortonormales. En estas bases, que son las que más les cuadran a los problemas
de tipo euclídeo. las ecuaciones de las transformaciones ortogonales adquieren
su forma más simple. La relación G = A^GA (G = matriz métrica), que carac­
teriza a la matriz A de una transformación ortogonal, se reduce a / = A'A cuando
la base es ortonormal, según ya se vio en [148], 3) y 4). A las matrices que
verifican esta última relación se las llama ortogonales. Hablemos de ellas:
MATRICES ORTOGONALES
[149]
Sea A una matriz cuadrada de tamaño n x /i, de elem entos reales. Se dice
que A es una matriz ortogonal si se verifica una de las tres condiciones
siguientes, que son equivalentes entre sí:
a) A^A = 1 (donde I = m aüiz unidad) o lo que es lo m ism o A^ = A~\
b) es una transformación ortogonal es el automor-
fism o que, en la base canónica, tiene a A por matriz a.sociada).
c) Los vectores fila (o los vectores colum na) de A forman una base
ortonormal del espacio vectorial eu clíd eo canónico R”.
Las matrices ortogonales de tamaño n x n forman grupo para el producto;
a este grupo se le representa por 0(n) o 0„.
En un espacio vectorial euclídeo, al cambiar una base ortonormal por otra
base ortonormal, la matriz del correspondiente cam bio de coordenadas es
ortogonal.
DEMOSTRACIÓN
LVeamos en primer lugar que las condiciones a \ b) y c) son equivalentes.
La equivalencia entre a) y b) ya está probada en el apartado anterior (véase
[148], 4), por lo que .solamente comprobaremos que a) <=> c). Nótese que
la relación A^A = / equivale a la AA' = /, pues cualquiera de las dos signi-

296. )S 2 9 1
fica que A' = i4"*; por ello , en b) sólo se considera el caso de vectores
colum na (para las filas, sustituyase A por >4^. Llamando A = el vector
colum na de lugar i (para / = l , 2, n) de A es el
«, = ( ^1.1 ^2.» ···. e U "
La con d ición a), esto es, A‘A = /, expresada en función de los elem entos
de A, toma la forma:
1 si / = ;
O si
Ahora bien, esta última relación sign ifica que el producto escalar á¡ · üj (en
el esp acio vectorial eu clíd eo canónico R") vale 1 ó O según que sea i —j
ó i y, respectivam ente, es decir, que (á ,, es un sistem a ortonor­
mal de n vectores de R", o sea, que se trata de una base ortonormal de R",
con lo que con cluye la dem ostración.
2. Las m atrices ortogonales de tamaño n x n forman grupo, para la operación
producto, ya que lo forman las transform aciones ortogonales de R" en R'’
(v éa se [1 4 8 ],5 ), para la com p osición de ap licacion es. Esto es así ya que,
según se sabe (véase [103]), la correspondencia / —"A, que a cada aplica­
ción lineal b iyectiva / : R ”—► R" le atribuye su matriz A en la base canóni­
ca, es un isom orfism o respecto de las operaciones antes citadas.
3. Supongam os que, desde una base (é ,, éj, ..., é J , se pasa a la nueva base
(^í, f í , ..., él,), donde
( / = 1,2, . . . . « )
E sto produce el cam bio de coordenadas X = Q X \ donde X y X' son
las colum nas de coordenadas en la primera y segunda b ases, del m ism o
vector e V, y (2 es la matriz Q = [q¡j]. Si ambas bases son ortonorm ales,
en tonces
............
y , por tanto, se verifica que:
e s decir, las n colum nas de Q forman un sistem a ortonormal de vectores
de R", lo que sign ifica que Q es una matriz ortogonal.

297. ÁLGEBRA LINEAL
E J E R C IC IO
S ea A una m atriz cuadrada de tam añ o n x. n q u e, d e sc o m p u e sta en bloques, se
p uede exp resar en la form a:
BC '
pE
A =
donde B y E son b loq u es cuadrados (de tam añ os p x p y g x q, con p + q = n).
Sabiend o que A y B son m atrices o rto g o n a les, p ru éb ese que ha de ser D = O,
C = O y E ortogonal.
RESOLUCION
C om o AA* = / y BB' = /, realizand o e l prod ucto AA* por b loq u es, obtenemos:
^ 4 ' =
de donde se deduce que
BC'f fz y i■ l + C C BD' + C E '' 1 0
D E DB' + E CDDf + EE' O!
l + C C ^ I (1)
BD· + CE* O (2 )
DB* + E C = 0 (3 )
D D ‘ + EE' = I (4 )
De (1) se deduce que CC* = O y de aquí se desprende que C = (9, ya que, como
el elem ento de lugar i de CC* es O (para / = I, 2, n), será:
O = (^n)^ + + **' » ^uego c,., = = - = q ^ = 0
Por ser C = O. la relación (3) queda en la form a D t í= ^ 0 , Com o B‘B = I,
m ultiplicando la anterior igualdad por B (por detrás), resulta que
DB^B = OB lu ego D I = O , o sea D = O
Como cs D = O, la relación (4 ) se reduce a EE' = /, lu ego E es ortogonal.
E JE R C IC IO (F A C T O R IZ A C IÓ N QR)
Sea A una matriz cuyas n colum nas son linealm ente independientes
(esto es, sabiendo que rang A = n\ ha de ser m ^ n). En particular, A puede ser
cuadrada y regular. Com pruébese que A puede expresarse en la forma:
A = QR

298. )R|ALES EUCLlDEOS
2 9 3
d ond e
Q 6 tiene sus n vectores colum na (de R'”) ortogonales
R e es triangular superior y regular
RESO LUCIÓ N
Sean c ,, Cj, los vectores colum na d^e A, la cual podrem os escribir en
la form a A = [c^, c^]. Sea (¿ j, ···» ^n) sistem a de vectores ortogo­
n ales eq u ivalen te al (Cj, Cj, (que ex iste, pues este sistem a tiene rango n;
en con creto, para sistem a (¿p ···» vam os a tomar el que resulta del
p roceso de Gram -Shm idt, con lo que para ciertos escalares se verifica que:
c , - \ , , á , + + - +\,„d„
^22^2 ■ " ^2n^nC2 =
C =
I c o n Xj, # O
impara / = 1, 2, .... n j
Knd„
A sí p ues, acudiendo a representar por Q a la matriz cuyas colum nas son
¿2» -M p oniendo Q = ¿2» ···» ^«1» anteriores relaciones permiten
<»or»t-iKir·
^ = [Cl. Cj
.......c„] =
= e
r ^ .2i
r^"1
0
+ Q
K2
+- + Q
_ 0 ^ _ 0 _
- K .
K
... X
In
0X22
... X
2n
= QR.
0 0
- Kn.
d onde Q y R cum plen los requisitos im puestos en el enunciado.
^ TRANSFORMACIONES ORTOGONALES
DIRECTAS E INVERSAS
R ecordem os algunas de las cosas que se estudian, en geom etría elem ental, al
hablar de los m ovim ientos planos; todo ello lo vam os a generalizar aquí al caso
de d im en sión fm ita n cualquiera.

299. Los m ovim ientos en el plano (que son las transform aciones ortogonales
en R^) eran de dos tipos: directos e inversos. Un m ovim iento era directo o
inverso según que, para llevar a coincid ir una figura con su transfonnada
(manteniendo siem pre su m ism a form a), fuera o no su ficien te con desplazada
a lo largo del plano. Para lograr dicha coin cid en cia, en lo s movimientos inver­
sos es necesario sacar la figura del plano; en lo s m ovim ientos directos no se
precisa de ello.
Los m ovim ientos directos en el plano son lo s giros (o rotaciones); en lodo
m ovim iento inverso interviene, adem ás de un p osib le giro, una simetría (res­
pecto de una recta).
Supongam os que en el plano R^ se considera una base ortonormal (è,, éj)
con orientación positiva, es decir, tal que ¿2 ob tiene de girar un ángulo
recto en sentido p ositivo (contrario al de las agujas del reloj). Un movimiento
transforma a (6„ ¿2) en otra base (#¡, éi) tam bién ortonorm al. Según que el
m ovim iento sea directo o inverso, la base {é[, eí) tendrá orientación positiva o
negativa, respectivam ente. Los m ovim ientos directos no alteran la orientación
del plano; los inversos cambian dicha orientación.
Á L G E B R A LINEAL
ROTACIONES Y SIMETRÍAS ORTOGONALES
[150]
Sea / : V—► V una transformación ortogonal, en un esp acio vectorial euclí­
deo V de dim ensión finita n. Se verifica que:
1. El determinante de / , esto es^*\ el determ inante de cualquiera de
las matrices asociada a / , vale 1 o vale -1 ; en uno y otro caso,
se dice respectivam ente que / es una transformación ortogonal
directa o inversa. Las primeras, que tam bién se llaman rotacio·
nes, forman grupo (grupo de las rotaciones), que se denota por
C ; ( V ) .
2. Si d e t / = -1 ( / es ortogonal inversa), en tonces / se compone
de una simetría ortogonal, respecto de un subespacio de dimen­
sión n “* 1 y de una rotación (que puede ser la identidad); es
decir, / = (sim etría) ° (rotación).
3. Una base de V y su base transformada por / tienen la misma o
distinta orientación^***^ según que / sea, respectivam ente, directa
o inversa.
(* ) Según se vio en (0951, todas las matrices asociadas a un mismo endomorfismo
tienen el mismo determinante.
( * * ) Si U cs un subespacio de V» llamando a la proyección ortogonal de un vector
i e V sobre í/, la simetría ortogonal respecto de U cs la aplicación jf' defínida por
jf + í' = Zf..
( ♦ ♦ * ) Véase el concepto de bases igualmente orientadas en [095].

300. ,gg:^o^ E ü c i\D E O s_______________
________________________295
DEMOSTRACIÓN
1.° A ntes de empezar, quizá convenga recordar que si A y A* son matrices de
f en bases distintas, com o A' = P~^AP, donde P es la matriz regular del
cam bio de coordenadas, tomando determinantes en esta igualdad, com o
d e tP * = (det P) resulta que d e t/\' = det A. Una vez hecha esta compro­
bación previa, que nos permite poner det / = det>4 = á e iA \ veam os ya que
d e t / = 1 o d e t / = -1, o lo que es igual, que (det /)^ = 1.
Recurramos a que, si A es la matriz de / en una cierta base de V y
llam ando G a la matriz métrica del producto escalar en esa base, se
verifica que G = A*GA. Tomando aquí determinante, com o G es una matriz
regular y com o d e t/\' = í/e/A , se obtiene:
det G = (det A')(det G )(det A), luego 1 = (det A)^
Es decir (det f Y = 1, com o había que comprobar.
El conjunto 0^(VO, de las rotaciones en V, es un subgrupo del grupo
ortogonal 0(V0 y ello es debido a que el determinante de la com posición
de dos endom orfism os es igual al producto de los determinantes de los
endom orfism os com ponentes. En efecto: 1) La identidad es una rotación,
pues det / = 1; 2) la com posición de dos rotaciones / , y / j es otra ro­
tación, ya que d e t ( /, o /j) = ( d e t /,) ( d e t /2) = 1 x 1 = 1; 3) Si / es una
rotación, entonces / “ * también es rotación, ya que (d e t/" * ) = (d e t/)" * =
= ( i r ' = L
2.® H em os de comprobar que si det / = — 1, entonces / es la com posición de
una sim etría ortogonal (respecto de un subespacio de dim ensión n — \) por
una rotación (o transformación ortogonal directa). Para ello , echem os
mano de una base ortonormal (e^ ^2» ···» O llam em os A a la matriz
de / en esta base, que es una matriz ortogonal inversa, es decir, tal que
A'A = / y det A = - 1 . Sea A , la matriz que se obtiene de cambiar de signo
a todos los elem entos de la primera fila de A, sin ninguna otra alteración.
Sea /, la matriz que sólo difiere de la matriz unidad I en que su elem ento
de lugar 11 es — 1 (en lugar de 1, com o es en I). Es evidente que A = /,A ,;
com o consecuencia de ello, se verifica que det A, = 1, ya que det A = - 1
y det /, = - 1 . Por otra parte, com o I\I\ — /, resulta que
=> ^j^Ay)XlyA,) = I => A ?(/í/i)A , = / => A Í A i= /
lu ego A, es ortogonal y, adem ás, es ortogonal directa, pues det A, = 1.
C om o A, es ortogonal directa, también será ortogonal directa la transfor­
m ación / , : V—► V que tiene asociada la matriz A ,, en la base dada; es
decir, / , es una rotación. La transformación j : V—► V que, en la referida
base, lien e por matriz a la / , es la sim etría ortogonal respecto del subes­
pacio engendrado por
........ A l ser A = /,A p se concluye que
f — com o se deseaba obtener.
3.® En este apartado, lo único que se hace es particularizar lo ya dicho
anteriormente (véase [095]) sobre la conservación o no conservación de
la orientación de las bases por un autom orfism o; aquí, los autom orfism os
que se consideran son las transformaciones ortogonales.

301. ÁLG EBR A LINEAL
EJER C IC IO
En el espacio vectorial eu clíd eo canónico sea / : un giro (o rota­
ción), de cierto ángulo, alrededor del vector w = ( l , 1, 1). Compruébese que la
matriz A asociada a / en la base canónica es del tipo siguiente:
aeb
baecon
_cb
= 1
tí + /; 4- c = 1
RESOLUCION
Como el vector ü forma el m ism o ángulo con los tres vectores de la base, si
llamamos (¿r, b,c) a f ( l . O, 0), por sim etría de revolución las imágenes de los
otros dos vectores de la base serán /(O , 1 ,0 ) = (c, c/, b) y /(O , O, 1) = (b, c, a).
Las columnas de A son, por tanto, las que se señalan en el enunciado. Como
dichas colum nas son vectores unitarios de R", ha de ser = 1. Como
ü permanece invariable y / conserva el producto escalar, si es = (1, 0,0),
ha de ser:
M ) - / ( w ) = e ,- w , o s e a ( t í , ¿7, c ) - ( l , 1, 1) = ( I ,0, 0) * (1, 1,1)
es decir, debe de ser a + 4- c = 1.
N ótese que las colum nas de A son ortogonales dos a dos, ya que
= (fl + /? + c)^ = (a^ b^ + c^) + 2{ab + be 4- c í j ) = 1 + 2{ab 4- 4· cá)
luego ab 4- be 4- ca = O, lo que confirm a la ortogonalidad de las columnas de A.
^ MATRICES ORTOGONALES DIRECTAS
E INVERSAS
[151]
Sea A una matriz ortogonal, de tamaño n x n. S e verifica que:
1. El determinante de A vale detA = 1 o vale d eti4 = --1; se dice,
respectivam ente, que A es matriz ortogonal direeta o inversa.
2. Las matrices ortogonales directas de tamaño n x n forman grupo, al
que se denota por Ü^(n) o O í.

302. ¡v e c t o r ia l e s EUCLÍDEOS 2 9 7
DEMOSTRACION
1. A unque p odem os rem itim os a que el determ inante d e una transform ación
ortogonal vale ± 1 , dem ostrem os directam ente esta propiedad: com o A e s
ortogon al, será A'A = / , y tom ando determ inantes se obtiene:
e s d ecir
(d e tA ')(d e ti4 )= 1 , lu ego (d e t/! ) * = 1
det>4 = ± l
2. El conjunto G*{n) e s un subgrupo del grupo 0 (n ) de las m atrices ortogo-
n alesd e tam año n X n. En efecto:
• Si / es la matriz unidad, I e C^(n), ya que I e ü(n) y d e t / = 1.
• A, B e ü*{n) =» AB~' e ü*(n), ya que AB~' e G(n) y d e t (/lfi" ') =
= (d e t/l)( d e t S ) * ' = l x r ' = l.
E J E R C IC IO
C om pruébese que la matriz A del ejercicio anterior (que, según a llí se v io , es
ortogon al) es ortogonal directa.
RESOLUCION
Sum ándole a la últim a colum na las d os prim eras, com o o + é + c = l , se
obtiene:
deti4 :
a c 1
b a 1
c b 1
= (fl^ + ¿>^ + c^) — (ac + ba + cb) =1—0= 1
TRANSFORMACIONES ORTOGONALES
EN 2 Y 3 DIMENSIONES
N o se pretende hacer aquí un estudio porm enorizado del funcionam iento de las
transform aciones ortogonales en esp acios eu clíd eos de dim ensión n cualquiera,
para el que, entre otras cosas, precisaríam os de algunos con ocim ien tos acerca
de lo s autovalores y de lo s autovectores de las m atrices, que aiín no p oseem os.
N os vam os a ceñir a los casos de d im ensiones n = 2 y n = 3. M ás adelante
(v éa se [183] a [1 8 5 ]) analizarem os el caso general {n cualquiera).
El an álisis que vam os a hacer aquí de estas cu estion es no es exh au stivo, se
lim ita a recoger, com probándolos, sus aspectos más destacados.

303. Á LG E B R A LINEAL
Q TRANSFORMACIONES ORTOGONALES
EN DIMENSIÓN 2
[152]
3.“
Sea / : un m ovim iento (transform ación ortogonal), en un es­
pacio vectorial euclídeo Vj, de dim ensión 2. Según que / sea un
m ovimiento directo (rotación) o inverso (sim etría), la maüiz de /
en una base ortonormal (#„ e^) de V2 es la siguiente o
respectivam ente, para algún a e J - t t , tt],
MATRIZ DE ROTACION: La m aüiz (en base ortonormal) del movi­
miento directo (o rotación) / es la sigu iente (donde a no depende
de la base; a sólo depende de / ) :
c o s a —s e n a
sen a eos a
(en un caso general)
1 O
O 1
(si a = 0)
■-1 O
O - 1
(si üf = tt)
El m ovim iento directo cuya matriz es A^^ es la rotación de ángulo a
en sentido positivo (esto es, ác é^ a ^2) si O < a < tt y en sentido
negativo si — tt < a < 0. En cualquier otra base ortonormal con la
misma orientación que la de (J ,, éj), la matriz de / no cambia, sigue
siendo la misma A¡f.
MATRIZ DE SIMETRIA ORTOGONAL: La matriz (en base ortonormal)
del m ovim iento inverso (o sim etría ortogonal) / es la siguiente
(donde a depende de la base ortonormal, y só lo de ella):
^ 5 =
c o s a s e n a 10"
sen a- c o s a 0-1
'^en base ortonor-''
^ mal cualquiera ^
f"en base orto-^
normal ad hoc
El m ovim iento inverso cuya m aüiz es A^ es la sim eü ia ortogonal
respecto de la recta E (eje) engendrada por el vector ü de coorde­
nadas (c o s (a /2 ). sen (a /2 )). La m aüiz A^^^ es la matriz de / en una
base ortonormal cuyo primer vector es á.
COMPROBACIÓN
1. Sea A la matriz de / en la base dada y representém osla poniendo:
a c
h d
Como A es ortogonal, ha de ser + lu ego existe un único
a e J-TT, tt] tal que fl = eos a y /? = sen a. C om o A es ortogonal, ha de
ser fl + c ^ = l , luego c^ = sen^ a y por ello c = ± s e n a ó c = fsen a,

304. )S 2 9 9
donde f = ± 1. C om o A es ortogonal, ha de ser ah -f cd ^ 0 , lu ego
d = - € c o s a (* ). Por tanlo det A = - e y, com o detA vale I 8¡ / c s d irec­
ta y — 1 si / es inversa, resulta que £ = — 1 ó € = I según que / sea directa
o inversa, respectivam ente, con lo que con clu ye la com probación.
2. S i la matriz de / es Aft, en tonces lo s transform ados de lo s vectores y ¿2
de la base son los é\ y éj siguientes:
i [ - eos cr£, + sen a^2 V ~ -f eo s
N ótese que é[ y ¿2 son los vectores que resultan de rotar e , y ¿2 un án gulo
a (en el sentido que se señala en el enunciado). C om o (por ser f lin eal)
el transform ado de un vector w = jc#, + ^#2, cualquiera de Vj*
ü = xé ^-^ yé 2^ ü * ^xe[-^yé2
resulta que cualquier vector de se transforma rotándole un án gulo a ,
del m odo que se d ice en el enunciado.
Sea A' la matriz de / en otra base ortonorm al (ü^, «2) con la m ism a
orientación que (éj, ¿2). C om o / es el giro de ángulo a , resulta que
/( w ,) = eo s a M, + sen a Wj y /( ^ i) = “ sen a w, -f e o s a Ü2
Por tanto, las colum nas de A' son (1.® colum na) = (eo s a , s e n a ) y
(2.“ colum na) = ( - s e n a , cosor), es decir, A ' co in cid e con la anterior
matriz Af^,
3. Si la matriz de / es llam em os ¿í y ^ a lo s sigu ien tes vectores unitarios
R ecuérdese que se llam ó E a la recta vectorial que determ ina el v ^ to r ó .
L os transform ados de estos vectores à y 5^ son lo s sig u ien tes a y b * :
( a a\ ( a a \
a = ^cos a eos — + sen a sen— j é , -f ^sen a eos — - eos a sen —^2 “
b* = ^cos üf sen ^ - sen a eos —jé, + ^sen a sen —
a
-f eo s a eo s —
a
^ = - s e n - é, + eo s - #2 =
Por tanto, com o cualquier vector m € Vj se puede expresar en la form a
i4- x á - \- y h (nótese que ü y h forman base ortonorm al de Vj) y recurriendo
( ♦ ) Si fucJie c = *0 . como + resultaría que como ahora seria / > * 0 y
tí »= ±1, seguía siendo válida la conclusión ¿Z** —Ecosnr.

305. a q u e / e s lineal, r e s u l t a q u e el t r a n s f o r m a d o d e c u a l q u i e r w e V j es:
xá + f(xó + yb) = xa' + yb' =xá — yb
C o m o xá — yb e s el s i m é t r i c o d e xá + yb r e s p e c t o d e la r e c t a £ , la propie­
d a d q u e d a c o m p r o b a d a . ^
C o m o f{á) = fl y f(b) = la m a t r i z d e / e n la b a s e o r t o n o r m a l (á,S)
t iene (1.“ c o l u m n a ) = (1, 0 ) y (2.“ c o l u m n a ) = (O, — I), e s decir, esta matriz
e s la d el e n u n c i a d o .
E J E R C I C I O
S e a / i V j — ► V j la t r a n s f o r m a c i ó n o r t o g o n a l , e n el e s p a c i o v ectorial euclídeo
b i d i m e n s i o n a l V2, q u e r e s p e c t o d e u n a b a s e o r t o n o r m a l d e Vj tiene
a s o c i a d a la s i g u i e n t e m a t r i z
e o s a s e n a
s e n a — e o s a
O b t e n e r d i r e c t a m e n t e a q u e l l o s v e c t o r e s w, iJ e V j / ( ^ ) = w y f(v) = -v.
RESOLUCIÓN
L l a m a n d o x t y a las c o o r d e n a d a s d e los v e c t o r e s b u s c a d o s , t a n t o d e ü c o m o
d e ü, s e h a d e verificar q u e :
e o s a s e n a
s e n a — c o s a
O p e r a n d o e n la a n t e r i o r e c u a c i ó n mat ri c ia l, s e o b t i e n e :
( e o s a — (
X X
d o n d e e =
1 p a r a elv e c t o r u
= €
ely_ y_ — 1 p a r a v e c t o r V
5a - e ) x + s e n a > ? = 0|
s e n ax — ( e o s a + e)y = O j
d o n d e
e o s a — e s e n a
s e n a — c o s a + £
E s t e s i s t e m a t iene p u e s s o l u c i ó n , q u e e s x = s e n a , >> = £ — e o s a o cualquier
otra p r o p o r c i o n a l a ella. R e c u r r i e n d o al á n g u l o m i t a d a / 2 y poniendo
s e n a = 2 s e n ( a /2) e o s ( a /2) y e o s a = 2 c o s ^ ( a /2) - 1 = 1 - 2 s e n ^ ( a /2), se ob ­
tiene f á c i l m e n t e q u e
, para p e R
( a ^ a \
( ^
a
ü = pe o s + s e n ~ jy y = ps e n - è,
\ ^

306. r ía l e s EUCLIDEOS 3 0 1
□ TRANSFORMACIONES ORTOGONALES
EN DIMENSIÓN 3
[153]
Sea / : V j—* V3 un m ovim iento (transfonnación ortogonal), en un espacio
vectorial eu clíd eo de dim ensión 3, Se verifica que:
1. E xiste una base ortonormal de en la que la matriz
(ortonorm al) de / es una de las A^(a) siguientes (donde f = 1 o
f* = - 1 ) , para cierto a e J - t t , 7r)
A ^ ( a ) =
0 0 "
0
/ f = 1 si / es directo '
eos a—sen a
.0
= - 1 si / esinverso^
sen ac o s a
particularesdeespecial relevancia ( a = O ya =ir)
“I0 0" '10 0 '
^ ,(0) =0l0 ; A ,(7 t) =0 -1 0
0 0 1 0 0 -1
(identidad) (sim etría resp>ecto de una recta)
■-10 0' ■-10 0*
A .,(0) =010 : a_,(7t) =0 -1 0
001. 00- I .
2.
3.
(sim etría respecto de un plano) (sim etría respecto del origen)
Si la matriz de / cs A ^,,(a), entonces / es la rotación de ángulo a
alrededor de la recta R engendrada por el vector é,. En particular, si
a = O entonces / es la identidad y si a = tt entonces / es la sim etría
respecto de R,
Si la matriz de / es A .,( a ) , entonces / es la com posición de la
rotación del apartado anterior con la sim etría ortogonal respecto del
plano P ortogonal a R. esto es, el que engendran los vectores éj y iy
En particular, si a = O, entonces / es la sim etría respecto de P y si
a = TT entonces / es la sim etría respecto del origen (vector nulo).
( ♦ ) Pura probar esta afirmación se va a recurrir a un resultado que se comprobará
pasieriormenie (cuando se estudien los autovalores de endomorfismos y de matnccsi. Se
trata de lo siguiente: si / es un endomorfismo ortogonal en un espacio tridimensional,
entonces existe algún vector d ^ ¿I tal que / ( lí) ■* ü o tal que /( d ) * (véase 1180]).

307. Á L G E B R A LINEAL
COMPROBACION
I. Según hem os anunciado, se va a echar m ano de un resultado que más
adelante se podrá comprobar con facilidad , con el recurso de los autova­
lores y los vectores propios de lo s en d om orfism os. D ebido a que el endo-
m orfism o / es ortogonal y com o la d im ensión de V3 es impar, posterior­
mente se obtendrá fácilm ente que ha de ex istir algún vector w e V3 (no
nulo) tal que f(ü ) = ü ó f(ü ) = - ü (v éa se [ 1 8 0 ],1 ). wSea (é „ é^) una base
ortonormal de V3 a la que só lo se le e x ig e que e^ sea vector de la dirección
del anterior vector w, con lo que / ( # , ) = ±e^; sea A la matriz de / en esta
base. La primera colum na de A, com o está form ada por las coordenadas
d e / ( # , ) = ±é^, es la (¿z,,, «31. ^3\) = ( “ 1» 0 ). C om o A es ortogonal, su
primera fila ( ±1, £1,2, « ,3) es un vector unitario de W y, por ello, ha de
ser £í|2 = 0,3 == 0. D e lo ya dicho y com o A es ortogonal, resulta que:
A =
■±1 O O'
O a c
O b d
verificándose:
es decir, descom poniendo A en bloques
~e0 0'
A =0
B
.0
donde
£ = 1 o € = - \
B es una matriz ortogonal cualquiera de tamaño 2 x 2
Si B es ortogonal directa, entonces su s colum nas son , según se ha compro­
bado en [152] (L® colum na) = ( e o s a , s e n a ) y (2.® colum na) = (-se n a ,
c o s a ) para un cierto a e ] —tt, tt]. Por tanto, si B es ortogonal directa, en
cualquiera de las bases (é„ é^) que ven im os m anejando la matriz de /
es una de las A^{a) del enunciado.
Si B es ortogonal inversa, en tonces sus colum nas son , según obtuvimos en
[152], (1.® colum na) = (eo s a , sen a ) y (2."colum na) = (sen a , - e o s a) para
algún a 6 ] - TT, tt], que dependerá de la base ( é ,, f·,) que venimos
considerando. En este caso, al cam biar a la nueva base ortonormal (é,, á.
b \ donde

308. EOS
3 0 3
la matriz de / pasa a ser la
e00'
010
0 0 -1,
(esto se com prueba, com o en el caso de dim ensión 2, viendo que f(á ) = á
y que f(b ) = - b ) . Por tanto: para £ = + 1 , la matriz de / en la base (b, a,
é ,) es la i4 _ ,(0 ) del enunciado; y para £ = -1, la matriz de / en la base
(fl, b, é ,) es la y4,(Tr) del enunciado.
2. Para f = + 1 , lo s transformados de los vectores é ,, y de la base son
é [ = i ^ , = c o s a #2 + sen «63 y ^3 = - s e n a^2 + c o s a é j
E stos vectores son, com o se ve fácilm ente, los que resultan de rotar lo s é ,,
¿2 y un ángulo a alrededor de la recta E (engendrada por El
transform ado de un vector cualquiera w e V3 será (por ser / lineal)
Ü = x^é^ -f JC2^2 + -^3^3 w' = x^é\ + ^2^2 -*^3^3
que, por tanto, es el vector que resulta de rotar ü el ángulo a alrededor de
la recta E.
3. Para £ = — 1, la matriz Ag(a) se puede poner:
/ l _ , ( a ) = / i , ( a ) - A _ , ( 0 )
C om o A „ ,(7t) es la matriz de la sim etría ortogonal respecto del plano P
(engendrado por ^2 y ^3) y es la matriz de la rotación de ángulo a
alrededor de R (recta engendrada por é ,), resulta que A _ ,(a ) es la m aüiz
de la com p osición de las dos transform aciones citadas, com o debíam os
com probar.
E JE R C IC IO
Sea el endom orfism o que en la base canónica tiene asociada la
m atriz
y ¡ 2 - 2 - y ¡ 2 - 2
4
- y / 2 - 2
4
_ [
2
4
^ 2 - 2
4
1
2
2
_ 1
2
2
La matriz A es ortogonal (com o se com prueba fácilm ente). A verigüese el tipo
de m ovim iento que es / y describirio en térm inos de rotaciones y sim etrías.

309. Algebra lineai
RESOLUCIÓN
R esolvam os la ecu ación f{x ) = ex (para £ = ± 1 ; x e R^). Llamando a co·
lumna de coordenadas d el vector in cógn ita Jc, la ec u a c ió n a resolver es AX = (X,
que se puede poner AX = elX ( / m atriz unidad) o tam bién {A - el)^ = O, que
es un sistem a hom ogéneo cuya m atriz e s A - el. C om o se buscan soluciones
no nulas de este sistem a, ha de ser det {A - e¡) = 0 . E s evid en te que esto es así
para £ = - 1 , pues las dos prim eras fila s de A + / son proporcionales. Para
f = - 1 , la ecuación (A - er)X = O con d u ce a:
( v 5 + 2) j : , - ( v ^ + 2)X j + 2x3 = 0
-j:, + J»-J + yfíx^ = o
Por tanto, el vector jc = (1, 1, 0) es tal que f(x ) = —jc. T om em os una nueva
base ortonormal (é ,, éj, e^) en la que e^, sea unitario de la dirección de i; por
ejemplo:
é , = ( l/v ^ . 0) . l/> ^ , 0) y éj = (0,0,1)
La matriz A' de / en la nueva base e s >4' = P 'AP, donde P es la matriz
de cam bio de coordenadas, es decir:
- l /y / 2 0 " ■ i/y/2\/y/2 0 '
P = ily¡2 l/y/2 0 . p ' =- l / y / 2l/y/2 0
0 0 i _ 0 0 1 .
y A ' =
- I O O
O 1/V5 - l A ^
. o i/v5 lA^.
Por tanto, / es la com posición de la rotación de 45° alrededor de la recta
engendrada por = ( l / \ ^ , \ly¡2, 0) y la sim etría ortogonal respecto del plano
ortogonal a dicha recta.
PRODUCTO MIXTO
Y PRODUCTO VECTORIAL
Aun cuando lo que aquí vam os a decir acerca del producto m ixto y del producto
vectorial es fácilm ente generalizable al caso de esp acios vectoriales euclídeos
de dimensión finita n cualquiera, nos vam os a centrar en el caso n = 3, que cs
para el que vam os a necesitar, más adelante, de estos conceptos. Ello no
obstante, se harán algunas observaciones y com entarios sobre el caso general
(n cualquiera).

310. VECTORIALES EUCLlDEOS 305
8.8. PRODUCTO MIXTO
DEFINICION
[154]
Sea Vj un espacio vectorial euclídeo, orientado^*' de dimensión 3, y sea
(Jf, y, f) una tema de vectores de Vy Si las coordenadas de estos vectores
en una base ortonormal directa son x¡, Xj) , y ( y ^ , y f(Z|. Z2* ^3)*
entonces el siguiente determinante, que denotaremos poniendo \x, y, z¡:
U . y, z] =
Xt
yi
yz
y^
no depende de la base (ortonormal directa) que se tome en Vj. Este
número [;c, y, f], que sólo depende de (x, y, z), se llama producto mixto
de esta tema de vectores.
( · ) Recuérdese (véase [09 5 ]) que, atendiendo a su orientación, las ba.ses de un espacio
vectorial se dividían en dos ciases. Se conviene en con.siderar que la.s bases que forman una
de estas dos clases tienen orientación positiva o, dicho de otro modo, que son bases directas.
En el espacio vectorial se suele considerar que la base canónica es directa.
DEM O STRAC IO N
L lam em os X, K y Z, a las colum nas de coordenadas de x, y, y z en una b ase
ortonorm al directa; llam em os X \ Y' y Z \ a las colum nas de coordenad as de x,
y y z en otra b ase ortonorm al directa; sea P la m atriz de cam b io de coordenadas,
de manera que
[1]
La m atriz P es ortogonal directa, ya que las d os b ases son ortonorm ales y
tien en la m ism a orientación; por tanto, det P = 1. C om o las relacion es [ 1 ] se
pueden expresar conjuntam ente recurriendo a la m atriz \XYZ\ cu yas colum nas
son X, y y Z, poniendo
'-«1 y\z." ‘jc!y',z |·
Xl >2
= \XYZ\ = P ix 'y 'z 'i = p•*2yíZ2
-■«3 > 3 Z í. x'iy.z í-

311. tomando determinantes en ambos miembros de esta igualdad, se obtiene;
[Jt. y, zl =
en la 1.*
base
■»^1>-1Z| y',Z'i
yz
= (det P)y'zZ2
y>Zj X)y^Zi
1 · l-f. y, fl
en la 2.*
base
PROPIEDADES
II55I Sea Vj un espacio vectorial eu clíd eo, orientado, de dimensión 3. El
producto mixto, que también es la aplicación que a cada tem a de vectores
(x. y, zí de Vj le atribuye su producto m ixto [.?, y. z], es decir:
Vj X V3 X V3- (JC,.V, z)— z]
goza de las siguientes propiedades. Para cualquiera que sean los vectores
Xy x \ }\ y \ z y f' de V3 y los escalares A, A', / i , /x', v, v' e R se verifica
que:
• El producto m ixto es una fontia lineal respecto de cada una de sus tres
variables (trilineal), es decir:
[A i + y r , fiy + m T , vz“ + v'z'1 = A/1V[JC, y, z\ + A/iv'[jc. y, f'] +
+ A/x'v[A\ y ', z] + Am'v'íjc, y ', z'J + A'/xW-^', y, z\ +
+ A > v l j f ' . y , n + ypL*v{x\ y \ z1 + A > ' v ' [ j c , y ', f ]
• El producto mixto es una forma antisim étrica, es decir:
% y.z\ = -[X , z, y) = Izy Xy y) = -[z ', y, Jc] = [y, z, Jc] = - [ y , jc, z1
• El producto mixto [jc, y, z] es nulo si y só lo si el sistem a de vectores
(Xy y» z) es linealmente dependiente.
DEMOSTRACIÓN
Estas tres propiedades son consecuencias inm ediatas dc las propiedades de los
determinantes: basta aplicar éstas (véase [034] y [040]) a las columnas dc los de­
terminantes que definen los productos escalares que se citan en el enunciado.
EJER CIC IO
Recurriendo a que. .según se .sabe de geom etría elem ental, el volumen de un
paralelepípedo es igual al producto del área de su base por su altura, com­
pruébese que:

312. ¡lALES EUCLlDEOS 3 0 7
[1561
IZn el esp acio vectorial eu clíd eo canónico IR\ el volum en del paralele­
p ípedo que tiene por aristas a los vectores X, y, l e es igual a:
donde
Volum en = £[jf, y, z l
l si (jf, y, tiene orientación positiva
- 1 si (jc, y, z) tiene orientación negativa
Figura 2.
RESOLUCIÓN
Sea ( é |, «2, f , ) la siguiente base ortonormal de R ’ : é | es unitario y con la
d irección y sentido de jc; unitario, está situado en el plano de x e y, es
ortogonal a í , , y tal que (é,, Cj) tiene la m ism a orientación que (x, jO; c ,
e s unitario, es ortogonal a y a éj y es tal que (é „ éj, é ,) tiene la m ism a
orientación que (x, y, z). Las coordenadas de .f, ji y z en la base (c ,, Cj, éj) son
d el tipo
i( ü . O, 0) , y ( a ' . />,()) , z { a " ,b ',c )
donde a y h son la «base» y la «altura» del paralelogram o de aristas x t y , que
se toma com o base del paralelepípedo dado, el cual tiene entonces por «altura»
al núm ero c. N ótese que el volum en del p¡u-alelepípedo es igual a
Volum en = abe 11]
La base (#„ é-¡, é ,) es directa (inversa) si {x, y, z) tiene orientación positiva
(n egativa) esto es, si e = 1 ( £ = - 1 ) . Por tanto, la base ( f ,, Cj, e f ,) es directa.
Expresando en ella el producto m ixto \X, y, f], se tiene:
Ix, y, ZÌ ■■
a a' ea
O h eh'
O O e c
= eahc 1 2 ]
De 111 y |2| y como l / e = e, se desprende la igualdad a demostrar.

313. Á L G E B R A U N E A l '
O B SE R V A C IO N E S
1. En un espacio eu clídeo de dim ensión n. orientado, se llama producto
mixto de un sistem a (x ,,
....... x,) de n vectores de al valor dcl
determinante, de orden n, cuyas colum nas son las de coordenadas dc i„
J C j,jc „ , en este orden, respecto de una base ortonorm al directa cualquiera
de V;,; este valor se denotará poniendo |f , , X2
.......x„l Esta definición e&
consistente ya que el valor del referido determ inante no depende de la base
(ortonormal directa) que se considere, lo que se prueba de igual modo que
en el caso w = 3.
En V„, el producto m ixto sigu e siendo una form a lineal respecto de cada
una de las variables (es decir, «-lin eal) y antisim étrica.
2. En un espacio vectorial eu clíd eo de d im ensión n, orientado, se llama
«paralelotopo» que tiene por aristas a los vectores x ,, jc^, x^ al conjunto
que forman los siguientes vectores x:
jc = A ,jí,+ + - + , p a r a O ^ A .= ^ l ( / = 1 , 2 , n)
Se define el «volum en orientado» de dich o paralelotopo com o el producto
m ixto de sus n aristas. El sign o del volum en depende del orden en el que
se consideren sus ari.stas; el volum en es p o sitiv o si las ari.stas se toman en
orden directo, o sea, positivam ente orientadas.
8.9. PRODUCTO VECTORIAL
Dados dos vectores y x^, de un esp acio vectorial eu clíd eo V3, orientado, de
dimensión 3, para definir su producto vectorial vam os a recurrir a que existe
cierto vector p (dependiente de jc, y x^ tal que, para cualquiera que sea x e Vy
se verifica que [x^, x^, jc] = p · jc. Para com probar esto, necesitam os del siguiente
resultado previo:
P R O PO SIC IÓ N
[157]
Si es un espacio vectorial eu clíd eo, de dim ensión finita w, y dada una forma
lineal / : V^,—► R, existe un único vector p tal que f{jO = p - x para todo
x e V „ .
DEMOSTRACIÓN
Si / es nula { f — o), entonces p — ó es, ob viam ente, solu ción y cs solución
única pues, para p ^ ó , p · p ^ { ) lu ego p · x no es nulo para tcxlo .v e V,.
Supongam os ahora que es f o. C om o la im agen de / tiene dimensión 1,
resulta que su núcleo U = N u c (f) es un su bespacio dc dim ensión n - 1. El
subespacio Ü tiene, pues, subespacio suplem entario ortogonal dc dimensión l;
sea é vector (no nulo) de la dirección dc e.ste su bespacio. Si jc e Í7 es /( .í) = 0»

314. CTORIALES EUCLlDEOS 3 0 9
lu eg o p ha d e ser tal que p-Jc = 0 para todo jc e t /, es d ecir, p tien e q ue ser
ortogon al a U, esto e s , d eb e ser p = he para algún h e U , que vam os a deter­
m inar. C om o ( / ® T ( é ) = cualquier Jc e V„ se puede expresar de manera
única co m o sum a del tipo jf = Ac + m, con AeRyMeí/, y por tanto;
f{x ) = f{ k e + M) = k , m + /( í7 ) = A /(t-) + O = A /(é )
p - x = (he)· (A é 4- ii) = /iA ||é |p + /» c · í7 = /lA + O = hX
En con secu en cia , la relación / {x) = p ■ x se verifica, para todo e V, si y só lo
si se tom a p = he con h = / ( é ) .
PRODUCTO VECTORIAL
[158]
S ea V3 un esp a cio vectorial eu clíd eo , orientado, de d im ensión 3.
I) Para cu alesquiera que sean lo s vectores m, 0 e V ex iste un único
vector p e V, tal que:
[w, ÿ, Jc] = /5 · Jc para todo Jc e V
A este vector p se le llam a producto vectorial de ü por tJ y se pone;
p== ü A v
D e acuerdo con esta d efin ició n , para cualesquiera que sean lo s v e c ­
tores w, V, w E V3, se verifica la sigu ien te relación:
(W A íJ) * VV = Iw, í , vv]
II) El producto vectorial w A y (donde w, tJ e V3) se puede tam bién d e­
finir com o el vector de V3 tal que: si ü y v son linealm ente depen­
d ien tes, en ton ces ü A v = ó; si ü y ü son independientes, en tonces
1. M A tJ es ortogonal a í7 y a i;.
2. La orientación de (w, iJ, ü A ü ) es p ositiva.
3. ||M A t)|| = M I I|ü ||s c n (H , 0).
A partir de esta segunda form a de definir el producto vectorial, se
puede tam bién definir el producto m ixto recurriendo a la relación:producto
[í7, C, m-1 = (m A éí)-h>
DEM OSTRACIÓN
I) Segú n se dijo al hablar del producto m ixto en 1155), la ap licación
/ : Vj - * R , i —* f{x) = [m. V, .vj

315. es una forma lineal. D e acuerdo, entonces, con la proposición [157], existe
un único vector p e V3 tal que f(x) = p · Jc, es decir, [ü, v, x \ = p · i , para
todo X 6 Vy
N ótese que, de acuerdo con esta d efinición de ü /\v , los vectores ü ) t
son linealm ente dependientes si y sólo si ü A v = o. En efecto: el vector
p = ÜAÜ será nulo si y sólo si · jc = O para todo x e Vy es decir, si
[m, iJ, jc] = o para todo jc e Vy lo que equ ivale a que ü y v sean linealmente
dependientes.
Supongam os en primer lugar que ü y v son linealm ente dependientes, o
sea, que sen (m, v) = 0; esto equivale (por la con d ición 3.“) a que según la
definición II sea ||m A í; ||= 0 , esto es, üAv=^d. R esulta, pues, que las
definiciones I y II coinciden si m y tJ son linealm ente dependientes y que,
según ambas, üAü=^ó equivale a que ü y v sean linealm ente dependientes.
Supondremos, pues, a partir de aquí, que ü y v son independientes (o sea,
üAv=^ó):
Como el w A tJ definido en I) existe y es único y, obviam ente, lo mismo
ocurre con el w A íJ de II), para comprobar que am bos m odos de inU-oducir
ÜAÜ son equivalentes, bastará con mostrar que con la definición I) se
verifican las propiedades que se utilizan para la d efin ición II).
1. El vector ü A ü es ortogonal a ü y a v ya que
(w A iJ) · « = [m, iJ, w] = o y (w A íJ) · iJ= [m, iJ, iJ] = 0
2. Hay que comprobar que el producto m ixto [w, v, üAü] es positivo.
A sí ocurre, ya que, com o üAü=^ ó, es ||w A tJ|| > O y entonces:
O < ||í¡ A ÍJ|p = (ü Aü) · (Ü Aü) = [ü, V, ÜAÜ]
3. Sea (é,, ^2, éj) la siguiente base ortonormal directa: es unitario de
la dirección y sentido de ü; es unitario, ortogonal a situado en
el plano de m y iJ y tal que (é ,, está igual orientado que (w,í); #3
tiene la dirección y el sentido de ü A ü, con lo que la orientación de
(g,, éy ^3) es directa. En esta base, las coordenadas de m, iJ y m A í son
, O, 0) , iJ (|li;||c o s(« , ü\ ||i;||sen(M , y), 0)
M A tJ(0, O, llw A íJ||)
Por tanto, recurriendo a la expresión en coordenadas del producto
mixto y recurriendo a la última igualdad, se obtiene:
\\ü A ü\\^ = [w, íJ, M A ü] =
ll^ ll ||iJ||cos(w , v) O
O ||i;||sen(M , ü) O
O O || mAí;||
= ll^ll ||i;||sen (w , tJ)||w Aí;||
Dividiendo por ||wAíJ|| (que no es nulo) se obtiene la expresión del
enunciado.

316. RIALES EUCLlDEOS
3 1 1
PROPIEDADES
[159]
El producto vectorial, entre vectores de un esp acio vectorial eu clíd eo Vj,
d e dim ensión 3, orientado, goza (adem ás de las anteriores) de las sigu ien ­
tes propiedades (en las que t?, tl\ ü, v' e y X sU. son cualesquiera);
1. « A p = o si y só lo si M y iJ son linealm ente dependientes.
2. MA(tJ + tJ') = « A i; + MAiJ'
3. (« + M ')Aí) = MAt) + M'A£j
4. (Am) a iJ = w a (AíJ) = A(m a v)
5. ü A D = — ü A ü
DEMOSTRACION
1. Aun cuando esta propiedad ya se com probó a lo largo de la dem ostración
de [1 5 8 ], no vien e mal considerarla de nuevo. S\ ü y 6 son linealm ente
d ep en dientes, en tonces [m, ü, jc] = O para todo x e V , , o sea (m A ü ) · x = O
para todo x e V,, lu ego m A iJ = ó . S i m y ü son linealm ente independientes,
se puede elegir x^ e Vj de manera que el sistem a («, ü, x^) sea indepen­
d ien te, de manera que [«, v, Xq] =5^ O, o sea (,üA 0)-Xo^ O, lu ego m A t) # ó.
2.
lu ego
lu ego
lu ego
[íí, V + v', x] = (m, V, x] + [i7, ü', jc] V x e V
[ü A (v + ú')] x = ( ü A v ) - x + ( ü A v ') - x V x e V
[ÜA (v + v ') ] - x = l ( ü A v ) + ( ü A v ') ] -x V x e V
Ü A (v + v') = (ü A v ) + (u A v ')
3. y 4 . Se prueban como la propiedad anterior.
5. Recurramos a que, según ya sabemos, es;
w A w = ó, V w e V j
Tomando w = ü + e, se tiene:
ff = (ü + v ) A ( ü + 0) = ü A ü + ü A v + O A ü + v A O =
= ó + ü A ü + O A ü + ó
así que
ü A P + v A ú = ó, o s e a . ü A v = - v A ü

317. Á L G E B R A UNEAL
□ EXPRESIÓN DEL PRODUCTO VECTORIAL
[1601 Sea (C|, ¿2, ¿3) una base ortonormal directa dei esp a cio vectorial euclídeo
Vj, de dim ensión 3 y orientado. S e verifica que
1. C |A C j = é j , = , é j A í , =
2. Si las coordenadas, en dicha base, de d os vectores ú, C e V j son
entonces
í<AP =
M(M„«2. “3) yíj(r,. <^3!. «^3)
^'2C3
«2«3 “ 3 ''l «2
é , + é j + «3 = «1“2«3
»2 »3 í'l «»i
P|»2
(·)
( ♦ ) Este último miembro es una forma simbólica de representar el segundo miembro.
Esta expresión, que se recuerda con facilidad, no es uji detenninante, pues su primera fila
no está formada por escalares sino por vectores. No obstante, le es de aplicación de fórmula
del desarrollo de un determinante por elemento dc la primera fila.
DEMOSTRACION
1. Com o é, A #2 es ortogonal a y a #2* resulta que é, A #2 = ^#3 para cierto
A 6 R; com o (é, ^ ^2) orientación p ositiva, debe ser A > 0; como
áng (ép #2) = 'rrll, será
|A| = llAéjIl = lié, A Cjil = lié,II ||é j || sen (é „ é j) = 1
Por tanto, es A = 1, de donde resulta que é, A éj = éy
A nálogam ente se comprueba que éj A é , = c y que ¿j A è , =
2. Recurriendo a las propiedades anteriorm ente demo.stradas. se obtiene:
M A (5 = í X Mjéj A [ X = X A é¡)
V " ! y - i / i.y=i
teniendo en cuenta las tres igualdades precedentes, y com o i, A é¡ = - f ; A<j
y com o A é, = ó , resulta que:
M A Ù = (MjD, - üjPj)«, + (« ,ü , - + (m,Dj - MjD.y,
que es lo que se quería comprobar.

318. E l p r o d u c t o v ec torial p u e d e g e n e r a l i z a r s e , a u n e s p a c i o v e c t o r i a l e u c l í d e o d e
d i m e n s i ó n f m i t a n c u a l q u i e r a , o r i e n t a d o . P a r a ello, s e r e c u r r e al p r o d u c t o
m i x t o d e n v e c t o r e s d e V„.
P r o c e d i e n d o d e l m i s m o m o d o q u e e n el c a s o n = 3, s e p r u e b a q u e : p a r a
c u a l e s q u i e r a q u e s e a n los v e c t o r e s w,, d e V„, e x i s t e u n ú n i c o v e c t o r
p e V„ tal q u e
[ ü „ M j . .... a„.¡,xl=p-x, V j e V„
A e s t e v e c t o r s e le l l a m a p r o d u c t o v ec to r ia l d e los v e c t o r e s m,, ¿2»
p = w, A ÜjA —
E l p r o d u c t o v ec to r ia l e s lineal r e s p e c t o d e c a d a u n a d e s u s /i - 1 v a r i a b l e s .
E l p r o d u c t o v e c to r ia l e s n u l o si y s ó l o si los v e c t o r e s w,, s o n
l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s . E n u n a b a s e o r t o n o r m a l directa, las c o o r d e n a d a s d e
p s o n los a d j u n t o s d e los e l e m e n t o s d e la p r i m e r a fila d e u n d e t e r m i n a n t e c u y a s
d e m á s filas s o n las f o r m a d a s p o r las c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s w,, ü„_^
e n la r e f e r i d a b a s e .
OBSERVACIÓN
E J E R C I C I O
C o m p r u é b e s e q u e , p a r a c u a l e s q u i e r a v e c t o r e s w, v, d e u n e s p a c i o v e c t o r i a l
e u c l í d e o d e d i m e n s i ó n 3 y o r i e n t a d o , s e verifica:
ü A(ü A ü) - (ü ' v)ü — (ü · ü)v
RESOLUCION
D e s c o m p o n g a m o s v = + üj» d i r e c c i ó n d e w y iJj o r t o g o n a l a ü.
C o n ello, c o m o m A <J, = <? y m · i; = m · i;,, la r e l a c i ó n a d e m o s t r a r t o m a la f o r m a
w A (m A 02) = (w · v^)ü - (w · m)(íJ, + €2)
S i s o n é^ y ¿2 los v e c t o r e s u n i t a r i o s d e las d i r e c c i o n e s y s e n t i d o s d e w y d e
s e p u e d e p o n e r :
m a( «a iJj) = - IlíTlI^llrjIléj
(Ú · ú,)ú - (Ú · jj)(ú, + V,) = llüinif.lk-, - Ilú||^l|i>,ll^-, -
l u e g o a m b o s v e c t o r e s s o n i guales, c o m o h a b í a q u e c o m p r o b a r .
PSEUDO INVERSA. SOLUCION SEGUN
MÍNIMOS CUADRADOS
( V é a s e el A p é n d i c e 7, e n la p á g i n a 6 2 5 . )

319. 314
Al g e b r a u n e í i
Ejercicios y problemas a la parte II!
E N U N C IA D O S
I l L l . S e a /: V x V — U una fom ia b ilin eal en un espa­
cio vectorial real V. Compruébese que / es alter­
nada si. y sólo s i,/e s antisimétrica, sabiendo que:
• / s e dice alternada s i / ( i , x) = O para todo x bV,
• f se dice antisimétrica s i/( x . y) = - f i y , x) para
cualesquiera x, y e K
111.2. S e a /: V x /C una forma bilineal. en el espacio
vectorial V de dimensión n sobre el cuerpo K. Sea
A = [a¡^\ la matriz de / en una base (^,. ¿ 2
......
de V. Determinar las transformaciones que se pro­
ducen en la matriz A cuando en la base dada se
realizan las siguientes manipulaciones:
1. M ultiplicar por A ^ 0.
2. Permutar entre sí los vectores iy y
3. Sumar a el vector X ij-
111.3. Sea/ : V x V —» K una forma bilineal, en el espacio
vectorial V sobre un cuerpo K, Sea C e V un con­
junto cualquiera de vectores y considérense los
nuevos conjuntos C, y C j siguientes:
C, = { w e V//(jc.M ) = 0. V j c e C l
C2= |w e V//(M,i) = 0, V jceC )
1. Pruébese que C, y C j son subespacios de V.
2. Si D c Ves tal que C e D , hallar las relaciones
de inclusión que hay entre C, y D , y entre C j
y ^2‘
3. Hallar C, y C j si C = O.
I I I . 4 . Sea V un espacio vectorial de dimensión finita
sobre un cuerpo K y s e a /: V x V — K una forma
bilineal simétrica ordinaria (no degenerada). Dada
una aplicación lineal <^:V — V, pruébese que
existe una aplicación lineal ^ ♦ : V — V tal que
/ ( ^ O . y ) - f i x * fp *iy )) para cualesquiera jf. j? e V.
Si ip: V - » V es otro endomorfismo, hallar (en
función de (p* y de tp*):
i<P^fp)* (Á<p((p*)*
111.5. Sea (d : V - » K una form a cuadrática, en uo csp#.
ció vectorial V sobre el cuerpo K. S i/e s la formi
polar de (o, compruébese que para cualcsquicn
vectores m, íT e V se verifica que:
4 /(« . €) ■
2[(ü {ü ) + a)(C)] ·■
o f(ü -l· C) - (íAü - ü)
= (tíiÜ + iT) + Mtt - f)
I I I .6. Sea V el espacio vectorial de las funciones comi.
nuas de IR en R y considérese la aplicacióo
(O: V —► R . dada por:
(pix h)<p(x - b)dx
{a, h e U dados). Se pide:
1.
2.
3.
Comprobar que w es una forma cuadrática,
hallando su form a polar.
Si V fuese el espacio vectorial de los polÍDo-
mios de grado m enor o igual que dos. hallar
la m aü iz / I de en la base (1, x, A
En el supuesto del apartado anterior y si
a = y /? = 1, h allar el núcleo de w y dia­
gonalizarla.
111.7.
111.8.
111.9.
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K\ sea
^ : V - * V una aplicación lineal; sea w : V -» /í una
forma cuadrática. Comprobar que wo ^ es una ftf·
ma cuadrática. Sí V tiene dimensión finiuu hállese
la m atriz de respecto de una cierta base de
V. en función de las maüices Ai y i4 de so y üj,
en dicha base. ¿Qué hay que exigir a ^ y tu pan
que w o ^ sea regular?
Sea (ú: V —* K una form a cuadrática, en un espa­
cio vectorial V sobre el cuerpo /C. Sea ú 6 V un
vector que no pertenece al núcleo de w. Demués­
trese que existe algún vector € e V tal que el
subespacio ^ (¿ i). conjugado de es suplemenia-
rio del T (t?), engendrado por t \
Sea ü ) : V —^ K una form a cuadrática, en un espa­
cio vectorial V sobre el cuerpo K; sea /)c V ’ un
conjunto cualquiera de vectores. Pruébese que el
conjunto D ‘ , que forman los vectores que «oo
conjugados de lodos los vectores de A es u®
subespacio vectorial (que se llama subespacio
conjugado de D ).

320. rateosy P R O B L E M A S
jpO. ( ú '.iC - * K una form a cuadrática no nula.
Compruébese que úf{x^, x„) se puede expre­
sar como producto dc dos expresiones lineales si,
y sólo si, su m auiz (en base canónica) tiene rango
unidad.
BLll. Sea V el espacio vectorial real de las mauices
cuadradas de tamaño n x n . Considérese la aplica­
ción f : V x V — R siguiente:
(M , A O - ^ /( M . N ) = traza (A/AO -
- (ü-aza M ) (ü^aza N )
Probar que / e s una forma bilineal simétrica.
Para w = 2, hallar la forma cuadrática
o ) : V - * R asociada a / , determinando la ex­
presión dc íiHA/) para
M =
3. Para ft = 2, hallar la m atriz A asociada a a; en
la ba.se cuyos elementos son:
1 0 0 l 0 0 0 0
p 0
0 0
*
1 0
y
0 1
4. Para n = 2, hallar el subespacio de V formado
por las matrices conjugadas, respecto de
de todas las matrices antisimétrícas dc V.
111.11 Sea V el espacio vectorial de los polinomios rea­
les p ix) = ^ a ^ -^ a ix -^ A j-r de grado menor o igual
que dos y considérese la aplicación o ir V —»R ,
i» íip ix))= ^ P io t)p iP ), donde a , ^ e R son dados.
Se pide:
1. Probar que w es una forma cuadrática, hallan­
do su forma polar.
2. Hallar la m auiza A en la ba.se (1 . j:, dc V,
3. Relación enü^ a y f i para que I y Jt sean
conjugados respecto de o).
4. En el supuesto dcl apartado anterior, hallar el
núcleo de y diagonalizarla.
111,13. Sea w : V —* C una form a cuadrática, en el espacio
vectorial complejo V de dimensión finita. Prué­
bese que existe alguna base de V en la que la
mauiz D = [d^\ de cj es diagonal y tiene
I , si f ^ r
O, si i > r
( r = r a n g w )
3 1 5
111.15.
111.14. De una forma cuadrática üj: R ' —► R se sabe que:
• Los vectores (0. I , 0 ) y (0. 1. - 1 ) .son conju­
gados respecto de o>.
• ( “ 1» O, 1) es un vector del núcleo dc <*).
• OKI, O, 0) =1.
• La miza de la maUiz A de w en la base canónica
vale 0.
1. Hallar la maüriz A.
2. Hallar la expresión canónica de oí obtenien­
do. también, la base en la que se consigue.
Se considera la forma cuadrática u) : W —► R que
tiene por expresión (en la base canónica) a:
(oix, y, z) = o .r + ( a + 3 ) / + ( a + 2)z^ +
+ 2 (a -f U n * 4-2JCC + 4yz
1. Diagonalizar oi, determinando la base de ia
diagonalización que se obtenga, para los dis­
tintos valores dc a e R.
2. Hallar el núcleo de o>, en función dc a .
3. Para a = - 1 , comprobar que los vectores
autoconjugados respecto de w forman dos su­
bespacios vectoriales dc R \
Para or = - 1 , expresar o) en una base formada
por vectores autoconjugados respecto dc w.
4.
1U.16.Sea ^ : R* X R^—* R la forma bilineal que, respec­
to de la base canónica, tiene asociada la matriz
1 2 -2 -3'
0 1 2 - 2
2 0 12
3 2 0 a
( a E R dado)
Compruébese, hallando su matriz A (sim étri­
ca). que ícj:R ^— R , (o{Jc) = <pix, x) cs una
forma cuadrática.
H allar el núcleo de qj. en función dc a .
Diagonalizar w, obteniendo la base dc la dia-
gonaliz^ción que se de.
Para or = 4, hallar una base dc W en la que
la matriz de w tiene nulos todos los elementos
de su diagonal; hallar también la expresión dc
íoix) en esu base.
111.17. Se dice que una forma cuadrática real w : V —» R
(donde V cs un espacio vectorial real cualquiera)
es dcHnida si para todo vector dc V cs
<y(jr) ^ 0. Dcmuésüesc que .si w cs definida, enton­
ces ü) es definida positiva o es definida negativa.
111.18. Sea M una m auiz cuadrada regular. Pruébese que
M 'M es una matriz .siméuica definida positiva.

321. I I L I 9 . Sea i4 una m a in i cuadrada n x n . Hallar una con­
dición necesaria y suficicaie para que A se pueda
poner eo la íonna .4 = A/.W' para cierta matriz
regular M ,
1IL20. Sea R la forma cuadrática no nula que,
en base canónica tiene la expresión:
Xt, . .. O■■ s w
Vi-I
con # o {a^ Hallar un cambio de coorüe-
n ad fi ÍJip Xj. x j · - * tV|. ···· X j de manera que
^ 7». y j· ··. >.> = ^ n y i ^ y J
con o/| cuadrática- Si fuese a ¡i » 0. dese un cam*
bio de coordenadas de modo que el nuevo ele­
mento de lugar 11 oo <(ea nulo
I I I . 2 1. Sea 0/ . f l una íurma cuadrática, en el espacio
vectorial rral V. y « a / la forma polar de úf.
Dcmué^tnr%e que u o» es definida positiva, enton­
ces para cualcMfutera ú, ( e V i i verifica que:
M ^ o4t¡)úHf)
(dcHiguaUlad de Schwarz).
111.¿ I Sea V el eHpocio vectonal de la5 matrices cuadra­
das de tamaAo 2 x 2 y considérese en él la base
usual, esto es. U formada por
1 0 0 1 0 0 0 0
0 0
•
0 0
*
^ 0,
y
0 I
Compruébele que. para cualquiera que sea r 6 R .
la aplicación / : V x V — R dado pnr,
/ ( V/, AO · c (tra /a AfAO - (traza AfHlra/a AO
es bilineal «imétrKa y.
L Hallar la m atn / A d e / e n U ba5e dada.
2. Diagonalizar n». según los valores de c, obte­
niendo la base en la que a» adopte la forma
diagonal que %e obtenga.
3. Estudiar, en función de r , si ai cs definida o
scmidefinida.
I11J13. Sea »R la forma cuadrática que. en la
base canónica, tiene por expresión a:
•KJíp Xj. Xj. JÍ4) = 2.t] ^ fluri + 2r5 + oj¿ +
*♦“ 2jt,x, + 2J2X4
Se pide, en función del valor que lome el pj,
rámetro a e R :
1. D iagonalizar u).
2. El rango y la signatura de (o.
3. Estudiar si (o es definida o scmidefinida.
111.24. Determínense las valores a e R para los que
(.t. y. z ) · U '. y , z ') = (2 x - Y *f - y + ··) +
+ a {x x ' + y y + z : ')
define un producto escalar en R \ Para a - 1,
hallar una base ortonormal de R ' (respecio dcl
anterior producto escalar).
111.25. H allar la relación que han de verificar los nú­
meros reales a y P para que
f. ^ a 2‘^ .t,y , + 2"^(A',yj -»· x^y\) -f 2^ V v j
donde
. f « ( x i . A j) e y,)
determine un pnxjucto escalar en R^ Pura o «1
y ^ « 2, hallar la m atriz métrica G de csie pro­
ducto escalar en la base (t7, P) con m = (1, I) y
t ^ « ( l . - I ) .
111.26. Sea V el espacio vectorial de las funciones reales
definidas y continuas en el intervalo |0. 11; en V
se considera el producto escalar definido medíanle
(/U )^ /(x)g(x)i¿K
1. H allar el valor de ( f i g ) s t f y h son las fun­
ciones dadas por:
f i x ) = íio + ^hx
y
g ix ) = + f^lX + "· +
2. H allar un .subespacio de dimensión /i € N de
V que sea ortogonal a la función e V defi­
nida p or/„(jc) = je*.
I I U 7 . Sea V un espacio vectorial real de dimensión
n € N y sea (m,, ü J una base cualquiera
de V. H allar, en esta base, la matriz métrica G del
producto escalar con el que la nueva base (f,, ij.
¿ J cs ortonorm al. siendo
^1 = ^2 = tt, + t t j . = tt, + ttj -f ü y
.^
= tt, -f t tj + -f tt„

322. 111,28. En un espacio veclo rial V y respecto de una cierta
base suya Wj» d efin e un producto esca­
lar mediarne
i - y = •*i3’i + + x^y, -
- X i y i - X i v i - X iy i- X i y i
.f = j r , « , + x2« j + x , t t , , y = > ' , « , + >2«2 + >’j“3
donde a e IR es el menor número natural posible.
Se pide;
1. H allar a,
2. H allar un vector à e V que form e ángulos
iguales con los vectores de la base dada.
3. H allar una base ortonorm al {è^, fO con la
misma orientación que la base dada y tal que:
• éy tenga la dirección de ¿ y sus coordenadas
sean positivas.
• ¿ 2 tenga iguales sus segunda y tercera coor­
denadas.
• ^3 tenga su p rim era coordenada positiva.
n i9. Sea V el espacio vectorial de los polinom ios rea­
les con una indeterm inada, x , de grado menor o
igual que dos, en el que se considera la base usual
(1, JC, jc^). Considérese la aplicación / : V x R ,
f l p ( x \ q ( x ) ] =
[ap (x)q {x ) + b p \x ) q ( x ) + c (q '(x )p (x )] dx
donde p'(jc) denota al p o lin o m io derivado de p (x )
y fl, 6. c e R son fijo s. Se pide;
1. Comprobar que / es una form a b ilin e a l, de­
terminando su m a triz G en la base usual.
2. Hallar las relaciones enü*e a , h y c para que
p { x ) * q { x ) = f l p i x \ q ( x ) \ sea un producto es­
calar.
3. Para a = 2 y b — c = 1/3, h alla r el subespacio
U ortogonal al p o lin o m io jc, h allar una base
ortogonal áe U y h alla r la proyección ortogo­
nal sobre U del p o lin o m io jc^.
11*30. En un espacio vectorial real V de dim ensión 3, se
considera una cierta base ( é ,, ^2» ^3)· H a lla r la
mauiz métrica G de un producto escalar definido
en V del que se sabe que:
·\\é^\ = ^J2 y ||é ,|| = >^.
• U == (jc,é, + JC2^2 ^ -^2 *^3
ortogonal a T ( é , ) .
• La proyección ortogonal de ^1 + ^2 ^3 ^ 2
es 3^2.
(Póngase la solución en función de cuantos pa­
rámetros se precise.)
111.31. En el espacio vectorial euclídeo canónico sea
/ : > R^ la ü-ansformación resultante de aplicar,
sucesivamente, la rotación de ángulo a alrededor
de T ( ( ) , O, 1), la simetría ortogonal respecto de
V ( ( l , O, 0 ), (O, 1, 1)) y la homotecia de razón
^ e R . Se pide:
1. M a u iz A de / en la base canónica.
2. Los vectores que son proporcionales a sus
transformados.
111.32. Sea V un espacio veclorial euclídeo tridim ensio­
nal y .sea (# ,, í’2. fO una base de la que se sabe
que:
= I , - ^ 2 = 1 , · C3 = 2, ‘ €2 = 0
á = 2^2 - C3 es ortogonal a é, y a éy
1. H allar la m atriz métrica G del producto esca­
lar en la base dada.
2. Calcular una base ortonormal (w,, Wj, ü^) de V.
3. S i / : V es la transformación definida por
3 /(w ,) = 2« , -2ü2 + W3
3/(M2) = ^W. + «2“2«3
3/(í?3) = + CWj + 2M3
calcular los números reales a , h y c sabiendo
que / es ortogonal. H a lla r el ángulo que for­
man los vectores / ( é , ) y f { é ^ y la m atriz A '
en / en la base (c ,, é^).
111.33. Sea V un espacio vectorial euclídeo y sean i / , y
U2 subespacios suplementarios de V. En L/, hay
definido un producto escalar ( * ) ; en t / j
nido otro producto escalar (®). Pruébese que existe
un único producto escalar en V cuyas restricciones
a í / , y í/2 ios anteriores productos ( ♦ y <>) y
que convierte a Í7, y t/2 sube.spacios ortogo­
nales.
111.34. En el espacio vectorial euclídeo canónico R \ se
considera el subespacio U que forman los (.t^ a*,»
Xy* A-,) que verifican a:
r.<C,-.Vi + .V,-.Vs = 0
<x, + X j - a ; , -4a4- j : j = 0
(.2*, - 3jij + .V, - 2x4 = O

323. 3 1 8
ÁLG EBR A LINEAL
Hallar una base ortonormal ác U y otra del subes­
pacio suplementario ortogonal de U. Hallar
también las proyecciones ortogonales de =
= (1, O, 0. O, 0 ) sobre U y sobre U \
I I I J 5 . En el espacio vectorial euclídeo canónico R**, se
considera el subespacio
í; = {(jTp ^2. Xy ^4) e W/Xy +X4 = X2-^X3)
1. Hallar una base ortogonal de U.
2. De entre todos los vectores unitarios d que
forman ángulo de 60® con (1, O, O, 0 ) y con
(O, 1. 0. 0), hallar aquellos cuya proyección
sobre U tiene la menor norma posible.
I I I J6. Sea V un espacio vectorial euclídeo. en el que se
consideran dos subespacios cualesquiera í / , y í / j ·
Se pide hallar las relaciones de inclusión que exis­
ten entre los siguientes subespacios:
1. {U . + U ^ y y U t n U i .
2. { U .n u ^ y y
3. ( í / , n í /2)^ y + í/2 si V tiene dimensión
finita.
I I I J 7 . Sea V el espacio vectorial de las funciones reales
definidas y continuas en el intervalo [O, 27r], en
el que se considera el producto escalar
IIL 3 9 . Sea / : V'—» W una aplicación enü-e los espacioi
vectoriales euclídeos V y W. Compruébese que si
/ e s lineal y conserva las normas, entonces/ coft.
serva el producto escalar.
111.40. En el espacio vectorial V de las funciones conti­
nuas de ( -1, i ] en R . considérense los dos pro.
ductos escalares:
f { x )g (x )d x .
x ^ f{x)g {x)d x.
Sea F: V la aplicación lineal definida por
F{f){x) = xf{x) para x e [O, I]. Se pide:
1. Comprobar que (,) es efectivamente un pro­
ducto escalar.
2. A n alizar si F es una aplicación ortogonal dcl
espacio euclídeo (V , (, » en el (V, (|)).
3. A n alizar si / es una aplicación biyectiva,
111.41. Sea V el espacio vectorial euclídeo canónico
sea (€^, ¿2, €y) la base canónica de R l Sea Wt\
espacio vectorial de las matrices reales de tamaño
3 X 3, en el que se considera el producto escalan
(i4, B ) = 2 traza {AB*)
1. A n alizar si existe alguna aplicación ortogonal
f(x )g (x )d x
f : V - IV tal que f ( é , ) ■■
f(é y ) = M y siendo
Considérense las siguientes funciones g V (para
/7 = 0, I, ..., 2n):
U x ) = /,( x ) = fl, sen x, /jCx) = eos x
fy ix ) = ¿I3 sen 2x, f^(x) = eos 2x
......
/21.-1W = «2«-i sen nxJ2Áx) = eos nx, {a^ ^ 0)
1. Comprobar que el sistema que forman estas
funciones es ortogonal y hallar los coeficien­
tes para que sea ortonormal.
2. Hallar la proyección ortogonal sobre el subes­
pacio que engendran dichas funciones de ca­
da una de las dos funciones:
< p { x )- x y tlf{x) = x^
III.3 8 . Sea / : V — VV una aplicación enü^ los espacios
vectoriales euclídeos V y W. Compruébese que si
/ conserva el producto escalar, entonces / es li­
neal.
0 1 0“ 0 0r
- 100AÍ2 =000
0 00_
. - 100.
M y
O O 0‘
o o 1
o - I o
2. Obtener la expresión de /(jc, y, z).
111.42. En el espacio vectorial euclídeo canónico R", se
considera un subespacio U ; sea el suplemen­
tario ortogonal de U,
1.
2.
es una ü-ansformación ortogo­
nal, analizar si f { U ^ ) es el suplementario or­
togonal de / ( ( / ) .
Si / , : t / —♦ Í7 y / j : ► í/·^ son dos transfor­
maciones ortogonales, comprobar que exis»

324. una y sólo una transformación ortogonal
tal que sus restricciones a t / y a
í / - son fy y / j , respectivamente.
f i . Sea Vi un espacio veclorial euclideo de dimensión
2 y sean e V2 tales que cada dos son
independientes y á , + ¿2 + ^3 = <5. Se considera
un endom orfism o/: V j — V j ^^»1 que ||/(¿í,)|| = \\(i.\\
para 1 = 1, 2, 3. Pruébese que:
1. fió i) / ( à j ) = à r à j para 1 = I , 2. 3 y > =
2. / es una transformación ortogonal.
.44. Sea/ : el giro de 6( f alrededor de la recta
generada por el vector m = (1, 1, I ) . Hallar:
1. y siendo éj, e^) la base
canónica de R \
2. La m atriz A de / en la base canónica, com­
probando que es ortogonal directa.
3. La matriz 5 d e / e n cualquier base ortonormal
(«p «2, M3) en la que tenga la dirección y
el sentido de m = (1 , I , 1).
4. El ángulo 0 que debe form ar un vector v con
el vector i7 = (1 . 1 * I ) para que 0 y f ( v ) for­
men un ángulo a dado» ¿cómo debe de ser a
para que exista solución?
L45. En el espacio vectorial euclídeo canónico IR \ se
considera el endom orfísm o que, res­
pecto de la base canónica, tiene por m atriz a la
A =
o -i/v5
1/V5 i/v5 i/vS
- M ^ - i / A
1. Comprobar que / es una transformación orto­
gonal, analizando si es directa o inversa.
2. Hallar los vectores w e tales q u e /(á ) = ± ü .
3. Comprobar que / es producto de una rotación
por una simetría respecto del plano ortogonal
al eje de la rotación; hallar la simetn'a y la
rotación.
L46. Sabiendo que la siguiente m atriz es ortogonal y
que a y X son positivos, com pletar dicha matriz
■1/2 1/6ax~
1/2 1/6hy
1/2 1/20z
J/2- 5 / 60
IIL 4 7 . S e a /: V j- » V3 una transformación ortogonal, en
el espacio vectorial euclídeo ^3, de dimensión 3.
Si la ecuación/ ( « ) = ü no se verifica para ninguna
M E V2, pruébese que entonces / no es una rota­
ción, pero sí lo es/^ = / ® / D escrib ir/^ en función
d e /. Analizar si, para algún e M, la transforma­
c ió n /" = /o /o .? . ©y* puede ser la identidad.
I I 1.48. Si M, iJ y ii> son vectores de un espacio veclorial
I ^ 2, 3. euclídeo de dimensión 3 orientado, demostrar que
se verifica la siguiente relación (doble producto
veclorial):
M A (iJ A ví>) = (m ♦ w)C - (C · H')Ü
111.49. Si M, 0 y >v son tres vectores de un espacio vec­
torial euclídeo de dimensión 3 orientado, demos­
trar que se verifica la siguiente relación (identidad
de Jacobi):
üA(üAw) + üA(wAa)-hwA(úAtO = ó
111.50. Si il, ü y w son U*es vectores de un espacio vec­
torial euclídeo de dimensión 3 orienudo, compro­
bar que para el producto mixto [ú, tJ, w] se veri­
fica que:
[m. o, w] =
111.51. Sean ü y v dos vectores del espacio vectorial
euclídeo de dimensión 3 orientado V 3. Sea
una transformación ortogonal. H allar
/( m ) a /( íJ ) en función de iiA v .
111.52. Sean m y íJ dos vectores de un espacio veclorial
euclídeo de dimensión 3 orientado. Demostrar que:
||mai1|2 + (wmt)2 = I1m11W
111.53. En un espacio veclorial euclídeo V tridimensional,
se considera la rotación / : V —* V alrededor de la
recta R engendrada por un cierto vector unitario
y de ángulo O, Se pide:
llüll^Ü · ÜIV-w
M* Vllell^w v
ü · wV · wIk -ll-
1,
3.
H allar la imagen /(m ) de un vector ü ortogo­
nal a é.
Hallar la im a g e n /(m) de un vector cualquiera
. t e K
Si V es el espacio canónico si $ = 45® y
si /? * T (2, 1, -2), h a lla r /(.f), donde x es un
vector cualquiera de R \

325. 320
Auxsraukeii
SOLUCIONKS
Recúirase a que f(x+ f, x + y)~Q para cuaJcs-
quicra x ,^ e V .
III.2. I. Las primeras fila y columna de A quedan
multiplicadas por Á (a,, pasa a á\ ) .
2. Se permutan entre sí las primera y segunda
fila y, también, las primera y segunda co­
lumnas.
3. A la primera fila se le suma A veces la se­
gunda y a la primera columna se le suma A
veces la segunda.
IIU . C, D D,. Cj D £>„ C, = Cj = V.
iIL4. Tómese una base en V; sea A la matriz de &>; sean
M, M*, N y N* las matrices de <p, <p*, <1/ y i¡t*. Es:
M * = A '^ M 'A . =
{ÁM + f i N ) · = + f i N * = M
= 0 * « ^ · + f i i j i ) · = X ip * + f i i l / *
( < P * ) * = ( P
I1I.5. Rccúrra.sc a que oi(ú i P) — 040) + oj(P) t 2f(ü, C).
111.6 I. =
•m
J [ VKJt + b)4f(x - b ) - h ( p ( x - b)i/Kx b )\ dx
1.S ~ l a O \ a ^ ' ^2ab^
O ] a ^ ^ 2 a b * O
ja ^ -^ T a b ^ O ia ^ ■l·2 a b ^ ^
3. N i ( ü ) ^ V ( x )
Diagonal (2v^. 0. -l2 > /5 /5 )
Base de diagonalización (1. jc, - 2 + j r ^ )
111.7. M^AM; para que <o*>tp acá regular es necesario y
suficiente que tp sea biyectiva (autom orfismo)
y o; sea regular.
111.8. Existe € no conjugado de ü. Para cualquier x e V,
póngase Jc * At' + (jf - A0) y hállese A e A' para
que .f - A f sea conjugado de x.
111,9. l y cs el subespacio intersección de ios subes/»,
cios conjugados de los vectores de D; esto es:
ly^ n ^(f)
XmD
ÍIU O . = X'AX = {X 'Q iF X ) = X \C F )X y CF tieiit
rango 1.
Si rang A = ¡, en tonces A = CF para cienos
C e A . X1 y F e M , > , „ .
I I L I l . 2. a t ( M ) = 2X2X3-2x,x^
3. r O O O - I
0 0 1 O
0 1 0 O
_ - l 0 0 0.
4. Subespacio de las matrices simétricas.
III.I2. I. /(p (x ). g(x)) = ^ [p(a )q(^ )+ p(fi)tf(a )l
2. / i = i
2 a + p a^ +
a + p 2 a a P ( a + P)
a ^ - i a p ( a + ¡3) 2 a ^ p \
3. a + ^ = O
4 . S i a / 0 . N (u > ) = T í « ^ + r * ) .
Si « = 0. N(m) = y(x, x^).
Diagonal (I, a \ 0). base (1, x,
III.13. Sea (« ,. .... í¡„) una de las bases en las que b
matriz A = [a^j de a> es diagonal. La base pedid«
puede ser la (é,, .... <?,) siguiente:
é, = ( \/y ja ¡ ,)a „ si / « r
é, = si i > r
(nótese que, en general, será un número coa·
piejo).
I I I . 1 4 . 1.
2. <u(/) = j r f — en la base (á ,, líj. «j):

326. «J = (2/ A 1/76, 0)
“ 3 = ( - l . 0, I)
jS. I. Diagonal (1, a - l , . a + | ) . base ( ( 1 ,- 1 o)
(2,-1,0), ( I . -1 , I))
2. Si a = l , N (w ) = V ( 2 , - I , 0 ). Si o = - l
N(ti>) — V ( I, — 1, 1 ), Si a ^ 1, — 1, entonces
N(io) = O.
3. (jr-z)i\^Cv+z) = 0.
4. Base ((I, - 1 . 1) , ( ^ 2 . 1, 0 ), ^^J2, - 1 . 0 ).
u {x) = -S jC jX ,.
fi. = (1.0.0)
,16. I. A -
1 1 0 0
Ilio
Olii
Lo 0 l a.
2. S i a * 0 , N ( < o ) = 0 .
Si a = 0, N(<ü) = r ( l, -1,0, I ) .
3. Diagonal (1 , 1. -1, a ) .
Base (« ,, «2, ttj, Ü4), donde:
«, = (1,0. 0, 0)
K j ( - I , I , -1.0)
, « , = (0.0. 1.0)
« , = (1. -1.0, I )
4. (m, + ìJj, ttj + Mj, 2«3 + «4, ü,+2Ü2 + 3mj + M4)
w ( X ) = -2* , X j - 4x , X3 - 4x , x ^ - 4x j x j -
- 2x¡x^ - 4xyx^
L17. Supóngase w («)>0 y o>(ü)<0. Búsque.se un
i = A« + P. jE ^ ò, tal que a>(.x) = 0.
LI8. = Si X * 0 es m atriz columna,
M X * 0 y, por elio, ( M X ) ' ( A « 0 > 0 si X * 0 ;
luego X'(M'M)X>0 para todo X * 0 .
I·!®. La matriz A ha de ser sim étrica y definida posi­
tiva.
UO. x , = y , - — ( a , j > - j + - + f l „ > ’- ) : · ' / = >’.
« II
i = 2. 3 . /I,
•^i= y i+ -*j= yt - í '2> ^
......." ■
Recúrrase a que to(A« + i7) ^ O, V A e R .
r c - l 0 0 - r
0 0 c O
O c O O
- 1 0 0 c -1.
2. Diagonalización para c = I :
Diagonal: -2, 2, 2, - 2 .
Base:
1 - 1
O O
0 0 0 0 I 1
’1 - 1 1 1 0 0
Diagonalización para c ^ I :
Diagonal: c - 1, 2c, - 2 c , c ( c - ! ) ( c - 2 ) .
Base:
1 0 0 1 0 - 1 ’1 0'
P 0
*
.1 0
0.
0 1 - c
3. Nunca es definida; semidefinida negativa si
c = 0.
111.23. 1. Si a = 0. diagonal (2, 6, 2, - 2 ) y base (m,,
^2. üy W4) donde:
w, = (l,0. O, 0)
«3 = (0> 1,0, 1)
iÍ2 = ( - l ,0, 2, 0)
¿4 = (0, - I , O, 1)
Si a # O, diagonal (2. 6, cr, (a^ - 1 )<») y
base (M|, Mj, Új, M4) donde:
«, = (1, O, O, 0 ) , iÍ2 = ( - l , O, 2. 0)
Mj = (0, 1,0, 0) , M4 = ( 0 ,-1 , O, a )
2. Si |ar| < 1, rang (ü = 4 y sigo> = (3, 1).
Si a > 1, rang w = 4 y sig oí = (4, 0).
Si ar = 1, rang a> = 3 y sig íü = (3, 0).
Si a r = - I , rang o> = 3 y sigíu = (2, 1).
Si ar < -1 , rang <o = 4 y sig <w = (2, 2).
3. w definida positiva sii a > I ; w semidefinida
positiva sii a = 1.
111.24. Según el criterio de Sylvester ha de ser a > 0 .
Diagonalizando por congruencia se obtiene (entre
otras muchas) la base ^ 3):
■ 5- 2 2 100“
(C?i/] =- 2 2 - 101 0
2 - 1 2 001_

327. 3 2 2 Alg e b r a
" 1 0 0 0 0 l/> ^ ■
0 1 0 0 2A/S l/>/S
.0 0 1 3 /x /IÍ2/v5T- 2 /v/ 5 Í .
III.2 8 . 1. Según el criterio de Syivesicr, a -2.
2. à = 3fi, + (V 5 -l)ttj + ( v ^ + !)(? ,.
0.0. - p
y l ì ì
‘‘ (v5i VSI’ vSl)
■(»■li)
3.
’ V Í9 5
111.25. Según el criterio de Sylvester ha de ser a ^ )3.
111.29. I. ^ '3 0 fl 3 0 r \0 a '
26 - 1 4
30¿7 lOtí10¿? + 20r
C =
- 1 4 10
J O tí20/? + lOc· 6fl_
111.26. I. ( / | ^ ) = Ì Ì ^
/.0 y-0 1 + / +y
2. Las siguientes n funciones e V son ortogo­
nales a /o; el subespacio que engendran es
solución;
/,(.* ) = ( " + / » * ' ’ ' - ( n + p + \ ) x ' ’
p = L 2....» rt.
111.27.
C =
1 O o
■1 1 o
o - I 1
_ 0 0 0 ... 1 .
■ | ·-10 ··.0 ’
01 --1 ...0
0 0 1 ...0
000 ...1.
1 - 10... 0
-1 2 -1 ... 0
0- I2... 0
.000
2. h = c , a > Q , a ^ > \ % b \
3. U = { a f ix - l· y x ^ /a + 2y3 -f y = 0)
una base ortogonal de U:
(1 - x ^ , 1 + 2 r-5jt")
Proyección: +
111.30. 2 2 2’
2 3 4
2 4 a
para a > 6
111.31. 1.
A =
k eos a - k sen a O'
O O k
k sen a k eos a O
2, (A eos a , A (eos a + I) , - A (eos a + 1)),
A 6 IR
(O, ^ι, - f l ) . /X e IR
(a , b ,b ) » tí, e IR
111.32. 1. r i O O"
O 1 1
.0 I 2.
2. = fi, = é , - í j
3. a = 2. í > = l , c = 2
áng ( M ) . M ) ) = 90°
‘ 2 2 3‘
- 3 3 3
1 - 2 O

328. 3NES
3 2 3
Dados i , y 6 V, se puede poner de manera única
jf=í,+Á?i e = +.92 con € t / , y X¡,
E l/j. El producto escalar pedido ( · ) está d e fi­
nido por = * 9 , + X i ‘‘ 9 i·
Una de las muchas bases ortonormales de U y de
t/^ son las ( « ,, l y y ( í „ é j, # ,) formadas por:
a, = 0/2. 1/2, 1/2,0. 1/2)
« j = ( 2 / 3 , 0 , - 2 / 3 , 1/3,0)
í, = (0 , 1/V5. 0 . 0 . -I/V 5 )
í, = ( -l/3 > ^ . O, 1 /3 v ^ . 4 / 3 , ^ , 0 )
#3 = (-1/2. 1/2. -1 /2 ,0 , 1/2)
Proyección sobre U:
9_ - 7 £
’ \ 3 6 ’ 3 6 ’ 36 ■ 3 6 ’ 3 6 /
Proyección sobre U ^:
=(ÍL Z Ì L I Ì —
“ \36’ 3 6 ’ 36’ 3 6 ’ 36 y
1. Una de las muchas soluciones puede ser la
(#,. #2, í , ) con
f = (1 . 0 . 1. 0 )
í j = (0 , I , O, I )
5 j = ( l , I . - 1 . - I )
2. á = (1 /2 , 1/2. eos a/yfi, s e n a /v ^ ) ha de ser
tal que haga m ínim o a
4 ' ■ 4
2 - ^ j 2 c o s a — yl2 sena
i r
7 + sen 2«
lo que ocurre para tr => 3 ir /4 y o * - tt/4 ,
luego
á = ( U . H Í )
<í = (l.é.l. -i)
111.36. I. ( i /, + (/j)J- = i / / n t / j ^
2. ( í / , n t / j ‘ s í / / + í / ¿
3. ( u , r \ u i ) ^ = u t + u t
111.37. 1. íí„ = l / ' ^ w , = l/y /^ ( p > I )
2. Proyección de 0(jt):
2 2 , 2
Y sen ;t — - sen 2x + - sen 3jt — ·
+ (-1)"·' - s e n /u
n
Proyección de ^/(jc):
77^ COSA cos2jc cos3jc
3
+ ( - i r
in .3 8 . Compruébese que la norma del vector
f ( Á x - ^ f J i y ) - Á f ( x ) - f i f ( y ) es igual a la norma
de (A^ + /xy) - X J c - f iy y que, por lanío, es
nula.
IIL 3 9 . Compruébese que 4 {á · h ) = \\á -H h\\^ -
IIJ — l?\W lómese J = a y /> = y; lómese después
¿ j= f ( x ) y h - f { y ) .
in .4 0 . 2. F es ortogonal (lin eal y conserva el producto
escalar).
3. F no es sobreyectiva; /(a) = 1 no es imagen
por F de ninguna función continua.
2.
Como (^ „ é j, éO es una base ortonormal y
( M j, Afj. M j) es un sistema ortonormal (se
comprueba fácilm ente), existe la aplicación
ortogonal / .
/(a, .V, z) '■
O A y
- A O c
L - v - z OJ

329. 324
ALOCDHA U NQ It
111.42. 1. Si. ya que f ( U ) l f { U ^ ) y dim /(tO +
+ dim fW^·) = dim U + dim = n.
2. V i e R". Í = i , + Í2 con U y x^e
(descomposición única); f(X) = +fi(Xi)·
111.43. I. Aplicar el «teorema del coseno» de los trián­
gulos 2bc eos A).
2. Refiérase / a las bases (á,, á¡), en Vj origen,
y (/(áj). /(óz)) en Vj imagen; la matriz de /
es la identidad; las matrices métricas son
iguales.
111.44. I. /(é,) = ( 2 /3 .2 /3 ,- 1 /3 )
y(é,) = (-l/3 .2 /3 .2 /.3 )
M ) = ( 2 /3 ,- 1 /3 ,2 /3 )
2.
3.
2/3 -1/3 2/3'
2/3 2/3 -1/3
-1/3 2/3 2/3j
A'A = I
det i4 = 1
■ 1/2 S/2 O'
Sfl 1/2 O
O O I
4. eos 0 ~ y /2 eos a - 1 ; a ^ 6 0 ”
111.45. I . A'A = ¡ y del A = - l , luego / es ortogonal
inversa.
2. « = p ( , ^ - V 5 . l+^/2-^/S. I - V 5 ) para
p e R.
3. El eje de giro es la recia engendrada por m.
El plano de la simetría es el ortogonal a ü.
El ángulo de giro a es el ángulo
áng (t?,/(í)). donde 0 es ortogonal a i7, por
ejemplo ü-{y¡2, l, l)
6 4- 2y/3 -y ¡6
eos a -
------------------2«0,585
111.46. a - IA/5, - \/yfl. x - i l Z z - - 3 A / = - I /4.
111.47. / cs la com posición de una rotación, de cieno
ángulo a y alrededor de cierta recta R, seguido
de la sirneu-ía respecto del plano perpendicular a
R\ es la rotación de ángulo 2a alrededor de R.
La transformación /" es una rotación de ángulo
na; ha de ser l ir ia racional,
111.48. Poner w = AP -f fiw + a m») y recurrir al úlumo
ejercicio de! Capítulo 8.
111.49. Recúrrase a la fórmula del problema anterior,
111.50. Recurrir a una base ortonormal, poner (ú, f. h*J
en forma del determinante de la mauiz de coor­
denadas y recurrir a que («, €\ w]^ es el deienni·
nante de dicha matriz por su traspuesta.
111.51. m A/((?) = (dci / ) (M A cy
111.52. Recurrir a coordenadas en una base ononormil
directa.
111.53. I . f ( ü ) = eos 6ñ + sen 6 { é A ü )
2. /(Jc) = (x c)é + cos(9 l;c-(Jc-é)^l +
+ sen e{éAx)
3. S\x^ (Xy, x^y Xy) y f ( x ) = ( x l x*2, x ^ l es
1
■ 8 + 5V5 4 + 4y¡2 - S + ^^|2'
XÍ
_ 1
“ Tg
4 -8 V 5 2 + %yJl -4-4V5
_-8 + v5 - 4 + 8V2 8 + 5v^.

330. 9. Diflgo»taíizflcu)íi de cndomoifistrios y de motrices.
Ejercicios y probícmas.
I
NTERESADOS c o r n o e s ta r n o s , y n m c fto , e n c o n o c e r io s a s u n to s d e la íin e a íid a d ,
n o p o d e m o s p o r m e n o s d e a f io n d a r e n (o s e n t r e s ijo s d e lo s e t u í o m o if is m o s , c o n e [
p r o p ó s it o d e d e s v e la r s u e s t r u c t u r a , d e c o n t e m p la r s u s e n tr a ñ a s , d e s p o já n d o le s d e to d o
a c ju e [[o q u e n o (e s e s p r o p io o e s e n c ia l, (o q u e r w s U e v a rá a r e f e r ir le s a b a s e s
í n t im a m e n t e lib a d a s a e llo s . íX e n e s te a f á n , n o s d a re m o s d e b ru c e s c o n lo s a u to v a lo r e s
y lo s a u to v e c t o r e s , t a m b ié n lla m a d o s v a lo r e s ( e s c a la r e s ) i j v e c to r e s p r o p io s , q u e f ia n d e
s e rn o s de e n o r m e u t i l i d a d e n n u e s tr a ta r e a .
9 {p es c o s a d e c o n t a r a q u í to d o lo q u e n o s v a a o c u r r i r e n n u e s tr a p r ó ^ m a a n d a d u r a , p e r o e llo
tío o b s ta p a r a q u e d ig a m o s q u é e s Ib q u e n o s e s p e ra a l f i n a l d e l c a t n in o : p o r lo c o m ú n , lo s
e n d o m o ifis m o s n o s o n m u y r e t o r c id o s , p u e s m u c fio s d e e llo s s e p u e d e n d ia g o n a liz a r ( a d m it e n
m a t r iz d i a g o n a l e n b a s e f w c » ) , p e r o n o s o n to d o s a s í : lo s f a y q u e n o p u e d e n r e d u c ir s e a
f o r m a d ia g o n a l T a r a e llo s s e d is p o n e d e la f o r m a d e J o r d á n (d e la q u e s e d a r á c u e n ta a l f i n a l
d e l lib r o , e n lo s a p é n d ic e s ) , la c u a l t w d if ie r e t n u c í to , p e r o s í lo s u f ic ie n t e , d e la d ia g o n a l,
p u e s a q u é lla t ie n e a ^ n o a ^ n o s e le m e n to s n o n u lo s s it u a d o s f u e r a d e la d ia g o r m l, y j u n t o a
e lla , q u e v a le n la u n id a d , " E s to s e n d o m o if is m o s a v ie s o s , c o n s e r p o c o s , n o s d a r á n r w
o b s ta n te , c o m o s u e le o c u r r i r c o n lo s e le m e n to s s e d ic io s o s , m u c h o s m á s q u e b r a d e ro s d e c a b e z a
que lo s o t r o s e n d o m o if is m o s , la m a y o r í a , a q u e llo s q u e s e c o m p o r ta n d io g o r m lm e n te .

331. CAPÍTULO
Diagonalización
de endomorfisnnos y de nnatrices
Cuüfkk). hacc poco, csiudiáhainos Uts aplicaciones lineales, de un espacio vev,
loria! V en oüt> W’ (anibos de dim ensión finita), vim os que» dada una iil
aplicación / : V —* había ciertas bases en V y en VV' respecto de lus cual«
la m ain/ de / es diagonal. F-sias bases no son únicas y se pueden hall«
fácilmente, por ejemplo, n>edianie operaciones elem entales. Ahora que vanH»
a cooMileraf el ca^> V' - W y va a haber una sola baso, la situación cs más
c'tMnpleja y no tiene siempcr una st>lución tan sencilla.
Se iraia aquí de lo siguiente: dado un endom orllsm o / : \ ' —► \' (donde
un eNpacio vectorial de dimensión tinita) y llamando A a la matriz de / en
cierta Ki%e de V\ vamos a estudiar si al cambiar de base se pucile conseguir
una n u iri/ .4' de / tmViese que .4' es semejante a A\ esto e.s. A* · donde.
P e» la iTum/ de cambio de ax^rdenadas: véiLse |Ü941) que sea sencilla, cuanto ■
nu% n^jor; o %ea, de nunlo que A* tenga el mayor mimería posible do ccrií.
l-n mucNiík c a w i « puede cimseguir que A* sea diagonal; se dice entonces que
/ cs diagt>nali/able. C'uamk) mi es así, hay que conlonnarse con otras fonnu
reducidas nKmM %unpleA; de esto último hablaremos en el próximo capítulo.
tt Al TOVALORIÚS V AU POVKCTORKS
Pswa pixler estudiar la cMructura interna de los endom orfism os y, en parliculaí,
%u reducción a forma de Jixdan o a forma diagonal, cuando ello .sea posible.
vanxY^ a pccci%or de \os «autovalores» y los «autovectores», a los que dedica·
m»n la primera parte de este capítulo.
Al TON AI.ORKS V AUTOVKC'TORKS.
POLINOMIO CARAíTKRÍSTICí)
Aun cuando a primera viMa ptieda resultar sorprendente, en el estudio de I»
cuestiones que aquí nos ocupan, referentes a un endom orfism o / , de.sempcAafl
un papel muy importante aquellos vectores i , no nulos, lales que /(f) ^
proponrional a i . ^ dice que lales x son autovectorcs de / y que la consianlí
de proporcionalidad, entre f ( J í) y i , es un autovalor de / :

332. D E E N D O M O R F IS M O S Y M A T R IC E S 3 2 7
Q AUTOVALORES V AUTOVECTORES
DE UN ENDOMORFISMO
(l«U Sea / : V—► V un endom orfísm o. del espacio veclorial V ^ O; sea K el
cuerpo de los escalares. Se dice que un escalar A e A' es un autovalor
(o valor propio) de / si existe algún vector no nulo jc e V lal que /(X ) = Ax,
esto es, si el endom orílsm o / — A/ (donde i la aplicación idéntica de V
en V) no es inyectivo.
Si A es un autovalor de / , los vectores j? e V tales que f{X) = Ajc se
llaman autovectores (o vectores propios) de / asociados a A; estos auto-
vectores fonnan un subespacio, que es:
V, = {,v G V /f(Jc) = Áx] , esto es V, = N uc ( / - A/)
A se le llama subespacio propio del endom orfísm o / asociado a su
autovalor A.
O B S E R V A C IO N E S
Si se verifica la anterior relación f{x) = A.v, para poder decir que el escalar
A € R es un autovalor de / se ha exig id o que sea x i ^ d . Si se hubiera
adm itido la posibilidad x - o , habría resultado que lod o escalar A sería
autovalor, ya que f(Ó) = <7 = A¿) para cualquiera que sea A € AT.
Dado un escalar A e A', es ob vio que cada una de las sigu ien tes relacion es
eq u ivale a la que le sigue:
2.
3.
4.
/(.f) = A.v, /( jc ) - A X = ¿i
f ( x ) - \ i { x ) = d, ( /~ A /) ( X ) = ^, . f e N u c ( / - A O
D e ahí que se verifiquen las anteriores afirm aciones: I) A € AT e s au tovalor
de / si y só lo si / - Ai no es inyectiva; y 2) \ \ e s el n ú cleo de / - A/.
El escalar A = O es autovalor de / si y só lo si / - 0 / no e s in y ec tiv o , e s
decir, si / no es in yectivo.
Un endom orfism o cualquiera no tien e que tener, n ecesariam ente, algún
autovalor. A sí ocurre con los d os ejem p los sigu ien tes:
• Si V es el esp acio vectorial de lo s p o lin om ios, p(x), reales o co m p lejo s,
el en dom orfism o p{x)—^xp(x) carece de au tovalores.
• El en dom orfísm o /(jc , x), tam poco tien e au tova­
lores. ya que
/(X , y) = A(a·, v)
(A·, > 0 ^ ( 0 , 0 )
y = —A.v , A* = Ay
(A·, y ) # (O, 0) y # ( )
=> A ^ = - l
y no ex iste ningún A e R tal que A^ = -* 1.

333. Á LG EBR A LIN Q Il
5. Al conjunto de los autovalores de un endom orfism o / se le llama espectro
de / , y se le denota por a{f). N ótese que la relación A í (rtf) equivale a
la V;, = O.
EJER CIC IO
Sea V el espacio vectorial de los p olinom ios com p lejos (o reales) con uiu
indeterminada jt; sea / : V—► V el siguiente endom orfism o:
p(x) = + fl,Jt + - + ■' + a X —* f(p(x)) = a„ + a„. ^x + - + + a /
Hallar los autovalores y los autovectores de / .
RESOLUCIÓN
La ecuación f{p(x)) = Áp(x), donde p(x) e V y A e C , equivale a las:
fl„ = Aíi„, .... a, = A ü ,.;
......a„ = Aa„
De a¡ = A«„_j y de = Aa„ se deduce que a¡ = para / = O, I . n. Como
ha de ser p(x) # o, alguno de los a¡ deben ser no nulos y , dado que
resulta que A^= 1. Los autovalores de / son, pues, A = l y A = - l y los
correspondientes subespacios propios serán;
V^ = [p íx )b V I a, = a „ ,¡ para i = O, I
.....«)
V-, = [p(x) e V I a ¡= - a „ ., para ; = O, I. « )
PROPOSICION
Í1621
Sean A,, Aj, Á p S K autovalores distintos de un endomorfismo
/ : V'—» V, del espacio vectorial V O (/T es el cuerpo de escalares); se
verifica que;
1. Si ^ o es un vector propio de / correspondiente al autovalor A,
para i - 1, 2, p, entonces jc^) es un sistem a linealmcntc
independiente.
2. Los subespacios propios asediados a los autovalores A,., para / == 1,
2, p, son independientes, es decir, su suma es directa:

334. 1 S M 0 S Y M A T R IC E S 3 2 9
DEMOSTRACIÓN
I. Supongam os que la proposición es falsa, es decir, que {x ,, .... x^] es
linealm ente dependiente. Sea ;c^+, el primero de los vectores del sistem a
que depende linealm ente de ios que le preceden; es decir, jc,, ..., son
linealm ente independientes y
^r+i = ·*· + cíertos escalares h¡) [ I ]
Hallando la im agen por / de am bos m iem bros de esta igualdad, com o
f{x^ = k¡x¡ para / = 1, 2, r-f- 1, resulta que:
= /í.A.JCi + M2^2 + *·· + [ 2]
M ultiplicando ambos miem bros de [1] por y restándole la [2 ],
resulta que
ó = I “ A|)Xj + /í2(A;.+ i "" ^2)^2 *“
Ahora bien, com o {x^y x^, jcJ es linealm ente independiente, de aquí se
deduce que los co eficien tes — A,) han de ser todos nulos (para / = I,
2, ..., r) y, dado que los autovalores son distintos (A^.^ Á¡ para / = I, 2,
..., r), ha de ser - = h^ = 0, lu ego de [1] se desprendería que
^r+i contra la hipótesis. Esta contradicción ob liga a rechazar la
no independencia de {jc,, jcj, ..., Jc^j.
2. Supongam os que la suma no fuese directa, es decir (v éa se [0 7 4 ], H), que
existen ;c, e ..., jc^ e no todos nulos y tales que jc, + — + Jc^ = d.
Podem os suponer, sin pérdida de generalidad, que los vectores no nulos
son lo s r primeros ( l ^ r ^ p ) , con lo que x^ H- — + jc^ = <7, sien d o Jc, e
y x ¡ ^ d para i = 1,2, . . . , r, y esto no e s p osib le pues contradice al resultado
precedente. A sí, pues, la suma del enunciado tien e que ser directa.
O B S E R V A C IO N E S
1. S i A, y Aj son autovalores distintos de un endom orfism o, en ton ces sus
su bespacios propios y tiene intersección nula, O = O, ya que
su suma es directa.
2. Si / : V—► V es un endom orfism o en un esp acio vectorial V de d im en sión
finita n, entonces / no puede tener m ás de n autovalores d istin tos. En
e fecto , si tuviese más de n, según la anterior propiedad 1 de [1 6 2 ], en V
habría un sistem a de más de n vectores que sería linealm ente in depend ien ­
te, lo que no es p osible.

335. AUTOVALORES V AUTOVECTORKS
DE UNA MATRIZ CUADRADA
[163]
Sea A una matriz cuadrada de tam año n x n. cu yos elem entos pertcncccn
a un cuerpo K, Se dice que Á e K cs un autovalor (o valor propio) de A
si existe alguna matriz colum na no nula X e tal que AX = Ajt. Si A
es un autovalor de /4, las colum nas X tales que AX - XX se llaman
autovectores (o vectores propios) de A asociad os a A; todos los vectores
propios asociados a A forman un subespacio vectorial de que se
llama subespacio propio de A asociado al autovalor A.
Sea / : V —► V un en d om od lsm o, del esp acio vectorial V O: sc^ K
el cuerpo de escalares. Si dim V = n y si /4 es la matriz de / en una cierta
base de V, entonces:
/El
\e s
El escalar Á e K
es autovalor de J]
<=>
\ ^ p l escti
/ \e s auto
/E l escalar Á b K es tal que \
\/ \ “ A/ es una matriz sin gular/
El escalar A g \
autovalor óe A )
2.Si A es un autovalor de / (o de A) y llam ando X a la columna de
coordenadas de un vector x e V, en la base citada, entonces:
(x es un au tovector\ (X es un au tovector\ /a ^
[de f asociado a A / ^de A asociad o a A / ^ ^ ^
La dim ensión del subespacio propio (de / o de A) asociado a A cs:
dim n — rang (A — A /)
COMPROBACIONES
I. D ecir que Á e K es autovalor de / sign ifica que cs f(x ) = Ajf para algün
Á e V n o nulo. U tilizando coordenadas, esto últim o se expresa d ic ie n d o que
se verifica AX = ÁX para alguna X e no nula, que a su vez equivale
a decir que A es un autovalor de A.
N ótese ahora que la relación AX = AX puede ponerse en la fi^rn»
AX - ÁIX (donde / es la matriz unidad), o en la {A - A/)X = O. Por lanio.
\ e K será autovalor de A si, y sólo si, la ecu ación matricial (A - A/).X ^ ^
tiene solución no nula (para la incógnita X): esto líltim o aconlecc si, y siito
si, la matriz - A/, de dicha ecuación hom ogénea en la incó gn ita ^
una matriz singular, com o había que com probar.

336. IF IS M O S Y M A T R IC E S 3 3 1
2. Un vector á e V es autovector de / asociado al autovalor A si, y sólo si,
f(x ) = Aá, lo que equivale a que AX = AX. lo que sign ifica que X e
es autovector de A asociado a A. O bsérvese que la ecuación AX = AX se
puede poner en la forma (A - A/)X = O, de la que se obtienen, pues, los
autovectores de A asociados a A.
C om o el subespacio propio (de A) está formado por las soluciones
de la ecuación hom ogénea (A - A/)X = O, las cuales forman un subespacio
de dim ensión n-nxngiA - ÁI) (véase el teorema de Rouché. [lO ó], 2.®),
resulta que esta diferencia es la dim ensión de
EJERCICIO
Sea el endom orfism o definido por
{x, y, z) —^ (x \ z') = Ox, x + 2y, 4x -f 2z)
Hallar lo s autovalores de / y sus correspondientes subespacios propios.
RESOLUCION
La ecuación X' = AX de / en la base canónica es:
x'~■3 0 0’~x~
y '
=
1 2 0 y
.z'_.4 0 2 ..z.
Por tanto, los autovalores de / son los A e R para los que
es singular, que son _
■3 - A O O
1 2 - A O
4 O 2 - A
= 3
2
El subespacio propio V3, correspondiente a A = 3, tiene por ecuación a
3l)X =0,esto es:
'00 0 'X
1- 10y
.4 0- 1 ._z.
lu e g o Vj = { ( a , a , 4a ) / a s i
El subespacio propio correspondiente a A = 2, tiene por ecuación a
(A - 2/)X = O, esto es:
luego Vj = {(O, a, fi) I a, P R)
"1 0 0 'V '0 '
1 0 0 y
= 0
_4 0 0..z..0.

337. ^ POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ
Según se acaba de decir, en el caso de dim ensión finita los autovalores, de uo
endomorllsmo / o de su matriz A, son los escalares A que hacen át A - \ ¡
una matriz singular. Recurriendo a los determ inantes, del anterior resultado se
desprende que:
[ 1 6 4 ]
Sea A = \a¡j\ una matriz cuadrada de tamaño n x n, cuyos elementos
pertenecen a un cuerpo K. Los autovalores de A son los escalares ÁeK
tales que det (A - A/) = O, esto es, que:
^12
“2/.
= 0
/esta ecuación, en la
incógnita A, se llama
ecuación característica
de la matriz A - [a¡j\ ¡
Tomando a A com o indeterminada, d e t ( i 4 - A / ) es un polinomio, con
coeficientes en y de grado n, que se llam a polinomio característico de
la matriz A, Este polinom io es:
det (A - A /) = ( - 1)” A” *f ( - i r ’ H fl,, + «22 + - + « + - + det A
Los autovalores de la matriz A son, pues, las raíces A e de su polinomio
característico.
( ♦ ) Sólo se dan aquí los coeficientes de A", A"“‘ y A" (ténnino independiente). Respecto
de los demás, véase la «observación» que se hace más adelante. Se llama traza de ^ a la
suma trA = a^^ +0 2 2'^ ♦♦· +
COMPROBACIÓN
1. De acuerdo con lo ya obtenido, en el apartado [163], el escalar A e/^es
autovalor de A si, y sólo si, la matriz A — X¡ es singular, lo que equivale
a decir que det {A - A/) = O, que es la ecuación característica.
2. Desarrollando el determinante ác A - A/, para lo que los elementos
de su diagonal se manejan com o escalares de K, la expresión a la que se
llega es, evidentem ente un polinom io de grado n.
3. En el polinom io característico, al desarrollar det {A — A /), los términos de
grado n y los de grado n - 1 proceden todos del térm ino de dicho desarrollo
que resulta de multiplicar los elem entos de su diagonal principal (en los
demás términos del desarrollo el mayor grado es n — 2): esto es. los
términos en A" y en A"“ ‘ de det (A — A/) son los térm inos en A" y en A"'* de
( t í , , - A ) (íJ2 2 - A ) ...( a „ ^ - A ) =
= ( - ir A " + ( - i r - ‘(cí„ + «22 -f ... + + - + ( « i i « 2 2 - 0

338. F IS M O S Y M A T R IC E S 3 3 3
que son ( - 1 ) " y ( - iy'"*(íí|, + íIjj + — + O » í^egún hc había anunciado.
Por otra parte, el térm ino independiente, com o es el valor de p olin om io
para A = 0 , valdrá d e l(/\ -O A ) = d etA , con lo cual con clu ye la com pro­
bación.
E JE R C IC IO
Sea A una matriz cuadrada, cu yos elem en tos pertenecen a un cuerpo K, C om ­
pruébese que:
1. Si A es un autovalor de A, entonces A^ es un autovalor de A^,
2. S\ Á e K no es autovalor de A, A^ puede ser autovalor de A^.
3 . Puede ocurrir que A^ tenga algún autovalor y que A carezca de e llo s.
RESOLUCIÓN
I. Se sabe que det (i4 - A/) = O y hay que probar que det(>4^ - X^l) = 0 . Esto
es cierto ya que
(>4 + A /) ( A - A / ) = > 4 ^ - A V
luego
det (A^ - Á^D = [det {A + Ál)]ldet (A - A/)] = [det (A -H A /)]0 = O
2. A sí ocurre con la siguiente matriz real A, ya que A = 3 no es autovalor de
A y A^ = 9 si es autovalor de Ah
- 3 0
; =
9 0"
l - 3 - 6 9
A =
3. A sí ocurre con la siguiente matriz real A, ya que A carece de autovalores
(el cuerpo de escalares es R ) y A = - 1 es autovalor de Ah
A =
0 I'
; /!* =
- 1 0 '
- 1 0 0 - 1
O B SE R V A C IÓ N
Anteriorm ente, al estudiar el polinom io característico det (A — A /) de una matriz
A = [a¡j] de tamaño n x n, sólo se obtuvieron tres de sus coeficien tes; vam os
ahora a determiniu· todos, com probando que el térm ino de grado h de d ich o
p olinom io vale
(-A )^Suma de los
n
v v
m enores diagonales de orden n - h ác A
donde se han llam ado menores diagonales de A a las m enores de las subm a-
trices de A que están situadas sim étricam ente respecto de la diagonal; esto es.
aquellas que se obtienen tomando los índices de sus filas igu ales a los ín d ices
de sus colum nas.

339. Á LG EBR A LINEAL
Para desarrollar det (A - A /), descom pongam os cada una de las filas de
A - Á¡ com o suma de las correspondientes filas de i4 y de - A /; con ello, se
obtiene el det (A - A/) com o suma de 2'* determ inantes, que son, para /i = 1,2,
n, los determinantes que resultan de sustituir h filas de A por las
correspondientes filas de - A / . El determinante de la matriz que se obtiene de
susdtuir, en A, las filas /„ i,, ..., //, por las correspondientes filas de ~A/,
desarrollándole por estas filas (en cada una de las cuales sólo dene un elemento
no nulo, que vale - A ) resulta ser igual a (-A )* por el determinante de la
submaüiz que se obtiene de prescindir de las filas /,, ¡2, //, y las columnas
de los mismos órdenes, que es un menor diagonal de orden n - h . Al hacer
esto, para cada h fijo, de todos los m odos p osib les, se obtienen todos los
menores diagonales de orden n - h , \o que conduce al resultado que se había
anunciado.
POLINOMIO CARACTERÍSTICO
DE UN ENDOMORFISMO
[165]
Sean A y A* dos matrices cuadradas de tamaño n x n , cuyos elemen­
tos pertenecen a un cuerpo /í. Si A y A' son sem ejantes (es decir, si
A' = P'^AP para cierta matriz regular P\ véase [094]), entonces A y
A' tienen el mismo polinom io característico (y, por ello, la misma
ecuación característica):
[A' semejante a A] det ( A '- A /) = det (A -A /)
2. Si / : V—► V es un endom orfism o, en el espacio vectorial dt
dimensión n (sea K el cuerpo de escalares), entonces todas las ma­
trices de / (en las distintas bases de V) tienen el m ism o polinomio
característico y la misma ecuación característica, que se llaman po­
linomio característico y ecuación característica del endomorfismo /.
Los autovalores de / son aquellos escalares Á e K que son raíces de
su polinom io característico.
DEMOSTRACIÓN
1. A' - A/ = P -'A P - A/ = P “ 'AP - p -'A //> = P \A - A /)P , luego
det (A' - A /) = (d et/> -')[d et(A - A /)](d e tP ) =
= (det P )'*[d et (A - A /)] (det P) = det (A - A/)
2. Como todas las matrices asociadas a / , en las distintas bases de V, son
semejantes entre sí (véase [094]), según lo que se acaba de probar tienen
el mismo polinom io característico.

340. :|ÓN D E E N D O M O R F IS M O S Y M A T R IC E S 3 3 5
Finalm ente, corno los autovalores de / son los autovalores de cualquier
mìatriz asociada a / (véase [163], 1), aquellos son los tales que
det(i4 — A /) = O (véase [164]) donde A es cualquier matriz asociada a / ,
es decir son los A e / í que son raíces del polinom io característico de A,
que es el de / .
OBSERVACIONES
1. Sean A = [a,^] y A' = [a'] dos matrices cuadradas de igual tamaño. Si A y
A* son sem ejantes, com o entonces tienen el m ism o polinom io característi­
co , serán iguales los respectivos coeficien tes de ambos polinom ios y, en
particular, A y A' tendrán la misma traza:
lA' sem ejante a A]
\a'u + «22 + - + «,'n = «II + «22 + - + «»J
2. C om o todas las matrices de un m ism o endom orfism o (en las distintas
b ases) son sem ejantes, todas tienen la misma traza, a la que se llama traza
del endom orfism o.
EJERCICIO
Hallar el polinom io característico del endom orfism o definido m e­
diante:
(*^1» Xy *^4’ *^5) ( *^2» *^1 *^3’ ^ 3 *^4» ^ 4 ^^^5)
RESOLUCION
El polinom io característico de / es el de cualquiera de sus matrices y, en
particular, el de su matriz respecto de la base canónica, que es la
0- 1 0 00
10100
0 02- 10
0 00 26
0 00 0 3
El polinom io caracteristico de esta matriz es:
A - 1 0 0 0
1- À 1 0 0
0 02 - A - 1 0
0 0 02 - A 6
0 0 0 03 - A
:0 , e s to e s : ( 3 - A)(2-A)^(A^+l)

341. MULTIPLICIDADES ALGEBRAICA
Y GEOMÉTRICA DE UN AUTOVALOR
[166] S e a / : V u n e n d o m o r f i s m o , d e l e s p a c i o v e c to r ia l Vi^O d i m e n ­
sió n finita n\ s e a K el c u e r p o d e escal a re s. S e a A u n a m a t r i z c u a d r a d a de
t a m a ñ o « x/i, c u y o s e l e m e n t o s p e r t e n e c e n a K. S i s K es un autovalor
d e / o d e A , se l l a m a n :
• Multiplicidad algebraica d e A q e s el o r d e n d e mul ti p li ci d ad , m , de
A o c o m o raíz d e la e c u a c i ó n característica, d e / o d e A .
• Multiplicidad geométrica d e A „ e s la d i m e n s i ó n , d, del subespacio
p r o pi o , d e / o d e A , a s o c i a d o a Áq.
Si A e s m a t r i z d e / ( e n cierta b a s e d e V), e n t o n c e s los a u t o v a l o r e s de A
y d e / s o n los m i s m o s y c a d a u n o d e ellos tiene, e n A y e n /, la m i s m a
m u l t i p l i c i d a d a l g e b r a i c a y la m i s m a m u l t i p l i c i d a d g e o m é t r i c a .
Si A „ es u n a u t ov a lo r, d e / o d e A , e n t o n c e s e n t r e s u multiplicidad
a l g e b r a i c a m y s u m u l t i p l i c i d a d g e o m é t r i c a d s e ver if i ca la relación:
X ^ d ^ m
DEMOSTRACIÓN
A n t e s d e p r o c e d e r a c o m p r o b a r q u e X ^ d ^ m , c o n v i e n e r e c o r d a r que, si A es
m a t r i z d e /, e n t o n c e s A y / t i e n e n la m i s m a e c u a c i ó n característica, p u e s tienen
el m i s m o p o l i n o m i o característico ( v é a s e [ 165]), y p o r ello t ie n e n los mismos
a u t o v a l o r e s y é st os t ie ne n i gu a l e s s u s m u l t i p l i c i d a d e s a l g e b r a i c a s , p a r a A y para
/. A d e m á s , c o m o las d i m e n s i o n e s d e los s u b e s p a c i o s p r o p i o s d e A y de /
a s o c i a d o s a u n a u t o v a l o r A „ s o n , r e s p e c t i v a m e n t e :
n - r a n g ( A - ÁJ) y n - r a n g ( / - A^,/)
(/ es la m a t r i z u n i d a d « x « e / : V — * V e s la a p l i c a c i ó n i dé ntica) resulta, pues,
q u e éstas s o n iguales; e s decir, las m u l t i p l i c i d a d e s g e o m é t r i c a s d e Aq c om o
a u t o v a l o r d e A y c o m o a u t o v a l o r d e / s o n iguales.
Si A q es u n a u t ov a lo r, e n t o n c e s tie ne a s o c i a d o a l g ú n a u t o v e c t o r n o nulo,
l u e g o el s u b e s p a c i o p r o p i o d e A „ tiene d i m e n s i ó n i g u a l o m a y o r q u e 1, estoes,
se verifica q u e 1 < d.

