Métodos Iterativos - Gauss-Seidel - @professorenan

1. Sistemas Lineares - - - Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

2. Métodos Iterativos Método de Gauss- Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma algébrica : Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

3. Métodos Iterativos Método de Gauss- Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial : Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares     N   (com diagonal zero)  

4. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares   .   =  

5. Métodos Iterativos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares   2º) Calcula os Cofatores; 3º) Trabalha a regra dos sinais dos cofatores; 4º) Multiplica pelo inverso do det ; 5 º) Acha .  

6. Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss- Seidel , se: , para i=1, 2, 3, ..., n.

7. 7 Distância entre duas iterações d (k) = max x i (k) - x i (k-1)  Critério de parada d r (k) = d (k) / ( max x i (k)  ) <  Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

8. 8 EXEMPLO Seja o sistema 10 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = -7 x 1 + 5x 2 + x 3 = -8 2x 1 + 3x 2 + 10x 3 = -6 Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

9. 9 Com x = 0,7 -1,6 0,6         e  = 0,05 Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

10. 10 obtemos x (1) = -0,56 -1,86 -0,26          = 0,05 | x 1 (1) – x 1 (0) | = 1,26 | x 2 (1) – x 2 (0) | = 0,26 | x 3 (1) – x 3 (0) | = 0,86 d r (1) = 1,26/ ( max x i(1)  ) = 0,677 >  Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

11. 11 x (2) = -0,25 -1,44 0,07          = 0,05 d r (2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 >  x (3) = -0,43 -1,56 -0,11         d r (3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 >  Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

12. 12 x (4) = -0,35 -1,49 -0,04          = 0,05 d r (4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 >  x (5) = -0,39 -1,52 -0,08         d r (5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 <  Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

13. 13 SOLUÇÃO 10 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = -7 x 1 + 5x 2 + x 3 = -8 2x 1 + 3x 2 + 10x 3 = -6 x * =     -0,39 -1,52 -0,08     Prof. Esp. Renan Gustavo Pacheco Soares Métodos Iterativos - Critério de Parada

14. Exemplos Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

15. 1 ) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,1. 3 x – y - z = 1 - x + 3y + z = 3 2x + y + 4z = 7 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

16. 2 ) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,03. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

17. 3 ) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,05. 6x + y + 2z = 10 x – 3y + 0,5z = 2,8 0,75x + 3y – 10z = -6,9 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

18. 4 ) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,04. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

19. Exercícios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

20. 1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

21. 2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss- Seidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,02. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

22. 3 ) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de S eidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,03. -3 x 1 + x 2 + x 3 = -9 -2x 1 + 8x 2 - x 3 = 14 4x 1 – 6x 2 + 12x 3 = -24 Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

23. 10 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 7 x 1 + 5x 2 + x 3 = -8 2x 1 + 3x 2 + 10x 3 = 6 4 ) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel , tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,05. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

24. 5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss- Seidel ,, tendo como para Xo =0, Yo =0 e Zo =0 e ε =0,04. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

25. 

26. Inversão de Matrizes e Cálculo de Determinantes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Praticar e relembrar

27. Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares  

28. Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares  

29. Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares  

30. Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares  

31. Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares  

32. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:  

33. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:  

34. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Determine o Determinante e a Matriz inversa dos seguintes sistemas lineares abaixo:  

35. Equações Algébricas e Transcendentes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Zero Reais de Funções Reais

36. Zeros de Funções Reais Introdução Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem, frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma equação do tipo f(x)=0. Consideremos, por exemplo, o seguinte circuito: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Kirchoff’s Law

37. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Estruturas Isostáticas

38. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

39. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

40. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

41. Zeros de Funções Reais Introdução Serão analisados os casos dos Zeros Reais da função f(x)=0. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

42. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Como obter raízes reais de uma equação qualquer?

43. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Sabemos que, para algumas equações, como por exemplo às equações polinomiais do segundo grau , existem fórmulas explicitas que nos mostram as raízes em função dos coeficientes ( Bháskara , por exemplo). No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se achar zeros exatamente.

44. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Por isso, temos que dos contentar em encontrar apenas aproximações para esses zeros (soluções numéricas); mas isto não é uma limitação muito séria, pois , com os métodos que veremos, vamos conseguir encontrar os zeros de uma função com qualquer precisão prefixada.

45. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares A ideia central destes métodos numéricos é partir de uma aproximação inicial para a raiz ( um intervalo onde imaginamos a raiz estar contida) e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo.

46. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

47. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou transcendente, algumas etapas devem ser seguidas: Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o menor possível, que contenha a raiz; 2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido pelo problema. Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da seguinte maneira: 3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos.

48. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

49. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica, usamos frequentemente o T eorema de Bolzano : Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b] e assume valores de sinais opostos nos extremos deste intervalo, isto é, f ( a ) . f ( b ) < 0, então existe pelo menos uma raiz real de f(x), ( x = ), no intervalo [ a ; b ].   Pois (+)×(+) → (+), (-)×(-) → (+); (+)×(-) ou (-)×(+) → (-)

50. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Graficamente, temos:

51. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Graficamente, temos:

52. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Se f(a) x f(b) > 0, pode-se ter outras situações no intervalo estudado, como as mostradas abaixo:

53. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Observação: Sob as hipóteses do Teorema de Bolzano, se f’( x) existir, preservando sinal dentro de (a, b ), então este intervalo contém um único zero de f(x). Graficamente, temos:

54. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

55. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando resultados anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x ) mudou de sinal.

56. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:   Primeira análise: Construindo uma tabela de valores para f(x) e considerando apenas os sinais, temos:      

57. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:   Assim, f(x) é cont í nua para . = [-5, -3] = [0, 1] = [2, 3]  

58. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:   Como f(x) é um polinômio de 3º grau, podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f(x); assim, localizamos todas as raízes de f(x)=0. Uma segunda análise da função, por meio do sinal da sua derivada, não se faz necessário, neste exemplo, tendo em vista sua trivialidade. Veja:

59. Zeros de Funções Reais Fase I: Análise Gráfica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Pode-se utilizar um dos seguintes processos:

60. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 2: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função: