MAIA-1 INTEGRAL DE SUPERFICgIE-CLASE.pdf

lucasmejias2501 6 views 25 slides Sep 01, 2025
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Interesanteee


Slide Content

ALFREDO V. F. 1

ALFREDO V. F. 2
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
SUPERFICIES
�=��,�
�=��,�
�
�
��,�,�=�
������??????�??????�� �??????���� ���� ����??????��� �������������??????�??????� ??????����?????��
�
�:�,�,�∈�
�
:�=�
�
+�
� �
�:�,�,�∈�
�
:�=�
�
+�
�

�
�:�,�,�∈�
�
:
�
�
�
�
+
�
�
�
�
+
�
�
�
�
=�

ALFREDO V. F. 3
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Superficie paramétrica
������??????�??????� ������??????��
��,�=��,�,��,� ,��,�
�
Definición
�:���??????�??????� �� ��
��������??????���??????ó�
�: ��������??????���??????����??????���� ������??????���

ALFREDO V. F. 4
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Definición: Superficie regular. Superficie simple
Área de una superficie paramétrica

ALFREDO V. F. 5
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Producto vectorial
Ejemplo:
Utilizando
Coordenadas
cilíndricas
�
�
�
0≤??????≤2??????
�
??????
Ԧ�
Determine una parametrización del cono y determine su área
�=�
2
+�
2
; 0≤�≤2
�=� ���??????
�=� ��� ??????
�=�=� ;
0≤�≤2
Parametrización
��,??????=� ���?????? ,� ,� Sen ??????
�
�=�os ??????,1 ,��� ??????
�
??????=−���� ??????,0 ,���� ??????
0≤�≤2
Note que: �=�
2
+�
2
→�=�
0≤??????≤2??????0≤�≤2
�
��
??????=� �os ??????,−� ,� ��� ??????
�
��
??????=2 �
El Área de la superficie S
??????
�=ඵ
�
�
��
?????? �??????
??????
�=න
0
2??????

0
2
2 � �� �??????
??????
�=
2
2
׬
0
2??????
�
2
0
2
�??????=
42
2
׬
0
2??????
1 �??????=
??????
�=4??????2

Superficies vistas como la gráfica de una función
ALFREDO V. F. 6
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
�=��,�

ALFREDO V. F. 7
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Superficie visto como
(gráfica de una función y=g(x,z)
Ejemplo:
Determine una parametrización del cono y determine su área
�=�
2
+�
2
; 0≤�≤2
�=�
�=�
�=�
2
+�
2
;
�
2
+�
2
≤2
2
ParametrizaciónԦ�
�
�
�
�
�
�
2
+�
2
≤2
2
��,�=� ,�
2
+�
2
,�
0≤�
2
+�
2
≤2
2
�
��
??????=2
El Área de la superficie S
??????
�=ඵ
�
�
��
?????? �??????
??????
�=4??????2
�
�=1,
�
�
2
+�
2
,0
�
�=0,
�
�
2
+�
2
,1
�
��
�=
�
�
2
+�
2
,1 ,
�
�
2
+�
2
??????
�=2 ඵ
�
1 �??????
??????
�=2á��� �� �� ���??????ó� �

Área de una superficie implícita
ALFREDO V. F. 8
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Ejemplo Determine el área de la superficie �:�
�
+�
�
+�
�
=�; �≥�

ALFREDO V. F. 9
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Superficie formada por la rotación de una curva en YZ
(alrededor del eje Z) otros casos son similares
�
�
�
�=�
�=�
���??????�
�=����??????=����� ??????
�=���� ??????=�����??????
�=�;
�≤�≤�;0≤??????≤2??????
�
���??????�=�=�=��
�����:�=�� ó �=��
�� ���� ����:
�:���??????���� �??????��� �≤�≤�
??????�� �??????����������??????��
��� �� �� �����:
�
2
+�
2
=|�|
2
�,�,�
0,�,��

ALFREDO V. F. 10
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Solución
Consideremos u=z libre
EJEMPLO

ALFREDO V. F. 11
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Ejemplo
Área (visto como el gráfico de
una función z=f(x,y)
Área (visto
implícitamente)
�=��,�=�
2
+�
2
�
��,�=2�; �
��,�=2�
??????=ඵ4�
2
+4�
2
+1 �??????
En coordenadas polares
�=����?????? ;�=���� ??????
??????=න
??????=0
2??????

