LIBRO MATEMATICAS 1 2023 (1).pdf

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GUÍA PARA DOCENTES

Imagina, un mundo mejor es posible
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a través de donaciones a Save the Children.
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GUÍA PARA DOCENTES

Imagina es una serie diseñada por el Departamento de
Proyectos Educativos de Macmillan Educación.
Autor: Jesús Manuel Real Bermúdez
Dirección editorial: Tania Carreño King
Gerencia de secundaria: Roberto Fabián Cabral Vargas
Gerencia de arte y diseño: Cynthia Valdespino Sierra
Coordinación editorial: Verónica Velázquez
Edición: Blanca Torres Cano y Macbeth B. Rangel Orduña
Asistencia editorial: Rebeca Luján Alarcón y Uriel Jiménez Herrera
Corrección de estilo: Sergio Gaspar Mosqueda y Érika López Galbraith
Coordinación de diseño: Rafael Tapia
Coordinación de iconografía: Ma. Teresa Leyva Nava
Coordinación de operaciones de diseño: Gabriela Rodríguez, José Ramón Gálvez
Arte y diseño: Cynthia Valdespino, Rafael Tapia
Supervisión de diseño: Mónica López Sánchez
Diagramación: Jesús Antonio Díaz de León Castañeda
Iconografía: INSinister (David Silva)
Diseño de portada: Gustavo Hernández
Ilustración de portada: Pencil Ilustradores, S. L. / Tania Vicedo
Ilustraciones: Genaro Rubio Vera, INSinister (David Silva), Víctor Duarte Alaniz
y Víctor Eduardo Sandoval Ibáñez
Fotografía: Getty Images, © Latinstock México y Shutterstock
Producción: Carlos Olvera, Alma Ramírez
Matemáticas 1. Guía para docentes. Imagina
Primera edición: agosto 2023
D. R. © 2023 Macmillan Educación, S. A. de C. V.
Publicado bajo el sello Ediciones Castillo.
Castillo ® es una marca registrada.
Macmillan Educación forma parte de Macmillan Education.
Insurgentes Sur 1457, piso 25,
Insurgentes Mixcoac, Benito Juárez,
C. P. 03920, Ciudad de México, México
Teléfono: 55 5482 2200
Lada sin costo: 800 536 1777
www.edicionescastillo.com
ISBN: 978-607-8943-71-5
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.
Registro núm. 3993
Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra
por cualquier medio o método o en cualquier forma electrónica o mecánica,
incluso fotocopia o sistema para recuperar información, sin permiso escrito
del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico

Presentación
Estimado docente:
En Ediciones Castillo reconocemos que es indispensable la transformación de las prácti-
cas de enseñanza, para que los alumnos interioricen el conocimiento, desarrollen todas
sus capacidades y puedan enfrentar con éxito los desafíos y oportunidades del siglo xxi.
En este contexto nace Imagina, un proyecto educativo integral compuesto por mate-
riales impresos y digitales, diseñado para acompañar su trabajo docente mediante la
implementación de una metodología flexible que se adapta con facilidad al contexto del
cambio curricular, así como a sus necesidades y a las de su centro escolar.
En la propuesta didáctica de Imagina se pretende que los estudiantes relacionen sus
aprendizajes con experiencias previas, sean capaces de vincularlos con los de otras dis-
ciplinas y contenidos transversales, tengan una participación activa en todo el proceso
y se involucren en la búsqueda de soluciones a temas o problemáticas de interés social
para su comunidad y el mundo.
Esta guía didáctica, elaborada para ayudarle a impartir su curso con el proyecto Imagina,
contiene los siguientes recursos.
•
Dosificación, organizada en trimestres, que le servirá para organizar y planear su
trabajo en el aula a lo largo del ciclo escolar.
• 36 planes de clase semanales, elaborados con base en la carga horaria de cada dis-
ciplina, que incluyen información útil para desarrollar su clase: referentes de aprendi-
zaje, identificación de errores frecuentes relacionados con el aprendizaje por lograr,
orientaciones didácticas semanales, sugerencias para el manejo de los materiales
complementarios impresos y digitales, recomendaciones de otros recursos para apo-
yar sus clases y rúbricas de evaluación.
•
Reproducción completa del libro del alumno, junto con el solucionario de todas las
actividades.
Gracias por aceptar nuestra invitación a imaginar y a construir un mundo mejor por
medio de la educación.??kk?Uk??:k??????k?Hq?^?UU?`/???l`H?MqM Mq?M

Entorno digital para estudiantes y
docentes, con innovadores recursos
multimedia, actividades interactivas,
evaluaciones en línea y herramientas
para la gestión académica del grupo.
Planes de clase para el docente
con dosificaciones, orientaciones y
sugerencias didácticas para trabajar
con todos los componentes del
proyecto Imagina.
Desarrollo de las habilidades
del siglo xxi: Comunicación,
pensamiento crítico, creatividad
e innovación, cooperación,
investigación y cultura digital.
Proyecto articulado de
preescolar a secundaria
diseñado bajo una
misma filosofía.
Diversos recursos impresos
y digitales para el docente
para apoyarlo en el codiseño
y planeación didáctica de su
curso escolar.
Proyecto educativo que
responde al contexto
educativo actual
4? Todos los derechos reserv?dos, M?cmill?n Educ?ción, S.qA. de C.q?.

Aprendizaje situado
en contextos reales
y relevantes para los
alumnos.
Materiales impresos y digitales
concebidos de manera integral
con base en una metodología
de uso flexible que favorece
en los estudiantes el desarrollo
de conocimientos, habilidades
y actitudes.
Contenidos alineados a programas de
estudio vigentes, ordenados y graduados
de acuerdo con las distintas fases del
aprendizaje y los estándares de calidad y
excelencia de las instituciones educativas.
Trabajo transversal con el Programa Construimos Futuro.
Educación para el Desarrollo Sostenible y la Ciudadanía
en alianza con la UNESCO para fomentar el respeto a
la diversidad cultural, la equidad de género, la salud
y cuidado de uno mismo, el desarrollo sustentable y la
promoción de valores para una cultura de paz.
Trabajo interdisciplinar
que atiende los
Campos Formativos.
Metodologías de aprendizaje
claras y sistemáticas que
aseguran un aprendizaje
significativo y para la vida
y que, a su vez, incorporan
nuevos enfoques didácticos.
5? Todos los derechos reserv?dos, M?cmill?n Educ?ción, S.qA. de C.q?.

Conoce tu guía��7
Con
Imagina Construimos Futuro
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Do
sificación
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mana 1. Plan de clase
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mana 5. Plan de clase
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mana 6. Plan de clase
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mana 7. Plan de clase
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mana 8. Plan de clase
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mana 9. Plan de clase
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mana 10. Plan de clase
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mana 11. Plan de clase
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mana 12. Plan de clase
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lucionario
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mana 13. Plan de clase
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mana 14. Plan de clase
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mana 15. Plan de clase
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lucionario
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mana 16. Plan de clase
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emana 17. Plan de clase
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emana 18. Plan de clase
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emana 19. Plan de clase
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emana 20. Plan de clase
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emana 21. Plan de clase
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emana 22. Plan de clase
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emana 23. Plan de clase
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emana 24. Plan de clase
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emana 25. Plan de clase
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emana 26. Plan de clase
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emana 27. Plan de clase
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emana 28. Plan de clase
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So
lucionario
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emana 29. Plan de clase
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Solucionario��16 4
Semana 30. Plan de clase��170
S
olucionario
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S
emana 31. Plan de clase
��176
S
olucionario
��178
S
emana 32. Plan de clase
��184
S
olucionario
��186
S
emana 33. Plan de clase
��190
S
olucionario
��194
S
emana 34. Plan de clase
��198
S
olucionario
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Semana 35. Plan de clase��202
S
olucionario
��20 4
Semana 36. Plan de clase��20 8
Solucionario��210
Índice
6??kk?Uk??:k??????k?Hq?^?UU?`/???l`H?MqM Mq?M

Conoce tu guía
Dosificación
Propuesta para planear y
distribuir los aprendizajes
y las lecciones en tres periodos
de evaluación, de acuerdo con
las horas lectivas de la disciplina
.
Plan de clase semanal
Orientaciones didácticas para trabajar de manera integral con todos los recursos impresos y digitales de Imagina e indicadores de evaluación
.
En e
l Plan de clase encontrará lo siguiente: 'k??2???l`M?`??
?^?`? k`?`?k??k?k????kUUk???`???OZPDA) Te m a Leccil` Pági`??UU??kU?U?^`k ???`k??`???????k??3???U?
?`?? M~???`kU^?`k

Me preparo 1 4 -1 5
2
E x tensión de los números
a positivos y negativos y su
orden�
Reconoce la necesidad de los números negativos
a par tir de usar cantidades que tienen al cero
como referencia�
• Números simétricos�
• Valor absoluto�
M Números negativos 1 6 -1 9
• Suma y res ta de enteros �
• Multiplicación y división de enteros �
M Operaciones con núme-
ros enteros
2 0 -2 3
3
Compara y ordena números con signo (enteros ,
fracciones y decimales) en la rec ta numérica y
analiza en qué casos se cumple la propiedad de
densidad�
• Orden en los números enteros , fraccionarios
y decimales positivos y negativos en la rec ta
numérica�
• Propiedad de densidad en los números enteros ,
fraccionarios y decimales�
M Orden y densidad 2 4 -2 7
4
E x tensión del signif icado de las
operaciones�
Reconoce el signif icado de las cuatro operaciones
básicas al operar números con signo�
• Algoritmo para realizar la suma de fracciones �
• Algoritmo para realizar la res ta de fracciones �
M Suma y res ta de
fracciones
2 8 -31
G?:?
V iajar para comer
5
• Algoritmo para multiplicar fracciones�
• Algoritmo para dividir fracciones�
M Multiplicación y división
de fracciones
32-3 5
6
Expresión de fracciones como
decimales y viceversa�
Usa diversas es trategias al conver tir números
fraccionarios a decimales y viceversa�
• Conversión de números fraccionarios a decimales
positivos�
• Conversión de números decimales positivos a
fraccionarios�
M De fraccionarios a deci-
males y viceversa
39-39
G?:?
No dejar a nadie atrás
7
E x tensión del signif icado de las
operaciones�
Reconoce el signif icado de las cuatro operaciones
básicas al operar números con signo�
• Algoritmo para sumar y res tar decimales �
• Algoritmo para multiplicar decimales�
• Algoritmo para dividir decimales�
M Operaciones con
decimales
4 0 -45
G?:?
L a salud es primero Ac tividad interac tiva, video karaoke, infografía animada, videotutorial, aprendeclic , juego, trivia, ,
audios de comprensión, galerías de im?genes, cómics animados.
Semana Contenido Proceso de desarrollo de aprendizaje ( PDA) Te m a Lección Páginas del libro del alumno Cuaderno de evidencias Recursos digitales
Unidad 1 . Operando el mundo
1
Me preparo 1 4 -1 5
2
E x tensión de los n?meros
a positivos y negativos y su
orden.
Reconoce la necesidad de los n?meros negativos
a par tir de usar cantidades que tienen al cero
como referencia.
? N?meros sim?tricos.
? Valor absoluto.
1. N?meros negativos 1 6 -1 9
? Suma y res ta de enteros .
? Multiplicación y división de enteros .
2. Operaciones con n?me-
ros enteros
2 0 -2 3
3
Compara y ordena n?meros con signo (enteros ,
fracciones y decimales) en la rec ta num?rica y
analiza en qu? casos se cumple la propiedad de
densidad.
? Orden en los n?meros enteros , fraccionarios
y decimales positivos y negativos en la rec ta
num?rica.
? Propiedad de densidad en los n?meros enteros ,
fraccionarios y decimales.
3. Orden y densidad 2 4 -2 7
4
E x tensión del signif icado de las
operaciones.
Reconoce el signif icado de las cuatro operaciones
b?sicas al operar n?meros con signo.
? Algoritmo para realizar la suma de fracciones .
? Algoritmo para realizar la res ta de fracciones .
4. Suma y res ta de
fracciones
2 8 -31
Ficha 1
V iajar para comer
5
? Algoritmo para multiplicar fracciones.
? Algoritmo para dividir fracciones.
5. Multiplicación y división
de fracciones
32-3 5
6
Expresión de fracciones como
decimales y viceversa.
Usa diversas es trategias al conver tir n?meros
fraccionarios a decimales y viceversa.
? Conversión de n?meros fraccionarios a decimales
positivos.
? Conversión de n?meros decimales positivos a
fraccionarios.
6. De fraccionarios a deci-
males y viceversa
39-39
Ficha 2
No dejar a nadie atr?s
7
E x tensión del signif icado de las
operaciones.
Reconoce el signif icado de las cuatro operaciones
b?sicas al operar n?meros con signo.
? Algoritmo para sumar y res tar decimales .
? Algoritmo para multiplicar decimales.
? Algoritmo para dividir decimales.
7. Operaciones con
decimales
4 0 -45
Ficha 3
L a salud es primero
8
Operaciones inversas en las operaciones
aritm?ticas b?sicas.
8. Operaciones inversas 4 6 - 47
Identif ica y aplica la jerarquía de operaciones y
símbolos de agrupación al realizar c?lculos.
? Símbolos de agrupación en operaciones
aritm?ticas.
? Reglas de jerarquía de operaciones aritm?ticas .
9. Jerarquía de
operaciones
4 8 - 51
Ficha 4
Educación de calidad
9
Rec tas y ?ngulos.
E xplora las f iguras b?sicas como rec tas y ?ngulos
y su notación.
Def inición y nomenclatura de líneas rec tas .
Nomenclatura y clasificación de los ?ngulos.
10. Elementos b?sicos de
geometría
52- 5 5
Encuentra y calcula los ?ngulos que se forman al
intersecar dos segmentos.
Identificación y c?lculo de ?ngulos que se forman
en rec tas que se intersecan.
11 . Rec tas que se
intersecan
56 -57
Construcción y propiedades de
las f iguras planas y cuerpos .
U tiliza la regla y el comp?s para trazar : punto
medio, mediatriz de un segmento, segmentos y
?ngulos congruentes, bisec triz de un ?ngulo,
rec tas perpendiculares, rec tas paralelas.
Cons tr ucciones b?sicas con regla y comp?s para
?ngulos.
12 . Construcciones b?sicas
de ?ngulos con regla y
comp?s
58-65
10
? Def inición y nomenclatura de líneas paralelas
y perpendiculares.
? Cons tr ucciones b?sicas con regla y comp?s
(segmentos y rec tas).
13. Construcciones b?sicas
de rec tas con regla y
comp?s
6 6 -71Plan de clase
Semana escolar 10
Lección 13. Construcciones b?sicas de rectas con regla
y comp?s
INICIO. El objetivo de esta lección es que aprendan a trazar rectas
????UU??H???`??U??????`?k^?kk`?3U??k^???MO?3?
?U 3???k ??3?`??? ?k`?k??? k^kG?Qué son las rectas parale-
las? ?Qué son las rectas perpendiculares? Solicite que ubiquen líneas
???`??U??? ? ????UU?? ` ??? k ` U? ?UU ? k^`?`U?? `
3???kM ?kU??? ? ?U3?` ?????`? ?? U? U? ??l` h ????`A?i ?
?k??k?A?U??:?3?U?U????U???????l`h/????3`?ki
en la sección de inicio�
DESARROLLO. Explique la manera de trazar rectas perpendiculares
? ????UU?? k` ??????M q???? ????k? O^?Uk? ? ^`?k` ???
?????A?????Mg?3kH??k`3???^`?`??k`????`Uk??3`
^`?k? k`3??`?? ? U? 2k?^? ?`?????Uk?M q???? U? ^?`??
??????U?^?????????`?k^?k?`?3^`?k??????`k
?3U??k^???^??`?U????k?`???O^?Uk?M
q`?k`U???`??O???????????????`??U????????U`
U??k`?3U??k^???????k?:??Ukk`??????H???????M
Solicite a sus estudiantes que trabajen con cuidado y limpieza en los
????k???????????`Uk????`?????:??Ukk`?kU????M
??????k`?3U??k^?????U?`U?k`?????l`U??`?k
^?k?`?3^`?kU???3?`?????O?????U??kUO?3k
3k^??A?MT3??U^`????????U?k`?????l`???????``
??U??? k` ?3U? ? k^???M ???? ?? k^?U?` k????^`?
Uk????k?Mg??`?U?????Uk?^??^k??????`??Uk????`M
CIERRE. /??U??? U? ??U???l` ?? :?? ` U ^?`Ok ???? ??`
?`??U??? ? ????UU?? ` ?2?`?? k??k?H k^k U? ????`??A?
k ?U?j?U?A?M ??^?` ?kU??? ?? ` O^?Uk? ?U3?`?? ??k2`
siones donde sean de vital impor tancia los conceptos que acaban de
aprender� En arquitectura, por ejemplo, es impor tante saber trazar
?`?UA`????`??U??k?`????????UU?MT`?A?Uk?????`?3?`
más aplicaciones de las rectas perpendiculares y paralelas en la vida
cotidiana y realice una retroalimentación del tema visto�
Libro del alumno:??3?`??`
Fecha:
Orientaciones did?cticas
Lección 13
Contenido. k`?????l`???k????U???3?????U?`??
y cuerpos�
Aprendizaje. ???U???U??3U??Uk^?????????????G??`?k
^?kH^???????`?3^`?kH?3^`?k???`3?Uk?
k`3??`??H???????`?`3?UkH???????`??U???H
rectas paralelas�
Tema. '?`??l`?`k^`U?????UA`??????UU??
????`??U???M k`?????k`??????k`?3U??
k^???Z?3^`?k??????[M
Lección 14
Contenido. k`?????l`???k????U???3?????U?`??
y cuerpos�
Aprendizaje.T`??????????U??????`k??U?`
????`3?Uk??????U???k?M
Tema.????kk`?3U??k^???U??????`k??U??`
????`3?UkM????kk`?3U??k^???U??????`k??U?
de un cuadrilátero convexo�
Error frecuente
Lección 13. Construcciones b?sicas de rectas con
regla y comp?s
G??`?^`??U3?`k??????`??`k?`????`U??2?`??
`?? U?? ??????M qk?A?Uk? ? `k???U?? ?k? Uk? ?`3?Uk? ?? ????`G???????????Mq`?k`???` ?k??k`?`3?Uk?`k??U????`U????^??????????? U?`3?Uk`k??U?`U??3?`?HU�
^`?k?U3?`k??????`??kU???`??U??k`U??????
????UU???U?????????`??U???M????U3?`k?O^?Uk? ? ?3? ?? U?? ???? ????UU?? `?`? ? k? ??`H ^?`???? ?? U?????????`??U???2k?^?`?`?`3?Uk�
Lección 14. Rectas notables de un tri?ngulo y de un
cuadril?tero
^`?kHUk??????`??`k?`????`U???U?????Uk?????``
3?Uk?M /??U??? U? ?`??l`H ??O ` U ??????l` ?U3?`k?
ejemplos y solicite que tracen en su cuaderno las alturas co`
????k`?`??M ???U? ?? ??` ??kUk`3?? Uk? U?k?
Uk?????`3?Uk??????k???????U??U????k????k`?`?M
~???k`2???l`????U`?`???`?????Uk????k?
????`3?Uk?k`??`U?^??????`3?Uk?M?kU?????
????`U????kU???3?`?M
Respecto a los cuadriláteros, suelen confundir un rombo con
?`?k^k?M/??^?k? ??`??????`????`3???U???????A?`
???????`k^??`?U??`?????l`U????3k`?U?
o lados paralelos�
66SIMMA1TG_1E23_B1.indd 66SIMMA1TG_1E23_B1.indd 66 09.08.2023 4:04 p.m.09.08.2023 4:04 p.m.
Identif ica y traza las rec tas notables en tri?ngulos
y cuadril?teros .
? Trazo con regla y comp?s de las rec tas notables
de un tri?ngulo.
? Trazo con regla y comp?s de las rec tas notables
de un cuadril?tero convexo.
14 . Rec tas notables de un
tri?ngulo y de un
cuadril?tero
7 2 -7 7
Ficha 5
La infraestructura b?sica
11
Obtención y representación de
información.
Usa tablas , gr?f icas de barras y circulares para el
an?lisis de información.
Recolección, regis tro en tablas y lec tura de datos
en gr?f icas de barras .
15. Gr?f icas de barras 78 - 81
Ficha 6
El agua vir tual
A zar e incer tidumbre en la
ocurrencia de eventos
cotidianos.
Identif ica eventos en los que inter viene el azar,
experimenta y registra los posibles resultados.
? Azar y experimento aleatorio.
? Evento aleatorio y el espacio mues tral.
16 . Experimentos aleatorios 8 2- 8 5
Ficha 7
Todos iguales
12
Qu? aprendí 8 6 - 87Audiovisual
g??`2k?^??l`U??3??`???k????U???????l^k
??????U?^???????`?3^`?kM
? hq?????????k????kiH???k`?U`
www.edutics.mx/xGb
Sitios web
/`?????3?`??`k`??????????k??`??????k??k?
rectas�
? h????????UU??H??`??????`??U???iH???k`?U
en www.edutics.mx/xGE
Evaluación
???2 ???`Uk??????`??UUk3?kUk???3??`???`??k??M
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identif ica y traza rec tas
perpendiculares y paralelas con el
O?3k3k^??A?M
Por tafolio de evidencias
• Recuerde a los estudiantes que deben incluir
evidencias de la actividad 8 del desarrollo y la del
???U?U?l`MT3??U^`?^`?l`U?
????``??3?????U????kU?????????
? U?U?l`M
?????^???????3^`?k?
???`k?3U??k^???M
Identif ica y traza las rec tas notables
????`3?Uk??????U???k?M
???U???U??^????????????kU??
problemas�
Recursos digitales
? Para complementar la comprensión del concepto de punto
^?kH???3????Uk??U?^`k???U?`U???????
?`???????h??`?k^?kiM
? Se recomienda que los estudiantes realicen la actividad
?`???????h?3U??`k??U?i??????????U?k^??`??l`
U?U?l`M
Recursos de apoyo complementarios
Lección 14. Rectas notables de un triángulo y de un
cuadrilátero
INICIO. El objetivo de esta lección es que reconozcan y tracen las
???? `k??U? ?? ????` ` Uk? ?2?`?? ???k? ????`3?Uk? ?
????U???k?M??3?`??U3???kG?Qué son las alturas de un triángu-
lo? ?Cuántas alturas tiene? ?Cómo se trazan? Solicite a uno de ellos,
U3?k ?U ????H ?? U? U ??kU^? ?`??kH h?U?`?? ?????^?``
?k?3????????U?iH?????U3???k?????k`?`U???????M
DESARROLLO. /??U???U??2?`??`??Uk???????k?????`3?Uk?
k`????`kU?^??????`3?Uk?Mq`?k`U??????`k??U?
??????``Uk?????`3?Uk?H??O?2?`?????k???k?????
que tracen en su cuaderno las alturas y las mediatrices�
/??k`3???^`?Uk??2?`?????k?????UUk3??^k???
????`????U^`?k?M`?U?k`????????`??U????3k`?U?
????``?????3????M????UUkH????????`Uk?????UUk3??^k?
sobre car toncillo y, posteriormente, que los recor ten y que los doblen
?k??????3k`?U?Mg?3k??3?`???U??k`Uk?????U???k???
??``?????3k`?U??3??U?M
CIERRE./??U???U???U???l`??:??`U^?`Ok????`k??`
U?`Uk?????`3?Uk??????U???k????`kk^k??Uk???kU^??
U???l`???MT`???????`?3?`^????U???k`?`U?
???k????`?U??????`k??U?`Uk?????`3?Uk??????U???k?
y realice una retroalimentación del tema�
g?????????U?G?:?U ???`k??`???U???`
mitirán aplicar sus conocimientos acerca de las rectas notables de
?`????`3?UkH????k`?`??????`???????l`?U??k`??
con industria, innovación e infraestructura�
Interdisciplina
/` U? U?l` H U ?^? ?`??kH h/???? 3`?kiH ? ?U?`
?k`?k`U?????U?`?Gk?^??l` A????0???M
Programa Construimos Futuro
Ciudadanía. g? ?????? ?`??k U? U?l` ??`? ?`?
opor tunidad para reflexionar acerca de cómo viven la equidad de
3`?k???k^k????k`?????2k^`???U?2k?^??`?????U
y colectiva�
67
SIMMA1TG_1E23_B1.indd 67SIMMA1TG_1E23_B1.indd 67 09.08.2023 4:04 p.m.09.08.2023 4:04 p.m.
Construimos futuro. Aler ta: micropl?sticos 88-89
11
SIMMA1TG_1E23_B0_2da.indd 11SIMMA1TG_1E23_B0_2da.indd 11 09.08.2023 4:53 p.m.09.08.2023 4:53 p.m.
8
Operaciones inversas en las operaciones
aritméticas básicas�
M Operaciones inversas 4 6 - 47
Identif ica y aplica la jerarquía de operaciones y
símbolos de agrupación al realizar cálculos�
• Símbolos de agrupación en operaciones
aritméticas�
• Reglas de jerarquía de operaciones aritméticas �
M Jerarquía de
operaciones
4 8 - 51
G?:?
Educación de calidad

Rec tas y ángulos�
E xplora las f iguras básicas como rec tas y ángulos
y su notación�
Def inición y nomenclatura de líneas rec tas �
Nomenclatura y clasificación de los ángulos�
M Elementos básicos de
geometría
52- 5 5
Encuentra y calcula los ángulos que se forman al
intersecar dos segmentos�
Identificación y cálculo de ángulos que se forman
en rec tas que se intersecan�
M Rec tas que se
intersecan
56 -57
Construcción y propiedades de
las f iguras planas y cuerpos �
U tiliza la regla y el compás para trazar : punto
medio, mediatriz de un segmento, segmentos y
ángulos congruentes, bisec triz de un ángulo,
rec tas perpendiculares, rec tas paralelas�
Cons tr ucciones básicas con regla y compás para
ángulos�
M Construcciones básicas
de ángulos con regla y
compás
58-65

• Def inición y nomenclatura de líneas paralelas
y perpendiculares�
• Cons tr ucciones básicas con regla y compás
(segmentos y rec tas)�
M Construcciones básicas
de rec tas con regla y
compás
6 6 -71
Identif ica y traza las rec tas notables en triángulos
y cuadriláteros �
• Trazo con regla y compás de las rec tas notables
de un triángulo�
• Trazo con regla y compás de las rec tas notables
de un cuadrilátero convexo�
M Rec tas notables de un
triángulo y de un
cuadrilátero
7 2 -7 7
G?:?
La infraestructura básica

Obtención y representación de
información�
Usa tablas , gráf icas de barras y circulares para el
análisis de información�
Recolección, regis tro en tablas y lec tura de datos
en gráf icas de barras �
M Gráf icas de barras 78 - 81
G?:?
El agua vir tual
A zar e incer tidumbre en la
ocurrencia de eventos
cotidianos�
Identif ica eventos en los que inter viene el azar,
experimenta y registra los posibles resultados�
• Azar y experimento aleatorio�
• Evento aleatorio y el espacio mues tral�
M Experimentos aleatorios 8 2- 8 5
G?:?
Todos iguales

Qué aprendí 8 6 - 87
Construimos futuro� Aler ta: microplásticos 88-89
10
SIMMA1TG_1E23_B0_2da.indd 10SIMMA1TG_1E23_B0_2da.indd 10 09.08.2023 4:53 p.m.09.08.2023 4:53 p.m.
Reducción del Plan de clase
Identificación de ideas erróneas que pueden tener los alumnos acerca de un contenido o procedimiento a estudiar
.
Referencia a la
semana escolar que
se trabaja.
Datos básicos
para identificar
los contenidos y
aprendizajes que se
trabajan durante
la semana.
Orientaciones didácticas para trabajar las
lecciones en tres momentos didácticos.
7??kk?Uk??:k??????k?Hq?^?UU?`/???l`H?MqM Mq?M

Plan de clase
Semana escolar 11
Lección 15
Contenido. Obtención y representación de información�
Aprendizaje. ?????U??H3??????????????U???????
el análisis de información�
Tema. ?kU?l`H?3????k`??U???U??????k?`
3??????????M
Lección 16
Contenido. Azar e incer tidumbre en la ocurrencia de eventos
cotidianos�
Aprendizaje. T`?????`?k?`Uk????`????`U????
?????^`????3?????Uk??k??U????U??k?M
Tema. Azar y experimento aleatorio� Evento aleatorio
y espacio muestral�
Libro del alumno:??3?`??7 `
Fecha:
Error frecuente
g?l`MH??????????
k`2??`???U3?`k??????`??k`2?``U??3`k?`
n?mero con el de las operaciones. Realice un breve repaso del
?^???kU??`k?U3?`k?O^?Uk???kM???????^?`
??U??`???????U?U?l`M
Lección 16� Experimentos aleatorios
^`?kH?U3?`k??????`???k`k`U??3`???k?`
evento azaroso y dudan sobre las características de los eventos
deterministas� Explique varios casos donde interviene el azar�
Puede usar ejemplos clásicos como lanzar una moneda, en los
que no se sabe cuál de las dos caras va a quedar boca arriba�
Lo mismo sucede si lanzamos un dado: sabemos que tiene
???????H??k?k`k^k???????????:????????M
Para calcular la probabilidad de este tipo de eventos es ne`
????k?????????k`?? ?????k?`?k?`??O?MU3?`k?
estudiantes tienen problemas al dividir cifras con punto decimal�
O?3??`???k???k??kZ?`???`????U?^?[???
l^k??U?????????k?????k`?Mq`?k`??Uk????``
????Hk?:???UU????k`U????k???`U?UA`?k????k`
`?M ??k?k`3? O???k? ???? k` UA`?? k????k`? ??
?`?kU??`??3`k??3?????l`M
g?l`MH??????????
INICIO� /U kO???k ??? U?l` ? ?? U ?????`? k?3?`? U?
?`2k?^??l`k`?`??`??U???3?????k`??`??kU^??
U????k????`?M????U3???k??????k`?k???3?`????k`
nadoras como: O k`k? U?? 3????? ?????N O??? ??`k ?
usan???3??????U^??^k??^?k??`?``??????k`?U????
k????`? ? ??3?`??Qué tipo de información podrías representar
k` 3????? ?????N OO?? ????k Uk? ???U??k? `?????
algún candidato en contextos de política o representantes guberna-
mentales? ?Cómo presentan el resultado de estas encuestas en los
noticieros? ?Por qué crees que es tan impor tante representarlos de
esa forma???^?????Uk??U?^`k???? ????`k`^????3?`???M
DESARROLLO�?k`3??k?????k`U??????l`Uk?k`??k?U??
que los alumnos usarán� Esto les permite avanzar en la lección sin
????`Uk???k?^?`?k?????????M/??U????U3???k??
en el análisis de la información deben tener presentes dos cosas:
por un lado, la tabla de frecuencias, que en esta unidad será un primer
???^?`?k ?H ?k? k??kH U? 3???? ?????M ???`? ?` O^?Uk
U? k`?????l` 3????? ? ??U??M q`?k` U?? ?????A?????
??`?k??Uk???k?????????`???Uk?`?`?3????k`U?
?`2k?^??l`????`???????`Uk?O?:k???k`??U??? ???UM
CIERRE� ???? ` ?`??`? `k????? ` U?? ?? ? ??` 3?????
?????R ?k? O^?UkH ` ????k? ? ???l?k? k U 3k??`kM
Prepare y proyecte una presentación acerca del uso cotidiano en me`
?k?k^?`???l`U????U???3??????????`????U???????
U? ??l` ???M T`??? ? Uk? ?U?^`k? ? ?`????? ^?? ??k?
k????`k?3???????????k????????`2k?^??l`k`??``M
g?????????U?G?:?U ???`k??`???U???`
^?????`?Uk??U?^`k???U??????k`k?^?`?k????U??3?????
????? ? ??? k`?`?? ?k? ?U3?`? ??????l` ?U??k`?? k`
?3??U?^??????`?^?`?kM
Lección 16� Experimentos aleatorios
INICIO� /U kO???k ??? U?l` ? ?? U ?U?^`k ?`????? 2`
`l^`k?`Uk????`????`U????H????^`???3????Uk??`
??U??k??k??U?M?U?`??U3?`????3?`????U3???kk^kG?Sabes
qué son las quinielas depor tivas? ?Cómo funcionan las tómbolas? ?Se
puede saber con anticipación quién ganará? ??3???????`?``
situaciones de la vida cotidiana como: ?Puedes encontrar algún otro
juego donde intervenga el azar? ?De qué tipo? Permita que intercam `
?` ??? k??`?k`? ?U??k`??? k` ???? ??3?`???M ??? ? ?U3?`
alumno que lea el problema del inicio, “La selección de candidatos en
????k?U????3kiM/??U???Uk????3`???U???U???insacular�
Orientaciones did?cticas
74Programa Construimos Futuro
Desarrollo sustentable. Las actividades de inicio y cierre permiten
?2U??k`?????????`??????????:?^?`?????k```
?U?3?kU^?k?^?`??U??k??????M
Libros y revistas
/U??3??`?U??kk`??`????????k?????k?^??`
trales y eventos�
• Matemáticas 1, Saberes fundamentales� Secundaria,
q??kH/??k`? ????UUkHM
Audiovisual
g??`2k?^??l`U??3??`???k????U???????`?????`
???3??????????M
• h l^k:???`?3?????????iH???k`?U`
www�edutics�mx/Nqc
g??`2k?^??l`U??3??`???k????U???????`???`
ca de experimento aleatorio y espacio muestral�
• “Experimento aleatorio, espacio muestral y evento
k???kiH???k`?U`www�edutics�mx/xpN
Sitios web
/`?????3?`??`k`??????????k???k??U??M
• g???k?R?:??Hh??k??U???`???kiH????k
interactivo, disponible en www�edutics�mx/xpx
Evaluación
???2 ???`Uk??????`??UUk3?kUk???3??`???`??k??M
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
~?3?`????????`????k?`
??U???3??2 ????????M
Por tafolio de evidencias
• ????Uk??????`?????3?3?`U???????
???U?U?l`M
• ???U??`U?????^?`U???????U
????kUUkZO^?Uk??3??^???kU????
????`???????k?^?????U?[U?U?l`M
Identif ica el espacio muestral de
un evento�
'????`3?`???`?k?
aleatorios y deterministas�
Interdisciplina
/`U?U?l`HU?^??`??kHhq??????l`?U????k??`
?kUk??kiH?U??kU^????Hh'2k?????l`iH??U??k`?`
k`U?????U?`??kUk3A?M
/`U?U?l`HU?^??`??kHhg?U?l`?`???k?`
????k? U????3kIiH ? U ?^? ???H hg? ?3??U? 3`
`?k ` U? ?k^? ???k`?iH ? `U???` k` U? ????U?`?
Gk?^??l` A????0???MSolucionario
Página 74
4. a) y b)
? Las tres alturas coinciden en un mismo punto.
? Las tres medianas coinciden en un mismo punto.
c) ???2 ??????????k?? ??^`?U??`?k
intersecci?n.
d) /U`k^?????`?k?kUk??`U??^?3`??U
corresponde.
Página 75
5.
bisec triz mediatriz
6. a) ? Las mediatrices coinciden en un un punto que est? en un lado U????`3?UkM
b) ? g???? ????k?`?``?`??`?k?U?`???k?U????`3?UkM
c) La letra ????`U????^??2 ?3???M
d) ? ???????Uk?? ??^k?U?3^`?k .
? ???????Uk?? ??^k?U?3^`?k .
? ???????Uk?? ??^k?U?3^`?k .
e) ? ???2 ?? ?U ^?? k` ?`? ?3U? k ???`k U k^??? ??
est?n a la misma distancia.
Página 76
2.
CIERRE
1. a) El punto Hk`??`????`U??^??????H?UU?3????
est? a la misma distancia de las tres zonas residenciales.
2. g k ? A ? ? U k ? ? k O k ? H k ` ? ? ` ? ? ? ? ` U ? ? ? ? 3 k ` ? U ? H ? k ` U k ? U ? 3 ?`
res donde deben colocar las lámparas.
a) /`U????k?U? ??`3?UkM
Página 77
b) En el cuadrado y el rombo.
8. a) y b)
c) gk? ?3^`?k? ?? ?`` Uk? ??`?k? ^?k? ?k`paralelos /
perpendiculares al par de lados que no unen y tienen la mis`
ma diagonal / longitud??? ?k? Mg ??diagonales / alturas y
Uk? ?3^`?k? ?? ?`` Uk?puntos medios / paralelogra-
mos se intersecan en el mismo v?r tice / punto.

F
A B
E
C
D
73
SIMMA1TG_1E23_B1�indd 73SIMMA1TG_1E23_B1�indd 73 09�08�2023 4:04 p�m�09�08�2023 4:04 p�m� 72 ??kk?Uk??:k???? ??k?Hq?^?UU?`/???l`H? Mq M Mq?M
SIMMA1TG_1E23_B1.indd 72SIMMA1TG_1E23_B1.indd 72 09.08.2023 4:04 p.m.09.08.2023 4:04 p.m.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• ??????U???k`??k?U?^?3?????????H
se recomienda que los estudiantes realicen la actividad
?`???????hH?????????iM
• ?????`?????????^`?k??U??k??k??????k?
^?????U?H???3????Uk??U?^`k???U?`U?
???????`???????hO???k`NiM
DESARROLLO� /??U??? ?U 3???k ?? ? ?` ?`?k ?U??k??k ? ?`
evento determinista y presente diferentes ejemplos� Pida a los alum`
`k? ?? UU?` ? U? U?? \k ??? ?`3?Uk? ??????k?\ ????k?
?k?M/??^?k? ??`???O?3?`k`UUk???3????`Uk????U??`
dos� En estos temas de probabilidad la par te experimental es crucial�
Posteriormente, pida que respondan las actividades 3 y 4�
?`? ^?`?? ??^?`?? U ????k ^?????U k`???? ` ??
los alumnos piensen en todas las posibilidades que se tienen en un
experimento aleatorio� Explique otros ejemplos, tales como la baraja
???jkU?kU??`3U??M
CIERRE�?kU???????k?k`3?`k?^?`???U3??????`??``
??H??Ak^kU??`?????k?????2?`?k`?M^??U?U`
?l`H?kU??????k?Uk^`k???????k????`??`???`3?
un plan de trabajo� Permita que intercambien opiniones entre ellos�
T`???????`?3?`^????U???k`?Uk?????k?^?????U?
y eventos en la vida diaria� Realice una retroalimentación del tema visto�
g?????????U?G?:?U ???`k??`???U???`
mitirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de experi`
mentos aleatorios, espacios muestrales y eventos aleatorios, y crear
k`?`?? ?k? ?U3?`? ??????l` ?U??k`?? k` U? ???l`
U????3??U??M
75??kk?Uk??:k??????k?Hq?^?UU?`/???l`H?MqM Mq?M
SIMMA1TG_1E23_B1�indd 75SIMMA1TG_1E23_B1�indd 75 09�08�2023 4:04 p�m�09�08�2023 4:04 p�m�
SIMMA1TG_1E23_B1�indd 74SIMMA1TG_1E23_B1�indd 74 09�08�2023 4:04 p�m�09�08�2023 4:04 p�m� Vínculos
interdisciplinarios de
los contenidos que
se trabajan
.
Recomendaciones
bibliográficas y a sitios de internet que aportan información complementaria al tema que imparte para apoyar su clase
.
Orientaciones para trabajar con
el programa Construimos Futuro ,
diseñado para que los jóvenes emprendan acciones transformadoras en favor de la sostenibilidad; cultiven la empatía y la solidaridad; promuevan y ejerzan el respeto a la diversidad cultural, la equidad de género, la cultura de paz y la no violencia, y accedan al disfrute de las creaciones artísticas y estética
.
LIbro del alumno
Reproducción de las páginas del libro del alumno
.
So
lucionario
Respuesta a todos
los ejercicios y las
actividades
incluidas en el libro
del alumno
.
In
dicadores de
desempeño que
sirven de guía para
poner en práctica la
evaluación formativa
.
Referencia a los recursos
interactivos que se
incluyen en el libro digital.
8

Los libros de secundaria de la serie Imagina también contribuyen a que los
alumnos se involucren de manera consciente y participativa en la imple-
mentación y promoción de los 17 Objetivos de Desarrollo Sostenible (ods),
que son metas globales establecidas por la Organización de Naciones
Unidas (onu) para convertir el mundo en un mejor lugar para todos, los
cuales se abordan en el libro del alumno en cuatro ejes fundamentales:
Ciudadanía Tiene como propósito que los alumnos desarrollen va- lores para la vida en sociedad, para lo cual es necesario que adquieran los conocimientos y las habilidades que les permitan participar de manera informada y signifi- cativa en la vida cívica y democrática de su comunidad.
Desarrollo sustentable
Pretende que sean conscientes de que, como sociedad,
debemos aprender a satisfacer nuestras necesidades sin
comprometer la capacidad de las generaciones futuras
para satisfacer las suyas.
Valores y educación socioemocional
El propósito de este eje es contribuir a que sean cons-
cientes de que deben participar en los esfuerzos por
alcanzar el bien común, para lo cual tienen que ser res-
ponsables, solidarios y comprometidos con el conjunto
de condiciones y valores que promueven dicho bienestar.
Vida saludable
Este eje busca que sean conscientes de la importan-
cia que tiene la promoción de acciones encaminadas a
mantener y cuidar su salud y la de su familia, así como
a prevenir enfermedades.
Con Imagina Construimos Futuro
9??kk?Uk??:k??????k?Hq?^?UU?`/???l`H?MqM Mq?M

Dosificación. Unidad 1
Semana Contenido
Proceso de desarrollo de aprendizaje
(pda)
Tema Lección Páginas del libro del alumno Cuaderno de evidencias Recursos digitales
1
Unidad 1. Operando el mundo 12-13
Me preparo 14-15
2
Extensión de los números
a positivos y negativos y su
orden
.
Reconoce la necesidad de los números negativos
a partir de usar cantidades que tienen al cero como referencia
.
• Números simétricos.
• Valor absoluto.
1. Números negativos 16 -19
• Suma y resta de enteros.
• Multiplicación y división de enteros.
2. Operaciones con núme-
ros enteros
20-23
3
Compara y ordena números con signo (enteros, fracciones y decimales) en la recta numérica y analiza en qué casos se cumple la propiedad de densidad
.
• Orden en los números enteros, fraccionarios
y decimales positivos y negativos en la recta numérica
.
• Propiedad de densidad en los números enteros,
fraccionarios y decimales.
3. Orden y densidad 24-27
4
Extensión del significado de las operaciones
.
Reconoce el significado de las cuatro operaciones
básicas al operar números con signo.
• Algoritmo para realizar la suma de fracciones.
• Algoritmo para realizar la resta de fracciones.
4. Suma y resta de fracciones
28-31
Ficha 1
Viajar para comer
5
• Algoritmo para multiplicar fracciones.
• Algoritmo para dividir fracciones.
5. Multiplicación y división de fracciones
32-35
6
Expresión de fracciones como decimales y viceversa
.
Usa diversas estrategias al convertir números
fraccionarios a decimales y viceversa.
• Conversión de números fraccionarios a decimales
positivos.
• Conversión de números decimales positivos a
fraccionarios.
6. De fraccionarios a deci-
males y viceversa
39-39
Ficha 2
No dejar a nadie atrás
7
Extensión del significado de las operaciones
.
Reconoce el significado de las cuatro operaciones
básicas al operar números con signo.
• Algoritmo para sumar y restar decimales.
• Algoritmo para multiplicar decimales.
• Algoritmo para dividir decimales.
7. Operaciones con decimales
40-45
Ficha 3
La salud es primero
8
Operaciones inversas en las operaciones aritméticas básicas
.
8. Operaciones inversas 46-47
Identifica y aplica la jerarquía de operaciones y símbolos de agrupación al realizar cálculos
.
• Símbolos de agrupación en operaciones
aritméticas.
• Reglas de jerarquía de operaciones aritméticas.
9. Jerarquía de operaciones
48-51
Ficha 4
Educación de calidad
9
Rectas y ángulos.
Explora las figuras básicas como rectas y ángulos
y su notación.
Definición y nomenclatura de líneas rectas.
Nomenclatura y clasificación de los ángulos.
10. Elementos básicos de geometría
52-55
Encuentra y calcula los ángulos que se forman al intersecar dos segmentos
.
Identificación y cálculo de ángulos que se forman
en rectas que se intersecan.
11. Rectas que se intersecan
56-57
Construcción y propiedades de las figuras planas y cuerpos
.
Utiliza la regla y el compás para trazar: punto
medio, mediatriz de un segmento, segmentos y ángulos congruentes, bisectriz de un ángulo, rectas perpendiculares, rectas paralelas
.
Construcciones básicas con regla y compás para
ángulos.
12. Construcciones básicas de ángulos con regla y compás
58-65
10
• Definición y nomenclatura de líneas paralelas y p
erpendiculares.
• Construcciones básicas con regla y compás
(segmentos y rectas).
13. Construcciones básicas de rectas con regla y compás
66-71
Identifica y traza las rectas notables en triángulos y cuadriláteros
.
• Trazo con regla y compás de las rectas notables
de un triángulo.
• Trazo con regla y compás de las rectas notables
de un cuadrilátero convexo.
14. Rectas notables de un triángulo y de un cuadrilátero
72-77
Ficha 5
La infraestructura básica
11
Obtención y representación de información
.
Usa tablas, gráficas de barras y circulares para el
análisis de información.
Recolección, registro en tablas y lectura de datos
en gráficas de barras.
15. Gráficas de barras 78-81
Ficha 6
El agua virtual
Azar e incertidumbre en la ocurrencia de eventos cotidianos
.
Identifica eventos en los que interviene el azar,
experimenta y registra los posibles resultados.
• Azar y experimento aleatorio.
• Evento aleatorio y el espacio muestral.
16. Experimentos aleatorios 82-85
Ficha 7
Todos iguales
12
Qué aprendí 86-87
Construimos futuro. Alerta: microplásticos 88-89
10? ?odos los derec:os reser?adosH Macmillan /ducaciónH ?.q. de C.q?.

Actividad interactiva, video karaoke, infografía animada, videotutorial, aprendeclic, juego, trivia, ,
audios de comprensión, galerías de imágenes, cómics animados.
Semana Contenido
Proceso de desarrollo de aprendizaje
(
pda)
Tema
Lección Páginas del libro del alumno Cuaderno de evidencias Recursos digitales
1
Unidad 1. Operando el mundo 12-13
Me preparo 14-15
2
Extensión de los números
a positivos y negativos y su
orden.
Reconoce la necesidad de los números negativos
a partir de usar cantidades que tienen al cero
como referencia.
• Números simétricos.
• Valor absoluto.
1. Números negativos 16 -19
• Suma y resta de enteros.
• Multiplicación y división de enteros.
2. Operaciones con núme-
ros
enteros
20-23
3
Compara y ordena números con signo (enteros,
fracciones y decimales) en la recta numérica y
analiza en qué casos se cumple la propiedad de
densidad.
• Orden en los números enteros, fraccionarios
y decimales positivos y negativos en la recta
numérica.
• Propiedad de densidad en los números enteros,
fraccionarios y decimales.
3. Orden y densidad 24 -27
4
Extensión del significado de las
operaciones.
Reconoce el significado de las cuatro operaciones
básicas al operar números con signo.
• Algoritmo para realizar la suma de fracciones.
• Algoritmo para realizar la resta de fracciones.
4. Suma y resta de
fr
acciones
28-31
Ficha 1
Viajar para comer
5
• Algoritmo para multiplicar fracciones.
• Algoritmo para dividir fracciones.
5. Multiplicación y división de f
racciones
32-35
6
Expresión de fracciones como decimales y viceversa.
Usa diversas estrategias al convertir números fraccionarios a decimales y viceversa.
• Conversión de números fraccionarios a decimales positivos.
• Conversión de números decimales positivos a fraccionarios.
6. De fraccionarios a deci-
ma
les y viceversa
39-39
Ficha 2
No dejar a nadie atrás
7
Extensión del significado de las operaciones.
Reconoce el significado de las cuatro operaciones básicas al operar números con signo.
• Algoritmo para sumar y restar decimales.
• Algoritmo para multiplicar decimales.
• Algoritmo para dividir decimales.
7. Operaciones con deci
males
40-45
Ficha 3
La salud es primero
8
Operaciones inversas en las operaciones aritméticas básicas.
8. Operaciones inversas 46 -47
Identifica y aplica la jerarquía de operaciones y símbolos de agrupación al realizar cálculos.
• Símbolos de agrupación en operaciones aritméticas.
• Reglas de jerarquía de operaciones aritméticas.
9. Jerarquía de ope
raciones
48-51
Ficha 4
Educación de calidad
9
Rectas y ángulos.
Explora las figuras básicas como rectas y ángulos y su notación.
Definición y nomenclatura de líneas rectas.
Nomenclatura y clasificación de los ángulos. 10. Elementos básicos de geo
metría
52-55
Encuentra y calcula los ángulos que se forman al intersecar dos segmentos.
Identificación y cálculo de ángulos que se forman en rectas que se intersecan.
11. Rectas que se in
tersecan
56-57
Construcción y propiedades de las figuras planas y cuerpos.
Utiliza la regla y el compás para trazar: punto medio, mediatriz de un segmento, segmentos y ángulos congruentes, bisectriz de un ángulo, rectas perpendiculares, rectas paralelas.
Construcciones básicas con regla y compás para ángulos.
12. Construcciones básicas de á
ngulos con regla y
compás
58-65
10
• Definición y nomenclatura de líneas paralelas y perpendiculares.
• Construcciones básicas con regla y compás (segmentos y rectas).
13. Construcciones básicas de r
ectas con regla y
compás
66-71
Identifica y traza las rectas notables en triángulos y cuadriláteros.
• Trazo con regla y compás de las rectas notables de un triángulo.
• Trazo con regla y compás de las rectas notables de un cuadrilátero convexo.
14. Rectas notables de un tr
iángulo y de un
cuadrilátero
72-77
Ficha 5
La infraestructura básica
11
Obtención y representación de información.
Usa tablas, gráficas de barras y circulares para el análisis de información.
Recolección, registro en tablas y lectura de datos en gráficas de barras.
15. Gráficas de barras 78 -81
Ficha 6
El agua virtual
Azar e incertidumbre en la ocurrencia de eventos cotidianos.
Identifica eventos en los que interviene el azar, experimenta y registra los posibles resultados.
• Azar y experimento aleatorio.
• Evento aleatorio y el espacio muestral.
16. Experimentos aleatorios 82- 85
Ficha 7
Todos iguales
12
Qué aprendí 86-87
Construimos futuro. Alerta: microplásticos 88-89
11? ?odos los derec:os reser?adosH Macmillan /ducaciónH ?.q. de C.q?.

Dosificación. Unidad 2
Semana Contenido
Proceso de desarrollo de aprendizaje
(pda)
Tema Lección Páginas del libro del alumno Cuaderno de evidencias Recursos digitales
13
Unidad 2. Modelando el mundo 90-91
Me preparo 92-93
14
Extensión del significado
de las operaciones.
Comprueba y argumenta si cada una de las
operaciones aritméticas básicas cumple las propiedades: conmutativa, asociativa y distributiva
.
Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva
en las operaciones aritméticas básicas con números.
1. Propiedades de ope-
raciones aritméticas
94-99
15
Introducción al álgebra.
Interpreta y plantea diversas situaciones
del lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa
.
Traducción de situaciones del lenguaje común al
algebraico y viceversa.
2. Lenguaje común y algebraico
100-103
Representa algebraicamente perímetros de figuras
.
• Representación numérica y algebraica de perímetros
de polígonos.
• Equivalencia de expresiones, tanto geométrica y
algebraicamente, de perímetro de polígonos.
3. Representación
algebraica
104-107
16
Ecuaciones lineales y cuadráticas
.
Resuelve ecuaciones de la forma ax = b,
ax + b = c, ax + b = cx + d con el uso de
las propiedades de la igualdad.
• Relaciones de equivalencia y propiedades de la
igualdad.
• Ecuaciones de primer grado, sus elementos y
planteamiento de situaciones.
4. La igualdad y la ecuación de primer grado
108-111
17
• Resolución de ecuaciones de la forma ax = b.
• Resolución de ecuaciones de la forma ax + b = c.
• Resolución de ecuaciones de la forma
ax + b = cx + d.
5. Resolución de ecuaciones de primer grado
112-117
Ficha 8
Energía renovable y ahorro
Modela y resuelve problemas cuyo planteamiento es una ecuación lineal
.
• Representación de ecuaciones de primer grado en el
plano cartesiano.
• Resolución de problemas que se modelan con una
ecuación de primer grado.
6. Modelación con ecuaciones de primer grado
118-123
18
19
Resuelve problemas de porcentajes en diversas situaciones
.
Razones y proporciones.
Proporciones con término desconocido.
7. Proporciones con tér-
mino desconocido
124-129
Ficha 9
Mejor trabajo, mejor salario
20
Modelación y resolución de problemas de porcentajes con regla de tres
.
8. Porcentajes y regla de tres
130-137
Ficha 10
Para todas y todos 50-50
21
Circunferencia, círculo y esfera
.
Identifica y traza las rectas notables en la
circunferencia y las relaciones entre ellas.
• Trazo con regla y compás de las líneas notables de
una circunferencia.
• Relaciones entre las rectas notables de una
circunferencia.
9. Líneas notables de la circunferencia
138-141
22
Investiga figuras relacionadas con círculos y propiedades de los círculos
.
Características de figuras circulares. 10. Figuras circulares 142-145
23
Obtención y representación de información
.
Usa tablas, gráficas de barras y circulares
para el análisis de información.
Recolección, registro en tablas y lectura de datos
en gráficas circulares.
11. Gráficas circulares 146-149
Ficha 11
Igualdad de oportunidades
24
Interpretación de la información a través de medidas de tendencia central y de dispersión
.
Determina e interpreta la frecuencia
absoluta, la frecuencia relativa, la media, la mediana y la moda en un conjunto de datos
.
Frecuencia absoluta y relativa de un conjunto de datos.
Cálculo de medidas de tendencia central de un
conjunto de datos con base en tablas de frecuencias.
12. Tablas de frecuencia y medidas de ten- dencia central
150-153
Ficha 12
Buena salud y alimentación
25
Azar e incertidumbre en la ocurrencia de eventos cotidianos
.
Compara dos o más eventos a partir de sus
resultados posibles, usa relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”
.
• Determinación de un evento a partir de sus
resultados posibles (técnica básica de conteo árbol de probabilidad)
.
• Comparación (mayor que, menor que) de eventos a
partir de saber la cantidad de sus resultados posibles.
13. Cantidad de resultados
154-157
Ficha 13
Ciudades y sostenibilidad
26
Qué aprendí 158-159
Construimos futuro. Agua virtual y hábitos alimenticios 160-161
12? ?odos los derec:os reser?adosH Macmillan /ducaciónH ?.q. de C.q?.

Actividad interactiva, video karaoke, infografía animada, videotutorial, aprendeclic, juego, trivia, ,
audios de comprensión, galerías de imágenes, cómics animados.
Semana Contenido
Proceso de desarrollo de aprendizaje
(
pda)
Tema
Lección Páginas del libro del alumno Cuaderno de evidencias Recursos digitales
13
Unidad 2. Modelando el mundo 90-91
Me preparo 92-93
14
Extensión del significado
de las operaciones.
Comprueba y argumenta si cada una de las
operaciones aritméticas básicas cumple
las propiedades: conmutativa, asociativa
y distributiva.
Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva
en las operaciones aritméticas básicas con números.
1. Propiedades de ope-
ra
ciones aritméticas
94-99
15
Introducción al álgebra.
Interpreta y plantea diversas situaciones
del lenguaje común al lenguaje algebraico
y viceversa.
Traducción de situaciones del lenguaje común al
algebraico y viceversa.
2. Lenguaje común
y a
lgebraico
100-103
Representa algebraicamente perímetros de figuras.
• Representación numérica y algebraica de perímetros de polígonos.
• Equivalencia de expresiones, tanto geométrica y algebraicamente, de perímetro de polígonos.
3. Representación a
lgebraica
104-107
16
Ecuaciones lineales y cuadráticas.
Resuelve ecuaciones de la forma ax = b,
ax + b = c, ax + b = cx + d con el uso de
las propiedades de la igualdad.
• Relaciones de equivalencia y propiedades de la igualdad.
• Ecuaciones de primer grado, sus elementos y planteamiento de situaciones.
4. La igualdad y la ec
uación de primer
grado
108-111
17
• Resolución de ecuaciones de la forma ax = b.
• Resolución de ecuaciones de la forma ax + b = c.
• Resolución de ecuaciones de la forma ax + b = cx + d.
5. Resolución de ec
uaciones
de primer grado
112-117
Ficha 8
Energía renovable y ahorro
Modela y resuelve problemas cuyo planteamiento es una ecuación lineal.
• Representación de ecuaciones de primer grado en el plano cartesiano.
• Resolución de problemas que se modelan con una ecuación de primer grado.
6. Modelación con ec
uaciones de primer
grado
118-123
18
19
Resuelve problemas de porcentajes en diversas situaciones.
Razones y proporciones.
Proporciones con término desconocido.
7. Proporciones con tér-
mi
no desconocido
124-129
Ficha 9
Mejor trabajo, mejor salario
20
Modelación y resolución de problemas de porcentajes con regla de tres. 8. Porcentajes y regla de t
res
130-137
Ficha 10
Para todas y todos 50-50
21
Circunferencia, círculo y esfera.
Identifica y traza las rectas notables en la circunferencia y las relaciones entre ellas.
• Trazo con regla y compás de las líneas notables de una circunferencia.
• Relaciones entre las rectas notables de una circunferencia.
9. Líneas notables de l
a circunferencia
138-141
22
Investiga figuras relacionadas con círculos y propiedades de los círculos.
Características de figuras circulares.
10. Figuras circulares 142 -145
23
Obtención y representación de información.
Usa tablas, gráficas de barras y circulares para el análisis de información.
Recolección, registro en tablas y lectura de datos en gráficas circulares.
11. Gráficas circulares 146 -149
Ficha 11
Igualdad de oportunidades
24
Interpretación de la información a través de medidas de tendencia central y de dispersión.
Determina e interpreta la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa, la media, la mediana y la moda en un conjunto de datos.
Frecuencia absoluta y relativa de un conjunto de datos.
Cálculo de medidas de tendencia central de un conjunto de datos con base en tablas de frecuencias.
12. Tablas de frecuencia y me
didas de ten-
dencia central
150-153
Ficha 12
Buena salud y alimentación
25
Azar e incertidumbre en la ocurrencia de eventos cotidianos.
Compara dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usa relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”.
• Determinación de un evento a partir de sus resultados posibles (técnica básica de conteo árbol de probabilidad).
• Comparación (mayor que, menor que) de eventos a partir de saber la cantidad de sus resultados posibles.
13. Cantidad de res
ultados
154-157
Ficha 13
Ciudades y sostenibilidad
26
Qué aprendí 158-159
Construimos futuro. Agua virtual y hábitos alimenticios 160-161
13? ?odos los derec:os reser?adosH Macmillan /ducaciónH ?.q. de C.q?.

Dosificación. Unidad 3
Semana Contenido
Proceso de desarrollo de aprendizaje
(pda)
Tema Lección Páginas del libro del alumno Cuaderno de evidencias Recursos digitales
27
Unidad 3. Construyendo el mundo 162-163
Me preparo 164-165
28
Regularidades y
Patrones.
Representa algebraicamente una sucesión
con progresión aritmética de figuras y números
.
• Progresiones aritméticas de figuras y números.
• Representación algebraica de una sucesión con
progresión aritmética.
1. Progresiones
aritméticas
166-171
Ficha 14
Trabajo digno para todos
29
Funciones.
Relaciona e interpreta relaciones
proporcional y no proporcional a partir de su representación tabular, gráfica y con diagramas
.
Variación proporcional y no proporcional a partir de
sus representaciones tabular, gráfica y algebraica.
2. Variación lineal proporcional y rectas
172-179
Ficha 15
Cultura del agua
Modela y resuelve diversas situaciones a través de ecuaciones proporcionales con constante positiva y negativa
.
Problemas de variación proporcional.
3. Modelación con variación proporcional
180-183
30
Construcción y propiedades de las figuras planas y cuerpos
.
Construye y clasifica triángulos y
cuadriláteros a partir del análisis de distinta información
.
• Clasificación y construcción de triángulos.
• Clasificación y construcción de cuadriláteros.
4. Construcción
de triángulos y cuadriláteros
184-189
Ficha 16
Arquitectura sostenible
Circunferencia, círculo y esfera
.
Traza círculos a partir de distinta información.
Construcción de círculos a partir de diversa
información.
5. Construcción
de círculos
190-191
31
Medición y cálculo en diferentes contextos
.
Obtiene y aplica fórmulas o usa otras
estrategias para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y del círculo
.
• Perímetro y área de triángulos.
• Perímetro y área de cuadrilátero.
• Perímetro del círculo.
6. Perímetro y área de triángulos, cuadrilá-
teros y círculos
192-197
Ficha 17
Cuidar los ecosistemas
Calcula el volumen de prismas rectos con base triangular o cuadrangular
.
Cálculo del volumen de prismas rectos con base
triangular o cuadrangular.
7. Volumen de prismas rectos
198-203
32
Introduce la idea de distancia entre dos puntos como la longitud del segmento que los une
.
Encuentra la distancia de un punto a una
recta y la distancia entre dos rectas paralelas
.
• Distancia entre dos puntos (mínima longitud del
segmento que los une).
• Distancia de un punto a una recta y (mínima longitud
del segmento que los une).
• Distancia entre dos rectas paralelas (mínima longitud
del segmento que las une).
8. Distancias en el plano
204-209
Ficha 18
Rutas y croquis
33
Explora la desigualdad del triángulo.
Posibilidad y unicidad en las construcciones de
triángulos.
9. Construcción
de triángulos
210-215
Idéntica y aplica los criterios de congruencia de triángulos
.
Criterios de congruencia de triángulos.
10. Criterios de con- gruencia de triángulos
216-221
34
Interpretación de la información a través de medidas de tendencia central y de dispersión
.
Usa e interpreta las medidas de tendencia
central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y justifica con base en ellas sus decisiones
.
• Medidas de dispersión: rango.
• Elección de medida de tendencia central
representativa y el rango de un conjunto de datos.
11. Análisis de datos y medidas de tendencia central
222-225
Ficha 19
Vida submarina en peligro
35
Azar e incertidumbre en la ocurrencia de eventos cotidianos
.
Identifica diversos procedimientos de conteo
y los usa para resolver problemas.
• Técnicas de conteo (Principio de multiplicación).
• Técnicas de conteo (Regla factorial).
12. Procedimientos de conteo
226-229
Ficha 20
Micro plásticos en el cuerpo
Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial
.
Probabilidad frecuencial.
13. Probabilidad
frecuencial
230-233
36
Qué aprendí 234-235
Construimos futuro. Contando cultivos 236-237
14? ?odos los derec:os reser?adosH Macmillan /ducaciónH ?.q. de C.q?.

Actividad interactiva, video karaoke, infografía animada, videotutorial, aprendeclic, juego, trivia, ,
audios de comprensión, galerías de imágenes, cómics animados.
Semana Contenido
Proceso de desarrollo de aprendizaje
(
pda)
Tema
Lección Páginas del libro del alumno Cuaderno de evidencias Recursos digitales
27
Unidad 3. Construyendo el mundo 162-163
Me preparo 164-165
28
Regularidades y
Patrones.
Representa algebraicamente una sucesión
con progresión aritmética de figuras y
números.
• Progresiones aritméticas de figuras y números.
• Representación algebraica de una sucesión con
progresión aritmética.
1. Progresiones
a
ritméticas
166-171
Ficha 14
Trabajo digno para todos
29
Funciones.
Relaciona e interpreta relaciones proporcional y no proporcional a partir de su representación tabular, gráfica y con diagramas.
Variación proporcional y no proporcional a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica.
2. Variación lineal prop
orcional y
rectas
172-179
Ficha 15
Cultura del agua
Modela y resuelve diversas situaciones a través de ecuaciones proporcionales con constante positiva y negativa.
Problemas de variación proporcional.
3. Modelación con va
riación
proporcional
180-183
30
Construcción y propiedades de las figuras planas y cuerpos.
Construye y clasifica triángulos y cuadriláteros a partir del análisis de distinta información.
• Clasificación y construcción de triángulos.
• Clasificación y construcción de cuadriláteros.
4. Construcción
d
e triángulos
y cuadriláteros
184-189
Ficha 16
Arquitectura sostenible
Circunferencia, círculo y esfera.
Traza círculos a partir de distinta información.
Construcción de círculos a partir de diversa información.
5. Construcción
de
círculos
190-191
31
Medición y cálculo en diferentes contextos.
Obtiene y aplica fórmulas o usa otras estrategias para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y del círculo.
• Perímetro y área de triángulos.
• Perímetro y área de cuadrilátero.
• Perímetro del círculo.
6. Perímetro y área de tr
iángulos, cuadrilá-
teros y círculos
192-197
Ficha 17
Cuidar los ecosistemas
Calcula el volumen de prismas rectos con base triangular o cuadrangular.
Cálculo del volumen de prismas rectos con base triangular o cuadrangular.
7. Volumen de prismas rec
tos
198-203
32
Introduce la idea de distancia entre dos puntos como la longitud del segmento que los une.
Encuentra la distancia de un punto a una recta y la distancia entre dos rectas paralelas.
• Distancia entre dos puntos (mínima longitud del segmento que los une).
• Distancia de un punto a una recta y (mínima longitud del segmento que los une).
• Distancia entre dos rectas paralelas (mínima longitud del segmento que las une).
8. Distancias en el
plano
204-209
Ficha 18
Rutas y croquis
33
Explora la desigualdad del triángulo.
Posibilidad y unicidad en las construcciones de triángulos. 9. Construcción
d
e triángulos
210-215
Idéntica y aplica los criterios de congruencia de triángulos.
Criterios de congruencia de triángulos. 10. Criterios de con- gr
uencia de
triángulos
216-221
34
Interpretación de la información a través de medidas de tendencia central y de dispersión.
Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y justifica con base en ellas sus decisiones.
• Medidas de dispersión: rango.
• Elección de medida de tendencia central representativa y el rango de un conjunto de datos.
11. Análisis de datos y me
didas de
tendencia central
222-225
Ficha 19
Vida submarina en peligro
35
Azar e incertidumbre en la ocurrencia de eventos cotidianos.
Identifica diversos procedimientos de conteo y los usa para resolver problemas.
• Técnicas de conteo (Principio de multiplicación).
• Técnicas de conteo (Regla factorial).
12. Procedimientos de con
teo
226-229
Ficha 20
Micro plásticos en el cuerpo
Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.
Probabilidad frecuencial.
13. Probabilidad f
recuencial
230-233
36
Qué aprendí 234-235
Construimos futuro. Contando cultivos 236-237
15? ?odos los derec:os reser?adosH Macmillan /ducaciónH ?.q. de C.q?.

Plan de clase Semana escolar 1
Entrada de unidad
Tema
• Diversos tipos de operaciones
• ODS: 9. Industria, innovación e infraestructura
Me preparo
Tema •
Orden de los números
• Fracciones y decimales
• Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división
• Características de las figuras geométricas
• Análisis de datos
Libro del alumno: Páginas 12-15
Fecha:
Entrada de unidad
Comience guiando la lectura de la imagen, pregunte ¿Qué observan?
Deje que respondan libremente y luego pida que lean el párrafo hasta
antes de la pregunta y platiquen sobre los usos que tienen la inte- ligencia artificial y el
gps. Pida que vuelvan a leer la parte del texto
que menciona que se hacen millones de operaciones por segundo
y pregunte ¿Qué operaciones creen que se realicen?
Gran parte de la unidad 1 del libro se centra en temas de opera-
ciones aritméticas. Comente que saber hacer cálculos correctamente no sólo es necesario al usar tecnología, sino que es una habilidad que
todas las personas deben desarrollar para desenvolverse en activida-
des laborales, administrar un negocio o llevar la cuenta de los gastos corrientes en la vida cotidiana.
Indique que uno de los alumnos lea en voz alta el pie de imagen
y luego comenten si en realidad se puede considerar que no se nece- sita de un conductor. Si es posible, explique un poco más el funcio-
namiento de un vehículo autónomo y si puede transitar en todo tipo de ciudades y en cualquier calle, sin importar la estructura de ésta.
Organice un debate sobre la pregunta: ¿Qué efectos tendrán es-
tas tecnologías en el trabajo de conductores de transporte público
o de carga? Mencione que, si bien la
ia y el gps sirven de apoyo
para la localización y movilización, algunas personas consideran que podrían generar desempleos en el caso del transporte público y de carga. Pida que los estudiantes reflexionen sobre los transportistas y pregunte ¿Qué harían si se vieran forzados a abandonar su empleo
debido a estos avances tecnológicos? Escuche el debate y lleguen
a una conclusión.
Me preparo
El objetivo de esta evaluación es que los estudiantes recuperen
y apliquen conocimientos previos adquiridos en educación primaria,
los cuales les permitan desarrollar nuevas habilidades y aprender
nuevos conceptos.
Pida a sus estudiantes que resuelvan de manera individual las
actividades propuestas. Lo importante es que obtenga un diagnós- tico rápido que le permita implementar las estrategias de enseñanza necesarias para subsanar las carencias que identifique en los alum- nos. Posteriormente, puede resolver cada actividad de forma grupal. A continuación, se proponen algunas preguntas para guiar el análisis de la solución.
Actividad 1. Pida que identifiquen al número mayor y al menor de
todos. Después pida que ordenen en una lista los negativos y en otra, los positivos. Por último, junten ambas listas y escriban los números en orden, de izquierda a derecha, para ubicarlos en los espacios de la recta numérica.
Actividad 2. Puede dibujar en el pizarrón una recta numérica ver-
tical e indicar la dirección en la que se consideran movimientos po-
sitivos y negativos. A partir de ahí podrán identificar el signo de los avances y descensos.
Actividad 3. Pida que elaboren una tabla en la que clasifiquen los
nombres de los animales de la imagen en mamíferos y no mamíferos.
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Me preparo
A menudo a los estudiantes se les dificulta ordenar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. Antes de reali- zar la evaluación diagnóstica, pregunte conceptos básicos de
números decimales y fraccionarios; por ejemplo: ¿Cómo suman
dos números negativos? ¿Cómo es el signo al sumar un número
positivo con un negativo? Basados en sus respuestas, prepare una clase introductoria para que recuerden lo visto en primaria acerca del tema.
Otro error que cometen los alumnos es confundir la clasifi-
cación de animales. Antes de realizar la evaluación diagnóstica,
pida que indaguen y platiquen entre ellos acerca de la clasifi- cación de los animales vertebrados. Construya una tabla en el pizarrón con los resultados de los estudiantes.
Algunos alumnos se equivocan al leer datos en tablas
y gráficas. Analice un ejemplo en el que se requiera la lectura y construcción de información y realice preguntas para exami- nar la gráfica correspondiente.
16© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
En el siguiente libro encontrará ejercicios sobre operaciones
aritméticas
•
Matemáticas 1, Saberes fundamentales. Secundaria,
México, Ediciones Castillo, 2023.
Audiovisual
En el siguiente video se describe por medio de un ejemplo cómo construir gráficas de barras. •
“Cómo hacer una gráfica de barras”, disponible en
www.edutics.mx/xSd
Sitios web
La siguiente página contiene información general de distintos tipos de operaciones aritméticas. •
“Aritmética”, disponible en www.edutics.mx/xST
Este material es de utilidad para repasar conceptos de geo- metría acerca de figuras planas. •
“Figuras planas”, disponible en www.edutics.mx/xNE
En la siguiente página de internet encontrará información y ejemplos de la clasificación de los animales vertebrados. •
“Clasificación de los seres vivos”, disponible en
www.edutics.mx/xNL
Recursos digitales
• La evaluación diagnóstica también se puede resolver con el recur
so interactivo “Me preparo”.
Interdisciplina
La disciplina de Tecnología se puede relacionar con la temática de la entrada de la unidad. El reactivo 3 se relaciona con Ciencias Naturales, ya que en educación primaria estudiaron acerca de la clasificación de los animales vertebrados.
Recursos de apoyo complementarios
A partir de esta tabla podrán calcular el total de animales, la canti- dad de mamíferos y representar esta información como una fracción.
Actividad 4. Pida que escriban la equivalencia en número decimal
de la fracción
1
4
, para que se den cuenta de que equivale a 0.25 y que
esta escritura también es equivalente a 0.250. Si hay dudas sobre esto
último, haga un repaso del valor posicional.
Actividad 5. Las operaciones se deben reescribir en formato vertical
para que sea más sencillo resolverlas e identificar las que tienen errores.
Actividad 6. Solicite que dibujen un polígono cualquiera e identifi-
quen cada una de sus partes. Posteriormente, podrán hacerlo en las
imágenes de la evaluación.
Actividad 7. Para analizar los datos, pida que escriban sobre cada
barra de la gráfica el número de asistentes que representa. Así podrán
identificar las categorías que tienen distintos datos.
Actividad 8. Se espera que no tengan dificultades para leer
la información de la gráfica, ya que sólo deberán identificar la barra
de mayor altura.
Actividad 9. Puede replantear la pregunta de esta forma: ¿Cuántas
categorías hay en la tabla? ¿Cuántas en la gráfica? Pida que imaginen
que cada categoría de la tabla es una caja con etiquetas; entonces
la pregunta sería: ¿Cuántas cajas hay para clasificar la edad de una
persona?
Programa Construimos Futuro
Desarrollo sustentable. Reflexione con los estudiantes cómo la
inteligencia artificial puede ser una herramienta en el desarrollo
sostenible; por ejemplo, respecto a la movilidad urbana, la
ia pue-
de predecir atascos viales y proponer nuevas alternativas de ruta facilitando la movilidad y reduciendo el impacto ambiental.
Notas
17© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

12 Unidad UNO
La Inteligencia Artificial, junto con el
Sistema de Posicionamiento Global
(
A I y G P S, por sus siglas en ingl?s,
respectivamente) son tecnolog?as
importantes en el funcionamiento de los
veh?culos aut?nomos.La
A I puede detectar
a otros veh?culos o personas, controlar la
velocidad, enviar se?ales, dar mensajes,
etc?tera, mediante algoritmos que hacen
millones de operaciones por segundo.
?Qu? efectos tendr?n estas tecnolog?as en
el trabajo de conductores de transporte
p?blico o de carga?
En el funcionamiento de los veh?culos aut?nomos se combina
una computadora, una c?mara y diferentes sensores que
hacen que el coche se mueva solo.
Operando el mundo
13 Me preparo
1.5
Realiza lo que se pide.
Orden de los n?meros
1. Ordena los siguientes n?meros y ub?calos en la recta num?rica.
2. Lee y elige la opci?n correcta.Edad (a?os)
Menos
de 15
36 a 4516 a 25 46 a 5526 a 35 M?s
de 55
0
Asistentes
25
35
20
30
15
10
5
An?lisis de datos
7. Analiza la informaci?n de la tabla y la gr?fica de barras. Luego realiza lo que se pide.
Asistencia al teatro por edad
Edad (a?os) Asistentes
Menores de 15 10
De 16 a 25 14
De 26 a 35 24
De 36 a 45 31
De 46 a 55 29
Mayores de 55 3
a) Colorea en la tabla las celdas que tienen datos distintos a los que se muestran en la gr?fica.
8. Elige la opci?n correcta: de acuerdo con la gr?fica, ?qu? edad tienen las personas con menor asis-
tencia al teatro?
a) Menores de 15 a?os
b) De 26 a 35 a?os
c) De 36 a 45 a?os
d) Mayores de 55 a?os
9. Responde: de acuerdo con los datos de la tabla corregida o la gr?fica, si elegimos al azar a una
persona que asiste al teatro, ?de cu?ntas maneras se podr?a clasificar por su edad?
Operaciones b?sicas: suma, resta, multiplicaci?n y divisi?n
5. Coloca una
si las operaciones son correctas y corrige las que no lo son.
Operaci?n Correcci?n
39 875.123 B 52 764.64 92 639.763
10 0 678 89 795 20 093
5
8

1 4

1 4
7. 1 5 6 43
Caracter?sticas de figuras geom?tricas
6. Marca en cada figura lo que se indica con los colores mostrados.

?ngulos Lados Alturas
15U1
Un alpinista sube al Cofre de Perote y va marcando sus descansos a 1 500 msnm (metros sobre el
nivel del mar), 2 652 msnm y 3 780 msnm. Mientras tanto, un buzo desciende en tres etapas a 10
mbnm (metros bajo el nivel del mar), 18 mbnm y 25 mbnm.
? ?Cu?l de las opciones muestra los valores de los ascensos y descensos en orden?
a) 10, 18, 25, 1 500, 2 652, 3 780
b) B10, B18, B25, 1 500, 2 652, 3 780
c) B10, B18, B25, 3 780, 2 652, 1 500
d) B25, B18 B10, 1 500, 2 652, 3 780
Fracciones y decimales
3. Analiza la imagen y resuelve lo que se pide.
4. Antonio fue a la tienda y pidi?
3
4
kg de lentejas. Si el tendero s?lo tiene bolsas de 0.250 kg, ?cu?n-
tas debe darle?
a) ?Qu? fracci?n del total de animales en la imagen son mam?feros?
5 B5 0 3.325
35
8
B1
14 U1 18 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario Página 14
1. Se escriben en orden de izquierda a derecha. Primero los recua-
dros arriba de la recta y luego los recuadros debajo de la recta.
0, 3.325, 5
−5, −1, 1.5,
35
8
2.
d) −25, − 18, −25, +1 500, +2 652, +3 780
3. a)
6
24
4.
Tres bolsas de lentejas con 0.250 kg cada una.
Página 15 5
.
La operación correcta es:
39 875.123 + 52 764.64 = 92 639.763
Las operaciones que necesitan corrección son:
100 678 − 89 795 = 10 8 83

5
8
−
1 4
=
3 8
7.15 × 6 = 42.9
6
.

7. a)
Asistencia al teatro por edad
Edad (años) Asistentes
Menores de 15 10
De 16 a 25 14
De 26 a 35 24
De 36 a 45 31
De 46 a 55 29
Mayores de 55 3
8. a) Menores de 15 años
9.
La edad se puede clasificar de seis maneras, ya que hay seis
categorías.
Notas
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Plan de clase Semana escolar 2
Lección 1
Contenido. Extensión de los números a positivos y negativos
y su orden.
Aprendizaje. Reconoce la necesidad de los números
negativos a partir de usar cantidades que tienen al cero como
referencia.
Tema. Números simétricos. Valor absoluto.
Lección 2
Contenido. Extensión de los números a positivos y negativos
y su orden.
Aprendizaje. Reconoce la necesidad de los números
negativos a partir de usar cantidades que tienen al cero como
referencia.
Tema. Suma y resta de enteros. Multiplicación y división de
enteros.
Lección 1. Números negativos
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos reconozcan la
utilidad que tienen los números negativos en la vida cotidiana y logren
aplicarlos. Respecto del inciso a), comente que una situación favora-
ble para la empresa, y para cualquier negocio, es tener más activos
que pasivos, y que la situación sería desfavorable en caso contrario.
DESARROLLO. Trace la recta numérica y recuerde a los estudiantes
que el cero es un elemento neutro que separa a los números positivos
de los negativos. Ubique en dicha recta los números −4, −2.5,−
4
3
que
se mencionan en el recuadro. Es importante enfatizar que los números
negativos pueden ser enteros, fracciones o decimales.
Mencione que estos números se usan para representar situacio-
nes de pérdidas, puntos bajo el nivel del mar y pisos subterráneos,
entre otras cosas. Después de resolver la actividad 1, los estudiantes
pueden plantear otros ejemplos.
En la actividad 2, se sugiere que los alumnos copien la recta nu-
mérica en una hoja de mayor tamaño para dar el espacio suficiente
entre los números de modo que se facilite la ubicación de las canti-
dades en la tabla.
Para comprender el concepto de números negativos y simétri-
cos se pueden llevar a cabo actividades lúdicas en el patio. Pida a un
alumno que se levante y deje en el suelo un lápiz como origen (cero);
posteriormente, debe dar varios pasos hacia adelante indicando a sus
compañeros que éstos son cantidades positivas y, por último, pida al
estudiante que retroceda y que señale que esos pasos son cantidades
negativas. Otra actividad que se puede realizar en parejas consiste
en dibujar en el suelo una recta numérica, luego un alumno se colo-
cará en un número mientras que otro deberá identificar el simétrico
y colocarse en él. Si lo considera pertinente, se pueden llevar a cabo
competencias.
Recalque a los estudiantes que las medidas de distancia siempre
son positivas y que el valor absoluto es útil para medir distancias.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Lean
grupalmente el glosario para aclarar el significado de desempeño finan-
ciero, utilidades y start-up. Pida a algunos estudiantes que expliquen
frente al grupo el análisis que hicieron para responder la actividad. Es
posible que surja la idea de sumar cantidades negativas. Reflexionen
un poco al respecto sin profundizar, ya que en la siguiente lección se
explicará cómo realizar ese tipo de operaciones.
Lección 2. Operaciones con números enteros
INICIO. En esta lección los estudiantes analizarán y realizarán opera-
ciones de números con signo mediante el concepto del valor absoluto.
La recta numérica en la imagen es un apoyo gráfico. Es importante que
los estudiantes recuerden que las distancias son cantidades positivas.
DESARROLLO. La recta numérica es de gran apoyo para explicar las
operaciones de números con signo, ya sea que se trace en el pizarrón
o se realicen actividades lúdicas en el patio de la escuela.
Es importante mostrar gráficamente sobre la recta el ejemplo que
se describe en el inciso a) de la página 20 para que los estudiantes
Libro del alumno: Páginas 16-23
Fecha:
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Lección 1. Números negativos
Es común que algunos estudiantes no conozcan la posición de
los números negativos en la recta numérica. Para explicarla,
trace una recta y mencione que se encuentran a la izquierda
del cero. Resalte que los números negativos incrementan su
valor conforme se acercan a éste.
Lección 2. Operaciones con números enteros
Si algunos estudiantes no aplican correctamente la ley de los signos, utilice la recta numérica para explicar las operaciones utilizando ejemplos concretos. De esta forma, al alumno se le facilitará comprender el proceso.
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Libros y revistas
Localización de números en la recta numérica, números simé-
tricos y ley de los signos.
•
Gabriel Hernández Moreno, Matemáticas 1. Cuaderno
de actividades y recursos de aprendizaje, México, Oxford University Press, 2014, pp. 10-15, 210-216, 261-265.
Audiovisual
Video acerca de sumas de números con signo. •
“Cómo sumar y restar números enteros, Método 2,
izquierda derecha”, disponible en www.edutics.mx/xZ6
Sitios web
Página con ejemplos y ejercicios de operaciones de números con signo. • “Operaciones con números enteros. Ejercicios interactivos”,
disponible en www.edutics.mx/xZR
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Ubica correctamente los números negativos y simétricos en la recta numérica.
Portafolio de evidencias •
Revise que la información de las presentaciones
sea clara y los ejemplos y aplicaciones permitan a los estudiantes reafirmar los procedimientos para resolver operaciones.
Mapa conceptual •
Solicite como actividad extra la elaboración de un
mapa conceptual con las definiciones de la lección 1.
Comprende el concepto de valor absoluto de números enteros y lo calcula correctamente.
Resuelve correctamente sumas
y restas de números con signo.
Resuelve correctamente
multiplicaciones y divisiones de
números con signo.
Recursos digitales
• Para complementar los contenidos de la lección 1, se sugiere que los alumnos r
ealicen la actividad interactiva
“El verdadero valor de los números”.
• Para practicar operaciones de números con signo,
se sugiere que los alumnos realicen las actividades interactivas “¡Suma positivos y negativos!”, “Restar positivos y negativos” y “Regla de los signos”.
Interdisciplina
Los años antes de nuestra era se pueden representar usando nú- meros negativos, por lo que es posible relacionar este tema con la construcción de líneas de tiempo de la asignatura de Historia. En la lección 2, la máquina batisfera se relaciona con la disciplina de Tecnología.
Recursos de apoyo complementarios
puedan contestar el inciso b). Reitere que un número con signo ne- gativo representa un cambio de dirección. Permita que los alumnos
resuelvan las actividades de la página 21 de forma autónoma y al ter-
minar trace una recta numérica para explicar la información.
En la actividad de multiplicación aclare que el tiempo, al igual que
la distancia, siempre es una magnitud positiva, pero que para fines
didácticos en las actividades se han representado con números ne-
gativos. Analicen de forma grupal las regularidades de los resultados de la tabla para que sea más sencillo comprender las leyes de los sig- nos. Haga un recordatorio de cómo se relacionan los elementos de la multiplicación y la división con números naturales, para que los estu- diantes identifiquen que estas relaciones se conservan en el caso de números con signo.
Revise con el grupo la formalización de la página 23 y explique
otros ejemplos. Pida a los estudiantes que investiguen en libros o en páginas de internet aplicaciones de la multiplicación y división de nú- meros con signo y que realicen una presentación.
CIERRE. Haga un repaso de los conceptos estudiados en la lección.
Resuelva un par de ejercicios para aclarar dudas acerca de cómo rea-
lizar operaciones con números positivos y negativos.
Programa Construimos Futuro
Desarrollo sustentable. Reflexionen acerca de la importancia de
tener números que permitan medir cantidades negativas, como las
temperaturas, y cómo analizarlas permite explicar el calentamiento
global, sus consecuencias y proponer actividades específicas que
minimicen su impacto en el medio ambiente.
21© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

El valor absoluto de un n?mero es la distancia entre ?ste y el 0 en una recta num?rica; en otras
palabras, es el n?mero sin su signo, es decir, en positivo, y se expresa anot?ndolo entre dos ba-
rras verticales.
Por ejemplo, la distancia de B 3 a 0 es de 3 unidades, por lo que su
valor absoluto es 3 y se representa as?: 33. A su vez, la dis-
tancia de 0 a 3 es de 3 unidades, por lo tanto, el valor absoluto de
3 es 3 y se expresa como 33.
3. Relaciona con una l?nea cada n?mero con su sim?trico. Luego, contesta.
a) ?Cu?l es el n?mero sim?trico del 0? Explica en tu cuaderno.
b) Si se tiene una pareja de n?meros sim?tricos, ?el n?mero positivo siempre es mayor que el ne-
gativo? Usa la recta num?rica para explicar.

4. Ordena los siguientes n?meros, de menor a mayor: B2.5,
8
3
, 8.6, 15, 0, B 9.2, B
8 3
, 9.2, B 8.6,B15, 2.5
0B4 B1B2B3B5B6B7B8B9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Valor absoluto
En ocasiones necesitamos trabajar ?nicamente con valores positivos; por ejemplo una distancia siem-
pre se representa con un n?mero positivo. Por ello, cuando medimos la distancia entre dos n?meros
dentro de la recta num?rica, recurrimos a su valor absoluto.
5. Completa la tabla. Usa la recta num?rica. Observa el ejemplo.
N?mero Distancia al 0 Valor absoluto del n?mero
B12 12
B12 12
28
3
2
B6.3
B
45
10
B3 3 3 3
B3 30
igual distancia al origen
3
B
8 5
B26.5
1 517
8.635
0
B452
−3
0
B3 .1416
59.23
B
24
9
3.1416
B8.635
24
9
−452
1 517
26.5
8 5
B59.23 6. Analiza la situaci?n y repres?ntala en el recuadro usando la recta num?rica.
7. Re?nete en pareja. Analicen la situaci?n y utilicen el term?metro de la figura 1.1 para
responder.
En una ciudad de Canad?, el term?metro marc?, al amanecer, una temperatura de B 15 C. Tres
horas despu?s, se increment? 5.5 C. Al mediod?a, aument? 4 C m?s. Por la tarde, descendi? 3.5 C.
Y, finalmente, al anochecer baj? 3.5 C
a) ?Qu? temperatura marcaba el term?metro al mediod?a?
b) ?Cu?l fue el cambio en la temperatura entre la m?s baja y la m?s alta ese d?a? 1. Analiza el texto y contesta en tu cuaderno.
Conocer el desempe?o financiero de una em-
presa le permite a sus administradores tomar
decisiones respecto a cambios que deben im-
plementar o, bien, por el contrario, determinar
si lo mejor es mantener las operaciones tal y
como est?n. En la tabla se muestran las utili -
dades obtenidas por una s tar t-up durante su
primer semestre de operaci?n.
a) ?En cu?les meses hubo utilidades positivas
y en cu?les negativas? ?Eso qu? significa
para una empresa?
b) ?C?mo se puede determinar si la s tar t-up
tuvo un desempe?o financiero favorable
o desfavorable durante el primer semestre?
CIERRE
Periodo Utilidades ($)
Enero − 9 2 5 0
Febrero 1 00É
Marzo −4 000
Abril −2 2 5 0
Mayo 6 00É
Junio 8 00É
GLOSARIO
desempe?o financiero.C
Medida de crecimientoC
y desarrollo econ?mico de
una empresa.
utilidad. Provecho, inter?sC
o ganancia que se obtiene
de algo.
start-up.CEmpresa queC
desarrolla un modelo deC
negocio innovador,C
generalmente basado en la
tecnolog?a.
Si dos personas caminan por una misma calle recta, en sentidos opuestos, el uno hacia elC
otro, y se encuentran en un punto, que llamaremos ?cero?; y ambas avanzan 2 m, no de-
cimos que una persona camin? 2 m y la otraCB 2 m, sino que ambas caminaron 2 m.C
Independientemente del sentido, la distancia entre dosCobjetos o cantidades siempre se
expresa en valores positivos; y si su posici?n en una recta num?ricaCes negativa, eso no
cambia su valor.
Figura 1.1
Muchos j?venes
deciden unirse para crear
sus empresas. JuntosC
cuentan con diversasC
habilidades en ?reasC
como marketing, dise?oC
gr?fico y programaci?n,
entre otras.
En las zonasC
polares la temperaturaC
desciende por debajo de
los B50C , sin embargo,C
en las ?timas d?cadas, el
calentamiento global ha
provocado registros m?s
elevados. ?Qu? utilidad
tienen los n?merosC
negativos para estudiar
el comportamiento del
clima? N?meros negativos
? Reconoce la necesidad de los n?meros negativos a par tir de usar cantidades
que tienen al cero como referencia.
L1
Unidad UNO
1. Analiza la situaci?n y responde.
Andrea cre? una empresa social en su ciudad, que
ayudar? a zonas de bajos ingresos, en la que hay
demanda de productos b?sicos. La funci?n de su
empresa es vender ?despensas personalizadas?, ya
que ofrece una selecci?n de art?culos que los clien-
tes pueden adquirir o intercambiar por otros de
precio equivalente.
Para conseguir lo anterior, adem?s de obtener un
cr?dito bancario, Andrea recibi? la capacitaci?n
y asistencia de una organizaci?n no gubernamental
(O N G), esto con el prop?sito de hacer crecer su ne-
gocio. Parte de lo que le ense?aron consisti? en
elaborar un balance general quincenal de una mi-
croempresa. En la tabla se muestra el desglose de
activos y pasivos que Andrea ha contabilizado.
Activo Pasivo
Activo corriente Pasivo corriente
Caja y cuentas bancarias $40 000.00 Sueldos de los empleados $20 000.00
Inventario de productos $26 700.00 Cuentas por pagar $6 500.00
Activo no corriente Pagos a proveedores $30 000.00
Veh?culos $18 000.00 Pasivo no corriente
Equipos $6 500.00 Pr?stamo bancario $30 000.00
Locales y oficinas $20 000.00 Total de pasivos $86 500.00
Total de activos $111 200.00
a) De acuerdo con el balance general de Andrea, ?la situaci?n financiera de su empresa es favorable o desfa-
vorable? Explica por qu?.

b) Los capacitadores le sugirieron a Andrea utilizar n?meros negativos en su balance general y registrarlos
en una hoja de c?lculo. ?Por qu? le habr?n hecho esta recomendaci?n?

INICIO
La capacitaci?n y asistencia son impor tantes para promover el
crecimiento econ?mico inclusivo y sostenible.
GLOSARIO
balance general.
Documento que describe la
situaci?n financiera de una
empresa en un momento
dado. En ?l se muestran los
ac tivos (lo que posee) y los
pasivos (lo que debe) en
cier to momento.
16 Los puntos en la recta num?rica son sim?tricos respecto a otro
punto llamado origen porque cada punto B en la recta tiene un pun-
to sim?trico B B tal que el origen es el punto medio del segmento
B. Esto implica que los n?meros negativos y positivos tienen la
misma distancia al origen. En la recta num?rica, los n?meros sim?tricos son aquellos que equi-
distan del 0. Por ejemplo, el n?mero positivo 2 est? a la misma distancia del 0 que el negativo
2; esto quiere decir que ambos son sim?tricos entre s?.
2 2
2 20
DESARROLLO
N?meros sim?tricos y n?meros negativos
Con los n?meros negativos se suelen representar diversas cantidades y medidas de la vida cotidiana;
por ejemplo, p?rdidas de dinero, la profundidad del mar, temperaturas a las que se congela el agua, etc.
Para estudiar los n?meros negativos conviene emplear la recta num?rica.
1. Representa con n?meros negativos las cantidades de las siguientes situaciones.
a) Una empresa registra p?rdidas por $3 000.00.
b) Un submarino se sumergi? a una profundidad de 150 m bajo el nivel del mar.
c) La temperatura de un r?o descendi? a 6 C bajo cero.
2. Completa la tabla; escribe un n?mero que sea mayor que el indicado pero positivo, y uno que sea menor pero negativo. Luego, ubica con un punto los n?meros en la recta num?rica.

N?mero 2 2 3.5 5.5 6
4
5
4
3 5
N?mero mayor positivo
N?mero menor negativo
Para ubicar el lugar que le corresponde a un n?mero negativo en la recta num?rica se debe con-
siderar que los puntos en recta son sim?tricos con respecto al origen.
Un n?mero negativo es aquel que es siempre menor que cero y aparece acomp a?ado por un
signo menos () a su izquierda; por ejemplo, 4, 2.5 o
4 3
, los cuales se leen as?: ?menos cuatro?,
?menos dos punto cinco? y ?menos cuatro tercios?, respectivamente. A su vez, los n?meros
positivos son mayores que cero. Por ello, en la recta num?rica se colocan los negativos a la
izquierda; del cero y los positivos a la derecha.
0
N?meros negativos N?meros positivos
TOMA NOTA
Cada punto que
representa un n?mero y su
correspondiente con el signo
opuesto, son sim?tricos en
la recta num?rica respecto al
origen, por lo que se puede
decir que cada n?mero y su
correspondiente con el signo
opuesto son sim?tricos
respecto al cero.
TOMA NOTA
Cuando un n?mero se escribe sin anteponerle el signo B, se asume que es
un n?mero positivo. Por ejemplo, 3.1 se escribe
como 3.1.
0B4 B1B2B3B5B6B7B8B9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
17
L1 / U1
19
L1 / U1
18
U1 / L1 22 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario Página 16
1. a) Es favorable, ya que el total de activos es mayor que la suma
de pasivos.
b) Respuesta modelo (R. M.). Porque así es más sencillo hacer
los cálculos. Al registrar números positivos y negativos se describe mejor la situación financiera.
1.
a) En febrero, mayo y junio las utilidades fueron positivas. En
enero, marzo y abril las utilidades fueron negativas y se inter-
preta como pérdidas económicas.
b) Se suman, por un lado, las cantidades de los meses con utili-
dades positivas y, por otro, las utilidades negativas. Al com- pararlas, se puede saber si la empresa tuvo un desempeño financiero favorable o desfavorable. Utilidades positivas: $15
000; utilidades negativas: $15 500. Entonces, como
15 500 > 15 000, se deduce que la start-up tuvo un compor-
tamiento económico desfavorable.
Página 17 1.
a) −$3 000.00
b) −150 m
c
)
−6 °C
2. R. M.
Número 2−23.5−5.56
1
4
−4

3 5
Número mayor positivo 3 1 4 1 7 5
Número menor negativo−1−3−1−6−4−5
Página 18
3.
Se deben formar las parejas: 3 y − 3, −2 6.5 y 26.5,
8 5
y −
8 5
, 8.635
y −8.635, 59.23 y −59.23, 3.1416 y −3.1416,
24
9
y −
24
9
.
a)
R. M. El simétrico del 0 es el 0, porque es el origen y se loca-
liza a la misma distancia de sí y del resto de los números.
b) Sí, porque al ubicar los números simétricos en la recta, el
número positivo siempre está a la derecha del 0, y el 0 a la
derecha del número negativo.
4. Los números ordenados quedan:
−15, −9.2, −8.6, −2.5, −
8
3
, 0, 2.5,
8 3
, 8.6, 9.2, 15
5.
Número Distancia al 0Valor absoluto del número
−12 12 ∙−12∙ = 12
28 28 ∙28∙ = 28
3 2 3 2
∙
3 2
∙ =
3 2
−6.3 6.3 ∙−6.3∙ = 6.3
−
45
10
45
10
∙−
45
10
∙
= ∙
45
10
∙
Página 19
6.
R. M.
7
.
a) −5.5 °C.
b) El cambio fue de 9.5 °C, porque es la distancia que hay entre
−15 °C (temperatura más baja) y −5.5 °C (temperatura más
alta).
INICIO
DESARROLLO
CIERRE
−7−6 −3 −1 1 3−5−4 −2 0 2 4 65 7
−6 −3 −1 1 3−5−4 −2 0 2
2 m 2 m
4 65
Notas
23© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Multiplicaci?n y divisi?n de n?meros enteros
B15 B9 B3 3 9B12 B6 0 6 1215
B9 B3 3 9B12 B6 0 6 1215B15
c) Completa las tablas para verificar tus respuestas anteriores.
Situaci?n del inciso a) Situaci?n del inciso b)
Segundo Operaci?n Resultado Operaci?n Resultado
B1 3 1 3 1
−2 3 C2 3CC2
B3 3 C3 3CC3
B4 3 C4 3CC4
B5 3 C5 3CC5
En todo producto es posible asociar dos divisiones. Por ejemplo, con el producto 6C 3CC18, se rela-
cionan 18 6C 3 y 18 3CC6.
6. Re?nete en equipo. Acuerden la estrategia y los procedimientos para completar la tabla.
N?mero 1 N?mero 2 Producto Divisiones relacionadas
1 B5 1 B5 B5 1 B5 5 5 B5 1
4 B10
B1 6
B7 8
B9 B8
B2 B7
a) Una ciclista pasa al lado de una
se?al de autob?s punto 0, en
direcci?n este, con una veloci-
dad de 3 metros por segundo.
?En d?nde estaba hace 5 se-
gundos? M?rcalo en la recta
num?rica.
b) Una ciclista pasa al lado de una
se?al de autob?s punto 0, en
direcci?n oeste, con una velo -
cidad de 3 metros por segundo.
?En d?nde estaba hace 5 se-
gundos? M?rcalo en la recta
num?rica.
TOMA NOTA
Los n?meros enteros son
la uni?n de los n?meros
naturales, sus opuestos y el
cero. Se representan en la
rec ta num?rica y se denotan
como {..., B 3, B2, B1, 0, 1,
2, 3, ...}.
La multiplicaci?n de n?meros naturales se puede interpretar como la suma repetida de un mismo
n?mero. Exploremos esta idea para la multiplicaci?n de n?meros enteros.
5. Analiza cada situaci?n y haz lo que se pide. Considera que la recta representa la posici?n. La
distancia es positiva y el signo menos indica direcci?n (Oeste, Este).
Este
Oestea) Discutan las siguientes preguntas y anoten sus conclusiones. ?Qu? relaci?n existe entre
los productos de las divisiones de n?meros con signo contrario? ?Y en los de las divisiones
de n?meros con el mismo signo?
1. Analiza el texto y responde
en tu cuaderno.
Una batisfera se sumerge en
el mar, de tal manera que la
distancia que recorre cada
minuto es constante.
a) En 13 min, la batisfera se
sumerge a B39 m de pro-
fundidad respecto al nivel
del mar. ?Cu?ntos metros
desciende por minuto?
b) Respecto al nivel del mar,
?a qu? punto llegar? despu?s de media hora? ?Y despu?s
de 2 h?
c) ?Cu?les procedimientos utilizaste para llegar a tus
resultados?
d) Comparte tus respuestas con el resto del grupo.
CIERRE
7. Haz una presentaci?n con diapositivas en la que expliques las reglas de la suma, resta, multiplicaci?n y divisi?n de n?meros enteros; muestres ejemplos y propongas algunas si-
tuaciones pr?cticas en las que se apliquen.
La batisfera de Jacques Piccard expuesta en el Deutsches Museum en
Munich, Alemania.
GLOSARIO
batisfera. Ar tefacto,
dise?ado por el ingeniero
estadounidense Otis
Bar ton en 1929, para poder
estudiar el entorno marino.
ENLAZA
En la expedici?n realizada por Jacques Piccard a la Fosa de las Marianas en la d?cada de 1950, se descubrieron varias especies de peces y crust?ceos que nunca hab?an sido vistos. ?Crees que estos descubrimientos apoyen la teor?a de la evoluci?n? ?Por qu??
Multiplicaci?n de dos n?meros enteros
1 Si tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
El producto tiene signo positivo. Por ejemplo, 2 B 3 6 y 2 B 3 6.
2 Si tienen distinto signo (uno positivo y otro negativo).
El producto tiene signo negativo. Por ejemplo, 2 B 3 6 y 2 B 3 6.
Observa que el orden de los factores NO altera el resultado.
Divisi?n de dos n?meros enteros
1 Si tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
El cociente tiene signo positivo. Por ejemplo, 6 3 2 y 6 3 2.
2 Si tienen distinto signo (uno positivo y otro negativo).
El cociente tiene signo negativo. Por ejemplo, 6 3 2 y 6 3 2.
TOMA NOTA
En matem?ticas, un fac tor es cada uno de los n?meros que se multiplican. Por ejemplo, 5 B 4 tiene dos
fac tores: 4 y 5. El produc to es el resultado de la multiplicaci?n.
PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo de la ac tividad 7 para tener evidencia de tu aprendizaje.Operaciones con n?meros enteros
? Reconoce la necesidad de los n?meros negativos a par tir de usar cantidades
que tienen al cero como referencia.
L2
Unidad UNO
1. Analiza la situaci?n y responde.
En una escuela primaria, los alumnos de quinto
grado aprenden c?mo resolver operaciones con
n?meros negativos, pero algunos tienen difi-
cultades para comprender el tema. Por ello, los
profesores dan clases de refuerzo, bas?ndose
en la programaci?n de videojuegos. En el pro -
grama que utilizan, se requiere que un personaje
se mueva de izquierda a derecha, pero cono-
ciendo siempre su posici?n.
a) Observa la imagen y responde. ?Qu? recurso
gr?fico puedes emplear para ubicar al per-
sonaje?
b) ?En qu? posici?n est? el ninja respecto de la
espada? ?Y qu? distancia hay entre ?ste y el drag?n?
c) Si se quiere que el drag?n tenga el doble de estatura y el ninja la mitad, ?por
cu?l n?mero hay que multiplicar sus alturas?