342. a c ió n d e e n d o m o r f is m o s y m a t r ic e s 3 3 7
V a m o s a s u p o n e r q u e A<, e s a u t o v a l o r del e n d o m o r f i s m o / ; el c a s o d e
a u t o v a l o r d e A e s e q u i v a l e n t e al anterior. R e c u r r a m o s a u n a b a s e ..., é^)
d e l s u b e s p a c i o p r o p i o a s i K Í a d o a y c o m p l e t é m o s l a h a s t a o b t e n e r u n a b a s e
(é|, ..., . .é^) d e V. L a m a t r i z d e / e n esta b a s e será, e x p r e s a d a e n b l o q u e s ,
d e l tipo:
\qI tiene t a m a ñ o dxd
N e s d e t a m a ñ o {n - d)x{n - d)
O m a t r i z n u l a {n — d)xd
P o r tanto, el p o l i n o m i o característico d e / será:
: ( A o - A ) ^ d e t {N - A / ) = (A o - A ) ^ ( A )
M
0N
(Ao“ A)/M
0 N-XI
d o n d e p ( A ) = d e l {N - XI) c s u n p o l i n o m i o d e g r a d o n - d. P o r tanto, X q c s raíz
d el p o l i n o m i o característico d e / c o n o r d e n d e m u l t i p l i c i d a d m a y o r o igual q u e
d, e s t o cs, se verifica q u e m ^ d (es d e o r d e n d si n o e s raíz d e p(X)\ c s d e
o r d e n m a y o r q u e d si e s raíz d e p{X)),
K J E M P L O
C o n s i d e r e m o s la s ig ui e nt e m a t r i z A
I 2 r
O 1 O
0 4 3
(c e R d a d o )
R e c u r r i e n d o a s u e c u a c i ó n característica, resulta q u e s u s a u t o v a l o r e s son :
A, = 3 ( s i m p l e )
l - A 2 c
d e t ( A - A / ) = 0 l - A 0= ( l - A ) ^ 3 - A ) = 0 -
0 4 3 - A
A , = 1 ( d o b l e )
E l s u b e s p a c i o p r o p i o c o r r e s p o n d i e n t e a A, = 3 e«:
Va. 3 :
-2 2 c
O - 2 O
O 4 0
‘O '
=0
_ 0_
| ( c a , O, 2cr / of e I
las m u l t i p l i c i d a d e s a l g e b r a i c a y g e o m é t r i c a d e A, = 3 s o n p u e s m = l y d -
E l s u b e s p a c i o p r o p i o c o r r e s p o n d i e n t e a A j = l es:
02c “ ‘o'
00 0y0 — ·
04 2 _ .0.
Si c = 1, V , . , = ((a. fi, -2fi) ! ^ e I
Si c í t 1. V^,., = {(«, 0. 0 ) / « , ^ € R )

343. L a m ul tiplicidad a lg eb r ai ca d e A j = 1 es m = 2 ( p a r a c u a l q u i e r a q u e sea c); la
multiplicidad g e o m é t r i c a d e A j = 1 es = 2 ó í/ = 1 s e g ú n q u e s ea c = 1 ó c ^ i,
r e s p e c t i v a m e n t e .
OBSERVACIONES
3.
U n « a u t o v a l o r s i m p l e » , d e u n e n d o m o r f i s m o o d e u n a matriz, es u n escalar
\q eK ( d o n d e K e s el c u e r p o d e e sc alares) q u e e s raíz s i m p l e d e la ecuación
caracteristica, del e n d o m o r f i s m o o d e la m at r i z ; e s decir, es raíz c o n orden
d e m ultiplicidad m = L C o m o la m u l t i p l i c i d a d g e o m é t r i c a d d e A „ es tal que
1 resulta q u e h a d e ser d — l. E l s u b e s p a c i o p r o p i o asociado a un
a u t o v a l o r s i m p l e tiene, p ue s, d i m e n s i ó n l.
D o s m a t r i c e s c u a d r a d a s A y A* q u e s e a n s e m e j a n t e s tienen los mismos
a ut o v a l o r e s y c a d a u n o d e ést os tiene, r e s p e c t o d e A y respecto de A\
la m i s m a multiplicidad alg eb r ai ca y la m i s m a multiplicidad geométrica.
E s t o se d e s p r e n d e del h e c h o d e estar A y A' a s o c i a d a s a u n m i s m o
e n d o m o r f i s m o .
L a r e c í p r o c a d e la anterior p r o p i e d a d e s falsa. E s decir, d o s matrices
c u a d r a d a s d e igual t a m a ñ o , A y A \ q u e t e n g a los m i s m o s autovalores y
q u e c a d a u n o d e ést os t enga, r e s p e c t o d e A y d e A ' , la m i s m a multiplicidad
a l g e b r a i c a y la m i s m a m u l t i p l i c i d a d g e o m é t r i c a p u e d e n , sin e m b a r g o no
ser m a t r i c e s s e m e j a n t e s . A s í o cu r r e , p o r e j e m p l o , c o n las siguientes matri­
c e s A y A ' reales;
A =
*2 10o‘ ~210 o‘
0 2 1 0
; A' =
0 2 0 0
0 02 0 0 0 2 1
00 0 2_ _{)0 02_
A m b a s t ienen u n s o l o a ut ov a lo r, q u e e s A = 2, y éste tiene, e n A y en
m u l t i p li ci d ad a l g e b r a i c a w = 4 y m u l t i p l i c i d a d g e o m é t r i c a d = l. N o obs­
tante, A y A ' n o s o n s e m e j a n t e s , y a q u e la r e l a c i ó n A' = P " ' A P , don de ?
es m a t r i z regular, o s u e q u i v a l e n t e PA* = AP n o tiene s o l u c i ó n (con P r e ­
gular). E s t o s e c o m p r u e b a f á c i l m e n t e l o m a n d o u n a m a t r i z g en érica P, de
t a m a ñ o 4 x 4 ( c o n 1 6 p a r á m e t r o s ) , r e a l i z a n d o los p r o d u c t o s PA* y AP t
identificando; h a c i e n d o esto, n o s e n c o n t r a m o s c o n q u e P h a b r í a d e ser (para
ciertos n ú m e r o s reales a, /?, c, d, e y /):
b
a
O
e
q u e n o p u e d e ser r eg u l a r (tiene s u tercera fila nula).

344. d e e n d o m o r f is m o s y m a t r ic e s 339
^ NÚMERO MÁXIMO DE AUTOVECTORES
INDEPENDIENTES
(1671
S e a / : V — ► V u n c n d o m o r f i s m o , dcl e s p a c i o vectorial O de d i m e n ­
s i ó n finita «; l l a m a m o s K al c u e r p o d e los escalares. S e a A u n a m a t r i z
c u a d r a d a d e t a m a ñ o n x n, c u y o s e l e m e n t o s p e r t e n e c e n al c u e r p o K.
Si los a u t o v a l o r e s distintos, q u e tiene / o A , s o n A,, Aj, K y
si las m u l t i p l i c i d a d e s g e o m é t r i c a s d e é s t o s s e d e n o t a n p o r df = d i m
p a r a / = l, 2, ..., p, e n t o n c e s el n ú m e r o m á x i m o d e v e c t o r e s p r o p i o s
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , d e / o d e A , e s í/, + í/j + · · + d^.
N ó t e s e q u e . si m , e s la m u l t i p l i c i d a d a l g e b r a i c a d e A,., se verifica:
p < í/, + í/2 ·** ^ *** ^
COMPROBACIÓN
C o m o los s u b e s p a c i o s p r o p i o s ( f o r m a d o s p o r los v e c t o r e s p r o p i o s ) s o n
i n d e p e n d i e n t e s , e s t o es, t i e n e n s u m a directa ( v é a s e |I621), el n ú m e r o m á x i m o
d e v e c t o r e s p r o p i o s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s se c o n s i g u e t o m a n d o u n a b a s e
e n c a d a u n o d e ellos y u n i e n d o t o d a s ellas. P u e s t o q u e u n a b a s e d e c o n s t a
d e d¡ v ec t o r e s , resulta q u e el n ú m e r o m á x i m o d e v e c t o r e s p r o p i o s , d e / o d e
A , l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s e s í/, + í/j + ··· + d^.
L a r e l a c i ó n q u e f igura al final del a nterior e n u n c i a d o e s c o n s e c u e n c i a o b v i a
d e las r e l a c i o n e s 1 ^di^m ¡ p a r a i = 1, 2, ..., p ( v é a s e [166]).
RECORDATORIO
E n lo q u e sigue, v a m o s a p r e c i s a r d e a l g u n a s c u e s t i o n e s relativas a las raíces
d e los p o l i n o m i o s y a las m u l t i p l i c i d a d e s d e aquéllas. C o m e n c e m o s r e c o r d a n d o
e s t o s r esultados:
[168]
S e a p{x) u n p o l i n o m i o , c o n u n a i n d e t e r m i n a d a x, c u y o s c o e f i c ie nt e s s o n
e l e m e n t o s d e u n c u e r p o K (interesan e s p e c i a l m e n t e los c a s o s K = U y
K = C ).SiÁ eK es tal q u ep(\) = O, s e d i c e q u e A e s u n a raíz d ep{x).
Si p(A) = O p a r a u n A p e r t e n e c i e n t e a u n c u e r p o H m á s a m p l i o q u e K,
s e d i c e q u e A e s u n a raíz d e p(x) e n H. P a r a q u e A s e a u n a raíz d e p(x)
e s n e c e s a r i o y suficiente q u e p(x) s e a divisible p o r x - Á, e st o es, q u e
p{x) = (x- Á)qM, d o n d e q(x) e s o t r o p o l i n o m i o .

345. ÁLGEBRA LINEAL
2. S e l l a m a m u l t i p l i c i d a d u o r d e n d e m u l t i p l i c i d a d d e u n a raíz A dcl
p o l i n o m i o p ( x ) al m a y o r d e los n ú m e r o s n a t u r a l e s m tales q u e p(x) sea
divisible p o r (jc - A)"*; si w = 1, 2, 3, etc., s e d i c e q u e A es raíz simple,
d o b l e , triple, etc., d e p ( x ) . Si p ( x ) t iene g r a d o n , si las raíces de p(x)
s o n A „ A2, .... A ^ y si las m u l t i p l i c i d a d e s d e é st as s o n , respectivamente,
m , , m j , ...» e n t o n c e s se verifica q u e , p a r a cierto p o l i n o m i o q(x) (que
p u e d e ser con st a nt e) , es:
d o n d e
p i x ) = (jc - A,)"’«(jc - Á2r ^ -(x ~ (1)
(si el g r a d o d e p ( x ) e s «, e n t o n c e s p ( x ) t ie ne a lo s u m o n raíces).
3. U n p o l i n o m i o c o m p l e j o (esto es, q u e t ie ne s u s c o e f i c i e n t e s complejos)
p ( x ) d e g r a d o n tiene e x a c t a m e n t e n r aí ce s c o m p l e j a s , si se c ue n t a cada
u n a d e ellas tantas v e c e s c o m o i n d i c a s u m u l t i p l i c i d a d ; esto es. la
anterior d e s c o m p o s i c i ó n [1] e s a h o r a , q u e K = C:
P ix ) = c { x - A,)'"'(jc - A2) " ^ ...( x - A ^ - .
c o n
//2, + + ··· -f- = /I ( g r a d o d e p i x ) )
c 6 C c o e f i c i e n t e del t é r m i n o d e m a y o r g r a d o
C u a n d o c o n u n c u e r p o K o c u r r e , c o m o c o n C , q u e t o d o p o l i n o m i o (de
g r a d o n ^ \ ) c o n c oe fi c i e n t e s e n K t iene a l g u n a raíz e n Á , se dice que
K e s a lg e b r a ic a m e n t e c e r r a d o .
4. El c u e r p o R n o e s a l g e b r a i c a m e n t e c e r r a d o . L a d e s c o m p o s i c i ó n de un
p o l i n o m i o real p { x ) e n p r o d u c t o p o l i n o m i o s i r r e d u c i b l e s reales tiene, en
general, p o l i n o m i o s d e p r i m e r y d e s e g u n d o g r a d o , e s t o e s d e los tipos:
A -a y jc^ + rjc + í
c o n
f^ -4 s< 0
P e r o t o d o p o l i n o m i o p i x ) d e g r a d o n ^ 1 c o n c o e f i c i e n t e s reales tiene
n raíces c o m p l e j a s ( a l g u n a s d e ellas, o t od as , p u e d e n ser reales), si se
c u e n t a c a d a u n a tantas v e c e s c o m o i n d i c a s u multi p li ci d ad . Si A es
u n a raíz c o m p l e j a del p o l i n o m i o real p(jc), e n t o n c e s A ( n ú m e r o con^
piejo c o n j u g a d o d e A ) t a m b i é n e s raíz d e p ( x ) y lo e s c o n la m i s m a
m ul t i p l i c i d a d q u e A.

346. D E E N D O M O R F IS M O S Y M A T R IC E S 341
^ MULTIPLICIDADES ALGEBRAICAS
EN LOS CASOS REAL Y COMPLEJO
S e a / : V — ^ V u n e n d o m o r f i s m o , del e s p a c i o vectorial real o c o m p l e j o
V ^ O , d e d i m e n s i ó n finita n. S e a t a m b i é n A u n a m a t r i z c u a d r a d a real o
c o m p l e j a d e t a m a ñ o n x n,
1. E n el c a s o c o m p l e j o , el e n d o m o r f i s m o / ( c o m p l e j o ) y la m a t r i z A
( c o m p l e j a ) t i e n e n al m e n o s u n a u t o v a l o r (complejo^**); si c a d a aut o-
v a l o r s e c u e n t a u n n ú m e r o d e v e c e s igual a s u m u l t i p l i c i d a d a l g e ­
braica, e n t o n c e s f y A t ie n e n e x a c t a m e n t e n a u t o v a l o r e s ( c o m p l e -
jos<·»).
2. E n el c a s o real, el e n d o m o r f i s m o / (real) o la m a t r i z A (real) p u e d e n
c a r e c e r d e a u t o v a l o r e s (reales) y, c a s o d e tenerlos, a lo s u m o t i e n e n
n a u t o v a l o r e s (reales), c o n t a n d o c a d a u n o tantas v e c e s c o m o i n d i q u e
s u m u l t i p l i c i d a d algebraica. N o obsta n te , / (real) y A (real) t ie ne n
s i e m p r e n a u t o v a l o r e s c o m p l e j o s ( c o n t a n d o c a d a u n o el n ú m e r o d e
v e c e s q u e s e ñ a l a s u m u l t i p l i c i d a d algebraica).
(*) Cuando aquí decimos que un autovalor es complejo, no se dcscartu lu posibilidad
de que, en particular, pudiera ser real; esto cs. que tuviera nula su parte imaginaria.
DEMOSTRACIÓN
T a n t o p a r a / c o m o p a r a A , s u s a u t o v a l o r e s s o n las raíces del p o l i n o m i o
característico ( v é a s e 11641), q u e tiene g r a d o n. P o r tanto, las anter i or es a f i r m a ­
c i o n e s l y 2 s o n reflejo d e lo d i c h o e n 1 1 6 8 1 3 y 4, r e s p e c t i v a m e n t e .
COMPLEJIFICACION DE UN ESPACIO
VECTORIAL REAL
E n el e s t u d i o d e los e n d o m o r f i s m o s d e u n e s p a c i o vectorial, m u c h o s r e s u l t a d o s
s o n v á l i d o s tan to si los e sc al a re s s o n n ú m e r o s reales c o m o si s o n n ú m e r o s
c o m p l e j o s . P e r o n o o c u r r e así s i e m p r e . U n a c a u s a d e ello, q u e se h a h e c h o y a
n o t a r e n el anterior resultado, e s el h e c h o d e q u e C s e a u n c u e r p o a l g e b r a i c a ­
m e n t e c e r r a d o , c u a n d o R n o lo es. T a m b i é n c o n v i e n e n o t a r q u e h a y p r o p i e d a ­
des , q u e s e verifican e n a m b o s cas os , real y c o m p l e j o , p e r o q u e se p r u e b a n
m á s f á c i l m e n t e e n el s e g u n d o d e ellos.
P o r esto, d a d o u n e s p a c i o vectorial real V, s e le v a a a s o c i a r u n e s p a c i o
vectorial c o m p l e j o Ve q u e g o c e d e las p r o p i e d a d e s d e V, al o b j e t o d e e st u d i a r
ést as e n y, l u e g o , « tr asladarlas» a V.

347. PRO PO SICIO N
[170] S e a V # O u n e s p a c i o vectorial real. C o n s i d é r e s e el p r o d u c t o cartesiano
VxV=V*. E s t e c o n j u n t o e s u n e s p a c i o vecto r ia l c o m p l e j o respecto de
las siguientes o p e r a c i o n e s s u m a y p r o d u c t o p o r u n n ú m e r o com pl e jo
a + bi:
{ü, v) + (ü\ v')^{u + í¡\
(a + v) = (ail — bv, bu + av)\ (1)
a este e s p a c i o vectorial le d e n o t a r e m o s p o r Si s ó l o se consideran
escalares reales ( o sea, si b = 0), este e s p a c i o vectorial p a s a a ser un
e s p a c i o vectorial real, al q u e d e n o t a r e m o s p o r V * .
El c o n j u n t o V x 0 = {{ü, ó) / ü s V] e s u n s u b e s p a c i o vectorial d e V*
i s o m o i f o a V, c o n el q u e se identifica p o n i e n d o (m, o) = w. El conjunto
O x V - {(ó, ü) / V eV] es u n s u b e s p a c i o vectorial d e V* i s o m o r f o a V,
al q u e se d e n o t a p o r y a q u e (ó, ó) = i(0, o) = iv. L o s subespacios
V x O = V y O x V = / V s o n s u p l e m e n t a r i o s d e V*. S e verifica (tanto para
V * c o m o p a r a V^) q u e ;
V*= ve,y={w + it;/w, veV ]
El e s p a c i o vectorial se l l a m a la complejificacíón d el e s p a c i o vectorial
real V.
(1) Esta operación se define como se haría si a + y (ü, 0 fuesen los números
complejos (a, fe) = a + fe, y (u, v) = u + io.
COMPROBACIONES
• L a a x i o m á t i c a d e e s p a c i o ( v é a s e [ 0 5 2 ] ) s e verifica p a r a V*, c o m o se c o m ­
p r u e b a trivialmente. N ó t e s e q u e el e l e m e n t o n u l o d e V * e s el (J, d) y que el
o p u e s t o d e (w, í5) e s el ( - m , -v).
• A ú n es m á s sencillo c o m p r o b a r q u e e s u n e s p a c i o vectorial; n o se pierda
d e vista q u e , aquí, el p r o d u c t o p o r u n e s c a l a r a g R v i e n e d a d o p o r
a ( ü , v) = ( a ü , a v )
• L a identificación («, ó) = m, p a r a w e V, e s lícita y a q u e la aplicación
VxO-^V, (w, Ò ) — w

348. d e e n d o m o r f i s m o s y m a t r i c e s 343
e s u n i s o m o r t i s m o del e s p a c i o vectorial VxO ( s u b e s p a c i o d e V^*) e n el V.
E l c o n j u n t o O x V es t a m b i é n u n s u b e s p a c i o d e V* y
O x V — V, ( d ,v )^ v
e s u n i s o m o r f i s m o d e e s p a c i o s vectoriales, c o m o s e c o m p r u e b a f ác il m e n t e .
C o n v i e n e o b s e r v a r q u e , d e a c u e r d o c o n la d e f i n i c i ó n d e p r o d u c t o p o r u n
n ú m e r o c o m p l e j o , y c o m o se p u e d e p o n e r v = (iJ, ó), es:
l u e g o
/y = / (iJ, d ) = ( d -ó , v + ó) = (ó, ü)
O x V = {(d , V) I v e V ] ^ { i ü I v ^ V ]
lo q u e c o n d u c e a d e n o t a r O xV c o m o /V.
N ó t e s e l i n e a l m e n t e q u e t o d o ( il, v ) e s e p u e d e p o n e r c o m o s u m a e n la
f o r m a :
(í7, tJ) = (í7, 5 ) + (ó, tJ) = « + iv
l u e g o V + / V = C o m o a d e m á s VniV = O , resulta q u e V e iV s o n s u b e s ­
p a c i o s s u p l e m e n t a r i o s d e N ó t e s e q u e la d e s c o m p o s i c i ó n (w, iJ) = m + iü
s i g u e s i e n d o v á l i d a y ú n i c a e n V * .
PROPOSICION
[1 7 1 ]S e a V # O u n e s p a c i o vectorial real y s e a V* la c o m p l e j i f i c a c i ó n d e V
( v é a s e [170]). S e verifica q u e :
1. Si ( é | , ..., é„) e s u n s i s t e m a l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e d e v e c t o r e s d e
V, o si e s u n g e n e r a d o r d e V o si e s u n a b a s e d e V, e n t o n c e s (J,,..., éj
t a m b i é n es, r e s p e c t i v a m e n t e , l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e e n V * , u n
g e n e r a d o r d e V * o u n a b a s e d e V*·
2. Si / : V — ► V e s u n e n d o m o r f i s m o , e n t o n c e s
= / ( « + m
e s u n e n d o m o r f i s m o e n V * . L a restricción d e a V es /. A d e m á s , si
V t iene d i m e n s i ó n finita y A e s la m a t r i z d e / e n cierta b a s e d e V,
e n t o n c e s A t a m b i é n e s la m a t r i z d e fe, e n la m i s m a bas e.
3. S e a A o 6 C u n a u t o v a l o r d el anterior e n d o m o r f i s m o / ^ : V * — ► V * . Si
A q e s real, e n t o n c e s A « e s u n a u t o v a l o r del e n d o m o r f i s m o f :V—*V,
S i + hi es c o m p l e j o ( n o real) y u-l· iv e s v e c t o r p r o p i o d e f^
c o r r e s p o n d i e n t e a A^,, e n t o n c e s V o = y ( « , v) e s u n s u b e s p a c i o , d e V,
i nv a r i a n t e p o r /, e s decir, tal q u e / ( V o ) c V q ; e n c o n c r e t o
f{ü) -aü.-bv y / ( y ) = + av. A d e m á s X ^^a -b i e s t a m b i é n u n
a u t o v a l o r d e fe y w — /ü e s v e c t o r p r o p i o d e f^ a s o c i a d o al a u t o v a ­
lor A„.

349. DEMOSTRACIÓN
1. V e a m o s q u e s o n ciertas las tres p r o p o s i c i o n e s relativas a S *
• Si S e s l i n e a i m e n t e i n d e p e n d i e n t e e n V, t a m b i é n lo e s e n V * ya
c o m o V * = V © / V, será:
(a, + + - + (a, + ib„)é„ = d =>
= > (a,é, + ··· + a„é,) + /(*,«, + - + = ó
___________________________
____ _______________Al g e b r a r
ü,é, + - + a „ c , = <5 = > a, = - = ÍI. = O
¿>,#i + ··· + = 5 = > b^ = ··■ = b„ = O
a^ + ibj = 0 p a r a ; = | , . . . . .
• Si S g e n e r a V, e n t o n c e s t a m b i é n g e n e r a y a q u e d a d o f/7, í?) e V *
c o m o w, t J e V , e x i s t e n c/p .... e R y b^, e R tales que
( p a r a y = i, 2, n):
ü = lajéj
i
B ^ l b / j
► l u e g o (üy y) = M + Ií; = X (¿i^ *f ibj)ij
• Si 5 e s b a s e d e V, e n t o n c e s e s i n d e p e n d i e n t e e n V y g e n e r a V; entonces,
s e g ú n las d o s p r o p i e d a d e s anteriores, 5 e s i n d e p e n d i e n t e e n V* y genera
V * , o sea, e s b a s e d e V * .
2, L a l in ealidad d e e s e v i d e n t e , y a q u e p a r a A , A ' e C y p ar a « + /í y
ü* + iv' d e V * , es:
/c[A(tt + liO + A ' ( m ' + ly')] = / c l ( A í 7 + A ' w ' ) + i(Aí? + A T ) ] = / ( A w + A V ) +
+ if(\v + A'tj') = a / ( m ) + a '/(m') + íiA/(i5) + A y r r ) ] =
= A [ / ( W ) + ifm + A V ( w ' ) + ifiv*)] = A / c ( w + íiT) + + if')
L a restricción d e a V e s / y a q u e p a r a c u a l q u i e r « e V es:
/ c( w) = / c ( m + ló) = / ( « ) + if(d) = / ( « ) + iV) = / ( w )
Si la b a s e q u e s e t o m a e n V e s (#,, é„), las c o l u m n a s d e la matriz A de
/ s o n las c o l u m n a s d e c o o r d e n a d a s d e /(^,), ..., L l a m a n d o Ac *
la m a t r i z d e e n la m i s m a b a s e , las c o l u m n a s d e s o n las colum­
n a s d e c o o r d e n a d a s d e fc(é^\ q u e s o n las n ü s m a s q u e las de
/(^i), f(e„\ y a q u e la restricción d e /<- a V e s /; c o m o A y Ac tienen
las m i s m a s c o l u m n a s , s o n iguales.
3. C o m o A q e C e s u n a u t o v a l o r d e existe u n v e c t o r n o n u l o ü + iT e ' *
tal q u e
/ ( < M + i€) = A o ( m + 10), l u e g o f{ü) + if{(í) = A ^ m + A^iT

350. IS M O S Y M A T R IC E S
345
Si Áq e s real, e n t o n c e s f(il) y s o n d e V e if(v) y Á^iO s o n d e iV; p o r
tanto, c o m o la s u m a V + iV e s directa, d e la ú l t i m a i g u a l d a d se d e d u c e q u e :
[1]
A h o r a b ien, c o m o ü + iv # 3, al m e n o s u n o d e los ü o C e s n o n u l o y, p o r
ello, las r e l a c i o n e s [ 1 ] p e r m i t e n d e c i r q u e e R e s u n a u t o v a l o r d e /.
S i A q e s c o m p l e j o , o sea, si A^, = a + hi c o n /> O (a, e R ) , y si w + iv c s
u n v e c t o r p r o p i o d e a s o c i a d o a A«, será:
l u e g o
fciñ + iv) = (íi 4- bi)(il + iv) = (aü - bi)) + i(bü + ai))
fciü + iv) =/(í7) + ifiv)
fill) - aü — bv
f(v) = bü + av
E s t a s d o s i g u a l d a d e s p r u e b a n q u e / t r a n s f o r m a a los v e c t o r e s d e V „ = V (m, v)
e n v e c t o r e s d e Vq,
F i n a l m e n t e , p a r a c o m p r o b a r q u e A^, y m - iv s o n a u t o v a l o r y a u t o v c c t o r
d e /^, s e tiene:
f¿ü - itJ) = / c ( ¿ + i{-v)) = / ( « ) + if{-v) =f(u) - ifiv) =
= iañ — bv) ~ iibü + ai)) = (a - bi)iii — iv) = Á^iü ~ liJ)
O b s é r v e s e q u e si V tiene d i m e n s i ó n fmita, t o m a n d o u n a b a s e c u a l q u i e r a e n
V ( q u e lo s e r á t a m b i é n d e V * ) , los e n d o m o r f i s m o s fe y f t i e n e n la m i s m a
m a t r i z A y, p o r ello, t a m b i é n t i e n e n el m i s m o p o l i n o m i o característico
dct(/\ — A / ) = 0. L a s raíces e n R d e este p o l i n o m i o s o n los a u t o v a l o r e s d e
/; las raíces e n C d e este p o l i n o m i o s o n los a u t o v a l o r e s d e f^.
ENDOMORFISMOS DIAGONALIZABLES
. DIAGONALIZACIÓN (POR SEMEJANZA)
A u n q u e a l g o y a se h a d i c h o s o b r e lo q u e c s d i a g o n a l i z a r u n e n d o m o r f i s m o o
d i a g o n a l i z a r p o r s e m e j a n z a la m a t r i z d e éste, se h a c e n e c e s a r i o q u e c o n c r e t e ­
m o s Cvstos c o n c e p t o s :

351. [172]S e a / : V - ^ V u n e n d o m o r f i s m o , del e s p a c i o vectorial V O d e d i m e n ­
sión finita n; s e a /í el c u e r p o d e escalares. S e d i c e q u e / e s diagonalitjuble
si existe u n a b a s e d e V e n la q u e la m a t r i z d e / e s d i a g o n a l . Diagonalizar
f es hallar a q u el l a b a s e y esta m a t r i z d i a g o n a l .
S e a A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e t a m a ñ o nxn, c u y o s e l e m e n t o s pertenecen
a u n c u e r p o K. S e d i c e q u e A e s diagonalizahle por semejanza si existe
u n a m a t r i z d i a g o n a l s e m e j a n t e a A; e s t o es, si e xi st e u n a m a u i z regular
P y u n a m a t r i z d i a g o n a l D tales q u e D = P D i a g o n a l i z a r A por
s e m e j a n z a es hallar las a nteriores m a t r i c e s P y D.
Si A es m a t r i z d e /, e n cierta b a s e d e V, e n t o n c e s / e s diagonalizahle si
y sól o si A e s d i a g o n a l i z a h l e p o r s e m e j a n z a . Si D = P'^AP es diagonali-
z a c i ó n d e A , e n t o n c e s D e s la m a t r i z d e / e n u n a n u e v a b a s e y P es la
m a t r i z del c o r r e s p o n d i e n t e c a m b i o d e c o o r d e n a d a s .
COMPROBACIÓN
• Si / es d ia go nalizahle, l l a m a n d o P a la m a t r i z d e l c a m b i o d e coordenadas
q u e se p r o d u c e al p a s a r a u n a b a s e e n la q u e / tiene m a t r i z diagonal, esta
m at ri z será P'^AP ( v é a s e [094]), l u e g o A e s d i a g o n a l i z a h l e p o r semejanza.
• Si A es d ia g o n a l i z a h l e p o r s e m e j a n z a , e xiste u n a m a t r i z r eg ul a r P tal que
P~^AP es d iagonal. E n t o n c e s P e s m a t r i z d e u n c a m b i o d e c o o r d e n a d a s tal
q u e e n la n u e v a b a s e / tiene p o r m a t r i z ( v é a s e [ 0 9 4 ] ) a la P ~ ' A P . que es
diagonal, l u e g o / es d ia g o n a l i z a h l e .
E J E R C I C I O
A c u d i e n d o a la anterior d e f i n i c i ó n ( ú n i c o r e c u r s o d e q u e d i s p o n e m o s , de mo·
m e n t ó ) , c o m p r u é b e s e q u e el e n d o m o r f i s m o
/ : {x, >^) - ^ (ac + 2 y , y)
n o es d iagonalizahle.
RESOLUCIÓN
L a m a t r i z d e / e n la b a s e c a n ó n i c a d e es:
A =
I 2
O I
H e m o s d e c o m p r o b a r q u e n o p u e d e verificarse q u e P " ‘A P = D , d o n d e Pes
m a t r i z reg ul a r y D e s m a t r i z d i a g o n a l . D e verificarse e s t o ú l t i m o , t a m b i é n sería

352. ) N D E E N D O M O R F IS M O S Y M A T R IC E S
347
AP PD, q u e e x p r e s a d a e n f u n c i ó n d e los e l e m e n t o s ( d e s c o n o c i d o s ) d e í* y
d e D será:
1 2
O 1
j:
z t
X y
z t
a O
O b
E s t a i g u a l d a d e q u i v a l e a las
x + 2z = ax , y + 2í = fcy , z = azt = bl
q u e c o n d u c e n a « = 1, ¿> = 1, z = O, / = 0. P o r tanto, la s e g u n d a fila d e P h a b r í a
d e s e r nul a, l u e g o P sería singular, lo q u e p r u e b a la n o d i a g o n a l i z a c i ó n d e /.
^ CARACTERIZACIÓN DE LOS ENDOMORFISMOS
DIAGONALIZABLES
R e c u r r i e n d o a lo h a s t a a q u í d i c h o , e n este capítulo, a c e r c a d e los a u t o v a l o r e s
y d e los v e c t o r e s p r o p i o s d e los e n d o m o r f i s m o s y d e las m a t r i c e s , el e s t u d i o
d e s u d i a g o n a l i z a b i l i d a d n o o f r e c e y a dificultades:
[1 7 3 ]S e a f : V —*V u n e n d o m o r f i s m o , d e l e s p a c i o vectorial O de d i m e n ­
s i ó n finita fi; s e a K el c u e r p o d e escahu-es. S e a A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e
t a m a ñ o nxn, c u y o s e l e m e n t o s p e r t e n e c e n al c u e r p o K,
1, E l e n d o m o r f i s m o /, o la m a t r i z A , e s d i a g o n a l i z a b l e si y s ó l o si existe
u n a b a s e d e V, o d e r e s p e c t i v a m e n t e , f o r m a d a p o r v e c t o r e s
p r o p i o s d e /, o d e A .
2, S i los a u t o v a l o r e s distintos d e /, o d e A , s o n A „ Aj, ..., A ^ e K, si las
m u l t i p l i c i d a d e s a l g e b r a i c a s d e é s t o s s o n //i,, W2, ..., y si s u s
m u l t i p l i c i d a d e s g e o m é t r i c a s s o n í/„ dj, ...» d^, e n t o n c e s /, o A , e s
d i a g o n a l i z a b l e si y s ó l o si s e v er if i ca n las d o s c o n d i c i o n e s siguientes:
• m , +
• d, = p a r a / = 1, 2, ..., p.
E n parti c ul ar si /, o A , t iene n a u t o v a l o r e s distintos (/i raíces distintas
d e s u p o l i n o m i o característico) e n K, e n t o n c e s /, o A , e s d i a g o n a l i ­
z able.
(*) Si esta condición siempre se verifica.

353. ÁLGEBRA
DEMOSTRACIÓN
C o n s i d e r a r e m o s el c a s o d e l e n d o m o r f i s m o /; el c a s o d e la m a t r i z A ts conse­
c u e n c i a o b v i a del anterior.
1. S u p o n g a m o s p r i m e r o q u e e xi st e u n a b a s e #2» ··» ^ f o r m a d a p «
v e c t o r e s p r o p i o s d e /. S e s a b e , p u e s , q u e í(é¡) = ( / = 1, 2,...» n) para
ciertos e sc al a re s ( au to v al or e s) ; e s decir. f(é/) t i e n e t o d a s s u s coordenadas
n u l a s e x c e p t o la d e l u g a r i q u e v a l e A¿. L a m a t r i z d e / e n esta base tiene
p o r c o l u m n a / - é s i m a (/ = 1, 2,...» n ) a la c o l u m n a d e c o o r d e n a d a s de /(fj;
p o r tanto, d e lo q u e a c a b a m o s d e d e c i r s e d e d u c e q u e la m atriz de / en
la b a s e (^,, ej. é j e s la m a t r i z d i a g o n a l :
D =
A,
A2
O
O
m
est o es, / es d i a g o n a l i z a h l e .
R e c í p r o c a m e n t e , s u p o n g a m o s q u e / e s d i a g o n a l i z a h l e ; e s t o es q u e exisit
u n a b a s e (éj, éj, e j e n la q u e la m a t r i z d e / e s d i a g o n a l ; a esta matriz
d i a g o n a l la d e n o t a r e m o s c o m o e n [I]. R e s u l t a e v i d e n t e q u e :
M ) = A , ^ „ / ( ^ 2 ) = A 2 ^ 2
. ./ ( 0 = a a
lo q u e p r u e b a q u e ^2» ···» s o n v e c t o r e s p r o p i o s . A s í p u e s , la base (#,♦
^2, é„) está f o r m a d a p o r v e c t o r e s p r o p i o s .
2. C o m o el n ú m e r o m á x i m o d e v e c t o r e s p r o p i o s d e / l i n e a l m e n t e indepen­
die nt e s es í/, + ¿¿2 ■·
- -( v é a s e [ 167]), p a r a q u e e x i s t a u n a b a s e foraiada
p o r v e c t o r e s p r o p i o s d e / e s n e c e s a r i o y s u f i c i e n t e q u e s e a
dy
- -d- n
lo q u e caracteriza, p u e s , a la d ü a g o n a l i z a b i l i d a d d e /.
P o r otra parte, s a b e m o s q u e ( v é a s e [ 1 6 6 ] )
^ ' W j O = U 2 , p ) y m , + ^ « 2 H—
[21
[31
A la vista d e las r e l a c i o n e s [3], e s e v i d e n t e q u e la c o n d i c i ó n [2] es
e q u i v a l e n t e a las:
[41
las c u a l e s son , e n c o n s e c u e n c i a , c o n d i c i o n e s n e c e s a r i a s y suficientes parí
q u e / s e a d i a g o n a l i z a h l e .

354. ■ISMOS Y MATRICES 349
F i n a l m e n t e , si h a y n a u t o v a l o r e s e n K, e n t o n c e s e s
p = n, d¡ = m , = 1 (/ = 1, 2, ..., n) y wi, + W j + - + m„ = n
l u e g o s e v er i f i c a n las d o s c o n d i c i o n e s [4], lo q u e g a r a n t i z a q u e /, o A, e s
d i a g o n a l i z a b l e .
E J E R C I C I O
S e a / : IIÍ' — * R·* el e n d o m o r f i s m o d e f i n i d o m e d i a n t e
f(x¡, x^, X}, x^) = (x, + ax-¡, -tj, < u , + JC4, -jtj - 0X4)
d o n d e a e s u n n ú m e r o real d a d o . A n a l í c e s e si / e s d i a g o n a l i z a b l e p a r a a l g ú n
v a l o r d e a 6 R .
RESOLUCIÓN
L a m a t r i z d e / e n la b a s e c a n ó n i c a d e R * e s la s i g u i e n t e m a t r i z A, c u y a
e c u a c i ó n característica y c u y o s a u t o v a l o r e s t a m b i é n s e d a n :
A =
1a 0 0
010 0
0 0 a 1
00 -1 —a
d e t ( / l - A / ) = ( a - A ) ^ ( A ’ - a ^ + 1) = 0
A | = a ( d o b l e )
Aj, A j = ±\!a^- 1 (si l a l & l )
S i |a| < 1, e n t o n c e s s ó l o h a y u n a raíz real d o b l e , l u e g o / n o s er á d i a g o n a l i ­
z a b l e p u e s X m , = 2 # 4. S i |a| = 1 y si |a| > 1 e n t o n c e s
Im, = 2 + 2 = 4 y lm ¡= 2 + \ + \= 4
r e s p e c t i v a m e n t e ; p o r ello, e n lo q u e alm ¡se refiere, / p u d i e r a ser d i a g o n a l i ­
z a b l e si |ol > 1. P o r o tr a parte, el s u b e s p a c i o p r o p i o c o r r e s p o n d i e n t e a A , es:
V'a, = Xz^ JCj. J(4) e R * / = O* -*4 = 0. -Xj - 2ax^ = 0 )
c u y a d i m e n s i ó n e s </, = 2 si o = O y e s ¿, = 1 e n los d e m á s c a s o s ; p a r a q u e /
s e a d i a g o n a l i z a b l e s e p r e c i s a p u e s q u e s e a a = 0. C o m o y a s e v i o q u e t a m b i é n
s e n e c e s i t a b a q u e f u e s e |a| ^ 1, resulta q u e / n o e s d i a g o n a l i z a b l e p a r a n i n g ú n
v a l o r real d e l p a r á m e t r o a.

355. ÁLGEBRA UNEAL
Q FORMA DIAGONAL
[174] S e a / : V ' - * V u n e n d o m o r f i s m o , d e l e s p a c i o v ec to r ia l O de d i m e n ­
s ió n finita n; s e a K el c u e r p o d e e sc al a re s. S e a A u n a m a t r i z c u a d r a d a de
t a m a ñ o nxn, c u y o s e l e m e n t o s p e r t e n e c e n al c u e r p o K, S u p o n i e n d o que
/ e s d i a g o n a l i z a h l e y q u e A e s d i a g o n a l i z a h l e p o r s e m e j a n z a , las formas
d i a g o n a l e s d e / y i4 son :
• L a m a t r i z d e / e s d i a g o n a l e n u n a h a s e (^j, 6 2, d e V f o r m a d a
u n i e n d o h a s e s d e los s u b e s p a c i o s p r o p i o s d e /; d i c h a m a t r i z diagonal
e s la:
O
O
A „ A ,s o n los a u t o v a l o r e s d e /,
c a d a u n o d e ell os r e p e t i d o tantas veces
c o m o i n d i q u e s u m u l t i p l i c i d a d algebraica;
\A,. e s el a u t o v a l o r a s o c i a d o al v ec to r j
L a f o r m a d i a g o n a l d e A , e s t o es, la a n t e r i o r m a t r i z D (los A, s o n ahora
los a u t o v a l o r e s d e A ) , e s igual a D = P'^AP, d o n d e las c o l u m n a s d e P
s o n c o l u m n a s d e c o o r d e n a d a s d e los v e c t o r e s d e las b a s e s d e los
r e s p e c t i v o s s u b e s p a c i o s p r o p i o s d e A.
COMPROBACION
A q u í n o s e h a h e c h o otra c o s a q u e r e c o g e r r e s u l t a d o s q u e a p a r e c e n e n la última
d e m o s t r a c i ó n realizada.
EJEM PLO
V e a m o s q u e el s i g ui e nt e e n d o m o r f i s m o / : e s d i a g o n a l i z a h l e y obten­
g a m o s s u d i a g o n a l i z a c i ó n :
f(x, y, z) = (x + 2y+ lOz, I x ’hy-l· lOz, - x - y - 6 z )
RESOLUCIÓN
H a l l e m o s los a u t o v a l o r e s d e / y s u s m u l t i p l i c i d a d e s , p a r a lo q u e recurriremos
a la m a t r i z A de f en la b a s e c a n ó n i c a y al p o l i n o m i o característico d e ésta;
= -a" - 4 A ^ - 5 A - 2
1 2 10" 1- À 2 10
/4 =2 1 10
y 21 - A 10
. - 1 - 1- 6 . -1 -1 - 6 - A

356. F IS M O S Y M A T R IC E S 3 5 1
L o s a u t o v a l o r e s d e A, esto es, las s o l u c i o n e s d e la e c u a c i ó n - A * - 4 A * - 5 A - 2 = 0
s o n A , = - 1 d o b l e ( m , = 2 ) y A j = - 2 s i m p l e ( m j = 1). H a l l e m o s los s u b e s p a ­
c i o s p r o p i o s , y d e A:
l u e g o
■ 2 21 0 '~x~‘O"
V ' , . _ , : ( A - l - / ) X = 0— ( 2 21 0y=0
. - · - 1- 5 ._z._0.
:{(jc,y, z ) e R ’ /Jc + > + 5 z = 0 ) = T ( ( l ,- 1 ,0), (5,
■ 3 2 1 0 "~x~‘0 '
V¡,..^:{A+2I)X=0->2 31 0y
=0
. - 1 - 1- 4 . _ z__0.
l u e g o
V'a— 2 = ( U . y· z) e R ’ / 3 x + 2 y -I- l O z = O, 2 x 4- 3 y - H O z = 0 ) = T ( 2 , 2, - 1 )
C o m o m , -t- ^ 2 ~ 3 y c o m o las d i m e n s i o n e s d e y V'a— 2
= 2 = w , y ¿2 = 1 = m , , resulta q u e / e s d i a g o n a l i z a b l e . L a d i a g o n a l i z a c i ó n
d e / s e o b t i e n e e n la b a s e (S,, «j, «,):
M, = (l, - 1 . 0 )= (5, 0 , - 1 ) , «3 = (2, 2 , - 1 )
L a m a t r i z d e / e n esta b a s e e s la:
D-
- 1 O 0‘
0 - 1 o
0 0-2
N ó t e s e q u e D = P 'AP, s i e n d o P la m a t r i z c u y a s c o l u m n a s s o n las c o l u m ­
n a s d e c o o r d e n a d a s d e y «3, e s decir:
P =
1 5 2'
-10 2
O - 1 - 1
E J E R C I C I O
C o m p r o b a r q u e la s i g u i e n t e m a t r i z real A n o e s d i a g o n a l i z a b l e . c o m o m a t r i z
real. C o m p r u é b e s e q u e al c o n s i d e r a r a A c o m o m a t r i z c o m p l e j a , e n t o n c e s sí e s
d i a g o n a l i z a b l e :
/\ =
1 / O 1 + /
-/· 1 0 1 - / ·
O - I i 1
+ / - 1 + / O 2/

357. E l p o l i n o m i o característico d e A es:
1 - A i O 1+i
- i 1 - A O 1 - 1
O - i i - Á 1
1+ i - 1 + / O 2 / - A
= (/ - A )[-A ’ + 2 ( 1 + /)A^J = A^(A - /)(A - 2 - 2()
RESOLUCIÓN
= ( / - A )
1 - A / I + (
- i 1 - A 1 - / ·
1 + / - 1 + í 2 / - A
C o m o o c u r r e q u e e ste p o l i n o m i o t i e n e r a í c e s c o m p l e j a s ( n o reales), la
m a t r i z A n o e s d i a g o n a l i z a h l e c o m o raíz real. P a r a v e r si lo e s al considerarla
c o m o m a t r i z c o m p l e j a , h a b r á q u e c o m p r o b a r si, p a r a c a d a a u t o v a l o r A „ coin­
c i d e n s u s m u l t i p l i c i d a d e s a l g e b r a i c a m¡ y g e o m é t r i c a d ,. C o m o e st o siempre se
verifíca p a r a las r aí ce s s i m p l e s ( A = i y A = 2 + 2/), s ó l o h a b r á q u e c o m p r o b a d o
p a r a la raíz d o b l e ( A = 0). H a l l e m o s los s u b e s p a c i o s p r o p i o s y
y c o m p r o b e m o s q u e la d i m e n s i ó n d e l p r i m e r o e s 2:
V^.^:(A-QDX = 0 ^
1 i0 1 +;· ■•*1’o'
- i 1 0 1 - »
X20
0 - Í i1•*30
1 + 1 - 1 + í02 /•Í40
l u e g o
''^ - 0 = { (-Í1. Jtj, JCj 6 C V JCl + ¿«2 + ( 1 + í > 3 = 0 . - « 2 + « 3 + ;t4 = 0}
= r ( ( l , » 0, - I ) , ( 1 + / . 0 , I. - 0 )
q u e tiene d i m e n s i ó n 2.
l u e g o
1 - i / 0 1 + /•ÍJ0
- i 1 - / 0 1 - / ·•*20
0 - / O 1 -^30
.1 + / - 1 + / 0 /·_/ 4 ._0_
- l U i . -Cj. JC4) e C / JC, = 0. jTj = O, JC4 = 0) = r( 0 . O, 1, 0)
^x~i*v-(A-(2 + 2í)I)X=o·.
l u e g o
’ - 1 - 2/ / 0 1 +/■'’•*1
V
-/■ - 1 - 2 /01 - /■•*2s
0
0 - 1 - 2 - i1JC3
0
1 + /■ - 1 + i0-2_ o_
^ A -2+2i “ ■ *^(5, - 5 f , 1 — 2/, 5 + 5i)

358. DE E N D O M O R F IS M O S Y M A T R IC E S 3 5 3
P o r t anto, A e s d i a g o n a l i z a b l e e n el c a s o c o m p l e j o y la d i a g o n a l i z a c i ó n
D = P'^AP d e A s e o b t i e n e p a r a las s i g u i e n t e s m a t r i c e s D y P:
' o 00 o ' 1 1 + / ■ 0 5 *
D =
0 0 0 0
; P =
i0 0 - 5 «
0 0i 0 01 11 - 2 «
_ 0 00 2 + 2i_ - 1—i05 + 5 / _
9.5. DIAGONALIZACION ORTOGONAL
S e g ú n a c a b a m o s d e decir, la d i a g o n a l i z a c i ó n d e u n e n d o m o r f i s m o / : V — ► V e s
u n p r o b l e m a q u e n o t iene s i e m p r e s o l u c i ó n . N ó t e s e t a m b i é n q u e , c u a n d o / e s d i a ­
g o n a l i z a b l e , n o s e p u e d e d e c i r n a d a , c o n c a r á c t e r gen e r a l , a c e r c a d e las b a s e s e n
las q u e / t iene m a t r i z d i a g o n a l , las c u a l e s p u e d e n ser, e n principio, c u a l e s q u i e r a .
P u e s b i e n , n o s o c u p a r e m o s a h o r a d e u n c a s o particular, d e e s p e c i a l interés:
a q u é l e n el q u e el e n d o m o r f i s m o / e s s i m é t r i c o . V a m o s a c o m p r o b a r q u e ,
e n t o n c e s , / s i e m p r e e s d i a g o n a l i z a b l e y q u e , a d e m á s , d i c h a d i a g o n a l i z a c i ó n s e
p u e d e c o n s e g u i r e n u n a b a s e o r t o n o r m a l , p o r lo q u e s e la l l a m a d i a g o n a l i z a c i ó n
o r t o g o n a l . P a r a e s t o s c a m b i o s d e b a s e , e n los q u e s ó l o s e m a n e j a n b a s e s
o r t o n o r m a l e s , la m a t r i z P d e c a m b i o d e c o o r d e n a d a s e s o r t o g o n a l ( P ' = P " * ) ,
p o r lo q u e , si s ó l o s e c o n s i d e r a n b a s e s o r t o n o r m a l e s , d e c i r q u e d o s m a t r i c e s A
y A' s o n s e m e j a n t e s {A* = P~^AP) e s e q u i v a l e n t e a a f i r m a r q u e s o n c o n g r u e n t e s
( A ' = P^AP); p o r ello, d i a g o n a l i z a r o r t o g o n a l m e n t e p o r s e m e j a n z a u n a m a t r i z
( s i m é t r i c a ) e s lo m i s m o q u e d i a g o n a l i z a r l a o r t o g o n a l m e n t e p o r c o n g r u e n c i a .
ENDOMORFISMOS SIMETRICOS
[1 7 5 ]S e a / : V—* V u n e n d o m o r f i s m o , d e l e s p a c i o v ectorial e u c l í d e o V ^O . Se
d i c e q u e / e s u n e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o si jc · / ( y ) = f ( x ) · y p a r a c u a ­
l e s q u i e r a X, y e V.
S i V t ie ne d i m e n s i ó n finita y si A e s la m a t r i z d e l e n d o m o r f i s m o /
e n u n a b a s e o r t o n o r m a l d e V, e n t o n c e s / e s s i m é t r i c o si y s ó l o si A e s
s i m é t r i c a .
DEMOSTRACIÓN
C o m o la b a s e e s o r t o n o r m a l , e n ella la m a t r i z m é t r i c a d e l p r o d u c t o e s c a l a r e s
la m a t r i z u n i d a d , C = /, c o n lo q u e el p r o d u c t o e s c a l a r x, ■ x^, p a r a c u a l e s q u i e r a
v e c t o r e s x „ jfj e V , v e n d r á d a d o por;
x,.X2 = X\GX, = X\IX, = X\X2

359. ÁLG EBR A LINEAI
d o n d e X , y X j c o l u m n a s d e c o o r d e n a d a s d e jc, y JCj. Si las columnító de
c o o r d e n a d a s d e jc, y e V s o n X e K, las d e /(;c) y / ( ^ s e r á n AX y AY y, p(n ello
x^f{y)-^X^AY y /(x) · y ^ (AXfY = XWY
R e s u l t a e n t o n c e s q u e la r e l a c i ó n Jc · f ( y ) = / ( j c ) ♦ y p a r a c u a l e s q u i e r a i, y e V
e q u i v a l e a la
X^AY = X W Y , V X ,
E s t o ú l t i m o a c o n t e c e si y s ó l o si A = A\ e s t o es, p a r a A simétrica.
E J E M P L O
S e a V el e s p a c i o vectorial real d e las f u n c i o n e s p o l i n ó m i c a s d e [ - 1 , 1] en R
c u y o g r a d o e s m e n o r o igual q u e n; e n V s e c o n s i d e r a el p r o d u c t o escalar:
(p\q) =p{x)q(x)dx, '^ p ,q e V
S e a F:V-^V el e n d o m o r f í s m o q u e a c a d a f u n c i ó n p e V \t asigna la
f u n c i ó n F(p) = p* d e f i n i d a p o r p*(x)=p(-x) p a r a t o d o J C 6 [ - 1 , 1). Este
e n d o m o r f i s m o e s s i m é t r i c o y a q u e :
(p\F(q)) =
( F ( p ) k ) =
p(x)g*(x)dx‘
- 1
p{x)q(-x)dx
-I
p * m o d t-p(-í)q{t)dx
-I
y estas integrales s o n i gu a l e s ( h á g a s e el c a m b i o d e v a r i a b l e jc = “ /). Obsérvese
q u e e n la b a s e u s u a l d e V, e s t o es, e n la (p^, p^, ..., p J d o n d e
PoM = U Pi(x)=x. P2M = -^1
la m a t r i z d e F es:
/\ =
1
- 1
o
± 1
q u e es simétrica, a p e s a r d e q u e d i c h a b a s e n o e s o r t o n o r m a l . L a anterior
p r o p i e d a d a s e g u r a q u e , si F e s u n e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o , e n t o n c e s su matriz
e n c u a l q u i e r b a s e o r t o n o r m a l e s s i m ét r ic a; si la ba.se n o e s o r t o n o r m a l , ia m a ­
triz n o tiene q u e ser n e c e s a r i a m e n t e s im é t r i c a , p e r o p u e d e serio e n algunos
casos, c o m o el presente.

360. D E E N D O M O R F IS M O S Y M A T R IC E S
3 5 5
[176J
^ AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
DE LOS ENDOMORFISMOS SIMÉTRICOS
1. S e a / : V — ► V u n e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o , d e l e s p a c i o vec torial e u c l í ­
d e o V # O . S i A y /I s o n d o s a u t o v a l o r e s d e / y si jc e s o n v e c t o r e s
p r o p i o s d e / a s o c i a d o s a A y /¿, r e s p e c t i v a m e n t e , e n t o n c e s s e verifica
q u e ( A - /jl)x · y = 0.
S e a A u n a m a t r i z real simét r ic a. Si A y /i s o n raí ce s (reales o
c o m p l e j a s ) d e la e c u a c i ó n característica d e A y si X e / s o n m a t r i c e s
c o l u m n a tales q u e AX^ÁX y AY=fiY, e n t o n c e s s e verifica q u e
(Á -fi)X ‘Y--0.
2, S e a / : V — * V u n e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o , e n u n e s p a c i o v ec torial
e u c l í d e o V # O d e d i m e n s i ó n finita n. S e a A u n a m a t r i z real s i m é t r i c a
d e t a m a ñ o n x ;i; s e p u e d e s u p o n e r q u e A e s m a t r i z d e / e n cierta
b a s e o r t o n o r m a l d e S e verifica q u e :
a) Si Á y fl s o n a u t o v a l o r e s distintos d e / o d e A , e n t o n c e s los
s u b e s p a c i o s p r o p i o s y V , a s o c i a d o s a A y /i, s o n o r t o g o -
nales^**\
b) T a n t o / c o m o A t i e n e n n a u t o v a l o r e s (reales)^***\ si s e c u e n t a
c a d a u n o tantas v e c e s c o m o i n d i q u e s u m u l t i p l i c i d a d a lg eb r a i c a .
( ♦) Por ejemplo, el endomorfismo de R" (euclideo) asociado a /i en la base canónica
es simétrico.
( * ♦ ) Recuérdese que: Para / , cs = {jf e V / /(je) = }. Para A, es = {X e ,
/ AX^ AX). Dos columnas X, Y e son ortogonales si X*Y= O.
(***) Es decir, el polinomio característico det (A - A/), que siempre tiene n raíces en
C (complejas), aquí es tal que todas ellas son reales.
DEMOSTRACION
I. S e s a b e q u e /(jc) = Á f y q u e / ( y ) = A y . M u l t i p l i c a n d o e s c a l a r m e n t e p o r y
la p r i m e r a i g u a l d a d y p o r x la s e g u n d a y r e s t a n d o , c o m o p o r ser / s i m é t r i c o
s e ver if i ca q u e f{x) -y = x-f(y), s e o b t i e n e :
f ( jc ) .y = \ x y
x-f{y) = /ixy_
r e s t a n d o : O = ( A - fi)x · y
P a r a el c a s o d e la m a t r i z -4, h a g a m o s u n a d e m o s t r a c i ó n d i r ec t a ('). C o m o
AX = A X , t a m b i é n s e v erificará q u e X'A' = A X ' ; c o m o A e s s i m é t r i c a , s e r á
X'A = A X ' . M u l t i p l i c a n d o e st a i g u a l d a d p o r Y ( p o r la d e r e c h a ) , m u l t i p l i c a n ­
d o la i g u a l d a d A K = / ¿ K p o r X ' ( p o r la i z q u i e r d a ) y r e s t a n d o , s e o b t i e n e q u e :
X ' A y ' = A X ' /
X'AY=fiX'Y,
r e s t a n d o : O = ( A — fi)X'Y
(*) No aprovechamos aquí lo que se acaba de obtener para el ca.so de endomorfi.smoü, pues
allí sólo se habló del caso real. Nótese que aquí, para la matriz real simétrica A, los A y / i pueden
ser complejos; también pueden serlo las columnas X e K.

361. a) P a r a c u a l e s q u i e r a q u e s e a n i e e j e d e a c u e r d o c o n el resultado
a nt erior h a d e s e r ( A - fx)x · y = O y, c o m o e s A # /i, d e a q u í se deduce
q u e X· y = 0, l u e g o y s o n o r t o g o n a l e s .
b) S u p o n g a m o s q u e e st a p r o p i e d a d f u e s e falsa, e s t o es, q u e la ecuación
característica d e t (A - A / ) = O t u v i e r a u n a raíz c o m p l e j a A „ = + bi (ayb
reales) c o n b¥^0. D e ser así, c o m o los c o e f i c i e n t e s d e l p o l i n o m i o carac­
terístico det(i4 - A / ) s o n reales, resultaría q u e el c o n j u g a d o d e A^,, esto es,
bi, t a m b i é n sería raíz d e la e c u a c i ó n característica. C o m o Aq es
raíz d e la e c u a c i ó n característica, el s i s t e m a AX = A ^ ^ X tiene a l g u n a solu­
c i ó n n o n u l a p u e d e s e r c o m p l e j a , e s t o es, d e la forma
= X , + ÍX2, d o n d e las m a t r i c e s c o l u m n a X , y X j s o n reales. N ó t e s e que;
c o m o A X j ) = A(^(,, t o m a n d o c o n j u g a d o s e n e s t a i g u a l d a d , resulta que
A X y = A q X q , d o n d e X q = X , — /Xj. P o r tanto, r e c u r r i e n d o a la anterior pro­
p i e d a d 1.“ ( a q u í las a nt e r i o r e s A y yit s o n A ^ y y Ids X q Y s o n X^ y ÍJ,
se o b t i e n e q u e
( A „ - á ; , ) X ^ o = í^. o s e a 2b(X\-l· iX')(X, - iX^) = O
a h o r a bien, c o m o X j X j y X^¡ s o n el m i s m o n ú m e r o real, la ú l t i m a igualdad
e q u i v a l e a la:
2 M X Í X , + X ^ 2 > = ^ W
O b s é r v e s e q u e X ¡ X , y X2X2, c o m o s o n las s u m a s d e los c u a d r a d o s de los
e l e m e n t o s d e X , y Xj, r e s p e c t i v a m e n t e , s o n p o s i t i v o s s a l v o q u e sea X, = 0
o X j = O . C o m o a d e m á s es b ^ O, d e la r e l a c i ó n [1] s e d e s p r e n d e que ha
d e ser X , = O y X j = O , l u e g o t a m b i é n s e r á X q = X , + / X j = 0 y esto es
falvo, p u e s Xq e ra n o n ulo. E s t a c o n t r a d i c c i ó n o b l i g a a d e s e c h a r q u e Xq no
s e a real.
2. Recurriendo al resultado anterior, se tiene:
E J E R C I C I O
C o m p r u é b e s e c o n u n e j e m p l o q u e , d a d o u n e n d o m o r f i s m o / : V-* V, en un
e s p a c i o e u c l í d e o O áe d i m e n s i ó n finita n, p a r a q u e / s e a s imétrico no es
suficiente c o n q u e t e n g a n a u t o v a l o r e s (reales) y q u e s u s s u b e s p a c i o s propios
s e a n o r t o g o n a l e s d o s a dos .
RESOLUCIÓN
P a r a verificar la anterior a f i r m a c i ó n v a l e el s i g u i e n t e e j e m p l o : t o m a n d o V = R ’
c o n el p r o d u c t o e sc al a r c a n ó n i c o , s e a / : — el e n d o m o r f i s m o
(JC, y, z) ^ (jc', y', z') = (3jc - 2y, 3y, 5z)

362. D E E N D O M O R F IS M O S Y M A T R IC E S
3 5 7
L o s a u t o v a l o r e s d e } s o n A = 3 d o b l e y A = 5 s i m p l e ; / tiene, p u e s , tres
a u t o v a l o r e s reales. L o s s u b e s p a c i o s p r o p i o s d e / s o n
! ( « . 0. 0 ) e R ’ / « e R } y = {(O, O, )3) s R ’ / ^ e R )
q u e s o n o r t o g o n a l e s . S i n e m b a r g o , / n o e s o r t o g o n a l y a q u e t o m a n d o , p<jr
e j e m p l o , íJ = (1, O, 0 ) y P = {ü, 1, 0), p a r a e s t o s v e c t o r e s e s
ü · f(0) B - f(ü), p u e s M - / ( P ) = - 2 y í - / ( m ) = 0
Q TEOREMA ESPECTRAL
[177J
S e a V ' ^ 0 u n e s p a c i o vectorial e u c l í d e o d e d i m e n s i ó n f m i t a n. Si
/ : V — ♦ V e s i m e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o , e n t o n c e s exi st e u n a b a s e orto-
n o r m a l d e V f i > r m a d a p o r v e c t o r e s p r o p i o s d e /.
DEMOSTRACION
S e a n A,, A ^ los a u t o v a l o r e s (reales) d e /; s e a n w , y d- las m u l t i p l i c i d a d e s
a l g e b r a i c a y g e o m é t r i c a d el a u t o v a l o r A, ( p a r a / = 1, 2, p). C o m o / e s
s i m é t r i c o , s e s a b e q u e w , + - + = n y q u e los s u b e s p a c i o s p r o p i o s ( p a r a
/ = l» ..M p) íion o r t o g o n a l e s d o s a d o s . N ó t e s e q u e / tiene al m e n o s u n
a u t o v a l o r ( e n c u y o c a s o , s u m u l t i p l i c i d a d a l g e b r a i c a sería n) y c o m o m á x i m o
t iene n ( e n c u y o c a s o , s er ía n l o d o s s i m p l e s ) .
T o m a n d o u n a b a s e o r t o n o r m a l e n c a d a u n o d e los p s u b e s p a c i o s p r o p i o s
d e /, c o m o é s t o s s o n o r t o g o n a l e s e n t r e sí, al u n i r d i c h a s b a s e s s e o b t i e n e
u n s i s t e m a o r t o n o r m a l d e dy + ^ 2 ■♦■···“♦" ^ v ec t o r e s , q u e e s b a s e o r t o n o r m a l
d e la s u m a d ir ec t a
N ó t e. s e q u e d = d i m U e s el n ú m e r o m á x i m o d e a u t o v e c t o r e s d e / lineal­
m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , q u e .se h a n p t i d i d o l o m a r o rt on o n t i a l e s . N ó t e s e t a m b i é n
q u e t o d o v e c t o r p r o p i o d e /. p o r p e r t e n e c e r a a l g u n o d e los e s u n v e c t o r
d e U.
L o q u e h a y q u e d e m o s t r a r e s q u e d = n o b i e n q u e 1/ = V. S u p t i n i e n d o q u e
e s t o e s falso, e s decir, q u e < / < « , v a m o s a o b t e n e r u n a c o n t r a d i c c i ó n , lo
q u e p r o b a r á el teorenia:
S e a el s u p l e m e n t a r i o o r t o g o n a l d e V, e s t o cs, el s u b e s p a c i o d e V'
f o r m a d o p o r a q u e l l o s v e c t o r e s q u e s o n o r t o g o n a l e s a l o d o v e c t o r d e V\ la
d i m e n s i ó n d e í/' e s </' = n - < / > ( ) . V e a m o s q u e (/' e s i n v a r i a n t e p o r /, o sea.
tal q u e / ( í / ^ ) c ( / ‘. P a r a ello, h a y q u e c o m p r o b a r q u e si x‘ e i / ‘ e n t o n c e s
((i') e (/*, e s decir, q u e si x' ·,? = () p a r a K h I o .f e t/ e n t o n c e s /(.?') · v = O

363. p a r a t o d o jc e (/. A s í o c u r r e y a q u e , úx* y x eU, c o m o U es la s u m a de
los s e p u e d e p o n e r
jc = jc, + - + . c o n x^ e p a r a / = 1, 2, p
y c o m o a d e m á s / e s sim ét r ic o, s e tiene:
/(jc') · jc = jc' · /(jc) = r · fix, + ... -l· jc^) = x ' . (/(jc.) + ... + /(Jf^))
= jc'. (A,jc, + ... + A ^ ^ ^ ) = A , ( i ' . X,) + ... 4- A ^( X' . x^) = A , O + ... + A ^ Ü = O
p u e s t o q u e jc„ Xp s o n o r t o g o n a l e s a x \ y a q u e p e r t e n e c e n a U. Así, pues,
t o d o v e c t o r d e s e t r a n s f o r m a , p o r /, e n o t r o v e c t o r q u e t a m b i é n es de i]'\
P o r tanto, la restricción d e f a q u e d e n o t a r e m o s p o r la m i s m a letra /, es
u n e n d o m o r f i s m o d e e n U^. E s t e e n d o m o r f i s m o es obviamente
simétrico, y a q u e lo e s / : V'— ► V. P o r tanto, s e g ú n el t e o r e m a anterior, el
e n d o m o r f i s m o tiene a l g ú n a u t o v e c t o r n o n u l o jc,, e E st o último
es u n a c o n t r a d i c c i ó n , y a q u e t o d o s los a u t o v e c t o r e s d e / : lo son de
/ : V — ► V y ést os p e r t e n e c e n a (/, q u e tie ne i n t e r s e c c i ó n n u l a c o n (/^, luego
h a b r í a d e ser jCq = ó, q u e e s falso.
EJERCICIO
S e a f : V —^V u n e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o , d e u n e s p a c i o vectorial euclídeo
V =5¿ O d e d i m e n s i ó n finita. S e a n A ^ y A ^ el m e n o r y el m a y o r d e los autovalores
d e /. P r u é b e s e q u e , p a r a c u a l q u i e r a q u e s e a el v e c t o r ü e V, se verifica que:
ÁLGEBRA LINEAL
RESOLUCIÓN
S e g ú n el t e o r e m a espectral, e x i s t e u n a b a s e o r t o n o r m a l d e V f o r m a d a por
v e c t o r e s p r o p i o s d e /; s e a (é,, éj, e„) d i c h a b a s e y l l a m e m o s A,, A j
.A,
a ios a u t o v a l o r e s d e / a s o c i a d o s , r e s p e c t i v a m e n t e , a e„ (nótese que
los A, n o t i e n e n q u e ser, n e c e s a r i a m e n t e , distintos), d e m a n e r a q u e A „ ^ A, « A *
p a r a í = I, 2, n. Si («,, u^, .... m„) s o n las c o o r d e n a d a s d el v ector ü en la
b a s e anterior, será:
"■ ■ - (,j ' [ i ■ ( I
n «
= ■ éj) = Z u¡u¡x¡
p o r tanto:
a ■ ñü) = ü\á^ +... + uj,\„
^ ( « í + - + ul)\^ = | | ü | P a „
3 > (« J + - + u l)Á „ = ||m ||* A „

364. Ó N D E E N D O M O R F IS M O S Y M A T R IC E S 3 5 9
Q DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL
DE UN ENDOMORFISMO SIMÉTRICO
[1 7 8 ]l. T o d o e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o d e u n e s p a c i o vectorial
e u c l í d e o V O d e d i m e n s i ó n finita, e s d i a g o n a l i z a b l e y lo e s o r t o ­
g o n a l m e n t e ; e s decir, e xiste a l g u n a b a s e o r t o n o r m a l d e V e n la q u e
la m a t r i z D d e / e s d i a g o n a l . U n a tal b a s e s e o b t i e n e r e u n i e n d o ba.ses
o r t o n o r m a l e s d e los s u b e s p a c i o s p r o p i o s d e /; la d i a g o n a l d e D está
f o r m a d a p o r los a u t o v a l o r e s d e / ( c a d a u n o tantas v e c e s c o m o ind i ­
q u e s u m u l t i p l i c i d a d algebraica).
2. T o d a m a t r i z real s i m é t r i c a A , d e t a m a ñ o « x n , e s o r t o g o n a l m e n t e
d i a g o n a l i z a b l e , e s decir, existe a l g u n a m a t r i z P o r t o g o n a l ( P^ = P " ‘)
tal q u e D = P~^AP^*\ L a s c o l u m n a s d e P s o n v e c t o r e s p r o p i o s d e A
q u e f o r m a n s i s t e m a o r t o n o r m a l ; la d i a g o n a l d e D est á f o r m a d a p o r
los c o r r e s p o n d i e n t e s a u t o v a l o r e s d e A ( c a d a u n o tantas v e c e s c o m o
i n d i q u e s u o r d e n ) .
( ♦) Como p · ’ = P\ las matrices A y D son semejantes y. también, congruentes.
COMPROBACION
1. S e g ú n a f i r m a el t e o r e m a e s p ec t ra l ( v é a s e [177]), e n V h a y u n a b a s e orto-
n o r m a l f o r m a d a p o r v e c t o r e s p r o p i o s d e /, lo c u a l e s c o n d i c i ó n n e c e s a r i a
y s uf ic i en te p a r a q u e / s e a d i a g o n a l i z a b l e ( v é a s e [ 1 7 3 ] ) y lo s e a e n d i c h a
b a s e . R e s p e c t o d e la m a t r i z D , lo q u e a q u í s e d i c e e s y a c o n o c i d o ( v é a s e
[ 17 4 ] .
2. P a r a c o m p r o b a r lo relativo a la m a t r i z A , r e c u r r a m o s al e n d o m o r f i s m o
/:R ”—♦R'’ ( e n R" se c o n s i d e r a el p r o d u c t o e s c a l a r c a n ó n i c o ) a s o c i a d o a
la m a t r i z A e n la b a s e c a n ó n i c a ; c o m o esta b a s e e s o r t o n o r m a l y A e s
sim ét r ic a, / e s u n e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o y, p o r ello, le e s d e a p l i c a c i ó n
lo d i c h o e n el p u n t o 1. A s í , p u e s , las c o l u m n a s d e P s o n las c o l u m n a s d e
c o o r d e n a d a s d e la b a s e o r t o n o r m a l e n la q u e / t o m a f o r m a d i a g o n a l y D
e s la m a t r i z d i a g o n a l d e los c o r r e s p o n d i e n t e s a u t o v a l o r e s d e /, q u e s o n los
d e A .
EJERCICIO
D i a g o n a l i z a r o r t o g o n a l m e n t e el e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o / : R ^ — ► R'^ d a d o p o r
/(JC, y, z) = (3jc + y + z, a: + 3y + z, y 4- 3 z )
( E n R ^ s e c o n s i d e r a el p r o d u c t o e s c a l a r c a n ó n i c o ; la b a s e c a n ó n i c a e s orto-
n o r m a l . )

365. RESOLUCIÓN
E l e n d o m o r f i s m o / es, e f e c t i v a m e n t e , s i m é t r i c o y a q u e s u m a t r i z A e n la base
c a n ó n i c a , e s simétrica;
>4 =
■3 I I
1 3 1
1 I 3
El p o l i n o m i o característico d e A es, s e g ú n s e o b t i e n e fác il m en te ;
det {A - A / ) = - r ' + 9/^ - 24t + 2 0 = -{t - 2)\t - 5)
p o r tanto, los a u t o v a l o r e s d e / s o n A, = 2 d o b l e y A j = 5 s i m p l e . L o s corres­
p o n d i e n t e s s u b e s p a c i o s p r o p i o s son :
I 1 I
I I I
1 1 1
^x'' 0 '
y=0
_ z _.0.
l u e g o
V,.^:(A-H)X = 0 ^
Va.í = K-^· Z) e R'V·»; + .V + z = 0 )
'- 2 1 r ~x~'O'
V,.,:{A-5¡)X = 0~^ 1 - 2 1
y=0
_ I 1 - 2 .,z_.0.
l u e g o
D e entre t o d as las b a s e s o r t o n o r m a l e s d e t o m e m o s u n a sencilla c
p o r e j e m p l o , la (í,, éj), d o n d e ’
í-| =
e-,=
I I 2 Ì
•Jó)
u n a ba.se o r t o n o r m a l d e V^ . 5 e*
la (íj):
1 J _ _l]
Por tanto, e n la base (é,, éj, éj) m a t r i z d e / g,,
p O ()'
/}= O 2 O
lo O 5J

366. F IS M O S Y M A T R IC E S 361
O b s é r v e s e q u e , al t i e m p o , se h a o b t e n i d o t a m b i é n la d i a g o n a l i z a c i ó n o r t o g o ­
nal d e la m a t r i z s im é t r i c a A , q u e e s la D = P*‘‘A P , d o n d e P e s la m a t r i z
o r t o g o n a l
■ i / v 5 1 / v S i / v 5·
-\lyji i / v S i / v 5
o -2A/S i/v5.
E J E R C I C I O
S e a A u n a m a t r i z c u a d r a d a q u e e s o r t o g o n a l m e n t e d i a g o n a l i z a h l e , e s t o es, tal
q u e e x i s t e n u n a m a t r i z d i a g o n a l D y u n a m a t r i z o r t o g o n a l P tales q u e
D = P'^AP. P r u é b e s e q u e A e s s im étrica.
RESOLUCIÓN
S e s a b e q u e P ' = P~\ p u e s P e s o r t o g o n a l , y q u e D ' = D , p u e s D e s d i a g o n a l ;
h a y q u e p r o b a r q u e A ' = A . P a r a ello, e x p r e s a n d o q u e Ef = D , s e tiene:
D = P-^AP^P^AP
D‘=^(FAPy^PWP
FAP^P^A^P
y m u l t i p l i c a n d o , e n esta ú l t i m a i g u a l d a d , p o r a la d e r e c h a y p o r (P') '
a la i z q u i e r d a , s e o b t i e n e q u e A = A\
O B S E R V A C I O N E S
1. S e a n A y A ' d o s m a t r i c e s r ea le s c u a d r a d a s d e l m i s m o t a m a ñ o . S e d i c e q u e
A ' e s ortogonalmente semejante a A si A ' e s s e m e j a n t e a A y lo e s c o n
u n a m a t r i z d e c a m b i o o r t o g o n a l , e s t o es, si A ' = P~^AP d o n d e P e s u n a
m a t r i z r e g u l a r tal q u e P'^ - F , S e d i c e q u e A ' e s ortogonalmente con­
gruente a A si A ' e s c o n g r u e n t e a A y lo e s c o n u n a m a t r i z d e c a m b i o
o r t o g o n a l , e s t o es, si A' -P*AP d o n d e P e s u n a m a t r i z r e g u l a r tal q u e
F = P \ E s e v i d e n t e q u e d o s m a t r i c e s s o n o r t o g o n a l m e n t e s e m e j a n t e s si
y s ó l o si s o n o r t o g o n a l m e n t e c o n g r u e n t e s .
2. S e g ú n s a b e m o s ( v é a s e | I78|), t o d a m a t r i z real s i m é t r i c a A e s o r t o g o n a l ­
m e n t e d i a g o n a l i z a h l e , e s decir, s e v er if i ca q u e e x i s t e a l g u n a m a t r i z o r t o ­
g o n a l P (al q u e D = P “ ' A P = FAP e s u n a m a t r i z d i a g o n a l . E s t a m a t r i z D
es, al t i e m p o , d i a g o n a l i z a c i ó n p o r s e m e j a n z a y d i a g o n a l i z a c i ó n p o r c o n ­
g r u e n c i a d e A .

367. ÁLGEBRA
lineai
DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL
DE UNA FORMA CUADRATICA
[179] D a d a u n a f o r m a c u a d r á t i c a real o;: V — ♦ R , d e f í n i d a e n u n e s p a c i o vecto­
rial e u c l í d e o O de d i m e n s i ó n finita, e x i s t e u n a b a s e o r t o g o n a l de l'
e n la q u e (o tiene m a t r i z d i a g o n a l D; e s t e r e s u l t a d o s e e x p r e s a diciendo
q u e (O e s o r t o g o n a l m e n t e d i a g o n a l i z a b l e . S i A e s la m a t r i z (simétrica) de
(ú e n u n a b a s e o r t o n o r m a l d e V, d a d a , e n t o n c e s : 1 .®) la d i a g o n a l de D
está f o r m a d a p o r los a u t o v a l o r e s d e A ( c a d a u n o tantas v e c e s c o m o
i n d i q u e s u m u l t i p l i c i d a d a l g e b r ai ca ) ; 2."*) e s D = P^AP, d o n d e P es matriz
o r t o g o n a l c u y a s c o l u m n a s s o n v e c t o r e s p r o p i o s d e A ; 3.®) estas c o l u m n a s
s o n las d e las c o o r d e n a d a s d e los v e c t o r e s d e la b a s e d e V e n la q u e D
c s m a ü i z d e lo. Si e n esta b a s e las c o o r d e n a d a s d e u n v e c t o r x se denotan
p o r (X ,. X2. . será:
ú)(x) - Áyx] + Á2^l “ ·
(A,, A,, A „ s o n los n a u t o v a l o r e s (reales) d e la m a t r i z A d e co e n una
b a s e o r t o n o r m a l d e V).
COMPROBACION
C o m o la m a t r i z A e s s im étrica, se s a b e q u e ( v é a s e [ 1 7 8 ] , 2.") A es ortogonal­
m e n t e d i a g o n a l i z a b l e , e s t o es, q u e e xi st e u n a m a t r i z P o r t o g o n a l (P^ = P')tnl
q u e D = P'AP e s d i a g o n a l . C o m o D e s c o n g r u e n t e c o n A , resulta q u e D es
m a t r i z d e (o e n u n a n u e v a b a s e . L a s c o l u m n a s d e P s o n las c o l u m n a s de
c o o r d e n a d a s d e los v e c t o r e s d e esta b a s e ; c o m o la b a s e d e p a r ti d a es ortonormal
y la m a t r i z P c s o r t o n o r m a l , resulta q u e la b a s e d o n d e s e p r o d u c e la diagona­
lización d e (O e s t a m b i é n o r t o n o r m a l . N ó t e s e f i n a l m e n t e q u e D , por ser la
d i a g o n a l i z a c i ó n o r t o g o n a l d e A . tiene s u d i a g o n a l f o r m a d a p o r los autovalo-
res d e A .
OBSERVACION
S e g ú n se a c a b a d e decir, d a d a u n a f o r m a c u a d r á t i c a real w : V - * R , don­
d e V ^ O c s u n e s p a c i o vectorial e u c l í d e o d e d i m e n s i ó n finita o), existe una
b a s e o r t o n o r m a l (c,, é„) d e V e n la q u e la e x p r e s i ó n d e oKfl
X 6 V, es:
oH-f) = A , x f + A2X2 + - +
d o n d e (x,, x^) s o n las c o o r d e n a d a s d e x e n la b a s e (^,, ¿2, é„) y K
Aj, A „ s o n los a u t o v a l o r e s d e la m a t r i z A ( s i m é t r i c a ) d e (o e n cualquier base

368. o r t o n o r m a l d e V, e s decir, los s o n las r aí ce s d e la e c u a c i ó n c aracterística
d et (/ \ — A / ) = 0. A s í p u e s , el r a n g o y la s i g n a t u r a d e (o s o n :
r a n g a) = n - m, d o n d e m = m u l t i p l i c i d a d del p o s i b l e a u t o v a l o r
A = O d e A (si A = O n o e s a u t o v a l o r , e s m = 0 )
p = n ú m e r o d e a u t o v a l o r e s p o s i t i v o s d e A
^ = n ú m e r o d e a u t o v a l o r e s n e g a t i v o s d e A
¡F IS M O S Y M A T R IC E S 363
s i g ú > = (p, í/),
d o n d e
( c a d a a u t o v a l o r s e c u e n t a tantas v e c e s c o m o i n d i c a s u m u l t i p l i c i d a d ) .
N ó t e s e q u e , p a r a e s t o d e la s ig n a t u r a , n o s e n e c e s i t a c o n o c e r l os a u t o v a l o r e s
d e A , s i n o q u e b a s t a c o n s a b e r c u á n t o s h a y p o s i t i v o s (los n e g a t i v o s q s o n
q - n —p — m). P a r a e s t o ú l t i m o e s d e interés el t e o r e m a d e D e s c a r t e s , s o b r e
el n ú m e r o d e raí ce s p o s i t i v a s q u e p u e d e t e n e r u n a e c u a c i ó n a l g e b r a i c a . E n
n u e s t r o c a s o , l l a m a n d o a^^ + a , A + í ^ A ^ + - + « „ A " al p o l i n o m i o característico,
c o m o é s t e tie ne s u s n raí ce s r eales ( p u e s A e s sim ét r ic a) , el t e o r e m a d e
D e s c a r t e s p e r m i t e a s e g u r a r q u e el n ú m e r o d e a u t o v a l o r e s p o s i t i v o s d e A e s i gual
al n ú m e r o total d e viu'iaciones d e s i g n o q u e s e p r e s e n t a n e n t r e c a d a d o s
e l e m e n t o s c o n s e c u t i v o s d e la s u c e s i ó n ci,, Oj» ···» c o e f i c i e n t e s d el
p o l i n o m i o car ac t er ís t ic o d e A ; si a l g u n o d e e s t o s c o e f i c i e n t e s a, f u e s e n u l o , s e
le p u e d e s u p o n e r p o s i t i v o o n e g a t i v o ( d e b i d o a q u e a,., y , t i e n e n a q u í
distinto s ig n o ) .

369. Ejercicios y problemas a la parte IV
KNUNCIADOS
IV , 1. Sea V un especio vectorial de dimensión fmila y
sean í/, y dos subespacios suplementarios de
V, de dimensiones p y q· Hallar los autovalores
del endomorfismo./: proyección sobre í/,
paralelamente a l/,.
IV . l , Sea λ un autovalor de un endomorfismo/: V — V,
Compruébese que es un autovalor del endtv
morfismo/ « /. S i / e s un auiomorfismo. pruébese
que Ι / Λ es un autovalor de / '.
IV J . Sean Λ y B dos matrices reales, ambas cuadradas
y de igual lamaflo. Compruébese que:
a) Si una, al menos, de las matrices A o B c$
regular, entonces AB y BA tienen el mismo
polinomio caracterísiico.
b) Si A y fl. ambas, singulares, entonces AB y
BA tienen, también, el mismo polinomio ca­
racterístico (indicación: recurrir al resultado
anterior aplicado λ A y B* ^ B ■*’fl y hállese
luego que € tiende a cero).
IW 4 . Sea λ una matriz cuadrada rea! de tamaAo n x n.
Si /I es par y det /4 < O, pruébese que A tiene, al
menos, dos autovalores reales.
IV ,5. Hallar los autovalores y los subespacios propios
del endom orfism o/:R’ — que. en la base ca­
nónica. tiene asociada la matriz A:
1 I 0 ‘
3 - 1 6
Ll - I 3.
Analícese s i/e s diagonalizahle.
IV .6, Hallar los autovalores y los subespacios propios
del en d om orfism o/:R '— R í que. respecto de la
base canónica, tiene asociada la siguiente ma­
triz A:
' I I - Γ
1 1 I
- 1 1 1
Analícese si / es diagonalizahle.
IV .7 . Hallar los autovalores y los subespacios propia
del endomorfismo / : V —♦ V (donde V es un «jn.
c í o veclorial real de dimensión 4) que. en cicm
base dada (^,. éy de V. liene usociadili
siguiente matriz A:
' 3 3 0 Γ
-1 -1 0 -1
1 2 1 1
2 40 3.
Analíce.sc si / es diagonalizahle.
1V.H. Hallar los autovalores y los subespacios propk»
de la matriz A, de tamaño n x n con n^l:
l + f l I I
I I + Λ I
I I 1 4-tí
I +a
Analícese si A es diagonalizahle por scmcjam
IV .9 . Sea V un espacio vectorial real de dimensión 3,
en el que se considera una base B = (fi,, ái, áyl;
en dicha base, las coordenadas se denotan pori^
jCj. jr,. De un endomorfismo/ : V - * V se sabe que;
• El vector 6ü, + 2«2 + se transfomia. por/,
en sí mismo.
• íüeV/2xj-l· I U2-7jc3 = 0) es un suba-
pació propio de / .
• La traza de la matriz A de / en B, es igual a 5.
a) Hallar los autovalores de /.
b) Hallar la matriz A de / en la base B.

370. ùEBClClOSY P R O B LE M A S
3 6 5
n jO. Hallar lodas las matrices cuadradas, de un cierto
lamaiío n X n, «ales que A = P-'AP para toda
matriz regular P, de tamaño n x n.
Dada una matriz cuadrada A, sea A' la matriz
que resulta de permutar, en A, las filas /-ésima y
y-ésima y también las columnas /-ésima y y-ésima.
Analizar si A y A' son semejantes y, si lo son,
hallar una matriz regular P tal que A' = P'*AP.
jV.ll Sean A y A' dos matrices semejantes y sea P una
matriz de paso, A' — P^^AP. Caracterizar, en fun­
ción de P, a todas las matrices Q de paso, esto es,
tales que A* = Q~^AQ.
|\'.13. Comprobar que la siguiente matriz cuadrada A cs
diagonalizable en C y obtener su forma diagonal:
A =
010 0 o’
0 01 0 0
00 0 00
000 0 1
.10 0 0 0.
IV.14. Se dice que una matriz cuadrada A es niipotente
sí existe k e N ia\ que A* = O. Pruébese que una
matriz cuadrada A, de tamaño n x es niipotente
si y sólo si A = O es el único autovalor de A, con
multiplicidad n.
I>M5. Sea f : V - * V un endomorfismo diagonalizable
(dim V = /i) y sea (m,, Új, una base de
V formada por vectores propios de / . Si es
5 = M, + «2 compruébese que los vec­
tores
é, = a. i, = / ( « ) . e, = (/o/)(ú)
forman una base de V.
V.16. Sea A la matriz real, dependiente del parámetro a:
~2a + 4 i - ar —2a ~ a ‘
A = O 4 - a
O O
O
4 —
a) Obtener los valores de a para los que A es
diagonalizable por semejanza.
b) Diagonalizar A para a = 1 y para a - 2 .
IV.17. S e a / : ♦ R·' el endomorfismo que, respecto
de una base dada (é,, ¿j, iy), tiene asociada la
matriz A:
1 + a - a a '
2 + a — ar a — 1
2-1 O
(of e I R )
a) Obtener los autovalores de A, comprobando
que no dependen de or.
h) Obtener los subespacios propios de / , en fun­
ción de of, y estudiar si / es diagonalizable.
c) Cuando / sea diagonalizable, hallar su forma
diagonal y la base correspondiente.
IV.18. Sea / : R ’ - * un endomorfismo del que se sabe
lo siguiente:
• / es diagonalizable y sólo tiene dos autovalores
distintos.
• f(U) = V, siendo
1/= |(x. y, Z ) e KV·* - - z = 0)
V = 'V[(1.0. 1). ( - 1 . I. 1)1
• A, = - l es un autovalor de / y uno de sus
vectores propios pertenece a U.
• (1, 0, -1) es un vector propio d e/ y está aso­
ciado a un autovalor simple.
a) Hallar la matriz A de / en la base canónica,
en función de cuantos parámetros sea preciso.
b) Si en R^ se considera el producto escalar
canónico, determinar / para que sea ortogo­
nalmente diagonalizable.
IV. 19. Sea A una matriz cuadrada de tamaño n x n. Si
A es antisimétrica, pruébese que sus autovalores
.son números complejos imaginarios puros o, bien,
son nulos.
IV.20. En el espacio vectorial euclídeo canónico R^ y
respecto de una base ortonormal (#,, éj, éy), se
considera un endomorfismo del que se sabe que:
• f(é^) = 3é, + 2e-2 + 2éy fié^) = 2é, + 2éj.
• La matriz A de / es simétrica.
• fl = ~ 2^2 - éy es autovector de /.
fl) Hallar A y los autovalores y los autovectores
d e /

371. 3 6 6
ÁLGEBRA l in e a i;
b) Diagonalizar o n o g o n a l m e n i e /, d e i e r m i n a n d o
una base en la que se obtenga dicha diagona­
lización.
IV.21. En el espacio vectorial euclideo canónico y
respecto de la base canónica se considera el en­
domorfismo/ : definido mediante
Í3x'^-x + 2y + 2z
3 / = 2 r - y + 2z
3z' = Z t + 2 y - z
a) Razonar si / es ortogonal mente diagonaliza-
ble.
b) Razonar si/ es una transformación ortogonal.
c) Hallar los autovalores y los subespacios pro­
pios de /.
d) Hallar la forma diagonal de / y una base
ortonormal correspondiente.
e) Describir geométricamente la transforma­
ción /.
IV.22.Sea V un espacio vectorial euclídeo de dimensión
3 y sea (éj» ¿2^ fO una base ortonormal de V.
Considérese el endomorfismo / : V —» V que en la
base dada tiene asociada la matriz:
c) Comprobar que A es diagonalizabic y hall*
su matriz diagonal D.
d) Analizar si A es ortogonalmente diagonalizi,
ble y, en ca.so afirmativo, hallar una mairj^
ortogonal P tal que D = P ^AF.
IV .24. En el espacio vectorial euclídeo canónico se
considera un endomorfismo / : R ^ -* R^ dcl que se
sabe que:
• La matriz A de / en la base canónica es si-
métrica.
• El subespacio T (2 . —2. - 1 ) es un subespacio
propio de / .
• Los vectores (1. 0. 0) y (0. I. 0) se transforman,
respectivamente, en los vectores (3. 2, 2) y
(2. 2. 0).
a) Razonar si / es ortogonalmente diagonaliza·
ble y si es una transformación ortogonal.
h) Hallar los autovalores y los subespacios pro­
pios de / .
c) Hallar la forma diagonal de / y obtener, si es
posible, una base ortonormal de R^ en la que
/ tome dicha forma.
IV.25. Sea dada la siguiente matriz A{a):
' I I i r
"a P 0“
1 1 - 1 - 1
A =y a P (a , r ε R) =
1 -*1 1 + a - I - a
-0 y
.1 - I - 1+ Λ 1- a .
a)
b)
Hallar la relación que debe haber entre los
parámetros a, P y y para que / admita un
autovalor triple.
Suponiendo que ) 3 y > 0 , hallar los autovalo­
res y subespacios propios de / (recúrrase al
parámetro h, siendo = 2fiy).
Razónese si para algunos /3 y y. la matriz A
es ortogonalmente diagonalizahle.
IV.23. De la siguiente matriz A se sabe que A, = I es uno
de sus autovalores y que ( I, 1. l) es un vector
propio de A asociado al autovalor A,:
■| 2 a
2 1 P
2 2 r.
a) Hallar a, p y y,
b) Hallar los autovalores y los subespacios pro­
pios de A,
( a e R dado).
a) Hallar los autovalores de A(a),
h) Hallar los valores de a para los que A(a)es
diagonalizahle por semejanza.
c) Analizar si A(a) es ortogonalmente diagona-
lizable (con el producto escalar canónico) pt
ra algún valor a„ de a y. si lo es, obiener
la correspondiente diagonalización (esto es. It
forma diagonal D y una matriz ortogonal de
cambio, D = Ρ" ^ Α(α^ )Ρ).
d) Describir geométricamente la ü^nsformación
/:R^— que, en la base canónica, lie«
asociada la matriz (1/2)A(ao).
e) Hallar el menor valor natural de h para el que
la matriz G = A(0) + /i/ es matriz métrica de
un producto escalar.
ÍV.26. Sea ω : R ' —* R la forma cuadrática dada por
ω ( χ , y, z) = y - 2λ ύ - I x z - 2yz

372. 3 6 7
Diagonalizar ortogonalm enic la forma cuadrática
(I) (en considera el pnxlucto escalar canó­
nico).
Sea io: ► R la form a cuadrática que» en la base
canónica de R \ tiene asociada la m atriz simétrica:
IV.28.
1
- 3
- I
- 3 - I
l I
1 5
Hallar una base ortononnal de R ' (con el producto IV.30.
escalar canónico) en la que la matrí/. D de a>, que
también se pide, sea diagonal.
Sea A una matriz sim étrica real y sean a y p
menor y el m ayor de los autovalores de A. Lla­
mando i4'(/i) = /4 - /?/. hallar los valores de h para
los que A*(h) es definida positiva, definida nega- IV.31.
tiva y no definida.
1VJ9. Diagonalizar ortogonalm ente la siguiente inalriz
simétrica A, hallando la correspondiente matriz
diagonal D y una matriz de paso ortogonal F, esto
es, tal que - p· y p = P'^AP:
'2 I I r
1 2 1 1
1 1 2 1
1112.
Analizar si A es definida positiva.
Sean A y B dos matrices cuadradas simétricas,
ambas de igual tamaño. Si los autovalores de A
están en el intervalo (a,, y los autovalores de
B están en el intervalo [6,. ¿>2]» pruébese que los
autovalores de A *f fi están en el intervalo
1«, + Ü2 + bjl
Sea V un espacio vectorial real de dimensión fi­
nita y s e a /: V'—* V un endomorfismo. Obtener una
condición necesaria y suficiente para que exista
un producto escalar en V con el que/sea un
endomorfismo simétrico.

373. 3 6 8
SOLUCIONES
I V .l. A = 1 (con mulliplicidad p ) y \ = 0 (con multipli­
cidad q).
IV.2. f(x) = Kx
J(x) = Kx ■■
=» (/o /) (.t) = A^Í;
>x = X f-\x)
IV J . a) det (Añ-A/) = det ( / í f l - A B-'fl) =
= (det ( A -Á B ')] áelB =
= det B [det (/1-Afl ') =
= det (BA-ÁBB ') =
= det (SA-A/)
b) del {AB + efí - A/) = det (fi/4 + efi - A/), al
tender e a cero, como los coeficientes de
estos polinomios varían continuamente con €
(son funciones continuas de e), se obtiene que
del {AB “ A/) = det (BA - A/). Nótese que si
A O es e! autovalor de B más próximo a O,
entonces B' es regular para 0 < f < |Al.
IV.4. El polinomio característico p(A) de A es tal que
p(0) = det ( i4 )< 0 y p ( A ) - · + « para A-»-®;
por tanto, p(Á) tienen, al menos, una raíz positiva
y otra negativa.
1V.5. A, = 0. A2=1, Aj = 2
Vi.o = V(-3. 3, 2).
VA-2 = r(l, 1,0),
/ es diagonalizable.
IV.6. A = 2 doble y A = — 1 simple
Vji.2-V((l,0, l),(l, 1.0)].
v , - . , = r ( i , - I . I),
/ es diagonalizable.
IV,7. A, = 2 doble y A2 = 1 doble
V^A.2 = r ( e ’ , - é 2 + é3 + 2 í J ,
f no es diagonalizable.
IV.8. A, = fl con multiplicidad n - 1
Aj = fl + /i (simple)
Va- :
•*^1
^2
(xeR)
IV.9. a)
b)
A es diagonalizable por semejanza.
A ,-1- Aj + Aj = 5. luegoA| — 1, A2 ” A3,
Al = 1, A2 — Aj = 2.
V, = T(M), con m(6, 2, 5); ^,^ = 7(0. w),m
0(7, 0, 2) y M>(11, - 2 , 0). En la base
la malrìz es diagonal, cambiando de base se
tiene:
A =
14 66 - 4 2 '
4 24 - 1 4
10 55 -3 3
IV. 10. Sea P = / + donde E¡j tiene todos sus elemen­
tos nulos salvo el de lugar /, j que vale 1 (pan
/ ^ y ); de PA = AP se deduce que el elemento de
lugar /, j de A es nulo (con i #7). Las matrices
pedidas son las m atrices escalares (tienen cera
fuera de su diagonal).
I V .ll . i4 y son sem ejantes; P es la matriz que resulta
de perm utar las colum nas i-ésima y 7-ésima de li
m atriz unidad.
IV. 12. Q = RP, donde R es una matriz regular que con­
m uta con A,
IV.13. det (>l — A/) = A" — 1, que tiene n raíces distintas
en C , luego A es diagonalizable en C. La forma
diagonal es:
D =
O
O
A„j
Ijn 2 j7t
Áj = e o s
------f I s e n------ (para j =
n n
(1 es la unidad imaginaria).
1,2 .....n)

374. JOUCIW® 369
i\' 14. Si ^ y A e s a u t o v a l o r d e A, existe X ^ O tal
q u e A X = A X , l u e g o A * X = X% l u e g o A = 0.
Si los n a u t o v a l o r e s d e A s o n nulos, r ec u r r i e n d o
a la f o r m a triangular 7 d e A (es A = P ' T P c o n T
triangular; la d i a g o n a l d e T está o c u p a d a p o r ios
autovalores d e A ), c o m o la d i a g o n a l d e T tiene
iodos s us e l e m e n t o s nulos, es F = 0 . l u e g o
A”^0.
IV.15. D e ser ó, sería (A^ =
= autovalor d e /):
ai + OjAi + a , A ? + — -f a „ A ? * ‘ = O
y este p o l i n o m i o d e g r a d o n — 1 tendría n raíces
O e s autovalores). l u e g o s u s coeficientes serían
nulos.
IVM6. a) det ( A ~ A / ) = l ( 4 ~ α “) - A l [ ( 2 α + 4 ) - A ] ·
· [ ( 4 - α l - A ]
A, = 4 — A2 = 2a*f4, A3 = 4—a
Par a a = O, / n o es diagonalizable.
Para a ^ O ,f es diagonalizahle.
b) a = 1 — D = P ‘ U P c o n
■ 300 " ’0 1
/> = 0 30y P =l 0
. 006 _ 0 1
“0 0 0 ” "l l6 ”
0 = 08 0y P =0 01
. 002 _ .1 00 _
*^•17. a) A, = - I (simple) y A j = I doble,
b) / d i a g o n a l i z a h l e <=> a = 0
Si a = O,
VA-,=T(é, + 2^j.é, + 2í,)
v , . _ , = r ( e - j - í , )
V , . , = T ( 2 í - , + 3 é , + í,)
C)- 1 o o'
o 1 o
o o I
base: <?, = #2 “
a, = e, + 2é,
fi3 = # , + 2 ¿ ,
IV . 1 8 . a) /(I, O, l) = ( - I , O, - ! ) ; A = - 1 d o b l e
A =
t ~2i - l - i
0 -1 o
- 1 - í 2í I
h) í = 0.
1 V . 1 9 . P o r ser A' = -i4, e s X'AX - O p a r a t od a c o l u m n a
X, pues:
X'AX = (X'AX)' = XWX = -X'AX
S e a A = a + P, u n a u t o v a l o r d e -4 y X + iY u n
v ector p r o p i o c o r r e s p o n d i e n t e a A, es
l u e g o
d e d o n d e :
A(X + ¡Y) = Á(X + iY)
A X= aX -pY
AY=aY+pX
X'AX^aX'X- PX'Y
Y'AY=aY'Y + pY'X
S u m a n d o , es í) = a(X'Y + Y'Y), l u e g o a = 0 y
A = fii.
I V . 2 0 a) ■3 2 2 ‘
2 2 0
2 0 4
A,=0
Aj = 6
A3 “ 3
V,.,V{2é,-2é,-é,)
V,.y = V(é, + 2¿t-2é,)
V , . j = T ( 2 é , + é, + 2é,)
b) D = P 'AP con
‘000'
' ■ * 1
“ 21 2'
/) =06 0 - 22 1
_0 03 , ^ - 1 - 2 2 .

375. nueva base:
( 2 é , - 2 í j - # , )
(#, + 2 í j - 2 # , )
( 2 / , + / i + 2 / , )
c) + 4 í» r V ,.
+ yi^) h» de ser un Mftenu ímofMMj
ai 0^ » + 0^ '*■ ‘Z · o t u , pm» 0 . y
IV.23. fl) <»*“2, ^ * -2. r·--^
>1*1 (sim ple), 4 · - 1 doble
V a - . « V i l . í. M
0.(0. I. />/
!V.21. La matriz de / es
■ - I22 ‘
0- 1
2
2
- 1
2
2
- l _
. 00
l
a- 5
(que cs simétrica y ortogonal).
a) / cs ortogonalmente diagonalizable (^4 es si­
métrica).
b) / cs una transformación ortogonal (A es orto­
gonal).
c) A, = l (simple) y Aj =* - 1 (doble)
Va- ,* V (1 . 1. 1)
V*.-, = Vl(l. -1.0). (1.0. -1)J
I o
IV.24.
</) No es ortogonalmente dia^onaJuahlc. pm
y V^.-i no son onogonaJes.
‘3 2 2
2 2 0
2 0 4
rf)
D =
I O
O - 1
O
O'
O
O - 1
a) / es onogonalmente diagonalirahle (A a
métrica); f ao es una tnnsfomackm imf»·
nal (A no es ortc^*na/).
b) A ,- 0 , A, = 3. A, =6
ü, = -^(l, 1, 1)
base:
úi = -p (0 . I. - I )
/ 2
--, = ^ ( - 2 . 1 . . )
€) / es la simetría (oitogonal) respecto de la
recta que determina el vector (U l . l^·
^V.22. A 2 ~ Qf i V ) 8 y
a) Hay autovalor triple si p y ^ (í.
fc) A| =í of, Aj =* o» + * o — /i
V ; , , 3 * r ( / 3 # , y / , )
= m - 2. -1)
=ríi. 2. -2)
v : , . - r í 2 . 1 . 2 )
C) “ 0 0 0
/ > = 0 3 0
0 0 6 _
base:
- Z - I )
2· - 2 )
i í , - - ( 2 . I. 2)
IV .2 5 . fl) A * 2 triple y Aj · ~ 2 (stfiipk*).
/>) <» * O, rtnfco vaio· par» el dim " ·'
r ) Fs ortogonal mente diag«'»naliy«N<‘

376. r .lONe 3 7 1
“2
-
/) =
2
0
2
0
- 2 .
’i / v 501/2- 1 / 2 “]
i / v 50- 1 / 21/2
0 i / v 51/21/2
. 0- i / > ^1/21/2.
d) /c s la simeina respecto del piano ortogonal
al vector ( -1, I, 1, I).
e) C = i4(0) + hi es simétrica; debe ser definida
positiva, esto es, ha de tener autovalores po­
sitivos; sus autovalores son 2 + /i (triple) y
-2 + /í (simple); por tanto, h = 3.
I\;26. Los autovalores de la matriz de (en base ca­
nónica) son A , = l, = y -y/l. Los
subespacios propios son:
- I )
V*, = V ( 1 , 1)
V . , = V ( 1 . - 1 + N ^ . 1)
Xi, Xi) =.’^, + y/ÍxÍ- y¡3x^
donde jr,, jcj, JC3 son las coordenadas en la base
ortonormal («,, Mj. 1Í3):
1
« , = :(1. - 1 - V 5 , I)
V ? + 2v5
«j = - 7 = i= = ( l. -I+V3. 1)
V 7 - 2 ^ ^
IVi7 Autovectores y subespacios propios de A:
A, =*3. Aj = 6. A3 = - 2
V,, = V ( 1, - I . I)
V,^ = r ( l . - I , - 2 )
v , , * r ( i . 1,0)
D·-
"30 0“
0 6 0
.0 0 -2.
ú , = - y (1, -1, 1)
v 3
(1, -1. -2)
«, = -;= ( I . I. 0)
■J2
IV.28. A\h) cs definida positiva, definida negativo y no
definida según que, respectivamente, sea /i < a,
h > P y
IV.29. Autovalores de A: A, - I triple y Aj = 5 (simple)
\ = ((^|. A*2» ^3* X*) e W ¡Xy + JTj -f JTj + Jf,, = 0)
v , ^ - r ( i , i, 1 . 1)
2
2
O
6
6
S
3
O
6
6
6
2
La matriz A es definida positiva, pues sus autova­
lores son positivos.
IV.30. Sean los autovalores de A; sea (X¿) una base
ortogonal de autovectores de A; toda columna X
es X = i
iAX)X* = a ot,AX,){l ajX] = ( 2 a,A ,X ,)(2 a ^ j ) =
^ l a } Á , X i X !
üyXr = 2 fl,a?X,X: ^ 2 a?Aí-^.X! = A X X '

377. 372
Análogamente, aJCX^ ^ AXX*. Para toda columna
X es
a ,X X '^ A X X ‘ ^ ü ^ X '
b,XX'=sBXX‘^ b ^ '
htXX' « ( A + B)XX' «
I D
[21
(se han llamado A, y /i, al menor y al mayor de
los autovalores de A + B). Sumando las relacio­
nes [ l J se obtiene que
(tí, b^)XX‘ «í (A -f B)XX' < («2 + b,)XX‘ (31
Al g e b r a
lineal
propios
y
Como existen ciertas columnas X, y
propios de A + B asociados a /i, y h¡) (»jj, ^
/ i , X , X ' , = ( A + B)XX
/i,XjX'2 = (/\ + B)XjX Í 1^1
de 121. [31 y 141 resulta que
[A,, / i j l d o , +¿>|, fli + ójJ
IV .3 1 . E l endomorfismo / diagonalizable. En tal caso, t|
producto escalar es aquel que hace onononnál a
una base en lo q u e /te n g a matriz diagonal.

378. GEOMETRÍA
CARTESIANA
10. Los c5pacios geométricos
Ejercicios y problemas.
E
1 S í/éj/a/o e[ momento de camSiar de tercio y ocupamos de la
geometría. Sepa, empero, eC lector poco avisado, que seguimos
. íidiarufo eCmismo toro, pues ^aígebra íineaí» y ^geometría
• cartesiana», a más de emparentar por todas partes, son discipCinas
que congenian y, de antiguo, están Sien avenidas.
¡Aunque a ayunos íes Segue a sorprender, pareciéndoíes cfiocante y, quizá,
e^gerado, lo cierto es que, si echamos mano de ios vectores, como
fiaremos, resuítará que, a (a postre, vamos a precisar de un único elemento
nuevo, de un punto, de utw solo, para poder montar, sobre éC, nuestro
tinglado. Tomando a este punto como origen, aticíaje o asidero, en eíque
apoyar a los vectores, y mirando atentamente a sus erem os,
descubriremos que a[[í están ubicados los puntos, todos eübs, los que
pueblan y ílenan eíespacio. quienes, cuando se enfrentaron con los
vectores deC álgebra, saíieron con pie firm e de (a empresa, poco ím de
costarías, pues, vérselas afwra con ios puntos, con las rectas y con los
píanos que les saídrán a i paso en geometría.

379. CAPÍTULO
Los espacios geométricos y £3
P a r a i n i c i a m o s d e b i d a m e n t e e n el e s t u d i o d e la g e o m e t r í a , c o m o e n el de
c ua lq u ie r otra disciplina, e s o b l i g a d o c o n o c e r el t e r r e n o q u e se pisa. Aquí, este
terreno es el « p l a n o g e o m é u i c o » o el « e s p a c i o g e o m é t r i c o » ( s e g ú n que la
d i m e n s i ó n s e a d o s o tres), q u e c o n m a y o r p r o p i e d a d s e l l a m a n « p l a n o afín>* y
« e s p a c i o afín». N u e s ü x ) p u n t o d e partida h a d e ser, p u e s , u n conocimiento
preciso d e los c o n c e p t o s d e p u n t o , recta, p l a n o ; sin ello, m a l v a m o s a poder
estudiar las relaciones y p r o p i e d a d e s d e e stos e l e m e n t o s .
S e c o m i e n z a c o n u n a p r e s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a , lo m á s exü^a c ta da posible,
d e la f u n d a m e n t a c i ó n a x i o m á t i c a d e los e s p a c i o s g e o m é t r i c o s , q u e permita, no
obstante, estudiar d e m o d o satisfactorio los p r o b l e m a s afi ne s y m é t r i c o s usuales
d e la g e o m e t r í a ordinaria (bl y ü i d i m e n s i o n a l ) . M á s a de lante, e n u n apéndice,
tras u n análisis s o s e g a d o d e los a x i o m a s , se p o d r á n e st ud i ar los e spacios afines
y afínes e u c l í d e o s generales.
a AXIOMAS Y DEFINICIONES
A estas alturas n o p o d e m o s a se n t a r el e s t u d i o d e la G e o m e t r í a e n los conceptos
intuitivos d e p u n t o , recta y p l a n o q u e s e utilizan, a t i n a d a m e n t e , e n la enseñanza
m e d i a . P r o c e d i e n d o c o m o se sue le h a c e r e n la m a t e m á t i c a , f u n d a m e n t a r e m o s
t o d o e n u n o s a x i o m a s q u e r e c o j a n las p r o p i e d a d e s q u e se les s u p o n e n a los
p u n t o s d e la G e o m e t r í a e l e m e n t a l . L o s a x i o m a s , q u e n o h a n « c a í d o del cielo»,
q u e s o n el fruto d e u n p r o c e s o d e a bs tr a cc ió n , q u e s e verifican e n particular
p a r a el m o d e l o intuitivo del q u e salieron, q u e p e r m i t e n g e n e r a l i z a r c o n acierto
y p r o v e c h o la G e o m e t r í a e l e m e n t a l , a la p o s t r e s e a c e p t a n , se a d m i t e n sin
d e m o s t r a c i ó n , s o n p r o p o s i c i o n e s ciertas p o r definición.
LOS ESPACIOS GEOMÉTRICOS
Bl Y TRIDIMENSIONALES
P a r a definir estos e s p a c i o s g e o m é t r i c o s , f o r m a d o s p o r p u n t o s , v a m o s a recunir
a los c o r r e s p o n d i e n t e s a x i o m a s . É s t o s s e h a n e s t a b l e c i d o d e m o d o q u e recojan
las p r o p i e d a d e s q u e , e n G e o m e t r í a e l e m e n t a l , g o b i e r n a n las relaciones entre
p u n t o s y vectores. D e este m o d o , p o d r e m o s recurrir a c u a n t o y a s a b e m o s acerca
d e los vectores. A s í p u e s , « t r a s l a d a r e m o s » a la g e o m e t r í a las p r o p i e d a d e s y los
r esultados de! á l g e b r a d e vectores.
374

380. )M É T R IC O S £ 2 Y £ 3
3 7 5
Q PLANO AFÍN (E^) Y ESPACIO AFÍN (E 3)
[180] E l espacio afín ( tr i d i m e n s i o n a l ) está c o n s t i t u i d o p o r los s i g u i e n t e s e l e ­
m e n t o s . U n c o n j u n t o £ 3 (a c u y o s e l e m e n t o s s e les l l a m a puntos), el
e s p a c i o vectorial R ' y u n a a pl ic a c i ó n , q u e a c a d a p a r d e p u n t o s (P, Q)
le a s i g n a u n v e c t o r o e q u e s e d e n o t a p o n i e n d o
v = PQ o t a m b i é n G = P + t;[M
t o d o ello d e m a n e r a q u e s e v e r i f i q u e n las d o s c o n d i c i o n e s siguientes: 1.*
p a r a c a d a P e E^y c a d a íJ e existe u n y s ó l o un Q e q u e satisface
a [11; y 2.^" d a d o s tres p u n t o s c u a l e s q u i e r a P, Q, R e E , s e verifica q u e
PQ QR=^ PR (re la c ió n d e C h a s l e s )
(esta ú l t i m a r e l a c i ó n p u e d e sustituirse p o r la ( P + w) -f tJ = P + (w + íJ)»
p a r a c u a l e s q u i e r a P e E^y ú, ü s W),
U n c o n j u n t o el plano afín ( e s p a c i o d e d i m e n s i ó n d o s ) si p a r a él s e
v erifica lo ant er i or s u s t i t u y e n d o p o r (y £ 3 p o r Ej)·
M á s a d e l a n t e ( v é a s e el A p é n d i c e A . 0 8 a , a y b ) s e insistirá s o b r e esta
d e f i n i c i ó n , g e n e r a l i z á n d o l a , m a t i z á n d o l a y c o m p l e t á n d o l a . Allí s e p u e d e acudir,
y a a h o r a , si s e d e s e a p r o f u n d i z a r e n ella y ver, así, c ó m o c o n est a d e f i n i c i ó n
s e m a n t i e n e n las p r o p i e d a d e s q u e c o n o c e m o s d e g e o m e t r í a e l e m e n t a l . A sí , p o r
e j e m p l o , e n [ 2 2 1 ] p u e d e v e r s e q u e p a r a c u a l e s q u i e r a q u e s e a n los p u n t o s P , Q,
P' y Q' (<le £ 2 o d e £3) se verifica q u e :
P Q ^-Q P
P Q ^ P'Q' =>PP' = QQ'

381. □ EL PLANO (£ 2) Y EL ESPACIO {E.)
AFIN-EUCLIDEOS. DISTANCIA
[181] E l e s p a c i o afín £ 3 ( o el p l a n o afí n Ej) s e d i c e q u e e s euclideo sí se
d i s p o n e d e l p r o d u c t o e s c a l a r e n t r e s u s v e c t o r e s libres, e s decir, si al
e s p a c i o v ectorial ( o s e le c o n s i d e r a c o n s u e s t r u c t u r a euclidea.
S e l l a m a distancia del p u n t o P al p u n t o Q, a m b a s d e E^ o d e
( eu cl í de os ) , al n ú m e r o real
d(P. Q)^\\PQ\\
C u a n d o ( v é a s e el A p é n d i c e A . 0 8 a , c y d ) s e e s t u d i e n e stas cuestiones con
m a y o r g e n e r a l i d a d , s e c o m p r o b a r á q u e la d i s t a n c i a a q u í d e f i n i d a g o z a de las
p r o p i e d a d e s q u e y a c o n o c e m o s d e g e o m e t r í a e l e m e n t a l . E n c o n c r e t o , podríamos
y a c o m p r o b a r q u e p a r a c u a l e s q u i e r a q u e s e a n los p u n t o s P, Q y P át
£ ■3 ( e u c l í d e o s ) se verifica q u e :
• d(Py 0 > O si d(P, P)^i)
• d(Py Q) = d(Q, P)
• d{P, R)^d(P, Q) d(Q, R) ( d e s i g u a l d a d t r i a n g ul ar )
[182]
TEOREMA DE PITAGORAS
S e a n A , 5 y C tres p u n t o s distintos d e l e s p a c i o afi'n e u c l í d e o £ 3 0 del
p l a n o afín e u c l í d e o £2· E l t r i á n g u l o ABC e s r e c t á n g u l o e n A (esto es, AB
y i 4 C s o n v e c t o r e s o r t o g o n a l e s ) si y s ó l o si s e v erifica q u e
DEMOSTRACIÓN
P a r a c u a l e s q u i e r a q u e s e a n los p u n t o s /\, 5 y C s e verifica q u e
BC = A C -A B
y, p o r ello:
liscll' = BC ■ BC= (ÁC-ÁB)· (ÁC - ÁB) = ||AC||' + ||Afl |P -2AC ÁB
P o r tanto, p a r a q u e s e a ||flC||^ = ||-4^IP + \\AC\\^ e s n e c e s a r i o y suficiente
q u e s e v e r if i qu e q u e ÁC· AB = O, e s t o es, q u e ACy AB s e a n o r t o g o n a l e s (nótese
(\\ic ts A +C y A ^ B).

