Libro de Geometria Plana by Lumbreras.pdf

¡Colección Ciencias y Humanidades

Asociacién Fondo de Investigadores y Editores

Geometria plana

Fundamentos y aplicaciones de las figuras bidimensionales

Lumbreras
Editores

SAA

LIOTECANACIONAL DEL PERE
Cane Bibs Nasional

do. Lana Asociación Fondo de
Invenigadoce y Bares: LumberasEdors, 2018,

858) psi, dae (ans col) eos. 22 em

Bier: (861-862)

Ds

ISBN STRSI2 301477

1. Geometria plana - Estudio y enseñan 2. Gece plana
Problemas, ricos, te. Done Pela Mie, 1972. Reyes
ler, Willa Wide, 1965- Fania Ruiz, Lois Albero IV.
Asociación Fond de Inestiadoes y Edores (Lina)

BNP: 2019-99

¡Geometría plana: lundamentos y aplicaciones de las figuras bidimensionales
Autor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Editor: Asociación Fondo de Investigacores y Ettores
Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores

© Asociación Fondo de Investigadores y Esitores
Av. Alonso gare N° 1426, raha. Lima-Perú ole: 01-532 3788
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Prestación
Introducción

Reseña nisTORICA

Reseña tin
La matemática como inspreción
La edad de pedra,
Durante a ganadería y agricultura
Necesidades matemáticas de os primeros.
posts.

Aportes de ls principales geömetras...
Tales.
Eucides,
Arguimedes..
Descartes
‘Avance dela geometia durante la
Edad Media
Gauss
Lobacne
Desarrollo actual

SEGMENTOS, ÁNGULOS Y PARALELAS.

Nocionos previas

Postundos de Euchde..
Una.

Tipos de inas

Lea cta...

AYO oo
Segmento de BER +

Longitud de un segmanto de recta

Punto medi do un segmento...

Operaciones con las longitudes delos

segmentos

Razón de longitudes dedos

segmentos.

Consideraciones
MO u
Rogers cand prin go
nel piano.

s1
31
3

Megiéa de un go. a8
Postulaco dol adónde ls macs
angus. se
Parargulr = 3
Banc de un ánguo ES
Cisslicacón de los ángulos. ES
Posiconssrlavas dedos rectas en el plano. 40
ctas secants E 40
ect parallas. a a
Regiones determinadas por dos rectas
‘enn plano

Recta secante a do recs copanaes
Ángulos omados por dos rectas yuna
recta secant a ol 42
Postlado de los ángulos coresponcints .43
Teoremas de ángulos al tener dos rectas
paralelas 3 th

Biogrla: Euclides

Problemas resu

Tes.

Problemas propuestos

‘TrANGULos

Delnicién 76
“Tango eciingo (ru). 76
Definición. 76
Regiones dsterinadas pre iénguo...77
Ángulos determinados por el ng... 78.
7
84
9
97
96

Teoremas fundamentals en el ingl.

Teoramas adicionales

lasicacón de os tiéngulos

Cavan...

líneas notables asociadas al tángulo

Ángulos formados por isc. 100
Bograña: Frank MO 06
Probl rose nn 107
Te = m
Problemas propuestos ni

a

Polgono equiétro 10
CONGRUENCIA DE TIÁNGULOS _ Poligono quito w
Conguencia de gas Paigono regu w
ong
Noción de congruencia 192 Nombradosigunospolgones w
Conger de wings << <——122 Teoremas nos polares 189
pc co e 102 [mss mp pj
Ponto equidistante ä Problemas resuetos ar
Torema de isch m Robes mets nr
10
Teorema de a mediate an E
Teorema de segmentos pacos y
congruentes 142 CunoniuéreRo
Teorema dela oso medi. 2 Deren ze
Tocar Cane m
Pipes. Por a región interna que iitan…. 259
e td Por el parallsmo de sus lados opuests..233
Yiárguls reinos nas. io tada oa
roues cross era. 147 OPO HEM ne =
Things rectángulos notas a Pa
OS nn m Fea pa
(vos tránguas retangus notables a E
aproxámados. mm 148. Problomas propues
rios paraa consuuccón e mängubs ..149 CimguNFERENGIA |
Ferraro tring congruentes cola mit am
oe cias incio a 7
Formando dogs congruentes conta Cuerda. en
constucción de énglo 64008. 151 en = Hs
Formando nuls congruentes za
uso el je de sine. 188 = =
Fernando téngus congruentes conta aa m
AIOE 69 Saag a
¡Formando triángulos congruentes utlizando are sam
caos ingle iss Ángulos coplanars asociado a
Teoremas encuadteos no converos...156 _steunforenca. Tn
actua: El Baran Word Tad Canary Ángulo central ==
la eng (A 158 Angioinsto pr
Problemas resuelos 159 Ángulo seminscrto aT
Tost je ‘gui esco ee
Pres propuesto m Angul inter. u
Anguo exe. =
— Propias deacon #0)
Deinen EM ects paras a"
Eemanos m Cuerdas ONDES =" 2)
Cases de poigonos 108 Mer coplanar aura cuerda.
Poigon comer, ie Segmentos tangente con stones,
Polígono no convexo (cóncavo). 186 ‘en común. sa u

Arco mayor determinado porroctas

tangetes 294
Diámetro - sine... 295,
Envidistanca del centro a dos cuerdas
congruentes. 26

Posiciones relativas de dos crcunfrencias

coplanares au
Cireunlereneas secants. au
Creunaroneastangentes 300
Creunrercas conesnticae 30
tcuntrenca intr. an
tcuntrencas exteriores as

Bamentos comunes a dos creunerendas..104
Toormas asociados a des counterencis..305

Lectura: Céleule dal radio de la Tera. 918
Problemes 68U008. sio
Test =

Problemas propuestos ey

CUADRILÄTERO INSCRITO Y CUADAILATERO

CIRCUNSCRIO

Cuneta inserto en una ccunterenci.... 344

Cuaeriátro inscribe en una crcunerecia 846
Ortes para determinar que un

vaciar sou ISC nenn DT
Cuadros notables inserptlS.......349
CCundilteros nsrptbles no nolables..349

Polgonosnostles ckeunseres auna.

Greunterenca au 888

Trángulo creunsorto a una cicunterenci.352
Triángulo exnscrto a una cituntorencia... 356
Cusco insert a na cicunerncia.57

uacriátaro bicéntico 357
Locura: Teri e as cuatro raíces 358
Problemes resueltos 89
Test, & 375
Problemas propuestos 378
Puntos NOTABLES.
Concurencs = 384
Nociones PO a
Lineas concurrentes a

Puntos notables asociados a ng oven 384
Baricento, ss
Otovent. 206
Incont. 09
Esconto. - soi
Grouncentro. 296

Teoremas asociados dl otocetoy al

creuncenro. 2

Recta creunfrenca de Eur, 20
Recta de Eur. «0
CCcunferencia de los nueve punto ©
Greunterenci de Euer 02

Tiángulos especiales asociados alos

POS O un
Trárguo mediano 406
Tránguloórico. 408
Tránguloexncenta 208
ängui tangencial, 08
Trángulo pedal 408

Lectura: Posición adecuada de la mocha

de motaña. sh

Problemas resuelos an

Test. 27

Problemas propuestos 428

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS.

Preporconalidad.

436
Noción 498
Razón de segmentos 486
Segmentos proporcionales. 47
Segmentos determina por reis

paralelas. ar
Tecrema delos equidistantes. “7
Teorema de Tales. 438
‘Aplicaciones del teorema de alos a
Teorema del bist tet nn 81
Toorema de la bistro 46
Teorema del incon «2
Toorema del excento ass

Cconcurencia y colnealdad: Mensao, Cova

y Von Aubel Baer)
Tora de Moneta. 485,
Toorema de Oman... 28
Tooroma de Van Aut ar

SS ——

Teorema de es iogona ms
en mine pro amino Teror dlc havi
pair aa Teorema de as dos tangentes… 54
von dead im ere Tacoma dolce amén... 84
Lou Eine y e mimeo reo Problemas rnuckos ss
Probiemastsueos Test se
et 47 Problmas ropURSOS nen se
Problemas propuestos 474 RELACIONES. MÉTRICAS EM EL TmANGULO
Semeunnza _ OBLICUÁNOULO YEN EL CUADAILÁTERO
Tings semejantes wae Polaciones méticas en el idngo
‘casos de semejanza. 182 AG O nnn m
Carles del cso ngul-lado-ángul .. 484 “eorena de as proyecconos sn
fazén des mens homúlogos de Teoremas de Eucides…. EN
things semejantes 498 “crema dl coseno fay de osenos)... 57
Apicacn dela semejanza e tiénguies 188 Teorema dela meciana o de apooro … 572
Tecra de Pappus. ‘sr “ore de teat (ciu dea cone). 574
Teorenasaceionales 4 “Teorema dl cálculo da longhu ela
Lectura: La aura de 1 Gran Pride. 808 sac sa
Problemas rusos = sos Teotena de Hera lado de la alurade
Tes à untingue). 58
Problemas propuestos 522 Teorema del rombo y ls segmentcs que
forman el tránguo con un angul de Es
RELACIONEB MÉTRICAS EN EL TRIANGULO | aan micas eno unit …
RECTANGULO YENLACIRCUNFERENCIA "primer torr de Arquímedes so
Peas méticas en etrángulo Segundo teorema de Argues $85
rasánguo. k EN Teorema de Maren nee
Clase dels caeos. 530 Teoroma e Euer on $88
lla cela aura. so “crema de Ptolomeo =
Clo dela PONSA ca 530 Teorema de Vete 5
Product de cata. are se
Inversa del cunado dd 590 Teorema de Chaco ss
ee 582 Teoremas que se desprenden del
Teorema de Deo. 536 teorema de Pilomeo.. =
Tore del cubo de la ra rela ala hola dé Caso) sa
a nn sr Toorema do los creulos de Descanes.… 588
Teorema de Tar sr Dehnicién de Cua... =
Relaciones mis en ccuneenca.....538 Lachra: La geometría el angel Ca
Tera ls curés. 538 Problemasresuos a
Teorema delas scans Is
Teorema de ta = 5
e 509 Problemas propuso

POLÍGONOS REGULARES. ÁREA DE REGIONES CUADAANGULARES
Detricon 625 Fórmulas generales 72
ments asociados. 26 Fórmula vigonomética, 728
Propiedades de Is polígonos reguaras....525 Fórmula geométca (M. Dona 729
Divi de un segment en media y Férmuas parures 731
crema an ac] Regiin paraelográmica 731
Pagans regulares rotates, 622 gión trapecial 732
ángulo regu. exe Region rombal, ra
Curado, 5 e adie reunsere 733
Hexdgoro es úCuadrlátro insert oinsenpibe 798
Octigono regular ctbgono regular... 638 Cuadrtrobcónico. 798
Doctcigono aqua. Fr úCuadrltero enseño zer
Doors rep Es Guadrétc insert y ence, 738
Sarr weal \ 5 el de runs deregones :
Método par calcular gráficamente a relación _Cundranguares, 738
enue ly lay lo 37 Teoremas especies 748
Propiedades adicionales. er = es eae ia
Lectura: Required y simería en a fear deL a
porel Ge Sect pulga rg 74
Problemas tesuetos est à
= Ken Ue Lan y lio ce area ce
= regones poigoraas 760
Problemas propuestos a a La
ÁREA DE REGIONES TRANGULARES Test vor
Regi plana cerrada, caer 768
te do una región plana ...065 ÄREA DE REGIONES CIRCULARES. E
Ponentes 685 ons do una egin cular yde sus
Rs 685 parts notables. ms
Posuado 2 . er Gi. 7
Posutado 8 ll Sector crear 7
Rogiones equivalentes vor Pe Hs
‘reas de reionas anguires. so Grade. Boa
(tas formas para calcular ol área o una Trapecio cular 708
región wing os Faja cei. 785
Teoremas aloes eso Figuras semejans, 76
fa de una region triangular rectangular... 689 Linus 769
Fons de ras …… os Elarolos de Arquimedes. zu
Bograa:Herón de Alejandra. 702 Lectura: Arqumedes yla mec cel cruo..794
Problemas asus 703 POEMAS UNOS nn 795
Tor: Te Tea. en
Problemas propuetos 720 Problemas propuestos ere

A

ToPoLoaia Howorecia
Conjuntos 10 Deli EN
Figuras homos el
ion ones 8
le = Homotecia directa. ar,
It everyone co unconju..ean—_‘ometeia deta, os
Cnt coos, 220 Producto de homer. ra
Cnet no come et Depa so
Como como." DEA . se
Definiciones usando conjuntos. 823 Lee -
” * ‘Centro de homotecia de dos circunferencias... 843
Problemas ests. : en rein 2
lamas ropes, $27 Pets dl canto de Bam paa dos
ercntrencas au
Siños Problemas resueñtos | as
se - eee Pobenes pepe sn
Choate don pura, 629 Porencu Y eve nADICAL
Gio de una ura © bein su
Gros de gunas as. ei Modos par cara dant
rinses LT cercrmirenns ads con ea
inate! ay "eam sn medias ss
pas = ung Problemas resueltos. 855,
Probenas propues 87 probamos propuesta Tr

ee

Presentación

La Asociación Fondo de Investigadores y Editores (fined), través de su sello
Lumbreras Editores, se complace en presentar su nueva publicación Geometría
plana: fundamentos y aplicaciones de las figuras bidimensionales, la cual forma
parte dela colección Ciencias y Humanidades.

Esta publicación constituye un nuevo aporte al desarollo de la educación en
nuestra sociedad, en tempos donde el avance tecnológico y el uso de los nuevos
medios van generando cambios rápidamente, y donde el acceso y el aprovecho-
miento de estos resultan desigualas en nuestro pas. Por ello la importancia de
estas publicaciones, que además tienen el respaldo del trabajo serio y orientado al
servicio y ala formación Integral de los estudiantes

Conscientes de eta realidad, nuestra editorial ~con presencia en distintos lu
pares del Perú- presenta esta colección, la cual es fruto del trabajo organizado
y en conjunto con las distintas planas de profesores del Instituto de Ciencias y
Humanidades, promotor de las acadomias Aduni y César Vallejo, cuya experiencia
y dedicación en a formación de jóvenes estudiantes se ven reljadas à lo largo de
las siguientes páginas.

El esfuerzo de ls distintas planas está enfocado, además de la enseñanza y la
formación integral, en a investigación, tanto en matemáticas como en ciencias
naturales y humanidades. Agradecemos el trabajo yla dedicación de los docentes,
quienes finalmente canalizn y orientan el contenido de cada obra con el fin de
Alcanzar el máximo nivel y calidad, y hacer entendible aquello que a veces resulta
complicado para el estudiante, no sol de los niveles secundario y preuniversitario,
sino también de los primeros cicos de la universidad. De esta manera, destaca:
mes e trabajo profesional realizado por Donaire Peña Milton, Reyes Perez William,
Francia Ruiz Luis Alberto, Flores Espiritu Solimar Flix, Espinoza Fabián Ronald Eder
y Agreda Naquiche Edgar Marlon, profesores de la plana de Geometria, quienes
asumieron el proceso de sistematización del presente texto debido a su experien
‘a tanto en la docencia como en la elaboración de materiales educativos.

Finalmente, queremos resaltar el compromiso de nuestra institución de conti
fur aportando con nuevas publicaciones que contribuyan a mejorar la calidad de
lalabor educativa, además de incentivar el trabajo de investigación y humanístico,
el cual creemos que debe estar siempre cerca delas grandes mayorías.

Asociación Fondo de Investigadores y Editores

Introducción

La admiración del hombre por conocer y entender mejor fa naturaleza y os en:
menos que en lla ocurren, asícomo poder medir dichos fenómenos, lo leu a di-
sear herramientas que le permitieron obtener tale valores, Definitivamente las
primeras formas de comunicación y ls primeras ideas sobre matemática debieron
tenersentido con representaciones de figuras y on a obtención de medidas sobre
ls. También el avance del pensamiento y la madurez flosófica del ser huma-
o devino en una madurez de conceptos matemáticos y del uso que se les puede
dar, como en el caso delas geometrías no euelianas fractales que inicialmente:
fueron ideas revolucionarias y bastante abstractas o exóticas, pero que a la larga
pasaron a ser de uso frecuente dentro dela matemática yde sus aplicaciones.
Teniendo en cuenta la importancia del desarrollo de la geometría, así como su
fluenciaen el avance del pensamiento humano, y su contribución al desarrollo de
otras ciencias y al avance tecnológico es quesurge Geometria plana: fundamentos
y aplicaciones de las figuras bidimensionales, bro que consta de 17 capítulos,
los cuales nos embarcarán en un recorido teórico bastante didáctico a través de
la geometría plana de Eulies, el mundo de las recta, los planos y las curvas, así
como las relaciones entre ellas. Si bien se ha procurado que cada contenido sea
fácil de entender por el lector, se ha tenido cuidado en no perder la rigurosidad
Leérica de cada tema y en mantener la secuencia didáctica de los capitulos, así
‘como el progresivo nivel de dificultad en cuanto a los ejercicios que se presentan.

Un objetivo fundamental que persigue este texto es que sirva de consulta y apo:
yo a los miles de estudiantes de nuestro paí, quienes optan por una vacante en
las diferentes universidades. Teniendo en cuenta ell se ha elaborado un material
convenientemente dosiicado para que sea dil alas diferentes necesidades que
puede tener el lector, ce alli que cada capitulo esté acompañado de un importante
número de ejemplos para una mayor comprensión del tema. Pero además cabe.
destacar que este texto también est dirigido ane personas que gustan y disfrutan.
estudiara un mayor grado la matemática y en especial la geometría; por ello tam
bién se han incluido unos anexos afin de complementar algunos estudios.

Finalmente, cabe señalar que el presente texto puede servir también de material
de consulta als estudiantes de nivel secundaria, asi como alos jóvenes univers.
tarios de los primeros ciclos del universidad

“Tope

| Reseña histórica

Milton Favio Donaire Peña

CarfruLo 1

RESEÑA HISTÓRICA

Objetivos
+ Proporcionar un conocimies

sarrollo y descubri
+ Mostrar de m

la racional y ertico de los antepasados del hombre en el de
nio de la matemática, principalmente de la geometría.
mera clara cómo es que la geometría se usa de acuerdo a las necesidades
dal ser humano en su proceso de adaptación à a naturaleza y a la sociedad,
Comprender a grand

10 abstractos han influenciado en el
pensamiento del ser humano a la hora de interpretar adecuadamente a realidad.

Introducción
Desde hace muchos siglos, la matemática ha sido entendida como una heríami
ayudamos a transformar el mundo. Es cierto que en determinado momento de la hi
máticafue elevada al campo dela abstracción pura -como reflejo de nuestro proceso intelectual
‘momento en el cual los matemáticos fueron incomprendidos por la sociedad, pero casi siempre.
ha sucedido que ante un avance netamente teórico e incomprensible, hasta cierto punto, se ha
favorecido el desarrollo tecnológico en poco tiempo. Por oro lado, la importancia de conocer el
contexto histrico en el cual se lograron algunos resultados teóricos radica en el hecho de poder
tener una mejor comprensión de los mismos,

Muchas de las teorías y modelos de la matemática han sido encontrados después de una ardua.
búsqueda, que normalmente tiene como objetivo resolver alguna dificultad o necesidad del hom
bre. Los logros matemáticos han sido, por ejemplo, de uso miltar por algún tiempo, pues ha
servido enormemente para desarrollarla tecnología del espionaje y de la milicia, Entre muchos.
jemplos del desarrollo tecnológico alcanzado, podemos mencionar también los postulados sobre
¡cometía de Lobachevski, quien la denomina Inicialmente como "geometría imaginaria”, cuya.
Aplicación, con el paso de los años, ha dado enormes beneficios en el avance cientíio, losófco.
Yeh a exploración del universo, Lobachevski demostt6 claramente que él no pensaba que su geo-
metía no tendría aplicación real; por el contrario, se esforzó en desarrollara, precisamente para
‘encontrar su aplicación.

7

1» RESEÑA HISTORICA

1.1.LA MATEMÁTICA COMO INSPIRACIÓN
Se conoce que llo de la ma.
temática está ligada a la profunda admiración del
ser humano por la naturaleza inicialmente por las
bellas formas que en ella encuentra; pero, al mis

historia del desar

mo tiempo, ala necesidad inmediata de contabil
partos o trueques
luego de las cacería. Es en ese proceso que se
origina la idea del número y, a parir de alí alguna
forma inicial de realizar operaciones e

‘como la suma. Alo largo de todo este proceso, la mate
st aparición al brotar de dos grandes vertientes que llaman la atención del hombre: la forma y el
nümero. El deseo por representar sus actividades cotidianas trajo consigo las primeras expresiones
artísticas, que son en realidad, según los historiadores, creaciones del Homo sapiens, hace unos
27 000 años,

zas cantidades a la hora de los.

1.2.LA EDAD DE PIEDRA
Desdela Edad de Piedra inferior: 2500000-1 00 000 a.n.e,
superior: 1000 000-10.000a.n.e), y más concretamente
dentro de sus periodos —el Paleolítico, de la Piedra Talla
da, y el Neollico, de la Piedra Pulida-, el hombre tiene
sus primeros contactos con el arte y la expresión de las
formas. As, mientras deja de ser nómada para convertir
se en sedentario, crea utensilios y cuchilos con formas
rudimentaras y variadas. Durante el segundo period,
crea sus primeros teldos y cerámicas. Se va fojando en
él una transformación de ideas, su cerebro se desarrolla de
producto de su interacción con el mundo que lo rodea y, por ende, crece su admiracién par
naturaleza y porlo que puede conseguir de cl. Una vestimenta para ls hombres y ra des
pra las mujeres sugieren a capacidad para ubicar y replicar las cosas correctamente y de mani
congruente Todos esos conocimientos als dan la Bienen ala Ed dels Meas Bi
ce: 2000-1200 a.ne., Hierro: 1200-1 d.n.e.), de modo que con el conocimiento de la a

apareció la orfebrería y, de hecho, las primeras ideas de los objetos de revolución, como!

tran los adornos dela época.