INICIO
DESARROLLO
Conocer aspec tos de programaci?n es una de las competencias
necesarias en el siglo
X X I. 2. Re?nete en pareja y hagan lo que se pide.
a) Comprueben en sus cuadernos que el resultado de 4 B 6 es igual al de 4 6 y que el de
4 B 6 es igual que 4 6. Pueden usar una recta num?rica. Consideren que el segundo
signo en 4 (6) y (4) 6 indica ?cambiar de direcci?n? en una recta num?rica. Es decir, dos
signos menos () consecutivos se convierten en signo m?s (B); o sea, (()) B.
b) Completen los espacios para que cada igualdad sea cier ta.
? 4 −7CC4C C7CC11
? 2CC7CC2C CC
? 6CC8CC C CC2
? 6CC9CC C CC
3. Escribe los n?meros que faltan en las sumas y restas de n?meros positivos y negativos.
? 11 B 2 ?
15 10 ? 19 4
? 18 7 C C ?
C CBC8CC24C ? C9CC CC
4. Completa la tabla de operaciones. Observa el ejemplo.
Operaci?n
Valor absoluto de
los sumandos
Mayor valor absoluto menos
menor valor absoluto
Signo del n?mero con
mayor valor absoluto
Resultado
8 B 9 8 9 9 8
1 1
13 B 5
16 B 15
216 B 135
582 B 270
Como has visto en la actividad 4 anterior, utilizando el valor absoluto, podemos sumar n?meros posi-
tivos y negativos.
C Suma de dos n?meros enteros
1CSi los sumandos tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
Se suman los valores absolutos de los n?meros y el resultado conserva el signo de ambos. Por ejemplo,
2 B 3CC5 y en (2)CB (3) se efect?a
2CBC3CC5, pero el signo de 2 y 3 esC , as? que el resultadoC
de (2)CB (3) es 5.
2CSi tienen distinto signo (uno positivo y otro negativo).
Al valor absoluto mayor se resta el valor absoluto menor, y el resultado tendr? el signo del n?mero con ma-
yor valor absoluto. Por ejemplo, en 2 CB (3) se tiene que
3CC2 y entonces 3CC2C 3C 2CC1, pero elC
signo del n?mero cuyo valor absoluto es mayor , as? que el resultado de 2B(3) es 1. Observa queC
(3)CB 2CC1; as?, en el caso de la suma, el orden de los sumandos no altera el resultado.
Resta de dos n?meros enteros
1CComo los n?meros negativos representan cantidades opuestas a los n?meros positivos, restar un n?meroC
de otro equivale a sumar su sim?trico.
Por ejemplo, 2 (3)
2 B 3 2 B 3 5 y (2) (3) (2) B 3 (2) B 3 3 B (2) 1.
21
L2 / U1
102B2B1
Suma y resta de n?meros enteros
Los n?meros negativos, el cero y los positivos forman el conjunto de los n?meros enteros. Saber sumar y restar n?meros enteros es una habilidad matem?tica que se pone en pr?ctica en diversas ?reas pro-
fesionales, como la ingenier?a, la econom?a, la f?sica y la inform?tica, entre otras.
1. Re?nanse en equipos y realicen lo que se pide.
a) Analicen el texto y comprueben si lo que se expresa es cier to o no.
b) Resuelvan las operaciones. Ay?dense con la recta num?rica. ? 2 3
? 2 −3CC
TOMA NOTA
Cuando se suman n?meros
positivos y negativos, se
emplean par?ntesisC C para
indicar adecuadamente elC
signo de los sumandoNC
y as? evitar confusiones.
Por ejemplo, 2C C2 se debe
escribir 2CC2.
GLOSARIO
programa. Es una secuencia
de instrucciones que una computadora puede interpretar para hacer una funci?n espec?fica.
Para calcular 5 5, ubicamos el 5 en la recta num?rica. A su vez, nos moveremos a la
izquierda para sumar n?meros negativos, y hacia la derecha para sumar n?meros positivos.
As?, par tiendo del 5, nos movemos 5 unidades a la izquierda, ya que sumamos B 5. Por lo
tanto, el resultado es 0.
? 2 3
? 2 −3CC
20
23
L2 / U1
22
U1 / L2 24 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. INICIO
DESARROLLO
CIERRE
Página 20
1. a) R. M. Una recta numérica.
b) El ninja está a dos unidades de la espada y a cuatro unidades
del dragón.
c) La estatura del dragón se debe multiplicar por 2 y la estatura
del ninja por 0.5 o por
1
2
.
1.
a) Desciende 3 m por minuto.
b) Después de media hora (30 minutos) llegará a −90 m, des-
pués de dos horas (120 minutos) estará a − 360 m.
c) R. M. Primero dividí −39 ÷ 13 = −3. Como el signo sólo
muestra la dirección hacia la que se mueve la batisfera y las
distancias son positivas, se contesta sin considerar el signo:
3
m por minuto. Para el inciso b), multipliqué 3 por el tiempo
en minutos e indiqué la respuesta utilizando el signo menos para señalar que la distancia hace referencia a la profundidad.
1.
a) Cierto, pues 5 + (–5) = 0.
b) • 2 + 3 = 5 • (–2) + 3 = 1
• 2 + (–3) = –1 • (–2) + (–3) = –5
Página 21
2.
a) R. M. Se traza una recta numérica y se marcan los números
como desplazamientos, considerando que los positivos repre-
sentan desplazamientos a la derecha y el signo menos indica cambiar de dirección, es decir, cuando hay dos signos menos
consecutivos, el primero indica un cambio de dirección a la
izquierda y el segundo otro cambio de dirección, pero a la dere-
cha. Así se comprueba que 4 + 6 = 4 – (–6) porque – (–6) = 6,
es decir, 4 + 6. También se comprueba que (–4) + (–6) = (–4) – 6
porque (–6) = –6, es decir, (–4) – 6.
b) • 4 –(–7) = 4 + 7 = 11 • (–6) –(–8) = (–6) + 8 = 2
• 2 –(–7) = 2 + 7 = 9 • (–6) –(–9) = (–6) + 9 = 3
3. • 11 + (−9) = 2 • –15 –(–10) = –5 •–19 – 4 = –23
• 18 – 7 = 11 •–16 + (–8) = –24
• Respuesta libre (R. L.) 9 – (–3) = 12
4.
Operación
Valores
absolutos ...
Mayor menos
menor ...
Signo
del ...
Resultado
8 + (−9) 8 9 9 − 8 = 1 − −1
13 + (−5)13 5 1 3 − 5 = 8 + 8
(−16) + 15 16 15 16 − 15 = 1 − −1
(−216
)
+ 1352161 35216 − 135 = 81− −81
582 + (−270)582270582 − 270 = 312+ 312
P
ágina 22
5.
a)
b)
c)
Situación del inciso a) Situación del inciso b)
SegundoOperaciónResultadoOperaciónResultado
−1 3 × (−1) −3 (−3 ) × (−1) 3
−2 3 × (−2) −6 (−3) × (−2) 6
−3 3 × (−3) −9 (−3) × (−3) 9
−4 3 × (−4) −12 (−3) × (−4) 12
−5 3 × (−5) −15 (−3) × (−5) 15
6.
Núm.
1
Núm.
2
Producto Divisiones relacionadas
1 −5 1 × −5 = −5 1 = −5 ÷ (−5)−5 = −5 ÷ 1
4−104 × (−10) = −404 = −40 ÷ (−10)−10 = −40 ÷ 4
−1 6 −1 × 6 = −6−1 = (−6) ÷ 66 = (−6) ÷ (−1)
−7
8 −7
× 8 = −56−7 = (−56) ÷ 88 = (−56) ÷ (−7)
−9−8−9 × (−8) = 72−9 = 72 ÷ (−8)−8 = 72 ÷ (−9)
−2−7−2 × −7 = 14−2 = 14 ÷ (−7)−7 = 14 ÷ (−2)
Página 23
a) En las divisiones con dividendo y divisor con signo contrario
el resultado es negativo, y en las divisiones cuyo dividendo
y divisor tienen signos iguales el cociente es positivo.
7. R. L. La información en las diapositivas debe incluir la formaliza-
ción y ejemplos concretos en la recta numérica.
−15
Este
−12 −3 3 9−9−6 0 6 1215
−15
Oeste
−12 −3 3 9−9−6 0 6 1215
25

Plan de clase Semana escolar 3
Lección 3.
Contenido. Extensión de los números a positivos y negativos
y su orden.
Aprendizaje. Compara y ordena números con signo (enteros,
fracciones y decimales) en la recta numérica y analiza en qué
casos se cumple la propiedad de densidad.
Tema. Orden en los números enteros, fraccionarios
y decimales positivos y negativos en la recta numérica.
Propiedad de densidad en los números enteros, fraccionarios
y decimales.
Libro del alumno: Páginas 24-27
Fecha:
Error frecuente
Lección 3. Orden y densidad
Es común que los estudiantes ordenen incorrectamente los
números decimales cuando estos no tienen la misma cantidad
de cifras. Pida que ubiquen el número decimal con la mayor
cantidad de cifras y, con base en él, los otros números deben
completar los lugares faltantes con ceros. Ejemplo: para ordenar
3.0252, 3.1 y 3.012, sugiera dejar a todos los números con la misma cantidad de dígitos; entonces, a 3.1 se le agregan tres ceros al final y a 3.012 se le añade un cero, quedando 3.1000 y 3.0120, respectivamente.
Orientaciones didácticas
Lección 3. Orden y densidad
INICIO. El objetivo de esta lección es que los estudiantes analicen
y ordenen números enteros, fraccionarios y decimales, tanto positivos
como negativos; además, se espera que comprendan que siempre
habrá (para los casos de los decimales y las fracciones) un número
entre otros dos propuestos. Para entender el contexto de la actividad,
indague y explique qué es un calibrador Vernier. Si es posible, lleve
uno a la clase para mostrar su funcionamiento. Explique que al analizar
el tamaño de las piezas, se espera que todas las medidas obtenidas sean muy parecidas, por lo que al ordenarlas de menor a mayor se identifican aquellas que están en los extremos y, por lo tanto, pueden
ser distintas. Se espera que los estudiantes respondan la actividad de
la sección de inicio de manera independiente.
DESARROLLO. Pida a algún alumno que lea en voz alta la sección
“Toma nota” de la página 24. Haga un repaso del valor posicional
para escribir números decimales y posteriormente para ordenarlos.
En cada caso utilice varios ejemplos. Debido a que es probable que
algunos estudiantes aún tengan dificultades con este tema, se su-
giere motivar a todos a participar en el repaso para aclarar las dudas
e identificar a aquellos alumnos que necesitan realizar actividades
extra para reafirmar este conocimiento. Vale la pena invertir el tiem-
po necesario, ya que de esta forma los alumnos tendrán menos di-
ficultades para comprender cómo realizar operaciones con este tipo
de números.
Use la información de la página 25 para hacer un recordatorio
del uso de los símbolos “mayor que” y “menor que”. Mencione que se
utilizan para comparar enteros, fracciones y decimales tanto positi-
vos como negativos.
Para recordar las partes de una fracción, escriba una en el pizarrón
y pida que uno o dos alumnos anoten los nombres. Complemente con
la información de la sección “Toma nota”. Posteriormente, analicen los
tres casos para comparar fracciones. Si es necesario, haga un repaso
de cómo se obtienen fracciones equivalentes. Realice la actividad 2 de
manera grupal, utilizando sobre todo los pasos descritos para el
caso 3. Plantee otros ejemplos para comparar fracciones e incluya
números positivos y negativos, de esa forma los estudiantes podrán
resolver con mayor facilidad la actividad 3.
Explique el concepto de densidad de números trazando una recta
numérica y ubicando dos números decimales. Divida la distancia entre
dichos números en 10 segmentos y escriba los números correspon-
dientes a cada segmento. Revise de forma grupal las respuestas de
la actividad 4, enfatizando que siempre es posible ubicar un decimal
(fracción) entre otros dos. Hay que señalar que en la explicación se
utilizan las fracciones o decimales que están justo a la mitad de otros
dos, pero la propiedad de densidad indica que hay una cantidad infinita
de números, así que pueden ser cualesquiera. Los estudiantes deben
notar que en el caso de los enteros no existe la propiedad de densidad.
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Evaluación
Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Lee y escribe correctamente
números decimales a partir de su
valor posicional.
Portafolio de evidencias
•
Las actividades 1 y 3 permiten comprender cómo ordenar fr
acciones y decimales.
Recta numérica para representar la densidad •
La construcción de la recta numérica de la sección de cierr
e también es útil como instrumento de
evaluación.
Ordena y compara correctamente números decimales.
Ordena y compara correctamente
números fraccionarios.
Comprende el concepto de
densidad de los números
decimales y fraccionarios.
Libros y revistas
Representación, orden y densidad de los números decimales. •
Alicia Ávila y Silvia García Peña, Los decimales: Más que
una escritura, México, inee, 2008.
Audiovisual
Un ejemplo para trazar rectas numéricas con GeoGebra. •
“Ubicar números racionales en la recta numérica”,
disponible en www.edutics.mx/x4D
Sitios web
Para relacionar con la idea de densidad. •
“Paradojas de Zenón”, disponible en www.edutics.mx/x4R
Interdisciplina
El calibrador Vernier se relaciona con la disciplina de Tecnología. También es un instrumento que se utiliza en el laboratorio, por lo que les puede indicar a los alumnos que lo busquen cuando rea- licen alguna actividad experimental para Ciencias.
Recursos de apoyo complementarios
CIERRE. La actividad de cierre permite relacionar el concepto de
densidad con la comparación de fracciones. Realice una retroali- mentación de los conceptos estudiados en la lección. Explique a los estudiantes cómo utilizar GeoGebra para llevar a cabo la actividad. Ya que la aplicación permite realizar acercamientos, se puede hacer zoom en el eje x y observar como aparecen más subdivisiones. Con
este recurso es más fácil comprender la idea de densidad. Solicite a los alumnos que para la representación de ambos casos en GeoGe-
bra, deberán mostrar las divisiones hasta milésimos. Pida que con- sulten el video en el apartado “Recursos de apoyo complementarios”.
Recursos digitales
• Para practicar los temas de la lección, se sugiere que los alumnos realicen las actividades inter
activas “A la mitad”,
“Punto y seguido” y “¿Quién gana?”.
Programa Construimos Futuro
Valores y educación socioemocional. La temática al inicio de la
lección permite reflexionar sobre el compromiso ético con clientes
y pacientes que tienen las empresas dedicadas a diseñar y ma- nufacturar equipos médicos, útiles en el tratamiento y prevención de enfermedades.
27© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Para comparar n?meros enteros, decimales y fraccionarios, resulta de ayuda representarlos en una
recta num?rica. Los n?meros negativos se comparan como los positivos, pero teniendo en cuenta que
un n?mero negativo es menor a medida que se encuentra m?s a la izquierda del cero. Por
ejemplo, B7. 5 B3.21.
N?meros
N?mero ubicado m?s
hacia la derecha
N?mero mayor
N?mero ubicado m?s
hacia la izquierda
N?mero menor
15 y 8
35 y 35

3
5
y
7
12
0.42 y 0 . 51

3 5
y 0 . 51
Una propiedad de los n?meros decimales y fraccionarios, que resulta muy importante al realizar una
medici?n, es poder representar un n?mero entre dos fracciones o decimales dados.
4. Haz lo que se pide y contesta. Utiliza tu regla si lo consideras necesario.
a) Ubica en la recta num?rica las parejas de puntos. Pareja 1: B 0.25, B 0.35. Pareja 2:
7
20
y
1
4
.
B1 0 1
b) Ubica en la recta num?rica los puntos que est?n en medio de las parejas de n?meros.
B1 0 1
c) ?Puedes ubicar otros puntos entre cada par de n?meros que has situado en la recta num?rica?
Explica.

d) ?Es posible encontrar m?s decimales entre dos n?meros decimales? ?Y qu? pasa con las frac-
ciones?

PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo de la
ac tividad 3 para tener
evidencia de tu aprendizaje.
a) Escriban un ejemplo de la vida cotidiana en el que se requiera comparar n?meros fraccio-
narios y decimales.

C O N S U LTA
Para repasar el tema de orden de decimales y fracciones, entra en
www.edutics.mx /NUZ
3. Re?nete en equipo. Completen la tabla.
Propiedad de densidad de n?meros decimales
y fraccionariosEntre dos n?meros decimales o fraccionarios siempre es posible hallar otro n?mero. Por lo tanto, entre dos n?-
meros decimales o fraccionarios hay una infinidad de n?meros decimales o fraccionarios diferentes. A esto se
le conoce como la propiedad de densidad.
Ejemplo. Entre un par de n?meros fraccionarios o decimales, al menos existe otro que es su punto medio.
5. Re?nanse en equipos. Consideren s?lo los n?meros enteros para responder.
a) Entre un par de n?meros consecutivos, ?cu?ntos n?meros enteros hay? Por ejemplo, entre 9 y
10 o entre B 5 y B4?
b) ?Se cumple la propiedad de densidad en los n?meros enteros? Explica.

Para n?meros decimales
Se divide en d?cimos
Se divide en cent?simos
Entre 3.4 y 3.5 se ubica 3.45
Para n?meros fraccionarios
Se hallan las fracciones equivalentes
Se divide en cent?simos
Entre
1
2
y
3 5
se ubica
55
10 0

3.4 3.5
3.4 3.5
3.40 3.50
1
2
3 5
5
10
6
10
50
10 0
60
10 0
55
10 0
CIERRE
1. Analiza el texto y realiza en tu cuaderno lo que se pide.
Entre dos n?meros fraccionarios siempre hay una infinidad de n?meros fraccionarios dife-
rentes; por ejemplo, el punto medio entre ellos dos: dadas dos fracciones, existe otra que es
su punto medio, y entre el punto medio y una de las fracciones anteriores hay otra fracci?n
que es el punto medio, etc?tera. Adem?s del punto medio hay otras fracciones que se
pueden construir como en los ejercicios anteriores. Entre dos n?meros fraccionarios, en
la recta num?rica, existe un sinn?mero de otros n?meros fraccionarios, a esta propiedad
de los n?meros fraccionarios se le conoce como densidad.
a) ?C?mo usas una recta num?rica para ejemplificar lo anterior? Usa GeoGebra.
TOMA NOTA
El concepto de inf inito, que
se simboliza por ?, se usa
en matem?ticas, f ilosof?a oC
f?sica para hacer referenciaC
a una cantidad sin l?mite o
sin final.
3.45
C H N S U LTA
Para repasar el tema de propiedad de densidad,C entra enC www.edutics.mx /NUk
Densidad
3
5
CBC
12
20
CC
13
20
CC
7
10
CBC
14
20
Encontrar el volumen entreC
3 5
yC
7
10
É
1
20
1
10
1 5 3
10
2 5 5
10
3 6
12
20
13
20
7
10
14
20
4 5 9
10
5 5
B 1 ? Compara y ordena n?meros con signo (enteros, fracciones y decimales) en la rec ta num?rica y analiza en
qu? casos se cumple la propiedad de densidad.
L3Orden y densidad
Unidad UNO
INICIO
1. Analiza la situaci?n y responde.
Una empresa dise?a y manufactura piezas que se utilizan en la fabricaci?n
de equipos m?dicos especializados. Para que estos equipos funcionen de
manera id?nea, es indispensable cuidar no s?lo la calidad de los materiales
sino tambi?n las medidas de las piezas fabricadas, pues esto significa es-
tablecer un compromiso de credibilidad con sus clientes y, escencialmente,
una responsabilidad ?tica con los pacientes. En la reciente semana, la em-
presa atendi? un pedido de piezas, por lo que el personal de control de
calidad utiliz? un instrumento de precisi?n para verificar su tama?o. De un
lote, se tomaron 8 piezas al azar y las medidas de su di?metro eran las si-
guientes (en cent?metros): 0.516, 0.514, 0.409, 0.519, 0.521, 0.511 y 0.518.
a) Ordena de menor a mayor el di?metro de las piezas.

b) ?Consideras que haber ordenado de menor a mayor las medidas de las
piezas sirvi? de algo? Argumenta tu respuesta.

DESARROLLO
Ordenamiento de n?meros en la recta num?rica
La recolecci?n, ordenamiento y an?lisis de datos forma parte de muchas actividades diarias, no s?lo de la investigaci?n cient?fica y el desarrollo tecnol?gico.
La innovaci?n tecnol?gica requiere
de habilidades matem?ticas.
Para saber si un n?mero decimal es mayor que otro, se debe comparar el valor posicional de cada una de sus cifras.
Valor posicional
? CentenasDecenas Unidades .d?cimascent?simasmil?simas
?
4 2 3 . 6 5 4
Al comparar dos n?meros decimales, consideraremos los siguientes casos:
1 Si sus cifras enteras son distintas, el mayor ser? aquel que presente un valor posicional superior dentro de estas; por ejemplo, 423.654 es mayor que 422.563 porque el entero 423 vale una unidad m?s que el 422.
2 Si sus cifras enteras son iguales, el mayor ser? determinado por el valor posicional de los d?gitos situados a la derecha de sus puntos decimales; por ejemplo, 23.763 es mayor que 23.754 porque el 6 es mayor que 5, es decir, tiene un valor mayor en la posici?n de las cent?simas.
C O N S U LTA
Para aprender m?s acerca
del manejo de los signos en
las operaciones de suma,
resta, multiplicaci?n
y divisi?n de n?meros
enteros, entra en
www.edutics.mx /N3n y
www.edutics.mx /N3e
TOMA NOTA
El valor posicional es aquel que tiene un d?gito seg?n la posici?n que ocupa dentro de un n?mero.
24 1. Usa los s?mbolos o para ordenar de menor a mayor estos n?meros decimales: 0.2, 0.5,
0.15, 0.75, 0.35, 1.1, 1.95, 1.3, 1.25, 1.75, 1.8. Luego ub?calos en la recta num?rica.

Por lo general, la comparaci?n entre n?meros enteros o decimales es m?s sencilla que entre frac-
ciones, en particular, cuando ?stas presentan diferente numerador y denominador.
2. Analiza la situaci?n y ordena las fracciones de menor a mayor.
En una tlapaler?a reciben un pedido de brocas de diferente tama?o y tipo (figura 3.1) y la due?a
desea acomodarlas, de menor a mayor, en un exhibidor. ?stas son las medidas en pulgadas:
5
32
,
5
64
,
1
16
,
3
32
,
7
64
,
1
4
,
33
64
,
1 8
,
3
16
,
7
32
,
1
32
y
9
16
.
Figura 3.1 La medida de
una broca indica el tama?o
de su di?metro y, por lo
general, se expresa en
fracciones de pulgada.
0 1 2
Para saber si un n?mero fraccionario es mayor que otro (ambos positivos), es necesario com-
parar sus denominadores o numeradores, seg?n sea el caso:
1 Si ambos presentan el mismo denomina-
dor, el n?mero mayor es aquel que tiene
el numerador mayor; por ejemplo:
7
5
B
4 5
porque ambas fracciones tienen el
mismo denominador, que es 5, entonces
se comparan los numeradores 7 y 4, de
donde 7 B 4 y se concluye que
7
5
B
4 5
.
2 Si ambos presentan el mismo numera-
dor, el n?mero mayor es aquel que tiene
el menor denominador; por ejemplo:
9
11
B
9
13
porque ambas fracciones tienen
el mismo numerador, que es 9, entonces
se comparan los denominadores, 11 y
13, de donde 11 13 , y se concluye
que
9
11
B
9
13
.
3 Si ambo s presentan distinto numerador y denominador, entonces:
a) es necesario convertir cada fracci?n en una equivalente, con el mismo denominador,
para compararlas; por ejemplo:

5
7
y
6
9
, para comparar estas fracciones se convierten a unas equivalentes con el mismo
denominador:
5 7

45
63
y
6 9

42
63
; por tanto, como
45
63
B
42
63
, entonces
5 7
B
6
9
.
b) se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el deno-
minador de la primera por el numerador de la segunda. Si el primer producto es mayor
que el segundo, entonces la primera fracci?n es mayor que la segunda; en caso contra-
rio la segunda fracci?n es mayor que la primera. Si los productos son iguales, entonces
las fracciones son equivalentes; por ejemplo:

11
13
y
14
17
, para comparar estas fracciones se calcula 11 17 187 y 13 14 182,
de donde 187 B 182, y entonces
11
13
B
14
17
.
TOMA NOTA
Las fracciones est?n
formadas por dos
n?meros: el numerador y el
denominador. El segundo,
distinto de cero, indica el
n?mero de par tes iguales en
que se divide la unidad;
y el primero, indica las
par tes iguales que se
consideran.
TOMA NOTA
Los s?mbolos menor que (B) y mayor que () se
utilizan en matem?ticas para comparar n?meros, es decir, saber cu?l es mayor o menor que otro. Por ejemplo, 3 2
se lee como ? tres es mayor que dos?; y 2 B 3 se lee ?2
es menor que tres?.
25
L3 / U1
27
L3 / U1
26
U1 / L3 28 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario INICIO
DESARROLLO
CIERRE
Página 24
1. a) 0.409, 0.511, 0.514, 0.516, 0.518, 0.519, 0.521.
b) R. M. Al ordenar las medidas, se nota una diferencia entre el
menor tamaño y los demás. Dejar pasar esta pieza podría tener consecuencias negativas en el funcionamiento del equipo médico, así que retirarlo sería una buena decisión.
1.
a) Para hallar una fracción entre otras dos.
Como se puede apreciar en el libro del alumno, se buscan
fracciones equivalentes entre
3
5
y
7
10
. Dichas fracciones son
12
20
y
14
20
. De esta manera se halla la fracción
13 20
, por lo cual
3
6
<
13 20
<
7
10
.
Para hallar dos decimales entre otros dos, por ejemplo, 5.44
y 5.45, se busca una fracción equivalente con denominador
mayor que 100, pues hay dos cifras significativas en la parte
decimal.
5.44 = 5 +
440
1 000
y 5.45 = 5 +
450
1 000
5 +
445
1 000
= 0.445, entonces, 5.44 < 0.445 < 5.45.
P
ágina 25
1.
Los números quedan ordenados:
0.15 < 0.2 < 0.35 < 0.5 < 0.75 < 1.1 < 1.25 < 1.3 < 1.75 < 1.8
< 1.95
b)
c) Sí, siempre se puede ubicar un punto que esté a la mitad de
otros dos.
d) R. M. Sí, siempre se puede encontrar otro número decimal
entre cada par de números decimales y lo mismo ocurre entre
cada par de fracciones.
Página 27
5.
a) Ninguno, pues los números enteros no contienen a los núme-
ros fraccionarios ni a los decimales.
b) No, porque entre un número entero y su consecutivo inme-
diato no hay otro número entero.
2. Las fracciones quedan ordenadas:
1
32
,
1
16
,
5
64
,
3
32
,
7
64
,
1
8
,
5
32
,
3
16
,
7
32
,
1 4
,
33
64
,
9
16
Página 26
3.
Números
Número
ubicado
más
hacia la
derecha
Número
mayor
Número
ubicado
más
hacia la
izquierda
Número
menor
−15 y − 8 −8 −8 −15 −15
−35 y 35 35 35 −35 −35
−
3
5
y −
7
12
−
7
12
−
7
12
−
3 5
−
3 5
−0.42 y − 0.51−0.42 −0.42 −0.51 −0.51
−
3 5
y −0.51 −0.51 −0.51 −
3 5
−
3 5
a) Se utilizan fracciones o decimales al comparar la masa de ali-
me
ntos u objetos que están en fracciones de kilogramo, tam-
bién al comparar capacidades en litros o medidas en metros,
centímetros, etcétera.
4
a)
0.2
0.150.35 0.75 1.25 1.751.95
0.5 1.11.3 1.80 1 2
−0.25
1
4
7
20
−1 0 1− 0.35
−0.25
−0.35
−0.3 0.3
1 47
20
−1 0 1
Notas
29© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Plan de clase Semana escolar 4
Lección 4
Contenido. Extensión de los números a positivos y negativos
y su orden.
Aprendizaje. Reconoce el significado de las cuatro
operaciones básicas al operar números con signo.
Tema. Algoritmo para realizar la suma de fracciones.
Algoritmo para realizar la resta de fracciones.
Libro del alumno: Páginas 28-31
Fecha:
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Lección 4. Suma y resta de fracciones
Es común que los alumnos tengan dudas acerca de las tablas de
multiplicar. Haga un repaso general antes de explicar el tema.
Respecto a las operaciones con fracciones, algunos estu-
diantes no logran relacionar la técnica para realizar la suma
y resta de las mismas. Relacione el orden en el que se realiza el algoritmo con alguna figura; por ejemplo, use la técnica de
la “carita feliz” o el método de la “mariposa”, de esta manera los
estudiantes pueden asociar. Agregue una serie de ejercicios ex-
tra para los alumnos que así lo requieran. En el algoritmo de la resta de fracciones, el error más común en los estudiantes es el manejo de los signos. Si es el caso, refiéralos a las lecciones 2
y 3 como retroalimentación de las operaciones de números con
signo y asigne actividades extra referentes al tema.
Lección 4. Suma y resta de fracciones
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos reconozcan
la utilidad que tienen los números fraccionarios en la vida cotidiana y logren operar sumas y restas en una situación real.
Exponga ejemplos diferentes a los del libro y realice preguntas de-
tonadoras, como ¿Han escuchado las frases: un cuarto de hora, hora y media, media vuelta? ¿Sabes qué capacidad tienen las botellas de agua: medio litro, litro y medio?
Respecto del contexto, comenten la importancia del cuidado del
medio ambiente haciendo uso del transporte público y de la bicicleta. Los estudiantes deben notar que la cantidad de gasolina utilizada de
lunes a miércoles representa todo el tanque. Observe los métodos
que utilizan para resolver, uso de fracciones equivalentes, dibujos,
algoritmos formales, etcétera, para conocer el nivel de conocimiento sobre el tema.
DESARROLLO. Pida que los estudiantes encuentren una fracción
equivalente para
2
5
y
2 7
, de tal manera que éstas tengan el mismo
denominador. Los resultados deben ser
14
35
y
10
35
, respectivamente.
Mencione que estas fracciones son las que deben representar en la
recta numérica. Con esto, los estudiantes pueden resolver la actividad 1.
Permita que quienes tengan dificultades para comprender el al-
goritmo para sumar fracciones utilicen como apoyo la recta numérica
en las demás actividades.
Después de relacionar las operaciones con el desarrollo y su resulta-
do, pida que copien en su cuaderno cada operación completa de forma
ordenada para que quede más claro cómo se realiza. Posteriormente,
proponga otras sumas de fracciones para que algunos estudiantes las
resuelvan frente al grupo, o bien, de forma individual en sus cuadernos.
En la respuesta de la actividad 3, revise que hayan anotado todas
las operaciones. Es importante que los alumnos comprendan la equi-
valencia de fracciones para una mejor comparación de las cantidades
de sustancia en cada uno de los recipientes. Para resolver la actividad
4, mencione que se deben obtener fracciones equivalentes que con-
tengan el denominador de la fracción del resultado. Con ello se les
facilitará encontrar el valor pedido. Ya que el tema de equivalencia de
fracciones es fundamental para comprender los algoritmos de suma
y resta de fracciones, vale la pena hacer varios ejercicios para asegu-
rarse de que los estudiantes lo dominan.
Pida a los alumnos que resuelvan las actividades que se proponen
en la página de la sección “Con TIC’s” como un complemento a la clase.
En la actividad 7, solicite a los alumnos que dibujen las tarjetas en
hojas y que recorten cada pieza de las fracciones dadas para formar
un rompecabezas que complete
1
2
.
30© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
Libro con ejercicios de suma y resta de fracciones.
• Matemáticas 1, Saberes fundamentales. Secundaria,
México, Ediciones Castillo, 2023.
Audiovisual
Video sobre sumas de fracciones. •
“Suma de fracciones por el método mariposa”, disponible
en www.edutics.mx/x35
Videos sobre temas relacionados con fracciones para hacer
repasos o aclarar dudas.
• “Fracciones”, disponible en www.edutics.mx/x3S
Sitios web
Ejemplos y ejercicios interactivos de sumas y restas de fracciones. •
“Suma y resta de fracciones”, disponible en
www.edutics.mx/x3T
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Realiza sumas de fracciones de manera eficiente utilizando el algoritmo aprendido.
Portafolio de evidencias •
Pida a los estudiantes que incluyan las tarjetas de la
actividad 7 de la lección 4.
Memorama •
Las tarjetas de memorama, junto con las operaciones
que realizaron para relacionar las tarjetas, son un indicador del dominio de los temas.
Realiza restas de fracciones utilizando de forma correcta el algoritmo.
Identifica correctamente
la operación para resolver un
problema.
Interdisciplina
El problema de la competencia de tres amigos en una carrera
se relaciona con la disciplina de Educación física, mientras que
el problema del tanque de gasolina se relaciona con Tecnología.
Recursos de apoyo complementarios
Para reafirmar la lección, plantee a la clase varios ejercicios de suma
y resta de fracciones. Incluya sumandos enteros o fracciones mixtas. Una actividad lúdica que se puede plantear en clase es la elaboración
de un memorama con tarjetas que tengan operaciones de suma o res-
ta y sus resultados. Los estudiantes se organizarán por parejas para jugar memorama. Pueden resolver primero todas las operaciones de suma y resta en las tarjetas y, posteriormente, ya conociendo los re-
sultados, sólo jugar a recordar la ubicación de las tarjetas relacionadas.
CIERRE. Revise que al final de las operaciones se den cuenta que
es mejor operar con fracciones equivalentes. Es necesario que desarro-
llen la habilidad de operar mentalmente con las fracciones. Apóyelos en la consolidación de su manejo y uso, ya que se requiere para
los próximos contenidos.
Las actividades de la Ficha 1 del Cuaderno de evidencias les
permitirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de suma y resta de fracciones, y crear conciencia acerca de alguna situación relacionada con hambre cero.
Programa Construimos Futuro
Desarrollo sustentable. Comente con los alumnos las acciones que pueden llevar a cabo que tengan un impacto positivo en el medio ambiente. A partir de la agricultura de proximidad, reflexione con sus estu- diantes acerca de la importancia de elegir alimentos locales y de
temporada y cómo su participación influye en el cuidado del entorno
y el uso eficiente de recursos, lo cual tiene un impacto positivo en el medio ambiente.
Recursos digitales
• Para complementar los contenidos de la lección, se sugiere que los alumnos r
ealicen la actividad interactiva
“Suma y resta de fracciones”
31© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Resta de fracciones
Restar fracciones nos permite resolver diversas situaciones en la vida diaria, como llevar un control de
ventas en una recauder?a.
4. Lee la situaci?n, completa la tabla y responde.
David llen? el tanque de gasolina de su carro para hacer un viaje. Recorri? 160 km e hizo tres pa-
radas. En los medidores de gasolina se observa el decremento en la cantidad de combustible cada
vez que el auto se detuvo.
a) ?En cu?ntas partes est? dividido el medidor de gasolina?
b) ?Cu?nto disminuy? la cantidad de gasolina de la parada 1 a la 3?
c) Si, despu?s de la parada 3, necesita
1
10
del tanque de gasolina para llegar a su destino, ?lograr?
hacerlo? Explica tu respuesta.

Parada 1 Parada 2 Parada 3
Indicador
Fracci?n
del tanque
consumido
Resta de fracciones
1 Para restar de fracciones con el mismo denomina-
dor, se restan los numeradores de las fracciones y
se conserva el denominador de ambas.
2 En la resta de fracciones con diferente denominador,
se multiplican entre s? los denominadores para ob-
tener un denominador com?n; luego se multiplica el
denominador de la primera fracci?n por el numera-
dor de la segunda, y el numerador de la segunda
por el denominador de la primera. Se simplifica la
fracci?n resultante cuando sea posible.
3 Cuando se requiere efectuar la resta de un n?mero
entero y una fracci?n, el entero se convierte en una fracci?n con denominador 1 y luego se usa el m?to-
do descrito en el punto 2. 5. Completa las fracciones de tal manera que se obtenga el total en cada caso. Anota tus
operaciones.
a)
7
8
B

10
16
b)
3 4

1 8

c)
1 4

2 5

6. Lee la situaci?n y completa la tabla.
Edith hizo diversos c?lculos y lleg? a la conclusi?n de que, para cumplir con su meta de dar
el enganche de un departamento en no m?s de tres a?os, debe ahorrar
3
10
de sus ingresos.
Considera que la fracci?n del ahorro, comida, servicios y renta no puede cambiar.
p?ginas
9 y 10
Cuaderno
de evidencias
CIERRE
Concepto Renta Comida Servicios
Diversiones
y otros gastos
Ahorro
Cantidad
1
5

1 5

1 5

3
10

7. Re?nete en pareja. Empleen las fracciones
1
3
,
3
12
y
1
12
para obtener
1 2
con sumas o restas entre
ellas. Usen las tarjetas para responder.
1. Lee el texto y contesta en tu cuaderno.
Para la preparaci?n de cuatro porciones de
mousse de pera, Alexis necesita:
1 ? Tazas de agua
3 Piezas de peras en mitades
? Taza de piloncillo rallado
1 Ramita de canela
2 Piezas de an?s estrella
14 Gramos de grenetina en polvo
1 ? Taza de crema para batir
a) Alexis har? 12 porciones para un pedido de venta, ?qu? fracci?n debe aumentar de
cada ingrediente? ?Cu?les son las nuevas cantidades?
b) Luego, le encargaron 6 porciones. Alexis piensa que restando
3
4
,
3 2
,
1 8
,
1 2
, 1, 7 y
3 4
, res-
pectivamente, a las cantidades de los ingredientes para 8 porciones obtiene las nuevas
cantidades. ?Es cierto? ?C?mo lo sabes? ?Cu?les son las nuevas cantidades?
C O N S U LTA
Para saber m?s acerca de la
resta de fracciones, visita
www.edutics.mx /NUu
www.edutics.mx /NUL
GLOSARIO
mousse. Postre de origen
franc?s, cuya base es la clara de huevo o la crema de leche batida, lo que le da consistencia esponjosa.
Existen
alternativas para que
nuestras creaciones
culinarias sean m?s
amigables con el
ambiente, como elegir
productos locales o
reducir el consumo de
productos de origen
animal. ?Se te ocurre
alguna?? Reconoce el significado de las cuatro operaciones b?sicas al operar n?meros con signo.
Suma y resta de fraccionesL4
Unidad UNO
INICIO
1. Analiza la situaci?n y responde.
En las grandes ciudades, entre m?s personas se decidan a utilizar
bicicletas, y los gobiernos mejoren las condiciones del transporte
p?blico, no s?lo habr? beneficios en t?rminos econ?micos y de cali-
dad de vida, sino que dichas acciones tendr?an un impacto positivo
en la comunidad en general, reduciendo la congesti?n vehicular, la
contaminaci?n y emisiones de gases de efecto invernadero. Dar?o se
ha enterado de esto y registr? el consumo de gasolina de su auto-
m?vil durante media semana para conocer cu?nto podr?a ahorrar.
DESARROLLO
Suma de fracciones
Sumar fracciones es importante en la vida diaria cotidiana, dado que nos permite resolver diversas si-
tuaciones, como calcular la cantidad correcta de cada ingrediente en una receta de cocina.
1. Utiliza la recta num?rica para representar la suma de fracciones en cada caso.
a) Tres amigos compiten en una carrera a campo traviesa por equipos. El primero de ellos recorri?
2
5
y el segundo,
2 7
del circuito. ?Qu? fracci?n del recorrido total debe cubrir el tercer integrante?

Un transpor te p?blico ef iciente disminuye la
congesti?n del tr?nsito, mejorando la movilidad
en las ciudades.
D?a Lunes Martes Mi?rcolesJueves Viernes S?bado Domingo
Consumo de gasolina
(tanque)
1
4
1 2 1 4
a) ?Cu?nto consumi? en total de lunes a mi?rcoles? ?Tendr? que llenar nuevamente el tanque para el si-
guiente d?a?
b) Si el jueves no us? su carro, ?cu?nto tendr? que consumir el viernes para que le quede
3
4
de tanque para
el s?bado? ?Y cu?nto el s?bado para que el domingo gaste
2 8
de tanque y quede vac?o? Completa la tabla.

0 1
10
b) En un experimento de f?sica, se cuelgan tres pesas en distintos momentos y el resorte sufre una
elongaci?n de
2 5
,
1 3
y
1
4
de su longitud original, cada que se a?ade una pesa, respectivamente
(figura 4.1). Si la longitud inicial del resorte era de 1 m, ?qu? longitud tendr? con las tres pesas?
2. Anota la letra que relaciona cada operaci?n con el algoritmo y el resultado que les corresponde.
a)
3
8
B
4 5

(2 8) B (5 4)
5 8

47
40
b)
6
3
B
7
10

3 8

15
40
y
4 5

32
40

15
40
B
32
40

27
10

c)
2 5
B
4 8

6
3

60
30
y
7
10

21
30

60
30
B
21
30

9
10
3. Re?nete en pareja. Hagan lo que se pide.
a) Para llevar a cabo una reacci?n secuencial se debe mezclar, simult?neamente, el contenido de
los vasos de precipitado (Figura 4.2).
b) ?Qu? fracci?n de litro corresponde a la suma del l?quido de los tres vasos? Anoten las
operaciones.
Suma de fracciones
1 Para la suma de fracciones con el mismo denomina-
dor, se suman los numeradores de las fracciones y se
conserva el denominador de ambas.
2 En la suma de fracciones con diferente denominador ,
se multiplican entre s? los denominadores para ob-
tener un denominador com?n; luego se multiplica el
denominador de la primera fracci?n por el numera-
dor de la segunda, y el numerador de la segunda
por el denominador de la primera. Se simplifica la
fracci?n resultante cuando sea posible.
3 Cuando se requiere sumar un n?mero entero y una fracci?n, el entero se convierte en una fracci?n con denominador 1 y luego se usa el m?todo descrito en el punto 2.
GLOSARIO
reacci?n secuencial. Tipo
de reacci?n qu?mica en la
que el produc to se convier te
en reac tivo de la siguiente,
en una secuencia de
reacciones.
1
4
B
5 4

1 B 5
4

6 4
4 B
2 6

4 1
B
2 6

24 B 2
6

26
6

13
3
2 6
B 4
2 6
B
4 1
B
2 B 24
6

26
6

13
3
C O N S U LTA
Para saber m?s acerca de la
suma de fracciones, visita
www.edutics.mx /NU2
www.edutics.mx /NUB
Figura 4.2
2
6
B
3 4

(2 4) B (6 3)
6 4

8 B 18
24

26
24

13
12
29
L4 / U1
1
4
1 3
2 5
Figura 4.1
28
B
1
2
Mousse de pera.
31
L4 / U1
CON TIC?S
Entra en www.edutics.mx /
NnZ para sumar y restar
fracciones.
1
3
B
5 3

1 B 5
3

B4
3
B
4 3
2 6

B

3 4

(2 4) (6 (B3)
6 4

8 B 18
24

B10
24

B
10
24
B
5
12
4 B
2 6

4 1
B
2 6

24 B 2
6

22
6
2 6
B 4
2 6
B
4 1

2 B 24
6
B
22
6
30
U1 / L4 32 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 28
1.
Día L M Mi J V S D
Consumo
de gasolina
(tanque)
1
4
1 2 1 4
1
1 4 1 2 1 8
a) De lunes a miércoles consumió todo el tanque:
1 4
+
1 2
+
1 4
= 1.
S
í, tendrá que llenar el tanque para el jueves.
b)
Viernes
1 4
, ya que 1 −
1 4
=
3 4
.
Sábado
1 2
, ya que
3 4
−
1 2
=
1 4
=
2 8
.
1. a) El tercer integrante debe cubrir
11
35
de circuito.
b)
La longitud será de 1
59
60
m
≈ 2 m.
La recta se debe subdividir en 60 partes en el intervalo de 1
a 2 y se ubican de forma consecutiva las fracciones
24
60
,
20
60

y
15
60
, hasta llegar a la fracción 1

59
60
, que se obtiene al sumar
a 1 las fracciones
2 5
,
1 3
y
1 4
.
Página 29
2. El orden en las letras de las tres columnas queda de la siguiente
forma.
a) c) a)
b) a) b)
c) b) c)
Par
a relacionar las tres sumas con su desarrollo y resultado.
3
8
+
4 5
=
15
40
+
32
40
=
47
40
6 3
+
7
10
=
60
30
+
21
30
=
27
10
2 5
+
4 8
=
(2 × 8) + ( 5 × 4)
5 × 8
+
9
10
3.
Las fracciones son
1 3
,
1 4
y
1 5
.

1 3
+
1 5
=
5
15
+
3
15
=
8
15
. Por otro lado,
8
15
+
1 4
=
32
60
+
15
60
=
47
60
.
La suma total es de
47
60
de litro.
Página 30
4.

Indicador Parada 1 Parada 2 Parada 3
Fracción consumida
del tanque
−
2
9
−
4 9
−
8 9
a) En 9 partes.
b) Disminuyó
6
9

c)
Sí alcanzará a llegar a su destino porque aún le sobra
1 9
del
tanque de gasolina después de la parada 3, y
1 9
>
1
10
.
Página 31
5.

a)
7
8
+ −
1 4
=
10
16

7 8
−
2 8
=
5 8
=
10
16
b)

3 4
−
1 8
=
5 8

6
8
−
1 8
=
5 8
c)
1 4
−
2 5
= −
3
20

5
20
−
8
20
= −
3
20
6.

Concepto Cantidad
Renta
1 5
Comida
1 5
Servicios
1 5
Diversiones y otros gastos
1
10
Ahorro
3
10
7.
R. M.
INICIO
DESARROLLO
0
2
5
de cicuito
2 7
de cicuito
11
35
de cicuito
1
14
35
24
35
=+−
1
2
1 3 3
12
1
12
33

© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Solucionario
Restando las porciones indicadas por Alexis:

6
2
−
3
4
=
18
8
=
9 4
tazas de agua
6 −
3 2
=
9 2
piezas de pera

1 2
−
1 8
=
6
16
=
3 8
taza de piloncillo
2 −
1 2
=
3 2
ramitas de canela
4 − 1 = 3 piezas de anís estrella
28 − 7 = 21 g de grenetina
3 −
3 4
=
9 4
tazas de crema para batir
La cantidad para seis personas también se puede obtener al
sumar a las cantidades originales lo que se requiere para dos
porciones más.

3
2
+
3 4
=
9 4
tazas de agua
3 +
3 2
=
9 2
piezas de pera

1 4
+
1 8
=
3 8
taza de piloncillo
1 +
1 2
=
3 2
ramitas de canela
2 + 1 = 3 piezas de anís estrella
14 + 7 = 21 g de grenetina

3 2
+
3 4
=
9 4
tazas de crema para batir
Por lo tanto, es cierto lo que piensa Alexis.
1.
a) Para 12 porciones, cada ingrediente se debe aumentar tres
veces:
9 2
tazas de agua, 9 piezas de pera,
3 4
de taza de pilon-
cillo, 3 ramas de canela, 6 piezas de anís estrella, 42 g de gre-
netina,
9 2
tazas de crema para batir.

3 2
+
3 2
+
3 2
=
9 2
tazas de agua
3 + 3 + 3 = 9 piezas de pera

1 4
+
1 4
+
1 4
=
3 4
taza de piloncillo
1 + 1 + 1 = 3 ramas de canela
2 + 2 + 2 = 6 piezas de anís estrellas
14 + 14 + 14 = 42 gramos de grenetina

3 2
+
3 2
+
3 2
=
9 2
tazas de crema para batir
b) Alexis tiene razón. Para 6 porciones las cantidades son:

9 4
tazas de agua,
9 2
piezas de pera,
3 4
de taza de piloncillo,
3 2

ramitas de canela, 3 piezas de anís estrella, 42 g de grenetina
y
9 4
tazas de crema para batir.
8 porciones ÷ 4 porciones = 2 veces los ingredientes.
Para calcular la cantidad para ocho porciones se suman dos
veces los ingredientes originales.

3 2
+
3 2
+
6
2
= 3 tazas de agua
3 + 3 = 6 piezas de pera

1 4
+
1 4
=
2 4
=
1 2
taza de piloncillo
1 + 1 = 2 ramitas de canela
2 + 2 = 4 piezas de anís estrella
14 + 14 = 28 g de grenetina

3 2
+
3 2
=
6
2
= 3 t
Las cantidades que propone Alexis corresponden con la mitad
de cada uno de los ingredientes originales, es decir, lo que se
requiere para dos porciones.

3
2
=
6
4
tazas de agua, la mitad es
3 4
.
3 =
6
2
piezas de pera, la mitad es
3 2
.

1 4
=
2 8
taza de piloncillo, la mitad es
1 8
.
1 =
2 2
ramas de canela, la mitad es
1 2
.
2 piezas de anís estrellas, la mitad es 1.
14 gramos de grenetina, la mitad es 7.

3 2
=
6
4
tazas de crema para batir, la mitad es
3 4
.
Así que al restar a la cantidad requerida para ocho personas
lo que se requiere para dos, se obtienen los ingredientes para
seis porciones.
CIERRE
34

Solucionario Notas
35??kk?Uk??:k??????k?Hq?^?UU?`/???l`H?MqM Mq?M

Plan de clase
Semana escolar 5
Lección 5
Contenido. Extensión de los números a positivos y negativos
y su orden.
Aprendizaje. Reconoce el significado de las cuatro
operaciones básicas al operar números con signo.
Tema. Algoritmo para multiplicar fracciones. Algoritmo para
dividir fracciones.
Libro del alumno: Páginas 32-35
Fecha:
Error frecuente
Lección 5. Multiplicación y división de fracciones
Es común que, al multiplicar (o dividir) fracciones por (entre)
números enteros, los estudiantes apliquen incorrectamente el algoritmo. Mencione que, antes de multiplicar (o dividir), el en-
tero se debe convertir en fracción agregando el denominador 1.
A menudo los estudiantes tienen problemas al representar
gráficamente el producto de fracciones. Explique el método
con varios ejemplos para que ellos resuelvan otros ejercicios.
Frecuentemente sucede que algunos alumnos confunden
las partes de la división y, por ello, no aplican correctamente el algoritmo. Mencione que el dividendo es la cantidad que hay que dividir o repartir y que siempre se escribe primero (o en el numerador, para el caso de fracción de fracciones). El divisor es el número entre el que se va a dividir y se escribe al final (o en el denominador, para el caso de fracción de fracciones).
Orientaciones didácticas
Lección 5. Multiplicación y división de fracciones
INICIO. En esta lección, los alumnos reconocerán la utilidad de los
números fraccionarios en la vida cotidiana y se espera que logren
multiplicarlos y dividirlos como solución a una situación real.
Plantee preguntas como: ¿Para qué nos sirven las multiplicaciones
y las divisiones de fracciones? ¿Qué representamos con ello? ¿Sabes lo
que significa una fracción de fracciones?
Copie en el pizarrón el rectángulo dividido en 10 partes y colo-
ree tres décimos. Posteriormente divida el rectángulo en tres partes,
de modo que en total queden 30 partes. Muestre que la fracción
coloreada sigue siendo tres décimos, así observarán la equivalencia
3
10
=
9
30
. Resalte que es más fácil identificar
2
3
a partir de la fracción
9
30
que a partir de
3
10
.
Hable con los alumnos sobre la pobreza y la inseguridad alimen-
taria. Permita que ellos expresen sus comentarios.
DESARROLLO. Explique al grupo cómo se realiza la multiplicación de
un entero por una fracción y de una fracción por otra. Muestre varios
ejemplos. Incluya multiplicaciones con enteros en los que esta opera-
ción se relacione con la suma repetida. Pida a los estudiantes revisar
la sección “Toma nota” como un complemento a la clase.
Posteriormente, exponga la manera de representar gráficamente
la multiplicación de fracciones. Así podrán entender la idea del algo-
ritmo y contestar la actividad 2.
Presente a los alumnos la información del recuadro con los ca-
sos para la división: 1) una fracción y un entero, y 2) dos fracciones.
Mencione que esta forma de resolver se conoce como la “ley del sánd-
wich”. Explique a los alumnos cómo se obtiene el recíproco o inverso
multiplicativo de una fracción y cómo el producto de un número por
su recíproco da como resultado 1. Después de esta explicación mues-
tre la forma de dividir dos fracciones usando el método del recíproco.
Exponga ejemplos de cada método para dividir fracciones para que
relacionen un método con otro.
Los problemas de la actividad 4 sólo requieren la división de una
fracción por un entero. Para practicar el otro caso, pida a los estudian-
tes que realicen los ejercicios que se plantean en la página sugerida
en la sección “Con TIC’s”.
Haga un dibujo en el pizarrón que muestre la representación grá-
fica de las divisiones del recuadro de formalización. Puede pedir que
resuelvan nuevamente algunas de las divisiones que ya realizaron,
por ejemplo, las del recuadro en la página 34, pero ahora con el mé-
todo gráfico.
Es importante que los estudiantes identifiquen cuáles son las
cantidades que se multiplican y el orden en el que deben realizar
las multiplicaciones. Para ello, plantee varias divisiones para que sean
resueltas de forma individual. Una vez que haya observado que no hay
dudas, podrán realizar la actividad 5 con la hoja de cálculo. Si es ne-
cesario, explique cómo introducir fórmulas en una hoja de cálculo
para realizar operaciones.
36© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Evaluación
Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Realiza multiplicaciones de
fracciones de manera eficiente
utilizando el algoritmo aprendido.
Portafolio de evidencias
•
Pida a los estudiantes que incluyan un ejemplo
resuelto de la hoja de cálculo de la actividad 5.
Formulario •
Solicite a los estudiantes que elaboren un formulario
con las operaciones de fracciones estudiadas en las lecciones 4 y 5.
Realiza divisiones de fracciones utilizando de forma correcta los algoritmos.
Identifica correctamente la
operación para resolver un
problema.
Libros y revistas
Libro con ejercicios de multiplicación y división de fracciones. •
Matemáticas 1, Saberes fundamentales. Secundaria,
México, Ediciones Castillo, 2023.
Audiovisual
Video que explica cómo multiplicar y dividir fracciones. •
“Multiplicación y división de fracciones”, disponible en
www.edutics.mx/x3W
Videos sobre operaciones con fracciones. •
“Fracciones”, disponible en www.edutics.mx/x3S
Sitios web
Ejemplos y ejercicios interactivos de multiplicaciones y divi- siones de fracciones. •
“Multiplicación y división de fracciones”, disponible en
www.edutics.mx/x3q
Interdisciplina
El contexto de la inseguridad alimentaria se relaciona con las dis- ciplinas Biología, Geografía y Formación Cívica y Ética.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• Para practicar la multiplicación y división de fracciones, se sugiere que los alumnos r
ealicen las actividades
interactivas “Fracciones invisibles” y “Numerador por”.
Notas
CIERRE. Indique cómo se puede distinguir en un problema la multipli-
cación de la división de fracciones. De ser necesario, presente breves
ejemplos de cada caso. Hable con los estudiantes sobre la importancia
del cuidado de la producción de alimentos y su desperdicio. Pida que reflexionen en torno a la pregunta ¿Qué se podría hacer para evitar
ese desperdicio?
Programa Construimos Futuro
Desarrollo sustentable. Reflexionen acerca del problema del
desperdicio de alimentos y solicite propuestas de actividades es- pecíficas que lo reduzcan y beneficien a las personas en situación de carencia alimentaria.
37© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Apuntes 2. Usa la representaci?n gr?fica para obtener el resultado de las operaciones. Observa el ejemplo.
Divisi?n de fracciones
Una divisi?n de fracciones no siempre se interpreta de la misma manera que una de n?meros
enteros.
3. Comprueba que
4
7
B
3
6

4 7

6
3
. ?Qu? es lo que se hizo? ?Por qu? se puede usar el rec?proco
de una fracci?n para efectuar la divisi?n de fracciones? Responde en tu cuaderno.
La divisi?n de dos fracciones es una fracci?n que puede simplificarse, si es el caso. Al realizar
esta operaci?n, se suelen presentar dos situaciones:
3
5

2 3

3 2
5 3

6
15

2 5
TOMA NOTA
Una fracci?n se puede
representar como un
n?mero decimal mediante
una divisi?n del numerador
entre el denominador; por
ejemplo:
3
2
B 3 2 B 1.5
TOMA NOTA
El rec?proco de una fracci?n
se obtiene intercambiando
el numerador por el
denominador; por ejemplo,
el rec?proco de
3
2
es
2 3
.
1 Una fracci?n y un n?mero entero. Si hay
un entero en la divisi?n, ?ste se represen-
ta como una fracci?n y luego la divisi?n se
representa como una fracci?n de fraccio-
nes. Para formar el numerador de la nue-
va fracci?n, se multiplica el numerador de
la primera por el denominador de la
segunda; y para formar el denominador,
se multiplica el denominador de la prime-
ra por el numerador de la segunda.
8
9
2 B
8 9

2 1
B
8 9 2 1

B
8 1
9 2
B
8
18
B
4 9
8 9
(2) B
8 9
2
1

B
8 1
9 (2)
B
8
18
B
4 9
4 7

3
6
B
4 7 3
6
B
4 6
7 3

B
24 21
B
8 7
4 7

3
6
B
4 7
3
6

B
4 6
7 (3)
B
24
21
B
8 7

8 9
2 B
8
9 2 1

B
8 1
9 2
B
8
18
B
4 9

8 9
(2) B
8
9
2
1

B
8 1
9 (2)
B
8
18
B
4 9

4 7

3
6
B
4
7 3
6

B
4 6
7 3
B
24
21
B
8 7

4 7

3
6
B
4
7
3
6

B
4 6
7 (3)
B
24
21
B
8 7
2 Dos fracciones cualesquiera. Se repre-
senta la divisi?n como una fracci?n de
fracciones. Luego, para formar el nu-
merador de la nueva fracci?n, se multi-
plica el numerador de la primera por el
denominador de la segunda; y para
formar el denominador, se multiplica el
denominador de la primera por el nu-
merador de la segunda.
3
5
2 3
a)
3
4

5 7
b)
2 3

7 6
c)
4 5

8 3
Ejemplos. Entero y fracci?n Ejemplos. Fracci?n y fracci?n
34 4. Resuelve los problemas. Anota tus operaciones.
b) Para elaborar un vitral, un artesano emplea
1
2
de una hoja de vidrio de 1 m
2
que, a su
vez, dividir? en octavos. ?Cu?ntos octavos
puede obtener en total?
5. Re?nanse en equipos. Organ?cense para hacer una hoja de c?lculo que
les permita multiplicar o dividir fracciones. Consideren cuatro celdas para
introducir los numeradores o denominadores de las ambas fracciones.
1. Analiza el texto y contesta en tu cuaderno.
De acuerdo con cifras del Banco de
Alimentos de M?xico (BAM X), en
nuestro pa?s ?un tercio del alimento
producido anualmente se desperdi-
cia; esa cantidad ayudar?a a 25.5
millones de personas que padezcan
carencia alimentaria?.
a) Si la situaci?n siguiera igual,
?cu?nto se desperdiciar?a desde
2023 al 2030?
b) Si se quiere disminuir a la mitad
el desperdicio de alimentos para
el a?o 2030, ?a cu?nto se deber?a reducir el desperdicio?
c) Realiza en tu cuaderno una representaci?n gr?fica del resultado.
El desperdicio de alimentos tambi?n involucra un
desaprovechamiento de los recursos que se utilizaron
para su elaboraci?n, como agua, combustible, entre
otros.
CIERRE
a) Un floricultor usa
2
3
de L de agua para regar
seis plantas. Si quiere repartir equitati-
vamente el agua, ?qu? cantidad de l?quido
debe administrar a cada planta?
Representaci?n gr?fica de la divisi?n de fracciones
1 Identificamos el n?mero que queremos dividir entre la fracci?n.
Si es un entero, lo representamos como una fracci?n con de-
nominador 1.
2 Escribimos la divisi?n como la multiplicaci?n del n?mero
por dividir por el rec?proco de la fracci?n.
3 Dibujamos un cuadrado cuyos lados midan una unidad para que representen las fracciones por multiplicar y se pueda resolver como una multiplicaci?n.
3 B
1
4
3 4 12
5 4
B
3 2

5 4

2 3

10
12

5
6
Hay muchas
acciones que podemos
hacer desde nuestro
hogar para evitar
el desperdicio de
alimentos; por ejemplo:
? elegir productos locales
y de temporada.
? reducir la cantidad
de produc tos de
origen animal que
consumimos. No m?s
de
1
12
de nuestros
alimentos del d?a.
? evitar comprar m?s
ingredientes de los que
necesitamos.
?Qu? otras acciones se
te ocurren para combatir
este problema?
CON TIC?S
Entra en www.edutics.
mx /Nn4 para multiplicar
fracciones.
Entra en www.edutics.
mx /Nno para dividir
fracciones.
35Multiplicación y división
de fracciones
? Reconoce el significado de las cuatro operaciones b?sicas al operar n?meros con signo.
L5
Unidad UNO
1. Analiza la situaci?n y responde en tu cuaderno.
La inseguridad alimentaria es un problema grave, espe-
cialmente para grupos vulnerables, como mujeres y ni?os.
Debido a factores como la pobreza, el desempleo y la falta
de recursos, muchas personas en el mundo carecen de
alimentos para subsistir. En M?xico, 3 de cada 10 personas
enfrentan alg?n grado de inseguridad alimentaria; dentro
de dicha escala, las mujeres y los menores de edad se en-
cuentran significativamente m?s expuestos a padecer
hambre.
a) En M?xico,
2
3
de las personas con inseguridad alimen-
taria son mujeres (ni?as, jóvenes y adultas). En la figura
de la derecha se representa la fracción
3
10
, que corres-
ponde a quienes viven con inseguridad alimentaria; cópiala y sombrea con azul
2 3
de la parte amarilla
para representar la fracción de mujeres con
inseguridad alimentaria.
b) ?Qu? fracción del total de la población de
M?xico son mujeres con inseguridad alimen-
taria? Explica cómo se representa en el cua-
drado unitario.
INICIO
DESARROLLO
La investigación científica sobre el cultivo de plantas
favorece el acceso a alimentos nutritivos.
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de números fraccionarios no siempre se puede interpretar como una suma repetida,
por lo que su producto no siempre es mayor que cualquiera de sus factores.
La multiplicación de dos fracciones es una fracción que puede simplificarse, si es el caso. Al rea-
lizar esta operación, se suelen presentar dos situaciones:
1 Dos fracciones cualesquiera. Para for-
mar el nuevo numerador, se multiplican los numeradores de las fracciones ini-
ciales; luego se multiplican los denomi-
nadores iniciales para formar el nuevo denominador; por ejemplo,
2 Una fracción y un número entero. El en -
tero se convierte en una fracción con de-
nominador 1 y luego se usa el m?todo descrito en el punto 1. En este caso, la multiplicación sí se asocia con la suma repetida; por ejemplo,
TOMA NOTA
La multiplicación por un
número entero positivo
puede interpretarse como
una suma repetida, en la
que el produc to siempre es
mayor o igual que cualquiera
de los factores.
C O N S U LTA
Para saber más acerca de la inseguridad alimentaria en M?xico, visita
www.edutics.mx /Nij
32
L5 / U1
U1 / L5 Representación gráfica de la multiplicación de fracciones
1. Resuelve los problemas.
a) Para un convivio, se compraron tres cajas
con 12 jugos de
3
4
L cada una. ?Cu?ntos
litros son en total?
En muchas ocasiones, al resolver un problema es conveniente hacer una representaci?n gr?fica del
planteamiento. Lee y observa c?mo se representa una multiplicaci?n de fracciones.
b) David ten?a 1 m
2
de tela y cort?
3
4
m
2
; de
ese pedazo, utiliz?
1 2
para fabricar una bol-
sa. ?Qu? fracci?n de tela ocup? para ello?
1
2 3
7
4
6
3
7
4
6
3
1 Dibujamos un cuadrado, cuyos lados midan una unidad, para representar las
fracciones a multiplicar.
2 Consideramos dos direcciones del cuadrado para representar las fracciones:
a) representamos la primera fracci?n de manera vertical, es decir, los rect?ngu-
los en que se divide el cuadrado deben ser verticales.
b) representamos la segunda fracci?n de manera horizontal, es decir, los rect?n-
gulos en que se divide el cuadrado ser?n horizontales.
3 Sobreponemos los cuadrados para formar una cuadr?cula. El n?mero total de cuadrados peque?os corresponde al denominador de la nueva fracci?n; a su vez, los cuadrados formados por la superposici?n de las franjas verticales y horizon-
tales corresponden al numerador.
4
7
3
6
Entero y fracci?nFracci?n y fracci?n
4
7
B
3
6

4 B 3
7 B 6

12
42

2 7

4 7
B
3
6

4 B 3
7 B 6

12
42

2 7
4 5
B 3
4 5
B
3 1

4 B 3
5

12
5

4 5
B 3
4 5
B
3 1

4 B 3
5

12
5
4 7
B
3
6

4 B 3
7 B 6

12
42

2 7

4 7
B
3
6

4 B 3
7 B 6

12
42
4 5
B (3)
4 5
B
3 1

4 B 3
5

12
5

4 5
B 3
4 5
B
3 1

4 B 3
5

12
5
4
7
B
3
6

33
L5 / U1
38 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 32
1. a)
INICIO
DESARROLLO
CIERRE
Página 33
1. a)
3
4
× 36 =
3 × 36
4
=
108
4
= 27. Equivale a 27 L de jugo.
b) Ocupó
3 8
m
2
de tela, porque
3 4
×
1 2
=
3 × 1
4 × 2
=
3 8
.
Página 34
2. a)
3
4
×
5 7
=
15
28
b)
R. M. La fracción
6
30
está sombreada, a la vez, de amarillo
y azul.
1.
a) El alimento desperdiciado de 2023 a 2030 puede calcularse
como:
Alimento desperdiciado en un año × 8 =
1 3
× 8.
b) Se tendría que reducir a un sexto,
1 3
÷ 2 =
1
6
.
c)

1 3
÷ 2 =
1
6
b)

2 3
×
7
6
=
14
18

c)

4 5
×
8 3
=
32
15

3.

4 7
÷
3
6
=
4 7
×
6
3
=
24 21
=
8 7
Por las propiedades de la división se tiene que si
p
q
÷
a
t
= (A),
entonces A
s
t
=
p
q
, es decir que A
=
p
q

t
s
. Lo cual significa que
p
q
÷
s
t
=
p
q

t
s
.
Página 35
4. a)
2
3
÷ 6 =
2
18
=
1 9
. Debe administrar
1 9
de L a cada planta.
b)
1 2
÷
1 8
=
1 2
×
8 1
=
8 2
= 4. Obtendrá cuatro octavos en total.
5. R. L. La hoja de cálculo debe contener fórmulas con las operacio-
nes necesarias para obtener el producto y el cociente de dos
fracciones.
5
7
4
3
7
6
2
3
39

Plan de clase Semana escolar 6
Lección 6
Contenido. Expresión de fracciones como decimales
y viceversa.
Aprendizaje. Usa diversas estrategias al convertir números
fraccionarios a decimales y viceversa.
Tema. Conversión de números fraccionarios a decimales
positivos. Conversión de números decimales positivos
a fraccionarios (decimales finitos y periódicos).
Lección 6. De fraccionarios a decimales y viceversa
INICIO. Esta lección tiene como propósito que los alumnos identifi- quen los algoritmos para pasar de una fracción a un número decimal y viceversa; además, se espera que reconozcan la utilidad que tienen este tipo de conversiones en la vida cotidiana. Para comenzar, realice preguntas detonadoras como ¿Han escuchado que el contenido de
los envases de bebidas como los jugos se puede medir en fracciones y en decimales? ¿De qué capacidad es el envase del jugo que gene-
ralmente consumes: medio litro, tres cuartos de litro?
Solicite a un alumno que lea la sección “Situación de la educación
en México” y permita que los alumnos expresen sus comentarios.
Escriba en el pizarrón una fracción común sencilla, como
3
4
, y hagan
un repaso de lo que representan el numerador y el denominador.
Puede plantear otros ejemplos para que, de manera natural, los es-
tudiantes sean capaces de escribir las expresiones “tantos de cada
100” o “tantos de cada 10” como una fracción.
Haga también un repaso para que los alumnos recuerden cuál es
el valor de cada número decimal de acuerdo con su posición.
DESARROLLO. Para completar la tabla de la actividad 1, los estudian-
tes pueden hacer las divisiones en su cuaderno o usar la calculadora.
Lo importante es que observen cómo se va recorriendo la posición
del 1 en la escritura decimal dependiendo de los ceros que hay en el
denominador de la fracción. A partir de esa reflexión podrán resol-
ver fácilmente la actividad 2. Pida a los estudiantes revisar la sección
“Toma nota” para que tengan noción de lo que es una fracción decimal.
Explique al grupo la forma de convertir fracciones a números de-
cimales. Resuelva varios ejemplos en los que la división tenga como
residuo cero. En la actividad 4 realicen las conversiones de las dos
formas: expresando como fracción decimal y realizando las divisiones,
para que los estudiantes observen que se obtienen los mismos resul-
tados. Pida a los estudiantes que reescriban algunas de las fracciones
cambiando el numerador o el denominador por su simétrico (número
negativo), para que comprueben que el número decimal que resulta
también es un número negativo.
Mencione que un número periódico es aquel cuya parte decimal
(una o más cifras decimales) se repiten indefinidamente; por ejemplo,
el número decimal periódico 0.666... se escribe también así: 0.6. Señale
que la raya horizontal que se escribe sobre la parte decimal se debe
colocar abarcando el número o números que se repiten. Si considera
que los estudiantes no necesitan repasar cómo realizar una división,
pueden hacer con la calculadora la conversión de las fracciones a nú-
meros decimales en la actividad 5.
Explique al grupo la forma de convertir números decimales (con
parte decimal finita) a fracciones. Resuelvan de forma grupal varios
ejemplos antes de completar la tabla de la actividad 7.
Presente la forma de convertir decimales periódicos a fracciones.
Exponga varios ejemplos, ya que para algunos estudiantes el algoritmo
puede parecer confuso. Lo importante de los números con expresión
decimal periódica no es en sí la conversión a fracciones, si no que los
alumnos conozcan números “no finitos”. Si lo considera pertinente,
mencione que no todos los números con expresión decimal se pueden
Libro del alumno: Páginas 36-39
Fecha:
Error frecuente
Lección 6. De fraccionarios a decimales y viceversa
Con frecuencia los estudiantes tienen problemas al convertir fracciones a decimales porque tienen deficiencias en aplicar el algoritmo de la división. Realice un repaso del algoritmo de la división antes de comenzar con el tema.
A menudo, los estudiantes tienen errores al convertir nú-
meros decimales a fracciones debido a que confunden el valor
posicional de los números decimales. Realice un repaso de este
tema antes de continuar con las conversiones. Presente varios
ejemplos para cerciorarse de que los estudiantes han asimilado
y aprendido a través de los errores que llegan a repetir.
A veces algunos estudiantes tienen problemas para con-
vertir números decimales periódicos a fracción. Explique al me-
nos cinco ejemplos diferentes a los contenidos del libro para reafirmar el aprendizaje del método. Proponga a los alumnos
la resolución de los ejercicios propuestos en las recomenda-
ciones bibliográficas.
Orientaciones didácticas
40© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
Libro con ejercicios de conversión de fracciones a decimales
y viceversa.
•
Matemáticas 1, Saberes fundamentales. Secundaria,
México, Ediciones Castillo, 2023.
Audiovisual
Video que explica cómo multiplicar y dividir fracciones. •
“Convertir decimal periódico a fracción”, disponible en
www.edutics.mx/xwR
Videos sobre operaciones de fracciones. •
“Fracciones”, disponible en www.edutics.mx/x3S
Sitios web
Ejemplos y ejercicios interactivos de conversión de decimal periódico a fracciones. •
“Conversión de decimal periódico a fracción”, disponible en
www.edutics.mx/xwr
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Convierte fracciones a decimales de manera eficiente utilizando el algoritmo aprendido.
Portafolio de evidencias •
Pida a los estudiantes que incluyan el trabajo de la
actividad 10 de la página 39.
Informe •
Verifique que en el informe sobre las acciones para
reducir el rezago educativo expresen cantidades usando decimales y fracciones.
Convierte decimales (finitos y periódicos) a fracciones utilizando correctamente el procedimiento aprendido.
Reconoce y escribe decimales
periódicos usando la notación
correspondiente.
Interdisciplina
El rezago educativo en México se relaciona con las disciplinas de
Geografía y Formación Cívica y Ética, mientras que el problema
de medidas de llaves y tuercas tiene que ver con la disciplina de
Tecnología.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• Para practicar los contenidos de la lección, se sugiere que los alumnos realicen las actividades inter
activas “La
fracción equivalente” y “Decimales periódicos”.
escribir como fracción y que de ahí surge una nueva clasificación: los números irracionales; éstos los estudiarán en bachillerato.
CIERRE. Realice una retroalimentación del tema visto. Invite a un es-
tudiante a leer el texto de la actividad de cierre. Hable con los alumnos
sobre la importancia del estudio y de no abandonarlo. Pida que re-
flexionen: ¿Cuál sería el motivo por el que abandonarían los estudios?
Las actividades de la Ficha 2 del Cuaderno de evidencias les permi-
tirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de la conversión
de fraccionarios a decimales y viceversa, y crear conciencia acerca de
alguna situación relacionada con el fin de la pobreza.
Programa Construimos Futuro
Ciudadanía. Analicen los datos que se incluyen en la actividad
de cierre y, en caso de no aparecer su entidad, solicite que bus-
quen el dato correspondiente. Luego, reflexionen acerca de cómo
el rezago educativo afecta el desarrollo personal y profesional de
las personas.
41© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Apuntes 5. Convierte las fracciones a n?meros decimales.
a)
9
20
B
b)
60
450
B
c)
161
50
B
d)
7
15
B
e)
89
200
B
f)
13
14
B
g)
45
400
B
h)
82
99
B
Conversi?n de fracciones a decimales peri?dicos
Conversi?n de n?meros decimales a fracciones
1 Cuando el n?mero tiene parte decimal finita.
Decimal Procedimiento Fracci?n
0. 3212
7. 1 5 2 6 1
0.02364
12.5665
7. Convierte los n?meros decimales a su forma de fracci?n. Escribe , paso a paso, el procedimiento
que seguiste.
Conversi?n de n?meros decimales a fraccionarios
En muchas actividades comerciales y de la industria alimenticia se utilizan fracciones y n?meros decimales, por eso es importante saber c?mo hacer la conversi?n entre ambos.
6. Convierte a fracciones las diferentes presentaciones de jugo.
Individual 0.600 L B Familiar 1.250 L B
Jumbo 2.850 L B
0.7 2 7 2 ...
118.0
3 0
8 0
3 0
?
Ejemplo:
8
11
B 0.7272?
1 Se podr?a seguir dividiendo, tantas veces como se
quiera, y nunca obtener cero como residuo.
2 Las cifras que se repiten infinitamente despu?s del
punto se denominan periodo ; por ello, se le conoce
como n?mero decimal peri?dico. En el ejemplo, 0.7272?
se denota por 0.72.
a) Se escribe como numerador la parte decimal y
como denominador el 1, seguido de tantos ce-
ros como cifras decimales tenga el n?mero
decimal.
b) Por ?ltimo, si es posible hacerlo, se simplifica.
Ejemplo. 4.325 B
173
40
4.325 1000
4 325 1 000
4 325
1 000
B
173
40
3 cifras 3 cifras
Numerador Denominador
TOMA NOTA
La par te decimal de un
n?mero son las cifras que
aparecen despu?s del punto
decimal. Por ejemplo, la
par te decimal de 0. 331 se
forma con las cifras 331.
CON TIC?S
Entra en www.edutics. mx /Nn3 para conver tir
decimales a fracciones.
38CIERRE
1. Analiza el texto y realiza en el cuader -
no lo que se pide.
El Consejo Nacional de Evaluaci?n
de la Pol?tica de Desarrollo Social
(C O N E VA L), en uno de sus informes
de 2020, present? que las tres enti -
dades con menor rezago educativo,
es decir, alumnos que no completan
su educaci?n formal en el tiempo es-
perado, fueron:
C D M X, con 9 de cada
100 estudiantes, y Estado de M?xico
y Coahuila, con 14 de cada 100 estudiantes. A su vez, con mayor rezago edu-
cativo, Chiapas, con 32 de cada 100 estudiantes; y Oaxaca y Michoac?n, con 29
de cada 100 estudiantes, respectivamente.
a) Representa con n?meros decimales cada una de las cifras.
b) Desde su escuela, ?qu? acciones emprender?an para reducir el rezago educativo
en su entidad? Reflexionen y presenten en grupo un informe escrito.
Conversi?n de n?meros decimales a fracciones
1 Cuando el número tiene parte decimal periódica.
8. Completa el procedimiento para hallar la fracci?n del n?mero 1.681.
? Se multiplica 1.681 B ( ) y, por otro lado, 1.681 B ( )
? Se restan por separado 1 000 y
? Por lo tanto, si el denominador es y el numerador , la fracci?n es:
22

9. Convier te en fracciones los siguientes n?meros decimales.
a) 0.27
b) 1.13
c) 0.83
d) 0.916
e) 1.312
f) 1.183
Los programas sociales procuran una educaci?n de
calidad.
10. Re?nete en equipo. Lleven a cabo una clasificaci?n de los m?todos de conversi?n y
propongan una estrategia creativa y did?ctica para comunicarla al resto del grupo.
a) Se multiplica por 10, 100 o 1 000 para recorrer el punto decimal
antes del periodo.
b) Se multiplica por 10, 100 o 1 000 para colocar el punto decimal des-
pu?s de la primera vez que aparece el periodo.
c) Se restan los productos obtenidos, as? como las cantidades por las
cuales se ha multiplicado.
d) Se halla la fracci?n: la primera diferencia corresponde al numerador y la segunda al denominador.
e) Se simplifica si es posible.
B10 B10 0
2 cifras1 cifra
Ejemplo. 4.23 =
381
90
4.23 4.2 3
42.3 423.3
10 0 10 423. 3 42.3
90 381
381
90

127
30
El rezago
educativo puede tener
consecuencias negativas
para el desarrollo
personal, social y
econ?mico. ?La dificultad
para conver tir fracciones
a decimales, y viceversa,
influir? en el rezago
educat i vo?
TOMA NOTA
En una conversi?n de
n?meros decimales
peri?dicos a fracciones,
al restar los produc tos
obtenidos se elimina el
periodo, ya que, despu?s
del punto decimal, ambas
cantidades tienen los
mismos decimales infinitos.
C O N S U LTA
Para saber m?s acerca de la conversi?n de n?meros decimales a fracciones, en distintos casos, entra en: www.edutics.mx /SsA www.edutics.mx /NTs www.edutics.mx /NTe
p?ginas
11 y 12
Cuaderno
de evidencias • Usa diversas estrategias al conver tir números faccionarios a decimales y viceversa.
L6D e fraccionarios a decimales
y viceversa
Unidad UNO
INICIO
DESARROLLO
Conversión de fraccionarios a decimales positivos
En la industria automotriz, las llaves que se utilizan para colocar tuercas, tornillos y pernos, presentan
sus medidas en fracciones de pulgada o milímetros. Por ello, quienes trabajan con estas herramientas
saben que una llave de
1
16
de pulgada equivale a 1.6 mm.
1. Analiza los datos de la tabla. ?Cu?les son las expresiones decimales de las fracciones que se
muestran? Compl?tala.
1. Analiza la situaci?n y responde.
La conversi?n de n?meros decimales a fraccionarios y viceversa
es una habilidad matem?tica fundamental en el desarrollo de
los estudiantes, a lo largo de su vida escolar y profesional. Por
ello, muchos docentes aplican diversas metodolog?as de en-
se?anza para asegurarse de que sus educandos aprendan esta
habilidad, pues es su responsabilidad otorgarles una educaci?n
de calidad, con el fin de que aprovechen mejor las oportuni-
dades educativas y laborales que se les presenten. Ahora bien,
las siguientes cifras corresponden a la situaci?n de la educaci?n
en M?xico entre los a?os 2019 y 2020.
a) Representa como n?meros fraccionarios y decimales las cantidades referidas en el recuadro.

b) ?C?mo sabes que los n?meros anteriores representan la misma cantidad? Discute tu res-
puesta con tus compa?eros.
Un an?lisis sobre los problemas de la educaci?n del
pa?s se?ala que hace falta mayor interacci?n entre
alumnos y docentes.
Fracci?n
1
1
1
10
1
10 0
1
1 000
1
10 000
1
10 0 000
1
1 000 000
Decimal 1 0.1 0.01
Situaci?n de la educaci?n en M?xico
? La absorci?n escolar entre 2019 y 2020 fue de casi 97 estudiantes de
cada 10 0.
? El abandono escolar fue de aproximadamente 4 de cada 10 alumnos.
? La reprobaci?n fue de 0.05 alumnos del total de la poblaci?n.
GLOSARIO
absorci?n escolar. Cantidad
de alumnos de nuevo
ingreso al primer grado de
un nivel educativo.
abandono escolar. Cantidad
de alumnos que dejan
la escuela durante el ciclo
e s c o la r.
C O N S U LTA
Para saber m?s acerca de la situaci?n de la educaci?n
en M?xico, entra en
www.edutics.mx /N4C
36
39Conversión de fracciones a números decimales
Algunas fracciones son equivalentes a una fracci?n decimal, ya que, al dividirse, su residuo siem-
pre es cero, esto quiere decir que el n?mero de cifras despu?s del punto es finito.
2. Anota los n?meros decimales para que las igualdades se verifiquen. Observa el ejemplo
y comprueba las divisiones resolvi?ndolas en tu cuaderno.
a) 0 . 415 B
415
1 000
b) B
89
1 000
c) B
25
10 0
d) B
203
10 000

No todos los problemas presentan una fracci?n equivalente a una fracci?n decimal, por lo que es
necesario saber c?mo realizar la conversi?n a n?mero decimal. Revisa los siguientes casos.
3. Comprueba en tu cuaderno que el residuo de las siguientes fracciones es cero.
1
2
B
5
10

3 4
B
75
10 0

39
250
B
156
1 000
4. Convierte las fracciones en n?meros decimales. Si lo consideras necesario, expr?salas primero
como fracciones decimales.
a)
117
5
B
b)
28
25
B
c)
161
50
B
d)
15
40
B
e)
9
20
B
f)
45
30
B
Existen otras fracciones en las cuales, tras dividir el numerador entre el denominador, no se obtiene cero como residuo.
Ejemplo.
375
1 000
B 0.375
Ejemplo.
41
50
, 41 50 B 0.82
0 0.8 2
5 04 1 0
1 0 0
0
1 Si la fracci?n es decimal, se considera el numerador, luego, a partir de la primera cifra de la derecha, se cuentan hacia la izquierda tantas cifras decimales como ceros tenga el denominador y se coloca el punto decimal.
2 Si la fracci?n no es decimal, entonces se efect?a la divisi?n con el algoritmo usual.
Cuando se tienen fracciones negativas, la conversi?n de la fracci?n se realiza como se indica en los casos
anteriores y se coloca el signo menos; por ejemplo, la fracci?n
1
2
equivale a
5
10
B 0.5.
TOMA NOTA
Una fracci?n decimal es
aquella cuyo denominador
es 10, 100, 1 000, 10 000,
etc?tera; por ejemplo,
1
10
o
1
10 000
.
CON TIC?S
Entra en www.edutics. mx /NnJ para conver tir
fracciones a decimales.
37
L6 / U1
L6 / U1
U1 / L6
42 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 36
1. a)
97
100
= 0.97,
4
10
=
40
100
= 0.4, 0.05 =
5
100
=
1
20
b)
R. M. Dividiendo el numerador entre el denominador y el
re
sultado deberá coincidir con el número decimal.
INICIO
DESARROLLO
CIERRE
1.
Fracción
1
1
1
10
1
100
1
1 000
Decimal 1 0.1 0.01 0.001
Fracción
1
10 000
1
100 000
1
1 000 000
Decimal 0.0001 0.00001 0.000001
Página 37
2. b) 0.089 =
89
1 000
c) 0.25 =
25
100
d)
0.0203 =
203
10 000
3.
1
2
=
5
10
= 0.5

3 4
=
75
100
= 0.75

39
250
=
156
1 000
= 0.156
4.
a)
117
5
=
234
10
= 23.4 d)
15
40
=
375
1 000
= 0.375
b)
28
25
=
112
100
= 1.12 e)
9
20
=
45
100
= 0.45
c)
161
50
=
322
100
= 3.22 f)
45
30
=
150
100
= 1.5
P
ágina 38
5.

a)
9
20
= 0.45 e)
89
200
= 0.445
b)
60
450
= 0.13 f)
13
14
= 0.9285714
c)
161
50
= 3.22 g)
45
400
= 0.1125
d)
7
15
= 0.46 h)
82
99
= 0. 82
6. Individual, 0.600 L =
3 5
L
Familiar, 1.250 L = 1
1 4
L
1. a) Entidades con menor rezago: Ciudad de México, 0.09; Estado
de México, 0.14 y Coahuila, 0.14.
Entidades con mayor rezago: Chiapas, 0.32; Oaxaca y Michoa
cán, 0.29.
b) R. L. Se puede realizar una encuesta para saber por qué se
ausentan los alumnos de la escuela.
Jumbo, 2.850 L = 2
17
20
L
7.

Decimal Procedimiento Fracción
0.3212
R. M. Numerador, 3 212,
y denominador 10 000.
803
2 5 00
7.15261
R. M. Numerador, 15
261,
y denominador, 100 000.
715 261
1
00
000
0.02364
R. M. Numerador, 2 364,
y denominador, 100 000.
591
25 000
12.5665
R. M. Numerador, 125 665,
y denominador, 10 000.
25 133
2 000
Página 39
8. • Se multiplica 1.681 × (10) = 16.81 y, por otro lado,
1.681 × (1 000) = 1 681.81.
• Se restan por separado 1 000 – 10 = 990 y
1 681.81 – 16. 81 = 1 665.
• Por lo tanto, si el denominador es 990 y el numerador 1 665,
la f
racción es:
1 6 6 5
99
0
=
37
22
.
9.

a) 0.27 =
3
11
b) 1.13 =
17
15
c)
0. 83 =
5
6
d) 0.916 =
11
12
e)
1.312 =
433
330
f) 1.183 =
71
60
10.
R. L. Se deben describir los cuatro métodos incluyendo
ejemplos.
43

Plan de clase Error frecuente
Lección 7. Operaciones con decimales
Es posible que existan alumnos a los que aún les cueste trabajo
ubicar el punto decimal al escribir varios números. Sugiérales
que al hacer las operaciones utilicen una hoja cuadriculada.
Esto permitirá que en las sumas y restas identifiquen si tienen
que completar las cantidades añadiendo ceros a la derecha.
En cuanto a la multiplicación y la división, con frecuencia
algunos estudiantes ubican y anotan erróneamente el punto
decimal. Confirme el logro del aprendizaje proponiendo a los
estudiantes ejercicios extra para que los resuelvan en su cua-
derno. Utilice los “Recursos de apoyo complementarios” para
que los estudiantes realicen un repaso del tema y resuelvan los
ejercicios interactivos que ahí aparecen.
A menudo ellos confunden la notación de la división y ori-
ginan errores al momento de dividir. Explique las partes de la
división y su representación (en forma fraccionaria y su equi-
valencia con la galera) para evitar estos errores.
Algunos estudiantes tienen problemas al realizar divisiones
debido al desconocimiento de las tablas de multiplicar, y esto
entorpece el proceso de la multiplicación y la división. Pídales
que hagan una tabla pitagórica para que repasen las tablas de
multiplicar. Proponga más ejercicios de multiplicaciones y di-
visiones donde ocupen la mayoría de las tablas de multiplicar.
Semana escolar 7
Lección 7. Operaciones con decimales
INICIO. En esta lección los alumnos aplicarán el algoritmo de la suma,
resta, multiplicación y división con números decimales y reconocerán la utilidad que tienen este tipo de números en la vida cotidiana. En el caso de las tres primeras operaciones, en este grado sólo harán un
repaso de los procedimientos que han aprendido en educación prima-
ria. Se debe prestar singular atención a la división, ya que es probable
que no sepan cómo dividir en el caso de que tanto el dividendo como el divisor sean números decimales.
Para iniciar la lección pregunte: ¿Cómo se representa un peso con
cincuenta centavos en número decimal? ¿Cómo representas un me-
tro con veinte centímetros en números decimales? ¿Habrá más apli- caciones para los números decimales? Reflexionen sobre el uso de
este tipo de números en contextos cotidianos. Posteriormente, pida a un alumno que lea en la sección de inicio la situación del uso de los paneles solares y permita que los demás expresen sus comentarios.
Los estudiantes pueden obtener las respuestas de la actividad
usando procedimientos personales, como la suma repetida o por tan-
teo, en el caso de la división.
DESARROLLO. Plantee una suma con dos sumandos que tengan
centésimos; por ejemplo, 789.45
+ 456.96, y solicite la participa-
ción de uno de los estudiantes para que resuelva frente al grupo. Se espera que con este ejemplo el grupo pueda recordar lo aprendido en primaria. Pida que analicen el algoritmo de la suma que se expli- ca en el libro y que lo comparen con la forma en la que se resolvió la suma que les planteó al iniciar la clase. Deberán notar que, sin im- portar cuántos decimales tengan las cantidades, el procedimiento es el mismo. Proponga otros ejemplos como los de la actividad 1, pues de esta manera podrá darse cuenta de qué alumnos tienen dificultad para ubicar el punto decimal.
Nuevamente con la participación de alguno de los estudiantes,
pida que resuelvan la resta que se presenta en la formalización de
la página 41 y, al terminar, indique que comparen con el algoritmo
que se describe. Como estos temas no deberían presentar grandes dificultades, solicite que sean los mismos alumnos quienes planteen ejercicios y problemas diversos, y que los redacten en sus cuadernos para que practiquen ambas operaciones.
Es importante dar un espacio para explicar el caso cuando hay
números negativos. Los estudiantes deben notar que de manera
general se sigue al mismo algoritmo, pero primero se deben analizar
y, en su caso, reescribir las operaciones dependiendo del signo de
las cantidades.
La presentación la pueden realizar con PowerPoint u otro soft -
ware para realizar diapositivas. Es importante que incluya ejemplos
de números positivos y negativos.
Para la multiplicación de números decimales, es probable que los
estudiantes ya conozcan el algoritmo. Pida que revisen la sección “Con TIC’s” de la página 43 para que estudien el paso a paso de la
multiplicación con números decimales. Si lo considera pertinente,
la presentación de la actividad 8 puede centrarse en ejemplos con números positivos y negativos.
Libro del alumno: Páginas 40-45
Fecha:
Orientaciones didácticas
Lección 7
Contenido. Extensión del significado de las operaciones.
Aprendizaje. Reconoce el significado de las cuatro
operaciones básicas al operar números con signo.
Tema. Algoritmo para sumar decimales. Algoritmo para
restar decimales. Algoritmo para multiplicar decimales.
Algoritmo para dividir decimales.
44© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
Libro con ejercicios de operaciones de números decimales.
• Matemáticas 1, Saberes fundamentales. Secundaria,
México, Ediciones Castillo, 2023.
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para aclarar dudas acerca del algoritmo de la división de números decimales. • “División con punto decimal afuera”, disponible en
www.edutics.mx/xwH
Sitios web
En esta página web encontrará ejemplos y ejercicios interac- tivos de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de núme-
ros decimales. •
“Operaciones con decimales”, disponible en
www.edutics.mx/xwV
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Multiplica números decimales de manera eficiente utilizando el algoritmo aprendido.
Portafolio de evidencias •
Revise que los estudiantes incluyan las
presentaciones de las actividades 5 y 8. Pida también que incluyan el guion con un enlace para ver el video de la actividad 12.
Realiza correctamente divisiones de números decimales utilizando alguno de los procedimientos formales.
Utiliza correctamente los
algoritmos de multiplicación
y división cuando hay números
positivos y negativos.
Recursos digitales
• Para practicar las operaciones con números decimales, se sugiere que los alumnos r
ealicen las actividades
interactivas “El punto es...”, “Recorriendo el punto” y “Sin alterar el resultado”.
Recursos de apoyo complementarios
En cuanto a la división de números naturales, inicie con la sección
“Toma nota”. Verifique que ningún alumno tenga dudas acerca de los
elementos de la división y que puedan identificar cada uno al usar
distintas escrituras: con el símbolo ÷ o en la galera. Posteriormente explique al grupo el algoritmo de la división de números decimales. Muestre ejemplos con la resta explícita y algunos con la resta implí-
cita. Pida a los estudiantes revisar la sección “Consulta” para que
estudien el paso a paso de la división con números decimales. Para el video de la actividad 12, los estudiantes deberán grabarse a ellos
mismos resolviendo una división en su cuaderno o en el pizarrón
y explicando en voz alta cada paso. De esta forma se podrá observar si comprendieron el tema.
CIERRE. Invite a un estudiante a leer la actividad de cierre. Comenten
sobre la importancia del cálculo de la ingesta diaria de calorías y la
elección de un plan de dieta adecuado. Reflexione con los estudiantes
sobre la sección “Salud y bienestar”. Sería ideal que contara con una báscula y que entre ellos calcularan los índices que se solicitan. De esta manera podrán comprender y asimilar la importancia de llevar una dieta equilibrada.
Las actividades de la Ficha 3 del Cuaderno de evidencias les per-
mitirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de las opera- ciones con decimales, y crear conciencia acerca de alguna situación relacionada con salud y bienestar.
Interdisciplina
El contexto de los paneles solares se relaciona con la disciplina de Tecnología, en tanto que la actividad de la sección de cierre sobre el cálculo de calorías se enlaza con la disciplina de Biología.
Programa Construimos Futuro
Vida saludable. La actividad de cierre permite reflexionar sobre
las acciones para mantener una alimentación balanceada, prevenir
enfermedades y evitar trastornos alimenticios.
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Algoritmo para el producto de n?meros decimales
3 2.0 4
B 5 . 4 1
3 2 0 4
1 2 8 1 6
1 6 0 2 0
1 7 3 3 3 6 4
2 Cuenta las cifras que est?n a la derecha del punto deci-
mal de ambos factores y s?malas.
1 Efect?a la multiplicaci?n del mismo modo que lo har?as si
los factores fuesen n?meros enteros, es decir, como si no
tuvieran puntos decimales.
3 2.0 4
5.4 1
21
3 4
TOMA NOTA
En un produc to, a los
n?meros que se van
a multiplicar se les denomina
multiplicando y multiplicador
o, tambi?n, factores.
3. Re?nete en equipo. Analicen cada situaci?n y respondan en su cuaderno.
a) En una comunidad rural se distribuyen 262.56 kg de arroz cocinado entre 25 familias para
su ingesta. Al final del d?a hay 65.65 kg sobrantes. ?Cu?ntos kilogramos se consumieron?
4. Re?nete en equipo. Consideren lo que escribi? un alumno en su cuaderno.
Criterio I Criterio II Criterio III
Si suman dos n?meros
decimales, ambos con
signo positivo, se suman
las cantidades y el
resultado tiene signo
positivo.
Si suman dos n?meros
decimales, ambos con signo
negativo, se suman los valores
absolutos de los n?meros y el
resultado lleva signo negativo.
Si suman dos n?meros decimales, uno
con signo positivo y otro con signo
negativo, se restan los valores
absolutos de los n?meros y el resultado
lleva el signo del mayor n?mero entero.
a) Completen la tabla en sus cuadernos. Observen el ejemplo.
Operaci?n
Representaci?n
vertical
Criterio Resultado
6.621 B 1.137
6 . 6 2 1
B1 . 1 3 7
9.843 B (7. 5 2 1 )
2.165 B 6.366
9.695 B (5.24 8)
PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo para
tener una evidencia de tu
aprendizaje.
5. Realiza una presentaci?n en la que expliques el procedimiento para sumar y restar n?meros
decimales. Considera que pueden ser negativos o positivos.
Producto de n?meros decimales
Multiplicar n?meros decimales es importante, por ejemplo, para realizar con precisi?n operacio-
nes de tipo financiero, cient?fico y c?lculos de ingenier?a.Primer procedimiento Segundo procedimiento
6. Analiza los dos productos. Completa el primero y determina si hay un error en el segundo.
2 4 . 6 1 1 3
2 . 4 0 4 1
2 4 6 1 1 3
9 8 4 4 5 2
0 0 0 0 0 0
9 8 4 45 2
4 9 2 2 2 6
5 9 1 6 8 0 . 2 6 3 3
7. Re?nete en pareja. Analicen la situaci?n, completen la tabla y respondan.
En ocasiones, los productos que queremos se venden en d?lares (US$). Para conocer su valor
en pesos mexicanos ($) es necesario realizar la conversi?n. Eleazar comparar? los precios de
algunos art?culos de ciclismo en un portal de internet. Cada d?lar equivale a $18.11 pesos
mexicanos.
Bicicleta Casco de ciclismo Luces para bicicleta Juego de herramientas
US$ 2 262.71 US $ 119. 95 US$ 46.65 US$ 29.56
$ $ $ $
a) ?Cu?ntos pesos mexicanos necesita para comprar la bicicleta y dos juegos de herra-
mientas?
b) ?Cu?ntos pesos necesita para adquirir todos los art?culos?
8. Re?nete en equipo y realicen lo que se pide.
a) Elaboren una presentaci?n en la que expliquen el procedimiento para multiplicar n?meros
decimales. Tomen en cuenta los decimales negativos.
b) Comp?rtanla en alguna red social. Luego comenten con sus compa?eros las siguientes
preguntas y lleguen juntos a una conclusi?n: ?qu? diferencia hay entre tu explicaci?n y la
que encontraste en el libro? ?Qu? tuviste que considerar para mostrar el procedimiento
con n?meros decimales negativos?
1 2 . 9 0 1
3.0 2
2 8 0 2
1 2 9 0 1
0 0 0
3 7 0 3
3 8 8 5 8 2
3 2 . 0 4
B 5 . 4 1
3 2 0 4
1 2 8 1 6
1 6 0 2 0
1 7 3 . 3 3 6 4
13 24
3 En el resultado, cuenta de derecha a izquierda tantas veces
lo que obtuviste en el paso 2 y coloca un punto decimal.
Cuando uno o ambos factores en la multiplicaci?n son negati-
vos, se procede de la misma manera, cuidando el uso de los
signos.
CON TIC
Visita www.edutics.mx /
NJy para ver un ejercicio
de producto de n?meros
decimales resuelto paso a
paso.
PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo para tener una evidencia de tu aprendizaje.
Lugares ? Reconoce el significado de las cuatro operaciones b?sicas al operar n?meros con signo.
L7Operaciones con decimales
Unidad UNO
INICIO
1. Revisa la informaci?n y responde en tu cuaderno.
El uso de la energ?a solar como fuente de energ?a renovable est? en aumento. Sin embargo, el costo de los
paneles solares a?n es un factor que limita su adquisici?n, ya que ?ste depende de la tecnolog?a disponible,
la cantidad de paneles que se requieren y su ubicaci?n e instalaci?n, entre otros aspectos; por ello,
a las personas se les complica costear dicho recurso. Un ejemplo exitoso de aplicaci?n de esta
tecnolog?a se present? en una comunidad rural de nuestro pa?s, la cual no ten?a acceso a la red
el?ctrica. Los habitantes de esta comunidad consiguieron el apoyo de una
O N G que promueve
el empleo de la electricidad generada por fuentes renovables, quienes les ayudaron a financiar
un sistema de generaci?n alimentado por 48 paneles solares, cuyas medidas eran de 2.5 m por
1.25 m. El primer requisito para la instalaci?n del sistema fue que estuviera cerca de las viviendas
y para ello los habitantes de la comunidad dispon?an de un terreno de 768.75 m
2
; pero surgieron
varias dudas...
a) ?Qu? superficie cubrir?an los paneles ? ?Caben en el terreno dis-
ponible? ?Cu?ntos se podr?an instalar en la superficie total del
terreno si se quisiera tener una planta m?s grande?
b)
?Cu?ntos paneles caben en esa superficie?
c) ?Cu?l es la importancia de saber resolver situaciones que invo-
lucran operaciones con n?meros decimales?
d) Comenta tus respuestas y explicaci?n con tus compa?eros
de grupo.
GLOSARIO
panel solar. Dispositivo
que aprovecha la radiaci?n
solar para generar energ?a
el?ctrica. Suele tener forma
rectangular.
Suma de n?meros decimales
La suma y resta de n?meros decimales es importante en la vida cotidiana, como en el manejo de dinero
y en la medici?n de cantidades precisas. Adem?s, permite hacer c?lculos m?s exactos en diversas ?reas,
como la ciencia y la ingenier?a.
DESARROLLO
Algoritmo para la suma de n?meros decimales
1 Alinea los n?meros decimales con respecto al punto decimal.
Aseg?rate de que los dos n?meros tengan la misma cantidad de d?gitos a la derecha del punto decimal. Si es el caso, agre-
ga ceros al final del n?mero con menos d?gitos a la derecha del punto decimal.TOMA NOTA
En una suma, a los n?meros
que se sumar?n se les
denomina sumandos.
3 2 . 8 4 0
B 5 . 4 6 2
1 1
3 2 . 8 4 0
B 5 . 4 6 2
3 8 3 0 2
2 Efect?a la suma del mismo modo que lo har?as si los suman-
dos fuesen n?meros enteros, es decir, como si no tuvieran
puntos decimales.
En M?xico se puede emplear energ?a solar
como una alternativa para abastecer de
elec tricidad a diversas zonas rurales.
40 1. Analiza las dos sumas. Completa el primer procedimiento y determina si hay un error en el
segundo.
3 Coloca el punto decimal en el resultado. Escr?belo justo
debajo del lugar donde se alinearon los puntos de cada n?mero.
1 1
3 2 . 8 4 0
B 5 . 4 6 2
3 8.3 0 2
Primer procedimiento Segundo procedimiento
2. Analiza la situaci?n y responde.
a) En una comunidad, se recolectaron 85.422 kg de residuos reciclables en una semana. La si-
guiente semana, se recolectaron 72.826 kg m?s. ?Cu?ntos kilogramos de residuos reciclables
se recolectaron en total en esas dos semanas?
6 4. 8 9 1
B 8 5 . 9 0 1
5 9 2
2 1 1
9 6 . 6 8 4
B 2 9 . 6 4 6
2 3 5 2 2 0
Resta de n?meros decimales
La resta de n?meros decimales es importante en situaciones que involucran medici?n y c?lculo
de diferencias. Permite conocer la cantidad de cambio en una magnitud, por ejemplo, en el peso
o la altura de una persona.
TOMA NOTA
La resta se compone de
minuendo, sustraendo
y diferencia. La resta se
representa como B B .
Donde B es el minuendo, la
es el sustraendo y la es la
diferencia.
Algoritmo para la resta de n?meros decimales
1 Alinea los n?meros decimales con respecto al punto decimal. El mayor queda
arriba del menor. Aseg?rate de que los dos n?meros tengan la misma cantidad
de d?gitos a la derecha del punto decimal.
3 2 . 8 4 0
B 5 . 4 6 2
B1B1B1
3 2 . 8 4 0
B 5 . 4 6 2
2 7 3 7 8
B1B1B1
3 2 . 8 4 0
B 5 . 4 6 2
2 7.3 7 8
2 Efect?a la resta del mismo modo que lo har?as si las cantidades fuesen n?meros
enteros, es decir, como si no tuvieran puntos decimales.
3 Coloca el punto decimal en el resultado. Escr?belo justo debajo del lugar donde
se alinearon los puntos de cada n?mero.
41
L7 / U1
43
L7 / U1
42
U1 / L7 46 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. INICIO
DESARROLLO
Página 40
1. a) La superficie que cubrirían los paneles solares es de
(2.5)(1.25)(48) = 150 m
2
, por lo que sí caben los paneles sola-
res en el terreno. Como éste mide 768.75 m
2
, se podrían ins-
talar hasta 246 paneles.
b) Caben 768.75 ÷ 3.125 = 246 paneles.
c) R. M. Porque están presentes en varios contextos de la vida
cotidiana; por ejemplo, los precios de ciertos productos se
presentan en pesos y centavos, o bien, su masa o su capaci-
dad es un número decimal.
Página 41
1.
a) Sí hay errores en el segundo procedimiento.
Primer procedimiento Segundo procedimiento
1 1
6 4. 8 91
+ 85. 90 1
150. 792
1
211 1
9 6 . 6 8 4
+ 29 . 6 4 6
235 2 2 0
1 26 . 3 3
2. a) Se recolectaron en total 158.248 kg de residuos reciclables.
Página 42
3. a) Se consumieron 196.91 kg de arroz.
4. a)
Operación
Representación
vertical
CriterioResultado
6.621 + 1.137 = +
6 . 62 1
1.13 7
Criterio I7.75 8
−9.843 + (−7. 521) =+
−9 . 8 4 3
−7 .5 2 1
Criterio II−17. 36 4
−2.165 + 6.366 = −
6 . 3 6 6
2.165
Criterio III4.201
9.695 + (−5.248) = −
9 . 6 95
5.24 8
Criterio III4.447
5. R. L. En el caso de la resta, se debe explicar por separado cómo
se resuelve cuando el sustraendo es un número negativo, ya que debe cambiarse por la suma de su simétrico.
Página 43 6.
Primer procedimiento.
1 2. 90 1
× 3 .012
2580 2
1 290 1
0 00 0 0
38 703
3 8 . 857812
Segundo procedimiento. El error se observa al recorrer el punto
decimal. Se debe mover cuatro lugares más hacia la izquierda.
24 . 61 13
× 2. 4041
24 6 1 13
9 8 4 4 5 2
0 0 0 0 0 0
9 8 4 4 5 2
4 92 2 2 6
59.16 8026 3 3
7.
Bicicleta
Casco de
ciclismo
Luces para
bicicleta
Juego de
herramientas
US $2 262.71 US $119.95 US $46.65 US $29.56
$ 4 0 977.6781$2 172.2945 $844.8315 $535.3316
a) $42 048.3413
b) $44 530.1357
8. a) R. L. En la presentación se debe explicar el caso de los núme-
ros positivos y negativos por separado.
b) R. L. El ejemplo en la presentación debe ser distinto a los que
se presentan en el libro.
47

9. Analiza cada procedimiento, identifica el error y responde.
Cociente de n?meros decimales
Dividir n?meros decimales es necesario para comprender y manejar correctamente informaci?n
financiera, sobre todo en lo que se refiere al c?lculo de la tasa de inter?s.
Primer procedimiento Segundo procedimiento Tercer procedimiento
Resultado:

Resultado:

Resultado:

?Qu? correcci?n se requiere?

?Qu? correcci?n se requiere?

?Qu? correcci?n se requiere?

4 . 1 1 1
4 5 . 2 7 1 8 . 5 6 7 0 0 0
B1 8 1 0 8
45 9 0
B4 5 2 7
0 5 4 3 0
B4 5 2 7
0 8 0 3 0
4 5 2 7
3 4 0 3
2 . 0 6 6
2 7 4 5 5 6 7 1 . 8
B5 4 9 0
0 1 8 1 8 0
B 1 6 4 7 0
0 1 7 1 0 0
B 1 6 4 7 0
0 0 6 3 0
0 . 0 0 1 2 6 8
7 5 0 3 9 9 5 . 1 6 7 0 0
B7 5 0 3 9
2 0 1 2 8 0
1 5 0 0 7 8
0 5 1 2 0 2 0
B 4 5 0 2 3 4
0 6 1 7 8 6 0
B 6 0 0 3 1 2
0 1 7 5 4 8
Algoritmo para el cociente de n?meros decimales
0 . 0 9
1 2 1 1 1 . 1 0
1 1 1
B
1 1 1 0
1 0 8 9
0 0 2 1
0 . 0 9
1 2 1 1 1 . 1 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 0 8 9 0 0 2 1 0
1 Se recorre el punto decimal del dividendo hacia la derecha
tantos lugares como decimales tenga el divisor. Tambi?n se
mueve el punto decimal del divisor el mismo n?mero de
lugares.
2 Se copia el punto decimal sobre la galera.
3 La divisi?n comienza con la parte entera del dividendo. Si el
divisor es mayor que la parte entera, se coloca un cero y se baja el siguiente n?mero del dividendo.
4 Si el divisor a?n es mayor y ya no quedan n?meros en el divi-
dendo, se coloca otro cero sobre el cociente y se agrega un cero en el dividendo.
5 Se debe continuar este proceso hasta llegar al n?mero de de-
cimales que se desea obtener en el cociente o hasta que el residuo sea cero.
Cuando uno o ambos factores de la divisi?n son negativos, se pro-
cede de la misma manera, cuidando el uso de los signos.
TOMA NOTA
En un cociente, a los
n?meros que se van a dividir
se les denomina divisor
y dividendo.
0 .
1 2 1 1 1 . 1
1 1 1
.
1 2 1 1 1 . 1
1 2 . 1 1 . 1 1 10. Resuelve las siguientes divisiones en tu cuaderno; aprox?mate hasta los mil?simos.
a) 2 7 7. 6 5 B 54.27
b) 16.478 B 26.02
c) 910.4522 B 17.194
En muchos casos, las operaciones de producto y cociente con n?meros decimales aparecen com-
binadas, as? que es conveniente aprender ambas.
11 . Re?nete en pareja. Analicen la situaci?n, discutan las respuestas a las preguntas y escriban
una conclusi?n en sus cuadernos.
Un m?dico recetar? antibi?ticos a un paciente por una infecci?n bacteriana en el est?mago. La
persona pesa 72.6 kg y la dosis recomendada es de 7.25 mg/kg. ?Cu?l es la dosis que deber?a
recibir el paciente, de acuerdo a su peso? Si las pastillas contienen 175.45 mg del antibi?tico.
?Cu?ntas deber? tomar para no pasarse de la dosis recomendada?
12. Explica, con un video que dure menos de un minuto, el algoritmo de la divisi?n de n?meros
decimales. Piensa c?mo se lo explicar?as a un amigo y escribe tu guion. S?belo a alguna red
social. Menciona en tu video la importancia de saber multiplicar y dividir n?meros decimales.
CIERRE
Mujeres: TMB (10 peso en kg) (6.25 altura en cm) (5 edad en a?os) 161
Hombres: TMB (10 peso en kg) (6.25 altura en cm) (5 ? edad en a?os) 5
Intensidad de la actividad Ingesta cal?rica recomendada
Poco o ning?n ejercicio Calor?as diarias necesarias TMB 1.2
Ejercicio ligero (1-3 por a la semana) Calor?as diarias necesarias TMB 1. 375
Ejercicio moderado (3-5 d?as a la semana)Calor?as diarias necesarias TMB 1.55
Ejercicio fuer te (6-7 d?as a la semana)Calor?as diarias necesarias TMB 1.725
Ejercicio muy fuer te (dos veces al d?a,
entrenamientos muy duros)
Calor?as diarias necesarias TMB 1.9
1. Lee el texto y realiza en tu cuaderno lo que se pide.
La tasa metab?lica basal (T M B) es el gasto energ?tico
por unidad de tiempo de una persona en reposo, es decir, la cantidad de energ?a que el cuerpo necesita
para mantener las funciones vitales b?sicas como
respirar, realizar procesos digestivos, regular la tem-
peratura, etc?tera. Se calcula con la f?rmula de Harris
Benedict. Con la T M B y los datos de la tabla es posible
calcular la ingesta diaria de calor?as recomendada
para que una persona mantenga su peso.
a) Calcula tu ingesta de calor?as diaria recomendada.
b) Calcula la diferencia entre la ingesta de calor?as diaria que deber?as mantener sin hacer
ejercicio y haciendo ejercicio muy fuerte.
c) Haz una hoja de c?lculo que permita calcular la tasa metab?lica basal y comp?rtela con
tus familiares.
La elecci?n
de un plan de dieta
adecuado depende
de las necesidades
de cada persona. En
general, una dieta
saludable incluye una
variedad de alimentos
que proporcionan la
cantidad adecuada de
energ?a y nutrientes
que requiere nuestro
cuerpo. ?Consideras
que es necesario acudir
a un profesional de la
salud para alimentar te
correctamente? ?Por
qu??
C O N S U LTA
VisitaCwww.edutics.mx E
NJF para ver un ejercicio deC
cociente de n?meros
decimales resuelto pasoC
a paso.
C O N S U LTA
Para saber m?s acerca del c?lculo de calor?as, visita C
www.edutics.mx /N5G
PORTAFOLIOC
Guarda tu trabajo para tenerC evidencia de tu aprendizaje.
p?ginaN
13 y 14
Cuaderno
de evidenciaN
Siempre se debe acudir con un profesionalC
de la salud cuando comienzas un plan de
dieta.
45
L7 / U1
44
U1 / L7 48 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario CIERRE
1. a) R. L. Se deben sustituir correctamente las variables del peso
y estatura en la fórmula que corresponda, de acuerdo con el nivel
de actividad física de cada estudiante. Por ejemplo, se completa
la tabla para un adulto hombre de 42 años de 73 kg y altura de
1.63 m.
Hombres:
TMB ∙ (10 ∙ 73 kg) ∙ (6.25 ∙ 163 cm) ∙ (5 ∙ 42
año
s)
∙ 5 ∙ 1 543.75
Poco o ningún ejercicioCalorías diarias necesarias =
1 543.75 × 1.2 = 1 852.5
Ejercicio ligero (1-3 días a la semana)
Calorías diarias necesarias
=
1 543.75 × 1.375 = 2 122.66
Ejercicio moderado (3-5 días a la semana)
Calorías diarias necesarias
=
1 543.75 × 1.55 = 2 392. 81
Ejercicio fuerte (6-7 días a la semana)
Calorías diarias necesarias
=
1 543.75 × 1.725 = 2 662. 97
Ejercicio muy fuerte (dos veces al día, entrenamientos muy duros)
Calorías diarias necesarias
=
1 543.75 × 1.9 = 2 933.13
b) Con los datos de la tabla de ejemplo:
2 933.13 − 1 852.5 = 1 080.63
c) R. L. Revisar que las operaciones en la hoja de cálculo corres-
pondan a las fórmulas del libro.
Página 44 9.
Primer
procedimiento
Segundo
procedimiento
Tercer
procedimiento
Resultado: 0.410 Resultado: 2.066 Resultado: 0.001268
¿Qué corrección se requiere? Volver a realizar la división.
¿Qué corrección se requiere? Ninguna. ¿Qué corrección se requiere? Ninguna.
Página 45 10.
a) 5.116
b) 0.633
c) 52.951
11. De acuerdo con el peso del paciente, la dosis que debe recibir es
de 526.35 mg: 72.6 × 7. 25 = 526.35.
El paciente deberá tomar solamente tres pastillas:
526.35 ÷ 175.45 = 3.
12. R. L. Deben resolver una división con punto decimal en el divi-
dendo y en el divisor.
Notas
49© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Plan de clase Semana escolar 8
Lección 8. Operaciones inversas
INICIO. El objetivo de esta lección es que el alumno reconozca que las
operaciones básicas, a saber: suma, resta, multiplicación y división,
tienen su operación inversa. Realice preguntas detonadoras como: Si
tienes una suma, ¿qué operación realizarías para obtener alguno de
los sumandos de la operación anterior? Si tienes una multiplicación,
¿qué operación realizarías para obtener alguno de los factores de la
operación anterior? Pida a un alumno que lea en la sección de inicio
la situación del uso de los teléfonos celulares y permita que sus com-
pañeros expresen sus comentarios.
DESARROLLO. Explique al grupo que la suma y la resta son ope -
raciones inversas y muestre un par de ejemplos sencillos acerca de
este tema. Luego, mediante otros dos ejemplos nada complicados,
aclare a los estudiantes que la multiplicación es la operación inversa
de la división.
CIERRE. Invite a un estudiante a leer el tema de cierre y permita que
los demás den su opinión. Hable sobre la importancia que tiene rea-
lizar cálculos con números decimales en la vida cotidiana y revise con
ellos la sección “Desarrollo sustentable”. Finalmente, haga una retroa-
limentación del tema visto.
Lección 9. Jerarquía de operaciones
INICIO. El objetivo de esta lección es que el alumno conozca la ma-
nera de resolver una línea de operaciones mediante el uso de la regla
llamada jerarquía de operaciones. Haga preguntas detonadoras como
éstas: ¿Qué significa jerarquía de operaciones? ¿Qué es una línea de
operaciones? Pida a un alumno que lea el problema de la sección de
inicio y permita que los otros expresen sus comentarios.
DESARROLLO. Explique la importancia que tienen los signos de
agrupación para la correcta resolución de operaciones. Exprese un
ejemplo del uso de los paréntesis en éstas y exponga la jerarquía de
operaciones resolviendo un par de ejercicios. Revise con los alumnos
la sección “Con TIC’s” como complemento al tema y pida a los estu-
diantes que realicen la actividad 8. Deberán guardar las cartas en su
portafolio de evidencias.
CIERRE. Invite a un estudiante a leer la actividad de cierre. Permita
que los demás den su opinión. Hable con ellos sobre la aplicación que
tiene la jerarquía de operaciones en la vida cotidiana y realice una re-
troalimentación del tema visto.
Las actividades de la Ficha 4 del Cuaderno de evidencias les per-
mitirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de la jerarquía
de operaciones y crear conciencia acerca de alguna situación relacio-
nada con la educación de calidad.
Libro del alumno: Páginas 46-51
Fecha:
Orientaciones didácticas
Lección 8
Contenido. Extensión del significado de las operaciones.
Aprendizaje. Reconoce el significado de las cuatro
operaciones básicas al operar números con signo.
Tema. Operaciones inversas en las operaciones aritméticas
básicas.
Lección 9
Contenido. Extensión del significado de las operaciones.
Aprendizaje. Identifica y aplica la jerarquía de operaciones
y símbolos de agrupación al realizar cálculos.
Tema. Símbolos de agrupación en operaciones aritméticas.
Algoritmo para dividir decimales. Regla de jerarquía de
operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación
y división).
Error frecuente
Lección 8. Operaciones inversas
Con frecuencia algunos estudiantes se confunden con el signo
de un número y con el de las operaciones. Realice un breve re-
paso del tema resolviendo algunos ejemplos de esto. Pida que
también vuelvan a revisar la lección 2.
Lección 9. Jerarquía de operaciones
A menudo los estudiantes aplican de manera incorrecta la je-
rarquía de las operaciones y se guían por el orden en el que
aparecen éstas. Enliste de mayor jerarquía a menor las opera-
ciones básicas y genere una tabla con ellas.
Algunos estudiantes tienen problemas para reconocer
o aplicar los signos de agrupación de manera adecuada.
Mencione que los paréntesis, corchetes y llaves son la priori-
dad en la línea de operaciones. Proponga ejercicios extra con
líneas de operaciones que involucren signos de agrupación.
50© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
El siguiente libro es útil como repaso del tema de la jerarquía
de operaciones.
•
Arturo Aguilar, Fabián Valapai et al., Aritmética y Álgebra,
México, Pearson Educación, 2012, pp. 108-111.
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para aclarar dudas sobre el tema de jerarquía de operaciones. •
“Jerarquía de operaciones. Ejercicios 1, 2 y 3”, disponible en
www.edutics.mx/xqA
Sitios web
En esta página web encontrarás ejercicios interactivos de je- rarquía de operaciones. •
“Jerarquía de operaciones con signos de agrupación”,
disponible en www.edutics.mx/xqd
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Reconoce las funciones inversas de las operaciones básicas.
Portafolio de evidencias •
Pida a los estudiantes que incluyan el juego de cartas
de la actividad 8 del tema: “Jerarquía de operaciones”.
Aplica correctamente la jerarquía de operaciones en una línea con varias de ellas.
Resuelve problemas aplicados
usando la jerarquía de
operaciones.
Recursos digitales
• Para iniciar el tema de operaciones inversas se recomienda que los es
tudiantes realicen la actividad
interactiva “Operaciones inversas”.
• Para aplicar la jerarquía de operaciones se sugiere que los
alumnos realicen las actividades interactivas “Operaciones en jerarquía” y “Jerarquía de operaciones”.
Recursos de apoyo complementarios
Notas
Interdisciplina
En la lección 8, el problema de inicio: “Uso de celulares en las co- munidades rurales”, se relaciona con la disciplina de Tecnología,
mientras que la actividad de cierre tiene que ver con Artes. Por su
parte, en la lección 9, el problema de inicio sobre las “trampas” de la publicidad se relaciona con la disciplina de Español.
Programa Construimos Futuro
Vida saludable. Reflexione en grupo acerca del tiempo que pa- san frente a las pantallas, no solo de celular, sino en la computa- dora, tabletas, televisión, etcétera y qué es lo que hacen cuando las ocupan. Desarrollen propuestas de cómo reducir este tiempo y utilizarlo en otras actividades recreativas.
51© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

? Identifica y aplica la jerarqu?a de operaciones y s?mbolos de agrupaci?n al realizar c?lculos.
L9Jerarqu?a de operaciones
Unidad UNO
INICIO
1. Analiza la situaci?n y responde en tu cuaderno.
La publicidad y los medios de comunicaci?n
en general suelen reforzar estereotipos e, in-
cluso, transmiten informaci?n enga?osa sobre
las cualidades de diversas mercanc?as. Por
ello, las personas deben aprender a identificar
las ?trampas? de la publicidad y como consu-
midores hacer valer sus derechos, formando
su propio criterio para realizar compras de
forma responsable, a partir de sus preferen-
cias y necesidades.
Clara est? de vacaciones en un pa?s donde no
cobran impuestos sobre productos b?sicos,
como ropa o alimentos, pero s? uno de
1
10
so-
bre las ventas de otros art?culos, como dispo-
sitivos electr?nicos y adornos personales
(pulseras, dijes).
a) En una tienda departamental, ella compr? dos blusas de $229.00 y unos aud?fonos inal?mbricos de
$370.00. El dependiente le cobr? $865.00 y, para corroborar que le solicitaban el monto justo, hizo la
siguiente suma:
2 B 229 370 828
b) ?Es correcto el c?lculo de Clara? Explica.
c) ?Cu?l es la secuencia de operaciones que debe efectuar Clara para conocer el cobro correcto? An?tala.
d) ?Piensas que llevar un orden en la secuencia de operaciones le servir? de algo? Disc?telo con tus
compa?eros.
DESARROLLO
S?mbolos de agrupaci?n en operaciones aritm?ticas
En matem?ticas es importante conocer y utilizar los s?mbolos de agrupaci?n porque nos permiten es-
tablecer el orden en que se realizan las operaciones para evitar confusiones y errores al resolver ex-
presiones algebraicas.
1. Re?nete en pareja. Resuelvan mentalmente las operaciones y comparen sus resultados. Luego
revisen si estos coincidieron y, de no ser as?, comenten por qu? sucedi? esto.
a) 6 B 8 30 12 6 9
b) 6 40 5 6 B 4 ? 6
c) 6 B 8 30 6 12 6
d) 6 8 40 8 9 B 6 Operaci?n Resultado
Agrupa las operaciones
de distinta forma
?Obtuviste un
resultado diferente
al agrupar de otra
manera?
B2 B 10 8 50 46
7 12 B 5 B 6 8
B10 2 B 9 B 1 B18
B12 B 20 B 9 1 B40
2. Completa la tabla y responde.
a) ?Qu? notaste en el resultado?
b) Independientemente de la forma en que se agrupen las operaciones aritm?ticas, ?en cu?les de
?stas no var?a el resultado?

