Losas de cimentacion armados y calculo estructural
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Oct 27, 2014
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About This Presentation
uso y aplicación de losas de cimentación
Slide Content
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
LOSAS DE CIMENTACIÓN
Las losas de cimentación denominadas también plateas son otro tipo de cimentación superficial que si bien eliminan
grandemente la posibilidad de asentamientos diferenciales resultan ser una solución bastante onerosa (cara), por lo que
su uso se recomienda tan sólo cuando los suelos son de muy baja calidad (qa £ 1 Kg/cm
2
) o cuando las cargas son de tal
magnitud que de utilizarse elementos aislados (zapatas) para la cimentación el área que estas cubran sea igual o mayor
al 75% del área total de diseño cabe aclarar que cuando el área de cimentación es igual o menor al 50% del área total,
se recomienda el uso de cimentaciones profundas en las cuales se busca de llegar con elementos auxiliares hasta
profundidades en que el suelo alcance una resistencia adecuada como es el caso de pilotes cuyo estudio escapa a los
alcances del presente curso.
En la figura siguiente se muestran las formas más usuales de losas de cimentación en obra.
Nueva Era 1
PLANTA
Límite de platea
Límite de la planta
Columna
PLATEA DE CIMENTACIÓN
PLATEA DE CIMENTACIÓN PARCIAL
Platea
PLANTA
LOSAS DE CIMENTACIÓN
Las losas de cimentación denominadas también plateas son otro tipo de cimentación superficial que si bien eliminan
grandemente la posibilidad de asentamientos diferenciales resultan ser una solución bastante onerosa (cara), por lo que
su uso se recomienda tan sólo cuando los suelos son de muy baja calidad (qa £ 1 Kg/cm
2
) o cuando las cargas son de tal
magnitud que de utilizarse elementos aislados (zapatas) para la cimentación el área que estas cubran sea igual o mayor
al 75% del área total de diseño cabe aclarar que cuando el área de cimentación es igual o menor al 50% del área total,
se recomienda el uso de cimentaciones profundas en las cuales se busca de llegar con elementos auxiliares hasta
profundidades en que el suelo alcance una resistencia adecuada como es el caso de pilotes cuyo estudio escapa a los
alcances del presente curso.
En la figura siguiente se muestran las formas más usuales de losas de cimentación en obra.
Nueva Era 1
PLANTA
Límite de platea
Límite de la planta
Columna
PLATEA DE CIMENTACIÓN
PLATEA DE CIMENTACIÓN PARCIAL
Platea
PLANTA
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
METODOLOGÍA DE CÁLCULO PARA PLATEAS DE CIMENTACIÓN
Si se desea realizar un análisis refinado debe tomarse en cuenta la posibilidad de deformación del suelo bajo cada
columna, vale decir que habría que considerar la interacción suelo- estructura. Sin embargo el método rígido que a
continuación se detalla resulta n en valores muy cercanos a los reales, cuando las excentricidades no son grandes
(menores al 10 % de la longitud en cada sentido).
En el caso de poder emplearse el método rígido se debe cumplir con los siguientes pasos:
1.Se calculan las cargas verticales para columna debiendo tomarse en cuenta que el peso propio de la platea no
se incluye para el diseño estructural, puesto que la platea es soportada en forma uniforme por el suelo y los
efectos de flexión son mínimos.
2.Se asume un espesor “e” para la losa de cimentación, el mismo que análogamente al caso de zapatas debe ser
chequeado por corte flexión y corte punzonamiento.
3.Se determina las excentricidades ex y ey entre el centro de la figura de la edificación y el centro de rigideces
debido a las cargas sobre cada columna. Esta excentricidad como ya se indicó debe ser menor al 10% de la
longitud en ambos sentidos para que se pueda emplear el método rígido.
4.Ubicada la resultante del sistema y las excentricidades correspondientes se calcula las presiones en deferentes
puntos de la losa con la siguiente ecuación:
1
**
------±±=
Y
Y
X
X
I
XM
I
YM
A
Q
q
La ecuación 1 no es aplicable si se resultan valores negativos
q: Presión de contacto de un punto dado (x,y)
P = Q : Carga vertical sobre la platea (total)
A: Área de la platea
MX y MY : Carga q, multiplicada por la excentricidad paralela a los ejes coordenados x, y respectivamente .
IX , IY: Momento de inercia del área de cimentación con respecto a los ejes coordenados x e y respectivamente.
X, y : Coordenadas de cualquier punto de la planta con respecto a los ejes coordenados x e y que pasan por el
centroide del área de la platea.
5.Conocidos los valores de la presión de contacto en cada punto , debemos determinar primeramente los
momentos y luego el refuerzo de acero para toda la losa, para este efecto el criterio más empleado es dividir el
tablero total de la losa en franjas con anchos iguales al ancho tributario en cada eje y en los dos sentidos , tal
como se muestra en el gráfico siguiente:
6.Finalmente para cada franja calculo el diagrama de cortes y momentos utilizando cualquier método de análisis
estructural, alternativamente para franjas en que las luces contiguas no varíen en mas del 20% y la diferencia
entre cargas no exceda al 30%, se puede utilizar coeficientes del ACI. cuyos valores se muestran a
continuación:
Nueva Era 2
franja Franja (l
2
) franja
franja
franja
Franja (l
1
)
l
1
l
1
l
2
l
2
l
2
/2
l
1
/2
METODOLOGÍA DE CÁLCULO PARA PLATEAS DE CIMENTACIÓN
Si se desea realizar un análisis refinado debe tomarse en cuenta la posibilidad de deformación del suelo bajo cada
columna, vale decir que habría que considerar la interacción suelo- estructura. Sin embargo el método rígido que a
continuación se detalla resulta n en valores muy cercanos a los reales, cuando las excentricidades no son grandes
(menores al 10 % de la longitud en cada sentido).
En el caso de poder emplearse el método rígido se debe cumplir con los siguientes pasos:
1.Se calculan las cargas verticales para columna debiendo tomarse en cuenta que el peso propio de la platea no
se incluye para el diseño estructural, puesto que la platea es soportada en forma uniforme por el suelo y los
efectos de flexión son mínimos.
2.Se asume un espesor “e” para la losa de cimentación, el mismo que análogamente al caso de zapatas debe ser
chequeado por corte flexión y corte punzonamiento.
3.Se determina las excentricidades ex y ey entre el centro de la figura de la edificación y el centro de rigideces
debido a las cargas sobre cada columna. Esta excentricidad como ya se indicó debe ser menor al 10% de la
longitud en ambos sentidos para que se pueda emplear el método rígido.
4.Ubicada la resultante del sistema y las excentricidades correspondientes se calcula las presiones en deferentes
puntos de la losa con la siguiente ecuación:
1
**
------±±=
Y
Y
X
X
I
XM
I
YM
A
Q
q
La ecuación 1 no es aplicable si se resultan valores negativos
q: Presión de contacto de un punto dado (x,y)
P = Q : Carga vertical sobre la platea (total)
A: Área de la platea
MX y MY : Carga q, multiplicada por la excentricidad paralela a los ejes coordenados x, y respectivamente .
IX , IY: Momento de inercia del área de cimentación con respecto a los ejes coordenados x e y respectivamente.
X, y : Coordenadas de cualquier punto de la planta con respecto a los ejes coordenados x e y que pasan por el
centroide del área de la platea.
5.Conocidos los valores de la presión de contacto en cada punto , debemos determinar primeramente los
momentos y luego el refuerzo de acero para toda la losa, para este efecto el criterio más empleado es dividir el
tablero total de la losa en franjas con anchos iguales al ancho tributario en cada eje y en los dos sentidos , tal
como se muestra en el gráfico siguiente:
6.Finalmente para cada franja calculo el diagrama de cortes y momentos utilizando cualquier método de análisis
estructural, alternativamente para franjas en que las luces contiguas no varíen en mas del 20% y la diferencia
entre cargas no exceda al 30%, se puede utilizar coeficientes del ACI. cuyos valores se muestran a
continuación:
Nueva Era 2
franja Franja (l
2
) franja
franja
franja
Franja (l
1
)
l
1
l
1
l
2
l
2
l
2
/2
l
1
/2
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
COEFICIENTES:
Para la fuerza cortante:
2
*
0.1
2
Lq
Para momentos flectores:
- 2 Tramos:
- 3 o más tramos:
L = Distancia entre ejes de columnas (m)
q’= Presión promedio por franja y por metro de ancho (t/m)
7.Con el corte máximo hallado se verifica si el peralte asumido cumple por corte – flexión y corte –
punzonamiento y con los momentos máximos se calcula el acero positivo y negativo para la franja en estudio
por los métodos ya conocidos.
PROBLEMA:
Diseñar la losa sólida de cimentación para recibir las cargas que se muestran en la figura:
f’c = 210 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
Columnas = 40*40 cm²
2
/8.0 cmkg
T=s
Centro de la figura: C = (6.5,7.5)
Cálculo de rigidez
å
=0
AM
mx
x
xR
42.6
)(800)13(220)5.6(360
)(13)4512055()5.6)(10040110(
=
=+
=+++++
cme
x 842.650.6 =-=
å
=0
1
M
cmy
y
6.7
)(80015)5510060()75)(120140120(
=
=+++++
cme
y
105.76.7 =-=
1.Calculadas las excentricidades debe verificarse que estas sean menores al 10% para poder utilizar el método
convencional rígido.
%67.0
15
10
%62.0
13
8
=
=
cm
cm
cm
cm
2.Cálculo de la ecuación de la presión efectiva.
y
y
x
x
I
xM
I
yM
A
P
q
)()(
±±=
Nueva Era 3
COEFICIENTES:
Para la fuerza cortante:
2
*
0.1
2
Lq
Para momentos flectores:
- 2 Tramos:
- 3 o más tramos:
L = Distancia entre ejes de columnas (m)
q’= Presión promedio por franja y por metro de ancho (t/m)
7.Con el corte máximo hallado se verifica si el peralte asumido cumple por corte – flexión y corte –
punzonamiento y con los momentos máximos se calcula el acero positivo y negativo para la franja en estudio
por los métodos ya conocidos.
PROBLEMA:
Diseñar la losa sólida de cimentación para recibir las cargas que se muestran en la figura:
f’c = 210 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
Columnas = 40*40 cm²
2
/8.0 cmkg
T=s
Centro de la figura: C = (6.5,7.5)
Cálculo de rigidez
å
=0
AM
mx
x
xR
42.6
)(800)13(220)5.6(360
)(13)4512055()5.6)(10040110(
=
=+
=+++++
cme
x 842.650.6 =-=
å
=0
1
M
cmy
y
6.7
)(80015)5510060()75)(120140120(
=
=+++++
cme
y
105.76.7 =-=
1.Calculadas las excentricidades debe verificarse que estas sean menores al 10% para poder utilizar el método
convencional rígido.
%67.0
15
10
%62.0
13
8
=
=
cm
cm
cm
cm
2.Cálculo de la ecuación de la presión efectiva.
y
y
x
x
I
xM
I
yM
A
P
q
)()(
±±=
Nueva Era 3
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
4
3
4
3
2
25.2746
12
)13(15
25.3656
12
)15(13
64)08.0(800
80)10.0(800)(800
19513*.15
800
mI
mI
mtnM
mtneM
mA
tnP
y
x
y
yx
==
==
-==
-===
==
=
xyq 023.0021.010.4 ±±=
3.Conocida la ecuación de presiones buscaremos determinar el valor de la presión en los mas críticos de la losa
para determinar así el valor mas critico y también la franja o franjas mas criticas.
En le cuadro siguiente se muestra los valores hallados para diferentes de la losa de cimentación:
PUNTO P/A Y X 0.021Y 0.023X Q(tn/m²)
A-1
A-3
B-3
C-3
C-1
B-1
B-2
A-2
4.10
4.10
4.10
4.10
4.10
4.10
4.10
4.10
-7.50
7.50
7.50
7.50
-7.50
-7.50
0
0
6.50
6.50
0
-6.50
-6.50
0
0
6.50
-0.1575
0.1575
0.1575
0.1575
-0.1575
-0.1575
0
0
0.1495
0.1495
0
-0.1495
-0.1495
0
0
0.1495
4.092
4.407
4.2575
4.108
3.743
3.9425
4.10
4.2495
El eje mas critico será uno que contenga el 3, tomaremos el 1-2-3 por tener luces mayores.
4.Cálculo de los diagramas de cortes y momentos
Como se conocen las presiones en todos los puntos reincidencia de cargas en la losa puedo determinar la
presión promedio para todos los ejes y calcular los momentos para cada franja. En el presente ejemplo
analizaremos solo la franja correspondiente al eje A por ser la mas critica y el mismo proceso será repetitivo
para las siguientes franjas.
En los siguientes gráficos se muestran los diagramas de corte y momentos para el eje en mención, debiendo
destacarse que no se usa un valor promedio de la presión (q’) el diagrama de cortes y momentos difícilmente
cortará en cero.
2
/25.4
3
)2495.4407.4092.4(
' mtnq =
++
=
mtnq /8.14)45.3(25.4' ==
dV
V
u 8.1469
69
max
-=
=
Con el corte critico verificaremos si el peralte asumido para la losa que en este caso es t =50cm cumple o no
con el corte flexión y corte punzonamiento como se muestra a continuación:
CORTE – FLEXION
Para t = 50cm→ d = 40 cm
tnV
u
08.63)40.0(8.1469 =-=
dbcfV
c **'53.0*f=
uc
c
VV
tnV
>
== 9.9040*345*21053.0*85.0
Nueva Era 4
4
3
4
3
2
25.2746
12
)13(15
25.3656
12
)15(13
64)08.0(800
80)10.0(800)(800
19513*.15
800
mI
mI
mtnM
mtneM
mA
tnP
y
x
y
yx
==
==
-==
-===
==
=
xyq 023.0021.010.4 ±±=
3.Conocida la ecuación de presiones buscaremos determinar el valor de la presión en los mas críticos de la losa
para determinar así el valor mas critico y también la franja o franjas mas criticas.
En le cuadro siguiente se muestra los valores hallados para diferentes de la losa de cimentación:
PUNTO P/A Y X 0.021Y 0.023X Q(tn/m²)
A-1
A-3
B-3
C-3
C-1
B-1
B-2
A-2
4.10
4.10
4.10
4.10
4.10
4.10
4.10
4.10
-7.50
7.50
7.50
7.50
-7.50
-7.50
0
0
6.50
6.50
0
-6.50
-6.50
0
0
6.50
-0.1575
0.1575
0.1575
0.1575
-0.1575
-0.1575
0
0
0.1495
0.1495
0
-0.1495
-0.1495
0
0
0.1495
4.092
4.407
4.2575
4.108
3.743
3.9425
4.10
4.2495
El eje mas critico será uno que contenga el 3, tomaremos el 1-2-3 por tener luces mayores.
4.Cálculo de los diagramas de cortes y momentos
Como se conocen las presiones en todos los puntos reincidencia de cargas en la losa puedo determinar la
presión promedio para todos los ejes y calcular los momentos para cada franja. En el presente ejemplo
analizaremos solo la franja correspondiente al eje A por ser la mas critica y el mismo proceso será repetitivo
para las siguientes franjas.
En los siguientes gráficos se muestran los diagramas de corte y momentos para el eje en mención, debiendo
destacarse que no se usa un valor promedio de la presión (q’) el diagrama de cortes y momentos difícilmente
cortará en cero.
