Matematica 3 - Editorial Pilares X2 Ccesa007.pdf

3
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G r u p o E d i t o r i a l
ARITMÉTICA ÁLGEBRA GEOMETRÍA
INICIALES MATS3 CT.indd 1 3/02/2020 18:45:24

Compartimos nuestras
costumbres y valoramos la
diversidad de nuestro pa?s
¿Qué val ortél ué ml ov«x«»us«rial oavl »rl svrel i«xuvé«iril n«a»ús«7rl u1«é ue ul uel »rél i«é «e rél vus«aeuél iul
eQué val uvv« av«a3lriu2mé3liuouei«ueialiuliúeiulx«xr2aé3l ueu2aéli«é «e rél7aé Q2nvuél?l»uesQréDl
céloavlu»»alpQuliunu2aélrovueiuvlrlxr»avrv3lvuéou rvl?l7a2orv «vl7rirlQerliulué réli«duvue7«rélorvrl
oaiuvl7aea7uvl2u:avleQué val0uv6D
Ce uv7Q» Qvr»
Enfoque tranversal
Ciue «iri3lvuéou a
Valores
Desempe?os
? áfaea7uél»rli«xuvé«iril7Q» Qvr»lpQul4r?luela vaéliuorv r2ue aéliu»lortéH
? ágQVl7aé Q2nvuél to«7rél «ueueluelu»l»Qsrvliaeiulx«xuéH
? á0avlpQVl7vuuélpQuluél«2oav re ulvuéou rvl»réli«é «e rél7aé Q2nvuélpQul ueu2aéH
Observamos y respondemos
Geometr?a
Unidad I
? 5u7aea7ul»réli«é «e réloaé«7«aeuél?lmesQ»aél
ue vul»rélvu7 réD
? f»ré«d «7rl»aél v«mesQ»aéliulr7Quvialrl»rl
2ui«irliuléQélmesQ»aél?liuléQél»riaéD
? Ciue «d «7rl»rél»teurélea rn»uéliul»aél v«mesQ»aé3l
2ui«rer3lr» Qvr3ln«éu7 v«Ll?l2ui«r v«LD
? q«duvue7«rl»aéloQe aélea rn»uéliul»aél
v«mesQ»aél7aeléQélvuéou7 «xrélovao«uiriué
? 5uéQu»xulovan»u2réliul v«mesQ»aélQéreial
2V aiaéliul7aesvQue7«rDl
Unidad II
? yo»«7rl»rélovao«uiriuélorvrl7r»7Q»rvlu»l
e62uvaliuli«rsaer»uél?l»rl2ui«irliul»aél
mesQ»aéliul»aéloa»tsaeaéD
? 5u7aea7ul»aélu»u2ue aélréa7«riaélrl»aél
7Qriv«»m uvaéD
? Ciue «d «7rl»aélu»u2ue aéliul»rl7«v7Qeduvue7«rl
?l»réloaé«7«aeuélvu»r «xrélue vulu»»réD
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Unidad III
? b «»«Lrl»rélov«e7«or»uélvu»r7«aeuél2V v«7réliul»rl
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? yo»«7rl»réldúv2Q»rélorvrl4r»»rvlu»lmvurliul»aél
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Unidad IV
? Ciue «d «7rl»aélu»u2ue aéliulQeloa»«uiva3l
xVv «7ué3l7rvré3li«rsaer»ué3lrv«é réD
? 5u7aea7ul»aélov«e7«or»uéloa»«uivaélvusQ»rvuéD
? 5uéQu»xulovan»u2réliaeiuléul uesrel
pQul4r»»rvlu»louvt2u va3lmvurl?lxa»Q2ueliul
oa»«uivaélvusQ»rvuéD
? Ciue «d «7rl»aélu»u2ue aéliul»aélov«é2rél?liul
»rélo«vm2«iué3lrétl7a2aléQélovao«uiriuéD
? fr»7Q»rlu»louvt2u va3lmvurl?lxa»Q2ueliul
ov«é2rél?lo«vm2«iuéD
? ce7Que vrl»rl2reuvrliul7a2alsueuvrvl
QerluéduvrlalQel7aealrlorv «vliulQerld «sQvrl
n«i«2ueé«aer»D
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150
151 Aritmética
Unidad 2
Básico Intermedio Avanzado
27
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Nivel intermedio
8. ¿Qué valor toma «x» si el número 7x es
132
.
-?
Descomponiendo el número:
x7132
.
=-
x70 132
.
+=-
x
x
72 13
6
.
&
+=
=
9. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos
de 6 o 4?
Haciendo el diagrama de Venn:
6
.
4
.
12
.
75 75 150
Los números que son múltiplos de 6 y de 4
también los son del MCM (6; 4) = 12
a. N° múltiplos de 6 de tres cifras:
99 <
6
.
< 1000
16,5 < 6
.
< 166,66 ...
6
.
= ( 166 – 17) + 1 =150
b. N° múltiplos de 4 de tres cifras:
99 <
4
.
< 1000
24,75 < 4
.
< 250
4
.
= ( 249 – 25) + 1 = 225
c. N° múltiplos de 12 de tres cifras:
99 <
12
.
< 1000
8,25 < 12
.
< 83,333 ...
12
.
= ( 83 – 9) + 1 = 75
Múltiplos de 6 o 4:
150 + 75 + 75 = 300
10. ¿Qué valor toma «x», si el número 8x es
174
.
+?
Descomponiendo el número, tenemos:
8x = 80+x
Entonces:
x80 174
.
+=+
x6812 17 4
.
++ =+
x17 12 17 4
..
++ =+
xx81 79
.
&+==
11. ¿Cuántos múltiplos de 29 son de tres cifras y
terminan en 3?
ab3 =
29
.
⇒ ab3 = 29k
⇒ k = ...7
Por dato:
99 < 92k < 1000
3,4... < k < 34,4...
⇒ k = 7, 17 y 27
Los múltiplos son:
203, 493 y 783
12. Si 2425 =
7
.
+ x, halla «x».
Descomponiendo el número, tenemos:
2000 + 400 + 20 + 5 =
7
.
+ x
7
.
+ 5 +
7
.
+ 1 +
7
.
+ 6 + 5 =
7
.
+ x

7
.
+ 17 =
7
.
+ x

7
.
+ 7
.
+ 3 =
7
.
+ x
x = 3
13. ¿Cuántos números de dos cifras existen que al
ser divididos entre 21 dan como resultado 3?
El número tiene la forma ab donde se cumple:
ab = 21k + 3
9 < 21k + 3 < 100
6 < 21k < 97
0,285 ... < k < 4,619 ...
k = 1, 2, 3, 4
Cuatro números cumplen dicha propiedad.
14. ¿Qué valor toma «x» si el número 7x es
13
.
– 2?
Descomponiendo el número 7x se tiene
70 + x, entonces:
7x = 70+x
13
.
+ 5 + x =
13
.
– 2
13
.
+ 7 + x =
13
.
7 + x=
13
.
⇒ x=6 Tomamos medidas
necesarias para
mejorar nuestro planeta
Unidad I
? ¿Qué vauvlaoélrétrvlaQm«Qéxovoxlaoxa
Q«rxt év é»tasamvoé v é»taoxatiexm«lamxvuxla
Qvmvauval«un é»taoxaQm«úuxevl7
? 1uvlé3 é vauvlax2Qmxlé«txlavu?xúmvé vlDa
e«t«eé«lDaúét«eé«lDarmét«eé«lasa
Q«uét«eé«l 7
? cxlnxupxa«Qxmv é«txlavu?xúmvé vlaxtrmxa
e«t«eé«lasaQ«uét«eé«l7
? cx «t« xau«laQm«on r«lat«rvúuxlaedla
nlnvuxlasau«lanréué:vaQvmvauvamxl«un é»taoxa
Qm«úuxevl7
? 0oxtré3 é vau«laQmét éQvuxlae6r«o«laCnxalxa
nlvtaQvmvaoépéoémaQ«uét«eé«lDae6r«o«aoxa
á«mtxmasae6r«o«aoxacn3 3 été7
Unidad II
? fréué:vavox nvovextrxau«la « éxtrxlat«rvúuxla
Qvmvaxuaoxlvmm«uu«aoxaQm«úuxevlavu?xúmvé «l7
? 4eQuxvau«lae6r«o«laoxa3v r«mé:v é»tasau«la
mxuv é«tva «tau«laQm«on r«lat«rvúuxl7
? cxQmxlxtrva?md3 é vextrxau«latiexm«la
«eQuxH«lasanlvavox nvovextrxalnla
Qm«Qéxovoxl7
? 0oxtré3 é vauvlaoélrétrvlamxQmxlxtrv é«txlaoxa
u«latiexm«la «eQuxH«lDa3«mevaúét»eé vDa
3«mevaQ«uvmasa3«mevarmé?«t«e6rmé v7a
? cxlnxupxax nv é«txlaoxalx?nto«a?mvo«Da
nlvto«auva3»menuva?xtxmvuasau«lae6r«o«laoxa
3v r«mé:v é»t7
Unidad III
? cxlnxupxaétx nv é«txlauétxvuxlDa
éoxtré3 é vto«axua «tHntr«al«un é»taoxauvla
eélevl7
? flvau«lae6r«o«laQvmvauval«un é»taoxa
étx nv é«txla nvomdré vl7
? fréué:vauvlaQm«Qéxovoxlaoxapvu«mavúl«unr«a
Qvmvaovmauval«un é»taoxax nv é«txlaxa
étx nv é«txl
? 4eQuxvauvlaQm«Qéxovoxlaoxuau«?vmére«aQvmva
mxl«upxmaxHxm é é«laoxavQué v é»t7
? cx «t« xauvlamxuv é«txlaCnxalxaQnxoxtaovma
xtrmxau«latiexm«lamxvuxlasau«lamxQmxlxtrvaxta
xuaoév?mvevalv?érvu7
Unidad IV
? 0trxmQmxrvaQvlaoé3xmxt évlaxtrmxamxuv é«txlasa
3nt é«txlDalxgvuvto«alnao«eété«asalnamvt?«7
? Vmv3 é vaexoévtrxarvúnuv é»tauvlaoélrétrvla
3nt é«txlaCnxalxaQmxlxtrvt7
? 0oxtré3 é vauva?md3 é vasaxua «eQ«mrveéxtr«aoxa
uvla3nt é«txlDae«t«r«t5vaoxa3nt é«txl7
? 1«t« xauvlavQué v é«txlaoxauvla3nt é«txlaxta
uvapéovamxvu7
? 0oxtré3 é vauvamx?uvaoxa «mmxlQ«toxt évasauva
?md3 é vaoxauvla3nt é«txlaedlanlnvuxl7
¿ rnvuextrxDa tnxlrm«a Quvtxrva Qvlva Q«ma veúé«la ensa ?mvpxla oxúéo«a vua nl«a étoél méeétvo«a oxa u«la
mx nml«la tvrnmvuxla oxa tnxlrm«a exoé«veúéxtrx7a 4lr«a Lva rmv5o«a «e«a «tlx nxt éva uva oxlrmn é»ta oxa
x «lélrxevlDa xlQv é«la pérvuxla Qvmva u«la lxmxla pép«la Cnxa Lvúérvta xta vova nt«qa Q«ma xuu«Da xla tx xlvmé«a «y
ext:vmavar«evmaexoéovlaQvmvamxpxmrémaxlrvaQm«úuxedré v7abMn6av é«txlaoxúxe«laxHxm xm(
;nxlrm«aoxúxma «e«a énovovt«laxlav rnvmaoxa3«mevamxlQ«tlvúuxDaQmv ré vto«av é«txlaCnxa «trméúny
svta «tauvaQm«rx é»taoxuaQuvtxrvaxtaxuaCnxapépée«l7
¿eúéxtrvu
Enfoque transversal
)«uéovméovoaQuvtxrvméva
;vrnmvux:v
Valores
Desempe?os
? b1mxxlaCnxaxlaéeQ«mrvtrxa «t éxtré:vmavauvaQ«úuv é»tav xm vaoxua vuxtrveéxtr«a?u«úvu(abN«maCn6(a
? ¿ rnvuextrxDab mxxlaCnxauval« éxovoalxaQmx« nQvaQ«mau«laQm«úuxevlaveúéxtrvuxl(a
42Qué v7abMn6a
Q«oxe«laLv xmaQvmva «trméúnéma «taxua néovo«aoxuaexoé«veúéxtrx(
Observamos y respondemos
?lgebra
88
89
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El contenido del libro está dividido por áreas: Aritmética, Álgebra y Geometría, lo cual
ayudará al alumno a comprender con exactitud cada tema trabajado en clase. Básico Intermedio Avanzado
26
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Divisibilidad
Recordamos lo aprendido
¿QuQéQ QvQala
ort aQmrt «xrt x»t »sirent úi7t rét aQuQéQ vrt 1net
ú»7téQtvltaQuQéQ3»tr»2ertúi7t?tú»7trétrDlm2lc
psirenét»ntaQuQéQ vré
oQt x»t »sirent úl7t »nt rét aQuQéQ vrt r»2ert x»t »sd
irent ú 7:t ért n éreult «xrt vlt éxilt arvt eréQaxnt
1netar0rm2nt?t1netrDmréntartaQm6ltaQuQéQ3»téxd
il»trvtulvnetartú 7c
Csv2Q1vné
ortaQmrt«xrtx»t»sirentúi7trétisv2Q1vntartú»7t
éQt úi7t ért 1xrart rémeQ Qet mnint rvt 1enaxm2nt art
ú»7tmn»tx»t»sirentr»2ren:tntmxl»antúi7tmn»d
2Qr»rtltú»7tx»t»sirentr»2rent?trDlm2ntarturmréc
átrétisv2Q1vntartftéQt¿ »tQtN t4tátutftét»
H éreulmQ3»g
Vnanétvnét»sirenétén»tisv2Q1vnétart5c
LeQ2reQnétartaQuQéQ QvQala
¿QuQéQ QvQala
LeQ2reQn
qnety
oQgtl mary=o
⇒ttrtut»sirent1le
qnet
1n2r»mQlét
arty
oQgtl marb=o
⇒ tarb=o
oQgtl marM=o
⇒ttmarM=o
qnet(
oQgtl mar(=o
⇒ttrtut;t?t(
qnet
1n2r»mQlét
art(
oQgtl mary(
.
=
⇒ tary(
.
=
oQgtl mar5y(
.
=
⇒ tmar5y(
.
=
qnet)t?t
1netN
oQgtl ma)
.
=
⇒ tl ma )
.
++ +=
oQgtl maN
.
=
⇒ tl ma N
.
++ +=
qnet°
lt t mt at rt 0
yt )t 5t+yt+)t+5
qnet55
oQgtl mar0 55
.
=
⇒ tlmr a0 55
.
++ -+ +=^h
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. 9émeQ rt 2erét »sirenét art anét mQ0elét «xrt érl»t
aQuQénerétart,;cttttttttttttttttt:ttttttttttttttttt:tttttttttttttttttc
2.
9émeQ rtvnét2erét1eQirenét»sirenétart2erétmQ0elét
«xrtérl»tisv2Q1vnétartb(c
ttttttttttttttttt:ttttttttttttttttt:tttttttttttttttttc
3. oQt
)l°=o:tr»2n»mrétrvtulvnetartúl7trég
ll l));° (&=+==
o
4. oQt(lN=
o:tr»2n»mrétrvtulvnetartúl7trég
ll l((;N b&=+==
o
5. Llvmxvlt úl7:t art inant «xrt
y°5lt érlt aQuQéQ vrt
1net5)c
ort 2Qr»rt «xrt 5)ly°5
.
= ct ¿rémni1n»Qr»ant
2r»rinég
ly°5; 5)
.
+=
l
5),
5)
.
.
+
+=ak
ll,5)°
.
&+==
6. ¿r2reiQ»lt«x.t»sirentéQri1ertrétaQuQéQ vrtr»d
2ertvltaQ0rer»mQltartx»t»sirentart2erétmQ0elét?trvt
«xrteréxv2ltartQ»ure2Qetrvtnear»tartéxétmQ0eléc
orltl mtaQm6nt»siren:tr»2n»mrég
8E
8E
l m ml
l m
ml
l m
ml
l ml lm
5;;5;5 ;; 5;
5;;5;5 ;; 5;
NN N; NN 55 5;
-
++ -
++
++ -- -
-- =- -
9vt»sirentéQri1ertérektaQuQéQ vrt1netNt?t1net)c
7. PlvvltúD7téQtrvt»sirent(yDtrétaQuQéQ vrtr»2ert)5c
¿rémni1n»Qr»antrvt»sireng
D(y )5
.
=
D(y;) 5
.
+=
D
)5yb
)5
.
.
+
+=ak
DDyb )5 °
.
&+==
5yt 5(t );
5)(t 5M;t yy(
Apertura del área
Presenta situaciones retadoras gracias a las cuales movilizarás tus habilidades,
destrezas, valores y afectos a través del diálogo y la apreciación personal.
Título del área
Presenta los aprendizajes
esperados.
Formula
preguntas para
orientar el análisis
de la imagen.
Presenta
un texto
motivador.
El desarrollo de
los ejercicios
se encuentra
diferenciado por
3 niveles: básico,
intermedio y
avanzado.
Se presenta un
resumen de la teoria
que sirve de apoyo
en la resolución de
los ejercicios. 6 7
Nos proponemos
lograr metas
trabajando en equipo
Unidad I
? ¿QuéQ vQalort Qm«uaxQa»rsiéserua»rmrna
ésú7s1axú3QoQs»ú«1aúseQouQ»»ú7sa2axú3QoQs»ú«a
uúm?eoú»«D
? cseQoloQe«alorlruú»úrsQua 7pú»«uad«»úQsxra
éuraxQa rua»rsQ»eroQua 7pú»ruD
? :3 Q » e0«alort Qm«uaQsaxrsxQaúseQo vúQsQsa
lorlruú»úrsQua 7pú»«u1ad«»úQsxraéuraxQa «ua Q2QuaxQa «a 7pú»«alorlruú»úrs« D
?
cxQseú3 ú»«asémQo« QuaQu»oúeruaQsareo«uat«uQua
2aQ3Q»e0«a»rsvQouúrsQuaxQaés«at«uQa«areo«D
? 6rsueoé2QaQaúseQoloQe«ae«t «uaxQaxúueoúté»ú7sa
xQa3oQ»éQs»ú«ual«o«ax«eruasra«poél«xru
? cseQoloQe«a rua»rs»QleruatCuú»rua»rmra
úseQo v« ruaxQa» «uQ1a«s»draxQa» «uQ1am«o»«axQa » «uQ1aQe»D1al«o«a «a»rsueoé»»ú7saxQae«t «uaxQa 3oQ»éQs»ú«uaxQax«erua«poél«xruD
Unidad II
? ¿Q»rsr»Qa rua»oúeQoúruaxQaxúvúuútú úx«xa2a
oQuéQ vQalort Qm«ualroamQxúraxQaxú»drua »oúeQoúruD
?
: «t ro«a»rs»Qlerua2aoQ «»úrs«a «ua
lorlúQx«xQuaurtoQas0mQorualoúmruD
? ¿QuéQ vQalort Qm«ua«l ú»«sxra»rooQ»e«mQseQa
«ualorlúQx«xQuaxQaá6fa2aá6áDa
? cseQoloQe«a «uaxúueúse«ualorlúQx«xQuaxQa rua
s0mQoruao«»úrs« Qua2aoQuéQ vQalort Qm«ua
oQ «»úrs«xrua»rsa ruas0mQoruao«»úrs« QuD
? ¿QloQuQse«ax«eruaQue«x4ueú»ruamQxú«seQa
poC3 ú»rua»rmra»úo»é «o1at«oo«u1adúuerpo«m«u1aQe»D
? ¿QuéQ vQalort Qm«uaQsa ruaHéQaxQtQa
»« »é «oa «aeQsxQs»ú«a»Qseo« aurtoQa «a mQxú«1amQxú«s«a2amrx«gae«seral«o«ax«erua «poél«xrua»rmrasra«poél«xruD
Unidad III
? ¿Q»rsr»Qa «ualorlúQx«xQua3ésx«mQse« Qua
xQ a»rsiéseraxQa ruas0mQoruaoQ« QuD
? Vs« ú5«a ruax«eruaxúulrsút QuaQsa «a«l ú»«»ú7sa
xQa «ualorlúQx«xQuaurtoQao«5rsQua2a lorlro»úrsQuD
?
:ml Q«alor»QxúmúQseruam«eQmCeú»rual«o«a
oQur vQoalort Qm«uaoQ «»úrs«xrua« aoQl«oera lorlro»úrs« D
?
cxQseú3 ú»«apoC3 ú»rua2aQLloQuúrsQua
m«eQmCeú»«uaoQ3QoQseQua«am«psúeéxQua lorlro»úrs« QuD
?
cseQoloQe«alrueé «xrua2aeQroQm«uat«u«xrua
QsaQ a«sC úuúua»rmtús«eroúrD
? fQeQomús«aQ av« roaxQa «axQuvú«»ú7samQxú«1a
QueCsx«oa2av«oú«s5«axQa ruax«eruaQLloQu«xrua Qsaés«ae«t «axQa3oQ»éQs»ú«uD
Unidad IV
? : «t ro«axúuQqrua2aQuHéQm«ual«o«a «a
«l ú»«»ú7saxQa «aoQp «auQaeoQuauúml Qara »rmléQue«D
?
cxQseú3 ú»«a «uaoQp «uaxQaxQu»éQsera2a«émQsera
ué»QuúvruaoQ3QoQseQa« ae«seralroa»úQseraQsa «l ú»«»úrsQua»rmQo»ú« QuD
?
:ue«t Q»QaoQ «»úrsQuaQseoQax«erua2a «ua
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M0uHéQx«axQa «aQL»Q Qs»ú«
Enfoque transversal
Desempeños
Aritm?tica
6rml«qQoúumr1aur úx«oúx«x
Valores
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Observamos y respondemos
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Organizadores internos
Conociendo nuestro libro
Se integra el enfoque transversal y los valores a trabajar en la unidad.
INICIALES MATS3 CT.indd 2 3/02/2020 18:45:28

TIC: sugiere enlaces de Internet, donde
encontrarás información adicional rela-
cionada al tema tratado.
TIC
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
169
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Hal olasvlsraleds«vsx»32
H
θθ
al
osv
r a. 1
b. 8
c. R
d. 82u
2.
(allasvlsraleds«vsH)s4Dstm
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2
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R
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vr3
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Nivel intermedio
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RNivel avanzado
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Nivel destacado
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121
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Álgebra
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Nivel intermedio
4. Halla los valores de «x»
xx xx3
2
1
3
2
1
28 1 2
-+ -= -
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
5. Resuelve
3x + 2 =
()
x
x
43
34 3
-
+

6. Determina la diferencia positiva de las raíces
() ()
()
x x x
x1
2
3
21 3
2
1112
+ -- =+
-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
7. Resuelve
()
x
x
x
x
1
23 2
2
34
-
+
=
+
+
E indica la suma de soluciones
Dando forma:
(3x + 2) × (4 – 3x) = 12x + 9
12x – 9x
2
+ 8 – 6x = 12x + 9
–9x
2
+ 12x + 8 – 6x – 12x – 9 = 0
–9x
2
– 6x – 1 = 0
Hallamos el discriminante
∆ = b
2
– 4ac
∆ = (–6)
2
–4(–9)(–1)
∆ = 0
Debido a que el discriminante es 0, esta ecuación solo tiene raíces dobles.
Es decir: x
1
= x
2
=
a
b
2
-
& x
1
= x
2
=
()
()
29
6
3
1
-
--
=-
Recordando diferencias de cuadrados:
(a – b)(a + b) = a
2
– b
2
& x9
4
12
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O – 2x = 8x 2
– 1
9x
2
– 8x
2
– 2x –
4
1
+ 1 = 0
x
2
– 2x +
4
3
= 0
Aplicando la fórmula general:
x
a
bb ac
2
4
2
!
=
--
()
() () ()
x
21
22 41
4
3 2!
=
-- --J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
,
,
x
x
x2
21 05
15
1
2
!
==
=
=
Z
[
\
]]]
]
]]
(x + 1) x x
x
2
3
22 3
2
11 112-+ =+
-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
()x x x
x1
2
1
2 3
2
11 112+-+ =+
-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
Homogenizamos las ecuaciones multiplicando por 2 a ambos lados:
xx x x
x
2
2
1
2
2
1
2 3
2
11 11
2
2 2-+ -+ = +
-
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
–x + 4x 2
– 1 + 4x = 6x 2
+ 11x – 11
4x
2
– 6x
2
– x + 4x – 11x + 10 = 0
–2x
2
– 8x + 10 = 0
Hallamos el discriminante:
∆ = (–8)
2
– 4(–2)(10) = 144
Fórmula para la diferencia de las raíces:
|x
1
– x
2
| =
a
ba c4
2
-
|x
1
– x
2
| =
2
144
2
12
6
-
=
-
=-
(6x + 4)(x + 2) = (3x + 4)(x – 1)
6x
2
+ 12x + 4x + 8 = 3x
2
– 3x + 4x – 4
6x
2
+ 16x + 8 = 3x
2
+ x – 4
6x
2
– 3x
2
+ 16x – x + 8 + 4 = 0
Método aspa simple:
3x
2
+15x+12=0
3x
3 & 3x + 3 = 0
x 4 & x + 4 = 0
3x + 3 = 0 & x = –1
x + 4 = 0 & x = –4
Suma de soluciones
x
1
+ x
2
=
a
b
-
x
1
+ x
2
=
3
15
- = –5
Es fácil comprobarlo pues –4 + (–1) = –5
Formula preguntas para orientar el análisis de la imagen.
Para el desarrollo del libro se presentan secciones diferenciadas por medio de unidades.
Se plantea una serie de ejercicios para reforzar en casa lo aprendido en clase.
Se presenta un ejercicio con un nivel mayor a los ya mencionados, para fomentar la investigación en los estudiantes.
Cajitas adicionales
Enlace: como su nombre lo dice, vincula lo
trabajado con contenidos afines.
Dato importante: brinda información
sustancial al tema trabajado.
En 5 minutos: propone actividades sen-
cillas que deberás realizar en el aula.
Metacognición: son preguntas formu-
ladas para que reflexiones sobre tu propio aprendizaje.
Sabías que... presenta datos curiosos
que brindan información complemen- taria al tema.
En 5 minutos
Indica cuál de los enunciados son correctos.
••Seno y secante no son R.T. recíprocas
••Cotangente y tangente son R.T. recíprocas
••Coseno y secante no son R.T. recíprocas
Ingresa al link donde encontrarás un video que
amplía la información sobre las R.T. de ángulos
cuadrantales:
https://www.youtube.com/
watch?v=yH0bCp_zpaw&t=1085s
Enlace
Dato importante
Para ubicar un punto P(x;y) en el plano
cartesiano, primero debemos reconocer el
signo de la abscisa y la ordenada para de
esta manera saber en que cuadrante se
encuentra.
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿cómo aprendí?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿cómo las su-
peré?
••¿Para que me sirve lo aprendido en este
tema?
El teorema de Pitagoras es una herramienta
muy usada en la resolución de problemas que
involucran las R.T. de ángulos agudos.
Sabías que...
Geometría
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
167
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Congruencia de triángulos
Recordamos lo aprendido
Congruencia de triángulos
Caso: Lado - ángulo - lado (L.A.L)
,
A
C
B
b
a
θ
P
R
Q
b
a
θ
Caso: Ángulo - lado - ángulo (A.L.A)
,
A
B
b
C
α β
P
Q
b
R
α β
Caso: Lado - lado - lado (L.L.L)
,
B
C
a
b
c
c
A
P Q
R
a
b
Aplicaciones geométricas de la congruencia de
triángulos:
1. Teorema de la bisectriz
PA = PH / OA = OH
O
α
α
θ
θ
A
H
P
2. Teorema de la mediatriz
PA = PB
A
B
M
P
3. Segmentos entre paralelas
AB = CD / AD = BC
A D
B
α
α
θ
θ
C
L1
L2
4. Teorema la base media
MN =
AC
2
A C
B
a
2a
M N
5. Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa
CB
A
M
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Calcula el valor de x + y en los siguientes trián- gulos:
20° 60°
2x
a
100°
20°
4y
a
2. Determina el valor de x + y en la siguiente figura.
2y - 1
y + 3x + 6
4x - 6
β
β
3. Si la recta L es mediatriz, determina el valor
de x + y.
6 y
L
5x
Por congruencia de triángulos (caso A-L-A) se tiene:
2 = y 4 = x
Luego: x + y = 4 + 2 = 6
Por teorema de la mediatriz:
y = 6 ; x = 5
Finalmente:
x + y = 5 + 6 = 11
Por teorema de la bisectriz:
4x – 6 = x + 6
3x = 12 ⇒ x = 4
Luego:
2y – 1 = y + 3
y = 3 + 1 ⇒ y = 4
Finalmente:
x + y = 4 + 4 = 8 120
Básico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial .
Ecuaciones de segundo grado
Recordamos lo aprendido
Hal osvasredol sva«x»3rsal led a2vo11al
osvasredol 2vo 8xolod3ad 1a lrRvrod3o uex(a
Rodoxa1)
a4

H t4 H s a m i a l mn an tn s n9
ftloxcasrpd)
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Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
? ?
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+
-
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INICIALES MATS3 CT.indd 3 3/02/2020 18:45:30

ARITMÉTICA
1
Nos proponemos
lograr metas
trabajando en
equipo
6 - 7
Valores
Compañerismo,
solidaridad
Enfoque
tranversal
Búsqueda de la
excelencia
Lógica proposicional 9
Conjuntos 13
Sistema de numeración 17
Tabla de frecuencias para
datos agrupados y no agrupados 21
2
Divisibilidad 26
Números primos y compuestos 30
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
34
Número racionales (ℚ) 38
Gráficos estadísticos 42
Medidas de tendencia central 46
3
Números reales (ℝ) 50
Razones y proporciones 53
Reparto proporcional 57
Magnitudes proporcionales 60
Análisis combinatorio 64
Medidas de dispersión 67
4
Regla de tres simple y compuesta 71
Porcentajes 74
Regla de interés 78
Mezcla y aleación 81
Probabilidades 85
ÁLGEBRA
1
Tomamos
medidas
necesarias para
mejorar nuestro
planeta
88 - 89
Valores
Solidaridad
planetaria
Naturaleza
Enfoque
tranversal
Ambienta
Exponentes y radicales 91
Polinomios 95
Productos notables 99
División algebraica 103
2
Cocientes notables 108
Factorización 112
Introducción a los números complejos 116
Ecuaciónes de segundo grado 120
3
Inecuaciones lineales y cuadráticas 125
Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto
129
Logaritmos 133
Relaciones binarias 136
4
Funciones I 141
Funciones II 144
Funciones especiales 147
GEOMETRÍA
1
Compartimos
nuestras
costumbres y
valoramos la
diversidad de
nuestro país
150 - 151
Valores
Identidad,
respeto
Enfoque
tranversal
Intercultural
Ángulos entre rectas paralelas y secantes
153
Triángulos 156
Líneas notables en el triángulo 159
Puntos notables en el triángulo 163
Congruencia de triángulos 167
2
Polígonos 171 Cuadriláteros
175
Circunferencia 179
Ángulos asociados a la circunferencia
182
Proporcionalidad y semejanza 185
Relaciones métricas en el triángulo
189
3
Relaciones métricas en la circunferencia
194
Área de regiones triángulares 198
Área de regiones cuadrangulares 201
Área de regiones circulares 204
Geometría del espacio 207
Ángulos poliedros 210
4
Sólidos geométricos 214
Prisma y pirámide 218
Sólidos de revolución 221
Competencias
• Resuelve problemas de cantidad
• Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
• Resuelve problemas de movimiento, forma y localización
• Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre
Capacidades
• Traduce cantidades a expresiones numéricas
• Comunica su comprensión sobre los números y las operaciones
• Usa estrategias y procedimientos de estimación y cálculo
• Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las operaciones
• Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas
• Comunica su comprensión sobre las relaciones algebraicas
• Usa estrategias y procedimientos para encontrar reglas generales
• Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia
• Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones
• Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas
• Usa estrategias y procedimientos para orientarse en el espacio
• Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas
• Representa datos con gráficos y medidas estadísticas o probabilísticas
• Comunica la comprensión de los conceptos estadísticos y probabilísticos
• Usa estrategias y procedimientos para recopilar y procesar datos
• Sustenta conclusiones o decisiones en base a información obtenida
INICIALES MATS3 CT.indd 4 3/02/2020 18:45:30

GEOMETRÍA
1
Compartimos
nuestras
costumbres y
valoramos la
diversidad de
nuestro país
150 - 151
Valores
Identidad,
respeto
Enfoque
tranversal
Intercultural
Ángulos entre rectas
paralelas y secantes 153
Triángulos 156
Líneas notables en el triángulo 159
Puntos notables en el triángulo 163
Congruencia de triángulos 167
2
Polígonos 171
Cuadriláteros 175
Circunferencia 179
Ángulos asociados a la circunferencia
182
Proporcionalidad y semejanza 185
Relaciones métricas en el triángulo
189
3
Relaciones métricas en la circunferencia
194
Área de regiones triángulares 198
Área de regiones cuadrangulares 201
Área de regiones circulares 204
Geometría del espacio 207
Ángulos poliedros 210
4
Sólidos geométricos 214
Prisma y pirámide 218
Sólidos de revolución 221
Competencias
• Resuelve problemas de
cantidad
• Resuelve problemas de
regularidad, equivalencia y cambio
•
Resuelve problemas de
movimiento, forma y localización
•
Resuelve problemas
de gestión de datos e incertidumbre
Capacidades
•
T<> raduce cantidades a
expresiones numéricas
• Comunica su
comprensión sobre los números y las operaciones
•
Usa estrategias y
procedimientos de estimación y cálculo
•
Argumenta afirmaciones sobre las relaciones numéricas y las
operaciones
•
Traduce datos
y condiciones a expresiones algebraicas
•
Comunica su
comprensión sobre las relaciones algebraicas
•
Usa estrategias y
procedimientos para encontrar reglas generales
•
Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia
•
Modela objetos con
formas geométricas y sus transformaciones
•
Comunica su
comprensión sobre las formas y relaciones geométricas
•
Usa estrategias y
procedimientos para orientarse en el espacio
•
Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas
•
Representa datos con
gráficos y medidas estadísticas o probabilísticas
•
Comunica la
comprensión de los conceptos estadísticos y probabilísticos
•
Usa estrategias y
procedimientos para recopilar y procesar datos
•
Sustenta conclusiones
o decisiones en base a información obtenida
INICIALES MATS3 CT.indd 5 3/02/2020 18:45:30

6
Nos proponemos
lograr metas
trabajando en equipo
Unidad I
• Resuelve problemas de conjuntos como:
unión, diferencia, intersección y diferencia
simétrica.
• Interpreta proposiciones lógicas haciendo
uso de los conectores lógicos.
• Efectúa problemas en donde intervienen
proposiciones lógicas, haciendo uso de las leyes de la lógica proposicional.
•
Identifica numerales escritos en otras bases
y efectúa conversiones de una base a otra.
• Construye e interpreta tablas de distribución
de frecuencias para datos no agrupados
• Interpreta los conceptos básicos como
intervalos de clase, ancho de clase, marca de clase, etc., para la construcción de tablas de frecuencias de datos agrupados.
Unidad II
• Reconoce los criterios de divisibilidad y
resuelve problemas por medio de dichos criterios.
•
Elabora conceptos y relaciona las
propiedades sobre números primos.
• Resuelve problemas aplicando correctamente
las propiedades de MCD y MCM.
• Interpreta las distintas propiedades de los
números racionales y resuelve problemas
relacionados con los números racionales.
• Representa datos estadísticos mediante
gráficos como circular, barras, histogramas, etc.
• Resuelve problemas en los que debe
calcular la tendencia central sobre la media, mediana y moda; tanto para datos agrupados como no agrupados.
El ser humano, por naturaleza, busca siempre ir mejorando, es por ello, que es importante que se plantee retos y trabaje de manera constante para cumplirlos.
El trabajo en equipo es un factor que permite a la persona alcanzar metas de forma más rápida; además, le per-
mite ampliar sus conocimientos en distintos ámbitos.
Búsqueda de la excelencia
Enfoque transversal
Desempeños
Compañerismo, solidaridad
ValoresProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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7
Unidad III
• Reconoce las propiedades fundamentales
del conjunto de los números reales.
• Analiza los datos disponibles en la aplicación
de las propiedades sobre razones y
proporciones.
• Emplea procedimientos matemáticos para
resolver problemas relacionados al reparto proporcional.
•
Identifica gráficos y expresiones
matemáticas referentes a magnitudes proporcionales.
•
Interpreta postulados y teoremas basados
en el análisis combinatorio.
• Determina el valor de la desviación media,
estándar y varianza de los datos expresados en una tabla de frecuencias.
Unidad IV
• Elabora diseños y esquemas para la
aplicación de la regla se tres simple o compuesta.
•
Identifica las reglas de descuento y aumento
sucesivos referente al tanto por ciento en aplicaciones comerciales.
•
Establece relaciones entre datos y las
transforma a expresiones que incluyen la media aritmética, geométrica y armónica.
•
Selecciona la estrategia conveniente para
resolver problemas que involucran mezclas y aleaciones.
•
Examina propuestas de modelos de
probabilidad condicional que involucran eventos aleatorios.
Aritmética
• ¿<> Crees que es importante el trabajo en equipo?
• ¿Sabes como trabajar adecuadamente en equipo?
• ¿Cómo el trabajo en equipo ayuda a los estudiantes a lograr sus metas?
Observamos y respondemosProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación Secundaria Básico Intermedio Avanzado
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8
ARITMÉTICA
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Aritmética UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación SecundariaBásico Intermedio Avanzado
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Unidad 1
9
Lógica proposicional
Recordamos lo aprendido
Proposición lógica
Es una oración que se caracteriza por tener la
propiedad de ser verdadero o falso, pero no
ambos a la vez.
Tablas de verdad
a. Conjunción (∧) y disyunción (∨)
p q p ∧ q p ∨ q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
b. Condicional (→) y bicondicional (↔)
p q p ↔ q p → q
V V V V
V F F F
F V F V
F F V V
Valor de verdad de los esquemas moleculares a.
Tautología: Todos los valores de verdad del
resultado final de la tabla son verdaderos.
b. Contradictorios: Cuando todos los valores
de verdad del resultado final de la tabla son
falsos.
c. Contingencia: Cuando en el resultado final
hay por lo menos una verdad y una falsedad.
Leyes de la lógica proposicional
1. Idempotencia:
pp p;pp p0/==
2. C<> onmutativa:
pq qp ;pqq p00//==
3. Asociativa:
pq rp qr000 0=__ii
pq rp qr/// /=__ii
4. Distributiva
pqr pq pr0/0 /0=__ _ii i
pqr pq pr/0/ 0/=__ _ii i
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. De los siguientes enunciados, escribe cuáles
son proposiciones o enunciados abiertos.
a. 1 + 2 + 3 + 4 + … + 10 = 55

b. 13
2
> 8
2
+7
2
+5
2

c. 3x
2
+ 3x = 2x
3

d. 5x
3
+ 16 < 200

e. Isaac Newton fue un científico Brasilero.

f. Dos números consecutivos siempre serán PESI.

2. Sean las siguientes proposiciones:
• p: Janet está enferma.
• q: Janet tardará en curarse.
Escribe verbalmente las siguientes proposiciones:
a. p ∧ q:

b. ~p → ~q:

c. ~(~p):

d. p ∨ ~q:

e. ~p ↔ ~q:

3. Completa los espacios en blanco con las pala-
bras correctas.
a. Una conjunción es verdadera si «p» y «q» son
ambas .
b. El condicional es falso si «p» es
y «q» es .
c. Para que la disyunción sea falsa, es ne-
cesario que ambas proposiciones
sean a la vez.
d. Si «p» es una proposición verdadera y «q» es
una proposición falsa, entonces el valor de ver- dad de p ∨ ~q es
.
Proposición
Proposición
Proposición
Proposición
Enunciado abierto
Enunciado abierto
Janet está enferma y
tardará en curarse.
Si Janet no está enferma
entonces no tardará en curarse.
No es verdad que Janet
no esté enferma.
Janet está enferma o no
tardará en curarse.
Janet no está enferma si y
solo si no tardará en curarse.
verdaderas
verdadera
verdadero
falsa
falsas
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B?sico Intermedio Avanzado
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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 10
Nivel intermedio
4. Desarrolla las tablas de verdad de las siguien-
tes proposiciones e indica si son tautologías,
contradicciones o contingencias.
a. ~p ∨ ~q
p q ~p ∨ ~q
V V
V F
F V
F F

b. [(p → q) ∧ ~q]
p q [(p → q) ∧ ~q]
V V
V F
F V
F F

c. [p ∧ (p→q)] → q
p q [p ∧(p→q)]→q
V V
V F
F V
F F

d. (~p ∧ ~q) ∨ q
p q (~p ∧ ~q)∨ q
V V
V F
F V
F F

5. Sabiendo que el valor de verdad de la siguien-
te proposición:
[p → (q → r)] es falsa.
Determina el valor de verdad de p→(q ∧ r).
Como el valor de verdad de:
[p → (q → r)] es falsa, entonces tenemos:
p ≡ V; q → r ≡ F, entonces: q ≡ V; r ≡ F
Finalmente: p → (q ∧ r) ≡ V → (V ∧ F)
≡ V → F ≡ F
6. Determina el valor de verdad de los siguientes
esquemas moleculares, sabiendo que:
pq rs""0++_ ^i hes falsa.
a. (~p ∧ ~q) ∨ ~q
Como: (p → ~q) ∨ (~r → s) ≡ F
F F
Entonces: p ≡ V; q ≡ V; r ≡ F; s ≡ F
(~p ∧ ~q) ∨ ~q
≡ (F ∧ F) ∨ F
≡ F ∨ F ≡ F
b. [(~r ∨ q) ∧ p] ↔ [(~q ∨ r) ∧ s]
[(~r ∨ q) ∧ p] ↔ [(~q ∨ r) ∧ s]
≡ [(V ∨ V) ∧ V] ↔ [(F ∨ F) ∧ F]
≡ [(V ∧ V)] ↔ [F ∧ F]
≡ V ↔ F
≡ F
c. (p → q) → [(p ∨ q) ∧ ~q]
(p → q) → [(p ∨ q) ∧ ~q]
≡ (V → V) → [(V ∨ V) ∧ F] ≡ V → [ V ∧ F] ≡ V → F ≡ F
Es una contingencia.
Es una contingencia.
Es una tautología.
Es una contingencia.
F F F
F V V
V V F
V V V
V V V F F
V F F F V
F V V F F
F V F V V
V V VVVV V
V F VFFV F
F F FVVV V
F F FVVV F
F F F V V
F F V F F
V F F V V
V V V V F
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Aritm?tica B?sico Intermedio Avanzado
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Unidad 1 11
Nivel avanzado
7. Dada la siguiente proposición:
«Si 8 + 5 = 13, entonces 9 es primo o 4 es un
número impar»
a. Simboliza la proposición.
Sean las proposiciones:
p: 8 + 5 = 13; q: 9 es primo; r: 4 es impar
Simbolizando: p → (q ∨ r)
b. Determina el valor de verdad de la proposi-
ción hallada en el item a.
Al simbolizar se tuvo: p → (q ∨ r)
Con p ≡ V; q ≡ F; r ≡ F.
p → (q ∨ r) ≡ V → (F ∨ F) ≡ F
8. Si: ~p → (t ∨ ~u) es falsa.
Determina el valor de verdad de:
[p → (t ∨ ~ p)] ∨ [p ↔ {(t ∧ u) ∧ ~t}]
Como: ~p → (t ∨ ~u) = F
V F
p ≡ F; t ≡ F; u ≡ V
Así: [p → (t ∨ ~ p)] ∨ [p ↔ {(t ∧ u) ∧ ~t}]
≡ [F → (F ∨ V)] ∨ [F ↔ {(F ∧ V) ∧ V}]
≡ [F → V] ∨ [F ↔ {F ∧ V}]
≡ V ∨ [F ↔ F]
≡ V ∨ V
≡ V
9. De las siguientes proposiciones:
• p: Los leones son carnívoros.
• q: Los leones son agresivos.
Expresa verbalmente:
a. ~p ∧ q:

b. p ↔ q:

c. ~(p ∧ ~q):

10. El valor de verdad de cada una de las siguien-
tes proposiciones:
• ~p → q
• ~(p ∨ r)
• ~m ↔ r
es verdadero. Determina el valor de verdad que
le corresponde a las siguientes proposiciones:
a. (p ∧ q) → (r → p)
b. (p ∧ r) ↔ (q → m)
c. ~p → (r ∧ q)
Primero analizaremos el segundo ítem:
~(p ∨ r) ≡ V
⇒ p ≡ F; r ≡ F
F
Luego analizaremos los ítems restantes:
~p → q ≡ V ;
;
V V
~m ↔ r ≡ V
m ≡ Vq ≡ V
F F
a. (p ∧ q) → (r → p)
≡ (F ∧ V) → (F → F)
≡ F → V
≡ V
b. (p ∧ r) ↔ (q → m)
≡ (F ∧ F) ↔ (V → V)
≡ F ↔ V
≡ F
c. ~p → (r ∧ q)
≡ V → (F ∧ V)
≡ V → F
≡ F
11. Completa la tabla de verdad para la siguiente
proposición:
(~p ∨ q) ↔ (p ∨ ~ q)
p q (~p∨q)↔(p∨~q)

V V F V V V V V F
V F F F F FV V V
F V V V V F F F F
F F V V FV FV V
Los leones no son carnívoros y
son agresivos.
Los leones son carnívoros si y
solo si son agresivos.
No es verdad que, los leones son
carnívoros y no son agresivos.
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B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 12
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Determina el valor de verdad da cada uno de
los siguientes enunciados:
I. 2 � 5 es una proposición simple.
II. 2x + 4 = 7 es un enunciado abierto.
III. 2x + 4 ≤ 7 es una proposición.
IV. 2 + 4 ≤ 9 es una proposición compuesta.
a. FFVV b. FFFV c. VFVV d. VVFF
2. De los siguientes enunciados mostrados, ¿cuá-
les son proposiciones?
I. 25 es un número par.
II. ¿Saldré a exponer mañana?
III. ¿Cuánto es lo que debes?
IV. La aritmética es una rama de la matemática.
a. Solo I
b. I y II
c. II, III y IV
d. I y IV
3. Dadas las siguientes proposiciones compuestas:
I. 5 > 1 y 8 < 18.
II. Si 2
2
= 4, entonces 3
2
– 3 > 0.
III. 8 = (–2)
3
o (–4)
4
= 256.
Indica los valores de verdad. a.
VFV b. VVV c. FVV d. VFF
4. Se tienen las proposiciones simples: •
p: Julio Ramón Ribeyro nació en Lima.
• q: Julio Ramón Ribeyro es el autor de La
palabra del mudo
.
Al simbolizar:
Si Julio Ramón Ribeyro no es el autor de
La pa-
labra del mudo
, entonces no nació en Perú. Se
tiene:
a.
p ∧ q b. ~q → ~pc. p ↔ q d. p ∨ q
Nivel intermedio
5.
Si ~p → q es falso, halla el valor de verdad de las
siguientes proposiciones: I.
(~p ∨ q) ∨ r
II. (p → q) → q
III. (∼p→∼q) ∧ p
IV. ∼p ↔ (p ∨ ∼q)
a. VVFF b. VFFV c. FVVF d. FFFF
6. Se define el conectivo «
*
», mediante la siguien-
te tabla:
p q p
*
q
V V F
V F F
F V F
F F V
Evalúa el resultado del esquema mostrado:
~[( p
*
~q) → ~p]
a. VVVV b. FVFV c. FVVV d. FFFF
7. Si la proposición p ∧ ( q → r ) es verdadera, enton-
ces se puede afirmar que: I.
Es p obligatoriamente verdadera.
II. Si q es falsa, entonces r necesariamente es
falsa.
III. Si r es verdadera, entonces q puede ser ver-
dadera o falsa.
Indica cuáles son verdaderos. a.
I y IIb. Solo IIIc. II y IIId. I y III
Nivel avanzado
8.
Si el valor de verdad de:
(p ∧ q) → (~s ∨ t) es falso.
Determina el valor de verdad de p, q, s y t res-
pectivamente.
a. VVVF b. VFVF c. FVVF d. FVFF
Nivel destacado
9. Si la proposición compuesta mostrada:
(p ∧ q) → (~q ∨ ~r)
es falsa. Determina el valor de verdad de:
I. (p ↔ ~q) ∨ (~r ∧ q)
II. ~(p ∨ ~r) ↔ (~q ∨ ~p)
a. VF
b. FF
c. Faltan datos
d. FV
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
d d b b b d d a d
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13Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 1
Básico Intermedio Avanzado
Conjuntos
Recordamos lo aprendido
Conjuntos
Colección de elementos con características
similares. Los elementos de un conjunto pue-
den ser: personas, números, colores, letras, fi-
guras, entre otros.
1. Cardinal de un conjunto
Para el cojunto A, el cardinal es la cantidad de elementos diferentes que esta tiene.
Notación:
n(A)
a. Conjuntos iguales
A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
b. Conjunto potencia:
n [P(A)] = 2
n(A)
Subconjuntos propios:
2
n(A)
– 1
2. Principales leyes del álgebra de conjuntos
a. Unidad
A∪U=UA∪∅=A A∩U=AA∩∅=∅
b. Idempotencia
A ∪ A=A

A ∩ A=A
c. Conmutativa
A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A
d. Asociativa
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C)
e. Distributiva
A∪(B∩C)=(A∪B) ∩ (A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B) ∪ (A∪C)
f. De Morgan
(A∪B)
c
=A
c
∩B
c
(A∩B)
c
=A
c
∪B
c
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Completa los espacios en blanco con símbolos
de pertenencia o inclusión según corresponda.
K={6; 8; {6}; {8}; {6;8}}
I. {6;{8}} ⊂ K ( )
II. {6; 8} ∉ K ( )
III. {6; 8} ∈ K ( )
IV. �{6; 8}� ∈ K ( )
V. ∅ ∈ K ( )
VI. ∅ ⊂ K ( )
2. Determina por extensión el conjunto H y halla
la suma de sus elementos.
Hx/x; 6
3
2x 1
9<<N!=
+
(2
Eliminando el denominador de la desigualdad:
,
x
x
xx
6321 93
1821 27
17226851 3
<<
<<
<< <<&
$$ +
+
H = {9; 10; 11; 12}
Suma de elementos: 9 + 10 + 11 + 12 = 42
3. Si T = {(2x + 1) ∈ Z / –5 < x < 5}, determina el
cardinal de T.
Dado forma a la variable:
–5 < x < 5
–10 < 2x <10 ⇒ –9 < 2x + 1 <11
Como 2x + 1 ∈ Z, entonces:
T = {–8; –7; –6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;
7; 8; 9; 10}
Entonces: n(T) = 19
4. Si los conjuntos A y B son iguales:
A = {2
a
+1;242} B = {3
b
– 1;1025}
Son iguales,
calcula la suma de los elementos de:
F = { x/x ∈ N ; b < x < a}
Como son iguales: 2
a
+ 1 = 1025 2
a
= 1024 ⇒ a = 10
3
b–1
= 242 3
b
= 243 ⇒ b = 5
F = { x/x ∈ N; b < x < a} = { x/x∈ N; 5 < x < 10}
F = {6; 7; 8; 9} Suma de elementos: 6 + 7 + 8 + 9 = 30
V
F
V
F
F
V
2 CONJUNTOS.indd 13 5/02/2020 16:08:45

14 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
5. Si los conjuntos A y B, son iguales y unitarios,
determina el valor de x + y + z.
A = {2x – 16; 6y + 8}; B = {4z; 12z – 16}.
Como A y B son unitarios, tenemos:
2x – 16 = 6y + 8 = 8 4z = 12z – 16
⇒ 16 = 8z ⇒ z = 2
El conjunto A = B viene dado por:
6y + 8 = 8 6y = 0
y = 0
⇒2x – 16 = 8 2x = 24
x = 12
∧ ∧ ∧
Finalmente: x + y + z = 12 + 0 + 2 = 14
6. Si un conjunto A tiene 511 subconjuntos pro-
pios, ¿cuántos elementos tiene «A»?
Total de subconjuntos = propios + 1
Total de subconjuntos = 511 + 1
Total de subconjuntos = 512
2
n(A)
= 512
⇒ n(A)=9
El conjunto A tiene 9 elementos.7. Dados los siguientes conjuntos: A = {3; 6; 8; 10}; C = {5; 7; 9; 11; 16}; E = {31; 8; 11; 15; 16}.
Representa en diagrama de Venn:
a. (A ∪ E) ∩ C
b. (A – C) ∪ (A ∩ E)
A C
E
.3
.10
.6
.5
.11
.31
a
b
.15
.16
.7
.9
.8
8. Calcula n(A ∆ B), si:
A = {x
2
– 10 / x ∈ N ; 4 ≤ x <10};
B = {2
x
+ 7 / x ∈ N; 2 ≤ x <6}.
Determinando los conjuntos por extensión,
tenemos:
Para A, x ∈ {4; 5; 6; 7; 8; 9}, entonces:
A = { 6; 15; 26; 39; 54; 71}
Para B, x ∈ { 2; 3; 4; 5}, entonces:
B = { 11; 15; 23; 39}
A ∆ B = {6; 26; 11; 23; 54; 71} ⇒ n(A ∆ B) = 69. ¿Qué operación representa cada una de las re-
giones sombreadas?
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C

10. Dados los conjuntos A y B, se sabe que:
n(A) = 32, n(B) = 22; n(A∪B) = 40.
Determina el valor de: n(A∩ B).
Haciendo el diagrama de Venn:
A B
32 – x 22 – xx
32 – x + x + 22 – x = 40
54 – x = 40
x = 14
Entonces: n(A ∩ B) = 14
A – (B ∪ C)
(A ∩ B) – C
B ∩ (A ∪ C)
(B ∪ C) – A
2 CONJUNTOS.indd 14 5/02/2020 16:08:45

15Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 1
B?sico Intermedio Avanzado
Nivel avanzado
11. En una academia de idiomas, de 600 alumnos,
se sabe que 100 no estudian inglés ni francés
y 50 estudian francés e inglés. Si 450 estudian
francés, ¿cuántos estudian inglés?
Haciendo el diagrama de Venn:
F I
400 x50
U = 600
100
400 + 50 + x + 100 = 600
550 + x = 600 ⇒ x = 50
Estudian inglés: 50 + 50 = 100 alumnos.
12. De un total de 60 deportistas que practican fútbol o natación se sabe que 39 practican fút- bol, 31 practican natación, ¿cuántos practican ambos deportes?
Haciendo el diagrama de Venn:
F N
39 – x 31 – xx
U = 60
39 – x + x + 31 – x = 60
70 – x = 60 ⇒ x = 10
13. Dados los conjuntos A y B se cumple que:
• n(A ∪ B) = 30
• n(A – B) = 12
• n(B – A) = 7
Calcula n(A) + n(B).
Haciendo el diagrama de Venn:
A B
12 7x
19 + x = 30 ⇒ x = 11
n(A) + n(B) = (12 + 11) + (11 + 7) = 41
14. Se tienen los conjuntos A y B que cumplen: •
n[P(A – B)] = 32
• n[P(B – A)] = 16
• n[P(A ∪ B)] = 2048
Determina el valor de: 3n[P(A ∩ B)] + 2n(A ∩ B).
A partir del problema:
n[P(A – B)] = 32 ⇒ 2
n(A – B)
= 32 ⇒ n(A – B) = 5
n[P(B – A)] = 16 ⇒ 2
n(B – A)
= 16 ⇒ n(B – A) = 4
n[P(A ∪ B )] = 2048
2
n(A∪B)
= 2048 ⇒ n(A ∪ B) = 11
Haciendo el diagrama de Venn:
A B
5 4x
5 + x + 4 = 11
9 + x = 11 ⇒ x = 2
3n[P(A ∩ B)] + 2n(A ∩ B) = 12 + 4 = 16
15. Dados dos conjuntos A y B, se sabe que:
n(A) = 4a + 3; n(B) = 2b – 1; n(A ∩ B) = a + b + 1.
Determina n(A Δ B).
Haciendo el diagrama de Venn, tenemos:
A B
a + b + 13a – b + 2 b – a – 2
Del gráfico:
3a – b + 2 = n(A – B)
Además:
b – a – 2 = n(B – A)
Luego:
n(A ∆ B) = n(A – B) + n(B – A)
n(A ∆ B) = (3a – b+2) + (b – a – 2)
n(A ∆ B) = 2a
2 CONJUNTOS.indd 15 5/02/2020 16:08:45

16 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si el conjunto A es unitario, halla el valor de
x
2
+ y
2
.
A = {x + y; 20; x – y + 10}
a.
230 b. 130 c. 250 d. 144
2. De un total de 62 deportistas que practican
fútbol o natación se sabe que 39 practican fút-
bol, 33 practican natación, ¿cuántos practican
ambos deportes?
a.
12 b. 10 c. 11 d. 13
3. Dado el siguiente conjunto:
A = {9; 11; 18; 20}
Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I. {9} ∈ A
II. {11} ⊂ A
III. 20 ∈ A
IV. 18 ⊄ A
a. FVVV b. FVVF c. VVFF d. VVVF
4. Determina la suma de los elementos del con-
junto C.
C = {x + 1 / x ∈ N; 6 ≤ x � 12}
a. 45 b. 48 c. 57 d. 53
Nivel intermedio
5.
Calcula el cardinal del conjunto T.
T x/x; 5
2
x3
12Z!# #=
+
(2
a. 12 b. 13 c. 14 d. 15
6. ¿Qué operación representa la región sombreada?
A B
a. A – B
b. B – A
c. (A – B) ∪ (B – A)
d. A U B
7. Dados los conjuntos A y B, se tiene lo siguiente:
n(A ∆ B) – n(A∩B) = 78 n(A∪B) = 96
Determina el valor de n(A ∩ B).
a. 18 b. 9 c. 8 d. 14
8. Usando el siguiente gráfico, simplifica:
[(A – B) ∩ (C – A)] ∪ B
A B C
a. A b. B c. C d. A – B
Nivel avanzado
9.
Dados los siguientes conjuntos:
A = {22; 23; 25}
B = {24; 22; 25}
C = {22; 23; 24; 25}.
Determina la verdad o falsedad de las siguien-
tes proposiciones.
I. A ∩ B = A ∩ C
II. [(B ∪ C) ∩ (A – B)] ⊂ A
III. n(C – B) – n(B – C) = 2
IV. A Δ B = C – (A ∩ B)
a. FVFF b. VVVV c. FVFV d. FFVV
10. Si los conjuntos A y B son unitarios. Calcula el
conjunto C por extension.
A = {x + y; 5}
B = {1; x – y}
C = {x; y; x + y; x
2
; y
2
– 1}
a.
C = {2; 5; 9}
b. C = {3; 2; 5}
c. C = {3; 2; 5; 9}
d. C = {1; 2; 3; 4}
11. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjun- to A? Si está formado por la siguiente sucesión.
A = {60; 70; 80; ... ; 140}
a.
512 b. 511 c. 256 d. 255
Nivel destacado
12. Dados los conjuntos:
A = {x+3 / x ∈ Z; 2 ≤ x ≤9}
B = {2x / x ∈ Z; x ≥ 3}
Determina la cantidad de subconjuntos que
tiene A – B.
a. 4 b. 8 c. 16 d. 32
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
c b a c d c b b c c b c
2 CONJUNTOS.indd 16 5/02/2020 16:08:46

17Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado Unidad 1
Sistema de numeración
Recordamos lo aprendido
Sistema de numeración
Es el conjunto de reglas y leyes que permi-
ten la formación de la escritura y la lectura de
números.
Expresión literal de un número
Toda cifra de un numeral, se puede repre-
sentar por una letra del abecedario, sea mi-
núscula o mayúscula, cubriéndolas con una
barra horizontal.
•
pq
n^h: Es cualquier número de dos cifras en
la base «n».
• abcd: Es cualquier número de cuatro cifras
en la base «10».
• abc25: Es cualquier número de cinco cifras
en la base 10 que termina en 25.
Descomposición polinómica de un número
Es expresar el numeral como la suma de los
valores relativos de todas sus cifras.
abcd an bn cn d(n)
32
## #= ++ +
Descomposición por bloques
abcd abncd(n)
2
#= +
Conversiones de base 10 a una base «n»
cualquiera
Se efectúa usando las divisiones sucesivas, para
lo cual se debe dividir el número entre la base
«n» hasta llegar a tener una división exacta, los
residuos escritos de derecha a izquierda serán
el valor del número convertido a la base n
Propiedades fundamentales
1. Numeral con cifras de valor máximo
(n – 1) (n – 1) ... (n – 1)
(n)
= n
k
– 1
K cifras
2. Bases sucesivas
1a
1b
1c
1m
(n)
= n + a + b + c + ... + m
...
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. El número 764 está escrito en el sistema octo-
nario, ¿Cómo se escribirá en el sistema ternario?
Convirtiendo 764
(8)
a base 10, tenemos:
764
(8)
= 7 × 8
2
+6 × 8+4 = 500
Expresando 500 en base 3, tenemos:
5003
21663
155 3
1 18 3
0 6 3
0 2
⇒ 764
(8)
= 200112
(3)
2. Si el número (a +1)(a–1)(a–2) está expresado en
base 4, exprésalo en base 5 y da como respues-
ta, la suma de sus cifras.
Como el numeral está bien escrito en base 4,
entonces:
a – 2 ≥ 0
a ≥ 2
a + 1 � 4
a � 3
∧
∧
⇒ a = 2,
así: (a+1)(a–1)(a–2) = 310
(4)

convirtiéndolo a base 10:
310
(4)
= 3×4
2
+ 1×4 = 52
Expresando 52 en base 5, se tiene:
525
2105
02
⇒ 310
(4)
= 202
(5)
⇒ Suma de cifras = 2 + 2 = 4
3. Si 2x31 x16 8=^ ^h h determina el valor de «x»
Desarrollando la igualdad mediante la des-
composición polinómica:
xx
xx
xx
x
x
26 63 18 81
7263 6481
756658
102
5
22
##++ =+ +
++ =+ +
+= +
=
=
3 SISTEMA DE NUMERACIÓN.indd 17 5/02/2020 16:08:36

18 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
4. Se sabe que los números:
1aa;2cc;bb4 ac^ ^^h hh
Están bien escritos, además a, b y c son dife-
rentes, calcula el valor de a + b + c.
Como los numerales están bien escritos:
a < 4, c < a, 0 � b < c
Ordenando las desigualdades:
0 � b < c < a < 4
Así, tenemos:
b = 1, c= 2, a = 3
Nos piden:
a + b + c = 3 + 1 + 2 = 6
5. Se verifican las igualdades, en el sistema decimal:
ab+ba=143 y a – b=5
Calcula ba
2
^h.
Realizando la descomposición polinómica:
10a + b + 10b + a = 143
11a + 11b = 143
11(a + b) = 143
⇒ a + b = 13
Resolviendo las ecuaciones:
a + b = 13
a – b = 5
2a = 18
⇒ a = 9 ; b = 4
ba
2
^h = 49
2
= 2 401
6. Si se verifica que:
1mm5 m5 9=^ ^h h
Determina el valor de 5m+m(m – 1)+m
2
.
Realizando la descomposición polinómica:
1×5
2
+5m+m = 5×9+m
25+6m = 45+m
5m=20
⇒ m = 4
Entonces: 5m+m(m – 1)+m
2
= 20+43+16
5m+m(m – 1)+m
2
= 79
Sabías que...
Un número es capicúa cuando se lee
igual de izquierda a derecha y viceversa,
ejemplo: 858; 1221; 969.
7. Calcula a + b + c, si se verifica:
a4ab c0cc
6
4-=_
^
^i
h
h
Realizando la descomposición polinómica:
aa b ccc
a ab cc c
aa bc
aa bc
ab c
4 0
466 44
36 46 69
361446 69
42 69144
6
4
23
##
-=
- ++ =+ +
-+ +=
-+ +=
+= +
^
_
_
^
^
h
i
i
h
h
Se sabe: 4 � a � 6 ⇒ a = 5
Entonces:
66 = 69 c – b ; c = 1, b = 3
Así: a + b + c = 5 + 3 + 1 = 9
8. Expresa el número K en base 7
K=2×7
4
+ 5×7
3
+ 6×7
2
+31
La descomposición polinómica, está casi
bien hecha, salvo el número 31, que es mayor
que 7, descompongamos este número:
31 = 4 × 7 + 3
Así:
K
K
27 57 67 31
27 57 67 47 3
43 2
43 2
## #
## ##
=+ ++
=+ ++ +
Finalmente: K= 25643
(7)
9. Calcula a + b + c, si se verifica:
abc2 5531 61112059 ca b== =^ ^^ ^h hh h
Recuerda que a mayor numeral aparente,
le corresponde menor base, entonces:
c > 5 a > 6 a > c b> 5 c < b < a
Además de: abc
9
a, b, c < 9
Ordenando: 5 < c < b < a < 9
Entonces: c = 6, b = 7, a = 8
Así: a + b + c = 8 + 7 + 6 = 21
3 SISTEMA DE NUMERACIÓN.indd 18 5/02/2020 16:08:38

19Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado Unidad 1
Nivel avanzado
10. Halla el valor de a + b + c en cada uno de los
siguientes casos:
a. abc = 246
(8)
abc = 246
(8)
abc = 2×8
2
+ 4×8 + 6
abc = 128 + 32 + 6
abc = 166
⇒ a+b+c = 1+6+6=13
b. abc
(7)
= 1230
(5)
abc
(7)
= 1230
(5)
1230
(5)
= 1×5
3
+ 2×5
2
+ 3×5
=125 + 50 + 15
abc
(7)
= 190
1907
1277
63
⇒ abc
(7)
= 361
(7)
= 190
⇒ a+b+c = 3+6+1=10
c. abc
(8)
= 1236
(4)
abc
(8)
= 1236
(4)
1236
(4)
= 1 × 4
3
+ 2 × 4
2
+ 3 ×4 + 6
= 64 + 32 + 18 abc
(8)
= 1141148
2148
61
⇒ abc
(8)
= 162
(8)

⇒ a+b+c = 1+6+2=9
11. Determina el valor de a+b en la siguiente
igualdad:
abba ab ab06=+^ ^^ hhh
216a + 36b + 6b + a = 100a + 100b + 10ab
217a + 42b = 100a + 100b + 10ab
117a = 58b + 10ab (I)
De (I): se deduce que a es par y menor que 6.
⇒ a = 2 ∨ a = 4
Si a = 4 ⇒ b � 3, pero ab � 10 (no cumple)
⇒ necesariamente a = 2
Reemplazando a = 2 en (I):
234 = 58b + 20b ⇒ 234 = 78b ⇒ b = 3
Por lo tanto: a + b = 5
12. Expresa en el sistema senario, el menor nú- mero de tres cifras diferentes de la base 7. Da como respuesta la suma de sus cifras.
Las cifras usadas en la base 7, son:
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
El menor número de cifras diferentes de la base 7 es: 102
(7)
Piden expresar 102
(7)
en la base 6, así:
102
(7)
=1×7
2
+0+2=51
Expresando 51 en base 6
516
3 86
11
51 = 113
(6)
Suma de cifras = 1+1+3 = 5
13. Calcula el valor de a en la siguiente igualdad:
aaa = 4210
(a)
Realizando la descomposición polinómica
de aaa tenemos:
aa aa aa
aa aa
aa a
100104 2
1114 2
1104 2
32
32
32
##++ =+ +
=+ +
=+
Factorizando:
aa aa22 55 0
2
+- =_i
2a(2a+ 11)(a–5) = 0 ⇒ a – 5 = 0
⇒ a = 5
14. Se cumple que:
15. 55a
(b3)
=

cb7
Halla a + b + c
55a
(b3)
=

cb7
bb acb5353 7
2
++ =^^hh
... 5 + ... 5 + a = cb7 ⇒ a = 7
... 0
Factorizando:
bb cb cb5331 77 0+=- =^^h h
Entonces:
b=1, pues si b = 2 ⇒ cb0 � 1000 (Absurdo)
⇒ 5(13) (14) = 910 = cb0
⇒ 910 = cb0 ⇒ c = 9
Por lo tanto: a+b+c = 7+1+9=17
3 SISTEMA DE NUMERACIÓN.indd 19 5/02/2020 16:08:39

20 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Determina el valor de A+B+C, si se verifica que:
• A es el menor número de tres cifras.
• B es el mayor número par de dos cifras distintas.
• C es el mayor número de tres cifras diferentes.
a. 1185 b. 1184 c. 1180 d. 1190
2. Determina un número de tres cifras que verifi-
que las siguientes condiciones:
• La primera cifra es el doble de la tercera cifra.
• La segunda cifra es el triple de la primera cifra.
Expresa como respuesta la suma de cifras.
a. 2 b. 6 c. 9 d. 10
3. ¿Cuántos números de dos cifras existen, de modo
que resulten ser 5 veces la suma de sus cifras?
a. 2 b. 1 c. 3 d. 4
4. Si los numerales 2n59^h y 576
(n)
mostrados a
continuación, están escritos correctamente,
determina el valor de 2n a.
8 b. 7 c. 5 d. 16
5. Si los numerales mostrados están correcta-
mente escritos:
c42
(8)
; 43
(a)
; a5
(b)
; b42
(c)
Determina el valor de M = a+b+c
a. 15 b. 16 c. 17 d. 18
Nivel intermedio
6. Si se verifica que: ab5^h= 100
(3)
, determina el
valor de ab×ba a.
407 b. 543 c. 547 d. 574
7. Si se verifica que:
abcd 124 4=^h
Calcula el valor de a+b+c+d a.
6 b. 7 c. 8 d. 9
8. Encuentra el valor de a en:
aa11 37 87=^ ^h h
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
9. Resuelve la siguiente ecuación:
x6
(7)
+ xx
(5)
= 3x
(6)
a. 1 b. 2 c. 0 d. 4
10. Determina el valor de a, si se verifica que:
1a
1a
1a
1a
(a+1)
= 57
13 veces
...a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
Nivel avanzado
11.
Si:
n(n1)(n2)(n3)(n4)a bcd(n5) (7)++ ++ = +
Halla a+b+c+d
a. 10 b. 11 c. 13 d. 12
12. Calcula el valor de ab, si se verifica:
ab ab 1ab89 6+ =^^ ^hh h
a. 9 b. 10 c. 6 d. 3
13. Representa:
M = 5 × 8
4
+ 12 × 8
3
– 3 × 8
5
+ 4 × 8
6
+ 38

en

la base 8
a.
3564046
(8)
b. 2475042
(8)
c. 777626431
(8)
d. 11200404
(8)
14. Sean:
abc2 36 320
9
53
##= ++
^h
100a bm n
9 9 3
-=
^ ^ ^h h h
Determina m
n
× b × c – a
a. 1 b. 2 c. 0 d. 3
Nivel destacado
15. Si:
10 000 – abcd = 10
(a)
+ 10
(b)
+ 10
(c)
+ 10
(d)
Calcula el máximo valor de:
E = a × b + c × d
a. 143 b. 129 c. 112 d. 144
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
a c b d d d b c
9 10 11 12 13 14 15
a d b a a c b
3 SISTEMA DE NUMERACIÓN.indd 20 5/02/2020 16:08:40

21Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado Unidad 1
Tabla de frecuencias para
datos agrupados y no agrupados
Recordamos lo aprendido
Tabla de distribución de Frecuencias para da-
tos no agrupados
Es aquella tabla donde se organiza datos se-
gún la variable estadística que se va a estudiar.
1. Frecuencia absoluta (f
i
)
f
1
+f
2
+f
3
+ ...+f
K
= n
2. Frecuencia absoluta acumulada (F
i
)
F
n
= f
1
+f
2
+f
3
+ ... + f
i
= F
i – 1
+ f
i
3. Frecuencia relativa (h
i
)
h
n
f
i
i=
4. Frecuencia relativa acumulada (H
i
)
Hh hh hi1 23 i f=+ ++ += H
i – 1
+ h
i
5. Frecuencia relativa porcentual (h
i
%)
h
i
% = h
i
× 100%
Tabla de distribución de frecuencias para da-
tos agrupados 1.
Tamaño de la muestra (n): indica el número
total de datos.
2. Alcance (A): es el intervalo cerrado cuyos extre-
mos son el mayor y menor valor de los datos.
3. Rango (R)
R = x
máx
– x
min
4. Int<> ervalo de clase (I
i
)
I
i
= [ L
i
; L
s
〉

5. Número de intervalos de clase (k)
k = n

∨

k = 1 + 3,3Log(n)
6. Ancho de clase (w
i
)
w
i
= L
s
– L
i

w
k
R
=
7. Marc<> a de clase (x
i
)
x
2
LL
i
si
=
+
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Se muestra la siguiente tabla de una empresa in-
dustrial; dada por las edades de sus empleados.
Edades N° empleados
Menos de 30 40
Menos de 40 95
Menos de 50
165
Menos de 60 200
Sabiendo que solo aceptan a personas mayo- res de edad,
elabora la tabla de distribución de
frecuencias.
De acuerdo al problema, la edad de contra-
tación de los empleados es de 18 años como mínimo, entonces:
Edades f
i
F
i
h
i
H
i
h
i
%
[18; 30〉 40
40 0,2 0,2 20%
[30; 40〉 55 95 0,275 0,475 27,5%
[40; 50〉 70 165 0,35 0,825 35%
[50; 60]35 200 0,175 1 17,5%
Total 200
2. En una tienda de autos, se registra la cantidad de autos Nissan vendidos en cada día del mes de Abril.
0; 1; 2; 1; 2; 0; 3; 2; 4; 0; 4; 2; 1; 0; 3; 0; 0; 3;
4; 2; 0; 1; 1; 3; 0; 1; 2; 1; 2; 3.
Con los datos obtenidos,
elabora una tabla de
frecuencias.
De acuerdo a los datos armamos nuestro
cuadro de frecuencias:
Autos f
i
F
i
h
i
H
i
h
i
%
0 8 8 0,27 0,27
27%
1 7 15 0,23 0,50 23%
2 7 22 0,23 0,73 23%
3 5 27 0,17 0,90 17%
4 3 30
0,101,00 10%
Total 30
1,00 100%
4 TABLA DE FRECUENCIA.indd 21 5/02/2020 16:42:29

22 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
3. Se le pidió a un grupo de personas que indi-
quen su color favorito, y se obtuvo los siguien-
tes resultados:
Negro Azul Amarillo Rojo Azul
Azul Rojo Negro Amarillo Rojo
Rojo Amarillo Amarillo Azul Rojo
Negro Azul Rojo Negro Amarillo
Con los resultados obtenidos
elabora una tabla
de frecuencias e indica cuál es el color de ma-
yor preferencia.
Calcula el valor de f
3
+F
4
En la primera columna colocamos los valo-
res de nuestra variable en este caso los co- lores, en la segunda la frecuencia absoluta, en la tercera la frecuencia acumulada, en la cuarta la frecuencia relativa y por último la frecuencia relativa acumulada.
Color f
i
F
i
h
i
H
i
Negro 4 4 ,
20
4
020= 0,20
Azul 5 9 ,
20
5
025= 0,45
Rojo 6 15 ,
20
6
030= 0,75
Amarillo 5 20 ,
20
5
025= 1
Total 20 1
El color con mayor preferencia es el rojo y f
3
+F
4
=6+20=26
4. Un dentista observa el número de caries en 100 niños de cierto colegio. La información obtenida, al parecer, se resume en la siguien- te tabla incompleta.
Halla los valores de x, y, z.
Completa la tabla.
Edades f
i
F
i
h
i
H
i
h
i
%
0 25 0,25
1 20 0,20
2 x z
3 15 0,15
4 y 0,05
Total100 1
La suma de las frecuencias relativas es
igual a 1:
0,25 + 0,20 + z + 0,15 + 0,15 + 0,05 = 1
0,65 + z = 1 ⇒ z = 0,35
La frecuencia relativa de un dato es igual a su frecuencia absoluta dividida entre 100, que es la suma de las frecuencias absolutas.
,
,
x
x
y
y
100
0353 5
100
0055
"
"
== ==
Nivel intermedio
5. Las notas de 35 alumnos en el examen final de
estadística, calificado del 0 al 10, son las siguientes:
0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5;
5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10; 10.
Elabora una tabla de frecuencias y responde a
las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 4?
b. ¿Cuánto es el valor de f
2
+F
4
?
Calculando el rango se obtiene:
Rx x1 00 10
mx mnáí
=- =- =
Calculando el número de intervalos se obtiene:
,,kL ognL og1331 33 356.=+ =+ _ ^i h
Calculando el ancho se obtiene:
,w
k
R
6
10
172== ==
Calculando el nuevo rango
6×2 = 12 se pasaría, entonces
5×2 = 10 seria exacto.
Entonces tendremos 5 intervalos de un an-
cho igual a 2.
Edades f
i
F
i
h
i
H
i
h
i
%
[0; 2〉 8 8 0,23 0,23
23%
[2; 4〉 7 15 0,20 0,43 20%
[4; 6〉 8 23 0,23 0,66 23%
[6; 8〉 6 29 0,17 0,83 17%
[8
; 10] 6 35 0,171,00 17%
Total 35
1,00 100%
a.
Obtuvieron menos de 4: 8+7= 15
b. F
4
+ f
2
= 29 + 7 = 36
25 0,25 25%
45 0,45 20%
80 0,80 35%
95 0,95 15%
100 1 5%
100%
4 TABLA DE FRECUENCIA.indd 22 5/02/2020 16:08:15

23Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado Unidad 1
Nivel avanzado
6. Un grupo de atletas se está preparando para
una maratón siguiendo una dieta muy estric-
ta. A continuación, viene el peso en kilogramos
que ha logrado bajar cada atleta gracias a la
dieta y ejercicios.
0,2 8,4 14,3 6,5 3,4
4,6 9,1 4,3 3,5 1,5
6,4 15,2 16,1 19,8 5,4
12,1 9,6 8,7 12,1 3,2
Elabora una tabla de frecuencias y responde a
las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántos atletas bajaron más de 4 kilogra-
mos y menos de 12 kilogramos?
b. ¿Cuántos bajaron más de 16 kilogramos?
c. ¿Cuánto es el valor de f
2
+F
4
?
d. ¿Cuántos atletas bajaron menos de 8
kilogramos?
• Hallamos el rango:
R = X
máx
– X
mín
= 19,8 – 0,2 = 19,6.
•
El número de intervalos (k), lo calculamos
usando la regla de Joule:
k = n ⇒ k = 20
Como n es menor a 25, entonces el valor de k es igual a 5
•
Calculamos la amplitud de clase:
,
,w
k
R
5
196
392== =
Redondeamos a 4.
• Ahora hallamos los límites inferiores y
superiores de cada clase, y elaboramos la tabla de frecuencias.
Peso (Kg)x
i
f
i
F
i
h
i
H
i
[0; 4〉 2 5 5 0.25 0,25
[4; 8〉 6 5 10 0.25 0,50
[8; 12〉 10 4 14 0.20 0,70
[12; 16〉 14 4 18 0.20 0,90
[16; 20] 18 2 20 0,101,00
a.
5+4=9 atletas bajaron [ 4; 12〉.
b. 2 bajaron más de 16 kilogramos
c. f
2
+F
4
= 5 + 18 = 23
d. 5 + 5 = 10
Por lo tanto:
10 atletas bajaron menos de 8 kilogramos
7. Completa la tabla que muestra la distribución
de 200 familias que habitan en un condomi-
nio, según sus ingresos.
Ingresos (S/) x f
i
F
i
h
i
H
i
[ ; 〉 0,09
[ 1 750 ; 〉 0,29
[ ; 〉2 125 130
[ ; 〉 0,90
[ ; 〉
[ ; ]2 875 6
Totales
Responde las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántas familias tienen un ingreso mayor o
igual a S/ 1 750 pero menor a S/ 2 750?

8.
Fiorella participará en las olimpiadas de Tokio
2 020, en la disciplina de salto alto. Ella registró
sus saltos del mes de febrero menos un día, y
obtuvo los siguientes resultados, los cuales re-
presentan sus mejores marcas diarias.
1,95; 1,85; 2,10; 2,00; 2,40; 2,30; 1,80; 1,80; 2,00; 1,95; 1,85; 2,00; 2,10; 2,10; 2,30; 1,80; 2,20; 2,00; 1,95; 1,95; 1,85; 2,10; 2,30; 1,80; 1,80; 2,40; 2,00; 2,10
Elabora la tabla de frecuencias y calcula H
2
+f
2
• H<> allamos el rango:
R = X
máx
– X
mín
= 2,40 – 1,80 = 0,6
•
Calculamos k:
k = 1 + 3,3Log(n)
k = 1 + 3,3Log(28) = 5,775 .6
• Calculamos la amplitud de clase:
,
,w
k
R
6
06
01== =
• Ahora elaboramos la tabla de frecuencias.
Metros f
i
F
i
h
i
H
i
[1,8; 1,9〉 8 8 0,29 0,29
[1,9; 2,0〉 4 12 0,14 0,43
[2,0; 2,1〉 5 17 0,18 0,61
[2,1; 2,2〉 5 22 0,18 0,79
[2,2; 2,3〉 1 23 0,03 0,82
[2,3; 2,4]5 28 0,18 1
Por lo tanto; H
2
+f
2
= 0,43 + 4 = 4,43
1 500 1 7501 625 18 18 0,09
2 000 1 875 40 58 0,20
2 000 2 250 72 0,36 0,65
2 250 2 5002 375 50 180 0,25
2 500 2 7502 625 14 194 0,07 0,97
2 750 3 000 200 0,03 1,00
200
Hay 176 familias con ese rango de ingresos
4 TABLA DE FRECUENCIA.indd 23 5/02/2020 16:08:16

24 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
El siguiente es la tabla de salarios de los emplea-
dos de una empresa (en soles)
Sueldos x f
i
F
i
h
i
H
i
[0; 250〉 125 20 20 0,20 0.20
[250; 500〉 375 15 35 0,15 0,35
[500; 750〉 625 30 65 0,30 0,65
[750; 1 000〉 875 5 70 0,05 0,70
[1 000; 1 250〉 1125 20 90 0,200,90
[1 250; 1 500]1375 10 100 0,10 1
Totales 100 1
1. ¿Cuántos empleados ganan entre 750 y 1 000 soles?
a.
5 b. 20 c. 10 d. 30
2. ¿Cuántos empleados ganan entre 500 y 1 500
soles?
a. 5 b. 30 c. 20 d. 65
3. ¿La encuesta fue realizada sobre qué cantidad
de personas?
a. 5 b. 10 c. 20 d. 100
4. ¿Cuántos empleados ganan menos de 1 000
soles?
a. 70 b. 35 c. 65 d. 90
5. ¿Cuántos empleados ganan igual o más de
1 000 soles? a.
10 b. 20 c. 30 d. 40
6. ¿Cuál es el valor de H
3
+ H
4
?
a. 1,30 b. 1,35 c. 1,40 d. 1,45
Nivel intermedio
Dada la siguiente tabla: Completa los datos de es-
tatura de los alumnos del tercer año.
Estatura x f
i
F
i
h
i
H
i
[1,00 – 1,20〉 1,10 20 0,20
[1,20 – 1,40〉 1,30 0,25
[1,40 – 1,60〉 1,50 60
[1,60 – 1,80〉 1,70 0,25
[
1,80 – 2,00]1,90Totales
7. De acuerdo a la tabla anterior, ¿cuál es el valor
de H
3
+ H
4
?
a.
1,00 b. 1,45 c. 1,10 d. 1,20
8. De la tabla diga Ud. ¿Cuántos alumnos tuvo la muestra?
a.
50 b. 100 c. 200 d. 250
9. Según los datos de la tabla anterior, ¿cuántos
alumnos miden menos de 1,40 m?
a. 25 b. 30 c. 35 d. 40
Nivel avanzado
10.
Una tienda en línea registra el tiempo que tar-
da la empresa de correos en hacer llegar su
mercadería a los clientes. Los tiempos en días
registrados son los siguientes:
2 7 10 16 19
22 6 25 5 20
13 32 13 29 18
20 13 6 12 35
Elabora una tabla de frecuencias y responde a las siguiente pregunta:
¿Cuántas mercaderías se demoran en llegar
más de 21 días?
a.
3 b. 4 c. 2 d. 5
Nivel destacado
11. La tabla muestra la distribución del ingreso fa-
miliar diario correspondiente a 80 familias.
Ingreso (S/) f
i
F
i
h
i
[160 – 170〉
[170 – 180〉
48 60
[180 – 190〉 0,125
[190 – 200〉 0,075
[
200 – 210]
Totales
Determina el número de familas que perciben menos de S/ 200 diarios.
a.
66 b. 70 c. 74 d. 76
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a d d a c b b b a d d
4 TABLA DE FRECUENCIA.indd 24 5/02/2020 16:08:16

Aritmética
Unidad 2
Básico Intermedio Avanzado UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
2
Educación Secundaria
ARITMÉTICA
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5 DIVISIBILIDAD U2 CT.indd 25 5/02/2020 16:12:46

B?sico Intermedio Avanzado 26Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Divisibilidad
Recordamos lo aprendido
Divisibilidad
Se dice que un número «m» es divisible por
«n» si la división entre «m» y «n» es exacta.
Números no divisibles
Si un número «a» no es divisible entre un nú-
mero «b», se observa que la suma del residuo
por defecto y por exceso de dicha división su-
man el valor de «b».
Múltiplos
Se dice que un número «m» es múltiplo de «n»
si «m» se puede escribir como el producto de
«n» con un número entero, o cuando «m» con-
tiene a «n» un número entero y exacto de veces.
A es múltiplo de B si ∃ n ∈ N / A = B × n
Observación:
Todos los números son múltiplos de 1.
Criterios de divisibilidad
Divisibilidad Criterio
Por 2
Si: abcde2=o
⇒ e = número par
Por
potencias
de 2
Si: abcde4=o
⇒ de4=o
Si: abcde8=o
⇒ cde8=o
Por 5
Si: abcde5=o
⇒ e = 0 ∨ 5
Por
potencias
de 5
Si: abcde25
.
=
⇒ de25
.
=
Si: abcde125
.
=
⇒ cde125
.
=
Por 3 y
por 9
Si: abcd3
.
=
⇒ abcd 3
.
++ +=
Si: abcd9
.
=
⇒ abcd 9
.
++ +=
Por 7
a b c d e f
–2 –3 –1 +2 +3 +1
Por 11
Si: abcdef 11
.
=
⇒ ace bdf 11
.
++ -+ +=^h
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Escribe tres números de dos cifras que sean
divisores de 60. , , .
2.
Escribe los tres primeros números de tres cifras que sean múltiplos de 45.
, , .
3.
Si 3a7=o
, entonces el valor de «a» es:
aa a3307 5&=+== o
4. Si 5a9=
o
, entonces el valor de «a» es:
aa a5509 4&=+== o
5. Calcula «a», de modo que 271a sea divisible
por 13.
Se tiene que 13a271
.
= . Descomponiendo
tenemos:
a2710 13
.
+=
() a1361 3
..
++ =
aa6137
.
&+==
6. Determina qué número siempre es divisible en- tre la diferencia de un número de tres cifras y el que resulta de invertir el orden de sus cifras.
Sea abc dicho número, entonces:
()
()
abcbca
ab cb ca
ab cb ca
ab ca ac
100101 00 10
100101 00 10
99 90 99 11 10
-
++ - ++
++ -- -
-- =- -
El número siempre será divisible por 9 y por 3.
7. Halla «x» si el número 52x es divisible entre 31.
Descomponiendo el número:
x52 31
.
=
x5203 1
.
+=
() x3124 31
..
++ =
xx24 31 7
.
&+==
12 15 30
135 180 225
5 DIVISIBILIDAD U2 CT.indd 26 5/02/2020 16:12:59

Aritm?tica
Unidad 2
B?sico Intermedio Avanzado 27Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
8. ¿Qué valor toma «x» si el número 7x es132
.
-?
Descomponiendo el número:
x7132
.
=-
x70 132
.
+=-
x
x
72 13
6
.
&
+=
=
9. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos
de 6 o 4?
Haciendo el diagrama de Venn:
6
.
4
.
12
.
75 75 150
Los números que son múltiplos de 6 y de 4 también los son del MCM (6; 4) = 12
a.
N° múltiplos de 6 de tres cifras:
99 < 6
.
< 1 000
16,5 < 6
.
< 166,66 ...
6
.
= ( 166 – 17) + 1 =150
b. N° múltiplos de 4 de tres cifras:
99 < 4
.
< 1 000
24,75 < 4
.
< 250
4
.
= ( 249 – 25) + 1 = 225
c. N° múltiplos de 12 de tres cifras:
99 < 12
.
< 1 000
8,25 < 12
.
< 83,333 ...
12
.
= ( 83 – 9) + 1 = 75
Múltiplos de 6 o 4: 150 + 75 + 75 = 300
10. ¿Qué valor toma «x», si el número 8x es174
.
+?
Descomponiendo el número, tenemos:
8x = 80 + x
Entonces:
x80 174
.
+=+
x6812 174
.
++=+^h
x17 12 17 4
..
++ =+
xx81 79
.
&+==
11. ¿Cuántos múltiplos de 29 son de tres cifras y terminan en 3?
ab3 = 29
.
⇒ ab3 = 29k
⇒ k = ...7
Por dato:
99 < 92k < 1 000
3,4... < k < 34,4...
⇒ k = 7, 17 y 27
Los múltiplos son:
203, 493 y 783
12. Si 2 425 = 7
.
+ x, halla «x».
Descomponiendo el número, tenemos:
2 000 + 400 + 20 + 5 = 7
.
+ x
(7
.
+ 5) +( 7
.
+ 1) + ( 7
.
+ 6) + 5 = 7
.
+ x
7
.
+ 17 = 7
.
+ x
7
.
+ (7
.
+ 3) = 7
.
+ x
x = 3
13. ¿Cuántos números de dos cifras existen que al ser divididos entre 21 dan como residuo 3?
El número tiene la forma ab donde se cumple:
ab = 21k + 3
9 < 21k + 3 < 100
6 < 21k < 97
0,285 ... < k < 4,619 ...
k = 1, 2, 3, 4
Cuatro números cumplen dicha propiedad.
14. ¿Qué valor toma «x» si el número 7x es 13
.
– 2?
Descomponiendo el número 7x se tiene
70 + x, entonces:
7x = 70 + x
13
.
+ 5 + x = 13
.
– 2
13
.
+ 7 + x = 13
.
7 + x= 13
.
⇒ x=6
5 DIVISIBILIDAD U2 CT.indd 27 5/02/2020 16:13:09

B?sico Intermedio Avanzado 28Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
15. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de
7 pero no de 5?
Haciendo el diagrama de Venn, se tiene:
U = abc
5
.
7
.
Todo número de 3 cifras:
100 ≤
abc ≤ 1 000
•
100 ≤ 7
.
≤ 1 000
100 ≤ 7K
1
≤ 1000
14,2 ≤ K
1
≤ 142,8
Como K
1
es natural, entonces:
K
1
: 15, 16, 17, 18, ... , 142
⇒ 128 valores para K
1

•
100 ≤ 35
.
≤ 1 000
100 ≤ 35K
2
≤ 1 000
2,8 ≤ K
2
≤ 28,5
Como K
2
es natural, entonces:
K
2
: 3, 4, 5, 6, 7, ... ,28
⇒ 26 valores para k
2

Finalmente: 128 – 26 = 102 valores
16. ¿Cuántos números de 3 cifras, al ser divididos
entre 4 y entre 7, dan como residuo 2 en am-
bos casos?
Se verifica que:
abc =4
.
+2 abc = 7
.
+ 2
Por propiedad:
abc =
28
.
+2
Como el número es de 3 cifras:
99 < 28k + 2 <1 000
97 < 28k < 998
3,46 ... < k < 35,64 ...
Entonces: k = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … , 35
Total de números: (35 – 4) + 1 = 32
17. Determina el valor de «x» si se cumple que:
312x = 23
.
Realizando la descomposición de 312x
tenemos:
3120 + x = 23
.
Pero:
3 120 = 23
.
+ 15
(23
.
+ 15) + x = 23
.
⇒ 15 + x = 23
.
⇒ x=8
18. Si a544a6 es siempre múltiplo de 9, determina
el valor de «a».
Por el criterio de divisibilidad del 9, se tiene:
a + 5 + 4 + 4 + a + 6 = 9
.
2a + 19 = 9
.

2a + 9
.
+ 1 = 9
.
2a = 9
.
– 1
a = 9
19. Encuentra el residuo al dividir 13a5617a entre 11.
Por el criterio de divisibilidad del 11, se
tiene:
1 – 3 + a – 5 + 6 – 1 + 7 – a = 5
El residuo de dicha división es 5.
20. Calcula el valor de «x» en cada caso:
21. 4x37 = 11
.
294x = 9
.
348x = 7
.
Por el criterio de divisibilidad del 11, se tiene:
• 4 – x + 3 – 7 = 11
.
0 – x = 11
.
⇒ x=0
• 294x = 9
.

2 + 9 + 4 + x = 9
.
15 + x = 9
.
⇒ x = 3
• 348x = 7
.

3480 + x = 7
.
7
.
+ 1 + x = 7
.
⇒ x=6
5 DIVISIBILIDAD U2 CT.indd 28 5/02/2020 16:13:16

Aritm?tica
Unidad 2
B?sico Intermedio Avanzado 29Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Un número de 2 cifras es múltiplo de 3; si se le
restan dos unidades, se convierte en múltiplo
de 11, da como respuesta la suma de sus cifras.
a.
12 b. 9 c. 11 d. 6
2. Al dividir un número entre 13 el residuo fue 8,
pero al dividirlo entre 5 el residuo fue 4. ¿Cuán-
to sería el residuo al dividirlo entre 65?
a.
30 b. 34 c. 33 d. 31
3. Determina cuántos números de 3 cifras son
múltiplos de 8 y terminan en 4.
a. 23 b. 11 c. 18 d. 15
4. Halla el valor de a, sabiendo que:
343a = 25 7
.
+
a. 3 b. 5 c. 0 d. 4
5. La suma de 11 números naturales consecuti-
vos es de la forma 2a8a. Halla el menor de los
números
a. 105 b. 229 c. 290 d. 285
6. Sea el numeral 6a74b14 divisible entre 11 y divi-
sible entre 9, determina el valor de a
b
.
a. 4 b. 9 c. 8 d. 16
Nivel intermedio
7.
Si se cumple que:
A= 13
.
+ 4 B= 13
.
+ 6
Determina el residuo que se obtiene al dividir:
AB
13
a. 10 b. 12 c. 11 d. 13
8. Si se sabe que N= 7
.
+2 y M= 7
.
+3, encuentra
el residuo que se genera al dividir:
7
NMMN++
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
9. Si se cumple la siguiente igualdad:
18 18 18 ... 18 51
"n"sumandos
.
++++ =
12 3444444444444444444444444
Encuentra el valor menor de «n».
a. 12 b. 7 c. 3 d. 17
10. Calcula los múltiplos de 17 que estén com-
prendidos entre 400 y 500.
a. 6 b. 5 c. 8 d. 10
Nivel avanzado
11.
En el colegio «Pilares», en el aula de tercer año,
la maestra elige un alumno al azar para salir a
la pizarra. Le pide que encuentre al mayor nu-
meral de 3 cifras, sabiendo que al ser dividido
entre 4, 5 y 6 deja un residuo 3.
Determina la
suma de sus cifras.
a. 11 b. 14,5 c. 3
2
d. 15
12. Se tienen tres números, A, B y C, los cuales al
ser divididos entre 13 dan como residuos 7, 9 y
11.
Encuentra el residuo de:
13
AB C++
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
13. ¿Cuánto debe valer «a» para que se verifique la igualdad?
5a + 6a + ... + 13a =
13
.
a. 3 b. 4 c. 5 d. 1
14. El numeral de la forma ab(2a)(2b) será siempre divisible entre:
a.
2; 3; 6; 17
b. 2; 3; 6; 13
c. 2; 3; 7; 11
d. 2; 3; 17; 19
15. ¿Cuántos números de tres cifras generan resi-
duo 6 al ser divididos entre 8 y residuo 2 al ser
divididos entre 5?
a.
21 b. 22 c. 20 d. 23
Nivel destacado
16. Determina el resto al dividir:
E = 9 + 99
2
+ 999
3
+ 9999
4
+ ... + 99 ... 9
n
Entre 8 cuando «n» es impar (UNI 2009−II). a. 0 b. 3 c. 1 d. 2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
d b a b b b c d
9 10 11 12 13 14 15 16
d a d b d a d c
5 DIVISIBILIDAD U2 CT.indd 29 5/02/2020 16:13:19

30 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
Números primos y compuestos
Recordamos lo aprendido
Números primos y compuestos
1. Números simples: Son el conjunto formado
por los números primos y la unidad.
2. Números primos: Son aquellos números
que solo son divisibles por sí mismos y por
la unidad.
3. Números compuestos: Son aquellos núme-
ros que tienen más de dos divisores.
4. Números primos entre sí (PESI): Dos o más nú-
meros son primos entre sí cuando solo tienen como único divisor en común a la unidad.
Teorema fundamental de la aritmética (des-
composición canónica)
Un número
n puede ser expresado de la si-
guiente manera.
n = pp ...p m1 2## #
ab c
Donde •
p
1
; p
2
; ... ; p
m
: números primos
• α; β; ... ; γ: números naturales
Cantidad de divisores (CD)
CD(n) = (α + 1)(β + 1) … (γ + 1)
Suma de divisores (SD)
SD(n) = ...
p
p
p
p
p
p
1
1
1
1
21
1n
1
1
1
2
2
1 1
-
-
-
-
-
-
a b c+ + +
J
L
K
K
K
KK J
L
K
K
K
KK J
L
K
K
K
KKN
P
O
O
O
OO N
P
O
O
O
OO N
P
O
O
O
OO
Función de Euler (indicador de un número):
Indica la cantidad de números naturales me-
nores que «n» y que son PESI con «n» de ma-
nera general si:
n = ...pp pn1 2## #
a b c
Entonces:
f(n) = ...p p pp p p11 1 n n1
1
1 2
1
2
1## #-- -
a b c- - -
__ _ii i
Propiedades:
1. La unidad no es considerada número primo
ni compuesto.
2. La descomposición en factores primos de
un número es única.
3. Dos números consecutivos siempre serán PESI.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Determina la suma de los seis primeros núme-
ros primos.
Los seis primeros números primos son:
2; 3; 5; 7; 11; 13
Suma: 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 41
2. Calcula la suma de los seis primeros números compuestos.
Los seis primeros números compuestas son:
4; 6; 8; 9; 10; 12
Suma: 4 + 6 + 8 + 9 + 10 + 12 = 49
3. Halla la descomposición canónica de 2 800.
2 800 = 2
4
× 5
2
× 7
2 800 2
1 400 2
700 2
350 2
175 5
35 5
7 7
1
4. Calcula la cantidad de divisores compuestos de 560.
Descomponiendo 560, se tiene:
560 = 2
4
× 5 × 7
560 2
280 2
140 2
70 2
35 5
7 7
1
CD(560): (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 20
Divisores primos: 3
Divisores compuestos: 20 – 3 – 1 = 16
6 NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS U2 CT.indd 30 5/02/2020 16:14:43

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Unidad 2
B?sico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
5. De acuerdo a la teoría, sabemos que la canti-
dad de números primos es infinita; esto fue de-
mostrado por Euclides en el año 300 a. C. En su
obra
Elementos se planteó lo siguiente:
Toma un conjunto finito de «n» primeros nú-
meros primos p
1
; p
2
; ... ; p
n
y considera:
N = p
1
× p
2
× ... × p
n
+ 1
Tal número «N» es mayor que 1 y distinto que
todos los p
i
, por lo tanto, será primo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
...
Responde:
a. Multiplicando los cinco primeros números
primos, ¿qué número se obtiene.
Los cinco primeros números primos son:
2; 3; 5; 7; 11
Número primo: 2 × 3 × 5 × 7 × 11
Número primo: 2 310
b. ¿El <> número: 211 = 2 × 3 × 5 × 7 + 1, ¿es
primo?
Sí, 211 es primo, pues es producto de los
4 primeros números primos, aumentado
en 1.
c. Sabiendo que 31 es un número primo,
exprésalo cumpliendo las propiedades anteriores.
Se sabe que: 31 = 30 + 1
Además: 30 = 2 × 3 × 5
Entonces: 31 = 2 × 3 × 5 + 1
6. Se sabe que el conjunto «A» está formado por los
divisores de 17, y que «B» es el conjunto formado
por los divisores de otro número primo; tal que:
A = {3a + 5; 17; 4b – 3; b – a}
B = {4a – b; c – 2}
Determina el valor de a + b + c, tal que a, b y c son números naturales mayores que 1.
Como 17 es número primo, entonces:
A = { 1; 17}
3a + 5 = 17 ⇒ 3a = 12 ⇒ a = 4
b – 4 = 1 ⇒ b = 5
B = { 16 – 5; c – 2 } = { 11; c – 2}
Entonces:
c – 2 = 1 ⇒ c = 3
⇒ a + b + c = 4 + 5 + 3 = 12
7. Si se sabe que «b» es un número primo que es mayor que 3,
halla la cantidad de divisores que
tiene bbb.
Realizando la descomposición de bbb se tiene:
bbb = 111b = 3 × 37 × b
Como «b» es un número primo:
⇒ 3 × 37 × b
es la descomposición canónica de bbb.
Entonces:
CD(bbb) = (1+1) (1+1) (1+1) = 8
CD(bbb) = 8
8. Si se sabe que el número A = 44
k2 k
-
+
tiene
92 divisores, indica los divisores de k
2
.
El número A tiene 92 divisores. Se sabe que:
4 = 2
2
Así:
A =
44
kk2
-
+
A = 2
2(k+2)
– 2
2k
⇒ 2
2(k+2)
– 2
2k
= 2
2k
× 2
4
– 2
2k
⇒ 2
2(k+2)
– 2
2k
= 2
2k
(15) = 2
2k
× 3 × 5
Entonces:
(2k + 1)(2)(2) = 92
2k + 1 = 23 ⇒ k = 11 ⇒ k
2
= 121
Finalmente:
Divisores de 121 = { 1; 11; 121}
6 NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS U2 CT.indd 31 5/02/2020 16:14:44

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Básico Intermedio Avanzado
Nivel avanzado
9. Halla la cantidad de divisores del número:
P363636..36
23 n
## ##=
Sabemos que: 3662 3
2
2
#== _i
Luego:
..P
P
P
P
36 36 36 36
23 23 23
2323 23
23
n
n
nn
nn
23
22
2
2
22 44 22
2468 22 46 82
## ##
## ## ##
## ## ##
#
f
f
=
=
=
=
ff++ ++ ++ ++ ++
_ `_ `_iij ij
Entonces:
CDPn
CDPn n
2468 21
1
2
2
2
f=++ ++++
= ++
_
_
_
_
i
i i
i
10. Calcula el valor de n para que el número:
N9 12
n
#=
Tenga 150 divisores.
Se sabe que. ;93 1223
22
#==
Entonces:

N N
N
32 3
32 3
23
n
nn
nn
22
22
22
&
## ##
#
= =
=
+
_i
Así:
nn
n
21 3150 15 10
7&
#++ ==
=
__ ii
11. Determina el valor de p si se verifica que
K6 15
p2
#=
tiene 30 divisores que son múltiplos de 75.
Se sabe que: ;62 3153 5##==
luego:
K
K
6152 33 5
23 5
pp p
pp
22 2
22
## ##
##
==
=
+
Por dato tenemos que K tiene 30 divisores
que son múltiplos de 75, luego:
() ()K3 52 3
pp21
##=
+
Entonces:
pp
p
12 3065
4&
#++ ==
=
__ii
12. Halla el valor de «n» si se cumple que P tiene 7n + 174 divisores donde:
P1575
n
#=
Hallamos la descomposición canónica de P:
P
P
157535 53
35
n
n
nn
2
12
&
## ##
#
==
=
++
_i
Luego: CDPn nn
nn n
nn
nn
nn
23 7174
56 7174
21680
14 12
14 12
2
2
&
&
&
& 0
=++ =+
++ =+
-- =
- +
== -
_
_ _
_
_i
i
i
i
i
Entonces, como «n» es mayor que cero:
n = 14
13. ¿Cuántos números de la forma pqpq existen
que tengan 6 divisores?
Realizando la descomposición, se tiene:
pqpqp qpqp q1001 01= + =
Por hipótesis, se tiene:
() ()()CDpqpq 61 121== ++
Luego, como 101 es primo, implica que:
°pqnprimo
2
=_i
Entonces:
pq pq5257 49
22
0== ==
Así, solo existen dos números de la forma pqpq que tienen 6 divisores:
2525 ∨ 4949
14. Calcula el promedio aritmético de los divisores de 480.
De la descomposición canónica, se tiene:
4802 35
5
##=
() ()()()CD4805 11 11 124& =+++ =
Luego:
()SD480
21
21
31
31
51
51
1512
6 2 2
=
-
-
-
-
-
-
=
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
Calculamos el promedio de divisores de 480:
..PromDiv
CD
SD
480
480
480
24
1512
==_
_
_
i
i
i
⇒ Promedio de divisores (480) = 63
6 NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS U2 CT.indd 32 5/02/2020 16:14:55

33Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Unidad 2
B?sico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula la suma de los números primos mayo-
res que 20 y menores que 40.
a. 83 b. 161 c. 120 d. 139
2. Si la siguiente expresión
23 7##
ab c
es la descomposición canónica de 3528, deter-
mina el valor de
K#0 c=++
a. 7 b. 8 c. 9 d. 10
3. Halla el valor de Q+R donde:
Q=CD(124)
R=CD(36)
a. 16 b. 15 c. 14 d. 18
4. Si la cantidad de divisores de M es 35, calcula el
valor de 2m+n donde:
M8 3
mn
#=
a. 6 b. 8 c. 12 d. 11
5. Indica verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
I. CD 20412primos =_i ( )
II. 76#0=_i ( )
III. CDnCDC D propiosc ompuestos= +_i (<> )
IV. SD612=_i ( )
a. VFVF b. VFFV c. FVVV d. FFVV
Nivel intermedio
6.
Halla la cantidad de divisores de ??????(M) si se sabe que M es el quinto número primo.
a.
5 b. 12 c. 6 d. 10
7. Sea
P3 25
584
##=
Determina el valor de m+n, donde m es la can-
tidad de divisores de P múltiplos de 54 y
n es
la cantidad de divisores de P múltiplos de 100. a.
250 b. 248 c. 254 d. 246
8. Si se sabe que
N555
k3 k2 k
= ++
++
tiene 12 divisores. Calcula el valor de k.
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7
9. Halla la cantidad de divisores del número en
función de
n:
P1616161 6
35 2n1
## ##f=
+
a. 3n
2
+1
b. 4n
2
– 1
c. 4n
2
+2
d. 4n
2
+1
10. Completa la siguiente tabla e indica la suma
de los elementos de cada columna.
N CD(N) ??????(N) SD(N)
36
14
29
a. 15; 46; 145
b. 16; 45; 148
c. 16; 46; 145
d. 15; 48; 145
Nivel avanzado
11.
Calcula el valor de m, si se cumple que:
93 7
m2 m
##
+
Tiene 8m+148 divisores
a. 14 b. 11 c. 13 d. 10
12. Halla el valor de p si se sabe que
R2 37
p2
##=
Tiene 6 divisores múltiplos de 21. a.
4 b. 2 c. 5 d. 6
13. Determina el promedio aritmético de los divi-
sores de 48.
a. 12 b. 12,4 c. 12,6 d. 11
Nivel destacado (UNI 2009 - II)
14. La suma de divisores de A – B es 93, donde:
15. A = 3
2
× 5
n
∧ B = 5
n
× 7
Calcula A+B. a.
300 b. 500 c. 600 d. 400
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7
c a b b b d d
8 9 10 11 12 13 14
b d a c b b d
6 NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS U2 CT.indd 33 5/02/2020 16:15:01

34 B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Recordamos lo aprendido
Máximo común divisor y mínimo común
múltiplo
1. Máximo común divisor: Es el mayor divisor
común que tiene un conjunto de números
dados.
2. Mínimo común múltiplo: El MCM de un
conjunto de números es el menor múltiplo común que tienen dichos números.
3.
Propiedades
a. Si MCD (A, B, C) = d, entonces:
• MCD (An, Bn, Cn) = dn
• MCD
n
A
,
n
B
,
n
C
n
d
=bl
b. MCD (A, B) = d ∧ MCD(C, D) = e
• ⇒ MCD (A, B, C, D) = MCD (d,e)
c. Si se cumple que A = dp; B = dq; C = dr,
donde d = MCD (A, B, C).
• ⇒ p; q ∧ r son primos entre sí.
d. Si MCD (A, B) = 1 ⇒ MCM(A, B)=A×B
e. MCD (A, B) × MCM (A, B) = A×B
4. Cálculo del MCD y MCM
a. Descomposición simultánea
MCD ( 30; 20) = 10 MCM ( 30; 20) = 60
30 – 20 2
15 – 10 5
5 – 2
30 – 20 2
15 – 10 2
15 – 5 3
5 – 5 5
1 – 1
b. Por descomposición canónica
Si: A2 3;B2 3
24 33
##==
A2 3;B2 3
24 33
##==
MCD(A; B) = 2
2
× 3
3
⇒ MCD(A; B) = 108
MCM(A; B) = 2
3
× 3
4
⇒ MCM(A; B) = 648
c.
Algoritmo de Euclides (MCD)
2 7 2
64 30 4 2
4 2 0
Luego, MCD(64; 30) = 2
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. ¿Cuántos divisores en común tienen los núme-
ros 84 y 60?
La cantidad de divisores que tienen en co-
mún los divisores de 84 y 60 es la cantidad
de divisores que tiene el MCD (84; 60).
MCD ( 84; 60) = 2
2
× 3 = 12
84 – 60 2
42 – 30 2
21 – 15 3
7 – 5
CD(12) = (2 + 1) (1 + 1) = 6
2. Si se cumple que:
MCDabba;9045=_i
Determina el valor de a + b.
Según el problema:
abba45
.
=
Entonces:
abba abba59== o o
Así: a = 5, pues a � 0
abba abba 9== o
bb
bb
55 9
1029 4&
+++ =
+==
o
o
⇒ a + b = 9
3. Halla la suma de la cantidad de divisores co- munes de los números 64 y 120.
Nos piden la suma de la cantidad de diviso-
res comunes del MCD de 64 y 120.
MCD ( 64; 120) = 8
64 – 120 2
32 – 60 2
16 – 30 2
8 – 15
8 = 2
3
⇒ SD (8) =
21
21
4
-
-
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
⇒ SD (8) = 15
7 MCM MCD U2 CT.indd 34 5/02/2020 16:15:16

35Aritm?tica B?sico Intermedio Avanzado
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Unidad 2
Nivel intermedio
4. Si se verifica que:
MCD ( A; B) = 36 MCD ( B; C) = 54
Encuentra el MCD de A, B y C y halla la suma
de sus cifras
Recordemos la propiedad:
MCD (A; B) = P MCD (C; D) = Q
MCD (A; B; C; D) = MCD (P; Q)
Luego:
⇒ MCD (A; B; B; C) = MCD (36; 54) = 18
⇒ MCD (A; B; C) = 18
La suma de sus cifras = 1 + 8 = 9
5. ¿Cuántos múltiplos comunes tienen 9 y 6 en-
tre 360 y 720?
Los múltiplos comunes de 9 y 6, son múlti-
plos del MCM (9; 6) = 18, entonces:
360 < 18k < 720
k
k
18
360
18
720
20 40
<<
<<&
Total de múltiplos:
( 39 – 21) + 1 = 19
6. El MCM de las edades de dos personas es 2A y
el MCD de sus edades es
3
A
. Si A nació 24 años
antes que B, ¿cuántos años tiene A?
Sabemos que se cumple:
(;)( ;)MCMABA MCDAB
A
2
3
==
AB A
A
2
3
##=
Además: A = B + 24
AA
A
AA A
AA
A
24
3
2
37 22
72
72
2
22
2
-=
-=
=
=
_i
La edad de A es de 72 años.
7. Halla el valor de n sabiendo que:
A=45 × 60
n
B=45
n
× 60
y que el MCM de dichos números es 12 veces
el MCD.
()
(;)
(;)
()
A
A
B
B
MCMAB
MCDAB
n
4560 35 23 5
23 5
456035 23 5
23 5
23 5
23 5
23 51 2235
23 23
2
n
n
nn n
n
n
nn
nn n
nn
nn nn n
nn n
22
22 1
22
22 11
22 11
22 1
22 11 21
22 14 3
& &
&
## ## #
##
## ## #
##
##
##
## ##
# :
== =
== =
=
=
=
=
=
++
++
++
++
++ ++
++
_
__
i
ii
8. Encuentra dos números cuyo MCD es 9, el
producto entre ellos es 1 620 y el mayor es al
menor como 5 es a 4.
Sean A y B dichos números (A � B):
MCD (A; B) = 9
⇒ A = 9a ˄ B = 9b
A × B = 1620
;
;
MCMAB
MCMAB
91620
180
#=
=
_
_
i
i
⇒ 9 × a × b = 180
⇒ ab = 20
⇒ a = 5 ˄ b = 4
⇒ A = 9a = 45 ˄ B = 9b = 36
9. Dos ciclistas recorren una pista cerrada; el pri-
mero tarda 18 minutos en dar la vuelta y el se-
gundo tarda 24 minutos. Si ambos parten del
mismo punto, ¿al cabo de cuánto tiempo vol-
verán a encontrarse?
El tiempo en el cual volverán a encontrarse,
es el mínimo común múltiplo de 18 y 24.
Entonces MCM (18; 24), así:
MCM (18; 24) = 2
3
× 3
2
= 72 min
18 – 24 2
9 – 12 2
9 – 6 2
9 – 3 3
3 – 13
1 – 1
Volverán a encontrarse dentro de 72 minutos.
7 MCM MCD U2 CT.indd 35 5/02/2020 16:15:20

36 B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Nivel avanzado
10. Durante una expedición realizada por 200
personas, ocurrió un accidente donde se supo
que se podían agrupar los sobrevivientes de 5
en 5, de 6 en 6 o de 8 en 8.
Encuentra la can-
tidad de fallecidos.
Sea:
N° de fallecidos: 200 –x
n° de sobrevivientes: x
Según el problema:
xx x56 8== =oo o
Entonces «x» es múltiplo del MCM(5; 6; 8), así:
MCD ( 5; 6; 8) = 2
3
× 3 × 5
MCD ( 5; 6; 8) = 120
5 – 6 – 8 2
5 – 3 – 4 2
5 – 3 – 2 2
5 – 3 – 1 3
5 – 1 – 1 5
1 – 1 – 1
Como el número de sobrevivientes debe ser
menor que 200, entonces:
N° de fallecidos = 80
n° de sobrevivientes: 120
Hay 80 fallecidos.
11. Se desea cercar con alambre un terreno rectan-
gular que tiene por dimensiones 576 m y 848
m. Si los postes de soporte se colocan a la mis-
ma distancia y el número de postes es el menor
posible, ¿cuántos postes serán necesarios?
Como el número de postes debe ser el menor
posible, entonces la separación debe ser máxi-
ma, esta viene dada por el MCD (576; 848), así:
MCD ( 576; 848) = 2
4
= 16
576 – 848 2
288 – 424 2
144 – 212 2
72 – 106 2
36 – 53
En cada largo se colocan:
N° de postes =
16
848
154+=
En cada ancho se colocan:
N° de postes =
16
576
12 35+-=
pues se colocaron dos en los extremos.
Total de postes = 2(54 + 35) = 178
12. La alarma de Cesar suena cada 9 minutos y la de Roberto suena cada 15 minutos. Si ambas coinciden a las 7:00 a.m. por primera vez, ¿a qué hora coincidirán por tercera vez?
El tiempo en el cual volverán a coincidir vie-
ne dado por el MCM( 9; 15), entonces:
MCD ( 9; 15) = 3
2
× 5
MCD ( 9; 15) = 45
Entonces coinciden
cada 45 minutos
9 – 15 3
3 – 5 3
1 – 55
1 – 1
Primera vez: 7: 00 a.m.
Segunda vez: 7:00+ 45 min = 7: 45 a.m.
Tercera vez: 7: 00+ 45 min+ 45 min = 8: 30 a.m.
13. ¿Cuál es el menor número de trozos de igual
longitud que pueden obtenerse al dividir tres
varillas de 700, 600 y 450 milímetros sin des-
perdiciar material?
Para que haya un menor número de trozos, la
longitud de cada trozo debe ser máxima; esta
viene dada por el MCD (700; 600; 450), así:
MCD ( 700; 600; 450) = 50
700 – 600 – 450 2
350 – 300 – 225 5
70 – 60 – 45 5
14 – 12 – 9
El menor número de trozos es:
50
700600450
35
++
=
14. Determina el MCD de 1 974 y 612 usando el al- goritmo de Euclides.