1.9. DURANTE LA GANADERÍA Y AGRICULTURA
Conla especialización deltrbajo ganadero agricola se generóla mejoradelt
la producción, creándose asilos primeros productos excedentes en a bus, Ami
lanecesidad de ganado de pate de los agricuores yde productos agrícolas de arte
10s, se oviginaron los primeros intercambios y Juego la necesidad de mejorarlacalidad

de, de
abajo, pare

mo, debidos
os gant
sprue

18

‘Todo este proceso social desarrollé enormemente a
la matemática, la cual se vio favorecida por la neces
dad de crear métodos eficientes para levar las cuentas.
y contabiliza sus transacciones, asi como de elaborar
calendarios y un sistema de numeración conveniente-
mente preparado para facilitar las operaciones de inter
bio entre los pueblos
Si bien la geometría no era entendida como un sites
lógico, esto no era necesario para el momento que se
vivía, pues, por ejemplo, el invento de la rueda -que constituye el primer paso del hombre hacia
la conquista de la naturaleza, y que las fuentes sitúan en la ciudad de Ur en Mesopotamia hace
unos 3500-3000 años a.n.e nos Informa que los mismos objetos encontrados en la naturaleza.
son tallados para perfeccionar su forma de acuerdo a las necesidades y a su aplicación concreta;
asise tiene la ayuda delos troncos de los árboles más regulares para mover objetos pesados. Este
hecho fue el resultado de una necesidad práctica y su continuo uso va a infuir en la mejora de
nucstro razonamiento. De esta manera, al interactuar con la naturaleza y tratar de transformarla
para nuestro uso convenlente, nosotros mismos nos vamos transformando; así el uso constante.
de los troncos de árboles permitió que fuera cada vez más sofisticado su uso y los objetos que se
conseguían de ellos hasta nuestros días en que combinados con otros elementos se convirieron.
enilantas o ruedas.

1.4. NECESIDADES MATEMÁTICAS DE LOS PRIMEROS PUEBLOS

El avance de la matemática en la civilización antigua aparentemente sur-
ió enla cultura mesopotámica y egipcia, pero definitivamente alcanzó su
auge con a civilización griega; además, debemos tener en cuenta que en
la cultura china también hay evidencias de conocimientos matemáticos
‘muy antiguos e importantes.

Es evidente que en el afán de subsistencia, la raza humana debió luchar
siempre contra los problemas de la naturaleza, con los fenómenos que
lo mantenían admirado ante tal poder natural (catásofes, inundacio-
nes, relámpagos, terremotos, entre otros) y todos ellos van a formar en
el hombre, desde épocas muy antiguas, creencias en seres superiores
semejantes a él, pero con un poder extraordinario como para decidir el destino de sus cosechas,
el éxito en sus cazas; al vez sea este el comienzo de a creencia del hombre en seres superiores y
enla posibilidad de dominar a su semejante, recreando así, a pequeña escala, la conducta de sus
dioses que lo dominan a él

Producto de las guerra y las conquistas, las primeras ciudades fueron saqueadas y sus habitan-
es muertos; pero conforme el hombre siente la necesidad de dominar al hombre para aprove-
‘har su fuerza de trabajo y construir sus grandes imperios, la estructura de su sociedad sufrió
Un gran cambio, Y es que en las guerras se tomaron rehenes para converirlos en esclavos que
trabajen en las grandes construcciones y otros tantos fueron usados para sacrificios a sus dioses

20

Esto trae consigo la aparición de una sociedad
con un modo de producción esclavista, donde el
protagonismo principal lo tienen la civilizaciones.
somo una manera de asegurar la vic»

guerreras y;
toria y honrar a sus ejércitos, se hace necesaria la
especialización de los hombres en la producción
de espadas, Nlechas, escudos y otros armamentos
‘que, decorados con motivos art

de fuentes para entender la gran admiración det
ser humano por las figuras simétricas ylas formas geométricas. La transformación del escudo usa.
do en las guerras en las diferentes etapas de la historia nos sirve de ejemplo de cómo el hombre
consiguió reconocer el uso más adecuado de algunas formas geométricas,

Durante el Neolico se fueron asentando las primeras agrupaciones de hombres principalmente,
y, como era de esperar, estos asentamientos se produjeron de los ros que les proveen
el elemento más pr parecen las primeras chilzaciones
denominadas Nuviales la mesopotámica, la egipcia, la hind yla china

sado de su subsistencia: el agua. Ast

La cultura mesopotämica, como bien lo expresa el significado de su nombre, “ente ros, estaba
situada en a región del Asia Menor, entre los ríos Tigris y Eufrates. Hacia el 6000 a.n.e, el número
de asentamientos cercanos a estos tíos había aumentado lo suficiente como para forjar las prime.
ras ciudades; uno de los primeros pueblos mesopotámicos fue el sumero, pero también surgieron
dentro de Mesopotamia reinos como ele a antigua Babilonia. Ao largo del sig xt, Hammurabi
nifi a toda Mesopotamia, pero más tarde esta fue conquistada por los asirios. Estos pueblos
mesopotámicos usaban un sistema de numeración sexagesimal carente del cero; también usazon
temas de ecuaciones

las facciones y el concepto del número in
‘con dos incógnitas y algunas ecuaciones de segundo grado, hasta simplificaciones de ecuaciones
¿de tercer grado realizando cambios de variables además, dieron el valor para x de 3, Es notable
destacar que su sist ado, para ser precios, en base 6; pero:
ferencia delos sistema de mumeración posicional, cuales permis

pcos, ells sí conocían
trabajar con las operaciones matemáticas casi como lo hacemos en Ia actualidad.

La cul pcia se desaroló bore eto Mo, none de Ática con un sea deu
así como las progresiones aritméticas y geométricas. Para las construcciones de sus pirámides:
giros e 3,192,163 11878 La cles

Chine Hn ami Tesco en una época may ag.

del ero y en e acualded 2 consider al Che Pa Suan

Chg ur deseos clone sauce

2» APORTES DE LOS PRINCIPALES GEOMETRAS

24. TALES
A Tales de Mileto (aprosimadamente 625-547 ane),
fiósolo y matemético griego, se le vineula la aparición
de las primeras demostraciones de algunos teoremas de
geometría. Es corecto señalar que Tales utilizaba los co
nocimientos teóricos para resolver problemas prácticos
‘como la medición de la atra de una pirámide según la
sombra que producía ola determinación de la distancia
de un barco al oral. De este modo inicia la formación.

científica de la geometría.

trabajo iniciado por Tales fue continuado posteriormente
porPitágoras de Samos (aproximadamente 580-500 .1.e),
quien fundó la escuela itálica al sur de alia (Croton.

A sus miembros, denominados los pitagóricos, quienes opinaban que los múmeros gobiernan.
l mundo; con esto manifestaban que todos los fenómenos de la naturaleza se podían expresar
mediante leyes matemáticas.

22.EUCLIDES
A Euclides (aproximadamente 365-300 .1.e) se le consi
(era el padre de la geometria debido a su obra fundamen-

‘al denominada Elementos, cuyos trece tomos contienen
465 proposiciones. Muchas de estas tratan, no de geome-
ía, sino de teoría delos números y álgebra griega (geomé-
tica), Debemos destacar que no solo realizó trabajos de
matemática, sino también de física, astronomía y música;
además, es en Venecia (1482) donde aparece la primera
ediciónimpresa de sus obras al raducirse del árabe al latín.

Durante dos mil ños, la geometría fue estudiada por los

elementos de Euclides por ser el único manual de geome.
lta en las escuelas de todo el mundo.

23. ARQUÍMEDES

En esta misma época vivió Arquímedes de Siracusa (287-212 a.n.e), que es considerado el
ientlico y matemático más excelso del Mundo Antiguo y también, en virtud de la Hbertad de sus
métodos, el primer matemático modemo, Luego de estudiar en Alejandría, volvió a su patria para
dedicarse la geometría, mecánica, sica e ingeniería. Demostró que la superficie de una esfera
es cut veces la de uno de sus eirculos máximos y que el área de un casquete esférico es iguala
la superficie de un creulo que iene por radio la recta que une el centro del casquete con un punto
ela circunferencia basal.

a

El problema al cual le atribuía gran importancia se encon-
traba en demostrar que el volumen de una esfera ins-
rita en un cilindro es igual a los 2/3 del volumen del
cilindro.

“Arquímedes es el primero que hizo un intento verdadera:
mente postivo sobre el cálculo de (pl), asignándole un
valor de 3(1071) = 3,141
Enestaépocavisiétambién el maestro supremo del método.
sintético en geometsia: Apolonio de Perga (260-220 3.1.)
En ese método dejó muy poco qué hacer a
asi como también en la geometría mötrica de las cónicas,
Apolonio estudió en Alejandría y luego vist Pérgamo, en
onde habían construido una bibloteca y una universidad
semejantes alas de Alejandría. Es all donde Apolonio es
crbió la primera edición de su famoso libro Secciones
cónicas, que consta de ocho libros a

Fue en el siglo wu que se retomó con mayor intensidad el desarrollo de
Jas ciencias y las artes en Europa. En la primera mitad de dicho siglo, René
Descartes (1596-1650), filésofo, matemático, fisico y fisiólogo francés,
propuso un enfoque completamente nuevo a la solución de los probl
mas de geom investigaciones matemáticas de Descartes están
estrechamente ligadas a sus trabajos filosóficos y de física. Al crear el
método de coordenadas, permitió introducir en la geometría los métodos
del álgebra y posteriormente del análisis, En 1637, Descartes introdujo por
primera vez en la geometría la noción de variable, ya que para él esta se
expresa como un segmento de longitud variable y direcci
además, como una variable numérica continua que recorre un conjunto

de números que forman un segmento de coordenadas.
La imagen de variable doble acondicionó la penetración recíproca d
meta y del álgebra a la cual aspiraba.

in invariable,

jeta geo

sido a ela

La variable cartesian fue el punto de vrje en la matemático, denia

«l monámiento 3 por lo tanto, a dialéctica forman parte de las maten
pati de este moment, la geometría se desarralaimpetosament rr
la geometría anale, en In cual por ecuaciones algcracas se IT
líneas curas y ls superficies El método de coordenadas creado pare
se considera como su logro principal en a geometría aac

elaborada por y su compatriot Pierre de Fermat (1601-1865)

2.5.AVANOE DE LA GEOMETRÍA DURANTE LA EDAD MEDIA
La geometría proyectiva sintética, después de que la sistemalizaran los fran
ceses Gulrard Desargúes (1503-1662) y Blaise Pascal (1623-162), lang:
decié hasta principios del siglo xx, periodo en el que se hizo muy popular
entre los geömetras que no gustaban del análisis Eta geometría estuvo des
cuidada durante el siglo xvn hasta que Lazare N. M. Carnot (1753-1425),
de origen francés, dio grandes aportes en sus obras Geometrie de position
(1808) y en el Essir sur les transversales (1806). Este genio miltar en 1798.
salvó a la Revolución francesa de la coalición de reaccionarios de Europa.
En 1748, el suizo Leonhard Euler (1703-1783) codific y amplió la obra de
sus predecedores, tano de la geometría plana como la del espacio, quedan-
do précticamente perfectas, salvo la inroducción, en 1827, de las coordena
das homogéneas, aporte de Monge, que ahora se denominan ecuaciones
diferenciales.

2.6.GAUSS
El alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) es considerado uno de los ma-
temáticos más grandes de la historia por su aporte en la geometría al intentar e

«demostrar el quinto postulado de Euclides. Sin saberlo estaba dando inicio a
‘otras geometrías no cuclidianas.
Entre estos axiomas, el axioma de las paralelas (quinto postulado) fue con
frecuencia reconocido como la mancha negra en la obra genial de Euclides
por dividir en dos partes. Una parte consta de teoremas que no dependen
del quinto postulado, mientras que la ota s, esta contiene teoremas cuyas
¡demostraciones se basan directamente en el axioma de las paralelas bien
nos teoremas demostrados. NS
Naturalmente, surgía la pregunta En
lado como axioma o demostro,
Las tentativas de demostrar el axioma delas paralelas duraron más de dos mil años. Casi todos los
eminentes matemáticos probaron sus fuerzas en la solución de este problema, mas el problema
laba sin resolver. Para salir de esta situación y encontrar una vía correcta a la solución del
problema rn espiritu
revolucionario y una gran audacia científica

19 era posible librarse del q

2.7, LOBACHEVSKI
El matemático ruso Nikola 1. Lobachevski (1782-856) resultó sere tevolucio
nario de a ciencia. Por primera vez, N. 1. Lobachevski se inclinó por establecer

Le < ®
aura y centicamente la infructuosidad de is tentativas de demostrar et
‘Sion de las ets parles, ademdsdedemostar que es imposi de
ii aleación de esos a par de os axiomas de Fun

En 1826, NL Lobachevski construyó la geometría que tiene en base a un site
ma de axiomas que se diferencia del sistema de axiomas de Buctides, solo en
laxioma de las rectas paralelas,

2

Como resultado apar
alimente de la euclidiana.

6 una geomtía lógicamente no contradictoria, que se diferencias

Las ideas de N. . Lobachevski eran tan originales inesperadas que, por estar adelantadas a
Jo, no fucron comprendidas, incluso por los grandes matemáticos de aquel tiempo, =

2.8.DESARROLLO ACTUAL
ideas de Lobachevski ganaron notorieda
empezó a desarrollarse impetuosamente, especialmente en los trabajos del
stemán Bernhard Riemann (1826-1866), A. Kelly (1821-1595), Felix Klein
(1849-1925) y David Hilbert (1862-1943),

Los trabajos de B. Riemann adquitieron un significado especial porque tan
to sus ideas como las deN. I Lobachevskiconstituyeron la base matemática @

Después de que 4, su geometría

para Albert Einstein (1879-1955) y su teoría de la relatividad,

emann inventó la geometría esférica, en La que se

En 1854,
hipótesis del ángulo obtuso de Gerolamo Sacheri (1667-1836)

aban las

Las geometrías no euclidianas de Lobachevskly de Reman

segran la ciencia modema y encuentran aplicación enla
dos problemas teóricos y práctico.
dela matemática, de a física y delas técnicas modernas. No

obstante la geometria de Euclides conserva su imporancia
en lo que se refiere a la práctica, en la construcción, en
técnica y, por lo tanto, es objeto de estudio en las escuelas

de enseñanza gene

1y de peritaje.

Con lo planteado podemos decir que la geomeufa no ene
fin, debido a que, en el transcurso del tiempo el hombrese
encuentra con una serie de dificultades nuevas y al we
soucionarls rea nuevas herramientas, lo cual da origen a surgimiento de diferentes geometós
(euclidiana, no euclidiana, proyectva, descripiiva,analcay diferencia). Actualmente, emos

nueva geometría denominada geometría rata, que fue descubiena
porel polaco Benoit Mandelbrot (1924-2010) en año 1975 con ayuda |
de In ciencia (computadora). Esa geomet está abarcando varios !

‘campos como la anatomía, economía,

ingúística te
El desarrollo dela geometría y sus aplicaciones en as distintas ramas de
las matemáticas y de la ciencias naturales evidencian la importancia de
esta como uno de los medios más profundos y fecundos, por las ideas y
por los métodos, en el conocimiento de la realidad objetiva

La ciencia matemática soviética siempre prestó gran atención al desa
rrollo de la geometría, logrando en esta rama del saber notables éxitos,

Segmentos, *
ángulos y paralelas

Edgar Marlon Agreda Naquiche

CaptruLo II

SEGMENTOS, ANGULOS Y PARALELAS

Objetivos

+ Conocerlas características de tinea recta, rayo y segimento de recta, así como su uso para
formar otras figuras geo

+ Conocer tos leoremas y postulados de sem cta y de ángulos formados por dos.
rectas paralelas y una ee para api vanera correct en la resolución de
noble

+. Desarrollar miétodos y técni ver problemas, así como desarollar la capacidad

dea

y situaciones de la vida

Introducción
Al conocer el proceso de evolución del hombre, así como el desarrollo de la sociedad, reconoce-
mos que este pasó de ser un sedent

dedicarse a la agricultura yla ganadería produciendo su propio alimento, Todo esto nos hace ima-
inary pensar que el hombre antiguo ya tenía nociones sobre línea y medida asociadas a las partes
de su cuerpo: codos, pies, palmas, etc. (medición antropométrica), así como la idea de ángulo
(especialmente del ángulo recto) ara delimitar sus terrenos de cullvo, bloques de piedra, adobes
y ladrils para sus construcciones,

Mientras la sociedad se desarrollaba y el conocimiento cvolucionaba, las ideas de linea y medida.
fueron presentándose con mucha frecuencia, y sus usos y aplicaciones las encontramos en las
grandes construcciones arquitectónicas, así como en el establecimiento dela distancia de un lugar
otro ullizando distancias fraccionadas (mitad, tercera parte, doble, triple, etc); lo más cotidiano.
Para nosotros es encontrar su aplicación en diseños y construcciones de ventanas, puertas, mesas,
piezas de máquinas, ete

do y cazadora organizarse y establecerse en un solo lugar, a

En la naturaleza encontramos la incidencia delos rayos solares en distintas zonas del planeta, el
«crecimiento perpendicular de los árboles, el vuelo direccionado de las aves cuando migran, et,
Todos estos ejemplos nos permiten seguir estudiando y analizando las situaciones que observa:
‘mos, ullizando los conocimientos que aprenderemos en este capítulo, los cuales también nos
ayudarán a comprender otras ramas de la matemática y las ciencias

2

1» NOCIONES PREVIAS
Para el desarrollo de la geometría plana es importante conocer los pri
meros postulados de Euclides, los cuales están en su libro Elementos;

+ Unángulo plano es la inclinación entre sí de dos líneas de un plano

siestas se cortan y no están en una misma recta.
las incas que comprenden el ángulo son rectas, se dice que el ángulo es rectiinen,
tando en el mismo plano y prolongándolas indefinidamente en
“ambos sentidos, no se corlan ni en uno ni en el oro sentido.

1.4. POSTULADOS DE BUCLID!

E

1. Una recta puede razars desde un punto cualquiera hasta oto. an ARR

2. Una recta na puede prolongarse continuamente y hacerse una coros GIONETAKE
recta limitada o indefinido. scone

3. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí

44. Por un punto cualesquiera como centro y radio arbitrario se pue-
de trazar una circunferencia =

5. Si una recia que corta a otras dos forma uno de estos ángulos.
interiores del mismo lado de ella, que sumados sean menores
que dos rectos, las dos rectas, al prolongarse indefinidamente, se
cortarän del lado en que dicha suma de ángulos sea menor que
dos rectos.

EX.” SENATUL
NEDIOLANENS!

Se presumió que el quinto postulado se podía demostrar a partir de los cuatro anteriores I
muchos matemáticos, el postulado delas paralelas presentaba un verdadero problema si =

ver. En 1733, el matemático y lógico jesuita Saccheri (1667-1733) emprendió a tarea de demos
en su obra maestra Euclides libre de toda mancha que el sistema geomético de Fucides, cons
postulado de paralelas, es el único posible en a og

y la experiencia,
sn mencionó

cinco axiomas que son comunes todas las ciencias que estudian magnitudes. Son os sisi”

1. Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí.

2. Siañadimos a dos cantidades iguales otras dos cantidades iguales, los totales que se
son Iguales.

3. Sirestamos de dos cantidades iguales otras dos cantidades iguales, las diferencias
tienen son iguales,

Los cinco postulados anteriores son netamente geométricos, pero Euclides tambié

ponen

quese»

Las cosas que pueden superponerse unas a otras son iguales.
5. Latotalidad es mayor que la parte.

æ

Elqui postulado no fe considera
Hohucteski (7 mss (17771855
Riemann (1826-1860), Esto dio origen a
las geometrías no cueca

Riemann sostuvo que “po

ralla a dicha ree

‘dels no secantes

2> Linea
Se entiende por linea al conjunto de puntos
{ue han sido generados por el desplazamiento
de un punto. También podemos afirmar que
una tinea es una longitud sin anchura y que sus
extremos son dos puntos.

AR An à

2.1, TIPOS DE LÍNEAS
Existen dos tipos de líneas:

22.LÍNEA RECTA

Es un elemento de la geometría constituido
Por un conjunto de infinitos puntos que tiene
una misma dirección y es limitada en sus ex-
emos,

Se le representa de la siguiente manera;

Notación
F Selen “recta Ir.

Notación
WB: Se lee "recta Au.

Hominar simplemente recta. Exa carece
de extremos, por lo tanto; es Ina es
2.3.Ravo

Es cada una delas porciones determinadas en

na recta por cualquiera de sus puntos, cons
derändolos a estos.

Graticamente

Se le representa como una porción de recta
limitada en un extremo e limitada en el otto.

Notación
DÁ: Se lee "rayo OA”.

»

Wit

3> SEGMENTO DE RECTA
El segmento de recta es una parte de la rect
comprendida entre dos puntos de ella, a los
cuales se les denomina extremos,

Gräfcamente

Sele representa dela siguiente manera’

Notación.
AB: Se lee “segmento de recta de extremos A
ya

. LONGITUD DE UN SEGMENTO DE
RECTA

En la métrica euclidiana, al valor
la función distancia sele denom
longitud del segmento,

sérico de

La longitud del segmento es un número real
positive y resulta nulo solo en el caso en que
los extremos del segmento coincidan, esto es
cuando el segmento se reduce a un punto.

20

Por

10, cualquie

segmento no reducido a
Hd positiva

tun punto tendrá lo

En el gráfico, ka longitud de AB est (AB=0)

AB: Se lee "longitud del segmento A8"

-DIO DE UN SEGMENTO
Es aquel punto que pertenece a un segmento
de recta y que determina, con los extremos de

este, dos segmentos de igual longitud

3.2. OPERACIONES CON LAS LONGITUDES
DE LOS SEGMENTOS

à a longitud de
postivo, pode

Puesto que se puede asociar
todo segmento un número real
mos realiza las siguientes operaciones mi
máticas con dichas longitudes.

3.3.1. Adición

AD=AB+BD
AD=AC+CD

Pote

BC=AD-AB-CD
BC=AC-AB
BC=BD-CD

Mote

34.RAZON DE LONGITUDES DE Dos
SEGMENTOS

Larazón AB.
0

3 se lee "AB es à BC como 3es

AT, es deci AB=3b y 8C=70,

Gräficamente

3:5. CONSIDERACIONES
3. Pordos puntos se puede trazar una recta,

a.

La distancia entre dos pa
del segmer
chos puntos.

los esla longitud
fo que tiene por extremos ad

donde a esla distancia entre y.

Todo segmento se puede prolongar por
“ambos extremos para oblener una recta
infinita

Silos puntos À, M, O y R son colinenles, es
tos pertenecen a una recta, pero no nece-
sarlamente en este orden

Si los puntos A, B, P y $ son colineales y
consecutivos, estos pertenecen a una recta
y en este orden.