2
/25.4
3
)2495.4407.4092.4(
' mtnq =
++
=
mtnq /8.14)45.3(25.4' ==
dV
V
u 8.1469
69
max
-=
=
Con el corte critico verificaremos si el peralte asumido para la losa que en este caso es t =50cm cumple o no
con el corte flexión y corte punzonamiento como se muestra a continuación:
CORTE – FLEXION
Para t = 50cm→ d = 40 cm
tnV
u
08.63)40.0(8.1469 =-=
dbcfV
c **'53.0*f=
uc
c
VV
tnV
>
== 9.9040*345*21053.0*85.0
Nueva Era 4
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
CORTE PUNZONAMIENTO
tnV
u140= Carga columna central
dbcfV
c
**'53.0*f= Fuerza cortante permisible por punzonamiento.
cmdperimetrob 60.14
0
+==
cmd
dd
VV
uc
9.55
)60.14(21053.0*140000
=
+=
=
f
Espesor:
t = d+ recubrimiento+d/2
t = 65 cm
Finalmente para cumplir con ambas condiciones utilizamos un peralte para la losa de 65 cm.
5.Cálculo de áreas de acero
El acero se calcula solo para la franja en estudio aunque el proceso es repetitivo para cualquier otra franja.
Como la estructura es simétrica en luces y cargas para los momentos se utilizan los coeficientes del ACI.
q’ = 14.8 tn/m²
L = 7.50 m.
Cálculo de acero negativo
Asumiendo a = 5
2
5
44.52
2
5
55)4200(9.0
10*06.104
cmA
s =
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
MALcma ®== 5.3
)345)(210(85.0
)4200(44.52
a = 3.5
As = 51.70 cm²
a = 3.5 O.K!
f 5/8"→ @ = 53.13345*
70.51
2
= → 5/8” @ 10 cm
f 3/4"→ @ = 02.19345*
70.51
85.2
= → 3/4” @ 15 cm
Acero Positivo
Asumiendo a = 2.8
2
5
09.41
2
8.2
55)4200(9.0
10*25.83
cmA
s =
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
!.8.2
)345)(210(85.0
)4200(09.41
kocma ®==
→ 5/8” @ 15 cm
CAPITULO JHGKJ
DISEÑO DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS
Nueva Era 5
CORTE PUNZONAMIENTO
tnV
u140= Carga columna central
dbcfV
c
**'53.0*f= Fuerza cortante permisible por punzonamiento.
cmdperimetrob 60.14
0
+==
cmd
dd
VV
uc
9.55
)60.14(21053.0*140000
=
+=
=
f
Espesor:
t = d+ recubrimiento+d/2
t = 65 cm
Finalmente para cumplir con ambas condiciones utilizamos un peralte para la losa de 65 cm.
5.Cálculo de áreas de acero
El acero se calcula solo para la franja en estudio aunque el proceso es repetitivo para cualquier otra franja.
Como la estructura es simétrica en luces y cargas para los momentos se utilizan los coeficientes del ACI.
q’ = 14.8 tn/m²
L = 7.50 m.
Cálculo de acero negativo
Asumiendo a = 5
2
5
44.52
2
5
55)4200(9.0
10*06.104
cmA
s =
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
MALcma ®== 5.3
)345)(210(85.0
)4200(44.52
a = 3.5
As = 51.70 cm²
a = 3.5 O.K!
f 5/8"→ @ = 53.13345*
70.51
2
= → 5/8” @ 10 cm
f 3/4"→ @ = 02.19345*
70.51
85.2
= → 3/4” @ 15 cm
Acero Positivo
Asumiendo a = 2.8
2
5
09.41
2
8.2
55)4200(9.0
10*25.83
cmA
s =
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
!.8.2
)345)(210(85.0
)4200(09.41
kocma ®==
→ 5/8” @ 15 cm
CAPITULO JHGKJ
DISEÑO DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS
Nueva Era 5
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
INTRODUCCIÓN.-
El presente análisis y diseño de losas armadas en dos sentidos incluye un método único para resolver tanto losas sólidas
apoyadas sobre vigas perimetrales como también el caso de losas planas o flat-slabs en que las losas armadas en dos
sentidos van apoyadas directamente sobre columnas generalmente a través de ábacos o capiteles en las mismas.
Hasta la década de los años 70 se analizaba separadamente estos dos casos, pero desde la actual norma peruanas E-60 y
en los reglamentos americanos desde el ACI 83 se consideran ambos casos como variantes de un método único en el
que las losas apoyadas sobre vigas perimetrales dependiendo de la sección de estas últimas se considera como que la
losa esta apoyada sobre elementos de poca rigidez (vigas chatas), o sobre elementos de gran rigidez (vigas peraltadas) y
en el caso específico de losas planas se asume que la losa esta apoyada sobre una viga de rigidez cero. Esta teoría de un
método único para resolver tanto losas sólidas apoyadas sobre vigas perimetrales, como losas perimetrales, como losa
planas parte del concepto del Momento Isostático Total (Mo) y para su aplicación hay una serie de variantes como son
el método de los coeficientes, el método directo y el método de la estructura equivalente cuyo desarrollo analizaremos
posteriormente.
Finalmente debe destacarse que si bien analizaremos el caso de las losas planas, este tipo de estructura es preferible
evitar en obra, puesto que al no haber un elemento que distribuya la carga como son las vigas toda la carga se concentra
en las columnas de apoyo, produciéndose por tanto momentos y cortes demasiado grandes, que resulta crítico para la
estructura especialmente en el caso de sismos.
COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS.-
Experimentos realizados en la universidad de Illinois o EEUU, con modelos realizados a escala para losas armadas en
dos sentidos apoyadas perimetralmente sobre vigas en sus 4 bordes y con luces entre columnas de 1.5 m. a las que se
sometió mediante ensayos a cargas similares a las reales y en las que se estudiaron los mecanismos den falla por flexión
cortante y torsión para el caso de las vigas de borde, así como un chequeo de deflexiones y agrietamientos para
diferentes niveles de carga en las losas, demostrar que el concepto de Momento Isostático Total (Mo), funciona
adecuadamente para un eje cualquiera, tal como se muestra en el gráfico siguiente:
Nueva Era 6
1
2
3
4
150
150
150
PLANTA
A
B
D C
5
150 150 150
5
variablesección
Dimensiones en cm
l
2
l
1
l
1
l
1
l
2
l
2
l
2
4
B’B CA’A
1
1’
2
3
D
INTRODUCCIÓN.-
El presente análisis y diseño de losas armadas en dos sentidos incluye un método único para resolver tanto losas sólidas
apoyadas sobre vigas perimetrales como también el caso de losas planas o flat-slabs en que las losas armadas en dos
sentidos van apoyadas directamente sobre columnas generalmente a través de ábacos o capiteles en las mismas.
Hasta la década de los años 70 se analizaba separadamente estos dos casos, pero desde la actual norma peruanas E-60 y
en los reglamentos americanos desde el ACI 83 se consideran ambos casos como variantes de un método único en el
que las losas apoyadas sobre vigas perimetrales dependiendo de la sección de estas últimas se considera como que la
losa esta apoyada sobre elementos de poca rigidez (vigas chatas), o sobre elementos de gran rigidez (vigas peraltadas) y
en el caso específico de losas planas se asume que la losa esta apoyada sobre una viga de rigidez cero. Esta teoría de un
método único para resolver tanto losas sólidas apoyadas sobre vigas perimetrales, como losas perimetrales, como losa
planas parte del concepto del Momento Isostático Total (Mo) y para su aplicación hay una serie de variantes como son
el método de los coeficientes, el método directo y el método de la estructura equivalente cuyo desarrollo analizaremos
posteriormente.
Finalmente debe destacarse que si bien analizaremos el caso de las losas planas, este tipo de estructura es preferible
evitar en obra, puesto que al no haber un elemento que distribuya la carga como son las vigas toda la carga se concentra
en las columnas de apoyo, produciéndose por tanto momentos y cortes demasiado grandes, que resulta crítico para la
estructura especialmente en el caso de sismos.
COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS.-
Experimentos realizados en la universidad de Illinois o EEUU, con modelos realizados a escala para losas armadas en
dos sentidos apoyadas perimetralmente sobre vigas en sus 4 bordes y con luces entre columnas de 1.5 m. a las que se
sometió mediante ensayos a cargas similares a las reales y en las que se estudiaron los mecanismos den falla por flexión
cortante y torsión para el caso de las vigas de borde, así como un chequeo de deflexiones y agrietamientos para
diferentes niveles de carga en las losas, demostrar que el concepto de Momento Isostático Total (Mo), funciona
adecuadamente para un eje cualquiera, tal como se muestra en el gráfico siguiente:
Nueva Era 6
1
2
3
4
150
150
150
PLANTA
A
B
D C
5
150 150 150
5
variablesección
Dimensiones en cm
l
2
l
1
l
1
l
1
l
2
l
2
l
2
4
B’B CA’A
1
1’
2
3
D
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Mo = Momento estático Total = momento positivo en el centro del claro mas el promedio de los momentos negativos en
los extremos
Wl2 = Carga por unidad de longitud
l1 = longitud del claro considerado
Por ejemplo en el claro 2-3
Una vez que se reparte el Momento Isostático Total (Mo) a lo largo del eje como se ve en el ejemplo anterior, en el que
se repartió el Momento Total en momentos negativos en los extremos y momento positivo al centro, el siguiente paso
consistirá en distribuir estos momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio , dividiéndose como
veremos más adelante hasta en tres sectores:
Sector de la viga es sí (que es la más rígida)
Sector de la losa cercana a la viga (franja columna)
Sector de la losa alejada de la viga (franja central)
Los diferentes métodos que analizaremos más adelante nos indicarán como hallar el porcentaje de momento para cada
sector, primero a lo largo del eje y luego a lo ancho de la misma franja.
VARIABLES QUE INTERVIENEN PARA LA REPARTICIÓN DE MOMENTO ISOSTATICO TOTAL
Entre los principales tenemos lo siguientes:
Nueva Era 7
8
)(
2
12lWl
Mo=
pos
negneg
M
MM
Mo +
+
=
2
32
1 2 3
4
Diagrama de Momentos en la Franja de la Losa
Mo = Momento estático Total = momento positivo en el centro del claro mas el promedio de los momentos negativos en
los extremos
Wl2 = Carga por unidad de longitud
l1 = longitud del claro considerado
Por ejemplo en el claro 2-3
Una vez que se reparte el Momento Isostático Total (Mo) a lo largo del eje como se ve en el ejemplo anterior, en el que
se repartió el Momento Total en momentos negativos en los extremos y momento positivo al centro, el siguiente paso
consistirá en distribuir estos momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio , dividiéndose como
veremos más adelante hasta en tres sectores:
Sector de la viga es sí (que es la más rígida)
Sector de la losa cercana a la viga (franja columna)
Sector de la losa alejada de la viga (franja central)
Los diferentes métodos que analizaremos más adelante nos indicarán como hallar el porcentaje de momento para cada
sector, primero a lo largo del eje y luego a lo ancho de la misma franja.
VARIABLES QUE INTERVIENEN PARA LA REPARTICIÓN DE MOMENTO ISOSTATICO TOTAL
Entre los principales tenemos lo siguientes:
Nueva Era 7
8
)(
2
12lWl
Mo=
pos
negneg
M
MM
Mo +
+
=
2
32
1 2 3
4
Diagrama de Momentos en la Franja de la Losa
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
1.Rigidez De La Columna Soportante.
Si las columnas soportantes son bastante rígidas en comparación con las rigideces de las vigas y losa que forman en
sistema entrepiso, entonces la restricción que se proporciona en los apoyos es más grande y como tal los momentos
flexionantes en estos extremos son relativamente grandes , en el caso en que la rigidez de las columnas sea pequeña con
respecto a la rigidez de las vigas y losa de piso, la restricción en los apoyos es menor y como tal los momentos en los
extremos son menores . En el caso extremo de que las columnas tuvieran una rigidez muy pequeña comparada con los
otros elementos del sistema de piso , prácticamente todo el momento sería absorbido por la losa creándose una
condición de diseño crítica. Recuérdese que por el concepto de Momento Isostático Total (Mo) , lo que se pierda en
momento negativo en los apoyos se gana en momento positivo al centro del tramo, de allí que para un diseño adecuado
es conveniente que los momentos positivos y negativos sean similares para una distribución adecuada del refuerzo, bajo
esta consideración el comportamiento con columnas rígidas, resulta mejor que el comportamiento con columnas
flexibles, tal como se muestra en el gráfico siguiente:
1 2 3 4
C3
C1
Columnas Rígidas
C4
C2
Columnas Flexibles
C1 > C2 , C4 > C3
C5
Columnas sin Rigidez
C5 > C4 > C3
2.Rigidez A La Flexión De La Viga.
Otro elemento importante para la distribución del Momento Isostático Total (Mo) es la rigidez a la flexión de la viga del
sistema de piso.
Esta variable influye para la distribución a lo ancho de la franja, produciéndose que si la viga es bastante rígida (vigas
peraltadas) casi todo el momento es absorbido por dicha viga y el momento que absorba la losa será bastante pequeño
en cambio si la viga es poca rígida (vigas chatas) gran parte del momento tendrá que ser absorbido por la losa,
llegándose al caso extremo de que cuando no hay vigas de apoyo todo el momento es soportado por la losa llegándose a
una condición crítica de diseño.
3.Efecto Torsionante De Las Vigas
Nueva Era 8
1.Rigidez De La Columna Soportante.
Si las columnas soportantes son bastante rígidas en comparación con las rigideces de las vigas y losa que forman en
sistema entrepiso, entonces la restricción que se proporciona en los apoyos es más grande y como tal los momentos
flexionantes en estos extremos son relativamente grandes , en el caso en que la rigidez de las columnas sea pequeña con
respecto a la rigidez de las vigas y losa de piso, la restricción en los apoyos es menor y como tal los momentos en los
extremos son menores . En el caso extremo de que las columnas tuvieran una rigidez muy pequeña comparada con los
otros elementos del sistema de piso , prácticamente todo el momento sería absorbido por la losa creándose una
condición de diseño crítica. Recuérdese que por el concepto de Momento Isostático Total (Mo) , lo que se pierda en
momento negativo en los apoyos se gana en momento positivo al centro del tramo, de allí que para un diseño adecuado
es conveniente que los momentos positivos y negativos sean similares para una distribución adecuada del refuerzo, bajo
esta consideración el comportamiento con columnas rígidas, resulta mejor que el comportamiento con columnas
flexibles, tal como se muestra en el gráfico siguiente:
1 2 3 4
C3
C1
Columnas Rígidas
C4
C2
Columnas Flexibles
C1 > C2 , C4 > C3
C5
Columnas sin Rigidez
C5 > C4 > C3
2.Rigidez A La Flexión De La Viga.
Otro elemento importante para la distribución del Momento Isostático Total (Mo) es la rigidez a la flexión de la viga del
sistema de piso.
Esta variable influye para la distribución a lo ancho de la franja, produciéndose que si la viga es bastante rígida (vigas
peraltadas) casi todo el momento es absorbido por dicha viga y el momento que absorba la losa será bastante pequeño
en cambio si la viga es poca rígida (vigas chatas) gran parte del momento tendrá que ser absorbido por la losa,
llegándose al caso extremo de que cuando no hay vigas de apoyo todo el momento es soportado por la losa llegándose a
una condición crítica de diseño.
3.Efecto Torsionante De Las Vigas
Nueva Era 8
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Considerando que las losas armadas en los dos sentidos son generalmente de luces considerables , la rigidez torsionante
de las vigas produce un empotramiento parcial de las losas, esta condición resulta crítica especialmente para las vigas de
borde en que puede suceder que la capacidad torsionante de la viga no soporte el peso y las solicitaciones que le
transmite la losa. Para que un sistema de piso exista el efecto de rigidez torsionante de las vigas, es necesario que estas
sean monolíticas con la losa y con las columnas de apoyo.
4.Efecto De Las Cargas
La carga que actúa sobre el sistema de piso es variable pues si bien la carga permanente es constante sobre toda la
estructura, la sobrecarga es variable, pues se da el caso en que por ejemplo en estructuras como bodegas, almacenes ,
locales industriales , etc, hay paños que reciben una carga considerable , mientras hay paños totalmente descargados lo
que conlleva a que tengamos que analizar un juego de posiciones de sobrecarga para hallar los valores críticos de
diseño. Considerando entonces que es la carga viva la que mayor problemática crea en el diseño de losas, el diseño será
más crítico cuanto mayor sea la carga muerta y es por eso que todos los métodos se consideran un factor de corrección
cuanto mayor sea la sobrecarga respecto a la carga permanente.
A parte de estos factores que son los más importantes existen una serie de variables que influyen para el análisis más
adecuado de una losa sólida armada en dos sentidos, entre las principales variables que también influyen en el diseño
esta la calidad de los materiales , índice de refuerzo, módulo de elasticidad del concreto, forma de vaciado y vibrado de
la losa, etc.
Todos estos factores hacen que el diseño de una losa armada en dos sentidos sea bastante complejo y que no pueda
analizarse la losa como un sistema aislado, sino que hay que considerar la interacción entre columnas de apoyo, vigas y
losa.
METODOS DE SOLUCIÓN
Entre los principales métodos de solución tenemos los siguientes:
·Método de los coeficientes
·Método directo
·Método de la estructura equivalente
De estos 3 métodos, en el presente curso se analizará los dos últimos, no considerándose el método de los coeficientes
pues da resultados muy conservadores que nos sirven tan solo para un diseño preliminar, además de que su aplicación
consiste tan solo en utilizar coeficientes que da la norma y que se encuentran en cualquier texto.
En cuanto a los métodos de la Estructura Equivalente y el Directo que dan resultados menos conservadores, sólo
desarrollaremos el segundo de éstos, que será analizado en detalle en los acápites siguientes:
METODO DIRECTO .-
El método Directo, como su nombre lo indica, es más simple y se basa fundamentalmente en que bajo ciertas hipótesis
de diseño se trata de cuantificar todas las variables indicadas en el acápite anterior, y en base a tablas se reparte el
Momento Isostático Total (Mo) primero en momentos positivos y negativos a lo largo del eje en estudio y luego se
determina los diferentes momentos en el ancho de la franja tributaria , este método si bien mas sencillo, tiene las
siguientes limitaciones:
1.- Debe existir por lo menos tres claros continuos en cada dirección.
2.- Los tableros deben ser de tipo rectangular con una relación lado mayor a lado menor, no mayor que 2.
3.- Entre tramos sucesivos no debe haber una diferencia de luces mayor al 30% con respecto a la mayor luz.
4.- Las columnas deben estar alineadas sobre el mismo eje, aceptándose una excentricidad máxima del 10% de la luz
del tramo adyacente y en el sentido que se realiza el análisis.
5.- La estructura debe estar sujeta únicamente a carga vertical uniformemente distribuida y la carga viva no debe
exceder de 3 veces la carga muerta.
6.- Cuando exista vigas en los cuatro bordes de un tablero la relación de rigideces entre las dos direcciones
perpendiculares de una estructura debe cumplir la siguiente relación:
Nueva Era 9
Considerando que las losas armadas en los dos sentidos son generalmente de luces considerables , la rigidez torsionante
de las vigas produce un empotramiento parcial de las losas, esta condición resulta crítica especialmente para las vigas de
borde en que puede suceder que la capacidad torsionante de la viga no soporte el peso y las solicitaciones que le
transmite la losa. Para que un sistema de piso exista el efecto de rigidez torsionante de las vigas, es necesario que estas
sean monolíticas con la losa y con las columnas de apoyo.
4.Efecto De Las Cargas
La carga que actúa sobre el sistema de piso es variable pues si bien la carga permanente es constante sobre toda la
estructura, la sobrecarga es variable, pues se da el caso en que por ejemplo en estructuras como bodegas, almacenes ,
locales industriales , etc, hay paños que reciben una carga considerable , mientras hay paños totalmente descargados lo
que conlleva a que tengamos que analizar un juego de posiciones de sobrecarga para hallar los valores críticos de
diseño. Considerando entonces que es la carga viva la que mayor problemática crea en el diseño de losas, el diseño será
más crítico cuanto mayor sea la carga muerta y es por eso que todos los métodos se consideran un factor de corrección
cuanto mayor sea la sobrecarga respecto a la carga permanente.
A parte de estos factores que son los más importantes existen una serie de variables que influyen para el análisis más
adecuado de una losa sólida armada en dos sentidos, entre las principales variables que también influyen en el diseño
esta la calidad de los materiales , índice de refuerzo, módulo de elasticidad del concreto, forma de vaciado y vibrado de
la losa, etc.
Todos estos factores hacen que el diseño de una losa armada en dos sentidos sea bastante complejo y que no pueda
analizarse la losa como un sistema aislado, sino que hay que considerar la interacción entre columnas de apoyo, vigas y
losa.
METODOS DE SOLUCIÓN
Entre los principales métodos de solución tenemos los siguientes:
·Método de los coeficientes
·Método directo
·Método de la estructura equivalente
De estos 3 métodos, en el presente curso se analizará los dos últimos, no considerándose el método de los coeficientes
pues da resultados muy conservadores que nos sirven tan solo para un diseño preliminar, además de que su aplicación
consiste tan solo en utilizar coeficientes que da la norma y que se encuentran en cualquier texto.
En cuanto a los métodos de la Estructura Equivalente y el Directo que dan resultados menos conservadores, sólo
desarrollaremos el segundo de éstos, que será analizado en detalle en los acápites siguientes:
METODO DIRECTO .-
El método Directo, como su nombre lo indica, es más simple y se basa fundamentalmente en que bajo ciertas hipótesis
de diseño se trata de cuantificar todas las variables indicadas en el acápite anterior, y en base a tablas se reparte el
Momento Isostático Total (Mo) primero en momentos positivos y negativos a lo largo del eje en estudio y luego se
determina los diferentes momentos en el ancho de la franja tributaria , este método si bien mas sencillo, tiene las
siguientes limitaciones:
1.- Debe existir por lo menos tres claros continuos en cada dirección.
2.- Los tableros deben ser de tipo rectangular con una relación lado mayor a lado menor, no mayor que 2.
3.- Entre tramos sucesivos no debe haber una diferencia de luces mayor al 30% con respecto a la mayor luz.
4.- Las columnas deben estar alineadas sobre el mismo eje, aceptándose una excentricidad máxima del 10% de la luz
del tramo adyacente y en el sentido que se realiza el análisis.
5.- La estructura debe estar sujeta únicamente a carga vertical uniformemente distribuida y la carga viva no debe
exceder de 3 veces la carga muerta.
6.- Cuando exista vigas en los cuatro bordes de un tablero la relación de rigideces entre las dos direcciones
perpendiculares de una estructura debe cumplir la siguiente relación:
Nueva Era 9
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
0.5
*
*
2.0
2
12
2
2
1
<<
l
l
a
a
Donde:
l1= luz en le sentido de análisis
l2= luz en el sentido transversal
µ1 y µ2 = relación de rigideces de las vigas en ambos sentidos
PROCEDIMIENTO DEL METODO DIRECTO .-
1.Determinación del Momento Isostático Total (Mo),
Tal como se muestra en el gráfico siguiente:
8
ln)*(
2
2lWu
Mo=
En la fórmula anterior se aprecia que en lugar de l1 se coloca ln, que no es otra cosa que la misma luz peor entre caras
interiores de los apoyos como se aprecia en el gráfico anterior, debiendo cumplirse siempre que ln ³ 0.65 l1.
Así mismo debe tenerse en cuenta que para columnas circulares puede tomarse un área equivalente al de las columnas
cuadradas, donde el lado del cuadrado de igual área es 0.89 por el diámetro del círculo.
2.Distribución del Momento Isostático Total (Mo) en momentos positivos y negativos a lo largo del eje en estudio.
Para hacer esta distribución debe tenerse en cuenta que la metodología es diferente para tramos interiores y para tramos
exteriores de la losa. En el gráfico siguiente se muestra la distribución para un tramo interior en que el momento
positivo siempre será 35% del Momento Isostático Total (Mo) y el momento negativo será 65% del Momento Isostático
Total (Mo).
Es de destacar que el valor de los momentos negativos coincide con la cara interior de la columna y no con el eje, ya
que esta última sección en la cara interior del apoyo es la más crítica por flexión.
Nueva Era 10
A C B
3
2
1
l
a
l
n
l
n
l
c
l
b
l
2
= (l
b
+ l
c
)/2
l
2
= l
a
+l
b
/2
Momentos en
esta dirección
l
1
l
1
0.5
*
*
2.0
2
12
2
2
1
<<
l
l
a
a
Donde:
l1= luz en le sentido de análisis
l2= luz en el sentido transversal
µ1 y µ2 = relación de rigideces de las vigas en ambos sentidos
PROCEDIMIENTO DEL METODO DIRECTO .-
1.Determinación del Momento Isostático Total (Mo),
Tal como se muestra en el gráfico siguiente:
8
ln)*(
2
2lWu
Mo=
En la fórmula anterior se aprecia que en lugar de l1 se coloca ln, que no es otra cosa que la misma luz peor entre caras
interiores de los apoyos como se aprecia en el gráfico anterior, debiendo cumplirse siempre que ln ³ 0.65 l1.
Así mismo debe tenerse en cuenta que para columnas circulares puede tomarse un área equivalente al de las columnas
cuadradas, donde el lado del cuadrado de igual área es 0.89 por el diámetro del círculo.
2.Distribución del Momento Isostático Total (Mo) en momentos positivos y negativos a lo largo del eje en estudio.
Para hacer esta distribución debe tenerse en cuenta que la metodología es diferente para tramos interiores y para tramos
exteriores de la losa. En el gráfico siguiente se muestra la distribución para un tramo interior en que el momento
positivo siempre será 35% del Momento Isostático Total (Mo) y el momento negativo será 65% del Momento Isostático
Total (Mo).
Es de destacar que el valor de los momentos negativos coincide con la cara interior de la columna y no con el eje, ya
que esta última sección en la cara interior del apoyo es la más crítica por flexión.
Nueva Era 10
A C B
3
2
1
l
a
l
n
l
n
l
c
l
b
l
2
= (l
b
+ l
c
)/2
l
2
= l
a
+l
b
/2
Momentos en
esta dirección
l
1
l
1
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Para el caso de un tramo exterior hay que calcular los valores M1, M2 y M3 que se muestran en el gráfico anterior en
base al grado de empotramiento entre los elementos de apoyo (placas, columnas o muros) y el sistema de entrepiso
formado por vigas y/o losas tal como se muestra en la tabla siguiente:
COEFICIENTES DEL MOMENTO ISOSTATICO TOTAL, Mo, EN CLAROS EXTREMOS
1 2 3 4 5
Apoyo
exterior
libre
Losa con
viga entre
los apoyos
Losas sin vigas entre los
apoyos interiores Apoyo
Exterior
Totalmente
Restringido
Sin vigas de
borde
Con vigas
de borde
Momento Negativo Interior
(M1 en la figura)
0.75 0.70 0.70 0.70 0.65
Momento Positivo (M2 en
la figura)
0.63 0.57 0.52 0.50 0.35
Momento Negativo
Exterior (M3 en la figura)
0.00 0.16 0.26 0.30 0.65
Es de destacar que cuando los dos momentos negativos que llegan a un apoyo interior son diferentes se toma el de
mayor valor absoluto.
Así mismo hay que destacar que si existen vigas de borde transversales el momento negativo exterior M3 pasa a ser el
momento torsionante para dicha viga de borde. En el caso de no existir vigas de borde es la losa en su franja de columna
la que tiene que soportar la torsión en la forma que se detallará posteriormente.
Finalmente hay que destacar que para el caso de losas planas exclusivamente antes de pasar al siguiente paso de diseño
en esta etapa hay que verificar que el momento y corte transmitido a las columnas de apoyo no sea excesivo tal como se
muestra en las relaciones siguientes:
Nueva Era 11
A B C
Exterior Interior
Mo
Mo
0.65MoM
3
M
1
M
2
0.35Mo
a)
b)
Para el caso de un tramo exterior hay que calcular los valores M1, M2 y M3 que se muestran en el gráfico anterior en
base al grado de empotramiento entre los elementos de apoyo (placas, columnas o muros) y el sistema de entrepiso
formado por vigas y/o losas tal como se muestra en la tabla siguiente:
COEFICIENTES DEL MOMENTO ISOSTATICO TOTAL, Mo, EN CLAROS EXTREMOS
1 2 3 4 5
Apoyo
exterior
libre
Losa con
viga entre
los apoyos
Losas sin vigas entre los
apoyos interiores Apoyo
Exterior
Totalmente
Restringido
Sin vigas de
borde
Con vigas
de borde
Momento Negativo Interior
(M1 en la figura)
0.75 0.70 0.70 0.70 0.65
Momento Positivo (M2 en
la figura)
0.63 0.57 0.52 0.50 0.35
Momento Negativo
Exterior (M3 en la figura)
0.00 0.16 0.26 0.30 0.65
Es de destacar que cuando los dos momentos negativos que llegan a un apoyo interior son diferentes se toma el de
mayor valor absoluto.
Así mismo hay que destacar que si existen vigas de borde transversales el momento negativo exterior M3 pasa a ser el
momento torsionante para dicha viga de borde. En el caso de no existir vigas de borde es la losa en su franja de columna
la que tiene que soportar la torsión en la forma que se detallará posteriormente.
Finalmente hay que destacar que para el caso de losas planas exclusivamente antes de pasar al siguiente paso de diseño
en esta etapa hay que verificar que el momento y corte transmitido a las columnas de apoyo no sea excesivo tal como se
muestra en las relaciones siguientes:
Nueva Era 11
A B C
Exterior Interior
Mo
Mo
0.65MoM
3
M
1
M
2
0.35Mo
a)
b)
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
a.Transmisión Del Momento De La Losa a La Columna (solo para losas planas)
fRN
f
MM
rhd
dC
dC
g
g
*
*
3
2
1
1
2
1
=
-=
+
+
+
=
Donde : MN : Momento transmitido a la columna
Si MN < Mu OK¡
MN > MU Rediseñar la columna¡
b.Transmisión Del Corte De Losa A Columna (solo para losas planas)
( )
C
J
M
Ac
Vu
Nv
u
*g
n +=
Donde:
ba
a
C
dCb
d
Ca
+
=
+=
+=
2
2
2
2
1
También tenemos :
Ac= (2a+b)d
[ ]
6
/)2()2(2
/
3
abadbaad
CJ
+++
=
Donde:
un= Esfuerzo de corte transmitido a la columna
Vu = Corte actuante sobre la losa que puede calcularse de acuerdo a la siguiente relación:
1
22
*
2
*
l
lW
Vu=
Nueva Era 12
C
1 C
2
C
2
+2(1.5h)
h
a.Transmisión Del Momento De La Losa a La Columna (solo para losas planas)
fRN
f
MM
rhd
dC
dC
g
g
*
*
3
2
1
1
2
1
=
-=
+
+
+
=
Donde : MN : Momento transmitido a la columna
Si MN < Mu OK¡
MN > MU Rediseñar la columna¡
b.Transmisión Del Corte De Losa A Columna (solo para losas planas)
( )
C
J
M
Ac
Vu
Nv
u
*g
n +=
Donde:
ba
a
C
dCb
d
Ca
+
=
+=
+=
2
2
2
2
1
También tenemos :
Ac= (2a+b)d
[ ]
6
/)2()2(2
/
3
abadbaad
CJ
+++
=
Donde:
un= Esfuerzo de corte transmitido a la columna
Vu = Corte actuante sobre la losa que puede calcularse de acuerdo a la siguiente relación:
1
22
*
2
*
l
lW
Vu=
Nueva Era 12
C
1 C
2
C
2
+2(1.5h)
h
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Donde:
Ac = es el área que resiste al corte
gv = 1- gf
Donde:
MN = es el momento nominal transmitido a la columna y hallado en el paso anterior
J = momento polar de inercia
C = distancia a la fibra más comprimida al eje neutro
Este corte transmitido ala columna de ser comparado con el corte que absorbe el concreto en
punzonamiento y que viene dado por la relación:
cf
u ´1.1fn=
Si Vu < Vc ......OK!
Si Vu > Vc ......Rediseñar la columna
3.Cálculo del efecto de cargas desfavorables
El paso siguiente sería distribuir los momentos positivos y negativos hallados para el eje en estudio en momentos a lo
ancho de la franja en estudio, sin embargo en la metodología se analizó de que la presencia de sobrecargas
considerables afectaría el diseño, en tal sentido los momentos hallados en el paso anterior deben ser verificados por este
posible efecto de cargas desfavorables y recién verificables esta condición se distribuyen los momentos a lo ancho de la
franja en estudio.
Esta verificación de cargas desfavorables se realizará siempre y cuando la relación entre la carga muerta y la carga viva
(ba) sea menor que 2 tal como se muestra en la siguiente relación:
2£=
L
D
a
W
W
b (sin factores)
En el caso que sea necesario chequear el efecto de las cargas desfavorables debe compararse dos parámetros:
( )
bS
C
C
KK
K
+S
S
=a
Donde:
cc = Sumatoria de las rigideces de las columnas, por encima y debajo del punto en estudio
SKC + SKb = Sumatoria de las rigideces de la losa y el trave para el elemento en estudio
Estos valores deben compararse con un amin (tablas) que es la relación de rigideces mínima para que no haya problema
de cargas desfavorables.
En la tabla siguiente se muestra los valores del aminimo.
VALORES DE a MÍNIMO
ba
Relación de
claros l1/l2
Rigidez Relativa de la Viga
0 0.5 1.0 2.0 4.0
2.0 0.5 – 2.00 0 0 0 0
1.0
0.5
0.8
1.0
1.25
2.0
0.6
0.7
0.7
0.8
1.2
0
0
0.1
0.4
0.5
0
0
0
0
0.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5 0.5
0.8
1.0
1.3
1.5
1.6
0.3
0.5
0.6
0
0.2
0.2
0
0
0
0
0
0
Nueva Era 13
Donde:
Ac = es el área que resiste al corte
gv = 1- gf
Donde:
MN = es el momento nominal transmitido a la columna y hallado en el paso anterior
J = momento polar de inercia
C = distancia a la fibra más comprimida al eje neutro
Este corte transmitido ala columna de ser comparado con el corte que absorbe el concreto en
punzonamiento y que viene dado por la relación:
cf
u ´1.1fn=
Si Vu < Vc ......OK!
Si Vu > Vc ......Rediseñar la columna
3.Cálculo del efecto de cargas desfavorables
El paso siguiente sería distribuir los momentos positivos y negativos hallados para el eje en estudio en momentos a lo
ancho de la franja en estudio, sin embargo en la metodología se analizó de que la presencia de sobrecargas
considerables afectaría el diseño, en tal sentido los momentos hallados en el paso anterior deben ser verificados por este
posible efecto de cargas desfavorables y recién verificables esta condición se distribuyen los momentos a lo ancho de la
franja en estudio.
Esta verificación de cargas desfavorables se realizará siempre y cuando la relación entre la carga muerta y la carga viva
(ba) sea menor que 2 tal como se muestra en la siguiente relación:
2£=
L
D
a
W
W
b (sin factores)
En el caso que sea necesario chequear el efecto de las cargas desfavorables debe compararse dos parámetros:
( )
bS
C
C
KK
K
+S
S
=a
Donde:
cc = Sumatoria de las rigideces de las columnas, por encima y debajo del punto en estudio
SKC + SKb = Sumatoria de las rigideces de la losa y el trave para el elemento en estudio
Estos valores deben compararse con un amin (tablas) que es la relación de rigideces mínima para que no haya problema
de cargas desfavorables.
En la tabla siguiente se muestra los valores del aminimo.
VALORES DE a MÍNIMO
ba
Relación de
claros l1/l2
Rigidez Relativa de la Viga
0 0.5 1.0 2.0 4.0
2.0 0.5 – 2.00 0 0 0 0
1.0
0.5
0.8
1.0
1.25
2.0
0.6
0.7
0.7
0.8
1.2
0
0
0.1
0.4
0.5
0
0
0
0
0.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5 0.5
0.8
1.0
1.3
1.5
1.6
0.3
0.5
0.6
0
0.2
0.2
0
0
0
0
0
0
Nueva Era 13
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
1.25
2.0
1.9
4.9
1.0
1.6
0.5
0.8
0
0.3
0
0
0.33
0.5
0.8
1.0
1.25
2.0
1.8
2.0
2.3
2.8
13.0
0.5
0.9
0.9
1.5
2.6
0.1
0.3
0.4
0.8
1.2
0
0
0
0.2
0.5
0
0
0
0
0.3
Conocidos los valores de ac y amin, se comparan estos y pueden presentarse dos casos:
a) Si ac > amin ....... No se requiere corrección¡
b) Si ac< amin ......... Hay corrección¡
Y la corrección consiste en amplificar los momentos positivos del eje en estudio por el factor que se indica a
continuación:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
-
+=
min
1
4
2
1
a
a
b
b
d
C
a
a
S
4.Distribución de los momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio.-
Los momentos positivos y negativos corregidos o no calculados en los pasos anteriores deben distribuirse a lo ancho de
la franja en estudio tal como se muestra en el gráfico siguiente:
A efectos de distribuir los momentos en la franja columna que incluye la viga y en la franja central se puede utilizar la
siguiente tabla:
Nueva Era 14
l
1 A
B B
A
Franja de
columnas
½ franja
central
l
2
½ franja central
½ franja
columna
½ franja
central
£ 0.25l
2
0.25l
1
½ franja
central
l2/4
Franja
de
columna
s
½
franja
central
l2/2l2/4
SECCIÓN A-A (tablero interior)
½ franja
central
Franja de
columnas
SECCIÓN B-B (tablero de borde)
1.25
2.0
1.9
4.9
1.0
1.6
0.5
0.8
0
0.3
0
0
0.33
0.5
0.8
1.0
1.25
2.0
1.8
2.0
2.3
2.8
13.0
0.5
0.9
0.9
1.5
2.6
0.1
0.3
0.4
0.8
1.2
0
0
0
0.2
0.5
0
0
0
0
0.3
Conocidos los valores de ac y amin, se comparan estos y pueden presentarse dos casos:
a) Si ac > amin ....... No se requiere corrección¡
b) Si ac< amin ......... Hay corrección¡
Y la corrección consiste en amplificar los momentos positivos del eje en estudio por el factor que se indica a
continuación:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
-
+=
min
1
4
2
1
a
a
b
b
d
C
a
a
S
4.Distribución de los momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio.-
Los momentos positivos y negativos corregidos o no calculados en los pasos anteriores deben distribuirse a lo ancho de
la franja en estudio tal como se muestra en el gráfico siguiente:
A efectos de distribuir los momentos en la franja columna que incluye la viga y en la franja central se puede utilizar la
siguiente tabla:
Nueva Era 14
l
1 A
B B
A
Franja de
columnas
½ franja
central
l
2
½ franja central
½ franja
columna
½ franja
central
£ 0.25l
2
0.25l
1
½ franja
central
l2/4
Franja
de
columna
s
½
franja
central
l2/2l2/4
SECCIÓN A-A (tablero interior)
½ franja
central
Franja de
columnas
SECCIÓN B-B (tablero de borde)
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Tabla (% que va para la franja columna)
Relación de Rigideces
Valores l1/l2
0.5 1.0 2.0
Momentos negativos en
apoyos interiores
(a1l2/l1) = 0
(a1l2/l1) ³ 1.0
75
90
75
75
75
45
Momentos negativos en
apoyos exteriores
(a1l2/l1) = 0
(a1l2/l1) ³ 1.0
bt = 0
bt ³ 2.5
bt = 0
bt ³ 2.5
100
75
100
90
100
75
100
75
100
75
100
45
Momentos positivos
(a1l2/l1) = 0
(a1l2/l1) ³ 1.0
60
90
60
75
60
45
CALCULO DEL PARÁMETRO a1
Este parámetro se define como la relación entre la rigidez a flexión de una viga situada en el eje de columnas y la
rigidez a flexión de la franja de losa limitada por los ejes centrales de los tableros adyacentes, se expresa con la
siguiente ecuación:
bcs
bcb
IE
IE
*
*
1=a
Donde:
Ecb = módulo de elasticidad del concreto de la viga
Ib = Inercia de la viga
Ecs = Módulo de elasticidad del concreto de la losa}
Is = Inercia de la losa
Es de destacar que cuando la construcción es monolítica, la viga incluye un tramo de losa cada lado de las losas
laterales de la viga, igual a su proyección por abajo o por arriba de la losa pero no mayor que cuatro veces el espesor de
la losa. Por tanto el momento de inercia Ib es de la sección L ó T que se muestran en los gráficos siguientes según se
tratte de vigas de borde o de vigas interiores respectivamente.
Para la losa:
Nueva Era 15
b
w
+b
f
bw bf
h
t
E
C b
f
= (h-t) £ 4t
bw+2bf
bw bf
h
t
E
C
h-t
bf
l2
Tabla (% que va para la franja columna)
Relación de Rigideces
Valores l1/l2
0.5 1.0 2.0
Momentos negativos en
apoyos interiores
(a1l2/l1) = 0
(a1l2/l1) ³ 1.0
75
90
75
75
75
45
Momentos negativos en
apoyos exteriores
(a1l2/l1) = 0
(a1l2/l1) ³ 1.0
bt = 0
bt ³ 2.5
bt = 0
bt ³ 2.5
100
75
100
90
100
75
100
75
100
75
100
45
Momentos positivos
(a1l2/l1) = 0
(a1l2/l1) ³ 1.0
60
90
60
75
60
45
CALCULO DEL PARÁMETRO a1
Este parámetro se define como la relación entre la rigidez a flexión de una viga situada en el eje de columnas y la
rigidez a flexión de la franja de losa limitada por los ejes centrales de los tableros adyacentes, se expresa con la
siguiente ecuación:
bcs
bcb
IE
IE
*
*
1=a
Donde:
Ecb = módulo de elasticidad del concreto de la viga
Ib = Inercia de la viga
Ecs = Módulo de elasticidad del concreto de la losa}
Is = Inercia de la losa
Es de destacar que cuando la construcción es monolítica, la viga incluye un tramo de losa cada lado de las losas
laterales de la viga, igual a su proyección por abajo o por arriba de la losa pero no mayor que cuatro veces el espesor de
la losa. Por tanto el momento de inercia Ib es de la sección L ó T que se muestran en los gráficos siguientes según se
tratte de vigas de borde o de vigas interiores respectivamente.
Para la losa:
Nueva Era 15
b
w
+b
f
bw bf
h
t
E
C b
f
= (h-t) £ 4t
bw+2bf
bw bf
h
t
E
C
h-t
bf
l2
a)
c)
b)
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
e = espesor
CALCULO DEL PARÁMETRO bt.-
Este parámetro se define como la relación entre la rigidez a torsión de una viga de borde y la rigidez a flexión de una
franja de losa cuyo ancho es igual al claro de la viga de borde medido centro a centro entre los apoyos.
Se expresa mediante la siguiente ecuación:
scs
cb
t
IE
cE
*2
*
=b
Donde:
C = es una constante que define la rigidez a torsión de la viga de borde en forma semejante como el momento de inercia
define la rigidez a flexión y se calcula tal como se muestra en la fórmula y gráfico siguientes:
3
63.01
3
yx
y
x
c
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-S=
Conocidos los parámetros de a y b es fácil ahora utilizar la tabla y definir el porcentaje de momento que va para la
franja columna. Obviamente el porcentaje que va para la franja central será el 100% menos el porcentaje que absorbe
la franja columna.
Finalmente quedaría por definir que porcentaje de la franja columna para la viga es para la viga en sí y que porcentaje
para la losa en su franja de columna, pudiendo presentarse tres casos:
a.Si 00.1
1
21
³
l
la
El 85% del momento lo absorbe la viga y el 15% la losa (vigas peraltadas)
Nueva Era 16
12
*
3
2el
I
s=
x
y
y
x
y
y
x
x
y
x
c)
b)
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
e = espesor
CALCULO DEL PARÁMETRO bt.-
Este parámetro se define como la relación entre la rigidez a torsión de una viga de borde y la rigidez a flexión de una
franja de losa cuyo ancho es igual al claro de la viga de borde medido centro a centro entre los apoyos.
Se expresa mediante la siguiente ecuación:
scs
cb
t
IE
cE
*2
*
=b
Donde:
C = es una constante que define la rigidez a torsión de la viga de borde en forma semejante como el momento de inercia
define la rigidez a flexión y se calcula tal como se muestra en la fórmula y gráfico siguientes:
3
63.01
3
yx
y
x
c
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-S=
Conocidos los parámetros de a y b es fácil ahora utilizar la tabla y definir el porcentaje de momento que va para la
franja columna. Obviamente el porcentaje que va para la franja central será el 100% menos el porcentaje que absorbe
la franja columna.
Finalmente quedaría por definir que porcentaje de la franja columna para la viga es para la viga en sí y que porcentaje
para la losa en su franja de columna, pudiendo presentarse tres casos:
a.Si 00.1
1
21
³
l
la
El 85% del momento lo absorbe la viga y el 15% la losa (vigas peraltadas)
Nueva Era 16
12
*
3
2el
I
s=
x
y
y
x
y
y
x
x
y
x
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
b.Si 00.1
1
21
=
l
la
Quiere decir que es una losa plana y el 0% del momento para la viga y 100% para la losa en su franja columna.
c.Si 00.10
1
21
££
l
la
Se interpola entre los casos anteriores (vigas chatas).
5.Cálculo de áreas de acero
Para calcular las áreas de acero en la losa estas se calculan para cada uno de los ejes en los dos sentidos de análisis,
buscando de uniformarse en uno y otro sentido el acero de refuerzo, las fórmulas a utilizarse son las ya conocidas:
( )
2
a
df
M
As
y-
=
f
bfc
fAs
a
y
'85.0
=
En el caso de vigas se verifica que los momentos hallados sean menores a los momentos con que fue diseñada la viga,
caso contrario se colocará refuerzo adicional en los referidos elementos.
6.Revisión de cortante para vigas y losas
Para chequear el corte en las losas propiamente dichas y en las vigas de apoyo tanto la norma peruana E-060 como el
ACI- 95 utilizan el principio de áreas tributarias tal como se muestra en el siguiente gráfico:
PARA VIGAS:
Si las vigas son bastante rígidas vale decir:
00.1
1
21
³
l
la
Nueva Era 17
l2
45°
L
C
l2
b.Si 00.1
1
21
=
l
la
Quiere decir que es una losa plana y el 0% del momento para la viga y 100% para la losa en su franja columna.
c.Si 00.10
1
21
££
l
la
Se interpola entre los casos anteriores (vigas chatas).
5.Cálculo de áreas de acero
Para calcular las áreas de acero en la losa estas se calculan para cada uno de los ejes en los dos sentidos de análisis,
buscando de uniformarse en uno y otro sentido el acero de refuerzo, las fórmulas a utilizarse son las ya conocidas:
( )
2
a
df
M
As
y-
=
f
bfc
fAs
a
y
'85.0
=
En el caso de vigas se verifica que los momentos hallados sean menores a los momentos con que fue diseñada la viga,
caso contrario se colocará refuerzo adicional en los referidos elementos.
6.Revisión de cortante para vigas y losas
Para chequear el corte en las losas propiamente dichas y en las vigas de apoyo tanto la norma peruana E-060 como el
ACI- 95 utilizan el principio de áreas tributarias tal como se muestra en el siguiente gráfico:
PARA VIGAS:
Si las vigas son bastante rígidas vale decir:
00.1
1
21
³
l
la
Nueva Era 17
l2
45°
L
C
l2
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Se utiliza el principio de áreas tributarias a 45° en que las vigas largas soportan el área trapezoidal C y las vigas cortas
el área triangular L.
En el caso de losas planas, el corte totalmente lo soporta la losa y el corte que absorbe las vigas es V = 0.
Finalmente para el caso de vigas flexibles, cuando:
00.10
1
21
££
l
la
Se interpola entre los dos casos anteriores.
En todos los casos se compara el corte hallado con el corte que fue diseñada la viga, si el corte hallado es menor no hay
problema en el diseño de la viga, en cambio si el corte hallado en este paso resulta mayor que aquel con que se diseño la
viga deberá confinarse en mejor forma los estribos para la viga en análisis.
Para Losas:
Para la losa en estudio se utiliza un corte crítico, que viene definido por la relación:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
2
*
15.1
1
max
lW
V
u
dbfcV
c
**'*53.0*f=
Si Vmax £ Vc OK¡
Si Vmax > Vc Mejorar espesor de la losa.
7.Cálculo del peralte
Este paso debe realizarse al inicio del problema, sin embargo su cálculo incluye ciertos parámetros que recién se han
definido por lo que recién se menciona el cálculo de peralte.
Para calcular el peralte mínimo que requiere la losa armada en dos sentidos y evitar que se calcule deflexiones se
utilizan las siguientes fórmulas:
Losas Con Vigas De Apoyo (mayor valor)
( )
( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+--+
+
=
b
bab
1
115.0*500036000
*071.0800ln
sm
fy
h
( )
( )
s
fy
h
bb++
+
=
1*500036000
*071.0800ln
Losas Planas
( )
36000
*071.0800ln fy
h
+
=
Donde:
am = promedio de los valores de a , para el tablero en estudio.
b = relación de claro largo a claro corto del tablero en estudio.
bs = relación entre la longitud de lados continuos y el perímetro total del tablero.
Nueva Era 18
Se utiliza el principio de áreas tributarias a 45° en que las vigas largas soportan el área trapezoidal C y las vigas cortas
el área triangular L.
En el caso de losas planas, el corte totalmente lo soporta la losa y el corte que absorbe las vigas es V = 0.
Finalmente para el caso de vigas flexibles, cuando:
00.10
1
21
££
l
la
Se interpola entre los dos casos anteriores.
En todos los casos se compara el corte hallado con el corte que fue diseñada la viga, si el corte hallado es menor no hay
problema en el diseño de la viga, en cambio si el corte hallado en este paso resulta mayor que aquel con que se diseño la
viga deberá confinarse en mejor forma los estribos para la viga en análisis.
Para Losas:
Para la losa en estudio se utiliza un corte crítico, que viene definido por la relación:
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
2
*
15.1
1
max
lW
V
u
dbfcV
c
**'*53.0*f=
Si Vmax £ Vc OK¡
Si Vmax > Vc Mejorar espesor de la losa.
7.Cálculo del peralte
Este paso debe realizarse al inicio del problema, sin embargo su cálculo incluye ciertos parámetros que recién se han
definido por lo que recién se menciona el cálculo de peralte.
Para calcular el peralte mínimo que requiere la losa armada en dos sentidos y evitar que se calcule deflexiones se
utilizan las siguientes fórmulas:
Losas Con Vigas De Apoyo (mayor valor)
( )
( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+--+
+
=
b
bab
1
115.0*500036000
*071.0800ln
sm
fy
h
( )
( )
s
fy
h
bb++
+
=
1*500036000
*071.0800ln
Losas Planas
( )
36000
*071.0800ln fy
h
+
=
Donde:
am = promedio de los valores de a , para el tablero en estudio.
b = relación de claro largo a claro corto del tablero en estudio.
bs = relación entre la longitud de lados continuos y el perímetro total del tablero.
Nueva Era 18
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Independientemente de los valores que se halle con estas fórmulas, la norma da los siguientes espesores mínimos:
a.Losas sin vigas o sin ábacos.......12.5 cm
b.Losas con vigas y con ábacos.....10.0 cm
c.Losas con vigas en los cuatro lados con un valor de am por lo menos igual a 2.0.........9.0 cm
8. Detalles del refuerzo:
1.- El acero mínimo a utilizarse en cualquiera de los sentidos es:
AsT = 0.0018 * b * t
2.- El espaciamiento máximo del refuerzo de acero no excederá de :
Smax £ 2t
3.- Las longitudes mínimas para anclajes y empalmes son similares a las de losas aligeradas.
4.- Para el caso de losas apoyadas sobre vigas rígidas:
00.1
1
21
³
l
la
Existen problemas en las esquinas de los tableros ya que se producen reacciones en los apoyos y como tal la losa
tiende a levantarse para evitar este efecto la norma recomienda un refuerzo adicional inclinado a 45° y en una
longitud igual a 1/5 de la luz, tal como se muestra en el gráfico siguiente:
PROBLEMA
Diseñar los tableros 2 y 4 para la losa armada en dos sentidos y apoyadas sobre vigas en todos sus bordes y con las
características que se muestran a continuación:
Datos
f´c = 210 kg/cm
2
fy = 4200 kg/cm
2
Vigas en la dirección horizontal: 25 * 70 cm.
Vigas en la dirección vertical: 25 * 50 cm.
Columnas: 40 * 40 cm.
Espesor losa: 15 cm.
Sobrecarga primer piso: 700 kg/m
2
Peso piso terminado: 100 kg/m
2
Nueva Era 19
LECHO SUPERIOR
b) En una sola dirección
1/5 del claro
a) En dos direcciones
1/5 del claro
LECHO INFERIOR
1/5 del claro
Independientemente de los valores que se halle con estas fórmulas, la norma da los siguientes espesores mínimos:
a.Losas sin vigas o sin ábacos.......12.5 cm
b.Losas con vigas y con ábacos.....10.0 cm
c.Losas con vigas en los cuatro lados con un valor de am por lo menos igual a 2.0.........9.0 cm
8. Detalles del refuerzo:
1.- El acero mínimo a utilizarse en cualquiera de los sentidos es:
AsT = 0.0018 * b * t
2.- El espaciamiento máximo del refuerzo de acero no excederá de :
Smax £ 2t
3.- Las longitudes mínimas para anclajes y empalmes son similares a las de losas aligeradas.
4.- Para el caso de losas apoyadas sobre vigas rígidas:
00.1
1
21
³
l
la
Existen problemas en las esquinas de los tableros ya que se producen reacciones en los apoyos y como tal la losa
tiende a levantarse para evitar este efecto la norma recomienda un refuerzo adicional inclinado a 45° y en una
longitud igual a 1/5 de la luz, tal como se muestra en el gráfico siguiente:
PROBLEMA
Diseñar los tableros 2 y 4 para la losa armada en dos sentidos y apoyadas sobre vigas en todos sus bordes y con las
características que se muestran a continuación:
Datos
f´c = 210 kg/cm
2
fy = 4200 kg/cm
2
Vigas en la dirección horizontal: 25 * 70 cm.
Vigas en la dirección vertical: 25 * 50 cm.
Columnas: 40 * 40 cm.
Espesor losa: 15 cm.
Sobrecarga primer piso: 700 kg/m
2
Peso piso terminado: 100 kg/m
2
Nueva Era 19
LECHO SUPERIOR
b) En una sola dirección
1/5 del claro
a) En dos direcciones
1/5 del claro
LECHO INFERIOR
1/5 del claro
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
El primer paso en este tipo de problemas es identificar los diferentes tipos de tableros o paños que existen pues para el
resto el armado será similar, en el presente caso hay 4 tipos de tableros.
1° Verificación de utilización del método directo
1.3 sentido vertical
3 sentido horizontal OK!
2.7/4 = 1.75 < 2 OK!
3.5/4 = 1.25 < 1.3 OK!
4.Alineadas OK!
5. 00.3£
D
L
W
W
6.
WD = 0.15*2400 = 360 Kg/m
2
p.t. = 100 Kg/m
2
---------------
460 Kg/m
2
Nueva Era 20
B
5 4 3 1 2
D
C
A
7 m
5 m
4 m
5 m
6 m 6 m 7 m
I
III IV
II
352.1
460
700
£==
D
L
W
W
1
0
2
3 m
5 m
El primer paso en este tipo de problemas es identificar los diferentes tipos de tableros o paños que existen pues para el
resto el armado será similar, en el presente caso hay 4 tipos de tableros.
1° Verificación de utilización del método directo
1.3 sentido vertical
3 sentido horizontal OK!
2.7/4 = 1.75 < 2 OK!
3.5/4 = 1.25 < 1.3 OK!
4.Alineadas OK!
5. 00.3£
D
L
W
W
6.
WD = 0.15*2400 = 360 Kg/m
2
p.t. = 100 Kg/m
2
---------------
460 Kg/m
2
Nueva Era 20
B
5 4 3 1 2
D
C
A
7 m
5 m
4 m
5 m
6 m 6 m 7 m
I
III IV
II
352.1
460
700
£==
D
L
W
W
1
0
2
3 m
5 m
55 cm
55 cm
(h-t) £ 4t
70 - 15 = 55
55 £ 60
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
7.
Cálculo de los valores de a
Vigas interiores de 6 m y 7 m (ejes B y C)
Calculamos inercia: IT = Io+Ad
2
Fig Area Yc A*Yc Io d d
2
A*d
2
1
2
2025
1375
62.5
27.5
126562.5
37812.5
37968.75
346614.58
14.15
20.85
200.22
434.7
405450.56
597743.44
S 3400 1643.75 384583.33 1003194
34.48
3400
164375*
==
S
S
=
A
yA
y
c
ITrave = 384583.33 + 1003194 = 1387777.33 cm
4
Vigas exteriores de 6m y 7m (ejes A y D)
Calculamos inercia: IT = Io+Ad
2
Fig Area Yc A*Yc Io d d
2
A*d
2
Nueva Era 21
0.5
*
*
2.0
2
12
2
2
1
<<
l
l
a
a
135 cm.
25 cm
70 cm
15 cm
55cm
1
2
4
33
losa 2.126562
12
15.0*5.4
12
t*b
I cm===
96.10
2.126562
33.1387777
===
losa
Trave
I
I
a
25 cm
80 cm
55 cm
15 cm 1
2
55 cm
(h-t) £ 4t
70 - 15 = 55
55 £ 60
55 cm
(h-t) £ 4t
70 - 15 = 55
55 £ 60
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
7.
Cálculo de los valores de a
Vigas interiores de 6 m y 7 m (ejes B y C)
Calculamos inercia: IT = Io+Ad
2
Fig Area Yc A*Yc Io d d
2
A*d
2
1
2
2025
1375
62.5
27.5
126562.5
37812.5
37968.75
346614.58
14.15
20.85
200.22
434.7
405450.56
597743.44
S 3400 1643.75 384583.33 1003194
34.48
3400
164375*
==
S
S
=
A
yA
y
c
ITrave = 384583.33 + 1003194 = 1387777.33 cm
4
Vigas exteriores de 6m y 7m (ejes A y D)
Calculamos inercia: IT = Io+Ad
2
Fig Area Yc A*Yc Io d d
2
A*d
2
Nueva Era 21
0.5
*
*
2.0
2
12
2
2
1
<<
l
l
a
a
135 cm.
