Álgebra linear e geometria analítica 2ª edição

Alfredo
STEINBRUCH

IM Paulo
= oe J WINTERLE

138 problemas resolvidos
381 problemas propostos

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STEINBRUCH
STEINBRUCH
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é um selo da

Cálculo diferencial e integral (2 volumes + Pré-cálculo)
Geometria analítica — 3° edigáo

Cálculo A

Cálculo B

Álgebra linear — 3° edigáo

Cálculo com geometria analítica — 2 volumes
Probabilidade e estatistica

Geometria analítica plana

Introduçäo a álgebra linear

Vetores e geometria analítica

www.pearson.com.br

Prefácio da 24edigdo

Capitulo 1

Capitulo 2

Capitulo 3

VETORES
Vetores .

Operagdes com vetore .
Vetores no IR?
Igualdade e operagdes.

etor dedo por dois ponte. +
Produto esealar . 2.
Angulo de dois vetores

Peine rigmaiäde 4 de dois vetores. =

Vetores no IR?

ESPAGOS VETORIAIS
Introdugäo. .
Espagos vetoriais .
Propriedades dos espagos vetoriais
Subespagos vetoriais.
Combinagäo linear... .
Espagos vetoriasfinitamente grados - -
Dependéncia e independencia linear .
Base e Dimenslo . .. $
Espagos vetoriais isomorfos
Problemas

ESPAGOS VETORIAIS EUCLIDIANOS
Produto interno em espagos vetoriais .

10
2
13

15
18
2
25
39
33
3

106

VI Algebra incor

Espago vetoril euclidiano. m
MGdulo de um Wet... 12
Angulo de dois vetores M cacon mo ME
Vetores ortogonais.… . 119
Conjunto ortogonal de vetores „uen.annsnsnnnnnnnneenn 120
Conjuntos ortogonais entre i 130
Complemento ortogonal. 132
Problemas

Capítulo + TRANSFORMACOES LINEARES
Transformagdes lineares... 151
Núcleo de uma transformagáo linear 168
Imagem . m
Matriz de uma transformagäo linear 181
Operagóes com tsansformagdes lineares . 192
Transformaçüeslineares planas. .. 195
‘Transformagdes lineares no espago 206
Problemas.

Capítulo 5. OPERADORES LINEARES
Operadores lineares . - 230
Operadores inversíveis 230
Mudanga de base .. 24
Matrizes semelhantes . 244
Operador ortogonal . 252
Operador simétrico 261
Problemas

Capítulo 6. VETORES PROPRIOS E VALORES PRÓPRIOS
‘Vetor proprio. valor proprio de um operador linear .. mi | 216
Determinacto dos valores proprios e dos vetores próprios ....... 278
Pop dis dn pate pisar pro «coros 2
Diagonizacto de operadores... .-- 3 : 289
Diagonizagäo de matrzes simétricas eine 39
Problemas.

Capítulo 7. FORMAS QUADRÁTICAS
Forma quadrätica no plano . . . a 323
Cônicas 00.0. re DR 328
Notas complementares |... 347
Forma quadrática no espago tridimensional 353
Quédricss. u... 358
Problemas.

Apéndice À | MATRIZES/DETERMINANTES/SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES
MATRIZES
Definigáo de matriz .. 369
Matriz quadrada an

Sumério VII
Matrizzero lan pro 374
Igualdade de matrizes 374
Adiçäo de matrizes. LESOTO LGR 374
Produto de uma matriz por um escaler. 375
Produto de uma matriz por outra 3%
Matriz transposta … 398
Matriz simétrica eu 400
Matriz anti-simétrica. 401
Matriz ortogonal.......... 402
Matriz triangular superior 403
Matriz triangular inferior 403
Poténcia de uma matriz... 404

DETERMINANTES
Classe de uma permutaçäo 420
Termo principal au
Termo secundärio. 421
Determinante de uma matriz... 421
Ordem de um determinante a
Representaçäo de um determinante ...... 421
Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2 de 3* ordem 422
Cälculo do determinante de 2* ordem . ce 4B
Cálculo do determinante de 3* ordem .... 426
Desenvolvimento de um determinante por uma linha ou por uma coluna 432
Propriedades dos determinantes . = 433
Cálculo de um determinante de qualquer ordem. . 446

INVERSAO DE MATRIZES
Matriz inversa... 466
Matriz singular .... > 466
Matriz nfo-singular . i 467
Propriedades da matriz inversa A 468
Operagdes elementares ...... a 470
Equivaléncia de matrizes. .. .. > 471
Inversto de uma matriz por meio de operagöes elementares 476

SISTEMAS DE EQUACOES LINEARES
Equaçäo linear . UNA BK € 505
Sistemas de equagdeslineares. 0... 505
Soluçäo de um Sistema linear... sio 08
Sistema compativel . u 808
Sistemas equivalentes 2507
Operagdes elementares e sistemas equivalentes 508
Sistema linear homogéneo. . se 510
Estudo e solugfo dos sistemas de equapdes lineares . 510

> CAPÍTULO

VETORES

11 VETORES

Este capítulo tem por finalidade precipua revisar resumidamente a nogfo de vetor no
KR e no RŸ € suas propriedades, as quais já devem ser do conhecimento do leitor".

Sabe-se que os vetores do plano ou do espago sio representados por segmentos orientados.
Todos os segmentos orientados que tém a mesma diregfo, o mesmo sentido e o mesmo com
primento sfo representantes de um mesmo vetor. Por exemplo, no paralelogramo da Figura 1.1a,
os segmentos orientados AB e CD determinar o mesmo vetor v, € escreve-se

Bow

10 assunto pode ser visto em detalles no loro Geometria Anelitice, dos autres desta Algebra Liner

eltern Me Grae il
5

2 Algebra linear

Quando escrevemos v= AB, estamos afirmando que o vetor € determinado pelo segmento
orientado AB de origem A e extremidade B. Porém, qualquer outro segmento de mesmo com-
primento, mesma diregfo e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor v. Assim
sendo, cada ponto do espago pode ser considerado como origem de um segmento orientado que
é representante do vetor Y.

O comprimento ou o módulo, a diregdo e o sentido de um vetor y € o módulo, a diregäo
e o sentido de qualquer um de seus representantes, Indica-se o módulo de y por I vl.

Quaiquer ponto do espago é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que ¢ indicado
por 0.

A cada vetor näo-nulo y corresponde um vetor oposto -v, que tem o mesmo módulo,
a mesma diregáo, porém sentido conträrlo ao de v (Figura 1.10).

Figur 118

Um vetor y éunitärio se Iv) = 1,

Dois vetores u e y sio colíneares se tiverem a mesma ditegfo, Em outras palavras: u e y
sdo colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes à uma mesma reta ou à tetas
paralelas (Figura 1.16).

Figura Lo

Se os vetores nfo-nulos u, y e w (0 nämero de vetores nao importa) postuem represen:
tantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano m (Figur 1.14), dizse que eles s50
coplerares

Vetores 3

igor Lid

1.2 OPERAGOES COM VETORES

1.2.1 Adigéo de Vetores

Sejam os vetores ue Y representados pelos segmentos orientados AB € BC, respectiva:
mente (Figura 1.28).

Figues 1.23
Os pontos A e C determinam o vetor soma AC = ut v.

1.2.1.1. Propriedades da adigäo

1) Associativa:(u+ ¥) + w= ut (re)
1) Comutativa: u + v= +.
ID) Existe um s6 vetor nulo O tal que, para todo vetor Y, se tem:

v+0=

+vev
IV) Qualquer que seja o vetor v, existe um só vetor -v (vetor oposto de v) tal que:

ve@nsrr=0

4 Algebra near

Observagóes

1)A diferenga de dois vetores u e v quaisquer € o vetor u + (-v). Sejam os vetores u e ¥
representados pelos segmentos orientados AB e AC, respectivamente. Construido o paralelogramo
ABCD (Figura 1.20), verificase que a soma u +y é representada pelo segmento orientado AD
“uma das diagonals) e que a diferenga u - 4 representada pelo segmento orientado CB (a outra
diagonal).

Figura 120

2) Quando os vetores ue y estäo aplicados no mesmo ponto, verifica-se que:

2) 2 soma u +v (ou y +4) tem origem no referido ponto;

b) a diferenga u - Y tem origem na extremidade de v (e, por conseguinte, a diferenga v = u
tem origem na extremidade de u)

1.2.2 — Mukipticagäo de um Número Real por um Vetor

Dado um vetor v#0 ¢ um nümero real k#0, chamase produto do número real k
pelo vetor v ovetor p= ky, tal que:

a) módulo: [PI= Ike] = IKlIvi;

b) diregdo: a mesma de v;

©) sentido: o mesmo de v se k>0; e comtrério ao de y se k <0.

A Figura 1.2.2 mostra o velor v e 05 correspondentes 2v e -3¥.

Observapdes:

1) Se k=0 ou v=0, ovetor kv 60 veto 0;
2) Se k=-1, o vetor (-1)¥ € o oposto de y, isto 6, (-1}v.

Yeroe 5

Figura

1.2.2.1 Propriedades da Multiplicagdo por um Número Real
Se u e y so vetores quaisquer e a € b números reais, temos

Datos) = (du
ID + bus au+ bu
Mary)
IV) taza

autas

13 VETORES NO R?
O conjunto.
RR R=(yN/x y ER}

é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano x0y.
Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante (segmento.
orientado OP) cuja origem € a origem do sistema (Figura 1 3)

Em nosso estudo consideraremos geralmente vetores representados por segmentos orien-
“tados com origem na origem do sistema, Nessas vondigdes, cada vetor do plano € determinado
pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x,y) individualiza o veror v= OP (Figura

1.36) esereve-se:
vn

identificandose as coordenedas de P com as componentes de +.

Fan

Fu.

A ongem do sistema (0, 0) representa o vetor nulo,

O vetor oposto de v= (x,y) €0 vetar =v=(x,

1.4 IGUALDADE E OPERACOES

1.4.1 Igualdade

Dois vetores u=(ay,y:) € V2 (ta, ya) sdo iguais se, e somente se, x, =X e Ya
esereve-se u

Vetores 7

Exemplos:

1) Os vetores 0=(3,5) e v=(3, 5) sio iguais

,2y -6), de acordo com a definido de igual
. Assim se u=¥, ento x= 4

2) Se o vetor u=(x+ 1,4) € igual ao vetor
dade de vetores, x 4195 e 2y-6=4 ou
ey

1.4.2. Operagóes
Sejam os vetores u=(%,, Ys) € v= ya) € à € R. Define se:

O
b) aus (ax, am)

Portanto, para somar dois vetores, somamse suas componentes eorrespondentes e, para
multiplicar um vetor por um nimero, multiplicase cada componente do vetor por este número.

Por exemplo, se u=(4,1) e v= (2,6), a Figura 1.42 mostra que:

u+ve(s,1)+ (2,6 =(4+2,1 +6

6.7)

e Figura 1.4.20 mostra que:

241

204), 20) = (8,2)

8 Algebra linear

1.5 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS

corte, ds vezes, o caso de um vetor ser representado por um segmento orientado que náo
parte da origem do sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto A(x, y; ) e extremi
dade B(s2,¥2) (Figura 1.5).

Feu LS
De acordo com 0 que foi visto no item 1.2.1.2 — (Obsevasto 2), o vor AB a iferenga
entre os vetores OB ¢ OA:
‘AB = 08 -OX
€, portanto:
AB = (2, y2)- (6.41)
ou

By)

10, as componentes do vetar AB sfoobtdas pea diferensa ene as coordenadas da extrem
ide Y casa eigen À

Por exemplo, se A(-1, 3) e B(2,=2), ovetor AB será:

B-

~A=(2,-2)-(-1,3)*

Vetores 9

1.6 PRODUTO ESCALAR
1.6.1 Definigäo

Chamase produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetoes us (1,91) €
v= (xs, Ya). 6 se representa por u.v, a0 mimero real:

Urea + Vis

(© produto escalar de u por v também é indicado por <u,v> e se là “u escalar y”.
Por exemplo, se u=(2,3) e v= (4,1), temase:

y= 2(4)+ 3618-35

1.6.2 Médulo de um Vetor
Módulo de um vetor v=(x,y), representado por [vl, € o número real ndo-negatiwe:
Ie VE
ou, em coordenadas

Wie VE GS

ou, ainda:
Wie VER
Por cxemplo,se v=(3, 4), ento:
Wie VVC = VITE = VE = 5

A partir de cada vetor v ¥0 € possivel obter um vetor unitário u fazendo

Por exemplo, € uniério o vetor:
ge BG). 6-9 0-0, 8.29) 3
16.01 Fr Ce Ver JB 5 6

Obsersagéo: Dado um vetor AB com extremidades nos pontos A(%,y1) e B(%a,y2) 0
mul desse veto será

AÑ VO O

Assinalese que a distincia entre os pontos A e B € calculada pela mesma fórmula.

10 Algebra near

1.6.3 _Propriedades do Produto Escalar
Dados os vetores u, vew quaisquer e k € IR, temse

Du.u>0 e u.u=0 se,e somente se, u=0=(0,0)
Iu. v=. w (comutativa)
Mw .(v# w) =u. v+ uw (distributiva em relugio à adigdo de vetores)
IV) (amu) v= m(u.¥) = u.)
You tol?
Observugdes: Como consegüénein das propriedades do produto escalar, vem:
1) tuerto ve lve
Com efeito:
Jarre (Ir
Ue ue rev voy

Jur yi eu? Zur lvl

2) De modo análogo, mostra-se que:

1.7. ANGULO DE DOIS VETORES

O ángulo de dois vetores u= OA e v= OB, nfo-nuios (Figura 1.74), € o ángulo 9 for
mado pelas semi-etas OA e OB (Figura 1.70) € tal que 0 < 0 <7,

Figura 1 Fu 1.75

CET

1.7.1. Cálculo do Angulo de Dois Vetores

ya eR a ore formado por u € Y pode ser calculado
pe

DIE
a
aa? 8
Figura 71

Com efeito, aplicando a lei dos cosenos ao triángulo ABC da Figura 1.7.1, vers

uv = Jul? + ivi? =21ut el ose o
Mas, de acordo com o item 1.6.3 (Observagdo 2), pode-se eserever
luv? = (uf? -2u4.v+ lv]? @
Comparando as igualdades (2) e (1):
101? -24.v+[v]?=]ul? + vl? -21u] lv] cose
logo:

v.v=tul [vt coso

cos @ = LL ..
let leh 0m)

Uma vez calculado o cos 8, 0 ängulo 9 & encontrado numa tabela de co-senos.

12 Algebra tino

Por exemplo, se u=(-2,-2) € ¥=(0,-2), o ángulo @ pode ser calculado por intermédio
da Formula (1.7.1):

cope tt (2.2).(0,-2)
AA x JO ee
tt 4 4

[ara x JOR EN ENTES

1.8 PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES

2) Se dois vetores U = (x.y) € V= (%, Ya) 360 paralelos (ou colineares), existe um nümero k
tal que:

esky
où

Ou, y1)= Kia, ya)
© que implica:

E

isto é, dois vetores u e v sdo paralelos quando suas componentes sio proporcionais. Representa-
se por u jj y dois wetores u e y paralelos,

Por exemple, os vetores u = (-2, 3) e v=(-4, 6) so paralelos, pois

ou seja

Vetores 13

b) Se dois vetores u=(x,,y1) € Y” (Xa, ¥2) so ortogonais, o ángulo 8 por eles formado €
de 90°, , portanto, cos 8 = cos 90° = 0, o que implica, pela Fórmula (1.7.1):

uv=0

Xm tyıya = 0

isto é, dois vetores u e Y sio ortogonais quando o produto escalar deles € mulo. Representa-se
por u Ly dois vetores u e y ortogonais
Por exemplo, os vetores u = (2,3) € v7(-3,2) so ortogonais, pois:

u,v22(-3)#3(2)=-6+6=0

1.9 VETORES NO R°
© conjunto.
RE = Rx RX Re ((y,0/x,y,2€ R}

interpretado geometricamente como sendo o espago cartesiano tridimensional Oxyz.

Da mesma forma como fizemos para © plano, consideraremos geralmente vetores repre
sentados por segmentos orientados com a origem na origem do sistema. Nessas condigöes, cada
vetor do espaço € determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(X,y, 2)
individualiza o vetor v= OP (Figura 1.9) e escreve-se:

vd

identificando-se as coordenadas de P com as componentes de y.

Algebra tncor

A origem do sistema 0(0,0,0) representa o vetor nulo
0 wetor oposto de ¥= (x,y,2) € 0 vetor = (-x,¥,-2)
De forma análoga à que tivemos no plano, teremos no espago:

D Dois vetores u=(1,¥1, 21) € ¥= (ia, Ya, 24) 5 Igual se, e somente se, Xy = x2,
SS

UW) Dados os vetores u=(x1,y1,21) € Y= QU, Ya,20) € 1€R, defines

(a xo, Ya PY ts +2)

au= (ax), ay 221)

II) Se A(,¥1,21) © BOS, Y>,22) slo dois pontos qualsquer no espago, emtáo:

Benny Y 221)

IV) O produto escalar dos vetores w= (x). Yi. 2) € v=(%5, ¥2,22) € 0 número seal

ran YY taz

V) O módulo do vetor v=(x,y,2) € dado por
Winey re

VD se u e y sfovetores nfomulose 9 £o ángulo formado por ees, ent

VID Para w= (xy, ¥1,25) € 170%, ya, 25), temse
ee
ES

2) ullv se, e somente se,

b) uLy se, e somente se, xix + yaya + 2123 © 0.

CAPITULO

ESPACOS
VETORIAIS

2.1 INTRODUÇAO
Sabe-se que o conjunto;
R= {(x,y)/x,ye R)

€ interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano. Um par (x,y) pode ser
encarado como um ponto (Figura 2.12) e, nesse caso, x e y so coordenadas, où pode ser
encarado como umvetor (Figura 2.10) e, messe caso, x e y fo componentes (ou coordenadas).

Essa mesma idéia, em relacio ao plano, estendese para 0 espaco tridimensional que & a
intexpretacio geométrica do conjunto R*. Embora se perca a visio geométrica de espagos com
dimensio acima de 3, é possivel estender essa ¡dela a espagos como IRS, RS, ..., RE Assim,

en
sw

Fun 212

16

ser vistas como pontos ou vetores no espago

quádeuplas de números (34: X25 %.%4) pode
IR de quarta dimensio. A quintupla (2 4) será interpretada como um posto ou
um vetor no espago RS de dimensto cinco, Entzo, o espago de dimension (ou espaco

n-dimensional) será constituído polo conjunto de todes as nuplas ordenadas © representado

por RR, isto é:
ES

‘A maneira de se trabalhar nesses espagos é idéntica áquela vista em IR? com IR?
Por exemplo, se:
VE em) € VE are Ya)

slo vetores no IR" e a um escalar, define-se:

3) wmv se, esomente se, xy = y, = Ya

D) Ut VEC #1 Xe À Vas Xp À Ya).

au (ax, ax, ARQ)
RENTE VE Bere

ME

KEHXZEZA

Desde já 6 bom observar que © vetor U=(X1, X3, Xp) aparecerá, ds vezes, com a notagfo

matricial (matrizcolans n x

6 fil ver que u+v e au na notagdo matricial o os vetores

ty)

| In] [mtr

xn] [ral [etre

Espagos vetorlals 17

‘Vamos agora transmitir uma idéia nova. Para tanto, consideremos dois comjuntos: o IR e
o conjunto das matrizes tesis de ordem mn, representado por Mm,n). Como nesses
conjuntos estäo definidas as operagóes de adigáo e multiplicagfo por escalar, constatase a exis-
téncia de uma série de propriedades comuns a seguir enumeradas.

Se u,v,w CIR”, se a, IR e se A,B,C € M (m,n), podemos verificar que:
4) Emrelagio d adigäo valem as propriedades
Y (ut yrweut(tw e
(A+B)+C=AHBLC) (associatividade da adicto)
D utvevtue
ALB=B+A (comutatividade da adigio)

3) Existe um s6 elemento em IR" e um 56 em Mm, 0)
indicado por 0 etal que

u+0-u e
A+O=A (existencia do elemento neutro)

O elemento O, nesse caso, será o vetor 0=(0.0,...,0)€ IR", na primeira igualdade, e

a matiz mula
fo o … o]
o 0 o

a segundo igualdade

18 Algebra incor

4) Para cada vetor uE IR" e para cada matriz AS Mm, 1) existe um sö vetor -u € R”
ema só matriz -A € M(m, n) tais que

u+(u)=0 e
A+(4)-0 (existencia do elemento simétrico)

Por exemplo, se tivermas u= (a, XX), entdo 0 vetor simétrico &
= (2%, “Kay so “Nh €, Caso semelhante, para a matriz A e sua correspondente simétrica -A.

b) Emrelagáo à multiplicaçäo por escalar valem as propriedades:

Déju=a pu) e
(08) A=x (BA)

2)(a+ Au au fu e
(a+ DA =0A+gA

Ba(uty)=autav e
a(A+B)=aA+oB

2 lu=u e
JA=A

Conforme acabamos de ver, os conjuntos IR” e M(m,n), munidos desse par de operagdes,
apresentam uma “estrutura” comum em relagdo a essas operagües. Esse feto ndo só vale para
‘esses dois conjuntos com essas operagdes mas para muitos outros, razfo porque vamos estudi los
simultaneamente. Esses conjuntos serdo chamados espupos vetoriait

22 ESPAÇOS VETORIAIS

Seja um conjunto V, nfovazio, sobre o qual estío definidas as operaçäes adigáo e mult
plicagáo por escalar, isto €:

Vu, ve V, u+ve Y
Vae R, VE V, ave V

© conjunto V com essas duas operagdes é chamado espago verorial real (ou espapo vetorial
sobre IR) se forem verificados os seguintes axiomas:

pagos vetorals 19

A) Emrelgóo à adkao
AD (ut) tweut@ew), Va y we Y
A) urvevsu, Wave V
Ay) 10€ V Yo EV. ut0=u

Aa) VUE V, Eu) E Y, w+ (u)=0

M) Em elaçäo à mulliplicagdo por escalar
Mi) (ua)
M) Murat
My) a(uty)=autav
My) usu

para Vu, vE Ve Va, BE R.

Observacóos

1) Os elementos do espago vetorial V sero chamados »erores, independentemente de sua
natureza. Pode parecer estranho, e à primeira vista nfo deixa de ser, o fato de se chamar de
vetores os polinómios (quando V for constituido de polinómios), as matrizes (quando V for
constituído por matrizes) os números (quando V for um conjunto numérico), e assim por diante.
A justificativa esté no fata de as operagdes de adigdo e multiplicagdo por escalar realizadas com esses
elementos de natureza to distinta se comportarem de forma idéntica, como se estivéssemos
trabalhando com os pröprios vetores do IR” ou do R". Assim, a familiaridade que temos com
os vetores do R? e do IR? terá continuidade nesses conjuntos. chamando seus elementos também
de vetores.

2) Se na definiglo acima tivéssemos tomado para escalares o conjunto C dos meros
complexos, V seria um espago vetorial complexo, Daqui por diante, salvo referéncia expressa
em contrário, serdo considerados somente espagos vetoriis reas. Assim, quando se disser que V
é um espago vetorial, deve ficar subentendido que V é um espago vetorial sobre o conjunto IR,
dos números reais.

20 Algebra meer

Exemples

1)0 conjunto Y LGx,y/x,y € IR] é um espago vetorial com as operagdes de
adigáo e multiplicacio por um número real assim definidas:

(y A a y)

a(x, y) =(ax,ay)

Has so as operagdes usuals de adigio e multiplicagio por escalar

Para verificarmos os oito axiomas de espago vetorial, consideremos u =(X1,Y1), Y= (3.93)

ay ya). Teme:

Ay) rw tn Va) +00, Y)
(ut spt wa + tt Rd)
(ut Wt w= ENTER]
(uty) tw = Ga ta ty + Ga ty)
(ot DW =O ta Y #92)
(ut) + w= ty)
Gutytwevt(ere

A) ue ve, y) Ons Y2)
ur tan yt ys)
tee (xs tas ty)
ern)

As) 30=(0,0)€ Re, WOE RY, u+0=(%,.y1)1(0,0)

uF 0= (x +0,y, +0)

u+0- Guy)
ur0-u

A) Wor Gy RE, Hu) = (x, 11) ER,
Bremen) HE Y)
A)

ut Cu) =(0,0)=0

M) (QB) u= (y) = (a. (ay) (Sm 8)
GBu-a(xs,8y1)- 2B, 75)
hugo

M) aut, y1)= (a+ Pan, (a+ 8) y) = (ax + Pays +891)
dat Bu (ax, aya) HEY) = a a, vi) + 000,31)
@+Dusaut+su

Ma) au +) = al, Y) +, ya) Gs aa ya yla +) ab Y)
(ut) 2 (ax: tax. av +0ya)= (ax ays) + axe, ays)
alu ¥)= abs, ys) talas ya) =a e tay

M) lus LO,

lusu

“ar ty) = Guy)

2) Os conjuntos RR’, RR”... KR? so espagos vetoríais com as operapdes de adiglo €
multiplicagio por cecalar usuals. Depois de verificados os vito axiomas de espago vetorial para
o R?, 08 mesmos ficam também evidentes nos conjuntos acima citados.

3) O conjunto R em relagño as operagdes usuais de adigdo e multiplicacio por escalar. Os
vetores, nesse caso, sio números regis, e sabe-se que a adigdo de múmeros reais veifca as proprie-
dades Aj. A3, Ay © Aa da definigáo de espago verorial. Assim, também, o produro de reais € um
nümero seal, a operagáo muliplicagZo satisfaz os axiomas M ‚Ma. My € Me

4) O conjunto M(m,n) das matrizes m x n com as ope
escalar usuai,

es digo e multiplicado por

Em particular, o conjunto Mn, 1) das matrizes quadradas, de ordem n, € um espago
‘torial relativamente ds mesmas operagóss.

5) O conjunto

Pie (ay tax tan + aja ER)

dos polinómios com coeficientes reais de grau <n, mais o polinómio nulo, em relagio ds
operagdes usuais de adigáo de polinómios e multiplicaçäo por escalar.

Em particular, o conjunto.

fag + ax + ax; a, € IR}

é um espago vetorial relativamente ás mesmas operagöts.

22 Aetna nenn

6) O conjunto
Ve (RR

das fungées reais definidas em toda reta. Se [,g€ Y e @ € R, definese:
ftg: RR

2 (4 BO) = RR)

af ROR
x 069 alla)
7) 0 conjunto
Vene IR}
‘com as operagées definidas por

oP) © Gadde Gy ts te)
«O (Rx) (ax ext)

€ umespago verorial sobre IR.

Os símbolos @ e © sto uiizados para der que x aig ea multiplica por esa
no sos was

8) O conjunto
Ve (y Nx y>0)

€ um espago vetoral com as operagdes adiçio € multipicagio por escalar definidas assim:
(00 a. y2) 904 ESS)

«Q Gen = OY)

Espagos vetorals 23

O trabalho de tear 0 lo anlomas de espago vetorial € um tine extcico pum o
la, o qual observará, por exemplo, que o elemento neutro da adefo ©) (anloma As) € ©
vetor (1.1) © que o elemento sein (anioma Aa) de cada wir (y) EV € a wir

pe
9) ja o conjunto:
R? = {(a, b)/a,be R}

Vamos mostrar que o conjunto R? nid € um espago vetoril em relaglo ds operagdes
assim definidas:

GH D=(ate,d4d)
ka)

»

Ora, como a adiçäo aqui definida € a usual, verificamse os axiomas Ay, Az, Aye Au de
espago vetorial, conforme vimos no exemplo 1. Logo, devem falhar algum ou alguns dos axiomas
relativos à multiplicagfo, Vamos testé los,

Consideremos

ES

A Yu),

Temos, entáo:

My) (08) w= (0B) (xs. 1) = (a) x.y) = a Br
us. y) = aU)

=a(Bx.y)

(Este axioma se verifica.)

Ma) (+ jus (a tuya x.y) tax HBX 3)
A A)

Como se ve:
CPE

«e. portanto, máo se verifics o axioma Mz o que comprova nd. ser um espago vetorial o conjunto
de que trata esse exemplo,

20 Alcora near

23 PROPRIEDADESDOS ESPAÇOS VETORIAIS
Da definigäo de espago vetorial V decorrem as seguintes propriedades:
1) Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adigio).
11) Cada vetor u € V admite apenas um simétrico (-u)€ Y.

UN) Para quaisquer u,v, WE Y, se ut w=

+, ento u =

TV) Qualquer que seja vE V, temse:

49
isto é,o oposto de -¥ € y.
V) Quaisquer que sejam u,v V, existe ume somente um x V tal que:
u+xes
Ese velor x será representado por:
x=v-u
VI) Qualquer que seja VE Y, temse:
ov=0
Naturalmente, o primeiro zero € o número real zero, e o segundo o wetor 0 € Y.
VII) Qualquer que seja LE R, temse:
10-0
VIII) Av=0 implica A=0 où v=0.
1X) Quaiquer que seja ve V, temse:

eve

Expapos vetoriis 25

X) Qunisquer que sejam y @ V e XE R, temae:

(ETES ETC]

24 SUBESPAGOS VETORIAIS

Sejam V um espago vetorial e S um subconjunto náowazio de V. O subconjunto S €
um subespapo verorial de V se S € um espaco vetorial em selagd0 à adigäo e à multiplicagio
por escalar definidas em V.

Para mostrar que um subconjunto S € um subespago vetorial de V, deveriamos testar
08 oito axiomas de espago vetorial relativos à adigio e à multiplicaso por escalar, No entanto,
como S € parte de V. que já se sabe ser um espago vetorial, náo hd necessidade da verificagio
de cerros axiomas em S. Por exemplo, o axioma A, diz que u+y=v+u, Vu,vE V. Ora, se
8 comutatividade da adigio € válida para todos os vetores de V, cla valerá, consequentemente,
para todos os vetores de $. Existem outros axiomas de espago vetorial merecedores de comen-
tário idéntico. O teorema seguinte estabelece as condigdes para que um subconjunto $ de um
espace vetorial V seja um subespago vetorial de V.

2.4.1 Teorema

Um subconjunto S, miowario, de um espago vetorial V é um subespago vetorial de V se
estiverem satisfeitas as condigdes;

1) Para quaisquer u, YE S, temse
urves

1) Para quaisquer a € R, UE S, temse:
aus s

Vamos mostrar que sendo vilidas essas duas condiçües em $, os ito axiomas de espago
vetorial também se verificar em $,

De ato:

Seja u um vetor qualquer de S. Pela condigáo II, au S para todo aER. Fazendo
a=0, wm Que $, où wie, DES (axioma As), Fazendo a =-1,segue (-l)u==uE S
(axioma As).

26 Álgebra linear

Os demais axiomas Ay, Az, Mi, Mz, My € Mg de espago vetorial so verificados em $ pelo
fato de ser $ um subconjunto näo-vazio de V.

Observacáo

Todo espago vetorisl V admite pelo menos dois subespagos: o conjunto {0}, chamado
sübespago zero ou subespago nulo, e o proprio espago vetorial V. Esses dois sio os subespagos
is de V. Os demais subespagos sío denominados subespagos própribs de V.

Por exemplo, os subespagos trivias de V=IR* slo {(0,0,0)} (verificar as condigoes.
Te Il do teorema 2.4.1) ¢ o proprio IR°. Os subespagos próprios do IR? sio asretas e os planos.
‘que passam pela origem.

Parz_V=IR?, os subespagos triviis so: ((0,0)) e IR’, enquanto os subespagos próprios

so as retas que passam pela origem.

mi

Exemples

D Sejum V=IR © S={(x,y) € Ry =2x) où ST {{x,2x);x € WR), io 6, SEO
conjunto dos vetores do plano que tém a segunda componente igual ao dobro da primeira,

Evidentemente, S 49, pois(0,0)€ $.
Verifiquemos as eondigdes Le I

Para u=(%y, 20)E S e ¥= (x2, 26)E S, temse:

D vt v= (ay tg, 2% +20) (ur #9, 2( + RE S, pois à segunda componente
de uty ¢ igual ao dobro da primeira

1) au=a(%,2x1)=(0x,, 2(0x1))€ S, pois a segunda componente de au é igual 0
dobro da primeira,

Portanto, S € um subespago vetorial de IR”.

Esse subespago $ representa geometricamente uma reta que passa pela origem
(Figura 2.4.1),

Obsersemos que a0 tomarmos dois vetores u € Y da ela, ovetor soma u+ ainda
da rea, Ese multipicarmos um vetor u da reta por um nümero real a, 0 vetor au ainda
staré na ret

Espegos verorals 27

Figura 24.4

O mesmo no ocorre quando a reta ndo passa pela origem. Por exemplo, a reta:
S=((x,4-2x)x€ R}

1,2) e v=(2,0) de

no € um subespago vetorial do R*. Se escolhermos os vetores u
S, temos u+v=(3,2) $ (Figura 2.4.16).

Figura 24.16

2

Algebra near

Observemos ainda que auf $, para a # 1

Os exemplos destas duas últimas tetas sugerem. para qualquer subconjunto § de um
espago vetorial V, que: sempre que 0G $. S do E subespaco de V. Alis esse feto é
sempre su para detectar, muitas vezes de imediato, que um subconjunto S nän € subespago
vetorial, No entanto, näo nos enganemes pensando que, se 0 € $, $ € subespago. pois
podemos ter DES sem que S seja subespago. É 0 caso do subconjunto

S= (Ox: xi): x€ RIC

Observemos que (0,0)€ S e que, se tomamos os vetores u=(3,
de S, teremos u+Y=(1,5)E S (Figura 24.10)

Figur 24.16

Observemos ainda que aud $, «<0,

Observago

Nos exemplos trabalharemos somente com conjuntos nfovaæios, ficando dispensada a

necessidade de mostrar que o conjunto & ndo-wazio.

3

Sejam VER! e

(x, y, D/ € IR fax + by + cz = 0)

Espagos retoriais 29

Nesse caso:

Bel, 91,21 S implica ax, + by, +z

=. 72,20) S implica ax + bys + en =0
1} Somando essas igualdades, resuita:

a(x x) 4 Bly: + a) + ef +22) 0

de essa igualdade mostra que:
4 v= Ga tx Y ty 2 HADES

pois as coordenadas de u + v satisfazem a equagio

axtbytezo

1) Por outro lado,
aus (ax, ay, a2)€ S
pois, se:
ax, Hbyı Fez, =0,

entio:

eax, + by + es
où:
alex) + b(ays) + e(@2)=0

© que vem mostrar que as coordenadas de au satisfazem a equagio ax + by + ez~ 0.

Logo, $ € um subespago vetorial de R°. Esse subespago S representa um plano
qualquer passendo pela orige no IR? , 3

30 Algebra linear

I) Sejam ver’

S= (Gy, 2,0), x,y,2€ R}

Jsto€, $ € 0 conjunto dos vetores de R* que tém a quarta componente nula
Verifiquemos as condigöes 1e If de subespago.
Para u, 91,21, DE S e ¥=(%2,¥2, 22, OVE $, temse

Dut v= (x +31 + Ya 21 22,0) $, pois a quarta componente de u+v € mula

M) au=(4x,, ay,,a2,,0)€ S, pois a quarts componente de au € nul.
Logo, S € um subespago vetorial de R*

4) Sejam

‘|
V=MQ,2)= ; abode R
a

isto €, S € 0 conjunto dss matrizes quadradas, de ordem 2, cujos elementos da segunda linha
sio nulos.

Para quaisquer

Bepagorvetorais 3

temse:
D utves
ID aves

Logo, $ € um subespago vetorial de M(2, 2).

Observario
E interessante observar que se livésemos considerado V=IR* e

S= ((2.b,0,0):a,D€ IR},
o raciocinio seria idóntico ao que fot feito para as matrizes acim

5) Sejer V=M(n,n), B uma mauiz fina de V e

S=[AE Mín, m/AB=0)

isto €, $ € 0 conjunto das matrizes que, multiplicadas à esquerda por B, tém como resultado
a matriz mula

Entéo:
Ay E $ implica A1B = 0
Az E $ implica A¿B=0

1) Somando essas igualdades, vem:

AB+A2B=0
(A, +A)B=0
e, portanto:

AtAES

32 Alecbra near

11) Multiplicando por @ real a primeira igualdade, ver:

(A, B)= 00
où

@A)B=0
e, portanto:

ah ES.

Logo, S € um subespago vetorial de M(2, 2)
6) Sejam V=M(3, 1) e

$ o conjunto-soluçäo de um sistema linear homogéneo a trés variáveis

Consideremos o sistema homogéneo

xt Ay 22=0

Fazendo:

0

rad le le

e

>

© sistema, em notalo matricial, será dado por AX=0, sendo X clemento do conjunto
solugáo $.
se

Espapos vetoriis

32

sto solugdes do sistema, emtfo:
AX=0 © AX=0

1) Somando essas igualdades, vem:

AX AX m0

o A(X +%)=0

ou imp
Komes

isto 6, a soma de duas solug6es £ ainda uma solugáo do sistema,

IN) Multiplicando por a real a primeira igualdade, vem:

a(AX,)=00
A@X,)=0
‘© que implica

«Xx ES

isto É, o produto de uma constante por uma solugfo € ainda uma solugäo,

Logo, o conjuntosolugáo $ do sistema linear homogéneo € um subespayo vetorial de

MG, D.

Observapôes

1) Esse conjuntosolugio S pode também ser considerado subespago de IR”, pois um

vetor (4,y,2) € IR? tem notagdo matricial:

El

Algebra near

2) Esse subespago $ € também chamado espago-solupdo do sistema AX = 0.

3) Se tivermos um sistema homogéneo de m equagdes lineares com n variáveis, o

espago-solugdo será um subespago de RT,

4) Se um sistema linear € náo-homogéneo, o seu conjuntosolufo S rio € um subespago

vetorial (verificagdo a cargo do leiter),

n

Seam VR
S= (xy) x> 0)

isto&, $ €0 conjunto dos vetors de R? caja primeira componente € positiva.
Sendo

ROY) MPO ©

242

vetores quaisquer do S, temos:

D ut veu Hm. Yi tye S pois x; +x; >0, isto 6, a soma de dois vetores com a
primeira componente positiva € um vetor cuja primeira componente € também positiva

1D av=(@x.0y4)F S quando © <0, isto é, nem sempre o produto de um vetor com
a primera componente postiva por um número real resulta um vetor cuja primera
componente € positiva. Por exemplo, U=(3,)ES € -263,-9)=(6,81É 5

Logo, $ no € subespago de IR.
Para chegar a esa conclusfo poderíamos ter usado o fato de que (0,0)¢ $ (imediata)

Intersegdo de dois Subespapos Vetoriais

Sejam S, e S; dois subespagos vetoriais de V. A intersegio S de S1 € 55. quese

representa por S=S, 0 Sz, £o conjunto de todos os vetores vE V tais que VE Si e VE $;

Esmegos vetoriin 35

2421 Teorema

A intersegto S de dois subespagos vetoriais S, € S, de V é um subespago vetorial de
V. Defato:

D se uve Si, entio utvE Si;
sav E Sp, ento utVE Sy
Logo:

ES

11) Para qualquer AE R:

se VE Si, entäo AVE Sis

se VE Sy, entáo Av € Sy.
Logo:

Ave S,S,=S

Exemples.

1) Seja V0 espaga vetorial das matrizes quadradas de ordem 2:

a
ve ; abode R

e à

Sejam Sy € Sa subespagos vetoriais de Vi

a bl
si LabeR
lo ol

36 Ate linear

. I Len

Aintersegso $= 1 MS; € um subespago vetorial de V:

D Sea o espago vet
Si = {(4,b,0); abER) eS
subespago vetorial S= {(0,0,0)}

ial RI = (a,b,c); a,b,c R} e os subespagos vetoriis
0.0.9; CER}. A interaglo SNS Eo
{0}.

2.4.3 Soma de dois Subespagos Vetoriais

Sejam $, e S dois subespagos vetoriais de V. A soma S de Sy € Sa, que se repre»
senta por $=S, +85, € o conjunto de todos os vetores u + v de V tals que UE Si e vE Sa.

2431 Teorema

A soma $ de dois subespagos wetoriais S, e S; de V éum subespago vetorial de V. De
fato:

D se uy, us € Sy, entáo uy + us € Si;

se Ye € sen tv € Sp
For outro ado

nes

wines

logo:

CECI CEE EURE CREER

spores vetorait 37.

1) Para qualquer AS R:

Se uy € Sy, entio Au, € Sy;

une

, ento Avy € Sa
Por outro lado:

mn es

logo:

Muy +11)= Aus + An € Sy +S; =S

Exemplos

1) A soma $ dos subespagos vetoriais Sy e S; referidos no exemplo 1 de 2.4.2.1 € um
subespaço vetorial de V:

abc R

(2,0,0) ABER) e Sa = ((0,0,c);c € R} do
bee R)

D Sejam os subespagos vetorials Sy
espago vetorial IR? = {(a, b, €);

A soma Sy +S, € 0 subespago vetorial $= {(a,b, 0); 0,b,CE KR), que, no caso, €
‘proprio R°

2.4.4 Soma Direta de dois Subespacos Vetoriais

Sejam S, € Sp dois subespagos vetorais de V. Dizse que V é a somadireta de Si €
Sa, € se representa por VS O Sa, se VS; +8 € SNS = (0 }

38 Algebra incor

2441 Teorema

Se V é a soma direta de S; € S;, todo vetor vE V se esereve, de modo único, na
forma:

yeutw

UES, © WES

De fato, de V=S,()S,, vem, para qualquer ve Y:
vrutw, onde uE Si e ve Sa (Q4.4.1-0)
Suponhamos que v pudese exprimi se também pel forma:

veu'+w, onde WE S, e we 24410

As igualdades 2.4.4.1 e 24.4.1-11 permitem escrever

ou:

onde.
u-ve Se wewe ss
‘Tendo em vista que Si 1 S3 = {0}:
uewew-w=0

isto és

Exemplo:
O espago vetorial R= ((a,b,c); a.b.c€ R) € a soma direta dos subespacos vetoriais:
S$, = {(a,0,0); a, DE R} e = {(0,0,c); ce R)

pois qualquer vetor (a,b,c) © R? pode ser escrito como soma de um vetor de Sı e um vetor
de Sa de modo único:

(a,b, c)=(a, b, 0) +(0,0,c)
e, portanto:
e-s Os

25 COMBINAÇAO LINEAR

Sejam os vetors Ya, vu Y, do espago vetorial V € os escalares 25,29, 23. Qualquer
vetor ve V da forma:

tan tt

é uma combinagio linear dos vetores Yı, va,

Exemplo

No espago votorial Pz dos polinómios de grau <2, o polinómio v= 7x? + LIx- 26 €
uma combinagío linear dos polinómios:

MES Ze 8

De fato:
VE 3 tan

stoé

D + 1x 226

(Sx? = 3x +2) +4(-28? + 5x8)
Sx? - 9x46 - 8x? + 20x -32
= Hé + 1x -26

Dé HR

Ré + 1x 2

40 Álgebra near

2.5.1 Problemes Resolvidos

Para os problemas de 1 a 4, consideremos, no R®, os seguintes vetores: vy =(1,-3, 2)
en-@4-D.

1 Escrever o vetor v=(-4, -18, 7) como combinagéo linear dos vetores Y, € va

Solucdo
Pretende-se que:
vantan
sendo as € ay escalares a determinar. Entdo, devemos ter:

(4, -18,7)

1 (1, -3, 2) + 2202, 4, -1)
(4, -18, 2)= (21,341, 244) + (209, 4, a)

(-4,-18,7)= (as + 209, das + da,

1)

Pela condigao de igualdade de dois vetores, resulta o sistema:

a+ 254
Be + das = 18
= #27

cuja solugo € ay

Portanto,

vom 3

Espeporveroriie 4

Observaeso
Esse sistema e outros deste Capitulo estio resolvidos no Apéndice

2) Mostrar que o vetor v= (4, 3,-6) nfo € combinaçäo linear dos vetores y, € Ya

Solugáo.

Devese mostrar que náo existem escalares a, € az tals que:

aura
‘Com procedimento análogo ao do problema anterior, temos:
4, 3,-6)* (1, -3,2)4 (2, 4,-D,

de onde resulta 0 sistema

atlas 4
Suite 3
Day - a = 6

Observemos que esse sistema difere do anterior pelos termos independentes. Como €
incompatível, o vetor v nio. pode ser escrito como combinagdo linear de Y, € Ya.

3) — Determinar 0 valor de k para que o vetor u=

k,-7) seja combinagfo linear de

Solucáo

Devemos ter

CURE

ou:

1-3, 2)# a262,4,-1)

42 Algebra incor

de onde vem o sistema:

a) +29 =-1
Ba, +4, = k
da - 5-7

do qual resulta, como solugäo do problema proposto, k= 13 (a =-3 € az = 1).
De fato:

(1,13, -7)= 34, 3,294 1(2,4,-1)
(1,13, -)= 3,9, -6) +(2,4,-1)
(1,13, -7) =(21,13,-7.

4) Determinar a condigto para x, y e 2 de modo que (x,y,2) seja combinagdo linear dos
vetores vy € Ya.

Solupáo
Deyemos ter:
(,y.2)= a1 (1, 3,2) +2:(2,4,-1)

de onde vem o sistema:

ay +20 =x
das + aay

> ane

O vetor (X, y, 2) somente será combinagto linear de vy e vz se 0 sistema tiver solugáo, e
isto somente ocorte se:

x-y-22=0

Expoposvetorits 43

‘Assim, todos os vetores (x, y, 2) € IR”, que sio combinagöes lineares de v; € va, tém
a forma:

com y,2 € R

Podemos fazer a interpretagfo geométrica desse resultado. Observemos que os vetores vı €
va náo sfo colineares. O vetor ayyı tem a ditegdo de vi, eo vetor 2va, a direçäo de va
Logo, todos os vetores (x, y,2) € IR* do tipo

OGY, DA aM ta

formam um plano 1 que passa pela origem conforme sugere a figura 2.5.1. Esse plano tem equagdo
22 =0, que estabelece a condigáo solicitada entre os componentes x, y € 2.

x Figura 25.1

5) Mostrar que o vetor v=(3,4)€ IR? pode ser escrito de infinitas maneiras como combi-
nagfo linear dos vetores Y =(1,0), v * (0, 1) e vs =(2,-1).

Solugio

Temse

(3,9) = a(1,0)+ b(O, 1) + 6(2, 1)

48 Accra mer

donde:
at 20=
b- 074
| a= 3-26
bedtec

+, portanto, para cada valor de € obtémse um valor para a e outro para b,

25,2 Subespagos Gerados

Seda V um espago vetoral, Consideremos um subconjunto A= hm) CV,
er

© conjunto $ de todos os vetores de Y que sto combinapdeslinsares dos etores de A €
hun subespago wetrial de V.

De fato, se:

av tasty tat ayy

Ve ban Bats ta Hb
so dois vetoes quaisquer de $, podese creer:
Ut v= (ay + ba) as FED ve ++ DQ)

aus (ea) + (am) +. HOR),

Tendo em vista que u+vE S € que QuE S, por serem combinagöcs lineares de
Vis Ya, <> Y conclubse que S é um subespago vetorial de V.

Simbolicamente, o subespago $ €

S= (VE VNR avs +. PAY out, € RD

Etpagos erorisis 45

Observagdes

1) O subespago S dizse gerado pelos vetores vi, ¥2,..,¥q, Ou gerado pelo
representa-se por

njunto A, e

Stun) on $= GCA)

Os vetores V1, Ya, Y, so chamados geradores do subespago S, enquanto A €
© conjunto gerador de S,

2) Parao caso particular de A=, definese: [9] = 10)

3) AC GA) ouseja, ve) € Arena).

4) Todo conjunto ACV gera um subespago vetorial de V, podendo ocorrer GA) = V.
Nesse caso, A € um conjunto gerador de V.

Exemplos

1) — Os vetores 1=(1,0) e j=(0,1) geram o espago vetorial IR”, pois qualquer (x,y) € R?
€ combinagdo linear de ¡e j:

(9) xt x(1,0)+y00,1)=(x,0)+(0,9) = (4,9)
Ent:
(HE

2) Osvetores 1=(1,0,0) e j=(0,1,0) do RY geram o subespago
S- ((1,y,0)< Rx, eR}
pois:
(43,0) =x(1,0,0)+y(0,1,0)
Entio:

[i,i] =S € um subespago proprio do RR? e representa, geometricamente o plano xOy.

46 Algebra incor

3) Os vetores €1 =(1,0,0), ex =(0,1,0) € es =(0,0,1) geram o espago vetorial IR”, pois
qualquer v=(%,y,2)€ R? € combinagóo linear de ex, ez e es

Gye

(1, 0,0)+ ¥(0, 1, 0) + 2(0, 0, 1)
v= xe + yes +265,
‚Entzo,
CERTES
Observapéo
Antes de resolvermos alguns problemas e forneoermos certas interpretaçôes geométricas,

“atentemos para um fato importante,

Dados n vetores vi,

a de wn pago vetoral V, se WE V tal que
went tan

eno
RE = fet va)

pols todo vetor y que € combinapdo Hear de 4, ...¥q,W € também combinagdo linear de

Expocos vetoras 47

Supondo que:

VE fr va W], ento existem números reais By, +s bn,

ris que

Vadis + Da + bw

wea + tar
logo:
VEDI rn Ban + bat + 2 vo)
2 (br ab + 22 + bn + nb
+. portanto, v 6 combinagdo linear de Vi. +++. nn 06,

VE [vay vol

A recíproca, ou seja,

se v &l oss Val, entlo VE [us va, W]
eirival, pois
se VE avi te ant entdo VE ay, +... + ania + Ow:

‘Assim, sendo S um subespago gerado por um conjunto A, 20 acrescentarmos vetores
de $ a esse conjunto A, 6s novos conjuntos contimuardo gerando o mesmo subespago S. Esse
fato faz entender que um determinado subespago S pode se gerado por uma infinidade de
stores, porém existe um mimero mínimo de vetores para gerä-b.

2521 Problemas Resolvidos
6) Seja V= IR. Determinar o subespago gerado pelo vetor vi =(1, 2, 3).
Solupáo

Temos

[a] = LG y,2) € Rox, y, 2)=4(1,2,3), a € R}

48 Alecóra linear

Da igualdade:

Gy, 2)*a(1, 2, 3)

yee
2=30
donde
y=2x
wok
Logo,
fy] = £0,952) © Riy=2x e 2=3x)

Im] = {Ge 24,30): x € R}

O subespago gerado por um vetor vy E IR’, vy # 0, € uma reta que passa pela orgem
(Figura 2.5.23). Se a esse vetar acrescentarmos Ya, Vs, ... 10dos colineares entre si, o subespago
gerado por 2,3, ...vetores continuará sendo a mesma reta:

dv] = (11,2) = In, va, vs] =. (Figura 2.5.26)

Figura 2.5.28

Expocor verories 49

2) Sea V=R?. Determinar o subespago gerado pelo conjunto A = {viva}, sendo

n=0,2-Den=Q11
Solugio
Temos:

[mv] = £60 y, 2) © Ry.) = ay(1,-2,-1) #92, 1, Dia © IR)

Da igualdade acima, vem:

a #24, =x
la + ay

at ez

O wetor (x,y,2) € In, va] se, e somente se, 0 sistema tem solugdo. e ito somente ocorre
quando x + dy - 52D (exercício a cargo do itor).

Logo:

Wr. va] = (6,y,0 € Rat 3y-S2=0)

O subespago gerado pelos vetores vy, vz E RY, ndo-olineares, € um plano x que passa
‘pela origem (Figura 2.5.26). Se a eses dois vetores acrescentarmos Ya, Ya... todos coplarures,
6 subespago gerado por 3,4,... vetores continuará sendo o mesmo plano r-

lv]

va a] lv, vo, 19,14] ee (Figura 2.5.24)

Figura 25:20 Figura 25:24

50 Atebre incor

8) Seja V=IR'. Determinar o subespago gerado pelo conjunto A = fi, Ya, Ys), sendo
all.) e vs = (1, 0, 0)

Solupio
Para todo vetor (%,Y,2) € [Mas va, Ya), tenvse:
(,3,2)=3,(1,1,1)+2,0,1,0+3,01,0,0)

Desta igualdade, ver:

ate =y
ary-z

Portanto:
(4 ¥,2)= 201, 1, 1) -2)(1,1, 0) + x= yA, 0,0)

+, por comseguinte, os vetores Y,, Ya € vs geramo R°, pois cada vetor do R? € combinagio
linear dos verores dados.

Logo:
NS
© subespago gerado por trés vetores nio-copianares é o proprio R° (Figura 2.5.26). Sea
‘esses tré wetores acescentarmos Ya, Ys, .. qualsque, o subespapo gerado pelos 4,5... vetores

continuará sendo o proprio R°:

Da, Va, va] = fv, Ya, Ya, Ya] =

Figura 25.26

9) Mostrar que o conjunto A= [ (3, 1),(5. 2)} gera oR?

Solugéo

Vamos mostrar que todo vetor (x.y) © IR? € combinagio linear dos vetores do conjunto.
A, isto, sempre existen os números reals ye a, tas que

ANT Drs)
Daf vem o sistema:

Ja, + 5a =x

a Ha: y
que, resolvido em termos de x € y, fornece

a =2k-Sy e

Portanto:

2x - $993, 1) + By-)6, 2)

(y)
isto €

COS

$2 Álgebra linear

10) Sejsm V=M(2, 2) e o subconjunto
p 2] [
taal.

Determinar o subespago G(A).

Solupio

Para todo vetor

-il

cas ex
dae bey
tat bez
Sat bet

que € compativel se:

Expagosvetorits 53

2.6 ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS

Um espago vetorial V € finitamente gerado se existe um conjunto finito A, ACV, tal
que V= G(A).

Com exces
aqui sio finitamente gerados. Por exemplo, vimos que o IR? € gerado pelo conjunto finito de trés
vetores

so do Exemplo 6 de 2.2, os demais exemplos de espagos vetoriais citados até

A={(1,0,0), (0,1,0), (0,0, 1)}

pois, para todo (x,y, 2) € RP, temse:

(, y. = x(1, 0,0) +y(0,1,0) +2(0,0, 1)

Em nosso estudo trataremos somente de espagos vetoriai finitamente gerados.
Um exemplo de espago vetorlal que mio € finitamente gerado € o espago P de todos os
polinomios reais.

Na verdade, dado A = {pr Pa) CP, onde p, € um polínómio de grau ie py ode
mais alto grau, qualquer combinagto linear

APs + 2pa Po Pao

tem gau <n. Assim, o subespago [Pı,...Pn] contém somente polindmios de grau menor
où igual ao grau de py. Como P é formado por todos os polinómios, existem nele polinómios
de grau maior que o de Pa. Logo, G(A)*P para todo conjunto finito A € P.

2.7 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAR

No problema 8 de 25.2.1, chamamos a atengfo para ofato de que o espago vetorial R? pode
ser gerado por trés vetores, ou também por quatro, ou por cinco ete, Assim, tés vetores cons-
tituem o número mínimo necessáio para gerar o IR’. No entanto, quatro, cinco ou mais
vetores podem gerar o IR. Porém, nesse caso, sobram vetores no conjunto gerador, Em nosso
(Studo temos grande interesse no conjunto gerador que seja o menor possível, Para a determi
ago do menor conjunto gerador de um espapo vetoral, precisamos ter a nogfo de dependéncia
¢ independéncia linear.

56 Algebra tor

2.7.1 Definiçäo
Sem V um espago vetorial ©
Am [Vaca da) CV
Consideremos a equagdo
au + a, =O en

Sabemos que essa equagdo admite pelo menos uma soluggo:

chamads solugáo trivial
O conjunto A dizse linearmente independente (LI), ou os vetores Ys, …, va sio LI,
caso a equacio (2.7) admita apenas @ solupäo trivial
Se existirem solugöes a, #0, dizse que o conjunto A € linearmente dependente (LD), ou
que os vetores 3, va STO LD.

Exemples

0-23 e 90230

1) No espago vetorial V= IR, os vetores va =(2,-1,3), Y
formar um conjunto linearmente dependente, pois

Bu +40 1950
où soja
342,21, 3) + 46-1, 0,-2)- (2,23, 1) =(0,0,0)

D No cspago vetorial V2 IR, os vetares Y, =(2,2,3,4), va = (0,5,-3.1) © vs + (0,0.4.-2)

s. De fato:

so linearmente independen

20,2,

(24,23,
(2a, 2a + Sb, 3a - 3b+4c, da + b- 20

3,4) +b(0,5,-3, 1) + c(0,0,4, -2)=(0, 0, 0,0)
a, a) + (0, SD, - 3b, b) + (0, 0, de, -2e) = (0,
0, 0,0, 0)

»

Espagos verortals 55

istoé
2 =a
e+ Sb o

Ja dh + de +0

fat b-2o-0
O sistema admite unicamente a solugäo:
a=0, b=0 e c=0
No espago vetorial IR”, o conjunto (e. €, es), tal que e, =(1,0,0), es = (0. 1,0) €
es (0.0.0, € LI

De fato, a equaçao:

ayes tags Pases =0

21(1,0,0) +a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1

(0.0, 0)
transforma-se em:

(ay, at) = (0, 9, 01

+, portanto

aa; =ay=0

Logo, 0 conjunto.

((1,0,0),(0, 1,0),(0,0.1)+

eu

De forma análoga mostrase que os vetores

© =(1,0,0,.... 0), €; =(0,1,0,....0)

formam um conjunto linearmente independente no IR”

56 At meer

4) Nocspago vetorial M(3, 1) das matrizes-colunas, de ordem 3 x 1, os vetores:

1 fo 0
esfo] . eli. eto
o] o 1

so LI (verificagdo a cargo do leitor)

5) No IR? os vetores es = (1,0) e ex (0.1) sáo LL No entanto, os vetares ey, e, €
a,b) séo LD. De fato:

x(1,0)+y(0, 1) + za, b) = (0.0)
(x,0) +(0, y) + (az, be) = (0.0)
(x+az, y+b2)=(0,0)

to
xro
y+tbz=o

O sistema admite ao menos uma solugáo näo-trival. Por exemplo, Sendo 2 = 1. vem

ae y==b

Logo

wae, = ber #¥=0

6) No espago vetorial M(2,2), o conjunto

2 2 = 3 4

3 1J.ls oJ.lz 1

Expapos ons 52

Examinemos a equagto
antan a 70

|
La 1 E 0

ou, de modo equivalente:

PES

32, + Jay + Bay

e dai o sistema:

= ay + 2a; + 3a = 0
Day = das - da =0
“Bay + das +30, = 0

a + 20

caja solugio é a, sm €

tay

ay Las

a

Como existem solugdes 8; #0 para a equag0 (1), o conjunto A # LD.

Observagbo

Vamos substituir a solugfo do sistem na equagáo (1):

a 2m Fash

am ana = 0

para todo ay € IR.

$8 Algebra near

Dividingo ambos os membros desa syualdado por a5 7 0, rene
si torso

dat. vem
Meme ds, € combinagéo linear de m en)

Av, C2 Ecombinagao linear de y, e va)

le +

7

ou, ainda

nenn (#5 &combiragso bear de $, € 13)

Como se observa, sendo A um conjunto LD, entdo um vetor de A € combinagäo linear
dos outros, Esse fato e sua recíproca constituem o teorema seguinte,

272 Teorema

“Um comjumto A= { 4, M Up > # LD se, somente se, pelo menos um desses vetores
nbinagio linear dos outros."
A demonstragio € constituída de duas partes

1#) Seja A linearmente dependente. Entio, por detinigdo, um dos coeficientes da igualdade
mn + tait te

deve ser diferente de zero, Supondo que à, 0. vem

+ portante. y, € uma combınagdo lear dos outros vetores.

Espaos verona: 59

2%) Por outro lado, seja y; uma combinagío linear dos outros vetores:
WED iv tat Davies tienen tot ban
ou, ainda.

Diva tt Dien Men = IET Die Vio tt Bava =O

+. portanto, a equagdo
Div + 24 HIDE E Baty =O

seven

ca para b, #0. No caso, b,=

Logo, Aé LD.
Observapóas

1) Ese último teorema pode ser enunciado de forma equivalente:

Um conjunto
‘combinaggo linear dos outros"

tony} € LI se, e somente se, nenhum desses vetores for

2) Para 0 caso particular de dois vetores, emos:

Dois vetores y, € va sio LD se, e somente se, um vetor € múltiplo escalar do

Por exemplo, os vetores

“4.023 e

2.-4,6)

sio LD, pois

où

nein

60 Acera near

enquanto

md

De 9 015
slo LL pois

Y ko;

para todo ke R

3) Nos gráficos a seguir apresentamos uma interprelagdo geométrica da dependéncia linear
de dois e trés vetores no IR”.

En) eu

(61 € vy estlo représentados na mesma re
que passa pela origem)

Ga va € va estdo representados no mesmo
plano que passa pela origem)

Esparos vetorais

a

2.7.3 Problemas Resolvidos

11) Verificar se s30 Li ou LD os seguintes conjuntos

1 a) fs 6
» | ema.»
4 al

» (Q,-D,(1,3)) €

©) [(cL.-2,0.3),(2,-1,0,0),(1,0,0.0)) CR

d) fir, 2x4 3x8, 3-4x+ 70) CP

Solupdo

a) Como o conjunto tem apenas dois vetores com um deles sendo multiplo escalar do outro
(6 segundo vetor € o triplo do primeiro), o conjunto € LD, de acordo com a Observagäo 2 do

Teorema 2.7.2.

b) Tendo em vista que um vetor no € múltiplo escalar do outro, © conjunto € LI

Mesmo que fóssemos examinar a ¡gualdade-
2(2,-1)+b(1, 3)=(0,01
concluirfamos que o sistema
| a+ veo
a r3b=0

admite somente a solugdo trial, 0 que vern confirmar ser o conjunto LI.

52 Algebra near

©) Consideremos a equagdo:

a(=1,-2,0, 3) + b(2,-1,0,0) + €(1, 0, 0,0) =(0,0,0,0),

Portanto:
-ar2brcn0
ab =0
ES =o

Como o sistema admite apenas a solupfo trivia:
a=b=e=0,
o conjunto € LI

4) Sein aequagio

CURENSEN EE TERRE CENTER EEE

a

(ar 20+ 3e) + (2a- b= 4o)x (at 3+ Ton? = 0 + Ox + ON?

Pelo prinefpio da identidade de polinómios, vem:
at 2b+ 320
2a- b-40=0

aribrd=0

‘Como esse sistema admite outras solugdes alé da trivial, o conjunto ¢ LD.
Observacáo
O leitor deve ter notado que a variável x nos polinómios desse problema nio desempenha

nenhum papel no cálculo. Com o objetivo de simplifcar.a cada polinomio dotipo a0 + a,x + 2,27
associese à terna (ap. 31.39)

Espagos vetoriars

$3

Assim, a igualdade (1) desse problema poderia ter sido escrita assim:
401.2.) + DR, 31 + (3, 4, 71=(0,0.0)
Simplificagóes análogas a essa podem ser fejtas, por exemplo, associando

Day taxtax sax? € Py com (99,81. 31,21)€ RE

END com (a,b, 6.4) E Re

Ba rex € Py com (0.0.0) € IR

+ assim por diante

12) Provar que æ u e y sío Ll. emtäo w+ ye u-v também 0 so

Solueso
Consideremos a igualdade
aqu y+ blu =O

a qual resulte
lar bjutta-biy=0

Como we v sfo LI. nessa iguatdade (3) devese ter

2+b=0

2-b=0

sistema que admite somente a solugäo a

= 0. Logo, pela igualdade (2). u+v e u-v

a

a

sio LI

13) Determinar o valor de k para que o conjunto

ODA LOL 1-0}

sea LI

Solved
O conjunto será Ll se, e somente se, a equagio

a(1,0,-1)+b(1, 1, 0)# ck, 1,-1)=(0,0,0)

admitir apenas a soluggo 2 = b= c= 0, Dessa equagdo, vem:

at b+ke=0
b+ co
eno

Para que esse sistema admita apenas a solugäo trivial, devese ter k 4 2 (a cargo do leitor)

Logo, o conjunto sera LI se k #2

2.7.4 Propriedades da Dependéncia e da Independéncia Linear
Seja V um espago vetorial

D Se A= {vi CV © v0, entéo A ELL

De fato
Como v#0, aigualdade
aed

sö se verifica se a=0,

spapor verona

ss

Observacdo
Considera.se, por definigfo, que o conjunto vazio 9 € LI
IM Se um conjunto AC V contém o vetor nulo, entéo A € LD.
Defato

Seja o conjunto A

Entáo, a equago

Om + #0740,

se verifica para todo a #0, Portanto, A € LD.

UID Se uma parte de um conjunto AC V € LD. endo A € também LD.
De fato:

Sejam AS {uv os Vy) eaparte

ALE [Mi CA A 6 LD
Como A, € LD, existem a, +0 que verificam a igualdade
ar tan Hayy, 0

e esses mesmos a, # 0 verificam também a jgualdude
EURE ET CNET TE

LORD, AS [Moo ru Ya) € LD!

IV) Se um conjunto À © V € LI qualquer parte A, de A também LI

De fato, se Ay fosse LD, pela propriedade anterior o conjunto À serie também LD, o.

que contradiz a hipótese

66 Aücbra near

Observacóo

Se todos os subconjuntos próprios de um conjunto fimto de vetores sio LL o fato náo
significa que o conjunto seja LI. De fato, se considerarmos no IR os vetores e,
es =(0.1) e v*(4,5), verificaremos que cado um dos subconjuntos {61.63 }.
fervh. fort. Les} e [v) é Lienquanto o conjunto (e, ez, € LD.

Vs Arms) CV € lle Bein wh CY € LD, emo we
combinaglo linear de 4, ... Ya

De fato:

Como B é LD, existem escalares 24, ; An. , nem todos nulos, tais que:

av + + a, bw =O,

Ora, se b= 0. entdo algum dos a, nao € zero na igualdade:
an tt =O

Porem esse fato contradiz a hipdtese de que A & LI Constqüentemente, temse #0, e.
portanto:

AN

+ que implica

isto €, w € combinagao linear dev. Vp

28 BASE E DIMENSAO
2.8.1 Base de um Espago Vetorial

CV 4 uma base do espago vetorial V se:

Um conjunto B

D BELL

i) B pera Y

Eimaporveronu 67

Exempios

QD} € base de R’

D Bid

De fato

D BELL pols all. 1)+(-1,0)=40,0) impla

€ dei

11) B gera IR, pois para todo (x,y) € IR”. temse
TYCO EL
Realmente, a iualdade

(1.1) + b(-1.0)

(ay

implica

donde

e bryor

Os vetores da base B estdo representados na Figura 2.8.1. Em 2.7.2 jä havíamos visto que
dois wetores nfo-colineazes sño LI. Sendo eles do IR”, indo gerar o proprio IR? Na verdade.
quaisquer dois vetores nio<olineares do IR? formam uma base desse espago.

65 Aipeire linear

Figura 281
2 B={(1.0).(0.1)) € base de TR”. denominada base canónica
De faro.
D Bé LL pois a(l.0)+D(0, 1)=(0,0) implica a= b= 0;

M) B gern IR?, pois todo vetor (x,y) €

ty

(1,0)4 y(0,0)

2) Consideremos os vetores e, =(1,0,0,...0),€3 = (0.1.0, 0). en = (0.0,0,.. 1).
No exemple 3 de 2.7.1 deixamos claro que o conjunto B= f01,85,...€/) é Llem R%
Tendo em vista que todo vetor v=(X,,Xz,... Xp) E IR® pode ser escrito como combi:
ago linear de 61.63. eya tO €

AN

conchuise que B gera o IR" Portanto, B & uma base de I, Essa base € conhecida
como base canónica do IR”

Conseqiientemente:
{41 0,0, 0), (0,1, 0,0), (0,0, 1,0),(0,0,0.1)) €a base canónica de IR*;
(1.0,0).(0, 1,0), (0,0,1)} € a base canónica de IR?

4(1,0),(0,1)} € a base canónica de IR?

11) 6 a base canónica de R.

Espagos veorials 69

AAA

6 a base canónica de M(2, 2

De fato:

, 0 o dl fo 0] fo o]
o o 1 o oO 1 o 0]
+ 8] foo

al [oo

ea

seyeueann

Patio, 8 EU

Por outro lado, B gera o espago M(2, 2), pois qualquer

=)

a}
© M(Q.2)
ed

pode ser escrito assim:

Logo, B ébase de M(2, 2)

70 Alkebre tear

5) Ocomjuato B= £1, x.x7, x") € uma base do espego vetonal P,,
De fato
dol ape ax ra O

implica ag = a; = 49 * 9, =0 pela condigdo de identidade de polinomios. Portanto, B é LI

Por outro lado. Bl gera o espago vetorial Ps. pois qualquer polinômio p € Py pode ser
escrito assim,

a tax tax? + ta,

que € uma combinagdo linear de 1, x, x

Logo, B € uma base de PL. Essaéa bese canónico de P, etem mtl vetores.

6) B=4(1.2),(2.4)) nfo € base de IR”. pois 8 é LD (exereicio a cargo do leitor)
” (1.0), (0, 1),(3,4)3 no é base de IR”, pois B € LD (exercicio a cargo do leiter).
31 B= ((2,-1)} ndo € base de IR? 8 € LI, mas fo gera todo IR”, sstoe, [(2,-1)] HR

Esse conjunto ger

{uma reta que passa pela origer.

N B=4(1.2,1),(-1.=3.0)) odo € base de IR, B é LI, mas nfo gera todo IR?

Observacóo

“Todo conjunto LI de um espago vetorial V ¢ base do subespapo por ele gerado.

Por exemplo, a conjunto B=((1,2,1),(-1,-3,0)) CIR? € LI e gera o subespago

nd RO/3x-y-2=0}

Entio, B ébase de S, pois BéLlegera $.

Expoporvetors 7

2.8.2 Teorema

Se B= (v1. e.autq} for lona base de um espapo vetoral V, entáo todo contunto
com mais de n vetores er Inearmente dependent,

De feto:

Seja B= (wi, Wann) Um conjunto qualquer de m vetores de Y, com m>n
Pretende-se mostrar que E" € LD. Para tanto, basta mostrar que existem escalares Xy, Xy; co Ko
no todos nulos tais que

RL GWE E mm =O a

Como B € uma base de V, cada wetor +; pertencente a B’ é uma combinagfo linear dos
vetores de B, 510€, exstem números a, 3, >, 5 tas que:

AS

(a

AS
Substituindo asrelagóes (2) em (1), obtemos:

ee len ta ++ a) +

ES +

+ am its + 5

ht Enta)= 0
ou ordenando os tesmos convenientemente.

(ay + Bie Bi) +

+ x + BAX: tt Bake +

AA

72 Algebra dear

Tendo em vista que viva,
nulos.

sio LI, os coeficientes dessa combinacio linear sio

yxy bir tt

ax + akg + 18% 20

ans + Syko + ut Spm =O

Esse sistema linear homogéneo possui m varifveis Xp, x. … X
m2 n, existem solugóes nioxtriials,isto €. este x, #0. Logo, BY =

en equagóes. Como
Wi, Ma; Wy} ELD.

283 Corolário
Duas bases quaisquer de um espace vetorial tim o mesmo mimero de verores
De fato:

Sejam AS (vy stg! € BS Cs, Wy} das bases de um espago vetonal Y

Como A base e B € LI pelo teorema anterior, nm. Por outro lado, como B € base
+ A € Li temse nm Portanto,

Exemplos

1) A base canónica do IR? tem trés vetores. Logo, qualquer outra base do IR? tei
és vetores,

tombe

2) A base canónica de M(2, 2) tem quatro vetores. Portanto, toda base de M(2,2) tend
quatro wetores.

2.8.4 Dimensäo de um Espaco Vetorial

Seja V um espago vetorial

Expacor vetorieis 73

Se Y possui uma base com n vetores, entdo V tem dimension e anotase dim V= 0,

Se V näo possui base, dim V = 0,

Se V tem uma base com infinitos vetores, entdo a dimensdo de V € infinita e anotase

dim V=

Exemplos
) dim IR? = 2, pois toda base do IR? tem dois vetores

2 dm

3 dm M(2,

4 dim Mm mn

5) dimP, =n +1

9 dim {0} =o.

Observacós

1) Seja V um espago vetora tal que dim V =n.

Se S € um subespago de V. entio dimS<n, No caso de dimS=n, teme

Para pecmitz uma inter
AR? (dim R° = 3).

retagdo geométrica, consideremos o espago tridimensional

A dimensdo de qualquer subespago S do IR? só poderá ser 0, 1,2 ou 3. Portanto,
emos os seguintes casos

1) dimS=0, entdo S= (0) € a origem.

ID dimS= 1, entio $ € uma reta que pasta pela origem.

34 Algebra tinecr

UN) dim S=2, entéo $ € um plano que passa pela origems

IV) dimS=3, entéo $ 6 0 proprio IR?

2) Seja V um espago vetorial de dimensdo 5. Entdo. qualquer subconjunto de V com mais
de n vetores € LD,

3) Sabemos que um conjunto B € base de um espago vetorial V se B for Lle se B gera
V. No entanto, se soubermos que dim V=n, para obtermos uma base de V basta que
apenas uma das condigöes de base esteja satisfeita, A outra condigZo ocorre automatica:
mente. Assim:

D Se dim V=n. qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V.

IN Se dimV=n, qualquer subconfunto de V com n vetores geradores de V é uma
hase de V

Exemple

O comunto B= ((2,1),(-1,3)) € uma base do RE

De fato, como dim IR? =2 € os dois vetores dados so LI (pots nenhum setor € múltiplo
escalar do outro), eles formam uma base do IR”

2.8.5 Teorema
Seja Y um espago vetorial de dimension

Quaiquer conjunto de vetores LI em Y € parte de uma base, sto é, pode ser completado
até formar uma base de V.

À demonstraggo está baseada no Teorema 2.7.2 e no conceito de dimensäo.

Deixaremos de demonstrar o teorema € daremos apenas um exemplo a título de Hustragáo

Espagos verla 75

Exemplo

Sejam os vetores vy = (1,-1,1.2) e #3 =(-1,1,-1,0)

Completar o conjunto À v, vz } de modo a formas uma base do IR“

Solucso

Como dim R= 4, ma base ters quatro vetores LL Portanto faltara dos. Escolhemos um
vetor vy © IRE tal que vy nao set uma combinagio linear de Yy € Ya, O6, Ya ats +00
para todo 31.23 © BR, Dentre os infinitos vetoes existentes, um deles € o vetor va = (1, 1,0, 0)
€ 0 conjunto Lu, ¥2,¥y} € Lise va fosse combinagfo Imear de Y, & va cue conjunto seria

LD de acordo com o Teorema 2.72)

Para completar, escolhemos um vetor va que do se uma combinagdo linear de vy, vy €
ea. Um deles £ o vetor va (1.0.0. D). eo conjunto (Y. Ya. vs Ya } € LI. Logo,

421,12), 1 1.-1,01.(1,1,0,0).(1,0,0,0))

+ urna base de RS

286 Teorema

Soja B= [Y1, Y... Ya) uma base de um espago vetorial V. Entio, todo vetor v€ V
se exprime de manetra única como combinagäo linear dos vetores de E.

De ato.

Tendo em vista que Hé uma base de Y. para VE Y podese escrever:

AY + Bd o pd a

Supondo que 0 vetor y pudesse ser expresso como outta combinagáo linear dos vetores
de base, tersea

va + bts + Dat a

75 Algebra incor

Subtraindo, membro a membro, a igualdade (2) de iguaktade (1), vem:
Deus = Bi) ve + (03 = da) + + (a = dp) Yo,
Tendo em vista que os vetores da base so LI:
a1-b,=0, 27-b,=0,...8)-b,=0
istoé

CRE

Os nümeros 21,82, -.4q 50, pois, univocamente determinados pelo veror y € pela base

m}

28.7 Componentes de um Vetor

Soa Be {neo ) uma base de V. Tomemos ve Y sendo:

Yeah ta tut age

Os números 24,93, ... A STO chamados componentes ou coordenadas de v em relagéo à
base Be se representa por:

Expogorvetoriis 77

A mule (au, a5) 29) € chamada verorcoardenada de v emrelagio Abase B, e ovetor-
coluna

€ chamado merriz coordenada de y em relagio à base B
Exemple
No IR’, consideremos as bases
A= ((1,0),(0,1)), B=((,0),(1,3)) e C= (0,-3,2,0)
Dado o vetor v= (8, 6). temse:

89-310) +6(0,1)
(8,6)= 32,0) +201, 3)
(8,6)= 2(1,-3)4302,4)

Coma notagfo acima, escrevemos:

we 5

BQ e723

O gráfico da página seguinte mostra a representagäo do vetor y = (8,6) em relagdo ds bases
Ach.

Observapio

No decorrer do estudo de Álgebra Linear temos, ds vezes, a necessidade de Identificar
rapidamente a dimensto de um espago vetorial, E, uma vez conhecida a dimensio, obtémse
facilmente uma base desse espago.

78 Algebra linear

‘Uma forma prática para determinar a dimensäo de um espago vetorial €
de vardiveis livres de seu vetor genética. Esse número € a dimensio do espago

0] 0.0 0.0) 32.0) 30.0)

Exemplo
Determiner a dimensdo e uma base do espago vetorial

S= (lay. e R'x+y+2-0

Solucfo

olando 2 (poderíamos também solar x ou y) na equagie de definigdo. temse
my

onde x e y sio as varäveis lives
Qualquer vetor (x, y,2) $ 1em a forma
ey)

+. portanto, podemos escrever

(9,0) x,y, 23 Y)

Expoporrerorias 79

x,0.-2)+(0,y,-y)
6.y.0=x(1,0,-2)+y(0,2,-1) a
isto €, todo vetor de S € combinaçdo linear dos vetores (1,0, -2} e (0, 1,-1). Como esses dois

vetores geradores de S sio Li, o conjunto {(1,0,-2),(0,1,-1)} € uma base de $ e, conse
qlientemente, dim $= 2

Por outro lado, tendo em vista que a cada varidvel livre corresponde um vetor da base na
vgualdade (1), conclu se que o mimero de varitveis livres 6 a dimensäo do espago.

Na prática podemos adotar uma maior simplificagdo para determinar uma base de um

espaco, Para esse mesmo espago vetorial $, onde 2=-2x -y, temos
fazendo x=) © y=2, vem 22-2(I)-1 #23 à vy =0,1,-3
tazendo x=-1 e y=2, vom 2=-2(-1)2= 0:

20 conjunto
£1, 1.-3),(-1,2.0))

+ outra base de 5. Na verdade, esse espago S tem infinitas bases. porém todas elas com dois
stores.

2.8.8 Problemes Resolvidos

14) Sejam os vetores vi = (1, 2,

Mostrar que o conjunto B= fi .v vs} # uma base do IR

Soie
Para provar que B € LI, devese mostrar que

an ta ran nd

22

admite somente a slugio ay = = 23 =0.
Com feo

au(1,2,3) #2900, 1,294 23(0,0.1)=(0.0.0)
equivale sistema

a =o

2a +

aa #282 tas

‘caja nica solagdo € a trinal

a 0

Logo, Be LI

Para mostrar que B gera o IR’, devese mostrar que qualquer votor v=(x,y,2) € IR?
pode ser expresso como uma combinagdo linear dos vetores de B

VE any tan tat
Em termos de componentes, tense

(ye

1,2,3) +a:(0,1,2)+as(0.0.1)

ata y

Bay + ay tay

sistema esse que admite solusdo para quaisquer valores de x, y, 2, ou aja, todo vetor v=(x,y, 2)
& combinagdo linear dos vetores de B. Resolvendo o sistema encontramos:

a ax ty, agente

pare verorots 81

istod:

15)

(x,y, 292 (1,2, 3) +2 + YO 1,2 + 2 +0, 0, 1)

Satisfeitas as duas condigdes de base, mostramos que B € base do IR?

No probiema anterior mostramos que

B= 11.2.9.0.1.2.0,0.D}

uma base do R°

a) Determinar o vetorcoordenada € a matrizeoordeneda de v= (5,4,2) em relaggo a B.

b) Determinar a vetor vE IR? cujo vetor-coordenada em relagdo a B € ¥p =(2.

2.3,

Solucio

8) Devemos encontrar escelares 41. 49. 49 tais que

(5,4,2)=a4(1,2,3)+2:(0.1.2:as(0.0. 1)

a -5
tu #4

3a, + ap tay = 2

Resolvendo o sistema, obtém-se

mod ase ee
Portanto

wer GHD e

82 Algebra tear

Se tivéssemos aproveitado o resultado do problema anterior, onde:
(6 ¥,2) = x(1,2, 3) +62 + y)(0,1.2) +(x-2y + 2)(0,0, 1)
teríamos imediatamente
(5,4,2)=5(1,2,3)- 6(0. 1. 2)- 11,0, 1)
pois, nesse caso

Per

max + y=-2(5)44

K-2ytzes- rai

2,-3.4), obtémse

b) Por defimeo de vetor coordenada vg

v= 20.2.3)

3(0,1,29+4(0,0,1)=(2,1.4)
Observemos que em relagfo à base canónica
A= ((1,0.0).10,1,0),(0.0,1)2

=(2.1.9= 201,0.09+160.1.0)+ 40.0.1)

16) Consideremos os seguintes subespagos do IR“

=a

dutbresoie

= La be. da

hed e end

Determinar

Espagos veoria 53

2) dim, ¢ uma base de S,
by dim Sa e uma base de Sy

Somo
Dia Sad
athtezo
‘equivalent a
she

Portanto, as varidwes livres sdo b,¢ e d. Logo, dim S = 3, e qualquer subcon
és vetores LI forma uma base de S;. Fagamos

o de 5, com

ay be

[Du Seen)

(3) bo. 6-0. d

para obter as votes:

-1.1,0,0), Ys =(=1,0,1,0), ©

0,0,0.11

O conjunto {vi va, va À € uma hase de Sy

b) Um vetor (a,b,c,d) © S se a=2b e c=3d. As variswes lives sio be d. Logo.
dim Sa = 2, © qualquer subconjunto de $; com dois verores LI forma uma base desse espago
Fagamos:

Q) br 1, 4-0 e
(2) be dei

pars obter os vetores
M=@ 00 e % =(0.0,3,1)

O conjunto vi va | £uma base de Sa

34 Algebra incor

17) Seja S o subespago de Pa =
tiers

Determinar:

a) Uma base de S e dims.