La distancia entre un punto y una recta es
la longitud del segmento perpendicular tra.
zado de dicho punto hacia la recta.

donde bes a distancia de P hacia 7.
+ PHABWeB)

+ PH=b

ae Dab

a

Aplicación 1
Según el gráfico, M es punto medio de À

Piden BC=x,

Por dato, À

> ME=M

Sabemos que

Mas danas

nos puntos colineales y consecutivos
A,B, Cy, al que Ces punto medio de BD. Si
AC=16yAB=9, calcule CD.

Resolución

Piden CD x.
Por dato, BC

ES

Aplicación 3
Enunarec

se ubican los puntos consecutiv

yp BC 4
A.B, Cy D, ta que Fe = Si AB=G y AD,

calcule AC.

Resolución

Piden AC=x

Por dato, BC

©

> BC=4a
CD-7a
Se observa que x=6+4a,

También

6+40+7a=5
Hazas
» ant

Luego, x=6 4x4

Se tienen los puntos colineal
ES 4, Calcule

vos A, B, C y D, tal que AC+BD

os de AB
la distancia entre los puntos medios d
yo. |
|
Resolución
m EN Dr

Sea x la distancia entre los puntos medios de A» ÁNGULO
my. Es aquella figura geométrica formada por dos

Tayos que tienen el mismo origen y que no es.

tán en linea recta.
ay CV=ND=b. en
Griticamente

Se observa que x=a+msb,

Del dato, AC+BD=24,

donde
> 2armem2 E
armsb)=24 AO: lados
Pen
Notación
a2 <40B: Se lee "ángulo AOB de vénice O”.
Es necesario tener presente que, al denotar
un ángulo, a letra intermedia corresponde al
D hors En
1. Pod 1 or

1.REGIONÉS DETERMINADAS POR UN
O EN EL PLANO

2 Para exp

21AB)=(8C) =6(¢0) it

que está acompañada

del mayor coeficiente; es decir
Coda Ai=30 AC=za

+ IDR,

Se considera variable. a MN, pero que

ses divisor de los cvelicientes de log ig
os segmentos es deci SiPe DAyQ« DB, entonces la porcióndel pla.
MN 150 > PO=3Sb: ANO

OR que contiene a PO, excepto sus extremos,
esta región interior del <AOB,

Del gráfico, el Angulo AOB está contenido en
celplano #

La región exterior es el conjunto de todos los
puntos del plano que contienen a un ángulo y
que no pertenecen a dicho ángulo ni à su re-
sin interior.

Llamaremos medida de un ángulo ala medida
dela amplitud de un ángulo, es decir ala se-
paraciôn que se da entre sus lados.

Ala amplitud de un ángulo sele asigna un nú:
307 al que Hamaremos.
medida del ángulo expresado en grados sexa-
gesimales

mero real entre 0° y

Notación
m=408: Se lee "medida del ángulo AOB”.
Entonces m-<A0B= a.

ss

ULADO DE L
MEDIDAS DE ANGULO!
Segiinel grafico

SIP está en la región Interior del <408, en

Es la figura formada por un par de se
cuyo extremo es común y que no están en li

Elementos
Lados: AB; BE
Venice: 8

Notación BR
ABC: Se le “par angular ABC de vei
También mZABC: medida angular de

Además, la medida longitudinal del ¿ABC es

ong ZABC=AB + BC

D Observación
Todo par angular determi lo

IZ DE UN ANG

Es aquel rayo cuyo ovigen es el vértice de un
Ángulo, y sus demás puntos, al estar en el inte
or del ángulo, forman con sus lados ángulos
congruentes,

En el siguiente gráfico, P está en el Interior de
<AOB, Luego, m«A0P=m-<POB=0 si y solo
si OF es bisecuiz de <AOB.

Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0,
pero menor que 90°

«408: <agudo

Es aquel ángulo cuya medida es 90

408: «recto

Es aquel ángulo cuya medida es mayor que
90°, pero menor que 180".

»

Son dos ángulos coplanares que tienen un
lado en común y cuyas regiones interiores no
se inersecan.
Gráficamente

donde
<AOB TR à <BOCC TT
<A0B y <BOC: ángulos adyacentes de
lado común OB

a más ángulos coplanares con ver
sus reglones interiores no se
intersecan y tomados uno después del oo
presentan un lado en común.

Gráficamente

donde
5 <A0B, <BOC y «Code TP
<A0B, «BOC y «COD: ángulos
vos con lados comunes OB y OC

[ op =r
mx B

Son dos ángulos que tienen el mismo vértice
en donde los lados de uno de ellos son las pro:
Jongaciones de los lados del otro (ados col-
cales)

Gräficamente

+ Diy TG: rayos opuestos
+ By OP: rayos opuestos

+ <AOB y <POQ: ángulos
vértice

puestos por el

D Ones
Par lineal

cumple| m<AOP+m-POR=180

Teorema

Si dos ángulos son opuestos por el véxtice, en:
Lonces sus medidas son iguales.

Del gráfico, si-<40B y «MON son opuestos por
vérice, entonces

| m<408-memon

Dos ángulos son complementarios sila suma
de sus medidas es"

Enel grfico

si m<40B+m-<MQN=90, entonces <A0B y
MON son complementarios.

También

si m<AOB+m-<COD=90", entonces <408 y
COD son compleme

Ast, el <AOB es el complemento del <MQN, y el
-<MQN es el complemento del «ADB,

a

Como a+ =90" entonces x90"
Sea Cu) el complemento de a
> Ch.

Ejemplos
“=

sr

Consideremos lo siguiente:

Si0r<0<90" jp C0-90'-0
ccoo
CCCH=90"-0
cccoe=0
cccoce-90"-8
En general

Dos ángulos son suplementarios sila suma de
sus medidas es 180%

SimxA0B+m-<MQN= 180, entonces
4408 y <MQN son suplementario,

También

si m<40B=mxC0D=180' entonces
408 y «COD son suplementarios

También <AOB es el suplemento del <MQNy
el MQW es el suplemento del <A0B.

Como 0+o=180" + q=180=0

Sea 5() suplemento de 0.

Entonces S(0)=4,

Ejemplos

> S18%=180"-18%=162"

+ S64 180-6116"

+ sos

+ stage

+ sins

Consideremos lo siguiente:
‘Som 80"—0
Sana
‘sSSa=180"-0

En general

Aplicación 5
¡ón el gráfico, calcule a

Resolución

Sabemos que
Bat 20°20 1040 180"
Sam 150°
2

Aplicación 6
En el gráfico, A, O y C son colineales. Si
m<AOD-150* ym«BOD=160", calcule m-<BOC.

Resolución
Seaxlam-<BOC.

Sabemos que
o

w

Aplicacién 7
Setienenlosángulos consecutivos 4OB, BOC, COD
DOE, tal que m-<40B=20", m « BOD =m -<DOE
y m<COE=m=BOCHm<BOD=105". Calcule
m<AOC.

Resolución
Piden 20" +a.

Del dato

o
Se observa que a 105°=20 an
Reemplazamos (1) en (D.

105°-0+ 105°=20

20-39

70 ay

Reemplazarnos (IN) en (D.
= 105°-70"
a

204

Aplicación 8
El suplemento del complemento de la medida
de un ängul es 130°. Calcule dicha medida,

Resolución
Sea ala medida del ángulo,
Por dato
SCa=130*
180°-(00°-u)- 130"
Dra 130"
aa

æ

5» POSICIONES RELATIVAS DE DOS REC-

TAS EN EL PLANO
Dos rectas en un pl
cones: secantes o paralelas

no adoptan solo dos posi-

A.RECTAS SECANTES
Son aquellas rectas que tienen un solo punto
‘en común, al cual se le denomina punto de

En el gráfico anterior, se muestran las rectas
Ay Za que
tanto, dichas rectas son reclas secantes y Pes
el punto de intersección

nen un punto común P; por lo

Silas rectas secantes determinan ángulos rec
105, a dichas rectas se les denomina rectas per
pendieu

Enel grfico anteror sas rectas secantes Ay
Pz determinan cuatro ángulos rectos, implica
que dichas recta son perpendiculares,

Notación

Fi 1 Ta: Se lee “la recta % es perpendicular
alarecta 9”.

40

»o

Dosrectas coplanares, es decir, que estánenun
‘mismo plano, se denominan paralelas cuando
¿dichas rectas no se intersecan. Por consiguien-
te, dichas rectas no tienen un punto en común.

En el gráfico anterior, st las rectas % y % no
logran intersecarse, se denominan rectas pa:
raleas.

Notación

ES
taz;

recta 9 es paralclaalaree-

rane
RECTAS EN UN PLANO

s POR DOS

Se tienen las rectas

2 contenidas en un
y B € F3. Ala porción
¿el plano P que contiene al segmento AB, ex.
Ceplo los extremos, se le denomina región in
tetiorentre las rectas % y %, mientras que ala
porción del plano restante, excepto las rectas

plano, tal que A e

% y Sy, sele denomina región exterior,

En el gráfico anterior se observan las regiones
determinadas por dos rectas secantes.

Silas rectas fuesen paralelas, se obtendrían las
mismas regiones con respecto a

segmento
dado, En el siguiente gráfico se muestran di
chas regiones.

a

+ Seobserva que y, sonparacasy e
secante a ella

En los grifecs se muesta que Fc TR
<7 Wi, donde Ses la recta secante 2

Dadas las rectas 4% y % se dice que la
es una secante a ellas cuando tiene un punto
en común con cada una de las rectas. Dicha
recta forma con cada una de las retas dadas
cuatro ángulos.

Dadas dos rectas contenidas en un plano, al
azar una tercera contenida en el mismo pl
mo, que sea secante a las dos anteriores, se
presentan los siguientes casos PE

+ Se observa que Zi y Z, son secantes y 3

Ales ángulos de medida , , 4 y sees den
+ Seobsenaque mina internos y los de medida, 9.056188
el punto 0, denomina extemos, debido ala región donde

5.5.1. Ángulos alterne
Sean dos ángulos, ambos
que son tomados uno por e
yas regiones interiores de dichos ángulos
‘en diferentes semipianos, es decir, sus iter
res son disjuntos.

intemos o extemos,

I recta dada, cu
están

e

En los gráficos anteriores, 8 y 6 son las medi
das de dos ángulos alternos internos, asi como
también o son y y; By son las medidas de
dos ángulos alternos externos, así como tam.
biéntoson ay.

Son dos ángulos, uno interno y el otro externo,
tomados uno por cada recta dada, cuyas regio.
nes interiores están en un mismo semiplano.
En los gráficos anteiores, By y; ay ¢; yo; 0
yysonlas medidas de dos ángulos correspon-
dientes respectivamente,

Son dos ángulos, ambos intemos o externos,
tomados uno por cada recta dada, cuyas regio
nes interiores están en un mismo semiplano.
En los gráficos anteriores, 6 y y son las medi-
das de dos ángulos conjugados intemos, así
como también lo son w y 4; mientras que a y
son las medidas de dos ángulos conjugados
externos, así como también lo son f yy.

56. POSTULADO
PONDI
Las medidas de dos ángulos correspondientes
formados por una recta secante a dos rectas
paralelas son iguales

Gräficamente

SF /Z,, entonces

=p

Los ángulos alternos (internos o externos) fo.
mados por una recta secante a dos rectas pa-
ralelas comparten la misma medida,

Enelgráfico, FF ademas, oy ysonlas me-
didas de dos ángulos opuestos por e vérice.

0

Borel postulado de os angulos correspondientes
y=0 a

De (oy (M)
fer)

Los ángulos conjugados (intemos y externos)
formados por una recta secante a dos rectas
paralelas son suplementarios

En el gráfico anterior, 27 /1%7, y y son las me.
¡idas de dos ángulos correspondientes, por el
postulado de los ángulos correspondientes.

y o

En P se observa que

B+0=180 a

Reemplazamos () en (I),

y+0=180

En forma análoga se demuestra que los ángu-
los conjugados extemos son suplementarios

»

Tanen

Enel grafico

Demostración Por teorema de ángulos conjugados intemos
ay
4 am
- y Sumamos (1) y),
rare m

Reemplazamos (0 en (IV.

c+fis0=360°
Por P uazamos 77 y se observa

x=a1b

Del gráfico
Por leorema de altemos internos

b=o

xeato

Del gráfico

CETrA

> asp

Demostración

Por R trazamos F/G, observándose que
Wash o

Por elteorema anterior
a4 40=360" a
PorQtrazamos 74/7 y se observa Por teorema de ángulos alternos internos

Beas o bra an

4

Sumamos (1 y i).

Reemplazamos (I) en (IV)

Por teorema

xsa+0 o
a=20+20
> a=2ar0) 0)

Reemplazamos () en (1.
a=2%x > rl
2

Enel gráfico

Por trazamos 7

o-asd o
Por teorema
xeota m
yrs an

Sumamos (1 y UD.
Kayasasbio a

Reemplazamos (D en (IV).
> xtysa+0+0

Teorema 7
Enel gráfico

2 Ms" donde ab

Demostración

Porteorema
xtbaas0 o
2ar20=a+b

0)

Teorema 8
Enel gráfico

Demostración

Por teorema

o

Por ángulos conjugados internos

2420-1807

B+u90" 0

Reemplazamos (1 en (I)

SANT, ‚entonces

Eas

#7

Aplic
Según el gráfico, HF. Calcule x.

Por A, B y Q trazamos respectivamente

ZE, Ry F, tal que Ru RBH.
Por postulados de ángulos correspondientes.

o
Porteorema de galos conjugados intemos
Heer wm
Reemplazamos (Den (I). Porngulosaternosexternos
yrosBravgn 180 x=5a o
cr0h 43492180" fan
ais a
De Operación

Endgráfco Reemplazamos (I) en (D.

E 2 2508)
200
y Aplicación 10
ON ae

Segun el gráio, 2/7. Calle x.

AT tontos

Resolución Aplicación 12

Piden x Si RvB, calcule x.

+907 40360"
x+130%=360"
xs

Resolución
Aplicación 11 Piden x
Enel gro, FF. Cacute 0

—
|
Resolución
FUER Porteorema
—— au o
y Por ángulos alternos extemos
3-60"
—_ ú 20 ar
Porteorema $
bre Reemplazamos (1) en (D.
0-0 ratero

ons ua

so

Euclides

temática, En

Los libros Vi, dos alos números naturals y racionales postwos; repre
senta alos naturales pe ducto de os naturales porun rectángulo
Sinembargo. lodo estos capitulos es atmático, no geométrico. Ya en ol ro X ata

los racionales e intenta una claslicación delos mismos.

tres úlimos force están dedicados a la geomatra del espacio, aunque también hay 39%
os resultados de geometía plans: solo an el último comprueba las propledades de nimores
cuacrados, cl yla famosa proposición que expresa la existencia de infos pres

Con el métoco de exhausión de Eudoxo, define polos regulares, dicos, estra y 60%
además,

xa calcular razones entre área y volúmenes.

ara impresión delos Elementos acaecida en Venecia en 1482 ha aparecio

ju posiblemente soto ha podido ser superada porla Bb.

Problemas resueltos

Problema 1
Se tienen los puntos colineales y consecut
vos 4,8, Cy D, tal que CD=3(BC). Si AC=20 y
BD=32 calcule AB.

Resolución
Piden AB=x

EniG,xsb=20 o
En BD, o+30=32
> b=8 a
Reemplazamôs (I) en (D.

28-20

x12

Problema 2

Sobre una recta se ubican los puntos consecu
os A, B, Cy D, tal que B es punto medio de
AC.S13(BD)=4(AC) y AD=33, calcule AB.

Resolución
Piden AB=x,

Sabemos que 3(80)=4(40).

Probloma 3
Se tienen los puntos colineales y consecutivos
A,ByC, tal que AB=12, Calcule la lon
segmento cuyos extremos son los puntos me-
dios de BC y AC.

lud del

solución
Piden a

En,
> ab

EnAC,12+20=20
> a-b-6

x6

Problema 4

En el patio de comidas de un centro comer:
cial, Almendra observa cinco lugares alinea
dos doñde se puede comprar. Se sabe que

ue ne, cp,

my Al

m.

¿Cuál será la distancia entre la polleia y el
restaurante de comida criolla si A, 8, C, D y E
representan a las cajas de cada lugar?

si

R
Sea x la distancia que nos piden.
Graficamos.

lución

Delos datos

AC=4(DE)]

Del gráfico

end, 7a+a+4+20=34
Wa s4=3:
100=30

en CE, x=4+23)
x=10m

Problema 5

En el pasadizo de un hospital, Alondra obser-
va la ubicación de cuatro silas de rueda al
neadasÿ dice: "La distancia entre la primera y
‘ima sila es el wiple de la distancia entre la
segunda y tercer sila. La suma delas distan
cas entre la primera y segunda con la tercera
y cuanta es 10m

¿Cuál esla distancia entre a segunda y tercera
sila?

Resolución
Sea x la distancia que nos piden

Graficamos.

se

Sabemos que a+b=10.

Del gráfico

el profeso
forma alineada, según el gráfico. Si La razón
e la distancia de Alexis hacia Brandoul con
la de Carlos hacia Daniel es la misma que se
da entre la distancia de Alexis hacia Carlos con
la de Brandoul hacia Daniel, y entre Alexis y
Brandoul hay 2m, ¿cuánto es la distancia entre

Carlos y Daniel?

Resolución
Piden a distancia entre Carlos y Daniel =x

Sabemos que
2.240

> Quriwedrrax
2a-ax

22m

Problema 7
En una linea recta se ubican los puntos conse:

cuios À, B yC, tal que AAC)=3(AB) y BC=6,
Caleule AC.

Resolución
Piden AC.

AC _ AB
Sabemos que AE = Bag
> AC=3a À ABe2a

Se observa que 6=a,
> AC=3(6)
AC=18

Problema 8

Se tienen los puntos colineales y consecutivos
4,B,CyD, al que AB=2(6C)=5(CD). Sila dis
tancia entre los puntos medios de AB y CD es
44, calcule la distancia entre el punto medio

deBCyD,
Resolución

Sea x la distancia entre el punto medio de
BCyo.

Del dato, AB=2(8C)=5(C0)

> CD=20;AB=10a; BC=5a

Entonces

Para lo que nos piden

x=l8

Problema 9

En una recta se ubican los puntos consecul
vos A,B, Cy D, de modo que M y N son puntos
medios de AC y BD, respectivamente. Calcule
la distancia entre los puntos medios de BH y
NOSIAC+BD=0

esolución
ax la distancia pedida,

"ame (D

Sumamos () y (D.

Arash
arb
7

Problema 10
nun linea recta se ubican Jos puntos conse
tivos A,B, Cy D, tal que A(AB)(CD) =(BCJ(AD) y
14,1

Datos:
MABJCD)=(BEXAD) (D

4,1
apt a (0)

Seobsena
CD=AD-x à BCax-AB

En
AABNAD-x)=(x-ABNAD)

> AABIAD)-AABI=AD)-ABIAD)

S(AB)(AD)=x(4(AB) +(AD))
5.4

an

Problema 11

‘Sobre una recta se ubican los puntos consecu
Eos A, B, C, Dy 6, tal que AC=CE, AB+CD=16
YDE-BC=4, Calcule CD,

se

Delos datos
AB+CD=16
bex=16 > bei6-x o
DE-BC=4

> batex m
Igualamos las expresiones (1) y (D.
W6-x=dsx
12=2x
x6

Problema 12
En una recta se ubican Is putos 8 C2
tal que C es punto medio de BD.
SIA(AB)(AD)=28-(8D], calcule AC.

AG-b)(x+b)=;
al -0?) = 28-407
ai apt 28M
wer

x= ví

sé

Problema 13

En una delas fas d

co amigos: Andrés, Brandoul, Cinthya, Dell y
Sandra, en asientos alternados, pero en ese or
oven que ati

de observé lo siguiente:
+ Brandoul equidista de Andrés y Cinthya;
Del equiista de Brandoul y Sandra,
La distancia entre Andrés

ndraes 13m,

+ Lasuma de distancias entre Andrés y Bran.
dou! con Dellyy Sandra es 8m.

¿Cuáles la distancia entre Cinthya y Dell?

Resolución
Sea x la distancia entré Cintha y Delly
Graficamos.

Dato:a+b=8 o
Del gráfico

bra+a=13

Bra=13
> a y

Reemplazamos (1D en (D.
5+b=8
b=3

Dela,

tancia entre Brandoul y Delly
brx=a

Problema 14

Un albañil va a construir una casa, la cual ten-
rá forma rectangular. Levantó cuatro colum-
as en una de las paredes principales, como

‘muestra el gráfico. Su hijo Marco, quien se
encuentra estudiando en la academia, al rea-
lizar algunos cálculos llega ala siguiente con-
usin:

AB cD
AB Dar y (anyco)=16m?
a ne

¿Cuál esta distancia entre la segunda y tercera
columna?

Scax

> Bex 340d

AB(X+CD)+CD(AB +

(AB+x)(x+CD)
(ABIT + LAICOS +(CD)KAB)+ xD) =

LABIE + (ABMCD) + x + zen)
[CES

Por dato, (CDNAB)= 16m

26m

Problema 15

‘Arturo, Braulio, Cecil y Diana son cuatro am
os que estudian en la academia y decide
Juntos a pagar la pension del mes al banco.
Por algunas dificultades en la casa de los tres
primeros mencionados, allegar a la cola pa
pagar quedaron en las ubicaciones que mues-
trael gráfico.

Sila distancia entre Arturo y Braulio es el
ple de la distancia entre Cecilia y Diana, y
además se cumple la siguiente relación
AC+2(C0)+BD=8 m, ¿cuánto es la distanc
entre Arturo y Cecilia

Resolución
‘Sea xla distancia entre Arturo y

Dela relación brindada
AC+2(CD)+BD=8m
we exe f+
2

am

Problema 16

Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC,
COD y DOE, tal que

m=A08=20", m<BOD=m+DOE y
m<COB=m-<B0C+m-xB0D=90"

Calcule m £ 40.

so

Resolución
Piden m «40°
Graficamos.

Del dato
m<cBOC+m-<BOD =90°

Del grafico
90+x-20
Dax +70 m

Reemplazamos (D en (D.
AZ TO”
150=3
so

Problema 17

ye
agar y sus res amigos se sientan led
tuna mesa rectangular, como muestra €

Si observa que la medida del ángulo lora
do por las visuales hacta Miton y Vi80"
a as visas

medida del ángulo formado por
hacia Aldo y Joel están en la ra
cule la medida del ángulo formado Fo
visuales hacia Milton y Ado:

ón de 203.

