Lugar de las raices

1. Lugar de las raíces

2. Lugar de las raíces
Los polos de lazo abierto de un sistema representan características
propias del mismo, no pueden ser modificados a menos que se modifique
el sistema o se agreguen otros elementos dinámicos.

3. Lugar de las raíces
5
7
+s
Time (sec.)
A
m
p
lit
u
d
e
Step Response
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
From: U(1)
T
o
:
Y
(
1
)
5
7
+s
4
Time (sec.)
A
m
p
lit
u
d
e
Step Response
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0
1
2
3
4
5
6
From: U(1)
T
o
:
Y
(
1
)
1.4
5.6
5
7
+s
2
1
+s
Time (sec.)
A
m
p
lit
u
d
e
Step Response
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
From: U(1)
T
o
:
Y
(
1
)
Respuesta
No cambia el
tiempo de
respuesta, solo la
amplitud.
El tiempo de
respuesta cambia,
Solo agregando
otra dinámica.
1.4
0.7
Sistema de primer orden ante una entrada escalón:

4. Lugar de las raíces
Por otra parte
Los polos de lazo cerrado pueden ser fácilmente modificados sin alterar la
naturaleza del sistema.
Las características de estabilidad de un sistema en lazo cerrado están
íntimamente ligadas con la ubicación de los polos de lazo cerrado
¿Porqué modificar los polos de lazo cerrado
Entonces:
• Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de respuesta de
salida sin alterar su naturaleza.
• Sistemas inestables (estables) pueden llegar a ser estables (inestables)
utilizando realimentación y, en el caso más sencillo, modificando una simple
ganancia.
veamos un ejemplo…

5. Lugar de las raíces
Sea el sistema de lazo cerrado
)7(+ss
K
+
-
Polos de lazo abierto:
7,0-==ss
)(sC)(sR
En lazo cerrado
Kss
K
sR
sC
++
=
)7()(
)(
La ecuación característica es
07
2
=++ Kss
)(sB
En lazo abierto
)7()(
)(
+
=
ss
K
sE
sB
Las raíces de la ecuación característica
son los polos de lazo cerrado (p.l.c)
Ks -±-= 25.125.3
12
y dependen del valor de K

6. Lugar de las raíces
Para diferentes valores de K:
K cerradolazodepolos
5707.35.3js +-= 5707.35.3js --=25
8541.6-=s 1459.0-=s1
5.3-=s 5.3-=s25.12
5-=s10 2-=s
5.14 5.15.3js +-= 5.15.3js --=
25.112 105.3js +-= 105.3js --=
1.0 98568.6-=s 014314.0-=s
Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente

7. Lugar de las raíces
1.0=K
25.112=K
La ubicación de estas raíces en el plano s
Saltar gráficas

8. Lugar de las raíces
1.07
1.0
)(
)(
2
++
=
sssR
sC
clp.. 014314.0
2
-=s98568.6
1
-=s

9. Lugar de las raíces
17
1
)(
)(
2
++
=
sssR
sC
clp.. 01459.0
2
-=s8541.6
1
-=s

10. Lugar de las raíces
107
10
)(
)(
2
++
=
sssR
sC
clp.. 2
2
-=s5
1
-=s

11. Lugar de las raíces
25.127
25.12
)(
)(
2
++
=
sssR
sC
clp.. 5.3
2
-=s5.3
1
-=s

12. Lugar de las raíces
257
25
)(
)(
2
++
=
sssR
sC
clp.. 5707.35.3
2
js --=5707.35.3
1
js +-=

13. Lugar de las raíces
25.1127
25.112
)(
)(
2
++
=
sssR
sC
clp.. 105.3
2
js --=105.3
1
js +-=

14. Lugar de las raíces
Entonces si se evaluara para todos los valores positivos de K se obtendría El
lugar de las raíces de ese sistema en particular. Regresando al ejemplo:
Variando el valor de la
ganancia K, se tiene
acceso a cualquier
valor de polos de lazo
cerrado (región verde-
azul).
Otro valor fuera de esa
región, no es posible
obtenerlo solamente
con el cambio de K

15. Lugar de las raíces
El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de la
ecuación de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro
parámetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuación de lazo abierto
GH(s):
Definición:
Condición de ángulo y magnitud
La ecuación característica
0)()(1 =+ sHsG 1)()( -=sHsG
por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ángulo:
1)()( =sHsG ,...2,1,0,360180)()( =°±°=Ð kksHsG
Condición de magnitud Condición de ángulo
Todas las raíces del lugar de las raíces cumplen con la condición de ángulo y
magnitud.