Reglas de jerarqu?a de operaciones aritm?ticas
3. Resuelve los ejercicios como lo indican los par?ntesis marcados con rojo.
a) 4 3 2 10 60 4 3 2 10
b) 6 9 3 9 6 9 3
c) 7 B 4 3 B5 7 B 4 3
d) ?Qu? notaste en los resultados de cada pareja de operaciones?

S?mbolos de agrupaci?n
Estos s?mbolos indican el orden en que se deben realizar las operaciones. Los m?s comunes son
los par?ntesis , los corchetes y las llaves .
Cuando una operaci?n presenta s?mbolos de agrupaci?n, el orden en que ?sta se resuelve es de
?adentro hacia afuera? y de izquierda a derecha; por ejemplo,
3(4(3CBC2)CBC(1CBC2))CC3(4(1)CBC(1CBC2))CC3(4CB (B1))CC3(4CC1)CC3(5)CC15
Ejemplo. Para resolver la operaci?n: 5CC3 C15C 6C 3C 2se efect?a:
1 Sumar lo indicado dentro de los par?ntesis.
2 Dividir los elementos que est?n entre los corchetes.
3 Multiplicar los factores dentro de las llaves.
4 Anotar el resultado final.
5 3 15 6 3 2
5 3 15 6 3 2
5 3 21 3 2
5 3 7 2
5 4247
49
L9 / U1
La innovaci?n tecnol?gica requiere que los usuarios tengan habilidades
matem?ticas, por ejemplo, en c?lculo de operaciones en compras por
internet.
48? Reconoce el significado de las cuatro operaciones b?sicas al operar n?meros con signo.
L8Operaciones inversas
Unidad UNO
INICIO
DESARROLLO
Suma y resta como operaciones inversas
Conocer c?mo se relacionan las operaciones de suma y resta es elemental para resolver problemas
matem?ticos cotidianos, como saber de antemano cu?nto recibiremos de cambio despu?s de comprar
algo en la tienda.
1. Analiza la situaci?n y responde.
No? compr? un cargador para su celular y pag? con un billete de $500.00. Si el dependiente le re-
gres? $175.00 de cambio, ?cu?nto cost? el cargador?
a) Completa las operaciones:
175 B 500 500 175
b) ?Qu? operaci?n necesitas para deshacer una suma? ?Y para deshacer una resta?

La telefon?a celular est? cada vez m?s presente en
diversas ac tividades de la vida cotidiana, tanto
en las ciudades como en el campo.
1. Revisa la informaci?n, haz lo que se pide y responde en tu cuaderno.
Debido al aumento de tel?fonos celulares en las comunidades
rurales, una O N G llev? a cabo una campa?a de concienciaci?n
sobre c?mo aprovechar la energ?a de los m?viles de manera efi-
ciente. Dos medidas que promueven para ello son: reducir el brillo
de la pantalla y cerrar las aplicaciones que no est?n en uso.
a) Si cargar energ?a en el tel?fono lo asociamos con sumar barras
en el icono de la bater?a, ?con qu? podemos relacionar cuando
se descarga?
b) Luis not? que su tel?fono ten?a dos quintos de bater?a, pues
vio dos barras en el indicador, y lo conect?; luego, cuando
se carg? completamente, lo desconect?. ?Cu?ntas barras apa-
recieron para indicar la carga completa? ?Y cu?ntas desapare-
cer?n para indicar la carga que ten?a antes de cargarlo?
c) Expresa con fracciones lo que ocurri? en el inciso b). ?Qu? puedes decir de las ope-
raciones? Disc?telo con tus compa?eros.
La suma y la resta son operaciones inversas, es decir, si se realiza una suma seguida de una resta, o viceversa,
con los mismos n?meros, se obtendr? el n?mero original; por ejemplo:
8 B 5 13 5 B 8 13 8 5 3 5 8 3
8 B 5 5 13 5 8
5 B 8 8 13 8 5 8 5 B 5 3 B 5 8 5 8 B 8 3 B 8 5
46 2. Completa la tabla.
Multiplicaci?n y divisi?n como operaciones inversas
Las operaciones de multiplicaci?n y divisi?n tambi?n tienen una relaci?n inversa entre ellas,
como la suma y la resta.
3. Re?nete en pareja. Lean la situaci?n y respondan en su cuaderno.
Anah? encarg? pizzas para una reuni?n con sus amigos. Entre todos reunieron $1 375.00.
Rita le sugiri? pedir cinco promociones de las chicas porque as? pagar?an exacto; ?eso
es cierto?
a) Efect?a las operaciones. 275 B 5 y 1 375 5.
b) ?Qu? operaci?n debes realizar para revertir una multiplicaci?n? ?Y una divisi?n?
Operaci?n Operaciones inversas
5.39 32.17

5.39

32.17

62 46

46

62

Multiplicaci?n Operaciones inversas
3.25 B 5

3.25

5

7. 1 5 B 2.5

7. 1 5

2.5

CIERRE
1. Analiza el texto y responde en tu cuaderno lo que se pide.
A una artista le encargaron pintar un mural de 7.5
m de alto. Ella sabe que cuenta con material para abarcar una superficie total de 87 m
2
.
a) ?C?mo puede obtener el ancho del mural?
b) ?De cu?ntos metros debe ser el ancho? Explica.
El uso de
operaciones
inversas se
aplica en resolver
problemas,
como el de las
dimensiones de
un mural.
4. Completa la tabla.
La multiplicaci?n y la divisi?n son operaciones inversas, es decir, si se realiza una multiplicaci?n
seguida de una divisi?n (con un n?mero distinto de cero), o viceversa, con los mismos n?me-
ros, se obtendr? el n?mero original. Por ejemplo:
8 B 5 40
8 5 5 40 5 8
8 B (5) 40
8 (5) (5) 40 (5) 8
5 B 8 40
5 8 8 40 8 5
5 B (8) 40
5 (8) (8) 40 (8) 5
Existen
aplicaciones que
ayudan a los usuarios
a moderar el uso que
le dan a su tel?fono
celular, apoy?ndolos
para que reduzcan el
tiempo que lo tienen
en sus manos
y promoviendo h?bitos
que contribuyan a una
vida m?s equilibrada
y satisfac toria. ?Crees
que las personas
deber?an utilizar menos
su tel?fono celular?,
?por qu??
47
L8 / U1 52 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. INICIO INICIO
DESARROLLO
DESARROLLO
Página 46
1. a) R. M. Se puede inferir que será con restar, pues si al primero
se le añade algo, al segundo se le quita algo.
b) Aparecen 3 barras,
1
5
+
1 5
+
1 5
=
3 5
, pues le faltan 3 de 5.
Desaparecen 3 barras, −
1 5
−
1 5
−
1 5
= −
3 5
, pues le faltan 3
de 5.
c)
2 5
+
1 5
+
1 5
+
1 5
= 1;
2 5
+
3 5
= 1
1 −
1 5
−
1 5
−
1 5
=
2 5
; 1 −
3 5
=
2 5
Se utilizaron sumas y restas. Estas operaciones son inversas.
Página 48
1
.
a) R. L. Escriba la operación en el pizarrón para iniciar una lluvia
de ideas con base en la pregunta ¿Qué operamos primero? ¿El
2 × 229? ¿El 229 + 370?
b) No, porque falta incluir el impuesto de 10% = 0.1 =
1
10
al
costo de los audífonos.
370
+ 370(0.1) = 370 + 37 = 407
2 229 + 407 = 458 + 407 = 865
c) 2 229 + (370 + 370 0.1) = 458 + 407 = 865
d) R. M. Sí, ya que, si no ordenamos ni asignamos paréntesis
a las operaciones, tendríamos una cantidad incorrecta.
1. a) 175 + 325 = 500
500 − 325 = 175
b) Una resta. Una suma.
Página 47 2.
Operación Operaciones inversas
5.39 + 32.17 = 37. 56 37. 5 6 − 5.39 = 32.1737. 5 6 − 32.17 = 5.39
62 − 46 = 16 16 + 46 = 62 16 − 62 = −46
3. a) Es cierto, pues:
275 × 5 = 1 375
1 375 ÷ 5 = 275
b) Una división. Una multiplicación.
4.
Multiplicación Operaciones inversas
3.25 × 5 = 16.25 16.25 ÷ 3.25 = 5 16. 25 ÷ 5 = 3.25
7.15 × 2.5 = 17.875 17.875 ÷ 7.15 = 2.517.875 ÷ 2.5 = 7.15
1
.
a) 6 × 8 − 30 + 12 ÷ 6 ÷ 9 = 11
b) 6 + 40 ÷ 5 + 6 × 4 − 6 = 32
c) 6 × 8 + 30 ÷ 6 − 12 + 6 = 47
d) 6 − 8 + 40 ÷ 8 − 9 × 6 = −51
Página 49 2.
Operación Resultado
Agrupa las
operaciones de
distinta forma
¿Obtuviste
un
resultado
diferente
al agrupar
de otra
manera?
−2 − 10 + 8 + 50 = 46
(−2 − 10 + 8) + 50 =
(−2 − 10) + (8 + 50) =
No
7 + 12 − 5 − 6 = 8
7 + (12 − 5 − 6) =
(7 + 12 − 5) − 6 =
No
−10 + 2 − 9 − 1 = − 18
−10 + (2 − 9 − 1) =
(−10 + 2 − 9) − 1 =
No
−12 − 20 − 9 + 1 = − 40
(−12 − 20 − 9) + 1 =
−12 + ( − 20 − 9 + 1) =
No
a) No cambia.
b) En aquellas donde aparecen sumas y restas combinadas.
3. a) 4 × 3 ÷ 2 × 10 = 60 (4 × 3) ÷ (2 × 10) = 0.6
b) 6 + 9 ÷ 3 = 9 (6 + 9) ÷ 3 = 5
c) 7 − 4 × 3 = −5 (7 − 4) × 3 = 9
b) Cambiaron en ambas.
CIERRE
1. a) R. M. Con una división, que es la operación inversa de la
multiplicación.
b) Debe ser 11.6 m. Como el área de la superficie es de 87 m
2
, entonces 7.5 × ¿? = 87, con la operación inversa:
87 ÷ 7. 5 = 11.6.
53

e) ?En cu?les ejercicios el resultado vari? al agrupar las operaciones aritm?ticas de diferente
manera?

4. Pon los s?mbolos de agrupaci?n necesarios para que se cumplan las igualdades.
a) 3 B 5 3 2 B 7 1 11
3 B 5 3 2 B 7 1 11
b) 3 B 5 3 2 B 7 1 23
3 B 5 3 2 B 7 1 23
c) 3 B 5 3 2 B 7 1 5
3 B5 3 2 B 7 1 5
d) 3 B 5 3 2 B 7 1 3
3 B 5 3 2 B 7 1 3
5. Calcula mentalmente el resultado de las secuencias de operaciones.
a) 16 8 4
b) 4 B 3 6 2
c) 22 4 B 3
6 B 2 18 3 4 B 5
12 6 20
12 6 2026
As?, 6 B 2 18 3 4 B 526
3 34 5 3 6 2
3 34 2 6 2
3 312 2
3 36 2
3 38
3 3841
As?, 3 34 5 3 6 241 .
d) 16 8 4
e) 4 B 3 6 2
f) 22 4 B 3
TOMA NOTA
Ac tualmente, casi todas las
calculadoras nos permiten
emplear la jerarqu?a de
operaciones. Es interesante
c?mo la tecnolog?a ha
incorporado cada vez m?s
herramientas matem?ticas
en dispositivos electr?nicos,
para ayudarnos con
nuestros c?lculos y en la
resoluci?n de ejercicios.
C O N S U LTA
Para repasar el tema de jerarqu?a de operaciones, entra enCC
www.edutics.mx /NqE.
Jerarqu?a de operaciones
La jerarqu?a de operaciones es una convenci?n matem?tica que indica c?mo resolver opera-
ciones aritm?ticas combinadas, y el orden que debe seguirse es:
1CHacer las multiplicaciones y divisiones.
2CRealizar las sumas y restas.
La jerarqu?a de operaciones con s?mbolos de agrupaci?n establece el orden en que se deben
realizar las operaciones matem?ticas y cuando hay par?ntesis ( ), corchetes [ ] o llaves { } en
una expresi?n.
Cuando hay signos de agrupaci?n como par?ntesis, corchetes o llaves, se deben realizar lasC
operaciones de adentro hacia afuera, quitando los signos de agrupaci?n al terminar de operar.
Se debe seguir el orden establecido por las reglas de las operaciones y signos.
Operaci?n sin signos de agrupaci?n
1CSe resuelven las multiplicaciones y divisionesC
de izquierda a derecha.
2CSe hacen las sumas y restas de izquierda aC
derecha.
Operaci?n con s?mbolos de agrupaci?n
1CSe realizan las operaciones de adentro haciaC
afuera y de izquierda a derecha, respetando la jerarqu?a de operaciones y las reglas de los signos. 6. Relaciona con una l?nea cada secuencia de operaciones con el resultado que le corresponde.
7B3 9 6
2.1 B3.5 2.1 B5 3.5
18 3 4 2
34 4 2 5
B9 4 8 2B9 3
7. Escribe la secuencia de operaciones para calcular el resultado de cada problema.
a) Laura alquil? en una plataforma tres pel?culas que duran 90 minutos cada una y otras dos
cuya duraci?n es de 120 minutos. Si pretende verlas todas sin interrupci?n, ? en cu?nto
tiempo lo har??
Expresi?n:
b) Un tren de pasajeros tiene 25 vagones. En 13 de los vagones hay 10 compar timentos
para 6 personas cada uno; en los restantes hay 120 lugares en cada vag?n. ?Cu?l es el
n?mero m?ximo de pasajeros que puede llevar el tren?
Expresi?n:
8. Re?nanse en equipos y realicen lo siguiente.
a) Planeen c?mo hacer un juego de cartas para practicar la jerarqu?a de operaciones. ?ste debe
consistir en un mazo de 64 cartas: 13 con n?meros enteros negativos, 13 con enteros positivos,
13 con fraccionarios y 13 con decimales y 12 cartas con s?mbolos de operaciones matem?ticas
simples B suma , resta , multiplicaci?n y divisi?n .
b) Por turnos los jugadores tomar?n una carta de n?meros y otra de s?mbolos hasta llegar a tener
cinco cartas num?ricas, todas ?boca abajo?. Una vez que todos tengan sus cartas completas, las
voltean y miran al mismo tiempo, hacen la operaci?n, y el jugador que obtenga el mayor valor
ganar? la mano.
CIERRE
1. Analiza el texto y realiza en tu cuaderno lo que se pide.
Existen art?culos y servicios que podemos pagar en mensuali-
dades. La ventaja de ello es no tener que liquidar su costo de
contado. Ana y Luis piensan adquirir un paquete vacacional
?todo incluido?. Tienen dos opciones: pagar $22 696.00 de con-
tado o a cr?dito, con un enganche de $3 800.00 m?s doce
mensualidades de $1 908.00.
a) ?Cu?l es la diferencia entre los precios de contado y a
cr?dito?
b) Representa el c?lculo con una sola secuencia de opera-
ciones. Aplica la jerarqu?a de operaciones y usa los signos de agrupaci?n.
Al planear un viaje se debe discernir entre las cosas
alcanzables y los deseos, para no adquirir deudas.
El microcr?dito
aten?a la pobreza de
muchas mujeres. Una
cuota de aper tura,
m?s el enganche y una
serie de pagos f?jos les
permite adquirir bienes
que de otra manera no
podr?an acceder. ?Qu?
utilidad tienen las reglas
de los signos en las
operaciones de cr?dito?
p?ginas
15 y 16
Cuaderno
de evidencias
8
13
14
7
5
51
L9 / U1
50
U1 / L9 54 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario CIERRE
1. a) Contado: $22 696.00.
Crédito: $3 800.00 + $22 896.00 = $26 696.00.
Diferencia: $26 696.00 − $22 696.00 = $4 000.00
b) 22 696 − [3 800 + 12(1 908)] = −4 000
Página 50
e) R. M. En aquellas donde aparecieron combinadas las multipli-
caciones y divisiones, o bien, cuando en la secuencia de ope-
raciones había sumas, restas, divisiones y multiplicaciones.
4. a) 3 × 5 + 3 – 2 × 7 + 1 = 11
3 × (5 + 3) – 2 × 7 + 1 = 11
b) 3 × 5 + 3 – 2 × 7 + 1 = 23
3 × 5 + (3 – 2) × 7 + 1 = 23
c) 3 × 5 + 3 – 2 × 7 + 1 = 5
(3 × 5 + 3) – (2 × 7) + 1 = 5
d) 3 × 5 + 3 – 2 × 7 + 1 = 3
(3 × 5 + 3) – (2 × 7 + 1) = 3
5. a) 16 + 8 ÷ 4 = 18
b) 4 × 3 ÷ 6 + 2 = 4
c) 22 + 4 × 3 = 34
d) (16 + 8) ÷ 4 = 6
e) 4 × (3 ÷ 6) + 2 = 4
f) (22 + 4) × 3 = 78
Página 51
6.
7(
3 + 9) ÷ 6
= 14
2.1 −
(3.5 + 2.1) + (5 + 3.5)
= 5
18 −
3 × 4 + 2
= 8
3[4 +
4 ÷ 2] − 5
= 13
(9 −
4) + [8 − 2(9 ÷ 3)]
= 7
7. a) Expresión: (3 × 90) + (2 × 120) = 270 + 240 = 510. 510
minutos.
b) Expresión: [13(10 × 6)] + (12 × 120) = [13 × 60] + (1 440) =
780 + 1 400 = 2 220. 2 220 pasajeros.
Nota. En ambos incisos, la jerarquía de operaciones es sufi-
ciente. Los símbolos de agrupación no son necesarios, pero tampoco son incorrectos.
8.
R. L. Verifique que realicen las operaciones de manera adecua-
da, puede permitir el uso de calculadora para verificar sus
respuestas.
Notas
55© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Plan de clase Semana escolar 9
Lección 10
Contenido. Rectas y ángulos.
Aprendizaje. Explora las figuras básicas, como las rectas y
ángulos, y su notación.
Tema. Definición y nomenclatura de líneas rectas.
Nomenclatura y clasificación de los ángulos.
Lección 11
Contenido. Rectas y ángulos.
Aprendizaje. Encuentra y calcula los ángulos que se forman
al intersecar dos segmentos.
Tema. Identificación y cálculo de ángulos que se forman en
rectas que se intersecan.
Lección 12
Contenido. Construcción y propiedades de las figuras planas
y cuerpos.
Aprendizaje. Utiliza la regla y el compás para trazar: punto
medio, mediatriz de un segmento, segmentos y ángulos
congruentes, bisectriz de un ángulo, rectas perpendiculares
y rectas paralelas.
Tema. Construcciones básicas con regla y compás para
ángulos.
Libro del alumno: Páginas 52-65
Fecha:
Lección 10. Elementos básicos de geometría
INICIO. El objetivo de esta lección es que el alumno conozca los con- ceptos de punto, recta, segmento y ángulo, así como la clasificación
de los ángulos. Haga al grupo preguntas detonadoras como ¿Qué es
un punto? ¿Cómo se forma una línea recta? ¿Qué es un segmento de recta? ¿Qué es un ángulo? Trace puntos, rectas, segmentos de rec-
ta y ángulos en distintas posiciones y permita que los alumnos los
identifiquen.
DESARROLLO. Explique al grupo qué es un punto; posteriormente,
relacione este concepto con la cantidad de puntos que existen en
una recta y, finalmente, mencione que un segmento de recta es sólo
una sección de recta. Muestre y trace un par de ejemplos de cada
concepto. Presente a los alumnos la manera de medir ángulos con el
transportador y explique los tipos de éstos. Trace un ejemplo de cada
tipo de ángulo dada su amplitud. Exponga brevemente que existen
diferentes notaciones para la medida de ángulos, una de ellas es la
de escribir letras del alfabeto griego.
CIERRE. Invite a los estudiantes a resolver la actividad de cierre
y hable sobre la importancia que tiene el trazo de estos elementos geo

métricos en disciplinas como el Arte, la Tecnología, etc. Invítelos
a que indaguen más aplicaciones de los ángulos en la vida cotidiana.
Lección 11. Rectas que se intersecan
INICIO. El objetivo de esta lección es que el alumno identifique los
ángulos que se encuentran en dos rectas que se intersecan y sus re- laciones. Pregunte al grupo si pueden encontrar en el salón de clases
líneas rectas que se intersequen. Permita que los alumnos respondan
y guíe sus respuestas.
DESARROLLO. Explique al grupo las características que poseen los
ángulos que se generan con la intersección de dos rectas. Explique
el significado de intersecar y mencione que hay diferentes maneras de
representar los ángulos.
CIERRE. Hable con los alumnos sobre la importancia que tiene el trazo
de estos elementos geométricos en el Arte, sobre todo en las artes gráficas. Por ejemplo, cuando se elabora una pintura, es importante hacer un boceto o esbozo, que posteriormente se utilizará como mo- delo para la obra definitiva.
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Lección 10. Elementos básicos de geometría
Es usual que algunos estudiantes midan incorrectamente los ángulos entre dos rectas. Presente una breve introducción al transportador y su uso. Mencione que tiene dos graduaciones,
pues hay dos maneras de medir el ángulo entre dos rectas. Trace
una serie de ángulos y muestre el uso del trasportador al grupo.
Lección 11. Rectas que se intersecan
Frecuentemente ocurre que algunos estudiantes no recuerden cuánto suman los ángulos suplementarios. Pida que revisen el
capítulo anterior antes de continuar y mencione que los ángulos
rectos son aquellos que miden 90°.
Lección 12. Construcciones básicas de ángulos con
regla y compás
A menudo algunos estudiantes no recuerdan los conceptos de
bisectriz y tipos de ángulos. Pida que investiguen en lecciones
anteriores y en el diccionario los términos desconocidos y que
en su cuaderno formen un glosario de éstos.
56© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Audiovisual
El video describe cómo trazar ángulos.
• “Cómo dibujar un ángulo”, disponible en
www.edutics.mx/xhZ
La información del siguiente video es útil para saber cómo trazar la bisectriz de un ángulo. •
“Construcción de la bisectriz con regla y compás”,
disponible en www.edutics.mx/xho
Sitios web
En esta página encontrarás ejercicios de tipos de ángulos. •
“Tipos de ángulos”, disponible en www.edutics.mx/xh4
En la siguiente página encontrará recursos interactivos para la construcción de ángulos congruentes. •
“Justificación de la construcción de ángulos congruentes”,
disponible en www.edutics.mx/xhJ
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica, traza y mide los diferentes tipos de ángulos.
Portafolio de evidencias •
Recuerde a los estudiantes que incluyan el cierre
de la lección 10, la actividad 3 de la lección 11 y la actividad 5 de la lección 12.
Calcula el valor de los cuatro ángulos en dos rectas que se intersecan, dado sólo el valor de uno de ellos.
Traza ángulos congruentes
y bisectrices con regla y compás.
Interdisciplina
En la lección 11, el problema de inicio se relaciona con la disci-
plina de Artes, en tanto que el tema de inicio de la lección 12:
“El Hombre de Vitruvio” se enlaza con las disciplinas de Biología
y Artes. Y en el tema de cierre, se relaciona con las disciplinas de
Tecnología y Artes.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• Se recomienda que los estudiantes realicen la actividad interactiv
a “Elementos básicos de geometría” para repasar
este tema.
• Se aconseja que los alumnos hagan la actividad interactiva
“Rectas que se intersecan” para reforzar este contenido.
• Se recomienda que también lleven a cabo la actividad
interactiva “Ángulos congruentes” para que sea más sólido su dominio de este tema.
Lección 12. Construcciones básicas de ángulos con regla
y compás.
INICIO. El objetivo de esta lección es que el alumno aprenda a trazar
bisectrices y ángulos congruentes con regla y compás. Dada la ilus-
tración de esta lección: el Hombre de Vitruvio, pregunte ¿qué tipos
de ángulos pueden identificar?, ¿cómo los reproducirían si no tuvieran
transportador?
DESARROLLO. Explique al grupo la manera de trazar ángulos con-
gruentes usando regla y compás. Muestre la manera de dibujar la bi-
sectriz de un ángulo usando estos instrumentos mediante un par de
ejemplos. Para la construcción de la bisectriz de un ángulo, solicite
que la tracen con ángulos en diferente posición —es decir, que no sólo
quede horizontalmente— y de diferentes tamaños. Algo que deben
“descubrir” es que, independientemente del tamaño de los ángulos,
la bisectriz es única.
CIERRE. Ahonde un poco más en las características de la obra Barcos
en reposo. Mencione los elementos geométricos y los tipos de ángulos
que hay en ella e invite a los alumnos a que indaguen más aplicacio-
nes de los ángulos en algunas otras obras.
Programa Construimos Futuro
Vida saludable. Las obras de arte analizadas en estas lecciones
permiten reflexionar sobre la importancia de desarrollar alguna
actividad recreativa o artística para obtener beneficios en el fun-
cionamiento del cerebro.
57© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

El instrumento que se emplea para medir un ?ngulo es
el transportador; sus medidas se expresan en grados
(B) y, por lo general, la escala de este instrumento va
de 0B a 180B.
Para medir un ?ngulo se coloca el centro del trans-
por tador en el v?rtice del ?ngulo y el 0 en alguno de
los lados. El n?mero del transportador que pasa por el
otro lado del ?ngulo es la medida del mismo.
Los ?ngulos se clasifican dependiendo de su medida.
?ngulo de 125B
3. Considera los ?ngulos mostrados. M?rcalos de acuerdo con el c?digo de color.
a) Colorea de rojo el interior de los ?ngulos agudos.
b) Encierra con azul los ?ngulos obtusos.
c) Encierra con verde los ?ngulos rectos.
?ngulo agudo
(menos de 90B)
?ngulo recto
(90B)
?ngulo obtuso
(m?s de 90B)
?ngulo plano o llano
(180B)
TOMA NOTA
Para se?alar en una f igura
un ?ngulo rec to o de 90B, se
dibuja un cuadradito .
4. Realiza lo que se pide.
a) A partir del segmento construye un ?ngulo que mida 55B.
b) Sobre el segmento construye un ?ngulo que mida 110B.
Los ?ngulos tambi?n se pueden clasificar por su posici?n respecto de otros ?ngulos.

B

C O N S U LTA
A los babilonios se les atribuye la divisi?n delC c?rculo en 360B. En la p?ginaC
www.edutics.mx /NcoC
podr?s encontrar mayorC informaci?n al respecto.Dos ?ngulos son adyacentes cuando tienen un lado
en com?n, el mismo v?rtice y cada uno forma parte
del ?ngulo exterior del otro. Dos ?ngulos son suplementarios cuando son adya-
centes y los lados que no son comunes forman una
recta, es decir, si son adyacentes y la suma es 180B.
Dos ?ngulos resultan complementarios cuando son
adyacentes y juntos forman uno de 90B.
?ngulos adyacentes

?ngulos suplementarios

?ngulos complementarios

5. Re?nete en equipo. Analicen los ?ngulos de la figura 10.2a y 10.2b y expliquen por qu? no cum-
plen con las definiciones.
?ngulos que no son adyacentes
?ngulos que no son complementarios ni suplementarios.

Los ?ngulos no son adyacentes
porque

Los ?ngulos no son suplementarios ni complementarios porque

CON TIC?S
Utiliza la aplicaci?n
GeoGebra para hacer
figuras geom?tricas como
rec tas y ?ngulos. Visita la
p?gina www.edutics.mx /
NcU para trabajar en l?nea
o descarga la aplicaci?n en
www.edutics.mx /Ncw
1. Identifica en la figura de la derecha los ?ngulos que se piden.
An?talos en tu cuaderno utilizando las tres letras que corres-
ponden a sus lados y v?rtice.
a) Cuatro ?ngulos agudos.
b) Cuatro ?ngulos rectos.
c) Cuatro ?ngulos obtusos.
d) Cuatro pares de ?ngulos con la misma medida.
e) Dos parejas de ?ngulos suplementarios.
f) Dos parejas de ?ngulos complementarios.
2. Construye las siguientes figuras; puedes hacerlo en papel o con GeoGebra.
a) Dos puntos, una l?nea recta, una semirrecta y un segmento que pase por ellos.
b) Un ?ngulo de 38?, un ?ngulo agudo y uno obtuso. B

CIERRE
PORTAFOLIO
Guarda en tu por tafolio de
evidencias las actividades
de la secci?n Cierre.
Figura 10.2a
Figura 10.2b Elementos b?sicos de geometr?a
? Explora las figuras b?sicas como rec tas y ?ngulos y su notaci?n.
L10
Unidad UNO
1. Revisa la informaci?n y haz lo que se pide.
La planificaci?n sostenible es esencial para el desarrollo de las ciu-
dades, debido a su impacto en el medio ambiente y en la
calidad de vida de las personas. M?s a?n, se enfoca
en construir entornos que resulten saludables, segu-
ros y accesibles para sus habitantes. Debido a ello,
la arquitectura sustentable elabora planos de edificios
y viviendas, con dise?os que fomenten la movilidad,
accesibilidad y biodiversidad.
INICIO
DESARROLLO
La arquitectura sostenible busca limitar el
impac to humano en el ambiente.
Punto, recta y segmento
La geometr?a es una rama de las matem?ticas que estudia las propiedades de las figuras y cuerpos. Algunos de sus elementos b?sicos son el punto y las l?neas rectas.
El punto es la figura m?s simple, no tiene medida. Los puntos se denotan con letras may?sculas. Una l?nea recta est? formada por una cantidad infinita de puntos y no tiene principio ni fin; en general, se expresa con una letra min?scula, pero si se hace referencia a dos de sus puntos, en-
tonces se usar?n dos letras may?sculas. La intersecci?n de dos rectas distintas es un punto.
TOMA NOTA
Para representar una
rec ta, un segmento y una
semirrec ta se usan los
s?mbolos:
Se colocan arriba de las letras que definen a cada figura geom?trica. Rec ta B
Segmento B
Semirrec ta B
Obser va que si escribes la palabra rec ta, segmento o semirrec ta, ya no usas los s?mbolos arriba de las letras.
GLOSARIO
sostenible. En ecolog?a,
se ref iere a algo que se mantiene durante mucho tiempo sin desperdiciar recursos ni causar da?os graves al medio ambiente. intersecci?n. Punto o lugar
de encuentro donde se cruzan o coinciden dos o m?s elementos.
Puntos L?neas rectas
Punto B Recta
Punto Recta
Un segmento de recta es la porci?n de una l?nea recta delimitada por dos puntos; por ejemplo,
B y . El segmento es el mismo que el . Un punto en una recta la divide en dos partes
llamadas semirrectas. es el origen de cada semirrecta y determina el punto de inicio.

B

B

a) Responde: ?qu? elementos geom?tricos reconoces
en el plano arquitect?nico?
b) Remarca las formas geom?tricas que identificaste
y dib?jalas en tu cuaderno indicando su nombre.
Segmento es igual que Segmento Semirrecta Semirrecta 1. Re?nete en pareja. Analicen la figura 10.1 e identifiquen segmentos, puntos, rectas y semirrec-
tas. Completen la tabla con cuatro ejemplos distintos de cada tipo.
Un ?ngulo est? delimitado por dos semirrectas que
parten de un mismo punto llamado v?rtice; las semi-
rrectas son los lados del ?ngulo. Los ?ngulos se ex-
presan con tres letras; por ejemplo, ?ngulo , donde
su v?rtice es y sus lados los segmentos y . Si
no hay confusi?n posible con otras figuras geom?tri-
cas, un ?ngulo tambi?n se puede expresar con una
sola letra min?scula e, incluso, con una correspondiente
al alfabeto griego.
Para un ?ngulo cualquiera es posible identificar un ?ngulo interior y otro exterior. Por convenci?n siempre se
hace referencia al ?ngulo interior, que es aquel con menor apertura. Para expresar un ?ngulo en particular
se coloca una peque?a curva. En la figura, B es el ?ngulo interior y es el exterior.
Segmentos Puntos Rectas Semirrectas

B

?Qu? son y c?mo se clasifican los ?ngulos?
2. Marca en la figura tres ?ngulos interiores y tres exteriores.
V? r t ice

?ngulo
Lado
Lado
B

Interior
Exterior
B

Los ?ngulos, al igual que los segmentos, tienen una medida definida y dependiendo de esa medida
tienen distintas caracter?sticas y clasificaci?n.
TOMA NOTA
Las letras del alfabeto
griego que se usan con
mayor frecuencia son B
(alfa), (beta), (gama).
Otra forma de representar un
?ngulo es con el s?mbolo .
?ngulo B B
?ngulo
?ngulo
Figura 10.1
53
L10 / U1
52
55
L10 / U1
54
U1 / L1É 58 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 52
1. a) R. M. Segmentos de recta, ángulos, líneas curvas y polígonos
irregulares de 5 y 6 lados, rectángulos y triángulos.
b) R. L. Compruebe que los alumnos remarcan figuras triangu-
lares, rectangulares, poligonales y curvas.
INICIO
DESARROLLO
CIERRE
Página 53 1.
R. M.
Segmentos Puntos Rectas Semirrectas
AB A xy By
BC B yx yB
CD C AB Bx
AD D AC xB
2.
1.
a) EOD, C OF, AOE, BOF.
b) AOD, C OD, BOC, AOB.
c) R. M. BOE, DOF, FOA, EOC.
d) R. M. AOD = AOB, E OD = BOF, AO E = COF, C OD = COB.
e) R. M. DOF y FOB , DEO y EOB.
f) DOE y EOA, BOF y COF .
2. a) R. M.
P
ágina 55
5.

Los ángulos no son adyacentes porque en el primero los vértices no
coinciden y, en el segundo, uno de los ángulos está en el interior del otro.
Los ángulos no son suplementarios ni complementarios porque
al sumarlos no forman un ángulo de 180° ni de 90°.
Página 54 3.

4.
a) b)
b) R. M.
Á
ngulos interiores Ángulos exteriores
A
O
55°
110°
X
Z
A
C
Segmento EF
Semirecta CD
Recta ABE
B
D
F
Agudo Obtuso
38°
Y
59

? Utiliza la regla y el comp?s para trazar: punto medio, mediatriz de un segmento, segmentos y ?ngulos
congruentes, bisec triz de un ?ngulo, rec tas perpendiculares, rec tas paralelas.
L12Construcciones b?sicas de ?ngulos
con regla y comp?s
Unidad UNO
INICIO
1. Analiza el texto y haz lo que se pide.
Pintor, escultor, cient?fico, fil?sofo, por decir lo menos, Leonardo da Vinci (1452-1519)
fue el principal exponente del Renacimiento italiano. Su dibujo El Hombre de Vitruvio
es famoso por representar ciertas relaciones entre las medidas del cuerpo
humano. Para medir y trazar sus ?ngulos, Leonardo no cont? con un
transportador como el que conocemos en la actualidad, ya que ?ste se
invent? hasta el siglo X I X para ser usado en la navegaci?n; sin embargo,
las l?neas que permiten entender la ilustraci?n prueban el gran manejo
geom?trico que ten?a el artista al dibujar.Dos ?ngulos B y son congruentes si tienen la misma medida, lo cual significa que es posible
superponerlos y hacerlos coincidir exactamente uno con otro.
DESARROLLO
Construcci?n de ?ngulos congruentes
Es importante conocer los procedimientos b?sicos de construcci?n en geometr?a, ya que permiten te-
ner una mejor comprensi?n de los conceptos y manejo de los instrumentos.
1. Re?nete con un compa?ero para identificar ?ngulos de la figura 12.1 que tengan la misma me-
dida. Utilicen su juego de geometr?a.
a) Los ?ngulos anteriores se pueden clasificar en tres grupos que tienen la misma medida. Anota
en los recuadros los ?ngulos de cada grupo.
b) ?C?mo determinaste que esos ?ngulos tienen la misma medida?

Para expresar que dos ?ngulos son iguales, con respecto a su medida, se utiliza la siguiente nomen-
clatura y notaci?n.
Es posible comparar y ?copiar? ?ngulos de otra forma, adem?s de medirlos con un transportador. En
este caso ?copiar? se refiere a construir ?ngulos congruentes; por ejemplo, si a partir del ?ngulo B se
desea trazar uno congruente , se puede utilizar una regla sin graduaci?n y un comp?s.
La congruencia de dos ?ngulos se simboliza como , y se lee ?el ?ngulo alfa es con-
gruente con el ?ngulo beta?.
B

B
42

42
Figura 12.1
TOMA NOTA
Para indicar en una imagen
que dos ?ngulos son
congruentes se les colocan
marcas iguales.
59? Encuentra y calcula los ?ngulos que se forman al intersecar dos segmentos.
L11Rectas que se intersecan
Unidad UNO
INICIO
DESARROLLO
1. Lee la informaci?n y haz lo que se pide.
Piet Mondrian fue un pintor neerland?s que cambi? dr?sticamente su estilo, tanto en lo colorido como en
las formas que trazaba. En 1910, hizo la pintura de la izquierda y en 1921, elabor? la que aparece a la de-
recha. Su estilo de pintura abstracta consist?a en representar el orden del universo mediante colores puros
y l?neas rectas.
a) ?En qu? pintura hay m?s figuras geom?tricas?
b)
?Qu? tipo de rectas se muestran en la pintura de 1921?
c)
En la segunda pintura marca tres ?ngulos rectos.
d)
?Como son los ?ngulos que forman las l?neas negras?
?ngulos formados por dos rectas
1. Analiza la figura 11.1 y contesta.
En la figura hay dos rectas que se intersecan en un punto.
a) ?Cu?ntos ?ngulos se forman?

b) ?Qu? ?ngulos son iguales?

GLOSARIO
intersecar. En geometr?a, se
ref iere a dos l?neas
o super f icies que se cor tan
o cruzan entre s?.
Sol de primavera. Ruinas del castillo
Brederode (1910).
Composici?n en rojo, azul y amarillo 1
(1921).Dos rectas secantes, es decir, que se cruzan en un punto espec?fico y forman
cuatro ?ngulos, como en la figura. Los lados del ?ngulo B son semirrectas que
van en direcci?n opuesta a los lados del ?ngulo . Los ?ngulos B y se llaman
opuestos por el v?rtice y tienen la misma medida. Los ?ngulos y tambi?n
son opuestos por el v?rtice.
Los ?ngulos B y comparten un lado y son suplementarios, es decir, juntos suman
180B. Lo mismo ocurre con los ?ngulos y . Si se conoce un ?ngulo, su suple-
mentario se calcula al restar la medida conocida a 180B.
Por ejemplo, si B 60B, entonces = 60B y 180B 60B 120B.
La suma de la medida de los cuatro ?ngulos es 360B.
B

TOMA NOTA
El s?mbolo B representa la
medida de un ?ngulo; B B se
lee ?la medida del ?ngulo a? .
PORTAFOLIO
Guarda en tu por tafolio de
evidencias la f igura que
construiste en la ac tividad 3.
2. Identifica en cada figura los ?ngulos opuestos por el v?rtice y marca los ?ngulos iguales con el
mismo color. Luego, sin usar el transportador, obt?n las medidas de todos los ?ngulos que se for-
man y an?talas.
3. Construye en tu cuaderno o en GeoGebra dos rectas secantes que formen un ?ngulo
de 38.
a) Localiza en la figura otro ?ngulo de 38.
b) ?Cu?nto miden los ?ngulos que son suplementarios al ?ngulo de 38?
c) Haz un resumen que explique la construcci?n y el c?lculo de las medidas.
CIERRE
1. Analiza las siguientes rectas y contesta en tu cuaderno.

65?

10 0 ?

a) Si cada par de rectas se prolonga indefinidamente, ?cu?l par se interseca?
2. Si en la figura de las dos rectas que se intersecan en la p?gina anterior el ?ngulo o midiera 25, ?cu?l ser?a la medida de los ?ngulos B , y ?

57
L11 / U1
C O N S U LTA
Piet Mondrian fund? la
revista De Stijl. Si quieres
saber m?s sobre este pintor,
consulta el video en www.
edutics.mx /Ncb
B

Figura 11.1
c) Comprueba con tu transportador cu?les ?ngulos miden lo mismo.
d) ?Qu? pares de ?ngulos son suplementarios?

Los ?ngulos que se forman entre dos rectas que se intersecan tienen las
siguientes caracter?sticas:
56
L12 / U1
GLOSARIO
renacimiento. Periodo
hist?rico y cultural que tuvo
lugar en Europa durante
los siglos
X I V al X V I I,
aproximadamente.
El Hombre de Vitruvio
b) Identifica en las im?genes un par de ?ngulos que sean iguales entre s? y otro par en donde un ?ngulo
sea el doble del otro. Usa solamente regla y comp?s.
c) Marca con dos colores los pares de ?ngulos que identificaste.
d) Dibuja lo que se pide. S?lo puedes utilizar una regla y un comp?s.
Un ?ngulo igual al que se muestra. Un ?ngulo de la mitad del que se muestra.
a) Remarca con verde cinco ?ngulos en las ilustraciones. Considera to-
dos los trazos que indican las proporciones de El Hombre de Vitruvio .
58 60 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 56
1. a) En la de la derecha.
b) Rectas horizontales y verticales.
c) R. L. Verifique que los alumnos marquen ángulos internos de
cuadrados o rectángulos.
d) Ángulos rectos o de 90°.
Página 58 1.
a) R. L. Verifique que los alumnos marquen ángulos internos de
triángulos o cuadrados. También pueden marcar ángulos exter-
nos, aunque no es común. Si marcan algo entre una parte
de la circunferencia y una recta, explique que es erróneo apli-
cando la definición de ángulo.
INICIO
INICIO
DESARROLLO
DESARROLLO
CIERRE
1. a) Cuatro ángulos.
b) Los ángulos m y o; y los ángulos n y p.
c) R. L. Verifique que los alumnos midan que la magnitud de m
es igual a la de o ; y lo mismo para n y p.
d) Son suplementarios los ángulos m y n; n y o; o y p; p y m.
Página 57 2.

1. a) Se intersecan los pares m y n, u y v.
2. La medida de los ángulos sería m = 25°; n = p = 155°.
3. a), b)
Página 58
b) y c) R. M.
Rojo: ángulos Iguales
Azul: ángulos dobles
Un ángulo igual al que se muestra.
Un ángulo de la mitad del que se muestra.
d)
Página 59 1.
a)
Primer recuadro: a , h y j
Segundo recuadro: b, i, d, e y g
Tercer recuadro: c y f
b) R. M. Usé transportador. Calqué y encimé ángulos.
O
65°
65°
115º
115°
A
D
C
B
100°
T
R
Z
Y
Xα
β
γ
δ
90°
α = 38°
β = 38°
γ = 142°
δ = 142°
c) Revise que los resúmenes escritos por los alumnos expliquen con
ceptos de construcción con regla y compas y cálculo de
medidas de ángulos.
90°
90°
90°
100°
80°
80°
61

Son congruentes los ?ngulos resultantes de dividir a la mitad un ?ngulo cualquiera. La ubicaci?n de
la semirrecta que los delimita es fundamental para asegurarse de que tienen la misma medida.
La bisectriz de un ?ngulo, por ejemplo el , se puede trazar con regla y comp?s, como se describe
en el siguiente procedimiento.
La bisectriz de un ?ngulo es la semirrecta que pasa por el v?r-
tice y lo divide en dos ?ngulos congruentes, los cuales quedan
delimitados por los lados del ?ngulo original y la bisectriz. Por
ejemplo, en la imagen, la bisectriz de B lo divide en y .
As?, , adem?s
1
2
.
Construcci?n de la bisectriz de un ?ngulo
C O N S U LTA
Visita la p?ginaCwww.
edutics.mx /NoS para ver
otra forma de construir laC
biseJ triz de un ?ngulo.
C7.CTraza en la imagen de la p?gina 61, actividad 4, la bisectriz del ?ngulo marcado en azul,
que se forma con el brazo y la pierna levantada deCEl Hombre de Vitruvio .
Construcci?n de ?ngulos notables
Cuando hablamos de los ?ngulos notables nos referimos a aquellos cuyos valores aparecen deC
manera frecuente en la vida diaria. Estos ?ngulos son de 30?, 45?, 60? y 90?. Para construirlos,C
necesitas recuperar los conocimientos vistos en la lecci?n 11.
B

Bisectriz
B

Bisectriz
B

?ngulo de 45
Se obtiene al construir la bisectriz de un ?ngulo de 9É.
?ngulo de 90
Se construye a partir de la bisectriz de un ?ngulo de 18É.
Se coloca el comp?s con la punta met?lica en el v?r ticeC del ?ngulo
y se traza un arco con un radio cualquiera que cor te los dos ladosC
del ?ngulo en los puntosC yC.
1
Con una aber tura del comp?s, aproximadamente del doble que en elC
paso anterior, se traza un arco con centro en , que est? dentro del
?nguloC.
2
Con centro en y conser vando la misma aber tura del comp?s, se
traza otro arco que cor te al que se marc? en el paso anterior en unC punto .
3
Se traza la semirrecta que pasa por los puntosC yC; ?sa es la bisectriz
del ?nguloC .
4
2
3
4

1CIERRE
1. Lee el texto y realiza en tu cuaderno lo que se pide.
Paul Klee (1879-1940) fue un pintor alem?n
cuyo estilo var?a entre el surrealismo, el expre-
sionismo y la abstracci?n. En su obra Barcos en
reposo, que es de tipo abstracto, utiliza formas
geom?tricas.
a) Elige un tema y dibuja tu propio cuadro abs-
tracto en una hoja blanca. Emplea la t?cnica
que desees, as? como los colores que quie-
ras, pero traza ?ngulos utilizando regla
y comp?s.
b) Digitaliza tu dibujo y organiza una exposici?n
virtual de los cuadros de tu grupo. Puedes usar Emaze (www.emaze.com/es/ ) u otra
aplicaci?n para hacer presentaciones.
2. Analiza la infograf?a de la p?gina 64. Sigue el procedimiento para trisecar un ?ngulo.
8. Re?nete en pareja y realicen lo que se pide.
a) Con base en el procedimiento de la p?gina an-
terior, tracen la bisectriz
del ?ngulo que
mide 90B. Luego completen las relaciones entre
los ?ngulos que se forman.
b) Construyan la bisectriz del de 180B
para verificar que se obtienen dos ?ngulos
de 90B.
T
S90B
R

1
2

1 2
(90B)

PORTAFOLIO
Elige una de las actividades
8 , 9 o 10 y rep?tela en
GeoGebra. Guarda tu
trabajo en tu por tafolio de
evidencias.
C O N S U LTA
Visita la p?ginaCwww. edutics.mx /N3F para
saber m?s acerca de los movimientos ar t?sticos en la pintura, como el ar teC abstracto, entre otros.
C10. Traza la bisectriz del ?ngulo de 60B de la actividad 9.
?ngulo de 60
Se construye al intersecar arcos del mismo radio.
?ngulo de 30
Resulta de construir la bisectriz de un ?ngulo de 60B.
C9.CRealiza en el segmentoC lo que indican las
instrucciones.
a)CSobre el segmento , trazar un arco de c?rculo
con centroCB y un radio cualquiera. Ese arco cortar?C
al segmento en un punto .
b)CColocar el comp?s con centro en y, con la mismaC
abertura delCB , trazar otro arco que interseque alC
anterior en el puntoC .
c)CTrazar la recta que
pasa porCB . El ?n-
guloC mide 60B. EnC
realidad, si se traza
tambi?n la rectaC ,
los ?ngulos ,
yCB tendr?nC
una medida de 60B.
B

El ar te abstrac to es una forma de expresi?nC
ar t?stica que se apar ta de la realidad y propone
una nueva realidad diferente a la natural. Construcci?n de ?ngulos congruentes
2. Considera el procedimiento anterior y anota en los c?rculos el n?mero que corresponde al paso
que ilustra cada figura.
3. Reproduce el procedimiento para construir un ?ngulo B congruente con el
?ngulo sobre la siguiente figura. Si es m?s c?modo para ti, expresa el ?n-
gulo con tres letras.
a) ?C?mo puedes comprobar que los ?ngulos y B son congruentes?

C O N S U LTA
Visita la p?ginaCwww.
edutics.mx /No5 para ver
otra forma de construir
dos ?ngulos congruentes
entre s?.
B

B

Se considera el ?nguloC .
Colocar el comp?s con laC
punta met?lica en y trazar
un arco que cor te aC en C
y a en .
Trazar la recta para
formar el ?nguloC . ElC
?nguloC y el ?nguloC C
son congruentes.
Para el segundo ?ngulo, marcar un punto y el
segmentoC. Con centroC
enC, trazar un arco conC
el mismo radio que antesC (), que cor te aC en unC
punto
La intersecci?n de los dosC arcos de la construcci?n es el puntoC , el cu?l delimitar?C
al segundo ?ngulo.
Abrir el comp?s, de modoC que se coloque una punta en y la otra en .
Con la misma aber tura delC paso anterior, con centro enC , trazar un arco con radioC
que cruce el primer arco.
2 3
6 5 4
1

B
60
U1 / L12 4. Utiliza el procedimiento de construcci?n de ?ngulos con tu regla y comp?s, para verificar si son
congruentes los tres ?ngulos del tri?ngulo rojo formado por los brazos en horizontal y los pies de
El Hombre de Vitruvio.
5. Realicen en parejas lo que se pide. Pueden trabajar en papel o con GeoGebra.
a) Construyan un ?ngulo de cualquier medida.
b) Interc?mbienlo con otra pareja para que tracen un ?ngulo congruente.
c) Muestren los ?ngulos obtenidos y expliquen c?mo llevaron a cabo cada paso de
su construcci?n.
Construcci?n de la bisectriz de un ?ngulo
6. Re?nete en equipo para realizar lo siguiente.
a) Analicen los ?ngulos de la figura 12.2 y anoten en la tabla cu?les son congruentes. Utilicen su
juego de geometr?a.
PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo para tener
evidencia de tu aprendizaje.
b) Completen la segunda columna de la tabla con los ?ngulos que se obtienen al sumar los dos
?ngulos congruentes de la primera.
c) ?Cu?les ?ngulos miden la mitad del ?ngulo B ?
d) ?C?mo podr?an dividir a la mitad el ?ngulo B para verificar que este se obtiene al sumar dos ?n-
gulos congruentes?
?ngulos
congruentes
?ngulos que son la
suma de los ?ngulos
congruentes

B

Cada vez m?s
se hacen estudios
que demuestran los
efectos ben?ficos del
arte en el cerebro. El
inter?s por estos temas
dio origen a un nuevo
campo denominado
neuroest?tica. ?C?mo
crees que se relaciona la
geometr?a con la est?tica
de las obras de ar te?
Figura 12.2
61
L12 / U1
63
L12 / U1
62
U1 / L12 62 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 60
2.
Primera fila de pasos: 1, 5, 4 y 6
Segunda fila de pasos: 3 y 2
3. a) R. L. Mido con mi transportador. Trato de superponer ambos
ángulos pasándolos a una hoja de papel y recortándolos;
o bien, los calco y veo si coinciden entre sí.
Página 61 4.
Sí son congruentes.
5.
R. L. Verifique que, efectivamente, cada pareja construya un
ángulo congruente al que le fue dado. También revise los pasos
efectuados. Muestre ante el grupo un ejemplo para que todos
puedan corregir si hubo errores en su construcción.
6. a) y b)
Ángulos
congruentes
Ángulos que son la suma de los
ángulos congruentes
a = b e
c = d f
h = g i
c) Los ángulos c y d.
d) R. L. Con el transportador o copiándolo en un papel para
doblarlo a la mitad.
Página 62 7.

Página 63 8.
a)
Bisectriz en verde.
∠ RSP ≅ ∠ PST. ∡ RSP = ∡ PST =
1
2
∡ RST =
1 2
(90°) = 45°
b)
1. a) R. L. Revise que los trazos efectuados en los trabajos que pre-
senten los alumnos sean una combinación del uso de regla
y compás.
b) R. L. Solicite el envío del dibujo digitalizado como una
evidencia.
2. R. L. Procure que la actividad sea grupal. Pida que muestren su
hoja en la cual hicieron la actividad.
CIERRE
9.
10.
O
α
α′
Bisectriz
R
S
T
P
X
Y
O
E
U
W
V
60º
E
U
30º
30º
63

B

B
3
B
3
B
3

B

B
B

B

B

B

B

B

B

B
Plegamos el lado izquierdo de la
hoja, para que coincidan, al mismo tiempo,
el punto
B con el segmento ,
y el punto
con el segmento .
4
B B

3
Doblamos la parte inferior del papel de modo
que coincidan los segmentos
y .
As?, formamos el segmento
.
Ubicamos el segmento
en el
reverso de la hoja (l?nea punteada
amarilla) y lo prolongamos hasta la
par te superior del papel (segmento
).
5
Abrimos la hoja y completamos el segmento
(l?nea amarilla).
9
En la hoja abierta, el doblez ha generado un
pliegue entre los segmentos
y .
7
Doblamos la hojapa lo largo
del segmento
.
6
Plegamos el papel en el segmento
hasta el punto
.
8
El ?ngulo de 90 ? es de los casos que se pueden
trisecar usando s?lo regla y comp?s.

65
B

B
Hacemos un pliegue (segmento B),
paralelo al segmento
, aproximadamente
a un tercio de la par te superior de la hoja.
Se marca el punto
.
2
Doblamos la par te inferior de la hoja hasta
que el segmento
coincida con el
segmento
.
10
As? se obtiene el segmento (l?nea morada).
?Por qu? se considera que es una
aproximaci?n a trisecar un ?ngulo?
11
La trisecci?n del ?ngulo es un problema
matem?tico que consiste en dividir cualquier
?ngulo en tres partes iguales utilizando s?lo
una regla no graduada y comp?s.
Hay m?todos que permiten a proximar
f?cilmente la trisecci?n de un ?ngulo
agudo, como el arte del plegado del
papel, conocido como origami .
El matem?tico
Pierre Wantzel
demostr?, en el siglo XIX, que

en general, resolver el
problema de la trisecci?n del
?ngulo s?lo con regla y comp?s.

B
B

En una hoja de papel marcamos
el v?r tice
y con un doblez delimitamos el ?ngulo B, que se
forma con el segmento
y el borde inferior (segmento ).
1
Trisecci?n de un
?ngulo agudo
con
origami
GEOMETR?A Y ORIGAMI
LA TRISECCI?N DEL ?NGULO
64 64 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario ??kk?Uk??:k??????k?Hq?^?UU?`/???l`H?MqM Mq?M Notas
65

Plan de clase Semana escolar 10
Lección 13. Construcciones básicas de rectas con regla
y compás
INICIO. El objetivo de esta lección es que aprendan a trazar rectas
paralelas, perpendiculares y punto medio con regla y compás. Haga
al grupo preguntas detonadoras como: ¿Qué son las rectas parale-
las? ¿Qué son las rectas perpendiculares? Solicite que ubiquen líneas
perpendiculares y paralelas en casa o en la calle y coméntenlas en
grupo. Solicite a algún estudiante que lea la sección “Ciudadanía” y
a otro pídale que haga la lectura de la situación “Equidad de género”
en la sección de inicio.
DESARROLLO. Explique la manera de trazar rectas perpendiculares
y paralelas con escuadras. Muestre varios ejemplos y mencione sus
características. Luego, exponga brevemente en qué consisten los seg-
mentos congruentes y la forma de identificarlos. Muestre la manera
de trazar la mediatriz y punto medio de un segmento de recta usando
regla y compás mediante el trazo de un par de ejemplos.
Mencione las ventajas de trazar rectas perpendiculares y parale-
las con regla y compás respecto a hacerlo con escuadras, y viceversa.
Solicite a sus estudiantes que trabajen con cuidado y limpieza en los
trazos y que practiquen lo suficiente para hacerlo con soltura.
Revise que con regla y compás realicen la construcción del punto
medio de un segmento de la página 69 para ejercitar el uso del juego
de geometría. Igualmente supervise la construcción de rectas perpen-
diculares con regla y compás. Revise que completen correctamente
los pasos. La finalidad es que los mismos estudiantes los deduzcan.
CIERRE. Explique la aplicación que hay en el manejo de rectas per-
pendiculares y paralelas en diferentes oficios, como la carpintería
o albañilería. También solicite que den ejemplos de algunas profe-
siones donde sean de vital importancia los conceptos que acaban de
aprender. En arquitectura, por ejemplo, es importante saber trazar
una línea perpendicular o una recta paralela. Invítelos a que indaguen
más aplicaciones de las rectas perpendiculares y paralelas en la vida
cotidiana y realice una retroalimentación del tema visto.
Libro del alumno: Páginas 66-77
Fecha:
Orientaciones didácticas
Lección 13
Contenido. Construcción y propiedades de las figuras planas y cuerpos.
Aprendizaje. Utiliza la regla y el compás para trazar: punto
medio, mediatriz de un segmento, segmentos y ángulos
congruentes, bisectriz de un ángulo, rectas perpendiculares,
rectas paralelas.
Tema. Definición y nomenclatura de líneas paralelas
y perpendiculares. Construcciones básicas con regla y
compás (segmentos y rectas).
Lección 14
Contenido. Construcción y propiedades de las figuras planas
y cuerpos.
Aprendizaje. Identifica y traza las rectas notables en
triángulos y cuadriláteros.
Tema. Trazo con regla y compás de las rectas notables de un
triángulo. Trazo con regla y compás de las rectas notables
de un cuadrilátero convexo.
Error frecuente
Lección 13. Construcciones básicas de rectas con
regla y compás
Frecuentemente algunos estudiantes no identifican la diferencia
entre las escuadras. Motívelos a notarlas por los ángulos que existen: escuadra de 45° y escuadra de 60°. Mencione que és- tos son ángulos notables y que en la primera escuadra existe el ángulo notable de 90° y en la segunda, el de 30°.
A menudo algunos estudiantes olvidan cuáles son las rectas
paralelas y las rectas perpendiculares. Trace algunos ejemplos y diga que las rectas paralelas nunca se cortan, mientras que las rectas perpendiculares forman un ángulo de 90°.
Lección 14. Rectas notables de un triángulo y de un
cuadrilátero
A menudo, los estudiantes no identifican las alturas de los trián

gulos. Explique la definición, dibuje en el pizarrón algunos
ejemplos y solicite que tracen en su cuaderno las alturas co-
rrespondientes. Recuérdeles que pueden prolongar los lados
de los triángulos para poder trazar la altura correspondiente.
Otra confusión que suelen tener es identificar los tipos de
triángulos con base en la medida de sus ángulos. Solicite que
revisen el recuadro de la página 73.
Respecto a los cuadriláteros, suelen confundir un rombo con
un romboide. Es importante que sepan distinguir las caracterís-
ticas de cada uno mediante la identificación de las diagonales
o lados paralelos.
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Audiovisual
La información del siguiente video es útil para saber cómo
trazar la mediatriz de un segmento.
•
“Mediatriz paso a paso”, disponible en
www.edutics.mx/xGb
Sitios web
En esta página web encontrarás recursos interactivos sobre rectas. •
“Rectas paralelas, secantes y perpendiculares”, disponible
en www.edutics.mx/xGE
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica y traza rectas perpendiculares y paralelas con el juego de geometría.
Portafolio de evidencias •
Recuerde a los estudiantes que deben incluir e
videncias de la actividad 8 del desarrollo y la del
cierre de la lección 13. Igualmente mencióneles que tienen que guardar el trazo de las actividades 7 y 8 de la lección 14.
Traza mediatrices de segmentos usando regla y compás.
Identifica y traza las rectas notables
de triángulos y cuadriláteros.
Utiliza las mediatrices para resolver
problemas.
Recursos digitales
• Para complementar la comprensión del concepto de punto medio, se sugier
e que los alumnos realicen la actividad
interactiva “Punto medio”.
• Se recomienda que los estudiantes realicen la actividad
interactiva “Reglas notables” para verificar la comprensión de la lección 14.
Recursos de apoyo complementarios
Lección 14. Rectas notables de un triángulo y de un
cuadrilátero
INICIO. El objetivo de esta lección es que reconozcan y tracen las
rectas notables que existen en los diferentes tipos de triángulos y
cuadriláteros. Pregunte al grupo: ¿Qué son las alturas de un triángu-
lo? ¿Cuántas alturas tiene? ¿Cómo se trazan? Solicite a uno de ellos, elegido al azar, que lea el problema de inicio, “Planta de tratamien- to de aguas residuales”, y pida al grupo que respondan la actividad.
DESARROLLO. Explique la diferencia entre los tres tipos de triángulos
considerando la medida de sus ángulos. Mencione las rectas notables
que existen en los triángulos, dibuje diferentes tipos de éstos y pida que tracen en su cuaderno las alturas y las mediatrices.
Exponga brevemente los diferentes tipos de paralelogramos que
existen y sus elementos. Analice con sus estudiantes las diagonales
que tienen estas figuras. Para ello, pida que tracen los paralelogramos
sobre cartoncillo y, posteriormente, que los recorten y que los doblen por sus diagonales. Luego pregunte cuáles son los cuadriláteros que tienen sus diagonales iguales.
CIERRE. Explique la aplicación que hay en el manejo de rectas nota-
bles en los triángulos y cuadriláteros usando como base los problemas
de la sección de cierre. Invite a que indaguen más aplicaciones en la
vida cotidiana de las rectas notables en los triángulos y cuadriláteros
y realice una retroalimentación del tema.
Las actividades de la Ficha 5 del Cuaderno de evidencias les per-
mitirán aplicar sus conocimientos acerca de las rectas notables de
un triángulo, y crear conciencia acerca de una situación relacionada
con industria, innovación e infraestructura.
Interdisciplina
En la lección 13, el tema de inicio, “Equidad de género”, se rela-
ciona con la disciplina de Formación Cívica y Ética.
Programa Construimos Futuro
Ciudadanía. La actividad de inicio de la lección 13 brinda una
oportunidad para reflexionar acerca de cómo viven la equidad de
género y promover acciones para fomentarla de forma individual
y colectiva.
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d) ?C?mo podr?an verificar que sus respuestas son correctas? Expliquen.

e) Al hacer mediciones en la figura, ?qu? pueden concluir sobre las longitudes de los segmentos
B1, B2, B3 y B4?
Las ilusiones ?pticas confunden la percepci?n de los objetos, por eso es indispensable realizar me-
diciones con el prop?sito de determinar las caracter?sticas de una figura.
Dos segmentos son iguales o congruentes cuando son de igual longitud. Para comprobar que
dos segmentos son congruentes, se emplea una regla y se verifica que midan lo mismo.
4. Encierra los segmentos que son congruentes en la figura.

Una manera de construir dos segmentos congruentes es utilizando un comp?s.
Construcci?n de segmentos congruentes
5. Emplea el m?todo anterior y marca tres segmentos iguales al que se indica en la recta.
1 Se traza un segmento y se abre el com-
p?s, de manera que una punta quede en un extremo, mientras que la otra se coloca en el opuesto.
2 Sin cambiar la apertura del comp?s, se co-
loca la punta met?lica en un punto B (que
ser? un extremo del segmento congruen-
te) y, con la otra punta, se marca un arco que delimita el extremo .
Construcci?n con regla y comp?s del punto medio
de un segmento
1 Considera el segmento . Coloca el comp?s con
el centro en B y traza un arco de radio .
2 Ahora coloca el comp?s con centro en y con el
mismo radio, y traza otro arco que interseque con
el anterior, en los puntos y .
3 Con la regla y un l?piz, traza la recta , que cor-
tar? al segmento en el punto , es decir, justo
a la mitad de .
Punto medio y mediatriz
Otro concepto importante en geometr?a es el punto medio de un segmento, es decir, el que se encuen-
tra exactamente a la mitad.
6. Responde con base en la figura 13.3.
a) ?Cu?l es el punto medio de ?
b) ?De cu?l segmento es el punto medio?
c) ?De cu?les segmentos es el punto medio?

d) Explica c?mo encontraste el punto medio de .

El punto medio de un segmento tambi?n se puede localizar con ayuda de un comp?s.
El punto medio del segmento es , ya que la distancia de a es la misma que la de a (o
de a ). El punto divide al segmento en dos de la misma longitud.
B

B

7. Construye el punto medio sobre el segmento . Nombra los puntos auxiliares como y .
a) Con tu comp?s, verifica que los segmentos y son iguales.
b) ?Cu?nto mide el ?ngulo ?

c) ?Cu?nto mide el ?ngulo ?

B

B

B

1 2
3
Figura 13.3
69
L13 / U1 ? Utiliza la regla y el comp?s para trazar : punto medio, mediatriz de un segmento, segmentos y ?ngulos
congruentes, bisec triz de un ?ngulo, rec tas perpendiculares, rec tas paralelas.
L13Construcciones b?sicas de rectas con
regla y comp?s
Unidad UNO
INICIO
1. Analiza la situaci?n y contesta.
DESARROLLO
Rectas perpendiculares y paralelas
Las rectas perpendiculares y los ?ngulos rectos se usan en distintos contextos.
1. Analiza los ?ngulos que se forman en la figura 13.1.
Figura 13.2 La palabra
perpendicular hace referencia
a una plomada, es decir, a una
cuerda de la cual se suspende
un peso, formando as? un
?ngulo rec to entre la cuerda
y el piso.
Si dos rectas B y se intersecan y forman un ?ngulo recto, se deno-
minan rectas perpendiculares (figura 13.2). El s?mbolo B repre -
senta que algo es perpendicular. Entonces B B , se lee ?la recta B
es perpendicular a la recta ?.
Entre las piezas de un juego geom?trico est?n la escuadra y el cartab?n, que sirven para trazar una
recta perpendicular a un segmento y que pasa por un punto determinado.

90

Para reafirmar el concepto de
equidad de g?nero, en la clase
de Olivia les pidieron elaborar
un cartel. Ella y su equipo quie-
ren hacer uno parecido al que
se muestra en la imagen.
a) Observa que hay un segmen-
to, arriba de un tri?ngulo, en
donde aparecen de pie las siluetas de una mujer y un hombre. Para representar la igualdad,
?en qu? parte del segmento se debe colocar el v?rtice del tri?ngulo?

b) ?C?mo har?as para dividir un segmento en dos partes iguales sin utilizar una regla gradua-
da?
a) Sin usar el transportador, calcula la medida de cada ?ngulo.

b) ?C?mo es la medida de los ?ngulos
entre s??
La igualdad
de g?nero se refiere
a que los derechos,
responsabilidades
y opor tunidades
sean equitativos,
independientemente del
sexo con que nace una
persona. ?Qu? acciones
puedes emprender para
fomentar la igualdad
de g?nero entre tus
compa?eras
y compa?eros?
Figura 13.1
66 Dos rectas son paralelas cuando no se intersecan y mantienen la misma
distancia entre s?. En la vida cotidiana, un ejemplo de rectas paralelas
lo podemos encontrar en las v?as del metro o de un tren. Para expresar
que dos segmentos o rectas son paralelas se utiliza un s?mbolo formado
por dos peque?as rayas verticales: B .
B B se lee ?el segmento B es paralelo al segmento ?.
B
B se lee ?la recta B es paralela a la recta ?.
Trazo de perpendiculares con escuadras
1 Con el apoyo del cartab?n, trazar el segmento y marcar
un punto .
2 Colocar la escuadra de manera que el ?ngulo recto quede so-
bre el segmento ; luego desli-
zar hasta que el otro lado toque el punto .
3 Trazar la recta sobre el se-
gundo lado de la escuadra; ?sta debe ser perpendicular al segmento inicial y pasar por
el punto .
2. Utiliza tus escuadras y realiza lo que se indica.
a) Construye una recta , perpendicular la recta , que pase por el punto
.
b) Construye otra recta , perpendicular a la recta , que pase por el pun-
to .
c) Observa que las rectas y mantienen la misma distancia entre ellas.
Las rectas y de la actividad anterior son perpendiculares a una misma
recta, nunca se cruzan o intersecan.
Segmentos congruentes
La palabra congruente se us? en la lecci?n anterior para describir que dos ?ngulos miden lo mismo. En el caso de dos segmentos, el t?rmino congruente tambi?n indica que tienen la misma medida, pero que est?n en distinto lugar.
3. Re?nanse en parejas, observen las figuras de la siguiente p?gina y respondan.
a) simple vista, ?cu?l segmento parece mayor,
1 o 2?
b) ?Cu?l parece de menor tama?o,
3 o 4?
c) ?Cu?les segmentos son iguales?
Las v?as de un tren son un ejemplo de
rec tas paralelas.

67
L13 / U1
B1 B2
B3 B4
B

68
U1 / L13 68 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario INICIO
DESARROLLO
Página 66
1. a) Justo en el punto medio.
b) R. M. Calcar y doblar a la mitad en el punto medio.
1. a) ∡α = 90°
∡β = 90°
∡γ = 90°
b) Todos miden lo mismo, 90°.
Página 67 2.
a), b) y c)
7
.
3.
a) R. M. Parece mayor L
1.
b)
R. M. La recta L
3 parece más pequeña.
c)
R. L. Se verifica que cada par de líneas tiene la misma
longitud.
Página 68
d) R. M. Medir con una regla o trazar las rectas en papel albane-
ne y superponerlas o medirlas con un compás.
e) L1 y L2 tienen la misma longitud, y L 3 y L4 miden lo mismo.
4. Los segmentos AB y GH son congruentes.
5.
Página 69 6.
a) El punto B.
b) Del segmento XZ .
c) X es el punto medio de BY y de AZ .
d) R. L. Usando el compás.
a) R. L. Se verifica que la distancia al punto medio desde los
extremos del segmento es la misma.
b) 90°
c) 90°
Notas
j
A
k
B
m
A
R
T
M
B
A B C D E F G H
69© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

? Utiliza la regla y el comp?s para trazar: punto medio, mediatriz de un segmento, segmentos y ?ngulos
congruentes, bisec triz de un ?ngulo, rec tas perpendiculares, rec tas paralelas
L14Rectas notables de un tri?ngulo y de
un cuadril?tero
Unidad UNO
INICIO
1. Analiza la informaci?n y haz lo que se pide.
Como parte de la planeaci?n de tres fraccionamientos urbanos, se
construir? una planta de tratamiento de aguas residuales, con el fin
de recuperar el agua de una poblaci?n cercana y eliminar sus sustan-
cias contaminantes para, posteriormente, reutilizarla en zonas de riego,
procesos industriales, fines recreativos e, incluso, enviarla por desag?e
al mar, para mantener el flujo ambiental. La planta se ubicar? a la mis-
ma distancia de los tres fraccionamientos. Para resolver matem?tica-
mente el problema, se hizo un modelo geom?trico en el que
representaron los fraccionamientos con los puntos B , y .
a) ?D?nde debe situarse la planta para que se encuentre a la misma
distancia de cada fraccionamiento?

b) Marca en el modelo geom?trico el punto en donde se deber?a ubi-
car la planta.
DESARROLLO
Caracter?sticas de los tri?ngulos
Antes de definir qu? es un tri?ngulo, primero hay que entender el concepto de puntos colineales.
Tres puntos son colineales cuando est?n sobre una misma recta.
1. Formen parejas y resuelvan lo que se pide.
a) Marquen con un mismo color tres puntos que sean colineales.
b) Tracen la recta a la que pertenecen esos puntos.
Un tri?ngulo es una figura de tres lados, pero es posible dar mayores precisiones a esa definici?n
a partir de los conceptos geom?tricos estudiados en las lecciones anteriores.

B 2. Contin?en en parejas para analizar los puntos y realizar lo que se pide.
a) Anoten las ternas de puntos que son colineales.

b) Tracen todos los tri?ngulos que se forman.
c) Anoten las ternas de puntos que son los v?rtices de un
tri?ngulo.

d) ?Cu?ntos son?
Los tri?ngulos se clasifican de acuerdo con la medida de sus ?ngulos.
Un tri?ngulo se conforma por tres segmentos determinados por tres puntos que no son colinea-
les. Dichos puntos son los v?rtices del tri?ngulo y los segmentos sus lados.
V?rtices: B , y
Lados: , y

B
TOMA NOTA
Un tri?ngulo con v?r tices
se expresa con el
s?mbolo B .
3. Enlista todos los tri?ngulos de la figura e indica de qu? tipo son.

Un tri?ngulo es acut?ngulo cuando todos sus ?ngulos son menores de 90?, pero si tiene un ?ngulo de 90,
entonces se llama tri?ngulo rect?ngulo y cuando tiene un ?ngulo mayor de 90, se conoce como obtus?ngulo.
B

Tri?ngulo acut?ngulo
Tri?ngulo rect?ngulo
Tri?ngulo obtus?ngulo

B
73d) Completa el texto. La recta pasa por el del segmento y es a
dicho segmento , es decir, forma un ?ngulo de respecto a .
e) Sobre la recta , marca un punto , el que quieras, y con el comp?s verifica que los segmentos
y son congruentes.
Del concepto de punto medio surge el de mediatriz.
8. Re?nanse en equipos y expliquen en su cuaderno c?mo construir la mediatriz de un segmento
con las herramientas propuestas.
a) Regla y transportador.
b) Regla y escuadra.
Perpendiculares y paralelas con regla y comp?s
En las p?ginas anteriores se describi? c?mo construir segmentos o rectas perpendiculares y paralelas
utilizando escuadras. Ahora se mostrar? c?mo hacerlo con regla y comp?s.
9. Completa el procedimiento. Anota las letras que corresponden a los puntos y segmentos de las
im?genes que ilustran cada paso.
La mediatriz es la l?nea recta perpendicular a un segmento, trazada por su punto medio. Los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan, es decir, est?n a la misma distancia de sus extremos.
Construcci?n de perpendiculares con regla y comp?s
1 Se considera la recta y un punto
2 Con el comp?s, se traza un arco de c?rculo con centro en el punto y que interseque con
los puntos y de la recta . Como las distancias y son iguales, la mediatriz del
segmento pasar? por el punto
3 Construye la mediatriz del segmento
4 La mediatriz es la recta perpendicular a la recta , en el punto .
El siguiente procedimiento explica c?mo construir una recta que pasa por un punto y que, ade-
m?s, es paralela a otra recta . Para ello, es necesario recordar c?mo copiar ?ngulos congruentes
con regla y comp?s.
PORTAFOLIO
Guarden en su por tafolio de
evidencias las descripciones
de la ac tividad 8 .
B B

B
B

70
U1 / L13
L14 / U1
Cedros
BuganviliasCIERRE
1. Analiza la figura y responde en tu cuaderno.
Los ?ngulos y son rectos. El ?ngulo
es congruente al ?ngulo y los segmen-
tos y son congruentes.
a) ?Qu? pares de rectas son perpendiculares?
b) ?Qu? rectas son bisectrices?
c) Indica una pareja de rectas paralelas.
2. Lee y realiza lo que se pide.
Para hacer un librero, Mario compr? seis tablas: una para el piso, dos para los entrepa?os,
otra para la parte superior y dos para los costados, para formar as? tres huecos para los li-
bros. A la mitad de la tabla del piso, pondr? otra vertical que sostenga el siguiente entre-
pa?o; a su vez, entre el primer y segundo entrepa?o, colocar? dos tablas verticales para
soportar el peso.
a) Elabora un esquema del librero con las condiciones especificadas. Utiliza regla y com-
p?s o GeoGebra para realizar los trazos.
10. Utiliza tu regla y comp?s y reproduce los pasos anteriores sobre la siguiente imagen para cons-
truir una recta paralela a otra en un punto determinado. Luego contesta.
Construcci?n de paralelas con regla y comp?s
a) ?C?mo puedes comprobar que las rectas y son paralelas?
PORTAFOLIO
Guarden en su por tafolio de
evidencias las respuestas de
las actividades de la secci?n
Cierre.
B

B

CON TIC?S
En la p?gina
www.edutics.mx /NxP observa otra forma de construir rectas paralelas que pasan por un punto dado.
Traza el segmento
y nombra como
B al ?ngulo que se
forma con la recta
y el segmento .
2
Copia el ?ngulo sobre el segmento , de modo que
sea el v?r tice.
Nombra al nuevo ?ngulo como y
obser va que es congruente el B .
3
Considera la recta y un punto
fuera de la recta. Marca un punto cualquiera en la recta y expr?salo
como B.
1
El lado del
?ngulo es paralelo
a la recta . Marca
una recta sobre el lado y expr?sala
como . La recta
es paralela a la .
4
71
L13 / U1
?lamos
B

72 70 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. A
R
T
M
B
A
B
P
C
A
B
D
E
G
F
C
A E
B D
F
C
U
Página 70
d) La recta RT pasa por el punto medio del segmento AB y es
perpendicular a AB, es decir, forma un ángulo de 90° respec-
to a AB .
e)
8.
a) Primero se mide el segmento, luego se marca la mitad y, final-
mente, con el transportador, se miden 90° para trazar la
perpendicular.
b) R. M. Primero se mide el segmento y luego se marca la mitad.
Después, con la escuadra que tiene el ángulo de 90°, se traza
la perpendicular en el punto medio.
9. Paso 1: Se considera la recta p y un punto E .
Paso 2: Con el compás, se traza un arco de círculo con centro en el
punto E y que interseque con los puntos A y B de la recta p . Como
las distancias AE y BE son iguales, la mediatriz del segmento AB
pasará por el punto E .
Paso 3: Construye la mediatriz UV del segmento AB .
Paso 4: La mediatriz UV e s la recta perpendicular al segmento p,
en el punto E .
Página 71
10. R. L. Verificar que se sigan los pasos correctamente.
a) R. M. Al medir con regla o con el compás la distancia entre
ellas y confirmar que es la misma.
CIERRE
1. a) AC y EB, CB y AD.
b) La recta AD es bisectriz del ángulo CAB .
La recta CA es bisectriz del ángulo ECD.
c) Las rectas paralelas son EC y AD.
2. a)
INICIO
DESARROLLO
Página 72
1. a) Entre los tres fraccionamientos. En el punto de intersección de
las mediatrices del triángulo ABC .
b) El punto P es donde se ubicaría la planta.
1. a) y b)
Página 73 2
.
a) A, B, C; C, D, E; y A, F, E.
b)
c) A, C y F; A, B y F; C, B y F; C, E y F; C, D y F; E, D y F; A, C y E; A,
C y D; A, D y E; A, B y D; E, D y B; E, B y C; E, B y A; B, C y D; B, D
y F.
d) 15
3. ABC: obtusángulo; A DB: rectángulo; AEB: obtusángulo; EDB: rec-
tángulo; CDB: rectángulo; CEB : acutángulo.
71

Rectas notables de un cuadril?tero
Los cuadril?teros son figuras geom?tricas que observamos con gran frecuencia en objetos de la vida
cotidiana, como puertas, edificios, ventanas, cajas, etc?tera.
Las tres mediatrices de un tri?ngulo se intersecan en un punto llamado circuncentro, el cual se localiza a la misma distancia de cada v?rtice del tri?ngulo.
El punto de intersecci?n de las tres bisectrices de un tri?ngulo se llama incentro.
7. Organicen equipos, tracen las diagonales de cada figura y m?danlas. Luego contesten.
a) ?En cu?les cuadril?teros sus dos diagonales son de la misma longitud?

Un cuadril?tero es la uni?n de cuatro segmentos determinados por cuatro puntos, llamados v?r-
tices, de los cuales tres no son colineales. Los cuadril?teros m?s comunes son: cuadrado, rec-
t?ngulo, rombo, romboide y trapecio.
Cuadrado Rect?ngulo Rombo Romboide Tr a p e c i o
Los cuadril?teros se componen de cuatro lados, cuatro v?rtices y cuatro ?ngulos. La diagonal
de un cuadril?tero es el segmento que une dos v?rtices opuestos. Un cuadril?tero siempre
tiene dos diagonales.
Lados opuestos
Diagonal
Lado
V? r t ice
V?rtices opuestos
TOMA NOTA
El cuadrado tiene cuatro
lados iguales y cuatro
?ngulos rectos. El
rect?ngulo tiene cuatro
?ngulos rectos y los lados
opuestos son iguales.
El rombo tiene cuatro
lados iguales paralelos dos
a dos. El romboide tiene sus
dos pares de lados opuestos
paralelos. El trapecio
tiene solamente dos lados
opuestos paralelos.
Los cuadril?teros que
tienen sus dos pares de
lados opuestos paralelos,
como el cuadrado, el
rect?ngulo, el rombo y
el romboide, tambi?n
se conocen como
paralelogramos.CIERRE
1. Analiza la situaci?n y resuelve en tu cuaderno.
Al igual que en el problema del inicio de
la lecci?n, se planea construir una planta
de tratamiento de aguas residuales, de modo
que se ubique a la misma distancia de tres
zonas residenciales. Cada zona se indica
con un punto en la imagen.
a) Determina el lugar en donde se debe
construir la planta para que quede a la
misma distancia de las tres zonas.
2. Lee el texto y realiza lo que se pide.
En una galer?a rectangular colocaron unos
cuadros en los puntos B , , , , y , de
manera que las distancias , , , ,
y son iguales. Adem?s, se instalar?n
dos l?mparas para iluminar los cuadros, de
modo que estos est?n a la misma distancia
de alguna l?mpara.
a) Marca en la imagen en d?nde deben po -
ner las l?mparas.
b) ?En cu?les cuadril?teros las diagonales forman un ?ngulo recto?

En los paralelogramos las diagonales presentan caracter?sticas especiales.
Caracter?stica de
diagonales
Cuadrado Rect?ngulo Rombo Romboide
Longitud Son iguales Son iguales Son distintas Son distintas
Perpendicularidad S? No S? No
8. Contin?en en equipos y realicen lo que se pide. Luego contesten.
a) Tracen los puntos medios en cada lado de los cuadril?teros de la actividad 7.
b) Dibujen los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos.
c) Analicen sus trazos en cada figura y luego subrayen las palabras que completan correc- tamente el siguiente texto.
La planeaci?n
urbana sostenible
pretende impactar lo
menos posible el entorno
natural y garantizar
la disponibilidad de
recursos suficientes
para la poblaci?n.
?Qu? utilidad tiene el
contenido estudiado
en esta lecci?n en la
planeaci?n de espacios
ur banos?
PORTAFOLIO
Guarden en su por tafolio de
evidencias los trazos de las
ac tividades 7 y 8 . Pueden
hacerlos en GeoGebra.
B

Los segmentos que unen los puntos medios son paralelos / perpendiculares al par de lados que
no unen y tienen la misma diagonal / longitud que estos. Las diagonales / alturas y los segmen-
tos que unen los puntos medios / paralelogramos se intersecan en el mismo v?rtice / punto.
p?ginas
17 y 18
Cuaderno
de evidenciasRectas notables de los tri?ngulos
Adem?s de los segmentos que forman los lados de un tri?ngulo cualquiera, se pueden identificar
y trazar otras rectas, conocidas como rectas notables.
4. Realiza los trazos que se indican en cada tri?ngulo.
Una mediana de un tri?ngulo es el segmento que une un v?rtice del tri?ngulo con el punto medio
del lado opuesto. Una altura de un tri?ngulo es el segmento que pasa por un v?rtice del tri?ngulo
y es perpendicular con el lado opuesto.
B es el punto medio del lado .
es la mediana respecto al v?rtice y el lado .
es la altura respecto al v?rtice A y el lado .
Un tri?ngulo tiene tres alturas y tres medianas.
El punto de intersecci?n de las alturas de un tri?ngulo se llama ortocentro.
Las tres medianas de un tri?ngulo se intersecan en un punto llamado baricentro.
a) Usa tus escuadras para trazar las tres alturas del tri?ngulo .
b) Utiliza regla y comp?s para determinar el punto medio de cada lado del tri?ngulo y luego
traza sus medianas. ? ?Qu? pasa con las tres alturas?
? ?Qu? ocurre con las tres medianas?
c) Marca con rojo el punto donde se intersecan las alturas y con verde donde se intersecan las
medianas.
d) Complementa tus conclusiones con la siguiente informaci?n.

B

mediana
altura

B

GLOSARIO
notable. Que destaca o
llama la atenci?n por su
inter?s, calidad
o impor tancia.
TOMA NOTA
La altura de un tri?ngulo puede ser interior, exterior
o ser uno de sus lados, lo cual depende de que el tri?ngulo tenga todos sus ?ngulos agudos, uno obtuso o uno rec to.
74Existen rectas que se relacionan con los ?ngulos y puntos medios en los lados de un tri?ngulo.
6. Formen parejas y tracen lo que se indica en cada tri?ngulo.
a) Las tres mediatrices del tri?ngulo .
? ?Qu? ocurre con las mediatrices?
b) Las tres bisectrices en el tri?ngulo .
? ?Qu? sucede con las bisectrices?
La recta perpendicular que pasa por el punto medio de un lado de un tri?ngulo se llama media-
triz. A su vez, una bisectriz de un tri?ngulo es la recta que pasa por un v?rtice y divide su ?ngulo
en dos partes iguales.
Un tri?ngulo cuenta con tres mediatrices y tres bisectrices.
5. Observa los trazos con regla y comp?s que se muestran en las figuras y anota en los recuadros
mediatriz o bisectriz seg?n corresponda a la recta construida.
c) Representen con la letra el punto de intersecci?n de las mediatrices.
d) Completen las afirmaciones con base en esta propiedad: ?Los puntos de la mediatriz de un seg-
mento equidistan, es decir, est?n a la misma distancia de sus extremos?. ? equidista de los extremos del segmento
? equidista de los extremos del segmento
? equidista de los extremos del segmento
e) Verifica con tu regla que la distancia que hay de a los tres v?rtices del tri?ngulo es la misma.
B

CON TIC?S
Ingresa a la p?gina
interactiva www.edutics.
mx /NY T y aprende m?s
sobre la ubicaci?n
y propiedades de las rec tas
notables de un tri?ngulo
(consulta: 29 de marzo de
2023).
TOMA NOTA
En las lecciones anteriores se describe c?mo trazar
la bisec triz de un ?ngulo y la mediatriz de un segmento.

75
L14 / U1
U1 / L14
77
L14 / U1
76
U1 / L14 72 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 74
4. a) y b)
• Las tres alturas coinciden en un mismo punto.
• Las tres medianas coinciden en un mismo punto.
c) Verificar que se ubique correctamente el punto de
intersección.
d) El nombre de cada punto se debe colocar en la imagen que le
corresponde.
Página 75 5.
bisectriz mediatriz
6. a) • Las mediatrices coinciden en un un punto que está en un lado
del triángulo.
b) • Las bisectrices coinciden en un punto al interior del triángulo.
c) La letra G se escribe en la primera figura.
d) • G equidista de los extremos del segmento XY .
• G equidista de los extremos del segmento ZY .
• G equidista de los extremos del segmento ZX .
e) Se verifica al medir con una regla o usando el compás que
están a la misma distancia.
Página 76 2.
CIERRE
1. a) El punto D, donde se intersecan las mediatrices, es el lugar que
está a la misma distancia de las tres zonas residenciales.
2.
Los círculos rojos, donde se intersecan las diagonales, son los luga-
res donde deben colocar las lámparas.
a) En el cuadrado y el rectángulo.
Página 77
b) En el cuadrado y el rombo.
8. a) y b)
c) Los segmentos que unen los puntos medios son paralelos /
perpendiculares al par de lados que no unen y tienen la mis-
ma diagonal / longitud que éstos. Las diagonales / alturas y
los segmentos que unen los puntos medios / paralelogra-
mos se intersecan en el mismo vértice / punto.
C
K
MB
A
L
X
Z
Y
G
R
T S
BB
AA
CCDD
F
A B
E
C
D
73

Plan de clase Semana escolar 11
Lección 15
Contenido. Obtención y representación de información.
Aprendizaje. Usa tablas, gráficas de barras y circulares para
el análisis de información.
Tema. Recolección, registro en tablas y lectura de datos en
gráficas de barras.
Lección 16
Contenido. Azar e incertidumbre en la ocurrencia de eventos
cotidianos.
Aprendizaje. Identifica eventos en los que interviene el azar
y experimenta y registra los posibles resultados.
Tema. Azar y experimento aleatorio. Evento aleatorio
y espacio muestral.
Libro del alumno: Páginas 78-85
Fecha:
Error frecuente
Lección 15. Gráficas de barras
Con frecuencia algunos estudiantes confunden el signo de un número con el de las operaciones. Realice un breve repaso del tema resolviendo algunos ejemplos de esto. Pida que también vuelvan a revisar la lección 2.
Lección 16. Experimentos aleatorios
A menudo, algunos estudiantes desconocen el significado de un
evento azaroso y dudan sobre las características de los eventos
deterministas. Explique varios casos donde interviene el azar. Puede usar ejemplos clásicos como lanzar una moneda, en los que no se sabe cuál de las dos caras va a quedar boca arriba.
Lo mismo sucede si lanzamos un dado: sabemos que tiene
seis caras, pero desconocemos qué cara quedará hacia arriba.
Para calcular la probabilidad de este tipo de eventos es ne-
cesario saber dividir y convertir datos en porcentajes. Algunos
estudiantes tienen problemas al dividir cifras con punto decimal.
Haga un breve recordatorio (antes de iniciar el tema) acerca de cómo realizar este tipo de divisiones. Mencione que los parén-
tesis, corchetes y llaves son la prioridad en la línea de operacio-
nes. Proponga ejercicios extra con líneas de operaciones que involucren signos de agrupación.
Lección 15. Gráficas de barras
INICIO. El objetivo de esta lección es que el estudiante organice la información contenida en tablas y gráficas con base en problemas de la vida cotidiana. Pida al grupo que reflexione sobre preguntas deto- nadoras como: ¿Conoces las gráficas de barras? ¿Sabes cuándo se usan? Sugiera que al mismo tiempo piensen en situaciones de la vida
cotidiana y pregunte ¿Qué tipo de información podrías representar
con gráficas de barras? ¿Has visto los resultados de encuestas de
algún candidato en contextos de política o representantes guberna- mentales? ¿Cómo presentan el resultado de estas encuestas en los noticieros? ¿Por qué crees que es tan importante representarlos de esa forma? Permita que los alumnos participen con más preguntas.
DESARROLLO. Ponga por escrito en el pizarrón los conceptos clave
que los alumnos usarán. Esto les permite avanzar en la lección sin
perderse en los procedimientos y actividades. Explique al grupo que
en el análisis de la información deben tener presentes dos cosas:
por un lado, la tabla de frecuencias, que en esta unidad será un primer
acercamiento y, por otro, la gráfica de barras. Presente un ejemplo
de la construcción de gráficas y tablas. Mencione las características
que deben poseer los datos para representarlos en una gráfica con la
información que tiene que aparecer en los ejes horizontal y vertical.
CIERRE. Busque en internet noticias en las que se usen gráficas
de barras; por ejemplo, en sitios web de periódicos o del gobierno.
Prepare y proyecte una presentación acerca del uso cotidiano en me-
dios de comunicación de las tablas y gráficas para iniciar la actividad
de la sección de cierre. Invite a los alumnos a identificar más usos
cotidianos de gráficas de barras y observar qué información contienen.
Las actividades de la Ficha 6 del Cuaderno de evidencias les per-
mitirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de las gráficas
de barras y crear conciencia sobre alguna situación relacionada con
agua limpia y saneamiento.
Lección 16. Experimentos aleatorios
INICIO. El objetivo de esta lección es que el alumno identifique fe-
nómenos en los que interviene el azar, experimente y registre los re-
sultados posibles. Plantee algunas preguntas al grupo como: ¿Sabes
qué son las quinielas deportivas? ¿Cómo funcionan las tómbolas? ¿Se
puede saber con anticipación quién ganará? Sugiera que piensen en
situaciones de la vida cotidiana como: ¿Puedes encontrar algún otro
juego donde intervenga el azar? ¿De qué tipo? Permita que intercam -
bien sus opiniones relacionadas con estas preguntas. Pida a algún
alumno que lea el problema del inicio, “La selección de candidatos en
puestos de liderazgo”. Explique lo que significa la palabra insacular.
Orientaciones didácticas
74© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Programa Construimos Futuro
Desarrollo sustentable. Las actividades de inicio y cierre permiten
reflexionar acerca de distintas actividades humanas que ponen en
peligro el medio ambiente y la biodiversidad.
Libros y revistas
El siguiente libro contiene actividades sobre espacios mues-
trales y eventos.
•
Matemáticas 1, Saberes fundamentales. Secundaria,
México, Ediciones Castillo, 2023.
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para aprender a tra- zar gráficas de barras. •
“Cómo hacer una gráfica de barras”, disponible en
www.edutics.mx/Nqc
La información del siguiente video es útil para aprender acer- ca de experimento aleatorio y espacio muestral. •
“Experimento aleatorio, espacio muestral y evento
o suceso”, disponible en www.edutics.mx/xpN
Sitios web
En esta página web encontrarás recursos de probabilidad. •
Liveworksheets, “Probabilidad de un suceso”, Recurso
interactivo, disponible en www.edutics.mx/xpx
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Organiza y representa datos en tablas y gráficas de barras.
Portafolio de evidencias •
Pida a los estudiantes que agreguen la actividad de cierr
e de la lección 15.
• Recuérdeles incluir también la actividad 9 del desarrollo (
ejemplo de diagrama de árbol para
representar espacios muestrales) de la lección 16.
Identifica el espacio muestral de un evento.
Distingue entre eventos
aleatorios y deterministas.
Interdisciplina
En la lección 15, el tema de inicio, “Masificación de plásticos de un
solo uso”, y el problema de cierre, “Deforestación”, se relacionan
con la disciplina de Biología.
En la lección 16, el tema de inicio, “La elección de candidatos en
puestos de liderazgo…”, y el tema de cierre, “La igualdad de gé-
nero en la toma de decisiones”, se enlazan con la disciplina de
Formación Cívica y Ética.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• Para aplicar conceptos del tema de gráfica de barras, se recomienda que los es
tudiantes realicen la actividad
interactiva “Gráfica de barras”.
• Para identificar experimentos aleatorios y espacios
muestrales, se sugiere que los alumnos realicen la actividad interactiva “¿Qué son?”.
DESARROLLO. Explique al grupo qué es un evento aleatorio y un
evento determinista y presente diferentes ejemplos. Pida a los alum-
nos que lleven a la clase —o usted téngalos preparados— varios
dados. Es importante que jueguen con ellos y registren los resulta-
dos. En estos temas de probabilidad la parte experimental es crucial.
Posteriormente, pida que respondan las actividades 3 y 4.
Una manera de determinar el espacio muestral consiste en que
los alumnos piensen en todas las posibilidades que se tienen en un experimento aleatorio. Explique otros ejemplos, tales como la baraja española o la inglesa.
CIERRE. Solicite que propongan dos maneras de elegir representan-
tes, así como la cantidad de éstos y sus funciones. Además de la elec-
ción, solicite que por lo menos cada equipo de representantes tenga
un plan de trabajo. Permita que intercambien opiniones entre ellos.
Invite a que indaguen más aplicaciones de los espacios muestrales
y eventos en la vida diaria. Realice una retroalimentación del tema visto.
Las actividades de la Ficha 7 del Cuaderno de evidencias les per-
mitirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de experi-
mentos aleatorios, espacios muestrales y eventos aleatorios, y crear
conciencia sobre alguna situación relacionada con la reducción de
las desigualdades.
75© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

a) Haz una gr?fica de barras con la informaci?n de la tabla 15.1, de la p?gina 79.
b) ?Consideras que la conservaci?n de las especies est? en riesgo? Argumenta.

c) ?Por qu? los valores del eje B van de 50 en 50?

Figura 15.1 La Isla Magdalena se localiza en
el Estrecho de Magallanes y es una de las m?s
impor tantes ping?ineras del sur de Chile.
C O N S U LTA
Para saber m?s acerca de
la sustituci?n de bolsas de
pl?stico, entra en
www.edutics.mx /Nqq.
4. Re?nanse en parejas y analicen la situaci?n.
En la Isla Magdalena (figura 15.1), un grupo de telesecundaria, con ayuda de su profesor, in-
vestig? el tipo de basura que all? generan 17 hogares durante una semana. Los resultados se
muestran en la tabla 15.2.
Ta b l a 1 5 . 2
Tipo de
deshechos
Cantidad
Tipo de
deshechos
Cantidad
Bolsas de
pl?stico
162 Vidrio 20
Botellas de
pl?stico
115 Car t?n 92
Otros
envases de
pl?stico
118 Papel 80
Latas 10 0 Pa?ales 62
a) Realicen la gr?fica de barras correspondiente a la tabla 15.2. Luego respondan.b) ?Qu? tipo de deshechos son los predominantes?
c) ?Qu? tipo de deshechos hay en menor cantidad?
d) En grupo, analicen la escala que eligieron para su gr?fica y mencionen algunas medidas que
contribuyan a reducir el problema de los desechos pl?sticos.