Resolución

Como m-</EA+m <A

> 30+20-40°=130°
de
0-30
Enel vem
40-234)
xe

se

Problema 18

Desde una cámara de vigilancia, la cual se
encuentra en la parte alla de un édicio, se
‘observa a Cecilia con un ángulo de depresión
que mide la mitad de la medida angular for-
‘mada porla visual hacia Alondra con la pared
de dicho edifico, Calcule la medida del ángulo
de depresión hacia Alondra.

Resolución
Sea x la medida del ángulo pedido.
Graficamos,

der
x=36+0 o
Enel <RVP
3a 3690
x
a (0)
Reemplazamos (1) en (D.
> x=96% 18°
x

Problema:19
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD, tal quelam<A0B=18"ylam-<COD=24".
Calcule la medida del ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos AOC y BOD.

Resolución
Sea x la medida del ángulo que nos piden.

0G: bisectriz del «e
Se observa que

£AOC:x+85004 18° 10)

<BOD: x+0=2440 0)

5

Sumamos () y (D.
mr
1

2x

Problema 20
Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC
cuya diferencia de medidas es igual a 56°.
Calcul la media del ángulo formado por OB

ya bisectriz de ángulo AOC.

lución
Sea x la medida del ángulo que nos piden,

OH bisectra det «AOC
Por dato

Problema 21

Se tienen os ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD, talque 2(mB0D)+2(m2COD)=3m«BOc
Sim<408=a y ma 40C=f, calcule m-<AOD,

Resolución
Piden m«A0D=x.

Dato: 2(m-x80D)+2(m=C0D)=(m.<800)

Del gráfico, reemplazamos en e dato,
2-0) +2(0-1)=9(8=0)
2204212829830

Ar-5ß-u

lema
Se tienen los ángulos consecutivos ADB, BOC
y COD, tal que los ángulos AOC y BOD san
suplementario. Si la m<AOB=2m-<C0D)
y maBOC=42*, calcule la medida del mg
lo formado por las bisectices de los ángulos
AOByCOD.

x la medida del ángulo pedido.
Graficames,

Se observa que
=90442 o
Del dato, m-<COD=29, entonces m 1408"
También
m<A0C+m-<B0D=180"
> 40-1242 20-180"
CET
60-06
0-48" o
Reemplazamos (1 en (D

se

wade az?
xao

Problema 23
Se tienen los ángulos conseculivos AOB, BOC,
CO y DOE, tal que A, Oy E son colineales. Si
m=B0E=m-<A0B+m-<COD y la medida del
ángulo formado por las bisecttices de los än-
gulos BOC y DOE es 60”, calcule m 408,

Resolución
Piden m-x40B=x
Graticamos.

Del dato
M <B0E=m + 408 + COD.
> 60°04 0=x+60"-0-0
Aare)mx + Pas
+8) Prosa
Sabemos

Problema 24

Cristian repartrá su tora de cumpleaños
entre sus hermanos como se muestra en
el gráfico, Calcule el suplemento de a si
m<A0D=m-xD0C=3(m € COB).

Resolución

Piden Sa. Graficamos considerando una vista
adecuada de la tota

Del grtico
Ta +80*=360"

Problema 25

La profesora Sandra lleva a cuatro estudiantes
al parque para realizar ejercicios y los acomo-
da según el gráfico. La línea visual 1 con la i
mea visual forman un ángulo de medida 80%,
las líneas visuales L y 4 forman una medida de
140*, Calcule la medida del ángulo que forman
laslíneas visuales 2 y 3 sabiendo que los niños
son del mismo tamaño,

Resolución
Sea x la medida del ángulo pedido.
Graficamos adecuadamente.

o
(0)

Recmplazamos (D en (D.
2801) +x=140

Edgar se encuentra en una calle y observa, en
la parte superior de un poste, un letrero de no.
estacionar y un perro, tal como se muestra en
fico, Sila linea visual 1 con la línea visual
inan un ángulo que es la cuarta parte

2de
del ángulo formado por la linea visual 2 y la
línea visual 3, la linea visual 2 es bisecriz del
ángulo determinado por las linea visual 3 y la
línea vertical. Sila medida del ángulo formado.
por Edgar y la linea visual 3 es 40, calcule el
complemento del doble del ángulo formado
por las líneas visuales 1 y 2

+

ont
Resolución
Piden C2:

Del grafico
Sar 40°=180"

En el gráfico, OF es bisectriz del ángulo
AOC y OF es bisectriz del ángulo BOD. Si
‘m-<COD=100", m-<X0Y=80" calcule m-<408.

nel gráfico, piden m=408.

La m<A0B=20f,

De los datos
B+29=100° o
4840080 m

En QD
9-30

cp

Reemplazamos en (D.

B+280°-a-8)= 100"
B+ 16024-28100"

> 2a B60
m-<AOB=60

Problema 28

Dados los ad

entes suplemer
BOC, OF, OF y OF son bisectrices de los än-
gulos AOB, BOC y XOY, respectivamente. $i
m<AOB-m=BOC=40, calcule la m<Z0B,

Según el gráfico, piden.

w

2a+28=180"
> asp

Enelgráfico, m<X0Y=0+P
m<XOY=90"

Como OF es bisectiz del <xOY
> MEXOZ=m «20 m4

‘Sumamos las ecuaciones (D y 1)
PAT
a=55" + pas
8-10

oblema 29

Se tienen los ángulos consecutivos AON,
NOM y MOB, tal que mxA0B=90" Si
m-AOM+mxNOB=150", calcule lam MON,

Resolució
Graficamos, Piden x,

Se observa que
a+x+0=00

Del dato, tenemos que
gtx +0+x= 150°
=

Problema 30

Se tienen los ángulos conseculivos 408,
BOC y COD, tal que m-<BOD=80" y la me.
dida del ángulo formado por las bisecui.
ces de los ángulos AOB y COD es 110. Si
m=AOB+m<COD=100", calcule m<408.

st

Resolución
Graficamos. Piden 2a

Porel dato
m<AOB+m-<COD= 100°
2a+20=100"
+0050" 0

Del gráfico.

10 > 9260

80° > 20-20
emir “OD
Reemplazamos (1) en (1.
a+ 10=50
anit
2a=80"

Problema 31
La diferencia entre el triple del suplemento de
un ángulo y siete veces su complemento es
iguala 50. Halle el suplemento del doble de
dicho ángulo.

Resolución
Sea Ola medida de dicho ángulo.

> 8(180"-8)-7(80"-)
510°-30-690°+70
2=140 = 2
+ Sie

su

Problema 32

La suma de complem

sy supe
de dos ángulos es 240" Si se sabe que

rencia de medidas de dichos ángulos e
(alcule el complemento dela medida agur

Resolución
Sean cy Olas medidas de dichos ángulos de
de.a>0,

Piden Ca.

Sabemos que Cu Cy SetSy=24.
90°-490°-0+180-04 180"=0=240"
540240200420

> a40=150" o

‘También sabemos que a-0=20% WM

‘Sumamos las ecuaciones (Dy UD.
2170

Brdblèma 33
El doble del suplemento del complemento de
{un ángulo es igual al triple de acho Ange
mentado en 100% Calcule eldobe del PMP
mento de dicho ángulo.

Sea Ola medida del ángulo.

Piden 2C0.

Dato:
25C0=30+-100
20180-(90'-0)
2(90°+0)=30+ 100"
180°+20=30+ 100°

> 0-80

Reemplazamos en lo
2C80% 2x10"
208020"

ue piden

Problema 34
Se tienen dos ángulos suplementarios. Si el
suplemento del complemento de una de las
medidas es el doble de la medida del comple-
mento del suplemento del otro, calcule el su
plemento de la diferencia de dic
angulares

Resolución
Sean a y 6 las medidas angulares.
Piden S (diferencia delas medidas)

Datos:
apre o
SCa=205p

> 180°-(90°-0) =2(90%-(180"-))
90°+a=2(8-90")

Ds a=2p-180

B-u=270 qu»
Sumamos (D y (1.

SB Le)

28-2270 "
> 39-450"

B=150" À a=30°

S(150"-30°)=$120°=60"

Problema 35

La suma de las medidas de dos ángulos es
100" yl suplemento del doble de uno de ellos
65 el doble del complemento de la otra medi-
da. Calcule el suplemento del doble de la me-
ida angular mayor.

Resolucién
Sean ay Olas medidas de los ángulos.
Piden s2(medida mayor)

Datos

a+0=100 o
C2a=2C0
> 90°-20=2(90-0)

wo
Sumamos (D y (1,

100°
0-a=as?

a0

Problema 36
En cuánto excede el suplemento de la suma
del suplemento del complemento de un ängu
lo con la tercera parte del complemento del
triple de dicho ángulo a la diferencia del com-
plementó de öirg-ängulo con la quinta parte
{del suplementodel quintuplo de dicho ángulo?

Resolución:
'Séap Ly 0 las medidas de los ángulos men:
“ions.

¡Según el enunciado del problema, piden

{ scto), 8%) S(se)'
E=s(scta 20) (09-569) m

E

=180r-(180"-(G0r=0)

A= 180°-(90°+ 0 +30°+ e)
> 4260 wo

peurs)
Bew

> ase om

Reemplazamos (II) y (Ill) en (I).
Ba
me

Problema 87
En el gráfico, Y
xy

Br. Si arb=40", calcule

Feeolucién
Piden x+y

Dato: a+
Sabemos que

xt4=l5o

Problema 38
Enclgráico, Z1//Pe. Calcule a+0.

Piden a0.

Sabemos que
tara 180"
3u+0=180° o

040420" 20 180"
a+302160 o

Sumando () y (D tenemos
Aa+0)=240°
10-60"

Enel gráfico, ill Fr SimsABC-70" cakes

Resolución:
Pidenx.

à

Problema 40
Enel gráfico, 2172 y ivi. Caleule x.

Resolución
Piden x.

Problema 41
En el gráfico, 2a-f > 38", Calcule el mínimo

entero de x si 71/7

Pide

Por dato
2a-B>3s"

Sabemos
x=20+0 o
2+20=180

> B¥0=90°
0290-8 a

Reemplazamos (I) en ()
20008

> 2a-pex-90

En el dato
x90" 38°
se

> Xe 129"

Problema 42
Enelgrtico,

+0 <238°. Calcule el mínimo en:
tero de x si 7

Resolución
Piden no

Dato:
40238"
Sabemos.
ab
o
Bra=10 m

Sumamos (1 y (D.

360-3228
Narr
406°

Em alt

Problema 43

Según

1 gráfico, calcule x

Resolución
Piden x.

Trazamos FF

Completamos las medidas angulares mediante

MPG + warn (D
180°-20+27-0400°

2-20

quo o

Reemplazamos (1) en (D.
49004 180-0
x= 18090"

00"

Test

1

Enel gráfico, calcule x

se

6
9

ae DEN
D) 13

on
E 6

tngo AB. BD 0-2 COMI

calculex,

BS 06
D 8

N
D

En el gráfico, ON es bisecuiz del <AOB.
Caleuie x.

A) 2 /
3) 40°
O 10

En el gráfico, OD es bisectriz del <BOE.
Caleule x.

awe
DES
CES
D) 32
E: 7

El suplemento de una medida angular es
Igual al tiple de dicha medida. Calcule la
medida angular.

A 30 60" 40°
DES sr

Elsuplemento del suplemento del comple.
mento del complemento de una medida
angulares igual ala mitad de su comple
mento, Calcule dicha medida.

LEA
D) 45

Dis Os

DES

En el gráfico, AG, Caleule x.

ns
D) 40"

DE ZEN

DES

e

Problemas propuestos

Nivel básico

En una recta se ubican los puntos consecu-
livos A,B, Cy. SIAB=BC y ABD) -AC=12,
calcule CD,

na Ds CE
D 10 Du

‚al es profesor de Educación Fisica y para
que sus estudiantes emplecen à realizar
calentamiento coloca sus conos alineados,

=DE y AC+2(CE)=12 m, cal

A 6m
D) 3m

8) 5m

© 4m
D 2m

Alessandro está jugando en la sala de su
casa. Él ubica sus carritos en linea recta
junto a él. Su hermana observa la posición
de estos y afirma: "AB=2(DC), DC=20 em y
CA=70cm.

¿Cuál esla distancia entre los carrtos y B

4
A Sem Diem © 35cm
D) Sem E) S0em

La iferencia de las medidas de dosing.
los adyacentes AOB y BOC es 36.
la m<BOD si OD es bisectriz del <A00

DE
DES
Qa
DES
CRC

Se tienen los ángulos consecutvesAOB, 80€
y COD, tal que m<BOD-S(m<408)
y m<COD=3(m<A0C). Calcule m <BOC.

ar Bis ow
D) 2 DES

Alondra leva a sus sobrinos al parque par
que puedan jugar. Ella los acomoda pe
darles algunas indicaciones, según eg
fio. Si las líneas visuales y 3 foman un
Angulo de medida 100" yla Ines visuales
2y 4 forman un ángulo de medida ak
ul 0. Considere quelo sobrinos son il
mismo tamaño.

DEI
D) 50°

7. Mario, al al parque, el cual está cerca de
su casa, observa a su hermanito orando,
pues sus globos se le escaparon y queda:
ron atrapados en una palmera, tal como
muestra el gráfico, Se observa que la linea
visual 2 con la línea vertical forman un dn:
gulo cuya medida es 80%, y esta es el dob
de la medida que forman Mario con la Ie
nea visual 1. Caleu

a medida del ángulo
que forman la línea vertical con la línea
visual 3

aw
D) 60

3) 30°

CES
Bas

La suma de las medidas de dos ángulos
s 80" y el complemento del primero es el
<oble del segundo, Calcule la diferencia de
las medidas de dichos ángulos.

aw
D 50°

Dw © 6

D 40

2 Enelgrfico, Z/Z+. Calculex

a4 Br Qo
D) 90° Dr

Enel gra

a) 30°
D 25

Ba gar

D 2%

Felipe debe armar un prisma con carizos
para presentarlo como trabajo en su escuela.
Para ell colocó los camizos sobre su mesa
rectangular como muestra el gráfico. Su her-
mano mayor, Braulio, observa que la ubica:
ción deloscarrizos forma medidas angulares
en cierta proporción, lo cual le permite co-
nocerla suma de x con y. Hale dicha suma.

e
®

Tee

DEI
D) 63

B) se

©) oo
D 6

Nivel intermedio

Enunarectase ubican les puntos conseculi
vosA,B,CyD,talque 10(AB) =5(BC)=2(CD)
y AD=32, Calcule la longitud del segmento.
‘que tiene por extremos los puntos medios
de AByCD.

A 15
D 18

92 0%

DES
e

0

3. Se tlenen los puntos colineales y consecu-
tivos A,B, Cy D, tal que BD=10.
Si(AB—CD)(AD+BC)=21, calcule AC.

ao pw on
pL 98
En una recta se ubican os puntos consecu-

tivos A,B, Cy D, tal que BD=2AB).

à
Sas BO
calcule.
n1 mm on
D 2 pus

En Fiestas Patrias, para iniciar las celebra
ciones se disparan desde el patio de Pala
cio de Gobierno cuatro cañonazos.

Los cañones se han distribuido de forma
colineal como muestra el gráfico, pero un.
soldado al observarios se da cuenta que la
distribución está errada afirmando que la
suma de distancias del cañón À hacia By.
del cañón C hacia Des 14m, yla diferencia
entre las distancias del cañón C hacia D y
del cañón B hacia C es 6 m. ¿Cuál
distancia entre el cañón y el cañón C?

A 6m
D) 9m

DEN

© 8m
E) 10m

‘Omar leva a su h

santo Andrés al par
que para que jueguen volando comet;
también los acompaña su mascota. En un
instante, como muestra el gráfico, Omar
‘observa la cometa, a su hermanito y a su
mascota, dándose cuenta que la medida
del ángulo formado por las visuales hacia
Andrés y la mascola es 76.

Calcule la medida del An
las bisectices delos
las visuales hacia
las visuales hacia!

9 fr
ángulos formados =
Andrés y la. .
cont ce
Rcomeuy amas

don

LES
D) 42

DES

CE
D 4

7. Se tienen los ángulos consecutivos 408,
BOC y COD. Si m=A0B=Sím<000,
m-<A0C= 120" y m<BOD=100" calce
medida del ángulo formado par ls bie
tices de los ángulos BOC y 400.

os
Diz

ae
DES

Ds

18. Edgar se fue de campamento con sus
posa e hijos a la playa, y para ula
de In noche desolada los acomodé come
muestra el gráfico, las nas wf
3 son perpendiculares, la Inca v3
bisectrz del ángulo formado por ls In"
visuales 3 y y la meda dal
mado por las líneas visuales 33 4
“aul a media del dng fea?

las ines visuales2 "
A a
z A
Lea

19. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,
OC y COD, tal que m<AOB=3(m COD),
Sim <140"y m-<BOD=120",caleule la me-
ida del Angulo formado por las bisectrices
delos ángulos BOC y AOD.

aw pr OWw
DES D 16

Setienentosángulos consecutivos40B, BOC
{yCOD.Setrazan as bisectices OH ON yO
¿e los ángulos AOB, COD y MON, respect
vamente. Si 2m <MOD)=32"+3{m DOC),
halle la m <QOC.

D pw ow
DS DE

Calcule el complemento del doble de la
‘medida de un ángulo sos dos tercios del
suplemento del complemento de dicha
medida es igual a su comple

Aw gm Os
D) ox Ds

2 La diferencia entre el doble del suplemento
de la medida de un ángulo y cinco veces su
complemento es 60". Caleule la mitad del
suplemento de la medida de dicho ángulo.

DS Boo
D) 70

E
DES LES
24, En el gráfico, si Z/ 2, calcule x.

DIS D
D) 30"

CES
DES

Rosa elabora triángulos rectángulos con
cartulina para un trabajo del colegio y en
un descuido dejó uno de sus triángulos
sobre la mesa. Su hermanita Sandra, de 4
“años, a quien le gusta contar muchas im
genes y crear figuras con papel, encontró
el triángulo y lo recortó como muestra el
gráfico, Rosa observa las características

del corte que hizo su hermanita y se pro-
Pone calcular x. Hall el valor dex.

Da ar
D) or Das

n

Nivel avanzado

‘Cuatro niños, Mario, Juan, Sandra y Cecilia,
‘en ese orden para realizar un

se alinear
juego en su escuela, Si la distancia entre
Mario y Sandra es igual al triple de la dis-
tancia entre Sandra y Cecilia, la distancia
entre Mario y Juan es Ia cuarta parte de la
distancia entre Juan y Sandra, yla distancia
frio y Cecilia es 4 m, calcule la dis
tancia ente Juan y Cecilia.

A 3m
D) 38m

32m 34m

E) 35m

Sean los puntos colineales y consecut

vos A,8,C, D y E, tal que AB+CD=3(B0)

Siluego se ubica el punto medio.
HD= 2 y AE= 16,

En una recta se
euros A,B, Cy D. Si se cumple que a re

ibican los puntos conse:

lación 4(AB)-BD-2(CD)=4, AB=3 y A
calcule AD.

a2
LE

DE) os

99

28, Enel gráfico, Dy. 5, cade
mínimo valor entero de x

aw Da O8
D) sr D 4
0. Enel gr y ED Siactt,

E]
ys

a) ne
D) 12

Triángulos

Edgar Marlon Agreda Naquiche

CapiruLo IIL

TRIANGULOS

= Objetivos
+ Conocerlos teoremas, clasificación y lineas notables asociadas al triángulo.
+ Vilizar adecuadamente los teorernas del triángulo en la resolución de problemas.
+ Hacer uso del estudio del triángulo a siwaciones de la vida cotidiana.

Introducción

‘Alo largo de la evolución histórica del hombre, se presentaron diferentes difcullades, por ejemplo,
hacerle frente a los fenómenos naturales, buscar alimento para su familia, así como escoger un
Iugar para establecerse, las cuales permitieron que desarrollen diversas habilidades. El hombre
Primitivo se dedicó a la caza y ala recolección, para ello necesitaba herramientas que fabricó util
zando piedras, las cuales tal de diferentes formas, siendo la forma preferida la triangular, De esta
forma construyó la lanza y el arpén, objetos que le ayudaron a sobrevivir hasta que descubriera el
fuego y desarrolle la agricultura y ganadería.

Ya ena etapa del esclavismo, en las sociedades de Mesopotamia y Egipto, encontramos los prime-
rosindicios del uso de las figuras geométicas. Fueron los egipcios los que desarrollaron de manera
ms profunda y ordenada el conocimiento sobre el triángulo y lo emplearon en la construcción de
las pirámides, así como para medir las pérdidas de parcelas (lo realizaban los tensores de cuerdas,
“agrimensores”) cuando el ro Nilo se desbordaba. También Grecia tuvo varios representantes de
dicados al estudio de la geometría, entre ellos destaca Euclides con su obra Elementos, en la que
encontramos proposiciones para el triángulo.

Enla actuaidad la forma del triángulo es usado para construcciones arquitectónicas, para construir
niesas y ventanas, para ir de un lugar a otro usando menor recorrido; también para el diseño de
interores, obras de arte, ete; pero para ello se debe conocerlas características y teoremas que se
“Cumplen en el triángulo, aspectos que se estudiarán en este capítulo y serán analizados mediante
“demostraciones y ejercicios de aplicación.

75

1» DEFMICION
Es aquel gua geomótica formada al unir tres puntos no colineales mediante semen.
Tinea coplanares, los cuales se intersecan solo en los puntos mencionados,

(@) Es untriangulo recttineo, pues para unirlos puntos se ha usado segmentos de recta,
(9) Esuntridngulo curvtineo, pues para unirlos puntos se utilizaron segmentos de nea cu.
(© Es un triángulo mixtlineo ya que para unir los puntos necesitan segmentos de lines rec }

también de línea curva.

Después de haber establecido la definición general del triángulo, enfocaremos muestro suo
exclusivamente en el triángulo rectlíneo (al que denominaremos triángulo) y planearemes ®
definiciôn y sus diferentes teoremas

2» TRIÁNGULO RECT

\NGULO)

2.4, DEFINICION
Esla figura geométrica que se forma al uni tres puntos no colineales mediante se

Elementos
+ Vénices:A By C
+ Lados: AB, BC y A

Notación E
AABC: Se lee "riángulo de vértices 4B Y

D ecuerde ‚as

ABC; ABCA, ABAC |

22.REGIONES DETERMI OR EL
TRIÁNGULO

Todo triángulo divide al plano que lo contiene:
en tres conjuntos de puntos: la región interior,
la región exterior y el triángulo propi
dicho,

Es la reunión de un triángulo y su región
interior.

Del gráfico

Notación

ABC: Se lee “región triangular de vértices A,
Bye

D chende
La región interior de un triángulo no con.
tene al tingle que lo det

Es la suma de las longitudes de los lados del
triángulo que limita a dicha región

Notaci
2(AABC): Se lee “perímetro de la
triangular AB

De manera convencional, (ABC) se lee semi-
perímetro de la región angular ABC, entonces.

pCAABC)= 2+b+¢

¡ón exterior del triángulo
En la región exterior del triángulo, prolonga
mos los lados; de esta forma podremos reco-
nocer sels regiones. Tres de elas están aso-
ciadas a los lados del triángulo y sus nombres
dependen de dicho lados; las otras regiones
solo son regiones exteriores,

ré
ci

Para ubicar puntos en las regiones que determi:
na el uiéngulo en el plano que contiene, consi
¿remos como ejemplo el siguiente gráfico:

+ Pestä en la regiôn interior del AABC
+ Qesté en 4B (Q pertenece al lado AB).

+ Mestá en la region exterior relava a BC.
+ N'est en a región exterior relativa a AC.

+ Festé en la prolongación de AC.
+ Eestáenlaprolongación de CA.
+ Rest enla prolongación de CB.

NGULOS oI
TRIÁNGULO

Es cualquiera de los ángulos, determinado por
un par angular de triángulo.

Pd

A

En et 4 ABC, AB y BC forman el par angular
ABC (ZABC).

Además, BM y EN forman el ángulo MBN
(AMBNO «AB

Enionces el ¿ABC determina el-<MBN(<ABC).

Por lo tanto, el «ABC. es ángulo interior del
ABC.

Es el ángulo que forma un par neal cen wo
de los ángulos interiores del triángulo,

+ EI ABC es uno de los ángulos interes
del ABC.

+ El «NM forma un par line
Entonces <NBM es un ángulo este

ai on el ARC.
rae

ie -
Sl jo se pueden trazar 3418"
ls intetiores y 6 ángulos exe

a
ruwpamentates EN

Demostración

Trazamos por BaF: ZAC.
Por ángulos alternos internos.

aso y day o
Sabemos.
cosfey= 180° wo

Reemplazamos (1) en (D.
& a+B+0=180"

Del gráfico se cumple qu

atb+c=360

Demostración.
* Trazamos 7, que interses
ción de AB tal que FIAT.

ala prolonga:

Por ángulos alternos intesnos
au 0)

Reemplazamos (I) en ()

2 arbee=360"

Trazamos BPJ/AC

Sabemos que
Yrb+0=300° o

Por ángulos correspondientes
yea y ose (0)

Reemplazamos (1) en ()
asb4c=360"

Del grfico

ve

in

a ng

Sabemos que
+ as pro=I80 o
+ ara=l80 aw
+ 040.1 am
+ bsB=180° m

Sumamos (I); 01) y (W)
atb+c+a+8+p-540 ()

Reemplazamos (1) en (N).
axb+c=360"

so

Demostración

Por ángulos alternos internos.
O]
dra an

Reemplazamos (I) en (D.
Kar

+ Aparirdel gráfico

sabemos que
aprte (O
O)

Igualamos (D y (1.
asBto=xe0
arbex

Se le denomina teorema de comes
lee,
en el triángulo. En

A partir del gráfico, si a>c, se cumple os
guiente:

Demostración

Como a>c, sea P € BC tal que BP=<
El AABP es isóscelos
> maBPA=m-<BAP=p+0

Se observa que
20428
: 0>0

Piola

Teorem: Demostración

Porel teorema 5
N axbec ©
De nee ne gu Utilizamos la observaciön anterior.
Comobzc => b-c<a 00
Asociamos (1) y (1D.
beceacbec

Demostración I»

Por teorema de as poligonales.
b<a+e

erben
Teorema 6

Denominada desigualdad triangular o de exis-
tencia deltríángulo,

Pret grafico, siesasb

2p=arbte > p=

mp | be<acnec

gresbsate | Se cumple que.

{ pemensecap

Demostración

Porteoremas

Beaman)
> pemenet o

Por teorema delas poligonales
mn<a+b
met<ase |
mens)

Xa+b+e)
manvtcarbse

msnvcp a

Asociamos () y (ID.
pemèn+ t<p

Aplicación 1
En el gráfico, calcule x

Resolución

e

En el AADC, porteorema 1

x40+0 180° ©

En el À ABC, por teorema 1
80+20+20=180"

> as0=50" m

2502180
2130

Aplicación 2
Según el grafico, si x 6-24

4

Resolución
Por dato sabemos que a+0=240"

Enel AAPQ, porteorema I
asus ©
En el AABC, por teorem 2

arg = 360

> av
Ena

y #302180"
> az o

Reemplazamos (1) en ().

Del gráfico, calcule x en función deo.

Enel AADC, por teorema 3
asx=b

-a o

Enel AABC, por teofema 3
a+30=%

(b-a) (0)

Reemplazamos (1) en 1.
EM

Aplicación 4

Las longitudes de los lados de un triángulo son
#:9yx Calcule la diferencia entre el máximo y
mínimo valor entero de x.

Resolución
Graficamos,

Sea Max seen

Por desigualdad triangular (teorema 6)
E]
Sexel3

Valores enteros de x: {6;7; 8:9; 10; 11
Xe 12
Kinn 6

2-6

M=6

Aplicación 5
En la región interior de un triángulo se ubica
el punto A tal que AM=5 y MC=8, Calcule el
mínimo perímetro de ABC si es entero,

Resolución
Graticamos.

Le
I

Piden 2p(ABC) mínimo entero,
Sabemos por teorema de las poligonales

S48<a+e o
8-5<b
3<b w

Sumando as ecuaciones (D y (D se tiene
l<arbrc

2p(ABC) mínimo = 17
s

Aplicación 6
la m-<BAC>m-<BCA,

En un triángulo ABC, I
AB=7 y AC=5. Calcule la suma de los valores

enteros de BC.

Resolución
Grañcamos.

Sea $ a suma de valores en
Por teorema de existencia
yemas > xel2

Porteorema de correspondencia

150 + 107

Relacionamos las desigualdades.
Taxe?
= 18,9; 10; 11)
5-38

Para la resohuciön de determinados problemas
o se utlzarän solamente los teoremas de un
capitulo, por ello planteamos los siguientes
teoremas adicionales:

Tooreı

Demostración
+ Prolongamos BC hata (Re AD,

En el ABR, lam-<BRD=atph
Enel A CRD
x=arpro

+ PorBtrazamosla 9:7

Por teorema de paralelas

xaa+ [40 o
Por ángulo alterno interno

ana &
Reemplazamos (1) en ()

xmarpro

Demostración
Por. wazamos D : 2 /AC

Por teorema de paralelas
xiy=orb+dro o

Por ángulo alterno interno
aa a
Reemplazamos (1D en (D.
xiyaatBe0ro

Teorema 3

2.

À
Del gráfico, se cumple que

Demostración
+ Trazamos la Z, secante a la prolongación
de AB tal que Z//AD

Por teorema de paralelas
x4y=00b o

Por ángulo altemo interno
(0)

Reemplazamos (1) en (D.
2 xtyeasb,

+ Enelgráfico

asar

A parir del gráfico, se cumple que

Demostración
Enel gráfico

Enel ABC, a=a8,
En el APBQ, a=m +n,
asfemin

8s

0

Del

Demostración

N Adm» A
VAS |
A N

Trazamos AB,

Aplicamos el corema 4
a}4b)=040
agsbyemin 1

areasormen

Dei grafico se cumpl

Demostración

Sabemos que

2-0 o
b+p=180
> p=180=0 wm

Reemplazamos (1) en (D.
a-0+180'-b
arb=0+180"

Del gráfico, se cumple
Demostración
Prolongamos AB y CD hasta P.

o
Enel A APC, x+y=B+ 180" @
En el A BPD, o+0=B+
Igualamos (D y (D.
xeyna®

Del gráfico, se cumple

Demostración
Prolongamos AB y Mi hasta Q.

Enel 24QM,a+b+0-190". o
Enel ABQN, ass 0180 w

Igualamos (D y G1)
arbsd=as pro
asbaasp

Pola

Del gráfico, se cumple que

Demostración
Enel grafico

Enel AARC, aimsn=180, (D
En lA PBQ,m=B49, 0)
En el AMNC,n=0+0. a

R

azamos (y (1) en (D.
Be O+ O40 180"

Teorema 10

Del grfico, se cum

| cerorasbimin=co |
| erases |

C2

Demostración
Enel gráfico

Demostración
Prolongamos AB y BC hasta P.

Enel AAPD, por teorema 6
80° o

En el, por teorema 3
miy=as0 wm

‘Sumamos las ecuaciones (D y (I,

2424 eye mean

Aplicación 7
Del gráfico, si m+n+100%20 y 40-10,
calcule:

Resolución
Enel gráfico

Como a: 0=180

> meros
Por teore

mansde=20 u
Del dato o

mens 100720

Isustamos y 0.
annee 10

Aplicación 8
Enel grâfico, calcule x+y

Resolución
Enel gráfico

En el AABC, por teorema 6
pepe 180" 0

Enel, aplicamos la nota del teon
B40 w

na8

Reemplazamos (1) en ()
Peso
year

Aplicación 9
Enel gráfico, calcule x.

Resolución
Enel gráfico

Prolongamos BA y A hasta Q.
w y
> maMQA=2x

Prolongamos MN y BR hasta P.
> meNPR

Enel AQPB
243 +50" 180"
5x=130"

226

Aplicación 10
En el grafico, c40=120°, Calcule x+y.

Resolución
Enel grafico

Por dato sabemos que a+0= 120

Enel 6, x+y=u+b. o
nel AABC

at Q+a=180°
SS 0)

Enel APOR

a+ 0+b= 180

> b=60" a

Reemplazamos (I) y (ID en (D.
rey oooO

ey 120

Aplicación 11
Apattr del gráfico, calcule

A

ná

Resolución
Enclgráfico

Porteorema 9
++20+50°s30 189

Aplicación 12

Caleule x+y

Resolució
Enel grtico

En el DAEC, por

> x+y=3(a+0) o

Enel ABC
e+ 0+ 100"= 180
@0-80

Reemplazamos (1) én 0)
x4y=3(60")
xy

Aplicación 19
Según el

Resolución
Sabemos por teorema
PRES

2.6. cLAsırıcacı
Los triángulos se clasifican de acuerdo a sus
medidas angulares internas y a la longitud de

sus lados.

Es el triángulo cuyas medidas angulares in
temas son menores a 90°

Además, como a<90 se cumple que

Entonces.

b. Triángulo rectángulo
Una de sus medidas es igual a 90"

Se observa que:
Oca" y O°
Entonces.

"Además, AB y BC son catetos y AC es la hi-
potenusa. Por tanto

Teorema de Ph

Prior

Una de sus medidas angulares Internas es
mayor que 90”

sep )

Entonces, a<90* y 690",

Como 890" entonces _

(€
E
D obserctén
À los längs brurángulos y obrusán:

ul sles conoce comorriángulos ob
cuángulos

er

Sabemos que a>0,

Aplicación 14

Enel griico, «>0y 290" Calcule lasumade > x>9 ”
valores meros dex Asociamos (D y (I.
gexe13
» x={(10; 11512)
S=10+11+12
5-23

Aplicación 16
Si0+p=246" calcule x

Resoucén
Sea Sa suma de valores enters de x

Comoa>0

> 197 o / /

Como aio"

a Pere
2 Resolución
x<92 a En el gráfico

Asociamas (D y (D)
Tex«92
2489)

s-17

Aplicación 15
En el gráfico, calcule la suma de valores ente

ros de x si a>90°. Prolongamos CD y FE hasta P.

PDE: x+a=90 o

Prolongamos BC y AF hasta Q.
maCPr=mecor=a

Enel AABQ, sabemos
Osma: 180
26-0410 —

Resolución
Sea 5 la suma de valores enteros de x
Por teorema de existencia

0)

Pio tmp mn
Sexeld ü po

2

aquel triángulo cuyos lados son de dife»
rent longitu.

Además, auf; 020; x0.

Es aquel triángulo que solo presenta dos
lados de igual longitud

AB y @ se denominan lados laterales y AC
se denomina base,
También

Si el AABC es isósceles de base AC,

80" =2a; eue 180°

: Aplicaciôn 17
En un Wämgulo acutén

ax
M-ABC=20+45", m € BAC=0 470. Cale
m-£BCA cuando 0 toma su máximo vor en

Resolución
Piden x cuando 0 es máximo entero pa

Como es acutángulo

20645790"
<A > 04225" o
Además
0470.00 + 0 UD

Sus lados son de la misma longitu.

También

Aplicación 18

Resolución
Enelgráfico

JAEN

Piden x
Se observa que la m«P8C=90'0.
Como el A BCP es isósceles, BC=PC=x.

En el ABC, por teorema de Pitágoras

Era

+
Gt x ada rar
Weir

Aplicación 19
Del grafico, AB:

Resolución
Enel gráfico

Trazamos BD.

Como el ABD es equilátero
> BD=a

El ABDC es isósceles.

» MECBD=2x

Se observa que
eZ 60= 180°
3e=120

ander

Aplicación 20
Del gráfico, si BC=BD, calcule x

Resolución

Enel gráfico
B

N

Se observa que el ABC es Isösceles
> BO=AB=t

Porteorema, en elisóscoles como B4-BD-BC

90

Resolución
Enelgráfco

Prolongamos FE hasta tal que meBSC=36.
> AB=BS=SCHt

9

Trazamos SD.

ELACDS es equilátero,
> soi

Como SB=SC=SD
MES

2

18

Aplicación 22
Si CE=EM, SW=CS+CE, mer
m=<C5M=98", calcule m + CEM.

Resolución
Enel gráfico

Nos piden x

Sea ReSH tal que SR=b-

> Rime

EI AREM es equilátero.
» ER=a

pl ACSI es isóscoles,
; maCRS=4I"
Como BC=ER=EM=a

Es aquel segmento de recta que une un vet
(ce de triángulo con un punto cualquiera d
lado opuesto 0 la prolongación de este, 1. 2000

Para el triángulo ABC
+ BDyBE
+ BDes coviana interior realliva a AC.

+ BE es ceviana exterior relativa a AC.

Se da elnombre de cev
extremo de la ceviana está en el lado opuesto;
ef nombre de ceviana exterior se otorga cuan-
do un extremo está enla prolongación del lado
‘puesto. En todo triángulo se
Finite cevianas,

pueden trazat in

zu 5

BS ceviana exterior relativa a CA

BY; evt exterior jelliva a A6

2.2. LÍNEAS NOTABLE
TRIÁNGULO
Reciben ese nombre aquellos segmentos de
recta uilizados con frecuencia para enunciar
o resolver determinados problemas.

Es aquella ceyiana que une un vértice con el
punto medio de su lado opuesto.

Enlafigura, AM es mediana relativa al lado BC.
En todo triángulo se pueden trazar tres media:
nas, una relativ para cada lado,

Es aquella ceviana interior que forma medidas
angulares iguales con cada uno de los lados
adyacentes a el,

En el gráfico, BP es bisects interior relativa a
AC del wisngulo ABC.

Entodotriángulo se pueden trazar tes bisectri
ces interiores, una relativa a cada lado.

Es aquella ceviana exterior que biseca un án
gulo exterior del triángulo,

in el gráfico, BG es bis
AC del triángulo ABC
Tener en cuenta que para que Q pee
ala prolongación de AC se debe compr,
AB>BC. =

»
-

Es aquela cevana pere 2 1°

cuales lava. seat

depen

cación de la altura
La ubicación de l sa

triángulo (según sus medidas.

lo acutángulo

BF aura relate 2
AP aura relais À

Filtra relativa a CB
aura relaiva a aC
altura relativa a AB

+ Triángulo rectángulo

BR: altura relativa a AC

Esla recta perpendicular a un lado de un rán:
alo; es coplanar a este y contiene al punto

medio de dicho lado,

SIAP es bisectriz y BH es altura relativa a AC,
se cumple que

Si BH es altura relativa a AC y BO es bisectriz
del < HBC, se cumple que

Teorema 3

Enelgráfico, 3 es mediatrz de AC.

En todo triángulo se pueden trazar tres media-
ces coplanares a dicho triángulo, una relatl-
vaa cada lado,

tiva a AC y BP es bisectriz
del <ABC, se cumple que

el gráfico, se cumple que
Sabemos que

asbrc=2p

Además

ala Demostración

bse à + Enelgráfico
> @>archıb
30>2

Por tanto

pare

ae
Ey met
La prolongación de AR y la

«BCP se intersecan en 0

Porteorema I

100

‘Se observa que m<RCQ=90" La prolongación de FB y la bisectriz del
Enel’ QCR, por ángulo exterior BAC se intersecan en Y.
‘i Por teorema |
we 3
2 mabva

Se observa que m=SAV=90*

Eneli SAV
regu
9 E

2

Enel gráfico, se cumple que

Demostración
+ Enelgráfico

>

Demostración
BSC: x+402180°

arenoso 1
2ee=180"
2m 180"-<
=90°-£
2

Enel grtico

or

Demostración
Enel gráfico

BEX

Enel gráfico, se cumple que

BQDC: x+a+0=a
ABQD: x+b=ar0 +

zu
2

Demostración

Demostración
Enel gráfico

En SBPCQ, aplicamos el teorema 5. Aplicación 24
Cu Si BC=2AB), calcule x.
2
Ben
Enel ABC
a+ 2(0+f) = 180"
Ax=180'a
Ku Resolución
Enel gráfico
Aplicación 23

En el gráfico, AB=BP. Calcule x.

azarosa que
mxQC=a
> ma2Qtate
Coma AB-BO=b + OC=b-0A
E ABO sequen,
pes

Resolución
Enclgráfico

Aplicación 25 SE
En un triángulo ABC se traza la mediana AM. Si
AB=MC, mx MBC=20 y m <BAC=68", calcule

/
ki

= à lam<BCA
Enel A ABC, razamos Bi, tal que Resolución
maBMA=49" Graficamos,
> AB=BM=MC=a
Además.
m<PBM =o"

Bo
be

Entonces el À BPM es equiltero.

Como MB=HP=41C, por teorema en elisésceles

Pidenx
A parti del
nel ABMC, m-<BMA=x+20"
El ABAM es is6sceles.

Aplicación 28
En un triángulo ABC, donde AB>BC, se taza la
bisectriz exterior BD y se ubica el punto P en
7B, tal que AP=PC. Si mxADB=32”, calcule la
m=PCb,

Resolución
Nos piden x
Graticamos.

Enel DBC
pon o
Enel AABD
o432%=a o
Sumamos () y (1.
3432
ee

Aplicación 27
En un triángulo rectángulo ABC, recto en 8, se
‘raza I altura BH y la bisectriz interior AQ, las
cuales se intersecan en P. Si A(PH)= 280)
calcule QC. Considere que HC:

104

Resolución

Piden x

Sabemos que el PBQ es is6sceles,

» BQ=BP
Enel BHC
bars

100=(4+:

x=6

4
porteorema de Pägoras
Ha

x > xedet0

Aplicación 28

Según el gré

Resolución
Nos piden x

co, calcule

&

AN

ma En el A TKM, por teorema

Enel AABC, por teor
maBVvC=90"+

maBvC=128"

nel ASVE, porteor
Aplicación 30
xeon E Según el gráfico, m-<BAC-m-<BCA=42, cal
culex
29-28
var
Aplicación 29

Según elgráio, calcule x

Resolución
Enel gráfico

Resolución
Enclgráfico

Nos piden x
Dato: m-n=42"
Trazamos BH AC.
> mañiBP=x

Enel ABC, porteorema.

Piden x
Enel ATKC, por teorema
marke

SE > merecn2x

105

EE Ii "

Biografía

Frank Morley (Woodbridge 1860-Baltimore 1937)

Problemas resueltos

Nos iden x.
m Prolongamos AEy BC hasta que seintersequen
Enel grfico, calcul En

m-DCP=0
Se observa que m<CDE=m-<CPE=s,
Enel AABP

were 180

5x=180"
er x=36"
Nos piden x.
Sabemos que lema 3
SOHLE E10 En el grico, caleule x
x+185"2180

Resolución

Enel gráfico

Resolución
Enel gráfico, caleule x

Nos pidena:
Enel APOR
490" 50=360°
x+50=270° o

107

Enel AAQe

or+a=0
0-a=90" 0}
En APSC
Oran
0-40 an

Reemplazamos (I) en (i),

m

Reemplazamos (IV) en (D.
245080) =27
x4 150% 270"
32120

Problema 4
Del g

Resolución
En el grico

Nos piden a+ß+0+0,

Prolongamos AV y RI hasta que seintersequen

enM.

108

0, calcule a+B+0+0.

Enel AMAR
+0+0=360" ©

Must.
70 an

Sumamos (D y (D.

B+0+w+u+ ef

0" + 470°

ar proro=a3o

Résolu
En el gráfico

Nos pidena.
En el ANAB, mNAM=

Emeva,mevanem «5%

4920"

pet

Enc
Aura 20=180°
5a=160"
ans?

Probie Nos piden Xe
Enuntrángulo ABC, BC=2,AC=Syel<ABCes Por dato
úbtuso. Calcule el valor entero de AB. men=18
Resolución Enel SBC
Sea x el valor entero de AB, reds o
Enel Sac
sesim m
b Sumamos (D y (I.
2x<l2+men
Por dato, 0>90 meo

Aplicamos el teorema de existencia

©
Como 0> 90°

Problema 8
> ac ®? y 00

Enel grafico, m ++

Por teorema de correspondencia
Sox a
Relacionamos (D y (1)
Sexes
Fr

Problema 7

En las longitudes de os lados
AC y BC suman 18. Se ubica el punto $ en la
región exterior relativa a AB, tal que SA y 5B
miden& y respectivamente. Halle el máximo
valor entero de SC.

Resolución
En el gráfico, nos piden x+y.

Resolución
Graficamos.