1 974 612

15. Determina el MCD de 21 307 y 6 182 usando el algoritmo de Euclides.

21 307 6 182

3 4 2 3 3
3 2 4 5 2 5
138 60 18 6
2 7 61 660 121 55 11
138 60 18 6 0
2761 660 121 55 11 0
7 MCM MCD U2 CT.indd 36 5/02/2020 16:15:22

37Aritm?tica B?sico Intermedio Avanzado
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Unidad 2
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si el MCD de dos números A y B es 72 ¿Cuántos
divisores comunes presentan?
a. 10 b. 11 c. 12 d. 13
2. ¿Cuántos divisores comunes tienen los núme-
ros 72 y 60?
a. 2 b. 3 c. 4 d. 6
3. Halla la cantidad de divisores del M.C.M de 180
y 240.
a. 15 b. 30 c. 40 d. 70
4. ¿Cuántos divisores comunes tienen los núme-
ros 540; 720 y 1 260?
a. 12 b. 18 c. 20 d. 24
5. El MCD de dos números es 8. ¿Cuál es su MCM si
el producto de dichos números es 4 032?
a. 504 b. 530 c. 520 d. 500
6. Se desea depositar el aceite de 3 barriles que
tienen 210; 300 y 450 litros de capacidad en
envases que sean iguales entre sí. ¿Cuál es la
menor cantidad de envases que se emplearía
para que todos estén llenos y no se desperdi-
cie aceite?
a.
40 b. 32 c. 35 d. 50
7. ¿Cuántos divisores tiene el MCD de 600; 450 y
360?
a. 12 b. 14 c. 9 d. 8
Nivel intermedio
8.
Encuentra la diferencia de dos números ente-
ros positivos sabiendo que su MCD es 48 y su
suma es 192.
a.
94 b. 95 c. 96 d. 97
9. Calcula el MCD de A y B si:
MCD24A;64B720
MCD64A;24B 480
=
=
_
_i
i
a. 24 b. 30 c. 36 d. 48
10. Si se cumple:
MCD(10A; 15B) = 625
MCM(14A; 21B) = 31500
Determina el valor de A+B.
a. 525 b. 625 c. 600 d. 615
11. Dadas las siguientes proposiciones:
I. Si m � n, donde m, n ∈ Z, entonces:
MCD (A
n
; A
m
) = A
m
II.
Si A y B son PESI, entonces:
MCD( A; B) = A × B
III. MCD((5a)(2a)(2a);3)3=
IV. MCM20;402040800#==_i
Son verdaderas:
a. Solo Ib. Solo IIc. Solo IIId. Todas
Nivel avanzado
12.
Jorge sale con Pierina cada 12 días, con Luisa
cada 45 días y con Isabel cada 15 días. Si sale
con las tres cada cierto tiempo, ¿dentro de
cuantos días volverá a hacerlo?
a.
140 b. 200 c. 120 d. 180
13. Los corredores A, B y C participan en una carrera
de circuito de 3600 m de longitud. Si parten del
mismo punto con velocidades: 75; 50; 60 m/min,
¿dentro de cuánto tiempo volverán a coincidir?
a.
300 min
b. 720 min
c. 740 min
d. 480 min
14. Si se sabe que
MCD64K;56K,104K80=_i
Calcula el MCM(K+3; K – 3).
a. 74 b. 78 c. 85 d. 91
15. Al determinar el MCD de dos números enteros
por el algoritmo de Euclides, los cocientes su-
cesivos fueron 4, 3, 2 y 5 y los números son PESI.
Determina el mayor de ellos.
a. 120 b. 156 c. 256 d. 163
Nivel destacado
16. El MCM de dos números enteros positivos es
48. Si la diferencia de los cuadrados de dichos
números es 2160,
calcula la suma de los dos
números enteros.
a. 60 b. 64 c. 56 d. 48
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
c d b b a b d c
9 10 11 12 13 14 15 16
b b c d a d d a
7 MCM MCD U2 CT.indd 37 5/02/2020 16:15:24

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B?sico Intermedio Avanzado
Números Racionales ( Q)
Recordamos lo aprendido
Números racionales
1. Fracción propia
Si p
b
a
ab p1 b0<<& // !=
2. Fr<> acción impropia
Si p
b
a
ab p1 b0>>& // !=
3. Fr<> acciones homogéneas
b
a
,
n
m
,
y
x
;dondebn yQ! ==
además b, n, y ∈ Z – { 0}
4. Fracciones heterogéneas
b
a
,
n
m
,
y
x
;dondebnyQ !!!
además b, n, y ∈ Z – { 0}
Operaciones en Q
1. Adición en Q
b
a
d
c
bd
adbc
;
b
a
,
d
c
Q
#
##
d6+=
+
2. Sustr<> acción en Q
b
a
d
c
bd
adbc
;
b
a
,
d
c
Q
#
##
d6-=
-
3. Multiplicación en Q
b
a
d
c
f
e
bdf
ace
;
b
a
;
d
c
;
f
e
Q##
##
##
6 !=
b
a
d
c
f
e
bd
ac
bf
ae
;
b
a
;
d
c
;
f
e
Q#!
#
#
!
#
#
6 !=
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
a. Elemento neutro multiplicativo
b
a
11
b
a
b
a
;
b
a
;b0Q## 6 !!==
b. Elemento inverso multiplicativo
b
a
a
b
a
b
b
a
1;
b
a
;ab0Q## /6 !!==
J
L
K
K
K
J
L
K
K K
N
P
O
O O
N
P
O
O O
4. División en Q
b
a
d
c
b
a
c
d
bc
ad
b
a
,
d
c
Q' #
#
#
6 !==
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Efectúa la operación:
M=
5
7
15
8
60
11
2++ -
MCM (5; 15; 60) = 60
M
M
M
60
127481 11 120
60
127120
60
7
&
&
&
## #
=
++ -
=
-
=
2. Determina el valor de A:
A=1
2
1
2
3
1
1
6
1
2++ -
A
A
A
A
1
2
1
2
3
1
1
6
1
2
4
2
1
3
1
6
1
2
412
3
& &
&
=++ ++ +-
=++ +-
=+-
=
3. Efectúa la operación:
A
2
6
5
3
1
8
2
'
#=
-
Efectuamos las primeras operaciones:
3
1
8
24
1
'= 2
6
5
6
7
-=
Entonces:
A
A
A
6
7
24
1
2
24 7
6
2
14
1
&
&
&
#
#
#
=
=
=
8 NUMEROS RACIONALES U2 CT.indd 38 5/02/2020 16:45:35

39Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Unidad 2
Básico Intermedio Avanzado
4. Encuentra la fracción equivalente a
329
188
de
manera que la suma de sus términos sea 44.
Da como respuesta la suma de cifras del nu-
merador.
Simplificando la fracción:
k
k
329
188
7
4
7
4
==
⇒ 4k + 7k = 44
⇒ 11k = 44 ⇒ k = 4
Numerador: 4(4) = 16
Suma de cifras: 1 + 6 = 7
5. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles tie- nen como denominador 20?
Números PESI con 20 y menores a él:
1; 3; 7; 9; 11; 13; 17; 19
Entonces, existen 8 fracciones propias e
irreductibles.
6. Reduce la siguiente expresión y da como res-
puesta el valor de M.
M1
4
3
1
11
3
4
7
6
##=- -bbll
1
4
3
4
7
1
11
3
11
8
4
7
6
7
22
=- =- =
M
M
M
4
7
11
8
7
22
4
2
& &
&
##= =
=
Entonces, el valor de M es 2.
7. Encuentra el valor de S.
S = 1
2
1
1
3
1
1
4
1
1
5
1
## #++ ++b b bbl l ll
Sabemos:
;; ;
S
S
S
1
2
1
2
3
1
3
1
3
4
1
4
1
4
5
1
5
1
5
6
2
3
3
4
4
5
5
6
2
6
3
& &
&
###
+= += += +=
= =
=
Nivel intermedio
8. Si se sabe que a y b son números naturales,
halla la suma de todos los posibles valores de a
si se cumple que:
9
a
5
b
15
46
+=
ab
ab
ab
9515
46
45
59
15
46
59 138&
+=
+
=
+=
Posibles valores:
a = 6, b = 12
a = 15, b = 7
a = 24, b = 2
valoresd ea6152445=++ =/
9. Simplifica la siguiente expresión:
E
1
2
1
1
3
1
1
4
1
1
n
1
1
2
1
1
3
1
1
4
1
1
n
1
f
f
=
-- --
++ ++b
b
b
b
b
b
b
b
l
l
l
l
l
l
l
l
Operando tenemos:
()
E
n
n
n
n
n
n
n
n
E
n
n
nn
2
1
3
2
4
3
1
21
2
3
3
4
4
5
1
1
1
2
1
2
1
&
f
f
=
-
--
-
+
=
+
=
+
b
b
b
b
b
b
b
b b
bl
l
l
l
l
l l
l
l
l
10. Reduce la expresión:
S =
6
5
6
10
1
4
3
4
6
1
3
##
##
J
L
K
K
K
K
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
O
O
O
O
OO
Operando tenemos:
4
3
4
6
1
2
1
6
5
6
10
1
2
1
## ##==
Entonces:
S
S
S
6
5
6
10
1
4
3
4
6
1
1
1
3
3
& &
&
##
##
= =
=
J
L
K
K
K
K
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
O
O
O
O
OO
8 NUMEROS RACIONALES U2 CT.indd 39 5/02/2020 16:21:12

40 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Nivel avanzado
11. Determina el valor de a en la siguiente igualdad:
, , ,
,
a a a
9
0002 00 0
073
++
=
_i
! ! !
!
,, ,,aa a
aa a
a
a
a
a
3
1
0002 00 00 73
3
1
9009 00
210
900
100
90
66
3
1
100
121
90
66
30
11
90
66
3
6
2
4
&
&
&
&
#
++ =
++ =
=
=
==
=
_i
!! ! !
12. Efectúa la siguiente operación:
,,E2 30 583
2
=+ak
!!
E
E
E
E
E
2
9
3
900
525
3
7
12
7
3
7
12
7
3
7
1
2
1
4
21
2
2
2
2
&
&
&
&
= ++
= +
= +
= +
=
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
R
T
S
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
W
13. ¿Qué fracción de N se le debe restar a ella mis-
ma para que sea igual a la cuarta parte de los
35
28
de los
8
5
de N?
Sea f la fracción a restar, tenemos:
NfNN
NfN
N
4
1
35
28
8
5
8
## #-=
-=
Entonces:
Nf
N
f
f
1
8
1
8
1
8
7
&
&
-=
-=
=
_i
14. Al extraer 36 litros de agua de un balde, el ni-
vel del mismo descendió de
7
2
a
9
2
. ¿Cuántos
litros de agua faltaba para llenarla?
Sea L el nivel inicial del balde, entonces:
LL
7
2
9
2
36-=
LL
L
63
18 14
36
63
4
36
&
&
-
=
=
L = 63 × 9 = 567
Para llenarla faltaban: L
L
7
2
-
L
litros
7
5
405& =
15. Efectúa la siguiente operación:
R
acb2 ac
abc2 ab
22 2
22 2
=
+-+
+-+
Agrupando convenientemente:
R
ac acb
ab abc
ac b
ab c
2
2
22 2
22 2
2
2
2
2
=
++ -
++ -
=
+-
+ -_
_i
i
Por diferencia de cuadrados:
() ()
() ()
R
ac b
ab c
R
ab cacb
ab cabc
R
ac ba c
ab ca b
R
acb
ab c
2
2
2
2
2
2
22 2
22 2
&
&
&
&
=
+-
+ -
=
++ +-
+- ++
=
+-+
+-+
=
+-
+-
_
_i
i
16. Determina el valor de «x» en:
bx
ax
b
a
2
--
=bl
Recordemos que:
()
b
a
b
a
bx
ax
b
a
abxb ba xa
xa bb aab
xaba bbaab
x
ab
ba
2
2
2
2
2
22 22
22
&
&
&
&
&
=
-
-
=
-= -
-= -
- +=-
=
+
_
_
b
_
_
i
l
i
i
i
8 NUMEROS RACIONALES U2 CT.indd 40 5/02/2020 16:21:23

41Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 2
B?sico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. ¿Cuántas fracciones propias reductibles tienen
como denominador a 24?
a. 10 b. 11 c. 13 d. 15
2. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles tie-
nen como denominador a 36?
a. 12 b. 13 c. 14 d. 15
3. Simplifica la fracción
96
84
hasta convertirla a
una fracción equivalente irreductible y deter-
mina la suma de los términos de la fracción
simplificada.
a. 13 b. 14 c. 15 d. 16
4. Encuentra una fracción equivalente a
60
36
de
manera que la suma de sus términos sea 56
y da como respuesta la suma de cifras del de-
nominador.
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9
5. Dada la fracción
15
11
, si agregamos 13 a su nu-
merador y denominador simultáneamente, y
luego se simplifica hasta obtener una fracción
irreductible; entonces
determina el valor de
verdad de las proposiciones:
I. Los términos se diferencian en 1.
II. La fracción es equivalente a
15
11
.
III. La suma de sus términos es 13.
IV. El producto de sus términos es 40.
a. FFFV b. FVVV c. VFFV d. VFVF
Nivel intermedio
6.
Reduce la expresión:
1
12
5
2
+bl
a.
12
13
b.
14
169
c.
144
169
d.
27
13
7. Si se quiere hacer una torta, se sigue una receta; la cual dice que por cada kilogramo se necesi-
tan
3
2
1
tazas de almendras y 1
3
1
tazas de maní.
Si la torta pesa 6kg, ¿cuántas tazas se usaron en
total si estas son de igual capacidad?
a. 24 b. 29 c. 44 d. 35
8. Si la fracción
ba
ab
es equivalente a
8
3
, determi-
na el valor de b – a.
a. 4 b. 3 c. 1 d. 5
9. Se tienen dos números primos, con los cuales
se forma una fracción que sumada con su in-
versa da
91
218
. ¿Cuál es el denominador de la
fracción mayor?
a. 7 b. 13 c. 19 d. 23
10. Encuentra la fracción que no cambia su valor
al sumar 5 unidades a su numerador y 9 unida-
des a su denominador.
a.

29
15
b.
28
15
c.
27
15
d.
27
13
Nivel avanzado
11. Simplifica:
1
1
1
1
3
1
1
1
1
+
+
+
+
a.
11
17
b.
11
18
c.
11
19
d.
11
20
12. Un cilindro contiene aceite hasta un tercio de
su capacidad. Si se añaden 15 litros, el cilindro
estará lleno hasta la mitad. ¿Cuántos litros de
capacidad tiene el cilindro?
a.
60 L b. 70 L c. 80 L d. 90 L
13. Calcula el valor de a + b en:
,,,ab ba0001 1+- =
$ $ !
a. 15 b. 12 c. 10 d. 18
Nivel destacado
14. Determina el valor de la última cifra del perio-
do de F si se sabe que el denominador tiene
300 cifras:
F
370370370370370370370
16847
f
=
300 cifras
a. 4 b. 5 c. 7 d. 9
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
d a c c d a b d a c b d c d
8 NUMEROS RACIONALES U2 CT.indd 41 5/02/2020 16:21:38

42 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Gráficos estadísticos
Recordamos lo aprendido
Gráficos estadísticos
Los gráficos estadísticos son representaciones
gráficas que nos ayudan a comprender con
facilidad el comportamiento de una variable
estadística.
Tipos de gráficos:
1. Gráfico de barras
Datos x
Datos y
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
y
4
y
3
y
2
y
1
0
Frecuencia
2. Gr<> áfico lineal o diagrama de sectores
Frecuencia
x
1x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
y
4
y
3
y
2
y
1
0
Datos y
Datos x
3.
Gr<> áfico circular
αθ
β
a%
c%
b%
A
B
C
Divide un círculo en
sectores cuyo tama-
ño es proporcional a
la frecuencia de los
distintos valores de la
variable estadística.
4.
Histograma
Datos x
Datos y
x
1
x
2
x
3
x
5
x
7
x
9
x
10
y
4
y
3
y
2
y
1
0
Frecuencia
5. Polígono de frecuencias
I
i
f
i
x
1
x
2
x
3
x
5
x
7
x
9
x
10
f
4
f
3
f
2
f
1
0
Frecuencia
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. El siguiente gráfico representa la temperatura promedio de la ciudad de Lima durante algu- nos meses del año 2019.
Interpreta el gráfico y
responde las siguientes preguntas:
Meses
Temperatura (*)
Marzo
22,50
Abril
20,90
Mayo
18,50
Junio
16,40
julio
15,70
25
20
15
10
5
0
a.
¿Dur<> ante qué meses la temperatura prome-
dio superó los 20°C?

b. ¿Cuál fue el mes con mayor temperatura
promedio?

c. Explica con tus propias palabras como fue el comportamiento de la temperatura duran- te esos meses. ¿A qué crees que se debió?

2.
El siguiente gráfico representa el histograma de
un conjunto de datos. Calcula el valor de las varia-
bles, si la amplitud de los intervalos es constante.
f
i
30
x
i
x y 12 18z
Ya que la amplitud es constante, tenemos:
18 – z = z – 12 ⇒ z=15
Por lo tanto, la amplitud de los intervalos es 3.
Luego:
x = 3 + 3 = 6 y = 6 + 3 = 9
Entonces:
x = 6 y = 9 z = 15
Marzo y abril
El mes de marzo
La temperatura fue decreciente
9 GRAFICOS ESTADISTICOS U2 CT.indd 42 5/02/2020 16:21:20

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Unidad 2 B?sico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
3. En el siguiente gráfico circular se muestra el resul-
tado de una encuesta sobre la preferencia de los
jóvenes hacia las redes sociales más conocidas.
40%
375
72°
Facebook
Whatsapp
Twitter
Tik tok Snapchat
100 25
a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
Recordemos que:
%%
360
72
100
360
72100
20
°
°
#
#
==
Este resultado nos dice que 72° equiva- len al 20%.
Sea T el total del encuestados, del gráfico
se tiene:
%% %
%
TT T
T
T
375201 00 25 40 10 0
40 50 0
1250
&
&
++ ++ =
=
=
Por lo tanto, 1 250 personas fueron encuestadas.
b. ¿Qué porcentaje de las personas encuesta-
das prefieren
TikTok?
Sabemos que el total de personas es 1 250.
Luego:
%
%%
x
x
1250
100
100
1250
100100
8
#
#
=
==
Entonces, el 8% de las personas prefie-
ren
TikTok.
c. ¿Cuántas personas prefieren Twitter o
Snapchat?
Personas que prefieren
Twitter:
°
°
n
360
72
1250250#==
Así: 250 + 25 = 275
Por lo tanto, hay 275 personas que prefie- ren
Twitter o Snapchat.
4. El siguiente gráfico lineal muestra el número de libros vendidos por asignaturas (en tirajes de miles) por la editorial «Creadores» durante el mes de febrero.
Miles
Cantidad de libros
Asignatura
Inglés
Raz. Mat y
Raz. verb
Ciencias
Sociales
Ciencias
Naturales
Matemáticas
Comunicación
130
110
100
70
50
40
a. ¿A qué asignatura corresponde el libro más
vendido?

b. ¿A qué asignatura corresponde el libro me-
nos vendido?

c. ¿Cuántos libros se vendieron en total?
100+50+40+70+130+110 = 500
En total se vendieron 500 000 libros.
d. ¿Cuánt<> os libros más de Matemáticas se ven-
dieron con respecto a Inglés?
130 – 100 = 30
Por lo tanto, se vendieron 30 000 libros más de Matemáticas con respecto a los de Inglés.
e. ¿Qué porcentaje de los libros vendidos co-
rresponde a los de Comunicación?
%%
500
110
1002 2# =
Los libros de comunicación corresponden al 22% del total de libros vendidos.
f. Si representamos un gráfico circular, ¿cuán-
tos grados tiene el ángulo formado por los libros de Inglés?
°°
500
100
36072# =
Matemáticas
Ciencias Sociales
9 GRAFICOS ESTADISTICOS U2 CT.indd 43 5/02/2020 16:21:26

44 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. B?sico Intermedio Avanzado
Nivel avanzado
5. Se sabe que el área formada por el polígono
de frecuencias equivale al área de los rectán-
gulos formados por el histograma. Si el valor
del área sombreada es 1 906 u
2
,
determina el
valor de x+2y.
f
i
I
i
5 15 25 35 45 55 65 y
x; y
25
40
50
Del dato:
10(50)+ 10(40)+ 10x+10(25)+ 10x+10(40)= 1 906
,
x
xx
1550201906
203561 78
&
&&
+=
==
Del gráfico: y
2
5565
2
120
60=
+
==
Por lo tanto:
,,xy21782601378+= + =_i
6. La siguiente tabla nos muestra la estatura (en cm) de los docentes del área de Matemáticas.
Completa y elabora un polígono de frecuencia
con estos datos. ¿Cuántos docentes tienen una estatura entre 158 y 170 cm?
7.

Estatura f
i
F
i
[ ; 158〉 5
[158; 161〉 9
[161; 〉 24
[164; 167〉 12
[167; 〉 52
155 158 161 164 167 170
4
8
12
16
La cantidad de docentes cuya estatura está
en ese intervalo es: 9+10+12+16 = 47
8. Para el proyecto de investigación del curso de Ciencias Sociales, Ken realizó una encuesta so- bre la nota de sus compañeros en el examen de Geometría y grafica sus resultados.
8
N° Alumnos por mes
Notas
10 12 14 16 18 20
0
3
5
6
8
10
a. Construye una tabla de distribución de fre- cuencias para estos datos y
determina la
cantidad de alumnos encuestados.
Notas f
i
F
i
h
i
H
i

b. Calcula el valor de
Hh
FF f
2341 5
'
+-
,,Hh
FF f
2162221622
22310
1
15
15
23
41 5
' '
+-
=
+-
==
c. ¿Cuánt<> os de sus compañeros sacaron entre
12 y 18?
Del gráfico: 8+6+10 = 24
Por lo tanto, 24 de sus compañeros tie-
nen sus notas comprendidas en ese
intervalo.
d. Si la nota aprobatoria es 12, determina cuántos
de sus compañeros desaprobaron el curso.
De la tabla: 3+5 = 8
Por lo tanto, 8 de sus compañeros desa- probaron el curso.
155
164
170
5
14
10
36
16
[8; 10〉 3 3 8,108% 8,108%
[10; 12〉 5 8 13,514% 21,622%
[12; 14〉 8 16 21,622% 43,244%
[14; 16〉 6 22 16,216% 59,46%
[16; 18〉 10 32 27,027% 86,487%
[18; 20〉 5 37 13,513% 100%
El número total de personas encuesta-
das fue 37.
9 GRAFICOS ESTADISTICOS U2 CT.indd 44 5/02/2020 16:21:31

45Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Unidad 2 B?sico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
Luego de las elecciones congresales del año
2020, el canal televisivo «Infórmate Perú» emitió
el siguiente
flash informativo:
Juntos
Ya no más
Esperanza
Juventud
Otros
Blanco
Nulo
30
25
20
15
10
5
0
10
8
7
4
24
20
27
Dicha información se recaudó preguntando a un to- tal de 2 500 personas por qué partido ha votado.
1. ¿Cuántas personas votaron por el partido polí- tico Juntos?
a.
10 b. 100 c. 220 d. 250
2. ¿Cuántas personas votaron en blanco? a.
200 b. 300 c. 400 d. 500
3. ¿Qué porcentaje de los votos en blancos repre-
senta la cantidad de votos a favor del grupo
Juventud?
a.
15% b. 20% c. 25% d. 30%
Nivel intermedio
El siguiente gráfico circular muestra la distribución
del tiempo que emplea Luisa en su día a día.
Estudios
Dormir
Familia
Paseos
Comida
Trabajo
40%
15%
20%
8%
7%
10%
4.
¿Cuántas horas duerme al día?
a. 3,6 hrs
b. 4,8 hrs
c. 6 hrs
d. 7,2 hrs
5. ¿Cuántos grados le corresponden al sector que
representa sus horas para compartir en familia?
a. 20° b. 38° c. 54° d. 72°
6. ¿Cuántas horas de más emplea en estudiar
comparadas con las e emplea en pasear o es-
tar en familia?
a.
1,4 hrsb. 2 hrs c. 2,88 hrsd. 4,8 hrs
Nivel avanzado
7.
Dado el siguiente histograma:
f
i
I
i
5 8 11 14 17 20
x
x+2
25
30
1. Si las personas encuestadas fueron 105, halla
el valor de «x».
a. 10 b. 13 c. 16 d. 19
2. Calcula el valor de
fF F
hH H32 432 4
+-
+-
a. 0,102
b. 0,423
c. 0,501
d. 0,359
Nivel destacado (UNI 2016 - II)
8. Los resultados de una investigación de los años
2011 y 2014 se muestran en el siguiente gráfico:
9.

Culturales
Placer
Académicos
Profesionales
50%
65%
55%
50%
2011
2014
40%
35%
25%
25%
0 25 50 75 100
Motivos de lectura de libros
De las siguientes afirmaciones, ¿cuáles son ver-
daderas?
I. La población lee más por placer.
II. En promedio, por cualquier motivo se leía
más en el 2011.
III. Los lectores con 2 motivos diferentes han
disminuido del 2011 al 2014 en la misma proporción.
a.
Solo Ib. Solo IIc. I y IId. II y III
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
d d b a d c c b
9 GRAFICOS ESTADISTICOS U2 CT.indd 45 5/02/2020 16:21:32

46 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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B?sico Intermedio Avanzado
Medidas de tendencia central
Recordamos lo aprendido
Medidas de tendencia central
1. Datos no agrupados
a. Media aritmética (x): Para los siguientes
datos: a
1
; a
2
; a
3
; a
4
; ... ; a
n
,
x =
a
1
+ a
2
+ a
3
+ ... + a
n
n
Donde: n = Cantidad de datos.
b. Mediana (Me): Es la cantidad que divide a
los datos en dos grupos de igual número
de elementos.
c. Moda (Mo): Es el valor de la variable que
se repite con mayor número de veces en una distribución de datos.
2.
Datos agrupados
a. Media aritmética (x):
x
n
xf
xx h
ii
11
n
ii
i1
n
==
=
=
/
/
b. Mediana (Me):
MeLw
f
n
F
2
inf me
me1
#= +
-
-
J
L
K
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
O
OO
• L
inf
: Límite inferior de la clase mediana
• w: Ancho de la clase
• F
me – 1
: Frecuencia absoluta acumulada
de la clase anterior a la clase mediana
• f
me
: Frecuencia absoluta simple de la
clase mediana
c. Moda (Mo):
MoLw inf
12
1
#
TT
T
= +
+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
• L
inf
: Límite inferior de la clase modal
• w: Ancho de la clase
• ∆
1
: f
mo
– f
mo – 1

• ∆
2
: f
mo
– f
mo+ 1

• f
mo
: Frecuencia absoluta simple de la
clase modal
• f
mo+1
: Frecuencia absoluta simple de la
clase posterior a la clase modal
• f
mo – 1
: Frecuencia absoluta simple de la
clase anterior a la clase modal
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Se pregunta a los alumnos sobre las carreras
profesionales que desean estudiar, mostrán-
dose en la tabla los siguientes resultados:
Profesión N° de alumnos
Abogado 18
Ingeniero 24
Médico 17
Profesor 11
A partir de ello, ¿qué porcentaje de alumnos desean ser médicos?
Total: 18+24+17+11 = 70
Médico = 17
%%
%%
hx
hx
100
70
17
100
1002 4
i
i
&
#=
=
2. En una fiesta, se les preguntaron las edades a 18 personas y se obtuvo lo siguiente:
15; 17; 16; 17; 17; 16; 15; 16; 17; 18;
15; 17; 16; 15; 16; 17; 16; 17
Determina la moda.
Edades f
i

3.
¿Cuál es la media del siguiente conjunto de
datos?
17; 16; 15; 17; 18; 12; 14; 13; 18; 20
x
10
17 16 15 17 18 12 14 13 18 20
=
++ ++ ++ ++ +
x
10
160
16==
La media del conjunto de datos es 16.
La moda es 17
por ser el que
más se repite.
15 4
16 6
17 7
18 1
10 MEDIDAS D TENDEND CENTRAL U2 CT.indd 46 5/02/2020 16:21:42

47Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Unidad 2
B?sico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
4. La siguiente tabla muestra la distribución de
frecuencias de cierto número de alumnos:
Edades 22 24 26 28 30
f
i 5 4 6 3 2
Encuentra el promedio aritmético entre la mediana y la media.
()
x
20
5224 246263 28230
=
++ ++__ __ii ii
,x
20
110961568460
20
506
25 6=
++ ++
==
La mediana sería 26 por estar en el medio.
El promedio aritmético será:
,,
,
2
25626
2
516
25 8
+
==
5. De acuerdo a la siguiente tabla mostrada, com-
pleta y determina la media, mediana y moda.
I
i
x
i
f
i
F
i
x
i
f
i
[2; 4〉 2
[4; 6〉 8
[6; 8〉 3
[8; 10〉 7
Total
Siendo n = 20
Hallando la media:
,x
20
130
65==
Hallando la mediana:
Me
Me
42
8
2
20
2
42
8
102
6
=+
-
=+
-
=
J
L
K
K
K
K
KK
b
N
P
O
O
O
O
OO
l
Hallando la moda:
,,
Mo
Mo
42
8283
82
41151
=+
-+-
-
=+=
bl
Nivel avanzado
6. Dada la tabla de distribución de frecuencias,
calcula la mediana y la moda.
Intervalosx
i
f
i
h
i
F
i
H
i
x
i
f
i
[10; 20〉 0,1
[20; 30〉
[30; 40〉 0,3
[40; 50〉 25 0,8
[50; 60〉 20
Total
Como
n
20
= 0,2 ⇒ n = 100
• Hallemos MeLw
f
n
F
2
inf
me
me1
#=+
-
-
J
L
K
K
K
K
K
K N
P
O
O
O
O
O
O
De la tabla buscamos el primer F
i
�

50
Intervalosf
i
F
i
[20; 30〉 15 25
[30; 40〉 30 55
Así tenemos:
L
inf
= 30 , w = 10 , F
me – 1
= 25 , f
me
= 30
⇒ Me =
30 10
30
5025
3
115
+
-
=
J
L
K
K
KK
N
P
O
O OO
• H<> allemos MoLw
inf
12
1
#
TT
T
=+
+
J
L
K K K KK
N
P
O
O
O
OO
De la tabla buscamos f
i
mayor:
Intervalosf
i
F
i
[20; 30〉 15 25
[30; 40〉 30 55
[40; 50〉 25 80
Así tenemos:
L
inf
= 30 , w = 10 ,
1
T = 30 – 15 = 15
2
T = 30 – 25 = 5
Entonces:
⇒ Mo = 30 10
155
15
2
75
+
+
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
3 2 6
5 10 40
7 13 21
9 20 63
20 130
15 10 10 0,1 150
2515 0,15 25 0,25 375
3530 55 0,55 1050
45 0,2580 1125
55 0,2 100 1,01100
1001,0 3800
10 MEDIDAS D TENDEND CENTRAL U2 CT.indd 47 5/02/2020 16:21:48

48 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. En el último examen se obtuvieron las siguien-
tes notas de 8 alumnos: 12; 14; 16; 12; 14; 08; 05;
03.
Calcula el valor de la Me.
a. 12 b. 15 c. 12,5 d. 14
2. Dados los siguientes datos de las edades de 10 profesores de ciencias: 22; 25; 23; 36; 32; 36; 23; 23; 23; 25,
determina el valor de la Mo.
a. 22 b. 23 c. 24 d. 25
3. Las edades de los 10 alumnos de 4to año son las siguientes: 14; 15; 16; 14; 15; 15; 16; 14; 14 y 14.
Halla x, Mo, Me y da como respuesta la suma
de ellos.
a. 14 b. 14,5 c. 43,2 d. 28,5
Nivel intermedio
4.
Calcula la moda de una distribución estadísti-
ca dada por la siguiente tabla:
Edades f
i
[60; 63〉 5
[63; 66〉 18
[66; 69〉 42
[69; 72〉 27
[72; 75〉 8
Total

a. 14 b. 14,5 c. 67 d. 67,8
5. En la escuela de Joe hay 25 profesores. Cada profesor viaja a la escuela cada mañana en su propio automóvil. La distribución de los tiem- pos de conducción (en minutos) desde su casa a la escuela, para los profesores, se muestra en la siguiente tabla.
Halla la media.
Edades f
i
[0; 10〉 3
[10; 20〉 10
[20; 30〉 6
[30; 40〉 4
[40; 50〉 2
Total 25
a. 21 b. 24,5 c. 27 d. 21,8
Nivel avanzado
6.
Consideremos la siguiente distribución de fre- cuencia que corresponde a los puntajes de 50 alumnos en una prueba.
Calcula la moda.
Edades f
i
[10; 14〉 1
[14; 18〉 7
[18; 22〉 10
[22; 26〉 16
[26; 30〉 9
[30; 34〉 6
[34; 38〉 1
Total

a. 23,85 b. 25 c. 25,85 d. 26
Nivel destacado
El siguiente cuadro muestra el sueldo de los em- pleados.
Completa y responde las preguntas.
Sueldo x
i
f
i
F
i
h
i
H
i
[ 0; 400〉 200 25
[ 400; 800〉 600 40 0,40
[ 800; 1 200〉 1 000 80 0,80
[ 1 200; 1 600〉 1 40020
Total
7. ¿Cuántos empleados ganan igual o más de 800 soles?
a.
30 b. 40 c. 50 d. 60
8. ¿Cuántos empleados ganan menos de 800 so-
les al mes?
a. 40 b. 50 c. 60 d. 70
9. Halla la media de los datos agrupados.
a. 600 b. 700 c. 820 d. 900
10. Calcula: G= H
1
+ H
4
– H
2
a. 0,85 b. 0,70 c. 0,60 d. 0,50
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a b c d d a d a c a
10 MEDIDAS D TENDEND CENTRAL U2 CT.indd 48 5/02/2020 16:21:49

Aritmética
Básico Intermedio Avanzado Unidad 3 UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
3
Educación Secundaria
ARITMÉTICA
49Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
11 NUMEROS REALES U3 CT.indd 49 5/02/2020 16:23:27

B?sico Intermedio Avanzado 50Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Números reales (R)
Recordamos lo aprendido
Números reales
a. Números naturales:
0;1;2;3;4N f=#-
b. Números enteros:
2;1;0;1;2;3Zff=- -#-
c. Números racionales:
b
a
/a,b b0Q Z/!!=(2
d. Números irracionales:

\IRQ=
e. Números reales:
RQ I,=
1. Propiedades de los números reales
a. Propiedades de la suma •
Propiedad de clausura:
a,b:abRR6 !!+
• P<> ropiedad asociativa:
a,b,c: ab ca (bc)R6 ! ++ =++_i
• P<> ropiedad conmutativa:
a,b:ab baR6 ! +=+
• E<> lemento neutro aditivo:
a:a0 0a aR6! +=+=
b. Propiedades de la multiplicación
• Propiedad de clausura:
a,b: abRR#6 !!
• P<> ropiedad asociativa:
a,b,c: ab ca (bc)R## ##6 ! =_i
• P<> ropiedad conmutativa:
a,b:ab baR##6 ! =
• P<> ropiedad distributiva:
a,b,c:ab ca ba cR## #6 ! += +_i
• E<> lemento neutro multiplicativo:
a:a1 1a aR##6! ==
2. Propiedades adicionales a.
Todos los números reales tienen un orden.
b. Cumplen la ley de tricotomía:
a,b:ababab<>R 006 ! =
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Relaciona los siguientes valores con el menor conjunto de números al que pertenecen.
a.
5 I
b. π Z
c.
3
2
R
d.
4
8
- N
2. Si
x
3
21
Nd
+
, indica cuál(es) de los siguientes
valores no puede tomar «x».
1;
2
11
; 7;
2
29
; 3
Sea M =
21
3
xΔ

cuando:
x = 1 ⇒ M = 1 ∈ 
x =
11
2
⇒ M = 4 ∈ 
x = 7 ⇒ M = 5 ∈ 
x =
29
2
⇒ M = 10 ∈ 
x = 3 ⇒ M =
7
3
∉ 
Por lo tanto, x no puede tomar el valor de 3.
3. ¿Cuántos números racionales con denomina-
dor 20 existen entre
5
2
y
2
1
?
x
5
2
202
1
<<
Homogenizamos las fracciones:
x
x
x
5
2
4
4
20 2
1
10
10
20
8
20 20
10
9
<<
<<
&
##
=
b bl l
Entonces,
20
9
es el único número racional
cuyo denominador es 20 comprendido entre
5
2
y
2
1
.
11 NUMEROS REALES U3 CT.indd 50 5/02/2020 16:47:29

Aritm?tica
Básico Intermedio Avanzado Unidad 3 51Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Si () ;}fx xx Z
2
!=$. , calcula e indica el tipo de
número que toma f(x) si:
x9;4;
2
1
;0,3! -(2
Reemplazamos los valores de x:
981
2
= ⇒ Es un número natural y entero.
44
2
-=- ⇒ Es un número entero.
f
2
1
2
1
4
1
2
==
J
L
K
K
K
b
N
P
O
O
O
l ⇒ Es un número racional.
10
3
100
9
2
=bl ⇒ Es un número racional.
5. ¿Cuántos números racionales con numerador
par existen con denominador 14 entre
2
1
y
7
9
?
x
2
1
147
9
11
Dando forma:
x
x
2
1
7
7
147
9
2
2
14
7
14 14
18
##11
11
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
x = { 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17 }
Por lo tanto:
Hay 5 números cuyo denominador es 14 y su
numerador es par.
6. Si ()Pn
n
donden
4
1
Z!=
+
-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
, determina la
suma de los 4 números mayores de P.
Z
–
= {– 1; – 2; – 3; – 4; – 5; – 6 ... }
Piden la suma de los 4 mayores, entonces son:
– 1; – 2; – 3; – 4
Reemplazamos:
P
P
P
P
10
2
4
1
3
4
2
2
1
4
4
3
&
&
&
&
- --
-- =-
--
_
_
_
_
i
i
i
i
Por lo tanto:
La suma es 0
4
1
2
1
4
3
2
3
+-+
-
+-=
-
b b bll l
Nivel avanzado
7. Observa la siguiente figura, responde con ver-
dadero (V) o Falso (F) y sustenta tu respuesta
según corresponda.
a
cb
Donde b y c ∈ Q, es correcto:
a. b es racional siempre. ( )

b. c puede ser Z
–
.

( )

c. El área tiene valor racional. ( )

8.
Del gráfico:
a
a
20
N Z
Indica la suma de los números a que cumplen
la relación.
Divisores de 20 = 1; 2; 4; 5; 10; 20
a
a
a
1
1
20
20
4
4
20
10
16
16
20
5
&
&
&
== == == a a a
25
25
20
4
100
100
20
2
400
400
20
1
&
&
&
== == ==
Por lo tanto:
La suma es: 20 + 10 + 5 + 4 + 2 + 1 = 42
9. Ordena los siguientes números de forma as-
cendente.
;; ;
16
45
3
10
8
25
r
a. ,
16
45
28125=
b. ,...31415NZ=
c. ,...
3
10
33333=
d. ,
8
25
3125=
Por lo tanto:
El orden ascendente es ;; y
16
45
8
25
3
10
NZ
F
F
F
Si b = 2, implica que b=2 ∈ I
El lado de un triángulo es mayor a 0.
Si c = 2 y b = 2 ⇒ ÁreaΔ = 2 ∈ I
11 NUMEROS REALES U3 CT.indd 51 5/02/2020 16:23:51

B?sico Intermedio Avanzado 52Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Coloca verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
1. – 10 ∈ N ( )
2.
4
7 ∈ N ( )
3. 13 ∈ Q ( )
4. 10,0 ∈ Z ( )
a. VVFF b. FVVF c. FFFV d. FVFV
2. Calcula la suma de los 10 menores números naturales.
a.
42 b. 43 c. 44 d. 45
3. Si
3
2x 1
ℤ!
-
+
, ¿qué valor de los siguientes no
se cumple cuando se reemplaza por «x»? a.
3 b. 8 c. 2 d. 14
4. Determina a qué propiedad pertenecen las si-
guientes expresiones.
• ab ca (bc)## ##=_i

• ab ba##=

• ab ca ba c## #+= +_i

Nivel intermedio
5.
Si la siguiente figura es un cuadrado de lado
2, responde con verdadero (V) o falso (F).
2
• La diagonal es un número I. ( )
• El área es un número Z. ( )
• El perímetro es un número Q. ( )
a. FVF b. FVV c. VVF d. VFV
6. Indica si los siguientes números son racionales
o irracionales.
a. 4π es un número
b.
3
2
es un número
c.
6
12
es un número
d. 2 es un número
7. Indica la suma de los 5 números mayores que
∈ ℤ
–
con los 6 menores números naturales.
a.
1 b. – 1 c. 0 d. 2
Nivel avanzado
8.
Indica la suma de los números racionales con
denominador 10 que existen entre
2
1
y
5
4
.
a.
10
13
b.
10
11
c.
5
17
d.
5
13
9. Marca con un aspa (x) según corresponda.
–2 y – 3 2+2 e 100
Z
Q
N
I
Número
Conjunto
10. Expresa con números enteros las siguientes
situaciones y calcula la suma de los números
positivos y negativos.
• 10 metros sobre el nivel del mar.
• La temperatura es de 25 grados bajo cero.
• La altura es de 50 metros sobre el nivel del mar.
• Deber 45 soles.
• El segundo piso de un edificio.
a. – 10 b. – 8 c. – 3 d. – 32
Nivel destacado
11. Sea Px
2x;x
2x
1
;x
Q
I
2
2
!
!
=
_i
Z
[
\
]
]
]
]
]
]
]
]
12. Calcula el valor de:
P25P
3
1
P
5
1
++
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK`
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OOj
a. 51 b. 52 c. 53 d. 54
Respuestas
1 2 3 5 7 8 10 11
c d a a c a b d
Asociativa
Conmutativa
Distributiva
irracional.
racional.
racional.
irracional.
X X
X X
X
X X
11 NUMEROS REALES U3 CT.indd 52 5/02/2020 16:23:59

53Aritm?tica
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
Razones y proporciones
Recordamos lo aprendido
Razones y proporciones
1. Razón
a. Razón aritmética:
a – b = r
a
a: Antecedente
b: Consecuente
r
a
: Razón aritmética
b. Razón geométrica:
b
a
rg=
a: Antecedente b: Consecuente r
g
: Razón geométrica
2. Proporción
a. Proporción aritmética:
a – b = c – d
a, d: Términos extremos b, c: Términos medios
•
Proporción aritmética discreta:
a – b = c – d, donde b � c
• Proporción aritmética continua:
a – b = b – c
b. Proporción geométrica:
b
a
d
c
=
a, d: Términos extremos b, c: Términos medios
•
Proporción geométrica discreta:
b
a
d
c
=, donde b � c
• Proporción geométrica continua
b
a
c
b
=
Propiedades de la proporción geométrica
Sea
b
a
d
c
= una progresión geométrica, se
cumple:
1.
b
ab
d
cd+
=
+
2.
b
ab
d
cd-
=
-
3. a
ab
c
cd+
=
+
4.
a
ab
c
cd-
=
-
5.
ab
a
cd
c
+
=
+
6.
ab
ab
cd
cd
-
+
=
-
+
7.
bd
ac
b
a
d
c
+
+
==
3. Serie de razones geométricas equivalentes
...
b
a
b
a
b
a
b
a n
n
11
2
2
3
3
== == = k
b...b
a...a1n
1n
=
++
++
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. En una proporción aritmética continua, la me-
dia diferencial es 18 y uno de los extremos es 5.
Encuentra el otro extremo.
La proporción aritmética es:
a – 18 = 18 – 5
⇒ a = 18 + 13 = 31
2. La suma de los extremos de una proporción geométrica es 36 y su diferencia es 6.
Calcula
el producto de los términos medios.
Sea
b
a
d
c
= dicha proporción geométrica.
Por dato se tiene:
ad ad
ad
36 6
2
366
21
2
366
15&
/
/
+=- =
=
+
==
-
=
Entonces:
bc ad 2115315## #== =
3. En una proporción geométrica continua los extremos son entre si como 9 es a 4, y su razón aritmética es 15.
Halla la media proporcional.
Sea
b
ab
=
c
, dicha proporción geométrica.
Por dato, tenemos:
c
a
k
k
ac
ac kk
4
9
15
5153&&
/=- =
-= ==
Entonces:
ba ck k
bk b
94
66 31 8&
##==
== =_
__
i
ii
4. Dos números son entre sí como 3 es a 5. Si su
suma es 400, determina el producto de dichos
números.
Sean a y b tales que:
b
a
ak bk
5
3
35& /== =
Luego, por dato se tiene:
ab kk kk35 84 00 50&+=+== =
Entonces:
kk k35 15 15 50 37500
2 2
== =__ _ii i
12 RAZONES Y PROPORCIONES U3 CT.indd 53 5/02/2020 16:24:54

54 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
5. Encuentra el valor de la siguiente expresión:
2b
ab
2
22
+
6. Si se cumple que: «a» es a «b» como 7 es a 5.
Como
b
a
ak bk
5
7
75& /== =
Reemplazando, se tiene:
b
ab
k
kk
2 25
75
2
22
2
22
+
=
+_
_
_i
i
i
k
kk
k
k
50
49 25
50
74
2
22
2
2
=
+
=
ab
b
22
2
2
37
25
Nivel intermedio
7. En un estante hay 150 cuadernos, 90 de pasta
roja y el resto de pasta azul, ¿cuántos cuadernos
rojos se deben retirar para poder afirmar que por
cada 5 cuadernos rojos se encuentra 4 azules?
El total es 150 donde 90 cuadernos rojos y
60 cuadernos azules. Luego:
x
x
xx
60
90
4
5
3604 300
6041 5(
-
=
-=
==
Se deben retirar 15 cuadernos rojos para poder tener la proporción deseada.
8. En una caja hay 560 bolas de 3 colores distin- tos, se observa que por cada dos bolas azules hay 5 blancas y por cada 3 blancas hay 7 verdes, ¿cuántas bolas verdes hay?
Sean Bolas blancas (BB), Bolas azules (BA),
Bolas verdes (BV)
BA
BB
k
k
k
k
−−
2
5
6
15
∧
BB
BV
k
k
k
k
−−
3
7
15
35

⇒ BA = 6k, BB = 15k y BV = 35 k Luego:
BB BA BV
kk kk
k
560
15635565 60
10
&
&
++ =
++ ==
=
Finalmente:
BV k35 35 10350#== =
9. Los consecuentes de tres razones geométricas equivalentes son 12; 5 y 10 respectivamente, si el producto de los antecedentes es 16 200,
ha-
lla la suma de los antecedentes.
Sean las tres razones geométricas
equivalentes
;;
ab c
r
ar br cr
12510
12 51 0
g
gg g&
== =
== =
Por el dato, se tiene:
;;
ab c
rr rr
r
ab c
16200
125106 00 16200
3
36 15 30
gg gg
g
3&
&
&
##
##
=
==
=
== =
Piden: ab c36153081++ =++ =
10. Se cumple la siguiente igualdad:
B
A
D
C
F
E
==
Además: AC E28B DF 140 /++ = ++ =
Calcula el valor de: M
BDF
AC E
##
##
=
Por propiedad, se tiene:
B
A
D
C
F
E
BD F
AC E
k
B
A
D
C
F
E
k
B
A
D
C
F
E
140
28
5
1
5
1
&
&
== =
++
++
=
== == =
== =
Reemplazando en M, tenemos:
M
BD F
AC E
B
A
D
C
F
E
M
5
1
5
1
5
1
125
1
&
##
##
## ##== =
=
11. Si «m» es la media proporcional de 9 y 4, «n» es la cuarta proporcional de 8, «m» y 12,
determi-
na el valor de m + n.
Se tiene:
m
m
mm
9
4
36 6
2
&&== =
Además:
mn n
n
812
6
812
9&&== =
Finalmente:
mn 69 15+=+=
12 RAZONES Y PROPORCIONES U3 CT.indd 54 5/02/2020 16:25:02

55Aritm?tica
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
12. La relación entre las edades de dos hermanos es
de 3 a 2, si dentro de 8 años la relación será de 5
a 4, ¿cuál es la edad actual del hermano mayor?
Hermano mayor: x
Hermano menor: y
Por el dato, se tiene:
;
y
x
xk yk
2
3
32&== =
Dentro de 8 años:
y
x
k
k
8
8
4
5
28
38
4
5
&
+
+
=
+
+
=
kk k12321040 4&&+= + =
Piden: xk33 412== =_i
Nivel avanzado
13. Si b es la media proporcional de a y c. Además
a+b+c=234. Encuentra el valor de a+b; si:
bc
ab
25
4
22
22
+
+
=
Por dato, se tiene:
b
ab
acb
2
&==
c
Reemplazando, se tiene:
bc
ab
acc
aac
cac
aac
c
a
25
4
22
22
2
2
+
+
=
+
+
=
+
+
==
_
_
i
i
Luego:
acbk kk b
bk
4251 00
10
22 2
&
&
== =
=
__ii
Reemplazando, se tiene:
a + b + c = 4k + 10k + 25k = 234 ⇒ k = 6
Piden
ab kk k41014146 84+= += ==_i
14. Se verifica que:
A
b
BC
2== =
a c
Calcula el valor de:
H
ab c
AB C
ab c
AB C
##
##
=
++
++
+
Por propiedad se tiene:
a
A
b
B
c
C
ab c
AB C
ab b
AB C
2
28 3
##
##
== =
++
++
=
==
Reemplazando, se tiene:
H
ab c
AB C
ab c
AB C
28 10
##
##
=
++
++
+ =+=
15. En una proporción geométrica continua, la
suma de sus términos es 50 y el primer tér-
mino es mayor que el último en 10 unidades.
Determina la media proporcional
Sea la proporción geométrica continua:
b
ab
=
c
Por dato se tiene:
a + 2b + c = 50 ∧ a = c +10
⇒ 2c + 10 + 2b = 50 ⇒ b = 20 – c
Luego, reemplazando y por propiedad, se
tiene:
c
c
c
c
cc
cc cc
ab
20
10
1
20
1
20
30 20
30 400205 04 00 8
18 12
&
&& &
& /
-
+
+=
-
+
-
=
=- ==
==
16. En una proporción geométrica, las diferencias de los términos de cada razón son 9 y 21 res- pectivamente. Si la diferencia de cuadrados de los antecedentes es 360,
halla la suma de sus
antecedentes.
Sea la proporción geométrica:
b
a
d
c
ka bkcdk& /== ==
Luego, por dato, se tiene:
ab bkbb k
cd dkdd k
d
b
bm dm
am kc mk
99 19
21 21 121
7
3
37
37
&&
&&
&&
&
/
/
-= -= -=
-= -= -=
== =
==
_
_
i
i
Además, se tiene:
ca mk mk
mk
3607 33 60
3
22 22
&
&
-= -=
=__ii
Piden: a+c = 3mk+7mk = 10mk = 30
17.
18.
19.
Metacognición
••¿Qué aprendí? ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las
superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido?
¿En qué otras ocasiones puedo uti-
lizar lo aprendido?
12 RAZONES Y PROPORCIONES U3 CT.indd 55 5/02/2020 16:25:11

56 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. La suma de las edades de dos hermanos es de
49 años. Si la razón geométrica de las edades
es
2
5
, determina la edad que tendrá el herma-
no menor dentro de 5 años.
a. 19 b. 14 c. 35 d. 39
2. Dos números son entre sí como 7 es a 3, si su
razón aritmética es 160, encuentra el valor del
mayor número.
a. 120 b. 280 c. 160 d. 260
3. La razón geométrica de dos números a y b es
como 7 es a 4, si además se sabe que:
a+b=99.
Halla el valor de a – b.
a. 44 b. 77 c. 11 d. 27
4. Se verifica que:
3
a
5
b
8
c
6
d
== =
Si además a + b = 96, calcula c × d
a. 6 912 b. 48 c. 144 d. 12
5. Se verifica la igualdad:
6
a
8
b
18
c
==
Si además a × b × c = 2 916.
Determina el valor de a + b + c
a. 36 b. 48 c. 50 d. 56
Nivel intermedio
6.
Las edades de Janet y Roberto son 12 y 18 años
respectivamente, dentro de cuantos años la ra-
zón de sus edades será de 13 a 15.
a.
24 b. 25 c. 26 d. 27
7. En una fábrica trabajan 240 personas y se ob-
serva que por cada 4 hombres hay 1 mujer,
¿cuántas mujeres deben contratarse de tal
forma que se tenga 3 hombres por cada dos
mujeres?
a.
60 b. 70 c. 75 d. 80
8. Si se cumple que:
b
a
d
c
9
25
==
Además bd 15 bd 3/+=- =
Halla el valor de a + c. a.
425 b. 550 c. 325 d. 275
9. Sea la siguiente relación geométrica:
A
b
BC
==
ac
Si se cumple que:
AB Ca bc 1296++ ++ =__ ii
Calcula el valor de:
K4 AaBb Cc= ++`j
a. 72 b. 144 c. 36 d. 180
Nivel avanzado
10.
Dada la serie de razones geométricas:
15
a
12n
b
10n
c
7
d
=
+
=
-
=
Si se cumple que: abcd 120++ -=
Determina el valor de a × d a.
1210 b. 1680 c. 1540 d. 2680
11. Sea 8064 el producto de tres números, cuya
relación esta en 60, 70 y 30 respectivamente,
calcula la suma de dichos números.
a. 36 b. 64 c. 128 d. 54
12. La suma de los cuatro términos de una propor-
cón geométrica continua es a la diferencia de
sus extremos como 5 es a 1. ¿Cuál es la razón
geométrica del extremo mayor al extremo me-
nor?
a.

5
2
b.
13
2
c.
5
6
d.
9
4
Nivel destacado
13. En una fábrica embotelladora, se tiene 3 má-
quinas (A, B y C), por cada 7 botellas que pro-
duce la máquina A, la máquina B produce 5 y,
por cada 3 botellas que produce la máquina B,
la máquina C produce 2. En un día, la máquina
A produjo 4400 botellas más que C, ¿cuántas
botellas produjo la máquina B ese día? (UN-
MSM 2011 −II)
a.
2 000
b. 4 000
c. 6 000
d. 3 000
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
a b d a b d d c b b b d c
12 RAZONES Y PROPORCIONES U3 CT.indd 56 5/02/2020 16:25:18

57Aritm?tica
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. B?sico Intermedio Avanzado
Reparto proporcional
Recordamos lo aprendido
Reparto proporcional simple
Reparto simple
directo
Reparto simple
inverso
N
D.P. Partes
A Ak
B Bk
C Ck
A 1 k
A A
B 1 k
B B
C 1 k
C C
N
IP PartesDP
k
AB C
N
NAkBkC k
=
++
=+ +

k
AB C
N
N
A
k
B
k
C
k
11 1
=
++
=+ +
donde k: constante de proporción
Observación:
Decir que un número se reparte proporcio-
nalmente, implica que se reparte de manera
directamente proporcional.
Reparto proporcional compuesto
A C A 1 A A k
C C C
B D B 1 B B k
D D D
N
DP DP PartesIP DP DP
k
C
A
D
B
N
N
C
Ak
D
Bk
/=
+
=+
2. Reparte S/ 445 de manera proporcional a ;
5
6
2
3
y
4
7
. Indica el valor intermedio recibido luego
del reparto.
Calculamos el valor de k:
k
5
6
2
3
4
7
445
100=
++
=
Así las partes serían:
PP x
P
5
6
100120
4
7
100175
2
3
100150
13
2
== ==
==^
^
h
h
Por lo tanto, el valor intermedio es S/ 150.
3. Luego de repartir una cantidad directamente proporcional a los números 10; 12 y 18 se obser- va que la diferencia entre la mayor y la menor parte es 920.
Encuentra el valor de la cantidad
repartida.
Sea N el total a repartir,
k
NN
10 12 18 40
=
++
=
Del dato:
18k – 10k = 920 ⇒ 8k = 920 ⇒ k = 115
Reemplazando:
N
N
40
1154 600&==
Así, el valor de la cantidad repartida es 4600.
4. Carlos, un agricultor, ha sembrado tres parce- las, cada una con un área de 400 m
2
; 600 m
2
y
500 m
2
recibiendo un pago total de S/ 120 000,
¿cuál fue el pago recibido por la parcela más pequeña?
Calculamos el valor de k:
k
400600500
120000
80=
++
=
El menor pago corresponde a la menor parte proporcional:
P
menor
= 400k = 400 × 80
⇒ P
menor
= 32 000
Por lo tanto, recibió S/ 32 000 por la parcela más pequeña.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Ana percibe un sueldo de S/ 2500, el cual lo reparte de manera IP a las edades de sus 2 her- manos de 6 y 14 años. ¿Cuánto le corresponde al hermano menor?
Calculamos el valor de k:
k
6
1
14
1
2500
10500=
+
=
Así, al más pequeño le corresponde:
P10500
6
1
1
#= ⇒ P1750
1
=
13 CT_Reparto proporcional_U3_aritmetica.indd 57 5/02/2020 16:25:27

58 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. B?sico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
5. El comité organizador de cierto evento deci-
dió repartir un premio de S/ 13 500 de manera
directamente proporcional a las raíces cua-
dradas de las velocidades promedio de los 3
primeros lugares. Si las velocidades promedio
fueron 200 km/h; 162 km/h y 128 km/h, ¿cuán-
to dinero recibió el segundo lugar?.
Calculamos el valor de k:
k
2001 62128
13500
1029 28 2
13500
=
++
=
++
k2502&=
Así, al segundo lugar le corresponde:
92 2502 4500# =
6. Se reparte N en tres partes que sean directa- mente proporcional a 3 números enteros con- secutivos,
determina la cantidad que le corres-
ponde al segundo. (En función de N).
Tomemos los números consecutivos: x – 1,
x, x + 1.
Entonces, el valor de k será:
k
xx x
N
x
N
11 3
=
-+ ++
=
Luego, al segundo le corresponde:
x
x
N N
3 3
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
7. Diego decide repartir S/ 4680 entre sus tres
mejores trabajadores. Si lo reparte directamen-
te proporcional a sus edades, las cuales son
números pares consecutivos, e inversamente
proporcional a los números 2; 4 y 5 respecti-
vamente.
Calcula la edad del mayor de ellos si
este recibió S/ 1080.
Tomemos los números consecutivos: x – 2, x,
x + 2.
Entonces, el valor de k será:
k
xx xx x
2
2
45
2
4680
20
19 12
4680
19 12
204680#
=
-
++
+
=
-
=
-
Luego, al mayor le corresponde:
x
x5
2
19 12
204680
1080
#+
-
=
J
L
K
K
K
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
O
N
P
O
O
OO
Así, x + 2 = 30, por lo tanto, el mayor tiene
30 años.
Nivel avanzado
8. Reparte 1960 en tres partes inversamente pro- porcional a 8
2
; 4
2
y 12
2
, luego calcula el valor de
la menor parte obtenida.
Calculamos el valor de k:
k
8
1
4
1
12
1
1960
4
1
4
1
1
1
9
1
1960
22 2
2
=
++
=
++
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
k
16
1
36
49
1960
49
19601636##
==
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
= 23 040
En la descomposición notamos que 12
2
es el
mayor de todos, por lo tanto, le corresponde
la menor parte, la cual pasaremos a obtener:
Valor
mín
=

1
12
2
(23 040)
Valor
mín

160=
Por lo tanto, la menor parte obtenida es 160.
9. Úrsula decide repartir su herencia a sus tres hi- jos de manera proporcional a sus edades. Se sabe que la edad del mayor es a la del medio como 3 es a 4, y la del medio es la del último como 6 es a 7. Luego de dos años, Úrsula cam- bia las condiciones, y realiza el reparto propor- cional a los números 4, 5 y 6 respectivamente.
Calcula el monto de la herencia si el menor re- cibió S/. 2 000 más.
Sea A, B, C las partes que reciben el menor,
el del medio y el mayor de los hijos, entonces:
A
B
B
C
−−
3
4
6
7
;
⇒ A = 9k, B = 12k, C = 14k
Así, Herencia = 9k + 12k + 14k = 35k
Con el nuevo cambio:
k' =
35
45 6
7
3
kk
Luego, el menor recibe:
k k
4
3
7
3
28
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O O
Por lo tanto, la diferencia será:
k
k
3
28
92 000-=
k = 6 000
Reemplazando:
Herencia =35(6 000) = 210 000
13 CT_Reparto proporcional_U3_aritmetica.indd 58 5/02/2020 16:25:33

59Aritm?tica
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. B?sico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Divide 1 420 en partes directamente propor-
cional a los números 2; 7; 9; 16 y 37. Da como
respuesta la suma de la menor y mayor de las partes obtenidas.
a.
360 b. 460 c. 780 d. 1060
2. Reparte 10 640 en forma inversamente propor-
cional a los números
7
2
;
5
4
;
7
6
y
5
12
. Dar como
respuesta la mayor de las partes obtenidas.
a. 3040 b. 5880 c. 700 d. 25 536
3. Efectúa el reparto proporcional de S/ 8 100 res-
pecto a 12; 27 y 48. Indica el valor de la
suma de cifras del menor de los números.
a. 9 b. 8 c. 7 d. 6
4. Un abuelo reparte S/ 450 entre sus tres nietos
de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente
a sus edades, ¿cuánto le corresponde a cada
uno respectivamente?
a.
200; 150; 100
b. 80; 170; 200
c. 100; 300; 50
d. 100; 150; 200
Nivel intermedio
5.
Se reparte una cantidad en forma directamen-
te proporcional a los números: n243
3
; n72
3

y n576
3
, si la mayor parte es 400, ¿cuánto es
la cantidad total a repartir?
a. 900 b. 1600 c. 2500 d. 3000
6. Se reparte S/ 100 en partes directamente
proporcionales a m
2
; 2m y 1, donde m es un
número natural, de tal manera que la mayor
parte obtenida es 64.
Encuentra el valor de m,
si m es mayor que 2.
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7
7. Se divide 13 200 en 11 partes directamente pro-
porcionales a 11 números consecutivos. Si la di-
ferencia entre el mayor y menor valor obtenido
es 500,
calcula la suma de cifras de la mayor
parte obtenida.
a. 7 b. 6 c. 9 d. 10
8. Tres socios obtuvieron un beneficio neto de
S/ 12 900 para su negocio. ¿Qué parte le co-
rresponde a cada uno si el primero aportó ini-
cialmente S/ 18 000, el segundo, S/ 15 000, y el
tercero, S/ 10 000?
a.
5400; 1500; 6000
b. 5200; 3200; 4500
c. 2400; 3600; 4800
d. 5400; 4500; 3000
Nivel avanzado
9.
Se reparte 1600 proporcionalmente a cuatro
potencias enteras y consecutivas de 3. Deter-
mina la mayor, y la menor de las partes obteni- das cuando la potencia vale 5.
a.
540; 18
b. 720; 30
c. 1080; 40
d. 1800; 42
10. Se reparte 9900 en tres partes A, B y C, de ma-
nera que A es a B como 3 es a 2, y B es a C
como 5 es a 4.
Calcula la suma y el producto de
cifras de la menor parte obtenida.
a. 4 y 0 b. 5 y 4 c. 6 y 0 d. 6 y 8
11. Un padre de familia dejó ordenado hacer el re-
parto de su fortuna de manera directamente
proporcional a las edades de sus hijos, que son
28 y 20 años. El reparto, por equivocación, se
hizo proporcional a las edades e inversamente
proporcional a 7 y 5, por lo que el menor reci-
bió S/ 18 000 más de lo que le correspondía. ¿A
cuánto asciende el valor de la fortuna?
a.
S/ 216 000
b. S/ 180 000
c. S/ 450 000
d. S/ 320 000
12. Jorge decide repartir S/ 420 proporcionalmen-
te a las edades de sus hijos que son de 12 y 18
años, pero a la vez inversamente proporcional
a lo que les faltan para cumplir 20 años respec-
tivamente. ¿Qué cantidad de dinero recibió el
hijo mayor y menor respectivamente?
a.
S/ 150 y S/ 270
b. S/ 360 y S/ 60
c. S/ 280 y S/ 140
d. S/ 300 y S/ 120
Nivel destacado
13. Un hombre muere dejando a su esposa em-
barazada un testamento de S/ 130 000; que se
repartirán de la siguiente manera:
5
2
a la madre y
5
3
a la criatura si nace varón;
7
4
va la madre y
7
3

a la criatura si nace niña. Pero sucede que la señora da a luz un varón y una niña. ¿Cuánto le toca a la niña y al varón respectivamente?
(UNI 2010 − I)
a.
15 000 y 30 000
b. 30 000 y 60 000
c. 20 000 y 100 000
d. 45 000 y 70 000
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
c b a d a a d d c c a b b
13 CT_Reparto proporcional_U3_aritmetica.indd 59 5/02/2020 16:25:38

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B?sico Intermedio Avanzado
Magnitudes proporcionales
Recordamos lo aprendido
Magnitudes directamente proporcionales
Sean las magnitudes A y B tales que:
Magnitud A Magnitud B
a
1
b
1
a
2
⋮
b
2
⋮
a
n
b
n
Entonces:
Valor i – ésimo de la magnitud A
Valor i – ésimo de la magnitud B
= k
Donde, k = constante.
Gráficamente
a
n
a
1
b
1
b
2
b
n
a
2
B
A
b
a
b
a
b
a
b
a
k
1
1
2
2
3
3
n
n
g== ==
Magnitudes inversamente proporcionales
Sean las magnitudes A y B tales que:
Magnitud A Magnitud B
a
1
b
1
a
2
⋮
b
2
⋮
a
n
b
n
Entonces: (Magnitud A)(Magnitud B) = k Donde, k = constante. Gráficamente
a
n
a
1
a
2
b
1
b
2
b
n
B
A
ab ab ab ab k
nn11 22 33
:: : :g== == =
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Si A es inversamente proporcional a B, cuando
A es 25, B vale 75, determina el valor de B cuan-
do A es 125.
Como A es inversamente proporcional a B, entonces: A × B = cte.
25 × 75 = 125 × B
B =
2575
125
∙
= 15
2. Si A y B son magnitudes directamente propor-
cionales, cuando A es 125, B vale 35, halla el va-
lor de B cuando A es 625.
Como A es directamente proporcional a B,
entonces:
B
A
= cte.
B
B
35
125625
125
62535
175&
#
== =
3. Si A es inversamente proporcional a B
2
, cuan-
do A = 25; B = 15. Calcula B, cuando A es 625.
Como A es inversamente proporcional a
B
2
, entonces: A × B
2
= cte.
25 × 15
2
= 625 × B
2
B
2
=
25 225
625
∙
⇒ B
2
= 9
⇒ B = 3
4. Si A
2
es directamente proporcional a B
3
y
cuando A es 27, B es 4. Determina el valor de B
cuando A es 8.
Como A
2
es directamente proporcional a
B
3
, entonces:
B
A
3
2
= cte.
27
4
2
3
=
8
2
3
B
⇒ B
3
=
2
3
12
6

⇒ B =
2
3
4
2
=
16
9
14 MAGNITUDES PROPORCIONALES U3 CT.indd 60 5/02/2020 16:26:28

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Aritm?tica
Unidad 3
Básico Intermedio Avanzado
5. Se tienen las magnitudes A y B, de modo que B
es inversamente proporcional a A. Determina
en cuánto aumenta B si A disminuye a
A
4
.
Como B es I.P. a A
⇒ B ∙ A = x ∙
A
2
⇒ x = 2B
⇒ B aumentó una vez.
6. Se tienen las magnitudes A y B, tales que B es inversamente proporcional a
A. Halla a + b.
A 36 16 9 a
B 2 b 4 6
Observando la tabla: B × A = cte
2 × 36 = b × 16= 6 × a
12 = 4b = 6 a
⇒ 12 = 6 a ⇒ a = 4 ∧ 12 = 4b ⇒ b = 3
⇒ a + b = 4 + 3 = 7
7. Si A es I.P. aB, ¿qué sucede con la magnitud
B cuando A se triplica?
Como A es I.P. aB, entonces:
A × B= cte
Así: A × B = 3A × y
B = 3y ⇒ B = 9y ⇒ y =
B
9
La magnitud B disminuye a su novena
parte.
Nivel intermedio
8. Dos magnitudes importantes en electricidad son el tiempo y la intensidad de corriente. El tiempo es I.P. al cuadrado de la intensidad; si la intensidad de corriente se duplica, ¿en cuánto varía el tiempo?
Según el problema: T × I
2
= cte
La nueva intensidad será 2I, así:
T ∙ I
2
= x ∙ (2I)
2
TI
2
= x ∙ 4I
2
⇒ x =
T
4
El tiempo disminuye a su cuarta parte.
9. La siguiente tabla muestra dos magnitudes, A
y (B –3), que son directamente proporcionales.
Determina el valor de m + n.
A 40 m 136
B m n 20
14
136
=
m3
40
-
⇒ m = 8
5
40
=
n3
8
-
⇒ n = 4
⇒ m + n = 8 + 4
⇒ m + n = 12
10. Se muestran dos magnitudes proporciona-
les donde B es I.P a A determina el valor de
a × b.
A 81 144 4 a
B 4 b 18 12
Observando la tabla: B × A = cte
4 × 81= b × 144= 12 × a
⇒ 36 = 12b = 12 a
⇒ 36 = 12b ⇒ 36 = 12 a
⇒ b = 3 ⇒a = 9
⇒ a × b = 9 × 3 = 27
11. En la siguiente tabla se muestran dos magni-
tudes, A y B. Si se sabe que A es D.P. a (B – 6),
calcula x + y.
A 60 30 270
B x y 24
Observando la tabla: A es D.P a (B – 6)
x6
60
-
=
y6
30
-
=
18
270
= 15
⇒
x6
60
-
= 15 ⇒ x = 10
⇒
y6
30
-
= 15 ⇒ y = 8
⇒ x + y = 10 + 8 = 18
14 MAGNITUDES PROPORCIONALES U3 CT.indd 61 5/02/2020 16:26:35

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B?sico Intermedio Avanzado
12. Se sabe que x es I.P. a y
2
– 1; si cuando
x = 24, y = 10, calcula x cuando y es 5.
x es I.P. a y
2
– 1, ⇒ x(y
2
– 1) = cte
Entonces:
24 ∙ (10
2
– 1) = x(5
2
– 1)
24 ∙ 99 = 24x
⇒ x = 9913. El cuadrado de una magnitud A varía propor-
cionalmente al cubo de B cuando A = 3, B = 4.
Determina el valor de B cuando A =
2
3
.
B
B
B
4
3 2
3
91 63
3
16
3
2
3
2
3
3
&
&
:
==
=
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
14. En el siguiente gráfico de magnitudes propor-
cionales, calcula x + y.
B
A
8 x
y
20
24
30
A y B son D.P, entonces:
y
8
=
24
x
=
30
20
24
x
=
30
20
⇒ x = 16 ∧
y
8
=
30
20
⇒ y = 12
⇒ x + y = 16 + 12 = 28
Nivel avanzado
15. Un engranaje de 50 dientes se engrana con
otro de 35 dientes. Cuando el primero da 7
vueltas, ¿cuántas vueltas de el segundo?
Se sabe que:
n° de dientes × n° de vueltas = cte
50 × 7 = 35 × n° de vueltas
n° de vueltas =
35
507#
= 10
El segundo da 10 vueltas.
16. En el sistema de engranajes mostrados, la rue-
da A gira a 120 R.P.M. ¿Cuánto tiempo emplea-
rá la rueda C en dar 960 vueltas?
20d
15d
A
C
B
Las ruedas B y C, al estar unidas por un tubo, darán la misma cantidad de vueltas; así:
20d × 120 = 15d × n° de vueltas
N° de vueltas =
15
20120#
= 160
minutos
160
960
6=
17. Del siguiente gráfico de magnitudes propor-
cionales, determina el valor de a + b.
B
a
90
60
12 15 b
A
Según el gráfico:
90
b
=
60
12
⇒ b = 18
Para la curva, se tiene: 15a = 90 × 18
a = 108
Entonces: a + b = 108 + 18 = 126
18. Según el gráfico, A es inversamente proporcio- nal a B.
Calcula el valor de m + n.
B
m
m – 4
m + 8
8 16 n
A
Según el gráfico:
8(m + 8) = 16m = (m – 4)(n)
m + 8 = 2m ⇒ m = 8
Entonces:
16(8) = (8 – 4)(n)
⇒ 128 = 4n ⇒ n = 32
14 MAGNITUDES PROPORCIONALES U3 CT.indd 62 5/02/2020 16:26:39

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Aritm?tica
Unidad 3
B?sico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si A es I.P. a B, ¿qué sucede con B cuando A
se cuadruplica?
a. Se divide entre 50
b. Se divide entre 16
c. Se multiplica por 25
d. Se divide entre 12
2. Dos magnitudes son inversamente propor-
cionales. Si una de ellas disminuye en
5
1
de su
valor, ¿en cuánto aumenta o disminuye la otra?
a. Aumenta en
4
1
.
b. Disminuye en
4
1
.
c. Aumenta en
3
1
.
d. Disminuye en
6
1
.
3. Si las magnitudes A y B son inversamente pro-
porcionales, determina a + 2b + 3c.
A a 2 12 c
B 24 9 b 36
a.
4
21
b.
5
26
c.
5
48
d.
7
24
4. El área de un círculo es directamente propor-
cional al cuadrado de su radio. ¿En cuánto va-
riará el área de un círculo si el radio se duplica?
a.
Aumenta una vez.
b. Disminuye una vez.
c. Aumenta dos veces.
d. Aumenta en tres veces.
Nivel intermedio
5.
En el sistema de engranajes, si la rueda A gira
a 80 revoluciones por minuto, ¿cuántas vueltas
da la rueda C en 1 minutos?
18d
15d
A
C
B
a. 48 b. 105 c. 100 d. 96
6. A partir de la siguiente tabla:
A 36 144 324 9 4
B 6 3 2 12 18
Determina la relación correcta entre A y B.
a. A D.P B
2
b. A D<> .P B
c. AI.P B
d. A D.P B
7. Del siguiente gráfico de magnitudes, determi-
na a + b.
a
30
10
5 6 b A
B
a. 75 b. 85 c. 90 d. 56
Nivel avanzado
8.
Calcula a + b usando el siguiente gráfico de
magnitudes:
a
a + 16
a – 24
24 32 b
a. 48 b. 112 c. 56 d. 94
Nivel destacado
9. El precio de un libro varía de forma D.P al nú- mero de páginas, e I.P al número ejemplares. Si cuando el número de ejemplares es 5 000, el precio es S/ 9 y el número de páginas es 360.
Calcula el precio cuando los libros tienen 720 hojas y se imprimen 3 000 ejemplares.
a.
15 b. 30 c. 10 d. 50
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
b a a d d c c b b
14 MAGNITUDES PROPORCIONALES U3 CT.indd 63 5/02/2020 16:26:44

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Básico Intermedio Avanzado
Análisis Combinatorio
Recordamos lo aprendido
1. Principio de la multiplicación: Si un evento
A ocurre de «m» maneras, y para cada una
de estas, otro evento B ocurre de «n» mane-
ras, entonces el evento A seguido de B ocu-
rre de «m × n» maneras.
2.
Principio de la adición: Si un evento «A» ocu-
rre de «m» maneras y otro evento «B» ocurre de «n» maneras, entonces el evento A o el evento B ocurren de «m + n» maneras.
3.
Permutación lineal: Es un ordenamiento li-
neal donde importa el orden. El número de permutaciones que se pueden realizar con «n» elementos es:
P
n
= n!
4. Permutación circular: Es un ordenamiento
circular donde importa el orden. El número de permutaciones que se pueden realizar con «n» elementos es:
Pn 1!c
n
=-_i
5. Permutación con elementos repetidos: Es
un ordenamiento lineal donde algunos ele- mentos pertenecen a la misma clase. El nú- mero de permutaciones de «n» elementos, con:
«n
1
» elementos repetidos de la clase A
«n
2
» elementos repetidos de la clase B

⋮
«n
k
» elementos repetidos de la clase «k»
donde:
n
1
+ n
2
+ ⋯ + n
k
≤ n
está dado por:
Pn,n,,n
n!n! n!
n!
12 k
12 k## #
f
f
=_i
6. C<> ombinaciones: El número de combinacio-
nes de «n» elementos diferentes tomados de «k» en «k», sin importar el orden de estos, se calcula mediante la siguiente fórmula:
C
k!nk!
n!
,0 knk
n
##=
-_i
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Una persona desea viajar a Cusco; si lo hace por tierra puede elegir entre 5 empresas de transporte y si va por vía aérea puede elegir en- tre 4 aerolíneas, ¿de cuántas maneras puede realizar el viaje la persona?
Como las actividades no son simultáneas, utilizaremos el principio de la adición.
5 + 4 = 9
Entonces puede realizarlo de 9 formas.
2. Un comité de profesores, formado por 5 do-
centes de aritmética, 3 docentes de álgebra y
4 docentes de geometría, estudian nuevas me-
todologías educativas. Si el comité ha recibido
la invitación de impartir una conferencia al res-
pecto, ¿de cuántas maneras puede el comité
enviar un representante a dicho evento?
Como las actividades no son simultáneas,
utilizaremos el principio de adición.
5 + 3 + 4 = 12
Entonces, puede enviarlo de 12 formas.
3. ¿De cuántas formas distintas puede Benito
vestirse si posee 5 camisas de diferente color, 3
pantalones de diferente color, un par de zapa-
tos negros y un par de zapatillas blancas?
Como estas actividades son simultáneas, uti-
lizaremos el principio de multiplicación.
5 × 3 × 2 = 30
Entonces, puede vestirse de 30 formas
distintas.
7. V<> ariaciones: Permutación de «m» ele-
mentos tomados de «n» en «n» (m ≥ n). Se calcula de la siguiente manera:
V
mn !
m!
n
m=
-
_i
15 ANALISIS COMBINATORIO.indd 64 5/02/2020 16:26:47

65Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 3
B?sico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
4. ¿De cuántos modos es posible ordenar a 5 es-
tudiantes en una carpeta de 5 asientos?
Sean los estudiantes E
1
, E
2
, E
3
, E
4
y E
5
y los
lugares a ubicarse serán A
1
, A
2
, A
3
, A
4
y A
5
.
Entonces el lugar A
1
lo puede ocupar cual-
quiera de los 5 estudiantes, para el lugar A
2

habría solo 4 estudiantes disponibles, para
el lugar A
3
cualquiera de los 3 restantes y así
sucesivamente. Así tenemos:
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
5. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 3 hombres y 2 mujeres en una carpeta de 6 asientos de tal manera que las mujeres siempre esten juntas?
Al estar las dos mujeres juntas, actúan como un solo elemento, además de las seis posi- ciones, al ocupar las mujeres dos de ellas, será como si restaran 5 posiciones.
=
5!
(5 – 4)!
= 5 × 4 × 3 × 2 = 120
Como las mujeres se pueden intercambiar entre ellas, tenemos 120 × 2 = 240
6. Un juego de azar consiste en escoger de forma ordenada 3 dígitos distintos. ¿De cuántas ma- neras podríamos hacerlo?
Dado que consiste en extraer dígitos, solo se
establece un criterio de componentes, mas no interesa el orden. Entonces estamos fren- te a una combinación.
=
10!
3! (10 – 3)!
=
10 × 9 × 8 × 7!
3 × 2 × 1 × 7!
= 120
7. ¿De cuántas formas es posible fotografiar a 7 personas (en fila y en la misma posición) de modo que dos de ellos en particular no se en- cuentren juntos?
Si todos ocupan lugares distintos: P(7)= 7!
Si dos siempre deben estar juntos: P(6)= 6! = 720 y estos dos pueden inter- cambiarse ⇒ 2P(6) = 1440
Si dos nunca deben de estar juntos:
7! – 1440 = 5040 – 1440 = 3600
Nivel avanzado
8. Cinco parejas de esposos se ubican alrededor
de una fogata. ¿De cuantas maneras podrían
ordenarse si...
a.
Cada pareja debe estar junta
b. Los varones y mujeres deben quedar
alternados.
a. Por ser permutación circular, tomamos
una pareja como punto de partida.
P(4) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
Permutación por cada pareja: 2
2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Entonces 24 × 32 = 768
b. Por ser permutación circular, tomamos un
hombre como punto de partida
HM HM HM HM HM
P(M) = 5! = 120
P(H) = 4! = 24
⇒ 120 + 24 = 2880
9. En una reunión hay 10 varones y 5 mujeres. Se van a formar grupos de 3 personas, ¿cuántos grupos diferentes se formarían si solo pueden haber dos mujeres en el grupo?
En la formación de grupos no interesa el or- den entre ellos, por lo que el proceso de se- lección es una combinación.
Total: 10 varones y 5 mujeres.
Se escoge: 1 varón y 2 mujeres.
C
1
10 ×
C
2
5 = 10 × 10 = 100
10. Una persona posee 3 anillos distintos. ¿De
cuántas maneras puede colocarlos en sus de-
dos de la mano derecha, colocando solo un
anillo por dedo sin contar el pulgar?
El primer anillo se puede colocar en cual-
quiera de los 4 dedos. El segundo anillo se
puede colocar en cualquiera de los 3 restan-
tes. El tercer anillo se puede colocar en cual-
quiera de los 2 restantes.
Entonces, el anillo se puede colocar de
4 × 3 × 2 = 24
=
4!
(4 – 3)!
= 4 × 3 × 2 = 24
24 formas distintas.
15 ANALISIS COMBINATORIO.indd 65 5/02/2020 16:26:48

66 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Un alumno tiene 5 camisas de diferentes colo-
res, 4 pantalones distintos y 3 pares de zapatos
diferentes. ¿De cuántas maneras distintas se
puede vestir?
a.
50 b. 20 c. 40 d. 60
2. Felipe desea viajar de Lima a Cusco y tiene a su
disposición 4 líneas aéreas y 6 líneas terrestres.
¿De cuántas maneras diferentes puede viajar?
a.
10 b. 24 c. 30 d. 36
3. De una ciudad M a otra ciudad N hay dos ca-
minos diferentes, y de la ciudad N a P hay tres
caminos diferentes. ¿Por cuántos caminos se
podrá viajar de M a P pasando por N y sin re-
troceder?
a.
5 b. 8 c. 6 d. 9
4. Milagros tiene 8 pantalones, 6 blusas y 5 pa-
res de zapatos. ¿De cuántas maneras se puede
vestir?
a.
48 b. 240 c. 250 d. 400
Nivel intermedio
5.
Con todas las letras de la palabra Beatriz, cuán-
tas palabras diferentes se pueden formar sin
importar que las palabras tengan o no sentido,
considerando que la T y R deben estar juntas
siempre.
a.
5040 b. 1440 c. 1880 d. 4020
6. ¿De cuántas maneras distintas 6 personas pue-
den ubicarse alrededor de una fogata?
a. 720 b. 440 c. 120 d. 102
7. ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pue-
den formar con los dígitos: 1; 2; 5; 6; 7; 8 y 9, si
cada dígito puede emplearse una sola vez?
a.
110 b. 126 c. 147 d. 90
8. Se quiere construir un collar con 10 perlas de
la siguiente manera: 3 azules, 2 blancas, 2 rojas,
1 verde, 1 amarilla, 1 marrón; si estas dos últi-
mas deben de estar juntas, ¿cuántos collares
se pueden confeccionar?
a.
24 b. 23 c. 22 d. 20
9. A un concurso literario se han presentado 10
candidatos con sus novelas. El cuadro de ho-
nor lo forman el ganador, el finalista y un acce-
sitario. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden
formar?
a.
230 b. 300 c. 124 d. 720
Nivel avanzado
10.
Una persona, generalmente, come 2 platos di-
ferentes. Si le presentan una lista de 8 platos
diferentes, ¿de cuántas maneras diferentes po-
drá hacer su elección?
a.
30 b. 28 c. 24 d. 20
11. Si un club tiene 20 socios, ¿de cuántas mane-
ras se podrá formar una comisión de 3 miem-
bros?
a.
1200 b. 1180 c. 1140 d. 1020
12. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentar-
se 4 personas en una banca de 6 asientos?
a. 360 b. 380 c. 460 d. 1024
13. El departamento de tránsito desea elaborar
nuevas placas de rodaje, cuyo diseño consta
de 5 símbolos; las vocales y los dígitos del 1 al
9, pero no deben tener 2 símbolos iguales en
una misma placa. ¿Cuántas placas diferentes
podrán hacerse si todos los símbolos fueran
números?
a.
15120 b. 15020 c. 1520 d. 15102
Nivel destacado
14. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cu-
brir los puestos de presidente, vicepresidente
y tesorero de un club de fútbol sabiendo que
hay 12 posibles candidatos?
a.
1320 b. 13020 c. 1420 d. 1302
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7
d a c b b c d
8 9 10 11 12 13 14
a d b c a a a
15 ANALISIS COMBINATORIO.indd 66 5/02/2020 16:26:48

67Aritm?tica
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. B?sico Intermedio Avanzado
Medidas de dispersión
Recordamos lo aprendido
Medidas de dispersión
Las medidas de dispersión son las que se encar-
gan de estudiar el comportamiento de todos
los datos y cómo se distribuyen alrededor de un
valor central. Las más usadas son la desviación
media, desviación estándar y la varianza.
1.
Medidas de dispersión para datos no
agrupados
a. Desviación media (D.M): Es el promedio
de las diferencias de todas las observacio-
nes con la media aritmética, es decir:
.DM
n
xx
i
i
n
1
=
-
=
/
b. V<> arianza (σ
2
): Es el promedio de los cua-
drados de las diferencias entre cada dato y la media aritmética del conjunto de da- tos. Matemáticamente, tenemos:
σ
2
=
(x
i
– x)
2
n
c. Des<> viación estándar (σ): Es la medida de
dispersión más frecuente por ser la más práctica; esta definida como la raíz cua- drada de la varianza, es decir:
σ =
(x
i
– x)
2
n
Donde: •
n: cantidad total de datos
• x: media aritmética
2. Medidas de dispersión para datos agrupados
a. Desviación media (D.M):
.DM
n
fxx
ii
n
i
1
=
-
=
/
b. V<> arianza(σ
2
):
σ
2
=
f
i
(x
i
– x)
2
n
c. Des<> viación estándar (σ):
σ =
f
i
(x
i
– x)
2
n
Donde: •
n: cantidad total de datos
• x: media aritmética
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Dado el siguiente conjunto de datos:
10 13 9 8
4 6 3 1
1 2 6 4
a. Determina la media aritmética.
Como son datos no agrupados, entonces:
x =
x
1
+ x
2
+ ⋯ + x
n
n
⇒ x
=
10 + 13 + ⋯ + 4
12
⇒ x = 5,58
b. Calcula la desviación media.
Para hallar la DM, usamos:
D.M =

=1
|x
i
– x|
n
Reemplazando, tenemos:
D.M =

=1
|x
i
– 5,58|
12
⇒ D.M =
4,42 + 7,42 + 3,42 + ⋯ + 1.58
12
⇒ D.M = 3,08
c. Halla la varianza y la desviación estándar.
• Varianza:
σ
2
=

(x
i
– x)
2
n
Reemplazando, tenemos:
σ
2
=
19,54 + 55,06 + 11,70 + ⋯ + 2,50
12
⇒

σ
2
=
158,95
12
= 13,25
• D<> esviación estándar:
σ =
(x
i
– x)
2
n
13,25 = 3,64=

16 MEDIDAS DE DISPERSION - U3 - CT.indd 67 5/02/2020 16:27:27

68 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. B?sico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
2. Completa la siguiente tabla de frecuencias y
resuelve los siguientes ítems.
I
i
x
i
f
i
x
i
f
i
|x
i
– x| f
i
|x
i
– x|
[30;36⟩ 33 6
[36;42⟩ 39 7
[42;48⟩ 45 2
[48;54⟩ 51 4
[54;60⟩ 57 2
Total
a. Halla la desviación media.
Primero hallemos la media aritmética:
⇒ x =
f
1
x
1
+ f
2
x
2
+ ⋯ + f
n
x
n
n
⇒ x

=
198 + 273 + 90 + 204 + 114
21
879
21
=
⇒ x = 41,86
Ahora, hallemos la desviación media:
D.M =

=1
f
i
|x
i
– x|
n
⇒ D.M =
53,16 + 20,02 + ⋯ + 30,28
21
146,3
21
=
⇒ D.M = 6,97
b. Agrega una columna adicional a la tabla y
determina la varianza.
I
i
x
i
f
i
|x
i
– x|f
i
(x
i
– x)
2
[30;36⟩ 33 6 8,86 471
[30;36⟩ 39 7 2,86 57,26
[30;36⟩ 45 2 3,14 19,72
[30;36⟩ 51 4 9,14 334,16
[30;36⟩ 57 2 15,14 458,44
Total 21 39,14 1340,57
• Varianza:
σ
2
=

f
i
(x
i
– x)
2
n
⇒ σ
2
=
471 + 57,26 + 19,72 + ⋯ + 558,44
21
⇒

σ
2
=
1340,57
21
= 63,84
198 8,86 53,16
273 2,86 20,02
90 3,14 6,28
204 9,14 36,56
114 15,14 30,28
21 879 39,14 146,3
Nivel avanzado
3.
Completa la siguiente tabla de frecuencias y
resuelve:
I
i
x
i
f
i
[28;36⟩ 5
[36;44⟩ 6
[44;52⟩ 5
[52;60] 4
a. Calcula la desviación media.
Hallamos la media aritmética:
x

=
160 + 240 + 240 + 224
20
= 43,2
Completamos la tabla. Añadiendo colum-
nas, se tiene:
I
i
x
i
f
i
x
i
f
i
|x
i
– x|f
i
(x
i
– x)
[28;36⟩ 32 5 160 11,2 56
[36;44⟩ 40 6 240 3,2 19,2
[44;52⟩ 48 5 240 4,8 24
[52;60⟩ 56 4 224 12,8 51,2
Total 20 864 32 150,4
Entonces, la desviación media es:
D.M

=
150,4
20
= 7,52
b. Halla la variación y la desviación estándar.
Agregamos a nuestra tabla las columnas
adecuadas:
I
i
x
i
f
i
|x
i
– x|f
i
(x
i
– x)
2
[28;36⟩ 32 5 11,2 627,2
[36;44⟩ 40 6 3,2 61,44
[44;52⟩ 48 5 4,8 115,2
[52;60⟩ 56 4 12,8 655,36
Total 20 32 1459,2
La varianza es:
σ
2
=
1459,2
20
= 72,96
Entonces, la desviación estándar es:
σ = 8,54
32
40
48
56
16 MEDIDAS DE DISPERSION - U3 - CT.indd 68 5/02/2020 16:27:27

69Aritm?tica
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. B?sico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Del siguiente conjunto de datos:
7 12 5 28 9 17
Calcula la desviación media.
a. 5,9 b. 5,8 c. 6,3 d. 6
2. Las notas del examen de matemáticas de los
alumnos de tercer año de secundaria se pre-
sentan el la siguiente tabla.
10 12 14 12 10
16 18 20 20 14
Determina la varianza que generan las notas
de los alumnos.
a. 12,84 b. 13,08 c. 15 d. 12,01
Nivel intermedio
3.
Calcula la desviación media del siguiente con-
junto de datos.
3,02 4,05 5,03 4,89
3,78 4,21 4,69 3,85
4,59 4,29 4,78 4,12
a. 0,63 b. 0,44 c. 0,57 d. 1,00
4. Completa el siguiente cuadro.
Intervalos f
i
x
i
x
i
f
i
|x
i
– x|
[10 – 11> 2
[11 – 12> 4
[12 – 13> 8
[13 – 14> 2
[14 – 15> 2
[15 – 16> 1
[16 – 17> 7
[17 – 18> 5
Halla la suma de todos los x
i
f
i
.
a. 100,5 b. 400,5 c. 208,9 d. 441,5
5. Del problema anterior, determina la desvia-
ción media.
a. 2,5 b. 2,18 c. 2,15 d. 3,01
Nivel avanzado
6.
Se extrae información sobre las edades de las
personas que se han contagiado con una epi-
demia de gripe que se expandió en el Perú.
Halla la suma de todos los x
i
f
i
.
Intervalos f
i
x
i
x
i
f
i
|x
i
– x|
[0 – 10> 12
[10 – 20> 15
[20 – 30> 20
[30 – 40> 18
[40 – 50> 15
[50 – 60> 18
a. 3040 b. 3080 c. 2089 d. 10000
7. Del problema anterior, determina la desvia-
ción estándar.
a. 14,13 b. 15,03 c. 14,01 d. 14,92
8. Tenemos un conjunto de datos de la cantidad
de polos que se vendieron en una tienda co-
mercial durante la semana.
15 20 12 40 28 16 30
Calcula la suma de la desviación media, la va- rianza y la desviación estándar.
a.
102,21 b. 107,15 c. 103,18 d. 104,16
Nivel destacado
9. Determina la suma de la desviación media,
desviación estandar y la varianza del siguiente
conjunto de datos.
3,15 2,45 1,06 0,8
0,78 1,65 2,89 3,78
3,89 2,65 2,75 3,19
3,56 2,86 2,01 1,74
1,95 1,96 2,38 2,39
a. 5,89 b. 7,85 c. 6,06 d. 8,02
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c a b d c b a d c
16 MEDIDAS DE DISPERSION - U3 - CT.indd 69 5/02/2020 16:27:28

Básico Intermedio Avanzado UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
4
Educación Secundaria
ARITMÉTICA
70Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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17 REGLA DE TRES aritmetica U4 CT.indd 70 5/02/2020 16:29:42

Aritmética
Básico Intermedio Avanzado UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
4
Educación SecundariaUnidad 4
71Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Regla de tres simple y compuesta
Recordamos lo aprendido
Regla de 3 simple directa
a
c
b
x
Magnitud A D.P.Magnitud B
ax = bc ⇒ x =
bc
a
Regla de 3 simple inversa
a c
b x
Magnitud A I.P. Magnitud B
ab = cx ⇒ x =
ab
c
Regla de tres compuesta
1. Método práctico:
• Coloca los valores correspondientes a la
misma magnitud, uno debajo de otro.
• Compara cada par de magnitudes
proporcionales con el que contiene la
incógnita.
• Luego de identificar si son directa o
inversamente proporcionales con el par que contiene la incógnita, se sigue:
Si son directamente proporcionales
Arriba −
Abajo +
Arriba +
Abajo −
Si son inversamente
proporcionales
• F<> inalmente, el valor de la variable se
obtiene al dividir el producto de todos los elementos con signo (+) entre el producto
de todos los elementos con signo (−).
Algunas magnitudes frecuentes:
•
Obreros I.P. Eficiencia
• Obra I.P. Dificultad
• Obreros I.P. Horas diarias
• Obra D.P Horas diarias
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Un grupo de 27 ovejas tienen alimento para 4
días. Si se desea que el alimento dure 14 días
más, ¿cuántas ovejas deben haber?
2. Seis caballos tienen raciones de comida para 6 días; si aumentan 3 caballos más, ¿para cuán- tos días alcanzará la ración anterior?
3. Se contrataron 5 artesanos para que tejieran 12 chompas en 15 días. Si se pretenden tejer 60 chompas en 25 días, ¿cuántos artesanos doble- mente rápidos se deben contratar, además de los ya contratados?
Mientras más ovejas haya, menos días durará la comida (I. P.)
N° de ovejas
N° de caballos
N° de artesanos N° días N° de chompas
N° de días
N° de días
Mientras más caballos haya, menos días durará la comida (I. P.)
Se contratan “a” artesanos doblemente
rápidos; por ello se puede considerar que se
contrataron “2a” artesanos, así:
Por lo tanto, se deben contratar 5 artesanos
más
27 4
x (4 + 14)
6 6
(6 + 3) x
155 12
(5+2a) 25 60
27 ∙ 4 = 18 ∙ x
x = 6
6 ∙ 6 = 9 ∙ x
x = 4
5 ∙ 15 ∙ 60 = (5+2a) ∙ 25 ∙ 12
15 = 2a+5
a = 5
17 REGLA DE TRES aritmetica U4 CT.indd 71 5/02/2020 16:29:42

B?sico Intermedio Avanzado 72Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Un equipo formado por 5 alumnos demora 4
horas en resolver 65 problemas. ¿Qué tiempo
demorará otro equipo formado por 4 alumnos
de igual eficiencia en resolver 78 problemas?
5. Si 20 obreros pueden hacer 160 m de una ca- rretera en 54 días trabajando 8 horas diarias, ¿en cuántos días 40 obreros podrán hacer 200 m de dicha carretera si trabajan 6 horas diarias?
6. Se sabe que 16 hombres realizan los 4/7 de una obra en 10 días. Si se retiran 10 hombres, ¿cuán- tos días más emplearán los restantes para ter- minar la obra?
Nivel avanzado
7. Se sabe que 20 albañiles pueden hacer un tra- bajo en 21 días. ¿Qué tiempo demorarán si 4 albañiles aumentan su rendimiento en 50% y el resto disminuye en 50%?
8. 3 vacas comen todo el pasto que hay en un campo de forma circular de 4 metros de diá- metro en 10 días saliendo a pastear 8 h/d. ¿En cuántos días 6 vacas que se alimentan con el doble de ración podrán comer todo el pasto que se encuentra en un campo circular que tiene 1 metro más de radio que el anterior si salen a pastear 5 h/d?
9. 28 obreros pueden hacer una obra en cierto tiempo. ¿Cuántos obreros se necesitarán au- mentar para hacer 1/4 de la obra en un tiempo equivalente a los 2/7 del anterior trabajando la mitad de horas diarias?
45 65
4 x 78
2140a
28a
Rendimiento N° de días
x
1016 4k
6
N° de hombres ObraN° de días
x 3k
8 5420 160
40 6 x 200
2a 7t28 4k
28+x
N° obreros ObraN° h/d
a 2t k
10 83 1 4π
6 2
N° vacas ÁreaN° h/d
x 5 9π
5 ∙ 4 ∙ 78 = 4 ∙ x ∙ 65
x = 6
20 ∙ 8 ∙ 54 ∙ 200 = 40 ∙ 6 ∙ x ∙ 160
54 ∙ 5 = 6x
x = 45
Obra total = 7k
1
er
trabajo =
4
7
∙ 7k = 4k
2
do
trabajo = 7k – 4k = 3k
Rendimiento: 2a
20 albañiles = 40a
Luego:
50%(2a) = a
150% (2a) = 3a
Superficie del campo = área
S
1
= π ∙ 2
2
S
2
= π ∙ 3
2
Según el problema:
4(3a) + 16(a) = 28a
En la regla de 3:
40a ∙ 21=28a ∙ x
x=30
16 ∙ 10 ∙ 3k = 6 ∙ x ∙ 4k
480 = 24x
x = 20
3 ∙ 1 ∙ 10 ∙ 8 ∙ 9π = 6 ∙ 2 ∙ x ∙ 5 ∙ 4π
x = 9
28 ∙ 2a ∙ 7t ∙ k = (28+x) ∙ a ∙ 2t ∙ 4k
49 = 28+x
x = 21
Demorará 6 horas
Lo harán en 45 días.
N° de alumnos
N° obreros N° de metros
N° de horas
N° h/d
N° de problemas
N° días
N° díasración
Tiempo
17 REGLA DE TRES aritmetica U4 CT.indd 72 5/02/2020 16:29:43

Aritm?tica
Básico Intermedio Avanzado Unidad 4 73Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Para pintar un cubo de 18 cm de arista se
necesitan 6 temperas. ¿Cuántas témperas se
necesitarán para pintar un cubo de 36 cm de
arista?
a.
14 b. 19 c. 24 d. 40
2. Doce obreros pueden realizar un trabajo en 28
días. ¿Qué tiempo demorarán 8 obreros con el
doble de rendimiento?
a.
11 b. 35 c. 14 d. 21
3. Un equipo formado por 10 alumnos demora 8
horas en resolver 64 problemas. ¿Qué tiempo
demorará otro equipo formado por 5 alumnos
en resolver 72 problemas?
a.
15 b. 18 c. 22 d. 14
4. Una cuadrilla hace una obra en 35 días. Si su
rendimiento aumenta en su cuarta parte, ¿en
cuántos días harán el trabajo ahora?
a.
28 b. 20 c. 7 d. 14
Nivel intermedio
5.
En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes
de una obra. Si se retiran 6 obreros, ¿cuántos
días demorarán los obreros restantes para ter-
minar la obra?
a.
24 b. 33 c. 15 d. 22
6. 42 obreros pueden hacer una obra en cierto
tiempo. ¿Cuántos obreros se necesitarán au-
mentar para hacer 1/4 de la obra en un tiempo
equivalente a los 3/7 del anterior trabajando la
mitad de horas diarias?
a.
9 b. 7 c. 4 d. 6
7. Cuarenta trabajadores debieron terminar una
obra en 28 días, pero tardaron 7 días más por-
que se retiraron «x» trabajadores. Si a los 40
iniciales se les hubiera agregado «2x» trabaja-
dores, ¿en cuántos días hubieran terminado la
obra?
a.
24 b. 18 c. 20 d. 36
8. Un corrector de estilo terminó de corregir un
libro en 6 días. Si hubiera trabajado 4 horas
diarias menos, habría empleado 24 días más
para terminar de corregir el libro. ¿Cuántas ho-
ras diarias trabajó otro corrector con la misma
eficiencia si este terminó en 15 días?
a.
5 b. 18 c. 8 d. 2
Nivel avanzado
9.
Cierta cantidad de obreros se compromete a
hacer una casa en 60 días. Cuando ya habían
trabajado 10 días, contratan 10 obreros más; de
modo que entregan la casa 20 días antes de
lo fijado. ¿En cuántos días habrían realizado la
obra 3 obreros de estos?
a.
200 días
b. 300 días
c. 450 días
d. 190 días
10. Si 20 obreros pueden hacer un cubo sólido
de 4m de lado en 50 días trabajando 8 horas
diarias. ¿En cuántos días 40 obreros, la mitad
de eficientes, podrán hacer un cubo de 2m de
lado si trabajan 3 horas diarias menos?
a.
15 días
b. 10 días
c. 12 días
d. 18 días
11. Ochenta obreros trabajan 8 horas diarias para
levantar 480 m
2
de una pared en 15 días.
¿Cuántos días requieren 120 obreros, trabajan-
do 10 horas diarias, para hacer 960 m
2
de la
misma obra?
a.
18 b. 24 c. 12 d. 16
12. Se realiza una excursión al desierto, a la que
se inscriben 500 personas, las cuales llevan ví-
veres para 72 días. ¿Cuántas personas no po-
drán viajar si se desea que la excursión dure 18
días más consumiendo la misma cantidad de
raciones?
a.
400 raciones
b. 350 raciones
c. 100 raciones
d. 150 raciones
Nivel destacado
13. Edson puede construir una casa en 56 días
trabajando 8 horas diarias. Si luego de 8 días
de trabajo contrata un ayudante cuya eficien-
cia es 40% menor a la de Edson, pero este se
retira luego de 15 días de trabajo, ¿en cuánto
deberá aumentar su jornal diario, si necesita
terminar la obra 17 días antes de lo planeado,
motivo por el cual aumentó su eficiencia en
20%?
a.
18 h/d b. 16 h/d c. 2 h/d d. 10 h/d
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
c d b a a b c d b b d c c
17 REGLA DE TRES aritmetica U4 CT.indd 73 5/02/2020 16:29:43

74 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
Porcentajes
Recordamos lo aprendido
Porcentajes
1. Notación
k por ciento =
k
100
= k%
2. Cálculo de porcentajes
El p% de N =
p
100
∙ N
3. Operaciones con porcentajes
Suma y resta de porcentajes:
a% de N ± b% de N = (a ± b)% de N
4. Variaciones porcentuales:
Es la cantidad que divide a los datos en
dos grupos de igual número de elementos.
Existen 2 casos:
a.
Aumentos y descuentos sucesivos
• Aumentos sucesivos:
A
equivalente
= A
1
+ A
2
+
A 1
∙ A
2
100
%
• Descuentos sucesivos:
D
equivalente
= D
1
+ D
2
–
D1
∙ D
2
100
%
b. Aplicaciones comerciales de los
porcentajes
• Relación costo, ganancia y venta
P
v
= P
c
+ G
• Relación costo, pérdida y venta
P
v
= P
c
– P
• Relación precio fijado, de venta y
descuento
P
v
= P
f
– D
Donde:
P
C
: Precio de compra o costo
P
v
: Precio de venta
G: Ganancia
P: Pérdida
D: Descuento
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. En un colegio hay 500 alumnos, de los cuales 400 van de paseo por el día de la primavera. ¿Cuál es el porcentaje alumnos que no viajó?
2. Calcula el 10% del 25% del 30% de 6 000.
3. Halla un descuento único que reemplace a dos descuentos sucesivos de 20% y 30%.
4. ¿A qué aumento único equivalen dos aumen- tos sucesivos del 25% y 30%?
Total=500 alumnos, viajan=400 alumnos.
No viajan = 500 – 400 = 100 alumnos.
⇒ no viajan =
100
500
∙ 100% = 20%.
Por lo tanto, el 20% del alumnado no viajó.
Planteamos el problema:
10
100
∙
25
100
∙
30
100
∙ 6 000
Simplificamos:
1
10
∙
1
4
∙
3
10
∙ 6 000 = 45
Aplicamos la fórmula:
D
equivalente
=
D
1
+ D
2
–
D1
∙ D
2
100
%
Reemplazamos:
D
equivalente
=
20

+ 30 –
20
∙ 30
100
%
D
equivalente
= 44%
Aplicamos la fórmula:
A
equivalente
=
A
1
+ A
2
+
A 1
∙ A
2
100
%
Reemplazamos:
A
equivalente
=
25

+ 30 +
25
∙ 30
100
%
A
equivalente
= 62,5%
18 PORCENTAJES aritmetica U4 CT.indd 74 5/02/2020 16:29:19

75Aritm?tica
Unidad 4 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
B?sico Intermedio Avanzado
5. ¿A qué descuento único equivalen tres des-
cuentos sucesivos del 10%, 30% y 50%?
Nivel intermedio
6. Si la base de un rectángulo disminuye en su 10% y la altura aumenta en su 20%. ¿En qué porcentaje varía su área?
7. En un aula, el 20% de los alumnos son varones y el 40% de estos usan lentes; además, el 60% de las mujeres no usan anteojos. ¿Qué tanto por ciento del total usan lentes?
8. Luis vende una radio ganando el 20% del pre- cio de venta. Si la radio le costó S/ 188, ¿cuál fue el precio de venta?
9. ¿Qué porcentaje del 10% del 20% de 200 es el 8% del 0,2% de 2 000?
10. ¿En cuánto se debe vender un artículo que costó S/ 720 si se quiere ganar el 22% del pre- cio de costo?
11. ¿En qué porcentaje aumenta el área de un cír- culo si su radio se duplica?
Sea: Base disminuye en 10%:
10b – 10%(10b) = 9b
Altura aumenta en 20%
10a + 20%(10a) = 12a
Aplicamos la fórmula:
D
equivalente
=
10

+ 30 –
10
∙ 30
100
%
D
equivalente
= 37%
Ahora de 37% y 50%:
D
equivalente
=
37

+ 50 –
37
∙ 50
100
%
D
equivalente
= 68,5%
Usamos la fórmula de ventas: P
v
=P
c
+G
Datos Ganancia: 20% ∙ P
v
P
c
= S/ 188
P
v
= ?
Reemplazamos:
P
v
= 188 + 20% ∙ P
v
80%P
v
= 188
P
v
= S/ 235
Piden: x
Planteamos:
x =
8% ∙ 0.2% ∙ 2 000
10% ∙ 20% ∙ 200
∙ 100%
x = 8%
Usamos la fórmula de ventas: P
v
= P
c
+G
P
v
= ?
P
c
= S/.720
G = 22% ∙ P
c
= 22% ∙ 720
Reemplazamos:
P
v
= 720 + 22% ∙ 720
P
v
= 720 + 158.4
P
v
= S/ 878,4
Aula:
20% varones − 80%mujeres
Varones:
40% ∙ 20% usan lentes = 8% usa lentes
Mujeres:
60% ∙ 80% no usa lentes = 48% no usa
lentes
80% − 48% = 32%
⇒ 32% usa lentes
Por lo tanto:
Usan lentes = 8% + 32% = 40% del
alumnado.
10b
10a
Área inicial: 10a ∙ 10b = 100ab
Área final: 9a ∙ 12b = 108ab
108ab – 100ab
100
∙ 100% = 8%ab
Varía en 8%.
Sea:
Aumenta en 300%.
Área inicial:
πr
2
= π(10a)
2
= π100a
2
Área final:
πr
2
= π(20a)
2
= π400a
2
π400a
2
– π100a
2
100
∙ 100% = 300%
r=10a
r=20a
18 PORCENTAJES aritmetica U4 CT.indd 75 5/02/2020 16:29:19

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Básico Intermedio Avanzado
Nivel avanzado
12. ¿Cuál fue el precio de venta de un producto
que costó S/ 1 500 si se perdió el 32% del precio
de costo?
13. Si el 20% del 30% de un número es igual al 12% del 32% del 40% de 4 000.
Indica el número.
14. El 30% menos del 50% más de un número es igual al 20% más del mismo número, dismi- nuido en 105.
Halla dicho número.
15. El precio de venta de un artículo es el 80% del precio costo perdiéndose el 8% del 15% del 75% de 10 000 ¿Cuál es el precio venta?
16. ¿En qué porcentaje aumenta el área de un cuadrado si sus lados se triplican?
17. ¿A cuánto equivalen 3 aumentos sucesivos del 10%, 15% y 20% seguidamente de un descuen- to del 30%?
Usamos la fórmula de ventas:
P
v
= P
c
– P
P
v
= ?
P
c
= S/ 1 500
P = 32% ∙ P
c
= 32% ∙ 1 500
Reemplazamos
P
v
= 1 500 – 32% ∙ 1 500
⇒ P
v
= 1 500 – 480
⇒ P
v
= S/ 1 020
Usamos la fórmula de ventas: P
v
= P
c
– P
P
v
= 80% P
c
P = 8% ∙ 15% ∙ 75% ∙ 10 000
Reemplazamos:
80% P
c
= P
c
–

8% ∙ 15% ∙ 75% ∙ 10 000
20%P
c
= 90
⇒ P
c
= 450
⇒ P
v
= 450 ∙ 80% = 360
Número: x
20% ∙ 30% ∙ x = 12% ∙ 32% ∙ 40% ∙ 4 000
20
100
∙
30
100
∙ x =
12
100
∙
32
100
∙
40
100
∙ 4 000
⇒ 6x = 12 ∙ 32 ∙ 16
⇒ x = 1 024
Sea el número = N
⇒
70
100
∙
150
100
∙ N =
120
100
∙ N − 105
⇒
105N
100
∙
120N
100
− 105
⇒ 105 =
15N
100
⇒ N = 105
Entonces el número que cumple con las
condiciones es 105.
Sea:
Aumenta en 800%
Área inicial: a
2
Área final: 9a
2
9a
2
– a
2
a
2
∙ 100% = 800%
L=a
L=3a
Fórmulas:
A
equivalente
=
A
1
+ A
2
+
A 1
∙ A
2
100
%
D
equivalente
=
D
1
+ D
2
–
D1
∙ D
2
100
%
Aumento de 10% y 15%
A
equivalente
=
10

+ 15 +
10
∙ 15
100
%
A
equivalente
= 26,5%
Aumento de 26,5% y 20%
A
equivalente
=
26,5

+ 20 +
26,5
∙ 20
100
%
A
equivalente
= 51.8%
Luego 151,8% ∙ 70% = 6,26%
⇒ Los tres aumentos sucesivos y el
descuento equivalen a 6,26%.
18 PORCENTAJES aritmetica U4 CT.indd 76 5/02/2020 16:29:20

77Aritm?tica
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Básico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el 20% del 24% del 40% de 3 000.
a. 57.6 b. 47.8 c. 52.4 d. 42.6
2. Halla el aumento equivalente de 30% y 50%. a.
84% b. 88% c. 94% d. 95%
3. Tres descuentos sucesivos del 20%, 30% y 50%
equivalen a un descuento único de:
a. 68% b. 72% c. 76% d. 80%
4. ¿Qué porcentaje de 480 es 24? a.
2% b. 5% c. 8% d. 10%
5. ¿A qué equivale un aumento de 40% y un des-
cuento del 20%?
a. Aumento del 12%
b. Descuento del 12%
c. Aumento del 24%
d. Descuento del 24%
Nivel intermedio
6.
¿En cuánto debe venderse un reloj que costó
S/ 150 si se quiere ganar el 10% del precio de
costo?
a.
S/ 165 b. S/ 164 c. S/ 163 d. S/ 162
7. Se vendió un artículo en S/ 280 ganando el
40% del precio de costo. ¿Cuánto costó?
a. 190,6 b. 200 c. 194,4 d. 196,2
8. Al vender un televisor en 825 dólares se ganó
el 32% del precio de costo. ¿Cuál fue su precio
de costo?
a.
600 b. 625 c. 700 d. 725
9. Si la base de un rectángulo, aumenta en un
30% y la altura en 20%, ¿en qué porcentaje au-
menta su área?
a.
40% b. 46% c. 50% d. 56%
10. Si el 60% de los alumnos de un curso desa-
probaron el examen y 324 de ellos aprobaron,
¿cuántos alumnos rindieron el examen?
a.
820 b. 750 c. 810 d. 800
11. ¿Cuál fue el precio de venta de un producto
que costó S/ 1 500 si se ganó el 15% del precio
de costo?
a.
S/ 1 725
b. S/ 1 375
c. S/ 1 560
d. S/ 1 420
Nivel avanzado
12.
El precio de venta de un pequeño televisor es
el 60% del precio de costo; si se perdió el 8%
del 15% del 45% de 30 000 ¿Cuál es el precio
venta?
a. 81 b. 90 c. 95 d. 105
13. Si gastara el 30% del dinero que tengo y gana- ra el 28% de lo que me quedaría, perdería S/ 156. ¿Cuánto tengo?
a.
S/ 2 700
b. S/ 1 500
c. S/ 3 600
d. S/ 2 200
14. Jaimito contrata a un albañil para que constru-
ya una piscina en el patio de su casa, de forma
circular con radio igual a
r y altura h. Al inicio
de la obra Jaimito cambia de parecer y le dice
al albañil que el radio será 2
r y 3h.
¿En qué porcentaje aumenta el volumen de la
piscina?
a. 1 200%
b. 1 000%
c. 1 300%
d. 1 100%
Nivel destacado
15. Pepito desea vender su Play Station 4 y fija el
precio aumentando el x% de su costo. Si luego se hace un descuento equivalente al 25% de su precio de costo y se observa que se gana el 20% de su precio de venta, Calcula x
2
.
a.
2 500
b. 3 600
c. 4 900
d. 1 600
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8
a d b b a a b b
9 10 11 12 13 14 15
d c a a b d a
18 PORCENTAJES aritmetica U4 CT.indd 77 5/02/2020 16:29:21

78B?sico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Regla de interés
Recordamos lo aprendido
1. Int<> erés (I): Es el pago que debe realizar un
agente, por utilizar dinero prestado.
2. Monto (M)
M

= C

+ I
Interés simple
I = C ∙ r% ∙ t
Donde: C: Capital
r%: Tasa de interés
t: Tiempo
r% y t deben estar expresados en las mismas
unidades.
Interés compuesto
M = C ∙ (1 + r%)
t
r% y t deben estar expresados en las mismas
unidades que la capitalización.
Recordemos que:
a. Para tiempos equivalentes:
• 1 mes comercial < > 30 días
• 1 año comercial < > 360 días
• 1 año común < > 365 días
b. Para tasas equivalentes:
• 3% mensual < > 36% anual
• 24% trimestral < > 8% mensual
• k% semestral < > 2k% anual
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Ana Lucía tiene S/ 15 000 ahorrados bajo el col-
chón, y decide ir al banco a depositarlos du-
rante tres años a una tasa de interés compues-
ta mensual de 0,35%.
Halla el interés generado
por dicho capital.
2. ¿Cuál es el monto de un capital de S/ 12 500, impuesto a una tasa de interés del 36% efecti- va anual durante 5 años?
3. ¿Cuál es la tasa de interés que se ha aplicado para que un capital de S/ 7 500 haya ganado S/ 9 750 en dos años y medio?
4. Calcula el interés producido por S/ 900 al 3% bimestral durante un año, 1 mes y 10 días.
Del dato, tenemos:
Capital = S/ 15 000, r= 0,35% mensual y
tiempo = 3 años = 3 x 12 meses
M=15 000(1+0.0035)
(3×12)
M=15 000 ∙ 1,134033
M ≈ 17010,5
I = M − C= 17 010,5 – 15 000=2 010,5
Por lo tanto, el interés generado es de S/ 2 010,5.
Del dato tenemos:
C=12 500, r%=36% anual y t = 5 años
Usaremos interés compuesto:
M = C ∙ (1+r%)
t
M = 12 500 ∙ (1+
36
100
)
5
M=58 157,34272 Por lo tanto, el monto es de S/ 58 157,34272.
Por dato:
C=7500, t=2,5 años e I=9750.
Usando regla de interés simple:
I=C ∙ r% ∙ t
9 750=7 500 ∙
r
100
∙
5
2
9 750=
375
2
x r
r=52
La tasa es de 52% anual.
El año tiene 6 bimestres, entonces:
3% bimestral <> 18% anual
Usando regla de interés simple:
I = C ∙ r% ∙
t
360
I =
900 ∙ 18 ∙ (360+30+10)
36000
I = 180
19 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTOL U4 CT.indd 78 5/02/2020 16:28:49

79Aritm?tica
Unidad 4
Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Un capital inicial de S/ 1 000 impuesto durante
un año a una tasa del 24% anual, puede colo-
carse alternativamente con diferentes tiempos
y tasas de tal manera que genere el mismo
interés simple.
Determina el valor de la tasa
correspondiente a cada intervalo de tiempo y
completa la tabla.
Tiempo Tasa Interes
Año 24% 1 000 ∙ 0,24 ∙ 1 = 240
Semestral 1 000 ∙ ∙ =
Cuatrimestral 1 000 ∙ ∙ 3 =
Trimestral ∙ , ∙ = 240
Bimestral ∙ ∙ = 240
Mensual ∙ 0,02 ∙ = 240
Quincenal ∙ ∙ = 240
Diario ∙ 0,00066 ∙ =
6. Un capital impuesto al 1% mensual de interés simple produce anualmente 3 000 soles más de interés que si se impusiera al 10% anual.
De-
termina la suma de cifras del capital.
7. ¿Cuánto dinero tendré en 3 meses si deposito en una financiera la cantidad de S/ 800 000 a un 13% de interés efectivo anual?
Nivel avanzado
8. ¿Qué capital produce un monto de S/ 379 500 en 3 años si la tasa de interés es del 5,5% efec- tiva trimestral?
9. Un capital de S/ 90 000 estuvo invertido du- rante dos semestres. Si la tasa de interés efecti- va es del 4% mensual, ¿cuál fue su monto?

