Limites de una unción en matemáticas calculo diferencial

Explicación de los limites

1. CALCULO D I FEREN C IAL LÍMITE DE U NA FUNCIÓN 24/09/2024 1

2. El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal. El límite de una función es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado. li m f ( x )  L x  a 24/09/2024 2

3. ¿Qué le sucede a la función x    x   f(x)  x  a medida que la variable x se acerca al valor 1? x   x   x  .   .    .   .  f(x)  .   .    .   .  limf(x)   x  24 / 9 / 2 2 M 4 É T OD O DE AP R O X I MAC I ÓN 3

4. x   f(x)  ? 24/09/2024 4  x   x    l i m x   x   lim f(x)    x  

5. x  f(x) x     24/09/2024 5 lim  x  ? x   l i m f (x )   x 

6. x  1 24/09/2024 6  x  2 l i m x 2 x  1  li m  x  2   x  1  x  1 x  1 x  1  l i m  x  2    1  2   3

7.  8 l i m 2  x  10 x  2 2 x x 3  2 x  5   x  2   x  2   x 2  2 x  4   lim x   2  lim x 2 x   2  2 x  4  1 2   4 2 x  5  9 3 24/09/2024 7

9. x  4  2 24/09/2024 9 x 2  16 lim x  4

10. 24/09/2024 14 Para calcular el límite de una función , se puede emplear: Aproximación Factorización Racionalización Evaluación Gráfico L´Hospital

11. LÍMITES LATERALES La función f tiene el límite derecho L cuando x tiende a a por la derecha, lo que se escribe lim f(x)  L x  a  De forma similar, la función f tiene el límite izquierdo M cuando x se aproxima a a por la izquierda , lo que se escribe lim f(x)  M x  a  24/09/2024 15

12. 24/09/2024 16 LÍMITES LATERALES

13. lim f(x)  L x  a  24/09/2024 17 lim f(x)  L x  a 

14. 24/09/2024 18 TEOREMA: Sea f una función definida para todos los valores de x cercanos a x = a , entonces: l i m f ( x )  L x  a lim f(x)  lim f(x)  L x  a  x  a  si y solo si

15. Considere la función definida por   x  1 , x  f ( x )   x   , x  24/09/2024 19 x 

16.   - x   , x  1 f ( x )   x   , x  1 2 limf(x)  ? x  x   x   l i m (  x    )  - 2 l i m ( x   )  2 24/09/2024 l i m f (x )  n o e x i s 2 t e x 

17.    f(x)     2 - x   x , x  -1 , x  -1 3 li m f ( x )  ? x  y  2  x 3 y  4  x 2 24/09/2024 21

18. 24/09/2024 25 LÍMITES INFINITO S

19. ¡El límite no existe!

20. Definición formal. Sea una función definida para ambos lados de excepto posiblemente en Entonces . significa que los valores de f ( x ) pueden ser arbitrariamente grandes (tan grandes como queramos), tomando x suficientemente cerca de a , pero no igual a a .  

21. De igual manera ocurre cuando los números toman valores negativos muy grandes cuando x se acerca a a . Sea una función definida para ambos lados de excepto posiblemente en Entonces . significa que los valores de f ( x ) pueden ser negativos arbitrariamente grandes, tomando x suficientemente cerca de a , pero no igual a a .  

22. Determine el límite de      

23. 24/09/2024 25 LÍMITES AL INFINITO

24.   EL INFINITO Tendremos un par de consideraciones con respecto este concepto. No se considera un número en específico, ya que no sabemos cuál es su valor exacto. El infinito nos da una idea de un número que es muy muy grande.

25. LÍMITES AL INFINITO Llamaremos límites al infinito a aquellos límites en los que la “x” tiende al infinito.   Tener en cuenta que “x” no es exactamente infinito. Ni tiene un valor fijo. Aquí consideramos que la “x” TIENDE o se ACERCA a un valor infinito. ¿Se acuerdan que antes, para calcular un límite, simplemente reemplazábamos el valor de “x” en la función?     PERO!! En límites al infinito funciona un poco distinto…veamos

26. Veremos varios ejemplos y analizaremos cómo funciona esto de calcular infinitos 1     Si reemplazamos la x por distintos valores cada vez más grande, su valor se acercará a un valor muy grande, entonces ¿a qué valor va a tender a llegar? 2     Si tomamos un número muy muy grande, y lo multiplicamos por 3, es decir, triplicamos su valor, ¿a qué valor se va a acercar su resultado?   Aunque lo multipliquemos por 3, sigue siendo un valor infinito. No olvidemos que ‘infinito’ es un concepto y no un número específico.