Por dato Ent

2asy=042p
mens Bey=600

2(a-p)=0+
En 2>BPCO sabemos.
xiyaacro o aps a
ABD: Rasey4m=960 |, Reemplazamos (1) en (D.
ACD: 20+P+n=360" * x=7043
Ac +600°=720"
av 0=60" wo

Reemplazamos (I) en (D) Erick es un estudiante de Arquitectura yan

xty=60" un trabajo de la universidad realiza unbosqve
jo de calles en una cartulina, Desea conocerla
a medida del ángulo que forman as cales io

ria y Aguire. Indique dicha media.
Enel gráfico, O-y=6". Calcule x.

Resolución
Nos piden 3x. Ben
Asoclando el bosquejo realizado Po

guras geométricas, tenemos o sigue

"Nos piden x
Sabemos que 0-y=67
Porteorema en el 4
een Se observa que
> anta o ma PBC=m-<POC

so

Porteorema
Srri=2+96

CS
Beer
EE

Problema 11
Alessandro es un niño de 5 años que encontró.
el bro de origami de su hermano y trató de
elaborar la cara de un pero, tal como mues:
ta el grfico. C

Resolución
Enelgráfico, nos piden x+y.

G

Fe LA 0

Enel ABC, x+a+20-180"
Enel AMNL, y+0+20=180", *
> x4y+3(a40)=360°

mm

KR) —()
Enel AsvR

100*+20420=180
> aso a

Reemplazamos (I) en (I)
ty 360-3040)
year

Problema 12

Tres pueblos se encuentran ubicados como
‘muestra el gráfico. La distancia entre el pueblo
Ay el pueblo B es 5 km, la distancia entre los
pueblos 8 y C es 8 km y ol ángulo que forman
las distancias hacia A es menor en medida
al ángulo que forman las distancias hacia B.
Calcule la suma entre la mínima y la máxima
distancia entre los pueblos A y C

den

al
ré

Nos piden AC on + AC

Realizamos el gráfico,

Dato: 0c
Porteorema

8-5<x<8+5

Bexel3 o
Como 8<a + <x a

Relacionamos (D y (1D.
Bexeld

> x=(9; 10511; 12)
S=9412
S=21 km

m

o PP...

Problema 13

Enelgráfico, calcule si AB=BP=PO.

Resolución
Nos piden x

Resolución
Enelgráfico, piden 0

E ABPO esisösceles.
m<PBQ=8 > m<BPA=20
meBAP=20

El AABP es equiitero,
> 20-07
9-30

Problema 14

El ténguo ABC es iséscetes de base XC y el
Mängulo BA es equlätero, Si m «BACS
caleulela m<A5C |

2

Como BS=BA=BC > m-ABC-2
El AABC es isosceles.
> 2x6”

eat

blema 15

Dado un triángulo ABC, en AC y BC seo
can los puntos N y M, respecte, 4
que AB=BN=BM y m<BNWe50 Cook
meBAN-maBCA,

Piden &-0.

EL AABN es isésceles
m<BNA=a

\ MB es isósceles
m<NBM=80"

a

Enel ANBC

ñ
Nos piden x

Problema 16
Según el gráfico, SV=CV, Calcule xy

solución

Resolución
En elgräfico, nos piden x+y

Porteorema
xtysasb

ELACVS es isósceles,
meCVSe40? > b=140"

En“, por teorema
meCTB=30" + a=150°

0+ 140°

290

Problema 17

Dado un ángulo rectángulo ABC, recto en
Ben AC y en a región exterior relativa a BC
Se ubican los puntos E y D, respectvamen
le Si BCODE=(P), meBAC-maDPC y
8D=DC=BC=EC, calcule la m-<ACB.

EnellsABC
24000 o
En cl<SABPE,0+0-90'+f.

> 20-p=9 a
Enel A PDC, O+B=120", om
Sumamos (I) y (IM,

30-210 > 0=70" m

Reemplazamos (IV) en (D.

Problema 18
En un triángulo acutängulo ABC,
mBAC=2(m <ABC). En la prolongación de
AB se ubica el punto P, al que AC=PB=1. ¿En-
tre qué valores se encuentra PC?

Resolución
Nos piden el intervalo de valores en el que se

ma

‘Trazamos Ch: m<CLA=24. didas ang
» AC=CLeL de los triángulos isóscoles to
Por dato aa

2a<90

290°
El A CLP es obtysingulo,
Entonces

se

xo d5 >28 o

2-exeel

Lorea a x-40
Relacionamos (1 y (1.

2pbex<’ E
à ¥€0.25;3)

ABC,a+b4x=180
» enD,m<EDF

EBED,x+x-a40 => aug

Enel V, x+a+0=120

> ae!

20

SIAB=AC=CD, calcule

Problema 19

=MP: FN=NQ; AE=ED y

Enel gráfico, nos pidenx:

Resolución
Enel

co, nos piden x

En et ABPA, mabar=12%
El A BAC es iséseeles

m<ABC=m <BCA" EE
> maDac=s |

114

El ABOD esisösceles,
> BC=1
BI AABC es equiltero.
> Gr

0

Problema 21
Carlos tir

una ficha en forma de triángulo.
‘equitero, en la cual realiza un trazo con plu
món como muestra el gráfico. Si dicho trazo
forma con et lado de la ficha un ángulo de me.
dida igual a 83, calcule el complemento de x

Problema 22

Las casas de Andrés, Brandon y Cecilia se en-
cuentran ubicadas como muestra el gráfico;
los caminos que llegan ala casa de Cecilia son
perpendiculares. En el camino hacia la casa.
de Brandon, Andrés se da cuenta que de esa
posición, la distancia hacia la casa de Brandon
es igual a la distancia hacia la casa de Cecilia
y a su vez también es igual que el camino de
Su casa a la casa de Cecilia. ¿Cuánto mide el
ángulo entre los caminos que llegan a la casa
de Brandon?

Resolueién
Nos piden el complemento de x=C,,

Como el A ABC es equilátero
> mABAC=60
Enel A4PC
vera
> a
Conor

Resolución
Elaboramos el gráfico correspondiente.

À Sa
RS

Nos piden x
Se observa que
El A CAB esisósceles: m « BCA'=x.
> mache

EL AACA es isósceles.
> mache
En elbACB
2x+x=00"
x=30"

1

Problema 23 .
Javier, para una exposición en su clase de geo- |
meta, eva dos moldes de triángulos isósceles,
yas medidas desiguales son 48 y 36" y tienen
las mismas longitudes de lados iguales, ubicán-
“als como muestra el gráfico. Calcule
Rs
AN

Resolución El AANMes Isösceles
Nos piden > mem

En el QE
meQci=do"

Enel SABC
me BA
Dei gráfico, sabemos por teorema en los s68- Enonces enel 1
ales. Par)
Como BA=BC=8D 2-108"
45° + 36° Se

Problema 25

gráfico, AR es Den
nc, cac

aña were
Según el
triángulo ABC. Si RP=

Problema 24

En un triángulo ABC se taza la mediatriz de
AG, que interseca a AC en M y a BC en Q, tal
que la maCQM=S0" y m-<xABC=68", Se ubica
el punto N en AB, tal que AN=MC. Calcule la
man.

ne

Resolución Por eorema
En el grfico nos piden x+y. 0-28, 38

Enel ABC
96% 70=180"

7084"
> 0-12
= 302)
Como AR es bisectriz ui
maRAC=m<BAR=34°
> meBRA=SG wets

es isóceles. - 5
Be Problema 27

> y=65" -
En un triángulo ABC, mxBCA=248 y la
EI APRC es isóscels, mxBAC=48". Sea R un punto en la re.
> Del + 062% gión exterior relativo a BC, tal que AB=RC y
xey=150° mxB0R=35" Calcule la m<BRC,
Resolución
Problema 26

Nos piden x.
En un triángulo ABC se cumple que |

ADC-96. Tazamos BH y

BP las cuales son altura y bisectri respectiva
‘mente, del tidngulo ABC, Calcule la m PBH.

Resolución
Nos piden x
Por dato

Trazamos BP en el ABC, tal que
maBRA=48 > AB=BP=PC=a

Trazamos PR.

ELAPRC es equiátero.
> PR=a

1

EEE

Como PC=PR=PB

> meRec=

2
m<RBC=30"
Enel ABRC

area
zen

Problema 28
E

ans

a el puntoS, tal que m «BAS:

m <ASC=120" y AB=SC.Caleule la m &BCS.

Seaxlam-<BCs,

Prolongamos AS hasta F, tal que m-<BFS=20"
> AB=BFeFS=t

Se observa que A FSC es equilátero
> FC=t

Como FB=FS=FC

ne

laregión interior de untriángulo ABC se ubi-

Probie

Sabemos o
Enel AMBNT, kna+0+30 2
En el XYMANP, a+ 0-030"

iste
En el AABC, por ángulo entre À

m

> a=105"

ent
Reemplazamos (MD end. y
aromas"

Reemplazamos (IV) en (0).
2213530

x

Problema 30
Enel gráfico, calcule,

Resolución
Nos piden x
Sabemos que 4x 180"
Enel AABC

ag À
E
xx

> a

5

Problema 31

Segúnel gráfico, rm

40", calcule x

Resolución

En el gráfico, nos piden x,

Enel Auucr

Se=arbre o

Enel BARC, sabemos

a+ 180

an

En el AMCN por ángulo ente bisectices

bre
Mrs
beca an

Reemplazamos (ID y (1) en (D.
Bros
Sea

xed

119

o

Enel grafico, a +

220". Calcule x.

Sabemos que a+b=

En el ABDL por ángulo entre bisectices

Enel ABC, sabemos

Almendra sabe que los caminos de su casa al
‘colegio yal mercado, así como del mercado al
‘simnasio, son de igual longitud; además, para
it del gimnasio a su casa o al colegio emplea

‘el mismo tiempo. Almendra g
‘medida del ángulo que forma
su casa al gimnasio y de su
Indique dicha medida,

Resolución
Graficamos s

Nos piden x
EL AAMG es isósccles.
» m<AGMax

FLACGA es isosceles

El A CAM es isosceles
> meAMC= >

Enel AMG

E
2

5x=360"
a Te

Problema 34

La cámara de seguridad de un edificio observa
a Andrés ya su pelota de fülbol; en ese preci
so instante Andrés observa a su pelota con un
ángulo de depresión de 58°, como se muestra
enelgráfico. Sila línea visual 2 es bisectriz del
Angulo formado por la línea visual 1 yla pared
del edificio, la línea horizontal respecto a An-
rés es bisectiz del ángulo formado entre las
líneas visuales 1 y 3, calcule la mayor medida
“angular que forman la línea horizontal respec»
toa Andrés y la linea visual 2

Resolución
Graficamos según as condiciones del problema.

Sabemos que
M<ABN=58*

Prolongamos AB y CP hasta R.
> mapRp=32

En el AARC, por ángulo entre bisectrices

u 2
2
22106
Problema 35

En un parque, que tiene forma triangular, Sane
dra se ubica en una de las esquinas y un he-
ladero se ubica en olra esquina. Ella conoce
que las veredas que concurren al baño forman
un ángulo que mide 69° y la vereda que une
la esquina donde está ella con la banca 2 es
bisectriz del ángulo que forman las veredas 1
y 2. Calcule la medida del ángulo que forman
dichas veredas,

DN

Resolución
Nos piden 2.

de No

# 5 nu

Como SB es bisectrz del BSH
> meBsH=0

121

Enel ABSH

69°+2040= 180°
É AUS

Problema 36
Según el grafico, se cumple que
m<ACI euch Calcule lam <ACD.

Resolución

En el AABC, tazamos AM (Are D), tal que

m<BAMam-<CAMa0.
En el AAMD, por ángulo entre bisecrices
we EAMD , iw
2 m<AMD=2x

Enel ABCA, por ängul ent bi
180°—2¢ = 99° 3%

x
We, y ch
gras wi

Sectes

2 x=20°

Problema 37

4 3
calcule m«CAV.

olución
En el grfico, nos piden x.

Enel ACV
macaR=160
> maBAR=120

Trazamos BV y se observa
Enel ABAV
maaBvem <AVB~60

El AVEC es isósceles.

> BCeBVel

El AABV es equilstero- di
44060" E
Gogo > 0210

Reemplazamos (D en
Ka)
Pe

Test
En el gréfico, calcule m-<ABC

na
B) 90°
©) 100°
DE
D 70

Caleule x.

as
DR 6
©) 20° ?

D)
Dar =

Enel gráfico, calcule 8

AD sor
B) 60°

om /
D) a0

Bs ¿

Enel gráfico, 0>a. Indique cuántos valores

>
‚LAVES

a6
97
CE
LE
95

En el gráfico, a+b=100* Calcule x+y.

A 120°
B) 130
©) 140
D) 150
E) 160°

Sia+f= 110 calcule x+y.

A) no
D 120
©) 190°
D) Mo"
CE

SiAP-BP, calcule x

an
B) 26°
ES

D) 37 E
DES Be,

En el gráfico, calcule a.

as
8) 9
om
Du
HR

128

Se

Problemas propuestos

aa

1. Delgráfico, calcule x transportador ene

na rs ma
De acuerdo gta,
Alessandro le pide a Piero que cae

glares de la com

\ >
ees:
4 100° B) no) 120
En la E exterior relativa à EC de
SN sing cai rotin
. ae
ar Br er según In muestra el >
ae a He indique la m0

si

El profesor Andrés leva a sus estudiantes a
‘un parque. Coloca a Juan, Carlos y Luis de
forma no colineal La distancia entre Juan
y Carlos es de 2 m y la distancia entre Car-
los y Luis es de Sm. Calcule la suma entre
la máxima y la mínima distancia entera
que hay entre Juan y Luis.

AT Bs 99 aw
on pu pa

124

lamediatrizde AC

7. EneliriinguloABC,
secta a BC en el punto M. La m «BA
yla medida del ángulo exterior en B es 82°
SiN es punto medio de AC, calcule la

n-eNCB.

DES
CES
CE
D) 44
dar

En un triángulo Isösceles ABC de base
BC, se traza la ceviana interior BR tal
e BR=BC. Si maCAB=52 cale

Ba gm
D) 10 E) 16

En un triángulo ABC, ls bisectrices de los
ángulos ABC y BAC se intersecan en. Si

2m<BMA)=7(m-<BCA), calculelam<BCA,
A) 10 Bi os
D) 16 D 18

10. Según el gráfico, caleule x

à 16 Die om
a DEN

Nivel intermedio

En un triángulo ABC, se sabe que AB >BC y
m-£BCA=24°, Caleule am ABC siesta es
minima y entera.

nr Bsr O1
D) 133° D 129°

Las longitudes de los lados de un ángulo

están en progresión aritmética de razón 7.

Calcule el mínimo valor entero del perime-
tro de la región triangular

DE DE CET

D) 45 E) 46

Según el gráfico, calcule x+y+2.

a ns mio © no
D) 120 ED 105

Del gráfico, si AB-BC-DB y CD.
caleule x

à 40° nae oa
D) sw Ds

125

15. Enclgráfico, ABC es un triángulo rectángu-

128

lo y ABD es equiltero.

A) 15 DE 030
D 18 CAT

Las fichas ládicas de-Mario tenen forma
de triángulos equilátero y triángulo rec-
ángulo isósceles, Si Mario ubica las fichas
«omo muestra el gráfico, calcule m-<SVH.

ais

B) 20°
CE
D) 30°
DES

Edgar tiene un pedazo de cartulina en
forma de triángulo isésceles de base AC.
Realiza tres dobleces, tal como muestra el
gráfico, formando un triángulo equilátero.
Siafirma que «+= 124, ¿cuál será la me-
dida del ángulo MLA?

a) 58 De on
DES ae

En un triángulo ABC se taza ici
terior AP yla altura CR del wing PCS
m <ACB=m PCR y m-<B4P-

la m-cABC.

DES par o
D) 99 De

En un wiénguiorectingulo A dre
fe taza la aura By abs it
AR, las cuales se ine

mos MNAC (NER
calcule MP

secan en Tam
>. i BRA y MN

à 2
D) 2-1)

Sandra recorta dos pedazos de
forma de triángulo y os une cos
ira el gráfico. Si M, & N20
im <MAE =m-<EAN MES!

calcule la longhud de MA

ge

mediana del triángulo AB
twéngulo BMC y AB=AM, cal

vi

no Ber os
D) 68 D 65

22. Según el gráfico, calcule x;

José divide su ciacra con la intención de
sembrar diferentes tubérculos. Si BM es

es altura del
le m & BMH.

Nivel avanzado

à 20" B) 240° © 260°

D) 200° D 250°

Según el gréfic, sia+b=200, calcule x+y.

A) i De ow
D 1 DES

a Dre

©) 38°
Dar

DES

A) 220° E
D) 230° 5) 20

En el gráfico, el triángulo SCH es isésceles
de base CM.SISV=CM, calcule la m<CSV,

2 26" Br gr
D) 2 Dar

127

ae Bs ow
De D

Da Be gm
D) Da

En un uiängulo ABC, m « BAC = 4m < #CA)
SIAB=4, calcule el mayor valor entero de BC

DE DEN ©
D) 16 5)

Según el gráico, calcule x

à 15 De om
D) 16 Du

Del gráfico, calcul x

ww DES
D) 26°

Capitulo

Congruencia
_ de triángulos

Ronald Eder Espinoza Fabián

EH

CapfTULO IV

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Objetivos
+ Identificar a dos tlänguk ales mediante los casos de congruencia,

Introducción
Dentro de nuestras actividades cotidianas realizamos constantemente comparaciones entre dos o
más objetos, por ejemplo, comparamos las botellas de agua, las porciones de torta, los celulares,
los televisores de pantalla plana, la alla de ropa, etc. Realizamos este análisis para saber si los
objets son iguales, parecidos o similares con relación a su forma y tamaño. De acuerdo a dicho
contraste podemos elegir la opción que corresponda a nuestras necesidades.

Enta matemática, el estudio de ese tipo de comparaciones no debe pasar desapercibido, pues se
uiliza la Igualdad y la congruencia para comparar cantidades y figuras, respectivamente. En este
capitulo nos dedicaremos al estudio de aquellas figuras que comúnmente denominamos iguales.
mediante la congruencia. En este estudio analizaremos la forma más simple: los triángulos, a los
¿vales llamaremos triángulos congruentes.

También conoceremos los teoremas más significativos que se deducen a partir de la congruencia
de triángulos. Estos estarán agrupados en dos subtemas: las aplicaciones de la congruencia y los
Irángulos rectángulos notables. Cada uno de estos conocimientos nos permitirán encontar las
relaciones entre los elementos de uno o más triángulos, entre las longitudes de sus lados y las
medidas de sus ángulos

Cada conienido de este capítulo está trabajado de forma teórica y práctica, dando un sustento
“roy sencillo mediante las demostraciones; además, se reforzará con ejemplos que permitan la
Aplicación de los puntos estudiados.

ar

4» CONGRUENCIA DE FIGURAS

44. HOCIOH DE CONGRUENCIA

Si superponemos un papel transparente sobre
ta fotografia del automóvil y luego lo calcamos,
btendriamos sobre el papel una copia fiel
“el automóvil, donde todos los elementos del
‘nuevo dibujo y del automóvil coincidirän. Este
procedimiento nos da una noción de cómo
"obtener dos figuras geométricas que tengan la
‘misma forma y el mismo tarnaño.

‘Con ello podemos indicar que si dos figuras
geométricas tienen la misma forma y el mismo
tamaño, estas se denominan figuras geométricas
«congruentes. El signo:

el que usaremos para.
“denotar que dichas figuras son congruentes.

De la misma manera, si superponemos dos
triángulos y observamos que existe coinciden-
cia de todos sus elementos, dichos triángulos
serán congruentes, específicamente coincidl-
rán sus tes lados y sus tres ángulos.

1.2. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

4.2.1. Definición

Dos triángulos son congruentes si sus lados co-

rrespondientes son de igual longitud y sus än-

gulos correspondientes son de igual medida.
8 o

En
Notación: A)
CBM mpi POR
182 ”

iderar la conespondengy

ación biunisoea entre eg
nts

ges
0 Ba
coer

Ejemplo

Silos triángulos ABC y POR son congruente,
entonces

+ a ángulos de igual medida se oponen aes
de igual longitud; por tanto, x=8.

AA

dos de igual angi see PRE
Sul de igual medias Por ant 7"

~

De qu en adelante para ga
sean congruentes ya no 5

seis elementos (tres lados Y'
Tespeetivamente de i
bastará con tres elementos
menos uno de elos debe

"Veamos los siguientes casos:
380 Indo-ängulo-Jado (

Dos triángulos son congruentes si tienen dos

Jados de igual longitud y los ángulos determi:

nados por estos lados son de igual medida.

AN AN

SIAB=PQ,BC=OR y <B=<Q
> AABC= A POR

Dos triángulos son congruentes si tienen un
lado de igual longitud y lo ángulos adyacentes
a este lado son de igual medida.

SIAC=PR,xA=P y <C=0R

> AABC=A POR

Demostración

Para que los tlngulos sean congruentes bas

tá con demostar que AB=PO. Previamente,

tenemos tes posbilades: que AB>PO, que

AB=PQ o que AB < PQ.

* SiAB>PQ,en AB podemos ubicar el punto
M, tal que AM=PQ.

AAMC = A PQR: caso LAL,
> mACM=m<PRO=9
Como m<ACM=m-ACB
> Meoincide con B
Como AM=AB a AM=PQ
> AB=PQ

AABC = SPOR

+ SiAB=PQ, los triángulos ABC y POR son
«congruentes por el caso LAL.

+ SI AB<PQ, en la prolongación de AB pode-

¿ANC = A PQR: caso LAL
> m-ACN=m-<PRQ=0
Como m-cACN=m-zACB
> Ncoineide con B
Como AN=AB y AN=PQ
> AB=PQ

ABCs APQR

Caso tado-lado-lado (LLL)
Dos triángulos son congruentes si sus tres la-
dos son respectivamente congruentes,

SIAB=PQ, BC=OR y AC=PR
> ABCs SPOR

Demostración Demostración

Para que los wiängulos sean songruentes bas

tard con demostrar que m-<ABC=m <POR:

para elo construimos el triángulo AMC, con. PS
fuente al triángulo POR, donde AM=PQ, Se
CM=ROyA Y 3

En el APQR, por teorema del comesponden
in, como axe, entoncesa>o. (9
Para que los triángulos sean congruentes bs
tard con demostrar que AC=PR. Prevamene
tenemos tres posibilidades: que AC<PR que
AC>PR o que AC=PR.

+ SIAC<PR, en PR podemos ubicar el puño
Mal que AC = PM.

<AMB=a

POR
» meAMC=m<POR=a+0
SABC = APQR (caso LAL)

d. Caso lado-tado-ingulo (LLAY
ingulo (LL EI AMOR es iséseles.
Dos Wings son congruentes si een dos > maQuR=maMRQ=

lados de igual longitud y el ángulo opuesto al APO, por ángulo eet eS,
mayor de estos dos lados es de igual medida, Fee

mos que «<0,
doen (*):a> 8. mm.
Por tanto, el segmento AC 10 P

menor que el segmento Pf

ye
asi
+ SIACSPR, se analiza demana olf
16 anno se one aus an
no pede ser meer gh
AS + siacepR, porel aso UL,

> ABCs A] ‘ABC y POR son const
POR

m

Ben
En las siguientes parejas de triángulos, verif-
caremos (auxiliändonos de los casos de con:
ruencia) si determinan a dos triángulos con- \

gruen X | >
gruentes. AN AR

Los wid

los ABC y EBD no son congruen-
tes, porque no es un caso de congruent
el tener tres ángulos de igual medida.

Aplicación 1

SIAB=CD, calcule x
ABD = ACBD (caso LAL)

Resolución
Enel gráfico

Los tiéngulos ABC y ACD no son congruen-

tes, ya que faltaría un elemento (ado 0 án-
au).

195

Aplicación 2
SiAB=CD, calcule x

Resolución
Enel gráfico

Observamos que
ARB = ADRC (caso LAL)
> RB=RC
ELABRC es isósceles
Kerl
x

Aplicación 3
SIAD=BCy 0+B=5

y, calcule x

Resolución
En el gré

Se traza DI
Luego.

AADE= ACBD (caso ALA)

BD=a

E, al que m «AD:

El ABDE es isóscels,

50

Aplicación 4

SIAE=FD, EC=BP y AB-CD, calcule

Resolución
En el gráfico

Observamos que
AAËC= ADFB (caso LLL)
<ACE=m-<DBF=10°

EnelpuntoC
AT
eo

Aplicación 5
Siel AABC es equilátero, calcule.

Resolución
Enel gráfico

Observamos que
ACP a ABC (caso LA)
> MPIC=m a PBC=2x
F AABC es equiétero
> aro

xa

Para que dos triángulos rectángulos sean con:
gruentes, solo son necı
ya que el ercer elemento es el ángulo recto.

Caso 1
Dos triángulos rectángulos son congruentes.
si tienen los dos catetos, respectivamente, de
igual longiud.

SABC 1S POR (caso LAL)

Caso2
Dos triángulos rectángulos son congruentes si

potenusa de igual longitud y un án-
gulo agudo de igual medida

SS
bon

Caso 3
Dos triángulos rectángulos son congruentes si
tienen la hipotenusa y uno de sus catetos, res
pectivamente, de igual longitud,

ABC =ISPOR (caso LLA)

197

caso 4

Dos triángulos rectángulos son congruentes si
tienen un cateto de igual longitud y un ángulo
agudo de igual medida, En este caso se tienen
dos posibilidades,

+ Uncatetoy el ángulo adyacente

lo,

¡A

SABC SISPOR (caso ALA)

Aplicación 6
Calcule AB si PM=MQ.

Resolución
Enel grafico

m

Piden x,
Del gráfico deducimos que

m-<AMP=m «BON

=0
SPAM =
> PA=MÉ

MBQ (caso 2)

Luego
x=549
x=14

Aplicación 7
SIAB=BC,BD=3 y DE:

calcule AD.

Resolución
Enel gráfico

Piden x.

Det gráfico deducimos que
m«aBE=meBco=b

AEB => BDC (caso 2)

EnelisAED, por teorema de Pitágoras.
wer

5

Aplicación 8
SiAB=CD, calcule 0/.

Resolución:
Enel gráfico

be À

donde

ABD ai DCA (caso 3)

> M<BAD-m<CDA
op

2» APLICACION

DE TRIÁNGULOS

s DE

cons

JENCIA
Son teoremas que se demuestran a part de la
congruencia de triángulos.

Es aquel punto que se encuentra a igual distan-
cia de otros dos puntos o dos rectas.

El punto P equidista de los puntos A y B, ya que
PA=PB,

El punto P equidista de las rectas % y %, ya
que PC=PD.

2.2, TEOREMA DE LA BISECTRIZ

Todo punto que pertenece a la bisectriz de un
ángulo equidista de los lados del ángulo.

199

Si OI es bisectviz del xAOB y PE ÿ k
tonces - : y
| S
Demostración Dez
, |
E |
|

SPQO = PRO (ALA)

> a=b a men

-ciproco enece a la media de"
‘un ángulo y equidista de los lados del ángulo, segmento equidista

entonces Ppertenece ala bsectiz del ángulo. — Mento

SiPQ=PR

OP es bisectriz del <A0B (u=0)
140

mio »

N20 = SAGE AL)

segmento, entonces P pertenece a la mediatiz
de dicho segmento.

Colorario
En un triángulo Isósceles, la altura relativa a su
base es también bisectriz, mediana y porción
de mediatriz del triángulo.

SIAP=PB y B es mediatriz de AB

mediana y porción de mediatrz.

11

2.4.TEORENA DE

Los Y CONGRUENTES

Si dos segmentos AB y CD son paralelos y de
entonces los segmentos no se-

igual longitud, entonces

cantes BCyAD son paralelos y de igual longitud.

Demostración
Sea AB//CD, AB=CD=a y los segmentos no se-
cantes BC y AD.

Trazamos BD.

Por ángulos alternos internos.
m«ABD=m <CDB=a

Sea BD=b.

AABD = ACDB (caso LAL)

> AD=BC a m «ADBam <CBD=ß

Por el reciproco de los ángulos alternos internos
ADIIBC

» AD=BC a ADYBC

2.5. TEOREMA DE LA BASE MEDIA

En todo triángulo, el segmento que une los

Puntos medios de dos lados se denomina base

media y su longitud es la mitad de la longitud
el tercer lado y paralela a dicho lado.

162

don

- MN es base media.
SIAM=MB y BN=NC, entonces.

Demostración

En la prolongación de MÍ se ubica el pure
tal que MV=NQ.

AMBN = A QCN (caso LAL

> MB=QC à m<MBN=m CNP

Por cl recíproco de ángulos altemos rie

TO, y por elie
Como AM=CQ y AM//CQ, alar

los segmentos paralelos y con
nemos que MQ=AC y MO/AC-

à MNAC

SiAM=MB y ACUMN
> Nes punto medio de BC.

Por tanto, ves base media del ABC.

Si AC=2010) y ACUÑA, entonces M y N
son puntos medios de AB y BC, respectiva
mente

Portanto, HN es base media del AABC.

IPOTENUS:

En odo triángulo rectángulo la longitud de la
mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de

lalongitud de a hipotenusa,

Si es me

; lana relativa ala hipotenusa, en-

=

Ubicamos N en el punto medio de BC
Como i es base media

> HAB À mun

A

Como HN
ABMC

altura y mediana a la vez del

> BM=CH

143

2 En el gráfico, si Al

entonces

Aplicación 9
Calcule x.

Resolución
Enel gráfico

Resolución
Enel gráfico

Porteorema de la bisectriz
BD=DE=1

EINDEC es notable de 30*y 60"
x30

Aplicación 10
SIACA8, calcule x.

1 el MN, por teorema de base md >
tenemos que

Aplicación 11
SiAC=2(80) y AE=EC, calcule

Resolución
Enel gráfico

En el SABC, por teorema mediana relativa a
la hipotenusa
BE=m a m-<EBC

AEBD es isósceles,
180"

Teorema 1
Entodo triángulo isósceles las alturas relativas
alos ados iguales son de igual longitud,

A SiAB=BC
/\ > AM=CN
AX esdecir
y ser My =
N
Demostración

LAABC es isóscetes
> mA=m<C=0

Dal gen

a N
AR Y >,
BAMC ES CNA (cas É
SEM (aso 2)

py

En todo triángulo isósceles, la suma de distan:
cias de un punto de su base a los otros dos la-
dos es iguala la longitud de cualquiera de las
auras trazadas desde los extremos de la base

SIAB=8C y De E
> CH-DF+DE

Es decir

Demostración

ELAABC esisósceles,
> meaem«i

Del gráfico se deduce que
mADO=m<COP=8
En el «PDR aplicamos teorema de la bisectriz
> PD=SD=b
Bn el CSOH
> HC=QS
haat

145

Teorema
En todo triángulo isösceles, la diferencia de
distancias de un punto de la prolongación de
su base aos otto dos lados es iguala longitud!
¿e cualquiera de las alturas trazadas desde los
extremos dela base.

sein do elt
En todo triángulo equilteo, sy

son de igual longitud, 1 ah

SIAB=BC y De AC
> CH=DF-DE

Es decir | he

Demostración

EI AABC es isósceles

m£C=0

De los triángulos AHD y CQD, se deduce que
m <ADH=m <CDQ=«,

Enel <HDQ, por teorema de la bisectriz

En el PRSC

Es decir (0-2.

Demostracion
Como AB:
> AP=CQ (porteorema 1)
Como AC=BC

H (porteorema 1)
o

+ A

AP=B)

ir made
En todo widngul equ a
ade un ponte efor a ta

tancias de un punto intro aes Us En
iguala la longitud de cualquiera deb

pes puto
Si AABC es equiltero Y
gión interior
> BH=PE=PF+PD

cir (rue)
Es dec (n=u*ote)

Demostración

Por P trazamos MN//AC, entonces AMBN es
equiltero.
Encl AMBN, por el teorema2
BR-a+c
Enel PRHE
PF-RH=b
Enf
BH=a+csb

heasbsc

3» TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLE
Son aquellos triángulos rectángulos donde a
Par de la razón de sus lados (al menos dos)
se pueden calcular las medidas de sus ángulos
agudos y viceversa,

GULOS
Cros

En un triángulo equitatero, a trazar la altura se
forman dos triángulos rectángulos de 30° y 60.

mn

Beate
Ito opuesto a 30° es la mitad de la hi
an a tad de la hipo-

Enel cuadrado, al trazar la diage
«el riángulo notable de 45° 45°

onal se forma

I 4

Sus catetos son de igual longitud,

Formaremos el triángulo rectángulo de 15° y
75° con los triángulos rectángulos notables an-

Colorario
En este triángulo, la relación mas significativa
para nuestro curso es la relación entre la altura,
yla hipotenusa, que es de 14,

Demostración

SABC US y 75), sea AC = Ab.
Trazamos BM (mediana relativa alahipotenusa)
> AM=BM=CH=2
EIABHM es notable de 30° y 60°

Bab

En

LES APROXIMADOS
Son aquellos triángulos rectángulos cuyas med
das de sus ángulos agudos son aproximaciones.

Veamos las más frecuentes.

PSS.

Como se puede apreciar las medidas de los
“ángulos agudos no son exactos, pero por a re

Jación conocida de sus lados (3; 4 y 5) la apro-
ximaremos a 37 y 53°

Notamos que larazón entre sus catetos de 1 3,

148

Notamos que la razón entre sus caros es de
1a2

Aplicación 12 pice
En un triángulo
30° y BC="

aoc, me
Calcule

Resolución
Gr

Ar CRITERIOS PARA LA CONSTRUCCIÓN
ficamos, DE TRIÁNGULOS

s

el siguiente triángulo:
EINBHC es notable de 30° y 60%
> BH=8

EINAHB es notable de 45" y 45.

Construimos el triángulo equilátero ADC.

Aplicación 13

SiBC=10, calcule AC. 2
Resolución
Enel gráfico
2 Al tazar BD, obtenemos los triángulos con:
gruentes ABC y ABD; por tanto, BC=BD.

FISBOC es notable de 37° y 53.

> Dai =
Dak ==
ENMAD( # =
SADC es notable de 30° y 60 AS
6

10

Resolucién
Construimos el wiénguo equi pp

>

Método 2
Sea el siguiente triángulo.

Al trazar ED, obtenemos que AE=£D=

Al trazar AO, obtenemos el circuncentro O del
‚ABC; por tanto, AO a.

Aplicación 14

Caleule x.
Aplicación 15
Calcule a

ñ
Fe

A Sr ra

y

150

Resolución .

La primera forma consiste en trazar la ce.
Construimos el triángulo equilátero BOC.

viana interior BD, tal que m-<ADB=29; ob-
A tenemos que AB=BD=DC=a,

Rn
ao

Altrazar O, obtenemos el cireuncentro O del — * La Segunda forma consiste en trazar la ce
ABC, entonces AO=a, Viana exterior BE, tal que m-<BEA=0; obte:
memos que BE=BC=b y EA

Método
Sea el sigui

Enel AAOC, OP LAC.

nte triángulo:

BPC (caso LLL)

A
real Pr;

GBC es euer /
+ test Ah

ana

+ La primera forma consiste en trazar ce-
viana exterior BD, tal que m<ADB=90°-0;
obtenemos que BC=BD=b y AB=AD =a,

42. FORHANDO TRIÁNGULOS CONGRUEN.
TES COW LA CONSTRUCCIÓN DE TRIÁN
GULOS IsÓSCELE

Método 1 :
Sea el siguiente triángulo:

+ La segunda forma consiste en trazar la
“cena exterior BE, tal que m=CEB=20;

obtenemos que AB=BE=EC=a.

Ps
i FS
fos

Aplicación 18
SiAB=DC, calcule.

Resolución
Trazamos la ceviana exterior BE, tal que
m«BEA=20, entonces CB=BE=by BA=AE =a.

Aplicación 17 |

Resolución

*Trazamos la ceviana interior BE, ta ue

m<BED=80*, entonces BE=BD=by ABE

De AE, podemos deducir que AD=FC=+

De lo anterior obtenemos el guientes

¡ANDO TRIÁNGULOS CONGRU Resolución

Construimos el triángulo AEB, que es el simé.
{co del triángulo APB.

49.F01
TES UTILIZAND

Sea elsiguiente triángulo:

CConstruimes el ángulo ADB, que es el simé
rico del triángulo ACB,

FI A FAC es equiláter.

» CE=a

EISAEC es notable de 45° y 45.

> masCA=m<EA

Del grafico
Dee
@=10s

N LA MEDIANA O LA MEDI

Aplicación 18
SiBC=BP, calcule 0. Metodo 1

Sea el siguiente triángulo:

Al trazar AP, obtenemos tos y

tángulos congruentes AMP y €
m <CAP=m «ACP= a

pos re
PO ato,

Al trazar GP, obtenemos los triángulos con

gruentes AMB y CMP; por tanto, AB=CP. Pen

SiBC=2(BM) y AM

Resolución
Prolongamos BM hasta el pu
BM=MD=b.

ato D, ur
Método 2
Sea el siguiente triángulo:

com (caso LAU

come?

ABM

> m<ABM=m<'

pelo anterior, se obtiene el siguiente gráfico:

El ADBC es isosceles
> Se=180"
=

Aplicación 20
MC, calcule x

Resolución
‘Trazamos la mediatiz de AC.

Obienemos que

™<PACom-<PCA=10°
FAPH am & CPM=80

Observamos que el C5ABPM es inseriptibe,
10"

‘cumple que a=b.

Se cumple que a=b.

155

Ali
Caleule x:

A D
ELAABD esisösceles.
1 xed

Aplicación 22
SiAD=BC, calcule x.

Resolución

Prolongames ED hasta el punto E, tal que

m«ECO=18"

Enel ABCE, CE=BD=b.

AADB = ABCE (caso LAL)
218"

4.6. TEOREMAS EN CUADRILÁTEROS no

CONVEXOS E

Teorema 1

B

a Vay

‘sea ABCD un cuadrilátero no como.

SIAB=BC=AD y m«BAD=2(m<BCD),
entonces
207-8

Teorema 2

Sea ABCD un cuadrilátero n° come
SIAB=BC=AD y me BAD m

entonces

Aplicación 23
siAB=AD=DC, calcule a. Considere que elán-
ul ABC es agudo.

Resolución

Tazamos AB, ta que m-<BEA

Aplicación 24
Si BC=CD, calcule f.

EN
N
—»

a
a

Resolución:
Construimos el AAEC, tal que sea simétrico
del AADC,

Deo anterior, se obtiene el siguiente gráfico;

Enel A4ECD
M<AEC-120 a
Enel

AEC
12046180
a

De lo anterior, se obtiene el siguiente gráfico:

Bn el AABCE
m«ABC=120'-2p

Enel ABC
12048180"
pus

197

0 do ellos una delas sn
est cissñado para oni
crementando su vend

Con s funcionando a pleno rendimiento, estas pueden proveer a conjuro ee

el 11 y el 15% de la energía que demanda, lo cual equivale a 1100-1300 megavatios po" do.
costes que suponía implementar. nologia a los edificios. En el caso del Lage
‘son más que una pequeña variación de las heil a ‚das en los parques eólicos yo

tanto el presupuesto que se dedicó ala investigación clentica fue mínima. sai

En el Peri, hay proyectos que impulsan por una energía limpia y verde MONEE ey,

la fuerza de los vientos del sur, en Nasca, como el parque eólico ubicado ef

¿nt

Adaptado de chips wikianeutecrra comedie ve

Problemas resueltos

Problema 1 Problema 2

En el gráfico, las regiones sombreadas son
congruentes y AB//CD. Calcule x

En el gráfico, las regiones sombreadas son
congruentes. Calcule x

Como ABI, por ángulos alternos intemos
blenemos que m <ABC=m «BC!

D Beeuerd

ángulos congruentes, a ángulos de

jal medida sete open lads de a Sabemos que ABC =

- > AC=EC=a À m -<BAC=m aDEC=x

Como A ARE « ABCD En el SABC
> ABSED=m x+30427=90°
FLAAED es isósceles, zn

ape x=20"

159

Problema 3
En el gráfico, AB=DE, AC
m <DGE=42" Caleule x.

co

Problema 4

Enelgráfico, A

Calcule

Resolución
Enclgráfico

Sabemos que AB=DE:
> AC=b+e

Ubicamos el punto én AG, tal que AP=D
or

ABAP=ADEC (caso LAL)

> BP=CD=e À mart

ELABPC es isósceles
> serra

ar

160

En el gráfico

Sabemos que AB=DE=a
EIAACD es isósceles.

> AC=CD-b

A BCA = AEDC (caso LAL)
m x BCA=m <6CD=20

des
En el ABC, aplicamos suma 4

a+ 150°=180°

lo

Resolución

Problema 5 Graficamos.

En grfico, BP=CQ y AP=BO. Calcule.

Resolución
Enclgráico

Piden a+ß,

A ABC = ACED (caso LLL)
EN > m-<BAC=m «CD =0
dot Dx En el vértice €

m<ACB=f-0

Sabemos que BP=CQ=ay AP=8Q-5. En el A ABC, por suma de ángulos interiores

El ABC es isósceles, arre =180°

> ABeBC=e CA
ABQCEAAPE (caso LLL)
> M&BQCam <APB=126" peer
Enel gráfico, PB=2(B0) y HRC)=5(SC).

Enélvérice Q Caleute x

4126" 180°

ast
Problema 6

'ángulo ABC se ubican los puntos Ey D

‘en la región exterior relativa a BC, res-
mente. Si 48. A

"3 calcule m <48C+m <ACD.

eBoy,
ect

161

EIS.PQB es notable de 30° y 60
> m<PBQ=60"
EINRSC es notable de 37° y 53°.

> m-<RCS=53°
ABC, por suma de ángulos interiores
GD 3180"
vor
Problema 8

Enel gráfico, el ABC es equiláero, BP=4 y
CQ=2. Calcule AQ.

/\

Resolución
Enel grtico

162

Sabemos que el ABC es ql,
EIISBPO es notable de 30"
> BQ=8 à PQ=NS
Enel AABC
AB=8C=10
> ap=6

50

En elS.APO aplicamos teorema de Pipa
aa

Problema 9

En el interior del triángulo ABC se oe
ca el punto P. Si AP=BC, meAPR y
m «PAC=m «PBC, calcule m-<PAC.

Piden.
Por dato

+ AP=BC=0
> mapscem epBC-m erh"?

A
Trazamos a ceviana FO lee m

AAPQ= ABCP (caso ALA)
> PQ=0
EL A CPQ es isosceles.
> mapcg=m «PO
En el >APBC
B+3B4B=100°
5p=100"
peo

problema 10
fn un triángulo ABC, se trazan las alturas
9 BAL tal que se inersecan en el punto P.

AP

ABH =45, calcule AP,

seau BC
Resolución
rficamos.

Piden 22 =
Bey

EILAHB es notable de 45%
> AH=BH=a

Delgráfico

AHP 2 BHC (caso ALA)

> ey

E

Problema 11

Eun tr 25,
un ulánguloIsósceles ABC, de base AB, se
ABE E Punio D en la región exterior relativa

Sim-<aBp=90° =DC,
ne 90° y AB=BD=DC, calcule

Resolución

Graficamos,

Piden s.
Por dato

+ AB=BD=DC=a

+ AABCes isésceles de lados iguales a 2,

En el ABDC se traza DA 1 BC

> BH=HC=b

Enel AABC se traza AP LBC

SAPB 2 DHB (caso ALA)

> AP-BH=b

ELISAPC es notable de 30°y 60°
230"

Problema 12
AD
En el gráfico, calcule 22.

169

Piden x.
Por dato

5(AE) =4(ED)
> AE=4b A ED=

{En el « CBA aplicamos teorema delabieaiy
> RE=AE=4b

WG
at
5 Br Ne En el BCD, también por teorema de abi,
Ÿ > N RE=EF=4b
| EILEFD es notable de 37° y 53,

a 58

Problema 14
En el gráfico, BE=EC. Caleule x.

y maCAD=:
80%
a

Enelgráfico, maBAC=80"
Se traza CE, tal que m «AKC
> meBCE=30” à ACH

ABEC = ADCA (caso ALA)
> 19)
sha
y
Problema 13
Enclgráfco, (AE) =4(ED). Calcule x Resolución
Enelgráfico

|
bY
A E
solución D
‘En el grâflco a
iden
ae ee
RT > Be
a/ X ‘como FE LEC y BE=EC
Ye 10 > BF=FC=5
AE N EIS Cor es notable 0375
= = xed

10%

problema 15 Problema 16

enclgdio,Z esmedaiz de AC Mes punto Enel feo, BC=PC. Calcule x
tno de BD yAB=8.Caleule CO.