10. Mario compró un televisor en S/ 7 995; dio una cuota inicial de S/ 1 995 y acordó pagar el resto en 4 meses más un cargo adicional de S/ 200. ¿Qué tanto por ciento de tasa de interés sim- ple pagó?
12%
8%
6%
4%
2%
1%
0,066%
Sabemos que I = C ∙ r% ∙ t, por lo tanto:
1% mensual <> 12% anual
⇒ C ∙ 1 ∙ 12% = 3 000 + C ∙ 10% ∙ 1
12%C – 10%C = 3 000
2%C = 3 000
C = 150 000
La suma de cifras del C es:
1 + 5 + 0 + 0 + 0 + 0 = 6
Sea M = S/ 379 500; r% =
5,5
100
y t = 3 años.
Entonces, t = 3 ∙ 4 = 12 trimestres
Usaremos interés compuesto:
M = C ∙ (1 + r%)
t
379 500 = C ∙ (1 +
5,5
100
)
12
C =
379 500
1,055
12

C = 199 609,9862
Sea C = 90 000, r% = 4% mensual
y t = 2 semestres
Entonces, t = 2 x 6 = 12 meses
Usaremos regla de interés compuesto:
M = C ∙ (1 + r%)
t
M = 90 000 ∙ (1 +
4
100
)
12
M = 90 000 ∙ (1,04)
12
M = 144 092,8997
I = 200
C = 7 995 – 1 995 = 6 000
t = 4 meses ∙
1 año
12 meses
=
1
3
año
Interés simple:
I=C ∙ r% ∙ t
200=6 000 ∙
r
100
∙
1
3
200 ∙ 100 ∙ 3
6 000
= r
r = 10
Sea C=S/ 800 000; r%=13% y t=
3
12
año
Usaremos interés compuesto:
M = C ∙ (1 + r%)
t
M = 800 000 ∙ (1 +
13
100
)
3
12
M = 824 820,7878
1 000
0,12
0,08
0.06
0,04 6
4
2
0,0124
1 000 12
1 000
1 000
1 000 360 237.6
240
240
19 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTOL U4 CT.indd 79 5/02/2020 16:28:49

80B?sico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. ¿Cuál es el monto que recibiré en 8 años por
un capital de S/ 500 a una tasa de interés del
18% efectiva anual?
a.
1 879,4296
b. 1 785,1002
c. 1 685,456
d. 8 000,006
2. Calcula el interés simple producido por
un capital de S/ 3 600 impuestos al 5% anual
durante dos años, dos meses y dos días.
a.
390 b. 391 c. 401 d. 371
3. ¿Cuál es la tasa de interés que se ha aplicado
para que un capital de S/ 5 500 impuestos en
tres años y medio haya generado S/ 7 315 de
interés?
a.
36%
b. 42%
c. 30%
d. 38%
4. Un capital impuesto al 2% bimestral de in-
terés simple produce anualmente 2 000 so-
les más de interés que si se impusiera al 10%
anual.
Determina el capital.
a. 100 000
b. 200 000
c. 700 000
d. 800 000
Nivel intermedio
5.
Un capital de S/ 80 000 estuvo invertido du- rante dos semestres. Si la tasa de interés es del 2% efectivo mensual,
calcula el monto.
a. 100 000,1124
b. 100 001,3436
c. 101 459,3436
d. 101 250,3436
6. Juan compró un televisor en S/ 5 450; dio una cuota inicial de S/ 450 y acordó pagar el resto en 6 meses más un cargo adicional de S/ 500. ¿Qué tanto por ciento de tasa de interés sim- ple pagó?
a.
60%
b. 20%
c. 70%
d. 80%
7. ¿Cuánto producirá un capital de S/ 1 000 al
10% trimestral durante un año y medio?, ¿y du-
rante 2 años?
a.
S/ 600 y S/ 800
b. S/ 100 y S/ 800
c. S/ 700 y S/ 600
d. S/ 800 y S/ 700
8. ¿Qué capital produce un monto de S/ 532 400
en 4 años si la tasa es del 1,5% efectiva trimestral?
a. 149 547,7253
b. 419 547,7253
c. 425 646,4624
d. 421 710,6663
Nivel avanzado
9.
El 25% de un capital se coloca en un banco a
una cierta tasa anual y el resto se deposita en
otro banco al 9% anual, produciendo ambas
partes en el mismo tiempo un mismo interés.
Calcula la tasa desconocida.
a. 18% b. 27% c. 15% d. 25%
10. Después de 8 meses, un capital que se im-
puso al 5% mensual produce un monto de
S/ 14 000. Si el interés ganado se vuelve a im-
poner a esa tasa para obtener un monto de
S/ 6 000, ¿durante qué tiempo deberá perma-
necer?
a.
4 meses
b. 7 meses
c. 10 meses
d. 9 meses
11. Un capital estuvo impuesto al 25% durante
cierto tiempo en el cual se obtuvo un mon-
to igual al 180% del interés.
Determina dicho
tiempo.
a. 4 años
b. 2 años
c. 5 años
d. 3 años
12. ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un
capital al 5% de interés anual si el interés pro-
ducido equivale al 60% del valor del capital?
a.
14 años
b. 12 años
c. 15 años
d. 13 años
Nivel destacado
13. El monto de un capital impuesto durante 8
años es S/ 12 400. Si el mismo capital se hubie-
ra impuesto al mismo crédito durante 9 años
y 6 meses, el monto sería S/ 12 772. ¿Cuál es el
capital?
a.
10 216
b. 10 316
c. 10 416
d. 10 016
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
a b d a c b a b b c c b c
Metacognición
••¿Qué aprendí? ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
19 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTOL U4 CT.indd 80 5/02/2020 16:28:49

81Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 4
Básico Intermedio Avanzado
Mezcla y Aleación
Recordamos lo aprendido
Mezcla
• Precio medio (P
m
):
P
m
=
C
1
∙ P
1
+ C
2
∙ P
2
+ ⋯ + C
n – 1
∙ P
n – 1
+ C
n
∙ P
n
C
1
+ C
2
+ ⋯ + C
n – 1
+ C
n
Donde:
C
i
: Cantidad del ingrediente "i"
P
i
: Precio del ingrediente "i"
i = 1; 2; 3; 4; ⋯; n
•
Caso particular: Cuando las cantidades son
iguales.
P
m
=
P
1
+ P
2
+ ⋯ + P
n – 1
+ P
n
n
• G<> rado de alcohol (°):
Grado de
alcohol
=
Volumen de alcohol puro
Volumen total de la mezcla
× 100°
•
Grado de alcohol medio (G
m
):
G
m
=
V
1
∙ G
1
+ V
2
∙ G
2
+ ⋯ + V
n – 1
∙ G
n – 1
+ V
n
∙ G
n
V
1
+ V
2
+ ⋯ + V
n – 1
+ V
n
Aleación •
Ley de aleación:
Ley =
Peso del metal fino
Peso total del metal
0 ≤ Ley ≤ 1
• Liga de la aleación:
Liga =
Peso del metal ordinario
Peso total del metal
0 ≤ Liga ≤ 1
Ley + Liga = 1
• Ley media (L
m
):
L
m
=
L
1
∙ P
1
+ L
2
∙ P
2
+ ⋯ + L
n – 1
∙ P
n – 1
+ L
n
∙ P
n
P
1
+ P
2
+ ⋯ + P
n – 1
+ P
n
Donde: P
1
, P
2
, ..., P
n
son los pesos de los metales.
L
1
, L
2
, ..., L
n
son sus respectivas leyes.
•
Kilate:
Ley =
K
24
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Juan desea comprar un vino de 1 litro en S/ 32
y otro de 2 litros en S/ 64. ¿Cuál es el precio
medio?
2. Cristian compró un vino de 2 litros de 35° de pureza. ¿Cuánta agua debe agregar para obte- ner un vino de 25° de pureza?
3. Luis, para su 25 aniversario, decide regalarle a su esposa una pulsera de oro de 12 kilates. Si esta pesa 15 gramos, ¿cuál es el peso del oro?
Coloquemos los datos obtenidos:
S/ 32 ⇒ 1 litro
S/ 64 ⇒ 2 litros
Usamos la fórmula del precio medio:
P
m
=
32 ∙ 1 + 64 ∙ 2
3
= 53,33
Por lo tanto, el precio medio es S/ 53,33.
Coloquemos los datos obtenidos:
35° ⇒ 2 litros
0° ⇒ x litros
25° ⇒ (x + 2) litros
Entonces:
25 =
35 ∙ 2 + 0 ∙ x
x + 2
⇒ 25(x + 2) = 70°
⇒ 25x + 50 = 70 ⇒ 25 x = 20°
⇒ x =
4
5
Por lo tanto,
Agregó x = 0,8 litros de agua
Usamos la ley de aleación y de kilates:
Ley =
peso de metal fino
peso total
=
n° de kilates
24
Tenemos:
x
15
=
12
24
⇒ x = 7,5
Por lo tanto, el peso del oro es de 7,5
gramos.
20.CT_Mezcla y Aleacion_U4_ARIT.indd 81 5/02/2020 16:28:23

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Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
4. La señora Carmen hace una reunión en su casa
e invita a sus amigas, es por eso que quiso pre-
parar un coctel de 25° de pureza; pero al prepa-
rarlo, obtuvo 20 litros con 35° de pureza. ¿Cuán-
tos litros de agua tiene que agregar para llegar
al grado de pureza deseado?
5. En una discoteca del sur, un bartender tiene un depósito de 56 litros de alcohol de 19° de pu- reza. Su jefe, que conoce el gusto del público, lo probó para darle su apreciación y le dijo al bartender que aumentara la cantidad de alco- hol puro para obtener alcohol de 38° de pure- za. ¿Cuántos litros de alcohol debe aumentar el bartender?
6. Toreto quiere hacer un collar para su esposa, ya que a ella le gustan las joyas. Él tiene 15 gramos de oro puro y 10 gramos de níquel.
Halla cuan-
tos kilates en total tiene el collar.
7. En una mezcla, los ingredientes cuestan S/ 15, S/ 20 y S/ 35 por kilogramo. Si las cantidades que se emplean de los 2 primeros son como 5 a 4 respectivamente y el precio medio es S/ 25,
determina la relación entre la primera cantidad y la tercera cantidad.
Coloquemos los datos obtenidos:
25° → (x + 20) litros
0° → x litros
35° → 20 litros
Entonces, tenemos lo siguiente:
x ∙ 0 + 20 ∙ 35
x + 20
= 25
20 ∙ 35 = 25 ∙ (x + 20)
700 = 25 ∙ x + 500
25 ∙ x = 200
Por lo tanto:
x = 8 litros de agua
Coloquemos los datos:
19° ⇒ 56 litros
100° ⇒ x litros
38° ⇒ (56 + x) litros
Entonces:
38 =
19 ∙ 56 + 100 ∙ x
56 + x
⇒ 2128+38x=1064+100x
1064 = 62x
x = 17,16
Por lo tanto:
El bartender debe aumentar 17,16 litros
de alcohol puro.
Coloquemos los datos dados:
15 gr de oro y 10 gr de níquel suman 25
gr de peso total
Usamos la ley de aleación:
Ley =
15
25
=
k
24
k =
(15)(24)
25
= 14,4
Por lo tanto, el collar tiene 14,4 kilates.
Coloquemos los datos dados:
S/ 15 ⇒ a
S/ 20 ⇒ b
S/ 35 ⇒ c
a
b
=
5
4
⇒ a = 5k ∧ b = 4k
Usemos la propiedad del precio medio:
P
m
=
C
1
∙ P
1
+ C
2
∙ P
2
+ C
3
∙ P
3
C
1
+ C
2
+ C
3
25 =
15 ∙ a + 20 ∙ b + 35 ∙ c
a + b + c
⇒ 25 =
15(5k) + 20(4k) + 35 ∙ c
5k + 4k + c
⇒ 25 =
155k + 35 ∙ c
9k + c
⇒ 225k + 25c = 155k + 35c
⇒ 10c = 70k
⇒ c = 7k
Por lo tanto:
a
c
=
5k
7k
=
5
7
20.CT_Mezcla y Aleacion_U4_ARIT.indd 82 5/02/2020 16:28:24

83Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Unidad 4
B?sico Intermedio Avanzado
Nivel avanzado
8. Se mezclan 40 litros de vino de S/ 15 el litro y
15 litros de otro vino que cuesta S/ 30 el litro;
esta mezcla se vende ganando un 30% sobre
el precio de costo.
Calcula el precio aproxima-
do al cual se le vende al público.
9. Una vasija llena de aceite pesa 1,69 kg, y otra vasi- ja del mismo modelo y tamaño llena de alcohol de 40° de pureza pesa 1,609 kg. Si los contenidos
de aceite y alcohol equivalen a los
9
10
y
21
25
del
peso del contenido de un tazón lleno de agua
respectivamente, ¿cuántos grados de alcohol se obtienen al combinar la vasija de agua y del alcohol?
10. Si se funden 2 metales su precio aumenta un
20%, pero su peso disminuye un 15% si ade-
más estos metales están en una relación de 2
a 3 y, antes de ser fundidos, costaban S/ 20 y
S/ 24 respectivamente.
Calcula el precio de
los 17 kg de dicha aleación.
11. Alex es un vendedor ambulante. Un día mezcló cierta cantidad de vino de S/ 15 el litro con cier- ta cantidad de vino de S/ 10 el litro con agua, vendiendo la mezcla a S/ 12.
Determina la re-
lación de volúmenes de vino si la cantidad de agua que usó Alex es el 25% de la cantidad de vino de S/ 10.
Coloquemos los datos dados:
40 litros ⇒ S/ 15
15 litros ⇒ S/ 30
Usamos la fórmula del precio medio:
P
m
=
40 ∙ 15 + 15 ∙ 30
40 + 15
=
210
11
= 19,09 aprox.
Sabemos: P
V
= P
m
+ G
Entonces:
Ganancia = G = 30% (19,09) = 5,72
Por lo tanto:
P
V
= 19,09 + 5,72 = S/ 24,81 aprox.
Vasija vacía = P
v
Peso del agua = P
A
⇒ P
v
+ P
aceite
= 1 690 g
⇒ P
v
+ P
alcohol
= 1 609 g
P
aceite
=
9
10
P
A
P
alcohol
=
21
25
P
A
⇒ P
v
+
9
10
P
A
= 1 690 g
⇒ P
v
+
21
25
P
A
= 1 609 g
⇒ P
A
= 1 350 g
⇒ P
v
= 475 g
⇒ P
alcohol
= 1 134 g
Grado medio:
G
m
=
1 134 x 40
2 484
G
m
= 18,26°
La relación de los metales antes de ser
fundidos:
a
b
=
2
3
Peso total = 5k
Después de ser fundidos pierden el 15%
del peso total:
85
100
× 5k = 17 ⇒ k = 4
Entonces se tenían metales de:
a = 8kg b = 12kg
Precio antes de ser fundidos:
a = 8 ×20 = S/. 160
b = 12 × 24 = S/. 288
precio total = S/. 448
Precio luego de ser fundidos:
120
100
× 448 = S/. 537,6
Coloquemos los datos dados:
a litros → S/ 15
4n litros → S/ 10
El agua no tiene precio en estos casos.
n litros → S/ 0
P
m
=
15a + 10 ⋅ (4n) + 0 ⋅ n
a + 4n + n
⇒ 12 =
15a + 40n
a + 5n
⇒ 12a + 60n = 15a + 40n
⇒ 3a = 20n
Relación entre los volúmenes de los vinos
de S/ 15 y S/ 10:
a
4n
=
20n
3
4n
=
5
3
20.CT_Mezcla y Aleacion_U4_ARIT.indd 83 5/02/2020 16:28:24

84 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Un comerciante mezcla café de S/ 7,6 el kilo-
gramo con café de S/ 8,8 el kilogramo. Luego,
vende el kilogramo de dicha mezcla obtenien-
do una ganancia del 10% a S/ 9.
Determina la
proporción de mezcla utilizada por dicho co- merciante.
a.

7
5
b.
3
7
c.
2
7
d.
7
4
2.
Jorge desea comprar un vino de S/ 42 de 1 litro
y otro que cuesta S/ 108 de 2 litros. ¿Cuál es el
precio medio?
a.
S/ 150 b. S/ 86 c. S/ 40 d. S/ 100
3. María recibe un presente de su amigo; este le
dio un arete de 15 gramos y 8 kilates. ¿Cuál es el
peso del oro que contiene dicho arete?
a.
5 g b. 6 g c. 7 g d. 8 g
Nivel intermedio
4.
En una fiesta, Juan había combinado el ron con
jugo de naranja, obteniendo una mezcla de 3
litros de 30° de pureza; pero a las mujeres no
les gustaba, pues sentían demasiado alcohol,
así que se agregó más jugo a la mezcla para
así obtener solo 15° de pureza. ¿Cuántos litros
de jugo de naranja agregó? (Considera que el
jugo tiene 0° de alcohol)
a.
15 b. 3 c. 10 d. 5
5. La mezcla de «x» litros de alcohol de 40°;
«3x» litros de alcohol de 55° y 50 litros de agua,
da como resultado un alcohol de 30°. Calcula
«x».
a.
9
11
b.
11
30
c.
300
17
d.
17
15
6.
En una fiesta, Mario combina 35 litros de vino
de la más alta pureza con 55 litros de agua. De-
termina el grado de pureza de la mezcla que hizo Mario.
a.
38,88° b. 37,14° c. 17,24° d. 35,55°
7. Se toman 4 lingotes de oro de leyes 0,75 y 0,8
de los 2 primeros; el tercero es una aleación
de oro con ley 0,1 y el cuarto lingote es de oro
puro. Si los pesos de los 3 primeros son 2,3; 4,49
y 4 kg respectivamente,
halla el peso del cuar-
to lingote para que se cumpla que la ley resul- tante sea 0,6.
a.
2,5 kg b. 3,55 kgc. 5,20 kgd. 2,75 kg
Nivel avanzado
8.
Indica la expresión incorrecta.
I. El precio medio es el precio unitario de la
mezcla sin ganar ni perder.
II. En una mezcla de alcohol al 80%, el 20% de
la mezcla no es de alcohol.
III. Una mezcla alcohólica de 1° significa que el
peso de alcohol puro es de 1 kg.
a. Solo I
b. Solo I y II
c. Solo III
d. Solo II y III
9. Se mezclan dos clases de arroz de dos mane- ras diferentes; primero en la proporción de 1 a 2, vendiendo dicha mezcla y obteniendo un 10% de ganancia; segundo, en la proporción de 2 a 1 y vendiendo esta mezcla con un 15% de ganancia.
Determina la relación de los pre-
cios unitarios de ambos tipos de arroz si en ambos casos el precio de venta es el mismo.
a.

7
8
b.
5
6
c.
3
7
d.
11
8

10.
Se tiene una mezcla alcohólica de 240 litros
donde el volumen de agua representa el 60%
del volumen de alcohol puro. ¿Cuántos litros
de agua se deben agregar para obtener una
mezcla alcohólica de 25°?
a.
380 litros
b. 360 litros
c. 320 litros
d. 350 litros
11. Lucas trabaja en una bodega cuya particu-
laridad es que vende azúcar a un precio úni-
co, pues es la mezcla de 20 kilos de azúcar a
S/ 2,50; 30 kilos a S/ 3,00 y 50 kilos a S/ 3,40.
¿Cuánto ganará Lucas vendiendo los 100 kg si
vende a S/ 3,50 el kilo de azúcar?
a.
40 b. 30 c. 35 d. 45
Nivel destacado
12. Se tiene una medalla donde la relación de oro puro y níquel es como 2 a 3. ¿Qué tanto por ciento del peso de la medalla inicial se debe mezclar con otra medalla, cuya ley sea el do- ble, para obtener una medalla de 50% de pu- reza? El peso de la primera medalla es 5 veces más que la segunda.
a.
25% b. 33,33%c. 50% d. 49,8%
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a b a b c a d c a b a c
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85Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 4
Básico Intermedio Avanzado
Probabilidades
Recordamos lo aprendido
Probabilidades
a. Experimento aleatorio (ε):
Es aquel experimento cuyo resultado no es
predecible en forma absoluta, los posibles re-
sultados de un experimento aleatorio depen-
den del azar.
b.
Espacio muestral (Ω):
Es el conjunto de todos los resultados posibles
de un determinado experimento aleatorio y
se denota por Ω. Cada elemento posible de
un experimento aleatorio es un elemento del
espacio muestral que se le denomina tam-
bién punto muestral.
c.
Evento:
Es cualquier subconjunto del espacio mues-
tral Ω.
Definición matemática de probabilidad
P(A): Probabilidad de ocurrencia del evento A,
esta se define como:
P(A) =
n° de casos favorables para A
n° total de casos posibles
Propiedades de la probabilidad
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1
Probabilidad del evento seguro: P(Ω) = 1
Probabilidad del evento imposible: P(f) = 0
2. P(A
c
) = 1 - P(A)
3. Para eventos cualesquiera A y B:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Si los eventos son mutuamente excluyentes:
P(A ∩ B) = 0, entonces:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
4. Para eventos independientes:
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
Probabilidad condicional
Definiremos esta probabilidad cuando exista
un evento A que ocurre condicionado a que
haya ocurrido previamente otro evento B y lo
denotaremos por P
A
B
.
Se lee: Probabilidad de que ocurra A dado
que ha ocurrido B.
P
A
B
=
n(A ∩ B)
n(B)
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Se lanzan tres dados simultáneamente. Calcu-
la cuántos elementos tiene el espacio muestral.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola de una caja donde hay 3 bolas rojas, 7 bo- las blancas y 6 bolas negras, esta no sea roja?
3. Se lanzó un par de dados, ¿cuál es la probabi- lidad de que no aparezca un resultado par al lanzar ambos dados?
Como cada dado tiene 6 posibilidades de salir un número del 1 a 6, y se lanzan los 3 dados simultáneamente, la cantidad de posibilidades que salga sería:
6 × 6 × 6 = 216
Hallaremos la posibilidad cuando salga una bola roja
Ω = {extraer una bola} ⟹ n(Ω) = 16
A = {extraer una bola roja} ⟹ n(A) = 3
Luego
P(A) =
n(A)
n(Ω)
=
3
16
Piden
1
– P(A) = 1 –
3
16
=
13
16
Usaremos un cuadro
1;11;21;3 1;4 1;5 1;6
2;1 2;2 2;3 2;4 2;5 2;6
3;1 3;2 3;3 3;43;5 3;6
4;1 4;2 4;3 4;4 4;5 4;6
5;1 5;2 5;3 5;4 5;5 5;6
6;1 6;2 6;3 6;4 6;5 6;6
El total de casos es n(Ω) = 36
Casos a favor
A = {número no par de puntos} ⟹ n(A) = 18
P(A) =
18
36
=
1
2
21. CT_Probabilidades_U4_ARIT.indd 85 5/02/2020 16:28:06

86 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Básico Intermedio Avanzado
Nivel intermedio
4. Al realizar el lanzamiento de dos dados, deter-
mina la probabilidad de que la suma de los va-
lores sea 7.
5. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo?
6. Se tiran dos monedas simultáneamente, deter-
mina la probabilidad de que salgan solamente 2 caras.
Nivel avanzado
7. En una caja hay 14 bolas anaranjadas, 6 bolas negras y 8 bolas verdes. Si sacamos dos bolas al azar una tras otra. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean negras?
8. Calcula la probabilidad de que al lanzar 3 da- dos simultáneamente, se obtenga una suma de puntos igual a 18.
9. Se tienen 2 urnas, la primera con 7 bolas blan- cas y 5 verdes, mientras que la segunda tiene 6 blancas y 3 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca.
Usaremos un cuadro
1;11;21;3 1;4 1;5 1;6
2;1 2;2 2;3 2;4 2;5 2;6
3;1 3;2 3;3 3;43;5 3;6
4;1 4;2 4;3 4;4 4;5 4;6
5;1 5;2 5;3 5;4 5;5 5;6
6;1 6;2 6;3 6;4 6;5 6;6
El total de casos es n(Ω) = 36
Casos a favor:
A = {suma par de números sea 7} ⟹ n(A) = 6
∴ P(A) =
6
36
=
1
6
Usaremos un cuadro
1;11;21;3 1;4 1;5 1;6
2;1 2;2 2;3 2;4 2;5 2;6
3;1 3;2 3;3 3;43;5 3;6
4;1 4;2 4;3 4;4 4;5 4;6
5;1 5;2 5;3 5;4 5;5 5;6
6;1 6;2 6;3 6;4 6;5 6;6
El total de casos es n(Ω) = 36
Casos a favor:
A = {primer dado > segundo dado} ⟹ n(A) = 15
∴ P(A) =
15
36
=
5
12
Si extraemos las bolas una tras otra, se
calcula la probabilidad de cada una y se
multiplican los valores.
Entonces
1° Probabilidad de que la primera sea negra:
P =
6
28
2° Probabilidad de que la segunda sea
negra:
Q =
5
27
, pues ya sacamos una bola negra
Finalmente se multiplican los valores
R =
6
28
×
5
27
=
5
126
Todos los casos:
Ω = {CC,CS,SC,SS} ⟹ n(Ω) = 4
Casos a favor:
A = {CC} ⟹ n(A) = 1
∴ P(A) =
1
4
El total de casos en el lanzamiento de tres dados:
# total de casos = 6 × 6 × 6 = 216
Luego, para que los dados sumen 18, solo
hay un caso a favor, que salga 6 en cada
dado
número de casos a favor = 1
Entonces la probabilidad pedida es
1
216
B = {Sacar una bola blanca}
P(B) =
C
7
1
C
12
1 +
C
6
1
C
9
1
C
2
1
=
7
12
+
6
9
2
P(B) =
21 + 24
36
2
=
45
72
=
5
8
21. CT_Probabilidades_U4_ARIT.indd 86 5/02/2020 16:28:06

87Aritm?tica Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Unidad 4
B?sico Intermedio Avanzado
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Se lanzan dos monedas y un dado, ¿cuál es la
probabilidad de que aparezcan dos sellos y un
número impar?
a.

1
8
b.
6
11
c.
7
12
d.
10
11
2.
Si se lanzan al aire dos monedas de diferentes
tamaños, calcula la probabilidad de que salga
por lo menos una cara.
a. 0,65
b. 0,75
c. 0,25
d. 0,15
3. Carlos rinde un examen parcial y la calificación
es de 0 a 20, ¿cuál es la probabilidad de que
tenga una nota par mayor que 14?
a.

1
8
b.
1
7
c.
1
4
d.
1
5
4.
Se extrae una bola de un total de 10, las cuales
están numeradas del 1 al 10, ¿cuál es la proba-
bilidad de que dicha bola sea múltiplo de tres,
si se sabe que también es par?
a.

1
10
b.
1
5
c.
1
4
d.
1
7
Nivel intermedio
5.
Geraldine y Agustin llenan una urna con 12 bo-
lillas rojas, 14 blancas y 6 verdes. Geraldine ex-
trae una bolilla al azar, ¿Cuál es la probabilidad
de que Geraldine extraiga una bolilla verde o
roja?
a.

7
16
b.
4
5
c.
1
2
d.
9
16
6.
Se extrae una carta de una baraja normal. ¿Cuál
es la probabilidad de que la carta extraída sea
una J?
a.

1
13
b.
3
13
c.
2
13
d.
4
13
7.
Una urna contiene: 9 bolillas rojas, 17 blancas
y 6 verdes; si extraemos dos bolillas de la urna
una tras otra, ¿cuál es la probabilidad de que
ambas bolillas sean verdes? (la extracción se da
una tras otra sin reposición)
a.

15
496
b.
13
496
c.
11
496
d.
17
496
Nivel avanzado
8.
Los resultados de una encuesta son los si-
guientes: el 42% prefiere el producto A, el 54%
el producto B, el 18% ambos productos, ¿cuál
es la probabilidad de elegir al azar entre los
encuestados a una persona que no prefiera el
producto A ni el producto B?
a.

11
10
b.
5
9
c.
11
50
d.
7
10
9.
La probabilidad de llegar temprano al colegio
en un día cualquiera es
3
5
. ¿Cuál es la proba-
bilidad de que, en 3 días consecutivos, llegue
temprano los dos primeros días y tarde el ter-
cer día?
a.

16
125
b.
14
125
c.
17
125
d.
18
125
10.
La probabilidad de aprobar Física es 0,35; la
de desaprobar Inglés es 0,18; mientras que la
de aprobar solo uno de estos es 0,64. ¿Cuál es
la probabilidad de aprobar Inglés, si sabemos
que desaprobó Física?
a.
0,65 b. 0,35 c. 0,45 d. 0,50
Nivel destacado
11. De un grupo de 40 personas, 15 no estudian ni
trabajan, 10 estudian y 3 estudian y trabajan. Si
se elige una persona al azar, ¿Cuál es la proba-
bilidad de que estudie, pero no trabaje?
a.

2
15
b.
7
40
c.
7
20
d.
11
30
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a b b a d a a c d a b
21. CT_Probabilidades_U4_ARIT.indd 87 5/02/2020 16:28:06

Tomamos medidas
necesarias para
mejorar nuestro planeta
Unidad I
• Aplica las distintas propiedades de
potenciación y radicación de números reales
para la solución de problemas.
• Clasifica las expresiones algebraicas,
monomios, binomios, trinomios y polinomios.
•
Resuelve operaciones algebraicas entre
monomios y polinomios.
• Reconoce los productos notables más
usuales y los utiliza para la resolución de problemas.
•
Identifica los principales métodos que se usan para dividir polinomios, método de Horner y método de Ruffini.
Unidad II
• Utiliza adecuadamente los cocientes notables
para el desarrollo de problemas algebraicos.
• Emplea los métodos de factorización y los
relaciona con los productos notables.
• Representa gráficamente los números
complejos y usa adecuadamente sus propiedades.
•
Identifica las distintas representaciones de
los números complejos, forma binómica, forma polar y forma trigonométrica.
•
Resuelve ecuaciones de segundo grado,
usando la fórmula general y los métodos de factorización.
Actualmente, nuestro planeta pasa por cambios muy graves debido al uso indiscriminado de los recursos naturales de nuestro medioambiente. Esto ha traído como consecuencia la destrucción de ecosistemas, espacios vitales para los seres vivos que habitan en cada uno; por ello, es necesario co- menzar a tomar medidas para revertir esta problemática. ¿Qué acciones debemos ejercer?
Nuestro deber como ciudadanos es actuar de forma responsable, practicando acciones que contribu-
yan con la protección del planeta en el que vivimos.
Ambiental
Enfoque transversal
Solidaridad planetaria
Naturaleza
Valores
Desempeños
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Unidad III
• Resuelve inecuaciones lineales,
identificando el conjunto solución de las
mismas.
• Usa los métodos para la solución de
inecuaciones cuadráticas.
• Utiliza las propiedades de valor absoluto
para dar la solución de ecuaciones e inecuaciones
•
Emplea las propiedades del logaritmo para
resolver ejercicios de aplicación.
• Reconoce las relaciones que se pueden dar entre los números reales y los representa en el diagrama sagital.
Unidad IV
• Interpreta pas diferencias entre relaciones y
funciones, señalando su dominio y su rango.
• Grafica mediante tabulación las distintas funciones que se presentan.
•
Identifica la gráfica y el comportamiento de
las funciones, monotonía de funciones.
• Conoce las aplicaciones de las funciones en
la vida real.
• Identifica la regla de correspondencia y la
gráfica de las funciones más usuales.
• ¿<> Crees que es importante concientizar a la población acerca del calentamiento global? ¿Por qué?
• Actualmente, ¿crees que la sociedad se preocupa por los problemas ambientales? Explica. ¿Qué
podemos hacer para contribuir con el cuidado del medioambiente?
Observamos y respondemos
Álgebra
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B?sico Intermedio Avanzado UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
1
Educación SecundariaProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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90
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B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 1
Álgebra UNIDADProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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91
Exponentes y radicales
Recordamos lo aprendido
1. Exponentes enteros
Notación: a
n
= a × a × a × ... × a
a
–n
=

a a
1 1
n
n=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O ,

n ∈ ℕ ∧ a ≠ 0
Propiedades
Sea a ∈ ℝ y n, m ∈ ℤ – {0}, se tiene:
•
a
n
× a
m
= a
n+m
•
a
a
m
n
= a
n–m
; a ≠ 0
• (a
n
)
m
= a
n×m
Casos especiales
a
0
= 1, a ≠ 0; 0
n
= 0, n ≠ 0; 0
0
no está
definido
2.
Radicales
aa
n
n
1
=
Si b = a
n
,entonces b
n
= a
Propiedades Sea a ∈ ℝ y n, m ∈ ℤ – {0}, se tiene:
•

,""
||,""
a
animpar
anpar
nn
=
Z
[
\
]
]]
]
]],""
||,""
a
animpar
anpar
nn
=
Z
[
\
]
]]
]
]]
• aa
mn mxn
=
3. Exponentes fraccionarios
an
m
= a
mn
Propiedades
• ()aa
mn n m
=
• an
m
=
a
1
n
m
-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Sea a, b ∈ ℝ y n, m ∈ ℤ – {0}, se tiene:
• b
a
a
b
n n
=
-J
L
K
K
KK
J
L
K
K
K
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
O; a, b ≠ 0
• (<> ab)
n
= a
n
b
n
• ()aa a
nqpm np qmxp
=
+• ab axb
nn n
=
•
b
a
b
a
n
n
n
= ; b ≠ 0
•
b
a
b
a
n
n
n
=
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
; b ≠ 0
• aa a
nn xy
m
p
== ; donde x = ,my n
px
=
4. Radic<> ales sucesivos
•
n p
xxx x
()
a b c
m anbpc
mnp
=
::
++
•
n p
xyz xy z
a b c
m anpb pcmnp
::=
:: :::
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Reduce:
xxxxx
xxxx x
22222
23 45
::::
:: ::
2. Resuelve:
A
3
1
2
1
5
1
4
1
2 4 2 2
=++-
- - - -J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
3. Simplifica:
81163
9274 25
22 3
22 48 2
##
## ##
Aplicamos la propiedad de potencias
fraccionarias:
a
1
n-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O = a
n
Entonces:
A = 9 + 16 + 25 – 16
A = 34
Damos forma en función de 3 y 2:
() ()
() () ()
32 3
33 22 5
42 42 3
22 32 24 82
##
## ##
32 3
33 225
88 3
46 88 2
##
## ##
3
(4 + 6)–(8 + 3)
× 2
(8 + 8 + 8)
× 5
2
3
–1
× 2
8
× 5
2
3
25
82
#
Aplicamos la propiedad, producto de
potencias:
x
x
()
()
22222
12345
++++
++++
=
x
x
10
15
Aplicamos la propiedad, cocientes de potencias:
= x
15–10
= x
5
1. CT_Exponentes y radicales_U1_algebra.indd 91 5/02/2020 14:57:03

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 92
Nivel intermedio
4. Determina el valor de A:
A = 36
25
36
2
4
1
2
1
+
-
-
-
-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
5. Simplifica.
A
22 2
22 2
xx x
xx x
32 1
32 1
=
++
++
-- -
++ +
6. Calcula el valor de E:
E
44
44 4
5
7
nn
nn n
1
12 1
=
+
++
+
++ -
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
7. Halla el valor de M:
M
6
12 18
3 4
4
=
J
L
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
8. Efectúa:
A
xX x
xx x
543324
1553 33 3
::
::
=
9. Calcula el valor de N:
N
23 20
29 30
16 20 16
40 21 6
##
##
=
Aplicamos la propiedad de potencias
negativas:
A36
25
36 2
1
4
1
2
1
=+
-
-
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
O
O
A
36
1
25
36
2
1
=+
-J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
A
6
1
36
25
2
1
=+
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
A
6
1
36
25
6
1
6
5
=+ =+
A = 1
Damos la forma a base 5
x
:
()
()
A
22 22
22 22
x
x
321
32
=
++
++
-- -
()
()
A
22 2
22 2
321
32
=
++
++
-- -
A
8
1
4
1
2
1
84 2
=
++
++
A = 16
Damos la forma a base 4
n
.
()
()
E
414
44 41
7
5
n
n1 2
#=
+
++
()
()
E
14
44 1
7
5
12
#=
+
++
E
5
21
7
5
3#==
M
6
26 18
43 43 44
4
=
J
L
K
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
O
OO
M
6
26 18
4
43 43 44
##
=
M
6
26 18
2
4
3
4
3
4
4
4
##
=
M2 61 83
4
3
4
2
##=
-
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
M2 66 3 3
4
3
2 #=
-
()M2 63 22 333
4
3
2
1
3
4
3
1
## ## #==
-+
M2 33
5
3
4
#=
Aplicando la propiedad de radical por
radical:
A
xx x
xx x
512 32 28
1515 33 6
::
::
=
A
xx x
xxx
12
5
2
3
4
1
6
1
::
::
=
Ax
11
6
1
12
5
2
3
4
1
=
++-++
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
O
O
A = x
0
= 1
Simplificamos la expresión:
()
() ()
N
23 25
23 23 5
16 20 21 6
40 22 16
##
## ##
=
N
23 25
23 23 5
16 20 32 16
40 41 61 61 6
## #
## ##
=
N2 3
() () ()40 16 16 32 41620
#=
+- ++ -
N = 2
8
= 256
1. CT_Exponentes y radicales_U1_algebra.indd 92 5/02/2020 14:57:06

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 93
Nivel avanzado
10. Simplifica:
zxy
xxy
625
16
89 3
3
4
--
11. Reduce la siguiente expresión:
()
M
a
aa
346 24
6
3
#
=
12. Efectúa la siguiente expresión:
ab c
ab c
// /
// /
143423
12 13 14
4
3
-
-
J
L
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
OO
13. Resuelve
b
a
a
a
b23
3
-
Recordamos la teoría de exponentes:
(a
m
)
n
= a
mn
Reemplazamos en la expresión interna:
M
a
aa
126 84
6
#
=
& M
a
aa
22
6
:
=
Recordemos:
a
a
n
m
= a
m–n
∧

a
m
∙a
n
= a
m+n
Continuando con la expresión:
M
a
a
a
a
22
6
4
6
==
+
M
=
a
3
6
()Ma
3
2
6
=
M = a
9
Empezamos reduciendo lo de adentro:
ab c2
1
4
1
3
1
4
3
4
1
3
2
3
4
::
-- -- -a
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
k
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
=
ab c4
3
12
5
12
11
4
3::
- -
ak
Luego se aplica las propiedades:
=
ab c2
3
12
5
12
113
4
::
-
-
ak
= ab c2
3
3
4
12
5
3
4
12
11
3
4::
-
-
Reduciendo:
= ab c
2
9
5
9
11::
-
-
Recordemos las raíces sucesivas:
xy zx yz
rs qpnm
rnpspqmnp
:: ::=
Aplicando la fórmula:
()
b
a
a
a
b
xx
xxx
132
22
3
232
::
-
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
=
b
a
a
a
b
6
4
3
12
:
-J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
b
a
a
a
b12
6
12
4
12
1
12
3
:=
-J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
=
b
a
a
a
b
b
a
aa
b12
1
3
1
12
1
4
1
2
1
2
1
3
1
12
1
4
1
:: :=
-J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
= ab2
1
3
1
12
1
4
1
2
1
:
-+ -
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
ab12
1
4
1:=
-
b
a
4
12
`
Aplicamos la propiedad, cociente de
potencias:
xz y
625
16
() ()39 81 3
4
-- -- -
=
xzy
625
16
1284
4
-
Aplicamos el radical a todo lo que afecta dentro:
=
xz y
5
24
12
4
8
4
4-
=
xzy
5
2
32-
1. CT_Exponentes y radicales_U1_algebra.indd 93 5/02/2020 14:57:08

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 94
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Halla a
2b
si:
a91 1
b
+=
a. 2 b. 16 c. 8 d. 2
2. Indica el resultado de operar:
() () ()()22 22
22 22
15 22 78
18 13 91 3
## ### #
-- --
a. –4 b. 4 c. –2 d. 2
3. Halla el valor de M:
M
25
1
6
7
7
11
5
5
24
2 2
1
3
=
- +-
-
-J
L
K
K
K
K
KK
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
OOR
T
S
S
S
S
S
S
SS
V
X
W
W
W
W
W
W
WW
a.
5
4
b.
5
2
c.
8
7
d.
6
5
Nivel intermedio
4. Resuelve:
.ab ab abaaba b32 2025 4
4
13
+- --
a. ba
b. aab
c. bab
d. ab
5. Si se sabe que 2
x+4
= 32, determina el valor
de A:
f(x) =
x
x
2
7
+
-
a. 2 b. 1 c. 4 d. 8
6. Efectúa:
3
2
2
16
1
25
1
mm
n
m
mn
n
m
2
4
1
2
1
-
+
-
-
-
J
L
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
a. 0
b. 2
m
c. 1
d. m + n
7. Simplifica la siguiente expresión:
4
16
2
nn
m
m
284
4
6
++
+J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
a. 2 b. 4 c. 2
m
d. 2
m–n
Nivel avanzado
8. Determina el valor de:
Ma aa5645 27 6
26 3 39
=- +
a. a
3
b. a
6
c. a
d. a
43
9. Resuelve:
baca bc bac16
36 424 936
+-
a. ac
3
b. ac2
3
c. bac
3
d. 2bac
3
10. Efectúa:
ab
ab
m
m1-
a. b
m
b. a
m
c. ab
m1+
d. ab
m
11. Reduce la siguiente expresión:
a
ab
b
a
a
ab
1
4
3
4
1
21
2
+-
-
a. b
a
b.
ab
4
2
c.
a
b
d.
a
b
12. Si se sabe que: x
20
= 2
5
, determina el valor
de la siguiente expresión:
Px
x
20
=
a. 22
b. 2
22
c. 2
2
d. 22
1
Nivel destacado
13. Si x
x
x
=2, calcula el valor de S:
S
x
x
x
x
2
2
xxx
x
=
+
a. 1 b. 3 c. 2 d. 4
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
b d b b a c a a d d c d d
1. CT_Exponentes y radicales_U1_algebra.indd 94 5/02/2020 14:57:12

95Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Polinomios
Recordamos lo aprendido
1. Polinomios
P(x) = a
n

x
n
+ a
n–1

x
n–1
+ a
n–2
x
n–2
+ ... + a
1
x
1
+ a
0
Siendo:
• a
n
; a
n–1
; ...; a
1
; a
0
los coeficientes.
• n un número natural
• x la variable o indeterminada
• a
n
el coeficiente principal
• a
0
el término independiente
Tipos de polinomios •
Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coefi-
cientes nulos.
P(x) = 0
• Polinomio completo
Un polinomio está completo si tiene to- dos los términos, desde el término inde- pendiente hasta el término de mayor gra- do. Para que sea un polinomio completo, no importa el orden.
P(x) = 3x
2
+ 4x
3
– 7x + 5
•
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los mo- nomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
2.
Operaciones con polinomios
a. Suma de polinomios
ax
n
+ (bx
n
+ cx
m
) = (a + b)x
n
+ cx
m
b.
Producto de un número por un
polinomio.
5(2a
2
b
4
+ c) = 10a
2
b
4
+ 5c
c.
Producto de polinomios
x(ax
n
+ bx
m
) = ax
n+1
+ bx
m+1
d.
Conciente de polinomios
;
bx
axcx
b
a
x
b
c
xb 0
m
np
nm pm
!
-
=-
--
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
e. V<> alor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el
resultado que obtenemos al sustituir la
variable por un número cualquiera.
P(x) = 5x – 3; x = 1
P(1) = 5(1) – 3 = 2
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Resuelve:
P(x) = 4x – 2x(x – 3) + 3(1 – 3x)
2. Reduce:
Q(x) = –2x – 2(2x – 3) – 3x(x + 3)
3. Reduce:
M(x) = –20x + 2x
2
x
x4
2 3
2
-
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
+ 3x(x + 3 + x
2
)
Aplicaremos suma de monomios y pro-
ducto; siempre se debe empezar con el
producto.
–2x – 2(2x – 3) – 3x(x + 3)
–2x – 4x + 6 – 3x
2
– 9x
Q(x) = –3x
2
– 15x + 6
Aplicaremos suma de monomios y productos; siempre se debe de empezar con el producto.
M(x) =–20x + 2x
2
x
x4
2 3
2
-
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
+ 3x(x + 3 + x
2
)
M(x) = –20x +
xx
x
x
4
22 23
2
2
2
: :
- + 3x
2
+ 9x + 3x
3
M(x) = –20x + x
3
– 6 + 3x
2
+ 9x + 3x
3
M(x) = 4x
3
+ 3x
2
– 11x – 6
Aplicaremos suma de monomios y
producto; siempre se debe empezar con el
producto.
4x – 2x(x – 3) + 3(1 – 3x)
4x – 2x ∙ x – 2x(–3) + 3(1) – 3(3x)
4x – 2x
2
+ 6x + 3 – 9x
P(x) = (4x + 6x – 9x) – 2x
2
+ 3
P(X)= –2x
2
+ x + 3
2. CT_Polinomios.indd 95 5/02/2020 14:58:41

96Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
4. Calcula P(10) – P(5); si:
P(x) = 3x + 5
5. Calcula
()
()
P
P
4
7
; si:
P(x) = 4x + 20
Nivel intermedio
6. Resuelve:
Q(x) = (4x
2
+ 7x
3
)(2x
3
+ 2x + 4x
2
)
7. Si se tiene que:
()Px
x
x
1
1
=
+
-
Calcula: P(64) + P(81)
8. Reduce:
(x
2
)
x
x
x
x
3
7
7
3
21
2
3
3
--
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
9. Si se tiene que R(x) = 6
x
x
2
1+
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
Halla el valor de R(R(3)).
• x = 10:
P(10) = 3(10) + 5 & P(10) = 35
• x = 5
P(5) = 3(5) + 5 & P(5) = 20
Piden:
P(10) + P(5) = 35 + 20 = 55
Aplicamos la propiedad distributiva:
(4x
2
+ 7x
3
)(2x
3
+ 2x + 4x
2
)
Q(x) = 4x
2
∙ 2x
3
+4x
2
∙ 2x + 4x
2
∙ 4x
2
+ 7x
3
∙ 2x
3
+ 7x
3
2x + 7x
3
∙ 4x
2
Q(x) = 8x
5
+ 8x
3
+ 16x
4
+ 14x
6
+ 14x
4
+ 28x
5
Q(x) = 14x
6
+ 36x
5
+ 30x
4
+ 8x
3
Primero resolvemos P(64):
P(64) =
164
641
+
-
⇒ P(64) = 7
Ahora P(81):
P(81) =
181
811
+
-
⇒ P(81) = 8
Nos piden :
P(64) + P(81) = 7 + 8 = 15
Primero hallaremos:
R(3) = 6
()23
31+
J
L
K
K
K
KK N
P
O
O
O
OO
= 2
Luego hallaremos el valor de:
R(2) = 6
()22
21+
J
L
K
K
K
KK N
P
O
O
O
OO
=
2
33
Piden: R(R(3)) =
2
33
Tomamos el producto de los dos primeros
términos:
(x
2
)
x
x
x
x
3
7
7
3
21
2
3
3
--
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
Luego, tenemos:
x
x
x
x
3
7
7
3
21
4
5
3
--
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
OO
() () () ()
x x x
xx
x
xx
3
7
7
3
3
7
21
7
3
21
4 3 4
5
3
5
:: +- +- +- -
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
x
7
– 49x
5
–
x
7
3
8
+ 21x
6
Se reemplazan 7 y 4 por «x» en el polinomio
dado.
P(7) = 4x + 20
P(7) = 4(7) + 20
P(7) = 48
Por otro lado :
P(4) = 4x + 20
P(4) = 4(4) + 20
P(4) = 36
Por lo tanto:
()
()
P
P
4
7
36
48
3
4
==
2. CT_Polinomios.indd 96 5/02/2020 14:58:43

97Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
10. La siguiente expresión se puede reducir a un
monomio. Calcula el coeficiente de dicho mo-
nomio:
P(x, y) = (b
2
+ 2)x
n+2
∙ y
4
+ (a
2
+ 1)x
n–b
∙ y
a–b
11. Reduce:
(x + 6)(x – 6) – (x – 6)
2
12. Efectúa:
18 + (4x
3
– 2x
2
+ x)(5x
–1
+ x) –4x
13. Reduce:
Si P(x) = x – 2
G(x) = x + 3
Halla: E = P[G[P(– 1)]] + G[P[G(2)]]
14. Resuelve: Si P(x) = x + 2 y Q(x) = x – 1
Halla:
() ()
(())()
M
PP
QP Q
73
56
=
-
+
15. Si P(x) = 2x
99
– 64x
94
+ x + 12
Calcula: E = P(2) – P(–1) + P(1)
18 + (4x
3
– 2x
2
+ x)(5x
–1
+ x) – 4x
& 18 + 4x
3
∙ 5x
–1
+ 4x
3
∙ x + (–2x
2
)5x
– 1
+ (–2x
2
). x
+ x(5x
–1
) + x ∙ x – 4x
& 18 + 20x
2
+ 4x
4
– 10x – 2x
3
+ 5 + x
2
– 4x
& 4x
4
– 2x
3
+ 21x
2
– 14x + 23
Resuelvo paso a paso:
()()
()
()
P
G
P
11 23
33 30
02
-= -- =-
-=-+ =
=-
_
`
a
b
b
b
bb
b
b
b
bb
P[G[P(–1)]]
()
()
()
G
P
G
22 35
55 23
33 36
=+ =
=- =
=+=
_
`
a
b
b
b
bb
b
b
b
bb
G[P[G(2)]]
⇒ E = P[G[P(–1)]] + G[P[G(2)]]
E = –2 + 6 ⇒ E = 4
Reemplazamos lo que piden calcular:
P(2) = 2(2)
99
– 64(2)
94
+ 2 + 12
P(2) = 2
100
– 2
6
× 2
94
+ 14
P(2) = 2
100
– 2
100
+ 14 = 14
P(–1) = 2(–1)
99
– 64(–1)
94
+ (–1) + 12
P(–1) = –2 – 64 – 1 + 12
P(–1) = –55
P(1) = 2(1)
99
– 64(1)
94
+ 1 + 12
P(1) = 2 – 64 + 1 + 12 = –49
∴ E = P(2) – P(–1) + P(1)
E = 14 – (–55) – 49 = 20
Primero hallaremos los valores de:
P(5) = 5 + 2 = 7
⇒ Q(7) = 7 – 1 = 6
Además: Q(6) = 6 – 1 = 5 P(7) = 7 + 2 = 9 P(3) = 3 + 2 = 5 Luego reemplazamos los valores en M:
M
95
65
4
11
=
-
+
=
Recordamos la diferencia de cuadrados y
el binomio al cuadrado:
(a – b)(a + b) = a
2
– b
2
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
Así tenemos:
x
2
– 6
2
– (x
2
– 12x + 36)
x
2
– 6
2
– x
2
+ 12x – 36
12x – 72
Como se puede reducir, son monomios
semejantes, entonces:
x
n+2
∙ y
4
= x
n–b
∙ y
a–b
⇒ n + 2 = n – b
b = –2
También:
4 = a – b
4 = a – (–2)
a = 2
Hallamos los coeficientes:
(b
2
+ 2) = (–2)
2
+ 2 = 6
(a
2
+ 1) = (2)
2
+ 1 = 5
Como ambos coeficientes se suman,
tendremos: 6 + 5 = 11
2. CT_Polinomios.indd 97 5/02/2020 14:58:43

98Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si P(x) = 12x – 140
Halla P(12)
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
2. Si Q(x) = (2x – 3) =
x
13
47+
Calcula Q(13) a.
2 b. 3 c. 1 d. 5
3. Resuelve:
P(x) = ()
x
x
2
3
6
1
33
+
--
a. 5 b. 4 c. 2 d. 1
4. Efectúa:
()Qx
xx
x
x1
2
1
3 2
=
-
+
-
-
a.
xx
x32
2
2
-
+
b.
xx
x32
2
2
-
-
c.
xx
x32
2
2
+
+
d.
x
x32
2
2
+
Nivel intermedio
5. Reduce:
M(x) = (5x – 1)
2
– (5x + 1)(5x – 1)
a.
5x + 6
b. 4x + 3
c. –10x + 2
d. x – 3
6. Si P(–1), halla el grado del polinomio es 24,
P(x) = (x
a
+ 1)(x
a
+ 2)(x
a
+ 4)
a.
20 b. 25 c. 40 d. 30
7. Si F(x) =
;.
;.
xs ixes par
xs ixes impar
215
4
«»
«»
2
-
+
Z
[
\
]
]]
]
]]
Calcula: F(F(8))
a. 1 b. 2 c. 4 d. 5
8. Si P(x) = 3x
99
– 243x
95
+ x + 12
Halla E = P(3) + P(–1) + P(1) a.
40 b. 39 c. 41 d. 52
Nivel avanzado
9.
Resuelve:
T(x) = ()x
xx
4
3
2
2
1
232
1
++ -+
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
a.
x
64
5
-
b.
x
6
5
4
1
-
c.
x
6
5
2
5
-
d.
x
6
5
4
7
+
10. Reduce:
() () ()Qx
x
xx
2
3
3
1
1
6
1
23=
+
+- --
a.
x
43
5
-
b.
x
23
5
-
c.
x
23
5
+
d.
x
23
8
-
11. Si F(x) = 4x+ 7 y F(G(x)) = 8x + 19
Calcula: G(F(3))
a. 43
b. 41
c. 49
d. 45
12. Halla: P(7)∙Q(7)∙R(7) si:
P(x) = x + 3
Q(x) = x
2
+ 4x + 3
R(x) =
()()xx31
2
++
a. 10
b. 20
c. 21
d. 14
Nivel destacado
13. Halla P(10) si se rige bajo la siguiente ley:
()Px
xx xx xx
1
32
1
56
1
22 2=
+
+
++
+
++
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
a.
21
10
b.
14
13
c.
130
3
d.
30
11
-
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
d b c a c d d b d c b b c
2. CT_Polinomios.indd 98 5/02/2020 14:58:45

99Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Productos notables
Recordamos lo aprendido
1. Multiplicación algebraica
(x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab
Polinomios multiplicados Producto2. Binomio al cuadrado
a. Suma
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
b.
Diferencia
(a – b)
2
= a
2
– 2ab + b
2
3.
Multiplicación de binomios con término
común
a. Suma
(x + a)(x + b) = x
2
+ (a + b)x + ab
b.
Diferencia
(x – a)(x – b) = x
2
– (a + b)x + ab
4.
Binomio al cubo a.
Suma al cubo
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
b.
Dif<> erencia al cubo
(a – b)
3
= a
3
– 3a
2
b + 3ab
2
– b
3
5.
Suma y diferencia de cubos
(a + b)(a
2
– ab + b
2
) = a
3
+ b
3
(a – b)(a
2
+ ab + b
2
) = a
3
– b
3
6.
Identidades adicionales a.
Identidad de Legendre
(a + b)
2
+ (a – b)
2
= 2(a
2
+ b
2
)
(a + b)
2
– (a – b)
2
= 4ab
b.
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc)
c.
Identidad de Cauchy
(a ± b)
3
= a
3
± b
3
± 3ab(a ± b)
d.
Identidad de Lagrange
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
+ (ay – bx)
2
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Desarrolla el siguiente binomio al cubo: (4x – 6)
3
2. Determina el valor de E, donde:
E = (x – 1)(x + 2) + (x – 3)(x + 6) –2(x + 1)
2
3. Simplifica la siguiente expresión:
()()
A
xy
xy xy
22
22
44
=
+
+- -
E = (x – 1)(x + 2) + (x – 3)(x + 6) – 2(x + 1)
2
Resolviendo
(x – 1)(x + 2) = x
2
+ x – 2
(x – 3)(x + 6) = x
2
+ 3x – 18
2(x + 1)
2
= 2(x
2
+ 2x + 1)
Reemplazando
E = x
2
+ x – 2 + x
2
+ 3x – 18 – 2(x
2
+ 2x + 1)
E = 2x
2
+ 4x – 20 – 2x
2
– 4x – 2
E = –22
Por diferencia de cuadrados tenemos
(()( ))(()( ))
A
xy
xy xy xy xy
22
22
2222
=
+
++ -+ --
Por la identidad de Legendre
() ()
A
xy
xy xy
22
24
22
22
=
+
+
Luego
()
A
xy
xyxy
22
42 2
22
22
=
+
+
Por lo tanto
()()
A
xy
xy xy
xy
22
4
22
44
=
+
+- -
=
(4x – 6)
3
= (4x – 6)(4x – 6)(4x – 6)
(4x – 6)
3
= (16x
2
– 24x – 24x + 36)(4x – 6)
(4x – 6)
3
= (16x
2
– 48x + 36)(4x – 6)
64x
3
– 192x
2
+ 144x – 96x
2
+ 288x – 216
(4x – 6)
3
= 64x
3
– 288x
2
+ 432x – 216
Utilizando el binomio al cubo
(4x – 6)
3
= (4x)
3
– 3(4x)
2
6 + 3(4x) 6
2
– 6
3
(4x – 6)
3
= 64x
3
– 288x
2
+ 432x – 216
3. CT_Productos notables.indd 99 5/02/2020 15:00:29

100Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Si x
2
+ y
2
= 36 ∧ xy = 18, calcula el valor de M
donde M=
()xy
2
2
+
5. Reduce la siguiente expresión
(x + 2)
2
+ (x + 4)
2
– 2(x + 3)
2
6. Si x
2
+ y
2
= 10xy, x ≠ –y, calcula el valor de
()
()
P
xy
xy
2
2
=
+
-
7. Si a + b + c = 20 ∧ a
2
+ b
2
+ c
2
= 144, halla el
valor de ab + ac + bc.
8. Simplifica la siguiente expresión:
E x
x
x
x
1
4
1
6
2
2
= + - ++
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
K
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
O; x > 0
Por propiedad de binomio al cuadrado:
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
Reemplazando en la ecuación inicial:
() ()xy xx yy xy xy
22
2
2
2
22 22 2
+
=
++
=
++
Por datos del problema: x
2
+ y
2
= 36
⇒
()
M
2
36218
36
xy xy
2
2
22
==
+
=
++
Por lo tanto: M = 36
Aplicamos trinomio al cuadrado:
(a + b + c)
2
= (a
2
+ b
2
+ c
2
) + 2ab + 2ac + 2bc
Por dato tenemos:
a + b + c = 20 ∧ a
2
+ b
2
+ c
2
= 144
Reemplazamos:
(20)
2
= 144 + 2ab + 2ac + 2bc
400 – 144 = 2(ab + ac + bc)
2
256
= (ab + ac + bc)
Por lo tanto:
(ab + ac + bc) = 128
Resolvemos cada producto notable
(x + 2)
2
= x
2
+ 4x + 4
(x + 4)
2
= x
2
+ 8x + 16
(x + 3)
2
= x
2
+ 6x + 9
Reemplazando en la ecuación inicial
x
2
+ 4x + 4 + x
2
+ 8x + 16 – 2(x
2
+ 6x + 9)
2x
2
+ 12x + 20 – 2x
2
– 12x – 18
(x + 2)
2
+ (x + 4)
2
– 2(x + 3)
2
= 2
Resolviendo y por dato del problema, tenemos:
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
= 10xy + 2xy
(x + y)
2
= 12xy
(x – y)
2
= x
2
– 2xy + y
2
= 10xy – 2xy
(x – y)
2
= 8xy
Reemplazando valores:
()
()
M
xy
xy
xy
xy
12
8
3
2
2
2
=
+
-
==
Por lo tanto:
M =
3
2
E x
x
x
x
1
4
1
6
2
2
= + - ++
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
K
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
O
E =
x
x
x
x1
4
1
6
2
4
2
+
-
+
+
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
OO
E
x
xx xx14 46
2
43 2
=
+- -+
Ordenamos de la siguiente manera:
E
x
xxxx46 41
2
43 2
=
-+
-+
Por lo tanto:
()
x
xxxx
x
x46 41 1
2
43 2
2
4
-+ -+
=
-
Entonces:
()
E x
x
x
x x
x1
4
1
6
1
2
2
2
= + - ++=
-
J
L
K
K
KK
J
L
K
K
K
N
P
O
O
OO
N
P
O
O
O
3. CT_Productos notables.indd 100 5/02/2020 15:00:31

101Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
9. Calcula el valor de A + B si sabemos que:
() () ()Ax xx71 04
2
=+ -+ +
() ()()Bx xx58 2
2
=- -- -
10. Halla el valor de M, si se sabe que a – b = c
[()] [()]
M
ab ab
ab cb cb
22
22 33
=
++
+- +-
11. Si x + y + z = 0, calcula el valor de:
() () ()xy yz xz
xyyzxz
22 2
++ ++ +
++
12. Si:
b
a
a
b
+= 4, calcula el valor de:
()
R
ab
ab ab
16
4
22
42 2
=
-+
Agrupamos correctamente los términos, ya
que:
a – b = c & a = b + c
[()( )][]
M
ab ab
ab ab ab
22
22 33
=
++
+- --
Por identidad de legendre:
(a + b)
2
– (a – b)
2
= 4ab
Por diferencia de cubos sabemos que:
(a – b)(a
2
+ ab + b
2
) = a
3
– b
3

&
[( )( )]
()
ab ab
abaabb ab
abab
4
4
22
22
++
++ -
=-
Por dato del problema a – b = c
& M = 4abc
Como x + y + z = 0
& x + y = –z ; x + z = –y ∧ y + z = –x
x
2
+ y
2
+ z
2
= –2(xy + xz + yz)
Reemplazando:
() () ()zxy
xyyzxz
22 2
-+ -+ -
++
=
() /()
zxy
xy z2
22 2
22 2
++
++ -
=
2
1
-
Resolviendo (a – b)
4

(a – b)
4
= [(a – b)(a – b)][(a – b)(a – b)]
(a – b)
4
= a
4
– 4a
3
b + 6a
2
b
2
– 4ab
3
+ b
4

Reemplazando en la ecuación inicial
()
R
ab
ab ab
16
4
22
42 2
=
-+
R
ab
aa ba ba bb
16
41 04
22
43 22 34
=
-+ -+

Del dato:
b
a
a
b
4+=
a
2
+ b
2
= 4ab
Elevando a ambos miembros al cuadrado
a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
= 16a
2
b
2

Dando forma a la ecuación:
R
ab
aa bb ab ab ab
16
24 84
22
42 24 32 23
=
++ -+ -
() ()
R
ab
aa bb abaa bb
16
24 2
22
42 24 22
=
++ -- +
Reemplazando tendríamos:
()
R
ab
ab abaa bb
16
16 42
22
22 22
=
-- +
De la igualdad propuesta podemos obtener
también:
a
2
– 2ab + b
2
= 4ab – 2ab = 2ab
Reemplazando
()
R
ab
ab ab ab
ab
ab ab
16
16 42
16
16 8
22
22
22
22 22
=
-
=
-
R
ab
ab
16
8
2
1
22
22
==
Resolvemos cada producto notable
(x + 7)
2
= x
2
+ 14x + 49
(x + 10)(x + 4) = x
2
+ 14x + 40
(x – 5)
2
= x
2
– 10x + 25
(x – 8)(x – 2) = x
2
– 10x + 16
Hallamos el valor de A:
()Ax xx x14 49 14 40
22
=+ +- ++
Ax xx x14 49 14 40
22
=+ +- --
A4 9409 3= -==
& A = 3
Hallamos el valor de B:
()Bx xx x1025 10 16
22
=- +- -+
Bx xx x1025 10 16
22
=- +- +-
B2 5169 3=- ==
& B = 3
Nos piden hallar: A + B = 3 + 3 = 6
& A + B = 6
3. CT_Productos notables.indd 101 5/02/2020 15:00:33

102Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Simplifica:
R = (x + a)(x – a)(x
2
+ a
2
)(x
4
+ a
4
) + a
8

a.
x
4
b. x
8
c. x
5
d. x
16
2. Halle el valor de R:
R 35 35
2
= +- -
ak
a. 1
b. 2
c. 35
d. 25
3. Halla el valor de M, si x = 2 e y = 3
M xy xy
2
= ++ -ak
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
4. Si x +
x
1
= 4, calcula el valor de x
3
+
x
1
3
a. 26 b. 25 c. 52 d. 68
Nivel intermedio
5.
Simplifica la siguiene expresión:
E
x
x
1
2
1
2
4
2
=+
-
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
a.
x
xx
2
21
2
42
+-
b.
x
x
2
1
2
4
+
c.
x
2
1
2
+
d.
x
x22
1
2
+
6. Simplifica la siguiente expresión:
E=(a + 3b + c)
2
+(a + 2b + c)
2
–2(a + b + c)(a + 4b + c)
a.
3a
2
b. 4b
2
c. 5b
2
d. 6abc
7. Si tenemos que a < b y además, a + b = 9 y
ab = 20. Calcula el valor de a – b
a. –2 b. –1 c. 0 d. 1
8. Si: a
2
+ b
2
= 4ab, a ≠ b, reduce la expresión:
()
() ()
P
ab
ab ab
2
22
=
-
++ -
a. –2ab
b. –ab
c. 0
d. 4
9. Si: a =
b
1
, calcula el valor de:
Pa
ba
b
b
ab
a1 1
3
4
3
4
=
+
+
+
+
+
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
a. 3
b. 2
c. 0
d. –3
Nivel avanzado
10.
Si a + b + c= 0, calcula el valor:
() () ()
R
ab c
ab bc ca
22 2
22 2
=
++
++ ++ +
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
11. Si
b
a
a
b
+= 62, indica el valor de P, si P > 0
P
ab
ab
31
=
+
J
L
K
K
K
KK
N
P
O
O
O
OO
a. 3
b.
ab
2
c.
ab
2
+
d. 2
12. Calcula el valor de R, donde:
R =
6
57 25 35 49
33 33 3
+- +`` jj
a. 3
b. 4
c. 5
d. 2
13. Sea
nm mn
11 8
-=
-
, entonces determina el
valor de j =
mn
mn
22
+
.
a. 10 b. 11 c. 12 d. 13
14. Calcula el valor de A + B si sabemos que :
() ()()Ax xx52 8
2
=+ -+ +
() ()()Bx xx63 9
2
=+ -+ +
a. 7 b. 6 c. 5 d. 4
Nivel destacado
15. Simplifica
()
[()( )][()( )]
R
ab
ab ab ab ab
22 2
22 22 22
=
-
+- -- -+ +
a. 2 b. 4 c. 8 d. –4
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
b b d c b c b d b b d d a
b d
3. CT_Productos notables.indd 102 5/02/2020 15:00:35

103Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
División algebraica
Recordamos lo aprendido
Elementos de una división algebraica
D(x) d(x)
R(x) q(x)
D(x) = d(x) ∙ q(x) + R(x )
• D(x): Dividendo • d(x): Divisor
• q(x): Cociente • R(x): Resto o Residuo
Propiedades
• [q]° = [D]° – [d]°
• max[R]°= [d]° – 1
• G.A.(R) = G.A.(D)
Método general
ax
n
+ bx
n
–
1
+ ... + zx
n – n

ax
n
Ax
m
+ Bx
m–1
...Zx
m–m
ax
i
+ βx
i–1
... wx
i–1
R
Donde: Ax
m
∙ ax
i
= ax
n
Método de Horner
b
0
a
0
a
1
a
2
a
3
a
4
–b
1
–b
2
q
0
q
1
q
2
r
0
r
1
Coeficientes
de q(x)
Coeficientes de
r(x)
Método de Ruffini
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
a
b
-
Q
0
Q
1
Q
2
Q
3
Resto
Coeficientes del cociente
Teorema del resto
()
axb
px
+
= p
a
b
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Resuelve e indica la suma del cociente y divisor
utilizando el método general.
x
xx x
7
14 21 28
8
20 16 10
++
2. Calcula el residuo de la división aplicando el
teorema del resto.
x
xx x
3
57 2
32
+
-+ -
Aplicamos el teorema del resto:
Igualamos a cero el divisor y despejamos
«x»:
x + 3 = 0
x = –3
Remplazando en el numerador de la forma :
R(x) = x
3
– 5x
2
+ 7x – 2
Se tiene que:
R(–3) = (–3)
3
– 5(–3)
2
+ 7(–3) – 2 = –95
Por lo tanto, el residuo es –95.
Aplicando el método general:
14x
20
+ 21x
16
+ 28x
10
14x
20
021x
16
28x
10
21x
16
28x
10
7x
8
2x
12
+ 3x
8
+ 4x
2
0
0
Cociente: 2x
12
+ 3x
8
+ 4x
2

Divisor: 7x
8

Suma:
2x
12
+ 3x
8
+ 4x
2
+ 7x
8
= 2x
12
+ 10x
8
+ 4x
2

4. CT_Division algebraica.indd 103 5/02/2020 15:01:17

104Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
3. Determina la diferencia del cociente y el resi-
duo respectivamente.
xy
xx yy
45
28 11 15
22
-
--
4. Halla el dividendo:
a b c d e
–1 –4–6–8–10
m n p q 0
5. Indica el valor del cuadrado del residuo de la si-
guiente división algebraica:
a
aa aa a
32
34 94 3
5
17 12 10 75
+
-+ -+
6. Calcula el valor de la suma de términos linea- les del cociente y el residuo de la siguiente di- visión:
xx
xx x
23
41 34
2
32
+-
+- +
Empleamos el método de Ruffini, así que completamos respetando los pasos:
a = m & m(–1) = –4
& a = m = 4
b – 4 = n & n(–1) = –6
& n = 6 ∧ b = 10
c – 6 = p & p(–1) = –8
& p = 8 ∧ c = 14
d – 8 = q & q(–1) = –10
& q = 10 ∧ d = 18
e = 10
Coeficientes del dividendo: a, b, c, d y e
∴ Dividendo = 4x
2
+ 10x
3
+ 14x
2
+ 18x + 10
Aplicando el método general:
28x
2
– 11xy – 15y
2

24xy – 15y
2
12xy – 15y
2
12xy
28x
2
– 35xy
4x – 5y
7x + 3y
Cociente:
q(x) = 7x + 3y
Residuo:
R(x) = 12xy
∴ La resta es 7x + 3y – 12xy
Aplicando el método general:
3a
17
– 4a
12
+ 9a
10
– 4a
7
+ 3a
5

3a
17
+ 2a
12
–6a
12
+ 9a
10
9a
10
+ 4a
7
– 4a
7
–6a
12
– 4a
7
9a
10
+ 6a
5
– 6a
5
+ 3a
5
– 3a
5
– 2
2
3a
5
+ 2
a
12
– 2a
7
+ 3a
5
–1
Cociente:
q(a) = a
12
– 2a
7
+ 3a
5
– 1
Residuo :
R(a) = 2
Nos piden:
∴ R(a)
2
= 4
Ordenamos los polinomios para aplicar el método de Horner:
xx
xx x
23
44 31
2
32
+-
+- +
2 4 4 –31
–1 –26
+3 2–1 3
2 1 2 4
Cociente:
q(x) = 2x + 1
Residuo:
R(x) = 2x + 4
∴ La suma de términos lineales es:
2x + 2x = 4x
4. CT_Division algebraica.indd 104 5/02/2020 15:01:18

105Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
7. Si el polinomio x
4
+ ax
3
– bx
2
– 4x – 10 es divisi-
ble entre x
2
– x – 2,
halla a – b.
8. Calcula el término independiente del cocien-
te de la siguiente división:
xx
xx xx
34
45 34
2
42 3
-+
-+ -+
9. En el siguiente esquema de Ruffini, determina
el valor de a + e + c – (d + b + f).
4 c –10–50
b 12 d e
a 10 20 f
10. Halla q(2) en la siguiente división, sabiendo que
q es cociente de:
x
xx x
3
92 524
32
-
-+ -
Aplicaremos el método de Horner porque el divisor es de grado 2:
xx
xaxbxx
2
410
2
43 2
--
+- --
1 1 a –b –4 –10
1 1 2
a + 1a + 12a + 2
2 a – b + 3 a – b + 32a – 2b + 6
1a + 1a – b + 3 0 0
Dado que es divisible, tiene residuo cero.
Al final se obtiene:
–10 + 2a – 2b + 6 = 0
2(a – b) = 4
a – b = 2
Completamos el esquema Ruffini,
respetanto los pasos.
Sea:
a = 4
Luego :
a ∙ b = 12 &4 ∙ b = 12 & b = 3
Del esquema de Ruffini:
c + 12 = 10 &c = 10 – 12 & c = –2 y
–10 + d = 20 & d = 20 + 10 & d = 30
Tenemos:
20 ∙ b = e & 20 ∙ 3 = e & e = 60
Finalmente:
–50 + e = f & – 50 + 60 = f & f = 10
Piden calcular: a + e + c – (d + b + f)
Reemplazando: 4 + 60 + (–2) – (30 + 3 + 10)
∴ La respuesta es 19
Ordenamos el polinomio para aplicar Horner:
xx
xx xx
34
35 44
2
43 2
-+
-+ -+
11–3 5 –44
3 3 –4
–4 0 0 0
1 3 –4
1 0 1 –10
Cociente:
q(x) = x
2
+ 1
∴ El término independiente es 1
Aplicando el método de Ruffini:
1 –9 25 –24
x – 3 = 0
x = 3
3 –18 21
1 –6 7 –3
Cociente:
q(x) = x
2
– 6x + 7
Nos piden :
∴ q(2) = 2
2
– 6(2) + 7
q(2) = –1
4. CT_Division algebraica.indd 105 5/02/2020 15:01:18

106Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Aplica el método de Horner y determina el re-
siduo.
x
xx x
2
10 53 2
2
24 3
+
-- +
a. 4x – 27
b. –4x + 27
c. –4x – 27
d. –4x – 37
2. Usa el método del resto y halla el residuo.
x
xx x
3
43 0
45
--+ +
a. 9 b. 10 c. 11 d. 12
3. Aplica el método de Ruffini y encuentra el re-
siduo.
x
xx
1
2
7
+
-
a. –2
b. –1
c. 0
d. 1
Nivel intermedio
4.
Resuelve y halla la suma de coeficientes del
cociente.
x
xx xx x
2
22 2
2
54 32
+
++ ++ +
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5
5. Determina la suma de coeficientes del residuo.
xx
xx xx
42
82 97 1
2
432
+-
-- ++
a. 8
b. 7
c. 6
d. 5
6. Calcula el valor de a si la siguiente división es
exacta.
x
xx xx a
2
35 27
43 2
+
-+ -+
a. –110
b. –111
c. 110
d. 111
7. Determina A + B si la siguiente división es exacta:
xx
xx AxB
33 2
35
2
42
++
++ +
a. 8 b. 6 c. 4 d. 2
Nivel avanzado
8.
Halla el grado del cociente entre el grado del
residuo.
xx
xx x
1
21
2
4 3
-+
++ +
a.
2
1 b. 1 c. 2 d. 3
9. Calcula el valor de m + n, si la siguiente divi-
sión es exacta.
xx
xx xm xn
32 1
65 2
2
54 3
--
+- +-
a. –2
b. –3
c. –9
d. –1
10. Determina el valor de p para que la división sea exacta.
xx
xpxpxp
52 4
5
2
32
+-
-- +
a. 5 b. 6 c. 7 d. 8
11. En el siguiente esquema de Horner:
–14 2 –11
–1
–1 –11
Halla la suma de coeficientes del residuo.
a. 25 b. 30 c. 32 d. 35
Nivel destacado
12. Si dividimos 5x
5
– 3x
4
– 2x
3
+ mx
2
+ 2nx + 10
entre 5 – 2x – 5x
2
, se obtienen el cociente y
el residuo. Siendo uno de ellos un polinomio constante igual a 2, calcula m∙n.
a.
10
41
b.
10
31
-
c.
10
29

d.
10
31
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
d a b a d a a c c d d a
4. CT_Division algebraica.indd 106 5/02/2020 15:01:19

B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Álgebra UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
Educación Secundaria
2
107Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
5. CT_Cocientes Notables.indd 107 5/02/2020 15:12:11

Básico Intermedio Avanzado 108Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Cocientes notables
Recordamos lo aprendido
Los cocientes notables son de la forma
xb
xb
nn
!!
, n ∈ ℤ
+
Deberán ser divisiones exactas; es decir, que el
residuo siempre será cero.
Para todo número natural n, se cumple:
xb
xb
nn
--
= x
n−1
+ x
n−2
b + x
n−3
b
2
+... + xb
n−1
Si «n» es impar, se cumple:
xb
xb
nn
++
= x
n−1
– x
n–2
b + x
n–3
b
2
–...–xb
n
–
2
+ b
n–1
Si n es par, se cumple:
xb
xb
nn
+-
= x
n–1
− x
n–2
b + x
n–3
b
2
− ⋯ + xb
n–2
– b
n–1
Otra forma para los cocientes notables es:
xb
xb
qr
mp
!
!
Siguiendo los mismos principios que revisa-
mos anteriormente; pero, además, cumplen
la siguiente proporción:
q
m
r
p
== número de términos
Cálculo de un término cualquiera en un co-
ciente notable
xa
xa
nn
++
; ()Tx a1
k
kn kk11
=-
-- -
Donde:
k = posición del término deseado
Signos:
Si el divisor es (x – a), entonces todos son po-
sitivos (+)
Si el divisor (x + a):
•
k (impar) entonces será positivo (+).
• k (par) entonces será negativo (–).
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Halla el número de términos:
xy
xy
n
n
7
63
+
+
2. Calcula el término de lugar 3.
xy
xy
47
28 49
+
+
--
3. Determina el valor de a en el siguiente cocien-
te notable:
xy
xy
aa
aa
12
1
22 3
+
-
+-
+
Para encontrar un término determinado de un cociente notable podemos aplicar:
T
k
= (–1)
k–1
a
n–k
b
k–1
() ()
xy
xy
xy
xy
47
28 49
47
47 77
+
+
=
+
+
-
-
-
-
Entonces:
T
3
= (–1)
3–1
(x
4
)
7–3
(y
–7
)
3–1
= x
16
y
–14

Para calcular el número de términos, se aplica la siguiente propiedad:
Si
ab
ab
esexacta
q
m
r
p
qr
mp
&
!
!
==número de
términos
Reemplazando:
n
n63
7
==número de términos
n
2
= 441
n = 21
∴ El número de términos es 21.
Por ser cociente notable:
a
a
a
a
1
22
21
3
+
+
=
-
=número de términos
(2a + 2)(2a – 1) = 3a(a + 1)
De donde :
a = –1 y a = 2
Entonces:
#términos = 1 para a = –1
#términos = 2 para a = 2
∴ Para que sea cociente notable a = 2.
5. CT_Cocientes Notables.indd 108 5/02/2020 15:12:17

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
?lgebra 109Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Determina el grado absoluto del quinto térmi-
no del cociente notable al dividir:
ab
ab
23
42 63
+
+
5. Calcula el penúltimo término sabiendo que es
un cociente notable.
() ()()
xy
xx yy
nnnn
12
35 51 03
-
-
-+
6. Halla el número de términos del cociente nota- ble si T
11
es de grado absoluto 76.
xy
xy
aa
81
0
81 0
-
-
7. Calcula el término central del siguiente co-
ciente. Si a – b = 2
xy
xy
ab ab
53
23 26 52 12
-
-
++ +-
Dada la forma:
xy
xy
nn
nn
12
53 30 5
-
-
-+
++
Se observa:
n
n
n
n
1
53
2
305
-
+
=
+
+
...α
⇒ n = 3
Reemplazando en α:
32
3053
+
+^h
= 9
Luego:
() ()
xy
xy
xy
xy
25
18 45
25
29 59
-
-
=
-
-
Entonces el penúltimo término es k = 8
& T
k
= a
n–k
b
k–1
T
8
= (x
2
)
9–8
(y
5
)
8–1
= x
2
y
35

Para encontrar un término determinado de un cociente notable podemos aplicar:
T
k
= (–1)
k–1
a
n–k
b
k–1
Halla el número de términos (n):
n
2
42
3
63
21== =
k = 5
T
5
= (–1)
5–1
(a
2
)
21–5
(b
3
)
5–1
T
5
= (a
2
)
16
(b
3
)
4
= a
32
b
12
∴ El grado absoluto = 32 + 12 = 44
El cociente notable a trabajar es:
() ()
xy
xy
aa
81 0
81 0
-
-
Para encontrar un T
11
de un cociente
notable podemos aplicar:
T
k
= a
n–k
b
k–1
T
11
= (x
8
)
a–11
(y
10
)
11–1
T
11
= (x
8
)
a–11
(y
10
)
10
GradoT
11
= 8a – 88 + 100 = 76
a = 8
Reemplazamos:
xy
xy
81
0
64 80
-
-
Entonces el número de términos:
8
64
10
80
=
∴ El número de términos es 8.
Se cumple :
ab ab
5
23 26
3
52 12++
=
+-
6a + 9b + 78 = 25a + 10b – 60
138 = 19a + b
Del dato: 2 = a – b
Entonces:
a = 7 y b = 5
Luego:
()()
n
3
57 25 12
11=
+-
=
⇒ término central es T
6
Para encontrar un término determinado de
un cociente notable podemos aplicar:
T
k
= a
n–k
b
k–1
t
6
= (x
5
)
11–6
, (y
3
)
6–1
t
6
= x
25
y
15
5. CT_Cocientes Notables.indd 109 5/02/2020 15:12:24

Básico Intermedio Avanzado 110Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
8. Determina el valor de A = m ∙ n
donde n = el número de términos
xy
xy
mm
m
2
39 30
-
-
++
9. Si existen 14 términos, ¿cuál es el grado abso-
luto del término que ocupa el lugar (m – n)?
xy
xy
nm m
24
37
-
-
+
10. Halla el cociente notable que dio origen al desarollo del siguiente polinomio:
P(x) = x
30
– x
28
+ x
26
– x
24
+ ... 1
11. Encuentra el grado absoluto del tercer término.
ab
ab
nn
29
518
-
-
-
Con dos amigos, halla la suma de
coeficientes del resultado de dividir:
ab
ab
35
69 115
+
+
Para calcular el número de términos, de:
ab
ab
qr
mp
!
!
donde
q
m
r
p
= = N° de términos.
Reemplazando:
nm m
2
3
4
7
14
+
==
7m = 14(4) = 56
⇒ m = 8 y n = 4
Entonces piden el término T
8–4
= T
4

El cociente es:
() ()
xy
xy
xy
xy
24
28 56
24
2144 14
-
-
=
-
-
Entonces el término es k = 4
T
k
= a
n–k
b
k–1
T
4
= (x
2
)
14–4
(y
4
)
4–1
= x
20
y
12
∴ El grado absoluto de T
4
es 32
Para calcular el número de términos se aplica la siguiente propiedad:
ab
ab
qr
mp
!
!
donde
q
m
r
p
= = número de
términos.
Reemplazando:
n n
2 9
518
=
-
⇒ 9n = 10n − 36
⇒ n = 36
Reemplazamos:
() ()
ab
ab
ab
ab
29
36 162
29
2189 18
--
=
-
-
& La cantidad de términos es 18. & El término es k = 3:
T
k
= a
n–k
b
k–1
T
3
= (a
2
)
18–3
(b
9
)
3–1
= x
30
y
18
∴

El grado absoluto del t
3
es 48.
Dando forma al polinomio: P(x) = (x
2
)
15
– (x
2
)
14
+ (x
2
)
13
– (x
2
)
12
+ ...1
Se observa que el polinomio es de una sola
variable, entonces tendrá como bases x
2
y 1.
Como n – 1 = 15 y el desarrollo de los signos
es alternado, entonces el cociente es:
()
x
x
1
1
2
216
+
-
=
x
x
1
1
2
32
+
-
Recordemos que:
ab
ab
qr
mp
!
!
donde
q
m
r
p
= = N° de términos.
m
m
m
39
2
30+
=
+
(3m + 9)(m + 2) = 30m
Se obtiene:
m = 3 y m = 2
Para m = 3 ⇒ 6 términos
Para m = 2 ⇒
2
15
términos ∉ ℤ
Entonces:
3 × 6 = 18
5. CT_Cocientes Notables.indd 110 5/02/2020 15:12:31

Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
?lgebra 111Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el número de términos.
x
x
2
64
2
12
-
-
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
2. Cacula el valor de n.
xy
xy
nn
nn
23
61 5
-
-
-
+
a. 5 b. 4 c. 6 d. 2
3. Calcula el cuarto término.
xa
xa
66
+-
a. x
3
a
2
b. –xa
2
c. –x
2
a
3
d. x
3
a
4. Determina el grado absoluto del cuarto térmi-
no.
xa
xa
23
12 18
+
-
a. 7 b. 6 c. 10 d. 13
5. Halla el término 4 del siguiente cociente no-
table.
()
()
xm
xm
2
2
34
18 24
-
-
a. 4x
3
m
2
b. 8x
3
m
4
c. 16x
6
m
12
d. 64x
6
m
12
Nivel intermedio
6. Calcula el valor de a en el siguiente cociente
notable si uno de sus términos es x
24
y
33
.

xy
xx
ab
23
-
-
a. 12 b. 24 c. 36 d. 48
7. Encuentra la suma de coeficientes del cocien-
te luego de dividir:
x
x
1
1
25
-
-
a. 25 b. 24 c. 26 d. 0
8. Determina el valor de m si t
5
es de grado 32.
xy
xy
mm
45
45
-
-
a. 7 b. 8 c. 12 d. 9
9. Halla el grado absoluto del término central.
ab
ab
nn
nn
12
1550 1510
-
-
+-
+-
a. 100
b. 103
c. 104
d. 209
Nivel avanzado
10.
Calcula el valor de a en el siguiente cociente
notable si uno de sus términos es x
12
y
13
.
xy
xy
ab
12 13
-
-
a. 12 b. 25 c. 36 d. 48
11. Calcula el número de términos del siguiente
cociente notable, si uno de sus términos es
x
18
y
45
.
xy
xx
ab
35
-
-
a. 14 b. 13 c. 15 d. 16
12. En el desarrollo del cociente notable:
x
x
2
128
2
14
+
+
Halla el coeficiente del quinto término.
a. 16
b. 8
c. –16
d. 32
Nivel destacado
13. Siendo q(x; y) el cociente entero al dividir,
determinar q(–1; 0) + q(0; 1):

xy
xy
44
20 20
-
+
.
a. 1 b. 0 c. 2 d. –5
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
d b c d d d a b d c d a c
5. CT_Cocientes Notables.indd 111 5/02/2020 15:12:37

112Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Factorización
Recordamos lo aprendido
1. Factorización por factor común
Consiste en encontrar un factor repitente en
todos los términos del polinomio.
ac + bc = (a + b) ∙ c
2.
Factorización por productos notables
a
2
– b
2
= (a – b)(a + b)
(a ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
a
3
± b
3
= (a ± b)(a
2
∓ ab + b
2
)
(a ± b)
3
= a
3
± 3a
2
b + 3ab
2
± b
3
(a ± b)
3
= a
3
± 3(ab)(a – b) ± b
3
3.
Factorización de un trinomio de la forma.
ax
2
+ bx + c
4.
Factorización por agrupación de términos. Se busca agrupar convenientemente para obtener elementos repetitivos.
5.
Factorización por aspas
a. Aspa simple
ax
2m
+bx
m
y
n
+cy
2n
a
1
x
m
c
1
y
n
a
2
x
m
c
2
y
n
Donde:
(a
1
x
m
)(c
2
y
n
) + (a
2
x
m
)(c
1
y
n
) = bx
m
y
n
∴ P(x; y) = (a
1
x
m
+ c
1
y
n
)(a
2
x
m
+ c
2
y
n
)
b.
Aspa doble
ax
2m
+bx
m
y
n
+cy
2n
+dx
m
+ey
n
+f
a
1
x
m
c
1
y
n
f
1
a
2
x
m
c
2
y
n
f
2
P(x, y) = (a
1
x
m
+ c
1
y
n
+f
1
)(a
2
x
m
+ c
2
y
n
+ f
2
)
c. Aspa doble especial
ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e
a
1
x
2
n
1
x e
1
⟶
a
2
x
2
e
1
+
a
2
x
2
n
2
x e
2
⟶
a
1
x
2
e
2
mx
2
cx
2
− mx
2
= nx
2
P(x) = (a
1
x
2
+ n
1
x+e
1
)(a
2
x
2
+ n
2
x + e
2
)
6. Factorización por divisores binómicos
Cero de un polinomio m es un cero de P(x) ⟷ P(m) = 0
Posibles ceros racionales (PCR)
Divisores del término independiente
PCR
Divisoresdelcoeficienteprincipal
!=
Z
[
\
]
]
]
]
_
`
a
b
b
b
b
a es un cero de P(a) ⟷ P(x) = 0
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Factoriza:
P(x) = x
16
– 1
2. Después de factorizar, indica el número de
factores del siguiente polinomio:
P(p; q; r; s) = p
3
q
2
+ p
2
qr + p
2
qs + prs
3. Reduce la siguiente expresión:
xx
xx
5
710
2
2
+
++
Por el método de agrupaciones:
P(x) = p
3
q
2
+ p
2
qr + p
2
qs + prs
P(x) = p
2
q(pq + r) + ps(pq + r)
Se observa que tienen en común un factor:
P(x) = (pq + r)(p
2
q + ps)
P(x) = p(pq + s)(pq + r)
∴ P(x) posee 3 factores primos.
Por el método de identidades (diferencia
de cuadrados):
P(x) = x
16
– 1
P(x) = (x
8
)
2
– 1
2
P(x) = (x
8
– 1)(x
8
+ 1)
P(x) = ((x
4
)
2
– 1)(x
8
+ 1)
P(x) = (x
4
– 1)(x
4
+ 1)(x
8
+ 1)
P(x) = (x
2
– 1)(x
2
+ 1)(x
4
+ 1)(x
8
+ 1)
P(x) = (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 1)(x
4
+ 1)(x
8
+ 1)
Factorizaremos por aspa simple el
numerador:
x
2
+7x+10
x
5
x 25x + 2x = 7x
(x + 5)(x + 2)
Reducimos por factor común al denominador:
x
2
+ 5x = x(x + 5)
Entonces:
()
()()
xx
xx
x
x
5
52 2
+
++
=
+
6. CT_Factorización_U2_algbera.indd 112 5/02/2020 15:12:45

113Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Factoriza el siguiente polinomio e indique el
factor lineal:
P(x) = (x + 5)(x
2
+ 1) + (x + 5)4x + (x + 5)3x
2
5. Reduce por método de divisores binómicos.
P(x) = x
4
– 2x
2
– 2x – 1
6. Factoriza el siguiente polinomio:
P(x; y) = 10x
2
+ 11xy – 6y
2
– x – 11y – 3
7. Sea S(x) = 2x
2
+ ax + b; un factor primo de:
P(x) = 2x
4
– 5x
3
– 3x
2
+ 7x – 2
Determina a ∙ b
Aplicamos el método de divisores
binómicos:
Posibles ceros:±
.
.min
divisoresdelcoeficienteprn
divisoresdel tero ind
& Posibles ceros: ±
1
1
⟶ <> +1 ∨ – 1
& Posibles factores: (x + 1) ∨ (x – 1)
Para corroborar que sea un factor primo
dividimos el polinomio entre los posibles
factores, lo cual nos tiene que dar de
residuo cero.
x
xx x
1
22 1
42
+
-- -
Aplicando el teorema del resto x = –1
(–1)
4
– 2(–1)
2
– 2(–1) – 1 = 0
Entonces (x + 1) es un factor del polinomio
Aplicamos el método de Ruffini:
1 0 –2 –2 –1
–1 –1 1 1 1
1 –1 –1 –1 0
Q(x) = (x
3
– x
2
– x – 1)
P(x) = (x + 1)(x
3
– x
2
– x – 1)
Aplicamos el método de factor común:
P(x) = (x + 5)(x
2
+ 1 + 4x + 3x
2
)
P(x) = (x + 5)(4x
2
+ 4x + 1)
Se observa que hay un binomio al cuadrado:
P(x) = (x + 5)(2x + 1)
2

∴ El factor lineal es x + 5
Aplicamos el método de aspa doble :
10x
2
+11xy–6y
2
–x–11y–3
5x
–2y –3
2x 3y 1
Verificando:
(5x)(3y) + (2x)(–2y) = 11xy
(–2y)(1) + (3y)(–3) = –11y
(5x)(1) + (2x)(–3) = –x
∴ P(x; y) = (5x – 2y – 3)(2x + 3y + 1)
Aplicaremos el método de aspa doble
especial:
2x
4
–5x
3
–3x
2
+7x–2
2x
2
x –2
x
2
–3x 1
Verificando :
(2x
2
) (–3x) + x
2
(x) = –5x
3
x + (–3x)(–2) = 7x
2x
2
– 2x
2
(x)(–3x) = 0 + (x)(–3x) = –3x
2
–3x
2
Entonces :
(2x
2
+ x – 2)(x
2
– 3x + 1)
S(x) = 2x
2
+ ax + b = 2x
2
+ x – 2
a = 1 b = –2
∴ ab = 1 × –2 = –2
6. CT_Factorización_U2_algbera.indd 113 5/02/2020 15:12:46

114Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
8. Factoriza el polinomio:
E(x; y) = 5x
2
y
2
– 45x
2
– 5y
2
+ 45
Luego
indica la proposición verdadera.
a. E(x; y) tiene 4 factores primos.
b. Si x = 2 e y = 4 ⟶ E(x; y) = 105
c. E(x; y) tiene 4 factores lineales
9. Reduce el siguiente polinomio usando facto-
rización por aspas y determina la suma de sus
factores primos.
P(x) 4x
4
+ 12x
3
+ 13x
2
+ 6x + 1
10. Los lados de un rectángulo esta dado por el número de factores primos y el termino inde- pendiente del factor primo de mayor grado de P(x),
calcula el área del rectángulo (factori-
zar por métodos de divisores binomicos).
P(x) = x
4
+ 5x
3
+ 11x
2
+ 13x + 6
11. Halla la suma de factores primos del siguiente
polinomio.
P(x; y) = 21x
2
– 5xy – 4y
2
+ 5x – 11y – 6
Factorizamos por agrupación:
E(x; y) = 5(x
2
y
2
– 9x
2
– y
2
+ 9)
E(x; y) = 5(y
2
(x
2
– 1) – 9(x
2
– 1))
E(x; y) = 5(y
2
– 9)(x
2
– 1)
Factorizamos por identidades(diferencia
de cuadrados): E(x; y) = 5(y
2
– 3
2
)(x
2
– 1
2
)
Factorización final:
E(x; y) = 5(y – 3)(y + 3)(x – 1)(x + 1)
Entonces:
a.
Verdadero ⟶ posee 4 factores primos
b. Reemplazamos:
E(2; 4)= 5(4 – 3)(4 + 3)(2 – 1)(2 + 1) = 105
c. Verdadero ⟶ tiene 4 factores lineales.
∴ Todas son correctas
Aplicando aspa doble especial:
4x
4
+12x
3
+13x
2
+6x+1
4x
2
4x 1
x
2
2x 1
Verificando :
(4x
2
)(2x) + x
2
(4x) = 12x
3
(2x)(1) + (4x)(1) = 6x
4x
2
(1) + x
2
(1) = 5x
2
+ 8x
2
8x
2
Entonces :
(4x
2
+ 4x + 1)(x
2
+ 2x + 1)
Por método de identidades:
(2x + 1)
2
(x + 1)
2
La suma de sus factores es:
2x + 1 + x + 1 = 3x + 2
Aplicamos el método de divisores
binómicos:
Posibles ceros: ±
1
6
= ±1, 2, 3 y 6
Por el teorema de resto: x = –1 ⟶ residuo = 0
x = –2 ⟶ residuo = 0
Entonces:
(x + 1)(x + 2) son factores primos de P(x)
Para hallar el otro factor dividimos entre los
factores encontrados. ⟶ x
2
+ 3x + 2
Horner:
1 1 5 11 13 6
–3 –3–2
–2 –6–4
–9–6
1 2 3 0 0
Q(x) = x
2
+ 2x + 3
El polinomio factorizado es:
(x + 1)(x + 2)(x
2
+ 2x + 3)
Área del rectángulo:
(#factores)(T.I grado mayor)
Área del rectángulo: 3 × 3 = 6
Aplicando aspa doble:
21x
2
–5xy–4y
2
+5x–11y–6
–7x
4y 3
–3x –y –2
Verificando:
(–7x)(–y) + (–3)(4y) = –5xy
(4y)(–2) + (–y)(3) = –11y
(–7x)(–2) + (–3x)(3) = 5x
P(x; y) = (–7x + 4y + 3)(–3x – y – 2)
La suma de sus factores:
(–7x + 4y + 3) + (–3x – y – 2)
∴La suma es –10x + 3y + 1
6. CT_Factorización_U2_algbera.indd 114 5/02/2020 15:12:47

115Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Halla uno de sus factores primos
P(x) = x
4
+ 4x
2
– 5
a.
x – 2
b. x + 2
c. x
d. x + 1
2. Indica la suma de los coeficientes de los facto-
res primos del siguiente polinomio:
P(x) = 3x
2
+ 4xy + y
2
+ 4x + 2y + 1
a.
6
b. 7
c. 8
d. 9
3. Determina la cantidad de los factores primos
del siguiente polinomio:
P(x) = x
6
– x
4
+ x
2
– 1
a.
5
b. 4
c. 3
d. 2
4. Halla la suma de los términos independientes
de los factores primos.
P(x) = x
2
(x – 1) – 2(7x – 12)
a.
–5 b. 2 c. 4 d. 3
5. Determina la suma de los factores lineales de
sus factores primos del siguiente polinomio.
P(x; y, z) = x
3
y
2
+ y
3
z
2
– x
3
z
2
– y
5
a.
x + y
b. 3x + y
c. 2y + z
d. x + 3z
Nivel intermedio
6.
Determina el número de factores primos.
P(x) = (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 1) + 2x
2
– 57
a.
2 b. 3 c. 4 d. 5
7. Si el polinomio x
3
– x
2
– 4x + 4 se puede repre-
sentar por (x + a)(x + b)(x + c), tal que a > b > c.
Halla 2a + b – c
a. –2 b. 5 c. –1 d. 3
8. Si el número de factores del polinomio re-
presenta la edad que tenía hace 10 años, que
edad tendré dentro de 9 años.
P(x; y) = 2x
2a
+ 5x
a
y
b
– 3y
2b
+ 7x
a
+ 7y
b
+ 6
a.
20
b. 21
c. 22
d. 23
9. Si “N” es el número de factores primos. Calcula
N
2
+ 2N
P(x; y) = x
4
y + 2x
3
y – 9x
2
y – 18xy
a.
15 b. 35 c. 26 d. 25
Nivel avanzado
10.
Si Q(x) = ax
3
– ax
2
+ c, es un factor primo, de-
termine el valor de «a + c».
P(x) = x
5
+ x – 1
a.
0 b. 1 c. 2 d. –1
11. Indica la cantidad de factores primos de la si- guiente expresión
E(x) = 2x
4
+ 7x
3
+ 15x
2
+ 22x + 8
a.
2 b. 3 c. 4 d. 1
12. Factorizando en R el polinomio
P(x) = (x
2
– 5x + 4)
2
– 3x
2
+ 15x – 22
Calcula el número de factores primo
a. 2 b. 3 c. 4 d. 1
Nivel destacado
13. Un teatro tiene hasta el 2019, 143 butacas ha-
bilitadas y cada 20 de marzo de cada año se
adquieren un numero de butacas igual al nú-
mero de factores primos de P(a) ¿Cuántas bu-
tacas tendrá para el 20 de marzo de 2025?
P(a) = a
10
– a
7
– 7a
5
– 12a
4
+ 7a
2
+ 12
a. 153
b. 154
c. 161
d. 156
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
d c c a a a b b b c a c c
6. CT_Factorización_U2_algbera.indd 115 5/02/2020 15:12:47

116Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Introducción a los números complejos
Recordamos lo aprendido
1. Definición:
El conjunto de los números complejos es
denotado por ℂ y se define por:
ℂ = {a + bi / a, b ∈ ℝ}
Donde: i
2
= –1
Además:
i es llamado unidad imaginaria
a + bi es llamado número complejo
Notación:
z = a + bi
Donde: a: parte real de z
b: parte imaginaria de z
2. Potencia de la unidad imaginaria:
i
1
= i ; i
2
= –1 ; i
3
= –i ; i
4
= 1
Propiedades:
i
i
i
1
1
-
+
= ∧
i
i
i
1
1
+
-
=-
(1 + i)
2
= 2i ∧ (1 – i)
2
= –2i
3.
Números complejos especiales
Dado el complejo z = a + bi; a, b ∈ ℝ, se define:
• Conjugado de z (z) : z = a – bi
• Opuesto de z (z*): z* = –a – bi
4. Operaciones con números compuestos en
forma binomica Suma:
z
1
+ z
2
= (a + c) + (b + d)i
Resta: z
1
– z
2
= (a – c) + (b – d)i
Multiplicación: z
1
z
2
=(ac – bd) + (ad + bc)i
Si multiplicamos un número complejo por
su conjugado obtenemos un número real:
z ∙
z = a
2
+ b
2
División:
z
z
cd
acbdbcadi
2
1
22
=
+
++ -^h
5. Módulo de un número complejo (|z|)
Para z = a + bi su modulo es : |z| = ab
22
+
6. Forma trigonométrica o polar de z
z = r∙(cosα + isenα) = r∙cis(α)
7. Forma exponencial de z
z = r∙e
iα
Donde α es el argumento principal de z y e es
el número Napier
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Resuelve:
i
2
2
2
2
2
-+
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
2. Expresa el siguiente número complejo en for-
ma trigonométrica.
z = 1 + i 3
3. Halla el valor de a para que el complejo sea
real puro.
i
ai
32
52
+
-
Sabemos que:
z = |z|(cosα + isenα)
|z| = ab
22
+
α = arctag
a
b
Datos:
α = arctag
1
3
= 60°
|z| = 13 2
2
2
+=
Reemplazamos:
z = 2(cos60° + isen60°)
Aplicamos binomio al cuadrado y reducimos:
i
i
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
- +- +
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
()i
i
4
2
2
2
2
2
2
+-+
ii i
2
1
4
2
2
1
2
1
-+
-
=- +
-
=-
Igualamos a la forma b + 0i ya que es real
puro:
i
ai
32
52
+
-
= b + 0i
5a – 2i = 3b + 2bi ⟶ –2i = 2bi ⟶ b = –1
5a – 2i = 3(–1) + 2(–1)i ⟶ a =
5
3
-
7. CT_Introducción a los números complejos_U2_algbera.indd 116 5/02/2020 15:28:46

117Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Resuelve:
1 + i + i
2
+ i
3
+ ... + i
58
5. Efectúa:
(1 – i)
20

6. Sea(x; y) la solución de la siguiente ecuación:
(1 + i) x + (−2 + i) y = − 3 + 16i
Calcula el valor de
y
x
7. Halla a + b en la siguiente igualdad
–(b + 2)i – 8 + a = b – 2 +(3b – 6)i
8. Expresa en forma binómica o cartesiana
z = 2(cos120° + isen120°)
Como la potencia de 20 es muy grande
para trabajar entonces lo descomponemos.
(1 – i)
20
= (1 – i)
2
(1 – i)
2
...(1 – i)
2

10 veces
Ademas, se tiene que:
(1 – i)
2
= 1
2
– 2(1)(i) + i
2
= –2i
Dado que son 10 veces; tenemos:
(1 – i)
20
=
()i1
2
10
-_i = (–2i)
10
(1 – i)
20
= (–2)
10
i
10
(1 – i)
20
= 1024(i
42+
c
)
(1 – i)
20
= –1024
Razonamos: ii
i
ii
i
Suma
1
1
0
1
2
3
4
=
=-
=-
=
=
_
`
a
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
bb

ii
i
ii
i
Suma
1
1
0
5
6
7
8
=
=-
=-
=
=
_
`
a
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
bb
Observamos que la suma de cada grupo de
4 es 0,entonces:
4
58
= 14 grupos de 4 con 2 sobrantes
(últimos)
∴ La suma que quedaría es 1 + i
57
+ i
58
i
57
=
i
41+
c
= i
i
58
=
i
42+
c
= –1
1 + i + (–1) = i
Igualamos laparte imaginaria y la parte real:
Entonces:
–8 + a = b – 2...(α)
–(b + 2)i = (3b – 6)i...(β)
De β :
–b – 2 = 3b – 6
b = 1
Reemplazando en α :
–8 + a = b – 2
–8 + a = (1) – 2
a = 7
& a + b = 7 + 1 =8
Recordemos:
cos(120°) = –cos60° =
2
1
-
sen(120°) = sen60° =
2
3
Reemplazamos:
z i2
2
1
2
3
=-+
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
z = 2 i
2
1
2
2
3
-+
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
z = –1 + i3
De la ecuación tenemos:
x + xi − 2y + iy = −3 + 16i
& (x − 2y) + i(x + y) = −3 + 16i
Igualando componentes:
xy
xy
yx
23
16 3
19
3
29
& /
-=-
+=
==
_
`
a
b
bb
b
bb
Hallamos
y
x
=
3
19
3
29
19
29
=
7. CT_Introducción a los números complejos_U2_algbera.indd 117 5/02/2020 15:28:53

118Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
9. Resuelve:
()
i
i
i
i i
1
1
1
1
2
1
2
-
+
-
+
-
+
-
10. Efectúa:
()
()
i
i
ii
ii
3
25
82 53
10 10 51
-
-
+
-
+- +
-- +
11. Simplifica:
()()()
()i
ii i
i
i
44
32 3232
1
3
17
2
-
+- +-
-
-
12. Resuelve:
() () ()
ii
ii i32 32 3
23 13
2
-
-+ --
Recuerda:
(1 + i)
2
= 2i
(1 – i)
2
= –2i
()()()()
i
ii ii i
1
11 11
2
2
22
-
++ -- -
+
-
()()
i
ii i
1
11
2
2
22
22
-
+- -
+
-
()
i
ii i
1
22
2
2
22
-
--
+
-
ii
2
4
2
2
-
ii i
2
42
2
2-
=
∴ La respuesta es i
Sumamos y restamos los números
complejos:
i
i
ii
ii
3
25
85 23
10 10 55
-
-
+
-
-+ -
-- -
i
i
i
i
3
25
3
155
-
-
+
-
-
-+
i
ii
3
25 155
-
-- +-
i
i
3
107
-
-
Multiplicamos por su conjugada:
i
x
i
i
31
107
3
3
-
-
+
+
() ()
i
ii
3
1073
22
-
-+
()ii
10
30 10 21 7-- -
i
i
10
2331
10
23
10
31-
=-
Aplicamos binomio al cuadrado y diferencia de cuadrados:
()
() () (( ))
()
i
xi ii
i
i
44
32 32 23 2
1
3
41
22 22
-
++ --
-
-
+
c
()
i
i
i
i
44
9124 94
1
3
-
+- -+
-
-
i
i
i
i
44
128
1
3
-
-
-
-
i
i
i
i
1
32
1
3
-
-
-
-
i
ii
1
32 3
-
--
i1
2
-
-
Multiplicamos por la conjugada:
()
()
i
x
i
i
i
i i
i
i
1
2
1
1
1
22
11
22
2
22
1
2-
-
+
+
=
-
--
=
--
-+
=
-
-+
=+
Multiplicamos los números complejos y
resolvemos paso a paso:
()
ii
ii ii i93 62 4129
43 41
22
-
+- -- -+
++
cc
() ()
ii
ii i93 62 1411 29
--
+- -- -- +-
i
ii i
2
93 62 4129
-
+- ++ +-
i
i
2
96
-
+
Multiplicamos por la conjugada:
i
i
i
i
2
96
2
2
#
-
+
() ()
i
ii
4
96 2
2
-
+
()
ii i ii i
i
41
92 12
4
18 12
4
18 12
2
9
3
2
:
--
+
=
+
=
-+
=-+
7. CT_Introducción a los números complejos_U2_algbera.indd 118 5/02/2020 15:29:16

119Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Resuelve:
ii
ii
23
32 17
a. 0 b. i c. 1 d. i
2

2. Efectúa:
i
i
1
1
2020
+
+
a.
i
1 b. 2– i c. 1 – i d. i
3. Halla el valor de a, para que el complejo sea
real puro.
ai
i
6
32
+
+
a. 9 b. 8 c. 6 d. 5
4. Calcula el valor de a y b, para que sea real y de
módulo 1.
i
bai
43
32
-
-
a. ,
3
2
3
4
-
b. ,
2
3
3
4
c. ,
3
5
3
4
d. ,
3
2
3
5
Nivel intermedio
5. Determina el valor de k para que el complejo
sea un número real.
()
ki
ki
1
21
-
-+
a. –1 b. 2 c. 0 d. 1
6. Simplifica:
ai
ai1
-
+
a. –a b. 1 c. i d. –1
7. Calcula el valor de:
(1 + i)
20

a.
–1 b. –1024 c. 512 d. 64
8. Resuelve:
()
i
i
i
i i
1
1
1
1
2
1
2
+
-
-
-
+
+
+
a. 2i b. –i c. i d. i
2
Nivel avanzado
9. Simplifica:
z = 2(cos765° + isen765°)
a. 1 – i
b. i – 1
c. 1 + i
d. i + 2
10. Halla el valor de M
()()()
()
M
i
ii ii
i
i
99
23 2323 6
1
2
21
2
=
-
+- +- +
-
+
a. 1 – i
b. 2i – 1
c. 2 + i
d. i + 1
11. Resuelve:
()
()()()
i
ii i
171
23 32 23
13
2
-
+- --
a. 0 b. i c. 1 d. i
2

12. Reduce:
() ()
ii
ii32 23
12 5
22
+
-+ -
-
a. 12i
b. 12 – 12i
c. 13 + 11i
d. 12 + 12i
13. Simplifica:
ii i
ii ii
362146 840
2234 2341 2020 2021
++
++ +
a. –2i b. 2i
c.
i
2
1
- d.
i
2
1
Nivel destacado
14. Resuelve:
En la que i representa la unidad imaginaria,
halla, los valores reales de u y v.
(u + vi)
2
= 5 + 12i
a.
±2 y ±3
b. ±3 y ±4
c. ±4 y ±5
d. ±5 y ±3
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
c c a b d c b b c a b b a a
7. CT_Introducción a los números complejos_U2_algbera.indd 119 5/02/2020 15:29:34

120Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Ecuaciones de segundo grado
Recordamos lo aprendido
Las ecuaciones cuadráticas son aquellas
ecuaciones que presentan la siguiente forma
general:
ax
2
+ bx + c = 0 / a ≠ 0, a, b, c ∈ ℝ
Observación:
•
Los términos a, b y c son llamados
coeficientes.
• El término a se llama coeficiente cuadrático
o de segundo grado.
• El término b se llama coeficiente lineal o de
primer grado.
• El coeficiente c se llama término
independiente.
• Si b y c son distintos de 0, entonces la
ecuación será llamada ecuación de segundo
grado completa.
• Si b o c son iguales a 0, entonces la ecuación
será llamada ecuación de segundo grado incompleta.
•
Toda ecuación de segundo grado presenta
dos raíces o soluciones.
Fórmula general para hallar las raíces:
x
a
bb ac
2
4
i
2
!
=
--
con i = 1;2
Donde, el discriminante (invariante caracterís- tico) es:
∆ = b
2
– 4ac
Suma y producto de raíces:
x
1
+ x
2
=
a
b
- x
1
x
2
=
a
c
Sean las ecuaciones cuadráticas (o de segundo grado)
ax
2
+ bx + c = 0, ∀ a ≠ 0
mx
2
+ nx + p = 0 ∀ m ≠ 0
Teorema de las ecuaciones cuadráticas
equivalentes
Si tienen raíces iguales. Se cumple que:
m
a
n
b
p
c
== ; m, n, p ≠ 0
Teorema de la raíz común Si tienen una raíz en común. Se cumple que:
(an – mb)(bp – nc) = (ap – mc )
2
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Halla la suma de las raíces de la siguiente
ecuación:
x(x – 1) + 1 =
()xx
6
5
3
21
+
-
2. Indica el producto de las raíces de la siguiente
ecuación:
11(x – 1)
2
= (2x – 3)
2
+ 4x
2
+ 1
3. Determina el valor de a e la ecuación:
(a – 2)x
2
– 2(6 – a) x + 4 =0
Si la suma de raíces es 2.
Recordamos el binomio al cuadrado:
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
11(x
2
– 2x + 1) = 4x
2
– 12x + 9 + 4x
2
+ 1
11x
2
– 22x + 11 = 8x
2
– 12x + 10
11x
2
– 8x
2
– 22x + 12x + 11 – 10 = 0
3x
2
– 10x + 1 = 0
Producto de raíces está dado por:
x
1
x
2
=
a
c
xx
3
1
12
& =
Homogenizamos los términos
x
2
– x + 1 =
()xx
6
5
3
2
2
2
2
#+
-
x
2
– x + 1 =
xx
6
42 5
2
-+
6x
2
– 6x + 6 = 4x
2
– 2x + 5
2x
2
– 4x + 1 = 0
Aplicando la fórmula:
x
1
+ x
2
=
a
b
-
x
1
+ x
2
=
2
4
-
-
= 2
La suma de raíces está definida por:
x
1
+ x
2
=
a
b
-
(( ))
a
a
2
26
2
-
-- -
=
12 – 2a = 2a – 4 & a =
4
16
= 4
8.CT_Ecuciones de segundo grado_U2_algbera.indd 120 5/02/2020 15:58:51

121Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Halla los valores de «x»
xx xx3
2
1
3
2
1
28 1
2
-+ -= -
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
5. Resuelve
3x + 2 =
()
x
x
43
34 3
-
+

6. Determina la diferencia positiva de las raíces
() ()
()
x x x
x
1
2
3
21 3
2
111
2
+ -- =+
-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
7. Resuelve
()
x
x
x
x
1
23 2
2
34
-
+
=
+
+
E indica la suma de soluciones
Dando forma:
(3x + 2) × (4 – 3x) = 12x + 9
12x – 9x
2
+ 8 – 6x = 12x + 9
–9x
2
+ 12x + 8 – 6x – 12x – 9 = 0
–9x
2
– 6x – 1 = 0
Hallamos el discriminante
∆ = b
2
– 4ac
∆ = (–6)
2
–4(–9)(–1)
∆ = 0
Debido a que el discriminante es 0, esta
ecuación solo tiene raíces dobles.
Es decir: x
1
= x
2
=
a
b
2
-
& x
1
= x
2
=
()
()
29
6
3
1
-
--
=-
Recordando diferencias de cuadrados:
(a – b)(a + b) = a
2
– b
2
&
x9
4
12
-
J
L
K
K
K
N
P
O
O O – 2x = 8x
2
– 1
9x
2
– 8x
2
– 2x –
4
1
+ 1 = 0
x
2
– 2x +
4
3
= 0
Aplicando la fórmula general:
x
a
bb ac
2
4
2
!
=
--
()
() () ()
x
21
22 41
4
3
2
!
=
-- --
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
,
,
x
x
x2
21 05
15
1
2!
==
=
=
Z
[
\
]
]]
]
]]
(x + 1) x x
x
2
3
22 3
2
11 11
2
-+ =+
-R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
()x x x
x
1
2
1
2 3
2
11 11
2
+-+ =+
-R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
Homogenizamos las ecuaciones
multiplicando por 2 a ambos lados:
xx x x
x
2
2
1
2
2
1
2 3
2
11 11
2
2 2
-+ -+ = +
-
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
–x + 4x
2
– 1 + 4x = 6x
2
+ 11x – 11
4x
2
– 6x
2
– x + 4x – 11x + 10 = 0
–2x
2
– 8x + 10 = 0
Hallamos el discriminante:
∆ = (–8)
2
– 4(–2)(10) = 144
Fórmula para la diferencia de las raíces:
|x
1
– x
2
| =
a
ba c4
2
-
|x
1
– x
2
| =
2
144
2
12
6
-
=
-
=-
(6x + 4)(x + 2) = (3x + 4)(x – 1)
6x
2
+ 12x + 4x + 8 = 3x
2
– 3x + 4x – 4
6x
2
+ 16x + 8 = 3x
2
+ x – 4
6x
2
– 3x
2
+ 16x – x + 8 + 4 = 0
Método aspa simple:
3x
2
+15x+12=0
3x
3 & 3x + 3 = 0
x 4 & x + 4 = 0
3x + 3 = 0 & x = –1
x + 4 = 0 & x = –4
Suma de soluciones
x
1
+ x
2
=
a
b
-
x
1
+ x
2
=
3
15
- = –5
Es fácil comprobarlo pues –4 + (–1) = –5
8.CT_Ecuciones de segundo grado_U2_algbera.indd 121 5/02/2020 15:58:59

122Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
8. Halla xx
1
3
2
3
+, si x
1
y x
2
son las raíces de la si-
guiente ecuación cuadrática.
3x
2
– 9x + 7 = 0
9. Se han repartido S/ 720 entre varias personas.
Si hubiese habido 4 personas más tocarían a
cada una S/ 2 soles menos. ¿Cuántas personas
habían?
10. Dos fuentes llenan un depósito en 6 horas.
Halla el tiempo que sería necesario para que cada una, separadamente, lo llenase sabien- do que la primera emplea 5 horas más que la segunda.
11. ¿Cuál es el número natural cuyos tres cuartos, aumentados en una unidad, multiplicados por sus cuatro quintos disminuidos en 15, dan 16 como resultado?
a. Det<> erminemos el tipo de raíces según la
discriminante.
∆ = b
2
– 4ac
∆ = (–9)
2
– 4 × 3 × 7 = –3
Ya que el discriminante es negativo, podemos asegurar que las raíces son complejas y conjugadas.
b.
Recordemos la forma factorizada del bi-
nomio elevado al cubo.
(a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b)
& (x
1
+ x
2
)
3
=
xx
1
3
2
3
+ + 3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
)
Sabemos que:
x
1
+ x
2
=
a
b
- = 3 ∧ x
1
x
2
=
a
c
3
7
=
27 = xx 3
3
7
3
1
3
2
3
##++
xx27 21
1
3
2
3
=+ +
xx 6
1
3
2
3
+=
Sea “a” la cantidad de personas
Sea “b” lo que recibe cada persona
b =
a
720
⟶ Ecuación 1
(a + 4)(b – 2) = 720 ⟶ Ecuación 2
ab – 2a + 4b – 8 = 720 = ab
4b = 2a + 8 & 2b = a + 4
Reemplazamos en la ecuación 2
2b(b – 2) = 720
b(b – 2) = 360
b
2
–2b–360=0
b
– 20 & b = 20
b 18 & b = –18
Ya que b es dinero, está obligado a ser una
cantidad positiva, por lo tanto, b = 20
2b = a + 4 & 40 = a + 4
a = 36
Fuente 1 = x + 5 horas Fuente 2 = x horas
Total = 6 horas
• La fuente 1 se llena
x5
1
+
de la capacidad en 1h.
• La fuente 2 se llena
x
1
de la capacidad
en 1h.
• En 1h se llena
6
1
de la capacidad.
x x6
1
5
11
=
+
+
()
()
xx
xx
6
1
5
5
=
+
++
6(2x + 5) = x(x + 5)
12x + 30 = x
2
+ 5x
0=x
2
–7x–30
x
–10 & x = 10
x 3 & x = –3
Esto quiere decir que:
La primera fuente llena el tanque en 15 horas
y la segunda en 10, cada una trabajando
independientemente.
Planteamos el problema
x x
4
3
1
5
4
1516+ -=
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
xx x
5
3
4
45
5
4
15 16
2
-+ -=
Multiplicamos a todo por 20 para trabajar
con números enteros
xx
5
3
20
209
31
2
--
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
× 20 = 0 × 20
12x
2
– 209x – 620 = 0
Fórmula general
()
x
212
2097 3441
24
209271
24
62
12
31
1 #
=
-- -
=
-
=- =-
()
x
212
2097 3441
20
2
#
=
-- +
=
∴ 20 es el número natural
8.CT_Ecuciones de segundo grado_U2_algbera.indd 122 5/02/2020 15:59:07

123Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula (a + b)
2
si a y b son raíces de la ecua-
ción.
x
2
+ 3x − 5 = 0
a.
4 b. 25 c. 9 d. 36
2. La edad de un niño será dentro de tres años
un cuadrado perfecto, y hace tres años su
edad era precisamente la raíz cuadrada de
este cuadrado. ¿Qué edad tiene?
a.
3 b. 5 c. 8 d. 6
3. Calcula el mayor valor de b para que las raíces
de la ecuación x
2
+ bx + 5 = 0 se diferencien
en 4.
a.
6 b. 5 c. 4 d. 3
Nivel intermedio
4.
Compro libros por valor de 60€, si me dieran
tres libros más me saldrían a 1€ menos cada
uno. ¿Cuántos libros he comprado?
a.
9 b. 12 c. 11 d. 18
5. Las ecuaciones:
ax
2
+ (b + 8)x + b + 1 = 0 y 5x
2
+ 4x + 2 = 0
Son equivalentes,
halla el valor de
ab
5
a. 21 b. 20 c. 15 d. 10
6. Aumentando 4 metros un lado de un cuadra-
do, y el otro en 6 metros, se duplica el área del
mismo.
Halla el lado del mismo.
a. 12 b. 9 c. 10 d. 11
7. Determina el mayor número, si se sabe que la sustracción del doble del mismo con el cuá- druple de su inverso es igual a 2.
a.
4 b. 3 c. 2 d. 1
8. Halla el lado de un cuadrado tal que la suma
de su área con su perímetro es numéricamen-
te igual a 140
a.
10 b. 12 c. 14 d. 16
9. Determina la ecuación de segundo grado cu-
yas raíces son 2 y
3
2
-
a. x
2
– 7x – 6
b. 3x
2
– 7x – 5
c. 3x
2
– 5x – 4
d. 3x
2
– 4x – 4
Nivel avanzado
10.
Sabiendo que el área de un triángulo es 300 m
2

y que la altura tiene 10 metros más que la base,
calcula la mayor de las dimensiones.
a. 28 b. 29 c. 30 d. 31
11. Halla (a × b)
2
, si a y b son las raíces de la si-
guiente ecuación
2x
2
+ 13x + 6 = 0
a.
9
b. 4
c. 25
d. 36
12. Resuelve
xx
xx
xx
xx
xx
xx
44
32
2
32
21
2
2
2
2
2
2
2
::
-+
++
+-
-+
++
--
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
N
P
O
O
O
O
a. 5 b. 4 c. 1 d. 2
13. Calcula
...x2 22 2=+ ++ +
a. –1 b. 1 c. –2 d. 2
14. Sea la ecuación 4x
2
– 2x + 3 = 0, cuyas raíces
son a y b. Determina otra ecuación de segun-
do grado que tenga como raíces 2a – 1 y 2b – 1
a. x
2
+ x + 3
b. x
2
+ x + 6
c. x
2
– x + 1
d. x
2
+ 3x
Nivel destacado
15. Calcula el valor de a y b si la siguientes ecua-
ciones son equivalentes:
(7a – 2)x
2
– (5a – 3)x + 1 = 0
8bx
2
– (4b + 2)x + 2 = 0
a.
2 y 3
b. 3 y 5
c. 4 y 6
d. 2 y 6
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
c d a b a a c a d c a c d a a
8.CT_Ecuciones de segundo grado_U2_algbera.indd 123 5/02/2020 15:59:09

B?sico Intermedio Avanzado UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
3
Educación SecundariaProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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124
9 INECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS CT.indd 124 5/02/2020 15:30:05

125Unidad 3
?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado
UNIDADProhibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Inecuaciones lineales y cuadráticas
Recordamos lo aprendido
Desigualdades
• a > b: a es mayor que b.
• a < b: a es menor que b.
• a ≥ b: a es mayor o igual que b.
• a ≤ b: a es menor o igual que b.
Propiedades:
1. Si a . b & a ! c . b ! c; ∀ c ! R
2.
Si a . b ∧ k . 0 & ka . kb ∧
k
a
k
b
2
3.
Si a . b ∧ k , 0 & ka , kb ∧
k
a
k
b
1
4. a > b . 0 ∧ n > 0 & a
n
> b
n
∧ a
–n
, b
–n
5. Si a . b ∧ c . d & a + c . b + d
6. Si a . b ∧ c . d . 0 & ac . bd
Clases de intervalos
1. Intervalo cerrado:
a bx a ≤ x ≤ b
2. Intervalo abierto:
a bx a , x , b
Inecuación de primer grado:
ax + b U c
Inecuación de segundo grado:
P(x) = ax
2
+ bx + c U 0,
a ≠ 0 {a; b; c} 1 R
Usaremos el método de los puntos críticos: 1.
Factorizar el polinomio.
2. Ubicar los puntos críticos; para ello iguala cada
factor a cero y ubica en la recta numérica.
3. De derecha a izquierda ubicar los signos (+ ) y
menos (– ) de forma alternada en cada intervalo.
4. Si se cumple P(x) . 0, entonces se toma los
intervalos positivos (+) y si P(x) , 0 se tomarán
los intervalos negativos (–); el intervalo es
cerrado o abierto según sea la desigualdad.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Si «x» pertenece al intervalo [1;8⟩ ; ¿A qué inter-
valo pertenece 8 − 5x.
2. Halla el intervalo al que pertenece x si se sabe que:
(x − 2020)
2
+ 1 ≥ 0
3. Determina el conjunto solución de la siguien-
te inecuación.
x
2
≥ 2025
1 ≤ x < 8
Multiplicamos por 5 a todos los términos
5 ≤ 5x < 40
Multiplicamos por −1 a todos los términos
−5 ≥ − 5x > − 40
Sumamos 8 a todos los términos
3 ≥ 8 − 5x > −32
⇒ x ∈ ⟨−32; 3]
Sabemos que:
k
2
≥ 0 ∀ k ∈ ℝ;
Luego:
(x − 2020)
2
≥ 0
⇒ (x − 2020)
2
+ 1 ≥ 1 ≥ 0
Entonces x puede tomar cualquier valor, es decir: x ∈ ℝ
x
2
− 2025 ≥ 0
⇒ (x − 45) (x + 45) ≥ 0
−45 45
– ++
+3–3
⇒ x ∈⟨−∞;−45] ∪ [45; +∞⟩
9 INECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS CT.indd 125 5/02/2020 15:30:05

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 126
Nivel intermedio
4. El conjunto solución de x
2
− 11x + 28 ≥ 0 es
⟨−∞;a] ∪ [b;+∞⟩. Calcula el valor de b
a
.
5. Determina el intervalo de variación de x + 10
si se sabe que ;
x
x
4
32
2
11
8d
+
+
R
T
S
S
S
S
.

6. La siguiente inecuación:
(x + 1)(x + 3) + 3x + 2 > 13
Tiene como conjunto solución ⟨ −∞; a⟩ ∪ ⟨b; + ∞⟩
calcula a
b2+
7. Determina el intervalo al cual pertenece «x» y
halla el producto de los extremos de dicho in-
tervalo, si:
25 5
xx21
2
2
++
Factorizamos el polinomio por el método de aspa simple
x
2
− 11x+28
x
−4
x −7
(x − 4)(x − 7) ≥ 0
Por propiedad si:
4 7
– ++
+3–3
x ∈⟨−∞; 4] ∪ [7; +∞⟩
⇒ a = 4, b = 7
⇒ b
a
= (7)
4
= 2 401
Criterio de monotonía de exponentes
5
2(x+2)
> 5
x
2
+1

⇒ 2x + 4 > x
2
+ 1
x
2
− 2x − 3 < 0
x
−3
x 1
(x − 3)(x + 1) < 0
P.C.= {−1; 3}
−1 3
++
+3–3
x ∈ ⟨ −1; 3⟩
Luego, piden :
−1 × 3 = −3
Operando tenemos:
x
2
+ 4x + 3 + 3x + 2 > 13
x
2
+ 7x + 5 − 13 > 0
x
2
+7x − 8 > 0
x
−1
x 8
(x − 1)(x + 8) > 0
P.C. = {1; −8}
−8 1
– ++
+3–3
x ∈⟨−∞; −8⟩ ∪ ⟨1; + ∞⟩
⇒ a = −8, b = 1
⇒ a8 2
b2 3
=- =-
+
Usamos un artificio para reducir la expresión
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
11
4
31210
8
2
11
4
312
4
10
8
2
11
3
4
10
8
2
5
4
10
5
2
5
4
10
5
5
2
10
4
5
1
&
&
&
&
&
1
1
1
1
2
1
#
#
#
#
$
#
+
+-
+
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
+
-
^
^
h
h
⇒ −4 ≤ x + 4 < −2
⇒ 2 ≤ x + 10 < 4
⇒ x + 10 ∈ [2; 4⟩
9 INECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS CT.indd 126 5/02/2020 15:30:06

127Unidad 3
?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
8. El conjunto solución de
xx x
25
43
10
31
5
21
61
-
+
-
+
+
.
Tiene la forma 〈 −∞; a〉 . Halla el valor de a
2
.
9. Calcula la suma de valores enteros del siguien-
te sistema.
x
xx
24
517120
2
1
1--
Z
[
\
]
]]
]
]]
10. Un padre dispone de 400 soles para ir a un
concierto de música con sus hijos. Si compra
entradas de 70 soles, le falta dinero y si com-
pra de 60 soles le sobra dinero.
Halla el núme-
ro de hijos.
11. El conjunto solución del siguiente sistema es
;
a
b
1
, determina a
b
.
xx
xx
35 20
27 30
2
2
1
1
--
-+
Z
[
\
]
]]
]
]]
xx x
25
43
10
31
5
21
61
-
+
-
+
+
Sumamos las fracciones:
xx x
50
243 531 1021
61
-+ -+ +^^ ^hh h
xx x
50
86 1552010
61
-+ -+ +
43x − 1 < 6(50)
43x < 301
x < 7
x ∈ 〈−∞;7〉
Entonces:
a = 7
∴ a
2
= 7
2
= 49
Total: S/ 400
Número de entradas = x
Inecuaciones:
70x > 400 ∧ 60x < 400
x > 5,7
x <
6
400
x < 6,6
Entonces:
5,7 < x < 6,6
Como: x ∈ ℕ ⇒ x = 6
Entradas en total: 6 Número de hijos: #entradas −1
(padre)
Número de hijos: 5
• Primera inecuación:
2x < 4
x < 2
2+3–3
• Segunda inecuación:
5x
2
− 17x − 12 < 0
(5x + 3)(x − 4) < 0
4
+−+
+3–3
5
3
-
Entonces:
−4 2 4
++
+3–3
−
5
3
-
V<> alores enteros 0 y 1.
∴ La suma de valores es 0 + 1 = 1
• Primera inecuación:
3x
2
− 5x − 2 < 0 ⇒ (3x + 1)(x − 2) < 0
P.C. =
;
3
1
2-(2
+2
+−+
+3–3
3
1
-
• Segunda inecuación:
2x
2
− 7x + 3 < 0 ⇒ (2x − 1)(x − 3) < 0
P.C. =
;
2
1
3(2
3
++
+3–3
−
2
1
Entonces:
2 3 +3–3
2
1
3
1
-
C.S = ;
2
1
2 ⇒ a =2 y b = 2
⇒ a
b
= 2
2
= 4
9 INECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS CT.indd 127 5/02/2020 15:30:07

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 128
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si x ∈ [−4; 5] calcula a + b donde a y b son los
extremos del intervalo de variación de −3x + 2.
a. 0 b. −1 c. 1 d. 2
2. Resuelva la siguiente inecuación y calcula el
menor valor entero de «x».
2(x + 2) + 5(x − 4) > 3x
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
3. Indica el máximo valor entero que puede to-
mar «x» en la siguiente inecuación.
x x
4
21
3
61
2
- +
a. −1 b. 0 c. −2 d. 1
4. Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación
x
3
< 9x
a.
〈−∞;−3〉 ∪ 〈0;3〉
b. 〈−∞;−3〉 ∪ {3}
c. 〈−∞;3〉
d. 〈−3;0〉∪ 〈3;+∞〉
Nivel intermedio
5.
Si 3 < x < 5 entonces, ¿a qué intervalo perte-
nece
x21
7
+
?
a. ;1
7
11
b. ;2
11
7
c. ;2
7
11
d. ;
11
7
1
6. Determina la suma de valores enteros que
toma el polinomio:
P(x) = (x − 1)
2
Si x es tal que −1 ≤ 2−x ≤ 3
a.
8 b. 10 c. 12 d. 14
7. Calcula el conjunto solución de:
xx x
3
2
4
1
2
3
12
7
2
--
+
-
-
a. 〈−∞; 4〉
b. ℝ
c. 〈4; + ∞〉
d. 〈0; 4〉
8. Determina el conjunto solución de:
x x x
4
3
6
5
20
43
#
- -
+
-
a. {2}
b. ℝ − {2}
c. [2; +∞〉
d. 14
Nivel avanzado
9.
En la siguiente inecuación; calcula el valor de a,
para que el máximo valor de x sea 2.
x
xx a
2312
1
#--
-
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5
10. Determina el conjunto solución del siguiente
sistema.
x
x
30
25 0
$
#
+
-
Z
[
\
]
]]
]
]]
a.
;0
2
5
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W W
W
b. ;016@ c.
;3
2
5
-
R
T
S
S S
S
V
X
W
W W
W
d. ;31-7A
11. Halla el conjunto solución
3x
2
> 5 − 4x
a.
;;
3
219
3
219
,33-
-+
+
b. ;
3
219
3
219
,33-
-- -+
+
c. ;
3
217
3
217
,33-
-- -+
+
d. ;;
3
217
3
217
,33-
-+
+
12. Resuelve
5x − 1 < x
2
+ 2x + 1
a.
〈−∞;1〉 ∪ 〈2;+∞〉
b. 〈1;2〉
c. ℝ − {1}
d. ℝ − {2}
13. Halla el conjunto solución del siguiente siste-
ma.
xx
xx
34 150
23 90
2
2
1
1
--
--
Z
[
\
]
]]
]
]]
a. ;
2
3
2
1
-
b. ;
2
1
3-
c. ;
2
3
3-
d. ∅
Nivel destacado
14. Indica el valor de p en el sistema, si se sabe
que es el menor valor entero que verifica el
sistema.
xx
xx
xp
43
2
2
2
1
1
1
-
+
Z
[
\
]
]
]
]]
]
]
]
]]
a.
2 b. 3 c. 0 d. 1
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
c c a a d b d c d c b a c a
9 INECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS CT.indd 128 5/02/2020 15:30:09

129Unidad 3
?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
Recordamos lo aprendido
Valor absoluto
Definición
El valor absoluto de un número real «x», deno-
tado por |x|, es un número real no negativo que
cumple:
||
;
;
;
x
xx
x
xx
0
00
0
2
1
= =
-
Z
[
\
]
]
]
]]
]
]
]
]]
Interpretación en la recta
El valor absoluto es la distancia de un número
ubicado en la recta real al punto 0.
Noción gráfica:
|–x|
–x 0 x +3–3
|x|
Principales propiedades del valor absoluto
1. |x| $ 0; ∀ x ! ℝ
2. |x| = 0 + x = 0
3. |xy| = |x||y|; ∀ x,y ! ℝ
4.
y
x
y
x
= ; ∀ x ! ℝ, y ! ℝ – {0}
5. |x
2
| = |x|
2
= x
2
; ∀ x ! ℝ
6. x
2
= |x| ; ∀ x ! ℝ
7. –|x| # x # |x| ; ∀ x ! ℝ
8. |x| = |–x| ; ∀ x ! ℝ
9. Desigualdad triangular:
|x + y| # |x| + |y|
Ecuaciones con valor absoluto
• |x| = b ⟺ b $ 0 ∧ ( x = –b ∨ x = b)
Inecuaciones con valor absoluto •
|x| # b ⟺ b $ 0 ∧ (–b # x # b)
• |x| $ b $ 0 ⟺ x $ b ∨ x # –b
• |x| # |y| ⟺ x
2
# y
2
• |<> x| # |y| ⟺ (x – y) (x + y) # 0
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Resuelve:
|8x – 4| = 16 – 2x
2. Indica el mayor valor entero de la siguiente
inecuación:
|2x – 4| < 8
|2x – 4| < 8
& –8 < 2x – 4 < 8
& –8 < 2x – 4 ∧ 2x – 4 < 8
& 0 < 2x – 4 + 8 ∧ 2x – 4 – 8 < 0
En la primera inecuación:
0 < 2x – 4 + 8
& 0 < 2x + 4
& –2 < x
En la segunda inecuación:
2x – 4 – 8 < 0
& 2x – 12 < 0
& x < 6
Ubicamos los valores en la recta:
–2 6 +3–3
x ∈ ⟨–2; 6⟩
∴ El mayor valor es 5.
|8x – 4| = 16 – 2x
& 8x – 4 = 16 – 2x ∨ 8x – 4 = –(16 – 2x)
En la primera ecuación:
8x – 4 = 16 – 2x
& 10x = 20
& x = 2
En la segunda ecuación:
8x – 4 = –(16 – 2x)
& 8x – 4 = –16 + 2x
& 6x = –12
& x = –2
∴ C.S = {2; –2}
10.CT_Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto_U3_algebra.indd 129 5/02/2020 16:01:57

130Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
3. Calcula el conjunto solución de la siguiente
desigualdad:
|2x – 6| ≥ |x + 7|
4. Si el conjunto solución ;
a
b
1
pertenece a la
siguiente inecuación:
||x
x
8
20 4
21
-
Halla el valor de b
a
.
5. Determina el conjunto solución de la siguien-
te desigualdad:
x
2
– |x| ≤ 12

6. Indica la suma de soluciones de la ecuación.
x
2
– 14x + 49 = |7x – 49| – 6
||x
x
8
20 4
21
-
& |20x – 4| < 16x
& – 16x < 20x – 4< 16x
& – 16x < 20x – 4 ∧ 20x – 4 < 16x
& 4 < 36x ∧ 4x < 4
&
9
1
< x ∧ x < 1
9
1 1
+3
–3
C.S. = ;
9
1
1
Luego:
a = 9 ∧ b = 1
∴ b
a
= 1
9
= 1
De :
|x
2
| = |x|
2
= x
2
; ∀ x ! ℝ
Tenemos :
|x|
2
– |x| ≤ 12
Aplicando el aspa simple:
|x|
2
–|x|–12≤0
|x|
–4
|x| 3
Luego:
(|x| – 4)(|x| + 3) ≤ 0
Sabemos:
|x| + 3 > 0 & |x| – 4 ≤ 0
& –4 ≤ x ≤ 4
∴ C.S. = [–4; 4]
Dando forma:
(x – 7)
2
= |7x – 49| – 6
(x – 7)
2
= 7|x – 7| – 6
|x – 7|
2
– 7|x – 7| + 6 = 0
Aplicando aspa simple:
|x – 7|
2
– 7|x – 7| – 6 = 0
|x – 7|
–1
|x – 7| –6
& |x – 7| – 1 = 0 ∨ |x – 7| + 6 = 0
• |x – 7| = 1
& x – 7 = 1 ∨x – 7 = –1
& x = 8 ∨ x = 6
• |x – 7| = 6
& x – 7 = 6 ∨ x – 7 = –6
& x = 13 ∨ x = 1
C.S. = {1; 6; 8: 13}
Suma de soluciones:
1 + 6 + 8 + 13 = 28
&(2x – 6)
2
≥ (x + 7)
2

&4x
2
– 24x + 36 ≥ x
2
+ 14x + 49
& 3x
2
–38x–13≥0
3x
1
x –13
& (3x + 1)(x – 13) ≥ 0
P.C : x =
3
1
-, x = 13
13 +∞–∞
++ –
3
1
-
∴ C.S. = ;
3
1
3G--
V
X
W
W
W
W
∪ [13; + ∞⟩
10.CT_Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto_U3_algebra.indd 130 5/02/2020 16:02:01

131Unidad 3
?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
7. Halla la suma de valores del conjunto solución
de la inecuación:
|x + 2| < |x – 1|
8. Determina la suma de las raíces reales de la
ecuación:
x
2
– |3x + 2| + 4 = 0
9. Halla la suma de sus soluciones de la siguien-
te ecuación:
∙4 + ∙x – 1∙∙ – ∙x – 1∙=|2x – 1|
10. Calcula el C.S. de la siguiente inecuación:
|x
2
– 2x – 5| < |x
2
+ 4x – 7|
|x + 2| < |x – 1|
& (x + 2)
2
< (x – 1)
2

& (x + 2)
2
– (x – 1)
2
< 0
Aplicando diferencia de cuadrados:
(x + 2 –(x – 1))(x + 2 + x – 1) < 0
3(2x + 1) < 0
x <
2
1
-
+∞–∞
2
1
-
C.S. = ;
2
1
3--
Aplicamos la siguiente propiedad:
|x| = a ⟷ (a ≥ 0) ∧ (x = a ∨ x = –a)
Entonces:
x
2
– |3x + 2| + 4 = 0
& |3x + 2| = x
2
+ 4 > 0
& 3x + 2 = –x
2
– 4 ∨ 3x + 2 = x
2
+ 4
•
3x + 2 = –x
2
+ –4
x
2
+ 3x + 6 = 0
Como ∆ < 0, la ecuación no tiene soluciones
reales. • 3x + 2 = x
2
+ 4
x
2
–3x+2=0
x
– 2
x –1
(x – 2)(x – 1) = 0
x
1
= 2 ; x
2
= 1
x
1
+ x
2
= 2 + 1 = 3
Recordamos:
|a| ≥ 0
En el problema:
4 + ∙x – 1∙ ≥ 0 & ∙4 + ∙x – 1∙∙ = 4 + ∙x – 1∙
Luego:
4 + |x – 1| – |x – 1| = |2x – 1|
4 = |2x – 1|
& –4 = 2x – 1 ∨ 4 = 2x – 1
•
–4 = 2x – 1
&
2
3
- = x
• 4 = 2x – 1
& x =
2
5
C.S = ;
2
3
2
5
-(2
∴La suma de valores es:
2
5
2
3
1+-=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
|x
2
– 2x – 5|
2
< |x
2
+ 4x – 7|
2

Aplicando diferencia de cuadrados:
(x
2
–2x – 5 + x
2
+ 4x – 7)(x
2
–2x – 5 – (x
2
+ 4x – 7)) < 0
& (2x
2
+2x – 12)(–6x + 2) < 0
Factorizamos aplicando el aspa simple
2x
2
+2x–12
2x
6
x –2
& 2x
2
+2x – 12 = (2x + 6)(x – 2)
Reemplazando:
(2x + 6)(x – 2)(–6x + 2) < 0
& (2x + 6)(x – 2)(6x – 2) > 0
P.C.: x = –3, x = 2, x =
3
1
Aplicando los puntos críticos:
–3 2 +∞–∞
++ ––
3
1
∴ C.S = ⟨–3;
3
1
⟩ ∪ ⟨2; +∞⟩
10.CT_Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto_U3_algebra.indd 131 5/02/2020 16:02:04

132Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Halla el C.S de la siguiente inecuación:
|4x – 1| ≥ – 2
a. ;
4
1
4
3
-
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W W
W
b. ; ;
4
1
4
3
,3 3-- +
R
T
S
S S
S
V
X
W
W
W
W
c. ℝ
d. ;
4
3
3-
V
X
W
W
W
W
2. Calcula el producto de los elementos del C.S.
de la siguiente ecuación:
|4x| – |x| = 12
a. –9 b. 9 c. 16 d. –16
3. Indica el C.S. de la siguiente inecuación:
||x
4
7
2$
-
a. ⟨∞–; –1]∪[15; +∞⟩
b. ℝ
c. [–1; 15]
d. [–15; 1]
4. Halla la suma de las soluciones de la ecuación.
|5x + 2| = 2x + 5
a. 1 b. –1 c. 2 d. 0
Nivel intermedio
5.
Si x ∈ ⟨–4; –1⟩; reduce:
M = |x + 5| + 3|x – 2| + |x + 10| + |x + 7|
a. 27 b. 28 c. 29 d. 30
6. Resuelve:
–2 + |2x – 4| < 10
a. ⟨–4; 8⟩
b. ⟨–4; 8⟩ –{0}
c. ⟨–4; 4⟩
d. ⟨–4; 4⟩ – {0}
7. Determina el conjunto solución de la siguien-
te inecuación:
|3 – 2x| < |x – 4|
a. ⟨–3; 7⟩
b. [–1; 3]
c. ;1
3
7
d. ;1
3
7
-
8. Si 3x + 15 = 0, halla el valor de la siguiente
expresión:
||
||
x
x
5
5
-
+
a. 5 b. 0 c. ℝ d. –1
Nivel avanzado
9.
Halla la suma de soluciones de la siguiente ecuación:
|2x – 2| – |x
2
– 1| = |x – 1|
a.
–1
b. 0
c. 1
d. –2
10. Si a y b son soluciones positivas de la ecuación:
∙∙x – 3∙ – 5∙ = 2
entonces, el valor de a + b es:
a. 10 b. 12 c. 16 d. 14
11. Si x ∈ ⟨6; 9⟩; calcula el mayor valor entero de:
||
||
xx
x x
3
102
5 6
--
-+-
R
T
S
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
W
a.
3
1
b. –1
c. 3
d. –3
12. Resuelve:
|8x + 9| + |7x – 4| ≤ 10
a. ∅
b. [–1; 3]
c. ℝ
3
1
-(2
d. [1; 3]
13. Si 4x + 33 = 0. Determina el valor de la siguien-
te expresión.
||
|| ||
x
xx
xx
2
86
-
-
- +
a.
11
37
b.
11
37
-
c.
11
42
-
d.
11
42

Nivel destacado UNAC(2000-I)
14. Resuelve:
xx xx21 21 0
22
#-++ ++
a. ∅
b. {0; 1}
c. ℝ
d. ℝ – {0}
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
c d a d b a d b a c b a d a
10.CT_Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto_U3_algebra.indd 132 5/02/2020 16:02:10

133Unidad 3
?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Logaritmos
Recordamos lo aprendido
1. Logaritmos
Sean a y b números reales tal que a > 0, a ≠ 1 y
b > 0, el número real x se denomina logaritmo
de b en base a si y solo si a
x
= b.
Log
a
b = x ⟺ a
x
= b
Propiedades:
Sea a ∈ ℝ , a ≠ 1 y A, B > 0, se cumple:
1.
Log
a
1 = 0 y Log
a
a = 1.
2. Log
a
AB=Log
a
A + Log
a
B.
3. Log
a B
A
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O = Log
a
A – Log
a
B.
4. Log
a
A
n
= nLog
a
A; ∀ n ∈ ℕ.
5. Log
a
A
n
=
n
1
Log
a
A; n ∈ ℕ, n ≥ 2.
6. LogAa
m
n =
n
m
Log
a
A; n ≠ 0.
7. Log
a
A = Log
a
B ⟺ A = B.
8. a
Log
a
b
= b; b > 0.
Cambio de base
Dado Log
a
b ∈ ℝ, sea c > 0 y c ≠ 1, se cumple:
Log
a
b =
Loga
Logbcc
Regla de la cadena
Si a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1; c > 0, c ≠ 1; d > 0;
entonces:
Log
a
b × Log
b
c × Log
c
d = Log
a
d
2.
Cologaritmo
Colog
b
x = Log
b
x
1
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O;
x > 0, b > 0, b ≠ 1
3. Antilogaritmo
Antilog
b
x = b
x
; b > 0, b ≠ 1, x ∈ ℝ
Propiedades:
Sea b > 0,b ≠ 1, entonces se cumple:
1.
antilog
b
(Log
b
x) = x; ∀ x ∈ ℝ
+
2. Log
b
(antilog
b
x) = x; ∀ x ∈ ℝ
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Si x = Log
2
8; y = Log
3
27. Calcula 2x − y.
2. Si:
Log
a
6
1
= 4; Log
3
b = –2.
Determina el valor de 2a − 3b.
3. Tenemos:
Logx 3
2
1
=
; Log
x
y =
3
2
Halla .Logy
2
1
Tenemos:
x = Log
2
8 = Log
2
2
3
= 3Log
2
2 = 3.
Por otro lado:
y = Log
3
27 = Log
3
3
3
= 3Log
3
3 = 3.
Nos piden:
2x − y = 2(3) − 3 = 3.
Tenemos:
.
LogL og Log
Loga a
4
16
1
24 2
21 2
2
1
aa a
a
4
1
&& &
== =-
=-
==
-
-
Por otro lado:
.Logb b23
9
1
3
2 &=-
==
-
Nos piden:
ab23 2
2
1
3
9
1
3
2
##-= -= .
Tenemos:
Logx x3
2
1
8
1
3
2
1
&== =J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Luego:
LogyLogy y
3
2
8
1
4
1
x
8
1
3
2
&== ==
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
Nos piden:
LogyLogL og Log
4
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
==
==
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
11 LOGARITMOS CT.indd 133 5/02/2020 15:32:27

Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 134
Nivel intermedio
4. Determina el número de proposiciones verdaderas.
I. Si 2
x(x–6)
= 2
–9
⇒ x = –2.
II. Log9 33=
III. Log
625
125 = 0,75.
IV. Si: Log
b
8 = –1,5 ⇒ b =
4
1
.
5. Resuelve:
LogL og22 1422
x x2
= +
+b` b`jl jl

6. Simplifica M = Log
2
3Log
3
4Log
4
5… Log
63
64
Nivel avanzado
7. Sabiendo que: Log
x
a + Log
x
4
a
2
= n.
Calcula el equivalente de Log
x
a
2
; en términos de n.
8. Si: m − n = Log100
mn = Log10
−1
Determina el valor de P:
P
mn mn
mn
1
22
2
=
+--
+
-
^
^
^h
h
h
9. Resuelve:
Logx + Log(x + 5) =2Log(x+2)
I. Falso, en efecto:
2
x(x − 6)
= 2
−9
⇒ x(x − 6) = −9 ⇒ x=3
II.
Falso, en efecto:
3
4
`j = 9 ⇒ Log93 = 4
III. Verdadero, en efecto:
Log
625
125 = Log5
4
5
3
=
4
3
Log5
5
=
4
3
= 0,75
IV. Verdadero, en efecto:
Log
b
8 = −1,5 ⇒ 8 =
b2
3
-
⇒ b = 8
4
1
3
2
=
-
Por lo tanto, hay dos proposiciones
verdaderas.
Tenemos:
n = Log
x
a +
4
2
Log
x
a
n = Log
x
a+
2
1
Log
x
a
nL ogaLogan
2
3
3
2
xx
&==
Nos piden:
Loga Loga
n
2
3
4
xx
2
==
M = Log
2
3Log
3
4 … Log
62
63Log
63
64
Aplicando la regla de la cadena, se tiene:
M = Log
2
64 = Log
2
2
6
= 6Log
2
2
M = 6
Por propiedad, tenemos:
Log(x(x+5)) = Log(x+2)
2
Eliminando los logaritmos se tiene:
x
2
+ 5x = x
2
+ 4x + 4
⇒ 5x − 4x = 4
Por lo tanto
x = 4
Tenemos:
m−n = Log100 = Log10
2
= 2Log10 = 2
Por otro lado:
mn = Log10
−1
= −1Log10 = −1
Hallamos P:
P
mn mn
mn
P
mn
mm nn
P
mn
mm nn mn
P
mn
mm nn
mn
mn
P
1
4
2
1
4
24
4
2
4
41
2
1
22
2
22
22
22
2
2
=
+--
+
-
=
++
-
=
++ -
=
-+
=
-
=
-
=-
^
^
^
^
^
h
h
h
h
h
Por propiedad:
xx
22 1422
22 22 14
22 81 14
22 714
22 2
22
2
3
1
3
2
xx
xx
x
x
x
x
2
2
1
2
3
&
&
&
&
&
&
#
=+
-=
-=
=
=
=
==
+
+
`
`
`
`
`
`
`j
j j j j
j
j
6@
11 LOGARITMOS CT.indd 134 5/02/2020 15:32:29

135Unidad 3
?lgebra
B?sico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el valor de:
,ELog LogL og
49
7
0251 257
3
45##=
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
a. 5 b. 8 c. 10 d. 12
2. Halla el valor de N en la siguiente igualdad:
Log
2
4
N + Log
4
N + Log
2
N = 7
a.
2 b. 4 c. 8 d. 16
3. Dada la ecuación, determina el valor de Log
2
x:
2
x+4
+ 2
x+2
= 21 × 2
4−x
− 2
x
a.
2
b. 10
c. 0
d. 1
4. Si:
Log(3
x+2
)+Log(9
x+1
) = Log243Calcula el valor de x
–2
.
a. 1 b. 4 c. 9 d. 16
Nivel intermedio
5.
Halla el valor de:
S =Log
3
Antilog
3
Log
4
Antilog
4
Log
2
Antilog
2
3
a.
3 b. 2 c. 9 d. 6
6. Reduce:
()
()
min
min
R
LogL og Logn tr os
LogLog Logn tr os
22 2
22 2
é
é
nn n1223
g
g
=
++ +
++ +
--
(n términos)
(n términos)
a. Log2
n
b. Log(2n)
c. Log2
d. 1
7. Halla el valor de la siguiente expresión:
S = Colog
2

Log33
444
a. 3 b. 1,5 c. –6 d. 6
8. Calcula:
,
S
LogL og Log
LogL og Log
86 41 25
52 73 0
51 25 5
28 2
=
- +
+ -
a. 0,5 b. –2 c. –0,5 d. 2
9. Calcula el valor de «x» :
2Logx = Log192 + Log
4
3
a. 2
b. 6
c. 12
d. 15
Nivel avanzado
10.
Si: Log
2
3 = a. Determina el valor de Log
24
64.
a.
a2
3
+
b.
a1
5
+
c.
a3
6
+
d.
a4
5
+
11. Si: Log
3
x = 6, entonces halla el valor de Logx x.
a. 1/3
b. 1,56
3
c. 2
d. 2/3
12. Si: Log2 = a;Log3 = 2b. Calcula «x» en:
10
x
=
48
a. a + b
b. 2a + b
c. a + 2b
d. a + 3b
Nivel destacado
13. Se tiene:
.
p
Loga
q
Logb
r
Logc
Logx== =
Estando todos los logaritmos en la misma
base, donde x ≠ 1. Calcula y, si
ac
b
2
= x
y
.
a. 2q – pr
b. q – pr
c. 2q – p – r
d. p + q + r
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
c d d c a d d c c c b b c
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
11 LOGARITMOS CT.indd 135 5/02/2020 15:32:30

136Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Relaciones binarias
Recordamos lo aprendido
Par ordenado
Un par ordenado es una dupla de objetos cua-
lesquiera «a» y «b».
Notación:
(a; b) se lee: "par ordenado (a; b)"

2
da
componente
1
ra
componente
Propiedades 1.
Un par ordenado no es conmutativo.
(a; b) ≠ (b; a)
2. Igualdad de pares ordenados:
Si (x; y) = (a; b) entonces: x = a ∧ y = b
Producto cartesiano
A × B = {(a; b) | a ! A ∧ b ! B}
Propiedades del producto cartesiano 1.
El producto cartesiano no es conmutativo.
A × B ≠ B × A
2. El cardinal del producto cartesiano es igual
al producto de cardinales de cada conjunto,
es decir:
n(A × B) = n(A) × n(B)
Relaciones binarias
Sean A y B conjuntos no vacíos, entonces R es
una relación de A y B si:
R ⊂ A×B + R: A " B
Dominio y rango de una relación
Dada una relación R: A " B definimos:
•
Dominio de R: es el conjunto formado por las
primeras componentes de pares ordenados.
Se denotará por Dom(R).
• Rango de R: es el conjunto formado por las
segundas componentes. Se denotará por Ran(R).
Ejemplo:
Sea R = {(a; b), (c; d), (e; f)} una relación:
& Dom (R) = {a; c; e}
y Ran (R) = {b; d; f}
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Halla el par ordenado (a; b), si se verifica que:
(b, a + b) = (4a; 10)
2. Si se cumple que (3x; 2y) = (2y – 4; 12 – x).Deter-
mina el valor de x + y.
3. Calcula todos los pares ordenados del pro-
ducto A × B:
A = {2; 4; 6};
B = {3; 5; 7}
Igualamos la relación:
3x = 2y – 4…(1)
2y = 12 – x...(2)
Reemplazamos 2 en 1:
3x = 2y – 4
3x = 12 – x – 4
4x = 8
x = 2
Entonces:
3(2) = 2y – 4
y = 5
∴ El valor de x + y = 2 + 5 = 7
A×B = {(2;3),(2;5),(2;7),(4;3),(4;5),(4;7),(6;3),
(6;5),(6;7)}
Igualando tenemos:
b =4a ∧ a + b = 10
& a + 4a = 10
& 5a = 10 & a = 2
Luego:
b = 4a
&b = 4(2) & b = 8
Finalmente, el par ordenado es (2; 8).
12.CT_Relaciones binarias_U3_algebra.indd 136 5/02/2020 15:33:54

137Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Sean A={2; 5; 7} y B={1; 2; 3} y
R={(a; b) ∈ A×B/ a+b sea impar} una relación.
Indica la suma de los elementos de Dom(R).
.
5. En la figura calcula a+ b – (c + d)
b + 6
(0; 0)
c
d a + 4
M(2a; 2b)
;N
b
a
2
J
L
K
K
K
N
P
O
O O
6. Sea la relación R = {(a; b) ∈ A×A / a + b = 2a – b},
donde A={0; 1; 2; 3; 4} . Halla R y el producto de
los elementos del rango.

7. Sea la relacion:
R = {(a; b) ∈ ℤ
+
× ℤ
+
/ 2b = 8 – a}
Determina R por extensión y calcula n(R).
8. Sea R = {(a; b) ∈ ℝ × ℝ/ y = x
2
– 7x – 18} una rela-
ción; si (a; 0) y (b; 0) pertenecen a R determina
a × b.
En M:
(2a; 2b) = (a + 4; b + 6)
& 2a = a + 4 & a = 4
& 2b = b + 6 & b = 6
En N:
; (;)
b
adc
2
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O O
&
b
d
2
= & d
2
6
= & 3 = d
& ac=& c4= & 2 = c
Entonces:
a + b – (c + d) = 4 + 6 – (2 + 3) = 5
R = {(a; b) ∈ A × A / a + b = 2a – b}
A = {0; 1; 2; 3; 4}
a + b = 2a – b
& 2b = a
Luego:
•
2(1) = 2 ; 2(0) = 0
• 2(2) = 4
& R = {(2; 1) , (4; 2) , (0; 0)}
Por lo tanto Ran(R) = {1; 2; 0} Entonces:
0 × 1 × 2 = 0
Hallamos R:
R={(a;b)∈ ℤ
+
× ℤ
+
/ 2b = 8 – a}
2b = 8 – a & 2b + a = 8
Notemos que: •
2(3) + 2 = 8
• 2(2) + 4 = 8
• 2(1) + 6 = 8
Entonces (6; 1); (2; 3); (4; 2) son los unicos
valores que cumplen la condición
& R = {(2; 3) , (4; 2) , (6; 1)}
Piden: n(R) = 3
Cuando y = 0 :
x
2
– 7x – 18 = 0
(x + 2)(x – 9) = 0
& x
1
= –2 ∨ x
2
= 9
& (9; 0) y (–2; 0) ∈ R
Luego:
a × b = –2 × 9 = –18
Hallamos R:
R={(a; b) ∈ A×B/ a + b sea impar}
A = {2; 5 ;7} , B = {1; 2; 3}
a + b = # impar
#impar
21 3
23 5
52 7
72 9
+=
+=
+=
+=
_
`
a
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
bb
& R = {(2; 1) , (2; 3) , (5; 2) , (7; 2)}
& Dom(R) = {2; 5; 7}
Luego:
2 + 5 + 7 = 14
12.CT_Relaciones binarias_U3_algebra.indd 137 5/02/2020 15:33:57

138Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
9. Sea.
R = {(a; b) ∈ ℤ
+
/ ab
= 4(a + b)}
Determina el producto de los elementos del
Rango de R.
10. En la siguiente gráfica, calcula el valor de a∙b∙c∙d
Si a < b son los mayores posibles.
a
2
+ 48
c + 1
b – 2 b
2
– 16
Q (6b; 14a)
;Pd
a
2
2+bl
11. Dado A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones definidas en A.
•
R
1
= {(a; b) ∈ A×A / a = b}
• R
2
= {(a; b) ∈ A×A / b = 3}
• R
3
= {(a; b) ∈ A×A / b ≥ a}
Calcula n(R
3
– (R
1
∩ R
2
))
12. Si A = {2020; 2021}, determina todas las rela-
ciones de A en A que presentan 2 elementos
y calcula la diferencia entre las suma de los
elementos de los dominios con la suma de los elementos de los rangos.
Hallamos R por extensión
R = {(a; b) ∈ ℤ
+
/ ab
= 4(a + b)}
ab = 4(a + b)
10a + b = 4a + 4b
6a = 3b & 2a = b
Notemos que:
• 2(1) = 2
• 2(2) = 4
• 2(3) = 6
• 2(4) = 8
& R = {(1; 2) , (2; 4) , (3; 6) , (4; 8)}
& Ran(R) = {2; 4; 6; 8}
Entonces:
2×4×6×8 = 384
En Q:
(b
2
– 16; a
2
+ 48) = (6b; 14a)
&b
2
– 16 = 6b
∧ a
2
+ 48 = 14a
&(b – 8)(b + 2) = 0 ∧ (a = 6 ∨ a = 8)
&b = 8 ∨ b = –2
Como a < b entonces a = 6 ∧ b = 8 En P:
; ;d
a
bc
2
2 21+=-+
J
L
K
K
K
^
N
P
O
O
O
h
& d = b – 2 ∧ c + 1 =
a
2
+ 2
& d = 8 – 2 ∧ c + 1 = 3 + 2
& d = 6 ∧ c = 4
Entonces:
a ∙ b ∙ c ∙ d = 6 ∙ 8 ∙ 4 ∙ 6 = 1152
Hallamos las relaciones:
• R
1
= {(a; b) ∈ A×A / a = b}
R
1
= {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4)}
•
R
2
= {(a; b) ∈ A / b = 3}
R
2
= {(1; 3); (2; 3); (3; 3); (4; 3)}
•
R
3
= {(a; b) ∈ A×A / b ≥ a}
R
3
= {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 2), (2; 3), (2; 4),
(3; 3), (3; 4), (4; 4)}
Piden:
n(R
3
–(R
1
∩ R
2
))
•
R
1
∩ R
2
= {(3; 3)}
• R
3
–(R
1
∩ R
2
) = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4),
(2; 2), (2; 3), (2; 4), (3; 4), (4; 4)}
& n(R
3
– (R
1
∩ R
2
)) = 9
Hallamos A × A:
A × A = {(2020; 2020), (2020; 2021),
(2021; 2020), (2021; 2021)}
Determinamos las relaciones A ⟶ A
R
1
= {(2020; 2020), (2020; 2021)}
R
2
= {(2020; 2020), (2021; 2020)}
R
3
= {(2020; 2020), (2021; 2021)}
R
4
= {(2020; 2021), (2021; 2020)}
R
5
= {(2020; 2021), (2021; 2021)}
R
6
= {(2021; 2020), (2021; 2021)}
Suma de dominios: 5(2020) + 5(2021)
Suma de rangos: 5(2020) + 5(2021)
Entonces:
SumDom – SumRan = 20 205 − 20 205
SumDom – SumRan = 0
12.CT_Relaciones binarias_U3_algebra.indd 138 5/02/2020 15:33:58

139Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si se verifica que (a + 3; 2a – b) = (b – 1; 7).
Halla b – a.
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6
2. Calcula x
y
, si los siguientes pares ordenados
son iguales.
;;xy xy23 36 1682+= -^^ hh
a. 64 b. 625 c. 125 d. 256
3. Sean A y B conjuntos disjunto, si se cumple
que:
n(A) = 2n(B) y n(A × B) = 50.
Determina n(A) + n(B).
a. 15 b. 12 c. 10 d. 8
Nivel intermedio
4.
Halla n(R), si se sabe que:
R={(a,b) ∈ ℝ×ℝ / (a
2
+ 3a; b
2
– 7b) = (–2; –12)}
a.
2 b. 3 c. 4 d. 5
5. Sea A = {2; 4; 6} y B = {1; 3; 5} , determina
R={(a;b) ∈ A×B / a + b sea impar} e indica la
suma de los elementos del rango de R.
a. 15 b. 9 c. 27 d. 6
6. En la siguiente gráfica, calcula (a – b) + (c – d).
a + 2
4
c + 2 2d – 2
N(12; 8)
M(8; b – 3)
a. –2 b. 3 c. 1 d. 0
7. Sea A = {1; 2; 3; 4; 5} y B= {2; 3; 4; 6}, halla
R = {(a;b) ∈ A×B / a+b sea par} e indica la
suma de los elementos del dominio de R.
a. 18 b. 20 c. 16 d. 15
Nivel avanzado
8.
Si R
1
y R
2
son dos relaciones tales que:
• R
1
×R
2
= {(5; a) , (d; 6) , (c; a) , (c; b)}
• R
2
×R
1
= {(a; d) , (7; c) , (b; 4) , (b; 5)}
Determina el valor de (a×b) – (c×d).
a. 20 b. 21 c. 22 d. 23
9. Sea A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y las siguientes
relaciones definidas.
• R
1
= {(x; y)∈ A×A / x + y = 8}
• R
2
= {(x; y)∈ A×A / x – y = 0}
• R
3
= {(x; y)∈ A×A / x
2
= y}
Halla n[(R
1
– R
2
) ∪ R
3
].
a. 10 b. 11 c. 12 d. 13
10. Sea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} y las relaciones definidas •
R
1
= {(a; b) ∈ A×A / a ∙ b = 12}
• R
2
= {(a; b) ∈ A×A / b > 3a}
Halla la suma de los elementos del Dom(R
1
)
con el Ran(R
2
).
a.
28 b. 29 c. 30 d. 31
11. Sea A={2; 3; 4; 5; 6; 7} y las relaciones definidas •
R
1
= {(a; b) ∈ A×A / a + b = 10}
• R
2
= {(a; b) ∈ A×A / b > 2a}
Calcula n(Dom(R
2
)) + n(Ran(R
1
)).
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9
Nivel destacado
12. Sean las siguientes relaciones definidas: •
A = {x ∈ ℝ / x
2
+ 2x – 8 = 0}
• B = {x ∈ ℝ / x
3
– 2x
2
– 3x = 0}
Determina el número posibles de relaciones
de A en B.
a. 16 b. 32 c. 63 d. 64
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
b b a c b a d c c c b c
12.CT_Relaciones binarias_U3_algebra.indd 139 5/02/2020 15:33:59

B?sico Intermedio Avanzado UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
ÁLGEBRA
4
Educación Secundaria
140Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4
Álgebra UNIDAD
141Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Funciones I
Recordamos lo aprendido
Función
f es función ,! /;xA yB xy f+67!! !_i
Notación: f: AB"
Propiedad 1
Sea f una función, entonces:
Si : ;;xy fxz fy z(/!! =_ ^i h
Dominio: Es el conjunto de los elementos que pertene-
cen al conjunto de partida, es decir:
Dom(f) =
/! ;xA yB xy f/7!! !_i$.
Rango:
Es el conjunto de los elementos que pertene-
cen al conjunto de llegada, es decir:
Ran(f) = / ;yB xA xy f/!! !_i$.
Propiedad 2
Sea f: AB" una función, se cumple:
Dom(f) ⊂ A ∧ Ran(f) ⊂ B
Función de variable real
f = , /xy xR
2
! !_i$ Dom(f) yfx/=^h-
Criterios para determinar el dominio
• Si y =
Qx
Px^
^
h
h
, tener en cuenta:
Qx
Px
Qx0R+ !!
^
^
^
h
h
h
• S<> i y = Px^h , tener en cuenta:
PxPx0+ $^^hh
Criterios para determinar el rango
Se despeja la variable x y se analiza como el
caso anterior o teniendo como dato el domi-
nio de la función
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Identifica si las siguientes gráficas son funciones
y/o aplicaciones.
1 2 3
A B
a
b
c
α
β
g
d
f
f
f
f
f
f
f
M N
1
2
3
4
2
6
f
f
f
f
X Y
1
2
3
4
a
b
c
d
2. Indica (V) si es verdadero o (F) si es falso en las
siguientes proposiciones.
• Si al conjunto de las madres de los alumnos
de un colegio le asociamos cada uno de sus hijos, entonces esta correspondencia es una función.
•
Si ;A24=", y ;;B246=", y f ={(2; 2),(4; 2),(6; 4)}
entonces f es una función de A en B.
• Si a cada trabajador de una empresa le
asociamos su nombre, apellido y DNI entonces esta correspondencia es una función.
•
Si a todos los números naturales les
corresponde el número 0, entonces estamos frente a una función.
La figura 1) es una función, además es aplicación, pues el conjunto de partida es todo el conjunto A.
La figura 2) no es una función, pues el
número 2 corresponde a dos valores
distintos además no es aplicación.
La figura 3) es una función, además es
aplicación, pues el conjunto de partida es
todo el conjunto X.
•
(F), pues hay madres a las que les puede
corresponder más de un hijo.
• (F), pues la función es de B en A.
• (V), pues a cada trabajador le corresponde
un único nombre, apellido y DNI.
• (V), pues a cada elemento solo le corres-
ponde 0
13 CT_funciones I_U4_algebra.indd 141 5/02/2020 15:34:46

B?sico Intermedio Avanzado 142Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
3. Según las condiciones de tabulación, ¿cuál de las
siguientes gráficas representa una función?.
a. Y
X
b. Y
X
c. Y
X
d. Y
X
e. Y
X
f.
Y
X
4. Dada la siguiente función f : RR$ , definida
como fxx4
2
=-^h .
Encuentra el dominio y rango de la función f.
Nivel avanzado
5. Halla el dominio de la función h: ℝ ⟶ ℝ defini-
da como:
hx x41
2
=-_i
6. Dada la función :;g13 R$7A definida como:
gx xx3123
2
=- ++^ _h i
Calcula su rango.
Sea yx41
2
=- , para que y exista se debe
cumplir que:
x41 0
2
$-
x
4
12
$
Entonces, sacando raíz: x
2
1
#
x
2
1
&#- o x
2
1
#
Luego, el dominio es:
; ;Domh
2
1
2
1
,3 31 2=- - +^h
R
T
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
Trazando la recta vertical vemos que:
a. Y
X
b.
Y
X
c.
Y
X
d. Y
X
e.
Y
X
f.
Y
X
a), e) y f): No representan una función, pues
la recta vertical corta en más de un punto.
En el caso de e) la recta corta en infinitos
puntos a la gráfica.
b), c) y d): Si representan una función pues
cualquier recta vertical siempre cortará en
un solo punto a la gráfica.
Notemos que la expresión:
x4
2
-
No tiene alguna restricción para tomar
valores de x, luego el dominio es todo R,
esto es, domfR=^h & f es una aplicación.
Determinamos el rango, sea yx 4
2
=-
Luego x0
2
# para todo xR!
& –4 ≤ x
2
– 4 = y
Entonces y431#- , por lo tanto, el rango es:
Ran(f) = [-4; ∞⟩
Como 1 ≤ x ≤ 3
& 1 –
2
3
≤ x –
2
3
≤ 3 –
2
3
–
2
1
≤ x –
2
3
≤
2
3
x0
2
3
4
9
2
##-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
xx03
4
9
4
92
##-+
xx0
4
39
3
4
9
4
39
4
9
4
392
##+- ++ +
4
39
≤ x
2
– 3x + 12 ≤ 12
xx
4
39
31212–
2
## +
xx
4
39
33 123123–
2
##++ ++
6,12 ≤ g(x) ≤ 6,46
& Ran(g) = [6,12; 6,46]
13 CT_funciones I_U4_algebra.indd 142 5/02/2020 15:34:49

B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4
?lgebra 143Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Dada la siguiente función:
,;,; ,; ,fa ba aa b43 10 33 42 2=++ + -__ _ _ii i i$.
Halla el valor de ab
2
+_i .
a. 38 b. 49 c. 64 d. 36
2. Indica cuál de las siguientes gráficas represen-
tan una función.
A.
X
Y
B.

X
Y
C.

X
Y
D.

X
Y
a.
B y C
b. Solo B
c. B y D
d. Solo A
3. Dada la siguiente función g: RR$ definida
como g(x) = –x+2 tabula y luego grafica, marca
la alternativa correcta.
a.
2
X
Y
–2
b.

1
3
Y
X
c.
Y
X2
2
d.
Y
X
2
2
Nivel intermedio
4.
Dada la siguiente función f: ℝ⟶ℝ, definida como:
f(x) = ax + 2b + 3x
Halla a + 2b, si f(–2) = –2 y f(1) = 13.
a. 8 b. 10 c. 5 d. 12
5. Encuentra el dominio de la siguiente función
h: ℝ ⟶ ℝ definida como:
6.
h(x) =
xx
x
56
3
2
2
-+
+
a. ℝ– {–2, 3}
b. ℝ– {–3}
c. ℝ– {2; 3}
d. ℝ– {2}
6. Halla la función que representa el área de la
siguiente figura respecto a x, si se sabe que
ABCD es un cuadrado y x es el radio de la semi-
circunferencia.
B C
x
A D
a. fx x8
3
r
=+_bi l
b. fx x8
3
2r
=+_bi l
c. fx x6
2
r
=+
J
L
K
K
KK
^
N
P
O
O OOh
d. fx x
2
8 2r
=
+
J
L
K
K KK^
N
P
O
O
OO
h
7. Halla el rango de la siguiente función f: RR$,
definida como fx
x4
1
2
=
-
^h .
a. ℝ –{4}
b. ℝ – ,
2
1
0-
V
X
W
W
W
WW
c. ℝ –{0}
d. ℝ – ,
4
1
0-
V
X
W
W
W
WW
Nivel avanzado
8. Halla el dominio de la función f: ⟨0; +∞⟩⟶ℝ,
que tiene como regla de correspondencia:
f
x
x
1
1
2
=-
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
a. ;
2
1
3+
R
T
S
S
S
S
b. ;13+6
c. ⟨-∞; 1⟩
d. ;23+6
9. Si tenemos que f es una función tal que
fx ax3 1-=-^h , y además fafa4+-=^ ^h h. Ha-
lla la regla de correspondencia de la funcion f.
a. f(x) = x
b. f(x) = 2x
c. f(x) = 3x – 1
d. f(x) = x + 2
Nivel destacado
10. Si los puntos (0;0) y (1;–9) pertenecen a la gráfi-
ca de la función f(x)=m(x – 2)
2
– p.
Halla m + p.
a. 16 b. 12 c. 10 d. 15
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b d c b c d d b d d
13 CT_funciones I_U4_algebra.indd 143 5/02/2020 15:34:50

144Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Funciones II
Recordamos lo aprendido
Funciones notables
Dada la función f: ℝ⟶ℝ :
1. Función par: Si x; –x ∈ Dom(f) y f(x) = f(–x), entonces dire-
mos que f es una función par.
2.
Función impar: Si x; –x ∈ Dom(f) y f(–x) = –f(x), entonces dire-
mos que f es una función impar.
Funciones monótonas Dada la función f: ℝ⟶ℝ :
1.
Función creciente:
Sean x
1
, x
2
tales que x
1
< x
2
, diremos que f es
creciente si f(x
1
) < f(x
2
) ∀ x
1
, x
2
∈ Dom(f).
2.
Función decreciente:
Sean x
1
, x
2
tales que x
1
< x
2
, diremos que f es
decreciente si f(x
1
) > f(x
2
) ∀ x
1
, x
2
∈ Dom(f).
3.
Función no decreciente:
Sean x
1
, x
2
tales que x
1
< x
2
, diremos que f es
no decreciente si f(x
1
) ≤ f(x
2
) ∀ x
1
, x
2
∈ Dom(f).
4.
Función no creciente:
Sean x
1
, x
2
tales que x
1
< x
2
, diremos que f es
no creciente si f(x
1
) ≥ f(x
2
) ∀ x
1
, x
2
∈ Dom(f).
Composición de funciones
Sean f y g funciones tales que Ran(g) ⊂ Dom(f);
definimos f compuesta con g de la siguiente
manera:
f ∘ g : ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ (f ∘ g)(x) = f(g(x))
Propiedades
Para las funciones f, g y h:
• fgRD
gf
+%+7Q !
• fggf%%!
• fghf gh%%% %=__ii
• fg hfh gh% %%+= +_ ^ _i h i
• fg hfh gh#% %#%=_ ^ _i h i
• f ∘ I = I ∘ f; siendo I la función identidad.
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Relaciona:
f(x) = x
250
Función par
f(x) = x
333
Función creciente
f(x) =
x Función impar
2. Sobre las funciones f(x) = 2x, g(x) = x
2
y
q(x)= x+2, todos definimos en el intervalo
[–1;1]. Indica que función es par, impar y cre-
ciente.
3. Dada la función f(x) =
x
x
12
2
-
con dominio
;
2
1
3- .
Determina si la función f es monótona.
Analizamos cada función
• Para f(x) = 2x
f(–x) = 2(–x) = –2x = –f(x)
Por tanto f(x) = 2x es una función impar.
• Para g(x) = x
2
g(–x) = (–x)
2
= x
2
= g(x)
Por tanto g(x) = x
2
es una función impar.
•
Para h(x) = x + 2
Sean x
1
< x
2
; x
1
, x
2
∈ [–1; 1]
& x
1
+ 2 < x
2
+ 2
& h(x
1
) < h(x
2
)
Por tanto h(x) = x + 2 es una función creciente.
Sean x
1
< x
2
y x
1
, x
2
∈
;
2
1
3-
f(x
2
) – f(x
1
) =
x
x
x
x
12
2
12
222
1
1
-
-
-
() ()
() ()
xx
xx xx
12 12
21 22 12 2121 12
=
--
-- -
() ()xx
xx xx xx
12 12
24 24 2122 11 12
=
--
-- +
() ()
()
xx
xx
12 12
2
0
21
21
2=
--
-
Pues x
2
– x
1
> 0; 1 – 2x
2
> 0; 1 – 2x
1
> 0
& f(x
2
) – f(x
1
) > 0 ⟺ f(x
2
) > f(x
1
)
Luego f es creciente.
14. FUNCIÓN II_U4_algebra.indd 144 5/02/2020 15:35:17

145Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Sean las funciones f y g de ℝ en ℝ definidas
por f(x) = x
2
– 2x + 15 y g(x) = –5x + 40,
halla
el valor de:
() (())
(())(())
fg f
fg f
00
44
2
-
-
5. Dadas las funciones:
f(x) = x
2
– 1, x ∈ ⟨16;25⟩,
g(x)=x
2
– 4x + 4,x ∈
;4
2
9
Determina el dominio de f ∘ g y calcula la fun-
ción f ∘ g.

6. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corres- ponda.
a.
La función f(x) = x- con 0 < x < ∞
es decreciente.
( )
b. La función cúbica con dominio ℝ
+

es una función no decreciente.
( )
c. f(x) = c, c : constante es creciente.( )
Nivel avanzado
7.
Dadas las funciones:
f: ℝ ⟶ ℝ / f(x) = x
2
g: ℝ ⟶ ℝ / g(x) = x + 2
h: ℝ –{0} ⟶ ℝ / h(x) =
x
1
Calcula h ∘ g ∘ f y (f + g) ∘ h.
8. Sean las funciones:
f(x) = x
2
+ 3x – 4; x ∈ [–2; 3]
g(x) = 3 – 5x; x ∈ [1; 6⟩Determina el dominio de f ∘ g y halla f ∘ g.
Dom(f ∘ g) = {x ∈ Dom(g) / g(x) ∈ Dom(f)}
Si: x ∈ ;4
2
9
∧ x
2
– 4x + 4 ∈ < 16; 25>
16 < x
2
– 4x + 4 < 25 & 16 < (x – 2)
2
< 25
4 < |x – 2| < 5
Luego: xx
xx
42 56 7
52 43 2
&
&
11 11
11 11
-
-- -- -
Z
[
\
]
]]
]
]]
Gráficamente:
6
2
94–3–2 7
Luego, Dom(f ∘ g) = ∅
Por lo tanto, f ∘ g no existe.
Analizamos
f(4) = 4
2
– 2(2) + 15 = 27
g(f(4)) = g(27) = –5(27) + 40 = –95
f(0) = 0
2
– 2×0 + 15 = 15
g(f(0)) = g(15) = –5(15) + 40 = –35
Luego:
() (())
(())()())
fg f
fg f
00
44
15 35
2795
25
412
2
2
-
-
=
+
+
=
Por la propiedad asociativa se tiene:
(h ∘ g ∘ f)(x) = (h ∘ g)(f(x)) = (h ∘ g)(x
2
)
=h(g(x
2
)) = h(x
2
+ 2) =
x2
1
2
+
donde x ∈ ℝ.
Por la propiedad distributiva se tiene:
(f + g) ∘ h = (f ∘ h)+(g ∘ h)
(f + g) ∘ h = f
x
g
xx x
11 11
2
2
+ = ++
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
N
P
O
O
O
(f + g) ∘ h =
x
xx21
2
2
++
Donde x ∈ ℝ – {0}.
Si Dom(f ∘ g) = {x ∈ Dom(g) ∧ g(x) ∈ Dom(f)}
x ∈ [1; 6⟩ ∧ 3 – 5x ∈[–2; 3]
–2 ≤ 3 – 5x ≤ 3 & –5 ≤ – 5x ≤ 0
& 0 ≤ 5x ≤ 5 & 0 ≤ x ≤ 1
Gráficamente:
610
Luego:
Dom(f ∘ g)=[1;6⟩ ∩ [0; 1] = {1}
También:
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(3 – 5x)
(f ∘ g)(x) = (3 – 5x)
2
+ 3(3 – 5x) –4
(f ∘ g)(x) = 25x
2
– 45x + 14
V
F
V
14. FUNCIÓN II_U4_algebra.indd 145 5/02/2020 15:35:21

146Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Dada la siguiente función P(x)=x
2
+ 6x + 10,
donde Dom(P) = [–3; ∞⟩ .En esta intervalo, la
función es:
a. Par
b. Impar
c. Creciente
d. No creciente
2. Sea la función f(x) =
x
x
14
4
+
con dominio
;
4
1
3- . Esta función es:
a. Par
b. Impar
c. Creciente
d. No creciente
3. Sean las funciones f y g de ℝ en ℝ definidas
por f(x) = x
3
– 4x + 6 y g(x) = –3x + 4,
calcula
el valor de:
()(())
() (())
fg f
fg f
51 1
22
:+
-
a. 1 b. 2 c. 5,2 d. 6,1
4. Sean las funciones f y g de ℝ en ℝ definidas por f(x) = x
2
– 1 y g(x) = 8 – 3x, halla el valor de:
(())(())fg gf
2
00+
a. 35 b. 40 c. 30 d. 37
Nivel intermedio
5.
Sean las funciones:
f = {(3; 1), (2; 3), (1; 9), (4; 7)}
g = {(1; 3), (7; 5), (9; 7), (11; 4)}
Determina la suma de los elementos de
Dom (f ∘ g).
a. 8 b. 7 c. 11 d. 12
6. Si f y g son funciones reales tales que:
f(x)= x3- ∧ g(x) =
||x
1
, si se sabe que
(g ∘ f) (m) = 2.
Calcula (g ∘ f)(m + 1).
a.
7
2
b.
5
2
c.
5
1
d.
5
12
7. Sean las funciones f(x)=7x+2 ∧ g(x) = 5x + 16.
Halla (f ∘ g)(x) – (g ∘ f)(x).
a. 60 b. 88 c. 76 d. 81
8. Si f(x) = m + 5x ∧ g(x) = 3x – m, determina el
valor de 2m + 5 si se cumple:
(g ∘ f)(2) – m = 5 + (f ∘ g)(–2)
a. –11
b. 11
c. 15
d. –15
Nivel avanzado
9.
Dada la función f(x) = 3 – |x – 2|; ∀ x ∈ ℝ, calcula
el intervalo máximo donde la función es decre-
ciente.
a. ⟨–∞ ; 2]
b. ⟨5; ∞⟩
c. [2; ∞⟩
d. ⟨2; ∞⟩
10. Sean f(x) = x
3
y g(x) funciones de variables real.
Si g es una función tal que:
f(g(x)) = x
3
– 6x
2
+ 12x – 8.
Halla g(2x + 1).
a. 2x + 2
b. 2x – 1
c. 2x + 1
d. 2x
11. Si f(x + 3) = x + 7 y g(x – a) = x. Calcula el valor
de a tal que cumpla (f ∘ g)(2) = (g ∘ f)(a – 2).
a. –4 b. 7 c. 4 d. 2
Nivel destacado
12. Dadas las funciones f(x) = ,()
x
gx
x
x
21
1
21
21
-
=
+
-

y h(x) =
x
1
. Determina (h ∘ f ∘ g)(x).
a.
x
x
32
21
+
-
b.
x
x
1
34
-
+
c.
x
x
21
23
+
-
d.
x
x
25
23
-
-
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
c c b d d b b a c b c c
14. FUNCIÓN II_U4_algebra.indd 146 5/02/2020 15:35:28

147Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Funciones especiales
Recordamos lo aprendido
Función constante:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = c
Donde: c es un número real constante.
Función identidad:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = x
Función lineal:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = ax + b, a ≠ 0.
La pendiente de esta función, denotada por m, se
obtiene con dos puntos P
1
= (x
1
; y
1
) y P
2
= (x
2
; y
2
)
que pertenece a f(x), esta está definida por:
m =
a
b
- =
xx
yy21
21-
-
Función cuadrática:
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = ax
2
+ bx + c
Donde: a, b y c son constantes.
Función valor absoluto
f: ℝ ⟶ ℝ
x ⟼ f(x) = |x|
Donde:
|x| =
,
,
x
x
x
x
0
01
$
-
(
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Grafica la siguiente función f(x) + g(x), donde
f(x) = 2x + 5; g(x) = x
2
+ 2x + 3.
2. Sea f(x) = 100 y g(x) = x. Grafica (f ∘ g)(x).
3. Sea f(x) = x
2
+ 3 y g(x) = x.
Grafica (f ∘ g)(x).
4. Determina el rango de f(x) = x
2
+ 8x + 16,
si x ∈ [–6, –2], luego, grafica la función en
dicho intervalor.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x) = 100
100
Y
X
f ∘ g
0
f(x) = x
2
+ 3; g(x) = x
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x) = x
2
+ 3
Graficando mediante tabulación obtenemos:
f ∘ g
–1 10
3
4
Y
X
f(x) = 2x + 5 , g(x) = x
2
+ 2x + 3
& f(x) + g(x) = x
2
+ 4x + 8
f+g
Y
4
8
X
0
–2
f(x) = x
2
+ 8x + 16 = (x + 4)
2
Por dato : –6 ≤ x ≤ –2
–2 ≤ x + 4 ≤ 2
0 ≤ (x + 4)
2
≤ 4
0 ≤ f(x) ≤ 4
Por lo tanto, Ran(f) = [0; 4].
Y
4
0–2–6 –4
f
X
15. CT._FUNCIONES ESPECIALES_U4_algebra.indd 147 5/02/2020 15:38:37

148Básico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Grafica la siguiente función.
()fx
x
x2
6
2
=+
Z
[
\
]
]
]
]]
]
]
]
]
]

; 0 ≤ x ≤ 2.
; 2 ≤ x ≤ 4.
; 4 ≤ x ≤ 6.