6) Uma buse de Py coma presenga de vy € Yo

Sotueso

3) Para facilitar a motagdo, observemos que os vetores vi, Ya e va em relago à base
canónica A= (1 ,1,1) de Py sto:

[EL RES OEL ET N

1,-3,=1)
Vejamos se esses vetares sño LI ou LD. Para tanto, examinemos a igualdade

au Faits asus = 0

(1,-2.1) + 8310, 1, 2) + as(l, -3, -1) =(0,0,0)
où, ainda:
a+ aso
das + 23-308 = 0

at 2320
sistema que admite solugdes a, # 0.

Logo, 08 vetores vs, ¥2 € Ys 530 LD e, portanto, o conjunto {vi, va, va) nfo € base de S,
‘sto é, dimS #3.

Observando que o comjunto (1, v: } € LI (pois nenhum vetor € mültiplo escalar do
outro), ele constitui uma base de $. Logo, dim $= 2,

Expacor verorus 85

») Tendo em vista que dimP = 3, precisamos acrescentar um vetor v ao conjunto
vista} de modo que v#avi ta Um deles € 0 wior v=t? ou (9,=(1,0,0)
(verificagáo a cargo do leitor),

Logo, o conjunto:
werner. ®)

+ uma base de Ps

18) Determinar uma base e a dimensto do espago-solugäo do sistema homogéneo.

x+2ÿ-2+ 270

de tdy- rss

Solucéo
O conjuntosolucáo do sistema €

2y-22)

S=((y20/=2z e
que € um subespago vetoril do IR“

‘Tendo em vista serem duas as variáveis lives (y € 2), conclurse que dim S = 2. Logo,
qualquer subconjunto de S com dois vetores LI forma uma base de S. Fagamos

a) yeh,

(0) y=0,
para obter os vetores

2,1,0,0) © Ya

2,0,1,2)

O conjunto [vy, va } € uma base de 5.

86 Algehr incor

28 ESPACOS VETORIAIS ISOMORFOS
Consideremos o espago vetorial

vo»,

tt br Hert dia, be, AER}

e seja B= (vs, Ya, Ya, Ve} uma base de Pa. Fixada ume base, para cada vetor VE Py, existe
una s6 quédrupla (ar, 25.43.45) € IR* tal que

Yi Faz va + agvs + ave

Reciprocamente, dada uma quidrupla (9, 22,43, 24) € IRS, existe umso vetorem Py da
forma:

Assim sendo, a base B= (vi... ve? determina uma correspondencia biunivoca entre
os wetores de Py eas quádruplas (Ay. ...24) em RE

Observemos ainda que

a) Se v= ayy tt tava EP,
bad € IRS entáo:

ER e we bv +t bata EP,

corresponde a (by,

MANS Tbe A

sorresponde a

(ay Fy yay + ba) ERY

b) Para k€ R

Kalkan 4 Has) E Py

corresponde a

(hay... kag) E IR

Espagos vetonsts 87

Assim, quando os vetores de P, sio representados como combinagdo linear dos vetores da
base B= (4), va, vs, Ya. à adigo de vetores e a multiplicado por escalar se “comportan”
exatamente da mesma forms como se fossern quädruplas do TRY

Em outcas palavtas diriamos que u correspondéncia biunívoca entre P, e IR* preserva as
operagdes de adigio de vetores e multiplicagäo por escala, sto €

LS)

+. nesse caso, dizemos que os espagos P, e IR* slo isomorfos.

Observemos ainda que o espago verorial M{2, 2) € também isomorto 40 IR"

De forma análoga. prova se que
» €womerto a RY
MOD € womorfo a R°

Mi2.1) @ womorfo à RF
= assim por diante
De um modo geral, teme

"Se Y 8 um espaco verorial sobre IR € dim V= n, ento V e IR" si isomorfos ”

210 PROBLEMAS PROPOSTOS

Nos problemas 1 a 7 apresentase um conjunto com as operagdes de adigto e multiplicagio
por escalar nele definidas, Verificar quais deles sfo espagos vetoriais. Para aqueles que no säo
espagos verorlls, citar os axiomas que ndo se verificam.

DRG y DA CEE yr EE]

Ktx,y,2) = (0, 0.0)

LG 2x 3x); x E IR} comas operagóes usuais

3) Ra b) +(e. die (a. b} e afa.b) = (a. ab)

88 Algebra near

tx y+y) e a) = (ex 00y)

RN)

DRM y= Ger y ty) e a(x,y) = (ax, 0)

6) N= (xy) RE/y= 5x? comas operagós usuais

fe a
Ae = MG, 22,0 & R | comas operagdes usuais
bo
Nos problemas 8 a 13 sfo apresentados subconjuntos de IR? Verificar quais deles so
subespacos vetoriis do IR? relativamente ds operagdes de adigfo € multiplicagdo por escalar
8) Se (yy =-x)
9) S= ((,x*), x € R}
10) S= {x yx 3y =O}
1) S=((yh y € Ri
12 Ss (rel)
13 S= {Gyn > 0}

Nos problemas 14 a 25 aio apresentados subconjuntos de IR*, Verificar quais so seus
subespagos em relago ds operagdes de adigdo e muitipicagdo por escalar usuai. Para os que sio
Subespagos, mostrar que as duas condigóes estio satiseitas. Caso contréno, citar um con-
traexemplo,

14) Se (y, mix =ay e 2=0)

15) S=

(ay 2e = y)
19 S= {(x,y,2))x=2"}

17) S= fx, y=xt2e 220)

Expacos vetorilt 89

S= {Ox xx€ R}

(,x,0)/x € R}
S= {y 2e 0}
S= {a y2x=0 e y=121)

S= {= 3x4: x€ R}

S* (Gy, Da 0)

s

(x yx ty t= 05

S= {(41, 21, 051€ IR)

Verificar se os subconjuntos abaixo sfo subespagos de M(2, 2):

fa»
DES atbe d=0
v
»s= + a,b,c © IR | (matrizes triangulares superiores)
0 €
fa ob
3 S= jabe € IR À (matrizes simétricas)
boe
ath
DES ab ER
b

6
ab

PES ¡ad -be# 0} (conjunto de matrizes inversiveis)
cod

De v=(1,2,4) em R°

27) Sejam os vetores u=(2,

-11,2) como combinagdo linear de u ev

a) Escrover o vetor w
+) Para que valor de k o vetor (-8, 14,K) € combinagío linear de u e Y

€) Determinar uma condigio entre a.b e < para que o vetor (3, b,c) seja uma combi
nagdo linear de u e Y

28) Consideremos no espago Py = (at! +bt+ ela, be € R? os vetores py = 2-24 1
prete2e pe 26 ma

a) Escrever o vetor p= St? =51+7 como combinagio leur de Py. Ps € pa
b) Eserever o vetor p= St - 5147 como combinagdo linear de py € pa

©) Determinar uma condigde para a. be € de modo que o vetor at? +btre ses
sombinagdo linear de pa e pa,

AE possivelescrever pı como combinagio linear de ps © ps”

29) Seja 0 espago vetorial M(2, 2) os vetores

pagos verorials 91

Escrever o vetor

como combinagso linear dos vetores v;, #3 € vs
30) Escrever o vetor 0 € IR? como combinaçäo linear dos vetores

a) 20,3) e 4-05

by =(.3) e ve =(25)

1,2, 1), 13 =(1,0,2) e vs =(-2,-1, 0). Expressar cada um dos
(0,2,3)e w=(0.0, 0) como combinagdo linear de vi. va € vs

31) Sejam os vetores vy
vetores u=(-8,4, 1), ¥

32) Expressar o vetor u=(-1,4,-4,6) © IR* como combimaglo linear dos vetores
vi =(3,-3,1,0), v3 =(0,1.-1,2) © va =U, -1,0,0),

33) Seja S osubespago do IR* definido por

erat

S= {20 € Rixtiy-
Perguntase

2) (1,2, 3,0) € $
b)(3.1,4,0) € $?

OCIA € 8?

34) Seja S osubespago de M(2. 2)

92 Algebra ner
Perguntas:
5 6
5 es
1 2
1) Qual deve sero valor de k para que o vetor
“4k
23
pertengaa S?
35) Determinar os subespagos do TR? gerados pels seguintes conjuntos:
DA=((,-1.3)
b} A= {(-1, 3, 2),(2,-2,1)}
e) A= ((1,0, 1), 0,1, 1), (-1, 1,09}
49) A= [(-1,1,0),(0, 1, -2), 62,3, 1))
0) A=10,2,-0,01,1,0,(3,0,D,(2,-1, DP.
D A= (0,2,-0,€-1,1,0,(0,0,2,(+2, 1,00)
36) Sejao conjunto A= [v1, v2}, sendo v = (C1, 3, -1) e v3 = (1,-2.4),
Determinar:
a) Osubespago G(A).
») O valor de K para que o vetor v= (5,k, 11) pertengaa GCA).
37) Sejam os vetores vi =(L.1,D, 702,0) e v3=0,3,-D. Se (LE uv).

qual o valor de k?

Espegosvetorats 93

38) Determinar os subespagos de Pa (espapo vetorial dos polinômios de grau <2) gerados
pelos seguintes vetores:

DD = 2k#2, panda o p=
Drax, prox? tx
mel Pe =X, Py mx?

39) Determinar o subespago G(A) para A= {(1,
camente esse subespago?

(2,97. O que representa geometrica

40) Mostrar que os vetores Y; =(2,1) e va =(1,1) geramo IR°

41) Mostrar que os vetores vy =(1,1,1), vz =(0,1,1) e v,=(0,0,1) geram o RE.

42) Seja o espago vetorial M(2, 2). Determinar seus subespagos gerados pelos vetores.

a 2 2 41]
du. ene

43) Determinar o subespago de Ps (espago dos poi
AEB € pa,

mios de grau < 3) gerado pelos vetores

44) Determinar o subespapo de IR* gerado pels vetores
W=(0,4,-4,0.

2,-1,1,4), v=(3,3,3,6) e

45)

0) pertence a0 subespago do IR“ gerado pelos vetores
(1,0,1,0) e Ya =(0,1,-2,0).

46) Classificar os seguintes subconjuntos do IR? em LI ou LD:

a {0,9}

94 Algete linear

©) 4, 3),(2, 6)
9 10,-1,0,9)

Y) L0,0),(-1, .(3,5))

EN Clasificar os epuintes subconjuntos do IR? em Li ou LD

a) {42,-1,3)}

») (0,1,

©) (Q.-1,0),(, 3,0),(3,5,0)+
9 (Q,1.3,(0,0,0),(1.5,2))

©) £0,2,-1.(2,4,-2,(1.3,0))

9 £0.-L.-2),(2,1,1),(-2,0,3))

9 (0,2.-9,(1,0,0),(0,1,3,(3,-1,2))

48) Queis dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes 20 P, sio LD?

DAA te

DI x ax? x?

Sea do a 24 x + OK?

Dixie

49) Quais dos seguintes conjuntos de vetores do IR* «fo LD?

a) (2,1,0,0),(1,0,2,1),(-1,2,0,-1)
) (0, 1,.0,-1),(1, 1,1, 0,61, 2,0,19,1,2, 1, 0)
à (1,-1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,-1),(1,2,1,-2)

6101.1,2,4,0,=1.-4,2),(0.-1,-3.1),(2,1,1.5)

Espagos retorios 95

50) Sendo V o espago vetorial das matrizes 2 x 3, verificar se (A,B,C) € Li ou LD.
sendo

2 + Poma “0 8

51) Determinar o valor de X para que seja LA o conjunto
(61,0,2).(1,1,1D,06.-2,0) }

52) Determinar k para que

pao 22

1 oj.[o oj.(x 0

seja LD

53) Mostrar que sto LD os vetores vy. vz € Vi. som vi € va Vetores arbitrários de um
espego vetorial Ve vy = 24 12

34) Mostrar que se u, v e w sio LiLentfo uty, utw e ve sio também LL
55) Sendo vy =(1,2) € Re, determinar ya E IR? tal que {viva} sein base de RP
56) Verficar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do IR?
a 10,2),1,3)) à (40, 0,(2,3))
b) (G,-6.(4.9)) 9 {B03
57) Para que valores de k o conjunto B= £(1, 1), (k, 49) ébase do IR?”

38) O conjunto B= {(2,-D.(-3,2)) € uma base do IR? Escrever o vetor genérico do
IR como combinagdo linear de 6

96 Algebra near

59) Quais dos seguintes conjuntos de vetoresformam uma hase do R°
2) (1,1,-D,(2,-1,0),(3,2,0)
+b) (1,0, 1),(0, -1, 2), (-2, 1,-4)
£) (2,1, -1), (-1,0, 1), (0,0, 1)
4) (1,2, 3), (4, 2),

9 (0,-1, 23,2, 1,3), 61,0, 1), (4-1, 2)

60) Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de P,?

PES]
Dis

921-x 14%
Dites, xt x

ES

61) Mostrar que o conjunto

€ uma base de M(2,2).

62) Mostrar que o conjunto
LG, 1,0,0),(0,0, 1, 1),(1,0,0,3),(0,0,0, 5))

€ base do IR“,

Enpagosseroriale 97

63) O conjunto
As (0,20 143,0 are}

base de Py? Justificar

64) Mostrar que os vetores Y, =(1,1,1), ¥2 =(1,2,3), vs = (3,0,2) e va = (2,-1.1) geram
(oR? eencontrar uma base dentre os vetores Ya, Ya, Vs ® Ya.
65) Mostrar que os polinömiosp, = 1+ 2x-3x?, pa =1-3x+2x7 e py=2-x45x° formam

uma base do espago dos polinómios de gau <2 e calcular o vetorcoordenada de
-9x - 13x? na base B= (py, pa, Ps)

66) Determinar uma base do subespao do IR‘ gerado pelos vetores vy
Y =(22,2,2,1), vs =(-1,1,2,1) © va =(0,0,4,3.

(1,-1,0,0,

67 Sea V=IR? eo conjunto
Be {(@,1,D,(1,1,0), (1,2, 1) CR?
2) Mostrar que B nfo € base do IR”.
+) Determinar uma base do IR” que possua dois clementos de B.
68) Determinar o vetar coordenada de y = (6, 2) em relaçäo ás seguintes bases:

£6.0),.00,2) + =10,0,(0, 1)

3=(0,D,0,1) 8 =4(0,,(1,0))

69) No espago vetorial IR”, consideremos a seguimte base: B= ((1,0,0),(0,1,0),(1,-1, 1)}.
Determinar o vetor coordenada de y € IR? emrelagdo à base B se:

O) DIAS 9 yO,

70) Seja A= {3,2x,-x° } umabase de Pa. Determinar o vetor<oordenada de y=6-4x + 3x°
em relagdo à base A.

98 Algebra near

TI) Sejam os vetores Y, =(1,0,-1), va =(1,2,1) e vs = (0,-1,0) do R

3) Mostrar que B= {vı, v2, vs} € base do IR?

D) Escrever es =(1,0,0). ez =(0,1,0), es =(0,0,1) como combinagdo linear dos
vetores da base B.

72) Determinar a dimensio e uma base para cada um dos seguintes espagos vetoriais:
a [y 0 € R'y= 3x}
D) (Oxy, 2) € Rjy=Sx e 220)
9 y € Rexty=0
dy D E Rix=3yez-y)
9 LG ya € RNA y+ 3220)
D ¿092 E Re

73) Determinar a dimensio e uma base para cada um dos seguintes subespagos vetoriais de

MD:

Bepopot veroriis 99

ab
a ard=bre

csi

74) Seja osubespago S de M(2. 2}

fe=atbe dra

2) Qual a dimenszo de $?
b) O conjunto

wi

o. 1

€ uma base de S? Justificar
75) Encontrar uma base e a dimensao do espago-solugo dos sistemas:

x+2y-2- 1=0
a) f xtayt ar 1-0
xt dytaet 2-0

stay 243050
wy fax yt ce 1-0
axt3y- 2+ St =0

x-3- 2=0
o paxr y+32-0

x+3y+420

100 Algebra linear

2x+2y-3220
04 x-y-
3x +2y4

9 V axtay-44 220
2.10.1 Respostas de Problemas Propostos

1. Nio espago vetorial, Falha o axioma Ma

2. O conjunto € um espago vetorial

3. No € espago wetorial, Falham os axiomas Az, A3 € As
4. Nio é espago vetorial, Falha o axioma Ma

5. Nio £espago vetorial. Falha o axioma My

6. O conjunto é um espago vetorial

7. O conjunto € um espago vetorial

3.5 ésubespago

9. $ nfo é subespago

10 É
Mo
12. Noé
13. Nioe
1. É
is, E

16. Noé

Expocos vetorias

101

y
18

19

a
2
2
2

25

26.

25,

EN

Nao é

Nao é
No €

£

Noé

£

É

Sto subespagos: 2), D), 6), d)
D war

Dee

=0

©) 16a + 10b-

8) p= 3p: + pat Ps
b) imposstvel

da+2%-c=0

à) no € possivel

v + 3a = vy

202 tw

vo

00 +00

ue ets

= Ov + Ovs #005

102 Algebra linear

Rv dra
3. a) sim b) nâo ©) ndo
34a) sim wk

35 2) (Gym € Ray ea}

b) {(x,y,2) € R'/7x+ Sy -42=
9 Ua. © RYxty=2=0)
om
de € Ary #32=0)
LES

36. a) GCA) = {(x y, 2) € IR*/10x + 3y -2= 0}
ÉTERE

37 k=?

38. à) (ad tbe + ordre)
b) (ax? + bxja, dE IR}
Pr

D. Kay e Rina)

Representa uma reta que passa pela origem,

©. NODO,
si my Hy HE)
2 : à

» | bea 58 6 er aed
e dl

Exporosvetoras 103

4

45

4.

48,

9

50

si

52

ss

56.

5

ss.

5.

» i atb-c+d=0

{ax + be text db Sato e d= late}

Los 2DPx-te0 e eros
Pertence

ou oy LD au aw
su yu y ow
om ou aw

vy, thy, VEER
ad

ket?

ANTE.) HU INES.
2,9

b).c).t)

404 Algebre incor

63. Nfo. G(A)# IR”.
64. Base: (W1,Va, Va)
ae een)

66. Uma base: {4,4}

67. Uma base: £(0, 1, 1),(1, 1,0),(0,0, D}

10

20, weed

3,262. =H)

8. a) y=2.1,9

no

9 170,0,

70.

Tl Be Lie Va DER

rn tee yt

CPE) à

Basturinen

2
=-2 tly ey,
anzu tintn

N. a) dim? © dim:

D) dim: 1 e) dim:2

9 dim:t D dim: 2

As bases ficardo a cargo do leitor.

Espejos vetonais

105

73. à dm? 9 dim:2
D dim:3 & dim:3
As bases ficardo a cargo do leiter.
2.92
b) Nao, porque
24
es
3 4
75. a) dim:2

uma base: {(1,0, 3, -§),(0, 1,6,-10)}

+) dim:2
uma base: £(0, -2, -1, 1),(1. -3, -5, 0)}

©) dim: 1

uma base: {(1, 1, -1)}

d) dim: zero

indo existe base

à dim:3

uma base: {(-1, 0,0, 1),(-1, 1,0,0),(2,0, 1, 0))

7 CAPITULO

ESPACOS VETORIAIS
EUCLIDIANOS

3.1 PRODUTO INTERNO EM ESPAÇOS VETORIAIS

No Capitulo 1, foi definido o produto escslar où produto interno usual de dois vetores
no IR? eno IR? e foram estabelecidas, por meio desse produto, algumas propriedades geomé
ricas daqueles vetores, Agora pretendese generalizar o conceito de produto interno e, a partir
dessa generalizasio, definir as nogóes de comprimento, distancia e ángulo em espagos vetorias

mais genéricos

Chamuse produto interno no espayo vetorial V uma fungio de Vx V em IR que a
todo par de setores (u,v) € Vx V associa um mimero real, indicado por wv ov <u,v>,
tal que os seguintes axiomas sejam verificados

Pouvavu

Pp) Urea ra

Py) (ou) += au vp para todo veal o

Pa) uu 20 e ü.u* 0 se, esomentese u=0

Onservacbes
a) Omimero teal u. v € chamado produto interno dos velores u € Y.

lb) Dos quatro axiomas da definigdo acima decortem as propriedades:

Tow

Espayosverorsseuelidianos 107

9 0.u=u.0=0, Vue V
D (uty). nur
UD (a) au.

Marat.