CIERRE
1. Analiza la informaci?n y responde en tu cuaderno.
En una noticia de un peri?dico de distribuci?n nacional, del 25 de diciembre
de 2017, apareci? la siguiente gr?fica. La cantidad correspondiente a cada
entidad est? expresada en hect?reas. Para saber m?s entra en www.edutics.
mx /NaR
a) En tu cuaderno, completa la gr?fica, es decir, anota y traza los elementos
que faltan.
b) ?Cu?l es la escala de valores que utilizaste en el eje B ?
c) Haz la tabla correspondiente, a partir de los datos de la gr?fica de
barras.
Entidades con m?s alto ?ndice de deforestaci?n
Estado
ChiapasCampeche Oaxaca Ve r ac r uzQuintana Roo Yu c a t ?n
0
70
50
30
20
10
68 236
56 424
38 811
26 191
24 412 23 844
C H N S U LTA
Para repasar el tema de
gr?f icas de barras, entra enCC
www.edutics.mx /NqcC
De acuerdoC
con la Norma OficialC
Mexicana 059 (2019),C
en M?xico hay unC
cat?logo de m?s de 500C
especies, entre plantas
y animales, en peligroC
de extinci?n. Lo anterior
se debe principalmenteC
a la deforestaci?n,
la contaminaci?n delC
agua y la ex tensi?n
de la mancha urbana.C
?Qu? utilidad tienen lasC
gr?ficas de barras para
expresar este tipo de
informaci?n?
p?ginaN
19 y 2É
Cuaderno
de evidenciaN ? Usa tablas, gr?ficas de barras y circulares para el an?lisis de informaci?n.
L15Gr?ficas de barras
Unidad UNO
INICIO
1. Analiza la situaci?n y responde en tu cuaderno.
La masificaci?n de pl?sticos de un solo uso, como bolsas,
envases y botellas, nos ha llevado a acumular desechos en
los oc?anos, de manera alarmante, lo que ha tenido un im-
pacto negativo en la fauna marina y la calidad del agua.
Adem?s, los pl?sticos suelen liberar qu?micos t?xicos que nos
podr?an afectar en caso de ingerir pescados y mariscos con-
taminados. Ahora bien, para mostrar la magnitud de este
problema y promover cambios en nuestros h?bitos de con-
sumo, as? como la eliminaci?n de materiales desechables,
una gr?fica de barras nos resultar?a muy ?til. La siguiente
tabla detalla cu?l ha sido la producci?n mundial de pl?stico
desde 1950 a 2018.
A?o 1950 1976 1989 2002 2014 2018
Millones de
toneladas
1.5 50 100 200 311 354
a) ?Cu?ntos a?os pasaron entre 1976 y 1989 y c?mo fue el incremento de
pl?s tico?
b) ?Cu?ntos a?os pasaron entre 2002 y 2014 y de cu?nto fue el incremento de
pl?s tico?
c) ?Consideras que cada a?o se produce la misma cantidad de pl?stico?
Los animales marinos confunden los desechos
pl?sticos con alimentos y su ingesti?n les causa da?os
internos y la muer te.
DESARROLLO
Tablas y gr?ficas de barras
Saber c?mo hacer e interpretar una gr?fica de barras nos permite analizar y entender datos de manera
m?s efectiva, as? como ayudarnos a tomar decisiones informadas en diferentes ?reas.
Gr?fica 15.1 Producci?n mundial de pl?stico
A?o
1950 1989 20141976 2002 2018
0
Millones de toneladas
350
400
300
250
200
150
10 0
50
1. Analiza la gr?fica 15.1 y responde las preguntas en tu cuaderno.
a) ?En qu? periodo (a?os) se observa
la mayor diferencia en la producci?n
de pl?s tico?
b) ?Cu?ntos a?os pasaron entre 2014
y 2018 y c?mo fue el incremento en la producci?n de pl?stico?
c) ?Qu? puedes deducir de la gr?fica?
d) ?Con cu?l de las representaciones se
te hizo m?s f?cil contestar las pre-
guntas: la tabla o la gr?fica?
TOMA NOTA
Tonelada. Unidad de masa
que equivale a 1 000 kg.Tabla 15.1. Variaci?n de la poblaci?n de 440 especies de plantas y animales
Tipo de variaci?n Cantidad de especies
La poblaci?n se considera estable o en aumento. (B1) 213
La poblaci?n se redujo, pero a?n se considera fuera de peligro. (B2) 44
La poblaci?n se redujo notablemente y la especie se considera vulnerable. (B3) 35
La especie se considera en peligro de extinci?n. (1) 47
La especie est? en peligro cr?tico de extinci?n. (2) 50
La especie est? extinta. (3) 37
No se obtuvieron datos suficientes. () 14
2. Analiza la gr?fica 15.2 y describe en tu cuaderno los elementos que se muestran. ?Falta alguno?
?Cu?l ?
Una gr?fica de barras es un diagrama que sirve para representar, de forma resumida, un con-
junto de datos, mediante columnas que ilustran cifras, porcentajes, etc?tera, sobre un tema en particular. Sus principales caracter?sticas son:
1 Cuentan con dos ejes, horizontal y vertical para clasificar la informaci?n.
2 Presentan un conjunto de datos con variables que se relacionan entre s?.
3 Contienen barras o rect?ngulos que representan el valor de cada conjunto de datos, con alturas proporcionales a dichos valores.
4 Aparecen t?tulos y leyendas para indicar qu? informaci?n se grafic?, as? como describir los
valores y variables de cada eje.
La tabla de frecuencias y la gr?fica de barras se utilizan para or-
ganizar y comparar informaci?n con el objetivo de analizarla.
A partir de una tabla se puede generar una gr?fica y viceversa.
1 El n?mero de filas de la tabla se corresponde con las varia-
bles de la gr?fica y con la cantidad de barras.
2 El ancho de cada barra debe ser el mismo en general, por lo que, al trazar el eje horizontal , su longitud debe contener
todas las variables.
3 En la segunda columna de la tabla est?n los valores que se deben graficar en el eje vertical . Para elegir la mejor escala,
se consideran las unidades de los valores. A su vez, cada l?nea tendr? la misma separaci?n en la gr?fica.
Gr?fica 15.2 Tiempo estimado
de biodegradaci?n
Productos
Vaso
polietileno
Lata de
aluminio
Botellas de
pl?stico
Pa?alesRedes de
pesca
0
700
600
500
400
300
200
10 0
3. Resuelve. Un grupo de bi?logos estudi? la variaci?n de la poblaci?n de 440 especies de plantas y animales durante 10 a?os; la siguiente tabla muestra los resultados.
TOMA NOTA
Una tabla de frecuencias
sir ve para organizar
y resumir datos, mostrando
el valor de cada variable.
TOMA NOTA
Un conjunto de datos se agrupa en funci?n de una caracter?stica com?n. Por ejemplo, al analizar la venta de produc tos en una tienda, los datos ser?an la cantidad, el costo o la existencia de ar t?culos.
79
L15 / U1
C O N S U LTA
Para saber m?s acerca del problema del pl?stico entra en www.edutics.mx /Nqk
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U1 / L15 76 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 78
1. a) Pasaron 13 años y aumentó al doble la cantidad de toneladas
de plástico.
b) Pasaron 12 años y el aumento de plástico fue de 111 millones
de toneladas.
c) No, porque cada vez pasan menos años y el incremento en la
producción de plásticos es mayor.
1. a)
1. a) De 1950 a 1976, ya que pasaron 26 años y la producción casi
aumentó en 50 millones de toneladas. Aunque cabe aclarar
que en un periodo de tiempo menor (2002 a 2014) la produc-
ción de plástico aumentó 155% y la diferencia son 110 millones
de toneladas.
b)
Pasaron 4 años y la producción se incrementó en 43 millones
de toneladas.
c) R. M. Cada vez se produce más plástico.
d) R. L. Algunos estudiantes dirán que con la tabla y otros que
con la gráfica de barras.
Página 79
2.
Cuenta con los ejes horizontal y vertical. Tiene un conjunto de
datos con las variables “tiempo” y “productos”, que se relacionan entre sí. Contiene rectángulos o barras que representan el valor
de cada conjunto de datos. En la escala falta indicar las unidades,
el título está incompleto.
Página 80 3.
a)
b) R. M. Los que se relacionan con el plástico.
c) Vidrio
d) R. M. Se utiliza una escala de 50 para abarcar todos los valo-
res. Una manera de reducir los desechos plásticos es reutilizar.
INICIO
DESARROLLO
CIERRE
Entidades con más alto índice de deforestación
Chiapas 68 236
Campeche 56 424
Quintana Roo 38 811
Oaxaca 26
191
Yucatán 24 412
Veracruz 23 844
b) Sí, porque de las 440 especies analizadas, menos de la mitad
se considera estable.
c) R. M. Porque el valor menor es 14 y el mayor es 213, lo que
indica una gran diferencia entre los valores. Si graficáramos de unidad en unidad, se necesitaría una hoja de rotafolio para poder realizar la gráfica.
Página 81 4.
a)
a) Falta la leyenda y la escala del eje Y .
b) Cada marca equivale a 10 000 hectáreas.
c)
Variación de 440 especies en 10 años
Tipo de variación
Cantidad de especies
P1 P2 E3E2E1 NP3
0
100
50
200
150
250
Basura que se genera en una
semana en 17 hogares
Tipo de desecho
Cantidad
0
100
50
150
200
B o lsas
de plás t ico
O t r os e nv as e s
de plás t ico
V idr io
B o t e llas d e
de plás t ico
L at as
Car tón
Papel
Pañales
Entidades con más alto índice de deforestación
Hectáreas (miles de unidades) 0
70
60
50
40
30
20
10
68 236
56 424
Estado
38 811
26 191
24 41223 844
Chiapas
Campeche
Quintana Roo
Oaxaca
Yu c a t á n
Ve r a c r uz
77

6. En parejas, escriban todos los posibles resultados de lanzar un dado de seis caras y una
moneda.
Dado. Moneda.
7. Ahora lancen cinco veces una moneda y un dado al mismo tiempo. Anoten en la tabla las los re-
sultados que obtengan.
Lanzamiento 1 2 3 4 5
?Qu? se obtuvo?
a) Realiza un diagrama para representar el espacio muestral del experimento anterior.
Un experimento aleatorio se reproduce bajo las mismas condiciones, se conocen todos los po-
sibles resultados, pero no es posible predecir el resultado con exactitud; por ejemplo, lanzar una
moneda al aire es un experimento aleatorio, ya que, aunque se repita varias veces, los resultados
posibles son ?guila o sol y nunca se puede predecir con seguridad la cara que caer?.
El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados que se pueden obtener al realizar un
experimento aleatorio; por ejemplo, si lanzamos un dado, el espacio muestral ser?a el conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ya que ?stos son los ?nicos posibles resultados del experimento.
Espacio muestral y evento aleatorio
5. Analiza la figura 16.2. Es una ruleta como las que hay en una feria.
a) Explica por qu? girar la ruleta es un experimento aleatorio.

b) ?Cu?les son los posibles resultados por los que se puede apostar?

b) Escribe el espacio muestral.
CIERRE
1. Realiza en tu cuaderno lo que se pide.
La igualdad de g?nero en la
toma de decisiones es un as-
pecto importante para garanti-
zar la participaci?n plena y
efectiva de mujeres y hombres
en la vida p?blica y pol?tica. Esto
implica que se den las mismas
oportunidades para asumir
puestos de liderazgo, as? como
el fomento de una cultura inclu-
siva y equitativa. Al hacerlo, se
consigue que la representatividad sea diversa y que haya equidad en las de-
cisiones que afectan a una la sociedad.
a) Organiza y realiza la elecci?n de representantes de tu grupo, garantizando
la igualdad de g?nero. Prop?n un procedimiento de selecci?n, de manera
que el resultado sea producto del azar.
8. Completa la tabla, escribe un posible evento seg?n el experimento.
Experimento Espacio muestral Evento
Opciones para que
suceda el evento
Girar la ruleta de la
actividad 5
Lanzar un dado de seis
caras
Girar una pirinola de
seis lados
Lanzar un dado y una
pirinola juntos
Lanzar dos monedas al
mismo tiempo.
9. Explica en un video c?mo se usa un diagrama de ?rbol para representar espacios
muestrales. Muestra un ejemplo. Comparte tu video en una red social.
Un evento aleatorio es una parte del espacio muestral de un experimento, que es el conjunto de
posibles resultados. Cada evento aleatorio se define por la colecci?n de resultados del espacio
muestral que lo conforman; por ejemplo:
Experimento: Lanzar un dado
Espacio muestral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento aleatorio: obtener un n?mero par, E = {2, 4, 6}
Para que exista la representatividad, debe haber
diversidad de par ticipantes en las actividades sociales.
PORTAFOLIO
Guarda tu presentaci?n
de la ac tividad 7 para tu
por tafolio de evidencias.
La elecci?n de
representantes debe ser
una pr?c tica cotidiana
que se ex tienda a lo
largo de la vida. En tu
escuela, ?promueven
la par ticipaci?n de la
mujer en la toma de
decisiones? ?C?mo
podr?as utilizar lo
aprendido en la lecci?n
para hacer elecciones
m?s justas?
p?ginas
21 y 22
Cuaderno
de evidencias ? Identifica eventos en los que inter viene el azar, experimenta y registra los posibles resultados.
L16Experimentos aleatorios
Unidad UNO
INICIO
1. Analiza la informaci?n y responde en tu cuaderno.
En muchas ocasiones, la selecci?n de candidatos para puestos de liderazgo, ya sea en empresas, partidos
pol?ticos y organizaciones no gubernamentales, se realiza de manera aleatoria. Esto permite que todas las
personas tengan la misma oportunidad de participar y ser elegidas. Sin embargo, a menudo, los prejuicios
de g?nero afectan dicha selecci?n, pues se le da preferencia a los varones. Por ello, es importante compren-
der c?mo funcionan las din?micas aleatorias, para ejecu-
tarlas de manera justa e imparcial.
En una escuela elegir?n a los representantes del con-
sejo estudiantil. El alumnado sugiri? seleccionarlos
por insaculaci?n. Los nombres de los candidatos se
anotar?n en papeles y ?stos se introducir?n en una
urna oscura. El presidente del consejo sacar? dos pa-
peles sin ver y, enseguida, leer? los nombres de quie-
nes fungir?n como nuevos representantes.
a) Antes de sacar los papeles, ?es posible saber qui?nes ser?n los
representantes? Explica.
La par ticipaci?n de las mujeres en la toma
de decisiones debe ser igualitaria en todos los
?mbitos.
DESARROLLO
El azar y los experimentos aleatorios
1. Formen parejas, analicen la informaci?n y hagan lo que se indica.
Un evento es un conjunto de resultados posibles que se pueden presentar en una situaci?n, juego
o experimento. Un evento determinista es aquel que siempre tendr? el mismo resultado, es decir,
que se anticipa con certeza. Por el contrario, un evento aleatorio es aquel que no se puede
predecir.
a) Analiza la tabla y compl?tala.
Juego ?Que cosas influyen para ganar?
Ganar, ? es un suceso
determinista o aleatorio?
Ajedrez
Serpientes y
escaleras
b) Escribe, para cada juego, los posibles resultados del evento.
? Serpientes y escaleras. N?mero de casillas que puede avanzar un jugador al lanzar el dado
en un turno.
? Ajedrez. Mover una pieza en el primer turno.

GLOSARIO
insacular. Hacer un sor teo
aleatorio que se decide a la
suer te mediante la selecci?n
de una opci?n ex tra?da de
un saco, urna o recipiente.
82 El azar es una casualidad, es decir, la probabilidad de que un evento suceda o no. Por ello, un
evento se reconoce como azaroso o aleatorio cuando es impredecible, pues no es posible deter-
minar el momento en que ocurrir?.
Figura 16.1 El juego del gato, tambi?n
conocido como tres en raya, es un juego simple
pero que involucra conceptos matem?ticos como
simetr?a, patrones y estrategias.
2. Describe la estrategia que debes seguir para ganar una partida de gato (figura
16.1) cuando te corresponde el primer turno.

b) Ganar un juego del gato, ?es un suceso determin?stico o aleatorio? .
3. Re?nete en pareja para realizar lo siguiente.
a) Elaboren dos dados que tengan en cada cara un n?mero de dos d?gitos. Jueguen
a lanzarlos. Ganar? un punto el estudiante que realice primero y correctamente
la suma de ambos n?meros. Realicen 10 tiros, registren sus resultados en la
tabla y contesten.
Participante Puntos por tirada To t a l
b) ?Ganar el juego anterior depende del azar?

4. Formen equipos. Por turnos, lancen los dados que elaboraron. Esta vez, ganar? el jugador cuya
suma de los puntos sea la m?s alta.
a) Registren en la tabla las cantidades que obtienen cada vez que lanzan los dados.
Dado 1
Suma 1 2 3 4 5 6
Dado 2
1 1 B 1 2
2
3
4
5
6
b) ?Es posible saber qui?n ganar? antes de jugar? Explica.
.
c) Es un juego de azar o determin?stico. . 83
L16 / U1
85
L16 / U1
$100
$7 000
$1 000
$5 000
$400
$300
$800
$2 000
Figura 16.2 Cuando una
ruleta est? cargada, significa
que se ha modificado para que
cier tos n?meros tengan una
mayor probabilidad de salir.
84
U1 / L16 78 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 82
1. a) No, pues no se puede ver el contenido de la urna o saco.
1.
a) R. M. Di vidir al grupo en dos equipos: uno de niños y el otro
de niñas. En una bolsa, se coloca un papelito con un acierto y el resto con taches. El número de papelitos debe coincidir con el número de niñas. En otra bolsa se ponen papelitos para los niños. El niño y niña que saquen el acierto serán los represen-
tantes de grupo.
1.
a)
Ajedrez
Ganar depende de la habilidad de cada jugador.
Determinista
Serpientes
y escaleras
Ganar depende de la suerte, obtener un número mayor con el dado, pero evitar caer en casillas con serpiente.
Aleatorio
b)
• Serpientes y escaleras: Posibles resultados = {1, 2, 3, 4, 5,
6}
• Ajedrez: Posibles resultados = {peón, peón, peón, peón,
peón, peón, peón, peón, caballo, caballo}
Página 83 2.
R. M. Lo primero que debe hacerse es trazar un círculo o cruz en
la esquina, porque así tendremos tres opciones para continuar
jugando y ganar, que son las dos laterales y la diagonal. a)
Ganar un juego del gato es un evento determinístico.
3.
a) R. L. Revise que los alumnos hayan elaborado su dado correc-
tamente. Las caras deberán estar numeradas a partir del número
10, pues es el primero con dos cifras.
b) R. M. No depende completamente del azar, ya que indepen-
dientemente de la cantidad que salga en los dados, influye la habilidad del cálculo mental de los jugadores para resolver las sumas lo más rápido posible.
4.
a)
Fila 1: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 1 + 3 = 4, 1 + 4 = 5, 1 + 5 = 6,
1 + 6 = 7.
Fila 2: 2 + 1 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 6, 2 + 5 = 7,
2 + 6 = 8.
Fila 3: 3 + 1 = 4, 3 + 2 = 5, 3 + 3 = 6, 3 + 4 = 7, 3 + 5 = 8,
3 + 6 = 9.
Fila 4: 4 + 1 = 5, 4 + 2 = 6, 4 + 3 = 7, 4 + 4 = 8, 4 + 5 = 9,
4 + 6 = 10.
Fila 5: 5 + 1 = 6, 5 + 2 = 7, 5 + 3 = 8, 5 + 4 = 9, 5 + 5 = 10,
5 + 6 = 11.
Fila 6: 6 + 1 = 7, 6 + 2 = 8, 6 + 3 = 9, 6 + 4 = 10, 6 + 5 = 11,
6 + 6 = 12.
b) R. M. No, ya que todo depende de los puntos que caigan en
los dados.
c) Juego de azar.
Página 84
5.
a) R. M. Porque no se sabe con exactitud en qué momento se
detendrá y la cantidad que apuntará la flecha.
b) $100, $1 000, $400, $800, $7 000, $5 000, $300 y $ 2 000.
6. Dado. 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Moneda. Águila y sol.
7.
R. L. Revise que indiquen el número del dado y la cara de la mone-
da, como muestra el ejemplo.
Lanzamiento 1 2 3 4 5
¿Qué se obtuvo?
Sol,
5
Sol,
4
Sol,
1 Águila,
1 Águila,
3
a)

INICIO
DESARROLLO
CIERRE
b) E = {(1, águila), (1, sol), (2, águila), (2, sol), (3, águila), (3, sol),
(4
, águila), (4, sol), (5, águila), (5, sol), (6, águila), (6, sol)}
Página 85 8.
Primera fila: Girar la ruleta de la actividad 5 / $100, $1 000, $400,
$800, $7 000, $5 000, $300 y $ 2 000. / R. M. Cae un número
menor que 1 000. / 100, 300, 400 y 800.
Segunda fila: Lanzar un dado / 1, 2, 3, 4, 5 y 6. / R. M. Cae un
número mayor que 4. / Cae 5 o 6.
Tercera fila: Girar una pirinola. / Toma 1, Toma 2, Toma todo, Pon
1, Pon 2, Todos ponen / R. M. Se gana un premio. / Toma 1, Toma 2 y Toma todo.
Cuarta fila: Lanzar un dado y una pirinola juntos / (1, Toma 1), (1,
Toma 2), (1, Toma todo), (1, Pon 1), (1, Pon 2), (1, Todos ponen), (2, Toma 1), (2, Toma 2), (2, Toma todo), (2, Pon 1), (2, Pon 2), (2, Todos ponen) / R. M. Cae un número menor que 2 y Toma todo. / (0, Toma todo) y (1, Toma todo).
Quinta fila: Lanzar dos monedas al mismo tiempo / (A, A), (A, S),
(S, A), (S, S) / R. M. Ambas caen iguales / (sol, sol) y (cara, cara).
9.
Revise que los alumnos mencionen las definiciones de espacio
muestral y evento en su explicación de cómo se usa un diagrama
de árbol para representar espacios muestrales.
1 2 3 4 5 6
Águila
Sol
Águila
Sol
Águila
Sol
Águila
Sol
Águila
Sol
Águila
Sol
79

Plan de clase Semana escolar 12
Qué aprendí
Tema
• Fracciones y decimales
• Operaciones básicas
• Números con signo y sus operaciones
• Líneas paralelas y perpendiculares
• Construcciones con regla y compás
• Gráficas de barras
• Experimentos aleatorios
Construimos futuro
Tema •
Operaciones con fracciones y decimales
• Gráficas de barras
• ODS: 13. Acción por el clima
Libro del alumno: Páginas 86-89
Fecha:
Qué aprendí
A continuación, se describe el propósito de cada una de las actividades
incluidas en esta sección y se proporcionan algunas pistas y orienta- ciones para guiar el trabajo que realizarán sus estudiantes, así como para recabar información valiosa respecto del aprendizaje alcanzado al concluir cada unidad.
Actividad 1
El mapa mental tiene como objetivo que los estudiantes sean ca-
paces de identificar los tipos de números que han estudiado hasta
el momento: enteros, decimales y fraccionarios, así como la forma en la que se operan según si son positivos o negativos.
Como parte del análisis realizado para completar el mapa y verifi-
car la comprensión del tema, es útil que les haga preguntas como las siguientes: ¿Qué sucede cuando a un número se le resta un número
negativo? ¿Cómo es el resultado de una multiplicación de números con
signos distintos? ¿Cómo es el resultado de una división de números cuyos signos son iguales?
Actividad 2
Es importante que los estudiantes identifiquen a la resta como la ope-
ración inversa de la suma y a la división como la operación inversa de la multiplicación, y viceversa, esto con la finalidad de que ejerciten habilidades que les serán de utilidad más adelante en el estudio del
álgebra. Recurra a ejemplos gráficos para mostrar estas relaciones
entre las operaciones. Para la suma y resta puede emplearse la recta numérica, por ejemplo.
Actividad 3
A partir del texto y de lo aprendido en la unidad, sus estudiantes de-
berán reconocer que no todas las líneas que se cortan son perpen- diculares. Si lo desea, mencione que la palabra secante proviene del latín secare, que significa “cortar”, y mencione que las rectas perpen-
diculares son sólo un caso particular de las rectas secantes, es decir, las rectas que se cortan.
Por otro lado, la actividad también les permitirá recordar la de-
finición de altura de una figura geométrica y su relación con la
perpendicularidad.
Actividad 4
En este caso, es relevante que sus estudiantes analicen y grafiquen con atención los datos proporcionados, eligiendo adecuadamente un eje para cada columna de la tabla mostrada. a)
Para llegar a la respuesta, es necesario que los estudiantes ten-
gan clara la definición de experimento aleatorio y sean capaces de presentar algunos ejemplos con la finalidad de que identifi- quen si hay alguna similitud con la situación planteada.
Error frecuente
Qué aprendí
Los métodos de estudio para cada alumno pueden variar, no se trata únicamente de resolver ejercicios. Sugiera a sus estu-
diantes que expresen de forma verbal los conceptos, relacionen
éstos con ejemplos, elaboren mapas mentales, tablas compa- rativas o acordeones de estudio, por ejemplo, para las leyes de
los signos, y que resuelvan ejercicios diversos. También será
de utilidad que expliquen a otra persona cuando algo les ha que-
dado claro y que den ejemplos de cómo emplearían el recurso o concepto aprendido.
Orientaciones didácticas
80© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
La información del siguiente libro es de utilidad para ahondar
en el tema de los números decimales.
•
Alicia Ávila y Silvia García Peña, Los decimales: más que
una escritura, México, inee 2008, disponible en www.edutics.mx/xNH
Audiovisual
La información del siguiente video presenta algunas reco- mendaciones para elaborar gráficas de barras. •
“5 tips para crear gráficas de barras eficaces”, disponible en
www.edutics.mx/xNV
Sitios web
En la siguiente página de internet encontrará información acerca de los distintos tipos de residuos que existen y un mapa con centros de acopio a donde pueden llevarse a reciclar. •
“Reciclables”, disponible en www.edutics.mx/xNj
Interdisciplina
El contexto de los microplásticos y la contaminación se puede re-
lacionar con la disciplina de Biología. En la parte disciplinar conviene hacer ver a sus estudiantes que las matemáticas proporcionan los fundamentos necesarios para entender y explorar lugares de interés en un mapa, así como para comunicar información acerca de estudios en temas de salud.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• La evaluación también se puede resolver con el recurso interactiv
o “Qué aprendí”.
• Para enriquecer el trabajo de evaluación, utilice el recurso
Construimos futuro
El tema presentado en esta sección es una buena oportunidad para hablar de la importancia de reconocer cuántos y cuáles son los ti-
pos de plásticos que se utilizan en distintos contextos y encontrar
motivación para reducir su uso y clasificarlos para hacer una buena gestión de estos residuos y llevarlos a reciclar. De igual manera, trate de crear conciencia acerca de que el uso desmedido de este recurso
no sólo tiene consecuencias para la vida humana, sino para el planeta
en general, pues contamina distintos ecosistemas y a los seres vivos que habitan en ellos.
En esta historieta se trabaja el Objetivo de Desarrollo Sostenible
13 de la
onu, “Acción por el clima”, que tiene como objetivo adoptar
medidas urgentes para combatir el cambio climático y sus efectos. El caso de los microplásticos es un buen ejemplo para abordar estrate-
gias para reducir el empleo de plásticos de un solo uso y motivar la divulgación de las consecuencias en caso de no hacer algo al respec- to. Aquí se destaca cómo las herramientas adquiridas durante esta lección son de utilidad para comunicar información relevante en un lenguaje amigable y con herramientas visuales, las cuales se espera que sirvan de motivación para que sus estudiantes establezcan diá- logos al respecto de estos temas con otras personas y se interesen por el cuidado del medio ambiente.
Preguntas clave complementarias
•
¿Cuáles fueron las herramientas que emplearon Blanca y Javier pa
ra elaborar el video que reproducirán en su canal?
• ¿De qué manera el trabajo realizado por los jóvenes contribuye
a la concientización acerca de la contaminación por plásticos?
Programa Construimos Futuro
Ciudadanía. La actividad 3 presenta una oportunidad para reflexio-
nar acerca de la movilidad y cómo vivir en un entorno en donde exista planeación urbana que permite mejorar las oportunidades
de desarrollo a las personas que conforman una comunidad.
Notas
81© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

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U????4?YL8l4?M&8Y%??r!?5r&??+W????%L?l?}$????M&??? M!?????!?????Reflexiona en torno de las siguientes preguntas y comenta tus respuestas con el resto del grupo.
a) ?Cu?l es la cuarta parte de la mitad de las muestras que se analizaron en el estudio?
b) De acuerdo con la gr?fica, ?qu? tipo de pl?stico se encontr? en la mayor?a de las muestras?
c) ?Qu? efecto s crees que tenga la presencia de micropl?sticos en la sangre?
d) ?Qu? consecuencias tendr?an en la salud de las personas las acciones de reducir, reusar y reciclar los
art?culos de pl?stico que utilizamos?
En acci?n
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???4?$YLX+5?j
?X+5j5???$M%8
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12a
11b
8b
12b
4b
13a
6b
10 b
2b
13b
18a
14 a
19a
3b
14 b
19b
5b
1b
15a
20a
8a
16a
20b
4a
16 b
21a
6a
10a
2a
17a
21b
7a
11a
3a
17b
22a
22b
5a
9a
1a
Donantes
0Concentraci?n de pol?meros en sangre
(?g / ml)
10
8
12
14
6
4
2
PMMA
PS
PP
PE
PET
?+5M%8rj?5!??4?
%+??4?I?+7Xj
6??$5+??7X$j
M&$&W5?5j?
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6??+7?$5+??7X$j
M&??8???IL'
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?6???4M?
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M&$&W5?5jM&8???IL?
?Zl?f?+??%LX???W??4?!?X+
?|f?+??G4G????
??f?!?MjW?IL?+
?Df?+???W????
?D?f?+???W????X?4MW?!?X+? Anota la letra en el espacio correspondiente para relacionar las columnas.
a) Las calles R?o Lerma y R?o Colorado forman l?neas?
b) Las calles R?o Cazones y R?o Lerma forman l?neas?
c) Un coche que va por R?o Cedro Viejo y da vuela en
R?o Lerma hacia el norte da un giro de?
d) Un coche que va por R?o Cedro Viejo y da vuela en
R?o Lerma hacia el sur da un giro de?
? Traza en la imagen anterior las alturas del paralelogramo delimitado por las cuatro calles. Utiliza
regla y comp?s.
4. Lee la situaci?n, construye una gr?fica de barras y contesta.
Luisa est? interesada en poner un negocio en la calle R?o Lerma. Hizo una encuesta entre los veci-
nos de la zona para saber el tipo de comercio que requieren y, por tanto, tener mayor ?xito. Los
datos obtenidos se muestran en la tabla.
Analizar la representaci?n de un lugar en su
conjunto es de utilidad a la hora de escoger
uno para establecer un negocio y tener ?xito
comercial, pues se debe tomar en cuenta la
cercan?a de avenidas principales y el tr?nsito
de la poblaci?n que se espera que compre los
productos.
La disposici?n de las calles se analiza
mediante el plano urbano o una fotograf?a
a?rea. En Google Maps, por ejemplo, se pueden
ver los nombres de las calles y la ubicaci?n de
algunos edificios, adem?s de la forma y trazado
de vialidades y manzanas.
3. Contesta a partir del texto, la imagen y lo que aprendiste en la unidad.
R?o Lerma
R?o Colorado
R?o Cazones
Polleria
Abarrotes
Restaurante
R?o Cedro V iejo
103?
a) Si Luisa desconoce la preferencia de una persona y trata de adivinarla, ?se puede considerar que
hace un experimento aleatorio? ?Por qu??

Tipo de negocio Personas
Poller?a 8
Carnicer?a 34
Verduler?a 27
Papeler?a 5
Cafeter?a 19
Farmacia 7
paralelas.
103 B.
77 B.
secantes.
perpendiculares.
U187 Qu? aprend?
Realiza las siguientes actividades.
1. Completa el mapa conceptual con las palabras del recuadro. Luego, realiza las operaciones.
2. Reproduce el mapa conceptual en tu cuaderno y a?ade una rama donde se relacione adecuada-
mente el concepto de operaciones inversas . ?Por qu? crees que se debe incluir?

se clasifican
por su tipo
no tienen la s? tienen la por su signo
se operan
como
(B2) (B3)
1
5
B
2 3

301.02 B (B99.95)
301.02 (99.95)

2 3
1 5

2 3

3 15
3 4

5
6

3 15
4 7

2 3

3 01.0 2
99.9 5
Los n?meros
fracciones
Suma
Positivos
Propiedad de densidad
? enteros
? divisi?n
? resta
? multiplicaci?n
? decimales
? negativos
+
?
??
V
??
V
??
V
??
+
? ?
+ +=
=
=
=
? ?
+
+??
Como los positivos pero con
las leyes de los signos.
U186
89U1
88 U1 82 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 86
1. Las siguientes respuestas van por niveles según el mapa
conceptual.
Enteros; decimales
Negativos
5,
13
15
; −5, −
7
15

Resta; 201.07; 400.97 Multiplicación; 45,
5
8

División; 0.2,
6
7

2.
Las operaciones inversas son:
De la suma, la resta y viceversa.
De la multiplicación, la división y viceversa.
Se deben incluir porque en ocasiones es necesario anular o des-
hacer una operación.
Página 87 3.
• a) paralelas
b) secantes
c) La vuelta es con un giro de 103°.
d) La vuelta es con un giro de 77°.
•
Las rectas h
1
y h
2
son las alturas del paralelogramo formado por
las cuatro calles.
4.

a) R. M. Sí es un evento aleatorio, ya que no es posible determi-
nar cuál es la preferencia de la persona elegida al azar, hasta que se le encueste.
Página 89 En acción
a)
Como en total se analizaron 44 muestras, la cuarta parte de
22, que es la mitad de 44, es 5.5.
b) El pe t y el ps aparecen cada uno en 11 muestras.
En las acotaciones de la gráfica de barras, ps corresponde
a poliestireno, no pliestireno.
c) R. M. Contaminación en los órganos al alojarse en ellos, es
posible que esto origine diferentes tipos de cáncer.
d) R. M. Benéficas, ya que, si se reduce el consumo de plástico
y se recicla lo demás, se disminuyen las posibilidades de que esos residuos lleguen al océano, se contamine el agua y los peces que consumimos, y por lo tanto, se reduce la posibili-
dad de que lleguen de vuelta a nosotros.
Río Lerma
Río Colorado
Río Cazones
Polleria
Abarrotes
Restaurante
Río Cedro Viejo
103º
h1 h2
Tipo de comercio que se requiere en la
localidad de Luisa
Tipo de negocio
Pollería
Papelería
Carnicería
Cafetería
Verdulería
Far macia
0
Personas
25
35
20
30
15
10
5
83

Plan de clase Semana escolar 13
Entrada de unidad
Tema
• Ecuaciones de primer grado
• ODS: 6. Agua limpia y saneamiento
Me preparo
Tema •
Lenguaje común al lenguaje algebraico, y viceversa
• Razones y proporciones
• Figuras relacionadas con los círculos y sus propiedades
• Representación algebraica del perímetro de figuras
• Rectas notables en la circunferencia y las relaciones entre
ellas
• Análisis de información en tablas y gráficas de barras
y circulares
• Conteo de resultados posibles de un evento
Libro del alumno: Páginas 90-93
Fecha:
Entrada de unidad
Comience guiando la lectura de la imagen, pregunte ¿Qué observan? y deje que respondan libremente. Pida que lean el párrafo y el pie de imagen y platiquen sobre los usos que tienen los huertos circulares. Es importante que los estudiantes se den cuenta de que en muchas de las actividades aparecen círculos, de esta forma notarán como la
ciencia y los saberes científicos van de la mano con el desarrollo
de la vida cotidiana.
Reflexionen sobre cómo las Matemáticas son necesarias para el
desarrollo agrícola. En el caso particular de los huertos circulares es
importante reconocer los elementos del círculo como π y el radio. Una
parte fundamental de esta unidad se centra en temas de álgebra; co-
mente que las ecuaciones de primer grado son de gran apoyo para
adquirir y desarrollar el pensamiento abstracto, pues sirven tanto
para calcular la cantidad de agua para producir bienes y servicios,
como para modelar costos e ingresos de una empresa, el consumo de electricidad, de combustible, el gasto diario de una persona y fu- turos eventos.
Me preparo
El objetivo de esta evaluación es que los estudiantes recuperen
y apliquen conocimientos previos que les permitan desarrollar nuevas
habilidades y aprender conceptos aritméticos, geométricos y de
estadística.
Pida que resuelvan de manera individual las actividades propues-
tas. Lo importante es que obtenga un diagnóstico rápido para que
implemente las estrategias de enseñanza necesarias para subsanar las carencias que identifique en los alumnos. Posteriormente pueden resolver cada actividad de forma grupal. A continuación, se propone cómo guiar el análisis para llegar a la solución.
Actividad 1. Pida que le digan qué es el doble, la mitad y el triple
de un número. Para obtener sus valores indique que deben multiplicar
o dividir por dos o tres, según sea el caso.
Actividad 2. Puede explicar de manera sencilla la idea del factor
unitario. Pida que calculen el factor unitario de los datos del proble-
ma y explique que con éste puede calcular la cantidad de vueltas al multiplicarlo por los ocho segundos.
Actividad 3. Es posible que confundan los términos razón y pro -
porción. Explique que una razón es la comparación de dos cantida-
des y se mide a partir de la división de dos valores. Por otro lado, una proporción es la igualdad entre dos o más razones; también se pue-
de identificar en un problema cuando se dan tres datos, dos de ellos están relacionados, y piden encontrar un tercero. Actividad 4. Indique los principales elementos del círculo y la circun- ferencia, comente que profundizarán en el tema en las lecciones del bloque.
Actividad 5. Pida que definan qué es un polígono y señalen las
partes que conocen. Si los alumnos no recuerdan cómo calcular el
perímetro, explique que se obtiene sumando la medida de sus lados.
Actividad 6. Solicite que tracen un círculo e identifiquen cada una de
sus partes. Posteriormente, podrán identificar las rectas notables
de esta figura.
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Me preparo
A menudo a los estudiantes se les dificulta interpretar el lenguaje
algebraico. Muestre ejemplos sencillos de las operaciones arit-
méticas que se relacionan con las palabras doble, mitad, etcétera.
Es posible que la mayoría de los estudiantes no relacione
la palabra razón con un cociente o bien, no conozca la palabra proporción. Puede explicar brevemente, pero sin profundizar, ya que habrá una lección para esos términos.
Algunos estudiantes olvidan que al trabajar con porcentajes
de un total, la suma de todos ellos debe resultar 100
%.
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Libros y revistas
En el siguiente libro encontrará ejercicios de repaso de varios
temas que se estudiarán en la unidad.
•
Cuaderno de actividades para aprendizaje en casa.
Educación secundaria 1º, México, Secretará de Educación de Guanajuato, 2020, disponible en www.edutics.mx/xMB
Audiovisual
En el siguiente video se describe cómo resolver algunos pro- blemas de valor faltante. •
“¿Cómo resolver problemas de valor faltante?”, disponible
en www.edutics.mx/xM2
Sitios web
El siguiente material es de utilidad para repasar conceptos de geometría acerca de figuras planas. •
“Figuras planas: polígonos”, disponible en
www.edutics.mx/xSQ
La siguiente página contiene ejemplos sencillos de diagramas de árbol. •
“Diagrama de árbol”, disponible en www.edutics.mx/xM6
Interdisciplina
La temática de la entrada de unidad se puede relacionar con la disciplina de Biología. Los estudiantes pueden plantear ejemplos de su contexto cotidiano donde consideren útiles los temas ex-
plorados durante la evaluación.
Recursos de apoyo complementarios
Actividad 7. Para identificar el dato faltante los estudiantes pueden
relacionar que 25 % es igual a la cuarta parte de un todo y a partir
de ese razonamiento, notar que la región de color rojo es la cuarta parte del círculo. Resalte que la suma de todos los porcentajes debe resultar 100
%, por lo que para elegir el dato que falta basta sumar
los porcentajes conocidos y calcular cuánto falta para 100.
Actividad 8. Para construir el diagrama de árbol, inicie preguntando
¿Cuántos tiempos tiene el desayuno? Señale que el espacio disponible
para dibujar, lo deben dividir en tres regiones, en cada una escribirán las opciones, repitiéndolas en cada rama.
Es importante que enfatice que la intención de esta sección es que
conozcan cuánto saben de los temas que se estudiarán en la unidad y no para recibir una calificación. Recursos digitales
• La evaluación diagnóstica también se puede resolver con el recur
so interactivo “Me preparo”.
Notas
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. Presente al grupo ejemplos del agua
virtual de algunos artículos de uso cotidiano, por ejemplo, de una playera de algodón. Mencione que para obtener 1 kg de tela de algodón, se requieren 10
800 L de agua, en donde se considera
la utilizada par
a el crecimiento de las plantas y la presente en el
proceso industrial del cual se obtiene la tela. Reflexionen al res- pecto y compartan estrategias para cuidar el agua en donde se tome en cuenta también el agua virtual.
85© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Me preparoIdentifica y traza las rectas notables en la circunferencia y las relaciones entre ellas
6. Anota el n?mero que le corresponde a cada nombre.
Secante Cuerda Di?metro Radio Tangente .
Usa tablas, gr?ficas de barras y circulares para el an?lisis de informaci?n
7. Selecciona el valor faltante en la gr?fica.
a) 35 % b) 28 % c) 15 % d) 25 %
Determinaci?n de un evento a par tir de sus resultados posibles (t?cnica b?sica de conteo ?rbol de
probabilidad)
8. Construye un diagrama de ?rbol con la siguiente informaci?n: en un desayuno se puede elegir,
como primer tiempo, cereal o fruta; para el segundo, caf? o chocolate; y en el tercero, quesadillas,
enchiladas o ensalada.
1
2
3
4
5
30 %15 %
5 %
10 %
11 %
4 %
U2 93
Realiza lo que se pide.
Interpreta y plantea diversas situaciones del lenguaje com?n al lenguaje algebraico, y viceversa
1. Relaciona las columnas.
El doble de 3 a) 4
La mitad de 8 b)
7
2

El triple de 5
c) 6
La mitad de 7 d) 15
2. Responde. Si una rueda de bicicleta da una vuelta completa cada dos segundos, ?cu?ntas vueltas
dar? en ocho segundos?
a) 16 b) 8 c) 2 d) 10
Razones y proporciones
3. Anota ?raz?n? o ?proporci?n? seg?n corresponda.
a) Una de cada siete personas prefiere mandar un mensaje que hacer una llamada.
b) Si un d?lar cuesta $17.50, ?cu?nto cuestan 25 d?lares?
c) Por cada peso que se done, la fundaci?n pondr? otro.
d) Si diariamente leo 10 p?ginas, ?cu?ntas leer? en cinco d?as?
Investiga figuras relacionadas con los c?rculos y propiedades de los c?rculos
4. Selecciona el trazo que indica el sector circular.
a) b) c) d)
a) 50 cm b) 60 cm c) 40 cm d) 70 cm
Representa algebraicamente per?metros de figuras
5. Calcula el per?metro de este pol?gono, cuyos lados miden 5 cm cada uno.
U292 90
Unidad DOS
Las ecuaciones de primer grado pueden
utilizarse para modelar el uso del agua en
diferentes actividades, por ejemplo, para
calcular la cantidad de agua necesaria para
producir diferentes bienes y servicios, lo
que se conoce como “agua virtual”, que no
vemos físicamente en los productos, pero
es necesaria para elaborarlos, por ejemplo,
para producir 1 kg de carne de res se
necesitan 15 000 L de agua. Así podemos
identificar formas de reducir el uso de agua
en la producción de muchos productos que
consumimos. ¿Cómo puedes contribuir a la
disminución del uso del agua virtual?
Vista aérea desde un dron volando por encima de un campo
de cultivo con pivote de riego.
Modelando el mundo
91
86 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario Página 92
1.
El doble de 3 c)
La mitad de 8 a)
El triple de 5 d)
La mitad de 7 b)
2
.
b) 4 vueltas
3. a) Razón
b) Proporción
c) Razón
d) Proporción
4. b)
5. a) 50 cm
P
ágina 93
6.
Secante 1 Cuerda 5 Diámetro 4
Radio 3 Tangente 2
7. d) 25 %
Cereal
Café
Café
Chocolate
Chocolate
Fruta
Quesadillas
Enchiladas
Ensalada
Quesadillas
Enchiladas
Ensalada
Quesadillas
Enchiladas
Ensalada
Quesadillas
Enchiladas
Ensalada
Desayuno
8.
Notas
87??kk?Uk??:k??????k?Hq?^?UU?`/???l`H?MqM Mq?M

Plan de clase Semana escolar 14
Lección 1
Contenido. Extensión del significado de las operaciones.
Aprendizaje. Comprueba y argumenta si cada una de las
operaciones aritméticas básicas cumple las propiedades:
conmutativa, asociativa y distributiva.
Tema. Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva en
las operaciones aritméticas básicas con números.
Lección 1. Propiedades de operaciones aritméticas
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos comprueben el
cumplimiento de las propiedades que tienen las operaciones básicas
y su utilidad al aplicarlas en una situación real. Indague acerca de los
conocimientos del grupo con preguntas detonadoras del tipo: ¿Han
escuchado la frase “el orden de los factores no altera el producto”?
¿A qué creen que se refiera esto? Permita que los estudiantes ex -
presen su opinión. Posteriormente, pida que algún estudiante lea la
sección de inicio. Explique el significado de las palabras desconocidas
para que los alumnos puedan interpretar el problema correctamente.
Explique que las opciones 3 + 3 + 3, 2 + 2 + 5, etcétera, no pueden
incluirse, ya que la instrucción es que las cantidades no se repitan den-
tro de las canastas.
DESARROLLO. Haga un repaso de las partes de cada una las ope -
raciones básicas. Para ello, escriba en el pizarrón un ejemplo de cada
una y anote en él dichas partes.
Para explicar la propiedad conmutativa dibuje tres conjuntos de
diferentes cantidades de objetos, cada uno en una hoja, y péguelas
en el pizarrón para que calculen el total de objetos considerando los
tres conjuntos. Pida a uno de los estudiantes que cambie el orden de
las hojas y pregunte ¿Se modificó la cantidad de objetos al mover
de lugar los conjuntos?
Cambie nuevamente el orden de las hojas y pregunte si esta vez
se modificó la cantidad total. Después de esta reflexión permita que
resuelvan las actividades del libro. Se recomienda que los alumnos
realicen las operaciones en su cuaderno sin ayuda de la calculadora.
En el caso de las fracciones, puede hacer un recordatorio del algoritmo
de suma y resta para que contesten correctamente.
En la actividad 4, los alumnos deben contar los puntos para dar-
se cuenta de que ambos representan el número 35, así que, dadas
las características, los conjuntos sólo pueden ser de 5 o 7 elementos.
En la actividad 5, algunos estudiantes notarán que no es necesario
hacer las multiplicaciones para identificar aquellas que tienen el mismo
resultado, pues basta observar que estén presentes los mismos fac-
tores. Mencione lo anterior al término de la actividad para que todos
los alumnos lo tomen en cuenta.
Para reconocer que la división no cumple la propiedad conmutativa,
pida que resuelvan las cuatro divisiones planteadas y que después, en
cada una, intercambien el orden del dividendo y divisor para resolver
nuevamente. Así notarán que en todos los casos la conmutatividad
no se cumple y podrán establecer una generalización.
Dé a conocer la propiedad asociativa de la suma dibujando en el
pizarrón un grupo de objetos y organizándolos de diferentes formas;
muestre que la cantidad de éstos no cambia. Después de que los es-
tudiantes contesten la actividad 7, comente que la forma de agrupar
que se muestra corresponde a una estrategia de cálculo mental que
se utiliza con mucha frecuencia. Resalte que la propiedad asociativa se
cumple sólo para adiciones y productos y que, por lo tanto, la estra-
tegia que se muestra en la sección “Toma nota” de la página 97 se
aplica en sumas y multiplicaciones.
Muestre otros ejemplos geométricos, como el de la página 98, para
que los estudiantes comprendan la propiedad distributiva.
Libro del alumno: Páginas 94-99
Fecha:
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Lección 1. Propiedades de operaciones aritméticas
Es común que algunos estudiantes no conozcan los elementos
de la suma, resta, multiplicación y división. Explique las partes
que conforman cada una de las operaciones básicas y pida que
las apunten en su cuaderno. Como una actividad extra a la cla-
se, solicite que respondan las actividades que se encuentran en
los dos primeros sitios web de la sección de recursos de apoyo.
Los alumnos deberán imprimir y pegar en su cuaderno las hojas
con las actividades resueltas.
Con frecuencia los estudiantes piensan que la propiedad
conmutativa se cumple también en la resta y la división. Muestre
otros ejemplos además de los que se encuentran en el libro para
asegurarse de que quede claro que esa propiedad no se cumple.
88© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
El siguiente libro es útil como apoyo en el estudio de propie-
dades de las operaciones básicas.
•
Arturo Aguilar Márquez et al., Aritmética y álgebra, México,
Conamat-Pearson educación, 2016.
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para repasar las propiedades de las operaciones básicas. •
“Diferencia entre propiedad asociativa, distributiva
y conmutativa”, disponible en www.edutics.mx/xfH
Sitios web
Este sitio contiene actividades para repasar las partes de la suma y resta. •
“Elementos de la suma y resta”, disponible en
www.edutics.mx/xfr
La siguiente página contiene actividades para repasar las partes de la multiplicación y división. •
“Partes de la división y multiplicación”, disponible en
www.edutics.mx/xfV
Aquí encontrará ejemplos y ejercicios interactivos de propie- dades de la multiplicación. •
“Propiedades de la multiplicación”, disponible en
www.edutics.mx/xfj
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Aplica correctamente las propiedades de la suma (conmutativa y asociativa).
Portafolio de evidencias •
Revise que los estudiantes incluyan la solución de
los problemas solicitados. También será importante revisar que los procedimientos y resultados sean correctos.
Tabla comparativa •
Los estudiantes pueden elaborar una tabla c
omparativa a manera de resumen, donde señalen
las propiedades y las operaciones en las que se cumplen.
Aplica correctamente las propiedades del producto (conmutativa, asociativa y distributiva).
Aplica las propiedades de las
operaciones básicas en
soluciones a problemas de la vida
cotidiana.
Recursos digitales
• Para complementar los temas de la lección, se sugiere que los alumnos realicen la actividad inter
activa “Operaciones
aritméticas”.
Interdisciplina
Los problemas de inicio y cierre de la lección se relacionan con las
disciplinas de Geografía y Biología.
Recursos de apoyo complementarios
Guíe a los estudiantes en la resolución de ejercicios del libro.
Luego pida que revisen la liga de la sección “Con TIC’s”, para ampliar la información acerca de las propiedades de las operaciones básicas.
Para realizar el video, pida que hagan una lista de las tres propie-
dades y describan en qué consiste cada una. Esta relación les servirá como guion.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Solicite
que muestren la hoja donde hayan ordenado las filas y la cantidad de cada uno de los vegetales. En total deben tener una retícula de 35 por 50. Pida a algunos estudiantes que compartan sus respuestas al grupo y realice una retroalimentación del tema.
Permita que hagan una reflexión acerca de la importancia de la
actividad en el campo y cómo se relaciona con las matemáticas.
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. La imagen de la actividad de cierre pre -
senta una oportunidad para abordar el tema de los huertos urba- nos y los beneficios que tienen para la sociedad.
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4. Agrupa todos los elementos en conjuntos del mismo tama?o con dos o m?s elementos sin que
sobre alguno. Muestra dos formas diferentes de hacerlo.
B B Cantidad de conjuntos:

B Elementos en cada conjunto:

B :

B

B B Cantidad de conjuntos:

B Elementos en cada conjunto:

B :

B

a) ?La propiedad conmutativa se cumple en la multiplicaci?n? Argumenta tu respuesta.

5. Resuelve las multiplicaciones y subraya aquellas que tienen el mismo resultado.
? 11 8 4 B
4 11 8 8 4 11 11 4 7 4 8 11
? 4.5 2.3 6.1 B 5.4 3.2 1.6 6.1 4.5 2. 4 2.3 5.4 6.1 6.1 2.3 4.5
6. Resuelve las divisiones y comprueba si se cumple la propiedad conmutativa.
? 12 6 = 450 90 = ? 90 450 = 35 280 =
a) ?Se obtiene el mismo cociente si se invierte el orden del dividendo y el divisor? ?Por qu??

Propiedad asociativa
Para facilitar la resoluci?n de una suma de tres o m?s sumandos es conveniente asociarlos, de manera que la adici?n se realice con una menor cantidad de t?rminos.
7. Analiza el esquema y haz lo que se pide en tu cuaderno. Luego, completa las operaciones.
B B
B 15 B

Ejemplo: 12 6 B 6 12 B
72 72
La propiedad conmutativa de la multiplicaci?n
establece que el orden de los factores no al-
tera el producto.
GLOSARIO
asociar. Juntar una cosa
con otra para concurrir a un
mismo fin.
Dibuja 10 puntos
agrupados y 5
no agrupados.
Dibuja 10 puntos
agrupados y 5
no agrupados.
Dibuja 3 grupos
de 10 puntos
cada uno.
Dibuja 10 puntos
agrupados y 7
no agrupados.
Dibuja 10 puntos
agrupados y 3
no agrupados.a) ?Cu?l es la estrategia que se sigui? para determinar qu? elementos asociar?

8. Completa las operaciones y comprueba que se obtiene el mismo resultado en cada pareja. Al fi-
nalizar, subraya la operaci?n que fue m?s f?cil de resolver.
? B63 25 85 63 B25 85

? B2.13 7. 0 7 1.48 2.13 B7. 0 7 1.48

? 855 216 B344 855 B216 344

9. Completa las operaciones aplicando la propiedad asociativa.
? 26 18 35 26 B

? 16 8 . 3 232.6 220.1 16 8 . 3 B
B B

10. Resuelve las operaciones y responde.
? 12 B5 8 B
? B6 9 10 B
?
2
3

5 7

7 5

? B12 5 8 B
? 6 B9 10 B
?
2 3

5 7

7 5

a) ?Qu? caracter?stica observas en las multiplicaciones que tienen el mismo resultado?

La propiedad asociativa de la adici?n establece que si se tienen m?s de dos sumandos es posible
agrupar y sumar de distintas formas y el resultado no cambia; por ejemplo:
B56 14 38 56 B14 38
70 38 56 52
10 8 10 8
TOMA NOTA
Las propiedades
conmutativa y asociativa
se pueden aplicar al mismo
tiempo para resolver
mentalmente una operaci?n.
Por ejemplo:
3.6 B 1.8 B 0.4 B 2.2
3.6 B 0.4 B 2.2 B 1.8

4 B 4 8
CON TIC?S
Visita www.edutics.
mx / Nua para ver una
explicaci?n de las propiedades de las operaciones. Propiedades de operaciones
aritm?ticas
? Comprueba y argumenta si cada una de las operaciones aritm?ticas b?sicas cumple las propiedades:
conmutativa, asociativa y distributiva.
L1
Unidad DOS
1. Lee la informaci?n y realiza lo que se pide.
En una comunidad rural, un grupo de agricultores se dedica a cultivar diferen-
tes tipos de frutas y verduras para vender en el mercado local y as? obtener
ingresos para sus familias. Sin embargo, debido a la fluctuaci?n de precios y a
la competencia de otros agricultores, no siempre logran vender todos sus pro-
ductos al monto que desean. Por ello, el grupo de la comunidad rural decidi?
crear una cooperativa para mejorar su situaci?n econ?mica y asegurar un su -
ministro constante de alimentos para su gente.
a) Escribe en tu cuaderno una estrategia que los agricultores podr?an poner en
pr?ctica para vender todos sus productos sin tener p?rdidas.
Como una medida para aumentar sus ventas, los agricultores elaboraron diferentes
canastas con nueve piezas de las siguientes verduras:
b) Prop?n las posibles combinaciones de verduras que se pueden hacer considerando que, como m?nimo, las canastas tengan 2 piezas de cada verdura, sin repetir las cantidades en cada canasta.
Canasta 1 Canasta 2 Canasta 3
Calabaza:

Papa:

Zanahoria:

Operaci?n:

B

B

9
Calabaza:

Papa:

Zanahoria:

Operaci?n:

B

B

9
Calabaza:

Papa:

Zanahoria:

Operaci?n:

B

B

9
c) ?Qu? observas al comparar la operaci?n del total de productos en cada canasta? ?Significa lo mismo cada
suma? ?Qu? tendr?a que cambiarse para que el significado sea coherente para poder comparar las suma?

INICIO
Par ticipar en
las estrategias
de generaci?n
y distribuci?n
de alimentos
for talece a las
comunidades.
GLOSARIO
fluctuaci?n. Diferencia entre
el valor instant?neo de una
cantidad y su valor normal.
En el caso econ?mico se
ref iere a la variaci?n en el
precio de un produc to por
un tiempo determinado.
suministro. Proveer a
alguien de algo que cubra
sus necesidades.
94DESARROLLO
Propiedad conmutativa
En matem?ticas se considera que la suma y la multiplicaci?n son operaciones b?sicas, as?
como sus equivalentes inversas, que son la resta y la divisi?n. Algunas de ?stas cumplen
con ciertas propiedades que ayudan a operar.
1. Observa las ganancias que tuvieron los agricultores durante un fin de semana y contesta.
a) Completa la operaci?n para calcular las ganancias del fin de semana.
B
b) Escribe cinco formas en que se pueden sumar las cantidades.
? B B ?
B B
? B B ?
B B
? B B ?
B B
c) ?Se obtiene un resultado diferente si se cambia el orden en que se suman las cantidades?
Argumenta tu respuesta.
2. Completa las operaciones y comprueba que se cumple la propiedad conmutativa.
? 735 B 804 B

? 95.6 B 43.8 43.8 B

?
1
5
B
5
6
B
1 5
1

? 1 236 B 526 B 485 B 485 B

? 13.2 B 73.5 B 5.8 73.5 B B

?
3 4
B
2 7
B
5 8

B B 1
3. Resuelve las operaciones y responde.
? 769 534
? 5.6 3.2
?
2 3

1 4

? 534 769
? 3.2 5.6
?
1 4

2 3

a) Comenta en grupo: ?la propiedad conmutativa se cumple para la resta?
Ejemplo: 485 B 648 648 B 485
1 133 1 133
La propiedad conmutativa de la adici?n es-
tablece que el orden de los sumandos no
modifica la suma o total.
GLOSARIO
propiedad. Se ref iere a una
caracter?stica o cualidad de
una operaci?n aritm?tica.
TOMA NOTA
En una suma o adici?n , las
cantidades que se agregan se llaman sumandos, mientras que al resultado se le conoce como suma o total.
Viernes
$789.00
S?bado
$1 548.00
Domingo
$921.00
95
L1 / U2
97
L1 / U2
96
U2 / L1 90 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 94
1. a) R. L. Pueden proponer estrategias como el trueque con otros giros
comerciales, unirse y montar tianguis sobre ruedas, etcétera.
b)
Canasta 1 Canasta 2 Canasta 3
Calabaza: 2
Papa: 3
Zanahoria: 4
Operación:
2 + 3 + 4 = 9
Ca
labaza: 3
Papa: 4
Zanahoria: 2
Operación:
3
+ 4 + 2 = 9
Ca
labaza: 4
Papa: 2
Zanahoria: 3
Operación:
4
+ 2 + 3 = 9
c) Que el orden de los sumandos no cambia el resultado. Cada
suma no significa lo mismo, pues cambia el número y tipo de
verdura. Para poder comparar las sumas se podría pensar en
un solo tipo de verdura y la misma cantidad.
Página 95 1.
a) 1 5 4 8
9 2 1
+ 7 8 9
3 2 5 8
b) • 789 + 1548 + 921 • 921 + 789 + 1548
• 789 + 921 + 1548 • 921 + 1548 + 789
• 1 548 + 789 + 921
c
)
No, porque suman las mismas cantidades.
2. • 735 + 804 = 804 + 735
1 539 = 1 539
• 95.6 + 43.8 = 43.8 + 95.6
1 39.4 = 1 39.4
•
1
5
+
5
6
=
5
6
+
1 5

1
1
30
= 1
1
30
• 1 236 + 526 + 485 = 526 + 485 + 1 236
2 247 = 2 247
• 13.2 + 73.5 + 5.8 = 73.5 + 5.8 + 13.2
92.5 = 92.5
•
3 4
+
2 7
+
5 8
=
2 7
+
5 8
+
3 4
1
37
56
= 1
37
56
3. • 769 – 534 = 235 • 534 – 769 = –235
• 5.6 – 3.2 = 2.4 • 3.2 – 5.6 = –2.4
•
2 3
–
1 4
=
5
12
•
1 4
–
2 3
= –
5
12
a) No, porque al cambiar el orden del minuendo y del sustraen-
do l
a diferencia cambia.
Página 96
4.

a = Cantidad de conjuntos: 7
b = Elementos en cada conjunto: 5
a ×
b: 7 × 5
= 35
a = Cantidad de conjuntos: 5
b = Elementos en cada conjunto: 7
a ×
b: 5 × 7
= 35
a) Sí, porque al cambiar el orden de los factores no cambia el
resultado.
5. • 11 × 8 × 4 = 352. Se deben subrayar: 4 × 11 × 8, 8 × 4 × 11
y 4 × 8 × 11.
• 4.5 × 2.3 × 6.1 = 63.135. Se debe subrayar: 6.1 × 2.3 × 4.5.
6. • 12 ÷ 6 = 2 • 450 ÷ 90 = 5
• 90 ÷ 45 0 = 0.2 • 35 ÷ 28 0 = 0.125
a) No. No es lo mismo dividir 12 entre 6, que 6 entre 12.
7. Los grupos de puntos representan los números 15, 13 y 17.
= 15 + 1 3 + 17 = 45
= 15 + (30) = 45
Página 97
a) Agrupar los conjuntos de tal manera que, al sumar, se obten-
ga una decena exacta.
8. • (63 + 25) + 85 = 63 + (25 + 85)
88 + 85 = 63 + 110
173 = 173
• (2.13 + 7. 07 ) + 1.48 = 2.13 + ( 7. 07 + 1.48)
9.20 + 1.48 = 2.13 + 8.55
10.68 = 10.68
• (–855 + 216) + (344) = –855 + (216 + 344)
–639 + (344) = –855 + 560
–295 = –295
9
.
• (–26 + 18) + 35 = –26 + (18 + 35)
–8 + 35 = –26 + 53
27 = 27
• –168.3 + (–232.6 + 220.1) = [–168.3 + (–232.6)] + 220.1
–168.3 + (–12.5) = (–400.9) + 220.1
–180.8 = –180.8
INICIO
DESARROLLO
(Continúa en la página 93)
91

11 . Emplea la propiedad asociativa en las multiplicaciones y comprueba que se obtiene el mismo
resultado.
? 5.2 B 9.7 B 1.5 ? 4 B 16 B 3 B 11
Propiedad distributiva
Para resolver un problema a veces es necesario efectuar m?s de una operaci?n; un ejemplo de ello es
el c?lculo del ?rea de una figura.
12. Completa las operaciones para calcular el ?rea del rect?ngulo rojo, formado por el amarillo y ver-
de, cuyas unidades se indican.
53 5 5 5 15
a) ?C?mo son los resultados de ambas operaciones? Argumenta.

b) En el primer rect?ngulo, ?qu? operaci?n se hizo primero y cu?l despu?s?

c) ?Y en el segundo rect?ngulo?
d) Cuando una cantidad se multiplica por una suma, ?cu?les son las dos formas en que se puede
obtener el resultado?

13. Relaciona las operaciones cuyo resultado es el mismo.
18 6 3
1.5 3.5 4.8
10 48 12
6 1.2 0.5
10.2
600
12.45
162
10 48 10 12
61.2 6 0.5
18 6 18 3
1.53.5 1.54.8
5 u
3 u 3 u7 u 7 u
5 u
TOMA NOTA
Para calcular el ?rea total
de una f igura compuesta se
puede calcular por separado
el ?rea de cada f igura y
luego sumarlas.
Operaci?n Operaci?nResultado
La propiedad asociativa de la multiplicaci?n establece
que el producto de tres o m?s n?meros es el mismo,
independientemente del orden en que se agrupen y
multipliquen los factores.
Ejemplo: B6 15 8 6 B15 8
B90 8 6 B120
720 720 1. Lee el texto y realiza lo que se pide en tu cuaderno.
En una parcela, Lorena ha cultivado lechuga y br?coli.
Coloc? 35 filas en total y en cada una hay 28 lechu-
gas y 22 br?colis.
a) Representa en una hoja el cultivo de Lorena y uti-
liza las propiedades de las operaciones para
responder.
b) ?Cu?ntas verduras ha cosechado en total?
c) ?Cu?ntas lechugas m?s que br?colis ha colocado?
CIERRE
La propiedad distributiva de la multiplicaci?n, respecto a la suma (o resta), establece que se ob-
tiene el mismo resultado si se multiplica el n?mero por cada uno de los sumandos y luego
se suman ambos productos o se efect?a la suma de los sumandos y se multiplica el resultado
por la suma. Por ejemplo:
24 B8 6 24B8 24B6 24B8 6 24B8 24B6
24B14 192 14 4 24B2 192 14 4
336 336 48 48
14. Completa las operaciones y comprueba que se obtiene el mismo resultado.
15. Aplica la propiedad distributiva para descomponer uno de los factores y encontrar el resultado
de las siguientes multiplicaciones.
a) 12 15 12 B 5
12B 12B5

b) 6 52 6B
6B 6B

c) 7B342 7 B 40 2
7B 7B40 7B

d) 68 90 6 8 (10 0 )
6 8(10 0) 68( )

16. Re?nete en pareja. Hagan un video de un minuto explicando cada propiedad de las operacio-
nes aritm?ticas. Comp?rtanlo en una red social.
La lucha contra el hambre y el fomento de una agricultura
sostenible es una tarea de todos.
TOMA NOTA
La notaci?n desarrollada es
una forma de descomponer
un n?mero seg?n el valor
posicional de sus cifras, y se
puede utilizar para aplicar la
propiedad distributiva.
3 B 482 3400 80 2
3400 380 32
1 200 24 0 6
1 446
PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo de la ac tividad 16 para tener evidencia de tu aprendizaje.
? 13 9 2 13
13

? 8.5 0.2 0.3
8.5

? 4 10 7

? (72 64)

68
99
L1 / U2
98
U2 / L1 92 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. CIERRE
1. a) Revisar que efectivamente el alumno coloque 35 filas o ren-
glones —puede utilizar puntos—. Cada fila deberá distinguirla,
por ejemplo, 28 puntos de un color para las lechugas y 22
puntos de otro color para los brócolis. En total debe tener una
retícula de 35 por 50 puntos.
b) Ha cosechado 1 750 verduras.
35(28 + 22) = 35(28) + 35(22)
= 980 + 770 = 1 750
c
)
Ha colocado 210 lechugas más que brócolis.
35(28 − 22) = 35(28) − 35(22)
= 980 − 770 = 210
Página 97 10.
• 12 × (5 × 8) = 12 × (40) = 480
• (6 × 9) × 10 = (54) × 10 = 540
•
2
3
×
5 7
×
7 5
=
10
21
×
7 5
=
70
105
=
14
21
=
2 3

• (12 × 5) × 8 = (60) × 8 = 480
• 6 × (9 × 10) = 6 × (90) = 540
•
2 3
×
5 7
×
7 5
=
2 3
× (1)
=
2 3
a)
Tienen los mismos factores, pero están asociados de distin-
tas formas.
Página 98
11. R. M. •
(5.2 × 9.7) × 1.5 = 75.66
5.2 × (9.7 × 1.5) = 75.66
• (4 × 16 ) × (3 × 11) = 2 112
(4 × 16) × 3 × 11 = 2 112
4 × 16 × (3 × 11) = 2 112
12
.
5(3 + 7) = 5(10) = 50 u
2

5(3) + 5(7) = 15 + 35 = 50 u
2
a) Iguales, porque se calculó el área del mismo rectángulo.
b) Primero se resolvió la suma (3 + 7) y después se multiplicó
por 5.
c) Primero se multiplicó 5(3) y 5(7), luego se sumaron los resul-
tados (15 + 35).
d) R. M. Se obtiene el mismo resultado si primero se suma y luego
se multiplica, o si primero se multiplica la cantidad por cada sumando y luego se suma.
13.

Operación Resultado Operación
18(6 + 3) 10.2 10(48) + 10(12)
1.5(3.5 + 4.8) 600 6(1.2) + 6(0.5)
10(48 + 12) 12.45 18(6) + 18(3)
6(1.2 + 0.5) 162 1.5(3.5) + 1.5(4.8)
Página 99 14.
• 13(9 + 2) = 13(9) + 13(2)
13(11) = 117 + 26
143 = 143
• 8.5(0.2 + 0.3) = 8.5(0.2) + 8.5(0.3)
8.5(0.5) = 1.7 + 2.55
4.25 = 4.25
• 4(10 + 7) = 4(10) + 4(7)
4(17) = 40 + 28
68 = 68
• 0.5(72 + 64) = 0.5(72) + 0.5(64)
0.5(136) = 36 + 32
68 = 68
15. a) 12 × 15 = 12(10 + 5)
= 12(10) + 12(5)
= 120 + 60 = 180
b) 6 × 52 = 6(50 + 2)
= 6(50) + 6(2)
= 300 + 12 = 312
c) 7(342) = 7(300 + 40 + 2)
= 7(300) + 7(40) + 7(2)
= 2 100 + 280 + 14 = 2 394
d) 68 × 90 = 68(100 − 10)
= 68(100) − 68(10)
= 6 800 − 680 = 6 120
16
.
R. L. Se deben explicar de manera general las tres propiedades
y mencionar en cuáles operaciones se cumplen y en cuáles no.
(Viene de la página 91)
93

Plan de clase Semana escolar 15
Lección 2
Contenido. Introducción al álgebra
Aprendizaje. Interpreta y plantea diversas situaciones del
lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa.
Tema. Traducción de situaciones del lenguaje común al
algebraico y viceversa.
Lección 3
Contenido. Introducción al álgebra.
Aprendizaje. Representa algebraicamente perímetros de
figuras.
Tema. Representación numérica y algebraica de perímetros
de polígonos. Equivalencia de expresiones, tanto geométrica
como algebraicamente, de perímetro de polígonos.
Lección 2. Lenguaje común y algebraico
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos comprendan
y empleen el lenguaje algebraico para plantear y describir situaciones
problemáticas. Haga al grupo preguntas detonadoras como ¿Han uti -
lizado fórmulas para realizar algún cálculo? ¿Cuáles conocen? ¿Para
qué las emplean? Permita que los estudiantes expresen su opinión.
Pida a algún voluntario que lea la sección de inicio sobre energías re-
novables y comenten acerca del tema. Explique el significado de la
palabra eólica. Se sugiere mostrar un diagrama de un rotor eólico para
que los alumnos comprendan mejor el problema. Analicen la informa-
ción de la sección “Amplía” para responder el inciso d).
DESARROLLO. Explique cómo el lenguaje algebraico puede apli-
carse en distintas situaciones y la importancia que tiene en la solución
de algunos problemas. Brinde ejemplos de expresiones algebrai-
cas y expresiones numéricas, y comente la diferencia que hay entre
ellas. Mencione que con frecuencia se utilizan las letras x y y para
representar variables o literales, pero que se pueden usar otras sin
que cambie el significado de las expresiones algebraicas. Pida que,
utilizando otras literales, reescriban algunas de las 12 representacio-
nes en lenguaje algebraico de la página 101.
Pregunte cómo se traduce el lenguaje algebraico al común, luego
escriba una expresión algebraica y pida que los alumnos la digan en
lenguaje común. Permita que los estudiantes respondan y, de ser ne-
cesario, guíelos a la respuesta correcta. Enseguida, solicite que revisen
la liga de la sección “Consulta”, para analizar otros ejemplos de cómo
traducir palabras y o frases de lenguaje común a algebraico y viceversa.
CIERRE. Conduzca al grupo para resolver el inciso a) y permita que el
inciso b) lo contesten de forma autónoma. Pida a algunos estudian-
tes que compartan sus respuestas frente al grupo. Dé preferencia
a aquellos que utilizaron letras distintas para representar los valores
desconocidos y luego realice una retroalimentación del tema. Per-
mita que los alumnos reflexionen acerca de la importancia del uso
de las nuevas tecnologías y las fuentes renovables y sobre cómo se
relacionan con las matemáticas.
Lección 3. Representación algebraica
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos representen al-
gebraicamente el perímetro de figuras. Plantee preguntas como ¿Para
qué nos sirve calcular el perímetro y el área de figuras? ¿Mencionen
una aplicación que encuentren para el cálculo del perímetro? Pida
a algún estudiante que lea el texto sobre desarrollo agrícola para ge-
neralizar el acceso a los alimentos y discutan sobre lo que opinan al
respecto. Después solicite a los alumnos que ingresen a la liga de
la sección “Consulta” para que conozcan más acerca del tema.
DESARROLLO. Mencione que la representación algebraica de perí-
metros es sólo una generalización (fórmula) para calcular esta mag-
Libro del alumno: Páginas 100-107
Fecha:
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Lección 2. Lenguaje común y algebraico
Es común que algunos estudiantes tengan dificultades para
comprender el lenguaje algebraico. Se sugiere que explique
que las literales representan valores desconocidos. Escriba
ejemplos de algunas expresiones en el pizarrón; pueden ser
fórmulas que ya conocen, como la del área o la del perímetro
de algunas figuras básicas: cuadrado, triángulo, romboide o tra-
pecio. Explique qué representa cada literal y la operación con la
que está asociada, luego presente otras fórmulas para que los
estudiantes expliquen las operaciones y qué representa cada
una de las literales.
Lección 3. Representación algebraica
Frecuentemente los alumnos no recuerdan las fórmulas para
calcular el área y el perímetro de figuras. Pida que se reúnan
en equipos e investiguen dichas fórmulas y las resuman en
una tabla.
Es común que los estudiantes traten de sumar términos
que no son semejantes. Explique que sólo se suman las litera- les que son iguales.
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Evaluación
Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Interpreta el lenguaje algebraico
en lenguaje común y viceversa.
Portafolio de evidencias
•
Pida a los estudiantes que incluyan la actividad 7 de la lección 2. T
ambién solicite que agreguen
la solución de la actividad 4 de la lección 3. Verifique que hayan corregido los errores en ambas actividades antes de guardarlas.
Expresa el perímetro de polígonos regulares e irregulares mediante expresiones algebraicas.
Relaciona las expresiones
algebraicas de perímetros con
sumas algebraicas.
Identifica expresiones algebraicas
equivalentes.
Recursos digitales
• Para practicar la interpretación del lenguaje común al algebraico
, se sugiere que los alumnos realicen la
actividad interactiva “Leyendo expresiones”.
• Para el tema de equivalencia de expresiones algebraicas
relacionadas con perímetros, se recomienda que los estudiantes realicen la actividad interactiva “Polígonos y perímetros”.
Libros y revistas
El siguiente libro es útil para resolver problemas algebraicos. •
Jessefh Rafelsson Marquina Quintero, Guillermo Alejandro
Moreno y Alirio Alberto Acevedo Barrios, “Transformación del lenguaje natural al lenguaje algebraico en educación media general” en Educere, vol. 18, núm. 59, enero-abril, Universidad de los Andes, Venezuela, 2014.
Audiovisual
El siguiente video es útil para estudiar el uso de expresiones algebraicas en la representación de perímetros. • “Perímetro de polígonos con expresiones algebraicas”,
disponible en www.edutics.mx/xft
Sitios web
En esta página web encontrarás ejemplos y ejercicios interac- tivos de propiedades de la multiplicación. •
“Seleccionar expresiones algebraicas equivalentes”,
disponible en www.edutics.mx/xfv
Interdisciplina
En la lección 2, los problemas de inicio y cierre se relacionan con la disciplina de Tecnología. En la lección 3, la actividad de inicio se relaciona con la disciplina de Geografía.
Recursos de apoyo complementarios
nitud de figuras específicas y que para calcular el perímetro de un rectángulo se sustituye en la fórmula el valor numérico o la medida de los lados de la figura.
Guíe a los alumnos durante la actividad 1, sobre todo al analizar
las expresiones equivalentes, para reflexionar sobre la idea de sumar
términos semejantes. En caso de dudas, plantee un ejemplo extra y su
resolución. Explique a los estudiantes la manera de calcular el perímetro
de polígonos y la reducción de términos semejantes para simplificar
las expresiones resultantes. Permita que los alumnos respondan la
actividad 3. Puede presentar la solución de algunos ejemplos distintos
a los del libro. Explique la manera de simplificar las expresiones cuan- do dos variables se relacionan (dejar la expresión en términos de una sola variable) siguiendo los pasos de la página 106. En la página su- gerida en la sección “Consulta” encontrará otros ejemplos del cálculo del perímetro de polígonos.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Pida
a algunos estudiantes que resuelvan frente al grupo dicho proble-
ma y realice una retroalimentación del tema. Permita que los alum-
nos reflexionen acerca de la importancia de la agricultura sostenible
y cómo se relaciona con las matemáticas.
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. Mencione que la cantidad de energía ge -
nerada en México a partir de fuentes renovables se duplicó entre
2010 y 2019 y comenten acerca de las energías renovables que
podrían ser aprovechadas en su localidad según las condiciones
geográficas en las que se encuentran.
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?rea del terreno Per?metro del terreno
Total de veh?culos en el
terreno
Total de llantas de las
bicicletas
Total de llantas de los
triciclos
Total de llantas de las
cuatrimotos
Total de ruedas que
hay en el terreno
?rea de un terreno que
tiene el doble de ancho
Del lenguaje algebraico al com?n
Despu?s de resolver un problema debemos traducir la soluci?n al lenguaje com?n para que los
dem?s entiendan nuestros resultados.
4. Re?nanse en equipos. Analicen cada situaci?n y relaci?nenla con la representaci?n algebraica
que la describe correctamente.
Expresi?n
algebraica
Situaci?n
B B 13 6
Carlos compr? trece pares de calcetas para regalarlas a sus primos. A sus primos les
dio varios pares y ?l se qued ? con seis. ?Cu?ntos pares regal??
13 B 6 Si Mar?a tiene 13 a?os y Sara 6, ?cu?l es la suma de sus edades?
B 13 B 6
En una zona monta?osa la temperatura aument? 13C durante la ma?ana hasta llegar
a los 6C. ?Cu?l era la temperatura en dicha zona antes de registrarse ese incremento?
a) Discutan acerca de qu? consideraron para relacionar cada expresi?n. Expongan sus respuestas
con el grupo.

5. Re?nanse en parejas. Revisen las expresiones algebraicas de la tabla
18.1. Escriban en su cuaderno una situaci?n que represente cada una
de ellas.
a) Comparen su situaci?n con la de otras parejas. Luego comenten si
creen que esas expresiones algebraicas se asocian a una ?nica si-
tuaci?n. Argumenten sus respuestas.

Tabla 18.1
Expresi?n algebraica
5B 4
B
2
B 5
2B
B 4
B
C O N S U LTA
Consulta la p?ginaC
www.edutics.mx /NTv para
conocer m?s sobre conceptos
b?sicos de ?lgebra.
TOMA NOTA
Evaluar una expresi?n algebraica significaC encontrar su valor num?rico al sustituir valores en las variables que aparecen enC
la expresi?n.
a)CCalcula los puntos de Martha, Isaac, Diego y Ana. Considera que Juli?n consigui? 14.
C MarthaC IsaacC DiegoC AnaC C
b)C?Qui?n obtuvo m?s puntos? C
c)CSi el puntaje de Juli?n fuera distinto, ?podr?a haber otro ganador?, ?por qu??CC C
C
C3.CEn la playa hay un terreno rectangular que mide B metros de largo porC metros de ancho, en el
cual rentan bicicletas,C triciclos yC cuatrimotos. Expresa lo siguiente en lenguaje algebraico.
102 1. Lee el texto y realiza en tu cuaderno lo que se pide.
Construir?n una planta e?lica en un te-
rreno rectangular que mide B de largo
por de ancho.
a) Anota las expresiones algebraicas
que representen correctamente cada
situaci?n:
? El per?metro y ?rea del terreno.
? Si se colocaran 12 generadores
como los de la imagen, ?cu?ntas
aspas se necesitar?an?
? Si para cada generador se necesitan 60 m
2
, ?cu?ntos metros cuadrados abarcar?n
en total esos doce generadores?
b) Replantea el problema, pero ahora considera un terreno de forma cuadrada. ?C?mo
cambian las expresiones algebraicas?
CIERRE
La innovaci?n tecnol?gica permite generar energ?a menos
contaminante.
6. Analiza cada enunciado y traduce al lenguaje algebraico o com?n, seg?n corresponda.
Lenguaje com?n
Lenguaje
algebraico
B
6
El doble producto de dos n?meros.
B B 2B
B
2
Si es un n?mero entero impar, el n?mero impar antecesor de 2 B 6.
7. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones.
a) El sueldo mensual de Fernanda es pesos. Si gasta las tres quintas
partes y el resto lo ahorra, ?cu?l es su ahorro trimestral?
b) Carlos compr? un carro a cr?dito en pesos. Pag? un tercio al con-
tado y el resto en seis cuotas iguales. ?Cu?l era el valor cada
cuota?
c) Si la edad de Luis en a?os m?s ser? B a?os, ?qu? edad tiene?
d) Durante la evaluaci?n de un examen, cada pregunta se deb?a con-
testar en un tiempo m?ximo de minutos. Si el examen const? de
preguntas, ?cu?l era la duraci?n m?xima del examen?
8. Emplea un dibujo y lenguaje algebraico para resolver el problema.
Un edificio tiene cuatro pisos. En cada uno
hay departamentos con ventanas que
dan a la calle. Si cada ventana tiene vidrios,
?cu?ntos vidrios tiene en total el edificio?
TOMA NOTA
Cualquier n?mero par se
puede representar como
el doble de otro: 2.
Cualquier n?mero impar
se puede escribir como un
n?mero par aumentado en
una unidad: 2B1.
El uso de
energ?as renovables
proporciona grandes
beneficios a la salud
y al medio ambiente,
principalmente porque
no producen gases
contaminantes. ?Qu?
acciones emprenden en
tu escuela para disminuir
la emisi?n de dichos
gases?
103
L2 / U2
U2 / L2 Lenguaje com?n y algebraico
? Interpreta y plantea diversas situaciones del lenguaje com?n al lenguaje algebraico y viceversa.
L2
Unidad DOS
1. Revisa la informaci?n y responde
Las energ?as renovables son derivadas de fuentes na -
turales como la luz solar y el viento, adem?s de que re-
sultan fundamentales para la crisis que presenta el
cambio clim?tico; debido a ello, una empresa planea
construir una planta de energ?a e?lica . El equipo de in-
genieros sabe que la cantidad de energ?a que se trans-
fiere al rotor de una turbina e?lica depende de la densidad
del aire, el ?rea del rotor y la velocidad del viento.
De acuerdo con sus c?lculos, ?la energ?a es igual a cero
punto siete veces la velocidad del viento multiplicada
por s? misma?. Para saber el momento en que la veloci-
dad del viento es ?ptima para generar mayor energ?a,
decidieron transformar a lenguaje algebraico sus c?lcu-
los, empleando la f?rmula B B 0.7 , la cual suponen les permitir? tener ma-
yor producci?n de energ?a.
a) Seg?n el texto, ?qu? otros aspectos intervienen en la cantidad de energ?a
que se transfiere del viento a un rotor?

b) Si el di?metro de un rotor e?lico es de 2 m, ?cu?l es la f?rmula que te permi-
tir? calcular el ?rea que cubre el rotor?
c) ?Cambiar? la f?rmula que se utiliza para calcular el ?rea si el di?metro au-
menta o disminuye?, ?por qu??

d) Calcula el ?rea que tendr?n los rotores y encierra aquel que producir? mayor energ?a e?lica. Considera
que el rotor cubre un ?rea circular.
Di?metro: 2 m Di?metro: 3 m Di?metro: 6 m
INICIO
Para promover el uso de energ?as limpias se requiere
capacitaci?n tecnol?gica en la mayor?a de las industrias.
GLOSARIO
energ?a e?lica. Se obtiene
mediante un generador que
transforma la fuerza del
viento en elec tricidad.
AMPL?A
El ?rea de un rotor e?lico aumenta con el cuadrado del di?metro del rotor, es decir, una turbina que sea dos veces m?s grande recibir? 2
2
B 2 2 B 4 veces m?s de
energ?a.
100 DESARROLLO
Del lenguaje com?n al algebraico
Muchas situaciones de la vida cotidiana se pueden representar matem?ticamente, es decir, expresarlas
de manera que se resuelvan con operaciones, por ejemplo, en f?rmulas de per?metros.
1. Subraya las expresiones num?ricas y encierra las algebraicas.
29 3 5B 4 2 2 4
B
2
5 7 8 4 B
a) ?Cu?l es la diferencia entre una expresi?n num?rica y una algebraica?

El lenguaje algebraico nos permite expresar
relaciones matem?ticas utilizando n?meros,
s?mbolos y letras, lo que permite representar
diferentes situaciones de manera m?s general
que con aritm?tica b?sica.
Se usan t?rminos algebraicos que est?n com-
puestos por un signo, coeficiente, variable
o literal. Una expresi?n algebraica consta de
uno o varios t?rminos algebraicos.
Expresiones num?ricas: 5 1, 3.5

2
3
, 136 0.136, 2 8.45
4
5
, etc?tera.
Expresi?n algebraica: 5 3, donde y
representan cualquier n?mero.
T?rmino algebraico
5B
Signo
Variable o literal
Coeficiente
C2.CCompleta la tabla con las expresiones algebraicas que representan cada oraci?n.
Lenguaje com?n Lenguaje algebraico
Juli?n ten?a ?cier ta cantidad? de puntos.
Mar tha ten?a el triple de Juli?n.
Isaac obtuvo dos puntos m?s que Juli?n.
Diego logr? el triple de puntos m?s que Mar tha.
Ana obtuvo la mitad de lo que Isaac tuvo m?s 10 puntos.
Algunas representaciones del lenguaje com?n al algebraico
1 Un numero cualquiera: B
2 La suma de dos n?meros: B
3 La diferencia de dos n?meros: B
4 El producto de dos n?meros:
5 El cociente de dos n?meros:
B

6 El doble de un n?mero: 2B
7 El triple de un n?mero: 3B
8 La mitad de un n?mero:
B
2

1
2
B
9 La tercera parte de un n?mero:
B
3

1 3
B
10 La mitad de la suma de dos n?meros:

2
11 La mitad de la resta de dos n?meros:

2
12 La suma de dos n?meros entre su diferencia:

TOMA NOTA
En lenguaje algebraico, el
produc to de B y se escribe
como B B B B B
B.
TOMA NOTA
En lenguaje algebraico,
a la resta tambi?n se le llama diferencia.
AMPL?A
El lenguaje algebraico nace en la civilizaci?n musulmana, en el per?odo de Al ? khwarizmi, a quien se le considera el padre del ?lgebra. Para saber m?s entra en www.edutics.mx / NBK
101
L2 / U2 96 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. DESARROLLO
INICIO
Página 100
1. a) El área del rotor, la velocidad del viento, la densidad del
viento.
b) A = π × r × r
c) R. M. No, porque los datos de la fórmula son los mismos. Lo
que cambia es el valor del diámetro.
d) Se debe encerrar el diámetro de 6 m.
Diámetro: 2 m Diámetro: 3 m Diámetro: 6 m
A = π × r × r A = π × r × r A = π × r × r
3.14 × 1 × 1 = 3.14 × 1.5 × 1.5 = 3.14 × 3 × 3 =
3.14 m
2
7.065 m
2
28.26 m
2
Página 101
1. 2(–9) + 3 5x – 4 2b 2z – 4

x
2
+ 5 7 – 8 a – 4 x – y
a) R. M. Una expresión numérica tiene el mismo valor (constan-
te) y las algebraicas (fórmulas) cambian según el valor de su
variable.
2. R. M. Se puede usar cualquier letra.
Lenguaje común
Lenguaje
algebraico
Julián tenía “cierta cantidad” de puntos. x
Martha tenía el triple de Julián. 3x
Isaac obtuvo dos puntos más que Julián. x + 2
Di
ego logró 8 puntos más que Martha. 3x
+ 8
An
a obtuvo la mitad de lo que Isaac tuvo
más 10 puntos.
x + 2
2
+ 10
Página 102
a) Martha, 42; Isaac, 16; Diego, 50; Ana, 18.
b) Diego.
c) R. M. Sí, por ejemplo, si Julián hubiera obtenido 1 o 0 puntos,
reemplazando en las expresiones anteriores, Ana habría sido la ganadora con 11.5 o 10, respectivamente.
3.
Área del terreno: xy
Perímetro del terreno: 2x + 2y
Total de vehículos en el terreno: a + b + c
Total de llantas de las bicicletas: 2c
Total de llantas de los triciclos: 3b
Total de llantas de las cuatrimotos: 4c
Total de ruedas que hay en el terreno: 2a + 3b + 4c
Área de un terreno que tiene el doble de ancho: 2xy
4.
Expresión
algebraica
Situación
x + 13 = 6
Ca
rlos compró trece pares de calcetas
para regalarlas a sus primos. A sus primos les dio varios pares y él se quedó con seis. ¿Cuántos pares regaló?
13
– x = 6
Si M
aría tiene 13 años y Sara 6, ¿cuál es
la suma de sus edades?
x
= 13 + 6
En u
na zona montañosa la temperatura
aumentó 13°C durante la mañana hasta
llegar a los 6°C. ¿Cuál era la temperatura
en dicha zona antes de registrarse ese incremento?
a)
R. M. Las operaciones que se pueden asociar a algunas pala-
bras; por ejemplo, aumento se relaciona con una suma y regalar se relaciona con una resta.
5.
R. L. Se debe verificar que cada situación descrita se relacione
con su expresión algebraica. a)
R. M. No. Cada expresión puede representar una situación
diferente, o bien, si una letra toma cualquier otro valor, el de la expresión va a cambiar.
Página 103 6.

Lenguaje común
Lenguaje
algebraico
La sexta parte de un número.
x
6
El doble producto de dos números. 2xy
Un número más su doble y menos su mitad. x
+ 2x −
x
2

Si m es un número entero impar, el número
impar antecesor de 2m + 6.
2m + 5
7. a) 3(M –
3
5
M)
c) x – y
b)
1
6
(P
–
1 3
P) =
1 9
P d) tn
8. El edificio tendrá 4(n
3
) ventanas. El alumno deberá dibujar un
edificio de 4 pisos e indicar que en cada piso hay n departamen-
tos, n ventanas y n vidrios.
CIERRE
1. a) • Área = A, A = zy. Perímetro P , P = 2z + 2y
• Un generador tiene tres aspas, se necesitarían 36: 12(3)
= 36.
• Como son 12 generadores, 12(60) = 720 metros cuadrados.
b) Si se considera z el lado del cuadrado, las expresiones de área
y perímetro serían A = zz y P = 4z, respectivamente.
97

2. Completa la tabla con el nombre del pol?gono o la expresi?n algebraica que permite calcular su
per?metro.
Pol?gono Per?metro Pol?gono Per?metro
Cuadrado 4B Tri?ngulo is?sceles
BB Oct?gono regular
Rect?ngulo 3
Expresiones equivalentes
Las expresiones equivalentes son aquellas que est?n formadas por dos o m?s expresiones algebraicas que tienen distinta escritura, pero que al asignarles un valor num?rico a sus literales obtenemos el mis-
mo resultado.
3. Re?nete en pareja. Analicen la situaci?n y respondan.
Jes?s y Diego cercar?n con alambre sus terrenos (figura 3.2). El de Jes?s mide 23 m por lado, mien-
tras que el de Diego tiene tres lados que miden 23 m y dos de 46 m.
a) ?Cu?l es la longitud de alambre que necesita Jes?s para cercar su terreno? ?Y la que necesita
Diego?
b) De acuerdo con su respuesta anterior, ?c?mo son entre s? los per?metros de ambos terrenos?
.
c) Representen con literales los lados del terreno de Jes?s y expresen su per?metro.
d) En el terreno de Diego, ?qu? longitud podr?an representar con la misma literal que usaron para
los lados del terreno de Jes?s?, ?por qu?? .
e) A partir de su respuesta anterior y representando con una letra distinta el lado mayor del terreno
de Diego, escriban la expresi?n algebraica que represente su per?metro:
f) En el terreno de Diego, consideren la medida de los lados m?s largos. Ahora, comp?renlos con
las medidas de los lados m?s cortos. ?Qu? relaci?n tienen?
Expresen algebraicamente lo anterior:
g) Usando una sola literal, ?qu? expresi?n algebraica sirve para calcular el per?metro del terreno de
Diego en t?rminos del lado corto?
Cuando dos variables est?n relacionadas entre s?, una de ellas se puede sustituir por la otra den-
tro de una expresi?n algebraica; por ejemplo, en la expresi?n 2 B , con 3
Paso 1: Se sustituye 3 en la expresi?n 2 B y se obtiene 2(3) B
Paso 2: Se efect?an las operaciones 2(3) B 6 B
Paso 3: Se simplifica la expresi?n 6 B 7
Entonces, 2 B 7, siempre que 3
Terreno de Jes?s
Terreno de Diego
Figura 3.2CIERRE
4. Laura y Norma entrenan en pistas con distinta forma, al medir y analizar su trayecto notaron que
ambas hab?an corrido lo mismo.
a) ?Piensas que la medida del per?metro de ambas pistas es igual o diferente?
b) Observa las pistas y escribe debajo de cada una la expresi?n que representa el per?metro.
La agricultura
sostenible puede
ayudar a reducir la
pobreza, principalmente
para las personas que
viven en zonas rurales
y que se dedican
a labores agr?colas. En
tu comunidad, ?han
adoptado medidas que
aumenten los ingresos
y mejoren la calidad de
v ida?
c) Comprueba que corrieron lo mismo si se sabe que B B 2

d) Si se sabe que B 10 metros, ?cu?ntos metros recorrieron ambas?
C O N S U LTA
Entra en www.edutics.
mx / NBr para aprender
m?s sobre el c?lculo de
per?metros de figuras
planas.
a) Escribe las expresiones algebraicas que representen los per?metros siguientes.
? Per?metro del terreno total.
? Per?metro de cada secci?n donde se sembrar?n, jitomates, cebollas y calabazas.
? Si B 3, escribe el per?metro de cada secci?n usando una sola literal.
B
B
B
B
Norma
Jitomates
Calabazas
Cebollas

LauraPer?metro: Per?metro:
1. Lee el texto y realiza lo que se pide en tu cuaderno.
En la situaci?n inicial, el ingeniero agr?cola se propuso
que la gente de un pueblo aprendiera a cultivar sus
alimentos vegetales de forma sostenible; los agricul-
tores reconocieron lo beneficioso de ello y dividieron
sus terrenos en distintas formas geom?tricas para
sembrar en cada una semillas diferentes, como se
muestra en la imagen de abajo.
La agricultura sostenible usa
eficientemente los recursos agr?colas y la
energ?a no renovable. Representaci?n algebraica
? Representa algebraicamente per?metros de figuras.
L3
Unidad DOS
1. Analiza el texto y responde en tu cuaderno.
La Organizaci?n Mundial de la Salud (O M S) estima
que durante el 2022 hubo un incremento en el n?mero
de personas que se encuentran en situaci?n de ham-
bre. Entre las principales causas de dicha problem?tica
est?n la pobreza extrema, el cambio clim?tico y los
conflictos armados. Actualmente, diversas organiza-
ciones, en conjunto con los gobiernos, llevan a cabo
una serie de acciones para acabar con el hambre en
el mundo, y una de ellas es mejorar el desarrollo agr?-
cola y para generalizar el acceso a los alimentos; por
ello, varias comunidades del pa?s est?n interesadas
en practicar la agricultura sostenible.
Un ingeniero agr?cola realiza estudios en un terreno rectangular que mide 120 m de largo por
64 m de ancho, su intenci?n es mostrar a los habitantes de un pueblo c?mo cultivar sus ali-
mentos de forma sostenible; para ello, les pidi? cercarlo con una valla para delimitar el espacio
y mostrar las ventajas que tiene el tratamiento correcto de la tierra. Para este fin, los habitan-
tes tendr?n que calcular el per?metro del terreno; ?c?mo podr?n calcularlo?
a) ?Cu?ntos metros de valla se necesitan para cercar el terreno?
b) El ingeniero coment? que el terreno se va a seccionar en rect?ngulos de dis-
tintas medidas para sembrar diferentes alimentos cultivables en cada parte.
?Puedes calcular el per?metro de cualquier secci?n usando una f?rmula?,
?cu?l ?
INICIO
El lenguaje algebraico resulta muy ?til para calcular per?metros
de terrenos de cultivo, lo que permite aprovechar mejor las tierras
en beneficio de la agricultura sostenible.
GLOSARIO
per?metro. Es la longitud
que corresponde al contorno
de una figura.
GLOSARIO
pol?gono regular. Figura
geom?trica cuyos lados
y ?ngulos interiores tienen las mismas medidas.TOMA NOTA
Si el coef iciente de la
expresi?n es 1, s?lo se pone
la literal, es decir, 1B B B.
c) Si cada tira verde midiera 14 cm y cada tira azul 5 cm, ?cu?l ser?a el per?metro de cada cara?
d) Considera que cada cara de la caja mide cm de largo por cm de alto y completa los
enunciados.
? Para cada cara se necesitan cm de list?n verde y cm de list?n azul.
? Karla usar? usar? cm de list?n verde, cm de list?n azul y 6 cm de list?n rosa.
e) Encierra las expresiones que sirven para calcular el per?metro de lo que se indica.
? Per?metro de cada cara de la caja. 2 2
? Per?metro de la base de la caja. 6 3 3
C?lculo general de per?metro de pol?gonos
Un pol?gono es regular si todos sus ?ngulos y todas las longitudes de sus lados son iguales. Un pol?gono irregu-
lar cumple que: todos sus lados son de igual longitud, pero no todos sus ?ngulos interiores son de igual tama?o;
o no todos sus lados son de igual longitud, pero todos todos sus ?ngulos interiores son de igual tama?o.
Pol?gono regular
Sumar sus lados y reducir t?rminos semejantes:
B 4
Al ser pol?gono regular, se multiplica el n?mero de lados por la medida del lado.
2

Pol?gono irregular
1CSumar todos sus lados:
C 2CCCCCC
2CSimplificar los t?rminosCsemejantes:
Per?metro B 3C 3
Para expresar algebraicamente el per?metro de un pol?gono, se siguen los siguientes pasos:
1CIdentificar cada lado del pol?gono con una literal. Para los lados que presenten la misma longitud, se anotar?
la misma literal.
2CSi el pol?gono es regular deC lados con la longitud del lado denotado porC , entonces el per?metro esC CBC.
3CSi el pol?gono no es regular, su per?metro se calcula sumando la longitud de cada uno de sus lados.
Por ejemplo, la suma del per?metro de un pol?gono cuyos lados miden , , , , , yC es:
CBCCCCCCCCCCCCCBCCCCCCCCCCCCCCBC4CC2CC
Para pol?gonos regulares, en los cuales todos los lados tienen la misma longitud, se puede utilizar la f?rmulaC
CBC, en dondeC es el per?metro, es la cantidad de lados yC es la longitud de uno de los lados.
4 literalesC 2 literalesC
1 literal
105
L3 / U2
C O N S U LTA
Para saber m?s acerca de la agricultura sostenible, ingresa en www.edutics. mx /NNG
Representaci?n num?rica y algebraica
de per?metros
En matem?ticas, las letras se emplean para identificar caracter?sticas geom?tricas, como
los v?rtices, lados o ?ngulos de una figura; asimismo, para indicar los lados de un pol?gono
regular, su per?metro o ?rea. Pero, sobre todo, suelen representar valores que se desco-
nocen, es decir, literales .
DESARROLLO
1. Karla tiene una caja en forma hexagonal en la que guarda sus colores y plumo-
nes. Para decorarla, le colocar? tiras de listones de colores como, se aprecia en
la figura 3.1.
a) ?Cu?ntas tiras ocupar? para cada cara de la caja?
b) ?Cu?ntas tiras de cada color necesitar? Karla para adornar la caja?
Verdes: ; Rosas: ; Azules: .
Figura 3.1
104
107
L3 / U2
106
U2 / L3 98 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario CIERRE
1. a) • Perímetro total, P = 2x + 2y
• Jitomate: P = 4a
Cebollas: P = 2b + a
Calabazas: P = 2b + 2a
• Jitomate: P = 4a
Cebollas: P = 2(3a) + a = 6a + a = 7a
Calabazas: P = 2(3a) + 2a = 6a + 2a = 8a
INICIO
DESARROLLO
1. a) 4 tiras
b) Verdes: 12 tiras Rosas: 6 tiras Azules: 12 tiras
Página 105
c) 38 cm
d
)
• Para cada cara se necesitan 2 x cm de listón verde y 2 y cm
de listón azul.
• Karla usará 12 x cm de listón verde, 12 y cm de listón azul
y 6x cm de listón rosa.
e) • Perímetro de cada cara de la caja.
x + y + x + y 2x + 2y x + y
• Perímetro de la base de la caja.
6x 3x + 3y x + x + x + x + x + x
Página 106 2.

Polígono Perímetro Polígono Perímetro
Cuadrado 4 m
Triángulo
isósceles
2t + s
Tri
ángulo
escaleno
x
+ y + z
Oct
ágono
regular
8k
Rectángulo 2c
+ 2r
Tri
ángulo
equilátero
3w
3.
a) Jesús necesita 161 m de alambre y Diego, 161 m.
b) Los perímetros son iguales.
c) Lado = x; Perímetro = 7x
d) La de 23 m, porque miden lo mismo.
e) P = 3x + 2y
f) Los lados más largos miden el doble que los cortos. La
relación se puede expresar como y = 2x.
g) 3x + 2(2x) = 3x + 4x = 7x
Página 107 4
.
a) R. M. Iguales
b) Figura de Laura, Perímetro: 10m
Figura de Norma, Perímetro: 2m + 4n
c) 2m + 4(2m) = 2m + 8m = 10m
d) Ambas recorrieron 100 m.
Página 104 1.
a) Se necesitan 368 m de valla.
b) Sí. Conociendo la expresión del ancho y el largo de cada
sección. Ejemplo: Si x es el ancho y y el largo, entonces:
p = x + x + y + y, o también, p = 2x + 2y.
Notas
99© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Plan de clase Semana escolar 16
Lección 4
Contenido. Ecuaciones lineales y cuadráticas.
Aprendizaje. Resuelve ecuaciones de la forma ax = b,
ax + b = c, ax + b = cx + d con el uso de las propiedades de
la igualdad. Tema.
Relaciones de equivalencia y propiedades de la
igualdad matemática. Ecuaciones de primer grado, sus
elementos y planteamiento de situaciones con una ecuación
lineal.
Lección 4. La igualdad y la ecuación de primer grado
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos resuelvan
ecuaciones lineales básicas mediante las propiedades de la igualdad.
Pida a algún estudiante que lea la sección de inicio acerca del uso
responsable del agua. Exponga el significado de la expresión huella
hídrica y use la sección “Glosario” para dar una explicación más deta-
llada. Analicen la información en la infografía y solicite que respondan
el inciso a). Después, reflexionen acerca del cuidado en el consumo
del agua. Para complementar el inciso b), pida que expresen en len-
guaje algebraico algunas equivalencias de agua virtual de la infografía.
DESARROLLO. Explique las propiedades de la igualdad respecto de
las relaciones de equivalencia. Anote ejemplos concretos en el piza-
rrón acerca de cada propiedad. Para introducirlos al tema, inicie con
ejemplos numéricos y culmine con las expresiones algebraicas.
Para comenzar la página 110, pregunte ¿Qué es una ecuación? ¿Se
aplicarán ecuaciones en la vida cotidiana? Permita que los estudiantes
expresen su opinión y luego explique el origen de la palabra ecuación.
Presente las tres formas que puede tener una ecuación de primer
grado con una incógnita: ax
= b, ax + b = c, ax + b = cx + d. Utilice
expresiones algebraicas generales y algunos ejemplos con valores
numéricos específicos para los términos lineales e independientes.
Al término de la actividad 3, resalte que hay otro tipo de ecua-
ciones, como las de los incisos c) y h), que son del tipo lineal con dos incógnitas. Explique la ecuación como una “balanza equilibrada”.
Plantee el juego del número escondido. Escriba en el pizarrón una
serie de operaciones donde falte algún elemento de la operación, pero
siempre exponga el resultado. Pida que averigüen cuál es el número
escondido. Una vez que los estudiantes comprendan la estrategia,
explique que el juego se llama “despejar la ecuación” y que el núme-
ro faltante se representa con una literal, por lo general, x . Reemplace
el término faltante de la operación por la literal x y pida que expresen
la solución como “x
= …”. Tome los siguientes ejemplos como base:
¿Cuánto vale x en las siguientes operaciones? x
+ 3 = 5, 4x =
16, =
x
5
= 7. Las soluciones son x = 2, x = 4, x = 35, respectivamente.
En esta lección no se profundiza en la resolución de las ecuacio-
nes lineales, solamente se explican las propiedades que se utilizarán para resolverlas en la siguiente lección.
CIERRE. Pida a algunos estudiantes que respondan frente al gru-
po las preguntas planteadas en la actividad de cierre. Permita que
realicen una reflexión acerca de la importancia del uso responsable del agua y cómo las matemáticas les ayudarían para planear mejor su consumo. Haga una retroalimentación del tema.
Libro del alumno: Páginas 108-111
Fecha:
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Lección 4. La igualdad y la ecuación de primer grado
Algunos estudiantes pueden no comprender las relaciones de equivalencia de la igualdad al verlas expresadas con literales. Explique con ejemplos numéricos en qué consisten. También puede suceder que, al observarlas con números concretos, las consideren obvias. Así pasaría, por ejemplo, si se usara 8
= 8
para explicar las propiedades simétricas. Se sugiere mostrar
ejemplos que incluyan algunas operaciones como 5 + 3 = 8
y 8 = 5 + 3.
Una situación que se puede presentar es que los alumnos
comprendan las propiedades de la igualdad, pero no memoricen
sus nombres. Busque alguna estrategia para que relacionen las
palabras; por ejemplo, la propiedad reflexiva se puede entender
como el “reflejo” de un número o literal.
Es común que algunos estudiantes no estén familiarizados
con el término ecuación y las propiedades respecto de las ope -
raciones aritméticas. Explique con varios ejemplos.
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Libros y revistas
El siguiente libro es útil para resolver ecuaciones de primer
grado.
•
Matemáticas 1, Saberes fundamentales. Secundaria,
México, Ediciones Castillo, 2023.
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para repasar las ca- racterísticas de una ecuación de primer grado. •
“Qué es una ecuación y cómo se soluciona”, disponible en
www.edutics.mx/xYZ
Sitios web
La siguiente página es útil para complementar los temas de la lección. •
“Propiedades de la igualdad”, disponible en
www.edutics.mx/xYk
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica las propiedades de la igualdad: reflexiva, simétrica y transitiva.
Portafolio de evidencias •
Pida a los estudiantes que incluyan en su portafolio
la actividad 4 de la lección (página 110).
Fichero algebraico •
Solicite que escriban en fichas de trabajo los conceptos estudiados en la lección, incluy
endo
ejemplos: propiedades de la igualdad, la ecuación de primer grado con una incógnita y sus partes y las propiedades de la igualdad respecto de las operaciones.
Comprende el concepto de ecuación de primer grado con una incógnita.
Reconoce las partes de una
ecuación de primer grado con una
incógnita.
Plantea una ecuación para
resolver un problema aplicado.
Interdisciplina
Los temas de la huella hídrica y del agua virtual se relacionan con
la disciplina de Biología.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• Para complementar los contenidos de la lección, se sugiere que los alumnos r
ealicen la actividad interactiva
“Ecuaciones de primer grado”.
Notas
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. Retome el tema del agua virtual y la huella
hídrica y mencione que según la CONAGUA, el 4 % del agua que
utilizamos es el agua que vemos y empleamos par
a actividades
domésticas como la limpieza del hogar o asearnos, mientras que el 96 % corresponde al agua que consumimos indirectamente, es
decir, que no la vemos. Reflexionen al respecto y compartan pro-
puestas para llevar a cabo un ahorro y cuidado integral de agua.
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Ecuaci?n de primer grado con una inc?gnita
TOMA NOTA
1 000 gramos es
equivalente a 1 kilogramo.
Para conver tir los gramos
a kilogramos se dividen entre
1 000. Por ejemplo: 2 500 g
es igual a 2.5 kg, porque
2 500 B 1 000 2.5. 1. Analiza el texto y realiza en tu cuaderno lo que se pide.
Sup?n que una comunidad de 1 000 habitantes
s?lo cuenta con un pozo de agua para abastecer
al total de su poblaci?n. ?ste tiene una capacidad
m?xima de 150 000 litros de agua. Tambi?n sup?n
que cada persona necesita 5 litros de agua dia-
rios para satisfacer sus necesidades b?sicas de
higiene y consumo. ?Cu?ntos d?as dura el suministro
de agua del pozo antes de agotarse?
a) ?Cu?l ecuaci?n se puede plantear para respon-
der la pregunta anterior?
b) ?Cu?ntos d?as puede suministrar agua el pozo antes de agotarse? ?Crees que esto
pone de manifiesto la impor tancia de implementar medidas y pol?ticas para garantizar
que todas las comunidades tengan acceso al agua potable?, ?por qu?? Argumenta tu
respuesta.
CIERRE
El agua potable es un recurso indispensable
para que las personas vivan de forma digna.
Si al triple de la edad de Jorge se le suman dos a?os se obtiene la edad de su mam?, que es la
edad de Jorge m?s 24 a?os. ?Qu? edad tiene Jorge?
El acceso
universal y equitativo
al agua potable es
esencial para el
desarrollo sostenible
y la erradicaci?n de la
pobreza. ?Qu? medidas
implementar?as para
que se cumpla ese
derecho en todo el pa?s
y, en consecuencia,
promuevas el desarrollo
sostenible?
5. Escribe la propiedad de la igualdad que se cumple en cada caso.
a) 4B B 4 16
Paso 1: 4B B 4 4 16 4
4B 12
Paso 2:
4B
4

12
4

B 3
b)
1
2
B 5 5
Paso 1:
1 2
B 5 B 5 5 B 5

1 2
B 10
Paso 2:
1 2
B(2) 10 (2)
B 20
Propiedades de la igualdad
Si , entonces B B
Si , entonces
Si , entonces
Si , entonces

con
0
Si 3 B 2 y B 2 12, en-
tonces 3 12
1 Si en ambos lados de una ecuaci?n se suma o se resta la misma cantidad,
la igualdad se conserva.
2 Si ambos lados de una ecuaci?n se multiplican por la misma cantidad, la
igualdad se conserva.
3 Al dividir ambos lados de una ecuaci?n entre un mismo n?mero (diferente
de cero), la igualdad se conserva.
4 Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre s?.
6. Analiza el problema y escribe una ecuaci?n de primer grado que lo modele. La igualdad y la ecuaci?n de primer
grado
? Resuelve ecuaciones de la forma B , B , B con el uso
de las propiedades de la igualdad.
L4
Unidad DOS
1. Analiza el texto, la infograf?a y res-
ponde en tu cuaderno.
En la cultura del uso responsable del
agua, las personas llevan a cabo una
serie de acciones que evitan el desper-
dicio del vital l?quido y favorecen su
ahorro, como lavarse los dientes con
un solo vaso de agua, cerrar la regadera
mientras se enjabonan, lavar su auto
con cubeta en vez de manguera,
etc?tera.
No obstante, el mayor consu-
mo de agua se realiza de
forma indirecta, pues
para producir los bienes
(ropa, comida, papel, m?-
quinas) y poner en fun-
cionamiento los servicios
(salud, transporte, elec-
tricidad) que usamos a
diario, se requiere agua
virtual. Se le llama as?
porque no se encuentra
en el producto final, pero s?
en su elaboraci?n. Por ejemplo, para
producir 250 ml de leche, equivalente
a un vaso, se emplean ?250 L de agua!,
que obviamente no vemos y ni siquiera
imaginamos cuando la bebemos.
a) Seg?n la Organizaci?n Mundial de
la Salud (O M S), una persona requiere
por lo menos 100 L de agua al d?a ?entre cinco y seis cubetas grandes? para satisfacer sus necesida-
des de consumo e higiene. ?Durante cu?ntos d?as podr?a una persona cubrir sus necesidades de agua
con la huella h?drica de 0.5 kg de arroz? Argumenta tu respuesta con base en la infograf?a.
b) Una alumna pregunta si se puede emplear una expresi?n algebraica para responder la pregunta del in-
ciso anterior. ?Cu?l propondr?as?
c) ?Qu? ventajas o desventajas tiene plantear una expresi?n algebraica para resolver una situaci?n proble-
m?tica como la del inciso a)?
INICIO
La huella h?drica de la comida se lleva el 70 % del agua que se consume a nivel
mundial.
?Cu?nta AGUA se necesita
para producir
ALIMENTOS?
CERDO
6 000 L
POLLO
4 300 L
TERNERA
CARNE
(1 kg)
15 000 L
CORDERO
8 700 LDESARROLLO
Relaciones de equivalencia y propiedades de la igualdad
De manera general, las relaciones de equivalencia sirven para expresar que los elementos de un con-
junto comparten propiedades entre s?. En los n?meros reales ?es decir, en todos los n?meros que es-
t?n contenidos en la recta num?rica?, se cumplen las siguientes relaciones de equivalencia respecto
a la igualdad.
El funcionamiento de una balanza puede ilustrar las propiedades de equivalencia de la igualdad, ya que
cuando se mantiene en equilibrio significa que lo que est? sobre sus platillos presenta la misma masa.
1. Observa con atenci?n las balanzas y coloca el nombre de la propiedad a la que se hace referencia.
Relaciones de equivalencia de la igualdad
1 Propiedad reflexiva. Para todo n?mero real B sucede que:
B B B.
2 Propiedad sim?trica. Para todos los n?meros reales B y ocurre que:
Si B B , entonces B B.
3 Propiedad transitiva. Para todos los n?meros reales B , y sucede que:
Si B B y B , entonces B B .
igual a su rec?proco n?mero real B es igual a un n?mero real B 0
n?mero real B es igual a un n?mero real igual a s? mismo
a la ra?z cuadrada de s? mismo
n?mero real es igual a un n?mero real n?mero real es igual a un n?mero real
2. Elige las frases del recuadro que completen correctamente los enunciados.
a) Reflexividad: ?Cualquier n?mero real es ?
b) Simetr?a: ?Si un ,
puede decirse que el n?mero real es igual al n?mero real ?.
c) Tr a nsitividad: ?Si un n?mero real es igual a un n?mero real B y un
, entonces es igual a ?
d) Reflexividad: ?Si es igual , entonces ?
109
L4 / U2
MA?Z
450 L
LENTEJAS
25 L
ARROZ
LEGUMBRES Y CEREALES
(0.5 kg)
1 700 L
TRIGO
500 L
HAMBURGUESA
13 L
BOLSA DE PAPAS FRITAS
70 L
QUESO
2 500 L
MANTEQUILLA
2 700 L
ALIMENTOS ELABORADOS
(1 ud)
(0.5 kg)
LECHUGA
13 L
PA PA
15 L
NARANJA
50 L
MANZANA
70 L
JITOMATE
FRUTAS Y VERDURAS
(1 ud)
13 L
RAC?ON DE ACEITUNAS
500 L
TAZA DE T?
13 L
VASO DE JUGO DE MANZANA
190 L
LITRO DE LECHE
1 000 L
TARRO DE CERVEZA
106 L
JARRA DE CAF?
BEBIDAS
(1 ud)
870 L
BOTELLA DE VINO
720 L
L = Litro
kg = Kilogramo
ud = Unidad
Fuentes: w w w.fao.org, w w w.vir tualwater.es, w w w.fundacionaquae.org
GLOSARIO
agua virtual. Se trata
de agua que se utiliza para
producir, empacar
o transpor tar los bienes
y ser vicios que consumimos.
huella h?drica. Este valor
indica la cantidad de agua
que se requiere para la
producci?n de cualquier
bien o servicio.
108
111
L4 / U2
ArrozArroz Arroz
Las ecuaciones son objetos matem?ticos con los cuales podemos modelar situaciones proble-
m?ticas de la realidad, y que se resuelven con mayor rapidez y eficacia cuando se sigue el m?todo
de ensayo y error.
Una ecuaci?n de primer grado, o ecuaci?n lineal
con una inc?gnita, es una igualdad entre dos expre-
siones algebraicas y su forma general es:
Se compone de:
1 Miembros o lados de la ecuaci?n; en otras pala-
bras, las dos expresiones algebraicas separadas
por el signo de igualdad, .
2 T? r minos, es decir, cada uno de los elementos
que forman los miembros de la ecuaci?n.
3 Inc?gnita, esto es, la variable que aparece en la
ecuaci?n, y suele representarse con las letras finales del alfabeto: , , .
3. Subraya las ecuaciones que son de primer grado con una inc?gnita.
a) 22 0 c)
23 4 e) 0.5
3
4
g) 0.40.8 1.2
b)
3 2

5 8

6
5
d) 2 4 f) 0 0 h) 0.20.20.3 7
4. Formen parejas, analicen la situaci?n y realicen en su cuaderno lo que se pide.
Santiago ha colocado en la balanza costales de arroz y pesas de distintos kilogramos para mante-
nerla en equilibrio (figura 4.1).
a) Representa con una literal el peso de cada
costal de arroz y escribe una expresi?n al-
gebraica que represente el peso total en
cada platillo.
b) Expresa mediante una ecuaci?n que la ba-
lanza est? en equilibrio.
c) Si se a?ade una pesa de 1 kg en el platillo
izquierdo, ?cu?nto peso colocar?as en el
platillo derecho para que la balanza con-
serve el equilibrio?

y

Tambi?n son formas de la ecuaci?n de
primer grado con una inc?gnita
Primer
miembro
Segundo
miembro
T?rmino
lineal
T?rminos
independientes
Variable o
inc?gnita
3 627
d) Calcula: si quit?ramos 2 pesas de 250 g en uno de los platillos, ?cu?nto peso se debe a?adir o quitar en el otro platillo para que la balanza se mantenga en equilibrio?
e) Responde: ?cu?les acciones permiten conservar la balanza en equilibrio?
f) Escribe una ecuaci?n que represente la situaci?n despu?s de haber quitado 1 kg en cada
platillo.
g) Si quitas 1 kg de ambos platillos, ?cu?nto queda en cada uno? ?C?mo puedes obtener el peso
de un costal de arroz? ?Cu?l es su peso?
TOMA NOTA
Un t?rmino independiente
es un t?rmino algebraico
cuyo valor no cambia, es
decir, no depende del valor de
la variable, ya que ?sta no
aparece.
Figura 4.1
110
U2 / L4 102 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario Página 108
1. a) Durante 17 días, porque la huella hídrica de 0.5 kg de arroz es
de 1 700 litros y, si dividimos entre los 100 litros que requiere
diariamente una persona, se obtiene: 1 700 ÷ 100 = 17.
b) R. M. 100x = 2 400
c) R. M. La ventaja de utilizar expresiones algebraicas para
resolver el problema es que se pueden utilizar como fórmulas y evitar operaciones extra.
Página 109 1.

