Linear algebra-Basis & Dimension

4,798 views 37 slides Nov 29, 2020
Slide 1
Slide 1 of 37
Slide 1
1
Slide 2
2
Slide 3
3
Slide 4
4
Slide 5
5
Slide 6
6
Slide 7
7
Slide 8
8
Slide 9
9
Slide 10
10
Slide 11
11
Slide 12
12
Slide 13
13
Slide 14
14
Slide 15
15
Slide 16
16
Slide 17
17
Slide 18
18
Slide 19
19
Slide 20
20
Slide 21
21
Slide 22
22
Slide 23
23
Slide 24
24
Slide 25
25
Slide 26
26
Slide 27
27
Slide 28
28
Slide 29
29
Slide 30
30
Slide 31
31
Slide 32
32
Slide 33
33
Slide 34
34
Slide 35
35
Slide 36
36
Slide 37
37

About This Presentation

Linear algebra
Basis & Dimension
1.Dimension of vector space
2.Dimension of subspace
3.Dimention of Quotient space


Slide Content

LINEAR ALGEBRA
BASIS AND DIMENSION
MANIKANTA SATYALA
Department of Mathematics
VSM COLLEGE(A), Ramachandrapuram

Definition : Basis
A basis of a vector space Vis an ordered set of linearly
independent (non-zero) vectors that spans V.
Notation:1
, ,
n
β β
Definition :-Basis
A subset S of a vector space V(F) is said to be the basis of V, if
i)S is linearly independent
ii) The linear span of S is V i.e., L(S)=V
MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS

Example :21
,
41
B
   

   
   
is a basis for R
2
B is L.I. :2 1 0
4 1 0
ab
     

     
     
→20
40
ab
ab


→0
0
a
b


B spans R
2
:21
41
x
ab
y
     

     
     
→2
4
a b x
a b y


→ 
1
2
2
a y x
b x y


MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS

Example :12
,
14
B
   

   
   
is a basis for R
2
that differs from Bonly in order.
Definition : Standard / Natural Basisfor R
n1 0 0
0 1 0
, , ,
0 0 1
n
     
     
     
     
     
      12
, , ,
n
e e e 
i i kk
e
k
th
component of e
i =1
0
ik
for
ik



MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS

�����������??????����
2����
2
�����������??????����
3����
3
�����������??????����
4����
4
�����������??????����
�����
�
MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS

Example:
For the function space  cos sin ,a b a b
a natural basis is cos , sin
Another basis is cos sin , 2cos 3sin   
Proof is straightforward.
Example :
For the function space of cubic polynomials P
3 ,
a natural basis is 23
1, , ,x x x
Other choices can be 32
, 3 , 6 , 6x x x 2 2 3
1,1 ,1 ,1x x x x x x     
Proof is again straightforward.
Rule: Set of L.C.’s of a L.I. set is L.I. if each L.C. contains a different vector.
MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS

Example : Matrices
Find a basis for this subspace of M
22:20
0
ab
a b c
c

   
 2
,
0
b c b
bc
c



Solution:1 1 2 0
,
0 0 1 0
b c b c
   
     
   
∴Basis is1 1 2 0
,
0 0 1 0
   
   
   
( Proof of L.I. is
left as exercise )
Theorem :
In any vector space, a subset is a basis if and only if each vector in the space can be
expressed as a linear combination of elements of the subset in a unique way.
Leti i i i
ii
cd βv β
then 
i i i
i
cd β0
∴L.I. uniqueness
MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS

�.??????�����??????���������������������
Definition :
A vector space V(F) is said to be finite dimensional if it
has a finite basis
or
A vector space V(F) is said to be finite dimensional if
there is a finite subset S in V such that L(S)=V
MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS

Theorem :-
����??????���??????�??????���??????����??????���������������,�ℎ���ℎ�����??????�������??????�������
Proof :-SinceVFisfinitedimentionalvectorspace
Bythedefinitionoffinitedimentionalvectorspace
thereexistsafinitesetSsuchthatLS=V
LetS=α
1,α
2,α
3,…,α
n
Assume that S does not contains 0vector
If S is L.I., then S is a Basis set of V.
If S is L.D., then there exists a vector �
??????∈Swhich can be expressed as
linear combination of its preceding vectors
Omitting vector �
??????fromS
Let S
1=α
1,α
2,α
3,…,α
i−1,α
i+1,…,α
n⇒S
1⊂S
��������ℎ�����LS
1=L(S)
�����=�⇒��
1=�
���
1??????��.�.����ℎ���
1�??????��������??????����.
���
1??????�??????��.�.�ℎ���������??????��������������??????�??????���������������,
���??????���������??????�ℎ��.�.����
??????�����
??????=�.������
??????�??????�����ℎ����??????����
MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
Theorem :-
���������??????�??????���??????����??????������������������S=α
1,α
2,α
3,…,α
m
��??????������??????�������������������.�ℎ���??????�ℎ���??????���������??????������������
������������������??????����
Proof :-
SinceVFisfinitedimentionalvectorspace,ithasafinitebasisletitbeB
GivenS=α
1,α
2,α
3,…,α
malinearlyindependentsubsetofV.
LetB=β
1,β
2,β
3,…,β
n
NowconsiderthesetS
1=S∪B=α
1,α
2,α
3,…,α
m,β
1,β
2,β
3,…,β
n
���������=�
���ℎ������������������??????��������??????���??????�����

����??????��ℎ����??????����
⇒�
1??????��.�.
���������������??????��
1�����������������??????��������??????���??????����
??????���������??????��������.
�ℎ??????���������������������

�,�??????����??????��.�.���ℎ??????������������������
??????
LS
1=LS∪B=V��LS∪B=��∪��=��∪�=�

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
S
2=S∪B=α
1,α
2,α
3,…,α
m,β
1,β
2,β
3,…,β
i−1,β
??????+1…,β
n=S
1−β
i
nowdeletetheβ
ifromS
1
����??????����ℎ�������
���??????�����LS
2=LS
1=V.
���
2??????��.�,�ℎ���
2���������??????�������??????�??????��ℎ���������������
���
2??????��.�.�ℎ������??????����ℎ??????�����������??????������������
??????⊂����ℎ�ℎ���
????????????��.�.
∴��
??????=��=�
�
??????�??????�����ℎ�������������������??????������??????����.

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
??????���:−�
Everybasisisaspanningsetbutconverseneednottrue
IfSisBasisofVthenLS=V
butIfLS=VforS⊂V⇏S
??????���:−2
LetS=α
1,α
2,α
3,…,α
nbeabasissetofafinitedimesionalvectorspaceVF
Thenforeveryα∈Vthereexistsauniquesetofscalars�
�,�
�,�
�,…,�
�∈??????
suchthat
�=�
��
�+�
��
�+�
��
�+⋯+�
��
�
�=�
��
�+�
��
�+�
��
�+⋯+�
��
�
If thereexistsothersetofscalars�
�,�
�,�
�,…,�
�∈??????suchthat
then�
�=�
�,�
�=�
�, �
�=�
�,…, �
�=�
�

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
3.COORDINATES
Definition : Coordinates
LetS=α
1,α
2,α
3,…,α
nbeabasissetofafinitedimesionalvectorspaceVF.
Letβ∈Vbegivenby
�=�
��
�+�
��
�+�
��
�+⋯+�
��
�+⋯+�
��
�
for�
�,�
�,�
�,…,�
�∈??????
thentheset�
�,�
�,�
�,…,�
�arecalledthecoordinates

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
�ℎ���ℎ���ℎ��������1,1,2,1.2.5,5,3,4���
3
��������������??????����
3
�
Example:
Solution:
�??????����������1,1,2,1.2.5,5,3,4���
3
�
����,�,�∈����ℎ�ℎ��
�.1,1,2+�.1.2.5+�.5,3,4= 0=(0,0,0)
�ℎ������??????�??????�������??????�����������������������??????���??????�
�ℎ�������
�+�+5�=0
�+2�+3�=0
2�+5�+4�=0
115
123
254
By reducing the matrix to echelon form
��ℎ��������
���
0��
00�

�
�
�
�
1
�
2
�
3
�
3→�
3−2�
2
115
123
01−2

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
�
2→�
2−�
1
115
01−2
01−2
�
3→�
3−�
2
115
01−2
000
Since there are only 2 non zero rows and 3 unknowns
Hence the given vectors are L.D.
Therefore given vectors don’t form basis