25 cm
70 cm
15 cm
55cm
1
2
4
33
losa 2.126562
12
15.0*5.4
12
t*b
I cm===
96.10
2.126562
33.1387777
===
losa
Trave
I
I
a
25 cm
80 cm
55 cm
15 cm 1
2
55 cm
(h-t) £ 4t
70 - 15 = 55
55 £ 60
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
1
2
1200
1375
7.5
42.5
9000
58437.5
22500
346614.58
18.69
16.31
349.32
266.02
419179.32
365772.14
S 2575 67437.5 399114.58 784951.46
19.26
2575
5.67437*
==
S
S
=
A
yA
y
c
ITrave = 399114.58 + 784951.46 = 115406604 cm
4
Inercia losa:
625.2
2
25.0
5.2
2
=+=+=
viga
lb
mt15.0=
Vigas Interiores de 5m y 4m (ejes 2 y 4)
Calculamos inercia: IT = Io+Ad
2
Fig Area Yc A*Yc Io d d
2
A*d
2
1
2
1425
875
42.5
17.5
60562.5
15312.5
26718.75
89322.92
9.511
15.489
90.459
239.909
128904.075
209920.375
S 2300 75875 116041.667 338824.450
989.32
2300
75875*
==
S
S
=
A
yA
y
c
ITrave = 116041.667 + 338824.450 = 454866.117 cm
4
Nueva Era 22
4
33
losa
125.73828
12
15*5.262
12
t*b
I cm===
63.15
125.73828
115406604
===
losa
Trave
I
I
a
4
33
losa 5.182812
12
15*650
12
t*b
I cm===
488.2
5.182812
117.454866
===
losa
Trave
I
I
a
25 cm
(h-t) £ 4t
50 - 15 = 35
35 £ 60
50 cm
15 cm
35 cm
1
2
35 cm
35 cm
95 cm
1
2
1200
1375
7.5
42.5
9000
58437.5
22500
346614.58
18.69
16.31
349.32
266.02
419179.32
365772.14
S 2575 67437.5 399114.58 784951.46
19.26
2575
5.67437*
==
S
S
=
A
yA
y
c
ITrave = 399114.58 + 784951.46 = 115406604 cm
4
Inercia losa:
625.2
2
25.0
5.2
2
=+=+=
viga
lb
mt15.0=
Vigas Interiores de 5m y 4m (ejes 2 y 4)
Calculamos inercia: IT = Io+Ad
2
Fig Area Yc A*Yc Io d d
2
A*d
2
1
2
1425
875
42.5
17.5
60562.5
15312.5
26718.75
89322.92
9.511
15.489
90.459
239.909
128904.075
209920.375
S 2300 75875 116041.667 338824.450
989.32
2300
75875*
==
S
S
=
A
yA
y
c
ITrave = 116041.667 + 338824.450 = 454866.117 cm
4
Nueva Era 22
4
33
losa
125.73828
12
15*5.262
12
t*b
I cm===
63.15
125.73828
115406604
===
losa
Trave
I
I
a
4
33
losa 5.182812
12
15*650
12
t*b
I cm===
488.2
5.182812
117.454866
===
losa
Trave
I
I
a
25 cm
(h-t) £ 4t
50 - 15 = 35
35 £ 60
50 cm
15 cm
35 cm
1
2
35 cm
35 cm
95 cm
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Vigas Exteriores de 5m y 4m (ejes 1 y 5)
Calculamos inercia: IT = Io+Ad
2
Fig Area Yc A*Yc Io d d
2
A*d
2
1
2
900
875
42.5
17.5
38250
15312.5
16875
89322.917
12.324
12.676
151.881
160.681
136692.878
140595.854
S 1775 53562.5 106197.917 277288.732
176.30
1775
5.53562*
==
S
S
=
A
yA
y
c
ITrave = 106197.917 + 277288.732 = 383486.649 cm
4
Inercia losa:
5.362
2
25
350
2
=+=+=
viga
lb
cmt15=
Vigas interiores de 4m y 5m (eje 3)
Calculamos inercia: IT = Io+Ad
2
Nueva Era 23
4
33
losa
125.101953
12
15*5.362
12
t*b
I cm===
761.3
125.101953
649.383486
===
losa
Trave
I
I
a
25 cm
60 cm
35 cm
15 cm 1
2
35 cm
(h-t) £ 4t
50 - 15 = 35
35 £ 60
25 cm
50 cm
15 cm
35 cm
1
2
35 cm
35 cm
(h-t) £ 4t
50 - 15 = 35
35 £ 60
95 cm
Vigas Exteriores de 5m y 4m (ejes 1 y 5)
Calculamos inercia: IT = Io+Ad
2
Fig Area Yc A*Yc Io d d
2
A*d
2
1
2
900
875
42.5
17.5
38250
15312.5
16875
89322.917
12.324
12.676
151.881
160.681
136692.878
140595.854
S 1775 53562.5 106197.917 277288.732
176.30
1775
5.53562*
==
S
S
=
A
yA
y
c
ITrave = 106197.917 + 277288.732 = 383486.649 cm
4
Inercia losa:
5.362
2
25
350
2
=+=+=
viga
lb
cmt15=
Vigas interiores de 4m y 5m (eje 3)
Calculamos inercia: IT = Io+Ad
2
Nueva Era 23
4
33
losa
125.101953
12
15*5.362
12
t*b
I cm===
761.3
125.101953
649.383486
===
losa
Trave
I
I
a
25 cm
60 cm
35 cm
15 cm 1
2
35 cm
(h-t) £ 4t
50 - 15 = 35
35 £ 60
25 cm
50 cm
15 cm
35 cm
1
2
35 cm
35 cm
(h-t) £ 4t
50 - 15 = 35
35 £ 60
95 cm
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Fig Area Yc A*Yc Io d d
2
A*d
2
1
2
1425
875
42.5
17.5
60562.5
15312.5
26718.75
89322.92
9.511
15.489
90.459
239.909
128904.075
209920.375
S 2300 75875 116041.667 338824.450
989.32
2300
75875*
==
S
S
=
A
yA
y
c
4
Trave cm 454866.117 338824.450 116041.667 I =+=
Conocidos todos los valores de a, procedemos a verificar en los cuatro tipos deferentes de tableros si se cumple o no la
ecuación:
Tablero I
a1 = 10.96 + 15.63 = 26.59
Nueva Era 24
4
33
losa
168750
12
15*600
12
t*b
I cm===
696.2
168750
117.454866
===
losa
Trave
I
I
a
D
A
C
B
1 2 3 4 5
a= 15.63 a= 15.63 a= 15.63
a= 10.96 a= 10.96 a= 10.96
a= 10.96 a= 10.96 a= 10.96
a= 15.63 a= 15.63 a= 15.63
I II
III IV
a= 15.63
a= 3.76 a= 3.76a= 2.49 a= 2.7 a= 2.49
a= 10.96
a= 10.96
a= 15.63
0.5
*
*
2.0
2
12
2
2
1
<<
l
l
a
a
Fig Area Yc A*Yc Io d d
2
A*d
2
1
2
1425
875
42.5
17.5
60562.5
15312.5
26718.75
89322.92
9.511
15.489
90.459
239.909
128904.075
209920.375
S 2300 75875 116041.667 338824.450
989.32
2300
75875*
==
S
S
=
A
yA
y
c
4
Trave cm 454866.117 338824.450 116041.667 I =+=
Conocidos todos los valores de a, procedemos a verificar en los cuatro tipos deferentes de tableros si se cumple o no la
ecuación:
Tablero I
a1 = 10.96 + 15.63 = 26.59
Nueva Era 24
4
33
losa
168750
12
15*600
12
t*b
I cm===
696.2
168750
117.454866
===
losa
Trave
I
I
a
D
A
C
B
1 2 3 4 5
a= 15.63 a= 15.63 a= 15.63
a= 10.96 a= 10.96 a= 10.96
a= 10.96 a= 10.96 a= 10.96
a= 15.63 a= 15.63 a= 15.63
I II
III IV
a= 15.63
a= 3.76 a= 3.76a= 2.49 a= 2.7 a= 2.49
a= 10.96
a= 10.96
a= 15.63
0.5
*
*
2.0
2
12
2
2
1
<<
l
l
a
a
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
l1 = 7 m
a2 = 3.76 + 2.49 = 6.25
l2 = 5 m
OK!
Tablero II
a1 = 15.63+ 10.96= 26.59
l1 = 6 m
a2 = 2.49 + 2.7 5.19
l2 = 5 m
OK!
Tablero III
a1 = 10.96 + 10.96 = 21.92
l1 = 7 m
a2 = 3.76 + 2.49 = 6.25
l2 = 4 m
OK!
Tablero IV
a1 = 10.96 + 10.96 = 26.59
l1 = 6 m
a2 = 2.49 + 2.7 = 5.19
l2 = 4 m
OK!
Finalmente concluimos en que el tablero más crítico es el número II y que es más factible emplear el Método Directo
en la solución del presente problema.
Nueva Era 25
17.2
7*25.6
5*59.26
2
2
=
46.0
17.2
1 =
56.3
6*19.5
5*59.26
2
2
=
28.0
56.3
1
=
15.1
7*25.6
4*92.21
2
2
=
87.0
15.1
1=
88.1
6*19.5
4*92.21
2
2
=
53.0
88.1
1
=
l1 = 7 m
a2 = 3.76 + 2.49 = 6.25
l2 = 5 m
OK!
Tablero II
a1 = 15.63+ 10.96= 26.59
l1 = 6 m
a2 = 2.49 + 2.7 5.19
l2 = 5 m
OK!
Tablero III
a1 = 10.96 + 10.96 = 21.92
l1 = 7 m
a2 = 3.76 + 2.49 = 6.25
l2 = 4 m
OK!
Tablero IV
a1 = 10.96 + 10.96 = 26.59
l1 = 6 m
a2 = 2.49 + 2.7 = 5.19
l2 = 4 m
OK!
Finalmente concluimos en que el tablero más crítico es el número II y que es más factible emplear el Método Directo
en la solución del presente problema.
Nueva Era 25
17.2
7*25.6
5*59.26
2
2
=
46.0
17.2
1 =
56.3
6*19.5
5*59.26
2
2
=
28.0
56.3
1
=
15.1
7*25.6
4*92.21
2
2
=
87.0
15.1
1=
88.1
6*19.5
4*92.21
2
2
=
53.0
88.1
1
=
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
2° Verificación del Peralte
Pese a que en el presente problema se da un espesor de la losa de 15 cm., por razones académicas verificaremos, si ese
es un peralte adecuado o no.
( )
( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+--+
+
=
b
bab
1
115.0*500036000
*071.0800ln
sm
fy
h
( )
( )
s
fy
h
bb++
+
=
1*500036000
*071.0800ln
l n = 700 - 40 = 660 cm = 6.6 m
b =660/460 = 1.435
bs En el tablero I
5.0
7755
75
=
+++
+
=
Sb
21.8
4
49.276.396.1063.15
=
+++
=
ma
( )
( )
cmh
h
89.7
435.1
1
15.015.021.8435.1*500036000
4200*071.0800660
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+--+
+
=
( )
( )
.5.15
5.01435.1*500036000
4200*071.0800660
cmh
h
=
++
+
=
De acuerdo a cálculos debiera asumirse un peralte de 15.5 cm, por lo que el valor asumido al inicio del problema de 15
cm parece correcto.
3° Cálculo de Momento Isostático Total :
22
/95.1/1950
700*8.1460*5.1
*8.1*5.1
mTnmKgW
W
WWW
U
U
UDU
==
+=
+=
8
ln)*(
2
2lWu
Mo=
Ejes A y D:
mTnMo -=
+
= 87.276.6*
8
)125.05.2(95.1 2
Tramos 1-2 y 4-5
Nueva Era 26
2° Verificación del Peralte
Pese a que en el presente problema se da un espesor de la losa de 15 cm., por razones académicas verificaremos, si ese
es un peralte adecuado o no.
( )
( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+--+
+
=
b
bab
1
115.0*500036000
*071.0800ln
sm
fy
h
( )
( )
s
fy
h
bb++
+
=
1*500036000
*071.0800ln
l n = 700 - 40 = 660 cm = 6.6 m
b =660/460 = 1.435
bs En el tablero I
5.0
7755
75
=
+++
+
=
Sb
21.8
4
49.276.396.1063.15
=
+++
=
ma
( )
( )
cmh
h
89.7
435.1
1
15.015.021.8435.1*500036000
4200*071.0800660
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+--+
+
=
( )
( )
.5.15
5.01435.1*500036000
4200*071.0800660
cmh
h
=
++
+
=
De acuerdo a cálculos debiera asumirse un peralte de 15.5 cm, por lo que el valor asumido al inicio del problema de 15
cm parece correcto.
3° Cálculo de Momento Isostático Total :
22
/95.1/1950
700*8.1460*5.1
*8.1*5.1
mTnmKgW
W
WWW
U
U
UDU
==
+=
+=
8
ln)*(
2
2lWu
Mo=
Ejes A y D:
mTnMo -=
+
= 87.276.6*
8
)125.05.2(95.1 2
Tramos 1-2 y 4-5
Nueva Era 26
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Tramos 2-3 y 3-4
Ejes B y C:
mTnMo -=-= 78.47)4.07(*
8
)5.4(95.1 2
Tramos 1-2 y 4-5
Tramos 2-3 y 3-4
Ejes 1 y 5:
mTnMo -=
+
= 70.186.4*
8
)125.05.3(95.1 2
Tramos A-B y C-D
Tramo B-C
Ejes 2 y 4:
mTnMo -== 53.336.4*
8
)5.6(95.1 2
Tramos A-B y C-D
Tramo B-C
Eje 3:
mTnMo -== 95.306.4*
8
)6(95.1 2
Tramos A-B y C-D
Tramo B-C
4° Distribución de Mo, en momentos positivos y negativos a lo largo de los diferentes ejes:
Ejes A y D: (Caso 2)
M1-2 (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 27.8 = 4.46 Tn-m
M1-2 (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 27.8 = 15.89 Tn-m
M2-1 (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 27.8 = 19.51 Tn-m
M2-3 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.07 = 13.05 Tn-m
Nueva Era 27
mTnMo -== 07.206.5*
8
)625.2(95.1 2
mTnMo -=-= 40.34)4.06(*
8
)5.4(95.1 2
mTnMo -== 45.116.3*
8
)625.3(95.1 2
mTnMo -== 53.206.3*
8
)5.6(95.1 2
mTnMo -== 95.186.3*
8
)6(95.1 2
Tramos 2-3 y 3-4
Ejes B y C:
mTnMo -=-= 78.47)4.07(*
8
)5.4(95.1 2
Tramos 1-2 y 4-5
Tramos 2-3 y 3-4
Ejes 1 y 5:
mTnMo -=
+
= 70.186.4*
8
)125.05.3(95.1 2
Tramos A-B y C-D
Tramo B-C
Ejes 2 y 4:
mTnMo -== 53.336.4*
8
)5.6(95.1 2
Tramos A-B y C-D
Tramo B-C
Eje 3:
mTnMo -== 95.306.4*
8
)6(95.1 2
Tramos A-B y C-D
Tramo B-C
4° Distribución de Mo, en momentos positivos y negativos a lo largo de los diferentes ejes:
Ejes A y D: (Caso 2)
M1-2 (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 27.8 = 4.46 Tn-m
M1-2 (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 27.8 = 15.89 Tn-m
M2-1 (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 27.8 = 19.51 Tn-m
M2-3 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.07 = 13.05 Tn-m
Nueva Era 27
mTnMo -== 07.206.5*
8
)625.2(95.1 2
mTnMo -=-= 40.34)4.06(*
8
)5.4(95.1 2
mTnMo -== 45.116.3*
8
)625.3(95.1 2
mTnMo -== 53.206.3*
8
)5.6(95.1 2
mTnMo -== 95.186.3*
8
)6(95.1 2
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
M2-3 (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 20.07 = 7.02 Tn-m
M3-2 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.07 = 13.05 Tn-m
Simetría
Ejes B y C: (Caso 2)
M1-2 (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 47.78 = 7.64 Tn-m
M1-2 (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 47.78 = 27.23 Tn-m
M2-1 (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 47.78 = 33.45 Tn-m
M2-3 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 34.40 = 22.36 Tn-m
M2-3 (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 34.40 = 12.04 Tn-m
M3-2 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 34.40 = 22.36 Tn-m
Simetría
Ejes 1 y 5:
MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 18.70 = 2.99 Tn-m
MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 18.70 = 10.66 Tn-m
MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 18.70 = 13.89 Tn-m
MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 11.45 = 7.44 Tn-m
MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 11.45 = 4.00 Tn-m
Simetría
Ejes 2 y 4:
MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 33.53 = 5.36 Tn-m
MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 33.53 = 19.11 Tn-m
MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 33.53 = 23.47 Tn-m
MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.53 = 13.34 Tn-m
MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 20.53 = 7.18 Tn-m
Simetría
Ejes 3:
MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 30.95 = 4.95 Tn-m
MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 30.95 = 17.64 Tn-m
MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 30.95 = 21.67 Tn-m
MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 18.95 = 12.32 Tn-m
MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 18.95 = 6.63 Tn-m
Nueva Era 28
M2-3 (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 20.07 = 7.02 Tn-m
M3-2 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.07 = 13.05 Tn-m
Simetría
Ejes B y C: (Caso 2)
M1-2 (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 47.78 = 7.64 Tn-m
M1-2 (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 47.78 = 27.23 Tn-m
M2-1 (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 47.78 = 33.45 Tn-m
M2-3 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 34.40 = 22.36 Tn-m
M2-3 (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 34.40 = 12.04 Tn-m
M3-2 (-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 34.40 = 22.36 Tn-m
Simetría
Ejes 1 y 5:
MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 18.70 = 2.99 Tn-m
MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 18.70 = 10.66 Tn-m
MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 18.70 = 13.89 Tn-m
MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 11.45 = 7.44 Tn-m
MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 11.45 = 4.00 Tn-m
Simetría
Ejes 2 y 4:
MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 33.53 = 5.36 Tn-m
MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 33.53 = 19.11 Tn-m
MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 33.53 = 23.47 Tn-m
MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 20.53 = 13.34 Tn-m
MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 20.53 = 7.18 Tn-m
Simetría
Ejes 3:
MA-B (-) = 0.16 * Mo = 0.16 * 30.95 = 4.95 Tn-m
MA-B (+) = 0.57 * Mo = 0.57 * 30.95 = 17.64 Tn-m
MB-A (-) = 0.70 * Mo = 0.70 * 30.95 = 21.67 Tn-m
MB-C(-) = 0.65 * Mo = 0.65 * 18.95 = 12.32 Tn-m
MB-C (+) = 0.35 * Mo = 0.35 * 18.95 = 6.63 Tn-m
Nueva Era 28
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Simetría
5° Chequeo de efecto de cargas desfavorables:
Antes de distribuir los momentos hallados en el paso anterior a lo ancho de la franja, debe verificarse que no haya
efecto de cargas desfavorables. Este chequeo se hace por columnas y en el presente caso verificaremos una columna
exterior (A1) y otra interior (B2).
