Métodos de interpolación entre polinomios

Interpolación de polinomial de Newton en diferencias divididas, interpolación cuadrática, polinomios de interpolación de Lagrange, Interpolación segmentaria, Interpolación de Hermite

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Técnicas de Análisis
Numérico
Capitulo 18 1
Interpolación
Capitulo 18
•Estimación de los valores intermedios entre datos
definidos por puntos. El método mas común:
•Aunque hay uno y solo un polinomio de n-esimo
grado que se ajusta a n+1 puntos, existe una gran
variedad de formas matemáticas en las cuales puede
expresarse este polinomio:
–El polinomio de Newton
–El polinomio de Lagrange
n
nxaxaxaaxf  
2
210)(

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Capitulo 18 2
Figure 18.1

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Capitulo 18 3
Interpolación Polinomial de Newton en
diferencias divididas
Interpolación Lineal/
•Es la forma mas simple de interpolación consiste en unir dos
puntos con una línea recta.
•f
1(x) designa que este es un polinomio de interpolación de
primer grado
)(
)()(
)()(
)()()()(
0
0
01
01
0
01
0
01
xx
xx
xfxf
xfxf
xx
xfxf
xx
xfxf









Formula de
interpolación lineal
Pendiente y
aproximación en
diferencia
dividida a la 1
a

derivada

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Capitulo 18 4
Figure
18.2

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Capitulo 18 5
Interpolación Cuadrática/
•Si se tienen tres puntos como datos, la estimación se
puede mejorar introduciendo alguna curvatura que
une los puntos.
•Un procedimiento simple puede usarse para
determinar los valores de los coeficientes.
))(()()(
1020102
xxxxbxxbbxf 
02
01
01
12
12
22
0
01
11
000
)()()()(
)()(
)(
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
bxx
xx
xfxf
bxx
xfbxx












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Capitulo 18 6
Forma General de los polinomios de interpolación de Newton/
0
02111
011
011
0122
011
00
01110
012100100
],,,[],,,[
],,,,[
],[],[
],,[
)()(
],[
],,,,[
],,[
],[
)(
],,,[)())((
],,[))((],[)()()(
xx
xxxfxxxf
xxxxf
xx
xxfxxf
xxxf
xx
xfxf
xxf
xxxxfb
xxxfb
xxfb
xfb
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxf
n
nnnn
nn
ki
kjji
kji
ji
ji
ji
nnn
nnn
n

























Las evaluaciones de
la función colocadas
entre paréntesis son
diferencias divididas

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Capitulo 18 7
Errores de la interpolación polinomial de Newton/
•La estructura de la interpolación polinomial es similar a la
expansión de la serie de Taylor en el sentido de que se van
agregando en forma secuencial diferencias divididas finitas
para mostrar derivadas de orden superior.
•Para interpolación polinomial de n-esimo grado, una relación
análoga del error es:
•Para funciones no diferenciables, si se tiene un datos mas
(x
n+1
), puede usarse una formula alternativa que no requiere
del conocimiento previo de la función:
)())((
)!1(
)(
10
)1(
n
n
n
xxxxxx
n
f
R 





)())(](,,,,[
10011 nnnnn
xxxxxxxxxxfR 


Esta en alguna parte
del intervalo que
contiene la incógnita y
los datos

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Capitulo 18 8
Polinomios de interpolación de Lagrange
•El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente
una reformulación del polinomio de Newton que evita el
cálculo de las diferencias divididas:









n
ij
j ji
j
i
n
i
iin
xx
xx
xL
xfxLxf
0
0
)(
)()()(

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Capitulo 18 9
 
  
  
  
 
  
)(
)()()(
)()()(
2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
2
1
01
0
0
10
1
1
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xf
xx
xx
xf
xx
xx
xf















•Como en el método de Newton, la versión de Lagrange
tiene un estimado del error:


 
n
i
innn xxxxxxfR
0
01 )(],,,,[ 

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Capitulo 18 10
Figure 18.10

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Capitulo 18 11
Coeficientes de un polinomio de
interpolación
•Aunque el polinomio de Newton y el de Lagrange
son adecuados para determinar valores intermedio
entre puntos, no ofrecen un polinomio adecuado de la
forma convencional:
•Ya que requieren n+1 puntos para determinar n+1
coeficientes, se utiliza un sistema de ecuaciones para
calcular las “a”.
n
x
xaxaxaaxf  
2
210
)(

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Capitulo 18 12
n
nnnnn
n
n
n
n
xaxaxaaxf
xaxaxaaxf
xaxaxaaxf







2
210
1
2
121101
0
2
020100
)(
)(
)(
Las “x” son los puntos conocidos, y las “a” las
incógnitas.

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Capitulo 18 13
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Capitulo 18 14
Interpolación Segmentaria
•Hay casos donde los polinomios llevan a
resultados erróneos a causa de los errores de
redondeo y puntos lejanos.
•Un procedimiento alternativo consiste en
colocar polinomios de grado inferior en
subconjuntos de los datos. Tales polinomios de
colocación se denominan funciones
segmentarias.

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Capitulo 18 15
Figure 18.14

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Capitulo 18 16
Figure 18.15

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Capitulo 18 17
Figure 18.16

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Capitulo 18 18
Figure 18.17

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Interpolación de Hermite
•En la interpolación de Lagrange se determina un
polinomio de grado ≤ n para sus valores en n + 1
nodos, mientras que en el polinomio de Taylor hay un
solo nodo pero además del valor de la función f se
deben reproducir los de las primeras n derivadas.
•Estos dos problemas son casos particulares extremos
de uno más general, llamado de Hermite u
osculatorio, donde se contemplan r + 1 (0 ≤ r ≤ n)
nodos x
i y en cada nodo se pide reproducir la función
y sus m
i ≥ 0 primeras derivadas.
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Capitulo 18 19

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•Naturalmente se debe cumplir que el número total de
condiciones iguale al número n + 1 de parámetros
libres en el polinomio es decir:
•Si f
ϵ??????
1
[a,b] y si x
0
,x
1
,…,x
n
[a,b] son distintos, el
ϵ
polinomio único de menor grado que concuerda con f
y f’ en x
0 ,x
1,…,x
n es el polinomio de Hermite de
grado a lo mas 2n+1 que esta dado por:
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Capitulo 18 20
1)1(
0


r
i
i
nm

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Capitulo 18 21
)()()(
y
)()](')(21[)(
donde
)()(')()()(
2
,
,
^
2
,,,
0
,
^
0
,12
xLxxxH
xLxLxxxH
xHxfxHxfxH
jnj
jn
jnjjnjjn
r
j
jn
j
r
j
jnjn


 


•Un método alternativo esta basado en las diferencias
divididas para el polinomio de Lagrange en x
0
,x
1
,…,x
n
:
•y la conexión entre la enésima diferencia dividida y la
enésima derivada de f.




n
k
kkn
xxxxxxxfxfxP
1
10100
))...(](,...,,[][)(

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