Resolución

elgráfico

ea xla medida de CD.

Sabemos que BM=MC=m yes Bes medianiz — Piden.
deit. Sabemos que BC=PC=2a.

Tiazamos BE 1 AD.
EISAHB es notable de 30° y 60°
or a eden construire

Enel. BHD aplicamos teorema de los puntos 4

medios.

Como el ACAQ es isósceles, prolongamos la
bisectriz AP hasta H, entonces AH es altura y
mediana ala vez.

EIS PHC es notable de 30° y 60
2 m «CPH=30"
En el AAPC, por ángulo exterior, obtenemos
16-30"
Par

Problema 17

En un triángulo ABC, se traza la cevia-
na BD, tal que m«CBD-90 Si AB=8 y
m=BAC=2m-+ACA, calcule CD.

Resolución
Graficamos.

Piden x.
En el LCBD trazamos la mediana BM relativa
ala hipotenusa.

> DM=BM=CM=3

2

El ABMC es isósceles
> m-<MBC=m-<MCB=0

El AABM es isósceles
> BM=BA
qe

16

Problema 18

En un triángulo ABC, recto en B, se traza la
ceviana interior BD. Si AC=4, m<ACB=36" y
m<ABD=18', calcule BD.

166

SN

Resolución
Graficamos.

Piden x
Enel SABC
m <BAC=54"

En el SABC se traza la mediana BM rains
la hipotenusa.

El ABC es isésceles.
> m<MBC=m <MCB=35"

El A DBM es isosceles.
+ BD=BM
x-2

Problema 19

puc
En el gráfico, PB=BOYAB=® GX à

Resolución
Enelgráfico

Piden x
Sabemos que AB=8 y PB=B
El APDO es isósceles y PB=BQ
» DELPO

nel \.CBD se traza la meciana BI relativa a
lahipotenusa,

TS
CH Bu 3

E

IMC es isosceles,
> m<MBC=m <MCB=0

El AABM es isósceles.
> EM=B4

x16

Problema 20

Resolución
Enel gráfico

Piden x

FLSCOM es notable de 3
> MC=10

ELAABC es isósceles

AH =H

ELISAPM es notable de 37%
0-12

Problema 21

El gráfico muestra el tramo final de una carre
ra. Un corredor observa al oficial de la carre
ra sosteniendo la bandera a cuadros con un
ángulo de elevación de 16% y el otro, con un
ángulo de 53", Calcule la altura en que se en.
‘cuentra el oficial dela carrera.

Resolución
Enel gráfico

167

Pidenh.
Sea CO=28b

EINBDC es notable di
> BD=21b

vs

EINADC es notable de 16° y 74°.

Luego

h=28b+08

(2)
aft

h=36m

Problema 22

Al estudiante que obtenga el primer puesto en
la XV Olimpiada Nacional Escolar de Mater:

ca se le otorgará un galarde

as dimen
sones se indican en el gráfico, Calcule a

Resolución
Enel grafico

gallardete que nos muestra el gráfico sin

triángulo isósceles (AB=BC),

‘Trazamos la altura BH, que es alavez mens
y isectriz

> au=nc=

à ABH=em<HBC =

Del grafico

Problema 23

Jean y Camila juegan en un sube y ba
situa es de 80 em. Indique.

qué altura se en-
cuentra Camila en el instante en que Jean toca
lps.

Resolución
Enelgráfico

ey baja es que el punto O
spunto medio de AB.

FnelA.ACB, por base media, obtenemos que
a
2

‘h=160 em

Problema 24

Calcule AC.

El SABC es notable de 45.

sen

Problema 25

El gráfico muestra los brazos idénticos de dos
grúas sosteniendo un bus. Calcule la longitud ¢
de dicho bus en el instante mostrado.

TG
f
13

169

Resolucién
Enel grafico

Piden: €
Sabemos que los brazos de las grúas son idén-
ticas, entonces AE=DC=a

‘SABE 2 DBC (caso ALA)

Del gráfico
ts.
(=7m

Problema 26

En un triángulo ABC, se ubica el punto N
en la prolongación de AC, tal que CN=AB y
m<BAC=80" Silas mediatrices de BC y AN se
intersecan en P, calcule m CNP.

Resolución
Grafcamos,

P= le

Piden x.
Por teorema de la medatıiz

+ APSPN=m A m<PAN=m-<Phng
+ BP=PC=n

AABP = ANCP (caso LLL)
> maBAP=m«CNP=x

En el ángulo BAC

Problema 27
Las dimensiones de la parte frontal de untus
son 3 m y 4 m; además, a es la medida de
ángulo de inclinación que debe soporarelbes
para mantenerse en equilibrio, Calcul a:

Resolución
Enel gráfico

FIL ABO es notable de 37° y 59°.
> meAOB=53°

En el<AOC aplicamos suma de medidas an-
gukres.

sg"
ante

Problema 28

in el gráfico, ML=AM+LD, AB By

BC=/3, Calcule_la_medida del ángulo
determinado por AB y €.

Resolución
Grafcamos el enunciado,

Pen x

Sf ubicames un punto Stal que
‘Sea + SM=b
Come

ADS yoL=1s
ECO x m<CD=m «CSD:
Como BAS y Ay

> 0

a SBA: M<BSA=m «BA!
En AUS secu
> MeCSBgge

le el teorema de Pitágoras

En el punto S, 40-90"
En el ADI

Por suma ángulos interiores.

xr aro= tar

Problen

El gráfico muestra las medidas de un toldo,
Calcule la altra .

'esolución
Enel gráfico

Piden h,

EI AABC es isésceles
> ma BAC=m<ACB=30

m

Se traza BH 1 AC.
EINAHB es notable de 30° y 60"
> BH=T5em
Luego
h=200+75
h=275 em

Problema 30

En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD.
Si maACB=4m<ABD, m<BAC=7m-<DBA y
BD=AC, calcule m-<DBA.

Resolución
Pidenx

D Observación

{ BD=DE |

EB-cH
Mer.

m

‘Trazamos la ceviana exterior
que m-<BED=4x

> DB:
BESBC:

del Aw

Analizamos el segmento EC.
> EA

=

SBCD (caso LAL)
> maEBA=m-<Cel

En el ABDC, Sx+3x+4x=180

Un puente tiene la propiedad de que se
mediauiz de AB , CD y EF, respectivamente 1
cable que une los puntos M y D se rompió
CD=16, calcule la longitud de MO.

=

2

Rosoluelön
Enel grafico

Sea rla medida de MD.

Como 7 es mediatiz de

> meEMNam«FMN«20°

Como 7 es mediatiz de CD
> meCMN=mM<DMN=45" à O

EIA MND es notable de 45°.

A
|

x

Problema 32

En la cima del cerro San Cristóbal se colocó
una cruz, Desde un punto A, Situado en el sue.
lo, se observa el pie P de la cruz con un ángulo
de 53° y el extremo superior S de la cruz con
‘un éngulo de 60%, SIAB=12 m, calcule la altura
delacruz

Resolución
Elaboramos el gráfico

|

Piden
EINS PBA es notable de 37° y 59.
> PB=I6

FIASBA es notable de
> SB 128

yon.

En BS se obtiene

nat -16

h=4(3/3-4) m

Problema 33

Un juego de plantilas está conformado por
una escuadra y un cartabön, donde la hipo-
tenusa de la escuadra y el catelo mayor del
cartabôn son congruentes. Silas plantilas son.
úolocadas como el gráfico, calcule x

—— M

en |
es AZ
>@
e > pl
á AS EN]
í
en
en iii

»
> Observación a 5
La escuadra está formada por el triángulo

rectángulo no!

ble de 45" 5

El cartabôn está formado por et riángulo
rectángulo notable de 30°y 60 eth
$

Piden a-b +c.
isésceles. Como los tres triángulos son congruentes er.
tonces los ángulos de uno de ellos seri

ENE uno a uno en los demás triángulos.
Como ABC = SPOR
AB=PQ > a=5

Como AC=CE y BC L AE, entonces AABE es

Como ALMN = 2ABC
MN=BC > b=T

Problema 34

En el grafico se muestra el croquis de un par- Luego

que. ios bancos son ls vérices de wiängu #-D+6=5-7*6
los congruentes, calcule a~b+-c, 2 a-b+c=4

174

Enel griico, AB=CD y m-<AEB:
Calcule x

A 1
B) 20°
om
DES
D 2

En un pliego de cartulina se hacen trazos
interiores que forman dos piezas con
gruentes. Halle el valor de x

En el grâfico,
AB=PC, Caleule x

a) 36
DES
©) 66
D) 76 4
CES

En un triángulo ABC, recto en B, se ubican
lospuntos MV en Cy en la prolongación
de CB, respectivamente. Si AM=MC=BN y
M<MNC=28>, calcule m=ACB.

»
LAVES

10 28

3

A) se
D) 26°

ES

Dw

En el gráfico mostrado, AB= 10, E
AE=EF, Calcule DF.

DE er
B)3
O4 a

D 5 e
6 et

En el gráfico, B

Calcule AC.

ae
8) 2

CFA
D) NE
DE ur

En un triángulo ABC, se traza la altura BF.

SI m«BAC=2m=BCA,
calcule HC.

aa DE os
D7 De

En el gráfico, calcule BC si AB=3 y DB=BE.

a
B)
9
D)

6
8
9

DE

Problemas propuestos

Nivel básico

Indique la secuencia correcta de verdade-
ro (V) o falso (F) respecto las proposicio-

1 1

à ww
D) Few

B) WFC) WV

D FvFV

Enel gráfico, las regiones sombreadas son
congruentes, Calcule x.

A 100
D 120

aw ous
Du
m

En el triángulo ABC, en AC y Be

can los pos My Ne
Si AB-MC meABMmeen
ow me q
= a”

En el gráfico, AB=CP, BP=CD y yi,
Calcule $.

ox

a) 16 ER

DES

em
En un triángulo ABC, recto en À # Mn

la ceviana interior BD. Si mai

car mecano
eue.
on, we 45
Da

Mi
Ln un ing pc, eco À er

la mediatriz de AC, que inte pl.
cl punto N.SIAN=13Y8N=S

4 10 pu
DES

ado un viángulo ABC, se traza la me
ra AU y la altra BR. Si BC=2CAH) y
menAC=20, calcule m-<CBEL

DES
DE
DES
D 50
D oo

Egrfico muestra un bol de 21,5 my otro
de 16,7 mde altura. En la parte más alta de
cada árbol se encuentra una paloma, Am:

bas palomas salen a comer los residuos
de una fruta seca dejados por una ardilla
y llegan a un mismo punto ubicado ent

los árboles. Si as líneas que describen sus.
vuelos son perpendiculares entre sí y tie:
enla misma longitud, ¿cuál esla distancia
entre las bases de los árboles?

A

922m 8)22m © 306m
D 328m E) 382m

La posición más adecuada de ubicar el
monitor de una computadora es a la altu-
Ad los ojos y perpendicular a estos, al
sang esa en el gráfico. Sila medi
ll ángulo de observación hacia el mo-
150 de 30" y el ancho del monitor es de
3% em, calcule a qué distancia (a) de los
¿los está ubicado el monitor

À) 54cm
8) 616em
O) 66cm
D) 70 em

Sem

El portero Luis se encuentra en un punto
P, que equidista de las líneas de tiro AB y
AC que tiene Jorge hacia la portería. Cal-
cule a.

as
DET
am
D) 32"
D or

17

1.

18.

Pablo está sobre la escalera pintando la
pared y Andrea está sosteniendo ota es-
calera idéntica ala anterior, A partir de los
datos de los gráficos, calcule ab,

A) 150em B) 220cm ©) 225cm
D) 230em E) 25cm

Nivel Intermedio

En un triángulo ABC se taza la altura y la
‘ceviana interior BH y AD, respectivamen-
te, las cuales se intersecan en el punto P.
Si AB=PC y m<DAC-mACD, calcule
m=ADC.

2 oo D 0
D) 80

CE
5) 90°

En un triángulo equilátero ABC, se ubi-
can los puntos N y M en BC y AB, respec.
tivamente, tal que me NAB=m «CA, Si

7. En el gréfico, AB

A) 6 Bs

or
De
: D 0

Enel ico, BBC 208 Cua y

A6
BT
os
»9
5

A
PA
/
/
as DE) os
D 6 CE

En el gráfico, AB=4 y Bi

at
B) 2
CE
D) 4
D6

2. Calle CD.

a He
N
ren

$

18. Enelgráfico, AD=CD+CB, Calcule x.

“A

4) 66° Bm

D 16

om
E) 80"

1%. En un wid

¡gulo ABC se ubica el punto @
y el punto medio P sobre AB y BC, res.

pectivamente. Si ABa2(4C), AC=2(B0) y
MAAQP=55 calcule m «BAC

DE Bo or
Dar E) 100°

22 En el aco, Ay 7 son meditices de
ABy CD, respectvament, SiAP=3, BC=5
¥PD=4,calcule x+y.

aw DE © 30
Dar De
4. Let medidas de un carpa para campamen-

© Cn indicadas enel gráfico 1. Luego de

(rar la carpa tal como se muestra en el
aco 2, caleule g.

DES
D) 53

DEU ©) 45°

E) 60°

Sobre la mesa se derramaron unos granos.
de azúcar en el punto M. Dos hormigas.
Ubicadas en los puntos A y B parten en lí
nea recta hasta los granos de azúcar, Si ie
nen la misma velocidad y llegan al mismo
tiempo, ¿qué distancia recorre cada una.
de ellas?

DET
B) Hem
© Mem

E) em

En una hoja de papel está el dibujo de la Pa

+ : ge En el grafico, BM

tun dobez en tomo 8, los :
ee Calcule CD.

16, Sise realiza MC y MPa,
puntos B y D coincidirán. Calcule el máxi

mo valor entero de AC:

| IN
[Ab À a 1 92 CE
= Da Ds
En el gráfico, M y N son puntos md
QT DE) os de AB y mente. S/AD=80,
Ds ESO calcule.

juego de planils está conformado por
una escuadra y un cartabén, donde la hipo-
tenusa de a escuadra y el cateto mayor del

cartabén son congruentes. Si las plantillas

son colocadas tal como se muestra en el
gráfico, calcule x

a 10 LE à
D) 40° A

En el gráfico, AB=CO. Calcule

ns Be om a 30
D) save DEN

| Poligonos

Luis Alberto Francia Ruiz

CapfTuLO V

POLÍGONOS

objetivos
+ Conocera los polígonos planos, indicando sus elementos
+ Comprendtr adecuadamente los teoremas de los polígonos.

+ Relacionar los diferentes tipos de poligon

Introducción
Eihombre, en el transcurso de su desarollo, ha buscado delimitarlos terenos donde habita o tra-
baja para el recurre al uso de líneas cerradas que suelen presentar partes retlineas, curilineas
mixlineas (principalmente formas rectangulares, cuadradas, hexagonales, ei), de este modo
ts que estudió las formas poligonales, cuyas propiedades son necesarias conocer.

La historia de la matemática hace referencia el uso frecuente de los polígonos. Desde ls tiempos
de Eucldes (300 an, e) se conocian construcciones geomévicas con regla y compás para poígo
mos regulares de 3,4, 5y 15 lados y los que de estos se deducen. Notables geómetas se dedicaron
“durante bastante tiempo a este tema de las construcciones, Arquímedes (287-212 an.) usando
«e método exhaustivo legó hasta el polígono regular de 96 lados con circunferencias inscrits y
«rcunsertas, para aproximar el valor del número (pi), buscando la mayor aproximación posible,
Los poligonos están presentes en nuestra vida diaria. En la naturaleza se observan formas poligona-
les porejemplo, un panal de abejas está formado por celdas hexagonales y con esta foima logran
obtener una mayor cantidad de miel y una mayor resistencia de sus celdas

Los polígonos también están presentes formando parte de diversos diseños arquitectónicos que
dan origen alos poliedros (edificios) en diseños mecánicos que dan forma desde las piezas mecá:
leas más sencilla hast las maquinarias pesadas y también en los megaproyectos.

polígono más sencillo es el triángulo (lo podemos observar en las pirámides de Egipto), pero
los más usados son los cuadilátero y en especial los cuadrados y los rectángulos por ejemplo,
las mesas, los libros, los cuadernos, etc. También hay construcciones pentagonales, hexagonales,
ctogonales, etc.

Podemos ver así que el estudio de los polígonos es de gran importancia ya que nos ayudará a
entender y explica, con el apoyo e integración de otra ciencias, lo que encontramos en nuestro
enorme yla manera de emplear sus propiedades para resolver nuestras necesidades.

1

Sean Py, Pa Pa =
„PP P;Pıse forma una linea cerrada, la cual recibe el nombre de poligono, "73

4» DEFINICIÓN
„Pr. Pa puntos distintos en un plano con n>2. Al unis segmentos

Dicho polígono tiene las siguientes propiedades:

+ Dos segmentos con un punto común no deben estar en línea recta,
+ Dos segmentos cualesquiera solo pueden inte
+ En cada extremo común concurren solamente dos segmentos,

1.1.ELEMENTOS

+ Los puntos Py, Pay» Py Se denominan vértices del polígono.

+ Los segmentos PP, Pa... Pr Pa PP se denominan lados del polígono.

Dos lados del polígono con un vértice común forman un par angular y determinan un ángulo
que se denomina ángulo interno del polígono.

El segmento que une dos vértices que no son extremos de un lado se denomina diagonal dl
polígono.

La intersección de los interiores de los ángulos de un polígono recibe el nombre de mer
región interior del polígono. Los puntos del plano al cual pertenece el polígono (que nope:
necen al polígono ni a su interior) constituyen el exterior del polígono.

‘Todo polígono es una línea continua cerrada.

ne]
TER,

Notación:
Poligono PPP Pez Pre

Enel grfico
= Pi Ps Pyson vertices
OS
PP PP: PP wt PPO

jrs
“cP Pap son pases 8

son diagonales.

2» CLASES DE POLÍGONOS

2.1.POLÍGONO CONVEKO

Es aquel polígono cuya región interior es un conjunto convexo,

2.2. POLÍGONO NO CONVEXO (CÓNCAVO)
Es aquel polígono cuya región interior es un conjunto no convexo,

E

Conjumo no convex

2.3. POLÍGONO EQUILATERO
Es aquel polígono cuyos lados tienen la misma longitud,

(cone)

Poligono Equlioro conven Poligono equlter cone PR)

De anteriores er cor”
los gros anteriores podemos concuir que un poligono equiatero puede
convexo.

aULo

24.POLÍGONO EQUIÁN
Es aquel polígono cuyos pare

“angulares son de igual medida

# PQ
U

1 grafico muestra un polígono cuyos pares angulares tienen igual medida, por lo que a dicho po
ligono se le denomina equlängulo. También podemos concluir que todo polígono equiángulo es

POLÍGONO REGULA

Esaquel poligono que es equiláteo y equiángulo ala vez

rina octógono regul

En rá observamos un poligono cuyos ados son de igual ont (euere) y sus res
Pecvos pre angles son de igual media equléngul) ese poligono se le distingue como

m
o polgono regula se puede inst en una eue
Concéntricas, a =

ncia yeireunserbir a of
+s decir, ienen el mismo centro, el cual es el centro de d

siendo estas.
ho polígono regular.

187

Se denomina ángulo central de un polígono regularal ángulo cuyo vénice es el centro de
regular y cuyos lados contienen a dos vértices consecutivos de dicho polígono, Pong

races © pos

3» NOMBRE DE ALGUNOS POLÍGONOS
Ciertos polígonos, según el número de lados, reciben un nombre en particular.

Hombro

ene
nonägano O.
ee |
steers

en |

A er
ee

Sn rs une
poset
‘os ams plus sees menciona pr su nim de aos por ii A

17 lados, polígono de 29 lados, ce.

dp TEOREMAS EN LOS POLÍGONOS

Teorema
Entodo polígono, el número de vértices es igual al número de lados e igual al número de ángulos
internos. Por ejemplo, si un polígono tiene seis lados, entonces tiene seis vértices y seis ángulos

Teorema 2
Entodo polígono, el número de diagonales trazadas desde un véntice (N. Dis) es igual al número
de ados disminuido en tes,

donde
- mesel nûmero de lados del polígono.

Ejemplos

1. Enun polígono de cuatro lados se procedería de la siguiente manera:

NOD y=l=4-32n-3
(rn: número de lados)

2. Enun polígono de cinco lados se procedería de la siguiente manera:

-3=n-3 (n: número de lados)

169

3. Enum)
dela siguiente manera!

polígono de seis lados se procedería

Ne Dy=1=6-3=n-3
ero de lados)

A parti de lo anterior se puede decir que un
vénice puede unirse con todos los demás ver
tices, menos con los dos adyacentes ni consi

go mismo, j
Porno

(wons)
donde

‘mes elnúmero de lados del polígono.

En cada uno de los casos m
= most,

one, ay
los formados us“

mero de lado,

19s decir que, en un po Ms
las diagonales posibles dese
número de ti

(1-2), donde nes

Prod Bde

nin-3)

donde

mes el número de lados.

Demostración _ 5
En el gráfico apreciamos que AD es disomy
que es posible trazara de À a o deD24k
Cual indicaría que al contar las ago #
cuentan dos veces. De esta mat

total de diagonales es la mitad dent

Ejemplos o

1" ara obtener el número de diagonales que
setraza desde uno de los vértices de un oc-
tégono se debe aplicar el teorema 2.

Tene

jamos que N° Diy=8-3; por tanto,
N Dyy=5 di

obtendriamos que jonales,

Se puede comprobar en el gráfico siguiente:

=x

En efecto, en un octógono se trazan cirico
iagonales desde un vérice.

D Recuerde
Enlospoligonos den

Par calcular el número de diagonales que
Vene un heptigono se debe aplicar el teore:
ma 3, de la siguiente manera!

Aplicación 1
En un polígono, desde un vertice, se trazan
nueve diagonales, Calcule su número de lados,

Resolución
Sabemos que N° Di,

Por teorema 2

N° Dy=n-

n=12lados

Aplicacion 2

Un polígono tiene 27 diagonales. Calcule su
número de lados.

Resolución
Sabemos que N° D=27.

Por teorema 3

nin-3)

N°D

Teorema 4
En un polígono de n lados, el número de dia.
gonales que se pueden trazar desde K véni-
ces consecutivos N° Df, está dado por la
siguiente expresión:

CENICED]

para todo Ksn

191

Libro de Geometria Plana by Lumbreras.pdf

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