??????=0
1
4�
2
+1 � ���??????=
4??????
3
(a un lado de
la sombra R)
��,�,�=�
2
+�
2
−�
�
�=2�; �
�=2�; �
�=−1
Sombra XY entonces p=0,0,1
∇�=2�,2�,−1
∇�⋅�=2�,2�,−1⋅0,0,1=−1
??????=ඵ
4�
2
+4�
2
+1
|−1|
�??????
Que es lo mismo que el planteo
anterior

ALFREDO V. F. 12
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Parametrización (coordenadas esféricas)

ALFREDO V. F. 13
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
ORIENTACIÓN DE UNA SUPERFICIE

ALFREDO V. F. 14
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Integral de superficie de un campo escalar Integral de superficie de un campo vectorial
Si � es un campo escalar continuo en el espacio
entonces, la integral de superficie de � se define por

�
��,�,���= ඵ
�
��(�,�) ||�
��
� ||�??????
Donde S es una superficie suave regular
definida paramétricamente por
��,�=�(�,�),�(�,�),�(�,�) ; �,�∈�
Si � es un campo vectorial diferenciable
en el espacio entonces la integral de
superficie de � se define por

�
�⋅� Ԧ�=ඵ
�
�⋅� ��= ඵ
�
��(�,�) ⋅±�
��
��??????
Donde S es una superficie orientada suave regular
definida paramétricamente por
��,�=�(�,�),�(�,�),�(�,�); �,�∈�
Propiedad: Si �=�
�∪�
�… ∪�
� entonces
NOTA: el signo en ± �
��
� se elige de tal manera que
dicho vector apunte hacia afuera de la superficie.

ALFREDO V. F. 15
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Si � es un
campo escalar :

ALFREDO V. F. 16
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
�
�
�
�
�
�

ALFREDO V. F. 17
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
G es un campo escalar
��,�=�,� ,�
2
+�
2

�
�=1,0 ,
�
�
2
+�
2

�
�=0,1 ,
�
�
2
+�
2

Dom(r)=�,�∈�
�
∶ �
�
+�
�
=�
�
2
+�
2
=1
�
�
Ԧ�
�×Ԧ�
�=
−�
�
2
+�
2
;
−�
�
2
+�
2
;1
∥ Ԧ�
�×Ԧ�
�∥ =
�
2
�
2
+�
2
+
�
2
�
2
+�
2
+1
=2

�
��,�,� �?????? =ඵ
�
���,�∥ Ԧ�
�×Ԧ�
�∥�??????=ඵ
�
�
2
∥ Ԧ�
�×Ԧ�
�∥�?????? =2ඵ
�
�
2
�?????? )=
Resolviendo la integral doble en coordenadas polares
�=����??????
�=����??????
�=�,�∈�
2
∶�≤�≤� ; 0≤??????≤2??????
2ඵ
�
�
2
�??????=2 න
??????=0
2??????

�=0
1
�
2
cos
2
?????? � �� �??????
Ԧ��,�=�(�,�),�(�,�);�(�,�)

ALFREDO V. F. 18
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
�
�=��� �,��� � ,1
�
�=−� ��� �,� ��� � ,0
�
2
+�
2
=1
�
�
Ԧ�
�×Ԧ�
�=−� ��� � ;−� ��� � ;�
∥ Ԧ�
�×Ԧ�
�∥ =�
2
+�
2
=2 �

�
��,�,� �?????? =ඵ
�
�(�(�,�))∥ Ԧ�
�×Ԧ�
�∥�??????=ඵ
�
�cos�
2
∥ Ԧ�
�×Ԧ�
�∥�??????
�=����??????=� ��� �
�=����??????→�=� ��� �
�=� ���á����� �??????���→
�=�=�
2
+�
2
=�

���Ԧ�
=�,�∈�
2
∶�≤�≤� ; 0≤�≤2??????
Ԧ��,�=�(�,�),�(�,�);�(�,�)
Ԧ��,�=�cos�;� ��� �;�
=ඵ
�
�cos�
2
2 � �??????=2 න
�=0
2??????

�=0
1
�
3
���
2
� �� ��

ALFREDO V. F. 19
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

ALFREDO V. F. 20
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

�
�⋅� Ԧ�=ඵ
�
��(�,�) ⋅±�
��
��??????

ALFREDO V. F. 21
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

�
�⋅� Ԧ�=ඵ
�
��(�,�) ⋅±�
��
��??????

ALFREDO V. F. 22
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
Halle las parametrizaciones de: Determine el área de las siguientes superficies

ALFREDO V. F. 23
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.

ALFREDO V. F. 24
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
INTEGRAL DE SUPERFICIE

ALFREDO V. F. 25
MATEMÁTICA APLICADA A LA I.A. 1 ALFREDO VELÁSQUEZ F.
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