MAPEO SIMPLE. Metodos numericos en ingenieria

mapeo

1. Dr. Luis Paihua M. 1
MAPEO SIMPLE de D
sobre W
Estudio de como se transforma el conjunto D en el
conjunto W (imagen) cuando aplicamos la función
compleja f.
Ejemplo:Dada la función compleja f(z)=z
2
Verificar que la imagen del arco de la circunferencia
x
2
+y
2
=4 del 1er cuadrante, es el arco de la circunferencia
u
2
+v
2
=16 que se encuentra en el 1er y 2do cuadrantes.
Verificar que la imagen de la mitad superior del disco
x
2
+y
2
≤ 4, es el disco u
2
+v
2
≤16
f : C →C
z∈??????→??????=????????????

2. 2
Transformaciones
básicas0
0
1. ( ) Traslación
2. ( ) Rotación-Expansión/Contracción
3. ( ) (reflexión en el eje real)
4. ( ) Lineal
(Rotación-Expansión/Contracción, traslación:
f z z z
f z z z
f z z
f z az b




figura semejante)
5. ( ) 1/ Recíproco
(Inversión y Reflexión en el eje real, en general figura deformada)
f z z

3. Dr. Luis Paihua M. 31
()f z z z
El valor de la imagen nos indica que tenemos
un traslación:
Horizontalmente a unidades
Verticalmente b unidades ( ) ( ) ( )w f z x a j y b     1
z ()w f z
TRASLACIÓN

4. Dr. Luis Paihua M. 4()f z z
El valor de la imagen nos indica que tenemos
un reflexión respecto la horizontal (eje Real) y
manteniéndose el valor del módulo (mantiene
la forma) luego ( )
jj
z re w f z re
 
    
REFLEXIÓN

5. Dr. Luis Paihua M. 51
()f z z z
El valor de la imagen nos indica que
tenemos un reflexión respecto la
horizontal (eje Real) y manteniéndose
el valor del módulo, luego hay una
traslación.
Horizontal a unidades
Vertical b unidadea luego ( )
jj
z re w f z re a jb
 
     z z 1
zz

6. 0
0
0 0 0
()
es un complejo fijo
j
f z z z
z z r e


 0
()
0
luego ( )
jj
z re w f z r r e
 
   El valor de la imagen nos indica que tenemos una
rotación según la medida 
0además el módulo de z
está siendo multiplicado por r
0, entonces
Si r
0 >1 se expande
Si r
0 <1 se contrae
En concreto, la figura es semejante, ha sufrido una
rotación y se expande o contrae.
ROTACIÓN
AMPLÍA/CONTRAE

7. /3
00
( ) (1 3)
es un complejo fijo 2
j
f z j z
z z e


 ( /3)
luego
( ) 2
j
j
z re
w f z r e



 Se expande dos veces
Luego rota π/3 Rad

8. 0
01
0 0 0 1
( ) ( )
es un complejo fijo ,
j
f z z z z LINEAL
z z r e z a jb


   0
()
0
luego ( )
jj
z re w f z r r e a jb
 
     Hay composición de funciones
El valor de la imagen nos indica que tenemos una
rotación según la medida 
0además el módulo de z
está siendo multiplicado por r
0, entonces
Si r
0 >1 se expande
Si r
0 <1 se contrae
Hay desplazamiento aunidades horizontalmente
Verticalmente bunidades
En concreto, la figura es semejante, ha sufrido una
rotación , se expande o contrae y se traslada.

9. Ejercicio: Explique de manera geométrica la forma de la
imagen al aplicar la función compleja f(z) en la región
triangular de vértices: A(3;3) B(0;6) C(-1;-2)( ) (1 ) 1f z j z j   

10. 10( ) (1 ) 1 ( 1) ( 1)
( ) ( 1, 1)
f z j z j x y j x y
f z x y x y
         
     / 4 1
(1 ) 2 =tan (1/1)
j
je




El triángulo (rojo) se refleja en el eje real
(azul), luego se amplía raíz de dos veces
y rota 45°(marrón), enseguida se
desplaza una unidad a la derecha y una
unidad a hacia abajo (negro)
f(A)=(7;-
1)
f(B)=(7;
-7)
f( C)=(-
2;0) 3 2 1 012345678
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
Conclusión: La figura queda reflejada en el
eje real, luego se expande raíz de dos
veces y rota 45°y finalmente sufre un
desplazamiento de una unidad a la derecha
y una unidad hacia abajo.
Cuando resuelva un ejercicio donde hay
una función compleja básica responder
con lo indicado en conclusion y los
valores de la función compleja de los
vertices con la gráfica de color negro.

11. Dr. Luis Paihua M. 11
Veamos las propiedades que tiene f(z)=1/z2 2 2 2 2 2
1
( ) ,
z x jy x y
f z u v
z x y x y x yz

     
  
Su descomposición22
22
1
(1) uv
xy

 22
(2)
a x b y
au bv
xy


 22
2 2 2 2
()
mx y b
mu v mu v mu v b u v
x y x y

         

Una circunferencia de centro 0 sigue
siendo una circunferencia centro 0
Cuando tenemos y=mx+b se tiene:
Esta relación no dice que las rectas que pasan por el origen b=0,
tienen por imagen una recta mu+v=0 (sin el (0;0))
En caso contrario es una circunferencia.

12. 1
()fz
z
 1
luego ( )
jj
z re w f z e
r
 
   La región está dentro del dominio de la función.
El valor de la imagen nos indica que tenemos una
reflexión respecto la horizontal (eje Real) pero no se
mantiene el valor del módulo:
Si r>1 se contrae
Si r<1 se expande
La forma del borde (frontera) en general no mantiene
su forma.

13. 1/2 3
2
1/31
(z)f
Z

Ejemplo: Región del 1er octante limitada por
los arcos de circunferencia de radio ½ y 3.

14. 14
Para D, región del plano complejo limitado por la curva r=2
del 4to cuadrante y la gráfica de y-x=-2, halle la imagen
f(D) siendo f(z)=1/z
La curva r=2 es x
2
+y
2
=4 es arco de circunferencia
La recta y=x-20 0.25 0.5 0.75 1
0.25
0.5
0.75
1
Región f(D) 0 0.5 1 1.5 2
2
1.5
1
0.5
Región D