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
??????���:−�
GivensetofvectorsareL.I.if
1.Inthecoefficientmatrix
������������=����������??????�
RankofMatrix=Noofnon−zerorows
2.Inthesystermofequationsallcoefficientsarezeros
�+�+5�=0
�+2�+3�=0
2�+5�+4�=0
⇒�=�=�=0
GivensetofvectorsareL.D.if
1.Inthecoefficientmatrix
������������≠����������??????�
2.Inthesystermofequationsallcoefficientsarezeros
�+�+5�=0
�+2�+3�=0
2�+5�+4�=0
⇒�,�,������������

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
�ℎ���ℎ���ℎ����1,0,0,1,1,0,1,1,1??????�����??????����
3
�.
������??????���ℎ������??????��������ℎ��������3+4??????,6??????,3+7????????????��
3
�
Solution:
Example:
����=1,0,0,1,1,0,1,1,1
����,�,�∈C���ℎ�ℎ��
�.1,0,0+�.1.1.0+�.1,1,1= 0=(0,0,0)
������??????���ℎ�����������������
�ℎ�������
�+�+�=0
0+�+�=0
0+0+�=0
�=0,�=0,�=0
∴�??????��������������.�.
����∈�
3
�=�,�,��ℎ����,�,�∈�
����,�,�=�.1,0,0+�.1.1.0+�.1,1,1 ����,�,�∈�
=�,0,0+�,�,0+(�,�,�)
=�+�+�,�+�,�

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
⇒�=�+�+�
�=�+�
�=�
⇒�=�
�=�−�
�=�−�
∴�=�,�,�=�.1,0,0+�.1.1.0+�.1,1,1
�=(�−�).1,0,0+(�−�).1.1.0+�.1,1,1
=�??????��������??????���??????���������������
∈�(�)
∴�
3
�⊆��−−−(1)
���⊂�
3
⇒��⊂�
3
−−−2
����1&2
�
3
�=��&�??????��.�.
∴�??????��ℎ����??????����
3
�
���??????��,�,�=3+4??????,6??????,3+7??????
�ℎ���=3−2??????,�=−3−??????&�=3+7??????
�ℎ??????�ℎ����ℎ������??????��������ℎ��??????���������.

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
Theorem 3:-
���������??????�??????���??????����??????���������������.
�ℎ����������������ℎ����ℎ���������������������
Proof :-����
�����
����ℎ�������??????������ℎ���
�
�=α
1,α
2,α
3,…,α
m
�
�=β
1,β
2,β
3,…,β
n
���??????��������ℎ�
�����
�����.�.����������
�����??????�������??????���ℎ���������������ℎ��
��.����������??????��.����≤��.����������??????����??????�
??????����??????����
������??????�����
�??????��.�������
⇒��
�=������
�=�
⇒��
�=�
⇒��
�=�
∴�����??????�������??????���ℎ������
����������������������??????����
⇒�≤�−−−1
????????????����??????����
������??????�����
�??????��.�������
⇒��
�=������
�=�
∴�����??????�������??????���ℎ������
����������������������??????����
⇒�≤�−−−2
����1&2�=�
�ℎ����������������ℎ����ℎ���������������������

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
4.DIMENSIONOFAVECTORSPACE
Definition : DIMENSIONOFAVECTORSPACE
LetVFbethefinitedimensionalvectorspace.TheNumberofelements
inanybasisofViscalledthedimensionofVanddenotedbydimV
����=α
1,α
2,α
3,…,α
10���ℎ����??????����(�)
For Example :-
�??????����??????������=dim�=��=��.����������??????����??????��=10
??????���:−�
�ℎ��??????����??????�������������=dim 0=����
���=1,0,0,0,1,0,(0,0,1)���ℎ����??????����
3(�)
�??????����??????�����
3(�)=dim�
3(�)=��=��.����������??????����??????��=3