27. 3       Si a un número muy, muy grande se le suma 10 unidades, este número sigue siendo muy muy grande. Entonces si a un infinito le agregamos cualquier valor, sigue siendo infinito. 4               Si a un número muy, muy grande se le suma otro tan grande como el anterior, entonces esta suma será aún más grande, por lo que será un valor infinito.

28. 5 Pero ¡¡OJO!! NO siempre las operaciones con van a dar resultados infinitos   Veamos y analicemos…     Piensa en varios números positivos cualquiera y multiplícalos por -2 ¿Qué valores te dan? Yo pensé en los siguientes         Nos acercamos cada vez más al infinito, pero negativo   (positivos)

29. 6   Pensemos en un ejemplo concreto Supongamos que tienes una pizza y la debes compartir Si la compartes sólo contigo, tendrías que dividir la pizza en 1   Si la compartes con alguien más, tendrías que dividir la pizza en 2   Si la van a compartir entre 5 personas, tendrías que dividir la pizza en 5   Si la van a compartir entre 100 personas, tendrías que dividir la pizza en 100   Si la van a compartir entre 10000 personas, tendrías que dividir la pizza en 10000   Si la van a compartir entre 1000000000 personas, tendrías que dividir la pizza en 1000000000     Observación: en realidad ‘no existe’. No es que sea exactamente cero. Recuerda que cuando hablando de ‘límites’ decimos que se ACERCA a 0   Si dividimos la pizza entre todas las personas del mundo, a cada uno le tocaría prácticamente NADA  

30. 7     Aquí tenemos un caso muy parecido al del anterior. Si dividimos el 10 por números infinitamente grandes, su valor se acercará cada vez más al cero.                 Como cada vez nos acercamos más al cero, entonces el límite de la función es 0  

31. 8   Aquí, pensemos, analicemos y razonemos lo siguiente: Supongamos que se va a repartir granos de arena de una playa entre 5 personas. ¿Cuántos granos de arena le va a tocar a cada uno exactamente? ¿Las puedes contar? Exacto!! Si se divide una cantidad muy muy grande de granitos de arena y lo repartimos entre una cantidad limitada y conocida de personas, cada uno seguirá teniendo una cantidad incontable de granos de arena, es decir, una cantidad infinita de granos de arena.  

32. 9        

33. 10         Es una expresión indeterminada Para determinar su resultado, todo depende de cuál infinito sea más grande. Por ejemplo, si hacemos la operación 5 – 5 = 0, ya que estamos muy claros que 5 y 5 tienen exactamente el mismo valor numérico o el mismo tamaño Pero como el infinito no es un valor exacto o un valor conocido, no puedo asegurar que esos dos infinitos tengan el mismo tamaño. Es un infinito grande, pero no tan grande como             Y si restamos dos números, el resultado conservará el signo del mayor.

34.   Volvamos al ejemplo anterior Hay técnicas para calcular rápidamente el límite sin tanto análisis TÉCNICA DEL GRADO MAYOR 1   Infinito de grado 2 Infinito de grado 1   Entonces, el término que tenga mayor grado, va a indicar al infinito más grande, lo que va a permitir conocer cuál es el signo del infinito del resultado 11         Infinito de grado 4 Infinito de grado 2  

35. 12       Todo número elevado a un exponente par, tendrá resultado positivo        

36. 13     Todo número negativo elevado a un exponente impar, tendrá siempre resultado negativo        

37. Analicemos los siguientes ejemplos: 1       Infinito de grado 2 Infinito de grado 1 Expresión indeterminada   Expresión de grado 2 Expresión de grado 2 Aplicamos la técnica de “simplificar por la variable de grado mayor” Simplificamos por                 5       1                 :-5 :-5     1   Recordar!!

