MÉTODOS MATEMÁTICOS I Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

MÉTODOS MATEMÁTICOS I
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Tema: Crecimiento y decrecimiento

1. MÉTODOS MATEMÁTICOS I
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Tema: Crecimiento y decrecimiento
•Definición.
•Propiedades
.

2. Objetivo:
Planteayresuelveelmodelo
matemáticomedianteED

3. Modelo de crecimiento
DinámicasdepoblaciónElritmoconquelapoblacióndeunpaíscrece
enciertotiempoesproporcionalalapoblacióntotaldelpaísenesetiempo.
Enotraspalabras,mientrasmáspersonasexistaneneltiempot,másserán
enelfuturo.Entérminosmatemáticos,siP(t)indicalapoblacióntotalenel
tiempot,entoncesestasuposiciónpuedemodelarseconlaE.D.:dp dp
P ó kP
dt dt
 =
dondekesunaconstantede
proporcionalidad
Funcióndecrecimientopoblacional:()
,
kt
t
PCek= 0

4. Ejemplo 01. Crecimiento de bacterias

5. Ejemplo 01. Crecimiento de bacterias

6. Descomposición
DecaimientoradiactivoElnúcleodeunátomoestácompuestoporcombinaciones
deprotonesyneutrones.Muchasdeestascombinacionessoninestables,esdecir,los
átomosdecaenotransmutanenátomosdeotrasustancia.Sedicequetalesnúcleos
inestablessonradiactivos.Enlamodelacióndelfenómenodedecaimiento
radiactivo,seasumequelavelocidaddA/dtconqueelnúcleodeunasustanciadecae
esproporcionalalacantidad(entérminosmásprecisos,alnúmerodenúcleos)A(t)de
lasustanciaremanenteeneltiempot:dA dA
A ó kA
dt dt
 =
FuncióndeDescomposición:0
()
kt
AtAe=

7. Ejemplo 02. Vida media del plutonio

8. Ejemplo 02. Vida media del plutonio

9. Ejemplo 02. Vida media del plutonio

10. FECHADOCONCARBONOAlrededorde1950,elquímicoWillardLibbyinventóunmétodo
queutilizaalcarbonoradiactivoparadeterminarlasedadesaproximadasdefósiles.La
teoríadelfechadoconcarbono,sebasaenqueelisótopocarbono14seproduceenla
atmósferaporaccióndelaradiacióncósmicasobreelnitrógeno.Larazóndelacantidadde
C-l4conelcarbonoordinarioenlaatmósferapareceserconstantey,enconsecuencia,la
cantidadproporcionaldelisótopopresenteentodoslosorganismosvivosesigualquelade
laatmósfera.CuandomuereunorganismocesalaabsorcióndelC-l4seaporrespiracióno
alimentación.Así,alcompararlacantidadproporcionalde
C-14presente,porejemploenunfósilconlarazónconstantequehayenlaatmósfera,es
posibleobtenerunaestimaciónrazonabledelaedaddelfósil.Elmétodosebasaenquese
sabequelavidamediadelC-l4radiactivoesdeaproximadamente5600años.Poreste
trabajo,LibbyobtuvoelPremioNobeldequímicaen1960.ElmétododeLibbyseha
utilizadoparafecharlosmueblesdemaderaenlastumbasegipciasylasenvolturasdelinodelos
rollosdelMarMuertoylateladelenigmáticosudariodeTurín.

11. Ejemplo 03. Edad de un fósil

12. Ejemplo 03. Edad de un fósil

13. Gracias