Simétrica Reflexiva Transitiva
2. a) Reflexividad: “Cualquier número real es igual a sí mismo ”.
b) Simetría: “Si un número real n es igual a un número real l,
puede decirse que el número real l es igual al número real n ”.
c) Transitividad: “Si un número real k es igual a un número real m
y un número real m es igual a un número real c , entonces k es
igual a c ”.
d) Reflexividad: “Si a es igual a b , entonces a − b = 0”.
Página 110 3.
Se deben subrayar los incisos a), b), d) y e).
a) 2x + 2 = 0
b)
3
2
x +
5 8
=
6
5
d) 2x = 4
e) 0.5x =
3 4
4.
a) Platillo izquierdo: 2x + 1, y platillo derecho: x + 3.
b) 2x + 1 = x + 3
c) 1 kg
d) También se deben quitar 2 pesas de 250 g.
e) Agregar o quitar la misma cantidad de peso en cada platillo.
f) 2x = x + 2
g) En cada platillo quedarían 500 g. El peso se obtiene al resol-
ver la ecuación del inciso f). El peso es de 2 kg.
Página 111
5. a) 4x + 4 = 16
Paso 1: 4x + 4 − 4 = 16 − 4 Propiedad 1
4x = 12
INICIO
DESARROLLO
Paso 2:
4x
4
=
12
4
Propiedad 3
x = 3
b)
1
2
x − 5 = 5
Paso 1:
1 2
x − 5 + 5 = 5 + 5 Propiedad 1

1 2
x = 10
Paso 2:
1 2
x (2) = 10 × (2) Propiedad 2
x = 20
6. 3x + 2 = x + 24
Jorge tiene 11 años.
CIERRE
1. a) 5(1 000)x = 150 000
b) El agua duraría 30 días.
R. M. Ya que el agua es un líquido vital, es importante su cuida-
do y manejo. También es primordial que se garantice que todos
tengamos acceso a ella.
Notas
103© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Plan de clase Semana escolar 17
Lección 5
Contenido. Ecuaciones lineales y cuadráticas.
Aprendizaje. Resuelve ecuaciones de la forma ax = b,
ax + b = c, ax + b = cx + d con el uso de las propiedades de
la igualdad. T
ema. Resolución de ecuaciones de la forma ax
= b.
Resuelve ecuaciones de la forma
ax
+ b = c.
Resuelve ecuaciones de la forma
ax
+ b = cx + d.
Lección 5. Resolución de ecuaciones de primer grado
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos resuelvan
ecuaciones de primer grado usando las propiedades de la igualdad.
Presente a los alumnos el concepto de ecuación como una igual-
dad que se cumple para un valor desconocido (incógnita). Muestre
algunos ejemplos de ecuaciones de primer grado y pida que lean la
situación de la sección de inicio. Al terminar los dos primeros párrafos,
pregunte a los alumnos si conocen formas de crear energía eléctrica
sin generar contaminación. Explique la ecuación y el significado de
las literales que la forman.
Mencione que para sustituir en la fórmula el dato de eficiencia, el
porcentaje se debe expresar como número decimal. Para ello, es nece-
sario que explique que 50
% representa la mitad del total, es decir, se
puede expresar como
1
2
. Los estudiantes ya conocen cómo convertir
fracciones a númer
os decimales, por lo que no deben tener problema
para calcular la equivalencia
1 2
= 0.5. Realice el mismo análisis para
conver
tir 75
% a número decimal: 75 % =
3 4
= 0.75.
DESARROLLO. Permita que la primera actividad la resuelvan utili -
zando métodos personales. Como la ecuación está relacionada con
la fórmula del área de un rectángulo, se espera que puedan encontrar
el valor de la incógnita fácilmente.
Introduzca el método de transposición de términos, que consis-
te en pasar los términos que contienen la incógnita a un lado de la
igualdad y los que no la contienen, al otro lado. Escriba ejemplos con-
cretos en el pizarrón acerca de cada propiedad. Pida que comparen
el método expuesto por usted y el presentado en el libro. Pregunte
¿Qué relación existe entre un método y otro?
Haga un repaso del tema de operaciones inversas, inversos aditivos
y multiplicativos, ya que es fundamental que los estudiantes dominen
estos conceptos para la resolución de ecuaciones.
En las actividades de las ecuaciones correspondientes a la forma
ax
+ b = cx + d, considere hacer un repaso de la reducción de térmi-
nos semejantes. Muestre varios ejemplos de cómo se resuelve cada tipo de ecuación.
Se sugiere que los alumnos elaboren un formulario con el método
de resolución para cada caso, de modo que puedan consultarlo cada que lo necesiten.
CIERRE. Es importante que observe si los estudiantes requieren apoyo
extra en la resolución de las operaciones básicas, para dejar ejercicios
al respecto a aquellos que lo necesiten.
Permita que los alumnos reflexionen acerca de la importancia
que tiene la generación de energía eléctrica mediante fuentes limpias
y amigables con el ambiente y sobre lo necesarias que resultan las matemáticas para generar eficiencia en sus procesos.
Las actividades de la Ficha 8 del Cuaderno de evidencias les per-
mitirán aplicar sus conocimientos acerca de resolver ecuaciones de primer grado y crear conciencia acerca de una situación relacionada con la energía asequible y no contaminante.
Libro del alumno: Páginas 112-117
Fecha:
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Lección 5. Resolución de ecuaciones de primer grado
Es común que algunos estudiantes no apliquen correctamente
la jerarquía de las operaciones al simplificar o resolver ecuacio-
nes. Escriba una línea de operaciones y explique cuáles de ellas
se realizan primero.
Frecuentemente, algunos estudiantes confunden los inver-
sos aditivos y multiplicativos al despejar la incógnita. Mencione
que el inverso aditivo de un número x es –x, de tal manera que
al sumarlos se obtiene como resultado 0, (x + (–x) = 0). El inver-
so multiplicativo de x es
1
x
y al multiplicarlos el resultado es 1.
104© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Evaluación
Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica los inversos aditivos
y multiplicativos necesarios para
la resolución de una ecuación de
primer grado.
Portafolio de evidencias
•
Pida a los estudiantes que incluyan la resolución
detallada de la actividad de cierre.
Formulario •
Solicite que incluyan el formulario que elaboraron con
el método de resolución para cada tipo de ecuación de primer grado.
Resuelve ecuaciones lineales o de primer grado usando operaciones inversas.
Plantea una ecuación de primer
grado para resolver un problema.
Libros y revistas
La siguiente revista es útil para conocer más acerca de las fuentes generadoras de energía limpia. •
Eficiencia energética. Revista del Fideicomiso para el
Ahorro de Energía Eléctrica, núm. 34, México, 2022, disponible en www.edutics.mx/xgP
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para estudiar la so- lución de ecuaciones de primer grado por transposición de términos. • “Ecuaciones lineales”, disponible en www.edutics.mx/xgz
Sitios web
En esta página web encontrarás ejemplos y ejercicios interac- tivos de solución de ecuaciones de primer grado. •
“Ecuaciones de primer grado”, disponible en
www.edutics.mx/xgK
Interdisciplina
Los problemas de inicio y cierre respecto de la generación de ener-
gía se relacionan con la disciplina de Tecnología.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• Para complementar los contenidos de la lección, se sugiere que los alumnos r
ealicen las actividades
interactivas “El valor de la variable” y “Despejando x ”.
Notas
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. Sugiera que se elabore un análisis de
la energía eléctrica que se consume en el hogar y cuáles son las estrategias que podrían compartir para incrementar su ahorro.
105© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Ecuaciones de la forma + =
Las ecuaciones de la forma B tienen sentido cuando B 0; resolverlas significa encontrar el
valor de la inc?gnita , que al multiplicarse por el coeficiente B y sumarle el valor nos da el valor de .
Es impor tante se?alar que los coeficientes deben considerarse seg?n su signo respectivo, por ejemplo,
en la ecuaci?n 5 8 12, se tiene 8, no 8.
3. Lee el problema y contesta en tu cuaderno. Puedes basarte en la figura 5.4.
Si se sabe que el per?metro de un cuadrado m?s 10 metros es igual a 150 m?
a) ?C?mo se obtiene el per?metro de un cuadrado?
b) De acuerdo con la informaci?n proporcionada, ?cu?l es la ecuaci?n que per-
mite resolver la situaci?n?
c) Usando las propiedades de la igualdad, describe c?mo podr?as obtener la
medida de cada lado del cuadrado.
d) ?Cu?nto mide cada lado del cuadrado? ?Cu?nto vale el per?metro?
Ecuaci?n:
Medida de cada
lado de la mesa: Cada lado de la mesa
Per?metro de la mesa: mide

Soluci?n de la ecuaci?n
Las ecuaciones de la forma B se resuelven aplicando dos propiedades de la igualdad.
Paso 1: Restar el valor en ambos miembros y realizar la operaci?n.
Paso 2: Dividir ambos miembros entre el valor B y obtener el valor de la inc?gnita.
Ejemplos: 8 B 6 70
Paso 1: 8 B 6 6 70 6
8 64
Paso 2:
8
8
64
8
8
5 8 52
Paso 1: 5 8 B 8 52 B 8
5 60
Paso 2:
5
5

60
5

12
En los casos donde 0, la ecuaci?n tiene la misma forma y se resuelve del mismo modo.
2 B 8 0
Paso 1 2 B 8 8 0 8
2 8
Paso 2
2
2

8
2
4
Figura 5.3

Figura 5.4

114
U2 / L5 4. Analiza la situaci?n y responde en tu cuaderno.
Juli?n, Dafne y Uriel est?n resolviendo ecuaciones de la forma + = . Observa la forma en que
la resolvi? cada uno y responde.
Juli?n Dafne Uriel
12BB8 116 12BB 8 116 12BB 8 116
12B B 8 8 116 8 12B B 8 8 116 B 8 12BB 8 8 116 8
12(12B) 10 8(12)
12B
12

124
12

12B
12

10 8
12
B 1 296 B
31
3
B 9
a) ?Qui?n la resolvi? correctamente?
b) Identifica la parte en la que se equivocaron los otros dos compa?eros y descr?bela.
5. Re?nete en pareja, analicen la situaci?n y hagan lo que se pide.
El doble de la edad de Mar?a dentro de 7 a?os ser? igual a los 25 a?os. Planteen la ecuaci?n y re-
su?lvanla para saber cu?l es la edad actual de Mar?a.
Edad de Mar?a: Mar?a tiene a?os. Ecuaci?n:
6. Resuelve las ecuaciones y relaciona cada una con su resultado correspondiente.
a) 0.7B8.4 8.75 B 0.9
b)
3
5
B
2 3

28
15
B 0.5
c) 2B7 5.2 B 14
d)
1 2
7 0 B 2
Ecuaciones de la forma
Hay situaciones en las que los problemas algebraicos implican que la misma inc?gnita se encuentre en
ambos miembros de la ecuaci?n, tal como ocurre en las ecuaciones de la forma B B ; para
resolverlas, aplicar?s todas las propiedades de la igualdad que has aprendido hasta el momento.
7. Analiza la situaci?n y responde.
Said y Jes?s tienen la misma cantidad de dinero y quieren saber cu?nto tiene Miguel. Se sabe que
Jes?s tiene cuatro veces la cantidad que tiene Miguel m?s 20 pesos, y que Said tiene el doble
que Miguel m?s 60 pesos.
a) ?Cu?l es la cantidad desconocida B ?
b) ?Cu?l es la expresi?n que representa la cantidad de dinero que tiene Jes?s?
c) ?Cu?l es la expresi?n que representa la cantidad de dinero que tiene Said?
d) Si Jes?s y Said tienen la misma cantidad, ?cu?l es la ecuaci?n que les permitir? saber la cantidad
de dinero que tiene Miguel?
e) ?Qu? procedimiento que se debe realizar para resolver la ecuaci?n y saber cu?nto dinero tiene
Miguel?
115
L5 / U2 Resoluci?n de ecuaciones de primer
grado
? Resuelve ecuaciones de la forma B , B , B con el uso de las propiedades de la igualdad.
L5
Unidad DOS
1. Analiza la informaci?n y responde en tu cuaderno.
En los ?ltimos a?os, varios pa?ses
han presentado un aumento consi-
derable de su poblaci?n y un creci-
miento en su desarrollo industrial,
lo que implica mayor demanda de
energ?a el?ctrica, sin embargo, la falta
de inversi?n e infraestructura ha oca-
sionado que generen menos de la
que necesitan.
Seg?n c?lculos elaborados por es-
pecialistas, para conocer la cantidad
de energ?a el?ctrica que requieren
esos pa?ses, se puede usar la siguien-
te ecuaci?n: B , en donde es
la energ?a que necesitan generar,
es la potencia de producci?n, el
tiempo de producci?n y la eficiencia
con que se produce, lo cual permite
planificar la construcci?n de nuevas
centrales el?ctricas que cuenten con
la capacidad suficiente para generar
cantidades de energ?a el?ctrica que se ajusten a las necesidades de cada
territorio.
a) Si, en un pa?s, la potencia de producci?n es de 2 000 MW (megawat ts) y la
eficiencia de las centrales el?ctricas disponibles es del 50 %, ?cu?nta ener-
g?a el?ctrica necesita generar cada hora para cubrir su demanda?
b) ?Y cu?nta energ?a el?ctrica requiere para cubrir la demanda durante medio
d?a? ?C?mo obtuviste el resultado?
c) Sup?n que en otro pa?s, que emplea energ?as renovables y cuenta con una
infraestructura adecuada, la demanda es de 1 800 MW cada dos horas. Si
la eficiencia de sus centrales el?ctricas es de 75 %, ?usaremos la misma
ecuaci?n para saber cu?nta potencia de producci?n necesitan? ?Por qu??
d) Subraya la ecuaci?n que permite obtener la potencia de producci?n reque-
rida en ese pa?s.
P (1 800)(2)(0.75) P
1 800
(2)(0.75)
P
(2)(0.75)
1
800
e) A par tir de tu elecci?n, ?cu?l es la potencia que requieren en el pa?s?
INICIO
El aprovechamiento de energ?as renovables optimiza la producci?n de energ?a
el?ctrica y reduce la dependencia de los combustibles f?siles.
GLOSARIO
potencia de producci?n.
Se ref iere a la cantidad de
energ?a el?c trica que una
planta puede generar en un
tiempo determinado; por lo
general, se mide en wat ts
(W) o megawat ts (MW).
eficiencia de producci?n.
Se ref iere a la relaci?n que
hay entre la cantidad de
energ?a el?ctrica generada
y la que se emplea para
obtenerla.
watt (W). Es la unidad de
medida de la potencia, es
decir, la cantidad de energ?a
que se utiliza por unidad
de tiempo. Un megawat t
(MW) equivale a un mill?n
de wat ts.
112 DESARROLLO
Soluci?n de la ecuaci?n B
En las ecuaciones de la forma , B
ser? un n?mero conocido y debe ser di-
ferente de cero, ser? el valor descono-
cido y otro n?mero conocido sin
restricciones.
Para resolverlas, se aplica la propiedad
de igualdad, que indica que cuando se
dividen ambos miembros de la ecuaci?n
entre el mismo n?mero diferente de cero
se conserva la igualdad.
Paso 1. Dividir ambos miembros de la
ecuaci?n entre el coeficiente B
Paso 2: Efectuar las divisiones y obtener
el valor de la inc?gnita
Ejemplos:
19 152 6 30
Paso 1.
19
19

152
19
Paso 1.
6
6

30
6
Paso 2. 8 Paso 2. 5
Ecuaciones de la forma B
Al resolver una ecuaci?n se aplican las propiedades de la igualdad, tanto para encontrar
el valor num?rico de una inc?gnita o literal, como para verificar que se cumple una
igualdad.
1. Analiza la situaci?n y responde en tu cuaderno.
Juan colocar? una malla met?lica alrededor de una cancha
de f?tbol (ver figura 5.1); para ello, necesita saber cu?ntos
metros ocupar?, sin embargo, s?lo le dijeron que la cancha
mide 120 m de largo y que ?sta fue cubierta por 10 800 m
2

de pasto sint?tico.
a) ?Cu?l es el ancho, el largo y el ?rea de la cancha?
b) Si el ?rea de un rect?ngulo es ancholargo, ?qu?
ecuaci?n te permite calcular el ancho de la cancha de
f?tbol?
c) ?Qu? procedimiento debes seguir para conocer el an-
cho de la cancha? Explica.
d) ?Cu?ntos metros de malla met?lica necesitar? Juan?
C O N S U LTA
Consulta la p?gina
www.edutics.mx /NGh para
practicar la resoluci?n de
ecuaciones lineales con un
m?todo interactivo.
TOMA NOTA
En la expresi?n algebraica , el coef iciente B y la
literal se multiplican. Por
ejemplo, 6 indica que 6
multiplica a .
2. Analiza las situaciones y anota los datos que se te piden.
a) Si el per?metro de un rombo es de 56 cm (figura 5.2), ?cu?nto mide cada uno de sus lados?
Ecuaci?n:
Lado de cada rombo: B Cada lado del rombo mide
Per?metro del rombo: B B
B
b) Una escuela tiene mesas con forma de hex?gonos regulares (figura 5.3 de la p?gina 114).
Para recubrir sus bordes, le coloc? cinta pl?stica alrededor. Si para cada mesa se utilizaron
4.5 m de cinta, ?cu?nto mide cada uno de sus lados?

120 m
Figura 5.1
Figura 5.2
113
L5 / U2 106 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario Página 112
1. a) Se necesitan 1 000 MW: E = (2 000)(0.5)(1) = 1 000.
b) Para medio día se requieren 12 000 MW:
E = (2 000)(0.5)(12) = 12 000. Se utiliza la fórmula E = Pte,
con t = 12 horas.
c) Se puede utilizar la misma fórmula, pero se debe despejar la
variable P porque es el valor que se desconoce.
d) P =
1 800
(2)
(0.75)
e)
El país requiere 1 200 MW.
INICIO
DESARROLLO
Página 113 1.
a) Ancho = x Largo = 120 m Área = 10 800 m
2
b)
120x = 10 800
c) Buscar un número que multiplicado por 120 dé como resulta-
do 10 800. Dividimos 10 800 entre 120 y esto será el ancho
de la cancha: x = 10 800 ÷ 120 = 90.
d) En total necesitará 420 m: 90 + 120 + 90 + 120 = 420.
2. a)
Ecuación:
Lado de cada rombo: x

4x = 56
Pe
rímetro del rombo: 4x, 56 m

4x
4
=
56
4
x = 14
b) 0.75 m
Página 114
Ecuación:
Medida de cada lado
de la mesa: x

6x = 4.5
Pe
rímetro de la mesa:

6x, 4.5 m x = 0.75
3. a) 4(l)
b) 4x + 10 = 150
c) Dividir entre 4 toda la ecuación, de lo que resulta:
x + 2.5 = 37.5 .
Restando a ambos miembros de la igualdad 2.5:
x = 35
d) Cada lado del cuadrado mide 35 m. El perímetro mide 140 m.
Página 115 4.
a) Uriel
b) Julián debía dividir por 12 la ecuación y, sin embargo, multipli-
có por 12. Dafne, en el segundo renglón del lado derecho, debió restar 8 y lo que hizo fue sumar.
5.

Edad de María: x María tiene 9 años
Ca
da lado del
rombo mide 14 cm.
Cada lado de la mesa mide 0.75 cm.
Ecuación: 2x + 7 = 25
6. Se indica cada ecuación con su resultado.
a) 0.7x + 8.4 = 8.75, x = 0.5
b)
3
5
x +
2 3
=
28
15
, x = 2
c) −2x + 7 = 5.2, x = 0.9
d)
1 2
x − 7 = 0, x = 14
7
.
a) La cantidad de dinero que tiene Miguel.
b) 4x + 20
c) 2x + 60
d) 4x + 20 = 2x + 60
e) Se debe restar 20 a ambos lados de la igualdad:
4x + 20 – 20 = 2x + 60 – 20
4x = 2x + 40
Restamos 2x a ambos miembros de la igualdad:
4x – 2 x = 2x – 2 x + 40
Simplificamos los términos semejantes del lado izquierdo de
la ecuación:
2x = 40
Si divide por dos a ambos miembros de la ecuación:

2x
2
=
40
2
x = 20
Notas
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8. Completa los diagramas para resolver las ecuaciones.
7 x − 4 = 3x + 4 3x − 11 = 8x + 9
7x − 4 = 3x + 4 3x − 11 = 8x + 9
7 x = 4 3x = 9
x = x =

x
=
x =
x = x =
9. Analiza la situación y realiza lo que se pide.
En la empresa donde laboran Mónica y Lucía les pagan su sueldo base, que es el mismo para am-
bas, más comisiones. En esta quincena cobraron lo mismo, así supieron que Mónica cobró el triple
del sueldo base más $100.00 y que Lucía recibió el sueldo base más $1 800.00. Plantea y resuelve
la ecuación para averiguar cuánto es el sueldo base.
a) Asigna variables al sueldo base, al de Mónica y al de Lucía. Considera cuánto cobró cada una.
b) Escribe la ecuación del tipo ax + b = cx + d que resuelve el problema:
e) Resuelve la ecuación.
Solución de la ecuación ax ∙ b ∙ cx ∙ d
Para resolver ecuaciones de la forma ax + b = cx + d
se deben juntar los términos que tienen incógnita en el primer miembro y los términos independientes en el segundo, para encontrar así el valor de la incógnita. Paso 1: Restar cx y b en ambos miembros de la igual-
dad para juntar términos semejantes.
Paso 2: Realizar las operaciones. Llegar a una ecuación
de la forma ax = b y, entonces, aplicar el pro-
cedimiento aprendido.
Ejemplo:
4x + 7 = 7x − 17
Paso 1 4 x + 7 − 7 − 7x = 7x − 7x − 17 − 7
4x − 7x = −17 − 7
Paso 2 − 3x = −24

−3x
−3 =
−24
−3
x = 8
10. Resuelve las ecuaciones de la forma ax + b = cx + d.
a) −5.2x − 12 = 1.2x + 20 b)
9
4
x +
1 8
=
3 4
x +
2 8
El sueldo base es de
116© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
U2 / L5
CIERRE
11 . Escribe debajo de cada tarjeta la ecuación que representa la descripción indicada. Luego resuél-
vela e indica el número que cumple la situación.
Ecuación Ecuación
El número es
El número es
1. Lee el texto y realiza lo que se pide en tu cuaderno.
De acuerdo con la situación inicial y la problemática sobre la demanda eléctrica que tienen
algunos países, una empresa contratará a más trabajadores para construir una nueva central
eléctrica que cumpla con las condiciones para satisfacer las necesidades de los habitantes,
además de generar empleos.
Para terminar la central a tiempo, contratarán a 319 personas. Los encargados solicitaron
el triple de trabajadores de campo que los que hay actualmente, más 52 ingenieros para
la supervisión. ¿Cuántos trabajadores tenían contratados antes de la construcción de la
central?
a) Escribe en una hoja las expresiones algebraicas que representen cada situación.
• ¿Cuál es la incógnita del problema?
• ¿Cuál es la ecuación que permite saber cuántos trabajadores de campo tenían
contratados?
• ¿De qué tipo es la ecuación lineal que resuelve el problema?
• ¿Cuántos trabajadores de campo más se contrataron?
b) Resuelve las siguientes ecuaciones lineales.
• 8x = 72
• 7x − 4 = 17
• 8x − 18 = −2x + 12
La construcción de plantas
energéticas promueve que
se optimice la obtención de
electricidad en diferentes
regiones del mundo.
Al multiplicar un número por 5
y sumarle 3 se obtiene el mismo
resultado que si a ese número se
le suman 11. ¿Qué número es?
Al multiplicar un número por − 8
y sumarle 4 se obtiene el mismo
resultado que si se resta 51 al
triple del mismo número. ¿Qué
número es?
C O N S U LTA
En casa se pueden
realizar prácticas para
ser consumidores
responsables, como apagar
los focos cuando no se
utilizan, desconectar los
cargadores y comprar
electrodomésticos con
ahorro energético. Para
saber más entra en
www.edutics.mx /Nfi
El ahorro de
energía consiste
en aprender
a aprovechar la energía
de la mejor manera,
esto se puede lograr
cambiando nuestros
hábitos de consumo
e implementando
tecnologías más
eficientes y amigables
con el ambiente. ¿Cuáles
hábitos cambiarías?
páginas
23 y 24
Cuaderno
de evidencias
117© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
L5 / U2
108 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario CIERRE
1. a) • x = número de trabajadores de campo contratados con
anterioridad.
• 3x + 52 = 319
• Es una ecuación lineal.
• 267
b) • 8x = 72
x =
72
8
x = 9
• 7x – 4 = 17
7x – 4 + 4 = 17 + 4
7x = 21
x =
21
7
x = 3
• 8x – 18 = –2x + 12
8x – 18 + 18 + 2x = –2x + 12 + 18 + 2x
8x + 2x = 30
x =
30
10
x = 3
Página 116
8. 7x – 4 = 3x + 4
7x – 4 + 4 – 3x = 3x – 3x + 4 + 4
7x – 3x = 4 + 4
4x = 8

4x
4
=
8
4
x = 2
3x – 11 = 8x + 9
3x – 11 + 11 – 8x = 8x – 8x + 9 + 11
3x – 8x = 9 + 11
–5x = 20

–5x
–5
=
20
–5
x = –4
9. a) El sueldo base: x Sueldo de Mónica: 3x + 100
Sueldo de Lucía: x + 1 800
b) 3x + 100 = x + 1 800
c) 3x + 100 = x + 1 800
3x – x = 1 800 – 100
2x = 1 700
x =
1 700
2

x = 850
El sueldo base es de $850.
10.
a) –5.2x – 12 = 1.2x + 20
–5.2x – 1.2x = 20 + 12
–6.4x = 32
x = 32 ÷ (–6.4)
x = –5
Página 117
11.
Al multiplicar un número por 5
y sumarle 3 se obtiene el mismo resultado que si a ese número se le suman 11. ¿Qué número es?
Al multiplicar un número por –8 y sumarle 4 se obtiene el mismo resultado que si se resta 51 al triple del mismo número. ¿Qué número es?
Ecuación 5 x + 3 = x + 11
E
l número es 2.
Ecuación − 8x + 4 = 3x − 51
El n
úmero es 5.
b)

9
4
x +
1 8
=
3 4
x +
2 8

9 4
x –
3 4
x =
2 8
–
1 8

6
4
x =
1 8
x =
1 8
÷
6
4
x =
4
48
=
2
24
=
1
12
Notas
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Plan de clase Semana escolar 18
Lección 6
Contenido. Ecuaciones lineales y cuadráticas.
Aprendizaje. Modela y resuelve problemas cuyo
planteamiento es una ecuación lineal.
Tema. Representación de ecuaciones de primer grado en el
plano cartesiano. Resolución de problemas que se modelan
con una ecuación de primer grado.
Lección 6. Modelación con ecuaciones de primer grado.
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos resuelvan pro-
blemas mediante el planteamiento de ecuaciones lineales.
Es importante mostrar a los estudiantes cómo se ubican puntos en el
plano cartesiano, ya que una de las formas para resolver una ecuación
lineal es por medio de una gráfica. Explique que un punto requiere de
pares ordenados denominados comúnmente coordenadas. El primer
número representa la posición en el eje x y el segundo, la posición
en el eje y .
Apoye a los estudiantes para resolver el problema de la sección
de inicio y complete algunos valores de la tabla. Después de analizar el
comportamiento de los datos, permita que los alumnos la terminen.
Muestre cómo los datos de la gráfica se pueden obtener de la tabla
y viceversa. Pida que reflexionen ¿Será necesario conocer la canti-
dad de mililitros de cloro para desinfectar el agua? ¿Se podrá crear
una ecuación que modele el empleo de la cantidad de litros de cloro
respecto a la del agua?
Solicite la participación de los alumnos para compartir sus res-
puestas frente al grupo.
DESARROLLO. Complemente la información acerca del plano carte-
siano con la explicación al inicio de la página 119.
En la actividad 1, los estudiantes deben notar que la expresión
algebraica corresponde a la fórmula para calcular el perímetro de
un octágono y que todos los puntos de la gráfica se pueden obte-
ner de dicha expresión. Si se sustituye el valor de la coordenada x,
se obtiene la coordenada y . No es necesario mencionar la variación
lineal en este momento, ya que en esta lección el uso de las gráficas
es para encontrar la solución de una ecuación. Puede explicar que
las expresiones ax
= y y ax + b = y son ecuaciones lineales con dos
incógnitas que tienen muchas soluciones
. Cada solución se obtiene
al sustituir x por un número para obtener el correspondiente valor de y .
Al construir gráficas, haga hincapié en el uso de una escala
adecuada.
Muestre gráficas de las ecuaciones de la forma ax
= b y ax + b = c,
mencione la diferencia que hay entre ellas y aclare cómo en cada grá-
fica se pueden hallar los puntos de intersección con el eje y. Grafique
un ejemplo de la ecuación de la forma ax + b = cx + d y explique la
formación de las dos rectas y su punto de intersección con el eje y
resaltando que el punto de intersección de las dos rectas es la solu-
ción a la ecuación.
Presente los pasos que se deben seguir para modelar un proble-
ma y resolverlo con ecuaciones de primer grado. Muestre el ejemplo
que presenta el tema.
CIERRE. Guíe al grupo planteando el problema de cierre. Solicite a al-
gunos estudiantes que respondan frente al grupo las preguntas plan-
teadas. Permita que realicen una reflexión acerca de la importancia que
tiene el uso consciente del agua y haga una retroalimentación del tema.
Libro del alumno: Páginas 118-123
Fecha:
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Lección 6. Modelación con ecuaciones de primer grado
Los alumnos pueden equivocarse en la ubicación de los puntos
en el plano cartesiano al olvidar que la primera coordenada in- dica la posición en el eje x y la segunda, en el eje y .
Es común que algunos estudiantes no grafiquen correc-
tamente la recta que corresponde a la ecuación lineal, esto
por tres razones: la primera es que utilizan una escala que
no es adecuada; en segundo lugar, sus trazos son imprecisos y piensan que si la recta “toca o roza” en algún punto, así deben dejarla, y, por último, no interpretan correctamente el
significado de la solución de la gráfica de la ecuación lineal
y suponen que cualquier punto puede ser solución. Por otro
lado, algunos alumnos olvidan que una solución puede verse como un punto de intersección de las rectas.
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Libros y revistas
El siguiente artículo de revista es útil para conocer más acerca
del uso del agua y su importancia para la vida.
•
Marisa Mazari Hiriat, “El agua como recurso”, en Revista
¿Cómo ves?, núm. 54, México, unam, 2023, disponible en www.edutics.mx/xMr
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para estudiar el planteamiento y solución de problemas con ecuaciones de primer grado. • “Cómo plantear una ecuación en un problema”, disponible
en www.edutics.mx/xMH
Sitios web
En esta página web encontrarás ejemplos y ejercicios interac- tivos de solución de ecuaciones de primer grado. •
“Solución de problemas con ecuaciones de primer grado”,
disponible en disponible en www.edutics.mx/xMV
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Interpreta gráficamente ecuaciones de primer grado.
Portafolio de evidencias •
Pida a los estudiantes que incluyan la actividad r
ealizada con la hoja de cálculo. También pida que
guarden la resolución de la actividad de cierre.
Encuentra la ecuación de primer grado que determina los valores contenidos en una tabla.
Resuelve problemas planteando
ecuaciones de primer grado.
Interdisciplina
Los problemas de inicio y cierre se relacionan con las disciplinas
de Educación Física, Tecnología y Educación Socioemocional.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• Para complementar los contenidos de la lección, se sugiere que los alumnos r
ealicen la actividad interactiva
“Modelación con ecuaciones”.
Notas
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. Lleven a cabo una investigación sobre las condiciones geográficas y de espacio que requiere cumplir un lugar para que sea viable implementar un sistema de captación
pluvial y reflexionen acerca de los beneficios que este tipo de
proyectos otorga.
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d) ?Cu?ntos a?os ten?a Rub?n cuando Sara naci?? Grafiquen la coordenada en el plano cartesiano.
e) Si Rub?n tuviera 38 a?os, ?cu?l ser?a la edad de Sara? Ubiquen la coordenada en el plano
cartesiano.
f) Escriban una ecuaci?n que represente la situaci?n anterior y comprueben la edad que tendr?
Sara cuando Rub?n tenga 38 a?os.
La representaci?n gr?fica de una ecuaci?n lineal de la forma B B es una l?nea recta que
corta al eje B en la coordenada (0, ). Es decir, cuando B 0 entonces B B .
3. Analiza la situaci?n y responde.
Luis y M?nica han ahorrado durante un mes y quieren saber cu?nto dinero han juntado. Luis tiene
12 monedas m?s $8.00, mientras que M?nica ha juntado 11 monedas m?s $18.00. Si ambos aho-
rraron monedas de la misma denominaci?n, ?cu?nto dinero ahorr? cada quien?
a) Considera que es la denominaci?n de cada moneda. ?Qu? expresi?n representa el total de di-
nero que ahorro cada quien? Escr?bela.
Luis: M?nica:
b) Si las monedas que ahorraron fueron de $20.00, ?cu?nto dinero ahorr? cada quien?
Luis: M?nica:
c) Completa las tablas para saber cu?nto dinero ahorr? cada uno, de acuerdo con el valor de la
moneda. Grafica los datos.
Denominaci?n
de la moneda
($)
Ahorro de
Luis
m2
m5
10
12
Denominaci?n
de la moneda
($)
Ahorro de
M?nica
m2 m5
10
12
d) Si ambos ahorraron la misma cantidad de dinero, ?cu?l es el valor de cada moneda? ?C?mo lo
sabes?
y
x
Denominaci?n de la moneda ($)
Dinero ahorrado 40
10 0
120
60
20
2 6 12104 8
80
0
(2, 32)
(5, 68)
Luis
M?nica
(2, 40)
(5, 73)
120
U2 / L6 e) Escribe la ecuaci?n que representa la situaci?n anterior y comprueba tu resultado.
Modelar y resolver problemas con ecuaciones lineales
Para resolver problemas que se modelan mediante una ecuaci?n lineal se recomienda llevar a cabo los
siguientes pasos. Analiza el ejemplo.
La soluci?n de la ecuaci?n B B , con B 0 y 0, es un ?nico punto y su repre-
sentaci?n gr?fica es dicho punto.
(
B,
B)

n,C
CC

Es decir, es el punto de intersecci?n de las l?neas rectasC 1: CCCBC yC 2: CCCBC que cortan
al ejeC en las coordenadas (0, ) y (0, ) respectivamente.
GLOSARIO
m o d e l a r.CRepresentaci?nC
matem?tica que sir ve para
describir el compor tamientoC
de alg?n fen?menoC
o resolver un problema real.C
Ejemplo de modelaci?n y resoluci?n con ecuaciones lineales
Mariana fue a un museo con sus pap?s y sus dos hermanos. La tarifa de adultos es el doble de la tarifa de en-
trada para estudiantes. Si sabemos que la familia de Mariana pag? $315 por los cinco boletos, y que ella y susC
hermanos son estudiantes, ?cu?nto cuesta la entrada de un adulto y la de un estudiante?
1CIdentificar el dato desconocido que ser? la inc?gnita.
BCB tarifa de entrada de un estudiante.
2CTraducir el enunciado a lenguaje algebraico. Tarifa de un estudiante:CB
Tarifa de un adulto: 2B
5CResponder el problema. Tarifa de estudiante: B CBC$45.00
Tarifa de adulto: 2BCB $90.00
3CPlantear la ecuaci?n. 3BC 4BCBC315
4CResolver la ecuaci?n. 3BC 4BCBC315
7 BCBC315
C
7B
7
CBC
315
7
C
B CBC45
6CComprobar que la soluci?n satisface las condicio-
nes del problema.
Tarifa de 3 estudiantes: 45(3)CBC$135.00
Ta r i f a de 2 adultos: 90(2) BC$180.00
Total: $135.00CC$180.00CBC$315 .0 0
Nota: De no cumplirse, regresar al paso 1 y repetir el ciclo.
121
L6 / U2 Modelaci?n con ecuaciones
de primer grado
? Resuelve ecuaciones de la forma B, B, B con el uso de las propiedades de la igualdad.
Modela y resuelve problemas cuyo planteamiento es una ecuaci?n lineal.
L6
Unidad DOS
1. Analiza la situaci?n y resuelve en tu cuaderno.
El programa Cosecha lluvia, implementado en la
Ciudad de M?xico, es una medida emergente para
optimizar el abastecimiento de agua en colonias
de bajos recursos a trav?s de la captaci?n de aguas
pluviales, las cuales se recogen en los techos y se
almacenan en tinacos. La instalaci?n de este sis-
tema requiere de un cuidado y limpieza peri?dica
que permita recolectar el agua para emplearla en
actividades dom?sticas que no impliquen el con-
sumo humano.
a) Completa la tabla.
Agua almacenada (L) 200 400 600 800 1 000
Cloro usado (mL) m40
b) ?Cu?ntos mililitros de cloro se usar?n en 1 200 litros de agua?
c) Analiza la gr?fica que presenta datos relacionados con la tabla anterior.
INICIO
El acopio eficiente del agua en los hogares es una buena medida
para disminuir el problema de abastecimiento.
C O N S U LTA
Para saber m?s acerca de
c?mo funciona el programa
Cosecha lluvia, ingresa en
www.edutics.mx /Ndu.
d) Con base en la gr?fica, ?consideras que es posible saber cu?nto cloro se requiere para desinfectar cual-
quier cantidad de agua almacenada? Explica.
e) Si un tinaco tiene una capacidad de 2 500 litros, ?cu?ntos mililitros de cloro se necesitar?an para desin-
fectar esa cantidad de agua?
GLOSARIO
captaci?n de aguas pluviales. Recolecci?n
del agua de lluvia de una super ficie.
y
x
Agua almacenada (L)
1 000
1 200
200
400
1 400
600
800
Cloro usado (mL)
40
120
10 0
60
14 0
20
80
0
(200, 20)
(400, 40)
(600, 60)
(800, 80)
(10 0 0, 10 0)
118 DESARROLLO
Representaci?n gr?fica de una ecuaci?n lineal
Las coordenadas cartesianas son un sistema formado por dos rectas perpendiculares denominadas
ejes, el cual sirve para localizar un punto dentro del plano. Al eje horizontal B tambi?n se le llama eje de
las abscisas y al eje vertical el de las ordenadas. Para ubicar un punto (B, ) en el plano, primero se
localiza la coordenada (B) en el eje B , y despu?s la coordenada () en el eje .
1. Analiza la gr?fica y, a partir de ?sta, completa la tabla.
La representaci?n gr?fica de una ecuaci?n lineal de la forma B , con 0, es una l?nea recta que pasa
por la coordenada (0, 0) tambien llamada origen. Hay que observar que el valor de la expresi?n var?a cuando
B var?a. Por ello a se le relaciona con la variable y se expresa B .
5 B 36 4.5 B 368 B 8 B
c) Responde: ?qu? relaci?n observas entre la ecuaci?n y la gr?fica?

a) Escriban tres soluciones posibles para las edades
de Sara y Rub?n.

b) Si B representa la edad de Sara, ?c?mo expresar?an
la edad de Rub?n?
c) Completen la tabla para obtener parejas de solucio-
nes que cumplen con el problema inicial.
2. Re?nete en pareja. Discutan el problema y hagan lo que se pide.
Si el triple de la edad
de Sara m?s dos a?os
es igual a la edad de
Rub?n, ?qu? edad tie-
ne cada uno?
Edad de
Sara (B)
Edad de
Rub?n ()
m6
m7
m8
m9
10
y
x
Medida de un lado (cm)
Per?metro del oct?gono regular (cm)
10
35
40
25
30
15
45
5
0.5 1.5 32.5 3.541 2 4.55
20
0
(1, 8)
(1.5, 12)
(2, 16)
(2.5, 20)
(3, 24)
(3.5, 28)
(4, 32)
(5, 40)
a)CObserva los puntos se?alados en la gr?fica, ?nelos con una linea y localiza la coordenada que
permite conocer la medida de los lados de un octagono regular cuyo perimetro es de 36 cm.
b)CSi consideramos que B es la medida de uno de los lados de un oct?gono regular, marca la ecua-
ci?n que describe c?mo var?a el per?metro con la longitudCB .
Medida de un lado
(cm)
Per?metro del
oct?gono regular (cm)
1
1.5
2 16
2.5
3
3.5
4
5
119
L6 / U2 112 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 118
1. a)
Agua almacenada (L)2004006008001 000
Clor
o usado (mL) 20 40 60 80100
b)
120 mL
c) R. M. Se ubican los litros de agua en el eje horizontal y la can-
tidad de cloro en el vertical.
d) R. M. Sí. Extendiendo la gráfica hasta el valor que necesite-
mos, podemos saber la cantidad de cloro necesaria. También mediante los puntos de la gráfica podemos encontrar el fac-
tor de proporcionalidad y así saber los litros necesarios de cloro.
e)
250 mL
INICIO
DESARROLLO
Página 119 1.

Medida de un lado (cm)Perímetro del octágono regular (cm)
1 8
1.5 12
2 16
2.5 20
3 24
3.5 28
4 32
5 40
a) La medida de los lados del octágono de perímetro 36 cm es
de: 4.5 cm.
b) 8l = P
c) Que todos los puntos de la gráfica se pueden obtener de la
expresión algebraica. Si se sustituye el valor de la coordena-
da x, se obtiene la coordenada y .

8x
8
=
36
8
, en donde x = 4.5.
2. a) Sara: 10, 13, 15 y Rubén: 32, 41 y 47, respectivamente.
b) Edad de Rubén = 3x + 2.
c)
Edad de Sara (x) Edad de Rubén (y)
6 20
7 23
8 26
9 29
10 32
Página 120
d) 2 años
e) 12 años
f) 3x + 2 = 38, 3x + 2 – 2 = 38 – 2

3x
3
=
36
3
, x = 12
3. a) Luis: 12x = 8 Mónica: 11x = 18
b) Luis: $248.00 Mónica: $238.00
c)
Denominación
de la moneda
$
Ahorro
de Luis
Denominación
de la moneda
$
Ahorro
de
Mónica
2 32 2 40
5 68 5 73
10 128 10 128
20 248 20 238
(Continúa en la página 115)
Edad de Sara
105
Edad de Rubén
30
35
25
20(6, 20)
(0, 2)
( 7, 2 3)
(8, 26)
(9, 29)
(10, 32)
(12, 38)
15
10
5
0
y
x
Denominación de la moneda
Dinero ahorrado 40
100
120
60
20
2 6 12104 8
80
0
(2, 32)
(5, 68)
Luis
Mónica
(2, 40)
(5, 73)
113

4. Formen parejas. Analicen las situaciones y completen las tablas.
a) En el grupo de 1? C hay 48 alumnos; si hay 14 ni?os m?s que ni?as, ?cu?ntos ni?os y ni?as hay?
Expresiones
algebraicas
Ecuaci?n Desarrollo Respuesta
Ni?as

Ni?os:

Son

ni?as
y

ni?os.
b) La suma de las edades de 3 hermanos es de 28 a?os. Si el mayor tiene 3 a?os m?s que el me-
diano y el mediano es 2 a?os mayor que el menor, ?cu?l es la edad de cada uno?
Expresiones
algebraicas
Ecuaci?n Desarrollo Respuesta
Menor:

Mediano:

Mayor:

Edad del menor:

Edad del mediano:

Edad del mayor:

c) Brenda y ?scar ten?an la misma cantidad de dinero y compraron l?pices del mismo precio. Si
Brenda compr? 5 l?pices y le quedaron $5.50 y Pablo compr? 3 l?pices y le sobraron $22.50,
?cu?l es el precio de cada l?piz?
Expresiones
algebraicas
Ecuaci?n Desarrollo Respuesta
d) Si el cu?druple de un n?mero menos 6 unidades es igual al triple del mismo n?mero m?s 18, ?de
qu? n?mero se trata?
Expresiones
algebraicas
Ecuaci?n Desarrollo RespuestaCIERRE
5. Observa la figura 6.1, realiza lo que se pide y responde.
1. Lee la situaci?n y completa la tabla.
De acuerdo con la Organizaci?n Mundial de la
Salud, una persona necesita 100 litros de agua
al d?a (de 5 a 6 cubetas grandes) para satisfa-
cer sus necesidades de higiene y consumo. No
obstante, al adquirir un producto o servicio,
resulta que, sin darnos cuenta, empleamos una
cantidad de agua mucho mayor.
a) Miguel sabe que se utilizan 20 000 litros de
agua para producir 1 kg de carne de res
y dos playeras. Si la cantidad de agua que
se emplea para el kilo de carne es 8 veces lo que se requiere para la playera, ?cu?ntos
litros de agua se utilizan para obtener 1 kg de carne y una playera?
Planteamiento Ecuaci?n Desarrollo Respuesta
Una forma de minimizar el desperdicio del vital
l?quido es recolec tar el agua de lluvia.
Cada d?a se utiliza
mucha m?s agua en los
productos y servicios
que adquirimos, que
en nuestra higiene y
consumo. Por ello, vale
preguntar qu? acciones
llevan a cabo en tu
hogar o escuela para
el cuidado del agua;
por ejemplo, evitar la
compra de art?culos
desechables, alimentos
instant?neos y bebidas
gaseosas puede ser
una forma de reducir la
huella h?drica.
a) Escribe una expresi?n algebraica que represente el per?metro del tri?ngulo y otra para el pe-
r?metro del rect?ngulo.
Tri?ngulo: Rect?ngulo:
b) Si el per?metro de las figuras es el mismo, ?cu?l es la ecuaci?n que describe la situaci?n?

c) ?Cu?les son las medidas de los lados del tri?ngulo?
d) ?Cu?nto mide la base y la altura del rect?ngulo?
6. Con base en los datos del sitio que aparece en la secci?n CONSULTA, elabora una hoja de c?lculo para saber cu?ntos litros de agua se necesitan para obtener 1 kg de queso, 1 kg
de chocolate y 1 kg de az?car.
C O N S U LTA
Para saber sobre el agua
vir tual, entra en
www.edutics.mx /NdR
PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo de la ac tividad 6 para tener evidencia de tu aprendizaje.
3B B 1 3 B B 1
B B 2
2BCB 32B
Figura 6.1
123
L6 / U2
122
U2 / L6 114 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. CIERRE
1. a)
PlanteamientoEcuación Desarrollo Respuesta
1 playera: x
1 kg de carne
de res: 8x
2x
+ 8x
= 20 000
2x + 8x = 20 000
10x = 20 000
x = 20 000 ÷ 10
x = 2 000
1 p
layera
requiere 2
000 litros
de agua y 1 kg de carne de res, 16
000 litros
de agua.
Página 120
d) $10, porque se observa en las tablas y en la gráfica que es el
punto en donde se cortan las rectas.
Página 121
e) 12x + 8 = 11 x + 18
12x – 11x + 8 = 11x – 11x + 18
x + 8 = 18
x = 18 – 8
x = 10
Página 122 4.
a)
Expresiones
algebraicas
Ecuación Desarrollo Respuesta
Niñas: x
Niños:
x + 14
x + x + 14 = 48x + x + 14 = 48
2x + 14 = 48
2x + 14 – 14 = 48
–14
2x = 34
2x
2
=
34
2

x = 17
Son 17
niñas y 31
niños.
b)
Expresiones
algebraicas
Ecuación Desarrollo Respuesta
Menor: x Mediano:
x
+ 2
May
or:
x
+ 5
x + (x + 2) +
(x + 5) = 28
x + (x + 2) +
(x + 5) = 28
3x + 7 = 28
3x = 28 – 7,
3x = 21
x =
21
3
, x = 7
Eda
des, menor:
7 años mediano: 9 años mayor: 12 años
c)

Expresiones
algebraicas
Ecuación Desarrollo Respuesta
4x – 6
3x + 18
4x – 6 = 3x + 184x – 6 = 3x + 18
4x – 3x = 18 + 6
x = 24
El núm
ero
es 24.
(Viene de la página 113)
d)
Expresiones
algebraicas
Ecuación Desarrollo Respuesta
Brenda: 5x
+ 5.50
Ó
scar:
3x
+ 22.50
5x + 5.50 =
3x + 22.50
5x + 5.50 =
3x + 22.50
5x – 3x =
22.50 – 5.50
2x = 17
x =
17
2
x
= 8.50
E
l precio
de un lápiz es de $8.50
Página 123 5.
a) Triángulo: 8x + 2 Rectángulo: 6x + 10
b) 8x + 2 = 6x + 10
c) Base: 8 u; Lados iguales: 13 u.
d) Base: 11 u; Altura: 6 u
6.
R. L. Verificar que las fórmulas utilizadas en la hoja de cálculo
sean correctas.
115

Plan de clase Semana escolar 19
Lección 7. Proporciones con término desconocido
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos comprendan
los términos razón y proporción. Además, se pretende que utilicen las
proporciones para calcular valores faltantes.
Pida a algún alumno que lea la sección de inicio con el contexto de
trabajo informal. Explique el significado de “salario mínimo”. Analicen
la información de las gráficas y reflexionen acerca de cómo se ha in-
crementado el empleo informal de 2020 a 2022. Los números en las
gráficas de empleo informal deben indicar Enero 20, Abril 20, Mayo
20, Abril 21, Diciembre 21, Octubre 22; mientras que en la de empleo
formal, el último valor de la derecha debe corresponder a Octubre 22.
Para resolver el problema que se plantea, pregunte ¿Qué opera-
ciones son necesarias para resolver este problema?
DESARROLLO. Explique qué representa una razón y pida a los estu-
diantes que respondan las actividades 1 a la 3 de la página 125. De
ser el caso, responda las dudas que surjan de las actividades. Pida
que calculen otras razones con datos cercanos; por ejemplo, la razón
de mujeres y hombres en el salón de clases.
Para verificar la comprensión, solicite a los alumnos que planteen
enunciados que representen razones como en la actividad 3.
Explique el significado de proporción y ofrezca un ejemplo de la
solución. Pida a un alumno que lea la sección “Toma nota” de la pá-
gina 126 y mencione la utilidad de la constante de proporcionalidad.
Presente al grupo la forma de encontrar la proporción con valor
faltante. Muestre a detalle el procedimiento con un ejemplo. Comente
que el cálculo de valor faltante es bastante útil en la vida cotidiana.
Mencione que algunos ejemplos de la aplicación de proporción
se observan con frecuencia en las recetas de comida; por ejemplo, la
cantidad de tazas de agua en la que se debe cocer una taza de arroz.
Pida que copien en una tarjeta, a manera de formulario, los cua-
tro casos para hallar el término faltante de una proporción, así como
los pasos para resolver una situación que involucra una proporción.
Solicite que planteen un problema que implique el cálculo del valor
faltante de una proporción y que lo intercambien con un compañero
para que lo resuelva. Señale que pueden hacer observaciones en caso
de que identifiquen errores en el planteamiento.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Pida
a algunos estudiantes que respondan frente al grupo las preguntas
planteadas en dicho problema. Permita que realicen una reflexión
acerca de la importancia y beneficios de tener un empleo formal
y haga una retroalimentación del tema.
Las actividades de la Ficha 9 del Cuaderno de evidencias les per-
mitirán aplicar sus conocimientos acerca de proporciones con término
desconocido, y crear conciencia acerca de una situación relacionada
con el trabajo decente y crecimiento económico.
Libro del alumno: Páginas 124-129
Fecha:
Orientaciones didácticas
Lección 7
Contenido. Ecuaciones lineales y cuadráticas.
Aprendizaje. Resuelve problemas de porcentajes en
diversas situaciones.
Tema. Razones y proporciones. Proporciones con término
desconocido.
Error frecuente
Lección 7. Proporciones con término desconocido
Es común que algunos estudiantes confundan la razón con la proporción. Explique con algún ejemplo que la razón es el co-
ciente de dos cantidades y la proporción es una igualdad entre
dos razones. Frecuentemente algunos estudiantes no usan
correctamente las unidades de medida al trabajar con razones y proporciones. Proponga que las cantidades con las mismas unidades las escriban en una columna, mientras que las de la
otra unidad deberán anotarlas en otra columna. El número
de columnas variará dependiendo de la cantidad de unidades que tenga el problema.
Otro error que cometen los estudiantes es no interpretar
correctamente el significado de las razones y proporciones en
el contexto del problema. Presente un ejemplo en el que se
comprenda qué representan las cantidades y cómo se relacio-
nan entre sí. Realice un proceso similar al análisis dimensional de situaciones cotidianas, para que se aclare cuál sería la uni- dad resultante. Por ejemplo: Si 2 chocolates cuestan $10.00, ¿cuánto costarán 5 chocolates? Explique la resolución del pro-
blema mediante las proporciones y en las operaciones utilice las unidades correctas, es decir:
Precio
= (5 chocolates)($10) ÷ (2 chocolates) = $25
Las unidades resultantes ser
án pesos.
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Audiovisual
La información del siguiente video es útil para estudiar razo-
nes y proporciones.
•
“Razones y proporciones”, disponible en
www.edutics.mx/xQY
Sitios web
Esta página es útil para aprender a calcular proporciones por medio de la regla de tres. •
“Resolver proporciones y aplicaciones”, disponible en
www.edutics.mx/xQx
En esta página web encontrará un ejercicio interactivo de ra- zones y proporciones. •
“Razones y proporciones”, disponible en
www.edutics.mx/xQf
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica la diferencia entre razón y proporción.
Portafolio de evidencias •
Pida a los estudiantes que incluyan la historia de
misterio que escribieron. Revise que en efecto se resuelve utilizando cálculos de valor faltante. Solicite también que guarden sus propuestas para que las personas que trabajan informalmente puedan acceder a fuentes de empleo formales.
Encuentra el valor faltante en la proporción.
Resuelve problemas aplicando
razones o proporciones.
Recursos digitales
• Para complementar los contenidos de la lección, se sugiere que los alumnos r
ealicen la actividad interactiva
“Término desconocido”.
Recursos de apoyo complementarios
Interdisciplina
Los problemas de inicio y cierre se relacionan con la disciplina de Geografía.
Notas
Programa Construimos Futuro
Ciudadanía. Reflexionen acerca de cómo el desarrollo profesional
y personal de una población se ve afectado si carecen de acceso
a las oportunidades de empleo formal. Mencionen ejemplos de
trabajo informal que se presentan en su comunidad y cómo po-
drían mejorarse.
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A Sa?l y Alexa les tomaron una fotograf?a junto a una estatua, en donde jugaban con sus amigos
(figura 7.2). La estatura de Sa?l es de 150 cm y, en la foto, ?l mide 5 cm.
a) Con la informaci?n, ?pueden obtener la altura real de Alexa y de la estatua? ?C?mo lo har?an?

b) Consideren que, en la fotograf?a, la estatua mide 8 cm.
Completen la tabla con los datos conocidos y anoten
una B en aquellos que desconocen.
Ni?os Alturas reales
Medida en la
fotograf?a
Sa?l
Estatua
c) Expresen como una proporci?n los datos que anotaron
en la tabla.
B
d) ?Qu? operaciones necesitan realizar para encontrar el valor de B ?

e) Para hallar el valor faltante se puede hacer una multiplicaci?n cruzada y despu?s resolver la ecuaci?n lineal. Completen el procedimiento.
Figura 7.2
( )(B) B (150)(8)
B
B
f) Calculen cu?l ser?a la altura real de Alexa si en la foto midiera 3 cm. Alexa mide cm.
La estatua mide cm
Proporci?n con valor faltante
Una proporci?n con valor faltante o incompleta es aquella en la se conocen tres de los cuatro t?rminos de la proporci?n y se busca el valor desconocido. Hay cuatro casos:

B

B
, 0 y B 0

B
B

, 0 y 0
B

B

, 0 y 0

B
B

, B 0 y 0
B B B B
B B

B B

B B

B B

Por ejemplo, si
2
5
B
B
20
, entonces (2)(20) B 5B (multiplicaci?n cruzada), de donde B B
40
5
B 8. Por lo tanto, el valor
de B en la proporci?n es igual a 8, es decir,
2 5
B
8
20
. La constante de proporcionalidad es
2 5
.
5 cm
B
TOMA NOTA
Al calcular los cocientes
de las razones en una
proporci?n se obtiene unC
valor constante, es decir,

CBC

CBC
en dondeC es la constanteC
de proporcionalidad.
TOMA NOTA
La multiplicaci?n cruzada consiste en multiplicar elC
numerador de cada fracci?n por el denominador de la otra. 5. Revisa la situaci?n y responde.
En los d?as soleados, la altura y sombra de diferentes objetos es proporcional.
Este fen?meno muestra c?mo las proporciones con valor faltante nos permiten
calcular la altura del ?rbol o la longitud de la sombra.
a) Analiza la figura 7.3 y completa la tabla.
Altura (m) Sombra (m) Proporci?n
12
12
B
3
3
b) ?Cu?nto mide el ?rbol cuya sombra es de 3 m?
c) Si su sombra fuese de 7.5 m, ?cu?nto medir?a el ?rbol? Explica tu respuesta.

6. La distancia que recorre un autom?vil es proporcional a su consumo de gasolina. Un Ferrari re-
corre 180 km y gasta 12 L de gasolina. Marca la casilla con la respuesta correcta a cada inciso.
a) ?Cu?ntos kil?metros recorre con un litro?
b) ?Cu?ntos litros necesita para recorrer 480 km?
c) ?Cu?l es el valor en kil?metros de la constante
de proporcionalidad de la distancia recorrida por
cada litro de gasolina consumido?
7. Encuentra el valor faltante en las proporciones.
a)
B
24
B
6
4
B B
b)
1
5
B
115
B
B B
c)
7 2
B
B
16
B B
d)
16
B
B
8 7

B B
8. Resuelve los problemas.
a) Para hacer 6 hotcakes se necesita 1 huevo. ?Cu?ntos huevos se requerir?n para hacer 24
hotcakes?
b) En la papeler?a, 7 cuadernos cuestan $322.00 pesos. ?Cu?ntos cua-
dernos compr? Luis si pag? $736.00?
Para resolver algunos problemas de proporciones es necesario encontrar la
constante de proporcionalidad mediante el planteamiento de una ecuaci?n.
9. Formen parejas, analicen la situaci?n y hagan lo que se pide para res-
ponder en sus cuadernos.
Juli?n y H?ctor son socios en un negocio (figura 7.4), y la raz?n del dinero
que aportan es de 7:2. Si en este mes obtuvieron una ganancia de
$270 000, que repartir?n seg?n lo que aportan, ?cu?nto recibir? cada
uno?
15 km 0.06 km 12 km 1 km
7 200 L 32 L 4.5 L 12 L
12 km/ L 180 km/ L15 km / L1 km/L
Figura 7.3 Esquema de pinos y sus
sombras a cier ta hora del d?a.
Figura 7.4 Las empresas tecnol?gicas generan
empleos.
12 m
9 m
??
3 m
127Proporciones con t?rmino
desconocido
? Resuelve problemas de porcentajes en diversas situaciones.
L7
Unidad DOS
1. Analiza el texto y responde en tu cuaderno.
Seg?n cifras de La Encuesta Nacional de Ocupaci?n
y Empleo (ENOE), el trabajo informal, en sus diver-
sas modalidades, representa el 55.4 % del total de
empleos. Es importante mencionar que la mayor?a
de las personas que se encuentran en estas condi-
ciones no lo hacen por elecci?n, sino por
la necesidad de contar con una fuente
de ingresos para subsistir.
Ahora bien, pertenecer al sector de
empleos formales permite que los tra-
bajadores ganen por lo menos el sa-
lario m?nimo; en M?xico, a partir del
1 de enero de 2023, ?ste tuvo un in-
cremento de 20 %, para quedar en
$257.44 diarios.
Aunque algunas empresas contratan
a su personal para laborar por hora, ?se
no deber?a ser un motivo para que ofrezcan salarios
por debajo del m?nimo.
a) De acuerdo con el texto, si una empresa te contrata por una jornada de 8 horas diarias y te ofrece un
sueldo de $57.00 la hora, ?cu?nto ganar?as diariamente? ?Tu salario estar?a por encima o por debajo del
m?nimo en M?xico?
b) En la misma empresa, un empleado trabaja una jornada menor a la tuya y cobra $285.00 diariamente.
?Cu?ntas horas trabaja al d?a?
INICIO
DESARROLLO
La Encuesta Nacional de Ocupaci?n y Empleo es la principal
fuente de informaci?n acerca del mercado laboral mexicano.
Razones
En la antigua Grecia, durante la escuela Pitag?rica, se descubri? que exist?a
una raz?n entre los intervalos de un monocordio , pues la distancia entre
notas sobre una cuerda segu?a un patr?n de 1 a 2, lo que permit?a que los sonidos fuesen agradables.
Una raz?n es la comparaci?n que hay entre dos cantidades y se puede expresar como una frac- ci?n o n?mero decimal; por ejemplo, la raz?n entre 5 mujeres y 10 hombres se representa con:
5
10
B
1
2
B 0.5
GLOSARIO
monocordio. Instrumento
musical formado por una
caja de resonancia y una
sola cuerda.
Gr?fica 7.1 32 millones de personas en
M?xico trabajan en la informalidad (2022)
Poblaci?n ocupada por condici?n de empleo.
Millones de personas de 15 a?os y m?s
2020
30.6
ENE 20
30.6
MAR 21
32.2
DIC 21
32.4
OCT 21
20.7
ABR 20
24 .0
ENE 20
21 .0
MAY 20
24 .4
ABR 20
24 . 8
DIC 20
26 .1
OCT 20
2021
A?o
2022
Informal
Formal
Poblaci?n
24
27
30
33
21
Fuente: INEGI.
C O N S U LTA
El salario m?nimo debe garantizar al trabajador acceso a la vivienda y ar t?culos de la canasta b?sica, as? como permitirle comprar vestimenta, y pagar su transpor te y los ?tiles escolares de sus hijos. Para saber m?s acerca de la ENOE, entra en www. edutics.mx /NG2
124
L7 / U2 Una proporci?n es una igualdad entre dos razones. Es una expresi?n matem?tica que establece
la equivalencia entre dos fracciones. Las proporciones se expresan de esta forma:
B

B

, 0 y 0
en donde B, , y son n?meros. Esto significa que el cociente de B y es igual al cociente de
y ; y podemos decir que ?B es a como es a ?.
1. Contesta: Juli?n observ? que, en su piano (figura 7.1), las teclas negras est?n dispuestas en cierta raz?n respecto a las blancas.
a) ?Cu?l es la raz?n de las teclas negras a blancas en la imagen?
b) Si no pudieras ver el instrumento, pero conocieras la raz?n, ?cu?ntas
teclas negras tendr?a un piano de 42 teclas blancas?

2. Observa las sucesiones. Analiza si hay una misma raz?n entre los n?meros de arriba y los
de abajo. Si existe una raz?n com?n, escribe cu?l es; si no, explica por qu?.
a)
2 4 6 8 10 12
12 20 28 36 44 52

b)

3 6 9 12 15 18
5 10 15 20 25 30

3. Escribe cada enunciado como raz?n.
a) En una banda de producci?n se envasan 4 bebidas de fresa por cada 6 bebidas de zarzamora.
b) En un estacionamiento p?blico hay 2 motos por cada 5 autos.
c) Un avi?n recorre una distancia de 800 km en un tiempo de 5 horas.
d) En una empresa, el n?mero de empleados varones es de 12, mientras que el de mujeres es de 28.
e) Un autom?vil recorre una distancia de 250 km con 20 litros de gasolina.
Proporciones con valor faltante
Las proporciones se utilizan en una amplia variedad de situaciones matem?ticas y cotidianas, desde la resoluci?n de problemas de porcentaje hasta la comparaci?n de cantidades.
4. Re?nete en pareja, analicen la situaci?n y respondan.
Figura 7.1 Teclado de sintetizador electr?nico.
C O N S U LTA
Entra a www.edutics.mx /
NGa para ver un cl?sico
de los cor tometrajes de
animaci?n y matem?ticas:
Donald en el pa?s de las
matem?ticas (1959).
TOMA NOTA
Se puede usar el s?mbolo ?:? para representar una raz?n. Por ejemplo, la raz?n 5 mujeres a 10 hombres se puede escribir como ?5 : 10?. Sin embargo, se recomienda utilizar la fracci?n o el n?mero decimal para representar las razones de manera m?s precisa y clara.
125
L7 / U2
126
U2 / L7 118 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. INICIO
DESARROLLO
Página 124
1. a) (57)(8) = $456, está por encima del salario mínimo en México.
b) 285 ÷ 57 = 5. Trabaja 5 horas diarias.
Página 125
1. a) 5 teclas negras a 7 blancas,
5
7
.
b) Tendría 30 teclas negras.
2. a) No tienen la misma razón, porque el cociente no es el mismo
en todos los casos.
b) Sí hay una razón común, es
3 5
= 0.6.
3
.
a)
4
6
= 0.6
b)
2 5
= 0.4
c)
800 km
5 h
= 160 km/h
d)
12
28
=
3 7
e)

250 km
20 L
= 12.5 km/L
Página 126
4.
a) R. L. Sólo la de la estatua, porque Alexa no se encuentra de
pie. Se calcula la escala (factor o constante de proporcionali-
dad), que para este caso es 30. Luego se mide la altura de la
estatua y se multiplica por la escala.
b)
Niños Alturas realesMedida en la fotografía
Saúl 150 cm 5 cm
Estatua x 8 cm
c)
150
5
=
x
8
d) Multiplicar 8 por 150 y dividir el resultado entre 5 o dividir 8
entre 5 y multiplicar por 150.
e) (5)(x) = (150)(8)
x =
(150)(8)
5
x =
1 200
5
= 240
La estatua mide 240 cm.
f
)
Alexa mide 90 cm.
Página 127 5.
a)
Altura (m) Sombra (m) Proporción
12 9
12
9
=
x
3
x 3
b)
Mide 4 m.
c) Mediría 10 m. Para llegar a la solución, se multiplica la cons-
tante de proporcionalidad por 7.5 o se multiplica 12 por 7.5 y se divide entre 9.
6.
a) 15 km
b) 32 L
c) 15 km/L
7. a)
x
24
=
6
4
x =
(24)(6)
4
=
144
4
= 36
b)
1
5
=
115
x
x =
(115)(5)
1
=
575
1
= 575
c)
7 2
=
x
16
x =
(7)(16)
2
=
112
2
= 56
d)
16
x
=
8 7
x =
(16)(7)
8
=
112
8
= 14
8. a) 4 huevos
b) 16 cuadernos
119

a) En la raz?n
7
2
, ?qu? representa cada n?mero?
b) Escriban la proporci?n para conocer lo que le toca
a cada uno a partir de la constante.
c) ?Cu?l es la ecuaci?n que permite calcular la
cons tante?
d) Resuelvan la ecuaci?n. ?Cu?l es el valor de la
cons tante?
e) Sustituyan la constante en la proporci?n inicial
para conocer la ganancia de cada uno.
f) ?Cu?nto dinero le toca a cada uno?
9. Analiza las situaciones y responde.
a) Para el festival de primavera, Perla har? un arco con flores moradas y amarillas con una raz?n
de 12:8. Si en total ocupar? 400 flores, ?cu?ntas flores necesitar? de cada color?
En una situaci?n que se modela con la expresi?n ?B de cada da un total de ?, obtenemos una
raz?n de
B

y podemos construir otra, basada en la primera, que nos d? informaci?n acerca de
la proporci?n respecto a un total . De esta manera, tenemos que
B

B

en donde es una constante distinta de 0.
As? se formula esta ecuaci?n de primer
grado con una inc?gnita:
B
(B ) B
B

(B )
1 Identifica los valores que componen la raz?n. B 40, B B 3, B 2
2 Escribe la proporci?n con la constante.
3
2
B
3
2
3 Obt?n la ecuaci?n de primer grado con una inc?gnita y resuelve. 3 2 B 40
5 B 40
B
40
5
B 8
4 Sustituye el valor de la constante en proporci?n inicial.
3 2
B
3
2
B
3(8)
2(8)
B
24
16

5 Determina las cantidades proporcionales. 24 hombres y 16 mujeres.
TOMA NOTA
La raz?n es B B es decir que
B par tes para el primero y
par tes para el segundo as?
el total de par tes es B
de modo que al primero
le corresponde
B
()

y al segundo

()
.
B 7:
2:
B

( ) 2(2 ) .
B ( )(30 000)
( )(30 000) a
c
b
d
e
f
Para calcular las cantidades proporcionales a un
total.

Por ejemplo, en el grupo de secundaria de Sara
hay 40 alumnos. Si la raz?n es de 3 hombres por
cada 2 mujeres, ?cu?ntos hombres y cu?ntas mu-
jeres hay en el grupo?
Juli?n: H?ctor: CIERRE
1. Analiza la informaci?n de la gr?fica y realiza lo que se pide en tu cuaderno.
a) Si contratan a una persona por 7
horas, ?cu?nto ganar?a por d?a?
b) Si contrataron a alguien en el 2019
con el salario m?nimo, ?cu?nto gan?
por 12 d?as de trabajo?
c) Una empresa otorga bonos de
productividad mensuales a sus
mejores trabajadores. En abril de
este a?o repartir? entre dos em-
pleados que laboraron con raz?n
de 7B3, la cantidad de $36 400.00.
?Cu?nto dinero le corresponde a
cada uno? Realiza los c?lculos y
explica tu procedimiento.
b) Para elaborar un collar, Carlos teje cuentas negras y plateadas con una raz?n de 10:6. Si para
un collar teji? 64 cuentas, ?cu?ntas se utiliz? de cada color?
Formar par te
del trabajo informal,
en muchos casos,
implica tener un nivel
salarial por debajo del
m?nimo, lo que afec ta
el desarrollo econ?mico
de un pa?s, ya que
reduce las posibilidades
de las personas para
salir de la pobreza. ?Qu?
propondr?as para que las
personas que trabajan
informalmente puedan
acceder a fuentes de
empleo formales?
PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo de la
ac tividad 10 para tener
evidencia de tu aprendizaje.
10. Formen equipos y organ?cense para hacer lo que se pide.
? Creen una historia en la cual, para resolver un misterio, deben calcular el valor faltante de una
proporci?n.
? Escondan pistas, en diferentes lugares de la escuela, que deban ser halladas para llegar a
las proporciones con valor faltante.
? Al encontrar las proporciones, ?stas tendr?n que resolverse para dar con el valor faltante.
Si la respuesta es correcta, se otorgar? una nueva pista para otro misterio.
? Concluyan la actividad tras resolver todos los misterios.
? Inviten a sus compa?eros a jugar. Establezcan un l?mite de tiempo para agregarle emoci?n
al juego.
Gr?fica 7.2 Incremento general de salario
m?nimo en M?xico
A?o
2023
$ 2 0 7. 4 4
2021
$141 . 70
2022
$172 . 87
2020
$123.22
2018 2019
$102 . 36
$88.36
0
Pesos ($)
150
200
250
10 0
50
p?ginas
25 y 26
Cuaderno
de evidencias
129
L7 / U2
128
U2 / L7 120 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario CIERRE
1. a) $181.51
b) $1 228.32
c) Al primer empleado le corresponden $25 480.00 y al segun-
do, $10 920.00.
Se obtiene con la siguiente relación:
Empleado a = 7k, empleado b = 3k, 7k + 3k = 36 400.
10k = 36 400, k = 3 640.
Se sustituye el valor de k en la expresión para cada empleado.
Entonces al empleado a le corresponden 7(3 640) = 25 480,
y al empleado b se le deben dar 3(3 640) = 10 920.
Página 128
9. a) a = 7: la cantidad proporcional que le tocará a Julián. 7 por
cada 2 que recibirá Héctor.
b = 2: La cantidad que le toca a Héctor.
b)
a
b
=
7
2
=
7k
2k
c) (7k) + (2k) = 270 000
d) 7k + 2k = 270 000
9k = 270 000
k =
270 000
9
k = 30 000
e)
a = (7)(30 000) = 210 000
b = (2)(30 000) = 60 000

f) A Julián le tocarán $210 000, mientras que a Héctor, $60 000.
Página 129
(Debe ser 10 en lugar de 9.)
10.
a)

flores moradas a = 12k
fl
ores amarillas
b = 8k

a = 12(20) = 240
b = 8(20) = 160
12k + 8k = 400
20k = 400 240 moradas y 160 amarillas
k =
400
20
k = 20
b)

cuentas negras a = 10k
cuen
tas plateadas
b = 6k

a = 10(4) = 40
b = 6(4) = 24
10k + 6k = 64
16k = 64
k =
64
16

k = 4
(Debe ser 11 en lugar de 10.) 11.
R. L. Revise la redacción de la historia. Verifique que se resuelve
con cálculo de valores faltantes.
40 cuentas negras y 24
cuentas plateadas
Notas
121© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Plan de clase Semana escolar 20
Lección 8. Porcentajes y regla de tres
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos resuelvan por-
centajes usando la regla de tres.
Pida a un alumno que lea la sección de inicio y comenten por qué
creen que hay menor cantidad de mujeres que de hombres que es-
tudian carreras stem. Explique el significado de la expresión paridad
de género. Relacione los datos en el texto con el tema de razones
y pregunte ¿Cuál es la razón de mujeres respecto del total que estu- dian una carrera relacionada con
stem?
Puede realizar una encuesta de forma rápida pidiendo a las mu-
jeres que levanten la mano quienes quisieran estudiar una carrera re-
lacionada con la ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas. Luego
pida a tres alumnos que, por separado, realicen un conteo y verifiquen
que obtienen la misma cantidad. Repita el procedimiento para saber la preferencia de los hombres.
Para resolver las preguntas, los alumnos deben utilizar el cálculo
del valor faltante. Si es necesario, apóyelos para organizar los datos en las proporciones.
DESARROLLO. Recuerde a los alumnos que el porcentaje representa
una cantidad dada como fracción en 100 partes iguales; es la parte proporcional de una cantidad que corresponde a cada 100 unidades del total. Explique brevemente cómo calcular el porcentaje de canti-
dades, muestre en el pizarrón algunos ejemplos. Si es necesario, haga
un repaso de la división con cociente decimal. Es importante que en esta lección la atención se concentre en comprender el concepto de porcentaje más que en realizar operaciones, por eso puede permitir el uso de calculadora.
Pida a los estudiantes que respondan las actividades 1 a la 3 y,
de ser el caso, responda las dudas que surjan.
El análisis en la actividad 4 es útil para relacionar la idea de porcen-
taje con una fracción y de esta forma se pueden hacer cálculos rápidos
de porcentajes. Pida a un alumno que lea las secciones “Toma nota” y ofrezca ejemplos de cálculo de porcentajes a partir de la expresión decimal de la fracción correspondiente a la cantidad sobre el total.
Muestre a detalle el procedimiento para calcular porcentajes me-
diante una proporción y regla de tres. Analicen la similitud que tiene
la proporción con una ecuación de primer grado. Resalte que al usar la
regla de tres se puede calcular el porcentaje que representa una
cantidad respecto de un total, la cantidad que corresponde a un por-
centaje y el total. Solicite a los alumnos que hagan un formulario con estos tres casos.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Muestre
el significado de brecha digital leyendo la sección “Glosario”. Pida
a algunos estudiantes que respondan frente al grupo las preguntas planteadas en dicho problema y luego permita que realicen una re-
flexión acerca de la importancia de las TIC’s y del libre acceso a ellas para todos. Realice una retroalimentación del tema.
Las actividades de la Ficha 10 del Cuaderno de evidencias les
permitirán aplicar sus conocimientos acerca de porcentajes y regla
de tres, y crear conciencia acerca de una situación relacionada con la igualdad de género..
Libro del alumno: Páginas 130-137
Fecha:
Orientaciones didácticas
Lección 8
Contenido. Ecuaciones lineales y cuadráticas.
Aprendizaje. Resuelve problemas de porcentajes en
diversas situaciones.
Tema. Modelación y resolución de problemas de porcentajes
con regla de tres.
Error frecuente
Lección 8. Porcentajes y regla de tres
Es común que algunos estudiantes confundan el valor porcentual
con el valor original. Por ejemplo, pida que calculen el porcen- taje que corresponde a 50 de 250. Algunos alumnos pueden
pensar que se trata de una regla de tres simple y responder
que el porcentaje es 200 cuando en realidad es 20. Esto puede
ser porque no entienden el significado del signo de porcentaje y lo confunden con una proporción o una fracción. Explíqueles que un porcentaje es una forma de representar una parte de un todo relacionándolo con 100 unidades. Así, 20
% significa
20 de
cada 100. Muestre ejemplos del cálculo de porcentajes
de diversas cantidades para aclarar las dudas.
122© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
El siguiente artículo de revista es útil para conocer más acerca
de la igualdad de género y las TIC’s en contextos educativos
formales.
•
María Paz Prendes-Espinosa, Pedro Antonio García-
Tudela e Isabel María Solano-Fernández, “Igualdad de género y TIC en contextos educativos formales: Una revisión sistemática”, en Comunicar, Revista Científica de Comunicación y Educación, 63, 9-20, 2020, disponible en www.edutics.mx/xQg
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para estudiar el cálculo de porcentajes por medio de la regla de tres. •
“Porcentaje con regla de tres”, disponible en
www.edutics.mx/xQQ
Sitios web
En esta página web encontrará ejemplos y ejercicios interac- tivos de cálculo de porcentajes. •
“Porcentaje”, disponible en www.edutics.mx/xQM
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica el elemento faltante en una regla de tres para calcular porcentajes.
Portafolio de evidencias •
Recuerde a los estudiantes incluir en su portafolio de
evidencias la hoja de cálculo y los ejemplos hechos para la actividad 17.
Calcula y representa el porcentaje de una cantidad.
Resuelve problemas de
porcentajes usando la regla de
tres.
Recursos digitales
• Para complementar los contenidos de la lección, se sugiere que los alumnos r
ealicen las actividades
interactivas “Tanto por ciento” “¿Cómo aplico un porcentaje?” y “Porcentajes”.
Recursos de apoyo complementarios
Notas
Interdisciplina
Los problemas de inicio y cierre se relacionan con la disciplina de Formación Cívica y Ética. La infografía se relaciona con la disciplina de Educación Artística.
Por último, analicen la infografía y muestre cómo las matemáti-
cas están presentes en todos los ámbitos. Para comprender mejor los
términos puede descargar una aplicación de piano en su celular para que los alumnos escuchen los tonos y semitonos.
Programa Construimos Futuro
Ciudadanía. Además de la brecha digital, mencionen otras brechas
que existen entre mujeres y hombres o niñas y niños y reflexionen
acerca de las causas que han permitido que estas brechas se ge-
neren, así como de las acciones que pueden llevarse a cabo para reducirlas cada vez más.
123© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

TOMA NOTA
Cuando a una cantidad se
le aplica el tanto por ciento,
se involucran tres datos: el
tanto por ciento o tasa, la
cantidad a la que se le aplica
la tasa (cantidad base) y el
resultado (porcentaje).
TOMA NOTA
Para calcular el porcentaje de una cantidad, se multiplica la cantidad base por el tanto por ciento o tasa y se divide entre 100.
4. Completa los enunciados y responde.
Una forma de calcular el tanto por ciento que representa una cantidad respecto a otra es a partir
de la expresi?n decimal de la fracci?n correspondiente a dicha cantidad sobre el total. Por ejem-
plo: 306 es el 45 % de 680, porque
306
680
B 0.45
7. Analiza la tabla 8.1, que muestra los resultados de una encuesta aplicada a un grupo de perso-
nas, acerca del medio de transporte que m?s utilizan. Luego, responde en tu cuaderno.
Tabla 8.1
Medio de
transporte
Bicicleta Autom?vil Ta x i Metro Combi Cami?n
Taxi por
aplicaci?n
N?mero de
personas
240 2 240 400 2 800 960 720
640
a) ?A cu?ntas personas encuestaron?
b) ?Qu? porcentaje de los encuestados viaja en metro?
c) ?Cu?l medio de transporte es el menos utilizado? ?Qu? porcentaje representa del total?
d) ?Qu? porcentaje de personas utiliza autom?vil?
e) ?Cu?l es el porcentaje de encuestados que usa alg?n tipo de taxi?
f) En total, ?qu? porcentaje utiliza un medio de transporte p?blico?
En una comunidad rural se realizan votaciones cada 2 a?os para elegir a su representante ejidal. Este a?o votaron en total 1 520 personas, de las cuales 988 eligieron la planilla morada.
a) Escribe la fracci?n que indica qu? parte de 1 520 es 988.
b) Calcula el n?mero decimal que corresponde a la fracci?n anterior.
c) Contesta: ?qu? porcentaje de los votos consigui? esa planilla?
d) Completa la proporci?n.
988
1 520
B
10 0
e) Compara tu resultado con el inciso c, ?qu? obser vas?
a) El 50 % de una cantidad es
50
10 0
B
1
2
; por tanto, el 50 % de 4 896 es , porque repre-
senta de 4 896.
b) El 10 % de una cantidad es
10
10 0
B
; por tanto, 10 % de 26 es , que representa
la parte de 26.
c) ?Qu? otro porcentaje es equivalente a una fracci?n simple?
5. Calcula mentalmente los porcentajes.
a) 10 % de 540 es d) 5 % de 50 es g) 20 % de 420 es
b) 50 % de 75 es e) 1 % de 70 es h) 1 % de 700 es
c) 20 % de 42 es f) 10 % de 67 es i) 2 % de 700 es
C?lculo del tanto por ciento
6. Revisa la situaci?n y realiza lo que se pide en tu cuaderno. 8. Calcula el porcentaje que le corresponde a cada parte del total.
a) 18 de 225 es % b) 52 de 104 es % c) 87.5 de 350 es %
d) 87 de 58 es % e) 156 de 780 es % f) 1 131 de 975 es %
9. Analiza y responde en tu cuaderno.
Un estudio sobre Corresponsabilidad en el hogar arroj? que, de 5 850 hombres encuestados, 3 510
colaboran activamente en las tareas dom?sticas. ?Cu?l es el porcentaje de hombres que colabora
en el hogar?
C?lculo del tanto por ciento y la regla de tres
10. Revisa la situaci?n y responde en tu cuaderno.
En un concierto de una banda de rock se vendieron 85 % de los boletos. Si el recinto tiene capaci-
dad para 9 360 personas:
a) ?Cu?ntas personas asistir?n?
b) ?Cu?ntos lugares quedar?n vac?os?
c) ?Qu? porcentaje representan los lugares vac?os?
d) ?C?mo representar?as el 85 % mediante una fracci?n con denominador 100?
e) Completa la siguiente proporci?n.
85
10 0
B
9 360
?C?mo lo resolviste?
f) Compara el resultado anterior con el inciso a. ?Qu? observas?
11 . Revisa la situaci?n y responde.
Una computadora que cuesta $12 500 tiene marcado en la etiqueta 12 % de descuento al pagar
de contado.
a) Si Emiliano decide pagar de contado, ?cu?nto dinero le descontar?n?
b) Entonces, ?cu?nto pagar? por la computadora?
12. Re?nete en pareja, lean la situaci?n y respondan en sus cuadernos.
Jimena y su familia viajar?n a San Luis Potos? y desean reservar su hospedaje. La habitaci?n doble
de un hotel cuesta $950.00 m?s IVA (Impuesto al Valor Agregado).
a) ?Cu?nto pagar?n por la habitaci?n si el IVA corresponde a 16 %?
Jimena comenta que van a pagar 116 %. Expliquen si est?n de acuerdo con su afirmaci?n
y por qu?.
Para resolver problemas de porcentaje mediante la regla de tres, se hace lo siguiente.
PorcentajeCapacidad
10 0 9 360
m85 B
1CSe construye la proporci?n correspondiente entreC
los datos.
2CSe observa que las cantidades y cocientes son
proporcionales.C
10 0
9 360
CBC
85
B
3CSe obtienen los productos cruzados.C
(10 0)(B)CBC(9C360)(85)
4CSe despeja el valor deCB . BCBC
(9C36 0)(85 )
10 0
CBC7 956
133
L8 / U2 Porcentajes y regla de tres
? Resuelve problemas de porcentajes en diversas situaciones.
L8
Unidad DOS
1. Lee el texto y responde en tu cuaderno.
El D?a internacional de la Mujer y la Ni?a en la Ciencia,
que se conmemora el 11 de febrero, tiene como fi-
nalidad reconocer el papel que desempe-
?an las mujeres y ni?as en la comunidad
cient?fica y la tecnolog?a. M?s a?n, se
busca lograr la paridad de g?nero en
estos campos, ya que s?lo 35 de cada
100 estudiantes de carreras relacio-
nadas con la ciencia, tecnolog?a, inge-
nier?a y matem?ticas (STEM, por sus
siglas en ingl?s) son mujeres.
a) En grupo, realicen una encuesta para conocer a cu?ntas ni?as y ni?os les gustar?a estudiar una carrera
relacionada con la ciencia y la tecnolog?a. Anoten su resultado como una raz?n.
b) Considerando el texto anterior, si en una escuela se inscribieron 300 estudiantes a carreras relaciona-
das con las STEM, ?cu?ntas son mujeres y cu?ntos hombres?
c) Si hay 20 homb res en un sal?n, ?cu?ntas mujeres hay?
d) ?Cu?l es el porcentaje de mujeres que estudia carreras del STEM? ?Y el de hombres?
INICIO
DESARROLLO
La creaci?n de pol?ticas p?blicas permitir? mayor acceso a las
ni?as a una carrera del S TEM.
GLOSARIO
comisi?n. Porcentaje que un
vendedor cobra por la venta
de un produc to o ser vicio.
GLOSARIO
paridad de g?nero.
Par ticipaci?n equilibrada de mujeres y hombres en los diferentes ?mbitos sociales y en la toma de decisiones.
Tanto por ciento
En la vida cotidiana, los porcentajes nos permiten estable-
cer relaciones entre una cantidad o fracci?n y un total.
1. Lee y responde lo que se pide.
Lucia trabaja en una inmobiliaria en la que le pagan por
comisi?n, es decir, su sueldo depende del volumen
de ventas que consigue en un periodo determinado.
(figura 8.1) Esta semana su reto es vender casas por
las cuales recibir? el 4 % del valor de las mismas.
a) Si vende una casa de $600 000.00, ?cu?nto le dar?n de comisi?n?
b) ?Y si vende una de $1 200 000.00?
c) ?Las ventas de Lucia y las comisiones que obtiene son cantidades proporcionales? Explica tu
respuesta.

d) Si la semana pasada recibi? una comisi?n de $36 000.00, ?cu?l fue el costo de la casa?
El porcentaje o tanto por ciento se refiere a la raz?n entre una cantidad dada y un total de 100
elementos; es decir, una cantidad por cada 100. Para expresar lo anterior, se usa el s?mbolo %.
Por ejemplo: 47 de 100 se expresa
47
10 0
o 47 %.
3. Analiza la informaci?n y realiza lo que se
pide.
En la Secundaria Juli?n Carrillo se realiz? una
encuesta a 300 estudiantes sobre lo que
les gustar?a estudiar. Con estos datos se
realiz? la gr?fica 8.1.
2. Observa el tapete de la figura 8.2, completa y revisa c?mo se expresa el porcentaje de cada
color.
Color Fracci?n Decimal Porcentaje
Fracci?n
equivalente
Rosa
Amarillo 0.12
Azul
Ve r de 20 %
Rojo
4
10 0
a) Con los datos obtenidos, completa la tabla.
Abogados
12 de 100
estudiantes
12
10 0
o

A 36 estudiantes les gustar?a ser abogados.
Ingenieros
ambientalistas

de 100
estudiantes 10 0
o 0.3
A

estudiantes les gustar?a
ser ingenieros ambientalistas.
M?dicos
18 de 100 estudiantes18
10 0
o

A

estudiantes les gustar?a
ser m?dicos.
Arquitectos
25 de 100 estudiantes25
10 0
o

A

estudiantes les gustar?a
ser arquitectos.
Psic?logos

de

estudiantes
o

A

estudiantes les gustar?a
ser psic?logos.
Gr?fica 8.1 Profesiones que los alumnos
prefieren Escuela Juli?n Carrillo
Abogado
Ingeniero ambientalista
M?dico
Arquitecto
Psic?logo
12 %
30 %
18 %
25 %
15 %
Figura 8.2
131
L8 / U2
Figura 8.1
130
132
U2 / L8 124 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. INICIO
DESARROLLO
Página 130
1. R. L. Se propone un ejemplo, pero las respuestas dependerán de
la encuesta que se realice en el grupo. a)
13 niñas de 50 prefieren estudiar una carrera relacionada con
la ciencia y la tecnología, mientras que 32 niños de 50 prefie-
ren esto.
b) 105 son mujeres y 195, hombres.
c) Hay 7 mujeres.
d) El porcentaje de mujeres es 35 % y el de hombres es 65 %.
1. a) Le darán $24 000.00.
b) Le darán $48 000.00.
c) Sí, porque la proporción del costo de la casa que ella recibe es
siempre la misma.
d) La casa tenía un costo de $900 000.00.
Página 131 2.

Color FracciónDecimalPorcentaje
Fracción
equivalente
Rosa
40
100
0.4 40
%
2
5
Amarillo
12
100
0.12 12
%
3
25
Azul
24
100
0.24 24
%
6
25
Verde
20
100
0.2 20
%
1 5
Rojo
4
100
0.04 4
%
1
25
3.
a)
Abogados
12 de 100
estudiantes
12
100
o
0.12
A 36 estudiantes les gustaría ser abogados.
Ingenieros
ambientalistas
30 de 100
estudiantes
30
100
o
0.3
A 90 estudiantes les gustaría ser ingenieros ambientalistas.
Médicos
18 de 100 estudiantes
18
100
o
0.18
A 54 estudiantes les gustaría ser médicos.
Arquitectos
25 de 100 estudiantes
25
100
o
0.25
A 75 estudiantes les gustaría ser arquitectos.
Psicólogos
15 de 100 estudiantes
15
100
o
0.15
A 45 estudiantes les gustaría ser psicólogos.
Página 132
4.
a) 50 % de una cantidad es
50
100
=
1
2
; por tanto, 50
% de 4 896
es 2 448, porque representa la mitad d e 4 896.
b) 10 % de una cantidad es
10
100
=
1
10
; por tanto, 10
% de 26 es
2.6, que representa la décima parte de 26.
c) R. M. 1 % es igual a
1
100
, 25
% es igual a
1 4
, 20 % es igual a
1 5
.
5. a) 10 % de 540 es 54
b) 5 % de 50 es 2.5
c) 20 % de 420 es 84
d) 50 % de 75 es 37. 5
e) 1 % de 70 es 0.7
f) 1 % de 700 es 7
g) 20 % de 42 es 8.4
h) 10 % de 67 es 6.7
i) 2 % de 700 es 14.
6. a)
988
1 520
b) 0.65
c
)
65 % de los votos
d)
988
1 520
=
65
100
e) Es el mismo.
7. a) Se encuestó a 8 000 personas.
b) 35 %
c) Bicicleta, 3 %
d) 28 %
e) 13 %
f) 69 %
Página 133
8
.
a) 18 de 225 es 8 %
b) 52 de 104 es 50 %
c) 87.5 de 350 es 25 %
d) 87 de 58 es 150 %
e) 156 de 780 es 20 %
f) 1 131 de 975 es 116 %.
(C
ontinúa en la página 127)
125

13. Resuelve: un autom?vil consume 24 litros de combustible en 375 km,
lo que equivale al 40 % de la capacidad del tanque, es decir, 24 L re-
presentan 40 % de la capacidad.
a) Completa la tabla y responde en tu cuaderno.
? ?Cu?l es la capacidad del tanque en litros?
? ?Cu?ntos km puede recorrer con el tanque lleno?
b) Con los datos de la tabla, construye la proporci?n que permite conocer
la capacidad del tanque.
c) Resuelve la proporci?n y verifica que se obtiene el mismo resultado.
14. Resuelve: en la temporada del buen fin, Santiago pag? $700 por un par
de tenis que ten?an el 20 % de descuento.
a) ?Qu? porcentaje del costo original pag? Santiago?
b) ?Cu?l era el precio de los tenis antes del descuento?
c) ?Qu? cantidad representa el 20 % de descuento?
Litros de
gasolina (L)
Tanto
por
ciento
5
10
20
24 40
80
10 0
a) Si 476 alumnos cuentan con el servicio de internet, ?cu?ntos tienen una computadora?

b) ?Qu? cantidad de estudiantes tienen tel?fono celular?
c) Si la encuesta se aplic? al total de estudiantes, ?cu?l es la poblaci?n de la escuela?
16. Resuelve: un tinaco de agua contiene
1
5
parte de su capacidad. Al suministrar 605 litros de agua,
el tinaco se llena hasta las
3 4
partes de su capacidad.
a) ?Cu?l es la capacidad del tinaco en litros?
b) ?Qu? porcentaje representa
1 5
?
c) ?Qu? cantidad en litros corresponde a las
3 4
partes de la capacidad del tinaco?
d) ?Cu?ntos litros de agua ten?a el tinaco antes de prender la cisterna?
e) ?Cu?ntos litros de agua hacen falta para que se llene el tinaco?
f) ?Qu? porcentaje representan los 605 litros respecto a la capacidad del tinaco?
Gr?fica 8.2 Disponibilidad de TIC
Porcentaje de alumnos
0 40 8020 60 10 0
Televisi?n de paga
Internet
Tel?fono celular
Línea telefónica fija
Computadora
40
46
88
56
34
PORTAFOLIOC
Guarda tu trabajo de la
ac tividad 16 para tener
evidencia de tu aprendizaje.
C15.CEn la gr?fica 8.2 se observan los resultadosC
de una encuesta aplicada en una secundariaC
para conocer la disponibilidad que tienen los
alumnos a las TIC (Tecnolog?as de la infor-
maci?n y la comunicaci?n). Analiza los datosC
y responde. CIERRE
1. Lee la informaci?n y realiza lo que se pide en tu cuaderno.
En los ?ltimos a?os, el uso de dispositivos electr?nicos, como las computadoras, tabletas,
tel?fonos celulares y el internet, ha sido fundamental para realizar actividades escolares,
laborales, establecer nuevas formas para relacionarnos, adem?s de facilitar el acceso a la
informaci?n y conocimiento. Sin embargo, el acercamiento a las
T I C causa brechas digi -
tales, espec?ficamente entre las mujeres, por cuestiones de g?nero.
La siguiente tabla expone datos de la Encuesta Nacional sobre Disponibilidad y Uso de
Tecnolog?as de la Informaci?n en los Hogares (
E N D U T I H), aplicada en el 2019 por el I N E G I
(Instituto Nacional de Estad?stica y Geograf?a).
1 7. Elabora en una hoja de c?lculo una f?rmula para calcular porcentajes de diferentes cantidades.
Muestra ejemplos y prop?n algunas situaciones en las que se aplique. ?Puedes hacer una f?rmula
para calcular porcentajes mayores que 100? ?Tienen sentido? ?Qu? significar?an? ?En qu? casos
se usan?
Comenta con
tus compa?eros por
qu? consideras que
hombres y mujeres
deben tener las mismas
oportunidades para
acceder a las
T I C.
?Consideran que en su
escuela las autoridades
hacen lo posible por
disminuir la brecha
digital? ?Por qu??
GLOSARIO
brecha digital. Desigualdad
en el acceso, uso o impac to
de las tecnolog?as de la
informaci?n y comunicaci?n
(
T I C) en grupos sociales.
Porcentaje de poblaci?n de 6 a?os y m?s que NO utiliza
computadora, internet o tel?fono celular por sexo
Dispositivo Residencia Mujeres Hombres
Computadora,
laptop o tablet
Rural 7 7. 7 78 .1
Urbano 53.8 4 7. 8
Internet
Rural 52.2 52.4
Urbano 25.4 21.2
Tel?fono celular
Rural 34.6 33.0
Urbano 1 7. 2 14 .1
Considera que la encuesta se aplic? a 24 000 familias. A par tir de la informaci?n dada,
calcula lo siguiente.
a) ?Cu?l es la diferencia en el porcentaje de mujeres que no usan internet en zonas ur-
banas en comparaci?n con los hombres?
b) ?A cu?ntas mujeres corresponde dicho porcentaje?
c) En comunidades rurales, ?cu?l es la diferencia de porcentaje de mujeres que no utiliza
tel?fono celular en comparaci?n con los hombres?
d) ?Cu?ntas mujeres representan ese porcentaje?
Fuente: INEGI. ENDUTIH 2019.
p?ginas
27 y 28
Cuaderno
de evidencias 2
4
2
DoSolDo
1
2
3
1
2

3
4
2 3
128
243
64
81
16
27 1 2
ReDo
La
Fa Do
Mi
Sol
Si
Do
Fa
Do
1
2
3 4
3
Si los pitag?ricos ta??an una cuerda que produc?a
una nota: do , por ejemplo, y a la vez tocaban con la
misma tensi?n otra cuerda igual, pero variando su
longitud hasta encontrar una nota que junto con la
primera produjeran sonidos agradables, dec?an que
hab?an encontrado su arm?nico. Tambi?n notaron
que una cuerda con una proporci?n de
2
3
respecto a
la primera produc?a un arm?nico. Si la primera nota
era do, llamaremos sol a su arm?nico.
De esta manera se tienen las
notas de la escala musical.
Do
Re
Mi
FaSol SiLa Do
Un arm?nico distinto se forma con una
proporci?n de
3
4
. Si la nota principal es do ,
entonces este arm?nico es fa.
Despu?s aparecieron los semitonos (soste nidos
y bemoles), es decir, tonos intermedios entre los
anteriores. Entre todas las notas hay semitonos,
excepto entre mi y fa, y entre si y do. As? en
total tenemos 12 semitonos.
El arm?nico de sol se obtendr?a con
una cuerda con longitud
2
3

2 3

4 9

de la longitud original. Esta nota y
su doble corresponden a la nota re .
Siguiendo el mismo procedimiento
con re encontraremos el arm?nico
que forma la nota la , y
subsecuentemente, mi y si.
Do ? Do# ? Re ? Re# ? Mi ? Fa ? Fa# ? Sol ? Sol# ? La ? La# ? Si ? Do # Sostenido
BemolDo ? Re ? Re ? Mi ? Mi ? Fa ? Sol ? Sol ? La ? La ? Si ? Si ? Do
6
5
137 Do Do
1
2
1
21
Los sonidos y la forma en que se producen tienen estrecha relaci?n con las matem?ticas.
El sonido que produce una cuerda al vibrar depende de su tensi?n, grosor y longitud. Una cuerda gruesa emite un sonido m?s grave que una delgada, una corta genera un tono m?s agudo que una larga
y entre m?s tensa est? su sonido ser? m?s agudo.
LA ARMON?A
PROPORCIONES DE
El 13 de julio de 1895 el m?sico potosino Juli?n Carrillo logr? dividir un
tono en diecis?is par tes ampliando por primera vez los sonidos de 12 a
96. ?l mismo explica c?mo obtuvo esta escala musical a la que llam?
Sonido 13, usando en su viol?n la cuerda de sonoridad m?s grave, la
primera cuerda, la m?s gruesa: ?Empec? a dividir el intervalo de un
tono que va de la nota sol de la cuar ta cuerda suelta del viol?n, hasta
llegar a la y pude o?r clara y distintamente diecis?is sonidos
diferentes, es decir, los dieciseisavos de tono. A par tir de ese
momento se rompi? el ciclo de los doce ?nicos sonidos conocidos
hasta entonces y se abrieron para la m?sica las puer tas del infinito?.
En 1926 se realiz? en Nueva York el primer concier to con el Sonido 13
interpretando la ?Sonata casi fantas?a?, en la que la orquesta de c?mara
produjo cuar tos, octavos y dieciseisavos de tono. El ?xito fue tal que en
1927 se present? en el Carnegie Hall de la misma ciudad neoyorkina.
El sonido 13
Los pitag?ricos de la Grecia antigua identificaron una relaci?n matem?tica entre
las tonalidades musicales. Al escuchar el
sonido que emite una cuerda observaron que
si su longitud se divid?a a la mitad, produc?a el
mismo tono pero m?s agudo. De la misma
manera, una cuerda con el doble de longitud que
la primera generaba el mismo tono pero m?s grave;
es decir, la longitud debe es tar en proporción de 2pap1.
Pit?goras y las proporciones
de la escala musical
P
i
t
?
g
o
r
a
s

d
e

S
a
m
os
J
u
l
i
?
n

C
a
r
r
illo
136
135
L8 / U2
134
U2 / L8 126 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario CIERRE
1. a) 4.2 %
b) 2 016 mujeres corresponden a la diferencia del porcentaje.
c) 1.6 %
d) 768 mujeres corresponden a la diferencia del porcentaje de
mujeres que no utilizan el celular en comparación con los
hombres en las zonas rurales.
Página 133
9.
60 %
10. a) 7 956 personas
b) 1 404 lugares
c) 15 %
d)
85
100

e)
85
100
=
7 956
9 360
f) Los resultados son iguales y representan 85 % de 9 360.
11. a) $1 500.00
b) $ 11 500.00
12.
a) $1 102.00. S í, porque 100 % son $950, y al agregar 16 %, que
son $152, pagarán $1 102, cantidad que representa 116 %.
Página 134 13
.

Litros de
gasolina (L)
Tanto por
ciento
3 5
6 10
12 20
24 40
48 80
60 100
a) La capacidad del tanque es de 60 L y puede recorrer
937.5 km con el tanque lleno.
b)
100
40
=
x
24
c) R. M. x =
100(24)
40
= 60
14. a) 80 %
b) $875
c) $175
15
.
a) 340 estudiantes
b) 748 estudiantes
c) 850 estudiantes
16. a) 1 100 L
b) 20 %
c) 825 L
(Viene de la página 125) d) 220 L
e) 275 L
f
)
55 %
Página 135 1
7.
R. L. Verificar que la fórmula planteada sea correcta.
Notas
127© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Plan de clase Semana escolar 21
Lección 9. Líneas notables de la circunferencia
INICIO. En esta lección los estudiantes identificarán las rectas nota-
bles de una circunferencia y sus propiedades.
Pida a un alumno que lea la sección de inicio. Platiquen acerca
de la importancia que tiene el transporte aéreo en la actualidad, y si
conocían sus repercusiones ambientales.
Para analizar la imagen cuestione ¿Cómo trazarían las circunfe-
rencias para que queden ordenadas como se observa en la imagen?
¿Cuántas marcas hay alrededor de la circunferencia mayor? ¿Cuál es
la escala, es decir, en cuál número inicia y en cuál termina? Se espera
que los estudiantes identifiquen que todas las circunferencias tienen
el mismo centro. Pida que comparen el transportador de su juego de
geometría con la imagen del radar para que se den cuenta que los
números alrededor corresponden a los grados. Deben notar que la
escala inicia en 0° y termina en 360°.
Pregunte ¿Cómo medirían ángulos si no fuera en grados? ¿Habrá
otra forma de medir ángulos? Permita que respondan y den su opinión,
luego explique de manera sencilla los elementos del radar de la imagen.
DESARROLLO. Explique ampliamente acerca de la diferencia entre
círculo y circunferencia. Muestre con un ejemplo práctico que la circun-
ferencia es sólo el perímetro del círculo, mientras que el círculo es el
área junto con el perímetro. Por ejemplo, un jardín tiene forma circular,
si cercamos el jardín, las cercas denotarían el perímetro y el pasto con
la cerca sería el círculo. Señale también las zonas interior y exterior
de la circunferencia. Observe que los estudiantes utilicen correcta-
mente el término circunferencia al referirse al perímetro o contorno.
De ser el caso, responda las dudas que surjan durante las actividades.
Trace y muestre a los alumnos las rectas notables de la circunfe-
rencia. Después de explicar las definiciones puede realizar la siguiente
actividad lúdica: dibuje en un rotafolio una circunferencia y los seg-
mentos y rectas notables, en tarjetas de cartón escriba los nombres
correspondientes y en el reverso coloque cinta adhesiva para pegarlas
sobre el papel. Por turnos, los estudiantes deberán ubicar los nombres
en el lugar correspondiente. Una variante de esta actividad es que el
alumno que colocará el nombre tenga los ojos cubiertos, y otro
le dé indicaciones de forma semejante al juego “Ponle la cola al burro”.
Para que recuerden los nombres de los segmentos y rectas nota-
bles, hagan juegos de “memorama” elaborados por los estudiantes.
Señale que puede existir una infinidad de radios, diámetros, cuer-
das, secantes y tangentes.
Es importante que realicen trazos utilizando su juego de geome-
tría, pero también herramientas digitales como GeoGebra. Muestre
el uso de este software, ya que será de gran apoyo en las lecciones
de geometría. Pida a los estudiantes que tracen la tangente a una
circunferencia utilizando las dos herramientas. Pida que los alumnos
repitan los trazos de la página 141 para practicar.
Libro del alumno: Páginas 138-141
Fecha:
Orientaciones didácticas
Lección 9
Contenido. Circunferencia, círculo y esfera.
Aprendizaje. Identifica y traza las rectas notables en la
circunferencia y las relaciones entre ellas.
Tema. Trazo con regla y compás de las líneas notables de
una circunferencia. Relaciones entre las rectas notables
de una circunferencia.
Error frecuente
Lección 9. Líneas notables de la circunferencia
Con frecuencia, algunos estudiantes tienen problemas para me-
dir ángulos con el transportador, confunden las dos graduacio-
nes que tiene o simplemente no recuerdan cómo alinear el cero
para poder medir. Explique cómo se utiliza cada instrumento del juego de geometría, posteriormente elabore un dibujo en el pizarrón y ejemplifique la manera de trazar y medir ángulos con las dos escalas del transportador.
Otro error se puede presentar al usar el compás. Recuérdeles
con ejemplos su uso para evitar el error en trazos de curvas
y círculos.
Es común que algunos estudiantes confundan las defini-
ciones y propiedades de las rectas notables y sus puntos de intersección.
128© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Audiovisual
La información del siguiente video es útil para estudiar las
rectas notables que existen en un círculo y la circunferencia.
•
“Partes del círculo”, disponible en www.edutics.mx/xQJ
Sitios web
En esta página hay un poco más de información acerca de los radares aéreos, qué son y cómo funcionan. • “Aviación”, disponible en www.edutics.mx/xQZ
En esta página web encontrará ejemplos y ejercicios interac- tivos de rectas notables en una circunferencia. •
“La circunferencia”, disponible en www.edutics.mx/xQ4
• “Partes del círculo”, disponible en www.edutics.mx/xQ3
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica las rectas notables de la circunferencia.
Portafolio de evidencias •
Indique a los estudiantes incluir las rectas y segmentos tr
azados en la circunferencia de la
actividad 3. También pida que incluyan la actividad de cierre.
Traza con regla y compás las rectas notables de la circunferencia.
Identifica las propiedades de la
tangente y las cuerdas.
Recursos digitales
• Para complementar los contenidos de la lección, se sugiere que los alumnos r
ealicen la actividad interactiva
“Propiedades de la tangente”.
Recursos de apoyo complementarios
Interdisciplina
El contexto del transporte aéreo se relaciona con la disciplina de Tecnología.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Se
sugiere fotocopiar y ampliar la imagen de la página 138 para que
puedan realizar la actividad.
Permita que los alumnos hagan una reflexión acerca de la importan-
cia del conocimiento y aplicación de las rectas notables en un círculo.
Realice una retroalimentación del tema.
Notas
Programa Construimos Futuro
Ciudadanía. Utilice el tema abordado en las actividades de inicio y cierre para mencionar que, históricamente, empleos relaciona- dos con la aviación han tenido sesgo de género, de manera que
solo sean hombres quienes pilotean un avión o controlan el tráfico
aéreo. Permita que mencionen otros ejemplos de oficios o profesio-
nes en donde se han dado casos similares de desigualad y cómo puede resolverse que las mujeres tengan también acceso a estos puestos con las mismas responsabilidades y salarios.
129© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

El sistema de dos de la figura 9.3 sirve
para ejemplificar la definici?n de
com?n. En dicho sistema, las poleas representan
las y la es similar a una
tangente com?n; de hecho, como la correa pasa
por arriba y de las poleas, ?sta se puede
considerar como tangentes comunes.
f) Si mide 12 cm, ?cu?nto mide ?
g) ?C?mo es el punto respecto a la circunferencia?
PORTAFOLIO
Guarda en tu por tafolio
de evidencias el dibujo de
la circunferencia con los
segmentos y rec tas.

Una tangente com?n a dos circunferencias es una recta que es tangente a cada una.
4. Completa el texto con las palabras de los recuadros.
abajo poleasdos tangentecorrea circunferencias
En particular, la recta tangente a una circunferencia en un punto tiene una relaci?n particular con
el radio en dicho punto. 5. Traza una tangente a una circunferencia que pase por un punto del c?rculo. Puedes hacerlo en
papel o en GeoGebra.
6. Analiza la informaci?n y completa las afirmaciones con relaci?n a la figura 9.4.
CIERRE
1. Lee el texto y realiza lo que se pide en tu cuaderno. Considera la imagen de la secci?n inicio.
B

1 Se traza la recta que pasa por B y por .
2 Con centro en , se marcan con el comp?s los puntos y sobre la
recta , de modo que y sean iguales.
3 Con centro en , se traza un arco con radio mayor o igual que . Luego,
con centro en y con el mismo radio, se traza otro arco que se interse-
que con el anterior en los puntos y .
4 Se traza la recta , que es perpendicular a la recta y que, por tanto,
es tangente a la circunferencia en el punto .
7. Formen parejas y respondan.
a) ?Cu?l es la cuerda m?s larga de cualquier circunferencia?
b) En una circunferencia cualquiera, ?una tangente contiene una cuerda? Expliquen.

c) ?Una secante contiene una cuerda? Expliquen.

Si una recta que pasa por el centro es perpendicular a una cuerda, en-
tonces la corta en su punto medio.
En la figura se tiene que:
B , B ,
Si , entonces
B
Si , entonces
B
Figura 9.4

B

B

CON TIC?S
Utiliza el interactivo
GeoGebra en la p?gina
www.edutics.mx /N8p
para repasar los conceptos
estudiados en la lecci?n.a) Calca la imagen de la p?gina 138 y marca lo siguiente.
? El radio B que pasa por el avi?n que vuela en direcci?n a 318B.
? Una cuerda de la tercera circunferencia que sea perpendicu-
lar al radio B .
? La tangente a la cuarta circunferencia que pasa por 50B.
Los controladores de tr?fico a?reo dirigen de forma segura los mo-
vimientos de los aviones por radio y observando el radar, para ase-
gurarse de que aterrizan y despegan sin peligro ni contratiempos.
Con el radar a?reo, monitorean el vuelo del avi?n que acaba de
despegar y que se aleja en direcci?n a 318B. L?neas notables de la circunferencia
? Identifica y traza las rec tas notables en la circunferencia y las relaciones entre ellas.
L9
Unidad DOS
1. Lee el texto y responde.
Los gases de efecto invernadero, como el di?-
xido de carbono del transporte a?reo, contri-
buyen en alrededor de 3 % al total de emisiones
en el plano mundial. Debido a ello, el sector de
la aviaci?n ha implementado medidas para que
su actividad resulte sostenible, como la reno-
vaci?n de sus flotas y el uso de combustible
de aviaci?n sostenible, entre otras. Por ejemplo,
cuando los aviones siguen la ruta m?s eficiente
para arribar a su destino, evitando as?
desv?os en sus vuelos y reducien-
do el tiempo de espera para sus
aterrizajes, consiguen ahorrar
combustible. De all? deriva la im-
portancia de los controladores
a?reos, dado que se encargan
de dirigir el tr?nsito de los avio-
nes utilizando radares. Un radar
a?reo consta esencialmente de dos
partes: una pantalla y una antena giratoria, la cual recibe y transmite se?ales que permiten detectar a
aeronaves en vuelo.
a) Observa la imagen del radar. ?Cu?ntas circunferencias hay?
b) ?Qu? significan los n?meros alrededor de la circunferencia mayor?

c) En la imagen, el di?metro de la primera circunferencia equivale a 1 km y la distancia entre cada circun-
ferencia representa 2 km, aproximadamente. ?A qu? distancia del centro est? el avi?n que vuela en
los 318?
INICIO
C O N S U LTA
Para saber un poco m?s
acerca de los aviones y el
proceso de vuelo, revisa el
ar t?culo ?Por qu? vuelan los
aviones? en www.edutics.
mx /N7H
Elementos de la circunferencia
El c?rculo es una de las figuras geom?tricas b?sicas que se estudian desde primaria. La curva que de-
limita al c?rculo, es decir, su circunferencia, tiene caracter?sticas particulares.
DESARROLLO
La circunferencia es el conjunto de puntos, en un plano, que se encuentran a una misma distan-
cia de un punto fijo llamado centro.
El c?rculo est? formado por la circunferencia y la superficie delimitada por ?sta.
138
141En la circunferencia se pueden distinguir varios segmentos y rectas.
Radio. Segmento determinado por el centro de la circunferencia y un
punto de ella.
Di?metro. Segmento que tiene como extremos dos puntos de la circun-
ferencia y pasa por su centro. Su longitud es el doble de la del radio.
Cuerda. Segmento formado por los dos puntos de la circunferencia.
Secante. Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Tangente. Recta que interseca a la circunferencia exactamente en un
punto. El punto de intersecci?n es el punto de tangencia.
1. Analiza la figura 9.1 y contesta.
a) ?El punto B es interior o exterior?

b) ?C?mo es la distancia respecto a la distancia ?

c) ?El punto es interior o exterior?

d) ?C?mo es la distancia respecto a la distancia ?

La circunferencia separa al plano en tres regiones: interior, exterior y circunferencia.
2. Re?nete con un compa?ero e identifiquen en la figura 9.2 lo que se pide. Empleen la notaci?n que hace referencia a los puntos por donde pasan las rec- tas y los segmentos.
a) Tres radios de la circunferencia:
b) Una recta secante a la circunferencia:
c) Un di?metro de la circunferencia:
d) Una recta tangente a la circunferencia:
e) El punto de tangencia a la circunferencia:

Tangente
Secante
Di?metro
Centro

Cuerda
Ra dio

B

Figura 9.1
Figura 9.2
Circunferencia C?rculo
Interior
Exterior
Circunferencia
139
L9 / U2
L9 / U2
Correa
Polea 2
Polea 1
Ejes
Figura 9.3
Si una recta es tangente a una circunferencia, entonces es perpendicular a la recta que pasa
por el centro de la circunferencia y el punto de tangencia.
Si una l?nea es perpendicular a un radio y pasa por el extremo del radio que no es el centro,
entonces es tangente a ?sta.
A partir de la caracter?stica de perpendicularidad de la tangente es posible deducir una forma de
trazarla con regla y comp?s.
3. Dibuja en la circunferencia las rectas y segmentos que se indican. Utiliza tu juego de geo-
metr?a o GeoGebra.
? Un radio .
? Un di?metro .
? Una secante .
? Una tangente .
Propiedades de la tangente y de las cuerdas
Una recta puede ser tangente a dos circunferencias como se indica en la siguiente definici?n.
ENLAZA
Hay mecanismos sencillos,
como las poleas, que
se implementan para
transmitir una fuerza y
reducir el esfuerzo necesario
para mover un objeto. El
funcionamiento de dichos
mecanismos se basa en
principios de f?sica. ?Sabes
cu?l es dicho principio?
140
U2 / L9 130 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. INICIO
DESARROLLO
Página 138
1.
a) Hay 5 circunferencias.
b) Son los grados.
c) A aproximadamente 5.5 km del centro.
Página 139 1.
a)
Interior
b) Menor
c) Exterior
d) Mayor
2.
a) OB, OA y OC
b) BD o BR
c) BC
d) XY o XB o BY
e) B
Página 140
f) Mide 24 cm.
g) Es un punto interior.
3.
4.
El sistema de dos poleas de la figura 9.3 sirve para ejemplificar
la definición de tangente común. En dicho sistema, las poleas
representan las circunferencias y la correa es similar a una tan-
gente común, de hecho, como la correa pasa por arriba y abajo,
se puede considerar como dos tangentes comunes.
Página 141
5.
Verificar el procedimiento que se use para trazar la tangente,
independientemente de que se haga en papel o en GeoGebra.
6. Si OY ⊥ DC, entonces CY = DY
Si OX ⊥ AB, entonces AX = BX
CIERRE
1. a)
7. a) El diámetro es la cuerda más larga de cualquier circunferencia.
b) No, porque una tangente no pasa por el interior de la circun-
ferencia.
c) Sí, porque la secante corta a la circunferencia en dos puntos
y a partir de ellos se forma una cuerda.
W
X
P
Z
Y
Q
cuerda
radio
tangente
131

Plan de clase Semana escolar 22
Lección 10
Contenido. Circunferencia, círculo y esfera.
Aprendizaje. Investiga figuras relacionadas con círculos
y propiedades de los círculos.
Tema. Características de figuras circulares (círculo, sector
circular, segmento circular, corona circular y trapecio circular).
Lección 10. Figuras circulares
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos analicen par-
tes de la circunferencia y figuras dentro del círculo que tienen ciertas
características. Posteriormente, deberán deducir algunos resultados
a partir de ciertas propiedades geométricas.
Lean en grupo el párrafo de la sección de inicio. Pida a un estu-
diante que lea la sección “Enlaza” y en grupo analicen la importancia
de los descubrimientos arqueológicos de las antiguas civilizaciones de
México y cuál es el papel de las Matemáticas y la Tecnología para la
restauración de estos valiosos artículos.
Indique a los alumnos que pueden hacer dibujos sobre las figu-
ras para contestar. Permita que descubran técnicas para encontrar el
centro de un plato roto y determinar su radio.
DESARROLLO. Haga un recordatorio de la diferencia entre circun-
ferencia y círculo. Es importante prestar atención en que los estu-
diantes se refieran a estas figuras de forma correcta y no utilicen los
términos de manera indistinta.
Explique brevemente las partes de la circunferencia y cómo mar-
carlas con regla y compás. Resalte que al trazar un arco es posible
señalar el ángulo de referencia, de esta forma no habrá confusión
acerca de si se trata del arco mayor o menor.
Haga un repaso de los conceptos de mediatriz y bisectriz, y de
cómo trazar estas rectas. Explique cómo ubicar el centro de una cir-
cunferencia a partir de un arco y dos cuerdas. Se sugiere mostrar que
no importa el tamaño del arco o la ubicación de las cuerdas para de-
terminar el centro de la circunferencia.
Trace un círculo en el pizarrón y muestre las figuras que se pueden
definir en él, como el sector circular, semicírculo y segmento circular;
así como las que se obtienen al considerar círculos concéntricos, como
la corona y el trapecio circular.
Presente varios ejemplos de estos elementos aplicados en la vida
cotidiana, como los arcos del acueducto de Morelia, el reloj, las ruedas
de la bicicleta, una moneda, el plato y la pizza. Cada uno contiene un
diámetro y algunos se encuentran divididos en sectores circulares.
Se sugiere solicitar a los estudiantes que practiquen realizando
trazos en su cuaderno y en GeoGebra.
Pida un fichero con las definiciones de ésta y la lección anterior.
Una actividad lúdica que puede realizar en el aula es jugar “Adivina
quién geométrico”: uno de los estudiantes elegirá una de las fichas
con la definición de alguno de los elementos de la circunferencia
y del círculo, sin que sus compañeros vean cuál es. Por turnos, los de-
más harán preguntas sobre las características para adivinar la figura.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Permita
que los alumnos realicen una reflexión acerca de la importancia de las
propiedades y elementos del círculo en la vida cotidiana. Realice una
retroalimentación del tema.
Libro del alumno: Páginas 142-145
Fecha:
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Lección 10. Figuras circulares
Un error frecuente de los estudiantes es no saber trazar un
círculo con compás. Muestre ejemplos de cómo trazar círculos de diferentes radios. Asigne varias actividades para que prac-
tiquen. Muestre con varios ejemplos el uso del compás para
evitar el error en trazos de los círculos.
Posiblemente tengan confusión en cómo considerar la am-
plitud de los ángulos, sobre todo cuando éstos se hallan sobre el centro de la circunferencia. Aclare esta situación para evitar confusiones al momento de avanzar.
Es común que algunos confundan las definiciones y pro-
piedades de las rectas notables y sus puntos de intersección.
132© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Evaluación
Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica las secciones de los
círculos.
Portafolio de evidencias
•
Indique a los estudiantes incluir el mandala trazado
en la actividad 2, inciso b) del cierre. Si realizaron otros trazos en GeoGebra también deberán agregarlos al portafolio.
Fichero •
Revise que el fichero tenga definiciones y dibujos de los conceptos es
tudiados en las lecciones 9 y 10.
Traza con regla y compás las secciones circulares.
Aplica lo aprendido en la lección
para resolver problemas
aplicados.
Libros y revistas
La siguiente revista digital muestra un poco más acerca de las Matemáticas y la Arqueología. •
Daniel Juan Pineda, “Las Matemáticas en nuestro mundo cotidiano
”, Revista Digital Universitaria, vol. 10, núm. 9,
unam, 2009, disponible en www.edutics.mx/xQ5
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para estudiar las secciones de un círculo. •
“Secciones de un círculo”, disponible en
www.edutics.mx/xQS
Sitios web
En esta página web encontrará ejemplos y ejercicios interac- tivos de secciones circulares. •
“El círculo y las figuras circulares”, disponible en
www.edutics.mx/xQT
Interdisciplina
El contexto sobre restauración arqueológica de restos de civili-
zaciones antiguas se relaciona con las disciplinas de Geografía
e Historia.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• Para complementar los contenidos de la lección, se sugiere que los alumnos r
ealicen la actividad interactiva
“Figuras en el círculo”.
Notas
Programa Construimos Futuro
Vida saludable. Compartan ejemplos de actividades que les hacen
sentir bien y les permiten relajarse de aquellas situaciones que les
generan estrés o ansiedad. Mencione que además de éstas, está bien pedir ayuda y que, en caso de ser necesario, es posible soli- citar apoyo profesional psicológico o psiquiátrico y esto no debe verse estigmatizado.
133© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Figuras en el c?rculo
El c?rculo es una superficie y, dentro de ?sta, se encuentran algunas secciones determinadas por los
segmentos de la circunferencia.
Dos c?rculos conc?ntricos tie-
nen el mismo centro y distinto
radio, uno mayor que otro.
Una corona es la regi?n de-
limitada por dos c?rculos
conc?ntricos.
Un trapecio circular est?
definido por dos radios de una corona circular.
3. Analiza la figura anterior y contesta.
a) ?Cu?l es el sector de mayor tama?o en un c?rculo?
b) ?A qu? fracci?n del c?rculo equivale un semic?rculo?
Al considerar dos c?rculos se obtienen otras regiones.
4. Escribe c?rculos conc?ntricos , corona circular, trapecio circular o ninguno, seg?n sea el caso.
Sector
circular
Segmento
circular
Semic?rculo
C O N S U LTA
En la p?ginaCwww.edutics.
mx /NBA puedes observarC
construcciones ar t?sticasC
con f iguras que tienen forma
de arcos, circunferenciaNC
y figuras circulares.
Un sector circular es una regi?n delimitada por dos
radios y el arco entre ellos. A su vez, se conoce
como semic?rculo la parte comprendida entre unC
di?metro y su semicircunferencia. Y un segmento
circular es la porci?n que est? limitada por unaC
cuerda y el arco correspondiente.
B

TOMA NOTA
Recuerda que el c?rculo, al igual que la circunferencia,C est? def inido por el centroC
y la medida del radio.Para nombrar un sector circular se puede hacer referencia a la medida del ?ngulo central aso-
ciado y, de la misma manera, se pueden nombrar los trapecios circulares.
Si dos sectores circulares est?n en un mismo c?rculo y presentan el mismo ?ngulo, entonces tie-
nen arcos iguales. Dos trapecios circulares formados con los mismos c?rculos conc?ntricos son
iguales si los sectores circulares correspondientes son iguales.
Sector circular
de 90B
CIERRE
1. Localiza el centro de la circunferencia en el boceto de restauraci?n de la p?gina 142. Utiliza tu juego geom?-
trico y la propiedad de las mediatrices de cuerdas.
2. Analiza el texto y el mandala. Luego realiza lo que se pide en tu cuaderno.
Los mandalas son dibujos con formas circulares que
se emplean para relajarse y contrarrestar el estr?s.
a) ?Qu? figuras de las que estudiaste en la lecci?n iden-
tificas en el mandala?
b) Dise?a un mandala. Puedes hacerlo en papel o con GeoGebra.
a) Si alguna de las figuras no corresponde a la clasificaci?n, explica cu?les son las condiciones que
no se cumplen.

Sector circular
de 60B
Trapecio circular
de 120B
Trapecio circular
de 180B
B

5. Analiza la figura 10.1 y anota las figuras circulares que se piden. Considera que los segmentos y son
perpendiculares.
a) Todos los sectores circulares iguales.
b) Todos los trapecios circulares iguales.
PORTAFOLIO
Guarda el mandala que
dise?aste en tu por tafolio
de evidencias.
Colorear
mandalas es
recomendado con
frecuencia para
reducir la ansiedad
y para desarrollar la
creatividad. ?Por qu?
es impor tante buscar
alternativas que nos
ayuden a expresar
y manejar nuestras
emociones?
Figura 10.1
145Unidad DOS
Figuras circulares
? Investiga figuras relacionadas con c?rculos y propiedades de los c?rculos.
L10
1. Lee el texto, observa la imagen y responde.
Gracias a la restauraci?n arqueol?gica es posible conocer el arte de las antiguas
civilizaciones que habitaron el territorio nacional. Se trata de una tarea minucio-
sa, ya que muchas veces el objeto se recupera en fragmentos que es necesario
unir. Para ello, se analiza cada parte y se elaboran esquemas que permiten saber
la forma y el tama?o original. En el proceso de restauraci?n de un plato de ce-
r?mica encontrado en una excavaci?n en el territorio maya, se elabor? un boceto
a partir de dos fragmentos y se concluy? que ten?a forma circular. Luego de de-
terminar su tama?o se pegaron todas las piezas y se restaur? completamente.
a) ?Qu? medida se necesita conocer para determinar el tama?o de un c?rculo?

INICIO
Plato policromado con dibujos
de murci?lagos, per teneciente
a la cultura maya (320 a 987 d. C .).
Partes de la circunferencia
En la circunferencia se pueden distinguir partes de ella que reciben nombres especiales.
DESARROLLO
ENLAZA
La civilizaci?n maya se
desarroll? en el sur de
M?xico y varios pa?ses
de Centroam?rica. Es
uno de los pueblos
mesoamericanos que se
estudian en Historia.
b) ?C?mo podr?as ubicar el centro del c?rculo en el boceto?

c) ?C?mo puedes determinar el radio del c?rculo?

Boceto de
restauraci?n
El arco de una circunferencia es una porci?n delimitada por dos puntos en ella, o bien, es la parte
de la circunferencia determinada por los extremos de una cuerda. Es posible ubicar un arco a
partir de un ?ngulo que tenga su v?rtice en el centro de una circunferencia. En consecuencia, si
el ?ngulo es menor que 180B, se dice que se forma un arco menor, y si supera los 180?, entonces
se trata de un arco mayor.
B

El arco
es un arco menor.
El arco
es un arco mayor.
TOMA NOTA
Un ?ngulo que tiene su
v?r tice en el centro de una
circunferencia y sus lados
son dos radios de la misma,
se conoce como ?ngulo
central.
142
L10 / U2
144La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. Del mismo modo, las media-
trices de cuerdas distintas coinciden en el centro de la circunferencia.
Si se conocen los extremos de un arco, se puede trazar la cuerda correspondiente.
1. Formen parejas y tracen en la circunferencia lo que se pide. Luego respondan.
B

B
Una semicircunferencia es el arco que abar-
ca la mitad de la circunferencia, es decir,
queda delimitada por los extremos de un
di?metro y el ?ngulo que forma con ellos es
de 180?.
? Marquen un arco sobre la cir-
cunferencia.
? Tracen la cuerda correspondiente
.
? Tracen la mediatriz de .
? Marquen otro arco sobre la
circunferencia.
? Tracen la cuerda correspondiente
.
? Tracen la mediatriz de .
a) ?La mediatriz de pasa por el centro de la circunferencia?
b) ?La mediatriz de pasa por el centro de la circunferencia?

c) ?D?nde se intersecan las dos mediatrices construidas anteriormente?
d) ?Por qu? el centro de la circunferencia es un punto de la mediatriz de una cuerda?

A partir de la actividad anterior, se establece que:
La propiedad de las mediatrices de las cuerdas sirve para determinar el centro y el radio
de una circunferencia cuando se conoce uno de sus arcos.
2. Realiza los trazos que se indican.
? Sobre el arco, elegir dos puntos B
y para determinar el arco .
? Traza la cuerda .
? Traza la mediatriz de .
? Elige dos puntos y que deter-
minan el arco .
? Traza la cuerda .
? Traza la mediatriz de .
? Marca como el punto de inter-
secci?n de las mediatrices y .
a) ?C?mo son las distancias , , y ?
b) ?Cu?l es el centro y el radio del c?rculo del cual el arco forma parte?

? Dibuja el c?rculo que contiene al arco.
El arco es una
semicircunferencia.

B
143
L10 / U2
U2 / L10 134 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. INICIO
DESARROLLO
Página 142
1. a) El centro y el radio.
b) Trazando dos cuerdas distintas de la circunferencia y sus res-
pectivas perpendiculares, el punto en donde se intersecan es el centro.
c)
Midiendo del centro hacia uno de los extremos del círculo.
Página 143 1.
a)
Sí
b) Sí
c) En el centro de la circunferencia.
d) Porque las mediatrices de las cuerdas del círculo se interse-
can en un punto llamado circuncentro. El circuncentro coinci-
de con el centro de la circunferencia.
2. a) Las distancias son iguales.
b) El centro es el punto de intersección de las mediatrices l y k.
El radio del círculo son los segmentos OA , OB, OC, OD.
•
CIERRE
1.
2. a) Círculos, coronas circulares, círculos concéntricos.
b) R. L. Verificar que tenga coronas circulares, sectores circula-
res o trapecios circulares.
Página 144
3. a) El mismo círculo
b) A la mitad o
1
2
4.
Primer nivel, de izquierda a derecha: Ninguno, Círculos concén-
tr
icos, Ninguno, Trapecio circular Segundo nivel, de izquierda a derecha: Corona circular, Trapecio
circular, Ninguno, Círculo
Página 145
a) En la primera, la tercera y la penúltima figura los círculos no
son concéntricos.
5. a) AOC y C OB, DOF y EOF
b) ACFD y BCFE, ABED y BADE
C
A
B
O
D
O
Y
D
B
lC
A
X
A
B
C
D
O
135

Plan de clase Semana escolar 23
Lección 11. Gráficas circulares
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos tracen, analicen
e interpreten información presentada en gráficas circulares.
Lean en grupo el inicio de la sección y analicen los datos en la
gráfica. Pregunte ¿Para qué se necesita un seguro médico? ¿Es im-
portante tener un seguro médico? ¿Qué representarán los porcentajes
que aparecen en la gráfica? Permita que den su opinión y revisen en
grupo las respuestas a los cuestionamientos.
Para el desarrollo adecuado de la lección, los estudiantes deben
haber alcanzado varios aprendizajes en las lecciones previas: opera-
ciones con números decimales, regla de tres, cálculo de porcentajes,
trazo de circunferencias y sectores circulares. Si lo considera necesario,
haga un repaso general de estos temas.
DESARROLLO. Se sugiere preparar con anticipación recortes de pe-
riódicos y revistas donde se muestren gráficas circulares. Puede pedir
a los alumnos que también busquen y lleven impresiones o recortes.
Deben ser de temas diversos, para que observen que las gráficas
circulares se utilizan en muchos contextos cotidianos.
Explique brevemente para qué se utiliza la gráfica circular y cómo
leer los datos. Mencione a detalle los elementos de la gráfica circular
con el ejemplo de la sección “Inicio”. Pida a los estudiantes que también
ubiquen los elementos de la gráfica en los ejemplos que lleven a clase.
Haga un repaso de cómo calcular valores desconocidos utilizan-
do la regla de tres. Retome también el concepto de sector circular
y cómo se determina. Luego explique paso a paso cómo se construye
una gráfica circular y pida que resuelvan la actividad 2.
Antes de resolver la actividad 3, haga un recordatorio del concepto
de porcentaje y cómo se calcula la frecuencia relativa. Permita el uso de
la calculadora. Comente que cuando trabajan con muchos datos deben
tener cuidado de no cometer errores al copiar los números, sugiera
revisar al menos una vez los datos antes de presentar sus resultados.
Mencione que hay pistas que les pueden ayudar a detectar errores;
por ejemplo, la suma de los porcentajes debe ser 100
%, o bien que
la suma de los ángulos de todos los sectores circulares debe ser 360° .
Resalte que al construir una gráfica circular se debe verificar que
se cumplan las características que se enlistan en el esquema de la página 148, a fin de evitar errores.
Muestre la manera de representar datos de una encuesta en una
gráfica circular. Proponga el desarrollo de una encuesta acerca del
gusto por los géneros musicales entre sus alumnos, tabule los resul- tados y grafique frente al grupo el diagrama circular correspondiente. De ser el caso, responda las dudas que surjan.
Después de que hayan construido al menos una gráfica utilizan-
do su juego geométrico, muestre que es posible construir gráficas en una hoja de cálculo. Explore con los alumnos las herramientas para insertar gráficos en Excel. Muestre los distintos estilos que se pue-
den utilizar. Reitere que aunque la computadora les puede facilitar la construcción de gráficas, lo más importante es saber leer la informa- ción en ella e interpretarla.
Libro del alumno: Páginas 146-149
Fecha:
Orientaciones didácticas
Lección 11
Contenido. Obtención y representación de información.
Aprendizaje. Usa tablas, gráficas de barras y circulares para
el análisis de información.
Tema. Recolección, registro en tablas y lectura de datos en
gráficas circulares.
Error frecuente
Lección 11. Gráficas circulares
Con frecuencia, algunos estudiantes no aplican correctamen- te la regla de tres para obtener los ángulos correspondientes a cada sector circular. Mencione que 360° equivalen al 100
%
del sector circular y x gr
ados corresponde al porcentaje obte-
nido en el problema.
A menudo tienen problemas al no trazar correctamente los
sectores circulares con regla y compás. Haga un breve recor-
datorio del manejo del juego de geometría y trazo de los sec- tores circulares.
Ocasionalmente los alumnos no interpretan correctamen-
te los datos contenidos en la gráfica circular. Mencione que
a mayor área del sector circular, mayor porcentaje equivaldrá
en el problema.
136© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Audiovisual
La información del siguiente video es útil para estudiar la for-
ma de graficar diagramas circulares.
•
“Cómo hacer una gráfica circular”, disponible en
www.edutics.mx/xQp
Sitios web
En esta página web encontrará un ejercicio interactivo de gráficas circulares. •
“Ejercicio gráfica circular”, disponible en
www.edutics.mx/xQc
La siguiente página muestra ejemplos de cómo interpretar las gráficas circulares. •
“Lectura e interpretación de gráficas circulares” disponible
en www.edutics.mx/xQq
Recursos digitales
• Para complementar los contenidos de la lección, se sugiere que los alumnos r
ealicen las actividades
interactivas “Construyendo gráficas” y “¿Qué tan grande es la rebanada?”.
Recursos de apoyo complementarios
Interdisciplina
El contexto de acceso a la atención médica y la salud en México
y en el mundo se relaciona con las disciplinas de Biología, Educación
Física y Geografía.
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Asigna las proporciones correctas al círculo de acuerdo con los porcentajes.
Portafolio de evidencias •
Indique a los estudiantes incluir el tutorial de cómo hacer una gráfica cir
cular.
Identifica los datos contenidos en una gráfica circular.
Aplica sus conocimientos para
representar en gráficas circulares
problemas planteados.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Permita
que reflexionen acerca de la importancia del número de médicos por cada 100
000 habitantes. Permita que den sus reflexiones y opinio-
nes. Realice una retroalimentación del tema.
Las actividades de la Ficha 11 del Cuaderno de evidencias les
permitirán aplicar sus conocimientos acerca de gráficas circulares,
y crear conciencia acerca de una situación relacionada con la reduc- ción de las desigualdades.
Programa Construimos Futuro
Valores y educación socioemocional. Es posible que conversar acerca de las conductas que pueden resultar dañinas para la sa-
lud e integridad de una persona sea complicado, sin embargo,
son pláticas que deben tenerse con la finalidad de visibilizarlas
y conocer estrategias para tratarlas. Si lo desea, solicite apoyo
al departamento de orientación de la escuela para reflexionar
acerca de este tema con el grupo.
137© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

a) Dibujen la gráfica circular correspondiente
a los datos anteriores. Luego respondan
en su cuaderno.
b) ¿Qué país tiene el mayor número de mé-
dicos por cada 100 000 habitantes?
c) ¿Qué país tiene menor cantidad de médi-
cos por cada 100 000 habitantes?
d) ¿Qué países presentan casi la misma cantidad de médicos para atender a su población?
e) ¿Podrías responder las preguntas anteriores si los porcentajes no estuvieran incluidos en
la gráfica?
f) ¿Tu respuesta sería la misma si los sectores circulares fueran similares?
Aunque las gráficas de pastel son muy útiles para analizar información, tienen sus limitantes, por
ejemplo, si presentan muchos datos o si los porcentajes son muy parecidos no será fácil compa-
rar las categorías. Debido a lo anterior, para asegurar que una gráfica de pastel sea de utilidad, se debe verificar lo siguiente.
4. Analiza el texto y haz lo que se te pide.
Es esencial para las personas cuidar tanto nuestra
salud física como la emocional. Si algo nos hace sentir
mal, lo mejor es rechazarlo y buscar ayuda. Una prác-
tica que se está volviendo muy común y que afecta nuestra salud emocional es el bullying , el cual se ca-
racteriza por humillaciones, insultos, amenazas, gol-
pes, maltrato y, tristemente, se presenta con
normalidad en las escuelas de educación básica. La
tabla 11.1 muestra el porcentaje de alumnos que,
durante el 2014, fueron víctimas de algún tipo de
maltrato en su colegio.
Tabla 11.1
Tipo de maltratoNúmero de afectados
Maltrato verbal 74 %
Maltrato psicológico 21 %
Maltrato físico 17 %
Maltrato sexual 9 %
Ciberacoso 9 %
To t a l 130 %
Preferentemente tener
cinco categorías (pueden
ser más, pero procura
que sean menos que 10).
También será impor tante
eligir colores diferentes
para cada sector.
La suma de los ángulos de
los sectores circulares
debe ser 360°.
El número de sectores
debe ser igual al número
de categorías.
La suma de todos los
porcentajes debe ser
10 0 %.
Procurar que los sectores
circulares no sean muy
parecidos en tamaño.
La suma de la frecuencia
relativa siempre debe
ser 1.
2 3
6 5 4
1
Para garantizar una
vida sana y promover el
bienestar para todos, es
imprescindible contar
con los ser vicios de
salud adecuados, así
como cuidar nuestra
alimentación, hacer
ejercicio y evitar
conductas dañinas.
¿Cuáles conductas crees
que deberías evitar?
148© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
U2 / L11
a) Con los datos de la tabla anterior, ¿puedes elaborar una gráfica circular? Si es así, trázala, si
no, explica por qué.
CIERRE
1. Analiza el texto y la tabla, luego haz en tu cuaderno lo que se pide.
Según las últimas estadísticas, muchos países europeos están
experimentando una escasez de médicos, lo que afecta nega-
tivamente la calidad de atención médica que se brinda a la
población.
Las gráficas circulares permiten visualizar esta problemática,
pues ilustran cuántos médicos hay en Europa y dónde se locali-
zan. Mediante el análisis de las gráficas, se observa la proporción
de médicos por determinada cantidad de habitantes.
a) Completa la tabla y con base en los datos, elabora la gráfica circular.País
Médicos por cada
100 000 habitantes
Frecuencia
relativa
Porcentaje
(Fr ∙ 100) %
Ángulo del
sector circular
Grecia 626
Portugal 443
Noruega 439
Alemania 41 9
Italia 391
España 387
Francia 324
Reino Unido 283
To t a l
b) Responde: ¿crees que, a menor cantidad de médicos, es mayor el riesgo de no tener atención médica?
¿Cómo afectará esto a la población? Explica.
PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo para tener
evidencia de tu aprendizaje.
5. Formen equipos. Creen un tutorial sobre cómo hacer una gráfica circular. Supongan que su pú‑
blico son personas comerciantes que necesitan esta herramienta para analizar las ventas de su
negocio. Usen una hoja de cálculo para mostrar cómo se automatiza el proceso.
La falta de personal médico puede impac tar
negativamente en el bienestar de la población.
ENLAZA
En geografía se utilizan
gráf icas de pastel para
analizar diversos aspectos
de los países, como
población o economía. ¿En
qué otro aspec to has visto
su uso?
CON TIC´S
Entra en www.edutics.mx / Ng5 para usar un creador de
gráficos circulares en línea.
páginas
29 y 30
Cuaderno
de evidencias
149© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
L11 / U2
Gráficas circulares
• Usa tablas, gráficas de barras y circulares para el análisis de información.
L11
Unidad DOS
1. Lee el texto, analiza la gráfica y responde.
Una
ong realizó una consulta para evaluar cómo es el ac-
ceso a la atención médica en diferentes regiones. En conse-
cuencia, la organización elaboró una gráfica que muestra
estadísticas sobre las personas que asisten a ser-
vicios de salud públicos y privados. Lo que se
observó es que, en ciertas zonas, el acceso
a servicios de salud pública es limitado, debido
a la falta de centros de atención médica, lo que
propicia que el grueso de la población recurra
a consultorios privados. Por si fuera poco, en
regiones con menor acceso a la atención mé-
dica, la salud pública presenta una tasa de
mortalidad muy alta, debido a enfermedades
que son prevenibles y tratables. En el caso de
México, el
i n e g i realizó la gráfica de arriba.
a) ¿Qué institución atiende a un mayor número de dere‑
chohabientes?
b) ¿Qué porcentaje de la población se aseguró con una ins-
titución privada?
c) ¿Qué otra conclusión puedes sacar a par tir de la gráfica?
INICIO
Toda persona tiene derecho a un ser vicio de salud con
prestaciones opor tunas y profesionales.
DESARROLLO
Construcción de gráficas circulares
Una gráfica circular permite visualizar la distribución de un conjunto de datos, especialmente cuando se pretenden comparar proporciones de diferentes categorías.
Fuente: i n e g i
Gráfica 11.1 Distribución de la
población derechohabiente en
México
INSABI
IMSS
ISSSTE
Instituciones privadas
PEMEX
Otra institución
51 %
36 %
9 %
1 %1 %
2 %
En una gráfica circular o de pastel se representan datos numéricos en un círculo, el cual se divide
en varios sectores, cuyo tamaño es proporcional al porcentaje de diferentes categorías o varia-
bles; además, de que la suma de todos representa el 100 % de una muestra.
1. Responde con base en la gráfica de la sección Inicio.
a) ¿Cuántos par tes y cuántas categorías tiene la gráfica?
b) ¿Cuáles son las categorías?

c) ¿De qué color es el sector más grande? ¿Corresponde al mayor porcentaje?

GLOSARIO
derechohabiente. Persona
cuyos derechos derivan
de otra. Habitualmente, se
emplea este término para
hacer referencia al heredero
de una persona y, en
consecuencia, beneficiario
de los derechos
e indemnización
establecidos en una póliza.
146© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
Construcción de una gráfica circular
2. Revisa la información y completa la tabla. Luego verifica que la gráfica de pastel correspondiente
a los datos de la tabla sea correcta. Usa tu transportador para medir los ángulos de los sectores
circulares.
En una encuesta aplicada a 1 000 personas se les preguntó cómo calificarían la accesibilidad al
sistema de salud pública en México.
Categoría Porcentaje Ángulo del sector circular (°)
Muy fácil 5 % (5)(3.6°) = 18°
Fácil 20 %
Ni fácil ni difícil33 %
Difícil 30 %
Muy difícil 12 %
To t a l 10 0 %
a) ¿Qué pasa si en una tabla de frecuencias no aparece el porcentaje?

3. Reúnete en pareja y completen la tabla para analizar la cantidad de médicos con los que cuentan
ocho países del continente americano.
5 %
2 0 %
3 3 %
3 0 %
1 2 %
País Médicos por cada
100 000 habitantes
Frecuencia
relativa (Fr)
Porcentaje
(Fr ∙ 100) %
Ángulo del
sector circular
Uruguay 3 74
Cuba 752
Bolivia 47
Estados Unidos 257
Brasil 185
Argentina 402
Chile 103
México 223
To t a l
1 Recopilar los datos numéricos que se van
a representar.
2 Calcular el valor porcentual de cada dato en relación al total. Para ello, se divide el valor de cada dato entre el total y se multiplica por 100.
3 Dibujar un círculo y marcar su centro.
4 Dividir el círculo en sectores proporcionales al valor porcentual de cada dato. Para ello, usar un transportador y marcar los ángulos corres-
pondientes a cada porcentaje. Un círculo
completo mide 360°, que representan el 100 %, por
lo tanto, a la parte de x % le corresponden y °, en
donde
y° =
(360°)(x %)
10 0 %
= (3.6°)(x)
5 Colorear cada sector con un color diferente para dis-
tinguirlos entre sí, y etiquetar cada uno con la cate-
goría del dato y el valor porcentual que representa.
6 Anotar una leyenda para que el lector interprete la información de la gráfica.
TOMA NOTA
La frecuencia absoluta es
el número de veces que se
repite un resultado. A su
vez, la frecuencia relativa
se calcula dividiendo la
frecuencia absoluta entre
el total de datos; para ello,
se sugiere redondear el
resultado en centésimos.
147© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
L11 / U2
138 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Porcentaje de médicos por cada 100 000
habitantes
Cuba
Argentina
Uruguay
Estados Unidos
Bolivia
Brasil
Chile
México
16 %
32 %
2 %
4 %
12 %
12 %
17 %
10 %
Porcentaje de médicos por cada 100 000
habitantes
Portugal
España
Grecia
Alemania
Noruega
Italia
Francia
Reino Unido
19 %
13 %
13 %
13 %
12 %
12 %
10 %
8 %
INICIO
DESARROLLO
Página 146
1. a) El IMSS
b) 2 %
c) R. M. Existe mucha desigualdad en términos del acceso a servi-
cios de salud, por lo que se atienden a más personas en el sector de salud pública que en el privado.
1.
a) Tiene seis sectores y seis categorías.
b) IMSS, INSABI, ISSSTE, Instituciones privadas, PEMEX y Otra
institución.
c) El sector más grande es anaranjado y sí, corresponde al 51 %.
Página 147 2
.
Fácil: 72°; Ni fácil ni difícil: 118.8°; Difícil 108°; Muy difícil: 43.2°
a) R. M. No tiene un sector asociado en la gráfica circular.
3.
País Médicos …
Frecuencia
relativa (Fr)
Porcentaje
Fr ∙ 100 %
Ángul
o …
Uruguay 374 0.16 16 57. 6°
Cuba 752 0.32 32 115.2°
Bolivia 47 0.02 2 7. 2°
Estados
Unidos
257 0.11 11 39.6°
Brasil 185 0.08 8 28.8°
Argentina 402 0.17 17 61.2°
Chile 103 0.04 4 14.4°
México 223 0.1 10 36°
Total 2
343 1 100 36 0°
Página 148
a)
CIERRE
1. a)
País Médicos …
Frecuencia
relativa (Fr)
Porcentaje
Fr ∙ 100 %
Ángul
o …
Grecia 626 0.189 18.9 68.04°
Portugal 443 0.134 13.4 48.24°
Noruega 439 0.133 13.3 47. 8 8°
Alemania 419 0.127 12.7 45.72°
Italia 391 0.118 11.8 42.48°
España 387 0.117 11.7 42.12°
Francia 324 0.098 9.8 35.28°
Reino
Unido
283 0.085 8.5 30.6°
Total 3
312 1 .001 100 360°
b) Las consecuencias de tener pocos médicos pueden ser fata-
les en caso de una emergencia nacional, como lo fue en el 2020 con el Covid-19. Se saturan hospitales y la gente puede morir por falta de atención debido a la falta de médicos.
b)
Cuba
c
)
Bolivia
d) Argentina y Uruguay; México y Estados Unidos de América
e) R. M. Depende de qué tan pequeños sean los sectores circu-
lares.
f) No, en ese caso no podría hacer la comparación.
Página 149
4.
a) No es posible elaborar la gráfica pues el total es mayor al 100 %.
El porcentaje se calcula sobre una matrícula que representa el 100
%, los datos en este caso no tienen sentido y por eso no
se puede realizar la gráfica circular.
5. R. L.
139

Plan de clase Semana escolar 24
Lección 12. Tablas de frecuencia y medidas de tendencia
central
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos determinen
e interpreten información mediante el uso de la media, mediana y
moda en un conjunto de datos. Pregunte ¿Consideran que internet
es muy necesario en estos tiempos? Si se realizara una encuesta del
uso de celulares, ¿cómo organizarían los datos? Permita que den su
opinión. Lean en conjunto el inicio de la sección y analicen los da-
tos presentados en la gráfica de barras. Tracen una línea horizontal
a la altura de 74.4, que es aproximadamente el dato del promedio de
los porcentajes, dicha línea debe extenderse a lo ancho de la gráfica,
a partir de esta línea podrán contestar el inciso c).
DESARROLLO. Explique brevemente para qué se utilizan las tablas
de frecuencia y cómo calcular sus elementos: frecuencia absoluta, fre-
cuencia relativa y frecuencia relativa acumulada. Mencione que para
analizar la información y datos recabados en un experimento científico
o social, la búsqueda de patrones es realmente útil, y que para lograr
identificarlos es necesario encontrar distintas representaciones que
pueden ser gráficas o tabulares, y para elegirla dependerá de los datos
registrados. De igual manera, calcular las medidas de tendencia central
es útil en la búsqueda de patrones en los datos y permite hacer com-
paraciones. Enfatice en que si los datos son muy cercanos entre sí, las
medidas de tendencia central serán muy próximas. Muestre la manera
de representar datos de una encuesta en una tabla de frecuencias,
por ejemplo, con el desarrollo de la lección anterior relacionada con
el gusto por los géneros musicales entre sus estudiantes, y calculen
la media, mediana y moda de los datos obtenidos. Si es necesario,
responda las dudas que surjan en el desarrollo de las actividades.
Solicite a algunos estudiantes elegidos al azar que elaboren plan-
teamientos de situaciones que les gustaría estudiar, y que convenga
analizarlos con tablas de frecuencia y medidas de tendencia central,
con la finalidad de afianzar que han comprendido lo que se busca en
cada tema
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Permita
que realicen una reflexión acerca de la importancia del uso de internet
y los dispositivos móviles, y comenten cómo consideran que sea el
acceso a estas tecnologías en la población en general y la forma
en la que esto impacta en el desarrollo y la igualdad de oportunidades.
Mencione lo importante que son las tablas de datos pues permiten
resumir una gran cantidad de éstos para la toma de decisiones. Permita
que los alumnos den sus reflexiones y opiniones y realice una retroa-
limentación del tema.
Las actividades de la Ficha 12 del Cuaderno de evidencias les
permitirán aplicar sus conocimientos acerca de tablas de frecuen-
cia y medidas de tendencia central, y crear conciencia acerca de una
situación relacionada con la salud y bienestar.
Libro del alumno: Páginas 150-153
Fecha:
Orientaciones didácticas
Lección 12
Contenido. Interpretación de la información a través de medidas de tendencia central y de dispersión.
Aprendizaje. Determina e interpreta la frecuencia absoluta,
la frecuencia relativa, la media, la mediana y la moda en un
conjunto de datos.
Tema. Frecuencia absoluta y relativa de un conjunto de
datos. Cálculo de medidas de tendencia central de un
conjunto de datos con base en tablas de frecuencias.
Error frecuente
Lección 12. Tablas de frecuencia y medidas de ten-
dencia central
Es posible que algunos estudiantes no ordenen los datos co-
rrectamente al construir las tablas de frecuencias. Haga hinca-
pié en que se deben ordenar para facilitar un análisis posterior.
A veces cometen errores como no identificar correctamente
la media, la mediana o la moda. Muestre que la media es sim-
plemente el promedio, como ejemplo presente un conjunto de
calificaciones y calcule su promedio. Explique que la mediana
debe ser calculada con datos ordenados de forma ascenden-
te o descendente y que su valor es justo el que se encuentra
en medio, en caso de ser dos valores, se saca el promedio de
éstos. Exponga que la moda se presenta con los números que
más se repiten.
140© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
El siguiente comunicado digital muestra resultados de en-
cuestas en el uso de internet.
•
Encuesta nacional sobre disponibilidad y usos de la tecnología de la inf
ormación en los hogares (2021), Inegi,
disponible en www.edutics.mx/xMu
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para estudiar la for- ma de tabular datos. •
“Tabla de frecuencias”, disponible en www.edutics.mx/xML
Sitios web
En esta página web encontrará un ejercicio interactivo de Tabla de frecuencia y Medidas de tendencia central. • “MTC y Tabla de frecuencia”, disponible en
www.edutics.mx/xMb
Recursos digitales
• Para practicar el cálculo de medidas de tendencia central, se sugiere que los alumnos r
ealicen la actividad interactiva
“Piezas defectuosas”.
• Se recomienda que los estudiantes realicen la actividad
interactiva “Frecuencias” para complementar el tema de tabla de frecuencias.
Recursos de apoyo complementarios
Interdisciplina
En la lección 12, los problemas de inicio y cierre se relacionan con las disciplinas de Educación Física y Tecnología.
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Calcula e identifica las medidas de tendencia central.
Portafolio de evidencias •
Pida a los estudiantes incluir los resultados obtenidos de la encues
ta realizada en la actividad de cierre.
Revise que los resultados y su interpretación sean correctos.
Interpreta la frecuencia absoluta
y relativa.
Aplica sus conocimientos para
representar datos de problemas
planteados en tabla de
frecuencias.
Notas
Programa Construimos Futuro
Vida saludable. Al finalizar la actividad de cierre, después de ha- ber compartido el impacto negativo que podrían tener los dispo-
sitivos electrónicos en la salud o el rendimiento de una persona, mencione que este impacto puede disminuirse si se emplean con un objetivo claro, de esta manera se minimizan las distracciones y se permite tener tiempo disponible para disfrutar otras activi- dades, como dar un paseo al aire libre o realizar alguna actividad recreativa lejos de las pantallas.
141© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Las medidas de tendencia central
Las medidas de tendencia central, como la media, la mediana y la moda, son herramientas importantes
en el análisis estadístico, ya que proporcionan información sobre el valor típico de un conjunto de datos
y permiten comparar diferentes grupos y establecer conclusiones.
3. Reúnete en pareja, analicen la situación y hagan en su cuaderno lo que se pide.
A una empresa de espectáculos le interesa ofrecer conciertos de artistas que sean más atractivos
para su público. Por ello, tras un concierto, realizó una encuesta para conocer las edades de los
asistentes, con la finalidad de saber a qué grupos y cantantes contratar a futuro.
a) Completa la tabla de frecuencias para el estudio estadístico y responde.
Cuando se cuenta con una tabla de frecuencias para un conjunto de datos, las medidas de
tendencia central se calculan de esta manera:
Tabla de frecuencias de las edades de los asistentes a un concierto
Dato (Edad)
Frecuencia
absoluta (F. A)
Frecuencia
relativa (F. R)
Dato ∙ F. R
Frecuencia relativa
acumulada F. R. A
12 4
13 2
14 14
15 5
16 3
17 6
18 15
19 13
20 9
21 6
To t a l 77 1
b) Anota el valor de las medidas de tendencia central y cómo se obtienen.
c) De acuerdo con los datos, ¿cuál fue la edad que más se repitió entre quienes asistieron al con-
cierto? ¿Cómo llegaste a esa respuesta?
d) Considerando lo anterior, ¿ el concier to estuvo dirigido a jóvenes de menores de 15 años o a
mayores de 15 años? Explica.
TOMA NOTA
En un estudio estadístico
completo no sólo se
considera a las medidas
de tendencia central, sino
también las medidas de
dispersión, como el rango,
que mide qué tanto se
alejan los datos de alguna
de las medidas de tendencia
central.
Media o media
aritmética
• Se multiplica el dato
por su correspondiente
frecuencia relativa.
• Se suman los productos
obtenidos en el paso
anterior. El resultado
obtenido es la media del
conjunto.
Moda
• Se obser va qué
datos tienen la mayor
frecuencia absoluta.
• El conjunto puede tener
una o más modas.
Mediana
• Basta sumar las
frecuencias relativas
hasta llegar al dato
donde se tiene al menos
el 50 % de los datos,
es decir, el primer dato
donde la suma es mayor
o igual a 0.5.
152© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
U2 / L12
CIERRE
1. Lee y realiza lo que se pide en tu cuaderno.
De acuerdo con los resultados de un estudio, hecho por la revista Psychological Science , los tiempos máxi-
mos convenientes para el uso de dispositivos electrónicos dedicados al entretenimiento deberían ser estos:
El uso excesivo de
dispositivos elec trónicos
puede afectar nuestra
salud física, mental y
emocional.
4. Analiza la situación, completa la tabla y responde.
Joaquín labora en el área de estadística de un servicio de
paquetería y recibió un reporte sobre la cantidad de pe-
didos que se han hecho, de diferentes montos, en el primer
turno de trabajo. La tabla muestra la información.
a) Encuentra la media, la mediana y la moda.

b) ¿Cuál es el monto que, en promedio, paga la gente por
un pedido? Explica.

c) ¿Qué medida de tendencia central corresponde con el
pedido de mayor demanda?

Valor F. A . F. R .F. R. ADato ∙ F. R .
$100.00 7
$200.00 3
$300.00 6
$400.00 2
$500.00 4
$600.00 3
$700.00 5
$800.00 4
$900.00 4
$1 000.00 2
To t a l40
Actividad
Duración
máxima por día
Videojuegos 1 h 40 min
Teléfonos móviles 1 h 57 min
T V y películas 3 h 41 min
PC 4 h 17 min
a) En grupo, elabora una encuesta sobre el tiempo que tus compañeros del colegio le
dedican a cada actividad que aparece en la tabla.
b) Presenta los datos en una tabla de frecuencias y calcula las medidas de tendencia
central.
c) Haz una reflexión respecto al tiempo que tú y tus compañeros le dedican a los dispo-
sitivos electrónicos, así como a las repercusiones de ello, por ejemplo, en su rendi-
miento escolar.
ENLAZA
En biología e ingeniería,
la aplicación de los
estudios estadísticos
permite entender
fenómenos sociales y de
compor tamiento humano;
por ejemplo, en www.
edutics.mx /Ng8 existen
publicaciones con estudios
sobre acceso a la tecnología,
educación, etcétera.
¿Consideras que estas
publicaciones deberían
difundirse entre la población
en general? ¿Qué se
necesitaría para ello? ¿Cuál
sería el benef icio?
páginas
31 y 32
Cuaderno
de evidencias
153© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
L12 / U2
Tablas de frecuencia y medidas
de tendencia central
• Determina e interpreta la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa, la media, la mediana
y la moda en un conjunto de datos.
L12
Unidad DOS
1. Analiza el texto y responde.
La conexión a internet y el uso de dispositivos
móviles han modificado nuestras formas de tra-
bajar, estudiar, distraernos e interactuar. Aunado
a ello, las redes sociales están propiciando un serio
problema, ya que están afectando las relaciones
personales y afectivas de los jóvenes, debido a
su consumo desmedido.
Según la Encuesta Nacional sobre Disponibilidad
y Uso de Tecnologías de la Información en los
Hogares del año 2020, en México, 9 de cada 10
jóvenes tienen acceso a un teléfono celular, en un
aproximado de 25.4 millones, entre los 12 y 24
años que utilizan internet.
INICIO
Fuente: Encuesta Nacional sobre Disponibilidad y Uso de Tecnologías de la Información en los Hogares (e n d u t i h) 2020.
a) Con base en la gráfica, ¿en qué rango de edad se encuentra la mayoría de los usuarios de internet?
b) ¿En qué rango está el menor número de usuarios de internet?
c) Observa la línea horizontal e imagina que las barras se distribuyeran, de manera que todas quedasen
de la misma altura. De cada 100 personas, ¿cuántas tendrían acceso a internet?
Con la llegada de los dispositivos elec trónicos y las redes sociales, la
interacción entre los individuos ha cambiado.
Gráfica 12.1 Distribución de los usuarios de internet por grupos de edad, 2020
Rangos de edad (años)
6 a 11 12 a 17
9 0.2 %
18 a 24
9 0.5 %
25 a 34
87.1 %
35 a 44
78 .5 %
45 a 54
68 .6 %
55 o más
37.5 %
68 . 3 %
9.1
millones
13.2
millones
13.8
millones
12.2
millones
16 .1
millones
11 . 0
millones
8.8
millones
0
Porcentaje de usuarios (%)
60
50
80
70
10 0
90
40
30
20
10
150© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
DESARROLLO
Tablas de frecuencia
Con la organización de datos es posible contar con una visión general e inmediata del comportamiento
de cualquier situación que se analiza.
1. Lee y responde.
Se aplicó una prueba de comprensión lectora a un grupo de 21 alumnos de 1°. de secundaria. Las
puntuaciones obtenidas fueron: 121, 135, 82, 66, 115, 75, 77, 113, 81, 45, 80, 66, 112, 112, 111,
80, 99, 104, 79, 140, 80. La interpretación sobre el nivel de comprensión lectora es la siguiente:
Bajo, menos de 80; Normal, entre 80 y 120; y Elevado, más de 120.
a) ¿En qué nivel de habilidad se encuentra la mayoría de los evaluados?
b) De acuerdo con la información, ¿qué puntuación se repitió más?
c) Comenta con un compañero, ¿qué tan fácil fue obtener las respuestas anteriores?
En una tabla de frecuencias se presentan los datos de manera resumida, ya que contiene las diferentes catego-
rías, así como sus respectivas frecuencias.
2. Reúnete en equipo. Completen las columnas Frecuencia absoluta y Frecuencia relativa de la
tabla.
Tabla de frecuencias de la prueba de Comprensión lectora
Puntuación
Frecuencia
absoluta (F. A .)
Frecuencia
relativa (F. R.)
Dato ∙ F. R .
Frecuencia relativa
acumulada F. R. A .
66 66 × 0.1428 = 0.1428
77 0.1428 + 0.0952 = 0.238
79 0.238 + 0.0476 = 0.2856
80
99
111
112
113
121
135
To t a l 21 1
TOMA NOTA
Cada valor de la frecuencia
relativa acumulada se
obtiene sumando el valor
correspondiente de la
frecuencia relativa más el
valor anterior. Nota que la
última celda de esta columna
es 1, lo cual signif ica que ya
se alcanzó el 100 por ciento
de los datos.
Frecuencia absoluta
( F. A . )
Frecuencia relativa
( F. R . )
Frecuencia relativa
acumulada (F. R. A .)
Es el número de veces que se
repite un valor en una muestra.
La suma de las frecuencias
absolutas es igual al número total
de datos.
Es la suma de las frecuencias
relativas de todos los valores
inferiores o iguales al valor
considerado.
Es el cociente entre la frecuencia
absoluta de un determinado valor
y el número total de datos.
Su valor está entre 0 y 1. La suma
total de las frecuencias relativas
es 1.
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L12 / U2
142 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. INICIO
DESARROLLO
Página 150
1. a) De 18 a 24 años
b) En el de 55 o más
c) 74 . 39 %
Página 151 1
.
a) Normal
b) 112, 80 y 66
c) R. M. Es un poco complicado tal como aparecen, es mejor
utilizar una tabla pues si se salta un número por error afecta los resultados.
2.
Tabla de frecuencias de la prueba de Comprensión lectora
Puntuación(F. A.) (F. R.) Dato ∙ F. R.F . R. A.
66 3 0.1428 9.4248 0.1428
77 2 0.0952 7. 33 0 4 0.238
79 1 0.0476 3.7604 0.2856
80 4 0.1904 15.232 0.476
99 1 0.0476 4.7124 0.5236
111 2 0.0952 10.5672 0.6188
112 2 0.0952 10.6624 0.714
113 2 0.0952 10.7576 0.8092
121 2 0.0952 11.5192 0.9044
135 2 0.0952 12.852 0.9996
Total 21 1 96.81
Página 152 3.
a)
Tabla de frecuencias de las edades de los asistentes a un
concierto
Dato (Edad)(F. A) (F. R) Dato ∙ F. R F. R . A
12 4 0.05 0.6 0.05
13 2 0.03 0.39 0.08
14 14 0.18 2.52 0.26
15 5 0.06 0.9 0.32
16 3 0.04 0.64 0.36
17 6 0.08 1.36 0.44
18 15 0.19 3.42 0.63
CIERRE
1. a R. L. Solicitar que muestren los datos recabados.
b) Pedir que muestren la tabla de frecuencias asociada.
c) Revisar que al menos hayan mencionado un par de repercu-
siones diferentes a la que se menciona.
Tabla de frecuencias de las edades de los asistentes a un
concierto
Dato (Edad)(F. A) (F. R) Dato ∙ F. R F. R . A
19 13 0.17 3.23 0.8
20 9 0.12 2.4 0.92
21 6 0.08 1.68 1.00
Total 77 1 17.14
b) Media: 17.14 y se obtiene al sumar los valores de la columna
(Dato × F. R).
Mediana: 18 y se obtiene al llegar a 0.50 o próximo a.
Moda: 18 y se obtiene porque es el valor con mayor frecuencia.
c) R. M. 18 años, porque coinciden tanto la moda como la mediana.
d) R. M. Fue dirigido a jóvenes de más de 15 años porque la
media, la mediana y la moda son mayores a 15.
Página 153 4.
Valor F. A. F. R. F. R. ADato ∙ F.R.
$
100.00 7 0.175 0.175 17. 5
$200.00 3 0.075 0.25 15
$300.00 6 0.15 0.4 45
$400.00 2 0.05 0.45 20
$500.00 4 0.1 0.55 50
$600.00 3 0.075 0.625 45
$700.00 5 0.125 0.75 87. 5
$800.00 4 0.1 0.85 80
$900.00 4 0.1 0.95 90
$1
000.00 2 0.05 1 50
Total 40 1 500
a) Moda: $100.00, mediana $500.00 y media $500.00.
b) Es de $500.00 porque la mediana y la media tienen el mismo
valor.
c) La moda, cuyo valor es de $100.00.
143

Plan de clase Semana escolar 25
Lección 13. Cantidad de resultados
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos comparen even-
tos a partir de sus resultados posibles. Inicie el tema explicando qué
son las becas escolares y para qué sirven. Pregunte si han escuchado
hablar de ellas y permita que den su opinión.
Lean en grupo el inicio de la sección y analicen las posibles res-
puestas a las preguntas planteadas. Reflexionen acerca del acceso a
la educación y cómo se relaciona directamente con las oportunidades
a las que una persona puede acceder en el futuro a nivel personal y
profesional. Presente algunos datos acerca del tema, por ejemplo, que
en las comunidades rurales 6 de cada 10 jóvenes de 15 a 17 años
viven aislados y sin escuelas cercanas, o que el 13.2
% de niñas, ni-
ños
y jóvenes en pobreza extrema por ingresos no puede asistir a la
educación obligatoria. Luego comenten acerca de la importancia de las becas académicas y cómo sería injusto elegir al azar a los bene-
ficiarios de éstas.
DESARROLLO. Explique lo que es y para qué sirve un diagrama de
árbol en el cálculo de la probabilidad. Muestre escribiendo diferentes
ejemplos cómo podemos asegurar que un evento es más probable
que otro. Escriba el espacio muestral de cada uno de los eventos que
dio como ejemplo. En grupo, establezcan los beneficios y dificultades
de emplear un diagrama de árbol en el cálculo de probabilidades, para
ello, utilicen las actividades 2 de la página 155 y 3 de la página 156
y comparen los diagramas que resultan en cada una. Comenten que
es debido a esto que las alternativas numéricas para encontrar la can-
tidad de resultados posibles (o elementos de un espacio muestral) se
vuelven necesarias y útiles.
Al finalizar la actividad 4, organice al grupo en equipos de cuatro
personas y solicite que, a partir de un juego de mesa que involucre
el uso de dados, como “Serpientes y escaleras”, definan eventos de
los cuáles les gustaría saber si alguno es más o menos probable; por
ejemplo, ¿Estando en la casilla X es más probable que salga una suma
de números que me lleve a una escalera? Esto le permitirá mostrar en
un entorno más lúdico y dinámico el tema de estudio y propiciar en los
estudiantes el interés por identificar éste en otros contextos.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre e invite
a los estudiantes a compartir datos acerca de su alimentación. Comente
que una alimentación balanceada es importante para el desarro-
llo físico y mental de una persona pues existe una relación directa
entre la comida y el estado de ánimo; es decir, si la dieta no es salu-
dable hay repercusiones como sentir ansiedad o falta de atención.
Destaque que cada grupo de alimentos aporta nutrientes distintos
y que la clave está en encontrar un equilibrio, por lo que, en caso de
dudas, lo mejor es acudir con un profesional.
Las actividades de la Ficha 13 del Cuaderno de evidencias les per-
mitirán aplicar sus conocimientos acerca de la cantidad de resultados
posibles, y crear conciencia acerca de una situación relacionada con
ciudades y comunidades sostenibles.
Libro del alumno: Páginas 154-157
Fecha:
Orientaciones didácticas
Lección 13
Contenido. Azar e incertidumbre en la ocurrencia de eventos cotidianos.
Aprendizaje. Compara dos o más eventos a partir de sus
resultados posibles, usa relaciones como: “es más probable
que…”, “es menos probable que…”.
Tema. Determinación de un evento a partir de sus resultados
posibles (técnica básica de conteo árbol de probabilidad).
Comparación (mayor qué, menor que) de eventos a partir de
saber la cantidad de sus resultados posibles (nociones de
probabilidad).
Error frecuente
Lección 13. Cantidad de resultados
Frecuentemente algunos estudiantes confunden la probabilidad
con el espacio muestral. Explique a detalle que este último es el
conjunto de todos los casos posibles del evento. Inicie explican-
do los ejemplos clásicos del lanzamiento de una moneda y de un dado, pida que los alumnos escriban en su cuaderno todos los posibles casos que resultan de los lanzamientos. Mencione que estos casos forman al espacio muestral.
Use diagramas de árbol, tablas o listas para representar los
posibles resultados.
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Libros y revistas
El siguiente artículo muestra el estudio de espacios muestra-
les asociados a diferentes eventos.
•
Hernández-Solís, Luis Armando et al., “Construcción de
espacios muestrales asociados a distintos tipos de sucesos: un estudio exploratorio con estudiantes de Educación Primaria”, Scielo, vol. 33, núm. 1, 2021, disponible en www.edutics.mx/xME
Audiovisual
La información de los siguientes videos es útil para estudiar la construcción de un diagrama de árbol. •
“Diagrama de árbol”, disponible en www.edutics.mx/xMR
• “Diagrama de árbol. Ejemplos”, disponible en
www.edutics.mx/xMD
Sitios web
En esta página web encontrará ejercicios interactivos de probabilidad. •
Diagrama de árbol”, disponible en www.edutics.mx/xMK
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica el espacio muestral de un evento.
Portafolio de evidencias •
Solicite a los estudiantes incluir los diagramas de árbol de la actividad 2 y sus conclusiones de la actividad de cierr
e.
Compara entre dos eventos cuál es más probable que suceda.
Inicia el cálculo de la probabilidad
de eventos.
Recursos digitales
• Para practicar los temas de la lección, se sugiere que los estudiantes r
ealicen las actividades interactivas “Conteo
de eventos” y “Es más probable”.
Recursos de apoyo complementarios
Notas
Interdisciplina
La temática de la sección de cierre se relaciona con las disciplinas de Biología y Educación Física.
Programa Construimos Futuro
Vida saludable. Reflexionen acerca de la palabra “dieta”. Es proba-
ble que la connotación que tiene sea negativa, como de restricción.
Solicite que busquen la definición y guíe la discusión a concluir que
es tan solo la mezcla de alimentos que un individuo consume. Para
las personas, esta dependerá de factores como edad, estatura, sexo,
actividad física, padecimientos físicos (en caso de existir), entre otros. Pida que digan ejemplos de enunciados en donde utilicen esta palabra y que no esté relacionada con el ser humano, con la finalidad de que la reconozcan sólo por su definición.
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Comparación de dos eventos a partir de la cantidad de
resultados
En lenguaje coloquial, “más o menos probable que...” significa que existe la posibilidad de que algo su-
ceda, pero no se tiene certeza. Por ejemplo, “es más o menos probable que llueva mañana” quiere decir
que podría llover, pero no hay seguridad de que ello ocurra.
3. Formen parejas para analizar la situación y hagan en su cuaderno lo que se pide.
Se pueden comparar dos eventos aleatorios a partir del número de resultados
posibles de cada uno. Mientras más resultados haya del evento, es “más probable
que suceda” y viceversa, si hay menos resultados posibles se dice que el evento
“es menos probable”. El hecho de que un evento sea más o menos probable, no
quiere decir que sea imposible que ocurra.
TOMA NOTA
Los dados cargados
presentan una irregularidad
en su construcción, que
hace que cier tas caras
aparezcan más al lanzarlos.
Por ello, usarlos es trampa.
Miguel realizará una rifa para promocionar su tienda. Repar tirá boletos con las letras A, B y
C, y con los números 1, 2 y 3, pero necesita saber la cantidad total antes de imprimirlos. Cada
folio debe tener tres caracteres y se pueden repetir.
a) Considerando las condiciones dadas, hagan un diagrama de árbol para determinar la cantidad
total de boletos. ¿Cuántos son?
b) Cada boleto que tenga los tres caracteres iguales, recibirá un premio extra. ¿Cuáles y cuántos
boletos presentan esta característica?
c) Si el boleto premiado tiene dos caracteres iguales, recibirá un premio extra. ¿Cuáles y cuántos
son?
d) ¿Qué es más probable que suceda? Explica.
4. Revisa la situación y realiza lo que se pide.
En una kermés escolar hay un juego con dados (figura 13.1). Se tienen estas opcio-
nes para ganar tras lanzar un dado de seis caras.
• Evento 1: Sale el número seis.
• Evento 2: Sale un número menor que 3.
• Evento 3: Sale un número impar.
a) Realiza el diagrama de árbol correspondiente a lanzar un dado de seis caras
y describe el espacio muestral.
b) ¿Cuáles son los posibles resultados en cada evento?

c) ¿Qué evento escogerías para ganar? Explica.

Figura 13.1 Se considera un tiro de dados
justo cuando ambos caen de la mano..
CON TIC´S
Visita www.edutics.mx /
N Yd, regístrate y crea
diagramas en línea.
156© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
U2 / L13
CIERRE
1. Lee, realiza lo que se pide y responde en tu cuaderno.
Paola ha decidido llevar una dieta saludable. Al observar el Plato
del Bien Comer, opta por hacer una lista para comprar sus ali-
mentos y preparar tres platillos distintos cada día.
a) Propón cinco alimentos por grupo. ¿Cuántos platillos diferen-
tes puede preparar Paola? No se vale repetir alimentos en el mismo platillo.
b) ¿Qué es más probable que se forme, un platillo de sólo ali-
mentos de origen animal, uno de únicamente frutas o uno
balanceado?
5. Explica a cuál cantidad apostarías para ganar si se gira una ruleta como la de la fi-
gura 13.2. ¿Cuál de los resultados es más probable que se dé?
• $200
• $400
• $10 000
Explicación.

6. Reúnete en equipo. Discutan: ¿cuántos y cuáles son todos los posibles resultados de lanzar una moneda y luego un dado de seis caras?
a) Escriban los posibles resultados a estos eventos:
• Cae águila y un número par.
• Cae sol y un número impar.
• Cae sol y un número mayor que 2.
b) ¿Qué evento es más probable que suceda?

7. Lee, analiza y responde.
• El experimento consiste en girar la ruleta de la figura 13.3 y verificar cuál evento
ocurre al detenerse.
• Responde con las expresiones “es más probable que” o “es menos probable que”.
a) Es la flecha apunte al color naranja que al azul.
b) Es la flecha apunte al color azul que al naranja.
c) Es la flecha apunte al color naranja que al verde.
d) Explica si en este experimento es posible que existan dos eventos cuya ocu-
rrencia sea igualmente probable.

Figura 13.2 Ruleta de feria.
Figura 13.3 Ruleta.
Representación del Plato del Bien Comer.
páginas
33 y 34
Cuaderno
de evidencias
157© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
L13 / U2
Cantidad de resultados
• Compara dos o más eventos a par tir de sus resultados posibles, usa relaciones como:
“es más probable que…”, “es menos probable que…”.
L13
Unidad DOS
1. Analiza la situación y responde en tu cuaderno.
Las becas son un estímulo económico que contribuye a que el
acceso a la educación sea equitativo, ya que les permite a los
alumnos superar barreras financieras para que éstas no inte-
rrumpan sus estudios. Por otro lado, las becas favorecen que
en las aulas haya la diversidad étnica y cultural, dado que le
otorgan oportunidades a muchas personas que, sin dicho in-
centivo, carecerían de medios para transportarse, adquirir úti-
les, uniformes, etc. Por ello, es fundamental que las becas estén
disponibles para quienes más las necesitan y que, además, se
otorguen de manera justa, para garantizar que ayudan a los
estudiantes beneficiados a alcanzar su máximo potencial.
En este contexto, Diana solicitó una beca en la escuela Ada Lovelace, que históricamente ha otorgado 30
estímulos económicos por grado. A su vez, Raúl, uno de sus mejores amigos, hizo su respectivo trámite en
el colegio Alan Turing, pues ahí otorgan 65 becas por grado. En ambos casos, la asignación de las becas
será al azar.
a) ¿Cuál es el espacio muestral del número de becas en la escuela de Diana?
b) Escribe el espacio muestral del número de becas en la escuela de Raúl.
c) Si alguien necesitara una beca para continuar con sus estudios, ¿en cuál de las escuelas le sugerirías que
se inscribiera? Explica.
INICIO
Las becas son apoyos que benefician a sinnúmero
de personas, para evitar que dejen sus estudios.
TOMA NOTA
Un evento aleatorio es un
subconjunto del espacio
muestral de un experimento
aleatorio.
DESARROLLO
Conteo de eventos aleatorios
Las técnicas de conteo sirven para determinar el total de resultados que se pueden ob-
tener al hacer combinaciones dentro de un conjunto de objetos. La técnica de conteo grá-
fica más utilizada es el diagrama de árbol.
1. Formen parejas. Encuentren todas las banderas con tres franjas que se pueden con-
seguir al combinar tres colores distintos. Los colores y su orden no deben repetirse.
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2. Traza el diagrama de árbol y describe el espacio muestral.
a) Experimento aleatorio. Se gira una pirinola de tres caras y luego una moneda.
Una manera
de que tu comida sea
saludable y variada
al mismo tiempo es
organizar tus alimentos
y calcular todas las
posibles combinaciones,
para variar lo que
ingieres cada día.
¿Cuántos platillos
distintos puedes hacer
a par tir de 2 vitaminas,
3 proteínas
y 2 carbohidratos?
Diagrama de árbol
Un diagrama de árbol es un organizador gráfico que nos permite representar diferentes posibi-
lidades y resultados de un evento aleatorio. Se compone de ramificaciones que se extienden
desde un nodo o punto de partida y se dividen en otras más pequeñas. Cada rama ilustra una
opción o consecuencia posible de una acción. Por ejemplo, el diagrama de árbol para determinar
la cantidad de etiquetas de tres dígitos que se pueden generar con los números 2 y 3 es:
Selección del primer número
Selección del segundo número
Selección del tercer número
Cada rama representa una combinación de números de tres cifras con los dígitos 2 o 3.
La ramificación en color rojo (222) es una de las 8 combinaciones que hay en total.
Rama 222
2
2
2
3 223
23
3
3
3
23
b) Experimento aleatorio. Se lanzan dos monedas, una primero y después otra
(el orden de aparición importa).
C O N S U LTA
Entra en www.edutics.
m x / N YA para consultar
ejemplos de conteo
utilizando diagramas de
árbol.
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L13 / U2
146 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

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DESARROLLO
Página 154
1. a) Ω = {1, 2, 3, 4, …, 30} Lo cual corresponde al número total de
becas.
b) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, …, 65} Lo cual corresponde al número total de
becas. c)
R. M. Sugeriría la escuela Alan Turing pues otorgan un núme-
ro mayor de becas, y por ello es más probable que salga en el sorteo.
1.
R. M. 6 Combinaciones
Página 155
2. a)
E = {(1, Águila), (1,Sol), (2,Águila), (2,Sol), (3,Águila), (3, Sol)}
b)
E = {(Águila, Águila), (Águila, Sol), (Sol, Águila), (Sol, Sol)}
Página 156
3. a) Son 216 boletos.
La siguiente es sólo la rama correspondiente al folio A B − del diagrama
de árbol. El árbol tendrá en total 6 ramas pues se completará el tercer caracter con A, B, C, 1, 2 y 3 y cada rama de ellas se completará con otras 6 ramas.
De esta manera, se obtiene total de boletos al resolver 6 × 6 × 6
= 216.
CIERRE
1. a) 125 platillos diferentes.
b) Puesto que no se repiten alimentos del mismo platillo, los tres
tienen la misma probabilidad.
b) Son 6 los boletos que tendrán premio extra: AAA, BBB, CCC, 11
1, 222, 333.
c) Son 84 los boletos posibles para el premio extra:
AA1, AA2, AA3, AAB, AAC, ABA, ABB, ACC, A1A, A2A,
A3A, A11, A22, A33.
BAA, BAB, BB1, BB2, BB3, BBC, BCB, BCC, B1B, B2B, B3B,
B11, B22, B33.
CAA, CAC, CBB, CC1, CC2, CC3, CCA, CCB, C1C, C2C,
C3C, C11, C22, C33.
1AA, 1B1, 1BB, 1C1, 1CC, 11A, 11B, 11C, 112, 113, 121,
122, 131, 133.
2AA, 2B2, 2BB, 2C2, 2CC, 22A, 22B, 22C, 221, 223, 212,
211, 232, 233.
3AA, 3B3, 3BB, 3C3, 3CC, 33A, 33B, 33C, 331, 332, 313,
311, 323, 322.
d) Es más probable sacar un boleto cuyo caracter se repita dos
veces, que sacar uno en el que su caracter se repita 3 veces.
4. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Evento 1 = {6}; Evento 2 = {1, 2}; Evento 3 = {1, 3, 5}
c) R. M. El tercero, pues hay más posibilidades de que suceda.
Página 157
5.
R. M. Es más probable ganar si apuesto por los $400.00, pues
en la ruleta aparece cuatro veces.
6. El espacio muestral es E = {(A, 1), (S, 1), (A, 2), (S, 2), (A, 3), (S, 3),
(A, 4), (S, 4), (A, 5), (S, 5), (A, 6), (S, 6)}.
a) • Cae águila y un número par: E
1
= {(A, 2), (A, 4), (A, 6)}
• Cae sol y un número impar: E
2
= {(S, 1), (S, 3), (S, 5)}
• Cae sol y un número mayor que 2: E
3
= {(S, 3), (S, 4), (S, 5),
(S
, 6)}
b)
El tercero, ya que tiene cuatro posibilidades de suceder, mien-
tras que los otros sólo tres.
7.
a) Es más probable que l a flecha apunte al color amarillo que al azul.
b) Es menos probable que l a flecha apunte al color azul que al
amarillo.
c) Es más probable que la flecha apunte al color amarillo que al
verde.
d) R. M. No es posible, porque la medida de los sectores circula-
res es diferente. La superficie del sector circular rojo es mayor que la de los otros colores.
1
2
3
Águila
Águila
Águila
Sol
Sol
Sol
Águila
Sol
Sol
Sol
Águila
Águila
A
A
C
2
B
1
3
CA
2
B
1
3
6 125 4 3
147

Plan de clase Semana escolar 26
Libro del alumno: Páginas 158-161
Fecha:
Qué aprendí
A continuación se describen las sugerencias y orientaciones para
contestar cada una de las actividades, con el propósito de observar el
aprendizaje alcanzado por cada alumno al concluir la unidad.
Actividad 1
La parte superior del mapa mental tiene como propósito que relacionen
las propiedades de la igualdad para resolver una ecuación.
Como parte del análisis realizado para completar el mapa y verificar
la comprensión del tema es útil que formule preguntas como ¿Cuáles
son las propiedades de la igualdad? ¿Cuándo se utilizan el producto
y el cociente para resolver una ecuación?
Actividad 2
El siguiente mapa mental tiene como propósito que el alumno utilice
las mismas propiedades que en la actividad 1 para resolver las tres
ecuaciones.
Actividad 3
El objetivo de esta actividad es que los alumnos practiquen y recuerden
las propiedades de las operaciones. Con base en el texto y la opera-
ción presentada pueden relacionar lo aprendido para ver qué tipo de
propiedad se cumple en las operaciones.
Actividad 4
En este caso, es relevante que se hagan a los alumnos preguntas
como ¿Qué operación representa “disminuir”, “aumentar”, “diferencia”
y “mitad”? Esto podrá ayudarlos a relacionar las columnas.
Actividad 5
El objetivo de esta actividad es que relacionen la geometría de una
figura con una expresión algebraica, al formar una ecuación y resol-
verla. Para esta actividad, puede preguntarles ¿Cómo calcular el pe -
rímetro de una figura geométrica?, una vez que tengan la ecuación,
mencione que deben sustituir en ella los valores numéricos que se
dan en el problema.
Actividad 6
El objetivo de esta actividad es que los alumnos recuerden las rectas
notables que hay en el círculo, para este caso la tangente y la secan-
te. Pida que recuerden ¿Cuál recta es la tangente y cuál la secante?
Es importante hacer notar que cada trazo se debe realizar con regla
para obtener mejores resultados.
Orientaciones didácticas
Qué aprendí
Tema •
Resolución de ecuaciones de primer grado
• Propiedades de operaciones básicas
• Lenguaje común y algebraico
• Modelación con ecuaciones de primer grado
• Líneas notables en la circunferencia
• Cantidad de resultados
Construimos futuro
Tema •
Cantidad de resultados
• ODS 6. Agua limpia y saneamiento
• ODS 12. Producción y consumo responsables
Error frecuente
Qué aprendí
Cada estudiante aprende de manera diferente y pueden variar sus técnicas de estudio. Para mejorar estas técnicas haga las
siguientes recomendaciones: relacionar cada concepto con algo
cotidiano y, cuando se pueda, relacionar los conceptos con re-
presentaciones geométricas o gráficas. Sugiera que elaboren mapas mentales o tablas comparativas de distintos conceptos matemáticos.
Pida que hagan un formulario que tengan a la mano para
que puedan resolver las actividades fácilmente y además pue-
dan memorizar las fórmulas.
148© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
La siguiente revista es útil para conocer más acerca del uso
del agua y su importancia para la vida.
•
“El agua como recurso”, Revista ¿Cómo ves?, Número 54,
2023, disponible en www.edutics.mx/xMr
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para estudiar el planteamiento y solución de problemas con ecuaciones de primer grado. • “Cómo plantear una ecuación en un problema”, disponible
en www.edutics.mx/xMH
Sitios web
En la siguiente página de internet encontrará ejemplos y ejer- cicios interactivos de solución de ecuaciones de primer grado. •
“Solución de problemas con ecuaciones de primer grado”,
disponible en www.edutics.mx/xMV
Recursos de apoyo complementarios
Construimos futuro
En esta sección se quiere que los estudiantes reflexionen sobre el con-
sumo responsable y los hábitos alimenticios, y elijan productos que utilicen menos agua virtual. Para ello se debe analizar de una lista de productos, aquellos que ocupan menos agua virtual, y hacer combi- naciones para tener una amplia variedad de ellos en un menú. Puede pedir a los estudiantes que investiguen las ventajas y desventajas de consumir productos con baja agua virtual.
Resalte la aplicación de los conceptos matemáticos estudiados
en la lección. Mencione que, para llevar un control y planificación de un menú, es importante realizar las combinaciones con los métodos vistos en esta unidad.
En esta historieta se trabaja el Objetivo de desarrollo sostenible
6 y 12 de la
onu: Agua limpia y saneamiento; Producción y consumo
responsable, sobre todo del agua.
Preguntas clave complementarias
•
¿Cómo se aplicaron los conceptos de Matemáticas para analizar las combinaciones posibles de alimentos y generar menús de consumo r
esponsable en agua virtual?
• ¿Cuáles son las ventajas de generar menús que cuiden el agua
virtual?
• ¿Cuáles son las desventajas?
Recursos digitales
• La evaluación también se puede resolver con el recurso interactiv
o “Qué aprendí”.
• Para enriquecer el trabajo de evaluación, utilice el recurso
Notas
Interdisciplina
En la parte disciplinar conviene hacer ver a sus alumnos que el cálculo de producciones y consumo se relaciona con la Biología para generar una conciencia en el manejo y consumo de produc- tos extraídos del medio ambiente.
Programa Construimos Futuro
Desarrollo sustentable. Reflexione con el grupo cómo pueden
contribuir al cuidado del medio ambiente a través de su alimen-
tación. Mencione que cuando la gente decide cambiar su estilo de
vida al adoptar una dieta vegetariana o vegana es necesario que busquen ayuda profesional en nutrición para transitar sin dañar su salud. Sin embargo, esto también aplica para las personas que
deciden sólo reducir su consumo de carne, pues hay nutrientes en
ella que pueden ser reemplazados por otros alimentos de origen vegetal. Solicite que averigüen ejemplos de lo anterior, es decir,
alimentos de origen vegetal y animal que aporten una cantidad si-
milar de proteínas pero cuyo contenido de agua virtual sea distinto.
149© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

U2
?G?
8l?5l?rG
161
En acci?n
Reflexiona en torno a las siguientes preguntas y comenta tus respuestas con el resto del grupo.
a) ?Cómo aplicaron los amigos el diagrama de ?rbol? ?Qu? información muestra?
b) ?En qu? otra situación usar?as un diagrama de ?rbol? ?Cómo interpretar?as la información que muestra?
c) ?Qu? importancia tiene este conocimiento para tomar decisiones informadas y conscientes sobre nuestros
h?bitos alimentarios y reducir nuestro consumo de agua virtual? m%???
?+?+8??
???
160U2
$YL © Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V. U2158
Qué aprendí
Realiza las siguientes actividades.
1. Completa el mapa conceptual con los pasos para resolver una ecuación de primer grado. Escribe
en cada uno la propiedad que usaste.
2. Completa el mapa conceptual y encuentra la solución a las ecuaciones.
4x + 6 – 6 = 8 – 6
Ecuación: 4x = 8
4x = 2
4x
4
=
1
2

x =
1 2
Resultado
Ecuaciones de primer grado
El exponente más grande vale

5x = 3
5x
=
3

x =
3
8x + 5 = 3 2x + 3 = x + 4
8x = 3 – 5 2x = x + 1
2x = x + 1
= 1
x =
x =
8x
=
(3 − 5)

8x + 5 = 3 2x + 3 = x + 4 © Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
U2159
3. Subraya en cada expresión la propiedad que se cumple, si es el caso.
a) Asociativa b)
Conmutativa c) Distributiva d) No es conmutativa
a) Asociativa b)
Conmutativa c) Distributiva d) No es conmutativa
a) Asociativa b)
Conmutativa c) Distributiva d) No es conmutativa
a) Asociativa b)
Conmutativa c) Distributiva d) No es conmutativa
4. Relaciona las columnas de lenguaje algebraico con su respectiva ecuación.
El cociente de un número entre 8 y aumentado en 5. a)
x
2
−
y
3
= 15
El triple de un número disminuido en 2. b)
x
8
+ 5
Un número menos 8. c) 3(x – 7) = 9
El triple de la diferencia de un número y 7 equivale a 9. d) 3x – 2
La diferencia de la mitad de un número y la tercera parte
de otro equivale a 15. e) x – 8
5. Si el perímetro de un triángulo es de 29.8 cm, ¿cuál es el valor de x ?
a) 9.8 cm
b) 6.8 cm
c) 3.3 cm
d) 10. 3 cm
6. Completa el triángulo, con la condición de que un lado sea tangente y el otro secante a la
circunferencia.
7. Elabora un diagrama de árbol con la siguiente información. Después responde.
Al final de su espectáculo, un mago selecciona a una niña y a un niño, y les da a escoger entre un
memorama o un ajedrez. ¿Qué es más probable: escoger el memorama o el ajedrez?
11. 5 cm 11. 5 cm
x
13 + 35 = 35 + 13
5 – 8 = 8 – 5
58 – 25 + 9 = 58 + (–25 + 9)
87( 9 – 7) = 87 × 9 – 87 × 7
150 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 158
1. La ecuación es 4x + 6 = 8.
Página 159 3 .
a) Conmutativa
b) No es conmutativa
c) Asociativa
d) Distributiva
4.
El cociente de un número entre 8 y aumen-
tado en 5.
El triple de un número disminuido en 2.
Un número menos 8.
El triple de la diferencia de un número y 7
equivale a 9.
La diferencia de la mitad de un número y la tercer
a parte de otro equivale a 15.
5. b) 6.8 cm
6.
7. Tienen
2
4
=
1 2
de probabilidad.
Página 161
En acción
a) Lo aplicaron utilizando las frutas y verduras como ramas del
árbol, y en él muestran las posibles opciones de menú que tienen para el almuerzo.
b)
Para hallar todas las posibles combinaciones que tienen las
placas de los autos de la Ciudad de México. Cada una de
las ramas representaría una de las posibles combinaciones para las placas de auto.
c)
Es muy importante conocer el consumo de agua virtual y re‑
duci
rla, depende de las decisiones que tomamos al consumir
alimentos, de ahí la importancia del diagrama de árbol, pues en él se puede visualizar y contabilizar la mejor opción.
2.
4x + 6 – 6 = 8 – 6
Ecuación: 4x + 6= 8
4x = 2
4x
4
=
1
2
x =
1 2
Resultado
4x + 0 = 2
1 4
(4x) =
1 2

Suma del inverso aditivo
Resolver en cada lado
de la igualdad
Despejar la incógnita x
Multiplicar por el inverso
multiplicativo
Resolver en cada lado
de la igualdad
Ecuaciones de primer grado
El exponente más grande vale 1.
5x = 3
5x
5
=
3 5

x =
3 5
8x + 5 = 3 2x + 3 = x + 4
8x = 3 – 5 2x = x + 1
2x – x = x – x + 1
2x – x = 1
x(2 – 1) = 1
x = 1
x = –
2 8
=
1 4
8x
8
=
(3 − 5)
8
8x + 5 – 5 = 3 – 5 2x + 3 – 3 = x + –3
a)
x
2
−
y
3
= 15
b)
x
8
+ 5
c) 3(x – 7) = 9
d) 3x – 2
e) x – 8
b
d
e
c
a
11.5 cm 11.5 cm
x
Mago
Niña
Memorama
Ajedrez
Memorama
Ajedrez
Niño
151

Plan de clase Semana escolar 27
Libro del alumno: Páginas 162-165
Fecha:
Entrada de unidad
Comience guiando la lectura de la imagen con esta pregunta ¿Qué
observan? Déjelos que respondan libremente. Enseguida, pida que lean
el párrafo y el pie de imagen y platiquen sobre la importancia de las
figuras geométricas en las artes y la arquitectura. Es importante que
los estudiantes se den cuenta que en muchas de las actividades
que realizan, aparecen las figuras geométricas. De esta forma, nota-
rán cómo la ciencia y la tecnología van de la mano con el desarrollo
de la vida cotidiana.
Reflexionen sobre cómo las matemáticas son necesarias para
el desarrollo tecnológico. En el caso particular del diseño de cons-
trucciones de estructuras resilientes, es importante reconocer que la
geometría forma parte fundamental de este estudio. Mencione que
diversos estudios muestran que otra figura en la que se puede apo-
yar la Arquitectura es el hexágono, pues lo podemos encontrar en los
panales de abejas y presenta una gran resistencia a las fuerzas y ten-
siones. Para la ingeniería, la esfera o círculo forma parte importante
en el diseño de motores de autos, engranes, frenos, etcétera. Pida
a sus alumnos que mencionen algunas otras formas geométricas que
sirvan en la ingeniería y en la arquitectura. Escuche sus respuestas
y proporcione su conclusión.
Me preparo
El objetivo de esta evaluación es que los estudiantes recuperen y
apliquen conocimientos previos que les permitan desarrollar nuevas
habilidades y aprender nuevos conceptos aritméticos, geométricos
y de estadística.
Pida a los estudiantes que resuelvan de manera individual las
actividades propuestas. Lo importante es que obtenga un diag-
nóstico rápido para que pueda implementar las estrategias de en-
señanza necesarias para subsanar las carencias que identifique en
ellos. Posteriormente puede resolver cada actividad de forma grupal.
A continuación, se proponen algunas preguntas que tienen la finalidad
de guiar el análisis para llegar a la solución.
Actividad 1. Haga al grupo las siguientes preguntas ¿Cómo se
pueden combinar las figuras para crear una sucesión? ¿Qué patrones
se pueden encontrar en las sucesiones figurativas? ¿Cómo se pueden
representar las sucesiones figurativas en una fórmula matemática? Guíe
a los estudiantes para responder de manera correcta esta actividad.
Actividad 2. Plantee al grupo las siguientes preguntas ¿Cómo
se pueden encontrar patrones en las sucesiones numéricas? ¿Cómo se
pueden representar las sucesiones numéricas en una fórmula ma-
temática? ¿Qué tipos de sucesiones numéricas existen? Siendo más
específico, pregunte ¿Cuál es la distancia que hay entre los números
de la sucesión? Guíe a los estudiantes para responder de manera co -
rrecta esta actividad.
Actividad 3. Es importante mencionar cómo se obtiene el factor
unitario. Muestre que, si la proporción varía de manera constante, es
posible obtener el factor unitario dividiendo; por ejemplo, el precio
que se va a pagar por la cantidad. Una vez teniendo el factor unitario,
sólo basta realizar la multiplicación de la cantidad de kilogramos con
él para encontrar el precio.
Orientaciones didácticas
Entrada de unidad
Tema •
Clasificación y construcción de triángulos a partir de div
ersa información.
• ODS: 11. Ciudades y comunidades sostenibles
Me preparo
Tema •
Representación algebraica de una sucesión con progresión
aritmética de figuras y números
• Relaciones proporcional y no proporcional a partir de su
representación tabular, gráfica y con diagramas
• Construcción y clasificación de figuras a partir del análisis
de distinta información
• Medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el r
ango de un conjunto de datos
Error frecuente
Me preparo
A menudo al estudiante se le dificulta el manejo de la jerar-
quía de operaciones al aplicarla en la fórmula para encontrar el
n-ésimo término de la sucesión. Frecuentemente los alumnos
no identifican correctamente las sucesiones aritméticas con
las geométricas. Antes de realizar la evaluación diagnóstica
mencione las características de cada una de estas sucesiones:
la sucesión aritmética tiene una diferencia entre dos elementos
contiguos constante, mientras que en la sucesión geométrica la
separación entre dos elementos contiguos se calcula realizando
un producto o cociente de dichos elementos.
Otro error que cometen los estudiantes es la mala aplicación
de la regla de tres o el cálculo de la constante de proporcio-
nalidad. Haga un repaso de la regla de tres y aproveche para
mostrar en qué parte de este proceso se encuentra la constante
de proporcionalidad de manera implícita.
152© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
El siguiente artículo de revista es de utilidad para conocer fi-
guras geométricas usadas en la arquitectura.
•
Edwin González-Meza, “Transformación geométrica en la
Arquitectura”, en Revista Legado de Arquitectura y Diseño, vol. 15, núm. 28, México,
uaem, 2020, disponible en
www.edutics.mx/xY2
Audiovisual
En el siguiente video se muestra más acerca de las sucesio- nes aritméticas. •
“Sucesiones aritméticas”, disponible en
www.edutics.mx/xY6
Sitios web
Esta página contiene información general y ejercicios de su- cesiones aritméticas. •
“Progresiones aritméticas”, disponible en
www.edutics.mx/xYu
Interdisciplina
La disciplina de Tecnología se puede relacionar con el tema de
la entrada de la unidad. Los estudiantes pueden dar ejemplos en los que consideren que es posible utilizar los temas explorados en la evaluación.
Recursos de apoyo complementarios
Actividad 4. Indique a los estudiantes que basta con identificar el
factor unitario para responder la actividad.
Actividad 5. Realice preguntas como éstas ¿Cuántos tipos de
relaciones de proporcionalidad conocen? ¿Conocen la proporciona-
lidad inversa? Mencione que la relación de proporcionalidad inversa se identifica cuando una de las variables del problema aumenta y la otra disminuye.
Actividad 6. Solicite que tracen las figuras geométricas y mencio-
ne sus nombres. Posteriormente podrán identificar las figuras y las fórmulas para calcular el área y el perímetro.
Actividad 7. Para calcular la media, realice esta pregunta ¿Saben
calcular el promedio de sus calificaciones? ¿Qué significa? Permita
que los estudiantes le den la respuesta. Después, cuestione ¿Cómo se llama a cuando todos se visten de la misma manera que un artista famoso? Si alguien responde “moda”, mencione que, análogamente, pasa lo mismo con la definición matemática; entonces permita que los alumnos reflexionen para que ellos mismos calculen la moda del problema.
Es importante que enfatice que la intención de esta sección es que
conozcan cuánto saben de los temas que se estudiarán en la unidad y no sólo que reciban una calificación.
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. El tema abordado en la entrada de uni-
dad permite reflexionar acerca de cómo debe ser la planeación
y ejecución de estructuras y edificaciones según el lugar en el que
van a implementarse, de modo que puedan soportar desastres
naturales y al mismo tiempo ser amigables con el medio ambien- te y la biodiversidad.
Notas
Recursos digitales
• La evaluación diagnóstica también se puede resolver con el recur
so interactivo “Me preparo”.
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162 La construcci?n de estructuras resilientes
como la Bi?sfera de Montreal ha demostrado
la importancia de los tri?ngulos y otras
figuras geom?tricas en la ingeniería y la
arquitectura. Son especialmente ?tiles para
crear estructuras que puedan soportar cargas
y fuerzas extremas, ya que se distribuyen
uniformemente las cargas y tensiones, lo que
hace que la estructura sea m?s resistente a los
terremotos, vientos fuertes y otras amenazas
naturales. ?Qu? otras formas geom?tricas
puedes usar en la construcci?n de estructuras
resilientes y sostenibles?
Unidad TRES
La Bi?sfera de Montreal es un museo dedicado al medio ambiente
en Montreal, Quebec , Canad?. Se encuentra ubicado dentro de
los terrenos del Parc Jean-Drapeau en la isla de Santa Elena.
Construyendo el mundo
163 Me preparo
Realiza las siguientes actividades.
Representa algebraicamente una sucesi?n con progresi?n aritm?tica de figuras y n?meros
1. Analiza la sucesi?n de figuras y responde.
a) ?Qu? tipo de sucesi?n es?
b) ?C?mo cambia el n?mero de estrellas de una figura a otra?
? Aumenta de 2 en 2 ?
Aumenta de 3 en 3
? Disminuye de 2 en 2 ?
Disminuye de 3 en 3
c) ?Cu?ntas estrellas tendr? la figura 7?
? 12 ?
14 ? 16 ? 18
2. A: 15, 25, 35, 45, 55, ? ,
a) ?Qu? tipo de sucesi?n es?
b) ?Cu?l es la diferencia entre dos t?rminos consecutivos?
? 7 ? 8 ? 5 ? 10
c) ?Cu?l es el valor del octavo t?rmino de la sucesi?n?
? 80 ? 95 ? 85 ? 75
Relaciona e interpreta relaciones proporcional y no proporcional a par tir de su representaci?n tabular,
gr?fica y con diagramas
3. Completa la tabla para saber cu?nto se paga por cada cantidad de harina.
Cantidad (kg) Precio por pagar ($)
1
2 $28
3
4
5
4. Si el cabello de un ser humano crece un centímetro por mes, ?cu?nto habr? crecido al cabo de
trece meses?
a) 12 cm b)
13 cm c) 15 cm d) 9cm
5. Un atleta recorri? una pista en 45 minutos a una velocidad de 3 m/s. Su entrenador le coment?
que necesita reducir ese tiempo a 15 minutos. ?A qu? velocidad deber? correr?
a) 9m/s b)
12 m/s c) 7 m/s d) 8 m/s
Me preparo
Figura 1 Figura 2 Figura 3
164Construye y clasifica tri?ngulos y cuadril?teros a par tir del an?lisis de distinta informaci?n
6. Relaciona cada nombre con la figura que le corresponde.
Tri?ngulo equil?tero
Rect?ngulo
Cuadrado
Tri?ngulo is?sceles
Tri?ngulo escaleno
Pent?gono
Oct?gono
Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritm?tica y mediana) y el rango de un
conjunto de datos, y justifica con base en ellas sus decisiones
7. Relaciona cada valor con el inciso que le corresponde.
17, 12, 15, 18, 19, 12, 12
Mediana a)
12
Media
b) 15
Moda
c) 14 .7
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
165
U3 U3 154 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario Notas
Página 164
1. a) Progresión aritmética.
b) Aumenta de 2 en 2.
c) 16
2. a) Progresión aritmética.
b) 10
c) 85
3.
Cantidad (kg) Precio por pagar ($)
1 14
2 28
3 42
4 56
5 70
4. 13 cm
5. 9 m/s
P
ágina 165
6.
Triángulo equilátero

Rectángulo
Cuadrado
Triángulo isósceles
Triángulo escaleno
Pentágono
Octágono
7. Mediana: 15
Me
dia: 15
Moda: 12
e
a
c
b
f
g
d
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Plan de clase Semana escolar 28
Libro del alumno: Páginas 166-171
Fecha:
Lección 1
Contenido. Regularidades y patrones.
Aprendizaje. Representa algebraicamente una sucesión con
progresión aritmética de figuras y números.
Tema. Progresiones aritméticas de figuras y números
(determinación de sus términos por tanteo o ensayos).
Representación algebraica de una sucesión con progresión
aritmética de figuras y números (determinación de la regla de
sucesión).
Error frecuente
Lección 1. Progresiones aritméticas
Frecuentemente los alumnos no diferencian correctamente las
sucesiones aritméticas de las geométricas. Mencione las carac-
terísticas de unas y otras: las aritméticas tienen una diferencia
constante entre dos elementos contiguos, mientras que en las
sucesiones geométricas, el cociente entre dos términos con-
secutivos es constante.
Otro error que generalmente cometen los estudiantes es
no identificar correctamente el número de términos que se de-
ben calcular. Haga una breve mención del contenido y de los
elementos que existen en las sucesiones aritméticas y precise
que hay una manera algebraica de encontrar el n -ésimo tér-
mino de la sucesión.
Lección 1. Progresiones aritméticas
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos representen
algebraicamente una progresión aritmética. Haga al grupo preguntas
detonadoras como ¿Han escuchado hablar de la serie de Fibonacci?
¿En qué elementos la podemos encontrar? Permita que expresen su
opinión y pida a algún estudiante que lea la sección de inicio sobre
la sucesión de Fibonacci y la Mona Lisa de Da Vinci. Explique qué re-
presenta la proporción áurea y cómo se relaciona con la sucesión de
Fibonacci. Si observa que los estudiantes muestran interés en el tema,
puede mostrar otros ejemplos en pinturas con la espiral de Fibonacci.
DESARROLLO. En la actividad 1, ayude a los estudiantes a identificar
la cantidad que aumenta cada año o cada mes, dependiendo del caso
y la que permanece fija. En esta parte no es necesario representar
con una expresión algebraica, pero si surge la idea de utilizarla puede
permitir que los estudiantes lo hagan.
Explique lo que es una sucesión y sus elementos, como son: el pri-
mer término y la diferencia. Escriba un ejemplo en el pizarrón señalando
sus componentes principales. De ser necesario, proponga a los alumnos
una serie de ejercicios donde identifiquen los elementos de este tipo de
sucesiones. Puede comenzar mostrando sucesiones numéricas senci-
llas. Después, muestre que también hay sucesiones con figuras cuyos
elementos están asociados a una sucesión numérica.
Para pasar a la representación algebraica, es necesario que los
estudiantes recuerden cómo traducir de lenguaje común a lenguaje
algebraico. Explique paso a paso los procedimientos que se presen-
tan en la página 169. Muestre otros ejemplos con los dos métodos
de modo que los estudiantes aclaren sus dudas, antes de realizar las
actividades propuestas en el libro.
Mencione cuáles son las sucesiones crecientes y cuáles las decre-
cientes. Exponga un par de ejemplos de cada tipo para que les quede
claro el tema a los alumnos. Guíe a los estudiantes en la resolución de
ejercicios del libro y pida que revisen la liga de la sección “Con TIC’s”,
donde podrá encontrar más ejercicios de práctica.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Pida
a algunos estudiantes que respondan frente al grupo las preguntas
planteadas en dicho problema. Realice una retroalimentación del
tema y permita que los alumnos realicen una reflexión acerca de la
importancia de las progresiones y su aplicación en la vida cotidiana.
Las actividades de la Ficha 14 del Cuaderno de evidencias les
permitirán aplicar sus conocimientos acerca de las progresiones arit-
méticas, y crear conciencia acerca de alguna situación relacionada
con el trabajo decente y crecimiento económico.
Orientaciones didácticas
156© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
La siguiente revista es de utilidad para aplicaciones de las su-
cesiones aritméticas.
“Progresiones aritméticas”, en Matemáticas y mucho más,
disponible en www.edutics.mx/xNa
Audiovisual
La información del video es útil para conocer más acerca de
sucesiones aritméticas.
“Sucesiones con figuras”, disponible en
www.edutics.mx/xNR
Sitios web
En la siguiente página web encontrarás ejercicios de sucesio-
nes aritméticas.
“Progresiones aritméticas”, disponible en
www.edutics.mx/xND
Recursos digitales
• Para iniciar el tema, se recomienda que los estudiantes realicen la actividad inter
activa “La espiral”.
• Para repasar el tema de progresiones aritméticas, se
recomienda que los estudiantes realicen las actividades interactivas “Sucesiones” y “Regla general”.
Interdisciplina
El tema del inicio y del final se relaciona, además de con la disci- plina de Artes, con la de Biología.
Recursos de apoyo complementarios
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica los elementos de las sucesiones aritméticas.
Portafolio de evidencias •
Recuerde a los estudiantes incluir los ejemplos de sucesiones cr
ecientes y decrecientes de la
actividad 12.
Calcula cualquier término de una sucesión.
Identifica cuál es el siguiente
término de una sucesión de
figuras.
Representa de manera algebraica
a la progresión aritmética.
Notas
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. El tema abordado en la actividad de cierre
brinda una oportunidad para reflexionar acerca de la reproducción
desatendida de animales; por ejemplo, perros y gatos que viven en situación de calle. En estos casos el crecimiento desmedido, debido a la falta de cultura de la esterilización y vacunación, tie-
ne consecuencias en el entorno, como propagar enfermedades
y competir o depredar a la fauna local, entre otras.
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Unidad TRES
Progresiones aritm?ticas
? Representa algebraicamente una sucesi?n con progresi?n aritm?tica de figuras y n?meros.
L1
1. Lee, analiza y responde.
La sucesi?n de Fibonacci comienza con dos unos (1, 1)
y cada t?rmino se obtiene sumando los dos anteriores:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... Esta sucesi?n, que tiene un n?mero
infinito de t?rminos naturales, fue descrita por el matem?-
tico italiano Leonardo de Pisa en su libro Liber Abaci
(El libro del c?lculo), publicado en 1202. La espiral de
Fibonacci es una forma de espiral que se construye utili-
zando la sucesi?n de Fibonacci. Se traza un conjunto de
cuadrados cuyos lados tienen longitudes que
corresponden a los n?meros de Fibonacci. Luego,
se conectan los v?rtices de los cuadrados con
arcos curvos. El resultado es una espiral que se
expande continuamente, siguiendo un patr?n
matem?tico. Esta espiral se encuentra en la
naturaleza en muchas formas, como en las con-
chas de caracol, las estructuras de las plantas y los
patrones de crecimiento de los girasoles. La espiral
de Fibonacci es un ejemplo visual fascinante de c?mo los
n?meros y la geometría se encuentran intrincadamente
relacionados en el mundo natural.
a) ?Cu?l es del d?cimo t?rmino en la sucesi?n de Fibonacci?
b) ?Crees que se podría obtener cualquier n?mero de la
sucesi?n? ?Se te ocurre c?mo?

INICIO
La espiral de Fibonacci es notoria en el retrato de Lisa
Gherardini, esposa de Francesco del Giocondo, m?s
conocido como La Gioconda o Monna Lisa .b) Sin incluir su ahorro ni la cantidad inicial, ?qu? cantidad obtendría Ver?nica despu?s de
8 meses?
c) Escribe c?mo calcularías la cantidad que recibir? Ver?nica despu?s de 3 a?os.

2. Observa la figura 1.1. Luego responde en tu cuaderno.
Una sucesi?n es una lista ordenada de n?-
meros o figuras que siguen una regla o pa-
tr?n específico.
Cada elemento de la sucesi?n se llama t?r-
mino y se puede identificar por su posici?n
en la lista, que se llama índice .
Posici?n 1 2 3 4 5
T?rminos 1, 3, 6, 10, 15, ?
En las sucesiones matem?ticas se usan puntos suspensivos (...) para indicar que la lista contin?a
indefinidamente.
Posici?n 1 2 3 4 5 6 7 10 15 20 50
Cantidad de círculos
d) Prop?n una regla que permita obtener cada t?rmino a partir de la posici?n que ocupa cada figura.
A las sucesiones cuya diferencia es constante entre dos t?rminos consecutivos cualesquiera se les conoce como
sucesiones con progresi?n aritm?tica y a la constante se le llama raz?n de la progresi?n. La regla de una progresi?n aritm?tica se refiere a la diferencia entre dos t?rminos consecutivos o a la relaci?n de cada t?rmino con la posici?n que ocupa.
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20... es una sucesi?n con progresi?n
aritm?tica, ya que cada t?rmino se obtiene sumando 3 al anterior.
B10, B8, B4, 1, 5, 10, 14... no es una sucesi?n con progresi?n aritm?tica, ya que cada t?rmino no se pue-
de obtener sumando una constante.
a) ?C?mo cambia el n?mero de círculos de una posici?n a otra?
b) Si la sucesi?n contin?a, ?cu?ntos círculos habr? en las posiciones 5 y 10?
c) Haz una tabla como la que se muestra y compl?tala.
2
3
3
6
4
10
5
15
6
21
Figura 1.1 Sucesi?n de figuras.T?rmino
Posici?n 1 2 3 4
167
L1 / U3
C O N S U LTA
Entra en /www.edutics.
mx / Ng2 para conocer
c?mo surgi? la sucesi?n
de Fibonacci a par tir de la
reproducci?n de los conejos.
Progresiones aritm?ticas
En la vida cotidiana encontramos muchos ejemplos de sucesiones, uno de ellos es el crecimiento de
una deuda con intereses mensuales fijos, donde cada mes se suma la misma cantidad de dinero
adicional.
1. Analiza la situaci?n y haz lo que se pide.
Rosario y Ver?nica planean un viaje para dentro de 3 a?os. Cada una ha ahorrado, pero consideran
que necesitar?n m?s dinero, así que acudieron a una casa de ahorro para preguntar c?mo invertir
su dinero. A Rosario le dijeron que con $19 500.00 obtendría $1 755.00 de ganancia en un a?o,
mediante un inter?s simple. A Ver?nica, que s?lo tiene $10 000, le dar?n $700.00 por mes. Como
la cantidad que obtendr? Ver?nica no es suficiente, ella decidi? ahorrar $140.00 m?s al mes.
a) ?Cu?nto dinero tendr? Rosario despu?s de 3 a?os?
DESARROLLO 3. Re?nanse en parejas. Analicen la sucesi?n de la figura 1.2. Dibujen las figuras del cuarto y quinto
t?rminos y respondan en su cuaderno.
a) Completen una tabla así a partir del n?mero de cuadrados sombreados en cada figura.
Figura 1.2 Sucesi?n de figuras.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 10Figura 15
Posici?n
T?rminos
b) En la sucesi?n, ?puede haber una figura con 41 cuadros sombreados? ?Por qu??
c) Expliquen c?mo obtener el n?mero de cuadrados sombreados a partir de la posici?n.
d) Si el n?mero de posici?n se representa con n, ?con cu?l expresi?n algebraica se obtienen el n?-
mero de cuadrados sombreados que hay seg?n la posici?n?
Representaci?n algebraica de una sucesi?n con progresi?n aritm?tica.
Para obtener cualquier t?rmino dentro de una sucesi?n es conveniente representar la regla como una
expresi?n algebraica. Es com?n usar la literal B para indicar cualquier posici?n de la sucesi?n. Por ejem-
plo, la regla de la sucesi?n 3, 6, 9, 12, ? se puede representar con la expresi?n algebraica 3B, y si se
desea conocer el t?rmino que va en la posici?n 145, se sustituye la B por ese valor, de manera que
3B B 3(145 ) B 435.
4. Resuelve lo que se pide con base en la regla siguiente.a) Escribe los primeros 5 t?rminos de la sucesi?n.
b) Subraya la expresi?n algebraica que representa la regla general de la sucesi?n.
3 B 3 B B 3 B 2
c) A partir de la regla que escogiste, ?cu?ntos puntos tiene la figura en la posici?n 20?
d) ?Cu?l es la ventaja de representar una sucesi?n con una expresi?n algebraica?

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
Cada figura de la sucesi?n tiene un n?mero de puntos igual a tres veces la posici?n que
ocupa m?s dos.
168
U3 / L1 Las sucesiones con progresi?n aritm?tica en las cuales la diferencia entre dos t?rminos consecutivos cuales-
quiera es positiva se llaman sucesiones crecientes, y aquellas en que la diferencia entre dos t?rminos consecutivos
es negativa se denominan sucesiones decrecientes.
La regla general de una sucesi?n con progresi?n aritm?tica se puede generar con dos m?todos, obteniendo
expresiones equivalentes.
5. Completa la tabla con los t?rminos que van en cada posici?n, usando la regla de sucesiones.
Posici?n 1 2 3 4 5 6
2B
2B B 2
4B 1
3B 5
a) ?C?mo es la diferencia entre los t?rminos consecutivos de cada sucesi?n?
b) Escribe c?mo se obtiene la regla a partir de cada sucesi?n.