Fica a cargo do leitor a demonstragio dessas propriedades

Exemplos

1) No espago vetoriai V=IR?, à fungio que associa a cada par de vetores u=(x1,y1) ©
v=(x2, ¥2) O número real
vorn Y

um produto interno.
De fato:

pou

xx + Ayıya
Kat day

Pa) Se w= (x3, Ya), entáo:

8. (VF W)= Gay) Rat)
UE IO Rt)

(ot a) = (Gao + days) tn + 89199)
Ue o

Ps) (au). v= (ax ay). (x3, ¥2)
(au). v= ax) + Alay: Yo
(a) v= ax + dy y)
(au). v=a(u.¥

t4yry: axl ray BO e
Ay]=0_ w.esomente se, x, = ÿ =O,

Pa) u.usan

108 Algebre near

Observacáo
O produto interno que acabamos de apresentar é diferente do produto interno usual no
IR}, Este seria definido por:
uvam YY

donde se depreende ser possvel a existéncia de matt de um produto interno num mesmo espago
vetonal

D Se w= sr) e V2, Ya, 22) S40 vetores quaisquer do IR”, o número real
wove xix tyıyı tz

define o produto interno usual mo RY.

De forma análoga

WAVERLY) HME te Zn

Jn) © Y= Gt Ya: Ya), define o produto interno usual no IR?

3) Sem V=P;, p= ax? +ayxtay e q box tbix tbo vetores quaisquer de Pa
A fórmula

Pe amade +4:b; +a9do

define um produto interno em Pa.

Por exemplo, se:
pe -4x42 o gt +,

entáo:

p.a=3(2)-4(8)+2(-1)=
Observemos que
P-a=abı tadı

nfo define, sobre V, um produto interno, Nesse caso, falha o axioma Pa. pois existem
polinómios p E V tals que p.p= O, sem que p=0. Por exemplo, p= 0x +0x +3.

Expagosvetoiascucidienos 109

4) Seja V o espaço das fungúes seais contínuas no intervalo. la, b]

Se Fe g pertencema V,

>
fee | 209 800 &

define sobre V um produto interno. (A werificaçäo dos quatro axiomas fica a cargo do
leitor.)

5) Onümero
Use FYE

sendo u = (

a) € v= (xa, ya). nfo define no IR? um produto interno.

Nesse caso ndo se verificam os axiomas P, ¢ Ps. Considerando o axioma Py, temse:
(au). v= (0x1, ay). a. ya) = 2anına toy iy]

enquanto:

alu.) =a(2x1x0 + yy!) = 2anın, +ayiyi

+, portanto:

(au). vFa(u.v)

3.1.1, Problemas Resolvidos
1) Emrelagdo ao produto interno usual do IR”, calcular u .v sendo dados:

a) u=(-3,4) eve,

Du-(é-e v

9 u=(2,3) e ¥=(0,0)

ene

Sotucio

au vr (5) ASIS B= 23

puro tepeseaes

©) u. v= 2(0)43(0)-0+0=0
2) Para os mesmos vetores do exercicio anterior, calcular vv em relagdo a0 produto interno
do exemplo 1

urn tayıya

a) UI) + 4(4)C

Du HO) AACNES=9 +16

eh v= 3(2)(0) + 4(31(0)=0+0=0

3) Consideremos o IR? munido do produto interno usual

Sendo y, =(1
vetor u tal que uv =4, nv.

Y 2.0) de IR, deverminar ©

Solucáo
Seja u=(x.y,2)
Enzo:

(7,8 -(1,2,3
&y,2.6,
(yD.

Espaçor sears enctdioncs 11

Efetuando os produtos internos indicados, resulta o sistema:

x+2y- 3-4

me y

2e à

caja solugdoé x= 3. yodo zei

Logo, o vetor procurado € u = (3.2, 1)

3) Ses Ve LEO] Ry £ € continua} 0 espago vetorial munido do produto interno

Determinar hy ha © hy hy, taisque hy. € Ve ete hee

fi
byhy wey COS

32 ESPAGO VETORIAL EUCLIDIANO

Um espago vetorial real, de dimensio Anita, no qual está definido um produto interno. €
um espago verorlat euelitigno, Neste capitulo serfo considerados somente espagos vetoriais
eucheianos,

12 Algebra incor

33 MÓDULO DE UM VETOR

Dado um vetor Y de um espago wetorial euclidiano V, chamase módulo, norma ou
comprimento de v o número reat ado-negativo, indicado por | |, definido por

MEN

Observemos que se 1=(x,,Y:,7,) Sor um vetor do IR! com produto interno usual,

temse:

By Oye) ANA 63)

ul Van:

3.3.1 Disténcia entre dois vetores

Chamase distancia entre dois vetores (ou pomos) u e Y 0 número real representado

por du, v) e definido por

dla
Sendo u=(X1,Y1.21) € Y" (%2,Ya.22) vetores do IR? com produto interno usual,
O)
RT
du VG x G3.)
Observagties

1) Se Ivl=1, isto & Y O veto: v € chamudo veror uninirio, Dizse, nesse

350, que Y está normalizado,

2) Todo vetor náomulo E V pode ser normalizado, fazendo:

Espagosvetoielcuetdamos 113

ys del

“ber

AT

portant, LL € unitirio

Exemple

Consideremos o espago V=IR* com o produto interno vy . vs = 3x3 + 2Y1Y + 2:23,
sendo = na) € Y = Guy, 42). Dado o vetor v= (-2,1,2) E IR, em relagio a
esse produto interno tem:

HEN

tie Ven eine YA
e normalizando v, resulta

CEN
vi TE

Vis VIS y 18

Observemos que, relativamente ao produto interno usual, terse:

Wit VOTES - VCP SE = Vere
EME] 2
wi =

E importante observar que o médulo depende do produto interno utilizado. Se o produto
interno muda, o módulo também se modifica.

Assim, fica claro que os dois vetores a acima. obtidos a partir de v, slo unitários, cada um

em relagdo ao respectivo produto interno.

3.3.2 Propriedades do Módulo de um Vetor

Sea V um espago vetorialeuclidiano.

DIR weve

= 0. se, e somente se, v = 0.

14 Algebra near

Essa propriedade € uma consequéncia de Py
ID javiztalivi, WE Y, Va € R

De fato

lavi= VTA Ya la VAE = Lally!
MD lu vi < lujivi, Vu, y e Y

Se u=0 ou v=0, vale a igualdade Juv) = lullvi=0.
Se nem u nem v sío nulos, para qualquer a € IR vale a desgualdade

tutan. (uta > 0

pelo axioma Pa
Efetuando o produto interno, vem

Uututavit (av.ui+ at > 0

real + Du. vet iul > 0

Oblisemos assim um tinómio do 20 grau em a (pow v1! 0), que deve ser positivo
para qualquer valor de a. Como o coeficiente de a? & sempre positive, © discriminante dese

inömio deve ser negativo ou nulo:

Qu dive lure < 0

su all ye O
wos (ul ive

Considerando a raiz quadrada positiva de ambos os membros dessa desigualdade, vem

lu vie lutiv

Expapos vetormts wuchs 115

Essa desigualdade € conhecida com o nome de Desigualdade de Schwarz ou Inequagio
de Cauchy-Schwarz.

IV) lutte Jul + [ol Vu y E Y
Deíato:

meri YES

urvie Yuan

Inte = tal eater

mas
voy lvl <lulivl

logo
Puerta Pa dire
luter squstivnt

ou, ainda

leerla pepe

Figura 3.52

116 Algebra linear

Essa desigualdade, denominada desigualdade triangular, vista no R? ov no IR? confirma
a propriedade geométrica de que, num triángulo, a soma dos comprimentos de dois lados € maior
que o comprimento do terceito lado (Figura 3.3.2)

A igualdade somente ocorre quando os dois vetores ue y séo colineares

3.4 ANGULO DE DOIS VETORES

Sejam u e y vetores ngo-nulos de um espago vetorial euelidiano V.

A desigualdade de Schwarz
Jusvistulivy

pode ser escrita assim.

<1
itv]
ou:
| E bea
em
que implica
wy
4e <i
niv

Por esse motivo, pode-se dizer que a fraçäo

foi

€ igual ao coseno de um ángulo 9, denominado ángulo dos vetores we v

LY, <<»
Puits

Observemos que essa formula coincide com a (1.7.1) para o cálculo do ángulo de dois
vetores no IR (ou com 4 fórmula VI do item 1.9 do IR"), considerando © produto interno

usual

Espacorveroiasewelittnat 117

3.4.1 Problemas Resolvidos

5) Consideremos o IR” com o produto interno usual. Determinar a componente ¢ do vetor

3.0) talque [v1=7,

Soluséo
UNI
3649046249

6) Seja o produto interno usual no IR? eno R*
pares de vetores:

5.0,2)
2,0,1,-2)

DREIER ee e
bora,

Solueéo

div VE+

+

30

sy
Vas

[vie Ve

Br AS + 10e 50) 20
Dai:

ww 9
fully) Y30 y2 2

bille VTi eed = VTS

3

el VETAS

O #200) +3 €

Determinar © angulo entre os seguintes

8 Algebra incor

Dai

2— 2 62 ar cos (E)

VIB «3 7 ad

=

7) Seja V um espago vetorial cuclidiano e u, v E Y. Determinar o coseno do ángulo entre
os vetores u e v, sabendo que Ju¡=3,|vl=7 e iu+vi=4 V8

Salugáo

la VGA O
ou

ltr stur u valent
e

(VIP 23? uve

80=9+2u.v+49

2u. v= 0-58

Qu.v=22

uva a
logo:

ou

8) Consideremos, no IR?, 0 produto interno definido por vy . 13 sendo
Yi Gu, Yi) © va 7 (ur, ya). Em relagdo a esse produto interno, determinar um setor v

tal que

Ba y,

Iria

10 e u=(,-2)

pagos vetoraseuclidinos 119

Solueso
Seja ¥= (x,y), Entäo
MEE axt ty? 16
v.us3x-2

Resolvendo o sistema

Bet y
3x + 2-10

obteremos:

35 VETORES ORTOGONAIS

Seja V um espago veroril euclidiano,

Dizse que dois vetores u e + de V sio ortogomels, € se representa por ulv. se, €
somente se, u.v

Exemple

See VER? um epago vetorial eucidiano em relagío 20 produto intern
taylan Va) eau yaya. Em relagdo a este produto interno, of vetores u=(-3,2)
+ Y= (4,3) sio ortogonais pois:

uw v= =3(4) + 2(2)(3)= 0

120 Algebra tear

Observegies
1) 0 vetor 0.€ V 4 ortogonal a qualquer v € V

0.-0

De faro.
0. v= (OW). v= Ov.) = 0
2)Se u 1 +, ento au 1 y para todo a € IR

3)Se uy dv e a Lv, ento (uy tus) 1 v

36 CONJUNTO ORTOGONAL DE VETORES

Seja V um espago vetorial euclidiano.

Dizse que um conjunto de vetores
quaisquer, distintos. sio ortogonais, sto €, ¥,.¥j=0 para i#j

vi Ya 3 CV € ortogonal se dois vetores

Exemplo
No IR. o conjunto

0.2,-3.6,0,.0,.01.-5.-3))

+ ortogonal em relagio ao produto interno usual. pois

0236.00 =0
2-3) 25-3150

BON 1,-5.3)

Expaconvetorileucttionos 121

361 Teorema

Um conjunto ortogonal de vetores náomulos A= (v1.3... Ya) € lirearmente inde
pendente (LI.
Defato

Consideremos a iguaidade
A)

e fagamos o produto interno de ambos os membros da igualdade por ¥,
(ayy Hav to ayy) TO

ait ta a,

+ tait

«FO, pois 4 #0. Entio,

Como A 8 ortogonal, v.,
1 Peut.

40%) = 0 implica a,

362 Base Ortogonal

Dizse que uma base vai de V é ortogomal se os seus vetores so dois a dois

ortogonais,

Assim, levando em conta o teorema anterior, se dim V = n, qualquer conjunto de a vetores
ndo-nuios e dois a dois ortogonais. constitui uma base ortogonal. Por exemplo, o conjunto apre
sentado no exemplo anterior

+ uma base ortogoral do IR?

122 Alpbralneor

3.6.2.1 Base Ortonormal

Uma base B= [v1, Ya, Va} de um espago vetorial euchdiano V é ortonormal se B €
ortogonal e todos os seus vetores sio unitirios. isto €

O pair;
“y
1 paraiso

Exemples
Em relagdo ao produto interno usual, o conjunto.

D Be {(1,0),,1)} € uma base ortonormal do R? (6 a base canónica)

23} também base ortonormal do R* (verifica)

a

3) B= {(1,0,0),(0, 1,0).(0.0,1)} € uma base ortonormal do IR” (& a base canónica),

4

$ também base ortonormal do R°, pois:

Uy ty 501 Uy = Uy uy =O

fy Oy Fp = Up Uy By = 7

As bases ortonormais sfo particularmente importantes, como ainds veremos

ragen vetorais euclidiznos 123

Observacóo

Hi vimos que se v € um vetor näo-nulo, o vetor —— € unitärio. Dizse, nesse caso, que y

vi
está normalizado. O processo que transforma v em 77 chamase normalizado de y.

Assim, uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal normalizando
cada vetor.

Por exemplo, a base B= [1.13.91], sendo Y =(I,1,D, va =2,1,0) € va =(0,-1, 1),
€ ortogonal em relagdo a0 produto interno usual. Normalizando cada vetor, obtemos:

aD
Vier

era WD
"ml VORA

e B’= (ay, up, u, } uma base ortonormal do R°

3.6.3. Processo de Ortogonalizaçéo de Gram-Schmidt

Dado um espago vetorial euclidiano V ¢ uma base qualquer B= {ty Yan’) deste
espago, € possível, a partir dessa base, determinar uma base ortogonal de V

De fato, supondo que +. 3... Yp nio sio ortogonas, considere-se

+ determines o valor de a de modo que o veto: w = va - aw, seja ortogonal à wı
(a) =
vam al wen

125 Algebra tneor

ino €

we (EEE yy

Assim, 05 vetores wı € wa slo ortogonal
Considere se o vetor
ww an

e determinese os valores de 43 € ay de maneira que o vetor vs seja ortogonal aos vetores

Wa am) =

wart wann WE) =O

wow ea wenn 9) = 0

Tendo em vista que wı . wı

toe

Assim, os vetores 1.2 € ws 40 ortogonats

Esparor vero eucitinos 125

Podese concluir © teorema por induçäo, admitindo que, por esse processo, tenham sido
btidos (m - 1) vetores Wr, Way %q_1 € Considerar o vetor:

eat am

sendo ay. 2,08, ts que o referido veror w, seja ortogonal aos vetores Wi, Way Mya

a
Os valores de 21,23... y] qUe apatecem em w, sfo:

Assim, a partir de B= (1, , Ya) obtivemes a base ortogonal { wa. #3,

O processo que permite a determinagéo de uma base ortogonal a partir de uma base
¡valquer chamase processo de ortogonalizagáo de Gram-Schmidt,

ar se obler uma base ortenormal, basta nommalicar cada wi, Fazendo w= El.
“

obtemos a base
B'= {uw ony)
que € uma base ortonormal obtida a partir da base

Avis Vay ome m}

Oservapso

Tendo em vista que

126 Algebra near

en

os vetores Wi, Wa... W, POdem ser expressos do seguinte modo:
Dw=w
0 DE
Wa = Va (9 ty)
MD) y= vy = age av

a ts Cs ct) tty) 22
6 rt LEA

wenn din

(0,0,1) vetores do IR”. Esses vetores

1,1,1) 1 =(0,1,1) e y=
constituem uma base B= (vi, ¥%,¥5} näoortogenal em relaçéo 40 produto interno usual

al.

Pretendemos obter, a partir de B, uma base B'= { Ur. uz, Us } que seja orton

Solucáo

Expecos erorais euctidanos

127
Ben LD = Geli Le D Ly
mi VRP YE Fe +

men)

1
VE

eu OLD.

de

Ah 2
VE. N

#7 0,1,0- (44

1
BRAT

see

je 65 82) (680

veu = 00, D.

À
ve"

128 Algebra linea

A base 1%'=(u,,u7, us) € uma base ortonormal, pois:

lay = du, t= Tuy} = 1

3.6.4 Componentes de um Vetor numa Base Ortogonal

Yq} uma base ortogonal de V. Para

Seja Y um espago vetorial eucidiano € B = {v
um vetor w € V, temse

antrat an
Efetaando o produto interno de ambos os membros da igualdade por v,, vem

WME A, DA al Y)

Ea) pain 0 pars jai
Jogo:
e 6)

€ a expressáo da ¡ésima coordenada de w em relagáo à base B

Exemplo
Seja V= IR? como produto interno usual e à base ortogonal
B= ((,1,1,2))

Calculemos as coordenadas do vetor w=(4,7) em relagäo a essa base B. na qual
M 5 (2,1) e va =(21,2), Pretendese calcular a, e 23 tais que

we ay Hayy

Expocosverrils ects 129

Utilizando a fórmula (3.64), vem:

logo
wen +
y=.)
Como se vu, as coordenadas de w, na base canómica, so 4 e 7. enquanto na base B sto
3e2
Observación

No caso particular de B= {vi, … 1) ser uma base ortonormal de V. os coeficiemtes
à do wetor wave +. +24. pela fórmula (3.6.4), sio dados por

asin,
Euro
At B= {62,45 ed) € um ba crural daR? em lipo dat

interno usual. Dado v= (5,2), para encontrar a; € a; tal que

34,4, 64,3
BD= (+ CFF

2-62

logo:

3
AS

Observemos que se tivéssemos a base canónica

B= ((10,0,1),

= 6,2).(1,0)

a2 = (5,2). ,1)= 2

e, portanto:

¡sto e:

(5,2)= 5(1,0)+2(0,1)

3.7 CONJUNTOS ORTOGONAIS

Se Si e Sz sfo subconjuntos nfo-vazios de um espago vetoriai euclidiano V, dise que
Sy é ortogomal a Sa, € se representa por Sy 1 Sz, se qualquer vetor y, E S, € ortogonal

a qualquer vetor va € S;

Espagosvetorlseucidianos 134

Exemple
Os conjuntos.
$, = ((0,1,2),(0,2,4)) e S = ((1,-2,1),(2,-2,1),(4,6,-3))

sio ortogonais relativamente 20 produto interno usual no R? (verificar).

} uma base de um subespago S

de Y, gerado por B.

Se um vetor uE V € ortogonal a todos os vetores da base B, entáo u € ortogonal a
qualquer vetor do subespago S gerado por B.

Dize, messe caso, que u € ortogonal aS ese representa por ul S.
Defato

Qualquer vetor € S pode ser expresso por

Avy tans tt app

wove an tanta te ago)

uv alu vi) PA) agp)

Mas, por hipótese, u P

Portanto:
u.v=0
logo:

uly ou us

A recíproca desse teorema náo é verdadeira

132 Algebra ter

38 COMPLEMENTO ORTOGONAL

Seja V um espago vetorial euclidiano e S um subespago vetorial de V, Consideremos o
subconjunto de V formado pelos vetores que s£0 ortogonal a $

st = {ve Vivi S)
Esse subconjunto Si de V € chamado complemento ortogonal de $.
‘Vamos considerar duas propriedades:
1) S! ésubespago de V
De ato:
a) Se vv € $+, para qualquer uC S, temse:
Miu evita
¡sto
Y .u=0 e 920
Entio:

Mout: uae
(vy +0) 6 = 0 implica (vy +05) E SÉ

1) Analogament, se veria que para qualquer a € Re avy € 54
1D Se $ €subespao vetorat de Y, entáo
v-s@s
ito, V éasoma diet de Se Si

De fato:

Se $= {0}. entáo Si

V e udemonstracdo € imediata

Espagasveroisscuclidianos 133

Se S# {0}, para qualquer v ES À S! teme:
vo
toe
v=0
0 que mostra que
sası={0}
Por outro lado, como $ € um subespago vetorial de V, S pode ser considerado um espago

vetorial euclidiano tal como V, Nessas condipdes, sejam B= (1,€x,...€p) uma base orto-
normal de $ e y um vetor qualquer de V.

“Tendo em vista que y €; Y. 63, Y Ep S20 números reais, o vetor
Wa = (Werder tele + HUY. ep) ep

pertence a 5, e 0 vetor

¿ortogonal a8, iso é, pertence a S*, por ser ortogonala todosos vetoresda bate B= (1,2... ep}

AA
nern (ela ree tele)

were lv ende] e t0r..+0

Do mesmo modo:
nenn

134 Algedro tncer

Assim, ven tn, com 1 ES e WES!
Logo
v=s@s!

Exemplos

1) Seja Y com o produto interno usual e

S= ((0,0,c¥e€ IR} (eixo dos 2)
Entzo.

S = ¿(a,b,0)/a,0 IR} (plano x02)

2) Seja V= IR? como produto interno usual e $= {(x,-x)k IR)

Entio:

= (Oe xe RE

uma vez que (x). (x, x)= €

parer setoriis ucliianos 135

39 PROBLEMAS RESOLVIDOS
9) > Determinar o valor de m para que os vetores u=(2,m,-3) e v=(m=1,2,4) sejam
‘ortogonais em relagáo so produto interno usual do R®.
Solucáo
Os vetores sáo ortogonals se uv = 0. Entäo
(2, m, 3). (m= 12,020
2m- 1) + m{2)-3(4) =O
2m-2+2m-12=

maid

10) Sela V= IR? eo produto interno
(yo 20) 00, Y 2295 2x0 + 3935 + A2

Determinar um vetor unitärio simultaneamente ortogonal aos verores w= (1, 2, 1)
et

136 Algebra ner

Solucáo

Seja w= (x y,2), tal que wi u e wis. Enzo

w.u=0 Gy,2). 02,1)

L6yD.0,1,1) =0
Com o produto interno dado, obtemos o sistema.

2x+t by +220
3.20
que tem por solugzo:

y=0 E20.

Logo, w= (x, 0, -2x)=x(1,0,-2), para xe R

Portanto, existem infinitos vetores ortogonais simultaneamente a u € v, porém todos
múltiplos de (1,0,-2), Para x=1, obtémse wı =(1,0,-2), que, normalizado, resulta:

Mo. 00D 0-2)

1
al ADA Cay VE ww

11) Comstruiz, a partir do vetor ¥; =(1,-2, 1), uma base ortogonal do IR”. relativamente 20
produto interno usual e obter, a partir dela, uma base ortonormal.
Solugáo
Seja B=£v1, vz, vs ) a base ortogonal a ser determinada.
Seja va = (%,Y,2). Como vz 1 va, temae:

Cae)

papos veroricscucidianos

(uy. 2)-0,-2 Ds 0
xelytz =0

x= ay

Existem, portanto, infinitos vetores ortogonais a vy da forma

yaya y2€R

Fazendo y 1, obtémse um vetor particular

= (1,0,1)

Assim, o conjunto { v1. va ) é ortogonal, pois vi . v2 = 0.
Para obtermos uma base ortogonal, necesitamos de mais um ver.

Seja va (a be), talque min e ey 1 vy. Entáo:

”.ou-0

1.4.0

| (a,b,c).(1,-2,1)=0

| @5.9.61,0,9=0

sistema de solugdo a=c e b=c

138 Algebra near

Portanto, os vetores ortogonals a v, € V3 sio do tipo
(o,0,c), eE R
Fazendo € = 1, obiémse um vetor particular
wahl

logo.

(1,2, 1), (1,0,1, (1.1,1)) € uma base ortogonal do IR* com a presenga do
vetor Y, = (1,2, 1).

Para se obter, a partir de B, uma base ortonormal, basta normalizar cada vetor de B.

Assim:

B'= (uy, U2, us } € uma base ortonormal do R?

Esse problema, como € facil observar, tem infinitas solugdes.

12) O conjunto B= {(1,-1),(2,b)} € uma base ortogonal do R? em relacio ao produto

A

Calcular o valor de be determinar, a partir de B, uma base ortonormal

Expaporvetoreieuciadionos 139

Soluçso
Sendo B ortogonal, tem-se:
(1,-1.(,6)= 0

2G) Q)-1(0)= 0

=4

Portanto:

Be {(,-D,2.4)}

€ ortogonal.

Normalizando cada vetor de B segundo esse produto interno. ver:

DR a

uma base ortonormai do IR? relativamente ao produto interno dado,

13) Em relagáo a0 produto interno usual, determinar uma base ortonormal do seguinte
subespago vetorial do R°

Se (Quy. RYxty-2)= 0

Solugáo

Basta considerar uma base de S €, posteriormente, aplicar nela o processo de Gram
Schmidt com a normalizaçäo de cada vetor.

140 Algebra near

Observemos que dimS=2 e, portanto, uma base de $ tem dois vetores. Isolando x na
igualdade: x+y 4 720

age
Se fizermos
G)y=0 e 2=1

()y=t e 2=0

obteremos os vetores vı

10.1) € va =(=2,1,0), sendo B= (41, va } uma base de S, pois
vi eva sfo LI. Procuremos uma base B’= (u,, uz} que seja ortonormal.

by wa = va (02 61) 4 = (1, 1,0)-

logo.

AAA ZZ)! coms bn oronom de S

Observagio - O processo de ortogonalizagáo de Gram-Sehmidt teria sido evitado caso
tivéssemos escolhido uma base B já ortogonal

14), Seja o produto interno usual no R* co subespago, de dimensáo 2

S= lat,

=D, -2, 1.0)

Determinar $4 e uma base ortonormal de $4.

pages veorsi uctdines 141

Solugio

Umvetor v= ya DE Si se

(2.1). (1,1,0,-1)= 0
&,y.2.9.0,-2,1,0)7 0
Dai ver o sistema:
xt y-1=0
x= dy +260
<uja solugdo €
taxty e zent 2y,
Logo:

St = (eur dy x + PRE IR)
Uma base de Si €,
B= ¿(1.0,-1,,(0,1,2, 10)

na qual yy =(1,0,-1,1) e v3%(0,1,2,1). Apliquemos o processo de Gram-Schmidt à base B
para encontrar a base ortonormal B'= (uy, us }

aus DL

Int

182 Alkebralimer

Logo:
B= (4,09)

€ uma base ortonormal de $4.

3.10 PROBLEMAS PROPOSTOS

1) Seam u= (xs, ¥1) € Y= Gra, Ya). Mostrar que cada operagáo a seguir define um produto
interno no R°:

a) wv YY
buy Zum + Sas

UI tuya Y ETS

2) Caleular o produto interno dos vetores w= (1,1) e v= (3,2) segundo cada produto
do exercicio anterior.

3) Sejam os vetores Y, = (Xy, ÿ1) € v2= (my) de V= RE

Verificar quais das füngdes F.V x V +R, definidas abaixo, s30 produtos internos
em V:

a) £0 ¥2)= 2x0 Hayıya

DENT Rn = yay

CITE ty

DE .w)= ax

eb flr, SET PSE

D EQ RETENUE
8) Ein .va)= 0% Haye PY *yıya

MF) ya a

spacor veoriis eucldinos 163

4

5

5

Eos vetores U= (x1,Y1,23) € v7 (Xa, Yas 2)

Sejam Y

Verificar quais das seguintes fungóes sio produtos internos sobre o IR. (Para aquelas
que nd sto produtos intenos, cita os axiomas que ndo se veificam.)

Du PY

byu.ve xix + Sy

oy uve Air + ads ada,
AU na YY ~ 22e
E) UV xx Hyıyı #22 Y Kıya

Consideremos o seguime produto intemo em Pa: p.q= a:b; + 21b + aobo, sendo
Haan’ rayitas € = box? thx Do. Dados os vetores pa = x? - 2x43,

pro 3x-4 © ps calcular
pp
b)Ipai e ps!

© ips + Pal

oF
Pal

e) coseno do ángulo entre pa © Ps

slo matrizes quaisquer de M(2, 2), a seguinte fórmula define um produto interno nesse
espago:

ue ana +buba + ores + did,

7

8)

9)

1 2 o 2
un 1 1
determinar:
a) lurv

b) o ángulo entre u e y.

No espago V=P, consideremos o produto interno f(t). g(t)= | £(t)g (t)dt. Calcular

£00-8(0 e (ECL para F(D= Pe RID 193

Verificar a desigualdade de Cauchy quando se tem:

a) u= (2,-1) e v= (-2,-4) eo produto interno do problema 1b

bhu= x +x-3 © v= 3x? =x + 1 eo produto interno do probiema 5.

Seja a fungso

LR RE MOLD

ES
ya vi] |
1 Y

Mostrar que f & um produto interno em R? ¢ calcular:
2) A norms do vetor (1. 3)
b) Um vetor umitärio a parti de (1, 3);

©) Um vetor ortogonal à (1, 3)

Espeporvetorsiseucitanos 145

10)

m

1

3)

is

Provar que se u € v sfo vetores de um espaco vetorial euclidiano, entáo.

ay ud y implica [us vto Hin?

(Intepretar geometsicamente esse fato no R? eno 9.)

bh Qu ++) La +) implica Jul

Consideremos, no RY, o produto interno usual. Para que valores de m os vetores u e y
so ortogonais?

C415)

ev 1)
Consideremos, no R°. 0 seguinte produto interno:

(xis yeti) ay Ya Ba) = 2% yıyı 14023

Determinar. em zelagdo a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente
‘ortogonal aos vetores u= (1,-1,2) e v= (2.1.0)

Seja V= RP com o produto interno usual. Determinar um vetor v= R* ortogonal
sos vetores vy = (1.1.2) mm 5.1.3) e v5 = (2.2.3)

Determinar os vetores (2,D.c) para que o conjunto B= {(1,-3, 2), (2,2, 2). (a. bc)
ja uma base ortogonal do R* em relagdo ao produto interno usual. Construnr a partir
de B uma base ortonormal

Seja V= M(2 2) munido do produto interno definido no problema 6. Determinar x de
modo que

sa

¡A -

sejom ortogonais.

146

Algebra linear

15)

19

18)

19)

20)

21)

Seja Py o espago vetorial dos polinómios de grau <1, Definimos o produto interno entre
dois vetores p e q de Py como segue:

p.q= 2actad tbe 2bd, sendo | pit)= at +b

| am- ara
a) Calcular o ángulo entre L-1 € 3t.
b) Encontrar um vetor r (1) ortogonal a0 vetor t=1

Sejam V= R* munido do produto intemo usual e A= {(1.
uma base ortogonal B de V tal que AC B.

,-2)) € V. Encontrar

Sendo V= R* munido do produto interno usual, determinar um vetor näo-nulo ve R*
que seja ortogonal a va = (1,1, 1,=1), vz = (1,2,0,1) e va = (4,1

Consideremos o seguinte produto interno no IR?
(1, Y1) (02, Y2)= X1%2 + 2x1Ya + kay + SY, Ya

Mostrar que, relativamente a esse produto interno, o conjunto

A= (1,0), (2, -1)) € base ortonormal do IR.

O conjunto B= [(2,-1),(k, 1)) € uma base ortogonal do R? em relagdo ao produto
interno

Gus Yı)- (hae ya)” 21% XVe tay tye

Determinar o valor de k e obter, a partir de B, uma base ortonormal,

Consideremos as seguintes bases do R? e do IR?

a) B= ((3,4,,29)

Epagosveroiascuclidianos 147

2

EN

28)

b) B= ((1,0,0),(0,1,1),(0,1, 23)
© B= £(1,0,1),(1,0,-1):(0, 3, 49)

Ortonormalizar essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno.
sua de cada espago.

O conjunto B D} € uma base ortonormal do R? como

ce a
“vt VENT
produto interno usual. Determinar o vetor coordenada de v= (2,4) em relao à base B
Utilizar proceso apresentado em 3.64

Em relagdo 20 produto interno usual, determinar uma base ortonormal dos seguintes subes.
pasos vetoriais do IR

1S= (y ne Riy-2e= 0
bIS= [ly R'atyer 0)

Det
R gerado pelos vwetores y,

em relagío ao produto interno usual, uma base ortonormal para o subespago do
(MOD. we (0,1,0,1) e v3=(1,1=1,2)

son S= my.
interno usual

x+ay+ór»xy2€ R] subespago de R' com o produto

Aw (12,1. 142-1220) CS.

1) Ortonormalizar o conjunto A.

b) Completar o conjunto A de modo a transformé Jo numa base ortogonal de 5

Seja V= RE munido do produto interno usual e B= ((,2,-3),(2,-4.2)). Determinar
a) O subespago S gerado por E.

b) O subespago S-

148 Algebra incor

27) Seja V= IR munido do produto interno usual. Dados os subespagos:

SS Ly DE Rx dy +32= 0) €

(10 DAS RP

determinar Sy e Sy

28) Consideremos o subespago S= {(x,y,2)/x-2=0} CIR” com © produto interno

DY 1) dx Syy! + dec!

Determinar Si e uma base de St

3.10.1 Respostas de Problemas Propostos
2 0-1 b4 90 320,0
4. a) No € produto interno, Falha o axioma Pa
b) E produto interno,
©) Nit € produto interno, Falham os axiomas Py € Py
4) Nao é produto interno, Falha o axioma Py
©) É produto interno,

5 9-18

DNS

snaps serons clamor

109

a) VA

= are cos E
bye aaa

3
55

odd
urn

A
5 b)3 où -1

us a( 7-4) 2€ R

165,14), #0

a

E
Via’ Vi
x=4

a ai.
a) 0= sxccos +

D) € +1 (€ uma das solugoes).

(1-1. -2),0,1.0),61,

<1) } € uma delas.

Ums solugáo € (9. -8. 6.7)

150 Algebra linear

2.0 23%
23. 3) (C1, 0,0), (0, wwe
on .0 a
Be eR

24. Existem infinitas bases ortonormais.

Uma delas

2s

b) Uma delas:

42.2.1, D, (221,2, 29,444, 4,5.-47)
% a S= my.Dde Rx+y+2= 0}

DIS = (Oxy, 2) Riyx=y=2!

27. Sh = ine R}
Sp (y 206 R/x+y-2= 0
28. Si = {(-22,0.2/2€ R}

Uma base: ((-2,0. 1}

CAPITULO

TRANSFORMAGOES
LINEARES

4,1 TRANSFORMACOES LINEARES

[Neste capítulo estudaremos um tipo especial de fungáo (ou aplicagio), onde o dominio e
0 contradomínio sfo espagos vetoriais reais. Assim, tanto a variável independente como a variável
dependente sfo vetores, razfo pela qual essas fungdes sio chamadas vetoriais. Estamos particular
mente interessados nas fungdes vetoriai lineares, que sero denominadas transformagdes lineares.

Para dizer que Té uma transformagdo do espago vetorial V no espago vetorial W, esere
vese T:V—+W. Sendo T uma fungfo, cada vetor vE V tem um só vetor imagem we W.
que será indicado por 0)

Vamos exemplifiar, considerando V= R? e W= RP

Uma tansformagdo T:R*—=R? asocia vetores v= (x,y) R? com vetores
x, y, 2) € R?. Se à lei que define atransformagáo T for

T(x, y) = 3x, -2, x-y)

o diagrama da página seguinte apresenta trés vetores particulares v e suas correspondentes
imagens w.

Deve ficar bem claro que, para calcular, por exemplo, T(2, 1), temse: x=2 € y=1
e dat:

TQ, =Gx 2,-2* 12-1)

2,1)

15

152 Algebra linear

(3.-6,-4)

0.0.0)

411 Definigäo

Sejam V e W espagos vetoriais. Uma aplicagdo T:V—>W € chamada mansformagdo
linear de V em W se:

D T(u+w=T(u)+ TC)
1) Tía) =aT(u)

para Vuve Vie Vas R

Observagdo

Uma transformacio linear de V em V (€ 0 caso de V=W) € chamada operador
linear sobre V.

Exemples

D) TIR? —+ B®, T(x, y)= (3x, -2y, x- y) é linear
De fato,
1) Sejam u= (xy, y) e = (a, ya) vetores genéricos de R?
Entio:

T(vt = T(x ty +92)

Transformagdeslincares 153

TONER +29), 201 RE)
TWD + 36, - ar 0 Y =)
TUE Gus das 91) + Ga -2Y,% =)
Ta 2 T4 TC)
11) Para todo a € R e para qualquer u= (x), y,)€ R?, teme
Tau) = Tax. avr)
Tu) = (Gax, 2ay1, ax ~ ays)
Tea) =a(3x1,-2¥1, Y)
T@u)=aT(u)
TR—R

x 3x ou T(x)=3x linear
De fato:

D) Sejam u=x, e v=x, vetores quaisquer de IR (os vetores, nesse caso, slo
números reais), Entäo:

T(ut = TG +x)

T(ut )=3(x; +0)

Tut) = 3x, + 3x;
Tut = TO) + TC)

I) Para Va € R, Vu=x, € R, teme:

Tu) =T(ax)

154 Algebra linear

Tau) =3axy
Tau) =a(3x1)

T(au) =aT(u)

Observapdo

Essa ransformagdo linear representa uma reta que passa pela origem (Figura 4.1.1)
facil ver que, se uma transformagäo representar uma reta que no passa pela origem, ela
náo € linear. Por exemplo:

T: RR, T(x) =3x¢+1

nfo 6 linear.
De fato:

Se u=x, e v=x slo vetores qualsquer de IR, temse
T(u+Y=T(A +%)
T(utw=3(x +1)+1

T(L+ Y = 3x) + 3e + 1= (8, +1) +30,

TU+YITOITO = Gx, DER +1) Pio
Seria bem mais fácil constatar neste exemplo que T ndo é linear se conhecéssemos a propriedade:

“Em toda transformapio linear TV — W, a imagem do vetor 0 € V é 0 vetor 0 EW,
ato é T(O)=0."

Este fato decorre da condigáo (I) da definigdo, para =O: 1:
T(0)=T(0. )=0.T(9=0
Nos exemplos 1) e 2), de transformagdes lineares, tivemos:

T(0,0)=(0,0,0) e T(0)=0

Transformagóes Uneares 155

Nesse último exemplo, de transformagio näo-inear, verificase que: T(0)#0. pois
TO=1

‘Asim, também nfo € linear a transformaggo

TI R?, T(x, y,2) = Gxt 2, 29-2)
pois T(0, 0, 0)=(2, 0) # (0,0).

Insistindo: se T:V-— W é linear, entoT (0) = 0. No entanto, a recíproca dessa proprie
dade ndo € verdadeira, pois existe transformagdo com T(0)=0 e T nfo € linear. É o caso da
transformagso

RR, TONER)

De fato

Se u=(%,y1) © Y=(%, Ya) slo vetores quaisquer de R?, terse:

Tut v)= TG + a, Ya + 2) = (Gr 497,304 + Yad) = ORF +2x,%2 +3, 3y, +392)
enquanto:

TOO + TD = (xh, HR Rh dy, + 392)
stoé

TEUryeT+T
3) A transformaggo identidade

Lv —v

vr où (= E linear
De fato:
D uty eur ver)

M) Kau) = au =al(u)

156

Algebra linear

4)

5

A transformag3o mul (ou zero)
TV —w

Y + 0 où T()= 0 élinear
De fato:

D Tu+W=0=0+0=T(u)+ TW
ID T(@u)=0=a x 0=aTu
A simetra em relagáo à origem O (Figura 4.1.1b) no R*
TR — RP

vy > y élinear
De fato:

D Tut =-(uty)=-u- v= T(u)+ TO)

1) T(au)= au = a(-u) = ar (u)

Transformagóes lineares 157

6) A projeçao ortogonal do IR? sobre o plano xy (Figura 4.1.1c)
TR — RS
(%y,2)- + (7,0) où T(x.y,2)=(2,y,0)

linear (yerificar!).

Figur Ale

7) Aprojegáo no eixo dos x

TR

R, Ty, = (x, 0,0)

6 linear (verifica),

8) Seja 0 espago vetorial V=P, dos polinömios de gau<n. A aplicagdo derivada
D:Pa—Pa, que leva FE Pa em sua derivada £, isto €, D(O)=F, € linear

De fato:
Pelas regras da derivaçäo, sabese que:

D+) =D] +E),

D(af=aD(n

158 Algebra linear

9) Seam os spaos veto V=Fn € WER. A trnformasso T:Py—> Re definida
por Tee 0.0 Ro, que ca pl we ac nl

definida T(u)E R, € linear
De fato.

Por meio de teoremas do Cálculo, sabese que:

Tw+y urna Pues forrest

Tau) pavas Panzer

12
10) Seja a matriz A= | -2 3 |. Essa matriz determina a transformagáo.
0.4

Tai RÁ RO

Y E Ay où Tae Av

que é linear.
De fato:

Ta(ut ¥) = A(ut = Au Av = Ta(u) + TAG)

Tp (au) = Alau) = a(Au) = aTa(u)

Tronsformapber ineures 139

Bfetuando Av, onde v= (x.y) IR? € um vetor coluna de ordem 2 » 1, resulta:

xtay
= [+ 3y
y
ay
+, portanto, Ta € definida por

Tala, y) = (4+ 2y, -2x + 3y, 49)

Observacies
a) Uma matriz Alm x n) sempre determina uma transformagdo linear
Ta: RP — RT

onde a imagem Ta(s)=A¥ € 0 produto da matiz A pelo vetor E R° considerado como
uma matriz de ordem n x 1. Uma trnsformagáo linear desse tipo chamase multpliapdo
por A

b) Em 44 veremos 0 inverso, isto €, que uma transformagáo linear T: R’— IR” sempre
pode ser representada por uma matriz m x n.

©) Para que possamos dar uma interpretado geométrica do significado de uma transformagáo
linear, consideremos uma transformagSo linear no plano. Sja 0 operador linear T: R? — R?
definido por:

T(x y) =(3x+y, 28439)

e consideremos os vetores u

1) e v=(0,1). Portanto, T(u)=(4,1) e TO)=(1. 3).

A Figura 4.1.14 mostra que sendo u+w a diagonal do paralelogramo determinado por
u e y, sua imagem Tu+ +) representa a diagonal do paralelogramo determinado por T(u)
e TO), tod, Tut) = T(u)+ TC),

Dizse, nesse caso, que T preserva a adiçäo de vetores.

160 Algebra linear

Fur 41.14

A Figura 4.L.1e mostra que, 20 multiplicarmos o vetor u por 2, sua imagem T(u) fica
também multiplicada por 2. E esse fato vale para qualquer a real, isto €, T(av)= aT().
Dize, nesse caso, que T preserva a multiplicagäo por um escalar.

Figur die

4.1.2 Propriedade
Se T: V— W for uma transformagdo linear, entäo
Ta tan) TCs) + aT (V2)

para VE Ve Vai, € Ro

Transformagóeslneres 161

De forma análoga, tems:
Tan tan tt a Tv) + 2 Tr) @

para Vu € Ve Va, ER, i= 1,2, 01m, isto é, a imagem de uma combinagfo linear de vetores
6 uma combinagäo linear das imagens desses vetores, com os mesmos coeficientes

Suponhamos agora que (Y, va, Ya} seja uma base do dominio V e que se saiba quais so
as imagens T(v,), (2) «+ TU) dos vetore desta base:

sempre € possivel obter a imagem T(v) de qualquer y E V, pois sendo y uma combinagáo
linear dos vetores da base, isto €

vagy tt PAY
«pela relagdo acima, vem:

TO) =a, TO) + TC) + + aT Og)

‘Assim, uma transformagdo linear T: V — W fica completamente definida quando se
conhecem as imagens dos vetores de uma base de V.

O exemplo a seguir e os problemas resolvidos 8 e 9 sio aplicagdes esclarecedoras desta
propriedade,

Exemplo

Seja T:¡R'—— IR? uma transformagfo linear € B= {¥s,¥2,¥3} uma base do
RE, sendo Y, =(0,1,0), v3=(1,0,1) e 13=(1,1,0). Determinar T(S, 3,-2), sabendo
que T(m)=(1,-2), T(m)=6, 1) e TO) = (0,2).

Solo
Expressemos v= (5,3, -2) como combinagdo linear dos vetores da base:

5, 3,-2) =a,(0, 1,0) + a3(1,0, 1)+ aa, 1,0)

162 Acera near

atajos
atass
a.
sistema cuja solugáo €
mm 42.2e9=7
Entio:
(5, 3,-2) 5-84 - nt,
logo:
T(5,3,-2) =-4T(41) -2T(4) # TTC)
T65,3,-2) =-4(1, -2)-263, 1) +7(0,2

TGS, 3,-2) =(-10, 20)

4.1.3 Problemas Resolvidos
Nos exercicios 1 a4 so dadas transformagdes. Verificar quais dela so lineares

DO TER RP, Ty) (y 2x +, 0)

Solus

1) Para qualsquer vetores u = (Xy, yı) € v= (x, Ya) de IR”, tems:
Turn =TG ty +32)

T(t dl + x) On +Y2).204 #2) + Gr FY). 0)

Tronsformaöerlinare 163

Tr = Ga 4 Y Ya Zu tn tyı À V2, 0)
Tat den Ya 21 + Ys, 0) Oa Ya, Da + ya, 0)
Tut y= Ta) + TO)

1) Tlau) = Tex ay)

Tau) = (ax -ay,, 2ax, + aÿ1,0)

Tau) = a(x Ya. 2x1 + 91,0)

Tea) ati)

Logo, T ¿linear
Y TR RY TOY) OH.)
Soles

Sabese que em toda transformagéo linear T; V—+W devese ter T(0)=0, Como

T(0,0)= (2, 3) # (0,0), T náo € uma transformaçäo linea.

ssa aplicagdo T € um exemplo de runslagdo no plano.

Y TRE R TOY Il

Solucso
Sejam u= (x), Yi) € ¥= (x, yz) vetores quaisquer de IR?
Tut y= TO tt) De tml €
Tan Teen lei!

Como.emgeral. 1x4 + x21 # 1x,1+ 1X2], concluise que T nio € linear

164 Algebra linear

4) Hi V—— V, H(9)= Av, AER, Afixado,

Solucáo
Seu, ve Vi
1) Hut 4) = Mut) = Au+ v= Hw) + HO),
1) Hau) = X(au) =a Qu) = aH(u)

Logo, H_€ um operador linear em V. Esse operador chamase homotetia de V determinada
pelo escalar A,

Osexemplos2, 3 e 5 do item 4.1.1 so casos particulares de homotetia em que A= 3,
A= 1 e As, respectivamente.

5) Seja oespago vetorial V=M(n,n) e B uma matriz fixa em V.

Seja a aplicagdo T: V——V definida por T(A)=AB+BA, com A€ V.
Mostrar que T é linear.
Solus
1) Para quaisquer Ay, A; € Vi
TOA, + Aa) =(A, +A) B+B(A, + As)
T(A, + A2)=A,B+A,B+ BA, + BA;
T(A, + A) =(A, B+ BA,) +(A2B+BA;)
T(A, + As) = T(A,) + TEA)
I) T(@A,) = (@A,) B+ B@A,) =a(A,B)+ a(BA,)
T(@A,) =a(A,B + BAy)

T@AI)=aT(A;)

TransformarbesUneares

165

6) Seja T:V—— W linear. Mostrar que:
à TEN =-70)

D) Tu- = Tw) - TO)

Solueso
a) TE¥) = T-1) M=-1T() STE)

b) T(u- Y= Tut (139 = TW) + CTO) =TO)-TO)

7) Consideremos o operador linear T: R? —> IR? definido por

T(x, y2) (xt 29 + 22 x4 2y 22, 2x4 y +42)
3) Determinar o vetor u € IR® tal que T{u)=(-1, 8, -11).

b) Determinar o vetor ve IR? tal que T(v) =v.

Solugáo

a) Sendo T(u)=(-1, 8, -11), ou seja:

(x4 dy +22, x4 2y-2,-xty+42)=(1,8,-11),

x+2y+ 221
x+2y- 2= 8
ato yt dee ll

sistema cuja solugdo € x=1, y=2 e 233

Logo: u = (1, 2,-3)

166 Algebra near

b) Seja v=(x, y,2). Entdo, TG) =v ou T(x, y, 2) + (x, Y, 2) ou, ainda
Kr nn +29 22 xt ya

donde:

xt oy +22
xtay- ney
ax. yt ae

O sistema € indeterminado e sua solugio &: x = 22 €

Assim, existem infinitos vetores v © R? tas que
Tí) =¥ e todos da forma
v= (2,-2.2)

v=z(2,-1, 1), We R

8) Sabendo que T: IR? IR? € uma transformacdo linear e que

T(.-1)=G3,2,-2) e TI, =(1,-1, 3),

determinar T(x, Y),

Solucáo
Observando, inicialmente, que {(1,-1),(-1,2)} € uma base de R?, apliquemos a
propriedade 4.1.2 expressando O vetor (x,y)€ IR? como combinaçäo linear dos vetores

dessa base

(x,y) = aL -1)# BEL. 2)

Transformapdes Imares

167

a- bax
-at bey
sistema do qual ver:
a=2xty e bexty
Portanto:
TG y) = aT, -1) + OT (1, 2)

TD (x +3) (2,294 4 90-13)
T(x, 3) (4 3y, dx + 2y, he = 29) + + yon ya By)

TOY) =x + dy, dx y)

9) Umoperador linear T: IR? ——+ IR? é tal que
T(1,0)=(3,-2) e T(0, 1)=(1. 4)

Determinar Ta, y)

Solueéo

Observemos que {(1, 0), (0, 1)} € a base canónica de IR?

Um vetor (x, y) € R? € tal que
(xy) =x(1,0)+y(0, 1)

+, portanto:
T(x, y) =xT (1,0) +yT(O, 1)
T(x, y) =xG,-2)+ 91.)

T(x y) = Gxt y, -2x + ay)

168 Algebra incr

4,2 NÚCLEO DE UMA TRANSFORMACAO LINEAR
Definicáo

Chamese núcleo de uma transformagdo linear T: V——W a0 conjunto de todos
os vetores VE V que sio transformados em DE W. Indicase esse conjunto por N(T) ou
ker (D)

y w

N(D)= (ve VIT@)= 0}

Observemos que N(T)CV e N(T)#9, pois DENT), tendo em vista que
TO =

Exemplos

1) Onúcleo da transformagdo linear
TR RY, TY) = (x+y, 2 y)
0 conjunto:
N(T)= LG) € RET( y) =(0,0))

‘0 que implica
(ey, 2x-y) =(0,0)

x+y-0
x= y=0

Trensformagöes lineares

169

sistema cuja soluçao 6:
x=0 € y=0

logo:

N= ((0,0))

2) Seja TER? — RP a transformagáo linear dada por:
T(x, y, 2)=(X-y +42, 3x + y + Be)
Nesse caso, temos:

N(T)= { (x, y, 2) R/T(x, y, 2) =(0,0))

isto €, um vetor (x, y, 2) € NT) se, e somente se

(x-y #47, 3x + y +82)=(0,0)

y+42=0

+ y+ Be =0

sistema homogéneo de solugdo x =-3z e y=z.
Logo:
ND = ((-32,2, 9/2€ R}
NOM = {2(3,1,02€ R)

où ainda:

NOM = 163,1, DJ

170 Algebra linear

Observemos que esse conjunto representa uma reta no IR? que passa pela origem e tal
que todos os seus pontos tém por imagem a origem do R? (Figura 4.2).

Figur 42

4.2.1 Propriedades do Núcleo
1) O núcleo de uma transformagdo linear T: V ——W é um eubespapo vetorial de V.
De fato.

Sejam vı e va vetores pertencentes ao N(T) e a um número real qualquer. Entáo,
T(vi)=0 e T(v)=0. Assim:

D Thy Fv) = Tu) + T4) =0+

istoe

n +4 € Nm

1) T(ay))=aT(v,)=a0=0

sé

av € NT)

Trensformapderimare 1m

2) Uma transformasdo linear T: V —+W € injetora se, e somente se, NT) = {0}.

Lembremos que uma aplicagio T: V— W € injetora se Vi, va € Y, T(1)=TG5)
implica yy =¥% ou, de modo equivalente, se Wa, vi E V, vi He va implica T(4) # Tin)

A demonstragäo dessa propriedade tem duas partes:

3) Vamos mostrar que se T € injetora, entéo N(T) = {0}

De fato:

Seja VE NM), isto & T(v)=0. Por outro lado, sabese que T(0)=0. Logo,
T()=T(O). Como T é injetora por hipótese, v=0. Portanto, o vetor zero € 0 único elemento
do núcleo, isto é, N(T) = {0}

b) Vamos mostrar que se N(T)= {0}, entäo T € injetora
De fato
Sejam ¥,¥2.€ V tais que T(v)=T(va). Entfo, T(vs)-T(va)=0 où Tin ~v2)=0

€ portanto, v1 -Ya € N(T). Mas, por hiórese, 0 único elemento do núcleo € 0 war 0, e,
portanto, vi =¥s 20, isto é, vw. Como T(1)=T(05) implica y= va, T € injetora

43 IMAGEM
Definicdo

Chamase imagem de uma transformagäo linear T: V — W ao conjunto dos vetores
WE W que sfo imagens de pelo menos um vetor vE V. Indicase esse conjunto por Im(T)
où Tv);

Im(T) = (w€ W/TG)=w para algum ve V}
A Figura 4.3 esclarece a definigdo.

Observemos que Im(T)C We Im(T)#¢, pois 0=T(0)E Im(T). Se Im(T)=W,
TT dizse sobrejerorz, isto &, para todo wE W existe pelo menos um ve V tal que T(y)=w.

172 Algebra linear

2
E)

Figur 43
Exemplos

D Sea Ti RY —+ RP, T (x,y, 2)=(4.¥,0) a projegio ortogonal do R? sobre o plano
xy. A imagem de T € 0 proprio plano xy

Im(T)= {GR y,0)€ Rx, ye R)

Observemos que o núcleo de T € 0 eixo dos 2:
NT) = ((0,0,2)/2€ R}

pois T(0, 0, 2) =(0,0,0) para todo 2€ R.

Tronsformapserlinerer 173

2) A imagem da transformaggo linear identidade I: V — V definida por 1(W)=w,
WE V, € todo espago V. O núcleo, neste caso, & N(D = {0}

DA imagem da transformagdo mula T: V —W definida por T()=0, WE Y, €0

conjunto Im(T) = {0}. O núcleo, nesse caso, € todo o espago V.
4.31 Propriedade da Imagem

A imagem de uma transformagfo T: V —W é um subespago de W.”

De fato:

Sejam wi e wz vetores pertencentes a Im(T) e a um número real qualquer. Devemos

mostrar que wi + wa € Im(T) e aw, € Im(T), isto é, devemos mostrar que existem vetores
4 tw; e Tu) =aw,

ve u pertencentes a V tais que T(y)

Como W1, wa € Im(T), existem vetores vy, vz € V tais que T(v,)= wy e T(vs)= wa
Fazendo v

jh tv; © u=avy, teme:

TCH) = TG +9) = Tu) + TU) = HF ws

TQ) =Tav)=aTln)=awı

e, portanto, Im(T) € um subespaco vetorial de W.

43.2. Teorema da Dimensäo
“Seja V_ um espago de dimensfo finita e T: V —W uma transformagfo linear. Entäo,
dim N(T) + dim Im(T) = dim V."
Deixaremos de demonstrar o teorema e faremos algumas comprovagóes por meio dos exem-
plos e de problemas resolvidos logo a seguir

No exemplo 1 de 43, o núcleo (eixo dos 2) da projegäo ortogonal T tem dimensfo 1 € a
image (plano xy) tem dimensáo 2, enquanto o dominio IR? tem dimens3 3.

174 Algebra linear

No exemplo 2 da transformagto identidade, temos dim N(T)= 0, Consequentemente,
dim Im(T) = dim V pois Im(T)= V.

No exemplo 3 da transformagäo nuls, temos dim Im(T)=0. Portanto, dim N(T) = dim V,
pois N(T) = V.
4.3.3 Problemas Resolvidos
10) Determinar o núcleo e a imagem do operador linear
TR — O
Solugéo

a) NOT) = (1, y.) € R'T(x,y.2)=(0,0,0))

(xt 2y- ny 422, x + 3ÿ + 2) =(0,0,0)

cuja solugáo geral é (52,-22,2), 2€ R
Logo:

NED = (652,22, 2)/2€ R} = (2(5,-2, 04€ R} = (6,2, D

by Im(T)= (a, 0) € REIT(x, 2)
(xy. 27 R° tal que

SE Im(T) se existe

abd}, isto & (a

(xt 2y-2.y +22, x + 3y +2) = (0,06)

Traruformagdes licores 1725

eo sistema:

xt2y- z=a

y+2=b

xt3yt zee

somente terá solugdo se a+ be = 0.
Logo:

Im(T)= {(a,b, 9 € R’larb-

Notemos que:

dim N(T) + dim Im(T) = 1 + 2 = 3, que é a dimensto do dominio IR”

Observordo
O vetor imagem T(x. y. 2) pode ser expresso da seguinte forma:
(x4 2y 2 y + 22 x4 By + 2) 2 0,2) + Oy, y, 39) (2, 22,2)

(xt 2y=2,y #22, 24 By + 2) =X(1,0, 1)+y(2,1,3)+26-1,2, 1)

Logo, qualquer vetor do conjunto imagem ¢ combinaçäo linear dos vetores (1,0, 1),(2,1,3)
,2,1) e, portanto

Im(T) = (1,0, 1.2.1, 3.6.2.0)

Observando que

, 1,3) e T10,0, 1) = (1,2, 1)

T(1.0,0)=(1.0, 1), T(0, 1, 0)=

176 Algebra linear

concluise que:
Im(T) = [T(1, 0,0), T(O, 1,0), T(0,0, 1)]

isto é, a imagem dessa transformagio € o subespago gerado pelas imagens dos vetores da base
canónica do dominio IR?

Este fato vale de modo geral: “Se T: V —W linear © {vi Vs} gerd V, entáo
(TO) a Tyg) ger a Im)
De fat

Sea wE I(T). Entio, T()=w para algum VE V. Como {vive} gere Y,

existem escalares 24, dy, tals que:

ON

WT) =T( 0 +. 4294) Ta
Portanto:

Im) = (TG), Tad] 433)

11) Seja TER’——R? a transformagóo linear tal que T(e)=(1, 2), T(es)=(0,1) e
Te, 3), sendo {e1, 03,63} a base canónica de R?

2) Determinar o N(T) e uma de suas bases. T € injetora?

b) Determinar a Im(T) ¢ uma de suas bases. T é sobrejetora?

Solucto
Lembremos que

(3,2) = xe, + yen +205

Transforma Mneares 177

implica:

TEx, y, 2) = xT (01) + PT (es) + 2T (es)

T(x.y,D=x(1,2)+y(0, 1) +2€-1,3)
TEx ¥.2)= (x= 2x4 y +30)

fórmula que define T.
a) NET) = (x,y, 2) U(x 2, 2x + y + 32) = (0,09)
O sistema:

x -2=0

xt yt 320
“admite a solugao geral (z, -52, 2), 2€ R.

Logo:

NC) = ((2,-52, 2/2€ R}

A única variável livre € 2, Portanto, dim NT) = 1

Fazendo 2=1, obtemse (1,-5,1) e £(1,-5,1)) € uma base do NCT). Ainda: T no
€ injetora, pois N(T) + £(0,0,0)),

b) Pela igualdade (4.3.3) vem:
Im(T)= [T(1,0,0), T(0, 1, 0), T(0, 0, 1)]

Im(T) = (0,2), 0.0.61, 9)

178 Algebra near

Considerando o Teorema da Dimens o, ver:

dim Im(T) = dim R - dim NT) = 3- 1 =2.

Logo, Im(T) = IR? e qualquer base de IR? € base de Im(T). Uma delas é {(1, 2), (0, 1))
Ainda: T € sobrejetora, pois Im(T) = IR? que 0 contradomí

12), Verificar se o vetor (5, 3) pertence ao conjunto Im(T), sendo

RE RP, T(x, y) «(x= 2y, 2x +39)

Solucéo
Devemos verficar se existe (x, y) © R? tal que
T(x, y) = (x= 2y, 2x-# 39) =(5, 3)
{sto €, precisamos verificarse o sistema:
xe ayes
+ ay=3

tem solugfo, Como a solugdo do sistema € x=3 € y=, concluise que (5, 3)€ Im(T),

13) Determinar uma transformagäo linear T: IR? —+

tal que NN = {(x,y,2)€ RO/2=x- y)

Solugio

O problema será resolido com a utilizagdo da propriedade 4.1.2. Fazendo, por exemplo,
x= 1, y=0 e x=0, y= 1,0 conjunto {(1,0,1), (0,1,-1)] € uma base do núcleo e, com o acrés-
‘imo dovetor(0,0, 1),o conjunto ((1,0,1),(0,1,-1),(0,0,1)) forma uma base do IR? (verifica!)
Como (1,0,1)e (0, 1,1) sio vetores do núcleo, T(1,0,1)=(0,0,0,0) e T(0, 1,-1) = (0, 0,0, 0).

Tranaformagóes lineares 179

Fagamos arbitrariamente, T(0,0, 1) =(1,0,-1,0). Pela propriedade 4.1.2, a transformagfo está
definida, ou seja, T tem a condigdo requerida. Pretendemos calcular T(x, y, z). Comecemos
escrevendo (x, y, 2) na base considerada de R?. Tendo em vista que

(,9,)=x(1,0, 1)+y(0, 1,-1) +(-x+y+2)(0,0, 1)

TOxy, 2) = XTC, 0, 1) +y(0, 1-1) + Ext y+ 2) T(0, 0, 1)

T(x y, 2)=x(0, 0, 0, 0) + y(0 0,0, 0) #(-x+¥+ 2)(1,

-1,0)
Ty) =Exty+2,0,x-y-2,0)
Esse problema admite infinitas solugdes.

Do Teorema da Dimensäo (4.3.2):

dim NT) + dim Im(T) = dim V

seguem algumas conclusdes importantes

4.3.4, Corolários
Seja T: V —W uma transformagdo linear

1) Se dim V=dimW, entáo T £ injetora se, e somente se, € sobrejetora.
De fato:

Teinjetora > N(T)= (0) (propriedade 2 de 4.2.1)
> 0+ dim Im(T) = dim V (Teorema da DimensSo)
> dim Im(T) = dim W (hipôtese)
= md) W

> T ésobrejetora

Álgebra linear e geometria analítica 2ª edição

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