382. OMÉTRICOS f z Y ^3 3 7 7
COORDENADAS CARTESIANAS
[183] Dados un punto O (origen) de y si é j , é^) es una base de se
dice entonces que (O; i,, éj’ ^3) referencia cartesiana de Ey
Cuando la base sea ortonormal, a la referencia se la llamará rectangular.
Se llaman coordenadas cartesianas de un punto X e £ 3 respecto de
dicha referencia a las coordenadas (jr,, Xj, jtj) del vector OX en la base
(«,. Í2< «3)·
Todo lo anterior es válido para el plano si se sustituye R* por
(é„ éj. éj) por (#„ é^) y ix^, Xy x,) por (x„ x^).
N o h a p a r e c i d o n e c e s a r i o d e d i c a r a q u í e s p e c i a l a t e n c i ó n a e s t e a s u n t o d e
las c o o r d e n a d a s , s o b r e el q u e l u e g o s e v u e l v e , p a r a e s t u d i a r l o c o n d e t e n i m i e n t o
e n el c a s o d e d i m e n s i ó n f m i t a c u a l q u i e r a ( v é a s e el A p é n d i c e AM/3, b, c y d).
T a n t o a q u í c o m o allí, las c o s a s f u n c i o n a n c o m o e n G e o m e t r í a e l e m e n t a l ;
r e s u m i e n d o , p o d e m o s d e c i r q u e , e n el c a s o d e es:
L a s c o o r d e n a d a s d e X s o n (jc„ -^3) si y s ó l o si OX = jc,€, + -^3^3·
S i las c o o r d e n a d a s d e P s o n (/?,, pj» P3) y las d e Q s o n (^,, e n t o n c e s
las c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r PQ s o n (^, - / ? i , q ^- Pi^ Pi)’
P a r a s e ñ a l a r q u e las c o o r d e n a d a s d e X s o n (x,, jCj, X3), s e p o n d r á A'(jc,).
S i la r e f e r e n c i a e s r e c t a n g u l a r , e n t o n c e s la d i s t a n c i a e n t r e los p u n t o s X(jr,) e
i'íy.) e s - -íi)^ + ( ^ 2 ->^2)^ + ( X t “ Xif-
S e a n (x¡, Xy jc,) las c o o r d e n a d a s d e u n p u n t o X e E¡ e n la r e f e r e n c i a
( O ; é,, éy éj). C o n s i d é r e s e o tr a r e f e r e n c i a ( C ; iJ,. Uy ü^), d o n d e s e c o n o c e n
C ( C |, C y C j) y üj = ( p a r a y = 1 . 2 , 3). S i (x¡, x 'y jr;) s o n las
c o o r d e n a d a s d e X e n la n u e v a r ef er e n c i a , e n t o n c e s
x¡ = c, + qnx[ + q,.ix'j + q„x’^

383. AlgebraU N E íi'
( pa ra / = 1, 2, 3). E s t e r e s ul t ad o s e o b t i e n e f á c i l m e n t e ( v é a s e t a m bi é n (245));
3 3 3 / 3
x,é, = OX= OC+CX =
í-l ■ y-l
J i ^ ! i y
X x,é, = Ó X = Ó C + C Y = Z + X x ’j ü j = Z + Z Ji,’ Z
1-1 Ví-I
l u e g o
= Ci + Z ( p a r a / = 1 , 2. 3)
Si las d o s referencias anteriores s o n recta n gu la r es , e n t o n c e s la m a ü i z Q =
es ortogonal.
CAMBIO DE COORDENADAS□
S e a ( O ; e,, éj, éj) u n a r ef erencia c a r te s ia na d e e n la q u e (jc,, jCj, Xy) son las
c o o r d e n a d a s d e u n p u n t o g e n é r i c o X e £3. S u p ó n g a s e q u e (íl; w,, üj. üy) es una
n u e v a referencia d e £3, e n la q u e X tiene p o r c o o r d e n a d a s a (x¡, xí, xJ). Si la
n u e v a r eferencia e s c o n o c i d a ( re s p e c t o d e la p r i m e r a ) , est o es, si s o n conocidos
los coeficientes (o¡ y q¡j q u e p e r m i t e n p o n e r :
Oíl = (0,é, + W j é j + (Ojéj y üj = q^Jé^ + q^S^ + q^Sj O' = 1. 2, 3)
e n t o n c e s las c o o r d e n a d a s (jc„ JCj. X}) V í·*!· -*3) ® s t ^ n rel ac i on ad a s por:
= w . + qitX'i + qax'i + qnA o W = [ W ] + Q[x']
d o n d e [x], [x'] y [ío] ( m a t r i c e s c o l u m n a ) y Q ( m a t r i z c u a d r a d a regular) son:
'jfi' 'A' "w,· *9n9i2913'
M = [x'] = H =WjQ =«21fe9a
.-«3- -•^ 3- - "3. -931Í329jj-
N ó t e s e q u e la anterior rel ac i ón W = [ w ] + g[A:'] p u e d e e x p r e s a r s e poniendo;
W =
10 f M = [lac, jcj JC,]'
[i'] d o n d e\
. N JQ . jc¡ jri x;y

384. PACIOS G E O M É T R IC O S E g Y ^ 3
3 7 9
C a s o d e E j ; si e n lo a n t e r i o r s e p r e s c i n d e d e la t e r c e r a c o o r d e n a d a ( m á s
e x a c t a m e n t e , d e t o d o s los e s c a l a r e s y d e t o d o s los v e c t o r e s c o n s u b í n d i c e 3),
s e o b t i e n e el c a m b i o d e c o o r d e n a d a s e n el p l a n o afín.
COMPROBACION
P o n i e n d o q u e OX = OVí + í l X y e x p r e s a n d o e s t o s v e c t o r e s e n f u n c i ó n d e las
b a s e s {e^ y (íip, q u e l u e g o r e l a c i o n a m o s e n t r e sí, s e o b t i e n e q u e
j 3
o x = oCl + ñ x = > s X / , = £ + £ xjilj = X c¡é, +
X, = c ¡ +
7-1
E s t a ú l t i m a r el ación, q u e e s la q u e b u s c á b a m o s , p u e d e e x p r e s a r s e t a m b i é n ,
o b v i a m e n t e , d e f o r m a m at r i c i a l p o n i e n d o [x\ = [a^l + Q[x'\. N ó t e s e q u e Q e s
la m a t r i z d e c a m b i o d e c o o r d e n a d a s , e n el e s p a c i o v e c t o r i a l d e l os v e c t o r e s
libres, l i g a d o al c a m b i o d e la ba.se (é¡) p o r la {üj); p o r t a n t o ( v é a s e 1()69|), Q
e s u n a m a t r i z regular.
K , I E R C I C 1 ( )
E n el e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l a fí n y r e s p e c t o d e cie rt a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a
(0\ é|, ¿2, é,) s e c o n s i d e r a el t e t r a e d r o ABCD, c u y o s v é r t i c e s t i e n e n las s i g u i e n ­
tes c o o r d e n a d a s :
A(X 1, - 2 ) , 5 ( 2 , 2, 0), C ( l , 0 , - 1 ) y D ( 4 , 3, - 2 )
Si e n la n u e v a r e f e r e n c i a (A; AB, AC, AD) las c o o r d e n a d a s d e u n p u n t o P
s o n (,t\ y', z')f hallar las c o o r d e n a d a s (jc, y, z) d e P e n la p r i m e r a r e f e r e n c i a .
RESOLUCION
C o m o las c o o r d e n a d a s d e AB, AC y AD e n la b a s e (è,, èj) s o n
AB(-\, 1, 2), A C ( - 2 , - 1 , 1) y AD{\, 2, 0 )

385. Alg ebr a uneal
d e a c u e r d o c o n el r e s u l t a d o a nt er i or será:
X 3 - i - 2 1V
y
=
1+ 1 - 1 2/
z - 2 2 1 0_ z' _
10.2. LAS RECTAS Y I.OS PLANOS
Si V es u n e s p a c i o vectorial d e d i m e n s i ó n 1 ó 2, al « a p l i c a r » los vectores de ]
V e n u n p u n t o fijo P ( o r i g e n d e t o d o s ellos) los e x t r e m o s d e d i c h o s vectores
r e c o r r e n u n a recta o u n p l a n o , r e s p e c t i v a m e n t e .
RECTAS (EN E2 Y EN £3)
[184] D a d o s u n p u n t o P , dcl e s p a c i o £3, y u n v e c t o r n o n u l o ü e se llama
recta q u e p a s a p o r P y tiene la d i r e c c i ó n d e ü al c o n j u n t o f o r m a d o por
los p u n t o s X e £ 3 tales q u e PX = Ai? p a r a A e R , e s t o es, tales que:
X = P + A w , p a r a A e R
(ecuación vectorial d e la recta)
P o r d o s p u n t o s distintos P , Q j e £ 3 p a s a u n a s o l a recta, q u e es la q u e
f o r m a n los p u n t o s X - P + \PQ c u a n d o A e R .
I
D e igual m o d o s e d e f i n e n las rectas d e Ej· s u s t i t u y e n d o y R ’ p o r
yW .

386. O B S E R V A C I O N E S
• L a r ec ta q u e p a s a p o r el p u n t o P y tiene la d i r e c c i ó n d e l v e c t o r ü, e s t o es,
el c o n j u n t o { X = P + A w / A e R ) , s e d e n o t a p o n i e n d o P + V ( m ) , d o n d e
V í m ) = { A w / A e R ) e s el s u b e s p a c i o q u e e n g e n d r a ü. A este s u b e s p a c i o se
le l l a m a dirección d e la recta.
• S e g ú n s e h a b r á n o t a d o , p a r a s e ñ a l a r q u e u n p u n t o P p e r t e n e c e a u n a recta,
s e d i c e q u e é st a p a s a p o r P.
• S e g ú n s e c o m p r u e b a c o n facilidad, la recta q u e p a s a p o r P y tiene la d i r e c c i ó n
d e il y la r e c ta q u e p a s a p o r Q y tiene la d i r e c c i ó n d e v s o n la m i s m a si y
s ó l o si /7, V y PQ s o n v e c t o r e s p r o p o r c i o n a l e s .
• S e l l a m a segmento q u e tiene p o r o r i g e n y e x t r e m o a los p u n t o s P y Q
c o n j u n t o [P, Q ] = { X = P + XPQ/0 ^ A ^ 1}. S e l l a m a punto medio d e los P
y <2 al M =
E J E R C I C I O
S e a n d a d o s c u a t r o p u n t o s A , ® ^3) f o r m a n u n p a ­
r a l e l o g r a m o , e s t o es, tales q u e AB = DC. C o m p r u é b e s e q u e s u s d i a g o n a l e s s e
c o r t a n e n s u p u n t o m e d i o .
RESOLUCIÓN
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3 8 1
N ó t e s e q u e , p o r s er AB = D C , t a m b i é n e s AD = BC, Si M , e s el p u n t o m e d i o
d e AC y e s el p u n t o m e d i o d e PB, h a y q u e c o m p r o b a r q u e A s í
es, y a q u e

387. 382
Algebra lineai
[185]
PLANOS (DE £ 3)
D a d o s u n p u n t o P, d e l e s p a c i o E3, y d o s v e c t o r e s ü, 0 e W linealmente
i n d e p e n d i e n t e s , s e Ihuiia plano q u e p a s a p o r P y tiene a los w y í c o m o
v e c t o r e s d e d i r e c c i ó n al c o n j u n t o f o r m a d o p o r los p u n t o s X tales
q u e PX-ÁÜ + fiv p a r a Á, ¡ul eU, e s t o es, tales q u e :
X = P-l· ÁÜ + fiv, p a r a X, fie U
{ecuación vectorial d e l p l a n o )
P o r tres p u n t o s n o a l i n e a d o s P , Q , /? e E^ p a s a u n s o l o pla no , q u e es el
q u e f o r m a n los p u n t o s
X — P + ÁPQ + fiPR, p a r a A , /x e R
F ig ur a 10.5,
OBSERVACIONES
• E l p l a n o q u e p a s a p o r el p u n t o P y tie ne c o m o v e c t o r e s d e dirección a los
ü y V ( i n d e p e n d i e n t e s ) , e s t o es, el c o n j u n t o ( X = P + A w + fiv/X. fieRl^t
s u e l e d e n o t a r p o n i e n d o P 4· T ( í7, v), d o n d e V ( m , 1;) e s el s u b e s p a c i o vectorial
( b i d i m e n s i o n a l ) q u e e n g e n d r a n ü y v. A este s u b e s p a c i o s e le l l a m a dirección
del pla no .
• E n l u g a r d e d e c i r q u e u n p u n t o P p e r t e n e c e a u n cierto p l a n o , se acostumbra
a d e c i r q u e el p l a n o p a s a p o r P,
• E s fácil c o m p r o b ar q u e d o s p l a n o s P , -f y ( i 7 „ iJ,) y P j + ^ ( «2, 1^2) coinciden
si y s ó l o si P,Pj e V(ü„ B^) = T í m j . é5j).
EJERCICIOS
1. S e a d a d a la recta r:X = P + Áü ( p a s a p o r P y tie ne la d i r e c c i ó n d e h) Jf'
e s p a c i o Ey H a l l a r d o s p l a n o s q u e s e c o r t e n s e g ú n r.

388. Y ^ 3 383
2. D a d o s d o s p l a n o s q u e p a s a n , a m b o s , p o r u n m i s m o p u n i ó P, c o m p r u é b e s e
q u e , si n o s o n el m i s m o , s e c o r t a n s e g ú n u n a recta.
RESOLUCIÓN
1. S e a n tJ, y d o s d e los m u c h o s v e c t o r e s tales q u e (w, ü,, iJj) e s u n a b a s e
d e U\ L o s p l a n o s P + Y(ü, 0,) y P + T(/7, tJj), e s t o es, los q u e t i e n e n p o r
e c u a c i o n e s ( p a r a A, / x „ ^ R )
X = P \Ü -l· fJLyÜy y X = P Áü fJÍ2 ^2
s e c o r t a n o b v i a m e n t e a lo l a r g o d e la recta r d a d a .
2. L o s p l a n o s d a d o s s e p u e d e n p o n e r e n la f o r m a P + í/, y P + í/j» ^ o n d e (/,
y U2 s o n s u s d i r e c c i o n e s ( s u b e s p a c i o s v ec to r ia le s d e d i m e n s i ó n 2). L o s
p l a n o s s o n distintos si Uyñ^ U2 y e n t o n c e s ( / = ( / , O í/j s u b e s p a c i o
d e d i m e n s i ó n 1. C o m o la i n t e r s e c c i ó n d e los p l a n o s e s el c o n j u n t o P + í/,
é st e es, p u e s , u n a recta.
GEOMETRÍA PLANA (AFÍN Y EUCLÍDEA)
E s cas i s e g u r o q u e m u c h a s , p o r n o d e c i r todas, las c u e s t i o n e s q u e v a m o s a
c o n s i d e r a r a q u í s o n y a c o n o c i d a s d e e s t u d i o s anteriores, p u e s e s t á n e n los
p r o g r a m a s d e las e n s e ñ a n z a s m e d i a s . E s t o n o s p e r m i t i r á a v a n z a r c o n r a p i d e z ,
p e r o n o n o s e x i m e d e a b o r d a r los p r o b l e m a s a f í n e s y e u c l í d e o s típicos d e la
g e o m e t r í a b i d i m e n s i o n a l , c o m o s o n las i n t e r s e c c i o n e s d e rectas, el p a r a l e l i s m o ,
la d i s t a n c i a d e u n p u n t o a u n a recta o el á r e a d e u n triángulo.
1 0.3. PROBLEMAS AFINES (EN EL PLANO E.)
H a b l a r e m o s a q u í a c e r c a d e las rectas, s u s e c u a c i o n e s , i n t e r s e c c i o n e s d e rectas
y p a r a l e l i s m o . S e g ú n s e ve, a q u í las p r o t a g o n i s t a s s o n las rectas, q u e s e g ú n
d i j i m o s r e c i e n t e m e n t e e n |I84J s o n los c o n j u n t o s d e p u n t o s dcl tipo
P + r ( ü ) = { X = P ^ - Am/ AgR )
d o n d e P e E , e s u n p u n t o fíjo ( p o r el q u e p a s a la recta) y /7 e e s u n v e c t o r
d a d o ( q u e d e f i n e la d i r e c c i ó n d e j a recta); la recta q u e p a s a p o r d o s p u n t o s
P , (2 e E j c o n j u n t o P + T{PQ) d e los p u n t o s X = P + ÁPQ ( p a r a A e R ) .
P a r a r e p r e s e n t a r a e stas rectas s e s u e l e p o n e r :
X = P + A/7 o X = P^ÁPQ (d o n d e A e R )

389. Á L G E B R A LINEAL
Q ECUACIONES DE LAS RECTAS (DE E^)
E n el p l a n o se a d o p t a r á u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a ( O ; é,, ^2)» permite
a s i g n a r c o o r d e n a d a s (jc,, X2) a t o d o p u n t o X e E^. V a m o s a h a b l a r a q u í sobre
la rel ac i ón a la q u e d e b e n verificar jc, y jCj p a r a q u e X p e r t e n e z c a a u n a recta
d a d a y r e c í p r o c a m e n t e . U n a tai r e l a c i ó n r e c i b e el n o m b r e d e e c u a c i ó n d e la
recta.
(1861 E n el p l a n o E2 se a d o p t a u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a c u a l q u i e r a ; respecto
d e ella:
1. L a recta, del p l a n o E j » ^tiya e c u a c i ó n v ectorial e s X = P + A w , o sea,
la q u e p a s a p o r el p u n t o P(/?,, P2) y t iene la d i r e c c i ó n del v e c t o r n o
n u l o ü(u^, W2)» a d m i t e las s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s c o n c o o r d e n a d a s :
3 .
jr,=/7, + A//,
( p a r a A e I
fl
__ _ _ _ _P2
X2^P2'^ A m .
( e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s )
[1]
( e c u a c i ó n c o n t i n u a )
2. L a recta d e £ 3 ^ ^ e p a s a p o r los p u n t o s P(/>,, y g ( ^ , , ^2) a d m i t e
p o r e c u a c i o n e s a:
Xí=Pi + Mqi~p,)
, X i = P i + M c / i - P i )
( p a r a A e R ) o
P i P i I
(¡2 1
[2]
T o d a recta d e £ j a d m i t e e c u a c i ó n d e la f o r m a [3], q u e a b a j o s e da.
p a r a ciertos n ú m e r o s a«, a „ e R c o n (a,, a¡) ^ (O, 0); r ec íp r oc a ­
m e n t e , t o d a e c u a c i ó n d e d i c h o t ip o r e p r e s e n t a a u n a rec ta d e Si
^(P\' Pi) u n p u n t o d e u n a recta, la e c u a c i ó n g e n e r a l d e ésta p u e d e
p o n e r s e e n la f o r m a (4):
a „ + a , j c , + ajjtj =
- / > , ) + a2ÍX2
O o /
- p j ) = 0 V
e c u a c i ó n g e n e r a l
d e u n a r ec ta d e E
.)
131
|4)

390. 2 V a
3 8 5
COMPROBACIONES
1. L o s p u n t o s d e la r e c t a s o n a q u é l l o s X(jc,) tales q u e P X -k ü p a r a a l g ú n
A e R , o sea, tales q u e a:, - p¡ = A ú , (/ = 1, 2 y A e R ) , q u e s o n las e c u a ­
c i o n e s p a r a m é t r i c a s . L a e c u a c i ó n c o n t i n u a e q u i v a l e , o b v i a m e n t e , a las
p a r a m é t r l c a s ; si a l g ú n u¡ f u e s e n u l o , v é a s e lo q u e s e d i c e m á s a d e l a n t e , e n
las o b s e r v a c i o n e s .
2. A q u í s e repite lo anterior, t o m a n d o i¡ = PQ, L a ú l t i m a e c u a c i ó n , la e c u a ­
c i ó n « e n f o r m a d e d e t e r m i n a n t e » , e s e q u i v a l e n t e a la e c u a c i ó n c o n t i n u a ,
lo q u e s e v e f á c i l m e n t e r e s t a n d o la 2.“ fila d e l d e t e r m i n a n t e a c a d a u n a d e
las o t r a s d o s .
3. S e g ú n s e a c a b a d e c o m p r o b a r , t o d a r e c t a a d m i t e e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s
[l], q u e e q u i v a l e n a W j U i ~ P i ) «1(^2 “ Pi) “ d e los t i p o s [3] o
[4]; n ó t e s e q u e los c o e f i c i e n t e s d e jCj y X2 n o p u e d e n s e r los d o s n u l o s , p u e s
Ui y U2 s o n los c o m p o n e n t e s d e u n v e c t o r n o n u l o . R e c í p r o c a m e n t e , d a d a
u n a e c u a c i ó n d e l t ip o [3] c o n (a,, cij) (O» 0)» P o r e j e m p l o , c o n a, # O, e s
e v i d e n t e q u e d i c h a e c u a c i ó n lo e s d e la r e c t a q u e p a s e p o r el p u n t o
P(-aJa^, 0 ) y t i e n e la d i r e c c i ó n d e l v e c t o r n o n u l o ¿/(Oj, - o , ) .
OBSERVACIONES
• S i e n las e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s [1] f u e s e w, = O o « 2 = O, n o t e n d r í a s e n t i d o
la e c u a c i ó n c o n t i n u a . N o o b s t a n t e , h a y q u i e n a b u s a d e la n o t a c i ó n p o n i e n d o
u n c e r o c o m o d e n o m i n a d o r ; e n tal c a s o d e b e e n t e n d e r s e q u e s e q u i e r e i n d i c a r
( d e m a l a f o r m a ) q u e el c o r r e s p o n d i e n t e n u m e r a d o r e s n u l o .
• N o r m a l m e n t e , y s o b r e t o d o e n las a p l i c a c i o n e s , a las c o o r d e n a d a s x^ y d e
u n p u n t o g e n é r i c o d e l p l a n o s e las s u e l e l l a m a r x e y. A s í , p o r e j e m p l o ,
la e c u a c i ó n g e n e r a l d e u n a rec ta se s u e l e e x p r e s a r p o n i e n d o ax + by + c = O,
d o n d e (a, b) ^ (O, 0).
• Si e n la e c u a c i ó n g e n e r a l ax-l· by + c = 0, d e u n a r e c t a d e £ j , e s 6 O, la
e c u a c i ó n s e p u e d e p o n e r e n la f o r m a y = tfix + h, d o n d e los n ú m e r o s m y h
s e l l a m a n p e n d i e n t e y o r d e n a d a e n el o r i g e n , d e la rec ta d a d a .
• S i u n a r ecta c o r t a a los e jes c o o r d e n a d o s e n los p u n t o s d e c o o r d e n a d a s ( a , 0 )
y (O, p)y e n t o n c e s la r ec ta a d m i t e p o r e c u a c i ó n a la (x/a) -f {y/P) = 1.

391. Á L G E B R A LINEAL
EJERCICIO
H a l l a r las e c u a c i o n e s g e n e r a l e s d e las r e c i a s q u e t i e n e n la d i r e c c i ó n del vector
a(a, b) y q u e d e t e r m i n a n e n los e j e s c o o r d e n a d a s , OX y OY, s e g m e n t o s OA y
OB c u y a s a m p l i t u d e s s u m a n la u n i d a d .
RESOLUCIÓN
C o m o la recta tiene la d i r e c c i ó n d e «, s u e c u a c i ó n g e n e r a l e s h x - a y - h, para
cierta h e R . C o m o A(h/h, 0 ) y fl(0, -h/a), h a d e verificar.se q u e :
/)h
_+_
b a
= 1, l u e g o |/»|
\ a h \
Ia| + |/>|
P o r tanto, h a y d o s r ectas s o l u c i ó n , q u e s o n las d e e c u a c i o n e s :
\ab\
bx — ay = ±
|a| + 16|
PARALELISMO
[187] D o s rectas s e d i c e n p a r a l e l a s si t i e n e n la m i s m a d i r e c c i ó n ; e s t o es, las
rectas P + V{ü) y Q + y(v) s o n p a r a l e l a s s\ il y v s o n p r o p o r c i o n a l e s . Si
e n el p l a n o Ej s e a d o p t a u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a c u a l q u i e r a , r e s p e c t o d e
ella:
L L a r e l a c i ó n uJv^ = e s n e c e s a r i a y s u f i c i e n t e p a r a el paralelis­
m o de:
(^It ^2) - (/^P Pi) + « 2) y (-^P -^2) = ^ 2) + MVi, V2)
2. L a r e l a c i ó n a,/fe, = «2/ ^2^*^ n e c e s a r i a y s u f i c i e n t e p a r a el p ar a l e ­
l i s m o de:
¿íü + a,a:, + U2X2 = 0 y + h^x^ + = O
3, L a r e l a c i ó n a ,w , + ^2^2 = O e s n e c e s a r i a y s u f i c i e n t e p a r a el p ar al e ­
l i s m o de:
« o + a^x^ + ü2X2 = 0 y (a:,. X2) = (/?„ P2) + A ( w „ u,)
(·) Si un denominador es nulo, csia relación significará que también ha de ser nulo el
correspondiente numerador

392. U05
r^oAflQ^MÉTRICOSE^YEa 3 8 7
COMPROBACIONES
1. L a s d o s rectas d a d a s s o n paralelas si y sól o si s u s v e c t o r e s d e d i r e c c i ó n
w ( w „ Wj) y iJÍUp v^) s o n p r o p o r c i o n a l e s , esto es, si w,/y, = ujv^.
2. L a s d o s rectas d a d a s tienen p o r v e c t o r e s d e d i r e c c i ó n a los ~í/,) y
y p o r ello el p a r a l e l i s m o e q u i v a l e a ajh^ = ajby
3. L a s d o s rectas d a d a s t ie ne n p o r v e c t o r e s d e d i r e c c i ó n a los w(w,, y
v(q2, l u e g o el p a r a l e l i s m o e q u i v a l e a ujci2 = «2/ “'^!· ^ sea, a
Í/,W, + tíjWj = O·
E J E R C I C I O
D a d o el p u n t o P(/?,, p^) y las rectas r y í d e e c u a c i o n e s :
J C j = / 7 j + AMj
y
í = a „ + <»1^:, + = O
hallar e c u a c i o n e s d e las rectas, r' y i', paralelas a r y a í p o r P .
RESOLUCIÓN
D e a c u e r d o c o n la d ef in i ci ón d e p a r a l e l i s m o , e s o b v i o q u e
f =
x , = / j , + A«,
( A e R )
j:j = Pj +A t t j
s' = - /?,) + a2(-Í2 “ P2) = O
E J E R C I C I O
S e d a n tres p u n t o s n o a l i n e a d o s A, B y C; s e a M el p u n t o m e d i o del s e g m e n t o
BC. E n la recta AM s e c o n s i d e r a u n p u n t o c u a l q u i e r a P ; s e a Q la i nt er s ec ci ó n
d e AB y CP; s e a R ia int er s ec ci ó n d e AC y BP. P r u é b e s e q u e QR e s p aralela
a BC.
RESOLUCIÓN
T o m e m o s la refer e nc ia c u y o o r i g e n e s M y c u y o s v e c t o r e s s o n MB y M A
( l l a m e m o s jc e y a las c o o r d e n a d a s ) . E n esta refer e nc ia / » ( 0 , 1), fl(l. 0), C ( - 1 , 0 )

393. ÁLG EBR A LINEAL
[188]
y P ( 0 , a), p a r a a e R c ua lq u ie ra . L a s e c u a c i o n e s d e las rectas del enuncia­
d o son:
AB:x-i-y=l BP:ax-^y = a
AC:-'X + y - \ C P :-'O Xy - a
P o r tanto, los p u n t o s 0 y /? y la recta QR son :
'\ - a 2a
1 1
(a _ ^ _ 2 ^ \
\1 + a ’ 1 +a)
QR:y =
2a
1 +a
H a resultado, p u e s , q u e QR e s p ar al e la al eje .v = O, q u e e s BC.
□ INTERSECCIONES DE RECTAS (DE E^)
E n el p i a n o E j y r e s p e c t o d e c u a l q u i e r r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a q u e se t o m e
e n él, se verifica:
INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS: D a d a s d o s rectas r y s c u y a s ecuaciones
g e n e r a l e s s o n r: + ayX2 y s:h^x^ + h ^ 2 ~ ^ y H^iniando
M y M* 'á las matri c es :
A / =
• [ r a n g A / = 2] r O í c o n s t a d e u n s o l o p u n t o (r y s s o n secantes).
• [ ra ng A / = 1 y r a n g Af' = 2] = > r O j = 0 y las rectas s o n paralelas.
• [ ra ng A / = r a n g A^' = I J = > las rectas c o i n c i d e n ( s o n la m i s m a ) .
«1 «2’
y M' =
«1«2flo
P^K
J
K
INTERSECCIÓN DE TRES RECTAS: D a d a s las s i g u i e n t e s rectas r, 5 y / y
l l a m a n d o A f y A f ' a las m a ü i c e s q u e a b a j o s e s e ñ a l a n
r:«,x, + + 0() = O
S ♦ ^0 ^
r : c , j r , + C 2 X 2 + Co = 0
« 2 flo"
A / = : Af' =
^•2c «.
• [ r a ng M' = 3] = > m . y n / = 0 y f o r m a n t r i á n g u l o o d o s s o n paralelas.
• ( ra ng M = r a n g A/' == 2] rnsHí c o n s t a d e u n s o l o p u n t o .
• [ r a n g A f = 1 y r a n g M' -2] = > r f i . v n / = 0 ( s o n paralelas y n o coin­
c i d e n las tres).
• [ ra ng A ^ = r a n g A/' = 1] = > las tres rectas c o i n c i d e n ( s o n la m i s m a ) .

394. Y C3 3 8 9
COMPROBACIONES
U n p u n t o X ( a , , x ^ ) p e r t e n e c e r á a la i n t e r s ec ci ó n d e las rectas d a d a s si y s ó l o
si (A|, Aj) e s s o l u c i ó n del s i s t e m a q u e f o r m a n las e c u a c i o n e s d e d i c h a s rectas.
A l recurrir al t e o r e m a d e R o u c h é , relativo a la d i s c u s i ó n d e u n s i s t e m a d e
e c u a c i o n e s lineales, se o b t i e n e n d i r e c t a m e n t e los r e s u l t a d o s del e n u n c i a d o .
Figura 10.7.
EJERCICIO
E s t u d i a r la p o s i c i ó n relativa d e las ü-es rectas siguientes:
/ * : A - f y = l ; *v: 2jc + 3 > ' = 1 ; / : 3 A + a r v = 2
e n f u n c i ó n del v a l o r del p a r á m e t r o a e R .
RESOLUCION
R e c u r r i e n d o a las m a t r i c e s M y M' del si.stema d e las e c u a c i o n e s d e las tres
rectas:
~\r “ 1 l r
M =2 3; M ·^23 1
. 3 .3a2 _
r a n g M — 2
r a n g M' =
3, si a ^ 4
2, si a = 4
se c o n c l u y e f á c i l m e n t e q u e :
• P a r a a = 4, e s r a n g M = r a n g M' = 2; e n este c a s o r, s y t se c o r t a n Uls tres
( y d o s a d o s ) e n u n p u n t o , q u e e s el P ( 2 , — l).
• P a r a a ¥^4, e s r a n g A f ' = 3; r, 5 y / n o tie ne n n i n g ú n p u n t o e n c o m ú n , Píu-a
« = 3, /· y r s o n paralelas y distintas y s e s .secante c o n ellas. P a r a a = 9/2, j
y t s o n paralelas y distintas y r es s e c a n t e c o n ellas. P a r a « # 4, 3, 9/2, las
tres rectas f o r m a n triángulo.

395. Al g e b r a l i n e a l
[189]
^ HACES DE RECTAS (DE E^)
R e s p e c t o d e u n a r ef er e nc ia c a r t e s i a n a c u a l q u i e r a , e n el p l a n o £ j , s e tiene:
D a d a s d o s rectas r : + « o = O y í : b,x¡ + = 0. distin­
tas, s e l l a m a haz de rectas, q u e d e t e r m i n a n r y í, al c o n j u n t o d e todas
las rectas q u e t i e n e n e c u a c i ó n d e l s i g u i e n t e típo:
a^a^x^ + a¡X2 + flo) + + b^Xi + bf,) = 0
p a r a c u a l e s q u i e r a a , )3 e R tales q u e (a, /3) ^ (O, 0 ) o
(a,.t, + a¡x¡ + flo) + A(i»,x, -I- + h„) = O
p;u-a A e R'**. E s t e h a z está f o r m a d o p o r las s i g u i e n t e s rectas:
1. Si r y 5 s e c o r t a n e n u n p u n t o e n t o n c e s el h a z lo f o r m a n todas
las rectas q u e p a s e n p o r Pq.
2. Si r y 5 s o n paralelas, el h a z lo f o r m a n t o d a s las r ectas paralelas a
las rys.
(·) Se loma A = fi/a. Esta forma de dar el haz cs defectuosa, pues no incluye a la recta
s, que se obtiene pora (a, p) = (O, 1). Fam intentar remediarlo se admite que s es el límite
de la recta del haz para A
COMPROBACIÓN
P a r a s implificar la n o t a c i ó n , p o n g a m o s a{x) y b{x) p a r a representar a
a^x^ + a^ 2 ^ 0 y + ^2^2 + feo· P o r c u a l q u i e r p u n t o P del p l a n o , e x c e p t o el
pos i b l e p u n t o d e i nt er s ec ci ó n d e r y 5, p a s a u n a y s ó l o u n a r ecta del haz, que
es la q u e se o b t i e n e p a r a a = b{p) y /3 = -a(p).
1. Si r y 5 se c o r t a n e n u n p u n t o Pj,, e s t o es, si a(p^) = O y fe(p„) = O, entonces
t o d a s las rectas del h a z p a s a n p o r Pq y a q u e + )8fe(Po) = O
c u a l e s q u i e r a a y R e c í p r o c a m e n t e , si t e s u n a r ec ta q u e p a s a p o r
e n t o n c e s t h a d e ser u n a d e las rectas d el h a z , y a q u e , t o m a n d o u n punto
P d e ella, distinto d e P^ y s e g ú n s e dijo antes, p o r P p a s a u n a sola recta
t' del h a z y, c o m o t y /' p a s a n a m b a s p o r P y h a d e s e r t* = /, luego /
es del haz.
2. Si r y s s o n paralelas, e s t o es, si (a,, a^) y (fe,, b^ s o n proporcionales,
e n t o n c e s t o d a s las rectas del h a z s o n p ar a l e l a s a ellas, p u e s el par
( a a , + ^fe,, Pb^ e s a h o r a p r o p o r c i o n a l a los (a,, y (fep ¿2)·
R e c í p r o c a m e n t e , si t e s u n a recta p a r al e la a las r y 5, e n t o n c e s t h a d e ser
u n a d e las rectas del haz, y a q u e , t o m a n d o u n p u n t o P c u a l q u i e r a d e ella
y segijn se^ o b t u v o a n t e r i o r m e n t e , p o r P p a s a u n a s o l a r ecta í* del h a z y.
c o m o t y /' s o n p aralelas a las r y 5 y p a s a n p o r P , h a d e ser t' = /, luego
/ e s del haz.

396. « 2 ■ - 3 3 9 1
EJERCICIO
H a l l a r la recia t q u e es paralela a r y p a s a p o r la inter s ec ci ó n d e ój y s i e n d o
Γ , .9, y 52 laíí rectas d e e c u a c i o n e s g en erales:
γ : 3 α : 4 - 2 y + 5 = 0 ; s^:x + 2 y‘l · \ = 0 ;
RESOLUCIÓN
L a recta t, c o m o p a s a p o r la inter s ec ci ó n d e 5, y ^2, p e r t e n e c e al h a z q u e éstas
d e f i n e n , l u e g o
/: (a + 2 > + 1) + A ( 2 x + - 7) = O p a r a u n cierto A e R
D a d o q u e t y r s o n paralelas, t e n d r á n p r o p o r c i o n a l e s los coefi c ie nt e s d e a e y:
1 + 2 A 2 + A
3
- l u e g o A = 4 y t:3x'l·2y = 9
PROBLEMAS EUCLIDEOS (EN EL PLANO E.)
S u p o n e m o s a h o r a q u e el p l a n o E j e uc lí d eo , est o es, d i s p o n d r e m o s del
p r o d u c t o e s c al a r e ntre v e c t o r e s libres ( ve ct o re s d e R^). S i e m p r e q u e a q u í
p r e c i s e m o s d e u n a r eferencia cartesiana, la t o m a r e m o s rectangular, c o n lo q u e
s i m p l i f i c a r e m o s n o t a b l e m e n t e las e x p r e s i o n e s q u e p r o p o r c i o n a n las d istancias
y los á n g u l o s . Así , e n particular, e n c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r la distancia del
p u n t o X(jc,, JC2) al p u n t o Y(y^, y^) v a l d r á d(X, Y) = [(y, - x^f + (>^2
[190]
□ EXPRESIÓN EUCLIDEA DE UNA RECTA (DE Ej)
U n a recta r cua lq u ie ra , del p l a n o e u c l í d e o £2» q u e d a d e f i n i d a si s e c o n o c e
u n p u n t o P d e ella y u n v e c t o r n o n u l o ó e R ^ o r t o g o n a l a s u d ir ección.
E n f u n c i ó n d e P y a, la recta r es el l u g a r g e o m é t r i c o d e los p u n t o s
X e £ 2
á . PX = O ( e c u a c i ó n e u c l í d e a d e la recta)
R e c u r r i e n d o a u n a referencia car te s ia na r e c t a n g u l a r y si e n ella P(/?,, p^)
y fl(fl,, ÍZ2)» anterior recta, ¿7 · P X = O, a d m i t e p o r e c u a c i ó n a la:
- P i ) + fl2(-*2“ P2) = 0
A s í p u e s , el v e c t o r á(fl,, a^) es o r t o g o n a l * “’ a la recta d e e c u a c i ó n
a,Xt + a^2 + « o = 0.
( ♦) Abusando dcl lenguaje, un vector se dice ortogonal o perpendicular a una recta si
lo es a su dirección.

397. D a d o s P 6 £ j y á e IR^ si íJ e s u n v e c t o r n o n u l o o rtogonal^ a á y c o m o (a. í)
es u n a b a s e d e ^ i r q u e ü PX = 0, e st o es, q u e P X _ e s ortogonal a á,
e q u i v a l e a decir q u e PX tiene la d i r e c c i ó n d e «, o sea, q u e PX = A ú para algún
A e IR, lo q u e significa q u e X recorre u n a recta (Ja q u e p a s a p o r P y tiene ia
d irección d e «), c o m o h a b í a q u e verificar.
E c h a n d o m a n o d e la referencia r e c t a n g u l ^ c o m o e n ella á(a,, Cj) y
" Pv ^2 ~ Pi)’ resulta q u e la rel ac i ón á · P X = O se e x p r e s a e n la forma
o,(A·, - p,) + fljÍATj - />,) = 0.
COMPROBACIÓN
E J E R C I C I O
H á l l e s e la e c u a c i ó n d e la altura c o r r e s p o n d i e n t e al vértice A del triángulo ABC,
s i e n d o ( en c o o r d e n a d a s rectangulares):
A(2, 1); fi(l, 3): C ( 5 , 0 )
RESOLUCION
El v e c t o r BC{4, - 3 ) e s p e r p e n d i c u l a r a la recta p e d i d a , l u e g o ésta es la
AX - BC — Q (X — p u n t o g e n é r i c o d e la recta), e st o es:
(X, - 2 ) 4 + (jcj - 1 ) ( - 3 ) = 0 o s e a 4 x, -3x^ = 5
ÁNGULO DE DOS RECTAS□
C o n v i e n e e m p e z a r n o t a n d o q u e , d a d a s d o s rectas r y s, del p l a n o euclídeo £,.
c o n d o s vec to r es y ü,, d e las d i r e c c i o n e s d e r y .v, s e f o r m a n c uatro ángulos,
u n o d e ellos, al q u e l l a m i v e m o s a, está entre O y jt/2; e n f u n c i ó n d e él, los
c ua tr o á n g u l o s son:
á n g ( ü „ «,) = á n g ( - « , , -a,) = a e [O, ir/2]
á n g (ü„ a,) = á n g (-a„ -a,) = - a e [ - tt/2, 0]
á n g («,. -a,) = á n g ( - « ^ ú,) = a-ire {-tr, w/2]
á n g (tt„ -li,) = á n g (-Ù,, M,) = ?r - a 6 [~n/2. ir]

398. ESPACIOS G EO M ÉTRICO S Y E3
3 9 3
E s t o s c u a t r o á n g u l o s d e p e n d e n s ó l o d e las rectas rys, e st o es, ellos s o n
los m i s m o s si se s us ti t uy en y p o r otros vectores, n o nulos, d e las d i r e c ­
c i o n e s d e r y d e s.
[191] S e l l a m a ángulo á n g (r, í), d e d o s rectas r y s del p l a n o e u c l í d e o al
á n g u l o c o m p r e n d i d o entre O y tt/2 d e e ntre los c u a t r o á n g u l o s q u e se
p u e d e n f o r m a r c o n u n v e c t o r ( n o n u l o ) d e la d i r e c c i ó n d e u n a d e las rectas
y o t r o d e la d i r e c c i ó n d e la otra.
El á n g (r, s) q u e d a d e t e r m i n a d o p o r s u c o s e n o , q u e vale^*^:
1. Si M y ü s o n v e c t o r e s d e las d i r e c c i o n e s d e r y s, e n t o n c e s
e o s (r, 5) = Icos (m, tJ)|.
2. Si a y b s o n v e c t o r e s o r t o g o n a l e s a las rectas rys, e n t o n c e s
e o s (r, s) = Icos (fl, b)\,
3. Si ü tiene la d i r e c c i ó n d e r y a es o r t o g o n a l a s, e n t o n c e s
s e n (r, s) = |cos (w, ó)|.
(*) Recuérdese que el coseno del ángulo de dos vectores í e 5? (no nulos) vale
cos(jc.50 = U -)0 :(IW I ll>f||).
COMPROBACION
S e g i j n se dijo e n la i n t r o d u c c i ó n anterior, d o s rectas c u a l e s q u i e r a f o r m a n u n
ú n i c o á n g u l o , c o m p r e n d i d o entre O y tt/2. L a s e x p r e s i o n e s q u e d a n el c o s e n o ,
o el s e n o , del á n g u l o á n g {r, s) s o n c orrectas y a q u e , r e s p e c t i v a m e n t e :
I. L o s e o s ( ± M , ±tj) y e o s (±ü, ±ü) t o d o s tienen el m i s m o v a l o r a b s o l u t o y,
d e e ntre ellos, los q u e s o n positivos s o n iguales al e o s (r, s).

399. 2. L o s cuatro á n g u l o s q u e se f o r m a n c o n los v e c to r es ±á y ±B s o n los m i s m o i
q u e los q u e se f o r m a n c o n ±ü y c o n lo q u e Icos («, ÍJ)| = |cos (á, í)|.
3. L o s á n g u l o s á n g ( ± w , ±d) difieren Tr/2 d e los á n g ( ± 5 . ±0); p o r ello, los
i s e n ( ± M , ± 0 ) t o m a n los m i s m o s v a l or e s q u e los ± c o s («, ¿i).
EJERCICIO
Si r y r‘ s o n las rectas q ue , e n u n a referencia c ar tesiana r ectangular (coorde­
nadas: X e y), a d m i t e n p o r e c u a c i o n e s a las:
r :y = nix'^h ; r* :y = m'xh'
c o m p r u é b e s e q u e
tg (r, r') =
m — m
RESOLUCIÓN
L o s v e c t o r e s m(1, m) y «'(1, m*) t i e n e n las d i r e c c i o n e s d e r y r' y,
p o r ello:
e o s (r, r') = Icos {üy i7')l = -
|1 + mm'\
V H - ^ V r + z ^
V l - c o s ^ (r, r')_ |m - m'j
^ ^ eos (r, r') |1 + mm'\
[1921
RECTAS PERPENDICULARES
D o s rectas r y j, del p l a n o e u c l í d e o E^, se d i c e n perpendiculares si el
á n g u l o g u e f o r m a n es recto, lo q u e e q u i v a l e a q u e s e a w · y = O o a q u e
sea fl · /? = O, d o n d e ü y v s o n v e c t o r e s ( n o n u l o s ) d e las d ir ecciones de
r y s y d o n d e a y í s o n v ec to r es ( n o n ul os ) o r t o g o n a l e s a r y a í.
Si se a d o p t a u n a referencia r e c t a n g u l a r e n Ej» e n t o n c e s : 1) las rectas
p e r p e n d i c u l a r e s a u n a q u e t ienen la d i r e c c i ó n del v e c t o r («,, Mj) tienen la
dir ec c ió n del v e c t o r (mj, *” í/|); y 2) las rectas p e r p e n d i c u l a r e s a la de
e c u a c i ó n a,a, -f + A = O tienen e c u a c i ó n del tipo a^Xi - 0.

400. c a p a d o s g e o m é t r i c o s E3Y E , 395
COMPROBACIÓN
C u a n t o a q u í se d ic e es u n c a s o particular d e lo d i c h o e n el a p a r t a d o anterior.
T o m a n d o allí á n g (r, jí) = t t¡2 y e o s (r. a) = 0. se o btienen, sin m á s . lo d i c h o
p a r a la p er pe n di cu l ar id a d.
E J E R C I C I O
D e u n c u a d r a d o ABCD se c o n o c e n d o s vértices o pu e s t o s . A ( 2 , 6) y C ( 4 , 2) (en
c o o r d e n a d a s rectangulares). Hal la r los otros d o s vértices.
RESOLUCIÓN
L o s v e c t o r e s AC y BD tienen igual l ongitud y s o n per pe n di cu l ar es ; c o m o
A C ( 2 , - 4 ) . será BD (4, 2) o BD(-4, 2). El p u n t o m e d i o d e AB, q u e es 0 ( 3 , 4 ) ,
es t a m b i é n el p u n t o m e d i o d e BD y, p o r tanto. B y D s o n los p u n t o s O ±\BD\
así pue.s, fí(5, 5) y D(l, - 3 ) .
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
[193] S e a n d a d o s , e n el p l a n o e u c l í d e o Ej, u n p u n t o P y u n a recta r. Si r n o
p a s a p o r P, e n t o n c e s existe u n p u n t o P „ d e r tal q u e el v e c t o r P P „ es
o r t o g o n a l a r; se d ice q u e P(, es la proyección ortogonal d e P s o b r e r.
L a disliuicia d e P a P „ es la m e n o r d e las distancias d e P a los p u n t o s
d e r y se le l l a m a distancia del p u n t o P a la recta r.
Si r e s p e c t o d e u n a referencia rec ta n gu la r P(/í,, p^) y r tiene p o r e c u a c i ó n
a a^x^ + ayX^ + «d = O, e n t o n c e s la distancia d e P a r vale:
|<I|/>1 + + «(,1
d(P, r) ■■
•Ja] + <»1
F ig u ra 1 0 .1 1 .

401. 396 ÁLGEBRA LINEAI
DEMOSTRACIÓN
L l a m e m o s g a u n p u n t o d e r y á a u n v e c t o r o r t o g o n a l a r. H a y q u e comprobar
q u e existe u n A e R tal q u e el p u n t o P = Pq + A á e s d e r. e st o es. se verifica
q u e QPa -a = 0. P o n i e n d o QP^ = PPo ~ PQ> el A b u s c a d o es, pues, aquel que
verifica a
( A á -PQ)a = 0
l u e g o
^ ■ á
A = ·
iia-r
L a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e P s o b r e r e s el p u n t o P„ = P + \ü y la distancia
d(P, Po) será:
d(p, /*o) = iiA«ii = |A| iiáii= m
P a r a c u a l q u i e r a q u e s e a el p u n t o X Pq áe r, c o m o el triángulo PPJ( es
r e c t á n g u l o e n Pq y s e g ú n el t e o r e m a d e P i t á g o r a s ( v é a s e [182]), se verifica que
i i ^ r = i i ^ o i p + i i ^ i i * > i i ^ , i p
l u e g o
l i r a | | > l im ol i
P o r tanto, d{P, Pq) = | |^,|| es la m e n o r d e las dista n ci as d e P a los puntos
d e r.
F i n a l m e n t e , al recurrir a c o o r d e n a d a s r e c t a n gu la r es , c o m o p u e d e tomarse
«(í^ii 0 2) y e s P(/7,, P2) y t e n i e n d o e n c u e n t a q u e , p o r ser Q ( ^ , , ^2) u n punto
d e r, se verifica q u e = -üq, s e o b t i e n e q u e :
r) - djp, p ) - ~ ~ ^
II*®!! 'Ja] + al y/a] +
EJERCICIO
D a d a s d o s rectas paralelas r y r\ c u y a s e c u a c i o n e s serán, p u e s , del tipo (en
c o o r d e n a d a s rectangulares):
y
r* : a^x^ + 0^X2 + « i = O

402. OS GEOMÉTRICOS £ 3 Y £3 397
p r u é b e s e q u e la d i s t a n c i a d e u n p u n t o c u a l q u i e r a d e r a r' e s c o n s t a n t e . A e s t a
d i s t a n c i a s e la l l a m a d i s t a n c i a d e r a r' y vale:
y/a\ + ai
RESOLUCIÓN
S e a P{p^, P2) u n p u n t o c u a l q u i e r a d e r, e s t o es, tal q u e «,/>, f (I2P2 + = 0; la
d i s t a n c i a d e P a r' vale, s e g ú n s e a c a b a d e p r o b a r :
„p _ l«iPi + ";/'j + "ól _ l~"o + "*'l
d(P. r )
--------y— ■■■·.■----------/ , .
V o ? + « i v « í + « i
q u e e s c o n s t a n t e ( n o d e p e n d e d e q u i e n s e a P e r) y c o i n c i d e c o n el v a l o r q u e
s e d a e n el e n u n c i a d o .
□ECUACION NORMAL DE UNA RECTA
|I94|
S e a r u n a r e c t a d e l p l a n o e u c l i d e o E^, e n el q u e s e h a a d o p t a d o u n a
r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a reciangul;«' (0\ ^2). L l a m a n d o O^ a la p r o y e c c i ó n
o r t o g f ) n a l d e O s o b r e r y si O Ò , i d e o s (K d s e n ^), d o n d e d > i ) e s la
d i s t a n c i a d e a r, e n t o n c e s r a d m i t e p o r e c u a c i ó n a:
jr, e o s ^ + Jtj s e n ^ = í/

403. Á L G E B R A LINEAL
COMPROBACION
U n p u n t o X e s d e r si y s ó l o si · 00^ = O, e s t o es, si:
( j c , ~ d e o s 8)d e o s ^ -H (Aj - s e n 6)d s e n ^ = O
q u e e s la e c u a c i ó n q u e h a b í a q u e o b t e n e r .
^ ÁREA DE UN TRIANGULO
[195]
S u p o n g a m o s q u e e n el p l a n o e u c l í d e o s e d a n tres p u n t o s n o a l i n e a d o s
P2)» ^2) y ^2) c o o r d e n a d a s s o n r e c t a n g u l a r e s ) . E l área
d e l t r i á n g u l o PQR vale:
A r e a PQR =\\\PQ ^ PR\\ ^ {
>1 Pi n
d e t
<7l J
Jx h i J
(*) Las baim verticales son de «valor absoluto». Para el producto vectorial PQ A PR,
los vectores PQ y PR, que son de R*, se supone que son de con su tercera componente
nula.
COMPROBACIÓN
L a altura c o r r e s p o n d i e n t e al v é r t i c e R s e p u e d e e x p r e s a r e n la f o r m a :
h = IIP/? II s e n {PQ, PR)

404. gp^QOS geométricos 399
Recurriendo a la norma de_un producto vectorial (véase [158], II), el área del
triángulo, que vale (1/2) ||P0||/i, se puede poner:
Area P Q R = ^ ||P Q\\h = |||P ( 2IIII/’/?II sen (PQ, PR) = ^ \\PQ AP Rjj'*» fIJ
El vector P QaPR tiene nulos sus dos primeros componentes (véase [160])
y su tercera componente vale
-,
>1P2
det
/ | - P i
‘/2- P2
r2 -P i.
= det
<¡z 1
'-2 1-
(la última igualdad se comprueba restando, en el último determinante, la pri­
mera fila a cada una de las otras dos y después desarrollando por la tercera
columna). Llevando estos valores a la expresión [ I ] se obtiene la fórmula del
enunciado.
LAS CIRCUNFERENCIAS
[196]
(I)E n el p l a n o e u c l í d e o £3 s e l l a m a circunferencia, d e c e n t r o e n el
p u n t o C e £2 y c u y o r a d i o e s ^ > O, al l u g a r g e o m é t r i c o d e l o s
p u n t o s d e q u e d i s t a n p d e C . A d o p t a n d o u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a ­
n a r e c t a n g u l a r e n £3 y si C ( a , b), d i c h a c i r c u n f e r e n c i a e s t á f o r m a d a
p o r l o s p u n t o s X(x, y ) tales q u e :
(x - af + ( y -b)-p^
(ec, e x p l í c i t a )
x = a + p e o s 6
y = b + p s e n $
( p a r a 0 ^ 6<27t)
(11) L a c i r c u n f e r e n c i a a n t e r i o r y u n a r e c t a r s e c o r t a n e n d o s , u n o
n i n g ú n p u n t o , s e g ú n q u e la d i s t a n c i a d de C a r sea d<p, d — p o
d > p y s e d i c e q u e r e s s e c a n t e , tangente o e x t e r i o r a la c i r c u n f e ­
r e n c i a , r e s p e c t i v a m e n t e . P o r u n p u n t o P(Xq, yo) d e la c i r c u n f e r e n c i a
p a s a u n a t a n g e n t e a ella; e s t a t a n g e n t e e s la p e r p e n d i c u l a r a CP p o r
P , q u e t i e n e p o r e c u a c i ó n ( e n c o o r d e n a d a r e c t a n g u l a r e s x, y) a:
(Xo - a)(x - Xq) + ( y o ~ f>)iy - :Vo) = O
(*) 9 ^ PQ{(1x-P\. y PR{rx-Pi, que son vcclorcs de convendremos
en que PQaPR es el producto vectorial de (</i~/?|. y (r, — 0), que son
vcclorcs de R \

405. 400
Á L G E B R A LINEAL
0 -
Figura 10.14.
Figura 10.15.
DEMOSTRACIÓN
(I) U n p u n t o X(x, y) s e r á ^ l a c i r c u n f e r e n c i a si y s ó l o si ||CX|| = p , esto es,
si IICX||- = c o m o CX(x-a, y-b), la ú l t i m a r e l a c i ó n s e p u e d e p o n e r
e n la f o r m a :
(jr - + Cy - b f =
T a m b i é n s e p u e d e d e c i r q u e X p e r t e n e c e a la c i r c u n f e r e n c i a si y sólo si
e s X = C + pñ, d o n d e í? e e s u n v e c t o r u n i t a r i o c u a l q u i e r a , esto es,
a = ( e o s 0, s e n 0) p a r a 0 e [O, 2ir). P o r ello, la c i r c u n f e r e n c i a a d m i t e las
s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s :
x = a p eos 6
y = b + p s e n 0
p a r a 0 ^ ^ < 2 7t
(II)L l a m a n d o P a la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e C s o b r e r y m si e s u n vector
unita r i o d e la d i r e c c i ó n d e r, l os p u n t o s d e e s t a r e c t a r s e r á n los
X = p·^ xa p ^ A e IR. U n p u n t o X e r s e r á t a m b i é n d e la circunferencia
si y s ó l o si I e x II = p ; c o m o el t r i á n g u l o CPX e s r e c t á n g u l o e n P y s e g ú n
el t e o r e m a d e P i t á g o r a s ( v é a s e [ 1 8 2]), la ú l t i m a r e l a c i ó n e s e q u i v a l e n t e a
p^ = ||C X |P = | | C ? | P + | | ^ | ' = í/^ + A^ o A^ = p ^ - ¿ ^
P o r tanto, s e g ú n q u e st2i p>d, p = d o p<d, h a b r á d o s , u n a o n i n g u n a
s o l u c i ó n p a r a A , e s t o es, d o s , u n o n i n g ú n p u n t o ( X = P -f A w ) d e inter­
s e c c i ó n . N ó t e s e q u e el c a s o d e t a n g e n c i a (la i n t e r s e c c i ó n e s u n p u n t o
ú n i c o ) s e p r e s e n t a c u a n d o y s ó l o c u a n d o la d i s t a n c i a d e C a r e s p y, en
tal c a s o , el p u n t o P d e t a n g e n c i a j i n t e r s e c c i ó n ) e s la p r o y e c c i ó n o rtogonal
d e C s o b r e r, d e m a n e r a q u e C P e s o r t o g o n a l a r.
D a d o el p u n t o P ( A q , >^o) c i r c u n f e r e n c i a , la t a n g e n t e e n él es pues
la rec t a q u e p a s a p o r P y e s o r t o g o n a l a C P ( j c „ -a, b), q u e tiene por
e c u a c i ó n a
(Xq -a)(x- Xq) + (yo-b){y-yQ) = 0
E J E R C I C I O
E n el p l a n o e u c l í d e o Ej y e n c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s (x, > 0 s e c o n s i d e r a la
c i r c u n f e r e n c i a d e c e n t r o e n C(íi, b) y c u y o r a d i o e s p. S i P(Xq, y^) e s u n punto
e x t e r i o r a la c i r c u n f e r e n c i a , o b t e n e r la e c u a c i ó n c o n j u n t a d e las d o s tangentes
q u e s e p u e d e n trazar d e s d e P a la c i r c u n f e r e n c i a .
RESOLUCIÓN
C o m o las t a n g e n t e s a la c i r c u n f e r e n c i a s o n las r e c t a s q u e e s t á n a distancia p
d e C , resulta q u e u n p u n t o X ( a , P) s e r á tal q u e la r e c t a P X e s t a n g e n t e a la

406. AClO S G E O M É T R IC O S Y £ 3
401
circunferencia si y sólo si d{C, PX) = p. Puesto que la recta PX ti
ecuación a
t i e n e p o r
a-Xo'' p-y^ ^ ^P''yo)(^'-Xo) ~ ( « “ ^ : o ) ( y - ^ o ) = ^
la c o n d i c i ó n d(C, PX) = p t o m a r á la f o r m a :
, l ( ^ y o ) { o - Xq) - ( a - X p ) ( h - yo)\
V ( ; 3 - > „ ) * + ( a
E l e v a n d o al c u a d r a d o y o p e r a n d o , la a n t e r i o r r e l a c i ó n q u e d a :
(a - Xoñp^ - ( b - y / ) + (/3 - - (a - +
+ 2 ( a - jtn K /3 - y „ ) ( a - x ,^ (h - y „ ) = O
P o r tant o , e s t a líltima e c u a c i ó n e s la q u e d e b e n s a t i s f a c e r los p u n t o s X{a, /3)
q u e r e c o r r e n las t a n g e n t e s d e s d e P a la c i r c u n f e r e n c i a . L l a m a n d o , f i n a l m e n t e ,
(x\ y) a las c o o r d e n a d a s g e n é r i c a s d e X , e n l u g a r d e ( a , p) c o m o s e h a h e c h o
h a s t a a q u í , el l u g a r p e d i d o es:
( X - X a ñ p ^ - ( b - y o ) * ] + ( y “ y „ ) ^ f p ^ - ( a - a : „ ) * J +
+ 2 (x - Xo)(y - y o ) ( " - -*o)(* - y o ) = O
E s t e lug a r , q u e e s t á f o n n a d o p o r r e c t a s (las t a n g e n t e s d e s d e P a la c i r c u n ­
f e r e n c i a ) , c o n s t a d e d o s rectas, y a q u e s u e c u a c i ó n e s d e s e g u n d o g r a d o .

407. 32
Al g e b r a u n e a l
g e o m e t r ì a t r i d i m e n s i o n a l
(AFÍN Y EUCLIDEA)
L o s p r o b l e m a s g e o m é t r i c o s q u e n o s v a n a o c u p a r a c o n t i n u a c i ó n s o n , esencial­
m e n t e , los m i s m o s q u e y a e s t u d i a m o s e n el c a s o b i d i m e n s i o n a l , si b i e n e s cierto
q u e a h o r a h a y u n m a y o r g r a d o d e d i f i c u l t a d y las s i t u a c i o n e s s o n m á s variadas
y c o m p l e j a s . A p e s a r d e ello, n o n o s v a m o s a e n c o n t r a r a q u í c o n n i n g u n a
c u e s t i ó n r e a l m e n t e difícil.
10.5. ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS
R e c u é r d e s e ( v é a n s e [ 1 8 4 ] y [ 1 8 5 ] ) q u e las r e c i a s y l o s p l a n o s s o n , respectiva­
m e n t e , los c o n j u n t o s d e p u n t o s d e l tipo:
r = P + r ( « ) ■jr = P + "V(ü, V)
d o n d e , r e s p e c t i v a m e n t e : r e s la r e c t a q u e p a s a p o r P y t i e n e la d i r e c c i ó n de
M =5^ o, o q u e p a s a p o r P y C ; y ^ e s el p l a n o q u e p a s a p o r P y t i e n e la dirección
q u e d e t e r m i n a n üy v ( i n d e p e n d i e n t e s ) , o q u e p a s e p o r P ,Qy R ( n o alineadas).
E s t a s re c t a s y p l a n o s e s t á n f o r m a d o s p o r l o s p u n t o s X e £3 q u e s e p u e d e n
e x p r e s a r , r e s p e c t i v a m e n t e , d e las s i g u i e n t e s f o r m a s :
X = P ^ kÜ + fJLVX — P kÜ ^ ^ _ A. r ^ A U ^ LLV ,
X ^ P ^ X P Q ^ ^ + ^ ^
q u e s o n las e c u a c i o n e s v e c t o r i a l e s ( p a r a m é t r i c a s ) d e la r e c t a r y d e l p l a n o ir.
N o e s t á d e m á s insistir e n q u e p a r a d e t e r m i n a r u n p u n t o d e la recta r basta
c o n a s i g n a r u n v a l o r al p a r á m e t r o A ; p a r a d e t e r m i n a r u n p u n t o d e l p l a n o tt se
p r e c i s a n d o s v a l o r e s , u n o p a r a A y o t r o p a r a ¡jl. P a r a s e ñ a l a r q u e las cosas
o c u r r e n d e e s t e m o d o , s e d i c e q u e la r e c t a y el p l a n o s o n f a m i l i a s d e p u ntos
c o n u n o y d o s g r a d o s d e libertad, r e s p e c t i v a m e n t e .
□ECUACIONES DE LOS PLANOS
E n el e s p a c i o £3 s e v a a fijar u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a ( O ; é,, i2^ ij) y c o n
ello c a d a p u n t o X e £3 t e n d r á s u s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s (jc,, X2, q u e le
d e t e r m i n a n d e m a n e r a b i u n i v o c a . D a d o u n p l a n o d e £ „ v a m o s a o b t e n e r la
r e l a c i ó n e n t r e las c o o r d e n a d a s (x.) q u e c a r a c t e r i z a a l o s p u n t o s X e £ , q u e
p e r t e n e c e n al p l a n o d a d o .

408. 1197]
l.
2.
F i g u r a Í 0 .17.
En el espacio tridimensional añn el plano de ecuación vectorial
X = P + ÁQ + fív, que pasa por el punto /*(/?,, z»,» V
dirección defínida por los vectores independientes ü(u,, u¡, u,) y
f'ír,. V2, Cj) de admite las siguientes ecuaciones (ecuaciones pa·
ramétricas) con coordenadas:
x,= p , + A «,+/tr,
x¡ = f»; Áu> + fiVj ( p ^ A,/i e R)
+ A l l , + f i r ,
lU
El plano que pasa por los tres puntos no alineados ñ p , . p j. p O ,
9:· y ^<''1· '■j)· de Ey admite por ecuaciones a las:
X, = p , + A ( f l , - p , ) + / i ( r , - p,)
Xj = />, + A {q, - p¡) + f iir j - p ,)
.X, = /», + A ( í , - /»,) + / t ( f , - />,)
I
Pi
«1
r.
■*}
Py
r,
(paniA./teR) o
O /2J
3.Todo plano del espacio afín £ , admite ecuación de la forma f3]. que
ahajo se da. para cienos números a,. Oj. a, e R con (a,, Oj. <ij) ^
* (O, 0. 0): recíprocamente, toda ecuación de dicho tipo representa a
un plano de £ ,. Si P ip ,, p¡. />,) es un punto de un plano, la ecuación
general de éste puede ponerse en la forma |4 | (ecuación general de
un plano de £ ^ :
o, + o ^ , + o f y + a ^ , = O o 13]
- Pi) + o¡(x, - Pj) + a , ( T ,-p,) = O Í4J
COMPROBACIONES
1.
2.
L o s p u n t o s d e l p l a n o s o n a q u e l l o s X{x,) tales q u e PX = Áü + fi,C para
a l g u n o s A . ^ e R . o s ea. tales q u e jr, — />, = Áu, + fiv, (para i = 1. 2, 3 ; c o n
Á. fiB R ) . q u e s o n las e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e l e n u n c i a d o .
R e p i t i e n d o l o a n t e r i o r p a r a ü = PQ y C= PR se o b t i e n e n las e c u a c i o n e . «
p a r a m é t r i c a s [2). R e s p e c t o d e la e c u a c i ó n « e n f o r m a d e d e t e r m i n a n t e » ,
r e s t a n d o la s e g u n d a fila a c a d a u n a d e las d e m á s y d e s a r r o l l a n d o l u e g o el
d e t e r m i n a n t e s u ú l t i m a c o l u m n a s e v e q u e e s t a e c u a c i ó n expresa q u e
los v e c t o r e s PX(x,~p,). PQ(q, — p,) y PR(r,— p) s o n l i n e a l m e n t e d e p e n ­
d i e n t e s . e s t o es, q u e X p e r t e n e c e al p i a n o q u e p a s a p o r P, Q y R.

409. Al g e b r a l in e a l
3. D e a c u e r d o c o n lo anterior, t o d o p l a n o a d m i t e e c u a c i ó n « e n f o m i a de
d e t e r m i n a n t e » ; d e s a r r o l l a n d o é s t e p o r e l e m e n t o s d e la p r i m e r a fila se o b ­
tiene la e c u a c i ó n g e n e r a l , e n la q u e los íí,, éTj y ^3 o b t i e n e n no
p u e d e n se r los tres n u l o s , p u e s Pip), Q{q¡) y /?(/',) s o n tres punios
n o a l i n e a d o s ( v é a n s e las o b s e r v a c i o n e s q u e s e h a c e n a c o n t i n u a c i ó n ) . R e ­
c í p r o c a m e n t e , d a d a u n a e c u a c i ó n d e l t ipo f3| c o n (í/„ Oj» ^3) ^ (0» O, 0),
p o r e j e m p l o , c o n c/, ^ O, e s e v i d e n t e q u e d i c h a e c u a c i ó n e s la del plano
q u e p a s a p o r el p u n t o P(-aJa^y O, 0 ) y tie n e c o m o v e c t o r e s d e s u dirección
a los í7(~íí2’ y ¿ ^ ( * ^3» O, fl,), q u e s o n i n d e p e n d i e n t e s .
OBSERVACIONES
• A las c o o r d e n a d a s d e u n p u n t o g e n é r i c o d e £3, e n l u g a r d e l l a m a r l a s jc„
X3 s e las s u e l e d e n o t a r p o r x, y, z. A s í , la e c u a c i ó n g e n e r a l d e u n p l a n o se
escribirá p o n i e n d o a x + + c z -f í/ = O, d o n d e los n i l m e r o s fl, c e R no
p u e d e n s e r los tres nulo s .
____
• L o s p l a n o s d e e c u a c i o n e s X = P + + y X = P + \PQ + p.PR ( d o n d e
ií y íJ s o n i n d e p e n d i e n t e s y P,Qy Rno a l i n e a d o s ) vson los l u g a r e s g e o m é ü i c o s
d e los p u n t o s X e tales q u e , r e s p e c t i v a m e n t e :
r a n g {PX, m, tJ) = 2 y r a n g ( ^ , PQ,PR]^1
A l e x p r e s a r estas r e l a c i o n e s e n c o o r d e n a d a s s e o b t i e n e n las a nteriores e c u a ­
c i o n e s fl] y [2] d e u n p l a n o .
• S e g ú n el p u n t o anterior, t o d o p l a n o (X— P-\-\ü + fxv) a d m i t e e c u a c i ó n del tipo:
PlJC3- P3
«1 «3 « 3
= 0 0
‘ ’ 1
►
«>3
Mj « j
( J f | -P , ) +
«3“ 1
(•*2
«1 « 2
l)j V}
«3«>1 »1 í’2
O b s é r v e s e q u e es t a ú l t i m a e s la e c u a c i ó n g e n e r a l [4], c u y o s coeficientes a,,
flj, fl3 h a n r e s u l t a d o ser, p u e s , los m e n o r e s d e o r d e n 2 d e la m a t r i z
M, u.
q u e n o p u e d e n s e r los tres n u l o s , p u e s el r a n g o d e e s t a m a t r i z e s 2, y a q u e
s u s filas n o s o n p r o p o r c i o n a l e s , p o r n o s e r i o ú y á.
EJERCICIO
H a l l a r la e c u a c i ó n g e n e r a l d e l p l a n o tt', d e l e s p a c i o a fín £3, s i m é t r i c o r é s p e d e
d e O , o r i g e n d e c o o r d e n a d a s , d e l p l a n o tt q u e t i e n e p o r e c u a c i ó n g e n e r a l a la
« o + « 3 ^ 3 = O*

410. OS g e o m é t r ic o s Eg Y £3 405
[1 9 8 ]
RESOLUCIÓN
L a e c u a c i ó n p e d i d a e s tt' : -a^ + a^x^ + + a,jc, = O y a q u e X'{x,) e s d e ít'
si y s ó l o si X{—x,) e s d e ir, e s t o es, si y s ó l o si
Oo + a , ( - x , ) + + a , ( - X j ) = O
q u e e s la s o l u c i ó n d a d a .
□ EXPRESIÓN EUCLÍDEA DE UN PLANO
U n p l a n o w c u a l q u i e r a , d e l e s p a c i o e u c l í d e o £3, q u e d a d e f i n i d o si s e
c o n o c e u n o d e s u s p u n t o s , P, y u n v e c t o r n o n u l o a e o r t o g o n a l a s u
d i r e c c i ó n . E n f u n c i ó n d e P y ¿7, el p l a n o tt e s el l u g a r g e o m é t r i c o d e l o s
p u n t o s X e £3 tales q u e :
á' P X - O ( e c u a c i ó n e u c l í d c a d e l p l a n o ) [ 1 ]
(si ii y ü s o n v e c t o r e s d e la d i r e c c i ó n d e tt, i n d e p e n d i e n t e s , t ó m e s e a — ü A v).
R e c u r r i e n d o a c u a l q u i e r r e f e r e n c i a cíu-te s i a n a r e c t a n g u h u - y si e n e l l a
Pi^ Pi) y ^2» ^3)» a n t e r i o r p l a n o tt a d m i t e p o r e c u a c i ó n a la:
“ P i ) + ^2(^2 “ P2) + ^3(^3 “■ P 0 = ^ [ 2 1
E l v e c t o r ¿/(a,, cij, «3) e s o r t o g o n a l ^ * ^ al p l a n o + a^x + a g c j + «3^:3 = 0 .
(*) Abusando del lenguaje, un vector se dice ortogonal a un plano si lo es a su dirección.
DEMOSTRACION
S e a n üy v d o s d e l os m u c h o s v e c t o r e s d e íV o r t o g o n a l e s a e i n d e p e n d i e n t e s ;
e s ^ i r , (w, v) e s u n a b a s e d e l s u b e s p a c i o . d e o r t o g o n a l a á. D e c i r ( ^ u e
tí · P X = O, e s t o es, q u e PX e s o r t o g o n a l a a, e q u i v a l e p u e s a d e c i r q u e PX e s
u n a c o m b i n a c i ó n lineal d e m y 0, o se a , q u e X = P + A w + /aíT p a r a A , e II?.
lo q u e s i g n i f i c a q u e X r e c o r r e u n p l a n o : el q u e p a s a p o r P y t i e n e p o r d i r e c c i ó n

411. Á L G E B R A LIN EAL
al s u b e s p a c i o o r t o g o n a l a ü. E s o b v i o q u e el p r o d u c t o v e c t o r i a l fi A C, p o r ser
o r t o g o n a l a m y a i), t i e n e la d i r e c c i ó n d e l v e c t o r á.
__^ U t i l i z a n d o u n a r e f e r e n c i a r e c t a n g u l a r c u a l q u i e r a , e n la q u e a{a^, Oj, a,) y
PX(Xi -p„ Xj - P2, Xj “ M 1“ e c u a c i ó n II] t o m a la f o r m a (2).
[1991
EJERCICIO
D e u n a p i r á m i d e s e c o n o c e el vértice. A, y s u p r o y e c c i ó n s o b r e la bas e . A'.
H a l l a r la e c u a c i ó n d e l p l a n o d e la b a s e , s i e n d o ( e n c o o r d e n a d a s rectangulares);
A(2, 1 , - 3 ) y A'O, 4, 1)
RESOLUCIÓN
L a b a s e e s tá e n el p l a n o q u e p a s a p o r el p u n t o A ( 2 , 1, — 3 ) y e s o r t o g o n a l al
v e c t o r /L 4 ' ( l , 3, 4), l u e g o s u e c u a c i ó n e u c l í d e a es:
l ( j : , - 2 ) + 3 ( a t j - l ) + 4 ( j C j + 3 ) = 0 o x , + 3 x j + 4JC3 + 7 = O
□ ECUACIONES DE LAS RECTAS (DE £ 3)
E c h a n d o m a n o d e u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a , e n £3, las r e c t a s d e e s t e e s p a c i o
s e e x p r e s a n c o m o los l u g a r e s g e o m é t r i c o s d e l o s p u n t o s X e E^ c u y a s c o o r d e ­
n a d a s ( x „ X2, X3) v e r i f i c a n a las s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s :
I. E n el e s p a c i o a f í n £3, la r e c t a c u y a e c u a c i ó n v e c t o r i a l esX = P + Áü,
o sea, la q u e p a s a p o r el p u n t o P{p¡, p j , pj), d e £3, y t i e n e la d i r e c c i ó n
d e l v e c t o r n o n u l o «(«,, Mj), d e R ’, a d m i t e las s i g u i e
n e s c o n c o o r d e n a d a s :
s i g u i e n t e s e c u a c i o -
x,=p, + \u,
■«2 = P2+ A M2
,Xj=Pi + \U¡
p a r a À 6 I
M, í/j «3
e c u a c i o n e s
p a r a m é t r i c a s ^
( e c u a c i ó n c o n t i n u a )II]
2. E n el e s p a c i o a f í n £3, la r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s P(.Pi< Pi^ P})
y 2(9i. 92* 9j)> d e £ , , a d m i t e p o r e c u a c i o n e s a las
ot, = p , + A (9, - / ; , )
■*2 ~ P2 + ^ ( < ¡ 2 ~ P2) p a r a A e R o
.Xi=Pi + Mqj-p^t)
^i~P\ ^ ^2~Pi_ Xi-Pi
‘!\~P\ ?2“ P2 Ri-Pi
121

412. PACIOS G E O M É T R IC O S £ 3 V ^ 3
407
COMPROBACIÓN
1. A q u í v a l e lo q u e s e d i j o e n la c o m p r o b a c i ó n d e [ 1 8 5 J , 1.
2. B a s t a c o n t o m a r w = P Q e n el a p a r t a d o anterior.
EJERCICIO
H a l l a r la c o n d i c i ó n p a r a q u e e n el e s p a c i o a f í n £3 la r e c t a r y el p l a n o tt s e
c o r t e n e n u n y s ó l o u n p u n t o :
r : — — ^ ^ T T : A q + + 02-^2 ^3^3 “ O
RESOLUCIÓN
E l p l a n o y la r e c t a t e n d r á n u n p u n t o e n c o m ú n si e x i s t e u n A e IR tal
q u e las x, = p¡ + Áu¡ s e a n tales q u e apc¡ = O (la s u m a lo e s p a r a i =
= 1, 2, 3), o sea, tal q u e
(flo + 2fl,p,) + A2fl,w,. = 0
A s í p u e s , la c o n d i c i ó n p e d i d a e s q u e /? = S a¡u¡ s e a n o n u l o . N ó t e s e q u e lla­
m a n d o it = + 2 a¡Pi s e v e r i f i c a t a m b i é n q u e p a r a h = Oyk^O\a. i n t e r s e c c i ó n
e s v a c í a y q u e p a r a /? = 0y / r = 0 1a r e c t a e s t á i n c l u i d a e n el p l a n o .
OBSERVACIÓN
E n u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a ( c o o r d e n a d a s x, y, z), si la r e c t a r q u e c o r t a al
p l a n o z = O e n el p u n t o (a, h, 0 ) y si (/i, k, I) e s u n v e c t o r d e s u d i r e c c i ó n ,
l l a m a n d o p = h/ly q = k/l, d i c h a r e c t a a d m i t e p o r e c u a c i ó n a:
r :
x = a ^rpz
y^b^- qz

413. 408
Á L G E B R A LIN EAL
[200]
LAS RECTAS COMO INTERSECCIONES
DE PLANOS
T o d a r e c t a d e l e s p a c i o afín £3 e s i n t e r s e c c i ó n d e d o s p l a n o s (distin­
tos) y p o r ello e s t á r e p r e s e n t a d a p o r u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s del
tipo:
a « + a.x, + a^ 2 ^3*^3 ~ ^ 1
" ‘ ^ ^ d o n d e r a n g
+ b^x^ + V2 + V3 = O
fl, «2 « 3
¿7, ¿?2 ^3.
2. E n el e s p a c i o e u c l í d e o £3, d e a c u e r d o c o n lo anterior, t o d a r e c t a r se
p u e d e e x p r e s a r c o m o el l u g a r g e o m é t r i c o d e l o s p u n t o s X e £3 q u e
v e r i f i c a n a u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d e l t i p o el · PX = O, b· ^ = 0 ,
d o n d e P , Q e £3 y ó, 6 e R ’s o n i n d e p e n d i e n t e s . L a r e c t a r tiene la
d i r e c c i ó n d e l v e c t o r ü - a Ab.
COMPROBACIONES
1. S e a d a d a u n a r e c t a r. T o m a n d o u n p u n t o P ( p „ /?2, P3) d e ella y u n vector
m(w,, ÍI2, W3) d e s u d i r e c c i ó n ( u n o al m e n o s d e l o s u¡ e s n o n u l o ; s u p o n d r e ­
m o s M, T ^ O ) , d e a c u e r d o c o n [ 1 9 9 ] , 1, la r e c t a r e s t á r e p r e s e n t a d a p o r
d o n d e
r a n g
W2 - w , O
= 2
2 .
q u e e s p u e s d e l t i p o [ I ] d e s c r i t o e n el e n u n c i a d o .
R e c í p r o c a m e n t e , s e a r el c o n j u n t o d e l os p u n t o s q u e sat i s f a c e n al
s i s t e m a [1]. S e g ú n el t e o r e m a d e R o u c h é , e s t e s i s t e m a t i e n e infinitas
s o l u c i o n e s , c o n u n g r a d o d e libertad, d e m o d o q u e si (jc,, JC2, jCj) =
= ('*1, ^2, r^) e s u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a [1] y si (jc,, ^2» “ 2» “3)
e s u n a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a h o m o g é n e o d e l [1], r e s u l t a q u e la s o l u c i ó n
g e n e r a l d e l s i s t e m a [1] e s la
(jc,, X2, X3) = (r,, T2, r^) + A ( w „ Mj, M3), p a r a A € R
P o r tanto, r e s la r e c t a q u e p a s a p o r el p u n t o P ( r,, T2, r^) y t i e n e la di r e c c i ó n
d e l v e c t o r w(«,, Wjt W3).
L a s d o s e c u a c i o n e s [1] lo s o n d e p l a n o s r e s p e c t i v a m e n t e o r t o g o n a l e s a los
v e c t o r e s à{a^, ü2, y b{b^^ ¿>2» ^3) (las c o o r d e n a d a s s e s u p o n e n r e c t a n g u ­
lares); p o r tanto, r e c u r r i e n d o d e u n p u n t o P d e l p r i m e r o y a o t r o p u n t o Q
d e l s e g u n d o , l os p l a n o s s e p u e d e n e x p r e s a r e n la f o r m a à · PX- O y
b· QX = O, H a y q u e s e ñ a l a r q u e c o m o el r a n g o d e la m a t r i z d e [I] va l e 2,

414. s e p u e d e a s e g u r a r que á y b s o n v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
P a r a concluir, n o t e m o s q u e r, p o r p e r t e n e c e r a a m b o s p l a n o s , t i e n e s u
d i r e c c i ó n o r t o g o n a l a « y a ^ y, e n c o n s e c u e n c i a , d i c h a r ec ta r t i e ne la d i ­
r e c c i ó n d e a Ab,
E J E R C I C I O
H a l l a r u n v e c t o r q u e t e n g a la d i r e c c i ó n d e la r ecta s e g ú n la q u e s e c o r t a n los
p l a n o s tt, y tTj; el p l a n o tTj p a s a p o r los p u n t o s A , ( O , 1, - 2 ) , 5 , ( 1 , 2, 1) y
C | ( 2 , — 2, — 1) y el p l a n o tTj p a s a p o r los p u n t o s A2O, — I, 2), 1, 1)
y C j ( 2 , 1, 3) (las c o o r d e n a d a s s o n rec ta n gu la r es ).
RESOLUCIÓN
L o s s ig ui e nt es v e c t o r e s y «2 s o n o r t o g o n a l e s a tt, y
J , = / \ , 5 , A A , C , = (1, 1, 3 ) A ( 2 , - 3 , 1) = ( 10, 5, - 5 ) = 5(2 , - 3 , 1)
fl2 = A . 5 2 A A 2 C 2 = (3, 2, - 1 ) A ( 1 , 2, 1) = (4, - 4 , 4 ) = 4 ( 1 , - 1 , 1)
P o r tanto, u n v e c t o r ü d e la d i r e c c i ó n d e la recta tt, n e s el
w = (2, - 3 , 1 ) A ( 1 , - 1 , 1) = ( ~ 2 , - 1 , 1)
POSICIONES RELATIVAS
DE RECTAS Y PLANOS
A u n c u a n d o la m a y o r parte d e las c u e s t i o n e s q u e a q u í s e v a n a a n a l i z a r s o n
d e tipo afín, t a m b i é n h a b l a r e m o s a c e r c a d e la o r t o g o n a l i d a d , q u e e s m a t e r i a
e uc lí d ea . D e este m o d o i n t e n t a m o s evitar las r e i t e r a c i o n e s q u e s e p r o d u c i r í a n
si, d e n o h a c e r las c o s a s así, h u b i é r a m o s d e tratar u n a m i s m a c u e s t i ó n , o
distintos a s p e c t o s d e ella, p r i m e r o d e s d e el p u n t o d e vista afín y m á s t a r d e b a j o
la ó p t i c a euclídea.
□ORTOGONALIDAD
A u n c u a n d o p u e d a resultar c h o c a n t e , v a m o s a h a b l a r a n t e s d e o r t o g o n a l i d a d
q u e d e p ar a l e l i s m o . L o q u e a h o r a d i g a m o s v a a s e r n o s l u e g o d e utilidad, c u a n d o
h a b l e m o s d e rectas y p l a n o s paralelos, y ello a u n e n el c a s o d e q u e E j s e a
« s o l a m e n t e » e s p a c i o afín, p u e s se le p u e d e d o t a r d e e s t r u c t u r a e u c l í d e a d e u n
m o d o natural.

415. Á L G E B R A LINEAL
1201)
E n el e s p a c i o e u c l í d e o £3, la o r t o g o n a l i d a d e n t r e r e c t a s y p l a n o s s e defi n e
así:
1. S e d i c e q u e d o s r e c t a s s o n o r t o g o n a l e s ( o p e r p e n d i c u l a r e s ) si lo s o n
s u s d i r e c c i o n e s . A s í , las re c t a s P -f T ( ( 7 ) y Q + y( ¿ T ) s o n o r t o g o n a l e s
si í7 · iJ = 0.
2. S e d i c e q u e u n a r e c t a y u n p l a n o s o n o r t o g o n a l e s si lo s o n sus
d i r e c c i o n e s . A s í , la r e c t a P + y ( w ) y el p l a n o d e e c u a c i ó n e u c l í d e a
O s o n o r t o g o n a l e s si m y á s o n p r o p o r c i o n a l e s .
3. S e d i c e q u e d o s p l a n o s 7r, y ttj s o n o r t o g o n a l e s si lo s o n ¿í¡ y
d o n d e e s o r t o g o n a l a tt, y Ü2 lo e s a ttj. A s í . los p l a n o s d e
e c u a c i o n e s <3, · P ^X = 0 y á j · P ^ X = O s o n o r t o g o n a l e s si c í, · ¿ 2 = 0 .
COMPROBACIONES
E n los tres c a s o s , las c o n d i c i o n e s d e o r t o g o n a l i d a d ( e s t o es: w · tJ = 0; w y á son
p r o p o r c i o n a l e s ; ¿7, · c o n s e c u e n c i a s o b v i a s d e las c o r r e s p o n d i e n t e s
d e f i n i c i o n e s .
EJERCICIO
O b t e n e r c o n d i c i o n e s d e o r t o g o n a l i d a d p a r a las r e c t a s y los p l a n o s , d e l espacio
e u c l í d e o q u e t i e n e n las s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s v e c t o r i a l e s :
1. R e c t a r : X = P + Aw y r e c t a s: á , · = O y ¿ 2 · P2X = 0.
2. R e c t a r : X = ^ l · Áü y p l a n o A , ¿7, + A ^
3. P l a n o tt: a · P X = O y r e c t a r : a, · P , X = O y ¿ij ’ ^2^ “ O·
4. P l a n o PX = 0 y p l a n o r : X = Q + A m + fjLV.
RESOLUCION
D e la d e f i n i c i ó n d e o r t o g o n a l i d a d s e d e d u c e t r i v i a l m e n t e q u e :
1. (rls) <=>
2. ( r l tt) <=»
3* ( T T l r ) <=►
4. (t tIt) <=>
i í - ( á , A á2) = 0
M · /7, = w ‘ M, = O
à · íi, = à
¿ r ( w A / 5 ) = 0
¿2 = 0
<=> r a n g (w. J,. J ^ ) = 2.
<=> M y M, A W2 p r o p o r c i o n a l e s .
<=> à y A ( ¡ 2 p r o p o r c i o n a l e s .
<=> r a n g (J. /7, ü) = 2.

416. PARALELISMO
[ 2 0 2 ]
E n el e s p a c i o a fín E j , el p a r a l e l i s m o , e n t r e r e c t a s y p l a n o s , s e d e f i n e
c o m o s i g u e :
i.
2.
3.
D o s r e c t a s s e d i c e n p a r a l e l a s si t i e n e n la m i s m a d i r e c c i ó n . A s í , las
r e c t a s P + y ( í í ) y Q + Y(v) s o n p a r a l e l a s si ü y v s o n p r o p o r c i o n a l e s .
D o s p l a n o s s e d i c e n p a r a l e l o s si t i e n e n la m i s m a d i r e c c i ó n . A s í , l o s
p l a n o s d e e c u a c i o n e s e u c l í d e a s ^ * ^ á PX = 0 y h · Q X = O s o n p a r a l e ­
l o s si á y b s o n p r o p o r c i o n a l e s .
U n a r e c t a s e d i c e p a r a l e l a a u n p l a n o si la d i r e c c i ó n d e la r e c t a e s t á
i n c l u i d a e n la d e l p l a n o . A s í , la r e c t a P 4- T ( / 7 ) y el p l a n o d e e c u a c i ó n
e u c l í d e a ^ * ^ a · QX = O s o n p a r a l e l o s si ü · á = 0.
(*) Si el espacio afín no fuese euclideo, estos planos se deberían poner en las formas
flo + a^x^ + = 0 y feo + = Ü y llamar á = (a,, Oj· ^3) y h =
= (fe„ /?2· relación ü á = 0 será la u^a^ + MjC/, + UyOy = 0. Nótese que al espacio afín
£ , se le da estructura euclídea si se considera el producto escalar canónico, o sea, con
(M„ Mj, Hy) · (D„ Üj, Dj) = «,IJ, + U2V2 + UiVy
COMPROBACIONES
E n l o s tres c a s o s , las c o n d i c i o n e s d e p a r a l e l i s m o q u e s e d a n s o n c o n s e c u e n c i a
i n m e d i a t a d e las d e f i n i c i o n e s q u e las p r e c e d e n .
EJERCICIO
O b t e n e r c o n d i c i o n e s d e p a r a l e l i s m o p a r a las r e c t a s y l o s p l a n o s , d e £3 ( a f í n o
a f í n e u c l í d e o , si f u e r a p r e c i s o ) , q u e t i e n e n las s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s v e c t o r i a l e s :
l.
2.
3.
4.
5.
6.
R e c t a r : X = P + Aí7 y r e c t a s : áy · P , X = O y ¿2 * ^2-^ ~ 0.
_____
R e c t a r:tí, · P j x = O y · P^X = O y r e c t a 5: /J, · = O y ¿^2 * Qi^ = O*
R e c t a r : X = P + Aí7 y p l a n o tt: X - Q V A , ¿7, + A2¿ ^
R e c t a r : á, ‘ P , X = O y J2 * ^2^ = O y p l a n o n:h · Q X = 0.
P l a n o t t : X = P + A/7 + / ¿ y y p l a n o r : a · QX = 0.
P l a n o 7t : X = P + A , w , + A2M2 y p l a n o r : X = (2 +
RESOLUCIÓN
D e la d e f i n i c i ó n d e p a r a l e l i s m o s e d e d u c e t r i v i a l m e n t e q u e (el s í m b o l o //
i n d i c a « p a r a l e l o a»):
1. (i'Hs) <=> üy í7, A «2 p r o p o r c i o n a l e s <=> i7 · g , = i7 · «2 = 0.

417. Al g e b r a l in e a l
2. (rlls) <=> r a n g (fl,, flj. ¿2) = 2 <=► a, A A j y A ibj p r o p o r c i o n a J c s .
3. ( r / /7r) r a n g (m, m,, ü ^ - 2 <=> w · (m, A «2) = 0.
4. ( r / /7T) «=> r a n g (a,, ¿2, ¿^) = 2 «=> (à, A Á2) · i = 0.
5. (7r / / r ) <=► iiAvyà p r o p o r c i o n a l e s w * À = 0»fl = O.
6. ( 7 r / / r ) <=> r a n g (w,, M2» — l ^ ü^AÜ 2yO^A Uj propo r c i o n a l e s .
□INTERSECCIONES DE PLANOS
[2031
E n el e s p a c i o £*3, y r e s p e c t o d e u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a d e él, s e verifica:
INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS: S e a n d a d o s l o s s i g u i e n t e s p l a n o s tt y t;
H a i n e m o s M y M' a las m a t r i c e s q u e a b a j o s e s e ñ a l a n :
7T: A,X, + üyX2 + «3X3 + A„ = O
r : + byX2 byX^ + = O
«2“i
; M' =
«1 «2
b.
í>2 * 3
• Si r a n g M = 2, e n t o n c e s t tO t e s u n a r e c t a (t t y r s e d i c e n secantes).
• Si r a n g M = I y r a n g A f ' = 2, e n t o n c e s t tO r = 0 y T r y r s o n paralelos.
• S i r a n g M = r a n g A/' = 1, e n t o n c e s l os p l a n o s c o i n c i d e n ( s o n el m i s m o ) .
INTERSECCIÓN DE TRES PLANOS: S e a n d a d o s lo s s i g u i e n t e s p l a n o s tt, r y
rr; l l a m e m o s M y a las m a t r i c e s q u e a b a j o s e s e ñ a l a n :
tt: A,X, + «2^2 + ^3^3 + flü = O
τ:b^x^ + byX2 + = O
a: c,x, H- C2X2 + + C o = O
«1 « 2 ’ « I 0 2« 3f lo ’
M = b . : M ' =
í>3
- c .<^2«•3- - c ,^ 2í^3t ' o -
• S i r a n g i V / = 3, e n t o n c e s t tOtO o* c o n s t a d e u n s o l o p u n t o ( f o r m a n u n
triedro).
• S i r a n gM = 2 y r a n g M' = 3, e n t o n c e s t t O t H (t = 0 y los tres n o s o n
p a r a l e l o s ( f o r m a n u n p r i s m a triangular).
• Si r a n g A f = r a n g M ' = 2, e n t o n c e s T r O r r i í r e s u n a recta.
• S i r a n g M = 1 y r a n g A / ' = 2, e n t o n c e s 7r n r n í7=0 y los tres s o n
paralelos.
• S i r a n g A f = r a n g A f ' = 1, e n t o n c e s tt, t y a c o i n c i d e n ( s o n el m i s m o ) .

418. 413
COMPROBACIONES
U n p u n t o X ( . V p JCj, X3) p e r t e n e c e r á a la i n t e r s e c c i ó n d e l o s p l a n o s si y s ó l o si
(jCp jCj, JC3) e s s o l u c i ó n d e l s i s t e m a q u e f o r m a n las e c u a c i o n e s d e d i c h o s p l a n o s ,
A I rec u r r i r al t e o r e m a d e R o u c h é , relativo a la d i s c u s i ó n d e s i s t e m a s d e
e c u a c i o n e s lineales, s e o b t i e n e n los r e s u l t a d o s q u e s e d i c e n e n el e n u n c i a d o .
E n los c a s o s e n los q u e la i n t e r s e c c i ó n e s u n a recta, q u e s o n las ú n i c a s n o
triviales, s e p u e d e r a z o n a r c o m o .se h i z o e n 1200].
EJERCICIO
E s t u d i a r las p o s i c i o n e s relativas d e los tres p l a n o s s i g u i e n t e s , e n f u n c i ó n d e los
v a l o r e s q u e t o m e n los p a r á m e t r o s a , /3 £ R :
JC - y 4- 3 z = l ; 3jc - 5 y + 7 z + /3 = O ; - 3 y + a z = 2
RESOLUCION
R e c u r r i e n d o a las m a t r i c e s M y M\ d e l s i s t e m a q u e f o r m a n las tres e c u a c i o n e s
d a d a s , y a s u s r a n g o s , s e o b t i e n e :
"l - 1 3 “
“l-13 r
M =3 - 5 7
; M' =3 - 51- / 3
_l - 3 ir.
_l - 3a2.

419. Á L G E B R A LIN EAL
r a n g M
r a n g M'
a # 1 a = 1 a = 1
V / 3 p = - 4
• S i a # 1, los tres p l a n o s s e c o r t a n e n u n p u n t o ( f o r m a n u n triedro).
• Si a = 1 y # - 4 , l o s tres p l a n o s t i e n e n i n t e r s e c c i ó n v a c í a y f o r m a n u n
p r i s m a ( d e aristas p a r a l e l a s al v e c t o r (4, 1, - I ) ) .
• S i a = I y P = — 4, l o s tres p l a n o s s e c o r t a n a lo l a r g o d e u n a recta, q u e es
la (X. y , z) = (1/2, - 1 / 2 , 0 ) + A ( 4 , 1 , - 1 ) .
HACES DE PLANOS
[204]
E n el e s p a c i o af í n £3, y r e s p e c t o d e u n a cierta r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a , es:
D a d o s d o s p i a n o s d istintos c u a l e s q u i e r a tt:a,jc, + + cijX^ + A q = O y
τ:b^x^ + byX2 + byX^ + b^ — O, s e l l a m a haz d e p l a n o s , q u e d e t e r m i n a n tt
y T, al c o n j u n t o d e t o d o s l o s p l a n o s q u e t i e n e n e c u a c i ó n d e l s i g u i e n t e tipo:
a^a^x^ + 0^X2 + + P(b^x^ + b^2 ^ 0) " ^
p a r a c u a l e s q u i e r a or, ^ e R tales q u e ( « , pi) ^ (O, 0 ) o
(a^X^ + 0^X2 + «3^*3 + ^0) + + V 2 + ^3*^3 + ^0) = O
p a r a A e E s t e h a z e s t á f o r m a d o p o r l os s i g u i e n t e s p l a n o s :
1. Si TT y T s e c o r t a n e n u n a r e c t a r, e n t o n c e s el h a z l o f o r m a n t o d o s
los p l a n o s q u e p a s a n p o r r.
2. Si TT y r s o n p a r a l e l o s , el h a z lo f o r m a n t o d o s l o s p l a n o s p aralelos
a los TT y r.
( ♦ ) Tómese Á = fija . Esia forma de dar el haz es defectuosa, pues no incluye al plano
T, que se obtiene para (ar, /?) = (O, I). Para intentar remediarlo, se admite que r es el límite
del plano genérico del haz cuando A —* oc.
COMPROBACIÓN
P a r a s i m p l i f i c a r la n o t a c i ó n , l l a m a r e m o s a(j:) y h(x) a:
a(x) = a,a:, + O j í j + a ^ , + a „ y b(x) = h^x^ + V j + + K

420. Y £ 3 415
N ó t e s e q u e p o r c u a l q u i e r p u n t o P e £3, e x c e p t o p o r l o s p o s i b l e s p u n t o s d e la
i n t e r s e c c i ó n t t O r, p a s a u n y s ó l o u n p l a n o d e l h a z , q u e e s el q u e s e o b t i e n e
c u a n d o s e t o m a a = b(p) y jS = “-aip).
1. S i 7T y r s e c o r t a n e n u n a r e c t a r, e n t o n c e s t o d o s l o s p l a n o s d e l h a z p a s a n
p o r r, y a q u e p a r a c u a l q u i e r a q u e s e a el p u n t o 2 e r, c o m o a(g) = O y
b(g) = O, s e r a aa{c¡) -f Pb(q) = O p a r a t o d o s l o s a , e R . R e c í p r o c a m e n t e ,
si cr e s u n p l a n o q u e p a s a p o r r, e n t o n c e s a h a d e s e r u n o d e l o s p l a n o s
d e l h a z , y a q u e t o m a n d o u n p u n t o P d e l q u e n o e s t é e n r, s e g ú n s e d i j o
a n t e s , p o r P p a s a u n ú n i c o p l a n o rr' d e l h a z y c o m o a y a' p a s a n p o r r
y p o r P h a d e s e r cr' = íj, l u e g o a e s d e l h a z .
2. S i TT y r s o n p a r a l e l o s , e s t o es, si J = (tí,, tíj, tíj) y í = (/?,, b^, b^) s o n
p r o p o r c i o n a l e s , e n t o n c e s t o d o s l o s p l a n o s d e l h a z s o n p a r a l e l o s a e l los, p u e s
(aa^ + aü2 + a h o r a p r o p o r c i o n a l a l o s o y b.
R e c í p r o c a m e n t e , si a e s u n p l a n o p a r a l e l o a l o s tt y r, e n t o n c e s a h a d e
s e r d e l h a z , y a q u e t o m a n d o u n p u n t o P c u a l q u i e r a d e cr, s e g ú n s e d i j o al
p r i n c i p i o , p o r P p a s a u n s o l o p l a n o a d e l h a z y c o m o a y a' s o n p a r a l e l o s
e n t r e sí y p a s a n a m b o s p o r P h a d e s e r (x‘ = cr, l u e g o a e s d e l h a z .
E JE R C IC IO (RADIACIÓN DE PLANOS)
S e a d a d o u n p u n t o P d e Ey S e l l a m a r a d i a c i ó n d e p l a n o s d e t e r m i n a d a p o r P
al c o n j u n t o d e t o d o s l o s p l a n o s q u e p a s a n p o r P, R e s p e c t o d e u n a r e f e r e n c i a
c a r t e s i a n a c u a l q u i e r a d e £3 s e p i d e :
1. S i la s c o o r d e n a d a s d e P s o n ( p , , p j * P3)* h a l l a r la e c u a c i ó n g e n e r a l d e l o s
p l a n o s d e la r a d i a c i ó n .
2 . S i P e s el p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e t res p l a n o s 7r,ry a ( q u e f o r m a n t r i e d r o )
y si l a s e c u a c i o n e s d e é s t o s s o n :
7 r : 2 f l , j c , . + flo = 0 ; τ\^b^x^ + b^^Q ; rr: + C q = O
h a l l a r la e c u a c i ó n g e n e r a l d e l o s p l a n o s d e la r a d i a c i ó n .
RESOLUCION
1. Se trata de la ecuación, genérica, de un plano cualquiera que pase por
Pi^ P?)y que (en función de un vector (m,, Mj, w,) ortogonal al plano)
es según sabemos:
- Pi) + - Pi) + ~ Pi) = O- para («i. »v «j) e R ’ - O
2. Los planos de la radiación son los
a (2 UfX, + O o ) + P (lh ¡x , + h„) + y(2 c¡x¡ + c « ) = 0, (a, y) e W - 0[\]
Es obvio que todos estos planos pasan por P, pues para él se anulan los
tres paréntesis de la expresión [I]. También se verifica que cualquier plano

421. Á L G E B R A LINEAL
q u e p a s e p o r P e s u n o d e l o s d a d o s p o r [l|. E s t o s e c o m p r u e b a t o m a n d o
d o s p u n t o s (2 y /? e n él y v i e n d o q u e s e p u e d e n h a l l a r a, fi y y para
q u e (1| s e v e r i f i q u e p a r a Q y R,\o q u e n o t i e n e difi c u l t a d .
^ INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UN PLANO
S e g ú n q u e a la r e c t a s e la c o n o z c a m e d i a n t e e c u a c i o n e s g e n e r a l e s (intersección
d e d o s p l a n o s ) o m e d i a n t e e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s , s e r e a l i z a r á u n estudio
d i stinto d e l p r o b l e m a ( a m b o s c o n d u c i r á n , o b v i a m e n t e , al m i s m o resultado):
[205]
E n el e s p a c i o a f í n £3 y r e s p e c t o d e u n a c i e r t a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a se
c o n s i d e r a n la r e c t a r y el p l a n o tt d e e c u a c i o n e s g e n e r a l e s :
r , : « , . t . + a y r , + fl,Ar, + «., = 0 a , a ,
T2: ^ ^2 ^3
T T : c^x^ + C2X2 + <^3^ ^0 == O» s i e n d o (cj, Cj, C3) ^ (O, O, 0 )
L a i n t e r s e c c i ó n t O t t es, e n f u n c i ó n d e l o s r a n g o s d e las m a t r i c e s M y
M' q u e s e d a n m á s a b a j o :
• S i r a n g A f = 3, e n t o n c e s r y vr s e c o r t a n e n u n p u n t o ( ú n i c o ) ,
• S i r a n g A / = 2 y r a n g A f ' = 3, e n t o n c e s r O t t = 0 y r e s p a r a l e l a air.
• S i r a n g M = r a n g A f ' = 2, e n t o n c e s r e s t á i n c l u i d a e n ir.
’ “ l “ í«3' « 2« 3f l o '
M = A / ' =
b.h
-<•1 <^2 C3- - t · .

422. L o s r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s s o n p a r t e d e l o s y a c o n s i d e r a d o s e n [ 2 0 3 ] , al e s t u d i a r
la i n t e r s e c c i ó n d e tres p l a n o s . C o m o a h o r a r, y s o n d o s p l a n o s q u e s e c o r t a n
( e n r), h a d e s e r r a n g M'^2. C o n e s t a l i m i t a c i ó n , l o d i c h o e n [ 2 0 3 ] n o s c o n d u c e
f á c i l m e n t e a e s t o s r e s u l t a d o s d e a h o r a .
C O M P R O B A C IO N
[ 2 0 6 ] E n el e s p a c i o a f í n £3 y r e s p e c t o d e c i e r t a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a s e d a la
r e c t a r ( e n p a r a m é t r i c a s ) y el p l a n o tt ( p o r s u e c u a c i ó n g e n e r a i ) :
r:
'j:, = / 7i + Aw,
X2 = P2 + A e R )
.^3 = ^3 + A M3
TT: 4* íijXj ^3^3 ^0 “ ^
( n ó t e s e q u e m = (m,, w,, M3) y ¿i = («,, ü2, a·^ s o n n o n u l o s ) .
L a i n t e r s e c c i ó n r O t t es, e n f u n c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s v a l o r e s d e A y fc:
h = + Ü2U2 + y k - a^p^ + O j P z ^3^3 ^0
• S i /í ^ O, e n t o n c e s r y t t s e c o r t a n e n u n p u n t o ( u n o s ó l o ) .
• S i /í = O y Á: O, e n t o n c e s r f i t t = 0 y r e s p a r a l e l a a t t.
• S i / i = 0 y f e = 0 , e n t o n c e s r e s t á i n c l u i d a e n tt.
COMPROBACIÓN
E s t o s r e s u l t a d o s s e o b t u v i e r o n y a a n t e r i o r m e n t e ( v é a s e [ 1 9 9 ] ) .
E J E R C I C I O
E s t u d i a r la p o s i c i ó n r e l a t i v a d e la r e c t a r y el p l a n o tt s i g u i e n t e s :
j c + 1 y - 2 z - 4
r : -
3 - 2
; T T i a j c + y — z + /3 = 0
RESOLUCION
P a r a q u e u n p u n t o d e la r e c t a ( - 1 + 5 A , 2 + 3 A , 4 - 2 A ) e s t é e n el p l a n o , h a
d e s e r
a ( - l + 5 A ) + ( 2 + 3 À ) - ( 4 - 2 A ) + /3 = O o s e a 5 ( l + a ) A = 2 + a —
/3

423. 418 ÁLGEBRA LINEAL
P o r tan t o , s e rá: si a ^ — 1, e n t o n c e s r y tt s e c o r t a n e n u n p u n t o ; si a = - 1 y
l, e n t o n c e s r e s p a r a l e l a a í r , y s i a t = - l y ) 3 = l , e n t o n c e s r e s t á incluida
e n TT.
□POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
S e g ú n q u e las r e c t a s s e c o n o z c a n m e d i a n t e e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s o a través
d e e c u a c i o n e s g e n e r a l e s ( i n t e r s e c c i o n e s d e p l a n o s ) , s e r e a l i z a r á el c o r r e s p o n ­
d i e n t e e s t u d i o :
1207]
D a d a s las r e c t a s r = P + T ( M ) y s^Q^Viv), d e l e s p a c i o a f í n £3, se
v e r i f i c a q u e :
[ r a n g (í¡, v, PQ) = 3 ] = » r y 5 s e c r u z a n ( n o s e c o r t a n y n o s o n paralelas),
[ r a n g (w, v) = r a n g (w, y, PQ) = 2 ] = > r y 5 s e c o r t a n e n u n p u n t o (único),
[ r a n g (m, iT) = 1 y r a n g (m, v, PQ) = 2] = > r n . y = 0 y r y 5 s o n paralelas,
[ r a n g (w, ü, PQ) = l ] = > r y 5 c o i n c i d e n ( s o n l a m i s m a recta).
COMPROBACION
P a r a v e r i f i c a r l o s a n t e r i o r e s a s e r t o s , b a s t a c o n t e n e r e n c u e n t a d o s cosas. L a
p r i m e r a d e ellas e s q u e el p a r a l e l i s m o d e r y 5 q u e d a c a r a c t e r i z a d o p o r la
r e l a c i ó n r a n g (ü, ü) = 1. L a s e g u n d a e s q u e r y s t e n d r á n a l g ú n p u n t o e n co­
m ú n si y s ó l o si e x i s t e n a l g u n o s A , /¿ e R t a l e s q u e P + A m = G + /xiJ, esto es,
P Q - \ü- fiv, c o n lo q u e PQ d e p e n d e l i n e a l m e n t e d e l o s ü y v.
E J E R C I C I O
S e a n d a d a s d o s r e c t a s r y s q u e s e c r u z a n e n el e s p a c i o . D e s c r i b i r c ó m o se
d e t e r m i n a r í a u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a ( c o o r d e n a d a s jc, y, z) e n la q u e rys
a d m i t a n las s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s :
r:
JC + y = O
Z = l
j c - y = 0
z = - l
RESOLUCIÓN
S e a ( O ; c,, S,) la r e f e r e n c i a b u s c a d a . T ó m e s e u n p u n t o P e r y o t f o punto
Q e 5; el o r i g e n O d e la r e f e r e n c i a p u e d e s e r el p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o PQ.
E l v e c t o r éj s e r á el = OP.
Si ü e s u n v e c t o r d e la d i r e c c i ó n d e r y si y e s u n v e c t o r d e la dirección
d e s, e n t o n c e s s e p u e d e t o m a r é, = w -f tJ y = m — fJ.

424. <iaOS GEOMÉTRICOS Y £ 3 419
(2(»8| lln el espacio alin £3 y respecto de una cierta referencia cartesiana se
consideran las rectas r y .v de ecuaciones generales:
r:
s\
ííi a .
I’ t f>2 K
a^x^ + + a¡Xj + a„ = O
M + ) 3 ^ j + /3,Xj + )3„ = Ü
siendo rang
« I ür.üfi
/3, P y
La posición relativa de r y .y es, dependiendo de los rangos de las nruitrices
M y M' que se dan más abajo:
• Si rang M' = 4, entonces r y s se cruzan (ni se cortan ni son paralelas).
• Si rang M = rang M' = 3» entonces r y a se cortan en un punto (único).
• Si rang M = 2 y rang M* = 3, entonces r H s — 0 y r y s son paralelas.
• Si rang M = rang M' = 2, entonces r y j i coinciden (son la misma recta).
"1“ 2« ,1 «1a .‘ti“ 0
Af = M ' =
*3
«1“ 2 « t «2 «3 « 0
A^2 A^2)8.,A ,.
CO M PROBACION
Basta con aplicar el teorema de Rouché a la discusión del sistema que forman
las ecuaciones de r y de s. También hay que recordar que el paralelismo de r
y s (véase (202|) significa que el sistema que forman los cuatro vectores
à = (a ), h - ( b ¡ ) , á = (a¡) y 0= tiene rango 2.
EJERCICIO
Estudiar (en función ác a y P) la posición relativa de las rectas r y s\
r:(.x» y, z) = (l, a, 2) + A(l, I, (A e R) ; s:Ar = y = 2
RESOLUCION
Llevando a las ecuaciones de s los valores ar=MA, 3^=a + Ayz = 2 + /3A
se obtiene:
1+A = a + A = 2 + )9A
luego: s\ a - \ y \, las rectas se cortan; si /í = 1, entonces las rectas son
paralelas; en los demás casos, las rectas se cruzan.

425. Á L G E B R A LINEAL
ÁNGULOS Y DISTANCIAS (EN E ,)
H a s t a a h o r a , s a l v o lo d i c h o a c e r c a d e la o r t o g o n a l i d a d ( v é a s e [2191), sólo se
h a n t r a t a d o c u e s t i o n e s d e tipo afín. D e a q u í e n a d e l a n t e , s u p o n d r e m o s q u e el
e s p a c i o afín Ey e s e u c l í d e o , e s t o es, q u e d i s p o n e m o s d e l p r o d u c t o e s calar entre
v e c t o r e s libres ( v e c t o r e s d e C u a n d o d e a q u í e n a d e l a n t e p r e c i s e m o s d e una
r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a , t o m a r e m o s u n a q u e s e a r e c t a n g u l a r y así s e a b r e v i a r á n de
m o d o a p r e c i a b l e las e x p r e s i o n e s d e los á n g u l o s y d e las dist a n c i a s . L a distancia
d e u n p u n t o X ( X p Xj» ^3) ^ >' 3)» e x p r e s a d a s e n c o o r d e n a d a s
r e c t a n g u l a r e s , v e n d r á d a d a p o r
d(X, V) = llArKil = V(y, - Xif + Cvj - X2Ÿ + 0-3 - X3Ÿ
□ANGULO DE DOS RECTAS
A q u í , e n £3, el c o n c e p t o d e á n g u l o d e d o s r e c t a s e s i d é n t i c o al q u e y a d i m o s
a n t e r i o r m e n t e ( v é a s e [ 1 9 1 ] ) p a r a r e c t a s d e £2·
[209]
S e l l a m a ángulo á n g ( r , s\ d e d o s r e c t a s r = P - h T ( « ) y A = ô + T ( ÿ ) ,
d e l e s p a c i o e u c l í d e o E^ al á n g u l o c o m p r e n d i d o e n t r e O y tt/2 d e entre
los c u a t r o á n g u l o s q u e f o r m a u n v e c t o r d e los ±ü c o n o t r o d e los
E l á n g (r, s) q u e d a d e t e r m i n a d o p o r s u c o s e n o , q u e vale:
c o s ( r , s) = |cos(/7, ¿Ol
( ♦ ) Si a este ángulo se le llama a, los cuatro ángulos de ± ü y ±f} son los ± a y
í (7T - rt). Eiste ángulo ct no varía si se sustituyen fí y € por A/# y (A # 0 y yu#0
cualesquiera).
COMPROBACIÓN
A q u í e s d e a p l i c a c i ó n lo d i c h o e n l o s d o s p r i m e r o s p á r r a f o s d e la c o m p r o b a c i ó n
d e [ 1 9 1 ] .
EJERCICIO
Halliir el á n g u l o q u e f o r m a n las s i g u i e n t e s r e c t a s r y í ( e n c o o r d e n a d a s rectan­
gu l a r e s ) ;
x - 3 y + 5
r : — — = ¿-— = 7-4:z - 4; f :
2j c - z + 6 = 0
4a · + 6>> + z = o

426. glOS GEOMÉTRICOS £ , Y £ ■ , 421
RESOLUCIÓN
R e c u r r i e n d o a d o s v e c t o r e s m y f; d e las d i r e c c i o n e s d e r y j s e tiene;
í< = (2, 3, 1): v = (2. O , - 1 ) A ( 4 , 6. l) = (6, -6. 1 2 )
eos (r, s) = Icos (íi, tT)| = Ü 3 .-J l^ J 3 l~ 0 ,l0 9
V l 4 > / 2 1 6
l u e g o á n g (r, j ) a 83,7°.
Q ÁNGULOS DE DOS PLANOS Y DE RECTA Y PLANO
R e c u r r i e n d o al c o n c e p t o d e á n g u l o d e d o s rectas, s e d e f i n e n s in d i f i c u l t a d los
á n g u l o s e n t r e d o s p l a n o s y á n g u l o q u e f o r m a n u n a r e c t a y u n p l a n o :
1. S e l l a m a á n g u l o á n g (7r,, tTj), d e d o s p l a n o s tt, y ttj, d e l e s p a c i o
e u c l í d e o £3, al á n g u l o q u e f o r m a u n a r e c t a p e r p e n d i c u l a r a tt, c o n
o t r a p e r p e n d i c u l a r a tTj. S i las e c u a c i o n e s e u c l í d e a s d e lo s p l a n o s s o n
T T , : fl, · P , X = 0 y tt, : «3 · P2X = O, el c o s e n o d e l á n g (77,, ttj) v a l e
e o s (tt,, 7T2) = I c o s (¿7,, d.)l
2. S e l l a m a á n g u l o á n g (r, tt), d e la r e c t a r y d e l p l a n o tt. d e l e s p a c i o
e u c l í d e o Ey al á n g u l o q u e f o r m a r c o n s u p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e
TT, q u e e s el c o m p l e m e n t a r i o d e l á n g u l o q u e f o r m a r c o n u n a r e c t a
p e r p e n d i c u l a r a tt. S i r e s la r e c t a P + y ( i 7 ) y el p l a n o tt t i e n e p o r
e c u a c i ó n e u c l í d e a a a · QX = O, el s e n o d e l á n g u l o á n g (r, tt) v a l e
s e n (r, tt) = | c o s (m, a)\.
COMPROBACIÓN
A la vista d e las d e f i n i c i o n e s a n t e r i o r e s , las e x p r e s i o n e s q u e a r r i b a s e d a n p a r a
e o s (tt,, tTj) y p a r a s e n (r, tt) s e o b t i e n e n t r i v i a l m e n t e .

427. Á LG E B R A UNEAL
E J E R C I C I O S
1.
2.
D a d o s d o s p l a n o s tt, y ttj, d e l e s p a c i o e u c l í d e o £3, c o n r i p r u é b e s c que
el á n g ( T T p ttj) e s el m a y o r d e l o s á n g u l o s d e u n a r e c t a d e tt, y u n a recta
d e 7T2 q u e f o r m e n á n g u l o s i g u a l e s c o n la r e c t a
D a d o s u n a r e c t a r y u n p l a n o tt, d e l e s p a c i o e u c l í d e o £3, c o m p r u é b e s e que
el á n g (r. tt) e s el m e n o r d e l o s á n g u l o s q u e f o r m a n r c o n u n a recta d e tt.
RESOLUCIÓN
1. S e a n r, y las i n t e r s e c c i o n e s d e tt, y 7T2 c o n u n p l a n o tt p e r p e n d i c u l a r a
la rec t a / · = 7r , n 773; o b v i a m e n t e , á n g (tt,, tt,) = á n g (r,. rj). S e a n m, m, y
M , v e c t o r e s u n i t a r i o s d e las d i r e c c i o n e s d e r, r, y ( n ó t e s e q u e w 1«, y
q u e w l w , ) · c o m p r o b a r q u e | c o s (w,, «2)! e s el m e n o r d e lodos
los I cos (w, + aüy i¡ 2 + aü)\ p a r a a e IR. A s í e s y a q u e
M. · ííj + · ü e o s ( « p Wj)
e o s (í7, + « M , «2 + = ~ T = = n = = % ”
------ T T~2 -----
a l c a n z a s u v a l o r m í n i m o c u a n d o e s a = 0.
2. S e a r' la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e r s o b r e tt, s e a a u n v e c t o r unitario
o r t o g o n a l a tt, s e a ü' u n v e c t o r u n i t a r i o d e la d i r e c c i ó n d e r' ( n ótese que
a 1 u\ c o n lo q u e u n v e c t o r ñ d e la d i r e c c i ó n d e r lo s e r á el w = a á + ü\
p a r a u n cier t o a e IR. S e a v u n v e c t o r u n i t a r i o o r t o g o n a l a a y a ü\ H a y
q u e c o m p r o b a r q u e | c o s (w, w')| e s el m a y o r d e t o d o s los |c o s (w, ü' + AíOI
p a r a A e R . A s í e s y a q u e
I c o s {üy ü' + AiJ)| =
1 l
4· I y/a" -l· 1 yf\
= Icos {üy m')|
□DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
[211]
S e a n d a d o s , e n el e s p a c i o e u c l í d e o £3, u n p u n t o P y u n p l a n o tt. Si P
n o p e r t e n e c e a tt, e n t o n c e s e x i s t e u n p u n t o d e tt tal q u e el v e c t o r pp^
e s o r t o g o n a l a w; s e d i c e q u e Pq e s la proyección ortogonal d e P s o b r e ir.
L a d i s t a n c i a úc P a Pq e s la m e n o r d e las d i s t a n c i a s d e P a los p u n t o s
d e TT y s e la l l a m a d i s t a n c i a d e l p u n t o P al p l a n o tt.
S i r e s p e t o d e u n a r e f e r e n c i a r e c t a n g u l a r P{p^y p^y Pj) y tt tiene p o r
e c u a c i ó n a a^x^+ 0 2X2-^ ayX^ + ÜQ = Oy e n t o n c e s la d i s t a n c i a de P a ir
vale:
d{P, r) =

428. 423
DEMOSTRACIÓN
V a m o s a r e c u r r i r a u n p u n t o Q e ir y a u n v e c t o r à o r t o g o n a l a ir. H e m o s d e
c o m p r o b a r q u e e x i s t e u n A t a l _ q u e ^ el p u n t o />„ = P + Aó s e v e r i f i c a
q u e QP^ · ò = 0. P o n i e n d o QP^ = P P o — P g , el A b u s c a d o e s p u e s a q u e l q u e
v e r i f i c a a
P Q d
(Atf - PQ) -0 = 0, l u e g o A =
llálP
L a p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e P s o b r e ir e s el p u n t o ? „ = P + A á y la d i s t a n c i a
d(P, P o ) vale:
</(/·./>o) = ||Aá|| = |A|||fl|| =
\PQ-3\
lláll
[1]
P a r a c u a l q u i e r a q u e s e a el p u n t o X # P o d e tt, c o m o el t r i á n g u l o PP(^ e s
r e c t á n g u l o e n P „ y s e g ú n el t e o r e m a d e P i t á g o r a s ( v é a s e [ 1 8 2 ] ) , s e v e r i f i c a q u e
I I W l l ' = l i m o l i ' + l l ^ l l ' > l l ^ o l P , l u e g o lirall > 1 1 ^ , 1 1
P o r tanto, d(P, P « ) ” I I ^ H la m e n o r d e las d i s t a n c i a s d e P a los p u n t o s
d e TT.
F i n a l m e n t e , r e c u r r i e n d o a c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s , c o m o p o d e m o s t o m a r
á ( a „ flj, a , ) y e s P ( p „ pj, p , ) y t e n i e n d o e n c u e n t a q u e , p o r s e r Q(q„ q¡)
u n p u n t o d e ir, s e verifica q u e fl|í, + + " Wj = “‘’o· s e o b t i e n e q u e :
____ l ^ - f l l \(qt-Pi)a,+(q2-Pi)a2 + (.q»-Pi)a^_
|a,Pi +a2P2 + ajP} + «ol
yja] + al + aj

429. Á LG E B R A LINEAL
EJERCICIOS
1. D a d o s d o s p l a n o s p a r a l e l o s tt y c u y a s e c u a c i o n e s s e r á n , p u e s , del tipo
( e n c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s ) :
T T : a,jC| + a.x. + + 0^ = 0 y tt': a,.v, + a.A*, + üyX^ + < = O
p r u é b e s e q u e la d i s t a n c i a d e u n p u n t o c u a l q u i e r a d e tt a tt' e s constante.
E s t a d i s tancia, q u e s e l l a m a d i s t a n c i a d e tt a t t\ vale:
yja\ + a i + 03
2. S e a n r y tt u n a r e c t a y u n p l a n o p a r a l e l o s . C o m p r u é b e s e q u e la distancia
d e u n p u n t o c u a l q u i e r a d e r a tt e s c o n s t a n t e ; a e s t a d i s t a n c i a se la llama
d i s t a n c i a d e r a 7r.
RESOLUCION
1. S e a P{p^y p,, py) u n p u n t o c u a l q u i e r a d e l p l a n o tt, e s t o es, tal q u e se verifica
a^p^ + Ü2P2 + ^yPy + A q = d i s t a n c i a d(P, tt*) val e , s e g ú n s e a c a b a de
ver:
.- n _,x _ _ | - ‘J o + « . ) l
TT )
---------= = = = = = = = = = = =----------= = = = = =
y/a] + «2 «3 ya] ^a l-^a ]
q u e e s c o n s t a n t e ( n o d e p e n d e ác P e tt) y t i e n e el v a l o r q u e s e dijo en el
e n u n c i a d o .
2. S e a T el p l a n o p a r a l e l o a tt y q u e c o n t i e n e a r. S i P r e c o r r e r, la distancia
d(P, tt), c o m o e s la d i s t a n c i a d e u n p u n t o de t a tt, s e g ú n se a c a b a de
d e c i r e s c o n s t a n t e , n o d e p e n d e d e P,
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
[212]
S e a n d a d o s , e n el e s p a c i o e u c l í d e o £3, u n p u n t o P y u n a rec t a r. S\_r n o
p a s a p o r P , e n t o n c e s e x i s t e u n p u n t o P^ d e r tal q u e el v e c t o r PP^ es
o r t o g o n a l a r; s e d i c e q u e Pq e s la proyección ortogonal d e P s o b r e r.
L a d i s t a n c i a de P a Pq e s la m e n o r d e las d i s t a n c i a s d e P a los pu n t o s
d e r y s e la l l a m a d i s t a n c i a d e l p u n t o P a la r e c t a r.
S i r e s la r e c t a Q + y ( w ) , e n t o n c e s la d i s t a n c i a d e P a r vale:
WPQAuW
Ik1l

430. •2 Y £3
425
DEMOSTRACIÓN
V a m o s a recurrir a u n p u n t o 0 g r y a u n v e c t o r m ^ ó d e la d i r e c c i ó n d e r.
H e m o s d e c o m p r o b a r q u e e x i s t e u n A e R tal q u e p a r a el p u n t o Pq— Q-^-Kü
s e v e r i f i q u e PP^ · z7 = 0. P o n i e n d o PP^ = PQ-^ QP^, el A b u s c a d o e s p u e s a q u e l
q u e v e r i f i c a a
____ PQ·ü
{PQ + Áü) · z7 = O, l u e g o '
----A = - -
11/711^
P o r tanto, e x i s t e la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l , P » = G + d e P s o b r e r.
P a r a c u a l q u i e r a q u e s e a el p u n t o Pq áe r, c o m o el t r i á n g u l o PP^X e s
r e c t á n g u l o e n Pq y s e g ú n el t e o r e m a d e P i t á g o r a s ( v é a s e [ 1 8 2 ] ) , s e ver i f i c a q u e
l l ^ l l ' = ll^ o lP + l l ^ l ' > ll^ o ll% luego l i r a i i < ii ^ o i i
A s í p u e s , d {P , Pq) = l l ^ l l e s la m e n o r d e las d i s t a n c i a s d e P a lo s p u n t o s
d e r.
F i n a l m e n t e , p a r a o b t e n e r u n a e x p r e s i ó n d e la d i s t a n c i a d{P, r), r e c u r r i e n d o
al p r o d u c t o v e c t o r i a l PQ A í7, s e tiene:
^ A Ü = {PPq-^P^)Aü--PPqAÜ
( p u e s P qQ a w = p o r s e r PqQ y ü p r o p o r c i o n a l e s ) . P o r tanto, c o m o P Pq y ü
s o n o r t o g o n a l e s , será:
TT
\\PQ A «II = \\PP„ A ü|| = l l P P o H ll“ ll sen - = </(/>. r)||í?||
de donde, al despejar d(P, r), se obtiene la expresión buscada.

431. 4Z6 Á LG E B R A LINEAL
E J E R C I C I O
S e a n r y r' d o s rec t a s p a r a l e l a s d e Ey C o m p r u é b e s e q u e la distancia de ua
p u n t o P c u a l q u i e r a d e r' a la r e c t a r e s c o n s t a n t e ( n o d e p e n d e d e P e r*); a
e s t a d i s t a n c i a s e la l l a m a d i s t a n c i a e n t r e r y r'.
[2131
RESOLUCIÓN
S e a il u n v e c t o r d e la d i r e c c i ó n d e las r e c t a s r y s e a n Q y Q' p u n t o s fijos
d e r y r*. P a r a c u a l q u i e r a q u e s e a P e, r\ s e v e r i f i c a q u e
y a q u e PQ* y ü s o n p r o p o r c i o n a l e s . P o r tanto,
_ , _ I I ^ a « | | _ | I G ^ a m | |
ñair
q u e n o d e p e n d e d e P, c o m o h a b í a q u e c o m p r o b a r .
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
S e a n d a d a s d o s r e c t a s r y .y, d e l e s p a c i o e u c l í d e o E^ q u e s e cruzan. S e
v c n f i c a q u e e x i s t e u n p u n t o P^&ry o t r o p u n t o Q^ e s tales q u e el vector
PíjGü e s o r t o g o n a l a r y a a la r e c t a P^Q^ s e la l l a m a perpendicular
común a las r e c t a s r y s. L a d i s t a n c i a d e Pq a Qq e s la m e n o r d e las
d i s t a n c i a s d e u n p u n t o d e r a u n p u n t o d e s y .se la l l a m a d istancia entre
las rec t a s rys.
Si r y j s o n las r e c t a s P + V{u) y Q + r(ül e n t o n c e s la d istancia entre
rys vale:
IImAüII

432. DEMOSTRACIÓN
^
____________________________________ 427
V a m o s a r e currir a d o s p u n t o s fijos P e r y Q e y a d o s v e c t o r e s m y iJ d e
las d i r e c c i o n e s d e r y s\ s e a n y Vg v e c t o r e s u n i t a r i o s d e las d i r e c c i o n e s d e
w y y, d e m a n e r a q u e Hm^JI = 1, \\vq\\ =1 y Üq· Vq = e o s 6, s i e n d o e o s 6^ ± 1
( p u e s r y 5 n o s o n paralelas). H e m o s d e c o m p r o b a r q u e e x i s t e n A . e R t a l e s
q u e p a r a l o s p u n t o s Pq = P A Ü q y G o = G + s e v e r i f i q u e P q Q o * W q = O y
^ ü G o · i^o O· P o n i e n d o P o G o = Aí7„ - l os A y /i b u s c a d o s s o n , p u e s ,
a q u e l l o s q u e v e r i f i c a n a:
O = (PQ- ÁΓ4^y + /xi?o) · Üq = ^Á·^ /JL e o s ^
O = ( ^ - A M o + · ^0 = “ A eos e + JJL.
E s t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s ( e n las i n c ó g n i t a s A y /x) t i e n e s o l u c i ó n
ú n i c a , p u e s s u d e t e r m i n a n t e v a l e 1 - c o s ^ ^ = ^ 0 . E x i s t e n , p u e s , u n o s ú n i c o s
p u n t o s P q 6 r y Q o 6 5 tales q u e PqQ^ e s o r t o g o n a l a r y a
V e a m o s a h o r a q u e , p a r a c u a l e s q u i e r a P ' e r y Q * & s s e v e r i f i c a q u e
d(P'y Q')^cí(Pq, Q „ ) . P a r a c o m p r o b a r l o , r e c u r r i e n d o a q u e P' = Pq-^ aii y
0' = Q o + c i e r t o s a , jS e R , s e tiene:
d{P', Q'f = l l P ' Q ' 11^ = P'Q' ■ P'Q' =
= IPoQo + ( - « “ + ^ i’)l · + i - a d + /3ú)] =
( p u e s t o q u e P^Qa e s o r t o g o n a l a ~aü + /3i5); p o r t a n t o , \\P'Q' || ^ ll/’o Q o U » c o m o
h a b í a q u e c o m p r o b a r .
______
F i n a l m e n t e , p a r a o b t e n e r la e x p r e s i ó n q u e d a la d i s t a n c i a d(r, s) — IIP q Q o I I ,
v a m o s a r e c u r r i r al v e c t o r ü A v, q u e t i e n e la m i s m a d i r e c c i ó n q u e P^^, l o q u e
p e r m i t e p o n e r :
K Q o · («■ A v)\ = l | P „ e „ l l IIm a 1)11 = d(r, s)11m a v\\ [ 1 ]
A h o r a b i e n , c o m o P „ Q „ = PQ - Xü + fiü p a r a u n o s c i e r t o s A , /u. e IR y c o m o
M A e e s o r t o g o n a l a « y a tJ, el p r i m e r m i e m b r o d e [ 1 ] s e p u e d e p o n e r ;
j P o G o · (“ A y)| = K / ' G - Att + / xí5). ( « A iOl = I P G · ( « A i5) + ó |
l l e v a n d o e s t e ú l t i m o r e s u l t a d o a [ 1) y d e s p e j a n d o d{r, s) s e o b t i e n e l a e x p r e s i ó n
b u s c a d a .

433. ’8
ÁLGEBRA LINEAL
[214]
Q «PERPENDICULAR COMÚN» A DOS RECTAS
QUE SE CRUZAN
D a d a s d o s r e c t a s q u e s e c r u z a n , d e l e s p a c i o e u c l í d e o Ey e x i s t e u n a recta
p e r p e n d i c u l a r a a m b a s y q u e s e c o r t a c o n ellas; e s t a r e c u s e l l a m a
« p e r p e n d i c u l a r c o m ú n » d e a q u é l l a s .
S i las r e c t a s d a d a s s o n r = P + T ( t ? ) y i = C^ + V ( û ) , e n t o n c e s su
p e r p e n d i c u l a r c o m ú n e s la i n t e r s e c c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s p l a n o s ;
( A|, A l , ^L^, e R p a r á m e t r o s )
DEMOSTRACIÓN
L a p e r p e n d i c u l a r c o m ú n e s la r e c t a d e l a p a r t a d o a n t e r i o r ( q u e e xiste s e g ú n
s e v i o allí), y a q u e 6 r, e j y P„Q^^ e s o r t o g o n a l a r y a j. E s evidente
q u e la r e c t a PfjQ^ e s la i n t e r s e c c i ó n d e l p l a n o q u e p a s a p o r P , /»o y c o n d
p l a n o q u e p a s a p o r Q, Q„ y P^. C o m o l o s v e c t o r e s PP^, y P^Q^ tienen las
d i r e c c i o n e s d e l o s v e c t o r e s ü, v y üAv, r e s p e c t i v a m e n t e , r e s u l t a q u e las direc­
c i o n e s d e l o s d o s p l a n o s a n t e r i o r e s s o n y ( w , m A p) y ^ ( i ; , m A v), l u e g o dichos
p l a n o s h a n r e s u l t a d o s e r l o s d e l e n u n c i a d o , e s t o es, los;
P + °V(a,aAv) y Q + °V(,ü, uAC)
EJERCICIO
H a l l a r la d i s t a n c i a e n t r e las s i g u i e n t e s r e c t a s rys ( e n c o o r d e n a d a s rectangulares);
J C - I > > - 1 z + 6
r ; -
- I 3
Jc + . v - 2 ; = 3
,t - 2>- H- 2 z = O
RESOLUCIÓN
L a r e c t a r p a s a p o r P ( l , 1, —6) y t i e n e la d i r e c c i ó n d e l v e c t o r « ( —1, 3. 2): I*
r e c t a s p a s a p o r Q ( 2 , 1, 0 ) y t i e n e la d i r e c c i ó n d e l v e c t o r (>(2. 4, 3). P o r tanto,
la d i s t a n c i a d(r, s) v a l d r á ;
d(r, í) = = 1(1. 0 . 6) - [ ( - I . 3. 2 ) A (2. 4. 3)]|
II«AÍ5|| I K - I . 3 . 2 ) A ( 2 . 4 . 3)11
_ | I + 0 - 6 0 1 5 9
> / l ’ + 7 ^ + I Q í “7Í ^
at 4 , 8 2

434. )M É TR IC O S E, Y f . 429
ECUACION NORMAL DE UN PLANO
[2151
S e a 7T u n p l a n o d e l e s p a c i o e u c l í d e o Ey\ e n £3 s e h a a d o p t a d o u n a
r e f e r e n c i a c i u l e s i a n a r e c t a n g u l a r {0\ #2» ^3) y s e s u p o n e q u e ir n o p a s a
p o r O , L l a m a n d o 0 ^ a la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e O s o b r e tt y si
OOJ,d e o s d e o s <1 e o s d o n d e J>0 e s la d i s t a n c i a d e O a tt
y 0¡ = á n g {00^ e n t o n c e s tt a d m i t e p o r e c u a c i ó n a:
JCi e o s Oy + JC2 e o s $ 2 “*■ *^3 e o s 6^ = d
F i g u r a 10.30.
COMPROBACION
U n p u n t o X e s d e tt si y s ó l o si O^X · 00^ = 0 , e s t o es, si:
(j c, - d e o s 6^)d e o s + (.tj - d e o s B^d e o s + ( J C j - í/ e o s By)d e o s ^ 3 = 0
c o m o e o s - B^ + c o s ^ B^ + c o s ^ ^3 = l, y a q u e ( e o s B^. e o s B^, e o s B^) e s u n v e c t o r
u n i t a r i o , la a n t e r i o r e c u a c i ó n r e s u l t a s e r la d e l e n u n c i a d o .
E JER C IC IO
S e a n ry s d o s r e c t a s q u e s e c r u z a n . O b t e n e r u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a r e c t a n ­
g u l a r ( O ; é,. ^2» ^3) e c u a c i o n e s d e r y .v s e a n d e l t i p o ( l l a m a m o s
JC, y, z a las c o o r d e n a d a s ) :
r:
: tiix
a
y = —mx
z = - a

435. Á L G E B R A LINEAL
RESOLUCIÓN
E l « e j e d e la z» e s la p e r p e n d i c u l a r c o m ú n a r y .v ( s e a n P y Q los p u n t o s de
c o r t e d e e s t a p e r p e n d i c u l a r c o n r y s); el o r i g e n e s el p u n t o m e d i o d e los P y
Q-, Cj t i e n e el s e n t i d o d e OP. S i r' y s' s o n las p a r a l e l a s a r y j p o r O , las
b i s e c t r i c e s d e r' y s' s o n l o s « e j e s d e la j: y d e la y » .
E l n ú m e r o a e s la m i t a d d e la d i s t a n c i a d(r, s); e s m = t g ^ / 2 , d o n d e
e=ing(r, s).
□ ÁREA DE UN TRIÁNGULO; VOLUMEN
DE UN TETRAEDRO
[216] 1. E l á r e a d e u n t r i á n g u l o PQR. d o n d e P, Q, R e £3 ( e u c l í d e o ) , vale:
A r e a PQR =\\\PQA^\\
2. E n el e s p a c i o e u c l í d e o £ , , c o n s i d e r e m o s c u a t r o p u n t o s n o c o p l a n a r i o s
P(P f ) . Q ( <7.). y S(,s¡) ( p a r a ; = 1. 2, 3, e s t a s c o o r d e n a d a s s o n
r e c t a n g u l a r e s ) . E l v o l u m e n d e l t e t r a e d r o PQRS v a l e :
V o l u m e n PQRS = ¿\{PQ, PR, P 5 ] | = |d e t
P i Pz P i 1
íi 9 : 9 3 ·
(·)
( ·) Las barras verti cales son^dc valor absoluto. La expresión [PQ, PR, PS] denota el
producto mixto de PQ, PR y PS.

436. 431
COMPROBACIÓN
1. L a a l t u r a d e l t r i á n g u l o c o r r e s p o n d i e n t e el vér t i c e R s e p u e d e p o n e r e n la
f o r m a :
h = l l ^ l l s e n {PQ, PR)
R e c u r r i e n d o a la e x p r e s i ó n q u e d a la n o r m a d e u n p r o d u c t o v e c t o r i a l ( v é a ­
s e [ 1 5 8 ] , II), el á r e a d e l t r i á n g u l o , PQR, s e p u e d e p o n e r :
Á r e a PQR = i \\PQ\\h = ^ 11^01| H ^ H s e n (PQ, PR) = J \\PQA ^ | |
2. E l v o l u m e n d e l t e t r a e d r o e s {\l3)hh, d o n d e h e s el á r e a d e l t r i á n g u l o PQR
y h la altu r a c o r r e s p o n d i e n te al vértic e 5. E l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o
q u e t i e n e p o r a r i s ^ a PQ, PR y PS, q u e e s i g u a l al v a l o r a b s o l u t o d e l
p r o d u c t o m i x t o [PQ, PR, PS] ( v é a s e [ 1 5 6 ] ) , s e p u e d e p o n e r e n la f o r m a
h'h, d o n d e b' = 2b e s el á r e a d el p a r a l e l o g r a m o q u e tie n e p o r aristas a PQ
y PR. P o r tanto:
V o l u m e n PQRS ^bh = ^b'h l\[PQ, PR, PS]\ [1]
E c h a n d o m a n o d e la e x p r e s i ó n e n c o o r d e n a d a s d e l p r o d u c t o m i x t o
( v é a s e [ 1 5 4 ] ) s e tiene:
[PQ, PR, PS] =
‘li-Pi <h-Pi Ri~Pi
h~'Pl ^3^P3
~ Pi ^2 “ Pi h ” Pa
Pt P2 Pi 1
9l 9 2 ÍÍJ 1
r, rj rj I
5 , S-y 5 , l
[2]
(la ú l t i m a i g u a l d a d s e p u e d e c o m p r o b a r r e s t a n d o , e n el ú l t i m o d e t e r m i n a n ­
te, la p r i m e r a fila a c a d a u n a d e las d e m á s y l u e g o d e s a r r o l l a n d o p o r la
ú l t i m a c o l u m n a el d e t e r m i n a n t e así o b t e n i d o ) . L l e v a n d o e s t e r e s u l t a d o [2]
a la e x p r e s i ó n [ 1 ] s e o b t i e n e la f ó r m u l a q u e h a b í a q u e c o m p r o b a r .
EJERCICIO
S e a n ry.s d o s re c t a s q u e s e c r u z a n . S o b r e r s e t o m a n d o s p u n t o s P y Q\ s o b r e
s s e t o m a n d o s p u n t o s Ry S. H á l l e s e el v o l u m e n V d e l t e t r a e d r o c u y o s v é r t i c e s
s o n P, Q, R y S, e n f u n c i ó n d e
a = ci{P, Q), b = d{R, s), 8 = d{r, s) y ar = á n g (r, s)
RESOLUCIÓN
Si üy V s o n v e c t o r e s d e la d i r e c c i ó n d e r y s, r e s p e c t i v a m e n t e , tales q u e ||ü|| = a
y ||¿J|| = b, d e a c u e r d o c o n [ 2 1 6 ] , 2, y r e c u r r i e n d o a la e x p r e s i ó n q u e d a 8 ( v é a s e
[ 2 1 3 ] ) s e tiene:
V=l\PQ· (PRa ^ 1 = I |»J · l ^ A (PR + Ü)ll = | | m · (PRA ü)l =
= 5 \[^> Ü, ü]| = ¿ 5||m a ü|| = ¿ Sah s e n a

437. 432
Algebra lineal
aLAS ESFERAS
[217] (I) E n el e s p a c i o e u c l í d e o £3 s e l l a m a esfera, d e c e n t r o e n el p u n t o
C e £3 y c u y o r a d i o e s p > O , al l u g a r g e o m é t r i c o d e l o s p u n t o s d e
£3 q u e d i s t a n p d e C . A d o p t a n d o u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a r e c t a n ­
g u l a r e n £3 y si C{a, b, c), d i c h a c i r c u n f e r e n c i a e s t a f o r m a d a p o r
l o s p u n t o s X{x, y, z) t a l e s q u e :
+ ( y - bf + ( z - cf =
(II) L a e s f e r a a n t e r i o r y u n a r e c U i r s e c o r t a n e n d o s . u n o o n i n g ú n
p u n t o , s e g ú n q u e la d i s t a n c i a ¿ / d e C a r s e a r f < p , d = p o d> p
y s e d i c e q u e r e s s e c a n t e , tangente o e x t e r i o r a l a e s f e r a , r e s p e c ­
t i v a m e n t e .
P o r u n p u n t o P(.r,„ Zq) d e la e s f e r a p a s a n i n f i n i t a s t a n g e n t e s
a é sta; t o d a s e l l a s e s t á n s i t u a d a s e n el p l a n o p e r p e n d i c u l a r a CP p o r
P, el c u a l t i e n e p o r e c u a c i ó n a:
(jTo “ a)(x - x^i) + (>»0 - b){y - y^^) + (Zq ~ c)(z - Zq) = O
A é s t e s e le l l a m a plano tangente, a la e s p e r a e n el p u n t o P d e ella.
DEMOSTRACION
(I) U n p u n t o X{x, y, z) s e r á d e la e s f e r a si y s ó l o si H C X H = p, e s t o es, si
l | c ? l P = p ' ; c o m o CX(x — a, y — b, z — c), la a n t e r i o r r e l a c i ó n p u e d e
p o n e r s e e n la f o r m a :
(JC - af + ( y - bf + ( z - cf = ff
(II) L l a m a n d o P a la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e C s o b r e r y si m e s u n vector
u n i t a r i o d e la d i r e c c i ó n d e r, l o s p u n t o s d e e s t a r e c t a r s e r á n los
X = P + A w p a r a A e IR. U n p u n t o X e r s e r á d e la e s f e r a c u a n d o
l l c x l l = p ; c o m o el t r i á n g u l o CPX e s r e c t á n g u l o e n P y s e g ú n el t e o r e m a
d e P i t á g o r a s ( v é a s e [ 1 8 2 J ) la ú l t i m a r e l a c i ó n e s e q u i v a l e n t e a:
= ll c x l l ^ = I I C P I P + 1 1 ^ 1 1 " = é + o Á^ = p^-d^
P o r tanto, s e g ú n q u e s e a p>d, p = d o p<d, h a b r á d o s , u n a o n i n g u n a
s o l u c i ó n p a r a A , e s t o es, d o s , u n o n i n g ú n p u n t o ( X = P -f A w ) d e inter­
s e c c i ó n . N ó t e s e q u e el c a s o d e t a n g e n c i a {\a i n t e r s e c c i ó n e s u n p u nto
ú n i c o ) s e p r e s e n t a si y s ó l o si la d i s t a n c i a d e C a r e s p y, e n tal caso,
el p u n t o P d e t a n g e n c i a ( i n t e r s e c c i ó n ) e s la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e C
s o b r e r. d e m a n e r a q u e C P e s o r t o g o n a l a r.
D a d o u n p u n t o P ( X o , >0» d e la e s f e r a , las t a n g e n t e s a la esfera

438. [218]
433
e n P s o n , p u e s , t o d a s las r e c t a s q u e p a s a n p o r P y s o n o r t o g o n a l e s al
v e c t o r CP(Xq - a, yQ - b, Zq- c), e s t o es, q u e p a s a n p o r P y e s t á n e n el
p l a n o d e e c u a c i ó n :
(Xq - a){x ~ Xq) + ( J o - b)(y ~ >^0) + (^o ~ - Zo) = O
EJERCICIO
S e a n A y B d o s p u n t o s , d e £3» d i a m e t r a l m e n t e o p u e s t o s d e u n a e s f e r a (tales
q u e s u p u n t o m e d i o e s el c e n t r o ) . P r u é b e s e q u e u n p u n t o P e £3 e s d e la r e ­
f e r i d a e s f e r a si y s ó l o si AP y BP s o n o r t o g o n a l e s .
RESOLUCIÓN
L l a m e m o s C y p al c e n t r o y al r a d i o d e la esfe r a , d e m a n e r a q u e = C + p w
y B - C - p ü p a r a u n c i e r t o v e c t o r u n i t a r i o ü e L a d i s t a n c i a d{C, P) s e
p u e d e p o n e r :
d(C, P)-=\\^V = CP CP = (CA-¥AP)-{CB + BF) =
= ( I p + pü) ■ {BP- pü) = ÁP- + p{BP- AP)-a-p- =
= AP BP + pBA a - p - = A P BP + 2p^ü a-p^ =
= AP-BP + p'
P o r tanto, la d i s t a n c i a í/(C, P ) v a l d r á p si y s ó l o si AP · B P - O , e s d e c i r ,
P p e r t e n e c e r á a la e s f e r a si y s ó l o ú AP y BP s o n o r t o g o n a l e s .
□INTERSECCIÓN DE UNA ESFERA Y UN PLANO
E n el e s p a c i o e u c l í d e o £3 s e c o n s i d e r a u n p l a n o ir y la e s f e r a d e c e n t r o
e n C y d e r a d i o p > 0. L l a m a n d o P a la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e C s o b r e
TT y si e s í/ la d i s t a n c i a d e C a tt, e n t o n c e s la i n t e r s e c c i ó n d e l p l a n o tt
c o n la e s f e r a es:
• S i p > í / , la c i r c u n f e r e n c i a d e tt q u e t i e n e c e n t r o e n P y r a d i o - S,
• S i p = í/, el p u n t o P (el plano tangente a la e s f e r a e n P e s tt).
• S i p < J, el v a c í o ( t o d o s los p u n t o s d e tt s o n e x t e r i o r e s a la e s f e r a ) .
DEMOSTRACIÓN
L l a m e m o s ü al v e c t o r u n i t a r i o d e la d i r e c c i ó n y s e n t i d o d e C P , c o n l o q u e
C P = dü . L o s p u n t o s d e tt s o n l o s X = P + Ai?, p a r a A e R y d o n d e v e e s
u n v e c t o r o r t o g o n a l a m, q u e p o d e m o s s u p o n e r u n i tario. L o s p u n t o s d e la
i n t e r s e c c i ó n s o n los X 6 £ 3 q u e , s i e n d o d e la f o r m a a n t e s d i c h a , s o n t a l e s

439. que llcx ll = p. Los puntos de esta intersección son, pues, los que se obtienen
para los valores de A que verifican a:
p2 = llcxll^ = I1CP + P X f = \\dú + A0l|" = é + Á^, o sea.
Como |A| es la distancia 11 ^1 , los puntos X de la intersección son,
pues;
• Si p>d, los puntos X de ir tales que llPXH = V p^" que son los de la
circunferencia del enunciado.
• Si p = d, con lo que A = O, solamente se obtiene el punto X = P.
• Si p < d, no hay puntos de intersección (todos los del plano distan de C más
de p, esto es, son exteriores a la esfera).
EJERCICIO
En el espacio euclídeo £ j y utilizando coordenadas cartesianas rectangulares x,
y, z se considera la esfera de centro C(a, b, c) y radio p > 0. Hallar la relación
a la que han de satisfacer los números a , /3, y, 5 e R para que el siguiente
plano TT sea tangente a la esfera;
tt: ca + ^y + yz + S = O
RESOLUCIÓN
El plano ir es tangente a la esfera si y sólo si d(C, tt) = p, esto es:
\aa + p b + ye + S\
•^cP- + + y
o l o q u e e s i g u a l ;
( a a + ^b + ye + 8f = ( a * + + -^)p^
EJER C IC IO
H a l l a r el c e n t r o y el r a d i o d e l a e s f e r a i n s c r i t a e n e l t e t r a e d r o c u y o s vértices
s o n l o s p u n t o s A ( 3 , O , 0 ) , B ( 0 , 3, 0 ) , C ( 0 , O , 3 ) y D ( - l , - 1 , - 1 ) .
RESOLUCIÓN
L a s c a r a s d e l t e t r a e d r o , e s d e c i r , l o s p l a n o s ir, = ABC, iTj = ABD, ir, = ACD
y 1T4 = BCD, t i e n e n l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s :
ir, ;jt + y + z = 3 i 7-j;jt - 5.y + z = 3
i r j : x + y — 5 z = 3 «- 4: — 5jc + 3» + z = 3
E l c e n t r o d e la e s f e r a , P ( a , /3, y), h a d e e q u i d i s t a r d e l o s c u a t r o p l a n o s , por
l o q u e d e b e ser:
a + /3 + y - 3 _ a + /3 + 5 y - 3 _ g - 5 i 8 + y - 3 _ -5 a + / 3 + y - 3
'S 3 - v ^

440. 435
(nótese que P es interior al tetraedro y que el origen de coordenadas también
lo es, por lo que los signos que se han tomado para las anteriores distancias
son correctos). De estas ecuaciones se obtiene que a = )3=y = 1/2, o sea,
P (l/2 , 1/2, 1/2). Finalmente, el radio de la esfera es la distancia de P a tt, luego
vale p = >/3/2.

441. 136
Á L G E B R A UNEAL
Ejercicios y problemas a la parte V
E N U N C I A D O S
V.l. E n el p l a n o afín y u s a n d o c o o r d e n a d a s cartesianas
xy se c o n s i d e r a n d o s p u n i o s y ^2)
y u n a recta r : ojr + ¿ y + c = 0. Hallar la relación
entre anteriores datos p a r a q u e P^ y ^^t é n a
«distinto lad o » d e r (el s e g m e n t o P^Pj corta a r).
V.2. E n el p l a n o afín se c o n s i d e r a n d o s triángulos ABC
y A'B’C tales q u e las tres rectas AA\ BB* y C C
p a s a n p o r u n m i s m o p u n t o O. S e a n P, Q y R los
p u n t o s d e intersección d e los siguientes p a r e s d e
rectas: AB y A‘B\ BC y BX' y CA y CA\ C o m ­
p r u é b e s e q u e los p u n t o s P, Qy R están a l i n e a d o s
( t e o r e m a d e D e s argues).
V.3. D a d o s tres p u n t o s a lineados P, Q y R ( d e £,. d e
£2 o d e £3), se l l a m a « r a z ó n s i m p l e » (P(^R) al
n ú m e r o real p q u e p e r m i t e p o n e r PR = pPQ,
S e a n A j y tres p u n t o s n o a l i n e a d o s del
p l a n o afín £ j y sea r u n a recta q u e n o p a s a p o r
n i n g u n o d e d i c h o s puntos. S e l l a m a n B^, B^y B^ a
los pu n t o s d e intersección d e r c o n las rectas
A3/4, y A^A2, r espectivamente. P r u é b e s e q u e (teo­
r e m a d e M e n e l a o ) :
{B,A,A,){B,A,A,){B,A,A^)^\
V,4. S e a A^A^Ay u n ü i á n g u l o del p l a n o afín Ej y s e a n
fip B2 y ^3 p u n t o s situados e n los s e g m e n t o s A2A3,
>43^4, y AiA2, r e s p e c tivamente. P r u é b e s e q u e las
ü-es rectas A , 5,. Ajfij Y p a san, las tres, p o r
u n m i s m o p u n t o si y sólo si el p r o d u c t o d e las
r az o n e s s i m p l e s (v é a s e el p r o b l e m a p r e c e d e n t e )
(B^AjAy), (BjAyAy) y (B^AiAi) vale -1 ( t e o r e m a
d e Cev a ) .
V.5. S e l l a m a «cuadrilátero c o m p l e t o » , del p l a n o afín
£2, a la figura q u e f o r m a n cu a t r o rectas (lados) q u e
se cortan d o s a d o s y tales q u e tres d e ellas n o
p a s a n p o r u n m i s m o punto; los seis p u n t o s d e inter­
sección d e c a d a d o s lados se l l a m a n vértices; las
tres rectas q u e u n e n vértices o p u e s t o s ( n o situados
e n u n m i s m o lado) se l l a m a n diagonales. P r u é b e s e
q u e los p u n t o s m e d i o s d e las tres d i a g o n a l e s d e u n
cuadrilátero c o m p l e t o están alineados.
V .6. E n el p l a n o afín £2 y u t i l i z a n d o c o o r d e n a d a s car*
tesianas se d a n los p u n t o s /4(— 7, 3), B(7, - 4 ) y
C ( 5 , 2). H a l l a r el p u n t o C e £2 tal q u e el üiángulo
ABC tiene s u b a r i c e n t r o e n G.
V . 7 . S e a n rys d o s rectas q u e s e c o r t a n e n u n punto O,
s e a A u n p u n t o c o p l a n a r i o c o n las rectas y no
s i t u a d o e n n i n g u n a d e ellas; s e a B el p u n t o m edio
d e OA, E n r s e t o m a u n p u n t o variable, P; sea 0
la i n t e r s e c c i ó n d e s c o n PB; s e a R la interseccióft
d e AP c o n la p a r a l e l a a OA p o r Q. Hallar el lugar
g e o m é t r i c o q u e d e s c r i b e R ( c o m p r u é b e s e q u e la
recta O A f o r m a p a r t e d e l lugar).
V .8. C o m p r u é b e s e q u e e n u n t r i á n g u l o ABC cualquiera»
las alturas p a s a n , las tres, p o r u n m i s m o punto.
V . 9 . E n el p l a n o e u c l í d e o y u s a n d o c o o r d e n a d a s rectan­
g u l a r e s xy se c o n s i d e r a n los p u n t o s >4(0, 0), B(OA)
y C ( 4 , 2). H a l l a r el o r t o c e n t r o , el baricenü-o y el
c i r c u n c e n t r o d el ü i á n g u l o ABC,
V . I O . E n el p l a n o e u c l í d e o y u s a n d o c o o r d e n a d a s rectan­
g u l a r e s xy s e c o n s i d e r a la recta r: 3ar + 4>' + 7 = 0
y el p u n t o P ( - 2 , 1); s e a C el c u a d r a d o d e centro
e n P , c u y o s l a d o s s o n p a r a l e l o s y perpendiculares
a r y c u y o s l a d o s m i d e n 2. H a l l a r las ecuaciones
d e d i c h o s lados.
V . l l . E n el p l a n o e u c l í d e o y u s a n d o c o o r d e n a d a s rectan­
g u l a r e s Oxy se c o n s i d e r a n las rectas y = 2jt e
y = “2x; s e a A u n p u n t o v a r i a b l e d e la primera y
B u n o d e la s e g u n d a . H a l l a r el l u g a r g e o m é ü i c o
q u e d e s c r i b e el b a r i c e n t r o del t r i á ngulo OAB si A
y fi s e m u e v e n d e m a n e r a q u e el á r e a del üiángulo
OAB v a l g a 9.
V . 1 2 . E n el p l a n o e u c l í d e o £ j se c o n s i d e r a u n a referencia
c a r t e s i a n a (O; €2) c u y o s v e c t o r e s y f, ^
unitarios y tales q u e á n g (é,, S e considera
oü-a r e f e r e n c i a ( C ; m,, «2) e n la q u e C ( ú , b\ üy y
«2 s o n unitarios y tales q u e á n g (^,, w,) = a y áng
(^,, (¡2) = p. R e l a c i o n a r ( e n f u n c i ó n d e o, />, B, a
y P) las c o o r d e n a d a s (jc, y) d e u n p u n t o en la
p r i m e r a r e f e r e n c i a c o n las c o o r d e n a d a s {x\ y') del
m i s m o p u n t o e n la n u e v a referencia.
V . 1 3 . E n el p l a n o e u c l í d e o £ j y u s a n d o c o o r d e n a d a s rec­
t a n g u l a r e s (a*, y ) s e c o n s i d e r a n las rectas q u e admi-

442. y g R O a O S Y P R O B L E M A S
437
len ecuación de la form a x + 2 a y +
a 6 R es un parámetro. Se pide:
1. Relación entre a y h para que por P (a, h) pasen
dos rectas de la fam ilia.
2. Lugar geométrico de los puntos P por los que
pasa una sola recta.
3. Lugar geométrico de los puntos por los que
pasan dos rectas perpendiculares,
V.I4. Sea ABC un triángulo isósceles {AB = AC). Sean P
y Q dos puntos variables que recorren AB y BC,
respectivamente, de modo que la proyección orto­
gonal de PQ sobre BC tiene longitud mitad que
BC. Pruébese que la perpendicular a P g por g
pasa por un punto fijo .
V,I5. En el plano euclídeo y usando coordenada.s rec­
tangulares xy se considera el paralelogramo deter­
minado por las cuatro rectas ax + h y ± c = 0 y
ax·^ P y ± y = 0. H a lla r el área de dicho paralelo-
gramo.
V,16. En el plano euclídeo E j se consideran dos rectas r
y s que .se cortan. H a lla r el lugar geométrico de los
puntos de tales que la suma de sus distancias a
r y a j es constante y vale k.
V.17. En el plano euclídeo E j y usando coordenadas rec­
tangulares se consideran las circunferencias C y C '
que tienen centros en los puntos 0 { a , p ) y
O' { a d eos (p, P + d sen <p) y radios r y r'. Se
pide:
1. Hallar una ecuación cuyas raíces sean las pen­
dientes de las tangentes a C desde un punto
P{a. h).
2. H allar las ecuaciones de las cuatro tangentes
comunes a las circunferencias C y C (se su­
pone r < r ' y r + r * < d ) .
V.18. En el espacio afín £ , se considera una cierta refe­
rencia cartesiana, en la que las coordenadas de un
punto X son (jc, y, z). Se considera otra referencia:
la que tiene origen en C ( - 2 . i . - 1 ) y por vectores
a íí, = (1. 2. 3X «2 = (O, I , I ) y «3 = (2^
pide:
1. H allar las coordenadas { x \ y \ z*) de X en la
nueva referencia.
2. Hallar los puntos X e £3 que tengan iguales
coordenadas en ambas referencias.
V .1 9 . En el espacio afín £ , y usando coordenadas carte­
sianas xyz se consideran un punto P í - I , I , 2), un
plano T r;3j: + y - z = 9 y dos rectas r y s:
x + y - z +2= ü
2x - 2y + z + 1 = O
jc + > ^ -2z- 2 = 0
Z + 4 * 0
Se pide: 1) la recUi que pasa por P y se apoya en
(corta a) las rectas r y j ; y 2) la recta que pasa por
P se apoya en r y es paralela a ir.
V .2 0 . En el espacio afín £3 y usando coordenadas carte­
sianas xyz se consideran los cuatro planos siguien­
tes:
x + 3>^ + z + 4 = 0
JC + +6 = 0
jf + 6y + 2z + 8 = 0
jr + 8y + 2z + 10 = O
H allar los vértices del tetraedro cuyas caras son los
planos dados.
V .2 1 . Estudiar, en función de los valores del parámetro
a € R , la posición relativa de las rectas:
2jr v + 2 z- 2
úr + 3 i -"1
2 x - y = a + 1
a y = 2 z - 2
V .2 2 . En el espacio afín £3 y usando coordenadas carte­
sianas xyz se consideran las siguientes rectas r y s
(donde úr y son dados):
JC + y-3z + 2 = 0
j c - y - z + 4 = 0
!
x = 2 + aA
y = \ - \ - p Á A e R
z = 2A
Se pide: I ) valores á t a y p para los que r y j se
cortan; 2) valores de a y 0 para los que r y s son
paralelas; 3) para a = 3 y /S = 1, hallar el plano
paralelo a r y que pasa por s.
V .2 3 . En el espacio afín £3 se consideran las dos rectas
r y s siguientes:
r : X = P + Á t l ( A e R )
y
s:X = Q + fi€ (^ t e R )
Suponiendo que r y .v se cruzan, h allar el lugar
geométrico de los puntos medios de lodos los seg­
mentos que unen un punto de r con un punto de s.

443. 438
ÁLGEBRA LINEAL
V.24. Estudiar, en función del parámetro a e R, la posi­
ción relativa de la recta r y el plano tt siguientes o
j c - y ~ z + l=0
4jc + ay = 1
7r:(a+ !)üi-f3y + 2z = 3
V.25. Estudiar, según los valores del parámetro a e R, la
posición relativa de los tres planos siguientes:
oyr+ y + 1
jc + aV + 2 = «
OLX+ y + a^z=a^
V.26. Estudiar, según los valores de los parámetros a y
p, la posición relativa de los tres planos siguientes:
TT, : aj: +
TTj : ax +
y + 2z = 0 Í
P y ^ 2 z ^ \ ]
TTj: jc + (/3- l)y + z = Oj
V.27. En el espacio euclideo £3 y usando coordenadas
rectangulares xyz se consideran las rectas r y s
siguientes:
jc + z = 1
ojr + y + z =O
’2a.r + y + z = 1
j: + y + z + 2 = 0
1. Hallar a de manera que r y 5 sean perpendi­
culares.
2. Para o = 2, hallar la proyección ortogonal
de r sobre el segundo de los planos que
defmen a s.
3. Hallar el ángulo que forman la anterior
proyección y s,
V.28. Sean r = P + y{ü) y j + T(iJ) dos rectas, que
pasan por un mismo punto P, del espacio euclideo
Ey Se pide:
1. Las bisectrices del ángulo que forman r y s,
2. El lugar geométrico de los puntos X de £3 que
equidistan de r y 5.
V.29. En el espacio euclideo Ey y usando coordena­
das rectangulares Oxyz se considera el plano
7t: í u + 6y + rz + í/ = Ò. Hallar la ecuación del lu­
gar geométrico que engendran las rectas que pasan
por el origen O y forman un ángulo 0 con el
plano TT.
V.30. En el espacio euclideo £ j y utilizando coordenadas
rectangulares se consideran tres puntos no
alineados i4(a,. <*2» «3)· ^2· ^3) V Cj,
distintos de O; sea tt un plano que se mueve pa­
ralelamente al ABC y sean A'B*C los pumos de
intersección de t t con las rectas OA, OB y OC.
respecdvam ente. Por A \ B* y C ' se trazan planos
perpendiculares á O A, OB y OC, respectivamente.
Hallar el lugar geom étrico descrito por el punto de
intersección de estos tres planos.
V .3L En el espacio euclídeo £3 y usando coordenadas
rectangulares xyz se consideran las rectas:
X = ÛZ + h
y = bz-^k
Hallar la distancia entre ellas.
V.32. En el espacio euclídeo £3 y usando coordenadas
rectangulares Oxyz se considera un triángulo ABC
variable tal que sus vértices A, B y C se desplazan
por los ejes Ox, Oy y Oz de manera que su área
permanece constante e igual a 5. Se pide:
1. Lugar geom étrico de la proyección ortogonal
del origen O sobre el plano ABC.
2. Lugar geom étrico descrito por el baricentro del
triángulo ABC.
3. Lugar geom étrico descrito por el ortocentro
del triángulo ABC.
V J 3 . En el espacio euclídeo se consideran los planos de
ecuaciones euclídeas t t : a · P Z = O y r : 6 · 0.
Hallai* la recta de tt que pasa por P y es línea de
máxim a pendiente sobre el plano r (se suponen ir
y r no paralelos).
V.34. En el espacio euclídeo £3 se consideran las rectas
r = P + ‘V‘(í7) y 5 = G + T (y ), que se cruzan. Se
considera una recta variable que corta a las r y 5
y es tal que forma con ellas ángulos iguales. Hallar
el lugar geom étrico descrito por el punto medio de
la anterior recta variable.
V.35. Sea O ABC un tetraedro del espacio euclídeo Ey Si
dos pares de aristas opuestas son perpendiculares,
pruébese que el tercer par tam bién está formado
por aristas perpendiculares.
V.36. La «esfera» de un reloj de torre está situada en un
plano TT de manera que el extrem o del minutero
alcanza su posición más alta a las horas exactas.
Sabiendo que dicha posición más alta es la del
punto P(5/3, 7/3, 5/3) y que el centro de la esfera
del reloj está situado en el punto Q (l, 2, 1) (res·

444. ^ g , g c i o s Y p r o b l e m a s 439
pccto de una referencia cartesiana rectangular
Oxyz\ el eje Oz vertical y hacia arriba) se pide:
1. Ecuación del plano tt.
2. Coordenadas del extrem o del minutero a las
0^15·".
3. Para un observador situado en el punto
/?(4. 1 » 0 ), ¿cuál es el ángulo aparente que
forman las posiciones del m inutero a las 0^* y
a las Cy’ lS"·?
4. Coordenadas del extrem o del minutero a las
5. Ecuaciones (no param élricas) de la circunfe­
rencia descrita por el extrem o del minutero en
el transcurso de una hora.
VJ7. Si Pff P2 y ^3 puntos alineados del es­
pacio afín E y se llam a razón simple de P ,, P2, P^
al número r, que se denota poniendo r = (0,02^3).
para el que PiPy = r P ,? ,· Se pide:
1, Si P3 es el punto m edio de los P , y P j, hallar
las razones simples
( P , P , P3), (P,P,P2), iP2P^P,\
iP^PiPi) y iP2P ^Pι)
2. Si r = ( P ,P2P3) , h allar el baricentro de los
puntos P j y Py afectados de los coeficientes
r y -1.
VJ8. En el espacio a fín £ , se consideran dos recias r,
y T2 no paralelas. H a lla r el lugar geoméüico des­
crito por los puntos medios de todos los segmentos
que unen un punto de r , con otro de T2.
V 3 9 . Dadas dos rectas r, y r2 que se cortan en un pun­
ió P. r, y Tj del espacio afín euclídeo £3, se lla ­
man bisectrices de r, y Tj a las rectas que son
coplanarias con ellas, pasan por P y forman án­
gulos iguales con r, y Tj. H allar las bisectrices de
n y '•2·
V .4 0 . Sean P, Q y R tres puntos del espacio afín euclídeo
Pruébese que í/(P , Q) = í/(P , R) + d{R, Q) si y
sólo si el punto R pertenece al segmento de extre­
mos P y Q.
V .4 1 . En el espacio afín euclídeo £3 se dan cuatro puntos
fijos A, B , C y D. H allar el lugar geométrico des­
crito por los pumos X e £ tales que
jjXA + 3 ^ 1 = | | x r + 3 ^ 1
V .4 2 . En el espacio afín euclídeo £3 se considera una
esfera Sde radio p y un pumo P situad o a distancia
d del centro C de S. Por P se ir a /a una recta
variable que corta a 5 en X , y X j. Si IP X ] y [P X J
denotan las distancias orientadas de P a X , y X j
(distancias con igual o distinto signo según que X ,
y X j estén o igual o a distinto lado de P ). pruébese
que [P X i][P X2Í = ( f ~ (constante que se llama
potencia de P respecto de S).
V .4 3 . En el espacio afín euclídeo £3 se consideran dos
esferas 5 , y H a lla r el lugar geométrico de los
puntos que tienen la misma potencia (véa.se el ejer­
cicio anterior) respecto de ambas esferas. Este lu­
gar es un plano, que se llama plano radical de las
esferas dadas.

445. 440
Al g e b r a u n e a l
S O L U C I O N K S
V . I . La recia (X = P, + A P .P j) ha de cortar a r
para 0 < \ < \ \
signo {aa^ + bp^ + c ) ^ signo (a a2 + b/3i + c)
V .2 . Tómese la referencia cartesiana que tiene su origen
en O, que tiene por ejes a las rectas OAA' y OBB'
y cuyos vectores son tales que C tiene coordenadas
( 1 ,1 ) ; A{a, 0 ), A \ a \ 0 ). 5 (0 , b \ /?'(0. b% C {h , h).
V .3 . Tómese la referencia (A ,; A ¡A ^ A^A¡). Si las coor­
denadas /-ésimas de ü-es puntos p / Q y R son
q¡ y r,., entonces {PQR) = { r ¡ - p ¡ ) . Sean
Bjia, 0) y B^iO, b), con lo que
B ^ l i a b - a ) / { b - a \ {ba - b)/(a - b)\
a { \ - b )
{B^AiA^ —
( ^ 2 ^ 3 ^ , ) =
{B,A,A^) =
V .4 . Tómese la referencia (i4,; Λ , Λ ι , Á ¡ Á ^ ; en ella
β , ( α , 1 - a h B^iO, b) y By{a, 0),
b ( \ - a )
b
b- I
f l - 1
(β,Λ2Λ3)(Β2/^3Λ,)(Β3Λ,Λ2) =
ab{a - I )
d - a ) ( l - ¿ 7 ) f l '
■ H
Las rectasx + y ¡b = x!a + y = \ y (a - \\x = ay
se cortan en un punto si / / = -1.
V .5 . Sean r ,, Tj, Tj y los lados; tómese referencia
cartesiana de los ejes r, y T2 y en la que las coor­
denadas de r^nr^ y de r^Or^ son (U 0 ) y (O, 1);
sean (a, 0 ) y (O, b) las coordenadas de r, O T4 y de
T iO r j. Los puntos medios son (1 /2 , 1/2), (fl/2 , b/2)
y l{ah - a)l{2ab - 2), (ab - b)/{2ab ~ 2)], que es­
tán alineados.
V .6. El punto medio de AC es c\ B-l· ( 3 /2 ) ¿ S o sea,
(4 , 5); luego C (15, 7).
V .7 . Tómense a r y j? como ejes y a como punto
unidad, 5 (1 . 1) y A (2 ,2 ). Sea P (a , 0 ) con a e IR;
CIO, a / ( a - 1)J,
AP:2x + ( a - 2 ) y ^ 2 a Q M iy - x ^ a /(a - \)
Elim inando a entre estas dos ecuaciones, resulta
(v - 2x){y - Jt) = O, que son dos rectas; la y - jt - o
es la OA.
V .8. Tómese referencia rectangular en la que A(a, 0),
B ( a \ 0 ) y C (0 , β ) \ las alturas se corlan en el punto
(O, - α α · / β ) ^
V .9 .
V .IO .
V . l l .
V .1 2 .
Ortocentro (intersección de las alturas) ( I , 2); el
baricenU*o (intersección de las medianas) (4/3, 2);
el circuncentro (intersección de las mediaüiccij
(3 /2 , 2).
3jc + 4>^ + 7 = O, 3jc -f 4y - 3 = 0,
4jc — 3> + 16 = 0, 4jt — 3)^ + 6 = 0.
Aia, 2a), B(b, -2b)\
x = \ia-\-b), y-lia-by,
9^\Aabl
Elim inando ay b enlre las tres últimas ecuaciones:
4jc^ - / = ± 4 (dos hipérbolas).
s e n ( d - a ) , s e n (6 > -/3 ) ,
, t = f l +
--------------::— x' + ----------------— y '
sen Θ
sen a
sen Θ
sen Θ sen Θ
V .1 3 . 1. b ^ > a ,
2. y = x (paráb ola).
3. La pendiente es m = ( - l / 2 ) a y la perpendicu­
laridad equivale a m ,m2= —1, o sea,
= — 1/4; de la ecuación de a sale a^a^-x,
luego el lugar: jc = - 1 / 4 .
V .1 4 . Tómense por ejes (rectangulares) Ox y Oy al la­
do B C y a su altura; >4(0, fl), B{b, 0 ) y C {-h , 0);
0 ( a , 0 ), a G R; PQ : y = m ( jc - a ) , m e K; ¿7‘m + fl=0;
la perpendicular b h - a ia y + b^) = O, que es un
haz, luego pasan por un punto.
V .1 5 . Sea P el punto de intersección de ojc + + c = O
y ax -\- fiy = Q; sea Q el de intersección de
a x -I- Py -f y = O con a r + M = 0 . El área es
4 \\O PaO ^ \ , donde O es el origen, que vale
4 | r y | : | f l / 3 - / ? a | .
V .1 6 . Tom ando por ejes rectangulares (O a t) a las bisec­
trices de r y 5, éstas tendrán ecuaciones y -t m x
im e U fijo ). La suma de las distancias de v)
a r y 5 vale
>/l +
l.v — fmvl + I y + mx|

446. 50UJCIONES 441
igualándolo a k se obtienen los cuatro lados del
rectángulo de vértices:
f c V í Tm ‘
2m
.0
V.lt '· y ~ o ~ - a ) s e r á t a n g e n t e si d i s t a r d e O ;
m H ( a - af 2{a - a)0 - b)m +
+ ( / 3 - b ) * - f ^ = 0
2. S e a n y P j las i n t e r s e c c i o n e s d e 0 0 ' c o n las
t a n g e n t e s e x t e r i o r e s e interiores;
« P i Ó T l l = ird)lir* - r) y H P ^ O T H = (rd)Kr^ -f r)
S e a n ±6^ y ±6^^ l o s á n g u l o s d e 0 0 * c o n las
t a n g e n t e s e x t e r i o r e s e interiores;
s e n = (r' - r)/d , s e n '’)/^
L a s l a n g e n l e s s o n :
f
' . x = a -
cxt. : ^
y = ^ -
r ' - r
r J
r ' - r
rd
7+7
m t.:^
rt/
7 T 7
e o s cp “ A e o s (9 ± ^j)
s e n (p + A s e n ±
e o s ^ — A e o s ( ^ ± O2)
s e n ^ + A s e n (<p ± dj)
V.18. \, Si X = C + Q X ', cs X ' = Q '^ X - Q " 'C ; x ' =
= 2x + 2y ~ y = - 9 x - 6y + 7z - 5, z' =
= - X - y + z.
2. Resolviendo X = C + Q X se obtiene un solo
punto X ( L — l» l ) ·
l . Es la intersección de los planos que pasan por
P y r y por P y 5;
y. z) = ( - L L 2 ) + A ( l , 2 , 3)
2. Intersección del plano que pasa por P y r y del
plano paralelo a tt por P;
ix. y, z) = (-l. U2)+A(0, K l)
V.20. ( -2, -1, 0) , (O, -1, - l ) . (O, - 3 / 2 , 1 /2 ) y
( - 2 / 3 , 2 /3 , - 4 / 3 ) .
V.21. Si a = -2 , las rectas son paralelas y distínUs; si
úf = - 7 , las r e c t a s s e c o r t a n e n u n p u n t o ; si a # — 2,
- 7 , las r e c t a s s e c r u z a n .
V . 2 2 . 1. a c u a l q u i e r a , /3 = 2.
2. a = 4yi3 = 2.
3. jc-y -z= l.
V . 2 3 . E l p u n t o m e d i o d e P Am y Q + e s
0 - ( A / 2 ) ó + ( / i / 2 ) / ;
d o n d e 0 = P + {\I1)PQ e s el p u n t o m e d i o d e las
P y Q . E l l u g a r e s el p l a n o p a r a l e l o a r y a 5 p o r O .
V . 2 4 . Si a = - 4 , e s p a r a l e l a a t t y n o e s t á i n c l u i d a e n
él; si a = l, r e s t á i n c l u i d a e n t t; si a # - 4 , 1,
e n t o n c e s r c o r t a a t t ( e n u n p u n t o ) .
V . 2 5 . S i a = l. los tres p l a n o s c o i n c i d e n ; si 1, los
tres p l a n o s s e c o r t a n e n u n p u n t o ( f o r m a n triedro),
V . 2 6 . S i a ^ 2 y ^ 1, la i n t e r s e c c i ó n e s u n p u n t o (for­
m a n triedro); si a 2 y /3 = l, la i n t e r s e c c i ó n e s
v a c í a y y ^2 s o n paralelos; si cr = 2 y = 3 /2,
la i n t e r s e c c i ó n e s u n a recui y tt, y tTj c o i n c i d e n ;
si a = 2 y j3 = l , la i n t e r s e c c i ó n e s v a c í a y ir, y
TTj s o n paralelos; si a = 2 y = 2, la i n t e r s e c c i ó n
e s v a c í a y y s o n paralelos; si a = 2 y ^
= ^3/2, l, 2. la i n t e r s e c c i ó n e s v a c í a y los p l a n o s
f o r m a n u n p r i s m a .
V .2 7 . 1. (1 , 1 - a , -1) y (O, 2 a - 1, 1 - 2 a ) han de
ser ortogonales; a = 2 y a = 1/2.
2 . L a intersección de jc + y + z + 2 = 0 con e l
plano del haz de r p erp en d icu lar al a n te rio r,
que da:
■jc + y + z + 2 = 0
y - z + 2 = O
3. Son perpendiculares, pues lo eran rys,
V .2 8 . Sean m, y 0, los vectores unitarios de las d irec-
ciónes de û y ü.
1 , P + y ( m , + íí^) y P 4- r ( i í , - iT,).
2. d(X, rf = 11P711' - ( P T - 14,)^
J ( X , S) = l l ^ i p - ( ^ · C , ) ^
M, = ±P)T· 0,;
el lugar lo forman los dos planos
(ú, + ú , ) - ^ = 0 y (ú, - e,) · râ*= O

447. 442
Á LG E B R A LINEAL
V .2 9 . (ax + by + czf = (a^ + b' + + / + r ) cos^ 0.
\ J 0 . Los planos son (para A e R; las sumas para / = 1.
2. 3):
X a ,t, = M a ^ , l b , x , ^ X l b · y 2c^ , = AXc?
eliminando Á se obtiene el lugar:
la^,_lb¡x,_lc^x,
l a } I b f l e í
(una recia)
V J l . Un punto y un vector de r son P{h, k, 0) y
m ( íi , b , I) ; un punto y un vector de r ' son
P*{h\ k\ 0 ) y ü\a\ b\ I) . La distancia vale:
| ^ ( Ú A « ' ) | _
llfiAü'ii
|(a - a ')(k - k ') - { b - h')(h - / i ') |
\/(a — a')^ + (b — h')^ + (ah' — a 'h f
V J 2 . A(a, 0. 0). B ( 0 ,J , 0) y C (0, 0. c); el área del
triángulo vale A <4? ||/4, luego
(ab)'+ (bcf + (ca)^ = 4S [1]
I . Se eliminan a, b y c entre ( 1 1,
x y z
- + - + - = 1 y a x - b v = cz
a b e
y se tiene:
(jt + v^ + z^y*(-^ + — + - i - ) = 4s"
\{xy) iyzf (zx)y
2. Se elim ina a, b y c entre [ I j y j: = a /3 , y = b/3,
z - c / 3 y se tiene:
3. El ortocentro es la proyección del origen sobre
ABC, luego el lugar es el mismo que en 1.
V J 3 . La línea de máxima pendiente de tt sobre t es la
recta de n que es ortogonal a la intersección ttO t ,
luego ella es:
P + y i á A ( á A b ) ¡
V .3 4 . Sean i7„ y Oq vectores unitarios de las direcciones
de íi y ü; sea 0 el ángulo de r y .v. Si X g r e K e i.
P ^ - Á ü + f i C
debe ser tal que
x T ■ a„= ±xT ■
luego Á ± f i ~ 4 / / , siendo
4 H = [ P Q '· (a„ + 0o)J/( I + eos (f)
se puede poner A = 2 / / + 2 / y = ± 2 H + 2/ con
/ e K . E l punto medio buscado es:
M = P + A ^ - f Í X T =
= 0 + A/(«-,±fJ„)+ /(«„:;: tJ„)
donde O cs el punto m edio de los P y Q ,E \ lugar
es las dos rectas que pasan por
iV/o*0 + //(w„±¿yo)
y tiene la dirección del vector Úq ^
V .3 5 . Se supone OA · B ^ j = O y O fi · C 4 = 0; hay que
probar que O C · AB*= 0;
0 = 0 4 * · B C = O A ’ ( O C - O B )
y
o = Oi? . C4 = OB · (OT- OC)
restando éstas se obtiene:
o = oC {oS -oX) = oCáS
V J6. Longitud del minutero = \\c\\ = | | ^ | | = I.
1. La dirección de ü es la de máxima pendiente
de TT. luego es perpendicular a >i> = (4, 2, -5 );
es 7r:4A:'f 2 v - 5 = 3.
2. E l minutero ocupa la posición del vector «
unitario de í7 A m>; el extremo es:
( I - I / V 5 , 2 + 2/v/5. I)
3. Es el ángulo de ü) con V(^, ú) y vale
are eos (1/2·^^) = 7 3 ,22'

448. s o l u c io n e s
443
4. e = (ira)/'30; 0 +- (eos fl)íT + (sen <?)ü;
Jt = 1 + 1 eos - -L sen
3 ^/5
y = 2 + ^ eos 6> + - ^ sen
3 >/5
Z = 1 + - eos
5. ( í - l ) * + (.V -2)' + ( z -1)2= I,
4.t + 2y — Sz = 3
VJ7. 1. 1/2, 2. 1 /2 ,-1 .2 .
2. />,.
VJ8. r,:X, = /', + A ú , . r , : X j = /», + Ad,;
X = (/>+ í/ 2 P 0 - ( A / 2 )ú + m<J
Plano paralelo a r, y a que pasa por cl pumo
medio óc P y Q.
VJ9. Si V (m,) y V íú i) »«n las direcciones de r, y r^. las
bisecthccs son
v(_£l. Jí-Í
Vil«,II iwi;
V.40. Si /? 6 (/^. Q), póngase P/?’ = con O < r < I . Si
se veriiìca la igualckd. es ||m-i-í^jl * l|w|| + Ijí^jj.
con ú = P/?* y ÍJ «= /?(T, o sea, M · íJ = 0.
V .4 1. XA'^ 4XÁ^ y J?T + 3 X íT » 4 X T : don^>4 '
y C' son los dos pumos A ' f í ^ (\I4)BA y
C = / ; -t- (l/4 )O C . El lugar es cl plano ortogonal
a A'C^ por su punió medio.
V.42. PX]~ Xfi (ü unitario); ||C7^-f PX7ll * p\
+ 2 \C F · ü + id' - p') = 0 ;
|A>X,llPX,l = A,Aj«J--p^
V.43. Sean C,, Cj. p, y pj 1^’^ ccnlms y los radios;
I I O T - P Ì - I C T - P J
Poniendo
íT'j?*» A C 7 7 + ú y cp r« = (A - a
con a i C ^ C l es
| | c ; x > - A V f ||/7||^
y
\\c :r\\^ * {A -\fé -\· i w
El lugar es e^^plano ortogonal a CiC¡ por el punto
C - C, + AC,C^* donde
A * (p5 “ + <P)li2d^)

449. 1 1. Cònicfls: esttuítos parttcuíary generai,
1 2. Cuflííricas: C5tiuíios porticuínry gaicraí.
Ejcjticioí y pro6ícmfl5.
A
q u í , e í autor cree que fia de confesar que fia tenido dudas, y no pocas, acerca de cómo
encauzar esta úítim a parte de ía obra, %íautor, dando tumbos y vaivenes, ííegó incíuso a
pensar que debía omitiría, cosa que, a poco, desecfió de sí, como e í que fu ye deí diabío,
*EÍautor fui estimado, a ía postre, que eíte?(to quedaría asaz incompleto si, en éí, no se
fiaBíase de los fugares geométricos de segundo grado u orden, que de amóos modos se dice. A
juicio deí autor, die fias curvas y superficies cuadráticas fian de interesar a mucfios de ios que, por
gusto o por necesidad, están ocupados en esto de iniciarse en e í conocimiento deí á^eóra y de ía
geometría.
t í autor se Barrunta que e í interés de ios Hipotéticos lectores por las cónicas y fas cuádricas, que así
se Oama a las ya referidas curvas y superficies, no va demasiado íejos y, consecuente con eíío, no se
Ña adentrado en e?(ceso en ía presentación que Hace de aquéíías.
t í autor piensa que su e^o sició n , soBre e í asunto de ías cónicas y fas cuádricas, no es desatinada,
(fue guarda un razonaBíe equiíiSno entre situaciones e ^ m a s . t í autor desea que así sea, confía en
no naher errado e í tiro, pero caSe ía posiBiíidad de fiaber fwc/io un traje que a unos íes quede corto y
(¡ue para otros sea íargo, "Eí autor pide a i cieío no fmBerse equivocado.

450. CAPÍTULO
Cónicas: estudios
particular y general
S e d e d i c a n los ú l t i m o s c a p í t u l o s ( éste y el s i g ü i e n l e ) al e s t u d i o d e las «varie­
d a d e s c u a d r á t i c a s » e n d o s y tres d i m e n s i o n e s , e s t o es, a a n a l i z a r las cónicas y
las c u á d r i c a s ( c u r v a s y s u p e r f i c i e s ) q u e a d m i t e n e c u a c i ó n d e s e g u n d o grado.
E n p r i m e r lugar, s e c o n s i d e r a , l ó g i c a m e n t e , el c a s o d e d i m e n s i ó n dos: las
c ó n i c a s ; q u e d a p a r a el p r ó x i m o c a p í t u l o el e s t u d i o d e las c u á d r i c a s .
S e e m p i e z a c o n el l l a m a d o « e s t u d i o p a r t i c u l a r » d e las c ó n i c a s , q u e presenta
a é s t a s a partir d e s u s d e f i n i c i o n e s c o m o l u g a r e s g e o m é t r i c o s y e m p i e z a por
o b t e n e r s u s e c u a c i o n e s r e d u c i d a s . D e s p u é s s e a b o r d a el « e s t u d i o general», en
el q u e las c ó n i c a s a p a r e c e n c o m o c u r v a s q u e a d m i t e n e c u a c i ó n d e s e g u n d o
g r a d o ; p a r t i e n d o d e u n a tal e c u a c i ó n ( e c u a c i ó n g e n e r a l ) , s e e s t u d i a n dichas
c u r v a s d e s e g u n d o g r a d o , a c a b a n d o p o r d e s c u b r i r q u e , s a l v o c a s o s patológicos,
s o n las c ó n i c a s q u e c o n o c i m o s e n el « e s t u d i o p a r t i c u l a n > .
a ESTUDIO PARTICULAR DE LAS CONICAS
E m p e z a r e m o s p r e s e n t a n d o a las e lipses, a las h i p é r b o l a s y a las par á b o l a s , por
s e p a r a d o , d e f i n i é n d o l a s c o m o l u g a r e s g e o m é t r i c o s d e l p l a n o e u c l í d e o O b ­
t e n d r e m o s s u s « e c u a c i o n e s r e d u c i d a s » , e s de c i r , e c u a c i o n e s r e s p e c t o d e unas
r e f e r e n c i a s ad hoc q u e las h a c e n e s p e c i a l m e n t e s encillas.
E s t u d i a r e m o s s u s p r o p i e d a d e s m á s s o b r e s a l i e n t e s , s e ñ a l a n d o s u s parecidos
y s u s di f e r e n c i a s . T e r m i n a r e m o s d a n d o u n t r a t a m i e n t o u n i f i c a d o a los tres tipos
d e c ó n i c a s « o s e c c i o n e s c ó n i c a s , v a l i é n d o n o s d e s u s « e c u a c i o n e s focales».
[6

451. 5 K A K I I C U L A H Y G E N E R A L 447
11.1. LAS TRES CÓNICAS
LA ELIPSE; ECUACIÓN REDUCIDA
[2 1 9 ]
E n el p l a n o e u c l í d e o s e l l a m a elipse, q u e t i e n e p o r focos a l o s p u n t o s
F y F' ( s i t u a d o s a d i s t a n c i a FF* = 2 c ) y c u y a constante e s ^ e R ( s i e n d o
a > c), al l u g a r g e o m é t r i c o d e l os p u n t o s X e E j ~
S e l l a m a n ejes d e la elipse, p o r s e r s u s e j e s d e s i m e t r í a ( o r t o g o n a l ) , a la
r e c t a FF* ( e j e f o c a l o m a y o r ) y a s u m e d i a t r i z (e j e s e c u n d a r i o o m e n o r ) ;
s u p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n , O , e s s u centro d e s i m e t r í a . L o s p u n t o s d e la
e l i p s e q u e e s t á n e n s u s e j e s s e l l a m a n vértices; h a y d o s . A y e n el e j e
m a y o r y o t r o s d o s , B y B\ en e j e m e n o r . S e v e r i f i c a q u e
OA = OA· =üyFB = F B = FB’ = FB* =^a,OB = OB* = h
s i e n d o b > 0 lal q u e s e v e r i f i c a la r e l a c i ó n :
y b se l l a m a n l o n g i t u d i n a l e s d e l o s
s e m i e j e s ; c e s la s e m i d i s t a n c i a f o c a l
a
\ s (
l o s \
a l j
L a e l i p s e r e f e r i d a a s u s e j e s m a y o r (Ojc) y m e n o r (Oy) a d m i t e p o r
e c u a c i ó n a:
= 1 ( e c u a c i ó n r e d u c i d a ) o
jc = ü e o s u
y = b s e n 6
L a e l i p s e e s t á s i t u a d a e n l r e las c i r c u n f e r e n c i a s d e s u m i s m o c e n t r o O q u e
t i e n e n r a d i o s a y b.
a V
0
^ y j
b
F ig u r a 1 1 .1 .

452. D e s u d e f i n i c i ó n s e d e s p r e n d e , o b v i a m e n t e , q u e la e l i p s e e s s i m é t r i c a respecto
d e la r e c t a FF' y t a m b i é n r e s p e c t o d e s u m e d i a t r i z . A p o y á n d o n o s en esu
s i m e t r í a y c o m o A, A', B y B' s o n p u n t o s d e la e l i p s e , s e l l e g a f á c i l m e n t e a que;
a = i(ÁF + ÁF) = 'i(ÁF + FF + ÁF) = 'i{ÁF + FF + FT) =
k Á F = d Á = Ó Á ^
DEMOSTRACION
- V
a = ^(BF + bF) = i(2BF) = BF = BF' = B'F = B'F'
[OBF t r i á n g u l o r e c t á n g u l o ] BF^ = OB^ + OF^ = > a^ = b^ + c^
O b t e n g a m o s la e c u a c i ó n d e la e l i £ s e . C o m o l a s c o o r d e n a d a s d e los focos
s o n F ( c , 0 ) y F'(.-c, 0 ), la c o n d i c i ó n X F + XF' = 2a, p a r a q u e u n p u n t o X(x, y)
s e a d e la elipse, s e p u e d e p o n e r :
V ( J t - c ) ^ + / + + + f = 2a
E l e v a n d o al c u a d r a d o (l o q u e n o i n t r o d u c e s o l u c i o n e s ex t r a ñ a s , pues sus
d o s m i e m b r o s s o n s i e m p r e p o s i t i v o s ) s e o b t i e n e la e c u a c i ó n equivalente:
+ / + c^) + V ( J ^ + / + c ^ ) ^ - 4 c V = 2a^
P a s a n d o x^ + y^ + al s e g u n d o m i e m b r o y e l e v a n d o al c u a d r a d o se
obtiene*'*:
(a^ - c^)x^ + a V = a\a^ - c ^ ) o ^ ^ = 1
a^ b'
q u e e s la e c u a c i ó n b u s c a d a . F i n a l m e n t e , l o s p u n t o s d e la e l i p s e e s t á n situados
e n t r e las d o s c i r c u n f e r e n c i a s d e l e n u n c i a d o y a q u e p a r a e l l o s es:
E J E R C I C I O
C o n s i d é r e n s e d o s e j e s p e r p e n d i c u l a r e s Ox y Oy y las c i r c u n f e r e n c i a s d e centro
e n O y r a d i o s a y b, s i e n d o b<a. S e t r a z a u n a s e m i r r e c t a v a r i a b l e q u e parte
(·) Existiría la posibilidad de introducir soluciones extrañas si resultase que para alguno de
los (x, y) que verifican a la ecuación de la elipse fuese - (jc^ + + c^) < O, o sea, si fuese
j^-^y^>a^-¥b\ pero esto no ocurre ya que si es = I será:

453. OÚIflCAS.
e s t u d i o s p a r t i c u l a r y g e n e r a l 449
d e O, la c u a l c o r t a a las c i r c u n f e r e n c i a s e n los p u n i o s y P^\ p o r e s t o s p u n t o s
s e t r a z a n p e r p e n d i c u l a r e s a los e jes Ox y Oy, r e s p e c t i v a m e n t e , las c u a l e s s e
c o r t a n e n u n p u n t o P. H a l l a r el l u g a r g e o m é t r i c o q u e d e s c r i b e el p u n t o P.
RESOLUCIÓN
S i l l a m a m o s O al á n g u l o d e Ox c o n la s e m i r r e c t a v a r i a b l e , O ^ 6^ < Itt, las
c o o r d e n a d a s d e y P será n :
P „ ( a e o s 6, a s e n 0) , P¡f,b e o s O, h s e n 6) , P(a e o s O, h s e n 0)
L a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s de l l u g a r g e o m é t r i c o p e d i d o s o n . p u e s , x = a e o s 0,
y = h 0\ e l i m i n a n d o el p a r á m e t r o 6 s e o b t i e n e la e l i p s e
1
Ql LA HIPÉRBOLA; ECUACIÓN REDUCIDA
[220] E n el p l a n o e u c l í d e o s e l l a m a hipérbola, q u e t i e n e p o r focos a l o s
p u n t o s F y F' ( s i t u a d o s a d i s t a n c i a FF* = 2 c ) y c u y a constante e s 2a 6 R
( s i e n d o O < a < c), al lugiu· g e o m é t r i c o d e l os p u n t o s X e £2
| X F - X r | = 2í/.
S e llam í u i ejes d e la h i p é r b o l a , p o r s e r s u s e j e s d e s i m e t r í a ( o r t o g o n a l ) ,
a la r e c t a FF' (eje f o c a l o real) y a s u m e d i a t r i z (eje s e c u n d a r i o o
i m a g i n a r i o ) ; s u p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n , O , e s s u centro d e s i m e t r í a . E l e j e
real c o r t a a la h i p é r b o l a e n d o s p u n t o s . A y A\ q u e s e l l a m a n vértices;
s e ve r i f i c a q u e OA = OA* - a. E l e j e i m a g i n a r i o n o c o n a a la h i p é r b o l a ,
q u e t i e n e d o s « r a m a s » , u n a a c a d a l a d o d e d i c h o eje.
L a h i p é r b o l a , r e f e r i d a a s u s e j e s real (Ojc) e i m a g i n a r i o ( O y ) , a d m i t e p o r
e c u a c i ó n a:
x^
- - T = l ( d o n d e a^'^b^- c^) ( e c u a c i ó n r e d u c i d a ) o
a^ b^
' ±a C h 0
• b S h ( ^
(·)
p a r a ^ e R ( e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s )
(el s i g n o ± d e p e n d e d e la r a m a ) . L o s p u n t o s fí(0, b) y fí'(0, - ¿ ? ) s e
l l a m a n « e x t r e m o s d e l e j e i m a g i n a r i o » .
S i e s a = b,sc d i c e q u e la h i p é r b o l a e s equilátera.
( ♦ ) El Chjr (coseno hiperbólico de x) y el Shx (seno hípcrl>óIico de x) se definen
mediante
C h x * J ( ír ' + 0 y S h .t = l ( < ^ - 0 (nótese que Ch‘ . t - S h 'X = 1)

454. Figura 1J.3.
DEMOSTRACIÓN
L a s i m e t r í a d e la h i p é r b o l a r e s p e c t o d e s u s d o s e j e s s e d e s p r e n d e , obviamente,
d e la d e f i n i c i ó n . R e c u r r i e n d o a d i c h a s i m e t r í a y c o m o A y A ' s o n d e la hipér­
b o l a s e o b t i e n e q u e :
a = {(W-AF) = \{ÁÁ^-^Ánr-ÁF) = {ÁA’ = OA = OÁ’
C o m o los p u n t o s d e l e j e s e c u n d a r i o e q u i d i s t a n d e F y F\ e n él n o hay
p u n t o s d e la h i p é r b o l a .
L a s c o o r d e n a d a s d e los f o c o s s o n F ( c , 0 ) y F'{— c, 0 ) y p o r ello u n punió
X(x, y) e s d e la h i p é r b o l a si y s ó l o si;
+ / - V u + cf + = 2a
E l e v a n d o al c u a d r a d o (lo q u e n o i n t r o d u c e s o l u c i o n e s e x trañas, pues sus
d o s m i e m b r o s s o n p o s i t i v o s ) s e o b t i e n e la e c u a c i ó n e q u i v a l e n t e :
(JC^ + y + c^) - V(.«^ + y + c ^ ) ^ - 4 c V = 2a^
D e j a n d o la raíz s o l a e n el s e g u n d o m i e m b r o y e l e v a n d o al c u a d r a d o se ob-
tiene
r>.
EJERCICIO
P r u é b e s e q u e e n el p l a n o e u c l í d e o la e l i p s e o la h i p é r b o l a q u e tiene sus focos
e n los p u n t o s F y F' y c u y a c o n s t a n t e e s 2a (piu*a la elipse, FF' < 2a; para la
h i p é r b o l a , FF' > 2a) e s el l u g a r g e o m é t r i c o d e l o s p u n t o s q u e equidistan del
f o c o F y d e la c i r c u n f e r e n c i a q u e t i e n e c e n t r o e n F' y r a d i o 2a, q u e se llama
circunferencia focal. N ó t e s e q u e F e s t á e n el int e r i o r o e n el exterior de la
c i r c u n f e r e n c i a f o c a l p a r a la e l i p s e o la h i p é r b o l a , r e s p e c t i v a m e n t e .
( ♦ ) Existiría la posibilidad de inu-oducír alguna solución extraña si resultase que para alpmo
de los ix, y) que verifican a la ecuación de la hipérbola fuese f*) > 0 . Esto no o
posible ya que como jt* = ( l + será:

455. DS P A R T IC U L A R Y G E N E R A L 451
RESOLUCION
L a d i s t a n c i a d e u n p u n t o X a la c i r c u n f e r e n c i a f o c a l d e c e n t r o s e n F ' . a la q u e
l l a m a r e m o s C\ e s d(X, C) = \2a - F*X\. P o r tanto, l o s p u n t o s q u e e q u i d i s t a n
d e F y C s o n l os X tales q u e \2a — F*X\ = F X , e s t o es, a q u e l l o s q u e c u m p l e n
F X ^ F X ^ 2 a o F X - F X - ^ ± 2 a [l]
C o n s i d e r e m o s p r i m e r o el c a s o d e s e r F F < 2a. L a s e g u n d a d e e s t a s r e l a c i o n e s
[IJ n o s e p u e d e veri f i c a r a h o r a p a r a n i n g ú n p u n t o X , y a q u e , c o m o FF* ^
> | F ' X - F X | ( e n el t r i á n g u l o F F ' X , u n l a d o e s m a y o r q u e la d i f e r e n c i a d e l o s
o t r o s d o s ) , s e r á | F ' X - F X | < 2 a p a r a t o d o X . E n e s t e c a s o , p u e s , el l u g a r
g e o m é t r i c o s e r e d u c e a los p u n t o s X tales q u e F X + F ' X = 2a, q u e e s la e l i p s e .
C u a n d o s e a FF* > 2a, la p r i m e r a d e las r e l a c i o n e s [1 ] n o s e p o d r á v e r i f i c a r
p a r a n i n g ú n X , y a q u e , c o m o F X + F*X ^ F F ' _ ( e n el t r i á n g u l o FF*X, u n l a d o
e s m e n o r q u e la s u m a d e los o t r o s d o s ) , s e r á F X -I- F*X > 2a p a r a t o d o X . P o r
ello, el l u g a r g e o m é t r i c o s e r e d u c e a l o s p u n t o s X p a r a l o s q u e s e v e r i f i c a
F X - F*X = ±2a, q u e e s la h i p é r b o l a .
□ ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA
[2211
E n el p l a n o e u c l í d e o £2 c o n s i d e r e m o s la h i p é r b o l a q u e a d m i t e p o r e c u a ­
c i ó n r e d u c i d a a:
± - yjr-a^
a
L a h i p é r b o l a t i e n e d o s r a m a s ( u n a p a r a jc > « y la o t r a p a r a x < a). P a r a
JC— ♦ ±00, e s t a s r a m a s « t i e n d e n a c o n f u n d i r s e » ^ ’^ c o n d o s r e ctas, q u e s e
l l a m a n asíntotas d e la h i p é r b o l a , y q u e s o n :
h
A s í n t o t a s d e la h i p é r b o l a : y - ± - x
a
L a s r e c t a s jc = ± a s o n ( p o r s i m e t r í a ) t a n g e n t e s a la h i p é r b o l a e n s u s
vértices. S e l l a m a rectángulo principal al q u e t i e n e p o r d i a g o n a l e s a las
a s í n t o t a s y d o s d e s u s l a d o s s o n las t a n g e n t e s e n l o s v é r t i c e s ; s u s l a d o s
m i d e n 2a y 2b y s u s d i a g o n a l e s 2c. S e d i c e q u e a y b s o n las l o n g i t u d e s
d e l s e m i e j e real y d e s e m i e j e i m a g i n a r i o ; c e s la s e m i d i s t a n c i a focal.
S e l l a m a hipérbola conjugado d e la d a d a a la q u e a d m i t e p o r e c u a c i ó n a:
( a m b a s t i e n e n los m i s m o s ejes, las m i s m a s a s í n t o t a s , el m i s m o r e c t á n g u l o
p r i n c i p a l ; el s e m i e j e real d e u n a e s el s e m i e j e i m a g i n a r i o d e la otra, y
r e c í p r o c a m e n t e ) .
( ♦ ) Para cada x se obtienen dos puntos (jr, ±y) de la hipérbola; la distancia de cada uno
de éstos a la correspondiente asíntota y =» (±h la)x tiende a cero cuando U| - ♦ 00.

456. Al g e b r a l i n e a i
COMPROBACION
C o n s i d e r e m o s la a s í n t o t a c o r r e s p o n d i e n t e ( e n la i n d e t e r m i n a c i ó n ±) al signo
+ ; igu a l s e h a c e c o n la otra. E n c o n c r e t o , p a r a x - » » , h e m o s d e v e r q u e la
d i s t a n c i a d(P, r) t i e n d e a c e r o , s i e n d o r la a s í n t o t a y P el s i g u i e n t e p u n t o de
la d e la h i p é r b o l a ;
i
a
h
r : , = - x
A s í o c u r r e , y a q u e
d{P, r) =
ba^b\yj^ -a^-x\ _
y¡a^ + yja^ \y/x^ — + x\
ba^ 1
+ b^ U l i V l - (a/xf + 11
q u e e v i d e n t e m e n t e t i e n d e a c e r o p a r a x —
N ó t e s e q u e los l a d o s y las d i a g o n a l e s d e l « r e c t á n g u l o p r i n c i p a l » m i d e n lo
q u e s e d i c e e n el e n u n c i a d o d e b i d o a q u e las p e n d i e n t e s d e las asíntotas son
±b/a.
E J E R C I C I O
H á l l e s e la i n t e r s e c c i ó n d e u n a h i p é r b o l a c o n u n a r e c t a p a r a l e l a a u n a d e las dos
a s í n t o t a s d e la h i p é r b o l a . C o m p r u é b e s e q u e d i c h a i n t e r s e c c i ó n c o n s t a d e u n solo

457. : Y G E N E R A L
453
p u n t o p r o p i o ; v é a s e q u e t a m b i é n t i e n e n e n c o m ú n u n « p u n t o d e l infinito». Si
la r e c t a t i e n d e a la asíntota, e n t o n c e s el p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n p r o p i o t i e n d e
t a m b i é n al infinito.
RESOLUCIÓN
R e c u r r i e n d o a la e c u a c i ó n r e d u c i d a d e la h i p é r b o l a , é s t a y la r e c t a d e l e n u n c i a d o
s e r á n :
P o r tanto, la i n t e r s e c c i ó n s e o b t i e n e d e
x= -a
2h
L a i n t e r s e c c i ó n s e r e d u c e , p u e s , a u n s o l o p u n t o p r o p i o ( h a y u n ú n i c o jc p a r a
c a d a h 0), s a l v o si la rec t a e s la a s í n t o t a (h = 0); si la r e c t a t i e n d e a la asíntota,
e n t o n c e s /i — ► O y el p u n t o p r o p i o t i e n d e a u n p u n t o d e l infinito.
S i la r e c t a n o h u b i e r a s i d o p a r a l e l a a la asíntota, el p r o b l e m a h a b r í a c o n ­
d u c i d o a u n a e c u a c i ó n d e s e g u n d o g r a d o e n x ( a h o r a n o s e a n u l a r í a el c o e f i ­
c i e n t e e n jc^, c o m o h a o c u r r i d o a n t e s ) y h a b r í a d o s s o l u c i o n e s p a r a jc, e s decir,
la i n t e r s e c c i ó n t e n d r í a d o s p u n t o s p r o p i o s . Si e s t a r e c t a ( c u a l q u i e r a ) t i e n d e a la
r e c t a d a d a ( p a r a l e l a a la asíntota), el c o e f i c i e n t e e n d e la a n t e r i o r e c u a c i ó n
t e n d e r í a a c e r o , l u e g o u n a d e s u s ra í c e s t e n d e r í a a infinito y p o r ello u n o d e
l o s d o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n t e n d e r í a a infinito, lo q u e n o s p e r m i t e d e c i r q u e
la p a r a l e l a a la a s í n t o t a tiene e n c o m ú n c o n la h i p é r b o l a u n p u n t o p r o p i o y el
o t r o e n el infinito. A la m i s m a c o n c l u s i ó n s e p u e d e llegar si s e utilizan
c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s (/, x, y)\ h a c i e n d o esto, la h i p é r b o l a y la r e c t a d a d a s
t i e n e n p o r e c u a c i o n e s a:

458. Á L G E B R A LINEAL
y a m b a s r e s u l t a n t e n e r e n c o m ú n el p u n t o (/, Xy y) = (O, a, ±h), q u e es del
infinito, p u e s tiene / = 0.
□ LA PARÁBOLA; ECUACION REDUCIDA
[212]
E n el p l a n o e u c l í d e o s e l l a m a parábola, q u e t i e n e p o r foco al p u n t o
F y p o r directriz a la r e c t a d ( s i t u a d a a d i s t a n c i a /? > O d e l f o c o ; a p se
le l l a m a parámetro), al l u g a r g e o m é t r i c o d e l os p u n t o s X e q u e e q u i ­
d i s t a n F y d.
S e l l a m a e j e d e la p a r á b o l a , p o r s e r s u eje d e s i m e t r í a ( o r t o g o n a l ) , a
la p e r p e n d i c u l a r p o r F a el e j e c o r t a a la p a r á b o l a e n u n p u n t o , O . q u e
s e l l a m a vértice. L a p a r á b o l a c a r e c e d e c e n t r o . L a p a r á b o l a e s u n a c u r v a
n o a c o t a d a , p e r o n o t i e n e asíntotas.
L a p a r á b o l a , r e f e r i d a a s u e j e (Ox) y a la t a n g e n t e e n el vé r t i c e {Oy\
a d m i t e p o r e c u a c i ó n a
/ = 2px ( e c u a c i ó n r e d u c i d a )
DEMOSTRACÌON
E l vér t i c e O e s t á e n el e j e y a d i s t a n c i a p / 2 d e F y t a m b i é n d e d. L a p e rpen­
d i c u l a r al e je p o r O es, p o r r a z ó n d e s i m e t r í a , la t a n g e n t e a la p a r á b o l a e n O,
E n los e j e s Ox y Oy, las c o o r d e n a d a s d e l f o c o s o n F(pl2, 0 ) y la e c u a c i ó n de

459. e s tu d io s p a r t i c u u r y g e n e r a l
455
la d i r e c t r i z ea d:x= -p¡2. U n p u n t o X(x, y) es, p u e s , d e la p a r á b o l a si y s ó l o
si d(X, F) y d{X, d) s o n iguales, e s decir:
y/ix-pIlf + Z = |jr + p /2|o s e a
' i
+ / =
q u e s i m p l í t i c a n d o q u e d a = 2px, c o m o h a b í a q u e c o m p r o b a r .
E J E R C I C I O
E n el p l a n o e u c l í d e o y r e s p e c t o d e e jes r e c t a n g u l a r e s Oxy, s e c o n s i d e r a n la
e l i p s e E y la h i p é r b o l a H q u e t i e n e n a Ox c o m o e j e focal, al o r i g e n O c o m o
vértice, p r e s e n t a n d o ( e n él) la c o n c a v i d a d h a c i a el s e m i e j e Ox posi t i v o , y c u y o s
s e m i e j e s s o n a y b, c o n a>b. O b t e n e r s u s e c u a c i o n e s , e n l os e j e s Oxy^ e n
f u n c i ó n d e /? = b'ja y át q- b^jcf^ {ecuación trinomia).
S i s e v a r í a n a y b dt m a n e r a q u e el f o c o c o r r e s p o n d i e n t e al v é r t i c e O
p e r m a n e z c a fijo, e n F (s, 0), y el c e n t r o t i e n d a a infinito ( o sea, a — ► » ) , hall a r
las c u r v a s a las q u e « t i e n d e n » las a n t e r i o r e s e l i p s e e h i p é r b o l a .
Figura 11.7.
RESOLUCIÓN
S i e n las e c u a c i o n e s r e d u c i d a s d e F y // ( v é a n s e [ 2 1 9 ] y [ 2 2 0 ] ) s e t r a s l a d a el
o r i g e n al v é r t i c e i z q u i e r d o ( s u s t i t u y e n d o jc p o r - a e n la e l i p s e y p o r jc + fl
e n la h i p é r b o l a ) , s e o b t i e n e :
E : = 2 ^ jc - ~ o s e a £ : y^ = 2px - qx^

460. Al g e b r a l i n e a l
H· y^ = 2 — x + o s e a H: = 2px +
a or
C o m o s = fl - c e n la e l i p s e y ì = c - a e n la h i p é r b o l a , será:
• P a r a E\
2 5 -
a a
p _2s _s^
a a
P a r a H:
{a + sf-a^ o
: _
-------------------------------------------------------= 2.S H --------
a
p 2s s
q= -= —+—
a a
P o r tanto, al h a c e r q u e a t i e n d a a infinito, p y q t i e n d e n ( t a n t o p a r a E c o r n o
p a r a H) h a c i a p^ = 2s y ^ „ = 0. E n c o n s e c u e n c i a , la e l i p s e y la hi p é r b o l a
« t i e n d e n » , a m b a s , a la p a r á b o l a d e e c u a c i ó n = 4 ì x
11.2. PRIMERAS PROPIEDADES DE LAS CONICAS
A l g u n a s d e las c u e s t i o n e s q u e v a m o s a c o n s i d e r a r a q u í (la t a n g e n t e a u n a cóni­
ca, p o r e j e m p l o ) h a b r e m o s d e a b o r d a r l a s d e n u e v o , c u a n d o h a g a m o s el estudio
g e n e r a l d e las c ó n i c a s . P a r a e v i t a r e x c e s i v a s r e i t e r a c i o n e s , d i c h a s c u e s t i o n e s las
t r a t a r e m o s a h o r a d e m a n e r a superficial.
Zi INTERSECCIÓN DE UNA CÓNICA Y UNA RECTA
1223]
L a i n t e r s e c c i ó n d e u n a c ó n i c a (elipse, h i p é r b o l a o p a r á b o l a ) y u n a recta
c o n s t a d e d o s p u n t o s di s t i n t o s ( p u n t o s p r o p i o s o d e l infinito)^’\ o d e u n
s o l o p u n t o ( d o b l e ; e s decir, d o s p u n t o s « c o n f u n d i d o s » e n u n o ) o e s vacía
( d o s « p u n t o s i m a g i n a r i o s » ) . S e d i c e , r e s p e c t i v a m e n t e , q u e la recta es
secante, tangente o exterior a la c ó n i c a .
(♦) Si la cónica es elipse, los dos puntos son siempre propios. Si la cónica es hipcrtwla,
uno de lo.s dos punios puede estar en el infinito y esto ocurre si la recta es paralela a una
asíntota: si la recta es una asíntota, entonces los dos puntos están en el infinito. Si la cónica
es parábola, uno de los dos puntos puede estar en el infinito; esto ocurre si la recta es
paralela al eje.

461. COMPROBACION
Vamos a estudiar separadamente los casos de elipse (£), hipérbola (//) y
parábola (P)\ tomando referencias ad hoc, éstas tendrán ecuaciones del tipo
(reducidas):
tu
Consideremos una recta arbitraria del plano, que definiremos por dos cua­
lesquiera de sus puntos, a cuyas coordenadas llamaremos (jCp >^,) y (Xj, >»2). Y
que admitirá ecuaciones paramétricas del tipo:
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones [1] de las cónicas, resulta que los
valores de a de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación:
í í - á - i
í,^
para H:
para P: (yj - 2px,)a^ + 20',yj - px¡ - px^)a + Cv| - 2px^) = O
13]
(*) Estas paramétricas se obtienen, a partir de las paramétricas usuales jc = jr, + A(xj-x,),
+ A(v2 ” >i). haciendo el cambio de parámetro A = 1 : ( I + or). Nótese que, aunque estas
paramétricas no proporcionan el punto (j c,, >»,), éste se obtiene como límite para a —· » . Para
or-* -1 se obtiene, como posición límite, el punto del infinito de la recta.

462. Á LG E B R A LINEAL
E s t a s e c u a c i o n e s (3J ( e n la i n c ó g n i t a a), c o m o s o n d e s e g u n d o g r a d o , llenen
d o s s o l u c i o n e s r e a l e s distintas ( r e c t a s e c a n t e ) , u n a s o l u c i ó n real d o b l e írccu
t a n g e n t e ) o d o s s o l u c i o n e s c o m p l e j a s c o n j u g a d a s ( r e c t a exterior).
A l g u n o d e los a n t e r i o r e s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n s e r á d e l infinito si alguna
d e las s o l u c i o n e s d e la e c u a c i ó n [3] f u e s e la or = - I. E n el c a s o d e la elipse,
e s t o n o p u e d e ocurrir, p u e s al p o n e r « = -1 e n d i c h a e c u a c i ó n s e obtendría
(jí, - J C j ) V ^ + tVi "■ yi) p u e d e v e r i f i c a r y a q u e los puntoi
U p >i) y (-^2* yi) distintos. E n el c a s o d e la h i p é r b o l a , la e c u a c i ó n [3| se
verif i c a p a r a a = -* 1 si y s ó l o si a iy2^ yi) = — “* ^i)» si la recta
d a d a e s p a r a l e l a a u n a d e las d o s a s í n t o t a s d e la h i p é r b o l a . E n el c a s o d e la
p a r á b o l a , la e c u a c i ó n [3] s e v e r i f i c a p a r a a = - 1 si y s ó l o si = >2, es decir,
si la r e c t a e s p a r a l e l a al e j e d e la p a r á b o l a .
EJERCICIO
D a d a u n a c ó n i c a (elipse, h i p é r b o l a o p a r á b o l a ) e n el p l a n o , c o n s i d é r e s e una
r e c t a q u e s e m u e v e , p a r a l e l a m e n t e a sí m i s m a , m a n t e n i e n d o s i e m p r e la m i s m a
d i r e c c i ó n . H a l l a r el l u g a r g e o m é t r i c o q u e d e s c r i b e el p u n t o m e d i o d e los dos
p u n t o s e n q u e la r e c t a v a r i a b l e c o r t a a la c ó n i c a . C o m p r u é b e s e q u e d i c h o lugar
e s u n d i á m e t r o (rec t a q u e p a s a p o r el c e n t r o ) e n el c a s o d e e l i p s e o hipérbola
y q u e e s u n a p a r a l e l a al e j e e n el c a s o d e p a r á b o l a .
RESOLUCION
C o n s i d e r e m o s el c a s o d e h i p é r b o l a ( p a r a e l i p s e o p a r á b o l a s e p r o c e d e d e m o d o
a n á l o g o ) y e x p r e s e m o s é s t a a t r a v é s d e s u e c u a c i ó n r e d u c i d a :
S e a m la p e n d i e n t e ( c o n s t a n t e ) d e la r e c t a v a r i a b l e , q u e s e r á d e la forma
y = frvc^l·h (h var i a b l e ) ; l l e v a n d o e s t a e x p r e s i ó n a la e c u a c i ó n d e la hipértx)la
s e o b t i e n e :
(b^ — a^m^)x^ — Ima^kx - (a^h^ + a^h^) = O
S i X, y X2 s o n las d o s r a í c e s d e e s t a e c u a c i ó n , el p u m o m e d i o q u e b u s c a m o s
s e r á el d e c o o r d e n a d a s :
R e c u r r i e n d o a la e x p r e s i ó n q u e d a la s u m a d e las r a í c e s d e u n a e c u a c i ó n de
s e g u n d o g r a d o s e o b t i e n e q u e

463. 459
E l i m i n a n d o h s e o b t i e n e el l u g a r p e d i d o , q u e e s a^my = b^x. N ó t e s e q u e s e
trata, e f e c t i v a m e n t e , d e u n d i á m e t r o : el d i á m e t r o d e p e n d i e n t e m ' = b^KcFtn).
S e d i c e q u e la d i r e c c i ó n d e p e n d i e n t e m* e s la dirección conjugada d e la q u e
t i e n e p e n d i e n t e m r e s p e c t o d e la h i p é r b o l a .
□ TANGENTES A LAS CONICAS
[224] E n el p l a n o e u c l i d e o s e c o n s i d e r a u n a c ó n i c a ( e l i p s e E, h i p é r b o l a H o
p a r á b o l a P) c u y a e c u a c i ó n r e d u c i d a es:
a- b- b^
Ipx
I. E n c u a l q u i e r a d e s u s p u n t o s , (j:,, y,,), la c ó n i c a d a d a t i e n e t a n g e n t e ,
q u e e s ia r e c t a d e e c u a c i ó n :
W o _ ,
yyo=p(x+Xo) Í A ]
( p a r a ia e l i p s e E) ( p a r a la h i p é r b o l a H) ( p a r a la p a r á b o l a P)
II. P o r u n p u n t o (jr^, y„) q u e n o e s d e la c ó n i c a p a s a n d o s t a n g e n t e s * ’’ a
la c ó n i c a ; la e c u a c i ó n c o n j u n t a d e e s t a p a r e j a d e t a n g e n t e s es:
b^
— -
___l Y ^ — ^ — ( p a r a la h i p é r b o l a H)
') U - b^ '){a^ V
(yyo - P(x + - í o ) ) ^ = ( / “ 2px)(y§ - 2pxa) ( p a r a la p a r á b o l a P)
[ B ]
( * ) Reales o imaginarías pero distintas. En el caso de la hipérbola una de las tangentes
(o las dos) puede ser asíntotii; de ser así, la tangencia se produce en su punto del infinito.
DEMOSTRACION
C o n s i d e r a r e m o s el c a s o d e elipse; e n los o t r o s d o s s e p u e d e p r o c e d e r d e m a n e r a
a n á l o g a . T o m e m o s u n a recta c u a l q u i e r a , q u e la d e f i n i r e m o s p o r d o s d e s u s
p u n t o s (jC|, >^,) y (jCj, y p r o c e d a m o s c o m o e n el a p a r t a d o anterior, [ 2 2 3 ] ,
r e c u r r i e n d o a las e c u a c i o n e s p a r a m é l r i c a s [2] y o b t e n i e n d o la e c u a c i ó n d e
s e g u n d o g r a d o [3] q u e d a los v a l o r e s d e a d e lo s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n . L a
r e c t a será, p u e s , t a n g e n t e a la e l i p s e si las d o s r a í c e s d e la e c u a c i ó n [3] s o n
i g u a l e s , e s t o es, si s u d i s c r i m i n a n t e e s n u l o , o sea, si
l ^ + y j h -, y = f í i + ^ _ , i
(ci

464. L a s t a n g e n t e s a la e l i p s e E q u e p a s a n p o r el p u n t o (j:o, y„) e s t a r á n f o r m a d a s
p o r los p u n t o s {x, y) tales q u e la r e c t a q u e les u n e c o n y o ) tangente a
E, e s decir, tales q u e s e v e r i f i c a [ C ] p a r a (;Co· >0) y J*)· •“S ^ r d e (x,. y,)
y (Xi, y^), lo q u e n o e s o t r a c o s a q u e la e c u a c i ó n [ B ] d e l e n u n c i a d o . E s a
e c u a c i ó n , q u e lo e s d e u n a f a m i l i a d e r e ctas, c o m o e s d e s e g u n d o grado,
r e p r e s e n t a a d o s rectas: las d o s t a n g e n t e s a E d e s d e (x^ y^. S i este punto
(•*0· >0) p e r t e n e c i e r a a la e l ipse, e n t o n c e s el ú l t i m o f a c t o r d e la e c u a c i ó n [B]
se r í a n u l o y é s t a s e r e d u c i r í a a:
O
q u e es» c o n t a d a d o s v e c e s , la r e c t a [ A ] d e l e n u n c i a d o .
E J E R C I C I O
E n el p l a n o e u c l í d e o s e c o n s i d e r a la e l i p s e d e e c u a c i ó n r e d u c i d a
S e a d el d i á m e t r o ( r e c t a q u e p a s a p o r el c e n t r o ) d e p e n d i e n t e m , q u e corta
a la e l i p s e e n d o s p u n t o s ; c o m p r u é b e s e q u e las t a n g e n t e s a la e l i p s e e n dichos
p u n t o s s o n p a r a l e l a s y h á l l e s e s u p e n d i e n t e m\ C o m p r u é b e s e q u e las tangentes
e n l os e x t r e m o s d e l d i á m e t r o d e p e n d i e n t e m ' t i e n e n p e n d i e n t e m . S e dice que
l o s d i á m e t r o s d e p e n d i e n t e s m y m' s o n diámetros conjugados.
RESOLUCIÓN
L o s p u n t o s d e la e l i p s e s i t u a d o s e n el d i á m e t r o d e p e n d i e n t e m s o n d e la forma

465. 461
Pq(±Xq, ±ftiXQ), De acuerdo con lu fórmula [A] de [224], las pendientes de las
tangentes en los puntos citados, Pq, son
m -
----------^
{±mXo)a^
que son iguales (no dependen del signo ±). Repitiendo lo anterior con ni\ en
lugar de m, se obtiene un m"' que valdrá m*’ = (-¿> '): De esta expresión
y de la anterior se deduce que ni"' = ni.
EJER C IC IO
En el plano euclídeo y usando coordenadas rectangulares xy se considera un
punto (Xq, >>o) y la cónica (una elipse E, una hipérbola H o una parábola P)
cuya ecuación reducida es:
+ W ; £ - ¿ = 1 ; P : / = 2px
a- b"
La polar del punto (j:,,, respecto de la cónica es^*^ la recta que pasa por
los dos puntos de tangencia, de las tangentes a la cónica desde el punto (Xq, >»„).
Compruébese que dicha polar es, respectivamente, la recta:
^ ^ - . - o · · ' - . '
Nótese que, como caso límite, si (.Vq, es un punto de la cónica, su
tangente en {Xq, )>o) (véase [224], [A]) coincide con la polar de dicho punto.
RESOLUCIÓN
Supongamos que la cónica es hipérbola; en los otros dos casos se razona de
igual modo. Los dos puntos de tangencia son aquéllos cuyas coordenadas
(*) Este modo de introducir la polar es incompleto. Para dar una definición satisfactoría
necesitaríamos habliu* de «conjugación)» respecto de las cónicas, lo que nos llevaría más allá de
donde queremos llegar.

466. Á L G E B R A LINEAI
verifican a las ecuaciones de A/ y del par de tangentes a H desde (jfo» ®sta
última es la [B] de [224]. Por verificarse la ecuación de //, el segundo miembro
de [B] es nulo y por ello los puntos de tangencia son las soluciones del sistema
JC
12)
Es decir, los puntos de tangencia son los que están en la hipérbola, ecua­
ción [1], y en la recta [B]; esta recta es, pues, la que pasa por los puntos de
tangencia, es decir, la polar.
□ FOCO, DIRECTRIZ Y EXCENTRICIDAD
[225]
En el plano euclideo dados un punto F {foco\ una recta d (directriz),
que no pasa por F, y un número no negativo e (excentricidad), se verifica
que el lugar geométrico de los puntos tales que sus distancias a F y dst
mantienen en relación constante e igual a e es una cónica. Más exacta­
mente:
/d(X, F)
d(X, d)
= e
elipse si ^ < 1
parábola si e = 1
hipérbola si e? > 1
Para las siguientes cónicas (dadas por sus ecuaciones reducidas) los focos,
las correspondientes directrices y las excentricidades son:
Cónica Focos Directrices Excentricidad
Elipse- + - = 1
b-
F(±c, 0). . . . i
c
Hipérbola ^ ^ = 1 F(±c, 0) d:x=^±.— e = - > \ (a^ + b' = <ñ
a' b c a
Parábola f = 2px Fipjl, 0) d : x = - p / 2 e = l —

467. DEMOSTRACIÓN
Respecto de la parábola no se ha dicho ahora nada que no sepamos ya de antes
(véase [222J). Las ecuaciones reducidas de la elipse y de la hipérbola pueden
expresarse de las siguientes formas, equivalentes entre sí (se llama e = c/a):
x ‘ ^ ± / = b^, ± x ‘{ \- e ^ ) ± y ^ = b \ ± b^,
(x - c)^ + y^ = (~2cx + c^) + c V ± b\ (x-c)^ + y^ = e-
yj{x — c f + y^ = e X — — , d(X, F) = e d(X, d)
Tanto la elipse como la hipérbola es, en consecuencia, el lugar geométrico de
los puntos del plano cuya relación de distancias a F{c, 0) y a d \x - a ^ lc es
constante e igual a e = cja.
Recíprocamente, dados el punto F y la recta d, tomando ejes cartesianos
rectangulares, xy, con origen en F y cuyo «eje de la sea perpendicular a d,
el lugar de los puntos X tales que d(X, F) = ed{X, d) resulta ser una cónica
pues, como se comprueba fácilmente, la ecuación que así se obtiene es la que
resulta de trasladar, en la ecuación reducida, el origen de coordenadas a un
foco.

468. Á L G E B R A LINEAL
EJERCICIO
Compruébese que las tangentes a una cónica desde uno de sus focos no son
reales (son imaginarias), pues resultan tener pendientes ± / (/ es la unidad
imaginaria). No obstante, operar formalmente y comprobar que la directriz
aparece como polar (recta que une los puntos de tangencia; véase el ejercicio
anterior) del correspondiente foco.
RESOLUCIÓN
Supongamos que a la cónica se la conoce a través de su ecuación reducida y
que se trata de una elipse; para hipérbola o parábola se razona de modo análogo.
Si en la ecuación conjunta de las tangentes desde un punto (Xq, (véase [241],
[B]) se toma jcq = c e >>o = O (un foco de la elipse), se obtiene la siguiente
ecuación, que puede expresarse también de las formas que se indican a conti­
nuación:
a\x^ ~ Icx + -f y^) = 0, (jc - cf + / = O, ±i{x - c)
Recurriendo a la ecuación de la polar que se da en el ejercicio anterior, la polar
del foco F(c, 0) es la recta
^ + 0 = 1
ECUACION FOCAL DE UNA CÓNICA
(226]
La cónica que tiene excentricidad e > O, que tiene un foco en F{a, P) y
cuya directriz correspondiente es ia recta hx + lcy + l = 0, tiene por ecua­
ción (en coordenadas rectangulares xy) a:
h’ + e
(ecuación focal)
COMPROBACIÓN
La cónica está formada por los puntos X{x, y) tales que
d(X, F) = e d(X, d) o sea VU “ + (y — /3)^ = e ^
y/h^ + k^
Como los dos miembros de esta ecuación son positivos, elevando al cua­
drado se llega a una ecuación equivalente a ella, que es la que había que
obtener.

469. ICAS; E S T U D IO S P A R T IC U U R Y G E N E R A L
465
EJERCICIO
En el plano euclídeo se considera la cónica que tiene excentricidad e > 0 , que
tiene al punto F como foco y que tiene a la recta d como directriz (correspon­
diente al foco F); se llama parámetro de la cónica a p = e8, donde S es la
distancia del foco a la directriz. Tómense unos ejes rectangulares con origen
en el foco F, con «eje de la x» la perpendicular a la directriz desde F orienta­
da en el sentido que se aleja de la directriz y cuyo «eje de la y» es la paralela
a la directriz por F orientada de manera que el giro de Fx a Fy sea positivo.
Utilizando coordenadas polares (p, d), esto es, llamando
x = p eos 0 e y = p sen 6
comprobar que la cónica admite por ecuación a
P =
1 — e eos 6
RESOLUCIÓN
Como en los ejes del enunciado es F(0, 0)y d :x = —8, según [226] la ecuación
polar de la cónica será
j^ - \- y ^ ^ e \x + 8 f o p^ = e \p eos 0 ^ 8 f
Esta última ecuación equivale a p = ± e(p eos 6 + 5). El signo ± puede supri­
mirse ya que, si (p, 0) satisface a la ecuación con signo entonces ( - p ,
^ + 7t) satisface a la ecuación con signo + y ( - p , ^ + tt) y (p, 6) representan
al mismo punto. Luego la cónica admite por ecuación a:
p{\ e eos 6) - e8 = p o sea p =
1 - e eos 6
□ SECCIONES CÓNICAS
[2271 Las cónicas son las curvas de intersección de un cono de revolución con
un plano que no pasa por su vértice. Si a es el semiángulo en el vértice
del cono (ángulo del eje con cualquiera de las generatrices) y si )3 es el
ángulo que forma el plano de la sección con el eje del cono, entonces la
excentricidad de la cónica es e = eos /8/cosa; así pues, la cónica es elipse,
parábola o hipérbola según que sea )3 > a , ^8 = a o / 3 < a , respectiva­
mente.

470. Á L G E B R A LINEAL
Figura 11.14.
COMPROBACIÓN
En el espacio euclídeo £3, tomemos unos ejes rectangulares Oxyz de manera
que el plano de la sección sea el 2 = O, el origen O sea la intersección de dicho
plano con el eje del cono y el vértice V del cono esté en el plano y = 0. Si es
/í = ÒV la «altura» del cono, las coordenadas del vértice son V(/7COS 0, h sen P).
El cono está engendrado por la circunferencia, variable, de centro en un punto
P(A eos O, A sen P) del eje, situada en un plano perpendicular al eje y cuyo
radio es (/i — A) tg a. Esta circunferencia admite por ecuaciones a las:
(jc -A cos/3)" + / + ( z - A s c n P f = ( h - Á f tg^ a
eos — \ eos P) + sen (z — A sen fi) = O
Eliminando A entre estas dos ecuaciones se obtiene la ecuación del cono, que
resulta ser:
“ U e o s/3 4- z se n¡3 )^ = { h - x c o s p - y s e n t g "a
La sección del cono por el plano dado (el z = 0) será, pues:
jc^(I —{2h eos P tg^ a)x + hi^ tg^ a {e = eos p/cos a)
Z = 0
que es una cónica que tiene excentricidad e. Dejamos como ejercicio la com­
probación de que, dada una cónica cualquiera, existen ciertos a, fi y h lales
que las anteriores ecuaciones representan a la cónica dada (en una referencia
adecuada).

471. Y G E N E R A L
467
0 ESTUDIO GENERAL DE LAS CÓNICAS
Hasta este momento nos hemos ocupado en analizar «las tres cónicas» y ello
se ha hecho a partir de sus ecuaciones reducidas, las cuales han sido, en todos
los casos, de segundo grado en las coordenadas x t y. Es llegado el momento
de estudiar todas aquellas curvas que tienen ecuación de segundo grado, a las
que se llama curvas cuadráticas o de segundo orden, viendo en primer lugar si.
además de las cónicas, hay más tipos de dichas curvas. Nos vamos a encontrar
con que las elipses, parábolas e hipérbolas son las únicas cónicas «ordinarias»
o «regulares», pero que también hay curvas cuadráticas «degeneradas» o «sin­
gulares», que son los pares de rectas (distintas o coincidentes).
Dada una curva cuadrática, para llegar a obtener su clasificación y su
ecuación reducida, vamos a tener que estudiar cómo viuna su ecuación con los
cambios de referencia cartesiana; este análisis nos llevará a obtener los «inva­
riantes»: expresiones obtenidas a partir de los coeficientes de la ecuación de la
cónica, que permanecen fijos o invariantes frente a los cambios de referencia
rectanguUur.
En el plano euclídeo, las curvas de segundo orden son los lugares geomé­
tricos que. respecto de ejes cartesianos Oxy (que supondremos rectangulares),
admiten ecuación del tipo:
a r + 2hxy + c / + 2dx + le y + / = O
para ciertos números reales «. h, c. d, e y f (coeficientes), donde a, b y c no
podrán ser los tres nulos. Si a las coordenadas se las denota por x^ y Xj y se
recurre también a los subíndices para designar a los coeficientes, la anterior
ecuación se podrá expresar de cualquiera de las formas siguientes, que en
realidad son la misma:
+ 2a^2X^Xi + «22·'^ + + 2 ^ , + c = 0
2
S tíuXfXj + 2 X bi,Xi, + c = O («2, = 0,2)
íj-l *■>
[•'^1 ''C2I
+ 2[h^ h,]
/2 .
+ Id = O
C b 2 l
T
[ 1 . t , Xi\ « I I"12
> 2 « 2 1« 2 2 -. ' ^ 2 .
O
[1 x ' l
C
BA
o

472. ÁLGEBRA LINEAL
LAS CÓNICAS: ECUACIONES
Y TANGENCIA
^ DEFINICIÓN DE CÓNICA
[228] En el plano euclídeo se llama cónica al lugar geométrico de los puntos
cuyas coordenadas (at,, jCi), respecto de una referencia cartesiana rectan­
gular'**, verifican a una ecuación del tipo
+ 2a,2JC,Xj + 022-’^ + + c = O
11]
para ciertos a^^ c e R y donde a ,,, a,2 = ^21 Y ^22 los tres nulos.
C on notación matriciale recurriendo a las m atrices A = [a¡j] y B - (AJ
y llam ando [jc] a la colum na de las coordenadas x, y Xj» la ecuación [I]
se puede poner [xYA[x] + 2B[x] + [c] = O o tam bién:
[jc]'A/U] = 0 , donde [x]
c B ' '
^1
y Ai =
B A
.-*2.
[2]
A la matriz M, o a cualquiera de sus proporcionales, se le llama matriz
de la cónica en los ejes dados; a la m atriz A la llam arem os matriz de los
términos cuadráticas. Dos cónicas son iguales si y sólo si sus matrices
(en la misma referencia cartesiana) son proporcionales.
Se dice que la cónica es ordinaria si su m atriz es regular; estas
cónicas son las interesantes. Si la m atriz es singular, la cónica, que se
dice degenerada, es un par de rectas.
(*) Aunque las cónicas pueden expresarse en referencias cartesianas cualesquiera, sólo
se consideran aquí las referencias rectangulares.
E JE M P L O S
La anterior ecuación general de una cónica da acogida a «curvas» de muy
distinto tipo. En primer lugar habrá que citar a las elipses, parábolas e hi­
pérbolas, que conocemos a través de sus ecuaciones reducidas (a las coordena­
das las llamamos ahora x e y)\
2 p x

473. Éstos son los tres tipos de «cónicas ordinarias». Per« no son ellas la.s única.s
cónicas; también están las parejas de rectas y algunos otros casos más «pato­
lógicos» aún, como los siguientes:
_ ^2« Q rectas: jc + y = ü y j c - y = 0)
x ^ - 4 - 0 (pareja de rectas: JC + 2 = O y j t ~ 2 = 0)
= O (la recta x = O doble, «contada dos veces»)
= O (el punto jc = O, y = O o las «rectas imaginarias» y ± ijc = 0)
+ 4 = O (conjunto vacío o «par de rectas imaginarias» jc ± 2/ = 0)
Éstos son los distintos tipos de «cónicas degeneradas».
OBSERVACIÓN
Para evitar situaciones indeseables, como el llegar a decir que las cónicas
j c ^ - f y + l = 0 yjc^ + 4 = 0 son la misma, por tratarse en ambos casos del con­
junto vacío, se convendrá en que una cónica queda caracterizada (en los ejes
que se estén considerando) por la matriz M de su ecuación o por cualquier otra
matriz proporcional a A/, ya que con ella se obtiene una ecuación equivalente.
¡. estud ios p a r t i c u l a r y g e n e r a l 469
J LAS CONICAS DEGENERADAS
En los ejemplos anteriores de cónicas degeneradas, todas ellas eran pares de
rectas (dos rectas reales que se cortan; dos rectas reales paralelas; una recta
real doble; dos rectas imaginarias conjugadas, que se cortan en un punto real;
dos rectas imaginarias conjugadas paralelas, sin ningún punto real). Pues bien,
las cosas ocurren así en general, es decir: una cónica degenerada cualquiera es
siempre un par de rectas. Comprobemos este a.seno en el caso de que la cónica
tenga, al menos, un punto (real). En este supuesto, trasladando el origen de
coordenadas a dicho punto, la ecuación de la cónica tendrá nulo su término
independiente, es decir, será de la forma siguiente (jc e y son las coordenadas):
ojc^ + 2bxy + cy^ + 2dx -i-2ey = 0 [1]
y como la cónica es degenerada, el determinante de su matriz. A/, es nulo, o sea:
det M = det
{) d e
d a h
e h c
= 2hde - ae^ - ccP^ = O
Veamos que hay una recta que pasa por el origen, o sea, que tiene ecuación
del tipo y = mx, la cual forma parte de la cónica, con lo que la ecuación de
ésta será el producto de y - nix por otra expresión de primer grado en jc e y,
es decir, la cónica estará formada por un par de rectas. Así ocurre, pues como
al hacer y = A^uc en (1 ] queda
x^{a + 2hm en?) + x(2d + 2em) = O

474. la recta y = fftv estará incluida en la cónica si esta última relación se vcrific*
para todo valor de x, es decir, si es
a + Ibm + c-m* = 0 y + lem = O
La última relación se verifica para m = - d ¡ é ' \ llevando este valor a la
primera relación se obtiene que
a + 2bm + cm^ = ^ (ae^ ~ 2hde + cd^) = det Af = O
con lo que queda probado que la recta y = ( -d /e lx forma parte de la cónica y
ésta es, entonces, un par de rectas.
Q l INTERSECCIÓN DE CÓNICA Y RECTA
Á L G E B R A LINEAL
[229] En el plano euclídeo se considera la cónica que, en cierta referencia
cartesiana rectangular (coordenadas x^y ofj), tiene a M por matriz siméüica,
es decir, que admite por ecuación a:
U]'AÍ[Á] = 0 donde W = [1jc,jCj]'
Considérese también la recta que pasa por el punto de coordenadas
(P\> Pi) y dirección del vector i;(i;p üj), la cual admite por
ecuación paramétrica a la:
[[/>! = [1 P, P2Ì'
[x] = [p] + AfíJj donde
m = [O v^y
Los puntos de intersección de la cónica y la recta se obtienen al tomar
para el parámetro A las soluciones de la ecuación:
[I]
Así pues, una cónica y una recta se cortan en dos, uno o ningún
puntos^*^ y se dice que la recta es, respectivamente, secante, tangente o
exterior a la cónica. La recta es tangente a la cónica si se verifica la
relación:
(2)
( · ) Si en la ecuación [I] fuese nulo el coeficien te de A^, enton ces debe tomarse A
com o una de las soluciones y se dira que la cónica y la recta se cortan en el infinito (tienen
un punto común en el infinito); si también fuese nulo el co eficien te de A, se dirà que la
recta es tangente a la cónica en el infinito. Si los tres co eficien tes de 11J son nulos» cnlonccs
la recta está incluida en la cónica (la cón ica está formada ptir un pju· de rectas y se dice
que es «degenerada»).
(*) Si fuese = O, la recta se pondría en la forma x = ny\ si también fuese J ® 0. In a^ ic·
sería el par de rectas y = m,.t e >» = m^x. donde m, y son las raíces de a + 2hm + cm* · 0.

