Mat segmentos proporcionais

1. Segmentos proporcionais



Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumário Página
Razão e proporção........................................................................................................... 1
Propriedades das proporções.................................................................................... 2
Propriedade fundamental...................................................................................... 2
Propriedade da soma............................................................................................. 2
Propriedade da diferença ...................................................................................... 2
Razão de dois segmentos ................................................................................................ 3
Segmentos proporcionais................................................................................................ 5
Feixe de retas paralelas................................................................................................... 6
Propriedades de um feixe de retas paralelas............................................................. 6
Teorema de Tales............................................................................................................ 8
Aplicações do teorema de Tales ................................................................................... 10
Teorema da bissetriz interna de um triângulo........................................................ 11
Referências bibliográficas............................................................................................. 14

2. 1
SEGMENTOS PROPORCIONAIS

Razão e proporção
A razão de dois números a e b, com b ¹ 0, é o quociente do primeiro pelo
segundo: ba: ou
b
a
.
Por exemplo:
1) A razão entre 8 e 6 é 6:8 ou
3
4
6
8
=.
2) A razão entre 20 e 15 é 15:20 ou
3
4
15
20
=.

Nos exemplos acima, verificamos que as razões
6
8
e
15
20
são iguais:
3
4
15
20
3
4
6
8
=
=
⇒⇒⇒⇒
15
20
6
8
=

Dizemos, então, que as razões
6
8
e
15
20
formam uma
proporção ou, ainda, que os
números 8, 6, 20 e 15 são, nessa ordem,
proporcionais.
Então:
Proporção é a igualdade entre duas razões.

Quatro números a, b, c e d (com b e d diferentes de zero) são, nessa ordem,
proporcionais quando a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os
dois últimos.
d
c
b
a
=

3. 2
Em toda proporção
d
c
b
a
=
, temos:
a e d
{ extremos
b e c { meios


Propriedades das proporções
Vamos ver algumas propriedades que são válidas para as proporções:

Propriedade fundamental
{{
meios dos
produto
extremos dos
produto
cbda
d
c
b
a
×=×⇒=

Propriedade da soma
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a +
=
++
=
+
⇒= ou

Propriedade da diferença
d
dc
b
ba
c
dc
a
ba
d
c
b
a -
=
--
=
-
⇒= ou

4. 3
EXERCÍCIOS A
(1) Em uma classe há 15 meninos e 20 meninas, num total de 35 alunos. A razão
entre o número de meninos e o número total de alunos da classe é indicada por
15:35 ou por
35
15
. Seu valor na forma de fração irredutível é
7
3
. Calcule em seu
caderno:
a) a razão entre o número de meninas e o total de alunos da classe;
b) a razão entre o número de meninos e o número de meninas;
c) a razão entre o número de meninas e o número de meninos.
(2) Use os números 18, 9, 4 e 8 e forme com eles uma proporção.
(3) Comprove as propriedades das proporções usando a proporção:
15
10
6
4
=.

Razão de dois segmentos
Chamamos razão de dois segmentos a razão ou quociente entre os números que
exprimem as medidas desses segmentos, tomados na mesma unidade.

Exemplos:
a) Determinar a razão entre os segmentos AB e CD, sendo AB = 6 cm e
CD = 12 cm. (Lembre-se: AB representa a medida do segmento AB.)
2
1
12
6
CD
AB
==
A razão é
2
1
.

b) Dados MN e PQ, cujas medidas são, repectivamente, 2 cm e 5 cm,
determinar a razão ente MN e PQ.
5
2
PQ
MN
=
A razão é
5
2
.

5. 4
c) Qual a razão entre os segmentos AB e DE, sabendo-se que AB = 2 m e
DE = 60 cm?
Nesse caso, precisamos, inicialmente, transformar as duas medidas para a
mesma unidade:
AB = 2 m = 200 cm
DE = 60 cm
3
10
60
200
DE
AB
==
A razão é
3
10
.
Você pode perceber, pelos exemplos, que a
razão entre dois segmentos é sempre
um número
real positivo.
Sendo um número real, a razão pode ser:

· um número racional
®®®® neste caso dizemos que os segmentos são
comensuráveis.
{
racional
número
6
1
CD
AB
= ®®®®

AB e CD são segmentos comensuráveis
{
racional
número
3
10
DE
AB
=
®®®® AB e DE são segmentos comensuráveis

· um número irracional ®®®® neste caso dizemos que os segmentos são
incomensuráveis.
{
irracional
número
5
2
PQ
MN
=
®®®® MN e PQ são segmentos incomensuráveis

6. 5
Segmentos proporcionais
Pelas definições de proporção e razão de segmentos, podemos dizer que quatro
segmentos, AB, CD, EF e GH, nessa ordem, são proporcionais, quando a
razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja:
AB, CD, EF, GH são, nessa ordem, proporcionais, quando
GH
EF
CD
AB
=.
Lembre-se de que as medidas dos segmentos devem estar na mesma unidade pra
formar a proporção.

Exemplos:
a) Os segmentos AB = 4 cm, CD = 6 cm, EF = 8 cm e GH = 12 cm formam,
nessa ordem, uma proporção, pois:
6
4
12
8
GH
EF
6
4
CD
AB
==
=
⇒⇒⇒⇒
GH
EF
CD
AB
=

b) Quatro segmentos AB, MN, PQ e XY, nessa ordem, são proporcionais.
Se AB = 5 cm, MN = 15 cm e PQ = 4 cm, qual a medida de XY?
Como AB, MN, PQ e XY são proporcionais ⇒⇒⇒⇒
XY
PQ
MN
AB
=
Mas
3
1
15
5
MN
AB
==.
Então:
cm12XY
3
1
XY
4
3
1
XY
PQ
=
=
=

7. 6
EXERCÍCIOS B
(1) Os segmentos da reta AB de 6 cm, MN de 15 cm, EF de 10 cm e PQ,
nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule a medida de PQ.
(2) AB, CD, CD e EF, nessa ordem, são segmentos proporcionais. Calcule a
medida de CD sabendo que AB = 9 cm e EF = 40 mm.


