[Matemática] [EM - 2º ano] Probabilidade.pptx

Probabilidade

Conceito Na nossa vida, temos a oportunidade de nos deparar com situações e experimentos cujo resultado podemos prever. Por exemplo, se lançarmos uma pedra para cima com uma determinada velocidade, ela subirá até atingir uma altura máxima e, depois, cairá novamente. Por outro lado, temos a oportunidade de nos deparar com situações ou experimentos cujo resultado final não conseguimos prever .

Ao lançar essa moeda, cairá cara ou coroa? Qual carta do baralho está no topo desse deck? Quais são os 6 próximos números sorteados na Mega Sena? OBS: Alguns dizem que a Mega Sena é um jogo de azar honesto pois o processo aponta os números vencedores de fato aleatório. OBS: O próprio Fortune Tiger divulga que seu retorno ao é de 96,81%. Isso significa que, no longo prazo, quem jogar o Fortune Tiger por muito tempo tende a receber apenas R$ 96,81 para cada R$ 100 apostados. Qual o próximo alinhamento dos símbolos na tela?

Esses experimentos são considerados aleatórios porque seus resultados são influenciados por uma combinação de fatores que são difíceis ou impossíveis de serem controlados ou previstos. A presença de fatores aleatórios, como o movimento de uma moeda no ar, a pressão exercida ao jogar um dado, ou a aleatoriedade dos mercados financeiros, impede que os resultados sejam determinados com antecedência. Experimentos aleatórios são aqueles cujos resultados não podem ser previstos com certeza, mesmo que se conheçam as condições iniciais. Eles são caracterizados pela presença de fatores aleatórios que influenciam os resultados e tornam as previsões impossíveis.

Imagine a seguinte situação: Um dado com 6 faces, numeradas de 1 a 6 é lançado. Qual face cairá voltada para cima? Lançar dado

Vamos fazer um novo lançamento. Lançar dado

1 2 3 4 5 6 Em cada lançamento, existem 6 possibilidades diferentes para saírem na face voltada para cima. Número

1 2 3 4 5 6 Número Em cada lançamento, existem 6 possibilidades diferentes para saírem na face voltada para cima.

Como poderíamos calcular a probabilidade de cair qualquer um desses números?

A probabilidade é dada pela razão entre os casos que nos interessam sobre o universo das informações. Qual a probabilidade de cair o número 5?

Qual a probabilidade de cair o número 5? O que eu quero: Número 5 (1 possibilidade) O que eu tenho: 6 números (6 possibilidades) Ou seja, a probabilidade é calculada pela razão (fração) entre o que preciso (informação pedida) e o que tenho (total de dados)

Exemplo 01: Em uma sala de 20 alunos, com 5 meninos e 15 meninas, qual é a probabilidade de, em um sorteio, o escolhido ser menina? O que eu quero: que saia menina (15 possibilidades) O que eu tenho: meninos e meninas (20 alunos no total)

Exemplo 02: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um número par? O que eu quero: um número par (3 possibilidades: 2,4,6) O que eu tenho: 6 números que podem sair (6 possibilidades)

Exemplo 03: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um número ímpar menor que 5? O que eu quero: um número ímpar menor que 5 (2 possibilidades: 1,3) O que eu tenho: 6 números que podem sair (6 possibilidades)

Exemplo 04: Ao lançarmos 2 moedas para cima, qual é a probabilidade de obtermos 2 caras? 1ª moeda 2ª moeda Cara Cara Cara Coroa Coroa Cara Coroa Coroa

Exemplo 05: Em uma caixa, existem 12 bolas de cores diferentes. 5 verdes, 3 azuis e 4 vermelhas. Qual é a probabilidade de tirarmos, dessa sacola, uma bola vermelha? Cálculos Pegar bola na caixa

Espaço amostral Vimos de uma maneira informal o conceito de probabilidade. Mas como seria isso de uma maneira mais formal? Voltemos ao exemplo do dado.

Imagine a seguinte situação: Um dado com 6 faces, numeradas de 1 a 6 é lançado. Quais possibilidades de números existem para cair na face voltada para cima? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

Imagine a seguinte situação: Um dado com 6 faces, numeradas de 1 a 6 é lançado. Quais possibilidades de números existem para cair na face voltada para cima? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Todos esses números são os únicos possíveis resultados E recebem o nome do espaço amostral.

Imagine a seguinte situação: Um dado com 6 faces, numeradas de 1 a 6 é lançado. Quais possibilidades de números existem para cair na face voltada para cima? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Todos esses números são os únicos possíveis resultados E recebem o nome do espaço amostral. Espaço amostral: Conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório.

Imagine a seguinte situação: Um dado com 6 faces, numeradas de 1 a 6 é lançado. Quais possibilidades de números existem para cair na face voltada para cima? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Todos esses números são os únicos possíveis resultados E recebem o nome do espaço amostral. Espaço amostral: Conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório. Se quisermos saber especificamente por um valor ou conjunto de valores como, por exemplo, números maiores que 3, temos então um subconjunto do espaço amostral.

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Todos esses números são os únicos possíveis resultados E recebem o nome do espaço amostra. Espaço amostral: Conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório. Se quisermos saber especificamente por um valor ou conjunto de valores como, por exemplo, números maiores que 3, temos então um subconjunto do espaço amostral. Números maiores que 3 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1,2,3 4,5,6

1,2,3 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Números maiores que 3 E recebem o nome do espaço amostra. Espaço amostral: Conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório. Se quisermos saber especificamente por um valor ou conjunto de valores como, por exemplo, números maiores que 3, temos então um subconjunto do espaço amostral. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 4,5,6 Esse subconjunto do espaço amostral é chamado de evento .

1,2,3 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Números maiores que 3 E recebem o nome do espaço amostra. Espaço amostral: Conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório. Se quisermos saber especificamente por um valor ou conjunto de valores como, por exemplo, números maiores que 3, temos então um subconjunto do espaço amostral. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 4,5,6 Esse subconjunto do espaço amostral é chamado de evento . Se esse subconjunto possuir apenas um elemento, denomina-se evento elementar. No lançamento de um dado, nosso espaço amostral é:

No lançamento de um dado, nosso espaço amostral é: E podemos ter diferentes eventos desse espaço amostral como: A: Sair número maior que 4 B: Sair número primo e par C: Sair número ímpar

No lançamento de um dado, nosso espaço amostra é: E podemos ter diferentes eventos desse espaço amostral como: A: Sair número maior que 4 B: Sair número primo e par C: Sair número ímpar D: Sair número par

Espaço amostral equiprovável Dizemos que um espaço amostral é equiprovável quando cada resultado possível dentro desse espaço tem a mesma probabilidade de ocorrer. Exemplo: Ao lançar uma moeda não viciada, a probabilidade de cair “cara” é a mesma que a de cair “coroa”. Ao lançar um dado não viciado, a probabilidade de sair cada um dos números (1,2,3,4,5,6) é a mesma.

Mas o que significa “Não viciado”? Um dado viciado é aquele em que as faces não têm a mesma probabilidade de serem sorteados quando o dado é lançado, como um dado normal. O mesmo ocorre com uma moeda viciada. Ele é “fraudulento”, pois a probabilidade de sair certos números é maior do que a de outros. Faces de uma moeda Moeda viciada Moeda não viciada Lançamentos

Por este motivo (e outros) é que jogos de azar são considerados ilegais. As probabilidades são alteradas de maneira proposital fazendo com que o indivíduo tenha uma probabilidade muito maior de perder do que ganhar.

Conceito elementar de probabilidade Seja um espaço amostral finito e equiprovável e um determinado evento, ou seja, um subconjunto de , a probabilidade de ocorrência do evento será calculada pela fórmula: Em que: Número de elementos de A Número de elementos do espaço amostral

Exemplo 01: Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule a probabilidade de sair bola azul, bola vermelha e sair bola amarela.

Exemplo 02: Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de sair o número 3, sair um número par, sair um múltiplo de 3, sair um número menor do que 3 e sair um quadrado perfeito. Probabilidade de sair o número 3:

Exemplo 02: Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de sair o número 3, sair um número par, sair um múltiplo de 3, sair um número menor do que 3 e sair um quadrado perfeito. Probabilidade de sair um número par:

Exemplo 02: Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de sair o número 3, sair um número par, sair um múltiplo de 3, sair um número menor do que 3 e sair um quadrado perfeito. Probabilidade de sair um múltiplo de 3

Exemplo 02: Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de sair o número 3, sair um número par, sair um múltiplo de 3, sair um número menor do que 3 e sair um quadrado perfeito. Probabilidade de sair um número menor do que 3

Exemplo 02: Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de sair o número 3, sair um número par, sair um múltiplo de 3, sair um número menor do que 3 e sair um quadrado perfeito. Probabilidade de sair um quadrado perfeito:

Propriedades básicas Propriedade 01 : A probabilidade do evento impossível é nula. Com efeito, sendo o evento impossível, o conjunto vazio ( ), teremos: Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível neste caso) é nula

Propriedades básicas Propriedade 02 : A probabilidade do evento certo é igual à unidade. Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo nesse caso) é igual a 1

Propriedades básicas Propriedade 03 : A probabilidade de um evento qualquer é u m número real situado no intervalo real [0,1].

Eventos independentes Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Por exemplo: se lançarmos dois dados simultaneamente, o resultado do primeiro não afeta o resultado do segundo, portanto dizemos que os lançamentos simultâneos de dados são eventos independentes.

Probabilidade de A e B ocorreram simultaneamente

Probabilidades individuais de A e B Em outras palavras, a probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem juntos é o produto das suas probabilidades individuais.

Exemplo 01: Ricardo e Amanda lançaram, cada um, uma moeda. Qual é a probabilidade de obtermos 2 caras? lançamento Coroa Cara Coroa Cara Moeda A Moeda B Como os lançamentos das moedas são eventos independentes, a probabilidade de obtermos o resultado desejado em um não influenciará no resultado do outro.

Exemplo 01: Ricardo e Amanda lançaram, cada um, uma moeda. Qual é a probabilidade de obtermos 2 caras? lançamento Coroa Cara Coroa Cara Moeda A Moeda B

Exemplo 02: Uma urna contém 10 bolas (6 vermelhas e 4 azuis). Duas bolas são retiradas sucessivamente e com reposição da urna. Qual é a probabilidade de que ambas sejam vermelhas? Quando eu tiro uma bola da urna e depois a devolvo, a probabilidade de tirar novamente a mesma bola é a mesma, pois a condição inicial volta a ser a do início (10 bolas, 6 vermelhas e 4 azuis)

Exemplo 03: No lançamento de dois dados honestos, qual é a probabilidade do primeiro dado ser par e do segundo dado ser maior que 4? 1º dado 2º dado

Exemplo 04: No lançamento de um dado e uma moeda, qual a probabilidade de sair cara na moeda e um múltiplo de 3 no dado? Evento A: Sair cara na moeda

Exemplo 04: No lançamento de um dado e uma moeda, qual a probabilidade de sair cara na moeda e um múltiplo de 3 no dado? Evento B: Sair múltiplo de 3 no dado

Exemplo 04: No lançamento de um dado e uma moeda, qual a probabilidade de sair cara na moeda e um múltiplo de 3 no dado? Cara e múltiplo de 3

Evento dependente São aqueles em que a ocorrência ou não ocorrência de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Ou seja, a probabilidade de um evento dependente ocorrer está condicionada pela ocorrência de outro evento. Em termos mais simples: Se você tirar uma carta de um baralho e não a devolver, a probabilidade de tirar outra carta da mesma cor na próxima vez será diferente da probabilidade inicial, pois o baralho já está diferente.

Exemplo 01 Numa urna há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Serão retiradas dessa urna duas bolinhas, ao acaso, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de 10 na primeira e um número ímpar na segunda? O fato de a retirada das bolinhas ocorrer sem reposição, implica que a ocorrência do primeiro evento interfere na probabilidade do segundo ocorrer. 2 1 4 3 6 5 8 7 9 10 12 11 14 13 16 15 18 17 19 20 22 21 24 23 26 25 28 27 29 30

Exemplo 01 Numa urna há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Serão retiradas dessa urna duas bolinhas, ao acaso, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de 10 na primeira e um número ímpar na segunda? 2 1 4 3 6 5 8 7 9 10 12 11 14 13 16 15 18 17 19 20 22 21 24 23 26 25 28 27 29 30 Evento A: sair um múltiplo de 10

Exemplo 01 Numa urna há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Serão retiradas dessa urna duas bolinhas, ao acaso, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de 10 na primeira e um número ímpar na segunda? 2 1 4 3 6 5 8 7 9 10 12 11 14 13 16 15 18 17 19 20 22 21 24 23 26 25 28 27 29 30 Evento A: sair um múltiplo de 10 Evento B: sair um número ímpar

Exemplo 01 Numa urna há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Serão retiradas dessa urna duas bolinhas, ao acaso, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de 10 na primeira e um número ímpar na segunda? 2 1 4 3 6 5 8 7 9 10 12 11 14 13 16 15 18 17 19 20 22 21 24 23 26 25 28 27 29 30 Evento A: sair um múltiplo de 10 Evento B: sair um número ímpar Sorteada. Saiu da urna Já a probabilidade de sair um número ímpar na segunda bolinha é 15 em 29 (porque já saiu a primeira bolinha e os múltiplos de 10 necessariamente são pares)

2 1 4 3 6 5 8 7 9 10 12 11 14 13 16 15 18 17 19 20 22 21 24 23 26 25 28 27 29 30

Probabilidade condicional A probabilidade de um evento ocorrer, dado que outro evento já ocorreu. Em termos simples, a probabilidade condicional é a probabilidade de que um evento B ocorra, sabendo que outro evento A já ocorreu. Isso significa que, para se calcular a probabilidade de ocorrer a interseção dos eventos A e B (ocorrência simultânea) é preciso multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles ( ) pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu ( ). Esse tipo de probabilidade também é conhecido como a probabilidade da intersecção de dois eventos.

Exemplo 01: De um baralho comum são retiradas 2 cartas, uma a uma e sem reposição. Calcular a probabilidade de as duas cartas serem de copas.

As cartas que nós queremos (copas)

Evento B: Primeira carta é de copas Supondo que a carta tirada seja de copas, como eu não a reponho no baralho, agora o baralho tem uma carta a menos do total (sendo que essa uma carta a menos é de copas. Então agora são 51 cartas sendo 12 de copas e 13 de cada um dos naipes restantes.

Evento B: Primeira carta é de copas Supondo que a carta tirada seja de copas, como eu não a reponho no baralho, agora o baralho tem uma carta a menos do total (sendo que essa uma carta a menos é de copas. Então agora são 51 cartas sendo 12 de copas e 13 de cada um dos naipes restantes. Evento A: Segunda carta é de copas

Exemplo 02: Uma urna contém 13 bolas (4 vermelhas, 4 verdes, 3 amarelas, 2 azuis), qual é a probabilidade de selecionar duas bolas vermelhas em um sorteio de duas bolas sem reposição? 1º sorteio: 1ª bola

Exemplo 02: Uma urna contém 13 bolas (4 vermelhas, 4 verdes, 3 amarelas, 2 azuis), qual é a probabilidade de selecionar duas bolas vermelhas em um sorteio de duas bolas sem reposição? 1º sorteio: 1ª bola Para o segundo sorteio, as condições mudaram. Eu tenho 12 bolas (3 vermelhas, 4 verdes, 3 amarelas, 2 azuis) 2º sorteio: 2ª bola

Exemplo 02: Uma urna contém 13 bolas (4 vermelhas, 4 verdes, 3 amarelas, 2 azuis), qual é a probabilidade de selecionar duas bolas vermelhas em um sorteio de duas bolas sem reposição? 2º sorteio: 2ª bola Para o segundo sorteio, as condições mudaram. Eu tenho 12 bolas (3 vermelhas, 4 verdes, 3 amarelas, 2 azuis) 1º sorteio: 1ª bola

Probabilidade da união de dois eventos É a probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra. Então, sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostral, como podemos calcular a probabilidade de ocorrer ao menos um desses eventos? Vamos considerar o lançamento de um dado e os eventos A “o número obtido ser múltiplo de 2” e B “o número obtido ser múltiplo de 3”.

Espaço amostral Evento A: múltiplo de 2 Evento B: múltiplo de 3 Satisfaz simultaneamente os eventos A e B

Evento A: múltiplo de 2 Evento B: múltiplo de 3

A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, ou seja, a união dos dois eventos, é igual à probabilidade de ocorrer A mais a probabilidade de ocorrer B menos a probabilidade da interseção de A com B. Quando , ou seja, A e B são conjuntos disjuntos, dizemos que os eventos são mutuamente exclusivos, isto é, a ocorrência de um deles exclui a possibilidade da ocorrência do outro.

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