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
Theorem 4:-
�����������+1�������������??????�����??????����??????���������������??????�
�??????���������������
Proof :-
����������??????����??????���������������??????.�.,dim�(�)=�
����=α
1,α
2,α
3,…,α
n+1���ℎ����������������??????�??????��(�+1)�������
���??????��.��ℎ�������??????�������??????���ℎ�����
????????????���������??????���??????��??????������??????����������������??????���??????
�����ℎ����??????�??????�??????�����??????����??????�����������������ℎ����ℎ��
�ℎ�����������������??????�������??????����??????��������ℎ��??????����??????�����
��������ℎ�������������??????��ℎ��������ℎ������������+1�������
������??????��������ℎ�����������.
�ℎ������������������.�.
������??????��.�.
??????.�.,�����������+1�������������??????�����??????����??????���������������??????�
�??????���������������

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
Theorem 5:-
���������??????�??????���??????����??????������������������??????����??????���.
�ℎ������������??????������??????�����������������??????�����������??????����
Proof :-
����������??????����??????���������������??????.�.,dim�(�)=�
����=α
1,α
2,α
3,…,α
n���.�������������=�
���??????��������??????�
�ℎ�������??????�������??????���ℎ�����
????????????���������??????���??????��??????������??????����������������??????���??????
��������ℎ������??????��ℎ��������ℎ����������
������??????��������ℎ�����������.
�ℎ����������Suppositioniswrong
��������������??????�

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
Theorem 6:-
���������??????�??????���??????����??????������������������??????����??????���.
��������������������������ℎ�ℎ����=�.�ℎ���??????��ℎ����??????����(�)
Proof :-
����������??????����??????���������������??????.�.,dim�(�)=�
����=α
1,α
2,α
3,…,α
n�������������������������=�
���??????��.�.����������=�??????��??????���,�ℎ���ℎ���������������??????����(�)
���??????��.�.����ℎ���ℎ�����??????�����������������������??????������??????����(�)
�����ℎ�������������??????���������??????�??????�������ℎ����������
����������??????�������������??????����������������
��,�ℎ��������������.�.
������??????�����??????����

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
5.DIMENSIONOFASUBSPACE
Definition : DIMENSIONOFASUBSPACE
LetVFbethefinitedimensionalvectorspaceandWFbethesubspaceofVF
TheNumberofelementsinanybasisofWFiscalledthedimensionofW
anddenotedbydimW
����=α
1,α
2,α
3,…,α
7���ℎ����??????����(�)
For Example :-
�??????����??????������=dim�=��=��.����������??????����??????��=7
���=1,0,0,0,1,0,(0,0,1)���ℎ����??????����
3(�)
=dim�
3(�)=��=��.����������??????����??????��=3

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
Theorem 7:-
���������??????�??????���??????����??????������������������??????����??????����������ℎ�
�����������.�ℎ���??????���??????�??????��??????����??????����������������??????�ℎdim�≤�.
Proof :-
����������??????����??????���������������??????.�.,dim�(�)=�
���ℎ�+1������������������������
�??????����??????�����������������ℎ������+1�������??????��??????�����������
���ℎ�����.�.
�ℎ������.�.������������??????����������??????����ℎ�������������.
����=α
1,α
2,α
3,…,α
����ℎ���������.�.���������,�ℎ����≤�.
������ℎ���������ℎ���??????��ℎ����??????����.
�������∈�����??????���
�
1=α
1,α
2,α
3,…,α
�,�
�??????����??????��ℎ���������������.�������,�
1??????��.�.
�ℎ��������ℎ�����??????����
�,�
�,�
�,…,�
�,�∈??????,notallZerossuchthat
�
��
�+�
��
�+�
��
�+⋯+�
��
�+�??????=�

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
����=0,�ℎ����ℎ���
�
��
�+�
��
�+�
��
�+⋯+�
��
�+�.??????=�
�
��
�+�
��
�+�
��
�+⋯+�
��
�=�
⇒�
�=�,�
�=�,�
�=�,…,�
�=���????????????�??????.??????.
�ℎ??????��������ℎ���
1??????��.�.�ℎ??????�ℎ??????���������??????��??????��.
�ℎ��������≠0,�ℎ���ℎ�����??????����
−1
∈����ℎ�ℎ����
−1
=1
�
��
�+�
��
�+�
��
�+⋯+�
��
�+�.??????=�
⇒�.??????=−�
��
�+�
��
�+�
��
�+⋯+�
��
�
⇒??????=−�
−�
�
��
�+�
��
�+�
��
�+⋯+�
��
�
⇒??????=(−�
−�
�
�)�
�+(−�
−�
�
�)�
�+(−�
−�
�
�)�
�+⋯+(−�
−�
�
�)�
�
⇒??????=????????????�������??????���??????��������������??????
⇒??????∈??????(??????)⇒????????????=�
���??????��.�.���.������??????��ℎ����??????����
∴�??????���??????�??????���??????����??????����������������??????�ℎdim�≤�

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
Theorem 8:-
����
1����
2������������������??????�??????���??????����??????�����������������.
�ℎ��dim�
1+�
2=dim�
1+dim�
2−dim(�
1∩�
2)
Proof :-
����
1����
2������������������??????�??????���??????����??????�����������������.
�??????����
1����
2���������������,
�
1+�
2����
1∩�
2���������������
���dim(�
1∩�
2)=����
�=�
1,�
2,�
3,…,�
??????���ℎ����??????����
1∩�
2
��������⊆�
1����⊆�
2
�??????����??????��.��������⊆�
1�ℎ�������??????�������??????���ℎ�����
������������������������??????����
1
�
1=�
1,�
2,�
3,…,�
??????,�
1,�
2,…,�
�
�??????����??????��.��������⊆�
2�ℎ�������??????�������??????���ℎ�����
������������������������??????����
2
�
2=�
1,�
2,�
3,…,�
??????,�
1,�
2,…,�
�
⇒dim�
1=�+�
⇒dim�
2=�+�

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
∴dim�
1+dim�
2−dim�
1∩�
2
��dim(�
1∩�
2)=�,dim�
1=�+����dim�
2=�+�
=�+�+�+�−�=�+�+�
������ℎ���������ℎ���ℎ����
�

=�
1,�
2,�
3,…,�
??????,�
1,�
2,…,�
�,�
1,�
2,…,�
�=�
1∪�
2??????�����??????����
1+�
2
���ℎ����dim�
1+�
2=�+m+�
������??????������

��??????.??????.
���
�
1�
2+�
2�
2+⋯+�
??????�
??????+�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�+�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�=0
…...(�)
⇒�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�=−�
1�
2+�
2�
2+⋯+�
??????�
??????+�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�
=�??????��������??????���??????���������������
1
∈�
1
⇒�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�∈�
1 ……………1
⇒0�
2+0�
2+⋯+0�
??????+�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�
=�??????��������??????���??????���������������
2
���??????�
⇒�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�∈�
2 ……………2

�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�∈�
1∩�
2
MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
�ℎ���������1���(2)
���
1∩�
2=��,
�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�����������������
�.�.���ℎ������������ℎ����??????�����
1∩�
2
����
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�=�
1�
2+�
2�
2+⋯+�
??????�
??????
�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�−�
1�
2−�
2�
2−⋯−�
??????�
??????=0
�??????��������??????���??????���������������
2=0
⇒�
1=0,�
2=0,…,�
�=0,�
1=0,�
2=0,…,�
??????=0
�����??????���??????���ℎ���������??????�(�)
�
1�
2+�
2�
2+⋯+�
??????�
??????+�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�=0
�??????��������??????���??????���������������
1=0
�
1=0,�
2=0,…,�
??????=0,�
1=0,�
2=0,…,�
�=0
�ℎ��������ℎ������??????���??????���??????���ℎ��
�
1=0,�
2=0,…,�
??????=0,�
1=0,�
2=0,…,�
�=0,�
1=0,�
2=0,…,�
�=0
∴�

??????��.����.