Feixe de retas paralelas
Você já sabe que duas retas de um plano são paralelas quando não possuem
pontos em comum, ou seja:
{
s//r
paralelas
{
=Çsr
ointersecçã
Æ
Se tomarmos três ou mais retas paralelas entre si, obteremos um
feixe de retas
paralelas
, que denominaremos simplesmente feixe de paralelas.
Uma reta que corta um feixe de paralelas é denominada
reta transversal.

feixe de retas paralelas:
r // s // m // u // v
t: transversal


Propriedades de um feixe de retas paralelas
Vamos considerar um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal t.
Assim, na transversal ficam determinados os segmentos AB, BC, CD e DE,
como mostra a figura seguinte.

8. 7


Medindo os segmentos com uma régua, vamos obter:
AB = BC = CD = DE = 1 cm ⇒ AB @ BC @ CD @ DE
@ (Congruente)
Vamos, agora, traçar uma reta m
, transversal ao feixe de paralelas, determinando
os segmentos
MN, NP, PQ e QR .

Medindo os segmentos,vamos obter:
MN = NP = PQ = QR = 1,5 cm
⇒
MN @ NP @ PQ @ QR
Podemos repetir esse procedimento traçando outras transversais ao feixe de
paralelas e verificaremos que os segmentos determinados em cada transversal
serão congruentes entre si.
Dizemos então:
Se um feixe de paralelas determina segmentos congruentes sobre uma
transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra
transversal.

9. 8
Teorema de Tales
Quando três retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os
segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos
segmentos determinados na outra.

a // b // c ⇒
NP
MN
BC
AB
=
OBS.: Podemos considerar ainda outras proporções a partir do teorema de
Tales, tais como:
·
MP
MN
AC
AB
=
MP
NP
AC
BC
=
NP
BC
MN
AB
=

Exemplos:
a) Na figura r // s // t, determinar a medida x indicada.

Pelo teorema de Tales, temos:
6,1
10
16
1610
8210
8
2
10
=
=
=
×=
=
x
x
x
x
x

10. 9
b) Na figura a // b // c, determinar as medidas x e y indicadas.
Pelo teorema de Tales, temos:
y
x
=
9
5

Aplicando as propriedades da soma nas proporções:

10
14
140
14014
28514
28
5
14
5
95
=
=
=
×=
=
+
=
+
x
x
x
x
x
x
yx

Como:
18
1028
2810
28
=
-=
=+
=+
y
y
y
yx


EXERCÍCIOS C
(1) Nas figuras, a // b // c, determine os valores de x.
a)

d)

b)

e)

c)

11. 10
Aplicações do teorema de Tales
Consideremos o DABC (Figura 1).
Vamos traçar uma reta r, paralela ao lado BC, que irá interceptar os lados AB e
AC nos pontos M e P, respectivamente (Figura 2).



Se traçarmos pelo ponto A uma reta s , paralela a r, obteremos três retas paralelas
(BC, r e s) e duas transversais (AB e AC).


r // s // BC
Pelo teorema de Tales:
PC
AP
MB
AM
=

Podemos enunciar, então:
Toda paralela a um lado de um triângulo que encontra os outros dois lados em
pontos distintos determina, sobre esses dois lados, segmentos que são
proporcionais.

12. 11
Exemplo:
a) Na figura abaixo, RS // BC. Determinar a medida de x .

Pelo teorema de Tales aplicado nos triângulos:
2
02ou0
0)2(
02
0422
)4()1(2
1
42
2
22
=
=-=
=-
=-
=--+
+=+
+
+
=
x
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
x
x
x
x


Como x = 0 não serve, então x = 2.


Teorema da bissetriz interna de um triângulo

A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o lado
oposto, segmentos que são proporcionais aos lados do triângulo que formam o
ângulo considerado.


Se AS é bissetriz do ângulo Â, então:

SC
BS
AC
AB
= ou
SC
AC
BS
AB
=

13. 12
Exemplo:
a) Num triângulo MNP, a bissetriz interna MC do ângulo Mˆ determina no lado
NP os segmentos NC e CP cuja razão é
3
2
CP
NC
=. Sabendo-se que M = 12 cm,
determinar a medida do lado MP.

Pelo enunciado do problema, temos a figura ao
lado, onde x é a medida do ladoMP.
Pelo teorema da bissetriz interna:
CP
NC
MP
MN
=
CP
NC12
=
x

Mas,
3
2
CP
NC
=
18
2
36
362
3122
3
212
=
=
=
×=
=
x
x
x
x
x


Então, MP = 18 cm.

14. 13
EXERCÍCIOS D
(1) Nos triângulos abaixo, determine a medida x indicada.
a) BC//MN

c)

BC//DE

b) AB//PQ

d) MP//AB


(2) Nas figuras seguintes, determine o valor de x.
a)
AD é a bissetriz do ângulo A
ˆ


c) BP é a bissetriz do ângulo Bˆ

b) CM é a bissetriz do ângulo C
ˆ


d) AD é a bissetriz do ângulo A
ˆ

15. 14
Referências bibliográficas
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando
matemática. São Paulo: Brasil, 2002.
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:
FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:
Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e
descobrir. São Paulo: FTD, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José
Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São
Paulo: Scipione, 2006.
MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.