38. 2   Expresión de grado 3 Expresión de grado 3 Simplificamos por                                                        

39. 3   Expresión de grado 1 Expresión de grado 1 Simplificamos por                                    

40. Considere la función   f(x)  x   x  x 5000 20000 75000 250000 100000 f(x) li m f ( x )   x  24/09/2024 26

41. l i m 24/09/2024 27 2 3  6 x  4 3 x 2  x  7 x  5 x X -500000 -6000000 -40000000 f(x)

42.   x   x   24/09/2024 28 lim  x  x     x    x    x 

43.  x    24/09/2024 29 R. 1.5 lim  x   x  

44. 2 24/09/2024 30  2 x  x  9  3 1  7 x  x 3  8 x 6 lim x  

45. x x  l i m x   x  x R . - 3 1 1 24/09/2024

46. FUNCIÓN RACIONAL 24/09/2024 32

47. Una función racional es de la forma f(x)  p(x) q(x) donde p(x) y q(x) son polinomios  q(x)≠0 El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valores de x que anulan al denominador. Ej. : f(x)  x 24/09/2024 x     x  g ( x )   x   33

48. Una función racional es de la forma f(x)  p(x) q(x) donde p(x) y q(x) son polinomios  q(x)≠0 x   f(x)  x   24/09/2024 34 x  g ( x )   x  

49. 24/09/2024 35 ASÍNTOTAS VERTICALES, HORIZO N TALES Y OBLICUAS

50. ASÍNTOTA VERTICAL Se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f(x) , si al menos una de las siguientes proposiciones es cierta: l i m f ( x )   x  a lim f(x)   x  a  lim f(x)   x  a  La gráfica de una función racional no c o 2 r 4 / t 9 a / 2 02 4 a sus as í ntot a s v e rt i ca l e s. 36

51. ASÍNTOTA HORIZONTAL Se dice que la recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de f(x) , si al menos una de las siguientes proposiciones es cierta: lim f(x)  b x  lim f(x)  b x  La gráfica de una función puede cortar a s 24 / u 9 / 2 a 2 4 s í ntota hor i z onta l . 37

52. A S Í N T O T A OB LIC U A La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f. Si una función racional tiene asíntota o b 2 l 4 i / c 9 / u 2 2 a 4 no pued e t e n er as í n t ota hori z on t a 3 8 l. Si f es una función racional de la forma f(x)  p(x) q(x) donde p(x) y q(x) son polinomios y el grado de p(x) es 1 más que el grado de q(x) ,entonces: q ( x ) f(x)  mx  b  r(x)

53. 24/09/2024 39 Graficar la función: x   f(x)   x  

54. 24/09/2024 40

55.   x 24/09/2024 41 x  G r a f ica r l a f unc i ón:   x  f(x) 

56. 24/09/2024 42

57. Graficar la función:   24/09/2024 43 x  f(x)   x   x  

58. 24/09/2024 44

59. 24/09/2024 45   x   x  Graficar la función:  x f(x) 

60. 24/09/2024 46

61. 24/09/2024 47 ASINTOTAS OBLICUAS

62. Graficar la función: x 24/09/2024 48   x   x  f(x) 

63. 24/09/2024 49

64. Graficar la función:  x   24/09/2024 50   f(x)  x 

65. 24/09/2024 51

66. Graficar la función: f(x)  x   24/09/2024 52  x   x  

67. 24/09/2024 53

68. 24/09/2024 54 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

69. Se dice que la función f es CONTINUA en el número a si y solo si satisface las tres condiciones siguientes: f(a) existe li m f (x ) e x i s t e x  a l i m f ( x )  f( a ) x  a Si una de las tres condiciones no se cumplen para a , se dice que la función f 2 e 4 / s 9 / 2 D 2 4 I SC O NT I N U A en a . 55

70. 24/09/2024 56    x   , x   f ( x )    x   , x   ¿Es continua f(x) en x = 2?

71. 24/09/2024 57   f ( x )    x   , x    x  , x   ¿Es continua f(x) en x = 1?

72.   24/09/2024 58   x   , x     x   , x   x   f(x)   ¿Es continua f(x) en x = 3?

73. 24/09/2024 59      x , x    f ( x )     x , x    ¿Es continua f(x) en x = -1?

74.  24/09/2024 60 f(x)   x       e x   3 , x   , x   x ¿Es continua f(x) en x = 0?

75. 24/09/2024 61 ¿En qué valor la constante A es continua la función f(x) para todo número real?   A x   , x    x   x   , x   f(x)  