475. R Y GENERAL 47-j
COMPROBACIÓN
Llevando a la ecuación Ul'A/[i] = O, de la cónica, la expresión de la columna
[x\ de un punto genérico de la recta (en función de A) se tiene:
(\P\ + A[0])'Af(|/)l + A[í;]) = O
Y operando aquí se obtiene obviamente la ecuación [I] del enunciado^*'.
Así pues, si las raíces de esta ecuación de segundo grado son A, y Aj,
la intersección la forman los puntos de coordenadas [jc,j = [/>] + A,(íH y
U2] = fPl + que serán dos (distintos), uno (dos coincidentes) o ninguno
(dos imaginarios), según que el discriminante de tal ecuación sea positivo, nulo
o negativo. En particular, la recta será tangente a la cónica (los dos puntos de
intersección coinciden) cuando se anule el referido discriminante, es decir,
cuando se verifique la relación [2] del enunciado.
OBSERVACION
Conviene tener presente que, dadas una recta y una cónica, alguno de sus
puntos de intersección puede «estar en el infinito». Esto ocurre si, en la
ecuación [1], el coeficiente de A^ es nulo, pues hay entonces que entender que
una de las raíces de dicha ecuación «se ha hecho infinita»^’*\ Así, por ejemplo,
para hallar la intersección de la recta y = fnxy la parábola y = 4{x - 1) se tiene:
- m ^ ) |
y = mx y = mx
y = 4(jt - l ) | m V - 4jt + 4 = O
(esta última, si w # 0 ) . Por tanto: si |m |> l , la intersección es vacía; para
w = ± 1 , la recta es tangente a la parábola (pues hay dos soluciones «confun­
didas» o coincidentes), siendo el punto de tangencia el (x, y) = (2, ± 2); para
O < \m\ < 1, la recta corta en dos puntos distintos a la parábola. Pero para m = O
sólo encontramos así un punto único de intersección (y no dos puntos «con­
fundidos»); para analizar con detalle lo que aquí ocurre, hagamos que m - ^ 0
(la recta y = nix tiende a la y = 0) y veamos a qué tienden las dos soluciones
anteriores, que se pueden poner en la forma siguiente (multiplicando y di­
vidiendo por 1 + y/\ en la expresión que da x):
(*) Téngase en cuenta que la matriz fnl'M(/>l. como tiene tamaño 1x1. es igual a su
traspuesta (no se olvide que M es simétrica).
(**) Las raíces A, y de aÁ^ + /;A + c = O se pueden expresar en la forma (multipliqúese y
divídase por h ± y/h^ - 4<k· en la expresión que da las raíces):
2c 1
^ I ± ^ 1 — 4 a c / b
Cuando íi— O, las anteriores raíces tienden a A, « -c/h y Aj«

476. ÁLGEBRA UNEAl
Cuando m-*0, las x de los puntos de intersección tienden pues a x = 2/
2 = 1 (para el signo «más») y a <a = »» (para el signo «menos»). Luego,
además del punto a: = 1, 3^ = O (hallado antes), hay otro punto de intersección
que «está en el infinito».
EJERCICIO
Hallar las tangentes a la siguiente cónica que son paralelas a la recta x+y=0:
+ 2 / + 4xy + 4;c + 2y - 5 = O
RESOLUCIÓN
Las tangentes buscadas tienen ecuación de la forma jc + y = /»; hay que buscar
h de manera que la intersección de j: + y = /i con la cónica sea un punto doble.
Llevando, pues, y = - x + h a \ a ecuación de la cónica, se tiene:
x^-^2(-x + hf + 4x{-x + h) + 4x + 2(-x+h)-5=0 o
jc^ - 2X + (2/j* + 2/1 - 5) = O
Esta ecuación ha de tener una raíz doble, es decir, su discriminante debe
ser nulo, o sea:
2h¡^ + 2 h - 4 = O, luego h = l o h = —2
Las tangentes pedidas son, pues, las jc + y = I y jt + y + 2 = 0.

477. 5- F.STUDIOS PARTICULAR Y GENERAL 473
□TANGENTES A UNA CÓNICA
[230] En el plano euclídeo y respecto de una referencia cartesiana rectangular
(coordenadas x,, se consideran el punto P(p,. pj) y la cónica ordinaria
que tiene a M por matriz, es decir, que admite por ecuación a:
T T
[x]'M[x] = 0, donde [i] =
■*1
; sea [/)] =
Px
J>2.
1.
2.
3.
Si el punto P no pertenece a la cónica, desde P se pueden trazar dos
tangentes (reales o imaginarias) a la cónica; la ecuación conjunta de
ambas tangentes es:
Si el punto P pertenece a la cónica, desde P se puede trazar una
tangente (única) a la cónica, que es la recta de ecuación:
IpYM[j(] = O [2]
Se llama polar del punto P respecto de la cónica a la siguiente recta:
1) si P pertenece a la cónica, su polar es la tangente en P a la cónica;
y 2) si P no pertenece la cónica, su polar es la recui que une los dos
puntos de tangencia de las tangentes desde P a la cónica. La ecuación
de la polar es, en ambos casos:
\PVM[x] ^ 0 [3]
DEMOSTRACION
1. Las tangentes desde P a la cónica son el lugar geométrico de los puntos
X tales que la recta PX es tangente a la cónica; como un vector de la
dirección de esta recta es el v = PX, resulta que, de acuerdo con el punto
[2] de [229], dichas tangentes tienen por ecuación conjunta a la
m ] - = m ] - [p\)'M([x] - \p\))m 'M \p])

478. Á L G E B R A UNEAL
Desarrollando esta ecuación se llega a (téngase en cuenta que y
\pyM[x] son iguales ya que son de tamaño 1 x 1 y traspuesta la una de la
otra, por ser M simétrica):
dxYMlp]? ~ 2{[x]^M[p\)m'M\p\) + =
= ([xYM[x] - 2[xM[p] + \pyM\p\)(\p]'M\p])
y al simplificar se obtiene la ecuación [ 1 ] del enunciado. Nótese que este
lugar geométrico está formado por rectas y que, como su ecuación es de
segundo grado, es un par de rectas.
2. Si el punto P es de la cónica, entonces [p^Mlp] = O, por lo que ahora
se anula el segundo miembro de fl] y esta ecuación se reduce a
(lpYM[x]f = O, que no es otra cosa que [pYM[x] = O (contada dos veces),
que es la ecuación de una recta.
3. Si P pertenece a la cónica, la polar tiene entonces la ecuación antedicha,
según se obtuvo en el punto 2. Si P no es de la cónica, los referidos puntos
de tangencia son los de intersección de las tangentes desde P (su ecuación
es la [ 1 ]) con la cónica; para los puntos de tangencia se verifican, entonces,
la citada ecuación [1] y la de la cónica, luego también se habrá de verificar,
para ellos, la ecuación que resulta de imponer en fl] que sea [ x Y M [ x ] = 0 ,
que es la ecuación i\pVM[Jc]f = O (una recta al cuadrado). Por tanto, la
recta [p^Mlx] = O contiene a los puntos de tangencia, luego es la polar.
E JE R C IC IO
Dada la cónica
3 + 2jcy - / + 2jc - 4)? ~ 5 = O
se pide: 1) la tangente a dicha cónica en el punto G (l, 0) de ella; 2) las dos
tangentes a la cónica desde el origen de coordenadas.
RESOLUCIÓN
1. La tangente en 0 a la cónica, de acuerdo con la fórmula [2] de [230],
tendrá por ecuación a la [qYM[x] = O, que en nuestro caso es:
'O
■ -5 I- 2 "' r
1 0]1 3 1 JC
. - 2 1- 1 .
- y -
que operando queda [ - 4 4 - 1 ][;c] = O, o sea:
4 a : - 3/ - 4 = O

479. : Y GENERAL
475
2. La ecuación conjunta de las tangentes desde el origen, punto PÍO, 0), es la
f 11 de [230], que en nuestro caso queda:
( [ - 5 1 -2][x])2 = (-5)(3jc2 + 2 x y -> ^ + 2 j c - 4 > - 5 ) = 0
operando en ella resulta:
16x^ = 0
Como las raíces de la ecuación rn^ - 6 m - 16 = 0 son m = 8 y w = - 2 , la
anterior ecuación se puede poner en la forma (y - Sx)(y + 2jc) = O, por lo
que las dos tangentes desde P(0, 0) a la cónica son
y = Sx y = - 2 x
EJERCICIO
Comprobar que cuando un punto variable. P, tiende al infinito según dirección
perpendicular al eje de una parábola entonces: 1) la polar de P tiende al eje
de la parábola; 2) una de las dos tangentes desde P a la parábola tiende a la
tangente en el vértice de la parábola (la otra tangente desaparece: tiende al
infinito).
COMPROBACIÓN
Refiriendo la parábola a su eje (eje j:) y a su tangente en el vértice (eje y), su
ecuación será ^ = 2px (con p ^ 0). Llamando P{a, ¡3) haremos que )3—»<», con
a constante. La polar de P es la recta [p]'M\x\ = O (véase [230], 3), donde M
es la matriz de la parábola, es decir, la ecuación es:
[1 a p \
O - p O
-p 0 0
0 0 1.
Al hacer oo J a polar tiende a = O, que es el eje. La ecuación conjunta
de las tangentes desde P a la parábola (véase [230], [1]) es en nuestro caso:
(Py - p x - p a f = (0^ ~ 2pct)(y^ ~ Ipx)
o sea:
y -
p - a
- ( ' W -
2px)
que, al hacer — tiende a / = / - 2px, es decir, tiende a .r = O, que es la
tangente en el vértice.

480. Á L G E B R A LINEAL
ECUACIONES REDUCIDAS
Y CLASIFICACIÓN DE LAS CÓNICAS
Dada una cónica en el plano afín euclídeo, cuando se cambia de sistema de
referencia rectangular, cambia entonces la matriz de la cónica. En estos cambios
hay elementos de dicha matriz que no se alteran; éstos reciben el nombre de
invariantes y serán de gran utilidad cuando se quiera averiguar el tipo de una
cónica dada o hallar su ecuación reducida.
[231]
□ CAMBIO DE COORDENADAS RECTANGULARES
En el plano euclídeo se considera la cónica que, en una cierta referencia
cartesiana rectangular (coordenadas x„ jCj), tiene a M por matriz, es decir,
que admite por ecuación a;
[x]‘M[x\ = O, donde [i] ^
* r
cB' '
A/ =
1
B'A
(/4 ^ 0 simétrica 2 x 2 es la submatriz de los térm inos cuadráticos; B es
columna 2 x 1; c es el término independiente).
Supongamos que se adopta una nueva referencia cartesiana rectangu­
lar (coordenadas x\, x^) y que el correspondiente cam bio de coordenadas
es (véase [201J:
W = QJix'] con
1O
Q _
donde [w] es la columna de coordenadas del nuevo origen y Q\& matriz
ortogonal del cambio de base de la referencia rectangular. Entonces, en
la nueva referencia, la cónica tiene por matriz a la siguiente M' (o a
cualquier pM' con p 0):
M' = Q'J/ÍQ^ (M y M' son matrices congruentes)
Realizando el anterior producto Q 'j^ Q ^ por bloques resulta que, si
M'
c'B ”
B'A'
entonces
A ' = Q'AQ
B' = Q \B + A[w])
^ c ' = c + 2B‘\ú)] + [<a]'A[w\
(A y A ' son ortogonal mente congruentes)

481. Y GENERAL 477
COMPROBACIÓN
Como la correspondencia enlre unas y oirás coordenadas. = es
biyectiva. llevando esia expresión a la ecuación [a']'M Ia*| = O de la cónica se
obtiene o(ra ecuación de ella, ahora en las nuevas coordenadas, que será:
( Q J x ' W m Q y 1) = o o sea 1 = o
lo que significa que M' = Q^^MQ^ es matriz de la cónica en la nueva referencia;
nótese que M y M* son. pues, congruentes. Finalmente, multiplicando por
bloques en se obtiene, para los bloques de lugares ( l. 1), (2. 1)
y (2. 2) de uno y otro miembro, que:
c '= r »- 2^'lwl » líürAlíüj
B * ^ Q \B I Alíol)
/\' = Q*AQ
Como se dice en el enimciado. Nótese que. como la matriz (? es ortogonal, de
= Q^AQ se desprende tjue A y A' son ortogonal mente congruentes.
i j i:r í ICIO
Rn el plano euclídeo y respecto de unos ejes cartesianos rectangulares (coor­
denadas .t,. A-j) se considera la cónica:
2 2
X ü^x.xj + 2 X + c = O
IJ-l A-l
Giriu* los ejes dados un ángulo O, que se pide, de manera que en las nuevas
coordenadas (jc¡. jcJ) la ecuación de la cónica no tenga términos en x\x*2:
2
+ 2 1 + c ' = o ( « : , = « j , = ( »
hm\
o sea, tal que la nueva matri/ de términos cuadráticos, A' = sea diagonal.
eos 0s e n i/«Il«12
cos 0- s e n 0
-s e n 6cos 0«21^22,
sen 0 cos 0
RESOLUCIÓN
De acuerdo con (231), la matriz A' y, en particular, el elemento «¡j valdrán:
A'
í/ ¡ 2 = .sen B eos W(«jj — «,,) + «(¡(cos* O — sen* f f ) ·
= J (02j ~ « i i ) sen 2# + a,2 e o s 20
Por tanto, «¡2 será nulo si
tg 2 « =
2«,2
«11 “ "2 1

482. Á L G E B R A LINEAL
Nótese que la solución que se ha encontrado no es válida si a¡, = a^.
Cuando sea a,, = «22· anterior ecuación da = a ,2e o s26*; luego ahora la
anulación de a¡2 se consigue tomando ff = tt/4, con lo que fllamando
A' =
v5/2 ^ ^ /2 'a b'v ^ /2 - y Ü I la + b 0
-yl2/2 ^ 1 1b a ^I2|2_ 0 a — b
OBSERVACIÓN
Sea M la matriz de una cónica en una determinada referencia cartesiana rec­
tangular del plano. Supongamos que se cambia de referencia y que M' es matriz
de la cónica en la nueva referencia, con lo que también son matrices de la
cónica, en esta nueva referencia, todas las pM' para p # 0. Así pues, las
relaciones M' = Q'^MQ^ y A' = Q'AQ, que se obtuvieron en (231], deberán
sustituirse por las
M' = Q ‘j<pM)Q^
A' = Q\pA)Q
(para algún pi^O )
□INVARIANTES DE LAS CONICAS
[232]
En el plano euclídeo y respecto de una cierta referencia rectangular se
considera la cónica cuya matriz es M\ sea A = [a¡j\ su submatriz de los
términos cuadráticos y llamemos A, y Aj a los auto valores de A. Supon­
gamos que, en una nueva referencia rectangular, los anteriores elementos
son ahora M \ A* = [cr'], A¡ y Aj, respectivamente. Se verifica, entonces,
que existe cierto escalar p ^ O tal que:
1. detM'=p' (det AO
2. d e ti4 '= p^ (det A) 4.
3. a¡,+fl22 = P ^ 1+022) 5.
A|=pA,
A; = pA2
El par de relaciones 2 y
^cs equivalente al par 4 y
(para expresar lo anterior, se dice que det M, detA , a^^ + 022» y ^ 2
invariantes métricos de las cónicas).
También se verifica que las signaturas áe M y A son invariantes de
la cónica (que se llaman invariantes proyectivo y afín, respectivamente);
esto es, se verifica que, para algún p O, es:
sigA/' = sig (p M ) sig /\' = sig(p/\)
Esto es, se verifica una de las dos posibilidades siguientes: 1) sig Af' =sigM
y sigA' = sigA; o 2) sigA ^'=sig(-A f) y sigA' = sig(-y4).

483. Sea la matriz de cambio de referencia (véase 1231]) que se descompone en
los siguientes bloques:
DEMOSTRACIÓN
10 '
donde
Q
[w] = columna de coordenadas del nuevo origen
Q = matriz ortogonal asociada al cambio de base
Según ya sabemos, en la nueva referencia la cónica admite por matriz a la
y correspondiente submaüiz de los términos cuadráiicos es la Q^AQ.
Por tanto, como todas las matrices de una cónica (en una misma referencia) son
proporcionales, existe algún escalar p e R, p ü, tal que
M =pQ ^^M Q ^ y A ' = pQ^AQ (1)
Dado que det = det y que det Q = ±1, pues Q es ortogonal, y como
M y M' tienen tamaño 3x3, tomando determinantes en la primera de las
igualdades [ 1 ] se obtiene:
del M* = (det det Af = p \± 1)^ det M = p^ det M
Por otra parte, como A es una matriz simétrica, A es ortogonalmente dia­
gonalizable (véase (1781, 2), esto es, existe una matriz ortogonal P, con
= tal que A - P ~ ^ D P = P^DP, donde D es la matriz diagonal de los
autovalores A, y Aj de A (los autovalores son los elementos de la diagonal
de D). De la segunda de las igualdades [l] se deduce que
= PQ‘AQ = pQ'P'DPQ = {PQ)'pD{PQ)
Como PQ es ortogonal, pues lo son P y Q,Vd última igualdad nos permite
asegurar que la matriz diagonal pD es la que tiene en su diagonal a los
autovalores de A \ esto es, que Á¡ =pA, (para i = 1, 2), como había que com­
probar.
Obsérvese finalmente que las relaciones 2 y 3 del enunciado equivalen a
las 4 y 5. Así es, ya que, como Ivéase [164]):
A¡ y AJ son las raíces de A^ - (í/¡, + ^22)^ A' = 0
pA, y pA, son las raíces de A^ - (pí/,, 4 (pA) = O
las raíces de una y otra ecuación serán iguales (como dicen las relaciones 4 y
5) si y sólo si sus respectivos coeficientes son prt>porcionales (como dicen las
relaciones 2 y 3).
Finalmente, por ser Ai' = Q^JipM)Q^ y A' = Q \p A )Q , donde Q ^ y Q son
regulares, resulta que M' y A* son, respectivamente, congruentes, con pM y
pA, para algún p # 0. Como dos matrices congruentes tienen la misma signa­
tura, se concluye que sig/Vf' = sig(pAf) y que sigA' = sig (pA).

484. Á L G E B R A LINEAL
EJERCICIO
Se sabe que una misma cónica tiene, en dos sistemas de referencia c<uiesianos
rectangulares diferentes, ecuaciones del tipo:
en la primera referencia: . r + ay^ = I
en la segunda referencia: x 'y ’ = k
Hallar a y k.
RESOLUCIÓN
Recurriendo a los invariantes de las cónicas. [232], se obtiene que. piu^a cierto
p e R, ha de ser:
det A/' = p ’ det M -» í:/4 = p ’( - a )
det A' = p- del A —► - 1 / 4 = p \a )
o í i + 0 : i = P(aii+<*k) 0 = p ( l + a )
luego a = — 1 y k = 2:1/2.
Q ECUACIONES REDUCIDAS DE LAS CÓNICAS
(2331
En el plano euclideo y respecto de una cierta referencia cartesiana rec>
tangular se considera lu cónica cuya matriz es A/; sea A O su submaüiz
de los iérmin(xs cuadráticos; sean Aj y Aj los autovalores de A,
Se verifica entonces que existe alguna referencia cartesiana rectangu­
lar (coordenadas x, y) en la que la ecuación de la cónica es de uno de
los siguientes tipos (ecuaciones reducidas):
2.
3,
Caso Ecuación reducida Tipos de cónicas
A,#0
A,#0
A ^ + A y + j ; ^ = oElipses e hipérbolas (rcfc-
rídas a sus ejes) y pares de
rectas concurrentes (refe­
ridas a sus bisectrices).
A,=0
dclA /?tO
y^ = 2px Parábolas referidas a su eje
(eje x) y a su tangente en
el vértice (eje y).
A, = 0
A jítO
detAÍ = 0
(para cierto k e íl)
Pares de rectas paralelas.
( · ) En « ic caso, como det .4 - O (pues A, = 0), se verifica que Aj = o ,, + a^.
( · ♦ ) Eále par de rectas se puede poner, (ox, + -l- yXax, + px^ + S ) « 0 \ multipli-
cindo aquí e identificando se obtienen las dos rectas paralelas; si la distancia entre c I I m c s
</. entonces k «tf/A,

485. 481
DEMOSTRACION
Llamemos jc, y jCj a las coordenadas, de un punto genérico del plano, en la
referencia dada, con lo que la ecuación de la cónica (en esta referencia) será
[xYM[x] = O, donde [jc] = [1 jc, x^Y.
Como A es matriz simétrica, es ortogonalmente diagonalizable, de modo
que existe una matriz ortogonal Q tal que:
donde /7(m,, Wj) y M^e son vectores propios de A correspondientes a
A| y Aj, forman una base ortonormal de W . Resulta entonces que al cambiar
la referencia cartesiana rectangular a otra (nuevas coordenadas jc¡ y jcó) que
tenga por base de vectores libres a la (w, v \ la nueva matriz de los términos
cuadráticos será la anterior matriz diagonal de autovalores, por lo que la nueva
matriz M' de la cónica y la correspondiente ecuación de ésta serán del tipo
(píu*a unas ciertas constantes a, ^ y y):
0' M, t>,
0
; sea Q =
A2 M, V2
ya
n
M ' = a A,0
-P0
^2-
1. Si A, O y Aj ^ O, existe una traslación de ejes (nuevas coordenadas x t y )
con la que la ecuación de la cónica queda del tipo:
A,jc^ + /: = 0 [B]
Esto se consigue, en efecto, haciendo en [A] el cambio de coordenadas
jc| = JC - a/A, y x^-y- ^S/Aj, como se comprueba trivialmente. Para hallar
el término independiente k, de |B], acudamos a las invariantes de las
cónicas (véase [305])» lo que nos permite asegurar que (al pasar de la
ecuación [jc ]'A /[jc ] = O a la ecuación [B]) existe un p O tal que:
AjAj^ = det M AjAj = p^ A, — pAj Aj — pAj
de donde se obtiene que p = 1, A,Aj = det /\, Â: = det Af/det A. Al llevar este
último resultado a |B] se obtiene la ecuación reducida que se dio en el
enunciado.
2 y 3. Si A, = O y Aj O, existe una traslación de ejes (nuevas coordenadas
jc[', x'2) con la que la ecuación de la cónica queda del tipo:
jc''2 + 2a,c¡'it = 0 [C]
Esto se consigue, en efecto, haciendo en [A] el cambio de coordenadas
x \= x [ ' y ^2^ X2 como se comprueba trivialmente. Distingamos
ahora dos casos:

486. • Si det M ^ O , entonces también es no nulo el determinante de la matriz
de la ecuación [C], es decir, es será a # O y la
ecuación [CJ lo es de una parábola. Al referir esta parábola a su eje
(eje a : ) y a su tangente en el vértice (eje y), su ecuación queda en la
forma y'· = Ipx. Debemos calcular p, para lo que acudimos a las inva­
riantes de las cónicas (véase [305]), lo que nos permite asegurar que (ai
pasar de la ecuación [x]‘M[x\ = O a la ^ = 2px) existe un p ^ O tal que
-p ^ = det Af 1 = pAj
con lo que -p ^ = det al llevar este valor de p a / = 2px se
obtiene el resultado del enunciado (téngase en cuenta que ahora, según
se ha indicado en el enunciado, es Aj = a , , +
• Si det M = O, entonces es a^Aj = O (pues tam bién será nulo el determi­
nante de la matriz de la ecuación [C], con lo que será a = O y la ecuación
[C] de la cónica queda ahora en la forma jc^'^ -I- A: = O, que es del tipo
descrito en el enunciado (apartado 1.3.“; a la coordenada x ,' se la ha
llamado y).
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _Al g e b r a l i n e a l
E JE R C IC IO
Hallar las ecuaciones reducidas de las siguientes cónicas:
1. 3x^ + 2xy + 3 y ^ - 2 x - 4 y + \ = 0
2. - 4 jc>> -)- / -t- 2;t + 4y - 10 = O
RESOLUCIÓN
Las matrices de la cónica, M, y de los términos cuadráticos. A, son:
■ 1 - 1 -2 ~
'3 r
1 3
M =- 1 3 1 >4 =
- - 2 1 3_
d e t A f = - 3
det;4 = 8
La ecuación característica de A, esto es, det(/l - A/) = O, en nuestro caso
es la A* - 6A + 8 = O, cuya.s raíces son, obviamente, A, = 4 y Aj = 8. Por
tanto, la ecuación reducida, del tipo [233], 1, es la
4 ^ - l- 2 y ' + ( - 3 / 8 ) = 0 o s e a + = i
(la cónica es, evidentemente, una elipse de semiejes a = y b —
2. Las matrices de la cónica, M, y de los térm inos cuadráticos, ;4, son:
M-
■ -1 01 2 '
4 - 2 '
14- 2 A =
_ 2 - 2 I .
- 2 1
d etM = -2 5
det A = O

487. La ecuación característica de A es ahora la - 5A = O, cuyas raíces son
A, = O y Aj = 5. Por tanto, la ecuación reducida, del tipo [306], 2, es la
= 2>/“ ( “ 25)/5^jc o sea y = (2/V5)jc
(la cónica es una parábola, cuyo parámetro es p = 1A/5).
□CLASIFICACION GENERAL DE LAS CONICAS
En el siguiente cuadro se plasma la clasificación general de las cónicas;
en él, M es la matriz de la cónica y /\ es su submatriz de los términos
cuadráticos (en una cierta referencia ciulesiana rectangular cualesquiera):
M Tipo de cónica
d e t / \ > 0
sigA/ = (2, 1)0(1, 2) Elipse (real)
sigM = (3, 0 ) 0 ( 0 , 3)El vacío (elipse imaginaria)
detM = 0 Un punto (dos rectas imagina­
rias que se cortan en el punto)
d e t-4 < 0
d e t M # 0 H ipérbola
det A/ = 0 Dos rectas que se co rta n
(rectas reales)
det /i = 0
det Ai # 0 P arábola
detAf = 0 Dos rectas paralelas***
( ♦) Las rectas paralelas son: I) reales si sigA/ = (l, I); 2) imaginarias si sigA/ = (2, 0)
o (O, 2); 3) coincidcntcs (una recia doble) si rang Af = I .
DEMOSTRACION
Para empezar, conviene tener en cuenta que. como la ecuación característica de A
(cuyas soluciones son los autovalores A, y Aj de A) es A^-(£t,, +0^2^ i-detA = O,
se verifica que A,A2 = det/l, por lo que d et/t será mayor que O, menor que O
o igual a O según que. respectivamente. A, y Aj tengan igual signo, lo tengan
distinto o uno sea nulo. De ello se desprende que: si det ^ O, entonces la
ecuación reducida de la cónica es la de [233], 1; si detA = 0 y det A /^ O,
la ecuación reducida es la de [233], 2; si det A = O y det A/ = O, la ecuación
reducida es la de [233], 3. También conviene recordar que la signatura de M
es un invariante de las cónicas (véase [232]).

488. Al g e b r a l i n e a l
Acudiendo a lo ya dicho, al analizar uno tras otro los siete casos que figuran
en el cuadro del enunciado, resulta fácil com probar que sus ecuaciones redu­
cidas son (véase [233]) de los tipos que se indican a continuación (se ha
llamado = lA j, ¡3^ = lAjI y = |det M játi /4|) y que estas ecuaciones lo son
de las cónicas que, en cada caso, se señalan. A la vista de lo que de ello resulta,
es obvio que queda com probada la clasificación que se da en el enunciado:
Caso Caracterización Ecuación reducida Tipo de cónica
I.»
signo A, = signo A2
signât/V/ = (2. 1) 0 (1, 2)
a V + y s y = y > 0 Elipse
2.“
signo A, = signo Aj
signât M = (3, 0) 0 (0. 3)
a V + ) 8 y = - y < 0El vacío
3."
signo A, = signo A2
dclAf = 0
a V + / j y = 0 El punto (0, 0)
4.“ ,
'signo A, ^ signo Aj
del iV/ # 0
a V - / 3 y = ± y 9 t OHipérbolas
5.“
signo A, ^ signo Aj
detAf = 0
a V - y S y = 0 Rectas o a ± P y = Q
6." 1
A, = 0. Aj^fcO
det A/ 0
f = 2 p x { p = ^ 0 ) Parábola
7.“
A, = 0. Aj ífe 0
dclAf = 0
f = k Rectas y = ± y /k
E JE R C IC IO
Clasificar, en función del valor que tome el parámetro a e R, la siguiente
cónica:
4- 2ay^ — 2axy - 2jc + Aay = O
RESOLUCION
Diagonalizando por congruencia la matriz M de esta cónica se llega fácilnicmc
a la siguiente matriz D:
■ 0 - 1 2a~ ■ -10 0 '
M =- 1 1 —a D = 01 0
_ 2a —a 2a, 002a_

489. 485
Como, además, det M = -2« y det A = a {l - a) (donde A es la matriz de los
términos cuadráticos de la cónica), resulta que:
Si a < O, es det A < O y det M ^ O
Si Û = O, es det A = O y det Af = O
Si 0 < f l < 2 , es det /4 > 0 y sig Af = (2, 1}
Si C7 = 2, es det i4 = O y det M ^ O
Si 2 < tí, es det A < O y det Af O
hipérbola,
rectas paralelas.
—► elipse real.
—► parábola.
—► hipérbola.
Este resultado puede representarse recurriendo al siguiente esquema:
tí = o tí = 2
OBSERVACION
El cuadro de [234], de la clasificación general, puede ponerse también en la
forma:
sig A/= (3, 0 ) 0 (O, 3)
sigAf = (2, 1 )0 (1,2)
sigAf = (2, 1 ) 0 (1,2)
sig A/= (2, 1 ) 0 (1,2)
sig A = (2, 0) o (O, 2)
sig A = (2, 0) o (O, 2)
sig = ( 1, 1 )
sig A = (1,0) o (O, 1)
Elipse imaginaria
Elipse real
Hipérbola
Parábola
Para comprobar que lo aquí expresado equivale a lo dicho en [234], téngase
en cuenta las siguientes consideraciones. Como A es de tamaño 2 x 2, la
condición detA > 0 equivale a sigA = (2, 0) o (O, 2) y la condición detA < 0
equivale a que sea sig A = (1, 1). Como A O, la condición detA = O equiva­
le a sig A = (1, 0) o (O, 1), salvo para las cónicas imaginarias, en las que
sig M = (3, 0) o (O, 3), la condición det Af O equivale (por ser M de tamaño
3x3) a sigA/ = (2, 1) o (1, 2).
11.5. ELEMENTOS DE LAS CONICAS
□ CONICAS CON CENTRO
Hay cónicas, como las elipses, que tienen un centro de simetría; hay otras,
como las parábolas, que carecen de él. Se habla aquí de las cónicas con centro,
analizando cuando existe éste y hallándole, en su caso.

490. Á L G E B R A LINEAL
[235] Se dice que un punto fl es centro de una cónica si f l es centro de simetría
de la misma<’\ Supongamos que, en una cierta referencia cartesiana
rectangular (coordenadas jc,, x·), la ecuación de la cónica es [x^Mlx] = O,
donde [jc] = [l .t, x ,Y y
M-
c5 '1
siendo A =
«11 «12
y 5 =
b ;
_BA . .«21 «22. . K
1. La cónica tiene un centro (sólo uno) si y sólo si \ = det A # O y. en
tal caso, las coordenadas del centro son las soluciones jc, y JC2 del
sistema A (a*1 = - 5 , esto es, de:
« ti « i : ' - íi'
_ _
«21« 22. / 2- Pz.
que son
I"= Aj/A,,
donde ^ = det A, A, y Aj son los adjuntos de los elementos de la
primera fila de Af.
2. Si la cónica tiene centro í1(íí>,, oíj), al trasladar el origen de la re­
ferencia a n (nuevas coordenadas jc[ = jc, — y Jcí == X2 ~ ^2), la
ecuación de la cónica toma la forma ¡yVA[.v'] + c ' = O, donde
c' = c + [(0^102^8, es decir:
a^^x\^ 2a^2x[x2'^ c ' = 0 donde c ' = c + + ^,¿>2 [2]
( ·) Según ya sabemos, las elipses y lus hipérbolas tienen centro; lus parábolas carecen
de él. Es evidente que un par de rectas concurrentes tienen por centro a su punto de corte:
un par de rectas paralelas tienen infinitos centros, los cuales forman la paralela media; todos
los puntos de una recta doble son centros de la misma.
DEMOSTRACIÓN
I. Obsérvese que la ecuación de la cónica se puede expresar en la forma
(jt)'/4[jrl + 2[x\'B + [c] = O. Dado un punto íí(w ,, w,), al trasladar el origen
de la referencia a f l (nuevas coordenadas x¡ = x¡ - a>¡) la ecuación de la
cónica en la nueva referencia es, evidentemente:
U 'l'A U 'l + 2lx']'B’ + [c'l = O donde
= A{cü] + B
[cüYaIú)] + 21<o]'B + c
[I]
(se ha llamado [a>] = [w, «j]). Para que Í1 sea centro de simetría de la
cónica, la condición que debe verificarse es que esta ecuación tenga nulos
sus términos lineales (para que al sustituir x \ y x!^ por -jc¡ y - x \ la ecua­
ción no cambie), esto es, que B' - O (con lo que 2{x'\'B’ = 2b^x\ +
cs idénticamente nulo), o sea, que se verifique A[(ú] + B = O.

491. Y GENERAL 487
Así pues, la cónica tendrá un centro (único) si y sólo si el sistema
A[x] ^ B = O (lineal, de dos ecuaciones de dos incógnitas) tiene solución
única, lo que equivale a que sea det Ai^O; en este supuesto, la solución
de la ecuación es jc, = A,/4), X2 - ^2/^ ) (donde \ = det A, A, y Aj son los
adjuntos de los elementos de la primera fila de M), ya que, para estas x,
y JC2, los dos elementos de la matriz A[x] + B son (para 1 = 1, 2):
2 A 1 1
J - I \ X A ,,
puesto que el anterior paréntesis es la suma de los productos de los
elementos de la fila / + 1 de Af (esto es, los a·, y a,^) por los adjuntos
de los respectivos elementos de la primera fila de M, que vale 0.
2. Al trasladar el origen al punto 0 (0;,, cüj), la ecuación de la cónica será la
ya obtenida en [I] con la peculiaridad de que ahora es A[co] B = O (pues
í) es centro de la cónica) y donde c' es, pues, el dado en [I] tom ando
B = -A[(o]\ esto es, dicha ecuación será:
[x'YAIx'] + c' = o con f ' = -[(oYB + 2[coYB -f c = [ojYB + c
que es (en forma matricial) el resultado [2], que había que probar.
E JE R C IC IO
Hallar, en función del valor que tome el parámetro e R, el centro de la
siguiente cónica, cuando exista:
jc^ + / + 2 a x } » + 2 x + 2 y - 3 = O
RESOLUCION
Acudamos a la ecuación i4[.r] = - 5 (véase [308], [1]) que proporciona los
centros de las cónicas, que en nuestro caso es:
pues A =
1 a
a 1
Al discutir y resolver, en su caso, este sistema, se tiene fácilmente que:
• Si a ^ ± 1, la cónica tiene centro y éste es el punto ( - I/(a 4- 1), - 1/(« + l);
la cónica será elipse o hipérbola, según los valores que tom e a.
• Si cí = - 1 , la cónica carece de centro (se trata, pues, de una parábola).
• S i f l = l, la cónica tiene infinitos centros (todos los puntos de la recta
A· + y + 1 = 0), por lo que se trata de un par de rectas paralelas.

492. Al g e b r a l i n e a l
□ EJES DE LAS CÓNICAS CON CENTRO
Las cónicas con centro (elipses, hipérbolas y también pares de rectas concu­
rrentes) tienen dos ejes de simetría, ortogonales, como muy bien se sabe desde
el principio del capítulo (véanse [219] y [220]). Se trata aquí de obtener dichos
ejes cuando la cónica se conoce a través de su «ecuación general».
[236] En el plano euclídeo y respecto de una cierta referencia cartesiana rectan­
gular (coordenadas JC|, JCj), sea dada la cónica que admite por ecuación a la:
= O donde [x] =
c B'
_BA
Se supone que la cónica dada tiene centro único (esto es, que se
verifica que det A ^ 0), es decir, se trata de una elipse (si det A > O y
det M ^ 0), de una hipérbola (si del i4 < O y det 9^= 0) o de un par de
rectas concurrentes (si det /\ O y del Ai = 0). Es sabido que una cónica
con centro tiene dos ejes (ejes de simetría; véanse 1219] y [220]) ortogo­
nales; pues bien, los ejes de la cónica dada son las rectas [jc] = Í1 + p[ü^]
y lx\ = íl + p[/7,] (p 6 R parámetro) siguientes:
EJES
• Pasan ambos por el centro í l de la cónica (solución del sistema
i4[jc] = - B ; véase [235]» 1) y se cortan ortogonalmente en él.
♦ Tienen las direcciones de dos vectores propios w, y Wj (orto-
normales) de la matriz A = [a^j\. Sus pendientes ( tn -x jx ^ ) son
las soluciones de la ecuación a^2^tr + (í/,, — ^22) ^ ~ «12 = O·
DEMOSTRACIÓN
Los ejes (de simetría) de la cónica son los ejes de la referencia cartesiana
rectangular en la que la cónica tiene ecuación reducida; busquemos, pues, lal
referencia^*\
Recordemos que la matriz A, por ser simétrica, es ortogonalmente diago-
nalizable (véase [178], 2), es decir, existe una matriz ortogonal Q tal que
Q AQ = D es la matriz diagonal de los autovalores de A (aquella cuya diagonal
está formada por los autovalores A, y A2 de A); las columnas de Q son vectores
( · ) N ótese que a lo largo de la demostración de [233], I, cuando se hallaba la ecuación
reducida de una cónica con centro, .se obtuvo que los ejes de la correspondiente referencia
c a l l a n a te n íw las direcciones de dos vectores propios de A, ortogonales entre sí. Así pues,
p a r ía m o s aquí echar mano de aquel resultado y reducir drásticamente nuestra demosü’ación. No
obstante, ha parecido m is oportuno hacer aquí una dem ostración ad hoc.

493. 489
propios, ü^ y «j. de A correspondientes a sus autovalores A, y Aj, que forman
una base ortonormal.
Para empezar, traslademos los ejes de la referencia y pongám oslos con
origen en el centro Í1 de la cónica (nuevas coordenadas jc¡, JCj); en estos nuevos
ejes, la cónica tiene (véase [233], 2) ecuación del tipo:
I a,jx¡x¡+c'=0 (para algún c' e U)
Cambiemos ahora los vectores de la base (de la referencia cartesiana rec-
tangular dada) por los vectores propios w, y Wj; en la nueva referencia que así
se obtiene (ahora no se cambia el origen; nuevas coordenadas jc, y ) , la matriz
A/' de la cónica será (véase [231]):
1 0 c ' 0 ■ 1
0 ]
l · '
0 c ' 0
0
Q ' .
0A 0
Q \
Q ' A Q ]
0D
M' =
es decir, en esta referencia la ecuación de la cónica es:
A,Jc" + A 2 / + c' = 0
Como esta ecuación, que lo es en la referencia (íi; m,, Üj), es la reducida,
resulta que, como ya dijo antes, los ejes de esta referencia (rectas f l + p«, y
f l + pÜ2, con p e U) son los ejes de la cónica, como había que com probar.
Para acabar, obtengamos la ecuación que da las pendientes de los ejes. Si
m es la pendiente de uno cualquiera de los ejes, entonces el vector (1, m) es
vector propio de A correspondiente a uno de sus autovalores, que llam arem os A.
Así pues, se verifica que:
(úfj, — A) + ma^2 = O
Ü 2 1 + (^22 *“ A)m = o
Eliminando A entre estas dos últimas ecuaciones se obtiene:
a ,2«^ + (fl,i - - 0,2 = O
que es entonces la ecuación cuyas raíces son las pendientes de los ejes de la
cónica.
a , , - A a,2T 0 '
0
0 sea
Ü2, «22 -
m
EJERCICIO
Hallar los ejes de la siguiente cónica, clasificándola previamente:
7jc^ -f 8jcy + / + 12x - + 3 = o
RESOLUCIÓN
La matriz de la cónica es:
Af =
c B'
B A
3 6 - 3
= 67 4
. - 34 1

494. Á L G E B R A LINEAL
Como det M = - 2 7 0 # O y det A = - 9 < O, la cónica es una hipérbola.
Acudiendo al sistema de ecuaciones A[x] = - B , que proporciona las coordena­
das del centro Si, se tiene:
7x + 4y= —6
4 a : -I- y = 3
cuya solución es f l
■jt = 2
y = - 5
Las pendientes de los ejes son las raíces de la ecuación a,jm^+
+ (a,, - ajj)/« - «12 = O, que en nuestro caso es:
4m- + 6/n - 4 = O cuyas raíces son
m, = 1/2
/ ” 2 ~ “ 2
Por tanto, los ejes de la hipérbola son las rectas:
íy - l- 5 = { l/ 2 ) ( j:- 2 )
,v-l-5= - 2 ( j c - 2 )
o sea
Í x - 2 y = l 2
|2A:-l->-f- 1 = 0
^ ASÍNTOTAS DE LAS HIPÉRBOLAS
[237]
En el plano euclídeo y respecto de una cierta referencia cartesiana rec­
tangular (coordenadas x e y \ sea dada la cónica que tiene por matriz a la:
M =
c
donde A =
"^11 ^12
A ^
«21 «22.
es la submatriz (simétrica)
de los términos cuadráticos
Se supone que la cónica dada es una hipérbola (esto es, que se verifica
que det A < O y det A/ Es sabido (véase [221]) que cada una de las
dos asíntotas de la hipérbola es la posición límite de una recta variable,
que pasa por el centro fl, al hacer que las intersecciones de la recta con
la hipérbola tiendan al infinito (la intersección de la hipérbola con cada
una de sus asíntotas es vacía; no es ni real ni imaginaria). Pues bien, las
asíntotas de la hipérbola dada son las rectas
y - P = m j^ x - á) donde
• ( a , P) son las coordenadas del centro Í1
de la hipérbola (solución de A[x] = -i?;
véase [235], 1).
• los m- (para i= 1, 2) son las raíces de la ecua­
ción [1 w ]A [l m] = O, o sea, las raíces de
(*) Si del M = 0, la cónica es un par de rectas y entonces ellas son sus propias asíntotas.
(**) Las raíces de esta ecuación son reales pues su discriniinante es
= “ det/\ > 0. Si fuese = 0, cátnbiensc los papeles de .v e v.

495. 491
D E M O ST R A C IÓ N
Como las asíntotas pasan por el centro, admiten ecuación del tipo y - b -
= m{x — £/); se trata, pues, de hallar los valores de m de las asíntotas. Pongamos
la anterior ecuación en forma paramétrica: jc = í / + A, = + mA(A e R pará­
metro). La intersección de la hipérbola con esta recta puede obtenerse, acu­
diendo a la ecuación paramétrica, tomando para A las soluciones de la ecuación
\xYM[x\ = O (ecuación de la hipérbola) cuando se toma
■ 1 ■ l/A -
w = a + Á que se puede poner {x] = Aa/Á+ 1
_h + mÁ_ _h/Á + m_
es decir, la intersección se obtiene al tomar (en x =
que sea solución de la ecuación
= + A , y = b-\· m \) un A
[l/A ü/A + I blk-^m \M
1/A
Í//A + 1
_b!\ + m_
= 0 [IJ
La recta y - h - m(x - a) tenderá a una asíntota (esto es, m tenderá a la
pendiente de una asíntota) cuando acontezca que la intersección (jc = « + A,
y - b - \ - wA, donde A es solución de [I]) tienda a infinito, esto es, cuando A
(solución de [11) tienda a infinito. Haciendo, pues, que A tienda a infinito en
[1| se obtienen los valores, m, de las pendientes de las asíntotas, que serán, por
ello, las soluciones de la ecuación siguiente (obtenida al hallar límite en [I]
cuando A —► <»):
[O 1 m]M O o sea [1 m]A = 0
que también se puede poner en la forma ¿122''^’ + a,, = O, com o había
que comprobar.
E JE R C IC IO
Comprobar que la siguiente cónica es una hipérbola y hallar sus asíntotas:
+ 5jcy - 2 / - 13jc - 19y + 9 = o
RESOLUCION
La matriz de la cónica es:
B'
A
9- 1 3 /2- 1 9 /2 1
M =
c
B
=- 1 3 /2 3 5/2
_ -1 9 /2 5/2 - 2 .

496. Á L G E B R A LINEAL
Como det A = - 1 / 4 < O y det A/ = 49/4 O, la cónica es, en efecto, hipér­
bola. Para hallar el centro b) de la cónica, resolvamos la ecuación
A[x] = -B :
3x + (5p.)y= 13/2
(5 /2 )x -2 > -= 1 9 /2
cuya solución es
Las pendientes de las asíntotas son las soluciones de la ecuación ü,jmH
+ la^^n -H 0,1 = O, que en este caso es:
m, = 3
- 2 n r + 5/w + 3 = O cuyas raíces son
«íj = - 1 /2
Por tanto, las asíntotas de la hipérbola son las rectas { y - b - m,(x - a)):
y - l - l = 3 ( . t - 3 )
_>.-l- l = ( - l / 2 ) ( . í - 3 )
o sea
3 jt-> > = 10
x - \- 2 y = \
EJE DE UNA PARABOLA
U 3 8 I
En el plano euclídeo y respecto de una cierta referencia cartesiana rec­
tangular (coordenadas jc,, ^2) considera la cónica cuya matriz es A/ y
cuya submatriz de términos cuadráticos en A\
cB ''
A —"11 «12
B A _
A —
«11 "22.
es decir, la que tiene por ecuación a la 1jcJ'A/[a*J = O, donde \i]-
= [1
Supongamos que la cónica dada es una parábola (esto es, que se
verifica que det /\ = O y det A/ 0). Según es sabido, la parábola tiene
un eje (eje de simetría; véase [222]). El eje de la parábola, que tiene ia
dirección del vector é(a^2f ~Oii) (este é es vector propio de A correspon­
diente a su autovalor nulo), es la recta de ecuación:
[O a,i a,2]M[x] =
El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su
eje. La tangente en el vértice es la perpendicular al eje, en el vértice; esta
tangente también se puede obtener directamente con la fórmula que luego
se verá.
( ·) Esta ecuación se obtiene acudiendo al siguiente resultado; cuando un punto voriíiblc,
P♦ tiende al infinito según dirección perpendicular al eje de la parábola, entonces lu polar
de P tiende al eje de la parábola.

497. 493
DEMOSTRACION
En la demostración de [233], 2, cuando se obtenía la ecuación reducida de una
parábola, se vio que la dirección del eje de una parábola (que allí se llam ó eje
x \ o eje jc) era la dirección de los vectores propios de A correspondientes a su
autovalor nulo (A, = O es autovalor de A ya que det A = 0). Es evidente que un
tal vector propio lo es el é(a,2, -fl,i) (o el («22» *“ «12)* es proporcional al
e, con lo que el eje de la parábola tiene, en efecto, la dirección de e.
Para obtener la ecuación del eje. vamos a acudir a la propiedad que se cita
en el pie del enunciado (que ya se demostró en el segundo de los ejercicios de
[230]), esto es, a que cuando un punto P tiende al infinito según dirección
perpendicular a ^(¿/,2, ” «n)» es decir, según la dirección del vector (a^^, a ,2),
entonces la polar de P, que tiene por ecuación a la [pYMlx] = O, tiende al eje
de la parábola. El punto P lo habremos, pues, de tom ar del tipo P{a + pa^^,
P + y haremos luego que cualesquiera, pero fijos). La polar
de P será, pues:
[1 a + p a,, + pfl,2]Af[jc] = O
que, dividiendo por p, puede ponerse en la forma:
[1/p otlp^a^^ P!p-\- a^2W{x] = 0
Al hacer ahora que p— se obtiene la ecuación del eje, que es la que
figura en el enunciado.
J TANGENTE EN EL VÉRTICE DE UNA PARABOLA
Se considera una parábola que, en cierta referencia cartesiana rectangular del
plano (coordenadas jc,, jCj), tiene matriz M y subm atriz de térm inos cuadráti­
cos A:
c
A ^"11 «12
.flA .
A =
«21 ^22.
(nótese que det Af O y det A = O, por tratarse de una parábola), es decir, la
que tiene por ecuación a la [ x Y M \ x ] = O, donde [jc] = [1 jc, jCj] . Se verifica que
la tangente en el vértice de esta parábola tiene por ecuación a la:
([O ^,2]A^[JtD' = ([0 a.^WlO a,, a,2Y )([xY M lx]r
(esta ecuación, aunque parece de segundo grado, lo es de prim ero, pues se
destruyen en ella los términos cuadráticos).
(*) Estu ecuación se obtiene acudiendo ai siguiente resultado: cuando un punto variable, P,
tiende al infinito según una dirección perpendicular al eje de la parábola, entonces una de las dos
tangentes desde P a la parábola tiende a la tangente en el vértice (la otra tangente desaparece:
tiende al infínito).

498. Según se señala en la nota a pie de página y se prueba en el segundo «ejercicio»
de [230], la tangente en el vértice será el límite al que tiende una de las
tangentes, a la parábola desde un punto P, cuando P tiende al infinito según la
dirección del vector (ü,,, 0,2), perpendicular al eje, es decir, cuando se toma
P(a + píi,,, P + píZjj) y se hace que p —♦ 00 (siendo a y /3 fijos, cualesquiera).
La ecuación conjunta de las dos tangentes desde P a la parábola es, según se
obtuvo en [230], [l]:
ilpYM lx]f = (\pYM lp]m YM [x]) con [p]' = [l a + pa,, + pa.J
Dividiendo en ambos miembros por p ‘, la ecuación es ahora la anterior pero
lomando en ella, en lugar de [/)]', la matriz:
{l/W[pl'=[l/p a/p + «„ P lp + a,j]
Y haciendo, finalmente, que p— la ecuación se transforma en la del
enunciado, como había que comprobar. Conviene observar que, al desarrollar
esta ecuación, acontece que los términos cuadráticos (términos en jq, en XjjCj y
en x^) del primer y del segundo miembro son iguales, por lo que se destruyen
y la ecuación es entonces de primer grado, por lo que representa a una (sola)
recia, que es la tangente en el vértice. Así pues, las dos tangentes desde P a
la parábola tienden: una de ellas a la tangente en el vértice; la oü-a al infinito
(por lo que se «pierde», no aparece formando parte de [2]).
D E M O S T R A C IO N
E JE R C IC IO
Comprobar que la siguiente cónica es una parábola y hallar su eje y su tangente
en el vértice:
, r - 6,rv + 9y2 -f 8.t - 4y + 11 = O
RESOLUCIÓN
La matriz de la cónica es:
M-
cB'
BA
11
4
- 2
1 - 3
- 3 9.
Como del i4 = O y del A/ = - 6 7 O, la cónica es, en efecto, una parábola.
La ecuación del eje de esta parábola es, de acuerdo con [311], [1]:
■ 11 4 - 2 "T
[0 1 -3] 4 1 -3 X= 0 0 sea JC — 3y + 1 = 0
. - 2 - 3 9.

499. 495
El vértice (intersección de la parábola con su eje) se obtiene al hacer, en
la ecuación de la parábola, x = 3 y - \ \ con ello se obtiene:
20y + 4 = 0 luego Vértice = ( - 8 / 5 , - 1 / 5 )
La tangente en el vértice (perpendicular por el vértice al eje) será, pues:
= 0 o sea 3 jc + y + 5 = O
Obsérvese que la tangente en el vértice también puede obtenerse acudiendo
a la ecuación [311], [2], de la que se obtiene:
(10^ - 30>^ + 10)^ = (10 + 90)(jc^ - 6xy + 9 / + 8 j c - 4>^ 4- 1 i)
o sea:
100(jc^ - 6jcy -I- 9 / + 2jc - 6); + 1) = 100(jc^ - 6;c>^ + 9 / + 8jc - 4>^ 4- 11)
que, simplificando, conduce a
3jc + y + 5 = 0
(que coincide con lo antes obtenido). Nótese que este segundo procedim iento
es más laborioso que el primero.

500. CAPITULO
Cuádricas: estudios
particular y general
Las cuádricas son superficies, de £3, que admiten ecuación de segundo grado
(en las coordenadas jc, y, z de una referencia cartesiana, que supondremos
rectangular), por lo que también se las conoce como superficies de segundo
orden o variedades cuadráticas (de £3).
El estudio de las cónicas del capítulo anterior nos servirá de paula para el
que aquí hagamos de las cuádricas. No obstante, el análisis de éstas es nota­
blemente más complejo y laborioso que el de aquéllas, y ello no sólo por la
complicación natural que entraña el pasar de dos a tres coordenadas, sino
también por el hecho de presentarse ahora situaciones nuevas, sin precedentes
en el caso de las cónicas, como puede ser todo lo referente a las cuádricas
regladas o a la clasificación de los puntos de las cuádricas en elípticos, hiper­
bólicos y parabólicos.
Las cosas se ordenan aquí con el mismo criterio que en el caso de las
cónicas: empezaremos con el estudio particular de las cuádricas, que arranca
de las definiciones geométricas de las «cinco cuádricas», y concluiremos con
su estudio general, que analiza todas las superficies que admiten ecuación de
segundo grado, a partir de tales ecuaciones.
a ESTUDIO PARTICULAR
DE LAS CUADRIGAS
Aquí, en este estudio inicial de las cuádricas, vamos a abordar menos cuestiones
de las que, en el caso de las cónicas, nos ocupamos cuando hicimos su estudio
particular. Hay para ello un motivo importante: la dificultad de los lemas
tratados para las cónicas aumenta notablemente cuando se estudian para cuá­
dricas. Así, por ejemplo, comprobar que, en general, la intersección de una
cuádrica con un plano es una cónica y, más aún, analizar si ésta es elipse,
parábola o hipérbola, nos iba a costar ahora muchos más esfuerzos de lo
razonable. Aplazamos, pues, estos y otros asuntos para más adelante, donde su
análisis ha de resultamos bastante más fácil.

501. 497
LAS CINCO CUÁDRICAS
Q l EL ELIPSOIDE; ECUACIÓN REDUCIDA
[239]
En el espacio euclídeo £3 y respecto de ejes rectangulares Oxyz se
consideran los puntos A{a, O, 0), A '(-a , O, 0), 5(0, /?, 0), 5 '(0 , - b , 0),
C(0, O, c) y C'(0, O, ~c), donde a >0, ¿ > 0 y c > 0 son dados. Sean
las elipses cuyos ejes son BB' y C C \ C C y A A \ AA' y B B \
respectivamente. Se llama elipsoide, que tiene por vértices a A, A \ B, B \
C y C , al lugar geométrico definido, enlre otras, de las siguientes ma­
neras, equivalentes entre sí:
1.
2.
Lugar geométrico que describe una elipse, variable, situada en un
plano perpendicular el eje Oz y que tiene sus vértices en las elipses
E, y£,.
Lugar geométrico que describe una elipse, variable, situada en un
plano que contiene al eje Oz, que tiene dos vértices en C y C y los
otros dos en la elipse
Dicho elipsoide, referido a los ejes rectangulares Oxyz, admite por ecua­
ción a:
^ y2 J
-f — = 1 (ecuación reducida)
b^ r
F ig u r a 1 2 .1 .

502. Al g e b r a l in e a l
COMPROBACION
Antes de nada es conveniente observar que, en las anteriores definiciones I y 2,
se pueden intercambiar los papeles que desem peñan las variables jc, >, z, obte­
niéndose con ello el mismo elipsoide.
Para comprobar que las dos definiciones, 1 y 2, son equivalentes, vamos a
obtener las ecuaciones de los dos lugares geom étricos, los que se definen con
una y otra; veremos que estas ecuaciones son, am bas, la que en el enunciado
se llama «ecuación reducida».
Las elipses y E^ adm iten por ecuaciones a las:
E,:
x = 0
a
1. Un plano perpendicular al eje Oz, el z = /?, corta a las elipses E^ y E^ en
los puntos
(0. h)
( ± a y / i - ( h / c ) \ o. A)
respectivamente. Por ello la elipse variable será la:
_
z = h
[II
Eliminando h entre las dos ecuaciones [1] se obtiene la ecuación del lugar
geométrico; ésta es, obviam ente, la ecuación reducida que había que ob­
tener.
2. Sea 6 el ángulo que form a el plano variable, tt, con el plano >>=0;
tomando en el plano tt ejes rectangulares Oíz, donde Oí es su intersección
con el plano z = O, para los puntos del plano variable tt es jc = í eos ^ c
3; = / sen d. Este plano tt corta a la elipse E^ en los puntos z = O, / = ±/o.
siendo
(/o eos (9)*^ (/osen^)^
luego
1
(eos 0 /a f + (sen 8 /h f

503. [240]
Figura 12.2.
Por tanto, en los ejes Oiz la elipse variable admite por ecuación a
O sea:
Eliminando t y 6 entre esta última ecuación y las relaciones jc = / eos ^ e
>> = /sen^ se obtiene la ecuación del lugar geométrico, que coincide con
el anterior (el obtenido en 1).
El elipsoide que respecto de unos ciertos ejes rectangulares Oxyz adm ite
por ecuación reducida a
- + ¿ + ^ = 1
a·^ ^
es simétrico respecto del origen O (que es su centro), respecto de Ox de
Oy y de Oz (que son sus ejes) y de jc = O, de y = O y de z = O (planos
principales). Las secciones del elipsoide por planos secantes píu-alelos al
z = O (o al JC = O o al y = 0) son elipses homotéticas entre sí^*\
El elipsoide está situado entre las esferas de su mismo centro y cuyos
radios son el mayor y el menor de los números, a, h y c.
Si es a = b, el elipsoide es de revolución (alrededor de Oz). Si
tí = ¿» = c, el elipsoide es una esfera.
( ♦) Más adelante se probará que un plano secante con un elipsoide le corta siempre
según una elipse y que las elipses que se obtienen al cortarle por planos paralelos son
homotéticas.
COMPROBACION
Las simetrías del elipsoide se comprueban fácilmente sin más que observar que,
si (jc, y, z) es un tanto del elipsoide, también lo son todos los ( ± j c , ± y , ± z \
pues satisfacen también a su ecuación.
Al cortar el elipsoide por un plano z = /i se obtiene la elipse que adm ite las
anteriores ecuaciones [1], de la página 498, cuyos semiejes son proporcionales
á a y b (\dL constante de proporcionalidad es yj\ - (h/cf); estas elipses son,
pues, todas homotéticas a la que se obtiene para z = 0.

504. Á L G E B R A LINEAL
Supongamos fl>f>>c: de ser así. para todo punto del elipsoide es:
luego el elipsoide está situado entre las esferas de centro O y radios a y c.
E JE R C IC IO
Considérese el elipsoide que respecto de ejes rectangulares Oxyz del espacio
euclideo tiene por ecuación reducida a
x^ ^
+ — + -2=1 (siendo a < ¿? < c) [IJ
a“ b" c
Hállese un plano que contenga al eje Oy y que corte al elipsoide según una
circunferencia (a esta sección del elipsoide y a todas sus secciones paralelas se
las llama secciones cíclicas).
RESOLUCION
Sea z = el plano buscado y tomemos en él ejes rectangulares Oty, donde Ot
es su intersección con el plano y = 0; para los puntos de este plano es
intersección del plano z — my con el elipsoide es» pues» la curva que en los
ejes rectangulares Oty admite por ecuación a la que resulta de llevar las
expresiones [2] a la ecuación [1], esto es:
( 1 +otV ( 1 + m V
que es una elipse. Para obligar a que, según se nos pide, esta elipse sea una
circunferencia, basta con igualar los coeficientes de e
c ' + « W 1 . c
(i+».Vc="P·

505. [241]
Q HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA;
ECUACIÓN REDUCIDA
En el espacio euclídeo y respecto de ejes rectangulares Oxyz se
consideran los puntos A{a, O, 0), O, 0). B(0, b, 0), - b , 0).
C(0, O, c) y C (0 , O, - c ) , donde ^>0, b > 0 y c > 0 son dados. Sea E
la elipse cuyos semiejes son y 88' y //, y //, las hipérbolas cuyos
ejes reales son 88' y A A \ respectivamente, y cuyo eje imaginario es C C \
para ambas. Se llama hiperboloide de una hoja^^\ que tiene por ejes reales
^ AA' y 88' y por eje imaginario a C C \ al lugar geométrico defmido.
entre otras, de las siguientes maneras, equivalentes entre sí:
1. Lugar geométrico que describe una elipse, variable, situada en un
plano perpendicular al eje Oz y que tiene sus vértices en las hi­
pérbolas y Hy
2. Lugar geométrico que describe una hipérbola, variable, situada en un
plano que contiene al eje Oz, que tiene sus vértices en E y sus
extremos del eje imaginario son C y C \
El hiperboloide de una hoja, referido a los ejes Oxyz, admite por
ecuación a:
JT
^ + - r - = 1 (ecuación reducida)
a
(*) Más adelante se verá que este h¡pertx>lo¡de también debe ser llamado «hiperboloide
reglado» e «hiperboloide hiperbólico».
COMPROBACIÓN
Nótese que en la definición de hiperboloide de una hoja que acaba de darse
son intercambiables las variables y y z pero que la x desempeña un papel
esencialmente distinto del de aquéllas.
Para comprobar que las dos definiciones anteriores. 1 y 2, son equivalentes,
obtendremos las ecuaciones de los dos lugares geométricos, los que se definen
con una y otra, y veremos que son la misma, que coinciden con la que en el
enunciado se llamó «ecuación reducida».
La elipse £ y las hipérbolas y admiten por ecuaciones a las:
£:
a- b-
; H·.^
z = 0 ;t = 0
1. Un plano perpendicular al eje Oz, el z = /i* corta a las hipérbolas y
en los puntos
(O, ±by¡rT(J¡/cf, h) y (±ayj\ ^ (h/c)\ O, h)

506. Á LG E B R A LINEAL
respectivamente. Por ello la elipse variable será la;
Z = h
U1
Eliminando h entre las dos ecuaciones [l] se obtiene la ecuación del lugar
geométrico; al hacerio se obtiene la ecuación del enunciado.
2. Sea 6 el ángulo que forma el plano variable» ir, con el plano y = 0;
tomando en dicho plano tt ejes rectangulares OtZy donde Ot es su intersec­
ción con el plano z = O» para los puntos del plano variable tt es x = f eos 0
e y = t scn h. Este plano tt corta a la elipse E en los puntos z = O, / = ±t^
siendo
1
(eos 6/af-l· (stn6/bf
Por tanto» en los ejes Otz la hipérbola variable admite por ecuación a
. z" , i^cos^e ^ i^snT?e ^ ,
Eliminando t y 6 entre esta última ecuación [2] y las relaciones jc = / eos 0
e y = / sen B se obtiene la ecuación del lugar geométrico» que coincide con
el anterior (el obtenido en 1).
[2421
El hiperboloide de una hoja que respecto de unos ciertos ejes rectangu­
lares Oxyz admite por ecuación reducida a
c*
es simétrico respecto del origen O (que es su centro), respecto de Ox, de
Oy y de Oz (que son sus ejes) y de x-O, y = Oy z = 0 (planos principa­
les). Las secciones del hiperboloide por los planos z = constante son
elipses homotéticas a la elipse del plano z = O (elipse de garganta). Las
secciones del hiperboloide por planos x = h e y -k ( h y k constantes) son
hipérbolas hom otéticas, respectivam ente, a las de los planos = O e y = O,
si |/i| < a y lk l < b , o a sus hipérbolas conjugadas» si \h\>ay Ikl>b^"\
Si es a = h, el hiperboloide es de revolución (alrededor del eje Ozl
( · ) Si /i = ±tí o Á: = ±b, la intersección es un par de rectos; más adelante se anali7i»rá
este hecho.

507. C O M P R O B A C IO N
Piira verificar cuíinto se acaba de decir, se pueden seguir los mismos pasos que
se dieron en la comprobación de las correspondientes propiedades de los elip­
soides (véase [240]). Para evitar reiteraciones, nos limitaremos a com probar lo
referente a los cortes del hiperboloide por planos x — h (para los planos y — k,
se razona de modo análogo), que es donde se presenta alguna novedad.
La intersección del hiperboloide por el plano jc = /i es la curva de ecuaciones:
b \ \ - ( h l a n c \ \ - W a n
= !
x ~ h
que una hipérbola cuyos semiejes real e imaginario son
by¡\ - (hjaf y cyj\ - ( h j a f , sí \h \< a
y b-J{h/af — I , si |/ i | > a
luego esta hipérbola es homotética a la correspondiente a x = O (cuyos semiejes
real e imaginario son y r) si es \h\< a y es homotética a la hipérbola
conjugada de ésta (cuyos semiejes real e imaginario son c y b) si es \h\ > a.
E JE R C IC IO
Considérese el hiperboloide de una hoja que respecto de ejes rectangulares Oxyz
del espacio euclídeo tiene por ecuación reducida a la:
b'
Hállese el lugar geométrico que engendran las asíntotas de las hipérbolas que
resultan de cortar el hiperboloide por los planos que contienen al eje Oz.
Compruébese que dicho lugar es un cono (que se llama cono asiniótico del
hiperboloide).
RESOLUCION
Llamemos O al ángulo que forma el plano variable tt, que se cita en el
enunciado, con el plano y = O (^ viu’ía de O a 27t); tomemos en el plano tt ejes
rectangulares Otz, donde Ot es su intersección con el plano z = 0. P¿u*a los
puntos de tt es x = / eos ^ e y = / sen O y, por tanto, en los ejes Otz la ecuación
de la intersección es:
Jcos‘ 6 scvr 0\ z^

508. Á L G E B R A LIN EAL
L^s asíntotas de esta hipérbola son las rectas que admiten por ecuación,
conjunta, a
' e ^ sen
Por tanto, la ecuación del lugar geométrico que engendran estas rectas se
obtiene eliminando l y d entre la última ecuación y las .v = icos e > = fsen6.
Al eliminar dichos parámetros se obtiene:
[II
Obsérvese que esta última ecuación lo es del cono que. desde el origen de
coordenadas, proyecta a la elipse que admite por ecuaciones a las:
Z = C
Para comprobar este aserto, téngase en cuenta que este cono está formado
por los puntos x = aA, y = PÁ, z = yA, donde A e R y (a , y) es un punto
de dicho elipse, es decir, tal que {a^/ai^) + = 1 y r = c; eliminando A,
a, P y y entre estas últimas (cinco) ecuaciones se obtiene la ecuación [1].
□ HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS;
ECUACIÓN REDUCIDA
[243]
En el espacio euclídeo y respecto de ejes rectangulares Oxyz se
consideran los puntos A(a, O, 0), O, 0), 5(0, b, 0), 5 '( 0 , - ^ 0),
CXO, O, c) y C (0 . O, - c ) , donde a > O, ¿? > O y c > O son dados. Sean
y //, las hipérbolas cuyo eje real es A A \ para ambas, y cuyos ejes
imaginarios son BB* y C C \ respectivamente. Se llama hiperboloide de
dos hojas^^\ que tiene por eje real a AA' y por ejes imaginarios a BB* y
C C \ al lugar geométrico que describe una elipse, variable, situada en un
plano perpendicular al eje Oyz que tiene sus vértices en las hipérbolas
y»v
______________________
El hiperboloide de dos hojas, referido a los ejes Oxyz, admite por ecua­
ción a;
^ / z^
“ 2 p — 2 ~ ^ (ecuación reducida)
( ·) Mis adelante se verá que eslc hipcTholoide también debe ser llamado «hiperboloide
elíptico» e «(hiperboloide no reglado».

509. 5: ESTUDIOS PARTICULAR Y GENERAL 505
COMPROBACIÓN
Para probar que la ecuación del hiperboloide de dos hojas es la que en el
enunciado se llama «ecuación reducida», basta con repetir, con mínimos reto­
ques, Jo que ya se dijo para hacer, en [241], 1, la correspondiente comprobación
en el caso de hiperboloide de una hoja.
[244]
El hiperboloide de dos hojas que respecto de unos ciertos ejes rectangu­
lares Ojq'z admite por ecuación reducida a
y c ’
es simétrico respecto del origen O (que es su centró), respecto de Ox, de
O y y de O z (que son sus ejes) y de x = O, y = O y z = 0 (planos p rin c i­
pales).
Las secciones del hiperboloide por los planos x = h (h constante y tal
que \h\ > a) son elipses homotéticas entre sí‘*\ Las secciones del hiper­
boloide por planos perpendiculares iO yy-¿.O z son hipérbolas homotéti­
cas a las de los planos y = O y z = O, respectivamente.
Si es b = c, e\ hiperboloide es de revolución (alrededor de Ox).
(*) La intersección dcl hiperboloide con Jt = a o con x = - a sólo tiene un punto real
(es un par de recias imaginarías conjugadas con intersección real); sobre eslo se hablará
más adelante.

510. Á L G E B R A L IN E A L
COMPROBACION
Lo que se acaba de decir puede comprobarse com o en [240], sin más que
introducir leves retoques.
E JE R C IC IO
Considérese el hiperboloide de dos hojas que respecto de ejes rectangulares
Oxyz tiene por ecuación reducida a la:
é
L Hallar el lugar geométrico que engendran las asíntotas a las hipérbolas que
resultan de cortar el hiperboloide por los planos que contienen al eje Ox.
Compruébese que dicho lugar es un cono (que se llama cono asintótico del
hiperboloide).
2. Hallar un plano que pase por el vértice A(a, O, 0), que sea paralelo al eje
Oy y que corte al hiperboloide según una parábola.
RESOLUCIÓN
1. Procediendo como sé hizo en el ejercicio anterior (el de [242]) se obtiene,
como allí, que el lugar geométrico pedido es el cono de ecuación:
b^
2. Sea 6 el ángulo que forma el plano buscado, tt, con el eje Oy, tomemos
en el plano w unos ejes rectangulares Ayt, donde Ay es paralelo a Oy y At
es la intersección de w con y = 0. Para los puntos de t t es x = a + lcosd
y z = t sen 6. Por tanto, en los ejes Ayt de su plano la ecuación de la in­
tersección es:
ia + tc o s 0 f / (fsend)^
que es una cónica y puede ponerse en la forma:
J l )
y
W)
(cos^ff sen^^^
Esta cónica será parábola si se anula el térm ino en esto es, si
eos Oler = sen^ O/í? , o sea, si tg ^ = ± c /a . Por tanto, hay dos soluciones al
problema, que son los planos
^ ± - ( ; c - l )
a

511. 5 0 7
En el espacio euclídeo y respecto de ejes rectangulares Oxyz se
consideran las parábolas P, y cuyas ecuaciones reducidas son:
x ^ ^ lp z
y = O
y^ = Iqz
jc = 0
(tienen el mismo vértice y el mismo semieje, con la concavidad hacia el
mismo sentido; están situadas en planos perpendiculares). Se llama para-
holouie elípiico^*\ definido por las parábolas dadas, al lugar geométrico que
describe una parábola P, variable, paralela a Pj» <iue se desplaza de manera
que su vértice recorre P,. Este paraboloide admite por ecuación a:
y^
2z = — H ·— (ecuación reducida)
P <i
El paraboloide elíptico, que carece de centro, es simétrico respecto de Oz
(que es su eje) y respecto de los planos jc = O e >» = O {planos principales).
Las secciones del paraboloide por planos z = h(h contante, h > 0 ) son
elipses homotéticas entre sí; sus secciones por planos paralelos a Oz son
parábolas. El punto O se llama vértice del paraboloide.
Si p = í/, el paraboloide es de revolución (alrededor de Oz).
( ♦ ) Más adelante se verá que también se le deberá llamar «paraboloide no reglado».
F ig u r a 1 2 .6 .

512. Á L G E B R A LINEAL
COMPROBACION
Un punto X será del paraboloide si se puede poner OX = 0X¡ + OXj, don­
de X, e /», y e ^2- Recurriendo a dos parám etros A, e R se puede poner:
OX,(A, O, A72/7)
OX,(0, (JL,
luego
Jt = A O
y = 0 + fi
[z = A y2p+ p}/2q
Al eliminar A y / i entre estas tres ecuaciones se obtiene la ecuación reducida
del enunciado.
Las sim etrías del paraboloide son evidentes. Respecto de sus secciones
por planos perpendiculares y paralelos a Oz, com o éstas son, respectiva­
mente:
2hp Ihq
Z = h (h > 0 )
jc^ = 2
q + prn^
resulta evidente que son, respectivamente, elipses (homotéticas al variar h) y
parábolas.
EJERCICIO
Considérese el paraboloide elíptico que en ciertos ejes Oxyz rectangulares
admite por ecuación reducida a:
x^ y^
2z = — + — (donde p > O y ^ > 0)
P (i
1. Compruébese que ninguna de las secciones planas de dicho paraboloide es
una hipérbola.
2. Compruébese que este paraboloide no es reglado, es decir, que no existe
ninguna recta que esté incluida en él.
COMPROBACIÓN
1. Sabemos que las secciones por planos z = constante son elipses y que las
secciones por planos paralelos al eje Oz son parábolas. Por ello, sólo
deberemos considerar secciones por otros planos, que serán los z = fljc +
by + c con (a, b) ^ (O, 0). La sección S del paraboloide por un tal plano
se puede poner:
S:

513. La proyección de S sobre el plano z = O es la curva
S,:
Como està curva es una elipse (por ser /;> 0 y ^ > 0 ; su ecuación
reducida se obtiene trasladando los ejes), la curva S no puede ser hipérbo­
la^*^ pues al proyectarla no tiene ramas infinitas.
2. Supongamos que hubiera una recta r incluida en el paraboloide. Esta recta
no puede ser paralela al piano z = O (pues las secciones del paraboloide
por planos z = constante son elipses), luego r corta al plano z = 0. C om o
en este plano el paraboloide sólo tiene el punto (O, O, 0), la recta r deberá
pasar por él; es decir, r tendrá ecuaciones del tipo x = Áu, y = z = Aw
(donde u, v y w son fijos y A e R). Al hallar la intersección de esta recta
con el paraboloide se obtiene (en todos los casos) sólo dos puntos (corres­
pondientes a dos valores de A), como se comprueba trivialmente, luego r
no puede estar incluida en el paraboloide.
Ì PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
En el espacio euclídeo £3 y respecto de ejes rectangulares Oxyz se
consideran las parábolas P, y Pj cuyas ecuaciones reducidas son:
r = 2pz
(tiene el mismo vértice; sus semiejes son opuestos, tienen la concavidad
en distinto sentido; están situadas en planos perpendiculares). Se llam a
paraboloide hiperbólico^*\ definido por las parábolas dadas, al lugar
geométrico que describe una parábola, variable, paralela a Pj»
desplaza de manera que su vértice recorre P,. Este paraboloide adm ite
por ecuación a:
x^ y
2z = — - — (ecuación reducida)
P Q
El paraboloide hiperbólico, que carece de centro, es sim étrico respecto
de Oz (que es su eje) y respecto de los planos jc = O e y = O (¡Hanos
principales). Las secciones del p<u-aboloide por planos z — h {h constante)
son hipérbolas; sus secciones por phinos paralelos a Oz son parábolas.
Este paraboloide no es (para ningunos /? > O y q > 0 ) una superficie de
revolución. El punto O se llama vértice del paraboloide.
(*) Más adelante se verá que también se le deberá llamar «paraboloide reglado».
( ♦) Según veremos más adelante, de la curva S se puede decir no sólo que no es hipérbola,
sino que, además, es elipse.

514. COMPROBACION
Cuanto acabamos de decir, se com prueba de manera análoga (casi idéntica) a
la de [245].
E JE R C IC IO
Considérese el paraboloide hiperb()lico que en ciertos ejes Oxyz rectangulares
admite por ecuación reducida a
2z =
---------
P <i
Compruébese que ninguna de las secciones planas de dicho paraboloide cs
una elipse.
RESOLUCIÓN
Procediendo exactamente igua! que con el ejercicio anterior, la c u n a S, es
ahora
- - - = 2ax + 2hy + 2c
P <1
Z = 0
Como esta curva es una hipérbola (por ser /> > O y <7 > 0), la cur> a S no
puede ser elipse^*\ pues al proyectarla tiene ramas infinitas.
( ♦ ) Scgün verem os más addarne, de la curva S se puede decir no sók> q u e no es elipse,

515. 511
PRIMERAS PROPIEDADES
DE LAS CUADRIGAS
N o v a m o s a realizar a q u í u n e s t u d i o d e t a l l a d o d e las c u á d r i c a s ; s ó l o a b o r d a r e ­
m o s s u s p r o p i e d a d e s m á s i n m e d i a t a s y ello d e m a n e r a superficial. M á s a d e l a n t e
s e a n a l i z a r á n estas c u e s t i o n e s c o n m a y o r d e t e n i m i e n t o .
INTERSECCION DE UNA CUÁDRICA
Y UNA RECTA
[247] L a i n t e r s e c c i ó n d e u n a c u á d r i c a (elipsoide, h i p e r b o l o i d e o p a r a b o l o i d e ) y
u n a r ec ta c o n s t a d e d o s p u n t o s ( p r o p i o s o d e l infinito), d e u n s o l o p u n t o
(es decir, u n p u n t o d o b l e o d o s p u n t o s « c o n f u n d i d o s » e n u n o ) o e s v a c í a
( d o s « p u n t o s i m a g i n a r i o s » ) . S e dice, r e s p e c t i v a m e n t e , q u e la recta e s
secante, tangente o exterior a la cuá dr i ca .
NOTA: También pudiera ocurrir que la recta estuviera incluida en la cuádrica: en tal
caso, la cuádrica se llama «reglada». De esta posibilidad nos ocuparemos más adelante;
véase (2501.
COMPROBACION
V a m o s a e st ud i ar el c a s o del h i p e r b o l o i d e d e u n a hoja; p a r a las d e m á s c u á d r i c a s
s e p r o c e d e d e m o d o a n á l o g o . T o m a n d o u n o s ejes r e c t a n g u l a r e s Oxyz a d e c u a d o s ,
el h i p e r b o l o i d e t e n d r á e c u a c i ó n del tipo (reducida):
[1]
D a d a u n a recta cualquiera, si r e c u r r i m o s a d o s c u a l e s q u i e r a d e s u s p u n t o s ,
U p ^i) y 3^2» ^2)’ se la p u e d e e x p r e s a r m e d i a n t e las s ig uientes e c u a c i o n e s
p a r a m é t r i c a s :
1 + a l + a
que. además, es hipérbola.
(^) Estas paramétricas se obtienen, a partir de las paramétricas usuales x — j:,-f-.r,).
y + ACVj - y,), z = 2, + A(Zj - z,), haciendo el cambio de parámetro A = I : ( 1 + cr). Nótese que
aunque estas paramétricas no proporcionan el punto (jf,, y^, r,), éste se obtiene como límite para
a — 00. Para a — - 1 se obtiene (como posición límite) el punto del infinito de la recta.

516. Al g e b r a l in e a l
L l e v a n d o estas e x p r e s i o n e s [2] a la e c u a c i ó n [1] d e l e l i p s o i d e n o s e n c o n t r a m o s
c o n q u e los v a l o r e s d e a d e los p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n s o n las raíces de la
e c u a c i ó n :
E s t a e c u a c i ó n [3], d e s e g u n d o g r a d o e n la i n c ó g n i t a a, tie ne d o s soluciones
reales distintas (recta s ec ante)» u n a s o l u c i ó n real d o b l e (recta t a n g e n t e ) o dos
s o l u c i o n e s c o m p l e j a s (recta exterior)
E J E R C I C I O
C o n s i d é r e s e el h i p e r b o l o i d e d e u n a h o j a q u e r e s p e c t o d e ciertos ejes rectangu­
lares Oxyz tiene e c u a c i ó n ( re d u c i d a ) :
S e c o n s i d e r a t a m b i é n la r ecta q u e p a s a p o r los p u n t o s P,(jc,, z ,) y
>2» ^2)· O b t e n e r la c o n d i c i ó n q u e tie ne q u e ver if i ca r el v e c t o r para
q u e la recta c or te al h i p e r b o l o i d e e n s u p u n t o d e l infinito ( y e n otro punto,
p ro pio).
RESOLUCIÓN
P r o c e d i e n d o c o m o e n la c o m p r o b a c i ó n p r e c e d e n t e » l l e g a r e m o s a la e c u a c i ó n [3J.
A h o r a h a y q u e i m p o n e r q u e e st a e c u a c i ó n t e n g a la s o l u c i ó n a = - 1 ( q u e es la
q u e p r o p o r c i o n a el p u n t o del infinito d e la recta). A l sustituir a p o r - 1 e n [3]
y r e a g r u p a r a d e c u a d a m e n t e los s u m a n d o s s e o b t i e n e :
------?---“ °
q u e es la r e l a c i ó n p e d i d a (u ,v y w s o n las c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r Nótese
q u e ( s e g ú n lo d i c h o e n el e je rcicio d e [ 2 4 2 ] ) la r e l a c i ó n o b t e n i d a significa que
la recta d a d a h a d e t e n e r la d i r e c c i ó n d e u n a d e las g e n e r a t r i c e s del con o
asintótico d e l h i p e r b o l o i d e .
( ·) Si los tres cocficicntes de la ecuación (3) se anulasen, todos los puntos de la recta
verificaban a la ecuación de la cuádríca y por ello la recta estaría incluida en la cuádrica. E^ta
posibilidad se analiza más adelante, en [250).

517. lltoR IC A S : E S T U D IO S P A R T IC U L A R Y G E N E R A L 513
[248]
CONO TANGENTE DESDE UN PUNTO
E n el e s p a c i o e u c l i d e o se c o n s i d e r a u n a c u á d r i c a c u a l q u i e r a , e s t o es, o
c o n c e n t r o (elip s oi de o h i p e r b o l o i d e d e u n a o d o s h o j a s ) o p a r a b o l o i d e
(elíptico o hiperb ól ic o ), c u y a e c u a c i ó n r e d u c i d a es, p u e s , d e l tipo:
1 ( c o n c e n t r o ) o2 z = í : ± r
p q
( p a r a b o l o i d e )
S i Po(-^o* 3^0» e s u n p u n t o q u e n o p e r t e n e c e a la c u á d r i c a , las t a n g e n t e s
a é s t a d e s d e P q f o r m a n u n c o n o c u a d r á t i c o , q u e s e l l a m a cono tangente,
c u y a e c u a c i ó n es:
p <? ;
( p a r a las c u á d r i c a s c o n c e n t r o )
V P « /P q)
( p a r a los p a r a b o l o i d e s )
[l]
L o s c o r r e s p o n d i e n t e s p u n t o s d e t a n g e n c i a s o n los d e i n t e r s e c c i ó n d e la
c u á d r i c a c o n el s ig ui e nt e p l a n o , q u e s e l l a m a plano polar d e P„:
^ ± ^ ± ^ = 1 ( p a r a las c u á d r i c a s c o n c e n t r o )
r
z + Zn “ ~ ~ p a r a b o l o i d e s )
P ^
[2]
DEMOSTRACION
N o s o c u p a r e m o s , p o r e j e m p l o , del c a s o d e l p a r a b o l o i d e elíptico; e n los r es ta n te s
c a s o s se r a z o n a r í a d e m o d o similar.
D a d a u n a recta c u a l q u ie ra , la q u e p a s a p o r d o s p u n t o s (;c,, y^y z,) y
(jC2, y2^ distintos, e x p r e s é m o s l a m e d i a n t e las e c u a c i o n e s p a r a m é tricas [2] d e
[ 2 4 7 ] y h a l l e m o s s u i n t e r s e c c i ó n c o n el p a r a b o l o i d e 2 z = {^¡p) + iy^lqX c o m o
s e h i z o e n [ 2 4 7 ] c o n el h i p e r b o l o i d e , lo q u e n o s c o n d u c e a la e c u a c i ó n ( e n la
i n c o g n i t a a):
^ -A
( 2 2 , a ' + 2 í,
Z i ' ¿2 a +
P R ) \ p q Ì
2Z:
c u y a s raíces p r o p o r c i o n a n los p u n t o s d e i n t e r s ec ci ó n. L a r e c t a será, p u e s ,
t a n g e n t e al p a r a b o l o i d e si esta e c u a c i ó n tiene u n a raíz d o b l e , e s decir, si s u
d i s c r i m i n a n t e es nul o, o sea, si:
^1^2 yiyi
V P <}/\ P Rj

518. Al g e b r a l i n e a l
L a s t a n g e n t e s al p a r a b o l o i d e q u e p a s a n p o r el p u n t o z^) están
f o r m a d a s p o r los p u n t o s (jc. y, z) tales q u e la r ec ta q u e los u n e c o n {Xq, ^
e s t a n g e n t e al p a r a b o l o i d e , e s decir, tales q u e s e verifica [ A j p a r a y^^, z^) y
{Xy y, z\ e n l u g a r d e (jc,, y,, z,) y (Xj* >^2» ^2)» y r e l a c i ó n es, j u s ta m en te
la [11 del e n u n c i a d o , la q u e h a b í a q u e o b t e n e r . P a r a c o n c l u i r t ot al m en te la
d e m o s t r a c i ó n h a b r á q u e c o m p r o b a r q u e las r ec ta s q u e f o r m a n este « c o n o
t a n g e n t e » , q u e p a s a n t o d a s p o r s e o b t i e n e n d e p r o y e c t a r ( d e s d e P„) los
p u n t o s d e la c u á d r i c a q u e e s t á n e n u n a c ó n i c a s i t u a d a e n u n p l a n o q u e n o pase
p o r Pq. C o m o las c ó n i c a s s ó l o las c o n o c e m o s , a ú n . a t r a v é s d e s u s ecu ac i on es
r ed u c i d a s , d i c h a c o m p r o b a c i ó n n o s iba a resultar m u y lab or i os a, p o r lo q u e la
a p l a z a r e m o s p a r a m á s a delante^*\
L o s p u n t o s d e t a n g e n c i a , d e las t a n g e n t e s d e s d e Pq a la cuádrica. son
a q u e l l o s q u e e s t á n e n el « c o n o t a n g e n t e » y e n la c u á d r i c a , e s t o es. aquellos
q u e verifican a la e c u a c i ó n d e la c u á d r i c a y a la r e l a c i ó n [1]. C o m o , por
verificarse la e c u a c i ó n d e la c u á d r i c a , e n la r e l a c i ó n [IJ el p r i m e r factor del
s e g u n d o m i e m b r o e s nul o, resulta q u e los p u n t o s d e t a n g e n c i a s o n los d e la
c u á d r i c a q u e a n u l a n al p r i m e r m i e m b r o d e [iJ, e s t o es, los d e la c u á d r i c a que
e s t á n e n el p l a n o q u e s e h a l l a m a d o , e n el e n u n c i a d o , p l a n o p o l a r d e P^,
E J E R C I C I O
C o n s i d é r e s e u n a c u á d r i c a c u a l q u i e r a (elipsoide, h i p e r b o l o i d e o paraboloide).
D a d o s d o s p u n t o s P , y Pj, p r u é b e s e q u e si P^ est á e n el p l a n o polar^**^ d e P,.
r e s p e c t o d e la c u á d r i c a , e n t o n c e s P , e st á e n el p l a n o p o l a r d e Pj-
Nota: D o s p u n t o s se d i c e n conjugados r e s p e c t o d e u n a c u á d r i c a si c a d a u n o
d e ellos está e n el p l a n o p o l a r del otro.
RESOLUCIÓN
C o n s i d e r e m o s , p o r e j e m p l o , el c a s o d e las c u á d r i c a s c o n cen tr o ; p a r a los
p a r a b o l o i d e s s e p r o c e d e d e i gual m a n e r a . L o s p l a n o s p o l a r e s d e P,(jc,. y,, z,)
y d e P^ix^. y2> ^2) r e s p e c t i v a m e n t e ( v é a s e [ 2 4 8 ] . [2]):
* y a ^ - b ^ - c ^ '
E l p u n t o P j p e r t e n e c e r á al p l a n o p o l a r d e P , si s e v er if i ca q u e
a, b^
1
E s t a r el a c i ó n es, e v i d e n t e m e n t e , la q u e e x p r e s a , t a m b i é n , q u e el p u n t o está
e n el p l a n o p o l a r d e Pj, c o n lo q u e q u e d a p r o b a d a la p r o p i e d a d d e l e nu n c i a d o .
( ·) Sobre lodo esto se volvcrí, más adelanlc (véase (2561). cuando se haga el estudio genetil
de las cuádricas.
( · · ) La ecuación del plano polar está dada en (248|, (2], Si el punto es de la cuádrica, el
plano que tiene esta ecuación es también, como veremos enseguida, el plano tangente a la cuádrica
en el susodicho punto.

519. □PLANO TANGENTE EN UN PUNTO
E n el e s p a c i o e u c l i d e o se c o n s i d e r a u n a c u á d r i c a c u a l q u i e r a ( c o n c e n t r o
o p a r a b o l o i d e ) , c u y a e c u a c i ó n r e d u c i d a es» p u e s , del tipo:
2 — -, — , 1
b“ c"
( c o n cen tr o )
JC^ V “
2 z = — ± — ( p a r a b o l o i d e )
P
S i >0’ e s u n p u n t o d e la c uá dr i ca » las t a n g e n t e s a e s t á n e n y
f o r m a n u n p l a n o {piano tangente) c u y a e c u a c i ó n es:
X X VV ^ 7
— T — T T i ^ = I (Piira las c u á d r i c a s c o n c e n t r o )
a * o * c*
111
2 + Zo = - T ±
‘I
( p a r a Iíls p;u-aboloides)
D e p e n d i e n d o d e l tipo d e c uá d r i c a » s u i n t e r s ec ci ó n c o n el p l a n o t a n g e n t e
e n Pq e s ( p a r a c u a l q u i e r a q u e s e a el p u n t o Pq d e ella):
• S ó l o el p u n t o Pq ( d o s rectas i m a g i n a r i a s q u e s e c o r t a n Pq), e n el c a s o
d e los elipsoides, los h i p e r b o l o i d e s d e d o s h o j a s ( o elípticos) y los
p a r a b o l o i d e s elípticos; p a r a e x p r e s a r este h e c h o se d i c e q u e estas tres
c u á d r i c a s t i e n e n tixlos s u s p u n t o s elípticos.
• U n p a r d e rectas ( q u e p a s a n p o r P„)» e n el c a s o d e los h i p e r b o l o i d e s d e
u n a h o j a ( o h i p e r b ó l i c o s ) y los p a r a b o l o i d e s h ip er b ól ic o s; p a r a e x p r e s a r
e s t e h e c h o s e d i c e q u e estas c u á d r i c a s t ie ne n t o d o s s u s p u n t o s h i p e r ­
b ól i c o s .
F ig u r a 1 2 .1 0 .

520. Alg e b r a lineal
DEMOSTRACIÓN
T o d o el r a z o n a m i e n t o s e g u i d o e n la d e m o s t r a c i ó n d e [ 2 4 8 ] p a r a c o m p r o b a r que
las t a n g e n t e s d e s d e a la c u á d r i c a e n g e n d r a b a n el l u g a r g e o m é t r i c o cuya
e c u a c i ó n e r a la [1] d e [ 2 4 8 ] e s v á l i d o t a m b i é n a h o r a . P e r o c o m o a q u í supo­
n e m o s q u e P o e s d e la c u á d r i c a , resulta q u e el ú l t i m o f ac to r d e la referida
e c u a c i ó n [I] e s a q u í nul o, c o n lo q u e la [1] d e [ 2 4 8 ] s e r e d u c e a la [1] nuestra,
q u e e s la e c u a c i ó n d e u n p l a n o . E n él están, p u e s , i n c l u i d a s t o d a s las tangentes
a la c u á d r i c a e n el p u n t o Pq d e ella.
V e a m o s a h o r a q u e si la c u á d r i c a y s u p l a n o t a n g e n t e e n Pq tienen, a d e m á s
d el P„, o tr o p u n t o c o m ú n , P,(x,, y „ z,), e n t o n c e s t o d o s los p u n t o s d e la recta
P,/*i p e r t e n e c e n , t a m b i é n , a la c u á d r i c a y al p l a n o t a n g e n t e . E n efecto: proce­
d i e n d o c o m o e n la c o m p r o b a c i ó n d e [ 24 8] , u n p u n t o g e n é r i c o P (x , y, z) d e la
recta P ^ P , se p u e d e p o n e r :
OAn + A, a>'o + >'l “ Z() + Z| / o . -L 1-11
X = — ÍL— 1, > ^ = ; Z = 7 ^ - - ( p a r a a G R , c o n a #- 1 ) [2]
1 + a 1 + a 1 + a
y la i n t e r s ec ci ó n d e d i c h a recta c o n la c u á d r i c a ( q u e s u p o n e m o s e s d e las con
centro; p a r a las p a r a b o l o i d e s se p r o c e d e d e i gual m o d o ) s e o b t i e n e para los
v a l o r e s d e a q u e h a c e n q u e las r e l a c i o n e s [2] v e r i f i q u e n a la e c u a c i ó n de la
c u á dr i ca , e st o es, p a r a los a e R q u e v er if i ca n a:
A h o r a bien, e n esta e c u a c i ó n t o d o s los c o e f i c i e n t e s s o n n u l o s : el d e es nulo
p o r q u e Pq e s d e la c u á d r i c a ; el d e a e s c e r o p o r q u e P^ e s t á e n el p l a n o tangente
e n el t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e e s n u l o p o r q u e P^ e s t á e n la c u á d r i c a . P o r tanto,
la e c u a c i ó n [3] s e satisface p a r a t o d o a e R , lo q u e sig ni f ic a q u e lod os los
p u n t o s d e la recta p e r t e n e c e n a la c u á d r i c a y al p l a n o t an ge n te .
P o r ello, la i n t e r s e c c i ó n d e la c u á d r i c a c o n s u p l a n o t a n g e n t e e n Pq está
f o r m a d a p o r rectas q u e p a s a n p o r P^ (reales o i m a g i n a r i a s ) ; m á s exa ct a me nt e ,
esta i n t er s ec ci ó n c o n s t a d e d o s rectas, y a q u e s u s e c u a c i o n e s (la d e la cuádrica
y la del p l a n o t a n g e n t e ) s on : u n a d e s e g u n d o g r a d o y la o tr a d e p r i m e r o .
F i n a l m e n t e , d e b e r e m o s v e r c u á n d o e s t a s d o s r e c t a s s o n r ea le s y c u á n d o
s o n i m a g i n a r i a s . P a r a ello, c o r t a n d o p o r u n p l a n o q u e n o c o n t e n g a a Pq, si la
i n t e r s e c c i ó n e s u n p a r d e p u n t o s reales, e n t o n c e s las d o s r e c t a s s o n reales, y
si la i n t e r s e c c i ó n d a p u n t o s i m a g i n a r i o s , e n t o n c e s las d o s r e c t a s s o n i m a g i ­
narias. O m i t i m o s e s t as c o m p r o b a c i o n e s y a q u e , a d e m á s d e s e r b a s t a n t e labo­
riosas, p u e d e n o b v i a r s e r e c u r r i e n d o a q u e , s e g ú n v e r e m o s e n s e g u i d a , los
elipsoides, los h i p e r b o l o i d e s d e d o s h o j a s y los p a r a b o l o i d e s elípticos no
i n c l u y e n n i n g u n a r ecta y q u e , a d e m á s , los h i p e r b o l o i d e s d e u n a h o j a y los
p a r a b o l o i d e s h i p e r b ó l i c o s i n c l u y e n d o s f a m i l i a s d e rectas, d e m o d o q u e por
c a d a p u n t o d e u n a d e e s t a s c u á d r i c a s p a s a n d o s d e las c i t a d a s r ectas ( u n a de
c a d a familia), las c u a l e s e stán, e v i d e n t e m e n t e , e n el p l a n o t a n g e n t e e n dicho
p u n t o .

521. Y GENERAL 517
EJERCICIO
Considérese el hiperboloide de una hoja que en ciertos ejes rectangulares Oxyz
admite por ecuación reducida a:
c*
Tómese un punto P, cualquiera, de la elipse de garganta del hiperboloide
(esto es, su elipse situada en z = 0) y pruébese que por P pasan dos rectas
que están incluidas en el hiperboloide; hállense dichas rectas y compruébe­
se que pertenecen al plano tangente al hiperboloide en P.
RESOLUCIÓN
El punto P tendrá coordenadas P(acos^, ¿?sen^, 0) para cierto ^ g [O, 27t].
Una recta que pase por P se podrá expresar, en función de un vector ( m , v, v v )
de su dirección, mediante sus ecuaciones paramétricas:
{Xy y y z) = (a eos 6, b sen 6, 0) + A(w, v, w) [ 1 ]
Al llevar estas expresiones de a, j y z a la ecuación del hiperboloide se obtiene
la siguiente ecuación, en la incógnita A:
+ 2A — (ub eos ^ + va sen ^) + O = O [2]
ab
Las raíces de esta ecuación llevadas a [ 1 ] dan las coordenadas de los puntos
de intersección de la recta y el hiperboloide (una de esas raíces es A = O, ya
que para A = O se obtiene el punto P, que es del hiperboloide). La recta estará,
pues, incluida en el hiperboloide si la ecuación [2] se verifica para todo A e R,
lo que equivale a decir que sean nulos sus coeficientes:
w¿cos^ +i’flsen^ = 0 y ” = " 2'*"72
Estas ecuaciones, en las incógnitas m, v y u> tienen dos soluciones independien­
tes y todas sus proporcionales; dichas dos soluciones son, evidentemente:
M = o sen ^ , v = —bcos 6 , w = ± c
En consecuencia, por el punto P pasan dos rectas que están incluidas en el
hiperboloide, que son las:
.r = fl eos ^ + Afl sen 6
y = bsenO- A^cos O
z= ± Ac
[3]

522. 18
ÁLGEBRA LINEAL
Finalmente, de acuerdo con [249), la ecuación del piano tangente al hiperbo-
Ioide en P (a eos d, b sen 6, b) es:
[4]
Llevando las ecuaciones [3] a la [4] se obtiene una identidad para todo A, lo
que confirma que las rectas [3] están incluidas en el plano tangente [4].
Q CUADRIGAS REGLADAS
[250J
Figura 12.11.
El hiperboloide de una hoja (o hiperbólico) y el paraboloide hiperbólico
son cuádricas regladas', es decir: para cada una de estas cuádricas hay
dos familias uniparamétricas de rectas que están, todas, incluidas en la
cuádrica. Estas familias se llaman «sistemas de generatrices rectilíneas».
Por cada punto de una de estas cuádricas pasan dos generatrices rectilí­
neas: una de cada sistema; en consecuencia, todos los puntos de estas
cuádricas son hiperbólicos. Las generatrices rectilíneas de las cuádricas
regladas son:
Cuádrica
a“-
(
hiperboloide\
hiperbólico /
(
paraboloide\
hiperbólico /
Generatrices rectilíneas
X — a eos O y — b sen 0 z
asen 6 —b eos O ± c
x = ac o s O ±
J a ~ c o s e ]
■ b\ sen 0 -t
-------z
\ y
{0 parámetro; O 0 < 2 T r)
x - \ í p ( í _ ± y + y/q/iL _ z
yfp 2fl
(yu 6 R parámetro)'·’
" ■ è ;
(*) Para / i —>0 se obtienen las gcneralríccs rectilíneas situadas en i = 0, que son las
.tVí>=±yVfl, z = 0.

523. Consideremos el caso del hiperboloide elíptico; para el paraboloide eUptico se
razona de igual modo. Buscamos rectas que estén incluidas en la cuádrica;
nótese que ninguna de ellas puede ser paralela al plano z = O (pues al hacer z
constante en la ecuación del hiperboloide se obtienen elipses). Así pues, las
rectas buscadas serán del tipo:
(x, yy z) = (a» P, 0) + A(«, V, w) A E IR parámetro
Como (a, p, 0) debe ser de la cuádrica, será un punto de su elipse de garganta,
esto es, del tipo a = c/cos = hstnO para algún 6 e [O, ln]. Prosiguiendo,
a partir de aquí, como en el último ejercicio, se llega al resultado
x = acosdXastnO , v = asen ^ - A¿?cos ^ , z = ± Á c
que coincide con lo dicho en el enunciado.
Para comprobar que por cada punto (jCq, z^,) de la cuádrica pasa una
generatriz de cada una de las dos familias, consideremos el caso del paraboloide
hiperbólico (un razonamiento análogo se puede hacer para el hiperboloide
hiperbólico) y de las dos familias de generatrices tomemos, por ejemplo, la que
se obtiene para el signo más (en su ecuación, donde pone ±, tómese +). Hay,
pues, que probar que el sistema de ecuaciones (fi es la incógnita; ;c„, y^^, Zq son
las coordenadas de un punto cualquiera de la cuádrica)
\C>
DEMOSTRACION
I ti}
es compatible y tiene solución única. Este sistema es, evidentemente, equiva­
lente al:
Í2 .4 .A = 7 Í e . -2!L = ?9
Ahora bien, estas dos ecuaciones son compatibles (tienen la misma solución
para /i) si y sólo si se verifica que:
\ 7p Ú 7 p p T
Como esta relación es cierta, pues (jCq, Zo) es de la cuádrica, el sistema
es, en efecto, compatible y conduce a una, única, generatriz (de la familia
elegida) que pasa por el punto dado.
OBSERVACIÓN
Sabiendo ya que existen, hay otro modo, quizá más fácil, de obtener las
generaUnces rectilíneas de las cuádricas regladas, que conduce al siguiente
resultado:
(♦) Suponemos ^ ^ 0. Para el caso = O ia pmpiedaU también se verifica, como se com­
prueba trivialmente.

524. ÁLGEBRA LINEAL
[251] Las generatrices rectilíneas de las cuádricas regladas son:
Cuádrica Generatrices rectilíneas
o" (>> c
/hiperboloide\
hiperbólico /
<
í; + 5 =a(i í í) ~
a c \ h)
{ \a c) \ b)
P R
paraboIoide\
\ hiperbólico/
-
Para cada valor de A se obtiene una generatriz de cada una de las familias.
Para A— se obtiene, como posición límite, una generatriz cuya ecua­
ción es la que resulta de poner A = 1/yLt, quitar denominadores y, final­
mente, hacer = 0.
COMPROBACIÓN
Expresemos las ecuaciones de las dos cuádricas del siguiente modo:
\ / \ í 1
Z
Hiperboloide hiperbólico:
Paraboloide hiperbólico:
a c
1+ ^
— - J L
\'Ip yfpi
b)
= 2z
'-i
Todo punto de una cualquiera de las rectas del enunciado, por verificar a
sus dos ecuaciones, verifica a la ecuación que resulta de multiplicar, miembro
a miembro, dichas dos ecuaciones, y como lo que así se obtiene es la ecuación
de la cuádrica, resulta que todos los puntos de dichas rectas pertenecen a la
cuádrica, como había que comprobar.
EJERCICIO
Considérese el paraboloide hiperbólico que en ejes rectangulares Oxvz admite
por ecuación reducida a:
22 = “ - “ ( p > 0 y q > 0 )
Hallar el lugar geométrico que forman los puntos de esla cuádrica en los que
las dos generatrices rectilíneas son perpendiculares.

525. ESTUDIOS PARTICULAR Y GENERAL
RESOLUCION
Sea P(x, y, z) un punto genérico del lugar pedido. Este punto estará en las
generatrices (una de cada familia) que se obtengan para ciertos parámetros /x
y fl' (véase [250]), esto es, debe ser:
y = y¡q
a'+;
2H-)
. > '- - '^ ( '‘ ' -2 7)
[1]
Como estas rectas han de ser perpendiculares y tienen las direcciones de
los vectores (v^, \fq, 2/x) y {yfp, yfq, 2/x'), se ha de verificar que
[2]
Eliminando los parámetros fiy fi' entre las ecuaciones [1] y [2] se obtienen dos
relacionesentre x, y y Zy que son las del lugar pedido. Las ecuaciones [I] son
equivalentes a las:
VP V^ y/p \lq
Eliminando, pues, y /x' entre [2] y [3] se obtiene:
1
- - ~ = 2z y z = - - ( p + g)
p q 2
Por tanto, el lugar pedido lo forman los puntos del paraboloide que están en el
plano z = -(p + q)¡l, que es una hipérbola:
1
- - - = - 0 + 9). z = - z ( p + í)
p q 1
CUADRIGAS NO REGLADAS
[252]
El elipsoide, el hiperboloide de dos hojas (o elíptico) y el paraboloide
elíptico son cuádricas que no contienen rectas (ni una sola), por lo que
se llaman cuádricas no regladas. Todos los puntos de estas cuádricas son
elípticos.
( ♦ ) Como hay cinco ecuaciones, al eliminar dos parámetros parece que debieran quedar tres
ecuaciones (y no dos como se ha dicho). No obstante, como las dos generatrices rectilíneas se
cortan en (jc, y. z), las relaciones f 1] no son independientes, sino que existe una relación entre ellas,
por lo que a la postre se van a obtener sólo dos ecuaciones independientes en x, y y z.

526. ÁLGEBRA LINEAL
COMPROBACIÓN
Si una cuádrica incluye a una recta, el punto de corte de esta recta con un plano
sería de la cuádrica. Si al cortar una cuádrica por un plano se obtuviera
intersección vacía, la cuádrica no podría contener ninguna recta, salvo quizá
las rectas paralelas al plano. Si al cortar una cuádrica por tres planos, tt,, tTj
y TTy que forman triedro, se obtiene intersección vacía, entonces la cuádrica
no incluye ninguna recta, no es reglada. Para cada una de las cuádricas del
enunciado, es evidente que los siguientes planos tt,, tTj y tTj forman triedro y
dan intersección vacía con la cuádrica, por lo que las referidas cuádricas son,
las ü-es, no regladas:
1. Para el elipsoide E:
JC
+ ^ + ^ x = 2a , , TTy z = 2c
2. Píu-a el hiperboloide elíptico H:
c
TT,: = O
3. Para el paraboloide elíptico P:
P\ 2z = - + - (p>0, ^>0)
P <¡
TT,: z = — 1 , TT^;, X — pz + \ , ttj: y = 2^ + l
ESTUDIO GENERAL DE LAS CUADRIGAS
En el espacio (tridimensional) euclídeo las superficies de segundo orden son
los lugares de los puntos cuyas coordenadas (jc,, jCj, JC3), respecto de ejes
cartesianos (que supondremos rectangulares), satisfacen a una ecuación de
segundo grado, que se podrá expresar de cualquiera de las formas siguientes:
a,,x] + Ü22XÍ + + 2«„a:,a:3 + +
+ 2/?,jc, + 2¿?2JC2 + 2b^x^ + c = O
3 3
I a,¡x^^ + 2 Z V * + c = O (Oj, = a,2, a,, = «,3. 0,2 = Cj,)
ÍJ-l /i-l
+ le] = o
'«M«12 «13· ’■íi' ’•« 1'
[jC| JTj Xj]
«22«23-<^2+ 2[fc, b, b,]
A l«32 « 3 3 - -JC 3-
fl Jt, x^xy]
c
b i b2 b , ~
~ l ~
b . « M « 1 2 « 1 3
¿ 2 « 2 1 « 2 2« 2 3 X2
.b y « 3 1 « 3 2 « 3 3 . _ '* '3 _
= 0

527. DIOS PARTICULAR Y GENERAL
523
(I X']
cB'
_BA
= 0
^ ob,¡am.„». 1«
u,tx\ + Ü224 + + 2a|jjc,jtj + 2a,^x,x, + la^.x^xj
ma'triz A =^ay)®¡ea n^núfa“"“ sumandos no sea cero, es decir, que la
LAS CUADRIGAS: ECUACIONES
Y TANGENCIA
[253]
^ DEFINICIÓN DE CUADRIGA
En el espacio euclídeo tridimensional se llama cuádrica al lugar geomé­
trico de los puntos cuyas coordenadas (;Cj, jCj, JC3), respecto de una refe­
rencia cartesiana rectangular^*^ verifican a una ecuación del tipo
3 3
S + 2 S bf^X,, + C = o
1,7-1 A=1
[1]
para ciertas a¡j, ¿7^,, c e R y donde la matriz A = [a¡j] es simétrica y no
nula. Con notación matricial, recurriendo a la matriz cuadrada A = [a¡j\,
a la matriz columna B = [b,,] y llamando [x] a la columna de las coorde­
nadas jCp X2, X:í, la ecuación [1] se puede poner: [xYAIx] + 2B[x] + [c] = 0
o también:
[ x Y M [ x ] = O , donde [x] =
'1 “
^1
y Af =
cB^~
X2 BA _
[2]
A la matriz A/, o a cualquiera de sus proporcionales no nulas, se la llama
m atriz de la cuádrica cn los ejes dados; a la matriz A la llamaremos
matriz de los términos cuadráticos. Dos cuádricas son iguales si y sólo
si sus matrices (en la misma referencia cartesiana) son proporcionales.
Se dice que una cuádrica es ordinaria~o degenerada según que su matriz
sea reguL o singular, respectivamente (más addante se vera que: 1. las
cuádriLs ordinarias son los elipsoides, los hiperboloides y los paraboloi­
des; Z” las cuádricas degeneradas son conos. ciUndros y pares de planos).
^ ^ u u c las cuádricas pueden expresarse cn referencias canesianas cualesquiera, s61o
se consideran aquí la.s referencias rectangulares^
________________________________

528. EJEMPLOS
Las cuádricas que ya conocemos, del capítulo anterior, satisfacen a la definlcién
que acabamos de dar. Nos referimos a «las cmco cuádncas», cuyas ecuación«
reducidas son:
a ^ 'b ^ P~<¡
(elipsoide, hiperboloides y paraboloides, respectivamente; si el segundo miem-
bro de la primera de ellas se sustituye por -1, se obtiene el «elipsoide imagi.
nario»). Estas cuádricas se llaman ordinarias.
Hay también «cuádricas degeneradas», como las siguientes:
• ^ -j- y (cono de revolución, alrededor del «eje z»).
• ;c^ + / + = O (punto x = y ^ z ^ O o «cono imaginario» z = ±/
• + / = 1 (cilindro de revolución, alrededor del «eje z»).
• y^-2x = 0 (cilindro parabólico, de generatrices paralelas al «eje z»).
Hay cuádricas «más degeneradas» aún, como las:
• jc^ - y = O (pareja de planos: x-\-y = 0 y X“ >> = 0).
• -I- / = O (el «eje z» o par de planos imaginarios y = ±ix),
• jc^ - 1 = O (pareja de planos: jc+l=0yjc-l=0).
• + 1 = O (conjunto vacío o los «planos imaginarios» x = ±/).
• jc^ = O (el plano j c = O doble, «contado dos veces»).
Según tendremos ocasión de comprobar más adelante, toda cuádrica es de
alguno de los tipos que se acaban de considerar. Más exactamente, las cuádricas
se clasifican en:
• Ordinarias (elipsoides, paraboloides e hiperboloides).
• Degeneradas (conos y cilindros; pares de planos; planos dobles).
EJERCICIOS
1. Si <p(x, }>) = O, z = 0 son las ecuaciones de una cónica, del plano z =
entonces (p(x, >>) = O es la ecuación (en el espacio: jc, y, z) del cilindro de
generatrices paralelas al eje z y cuya directriz (sección por el plano z = 0)
es la cónica dada.
2 . La ecuación + y z " = O es la del cono de vértice en el origen y
que tiene por directriz a la cónica, del plano z = 1, que tiene por ecuaciones
a las:
'lí:
^ y + r = o

529. RESOLUCIONES
2.
Un punto P{x, y, z) es del cilindro si su proyección sobre el plano z = O,
que es P \x , y, 0), es un punto de la directriz del cilindro, es decir, si se
verifica que (p{x, y) —O, y ello para cualquiera que sea la coordenada z de
P, por lo que (p(x, 3') = O es, en efecto, la ecuación del cilindro.
El cono que tiene por directriz a la curva C y cuyo vértice es el origen tiene
por generatrices a las rectas que pasan por 0(0, O, 0) y por P(x^^, 1),
punto genérico de C, esto es, tal que ojcJ -f- ¡iyl + y = 0. Una tal generatriz
tiene, pues, por ecuaciones paramétricas a las:
X = O + A (jC o - 0 )
y = O + ACVü - 0 )
^z = 0 +A(1 -0)
A G IR
+ r = o
Eliminando A, jCf, e y^ de entre las cuatro ecuaciones anteriores se
obtiene la relación a la que han de satisfacer los puntos de las distintas
generatrices del cono, esto es, los puntos de dicho cono, la cual es la
ecuación de éste. En dicha eliminación se obtiene:
(A = z)
+ r=o
a
U V h V
- J ¡ +•>' = 0
.V V/
y quitando denominadores se llega a orjc^ + + yz^ = O, que es la ecua­
ción del cono, como queríamos comprobar.
□MATRICES DE UNA CUADRIGA
En puridad, a la anterior definición [253], de cuádrica, se le puede poner el
siguiente reparo: las cuádricas se han presentado como conjuntos de puntos
cuando en realidad vienen caracterizadas por sus ecuaciones, y en algunos
casos lo uno no se corresponde con lo otro. Así ocurre con las cuádricas
+ / + z^ + 1 = O y jc^ ^ 4 = 0: entendidas como conjuntos de puntos son,
ambas, el vacío, luego se podría entender que eran iguales, aun cuando las
ecuaciones que las definen son notablemente diferentes. Para salvar este
escollo, se convendrá en que una cuádrica queda definida por su ecuación (en
los ejes coordenados elegidos); más exactamente, una cuádrica se podrá
caracterizar por su matriz M (véase [253], [2]) o por cualquier matriz propor­
cional a ella, pM con pues M y pM conducen a ecuaciones [1] equi­
valentes.

530. EJERCICIO
Hallar todas las cuádricas tales que (respecto de unos ejes cartesianos rectan-
guiares Oxyz): 1) su intersección con el plano z - 0 es el par de bisectrices
de los ejes Ox y Oy, 2) son simétricas respecto del plano oc = 0; y 3) su
intersección con el plano y = O es la circunferencia con centro en (O, O, l) y
radio unidad.
Compruébese que, para cada una de las cuádncas anteriores, hay dos planos
paralelos al x = O que la cortan según un par de rectas.
RESOLUCIÓN
Llamando a,^, y c a los coeficientes de la ecuación de la cuádrica (como en
[2531), para'Ve sea simétrica respecto del plano x = 0, ha de ser a,j = a,j =
= ¿>, = 0. Para que su intersección con el plano z = O sea - / = O, z = O, ha
de ser ¿>, = c = 0 y a¡ 2 = -o ,,. Para que su intersección con el plano y = o
sea .r + (z - I)* = 1, y = O, ha de ser a„ = a,, = - b y Por tanto (dividiendo por
a,, y llamando p resulta que la.s cuádricas pedidas son las:
- >>* + z^ + 2pyz - 2z = O ( p e R)
Al cortar esta cuádrica por el plano x = h (h constante) se obtiene la cónica:
-y^ + z^ + 2pyz - 2 z + h^ = O (además de jc = A)
Esta cónica .será degenerada (un par de rectas) si su determinante es nulo, esto
es, si 1 - A*( 1 + p^) = 0. Por tanto, los planos pedidos (jr = h) son los
____________________________________Á L G E B R A J ^
x=±-
Vi +P^
que cortan a la respectiva cuádrica según un par de rectas.
^ INTERSECCIÓN DE CUADRIGA Y RECTA
Ya en [247], cuando se hizo el «estudio particular de las cuádricas»» se anali^
la intersección de cuádrica y recta. Esta cuestión se aborda ahora considerando
una cuádrica cualquiera conocida a través de su ecuación general:

531. 527
[254] E n el e s p a c i o e u c l i d e o t r i d i m e n s i o n a l s e c o n s i d e r a la c u á d r i c a q u e , e n
c ierta r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a r e c t a n g u l a r ( c o o r d e n a d a s x,, jcj» Xy)y t i e ne a M
p o r m a t r i z (simétrica), e s decir, q u e a d m i t e p o r e c u a c i ó n a:
U]'Af[.r] = O d o n d e [jc] = [ l jc, x,Y
C o n s i d é r e s e t a m b i é n la recta q u e p a s a p o r el p u n t o d e c o o r d e n a d a s (/>,,
Pi* Py^ y ^*ene la d i r e c c i ó n d e l v e c t o r Uj· t'j), la c u a l a d m i t e p o r
e c u a c i ó n p a r a m é t r i c a a la
í(pl = [l Pi Pi Py\'
[i] = 1/7) + Alí?l donde
le] = ( O i\ Vy]‘
L o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e la c u á d r i c a y la rec ta s e o b t i e n e n al t o m a r
p a r a el p a r á m e t r o A las s o l u c i o n e s d e la e c u a c i ó n ;
A ' d i l ' A n ? J ) -h 2A([i;l'A/ly)l) + ([pl'A/l/)]) = O [ 1 ]
A s í p u e s , u n a c u á d r i c a y u n a r ecta s e c o r t a n e n d o s , u n o n i n g ú n pun to s '* ^
y s e d i c e q u e la r ec ta e s secante, tangente o exterior a la c u á d r i c a ,
r e s p e c t i v a m e n t e . L a rec ta e s t a n g e n t e a la c u á d r i c a si s e v er if i ca la
r el a c i ó n :
(m'M\p]?= (iPi'M(Pi)(i/>i'A/i/j|) í2)
( · ) Si en la ecuación ( l) fuese nulo el cocficienic de A^ entonces debe lomarse A « »
como una de las soluciones y se dirá que b cuádrica y la recta se cortan en el infinito
(tienen un punto común en el infmito); si también fuese nulo el coeficiente de A. se dirá
que la recta es tangente a la cuádrica en el infmito, Si los tres coeficientes de ( I) son nulos,
entonces la recta está incluida en la cuádrica: en tal caso, la cuádríca se dice reglada
(contiene rectas).
COMPROBACION
E s t a p r o p i e d a d s e d e m u e s ü i i c o m o la [ 22 9] : b a s t a c o n sustituir e n la c o m p r o ­
b a c i ó n d e a q u é l l a , « c ó n i c a » p o r « c u á d r í c a » .
O B S E R V A C I O N
D a d a s u n a rec ta y u n a c u á d r i c a , al b u s c a r s u s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n p o d e m o s
e n c o n t r a m o s c o n q u e a l g u n o d e d i c h o s p u n t o s resulta e st ar « e n el infinito».
E l l o o c u r r i r á c u a n d o e n la e c u a c i ó n [1] d e [ 2 5 4 ] el c o e f i c i e n t e d e A ^ s e a n u l o ,
y a q u e e n tal c a s o s ó l o a p a r e c e u n a raíz d e d i c h a e c u a c i ó n y e s q u e la o t r a « s e
h a h e c h o infin¡ta»‘‘\ A s í , p o r e j e m p l o , b u s q u e m o s la i n t e r s e c c i ó n d e l h i p e r b o ­
l o i d e h c o n la r ecta r s iguientes:
fjc = a A
/i:jc" + r - í ^ + 2 z = 0r:y = 3 A
L: = 5 A
A € R ( p a r á m e t r o )
(tí e R fijo)
( · ) Si en la ecuación de 2.* grado oA’ + ¿>A + c = O se hace que a tienda a 0. entonces una
de las raíces tiende a A « -db y la otra uende a infinito.