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
�������??????�??????�

=�
�+�
�
��������������

??????�����������
1+�
2??????.�.,�′⊂�
1+�
2
∴��

⊆�
1+�
2
����∈�
1+�
2.
∴�=�+��ℎ����∈�
1����∈�
2.
�=�.��������������
1+�.�.�������������
2.
=�.����

�����

�+�.�.���

�����

�.
=�.����

�,�

�����

�
=�.�.�������������

∈��

∴�∈�(�

)⇒�
1+�
2⊆��

∴LS

=W
1+W
2
������

??????��ℎ����??????���W
1+W
2
∴dim�
1+�
2=�+�+�
�����dim�
1+�
2=dim�
1+dim�
2−dim(�
1∩�
2)

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
6.QUOTIENTSPACE
6.1COSET
�������������������������������,�ℎ��������
��������∈�,�ℎ����
�+�={�+�/�∈�}
??????��������ℎ��??????�ℎ���������??????��,������������
�������������������������������,�ℎ��������
��������∈�,�ℎ����
�+�={�+�/�∈�}
??????��������ℎ�������������??????��,������������
�??????�??????�����
Note:- ??????��,+??????������??????������������������,+,�ℎ����
��������??????����������
�+�=�+�∀�∈�����∈�
⇒�+�=�+�
������+�??????��??????��������������������??????��,������������

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
COSETPROPERTIES
1.for 0∈V, 0+W=W
∴WisitselfacosetinV,generatedby 0
2.for�∈W, �+W=W
∴Coset�+W=CosetW
4.ifα+Wandβ+WaretwocosetsofWinVthen
�+�=�+�⇔�−�∈�
3.anytwocosetsofWinVareeitheridenticalordisjoint
??????.�.,�??????�ℎ���+�=�+�,���+�∩�+�≠ϕ
6.QUOTIENTSPACE

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
6.2QUOTIENTSET
6.QUOTIENTSPACE
�������������������.�ℎ���ℎ������������������??????�����������
�
�
=�+�,∀�∈�
??????�������������??????������
�������������������.�ℎ���ℎ�����??????������
�
�
??????���??????���������??????��������
??????��ℎ������??????������??????����������������������ℎ������??????����
����ℎ����������??????�??????���+�+�+�=�+�+�∀�,�∈����
����ℎ�����������??????��??????���??????����+�=�+��
����:−������??????���������+0??????��ℎ����??????�??????��??????����??????��??????�
�
�

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
Theorem 9:-
�������������������??????�??????���??????����??????�����������������,�ℎ��
���
�
�
=����−����.
Proof :-
�??????����??????��??????�??????���??????����??????����,�??????������??????�??????���??????����??????����.
����ℎ�����=�
1,�
2,…,�
����ℎ����??????����
∴dim�=�
�??????����ℎ�����??????��.�.���??????������������������������??????����.����ℎ����
�=�
1,�
2,…,�
�,�
1,�
2,…,�
����ℎ����??????����
∴dim�=�+�
∴dim�−dim�=(�+�)−�=�
�����ℎ�����������ℎ���ℎ�����

=�+�
1,�+�
2,…,�+�
�??????��ℎ����??????���
�
�

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
���??????��??????��

��??????.??????.
�ℎ�������������
�
�
??????��.
����
1�+�
1+�
2�+�
2+⋯+�
��+�
�=�
⟹�+�
1�
1+�+�
2�
2+⋯+�+�
��
�=�
⟹�+�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�=�
⟹�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�∈�
���������������??????��.�.�������������.
����
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�=�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�
⟹�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�−�
1�
1−�
2�
2−⋯−�
��
�=0
⟹�.�.�������������.�.����=0
�
1=0,�
2=0,…,�
�=0,�
1=0,�
2=0,…,�
�=0
⟹�ℎ�����

??????��.�.

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS
����??????��??????�??????�

=
�
�
.
���


�
�
⇒�(�′)⊆
�
�
(�)
�??????����??????��ℎ����??????����,����∈������������������.�.�������������
??????.�.,
�=�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�+�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�
=�+�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�
�ℎ����=�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�
�=(�.�.�������������)
⇒�∈�
����∈�,�+�∈
�
�
�+�=�+�+�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�
=�+�
1�
1+�
2�
2+⋯+�
��
�
⇔�=�+�
=�
1(�+�
1)+�
2(�+�
2)+⋯+�
��+�
�
=(�.�.�������������

)

�
�
⊆�(�′)
⇒�+�∈��

(�)
∴��

=
�
�
??????.�.,�

??????��ℎ����??????���
�
�
.
∴dim
�
�
=�=dim�−dim�.

MANIKANTA SATYALA || LINEAR ALGBRA || BASIS AND DIMENSIONS