6. Observa la figura 1.3 y responde.
M?todo 1
Con la expresi?n (B 1) B , en donde
B: n?mero de la posici?n del t?rmino,
: diferencia entre dos t?rminos consecutivos,
: el primer t?rmino de la sucesi?n.
M?todo 2
Con la expresi?n B , en donde
B: n?mero de la posici?n del t?rmino,
: diferencia entre dos t?rminos consecutivos,
: la cantidad que se debe sumar o restar a a para
obtener el primer t?rmino.
M?todo 1
(B 1) B , 5; 7
(B 1) 5(B 1) B 7 5B 5 B 7 5B B 2
M?todo 2
B , 5; 2
B 5B B 2
Ejemplo de c?mo obtener la regla general de la sucesi?n con progresi?n aritm?tica:
Posici?n 1 2 3 4 5
T?rminos de la sucesi?n712172227
Diferencia 5 5 5 5
Posici?n 1
T?rminos de la sucesi?n3
Diferencia entre t?rminos
consecutivos
a) Completa la tabla. ?Cu?ntos palitos tendría la s?ptima
figura?
b) ?Cu?l es la diferencia de la sucesi?n? Escribe la regla
que represente los t?rminos de la sucesi?n dependien-
do de la posici?n.
Sucesi?n creciente
Diferencia constante
C O N S U LTA
Visita la p?gina
www.edutics.mx /3Y4,
en donde encontrar?s
m?s ejercicios sobre
progresiones aritm?ticas.
Figura 1.3 Sucesi?n
de figuras.
169
L1 / U3
166 158 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario Notas
Página 166
1. a) 34
b) R. L. Podríamos generar una expresión algebraica que nos
represente el n -ésimo término de la sucesión, analizando el
comportamiento de ésta.
1. a) $5 265 + $19 500 = $24 765. La cantidad inicial no se pierde.
Página 167
b) $5 600.00
c) G = m i t, en donde m es el monto para invertir, i la tasa de
interés y t el tiempo. G = 10 000 (7%) (3(12)) = 25 200. El
interés es mensual.
2. a) En cada una hay cuatro círculos más.
b) 20 y 40, respectivamente.
c)
Posición1 2 3 4 5 6 7 10 152050
Cantidad
de
círculos
481216202428406080200
d) Multiplicar por 4 el número de posición.
Página 168 3.
La figura 4 debe tener 10 cuadros de color. La figura 5 debe tener
12 cuadros de color.
a)
Figura
1
Figura
2
Figura
3
Figura
4
Figura
5
Figura
6
Figura
10
Figura
15
Posición1 2 3 4 5 6 10 15
Términos4 6 8 10 12 14 22 32
b)
No, porque todos los términos de la sucesión son pares.
c) R. L. Multiplicando por 2 la posición y sumando 2 al resultado.
d) 2n + 2
4. a) 5, 8, 11, 14, 17
b) 3n + 2
c) 62
d) Que con la expresión algebraica se puede conocer cualquier
término de la sucesión dados el primer término y la diferencia.
Página 169 5.
Posición 1 2 3 4 5 6
2n 2 4 6 8 10 12
2n ∙ 2 4 6 8 10 12 14
4n ∙ 1 3 7 11 15 19 23
3n ∙ 5 −2 1 4 7 10 13
a)
Son iguales.
b)
2n: Se multiplica la posición por 2.
2n + 2: Se multiplica la posición por 2 y al resultado se le
suma 2.
4n − 1: Se multiplica la posición por 4 y al resultado se le res-
ta 1.
3n − 5: Se multiplica la posición por 3 y al resultado se le res-
ta 5.
6
Posición 1 2 3 4 5 6
Términos de
la sucesión
3 11 19 27 35 43
Diferencia
entre términos
consecutivos
8 8 8 8 8
a) 51
b) Es igual, 8n − 5.
INICIO
DESARROLLO
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Figura 1.4 Sucesi?n de figuras.
7. Relaciona cada diferencia de las sucesiones con progresi?n aritm?tica con el tipo de sucesi?n que
le corresponde.
9. Considera la figura 1.4 y responde.
a) Anota la sucesi?n que se forma con los cuadrados verdes.
b) ?Cu?l es la regla general para la sucesi?n?
c) ?Se forma una progresi?n aritm?tica con los cuadrados anaranjados? ?Por
qu??
d) Si se contin?a la figura, ?en alg?n momento se tendr?n 210 cuadrados ana-
ranjados? Explica.

10. Subraya la regla general para cada sucesi?n con progresi?n aritm?tica.
a) B2, B1.5, B1, B0.5, ? B0.5B B 2.5 0.5B B 2.5 0.5B B 2
b) 3, 8, 13, 18, ? 5B B 2 B5B 3 5 B 2
c)
1
4
,
1 2
,
3 4
, ?
1 4
B 1
1 4
B B
1 4

1
4
B
11 . Analiza el texto y haz lo que se pide.
Se sabe que el n?mero 1 167 forma parte de la sucesi?n cuya regla general se representa con la
expresi?n algebraica 5B 2, es decir, para alg?n valor de B se tiene que 5B 2 1
1 6 7.
Sucesi?n creciente
Sucesi?n decreciente
105, 86, 67, 48, ?
56, 68, 80, 92, ?
63, 70, 77, 84, ?
96, 87, 78, 69, ?
8. Analiza las datos proporcionados y completa la tabla.
Regla que define la sucesi?n
Primeros 4 t?rminos
de la sucesi?n
Diferencia
de la progresi?n
Regla
general
El primer t?rmino de la sucesi?n
es 10 y la diferencia entre dos
t?rminos consecutivos es B 0.5.
El primer t?rmino de la sucesi?n
es 4
1
5
y la diferencia entre dos
t?rminos consecutivos es 3.
El primer t?rmino de la sucesi?n
es B14 y la diferencia entre dos
t?rminos consecutivos es 5.p?ginas
35 y 36
Cuaderno
de evidencias
1. Analiza la informaci?n y la imagen. Responde en tu cuaderno.
La sucesi?n de Fibonacci es una secuen-
cia matem?tica donde cada t?rmino es la
suma de los dos anteriores (1, 1, 2, 3, 5,
8, 13...). Fue inventada a partir de la re-
producci?n de los conejos. Analiza la
figura.
a) ?Cu?ntos conejos habr? en el noveno
mes?
b) ?La sucesi?n de Fibonacci corresponde
a una sucesi?n con progresi?n aritm?tica?
Explica.
c) Encuentra la regla general y el t?rmino
que va en la posici?n 43, 59 y 72.
CIERRE
a) Resuelve la ecuaci?n y responde. ?En qu? posici?n de la sucesi?n est? el t?rmino 1 167?
b) Completa la tabla. Considera la sucesi?n generada por la expresi?n 5B B 2 y determina la posi-
ci?n de los t?rminos que se indican. Recuerda que B s?lo representa n?meros naturales.
Posici?n
T?rmino 72 142 157 477
c) ?En todos los casos se obtuvo la posici?n que ocupa?
d) Explica c?mo es posible saber si un n?mero forma parte de una sucesi?n, a partir de la expre-
si?n algebraica.
12. Re?nete en pareja y formulen dos ejemplos de sucesiones crecientes y dos de decrecientes.
Progresi?n aritm?tica creciente Progresi?n aritm?tica decreciente
Representaci?n gr?fica del crecimiento de una
poblaci?n de conejos.
1
2
5
1
3
8
...
14 4
1
er
Mes
2
do
Mes
3
ro
Mes
4
to
Mes
5
to
Mes
6
to
Mes
...
12
vo
Mes
Pares de conejos
13. Explica en un video de menos de tres minutos qu? son las sucesiones con progresi?n aritm?tica.
Piensa c?mo se lo explicarías a una persona que no sepa algo del tema. S?belo a una red
social.
PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo de la
ac tividad 12 para tener
evidencia de tu aprendizaje.
171
L1 / U3
170
U3 / L1 160 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario 1. a) 34
b) No, pues su diferencia no es constante.
c)
u
n =
1
5
[
1 + 5
2
n
−
1 − 5
2
n
]
43: 433 494 437
59: 956 722 026 041
72: 498 454 011 079 264
CIERRE
Página 170
7.
105, 86, 67, 48, … Sucesión decreciente
56, 68, 80, 92, … Sucesión creciente
63, 70, 77, 84, … Sucesión creciente
96, 87, 78, 69, … Sucesión decreciente
8.
Regla que define
la sucesión
Primeros 4
términos de la
sucesión
Diferencia
de la
progresión
Regla
general
El primer término
de la sucesión es
10 y la diferencia
entre dos
términos
consecutivos es
−0.5.
10, 9.5, 9, 8.5−0.5 −0.5n
+ 10.5
El primer término de la sucesión es
4

1
5
y la diferencia
entre dos
términos
consecutivos es 3.
4

1
5
, 7

1 5
, 10
1 5
,
13
1 5
,
3 3n + 1
1 5
El primer término
de la sucesión es
−14 y la
diferencia entre
dos términos
consecutivos es 5.
−14, − 9, −4, 1 5 5 n
− 19
9. a) 3, 7, 11, 15
b) 4n − 1
c) Sí porque la diferencia entre cualesquiera dos términos con-
secutivos es igual a 4.
d) No, porque la fórmula es 4n − 3 y todos los términos de la
sucesión son impares, por lo que no podría haber 210 cua-
drados anaranjados.
10.
a) 0.5n − 2.5
b) 5n − 2
c)
1 4
n.
Página 171 11.
a) 233
b)
Posición 14 28 31 95
Término 72 142 157 477
c) Sí.
d) Se plantea la ecuación al tener solución para n ; entonces el
resultado de la ecuación debe ser un número natural.
12. R. M.
Progresión aritmética
creciente
Progresión aritmética
decreciente
4, 8, 12, 16, 20, … 10, 8, 6, 4, 2, …
8, 15, 22, 29, 35, … 7, 3 , − 1, −5, −9, …
13.
R. L. Revise que el video cumpla con las especificaciones y pida que
lo revisen en grupo antes de subirlo a la red.
Notas
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Plan de clase Semana escolar 29
Lección 2
Contenido. Funciones y relaciones.
Aprendizaje. Vincula e interpreta relaciones de variación
proporcional y no proporcional a partir de su representación
tabular, gráfica y con diagramas.
Tema. Variación proporcional y no proporcional a partir
de su representación tabular. Variación proporcional y no
proporcional a partir de su representación gráfica. Variación
proporcional y no proporcional a partir de su representación
algebraica.
Lección 3
Contenido. Funciones.
Aprendizaje. Modela y resuelve diversas situaciones
a través de ecuaciones proporcionales con constante positiva
y negativa.
Tema. Problemas que se modelan con variación proporcional
y se resuelven mediante una ecuación.
Lección 2. Variación lineal proporcional y rectas
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos resuelvan proble-
mas de proporcionalidad directa y variación no proporcional. Indague
con el grupo mediante preguntas detonadoras como ¿Han resuelto
problemas con la regla de tres? ¿Cómo la han hecho? ¿Han escucha-
do hablar de la variación proporcional y no proporcional? ¿Cómo se
imaginan que se calculan? Permita que los estudiantes expresen su
opinión. Pida a uno que lea la sección de inicio con el tema “huella
ecológica” y explique el significado de esta expresión.
DESARROLLO. Explique el significado de variación proporcional
y señale cómo identificar las variables de un problema. Explique con
una gráfica y mencione la orientación que tiene la recta en el caso
de una variación proporcional. Presente un ejemplo de un proble-
ma de variación no proporcional y resuélvalo frente al grupo deta-
llando el método de resolución. Grafique sus resultados y compare
la gráfica obtenida con la que resultó del problema de variación
proporcional.
CIERRE. Pida a algunos voluntarios que respondan frente al grupo las
preguntas que se plantean en dicho problema. Realice una retroali-
mentación del tema y solicite que escriban en su cuaderno las diferen-
cias que existen entre la variación proporcional y la no proporcional.
Permita que realicen una reflexión acerca del consumo responsable
y la huella ecológica resaltando la importancia de esto para el medio
ambiente y cómo con las gráficas correspondientes pueden obtener
información importante para la toma de decisiones.
Las actividades de la Ficha 15 del Cuaderno de evidencias les per-
mitirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de la variación
proporcional y no proporcional, y crear conciencia acerca de alguna
situación relacionada con el agua limpia y el saneamiento.
Lección 3. Modelación con variación proporcional
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos modelen y re-
suelvan problemas de variación proporcional. Presente al grupo el pro-
blema de inicio y explique la situación de los desechos y su reciclaje.
Pídales que reflexionen sobre la cantidad de desechos que producen
en su hogar y acerca de las posibles formas de reducirla, pregunte
¿Si disminuyen los desechos, disminuirá la contaminación? ¿Qué tipo
de variación genera este problema?
DESARROLLO. Explique la manera de expresar algebraicamente los
problemas de variación proporcional y que a la constante se le cono-
cerá como razón de cambio. Represente con un problema muestra
lo explicado, haga una gráfica y mencione la interpretación asocia-
da. Explique qué es una variación lineal no proporcional y su repre-
sentación gráfica. Presente un ejemplo de un problema de variación
no proporcional y resuélvalo frente al grupo explicando el método de
su resolución. Grafique sus resultados y compare la gráfica obtenida
con la del problema de variación proporcional.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Pida
a algunos estudiantes que respondan frente al grupo las preguntas
planteadas en dicho problema y permita que realicen una reflexión
Libro del alumno: Páginas 172-183
Fecha:
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Lección 2. Variación lineal proporcional y rectas
Los alumnos no leen correctamente el problema y no saben
cómo se relacionan las variables. Mencione cómo pueden vin- cularlas mediante un ejemplo. Puede mostrar el problema de encontrar el precio de los chocolates. La primera variable es la cantidad de éstos y la segunda es el precio.
Lección 3. Modelación con variación proporcional
Mencione que en la modelación de problemas con variación
proporcional existen al menos dos variables que pueden aumen-
tar o disminuir al mismo tiempo, o bien: una puede aumentar y la otra disminuir. Establezca un ejemplo donde identifiquen las variables por utilizar y el método por emplear para resolver el problema.
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Libros y revistas
La siguiente revista es de utilidad para conocer más acerca de
la huella ecológica.
•
La huella del carbono en la producción, distribución y consumo de bienes y ser
vicios, 2010, cepal, disponible
en www.edutics.mx/xNz
Audiovisual
La información del video es útil para aclarar dudas acerca de la proporcionalidad indirecta. •
“Proporcionalidad indirecta”, disponible en:
www.edutics.mx/xNK
Sitios web
En esta página web encontrarás ejercicios de proporcionali- dad directa y variación lineal. •
“Proporcionalidad directa y lineal”, disponible en:
www.edutics.mx/xNr
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica el tipo de proporcionalidad que representa un problema.
Portafolio de evidencias •
Solicite a los estudiantes incluir la actividad 12 de la lección 2. También pida que agr
eguen las actividades
5 y 6 de la lección 3.
Problema •
Puede pedir a los alumnos que planteen un problema sobr
e una situación que se modele por medio de
variación lineal.
Elige la técnica adecuada para resolver problemas de proporcionalidad lineal directa
y no proporcional.
Identifica la gráfica de un
problema de proporcionalidad
directa o lineal.
Recursos digitales
• Para repasar el tema de variación lineal proporcional y no propor
cional, se recomienda que los estudiantes hagan las
actividades interactivas “Mesas por hora” y “Razón y relación”.
•
Para complementar los contenidos de la lección, se sugier
e que los alumnos realicen la actividad interactiva
"Razón y pendiente".
Interdisciplina
El tema de inicio y final de la lección 2 se relaciona con las disci- plinas de Biología, Tecnología y Formación cívica y ética. En la lección 3 el problema de inicio y final se relaciona con las disciplinas de Biología y Tecnología.
Recursos de apoyo complementarios
acerca de los desechos y la forma de reutilizarlos, resaltando la im- portancia de esto para el medio ambiente.
Notas
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. Los contextos abordados en estas lec- ciones presentan una oportunidad para reflexionar acerca de las
5Rs durante la gestión de residuos: rechazar, reducir, reutilizar,
reparar y reciclar. Comenten ejemplos acerca de cada una de las Rs y qué acciones pueden llevar a cabo para reducir la cantidad de deshechos generados.
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4. Completa la tabla que muestra el rendimiento de un autom?vil.
a) ?Cu?l es el valor de la constante de proporcionalidad?

b) ?Cu?l de las gr?ficas 2.1a o 2.1b representa la situaci?n? Explica c?mo
lo supiste.

5. Formen parejas y analicen la gr?fica 2.2, que muestra la relaci?n entre el precio y la cantidad de
boletos en tres cadenas de cine.
a) Considera que la familia de Rocío tiene 6 integrantes y completa la tabla.
y
x
Cantidad de gasolina (L)
10 122 4 6 8
Dis tancia recorrida (k m)
80
60
120
10 0
40
20
0
y
x
Cantidad de gasolina (L)
10 122 4 6 8
Dis tancia recorrida (k m)
80
60
120
10 0
40
20
0
y
x
Boletos comprados
5 61 2 3 4
Precio ($)
200
150
350
400
250
300
10 0
50
0
Cinema
Cine M?xico
Nuevo Cine
Integrantes
de la
familia
Precio de las
entradas ($)
Constante
Cinema 6
Cine
M?xico
Nuevo
Cine
b) A partir de la gr?fica, ?es posible saber cu?l cine
ofrece los precios m?s accesibles? Explica.

Cantidad
de
gasolina
(L)
Distancia
recorrida
(km)
m5 m60
m8
10
14 4
Gr?fica 2.1b
Gr?fica 2.2
Gr?fica 2.1a 6. Analiza la situaci?n, revisa los da-
tos de la tabla 2.1 y responde.
El recepcionista de un hotel registra
en una tabla la cantidad de días que
cada familia se hospeda y lo que pa-
gar?n en total.
a) ?Los días de hospedaje y el pre-
cio a pagar tienen una relaci?n
de variaci?n proporcional? Si es
así, anota el valor de la cons-
tante de proporcionalidad; si no,
explica por qu? la relaci?n no es una variaci?n proporcional

b) ?Cu?nto tendr? que pagar una familia que se hospeda 4 días? ?Y si son 10 días?

c) Escribe qu? operaci?n debes hacer para calcular el pago total a partir de los días hospedados.

d) Si representamos con B los días hospedados y con el pago total, escribe una expresi?n alge-
braica que permita calcular el pago por cualquier cantidad de días hospedados.
e) Calcula el pago por 15 días de hospedaje en el mismo hotel.
7. Re?nete en pareja, analicen la situaci?n y respondan.
Tres familias viajaron en autom?vil de su casa a un campamento. La gr?fica 2.3 muestra el traslado
de cada familia. Considera que en total recorrieron 120 km y que los tres autos mantuvieron una
velocidad constante durante el trayecto.
a) ?Cu?l es la expresi?n algebraica que relaciona la distancia recorrida con
el tiempo que tard? cada familia en llegar al campamento? Considera que
es el tiempo y B la distancia.
Expresi?nB B 60 B 80 B 10 0
Familia
b) A partir de la expresi?n anterior, ?cuanto tiempo tard? cada familia en
llegar al campamento? Relaciona las columnas.

Autom?vil A 240 km 1.5 h
Autom?vil B 400 km 2 h
Autom?vil C 320 km 1.2 h
Una variaci?n proporcional se representa
en un plano cartesiano con una línea recta
que pasa por el origen (0, 0).
y
x
Tiempo (h)
102 4 6 8
Distancia (km)
480
360
600
24 0
120
0
y
x
Tiempo (h)
1 2 3
Distancia (km)
80
60
40
20
0
Autom?vil de la familia A
Autom?vil de la familia B
Autom?vil de la familia C
10 0
Gr?fica 2.3 Traslado
de cada familia
Tiempo
Tabla 2.1
Días de
hospedaje
Costo ($)
3 $2 550.00
5 $4 250.00
7 $5 950.00
12 $10 200.00
B 60, 6 0 es la
cons t ante de
proporcionalidad.
175
L2 / U3
174
U3 / L2 Unidad TRES
Variaci?n lineal proporcional
y rectas
? Relaciona e interpreta relaciones proporcional y no proporcional a partir
de su representaci?n tabular, gr?fica y con diagramas.
L2
1. Lee el texto y resuelve.
La producci?n de los bienes y servicios que cu-
bren necesidades b?sicas como vestimenta, ali-
mentaci?n, vivienda, agua corriente, energía
el?ctrica, internet, etc., requiere de la explotaci?n
de recursos naturales, lo cual tiene
un importante impacto en el am-
biente. Por ello, es urgente dismi-
nuir nuestra huella ecol?gica , lo
que conseguiremos reduciendo los
desechos que generamos y siendo
consumidores responsables, es
decir que, al adquirir o alquilar pro-
ductos y servicios, elegiremos siem-
pre las opciones sostenibles.
En el mismo contexto, la familia de Rebeca sabe
que otra forma de contribuir es consumiendo
productos locales, que sean amigables con el medio ambiente, y ha de-
cidido comprar manteles artesanales. Los vendedores tienen una tabla
de precios para saber r?pidamente cu?nto cobrar, seg?n la cantidad de
manteles que venden.
INICIO
La agricultura sostenible impulsa el desarrollo econ?mico rural, mejora
la calidad de vida de los campesinos y ayuda a preser var los recursos
naturales.
C O N S U LTA
La economía circular ofrece
un modelo que preser va la
naturaleza. Para saber m?s,
entra en
www.edutics.mx /NPG.
Variaci?n lineal proporcional
Existen muchas situaciones en las que dos cantidades se relacionan de manera que una depende de
la otra. Es posible representar lo anterior mediante tablas, gr?ficas o con expresiones algebraicas que
permiten comprender y analizar mejor una relaci?n entre cantidades.
DESARROLLO
La variaci?n lineal proporcional es una relaci?n entre dos magnitudes que varían en la misma proporci?n. Cuando una magnitud se multiplica por un factor B , la otra tambi?n se multiplica por
ese factor.
Cantidad de
manteles
Costo ($)
2
3
4
5 375
6
7
8
GLOSARIO
huella ecol?gica. Es
indicador de sostenibilidad
que trata de medir el
impacto que nuestro modo
de vida tiene sobre el
entorno.
a) Completa la tabla.
b) ?Cu?nto cuesta cada mantel?
c) ?Cu?ntos manteles deben vender para para cobrar
$1 050.00? 1. Analiza la situaci?n, completa la tabla y responde en tu cuaderno.
Una cafetería local ofrece a sus clientes bolsas de 250 g y 500 g de
caf? en grano. ?C?mo varían las cantidades? Completa la tabla.
a) ?C?mo calculaste el costo de 10 bolsas de 250 g de caf??
b) ?Cu?nto cuesta una bolsa de 250 g de caf??
c) ?Cu?l es el precio de una bolsa de caf? en su presentaci?n de 500 g?
d) ?El costo de las bolsas de 250 g y 500 g de caf? varían de forma
directamente proporcional? Argumenta tu respuesta.
2. Formen parejas, analicen la situaci?n y respondan en su cuaderno.
Mario se traslada todos los días de su casa a la escuela en bicicleta. Normalmente, viaja a
velocidad constante y recorre 975 m en 3 minutos. Completen la tabla para saber cu?nta
distancia recorre en el tiempo determinado.
a) ?Qu? distancia recorre en 24 minutos? ?Y en 36 minutos?
b) Si de su casa a la escuela tarda 25 minutos, ?qu? distancia recorre?
c) ?E xis te una variaci?n de proporcionalidad directa entre el tiempo y la distancia que re-
corre Mario? Explica.
d) ?Cu?l es la constante de proporcionalidad en esta situaci?n?
3. Re?nete en pareja, analicen la situaci?n y respondan.
Diana remodelar? su casa y quiere saber cu?nta pintura necesita. En la tlapalería, el vendedor le
indica que la pintura rinde 12 m
2
por cada litro. Completen la tabla para calcular el rendimiento de
la pintura.
a) ?La relaci?n entre las variables es de proporcionalidad directa? Argumenta.

b) Observen la gr?fica. ?Los puntos corresponden con los datos de la tabla? Si es así, ?nanlos con
una línea recta.
Cantidad de
bolsas
Precio de
250 g
Precio de
500 g
m5 $325.00
10
12 $1
C500.00
18
22
CantidadC
de pinturaC
(litros)
?reaC
pintada
(m
2
)
m0
m2
m6
m8
10
TiempoC
(min)
Distancia
recorrida
(m)
m3 975
m6
12 18
30
y
x
Cantidad de pintura (L)
981 32 54 76
?rea pintada (m
2
)
80
60
120
10 0
40
20
0
c)CCon ayuda de la gr?fica, respondan cu?ntos metros
cuadradoN
C
se pueden pintar con 5 litros de pintura.C
C
d)C?Cu?ntos litros de pintura usar? Diana para su fa-
chada si es de 108 m
2
? C
173
L2 / U3
172 164 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 172
1. a)
Cantidad de
manteles
Costo ($)
2 150.00
3 225.00
4 300.00
5 375.00
6 450.00
7 525.00
8 600.00
b) $75.00
c) 14 manteles
Página 173 1.
Cantidad de
bolsas
Precio de
250 g
Precio de 500
g
5 $325.00 $625.00
10 $650.00 $1 250.00
12 $780.00 $1 500.00
18 $1 170.00 $2 250.00
22 $1 430.00 $2 750.00
a) Al dividir $325.00 entre 5, se obtiene el valor unitario, y mul -
tiplicar por 10. También al multiplicar por 2 el costo de 5 bolsas.
b) $65.00
c) $125.00
d) Sí, porque al triple de peso le corresponde el triple del costo.
2. Se muestran los datos como parejas de elementos de la primera
y segunda columnas de la tabla: (tiempo, distancia recorrida):
(3, 975), (6, 1 950), (12, 3 900), (18, 5 850) y (30, 9 750).
a) 7 800 m = 7.8 km, 11 680 m = 11.68 km.
b) Por minuto, recorre 325 m, entonces
325 × 25 = 8 125 m= 8.125 km.
c) Sí, porque si aumenta el tiempo al doble, también la distancia
que recorre aumenta el doble.
d) 325
3. Se muestran los datos como parejas de elementos de la primera
y segunda columnas de la tabla: (cantidad de pintura, área pin-
tada): (0, 0), (2, 24), (6, 72), (8, 96) y (10, 120). a)
Sí, porque si se duplica o triplica la cantidad de pintura, tam-
bién se duplica y triplica la superficie o el área pintada.
b) Sí corresponden, pues al multiplicar 5 × 12 = 60 m
2
,
9 × 12 = 108 m
2
, que se ajusta a la recta trazada.
c) 60 m
2
d) 9 litros
Página 174 4
.
Se muestran los datos como parejas de elementos de la primera
y segunda columnas de la tabla: (cantidad de gasolina, distancia recorrida): (5, 60), (8, 96), (10, 120) y (12, 144). a)
12
b) La gráfica 2.1b, porque la recta coincide por los puntos que
se indican en la tabla.
5. a)
Integrantes
de la familia
Precio de las
entradas ($)
Constante
Cinema 6 450.00 75
Cine
México
6 360.00 60
Nuevo
Cine
6 330.00 55
b) Sí, la recta que tiene mayor inclinación (recta azul) representa
al cine más caro, mientras que la de menor inclinación (recta verde) muestra cuál es el cine con los precios más bajos.
Página 175 6.
a) Sí. La constante de proporcionalidad es 850.
b) $3 400.00 y $8 500.00, respectivamente.
c) Multiplicar el número de días de hospedaje por 850.
d) c = 850d
e) c = 850(15) = 12 750. Por 15 días se tendrán que pagar
$12 750.00.
7. a)
Expresión d = 60t d = 80t d = 100t
Fami
lia C B A
b)
Automóvil A, 400 km, 1.5 h
Automóvil B, 320 km, 1.2 h
Automóvil C, 240 km, 2 h
INICIO
DESARROLLO
165

a) ?Qu? compa?ía ofrece m?s megabytes por cada
$10 adicionales? Explica.

b) ?Cu?ntos megabytes ofrece cada compa?ía por
$40 adicionales?

c) ?Por cu?ntos megabytes se paga lo mismo en
ambas compa?ías?
d) En cada plan, ?el aume nto del precio es propor-
cional al aumento de mebabytes? Explica.

En una recta, la raz?n de cambio B describe c?mo cambia la variable respecto
a la variable es la constante de proporcionalidad. Puede tener valor positivo,
negativo, cero o indefinido.
La ordenada al origen de una recta es el punto en que la gr?fica interseca al eje
de las ordenadas o eje .
12. Analiza la situaci?n y realiza lo que se pide.
El mariachi Las Golondrinas ofrece dos horas de m?sica por $3 000.00; transcurrido ese tiempo,
el cliente debe pagar un precio adicional por cada hora extra. Completa la tabla para conocer lo que
se debe pagar seg?n el n?mero de horas que se contrate al mariachi.
y
x
Costo adicional (pesos)
51 2 3 4
Megaby tes
40
30
70
80
90
50
60
20
10
0 Compa?ia 1
Compa?ia 2
y
x

(0
1, )
y
x
B 0
y
x
B 0
y
x
B 0
y
x
B 0
PendienteCCpositiva PendienteC 0Pendiente negativa Pendiente indefinida
Gr?fica 2.6 1. Lee y responde en tu cuaderno.
El consumo responsable en una cafetería implica tomar deci-
siones conscientes y sostenibles. Optar por ingredientes lo-
cales y de comercio justo, evitar el uso de productos desechables,
fomentar el reciclaje y reducir el desperdicio de alimentos son
acciones que contribuyen a una experiencia cafetera m?s ?tica
y respetuosa con el medio ambiente.
Para promover el consumo responsable, una cafetería local
ofrece a sus clientes un precio menor si llevan su taza o termo
para rellenar. Observa la gr?fica de lo que se paga por cada
taza de caf? si se lleva o no un vaso reutilizable.
a) ?Cu?nto cuesta una taza de caf? sin vaso reutilizable?
b) ?Cu?l es el precio de una taza de caf? si se lleva un vaso
reutilizable?
c) ?Qu? relaci?n existe entre la cantidad de tazas de caf? y el
precio?
d) Escribe las expresiones algebraicas que modelan cada una
de las situaciones de la gr?fica.
CIERRE
a) Contesta: ?cu?nto cobra el mariachi Las Golondrinas
por una hora extra?
b) Determina la expresi?n algebraica que permite
obtener el precio adicional por cada hora extra.

c) Determina la expresi?n algebraica que permite
calcular el costo total, seg?n la cantidad de horas
extras que se contratan.

d) Verifica que la expresi?n funcione para los datos
que se usaron en la tabla y corrige en caso de que
sea necesario.
Horas extras contratadas (B) Costo total ()
0 $3 000.00
1
2
3
4
y
x
Horas extra contratadas
1 2 3 4
Costo total ($)
4 000
3 000
7 000
8 000
5 000
6 000
2 000
1 000
0
y
x
Cantidad de tazas de caf?
2 4 6 8 10
Precio
400
300
500
600
200
10 0
0
Precio sin vaso reutilizable
Precio con vaso reutilizable
e) Grafica los datos de la tabla e identifica c?mo la expresi?n algebraica se relaciona con la recta.
Gr?fica de precio vs. cantidad
de tazas de caf?
p?ginas
37 y 38
Cuaderno
de evidencias Rectas
Una variaci?n proporcional se puede representar de la forma
B B
en donde es un n?mero distinto de 0 llamado pendiente y la variable independiente. Observa que , llama-
do factor o constante de proporcionalidad, es la pendiente de la recta que representa la variaci?n
proporcional.
Una variaci?n lineal es una relaci?n entre dos magnitudes que se pue-
de representar por una línea recta y tiene la forma
B B
en donde y son n?meros distintos de 0. A se le llama pendiente
y a ordenada al origen.
Es importante se?alar que la pendiente es igual a la raz?n de cambio
entre la variaci?n en las cantidades del eje B y la variaci?n en las can-
tidades del eje , es decir

B
B
2

B1

2

1
Aunque la variaci?n proporcional y la variaci?n lineal tienen como representaci?n geom?trica una línea recta, en el caso de la segunda se trata de una recta que no pasa por el origen.
8. Lee la situaci?n y haz lo que se pide.
El estacionamiento de un
centro comercial cobra $25.00 por la primera hora; transcurrido este
tiempo, cobra $10.00 por
cada 15 minutos adicio- nales.
a) Completa la tabla para
calcular el monto a
pagar de acuerdo con
el tiempo de estancia
en el estacionamiento.
Observa el ejemplo.
b) ?Cu?nto deber? pagar Carlos si permanece
4 horas con 15 minutos?
9. Formen parejas, analicen y respondan en su cuaderno.
El caf? internet Cibertr?n cobra $15.00 por hora,
mientras que la tarifa de Cibernet es de $8.00 por la renta del equipo, m?s $10.00 por hora.
Tiempo de
permanencia
Periodos de 15 min
adicionales a la primera hora
Cantidad
a pagar ($)
1 hora 0
1 hora 15 minutos
1 hora 30 minutos 25 (10 2) B 45
1 hora 45 minutos
2 horas 4
2 horas 30 minutos
3 horas
3 horas 45 minutos
Cibertr?n Cibernet
Tiempo (h) Precio ($) Tiempo (h) Precio ($)
0 0 8.00
1 1
2 2
3 3
5 5
y
x
0
(1, B1)
(
2, B2)
B
2
1 2
B1
B
B
2

B1

2

1

2

1
B
2
B
1
176
U3 / L2
179a) Completa las tablas para saber el precio a pagar seg?n el tiempo de estadía en cada caf?
internet.
b) Si el tiempo promedio que Marco usa el equipo es de 2 horas, ?a cu?l caf? internet le con-
viene ir?
c) Marco dice que en todos los casos es mejor asistir a Cibernet, ?la afirmaci?n de Marco es correc-
ta? Explica.
d) ?Cu?nto ganar? cada caf? internet si tiene ocupada una computadora durante las 8 horas de
trabajo?
e) Grafica los datos en tu cuaderno y determina las diferencias entre ambas rectas.
10. Analiza la situaci?n y responde.
Considera la gr?fica 2.5. Ambas rectas describen el llenado de recipientes que usan la misma
entrada de agua. Completa las tablas con los datos de la gr?fica de los recipientes.
y
x
Tiempo de llenado (m)
51 2 3 4
Cantidad de agua (L)
40
30
70
80
90
50
60
20
10
0
Recipiente 1
Recipiente 2
Tiempo de llenado (minutos) Cantidad de agua (litros)
0 0
1
2
3
5
a) ?Cu?ntos litros de agua caen cada minuto en el recipiente 1?

Tiempo de llenado (minutos) Cantidad de agua (litros)
0 10
1 2 3 4
b) ?Cu?ntos litros de agua tenía el recipiente 2 cuando comen-
z? el llenado? ?c?mo lo sabes?
c) ?Cu?ntos litros de agua tendr? cada recipiente al cabo de 6 minutos?

d) ?Qu? tipo de variaci?n se tiene en cada caso?

11 . Formen parejas, analicen la situaci?n y respondan.
Observen la gr?fica 2.6 de la p?gina 78. Dos compa?ías telef?nicas ofrecen distintos planes con el
mismo precio inicial y, en cada uno, el cliente puede aumentar sus megabytes por un costo adicio-
nal. Describan la relaci?n entre las magnitudes.
Gr?fica 2.5
177
L2 / U3
L2 / U3
178
U3 / L2 166 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. y
x
Tiempo
(h)
Cibertrón
Cibernet
5 10 15 20
Precio ($)
80
(5, 75)
(5, 58)
(1.6, 24)
(0,
0)
(0, 8)
60
140
180
160
200
100
120
40
20
0
a b
y
x
Horas extra contratadas
1 2 3 4
Costo total ($)
4 000
3 000
7 000
8 000
5 000
6 000
2 000
1 000
0
CIERRE
1. a) $65.00. Para determinar este valor, sugiera a sus estudiantes
qu
e obtengan el valor a partir del costo de 10 tazas de café.
b)
$50.00 c) Es una relación de variación proporcional.
d) Expresión 1: y = 65x. Expresión 2: y = 50x.
Página 176 8.
a)
Tiempo de
permanencia
Periodos de 15
min adicionales
a la primera hora
Cantidad por pagar ($)
1 hora 0 25
1 hora 15 minutos 1 25 + (10 × 1) = 35
1 hor
a 30 minutos 2 25
+ (10 × 2) = 45
1 hor
a 45 minutos 3 25
+ (10 × 3) = 55
2 ho
ras 4 25
+ (10 × 4) = 65
2 hor
as 30 minutos 6 25
+ (10 × 6) = 85
3 ho
ras 8 25
+ (10 × 8) = 105
3 ho
ras 45 minutos 11 25
+ (10 × 11) = 135
b) 25 + (10 × 13) = 25 + 130 = 155. Pagará $155.00.
9.
a) Se muestran los datos como parejas de elementos de la pri-
mera y segunda columnas de la tabla:
Cibertrón (tiempo, precio): (0, 0.00), (1, 15.00), (2, 30.00),
(3, 45.00) y (5, 75.00).
Cibernet (tiempo, precio): (0, 8.00), (1, 18.00), (2, 28.00),
(3, 38.00) y (5, 58.00).
Página 177
b) A Cibernet.
c) No, porque si sólo usa el equipo durante 1 hora, el precio es
más accesible en Cibertrón.
d) En Cibertrón ganarán $120.00 y en Cibernet $88.00.
e)
10. Se muestran los datos como parejas de elementos de la primera
y segunda columnas de la tabla: (tiempo de llenado, cantidad de agua): (0, 0), (1, 20), (2, 40), (3, 60) y (5, 100). a)
20 litros.
Se muestran los datos como parejas de elementos de la prime-
ra y segunda columnas de la tabla: (tiempo de llenado, cantidad
de agua): (0, 10), (1, 30), (2, 50), (3, 70) y (4, 90).
b) Tenía 10 litros de agua; es el punto en donde inicia la gráfica.
c) El recipiente 1 tendrá 120 litros de agua y el recipiente 2 tendrá
130 litros de agua.
d) Variación proporcional directa en el recipiente 1 y variación
lineal en el recipiente 2.
Página 178
11.
En la gráfica, en el eje horizontal, “costo adicional”, en la escala
debe haber un incremento de $10 en $10. a)
La compañía 1. La gráfica indica que por cada $10.00 adicio-
nales, la compañía 1 aumenta 20 megabytes, mientras que la compañía 2 sólo aumenta 10 megabytes por cada $10.00 adicionales.
b)
La compañía 1 ofrece 100 megabytes y la 2 ofrece 70
megabytes.
c) Por 40 megabytes.
d) Sí. Porque en cada caso, si aumenta el costo, también aumenta
la cantidad de megabytes de manera proporcional.
Página 179 12.
En la tabla deben aparecer los datos $4 800.00 y $6 600.00, en
la segunda y tercera celdas de la segunda columna.
Se muestran los datos como parejas de elementos de la primera
y segunda columnas de la tabla: (horas extras contratadas, costo
total): (0, $3
000.00), (1, $4 800.00), (2, $6 600.00), (3, $8 400.00)
y (4, $10 200.00).
a) $1 800.00
b) p = 1 800x
c) y = 1 800x + 3 000
d) y e) Ver gráfica
167

4. Reúnete en pareja y hagan lo que se pide. Analicen los problemas e indiquen si corresponden o
no a una variación proporcional y resuelvan.
La ecuación general de una variación lineal no proporcional es de la forma y = xl + d, en donde
x representa la pendiente de la recta y d el punto de intersección con el eje k .
5. Modela y determina el resultado del problema.
Antonio pasea a diario en el parque
con su bicicleta, y tarda aproximada-
mente 12 minutos en darle 4 vueltas
completas. Si Antonio quiere dar
9 vueltas el d?a de hoy, ?cu?nto tiempo
tardar?? Haz un bosquejo de la
situaci?n.
Problema
Variaci?n
proporcional
Variaci?n no
proporcional
Soluci?n
Sofia mandar? a hacer arreglos de mesa para una reuni?n familiar.
Independientemente de cu?ntos arreglos encargue, la florista le pidi?
un anticipo de $600. Si por tres arreglos desenbolsar? $2,400, ?cu?nto
pagar? por siete?
Carlota not? que en su familia consumen mucho jugo de naranja
procesado y decidió juntar los envases vacíos para llevarlos a un centro
de acopio. Si su familia consume 17 litros de jugo en 12 días, ?cu?ntos
envases reunir? en 31 días?
C O N S U LTA
Visita la p?gina www.
edutics.mx /3qz para saber
c?mo obtener la expresi?n
algebraica de la gr?f ica de
una rec ta.
a) ?Qu? representan las variables x (independiente) y y (dependiente)?

b) ?Cu?l es la expresi?n que representa la relaci?n de proporcionalidad?
c) ?Cu?nto tiempo tardar? Antonio en dar las 9 vueltas?
6. Formen parejas. Modelen y resuelvan el problema.
Fernando enviar? un pedido de paquetes de hojas de papel bond a un cliente. Una de sus cajas
contiene 10 paquetes de hojas y pesa 4.5 kg. Necesita saber el peso de los paquetes, pues el
lote no necesariamente ser? de cajas completas, para contemplar el costo del env?o en el presu-
puesto. ?C?mo puede hacerlo?
a) ?Cu?nto vale la raz?n de cambio f ?
b) ?Cu?l es la expresi?n que representa la relaci?n de proporcionalidad?
c) ?Cu?nto pesar?n 16 paquetes de hojas?
d) Fernando coloca algunos paquetes en una b?scula y ?sta marca 11.25 kg. ?Cu?ntos paquetes
de hojas pes?? Explica c?mo obtuviste el resultado. Figura 3.1 Atletas durante una ceremonia
de premiación de los Juegos Olímpicos
Especiales, en el Centro Nacional de
E xposiciones de Abu Dhabi, 2019.
7. Rogelio trabaja en una fabrica, en la cual deben fabricar 232 tornillos cada 32 minutos.
a) ¿Cuál es la expresión que representa la relación de proporcionalidad?
b) Completa la tabla a partir de la relación de proporcionalidad.
Tiempo (min) 44 48
Cantidad de tornillos290 406464725
8. Considera la situaci?n y responde.
Rosario entrena para competir por un lugar en los Juegos Olímpicos Especiales
(figura 3.1). Recorrió un circuito de 450 metros en 5 minutos.
a) Selecciona la opción correcta a cada pregunta de la tabla y contrasta la
celda que la contiene.
1. Recupera la informaci?n de la situaci?n inicial y res-
ponde en tu cuaderno.
En la escuela aún buscan
opciones para vender los
materiales que enviarán a
reciclar. Una empresa les
comentó que paga $19.00
por cada kilogramo de PET,
pero que, por recoger los
materiales en la escuela, su
recolector les cobra $50 por
cada 30 kilogramos que se lleve al centro de acopio.
a) ¿La situación responde a una variación proporcional? Explica.
b) Si decidieron elegir un centro de acopio cuya recolección era gratuita y en marzo
juntaron 148 kg de aluminio y recibieron $2 664.00, ¿cuál es la relación de pro-
porcionalidad? ¿Cuánto les pagaron en abril por 193 kg de aluminio? ¿Cuántos kilogramos de materiales juntaron en mayo si recibieron $2 214 .0 0 ?
CIERRE
?Cu?l opción representa una caracter?stica
equivocada de la variación proporcional?
Al graficar la cantidad de
metros con el tiempo
correspondiente, siempre se
obtiene una recta que pasa
por el origen.
Al aumentar el
tiempo se
reducen los
metros
recorridos
Al dividir los metros
recorridos entre el
tiempo, siempre se
obtiene la misma
constante.
?Cu?l es la expresión que representa la
relación de proporcionalidad?
y = 90x x =
90
y
x = 90y
?Cu?ntos metros recorrió durante 20
minutos?
1 800 metros 4.5 metros 900 metros
El reciclaje es una acción responsable que favorece el cuidado
del medio ambiente.
Cuando
separamos diferentes
materiales desechables
y los llevamos a centros
de acopio, para que
despu?s sean reciclados,
formamos par te de un
proceso que conlleva
reutilizar materias
primas, as? como ahorrar
energ?a y agua, con el
prop?sito de reducir
emisiones de gas
invernadero.
C O N S U LTA
Visita la p?gina www.
edutics.mx /Ngd para
conocer pr?cticas que
promueven el reciclaje
desde casa. Unidad TRES
Modelaci?n con variaci?n
proporcional
? Modela y resuelve diversas situaciones a trav?s de ecuaciones proporcionales con constante
positiva y negativa.
L3
1. Lee y haz en tu cuaderno lo que se pide.
M?xico es uno de los pa?ses con mayor consumo de re-
frescos y agua embotellada en el mundo, por lo que el
desperdicio de envases de PET y latas de alumi-
nio alcanzan grandes cifras al a?o. Por ello,
existen lugares llamados centros de acopio ,
que se encargan de comprar los materiales
por kilo y llevarlos a las recicladoras, que son
plantas en las cuales transforman vidrio,
pl?stico, papel, cart?n y metales (que ya
cumplieron su vida ?til) en materia prima
para crear nuevos productos.
En una escuela est?n recolectando materiales para venderlos en un centro de acopio. Con el
dinero recaudado, comprar?n material y cubrir?n gastos de mantenimiento que se requieren
para las actividades diarias. El pago por kilo de PET es de $8, $17 por el aluminio y $2.00 por
el cart?n.
a) Si re?nen 50 kg de cada material, ?cu?nto les pagan por cada uno?
b) Completa la tabla para conocer lo que les pagar?n por la cantidad de kilogramos reunidos.
Material Constante 100 kg 125 kg 200 kg 500 kg
Aluminio 17
PET 8
Car t?n 2
c) ?Qu? relaci?n existe entre el pago por kilogramo y la cantidad de cada material?
INICIO
Adem?s de reducir la contaminaci?n ambiental, el reciclaje
puede apoyar nuestra econom?a.
Modelaci?n con variaci?n proporcional
La modelaci?n de fen?menos con variaci?n proporcional es una
herramienta muy ?til en la resoluci?n de problemas que involu-
cran la relaci?n entre dos magnitudes que var?an en proporci?n
constante. Se utiliza en campos como la f?sica, la econom?a y la
ingenier?a.
1. Analiza la situación y responde.
Carolina trabaja en una casa de cambio. La tabla 3.1 muestra
la cantidad de pesos que recibe por ciertas cantidades de
euros.
DESARROLLO
GLOSARIO
P E T. Es el acrónimo de
polietileno tereftalato y se
ref iere a un tipo de plástico
con el que se fabrican
envases de bebidas y
textiles.
centros de acopio. Son
lugares que acopian
residuos reciclables, como
plástico, cartón, papel,
vidrio, etcétera.
Tabla 3.1
Euros (?) Pesos ($)
120 2 3 7 7. 2 0
10 0 1
981
1
485.75
40 792.40
2 495.25
TOMA NOTA
Si en una relación de proporcionalidad, la magnitud dependiente aumenta cuando la magnitud independiente se incrementa, la razón de cambio es un número positivo; a su vez, cuando la magnitud independiente aumenta y la dependiente disminuye, la razón de cambio es un número negativo.
180
183
L3 / U3
182
U3 / L3 a) Si la relación entre la cantidad de euros y la de pesos es una variación proporcional, ¿cuál
es el valor de la constante de proporcionalidad?
b) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?

c) Subraya la expresión algebraica que representa la variación proporcional.
y = x y + x = 19. 81 y = 19. 81x
2. Formen parejas. Completen la tabla que corresponde a diferentes tipos de cambio.
Variación proporcional
Dinero por
cambiar
Pesos
recibidos
Constante de
proporcionalidad
Expresión
algebraica
Cambio de libra esterlina a peso 186.00 4 16 0. 82
Cambio de peso boliviano a peso 526.00 2.62
Cambio de dólar canadiense a peso684.00 y = 13.32
x
3. Formen equipos. Analicen la situación y respondan en su cuaderno.
El reporte de rendimiento de una motocicleta incluye información sobre el con-
sumo de gasolina, que se representa en la tabla 3.2.
a) Según los valores, a medida que la motocicleta avanza, ¿qué sucede con los
litros de gasolina?
b) Construyan la gráfica del rendimiento de la motocicleta.
c) Anoten en una hoja las características que tiene la gráfica.
d) Calculen la razón de cambio de la gasolina que se gasta desde los 0 a los
126 km.
l
f − l
i
d
f − d
i
=
e) ¿Qué signo tiene la razón de cambio? ¿Qué significa?
Ta b l a 3 . 2
Gasolina
(L)
Gasto
Distancia
(km)
32
0 0
31 −1 21
30 −2 42
29 −3 63
28 −4 84
27 −5 105
26 −6 126Una variación proporcional se puede expresar con la ecuación y = kx, en donde la magnitud
y varía de forma directamente proporcional con respecto a la magnitud x . A la constante k se
le llama razón de cambio
k =
y
f − y
i
x
f − x
i
en donde y
f y x
f son los valores finales y y
i y x
i, son los valores iniciales.
Ejemplo: Un automóvil frena mientras se acerca a un semáforo en rojo. Su velocidad disminu-
ye de manera constante, de 30 m/s a 0 m/s, durante un lapso de 5 segundos. ¿Cuál era su
velocidad a los 2 segundos de frenar?
k =
v
f − v
i
t
f − t
i
=
0 − 30
5 − 0
= −6
v = −6t
A los 2 segundos, el auto iba una velocidad de v = −6t = −6(2) = −12. Esto es, que el automóvil
iba una velocidad de − 12 km/h. El signo menos significa que frenó.
TOMA NOTA
La razón de cambio en
una variación proporcional
es la constante de
proporcionalidad y se
obtiene con el cociente del
incremento de la variable
dependiente entre el
incremento de la variable
independiente.
TOMA NOTA
Una magnitud es una medida que se expresa con un número y una unidad. Sir ve para describir o comparar objetos, fenómenos o cantidades. Ejemplos de ello son: longitud, temperatura, peso, tiempo, entre otras.
181© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
L3 / U3
168 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. y
x
Distancia (km)
2040 10060 12080 140160
Gasolina (litros)
20
15
35
25
30
10
5
0
INICIO
DESARROLLO
CIERRE
Página 180
1. a) $400.00 de pe t, $850.00 de aluminio y $100.00 de cartón.
b)
MaterialConstante100 kg125 kg 200 kg 500 kg
Aluminio 17 1 700 2 125 3 400 8 500
PET 8 800 1 000 1 600 4 000
Ca
rtón 2 200 250 400 1
000
c) Es una relación de variación proporcional directa.
1. a) No es una relación de proporcionalidad directa porque con la
cuota implicaría que la recta se desplazara fuera del origen. b)
y = 18x. Les pagaron $3 474.00. Juntaron 123 kg.
Página 181 1.
a) $ 19 . 8 1
b) La dependiente es la cantidad de pesos y la independiente es
la cantidad de euros.
c) y = 19.81x
2.
Variación
proporcional
Dinero
por
cambiar
Pesos
recibidos
Constante de
proporcionalidad
Expresión
algebraica
Cambio de
libra
esterlina ...
186.004 160. 82 22.37 y = 22.37x
Cambio de
peso
boliviano ...
526.001 378 .12 2.62 y = 2.62x
C
ambio de
dólar ...
684.009
110. 8 8 13.32 y = 13.32x
3. a) Se reducen.
b)
c) R. L. La gráfica es una recta cuya inclinación (pendiente) es
negativa. A medida que la motocicleta avanza, la cantidad
de gasolina va disminuyendo. La gráfica no pasa por el origen.
d)
L
f – x
i
d
f – d
i
=
26 – 32
126 – 0
=
– 6
126
e) Negativa. Significa que es una relación de proporcionalidad
negativa: a medida que recorre mayor número de kilómetros, el gasto de litros de gasolina disminuye.
Página 182 4.
Se muestran las respuestas para cada problema.
Problema 1: Variación no proporcional, 2 400 − 600 = 1 800;
1 800 ÷ 3 = 600. Cada arreglo cuesta 600.
Costo total = (7 × 600) + 600 = 4 200 + 600 = 4 800.
Problema 2: Variación proporcional. 17 ÷ 12 ≈ 1.42 litros por día,
que significa que en 12 días tienen 17 envases vacíos. En 31 días
tendrán 1.42 × 31 = 44 envases vacíos.
5. a) El número de vueltas y los minutos que se tarda en dar las
vueltas.
b) y = 3x
c) 27 minutos
6. a) 0.45
b) y = 0.45x
c) 7. 2 kg
d) 25 paquetes, con la ecuación x =
y
k
.
Página 183 7.
a) y = 7. 25x
b)
Tiempo (min) 40 44 48 56 64 100
Cantidad de
tornillos
290 319 348 406 464 725
8. a)
Pregunta 1
Al aumentar el tiempo
se reducen los metros
recorridos
Pregunta 2 y = 90x
Pr
egunta 31
800 m
169

Plan de clase Semana escolar 30
Lección 4
Contenido. Construcción y propiedades de las figuras planas
y cuerpos.
Aprendizaje. Construye y clasifica triángulos y cuadriláteros
a partir del análisis de distinta información.
Tema. Clasificación y construcción de triángulos. Clasificación
y construcción de cuadriláteros.
Lección 5
Contenido. Circunferencia, círculo y esfera.
Aprendizaje. Traza círculos a partir de distinta información.
Tema. Construcción de un círculo a partir de diversa
información.
Lección 4. Construcción de triángulos y cuadriláteros
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos construyan
triángulos y cuadriláteros a partir de distintos datos. Explique breve-
mente el funcionamiento de las celdas solares y el beneficio que trae
al medio ambiente el uso de fuentes de energía limpia y renovable.
Pida a los estudiantes que reflexionen sobre esto y que mencionen si
les es útil esta tecnología en sus hogares. Presente un ejemplo donde
se vea reflejado el costo-beneficio de tener energías limpias en casa.
Permita que ellos respondan.
DESARROLLO. Explique la manera de trazar triángulos y su pro-
piedad principal, que es: La suma de sus ángulos interiores es 180°.
En el pizarrón muestre algunos ejemplos, mida los ángulos con
transportador y demuestre la propiedad. Explique, mediante el tra-
zado, el mínimo de triángulos en cuadriláteros, para demostrar que
la suma de los ángulos interiores de estos últimos suma 360°. Re-
salte la importancia de la desigualdad del triángulo como condición
para la construcción de uno. Muestre en el pizarrón los criterios para
construir triángulos, lado-lado-lado, lado-ángulo-lado, ángulo-lado-
ángulo. Pida a los alumnos trazar triángulos de diferentes medidas
y con los tres criterios vistos en clase. Exponga la manera de trazar
cuadriláteros y proponga a los alumnos ejercicios de repaso.
CIERRE. Solicite que revisen en parejas los datos que anotaron en
sus cuadernos y cómo dedujeron la medida de los ángulos. Conduz-
ca al grupo planteando el problema de cierre. Realice una retroali-
mentación del tema.
Las actividades de la Ficha 16 del Cuaderno de evidencias les
permitirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de la cons-
trucción de triángulos y cuadriláteros, y crear conciencia acerca de al-
guna situación relacionada con ciudades y comunidades sostenibles.
Lección 5. Construcción de círculos
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos construyan
círculos a partir de diversos datos. Presente al grupo el problema de
inicio. Explique la importancia de la agricultura circular y el impacto
positivo que tiene esta técnica en la economía de quienes la practican.
Pida a los estudiantes que reflexionen sobre esto y que mencionen si
les es útil este conocimiento.
DESARROLLO. Explique el método para trazar circunferencias me-
diante tres puntos dados. Establezca varios ejemplos y pida a los
alumnos que hagan en su cuaderno una serie de círculos dados tres
puntos para que les sirva de práctica. Explique, trazando al mismo
tiempo, un par de ejemplos de la construcción de la circunferencia
mediante una recta tangente y un punto que pasa fuera de ella.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Per-
mita que los alumnos reflexionen acerca de la importancia que tiene
el trazo del círculo en la vida real y cómo beneficia a la comunidad.
Realice una retroalimentación del tema.
Libro del alumno: Páginas 184-191
Fecha:
Error frecuente
Lección 4. Construcción de triángulos y cuadriláteros
Un error frecuente es no medir los ángulos de manera co-
rrecta. Muestre brevemente el manejo del transportador
para medir y trazar ángulos. Trace varios ejemplos en piza- rrón. Otro error es el de no trazar correctamente las rectas. Ejemplifique el trazo de rectas con escuadra y compás. De ser necesario, refiéralos a la lección 3 de la unidad 1 y desa- rrolle actividades similares.
Lección 5. Construcción de círculos
Un error frecuente es confundir los datos y las rectas notables del círculo, como son el radio y el diámetro, o no localizar co-
rrectamente el centro. Muestre cómo trazar círculos con com- pás mientras va señalando las rectas y puntos notables de la circunferencia. Elabore un memorama de elementos notables de la circunferencia y del círculo. Esto les servirá de repaso.
Orientaciones didácticas
170© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Evaluación
Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica cuándo se puede trazar
un triángulo de acuerdo con los
datos dados.
Portafolio de evidencias
•
Recuerde a los estudiantes incluir el dibujo a escala de la actividad de cierr
e de la lección 4. También pida
añadir al portafolio la construcción en GeoGebra y el esquema para trazar una circunferencia tangente de la lección 5.
Traza con regla y compás triángulos y cuadriláteros.
Traza los círculos mediante el
adecuado manejo del compás.
Recursos digitales
• Para repasar el tema, se recomienda que los estudiantes realicen la actividad inter
activa “Triángulos y cuadriláteros”.
• Para repasar el tema de construcción de círculos, se
recomienda que los estudiantes hagan las actividades interactivas “Construcción de círculos”.
Libros y revistas
El siguiente texto es de utilidad para conocer más acerca de la energía solar. •
Claudio Estrada, “Las energías renovables: La energía solar
y sus aplicaciones”, en Revista unam, 2010, disponible en
www.edutics.mx/xxj
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para aclarar dudas acerca de la proporcionalidad directa y lineal. •
“Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del
juego de geometría”, disponible en www.edutics.mx/xxy
Sitios web
La siguiente página contiene actividades interactivas sobre círculos. •
“Círculos”, disponible en www.edutics.mx/xx9
Interdisciplina
El contexto de energía solar y eléctrica se relaciona con la disci- plina de Tecnología. En la lección 5, el tema de la lección de inicio y final se relaciona con las disciplinas de Biología y Tecnología.
Recursos de apoyo complementarios
Notas
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. La actividad de inicio de la lección 4
presenta el uso de la energía solar como una alternativa al uso de combustibles fósiles. Reflexionen acerca de las energías limpias
y cómo se deben analizar las características del entorno para elegir
la más adecuada y aprovecharla.
171© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Construcci?n de tri?ngulos y cuadril?teros
Los tri?ngulos tienen seis elementos que los caracterizan: tres lados y tres ?ngulos. Sin embargo, no
es necesario conocerlos todos para construirlo.
Tres lados
Bastan tres lados para trazar un tri?ngulo con regla y comp?s.
1 Elegir un lado (puede ser el m?s grande) y colo-
car las letras B y en los extremos.
2 Con el comp?s medir uno de los segmentos restantes.
3 Con esa apertura, trazar un arco con centro en B .
4 Con el comp?s, medir el tercer segmento.
5 Con esa apertura, trazar un arco con centro en .
6 La intersecci?n de esos arcos es el punto y
corresponde al tercer v?rtice del tri?ngulo .
4. Construye en tu cuaderno el tri?ngulo cuyos lados aparecen a continuaci?n.
5. Mide los segmentos y construye un tri?ngulo con ellos. Despu?s contesta.
6 cm
8 cm
10 cm
a) Coloca primero el lado m?s largo y traza los arcos con los lados m?s peque?os. ?Qu? pasa con
esos arcos?

b) ?Consideras que se puede construir un tri?ngulo cuyos lados tengan esas medidas? Explica tu
respuesta.

c) ?C?mo es la suma de los dos lados peque?os comparada con la longitud del lado m?s grande?

Para construir un tri?ngulo es necesario que la suma de dos de sus lados sea mayor que la lon-
gitud del tercero. B esta propiedad se le llama desigualdad del tri?ngulo.
4
4
3
3
2
2
B
6. Re?nete en equipo y completen la tabla indicando si, con las longitudes dadas, se puede construir
un tri?ngulo. Expliquen por qu?.
Medidas Se puede construir No se puede construir Explicaci?n
8 u, 8 u y 8 u
4 u, 5 u y 6 u
3 u, 6 u y 2 u
9 u, 4 u y 6 u
10 u, 15 u y 3 u
Ejemplos:
? Cuando los lados miden 4 u , 8 u y 9 u, dado que 4 B 8 9, 8 B 9 4 y 4 B 9 8, entonces se puede construir
un tri?ngulo con esas medidas.
? Cuando los lados miden 4 u , 2 u y 1 u , dado que 1 B 2 4, entonces no se puede construir un tri?ngulo con
esas medidas, ya que en la construcci?n con regla y comp?s, los arcos para determinar el tercer v?rtice no
se intersecarían.
7. Construye un tri?ngulo con los siguientes datos.
Dos lados y el ?ngulo contenido entre ellos
Para construir un tri?ngulo con regla y comp?s, dados dos lados y el ?ngulo determinado por estos, hay que seguir los siguientes pasos.
C O N S U LTA
Para consultarC
construcciones b?sicasC
sobre tri?ngulos, visita la
p?ginaCwww.edutics.mx E
NbL
5 cm
8 cm
1CTrazar el ?ngulo con la medida indicada y nom-
brarlo; en este caso ser? el ?ngulo B .
2CCon el comp?s, medir uno de los segmentos y, conC
esa apertura, trazar un arco con centro enC , que
corte uno de los lados; ?se ser? el v?rtice .
3CCon el comp?s medir el segundo segmento y, conC esa apertura, trazar un arco con centro enC , que
corte el otro lado; ?se ser? el v?rtice .
4CAl unir conC se obtiene el tri?nguloC .

B
55B

B

B
187Unidad TRES
Construcci?n de tri?ngulos
y cuadril?teros
? Construye y clasifica tri?ngulos y cuadril?teros a par tir del an?lisis de distinta informaci?n.
L4
1. Lee el texto, haz lo que se pide y responde.
La energía solar es aquella que se obtiene al convertir luz solar en electricidad. Para ello, se
usan paneles solares como los de las im?genes. Esta energía es esencialmente inagotable
y renovable; adem?s, contribuye al desarrollo sostenible, así como a la lucha contra el cambio
clim?tico.
INICIO
DESARROLLO
?ngulos de los tri?ngulos y los cuadril?teros
Para dibujar un tri?ngulo cualquiera, s?lo necesitas trazar tres líneas que pasen por tres puntos no colineales, pero si planeas
construir un tri?ngulo con características m?s específicas, en-
tonces debes conocer la longitud de sus lados y la medida de
sus ?ngulos interiores, sobre todo al dise?ar estructuras
met?licas que sostengan puentes, techos, gr?as, edificios,
etc?tera (figura 4.1).
A veces no se conocen todos los datos, pero gracias
a las propiedades de los tri?ngulos es posible calcular
las medidas faltantes.
Figura 4.1
Para producir la mayor cantidad de electricidad posible es necesario orientar los paneles hacia
el sur y así recibir la m?xima irradiaci?n solar durante el día. Por ello, es fundamental calcular
su ?ngulo de inclinaci?n. Una manera sencilla de hacerlo es restar 15B a la latitud de la ciudad
en donde se colocar?n los paneles; por ejemplo, si se fuesen a instalar en Monterrey, cuya la-
titud es de 25B, la inclinaci?n debería ser de 10B.
a) Realiza en tu cuaderno un dibujo donde 1 m 5 cm, de c?mo sería la estructura de los
paneles para una casa en Monterrey. Considera las medidas de los paneles de 1 m 2 m.
b) ?Cu?l sería la medida de todos los ?ngulos?
GLOSARIO
colineal. El concepto se
aplica en geometría para
se?alar que un punto se
encuentra en la misma recta
que otro.Una de las principales propiedades de los tri?ngulos es la suma de sus ?ngulos interiores.
La suma de los ?ngulos interiores de un tri?ngulo es de 180B.
La suma de los ?ngulos internos de un cuadril?tero (convexo) es de 360B.
90 B 180B
180B
1. Analiza los tri?ngulos y calcula la medida de los ?ngulos que faltan en la figura 4.2.
B

2. Formen parejas y analicen los cuadril?teros. Anoten el valor de los ?ngulos que faltan en la figura 4.3.
3. Calcula las medidas de los ?ngulos que se indican en la
figura 4.4.

Figura 4.2
Figura 4.3
Figura 4.4
B

70? 70?
90?
45?
12 0 ?
30?
B

70?
13 0 ?
60?
80?
Por su parte, los cuadril?teros tambi?n poseen propiedades que facilitan su construcci?n y an?lisis.
Cuando se traza una diagonal de un cuadril?tero convexo se forman dos tri?ngulos cuyos ?ngulos
interiores miden 180?, de lo cual resulta la siguiente propiedad.
12 0B
12 0B
60B
11 0B
70B 70B
145B
35B35B
185
L4 / U3
B

1 m
1.97 m
10B
2 m
2 m
1 m1 m
En a?os
recientes, algunos
países se han esforzado
por implementar
energías limpias, para
reducir el impacto
ambiental de las f?siles.
La energía solar es
de las m?s usadas
debido a que es un
recurso renovable que
no produce gases de
efecto invernadero y se
puede utilizar a peque?a
(hogar) y gran escala
(industria). ?Qu? sabes
del uso de energías
renovables?
184
L4 / U3
186
U3 / L4 172 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. DESARROLLO
Página 185
1. ∡a = 40°, ∡b = 45°, ∡c = 30°
2.
3. ∡DEA = 80°, ∡AEB = 40°, ∡BE D = 40° y ∡CBE = 120°
P
ágina 186
4.

5.
a) No se intersecan y, por lo tanto, no se puede trazar un trián-
gulo con los datos dados.
b) No, puesto que no cumple con la desigualdad del triángulo.
c) 4 + 5 = 9 < 11, 9 es menor que 11. La suma de los lados más
pequeños es menor al lado más grande.
Página 187 6.

Medidas
Se puede
construir
No se
puede
construir
Explicación
8u, 8u
y 8u
Cumple la desigualdad del
triángulo, pues la suma de
cualquier par de lados es
mayor al tercer lado.
4u, 5u
y 6u
Cumple la desigualdad del
triángulo, pues la suma de
cualquier par de lados es
mayor al tercer lado.
3u, 6u
y 2u
No cumple con la
desigualdad del triángulo,
pues 3 + 2 < 6.
9u
, 4u
y 6u
Cumple la desigualdad del
triángulo, pues la suma de
cualquier par de lados es
mayor al tercer lado.
10u, 15u
y 3u
No cumple con la
desigualdad del triángulo,
pues 10 + 3 < 15.
7
.

INICIO
Página 184 1.
a)
b) 90°, 10° y 8 0°
5 cm
5 cm
5 cm
5 cm
5 cm
120°
120°
60°
110°
70° 70°
145°
35°35°
60°
110°
145°
CB = 6CA = 8
AB = 10A B
C
AB = 11A B
AD = 5
55º
AB = 8A
X
Y
173

Unidad TRES
Construcci?n de círculos
? Traza círculos a par tir de distinta informaci?n.
L5
1. Lee el texto y responde.
La agricultura circular consiste en culti-
var la tierra, considerando los productos,
servicios, residuos, agua y energía invo-
lucrados en cada parcela, para optimizar
el aprovechamiento de los recursos
y disminuir el impacto ecol?gico, así
como contribuir a la reducci?n de la
pobreza y la seguridad alimentaria.
Para construir un huerto circular, primero
se marca su centro y con un radio de 90 cm se traza una circunferencia. Luego, con el
mismo centro como referencia, se aumenta el radio 60 cm y se traza una nueva circunfe-
rencia. Enseguida, se aumenta el radio 130 cm y se traza una nueva circunferencia, siem-
pre con el mismo centro. Así, se sigue alternando el patr?n de 60-130, para construir tantos
anillos como sea necesario, seg?n lo que se vaya a plantar.
a) ?Cu?nto miden los radios y di?metros de las primeras tres circunferencias?

b) ?C?mo determinarían la quinta circunferencia?

INICIO
Los cultivos sostenibles disminuyen los impac tos en el
medio ambiente.
Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados
Es importante aprender a construir circunferencias con diferentes datos, ya que no siempre se sabe en d?nde se encuentra el centro o la longitud del radio.
DESARROLLO 1. Traza lo que se pide.
a) La circunferencia que
pase por los puntos
B, y .
b) La circunferencia que
pase por los puntos
, y .
Circunferencia tangente en un punto a una recta
y que pasa por otro punto fuera de ella
Tambi?n se puede construir una circunferencia tangente en un punto a una recta fija
y por un punto dado.
2. Formen parejas y realicen lo que se pide.
a) Utilicen GeoGebra y construyan una circunferencia tangente a una recta en un punto dado
y que pase por otro punto que no est? en la recta.
b) Elaboren un esquema con im?genes, el cual ejemplifique cada paso para construir una
circunferencia tangente como la que se construy? en el inciso a).
1. Analiza la situaci?n y resuelve en tu cuaderno.
Se quiere construir un huer to circular, de manera
que sea tangente a la orilla de un río, en deter-
minado punto , ya que así se abastecer? de
agua para el riego. Adem?s, el acceso al huer to debe ubicarse en el punto B .
a) Copia el esquema y traza la circunferencia
que delimita la superficie del huerto.
CIERRE
PORTAFOLIO
Guarda en tu por tafolio de
evidencias la construcci?n
en GeoGebra y el esquema
que elaboraste.
C O N S U LTA
En la p?gina www. edutics.mx /NL X, hay una
descripci?n m?s detallada de los huertos circulares.
Para trazar una circunferencia, siendo B una recta tangente a un punto
de la misma, y otro punto de ?sta, hay que seguir estos pasos:
1 Sobre el punto , trazar una perpendicular a B y nombrarla .
2 Unir los puntos y . Luego trazar la mediatriz del segmento .
3 La intersecci?n de y la mediatriz se denotar? por el punto ; ?ste
es el centro de la circunferencia y el radio es .

B

8. Traza en tu cuaderno un tri?ngulo con dos lados que midan 6 cm y 9 cm, mientras que el ?ngulo
comprendido entre ellos sea de 60B.
9. Construye un tri?ngulo con los siguientes datos.
Un lado y los ?ngulos adyacentes a ese lado
Para construir un tri?ngulo con regla y comp?s, dados un lado y dos ?ngulos adyacentes al
mismo, hay que seguir estos pasos:
? Si un tri?ngulo tiene un ?ngulo recto, entonces es rect?ngulo.
? Cuando presenta dos ?ngulos iguales, entonces debe tener dos lados iguales, así, se trata de un tri?ngulo
is?sceles.
? Y si cuenta con tres ?ngulos iguales, sus tres lados ser?n iguales y es un tri?ngulo equil?tero.
7 cm
B
13 5B

TOMA NOTA
Si la suma de los ?ngulos
dados es mayor que 180B,
entonces no se puedeC
construir el tri?ngulo, debidoC
a que la suma de sus tres
?ngulos es 180B.
GLOSARIO
adyacente. Contiguo, queC
est? junto a algo. Que tieneC el mismo v?r tice y un ladoC com?n con otro.
B

B

B

1CTrazar el ladoC .
2CCon el comp?s, copiar el primer ?ngulo, de manera que uno de sus lados seaC y su v?r-
tice seaCB . Luego nombrar al segundo lado del ?ngulo.
3CCon el comp?s, copiar el segundo ?ngulo, de modo que uno de sus lados sea y su v?r-
tice seaC . Luego nombrar al segundo lado del ?ngulo.
4CLa intersecci?n deC conC es el puntoC , y el tri?ngulo trazado es .
Despu?s de conocer algunas propiedades de los tri?ngulos, a continuaci?n sabr?s c?mo se clasificanC
?stos de acuerdo con la longitud de sus lados y su relaci?n con los ?ngulos interiores.
25B
B

188 1. Lee la informaci?n y realiza en tu cuaderno lo que se pide.
Para llevar la electricidad desde las plantas generadoras hasta los ho-
gares se necesitan torres de alta tensi?n, la estructura de ?stas se
compone de cuadril?teros y tri?ngulos para que sea estable.
a) Reproduce en tu cuaderno la parte indicada, si se sabe que las
varillas de soporte inclinadas y el piso forman un ?ngulo de 33.5B.
b) Anota la medida de los ?ngulos interiores de los tri?ngulos y de los
cuadril?teros que traces.
CIERRE
Construcci?n de un rect?ngulo con lados consecutivos dados
Para construir con regla y comp?s un rect?ngulo, dadas las medidas de dos lados consecuti- vos, hay que seguir estos siguientes pasos:
10. Construye en tu cuaderno los siguientes tri?ngulos y anota de qu? tipo son.
Características Tipo de tri?ngulo
Todos los lados de 6 cm.
Un ?ngulo de 90B y lados adyacentes de 4 cm y 7 cm.
Dos lados de 8 cm y el ?ngulo de 100B entre estos.
Lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm.
?ngulos iguales y un lado de 6 cm.
Dos ?ngulos de 60y el lado de 10 cm entre estos.
11 . Dibuja en tu cuaderno un cuadrado con lados de 3 cm de longitud.
PORTAFOLIO
Guarda en tu por tafolio deC
evidencias el dibujo a escala
que realizaste.
C O N S U LTA
Para consultar otra maneraC de construir cuadril?teros, visita la p?ginaCwww. edutics.mx /NbM
1CTrazar el ladoC y prolongarlo.
2CTrazar con el comp?s una semicircunferencia con
centro en B y, con la misma abertura, trazar otraC
semicircunferencia con centro enC .
3CAbrir el comp?s un poco m?s y, con centro enC
los cuatro puntos obtenidos en la recta , trazarC
arcos que se intersequen. Luego trazar las rectas determinadas por esas intersecciones y losC
puntosCB yC, para conseguirC
dos rectas perpendiculares al ladoC en los puntosCB yC.
4CAbrir el comp?s del tama?o del segundo lado, mar-
car sobre las rectas perpendiculares esa distancia, desde B y desdeC , y marcar los puntos yC.
5CTrazar el segmentoC y se obtendr? el rect?ngu-
loC.
B

B Lado 2
Lado 1
p?ginaN
39 y 40
Cuaderno
de evidenciaN
189
L4 / U3
U3 / L4
191
L5 / U3
TOMA NOTA
El comp?s es el instrumento
para trazar circunferencias.
Esto se hace colocando la
punta seca en el centro,
luego apoyando el grafito en
una super ficie y girando el
comp?s desde arriba.
TOMA NOTA
Recuerda que la mediatriz de un segmento tiene la propiedad de que sus puntos equidistan de los extremos del segmento.
1 Trazar el tri?ngulo .
2 Trazar las mediatrices de los lados y denotar
por el punto de intersecci?n de estas
rectas.
3 Con centro en , trazar una circunferencia con
radio , o , que son segmentos iguales.
Esa circunferencia pasa por los puntos .
B

La adopci?n
de pr?c ticas agrícolas
circulares significa
sembrar alimentos
vegetales de forma
sostenible. Esta
actividad se relaciona
con las 3R (reducir,
reciclar y reutilizar),
adem?s de que permite
reducir gastos, residuos
y la explotaci?n de
recursos naturales.
?Consideras importante
replantear las pr?cticas
agrícolas locales y a gran
escala?, ?por qu??
190 174 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. CIERRE
CIERRE
1. a)
1. a)
b) 33.5°, 67°, 113°
Página 188
8. Debe ser semejante a la primera figura siguiente.
9. Debe ser semejante a la segunda figura siguiente.
Página 189 10.
Respuestas de la primera a la última celda de la segunda colum-
na: Equilátero, Rectángulo, Isósceles, Rectángulo, Equilátero,
Equilátero
11.

INICIO
DESARROLLO
Página 190 1.
a) Radios: 90 cm, 150 cm y 280 cm; diámetros: 180 cm, 300 cm
y 560 cm.
b) R. M. Se puede utilizar una tabla.
Circunferencia Radio (cm) Diámetro (cm)
A 90 180
+60 B 90 + 60 = 150 30 0
+130 C 150 + 130 = 280 560
+60 D 280 + 60 = 340 68 0
+130 E 340 + 130 = 470 94 0
+60 F 470 + 60 = 530 1 060
Página 191 1.
a) y b) res pectivamente.
2.
R. L. Debe coincidir con la imagen de la formalización de la página
131. Revise la recta perpendicular a la recta tangente, así como la intersección de la mediatriz de la cuerda y que coincida con el centro.
9 cm
6 cm
A
B
C Y
AC = 14.47
α = 25º
β = 135º BC = 8.65
A B
C
A
I J
B AB = 3
67°
67°
67°
67°
113°
113°
113°
33.5° 33.5°
A
B
C
O
D
F
O
E
R FE
G
A
175

Plan de clase Semana escolar 31
Lección 6
Contenido. Medición y cálculo en diferentes contextos.
Aprendizaje. Obtiene y aplica fórmulas o usa otras
estrategias para calcular el perímetro y el área de triángulos,
cuadriláteros y el círculo.
Tema. Perímetro y área de triángulos (tratamiento algebraico).
Perímetro y área de cuadriláteros (tratamiento algebraico).
Perímetro y área del círculo (tratamiento algebraico).
Lección 7
Contenido. Medición y cálculo en diferentes contextos.
Aprendizaje. Calcula el volumen de prismas rectos con base
triangular o cuadrangular.
Tema. Cálculo del volumen de prismas rectos con base
triangular o cuadrangular.
Lección 6. Perímetro y área de triángulos, cuadriláteros
y círculos
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos usen fórmu-
las y otras estrategias para calcular el perímetro y área de figuras
geométricas.
Lean en grupo la sección de inicio y pregunte ¿Conoces lo que
son los teporingos? ¿Qué representan las unidades ha de la lectura?
Explique la importancia que tiene el análisis de la cantidad de tepo-
ringos por unidad de área en la zona y pregunte ¿Para qué se haría
este tipo de análisis? ¿Qué relación tiene con el cálculo del perímetro
y área? Permita que los alumnos den su opinión.
DESARROLLO. Recuerde las fórmulas para calcular el área del rectán -
gulo y del triángulo. Establezca varios ejemplos y pida a los alumnos
que resuelvan en su cuaderno una serie de ejercicios de estos casos.
Muestre el rectángulo en una zona cuadriculada para relacionar el
concepto de área con la cantidad de cuadros que contienen las figu-
ras geométricas. Generalice introduciendo las fórmulas para el cálculo
del área de cada una de ellas. Mencione que el área del triángulo se
obtiene trazando una diagonal al rectángulo y que, como se forman
dos triángulos, sólo bastaría con dividir entre dos el área del rectán-
gulo. Presente las fórmulas para calcular el área del paralelogramo
y del trapecio; escriba un par de ejemplos para que quede más cla-
ro. Explique que π puede verse como las veces que cabe el diámetro
en la circunferencia, de ahí el 3.1416. Presente las fórmulas para el
cálculo de la circunferencia y área del círculo y muestre con un par
de ejemplos su cálculo.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Permita
que los alumnos reflexionen acerca de la importancia que tiene el tra-
zo del círculo en la vida real y cómo beneficia a la comunidad. Realice
una retroalimentación del tema.
Las actividades de la Ficha 17 del Cuaderno de evidencias les
permitirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de períme-
tros y áreas de triángulos, cuadriláteros y círculos, y crear conciencia
acerca de alguna situación relacionada con los ecosistemas terrestres.
Lección 7. Volumen de prismas rectos
INICIO. El objetivo de esta lección es que calculen el volumen de pris-
mas rectos de base triangular y rectangular. Lean en grupo la sec-
ción de inicio y plantee preguntas como ¿Conoces la historia del rey
Hierón II, Arquímedes y la corona de ‘oro’? ¿Cómo descubrir si es oro
puro? Explique la importancia que tiene el cálculo del volumen en esta
historia. Permita que los alumnos respondan las preguntas y den su
opinión. Luego contesten grupalmente las de esta sección.
DESARROLLO. Recuerde las fórmulas para calcular el volumen del
cubo y de los prismas rectos. Para explicarlo, puede basarse en el
volumen del cubo como unidad de referencia y explique la relación
del volumen del prisma con el del cubo. Establezca varios ejemplos
y pida a los alumnos que resuelvan en su cuaderno una serie de ejer-
cicios de estos casos. Presente la fórmula para calcular el volumen de
un prisma triangular. Muestre varios ejemplos de esto y generalice
la fórmula para calcular el área de cualquier tipo de prisma recto.
Libro del alumno: Páginas 192-203
Fecha:
Error frecuente
Lección 6. Perímetro y área de triángulos, cuadriláte-
ros y círculos
Los alumnos confunden las fórmulas para el cálculo del perímetro
y el área. Muestre que el perímetro es la suma de los lados y a
la fórmula asígnele letras que puedan asociar, por ejemplo, P ; de
igual manera, mencione que el área es la medida de la superficie
de una figura y denote con A, como área, para evitar confusiones.
Lección 7. Volumen de prismas rectos
Los estudiantes olvidan las fórmulas para calcular áreas y vo-
lúmenes de cuerpos geométricos básicos, al igual que confun- den capacidad con volumen. Mencione que éste es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo y las unidades son “unidades cúbicas”. La capacidad es lo que cabe en un recipiente y sus unidades pueden ser el litro o sus múltiplos (decalitros, hecto-
litros o kilolitros) y submúltiplos (decilitro, centilitro o mililitro).
Orientaciones didácticas
176© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Libros y revistas
El siguiente recurso es de utilidad para conocer más acerca
de las investigaciones de abejas y las matemáticas.
•
“Las abejas hacen miel… y saben matemáticas”, en Ethic,
disponible en www.edutics.mx/xfk
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para responder las preguntas que se encuentran en la sección de inicio. •
“Así resolvió Arquímedes el problema del rey”, disponible
en www.edutics.mx/xfZ
Sitios web
En esta página web encontrarás ejercicios de cálculo de área y perímetros. •
Cálculo de área y figuras compuestas, disponible en
www.edutics.mx/xf4
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Calcula el área de figuras geométricas.
Portafolio de evidencias •
Recuerde a los estudiantes incluir la solución de los pr
oblemas de las actividades de cierre.
Identifica fórmulas y calcula la circunferencia y área del círculo.
Calcula el volumen de prismas
rectos triangulares
y rectangulares.
Interdisciplina
Los contextos de las actividades de la lección se relacionan con
las disciplinas de Biología, Geografía e Historia.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• Complementar los contenidos de la lección, se sugiere que los alumnos realicen las actividades inter
activas
“Perímetros y área” y “Fórmula del círculo”.
• Para reforzar el tema de construcción de círculos, se
recomienda que hagan las actividades interactivas “Calculando volúmenes” y “Volúmenes”.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Permita
que los alumnos reflexionen acerca de la importancia que tienen las
abejas en la vida del ser humano y la que tiene la geometría de
los paneles de miel. Realice una retroalimentación del tema.
Notas
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. Conocer acerca de la biodiversidad pre -
sente en el país es uno de los primeros pasos para comprender su importancia e interesarse por su cuidado. La actividad de inicio de la lección 6 brinda la oportunidad de reflexionar al respecto y generar propuestas de acciones en pro de su conservación.
177© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

3. Realiza lo que se pide.
? Traza un rect?ngulo de 4 cm por 9 cm. Luego traza una diagonal que lo divida.
? Analiza la figura y responde.
a) ?C?mo son los dos tri?ngulos obtenidos?
b) ?Qu? relaci?n hay entre el ?rea de los tri?ngulos y la del rect?ngulo? Comenta este aspecto
con tus compa?eros.
c) Calcula el ?rea del rect?ngulo.
d) Calcula el ?rea de uno de los tri?ngulos.
4. Realiza lo que se pide.
a) Duplica el tri?ngulo de la derecha, de modo que completes un rect?ngulo cuyos lados midan
lo mismo que B y .
b) Expresa el ?rea del rect?ngulo en t?rminos de B y .

c) Contesta: ?qu? relaci?n hay entre el ?rea del rect?ngulo y la
del tri?ngulo inicial?

d) Expresa el ?rea del tri?ngulo en t?rminos de B y

5. Formen parejas y lleven a cabo la siguiente actividad.
? Doblen a la mitad una hoja de papel de re?so; en una mitad, tracen un tri?ngulo y recorten am-
bas mitades para obtener dos tri?ngulos iguales (figura 6.4).
? En uno de los tri?ngulos, tracen una de sus alturas. Recuerden que la altura es la perpendicular
que va de un v?rtice al lado opuesto.
? Recorten el tri?ngulo por la altura que trazaron.
B

Figura 6.4 Figura 6.5
? Hagan coincidir las piezas con dos lados del otro tri?ngulo para obtener un rect?ngulo.
? Analicen la figura que formaron y respondan.
a) ?Qu? relaci?n hay entre el ?rea del rect?ngulo y la de los tri?ngulos?

b) En el tri?ngulo que recortaron, nombren con B la altura y con la longitud del lado perpen-
dicular a ?sta. Expresen el ?rea del rect?ngulo en t?rminos de y de B .

c) Expresen el ?rea del tri?ngulo que dibujaron inicialmente en t?rminos de y de B .

De las actividades anteriores se puede concluir la f?rmula para calcular el ?rea de un tri?ngulo.
El ?rea de un tri?ngulo es la mitad del producto de una de las alturas por la longitud del lado perpendicular a ?sta.
?rea B

B
2
Donde es el lado perpendicular (considerado como base) y B la altura correspondiente.
El ?rea de un paralelogramo se obtiene al mul-
tiplicar la longitud de una de sus alturas por la
longitud de la base (uno de los lados perpen-
diculares a la altura).
?rea B
B
El ?rea de un trapecio se obtiene al multipli-
car la mitad de la suma de las longitudes de
los lados paralelos, conocidos como bases, por la altura.
?rea B

2
B
6. Calcula el ?rea de los polígonos de la figura 6.5.
a) b) c) d)
TOMA NOTA
La altura de un
paralelogramo y de un
trapecio es la distancia entre
los dos lados paralelos.
4 u
3 u
3 u
2 u
2 u
3 u3 u
5 u
3 u
B

B

195Unidad TRES
? Obtiene y aplica f?rmulas o usa otras estrategias para calcular el perímetro y el ?rea de tri?ngulos,
cuadril?teros y del círculo.
L6Perímetro y ?rea de tri?ngulos,
cuadril?teros y círculos
1. Lee el texto y responde.
El teporingo, tambi?n conocido como conejo de
los volcanes o zacatuche, es un peque?o roedor
end?mico que vive en las monta?as y zonas
zacatonales del centro del país, ubicadas entre
los 2 800 y 4 250 metros sobre el nivel del mar.
La Uni?n Internacional para la Conservaci?n de
la Naturaleza destaca que quedan pocos indivi-
duos y que su poblaci?n est? fragmentada, lo
que dificulta su reproducci?n. Adem?s, la defo-
restaci?n, contaminaci?n e incendios han des-
truido su h?bitat. De acuerdo con un estudio realizado por investigadores mexicanos, se
estima que su densidad de poblaci?n es de 4.2 conejos/ha. De hecho, en 2016, se de-
termin? que, en una superficie de 657.2 km
2
del Corredor Biol?gico Chichinautzin, el
teporingo tenía un ?rea de distribuci?n de 166.43 km
2
.
a) ?Qu? indican los 4.2 conejos/ha?
b) ?Qu? medidas tiene un cuadrado cuya ?rea es una hect?rea (10 000 m
2
)?
c) Si el ?rea de distribuci?n del teporingo tuviera forma rectangular, ?cu?les podrían ser
sus dimensiones?
INICIO
El teporingo pesa aproximadamente medio
kilogramo y mide de 22 a 32 cm.
Perímetro de un tri?ngulo o un cuadril?tero
El perímetro es una magnitud que hace referencia al contorno de una figura geom?trica.
DESARROLLO
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados; por ejemplo, para calcular
el de un hept?gono irregular se realiza la suma B B .
GLOSARIO
end?mico. Animal o vegetal
propio y exclusivo de
determinadas regiones.
1 En un tri?ngulo, la suma tendr? tres sumandos. Para un
tri?ngulo equil?tero, la suma se expresa como B B 3.
2 Para un cuadril?tero, la suma se compone de cuatro sumandos. En el caso particular de un cuadrado, el pe-
rímetro se expresa como B B 4.
3 El perímetro de un rect?ngulo ser? la suma de dos ve-
ces la longitud del lado corto m?s dos veces la del lado largo, es decir, B B 2 2.

M?xico es uno
de los países con mayor
diversidad biol?gica del
mundo, debido a la gran
cantidad de ecosistemas
y formas de vida que
contiene. Sin embargo,
el crecimiento de las
zonas urbanas, la
deforestaci?n, entre
otros factores, ponen
en peligro a las
especies silvestres.
?Qu? puedes hacer
para par ticipar en la
conservaci?n de la
biodiversidad en el país?
192 Figura 6.1
Figura 6.2
Figura 6.3
1. Calcula los perímetros de los polígonos de la figura 6.1.
a) b) c) d)
2. Formen parejas y resuelvan los siguientes problemas.
a) Olivia decidi? hacer un huerto familiar en una peque?a parcela cuadrada.
Para tener sus cultivos ordenados y separados, lo organiz? como se muestra
en la figura 6.2. Consideren que el perímetro de las dos secciones superiores
de forma cuadrada es de 14.4 m.
? ?Qu? longitud por lado tienen las dos secciones superiores?

? ?Cu?l es la longitud de cada lado del huerto?

? ?Cu?nto mide el largo y ancho de las secciones rectangulares?

b) Pablo pintar? una flecha en la pared para indicar una salida de
emergencia (figura 6.3). Para no rebasar los bordes, colocar?
cinta adhesiva alrededor.
? ?Qu? figuras conforman la flecha?

? Expresen algebraicamente el total de cinta que colocar?
Pablo.

? ?Cu?nta cinta usar? si B B 8 cm, B 2B, B 0.5 cm y B 10 cm?

?rea de un tri?ngulo o de un cuadril?tero
El ?rea hace referencia a la superficie de una figura.
El ?rea de un rect?ngulo se obtiene multiplicando la longitud del lado menor por la del mayor.
?rea B B
B

TOMA NOTA
Las longitudes se miden
en milímetros (mm),
centímetros (cm), metros (m)
o kil?metros (km). El ?rea de
una figura geom?trica
se mide en unidades
cuadradas; por ejemplo,
centímetros cuadrados (cm
2
).
Tambi?n se usa la hec t?rea
denotada por ha. Una
hect?rea equivale
a 10 000 m
2
2 u 2 u
1.7 u
3 u
1.6 u
1.7 u 1.7 u
2 u
2 u 2 u
2 u
2 u 2 u
2 .4 u
2 .4 u
B
B

193
L6 / U3
L6 / U3
194
U3 / L6 178 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario Notas
Página 192
1. a) Aproximadamente hay 4 conejos por hectárea.
b) 100 m por lado.
c) R. M. Dos números que multiplicados den 166.43; por ejem-
plo, 10 m y 16.643 m.
Página 193 1.
a) 5.7 u b) 8 u c) 8 u d) 8.8 u
2
.
a) • 1.8 m
• 3.6 m
• 1.2 de largo × 1.8 de ancho
b) • Un rectángulo y un triángulo.
• a + 2b + 2c + 2d
• 8 + 2(2(8)) + 2(0.5) + 2(10) = 61 cm
Página 194
3.
Verifique que las medidas de los rectángulos que tracen los alum-
nos sean de 9 cm de largo por 4 cm de ancho. •
a) Iguales.
b) El área del rectángulo vale lo mismo que la suma del área
de los dos triángulos.
c) A = b × h = 4 × 9 = 36 cm
2
.
d)
A =
36
2
= 18 cm
2
.
INICIO
DESARROLLO
4. a)
b) A = ba
c) El área del rectángulo es el doble de la del triángulo.
d) A =
ba
2
Página 195
5.
• a) El área del rectángulo y la de los dos triángulos juntos es
la misma. Y el área del rectángulo es el doble de la de uno de los triángulos.
b)
A = bh
c) A =
bh
2
6. a) 8 u
2
b) 16 u
2
c) 7. 5 u
2
d) 4.5 u
2
a
b
179© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Unidad TRES
Volumen de prismas rectos
? C?lculo del volumen de prismas rec tos con base triangular o cuadrangular.
L7
1. Lee el texto y responde en tu cuaderno.
Alrededor del siglo III a.n.e. el rey Hieron II, go-
bernante de Siracusa (antigua Grecia), dio un
lingote de oro a un orfebre para que le elabo-
rar? una corona. Al recibir la corona,
el rey pidi? verificar que en ella se
hubiera empleado todo el lingote
de oro. Arquímedes uno de los
m?s grandes matem?ticos, ex-
plic? al rey que en la elaboraci?n
de la corona se había sustituido
parte del oro por otro material.
a) ?C?mo supo Arquímedes que la corona no
era de puro oro?
b) Despu?s de que el lingote de oro fue alterado, ?qu? medidas conserva, su perímetro, ?rea o volumen?
c) Si se guardan en cajas diferentes que se ajustan al lingote de oro y al lingote alterado, ?cu?l de las dos
cajas tendr? mayor capacidad? Explica.
INICIO
Restos del monumento funerario de Hier?n II en Siracusa.
Volumen de prismas rectangulares
1. Analiza la situaci?n y responde lo que se solicita.
En un almac?n necesitan apilar 36 cajas del mismo tama?o, de manera que en cada nivel haya igual
cantidad de cajas. La figura 7.1 muestra c?mo acomodo un trabajador las primeras seis cajas.
DESARROLLOUn prisma recto es un cuerpo geom?trico formado por dos caras planas, llamadas bases, iguales
y paralelas entre sí, y unidas por tantas caras rectangulares, perpendiculares a la base como la-
dos tenga la base.
El volumen de un cuerpo se define como el espaci? que ?ste ocupa
y se mide en unidades c?bicas. Por tanto, el volumen de un cuerpo
es el n?mero de veces que en ?l cabe un cubo de una unidad c?bica.
En el sistema internacional de unidades la unidad de medida para
el volumen es el metro c?bico (m
3
), que equivale al volumen de un
cubo cuyas aristas miden 1 m.
2. Calcula el volumen de cada prisma, en t?rminos de los cubos que caben dentro de ?l.
a) Explica c?mo calculaste cada volumen.
Prisma A Prisma B Prisma C
b) Calcula el volumen de un prisma recto que mide 3.2 m de alto, 4.5 m de ancho y 8 m de largo.

c) Escribe el procedimiento que seguiste para calcular el volumen.

m
3
.
m
3
.
m
3
.
3. Anota debajo de cada prisma recto su volumen correspondiente.
1 cm
1 cm
1 cm
4 m
2.5 m
2.5 m
8 m
2.5 m
5 m
8 m
5 m
1 m
GLOSARIO
arista. cuyo oficio consiste
en elaborar objetos y joyer?a
de metal.
1 cm
1 cm
1 cm
1.5 cm
1 cm 1 cm
2 cm
2 cm
2 cm
199 7. Calcula las ?reas de los cuadril?teros que se indican en la figura 6.6.
a) =
b) =
c) =
d) =
e) =
f) =
Circunferencia y el ?rea de un círculo
Para calcular la longitud de una circunferencia es necesario conocer el valor de una constante
llamada pi (B). Una rueda, al dar una vuelta completa, recorre exactamente la cantidad de B veces
el di?metro (figura 6.7).
Figura 6.6
Figura 6.7
8. Analiza la situaci?n y responde.
Nayeli hace un dise?o con circunferencias y semicircunferencias, como se mues-
tra en la figura 6.8. Para decorar su dise?o quiere comprar cord?n dorado, el cual
pegar? a lo largo de las semicircunferencias interiores, y un cord?n azul para la
circunferencia exterior.
a) ?Cu?nto cord?n azul necesita para su dise?o?

b) ?Y cu?nto cord?n dorado?

c) ?Qu? relaci?n hay entre la longitud de la circunferencia y de las dos
semicircunferencias?

C O N S U LTA
El n?mero Pi se denotaC
por la letraCB , que es la
letra inicial de las palabras
periferia o per?metro. El
primero en utilizar esa letra
para representar la raz?n
entre una circunferencia y su
di?metro fue el matem?ticoC
William Oughtred, peroC
fue Leonard Euler quien C
lo populariz?.
Si quieres saber m?s acerca
del número π , visita la
p?ginaCwww.edutics.mx E
Nbm
La longitud de una circunferencia, es decir, el per?metro de un c?rculo, se obtiene a partir del pro-
ducto deCB por el di?metro.
BCCBC 2B
Donde es el di?metro y el radio.
Para hacer los c?lculos basta usarCB como 3.14
Figura 6.8
3 .12 u 4 u
4 u
4 u
1.6 u
1.6 u

B

Di?metro
1 2
3.14159265...
3
4 cm
4 cm
196
U3 / L6
L7 / U3
GLOSARIO
lingote. Barra me metal en
bruto.
orfebre. Persona cuyo of icio
consiste en elaborar objetos
y joyería de metal.
a) Dibuja en tu cuaderno 3 formas diferentes de acomodar las 30 cajas restantes.

b) Tomando como unidad de medida una caja, ?cu?l es el volumen de los diferentes arreglos?

c) Completa la tabla con los distintos arreglos que se pueden hacer.
Cajas por nivel 6 12
Niveles 4 2 1
Figura 7.1
198 9. Formen equipos y calculen el ?rea de cada regi?n sombreada en la figura 6.9.
1. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.
a) Una pista de atletismo debe tener dos partes rectas y dos formadas por semicírculos. Cada
parte recta es de 100 m y, en total, la pista mide 400 m.
? Determina el radio de los semicírculos de la pista.
? Determina el ?rea total del interior de la pista.
CIERRE
b) El crecimiento radial anual de un fresno es de
0.48 cm, esto significa que cada a?o el radio
del ?rbol aumenta 0.48 cm.
? Calcula cu?l ser? el di?metro de un fresno de
cinco a?os.
? ?Cu?l ser? la edad de un fresno que tiene una
circunferencia de 99.84 cm?
PORTAFOLIO
Explica detalladamente la
soluci?n de los problemas
y gu?rdala en tu por tafolio
de evidencias.
C O N S U LTA
Si quieres saber m?s sobreC los fresnos en M?xico,C consulta la p?ginaCC
www.edutics.mx /NbX
El ?rea de un c?rculo se obtiene al multiplicar B por el cuadrado del radio.
BCCB
2
Donde es el radio del c?rculo.
Por ejemplo, si el radio de un c?rculo es de 2 cm, entonces su ?rea se calculaCB CCB()
2
C
(3.14)(2)
2
CC(3.14)(2CC2)CC(3.14)(4)CC12.56 cm
2
.
C Regi?n ICC C Regi?n II C
3 cm
5 cm
Figura 6.9
2 cm
5 cm
10 0 m
10 0 m
10 0 m10 0 m
Los fresnos son ?rboles muy comunes en
M?xico y Am?rica Central.
p?ginaN
41 y 42
Cuaderno
de evidenciaN
197
L6 / U3 180 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. 1.
a) r = 15.92 m, A = 3 979.82 m
CIERRE
Página 196
7. a) ACEF = 17.792 u
2

b)
ACDG = 10.176 u
2
c)
ABHG = 3.776 u
2
d) DEFG = 7.68 u
2
e) BCDH = 6.4 u
2
f) HDEF = 6.4 u
2
8. a) 25.12 cm
b) 12.56 cm
c) Que la longitud de la circunferencia es el doble de la longitud
de las dos semicircunferencias.
Página 197 9.
Región I = 50.24 cm
2
Región II = 65.94 cm
2
Página 198
1. a) R. L. Cuenta la leyenda que el rey Hierón II de Siracusa encargó
una corona de oro puro a un orfebre, pero sospechaba que no era de este material. Arquímedes, que fue llamado para resol-
ver el enigma sin dañar la corona, la sumergió en agua y midió
el volumen que se desplazó de ésta. Luego calculó la densidad
del oro y descubrió que la corona tenía una densidad menor
que la del oro puro. Así demostró que habían engañado al rey.
b)
Se conserva el área.
c) Las dos cajas tendrán la misma capacidad, pues lo que se
alteró fue la densidad del lingote y no el volumen.
1. a)
INICIO
DESARROLLO
b) 36 cajas
c)
Cajas por nivel 6 9 12 18 36
Niveles 6 4 3 2 1
Página 199 2.
Considera que los cubitos pequeños tienen una arista de
0.25 cm.
Primera figura: 64 cubos.
Segunda figura: 96 cubos.
Tercera figura: 512 cubos.
3. Los volúmenes de los prismas en orden, de izquierda a derecha
son: 40 m
3
, 100 m
3
y 25 m
3
.
a)

Prisma A Prisma B Prisma C
En la base se pueden colocar 5 cubos cuyos lados midan 1 m, y este arreglo se puede repetir 8 veces a lo alto del prisma.
La altura y el largo del segundo prisma tienen igual longitud que el prisma anterior, pero el ancho es 2.5 veces mayor. (2.5) (40 m
3
)
= 100 m
3
.
La altura y el largo son la mitad de los del prisma anterior, por lo que su volumen se calcula así: (0.5) (0.5) (100 m
3
)
= 25 m
3
.
b) 115.2 m
3
c)
R. M. Multipliqué el largo por el ancho para saber cuántos cu
bos caben en la base y el resultado lo multipliqué por la
altura.
181

Figura 7.4
Figura 7.5
Figura 7.6
F?rmula del volumen de prismas rectos
12. En una unidad habitacional se necesita construir un dep?sito de basura de 7 m
3
de capacidad,
Alfonso y Sonia propusieron los modelos que se ilustran en la figura 7.4.
a) ?Qu? altura debe tener el contenedor que sugiere Alfonso? ?Qu? ancho debe tener el que su-
giere Sonia?
b) ?En qu? cuerpos geom?tricos puede dividirse el contenedor de Sonia?
c) ?Cu?l es el volumen de cada uno de ellos?

d) ?Qu? sugerencia consideras m?s adecuada?
El volumen (B) de un prisma recto se obtiene con la f?rmula B B
B donde
B es el ?rea de la
base y a su altura.
13. Re?nete en pareja y resuelvan los problemas.
a) Un cami?n de mudanzas tiene una capacidad de
12.624 m
3
.Algunas de las medidas de la caja se
muestran en la figura 7.5. ?Cu?nto mide el largo
de la caja?
b) La figura 7.6 muestra las medidas de la base de
un colch?n individual. Si ?ste tiene 6 cm menos de
largo y 4 cm menos de ancho que la base y su vo-
lumen es de 380 512 cm
3
. ?Cu?l es la altura del
colch?n? ?De qu? tama?o debe ser una s?bana
que lo cubra y lo rodee?
1.75 cm
1.6 cm
2.5 cm
1.2 cm
2 cm
Alfonso Sonia
170 cm
210 cm
76 cm
137 cm
96 cm
195 cm 1. Lee la informaci?n y responde lo que se pide en tu cuaderno.
En M?xico la abeja m?s com?n es la Apis Melifera . Las abejas guardan miel en paneles con celdas que son
prismas rectos hexagonales con una profundidad aproximada de 7 mm cada uno. Considera que cada cara
hexagonal est? formada por seis tri?ngulos iguales con altura de 3.7 mm y lado de 5.2 mm, En la apicultura,
las celdas se forman en marcos aproximadamente 56 por 27 celdas de cada lado y en cada compartimento
se colocan diez marcos. CIERRE
a) ?Qu? cantidad de miel cabe en una celda?
b) ?Cu?l es la capacidad de almacenamiento de miel en un marco?
c) ?Qu? capacidad en litros puede tener un compartimento?
d) Si una colmena est? formada por 12 marcos, ?cu?ntas colmenas ser?n necesarias para una producci?n
aproximada de 100 litros de miel?
14. Resuelve. La figura 7.7 muestra el modelo de un tanque
de gasolina de un auto compacto, ?cu?ntos litros de ga-
solina caben en el tanque?
a) El modelo inicial contemplaba el tanque en forma de prisma rectangular con medidas de 20 cm,
45 cm y 40 cm. ?Qu? capacidad se perdi? con la modificaci?n?
Figura 7.7
45 cm
20 cm
40 cm
25 cm
15 cm 4. Observa cada prisma y con la informaci?n dada determina la longitud de su altura.
El volumen de un prisma rectangular recto se
obtiene al multiplicar su largo, ancho y alto.
a) Describe el procedimiento que seguiste para encontrar las alturas de cada prisma.

5. Observa cada prisma de base cuadrada y calcula el ?rea de la cara sombreada.
6. Dado un prisma rectangular cuyas medidas son B cm de ancho, cm de ancho y cm de alto.
a) ?Qu? interpretaci?n geom?trica tiene el producto de B B , el producto B y el producto B B ?

b) Reinterpreta la f?rmula para hallar el volumen de un prisma rectangular y expr?sala en t?rminos
del ?rea de una de las caras del prisma y otra medida.

7. Completa la tabla.
Prisma ?rea de la base (m
2
) Altura (m) Volume n (m
3
)
A 16 5
B 32 16
C 10.1 50.5
El volumen de un prisma rectangular recto tambi?n se puede calcular multiplicando el ?rea de su base por la altura.
alto
Volumen = (lago)(ancho)(alto)
ancho
largo
m
m
m
6 m
VolumenC 24 m
3
VolumenC 15 m
3
VolumenC 25 m
3
1 m
5 m
2.5 m
3 m 4 m
?reaCC C.
?reaCC C.
?reaCC C.
3 m
VolumenC 125 m
3
VolumenC 64 m
3
VolumenC 27 m
3
5 m
4 m
200
U3 / L7
203 8. Haz lo que se pide.
a) Calcula el volumen de un prisma rectangular recto con base de
24 cm
2
y altura de 8 cm.
b) Obt?n la altura de un prisma rectangular recto con volumen de
385.4 cm
3
y ?rea de la base de 77.08 cm
2
.
c) Calcula el ?rea de la base de un prisma recto rectangular cuyo
volumen es 108.1 cm
3
y su altura de 5 cm.
TOMA NOTA
Los prismas rectos reciben
su nombre de acuerdo con el
tipo de polígono que forma
su base.
Figura 7.3
Volumen de prismas rectos triangulares
9. Observa la figura 7.2 que muestra un mismo prisma recto en distintas posicione. Identifica
la base en cada caso y marca la altura en los tres casos
10. Lee y responde.
En una caja se van a empacar tres chocolates con forma de prisma triangular recto, En la figura 7.3 se muestran las dimensiones correspondientes.
a) ?Cu?l es el volumen de la caja?
b) ?C?mo acomodarías las barras de chocolate en la caja en forma de prisma
rectangular?

c) ?Qu? espacio de la caja quedaría sin ocupar?

d) ?Cu?l es el volumen de cuatro barras de chocolate?
e) ?Cu?l es el volumen de una barra de chocolate?
f) Expresa el volumen de una barra de chocolate en t?rminos de las longitudes 2.5 cm, 2.18 cm y
12 cm.
11 . El volumen de un prisma triangular es de 312 cm
2
. Si su altura es de 15 cm y la base del tri?ngulo
es de 8 cm, ?cu?nto mide su altura? Escribe c?mo calculaste su medida.

Figura 7.2
12 cm
12 cm2.5 cm
5 cm
2.18 cm
2.18 cm
201
L7 / U3
L7 / U3
202
U3 / L7 182 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. 1.
a) 404.04 mm
3
o 0.00040404 litros de miel
b)
1 221 816.96 mm
3
o 1.22 litros de miel
c)
12 218 169.6 mm
3
o 12.21 litros de miel
d)
6.82 colmenas
CIERRE
Página 200
4. Volumen = 24 m
3
, 6 m, 1 m, 4 m Volumen = 15 m
3
, 3 m, 5 m, 1 m Volumen = 25 m
3
, 4 m, 2.5 m, 2.5 m
a)
Dividí el volumen entre el producto del largo por el ancho.
5. Volumen = 125 m
3
. Área: 25 m
2
Volumen = 64 m
3
. Área: 16 m
2
Volumen = 27 m
3
. Área: 9 m
2
6. a) El área de una de las bases cuyas dimensiones son a y b.
El área de cada una de las caras cuyas dimensiones son b y c. El
área de cada una de las caras cuyas dimensiones son a y c.
b) El volumen de un prisma recto se obtiene multiplicando el
área de una de las caras por la longitud de uno de los lados perpendiculares a dicha cara.
7.

PrismaÁrea de la base (m
2
)Altura (m)Volumen (m
3
)
A 16 5 80
B 32 0.5 16
C 5 10.1 50.5
Página 201 8.
a) 192 cm
3
b)
5 cm
c) 21.62 cm
2
9.
En los tres casos, las caras triángulares son las bases. En los tres
casos, la distancia entre las caras triángulares determina la
altura.
10. a) 130.8 cm
3
b)
Se colocarían dos barras adyacentes y la tercera en posición in
vertida.
c) El espacio equivalente a una barra.
d) 130.8 cm
3
e)
32.7 cm
3
f) 32.7 cm
3
= [(2.18 cm × 2.5 cm) ÷ 2] × 12 cm.
11. Donde dice: “¿cuánto mide su altura?”, debe decir: “¿cuánto mide
la altura de la base?” Primero, se divide el volumen entre la altura:
312
÷ 15 = 20.8; el resultado se multiplica por 2: 20.8 × 2 = 41.6;
y luego se divide entre 8: 41.6 ÷ 8 = 5.2. El resultado es 5.2 cm.
Página 202 12.
a) 2 m de altura y 2 m de ancho.
b) En un prisma rectangular y uno triangular.
c) Volumen del prisma triangular = 1 m
3
.