532. Al g e b r a l in e a l
Para ello, poniendo en la ecuación de h, x = aÁ., y = 3 \ y z = ^
la ecuación (en la incógnita A);
(a^ - 16)A* + lOA = O cuyas raíces son
A,=0
Aj=10/(a^-16)
Para cada una de estas raíces se obtiene uno de los dos puntos de intersec­
ción. No obstante, en el caso de ser a = ±4 la ecuación queda lOA = O, que
sólo tiene la solución A, = O, con lo que «se ha perdido una de las dos raíces».
Lo que ocurre es que, al hacer que a tienda a ±4, la raíz Aj tiende a infinito,
es decir, que uno de los dos puntos de intersección tiende al infinito, por lo
que entenderemos que, para a = i4 , la cuádrica y la recta tienen (además de!
punto correspondiente a A, = 0) un punto comiin en el infinito.
□ INTERSECCIÓN DE CUÁDRICA Y PLANO
[255] En el espacio euclídeo tridimensional, la intersección de una cuádrica y
un plano es una cónica.
Según que esta cónica sea ordinaria (es decir, elipse, hipérbola o
parábola), sea vacía (es decir, totalmente imaginaria), o sea, un par de
rectas (es decir, degenerada), se dice que el plano es, respectivamente,
secante, exterior o tangente a la cuádrica. Cuando son tangentes, se llama
punto de tangencia al punto en el que se cortan las dos rectas que forman
la intersección del plano y la cuádrica.
COMPROBACIÓN
El plano dado puede tomarse como plano JC3 = O de una referencia cartesiana
rectangular {0\ éj, ^3) (coordenadas cartesianas jc,, x^, JC3); la ecuación de la
cuádrica en esta referencia será (para ciertos coeficientes a¡j, y c):
3 3
Z a¡jXfXj + £ b;,Xfy + c = O [11
ij«í h=í
Por tanto, la intersección de esta cuádrica con el plano (^3 — 0) es la curva de
este plano que en la referencia (O; ^2) admite por ecuación a
a^x] + 2a^2XιX2 + ^22·^ + 2¿?2-^2 + c = O
que es una cónica, como había que comprobar.
EJERCICIO
Sean dados el plano tt y la cuádrica C siguientes:
7r:jc~2y+ 2z = 2
C:jc^ - 2 / + + 4jcy 4- 2yz + 2jc - 2z + 1 = O

533. 5 2 9
Obtener la ecuación de su cónica de intersección en una referencia cartesiana
rectangular de su plano, que se podrá elegir.
R E SO L U C IÓ N
En el plano tt lomemos el punto P((), O, 1); en la dirección de tt tomemos la
base ortonormal formada por los vectores /7 = (0, 1/V5, \!\¡2) y t> = (—4/3%/2,
- l/3>/2, l/3>^); el vector w = (1/3, -2/3, 2/3) es unitario y ortogonal a tt. En
la referencia cartesiana rectangular (P\ /7, v, w), en la que las coordenadas se
llamarán ( x \ y \ z'), el plano tt tiene por ecuación a la z' = 0 . El correspon­
diente cambio de coordenadas es:
= o + o x' + (-4 /3 ^ /2 )y ' + (1 /3) z'
V = O + i\/y¡2)x' + ( -\/ y j 2 ) y ' + (-2/3)z'
^=l+(I/^/2);c' + (!/3^^) / + (2/3) z'
Llevando estas expresiones de jc, v y z a la ecuación de la cuádrica C se obtiene
la ecuación de ésta en la nueva referencia, que al operar queda:
3 3 1 4 '^0 4 4 4
2 18 3 3 ^ 3 ^ ^ 3 ^
+ y z' + 2 = 0
Por tanto, la ecuación de la cónica C n tt en la referencia {P\ w, v)y de su plano,
se obtendrá de hacer z' = O en la anterior ecuación, de la cuádrica C en la
referencia (P; /7, ÍJ, vv). Así pues, la ecuación pedida es:
□TANGENTES A UNA CUADRIGA
Cuando se hizo el «estudio particular de las cuádricas», ya se abordaron los
asuntos que ahora nos ocupan (cono tangente en [2481 y plano tangente en
[2491). Aquí se consideran cuádricas cualesquiera expresadas mediante su ecua­
ción general, en lugar de estudiar, como allí, «las cinco cuádricas» en su
ecuación reducida.

534. Al g e b r a
l in ea l
[256] En el espacio euclídeo tridimensional y respecto de una referencia carte­
siana rectangular (coordenadas X[, X2, x¡)t se consideran: 1) la cuádrica
ordinaria que tiene a M por matriz, es decir, que admite por ecuación a:
[x\'M[i] = 0 donde [jc] = [l x, ^=2 x,]'
y 2) el punto P(p,, P3, Pi)\ sea [p] = [1 p, Pí PiV- Se verifica que:
1. Si el punto P no pertenece a la cuádrica, las rectas tangentes a la
cuádrica desde P engendran un cono (cuadrático), que se llama cono
circunscrito o tangente a la cuádrica desde P, el cual tiene por ecua­
ción a;
[11
2.
Los puntos de contacto (de tangencia), de las tangentes desde P, for­
man una cónica, que es la intersección de la cuádrica con un cierto
plano, al que se llama piano polar de P respecto de la cuádrica y
tiene por ecuación a la \p]'M[x] - O.
Si el punto P pertenece la cuádrica. las rectas tangentes a la cuádrica
en P engendran un plano, que es el plano tangente a la cuádrica en
el punto P (de ella), el cual tiene por ecuación a la:
[/)]'A/[i] = 0
[2]
A este plano tangente también se le llama plano polar de P respecto
de la cuádrica (nótese que su ecuación es la misma que la del plano
polar del apartado anterior).
NOTA: Si la cuádrica fuera un cono o un cilindro, las tangentes desde un punto que no
pertenezca a la cuádrica engendrarían (cn lugar del anterior cono circunscrito) un par de
planos.
DEMOSTRACIÓN
1. El lugar geométrico que engendran las tangentes desde P a la cuádrica está
formado por los punto^X tales que la recta PX es tangente a la cuádrica;
como el vector v = PX tiene la dirección de esta recta, resulta que, de
acuerdo con [254], [2], dicho lugar geométrico está formado por los puntos
X tales que:
(([Jíl - m'MW = idx] - \p])'M([x] - [yil))([/)]'M[;)])
De.sarrollando esta ecuación se llega a (téngase cn cuenta que [x]'M[p] y
\p\ M\x\ son iguales, pues teniendo tamaño 1 x 1 son traspuesta la una de
la otra, por .ser M simétrica):
(U\'M \p]f - 2{[x]'M\p\)(\p]'M\p]) + (\fi]'M\p]f =
= ((x]'M[x] - 2[x\'M\fi] + \p]'M\p])(\p]‘M\j·)])

535. 531
y simplificando se obtiene la ecuación [IJ del enunciado. Nótese que este
lugar geométrico, como está formado por rectas que pasan por P, es un
cono de vértice P, que es cuadrático (su ecuación es de segundo grado).
Los puntos de contacto (de tangencia) con la cuádrica de las tangentes
a ésta desde P son los que están en la intersección del cono circunscrito
(cuya ecuación es la [ 1J del enunciado) con la cuádrica (cuya ecuación es
[ j c ] M [x] = O). Como para los puntos de tangencia se verifican estas dos
ecuaciones, también se verifican las que se deducen de ellas, entre las que
está (obviamente) la [pM\x] = O, que representa a un plano, al que hem os
llamado plano polar de P respecto de la cuádrica. Así pues, los puntos de
contacto de las tangentes desde P a la cuádrica son las de intersección de
ésta con el plano polar [pYM[x] = O.
2. Si el punto P es de la cuádrica, esto es, si \pYM\p] = O, al proceder com o
en el caso anterior y llegar a la ecuación [1], nos encontram os con que el
segundo miembro de esta ecuación es ahora nulo, por lo que ella queda en
la forma {[pVM[x\f = O, que equivale a [/>j'Af[jc] = O, que es la ecuación
de un plano (aquel cuyos coeficientes forman la matriz fila [pYM).
Así pues, las rectas tangentes a una cuádrica ordinaria en uno de sus
puntos están todas en un plano (engendran tal plano). Para concluir hay
aún que comprobar que este plano es el plano tangente a la cuádrica en P
según la definición dada anteriormente en [255], esto es, que su intersec­
ción con la cuádrica es un par de rectas que pasan por P. Para ello
cambiemos de referencia cartesiana (nuevas coordenadas jc, y, z \ pasando
a una que tenga su origen en P y cuyo plano z = O sea el plano tangente
en P; la cuádrica tiene una matriz A/' en la nueva referencia, a la que
representaremos poniendo:
c
¿ 2 * 3
b,Oll« 1 2« 1 3
^ 2 1« 2 2« 2 3
A « 1 1« 3 2 "33.
Nótese que [pY = [1 0 0 0], por lo que [p^M* = [c 6, ¿2 ^3] y entonces
la ecuación del plano polar de P es c + ¿ , j c + h^z = 0\ com o este
plano es el z = O, resulta entonces que c = = 0^ = 0- A sí pues, la cuádrica
tendrá por ecuación a
fl,,jc^ + + a^^z^ + + la^yxz + la^^yz + 2b^z = O
y su intersección con el plano z = O (plano tangente a la cuádrica en P )
viene dada por
que es, evidentem ente, un par de rectas que pasan por P, co m o había qu e
com probar.

536. EJERCICIO
Dado un paraboloide (véanse [245) y [246J), compruébese que. cuando un
punto variable P, del espacio, tiende al infinito según dirección perpendicular
a uno cualquiera de sus dos planos principales, entonces el plano polar de P
tiende a dicho plano principal.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _Al g e b r a l in e a l
RESOLUCION
Refiriendo el paraboloide a sus planos principales (planos Jc = 0 e > ' = 0 )y a l
plano tangente en su vértice (plano z = 0), la ecuación del paraboloide tomará
la forma (véanse [245] y [246]):
P ( i
(para ciertos /? > O y ^ > 0; el signo es «más» si el paraboloide es elíptico y es
«menos» si es hiperbólico). Llamando P{a, y), este punto P tenderá al
infinito según dirección perpendicular al plano principal x = O (>^ = 0) si hace­
mos que a—>00 ►oo), permaneciendo constantes las otras dos coordenadas
de P, El plano polar de P tiene por ecuación a [/>]'A/[je] = O (véase [256], [2]),
donde M es la matriz del paraboloide, es decir, esta ecuación es:
[\ CC p y]
0 0 0 - l ‘ ' f
01/p 0 0 X
0 0 ±\!q 0
y
- 1 0 0 0_
- a B
= 0 o sea z = — x ± — y - y
P Q
Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por a (por P) y haciendo
que o r —()3—► o o ) se obtiene como posición límite J c / p = 0 ( y / ^ = 0 ) , esto es,
el plano x = 0 ( _ v = 0 ) , que es el plano principal que queríamos obtener.
EJERCICIO
Sean dadas una cuádrica y un punto P que no está en ella; tómense unos
ejes cartesianos rectangulares con origen en P y supóngase que en ellos la
matriz de la cuádrica es:
A/ =
c B^~
_BA _
donde ^
^ = [«,>] es matriz simétrica 3 x 3
^ ^ [^/,] es matriz columna 3 x 1
c ^ O es el término independiente
Hallar la matriz del cono circunscrito a la cuádrica desde P, en la anterior
referencia. Comprobar que
rangiW^= ( ra n g A f ) - !

537. 5 3 3
RESO LU CIO N
Llamando jt,, JC2, Xy a las coordenadas en estos ejes y según se acaba de obtener
en [256], [1], la ecuación del cono circunscrito desde el punto P(0, O, 0) es:
/ 3 3
( c + h^x^ + fcjX j + = C z a¡¡x¡x. + 2 X V * +
V .y -I h-\
Simplificando aquí, se obtiene la ecuación buscada o, lo que es equivalente, la
matriz M^, que, evidentemente, son:
3
Z {b^bj-ca¡j)x¡xj = 0
i j " I
o
O
O
BB' - cA
Interesa acudir ahora a la siguiente matriz Ai':
M ' =
cB''1B' ■c 0
B A 0- e lBBB' - cA
Como el rango de esta última matriz M' es, obviamente, una unidad mayor que
el rango de Af^ y como, por otra parte, el rango de M' es igual al rango de M,
pues se obtiene de multiplicar a M por una matriz regular:
rang M, = (rang M ’) — 1 = (rang Af) — 1
EJERCICIO
Dados un punto como el P(a, a, a) y la cuádrica
5jt - 2z~ + 4jtz - 3>>z + Ty + 3 = O
hallar: I) si P es de la cuádrica, el plano tangente en P; 2) si P no es de la
cuádrica, el cono circunscrito desde P.
RE SO LU CIO N
1. Según se acaba de obtener (véase [256], [2]), el plano tangente en P es:
[l a a a]
30 7/2 o' T
0 5 0 2 a;
7/20 0 -3/2
02 -3/2 -2_ _z_
= 0
o sea:
7 - 3 a 3a - 1 2 + 7a „
a a ) x + — ^ y - j z +
-----------= 0
2. El cono circunscrito es, según [256], [I]:
[lax + 5(7 - 3a)y- i^ az + j í - 12 + l a ) f =
= (4fl' + 7fl + 3){5x^ - 2z^ + 4xz - 3yz + l y + 3)

538. ÁLGEBRA LINEAL
ECUACIONES REDUCIDAS
Y CLASIFICACION DE LAS CUÁDRICAS
Cuando interesa estudiar una cuádrica, un buen camino para ello es referirla a
aquellos ejes, ligados a ella, en los que su ecuación es lo más simple posible,
a la que llamaremos ecuación reducida. Disponer de esta ecuación permite no
sólo clasificar la cuádrica, sino obtener también su forma y dimensiones. Para
llegar a ello, empezaremos por averiguar cómo varía la ecuación de la cuádrica
(o, si se prefiere, su matriz) cuando se cambia de sistema de referencia.
□CAMBIO DE COORDENADAS RECTANGULARES
[2571 En el espacio euclideo tridimensional se considera la cuádrica que, cn
una cierta referencia cartesiana rectangular (coordenadas jCj, tiene
a M por matriz, e,s decir, que admite por ecuación a:
[i]'M[x] = O donde [x] =
T
Xt c8''
■«2
M =
_BA .
( A ¥ = 0 simétrica 3x3 es la submatríz de los términos cuadráticos; B es
columna 3 x I ; c es el término independiente).
Supongamos que se adopta una nueva referencia cartesiana reclangu·
líu· (coordenadas x¡, Xj) y que el correspondiente cambio de coorde­
nadas es (véa.se la página 378):
Ul = a j i ' l con Q^ =
10 '
.M Q .
donde [w] es la columna de coordenadas del nuevo origen y Q la matriz
ortogonal del cambio de base de la referencia rectangular. Entonces, en
la nueva referencia, la cuádrica tiene por matriz a la siguiente M' (o a
cualquiera de las p M \ con p # 0):
M' = Q ‘^MQ^ (M y M ' son matrices congruentes)
Realizando el anterior producto por bloques, resulta que, si
M ' =
c'B "
B'A'
entonces
A ' ^ Q ' A Q { A y A' son ortogonalmente congruentes)
B ' = Q '{B ^ A {(ü ])
L c'= c + 2ñ V ] + [w]'-4[to]

539. AR Y GENERAL 535
COM PROBACION
Vale aquí lo dicho en la demostración de [231] (donde allí dice cónica, dígase
aquí cuádrica).
EJERCICIO
Se considera la cuádrica que, en cierta referencia rectangular ( 0 \ è,, ^3),
tiene por ecuación a:
3j t - f 4 . t > · + 3 / + + I r - 2 V + 1 = O
Expresar dicha cuádrica en la referencia que tiene su origen en P(—I, 1, 0)
y que tiene por base a la que forman los vectores
. 4 Ì .
è ì y wj = — é ,+ —
A la vista dcl resultado que se obtenga, localizar ejes de simetría (ortogonal) de
la cuádrica.
RESO LUCIÓ N
La base (m,, m,· ^3) ortonormal, por lo que la nueva referencia también es
rectangular. La matriz M de la cuádrica y la matriz del cambio de coorde­
nadas son:
A/ =
Por tanto, la matriz M \ cn los nuevos ejes, es:
1 1 -1 o' 1 0 0 ()'
1 3 2 0
y G ,=
-1 1/2-1/2'J i / l
-12 3 0 1 -1/2 1/2y/2/2
00 0 1_ 0 7 2 /2y¡2/2 {)_
-1 00 0
010 0
0 0 1 0
0005
M ' = Q J M Q ^ =
y la ecuación de la cuádrica en ellos es;
y ^ + / ^ + 5 z '^ = 1
Esta cuádrica es un elipsoide cuyos ejes (de simetría ortogonal) son los
Px', Py' y Pz', esto es, las rectas (ortogonales dos a dos):
(X, y. z) = ( - l , 1. 0) + A(l. -1 . >/2)
( X , y , z) = ( - l , 1. 0) + A (-l. 1. v/2)
(x, y , z) = ( - l , 1. 0) + A(l, 1. 0)

540. ^ ÁLGEBRA LINEAI
OBSERVACIÓN
Supóngase que M es matriz de una cuádrica en una cierta referencia cartesiana
rectangular; supóngase que M' es matriz de dicha cuádrica en una nueva
referencia, con to que también lo son todas las matrices para cualquier
escalar p # ( ) . Por tanto, las relaciones y A' = Q'a q que se
obtuvieron en [257] deben sustituirse por las
M' = Q'j.pM)Q^
A' = Q \pA )Q
J i INVARIANTES DE LAS CUADRIGAS
[258] En el espacio euclídeo tridimensional y respecto de una cierta referencia
rectangular se considera la cuádrica cuya matriz es Af; sea i4 = [a.^ su
submatriz de los términos cuadráticos y llamemos A,, Aj y A 3 a los
autovalores de A, Supongamos que en una nueva referencia rectangu­
lar los anteriores elementos son ahora A ' = [a¡jl A¡, Aj y A3, respec­
tivamente. Se verifica entonces que existe un cierto escalar p ^ O tal
que:
1. d e tM '= p V d e tA f).
2. detA ' = (detA)^*\
3. í/ji ^22 ^33 “ P(^ii ^ 2 2 “*■
4. = pÁ, (para / = 1, 2, 3).
[para expresar lo anterior, se dice que detA^, det/4, "*“^22'*'^33
de A), Ap Aj y A3 son invariantes métricos de las cuádricas].
También se verifica que las signaturas á t M y A son invariantes de
la cuádrica (que se llaman invariante proyectivo y afín, respectivamente);
esto es, se verifica que para algún p # O es:
sig A/' = sig(pAf) sigi4' = sig(py4)
Esto es, se verifica una de las dos jx)sibilidades siguientes: 1.® vSigA/ -
= sigAf y sigA ' = sig/\; o 2.“ sig A/' = sig (-A f) y sigA^ = sig(-A ).
(*) Estas dos igualdades (2 y 3) son consecuencia de la iiltima (4), Hay otro invariante
(de menor interés) que con los 2 y 3 forma una tema equivalente a los tres invariantes
4; este nuevo invariante es: ar¡, + f + a „ ) (a,, es cl adjunto de a, *
cn A).

541. 537
D E M O S TR A C IO N
Haciendo la oportuna adaptación, aquí es de aplicación lo dicho en la demos­
tración de [232]: donde allí se dice cónica, plano, dimensión « = 2 e / = 1, 2,
debe aquí decirse cuádrica, espacio, dimensión ai = 3 e / = 1, 2, 3.
Solamente hay que observar que ahora las relaciones 2 y 3 no equivalen,
como en [232], a las relaciones 4, sino que son consecuencia de éstas. El motivo
es que la ecuación característica tiene ahora tres coeficientes, en lugar de dos;
las relaciones 4 equivalen a la invarianza de dichos tres coeficientes y no sólo
a la de dos de ellos. Aunque no tiene excesivo interés, no viene mal conocer
que la invarianza de dicho tercer coeficiente conduce a la relación que figura
en la nota (*) al pie del enunciado.
EJERCICIO
Se considera la cuádrica que, respecto de ciertos ejes rectangulares, admite por
ecuación a
2r^ + / + + 4>>z + 4jc - 2>> + 4z -f 8 = O
Sabiendo que en otra referencia cartesiana rectangular (coordenadas jc¡, jc^, JC3)
dicha cuádrica tiene ecuación del tipo
ax'^ + = 1 (ecuación reducida)
hallar esta ecuación (hallar a, /3 y y) e indicar de qué tipo es dicha cuádrica.
R E S O L U C IO N
La cuádrica tiene (en la primera referencia) por matriz, Af, y por submatriz de
los términos cuadráticos. A, a las siguientes:
82 2 ()'
c B '' 20-1 0
B/4 -1 1 2 - 2
- 2 0 2 1
Af =
Por tanto, los invariantes métricos de esta cuádrica (det M y los tres autovalores
de A ) son:
A3 = 3det Ai = -3 0 ; A, = - l , A, = 2,
Como sabemos que su ecuación reducida es del tipo
+ Py'^ + y z ' ^ = \
resulta que en la segunda referencia la nueva matriz M ' de la cuádrica y la
correspondiente submatriz de los términos cuadráticos. A ', son

542. Á L G E B R A U NEAL
M ' =
c'B"
B’ A'
- 1
O
O
a
l u e g o d e t M ' y los a u t o v a l o r e s d e A' v a l e n ;
d e t M ' = - a P r , A| = a , Aj = Aj = -y
P o r lanto, s e g ú n a c a b a m o s d e c o m p r o b a r ( v é a s e [ 2 5 8 ] ) , e x i s t e p e R tal q u e
- a / 3 y = - 3 0 ^ · *
a = - p
!3 = 2p
y = 3 p
a = 1 / 5
l u e g o fi = -215
r = - 3 / 5
A s í p u e s , la e c u a c i ó n r e d u c i d a q u e s e p e d í a era:
y la c u á d r i c a e s e n t o n c e s u n h i p e r b o l o i d e d e d o s h o j a s ( n o r e g l a d o ) .
E J E R C I C I O
D e u n a c u á d r i c a s e s a b e q u e e n cierta r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a d e l e s p a c i o su matriz
d e t é r m i n o s c u a d r á t i c o s , A, t i e ne s i g n a t u r a s igy4 = (3, 0). T a m b i é n se s a b e que
e n otr a r e f e r e n c i a la c u á d r i c a a d m i t e e c u a c i ó n d e l tipo:
ay^ + bz^-l· c ^ O
o
S i la c u á d r i c a t i e ne m á s d e u n p u n t o , h á l l e n s e l os s i g n o s d e a, ¿ y c.
RESOLUCIÓN
C o m o la s i g n a t u r a d e la m a t r i z d e l o s t é r m i n o s c u a d r á t i c o s e s u n invariante (el
i n v a r i a n t e afín d e [ 25 8] ) , res ul t a q u e la s i g n a t u r a d e d i c h a m a t r i z e n la n u e v a
r e f e r e n c i a v a l d r á (3, 0 ) o (O, 3). A h o r a b i e n , d i c h a s i g n a t u r a v al d r á : (1, 2) si fl
y b s o n n e g a t i v o s ; (2, 1) si u n o d e los a o b es p o s i t i v o y el o t r o e s negativo;
(3, 0 ) si a m b o s s o n p os it i vo s. E n c o n s e c u e n c i a , a y b s o n p os itivos.
Si c t a m b i é n f u e s e p o s it i vo , la e c u a c i ó n + ay^ + 4- c = O n o se veri­
ficaría p a r a n i n g ú n (x, y, z), lo q u e n o e s cierto, p u e s la c u á d r i c a tiene puntos.
Si c f u e s e n u l o , la e c u a c i ó n x^ + ay^ + + c = O s ó l o s e verificaría para
U » y* z) = (O, O, 0), lo q u e t a m p o c o e s cierto, p u e s la c u á d r í c a tie ne m á s d e un
p u n t o . P o r tanto, c h a d e s e r n e g a t i v o .

543. aECUACIONES REDUCIDAS DE LAS CUÁDRICAS
[259]
En el espacio euclideo tridimensional y respecto de una cierta referencia
cartesiana rectangular se considera la cuádrica cuya matriz es Ai; sea
^ O su submatríz de los términos cuadráticos; sean A,, Aj y A, los
autovalores de A.
Se verifica entonces que existe alguna referencia cartesiana rectangu­
lar (coordenadas x, y, z) en la que la ecuación de la cuádrica es de uno
de los siguientes tipos (ecuaciones reducidas):
1.
2.
3.
4.
5.
Caso Ecuación reducida Tipos de cuádricas
A,#0
A ,# 0
A,x*+Aj3»^+A,z* +Elipsoides, hiperboloides
y conos (referidos a sus
ejes).
A,?tO
AjítO detAf^tO
Aj = 0
AjOf^ + A^y = 2pz
con p J
Paraboloides referidos a los
planos principales (jc = 0 e
y = 0) y al tangente en el
vértice {z = 0).
A, 7^0
det Af = 0
Aj = 0
A,x^ + Aj3-*=fc‘·»
(para cierto k e U)
Cilindros elípticos e hiper­
bólicos y pares de planos
que se cortan.
rang M = 3
y =2íx<*>
(para cierto q^O)
Cilindros parabólicos.
ü ; : “ ·
rang Ai < 3
/= /»'·>
(para cierto h e R)
Pares de planos paralelos.
(*) Luego (en las «observaciones» que hay Iras la demostración) se sugieren caminos
para determinar las consU»ntes *, q y h.
D EM O STR AC ION
Sean y ^3 coordenadas de un punto genérico del espacio, en la
referencia dada, con lo que la ecuación de la cuádrica (en dicha referencia)
será [x] ‘M \x] = O, donde [x] = [1 JC| Xi Jtj]'·
Como la matriz A es simétrica, es ortogonalmente diagonalizable, por lo
que existe una matriz^ ortogonal Q tal que:
"A,00‘ ‘«1
Q 'AQ =0Ai0; sea Q =«2 <^2 »^2
_00A,- -M.1Vi

544. Al g e b r a lineal
donde v{v,, v,) y vv(wp w^, w,), que son vectores propios de>\
correspondientes y A 3. forman una base ortonormal de U . Por tanto, al
cambiar la referencia cartesiana rectangular, pasando a otra nueva (coordenadas
jc?, JC3) que tenga por base de vectores libres a la (w, 0, w), ha de resultar
que ía nueva matriz de los términos cuadráticos de la cuádrica sea la anterior
matriz diagonal de los autovalores, por lo que la nueva matriz M' de la cuádrica
y la correspondiente ecuación de ésta serán del tipo (para unas ciertas constan­
tes a , )3, % 5 e R):
sa r
aA,00
P0A :
0
y
00A3.
1. Si A,, Aj y A3 son no nulos, al hacer la traslación de ejes coordenados que
lleva el origen el punto {x[, x'^) = {—a /\i, “ ^/A j, se obtiene
el cambio de coordenadas (nuevas coordenadas x, y, z)\
x \ ^ x - a j \ , X2 = y - ^ / ^ 2
En esta nueva referencia, la ecuación de la cuádrica queda en la fomia
A,;c^ -f A j / + A3Z^ -f A: = o [B]
para cierta constante k e U. Para determinar k, acudamos a las invariantes
de las cuádricas (véase [258]), lo que nos permite asegurar que (al pasar de
la ecuación [xY M [x] = (9 a la [B]) existe un p =?í= O tal que
A, AjAj^ = det M A,AjA 3 = p^ det A Á¡ = p A // = 1, 2, 3)
de lo que resulta que es p = 1 y ^ = det M/áei A. Al llevar este valor de k
a [B] se obtiene la ecuación reducida que se dio en el enunciado.
2 y 3. Si A, O, Aj O y A 3 = O, al hacer la traslación de ejes coordenados
que lleva el origen el punto (jc¡, jCj, x'^) = ( - a / A ,, -^S/Aj, 0), se obtiene el
cambio de coordenadas (nuevas coordenadas x [ \ jCj', JC3'):
J c '= jc ''- ) S /A j jc ;= jc -
En esta nueva referencia, la ecuación de la cuádrica queda en la forma
(para una cierta constante k):
A,jc¡'2 + A2x''2 + 2 y jc ;'= it [C]
Distingamos ahora dos casos:
Si det Af ^ O, entonces también es no nulo el determinante correspon­
diente a la ecuación [C], esto es, ha de verificarse que A jA j/'^ O , por
lo que ha de ser y O, y entonces, haciendo la traslación de ejes de
referencia dada por (nuevas coordenadas jc, y, z) Jc['=.r, ACj'=y»
•^3 ^ z + k/(2y), la ecuación de la cuádrica queda \^x^ + Ajy" = 2pz (se
ha llamado p = - y por mantener la notación del enunciado; la cuádrica
es un paraboloide). Para calcular p, acudimos a las invariantes de las
cuádricas (véase [258]), lo que permite asegurar que (al pasar de la

545. ,R Y GENERAL 541
e c u a c i ó n {x\'M[x] = 0 a la A,jc^ + = 2/?z) e x i s t e u n p # 0 tal q u e
= p* d e t M, A , = pK^, A j = p A j , c o n l o q u e = - d e t A f / Í A j A ^ ) ;
al l l e v a r e s t e v a l o r d e p a la e c u a c i ó n A,jt^ + = 2pz s e o b t i e n e el
r e s u l t a d o q u e s e d i o e n el e n u n c i a d o .
• S i d e t M = O, e n t o n c e s t a m b i é n e s n u l o el d e t e r m i n a n t e c o r r e s p o n d i e n t e
a la e c u a c i ó n [ C] , e s t o es, h a d e s e r A j A ^ t ^ = O , o s ea , s e r á y = O y la
e c u a c i ó n [ C ] d e la c u á d r i c a e s la d e s c r i t a e n el c a s o 3 d e l e n u n c i a d o (las
c o o r d e n a d a s j c e y s o n las q u e h e m o s l l a m a d o x\' y x!^').
4 y 5. S i A , = O, A j O y A j = O, e m p e c e m o s t r a s l a d a n d o la r e f e r e n c i a , lle­
v a n d o el o r i g e n el p u n t o (x[, x'^, Jtj) = (0, - / S / A ^ , 0), l o q u e c o n d u c e al
c a m b i o d e c o o r d e n a d a s x” = j c ¡ , x^ = JCj - ^ / A j , JCj' = X j ( n u e v a s c o o r d e ­
n a d a s x\', jcj', j:” ) y a q u e la e c u a c i ó n d e la c u á d r i c a q u e d e e n la f o r m a
s i g u i e n t e ( p a r a cierta c o n s t a n t e k):
Ajt''^ + 2 a x ¡' + 2rjc;'=ifc ID]
N ó t e s e q u e , l l a m a n d o A / " a la m a t r i z d e la c u á d r i c a c o r r e s p o n d i e n t e a e s t a
e c u a c i ó n , s e p u e d e p o n e r ( t é n g a s e e n c u e n t a q u e el r a n g o d e la m a t r i z d e
u n a c u á d r i c a e s u n i n v ar i an te , y a q u e lo e s s u s i g n a t u r a ; v é a s e [ 2 5 8 ] ) :
r a n g M = r a n g M'
= 3 si ( a , y) ífc (O, 0 )
< 3 si ( a , r ) = (0, 0 )
D i s t i n g a m o s a h o r a d o s c a s o s , a t e n d i e n d o al r a n g o d e Ai:
• S i r a n g M = 3 ( es to es, si al m e n o s u n o d e los or o y e s n o n u l o ) , h a g a m o s
el s i g u i e n t e c a m b i o d e c o o r d e n a d a s ( p a s a r d e x \\ x'^', x'^’ a x\", x'^'',
A")·.
y··· =
_ _ _ _ Y»· -I
—
--Ai T = = = = : A-i
Y V « + y
[ n ó t e s e q u e : l) -f ^ O, y a q u e ( a , y ) (O, 0); 2 ) las n u e v a s c o o r ­
d e n a d a s x\’\ Xy* s o n c a r t e s i a n a s r e c t a n g u l a r e s , p u e s la m a t r i z d e l
c a m b i o d e c o o r d e n a d a s es, e v i d e n t e m e n t e , o r t o g o n a l ] . E s c l a r o q u e al
h a c e r est e c a m b i o la e c u a c i ó n [ D ] p a s a a s er la s i g u i e n t e ( se h a l l a m a d o
q = \¡a^ + y 0):
A"jc'''^ + 2^jc¡"=it
F i n a l m e n t e , h a c i e n d o la t ra sl a ci ón d e e j e s d a d a p o r jc¡" = x + ^ / ( 2 ^ ) ,
X2* —y.Xy' —z ( n u e v a s c o o r d e n a d a s : jc, y, z) s e o b t i e n e el r e s u l t a d o q u e
s e d i o e n el e n u n c i a d o ( c a s o 4).
• S i r a n g A / = 3, c o m o e n t o n c e s e s a = y = 0, la e c u a c i ó n [ D ] t o m a la
f o r m a e s t o es, x’2^ = h, d o n d e h = Ar/Aj, q u e e s el r e s u l t a d o
a n u n c i a d o ( c a s o 5 d el e n u n c i a d o ; la c o o r d e n a d a Xj s e h a l l a m a d o y).

546. ÁLGEBRA LINEAL
EJERCICIO
Hallar la ecuación reducida de la siguiente cuádrica, en función del piirámetro
a e R:
I r í + + 2aXyXy + 4x, + 2 = O
RESOLUCIÓN
Para acudir al resultado anterior [259J, empecemos calculando los determinan­
tes de la matriz M de la cuádrica y de su submatriz de témiinos cuadráticos, A,
así como los autovalores A,, Aj, A3 de A\ ellos son:
' 2200*
220a "2 det M =—2a‘, det A = 4 —
0 1 1 0
rs
*
*A A, = I.Aj = 2 + a, A, = 2 - a
0a02_
Por tanto, de acuerdo con los distintos casos de [259], se tiene:
• Si a i 2, entonces los tres autovalores son no nulos y la ecuación reducida
es del tipo I de [259]:
A,.r + Aj)’^ + 4- = O
d a A
o sca:
2a^
4 _ q,2
(Esta cuádrica tiene centro; es elipsoide, hiperboloide o cono. Así, por ejem­
plo: para or = I es el elipsoide x^ + 3 / + = 2/3; para a = - 1 es cl hiper­
boloide reglado j r + - 3z^ = 2/3; para a = 0 es el cono imaginario
. r + 2y^ + 2z^ = O, que sólo tiene un punto real, el (O, 0 , 0), que es su vértice.)
• Si a = ±2, entonces los autovalores son I, 4 y 0; como uno de ellos es nulo
y del M = - 8 ^ O, la ecuación reducida es del tipo 2 de f259|:
\ , x ‘ + X y = 2 o s e a x^ + 4y^ = 2y¡2z
y A,Aj
(esta cuádrica es un paraboloide elíptico).
E JE R C IC IO
Considérese la cuádrica que en cierta referencia rectangular ( c o o r d e n a d a s
x„ JTj, x¡) admite por ecuación a la \x\‘M[x] = O, donde:
M-
c B '' ■ 1 ■
'•>cr A '
A _
M .
w = B =l>2
-•<1- J h -

547. Y GENERAL 543
Si esta cuádrica es un cilindro parabólico (esto es, los autovalores de A son
A, = O, A2 O, A3 = O y es rangM = 3), entonces la tangente en el vértice a su
sección recta, su generatriz y el eje de su sección recta tienen las direcciones de
los siguientes vectores:
tangente en el vértice
a la sección recta
: u
generatrices = d A b
eje de la sección rec ta:é = ü A g
Donde ü es vector propio de A co­
rrespondiente a A2=5^0 y es el
vector fila = (¿?,, b^, b^)
COMPROBACION
Cuando, un poco antes, se demostraba que la ecuación de un cilindro parabólico
era del tipo / = 2qx (caso 4 de [259J), quedó comprobado que un vector propio,
/7, de A correspondiente a Aj O tenía la dirección de la tangente en el vértice
a la sección recta del cilindro parabólico (una parábola). Por tanto, el ejercicio
que nos ocupa quedará demostrado en el momento que se com pruebe que las
generatrices son perpendiculares al vector b, pues entonces un vector, g, que
tenga ]a dirección de la generatriz será g = ü A b (ya que g es perpendicular a
ü y ixb) y será é = ü A g (yix que el eje es perpendicular a w y a ¿). Vamos a ello:
Sea P un punto cualquiera del cilindro, con lo que será [p^Mlp] = 0 \ la
generatriz que pasa por P tiene ecuación paramétrica [;c] = {p]+ p[g] ( p e í ?
parámetro), donde [¿J = [O Esta generatriz ha de estar
incluida en el plano tangente al cilindro en P, que tiene por ecuación a
IpM[x] = 0 (véase [256], 2), con lo que debe verificarse que lpYM{[p] +
+ pl^J) = O para todo p e IR; como IpYM\j')] = O, la anterior relación queda
en la forma plpYM[g] = O para todo p, es decir, [pYMlg] = O, que expresada
en bloques queda:
[pY
cB ''■ 0 ■
A
[8l
= 0 o
f l \p]]
B^[g]
= ( 9 [I]
Ahora bien, g ha de ser perpendicular a m, luego g ha de ser un vector propio
de A correspondiente al autovalor doble A, = A3 = O, por lo que debe verificarse
que /\[^] = 0[^1 = O y, en consecuencia, la úítima de las relaciones [1] tom a
la forma = O, es decir, 6 · g = 0. Así pues, g es perpendicular a fe, com o
había que comprobar.
OBSERVACIONES
Las ecuaciones reducidas correspondientes a los casos 3, 4 y 5, de [259],
incluyen unas constantes (k, q y h, respectivamente) que están aún sin deter­
minar; ello es más complicado que la determinación de las constantes de los
casos anteriores (l y 2), pues éstas se han podido hallar acudiendo a las
invariantes y aquéllas {k, q y h) no pueden hallarse por este procedim iento.

548. sino que hay que acudir a algún otro tipo de consideración que permita dar con
ellas. Un procedimiento para hallar estas constantes puede ser el que aquí se
sugiere:
Al g e b r a lin eal
elíptico o hiperbólico (si rangM = J) o un par de planos que
se cortan (si rangM = 2); en este segundo caso es * = 0 (para que pueda
ser rangM = 2), por lo que sólo hay que ocuparse de los casos de cilindro:
Sean ü, v, m> vectores propios de A correspondientes a los autovalores A
Aj y Aj, respectivamente (m> tiene la dirección de las generatrices; « y ¿
tienen las direcciones de los ejes de la sección recta del cilindro); sea
un punto cualquiera del cilindro y considérense las rectas Pq + pü y P^ +
(p e R parámetro), que tienen las direcciones de los ejes de la se cció n
recta del cilindro, las cuales cortarán al cilindro en dos puntos (conocidos)
P, y Pj, respectivamente, de modo que^ llamando x„ e y„ a las coordenadas
OC e y de Pg, se verifica que X(, = || P„P, ||/2 e yo = II H/2. que son pues
conocidas, de las que se obtiene el valor de k, puesto que se verifica que
A,jf, + AjyJ = *.
2. Búsqueda de q (en la ecuación reducida y^ = 2qx, caso 4 de [259], corres­
pondiente a A| = O, Aj O, A3 = O y rangM = 3). Ahora la cuádrica es un
cilindro parabólico. Si ü es un vector propio de A correspondiente a Aj # O
y si b = (¿>„ ¿>j, ¿>j) (se ha llamado 2b,x, + 2¿>jXj + 2byXj a la parte lineal
de la ecuación de la cuádrica), sabemos entonces (véase el ejercicio que
precede a estas observaciones) que ü tiene la dirección de la tangente en
el vértice a la sección recta del cilindro, que g = ü A b tiene la dirección
de la generatriz y que é = ü A g tiene la dirección del eje de la sección
recta. Sean P, y Pj dos puntos del cilindro (cualesquiera, pero no situados
en la misma generatriz); las rectas P, + pw y P j + p« (p e R parámetro)
cortan al cilindro en los puntos (conocidos) P¡ y P j, respectivamente, y se
verifica que las coordenadas «y» de P, y P j son y, = ||P ,P ;||/2 e
yj = llP jP jI lA conocidas. La proyección del vector P jP j sobre la direc­
ción del eje de la sección recta vale (P ,P j · é ) / ||é || = jC j-jt,, conocida,
donde x¡ y x^ son las coordenadas «jt» de P, y Pj. Como sabemos que
y? = 2qx, e y | = 2qxi, restando se llega a que y j - y? = 2q(x2 - jc,), de donde
se obtiene el valor de q, puesto que y,, yj y Xj — X, son conocidos.
3. Búsqueda de h (en la ecuación reducida y^ = h, caso 5 de [259], con«s-
pondiente a A, = O, A j^ O, Aj = O, ra n g M < 3 ) . Ahora la cuádrica es un
par de planos paralelos. Llamando a dichos planos ax, + /SaTj + yj:, + 5| =0
y ax, px^ + yacj + 5j = O, resulta que la ecuación de la cuádrica podrá
ponerse en la forma:
{ax, + /3jtj + yx^ 8,){ax, + px^ + yx^ + 5j) = O
(Dperando aquí e identificando, lo que resulte, con la ecuación dada,
[jf] M[x] — O, se obtienen fácilmente las ecuaciones de los anteriores pla­
no^. Sea d la distancia entre ellos; como la distancia entre los plan«
y - ±V/i (cuya ecuación conjunta es la y* = h) es i S , resulta que d = 2 A
luego h = (P/4.

549. [260]
545
CLASIFICACIÓN GENERAL DE LAS CUADRIGAS
e n él A / e T ' í f c la si ficación g e n e r a l d e las c u á d r i c a s ;
c u a d r a t i c o s ( e n u n a cierta r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a r e c t a n g u l a r c u a lq u ie ra ) :
M a ü iz A Signatura de M
sig/4 =
(3. 0) o (O, 3)
sigi4 =
(2, I) o (1, 2)
rang A = 2
Tipo de cuádríca
(4, 0) o (0. 4)
(3, I) o (1, 3)
(3, 0) o (O, 3)
(3. 1 ) 0 ( 1 , 3)
(2. 2)
(2. 1) o (1, 2)
(3. 1 ) 0 ( 1 ,3 )
(2, 2)
(3, 0) o (O, 3)
(2. 1)
o
(1.2)
sig A =
(2, 0) o (0. 2)
s i g A = ( l , 1)
(2, 0) o (O, 2)
rang-4 = 1
(1. 1)
(2, 1 ) 0 ( 1 . 2 )
El vacío (elipsoide imaginario)
E lipsoide (real)
U n p u n to (cono imaginario con el
vértice real)
H iperboloide no reg lado o
elíptico o de dos hojas
H iperboloide reglado o hiperbólico
C ono (real)
P arab o lo id e no reglado o elíptico
P arab o lo id e reglado o hiperbólico
El vacío (cilindro imaginario)
C ilindro elíptico
C ilindro hipérbolico
R ecta (par de planos imaginarios
con intersección real)
Dos planos c o n cu rre n te s
C ilindro p arabó lico
(I. I)
(2, 0) o (0. 2)
(1, 0) o (O, 1)
Dos planos paralelos (reales)
El vacío (dos planos paralelos
imaginarios)
Plano doble (real)

550. Á L G E B R A LINEAL
DEMOSTRACIÓN
H e m o s i d o c o n o c i e n d o distintos tipos d e c u á d r i c a s ; 1. O r d i n a r i a s (con
r a n g M = 4), q u e e r a n elipsoides, h i p e r b o l o i d e s y p a r a b o l o i d e s ( v é a s e el anterior
« e s t u d i o particular d e las c u á d r i c a s » ) ; 2, D e g e n e r a d a s c o n r a n g A / = 3, q u e son
los c o n o s y los c ilindros ( v é a n s e , p o r e j e m p l o , los « e j e r c i c i o s » del final de
[253]); 3. D e g e n e r a d a s c o n r a n g A i = 2, q u e s o n los p a r e s d e p l a n o s distintos
( c o n c u r r e n t e s o paralelas); 4. D e g e n e r a d a s c o n r a n g A i = I, q u e s o n los planos
d o b l e s . A d e m á s , c u a n d o s e o b t u v i e r o n las e c u a c i o n e s r e d u c i d a s d e t o d a s las
c u á d r i c a s p o s i b l e s ( v é a s e [259]), s e v i o q u e n o h a b í a n i n g ú n o t r o tipo n u e v o
d e c uá d r i c a . A s í p u e s , s e trata d e c a r a c t e r i z a r los' t i p o s y a c o n o c i d o s d e c u á ­
dricas; m á s e x a c t a m e n t e , h a y q u e c o m p r o b a r q u e u n a tal c a r a c t e r i z a c i ó n es la
q u e se d a e n el e n u n c i a d o , q u e a c u d e a los r a n g o s y s i g n a t u r a s d e las matrices
A y M, los c u a l e s s o n i n v a r i a n t e s (frente al c a m b i o d e c o o r d e n a d a s ) . Esta
i n v a r i a n z a p e r m i t e a c u d i r a la e c u a c i ó n r e d u c i d a d e c a d a u n o d e los tipos de
c u á d r i c a y v e r q u e d i c h o s r a n g o s y s i g n a t u r a s s o n , e n las e c u a c i o n e s reducidas,
los q u e se d i c e n e n el e n u n c i a d o ( o b s é r v e s e q u e n o h a y d o s tip os distintos q u e
c o n d u z c a n a los m i s m o s v a l o r e s d e los r a n g o s y s i g n a t u r a s de A y M). Así
ocu rr e , c o m o p a s a m o s a ver, c a s o a c a s o :
■sig - nuig de i4 sigWTipo de cuádrica Ecuación reducida
Elipsoide imaginario± ( f l V + 6 V + c V + I) = 0
Elipsoide real ± ( a V + + 0 = 0
Hiperboloide reglado± ( f l V + ¿ > y - c V - - 1 ) = 0
Hiperboloide no reglado± (aV + ¿ y “ + I) = 0
Paraboloide reglado ±{aV-py-2z)=^0
Paraboloide no reglado±(a^x^-^py-2z) = 0
Cono imaginario í(fl2jr^ + ¿ y + c V ) = 0
Cono real ± ( f l V + 6 y - r z ^ ) = 0
Cilindro imaginario± ( f l V + A y + i ) = o
Cilindro elíptico ± ( f l ¥ + ¿ y - i ) = o
Cilindro hiperbólico± ( f l y - ¿ ^ y - i ) = o
Cilindro parabólico± ( / - 2 / ? . t ) = 0
Dos planos imaginarios concurrentes± (a^x^+ ¿ ^ y ) = 0
Dos planos concurrentes (reales)± (ci^x^ - ¿ y ) = 0
Dos planos imaginarios paralelos± (o ^jr^+ l) = 0
Dos planos paralelos (reales)
Un plano doble íjc^ = 0
sig = ( 3 ,0 ) o ( 0 ,3 ) (4 .0 )0 (0.4)
sig = ( 3 ,0 ) o ( 0 ,3 ) (3 .1 )0 (1.3)
sig = (2, l ) o ( l , 2 ) (2.2)
sig = (2. l ) o ( l . 2 ) (3 .1 )0 (1,3)
rang = 2 (2.2)
rang = 2 (3.1) o (1.3)
sig = ( 3 ,0 ) o ( 0 .3 ) (3 .0 )0 (0.3)
sig = ( 2 . 1 ) o ( l . 2 ) ( 2 .1)0 (1,2)
rang = 2 (3 .0 )0 (0.3)
slg = ( 2 .0 ) o ( 0 .2 ) ( 2 ,1)0 (1.2)
sig = ( l . l ) (2.1)0(1.21
n m g = 1 (2 .1 )0 (1.2)
tang = 2 (2 .0 )0 (0.2)
rang = 2 (1.1)
rang = 1 (2.0) o (0,2)
rang=l (1.1)
r a n g = l (1.0) o (0.1)
L e y e n d o e.sta tabla al r ev és , d e d e r e c h a a i z q u i e r d a , s e o b t i e n e el cua dr o
d el e n u n c i a d o q u e q u e r í a m o s d e m o s t r a r .
EJERCICIO
C la si t tc ar la s i g u i e n t e c u á d r i c a . e n f u n c i ó n d e los v a l o r e s q u e t o m a el p a r á m e t r o
+ 5/ + a z ^ -4 x -2 y + 2z+ l =0

551. \R Y G E N E R A L 547
RESOLUCION
Lu clasificación de la cuádrica dada se obtendrá trivialmente, del cuadro |260],
en cuanto se disponga dei rango-signatura de las matrices M (de la cuádrica)
y A (de los términos cuadráticos). Para hallar dichos rangos y signaturas,
diagonalicem os por congruencia las matrices A y M, lo que conseguirem os
realizando, en ellas, las oportunas operaciones elem entales (en filas prim ero y
en colum nas después); al hacerlo obtenemos sucesivam ente las siguientes m a­
trices, hasta llegar a una que es diagonal:
1 2 - r ■| 0 0 '10 0
A = 2 5 1
c
0 1 3
c
01 0
- 1 1 a 0 3« - 1 0 0 a - 1()_
M =
1- 2 - 1 1 1 00 0
- 2 1 2 - 1
c
0- 30 1
- 1 2 5 1 0 0 4 2
1 - 1 1 a_ 0 12a - 1_
'i 0 0 0 'i 0 0 0
0- 3 0 0
c
0 - 3 0 0
0 0 4 6 0 0 4 0
_()0 6 9 a - 6 _0 0 0 3 a - 5
Por tanto, las signaturas de A y M valdrán, en función de «:
a < 10—»sigA = (2, 1) a < 5 / 3 —*sigA i = (2, 2)
« = 10—* sigA = (2, 0) a = 5 /3 —* sig A /= (2, 1)
a > 10—► sigA = (3, 0) a > 5 / 3 —»sigA f = (3, 1)
Acudiendo, entonces, a la tabla [260], de clasificación de cuádricas, se concluye
que la cuádrica dada es, en función de a:
Valores de a Sig A SigAf T ipo de cuádrica
a < 5/3 —* (2, I ) y (2, 2) -♦ Hiperboloide reglado
a = 5/3 — ( 2 ,1 ) y (2 ,1 ) — Cono (real)
5/3<«<10 (2,1) y (3,1) — H iperboloide no reglado
a =10 —► (2,0) y (3,1) —♦ Paraboloide no reglado
rt>10 —► (3,0) y (3,1) —► Elipsoide (real)

552. Algebra lineal
OBSERVACIÓN
D e l c u a d r o [ 2 6 0 J, d e la c l a s i f i c a c i ó n g e n e r a l d e las c u á d r i c a s , se d e s p r e n d e
o b v i a m e n t e el s i g u i e n t e r e s ul t ad o:
C u á d r i c a s
o r d i n a r i a s
d e t A / ^ 0
d e t A > 0 ^ ’>E l i p s o i d e s
d e t > 4 < 0 < * >H i p e r b o l o i d e s
d e t >4 = 0P a r a b o l o i d e s
C o n o s
y c il indros
r a n g M = 3
d e t A 0 C o n o s
r a n g i 4 = 2 C i l i n d r o s n o p a r a b ó l i c o s
r a n g A = 1C i l i n d r o s p a r a b ó l i c o s
P a r e s
d e p l a n o s
r a n g A / = 2
r a n g A = 2D o s p l a n o s c o n c u r r e n t e s
r a n g i 4 = 1 D o s p l a n o s p a r a l e l o s
P l a n o d o b l e r a n g A f = 1r a n g i 4 = 1 P l a n o d o b l e
(♦) Nótese que: I ) det A > O equivale a sig A = (3, 0) o (O, 3); y 2) del A < O equivale a
sig A = (2, 1)0 (1.2).
EJERCICIO
H a l l a r los v a l o r e s d e a y ^ p a r a los q u e la s i g u i e n t e c u á d r i c a e s u n paraboloide:
x^-Z^ + 4xy + 2ayz + 2x + 0y+ 1 = 0
RESOLUCIÓN
L a c u á d r i c a d a d a s e r á u n p a r a b o l o i d e si d e t A / # O y d e t i4 = O, d o n d e M y A
s o n las m a t r i c e s d e la c u á d r i c a y d e s u s t é r m i n o s c u á d r i c o s . S e g ú n se c o m p r u e ­
b a f á c i l m e n t e , es:
d e t /^ = 4 - y d e t M = 4 - + ()8/2 - 2)^
P o r tanto, la c u á d r i c a s e r á u n p a r a b o l o i d e si e s
0 = 4 - y 0 ^ 4 - + ()8/2~ 2)^
esto es, si a = ±2 y # 4.

553. ; e s t u d i o s p a r t i c u l a r y g e n e r a l
[261]
549
J PUNTOS ELÍPTICOS, PARABÓLICOS
E HIPERBÓLICOS
Lo que aquí se dice ya se contempló en [249], al hacer el «estudio particular
de las cuádricas»; ahora se añaden cuestiones nuevas, de fácil comprobación.
Como en [249] se obvió la demostración que sirve de base a lo que aquí se
dice, es obligado demostrar todo ahora, sin apoyarse en lo demostrado antes.
Sean dados una cuádrica, un punto P de ella y el plano tangente a la
cuádrica en P; recuérdese que la intersección de este plano y la cuádrica
es un par de rectas que pasan por P. Se dice que P es punto elíptico^
parabólico o hiperbólico de la cuádrica según que el plano tangente en
P la corte, respectivamente: en un par de rectas imaginarias (que tienen
un solo punto real, P), en dos rectas confundidas (una recta doble) o en
dos rectas distintas (y reales, que pasan por P). Se verifica que:
Si la cuádrica es regular (un elipsoide, un paraboloide o un hiperbo­
loide), entonces todos sus puntos son de la misma naturaleza; más
exactamente, todos son elípticos o todos son hiperbólicos, dependien­
do de la signatura de M (matriz de la cuádrica en una referencia
cartesiana rectangular), según se indica en el siguiente cuadro resu­
men:
l.
Rango - signatura de M Naturaleza de los
(A/= maüiz de la cuádrica) puntos de la cuádrica
Tipo de cuádrica
rang M = 4 i
sigM = (2, 2)
Todos sus puntos
son hiperbólicos
Hiperboloides hiperbólicos
Paraboloides hiperbólicos
sig)W#(2, 2)Todos sus punios
son elípticos
Elipsoides
Hiperboloides elípticos
Paraboloides elípticos
2.
Si la cuádrica es un cono o un cilindro, entonces todos sus puntos
(excepto el vértice, en el caso de cono, en el que no hay piano
tangente) son todos puntos parabólicos.
DEMOSTRACIÓN
Lo que se afirma en el punto 2 del enunciado es algo ya conocido, que no
precisa de demostración: un cono o un cilindro y su plano tangente, cn un punto
P de él tienen en común toda la recta generatriz que pasa por P (salvo si, en
el caso del cono P es el vértice, cn cl que no hay plano tangente), por lo que
P es' punto parabólico. Sólo tenemos, pues, que ocupamos del punto 1 del
enunciado:

554. Como el rango y la signatura de M son invariantes (no dependen de la
referencia), podemos considerar los ejes coordenadas que más nos convengan
Tomaremos los ejes (ac„ -tj. Xj) de manera que: 1) P sea el ongen de coorde-
nadas; 2) el plano ;tj = O sea el plano tangente a la cuadnca en P- y 3) los ejes
X y X, sean aquellos en los que la intersección de la cuádrica y el plano
tangente (que es un par de rectas de Xj = 0) tengan ecuación reducida, esto es
del tipo ax] ■¥ = O (además de jCj = 0). En esta referencia, la ecuación (fe
la cuádrica, que es (como siempre) del tipo
3 3
X üyXiXj + 2 Y, b^^ + c = 0 II]
i.y-1
Al g e b r a l in e a l
tendrá, en nuestro caso, las siguientes peculiaridades:
• c = O, pues P(0, O, 0) es un punto de la cuádrica.
. = = o y O, pues el plano tangente en P(0, O, 0), que tiene por
ecuación (según [256], 2) a la b^x^ + + byX^^ = O, ha de ser el x^ = Q,
• ^12 “ ^21 “ ecuación de la intersección de la cuádrica con el plano
tangente en P, que es la a^^x\ + = O (junto con x^ = 0), ha de
ser del tipo ax\ + = 0.
Por tanto, dividiendo en la ecuación [1], de la cuádrica, por b^ ^ O, resulta que
la matriz de la cuádrica (a la que llamaremos M) queda del tipo que un poco
más adelante se indica (para ciertos a, b, c, d, e s R). También interesa señalar
que la matriz de la intersección de la cuádrica con el plano tangente en P (que
es un par de rectas del plano x^ = 0) es entonces la siguiente matriz N:
A/ =
’o 0 0 r
‘0 0 0"
0a0d
N =0a0
0 0be
00b_
_ld e
Si se realizan operaciones elementales adecuadas, primero en las filas y
luego en las columnas de Af, se obtiene fácilmente la siguiente matriz diagonal
A/' que, por ser congruente con Af, tiene el mismo rango y la misma signatura
que Af:
Af' =
A la vista de las formas que tienen las matrices Af' y M se deduce o b v i a m e n ­
te que
1 00 0
0a0 0
0 0b 0
000- 1
sigN = (p, Ç) <=> sig A f'= ( p -l- 1, 1)

555. 551
Por tanto [no olvidemos que N es la matriz del par de rectas (cónica degene­
rada) de intersección de la cuádrica con su plano tangente en P], de lo anterior
se desprende que:
1. P es punto elíptico de la cuádrica sii las dos rectas de la intersección son
reales y distintas sii sigN = (l, 1) sii sig A/' = (2, 2) sii sigAf = (2, 2).
2. P no puede ser punto parabólico de la cuádrica (regular) pues, si lo fuese,
la intersección sería una recta doble, luego rangA^= 1, por lo que
sigA^ = (1, 0) o (O, 1), y entonces sigAf' = (2, 1) o (1, 2), de ahí que sería
r a n g A f'= 3 , luego rang/V/ = 3, lo que es falso, ya que la cuádrica es
regular, o sea, es rang M = 4.
3. P es punto elíptico de la cuádrica sii P no es punto hiperbólico (ya que.
según 2, no puede ser parabólico) sii (según lo visto en 1) sig M # (2, 2).
Para acabar, resaltaremos que lo aquí obtenido es válido para cualquiera
que sea el punto P de la cuádrica, por lo que los puntos de una cuádrica dada
son, todos, de la misma naturaleza.
EJERCICIO
Determinar la naturaleza de los puntos de la siguiente cuádrica:
3 ^ + 2y^ + 5z^ - 2jcz + 8>^z + 4.T -f 1 = ü
RESOLUCIÓN
Para averiguar la naturaleza de los puntos de la cuádrica dada, vamos a hallar
la signatura de la matriz M de la cuádrica (que se ha escrito más abajo). Para
ello diagonalizamos M por congruencia; haciéndolo se puede llegíu· fácilmente
a la siguiente matriz D:
A/ =
”l 2 0o‘ 0 0 o'
230 -1
/) =
0 -1 0 0
002 4 00 2 0
0-145_ _()00-2_
Por tanto, sig M = sig D = (2, 2), luego todos los puntos de la cuádrica son
hiperbólicos. Obsérvese que, como el determinante de la matriz A de los
términos cuadráticos vale
3 0 - 1
(lelA =0 2 4 = 30 - 2 - 48 = - 2 0 # 0
- I 4 5

556. Á L G E B R A LINEAL
resulta q u e , p a r u la c u á d r i c a d a d a , e s d e t A ^ O y sig M (2, 2), p o r lo que
d i c h a c u á d r i c a e s u n h i p e r b o l o i d e h i p e r b ó l i c o ( q u e tie ne t o d o s s u s puntos
h iperbólicos).
Q CUÁDRICAS REGLADAS
L a s c u á d r i c a s r e g l a d a s y a f u e r o n e s t u d i a d a s a n t e r i o r m e n t e ( v é a s e [250]). E n
ese nc i a, a q u í n o se e s t u d i a n a d a n u e v o , a u n q u e s e i n c o r p o r a n r e s u l t a d o s nuevos,
r e c i e n t e m e n t e o b t e n i d o s , q u e n o se c o n t e m p l a r o n antes.
[262] L a s c uá d r i c a s , a t e n d i e n d o a si c o n t i e n e n r e c t a s o n o las c o n t i e n e n , se
clasifican e n r e g l a d a s y n o r e g l a d a s ; a este r e s p e c t o , es:
• Cuádricas no regladas,— H a y c u á d r i c a s q u e n o i n c l u y e n a n i n g u n a rec­
ta, a las q u e s e l l a m a c u á d r i c a s n o r e g l a d a s , y s o n a q u e l l a s q u e tienen
s u s p u n t o s ( t o d o s s u s p u n t o s ) elípticos. L a s c u á d r i c a s n o r e g l a d a s son,
p u e s , los elipsoides, los h i p e r b o l o i d e s elípticos y los p a r a b o l o i d e s elíp­
ticos. U n a c u á d r i c a e s n o r e g l a d a sii r a n g M = 4 y sig M (2, 2), d o n d e
M e s m a t r i z d e la c u á d r i c a .
• Cuádricas regladas (ordiníu-ias).— H a y c u á d r i c a s o r d i n a r i a s q u e in­
c l u y e n rectas, a las q u e se l l a m a c u á d r i c a s r e g l a d a s , y s o n a qu e l l a s q u e
tie ne n s u s p u n t o s ( t o d o s s u s p u n t o s ) h i p e r b ó l i c o s . L a s c u á d r i c a s regla­
d a s son, p u e s , los h i p e r b o l o i d e s h i p e r b ó l i c o s y los p a r a b o l o i d e s hiper­
bólicos. S e verifica q u e , p a r a c u a l q u i e r a d e e s t a s c u á d r i c a s regladas,
h a y d o s f a m il i as u n i p a r a m é t r i c a s d e rec ta s q u e e s t á n inc lu i da s e n la
c uá dr i ca , q u e se l l a m a n generatrices rectilíneas d e ella; p o r c a d a p u n t o
d e la c u á d r i c a p a s a n d o s g e n e r a t r i c e s rectilíneas, u n a d e c a d a familia.
E s t a s c u á d r i c a s r e g l a d a s e s t á n c a r a c t e r i z a d a s p o r la c o n d i c i ó n
sig M = (2, 2), d o n d e M e s m a t r i z d e la c u á d r i c a .
• L a s c u á d r i c a s d e g e n e r a d a s ( r a n g A / < 4 ) s o n t o d a s r e g la d as . — L o s conos,
los cilindros y los p a r e s d e p l a n o s s o n , o b v i a m e n t e , c u á d r i c a s regladas.
DEMOSTRACIÓN
S e g ú n s e i n d i c ó e n la ant er i or i n t r o d u c c i ó n , los a s e r t o s q u e s e a c a b a n d e hacer
a q u í y a h a n s i d o d e m o s t r a d o s c o n a n t e r i o r i d a d : lo r e f e r e n t e a las cuádricas
r e g l a d a s se p r o b ó e n [25 0] ; lo r e f e r e n t e a la c a r a c t e r i z a c i ó n , m e d i a n t e la
s i p a t u r a d e M, d e los p u n t o s h i p e r b ó l i c o s , s i g M = (2, 2), y d e los puntos
elípticos, sig A / ^ (2, 2), s e p r o b ó r e c i e n t e m e n t e e n [ 2 6 1 ] .
A s í p u e s , n o h a y p r e c i s i ó n d e d e m o s t r a r a h o r a n a d a . N o o bs tante, c o m o en
la d e m o s t r a c i ó n d e [ 2 5 0 1 s e utilizó u n a t é c n i c a u n t a n t o pedes t re , inevitable
allí, e n el « e s t u d i o particular d e las c u á d r i c a s » s e o f r e c e a c o n t i n u a c i ó n otra
d e m o s t r a c i ó n , r e s u m i d a , d e este a s u n t o s i g u i e n d o u n c a m i n o m á s e n c o n s o n a n ­
cia c o n lo q u e e s u s u a l e n el « e s t u d i o g e n e r a l d e las c u á d r i c a s » .

557. Y GENERAL 553
OTRA DEMOSTRACION
1. Si una cuádrica tiene todos sus puntos elípticos, entonces no incluye nin-
guna recta. En efecto: si incluyera a una recta r, la intersección de la
cuádrica con un plano tt que pase por r sería un par de rectas, r y otra
recta s\ entonces el punto de intersección de r y 5 sería hiperbólico, lo que
no es posible.
2. Sea ahora una cuádrica con todos sus puntos hiperbólicos. Tom em os un
punto P de ella y una referencia (coordenadas x,, jCj, JC3) en la que los ejes
JC, y jCj son las rectas de intersección de la cuádrica con el plano tangente
en P. En una tal referencia, la ecuación de la cuádrica es del siguiente tipo
(con be 0; dividiendo por el coeficiente de JCjXj será 1):
Hagamos el cambio a unas nuevas coordenadas j c , y, z dado por j:, = x - dz,
x ^ - y - c z , JC3 = z; llevando estas expresiones a la ecuación anterior se
obtiene una ecuación del tipo siguiente (con P 0):
az^ + jcy + )3z = O
Por cada punto de cualquiera de los ejes jc e y (que están incluidos en
la cuádrica) pasa una generatriz rectilínea (además del eje). En efecto:
buscando tales generatrices expresadas en la forma j c = p + /íz, >’ = fe, la
que pasa por (p, O, 0), y en la forma x = h'z, y = q + k'z, la que pasa por
(O, q, 0), donde /?, k, h' y k* son desconocidos, se obtiene con facilidad
que estas rectas están, en efecto, incluidas en la cuádrica si se toman
determinados valores át h, k, h' y k \ Al llevar tales valores a las ecuacio­
nes de las generatrices, se obtiene que éstas son:
JC = — (B /q)z
. y # o (parámetro)
y = í + {aqiP )z
Finalmente, es fácil comprobar que por cada punto (x^ z^) de la
cuádrica (es decir, tal que + jToy, + /32o = 0) P^sa una generatriz de cada
una de las familias anteriores.
EJERCICIO
Hallar las generatrices rectilíneas de la cuádrica reglada
x>· - xr - z = O
RESOLUCIÓN
Buscamos las generatrices de entre las rectas de ecuación genérica:
x = a + hz , y = (3 + kz (11

558. Para que estas rectas estén incluidas en la cuádrica, al IJevar los ;t e v
dan las expresiones [1] a la ecuación de la cuádrica, la ecuación de seeu^d^
grado (en z) que se obtiene ha de verificarse para todo z; esta ecuación es·
m - \)]z^ -[ h p + k a - a - U z ^ [a/3] = O
Para que esta ecuación se cumpla para todo z e R, han de ser nulos sus tr
coeficientes, esto es, ha de ser: ^
/? ( /:- ! ) = O, h/3-l· ka - a - 1 = 0 , a p ^ O
Este sistema tiene dos soluciones (una para a = O y la otra para p = O)*
________________________ ^ ‘•g e b r a^
1.“ solución: a = 0, h = \! P , k = \
2.“ solución: /? = O, /: = (! + a ) /a , h = 0
Por tanto, las dos familias de generatrices rectilíneas de la cuádrica son:
(P parámetro)
z
y = p - ^ z
x = a
l + a
z =----z
CK
(a parámetro)
ELEMENTOS DE LAS CUÁDRICAS
J CUÁDRICAS CON CENTRO
Según s a lm o s , del «estudio particular de las cuádricas», los elipsoides y los
hiperboloides tienen centro de simetría, pero los paraboloides carecen de él.
Vamos a ocupamos aquí de la existencia o no existencia de cenü-o, de una
cuádrica conocida a través de su ecuación general, y de cómo hallar éste,
cuando exista.

559. e s t u d i o s p a r t i c u l a r y g e n e r a l
[263]
555
Se dice que un pumo o p« .
simetría de la misma'*». S u p o n e ^ l ^ ^ « « n tro de
"'.‘II'“ ;^ « ^ "S u la r ( c o o r d e n a d a s T ? T 'x ?
W Aíl-í] — O, donde Ul = n >· '* V ecuación de la cuádrica es
I j I * ·'1 -»2 -tsl y
c8 '' '« 1 1« 1 2«13'
A
siendo A =
«21“ 22« 2 3y B =
I
. « 3 1« 3 2« 3 3 .
A .
M =
' « n« 1 2«13'
■-r, =
« 2 1« 2 2«23 •^2
= —
q u e s o n
X. = A j/A ,,
«32« 3 3 .- • '3 ..¿>3. .•*3 = A 3/A „
[1]
donde A„ det A, Aj y A, son los adjuntos de los elementos de
la pnm era fila de M.
2. Si la cuádrica tiene cenü-o y éste es í1(ío„ Wj, Wj), al trasladar el
ongen de la referencia a ü (nuevas coordenadas jcf =jc, - a>„ / = 1,
2. 3) la ecuación de la cuádrica queda en la forma [.r']'A[y] + c' = O,'
donde c' = c + es decir;
+ 2<i,>r¡jr; + 2a^yx\x\ + la^^'-iX'y + c' = O [2]
donde
C ' = C + 0 > ,¿ 7 , +
(*) Según ya sabemos, los elipsoides y los hiperboloides tienen centro; los paraboloides
no lo tienen. Es evidente que un cono tiene por centro a su vértice; un cilindro no parabólico
tiene infinitos centros, que son los centros de sus secciones rectas; un cilindro parabólico
carece de centro.
DEMOSTRACIÓN
La demostración de [235], con los retoques pertinente.s, es también de aplica­
ción a este caso: sin más que extender los sumatorios de 1 a 3, en lugar de
hacerlo de 1 a 2 considerando tres coordenadas en lugar de dos. teniendo en
cuenta que ahora A/ y A son de tamaños 4 x 4 y 3 x 3 . en vez de serio de 3 x 3
V 2 x 2 hablando de elipsoides, hiperboloides y paraboloides, en lu g ^ de
hacerlo’de elipses, hipérbolas y parábolas, y con algún otro cambio .similar la
dem ostración del [235] se convierte en la demostración de las propiedades,
incluidas en este apartado (263).

560. Considérese la cuádrica con centro que en cierta referencia cartesiana rectan­
gular tiene por matriz a la
EJERCICIO
M =
cB'
_BA
(A = matriz de los térm inos cuadráticos)
Si d e t/1 5^0 y si í í(ío,, Wj, í«;,) es el centro de la cuádrica, compruébese que
M
■ I “a
(O, 0
a>2 0
0
donde a =
det M
d e t/\
RESOLUCIÓN
Llamando [co] = [wiwjto,]', sabemos que es A{(o] = - B (véase [263], [1]). Si
multiplicamos por bloques en el primer miembro de la igualdad a demostrar,
tenemos que (como B + A[(o] = O):
M
1 cB‘ 1 c + B'{(o] a
[a>] B A [ío] B + A[(ú] 0
con a = c + B'[ü)]
Ahora bien, como las coordenadas <o, del centro valen <t)¡ = A,/An para i = 1,
2, 3 (véase [263], [1]), donde A,,, A,, Aj, Aj son los adjuntos de los elementos
de la primera fila de M, resulta que
a = = ^ (cA„ + è,A, + ¿ A + ¿>,A,) =
1=1 \ deti4
ya que el paréntesis anterior es el desarrollo del determinante de M por los
elementos de su primera fila y que A„ = det A.
E JE R C IC IO
Dada la cuádrica de ecuación (a y b parámetros)
hallar su centro (o sus centros), discutiendo la existencia de los mismos en
relación con el tipo de cuádrica de que se trate.

561. 557
RESOLUCION
La matriz M de la cuádrica y la submatriz A de los términos cuadráticos son:
M =
Luego el sistema que proporciona los posibles centros (en función de a y b)
es el [1], que se da a continuación; realizando en él operaciones elementales
se obtiene el [2]:
1 -1 4-b ~
"120"
-1 12 0
y
A =2 13
4 2 1 3
03a
_ - b03a_
[IJ
x i-ly =1
+ - 2
(a + 3)z = b - 6
[2]
La discusión de [2] nos conduce a:
• Si « — 3, la cuádrica tiene un (y sólo un) centro. Nótese que para r/ ^ —3
es det i4 O y la cuádrica elipsoide, hiperboloide o cono. En este caso, el
centro es el punto de coordenadas (soluciones de [1]):
X = ■
3 - 3fl - 2b
T + 3
2a i-b
7 T T
z =
• Si rt = - 3 y è 6, entonces la cuádrica carece de centro. Nótese que para
a = - 3 y 6 es det i4 = O y det M = 3(/? - 6)“ O, luego la cuádrica es un
paraboloide.
• Si a = - 3 y /? = 6, entonces la cuádrica tiene infinitos centros que son los
puntos ( - 3 - 2 z , 2 + z, z) para z e U. Nótese que ahora es rangM = 3 y
rangi4 = 2. con lo que la cuádrica es un cilindro.
EJES DE LAS CUADRIGAS CON CENTRO
Las cuádricas con centro (elipsoides, hiperboloides y también conos) tienen tres
ejes de simetría, ortogonales dos a dos. como ya se analizó en su momento
(véanse [240]. [242] y [244]). Vamos a obtener aquí dichos ejes cuando la
cuádrica viene dada mediante su «ecuación general».

562. ÁLGEBRA LINEAL
[264]
En el espacio euclídeo y respecto de una cierta referencia cartesiana
rectangular (coordenadas jc„ jcj, jc,), sea dada la cuádrica que admite por
ecuación a la [x]‘M[x\ = O, donde [x\ = {\ x^xz Xp] y M es la matriz de
la cuádrica; sea A la submatriz (de M) de los términos cuadráticos. Se
supone que la cuádrica tiene centro único (esto es, que d e t/l#0), es
decir, se trata de un elipsoide (detA/O, sig/4 = (3, 0) o (O, 3)), de un
hiperboloide O, sig A = (2, I) o (I, 2)) o de un cono (rangAf = 3,
det A + 0). Es sabido que una cuádrica con centro tiene tres ejes (ejes de
simetría; véanse [240], [242] y [244]), que son ortogonales dos a dos;
pues bien, los ejes de la cuádrica dada son las rectas [j:] = íl + p[u¡\(p e R
parámetro; / = 1, 2, 3) siguientes: 1) pasan por el centro íl de la cuádrica
(solución del sistema A[x] = -fi; véase [263], [I]); y 2) tienen las direc­
ciones de los vectores propios «3, m, (ortogonales dos a dos) de la
matriz A.
DEMOSTRACIÓN
Vale aquí lo dicho en la demostración de [236], con los retoques pertinentes,
salvo el último párrafo, en el que se habla de «pendientes» (w) de rectas, que
no es aplicable a nuestro caso (dimensión 3). Donde allí se habla de: cónica,
vectores propios ü, y Mj, autovalores A, y A2, / y j variando de 1 a 2 o
A,jc^ -I- habrá que poner aquí: cuádrica, vectores propios új y i¡¡,
autovalores A,, Aj y A3, ; y j variando de I a 3 o Á,x^ + + Á^z^. Las
referencias [231 ] y [233] deben ser sustituidas por las [257] y [259].
EJERCICIO
Hallar los ejes de la siguiente cuádrica, clasificándola previamente:
x^ + y^ + z^ + 6(xy + xz + y z)+ 2(x + y + z) = 2
RESOLUCIÓN
La matriz de la cuádrica es (se usa la notación usual):
Aí =
■ - 21 1 1
cB'~ 11 3 3
BA _ 13 1 3
13 3 1
Cuesta poco comprobar que det A = 2 8 , det A/= - 6 8 , A, =- 2 , A j = " 2 y
Aj = 7 (A,, Aj y Aj son los autovalores de A), con lo que la ecuación reducida
de esta cuádrica es (A,j:f + A^c^ -I- A,*^ + det Af/det A = 0; véase [2 5 9 ] , 1):
+ 7j:^ = 7/17

563. IDIOS PARTICULAR Y GENERAL 559
La cuádrica es, pues, un hiperboloide elíptico (que es de revolución alre­
dedor del eje ya que los coeficientes de y con iguales). Se trata, pues,
de una cuádrica con centro, por lo que tiene ejes.
Acudiendo al sistema A[x] = que proporciona las coordenadas del
centro í l (véase [263], 1), se tiene:
JC -l· 3y + 3z = -1
3jc - f y + 3 z = - 1
3jc + 3y-f- z = - \
cuya solución es: í l
x = - l / 7
y = - \ p
z = - l / 7
Las direcciones de los ejes son las de los vectores propios de A, que valen,
como se comprueba fácilmente: I) los asociados al autovalor simple A3 = 7 son
todos los proporcionales a = (1, 1, 1); y 2) los asociados al autovalor doble
A = “ 2 son todos los del subespacio |(jc, y, z) e + y -l· z = 0}. Por tanto,
los ejes de esta cuádrica (que es de revolución) son:
• ( - 1 /7 , - 1 /7 , - l / 7 ) + p (l, 1, 1)
• ( - 1 /7 , - 1 /7 , - l / 7 ) + (jc,y, - x - y )
Nótese que la primera de estas expresiones representa a un eje (el eje JC3),
pero la segunda representa a infinitos ejes (todas las rectas que pasan por el
centro y son perpendiculares al eje anterior). Ello es debido a que la cuádrica
es de revolución alrededor del eje JC3.
p e R
JC. y e I
CONO ASINTOTICO DE UN HIPERBOLOIDE
[265]
c B ''
A/ =
A
siendo
En el espacio euclídeo y respecto de una referencia cartesiana rectangular
(coordenadas jc ,. jCj, JC3) se considera el hiperboloide cuya ecuación es:
3 3
I a¡jXiXj + 2 I 6,^,, + c = O
/.;»i h=i
que se puede poner [xYM[x] = O, donde [jc] = [ 1 jc, jCj JC3] y
A = [a¡j] (matriz cuadrada 3 x 3 )
B = (matriz columna 3 x 1 )
Se llama cono asintótico del hiperboloide al cono circunscrito (véase
[256], 1) al hiperboloide desde su centro fl. esto es. a la posición límite
del cono circunscrito desde un punto P cuando P tiende a fl. El cono
asintótico no tiene puntos comunes con el hiperboloide (cuando P —►ft,
la intersección del hiperboloide con cl cono circunscrito desde P tiende
al infinito). La ecuación del cono asintótico del hiperboloide es:
’ ^ 4- , d etM „
I a,jXpc^ + 2 I + T = 0
/.y-i ^ ^ ;i-i det A

564. d e m o s t r a c i ó n
La ecuación dei cono circunscrito ai hiperboloide desde eJ punto p^
es (véase [256], I):
{\p]'M[x]f = [Ij
donde íx] = U JC, Xi\‘ V W = Pi P 2 P^]'· Cuando P tiende al centro
n(w ,. <«>2. o>i)· esto es, cuando \p] tiende a [o>] - [1 w, Wj w ,] , es claro que
entonces M\p] tiende -i M[t¿\ y esta matriz columna vale, según se vio en el
primer ejercicio de [263], M\a,] = \a 0 0 0 ] , donde a = det A//detA; nó-
tese que, transponiendo los dos miembros de la última igualdad, se obtiene
[<ú]‘M = [a O O 0], pues M es simétrica. Por tanto, cuando P tiende a n , el
cono circun.scrito [1] tiende al que tiene por ecuación:
([a O O 0][i])" = ([o O O 0][w m x\'M [x\)
que es. pues, la ecuación del cono asintótico. Es evidente que el primer miem­
bro de esta ecuación vale y que el primer paréntesis del segundo vale a.
por lo que la ecuación del cono asintótico queda en ia forma a = [x]'M\i],
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _A l g e b r a l w e a i.
esto es:
y como, según se acaba de recordar, es a = det Af/det A, llevando este valor a
la última ecuación se obtiene la ecuación del cono asintótico que se da en el
enunciado.
E JE R C IC IO
Compruébese que la siguiente cuádrica es un hiperboloide y hállese su cono
asintótico:
+ 3z' + 4jo^ + 2r + 2 = O
RESOLUCIÓN
Es evidente que, llamando Af y A a la matriz de la cuádrica y a su submatriz
de términos cuadráticos, es det Af = - 2 0 O y det A = - 1 2 (nótese que, por
ser det A < O, es sig A = (2, 1) o (I, 2)). En consecuencia, la cuádrica es, en
efecto, un hiperboloide. Según se acaba de obtener, en [265], la ecuación de
su cono asintótico es:
4xy + 2z + 2 - = O
o sea:
4xy + 2z \/3 = O

565. □ EJE Y PLANOS PRINCIPALES
DE UN PARABOLOIDE
En el espacio euclídeo y respecto de una cierta referencia cartesiana
rectangular (coordenadas jc,, Xj» *^3) considera la cuádrica cuya matriz
es A/ y cuya submatriz de términos cuadráticos es A\
cB ''
A ~
'i'll0,2«13'
B A .
A —
«21 «22 « 2 3
_ « 3 I«32« 3 3 .
M =
(tiene por ecuación a la [x V M [x] = O , donde [i] = [1 jc, -^3]^)·
Supongamos que la cuádrica es un paraboloide (esto es. que det >4 = O
y 0). Según es sabido, el paraboloide tiene dos planos principales
(planos de simetría; véanse [245] y [246]). tt, y ttj, que se cortan
ortogonalmente en el eje del paraboloide (eje de simetría). Cada plano
principal, tt·. es perpendicular a un vector propio, de A correspondiente
a uno de sus autovalores no nulos. 0 para / = 1, 2; el eje tiene la
dirección de un vector propio de A, e^, correspondiente a su autovalor
nulo, Aq = 0. Si i(u, v, w) es un vector perpendicular al eje (esto es, a
^0), entonces el plano de ecuación
[O u V w]M[x] = (9^·^ [11
contiene al eje. En particular, si é = é¡(i = 1 , 2 ) , entonces [1] es la ecua­
ción del plano principal perpendicular a
NOTA: Recuérdese que (véanse [245] y [246]): El vértice del paraboloide es cl pumo
de ¡niersección de éste con su eje. El plano tangente al paraboloide en cl vértice es
perpendicular a su eje.
( ♦) Esta ecuación se obliene acudiendo al siguiente resultado: cuando un punto variable,
P, tiende al infinito según una dirección perpendicular a un plano principal del paraboloide,
entonces el plano polar de P tiende a dicho plano principal.
DEMOSTRACION
En la dem ostración de [259], 2, cuando se obtenía la ecuación reducida de un
paraboloide, se vio que la dirección de su eje era la dirección de los vectores
propios de A correspondientes a su autovalor nulo (que allí se llamó A3, en
lugar de A„ como aquí; nótese que A„ = O es autovalor de A ya que det A = 0).
Tam bién se vio, en [259], 2, que cada uno de los planos principales, tt, y tTj,
es perpendicular a un vector propio de >4, y e^, correspondiente a cada uno
de sus autovalores no nulos. A, y Aj, respectivamente.

566. P a r a o b t e n e r la e c u a c i ó n [1], v a m o s a a c u d i r a la p r o p i e d a d q u e s e cita e n
el p i e d e l e n u n c i a d o (la c u a l s e d e m o s t r ó e n el p r i m e r o d e los ejercicios de
[256]), e s t o es, a q u e c u a n d o u n p u n t o P t i e n d e al infinito s e g ú n dirección
p e r p e n d i c u l a r a é, ( p a r a / = 1, 2), e n t o n c e s el p l a n o p o l a r d e P, q u e tiene por
e c u a c i ó n a la \p]^M[x] = O , t i e n d e al p l a n o p r i n c i p a l tt,.. S i é/M,, y., w^) e s vector
p r o p i o d e A c o r r e s p o n d i e n t e a A,(l = 1, 2), e n t o n c e s el p u n t o P s e t o m a r á del
tipo P (o r + pw., + r + pw/,) y h a r e m o s l u e g o q u e p - ^ o o (a, y y
c u a l e s q u i e r a , p e r o fijos); el p l a n o p o l a r d e P será, p u e s :
[1 ú f + p w , )3 + pVi y + p w ] M { x ] = O
q u e d i v i d i e n d o p o r p p u e d e p o n e r s e e n la f o r m a :
[ 1 / p a/p + w,. p¡p + Vi y/p + w,]A/[;r] = O
A l h a c e r q u e p - * ® , est e p l a n o t i e n d e al p l a n o p r i n c i p a l tt¡, q u e , e n c o n ­
s e c u e n c i a , tiene p o r e c u a c i ó n a la:
[O Ui Vf Wi]M[M = O
c o m o h a b í a q u e c o m p r o b a r . R e p i t i e n d o el p r o c e s o a n t e r i o r p a r a u n v e c t o r é(u,
V, w) q u e s e a p e r p e n d i c u l a r a Cq ( e n l u g a r d e h a c e r l o , e n particular, c o n el
v e c t o r í;,, w,)), s e o b t i e n e ( i g u a l m e n t e ) c o m o p o s i c i ó n lím it e el p l a n o
Al g e b r a l i n e a l
[O 14 V w]M[x] = O [I]
C o m o è e s p e r p e n d i c u l a r a s e p u e d e a s e g u r a r q u e # = a é , + óej, para
ciertas íi, e R , p o r lo q u e w = a w , ^ v-a v^^- bü2 y w = aw^ +
L l e v a n d o este r e s u l t a d o a la a n t e r i o r e c u a c i ó n [ l ] s e o b t i e n e :
a [ 0 M, y, w^]M[x] + h[0 W 2]M[x]= ^ 0
e s decir, q u e el p l a n o [1] p e r t e n e c e al h a z q u e f o r m a n los d o s p l a n o s princi­
pales, l u e g o c o n t i e n e al eje, c o m o h a b í a q u e c o m p r o b a r .
E J E R C I C I O
C o m p r o b a r q u e la s i g u i e n t e c u á d r i c a e s u n p a r a b o l o i d e y hal la r s u s planos
p r i nc i pa le s y s u eje:
+ Axy + \6x z + lO yz + 2 j c — 2 y + 4 z - 1 - 1 = 0
RESOLUCIÓN
L a m a ü i z M d e la c ó n i c a y la m a t r i z A d e s u s t é r m i n o s c u a d r á t i c o s e st án d a d a s
por:
A / =
1I - 12
cB'' 1- 228
A .- 1271 0
281 0 4 _

567. Según se com prueba fácilmente es det M = - 6 4 8 =5^ O y det >4 = O, por lo que
la cónica es, en efecto, un paraboloide. Los autovalores de A, obtenidos de su
ecuación característica, se calculan fácilmente y resultan valer:
Ao = 0 A, = - 9 A ^ = 1 8
Al hallar los vectores propios, uno por cada autovalor, se obtiene:
A „ -^ 'o = (2, - 2 , 1) A ,-^^“, = (2, 1, - 2 ) {\, 2, 2)
Por tanto, los planos principales del paraboloide tendrán las siguientes ecuacio­
nes:
[0 2 1 - 2 W [ i ] = 0 2 jc+ y - 2 z + 1/3 = 0
[0 1 2 2]M[jcJ = 0 x - f 2 y + 2 z + 1/6 = 0
La intersección de estos dos planos es el eje, el cual se puede poner, acu­
diendo a un punto de la intersección de ambos planos, el ( - 1 /1 2 , - 1 /1 2 , 1/24)
por ejemplo, y a su vector de dirección éo = (2, - 2 , 1), en forma param étri­
ca (p 6 Ú):
x = - \ / \ 2 + 2p y = - l / 1 2 - 2 p z = 1/24 + p
R Y GENERAL 563

568. J64
ÁLGEBRA LINEAL
Ejercicios y problemas a la parte VI
ENUNCIADOS
VI.L Se considera la elipse de semiejes a y b (a>h) y
cuyos vértices del semieje menor son los puntos
B y B\ Si X es un punto de esta elipse y P y Q
son los puntos en los que las rectas XB y XB'
cortan al eje mayor de la elipse, pruébese que
K -O P -U Q constante (O es el centro de la
elipse), esto es, que no depende de X,
VI.2. Sea dada una elipse y sea F uno de sus focos.
Hallar el lugar geométrico que describe el punto,
P, mitad del segmento FX, al hacer que X recorra
la elipse.
VI.3. Considére.se una hipérbola, de ecuación reducida
1. Hallar la distancia de un foco F de la hi­
pérbola a una de sus asíntotas.
2. Compruébese que una asíntota, la perpendi­
cular a dicha asíntota desde un foco y la co­
rrespondiente direcuiz pasan por un mismo
punto.
VI*4. Considérese una hipérbola de .semiejes a (real) y
h (imaginario). Sean y d^ las distancias de un
punto X a las asíntotas de la hipérbola. Pruébese
que k = J,^2 es constante para cualquiera que sea
el punto X de la hipérbola; hallar k.
VI.5. Se considera una elipse de semiejes a (mayor) y
b (menor); sean i4 y A' sus vértices del eje mayor,
sea F uno de sus focos y sea d la correspondiente
direcuiz. Sea X un punto cualquiera de la elipse
y sean P y (? los puntos en los que las rectas XA
y XA* cortan a la direcuiz d. Compruébese que
FP y FQ son perpendiculares.
Vl.6. Sean dados un punto A y una recta r que no pasa
por A. Si X es un punto, del plano de A y r. sea
X' su proyección ortogonal sobre r. Hallar el lugar
geoméuico que describe el punto X cuando se
mueve de manera que cXF = Á F, donde c > O es
un número dado.
^1.7. Se considera una elipse de semiejes a (mayor) y
b (menor). Sea XX' una cuerda de la elipse que
se mueve manteniéndose paralela al eje menor y
considérense las rectas XA y X*A\ donde A y A!
son los vértices situados en el eje mayor. Hallar
el lugar geométrico que describe el punto P de
intersección de AÍ4 y X*A\
VL8. Se considera la parábola que tiene por ecuación
reducida a y = 2px. Sean X y X* dos puntos cua­
lesquiera de la parábola tales que el ángulo XOX
es recto (O es el origen). Pruébese que XX* corta
al eje de la parábola en un punto P lijo.
VI.9. Se considera una parábola de parámetro p. Hallar
el lugar geométrico descrito por los puntos medios
de las cuerdas XX' de la parábola que pasan por
su foco F,
VI. 10. Se considera la parábola de ecuación reducida
^ = 2px y se traza la normal (perpendicular a 1a
tangente) en un punto X de ella; sea Y el punto en
el que esta normal corta al eje de la parábola.
Hallar el lugar geométrico del punto X' simétrico
de X respecto de K, cuando X recorre la parábola.
V I.ll. Considérese la parábola que tiene su foco en f y
tiene por direcuiz a la recta d. Comprobar que la
tangente a la parábola en un punto X, cualquiera,
de ella es la bisectriz de JRT y donde X* es
la proyección de X sobre d,
VI. 12. Considérese una parábola y un punto X exterior a
ella; por X se trazan las tangentes a la parábola,
que son tangentes en los puntos P, y Pj; sean P.
Q\ y Ql los puntos medios de PjPj, XP, y XPi^
Piiiébese que:
1. XP es paralela al eje de la parábola.
2. Q\Qi es tangente a la parábola y lo es en su
punto medio Q.
VI. 13. Una hebra de hilo anudada en sus extremos y de
longitud 2p se mantiene formando triángulo isós­
celes OXX\ donde O es fijo y XX' permanece
paralelo a cierta dirección fija. Hallar los lugares
geométricos que describen los puntos X y X'.
VI.14. Se da una circunferencia fija, con centro en O y
radio r; también se considera un punto fijo, P,

569. U ( 8 Y PROBLEMAS 565
siendo UP - 2a. Hallar el lugar geométrico des­
crito por los centros, X, de las circunferencias
tangentes a la circunferencia dada y que pasan por
/»(indicación: lómese el origen de coordenadas en
el punto medio de OP).
Dos puntos X, y Xj se mueven, con la misma
velocidad angular, en sendas circunferencias con-
cénüricas de radios r, y rj. En el instante inicial
los puntos móviles están alineados con el centro
y a un mismo lado de éste; se mueven en sentidos
contrarios. Hallar la ecuación del lugar geométri­
co que describe el punto medio, X, de los X, y X^.
li, Compruébese que la tangente a una elipse en uno
de sus puntos X es la bisectriz exterior del ángulo
fXf' {F y F' son los focos de la elipse).
17. Dada una elipse y un punto P de ella, determinar
el triángulo de área máxima de entre los que tie­
nen un vértice en P y los otros dos también están
en la elipse.
11. Si y €2 son las excenüicidades de dos hipér­
bolas conjugadas, compruébese que (l/í?i) +
+(i/d)=i.
J), Pniébese que si los ü-es vértices de un triángulo
están situados en una hipérbola equilátera, enton­
ces el ortocentro del triángulo también está en la
hipérbola.
En un punto A se efectúa un disparo; el proyectil
va a velocidad v y hace impacto en un punto B.
Hallar el lugar geométrico de los puntos X desde
los que se escucha simultáneamente el disparo y
el impacto (llámese t;' a la velocidad del sonidoi
ÜL Se consideran dos hipérbolas conjugadas, de se­
miejes fl y 6. Se traza una tangente común a
ambas. Hallar la distancia entre los puntos de
tangencia, comprobando que es constante.
Clasificar las siguientes cónicas:
a) 2jc^ + y^ + lry-12jc-4v + 3 = 0.
b) 3y^ + 4jc>' + 4jt — 2y — 4 = 0.
c) .x^ + / - 2 x y ' + 2 y - h I = 0 .
^ Cla.sificar las siguientes cónicas:
a) 2r ' - f / ^ 2xy + 2j c ~ 2y + l = 0 .
b) 4jt^ + / + 4jcy- y = 0.
c) jcy + 3y - 2 = 0 ,
d) + + 2 =
VI.24. Clasificar la siguiente cónica, en función de los
parámeü'os a, h e ÍR.
(1 + a)x^ + 2axy + + 2bx + a - 3/?^ = O
VI.25. Clasificar y hallar la ecuación reducida de la si­
guiente cónica:
1 Ijrí - 4jc,jCj + 14jc? -f 40^:, + 20^2 4- 45 = O
Hallar también el centro y los ejes de dicha
cónica.
VI.26. Clasificar y hallar la ecuación reducida de la si­
guiente cónica:
Ax\ + 4jc,jc2 + jc| + 4a‘, — — 20 = O
Hallar los ejes en los que la ecuación es la redu­
cida.
VI.27. Hallar la ecuación reducida, en función de O, de
la cónica:
x\ cos6^ -2jc,jc2 + jc| cosd + 2jr + 2y = 0
(•^7T< 7r). Determinar los ejes en los que la
ecuación es la reducida. Clasificar la cónica.
VI.28. Se considera una parábola, cuyo parámeüt) p (dis­
tancia del foco a la direcüiz) es fijo, que gira
manteniendo su foco inmóvil. Se considera tam­
bién una cierta dirección fija en el plano de la
parábola y se traza la tangente a ésta que tiene
la dirección dada. Hallar la ecuación, en ejes ad
hoc, del lugar geométrico que describe el punto
de tangencia.
VI.29. Se considera una cónica ordinaria con centro; sea
M su maüiz y sea A = [a^l la submaüiz de térmi­
nos cuadráticos. Compruébese que los coeficien­
tes a y de la ecuación reducida. a .r + /8y^ = 1,
de la cónica son las raíces de la ecuación de
segundo grado:
(det Af)^A^ + (det M) (det /\)(a,i + <122)^
+ (det A y = O
VL30. Comprobar que, si F es foco de una cónica C, las
tangentes desde F a C son imaginarias y tienen
pendientes -+-/ y — / (a dichas rectas se las llama
rectas isótropas que pasan por F).

570. 5 6 6
Á L G E B R A LINEAL
V I J I . Hallar los planos tangentes a una cuádrica que son
paralelos a un plano dado ax + by + cz— I (con­
sidérese una cuádrica con centro <vr + Py +
+ yz^= l y también un paralwloide 2r = our +
V U 2 . Indicar cómo se detetminan los planos tangentes
a una cuádrica que contienen a una recta dada.
Supóngase que la recta y la cuádrica son:
■
a'x + b'y + c*z-\
r:
V U 3 . Recurriendo a las identidades:
( I -I- -I- = ( I - - /3^)’ + ( 2 a f +
(1 _ „2 _ 0í)i = (1 + „2 + ptf - (2af - (Ip?
{a + py‘ = {\+aPf-^(a-pf-(\-aP?
Comprobar que el elipsoide, el hiperboloide de
dos hojas y el hiperboloide de una hoja admiten,
rcspeciivamenie, las siguientes ecuaciones para-
méuicas:
x _ I y 2 a
■ a + ' b \ + d ^ + 0^
2ß
(elipsoide)
l a
a I - Of^ - * b —
I ß
c
(hiperboloide de dos hojas)
V I3 6 . Dada una cuádrica con centros ax^·^ ß / + y ^ s
= 1, pruébese que el lugar geométrico que forman
los puntos desde ios que es posible u^zar tres
planos tangentes a la cuádrica que sean ortogona­
les dos a dos (forman triedro trirrectángulo cir­
cunscrito a la cuádrica) es la esfera jc^ -l- ^ ss
= l / a + l/j3 + \ / y (esfera de Monge).
V L 37. Dado un paraboloide 2z = + ß / , pruébese
que el lugar geométrico que forman los puntos
desde los que es posible trazar tres planos tangen­
tes al paraboloide que sean ortogonales dos a dos
es al plano z = (a + ß ): (la ß ), perpendicular al
eje del paraboloide.
V I.38. Considérese una cuádrica con centro y sean Jj
y las longitudes de tres de sus semidiámetros
Oos semidiámetros son los segmentos que unen el
origen con los puntos de la cuádrica). Pruébese
que si los tres semidiámetros son ortogonales dos
a dos, entonces l / í / f + I/í^ i + ^ /d lts constante.
V1.39. Se consideran cuatro puntos alineados A, B, C y
P; sean a = FÄ, b - PB y c = FÜ (fijos). El seg­
mento ABCP se mueve de manera que A, B y C
se desplazan, respectivamente, por los planos
Jc = 0, y = 0 y z = 0. Hállese el lugar geométrico
que describe el punto P,
V I.4 0 . Dada la hipérbola (j^/a^) — iy^/b^) = 1, z = O, ha­
llar el lugar geométrico de los vértices X de los
triedros üirrectangulares cuyas aristas cortan a la
hipérbola.
3 Í = U L ^ y _ a - ß
a a^-ß ’ b a -\-ß
z \- a ß
c a^ ß
(hiperboloide de una hoja)
V I.34. Demuéstrese, en una cuádrica con centro, que la
suma de los cuadrados de las distancias del cenü-o
a tres planos tangentes ortogonales es constante;
hállese dicha constante.
V U 5 . Considérese un paraboloide y tres planos tangen­
tes a él que son ortogonales enlre sí. Sean P,. P j
y P j las proyecciones del vértice O sobre dichos
tres planos. Pruébese que la suma de las proyec­
ciones sobre el eje át UF,, UF, y ts cons­
tante; hállese esta constante.
V I.41. Hallar el lugar geométrico de los puntos X tales
que su distancia al origen y su distancia al plano
z - d están en la relación e (constante). Discutir
el resultado en función de los valores de e > 0.
V I.4 2 . En cada punto X del hiperboloide de una hoja
1 se traza la normal exterior
y en ella se toma un punto Y a distancia constante
de X. Comprobar que, si se cumple cierta condi­
ción (que se pide), estos puntos Y pueden estar
todos en un cierto cilindro; hállese dicho cilindro.
V I.4 3 . Considérese una cualquiera de las generatrices
rectilíneas de un hiperboloide de una hoja. Probar
que la proyección de la generatriz sobre el plano
de la elip.se de garganta es tangente a dicha elipse.

571. Y P R O B L E M A S
5 6 7
1144. Considérese una cualquiera de las generatrices
recliUneas del paraboloide hiperbólico 2z = -
- (//</). Probar que la proyección de la genera­
triz sobre el plano y = O es tangente a la parábola
del paraboloide situada en dicho plano.
H.45. Se considera el paraboloide hiperbólico (reglado)
Tz-j^lp-'^lq y sus dos planos principales
(jr = 0 e y = 0). Una generatriz cualquiera del
hiperboloide corta a sus planos principales en los
puntos P y Q\ hallar el lugar geométrico que
describe el punto X medio de los P y Q.
,146. Hallar la ecuación del hiperboloide que tiene el
mismo cono asintótico que:
C: + 4 jcz- 2yz + lOz + l = O
y que es tangente al plano tt: 2.t - y + z = 0.
147. Considérese la cuádrica que en cierta referencia
cartesiana admite por ecuación a:
+ y?z^ + 2jc + 2(/> - 1 ) + / ? = O
(p 6 R parámetro).
1. Hallar p para que la cuádrica sea un par de
planos y hallar éstos.
2. Hallar los valores de p para los que la cuádri­
ca es reglada.
3. Hallar, si la cuádrica es reglada, sus dos ge<
neratrices rectilíneas que pasan por el punto
i4(-I, - I , I) de la cuádrica.
••48. Se considera la siguiente cuádrica C:
C: 2r'-/-3z'-2jcz'-4y-H 10 = 0
1. Hallar el lugar geométrico que engendran las
tangentes a C en el punto P,(l, 2, 0) de ella.
2. Hallar el lugar geométrico que engendran las
tangentes a C desde el punto PJS^, 2, 0), que
no es de C. Hallar el plano en el que se
encuentran los puntos de contacto con C de
dichas tangentes.
3. Comprobar que el plano z = 2 es tangente a
C y hallar su punto de tangencia.
4. Analizar si existe algún plano paralelo al
= O que sea tangente a la cuádrica C.
Sea C una cuádrica ordinaria que en cierta refe­
rencia cartesiana tiene a A/ por matriz. Se llama
poh de un plano al punto cuyo plano polar cs
el plano dado. Hallar la columna de coordenadas
del polo de un plano en función de la columna
U de los coeficientes Mq. u,. Wj* w, de la ecuación
del plano dado. Hallar la condición, a cumplir
por U, que caracteriza a los planos tangentes
a la cuádrica.
VI.50. Halliu· la ecuación del lugar geométrico que des­
cribe el centro de la siguiente cuádrica, al variar
los parámetros a y h:
+ / - z^ + ojcz + feyz - 2jc - 8y 4z = O
VI.51. Clasificar las siguientes cuádricas:
a) + y^ + 4z^ + 2jcy + I2xz- 4yz + 2x- 6y-
- 4z +1 = 0.
h) + 2y^ + z^ + 2jcz + 2;t + 1 = 0.
c) -jr^ + / - 2z^ - 6xz + 2yz - 2jc - 6y = 2.
VI.52. Clasificar las siguientes cuádricas:
a) / 4· z^ - 2yz + 6a: = 4.
h) 5x^ + 4y^ -I- 2z^ + 6jry + 4jrz + 6jr + 8y 4- 3 =
= 0.
c) 3x^ + 2y^ + 6xy + Sjc + 4y + 2z + 2 = 0.
VI.53. Clasificar la siguiente cuádrica, en función del
valor que tome el parámetro a:
2;c^ + / + 2z^ + 2jcy + 2 a y z - 4 y + 1 = 0
VI.54. Clasificar, en función del parámetro /?, la siguiente
cuádrica:
x^ + py^ + i p - \)7^ + 2 xy - 2yz +
+ 2r + 2z-i-4 = 0
VL55. Clasificar, en función de los parámetros a y la
siguiente cuádrica:
3jc^ + 2y^ + az^ -f 4jc>' + I r + 2 te + I = O
VI.56. Hallar la ecuación reducida de la siguiente cuádri­
ca y clasificarla:
ÓJCi + 3jc2 + 3xi + Ax^x2 - ^XiX^ “
- 2 r^r3 + 4 jr ,- 8 x 2 + 9 = 0
Hallar su centro y sus ejes. Esta cuádrica, ¿cs de
revolución?

572. 5 6 8
Á LG E B R A LINEAI
V I ^ . Considérense las cuádricas que, en ejes neciangu-
lares, admiten ecuación del tipo:
oucf + ( I - a )x | + tt.ri + 2(1 - aXrj-t, +
+ 2r,+ Zr3 + 3 = 0 (o € R)
Clasificar las cuádricas dadas, en función de
o € R. Hallar los valonrs de a para los que se ob­
tiene una cuádrica de revolución. Hallar la ecuación
reducida de la cuádrica correspondiente a a = 3;
determinar sus ejes.
V I ^ Sea Cip) la cuádrica. dependiente del parámetro
p, que en cierta referencia cartesiana rectangular
tiene por ecuación a:
4.rj 2(p - I + 4x¡ + 4x^xy 2p^2 + /> = O
a) Clasificar la cuádrica C{P), en función de p.
b) Obtener la ecuación reducida de la cuádrica
C ( - l ) .
r ) Obtener la ecuación reducida de aquella de
las cuádricas C{p) que es paraboloide.
(I) Obtener la referencia correspondienie a la an­
terior ecuación.
V Ii»9. fl) Hallar (en ejes rectangulares xyz) la ecuación
general de todos los paraboloides que coniiencn a
la parábola r = 2x. z = 0. />) De enlre ellos, de­
terminar los que son de revolución, c) Hallar el
lugar geométrico descrito por los vértices de estos
últimos.

573. SOLUCIONES
ία '» OP==ba:(h- ß )y
^ öQ^ba:(b-¥ß)\ OP O Q ^ ( b W ) : { b ^ ß^) =
j|j. Elipse de semiejes a y b\ distancia focal 2c. Si
P(x, y), entonces X(2x - c, 2y) satisface a la ecua­
ción de la elipse, luego
(aHf (h/lf
= 1
El lugar en la elipse de semiejes mitad de los de
la elipse E dada, que tiene por centro al punto
medio de F y dcl centro de £ y con igual eje
mayor que £
\13, I. Foco (c, 0), asíntota bx — ay = 0, distancia
\-cb\\yJa^ + b^ = b,
l. Asíntota b x - a y - 0 , p e φe n d ic u la Γ a x ^ b y -
= ac, directriz x = a^lc; las tres pasan por
(a^c, bale).
\ U X(a, β ) con - β ^ Ι τ = 1.
I a/a - P¡b\ I aja + ß|b\
V l V + l/¿ r V l / ^ + l / ^
1 flV
'L5. X(a, β ) con a^/d^ + ß^/br = I ; F{c, 0) con =
= a^ + b \ d :x = a^/c.
p
ia^ a (a -c )ß \
Γϊ
(á‘· a(a + c)ß'
Γ
[c ' c(a -o )j
- u
i^c’ c(,a + a )/
f p f q=
c W - a ^ )
¿7^.2 a ^ b ^ -b W \
' 1.6, Tomando a r como «eje de la y» y el «eje de la
X» pasando por A, con lo que A{a, 0). Lugar
c\x\ = o sea, c V - hipérbola de
semiejes a/c y a.
VL7. X{a, β ) , X' - ^ - j
AX : β χ - ^ ( ^ α - a)y = α β
A'X' = 4-
Eliminando a y β enü-e las tres ecuaciones,
VL8. X(aV2/7. a), Χ \ β ^ Ι 2 ρ , β ) .
ό Ζ · ό ^ = ο , α/3 = - ν ; ^(^*0)
con
2/7 or - ^ 2/?
El punto P(2p, 0) es fijo.
ip
V I.9 . / = 2px, F(p/2. 0), X(a^/2p, ot)> Χ \ β " β Ρ ^ β) -
X, X ', F alineados, luego
g i)-
- « 2
2p
■ Λ β - α )
o sea, a ß = —p-. Pumo medio:
x = -
y + ß^
A p
a + β
Eliminando a y β entre las tres últimas ecuacio­
nes se obtiene y^=px — p'jl (parábola de paráme­
tro mitad que ia dada, con el mismo eje y con
vértice en el foco de aquélla).
V I.IO . X(Xo, Vo) con >5 = Ipx^;, la normal es y^x + py =
= >9*0 + W > '(-'0 + P> 0); X\xo + 2p, yo). U g a r
y^ = 2p (x -2 p ).
V I. 11. Parábola / = 2px, Ρ { ρ β , 0), Χ( λγο. >'o), X '( ~ ρ β > y¿)·
Como X F = XX', la bisectriz es la mediatriz de
X 'F, que es - p x + y„(y - >’o /2 ) = 0 . que coincide
con ia tangente » ’o = px + pxo-
V I.I2 . Parábola y^ = 2px, X(a, β ) :
1. />„ Pi. y^ = 2px, yß = px + pa\
\p /
luego X P paralelo al eje.

574. 570 Á L G E B R A LINEAL
2. Q punto medio de XF,
(0^
pertenece a la parábola y la tangente en él es
yP = px + pP^flpy que es paralela a 1“®"
go es Q iC j.
V1.13. Tómense ejes rectangulares Oxy con Ox paralelo
a la dirección fija.
OX -f X r + JTO = 2p ; X(x, y) , X\-x, y);
4- I r = 2/7; / = -2px + p^ lugar de X;
/ = 2px + p^ lugar de X '; ambos para - p <
^y^p,
V I.14. OP = «eje de la x» con origen en el punto medio
de 0P\ 0 ( - a . 0). P{a, 0). X(;c, y);
= V ( x + af + f \
4(r^ - 4ír)jc^ + 4r^y = - 4Γ^fl^ que es elipse o
hipérbola según que P sea interior o exterior a la
circunferencia: sus focos son O y P.
V M S . X ,(r, eos (úU r, sen üiO> XiC'*! eos ü)t, - f i sen u)t),
(ü = velocidad angular.
X\
X: = 1
x - { (r, + Γ2) eos ω ί
.y = i ( ' ' i “ '‘2) sen ω ί
(r, + fj)^ (r, -
V I.1 6 . = 1, X (e . β ) , tangente
{ouc)/if + = I
^ ( e - c . . F Z ( a + c ,fi)
IlíX Il = (e^ - ttc ): a , ||F 7 |1 = (e^ + a c ) : o
bisectriz interior
FX FX , .2
{ a * - a W
es perpendicular a la tangente.
V I. 17. Considérese la elipse como proyección de una
circunferencia sobre un plano. En la circunferen­
cia, el mayor área se obtiene si el triángulo es
equilátero; al proyectar, se obtiene que el trián­
gulo pedido es el siguiente: si O es el centro
de la elipse y P' el punto diametral mente opuesto
de P, el lado del triángulo opuesto a A* es paraielo
a la tangente en P trazada por el punto medio
de P' y O.
V I. 18. €y = c/fl, ^2 =
c^ = (c/e.)^ + ( c / ^ / .
V I.1 9 . Hipérbola xy-k, /"lU p ^ i). PiiXi^ y^ y P^ix^, y^).
Altura correspondiente a Py
j c jj c j x jí jc - JC3) - k x ^ + = O
que corta a la hipérbola (además de en P^) en
P(Xo* yo) con Xq = -kyixiXiXi)· ^ dos altti-
ras también pasan por P (por simetría), que es
entonces el ortocentro.
V I.2 0 . ( iíX - SX) :v* - Á B : i;._Hipérbola con focos en A
y B y constante 2a = AB{v'lv),
V1.21.
Tangentes a una y otra
^2
Como las tangentes son iguales y los puntos son
de las hipérbolas, es:
b^ * b^ cr
de donde
' >/fl^ — ir *
b^
luego la distancia pedida vale

575. fl) d e t A > 0 y s i g M = {2, 1 1, elipse real.
b) det A < O y dei hipérbola.
c) deiA = O y det A f Tífc O, parábola.
í
fl) d e i A > 0 y d e t A f = 0, d o s rectas imaginarias
concurrentes; b ) d e t A = 0 y d e t M ñ ^ O , parábola;
c) dclA < 0 y d e l A f = O, d o s rectas reales c o n c u ­
rrentes; </) d e l A > 0 y s i g A / = {3. 0}, elipse i m a ­
ginaria.
II deiA = fl, det Af = — 4¿?^); d i a g o n al iz a ci ón d e
M:(l» a, a - 4b^). Si a = O, d o s rectas paralelas;
si fl< 0, es d e t A < 0 y det A / O , hipérbola; si
d e i A > 0 y s i g A f = { 3 . 0}, elipse i m a ­
ginaria; si = a>0, det A > O y det A / = O,
dos rectas i ma gi n ar ia s c o n j u g a d a s ; si O < a <
d e t A > 0 y s i g A / = {2. I), elipse real,
H d c t A = 1 5 0 , A, = 10. A 2 = 1 5 , det A^ = - 3 . 7 5 0 ;
elipse real; 2 r 4- 3 ^ = 5; c en tr o (2, l); direccio­
nes de los ejes m,(1. ~ 2 ) y il2Í2, l).
dclA = O, A, = O, A . = 5. det A / = - 1 0 0 ; parábola;
dirección d e la p a r á b o l a 5(1, - 2 ) ; eje
(polar d e (O, 2. 1)) 2 j c + y = 0; vértice (l, - 2 ) ;
tangente e n el vértice jc - 2 y = 5.
Ü7. dclA = cos^ ^ “ I, A, = e o s + 1, A j = e o s 0 - 1,
dciA/ = “ 2( l + e o s ¿); hipérbola; (cos^ O - \ )x^ +
+ ( c o s 0 - - l ) V = 2; c en ü- o [ l : ( I ~ c o s 0 ) ,
l : ( l - c o s ^ ) j ; d i r ec c io ne s d e los ejes (I, 1) y
(1,-1).
Origen e n el foco, «eje jc» c o n la dirección dada;
direcüiz x e o s 9 + y s e n $ = p; p a r á b o l a
jt^ sen^ 0 + y^ c os ^ 6 - 2xy s e n ^ e o s ^ +
+ 2p{x cosO +y s e n0) =
la polar d e (O, 1. 0) es
X sen^ 0 - y s e n 0 C C S 0 + /7 e o s 0 = O
eliminando O q u e d a p\x^ + y^) = 4 y ‘*.
Invariantes:
a + / 3 = “ d e t A ( a , , +0,2): (det A/)
y
a /3 = ( d e t A ) ^ : ( d e t A « '
que son la s u m a y el p r o d u c t o d e las raíces d e la
ecuación del e n u n c i a d o .
V1.30. T o m a n d o origen la F y c o n «eje j c» perpendicular
a la direcüiz (jc = d), la cónica es
E c u a c i ó n d e las tangentes d e s de el origen +
+ y2 = o, o sea, y = ±ix,
VI.31. C u á dr i ca c o n centro: yyo + = 1 ha
d e ser paralelo al plano dado,
axJa^PyJh-yi^lc y + /3yo + r á = 1
luego
Xo^pala , yo-pblP y T^-pcjy
c o n
p = l : yja^ja + + c^/r
y el p lano tangente
ax· + 6 y + cz = ■* + ^!y
Igualmente, para el paraboloide
\^p-^b^a
aPc^
O
VI.32. o x c „ + pyy^i + 7 2 2^ = 1 d e b e coincidir c o n
{a + Afl')jc + (/? + m y + (c + Ac')z = 1 + A
siendo axo + Pyi+ y d -
A l
+ 2 A
\a P y /
jaa' bh' cc' ,\
,a'*' p'*' y )
[a P y )
Para c a d a A raíz d e esta e cuación se obtiene u n o
d e los planos tangentes.
V U 3 . D i v id i en do c a d a u n a d e las identidades por sus
pri me r os m i e m b r o s , las p a r a m é ü i c a s resultan evi­
dentes.
V I J 4 . -f + 7^ = 1; plano tangente
« M o ^ + Z^yoy + r Z o Z “ · ° xu + yv + zyv = h

576. 2
Alg e b r a lineal
(h distancia al origen, («, ti, *v) unitario normal al
plano); identificando queda
/l"=:(MVa) + (l^//?) + (>'^/r)
Si los tres planos tangentes son u¡x + v¡y + w,z = K
suniando se obtíene S/i? = l/a + 1/^ + 1/t·
35. 2z = plano tangente
+ = 0 o .tM+yu + z>v = /i
(h distancia al origen, {u, i\ u·) unitario normal al
plano); identíficando queda
h = -{u^/a + v^/P) : (2>v)
la proyección de ÜP vale
hw = -(trla + vyp):2
Si los tres planos son u¡x + sumando
las proyecciones se obtíene 'S,w¡h¡--(\/a+ \/P):2,
;.36. Según se vio en el Ejercicio VI.34, tres planos
tangentes perpendiculares enü^ sí son
xu¡ + y i v + ZW, = [ u j /a + vV P + w}jy]'>^
elevando al cuadrado y sumando, como ios
(u¿, v¡, forman base ortonormal, se obtíene la
esfera de Monge.
1.37. Según se vio cn el Ejercicio VI.35, tres planos
tangentes perpendiculares enü-e sí son
u,x + v,y + W,z = -(u}/a + ví/fi) : (2w,)
eliminando los parámetros (teniendo en cuenta
que los {u,, w¡) forman base ortonormal) se
obtíene el plano del enunciado.
1.38. OLX^ py^ + yz^= \. Si (m^, w¡) es el unitario
de la dirección del semidiámetro ¿/j, es
\/ííf = auj + pvj + ywj
Teniendo en cuenta que los (m^, v¡, w,) forman base
ortonormal. sumando se obtíene el resultado pe­
dido.
U 9. Si (u, V, w) es el unitario de la dirección del
segmento, P{au, b v , cw) como I ^ el
lugar es el elipsoide jc^/a^ + + ¡2^^ = 1 ’
V1.40. X(a, P. r); una arista = Qf + Au. = ^
2 = y + Aw, (w, V, w) unitario; por corlar a la
hipérbola
- /3Ví^ - 1 ) + _
- l u w ( a y l c f ) + 2m v(fiyH ^) = o
Sustituyendo (u, v, vv) por (u,, Uj, iv,), donde estos
vectores forman base ortonormal, eliminando los
parámetros se obtiene:
VI.41. :^ + (\-e^)y^ + 2deh = tí^e^. Si e > l , es un
hiperboloide de dos hojas; para e = 1, es un pa­
raboloide elíptico; si es e < l , es un elipsoide
(todos ellos de revolución).
VI.42. X(;c„, yo. Zo) con
jco/a^ + + z«/c^ = 1
Y(x. y, z) con
x = x^ + ÁxJa . y = yo + k.yJb , z = z^¡-XzJc
ecuación del lugar de Y (eliminando Xj, y^,
: (o + A/a)' + y : (¿7 + \ /b f -z^ :(c -X /c f= l
Es cilindro si c = A/c y el cilindro es
VI.43. x^/cP- + y‘/br - ¿'¡í? = 1; generatriz rectilínea
JC = fl [eos 6 ± (sen dlc)z\
y = b [sen 0 ^ (eos 0/c)z]
proyección: (x/a) eos 0-^{y!b) sen 0= 1, 2 = 0,
que es tangente a la elipse de garganta en
JC = fl eos 0, y = bsen0, z = O
V1.44. Generatriz rectilínea
X = + z/2fjL) , y = ± V^(M “
proyección: jc = y/pifji + z/2fi), y = O, que es tan­
gente a la parábola 2z = ^/p. >> = O en el punto
Xq = 2ix -Jp, _V„ = o, Z„ =

577. 573
Generatrices
x / v ^ ± y / v ^ = 2 A , xlyjp^yl4q-zl\
(A parámetro);
P(0, ± 2 A > / 5 , ~ 2 A ^ ) , QdkyTp. 0. 2 A" )
X ( A V Í . ± A > /^ , 0)
Lugar: recta j c > ^ ± ) > > ^ = 0, z = 0.
La ecuación sólo difiere d e la d a d a e n el t é r m i n o
independiente, q u e l l a m a r e m o s a. L a c ó n i c a CDtt
debe ser d eg en e ra da , lo q u e e qu i v a l e a q u e lo sea
su proyección s ob re z-0 , q u e es
-Ix^ + %xy - 3 r + l O v + í2 = O
luego a = “ 35.
147. Diagonalización de A/: (1. /?, *-/?, a - I).
1. rang M = p = 0, x = y y x + y + 2 = Q,
2. sig A/ = (2, 2), f l < 1.
3. Están e n el p l a n o t a n g e n t e v i- z = O y son:
x = “ l + A ( / 7 - 1)
- 1 ± \ y / \ - p
z = I + A V i- p (A e R )
fM. 1. El plano t angente e n P,: 2j c- 4 > ' -z + 6 = 0.
2. El c o n o circunscrito d e s d e
^2: - 3z^ - 2 x z - 4 y - 24>^ + 2 8 = O
el plano es el polar d e ^ 2 * 2 ^ = 3.
3. El p unto q u e tiene a z = 2 c o m o p l a n o polar
es el 2(1, - 2 , 2); c o m o 0 es d e z = 2, éste
es tangente a C e n Q .
4. La intersección d e C c o n x = h d e b e su d e g e ­
nerada, lo q u e e qu i v a l e a Ihi^ + 4 2 = O, q u e
no es posible.
'149. U^M[x] l u e g o [jc) = A / ' í /
El plano U es t a n ge n te sii s u p o l o le pertenece,
esto es, sii
V[x] = O
o sea:
VI.50. E l i m i n a n d o a y b úc j: + ( a / 2 ) z = l , (al2)x +
+ {h/2)y - z + 2 = 0, y + (a/2)z = 4 se tiene:
jc^ + / + z ^ “ X - 4 y - 2 z = 0
V L 5 1 < * \ a) sig M = {2, 11 y sig A = {2, 1 ); c o n o rea L
b) sig M = {3, 11 y sig A = {2, 0}; p a r a b o lo id e
elíptico.
c) sig M = (2, 2) y sig A = (2, I ); h iperboloide
reglado.
V L 5 2 ^ * \ a) sig /Vf = {2. 1 ) y sig A = {1, 0); cilindro p a ­
rabólico.
b) sig Af = (3, 1) y sig A = {3, 0); elipsoide
real.
c) sig A/ = (2, 2) y sig A = ( 1, 1 ); p ar ab o l o i d e
reglado.
V I . 5 3 ‘*\ D i a g o n al iz a ci on e s d e M y A : (1, 1, - I , 3 - or^) y
(1, 1. l - a ^ k | < l - ^ s i g / W = { 3 , 1) y
sig A = { 3 , 0}, elipsoide real; | a | = l — ►
— ► s i g A f = 1 3 , 1) y sig A = (2, 0), par ab o lo i ­
d e elíptico; I < |a| < > / 3 — ►sig A ^ = { 3 , 1} y
sig A = (2, 1), hiperboloide elíptico; |al =
= >/3— sig M = 1 2 , 1} y s i g A = |2. 1), c o n o
real; |a| > 3 — » s i g A / = {2, 2) y sig A = (2, I ),
hiperboloide reglado.
VI.54. D ia go n a l i z a c i o n e s d e A / y A : (1, 1, 3/> - 2. /? - 2)
y ( l, 2 - /?, /7). /? < O, hiperboloide reglado; p = O,
p ar ab o lo id e reglado; O < p < 2/3, hip er b ol oi d e re­
glado; p = 2/3, c o n o real; 2 /3 < y? < 2, hiperboloi­
d e elíptico; p = 2, cilindro imaginario; p > 2, elip­
soide imaginario.
\LS5^\ í / > 0 y ¿ ) ^ 0 - ^ s i g M = { 3 , 1) y sig A = { 3 , 0 } ,
elipsoide real; íz< 0 y ^ = ? t O - * s i g M = [3, 1} y
sig A = {2, 1), hiperboloide elíptico; a > 0 y
h = 0 - * sig M = {3, 0) y sig A = {3, 0), c o n o
imaginario; ü < 0 y ¿? = 0 — sig A f = { 2 , 1) y
sig A = {2, I), c o n o real; a = 0 y ¿ ? ^ 0 — ►
- ♦ s i g M = (3, 1) y sig A = ( 2 , 0), p ar ab o l o i d e
elíptico; a = 0 y ¿? = 0 — >sig A ^ = { 2 , 0 } y
s i g A = |2, 0), par d e p la no s i m a g i n ar io s ( c o n
intersección real).
V L 5 6 . det A / = - 3 2 , d e t A = 3 2 , A, = A j = 2, A3 = 8;
2jc^ + 2>>^ + 8z^ = I; es d e r ev ol u ci ón (A, = Aj).
C e n t r o ( - 1 , 2, 0); eje d e revolución ^ 2 , - I , - I ) ;
l o d o vector ortogonal a S es eje. Elipsoide real.í/'Af = O ( e c u a c i ó n tangencial)
’ Pbr brevedad, al escribir las signaturas de las matrices se pondrá [p, q\ en lugar de (/?, q) o iq, p).

578. 574 Al g e b r a u n e a l
V I.57. Diagonalizaciones de A/ y /4:
(l, 1. I - a . a - 1/2) y (1,1- a . a - 1/2)
Para aKXjly a>\ hiperboloide elíptico; para
a = 1/2 y I, cilindro imaginario; para 1/2<
< a < 1. elipsoide imaginario. Aulovalores de A,
A, = l - a , Aj = 2flf -* 1, Aj = I; es de revolución
para a = O (para a = l y a = 2/3 imaginaria). Pa-
ra a = 3. dei Af = - 1 0 , del - 1 0 , 2 r - / -
- r - I; centro (1, O, l); direcciones de los ejes
(0. 1.0), (1.0. Dyd.O, - I ) .
V I.58. a) Diagonalizaciones de Af y A: (1, 1. p. p - 2)
y ( l , l. p — l); si p <0. hiperboloide reglado;
si p = 0. cono real; si O<p< i. hiperboloide
c)
d)
elíptico; si p —i. paraboloide elíptico; si
1 < p < 2. elipsoide reaJ; si p = 2. cono ima­
ginario; si p > 2, elipsoide imaginario,
de! 2). det >4 * 24(p - 1). A, *
= 2. Aj - 6. A3 = 2(p - 1 ); para p = -1,
3A^ + / - 2 r = 3/8.
Paraboloide si p = 1 : z = ^ + 3 ^ .
Dirección del paraboloide ^ 0 , 1, 0), direccio­
nes seudoejes «,(1.0. - I ) y
^ = z *= O y vértice (0. - 1 / 2 . 0).
V I.59. a) y - 2jc + z(íU' + -f cz + ¿/) = O con a = O, ya
que del A —O.b) Los aulovalores no nulos de A
¡guales, luego (c - 1)^ = o sea, c == 1 y ^ = 0.
con lo que: / - 2 j t + z^4-Jz = 0. c) Eje > = 0,
z = -d ¡2 \ lugar: z^ + 2^ = 0. y = 0.

579. i . Aígéra básica,
2 . Diagonaíización por 6Coqut’s de una tronijbmmcú^ii orujgonoí.
3 . Forma canónica de Jordán.
4 . ELspacio ajín (de ditncnsión n e N ).
5. Lspacio ampliado (puntos deí ii^itiito).
os asunto, que se m ogen aqut, a ljtm í, no están de más, no son ni soSras ni escurriduras; rw son
temas soßre íbs que eC autor tema verdaderas ¿anas de fmbíar, no por capridw, sino por estimar que es
X jk ß ra n p ro ved w el que se digan, mas no encontró otro modo distinto de hacerlo qm éste, sin traspasar
ks fronteras que a este tO(ta constriñen: ía que Umita su e:(tensión y la que demarca los conceptos que
Cidíéen tratarse,
eípnmero de estos apéndices, eC resto de (o que [uego viene es un conjunto de temas, en relación
con los contenidos ordinarios de esta o6ra, que interesará, seguro, a ayunos lectores, pero no a todos.
'Isforcilio que las cosas se presentan acjui compendiadamente y, cuando de demostración se precise, ésta será
memtica, que no es demasiado, pero es suficiente,
jíélemos tamóién deí apéndice primero, del que no nos Hemos olvidado: es un recordatorio de cuestiones aquí,
ffieste (i6w, necesarias, que a í lector se le suponen corwcidas, Tuede considerarse, por e^año que eíío pueda
que este primer apétuíice es imprescuuíibíe o supeifßw, dependiendo de lo que aí lector k suponga
(úiwcié y de cómo éste conozca, realmente, lo que se supone que conoce

580. Álgebra básica
APENDICE
1
En este texto de «Àlgebra Lineal», como en cualquier otro, se supone, ya desde los comienzos,
que el lector tiene ciertos saberes básicos sobre los que cimentar cuanto aquí se dice. De entre
tales conocimientos previos, son especialmente necesarios aquellos que se refieren al «Álgebra
Básica», que es materia de gran importancia para bien entender lo que este libro contiene.
Desgraciadamente, la experiencia dice que no son pocos los que, a pesar de haber concluido
con éxito sus estudios preuniversitarios, no dominan como cabría esperar de ellos las materias
del «Algebra Básica» de las que van a precisar para cursar con aprovechamiento el «Álgebra
Lineal». Por ello, se ha creído conveniente resumir aquí, en este apéndice, algunas cuestiones
de «Álgebra Básica»: aquellas que a nosotros nos van a ser imprescindibles y, para no dejar las
cosas a medias, aquellas otras que les sirven de complemento para que los temas queden
debidamente concluidos.
Este resumen, escueto, se limita a dar las defmiciones más fundamentales y a recoger los
principales resultados, de la materia en cuesrión, sin demostraciones, ni ejemplos, ni comentario
alguno.
01 CONJUNTOS Y FUNCIONES
TEORÍAS MATEMÁTICAS
á ) Una teoría matemática está constituida por determinados elementos primitivos (los objetos
matemáticos: números, rectas, funciones) relacionados entre sí por satisfacer a ciertas pro­
piedades (los axiomas).
h) A partir de los objetos de la realidad física y mediante procesos de abstracción se han ido
creando los objetos matemáticos, que quedan definidos por verificar a las propiedades que
se les atribuyen, las cuales reciben el nombre de axiomas.
c) Las leyes de la lógica permiten establecer, a partir de los axiomas, la veracidad o falsedad
de nuevas proposiciones; aquellas que resultan ser verdaderas son los teoremas.
UN POCO DE LÓGICA
a) Llamaremos proposición (o enunciado) a toda frase de la que se puede decir que es verdadera
(o que su «valor de verdad» es v) o que es falsa (o que su «valor de verdad» es / ) , pen^ no
ambas cosas. En lo que sigue, p y q denotarán proposiciones.
h) La negación de p es la proposición «no py> (o también ^/>) que es verdadera si p es falsa
y que es falsa si p es verdadera. La conjunción áe p y q es la proposición «p y q» (o también
p A q ) que es verdadera si y sólo s\ p y q son ambas verdaderas. La disyunción ác p y q es
la proposición «p o q» (o también p V q) que es verdadera si y sólo si es verdadera una, al
menos, de las p y q·
577

581. c) Se pone y se lee «si p, entonces q» {implicación o teorema)·, si q es verdadera como
consecuencia de serlo p, se dice entonces que p es la premisa o hipótesis y ^ la conclusión
o tesis. S\p=>q, se dice que p es condición suficiente para q y que q es condición necesaria
para p. Si p=>q y q=>p, se dice que p y ^ son equivalentes y se pone p ^ q (se lee: «p si
y sólo si q» o de modo abreviado «p sii q»).
d) Dada la proposición p=>q (que llamaremos «directa») se dice que q=¡>p es su recíproca,
que (no p) => (no q) es su contraria y que (no q) => (no p) es su contrarrecíproca. Las
proposiciones directa y contrarrecíproca son equivalentes.
ÁLGEBRA LINEAL
m CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS
a) Noción intuitiva de conjunto: se admitirá que un conjunto es la reunión, formando un todo,
de determinados objetos previamente definidos y diferenciables entre sí, que se llaman
elementos del conjunto. Para indicar que x es un elemento del conjunto X, se pone x e X\
se dice que g es el signo de pertenencia. También se admite que existe un conjunto que
carece de elementos, al que se llama conjunto vacío y se le denota por 0 .
b) Un conjunto X se dice que es subconjunto o parte de otro conjunto U si todo elemento de
X pertenece también a U. En tal caso, se pone X c U y se dice que X está incluido en U; a
c se le llama signo de inclusión. Al conjunto que forman las partes de U se le representa
por 2^(Í7).
c) Si X es un subconjunto de í/, se llama complementario de X respecto de U al conjunto que
forman los elementos de U que no pertenecen a X. Este com plem entario se representa por
por Í / - X o, de forma simplificada, por X \
UNION E INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
a) Se llama unión de dos conjuntos X e K al conjunto formado por los elementos que pertenecen
a uno, al menos, de los conjuntos X o Y y se denota por X U Y; esto es, X U Y = {a/a e X o
« 6 y}. Se llama intersección de dos conjuntos X e K al conjunto formado por los elementos
que pertenecen a los dos conjuntos X e Y y se denota por X n Y\ esto es, X í) K = [a/a e X y
a e y).
b) Para cualesquiera que sean los conjuntos X, Y y Z, se verifican las siguientes propiedades:
conmutativa:
X U Y = Y U Xy X r \ Y = Y n x
asociativa:
x u ( y u z ) = ( x u K ) u z
Xr\{Yr\Z) = (Xr\Y)r\Z
distributiva:
A -U (rn z ) = ( x u y ) n ( x u z )
. x o ( i 'u z ) = ( X n y o u ( X n z )
absorción:
A -u (Jfn y ) = x = x n ( X u y )
idempotencia:
X \J X = X = X n X
Leyes de Morgan:
( x u y ) ' = m r
(X r\Y )'= X 'K J Y'
/la «prima» denota com plcm entario\
\resp eclo de un conjunto universal /

582. CES 579
CUANTIFICADORES
a) Se dice que una expresión p(x) es una función proposicional si se convierte en una propo­
sición al sustituir la letra x por un objeto matemático de un cierto conjunto U, En general,
p{x) será verdadera para unos objetos y falsa para otros.
b) Si se verifica que «para cualquiera que sea el objeto x e í/, la proposición p{x) es verdade­
ra», se pondrá «Vjc e í/, p(x)» (lo cual se lee así: para todo a: de ^ es p{x)). El signo V se
llama cuantificador universal,
e) Si se verifica que «existe al menos un objeto x s U para el que p(x) es una proposición
verdadera», se pondrá «3jc e U, p{x)» (lo cual se lee así: existe x de U, tal que p{x)). El
signo 3 se llama cuantificador exi,steneial.
d) Las negaciones de las anteriores proposiciones « Vjc e [/, p(x) y « 3jc e p(x)» son:
no [V.r e U, pix)] = [3x e U, no p(x)]
no [3x E U, pix)] = [V;c e U, no p(A*)]
g APLICACIONES O FUNCIONES
a) La expresión « f es una función (o aplicación) definida en X y que toma valores en Y»
significa: que X es un conjunto (que se llama campo de definición o dominio), que Y es otro
conjunto (conjunto de llegada) y que, para cada x e X, existe un y sólo un y e K, que se
llama imagen por / de jc y se pone y = fix ). Para indicar todo ello se pondrá:
x^y= fix)
Por abuso de notación, en lugar de decir «la función x \-^ y = fix)», se suele decir «la función
y =/W».
b) Se llama imagen de un conjunto X 'c X al conjunto fiX ') que forman las imágenes de los
puntos de X ', es decir, fiX ') = (fix')/x' e X'}. En particular, se llama imagen de la función
f al conjunto fiX ).
c) Se llama imagen recíproca de un elemento dado y e Y ái conjunto que forman todos los
puntos de X cuya imagen por / es y; al tal conjunto se le representa poniendo f~'iy), esto
es, /■ '(y) = [x E X /fix) = y).
d) Dadas dos funciones f: X -* Y y g: y en el supuesto de que sea K c T , se llama
composición de / con g a la función gof: X ^ Z definida por ig^f)ix) = gifix)) para todo
x eX.
n APLICACIONES INVECTIVAS, SOBREYECTIVAS
Y BIYECTIVAS
Sea dada una aplicación f: X —^ Y (definida en X y con valores en Y),
a) Se dice que / : X - ^ Y es inyectiva si dos elementos distintos, cualesquiera, de X tienen
imágenes distintas en Y\ esto es, si para jc, jc' e X es [jc => [/(jc) =5^fix')]. Se dice que
f: X -^ Y es sobreyectiva si todo elemento de Y es imagen de algún elemento de X; esto es,
si /(X ) = Y.

583. Al g e b f w l in e a l
b) Se dice que / : X -* Y es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva; esto es, si todo elemento
de Y es la imagen de un y sólo un elemento de X. Si / : X -* Y es biyectiva, entonces la
aplicación, de Y en X, que a cada y eY\e hace corresponder el único x e X tal que f(x)
se llama aplicación recíproca de la / : X~* K y se representa p o r / . Y— X.
,.02 I RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y DE ORDEN
WM PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS
a) Dados dos objetos matemáticos a y b (en este orden), se admite la existencia de un nuevo
objeto que se llama par de primera componente a y segunda componente b y se representa
poniendo (a, b)\ se conviene en que (a, b) = {a\ b') equivale a (a = a' y b = b'). Análoga­
mente se introducen las temas (a, c), cuaternas (a, b, c, d), etc.
b) Se llama producto cartesiano de un conjunto A por otro B (en este orden) al conjunto de
todos los pares {a, b) con a e A y b & B, e\ cual se denota por AxB. Análogamente se
definen los productos AxBxC, AxBxCxD , etc., como los conjuntos que forman las
correspondientes temas, cuatemas, etc.
c) Dados dos conjuntos ^4 y 5, se llaman grafos relativos al producto cartesiano >4x5 a los
subconjuntos áe AxB, Dado un grafo Ge AxB, el conjunto de los a: e A para los que hay
algún y e B ia\ que (jc, y) e G recibe el nombre de proyección de G sobre A\ análogamente
se define la proyección de G sobre B.
RELACIONES BINARIAS
a) Dados un conjunto A y un grafo RcAxA, se dice que un elemento jc e A está relacionado
mediante R con otro y e A si (jc, y) e R, lo que se indica poniendo xRy; la función prepo­
sicional r dada por rix, y) = xRy se llama relación binaría. Dicho de otro modo, una relación
binaria entre elementos de A es una función proposicional r, con dos variables x e y que
recorren A; se llama grafo de r al conjunto R = {(jc, y) e A xA/r(x, >^)}. Nótese que r(jc, y)
equivale a (x, y) e R,
b) Sea R una relación binaria entre elementos de un conjunto A. Se dice que R es reflexiva,
que es simétrica, que es antisimétrica o que es transitiva si se verifica, respectivamente:
reflexiva: xRx Vjc e A
simétrica: xRy => yRx \/x, y e A
antisimétrica: (xRy, yRx) => x = y ^ x , y e A
transitiva: (xRy, yRz) => xRz Vjc, .v, z 6 A
RELACIONES DE EQUIVALENCIA
a) Una relación binana entre elementos de un conjunto A, que sea reflexiva, simétrica y
ü-ansiüva, recibe el nombre de relación de equivalencia o simplemente equivalencia. Gene­
ra mente una equivalencia se denota por el signo ; para indicar que x está relacion ado con
y se pone «x ^ y» y se lee «x es equivalente a y».

584. 581
b) El conjunto de los elementos de A que son equivalentes a un jc e A se denota por
[jc] = (jc' g A/x' - jc)
y recibe el nombre de clase de equivalencia de representante jc.
c) Teorema.— Si es una equivalencia entre elementos de un conjunto A, entonces para
cualesquiera x, y e A se verifica que
(jc y) <=> [x] = [y] no (x y) <=> [jc]n[y]= 0
d) Las clases de equivalencia forman una partición propia^*^ de A. La familia de las clases de
equivalencia recibe el nombre de conjunto cociente y se denota poniendo A /'^\ esto es:
A /'^ {[x]/x e A) donde [jc] = {jc' g A/x' ~ x}
e) Se llama aplicación canónica o natural a la siguiente aplicación (que es sobreyectiva) de A
en el conjunto cociente A/ ' ^ :
A -^A/^ Xh->[jc]
/ ) Recíprocamente, si la familia de conjuntos {A¡/i g /} es una partición propia^*^ del conjun­
to A, entonces la relación definida en A mediante
(x y) ^ (3i e I / X E A¡ e y e A¡)
es una equivalencia en A que tiene por clases a los conjuntos A¡ dados.
RELACIONES DE ORDEN
a) Se dice que una relación binaria (véase A2.2), definida en un conjunto A y que denotaremos
recurriendo al signo es una ordenación o una relación de orden si es reflexiva, antisi­
métrica y transitiva; en tal caso, se dice que (^4, ^ ) es un conjunto ordenado. La proposición
«X ^ >^» se lee «jc es menor o igual que _y» o «.c es anterior a y».
b) Si (A, <) es un conjunto ordenado, se dirá que ^ es un orden total si, para cualesquiera jc,
y G A, se verifica que jc ^ y o que jc ^ y (esto es, que jc e y son comparables); si < no es
un orden total, se dice que es un orden parcial.
c) Sean dados dos conjuntos ordenados (A, ^ ) y (fí, ^ ) y una aplicación f: A -* B . Se dice
que / es una aplicación monótona si es creciente o si es decreciente, conforme a las
siguientes definiciones:
/ es creciente si: (x, y g A, jc< y) => f(x)^f(y)
f es decreciente si: (jc, y g A, jc < y) => /(Jc) ^ /( y )
(*) Partición propia de A es toda familia de subconjuntos no vacíos de A, que son disjuntos dos a dos y tales que
su unión es A.

585. Si los anteriores signos « y > se sustituyen por < y >, respectivamente, la monotonía de
/ se dice que es estricta.
Una aplicación entre conjuntos ordenados se dice que es un isomorfismo respecto del
orden si es biyectiva y monótona; dos conjuntos ordenados se dicen isomorfos si enü-e ellos
existe un isomorfismo.
d) Sea (i4, < ) un conjunto ordenado y considérese un conjunto no vacío C e.A , Se dice que un
elemento k g A es una cota superior de C si k ^ x para todo -c e C; se dice que k e A es
una cota inferior de C s\ k ^ x para todo x e C, E\ conjunto C se dice acotado superior o
inferiormente si tiene alguna cota superior o inferior, respectivamente.
e) Sea {A, un conjunto ordenado y considérese un subconjunto C e A, Si C está acotado
superiormente y además existe la menor de todas sus cotas superiores, a ella se la llama
extremo superior o supremo de C y se la denota por sup C. Cuando existe este supremo y
pertenece a C, se le llamará máximo de C y se denotará poniendo máx C.
/) Si C está acotado inferiormente y además existe la mayor de todas sus cotas inferiores, a
ella se la llama extremo inferior o ínfimo de C y se la denota por ínf C. Cuando existe este
ínfimo y pertenece a C, se le llamará mínimo de C y se denotará poniendo mín C.
g) Si (B, es un conjunto ordenado, se dirá que una función f : A —^ B es una función acotada
superior o inferiormente si su conjunto imagen f (A ) está, respectivamente, acotado superior
o inferiormente (en B); si existen sup f(A ) o ínf/(/l), a ellos se les llamará supremo e ínfimo
de / , respectivamente. Se llaman, en el caso de que existan, máximo y mínimo d e /a los
máx f(A ) y mín /(A); esto es, se dice que m = máx / o que m = mín / si existe algún a^^A
tal que m = /(Oq) y m ^ f { a ) o m ^ f { a \ respectivamente, para todo a e A.
V-03 I GRUPOS, ANILLOS Y CUERPOS
Q j ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
a) Dado un conjunto A¥^ 0 se llama operación interna o ley de composición interna definida
en /\ a toda aplicación * del siguiente tipo:
A x A - ^ A , (jc, >>)(-♦ jc
Se dice que x ^ y es el resultado de operar x con y.
b) Un conjunto A y unas operaciones ♦, ..., o definidas en A forman lo que se llama una
estructura algebraica, que se denota poniendo (A, ®). El tipo o clase de estructura se
c^acterizará atendiendo a las propiedades que satisfagan los elementos de A y las opera­
ciones definidas en A.
c) Si ♦ es una operación interna, definida en un conjunto A, se dice que:
• ♦ es asociativa si (jc * y ) * z = x * ( y *z), Vjc, y, z s A,
• ♦ es conmutativa s\ x * y = y *jc, Vjc, y e A,
• ♦ es distributiva respecto de otra operación interna o de si jc = (jc ♦^?)o(jciiiz) e
C>’o^) *0: = (y ♦x)o(z Vjc, y. z e A.
e G A es elemento neutro si x ^ = x, Vx e A. Si en (A; ♦) hay un elemento neutro,
entonces éste es único.
JT e A es simetrizable si existe x' e A tal que x *x^ = x^ ^x = e (aquí se supone que existe
el neutro e)\ entonces x' se llama simétrico de jc. Si ♦ es asociativa y jc es simetrizable,
entonces x tiene un solo simétrico.
2 A l g e b r a lineal

586. • JC e i4 es regular o simplificable si, y2 e A, se verifica que
e = => 3 'i=>2
Si * es asociativa, todo elemento simetrizable de A es regular.
d) Sea A un conjunto en el que hay definidas una relación de equivalencia ~ y una operación
interna *. Se dice que ^ y ♦ son compatibles si, para cualesquiera jc, jc ', y, y ' e A, se verifica:
(jc jc', y y') => x * y x* *y'
e) Teorema.— Si las anteriores y * son compatibles, entonces
(A /^ )x { A /^ )^ A I^ , (W , [y])^[x*y]
es una aplicación; es decir, de este modo se define una operación interna en el conjunto
cociente A/ que se denotará con el mismo signo *. A ella se le llama operación cociente
y queda, pues, definida por:
W * [y l = [^*y]
HOMOMORFISMOS
a) Dadas dos estructuras algebraicas (A, *) y (i5, ★), se dice que una aplicación f : A —*Bes
lineal para las operaciones ♦ y ★ o que es un homomorfismo de (A, ♦) en {B, ★), y se pondrá
/ : (A, *)—►(B, ★) si para cualesquiera jc, jc' e A se verifica:
f{x*x')=f{x)* f{x')
b) Composición de homomorfismo: supóngase que / : (A, ♦)—+(5, ★) y (B, *)*-»(C, o) son
dos homomorfismos; entonces su composición gof: A —*C es un homomorfismo de la
estructura (A, *) en la (C, o).
c) Si / : (A, ► (By *) es un homomorfismo, entonces /(A ) es una parte estable de B respecto
de ♦, es decir, (/(A ), ★) es una estructura algebraica; a ella se la llama imagen homomorfa
de (A, *) por / .
d) Un homomorfismo / : (A, *)—♦ (B, ★) se dice que es un isomorfismo si / : A —► fi es biyectiva
y, en tal caso, también es un isomorfismo; se dice entonces que (A, ♦) y (B, *) son
estructuras isomorfas. Dos estructuras isomorfas son identificables, se puede considerar que
son dos concreciones particulares de una misma estructura abstracta. La composición de dos
isomorfismos es otro isomorfismo.
e) Un homomorfismo de una estructura en sí misma, / : (A, ♦)—»(A, ♦), recibe el nombre de
endomorfismo. Los endomorfismos biyectivos se llaman automorfismos.
G R U P O S
a) Un conjunto G y una operación interna ♦ definida en él^*^ se dice que forman un grupo
(G, *) si se verifican las siguientes propiedades (axiomas de grupo):
• (a *b) *c = a *(b *c) píu*a cualesquiera a^ by c e G (asociatividad).
(*) Así pues, para cualesquiera que sean a, h e G, existe a *h y éste es también un elemento de G,

587. • Existe un e G tal que fl ♦<» = e ♦« = í7 piu*a todo a e G {e se llaina elemento neutro),
• Para cada a e G existe un a' e G tal que a *a' = a' *a = e (a* se llama elemento simétrico
de fl).
b) Se dice que (C, ♦) es un grupo abeliano o conmutativo si, además, se verifica la siguiente
propiedad:
• a *b = b*a, para cualesquiera a, b s G (conmutatividad).
c) En todo grupo (C, ♦) se verifican las siguientes propiedades:
1. El elemento neutro (nulo), e, es único.
2. Cada elemento a ^ G tiene un solo simétrico (opuesto) a* e G.
3. (a *bY = b* * a \ para cualesquiera a, b e G,
4. (a'y = a, para cualquier elemento a e G.
5. Todos los elementos de G son regulares o simplificables.
6. Las ecuaciones a mx = b y x*a = b (donde a, b e G son datos; e G es la incógnita)
tienen solución única, que es x = a' *b y x = b * a \ respectivamente.
d) Sea (G. ♦) un grupo y sea // un subconjunto de G. Se dice que H es un subgrupo del grupo
(G. ·) si H es una pane estable para la operación ♦ y la estructura (H, *) es un grupo. Esto es:
Defmición de subgrupo. Se dice que H c G es un subgrupo de (G, *) si:
1. (a, b B H) a mb e H (o sea, ♦ es operación para H).
2. El elemento neutro e de (G, ♦) pertenece a //.
3. a e H => í¡' e H (por a' se denota al simétrico de a en G).
Caracterización de ios sid)grupos. El subgrupo H de G es un subgrupo de (G, ♦) si y sólo
si se verifican las dos condiciones siguientes:
i)
ii) (íl, b e H) => a * b ' e H.
Al g e b r a lineal
HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
a) Dados dos grupos (G, ♦) y (//. o), se dice que una aplicación / : G — / / es un homomorfismo
dcl grupo (G, ♦) en el grupo (//, ©) si para cualesquiera que sean a, b e G se verifica que
f(amb)=f(a)of(b)
b)El homomorfismo / : (G, ♦)—»^(/Z, o) se dice que es un isomorfismo si la aplicación f: G-*H
es una biyección de G en Un homomorfismo tp: (G, ♦)—►(G, ♦), de un grupo en sí
mismo, recibe el nombre de endomorfismo. Un endomorfismo tp: (G, *)—^(G, ♦) se dice
que es un automorfismo si la aplicación (p: G - ^ G es biyectiva.
r) Si / . G —►// es un homomorfismo del grupo (G, ♦) en el grupo (//, o) se verifican las
siguientes propiedades:
1 · f(e) = e (donde e y f son los elementos neutros áe G y H).
f(o ) -f(a)\ \fa eG (a* y f(a)' son los simétricos de íí y f(a)).
un ^ “ 'nyectivo. se dice que es un monomorfismo; si / es sobreyectivo. se dice que es

588. 585
3. (G es un subgrupo de G )=> (/(G ) es un subgrupo de //).
4. (H es un subgrupo de es un subgrupo de G).
5. ( / es un isomorfisnno)=»(/^* es un isomorfismo).
6. Si / : (G, ♦)—♦(//, ♦) y (//, ♦ )-^ (y , ♦) son homomorfismo de grupos, entonces
también los es gof: (G, ♦)—►(V, ★).
¿/) Si / : (G, *) —► (//, o) es un homomorfismo de grupos, se verifica que:
1. El conjunto imagen f{G) es un subgrupo de (//, o). A este subgrupo se le llama imagen
del homomorfismo / y se le denota poniendo lm (/).
2. Llamando € al elemento neutro de H, el conjunto
r\e)={aEG/f(a) = e]
es un subgrupo de (G, ♦). A este subgrupo se le llama núcleo del homomorfismo / y
se le denota poniendo M /)» N uc(/) o K er(/y*’.
e) Un homomorfismo de grupos es inyectivo si y sólo si su núcleo está formado solamente por
el elemento neutro. Esto es, el homomorfismo de grupos / : (G, *)—►(//, ®) es inyectivo si
y sólo si N u c(/) = [e] (e = elemento neutro de G).
GRUPOS DE SUSTITUCIONES
a) Se llaman sustituciones de n elementos a las biyecciones del conjunto A^= {1, 2, n] en
sí mismo^**^ Para representar a una sustitución (r. N -* N se acostumbra a poner
h)
/I2
(T =1 1
V
k
n \
i
/
donde se han llamado
\h = cT(il k = ai2), ..., i-=c7in))
La sustitución a viene dada por la sucesión (h, k, ..., /) en que se transforma la sucesión
( 1 , 2 , n ) de partida.
El conjunto de las n \ sustituciones de n elementos, es un grupo respecto de la composi­
ción (o) de aplicaciones, al que se llama g r u p o s im é tr ic o de orden n. Este grupo no es
conmutativo (para n > 2).
Una sustitución, de n elementos, se dice que es una tr a n s p o s ic ió n si deja inavariantes a
n - 2 elementos y sólo altera a los otros dos, transformando a cada uno de ellos en el on*o.
La transposición r, tal que t(/) = j , t(J) = i y T (h) = h para h # /, j (aquí se supone
\ ^ i < j ^ n), se denota poniendo:
/ '
... i ... j .■· ( i J \
T =l 1 1 1
0 de modo abreviado t =1 i
... j ... i ..
• n)
[ j '■/
La inversa de una transposición r, cualquiera, es ella misma; o sea, r " ' = r.
(*) En inglés, «núcleo» se dice «Kemcl»; cn alemán se dice «Kem».
( · ♦ ) El conjunto N se puede sustituir por cualquier otro conjunto N* = {d,, t/j, .... fl«), de n elementos; la naturaleza
de estos elementos carece aquí de relevancia.

589. c) Teorema.— Toda sustitución se puede exp res^ como composición de transposiciones.
d) Dada una sustitución (r, de n elementos, se dice que oi.i) y cr(j) presentan inversión si
<t(i) - aij) tiene distinto signo que i - y ; sea ¡(o·) el número total de inversiones que fonnan,
dos a dos. los elementos ct<1), a{2)
.......<r{n). Se llama signo de <r a e(o·) = (-1)«''); según
que sea e(<r) = 1 o e(cr) = - 1, se dice que (r es de clase par o de clase impar, respectiva­
mente. Toda transposición es una sustitución impar.
e) Para cualesquiera sustituciones cr y cr', de n elementos, se verifica que
e ( a 'o (t) = £(C7·') ■ £ (0·)
El signo, considerado como aplicación, e: ♦ (1, — l }, es un homomorfismo sobreyec­
tivo del grupo simétrico (5„, o) en el grupo multiplicativo ({1, — 1}, ·)·
____________ ________
___________________________ÁLGEBRA LINEAL
H ANILLOS
a) Un conjunto A y dos operaciones internas definidas en él, a las que llamaremos suma (+)
y producto (·)» se dice que forman un anillo (A; + , ·) si se verifican las siguientes
propiedades (axiomas de anillo):
1. (/4, + ) es un grupo abeliano, esto es:
• La suma + es asociativa [{a + b)-l· c = a + {b + c). Va, b, c e A].
• Existe nulo (neutro) o e A[a + o = o-l·a = ay \fa e A],
• Cada a e A tiene su opuesto - a e A[a + ( - a ) = (-a) + a = o].
• La suma + es conmutativa [a -f- Va, b e A],
2. El producto es asociativo; esto es:
• (a- b)· c = a-{b^c), para cualesquiera a, b, c s A.
3. El producto es distributivo respecto de la suma; esto es:
a· (b-\-c) = a- b + a ^ c
(b c ) ' a = b · a-l· c - a
b) Se dice que (A; -H, ·) es anillo unitario si, además de las 1.“, 2." y 3.". se verifica que existe
un elemento m e A que es unidad para el producto (a-u = u-a. Va e A).
c) Se dice que (A; + , ·) es anillo conmutativo si, además de las 1.“, 2.“ y 3.", se verifica que
el producto es conmutativo (a · b = b ■ a,'^a, b e A).
d) Sea (A·, +, ■) un anillo. Además de verificarse, para (A, + ), las propiedades de los grupos
abelianos (véase A.03, y, c), se cumple que:
l. a - o = o a = o, VaeA(oeA elemento neutro).
a · (—b) = (—a) · b = —a · b
2.
i-a ){-b ) = a-b
'^a, b e A (regla de los signos)
e) Sea (^: + , ·) un anillo unitario; denotemos por « e A a su unidad. Se llaman elementos
mvertibles dti anillo aquellos a e A que admiten inverso a~' e A (recuérdese que a~' es tal
que í i - a ' = a " ‘ . a = M). ^

590. ________________________^
1. Si £i, e A son dos elementos invertibles del anillo, entonces también los es a · y su
inverso es:
2. El conjunto A* = {a s A /3a"‘ e A) es un grupo respecto del producto (·), al que se
llama grupo multiplicativo del anillo A.
/ ) Sea (A; + , ·) un anillo y sea B un subconjunto de A. Se dice que B es un subanillo del
anillo (A; + , ·) si fí es una parte estable para las operaciones + y · y, además, la estructura
(fí; ·) es un anillo. Esto es:
Definición de subanillo. Se dice que fíc A es un subanillo de (A; + , ·) si:
1. fí es un subgrupo del grupo (fí; +),
2. (a, b G B)=>(a ' b E fí) (o sea. · es operación para fí).
Caracterización de los subanillos. El conjunto fíc A es un subanillo de (A; -f. ·) si y sólo
si se verifica que:
i) f í ^ 0 .
ii) (a, b e B)=>[a - b e B y a · b s B].
g) En un anillo (A; + , ·) se dice que un elemento no nulo a e A es un divisor de cero si existe
algún otro elemento no nulo e A tal que alguno de los o · a es el elemento nulo.
Esto es:
[ayb divisores de cero] <=> [a¥^ o, bi^ o y {a · b = o o b · a = o)]
Propiedades de los divisores de cero: En un anillo (A; + , ·)» ílado a e A. se verifica que:
1. (a es divisor de cero)<=>(fl no es simplificable para el producto).
2. (a es invertible) (a no es divisor de cero).
h) Los anillos que carecen de divisores de cero se llaman anillos de integridad. Se acostumbra
a llamar dominio de integridad a un anillo de integridad que sea unitario y conmutativo.
HOMOMORFISMOS DE ANILLOS
d) Dados dos anillos. (A; + , ·) y (fí; + . -)^’\ se dice que una aplicación / : A—^B es un
homomorfismo del anillo (A; + . ·) en el anillo (fí; + , ·) si. para cualesquiera que sean los
elementos a. g A, se verifica que:
f i a + b) =f(a) + /( ¿ ) y fia · b) =f{a) ^f(b)
b) El homomorfismo de anillos / : (A; + , -)-^ (B; + , ·) se dice que es un isomorfismo si la
aplicación / : A—►fí es una biyección. Un homomorfismo <p: (A; + , ·)—^(A; + . ·)» de un
anillo en sí mismo, recibe el nombre de endomorfismo. Un endomorfismo <p: (A; + , ·)” ♦
—»(A; + , ·) se dice que es un automorfismo si la aplicación (p: A—*A es biyectiva.
(♦) Las operaciones de los anillos A y B serán en general distintas, en uno y otro, aunque se denoten de igual
modo (ambas con + , para la primera, y con ·, para la segunda operación).

591. ÁLGEBRA LINEAL
c) Si / : B es un homomorfismo del anillo (A; -f, O en el anillo (fí; + , ·) se verifican
las siguientes propiedades:
1· f(o)=^ o (donde o denota a los neutros, de A y de B),
2. / ( - f l ) = - / ( f l ) , V a e A .
3. (A es subanillo de /\)= > (/(Á ) es subanillo de B).
4. (B es subanillo de B)=>(f\B) es subanillo de A).
5. ( / es un isomorfismo) = > (/^ ‘ es un isomorfismo).
6. Si / : {A\ + , + , ♦) y g: (B\ + , ·)—»(C; + , ·) son homomorfismos de anillos,
entonces lambién lo es g©/: (A; + , -)” ^(C ; + , ·).
Sea / : (A; + . -)—*(B; + , ·) un homomorfismo de anillos. Se verifica que:
• El conjunto imagen /(A ) es un subanillo de {B\ -f-, ·)» íil que se llama imagen del
homomorfismo / y se le representa poniendo Im (/).
• Si el anillo A es unitario y su unidad es w, entonces Im (/) es anillo unitario y su unidad
es / (m).
• El conjunto f \ o ) = {« e A/f(a) = o], donde o e fí es el elemento neutro, es un subanillo
de (A; + , ·), al que se llama núcleo del homomorfismo / y se le representará por N(/),
N uc(/) o Ker(7‘).
• Si íl 6 A y si ;i e N uc(/), entonces los elementos a · n y n · a también son del núcleo de /.
d) En un anillo (A; + , ·), un conjunto no vacío / c A se dice que es un ideal si se verifican
las dos condiciones siguientes:
(í, j B I)= > i-j E I
{i 6 /, £7 e A) => (a · /, / · G e /)
CUERPOS
a) Un anillo (/C; + , ·) se dice que es un cuerpo si /f* = — {o) (donde o es el elemento nulo)
es un grupo abeliano respecto del producto (·). Los cuerpos son, pues, los anillos unitarios
y conmutativos + , ·) en los que además todo a e AT* admite inverso a “ * e AT* (de
manera que a · a^^ = u unidad de K),
b) Para los cuerpos, además de todas las propiedades de los anillos, también se verifica que:
1. (/C es un cuerpo) = ^(/í es un dominio de integridad).
2. Un cuerpo K sólo tiene dos ideales, que son y [o],
3. La ecuación a x = b (donde a, b e K son datos, a ^ í?, y jc e AT es la incógnita) tiene
solución única en el cuerpo K, que es la jc = · ¿?.
c) Sea (K\ + , ·) un cuerpo y H un subconjunto de K. Se dice que H es un subcuerpo de
(K\ ·) si // es una parte estable para las operaciones -I- y * y tal que la esüoictura
(//; *f, ·) es un cuerpo.
El conjunto //c /T es un subcuerpo del cuerpo (K\ +, ·) si y sólo si se verifican las dos
condiciones siguientes:
1. / / e s un subanillo de {K\ + , ·); es decir:
[a, b e H]=>[a — b G H y a · h e H]
2. [ a G / / , f l o]=>a~^ G fí.

592. 589
(I) S e a (K\ ·) u n c u e r p o ; s e a r? e el e l e m e n t o n u l o del c u e r p o ; s e a a # u n e l e m e n t o del
c u e r p o K, P a r a c a d a n e N, st c o n v i e n e e n p on er :
n
• Si existe p e N tal q u e pa = Oy se d ic e q u e K tiene característica f mita y se l l a m a
característica d e K al m e n o r p e N tal q u e pa = o. E s t a d e f m i c i ó n n o d e p e n d e del
e l e m e n t o ai^o q u e se t o m e d e K\ g e n e r a l m e n t e se t o m a a = u ( u n i d a d d e K),
• Si na o p a r a t o d o /i, se d i c e q u e K tiene característica infinita (esta defínición t a m p o c o
d e p e n d e d el e l e m e n t o a o que se t o m e e n K).
HOMOMORFISMOS DE CUERPOS
a) D a d o s d o s c u e r p o s (K; + ) y (//; -f), se d i c e q u e u n a apl ic a ci ón /: ts un homomor-
fiismo del p r i m e r c u e r p o e n el s e g u n d o si, p a r a c u a l e s q u i e r a a, b e Ky se verifica que:
fia + b) =f(a) + / ( ¿ ) y f(a ♦ b) =J[a) -/{b)
D i c h o h o m o m o r f i s m o es: 1) h o m o m o r f i s m o del g r u p o (Ky + ) e n el g r u p o (//, + ) ;
2) h o m o m o r f i s m o d e l g r u p o (/T* ·) e n el g r u p o (//*, y 3) h o m o m o r f i s m o del anillo
(K’y + , ·) e n el anillo (//; + , ·)·
b) S\ f: K-*H e s u n h o m o m o r f i s m o d e u n c u e r p o (K'y + , ·) e n otro c u e r p o (//; + , ·)» se
verifica q u e :
1. L a i m a g e n d e / e s u n s u b c u e r p o d e //.
2. E l n ú c l e o d e f es K o e s {o}.
3. / e s i n y e c t i v o , s a l v o si e s el h o m o m o r f i s m o nulo.
*- (í^l y ^ " faquí, o denota cl elemento neutro, tanto de K como de H.

593. APENDICE
2
Diagonalización por bloques
de una transformación ortogonal
A.04
U n a t r a n s f o r m a c i ó n o r t o g o n a l /: K, e n u n e s p a c i o vectorial e u c l í d e o d e d i m e n s i ó n finita V,
es « d i a g o n a l i z a b l e p o r b l o q u e s » d e t a m a ñ o s 1 x 1 y 2 x 2 , del lipo q u e l u e g o se indica, y dicha
d i a g o n a l i z a c i ó n lo es ortogonal, c o m o a q u í se p r u eb a .
SUBESPACIOS INVARIANTES DE UNA
TRANSFORMACIÓN ORTOGONAL
a)
b)
A u t o v a l o r e s d e u n a t r a n s f o r m a c i ó n o r t o g o n a l . — Si f: V--* V es u n a t r a n s f o r m a c i ó n orto­
gonal, del e s p a c i o vectorial e u c l í d e o V ^ O d e d i m e n s i ó n finita n, se verifica q ue :
1. Si / tiene a l g ú n a u t o v a l o r A „ (real), éste h a d e ser = 1 o A „ = -1. Si es impar,
e n t o n c e s / a d m i t e c o m o a u t o v a l o r a u n o , al m e n o s , d e los A „ = 1 o A ( > = -1 .
2. Si A q e C es u n a u t o v a l o r com pl e jo ^* ^ d e / , e n t o n c e s es |A(,| = 1, o sea, A(, = c o s a +
+ i s e n p a r a cierto ar, c o n O < |üt| < tt.
D E M O S TR A C IÓ N — Apañado 1, Existe jc e V no nulo tal que f{ x ) = A<^, luego ||/(jc)II = |Aj ||.f||,
pero como / es ortogonal, es ||/(jc)II = lUH, y en consecuencia |Aq| = 1, o sea, A„= ±1. Si n es
impar, como n es el grado de la ecuación característica, ésta tendrá al menos una raíz real A^, y,
según lo ya probado, será Aj, = ± 1. Apartado 2. Si A es la malriz de / en una base ortonormal (nótese
que = se sabe que A Z -\^ :¡L para alguna matriz column^a Transponiendo resulta
Z!A^ = o sea, Tomando conjugados, se tiene AZ= ÁqZ; multiplicando esla igual-
dad por la“^ resulta Z *Z = IAq^Z^Z, luego (téngase en cuenta que, si Z = [zJ, es Z'Z = X z? > 0) IAqI = 1.
S u b e s p a c i o s b i d i m e n s i o n a l e s i n v a r i a n t e s . — S e a f : V —^V u n a t r a n s f o r m a c i ó n o r t o g o n a l del
e s p a c i o vectorial e u c l í d e o V O át d i m e n s i ó n finita. S e verifica q u e :
Si A „ = e o s a + / s e n a es u n a raíz c o m p l e j a ( n o real) d e la e c u a c i ó n característica d e /,
e n t o n c e s existen d o s v ec to r es Xq e d e V q u e f o r m a n s i s t e m a o r t o m o r m a l y s o n tales q u e
y(^o) = (eos a ) X o “ (se n a ) y „
/CVo) = (sen a)xQ + ( eo s ar)y„
El s u b e s p a c i o Vq-'VíXq, %), q u e e n g e n d r a n e es invariante p o r / : s e verifica q u e
fiVo) = Vq. L a restricción d e / a V q es u n a rot ac i ón d e á n g u l o a.
(*) O sea, Ao es una raíz compleja de la ecuación caracterí.stica de / .
(**) Nótese que Áq = eos a - iscn ar Umibién es raíz de la ecuación característica pues ésta tiene sus coeficientes
reales.
I / r * * / base ortonormal A es motriz de /, las maüices de coordenadas de jP„ e son las e Yq soluciones
de [A - (eos a +1 sen or)/l(Xo + iY¿) = 0 . o o o
590

594. 591
DEMOSTRACIÓN.—Si A es la matriz (ortogonal) d e / en una base ortonormal, será A Z = para
alguna Z e n o nula; p o n i e n d o Z = X + iT(X e Y reales) y c o m o A„ = eos a + / sen a. rcsulu que
(igualando partes reales y partes imaginarias) AX = eos a X - sen a K y A > ' = sen aX + eos aY. Lx)s Íq
e Sq c u y a s c o l u m n a s d e coord e na da s son X e K satisfacen pues a las igualdades del enuncia­
do. E s t u d i e m o s la ortonormalidad de (jCq, >o1· T o m a n d o n o r m a s y multiplicando escalarmente las
igualdades del enunciado, se obtiene (Hyoll^ ” lUoH^) sen a = · yo) eos a y 2(Íq · W sen a =
= -(llyoll^" lltoll^)cosa; multiplicando éstas se llega a ( ^ · ^ d l ^ o l l ^ “ H^oH^) = Oi esta ecuación
y c o n la a y u d a d e las anteriores se concluye q u e Jfo * ® V H^oH llvoH’ dividiendo por sus nonnas,
{jcq, yol c o n du c e, pues, a la base ortonormal del enunciado. C o m o /(i^) y /(yo) dependen linealmente
de .iff e yo, el subespacio Vq = V ( i o ’ W es invariante; además, por ser / biyectiva, es / ( V y = Vq. L a
restricción d e / a Vq tiene, en la base ortonormal (;^ j^ol* asociada la matriz
c o s a - s e n a
sen a eos a
luego se trata d e u n a rotación d e ángulo a.
c) P r o p o s i c i ó n . — S e a f: V—^V u n a t r a n s f o r m a c i ó n ortogonal, dcl espacio vectorial euclídeo
V # O d e d i m e n s i ó n fmita. Si U es u n s u b e s p a c i o vectorial d e V q u e es invariante por /,
e n t o n c e s el s u b e s p a c i o s u p l e m e n t a r i o o rtogonal d e (/, t a m b i é n es invariante por /,
D E M O S TR A C IÓ N — Hay q u e probar q u e ü e f(ü ) g U^, o sea, que (m P = 0. Vi3eí/)=^
= > ( m · f(D) = 0. V m € í/). C o m o / es biyectiva, d a d o ü e U, existe m' 6 ¿/ tal que /(m') = ti. C o m o /
es ortogonal, se verifica q u e ü · f(C) = f(u) -f(C) = «' · ¿^ = 0.
A.05 i FORMA CANONICA DE UNA
TRANSFORMACIÓN ORTOGONAL
a) P r o p o s i c i ó n . — D a d a u n a t r a n s f o r m a c i ó n o rt ogonal /: V - * V, del espacio vectorial euclídeo
V O d e d i m e n s i ó n fmita. existe a l g u n a b a s e o r t o n o r m a l d e V e n la q u e / tiene m a ü i z del
siguiente tipo’
O
eos- s e n Qp
sen Opeos Üp
(·) En la siguiente mauiz C, cl primero de los bloques es una maüiz unidad: cl segundo es la maüiz opuesta de
una maüiz unidad: los siguientes bloques son lodos de Uimaño 2x2.

595. ÁLGEBRA LINEAL
E s t a m a t n z C , d i a g o n a l p o r b l o q u e s , es única, s a l v o el o r d e n e n el q u e f i g ur a n e n ella
los b l o q u e s d ia g o n a l e s , p e r o e n g e n e r a l n o e s ú n i c a la b a s e e n la q u e C e s m a t r i z d e /. Est a
m a t r i z C s e l l a m a fonna canónica ortogonal d e /.
DEMOSTRACIÓN,— P r o c e d e r e m o s por inducción (sobre «). Para /i = 1 y /* = 2, y a se sabe q u e la
propiedad se verifica. S u p o n e m o s q u e la propiedad es cierta para n<nQ y h a y q u e c o m p r o b a r que
entonces lo es para n = n^. S a b e m o s q u e la ecu ac i ón característica d e / tiene al m e n o s u n a raíz Aq
y es A „ = ± l o Ao = c o s a + / s e n a (con s e n a i ^ O ) . Si A o = ± l , existe w, e V unitario tal que
/(w,) = ±íi, y, l l a m a n d o U = T(m,), es f(U^) = c o m o d i m - \ < «q, se c u m p l e la hipó­
tesis d e inducción para /li/x, luego existe u n a base o rtonormal (Wj, .... d e e n la q u e la matriz
d e f\yL es del tipo del enunciado; entonces, e n la b ase o rtononnal (iJ,, Mj, ..., ü„J d e V, la m a ü i z de
/ es del tipo del e nunciado. Si Áq = eos a + /sen a, existe u n sistema o rton o rm al {«,, ¿2) c V tal que,
l l a m a n d o £/ = y(ü,, ¿2), es f{if) = ¿/ y la matriz d e / | y e n la base (m,, ¿¡2) es
c o s a - s e n a
sen a eos a
h)
c o m o f(U^) = U^ y d i m í/·^ = - 2, se c u m p l e la hipótesis d e inducción para f\u^, luego existe
u n a base ortonormal (¿3
.ü„^) d e e n la q u e la matriz d e /|(/i es del tipo del enunciado; es
entonces claro que, e n la ba.se ortonormal (i7,, Mj* ^3· ···* d e V, la matriz d e / es del tipo del
enunciado.
P r o p o . si ci ó n. — D a d a u n a t r a n s f o r m a c i ó n o r t o g o n a l / : V — ♦ V, del e s p a c i o vectorial euclí­
d e o V¥=0 de d i m e n s i ó n finita n, y l l a m a n d o g: al e n d o m o r f i s m o simétrico
^ = ( l / 2 ) ( / + / ' ‘). se verifica q u e si la f o r m a c a n ó n i c a o r t o g o n a l d e / es la siguiente m a ­
triz C , e n t o n c e s la d i a g o n a l i z a c i ó n o r t o g o n a l del e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o g se p r o d u c e e n
la m i s m a b a s e o r t o n o r m a l e n la q u e C e s m a t r i z d e / y, e n d i c h a bas e, la m a t r i z d e g es
la siguiente m a l r i z D:
C =
O
o
D =
Kxh O
e o s a
O
I
e o s a
e o s ür„
e o s a,
'PJ
c o n [ a . ] :
c o s a , - s e n a ^
s e n a, e o s a¡
s e n a , ¥ =0, h + k + 2p = n

596. 593
DEMOSTRACIÓN.— N ó t e s e q u e g es, efectivamente, simétrica pues, si A es la matriz (ortogonal) d e
/ e n u n a b a s e o rt on o rm al , la matriz d e g es B = (l/2)(A -h A^^) = (l/2)(A + A% q u e es siméüica. S e
s abe q u e C - P^AP para cierta matriz P ortogonal, luego
P^BP = {\I2)P-^AP + (\I2)P WP = {\I2)C+ (\/2)C = D
c o m o h a b í a q u e ver. F i n al m en te , si se sab e q u e g{ü) = cosafi, será / ( « ) + /" * ( « ) = 2 c o s a , l u e g o
(aplicando / ) /(/(m)) + m = 2c os a, / (w ), lo q u e permite afirmar q u e / transforma a /í y a f(ü ) en
c o m b i n a c i o n e s lineales d e w y /(í7), o sea, /(w)) es invariante por /.
c) Obtención de la forma canónica de una transformación ortogonal.— P a r a o b t e n e r la
f o r m a c a n ó n i c a d e u n a t r a n s f o n n a c i ó n o r t o g o n a l / : V — ► V, del e s p a c i o vectorial e u c l í d e o
V O d e d i m e n s i ó n finita n, c o n o c i d a s u m a t r i z o r t o g o n a l A e n u n a b a s e o r t o n o r m a l d e V,
r e c u r r i r e m o s al e n d o m o r f i s m o s i m é t r i c o g = ( l / 2 ) ( / + / ' * ) c u y a matriz, e n d i c h a base, es
B = ( l / 2 ) ( A + a'). E m p e z a r e m o s p o r d i a g o n a l i z a r o r t o g o n a l m e n t e el e n d o m o r f i s m o g, o b t e ­
n i e n d o s u m a t r i z d i a g o n a l D y la c o r r e s p o n d i e n t e b a s e Sí. L a m a t r i z D c o n s t a r á d e las
s ig u i e n t e s s u b m a t r i c e s d i a g o n a l e s : 1) u n a m a t r i z u n i d a d /, d e t a m a ñ o hxh ( c o n h>0)\ 2)
u n a m a t r i z - / , d e t a m a ñ o kxk ( c o n k^0)\ y 3) cierto n ú m e r o d e m a t r i c e s d el tipo ( c o sa ) /,
d e t a m a ñ o p a r ( 2 r x 2 r ) .
L o s b l o q u e s d i a g o n a l e s q u e c o n s t i t u y e n la f o r m a c a n ó n i c a C y la c o r r e p o n d i e n t e b a s e
d e V s o n e n t o n c e s :
• E n p r i m e r y s e g u n d o lugar, e n C f i g u r a n los b l o q u e s Ihxh y ~/*x*; p a r a c onseguirlo, los
/? + /: p r i m e r o s v e c t o r e s d e la b a s e s e r á n los m i s m o s q u e e n 33, es decir, la u n i ó n d e u n a
b a s e o r t o n o r m a l d e c a d a u n o d e los s u b e s p a c i o s p r o p i o s y d e
• D e s p u é s , p o r c a d a a u t o v a l o r A = e o s a d e g, q u e tiene m u l ti p li ci d ad p a r 2 m , e n C figura
el s i g u i e n t e b l o q u e d i a g o n a l d e t a m a ñ o 2mx2m:
[a] O
[a]
O [ a]
d o n d e [ a ] =
c o s a - s e n a
s e n a e o s a
P a r a c o n s e g u i r este b l o q u e , la b a s e d e b e tener los c o r r e s p o n d i e n t e s 2m vectores
f o r m a n d o u n a b a s e o r t o n o r m a l del s u b e s p a c i o p r o p i o Va» a d e g, p e r o esta b a s e n o p u e d e
ser c u a l q u i e r a . P a r a o b t e n e r u n a b a s e válida, se t o m a e n Vco»o u n v ec to r ü = ó c u a l q u i e ­
ra, se halla f{ü) y se s e l e c c i o n a u n a b a s e o r t o n o r m a l c u a l q u i e r a (é,, éj) del s u b e s p a c i o
T ( m , / (m )) ; d e s p u é s se t o m a e n Veo,« u n s e g u n d o v e c t o r ó o r t o g o n a l a los é, y éj, se
halla f(v) y s e elige u n a b a s e o r t o n o r m a l c u a l q u i e r a (éy, e^) del s u b e s p a c i o T(tJ, f{v));
r e i t e r a n d o el p r o c e s o m v e c e s se o b t i e n e u n a tal b a s e o r t o n o r m a l (è,, ^2, — 1 ^2m) d e V e««,
v ál id a p a r a c o n s e g u i r , e n ella, el anterior b l o q u e 2m x 2m .

597. APÉNDICE
3 Forma canónica de Jordan
Ya es sabido que hay endomorfismos /: V (con V de dimensión finita; con escalares reales,
complejos u otros) que no son diagonalizables o, dicho de modo equivalente, hay matrices
cuadradas que no son diagonalizables por semejanza. Por ello, de entre todas las matrices
asociadas a / (en las distintas bases de V), cuando se quiera una que sea «lo más sencilla
posible», habrá que conformarse, en general, con una no diagonal. Esta búsqueda ha conducido
a probar la existencia de la «matriz de Jordán» de un endomorfísmo; esta matriz dene: 1) en su
diagonal, los autovalores de /; 2) en la primera paralela a ella por encima, unos y/o ceros (del
modo que luego se dirá); y 3) todos sus demás elementos nulos.
DIAGONALIZACION EN BLOQUES
TRIANGULARES
a)
h)
Subespacios invariantes de un endomorfísmo.—Sea / : V - * V un endomorfismo, del
espacio vectorial V, y sea U un subespacio de V. Se dice que U es subespacio invariante
por / si todo vector ü e U se transforma, por /, en un vector /(w) que también es de U;
esto es, si f { U ) ( z U . Si U es invariante, la restricción de / a í/, es un endomorfismo de
U en í/, que denotaremos poniendo /: (/—► í/.
Diagonalización por bloques.—Sea /: V —* V un endomorfismo, del espacio vectorial O
de dimensión finita, y sean C/,, í/2, subespacios de V invaiiantes por / tales que
í/, © í/j 0 — © Up, Si es la matriz del endomorfísmo / : í/,-—> U¡ respecto de cierta
base B¡, para 1 = 1, 2, p, entonces la matriz de /: V—► V en la base B =
es la siguiente matriz A, diagonal por bloques:
A,0 ■·· 0'
A =
0A , · • 0
0 0 ·
(En tal caso, se dice que / es un endomorfísmo diagonalizable en bloques.)^*^
DEMOSTRACIÓN .— Basta tener presente que las colum nas de A y las form an las coordenadas en
B y B^át las imágenes de los vectores de ^ y B¡.
(·) Para indicar que, con estas hipótesis, la matriz A es la señalada, suele decirse que A es la suma directa de las
matrices i4, y se pone = A, 0 Aj 0 . » Llamando /, al endomorfísmo / : í/,-* í/. (resüicción de f al subespacio
d i í ^ r d e b s i/, © í/, e - 0 í;,, se pone / = / , 0 / , 0 ... 0 y se dice que / la suma

598. 1. S e a / : V — ► V u n e n d o m o r t l s m o , del e s p a c i o vectorial da d i m e n s i ó n finita n\ sea
K el c u e r p o d e esc al a re s. S e d i c e q u e / e s tñangularizahle si existe u n a b a s e d e V e n
la q u e / tie ne m a t r i z T triangular. S e verifica q u e / es triangularizable si y sólo si /
t iene n a u t o v a l o r e s e n E n este c as o, la d i a g o n a l d e T está f o r m a d a p o r los auto-
v a l o r e s d e / ( c a d a u n o a p a r e c e tantas v e c e s c o m o i n d i q u e s u m u k i p l i c i d a d algebraica).
2. S e a A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e t a m a ñ o nxn, c u y o s e l e m e n t o s p e r t e n e c e n a u n c u e r p o
K. S e d i c e q u e A e s t ri an g ul ar i za bl e ( p o r s e m e j a n z a ) si existe u n a m a t r i z ü i a n g u l a r T
q u e e s s e m e j a n t e c o n A. S e verifica q u e A e s triangularizable si y s ól o si A tiene n
a u t o v a l o r e s e n K, E n este c a s o , la d i a g o n a l d e T está f o r m a d a p o r los a ut ov a lo re s
d e / ( f i g u r a n d o c a d a u n o tantas v e c e s c o m o i n d i q u e s u m ul ti p li ci d ad algebraica).
c) Endomorfismo y matrices trianguiarizables.—Proposición:
DEMOSTRACIÓN.— Si / tiene, e n u n a b ase (^,, ^2
.^n) matriz triangular superior, en la base
- M «i) la m atriz d e / es triangular inferior; por ello, sólo con s i d e r a m o s el caso d e üiangular
superior. L a s p r o po s ic io n es I y 2 s o n equivalentes; s u p o n d r e m o s q u e A es matriz de / e n u n a base
de V. Si / es triangularizable, c o n m a ü i z triangular T, entonces / tiene n autovalores pues, según
resulta evidente, los n e l e m e n t o s d e la diagonal d e T s on autovalores d e /.
P r o b e m o s p o r i n d u c c i ó n el recíproco {f o A tiene n autovalores f o A es triangularizable). L a
p ro p i e d a d es e v i d e n t e m e n t e cierta si d i m V = l; la s u p o n e m o s cierta para d i m V = « - l; p r o bé m os la
para d i m V = n. L l a m e m o s A, a u n autovalor d e / (que existe), sea w, u n vecior propio correspondiente
a A,, sea B' = (ü^,
.üj u n a n u e v a b ase d e V, sea A' la m a ü i z de / e n B’; la primera c o l u m ­
n a d e A' es (1, O, ..., 0), l l a m e m o s A , a la s u b m a ü i z d e A' q u e resulta d e suprimir sus primera
fila y p r i m e r a c o l u m n a . N ó t e s e q u e del ( A ' ~ A/) = (A, - A) del (A, ~ A/), luego A , (de t a m a ñ o
(/I - 1) X (;/ - 1)) tiene n - l autovalores, p o r lo q u e es triangularizable (por hipótesis), es decir,
existen e , regular y T, e triangular tales q u e 7, = L l a m a n d o P e a la
matriz q u e resulta d e añadir a P, u n a p ri me r a fila q u e sea (1, O, 0) y u n a primera c o l u m n a q u e
sea (l. O, ..., 0), resulta fácil c o m p r o b a r q u e T = P'^A'P es triangular.
d) O b s e r v a c i ó n . — S i T e e s m a t r i z t riangular d e u n e n d o m o r f i s m o c u y o s a ut o v a l o r e s s o n
A,, Aj, ..., c o n m u l t i p l i c i d a d e s a l g e b r a i c a s m , , ( d o n d e m , + + ···+
+ = n), e n t o n c e s T p u e d e e x p r e s a r s e e n la f o r m a :
^11 ^12 ^\p
o T,, - 7·^7 ^ ( c o n i ^ j) b l o q u e d e t a m a ñ o m - x nij
T¡¡ b l o q u e triangular s u p er i or
( d i a g o n a l d e T,/) = A¿, A,, ..., A¿
e) D i a g o n a l i z a c i ó n e n b l o q u e s t r i a n g u l a r e s . — S e a A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e t a m a ñ o nxn,
c u y o s e l e m e n t o s p e r t e n e c e n a u n c u e r p o K, q u e tiene n a ut o v a l o r e s e n K y s e a n Aj, A j , ..., A ^
los a u t o v a l o r e s distintos d e A, q u e tiene m u l t i p l i c i d a d e s a lg eb r ai ca s w , , m,
. . ( c o n
+ m2 + ··· -f m = n). S e verifica e n t o n c e s q u e A es s e m e j a n t e a u n a m a t r i z del tipo
(*) Si ^ = C, esta condición se verifica siempre; si ^ = R, generalmente no se verifica.

599. ÁLGEBRA LINEAL
rr, o
o T,
o
o
0 0
d o n d e T¡ e s u n b l o q u e triangular superior, d e t a m a ñ o m . X m , , c u y a d i a g o n a l e s la s u c e s i ó n
Aj, A „ A,, ( p a r a / = 1, 2, .... p).
DEMOSTRACIÓN.—Ktcmasnos a la expresión d e T del anterior apa rt a do d)·, h a y q u e probar que
existe P regular tal q u e p 'TP es del tipo descrito e n el e nu nc i ad o. S e a E»*(a) e la m a u i z
q u e resulta d e su.stituir e n la matriz u ni da d el O del lugar h, k p o r el escalar a; Ei^(a) es regular y su
inversa es £ « ( -0). L a matriz £«(a)r£„(-a), q u e es s e m e j a n t e a T, difiere d e T e n los e le m e n t o s de
la fila h situados a la d e r ec h a del ( e l em e nt o d e lugar k, k d e T), e n los e l e m e n t o s d e la colunuia k
situados p o r e n c i m a del y e n el propio e l e m e n t o del lugar /i. k q u e p a s a a valer - adu, - 1^).
T o m a n d o h y k de m a n e r a que, siendo h<k, c o r r e s p o n d a n a distinto b l o q u e Tu, t o m a n d o a = tij
Uu, ~ hk)< h a c i e n d o q u e h, k recorra, u n o tras otro, todos los b l o q u e s T¡j ( c o n i < j) , y hacié n do lo de
abajo a arriba y d e izquierda a d e r ec h a (tanto dentro d e c a d a b l o q u e c o m o al c a m b i a r d e bloque), se
obtiene u n a m a ü i z c o m o la descrita e n el enunciado.
A.07FORMA CANONICA DE JORDAN
a) P r o p o s i c i ó n . — S e a M u n a m a t r i z c u a d r a d a d e t a m a ñ o nxn, c u y o s e l e m e n t o s p e r t e n e c e n a
u n c u e r p o K, q u e e x p r e s a d a e n b l o q u e s e s d e la f o r m a q u e a b a j o s e s e ñ al a , e n la q u e : O es
u n b l o q u e nul o, O e ÍT e s el e l e m e n t o nul o, N¡ e s u n b l o q u e d e t a m a f l o h¡xh¡, el b l o q u e A¡
es d e t a m a ñ o 1 xh¡, s i e n d o A, + /tj + ··· + = n. S e verifica e n t o n c e s q u e M e s s e m e j a n t e
a la m a t r i z M , q u e a c o n t i n u a c i ó n s e indica, d e s c o m p u e s t a e n b l o q u e s d e i g u a l t a m a ñ o q u e
s u s c o r r e s p o n d i e n t e s d e M.
" 0-4,^ 2 " 0A0 o
0 0 0 0 0 o
M =
00 0
M' =
O0Nz 0
JO00 .000
K
d o n d e N, =
O 1
O 1 O
O
A = [S, O, 0
. . 0]
c o n 5 = 1 o 5 = 0

600. DEMOSTRACIÓN.— P a r a llegar a M\ recurriendo a ciertas matrices regulares P,» Pj» Y
luego d a r e m o s ) , o b t e n d r e m o s sucesivas matrices M^ = P’x^MP^y M^ = PVM\Pi^ - V
M^ = Pl^MyP^ ( s e m e j a n t e s c o n A/), hasta o bt e n e r la M' del e n u nc i ad o. V a m o s a ello:
L Si A, = [a, h, ..., /, g], l l a m e m o s = (/?, c, ..., g, 0] y c o n s t r u y a m o s la siguiente matriz P,, c u y a
inversa t a m b i é n se da; es e vi de n te q u e = P^^MP^ es la matriz q u e a bajo se indica:
Px
0-fi.- 8 2 ··• - f i /
lfi. fiz
... b;
0h
0 0 0/.
0... 0
0 0
¡1
0
pV ^
00h
... 0
0 0 0
^ _
00 0
M , =
O A , A,
O N, O
O O N.
0 0 0 N..
2.
3.
d o n d e A, es d e la f o r m a A, = [5,, O, 0] (nótese q u e si todos los Ò^ s o n nulos, la propiedad está
d emostrada).
S u p o n i e n d o , pues, q u e para a l g ú n i es 5, O y q u e éste está e n la c o l u m n a r-ésima d e Af,. sea
la matriz q u e resulta d e c a m b i a r entre sí las filas 2.“ y r-ésima d e la m a ü i z unidad; nótese q u e
?2 ‘ = Pv L a matriz M^ = Pi^M^P2 es la q u e resulta d e c a m b i a r entre sí, e n M , , los e le mentos <5,
y 6^ # 0; Afj es c o m o M , p e r o tiene n o n ul o el e l e m e n t o d e lugar (l, 2), q u e l l a m a r e m o s 5.
C o n s t r u y a m o s la siguiente matriz regular P^ (en ella, Di = {82/8)12, = {S^/S)I ), c u y a inversa
j = es casi c o m o la M' del enunciado, pue s sólo se diferenciat a m b i é n se da; la matriz M3 =
d e ella e n q u e A = [6, 0. 0. OJ, e n lugar d e tener 8 =1 o 5 = O, tiene 6 0:
l00 0 .· 0 100 0 ·• 0
0A-D2- D3 .. 0hD2D , .
•
0 0
h
0 0
pV =
00I20 . • 0
00 0 0 0 0 0 0/3 ·• 0
0 0 0 0
-
00 0 0 .
4. T o m a n d o para P^ la matriz q u e resulta d e sustituir e n la matriz unidad el 1 d e lugar (1, I) por
8 ( el em e nt o n o nulo del A d e Afj), es evidente la matriz M^ = P^^M^P^ es la M* del enunciado
c o n 5 = 1 .
h) F o r m a d e J o r d á n ( c a s o d e a u t o v a l o r e s iguales).— S e a A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e t a m a ñ o
n x n , c u y o s e l e m e n t o s p e r t e n e c e n a u n c u e r p o K. Si A tiene u n sol o a u t o v a l o r \ e K c o n
multip li ci d ad a l g e b r a i c a n, e n t o n c e s A e s s e m e j a n t e a u n a m a t r i z d i a g o n a l p o r b l o q u e s d e
J or dán, del s ig ui e nt e tipo 7 (A); es decir, existe u n a m a t r i z regular P tal q u e P~^AP-J(\),
siendo:

601. ÁLGEBRA LINEAL
JW =
’A10 0 0“
"a
0 · ·o'
0A1 - 0 0
0 0
d o n d e Jj -
0 0A - 0 0
0 0 0 - 1X
00 ·
. 00 0 - 0A _
E l n ú m e r o q, d e b l o q u e s d e J o r d a n Jj 0 = 1, 2. ...,q) q u e c o n t i e n e 7 (A ). e s igual a la
m u l t i p l i c i d a d g e o m é t r i c a del a u t o v a l o r ( ú n i c o ) A d e i4 .
DEMOSTRACIÓN.— P r o b é m o s l o por inducción; para n = I es evidente; s u p o n i e n d o cierto para n - |,
c o m p r o b é m o s l o para n. S e g ú n A.06c. >4 es s emejante a cierta T triangular c o n diagonal (A. A
.AJ.
q u e se p u e d e poner:
T es triangular (n - l ) x ( « - 1)
c o n diagonal [A, A, AJ
AAo '
0
j,
P o r la hipótesis d e inducción es V = Q'^^fWQ\ d o n d e J\\) es d iagonal p o r b loques de Jordan
y Q' es regular. C o n s i d e r e m o s la siguiente m a ü i z A\ q u e es s e m e j a n t e a A:
A ' = G " ' 7 ( 2 =
10AAqI0 'AAq
0 p
j,
0Q'\
pJ'(X) J
c)
H a y q u e c o m p r o b a r q u e A' es semejante a cierta matriz 7 ( A X lo q u e equivale a q u e A’-XI
es equivalente a 7(A) - A/, lo q u e y a está p r o b a d o e n A . 0 7 a (allí se l l a m ó M = A ' — A/, N¡ = J¡~XI,
[A.Aj ... A ^ ] = A ¿ ) .
El n ú m e r o d e e le me n to s 1 d e 7(A) - ÁI es n - q, lue go r a n g ( 7 ( A ) — XI) = n - q; c o m o A' - XI y
J(Á) - A / tíenen igual r a n g o (pues s o n semejantes), la multiplicidad g e o m é t r i c a d e A valdrá
n - rang (A- Áí) = n - rang (7(A) - XI) = q.
F o r m a d e J o r d á n ( c a s o d e a u t o v a l o r e s distintos).— S e a A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e t a m a ñ o
nXn, c u y o s e l e m e n t o s p e r t e n e c e n a u n c u e r p o K, q u e tiene n a u t o v a l o r e s e n K. L l a m a n d o
A p Áp a los a u t o v a l o r e s distintos d e A y si w , , ..., s o n s u s m u l t i p l i c i d a d e s algebraicas
( w , + · · + trip = /i), e n t o n c e s A es s e m e j a n t e a u n a m a t r i z J d e J o r d á n , e s decir, J = P~^AP
p a r a cierta m a t r i z r e g ul a r P, d o n d e J es u n a m a t r i z del s i g u i e n t e tipo:
7 =
0 1 Jll 0
y ( A j)
c o n 7(A,) =
J¡1
( / ■ = 1
. .P)
d o n d e J{X¡) tiene t a m a ñ o y los 7,^ ( p a r a 7= 1, 2
. .q) s o n b l o q u e s d e J o r d a n que
tienen, t o d o s ellos, los e l e m e n t o s d e la d i a g o n a l i g u a l e s al a u t o v a l o r A,, e s decir:
(·) Respecto de los tamaños de los q bloques de Jordán 7, véase el apartado A.07d,

602. 599
A, 1
A, 1 O
O
E 1 n ú m e r o d e b l o q u e d e J o r d á n J ifj- 1, 2, q¡) q u e c o n t i e n e e s igual a la
m u l t i p l i c i d a d g e o m é t r i c a d e a u t o v a l o r A, d e
DEMOSTRACIÓN.— L a mat ri z A es s e m e j a n t e a u n a matriz c o m o la descrita e n A . O ó b , q u e l la ma ­
r e m o s T. A c a d a b l o q u e d ia go n al T¡ (de T) le es d e aplicación lo r ecien te me n te d i c h o e n A .0 7b , luego
para ciertas regulares es P/ ‘r , ? / = 7(A^); si es P la matriz diagonal p o r b lo q u e s c u y o s bloques
d ia go n al es s o n los P,, resulta q u e = l ue go A es s e m e j a n t e a J.
d) T a m a ñ o s d e l o s b l o q u e s d e J o r d á n . — S e a A u n a m a t r i z c u a d r a d a d e t a m a ñ o nxn, c u ­
y o s e l e m e n t o s p e r t e n e c e n a u n c u e r p o K, q u e tiene n a u t o v a l o r e s e n K, y s e a n A,, A ^
los a u t o v a l o r e s distintos d e A, c u y a s m u l t i p l i c i d a d e s a l g e b r a i c a s s o n w , , ( c o n
w , + — 4- = n). S e g ú n s a b e m o s ( v é a s e A . 0 7 c ) , la m a t r i z c a n ó n i c a d e J o r d á n , J, d e A es
d e la f o r m a :
A A , ) g
P' ^ 1
J ( A ¡ )
d o n d e 7 ( A ) =
A A , ) .
( p a r a A = A,, Á^)
( L a m a t r i z 7 ( A ) , d e t a m a ñ o mxni, t ie ne t o d o s los e l e m e n t o s d e s u d i a g o n a l i g u al e s a A ; las
m a t r i c e s 7,, ^2» ···» b l o q u e s d e J o r d a n . )
E n e st e s u p u e s t o s e ver if i ca q u e , p a r a c a d a A = A,, ..., A^, e xiste u n .y e tal q u e :
r a n g ( / \ - A / ) ^ r a n g ( > 4 - A / ) ^ ^ ^ r a n g ( A - Xiy = n - m (1)
y l l a m a n d o kj ( p a r a y = 1, 2, ..., s) a los n ú m e r o s n a t u r a l e s
= / i - r a n g ( / 4 - A / ) y A:^ = r a n g ( / \ - A / y ' - r a n g ( / \ - A / y , si y > l
e n t o n c e s el n ú m e r o hj d e b l o q u e s d e J o r d a n d e t a m a ñ o j x j q u e c o n t i e n e 7 ( A ) es:
hj = k^-kj^^ ( p a r a ; = l, 2
. .s - \ ) y ( 2)
DEMOSTRACIÓN.— C o m o Ay J s o n semejantes, tsJ = P ^AP, para cierta P regular, l uego J - kl =
= P^\A — \P)Py p o r lo q u e J A l y A -X I tienen igual rango. E s claro q u e « — r a n g ( 7 - A/) =
= m - r a n g (7(A) — A/) y q u e n — r a n g (7 - A / y = m - r an g (7(A) — A / V para j = 2, .... s. Si Jj es u n
b l o q u e d e J o r d a n jx j c o n A e n la diagonal, e n t o n c e s Jj- A/, ( 7 ^ - A / ) ^ .... (Jj- A / y = O tienen lodos
(*) Respecto de los tamaños de los q, bloques de Jordán 7 , véase cl apartado A.07d.

603. Al g e b r a l in e a l
SUS e l e m e n t o s nulos e xc epto los d e la 1.“, ... paralela a la diagonal, q u e valen 1, luego los rangos
d e estas matrices valen j - 1,7 - 2 ,..., l, 0. L l a m a n d o /i„ /íj, ..., a los n ú m e r o s d e b kx ju e s d e Jordan
q u e tiene 7(A) d e t a m a ñ o l, 2, ..., s se verifica entonces que:
m - rang (J(A) - A/) = m - (O/i, -i- l/i^ + 2hy + - + (5 - 1 )/i,)
m - rang (7(A) - XΟ = m - (O/j^ + I/13 + 2/Î4 + - + (5 - 2)/i,)
rn - rang (7(A) - A/)'" ' = m - (/i,)
m - rang (7(A) - AA)* = m
P o r tanto:
n - rang(i4 - A/) = m - ( / i2 + 2 /i3 4 -- + ( s - l ) /i j = / i ,
-----1-/í,
n - rang (A - A/)‘ = m - (/I3 + 2/14 + - + (i* — 2)/i,)
n - rang (A - A/)'" * = m - (/i,)
n - rang (A - X iy ^ m
Así pues, se verifica la relación (l) del enunciado; s es el m a y o r d e los t a m a ñ o s d e los bloques
d e J ordan d e 7(A). L o s kj del e n u n c i a d o resultan ser k, = h¡ + /1/+1 + - + h, (para / = 1, 2, ..., 5), de
d o n d e resulta q u e /i, = /Cj - ^2» ^ ” ^2 ” ^3’ ·♦·* k¡-\- k^y h^ = k^.

604. Espacio afín (de dimensión n e N)
a p é n d ic e
4
E». generafeadón no es L da anific X t ¿ „ t e Í T “ ? ^ '“ 'i“'"··
R· „ R> de lo. ,.c .o .» Ubres. p„, „„ e s p L “ , r c . „ t r ¿ f ; r
L o s l l a m a d o s p r o b e m a s a f i n e s e s t o es, los p r o b l e m a s g e o m é t r i c o s d e i n c i d e n c í i nt er s tc tó n
y p ^ a l e h s m o e n t r e e l e m e n t o s d e l e s p a c i o afín, s e a b o r d a r á n c o n la a y u d a d e las p r S a T e s
relativas a la I m e a l i d a d d e los v e c t o r e s libres. P a r a los p r o b l e m a s g e o m é t r i c o s d e tipo m ét rico
es decir, a q u e l l o s q u e s e r e f i e r e n a distancias, á n g u l o s , áreas, v o l ú m e n e s , se acudirá ^ p r o d u c t o
e scalar e n t r e l o s v e c t o r e s libres, d e s u e r t e q u e s e está s u p o n i e n d o a h o r a q u e el e s p ac i o d e los
v e c t o r e s libres e s u n e s p a c i o e u c l í d e o .
A.08 ESPACIOS AFIN Y AFIN EUCLIDEO
DEFINICIONES DE ESPACIO AFÍN
a) E s p a c i o a f í n . — U n c o n j u n t o E ( d e p u n t o s ) e s u n e s p a c i o afín si se c u m p l e u n a cualquiera d e
las d o s d e f i n i c i o n e s s i g u i e n t e s ( c u y a e q u i v a l e n c i a es e v i d e n t e si la relación v = PQ, d e la
p r i m e r a , s e p o n e e n la f o r m a Q=^P c o m o se h a c e e n la s e g u n d a ) :
♦ P r i m e r a d e f i n i c i ó n . U n c o n j u n t o £ # 0 . a c u y o s e l e m e n t o s se les l l a m a punios, .se dice
q u e e s u n espacio afin a s o c i a d o a u n e.spacio vectorial real d a d o V, si se d i s p o n e d e u n a
a p l i c a c i ó n £ x £ — V. (P, Q)-^C=PQ, q u e a c a d a p a r d e p u n t o s (P, Q) le asigna u n
v e c t o r V q u e s e d e n o t a p o r PQ, d e m a n e r a q u e s e v er if i qu en las d o s e xi ge n ci as siguientes:
• P a r a c u a l e s q u i e r a p u n t o s P, Q, R e E s e verifica q u e ^ + Q R = PR ( r e l a c i ó n ^ e
• P o i c a d a p u n t o P e E y c a d a v e c t o r iS e Vexiste u n s ol o p u n t o Q e E, tal q u e H = PQ·
( A los e l e m e n t o s d e V s e les l l a m a vectores libres. S e d i c e quePyQ son. r es p e c t i v a m
el origen y el extremo d e l v e c t o r PQ·)
* S e g u n d a d e f i n i c i ó n . U n c o n j u n t o ^ d e una aplicación
espacio afin a s o c i a d o al e s p a c i o v ec t o i n a r e a , . y g^tor D les a signa u n p u n t o
EXE-^ E, (P, v)-^Q = P + C. q u e a c a d a P u m o P y c a d a
Q, q u e s e d e n o t a p o r P + 5 y s e l l a m a s u m a d el p u n t o ^ y
s e v e r i f i q u e n las d o s e x i g e n c i a s siguientes.
601

605. b)
c)
A P ^F v c a d a O e £ existe u n v e c t o r e e V, y s ó l o u n o . tal q u e /> + o = q
: S ? Í » . V s e « r t r , c . , u e
F e n a t i « a fí n P u c l i d e o - S e a E u n e s p a c i o afin, a s o c i a d o a u n e s p a c i o vec to r ia l real K Se
d i c e q u c E e s u n espacio afín euclideo ( o e s p a c i o p u n t u a l e u c l i d e o ) si e n V h a y d e f i n i d o un
p r o d u c t o escalar, e s decir, si V e s u n e s p a c i o v e c t o n a l e u c l i d e o . . „ _ ,
D i s t a n c i a . — S e a E u n e s p a c i o afin e u c lí d eo . S e l l a m a distancia d e l j M i n t o P s E a\ p unto
O € £ a la n o n n a d el v e c t o r PQ, e st o es. al n ú m e r o real d{P, Q) - IIP QI I · P a r a cualesquiera
q u e s e a n los p u n t o s P, Q, R e E se verifica q u e .
• d{P, Q) > O para P=^Q; a d e m á s d(P, P) = 0.
• d(P,Q) = d{Q,P).
• d(P, R)^d(P, Q) + d(Q, R) ( d e s i g u a l d a d t n a n g u l i w ) .
Al g e b r a l in e a l
COORDENADAS CARTESIANAS
A q u í v a m o s a r e f e r i m o s a los e s p a c i o s afines d e d i m e n s i ó n finita; c n ell os e s p o s i b l e d e t e r m i n a r
los p u n t o s m e d i a n t e c o o r d e n a d a s , lo q u e p e r m i t i r á o b t e n e r e c u a c i o n e s d e rectas, p l a n o s y, en
gen er a l, d e v a r i e d a d e s lineales cuales qu ie r a.
a) D i m e n s i ó n . — S e d i c e q u e u n e s p a c i o afin E tiene dimensión n 6 N si s u e s p a c i o vectorial
a s ( K Í a d o V tiene d i m e n s i ó n n; se p o n e d i m £ = Si n = 1, s e d i c e q u e E e s u n a recta afin\
si E tiene d i m e n s i ó n = 2. se d i c e q u e E e s u n plano af\n\ si E t i e n e d i m e n s i ó n n = 3, se
d i c e q u e E e s u n espacio tridimensional afín. Si n = O, e s V — O y E s e r e d u c e a u n punto.
h) R e f e r e n c i a c a r t e s i a n a . — S e a E u n e s p a c i o afín d e d i m e n s i ó n finita n, a s o c i a d o al espacio
vectorial V. S e d i c e q u e ( O ; e^, é„) e s u n a referencia cartesiana d e l e s p a c i o aíTn si
0 e s u n p u n t o d e £ , q u e se l l a m a origen, y (é,, ···» O e s u n a b a s e d e l e s p a c i o V d e los
v e c t o r e s libres.
c) C o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s . — S e l l a m a coordenadas cartesianas d e u n p u n t o X e £ e n la
r e f er e nc ia (0\ ..., é^) a las c o o r d e n a d a s (jc,, jCj, ...» x„) d e l v e c t o r OX e n la base
(é|, ^2, e^) d e V; se p o n e d o n d e / = 1, 2, n,
__
Si P(p¡) y Q{q), e n t o n c e s las c o o r d e n a d a s del v e c t o r PQ s o n los e s c a l a r e s q¡~p¡
1 = 1, 2, n.
d)
u n a n u e v a refer e nc ia d e £ ; l l a m e m o s (x¡, jc'
. .x>) a las c o o r d e n a d a s d e í p u n t o X e n "esta
n u e v a referencia. ^
Si s e c o n o c e la s e g u n d a r eferencia e n f u n c i ó n d e la p r i m e r a , e s t o es, si s e c o n o c e n los
e s c a l a r e s c, y q,j q u e p e n n i t e n p o n e r ;
OC Zc,t, y ( p a r a y = 1 . 2
. .n )
(-,) y (x;y e s l í a r e l a c i o n a d a s m e d í a n l e :
n
o X= C + Q X'

606. PCS 603
d o n d e * ’*:
X = X' = C = Q =
i n </i2
Í2I Í22
L^nl in2
</2«
L a m a t r i z g e s regular. N ó t e s e q u e la r el a c i ó n matricial X = C + QX' p u e d e e x p re s ar se
e n la f o r m a :
r 10 '■ 1 ■
X cQ_X'
DEMOSTRACIÓN.— P artiendo d e la igualdad OX=OC+ CX se tiene:
n n n n n / n '
ÓX=ÓC+CX = » 'Lx¡é,= 'Lcié,+ 'Zx;ü¡= l,cfi,+ 'Zx¡ I9./,
= I => Xi = c¡+'ZxJ qij
;-i y-i
e) R e f e r e n c i a c a r t e s i a n a r e c t a n g u l a r . — E n u n e s p a c i o afín e u c l í d e o E d e d i m e n s i ó n finita n
a s o c i a d o al e s p a c i o vectorial V se d i c e q u e u n a ref er e nc ia cartesiana ( O ; es
rectangular si la b a s e d e V es o r t o n o r m a l , est o es, si ||éjl = 1 y = 0 para
í f y o ' » y = u 2, /i).
/ ) Si ( C ; Wj, W2, w„) e s otr a r e f e r e n c i a c a r te s ia na d e E , q u e t a m b i é n es rectangular, e n t o n c e s
el c o r r e s p o n d i e n t e c a m b i o d e c o o r d e n a d a s , e st o es, X = C + QX\ tiene la ma t r i z Q ortogonal.
DEMOSTRACIÓN.— L a matriz Q es ortogonal p o r ser la matriz d e c a m b i o d e coordenadas, de vectores,
entre bas es o rt on ormales.
g) Si e n u n a r e f e r e n c i a r e c t a n g u l a r las c o o r d e n a d a s d e los p u n t o s X, Y s E s o n Xix,) e
p a r a / = 1, 2, ..., n, e n t o n c e s la d i s ta n ci a e ntre ellos vale:
d(X, >0 = V C V l - -C,)^ + (3-2 - + - + OVn - Xnf
DEMOSTRACIÓN.— C o m o la bas e d e vectores libres es ortonormal, la matriz métrica del producto
escalar es la unidad.
VARIEDADES LINEALES AFINES
(O SUBESPACIOS AFINES)
L a s v a r i e d a d e s lineales afínes, q u e g e n e r a l i z a n a las rectas y a los planos, s o n los s u b c o n j u n t o s
d e p u n t o s tales q u e los v e c t o r e s fijos q u e ellos d e t e r m i n a n f o r m a n u n s u b e s p a c i o vectorial:
(♦) Cada una de las leü-as X y C ha designado a un punto; ahora también va a representar a la matriz columna
de las coordenadas de dicho punto.

607. a) V a r i e d a d e s l i n e a l e s . —S e a E u n e s p a c i o afín, a s i l a d o al e s p a c i o v e c t o n a l V. D a d o s u n
p u m o P sE y un s u b e s p a c i o vectorial í/ d e V. se l l a m a vanedad lineal (aJín) d e E q u e pasa
p o r P y u e n e la dir ec c ió n U al siguiente c o n j u n t o d e p u n t o s d e E, q u e d e n o t a r e m o s por P+U:
p + U = [P + ü/ü e U) = {X ^ E/PX e U]
h) R e c t a s , p l a n o s , h i p e r p l a n o s . — Si d i m í / = » i . s e d i c e q u e P+ U tie ne d i m e n s i ó n m ; en
particular, si w = 1 o ;« = 2, s e d i c e q u e P + í/ e s u n a recta o plano, r e s p e c t í v a m e n t e . Si
d i m V = n y d i m í/ = w - 1, se d i c e q u e P + t/ e s u n hiperplano.
c) I g u a l d a d d e v a r i e d a d e s lineales.— D a d a s d o s v a r i e d a d e s lineales P¡ + Ui y P2 + í/j, d e u n
e s p a c i o afín E ( a s o c i a d o al e s p a c i o vectorial V), s e veritica q u e .
[P, + U,=Pz + Uj] [ P Í K e í/i =
DEMOSTRACIÓN.—Teniendo en cuenta que P2 + 1/2= IP ¡+ PyPi + «2/Ü2 ^ ^^2)· resulta que la igual­
dad />, + £/, = />!+ f/2 equivale a la t/, = PyPi + í/j X ésta, según se com prueba fácilmente, ocurre si
y sólo si se verifica q u e P j P j e í/, = í/2·
d) Variedades paralelas.—S e a n P , + í/, y P2 ^ 2 v a r i e d a d e s lineales d e u n e s p a c i o afín
E ( a s o c i a d o al e s p a c i o vectorial V), S e d i c e q u e ellas s o n variedades paralelas si la dirección
d e u n a d e ellas está incluida e n la d i r e c c i ó n d e la o tra o si, e n particular, a m b a s direcciones
c o i n c i d e n ; est o es, si í/,cí/j» ® ~ ^2·
e) Si d o s v a r i e d a d e s lineales s o n paralelas, e n t o n c e s o t ie ne n i n t e r s e c c i ó n v a c í a o u n a d e ellas
está i ncluida e n la otra.
DEMOSTRACIÓN.— Si su intersección n o es vacía, tienen u n p u n t o c o m ú n , P, y se p u e d e n poner en
la f o r m a P -H í/, y P -H í/j, luego u n a incluye a la otra.
/ ) Variedades ortogonales.— S e a + í/| y ^ 2 ^ 2 ^ ^ s v a r i e d a d e s lineales d e u n e s p a c i o afín
e u c l í d e o E ( a s o c i a d o al e s p a c i o vectorial V). Si los s u b e s p a c i o s v ec to r ia le s í/, y í/j son
o r t o g o n a l e s (o sea, m, · c u a l e s q u i e r a /7, e í/, y Wj e í/2), s e d i c e q u e las varieda­
d e s lineales s o n perpendiculares u ortogonales. O b s é r v e s e q u e si d i m E = n, p a r a q u e dichas
v a r i e d a d e s s e a n p e r j ^ n d i c u l a r e s es n e c e s a r i o q u e d i m + d i m í/2 ^
Si d i mE - n y d i m í / j + d i m í/j> /i, se a m p l í a la d e f m i c i ó n d e p e r p e n d i c u l a r i d a d dicien­
d o q u e P , *f í/, y P j + í/j s o n p e r p e n d i c u l a r e s ( e n s e n t i d o a m p l i o ) si los s u b e s p a c i o s orto­
g o n a l e s d e í/, y í/2 s o n o r t o g o n a l e s e ntre sí, est o es, si í/¡^ 1 í/^.
Q VARIEDADES LINEALES DE DIMENSIÓN FINITA
a) Variedad lineal que engendra un conjunto de puntos.—D a d o u n c o n j u n t o d e puntos, C,
d e u n e s p a c i o afín E ( a s o c i a d o al e s p a c i o vectorial V), s e a P + í/ la v a r i e d a d afín e n la q u e
P es u n p u n t o fijo d e (T y í/ e s el s u b e s p a c i o e n g e n d r a d o p o r t o d o s los v e c t o r e s libres X K ,
d o n d e X , r € C . S e verifica q u e P + í/ es la m e n o r ( m e n o s a m p l i a ) d e t o d a s las variedades
lineales d e E q u e i n c l u y e n a C. S e d i c e q u e P 4- í/ e s ia v a r i e d a d afín e n g e n d ra d a p o r el
c o n j u n t o d e p u n t o s C . & r
Si C e s el c o n j u n t o d e p u n t o s C = {P„. .... p j, e n t o n c e s la v a r i e d a d lineal e n g e n d r a d a
p o r c es.
( 4 ^
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _Al g e b r a l in eal

608. 605
DEMOSTRACIÓN.— E s claro q u e C c P + (/, por lo q u e d e b e m o s probar que, si F es una variedad
lineal q u e incluye a C. h a d e ser P + í 7 c F . E s evidente que F = P ^ W para u n cierto subespacio W,
por lo q u e se d e b e p r o b a r q u e UczW. A s í ocurre, p ue s s\ ü e U, será 11 = 1 ÁXY (para ciertos A e R
y X» y e C ) y es claro q u e XY e W, c o n lo q u e ü e W, luego Uc. W.
E n el c a s o C = { P J es U = y{P,Pj/P¡, Pj e Q y este subespacio coincide c o n el Y{PJPJP^ e C).
h) V a r i e d a d e s l i n e a l e s d e d i m e n s i ó n fínita.— S e d i c e q u e u n a v a r i e d a d lineal P + L/, d e u n
e s p a c i o afín E ( a s o c i a d o al e s p a c i o vectorial V)» tiene d i m e n s i ó n finita p si la dirección U
d e la v a r i e d a d e s u n s u b e s p a c i o vectorial d e d i m e n s i ó n p. Si d i m í/ = /? y si (/7,, új, ü^)
es u n a b a s e d e U, e n t o n c e s la v a r i e d a d P + í/ está f o r m a d a p o r los p u n t o s X e ¿ q u e se
p u e d e n p o n e r e n la f o r m a ( e c u a c i ó n p a r a m é t r i c a vectorial):
X = P + A jW , + A j W j *** +
(A,. Aj, A ^ e sc alares arbitrarios)
c) Si el e s p a c i o E tiene d i m e n s i ó n n y t o m i u i d o u n a referencia cartesiana e n él, si las c o o r d e ­
n a d a s d e X P y üj se d e n o t a n p o r X(x¡)y P(p¡) y w/w^¿) p a r a / = 1, 2, « y 7 = I. 2. p,
e n t o n c e s los p u n t o s d e la v a r i e d a d P + í/ s o n a q u e l l o s X tales que :
p
Xi = Pí + X XjUji (/ = It 2,n)
i >-l
( A p Aj, ..., \p escal a re s arbitrarios)
{ecuaciones paramétricas d e la v ar iedad).
DEMOSTRACIÓN.— L a e c u a c i ó n paramétrica vectorial es evidente si se tiene en cuenta q u e ésta está
f o r m a d a p o r los p u n t o s X tales PX = 1 kfij para algunos escalares A^. E x p r e s a n d o esto en coordenadas
se tiene — /?, = S q u e s o n las e cu aciones paramétricas.
d) H i p e r p l a n o s . — H n u n e s p a c i o afín E d e d i m e n s i ó n finita /i, a s o c i a d o al e s p a c i o vectorial V,
se l l a m a n hiperplanos a las v a r i e d a d e s lineales d e d i m e n s i ó n /i - 1. Si P + í/ es u n hiper-
p l a n o , d o n d e d i m í/ = « - 1, y si ( W p Wj, ..., i) es u n a b a s e d e U, d i c h o h ip e r p l a n o está
f o r m a d o p o r los p u n t o s X tales q u e
r a n g { w , , Mj, ..., w„_,, P X ) = n - l
R e s p e c t o d e u n a r e f e r e n c i a cartesiana, c u a l q u i e r h i p e r p l a n o a d m i t e e c u a c i ó n d e la f orma:
ecuación general
c o n (tí„ flj, ..., a„) # (O, O, 0) \ d e u n h i p e r p l a n o j
d o n d e a^, a,, Oj» ···» e s c a l a r e s fijos y (jCp jCj, x„) las c o o r d e n a d a s d e u n p u n t o
g e n é r i c o d e l h i p e r p l a n o . R e c í p r o c a m e n t e , t o d o s los p u n t o s q u e verifican a u n a e c u a c i ó n d e
este tipo f o r m a n u n h i p e r p l a n o d e E.
DEMOSTRACIÓN.— El hiperplano P + lo f o r m a n los puntos X lales q u e PX e í/, esto es, tales q ue
rang{M,, Wj, ..., ú^_,, PX] = / i - l. A c u d i e n d o a coordenadas, esta relación equivale a la anulación
del d e t e r m in an t e c u y a s filas s o n las c o o r d e n a d a s d e ü,, Ñj, ..., y PX\ desarrollándole por su última

609. ÁLGEBRA LINEAL
fila se obtíene la ecuación general. Recíprocamente, la ecuación general lo es del hipen^lano definido
por m 0
......0. -cja„) «, = (1 .0 .......................................0. -aja,) .= (0. 0. 1.
e) E c u a c i o n e s c a r t e s i a n a s d e u n a v a r i e d a d lineal.— S e a P + í/ u n a v a r i e d a d lineal d e u n
e s p a c i o afín e u c l í d e o E ( a s o c i a d o al e s p a c i o vectorial V ) y s e a C/ el s u b e s p a c i o ort og o na l
d e U, q u e tiene a ( á
. .á*) c o m o base. S e verifica q u e P + í/ e st á f o r m a d a p o r los p u n t o s
X e E q u e verifican a las siguientes e c u a c i o n e s :
aijPX = 0 p a r a 7 = 1
. .k
Si d i m E = n y r e c u r r i e n d o a las c o o r d e n a d a s e n u n a r e f e r e n c i a r e c t a n g u l a r d e E, a la
q u e l l a m a r e m o s P{p,), X(x¡), J/Oy,), e n t o n c e s la v a r i e d a d P+U tiene p o r e c u a c i o n e s (caite-
sianas) a las:
V ' ^ | - P | ) + V ^2- / >2) + - + M ' ^ » - / ’n) = 0
. .*
d o n d e las k filas (α^„ .... a^„). p a r a y = 1, 2. .... k, f o r m a n u n a m a t r i z d e r a n g o
E n particular, d a d o s u n p u n t o P(p¡) y u n v e c t o r n o n u l o 3{a¡), h a y u n y s ó l o u n h i p er p la no
q u e p a s a p o r P y es o r t o g o n a l a λ, el c u a l está f o r m a d o p o r los p u n t o s X(x¡) tales que:
á · O o c φ ^ - p,) + - P2) + '*· + - Pn) = O
DEMOSTRACIÓN.— L a relación X e P + U equivale a c a d a u n a d e las siguientes: PX e U; PX 1
0 · P X = O, V í; e üj PX = O, para y = 1, k. A l acudir a c o o r d e n a d a s rectangulares (la matriz
del pro du c to escalar es la unidad), las últimas e cu aciones se e x p r e s a n e n la f o r m a Σ a / x , -/?,.) = O
para 7=1, .... k (se s u m a para / = 1, ..., n). E n el c a s o del h i p e φ l a n o e s y = 1.
1.09 PROBLEMAS AFINES
INTERSECCIÓN Y SUMA DE VARIEDADES LINEALES
a) I n t e r s e c c i ó n d e v a r i e d a d e s lineales.— S e a n F , = P , + í/, y F j = P j -I- í/j d o s var ie d ad es
lineales del e s p a c i o afín E ( a s o c i a d o al e s p a c i o vectorial V). S e verifica q u e :
1. F , n F j # 0 si y s ó l o si e í/, + í/j.
2. Si P 6 F , n Fj, e n t o n c e s F, n F j = P + (í/, u í/j).
DEMO^RACIÓN.—Púa la propiedad I se tiene: F¡nF^*0 <=> 3 P e F , n F j <=> 1«, = e U,,
“ 2 ~ ® G + í/j. Para la p ropiedad 2, p o n i e n d o F, = P + í/, y F j = P + t/j, se tiene:
XeF^nF^ lPXeUt,PXsU2]^PXeU¡r\U2«^XeP + (U^nUi).
b)
J f n " r “ w + t/, y F , = P , + u, d o s v a r i e d a d e s lineales
Í L F £ ( a s w i a d o al e s p a c i o vectorial V). S e l l a m a s u m a d e F , y F j a la variedad

610. L a a n t e r i o r s u m a p a s a p o r ios p u n t o s P, y P2» ^*ene p o r dir ec c ió n al
s u b e s p a c i o U = Y(P^P¡) + (/,-!- í/j- N ó t e s e q u e í / = (/, + (/2 y ^
D £ M 0 5 r / ? / \ C / í ) M — L a dirección d e F, -f es í/ = r ( C ) , siendo C = { X F / X , YeF.KJF^l S e g ú n
q u e X, K e F,. q u e X, Y e F2 o que X e F^ e Y e F^, el vector XY recorrerá í/,, o ^ , ^ 2 +
luego C = P ^ + U. + U^ y e n t o n c e s U=V(Q = T ( ^ ) + (/, + Finalmente, í/ = í/, + í/j c»
<=> P j P j e í/j + í/j ^ ^ ^ 2 0·
c) F ó r m u l a d e las d i m e n s i o n e s ( o d e G r a s s m a n n ) . — Si F , y F2 s o n d o s v a r i e d a d e s lineales d e
d i m e n s i ó n finita, d e u n e s p a c i o afín E ( a s o c i a d o al e s p a c i o vectorial VO, se verifica q ue :
1. F , 0 ^ 2 0 = > d i m F , + d i m F2 = d i m ( F , + F2) + d i m ( F , n F2).
2. F , n F2 = 0 = > d i m F , + d i m F2 = d i m ( F , + F2) + d i m ( F , n F ^ - 1.
_______ 607
DEMOSTRACION,—S\ F, = F, + í/, y F ^ = Fj + ^^2* será d i m (F, 4- F,) = d i m [ TíF.Fj) + í/, +
Si F , n F2 9t0 es F j F j e ¿/, + c o n lo q u e d i m ( F , + F2) = d im(í/,-f
- d i m ( í / , n í y j ) ^ d i m F, + d i m F j - d i m (F, O Fj). Si F , n F2 = 0 , entonces F j F j ^ + ¿/j»
d i m ( F , 4- F j ) = 1 + d i m ( í/, + í/j) ” ^ + d i m í / , + d i m ( y2“ ^ i ” ^ ( ^ i * ^ ^2) “ ^ + d i m F , +
+ d i m F j - d i m (F, n Fj).
COORDENADAS BARICÉNTRICAS
a) B a r i c e n t r o . — S e a n d a d o s u n o s ciertos p u n t o s P,, P2, P ¿ d e u n e s p a c i o afín E (asocia­
d o al e s p a c i o v ec to r ia l V); s e a n d a d o s t a m b i é n u n o s escal a re s c,, c,, c¡^ tales q u e
c, -f C2 + — + c* =?í= 0. E l e g i d o a r b i t r a r i a m e n t e u n p u n t o O del e sp ac i o, s e a P el p u n t o def in i do
por:
0P =
q - f C2 + - + C*
E s t e p u n t o P n o d e p e n d e del o r i g e n O e l e g i d o y se l l a m a baricentro d e los p u n t o s P¡
a f e c t a d o s d e los c o e f i c i e n t e s c¡ ( p a r a / = 1. 2, k). D i c h o b a r ic e nt ro q u e d a d e f i n i d o p o r la
relación:
c , P P , + C2PP2 - + cfPk = ó
DEMOSTRACIÓN,— P a r a p ro ba r q u e P n o d e p e n d e d e O, t ó m e s e otro origen O' y pón ga s e
OP = 00' + O ' P y 0P¡ + 00' + 0'P¡, L a última relación resulta d e t o m a r O = P.
b) P u n t o s l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s e i n d e p e n d i e n t e s . — E n u n e s p a c i o afín F, a s o c i a d o al
e s p a c i o v ec to r ia l V, s e d i c e q u e los k + l p u n t o s Pq, P,. P ¿ s o n linealmente independientes
o linealmente dependientes s e g ú n q u e los k v e c t o r e s P^^^, ...» P ^ P * sean, r e s p e c t i v a m e n t e ,
l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s o l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s (esta d ef i n i c i ó n n o d e p e n d e d e cual
s e a el p u n t o d e ellos, q u e s e t o m e c o m o o r i g e n d e los vectores).
DEMOSTRACIÓN.—En SA.P,,/', = (5(í = 1. 2
. . k) p ó n g a s e P„P, = PaP¡ + P^P, y se obtiene
X A , ^ = ó(i = O, 2, .... *). con A„ = - ( A , + A, + - + A,).

611. c) C a r a c t e r i z a c i ó n d e la d e p e n d e n c i a . — L o s p u n t o s Po, P¡, ···. Pt s o n l i n e a i m e n t e d e p e n d i e n ­
tes si y s ó l o si e x i s t e n ciertos e s c al a re s «o· « i
. .
• aoÓP¡ + a,ÓP¡ + ··· + a,ÓP¡^= o, p a r a c u a l q u i e r O e E.
• « o -I- a , + ··· + a * = O y («o. «i* ···> ®
. .
DEMOSTRACIÓN.— L a d e p e n d e n c i a lineal, esto es, 1K¡P,/*, = ó (para / = 1, 2, .... *), se p u e d e poner
( ac ud i en do a q u e ^^pP, = ó (para i = O, 1. 2
.k), c o n a „ = - ( A , -l· A j -h ·.· -h A.)
y para ( =1,2. ...» k.
d) R e f e r e n c i a b a r i c é n t r i c a . — S e a E u n e s p a c i o afín d e d i m e n s i ó n finita a s o c i a d o al espacio
vectorial V, S e l l a m a referencia baricéntrica d e £" a c u a l q u i e r s u c e s i ó n (Aq, A,, A ^ ) d e
n + 1 p u n t o s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s d e £.
e) C o o r d e n a d a s b a r i c é n t r i c a s . — D a d a u n a r ef e r e n c i a b a r i c é n t r i c a (Ao, A p A „ ) d e E se
verifica q u e p a r a c a d a p u n t o X e £ . si se t o m a a r b i t r a r i a m e n t e u n p u n t o O e £ , e xisten u n o s
ú n i c o s e sc al a re s jcq, JCp x„ tales q u e :
i Q Al g e b r a l in e a l
OX = J C o ^ A o + jc,(9A, -f ... +
L o s n + 1 e sc al a re s Xq, jc,, x„ n o d e p e n d e n del p u n t o O q u e s e elija ( sólo d e p e n d e n
d e la r ef er e nc ia baricéntrica y del p u n t o X) y r e c i b e n el n o m b r e d e coordenadas baricéntricas
del p u n t o X e n la ref er e nc ia afín d a d a .
D EM O STR A C IÓ N ,— Como d im £ = n (Aq, A „ .... A„, X) es linealm ente dependiente, será la ¡O A ¡ +
+ P 0 X - ó ( i = Q, 1. .... n) para ciertos a¡ y P tales que S a ^ + )3 = 0 (nótese que ha de ser ^ ^ 0 ) ;
tómese x, = aJfi. Si hubiera otros x¡ (distintos de los x^). restando se tendría (llam ando a¡ = x¡-x¡)
ó = ^ la p A f y S a , = O que es falso, pues Aq, A,. ...» A„ son independientes. Finalm ente, si O' es otro
origen, acudiendo a que OX = 0 0 ' + O'X y 0A¡ = 0 0 ' + 0*A¡, la relación OX = loma la forma
O'X = 'lx¡0'A¡, para los mismos jc,.
V.IO I PROBLEMAS EUCLÍDEOS
B ORTOGONALIDAD Y MÍNIMA DISTANCIA
a) R e c t a p e r p e n d i c u l a r a u n a v a r i e d a d . — E n u n e s p a c i o a fín e u c l í d e o d e d i m e n s i ó n finita,
a s o c i a d o al e s p a c i o vectorial V, c o n s i d e r a m o s u n p u n t o P y u n a v a r i e d a d lineal F=Q + U,
c u y a d i r e c c i ó n e s U; s e s u p o n e q u e P ^ F. Se verifica q u e :
1. E x i s t e u n a ú n i c a recta R q u e p a s a p o r P, e s p e r p e n d i c u l a r a F y c o r t a a F ; a ella se la
l l a m a recta perpendicular a F t r a z a d a d e s d e P. E l p u n t o F „ d e i n t e r s e c c i ó n d e /? y f
s e l l a m a proyección ortogonal d e P s o b r e F.
2. E l v e c t o r QP,, e s la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e QP s o b r e U
3. L a dista n ci a d e F a u n p u n t o X d e F . d(P, X), a l c a n z a s u v a l o r m í n i m o p a r a X =
Po-

612. ____________________________________________________________ira
DEMOSTRACIÓN.— H a y q u e p r o b a r q u e existe u n solo F tai q u e PPqI. í/, esto es, tal q u e
QP = QPq + PJP c o n QP^ e U y P^P g o sea, tal q u e QP^ es la p r o ye c ci ón ortogonal d e PQ sobre
U, q u e existe y es ú n i c a (pu es V tiene d i m e n s i ó n finita). Finalmente, para X e F, c o m o el
triángulo XPf/^ es rec tá n gu lo e n Pq, s u h ip ot e nu sa | | P X|1 es m a y o r q u e el cateto llPPoH, o sea,
d(P, Pq) < d{P, X) p ar a t o d o X ^ P « d e F.
b) D i s t a n c i a d e u n p u n t o a u n a v a r i e d a d lineal.— E n u n e s p a c i o afín e u c l í d e o E d e d i m e n s i ó n
fínita, a s o c i a d o al e s p a c i o v ectorial V, c o n s i d e r a m o s u n p u n t o P y u n a v a r i e d a d lineal
F=Q-l· U, c u y a d i r e c c i ó n e s U; s e s u p o n e q u e P ^ F. S e l l a m a d i s ta n ci a d e P a F a la
m e n o r d e las d i s t a n c i a s d e P a los p u n t o s d e F y vale:
diP, F) = mín{d(P, X)/X b F] = | | ^ |
d o n d e Pq e s la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l del p u n t o P s o b r e la v a r i e d a d F. S e verifica q u e :
1. Si (mj, «2» — » w¿) e s u n a b a s e o r t o g o n a l d e U, e n t o n c e s
d(P,F) =
1/2
2. Si (y,, íJj» ···. h) e s u n a b a s e o r t o g o n a l d e e n t o n c e s
r h o
V ( ^ e · vjf
1/2
d(P,F) =
DEMOSTRACIÓN.— L a definición d e d(P, F) está e n c o n s o n a n cia c o n lo d i c h o e n el apartado ante­
rior. P a r a la f ó r m u l a 1 se tiene: s e a n (a¡) las c o o r d e n a d a s d e QPq e n (ü^), o sea, QPQ = 'íafi¡, c o n
lo q u e P2 = P P q - 2a,M/, m ul t i p l i c a n d o e s c a l a r m e n t e p o r ios w,, resulta q u e PQ' ü¡ =
lue go llgPoll^ = ||Sa,f7j|^ = laj\\ü¡\\^ = 1(PQ · üf/\\ü¡\\^. L l e v a n d o esta expresión a d(P, =
= llFGll^ - WQPqW^ se o bt ie n e la f ó r m u l a del e n u n c i a d o . Par a la f ó r m u l a 2 se tiene: c o m o P P q I V,
q^PQ = pp^ + p^^Q = 'íp.v. -f PqQ (para ciertos pj e R); m ul tiplicando e s c al a rm en t e p or los Vj se tiene
PQ Cj = Pj\\vj\\\ l u e g o d(P, Ff = l lP P o l P = = ^(PQ ·
c) D i s t a n c i a e n t r e d o s v a r i e d a d e s lin ea l es . — E n u n e s p a c i o afín e u c l í d e o E d e d i m e n s i ó n
finita, a s o c i a d o al e s p a c i o v ec t o r i a l V, s e c o n s i d e r a n d o s v a r i e d a d e s lineales F , = P , + t/, y
F j = P2 + U2, c u y a s d i r e c c i o n e s s o n í/, y s e a í/ = í/, +
1. P a r a c u a l e s q u i e r a q u e s e a n los p u n t o s X , e F , y X , ^ ^2» p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l del
v e c t o r X , X2 s o b r e el s u b e s p a c i o LJ^ e s c o n s t a n t e ( n o d e p e n d e d e los X , y Xj).
2. E x i s t e n d o s p u n t o s E: F^y F^ tales q u e e s la a nt er i or p r o y e c c i ó n o rt og o na l.
3. E x i s t e la m e n o r d e las d i s t a n c i a s d e u n p u n t o X , d e F , a u n p u n t o X j d e F{, a ella se
le l l a m a d i s t a n c i a d e F , a F2 y vale:
¿ ( F „ F j ) = m í n {d(X„ X,)/X^ e F „ X, e F,] = | | ^ |
DEMOSTRACIÓN.—Apañado 1. P o n g a m o s ^ = PjP¡ + + P ^ ) = + «. d o n d e « e t/, + Uj.
Si « p r o y e c c i ó n s o b r e U^» se a b r ev i a p o n i e n d o «pr», es p r ( X , X j ) = p r ( P , / ’2) + pr(ú) = pr(/’,/’2) = c o n s -

613. ,an«. A p a ñ a d o 2. C o m o U y s o n suplementarios, es ú + C para u n o s ú nicos ú e {/ y í e (/-
< - r , < W , + c o . y ™ I »
0 . = P i+ w , y Q t ^ P i - ü y Apartado 3. Es evidenie. ya que llO.OjH d a norma de la
proyección ortogonal es menor que la del veclor).
D IA ESFERA
d) E s f e r a . — E n u n e s p a c i o afin e u c l í d e o E se l l a m a esfera q u e liene s u c e n u - o e n el p u n t o
C e £ y c u y o r a d i o e s cl n ú m e r o real p > 0 al c o n j u n t o f o r m a d o p o r los p u n t o s d e E q u e
distan p d e C ; esl o es, a:
5= {XeE /\\a^\ = p]
S e l l a m a n diámetros d e u n a esfera a las rectas q u e p a s a n p o r s u c entro. S e d i c e q u e X e £
es interior (exterior) a la esfera si ||CXll es m e n o r ( m a y o r ) q u e p,
b) E c u a c i ó n d e la e s f e r a . - - S ¡ E liene d i m e n s i ó n tlniia n y e n él se a d o p t a u n a referencia
c ar te s ia na rectangular, la esfera d e c e n t r o C(c,, c\
.c'„) y r a d i o p > O e stá f o r m a d a p o r los
p u n i o s X(x,, .tj, .... .r,) tales q u e :
{x^ - £·,)* + {X, - c·,)" + ··· + (.r, - r^)“ = p - (ecuación de la esfera)
c) I n t e r s e c c i ó n d e e s f e r a e h i p e r p l a n o ; t a n g e n c i a . — lín u n e s p a c i o afín e u c l í d e o E se c o n ­
s id e r a n la esfera 5, q u e liene c e n ü r o C y r a d i o p > O, y u n h i p e r p l a n o //, q u e dista d dcl
c e n t m d e 5; s e a C la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e C s o b r e H. L a i n t e r s e c c i ó n d e 5 y // es:
• Si J < p , e n t o n c e s SC\H es la esfera d e H q u e tiene s u c e n t r o e n C y c u y o radio es
P = \p' ~ se d i c e q u e H es secante c o n 5.
• Si < /> /? , e n t o n c e s 5 0 / / = 0 ; se d i c e q u e H e s exterior a 5.
• Si J = p, e n t o n c e s 5 0 / / se r e d u c e al p u n t o C\ E n este ca.so s e d i c e q u e H es tangente
c n C a la esfera 5.
_Si P e s u n p u n t o d e la esfera 5, el h i p e r p l a n o q u e p a s a p o r P y e s o r t o g o n a l al vector
CP es cl hiperplano tangente e n P a la esfera.
DEM OSTÍtAClÓN.^nH cxtá formado por los X e / / tales que \\C^\^ = o sea, ||C Í ^ + CX\V =
que (corm> C X l C C ) equivale a HC^Xlj^ Luego 5 0 / / es la esfera de / / de centro cn C
y radio p - { f f — </^)‘ * (que es una esfera, cl vacío o un punto según gue sea p > d , p < d p^d).
Finalmcnic. si P e 5, cl plano que pasa por P y es perpendicular a C7> dista <7 = p de C, luego es
Ungeme a 5.
d) I n t e r s e c c i ó n d e d o s esferas.— E n u n e s p a c i o afín e u c l í d e o E .se c o n s i d e r a n las esferas 5, y
5¿, q u e tien e n s u s c e n t r o s e n C , y y c u y o s r a d i o s s o n p, y p^, r e s p e c t i v a m e n t e ; sea
í / = IICjCjll. L a int er s ec ci ó n d e 5, y 5^ es:
1. Si c o n vértices e n C , y C j se p u e d e const r ui r u n t r i á n g u l o c u y o s l a d o s s e a n d, p^ y
e s t o es. SI |p, - ^ < ¿ / < ( p , + p,), l l a m a n d o p a la altura d e d i c h o t r i á n g u l o c o r r e s p o n ­
d ie n t e al l a d o C j C j y si C e s el pie d e d i c h a altura, e n t o n c e s 5 , 0 5 j e s la esfera del
h i p e r p l a n o j o n o g o n a l a C , C , p o r C q u e tiene s u c e n t r o e n C y c u y o r a d i o e s p.
2. S i p, + p , - o SI |p, - p J = d, e n t o n c e s 5 , 0 5 , s e r e d u c e a u n p u n t o .
■J
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ÁLGEBRA LINEAL

614. 611
3. E n los d e m á s c a s o s » o sea, si r f > p , -I-pj o si d < \p ^ -p ,l la intersección es vacía,
5 , n 5 j = 0 .
DEMOSTRACIÓN.— A p a r t a d o 1. H a y q u e c o m p r o b a r q u e el par d e relaciones l|C,Xl| = p, y
llCjXll = P2 e q uivale al par d e las CX · C^Cj = O y \\C^\\ = Esto se c o m p r u e b a fácilmente ponien­
d o C , X = C , C + C X y CyX = C , C + C X y r e c o r d a n d o q u e pj = p^ + l|C,C|| y q u e Pj = p* + ||c»cl|.
A p a r t a d o 2. A h o r a t a m b i é n vale lo d i c h o e n el apartado anterior; c o m o ahora es p = O, la intersección
se r e d u c e a u n p u n t o (el p u n t o C). A p a r t a d o 3. Si hubiera u n X € 5 , 0 5 , , la propiedad triangular no
se c u m p l i r á e n el triángulo C , C ^ p o r ser í / > p , + p, o J < |p, - p J .
e) I n t e r s e c c i ó n d e u n a e s f e r a y u n a r ec ta . — E n u n e s p a c i o afín e u c l í d e o E se c o n s i d e r a n la
e sf er a 5, d e c e n t r o e n el p u n t o C y r a d i o p, y u n a recta r q u e dista d del c en tr o C. L a
i n t e r s e c c i ó n 5 f i / ? c o n s t a de:
• d o s p u n t o s si d< p\ e n t o n c e s se d i c e q u e r e s secante c o n 5.
• u n p u n t o si d = p\ e n t o n c e s s e d i c e q u e r e s tangente a 5,
• n i n g ú n p u n t o si ^ > p ; e n t o n c e s d e d i c e q u e r es exterior a S.
DEMOSTRACIÓN.— S e a Cq la p r o y e c c i ó n ortogonal d e C sobre r, es ||CoC|| = d\ sca u veclor unitario
de la dirección d e r. L o s pun to s S O r s o n los X = C q + A w tales q u e ||CX|| = p, o sea, H C C ^ + Ai<||* = p %
q u e al o pe ra r q u e d a -f A ^ = p \ lue go X = C q ± ( p ‘ - í/^)‘ *m. L u e g o , s e g ú n q u e sea J < p, í/ = p o
d>p, Sdr c on st a d e dos, u n o n i n g ú n punto.
f) H i p e r c o n o t a n g e n t e . — Si P e s u n p u n t o e xterior a la anterior esfera 5, d e cen tr o c n C y
r ad io p, y l l a m a n d o | | P ^ | , u n a recta q u e p a s a p o r P e s t a n g e n t e a 5 si y sólo si el
á n g u l o 6 q u e f o r m a c o n la recta PC e s tal q u e e o s O = >/l ~ ip/Sf· E s t a s rectas e n g e n d r a n
u n a v a r i e d a d q u e s e l l a m a hipercono tangente a S d e s d e P ; ella está f o r m a d a p o r los p u n t o s
X e E tales q u e :
1^ · - p '
DEMOSTRACIÓN.— S e a r u n a recta q u e p asa por P, sea C q la proyección ortogonal d e C sobre r.
L a c on d i c i ó n d e tan ge n ci a (de r c o n S) es llCColl = p, o sea, l l a m a n d o 6 = á n g ( P C , PCq), la condición
es eos 6= | | P C Q | / | | ^ | = V i “ (p/5)^ L a s langentes a S d e s d e P engendran, pues, el «hipercono» de
vértice e n P y c u y o s e m i á n g u l o e n el vértice es 0.

