[Matemática] [EM - 2º ano] Análise combinatória (princípio fundamental da contagem) (1).pptx

Aula de matemática sobre Análise Combinatória

1. Análise combinatória Princípio fundamental da contagem

2. Conceito Imagine a seguinte situação: Você vai a uma loja de sorvetes e lá existem 3 sabores (morango, uva, limão). Também há duas opções para se servir (casquinha ou potinho). E duas coberturas (chocolate e morango). Quantas são as possibilidades de escolha que você tem sendo que deve escolher apenas um sabor, uma opção para se servir e uma calda?

3. sabor local calda

4. sabor local calda

5. sabor local calda

6. sabor local calda

7. 4 possibilidades 4 possibilidades 4 possibilidades  

8. Ok ... Foi tranquilo de fazer com poucas opções, através de um desenho. Mas e se aumentarmos o número de opções? Só para o sabor uva, teríamos:

9. Só para o sabor uva, teríamos:

10. Conforme o número de opções aumenta, também aumenta a complexidade do desenho (conhecido como diagrama da árvore). Mas como poderíamos solucionar esse tipo de problemas sem a necessidade de ficar desenhando? Utilizando a análise combinatória. Análise combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo estes elementos agrupamentos formados sob certas condições.

11. sabor local calda 3 2 2   Para o primeiro problema problema, poderíamos fazer:

12. sabor local calda 7 2 3   Para o segundo problema, poderíamos fazer: doces 4

13. Princípio fundamental da contagem Utilizamos o princípio fundamental da contagem para resolver ambos os casos. O Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo) , é um método para determinar o número total de maneiras que um evento complexo pode ocorrer quando esse evento é composto por várias etapas independentes.  A ideia principal é multiplicar o número de possibilidades de cada etapa para encontrar o número total de combinações possíveis. 

14. Exemplo 01: Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa? 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento            

15. Faces da moeda

16. Exemplo 02: Quatro atletas participam de uma prova. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? 1 2 3

17. Exemplo 02: Quatro atletas participam de uma prova. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? 1 2 3 4 possibilidades para o primeiro lugar

18. Exemplo 02: Quatro atletas participam de uma prova. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? 1 2 3 4 possibilidades para o primeiro lugar 3 possibilidades para o segundo lugar

19. Exemplo 02: Quatro atletas participam de uma prova. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? 1 2 3 3 possibilidades para o segundo lugar 2 possibilidades para o terceiro lugar

20. Exemplo 02: Quatro atletas participam de uma prova. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? 1 2 3 2 possibilidades para o terceiro lugar  

21. Exemplo 02: Quatro atletas participam de uma prova. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? 1 2 3  

22. Exemplo 03: De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim ou não? Pergunta 1 Sim Não Pergunta 2 Sim Não (...)   Para cada pergunta, duas possibilidades de resposta (sim ou não)

23. Observação: Algumas vezes, o conjunto cujos elementos queremos contar consta de sequências de tamanhos diferentes (isto é, o número de elementos das sequências consideradas é diferente), o que impede o uso do princípio fundamental da contagem. Entretanto, usando o diagrama de árvore, podemos saber facilmente quantas são as sequências.

24. Exemplo 04: Uma pessoa lança uma moeda sucessivamente até que ocorram duas caras consecutivas, ou quatro lançamentos sejam feitos, o que primeiro ocorrer. Quais as sequências de resultados possíveis?

25. 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento 4º lançamento

26. 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento 4º lançamento

27. 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento 4º lançamento

28. 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento 4º lançamento

29. 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento 4º lançamento

30.   Os resultados possíveis são: E o número de sequências é 12