Método de mallassssssssssssssssssss.pptx

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1. METODO DE MALLAS Para analizar circuitos con 3 o más mallas, el método de las Leyes de Kirchhoff ya no resulta práctico por la cantidad de incógnitas involucradas. Para ello se utiliza un nuevo método llamado de las corrientes de mallas, de mallas o de Maxwell. El método consiste en asumir que en cada malla circula una corriente por toda la malla. Esto da lugar a que si una rama es común a dos mallas, por ella circularán dos corrientes de malla, que se sumaran algebraicamente de acuerdo a sus sentidos. Luego en cada malla se plantea la segunda ley de Kirchhoff o ley de los voltajes. Se resuelve el sistema de ecuaciones, que para 3 mallas , se recomienda el uso de los determinantes y se despejan las incógnitas: las corrientes de malla. Ya con las corrientes de malla, se calculan las corrientes en cada rama del circuito.

2. Veamos el siguiente ejemplo: 1.- Calcular la corriente y el voltaje en cada rama del circuito Número de nodos, se designa por n: n= 4 Método de nodos Número de ramas, se designa por: b b= 6 Método de las leyes de Kirchhoff Número de mallas, se designa por: l l = 3 Método de mallas Ecuación topológica: b = (n-1) + l

3. Como son 3 mallas, se asumen las 3 corrientes de malla saliendo de las fuentes de 20 V, 30 V y 15 V respectivamente. Dichas corrientes de malla generan caídas de voltaje en los resistores. Luego en cada malla se plantea la ley de Kirchhoff de los voltajes: Malla 1: - 20 V + 2 i1 +4 i1 + 4 i2 +12 V+ 2 i1 -2 i3 = 0 ( Note que en el resistor de 4Ω, común a las mallas 1 y 2, se toman en cuenta los dos voltajes. Lo mismo pasa en el resistor de 2 Ω común a las mallas 1 y 3 , y en el resistor de 4Ω, común a las mallas 2 y 3) Malla 2: -30 V +3 i2 +4 i2+4i1 + 12 V +4 i2 + 4 i3 = 0 Malla 3: -15 V + 3 i3 +2 i3 – 2 i1 +4 i3+4 i2 = 0 SE ordenan las ecuaciones: 8 i1 + 4 i2 – 2 i3 = 8 V (I) 4 i1 + 11 i2 + 4 i3 = 18 V (II) -2 i1 +4 i2 + 9 i3 = 15 V (III)

4. Para resolver este sistema se usará el método de reducción de variables: Primero copiamos las ecuaciones I y II 8 i1 + 4 i2 – 2 i3 = 8 V (I) 4 i1 + 11 i2 + 4 i3 = 18 V (II) La idea es igualar los coeficientes de i3, para ello multiplicamos a la ecuación( I) x 2 16 i1 + 8 i2 – 4 i3 = 16 V (I) 4 i1 + 11 i2 + 4 i3 = 18 V (II) Luego, como los signos de los coeficientes son distintos, sumamos miembro a miembro amabas ecuaciones, con lo que se eliminara el término de i3: 20 i1 +19 i2 = 34 ( IV)

5. Repetimos lo mismo con las ecuaciones I y III 8 i1 + 4 i2 – 2 i3 = 8 V (I) -2 i1 +4 i2 + 9 i3 = 15 V (III) Ahora multiplicaremos la ecuación( I) por 9 y la ecuación (III) por 2 72 i1 + 36 i2 – 18 i3 = 72 V (I) -4 i1 +8 i2 + 18 i3 = 30 V (III) Nuevamente, los signos de los coeficientes son distintos, por lo tanto se suman ambas ecuaciones. (si los signos fueran iguales, las ecuaciones se restan) 68 i1 +44 i2 = 102 (V) Ahora, las ecuaciones IV y V, no contienen a i3.

6. El proceso de reducción continúa con las ecuaciones IV y V 20 i1 +19 i2 = 34 ( IV) 68 i1 +44 i2 = 102 (V) Para eliminar a i2, multiplicamos la ecuación IV por 44 y la ecuación V por 19 880 i1 + 836 i2 = 1496 ( IV) 1292 i1 + 836 i2 = 1938 (V) Como los signos de los coeficientes de i2 son iguales (positivos), las ecuaciones se restan, en este caso : (V) –( IV) 412 i1 = 442 Ahora, se despeja I1: = 1.0728 A.  

7. Reemplazando el valor de i1 en la ecuación IV, obtenemos 20 x 1.0728 + 19 i2 = 34 = 0.6602 A Con los valores de i1 e 12, calculamos i3 , usando la ecuación (I) 8 i1 + 4 i2 – 2 i3 = 8 V (I) 8 x 1.0728 + 4 x 0.6602 – 2 i3 = 8 8.5824 +2.6408 -2 i3 =8 -2i3 = -3.2232 Despejando: = 1.6116 A  

8. Con las corrientes de malla se calculan las corrientes de rama. En una rama común a dos mallas, se suman algebraicamente las corrientes de malla. I1 = i1 I2 = i2 I3 = i3 I4 = i1 + i2 I5 = i3-i1 I6 = i2+i3 El resultado se ve en el siguiente gráfico:

9. Con las corrientes de ramas, sus sentidos correctos y los valores de los resistores, aplicando la ley de OHM, calculamos el voltaje en cada resistor. El resultado se ve en el siguiente gráfico:

10. Método de los determinantes 8 i1 + 4 i2 – 2 i3 = 8 V (I) 8 4 -2 I1 8 4 i1 + 11 i2 + 4 i3 = 18 V (II) 4 11 4 I2 18 -2 i1 +4 i2 + 9 i3 = 15 V (III) -2 4 9 I3 15

11. También podemos calcular la diferencia de potencial entre dos puntos, como la sumatoria algebraica de todas las caídas de potencial de un punto a otro

12. METODO DE MALLAS CON FUENTES DE CORRIENTE En este caso hay que considerar si la fuente de corriente es común a dos mallas o no. Lo veremos en el siguiente ejemplo: 1.- Calcular la corriente que circula por todas las ramas del circuito Topología del circuito: número de nodos: n= 5 Número de mallas: l = 4 Número de ramas: b = 8 Ecuación topológica: b = (n-1) + l

13. 2.- Calcular las corrientes de malla i1 = 4 A i2-i3 = 5 -10 +i2 -4 +i3-4 +2 i3 = 0 i2 +3i3 = 18 i2= 8.25 A i3 = 3.25 A