615. APENDICE
5
L . l l
Espacio ampliado
(puntos del infinito)
E n los e s p a c i o s afines (E,. y. e n general, E J , al e s t u d i a r las i n t e r s e c c i o n e s d e las rectas
( s u b e s p a c i o s u n i d i m e n s i o n a l e s ) y las d e los p l a n o s ( s u b e s p a c i o s bidiiriensionales), n o s h e m o s
e n c o n t r a d o c o n u n a s ituación n u e v a , q u e n o se p r e s e n t a b a al hallar las i n t e r s e c c i o n e s d e s u b e s ­
p a c i o s vectoriales; n o s r e f e r i m o s al p a r a l e l i s m o : d o s rectas distintas d e E j s e c or tan, e n u n p u n t o
d e E,, s a l v o q u e s e a n paralelas y q u e d o s p l a n o s distintos d e E3 se cor ta n , s e g ú n u n a recta de
E3, s a l v o si s o n paralelos. P a r a evitar estas e x c e p c i o n e s , q u e e n m u c h o s m o m e n t o s s o n franca­
m e n t e p e r t u r b a d o r a s , se a m p l í a n los e s p a c i o s E2 y E3, a ñ a d i é n d o l e s n u e v o s p u n t o s , q u e l l a m a ­
r e m o s « p u n t o s i m p r o p i o s » o « p u n t o s del infinito». L a s c o s a s s e h a c e n d e m a n e r a q u e a c a d a
recta se le a ñ a d a u n n u e v o p u n t o , o b t e n i é n d o s e así u n a « re ct a a m p l i a d a » ; tales p u n t o s c o i n c i d e n
si las rectas s o n paralelas y s o n distintos e n c a s o contrario. C o n ello, d o s rectas paralelas p a s a n
a h o r a a ten er u n p u n t o e n c o m ú n ( u n p u n t o i m p r o p i o o del infinito). L a s c o s a s f u n c i o n a n d e
m o d o q u e a u n p l a n o se le a ñ a d e u n p u n t o i m p r o p i o p o r c a d a u n a d e s u s d i r e c c i o n e s ; se dice
q u e los p u n t o s i m p r o p i o s d e u n p l a n o f o r m a n u n a recta i m p r o p i a o recta d el infinito. D o s planos
paralelos p a s a n , así, a ten er e n c o m ú n u n a recta, q u e e s s u recta d el infinito ( l l a m a d a t a m b i é n
i m p r o p i a ) .
L o s p u n t o s i m p r o p i o s o del infinito d e b e n int ro d uc ir s e d e m o d o q u e a d m i t a n tratamiento
analítico; se q u i e r e q u e p u e d a n d e t e r m i n a r s e m e d i a n t e a l g ú n tipo d e c o o r d e n a d a s . E s o b v i o q u e
p a r a n a d a v a l e dec ir q u e los p u n t o s i m p r o p i o s s o n a q u e l l o s q u e t i e n e n s u s c o o r d e n a d a s v aliendo
infinito; a d e m á s d e q u e «infinito» n o e s u n n ú m e r o , ello n o permitiría, ni siquiera, distinguir a
u n o s p u n t o s d e i m p r o p i o s d e otros. A s í p u e s, h a y q u e i d e a r u n n u e v o m o d o d e a s i g n a r c o o r d e ­
n a d a s c o n el q u e t o d o s los p u n t o s , p r o p i o s e i m p r o p i o s , q u e d e n d e t e r m i n a d o s p o r u n a d e c u a d o
s i s t e m a d e n ú m e r o s ; ello se c o n s i g u e c o n las c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s .
COORDENADAS HOMOGÉNEAS
á) C o n c e p t o d e c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s . — E n el e s p a c i o afín E„ ( e n particular, e n y £3)
s e c o n s i d e r a u n a ref er e nc ia c ar te s ia na ( O ; éj, é„). S i las c o o r d e n a d a s cartesianas d e
u n p u n t o X e £ „ s o n (j:,,
.xJ, s e d i c e q u e (A, Ajt,, Ajtj, Ajt„) es, p a r a c u a l q u i e r a q u e
s e a A T* O, u n s i s t e m a d e coordenadas homogéneas d e X', e s t o es, u n a s u c e s i ó n (x$, x*,
xf, ..., x*), d e /I + 1 n ú m e r o s reales, e s u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s d el p u n t o X si
X.
C o n este criterio, u n v e c t o r c u a l q u i e r a . ? = (jc*. x*, x* , .... x*) g c o n xí # O, d e f m e
a u n y s ó l o u n p u n t o X e E„. C u a n d o así ocu rr a , s e p o n d r á X(px^) o X{px), d o n d e p*0
r e p r e s e n t a a u n n u m e r o real arbitrario.
b) E c u a c i o n e s g e n e r a l e s d e r e c t a s y p l a n o s e n h o m o g é n e a s . - S c c o n s i d e r a n las rectas d e E,
y los p l a n o s d e Ey

616. C C _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ^
• E n el p l a n o afí n Fj» e n el q u e s e h a a d o p t a d o u n a cierta r e f er e nc ia c ar t e s i a n a ( c o o r d e n a d a s
JCp jCj), c o n s i d e r a m o s la recta c u y a e c u a c i ó n e s -f a,.r, + OyX^ = O» d o n d e ( U p (I2) # (O, 0).
A l e x p r e s a r e s t a rec ta e n c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s , ella a d m i t e p o r e c u a c i ó n a +
+ a^xf + = O,
• E n el e s p a c i o afín £3, e n el q u e se h a a d o p t a d o u n a cierta r ef er e nc ia c ar te s ia na ( c o o r d e ­
n a d a s x^, X2, Xy)y c o n s i d e r a m o s el p l a n o c u y a e c u a c i ó n es + a,;c, + 0^X2 + ciyXy = 0. d o n d e
(flp Ü2y Qj) (O, O, 0). A l e x p r e s a r este p l a n o e n c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s , él a d m i t e p o r
e c u a c i ó n a a^yX^f + a^xf H- a^xf H
- -üyxf = 0.
c) E c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e r e c t a s y p l a n o s e n h o m o g é n e a s . — E n el e s p a c i o afín (cn
particular, e n y £3), e x p r e s a n d o los p u n t o s X e £ „ a tra vé s d e s u s c o o r d e n a d a s h o m o g é ­
n e a s (jCíf, xj^y xf, JC*). r e s p e c t o d e u n a cierta r ef e r e n c i a cartesiana, las rectas y los p l a n o s
a d m i t e n las s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s :
• L a recta q u e p a s a p o r los p u n t o s distintos P(pp*) y Q(pq*) e s el c o n j u n t o r(P. Q) d e
a q u e l l o s p u n t o s X{pxf) tales q u e px^ = ap* + Pq* (i = O, 1, 2
.n) al variar a , e R ,
s i e n d o ( a , (O,
• El plano q u e p a s a p o r los p u n t o s n o a l i n e a d o s P(pp*), Q(pq*) y R{pr^) es el c o n j u n t o
7t{P, Q, R) q u e f o r m a n los p u n t o s X{px^) tales q u e px* = a p ^P q * y r* (/ = 0. l,
2, .... n) al v a r i a r a . ^ y e R , s i e n d o (a, )3. y) (0. O, 0)^*\
J2 i ESPACIO AFIN AMPLIADO
a) P u n t o s i m p r o p i o s o d e l infínito.— E n el e s p a c i o afín E„ ( e n píirticular. c n y £,). el
p a r a l e l i s m o e n t r e rectas e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a ; las clases d e esta e q u i v a l e n c i a se
p u e d e n identificar c o n las d i r e c c i o n e s d e e s t o es, c o n los s u b e s p a c i o s u n i d i m e n s i o n a l e s
d e R'*. A c a d a u n a d e est as c l a s e s se la l l a m a punto impropio o del infinito d e la direc c ió n
d e t o d a s s u s rectas; si esla d i r e c c i ó n e s V ( w ) = (A/í/'^ e R ) ( d o n d e ü e R " es n o n u l o
c ua lq u ie ra ) , al p u n t o d e l infinito se le d e n o t a r á l a m b i é n p o r V{i¡) o p o n i e n d o d e m*.
b) E s p a c i o a f í n a m p l i a d o . — A l a ñ a d i r al e s p a c i o afín E„ ( e n particular, a E j « ^3) p u n t o s
i m p r o p i o s , s e o b t i e n e el e s p a c i o afín ampliado o e s p a c i o afín p r o y e c t i v i z a d o . Si a u n a
recta d e E„ s e le i n c o r p o r a s u p u n t o del infinito, se o b l i e n e u n a recta d e É„ o recta a m p l i a d a .
Si a u n p l a n o d e E„ se le a d i c i o n a n los p u n t o s del infinito d e t o d a s s u s rcctas, se o bt ie n e
u n p l a n o d e o p l a n o a m p l i a d o ; s e d i c e q u e los p u n t o s dcl infinito d e £ „ f o r m a n su
h i p e r p l a n o d e l infinito ( esto es: si n = 2, la recta del infinito; si n = 3, el p l a n o dcl infinito).
D o s rec ta s p a r a l e l a s d e £„, q u e t i e n e n i nt e r s e c c i ó n vacía, al a m p l i a r l a s se cor ta n (en su
p u n t o del infinito). D o s p l a n o s p ar a l e l o s d e £„, q u e tie ne n int er s ec ci ó n vacía, al a mp li a rl os
se c o r t a n (a lo l a r g o d e s u recta del infinito).
E n £2, d o s r ec ta s c u a l e s q u i e r a se c o r t a n e n u n p u n t o ( p r o p i o o i m p r o p i o ) . E n £3, d o s
p l a n o s c u a l e s q u i e r a s e c o r t a n a lo l a r g o d e u n a recta ( p r o p i a o i m p r o p i a ) .
c) C o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s d e los p u n t o s d e l infínito.— S e l l a m a referencia cartesiana del
e s p a c i o afín a m p l i a d o £ ^ ( e n particular, £ j o £3) a t o d a r ef erencia cartesiana {0\ é p ..., é„)
d e £„. A los p u n t o s = O ( o r i g e n ) y = (del infinito del eje / -é simo; / = 1. ..., n) se
les l l a m a puntos fundamentales y al p u n t o = O + (é, + - + éJ se le l l a m a p u n t o u n i d a d
d e la referencia.
(·) Se excluyen también los valores de (a, p) o de (cr, p, y) que conduzcan a = 0.

617. E n £ V r e s p e c t o d e la ant er i or r e f e r e n c i a s e l l a m a n coordenadas homogéneas d e u n
p u n t o d e í infinito ü . (del infinito d e la d i r e c d ó n T ( a ) , con ui^o)_ a las (O pu„
d o n d e ( « „ .... u„) s o n las c o o r d e n a d a s d e m e R e n la b a s e (e,, .... e„) y p # O e s arbitrario.
Int er e sa d e s t a c a r q u e d i c h a s c o o r d e n a d a s (O, ti
. .ti„) s e p u e d e n o b t e n e r c o m o limite para
A - 00 d e u n a s c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s d e X = P + AiJ ( c o n P b E„ fijo, c u a l q u ie ra ) , p u n t o
g e n é r i c o d e u n a recta d e d i r e c c i ó n T ( w ) .
COMPROBACIÓN— U n p u n t o genérico d e ia recta {x¡ = p¡ + Am,) a d m i t e p o r c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s
a las x g = 1. = +Aw, y t a m b i é n a las x $ = 1/A, x f = pJX + u, A l tender al infmito (A-^oo) se
obtiene c o m o límite x$ = 0. x f = m,.
d) E c u a c i o n e s d e r e c t a s y p l a n o s d e l e s p a c i o a m p l i a d o . — E n el e s p a c i o a m p l i a d o
( e n particular, e n £ , o £,), r e s p e c t o d e cierta r e f e r e n c i a c a r t e s ia na , c o n s i d é r e n s e la recta
riP. Q\ q u e p a s a p o r los p u n t o s P y G » y el p l a n o 7t(P. 0. R \ q u e p a s a p o r los p u n t o s P,
Q y R. S u p o n g a m o s q u e las c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s d e e s t o s p u n t o s s o n P(p^\ Q{qf) y
P ( r * ) y q u e , p o r ello, las e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s ( e n c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s ) d e la recta
y el p l a n o s on , p a r a / = 0. 1, ..., n ( v é a s e A . l le):
riP. Q)\pxr = otpr^Pqr
ÁLGEBRA LINEAL
7T(P, G > R) : pxf = otpT + Pq? + yr?
P u e s bien, estas e c u a c i o n e s lo s o n t a m b i é n d e s u s a m p l i a c i o n e s a e s t o es, se verifi­
c a n p a r a s u s p u n t o s del infinito, los c u a l e s se o b t i e n e n p a r a los v a l o r e s d e (a, P) o de
(a , p, y) q u e c o n d u c e n a = 0.
COMPROBACIÓN,— Considerem os primero el caso de las rectas. C om o PQ(q?^/qf — p*lpf), resulta
que el punto del infinito de la recta tiene por coordenadas hom ogéneas a las (O; “ P/*/Af). luego
las coordenadas de esle punto satisfacen a la ecuación de la recta (tóm ese a = i/qá'y p - En
cl caso del plano, cualquiera de sus puntos del infínito lo es de una recta del plano, luego aquél
verificará (com o se acaba de comprobar) a la ecuación de esta recta y, por tanto, a la del plano.
e) R e c t o d e l infínito d e y p l a n o d e l infínito d e Ey— E l c o n j u n t o d e los p u n t o s del infinito
d e £ 2 a d m i t e p o r e c u a c i ó n a = 0 ( e n c u a l q u i e r r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a d e c o o r d e n a ­
d a s h o m o g é n e a s x,*, x^) y s e l l a m a recta del infinito. T o d a r ec ta d e £ 3 ( propia o
del infinito) a d m i t e e c u a c i ó n del tipo a^x^f + a^x* -f a^* = O p a r a c ie rtos o,, a. tales q u e
(flo» «1. ^2) ^ (O» O, 0 ) y r e c í p r o c a m e n t e .
E l c o n j u n t o d e los p u n t o s del infinito d e £ 3 a d m i t e p o r e c u a c i ó n a = O ( e n cualquier
r ef er e nc ia c a r t e s i a n a d e c o o r d e n a d a s h o m o g é n e a s x*, jc* x*, x*) y s e l l a m a plano del infinito.
T o d o p l a n o d e £ 3 ( p r o p i o o del infinito) a d m i t e e c u a c i ó n del tipo a^yκ*^l·a^x* + a2x}-^ayx^=0
p a r a ciertos a,. «2» «3 tales q u e (a^, a,, a^. a,) # (O, O, O, 0 ) y r e c í p r o c a m e n t e .
/ ) E s p a c i o p r o y e c t i v o o r d i n a r i o . — S e l l a m a e s p a c i o p r o y e c t i v o ( o r d i n a r i o ) d e d i m e n s i ó n
n ^ e n p m i c u l a r , p l a n o p r o y e c t i v o , p a r a n = 2, o e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l p r o y e c t i v o , para
j ri ** c o n j u n t o d e los s u b e s p a c i o s u n i d i m e n s i o n a l e s d e IR'·*', q u e s e l l a m a n pun to s
d e 2P„; e st o es: • ' i r
^ , = { X = [ ; c ] / x e r * ' -0)
d o n d e
[ . ? ] = r ( f ) = { p ; t / p e l R }

618. S e l l a m a recta, d e q u e p a s a p o r d o s p u n t o s distintos P = [p\ y Q = [q\ a\ c o n j u n t o
d e los p u n t o s X = [ap + jiq] p a r a ( o , e R ’ — O. S e l l a m a plano, d e q u e p a s a p o r los
p u n t o s n o a l i n e a d o s P = [p], Q = [q\y R = [f\ al c o n j u n t o d e los p u n t o s X = [ a p + /3q + -yf]
o a r a ( a . y ) e “ ^ ·
L o s e s p a c i o s E„ (afín a m p l i a d o ) y 3 “, ( p r o y e c t i v o ) s o n i s o m o r f o s (identificables); esto
s· d a d a u n a r e f e r e n c i a c a r t e s i a n a e n £„. q u e a c a d a p u n t o X e £ , le a s i g n a u n a s c o o r d e n a d a s
h o m o e é n e x s px = p{xí, x f
. . x^)* ó ( d o n d e p ^ O e s cualquiera), la c o r r e s p o n d e n c i a
{íl e s u n a b i y e c c i ó n . d e É „ e n 9»,. q u e t r a n s f o r m a rectas e n rectas y p l a n o s e n planos.
_______________________________________615

619. APÉNDICE
6
Factorización LU
de una matriz
El n ú m e r o d e o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s q u e se p re ci s an p a r a resolver, p o r el m é t d o d e G a u s s , un
s i s t e m a d e e c u a c i o n e s lineales AX = B ( c o n la n o t a c i ó n usual, la d e 10()2]). d e n incógnmitas,
c r e c e c o n el c u b o d e n. P a r a valores g r a n d e s d e n resulta, e n t o n c e s , m u y c o n v e n i e n t e buscar
a l g ú n n u e v o m é t o d o d e r es ol u ci ón c o n el q u e se r e d u z c a d e m o d o significativo el n ú m e r o de
tales o pe ra c i o n e s . E s t o se c o n s i g u e , c o m o l u e g o se verá, e x p r e s a n d o la m a t r i z A o a l g u n a d e las
m a t r i c e s q u e resultan d e alterar el o r d e n d e sus filas (lo q u e n o altera el s i s t e m a d e ecuaciones,
si se h a c e n las m i s m a s alteraciones e n B), e n la f o r m a A = LU, c o m o p r o d u c t o d e d o s ciertas
m a t r i c e s triangulares (U superior; L inferior y c o n los e l e m e n t o s d e su d i a g o n a l v a l i e n d o 1). S e
suele decir que , c o n ello, A se r e d u c e a f o r m a triangular s u p e r i o r (IJ) m e d i a n t e la m at ri z L.
N o s o c u p a m o s a q u í d e esta factorización LU: d e s u existencia, d e su b ú s q u e d a (práctica) y
d e su apl ic a ci ón a la r es ol u ci ón d e e c u a c i o n e s lineales.
A.13EXISTENCIA DE LA FACTORIZACION DE LU
existen d o s matrices, q u e l l a m a r e m o s L y í/,P a r a c u a l q u i e r a q u e s ea la m a t r i z AbM^
q u e son:
• L e ( c u a d r a d a ) triangular inferior (L d e l ow er , inferior) y c o n t o d o s los e l e m e n ­
tos d e su d i a g o n a l v a l i e n d o 1.
• U ( d e igual t a m a ñ o q u e A) triangular s up er i or (U d e u p p e r , superior).
tales q u e o b i e n es A = LU o b ie n es A' = LU p a r a cierta m a t r i z A' q u e resulta d e p e r m u t a r
d e a l g ú n m o d o las filas d e A.
• Se dice que A o A \ según cl caso, se reduce con ello a forma triangular superior (U) mediante la matriz L
• Recuérdese que A' = PA, para cierta matriz P de permutación; P se obtiene de permutar las filas de la
matriz unidad del mismo modo que hay que hacerlo para pasar de i4 o >4'.
\ 0
\
\\
\
\ TI
A =
O
L \
■
\ u
o \
A= •
O \
A= •
\ u
\
\
0 N
DEMOSTRACIÓN .—Se va a comprobar que la descomposición L ü se puede conseguir a base de aplicar
sucesivas operaciones elementales. Se empieza considerando, en primer lugar, el caso (el más sencillo) cn
el que es posible poner A = LU\ este es el caso cn cl que las citadas operaciones elementales se pueden
realizar, todas, utilizando como pivotes a los elementos de lugares (l, I), (2, 2), ... dcA y de sus sucesivas
616

620. 617
transformadas, lo q u e será p o s ib l e si t o d o s estos e l e m e n t o s s o n n o nulos. Si, p o r el contrario, a l g u n o d e
tales e l e m e n t o s d i a g o n a l e s (í, i) f ue se n u l o ( s e g u n d o c a s o q u e c o n s i d e r a m o s ) , la situación se complicaría
pues habría e n t o n c e s , q u e realizar p r i m e r o ( a d e m á s ) u n i n t e r c a m b i o d e filas (si u n e l e m e n t o (/, /) es nulo,
se a c u d e a u n o (/', /) c o n /' > i q u e n o s ea n u l o y se i n t e r c a m b i a n las filas e /"*) y l u e g o se utilizaría el
n u e v o e l e m e n t o (/, i) c o m o pivote. E n este caso, la d e s c o m p o s i c i ó n ü*iangular LU sería h A' = LU (para
la A' a la q u e c o n d u z c a n los i n t e r c a m b i o s d e filas q u e se realicen).
1.®) P r i m e r caso, c a s o A = LU (en el q u e se s u p o n e q u e t od os los e l e m e n t o s (/, /) q u e se irán utilizando
c o m o p iv otes s o n n o nulos, p o r lo q u e a q u í n o v a a ser necesario i ntercambiar filas.
S e a A = [cij] la m a t r i z d a d a (de t a m a ñ o mxn). Uti li z an do el e l e m e n t o c o m o pivote (se supone,
pues, q u e a n = ^ 0 ) , p a r a realizar a d e c u a d a s o p e r a c i o n e s e le me n ta le s e n las fílas d e A, se p u e d e n
t r a n s f or ma r e n O t o d o s los e l e m e n t o s d e A situados p o r d e b a j o del e l e m e n t o o,| o b t e n i e n d o así u n a
n u e v a m a l r i z A , ( q u e d e n o t a m o s c o m o se señala a c o n t i n ua ci ó n) ia cual resulta valer, c o m o y a es
sabido, A , = F , A s i e n d o F , la m a t r i z q u e a r e n g l ó n s e g u i d o se detalla:
^ 1 =
ün«12«13 -
" l 0 0 · 0'
0a'2 2 - a¡2n «2l 0 · 0
0032 ··* fl3n «301 ··· 0
0Qm2alni- aL_ 00 ··· 1
c o n
a , = - -
^31
Utilizando el e l e m e n t o 022 c o m o pivote (se s u p o n e , pues, q u e a'22 ^ 0), para realizar a d e cu a da s
o pe ra c io ne s e l e m e n t a l e s e n las fílas d e A,, se p u e d e n t ransformar e n O todos los e l e m e n t o s d e A,
situados p o r d e b a j o del e l e m e n t o 022 o b t e n i e n d o así u n a n u e v a matriz A j ( qu e d e n o t a m o s c o m o se
señala a c o n t i n u a c i ó n ) la cual resulta valer, c o m o y a es sabido, A j = FjA,, siendo F j la matriz q u e a
renglón s e g u i d o se detalla:
A2 =
«11« 1 2 « 13 ·· • «1«
"1 00 - • 0"
0 022flÍ3 ·■• « L ,
0 1 0 ··· 0
0 0 «33 · ’· « 3 Í
F2 =
0 1 · ·· 0
0 0
«m3 · ·· «m n _
0 0 · 1
c o n
an
R ei te r an do este p r o c e s o (se s u p o n e q u e v a n a ser n o nulos lodos los e l e m e n t o s ají, ... q u e van
a ir apa re c ie nd o ) se llega, al final, a u n a matriz Ap = F^Ap-^ ( d o n d e p es el m e n o r d e los n - 1 y m - 1)
q u e es y a triangular superior (liene n ulos t odos los e l e m e n l o s situados por d ebajo d e las a,,, üu. ^33.
aü', ...); a esta m a ü i z Ap la l l a m a r e m o s U.
A n t e s d e d ar el ú l t i m o p a s o d e esla d e m o s t ra ci ó n, c o n v i e n e señalar q u e las inversas de las
anteriores m atrices F,, Fj, ..., Fp s o n del lipo q u e se indica a continuación (para / : = I, 2, ..., p):
si F* =
” 1 "l
0 0
1 1
a
e nt o n c e s F * ‘ =
« h «
1^ L - i °
1
f'los a, h
.A
están c n la
c o l u m n a
[11

621. Al g e b r a l in e a l
Así pues, como consecuencia del proceso antenor, podemos poner.
• Qiinerior (de tamaño m x n ), según se ha hecho notar más
S a ; = es matriz (cuadrada de tamaño mxm) triangular inferior con lodos
los clemenios de su diagonal iguales a 1. ya que:
1 0 0 o'’ 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0
-«3
0 l 0 0 10
0 0 0 0-P.-. 0 0
_
0 0 10Pm
0 1
1 0 0 0o'
1 0 00
- A
1 00
-1
10
Jm -A .1
1
O 1
o o
o o
0
1
0 0 0
0 0 0
1 o
í
(II)
Obscnación—A la vista de esta expresión de interesa hacer notar que los coeficientes y¡
.....que
se han utilizado (en las sucesivas etapas del proceso) para convertir en O los elementos situados por debajo de la
diagonal de A (o sca, para pasar de A a U, al cambiarles de signo y situarles en el lugar que les corresponde (cn
una tabla mxm) forman la maüiz L (más exactamente, forman lo situado bajo la diagonal de L).
2.“) Segundo caso, caso A' = L U para cierta matriz A' obtenida cambiando filas en A (en el que por
ser nulo alguno de los elementos (i, /), candidatos a pivote, se acuerde previamente a intercambiar
filas).
Si en el caso anterior (caso primero), fuese nulo uno, al menos, de los elementos diagonales,
pongamos el de lugar (/, i) de la maüiz A,-,, que allí se utilizaron como pivote, entonces se acudiría
a alguno de los elementos situados bajo él, esto es de lugar (/', /) con i' > /, que no fuese nulo (si
todos estos (/', /) fuesen nulos, no sería necesaria ninguna manipulación en la columna y se pasaría
a la columna siguiente) y se intercambiarían las filas /" e obteniendo así una maüiz A \.\ que,
según es sabido, se puede expresar en la forma A l \ = donde P^ es la «matriz de permutación»
que se obtiene al intercambiar en la matriz unidad las filas /" e Interesa hacer notar que PJ^ = Pf,
esto es que P,P¡ = I. Una vez hecho esto, utilizando el elemento de lugar (i, i) de A '-i como pivote
(nótese que este elemento es no nulo, pues es el de lugar (/', i) de i4,.-i) se pueden convertir en O
todos los elementos de A!-¡ situado por debajo del de lugar (/, /), del modo ya señalado en el primer
caso, lo que conduce a una maüiz A^ que se puede poner en la forma
donde F, es la matriz ya descriu en el caso primero. Al final se llega a A = F P A „ . , , donde A^ es
ya üiangular supenor; llamamos í/ = En esla expresión (que sustituye a la del caso
. pnmero), la maüiz F f ¡ no es triangular inferior (la F^ sí lo es, pero la P, no). Para salir al paso de
esta situación adversa, se acude al ardid de expresar las matrices /t„ /t„ .... A de la siguiente forma
(para lo que se uüliza que las matrices />, .son tales que P,P, = /):

622. 619
>»2 = W , = = F,{P,F,Pi){P,P,A)
= F,PyA, = F,P,F,P,F,P,A = F,(P,F,P,)(P,PiF,P,P,)(PyPJ>,A)
A, = F,(P/p-,P,)(P/,-,F,-iP, .,P, .-d - ( V , - i ···/’2^.>’ 2· · ·A)(FA-^ -
Esla última igualdad, q u e p ro p o r c i o n a la matriz buscada, esto es, q u e d a u n a expresión para la matriz
triangular superior U = A^,, p o d e m o s ponerla e n la forma:
U = F^*.,F*-2 - Ff ■ iPA) d o n d e
(con P = P,J>^-r"P2P\) [Ff = PpPp.r-P2f^P2-Pp^^Pp
C a d a u n a d e estas matrices Ft = Pp 'Pk \ i ^ a A + i "Pp (para ^ = 1, . . . , I) se obtiene, a partir de
la correspondiente matriz ( qu e e x p r e s a m o s anteriormente e n (1)). p e r m u t a n d o sus filas según
señalan las matrices d e p e r m u t a c i ó n P*+|, Pp, d e m a n e r a q u e ( a d e m á s d e F{, t am b i é n escribimos
aquí u n a e x p re s ió n para su inversa F f'\ d e la q u e l uego necesitaremos):
F í^
I
-
’l
“
0 0
1
a* .
p r =
l
-a* ..
« í , * ·· ^ -b*
i * 0
1_
- / * 0
1_
/'la c o l u m n a q u e \
contiene a las
fl* ¿7* /* es
\ la c o l u m n a id' j
(UI)
d o n d e a*, /* es la p e r m u t a c i ó n d e la sucesión a, 6, / d e (I) q u e se obtiene de realizar
s uc e s i v a m e n t e los siguientes i ntercambios d e lugares: (k+ l)'® (el intercambio q u e produce
Pk+i)^ (el int er c am bi o q u e p r o d u c e P * +2), (el intercambio q u e pro­
d u c e Pp).
L a última igu al d ad (la q u e d a U) n o s p ermite escribir PA e n la forma:
PA = LU d o n d e L = ( F , * r ‘( F ? r ' - ( F ; - , ) ” '/>*‘
y c o n v i e n e notar q u e P y U s o n (con la notación utilizada e n (II) y c o n los * significando lo recién
señalado e n (III)):
P = matriz (de p e r m u t a c i ó n ) q u e resulta d e aplicar a la matriz u ni da d los siguientes intercambios
d e filas, s uc e s i v a m e n t e : (fila l.*)^(fila T"), (fila 2.“)->(fila 2'")
. (fila n ^ ( f i l a i'^) .
(fi la / ?" )^ (fila p'%
L =
l 0 0 0 0“
-«2* 1 0 0 0
- a f
- A f1 0 0
- r : . .1 0
-y* -a: l_

623. ÁLGEBRA LINEAL
De suerte que queda ya probada la reducción a forma diagonal de la matriz A. ya que A' = es
matriz que resulta de permutar las filas de /t, del modo que se señala más am b a (en la descripción
que se acaba de hacer de P), y se ha obtenido que es = LU, donde L y U cumplen con lo exigido
en el enunciado.
Obsérvese que, en el proceso que nos ha llevado de A a = U (pasado por A,» ^2,
siempre que ha sido necesario permutar filas en A i-i (para llegar a A* y cuando el elemento de lugar
(k, k) de A*-, era nulo), esta operación se ha realizado siempre en primer lugar; después de ella es
cuando se ha utilizado el nuevo elemento de lugar (k, k) como pivote para transformar en ceros todos
los elementos situados bajo él.
EJEMPLOS
l.®) Obtener la factorízación triangular LU de la siguiente matriz A:
2 4 3"
1 3
- 2 - 6
3 3
Según se verá al realizar la factorízación. en este ejemplo no va a ser necesario el
intercambio de filas, pues resultan ser no nulos todos los elementos de lugar (/, /) que se
usan de pivote. El proceso de búsqueda es í/ (A—♦/l,— = í/) conduce a;
• (A - ♦ A,) Realizando (en las filas de A) las operaciones elementales (2.®)-
(3 .·)- (3.·) + (1.*) y (4 .·)- (4.*) - ¿ (I.*), se obtiene
A — A,
4
1
- 2
-3
3
-3/2
5
1/2
\
Hasta 10 0 0
ahora, 1/2 1 0 0
de ¿se ^ -1
♦
1 0
sabe: 3/2
*♦
1
/
► (3.*)+ 2(2.·)• (-4, —· /l2) Realizando (en la.s filas de ^4,) la.s operaciones elementales (3.*)-
y (4.*)— (4.*) + 3(2.*), se obtiene;
A ,~ > A ,=
• (A j-^ Ai - U) Ralizando (en las filas de Aj) la operación elemental (4.*)— (4.*) + 2(3.*)
se obtiene finalmente:
'2 4 3 ■
^ Hasta 1 0 0 0
\
0 1 -3/2 ahora. 1/2 1 0 0
0 0 2 deLse -1 - 2 1 0
0 0 -4 _ ^ sabe: 3/2 - 3 * 1
/
‘243 ■ 1 0 0 0‘
0
0
1
0
-3/2
2
y ¿ =
1/2
-1
1
-2
0
1
0
0
000 .3/2-3-2 1_
U factorización LU ts A = LU para las L y t/ halladas.

624. A =
0 0 3 2 1
2 1 2 4 - 2
4 1 2 6 - 1
3 2 7 5 - 3
El p r o c e s o d e b ú s q u e d a d e V (A— »A,— »/ti— *i4j = (/) c o n d u c e a:
• ( A — » A ' ) C o m o el e l e m e n t o d e l u g a r (1, 1) d e A e s nulo, e m p e z a m o s p e r m u t a n d o filas
e n A ; e n c o n c r e t o , h a g a m o s la o p e r a c i ó n e l e m e n t a l (l.")i-^(2.*):
A — A ' =
2 1 2 4 - 2
0 0 3 2 1
4 1 2 6 - 1
3 2 7 5 - 3
• ( A ' — * A | ) R e a l i z a n d o ( e n las filas d e A ' ) las o p e r a c i o n e s e l e m e n t a l e s (3.*)-»(3.·)-2(2.*)
y (4.·)-^ (4.“) - 3/2(2.*), s e o b t ie n e:
A ' - > A , =
"2 1 2 4-1
Piu'a la 1 00 0 \
0 03 2 1 o b t e n c i ó n d e L,0 1 0 0
_, f
0 -1 -2 -2 3 d e m o m e n t o2*
1 0
— ► L
0 1/2 4-1 0_y se tiene:3 / 2
* *
1
/
( A | — » A í ) C o m o el e l e m e n t o d e l u g a r (1, 1) d e A , e s nulo, e m p e z a m o s p e r m u t a n d o filas
e n A , ; e n c o n c r e t o , h a g a m o s la o p e r a c i ó n e l e m e n t a l (2.*)<-»(3.*):
A , ^ A ¡ =
"2 1 24-1
P a r a la1 0 0 0 \
0 -1 -2 -2 3 o b t e n c i ó n d e L, 2 1 0 0
_^ r
0 0 3 2 1 d e m o m e n t o0* 1 0
— ♦ L
0 1/24-1 0_ se tiene:3 / 2
* *
1
( A Í - * A2)2R e a l i z a n d o ( e n las filas d e A ¡ ) la o p e r a c i ó n e l e m e n t a l (4.*)— ► (4.*) + 1/2(2.*),
se o b t i e n e :
A Í - » A j =
’2 1 24- 2 P a r a la1 0 0 0 \
0- 1- 2- 23 o b t e n c i ó n d e L,2 1 00 r
0 032 1 d e m o m e n t o0 0 10
— ♦ L
0 03- 23/2.
y se tiene:3/2-1 /2*
1
/

625. ÁLGEBRA LINEAL
( Aj — A ) = (/) R e a l i z a n d o ( e n las filas d e la o p e r a c i ó n e l e m e n i a l (4.“) — (4.*) - (3.*),
s e o b l i e n e :
A , — A , = ( ; =
*2 l
2 4 - 2 " ‘ 1 0 0 ()■
0 - l - 2 - 2 3
L =
2 1 0 0
0 0 3 2 1 0 0 10
0 0 0 - 4
1/2. .3/2 - 1 / 2 1
U n a v e z h a l l a d a s L y U, p a r a c o n c l u i r la f a c l o r i z a c i ó n LU d e A , n o s resta a u n lu
m a t r i z d e p e r m u t a c i ó n P ( eslo es, la q u e h a c e q u e PA = LU)\ e s t a P e s la q u e p e r m u t a
s u c e s i v a m e n i e r (1.* fila) ^ (2.· fila) y (2.* fila) ♦-♦(3.“ fila), p o r lo q u e
'ol 0 o‘ “2124—2"
0 0 1 0 4l26- 1
yP A =
l0 0 0 0 0 3 2 l
0 0 0 1_ _^3 27 5- 3 _
E s i a ú l t i m a m a t r i z (PA) e s la q u e resulta ser igual al p r o d u c t o LU d e las L y U q u e se
a c a b a n d e hallar.
O b s é r v e s e q u e la a nterior f a c t o r i z a c i ó n LU d e A n o e s ú n i c a . P i u a verificar esto,
e m p i é c e s e h a c i e n d o ( e n A ) , e n l u g a r del c a m b i o d e filas (l.*) ^ ► ( 2 . * ) q u e s e h a h e c h o
ante, cl c a m b i o d e filas (1.*) ♦-♦(3.·) y c o m p r u é b e s e q u e así s e llega a:
4l 2 6 -1
2l 24-2
00 32 1
32 75 - 3
(nueva FA)
l 0 0 0
1 /7 1 0 0
0 0 10
3 / 4 5 / 2 l l
(nueva L)
4 1 2 6- l
0 1/2l 1“ 3 / 2
0 0 3 2 1
0 0 0 - 41/2.
(nuevu U)
¥J¥MC\C\0
S e a A e v i C . ^ „ u n a m a t r i z c u a d r a d a r e g ul a r y s u p ó n g a s e q u e PA = L^U^ y PA = L^U^ s o n d o s
f a c i o r i z a c i o n c s LU d e A q u e tie ne n a m b a s la m i s m a m a t r i z d e p e r m u t a c i ó n P, C o m p r u é b e s e que,
e n t o n c e s , L, = y í/, =
RESOLUCIÓN
N ó i e s e q u e t o d a s las m a ü i c e s anteriores s o n c u a d r a d a s d e igual t a m a ñ o (nxn). C o m o A es
r eg u l a r y t a m b i é n lo e s P ( p o r ser m a t r i z d e p e r m u t a c i ó n ) , resulta q u e PA e s regular, l u e g o lo
s o n y d e d o n d e se c o n c l u y e q u e L,, Lj, U^ y U^ s o n regulíues, l u e g o existen sus
inversas. Si c n la i g u a l d a d L,í/, = L^U^ p r e m u l t i p l i c a m o s p o r L r ‘ y p o s t m u l t i p l i c a m o s p o r í/2 *,
o b t e n e m o s q u e U^· UV — L\^ · L,. C o m o U2 e s triangular superior, t a m b i é n lo e s Ui^\ p o r ser
(7, y í/i' triangulares superiores, l a m b i é n lo es U^^Ui^. A n á l o g a m e n t e LT^-L^ es triangu­
lar inierior; n ó t e s e q u e , a d e m á s , la d i a g o n a l d e Lx^'L^ tiene t o d o s s u s e l e m e n t o s v a l i e n d o l.

626. a p é n d ic e s 623
A s í p u e s , *£2 “ ^ v ez , triangular s up e r i o r y triangular inferior y c o n todos los
e l e m e n t o s d e la d i a g o n a l v a l i e n d o 1; e s decir, se trata d e la m a t r i z unidad, l u e g o ¿f*
= /, e s d e c i r L j = L, y Í7, = U2, c o m o h a b í a q u e c o m p r o b a r .
Z, = / y
A.14FACTORIZACION LDU
S e a A G Mn u n a m a t r i z c u a d r a d a r eg u l a r y s e a PA = LU factorización LU d e A (donde:
LsMn e s t r i an g ul ar s up er i or ; y PeM„ es u n a m a t r i z d e p e r m u t a c i ó n ) . S e a í/,, d
.
la d i a g o n a l ác U y l l a m e m o s D a la m a t r i z d i a g o n a l c u y a d i a g o n a l es d^, E n t o n ­
c e s A a d m i t e f a t o r i z a c i ó n d e l tipo A = LDU\ d o n d e : L es m a t r i z triangular inferior c o n su
d i a g o n a l f o n n a d a p o r u n o s ( L e s la m i s m a m a t r i z anterior); D es la matriz diagonal q u e
tiene p o r d i a g o n a l a la d i a g o n a l d e U; y W es m a t r i z ü i a n g u l a r superior c o n su diagonal
f o r m a d a p o r u n o s .
D EM O STR A C IÓ N .— Com o A es regular, también lo es PA (pues P es regular por ser mauiz de permuta­
ción), luego lo es LU , lo que lleva a que también U es regular, es decir a que lodos los elemenlos de su
diagonal son no nulos {d¡ ^ O para / = 1, 2, ..., n). Sea U la maüiz que resulta de dividir la fila /-ésima
de U, para / = 1, 2, n, por (que no es nulo); es evidente que U = D U \ con lo cual resulta:
PA = L U = L D U '
A.15 RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
ACUDIENDO A LA FACTORIZACION LU
S e a d a d o u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s lineales AX = B, d o n d e A eMm^n es la m a ü i z d e
coe fi c ie nt e s y XsM.nx\ y B g j í L x i s o n las c o l u m n a s d e las incógnitas y d e los témiinos
i n d e p e n d i e n t e s , r e s p e c t i v a m e n t e . S e a PA = LU factorización LU d e A. E ntonces, si es
la s o l u c i ó n del s i s t e m a LY = PB ( s i s t e m a mx?n c o n s o l u c i ó n ú n i c a p u e s LeM^ts regular),
e n t o n c e s el s i s t e m a d a d o AX = B e s e q u i v a l e n t e al UX = Y^. A s í pues, la resolución d e
AX = B se p u e d e a b o r d a r así:
• P r i m e r o se r e s u e l v e el s i s l e m a LY = PB ( q u e tiene s o l u c i ó n única. YJ\ este sistema es
triangular inferior (se r e s u e l v e f á c i l m e n t e p o r «sustitución p ro g r e s i v a » o descendiente).
• D e s p u é s s e r e s u e l v e el s i s t e m a UX = Y^ ( e q u i v a l e n t e al d a d o ) ; este sislema es triangular
s u p e r i o r (se r e s u e l v e f á c i l m e n t e p o r « s u st i tu ci ó n r eg re s iv a» o ascendente).
DEM O STR A C IÓ N .— Com o la malriz P es regular (pues es una maüiz de pcrmuiación), el sislema A X - B
es equivalente al PAX = PB, el cual se puede escribir en la forma LU X = PB. Como L es malriz regular,
el último sistema es equivalente al U X = L~^PB. Como (por ser la solución de L Y - PB) se sabe que
Y ^-L~^P B , el sislem a dado equivale al U X = Y^, como se quería comprobar.

627. Al g e b r a l in e a l
E J E M P L O
á y = R a c u d i e n d o a la f a c t o r i z a c i ó n LU:
R e s o l v e r el siguiente s i s t e m a d e e c u a c i o n e s AX o.
- y + u + 2 v = 1
Ix+y + 3 d = 3 ^
- 2 * - 4 > ’ + u + 4 y = - l J
o b i e n
0-1 12
2 1 0 3
- 2 - 4 1 4
1
2
- 1
RESOLUCIÓN
S e o b t i e n e c o n facilidad q u e la m at ri z A d e los coeficientes a d m i t e la s i g u i e n t e factoriza­
c i ó n LU:
(P) (y4) (L) (U)
"l0 o' 0- 1 1 2 ' 10o"‘2 1 03“
0 01 2 1 0 3=0100 - I12
0 1 0_ -2 - 4 1 4 _-1 3 1_ 0 0 -2 1_
El s i s t e m a LY = PB es:
I 0o"
>^1
f
0 10yi
=- 1
^ -1 31_ 2^
P'i '
c u y a s o l u c i ó n e s <>2 — ~ 1
U = 6
E l s i s t e m a UX = Y„ es:
~2 1 0 3 *
X
f
0 - 1 1 2
y
=- Ic u y a s s o l u c i o n e s s o n ^
_0 0 - 2 1
u
6_
= c u a l q u i e r a
= (l/2)t) - 3
L a s s o l u c i o n e s del s i s t e m a d a d o son, p ues, las:
(x. y, 14, ü) = ( - 1 l A + 4, l O A - 2, 2 A - 3, 4 A ) p a r a Á <

628. Aplicación y matriz pseudoinversas.
Solución (de un sistema
incompatible) en el sentido
de ios mínimos cuadrados
APENDICE
7
A.16DESCOMPOSICIÓN DE UNA MATRIZ
EN VALORES PRINCIPALES
PRIMERAS PROPIEDADES
A n t e s d e e nt ra r e n m a t e r i a , e s c o n v e n i e n t e e m p e z a r a n a l i z a n d o u n a s p ro pi e da de s relativas a
las m a t r i c e s A A' y A ' A , d o n d e A e s u n a cierta m a t r i z d a d a :
P a r a c u a l q u i e r a q u e s e a u n a m a t r i z A l l a m a n d o A' a su traspuesta y si rangi4 = r,
e n t o n c e s :
1.°) AA* y A*A s o n simét r ic as , s o n positivas (eslo es definidas positivas o semidefinidas
p ositivas) y r i c n e n r a n g o r, a m b a s . E n c o n s e c u e n c i a , AA' y A'A s o n ort og o na lm e nt e
d i a g o n a l i z a b l e s y t i e n e n r a u l o v a l o r e s e s t ri c ta me n te positivos y los restantes nulos.
2.“) L o s a u t o v a l o r e s n o n u l o s d e AA' y d e A'A s o n los m i s m o s .
D EM O STR A C IÓ N
L®) Para cada una de las afirmaciones que se hacen en cl enunciado, se tiene:
• AA' es simétrica ya que coincide con su traspuesta, por ser (AA7 = (A7A' = AA', Análogamente
ocurre AV\.
• AA' es definida positiva ya que, para cualquiera que sea es X*(AA^X = (X^A)(A'X) =
= (A'X)'(A'X) y, llamando V = A'XeM.„^^ o bien si PgR" es el vector columna de V, resulta que
X {A A ')X = V V = II i‘ ||^ ^ O para todo Xe e s decir, que AA' es positiva. Análogamente ocumí
con A'A.
• El rango de A'A es r, ya que: Llamemos / : IR" —»R"* y : (R" —»R" a las aplicaciones lineales cuyas
matrices (respecto de las bases canónicas) son A y A'A, rcspeclivamenie. Se verifica, pues, que
rangA = rang f = n — dim N { f ) y que rang A'A = rangj? = n - dimMj?). Vamos a comprobar que los
núcleos de / y j?, N ( f ) y N{g) son iguales, con lo que resultará que rangA = rang (A'A). Así ocurre
ya que (se llama X a la columna de coordenadas de un vector .veR"):
x s N i f ) <=>/(Jc) = (5 <=> AX = 0 => A 'A X ^ O =» ^(.v) = (5 =» -feM,(?)
x e N i g ) A'AX = 0 X A 'A X -^ O => (AX)'(AX) = O => ||/(.t)l|=0 =>
f{x) = ^ => . í g M / )
Análogamente se compnieba que AA' también tiene rango r.
625

629. 626 ÁLGEBRA UNEAL
2.®) Los autovalores no nulos de AA* y de A ’A, que ya sabemos que son positivos, son los mismos ya que:
• A > O es autovalor de AA‘ => 3 X e W *, X O tal que {AA')X = ÁX =>
=> ax e ffr, X O tal que A \A A ^ X = ÁA'X
=> 3 Y = A % tal que ( A A ) Y = Á Y =>
=> A > O es autovalor de A'A
• Análogamente: A > O es autovalor de A'A => A > O es autovalor de A A \
E J E M P L O
Si e e s lu m a t r i z
' l 0 0 1
/ 4 = O - I 1 - 1
1 - I 1 O
^ , S u tercera filu e s la
c o n r u n g / 4 = 2 , . . .
V s u m a d e las otr as d o s
e n t o n c e s las m a t r i c e s AA* y A^A son:
AA* =
“2 - 1r
- 1 3 2y =
1 23
2
-1
1
-1
2
-2
1
- 2
2
1 - I
1
1
- 1
2
A m b a s s o n s im étricas. A m b a s t i e n e n r a n g o 2 (la 3.“ fila d e AA‘ e s la s u m a d e las d o s primeras;
e n >4V\, la 3.“ fila e s la 2.* c a m b i a d a d e s i g n o y la 4. “ fila e s la s u m a d e las d o s p r i m e r a s ) . L a s
e c u a c i o n e s características d e AA' y d e A^A s on :
d e t ( / L 4 ' - A / ) = O es: - A ^ + 8A ^ - I 5 A = 0; s u s r aí ce s A, = 5, A j = 3, A ^ = O
d e t (i4Vl - A / ) = O es: A ^ - 8A ^ + 1 5 A ^ = 0; s u s r aí ce s Aj = 5, A j = 3, A3 = A4 = O
D e m o d o q u e AA' y A^A t i e n e n los m i s m o s a u t o v a l o r e s n o n u l o s (A, = 5 y A j = 3), q u e s o n todos
ellos pos it i vo s. L o s s u b e s p a c i o s p r o p i o s d e AA' y d e A^A ( q u e l u e g o n e c e s i t a r e m o s , c u a n d o de
n u e v o a c u d a m o s a u n n u e v o e j e m p l o c o n la m i s m a m a t r i z A) s o n :
S u b e s p a c i o s p r o p i o s d e AA*:
v , . , = y { (0.1.1)} . V3= r { (2, -1.1)}
S u b e s p a c i o s p r o p i o s d e A'A:
= - 2 . I)) . V 3 = r { ( l , 0 . 0 , I)}
v , . o = r ( ( i , 1. -1)1
= 1. 1.0), (1. 1.0. -1)1
DESCOMPOSICION EN VALORES SINGULARES
S e g ú n s e s a b e ( v é a s e [123]). t o d a m a t r i z c u a d r a d a s i m é t r i c a A s e p u e d e d i a g o n a l i z a r por
c o n g r u e n c i a , e s d e c i r s e p u e d e e x p r e s a r e n la f o r m a A = POF, d o n d e P e s o r t o g o n a l y D es
d i a g o n a l . A q u í s e g e n e r a l i z a e st e r e s u l t a d o : p a r a t o d a m a t r i z A ( r e c t a n g u l a r , c u a l q u i e r a ) , se p u e d e

630. 627
p o n e r A = PlQ“, donde P y Q son m a t r i c e s o r t o g o n a l e s y la m a t r i z S sólo tiene e l e m e n t o s n o
n u l o s e n s u d i a g o n a l ; e n c o n c r e t o , s e verifica q u e :
T o d a m a t r i z A e d e r a n g o r, s e p u e d e e x p r e s a r e n la f o r m a
A = P1Q‘=[P^P^...PJ
o-, O
O O
q:
C :
LoJ
d o n d e ;
1 6 e s d i a g o n a l . L o s ú n i c o s e l e m e n t o s n o n u l o s d e 1 s o n los r p r i m e r o s e l e m e n t o s d e
s u d i a g o n a l , q u e d e n o t a m o s p o r ít,, cr^ y se l l a m a n valores singulares d e A\ se verifica
q u e o'^ = (positivos), d o n d e A,, .... A^ s o n los a u t o v a l o r e s n o n u l o s d e AA^ y d e A'A.
L o s v a l o r e s s i n g u l a r e s s e o r d e n a n d e m a y o r a m e n o r : —
P 6 y Q E '^n'xn m a t r i c e s o r t o g o n a l e s . L a s c o l u m n a s P¡út P y las c o l u m n a s Q¡
d e Q s o n v e c t o r e s p r o p i o s d e AA' y d e A * A . r e s p e c t i v a m e n t e ; se verifica que: 1.®) para
/ = 1. .... r, es AQ^ = (T^P{, y 2.®) p a r a i = r + l. .... «. es AQ^ = O.
A c u d i e n d o a la a p l i c a c i ó n lineal / : R'*— ► R"' q u e , e n las b a s e s c an ó n i c a s , tiene asociada a
la m a t r i z A . s e verifica e n t o n c e s q u e e x i s t e n s e n d a s bases. (^,. .... r/J d e R " y (p,. .... p J
d e R"* tales q u e 1,°) p a r a / = I..... r. e s = a¡p¡\ y 2.*^) piu’a / = r + 1..... n, es f(q¡j = ó.
DEMOSTRACIÓN.— R e c o r d e m o s q u e AA* y A*A, q u e s on simétricas, positivas (definidas o semidefinidas) y
de igual r a n g o q u e A , tienen a m b a s los m i s m o s autovalores n o nulos. A , , .... A,, q u e son positivos. Llanicmos
= >/^ (í = 1. ···» '*)· S e c o m e n z a r á c o n s ü o i y e n d o la matriz 0 , luego se obtendrá P y finalmente se aterrizani
cn 1:
( La matriz Q = [Q^
.(?„J e S e a {q^, .... q„) u n a base ortonormal de vectores propios de A'A
(estos vectores, al expresarlos e n f o r m a d e matrices c o l u m n a los representaremos por O,, ..., Q^\
l l a m a r e m o s Q = I Q ,
.QJ, q u e es matriz ortogonal). Estos vectores son, en concreto: l.®) para i = 1,
..., r, el veclor q¡ es vector p ro pi o d e A‘A correspondiente a su autovalor A = A,; y 2.®) para i = r-f I,
..., rt, el vector q^ es vector p ro pi o d e A'A correspondiente a su autovalor A = 0. S e verifica entonces
que:
AAQ, = \Q, (/=1
. .r) y A’AQ, = 0 (í = r + l . .n) [ 1]
2.®) ( Pr opiedades d e las c o l u m n a s A ( ? ¿ e v U „ ^ , )
• Para / = 1
.r, premu l ti pl i ca nd o e n la igualdad [l| por A. por g c o n y por 0¡ se obtiene
r es pe c ti va m en te
* ( A A O ( A Q ^ ) = A,(AQ,) (AQ- es autovector de AA' asociado a A,)
* (AGp'(A(2,) = K(QjQi) = A,0 = O (A(?,
. . . .AQ, s o n ortogonales)
* m¡)\AQ,) = i u a i i ' = A , i i e j i ^ = A „ i u e . n = > / ^
• Para / = r + 1, .... n es A 0 , = O y a que, s e g ú n se a c a b a d e c o m p r o b a r (en la anterior demostración
d e or, pág. 625), las aplicaciones lineales asociadas a A y a A*A tienen el m i s m o núcleo y, por tanto,
d a d o q u e ( s e g ú n [l] es (A'A) Q- = O , l a m b i é n se verifica q u e AQ^ = 0.
3.®) (La matriz P = [P,, .... P J e ^ ^ „ ) . Para c o n s ü n i r la m a ü i z P, se p u e de proceder así: Para i = 1,.... r,
se t o m a P^ = (l/>/Á]) AQ¡ ( d e n o t a r e m o s p o r al vector c u y a c o l u m a es P,.). D e acuerdo con lo recién

631. Al g e b r a l in e a l
obtenido (en el prim er punto de 2.®)), (y?,, ...» p^) es un sistem a ortonorm al de vectores propios de
AA^ asociados respectivam ente a los aulovalores A,, A^ C om pletem os este sistem a de vectores
con otros p,^ |, p„ hasta obtener una base ortonorm al (p^, p^ p„) de R'"; nótese que, como
los restantes rn - r autovalores de AA' son todos nulos, resulta que ( ^ , , ,. ···» P J es una base ortononnal
de los vectores propios de AA' asociados a su autovalor A = 0.
4.®) Si se pasa revista a lo dicho hasta ahora para las m atrices P y Q que se han considerado, se observará
que verifican todo lo requerido para ellas en el enunciado, salvo la igualdad A = P l Q “, para las P,
0 y 2 ya descritas.
5.”) (Se verifica que A = P. Q y ^ descritas). Si es / : R" —♦ R"’ la aplicación lineal
que tiene a A por m alriz respecto de las bases canónicas de R" y R '”, sabem os que: 1.®) para / = 1,
r es f{qi) = fr¡p¡, puesto que AQ¡ = (r¡P¡\ y 2.°) para / = r + 1, ..., n es f(q^) = ó, puesto que
AQ¡ = O. Estos dos resultados (1.° y 2.°) permiten asegurar que la m alriz asociada a / en las bases
( ^ „ ..., q„) de R" y (p,, ..., p J de R'" es la m atriz 1 (cuya diagonal es íj,, íTj, O, 0; lodos
sus dem ás elem enlos son nulos. Com o las matrices de los cam bios de base son Q (de la canónica a
la (q^) de R ”) y P (de la canónica {p¡) en R ”*), entre entre las m atrices i4 y 2 se verifica la relación
1 = P~^AQ o bien A = P '^ Q ’ ^ = P ^ Q (no se olvide que P y Q son ortogonales), com o había que
com probar.
E J E M P L O
P a r a la m a t r i z A d e l ú l t i m o e j e m p l o (el q u e h a y tras del a p a r t a d o A . 1 6 . a , e n la p á g . 626),
s e t i e ne la s i g u i e n t e d e s c o m p o s i c i ó n A = P^Q, e n v a l o r e s p ri nc i pa le s :
"1 0 0 r
0 -1 1 -1=
_1 -1 1 0 _
■ 0 2/n/S1/n/3 ■ 0 0 0
- l/> / 6 0S 0 0
-\lyl2l/> / 6 . 0 0 0 0
■ -1/ V Ì Ó2/ V Í Ó-2/ n / Í Ói/>/ió‘
l / v ^0 0
1/ v ^
0
1/ v ^
0
, -2/ V h ) -1/ V i o1/ n / Í Ó2/ V i o .
y a q u e , d e a c u e r d o c o n los r e s u l t a d o s y a o b t e n i d o s a n t e r i o r m e n t e p a r a AA' y A'A, s e s a b e que:
• ( P a r a 2 ) C o m o los a u t o v a l o r e s n o n u l o s d e AA' y d e A'A s o n Aj = 5 y A j = 3, los e l e m e n t o s
n o n u l o s d e la d i a g o n a l d e 2 s o n í7, = v 5 y (Tj = v 5 .
• ( P a r a Q) L o s v e c t o r e s <7, = ( — 1, 2, - 2 , 1) y ^2 ~ O, 1) s o n v e c t o r e s p r o p i o s d e A'A
a s o c i a d o s a A, = 5 y A j = 3. L o s v e c t o r e s (O, 1, l, 0 ) y (1, 1 , 0 , - 1 ) f o r m a n u n a b a s e del
s u b e s p a c i o p r o p i o a s o c i a d o a A3 = 0; o r t o g o n a l i z a n d o e s t a b a s e s e o b t i e n e n los vectores
^ 3 = (O, 1, 1, 0 ) y ^4 = ( - 2 , “ 1, 1 , 2 ) . L a s c o l u m n a s d e Q ( o las filas d e Q) s e o b t i e n e n de
n o r m a l i z a r la b a s e o r t o g o n a l ( ^ p q^, q^ q^) d e W,
• ( P a r a P) D e P^ = {l/a^AP^ y o b t i e n e q u e = (O, '-lly/i, -l/y/l) y
P2 = (2/>/6, “ l / V S , 1 A / 6 ) ; n ó t e s e q u e y p2 s o n a u t o v e c t o r e s d e AA' a s o c i a d o s , respectiva­
m e n t e , a los a u t o v a l o r e s A, y A2. E l v e c t o r p^ ( o la c o l u m n a P3) e s v e c t o r p r o p i o ( n o r m a l i z a d o )
d e AA' c o r r e s p o n d i e n t e al a u t o v a l o r A3 = 0.

632. En la descomposición en valores principales A = de una mauiz dada A, la matriz ^
es única (para cualquier descomposición de A), pues lo son los y se toman de mayor
a menor. Sin embargo P y Q no lo son ya que: como, en esencia, sus columnas fonnan bases
ortonormales (de R"' y de IR'*) de vectores propios (en un determinado orden) de ciertas matrices
(AA* y A^A) y las tales base no son únicas, tampoco lo serán P y Q, que tendrán pues los grados
de libertad que tengan las susodichas bases.
OBSERVACIÓN
A.17APLICACION Y MATRIZ PSEUDOINVERSAS
PRIMERAS PROPIEDADES
Por su interés en lo que luego viene; interesa aquí hacer alguna consideración sobre los
espacios suplementarios del núcleo y de la imagen de una aplicación lineal:
Sea / : R”—► IR'" una aplicación lineal y sea A la matriz asociada a / en las bases
canónicas (que son ortonormales); sea r = rang/=rangA. Se verifica que:
1.®) El subespacio N(/)^clR" (subespacio ortogonal al núcleo de /) es el subespacio
engendrado por las tilas de A\ tiene dimensión r.
2.®) El subespacio lm (/)^ clR"‘ (subespacio ortogonal a la imagen de /) es el núcleo de
la aplicación f : IR"*—* IR" asociada a la matriz A'; tiene dimensión m - r.
Si i4 = P 1 ,Q es descomposición en valores singulares de A y llamimdo p,,Y íi» ín
a los vectores columna áe P y Q respectivamente, entonces se verifica que:
=
......q.)
Im (/) = i?{pi......p ,]
N ( f V - v { q ,.....q,]
=
.....p j
tm (/) = V(columiia»)
nxi-’m
...7^
lra(/)*-W

633. • R e s p e c t o d e las d i m e n s i o n e s , c o m o
d i m N{f) + d i m = d i m R ” = « y d i m N{f) = n- r
d i m l m ( / ) + d i m l m ( / ) - ^ = dimIR'" = m y d i m l m ( / ) = r
resulta o b v i o q u e dim N(f y = r y q u e d i m I m (f)^ =m- r.
• d o n d e f¡ es el vector fila T d e A]. E n efecto: c o m p r o b e m o s q u e M / ) =
= ' ^ (7f - M q u e es equivalente:
xgN(J) <=> AX=0 <=> = / = l , . . „ m <=> t;{
• [Im (/ ) ·^ = A^{/Oj. E n efecto: C o m o I m ( / ) = T { c , , cJ, d o n d e c, es la c o l u m n a d e A, h a y que
c o m p r o b a r q u e N{f) = Y{c^, c„} o» lo q u e es equivalente, q u e N(JfY = ^ { ^1, c„]\ esto último ya
se h a c o m p r o b a d o e n el p u n t o anterior ( c a m b i a n d o / y i4 p o r sus traspuestas f y A^.
• S u p o n i e n d o f in al m en te q u e A = FlQ es d e s c o m p o s i c i ó n e n valores singulares d e A, se tiene:
♦ C o m o AQ^-0 par a / = r + l , n, esto es f(q¡) = ó p ar a / = r + l , n, resulta q u e
vectores l in ealmente i nd ep e ndientes (por ser o r t o n o r m a l e s ) del n ú c l e o d e / y c o m o éste tiene di­
m e n s i ó n /I — r, resulta q u e f o r m a n u n a b a s e del n ú c l e o d e /, l u e g o N{f) = Y[qr^\, ...» q„).
♦ C o m o Q es ortogonal, resulta q u e T { ^ „ ...» q^] y q j s o n s u b e s p a c i o s o n o g o n a l e s de 1^,
l u e g o
riqi
.=
* C o m o AQi = P¡ p ar a / = 1, r, esto es f(q,)=p¡ para / = 1, r, resulta q u e los vectores p,,
s o n r vectores ind ep e nd ie n te s (por ser ortogonales) d e la i m a g e n d e / y c o m o ésta tiene d i m e n ­
sión r, resulta q u e /5,, p^ f o r m a n u n a b a s e d e la i m a g e n d e /, l u e g o I m ( / ) = T { p , , p^].
* C o m o P es ortogonal, resulta q u e T { /7,, Pr) y — ♦ Pmi s o n s u b e s p a c i o s o rt ogonales de R",
l u e g o
y { P r
.........p j = r { p ^.......P ri^ = l m ( f ) ^
E J E M P L O
S e a / : I f* — ♦ la a p l i c a c i ó n lineal c u y a m a t r i z ( e n las b a s e s c a n ó n i c a s ) e s la s i g u i e n t e matriz
A ( n ó t e s e q u e A e s la m i s m a m a t r i z d e los d o s e j e m p l o s a nteriores):
DEMOSTRACIÓN
10 0 1
0-1 1 - 1
1 - 1 1 O
1.®) D e a c u e r d o c o n las r e s p e c t i v a s d ef i n i c i o n e s , los s u b e s p a c i o s N(f) y N(fy d e y los
s u b e s p a c i o s I m ( / ) e I m ( / ) ^ d e W s erán:
• E l n ú c l e o d e / lo f o r m a n los v e c t o r e s -t = (;c,, JCj, x^) e tales q u e
e s t o es, los jc = (a, y3, — a 4- —a) c o n a, fiel
-1)
p o r lo q u e N{f) = y{á, h] c o n ,
ífl = ( l ,0, -1,
|í¡ = (0, 1, 1,0)

634. • El subespacio N (,f)^ (ortogonal, al núcleo) es el engendrado por los tres vectores fila
de A. que son f^ = (1, O, O, 1), f2 = (O, —1. 1, —1) y /j = (l, - 1 , 1, 0). Así pues, como
/j = /, + /j, se verifica que;
N { f y = r { l . / , ) = T { / „ f,] = T { ( 1 , 0 .0 .1 ) . (O, - i . 1. - i »
(obsérvese que, como no podía ser de otro modo, ü y b son ortogonales a /, y /,).
• La imagen de / es el subespacio (de R^) que engendran los 4 vectores columna de A,
que son c, = (1, O, 1), = (O, - 1, - 1), Cj = (O, 1, l) y C4 = (l. - 1 , 0). Así, pues, como
Cj = —Cj y C4 = c, + Cj, se verifica que:
I m ( /) = T { c „ Cj. C3, C4) = T { c „ Cj} = T {(1. O, l). (0, - 1 . - I ) )
• El subespacio lm (/)^ , de iR’, es el engendrado por un vector « ortogonal a los c, y Cj,
por ejemplo ü = c, A Cj = (1, 1, — 1), esto es;
l m ( / ) ^ = r { ( l , 1, - l) }
2.®) Acudiendo a la descomposición en valores singuUu-es de A (obtenida anteriormente, en el
ejercicio que sigue al apartado A.16./3, pág. 628) y con la misma notación que venimos
usando, será:
N { f y = r { q „ q , ] = T ( (0, \/y¡2, \¡y¡2, 0). ( -2/Víü, -1/VÍÓ, l/VÍÓ, 2/VÍO)} =
= T{(0, 1. 1,0). (-2 . -1 . 1,2)}
M / ) ‘ 9,) = T { (-l/^ /T o . 2/>Aó, -2/Víó, i/VTo), (1/V2.0,0,1/V2)} =
= r { ( - l , 2, -2, 1), (l, 0. O, D)
Im (/) = r ( p „ p ,) = T { (0, - l / ^ /2, - l/ ^ /2), (2/>/6, - \ ¡ S , l/%/6)} =
= T{(0, -1 , -1), (2, -1 . 1»
Im (/)^ = T {P 3 )= T {(1 /V 3 . 1/V^. - l / ^ ^ ) } = T { ( l . 1, -1)}
PSEUDOINVERSAS (DE UNA APLICACIÓN LINEAL
Y DE UNA M ATRIZ)
Sea / ; R" —»R” una aplicación lineal y sea A 6 la matriz asociada a / en las
bases canónicas (que son ortonormales). Denotamos por y a la restricción de / al subes­
pacio N{f)^ (véase el anterior apartado a).
1.”) La aplicación <p : ► Im (/) es biyectiva (es un i.somorfismo), por lo que existe
su inversa <p~' : Im (/)—»N(/)·'·.
2·®) Se llama aplicación pseudoinversa de / a la aplicación lineal f* ; R"—»IR" definida,
para todo y e R”, mediante:
r ( .y ) =
donde y' es la proyección de y sobre /„(/)
(nótese que: l .“) si y e Im (/), es f*(y) = ^ “ '(y); y 2.®) si y e Im(/)^, es /*(y) = o).
3.") Se llama matriz pseudoinversa de A e a la matriz A * asociada a la
aplicación pseudoinversa /* en las bases canónicas.

635. R"
/*
COMPROBACIONES
1.®) L a a p l i c a c i ó n <p : es e f e c t i v a m e n t e b i y e c t i v a y a q u e :
• (<p es s o b r e y ec ti v a) . P a r a t o d o y existe j c e R " tal q u e /(jc) = 3'· S e a x = +jc^
la d e s c o m p o s i c i ó n d e jc e n s u m a d e u n v e c t o r jc^ g N{f) y o t r o x' g N(fy; s e p u e d e poner:
y = / ( j c ' ) + /(J C ;,) = / ( j c ' ) + J = / ( j c ' ) = ^ J C ')
d e lo q u e resulta q u e y g I m ( ^ ) , l u e g o <p e s s o b r e y e c t i v a .
• (<p e s inyectiva). Si p a r a a l g u n o s jc,, x^eNíJ Y f u e s e ^ j c , ) = (pix^), sería f{Xx)=f{x-¡),
l u e g o /(jc, - jCj) = ó y c o n lo q u e jc, “ j^ g N{f) y, d a d o q u e jc, - Jcj g N{f)^, d e estas dos
ú l t i m a s r e l a c i o n e s se c o n c l u y e q u e jc, - jCj = ó, o s e a Jc, = JC2, d e d o n d e resulta q u e ip es
inyectiva.
2.°) L a f u n c i ó n / ^ : R " ’— ♦ R " es e f e c t i v a m e n t e lineal y a q u e e s la c o m p o s i c i ó n d e las dos
a p l i c a c i o n e s lineales: 1.“) la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l s o b r e I m ( / ) , q u e e s lineal; y 2.®) la (p‘\
q u e t a m b i é n es lineal.
EJEMPLO
E s t e e j e m p l o h a d e ser e s p e c i a l m e n t e sencillo, y a q u e a ú n n o s e h a o b t e n i d o la e x p r e s i ó n de
la m a t r i z p s e u d o i n v e r s a (lo q u e se h a c e a c o n t i n u a c i ó n ) . S e trata d e h allar la a p l i c a c i ó n pseu-
d o i n v e r s a f* d e la sig ui e nt e a p l i c a c i ó n / : R ^ — ► R ^ así c o m o la m a t r i z p s e u d o i n v e r s a A^ d e su
m a t r i z a s o c i a d a A g ^ ^4:
f:W~* (;c„ Xj, Xy, x^) <-* ( y „ y^, y^)
c o n
’>1’
' • * r
■90 00 "
■ - « r
>-2= A=0 40 0
.yj .
^3
_000 0
•*3
-■*4.

636. Es obvio que (en lo que sigue, Jt, e R e e R):
N(f)=r[{0, 0. X3, j:,)} M/)^ =r{(;t,. jcj. O, 0)1
IJf) = {(>-,. 0)) ¡ J f ) ^ = y ((O, o, y ,))
<p : {x ^ , X j , O, 0) (>, = 9j:„ = Ax^, y^ = 0)
<P~' ·■ (>'1. >-2. 0) ^ ^ X 2 = 5 >2. JC3 = O, = o j
Proyección ortogonal de W sobre I J f ) : (y„ y^, y,)-» (y„ y^, 0)
Por tanto
/l 1 \
/^(^i. ^2’ >3) = ^2. 0) = 4 y2’ o j =
■|/9 0 0'
0 1/4 0
y. >1’
0 0 0
h= A^
h
. 0 0 0.
J i .J i .
EXPRESION DE LA MATRIZ PSEUDOINVERSA
Sea A 6 una matriz dada, de rango r, y supóngase que A = P l Q es descomposi­
ción en valores singulares de A (llamaremos o·,, cr^ a los valores singulares; pág.
627). Entonces la matriz pseudoinversa de A admite la siguiente expresión A^ = Q l^ P ,
donde es la matriz diagonal cuya diagonal es l/(7p 1/(73, l/a^ O ,0.
Propiedades de la matriz pseudoinversa A ^:
1.·) A^P^ = {l/(r¡) Qi para i = 1, ..., r y = O para / = r + 1,..., m (donde P,., g, = co-
lumnas de P, Q),
2.") (A^·)^ =y4 (la pseudoinversa de la pseudoinversa en la matriz dada).
3.·) (r = m) =» AA^I^; (r = n) => A'^A = I„\ (A cuadrada y regular) => A‘^=A".
DEMOSTRACIÓN,—Sea R"*—► R" la aplicación lineal asociada a A' en las bases canónicas de R" y
R^ Hallemos la matriz asociada a en las bases {p,, p J de U'” y q j de R" (lasp^y qt son
los vectores columna de P y Q respectivamente), para lo que vamos a expresar los vectores de f*(p¡j cn
la base [q^]:
• Para i= 1, ..., r, como pyelm(/), es f ^ ( p ¡ ) - <p"\pi) y este ultimo vector es igual a (l/(7))í, ya que
^^/) =/W.) = (^iPi (pues AQi = (rf¡)\ así pues, /^(p,·) = (I/o;) = q¡ para / = 1. ..., r.
• Para i = r + 1, ..., m, como p^ e Im (/)·^, es f^{p¡) = ^“*(0) = d.
En consecuencia, la matriz de en las bases [p,] y es la matriz diagonal, a la que llamaremos
cuya diagonal es l/o·,, l/o^, ..., l/<r^. O, ..., 0. Por tanto, al cambiar las bases de R" y R", las matrices
A' y X' de en unas y otras bases, están relacionadas por 2 * = Q^^A^P, luego A* = Q V P ‘ = .
como había que comprobar.
Ocupémonos ahora de las tres propiedades del final del enunciado:

637. ÁLGEBRA UNEAL
1.·) Est a p r o p i e d a d y a h a q u e d a d o c o m p r o b a d a ( c u a n d o se vio q u e /"(y5/) valía (l/o',)4f/ si / < r y valía ó
si i>r).
2.·) A l aplicar la anterior e xpresión d e la malriz p s e u d o i n v e r s a a la m atriz se obtiene, o b v i a m e n t e , la
malriz A, c o n lo q u e (A *^)^ = A.
3.·) Si r = m , es evidente q u e = /„, c o n lo q u e
AA^ = {P 1 Q )(Q V P ‘) = P H X P ^ = P l T P = PIJ^ = P P = P P " ' = I„
si r = n, es evidente q u e c o n lo q u e
A M = {Q1^P‘)(P1Q) = Ql * = QVIQ = QI^Q = QQ = QQ~^ =
Si A es c u a d r a d a y regular, e nt on c es es r = n = p o r lo q u e se verifican las d o s i gu al d ad es anteriores,
es decir A A ”^ = A M = / = /„ = /^, l u e go A^ es la inversa d e A.
E J E i M P L O
B u s q u e m o s la m a t r i z p s e u d o i n v e r s a d e la s i g u i e n t e m a t r i z A ( n ó t e s e q u e e s la m i s m a q u e la
d e l e j e m p l o q u e h a y tras el a p a r t a d o A . I 6 . / 3 ( p á g. 6 2 8 ) , e n el q u e s e e n c o n ü - ó s u d e s c o m p o s i c i ó n
e n v a l o r e s s ingulares):
^1 0 0 r
A = O - 1 1 - I
_l - I 1 0 _
C o m o c o n o c e m o s la d e s c o m p o s i c i ó n A = P'2,Q d e A e n v a l o r e s s i n g u l a r e s , y a la vista d e la
e x p r e s i ó n A^ = Q1^P\ q u e s e a c a b a d e p r o b a r , resulta e v i d e n t e q u e :
A ^ =
- l / V Í O l/y¡ 2 o -2/ v T Ó
2/yfÍÓ o l/v/2 -1/vTÓ
- 2 / V Í O O l/y¡2 l / V Í O
. l / V Í O l/y¡2 O 2 / V Í O .
1 / V 5 O o'
O 1 / V 3 O
0 0 0
0 0 0
0 -1/ V2
2/ V S- i / V §\/^/6
1 / % ^ - 1 / V 3
‘ l / 3 - 1 / 1 54/15' ’5- 14
0- 1 / 3 - 1 / 3_ 10- 5- 5
01/51/5“ Ts03 3
- 1 / 3- 4 / 1 5 1 / 1 5 .. 5- 4 1,
APROXIMACION POR MINIMOS CUADRADOS
DE UN SISTEMA INCOMPATIBLE
«SOLUCIÓN» EN EL SENTIDO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS
S e a AX = B u n s i s t e m a i n c o m p a t i b l e d e e c u a c i o n e s lineales ( c o n la n o t a c i ó n d e s ie m p r e :
X g e s la c o l u m n a d e las i nc óg n it as ; q u e , e n t é r m i n o s d e a pl ic a ci on e s
lineales, e s c r i b i r e m o s t a m b i é n e n la f o r m a f{x) = b ( c o n / : R"—► R"* lineal; h e R"*; x e R" es la
i n c óg n it a) .

638. L a c a u s a d e q u e e st e s i s t e m a n o t e n g a s o l u c i ó n e s q u e el v e c t o r b n o p e r t e n e c e a la i m a g e n
d e / . D i r e m o s q u e e e s « m e j o r s o l u c i ó n a p r o x i m a d a » del s i s l e m a si f(xj dista «lo m e n o s
Dosible» d e h, m á s e x a c t a m e n t e si ^ = ¿ - / ( j c ) tiene p a r a x = x^ la m e n o r longitud, esto es si
|5J| = | [ ¿ - / { . r ) | l a l c a n z a s u v a l o r m í n i m o p a r a x = x„. O b s é r v e s e q u e I16J| será m í n i m o
c u a n d o s e a o r t o g o n a l a I m ( / ) , e s t o e s c u a n d o f(x) s e a la p r o y e c c i ó n o r t o g o n a l d e b sobre
I m (/). Si l l a m a m o s p a d i c h a p r o y e c c i ó , resulta e n t o n c e s q u e x„ será « m e j o r s olución aproxi­
m a d a » si e s s o l u c i ó n d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s f(x)=p.
O b s é r v e s e q u e lo q u e s e e s t á b u s c a n d o e s h a c e r m í n i m o el v a l or d e \\h-f{x)\\\ a c u d i e n d o
a las c o o r d e n a d a s , s e trata d e hal la r el v a l o r m í n i m o d e la s ig uiente s u m a d e c u a d r a d o s :
[b, - j w + [^2 - m J
D e ahí el calificativo d e « m í n i m o s c u a d r a d o s » q u e s e utiliza p a r a d e s i g n a r al criterio d e m e j o r
a p r o x i m a c i ó n q u e e s t a m o s c o n s i d e r a n d o a q u í.
C o n s i d e r a m o s el s i s t e m a d e e c u a c i o n e s lineales AX-B ( d o n d e A =
B = [b¡] e^\x=^\xJ]e , e s la i nc ó g n i t a ) , q u e s e p u e d e p o n e r 1 a¡-Xj = b¡o¿Xjá^-b
(ájeU"‘ e s el v e c t o r c o l u m n a 7- é s i m o d e A) o a b r e v i a d a m e n t e f(x) = b ( d o n d e ;c(jrp6R "
es la i n c ó g n i t a ; / : R ' * — ► R'" a p l i c a c i ó n lineal a s o c i a d a a A),
S e d i c e q u e x^ e R"' e s s o l u c i ó n ( a p r o x i m a d a ) e n el s e n t i d o d e los m í n i m o s cuadrados,
del s i s t e m a d a d o , si s e v e r if i ca u n a c u a l q u i e r a d e las sig ui e nt es c o n d i c i o n e s ( q u e s on
e q u i v a l e n t e s e n t r e sí):
1·“) Wb-fiJOli e s m í n i m o píu-a Jc = ;c„ ( o sea, e n jc„ el « e r r o r » es m í n i m o ) .
2.“) h—f(xj e s o r t o n o n n a l al s u b e s p a c i o I m ( / ) = Y { J , , ci„] d e R ”*.
3.®) x^ e s s o l u c i ó n d e l s i s t e m a f(x) = p, d o n d e p e s la p r o y e c c i ó n o rt og o na l d e h sobre
el s u b e s p a c i o I m ( / ) = T { í 7 , , á^] d e R"'.
4.·) X^^ e s s o l u c i ó n d e l s i s t e m a (A*A)X = A^B ( s i s t e m a d e n e c u a c i o n e s c o n n incógnitas,
q u e s e l l a m a n ecuaciones normales).
COMPROBACIONES
(i) [1.“ <=> 2." <=> 3.“ | A c u d i e n d o a la p r o y e c c i ó n p d e b s o b r e l m ( / ) , se p u e d e p o n e r
h - m = {h-p) + ip - m ) = í + ( p -/(Jf)) ( 1 )

639. ÁLGEBRA LINEAL
d o n d e 8 = b-p es \in v ec to r
X e IR", lo q u e p e r m i t e p o n e r
o r t o g o n a l a l m ( / ) y. p o r tanto, o r t o g o n a l a p -f{x) p a r a tod o
b)
c o n d i c i ó n ) .
E J E M P L O
C o n s i d e r e el siguiente s i s t e m a d e e c u a c i o n e s AX = B:
' 1 1 0 0 ‘
■ - ‘• r
■5·
0 2 0 1
•*2
=0
_ 2 2 0 0 _
•*■3
. 0 .
.•^4.
É s t e e s u n s i s t e m a i n c o m p a t i b l e (la I.® e c u a c i ó n e s .Xj - f - 5 y la 3.“ e s 2 x , + Zacj = 0). V a m o s
a o c u p a m o s d e r esolverlo ( a p r o x i m a d a m e n t e ) e n el s e n t i d o d e los m í n i m o s c u a d r a d o s . C o m o
( c o n la n o t a c i ó n del anterior r e c u a d r o )
l m ( / ) = r { ( L 02), (I, 2, 2), (O, O, 0), (O, 1, 0 ) } = r { ( l , O, 2), (O, I, 0 ) ) =
= { ( a , A 2 a ) / a , e IR) = {( .r ,, x^, Xy) / .Xj = 2 x , )
es e v i d e n t e q u e el v e c l o r b = (5, O, 0) n o p e r t e n e c e a I m (/). L a p r o y e c c i ó n d e ¿ = (5, O, 0)
s o b r e I m ( / ) , est o e s s o b r e Xy = lXx es, s e g ú n se c o m p r u e b a c o n facilidad, el v e c t o r p = (1, O, 2),
p o r lo q u e el s i s t e m a f(x) = p (al q u e satisface la s o l u c i ó n o las s o l u c i o n e s e n el s e n d d o d e los
m i s m o s c u a d r a d o s ) será:
fjc, = 1 - A
c u y a s s o l u c i o n e s s o n <
X2 A
^4= - 2 A
p a r a A, / i g
N o s h e m o s e n c o n t r a d o , p u e s , c o n infinitas s o l u c i o n e s e n el s e n t i d o d e los m í n i m o s c u a d r a d o s .
D e entre t o d a s ellas, s e l l a m a s o l u c i ó n ó p t i m a ( c o m o l u e g o s e d etallará) a la q u e tiene m e n o r
n o r m a , q u e e n n u e s t r o c a s o es:
m í n i m o de: ( I - A)^ + + a \ f = 1 - 2 A + 6A ^ +
(?/6, ' S . ‘r - l / S ‘‘" " " ’ p a r a M = 0 y A = 1/6. c o n lo q u e la s o l u c i ó n ó p t i m a es

640. Si hubiésem os acudido (para hallar las soluciones) a las ecuaciones normales, (A^A)X=^A‘B,
habríamos tenido que resolver el sistem a
"550 0" -5- X, = 1 - A
5 9 0 2JC, 5 .I2 = A
00 0 0
—
0
cuyas soluciones son ^
_0201_ _()_ .•*4 = -2 A
A e
ñ )
que coinciden con las y a obtenidas, com o no podía ser de otro modo.
EXPRESION DE LAS SO LU CIO NES EN EL SENTIDO DE LOS
MÍNIMOS C U A DR A DO S EN FUNCIÓN DE LA PSEUDOINVERSA
Sea A X = B un sistem a in co m p atib le de ecuaciones lineales (m ecuaciones con n
incógnitas), que tam bién escribirem os poniendo f(x ) = b, donde / : IR"—* R”' es la aplicación
asociada a A (se u sa la notación usual, la del anterior recuadro A. 18.a; pág. 635).
Las soluciones (ap ro x im ad as) en el sentido de los m ínim os cuadrados del sistema dado
son los e R ” qu e se p u ed e n ex p re sar en la form a:
[ex p resió n vectorial] x^ = + x„ donde x„ e N {f)
[ex p resió n m atricial] X^ = A *B + X„ ^X,JAX„ = 0
• Si rangA</i, en to n es hay in fm itas soluciones x^.
• Si rangi4 = n, en to n ce s hay un a sola solución que es la:
= (A 'A )~'i4'5 o tam bién X„ = A*B
COM PROBACIONES
1.®) Las soluciones en el sen tid o d e los m ínim os cuadrados .son las soluciones de f(x) = p
(ecuaciones n o rm ales; ver A . 1 8 .a), do n d e p es la proyección de b sobre lm (/).
C om o p ^ I ,„ ( f) , resu lta q u e en N {f)‘ hay una y .sólo una solución de f(x) = p, que es
(por d efin ició n d e f*) x „ = f* { b ). P ara cualquiera que sea otra solución x'^, como
f ( K -Xo) = P - P = ^< resu lta q u e x ’„ ~ x „ e N (f\ por lo que x ’„ex„ + N(f) =fHb) + N(J),
com o h ab ía q u e c o m p ro b a r. N ótese qu e las soluciones en el sentido de los mínimos
cuadrados fo rm a n el sig u ien te su b e sp ac io afín:
2.“)
3 .“)
S = (so lu c io n e s) = / ^ ( ¿ ) + N{f) (1)
cuya d im e n sió n es dim5 = n - rang A, ya que ésta es la dim ensión de N{f).
Si rang A < n, en to n ce s la d im e n sió n del esp acio de las .soluciones es dim5 = n-rangA > 1,
luego 5 es un c o n ju n to infinito (h ay infinitas soluciones).
Si rang A = n, e n to n c e s N { /) = O, p o r lo qu e el conjunto de las soluciones se reduce a un
vector, q u e es el Xo=f*^(h) o b ien X„ = A*B. E sta solución también puede expresarse
de un m o d o e q u iv a le n te ac u d ie n d o a q u e es la solución de f(x) = p oAX = P (ecuaciories

641. ÁLGEBRA LINEAL
O B S E R V A C I O N E S
1.*) Si i4 tiene r a n g o r a n g A = n , e n t o n c e s
A* - ( A ' A ) ' U ' y (A'A)~'A' e s i n v e r s a p o r la i z q u i e r d a d e A
2.*) Si A e . U „ , „ tiene r a n g o r a n g A —m, e n t o n c e s
A * = A ' ( A A ' ) · ' y A ' ( A A ' ) “ ‘ e s i n v e r s a p o r la d e r e c h a d e A
L a 1.") se o b t i e n e d e igualar las d o s e x p r e s i o n e s d e la s o l u c i ó n X„ r e c i é n o b t e n i d a s y d e o b s e r ­
v a r q u e
[ ( A ' A ) -' A' I A = ( A ' A ) - ' ( A ' A ) = /„
( o b s é r v e s e q u e existe (A' A) " ' p u e s A ' A e s r e g u l a r y a q u e tiene i g u a l r a n g o q u e A , e s decir
tiene r a n g o ii).
L a 2.*) se o b t i e n e d e m a n e r a a n á l o g a , r a z o n a n d o c o n A ' e n l u g a r d e c o n A .
E J E M P L O
C o n s i d é r e s e el s iguiente s i s t e m a A X = fi d e e c u a c i o n e s lineales
I 0 0 I
0-1 1 - 1
Li - I I O
■ - r
- 2
1
l_"4J
V a m o s a res ol v er lo a c u d i e n d o a la e x p r e s i ó n d e la s o l u c i ó n g e n e r a l o b t e n i d a a n t e r i o r m e n t e (ver
A . 18.^; p á g . 6 3 7 ) , e st o es:
I S o l u c i o n e s] =A*B + {X„ / AX„ = O)
• L a m a t r i z A y a se c a l c u l ó a n t e r i o r m e n t e ( e n el e j e m p l o d e A . 1 7 . y, p á g . 6 3 4 ) ;
o b t i e n e q u e
c o n ella se
A*B = —
15
■5 -1 4*'
O - 5 - 5
O 3 3
5 - 4 1
-1
- 2
1
■ r
5
- 3
4

642. 639
. L a e c u a c i ó n AX - O ( de l n ú c l e o ) c o n d u c e a las s i g u i e n t e s s o l u c i o n e s ;
'•«1 + -*4 = 0 .
-t, = -)8
AX = 0 : ■- x , + x,-x, = 0 « J ^ . + - '4 - 0 ^ Xi=a~p
X, - JCj + JÍ3 = 0 l -*^2 + -«3 -í« - 0X} = a
= P
c o n lo q u e el n ú c l e o lo f o r m a n l o s v e c t o r e s (~/3, a-/3,a, /3), c o n a fl e IR!
• P o r tanto, las s o l u c i o n e s e n el s e n t i d o d e los m í n i m o s c u a d r a d o s d e la e c u a c t ó
los siguientes vectores x„ e IR“*
e c u a c i ó n d a d a s o n
'^1 =1 - p
X^ =5 + a - p
-3 + a
.^4 =4 + j8
q u e f o r m a n u n s u b e s p a c i o a f í n d e d i m e n s i ó n d o s .
a
SOLUCION OPTIMA
S e a AX = B un s i s t e m a i n c o m p a t i b l e d e e c u a c i o n e s lineles (m e c u a c i o n e s c o n n i n c ó g ­
nitas), q u e t a m b i é n e s c r i b i r e m o s p o n i e n d o f(x) = b, d o n d e la aplicación
a s o c i a d a a A e S u p o n e m o s q u e e s t e s i s t e m a t i e n e i n f m i t a s s o l u c i o n e s e n el sentido
d e los m í n i m o s c u a d r a d o s ( e s t o es, q u e N(J) O o q u e r a n g A < « ) . S e l l a m a e n t o n c e s
solución óptima a a q u e l l a , d e tales s o l u c i o n e s , q u e t ie ne m e n o r n o r m a ; se la representa p o r
t 6 y v a l e = f^{b) ó X"^ =^A^B { o s e a , e s a q u e l l a q u e p e r t e n e c e a
DEMOSTRACIÓN
L a s s o l u c i o n e s s o n l o s v e c t o r e s x^ e R ' ’ d e la f o r m a x^ = / ^ ( ¿ ) d o n d e x„ e N{f). C o m o
f^(b)eN{f)^, c o n lo q u e f^(b) y x„ s o n o r t o g o n a l e s , r es ulta q u e
P o r lo tanto, \\xj\^ s e r á m í n i m o si \\x„\\^ = O, o s e a c u a n d o = ó, d e lo q u e se c o n c l u y e q u e
la s o l u c i ó n ó p t i m a e s la jc^ = f ^(b) + ó, c o m o h a b í a q u e c o m p r o b a r . N ó t e s e q u e este x es
ú n i c o d e los x„ q u e p e r t e n e c e a N{ fy .
OBSERVACIÓN
Si u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s AX = B ó f{x) = h f u e s e c o m p a t i b l e (esto es,
lugar d e s er i n c o m p a t i b l e c o m o h e m o s s u p u e s t o h a s t a a h o r a , s u s s o l u c i o n e s . ^
c o m o las s o l u c i o n e s e n el s e n t i d o d e l o s m í n i m o s c u a d r a d o s d e u n av- Bííc a ho ra
d o n d e ¿' = ¿ + c c o n c 6 I m ( / ) ^ , ci^d. A s í p u e s , las e c u a c i o n e s AX o y

643. ÁLGEBRA LINEAL
s o n r e s p e c t i v a m e n t e \2ls AX-B y AX=^ P d e a n t e s ( c u a n d o AX = B era i n c o m p a t i b l e ) . P o r tanto,
p a r a las s o l u c i o n e s d e n u e s t r a a ct ua l AX = B , e s d e a p l i c a c i ó n lo o b t e n i d o p a r a las s o l u c i o n e s
e n el s e n t i d o d e los m í n i m o s c u a d r a d o s sin m á s q u e sustituir, c u a n d o s e a el c a s o , la P d e antes
p o r la B d e a h o r a . E n particular, r e s p e c t o d e la s o l u c i ó n ó p t i m a , a h o r a s e t en d r á : Si u n s i s t e m d e
e c u a c i o n e s AX = B 6 f{x) = b es c o m p a t i b l e e i n d e t e r m i n a d o , d e e n t r e t o d a s s u s s o l u c i o n e s se
l l a m a s o l u c i ó n ó p t i m a a la q u e tiene m e n o r n o r m a , ella e s X^ = A^B ó —f^{b) y e s la ú n i c a
d e las s o l u c i o n e s q u e p e r t e n e c e a A^(/)^.
EJERCICIO
H a l l a r la s o l u c i ó n ó p t i m a del s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s AX = B ( c o m p a t i b l e indeter­
m i n a d o ) :
" 10 - 1r
■ ^ r
' - 3 ”
2 1 0 1
•^2
1
_1 1 10 _
•^3
4 _
_^4 .
RESOLUCION
A p l i c a n d o el m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n d e G a u s s , s e o b t i e n e ( s ó l o s e e s c r i b e n las s u c e s i v a s
m a t r i c e s [A \ B]):
"1 0 - 1 1 - 3 “' 1 0 - 1 1-3'
2 1 0 1 1 0 1 2 - 1 7
_1 1 1 0 4_ _0 1 2 - 1 7_
1 0 - 1 1
0 1 2-1
-3
7
L u e g o el s i s t e m a d a d o e q u i v a l e al
JC, = -3 + Xy - JC4
JC2= 7-2JC3+JC4
c u y a s s o l u c i o n e s s o n
X, = - 3 + a -
X2 — l~~2a-^P
Xy = a
x, = P
( p a r a a e R y e R ) (l)
L a s e c u a c i o n e s d e l n ú c l e o s o n x^=xy-x^ y X2= -2xy + x^, lo q u e c o n d u c e a los v ec t o r e s
( a - /?, - 2 a + py a, P), es d e c i r el n ú c l e o e s
yv = r { á , b] c o n J = (l, - 2 , O, 1) y ¿ = ( - 1 , 1, O, 1)
D e e n t r e las s o l u c i o n e s jc^ = (x,, jCj, Xy, x^) d e (1) h a y q u e b u s c a r a q u e l l a q u e e s o r t o g o n a l a M
e s t o e s o r t o g o n a l a ó y a o s e a tal q u e :
. j = 0 - ^ - 1 7 + 6 a - 3 ^ = 0 Í , 7 ^
A c u y a s o l u c i ó n e s a = - y t í = —1
.¿, = 0 — 1 0 - 3 α - l · 3 / 3 = 0 j ^ 3 ^X.
L l e v a n d o e s t o s v a l o r e s d e a y a (1) s e o b t i e n e la s o l u c i ó n ó p t i m a , q u e e s = (1/3, 4/3,
7/3 , - 1 ) .

644. Alfabeto griego
F i g u r a N o m b r e F i g u r aN o m b r e
A a alfa N V n y
xiB P b e l a H
r y g a m m a 0 o o m i c r o n
A Ô d e l t an TT pi
E e é p s i l o nP
P r h o
Z Í d s e d aV
Ç s i g m a
H V e t à T T tau
0 e z e t a Y V ipsilon
I L iota <t> (P fi
K K k a p p aX
X ji
A A l a m b d a 'I' psi
M m y n (O o m e g a
641

645. Heferencias bibliográficas
J^iINA. c., X T r i l l a s , E., Lecciones de Algebra y Geometria, Gustavo Gili
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643

646. .ilgcbra de conjuntos, 5 7 8
Ángulo.
dedos planos, 421
de dos rectas, 420
de dos vectores, 264
de recta y plano, 451
.\DÍllo. 586
conrauiaiivo, 586
de cndomorfismos, 182
de integridad, 587
de matrices. 183
uniiario. 586
.^licación,
bilineal, 210
biyecüva, 580
canónica, 581
creciente. 581
dual o traspuesta, 193
enirc conjuntos, 579
idenüdad, 151
inyectiva, 579
lineal, 150
asociada a una forma cuadrática, 220
inyectiva, 156
nula, 151
Ortogonal, 288
pseudoinversa, 63!
recíproca de otra, 580
wbrcyectiva, 579
Aplicaciones,
niODólonas, 581
, parciales, 220
Área de un triángulo, 398, 430
Asifliotas de la hipérbola. 451, 490
Aulomorfismo, 583
de anillos, 587
de gnjpos, 584
en un espacio vectorial, 158
Ortogonal. 290
Awomorflsmos de un espacio vectonal, 189
Aolovalores,
de un endomorfismo, 32 7
de una matriz, 330
de una transformación ortogonal, 590
Autovector de un endomorfismo, 327
Autoveclores de una matriz, 330
Axiomas, 577
Baricentro, 607
Base,
cambio de, 135
definición de, 127
dual, 192
ortogonal, 270
Bases, existencia de, 129
Bisectrices, 438
Bloques,
de Jordán, 599
de una maüiz, 60
Cajas de Jordán, 599
Campo de definición, 579
Característica de un cuerpo, 589
Centro,
de un elipsoide, 499
de una cónica, 486
de una cuádrica, 555
de una elipse, 447
de una hipérbola, 449
Centros de los hiperboloides. 502, 505
Cilindro,
cuadrático, 539, 545, 548
elíptico. 545
hiperbólico, 545
imaginario, 545
parabólico, 545
Circunferencia, 399
Clases de equivalencia, 581
Clasificación,
de las cónicas. 483
de las cuádricas. 545
Coeficiente de Fourier. 283
Combinaciones lineales de vectores. 26, 118, 120
Complejificación de un espacio vectorial real, 342
Composición,
de aplicaciones, 579
de homomorfismo, 179
Congruencia ortogonal. 361
645

647. 646
In d i c e
Cónicas, 468
con centro, 485
degeneradas, 468» 469
imaginarías, 483
ordinarías, 468
Conjunción de proposiciones, 577
Conjunto, 578
acotado, 582
cociente, 581
complementario de otro, 578
de las partes de otro, 578
de llegada, 578
ordenado, 581
vacío (0), 578
Cono.
asintótico de un hiperboloide, 559
cuadrático, 539, 545, 549
imaginario, 545
real, 545
tangente a una cuádrica, 513, 530
Coordenadas,
baricéntricas, 608
cambio de, 135, 602
cartesianas, 377, 602
absolutas, 436
cambio de, 378
contravariantes, 265
covariantes, 265
de vectores, 132
homogéneas, 612
cambio de, 490
de los puntos del infinito, 613
Correspondencia, 710
Coseno de un ángulo, 269
Cosenos directores, 264
Cotas superíor e inferíor, 582
Criterío de Sylvester, 250
Cuádricas, 523
con centro, 554
degeneradas, 523
imaginarias, 545
no regladas, 521, 552
ordinarias, 523, 548
regladas, 519, 552
Cuadrílátero completo, 436
Cuantifícador,
existencias, 579
universal, 579
Cuerpo algebraicamente cerrado, 340
Cuerpos, 588
Dependencia lineai, 26, 122
de puntos, 523
Descomposición en valores singulares, 626
Desigualdad,
de Bessel, 284
de Minkowski, 259
de Schwarz, 259
tríangular, 376
Determinante,
de la matríz inversa, 86
de un endomorfismo, 174
de una matriz,
cálculo del, 83
definición, 72
expresión, 77
propiedades, 73, 74
de Vandermonde, 81
del producto de dos matrices, 85
desarrollo para una línea, 88
Diagonalización,
de una forma cuadrática, 232, 236
en bloques, 594
de un endomorfismo, 594
de una transformación ortogonal, 591
triangulares, 595
ortogonal, 353
de un endomorfismo simétrico, 359
de una forma cuadrática, 362
de una matriz simétrica, 359
por congruencia de una malriz, 232, 235
por equivalencia, 169
Diámetro conjugado, 460
Dimensión de un espacio afín, 602
Dirección,
de un plano, 382
de una recta, 381
Directriz,
de la parábola, 454
de una cónica, 462
Distancia, 376, 602
de punto a recta, 395, 424
de punto a variedad lineal, 609
de un punto a plano, 422
entre dos rectas. 426
entre varíedades lineales, 609
Divisores de cero, 52, 67, 587
Disyunción de proposiciones, 577
Dominio,
de integrídad, 587
de una aplicación, 579
Ecuación,
característica, 332, 334
de un hiperplano, 605
de una cónica, 468
de una cuádrica, 523

648. focal de una cónica, 464
de planos 612, 613, 614
de recias 612, 613, 614
norniai, 397. 429
de un plano, 429
de una recta, 397
reducida,
de la hipérbola, 449, 480
de la paràbola, 454. 480
de un elipsoide, 497
de una cónica, 480
de una cuádrica, 539
de una elipse, 447, 480
trinomia de una paràbola, 455
Ecuaciones,
délas rectas, 383. 391, 406. 408
de ios planos. 403, 405
de rectas y planos ampliados, 614
de una aplicación lineal, 162
de una variedad lineal, 605, 606
oormales, 635
paramétricas de cónicas, 447, 449
reducidas,
de los hiperboloides, 501, 504
de los paraboloides, 507, 509
Eje,
de la parábola, 454, 492
de un paraboloide. 507, 509, 561
Ejes,
de ía cónica con centro. 488
de ia elipse, 447
de la hipérbola, 449
de las cuádricas con centro, 557
de los hiperboloides, 502, 504
de un elipsoide, 499
Elemento,
inverso de otro, 586
neutro, 582, 585, 586
nulo, 584, 586
opuesto de otro, 584, 586
regular. 583
siméüico de otro. 582
unidad. 586
Elementos,
invertibles de un a n illo , 586
regulares, 583
Eliminación de in có g n itas. 16
Elipse. 447
de garganta. 502
imaginaría. 483
rea!, 483
Elipsoide. 497
de revolución. 499
imaginario, 545
real, 545
Endomorfísmo, 583, 584. 587
diagonalizable, 346. 347
simétricos. 353
Lriangularizable. 595
Equivalencia, 580
Escalares, 23. 116
Esfera,
de 610
de £3, 432
Espacio,
afín, 375, 601
ampliado, 613
euclídeo, 376. 602
bidual, 195
dual. 190
proyectivizado, 613
proyectivo ordinario, 614
vectorial, 116
cociente, 186
euclídeo. 254
euclídeo usual, 254
normado. 262
Espacios vectoriales isomorfos. 158
Estructura algebraica. 582
Excentricidad de una cónica, 462
Expresión,
canónica de una forma cuadrática, 246
del producto escalar, 256
Extremos,
de un conjunto. 582
de una función, 582
Factorización LDU, 623
Factorización ¿í/, 616
Factorización QR^ 292
Foco
de la parábola, 454
de una cónica, 462
Focos,
de la elipse, 447
de la hipérbola. 449
Forma,
bilineal. 209
antisimétrica. 215
simétrica, 215
canónica,
de Jordán, 594, 596, 597. 598
de una transformación ortogonal, 591. 593
cuádrica. 218
degenerada, 229
ordinaria. 229
diagonal, 350
de un endomorfjsmo, 350

649. de una matriz, 350
Formas cuadráticas,
definidas. 240, 248
semidefinidas, 240, 248
Fórmulas de las dimensiones, 147, 607
Función, 579
acotada, 582
proposicional, 579
Generatrices rectilíneas, 518, 520, 552
Grados de libertad, 20
Gráfica o grafo, 580
Grupo, 583
abeliano. 584
de sustituciones, 585
lineal, 184
multiplicativo de un anillo, 587
ortogonal, 287
simétrico, 585
Haces,
de planos, 414
de rectas, 390
Hipérbola, 449
conjugada de otra, 451
equilateral, 449
Hiperboloide,
de dos hojas, elíptico o no reglado, 504
de revolución, 505
de una hoja, reglado o hiperbólico, 501
Hiperplano, 605
tangente a una esfera. 610
Hipótesis, 578
Homomorfismo, 583
de anillos, 587
de cuerpos, 589
de espacios vectoriales, 150
de grupos, 584
entre estructuras algebraicas, 583
Ideales de un anillo, 588
Idempotencia, 578
Imagen,
de un homomorfismo, 583
de una aplicación, 579
lineal, 153
homomorfa, 583, 585, 587
recíproca, 579
recíproca de un vector, 187
Implicación. 578
Inclusión, 578
Independencia lineal. 29, 122
de puntos, 607
índices,
libres, 5
mudos. 5
Infimo de un conjunto, 582
Intersección,
de cónica y recta, 456, 470
de conjuntos, 578
de cuádrica y plano, 528
de cuádrica y recta, 511, 526
de dos esferas, 610
de esfera e hiperplano, 610
de esfera y recta, 611
de plano, 408, 412
de subespacios vectoriales, 119
de variedades lineales, 606
Intersecciones de rectas, 388, 418, 419
y planos, 416, 417
Invariantes,
de las cónicas. 478
de las cuádricas, 536
Inversión, 586
Isomorfismo,
de anillos, 587
de coordenadas, 133
de grupos, 584
entre espacios vectoriales, 158
entre estructuras algebraicas, 583
respecto del orden, 581
L e y .
de absorción, 578
de composición, 582
de inercia, 244
de Morgan, 578
Matriz,
antisimétrica, 43
canónica, 41, 169, 247
de congruencia, 247
de equivalencia, 41, 169
cuadrada, 43
de Gram, 211, 256
de Jordán, 597, 598
de los términos cuadráticos, 468, 523
de un sistema de ecuaciones, 6
de una aplicación lineal, 163, 167
de una forma,
bilineal, 211
cuadrática, 221
diagonal, 43
diagonalizable, por semejanza, 346, 347
escalonada, 13
inversa,
de otra, 62
expresión, 91

650. 649
invcrtible, 62. 67
métrica, 256
nula, 45
opuesta, 45
ortogonal, 29()
pseudoinversa, 6 3 1
regular, 67
simétrica, 43
singular, 67
traspuesta de otra, 54
triangular. 43
unidad, 52
Matrices,
congruentes, 213, 221. 2 4 7
de cndomorfismos, 173
definidas, 243. 249
de las cónicas, 468
de las cuádricas, 5 2 3 . 5 25
equivalentes, 41. 167, 170
elementales, 56
ortogonales, 295
directas, 295
mversas, 295
semejantes, 173
semidefinidas, 243. 2 49
triangularizables, 595
Májümo de un c o n ju n to , 5 8 2
Menores de una m atriz, 9 3
Método de elim inación,
deGauss, 18
de Gauss-Jordan, 18
Mínima distancia, 281
Mínimo de un c o n ju n to , 5 8 2
Mínimos cuadrados, 6 3 4
Multiplicación de m atrice s p o r b lo q u e s , 61
Multíplicidad,
algebraica, 336
en R y C, 341
geoméüica, 336
Negación de una p ro p o sic ió n , 5 7 7
Nonna de un vector, 2 5 9
Núcleo.
de un anillo, 588
de un gnipo, 585
de una aplicación lin e a l, 152
de una fonna c u ad rá tic a, 2 2 9
Olijeios matemáticos, 5 7 7
Operación,
asociativa, 582
cociente, 583 .
compatible con una equivalencia,
conmutativa, 582
distributiva respecto de otra, 582
interna, 582
Operaciones,
elementales, 9. 12, 33
en un sistema de ecuaciones, 9
en un sistema de vectores. 33
en una matriz, 12
Orden,
parcial, 581
total, 581
Orientación de una base, 174
Ortonormalización de Gram-Schmldt, 273
Par, 580
Parábola, 454
Paraboloide,
elíptico o no reglado, 507
hiperbólico o reglado, 509
Paralelismo,
de planos, 411
de recta y plano, 411
de rectas, 386, 411, 418, 419
de variedades, 604
Parámetro de una parábola, 454
Parámetros de una cónica, 465
Partición de un conjunto, 581
Permutaciones, 76
Perpendicular común a dos rectas, 428
Perpendicularidad,
de planos, 410
de rectas, 394, 410
de rectas y planos, 410
Pivote, 18
Plano,
afín, 375
afín-euclídeo, 376
del infinito, de £3. 614
polar, 513, 530
radical, 439
tangente a una cuádrica, 515, 528, 530
tangente a una esfera, 432, 433
Planos, 382, 402
principales,
de los hiperboloides, 502, 505
de los paraboloides. 507, 509, 561
de un elipsoide, 499
Polar respecto a una cónica, 473
Polinomio característico,
de un endomorfismo, 334
de una matriz, 332
Pnxlucto,
cartesiano, 580
de matriz por escalar, 45, 177
de matrices, 49, 179

651. 650
In d i c e
de veclor por escalar, 23, 116
escalar, 254
canónico, 254
mixto, 302
vectorial, 308, 311
Proposiciones, 577
recíproca, 578
contraria, 578
contrarrecíproca, 578
Proyección, 580
ortogonal, 281
sobre un plano, 422
sobre una recta, 395, 424
sobre una variedad, 608
Pumo,
medio. 381
unidad, 613
Puntos. 375. 601
del infmito, 613
dependientes, 607, 608
elípticos en las cuádricas, 549
fundamentales. 613
hiperbólicos de las cuádricas, 549
impropios, 613
independientes, 607, 608
parabólicos en conos y cilindros, 549
Radiación de pianos, 415
Rango,
de menores, 94
de un sislema de vectores, 30, 137
de una aplicación lineal, 153
de una forma cuadrática, 221
de una matriz, 37
Razón simple, 436, 439
Recia del infmito, de Éj, 614
Rectángulo principal de una hipérbola, 451
Rectas, 380, 402
perpendiculares, 44
Referencia,
baricéntrica, 608
cartesiana, 377, 602
rectangular, 377, 603
Regla de Cramer, 98
Relación,
binaria, 580
antisimétrica, 580
reflexiva, 580
simétrica, 580
transitiva, 580
de conjugación, 225
de Chasles, 375
de equivalencia, 580
de orden, 581
Rouiciones, 293
bidimensionales, 297
tridimensionales, 300
Secciones,
cíclicas, 500
cónicas, 465
Semejanza ortogonal. 361
Signatura,
de una forma cuadrática, 244
de una matriz simétrica, 245
Signo,
de una sustitución, 76, 586
pertenencia (g), 578
sumatorio, 5
Símbolos de Kronecker, 90
Simetría ortogonal, 293
bidimensional, 297
Simetrías ortogonales tridimensionales, 300
Sistema,
de ecuaciones lineales, 4
escalonado, 13, 14
de vectores lineaimente dependientes, 26, 122
generador, 120
ortogonal de vectores, 267
Sistemas,
de Cramer, 98
de ecuaciones equivalentes, 9
de ecuaciones lineales homogéneas, 7
de vectores linealmente independientes, 29, 122
equivalentes de veciores, 121
Solución óptima, 639
Solución según mínimos cuadrados, 635
Subanillos, 587
Subconjunto, 578
Subcuerpo, 588
Subespacio,
conjugado en un vector, 226
ortogonal a otro, 278
vectorial, 118
Subespacios,
invariantes de un endomorfismo, 594
invariantes de una transformación ortogonal, 590
propios de un endomorfismo, 327
propios de una malriz, 330
suplementarios, 145
Subgrupos, 583
Submatriz, 60
Suma,
de aplicaciones lineales, 176
de matrices. 45, 177
de subespacios, 139, 140
de subespacios unidimensionales, 144
de variedades lineales, 606

652. INDICE
651
de vectores, 23. 116
directa, 141, 143
Suplementario ortogonal, 278
Supremo de un conjunto, 582
Sustiluciones, 76, 585
Tangeiiies,
a las circunferencias, 399
a las cónicas, 456, 459, 470, 473
alas cuádricas, 511. 527
a una esfera, 432
en el vértice, 493
Teorema, 577, 578, 580
de Ceva, 436.
de Desargues, 436
de isomorfismo, 187
de la base incompleta, 131, 274
de la dimensión, 129
de Menelao. 436
dcPilágoras, 268, 376
dcRouche, 99. 102, 189
espectral, 357
Tema, 580
Tesis, 578
Transformación ortogonal, 287
directa, 293
inversa, 293
Transformaciones,
ortogonales bidimensionales, 297
ortogonales tridimensionales, 300
Transposiciones, 76, 585
Unión de conjuntos, 578
V alores propios, 327. 330
V alores singulares. 627
V ariedad,
afín, 186
engendrada por una familia de puntos, 604
lineal, 604
de dim ensión finita, 605
V ariedades lineales,
ortogonales, 604
paralelas, 604
V ector, 116
colum na, 24
de n com ponentes, 23
fila, 24
libre. 601
nulo, 25. 116
opuesto de otro, 25, 116
unitario. 267
V ectores,
conjugados, 225
ortogonales, 267
ortonorm ales, 267
propios. 327. 330
V értice,
de un paraboloide, 507, 509
de una parábola, 454
V értices
de las elipses. 447
de las hipérbolas, 449
d e los elipsoides, 497
de los hiperboloides, 504
V olum en de un tetraedro, 430