Volumen del prisma
rectangular = 6 m
3
.
d) Conviene más el prisma rectangular, ya que podría almacenar
mejor la basura.
13.
Las medidas en la parte superior de la cabina del camión están
invertidas. Debe ser: altura, 76 cm; largo, 137 cm. a)
Aproximadamente 3 m. La caja está formada por dos regio-
nes con forma de prisma. Una región es la que se encuentra arriba de la cabina. Sus dimensiones son 0.76 m, 1.37 m
y 1.7 m, por lo que su volumen aproximado es 1.77 m
3
. La
otra parte mide 1.7 m de ancho y 2.1 de alto, y como su volu-
men es de 10.854 m
3
, entonces su largo mide aproximada-
mente 3 m.
b)
Altura del colchón: 21.88 cm. Porque 189 × 92 × 21. 8 8 =
38
0.449, Dimensiones de la sábana: largo, 232.76 cm;
ancho, 135.76 cm.
Página 203 14.
34 litros
a) 2 litros
183

Plan de clase Semana escolar 32
Lección 8
Contenido. Medición y cálculo en diferentes contextos.
Aprendizaje. Introduce la idea de distancia entre dos puntos
como la longitud del segmento que los une.
Encuentra la distancia de un punto a una recta y la distancia
entre dos rectas paralelas.
Tema. Distancia entre dos puntos (mínima longitud del
segmento que los une). Distancia de un punto a una recta
(mínima longitud del segmento que los une). Distancia entre
dos rectas paralelas (mínima longitud del segmento que las
une).
Lección 8. Distancias en el plano
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos encuentren la
distancia entre un punto y una recta, así como la distancia entre rec-
tas paralelas.
Lean en grupo la sección de inicio y plantee preguntas como ¿Cuál
será la distancia más corta entre dos puntos? ¿Cómo podrías obtener
la distancia del problema? Explique las posibles aplicaciones que tie -
ne el encontrar la distancia entre dos puntos. Solicite que reflexionen
para qué sería útil hacer este tipo de análisis. Permita que los alumnos
respondan a los cuestionamientos y den su opinión.
Se sugiere que si hay algún zócalo o plaza conocida en la locali-
dad o cerca de la escuela, se adapte la actividad haciendo referencia
a dicha plaza.
DESARROLLO. Explique el concepto de distancia y que ésta se pue -
de obtener de la medición directa o a través de algunas herramientas
y cálculos. Discutan los casos en los que se hace de forma directa y los
que no es posible hacerlo.
Lleve a cabo con el grupo la actividad 2. Pida que sigan las ins-
trucciones y presenten un resumen de su experiencia.
Mencione cuál es la distancia más corta entre dos puntos y pida
a los alumnos que muestren esto en su cuaderno, haga varios trazos
sobre el pizarrón. Explique cuál es la distancia más corta entre un
punto y una recta. Muestre con un ejemplo, la manera de demostrar
geométricamente que la línea perpendicular a la recta y que pasa por
el punto es la distancia más corta. Para ello dibuje en el pizarrón una
recta y un punto A. Luego trace varios segmentos que vayan del pun-
to A a la recta, como muestra la segunda imagen de la página 206,
uno de los segmentos debe ser perpendicular a la recta y pasar por
el punto A . Pida a los alumnos que midan directamente la longitud
de cada línea. Solicite que también midan el ángulo de inclinación de
cada segmento. Indique que anoten las longitudes y ángulo de inclina-
ción de cada segmento para que corroboren que conforme el ángulo
es más próximo a 90°, la distancia disminuye. Con este antecedente
podrán contestar fácilmente las actividades 3 y 4.
Trace en el pizarrón un par de rectas paralelas y muestre a los alum-
nos que la mínima distancia entre ellas es la perpendicular a ambas.
Para ello trace varios segmentos que unan a las rectas de modo que al
medir directamente corroboren que conforme el ángulo de inclinación
de éstos es más próximo a 90°, su longitud disminuye.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando el problema de cierre. Permita
que los alumnos reflexionen acerca de la importancia que tiene saber
medir objetos directa e indirectamente. Realice una retroalimentación
del tema.
Las actividades de la Ficha 18 del Cuaderno de evidencias les per-
mitirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de distancias
en el plano y crear conciencia sobre alguna situación relacionada con
ciudades y comunidades sostenibles.
Libro del alumno: Páginas 204-209
Fecha:
Error frecuente
Lección 8. Distancias en el plano
Los alumnos no leen correctamente las escalas de la regla.
Mencione que algunas reglas escolares tienes dos graduacio-
nes, una con pulgadas y otra en centímetros. Recalque que
para medir usamos generalmente los centímetros. Muestre
con ejemplos la manera correcta de usar la escala de la regla.
Otro error común en los estudiantes se presenta cuando
miden segmentos de recta; no alinean correctamente el cero
de la regla con el origen del segmento de recta por medir.
Presente diferentes reglas escolares y muestre dónde se ubi- ca el cero. Haga en el pizarrón un ejemplo de cómo medir un segmento de recta.
Orientaciones didácticas
184© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

La siguiente revista es de utilidad para conocer más acerca
del uso de las rectas en el Arte.
•
ArtNexus, Vol. 114, 2019, disponible en
www.edutics.mx/xfw
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para aclarar dudas acerca del cálculo de la distancia entre dos puntos. •
“Distancia entre dos puntos, método gráfico”, disponible en
www.edutics.mx/xfi
Sitios web
En esta página web encontrarás ejercicios de cálculo de distancias. •
Práctica de geometría, disponible en www.edutics.mx/xf5
Interdisciplina
El tema de inicio se relaciona con las disciplinas de Artes y Geografía.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• Para repasar el tema de distancias en el plano, se recomienda que los es
tudiantes realicen la actividad
interactiva “Distancia de un punto”.
Notas
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Determina la distancia entre dos puntos.
Portafolio de evidencias •
Recuerde a los estudiantes incluir la construcción de
las rectas elaboradas con GeoGebra en la actividad de cierre.
Calcula la distancia entre un punto y la recta.
Determina la distancia entre dos
rectas paralelas.
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. Observar y analizar nuestro entorno
arquitectónico sirve de base para comprender cómo ha evolucio-
nado la sociedad en el lugar en el que vivimos. La actividad de
inicio de la lección 8 brinda la oportunidad de reflexionar acerca
de ello y puede emplearse para investigar sitios arquitectónicos de
interés dentro de la localidad.
185© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Apuntes Figura 8.4
Distancia de un punto a una recta
3. Lee y responde.
El esquema de la figura 8.4 representa una tubería a la cual deben conectarse dos viviendas se?a-
ladas con los puntos B y .
a) ?Las conexiones indicadas con los segmentos y son las que usan menos metros de tubo?
Explica.

b) ?C?mo harías la conexi?n para utilizar la menor cantidad de metros de tubería? Explica.

Como viste en la actividad anterior, es posible definir la distancia de un punto a una recta a partir
de la idea de perpendicularidad.
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento más corto, el cual tiene un ex-
tremo en la recta y otro en el punto dado. Ese segmento es perpendicular a dicha recta.
4. Remarca con rojo el segmento cuya longitud es la distancia del punto B a la recta .
B

B

206
U3 / L8 5. Construye el segmento de menor longitud que une al punto B con la recta y luego al punto
con la misma recta. Usa regla y comp?s.
6. Realiza lo que se pide y responde.
? Construye con tu regla y comp?s la bisectriz del ?ngulo recto .
? Elige un punto en la bisectriz y n?mbralo como .
? Con tu regla y comp?s, construye los segmentos que representan
las distancias del punto a las rectas y . Se??lalos como
y .
a) ?C?mo son los ?ngulos y ?

b) ?C?mo son los segmentos , , y ?

c) ?Qu? tipo de cuadril?tero es el cuadril?tero ?

d) Con base en lo anterior, explica c?mo podrías construir un
cuadrado.

7. Traza lo que se te pide y responde.
a) Considera que es un punto al interior del ?ngulo , el
cual mide 90B. Con tu regla y comp?s, construye los seg-
mentos que representan las distancias del punto a las
rectas y . Luego n?mbralos como y .
b) ?C?mo son los ?ngulos y ?

c) ?C?mo son los segmentos , , y ?

d) ?Qu? cuadril?tero se form? con los puntos , , y ?

90?

B

B

90?

207
L8 / U3 Distancias en el planoL8
1. Analiza el texto y la imagen. Despu?s responde.
El patrimonio arquitect?nico de una ciudad constituye un
reflejo de los cambios a trav?s del tiempo, es muestra tan-
gible de la historia y cultura de una sociedad. En la Ciudad
de M?xico, la arquitectura es parte importante de su atrac-
tivo, ya que presenta una mezcla de ?pocas, estilos, colores
y materiales, que van desde vestigios prehisp?nicos y anti-
guas edificaciones coloniales, hasta modernos inmuebles. El
z?calo destaca por sus dimensiones, ya que es un ?rea rec-
tangular, con medidas de 195 m B 240 m, rodeada de calles
y monumentos representativos, como el Palacio Nacional, la
Catedral Metropolitana y el Antiguo Palacio del Ayuntamiento.
En una visita al Centro Hist?rico, Claudia y Nayeli se detu-
vieron en una esquina del z?calo. En la imagen, su ubicaci?n
se marc? con el punto B . Ambas se dirigen al punto , cada
una a su manera. Claudia pretende llegar caminando y Nayeli
decidi? abordar un taxi.
a) ?Qui?n recorrerá una menor distancia?

b) ?Cuál es la distancia más corta entre dos puntos?

INICIO
Vista panorámica y a?rea del z?calo de la Ciudad de
M?xico, cuyo nombre oficial es Plaza de la Constituci?n.
Distancia entre dos puntos
DESARROLLO
La distancia más corta entre dos puntos está dada por la longitud del segmento que los une,
y se puede medir directamente con una regla o flex?metro.
1. Mide con tu regla los segmentos de la figura 8.1 y determina su longitud.
Figura 8.1
TOMA NOTA
La distancia se mide en
unidades de longitud
llamadas metros (m), o bien,
en sus m?ltiplos, como el
kil?metro (km), y en sus
subm?ltiplos, como el
centímetro (cm), milímetro
(mm), etc?tera.
? Encuentra la distancia de un punto a una rec ta y la distancia entre dos rec tas paralelas.
a) b)
B

204
U3 / L8 B
B

A veces no es tan sencillo medir la distancia entre dos puntos; por ejemplo, para determinar cuán-
tos centímetros hay entre el piso y la cornisa de un edificio es necesario emplear un m?todo que
permita hacerlo de forma indirecta.
2. Formen parejas y sigan las instrucciones para medir la altura de un cuerpo de gran tama?o, como
un ?rbol o un poste. Necesitar?n una hoja de papel y una cinta m?trica o un flex?metro.
a) Doblen la hoja, de manera que el lado coincida con el lado , como se indica en la figura 8.2.
Corten el papel sobrante (la franja roja) y, al desdoblar, obtendr?n un cuadrado.
b) Doblen el cuadrado por la diagonal marcada para formar un tri?ngulo rect?ngulo is?sceles. Esto
quiere decir que los lados que componen el ?ngulo recto tienen la misma longitud.
c) Sujeten el tri?ngulo, cuidando que el ?ngulo de 90B quede en la parte inferior y orientado hacia
el ?rbol o poste, para que uno de sus lados sea paralelo al piso y el otro vertical, como en la fi-
gura 8.3.
d) Coloquen el tri?ngulo a la altura
de sus ojos y alineen su vista con
el lado m?s largo del tri?ngulo. De
ser necesario, el observador se
debe mover hacia adelante o ha-
cia atr?s, hasta que se vea con
precisi?n el punto m?s alto del ?r-
bol o poste.
e) Desde ese punto, midan la dis-
tancia que hay desde los pies de
quien observa hasta la base del
?rbol o poste, luego hay que su-
mar la estatura del observador
para obtener la altura del cuerpo
observado. Esto es porque las
proporciones de los lados del
tri?ngulo son 1 a 1.
Figura 8.2
Figura 8.3
205
L8 / U3
186 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 204
1. a) Claudia realizará un recorrido menor.
b) R. M. La longitud del segmento que los une.
INICIO
DESARROLLO
1. a) 4.7 cm
b) 7.1 cm
Página 205
2.
R. L. Solicite que midan la altura de una construcción cercana a
la escuela, la de algún árbol o la de un poste. Revise los cálculos y esquemas que hayan elaborado.
Página 206 3.
a) No, porque la distancia más corta entre una recta y un punto
es la perpendicular a la recta y toca al punto.
b) Podrían ahorrarse más tubo si se trazaran perpendiculares al
segmento XY que pasen por A y por B .
4.
Página 207 5.

6.
a) Son ángulos rectos.
b) Iguales
c) Un cuadrado
d) R. M. Trazar la bisectriz del ángulo. Elegir un punto en la
bisectriz y trazar las perpendiculares que toquen el punto con las dos rectas.
7.
a)
b) Son ángulos rectos
c) Iguales por pares
d) Rectángulo
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
D
C
k
α = 90°
A
Y
X
B
C
F
OY
X
R
α = 90 °
S
T
187

Distancia entre dos rectas
8. Forman parejas, analicen la figura 8.5 y respondan.
a) ¿Cuál es la distancia más corta entre las dos rectas anteriores?

La distancia entre dos rectas paralelas l y k está determinada por la distancia de un punto de la
recta l a la k o viceversa, de un punto de k a la recta l . Una propiedad importante sobre la dis-
tancia entre rectas paralelas es que es constante.
9. Remarca con rojo el segmento cuya longitud es la distancia entre las rectas l y k.
10. Realiza lo que se pide y responde. Considera que l y k son rectas paralelas.
• En la recta l marca dos puntos distintos, P y Q.
• En la recta k marca los extremos de los segmentos que son perpendiculares a l y que pasan por
P y Q. Señala esos puntos como R y S, de manera que PR sea perpendicular a k y QT perpen-
dicular a l .
a) ¿Cómo son los ángulos R PQ y PRS?
b) ¿Cómo son los ángulos SQP y RSQ?
c) ¿Qué tipo de cuadrilátero se formó con los puntos P , Q, S y R?
d) ¿Cómo son los lados PR y QS de ese cuadrilátero?
Figura 8.5
l
k
l
k
208© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
U3 / L8
11 . Analiza la figura 8.6 y responde.
a) ¿Por qué los segmentos AB , RS y UT son paralelos? Explica.

b) ¿Cuál es la distancia entre las rectas l y m?
c) ¿Cuál es la distancia entre RS y UT?
d) ¿Cuál es la distancia entre RS y AB?
1. Construye lo que se pide en tu cuaderno. Utiliza regla y compás.
a) Una recta que se encuentre a 3 cm de distancia de la recta l .
CIERRE
l
b) ¿Cuántas rectas que cumplen con esa característica se pueden construir? Explica y
trázalas.
PORTAFOLIO
Realiza la construcción en
GeoGebra y guárdala en tu
por tafolio de evidencias.
Figura 8.7
Figura 8.6
12. Calcula las áreas de los polígonos de la
figura 8.7.
a) El área del triángulo A BC, considerando
que la distancia de B a AC es de 5 cm.

b) El área del paralelogramo, considerando
que la distancia entre las rectas EG y DF
es de 6 cm.

l
m
R
S
90º 90º 90º
U
T
A
RB
A
B C D
E
F
G8 cm
8 cm
páginas
43 y 44
Cuaderno
de evidencias
209© Todos los derechos reser vados, Macmillan Educación, S. A . de C. V.
L8 / U3
188 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario CIERRE
1. a)
b) 2, una por arriba y la otra por debajo de la recta.
Página 208
8. a) R. M. No hay distancia que las separe, pues se intersecan en
un punto.
9.
10.
a) Ángulos rectos
b) Ángulos rectos
c) Un rectángulo
d) Iguales
Página 209 11.

a) Porque son perpendiculares a las rectas l y m.
b) Lo que miden las rectas paralelas RS , UT y AB.
c) Lo que miden los segmentos ST y RU.
d) Lo que miden los segmentos SB y RA.
12.
a) 20 cm
2
b)
48 cm
2
l
k
l
k
3 cm
3 cm
P
R
Q
S
Notas
189© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Plan de clase Semana escolar 33
Lección 9
Contenido. Medición y cálculo en diferentes contextos.
Aprendizaje. Explora la desigualdad del triángulo.
Tema. Posibilidad y unicidad en las construcciones de
triángulos.
Lección 10
Contenido. Medición y cálculo en diferentes contextos.
Aprendizaje. Identifica y aplica los criterios de congruencia
de triángulos.
Tema. Criterios de congruencia de triángulos.
Lección 9. Construcción de triángulos
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos conozcan las
condiciones que se deben cumplir para poder construir un triángu-
lo. Pregunte al grupo ¿Creen que sean importantes los triángulos
y cuadriláteros en nuestra vida? ¿Podremos encontrar fácilmente es-
tas figuras en el mundo real? ¿Servirán en la construcción? ¿Pueden
darme un ejemplo donde sea posible encontrar estas figuras en
su salón de clases, en su casa o en la calle? Permita que respondan
y den su opinión. Lean en grupo la situación de la sección de inicio
y respondan las preguntas.
DESARROLLO. Explique la manera de trazar un triángulo dadas las
medidas de los tres lados y luego pida que respondan las actividades
de desarrollo de esta sección. Muestre con un ejemplo que, si tiene
la medida de los tres lados del triángulo, su forma es única. Presente
a los estudiantes ejemplos donde se aplique la desigualdad del trián-
gulo para decidir si se puede construir o no uno con los datos dados.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando la actividad de cierre. Pida
a los alumnos que reflexionen acerca de si esta actividad la podrían
aplicar en la vida cotidiana. Permita que den su opinión y realice una
retroalimentación del tema.
Solicite a los estudiantes que lleven a cabo la construcción de una
cúpula geodésica como indica la infografía.
Lección 10. Criterios de congruencia
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos apliquen los cri-
terios de congruencia de triángulos para resolver un problema. Plantee
al grupo preguntas detonadoras como Si tenemos una pareja de trián -
gulos con las mismas características, entonces, ¿tendrán la misma
longitud sus lados? Aparte de medir los lados de los triángulos, para
compararlos y decidir si miden lo mismo o no, ¿existirá alguna forma
de calcular la longitud de alguno de los lados de uno de los triángulos?
Permita que los alumnos respondan y den su opinión. Lean en grupo
la situación de la sección de inicio y contesten.
DESARROLLO. Mencione el criterio para que un par de triángulos
sean congruentes y exponga en el pizarrón ejemplos de triángulos de
este tipo. Dibuje varios en el pizarrón y pida a los alumnos que iden-
tifiquen cuáles de ellos son congruentes y que expliquen por qué lo
son. Muestre los tres criterios de congruencia de triángulos que existen
y luego proponga una serie de ejercicios para que el alumno identifi-
que el criterio de congruencia correspondiente (si es el caso). Explique
al grupo cómo decidir si hay congruencia entre dos cuadriláteros, por
ejemplo, entre dos rombos o entre dos trapecios. Proponga la demos-
tración basada en la congruencia del triángulo y pida a los alumnos la
resolución de las actividades de esta sección.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando la actividad de cierre y com-
plementando la de inicio. Pida a los alumnos que reflexionen sobre
si esta actividad la han visto aplicada en algún momento de su vida.
Permita que den su opinión y posteriormente realice una retroalimen-
tación del tema.
Libro del alumno: Páginas 210-221
Fecha:
Error frecuente
Lección 9. Construcción de triángulos
Un error frecuente en los alumnos es el confundir los signos
“mayor que” (>) y “menor que” (<). Muestre al grupo los sig-
nos de desigualdad y recuérdeles qué expresa cada uno de
ellos. Presente ejemplos de su aplicación y proponga ejercicios de comparación utilizando “mayor que” y “menor que”, como refuerzo de esto.
Lección 10. Criterios de congruencia
Es común que los estudiantes, cuando utilizan los criterios de congruencia y semejanza de triángulos, no relacionen correc-
tamente los lados correspondientes por pares a cada triángulo.
Exponga varios ejemplos señalando los lados correspondientes
a cada pareja de triángulos.
Orientaciones didácticas
190© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Notas
Libros y revistas
La siguiente revista es de utilidad para conocer acerca de la
importancia de los triángulos en la construcción.
•
“Los triángulos en la construcción” en Duinsa, construcción
industrial, 2021, disponible en www.edutics.mx/xfN
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para aclarar dudas acerca de la congruencia de triángulos. •
“Criterios de congruencia de triángulos”, disponible en
www.edutics.mx/xfx
Sitios web
En esta página web encontrarás ejercicios de semejanza de triángulos. •
“Criterio de congruencia de triángulos”, disponible en
www.edutics.mx/xff
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Aplica la desigualdad del triángulo para decidir si es o no posible la construcción de un triángulo basado en la medida de sus tres lados.
Portafolio de evidencias •
Recuerde a los estudiantes incluir la tabla de la
actividad 4 de la lección 9.
Identifica triángulos
y cuadriláteros semejantes.
Aplica la congruencia de
triángulos y cuadriláteros
semejantes.
Interdisciplina
Los contextos de construcciones y sus características se relacio-
nan con las disciplinas de Artes y Tecnología.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• Para complementar la lección 9, se recomienda que los estudiantes r
ealicen la actividad interactiva “Construcción
de triángulos”.
• Para mejorar su dominio del tema de criterios de
congruencia de triángulos, es aconsejable que los alumnos hagan la actividad interactiva “Congruencia de triángulos”.
Programa Construimos Futuro
Desarrollo Sustentable. La infografía sobre cúpulas geodésicas sirve de punto de partida para averiguar sobre los beneficios que tienen este tipo de estructuras mutlifacéticas tanto en términos de los materiales con los que se pueden construir como su capa- cidad de resiliencia.
191© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Apuntes a) Compara tu tri?ngulo con los que trazaron tus compa?eros. Anota tus observaciones.

b) ?Es posible construir un tri?ngulo diferente cuyos lados tengan esas medidas? Argumenta

Unicidad en la construcci?n de triángulos
3. Traza en tu cuaderno los tri?ngulos, con las medidas dadas, y responde.
Tri?ngulo A: 3 cm, 5 cm y 7 cm Tri?ngulo C: 5 cm, 5 cm y 4 cm.
Tri?ngulo B: 6 cm, 3 cm y 2 cm. Tri?ngulo D: 3 cm, 8 cm y 5 cm.
a) ?Es posible construir un tri?ngulo con cualquier combinaci?n de longitudes? Explica.

b) ?Qu? tri?ngulos se pudieron construir?
c) ?C?mo deben ser las medidas para que el tri?ngulo se pueda construir?
4. Re?nete en pareja y hagan lo que se pide.
a) Corten tiras delgadas de papel o de cart?n con las medidas: 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm
y 7 cm.
b) Usen las tiras como lados de un tri?ngulo, formen los que est?n en la tabla y compl?tenla.
Observen el ejemplo.
La propiedad de unicidad de los tri?ngulos garantiza que tan solo con tres segmentos pueda
construirse un tri?ngulo ?nico. En otras palabras, para determinar la forma y el tama?o de un ?nico tri?ngulo es suficiente conocer la longitud de sus tres lados.
C O N S U LTA
Ingresa en www.edutics.
mx /Nnh para saber m?s
acerca de la unicidad en la
construcci?n de tri?ngulos.
CON TIC?S
Ingresa en www.edutics. mx /Nnn para que muestres
la unicidad en construcci?n de tri?ngulos.
Medidas de las tiras
para formar un tri?ngulo
?Es posible construir un
tri?ngulo?
Suma de dos de los
lados y comparaci?n
con el tercero
?Todas las sumas de
dos de los lados son
mayores que la del
tercer lado?
2 cm, 3 cm y 7 cm No
2 B 3 5, 5 7
3 B 7 10, 10 2
7 B 2 9, 9 3
No
2 cm, 4 cm y 6 cm
2 cm, 3 cm y 4 cm
6 cm, 2 cm y 3 cm
5 cm, 4 cm y 7 cm
212c) Dados tres segmentos que, tras sumar las longitudes de dos, el resultado es igual a la longitud
del tercero, ?es posible construir un tri?ngulo?
d) Con las medidas de las tiras, ?es posible formar otros tri?ngulos? ?Cu?les serían las medidas
de estos tri?ngulos?

e) ?Qu? relaci?n deben tener las medidas de los tres lados de un tri?ngulo para que se pueda
construir?
1. Analiza la situaci?n y realiza en tu cuaderno lo que se solicita.
Victoria se acaba de cambiar de domicilio, por lo que quiere saber cu?l es la escuela y el parque m?s cercano
a los que se puede trasladar en bicicleta en el menor tiempo posible. Observa el plano de la colonia en que
se ubica su nueva casa y responde.
CIERRE
Evitar los trayec tos largos, al trasladar te de un lugar
a otro en las grandes ciudades, disminuye la huella de
carbono.
a) Triangula en el croquis todas las rutas posibles.
b) ?Cu?l es el parque m?s cercano?
c) ?A cu?ntas cuadras se ubica la escuela m?s cercana?
d) Si saliendo de la escuela pasa al parque, ?a qu? parque y a qu? escuela debe asistir si quiere recorrer
el menor n?mero de cuadras?
e) ?Es posible triangular la casa de Victoria con la escuela 2 y el parque 3? Justifica tu respuesta.
Escuela3
Escuela1
Parque2
Casa
Escuela
2
Parque1
Parque3
Dados tres segmentos, que formar?n los lados de un tri?ngulo, es posible construirlo si la suma de las
medidas tomadas de dos en dos de sus lados debe ser mayor que la medida del tercero.
213
L9 / U3
U3 / L9 Unidad TRES
Construcci?n de tri?ngulos
? Explora la desigualdad del triángulo.
L9
1. Lee y realiza lo que se pide.
En los ?ltimos a?os, el mundo se ha urbanizado de
forma acelerada, por lo que las ciudades requieren
de una adecuada planificaci?n, con la intenci?n de
que sus habitantes cubran sus necesidades sin da?ar
al medio ambiente. En consecuencia, las construc-
ciones sostenibles surgen como una soluci?n para
disminuir los impactos ambientales que genera la
construcci?n de edificios convencionales; con ellas,
se pretende aprovechar las energías renovables, re-
ducir el consumo de agua y emplear materiales reci-
clables, como madera, bamb?, PET y la ca?a de
az?car.
La imagen muestra un pabell?n que fue construido
con varas de bamb?. Observa las figuras que se for-
man y responde.
a) ?Qu? figuras geom?tricas identificas en la imagen?
b) Marca en la imagen al menos 3 figuras diferentes.
c) ?Qu? tipo de tri?ngulos hay en la imagen?

d) Construye en el recuadro un tri?ngulo equil?tero que tenga 3 cm por lado.
e) Compara tu tri?ngulo con el de uno de tus compa?eros, ?c?mo son entre sí?
?Por qu??

INICIO
Las construcciones sostenibles disminuyen los impac tos en el
medio ambiente.
Construcci?n de tri?ngulos dados dos o tres de sus lados
En la lecci?n 4 construimos tri?ngulos con regla y comp?s. Ahora ampliaremos y completaremos estos conocimientos con la propiedad de unicidad.
1. Recuperemos algunos conocimientos. Traza lo que se te indica a partir de los datos y responde.
a) Construye en tu cuaderno un tri?ngulo con segmentos del tama?o que se muestra en la figura 9.1.
DESARROLLO
C O N S U LTA
Entra en www.edutics.
mx /Nnd para saber c?mo
construir un tri?ngulo de
diversas maneras.
3 cm
A B
C D
5 cm
Figura 9.1
b) ?Cu?nto mide el tercer lado del tri?ngulo?
210 c) Compara tu construcci?n con la de tus compa?eros. ?Todos los tri?ngulos son congruen-
tes? Explica.

d) ?Cu?ntos tri?ngulos distintos se pueden construir a partir de dos segmentos? Justifica.

Como hemos visto, en geometría usa regla (no graduada) y comp?s para construir figuras porque son
los instrumentos que permiten construir los elementos sencillos: segmentos de recta y circunferencias.
Recordemos como construir un tri?ngulo dados sus tres lados.
2. Traza un tri?ngulo con lados de 4 cm, 6 cm y 7 cm.
Construcci?n de un tri?ngulo conocidos sus lados
1 Se traza con la regla uno de los lados, que por lo
general es el de mayor longitud. Se puede nom-
brar a los puntos extremos como A y B.
3 Se traza un arco con centro en B y radio igual al tercer lado. Se puede nombrar C al punto donde se intersecan los arcos.
2 Con el comp?s, se traza un arco con centro en A y radio igual al segundo lado.
4 Se trazan los segmentos AC y BC. El tri?ngulo
ABC es el que se forma dados tres lados.
TOMA NOTA
Si los lados
correspondientes de dos
tri?ngulos son iguales,
entonces se dice que los
tri?ngulos son congruentes;
es decir, que tienen la misma
forma y medidas.
A B
A B
A
C
B A
C
B
211
L9 / U3
192 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario Página 210
1. a) Triángulos y cuadriláteros.
b)
c) Triángulos equiláteros y rectángulos.
d) Verifique que los lados del triángulo sean de 3 cm. Comente
que no basta con que dos lados midan 3 cm y trazar el terce-
ro sin medir, ya que así no necesariamente se obtiene un triángulo equilátero.
e)
Iguales, porque están construidos con las mismas medidas.
INICIO
DESARROLLO
1. a)
b) R. L. 4 cm
Página 211
c) No, porque el tercer lado tiene diferente medida.
d) Es posible construir una infinidad de triángulos, dado que se
pueden ubicar en distintos lugares del plano.
2. Verifique que los lados del triángulo sean de 4 cm, 6 cm y 7 cm.
Página 212
a) R. L. Son el mismo triángulo, pues se construyeron con los
mismos datos.
b) No, se obtiene el mismo triángulo cuando se dan las medidas
de sus tres lados.
3. Triángulo A.
Triángulo B. No es posible construir.
Triángulo C.
Triángulo D. No es posible construir.
a) No es posible, porque no siempre se puede formar el triángu-
lo, por ejemplo, en el triángulo B los arcos no se intersecan y la figura no se cierra.
b)
Los triángulos A y C.
c) R. L. La suma de dos de los lados debe ser siempre mayor al
valor del tercer lado para que se pueda construir el triángulo.
4. a) R. L. Verifique las longitudes de las tiras para que los alumnos
puedan realizar la actividad.
b)
Medidas
de las
tiras para
formar un
triángulo
¿Es
posible
construir
un
triángulo?
Suma de dos
de los lados y
comparación con
el tercero
¿Todas las
sumas de dos
de los lados
son mayores
que la del
tercer lado?
2 cm, 3 cm
y 7 cm
No
2 + 4 = 6, 6 = 6
4 + 6 = 10, 10 > 2
6 + 2 = 8, 8 > 4
No
2 cm
, 4 cm
y 6 cm
No
2
+ 4 = 6, 6 = 6
4 + 6 = 10, 10 > 2
6 + 2 = 8, 8 > 4
No
2 cm
, 3 cm
y 4 cm
Sí
2
+ 3 = 5, 5 > 4
3 + 4 = 7, 7 > 2
4 + 2 = 6, 6 > 3
Sí
6 cm
, 2 cm
y 3 cm
No
6
+ 2 = 8, 8 > 3
2 + 3 = 5, 5 > 6
6 + 3 = 9, 9 > 2
No
5 cm
, 4 cm
y 7 cm
Sí
5
+ 4 = 9, 9 = 7
4 + 7 = 11, 11 = 5
5 + 7 = 12, 12 = 4
Sí
(C
ontinúa en la página 195.)
3 cm 4 cm
5 cm
5 cm
7 cm
3 cm
5 cm
5 cm
4 cm
193© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Unidad TRES
Criterios de congruencia
? Conoce y aplica los criterios de congruencia de tri?ngulos.
L10
1. Revisa la informaci?n y responde en tu cuaderno.
Un grupo de ingenieros est? triangulando un terreno en el que se construir? una zona habitacional. La tabla
muestra las medidas de distintas zonas triangulares.
Terreno
Medida lado
1 (m)
Medida lado
2 (m)
Medida lado
3 (m)
1 60 60 60
2 50 60 80
3 10 0 120 75
4 90 40 35
5 70 85 130
a) ?Cu?les medidas son incorrectas? ?Por qu??
b) Reflexiona y responde ?qu? características deben tener tres segmentos de recta para formar
un tri?ngulo?
INICIO
DESARROLLO
Congruencia de tri?ngulos
1. Completa la tabla. Indica si es posible construir un tri?ngulo con las medidas que se mencionan en cada inciso. Si respondiste afirmativamente, dibuja un tri?ngulo en tu cuaderno con esas es-
pecificaciones; en caso contrario, explica por qu? no es posible construirlo.
Especificaciones
para construir
un tri?ngulo
Los ?ngulos
miden: 40B,
50B y 60B.
Medidas de los
lados: 3 cm,
4 cm y 5 cm.
Medidas de los
?ngulos: 60B,
60B y 60B.
Medidas de los
lados: 2 cm,
3 cm y 10 cm.
Medidas de los
?ngulos: 100B,
60B y 50B.
?Es posible?
Explicaci?n
2. Re?nete en pareja y realicen lo siguiente.
a) Propongan, en su cuaderno, diferentes ternas de medidas de ?ngulos y de medidas de segmen-
tos y analicen si con ellas es posible construir tri?ngulos.
b) ?Qu? condici?n deben cumplir los ?ngulos interiores de un tri?ngulo para poder construirlo?

c) ?Qu? condici?n deben cumplir los ?ngulos interiores de un tri?ngulo para poder construirlo?
3. Observa las piezas del tangram y responde.
a) ?Qu? piezas del tangram son iguales?

b) ?Qu? criterios usaste para determinar las piezas que son iguales?

c) ?Qu? piezas se parecen, pero son diferentes? Explica su respuesta.

d) ?Por qu? las piezas c y g son diferentes?

e) ?Por qu? las piezas a y e son diferentes?

f) Elije dos piezas iguales y escribe por qu? consideras que lo son.

El teorema de la desigualdad del tri?ngulo afirma que la suma de
las medidas de dos de los lados de un tri?ngulo siempre debe ser
mayor que la longitud del tercero. Por ejemplo, para el tri?ngulo
cuyos lados son B , y , se debe cumplir:

B
B B
B B
B B
Se dice que dos figuras geom?tricas son congruentes si tienen la misma forma y tama?o. En
ellas coinciden todos sus elementos, y sus lados y ?ngulos son iguales, por lo que se pueden
hacer coincidir sobreponiendo una sobre otra. En dos figuras congruentes, los lados y ?ngulos
que coinciden al sobreponerlas se llaman hom?logos o correspondientes.
4. Dibuja un tri?ngulo en el que uno de sus lados mida 4 cm y otro 3 cm.
a) ?Cu?l es la medida del tercer lado del
tri?ngulo?

b) Anota en el tri?ngulo la medida de sus
?ngulos interiores.

c) ?Cu?ntos tri?ngulos diferentes se pue-
den trazar de manera que uno de sus
lados mida 4 cm y otro 3 cm?

B

217Palitos B
Plastilina
Palitos A
?C?mo construir una c?pula geod?sica?
Para construir la maqueta de una cupula geod?sica, primero se
debe escoger el tipo de estructura y existen varios, dependiendo
de los polígonos que componen las uniones. En este caso, los
tri?ngulos forman elementos pentagonales, que permiten curvar
la super ficie y cuyos v?r tices deben coincidir, todos, con la
super ficie de una esfera.
PA S O 4 . Construye 6 pent?gonos en total.
PASO 7. Coloca el sex to pent?gono en la
par te superior y ?nelo por los v?r tices.
PA S O 5 . Une 5 pent?gonos por
uno de sus v?tices.
PASO 8 . Une el resto de los
palitos A para completar la base.
PA S O 6 . Cierra el circuito uniendo el
?ltimo pent?gono con el primero.
PASO 9. Puedes recubrir el domo
con papel o tela. ?C?mo podrías
hacer un domo m?s grande?
PA S O 1 . Consigue:
? 35 palitos A de 12.5 cm
? 30 palitosCB de 11 cm
? Plastilina
PA S O 3 . Cierra el pent?gono.PA S O 2 . Construye los radios
de un pent?gono.
R
i
c
h
ard Buckminster Fuller
A
B
B
B
B
B
A A
A
A
215 UNA C?PULA GEOD?SICA?
?C?MO CONSTRUIR
Un domo geod?sico es una estructura
arquitect?nica conformada por una serie
de tri?ngulos equil?teros unidos mediante
un sistema de bisagras y conectores.
Estos tri?ngulos forman una semiesfera similar
a una c?pula , pero con una mayor resistencia
y eficiencia en la distribuci?n de cargas.
La primera c?pula geod?sica se
debe al ingeniero alem?n Walther
Bauersfeld, que utiliz? este dise?o
para construir el planetario Zeiss
de Jena en 1926.
A?os m?s tarde, el arquitecto
norteamericano Richard
Buckminster Fuller populariz?
la construcci?n de c?pulas
geod?sicas y obtuvo su
patente en 1954.
W
alther Bauersfeld
R
i
c
h
ard Buckminster Fuller
Planetario Zeiss de Jena, Alemania
La Biosfera, museo del medio ambiente, Canad?.
214
L10 / U3
GLOSARIO
teorema. Proposici?n
matem?tica pero
demostrable.
terna. Conjunto de tres
personas u objetos.
216 194 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. CIERRE
1. a)
b) Parque 1
c) 6 cuadras a la escuela 3
d) Parque 1 y Escuela 3
e) No, porque el parque se ubica a la mitad entre la escuela y su
casa, y al sumar las distancias no obtenemos que dos de ellas
sean mayores que la tercera.
Viene de la página 193
Página 213
c)
No
d) R. M. Triángulo I. 3 cm, 5 cm y 6 cm. Triángulo II. 5 cm, 6 cm
y 7 cm. Triángulo III. 2 cm, 4 cm y 5 cm. Triángulo IV. 7 cm, 6 cm y 2 cm. Triángulo V. 3 cm, 4 cm y 5 cm. Triángulo VI.
7 cm, 6 cm y 4 cm.
e)
Que la medida del lado mayor sea menor que la suma de las
de los otros dos.
Página 216
1.
a) La medición 4. Porque no cumple la desigualdad del triángulo:
40 + 35 = 75, 75 < 90.
b) La suma de las medidas de dos de los lados de un triángulo
siempre debe ser mayor que la longitud del tercero.
INICIO
DESARROLLO
1.
Especificaciones para
construir un triángulo
¿Es posible? Explicación
Los ángulos miden:
40°, 50° y 60°.
No
La suma de sus
ángulos es 150°
y debe ser 180°.
Medidas de los lados:
3 cm, 4 cm y 5 cm.
Sí
Se cumple la
desigualdad del
triángulo.
Especificaciones para
construir un triángulo
¿Es posible? Explicación
Medidas de los ángulos:
60°, 60° y 60°.
Sí
La suma de sus
ángulos es 180°.
Medidas de los lados:
2 cm, 3 cm y 10 cm.
No
No se cumple la
desigualdad del
triángulo:
2 + 3 = 5, 5 < 10.
M
edidas de los ángulos:
100°, 60° y 50°.
No
La suma de sus
ángulos es 210°
y debe ser 180°.
2.
a) R. L. 3 cm, 4 cm y 5 cm; 3 cm, 5 cm y 7 cm.
b) La suma de los tres ángulos interiores es igual a 180°.
Página 217 3.
a) b y f, d y e.
b) Medir los lados de los triángulos. Medir sus ángulos.
c) Se parecen a , b, d, e y f, pero la medida de sus lados es dife-
rente, aunque la medida de los ángulos sea igual.
d) Tienen ángulos con diferentes medidas. La figura g tiene un
par de lados con medida diferente a la del otro par, y en c, sus
lados miden lo mismo.
e) Son diferentes por la longitud de sus lados.
f) R. M. Las piezas b y f son iguales, pues tienen la misma medi-
da en sus lados y sus ángulos son iguales.
4.
a) 5 cm
b) 90°, 30° y 6 0°
c) Una infinidad de triángulos, pues sólo debemos dar la medida
del lado faltante como un número menor a la suma de los dos lados proporcionados (7).
Escuela3
Escuela1
Parque2
Casa
Escuela
2
Parque1
Parque3
2.64
48.6° 41.4°
90°
4
3
195

b) Los lados y tienen la misma longitud y los ?ngulos y
miden lo mismo que los ?ngulos B y B, respectivamente.

c) Los lados y miden lo mismo, al igual que los lados y ,
y los ?ngulos B y B miden lo mismo que B y B, respecti-
vamente.

B

Congruencia de cuadril?teros
10. Analiza el paralelogramo y realiza lo que se indica.

a) Remarca con rojo los segmentos y . ?C?mo son entre sí?

b) Tr aza la diagonal y marquen con verde los ?ngulos B y B.
?Qu? relaci?n hay entre las medidas de estos ?ngulos?

c) ?C?mo son entre sí los tri?ngulos y ?

d) Remarca con azul los segmentos y . ?C?mo son entre sí estos segmentos?

e) Marca con azul los ?ngulos B y B. ?Qu? relaci?n hay entre las medidas de estos ?n-
gulos?

f) ?Cu?l es la relaci?n entre los ?ngulos cuyos v?rtices son y ?

g) Colorea con amarillo el interior del tri?ngulo y con verde el interior del tri?ngulo
que se forma en la figura. ?Qu? elemento comparten estos tri?ngulos?

h) A partir de la respuesta anterior indica c?mo son entre sí los ?ngulos cuyos v?rtices son y .

GLOSARIO
paralelogramo: Figura
geom?trica que tiene sus
lados opuestos paralelos y
de igual longitud.
CON TIC?S
Entra en www.edutics. mx /3TE donde podr?s
manipular tri?ngulos congruentes con un programa de geometría din?mica. 11 . Dibuja un cuadrado en el recuadro.
b) ?Qu? informaci?n es la mínima suficiente para generar cuadrados congruentes?

c) ?Cu?les son las condiciones mínimas para trazar un rect?ngulo?

d) ?Cu?les son las condiciones mínimas para trazar un rombo?

TOMA NOTA
En un paralelogramo los
lados y ?ngulos opuestos
miden lo mismo.
1. Retoma la situaci?n inicial, resu?lvela nuevamente en tu cuaderno y justifica tu respuesta.
a) ?Cu?les son las posibles medidas del tercer lado de un tri?ngulo, si las medidas de sus otros dos lados
son 12 cm y 20 cm?
b) ?Cu?l es la medida m?xima del lado desigual de un tri?ngulo is?sceles? Expr?sala en t?rminos de la me-
dida de los lados iguales.
c) Justifica que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
2. Los andamios y otras estructuras que se utilizan en la construcci?n o para manejar grandes pesos se for-
man con elementos de formas triangulares. ?Por qu? se dise?an así? Explica en tu cuaderno.
CIERRE
a) Escribe la informaci?n necesaria para que se pueda dibujar
un cuadrado.

5. Dibuja un tri?ngulo que mide 4 cm, otro de 3 cm y que el ?ngulo entre ellos sea de 45B.
TOMA NOTA
A par tir de uno o dos datos,
por ejemplo, las medidas
de un lado y un ?ngulo,
es posible construir una
infinidad de tri?ngulos que
compar tan esos elementos.
6. Analiza la tabla y haz y responde lo que se pide en tu cuaderno.
a) Elabora una tabla similar a la que se muestra y dibuja dos tri?ngulos para cada conjunto de datos
que se indican; luego completa la tabla que hiciste.
DAT O S
?Se construyen tri?ngulos congruentes?
?Por qu??
S? NO
Uno de sus lados mida 4 cm y otro 2.5 cm.
Sus lados midan 14 cm, 10 cm y 12pcm.
Uno de sus ?ngulos mida de 70? y otro 60?.
b)C?Cu?ntos y qu? elementos son necesarios para determinar un tri?ngulo ?nico?
c)C?Las medidas de tres ?ngulos determinan un ?nico tri?ngulo?
C7.C Anota la medida de los lados y ?ngulos que faltan en los tri?ngulos, luego responde.
a)C?C?mo son entre s? los tres tri?ngulos? C
b)C?Cu?ntos tri?ngulos diferentes se pueden construir a partir de la medida de dos ?ngulos inte-
riores y la longitud del segmento entre dichos ?ngulos? Explica.CC C
C
c)C?Qu?Cele mentos fueron necesarios para determinar un ?nico tri?ngulo?CC C
C
a)C?Cu?ntos tri?ngulos diferentes se puedenC
trazar de manera que uno de sus lados midaC
4pcm, otro 3 cm y el ángulo entre ellos sea
de 45B?
CC
b)C?Cu?ntos y cu?les datos se requieren para
trazar un ?nico tri?ngulo?
CC
60B 60B
70B
50B 50B
4.3 cm 4 cm
3.5 cm
a) b) c)
70B
218
U3 / L10 d) ?Cu?ntos elementos mínimos deben compartir dos o m?s tri?ngulos para asegurar que son con-
gruentes?

8. Lee la informaci?n de cada inciso con respecto a la medida de los lados y ?ngulos de un tri?ngulo
y concluye si con esos datos es posible construir uno o una infinidad de tri?ngulos. Los elementos
siguen el orden que muestra la figura.
La forma y el tama?o de cualquier figura geom?trica depende de la longitud de sus lados y la magnitud de sus ?ngulos. Para determinar la forma y el tama?o de un ?nico tri?ngulo es sufi-
ciente conocer?
1 la longitud de sus tres lados.
2 la longitud de dos lados y la medida del ?ngulo entre ellos.
3 la medida de dos ?ngulos y la longitud del lado entre dichos ?ngulos.
Para verificar que dos tri?ngulos son congruentes usamos los siguientes criterios.
1 Criterio lado, lado, lado (). Los tres lados de un tri?ngulo miden lo mismo que los tres la-
dos del otro tri?ngulo.
2 Criterio lado, ?ngulo, lado (). Dos lados y el ?ngulo entre ellos de un tri?ngulo miden lo
mismo que dos lados y el ?ngulo entre ellos de otro tri?ngulo.
3 Criterio ?ngulo, lado, ?ngulo (). Un lado y los dos ?ngulos que se forman en sus extremos
en un tri?ngulo miden lo mismo que un lado y los dos ?ngulos que se forman con ese lado en el otro tri?ngulo.

B

a) B 10, B 8 y B B 80?.
b) B 12, B 6 y B B 6 0 ?.
c) B 3, B 4 y B 50?.
d) B 30, B 35? y B 45?.
e) B 4.5, B 35? y B 45?.
9. Observa las figuras y de acuerdo con la informaci?n decide si los tri?ngulos
son congruentes o no. Justifica tu respuesta.
a) Los lados y miden lo mismo que y , respectivamente, y B .

219
L10 / U3
221
L10 / U3
220
U3 / L10 196 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. CIERRE
1. a) Hay una infinidad de medidas. Son todos aquellos segmentos
que midan menos que la suma de 12 cm y 20 cm, es decir, 32
cm. Uno posible es 18.
b) a + a > c, 2a > c, a >
c
2
. Por lo que el lado desigual debe ser
menor que 2 veces la medida de los lados iguales.
c)
Se cortan en el mismo punto porque los triángulos formados
por las diagonales son congruentes.
2.
El triángulo es el único polígono que no se deforma cuando actúa
sobre él una fuerza, por eso se utiliza asiduamente en la cons-
trucción. Es una estructura sencilla formada por barras, que gana
rigidez gracias a su forma.
Página 218
5.
R. L. Verifique que el triángulo que tracen los alumnos tenga lados
que midan 4 cm y 3 cm y que el ángulo entre ellos mida 45°.
a) Uno
b) La medida de los tres lados o tener la medida de dos lados
y del ángulo comprendido entre éstos.
6. a) Se muestran las respuestas por filas.
Primera fila. Uno de sus lados mida 4 cm y otro 2.5 cm, NO,
faltan datos, ya sea un lado o la medida del ángulo que for-
man entre los lados.
Segunda fila. Sus lados midan 14 cm, 10 cm y 12 cm, SÍ, tiene
la medida de todos sus lados y es suficiente para construir triángulos congruentes.
Tercera fila. Uno de sus ángulos mida 70° y otro 60°, NO, fal-
tan datos para construir triángulos congruentes: la longitud del lado que se encuentre entre estos ángulos.
b)
Cualquiera de las siguientes condiciones: tener la medida
de sus tres lados, tener la medida de dos lados y del ángulo
que forman entre ellos; o tener la medida del lado y los ángu-
los de los extremos de ese lado.
c) No. Lo que se podría determinar en este caso serían triángu-
los proporcionales.
7.
a) Congruentes
b) Un único triángulo, puesto que, si tenemos dos ángulos inte-
riores del triángulo, podemos calcular el tercero. Y como pode-
mos ver en la figura anterior, los lados faltantes se pueden trazar y se cortan forzosamente en el mismo punto siempre, por lo que los lados siguen midiendo lo mismo.
c)
Sus tres lados, o bien, un lado y los ángulos interiores del
segmento que se encuentran en el extremo de dicho lado.
Página 219
d) Deben compartir tres elementos como mínimo, pero éstos no
pueden ser los tres ángulos; con ello, no garantizaríamos la congruencia de los triángulos.
8.
a) Un único triángulo
b) Una infinidad de triángulos
c) Una infinidad de triángulos
d) Una infinidad de triángulos
e) Un único triángulo
9.
a) Los triángulos sí son congruentes, pues tienen la misma medi-
da de los dos lados y su ángulo que los comprende.
Página 220
b) Los triángulos sí son congruentes, pues tienen la misma
medida de uno de sus lados y los ángulos que se encuentran en los extremos.
c)
No son congruentes, aunque los lados miden lo mismo, con el
ángulo dado se pueden formar una infinidad de triángulos con diferentes medidas de lado.
10.

a) Miden lo mismo.
b) Miden lo mismo.
c) Son congruentes, pues los segmentos AB y AD y el ángulo D
miden lo mismo que los segmentos CD y BC y el ángulo B .
d) Miden lo mismo.
e) Miden lo mismo.
f) Son congruentes. Son alternos internos.
g) Comparten la diagonal BD .
h) Miden lo mismo.
Página 221 11.
Verifique que los alumnos dibujen un cuadrado. Pida que midan
los lados y que constaten que son iguales entre sí; además solicite
que midan los ángulos, que deben ser de 90°.
a)
Conocer la longitud de un lado. Saber que sus ángulos miden
90°.
b) La medida de su lado.
c) Conocer la longitud de sus dos lados.
d) Conocer la medida de sus diagonales.
60° 60° 60°
70°
50°
50°
4.3 cm
4.3 cm
4.3 cm
4 cm4 cm
4 cm
3.5 cm
a) b) c)
70° 70°
A
B
D
C
197

Plan de clase Error frecuente
Lección 11. Análisis de datos y medidas de tendencia
central
Los alumnos confunden a menudo los conceptos de media,
mediana y moda. Muestre ejemplos de varios datos y obten-
ga la media; explique que es similar a calcular el promedio. En
la mediana, tienen que ordenar los datos de menor a mayor
y la mediana es el valor que se encuentra en medio. Explique
que, si la cantidad de datos es un número impar, sólo se toma
el dato de en medio. Y si la cantidad de datos es un número par,
se toman los dos datos centrales y se obtiene su promedio; ese
valor será la mediana. Exponga de manera sencilla que la moda
es el dato que más se repite y que si hay datos distintos que se
repiten la misma cantidad máxima de veces, entonces se trata
de un problema que tiene más de una moda o es multimodal.
Semana escolar 34
Lección 11. Análisis de datos y medidas de tendencia
central
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos usen las medidas
de tendencia central y el rango para realizar una toma de decisiones.
Se sugiere hacer un repaso de los conceptos moda, mediana
y media. Pues, aunque los han estudiado desde educación primaria,
es probable que algunos estudiantes no recuerden cómo se calculan
o para qué se utilizan. Puede utilizar números enteros o decimales de-
pendiendo de la habilidad de sus estudiantes para trabajar con ellos.
Plantee al grupo algunas preguntas para reflexionar: ¿Alguna vez
han calculado su promedio de calificaciones? Además de en la escue-
la, ¿creen que se puedan aplicar la mediana y la moda en la vida co-
tidiana? Permita que los alumnos respondan y den su opinión. Lean
en grupo la situación de la sección de inicio y apoye en el análisis de
los datos para que contesten correctamente.
DESARROLLO. Explique con un ejemplo que las medidas de tenden-
cia central son los valores que informan cuál es el centro alrededor
del cual se dispone un conjunto de datos. Muestre brevemente que
el rango es una de las medidas de dispersión y que indica qué tan
separados están los datos, lo cual es de utilidad para encontrar los
valores atípicos de los mismos.
Presente a los estudiantes problemas en los cuáles explique la utili-
dad de cada una de las medidas de tendencia central y sus caracterís-
ticas. Proponga actividades con datos cualitativos y cuantitativos para
que los alumnos observen con cuáles es posible calcular cada medida.
Comente que al manejar varios datos, deben tener cuidado de
considerarlos todos al hacer las operaciones. Sugiera que siempre
revisen sus cálculos al menos dos veces para asegurarse de que no
haya errores.
Resalte que en este tipo de temas es necesario aplicar varias de
las operaciones aritméticas que estudiaron en las primeras leccio-
nes al inicio de la unidad. Comente la importancia de comprender
los procedimientos para realizar operaciones con cualquier tipo de
números. Mencione que si algunos alumnos tienen dudas en esos
temas se acerquen a usted para que les asigne actividades de apoyo
y subsanar esas carencias.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando la actividad de cierre. Pida
a los alumnos que reflexionen si esta actividad la podrían aplicar en
la vida cotidiana. Permita que den su opinión y luego realice una re-
troalimentación del tema.
Las actividades de la Ficha 19 del Cuaderno de evidencias les
permitirán a los alumnos aplicar sus conocimientos acerca de análisis
de datos y medidas de tendencia central, y crear conciencia acerca de
alguna situación relacionada con la vida submarina.
Libro del alumno: Páginas 222-225
Fecha:
Orientaciones didácticas
Lección 11
Contenido. Interpretación de la información a través de medidas de tendencia central y de dispersión.
Aprendizaje. Usa e interpreta las medidas de tendencia
central (moda, media aritmética y mediana) y el rango
de un conjunto de datos, y justifica con base en ellas sus
decisiones.
Tema. Medidas de dispersión: rango. Elección de medida de
tendencia central representativa y el rango de un conjunto
de datos.
198© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Notas
Libros y revistas
El siguiente texto es de utilidad para conocer más ejemplos
del uso de la media, mediana y moda.
•
“Estadística: Media, mediana y moda”, en GCFGlobal, 2023,
disponible en www.edutics.mx/xfA
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para aclarar dudas acerca del rango y la desviación media de un conjunto de datos. • “Rango y desviación media de un conjunto de datos”,
disponible en www.edutics.mx/xfd
Sitios web
En esta página web encontrará ejercicios de medidas de dispersión. •
“Medidas de dispersión”, disponible en www.edutics.mx/
xfP
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Identifica la media, moda y mediana de un conjunto de datos.
Portafolio de evidencias •
Recuerde a los estudiantes incluir el mapa conceptual de la actividad 6.
C
alcula el rango de un conjunto
de datos.
Selecciona la medida de
tendencia central representativa
del conjunto de datos.
Recursos digitales
• Para repasar el tema, se recomienda que los estudiantes realicen la actividad inter
activa “Rango y variación”.
Recursos de apoyo complementarios
Interdisciplina
El tema de cierre se relaciona con la disciplina de Artes.
Programa Construimos Futuro
Ciudadanía. Reflexionen acerca de las causas del empleo infor -
mal y comenten cómo esto influye en la población que pertenece a este sector.
199© Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

?Qu? medida de tendencia central utilizar?
El sesgo de un conjunto de datos es la tendencia o inclinaci?n de ?stos a acumularse en torno a la media. Se
dice que el sesgo es positivo cuando los datos se acumulan a la izquierda de la media, y negativo cuando
se acumulan a la derecha.
Las medidas de tendencia central, como la media, la mediana y la moda, proporcionan informaci?n resumida de
un conjunto de datos y ayudan a tomar decisiones. A continuaci?n, se explica en qu? casos se puede utilizar
cada medida.
1 Media o media aritm?tica. Si los datos est?n distribuidos de forma sim?trica alrededor de la media.
2 Moda. Puede ser ?til para determinar los valores m?s comunes. Pero no es conveniente cuando existen muchos valores con la misma frecuencia.
3 Mediana. B?sicamente puede ser ?til si los datos tienen valores extremos o est?n muy sesgados.
Selecci?n de una medida de tendencia central
Este diagrama de flujo detalla en qu? casos una medida de tendencia central se puede conside-
rar como el representativo de un conjunto de datos
4. En equipos, lean la situaci?n y respondan.
Leonardo quiere vender audífonos inal?mbricos e investig? en varias tiendas en línea el precio de los mismos audífonos y encontr? la siguiente informaci?n:
$330 $245 $330 $245 $498 $277 $900
$498 $245 $330 $498 $390 $330 $372
$392 $322 $330 $444 $ 426 $245 $498
a) ?Cu?les son el mínimo y el m?ximo precio del conjunto?
b) ?Cu?l es el rango del conjunto de datos?
c) ?Cu?les son la media, la mediana y la moda del conjunto de datos?

d) ?Cu?l precio de venta debería elegir Leonardo para vender sus audífonos?

No
Sí
Sí
No
Utiliza la medianaUtiliza la moda
Utiliza la media
?Los datos
son sesgados o hay
datos extremos?
?El conjunto
de datos es
multimodal?
En M?xico, poco
m?s de la mitad de los
trabajadores se emplean
en alguna modalidad
del sector informal. Los
trabajadores informales
tienen derechos
laborales limitados como
el acceso a seguridad
social, contratos o
cr?ditos para la vivienda. 5. Analiza la informaci?n y responde en tu cuaderno.
Julio vende ensaladas. Las ventas de los ?ltimos 15 días son las siguientes:
$ 5 0 7. 0 0 $230.00 $595.00 $594.00 $556.00
$566.00 $536.00 $556.00 $530.00 $503.00
$544.00 $510.00 $570.00 $526.00 $509.00
$530.00 $ 5 5 7. 0 0 $546.00 $980.00 $561.00
a) Calcula los valores de la media, la moda, la mediana y el rango.
b) ?Cu?l es la medida de tendencia central m?s representativa de la venta de ensaladas?
c) Julio no sabe si subir el precio de las ensaladas o no. Decide que, si la variaci?n de las ventas es
menor a $300 y la media de las ventas es mayor a $600, entonces subir? el precio. De acuer-
do con tus hallazgos, ?Julio subir? el precio de las ensaladas?
d) ?Qu? ocurriría con la decisi?n de Julio si, en el inciso anterior, en vez de la media considera
la mediana? ?Qu? le conviene?
e) ?Qu? pasa con los valores de las medidas de tendencia central y con el valor del rango, si
quitas los dos valores m?s extremos?
6. Elabora un mapa conceptual acerca de las medidas de tendencia central y el rango. Comp?ralo
con los de tus compa?eros y valídenlo entre todos.
1. Analiza la situaci?n y responde en tu cuaderno.
Amelia y Raquel organizan una funci?n de teatro, aunque no saben si ofrecer una obra dirigida a ni?os menores de 10 a?os
o una dirigida a adolescentes mayores de 14. Han recibido una
lista de escuelas y asistentes.
CIERRE
El teatro es una forma de promover el bienestar ;
adem?s, estimula la creatividad, la conexi?n y la
comprensi?n entre personas de todas las edades.
PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo de la
ac tividad 6 para tener
evidencia de tu aprendizaje.
Registro de asistentes por edad
Escuela o institutoEdad promedio (a?os)Asistentes
Ricardo Flores Mag?n m6 m9
General Ignacio Zaragoza m6 m9
M?r tires de Acayucan m7 m7
Sor Juana In?s de la Cruz m7 m7
Benito Ju?rez m8 m8
Libertadores m8 m7
Libre pensador m8 m7
Felipe Carrillo Puer to m8 m7
Leonardo Bravo m8 10
Alber t Einstein 17 20
Karl Friedrich Gauss 18 25
a)C?Cu?l de las medidas de tendencia cen-
tral describe mejor al conjunto de eda-
des?, ?por qu??
b)CRaquel sugiere que es mejor ofrecer
una obra dirigida a adolescentes. ?Qu?C
opinas de suCpropuesta ?
c)C?Qu? les sugerir?as a Amelia y a Raquel?C
Argumenta tu respuesta.
p?ginaN
45 y 46
Cuaderno
de evidenciaNUnidad TRES
An?lisis de datos y medidas
de tendencia central
? Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritm?tica y mediana) y el rango de un
conjunto de datos, y justifica con base en ellas sus decisiones.
L11
1. Lee y responde en tu cuaderno.
Ramiro es due?o de una tienda de ropa y quiere saber si
a partir del n?mero de piezas que ha vendido podría au-
mentar el precio de las camisas de cierta marca. Para de-
terminarlo, recab? datos de las ventas mensuales de doce
meses, los cuales se muestran a continuaci?n.
Ramiro resolvi? que incrementar? el precio de las camisas
si la venta promedio es mayor a 25 piezas.
a) ?Cu?les son la media o promedio, la mediana y la moda
del conjunto de ventas?

b) ?Consideras que las ventas de febrero y julio son cer-
canas al resto de las ventas? ?Por qu??

c) Si las ventas de febrero y julio hubieran sido de 20 y 21
piezas, respectivamente, ?cu?les serían ahora la media,
la mediana y la moda?

d) ?Consideras que la decisi?n de Ramiro es adecuada? ?Qu? medida de tendencia central escogerías como
referencia para decidir si aumentar o no el precio de las camisas? ?Por qu??

INICIO
El an?lisis de datos estadísticos se emplea para la toma
de decisiones en negocios de cualquier giro.
El rango de un conjunto de datos
Las medidas de tendencia central indican los valores alrededor de los cuales se distribuyen los datos, y proporcionan una medida del mayor o menor.
1. Analiza la tabla 11.1 y responde.
Tabla 11.1 Precios de diferentes marcas de cuadernos de 100 hojas
Marca Arro Bric Crek Daso Efo Fuech Griba Hicso
Precio ($)38.30 3 7. 9 0 5 7. 9 012.00 54.50 5 7. 9 032.00 46.90
a) ?Cu?l es la media o promedio de los precios?
DESARROLLO
Mes
Cantidad
de piezas
Mes
Cantidad
de piezas
Ene 23 Jul 52
Feb 40 Ago 20
Mar 25 Sep 20
Abr 21 Oct 25
May 20 Nov 22
Jun 21 Dic 25
222 b) ?Se puede considerar el valor anterior como representativo de la lista? Explica.

c) ?Cu?l es el precio del cuaderno m?s econ?mico y del m?s caro?

Medida de dispersi?n: el rango
El rango es una medida de dispersi?n de un conjunto de datos, es decir, indica qu? tan separados est?n estos.
Un rango alto significa que los datos est?n disgregados num?ricamente entre sí; en cambio, un rango bajo
indica que est?n aglomerados entre sí. Por consiguiente, el rango se?ala qu? tan alejados est?n los datos de la
media aritm?tica o promedio.
Un valor atípico o extremo es un valor que se aleja considerablemente del resto. El rango puede ser ?til para
identificar valores atípicos o extremos en un conjunto de datos.
El rango es la diferencia entre el m?ximo y el mínimo de los valores de un conjunto de datos.
Rango B Valor m?ximo Valor mínimo.
2. Analiza la tabla 11.2 y responde.
Tabla 11.2 Precios de diferentes marcas de pantalones de mezclilla
Marca Jolgorio Kilom?s Londres Mara Nico Oso Puer toQuimo
Precio ($)32.50 44.90 31.50 45.00 36.90 44.90 46.00 39.50
a) ?Cu?l es valor del rango y cu?l es la media?
b) ?Tiene sentido comparar el rango con la media? ?Y cu?l es el valor representativo de la lista?
Explica.

3. Considera los datos de las tablas 11.1 y 11.2. Completa de la
derecha y luego responde.
a) Compara el promedio y el rango de cada grupo de artículos
escolares. ?Qu? observas?

b) Si el rango es muy alto, ?qu? pasa con el promedio y los datos?

c) ?C?mo es el rango cuando los datos son m?s parecidos entre sí?

d) ?En qu? caso el promedio es m?s representativo dentro de un conjunto de datos, cuando el ran -
go es menor o mayor?
Media
o promedio
Rango
Cuadernos
Juego de
geometría
223
L11 / U3
225
L11 / U3
224
U3 / L11 200 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario Notas
INICIO
DESARROLLO
Página 222
1. a) La moda es 20 y 25.
b) No, porque son valores más grandes que el resto.
c) La moda ahora sería 20, la mediana 21 y la media 21.91.
d) R. M. No creo que la decisión de Ramiro sea la correcta, pues
el que algunas ventas hayan sido más grandes no quiere decir que sean normales. Yo escogería la mediana o la moda porque se parecen más a la mayoría de los datos.
1.
a) $42.18
Página 223
b) R. M. Posiblemente, pero la diferencia entre el precio menor
y el mayor es mucha.
c) R. M. El precio del cuaderno más económico es de $12.00
y el del más caro es de $57.90.
2. a) El valor del rango es $14.50 y la media es $41.40.
b) R. M. No tiene sentido comparar el rango con la media, pues
significan cosas distintas. El promedio es el valor representa-
tivo.
3.
a) R. M. Que los valores de la media son cercanos y los valores
del rango son lejanos.
b) El promedio se aleja de los datos y se vuelve menos
representativo.
c) El rango es menor cuando los datos son más parecidos entre
sí.
d) El promedio es más representativo cuando el rango es menor.
Media aritmética o promedioRango
Cuadernos 42.175 45.9
Juego de geometría 41.4 14.5
Página 224 4.
a) El precio mínimo es $245.00 y el máximo es $900.00.
b) $655.00
c) La media es $387.85, la mediana es $330.00 y la moda es
$330.00.
d) En este caso, habría que considerar la mediana o la moda. El
precio de $900.00 es extremo y afecta a la media del conjun-
to; además, por el valor del rango se puede saber que los datos están muy dispersos y la media no representa de manera adecuada el conjunto de los mismos.
Página 225 5.
A partir de los 20 datos, se encuentra que:
a) La media es $536.50, la mediana es $546.00 y la moda es
$556.00.
b) Como hay datos extremos: $230.00 y $980.00, la moda se
puede considerar como el valor más representativo: $556.00.
c) No lo hará, pues la variación de las ventas es de $750.00 y la
media es menor a $600.00.
d) Le conviene subir los precios porque los valores más repre-
sentativos del conjunto de datos son menores a $600.00.
e) La mediana y la moda no cambian, pero el valor de la media
sí. Si se quitaran los valores de $230.00 y $980.00, el valor de la media sería de $542.50. También el valor del rango cambiaría: ahora sería de $92.00.
6.
Revise las pautas del mapa conceptual, solicite que revisen en
parejas las definiciones y que corrijan los posibles errores.
CIERRE
1. a) La media es 13.75, la mediana es 8 y la moda es 8.
La mediana y la moda. Los alumnos de las escuelas Albert
Einstein y Karl Friedrich Gauss tienen edades muy alejadas del
resto de los potenciales asistentes.
b) No sería lo adecuado, porque los datos sugieren que hay más
niños con edades cercanas a los 8 años que quieren una obra de teatro.
c)
R. M. Les sugiero que mejor ofrezcan una obra de teatro diri-
gida a niños con edad cercana a los 8 años y que los adoles-
centes esperen su turno.
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Plan de clase Semana escolar 35
Lección 12. Procedimientos de conteo
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos usen las téc-
nicas de conteo para resolver problemas. Haga al grupo preguntas
detonadoras ¿Qué serán las técnicas de conteo? ¿Para qué servirán?
Permita que los alumnos respondan y den su opinión. Lean en grupo
la situación de la sección de inicio y contesten las preguntas.
DESARROLLO. Mencione al grupo el significado de que dos eventos
sean independientes. Explique el principio multiplicativo siguiendo
el ejemplo del libro y pida que resuelvan en grupo las preguntas de
la actividad 1. Explique paso a paso cómo se construye el diagrama
de árbol para mostrar los posibles resultados. También puede dibujar
un arreglo de “cajitas”, es decir una tabla horizontal con varias casillas
donde escriba las opciones que hay para cada jugador y sea más claro
las cantidades que se deben multiplicar.
Luego solicite que hagan por su cuenta las actividades 2 y 3.
Muestre a los alumnos qué representa el factorial de un número
y explique la manera de usarlo en un problema. Para ello, exponga el
problema de ejemplo de sacar 4 canicas de diferentes maneras. Se
sugiere que permita que utilicen la calculadora.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando la actividad de cierre. Pida
a los alumnos que reflexionen sobre si esta actividad la podrían aplicar
en la vida cotidiana. Permita que den su opinión y realice una retroa-
limentación del tema.
Las actividades de la Ficha 20 del Cuaderno de evidencias les
permitirán a los estudiantes aplicar sus conocimientos acerca de pro-
cedimientos de conteo y crear conciencia de alguna situación relacio-
nada con producción y consumo responsable.
Lección 13. Probabilidad frecuencial
INICIO. El objetivo de esta lección es que los alumnos realicen expe-
rimentos aleatorios, registren los resultados y, mediante un análisis,
expliquen qué tanto se aproximan a la probabilidad frecuencial. Haga
al grupo preguntas del tipo ¿Habrá diferencias entre los resultados
obtenidos con la fórmula (teóricos) y el que consiguen procediendo
experimentalmente? ¿Para qué sirve conocer ambos cálculos (frecuen-
cial y experimental)? Si la probabilidad frecuencial mide el éxito de un
evento, ¿por qué es necesario medir la probabilidad experimental?
Permita que los alumnos expresen su punto de vista. Luego lean en
grupo la situación de la sección de inicio y respondan las preguntas.
DESARROLLO. Explique al grupo qué es la probabilidad, la proba-
bilidad frecuencial y la diferencia entre ésta y los datos obtenidos de
manera experimental. Escriba en el pizarrón la fórmula para calcular la
probabilidad frecuencial de un evento. Resuelva en grupo la actividad
1 y apoye a los alumnos para llenar la tabla y corregir si alguno tuvo
un resultado incorrecto. Después pídales la resolución de las activi-
dades de esta sección.
CIERRE. Conduzca al grupo planteando la actividad de cierre y com-
plementando la de inicio. Pida a los alumnos que reflexionen sobre si
se puede ocupar la probabilidad frecuencial para predecir resultados
Libro del alumno: Páginas 226-233
Fecha:
Orientaciones didácticas
Lección 12
Contenido. Azar e incertidumbre en la ocurrencia de eventos cotidianos.
Aprendizaje. Identifica diversos procedimientos de conteo
y los usa para resolver problemas.
Tema. Técnicas de conteo (principio de multiplicación).
Técnicas de conteo (regla factorial).
Lección 13
Contenido. Azar e incertidumbre en la ocurrencia de eventos
cotidianos.
Aprendizaje. Realiza experimentos aleatorios y registra
los resultados para un acercamiento a la probabilidad
frecuencial.
Tema. Probabilidad frecuencial.
Error frecuente
Lección 12. Procedimientos de conteo
Es común que los alumnos no logren identificar cómo llevar
a cabo el conteo, por lo que necesitan una guía para decidir si
deben aplicar el principio multiplicativo o calcular el factorial.
Muestre ejemplos sencillos para que identifiquen las variables
de los problemas y verifique que sus respuestas sean correctas.
Lección 13. Probabilidad frecuencial
Hay alumnos que piensan que la probabilidad experimental
debe coincidir con la teórica. Muestre el cálculo, por ejemplo,
el clásico de lanzar una moneda y pida que calculen la proba-
bilidad de que caiga cara. Haga mención que la probabilidad
calculada es la teórica. Ahora pida que lancen la moneda 100
veces y que registren cuántas veces cae sol y cuántas cae águi-
la. Destaque la diferencia entre los resultados cuando lanzan la
moneda, es una aproximación a lo que obtengan con la fórmula.
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Libros y revistas
El siguiente recurso es de utilidad para enseñar el enfoque
clásico y frecuencial de la probabilidad.
•
Valentín Loaiza, El juego digital “Parchís Star” en la
enseñanza de la probabilidad, Colombia, 2022, disponible en www.edutics.mx/xfs
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para aclarar dudas acerca de la probabilidad frecuencial y el registro de los datos. •
“Probabilidad frecuencial”, disponible en
www.edutics.mx/xfe
Sitios web
En esta página web encontrarás ejercicios de técnicas de conteo. •
“Regla del producto”, disponible en www.edutics.mx/xfn
Evaluación Verifique en los estudiantes el logro de los siguientes indicadores.
Indicadores
Logrado
3
En proceso
2
No logrado
1
Herramientas
Aplica la regla del producto para resolver problemas.
Portafolio de evidencias •
Recuerde a los estudiantes incluir el guion para
el video de la actividad 7 de la lección 12. Solicite también que guarden la hoja de cálculo de la actividad 5 de la lección 13.
Identifica la probabilidad frecuencial y la distingue de la teórica.
Aplica la probabilidad frecuencial
en la resolución de un problema.
Recursos digitales
• Se recomienda que los estudiantes realicen la actividad interactiv
a “Procedimientos de conteo” para repasar este
tema.
• Para reforzar el contenido de probabilidad frecuencial,
se aconseja que hagan las actividades interactivas “Probabilidad” y “¿Qué es la probabilidad frecuencial?”.
Recursos de apoyo complementarios
Notas
Interdisciplina
El tema de inicio de la lección 12 se relaciona con las disciplinas de
Biología, Geografía y Tecnología. Asimismo, el contexto de fútbol se relaciona con Educación Física.
El uso de Excel se puede relacionar con la disciplina de Tecnología.
de otros eventos, además del juego de la oca. Permita que den su
opinión y realice una retroalimentación del tema.
Programa Construimos Futuro
Valores y educación socioemocional. La actividad 4 de la lección
13 brinda una oportunidad para reflexionar acerca de los trabajos
no remunerados, dentro de los cuales se incluyen las labores del hogar o de cuidado. Comenten quiénes se encargan de estas la- bores en casa y sugieran propuestas para que estas actividades
estén distribuidas de forma más equitativa entre las personas que
en ella habitan.
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El factorial
Si un conjunto tiene n elementos distintos, estos se pueden ordenar de B ! formas. Es así como, si
un evento puede ocurrir de B maneras diferentes, y se repite, de modo que no puede ocurrir dos
veces de la misma forma, entonces la segunda vez podr? ocurrir de (B ? 1) maneras distintas.
Ejemplo. Una bolsa que contiene 4 canicas de diferente color. Considera el evento ?sacar una
canica sin reemplazar?. Para la primera canica existen 4 posibilidades; para la segunda (4 B 1)
posibilidades (puesto que solo quedan 3 canicas en la bolsa), para la tercera, (4 B 2); y para la
cuar ta (4 B 3); es decir que existen 4! 4(3)(2)(1) 24 posibilidades de sacar las 4 canicas.
4. Escribe el factorial de los siguientes n?meros.
El factorial de un n?mero entero positivo B se
define como el producto de los enteros desde 1 hasta B . El símbolo para indicar el factorial
es !, es decir, el factorial de B se denota como
B! y se lee ?B factorial?.
B! (1)(2)(3) ? (B 3) (B 2) (B 1)B
Se define 0! 1.
Ejemplos
El factorial de 3.
3! (1)(2)(3) 6
El factorial de 9.
9! (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) 362 880
a) 5!
b) 6!
c) 7!
d) 8!
5. Resuelve cada ejercicio en tu cuaderno y escribe aquí la respuesta.
a) Esteban tiene un juego de 4 cartas, y cada naipe tiene una letra
anotada: A, B, C y D. ?Cu?ntas maneras existen de ordenar las
cartas?
Existen:
b) ?rsula participar? en una carrera de 100 m. En total, habr? cinco
participantes (figura 12.4). ?De cu?ntas formas se puede obtener
el orden de los ganadores?
De:
c) Andrea tiene 6 frascos con diferentes espe-
cias. ?De cu?ntas maneras puede ordenarlos
en un estante?
Se pueden acomodar de:
d) Seis amigas van a tomarse una fotografía
(figura 12.5). ?De cu?ntas formas se pueden
ordenar, para que las m?s altas se queden al
centro? Explica.
Se pueden acomodar de:
Figura 12.4 En las competencias
internacionales, la ubicaci?n de los
corredores se hace mediante un
comit? conformado por jueces y un
reglamento muy estricto.
Figura 12.5 Amigas posando para una fotografía.
Se pueden intercambiar
Se pueden intercambiar Se pueden intercambiar Explicaci?n.

e) Arturo tiene una colecci?n de monedas, todas de distinta denominaci?n: tres son
de Canad?, dos de Australia y una de Jap?n. Si las quiere colocar en una repisa con
su estuche, ?de cu?ntas maneras puede acomodarlas?
Se pueden acomodar de:
? ?De cu?ntas formas se pueden acomodar las monedas, si las de Canad? deben quedar pri-
mero, luego la de Jap?n y, por ?ltimo, las de Australia?
6. Re?nete en pareja, analicen la situaci?n y hagan lo que se pide.
Una familia de 9 integrantes va al cine. La cajera les comenta que en la fila G est?n desocupados
del asiento 3 al 11.
a) Escribe en cada asiento, de izquierda a derecha, el n?mero de opciones que tienen para
sentarse.
1. Analiza la situaci?n y responde en tu cuaderno.
Conocer sobre permutaciones es importante
para resolver problemas de conteo, planificaci?n,
ordenamiento y en general, para comprender
mejor las estructuras y posibilidades de arreglos
ordenados.
A una clínica de salud llegan cinco personas, que
deben esperar para ser atendidas. ?De cu?ntas maneras pueden sentarse las 5 personas en las 5 sillas?
a) El problema se puede resolver elaborando un diagrama de ?rbol. ?Es conve-
niente hacerlo de esa manera? Justifica tu respuesta.
b) ?Qu? otra estrategia se te ocurre aplicar? Justifica tu respuesta.
CIERRE
Una permutaci?n es un arreglo
ordenado de elementos en el
que el orden de los elementos es
impor tante y no se repiten.
PORTAFOLIO
Guarda tu trabajo de la
ac tividad 7 para tener
evidencia de tu aprendizaje.
b) ?De cu?ntas formas se puede acomodar la familia?

7. Elabora un guion para un video, en el cual expliques a tus compa?eros c?mo resol-
ver un problema mediante el uso del factorial de un n?mero. S?belo a una red social.
?En qu? se puede aplicar el conocimiento de tu video?
CON TIC?S
Entra en www.edutics.mx /
Nh4 para calcular el factorial
de un n?mero.
C O N S U LTA
Entra enCwww.edutics.mx E NhZ para saber m?s acercaC
de algunas aplicaciones del factorial de un n?mero.
p?ginaN
47 y 48
Cuaderno
de evidenciaNUnidad TRES
Procedimientos de conteo
? Identifica diversos procedimientos de conteo y los usa para resolver problemas.
L12
1. Analiza la situaci?n y responde en tu cuaderno.
La contaminaci?n generada por las f?bricas repre-
senta una amenaza para el medio ambiente. Es cru-
cial que las industrias adopten medidas para reducir
sus emisiones, gestionar adecuadamente los resi-
duos y utilizar tecnologías limpias.
Una empresa tiene tres f?bricas y desea estimar la
cantidad de emisiones de gases de efecto inverna-
dero que producen en un mes. Se sabe que cada
una despide 100, 200, 300 o 400 toneladas de CO2
por mes, dependiendo de su producci?n. ?De cu?n-
tas maneras pueden emitir CO2 las f?bricas?
a) Escribe los eventos aleatorios y sus elementos.
b) Elabora un diagrama de ?rbol para calcular la cantidad de posibles estados de emisi?n de las f?bricas.
INICIO
Con las matem?ticas es posible modelar y hacer estimaciones sobre
la contaminaci?n de CO
2.
Principio multiplicativo
Un diagrama de ?rbol permite hacer conteos de los posibles resultados de dos eventos aleatorios. Pero,
cuando las posibilidades son demasiadas, se emplea el principio multiplicativo.
DESARROLLO
Dos eventos se consideran independientes entre sí cuando la ocurrencia o no de uno de ellos no afecta la pro-
babilidad de ocurrencia del otro.
El principio multiplicativo establece que, para calcular el total de resultados posibles de una serie de eventos
independientes, se deben multiplicar entre sí el n?mero de resultados posibles de cada evento individual.
Por ejemplo, si un evento B puede ocurrir de n maneras diferentes, y otro evento puede ocurrir de maneras
diferentes, entonces ambos pueden ocurrir de B maneras distintas.
Tabla 12.1
Posici?nN?mero de
aspirantes
Por tero 2
Delantero 3
Mediocentro 3
1. Analiza el problema y responde.
Un equipo de f?tbol quiere com-
pletar su plantilla, por lo que lanza
una convocatoria. En la tabla 12.1
se muestra el n?mero de aspirantes
para cada posici?n mostrada en la
figura 12.1. Necesita una posici?n
en las líneas marcadas.
a) ?Cu?nta posiciones necesita cu-
brir el equipo?
Lugares disponibles
?Par ticipa ya!
Figura 12.1
226b) Realiza un diagrama de ?rbol de los posibles resultados en la selecci?n de los jugadores.

PRIMER D?GITO SEGUNDO D?GITO TERCER D?GITO
c) ?Cu?ntas selecciones posibles hay para escoger a los tres jugadores?
d) ?De cu?ntas formas diferentes puedes escoger al portero, al delantero y al mediocentro?

e) Seg?n el principio multiplicativo, ?de cu?ntas formas diferentes podemos escoger a los tres ju-
gadores?
2. Re?nete en pareja, analicen la situaci?n y respondan.
Laura plane? una rifa y todos los boletos son de 3 dígitos. Se tienen tres t?mbolas con bolas nu-
meradas del 0 al 9 y cada una arrojar? un digito del boleto ganador (figura 12.2).
a) ?Cu?ntas opciones diferentes se tienen para escoger el primero, el segundo y el tercer digito del
boleto ganador?

b) ?Cu?ntos boletos se pueden vender? Explica.

3. Analiza la situaci?n y responde.
Juan olvid? la contrase?a de su celular, que es de 5 cifras (figura 12.3).
?Cu?ntas opciones debe probar para desbloquear el tel?fono?

Figura 12.3
Ac tualmente, el bloqueo
de los tel?fonos
inteligentes es muy
diverso, puede realizarse
mediante el trazo de un
patr?n, la huella digital,
contrase?a alfanum?rica,
etc?tera.
Figura 12.2
227
L12 / U3
229
L12 / U3
228
U3 / L12 204 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. INICIO
INICIO
DESARROLLO
DESARROLLO
Página 226
1. a) Eventos aleatorios: Evento A: Emisiones de la fábrica 1.
Evento B: Emisiones de la fábrica 2.
Evento C: Emisiones de la fábrica 3.
Elementos: Evento A: {100, 200, 300, 400}
Evento B: {100, 200, 300, 400}
Evento C: {100, 200, 300, 400}
b) La empresa tiene 64 posibles estados de emisión.
Página 230 1.
a) 55 986 posibles resultados.
b) La mínima es 1 y la máxima 36.
c) Tiene la misma probabilidad de salir la mayor o la menor
cantidad.
d)
David 1 2 3 4 5 6
Lanzamiento 1
Lanzamiento 2
Daniela 1 2 3 4 5 6
Lanzamiento 1
Lanzamiento 2
e) Puede tener 2 o más puntos para ganar, suponiendo que el
jugador perdedor haya obtenido 1.
1. a) Tres posiciones.
Página 227
b) R. M. D1, D2 y D3 son los tres delanteros; M1, M2 y M3 son
los tres mediocentros y P1 y P2 son los dos posibles porteros.
c) 18 selecciones diferentes.
d) Al portero, de 2 formas; al delantero, de 3 formas, y al medio-
centro, de 3 formas.
e) De 2 × 3 × 3 = 18 formas.
2. a) Los tres eventos tienen 10 formas de suceder, del 0 al 9.
b) Dado que escoger el primer dígito puede suceder de 10 mane-
ras, al escoger el segundo de 10 maneras y el tercero de 10 maneras, se tienen 10
× 10 × 10 formas de números para
boletos. Es decir, 1 000 boletos a la venta.
3.
R. M. Debe probar con 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1 00 000 núme-
ros diferentes.
Página 228 4.
a) 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
b) 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
c) 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 040
d) 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40 320
5
.
a) Existen 24 maneras, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
b) De 120 maneras, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
c) Se pueden acomodar de 720 formas,
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.
d) Se pueden acomodar de 48 formas.
Página 229 Explicación. Como las dos amigas más altas se colocan al centro, es 2!, y el resto, que son 4, se pueden colocar de 4! formas, entonces, 4!

× 2! = (4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1) = 48.
e) Se pueden acomodar de 720 formas,
1.
a) Alfonso tiene más posibilidades de ganar, ya que tiene 6 posi-
bilidades de 36, y Paula sólo tiene 3 posibilidades de 36.
b) Respuestas por filas.
Primera fila: 2, 1,
1
50
= 0.02, 8, 7,
7
50
= 0.14.
Segunda fila: 3, 2,
2
50
= 0.04, 9, 6,
6
50
= 0.12.
Tercera fila: 4, 4,
4
50
= 0.08, 10, 5,
5
50
= 0.10.
Cuarta fila: 5, 6,
6
50
= 0.12, 11, 2,
2
50
= 0.04.
Quinta fila: 6, 7,
7
50
= 0.14, 12, 1,
1
50
= 0.02.
Sexta fila: 7, 9,
9
50
= 0.18.
CIERRE
1. a) No es muy conveniente porque se tendría que trazar un dia-
grama con alrededor de 120 ramas.
b) Es más sencillo calcular el factorial de un número. En este
caso, 5, pues el primer asiento tiene 5 posibilidades, el segun-
do (5 − 1), el tercero (5 − 2), el cuarto (5 − 3) y el quinto
(5 − 4). Lo anterior equivale a 5! = 120.
6! = 6(5)(4)(3)(2)(1) = 720.
• De 3!(1!)(2!) = 12 formas.
6. a) Respuestas de izquierda a derecha: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1.
b) 362 880 formas. Se calcula con 9!
7.
Revise que en el video elaborado por los estudiantes, efectiva-
mente esté clara la explicación. Solicite que antes de que lo suban
a la red social, lo revisen en grupo y hagan los ajustes pertinentes.
P2P1 P2P1 P2P1 P2P1 P2P1 P2P1 P2P1 P2P1 P2P1
M1 M2
D1
M3 M1 M2
D2
M3 M1 M2
D3
M3
205

Unidad TRES
Probabilidad frecuencial
? Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad
frecuencial.
L13
1. Lee y responde en tu cuaderno.
David y Daniela inventaron un juego que consiste
en lanzar un primer dado. Despu?s lanzan otro dado
tantas veces como el n?mero en que haya caído el
primero; por ?ltimo, se suman todos los resultados
del segundo dado y quien sume m?s puntos es el
ganador.
a) ?Cu?ntos resultados posibles hay en cada
lanzamiento?
b) ?Cu?l es la mínima y m?xima puntuaci?n que se
puede obtener?
c) ?Qu? es m?s probable obtener, la mayor o menor
puntuaci?n?
d) Dise?a una tabla en la que puedan registrar los resultados de cada uno al realizar el juego.
e) ?Cu?ntos puntos tuvo el ganador?
INICIO
La probabilidad frecuencial mide la frecuencia relativa de un suceso
en los juegos de azar.
C?lculo de la probabilidad frecuencial
1. Re?nete en pareja, analicen la situaci?n, respondan, consigan dos dados y hagan lo que se pide.
Paula y Alfonso juegan serpientes y escaleras (figura 13.1).
Para ganar Paula lanza dos dados que al caer sumen 4. Alfonso
gana si los dos dados suman 7.
a) Comenten: ?qui?n creen que tiene m?s posibilidades de
ganar? Expliquen.

b) Lancen 50 veces dos dados, sumen los puntos obtenidos
en cada uno y completen la tabla.
Suma
de las
caras
Frecuencia
Frecuencia
(Total de lanzamientos)
Suma
de las
caras
Frecuencia
Frecuencia
(Total de lanzamientos)
2 8
3 9
4 10
5 11
6 12
7
DESARROLLOLa probabilidad es el grado de certeza que se tiene de que ocurra un evento en un experimento aleatorio.
La probabilidad frecuencial de un evento se determina a partir de los datos obtenidos y se calcula dividiendo la
frecuencia con la que ocurre el evento entre el n?mero de veces que se realiz? el experimento.
Probabilidad frecuencial B
Frecuencia del evento
N?mero de repeticiones del experimento
c) Comparen sus resultados de las tercera y sexta columnas con sus compa?eros de grupo. ?Qu?
observan?

2. Considera los resultados de tu tabla de la actividad anterior. Re?nan los resultados de todo el
grupo y respondan.
a) ?Con qu? frecuencia sali? cada evento?
b) ?Cu?ntas veces realizaron el experimento en todo el grupo?
c) ?Cu?l es la probabilidad frecuencial de cada evento?
d) ?A qu? cantidad se aproximan las probabilidades frecuenciales de cada evento?
3. Analiza los siguientes eventos y responde.
a) Si lanzan una moneda 100 veces, ?en cu?ntas ocasiones piensas que saldría el evento ?cae
?guila o sol?? ?Cu?l sería su probabilidad frecuencial? Explica.

b) Si lanzan un dado 500 veces, ?cu?ntas veces piensas que saldría el evento ?cae un n?mero ma-
yor a 7?? ?Cu?l sería su probabilidad frecuencial?

La probabilidad frecuencial siempre es un n?mero entre 0 y 1. Un evento que nunca ocurre tiene probabilidad 0 y un evento que siempre ocurre tiene probabilidad 1.
Dicha probabilidad se puede expresar como n?mero decimal, fracci?n o porcentaje. Por ejem-
plo, la probabilidad de que al lanzar una moneda el resultado sea ??guila? es
1
2
, 0.5 o 50 %
4. Re?nete en ternas, analicen la situaci?n, consigan tres monedas y respondan.
Despu?s de cenar, Jimena, Valeria y Jorge deben lavar los trastes, y para decidir qui?n distri-
buir? las tareas de lavar, enjuagar o secar, se les ocurri? dejarlo a la suerte lanzando tres mo-
nedas al aire (figura 13.2): si salen tres ?guilas o tres soles, gana Jorge; si sale un ?guila y dos
soles, gana Valeria, y si salen dos ?guilas y un sol, gana Jimena. ?El juego es justo?
Figura 13.2 El juego de lanzar una moneda al aire proviene de la antigua
Roma, donde se decía capitis et cauda , que significa ?cabeza y cola?.
C O N S U LTA
Jakob Bernoulli, matem?tico
y científ ico suizo del
siglo X VII, en su libro Ars
Conjectandi escribi? que, si
calculamos la probabilidad
frecuencial de cada vez
m?s repeticiones de un
experimento, este n?mero
se acerca a un n?mero f ijo. a) Lancen simult?neamente tres monedas en
100 ocasiones. Completen la tabla con sus
resultados.
b) Expresen la probabilidad frecuencial como
decimal y como porcentaje.
c) Comparen las probabilidades, ?consideran
que el juego es justo? Expliquen.

d) ?Con cu?ntos resultados puede ganar cada qui?n? ?Y Valeria? ?Con cu?ntos ganaría Jimena?
Funci?n ALEATORIO.ENTRE
Devuelve un n?mero entero aleatorio entre los n?meros que se especifiquen. Devuelve un
nuevo n?mero entero aleatorio cada vez que calcula la hoja de c?lculo.
Sintaxis: ALEATORIO.ENTRE(inferior, superior), donde inferior y superior son el menor y mayor
n?mero entero que la funci?n ALEATORIO.ENTRE puede devolver.
Por ejemplo, para simular el resultado que se obtiene al lanzar un dado de seis caras se escribe
=ALEATORIO.ENTRE(1;6)
f) ?Observan esas mismas proporciones entre los posibles resultados y las probabilidades fre-
cuenciales? ?A qu? creen que se deba?

g) Propongan un juego que sea justo para saber c?mo distribuir las tareas entre Valeria, Jimena y
Jorge.

5. Re?nete en pareja. Hagan una hoja de c?lculo que permita simular los resultados de lanzamientos
de monedas o dados. Analicen la siguiente informaci?n.
Eventos Frecuencia
Probabilidad
frecuencial
Tres caras iguales
Un ?guila y dos soles
Dos ?guilas y un sol
Jorge Valeria Jimena
e) Elaboren un diagrama de ?rbol con todos los posibles resultados de lanzar tres monedas al aire.
PORTAFOLIO
Guarda tu hoja de c?lculo
que hiciste en la ac tividad 5
para tu evaluaci?n.
232 1. Lee la situaci?n y realiza lo que se indica en tu cuaderno.
El juego de Oca es un juego tradicional con dados que consiste en
cubrir un recorrido moviendo fichas seg?n la suma de sus puntos
que al lanzarlos muestran los dados en su cara superior. Al comen-
zar la partida: hay una regla especial para los casos en que el tiro
da nueve, lo que puede suceder de dos maneras: 5 y 4 (se avanza
directo a la casilla 53); y 3 y 6 (se avanza hasta la casilla 26).
a) ?Cu?les son todos los posibles resultados de lanzar dos dados?
Escribe el espacio muestral y explica como lo obtuviste.
b) Usa una hoja de c?lculo para simular el lanzamiento de dos dados
250, 500, 750 y 1 000 veces. Haz tablas, para cada cantidad de lanzamientos, que muestren la siguiente
informaci?n con los datos obtenidos. Consulta a tu profesora o profesor.
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Frecuencia
Probabilidad frecuencial
c) ?Cu?l es la probabilidad de obtener 9 en el primer lanzamiento?
d) ?Qu? suma o sumas tienen m?s probabilidad de salir? ?Y cu?l o cu?les tiene menos?
e) Compara tu respuesta con el inciso a, ?observas alguna relaci?n? Explica.
CIERRE
El juego de Oca simboliza el camino
de Santiago, lleno de pruebas, peligros y
sorpresas para los peregrinos.
a) Usen su hoja de c?lculo para simular 250 lanzamientos simult?neos de dos monedas.
b) Hagan una tabla en su hoja que calcule y muestre la siguiente informaci?n con los datos obte-
nidos de los lanzamientos (figura 13.3). Consulten a su profesor.
Figura 13.3
Pueden usar las funciones:
=ALEATORIO.ENTRE(1;2), donde 1 indica que se obtuvo el resultado ?guila, y 2, el resultado
sol.
=SI(B2=C2,1,0), donde 1 indica que ambos resultados son iguales, y 0, que no lo son.
=CONTAR.SI(C2:C251,1), que cuenta cu?ntas celdas en el intervalo de C2 a C251 tienen el re-
sultado 1.
c) ?A qu? n?meros se aproximan los resultados de la probabilidad frecuencial a medida que la can-
tidad de lanzamientos aumenta?
d) Decimos que un juego de azar es justo si cada jugador tiene la misma probabilidad. ?El juego de
disparejos es justo? Expliquen.
233
L13 / U3
U3 / L13
231
L13 / U3
Figura 13.1 El juego de serpientes
y escaleras naci? en India como moksha
patam, un juego moral sobre el karma.
230 206 © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V.

Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. CIERRE
1. Tabla de la suma de las caras de los dados.
a)
Suma de las
caras (+)
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
b)
R. L. Revise las tablas obtenidas por los alumnos. Valide que
estén usando las funciones correctas. Se muestra un ejemplo de tabla que simula 250 lanzamientos de dos dados.
Sumas Frecuencia Probabilidad frecuencial
2 5
5
250
= 0.02
3 10
10
250
= 0.04
4 17
17
250
= 0.068
5 23
23
250
= 0.092
6 31
31
250
= 0.124
7 40
40
250
= 0.16
8 34
34
250
= 0.136
9 28
28
250
= 0.112
10 22
22
250
= 0.088
11 14
14
250
= 0.056
12 6
6
250
= 0.024
Las demás tablas serán similares, salvo los datos.
c)
4
36
d)
Que la suma sea 7 es la que tiene mayor probabilidad. Que la s
uma sea 2 o 12 son las que tienen menor probabilidad de
obtenerse.
e) Sí. El inciso a) muestra todos los posibles resultados (espacio
muestral), y de ahí podemos calcular la probabilidad de cada evento.
Página 231
c)
Que las probabilidades son muy parecidas en la menor pun-
tuación y en la máxima.
2.
a) 2, 1 vez; 8, 7 veces; 3, 2 veces; 9, 6 veces; 4, 4 veces; 10, 5
veces; 5, 6 veces; 11, 2 veces; 6, 7 veces; 12, 1 vez; y 7, 9
veces.
3. a) Alrededor de 50 veces águila y 50 veces sol. Muy cercana
a
1
2
.
b)
0 veces, pues un dado sólo tiene 6 caras. La probabilidad fre-
cuencial es
0
500
= 0.
Página 232
4.
a) y b) No es justo, pues la probabilidad de que salgan caras igua-
les es menor. R. L. Respuestas de tabla por filas.
Primera fila: Tres caras iguales, 12,
12
100
= 0.12. Segunda fila:
Un águila y dos soles, 38,
38
100
= 0.38. Tercera fila: Dos águi-
las y un sol, 35,
35
100
= 0.35.
c)
Probabilidad de que salgan tres caras iguales = 0.12, 12%.
Probabilidad de que salga un águila y dos soles = 0.38, 38%.
Probabilidad de que salgan dos águilas y un sol = 0.35, 35%.
d) Jorge, 2; Valeria, 3 y Jimena, 3. No, porque no hay la misma
probabilidad de ganar.
e)
f) Sí, la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica se
deben aproximar, pues calculan la probabilidad de éxito del
evento. La probabilidad frecuencial varía un poco debido a las
imperfecciones de las monedas y a su peso.
g)
El famoso disparejo. Se lanzan al mismo tiempo tres monedas
y quien salga con la cara contraria a la de las otras dos sale del juego y tendrá asignada la primera actividad. Si es empa-
te, se vuelve a lanzar la moneda.
Página 233
5.
a) A la de la probabilidad teórica
1
2
.
b)
Sí, porque todos tienen la misma probabilidad de obtener sol
o águila.
S
S S
S A
S S SA A A A
A A
207

Plan de clase Semana escolar 36
Qué aprendí
Tema
• Variación proporcional
• Representación algebraica de una sucesión con progresión
aritmética de figuras y números
• Construcción y clasificación de triángulos y cuadriláteros
a partir del análisis de distinta información
• Distancia entre dos puntos como la longitud del segmento que los une
•
Medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el r
ango de un conjunto de datos
Construimos futuro
Tema •
Cantidad de resultados
• ods: 12. Producción y consumo responsables
• ods: 15. Vida de ecosistemas terrestres
Qué aprendí
A continuación, se describen las sugerencias y orientaciones para
contestar cada una de las actividades, con el propósito de observar el
aprendizaje alcanzado por cada uno de los alumnos al concluir la unidad.
Actividad 1
La parte superior del mapa mental tiene como propósito que el alum- no identifique las características de cada una de las variaciones con constante positiva y/o con constante negativa. En la parte central del mapa, los alumnos deberán identificar el tipo de pendiente que hay para cada variación. Y, por último, tendrán que observar en la expre-
sión algebraica el signo correspondiente a la pendiente de la recta.
Como parte del análisis realizado para completar el mapa y ve-
rificar la comprensión del tema, es útil que formule preguntas como éstas: ¿Cómo varían las cantidades en una variación con constante
positiva? ¿Cómo es la inclinación de la recta en una variación con
constante negativa?
Actividad 2
El objetivo de esta actividad es que los alumnos representen de manera
algebraica una sucesión, en este caso, una con progresión aritmética. Con el fin de fomentar el análisis para la resolución de esta actividad, pregunte: ¿Cuánto pagará el banco de interés por tener su dinero dos
meses?, ¿y cuánto pagará por tres meses?, de modo que los alumnos intuyan la manera de calcular los intereses al cabo de cierto tiempo.
Actividad 3
El objetivo de esta actividad es que los alumnos practiquen y recuer-
den la desigualdad del triángulo, ya que con esta herramienta pueden
saber si con los datos proporcionados de los lados se puede construir
un triángulo.
Actividad 4
Es relevante que haga estas preguntas a los alumnos, para ayudarlos a calcular la distancia pedida: ¿Servirá la perpendicular a la recta que
pasa por el punto para calcular la distancia entre estos dos elementos?
Actividad 6
El objetivo de esta actividad es que los alumnos recuerden las me-
didas de tendencia central y en qué casos se aplican, dado el valor del rango de un conjunto de datos. Pida que digan qué medidas de tendencia central se utilizan si los datos están muy separados.
Libro del alumno: Páginas 234-237
Fecha:
Orientaciones didácticas
Error frecuente
Qué aprendí
Cada estudiante aprende de manera diferente y pueden variar sus técnicas de estudio. Para mejorar éstas, haga las siguien- tes recomendaciones: relacionar cada concepto con algo coti- diano y, cuando se pueda, deben relacionar los conceptos con
representaciones geométricas o gráficas. Sugiera que elaboren
mapas mentales o tablas comparativas de distintos conceptos matemáticos.
Pida que hagan un formulario que tengan a la mano para
que puedan resolver las actividades más fácilmente; además, los formularios ayudan a memorizar las fórmulas.
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Libros y revistas
El siguiente recurso es de utilidad para enseñar el enfoque
clásico y frecuencial de la probabilidad.
•
Valentín Loaiza, El juego digital “Parchís Star” en la
enseñanza de la probabilidad, Colombia, 2022, disponible en www.edutics.mx/xYE
Audiovisual
La información del siguiente video es útil para aclarar dudas acerca de la congruencia de triángulos. •
“Criterios de congruencia de triángulos”, disponible en
www.edutics.mx/xYR
Sitios web
En esta página web encontrarás ejercicios de técnicas de conteo. •
“Regla del producto”, disponible en www.edutics.mx/xYD
Interdisciplina
En la parte disciplinar, conviene hacer ver a los alumnos que la Biología se utiliza para generar conciencia en cuanto al manejo y consumo de productos extraídos de la naturaleza.
Recursos de apoyo complementarios
Recursos digitales
• La evaluación también se puede resolver con el recurso interactiv
o “Qué aprendí”.
• Para enriquecer el trabajo de evaluación, utilice el recurso
Construimos futuro
En esta sección se quiere que los estudiantes reflexionen sobre la
importancia de la permacultura para lograr una forma de cultivo más
amigable con la naturaleza. En la elaboración y venta de ensaladas con
vegetales obtenidos mediante la permacultura, se realiza una combi-
nación de una lista para tener una amplia variedad de ellos en el menú.
Puede pedir a los estudiantes que investiguen las ventajas y des-
ventajas de consumir lo que se produce con la permacultura.
Resalte la aplicación de los conceptos matemáticos estudiados
en la lección. Mencione que, para llevar un control y planificación de un menú, es importante realizar las combinaciones con los métodos vistos en esta unidad.
En esta historieta se trabajan los Objetivos de Desarrollo Sostenible
12 y 15 de la
onu: Producción y consumo responsable y Vida de
ecosistemas terrestres, que tienen como fin realizar un consumo res- ponsable y amigable de los productos de la agricultura. También se enlaza con la materia de Biología, porque se habla de las relaciones con el medio ambiente.
Preguntas clave complementarias
• ¿Cómo se aplicaron los conceptos de matemáticas para anali-
za
r las combinaciones posibles de los vegetales y así generar
ensaladas con una determinada cantidad de productos dife-
rentes?
•
¿Cuáles son las ventajas de hacer ensaladas con productos
obtenidos mediante la técnica de la permacultura?
• ¿Cuáles son las desventajas?
Notas
Programa Construimos Futuro
Desarrollo sustentable. La sección Construimos futuro presenta
a la permacultura como una alternativa para la producción agrícola
que es amigable con el medio ambiente. Solicite que investiguen más acerca de ella y cómo pueden llevarse a cabo acciones sos- tenibles en casa para aprender sobre el tema.
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En acci?n
Reflexiona en torno a las siguientes preguntas y comenta tus respuestas con el resto del grupo.
1. OCómo aplicó Ana el principio de multiplicaciónN OHay otra manera mejor de hacerloN
C2. OEn qué otra situación aplicarías el principio de multiplicaciónN
C3. OQué importancia tiene este conocimiento para tomar mejores decisiones y a optimizar el uso del tiempo
y los recursos en la producci?n de alimentos sostenibles?
237U3235
Representa algebraicamente una sucesi?n con progresi?n aritm?tica de figuras y n?meros.
2. Claudia invirti? su dinero en un banco, el cual le paga un inter?s de $380.00 mensuales. Si su ca-
pital inicial era de $7 500.00, Ocuál de las siguientes progresiones describe el monto de dinero que
recibir? seg?n el tiempo que permanezca en inversi?n? Considera laCB como el tiempo en meses.
a)C7 500BC b)
C7 500tCBC380 c) C7 500CBC380BC d) C7 500(380)B
Construye y clasifica tri?ngulos y cuadril?teros a par tir del an?lisis de distinta informaci?n.
3. OCon cuáles líneas se puede formar un triángulo teniendo ya un lado que mide 7 cmN OY cuál sería
el valor de su per?metro?a)CCon el de 1 cm y el de 5 cm. Su per?metro ser?a de 13 cm.
b)CCon el de 3 cm y el de 5 cm. Su per?metro ser?a de 13 cm.
c)CCon el de 1 cm y el de 3 cm. Su per?metro ser?a de 11 cm.
d)CCon el de 3 cm y el de 5 cm. Su per?metro ser?a de 15 cm.
Introduce la idea de distancia entre dos puntos como la longitud del segmento que los une.
4. Determina la distancia del punto a la recta.
3 cm5 cm1 cm
5. Calcula el perímetro y el ?rea del círculo.
Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritm?tica y mediana) y el rango de un
conjunto de datos, y justifica con base en ellas sus decisiones.
6. Analiza la situaci?n y elije la respuesta correcta.
Los ingresos de un negocio familiar fueron de $13 500 en julio y en enero de $38 750.
? Calcula el rango y, con base en este, determina cu?l de las medidas de tendencia central te
ayudar? a tener una mejor idea de los ingresos que obtuvieron en el primer semestre del a?o.
a)CCon un rango de $25 200, como este es muy grande, los datos quedan muy separados, por
lo que la media permite tener una mejor idea de los ingresos durante el primer semestre.
b)CCon un rango de $25 250, aunque este es muy grande, cualquier medida de tendencia cen -
tral representa el valor de los ingresos.
c)CCon un rango $25 250, dado que este indica que los datos est?n muy separados, entonces
la mediana se puede considerar como representativo del valor de los ingresos.
d)CCon un rango $25 200, la moda es el dato que mejor describe el ingreso, ya que es el que
m?s se repite durante el primer semestre.
d 30 cm U3234
Qu? aprendí
Realiza las siguientes actividades.
1. Completa el mapa conceptual
Representaci?n gr?fica Representaci?n gr?fica
Representaci?n algebraica
B B
La es una contante que puede ser:
B
B
Representaci?n algebraica B B
La es una contante que puede ser:
B
B
Representaci?n tabular Representaci?n tabular
Relaciona
e interpreta relaciones
proporcional y a partir
de su representaci?n.
Modela y resuelve
diversas situaciones
a trav?s de ecuaciones
proporcionales con
constante positiva
y negativa.
Tabular, gr?fica
y con diagramas.
Variaci?n con constante positiva Variaci?n con constante negativa
?Qu? tipo de problemas resuelve?

?Qu? tipo de problemas resuelve?

Variaci?n proporcional
Qu? aprendí
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Solucionario © Todos los derechos reservados, Macmillan Educación, S. A. de C. V. Página 234
1. Respuestas por fila.
Primera fila:
Representación tabular.
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8
0 2
1 4
2 6
3 8
Segunda fila:
Representación gráfica Representación gráfica
Tercera fila:
Representación algebraica y
= kx
La k es una constante que pue-
de ser
:
k
= positivo
Repr
esentación algebraica
y
= mx + b
La m es una constante que pue-
de ser: m
= positivo
m = negativo
Cuarta fila:
R. L. Posible respuesta: •
Calcular pagos conociendo el precio
.
• Valor entre divisas.
• R. L. Posible respuesta:
• Crecimientos poblacionales.
• Aceleraciones y desaceleraciones en una carr
era de autos.
Página 235 2.
7 500 + 380t
3. Con el de 3 cm y el de 5 cm. Su perímetro sería de 15 cm.
4. Verifique que el alumno trace un segmento recto, del punto a la
recta, de tal manera que haya un ángulo de 90° entre ambos.
5. El perímetro P y el área A del círculo son:
P = 3.14 × 30 = 9 4.2 cm
A = 3.14 × 30 × 30 = 70 6 cm
2
6.
Con un rango de $25 250.00, dado que éste indica que los datos
están muy separados; entonces la mediana se puede considerar como representativa del valor de los ingresos.
Página 237 En acción 1.
Aplicó permutaciones sin repetición. Si el Germinado 1 tiene 10
maneras de combinarse, el Germinado 2 tiene 9 maneras y el
Germinado 3 tiene 8, entonces el número de combinaciones posi-
bles sin repetición al combinar los germinados es:
10
× 9 × 8 = 720
Por lo tanto, hay 720 combinaciones posibles sin repetición al
combinar los germinados.
2. El principio de la multiplicación se aplica cuando se tienen dos
o más eventos y se quiere saber cuántas formas hay de realizarlos
juntos. Por ejemplo, si tienes 3 camisas y 2 pantalones, puedes
crear 3 × 2 = 6 combinaciones de atuendos.
3. El principio de la multiplicación se utiliza en la toma de decisio-
nes para calcular el número de formas en que se pueden realizar
dos o más eventos juntos. Por ejemplo, si una empresa tiene
3 opciones para un producto y 4 opciones para un empaque,
entonces hay 3
× 4 = 12 combinaciones posibles de productos
y empaques.
211

Solucionario Notas
212??kk?Uk??:k??????k?Hq?^?UU?`/???l`H?MqM Mq?M

Solucionario Notas
213??kk?Uk??:k??????k?Hq?^?UU?`/???l`H?MqM Mq?M

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215

Este libro se terminó de imprimir
en agosto de 2023 en los talleres
de C. P. ,
Ciudad de México, México.

En el diseño de Imagina
participó Serge Bloch,
famoso ilustrador y
pintor de origen
francés.
La ilustración de la portada es de
Tania Vicedo, ilustradora española.

www.edicionescastillo.com
[email protected]
Lada sin costo: 800 536 1777

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