2£=
L
D
a
W
W
b
2
700
460
£
266.0£ Hay que hacer chequeo
Columna A-1 (Eje A : más crítico)
( )
bS
C
C
KK
K
+S
S
=a
4
4
33.213333
12
40
cmI ==
67.426
500
33.213333
1 ==K
11.711
300
33.213333
2 ==K
4
04.1154060cmI
b=
4
125.73828cmIs=
65.0
700
125.7382804.1154060
11.71167.426
=
+
+
=
C
a
Para hallar amin, tenemos:
ba=0.66
71.0
00.7
00.5
1
2
==
l
l
a = 15.63
amin = 0
ac >amin OK!
Columna B-2 (Eje 2)
( )
bS
C
C
KK
K
+S
S
=a
Nueva Era 29
Simetría
5° Chequeo de efecto de cargas desfavorables:
Antes de distribuir los momentos hallados en el paso anterior a lo ancho de la franja, debe verificarse que no haya
efecto de cargas desfavorables. Este chequeo se hace por columnas y en el presente caso verificaremos una columna
exterior (A1) y otra interior (B2).
2£=
L
D
a
W
W
b
2
700
460
£
266.0£ Hay que hacer chequeo
Columna A-1 (Eje A : más crítico)
( )
bS
C
C
KK
K
+S
S
=a
4
4
33.213333
12
40
cmI ==
67.426
500
33.213333
1 ==K
11.711
300
33.213333
2 ==K
4
04.1154060cmI
b=
4
125.73828cmIs=
65.0
700
125.7382804.1154060
11.71167.426
=
+
+
=
C
a
Para hallar amin, tenemos:
ba=0.66
71.0
00.7
00.5
1
2
==
l
l
a = 15.63
amin = 0
ac >amin OK!
Columna B-2 (Eje 2)
( )
bS
C
C
KK
K
+S
S
=a
Nueva Era 29
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
4
4
33.213333
12
40
cmI ==
67.426
500
33.213333
1 ==K
11.711
300
33.213333
2 ==K
4
40.454866cmI
b=
4
50.182812cmIs=
40.0
400
50.1828124.454866
500
50.18281240.454866
11.71167.426
=
+
+
+
+
=
C
a
Para hallar amin, tenemos:
ba=0.66
5.1
00.4
00.6
1
2
==
l
l
a = 2.49
amin = 0
ac >amin OK! No hay corrección
6. Distribución de momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio
Para distribuir los momentos a lo ancho de la franja en estudio conocemos ya los parámetros a , sin embarga
calcularemos ya los previamente el parámetro bt para las vigas de borde.
Cálculo de bt , para las vigas de borde, ejes de A y D.
3
)63.01(;
*2
3
yx
y
x
C
IsEcs
CEcb
t -S==b
3
55*25
)
55
25
*63.01(
3
80*15
80
15
*63.01
33
1 -+÷
ø
ö
ç
è
æ
-=C
Nueva Era 30
4
1 83.283795cmC=
80
25
15
55
4
4
33.213333
12
40
cmI ==
67.426
500
33.213333
1 ==K
11.711
300
33.213333
2 ==K
4
40.454866cmI
b=
4
50.182812cmIs=
40.0
400
50.1828124.454866
500
50.18281240.454866
11.71167.426
=
+
+
+
+
=
C
a
Para hallar amin, tenemos:
ba=0.66
5.1
00.4
00.6
1
2
==
l
l
a = 2.49
amin = 0
ac >amin OK! No hay corrección
6. Distribución de momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio
Para distribuir los momentos a lo ancho de la franja en estudio conocemos ya los parámetros a , sin embarga
calcularemos ya los previamente el parámetro bt para las vigas de borde.
Cálculo de bt , para las vigas de borde, ejes de A y D.
3
)63.01(;
*2
3
yx
y
x
C
IsEcs
CEcb
t -S==b
3
55*25
)
55
25
*63.01(
3
80*15
80
15
*63.01
33
1 -+÷
ø
ö
ç
è
æ
-=C
Nueva Era 30
4
1 83.283795cmC=
80
25
15
55
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
3
70*25
)
70
25
*63.01(
3
55*15
55
15
*63.01
33
2 -+÷
ø
ö
ç
è
æ
-=C
( )mayorelcmC
4
2 83.333795=
19.1
12
15*500
2
83.333975
2
3
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
==
Is
C
t
b
Por ser de borde se usa toda la longitud y no ancho tributario
EJES A y D: a = 15.63
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
L2 / L1 a1 r2 / r1bt % Tabla M ( Franja
central )
M ( Viga )M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
M 1-2 ( - ) 4.46 0.71 11.10 1.19 0.93 4.15 3.53 0.62 0.31
M 1-2 ( + )15.89 0.71 11.10 0.84 13.35 11.35 2.00 2.54
M 2-1 ( - )19.51 0.71 11.10 0.84 16.39 13.93 2.46 3.12
M 2-3 ( - )13.05 0.83 13.03 0.80 10.44 8.87 1.57 2.61
M 2-3 ( + ) 7.03 0.83 13.03 0.80 5.62 4.78 0.84 1.41
M 3-2 ( - )13.04 0.83 13.03 0.80 10.44 8.87 1.57 2.61
EJES B y C: a = 10.95
32.15.126562
12
15*450
;
2
3
=\===
tt Is
Is
C
bb
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
L2 / L1 a1 r2 / r1bt % Tabla M ( Franja
central )
M ( Viga )M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
Nueva Era 31
80
25
15
70
3
70*25
)
70
25
*63.01(
3
55*15
55
15
*63.01
33
2 -+÷
ø
ö
ç
è
æ
-=C
( )mayorelcmC
4
2 83.333795=
19.1
12
15*500
2
83.333975
2
3
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
==
Is
C
t
b
Por ser de borde se usa toda la longitud y no ancho tributario
EJES A y D: a = 15.63
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
L2 / L1 a1 r2 / r1bt % Tabla M ( Franja
central )
M ( Viga )M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
M 1-2 ( - ) 4.46 0.71 11.10 1.19 0.93 4.15 3.53 0.62 0.31
M 1-2 ( + )15.89 0.71 11.10 0.84 13.35 11.35 2.00 2.54
M 2-1 ( - )19.51 0.71 11.10 0.84 16.39 13.93 2.46 3.12
M 2-3 ( - )13.05 0.83 13.03 0.80 10.44 8.87 1.57 2.61
M 2-3 ( + ) 7.03 0.83 13.03 0.80 5.62 4.78 0.84 1.41
M 3-2 ( - )13.04 0.83 13.03 0.80 10.44 8.87 1.57 2.61
EJES B y C: a = 10.95
32.15.126562
12
15*450
;
2
3
=\===
tt Is
Is
C
bb
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
L2 / L1 a1 r2 / r1bt % Tabla M ( Franja
central )
M ( Viga )M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
Nueva Era 31
80
25
15
70
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
M 1-2 ( - ) 7.64 0.64 7.01 1.32 0.925 7.07 6.01 1.05 0.57
M 1-2 ( + )27.23 0.64 7.01 0.86 23.42 19.91 3.51 3.81
M 2-1 ( - )33.44 0.64 7.01 0.86 28.76 24.44 4.31 4.68
M 2-3 ( - )22.36 0.75 8.22 0.325 18.45 15.68 2.77 3.91
M 2-3 ( +
)
12.06 0.75 8.22 0.825 9.95 8.4 1.49 2.11
M 3-2
( - )
22.36 0.75 8.22 0.825 18.45 15.68 2.77 3.91
EJES 1 y 5:
4
33
19.157129
3
35*25
)
35
25
*63.01(
3
60*15
60
15
*63.01
cmC
C
=
-+÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
53.0
196875*2
17.207129
196875
12
15*700
;
2
3
==\===
tt Is
Is
C
bb
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
L2 / L1 a1 r2 / r1bt % Tabla M ( Franja
central )
M ( Viga )M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
M AB ( - ) 2.99 1.4 5.26 0.53 0.92 2.75 2.34 0.41 0.24
M AB ( + )10.66 1.4 5.26 0.63 6.72 5.71 1.01 3.94
M BA ( - )13.89 1.4 5.26 0.63 8.75 7.44 1.31 5.14
M BC ( - ) 7.44 1.75 6.58 0.53 3.94 3.35 0.59 3.50
M BC ( + ) 4.00 1.75 6.58 0.53 2.12 1.80 0.32 1.88
EJES 2 y 4:
Nueva Era 32
( )mayorelcmC
C
4
33
19.207129
3
50*25
)
50
25
*63.01(
3
35*15
35
15
*63.01
=
-+÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
15
35
25
50
60
25
15
35
M 1-2 ( - ) 7.64 0.64 7.01 1.32 0.925 7.07 6.01 1.05 0.57
M 1-2 ( + )27.23 0.64 7.01 0.86 23.42 19.91 3.51 3.81
M 2-1 ( - )33.44 0.64 7.01 0.86 28.76 24.44 4.31 4.68
M 2-3 ( - )22.36 0.75 8.22 0.325 18.45 15.68 2.77 3.91
M 2-3 ( +
)
12.06 0.75 8.22 0.825 9.95 8.4 1.49 2.11
M 3-2
( - )
22.36 0.75 8.22 0.825 18.45 15.68 2.77 3.91
EJES 1 y 5:
4
33
19.157129
3
35*25
)
35
25
*63.01(
3
60*15
60
15
*63.01
cmC
C
=
-+÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
53.0
196875*2
17.207129
196875
12
15*700
;
2
3
==\===
tt Is
Is
C
bb
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
L2 / L1 a1 r2 / r1bt % Tabla M ( Franja
central )
M ( Viga )M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
M AB ( - ) 2.99 1.4 5.26 0.53 0.92 2.75 2.34 0.41 0.24
M AB ( + )10.66 1.4 5.26 0.63 6.72 5.71 1.01 3.94
M BA ( - )13.89 1.4 5.26 0.63 8.75 7.44 1.31 5.14
M BC ( - ) 7.44 1.75 6.58 0.53 3.94 3.35 0.59 3.50
M BC ( + ) 4.00 1.75 6.58 0.53 2.12 1.80 0.32 1.88
EJES 2 y 4:
Nueva Era 32
( )mayorelcmC
C
4
33
19.207129
3
50*25
)
50
25
*63.01(
3
35*15
35
15
*63.01
=
-+÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
15
35
25
50
60
25
15
35
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
57.05.182812
12
15*650
;
2
4
3
=\===
tt cmIs
Is
C
bb
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
L2 / L1 a1 r2 / r1bt % Tabla M ( Franja
central )
M ( Viga )M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
M AB ( - ) 5.36 1.3 3.24 0.57 0.92 4.93 4.19 0.74 0.43
M AB ( + )19.11 1.3 3.24 0.66 12.61 10.72 1.89 6.50
M BA ( - )23.47 1.3 3.24 0.66 15.49 13.17 2.32 7.98
M BC ( - )13.34 1.63 4.06 0.56 7.47 6.35 1.12 5.87
M BC ( + ) 7.18 1.63 4.06 0.56 4.02 3.42 0.60 3.16
EJE 3:
61.0158750
12
15*600
;
2
4
3
=\===
tt cmIs
Is
C
bb
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
L2 / L1 a1 r2 / r1bt % Tabla M ( Franja
central )
M ( Viga )M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
M AB ( - ) 5.36 1.3 3.24 0.57 0.92 4.93 4.19 0.74 0.43
M AB ( + )19.11 1.3 3.24 0.66 12.61 10.72 1.89 6.50
M BA ( - )23.47 1.3 3.24 0.66 15.49 13.17 2.32 7.98
M BC ( - )13.34 1.63 4.06 0.56 7.47 6.35 1.12 5.87
M BC ( + ) 7.18 1.63 4.06 0.56 4.02 3.42 0.60 3.16
7.- Cálculo de área de acero por franjas:
Conocidos los momentos para las diferentes franjas se procede al cálculo de las correspondientes áreas de
acero. En el presente caso a manera de ejemplo calcularemos las áreas de acero para las diferentes franjas de los ejes B
y C tal como se muestra en el siguiente gráfico:
EJES B y C:
EJES B y C:
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
As 1 As 2As mín. Armado
As 1
Armado
As 2
Nueva Era 33
Viga
½ franja
central
½ franja
central
Franja de
columna
7.00 6.00
1.25
1.25
1.00
1.00
B
57.05.182812
12
15*650
;
2
4
3
=\===
tt cmIs
Is
C
bb
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
L2 / L1 a1 r2 / r1bt % Tabla M ( Franja
central )
M ( Viga )M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
M AB ( - ) 5.36 1.3 3.24 0.57 0.92 4.93 4.19 0.74 0.43
M AB ( + )19.11 1.3 3.24 0.66 12.61 10.72 1.89 6.50
M BA ( - )23.47 1.3 3.24 0.66 15.49 13.17 2.32 7.98
M BC ( - )13.34 1.63 4.06 0.56 7.47 6.35 1.12 5.87
M BC ( + ) 7.18 1.63 4.06 0.56 4.02 3.42 0.60 3.16
EJE 3:
61.0158750
12
15*600
;
2
4
3
=\===
tt cmIs
Is
C
bb
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
L2 / L1 a1 r2 / r1bt % Tabla M ( Franja
central )
M ( Viga )M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
M AB ( - ) 5.36 1.3 3.24 0.57 0.92 4.93 4.19 0.74 0.43
M AB ( + )19.11 1.3 3.24 0.66 12.61 10.72 1.89 6.50
M BA ( - )23.47 1.3 3.24 0.66 15.49 13.17 2.32 7.98
M BC ( - )13.34 1.63 4.06 0.56 7.47 6.35 1.12 5.87
M BC ( + ) 7.18 1.63 4.06 0.56 4.02 3.42 0.60 3.16
7.- Cálculo de área de acero por franjas:
Conocidos los momentos para las diferentes franjas se procede al cálculo de las correspondientes áreas de
acero. En el presente caso a manera de ejemplo calcularemos las áreas de acero para las diferentes franjas de los ejes B
y C tal como se muestra en el siguiente gráfico:
EJES B y C:
EJES B y C:
SECCION M TOTAL
( Tn – m)
M ( losa con
franj. colum.)
M ( Franja
central )
As 1 As 2As mín. Armado
As 1
Armado
As 2
Nueva Era 33
Viga
½ franja
central
½ franja
central
Franja de
columna
7.00 6.00
1.25
1.25
1.00
1.00
B
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
M 1-2 ( - ) 7.64 1.06 0.576.086.086.08f 3/8 “ @ 25 cm.f 3/8 “ @ 25 cm.
M 1-2 ( + )27.23 3.47 4.087.348.636.08f 3/8 “ @ 20 cm.f 3/8 “ @ 15 cm.
M 2-1 ( - )33.44 4.26 5.029.0110.626.08f 3/8 “ @ 15 cm.f 3/8 “ @ 15 cm.
M 2-3 ( - )22.36 2.77 3.916.088.286.08f 3/8 “ @ 25 cm.f 3/8 “ @ 15 cm.
M 2-3 ( + )12.06 1.49 2.116.086.086.08f 3/8 “ @ 25 cm.f 3/8 “ @ 25 cm.
