Métodos Iterativos - Gauss-Jacobi - Part II - @professorenan

1. Sistemas Lineares - - - Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

2. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

3. Métodos Iterativos Método de Jacobi para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial :   Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares        

4. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares    

5. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares    

6. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares    

7. Exemplos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

8. 1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,02. 3 x – y - z = 1 - x + 3y + z = 3 2x + y + 4z = 7 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

9. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,04. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

10. 3 ) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

11. 4 ) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,05. 6x + y + 2z = 10 x – 3y + 0,5z = 2,8 0,75x + 3y – 10z = -6,9 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

12. 5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,03. -3 x 1 + x 2 + 2x 3 = -9 -2x 1 + 8x 2 - x 3 = 14 4x 1 – 6x 2 + 12x 3 = -24 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

13. 10 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 7 x 1 + 5x 2 + x 3 = -8 2x 1 + 3x 2 + 10x 3 = 6 6 ) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

14. Exercícios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

15. 1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-Jacobi, tendo como para X1=0 , X 2=0 e X3 =0 e ε =0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

16. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε =0,04. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

17. 3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-Jacobi, tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,02. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

18. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε =0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

19. 5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,06. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

20. Métodos Iterativos Método de Gauss- Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma algébrica : Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

21. Métodos Iterativos Método de Gauss- Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial : Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares     N   (com diagonal zero)  

22. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares N    

23. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares (com diagonal zero)    

24. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares   .   =  

25. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares   2º) Calcula os Cofatores; 3º) Trabalha a regra dos sinais dos cofatores; 4º) Multiplica pelo inverso do det ; 5 º) Acha .  

26. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares  

27. Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss- Seidel , se: , para i=1, 2, 3, ..., n.

28. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo: O sistema abaixo satisfaz o critério das linhas e essa verificação pode ser feita de maneira quase imediata, observando-se que: Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel para i=1, 2, 3, 4.

29. 29 Distância entre duas iterações d (k) = max x i (k) - x i (k-1)  Critério de parada d r (k) = d (k) / ( max x i (k)  ) <  Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

30. 30 EXEMPLO Seja o sistema 10 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = -7 x 1 + 5x 2 + x 3 = -8 2x 1 + 3x 2 + 10x 3 = -6 Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

31. 31 Com x = 0,7 -1,6 0,6         e  = 0,05 Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

32. 32 obtemos x (1) = -0,56 -1,86 -0,26          = 0,05 | x 1 (1) – x 1 (0) | = 1,26 | x 2 (1) – x 2 (0) | = 0,26 | x 3 (1) – x 3 (0) | = 0,86 d r (1) = 1,26/ ( max x i(1)  ) = 0,677 >  Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

33. 33 x (2) = -0,25 -1,44 0,07          = 0,05 d r (2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 >  x (3) = -0,43 -1,56 -0,11         d r (3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 >  Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

34. 34 x (4) = -0,35 -1,49 -0,04          = 0,05 d r (4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 >  x (5) = -0,39 -1,52 -0,08         d r (5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 <  Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

35. 35 SOLUÇÃO 10 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = -7 x 1 + 5x 2 + x 3 = -8 2x 1 + 3x 2 + 10x 3 = -6 x * =     -0,39 -1,52 -0,08     Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

36. Exemplos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

37. 1 ) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,1. 3 x – y - z = 1 - x + 3y + z = 3 2x + y + 4z = 7 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

38. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,04. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

39. 3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

40. 4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,05. 6x + y + 2z = 10 x – 3y + 0,5z = 2,8 0,75x + 3y – 10z = -6,9 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

41. 5 ) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de S eidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,03. -3 x 1 + x 2 + x 3 = -9 -2x 1 + 8x 2 - x 3 = 14 4x 1 – 6x 2 + 12x 3 = -24 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares