Limites y continuidad

Limites y continuidad

1. Cristian Velandia M.Sc

2. Límites con Simple Evaluación
Límites Polinomiales
Límites con Raíz
Autoevaluación
Límites al Infinito
TALLER –FUNCIONES

3. Conocerás los conceptos de límite de una
función en un punto y podrás calcularlos con
cocientes de polinomios.
TALLER –FUNCIONES
"Nadie puede saber el límitede
sus fuerzas hasta que las
pone a prueba."
Aplicarás las propiedades algebráicas del cálculo de
límites, los tipos principales de indeterminación que
pueden darse y las técnicas para resolverlas.
Analizarás la continuidad puntual de una
función a través del concepto de límite.

4. TALLER –FUNCIONES
¿ Cuándo llegará el niño a su
casa, si cada día recorre la
mitad de la distancia ?
0.5 Km.
0.25 Km.
0.125 Km.
0. 0625 Km.
1 Km.
! El niño se acercará cada vez más
a su casa pero nunca llegará !

5. TALLER –FUNCIONES
Observa el deportista. Debe
tener un límite, de lo contrario
caerá a los tiburones.
Observa al Sonámbulo, podrá
llegar a un límite de distancia o
caerá a los tiburones.
El concepto de límite es similar a nivel matemático; en funciones
matemáticas encontramos discontinuidades o puntos que NO
existen y utilizamos los límitespara conocerlos y determinarlos.

6. TALLER –FUNCIONES
Los límites tienen diversas aplicaciones en
diferentes áreas de la ciencia. En física, cálculo,
estadística, química, sociología, economía entre
otros. Un ejemplo de límite aplicado en la
economía, es a través de la tasa de interés
efectivo para la capitalización continua. La
utilidad de este concepto matemático se utiliza
para conocer el valor máximo o mínimo de
utilidad en el mercado financiero en cierto
periodo de tiempo.
En química utilizamos el concepto de límite para
la aplicación de reacciones de concentración, es
decir los reactivos limitantes. En ingeniería los
utilizamos con el fin de conocer la resistencia y
tolerancia de materiales.
Actualmente se utilizan en la
nanotecnología y en medicina; este
último con el fin de no exceder el
porcentaje químico en medicamentos y
no causar efectos colaterales en el
cuerpo humano.

7. TALLER –FUNCIONES
Es muy importante recordar el concepto de
función, el cual trabajamos a profundidad en
módulos anteriores.
Frecuentemente hay operaciones que
no se puede calcular directamente...
pero puedes saber cuál debe de ser el
resultado si te vas acercando más y
más! Usemos por ejemplo:
Calculemos su valor
para x=1:
x
2
1
x1 
x
2
1
x1

1
2
1
11

0
0
Pero 0/0 es un problema. En realidad no
podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos
que encontrar otra manera de hacerlo.
En lugar de calcular con x=1 vamos a
acercarnos poco a poco:
x (x
2
-1)/(x-1)
0.5 1.5
0.9 1.9
0.99 1.99
0.999 1.999
0.9999 1.9999
0.99999 1.99999
Ahora tenemos una situación
interesante: Cuando x=1 no sabemos
la respuesta (es indeterminada)
Pero vemos que va a ser 2
Queremos dar la respuesta "2" pero no
podemos, así que los matemáticos usan la
palabra "límite" para referirse exactamente
a este tipo de situaciones.

8. TALLER –FUNCIONES
El límite de (x
2
-1)/(x-1) cuando x tiende
(o se aproxima) a 1 es 2. De la
siguiente forma se escribe en notación
matemática:
Así que es una manera especial de
decir que cuando te acercas más y
más a 1 la respuesta se acerca
más y más a 2"
lim
x1
x
2
1
x1
2
1
3
4
5
6
-6
-4
-5
-3
-2
-1
1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1
Y
X
Así que en realidad no puedes
decir cuánto vale en x=1.
Pero sí puedes decir que cuando
te acercas a 1, el límite es 2
Observa que cuando x tiende a 1,
la función No existe
Plasmando esta situación
matemática en un gráfico
queda así:
Esta es la grafica
correspondiente a
Cuando la función tiende a
x=1 el límite es 2.
Por ambos lados1
1
2



x
x
y
2

9. TALLER –FUNCIONES
Antes de iniciar nuestro estudio,
necesitamos construir un concepto
límites con simple evaluación; esto se
refiere a remplazar el valor de
tedendencia en cada una de las variables
de la función. Por ejemplo: 
lim
x2
x
2
3x8
x
3
1
Como x tiende a 2, remplazamos este valor
en cada una de las variables de la función:
lim
x2
x
2
3x8
x
3
1

2
2
3(2)8
(2)
3
1
Ahora desarrollamos las operaciones
correspondientes de la siguiente forma:
2
2
3(2)8
(2)
3
1

468
81
Ahora desarrollemos las sumas correspondientes:

468
81

18
9
2
Ahora desarrollemos al análisis gráfico de la función:
Observa que cuando la función tiende
a 2 en x, también en ytiende a 2.

10. TALLER –FUNCIONES

11. TALLER –FUNCIONES
Las siguientes tres (3) clases de límites que estudiaremos en este módulo:
Para que identifiques los límites
polinomiales tienden a un valor
finito es decir un número y su
función se compone de
polinomios. Por Ejemplo:
Para que identifiques los límites
con raíz tienden a un valor
finito es decir un número y su
función se compone de
polinomios con raíces
cuadradas. Por Ejemplo:
Para que identifiques los límites al
infinito tienden a un valor infinito es
decir un valor muy grande, su signo es
∞ sin importar si su función se
compone de polinomios o raíces
cuadradas. Por Ejemplo: 
lim
x
5x
4
2x
3
x
2
6
x
4
2x
2
x2 
lim
x3
x
2
x6
x
2
9 
lim
x0
x22
x

12. TALLER –FUNCIONES
Encuentra el límite con simple evaluación.
Tienes 1 minuto para desarrollarlo:
lim
x1
x
4
3x
3
8x
x
2
1

13. TALLER –FUNCIONES
Ahora desarrollemos juntos el ejercicio
planteado:
lim
x1
x
4
3x
3
8x
x
2
1
Como x tiende a 1, remplazamos este valor
en cada una de las variables de la función:
Ahora desarrollamos las operaciones de
potenciación y multiplicación
correspondientes.
Ahora desarrollemos al análisis
gráfico de la función:
Observa que cuando la función tiende
a 1 en x, la función eny tiende a 6.
lim
x1
x
4
3x
3
8x
x
2
1
 
lim
x1
1
4
3(1)
3
8(1)
(1)
2
1
Grafica de la función:1
83
2
34



x
xxx
y 
lim
x1
138
11

12
2
6

14. TALLER –FUNCIONES
Con el fin de desarrollar este tipo de límites, debes
evaluar la función con el valor de tendencia:
Observa que a diferencia de los límites anteriores,
obtenemos un valor indeterminado. En matemáticas 0
dividido 0 no existe. Por lo tanto debemos aplicar
factorización y simplificar para hallar el límite:
Ahora analisemos de forma gráfica el
límite, para que claramente construyas el
concepto de límite:
Por último, luego de simplificar evaluamos
el límite. Como x tiende a 2 tenemos:
lim
x2
(x2)(22)4 0
0
22
42
2
4
lim
22
2






x
x
x
Recuerda que este es el caso
de factorización número 3.
Diferencia de cuadrados.
Si tienes dudas puedes
retormar en el modulo
Descomposición Facorial. 
lim
x2
x
2
4
x2

(x2)(x2)
(x2)
Una vez factorizada la funcion aplicando
diferencia de cuadrados, observa que
tenemos (x-2) tanto en el denominador como
en el numerador. Ahora podemos
simplificarlos.
Grafica de la función:2
4
2


x
x
Observa que en el gráfico hay una
discontinuidad un punto en x=2. Con el
análisis matemático y gráfico pudimos
determinar que el límite de la función es 4.
No existe,
en x=2 y =4

15. TALLER –FUNCIONES
Encuentra el siguiente límite Polinomial .
Tienes 1 minuto para desarrollarlo
lim
x3
x
2
x6
x
2
9

16. 
lim
x3
x
2
x6
x
2
9

(x3)(x2)
(x3)(x3) TALLER –FUNCIONES
Ahora desarrollemos juntos el ejercicio planteado.
Iniciemos evaluando el límite en -3:
Observa que obtenemos un valor indeterminado. En
matemáticas 0 dividido 0 no existe. Por lo tanto debemos
aplicar factorización y simplificar para hallar el límite:
Ahora analisemos de forma gráfica el límite, para
que claramente construyas el concepto de límite:
Por último, luego de simplificar evaluamos
el límite. Como x tiende a -3 tenemos:
En el numerador encontramos
un caso de factorización x
2
+
bx + c, y en el denominador
percibimos una diferencia de
cuadrados.
Una vez factorizada la funcion observa que
tenemos (x+3) tanto en el denominador como en
el nuemrador. Ahora podemos simplificarlos.
Gráfica de la función:
Observa que en el gráfico hay una discontinuidad
un punto en x=-3. Con el análisis matemático y
gráfico podemos determinar que el límite de la
función es 5/6 = 0,83333.
No existe, en x=-3
y =0,833
lim
x3
x
2
x6
x
2
9

(3)
2
(3)6
(3)
2
9

936
99

0
0 
lim
x3
(x2)
(x3)

(32)
(33)

5
6

5
6
0,8333 
lim
x3
x
2
x6
x
2
9

17. TALLER –FUNCIONES
Continuando con nuestro estudio, también encontramos
límites cuya función involucra una raíz cuadrada. De igual
forma evaluamos la funcion con el valor de tendencia:
Observa que obtenemos un valor indeterminado. En
matemáticas 0 dividido 0 no exíste. Por lo tanto debemos
multiplicar por el conjugado para hallar el límite:
Por último simplificamos y evaluamos el
límite en x →3 de la Siguiente Forma:
También recuerda que :
(ab)(ab)a
2
b
2
Recuerda que multiplicar por el
conjugado es multiplicar en el
denominador y en el numerador
por el polinomio que tiene raíz.
CAMBIA el signo de unión de
términos, nunca cambia adentro
de la raíz. 21
21
3
21
lim
3






x
x
x
x
x
Conjugado:Observaquemultiplicamosenel
denominadoryelnumeradorporeltérmino
quetieneraíz perocambiamoselsigno
deuniónde–a+.0
0
33
24
0
22
0
24
33
213
3
21
lim
3













x
x
x 
x12 
x12 
(x12)(x12)(x1)
2
2
2
Entonces tenemos que:)21)(3(
2)1(
lim
22
3



xx
x
x
Cancelamos raíz cuadrada y la potenciación,
ya que son operaciones inversas y tenemos:)21)(3(
)3(
)21)(3(
41
lim
3






xx
x
xx
x
x )213(
1
)21(
1
lim
3





x
x 4
1
)22(
1
)24(
1





18. TALLER –FUNCIONES
Encuentra el siguiente límite con Raíz.
Tienes 1 minuto para desarrollarlo
lim
x3
x12
x3

19. TALLER –FUNCIONES
Ahora desarrollemos juntos el ejercicio propuesto. De igual
forma evaluamos la función con el valor de tendencia:
Observa que obtenemos un valor indeterminado. En
matemáticas 0 dividido 0 no exíste. Por lo tanto
debemos multiplicar por el conjugado para hallar el
límite:
Por último simplificamos y evaluamos el
límite en x →0 de la siguiente Forma:
Tambien recuerda que :
(ab)(ab)a
2
b
2
Recuerda que multiplicar por el
conjugado es multiplicar en el
denominador y en el numerador
por el polinomio que tiene raíz.
CAMBIA el signo de unión de
términos, nunca cambia adentro
de la raíz. 
lim
x0
x22
x

x22
x22
Conjugado:Observaquemultiplicamosenel
denominadoryelnumeradorporeltérmino
quetieneraíz perocambiamosel
signodeuniónde–a+.
x22 
(x22)(x22)(x2)
2
(2)
2
Entonces tenemos que:
lim
x0
(x2)
2
(2)
2
xx22
Cancelamos raíz cuadrada y la potenciación,
ya que son operaciones inversas y tenemos:
lim
x0
x22
x(x22)

x
x(x22)

1
(x22) 
lim
x0

1
(022)

1
(22)

1
22 
lim
x0
x22
x

022
0

22
0

0
0 
x22

20. TALLER –FUNCIONES
Antes de continuar con este tipo de límites,
analizamos la siguiente situación:1
1
1
 
1
2
0,5 
1
10
0,1 01,0
100
1
 001,0
1000
1
 00001,0
100000
1

Observa que entre mas crece el valor del
denominador, mas pequeño es el
resultado. Ahora imaginate si dividimos1
entre un número muy muy muy grade: 
1

0
1 dividido un numero muy muy
grande ∞ es igual a 0

21. TALLER –FUNCIONES
Ahora continuemos con nuestro estudio de
límites que tienden al infinito. Encontremos
un límites cuyo valor tiende a un número
muy grande el cual desconocemos:
1.Observar la variable de mayor grado. En este caso
x
4
. Debes dividir cada uno de los términos de la
función la variable con mayor grado. Es decir x
4
:
lim
x
5x
4
2x
3
x
2
6
x
4
2x
2
x2 444
2
4
4
44
2
4
3
4
4
22
625
lim
xx
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x



Para solucionar este tipo de límites debes:
2. Simplificar los términos de la función:
lim
x
5
2
x

1
x
2

6
x
4
1
1

2
x
2

1
x
2

2
x
4
3.Ahora remplazamos las x por infinito:
lim
x
5

2


1

2

6

4
1
1

2

2

1

2

2

4
4.Recuerda que cualquier número
dividido ∞ es igual a cero:
lim
x
5000
1000
5.Por último nos queda :
lim
x
5
1
5

22. TALLER –FUNCIONES
Encuentra el siguiente límite al infinito.
Tienes 1 minuto para desarrollarlo
lim
x
4x
3
12x
7
x
6
4
2x
5
5x
2
3x2x
7

23. TALLER –FUNCIONES
Ahora desarrollemos juntos el límite propuesto que
tienden al infinito. Encontremos un límites cuyo valor
tiende a un número muy grande el cual
desconocemos:
1.Observar la variable de mayor grado. En este caso
x
7
. Debes dividir cada uno de los términos de la
función la variable con mayor grado. Es decir x
7
:
lim
x
4x
3
12x
7
x
6
4
2x
5
5x
2
3x2x
7 
lim
x
4x
3
x
7

12x
7
x
7

x
6
x
7

4
x
7
2x
5
x
7

5x
2
x
7

3x
x
7

2x
7
x
7
Para solucionar este tipo de límites debes:
2. Simplificar los términos de la función:
3.Ahora remplazamos las x por infinito:
4.Recuerda que cualquier número
dividido ∞ es igual a cero:
lim
x
01200
0002
5.Por último nos queda :
lim
x
12
2
6 
lim
x
4
x
4
12
1
x
6

4
x
7
2
x
2

5
x
5

3
x
6
2 
lim
x
4

4
12
1

6

4

7
2

2

5

5

3

6
2

24. TALLER –FUNCIONES