16. Lugar de las raíces
Retomando el ejemplo anterior con 25.112=K
s
wj
10j
10j-
1A
2A
)7(
25.112
)(
+
=
ss
sG
clp.. 105.3
2
js --=105.3
1
js +-=
1)(
21
==
AA
K
sG
1
)7(
25.112
105.3
=
+
+-= js
ss
7-
Condición de magnitud
alp..
alp..
...clp
...clp
Cumple con la condición de magnitud

17. Lugar de las raíces
°±°=Ð 360180)(sG
21
)( qq+=ÐsG
Condición de ángulo
s
wj
10j
10j-
1q
2q
7-
alp..
alp..
...clp
...clp
÷
ø
ö
ç
è
æ
+°=
-
10
5.3
90
1
1
tgq
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
-
5.3
101
2
tgq
°=Ð 180)(sG
Cumple con la condición de ángulo
lugar de las raíces
Cualquier otro polo de lazo cerrado fuera del lugar de las raíces no cumple
con la condición de magnitud ni de ángulo.
Cualquier otro polo de lazo cerrado dentro del lugar de las raíces cumple con
la condición de magnitud y de ángulo.

18. Lugar de las raíces
Reglas de construcción para el lugar de las raíces
Se expondrán las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las raíces de
1.- Puntos de origen (k = 0)
Los puntos de origen del lugar de las raíces son los polos de GH(s). Los polos
incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
)5)(4(
)()(
++
=
sss
K
sHsG
polos finitos .5,4,0 -=-== sss
ceros finitoshayno
Gráfica
2.- Puntos terminales (k = ¥)
Los puntos terminales del lugar de las raíces son los ceros de GH(s). Los
ceros incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.

19. Lugar de las raíces
3.- Número de ramas separadas
P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de
ramas separadas.
ZPN -=
303=-=NRamas separadas
4.- Asíntotas del lugar de las raíces
N
j
o
j
)12(180 +
=q
j = 0, 1, 2, 3, … hasta N -1= P - Z - 1
.2,1,0,3==jN
°== 60
3
180
1
o
q °== 180
3
)3(180
2
o
q °== 300
3
)5(180
2
o
q

20. Lugar de las raíces
5.- Intersección de las asíntotas con el eje real.
N
å-å
=
GH(s) de ceros de raícesGH(s) de polos de raíces
1
s
3
3
)0()540(
1
-=
---
=s
Gráfica
6.- Lugar de las raíces sobre el eje real
Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las raíces si el
número total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto
considerado es impar.

21. Lugar de las raíces
7.- Ángulos de salida y llegada
El ángulo de salida del lugar de las raíces de un polo o el ángulo de llegada
de un cero de GH(s) puede determinarse suponiendo un punto S1 muy
próximo al polo o al cero aplicando la siguiente ecuación:
)12(180)( +=å-å=Ð jsGH
o
zpff
En el caso del ejemplo, los polos están en el eje real y puede calcularse el
ángulo de salida por simple inspección. Si se usa la fórmula, se define un
punto muy cercano al polo o cero a calcular su ángulo de salida o llegada.
°
=--- 180
540 fff
°
=--- 1800180
4f
0f
5f
°
=0
4f
punto de prueba

22. Lugar de las raíces
8.- Intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario
Sobre el eje imaginario el valor de es , por eso se cambia en la
ecuación característica . Se obtiene el valor de y el de .wjs® w K
s wj
0209)()(1
23
=+++=+ KssssHsG
0)(20)(9)(
23
=+++ Kjjj www
0209
23
=++-- Kjj www
1-=j
se separan las parte real e imaginaria
09
2
=+- Kw 020
3
=+- wwjj
020
3
=+- wwjj
20=w
180=K

23. Lugar de las raíces
9.- Puntos de separación
Los puntos de separación o de ruptura es un valor donde dos polos dejan
de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando:
0=
ds
dK
ticacaracterísecuaciónladedespejaseK
sssK 209
23
---=
020183
2
=---= ss
ds
dK
020183
2
=++ss
4724.1-=s5275.4-=s

24. Lugar de las raíces
10.- Cálculo del valor de K en el lugar de las raíces
1)()( =sHsG
Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener los polos de lazo
cerrado deseados, utilizando la condición de magnitud.

25. Lugar de las raíces
Paso 1
Paso 2
hayno
Paso 3
Paso 4
3=N
°=60
1
q °=180
2
q
°-=60
2
q
Paso 5
3
1
-=s
Paso 6
Inicio
3-

26. Lugar de las raíces
3-
Paso 7
°
=180
0
f
°
=0
4f
°
=180
5
f
Paso 8
20=w180=K
20j
20j-
Paso 9
4724.1-=s
Este es el lugar de las
raíces del sistema.

27. Lugar de las raíces
Configuraciones típicas del lugar de las raíces
))((
)()(
bsass
K
sHsG
++
=
)54)(52(
)()(
22
++++
=
ssss
K
sHsG

28. Lugar de las raíces
)134(
)1(
)()(
2
++
+
=
ss
sK
sHsG
)134)(1(
)()(
2
+++
=
sss
K
sHsG