M 3-2 ( - )22.36 2.77 3.916.088.286.08f 3/8 “ @ 25 cm.f 3/8 “ @ 15 cm.
mTnMu
AsadfyMu
bcf
fyAs
a
cm
Usando
cmAs
mín
-=-=
-=
===
==
==
91.208.6)2/64.013(4200*9.0
)2/(
64.0
225*210*85.0
4200*08.6
*'85.0
*
.3.26225*
08.6
71.0
@
"8/3
080.615*25.2*0018.0
2
.
f
f
cm
cm
cmAs
cma
bcf
fyAs
a
cmAs
a
d
bcf
fyAs
a
M
20@"8/3
208.21225*
34.7
71.0
@
34.7
77.0
*'85.0
*
34.7
1
13;
*'85.0
*
47.3
2
2
f
@==
=\
=
=
=
=
==
=-
Para el resto de franjas se calcula el área de acero en forma similar, debiendo después superponerse el armado
de todas las franjas y buscar lograr que el armado final sea sencillo, económico y de relativa fácil ejecución.
8.- Revisión de cortante para la losa
1950)700*8.150.4(5.1
2
15.1
1
=+=
=
Wu
lWu
Vu
!...
87.848613*100*21053.0*85.0
'53.0
75.5157
2
60.4*1950
15.1
OKVcVu
KgVc
bdcfVc
Vu
<
==
=
==
f
Problema:- Calcular los momentos de diseño por el método directo en la dirección achurada para una losa armada en los
dos sentidos ubicada en un piso intermedio, el edificio tiene placas de concreto que asumen las fuerzas del sismo y no
tiene vigas de borde, las características de la edificación se muestran en el cuadro y grafico siguientes:
Datos:
Nueva Era 34
M 1-2 ( - ) 7.64 1.06 0.576.086.086.08f 3/8 “ @ 25 cm.f 3/8 “ @ 25 cm.
M 1-2 ( + )27.23 3.47 4.087.348.636.08f 3/8 “ @ 20 cm.f 3/8 “ @ 15 cm.
M 2-1 ( - )33.44 4.26 5.029.0110.626.08f 3/8 “ @ 15 cm.f 3/8 “ @ 15 cm.
M 2-3 ( - )22.36 2.77 3.916.088.286.08f 3/8 “ @ 25 cm.f 3/8 “ @ 15 cm.
M 2-3 ( + )12.06 1.49 2.116.086.086.08f 3/8 “ @ 25 cm.f 3/8 “ @ 25 cm.
M 3-2 ( - )22.36 2.77 3.916.088.286.08f 3/8 “ @ 25 cm.f 3/8 “ @ 15 cm.
mTnMu
AsadfyMu
bcf
fyAs
a
cm
Usando
cmAs
mín
-=-=
-=
===
==
==
91.208.6)2/64.013(4200*9.0
)2/(
64.0
225*210*85.0
4200*08.6
*'85.0
*
.3.26225*
08.6
71.0
@
"8/3
080.615*25.2*0018.0
2
.
f
f
cm
cm
cmAs
cma
bcf
fyAs
a
cmAs
a
d
bcf
fyAs
a
M
20@"8/3
208.21225*
34.7
71.0
@
34.7
77.0
*'85.0
*
34.7
1
13;
*'85.0
*
47.3
2
2
f
@==
=\
=
=
=
=
==
=-
Para el resto de franjas se calcula el área de acero en forma similar, debiendo después superponerse el armado
de todas las franjas y buscar lograr que el armado final sea sencillo, económico y de relativa fácil ejecución.
8.- Revisión de cortante para la losa
1950)700*8.150.4(5.1
2
15.1
1
=+=
=
Wu
lWu
Vu
!...
87.848613*100*21053.0*85.0
'53.0
75.5157
2
60.4*1950
15.1
OKVcVu
KgVc
bdcfVc
Vu
<
==
=
==
f
Problema:- Calcular los momentos de diseño por el método directo en la dirección achurada para una losa armada en los
dos sentidos ubicada en un piso intermedio, el edificio tiene placas de concreto que asumen las fuerzas del sismo y no
tiene vigas de borde, las características de la edificación se muestran en el cuadro y grafico siguientes:
Datos:
Nueva Era 34
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Altura del piso: 2.70 m
Columnas: 40*40 cm
Tabiquerias: 100 Kg/cm2
Acabados: 100 Kg/cm2
Sobrecargas: 200 Kg/cm2
f`c = 210 Kg/cm2
fy = 4200 Kg/cm2
Recubrimiento: 3 cm.
1.- Verificación de aplicación del Método Directo.
La presente estructura cumple contadas las condiciones de luces y cargas para poder aplicar el método directo.
En cuanto al chequeo de los valores de , cuando no existen vigas de apoyo no se realiza esta verificación puesto que
todos los valores de son igual a 0 ( cero ).
2.- Cálculo del espesor de la losa.
( )
( )
.14.0
36000
4200*071.0800)4.05(
36000
071.0800
mh
h
fyl
h
n
=
+-
=
+
=
Nueva Era 35
5
5
5
4 4 4
Altura del piso: 2.70 m
Columnas: 40*40 cm
Tabiquerias: 100 Kg/cm2
Acabados: 100 Kg/cm2
Sobrecargas: 200 Kg/cm2
f`c = 210 Kg/cm2
fy = 4200 Kg/cm2
Recubrimiento: 3 cm.
1.- Verificación de aplicación del Método Directo.
La presente estructura cumple contadas las condiciones de luces y cargas para poder aplicar el método directo.
En cuanto al chequeo de los valores de , cuando no existen vigas de apoyo no se realiza esta verificación puesto que
todos los valores de son igual a 0 ( cero ).
2.- Cálculo del espesor de la losa.
( )
( )
.14.0
36000
4200*071.0800)4.05(
36000
071.0800
mh
h
fyl
h
n
=
+-
=
+
=
Nueva Era 35
5
5
5
4 4 4
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
En la práctica por el alto corte y momento que soportan estas losas se sugiere aumentar en un 10%el valor
hallado del peralte.
)%10(.17.0 excesodeConmh=
3.- Cálculo del Mo
( ) ( )
)(
46.13)4.05(
8
0.4*272.1
/272.1/1272
2008.16085.1
/200
/0.608
1001002400*17.0
8
*
2
22
ejeeltodoPara
mTnMo
mTnmKgW
W
mKgW
mKgW
W
l
lWu
Mo
U
U
L
D
D
n
-=-=
==
+=
=
=
++=
=
4.- Verificación del peralte hallado por corte – flexión y corte - punzonamiento.
En el caso de losas planas como ya se indico el problema de corte y momento es crítico, por lo que el peralte
asumido debe chequearse por corte – flexión y corte punzonamiento.
a.- Chequeo por corte – flexión.
!...
14.914*100*21053.0*85.0
'53.0
75.2
)14.020.050.2(272.1
*
OKVcVu
TnVc
bdcfVc
TnV
V
lWV
U
U
UU
<
==
=
=
--=
=
f
b.- Chequeo por corte – punzonamiento.
( )'AAWV
UU -=
( )
( ) TnVc
bdcfVc
TnV
V
U
U
97.4014*4*54*2101.1*85.0
'1.1
07.29
54.0*50.04*5272.1
==
=
=
-=
f
5.- Distribución del Mo en momentos positivos y negativos a lo largo del eje.
Tabla
Caso 3
Nueva Era 36
En la práctica por el alto corte y momento que soportan estas losas se sugiere aumentar en un 10%el valor
hallado del peralte.
)%10(.17.0 excesodeConmh=
3.- Cálculo del Mo
( ) ( )
)(
46.13)4.05(
8
0.4*272.1
/272.1/1272
2008.16085.1
/200
/0.608
1001002400*17.0
8
*
2
22
ejeeltodoPara
mTnMo
mTnmKgW
W
mKgW
mKgW
W
l
lWu
Mo
U
U
L
D
D
n
-=-=
==
+=
=
=
++=
=
4.- Verificación del peralte hallado por corte – flexión y corte - punzonamiento.
En el caso de losas planas como ya se indico el problema de corte y momento es crítico, por lo que el peralte
asumido debe chequearse por corte – flexión y corte punzonamiento.
a.- Chequeo por corte – flexión.
!...
14.914*100*21053.0*85.0
'53.0
75.2
)14.020.050.2(272.1
*
OKVcVu
TnVc
bdcfVc
TnV
V
lWV
U
U
UU
<
==
=
=
--=
=
f
b.- Chequeo por corte – punzonamiento.
( )'AAWV
UU -=
( )
( ) TnVc
bdcfVc
TnV
V
U
U
97.4014*4*54*2101.1*85.0
'1.1
07.29
54.0*50.04*5272.1
==
=
=
-=
f
5.- Distribución del Mo en momentos positivos y negativos a lo largo del eje.
Tabla
Caso 3
Nueva Era 36
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
M1-2 ( - ) = 0.26 ( 13.46 ) = 3.50 Tn-m
M1-2 ( + ) = 0.52 ( 13.46 ) = 7.00 Tn-m
M2-1 ( - ) = 0.70 ( 13.46 ) = 9.42 Tn-m
M2-3 ( - ) = 0.65 ( 13.46 ) = 8.75 Tn-m
M1-2 ( + ) = 0.35 ( 13.46 ) = 4.71 Tn-m
Simétrico
6.- Verificación efecto cargas desfavorables.
!00.204.3
04.3
200
608
00.2
chequeohayNo
W
W
t
t
L
D
t
>=
==
<=
b
b
b
7.- Distribución de los momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio.
MOMENTO MOMENTO1
FACTORIZADO
FRANJA DE COLUMNA DOS MEDIAS
FRANJAS CENTRALES% TABLA MOMENTO
Tramo exterior
Neg. Exterior
Positivo
Neg. Interior
3.50
7.00
9.42
100
60
75
3.50
4.20
7.06
0.00
2.80
2.36
Tramo interior
Negativo
Positivo
8.75
4.71
75
60
6.56
2.83
1.19
1.88
8.- Verificación del momento y corte transmitido a las columnas de apoyo.
Esta verificación adicional se realizara sólo para el caso de losas planas.
a) Verificación del momento.- De acuerdo al siguiente gráfico:
Nueva Era 37
Franja de
columna
Mn = As * fy ( d – a/2 )
C
C + 2 ( 1.5h )
h
0.26 Mo
g
f
( 0.26 Mo)
* Ancho efectivo de la losa por
transferencia de momento
por flexión
M1-2 ( - ) = 0.26 ( 13.46 ) = 3.50 Tn-m
M1-2 ( + ) = 0.52 ( 13.46 ) = 7.00 Tn-m
M2-1 ( - ) = 0.70 ( 13.46 ) = 9.42 Tn-m
M2-3 ( - ) = 0.65 ( 13.46 ) = 8.75 Tn-m
M1-2 ( + ) = 0.35 ( 13.46 ) = 4.71 Tn-m
Simétrico
6.- Verificación efecto cargas desfavorables.
!00.204.3
04.3
200
608
00.2
chequeohayNo
W
W
t
t
L
D
t
>=
==
<=
b
b
b
7.- Distribución de los momentos positivos y negativos a lo ancho de la franja en estudio.
MOMENTO MOMENTO1
FACTORIZADO
FRANJA DE COLUMNA DOS MEDIAS
FRANJAS CENTRALES% TABLA MOMENTO
Tramo exterior
Neg. Exterior
Positivo
Neg. Interior
3.50
7.00
9.42
100
60
75
3.50
4.20
7.06
0.00
2.80
2.36
Tramo interior
Negativo
Positivo
8.75
4.71
75
60
6.56
2.83
1.19
1.88
8.- Verificación del momento y corte transmitido a las columnas de apoyo.
Esta verificación adicional se realizara sólo para el caso de losas planas.
a) Verificación del momento.- De acuerdo al siguiente gráfico:
Nueva Era 37
Franja de
columna
Mn = As * fy ( d – a/2 )
C
C + 2 ( 1.5h )
h
0.26 Mo
g
f
( 0.26 Mo)
* Ancho efectivo de la losa por
transferencia de momento
por flexión
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
Fig. Esfuerzo del momento nominal para franja de columna para calcular vMn = ( 1 – f )Mn.
a)
f = 0.6 ; v = 0.4
MR = 3.5
Mn = f MR
Mn = 2.1 Tn-m
( ) ( ) ( ) ( )
mTnMn
L
LW
Vu
cm
C
abadbaad
C
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
=
+++
=
+++
=
10.2
2
78.35436
1
6
47/5447*21454*24714*47*2
6
/2221
1
22
3
33
Este momento hallado de 2.1 Tn-m, en el momento adicional que recibe la columna importante pero para un ancho:
b = C + 1.5 ( h ) 2
Habrá que convertir entonces el momento por metro de ancho en la forma siguiente.
b = 40 + 1.5 ( 17 ) 2
b = 91
91 ----------- 2.1
100 -----------X X = 2.31 Tn – m
mTnMn -=31.2
Este valor es el momento final que se transmite a la columna y que merece un refuerzo adicional de la misma de
acuerdo a las fórmulas de cálculo de acero.
b) Posición del cortante en la columna.
Nueva Era 38
()[ ]
2
207214*54472
541440
472/1440
/1
cmAc
b
a
C
M
Ac
Vu
Va
nv
=+=
=+=
=+=
+=
g
Fig. Esfuerzo del momento nominal para franja de columna para calcular vMn = ( 1 – f )Mn.
a)
f = 0.6 ; v = 0.4
MR = 3.5
Mn = f MR
Mn = 2.1 Tn-m
( ) ( ) ( ) ( )
mTnMn
L
LW
Vu
cm
C
abadbaad
C
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
=
+++
=
+++
=
10.2
2
78.35436
1
6
47/5447*21454*24714*47*2
6
/2221
1
22
3
33
Este momento hallado de 2.1 Tn-m, en el momento adicional que recibe la columna importante pero para un ancho:
b = C + 1.5 ( h ) 2
Habrá que convertir entonces el momento por metro de ancho en la forma siguiente.
b = 40 + 1.5 ( 17 ) 2
b = 91
91 ----------- 2.1
100 -----------X X = 2.31 Tn – m
mTnMn -=31.2
Este valor es el momento final que se transmite a la columna y que merece un refuerzo adicional de la misma de
acuerdo a las fórmulas de cálculo de acero.
b) Posición del cortante en la columna.
Nueva Era 38
()[ ]
2
207214*54472
541440
472/1440
/1
cmAc
b
a
C
M
Ac
Vu
Va
nv
=+=
=+=
=+=
+=
g
Concreto Armado Ing. Francisco Serrano
!....../55.132101.1*85.0
'1.1
/75.8
78.35436
10*31.2*4.0
2072
10*720.12
.72.12
5
2
4*272.1
2
/1
2
2
53
1
22
OKVcVucmKgVc
cfVc
cmKgVu
Vu
TnVv
Vv
L
LW
Vv
C
M
Ac
Vu
Va
nv
<==
=
=
+=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
+=
f
g
Habiéndose verificado que el corte transmitido a la unión losa – columna es aceptable, el problema está concluido y
para calcular es As en franjas centrales y de columna se usa las fórmulas ya conocidas y que se aplicaron en problemas
anteriores.
Nueva Era 39
!....../55.132101.1*85.0
'1.1
/75.8
78.35436
10*31.2*4.0
2072
10*720.12
.72.12
5
2
4*272.1
2
/1
2
2
53
1
22
OKVcVucmKgVc
cfVc
cmKgVu
Vu
TnVv
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L
LW
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f
g
Habiéndose verificado que el corte transmitido a la unión losa – columna es aceptable, el problema está concluido y
para calcular es As en franjas centrales y de columna se usa las fórmulas ya conocidas y que se aplicaron en problemas
anteriores.
Nueva Era 39
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