Método de Gauss – Jordán para matrices de 2x2 y 3x3.pdf

Método de Gauss – Jordán para matrices de 2x2 y 3x3

1. Método de Gauss –Jordán
Matriz inversa

2. Matriz inversa
Reglas:
•Se escribe como-matriz inversa de A•
A
-1
•El método aplica a matrices cuadradas (
n
x
n
)
•Si
A
-1
A
=
I
entonces la inversa existe.
RGB

3. Método
RGB
•Ejemplo 1:
para la siguiente matriz encuentre la inversa
no
2 5 7 9
9 2 3 7
1 2 0 4
•Primero verificamos su dimensión:
3
renglones y
4
columnas
•Entonces es
[3
X
4],
A no es cuadrada, por lo tanto:
no tiene inversa.

4. Método
RGB
•Ejemplo 2:
para la siguiente matriz encuentre la inversa
n o
2 4
3 5
•Primero verificamos su dimensión: 2 renglones y 2 c olumnas
•Entonces es
[2X2],
A es cuadrada, por lo tanto:
se puede
encontrar la inversa.
•Para calcular la inversa debemos realizar los sigui entes pasos:
Colocar una matriz I (identidad) del lado derecho, con las mismas
dimensiones:

5. 2
4
3
5
1
0
0
1
Se busca que la primera matriz se convierta en la identidad, y en el proceso la
matriz identidad se transformara en la matriz inver sa.
2 4
3 5
1 0
0 1
R
1
•Cada uno de los Renglones deberá de enumerarse.
•El primer elemento del
R
1
debe de convertirse en 1
2 4
3 5
1 0
0 1
•Para ello bastara que se divida entre si mismo, para este caso:
2
, pero la operación
afecta a todo el renglón, de manera que
R
1
/2 RGB

6.

3 5
o
d
0 1
R1
/2
1 2
3 5
o

0
0 1

•Ahora, cada elemento restante en la columna 1 debe volverse 0:
1 2
3 5
1
2
0
0 1
•Para conseguir el punto anterior al renglón en turn o (
R
2
) se le deberá
restar la cantidad que marca el elemento a eliminar : 3
por el
R
1
1 2
3 5
1
2
0
0 1
R2
-
3*
R1

7. •Al igual que la división, la operación afecta todo el renglón.
1
2
3 5
o

0
0 1
R
2
-3*
R
1
•La resta debe de realizarse termino a termino
1
2
3
−3∗
(1)
5
−3∗
(2)
1
2
0
0
−3∗
(
1
2
)
1
−3∗
(0)
1 2
3
−3
5
−6
1
2
0
0
−(
3
2
)
1
−0
1 2 0
−
1
1
2
0
−
32
1

8. 1
2
0 −1
12
0
−
3
2
1
•Siguiendo la diagonal, el
-1
de
R
2
deberá convertirse en 1, para esto
se dividirá el
R
2
/-1
(para este caso es lo mismo multiplicar por -1, para dar
continuidad al método se llevara acabo la división)
1 2
0 −1
o

0
−
–

1
R2
/-1
1 2 d
(o
(o (o
o

0
(
6
)
(o
o
(o
=
1 2
0 1
o

0
–

−1

9. 1
2
0 1
o
0
–

−1
•Entonces todos los demás números en la columna deben volverse 0. •El paso a seguir es
R1
-2
R2
1 2 0
1
o

0
–

−1
R1
-2
R2
1
−2∗
(0)
2
−2∗
(1)
0
1
1
2
−2∗
(
3
2
)
0
−2∗
(−1)
3
2
−1

10. 1
−0
2
−2
0 1
o

−
5

0
E
2
–

−1
=
1 0
0 1
−
s

2
–

−1
•Una vez que la matriz inicial se convierte en la Id entidad
, finaliza el
proceso.
•La matriz resultante es la inversa
=
1 0
0 1
−
s

2
–

−1
A
-1
=
(s

2
–

−
1

11. •Para comprobar que este bien, deberá de multiplicar A
-1
A
−
s

2
–

−1
2 4
3 5
=
−
s

/GEG/2
−
s

/MEG/1
–

/GE
−1 ∗3
–

/ME
−1 ∗5
=
−
od

E3
−
éd

E=A
5

−3
oé

−5
=
:1E3 :=AE=A
3−3 6−5
=
1 0
0 1

12. •ComoA
-1
A=Isepuedeafirmarque:
A
-1
=
(s

2
–

−1
Es la matriz inversa
RGB

13. Método:
•Ejemplo 3: para la siguiente matriz encuentre la in versa
•R
4 8 16
1 −2 6
3 0 9
•Dimensión: [3x3]
•Aplicamos Gauss –Jordan

14. 4
8
16
1
−
2
6
3 0 9
1
0
0
0
1
0
0 0 1
1 2 4 1
−2 6
3 0 9
1/4 0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 4
0 −4 2
3
0 9
1/4 0 0
−1/4 1 0
0 0 1
1 2 4
0 −4 2
0 −6 −3
1/4 0 0
−1/4 1 0
−3/4 0 1
R1
/
4
R2
-
1*
R1
R3
-
3
*
R1

15. 1
2
4
0
−
4
2
0 −6 −3
1
/
4
0
0
−
1
/
4
1
0
−3/4 0 1
1
2
4
0 1 −1/2
0 −6 −3
1/4 0 0
1/16 −1/4 0
−3/4 0 1
1 0 5
0 1 −1/2
0
−6
−3
1/8 1/2 0
1/16 −1/4 0
−3/4 0 1
R2
/
-4 R1
-
2
R2
R
3
–(
-6
)
R
2

16. 1
0
5
0 1 −1/2
0 0 −6
1
/
8
1
/
2
0
1/16 −1/4 0
−3/8 −3/2 1
1 0 5
0 1 −1/2
0 0
−6
1/8 1/2 0
1/16 −1/4 0
−3/8 −3/2 1
1 0
5
0 1 −1/2
0 0 1
1/8 1/2 0
1/16 −1/4 0
1/16 1/4 −1/6
R3
/(
-6
)
R1
-(
5
)
R3

17. 1 0 0
0 1
−1/2
0 0 1
−3/16 −3/4 5/6
1/16 −1/4 0
1/16 1/4 −1/6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−3/16 −3/4 5/6
3/32 −1/8 −1/12
1/16 1/4 −1/6
R2
-(
-1/2
)
R3

18. Para comprobar que este bien, deberá de multiplicar A
-1
A
•SiA
-1
A=Isepuedeafirmarque:
A
-1
=
−3/16 −3/4 5/6
3/32 −1/8 −1/12
1/16 1/4 −1/6
Es la matriz inversa