6. Grafica las siguientes funciones:
f(x) = 2x, g(x) = x
2
y
menciona los puntos en
los cuales ambas funciones coinciden.
7. Sea f(x)=2|x
2
|+ 4|x| +4; x ∈ [–2,5]. Grafica f(x) y
encuentra el rango de dicha función.

Nivel avanzado
8. Halla el área que forma la función f(x) = 3x + 15
con los ejes coordenados.
9. Encuentra el punto de intersección de las si-
guientes funciones:
f
1
= x
2
+ 4x + 8 , f
2
= x
2
+ 8x + 16.
La función composición no es conmuta-
tiva, es decir, dadas dos funciones f ∧ g
no se cumple necesariamente que:
f ∘ g = g ∘ f.
x
2
= 2x
& x
2
– 2x = 0
& (x = 0 ∧ y = 0) ∧ (x = 2 ∧ y = 4)
Luego ambas funciones coinciden en los
puntos: P
1
= (0; 0) y P
2
= (2; 4)
0 2
(2,4)
f
4
g
Y
X
–2
Se puede observar que: a = 3, b = 15,
luego la recta corta en el eje Y, en el punto
(0; 15) y en el eje X en el punto (–5; 0).
Graficando:
Y
X
f
S
–5
15
0
Por lo tanto:
S
x
2
515
2
75
== = 37,5 u
2

x
2
+ 4x + 8 = x
2
+ 8x + 16
–8 = 4x
x = –2
En f
2
tenemos:
f
2
(–2) = (–2)
2
+ 8(–2) + 16 = 4.
Por lo tanto, el punto de intersección es (– 2; 4)
También se puede observar gráficamente:
X
Y
4
f
1
0
–2–4
f
2
(–2,4)
f(x) = 2|x|
2
+ 4|x| + 4 = 2[(|x| + 1)
2
+ 1]
Por dato:
–2 ≤ x ≤ 5
& 0 ≤ |x| ≤ 5
& 1 ≤ (|x| + 1)
2
≤ 36
& 4 ≤ 2[(|x| + 1)
2
+ 1] ≤ 74
Por lo tanto, Ran(f) = [4; 74].
Graficamos la función:
–2 5
4
20
74
f
Y
X
0
(4; 6)
X
Y
(2; 4)
f
6
4
20 4 6
15. CT._FUNCIONES ESPECIALES_U4_algebra.indd 148 5/02/2020 15:38:38

149Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4
?lgebra Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Sea g(x) = 80, f(x) = x
100
. Halla (g ∘ f)(x).
a. x
100
b. 100 c. 80 d. x
2
2. De la pregunta anterior, señala la gráfica co-
rrecta de (g ∘ f)(x) .
a.
0–1 1
Y
X
b.

0
Y
X
c.

100
0
Y
X
d.

80
0
Y
X
3.
Determina el rango de la siguiente función
cuadrática:
f(x) = 3x
2
+ 6x + 13, si x ∈ [1; 6].
a.
[22; 157]
b. [19; 164]
c. [12; 147]
d. [17; 167]
Nivel intermedio
4.
Encuentra los puntos de intersección de las
siguientes funciones:
f
1
(x) = x
2
+ 5 , f
2
(x) = x + 11
a.
(–5; 11) y (–3; 7)
b. (3; 14) y (–2; 9)
c. (–6; 12) y (–5; 2)
d. (–11; 5) y (12; 5)
5. Grafica la siguiente función, e indica que tipo
de función es.
f(x) = 12 + 4x
0
18
16
12
10
6
4
2
–1–3–5
X
Y
a. C<> onstante
b. Cuadrática
c. Cúbica
d. Lineal
6. Se sabe que la función f(x) = ax
2
+ bx + c pasa
por los puntos (1; 2) , (–1; 1) y (0; 2).
Calcula a, b, c en ese orden.
a. ;;2
2
1
3
1
b. ;;
2
1
2
1
2-
c. ;;1
2
1
2
1
--
d. ;;2
2
1
2
1
--
Nivel avanzado
7. Halla la función lineal, si se sabe que su gráfica
es:
10
Y
X
f
–5 0
a. 2x + 10
b. 10x + 5
c. 5x + 10
d. x
8. Del gráfico siguiente:
10
f
0
–4
Y
X
Determina la regla de correspondencia de f e
indica el área que forma con los ejes coorde- nados.
a.
–4x + 10; 20 u
2
b. 10x – 4; 20 u
2
c.
5
2
x – 4, 20 u
2
d. 5x – 10; 20 u
2
Nivel destacado
9. Encuentra él o los puntos de intersección de
las siguientes funciones:
f
1
(x) = x
3
, f
2
(x) = x
2
y f
3
(x) = x.
a.
(–1; –1) y (0; 0)
b. (–1; –1) y (1; 1)
c. (1; 1) y (0; 0)
d. (1;1) y (–1; 1)
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c d a b d b a c c
15. CT._FUNCIONES ESPECIALES_U4_algebra.indd 149 5/02/2020 15:38:40

Compartimos nuestras
costumbres y valoramos la
diversidad de nuestro país
Nuestro país está privilegiado por la gran diversidad biológica existente en las distintas regiones de
nuestro territorio, además, dependiendo de dónde vivamos, tenemos distintas costumbres y lenguas.
Es por ello que debemos aprender a valorar, respetar y compartir cada una de estas diferencias para
poder conocer mejor nuestro Perú.
Intercultural
Enfoque tranversal
Identidad, respeto
Valores
Desempeños
Unidad I
• Reconoce las distintas posiciones y ángulos
entre las rectas.
• Clasifica los triángulos de acuerdo a la
medida de sus ángulos y de sus lados.
• Identifica las líneas notables de los triángulos,
mediana, altura, bisectriz y mediatriz.
• Diferencia los puntos notables de los
triángulos con sus respectivas propiedades
• Resuelve problemas de triángulos usando
métodos de congruencia.
Unidad II
• Aplica las propiedades para calcular el
número de diagonales y la medida de los ángulos de los polígonos.
•
Reconoce los elementos asociados a los
cuadriláteros.
• Identifica los elementos de la circunferencia
y las posiciones relativas entre ellas.
• Utiliza las propiedades de los ángulos de la
circunferencia y los relaciona con la medida de los arcos.
•
Aplica los criterios de proporcionalidad para
la solución de problemas de semejanza de triángulos.
•
Asocia la semejanza de triángulos con las
propiedades de relaciones métricas.Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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• ¿<> Conoces la diversidad cultural que hay en otros departamentos del país?
• ¿Qué costumbres típicas tienen en el lugar donde vives?
• ¿Por qué crees que es importante respetar las distintas costumbres que tenemos?
Observamos y respondemos
Geometría
Unidad III
• Utiliza las principales relaciones métricas de la
circunferencia para la solución de ejercicios.
• Aplica las fórmulas para hallar el área de los
diversos tipos de triángulos.
• Identifica la manera de cómo resolver
problemas asociados al área de regiones cuadrangulares y circulares.
•
Analiza las posiciones relativas de los planos.
• Conoce el concepto intuitivo de ángulo diedro
y ángulos poliedros.
• Identifica un ángulo diedro y clasifica los tipos
de ángulos poliedros.
Unidad IV
• Identifica los elementos de un poliedro,
vértices, caras, diagonales, aristas.
• Reconoce los principales poliedros regulares.
• Resuelve problemas donde se tengan
que hallar el perímetro, área y volumen de poliedros regulares.
•
Identifica los elementos de los prismas y de
las pirámides, así como sus propiedades.
• Calcula el perímetro, área y volumen de
prismas y pirámides.
• Encuentra la manera de como generar
una esfera o un cono a partir de una figura bidimensional.Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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B?sico Intermedio Avanzado UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
1
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
152Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 1 UNIDAD
153Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Ángulos entre rectas paralelas y secantes
Recordamos lo aprendido
Ángulos entre rectas paralelas y secantes
1. Ángulos alternos internos
L1
L2
α
θ
Se cumple:
a = q
2. Ángulos correspondientes
L1
L2
α
β
Se cumple:
a = b
3. Ángulos conjugados internos
L1
L2
α
β
Se cumple:
a + b = 180°
4. Casos especiales
Si:
1
L
 
//
2
L
 
entonces:
α
β
x
L1
L2
x = a + b
Si:
1
L
 
//
2
L
 
entonces:
α
β
θ
γ
x
y
z
L2
L1
x + y + z = a + b + q + g
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Calcula «x»; si: L
1
// L
2
.
L1
L2
2x + 40°
x + 50°
Por propiedad (ángulos conjugados inter-
nos) se tiene:
2x + 40° + x + 50° = 180°
⇒ 3x + 90° = 180°
⇒ 3x = 90°
⇒ x = 30°
2. Si L
1
// L
2
, encuentra el valor de 5a.
L1
L2
96°
a
3a
Por propiedad se tiene:
3a + a = 96°
⇒ 4a = 96°
⇒ a = 24°
Como piden el valor de 5a, entonces:
⇒ 5a = 5(24°) = 120°
3. En la figura L
1
// L
2
, halla el valor de k.
L1
L2
7k
8k
9k
Por propiedad y completando ángulos tenemos:
180° – 8k + 180° – 9k = 7k
⇒ 360° – 17k = 7k
⇒ 360° = 24k
⇒ k = 15°
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B?sico Intermedio Avanzado 154Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Si se cumple que A // B y L // M, determina «x»:
A
x
35° 70°
B
L
M
Haciendo una prolongación en el gráfico,
y como las rectas A y B son paralelas, por
ángulos internos:
A
x
x
35° 70°
B
L
M
En el triángulo formado, se tiene:
35° + 70° + x = 180°
⇒ 105° + x = 180°
⇒ x = 75°
5. Si L // M y A // B, determina el valor de «x»:
L M
5k
3k
x
A
B
30°30°
Completando ángulos en el gráfico, se tiene:
L M
5k
5k 3k
3kx x
A
B
30°30°
Lo anterior se hizo por ángulos alternos y porque
L // M , entonces:
8k = 180° ⇒ k = 22,5°
⇒ 30° + x + 3(22,5°) = 180°
⇒ 30° + x + 67,5° = 180°
⇒ x + 97,5° = 180°
⇒ x = 82,5°
Nivel avanzado
6. En el siguiente gráfico se sabe que L // M y A // B,
a partir de ello calcula el valor de «x».
A
4x
5x
6x
B
L
M
Completando ángulos en la figura, se tiene:
A
4x
4x
5x
5x4x
5x
6x
B
L
M
Por lo tanto:
5x + 4x + 6x = 180°
⇒ 15x = 180°
⇒ x = 12°
7. Si se verifica que L
1
// L
2
, encuentra el valor
de «x».
48°
a
x
a
L1
L2
Observando el gráfico, por ángulos alter- nos se tiene:
a + a = 48°
2a = 48°
⇒ a = 24°
Por ángulo opuesto por el vértice:
48°
a
xx
a
L1
L2
En el triángulo rectángulo, se tiene:
a + x = 90°
⇒ 24° + x = 90°
⇒ x = 66°
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 154 5/02/2020 16:06:38

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1 155Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si las rectas L
1
// L
2
son paralelas, halla «x»:
7x + 5°
5x + 15°
L
1
L
2
a. 13,33°
b. 5°
c. 10°
d. 20°
2. Si L
1
// L
2
encuentra el valor de «x».
57°
2x
x
L1
L2
a. 133°
b. 123°
c. 31°
d. 41°
3. Si A // B y L // M, halla el valor de «x».
60°
A
B
L
M
x
80°
70°
a. 30° b. 40° c. 50° d. 60°
4. Si L
1
// L
2
, encuentra el valor de «x».
2θ
3θ x
L2
L1
a. 18° b. 20° c. 36° d. 24°
Nivel intermedio
5.
Si L
1
// L
2
, calcula el valor de b.
100°
2β
3β
L
1
L
2
a. 24°
b. 15°
c. 16°
d. 20°
6. Si A // B y L // N, halla el valor de «x».
40° 100°
A B
L
N
x
a. 80°<>
b. 40°
c. 60°
d. 20°
Nivel avanzado
7.
Encuentra «x» si L
1
// L
2
son paralelas.
α
α
x
60°
L1
L2
a. 60°
b. 30°
c. 40°
d. 15°
8. Calcula «x» si L // L
1
.
80°
110°
L
L1
x
30°30°
20°20°
a. 60°
b. 50°
c. 70°
d. 40°
Nivel destacado
9. Calcula «x», si se verifica L
1
// L
2
.
L
2
2β
2φ
L
1
x
ββ
φφ
a. 100°
b. 120°
c. 110°
d. 135°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
b d c c d c a a b
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B?sico Intermedio Avanzado 156Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Triángulos
Recordamos lo aprendido
Clasificación de los triángulos
1. Según las medidas de sus ángulos
A C
B
θ
α ω
a. A<> cutángulo:
0° < α, θ, ω < 90°
b. Obtusángulo:
q . 90°
c. Rectángulo:
q = 90°
2. Según las longitudes de sus lados
A C
a
c
b
B
a. Esc<> aleno:
a ≠ b ≠ c
b. Isósceles
a = b
c. Equilátero:
a = b = c
Propiedades fundamentales 1.
Suma de ángulos internos
B
θ
ωα
A C
a + q + w = 180°
2. Suma de ángulos externos
α
θ
β
a

+ b

+ q

= 360°
3. Existencia
a
b
c
b – a , c , b + a
c – a , b , c + a
c – b , a , c + b
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
De la siguiente figura, calcula el valor de «x».
x
θ
θ
α
α
156°
2. Halla el valor de «x» de la siguiente figura mos-
trada.
30°+x
110° 50°+ 2x
Propiedades adicionales
1.
xα
θ
β
2.
α
β
x
y
x = a + b + q x + y = a + b
3.
θ
α β
α
x
ββ
4.
θ
βα
α β
x
x = 90° +
2
Δ−
x = 90° –
2
Δ−
Por la propiedad, se tiene:
°°
x
15690
2
=+
66
2
132Δ− − Δ
x
x
Por la suma de ángulos internos, se tiene:
30° + x + 50° + 2x = 110°
80° + 3x = 110° ⇒ 3x = 30°
⇒ x = 10°
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 156 5/02/2020 16:06:40

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 1 157Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
3. Si las medidas de los ángulos internos de un
triángulo son de 3x, 5x y 20°. Determina la me-
dida del ángulo mayor.
Nivel intermedio
4. Calcula el menor valor entero que puede to- mar «x».
3x
164
5. En la figura, determina el mínimo valor entero
que puede tomar el perímetro del ΔABC.
B
A C6
6. Calcula el valor de «x» en el siguiente gráfico.
D
A
4x
E
B
x
C
Nivel avanzado
7. Determina el valor de «x» en el siguiente trián-
gulo.
α
α β
β
3x
4x
x

Graficamos el enunciado:
3x
5x
20°
Por propiedad de suma de ángulos internos:
3x + 5x + 20° = 180°
8x = 160°
x = 20°
Nos piden el ángulo mayor: 5x = 5(20) = 100
Completando ángulos en la figura tenemos:
D
A
4x
E
B
x
C
β
β
α
α
Del gráfico se observa:
(180 – 2a) + (180 – 2b) + 90 = 180 ⇒ a + b = 135°
Luego se tiene:
180° − (x + α) + 180° − (β + 4x) = 90°
360° − (α + β) − 5x = 90°
Reemplazando tenemos:
360° − 135° − 5x = 90°
135° = 5x ⇒ x = 27°
Prolongando, se tiene:
α
α β
β
3x
4x
x
α+3x β+x
4x + 2α + 2β = 180°
2x + α + β = 90° ⇒ α + β = 90° − 2x
En el triángulo superior se tiene:
4x + α + 3x + β + x = 180°
8x + α + β = 180°
8x + 90° − 2x = 180°
6x + 90° = 180°
6x = 90° ⇒ x = 15°
Por existencia de triángulos, se tiene:
16 – 4 < 3x < 16 + 4
12 < 3x < 20
Dividiendo se tiene:
4 < x < 6.6…
Entonces: x = 5 ∨ x = 6 Piden x mínimo:
x = 5.
Sea la longitud del lado AB = k, entonces se
tiene:
AB = BC = k
Aplicando la desigualdad triangular, se
tiene:
k − k < 6 < k + k
0 < 6 < 2k ⇒ 3 < k
k
min
= 4 ⇒ 2P = 4 + 4 + 6 = 14u
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 157 5/02/2020 16:06:40

B?sico Intermedio Avanzado 158Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Del gráfico, calcula el valor de a.
100°
2α
α
α
a. 20° b. 25° c. 30° d. 50°
2. Encuentra el valor de «x» en el siguiente grá-
fico.
50° 30°
x
x
a. 40° b. 35° c. 60° d. 25°
3. En la figura mostrada, determina el tipo de
triángulo que es ABC.
B
A C
5x+10° 2x+40°
70°-x
a. Isósc<> eles
b. Escaleno
c. Equilátero
d. N.A.
4. Determina el valor de «x» si se sabe que
z + y = 270°.
z
y
x
a. 60° b. 90° c. 75° d. 100°
Nivel intermedio
5.
Determina el valor de «x», en la siguiente figura.
8β
8β
19β
β
x
a. 45° b. 5° c. 60° d. 35°
6. En el gráfico, encuentra el valor de «x».
x
x
70°
30°
20°
a. 30° b. 20° c. 40° d. 120°
7. Del gráfico, determina el valor de b.
β
β
β β
β
a. 40° b. 60° c. 45° d. 36°
Nivel avanzado
8.
Si a + b + c + d = 260°, determina el valor de
x + y, en el siguiente gráfico:
α
α θ
θ
a d
b c
y
x
a. 110° b. 120° c. 130° d. 140°
9. Dado un triángulo ABC, en AC se toma un pun-
to «P» de manera que: m∠ BPC =
mA mBΔ− Δ
2
.
Si BC = 8 cm, halla el valor de PC .
a. 6 cm b. 7 cm c. 8 cm d. 9 cm
10. En un ΔABC se cumple que AB = AC, además
en AC se toma un punto M de manera que:
AM = MB = BC. Calcula el valor de la m∠ MBC.
a. 32° b. 34° c. 35° d. 36°
Nivel destacado
11. Halla el valor entero que puede tomar «x»
si b ∈ 〈14; 15〉 . Considere L
1
Δ−
// L
2
Δ−
.
α
α
α
50°x
β L2
L1
a. 100° b. 108° c. 121° d. 120°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
b a c b a a d c c d c
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Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1 159Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Líneas notables en el triángulo
Recordamos lo aprendido
Líneas notables en el triángulo
a. Mediana
A M
B
C
,, , ,
BM: mediana rela-
tiva a AC
Se cumple:
AM = MC
b. Bisectriz
• Bisectriz interior:
B
A C
R
θθ
BR: Bisectriz inte-
rior del ángulo B.
Se cumple:
m∠ABR = m∠RBC
• Bisectriz exterior:
A P
C
B
D
θ
θ
BP: es la bisectriz
exterior relativa al
lado AC .
c. Altura
A C
H
B
P
BH: altura relativa
a AC
AP: altura relativa
a BC
d. Mediatriz
A C
B
R
L L: mediatriz rela-
tiva al lado BC.
Se cumple:
BR = RC
Propiedades asociadas a las líneas notables:
60° 60°
Triángulo equilátero
30°30°30°30°
a a
2a 2a
θ θ
Altura
Bisectriz mediana
Altura
Bisectriz mediana
Triángulo isósceles
αα αα
BaseBase

Practica lo aprendido
Nivel básico
1. En el siguiente gráfico mostrado, calcula el va-
lor de «x», si BM es bisectriz del ángulo ABC.
B
A C
M
45°
80° x
BM bisectriz ⇒ m∠ABM = m∠MBC
⇒ 80° + 45° + 45° + x = 180°
⇒ 170° + x = 180°
⇒ x = 10°
2. Si el segmento BE es bisectriz del ángulo ABC,
encuentra el valor de «x».
B
A C
E
80° 30°x
BE bisectriz del ángulo ABC
m∠ABE = m∠EBC = α
⇒ 80° + α + α + 30° = 180°
⇒ α=35°
80° + x + 35° = 180°
x = 65°
3. Según el gráfico calcula el valor de «x»
B
C
P
A
50°
x
α
α
ββ
Ángulo formado por dos bisectrices exteriores
⇒
x = 90° –
2
50°
x = 90° – 25°
x = 65°
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B?sico Intermedio Avanzado 160Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
4. Si la recta L es mediatriz de PM , calcula el
valor del ángulo α, si la medida del ángulo
BPM es 20°.
B
P M
L
α
Como L es mediatriz de PM , la medidas de
los siguientes ángulos son:
m∠BMP = 90° – α ⇒ m∠BPM = α
Del dato: m∠BPM = 20°
⇒ α = 20°
Nivel intermedio
5. Si la recta L es mediatriz de BC , determina el va-
lor de la medida del ángulo MPC, si: m∠ A = 60°,
m∠B = 80°.
B
A CP
L
M

Según el problema tenemos: 80° + 60° + m∠BCA = 180°
140° + m∠BCA = 180° → m ∠BCA = 40°
Entonces: 40° + m∠MPC = 90°
⇒ m∠MPC = 50°
6. Halla «α» en el siguiente gráfico.
80°
θ
θ
α
φ
φ
Ángulo formado por dos bisectrices
exteriores
⇒ α = 90° –
2
80°
⇒ α = 90° – 40°
⇒ α = 50°
7. En el siguiente gráfico mostrado, calcula el va-
lor de «x», si los segmentos AP y BM son altu-
ras.
B
x
50°
P
CM
Q
A
Como los segmentos AP y BM son alturas,
entonces:
m∠APC = m∠BMC = 90°
Por lo tanto:
m∠PAC = 40°
luego en el triángulo AQM:
40° + 180° – x = 90°
220° – x = 90°
x = 130°
8. En el gráfico mostrado, el segmento BM es
bisectriz interior del ángulo ABC y BP es bi-
sectriz exterior del ángulo RBC, determina la
medida del ángulo MBP.
B
A M C P
R
Como BM es bisectriz interior del ángulo
ABC, se tiene: m∠ABM = m∠MBC =
α
Además BP es bisectriz exterior del ∠RBC,
así: m∠CBP = m∠RBP =
θ
Por lo tanto:
α + α + θ + θ = 180°
2α + 2θ = 180°
⇒α + θ = 90°
Entonces: m∠MBP =
α + θ = 90°
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 160 5/02/2020 16:06:42

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1 161Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
9. Sea el triángulo equilátero MNP se trazan las
medianas MA, NB y PC, si OB = 3 cm, halla el
valor de E, donde:
E=
OP
CO OA+
Como MNP es equilátero, se tiene:
N
A
30°
O
30°
30°
3 3
3
M PB
C
E=
OP
CO OA+
=
6
33+
= 1
10. En el triángulo PMB, se traza la mediatriz L
relativa a MB que corta a PB en su punto me-
dio, si PM =
PB
2
, determina la medida del án-
gulo P.
M
P N B
a
a
a a
L
Trazamos MN, así ∆MNP es isósceles
ya que PN = NM = MP ⇒ ∆MNP equilátero
⇒ m∠P = 60°
11. Calcula el valor del ángulo A, si este es el com- plemento del suplemento de «x».
40°
B
A C
I
x
α θ
θα
x = 90° +
2
40°
⇒ x = 110°
Nos piden:
A = C(S(x)) = C(180° – 110°)
A = C(70°) = 90° – 70° = 20°
12. Según el gráfico, halla el valor de «x», si
m∠A – m∠C = 24. Por el punto «H» pasan to-
das las alturas y por el punto «I» pasan todas
las bisectrices.
x
B
A C
H
I
Δ–x
−+12°
x+90°+−
−+12°
B
AH C
Δ
−
−
I
x°
Prolongamos BH
Formamos AI y CI
Si m∠C = 2α ⇒ m∠A = 2α + 24
AI, BI, CI son bisectrices
Por propiedad auxiliar: m∠BIC = 90° + x + α
En el triángulo BIC se cumple que:
x + 2α + β + 90° = 180° ⇒ 2α + β = 90° – x
En ∆AHB se cumple que: 24° + 2
α + β – x = 90° ⇒ 24° + 90° – x – x = 90°
⇒ 24° = 2x ⇒ x = 12°
13. De acuerdo al gráfico calcula el valor de θ.
B
2θ
θ
D
m
m
n
4θ
A C
G
E F
n
Donde: m∠C =
α
m∠A = β
En ∆DBG, la suma de ángulos externos es: 2m + 2n + 180° – 2
θ = 360°
⇒ m + n = 90° + θ …(I)
En ∆ADE suma de ángulos internos es:
m + 4θ + β = 180° …(II)
En ∆FGC suma de ángulos internos es: n +
θ + α = 180° …(III)
En ∆ABC suma de ángulos internos es:
α + β + 2θ = 180° ⇒ α + β = 180° – 2θ …(IV)
(II) + (III): m + n + 5θ + α + β = 360° ...(V)
(I) y (IV) en (V): 90° + θ + 5θ + 180° – 2θ = 360°
⇒ 4θ = 90° ⇒ θ = 22,5°
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 161 5/02/2020 16:06:43

B?sico Intermedio Avanzado 162Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si la recta L
 
es mediatriz de AC y BH es altura,
calcula el valor de PC, si AH = HP.
B
A H CP
10 cm
60°
L
a. 5 b. 7 c. 10 d. 12
2. Si BM es mediana y BH es altura, halla el valor
de HC, si además BH = 4 u.
B
A H M
53°
C
θ
θ
a. 4 b. 6 c. 7 d. 10
3. Calcula el valor de «x» en el siguiente gráfico.
A C
x
Bθ
θ
β
β140°
a. 60° b. 70° c. 100° d. 110°
Nivel intermedio
4.
En un triángulo rectángulo ABC (recto en B)
se traza la altura BH y luego la bisectriz BQ del
ángulo HBC, si AB = 10 u y QC = 13 u, calcula
el valor de AC .
a. 20 b. 22 c. 23 d. 24
5. Determina el valor de «x» en la siguiente figura.
2x
9x
θ
θ
β
β
a. 9° b. 18° c. 10° d. 20°
6. En un triángulo ABC se cumple que la
m∠A – m∠C = 16°, además la bisectriz interior
de A y la bisectriz exterior de C forman un án- gulo de 28°,
determina la medida del ángulo
BCA.
a. 70° b. 56° c. 54° d. 38°
Nivel avanzado
7.
En un triángulo se traza la bisectriz interior
QD, si QR = 9, m∠QPR = 2m∠QRP y PD = 4.
Determina la distancia de P al punto de inter- sección de sus bisectrices.
a.
4 b. 5 c. 6 d. 7
8. En la siguiente figura, halla el valor de «x».
A C
B
M
D
40°
x
a. 40° b. 50° c. 70° d. 20°
9. Calcula el valor de «x» en la siguiente figura.
2x
30°+2x
a. 30° b. 40° c. 50° d. 60°
Nivel destacado
10. Halla el valor de θ en la siguiente figura.
B
A
w
w
θ
α
α
C
4θ
2θ
a. 20° b. 25° c. 30° d. 18°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
c d d c b c a c d d
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 162 5/02/2020 16:06:44

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1 163Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Puntos notables en el triángulo
Recordamos lo aprendido
Puntos notables en el triángulo
1. Baricentro:
Punto de intersección de las medianas.
A C
B
G
G: Baric<> entro o Gravicentro
2. Incentro: Punto de intersección de las bisectrices
interiores.
r
A
B
Incentro
C
l
ββ
αα
αα θθ
θθ
ββ
3. Ortocentro:
Punto de intersección de las alturas o de las
prolongaciones de estas.
A C
B
Ortocentro
HH
4. Circuncentro:
Punto de intersección de las mediatrices del
triángulo.
A
O
C
B
Circuncentro
A
O
R
R R
C
B
Se cumple:
OA = OB = OC
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Grafica lo pedido en cada caso:
a. Un triángulo PQR y su incentro I.
Q
β
α θ
θα
β
I
P R
b. Un triángulo ABC con ortocentro H.
B
A C
HH
c. Un <> triángulo obtusángulo ABC obtuso en C
y su ortocentro H.
B
C
A hb
hc
ha
H
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 163 5/02/2020 16:06:44

B?sico Intermedio Avanzado 164Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
2. Grafica el triángulo ABC y traza la mediana BM ,
luego en ella marca el baricentro G, si GM = 5 cm
y BG = (x – 1) cm. Calcula el valor de x.
Por propiedad del baricentro:
A
B
x – 1
5 cm
GG
C
M
Del gráfico se tiene:
x – 1 =
2
5
⇒ x – 1 = 2,5
⇒ x = 3,5 cm
3. Grafica el triángulo ABC, traza las medianas
AM y BN que se intersecan en G, calcula la
suma de longitudes de dichas medianas, si se sabe que: GM
= 2 cm y GN = 3 cm.
Por propiedad del baricentro:
A C
B
M
N
2
3
G
AG = 2GM ∧ BG = 2GN
⇒ AG = 4 cm ∧ BG = 6 cm
⇒ BN = 9 ∧ AM = 6
Suma de medianas:
6 + 9 = 15 cm
4. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según sea el caso.
•
El incentro de un triángulo es
siempre un punto interior a él.
( )
• El ortocentro de un triángulo puede
estar situado en uno de sus vértices.
( )
• El baricentro de un triángulo divide
a cualquiera de sus medianas en
dos segmentos cuya relación es de
uno a tres.
(
)
5. Completa los recuadros para cada caso.
A C
B
ω
α
ββ
ββω
I
m∠AIC = 90° +
2
Δ−
A
C
Bω
ω
β
α β
E
m∠BEC = 90° –
2
Δ−
Nivel intermedio
6. Grafica el triángulo acutángulo ABC y ubica el
ortocentro H, si la medida del ángulo AHB es
el triple de la medida del ángulo C,
calcula la
medida del ángulo AHB.
A
90° – α
3α
α
α
α
B
H
C
90° – α90° – α
Completando ángulos:
3a + a = 180°
4a = 180°
a = 45°
Luego m∠AHB = 3(45°) = 135°
V
V
F
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 164 5/02/2020 16:06:45

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 1 165Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
7. Grafica el triángulo ABC y traza las medianas
AM y BN perpendiculares entre sí, si las lon-
gitudes de dichas medianas miden 9 y 12 cm respectivamente,
calcula el valor de BM .
A C
B
2a
G
2b
a
b
x
M
N
Se cumple por teorema:
3b = 9 ∧ 3a = 12
⇒ b = 3 ∧ a = 4
En el ΔBGM tenemos:
BM = ()ab2
22
+
BM = 83 6497 3
22
Δ− Δ−
⇒ BM = 73
8. EFG es un triángulo acutángulo de ortocentro H,
si las medidas de los ángulos EHF y EGF están en relación de 5 a 4,
calcula la medida del án-
gulo EGF.
E
H
G
F
90° – 4k90° – 4k
4k4k
4k
90° – 4k90° – 4k
5k5k
5k + 4k = 180°
9k = 180° ⇒ k = 20°
Reemplazando, tenemos:
m∠EGF = 4(20°) = 80°
Nivel avanzado
9. Grafica el triángulo ABC y traza las medianas AM
y BN perpendiculares entre sí, que se in-
tersecan en G, calcula el perímetro del trián-
gulo ABG, si GM = 2,5 cm y NG = 6 cm.
A C
B
5
6
12
2,5
M
N
G
Por propiedad:
BG = 2(6) = 12 cm
AG = 2GM ⇒ AG = 2× 2,5 ⇒ AG = 5 cm
Por Pitágoras:
AB = 5121 69
22
+ = = 13 cm
2P
ABG
= 13 + 12 + 5 = 30 cm
10. En el gráfico, calcula «x» si m∠A – m∠C = 36°, si
H: ortocentro, I: incentro.
C A
B
H
I
x
Completamos los ángulos:
C A
B
HI
α α + β α + 36
x
β
β – x
b – x + a + 36° = 90°
b + a + x + 36° = 90° + x + x
90° + 36° = 90° + 2x
x = 18°
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 165 5/02/2020 16:06:45

B?sico Intermedio Avanzado 166Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el valor de «x», en el siguiente trián-
gulo.
I
x
α
α
θ
θ
80°
a. 40° b. 45° c. 75° d. 95°
2. Si G es el baricentro del triángulo ABC, calcula
«x» si AC = 2AG .
A C
B
G
8x
x
a. 15° b. 12° c. 20° d. 25°
3. En la figura, E es excentro del triángulo ABC,
halla «x».
A
x
C
B 30°
40°
E
a. 12° b. 15° c. 20° d. 25°
4. En un triángulo ABC de baricentro G,
m∠BGC = 90°, m∠GBC = 30° y GC = 2 cm,
calcula AG .
a. 2 cm
b. 23 cm
c. 4 cm
d. 6 cm
Nivel intermedio
5.
En un triángulo ABC dos de sus medianas son
perpendiculares y miden a y b respectivamen-
te,
calcula la longitud de la tercera mediana.
a. b + c
b. a
2
c. ab
22
+
d. 2b + a
6. En un triángulo ABC en la región exterior rela- tiva a BC
se ubica el excentro E, calcula la me-
dida del ángulo EAC, si m∠B=70° y AC =CE.
a. 30°
b. 35°
c. 40°
d. 45°
7. En un triángulo ABC, recto en B de incentro I y excentro E relativo a BC
, tal que IE = 12. Calcula
ladistancia del vértice B al punto medio del segmento IE
.
a. 6 b. 10 c. 8 d. 4
Nivel avanzado
8.
En la figura, I es el incentro del triángulo ABC,
calcula el valor de «x».
A
B
I
70°
80°
x
C
a. 80° b. 40° c. 60° d. 45°
9. Si O es circuncentro del ΔABC, calcula el valor
de «x».
A
B C
O
3x – 110°
x°
a. 95°
b. 110°
c. 100°
d. 80°
10. Del grafico calcula el valor de q.
A C
B
4θ
ω
ω
3θ θ
ββ
ββ
a. 10° b. 12° c. 15° d. 18°
Nivel destacado
11. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD y
en el triángulo BDC se traza la bisectriz interior
DE (E en BC ). Si m∠ABC = 115°; m∠ECD = 45°
y m∠EDC = 35°. Determina m∠AED.
a. 25°
b. 15°
c. 20°
d. 35°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a b c c c b a b b c a
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 166 5/02/2020 16:06:46

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1 167Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Congruencia de triángulos
Recordamos lo aprendido
Congruencia de triángulos
Caso: Lado - ángulo - lado (L.A.L)
,
A C
B
b
a
θ
P R
Q
b
a
θ
Caso: Ángulo - lado - ángulo (A.L.A)
,
A
B
b
C
α β
P
Q
b
R
α β
Caso: Lado - lado - lado (L.L.L)
,
B
C
a
b
c
c
A
P Q
R
a
b
Aplicaciones geométricas de la congruencia de
triángulos:
1. Teorema de la
bisectriz
PA = PH / OA = OH
O
α
α
θ
θ
A
H
P
2. T<> eorema de la
mediatriz
PA = PB
A B
M
P
3. Segmentos entre
paralelas
AB = CD / AD = BC
A D
B
α
α
θ
θ
C
L1
L2
4. T<> eorema la base
media
MN =
AC
2 A C
B
a
2a
M N
5. T<> eorema de la
mediana relativa a
la hipotenusa
CB
A
M
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Calcula el valor de x + y en los siguientes trián- gulos:
20° 60°
2x
a
100°
20°
4y
a
2. Determina el valor de x + y en la siguiente figura.
2y - 1
y + 3x + 6
4x - 6
β
β
3. Si la recta L es mediatriz, determina el valor
de x + y.
6 y
L
5x
Por congruencia de triángulos (caso A-L-A)
se tiene:
2 = y 4 = x
Luego: x + y = 4 + 2 = 6
Por teorema de la mediatriz:
y = 6 ; x = 5
Finalmente:
x + y = 5 + 6 = 11
Por teorema de la bisectriz:
4x – 6 = x + 6
3x = 12 ⇒ x = 4
Luego:
2y – 1 = y + 3
y = 3 + 1 ⇒ y = 4
Finalmente:
x + y = 4 + 4 = 8
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 167 5/02/2020 16:06:46

B?sico Intermedio Avanzado 168Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Halla el valor de
xy
2
+
.
2y + 5
26
25
θ°
α°
α°
θ°
2x + 6
5. Si AB = BC, además AQ = 7 y PC = 12, calcula el
valor de PQ .
QA
P
B
C
6. Halla α si BA = BD.
α°
B
75°
A
D
C
Nivel avanzado
7. En un triángulo rectángulo, la bisectriz interior
del ángulo agudo mayor y la mediatriz de la
hipotenusa se intersecan en un punto sobre
el cateto mayor.
Halla la medida del menor de
los ángulos agudos.
8. Sea ABC un triángulo rectángulo (B = 90°),
donde la altura BH y la bisectriz interior AP se
intersectan en 0, si la distancia de P a OB es de
7 m y AB = 12 m, calcula AH .
Metacognición
••¿Qué aprendí?, ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve?, ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
Como los triángulos son congruentes (caso A-L-A) se tiene:
•
2y + 5 = 25
2y = 20 ⇒ y = 10
• 2x + 6 = 26
2x = 20 ⇒ x = 10
∴
xy
22
10 10+
=
+
= 10
Graficando el triángulo ⊿ABC
α
α
α
A H
B
C
El ángulo ABC es el agudo mayor Por teorema de la mediatriz (BH
= HC)
⇒ m∠ACB = α,
2α + α = 90° ⇒ 3α = 90°
⇒ α = 30°
∴El menor de los ángulos agudos mide 30°
Realizando la gráfica y trazando el segmen-
to perpendicular PT al lado AC, se tiene:
θ
θ
A H T
x
12
C
2θ
O
7 P
B
12
7
ΔABP ≅ ΔPAT (A.L.A.)
⇒ AT = 12
Finalmente: AH + HT = 12
⇒ x + 7 = 12
⇒ x = 5
Completando ángulos: m∠BAQ = m∠PBC = a m∠ABQ = m∠PCB = b Luego ΔABQ ≅ ΔPBC (A.L.A.)
⇒ PB
= 7 y BQ = 12
PB + PQ = 12 ⇒ PQ = 5
α
B
75°
75°+
α
75°
A
D
C
E
F
Ya que ΔBFC es
isósceles
⇒ m∠BFC = 75°
ΔBCD ≅ ΔBFA
(L.L.L.)
⇒ m∠AFB = 75° + α
Finalmente se cumple: 75° + 75° + α = 180°
⇒ α = 30°
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Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 1 169Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el valor de «x».
O
θθ
BA
3x+2
5
a. 2
b. 1
c. 3
d. 1.5
2. Halla el valor de θ, si AP = BC y L

es mediatriz
de AC.
A C
B
L
P70°
θ
a. 35°
b. 70°
c. 40°
d. 45°
3. Determina el valor de
b
a
.
A C
B
a
M
b
a. 1
b. 1.5
c. 0.4
d. 0.5
4. En la figura calcula el valor de «x», si PB = PD.
P
B
D
C
x
25°
25°
x
a. 20°
b. 30°
c. 25°
d. 45°
Nivel intermedio
5.
En un triángulo ABC se prolonga los lados CA
y BA hasta los puntos P y Q, respectivamente,
tal que AB = AQ, AC = PA, PQ = z − 5 y BC =7.
Determina el valor de z.
a. 12 b. 17 c. 15 d. 21
6. En la figura se tiene que BH = 1 cm, HP = 3 cm,
calcula el valor de «x» si AB = BC.
B C
P
x
H
A
a. 37°
b. 53°
c. 45°
d. 30°
7. Si ABCD es un cuadrado, calcula PQ , si
AP + CQ = 8
P D
B
Q
A
C
a. 3
b. 4
c. 8
d. 10
8. Sea un triángulo ABC recto en B, donde
m∠BCA = 30° y AC = 38. Halla MP, si M es
el punto medio de BC , donde MP ⊥ AC.
C
30°
P A
M
B
38
a. 19 b. 30 c.
2
19
3
d.
4
19
3
Nivel avanzado
9. En el cuadrilátero ABCD recto en C, se traza AE
perpendicular a la diagonal BD (E ∈ BD)
m∠BAE = m∠EBC + 10 = m∠ADE – 20 = 50.
Determina m ∠BEC (A, E y C no son colineales).
a. 40 b. 80 c. 90 d. 70
10. En el trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D
(AB > CD), se ubica el punto M en AD , si AD = 24 m.
La m∠BMA = m∠BCM y m∠CMB = 90°. De-
termina la longitud del segmento MD .
a. 20 b. 15 c. 16 d. 12
Nivel destacado (UNMSM 2019 - II)
11. En la figura, PQ = AP + QB. Si AM = m52 ,
BN = 5m y MN = m53 . ¿Cuál es la medida
del ángulo determinado por las prolongacio-
nes de AM y de BN ?
A P Q B
N
M
a. 60 b. 90 c. 53 d. 75
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
b a d c a b c d d d b
UNIDAD 1 T1 - T5.indd 169 5/02/2020 16:06:48

B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
2Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
170
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. UNIDAD
171Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Polígonos
Recordamos lo aprendido
Polígono
Es la figura geométrica plana formada por un
número finito de segmentos rectos (de 3 a
más) que límita una región en el plano.
A
vértices
lados
centrocentro
diagonales
ángulo
interno
ángulo
externo
E B
D C
apotema apotema
Observación:
El apotema existe solo si el polígono es regu-
lar y se mide con una perpendicular que parte
desde el centro hasta el punto medio de cual-
quiera de los lados.
Polígono regular: Es aquel polígono que es
equilátero y equiángulo a la vez.
Propiedades de los polígonos
1.
Suma de ángulos internos (S
i
)
S
i
= 180°(n – 2)
2. Total de diagonales (N
D
)
N
D
=
()nn
2
3-
3. Número de diagonales medias (d
m
)
d
m
=
()nn
2
1-
Propiedades de los polígonos regulares
1. Medida del ángulo interior (∠
i
)
∠
i
=
()
n
n1802°-
2. Medida del ángulo central (∠
c
)
∠
c
=
n
360°
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Si los siguientes polígonos son regulares, cal-
cula la medida de cada ángulo interior.
x
y
Usando la fórmula para el ángulo interior:
Para n = 6:
x

=
()
6
1806 2°-
= 120°
Para n = 5:
y =
()
5
1805 2°-
= 108°
2. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
• La medida del ángulo interior de
un hexágono regular es 72°.
( F )
• La medida del ángulo exterior de
un octágono regular es 45°.
( V )
• La medida del ángulo interior de
un triángulo equilátero es 120°.
( F )
• La medida del ángulo exterior de
un cuadrado es 90°.
( V )
3.
Completa la siguiente tabla indicando los nombres de los polígonos regulares, cuyos án- gulos interiores se muestran en el cuadro.
Medida del ángulo
interior
Nombre del polígono
regular
120° hexágono regular
60° triángulo equilátero
108° pentágono regular
144° decágono regular
90° cuadrado
162° icoságono regular
156° pentadecágono regular
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B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 172
4. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda.
• El polígono, de acuerdo a la cantidad
de lados, puede ser convexo o cóncavo.
( F )
•
La diagonal es un segmento que se
forma por la unión de dos vértices consecutivos.
( F )
•
La cantidad de diagonales para un
polígono de n lados viene dada por:
()nn
2
3-
.
( V )
• La suma de los ángulos externos de
un polígono siempre es 360°.
( V )
Nivel intermedio
5.
En el siguiente hexágono regular ABCDEF, cal-
cula el valor de la medida del ángulo «x».
B C
F E
x
D
R
A
Hallamos la medida del ángulo interior del hexágono:
m∠DEF =
()
6
1806 2°-
= 120°
Del ∆FER: m∠ FER = 60°
⇒ 60° + x = 120°
⇒ x = 60°
6. ¿En qué polígono se cumple la siguiente re- lación?
m
∠central + m ∠exterior = m ∠interior
m
∠central =
n
360°
m∠exterior = 180° –
()
n
n1802°-
=
n
360°
m∠interior =
()
n
n1802°-
Finalmente:
n
360°
+
n
360°
=
()
n
n1802°-
4 = n – 2
⇒ n = 6
⇒ Se cumple en un hexágono.
7. Determina el número de lados del polígono
regular en el que se cumple:
int
mcentral
me rior
2
7
=
+
+
Usando las fórmulas, tenemos:
()
n
n
n
360
1802
2
7
°
°-
=
⇒
()n
360
1802
2
7
°
°-
=
2n – 4 = 14
2n = 18 ⇒ n = 9
El polígono tiene 9 lados.
8. Al aumentar en 3 el número de lados de un polígono, el número de diagonales aumenta en 30, ¿cuántos lados tiene dicho polígono?
Sea n el número de lados del polígono.
⇒ N° diagonales =
()nn
2
3-
Para (n + 3) lados:
N° diagonales =
()nn
2
3+
⇒
() ()nn nn
2
3
2
3+
-
-
= 90
⇒
n
2
6
= 90 ⇒ n = 30<>
9. En el octágono equiángulo, determina la lon-
gitud del segmento AH.
33D E
G
H
210
B
A
25
C
28
F
26
Como el polígono es equiángulo, cada ángulo mide 135°, así:
D
N P
F
G
M
B
C
Q
x
3 E
A H
28
210
26
25
45°
135°
45°
45°
45° 45°
45°
45°
45°
• ND = 8
• EP = 6
⇒ NP = 17
• MA = 5
• HQ = 10
En el rectángulo
MQPN:
MQ
= NP
⇒ 15 + x = 17
⇒ x = AH = 2
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Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 173Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
10. Calcula el valor de «x», si ABCDEF y AGHIF son
polígonos regulares.
A F
C
B E
xx
H
G I
D
Como los polígonos son regulares, entonces:
m∠AFI =
()
5
1805 2°-
= 108°
m∠AFE =
()
6
1806 2°-
= 120°
El ángulo «x» viene dado por la diferencia del ángulo interior del hexágono y del án- gulo interior del pentágono:
⇒ x = 120° – 108°
⇒
x = 12°
11. Si los polígonos ABCDEFGH y ABIJKL son re- gulares,
halla el valor de «x».
D
C
G
H
B
A
x
E
F
I
J
K
L
Como los polígonos son regulares, tenemos:
m∠LAB =
()
5
1805 2°-
=108°
m∠HAB =
()
6
1806 2°-
=120°
La suma de los ángulos interiores del hexágono, del pentágono, y el ángulo «x» nos da 360°:
⇒ 108° + 120° + x = 360°
⇒ 228° + x = 360°
⇒
x = 132°
12. Se tiene un polígono regular cuyo lado mide 3 metros, si el perímetro es numéricamente igual a su número de diagonales, ¿de qué po- lígono se trata?
Sea n el número de lados del polígono, entonces:
3n =
()nn
2
3-
⇒ 6n = n(n – 3)
⇒ 6n = n
2
– 3n
⇒ n
2
– 9n =0
⇒ n(n – 9) = 0
⇒ n = 9
El polígono es un nonágono.
13. Sin necesidad de emplear el gráfico, ¿cuántas diagonales faltan trazar en el siguiente polígo- no ABCDEFGH?
C E
A G
B F
D
H
El polígono es un octágono, por lo tanto, su número de diagonales viene dado por:
N° de diagonales =
()
2
883-
=20
Faltan trazar:
20 – 2 = 18 diagonales.
14. ¿En qué polígono el número de lados sumado
con su número de diagonales es 28?
Para un polígono de n lados, se sabe que:
N° de diagonales =
()nn
2
3-
⇒ n +
()nn
2
3-
= 28
⇒
nn n
2
23
2
+-
= 28
⇒ n
2
– n = 56
⇒ n
2
– n – 56 = 0
⇒ (n – 8)(n + 7) = 0
⇒ n = 8
El polígono es un octágono.
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B?sico Intermedio Avanzado
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Refuerzo en casa
Nivel básico
1. ¿Cuánto suma el ángulo interior y el exterior
en un polígono regular de 17 lados?
a. 180° b. 160° c. 144° d. 182°
2. ¿Cuál es la medida del ángulo interior de un
icoságono regular?
a. 120° b. 144° c. 162° d. 90°
3. Al disminuir en 2 el número de lados de un
polígono, su ángulo central aumenta en 6°.
¿Cuántos lados tiene dicho polígono?
a.
10 b. 12 c. 20 d. 15
4. Calcula el número de vértices de un polígono
en donde la suma de sus ángulos internos es
900°.
a.
4 b. 5 c. 6 d. 7
Nivel intermedio
5.
Si los polígonos ABCDEFGH y EFIJ son regula-
res, calcula el valor de y.
C D
H G
E
y
B
A
J
F I
a. 90° b. 45° c. 135° d. 120°
6. Calcula el valor de «x», si se sabe que ABCDE es un polígono regular.
C
B
x
A E
D
a. 108° b. 72° c. 36° d. 144°
7. Los ángulos internos de un pentágono con- vexo tienen por medida a números conse- cutivos expresados en grados sexagesimales.
Calcula la suma del mayor y menor ángulo.
a. 200° b. 216° c. 220° d. 224°
8. Si a un polígono regular se le aumenta en uno
a su número de lados, la medida de su ángulo
interior aumenta en 12°.
Calcula su número de
lados.
a. 4 b. 5 c. 6 d. 8
Nivel avanzado
9.
¿Cuántas diagonales tiene el polígono equián-
gulo en el cual la medida de un ángulo interior
es cuatro veces la medida del ángulo exterior?
a.
10 b. 30 c. 35 d. 55
10. Calcula «x», si ABCDEF es un polígono regular.
B C
F
A DD
E
x
a. 30° b. 60° c. 90° d. 45°
11. Un polígono convexo de n lados tiene d diago-
nales y otro polígono de 2n lados y 5d diago-
nales.
Halla el valor de n.
a. 8 b. 9 c. 7 d. 16
12. Si a la medida del ángulo interior de un polí- gono regular se le disminuye en 2, se obtiene la medida del ángulo interior de otro polígono regular cuyo número de lados es igual al nú- mero de lados del primer polígono, disminui- do en 2.
Calcula la suma de las medidas de los
ángulos interiores del primer polígono.
a. 600° b. 900° c. 3 240° d. 850°
Nivel destacado
13. En la siguiente figura calcula f, si:
• α: medida del ángulo interior de un hexágono
regular.
• β: medida del ángulo interior de un pentágono
regular.
• γ: medida del ángulo exterior de un icoságono
regular.
• ω: medida del ángulo interior de un dodecágono
regular.
β
α
ω
γ
φ
a. 150° b. 160° c. 144° d. 160°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
a c b d a a b b c a b c c
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Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 175Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Cuadriláteros
Recordamos lo aprendido
Cuadrilátero
Es un polígono de cuatro lados, de manera
que cualquier par de segmentos solo tienen
en común los extremos.
Sea el cuadrilátero convexo o cóncavo, estos
cumplen la siguiente propiedad:
βα
δ
γ
β
α δ
γ
α + β + γ + δ = 360°
Base media
A
B
M N
C
D
MN =
ADBC
2
+
Segmento que une los puntos medios de las diagonales
DA
B
P Q
C
PQ =
ADBC
2
-
Propiedades
1.
α
β
x y
a + b = x + y
2.
β
α
m
m
n
n
x
x =
2
Δ−+
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. En el trapecio ABCD (AB //BC), calcula el valor
de «x».
A
80°
2x
D
CB
2. Si ABCD es un paralelogramo, halla el valor de
«x».
A
6x + 10°
x + 70°
D
CB
3. Si ABCD es un cuadrilátero, calcula «x».
A
B
C
x
5α
α
α
2α
D
x = 2α + α + α ⇒ x = 4α
⇒ 4α + 5α = 360°
⇒ α = 40°
⇒ x = 4α = 160°
Por propiedad del paralelogramo:
6x + 10° = x + 70°
5x = 60°
x = 12°
Como ABCD es un trapecio ⇒ AD//BC
Luego:
80° + 2x = 180°
2x = 100°
x = 50°
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B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 176
4. Si ABCD es un paralelogramo, halla el valor de
«x».
α β
βα
A
x
B
P
D
C
5. Si ABCD es un paralelogramo, determina el
valor de «x».
A H
B
D
C
60°
10 u
45°
x
Nivel intermedio
6. Si PQRS es un paralelogramo, calcula «x».
P
Q
S
R
50°
50°
x+40°
7. Si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo
equilátero, calcula el valor de «x».
C
15°
P
B
DA
x
8. Halla la altura del trapecio rectángulo ABCD.
A D
C
10 u
30°
x
B
9. En la figura, determina el perímetro del para-
lelogramo ABCD, si CD = 6 u.
α
α
β
β
A
B E
D
C
Como ABCD es un paralelogramo, entonces:
2α + 2β = 180°
⇒ α + β = 90°
Luego en APD, se tiene:
α + β + x = 180° ⇒ 90° + x = 180°
⇒ x = 90°
Como APD es un triángulo equilátero:
m∠PAD = m∠APD = m∠PDA = 60°
Luego, m∠ BPA = 75°.
Así: 75° + 60° + x = 180°
⇒ 135° + x = 180°
⇒ x = 45°
Como PQRS es un paralelogramo:
50° + 50° + x + 40° = 180°
140° + x = 180°
⇒ x = 40°
Como ABCD es un paralelogramo,
⇒ AD = BC
Δ ABH (30° y 60°)
⇒ AH = 53
Δ BHD (45° y 45°)
⇒ HD = 5
AD = AH + HD
AD = 5(3+ 1)
AD = BC = x
⇒ x = 5(3+ 1) u
BC// AD, AB// CD = 6 u
• m∠BEA = m∠DAE
⇒ Δ ABE isósceles
⇒ AB = BE = 6 u
• m∠CED = m∠ADE
⇒ Δ ECD isósceles
⇒ EC = CD = 6 u
⇒ BC = BE + EC = 12 u
⇒ 2P = 12 + 12 + 6 + 6 = 36 u
Como m∠ ADC = 30° y CD = 10, tenemos:
sen(30°) =
x
102
1
=
Entonces:
x = 5 u
UNIDAD 2 T6 - T11.indd 176 5/02/2020 15:44:07

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 177Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
10. En el trapecio ABCD, halla la longitud del seg-
mento PQ , si AP = PC.
A
P Q
2 u
3 u D
CB
11. Halla la medida del segmento que une los
puntos medios M, N, de AB y BC respectiva-
mente, si AC = 32 u.
A C
B
M N
12. En un cuadrilongo ABCD, halla la relación
entre la diagonal y el menor de sus lados, si
BC = 8 u y CD = 6 u.
13. Se tiene un trapecio isósceles ABCD (BC //AD),
tal que CH es bisectriz del triángulo BCD y
HN = 4 u. Halla AB si m∠BAD = 70°; conside-
rando que M y N son puntos medios.
M N
H
B C
DA

14. Halla DQ si ABCD es un cuadrado de 8 cm de
lado; además, AP = cm122 .
A D
B C
Q
P
70°
M N
55°
55°
55°
B C
H 4
DA
Como m∠ A = 70° ⇒ m ∠C = 110°
⇒ m∠HCD = m∠HCB = 55°
Además, MN base media
⇒ BC// MN
⇒ m∠BCH = m∠CHN
⇒ Δ HNC es isósceles
⇒ HN = CN ⋀ CN = ND
Dato: HN = 4 u ⇒ CD = 8 u
Del trapecio isósceles: AB = CD
⇒ AB = 8 u
A D
B 8 u
10 u
6 u
C
Como ABCD es un cuadrado y AP pasa por
la diagonal de este:
⇒ m∠ PAQ = 45°, por dato AP = 122 cm
⇒ AQ = 12 cm
⇒ AD + DQ = 12 cm
⇒ DQ = 4 cm
Por Pitágoras: AC = 10 u
⇒
AB
AC
6
10
3
5
==
PQ
2
32
2
1
=
-
=
⇒ PQ = 0,5 u
De la semejanza de triángulos, se tiene:
MN
AC
2
=
MN
2
32
=
⇒ MN = 16 u
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B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 178
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula «x» en el siguiente gráfico.
2x
4x
3x
x
a. 36°
b. 18°
c. 72°
d. 108°
2. Calcula el valor de «x» en el siguiente gráfico, si
ABCD es un trapecio.
2u
8uA
B C
x
D
a. 3 u b. 2 u c. 5 u d. 4 u
3. En el trapecio mostrado, calcula x + y.
A
50°
7x + 25°
3y + 11°
130°
D
CB
a. 15°
b. 13°
c. 28°
d. 30°
Nivel intermedio
4.
En el trapecio PQRS mostrado, calcula el valor
de HG .
P
H G
2B2B
M N
S
RbQ
a.
b
2

b.
B
2
c.
Bb
2
+
d.
Bb
2
-
5. Las longitudes de la base media y del segmen- to que une los puntos medios de las diagona- les de un trapecio miden 14u y 6u.
Calcula el
cociente entre la base mayor y la base menor respectivamente.
a.
1,5 b. 2,5 c. 3,5 d. 11.5
6. Determina el valor del perímetro del paralelo-
gramo ABCD.
A 8 u 5 u
B
D
C
α
α
x
a. 36 u
b. 42 u
c. 50 u
d. 60 u
Nivel avanzado
7.
En un cuadrilátero ABCD, se cumple que m∠A + m∠D = 140°.
Calcula la medida del
menor ángulo formado por la bisectriz inte- rior del ángulo B con la bisectriz interior del ángulo C.
a.
70° b. 80° c. 20° d. 10°
8. En un cuadrado ABCD, se construye el triángulo
equilátero ABR. Determina el valor de m∠ CRD.
C
x
R
B
DA
a. 140° b. 150° c. 160° d. 170°
9. En el cuadrado ABCD, halla el valor de CEAD+ .
C
45°
E
F6
6
53°
B
DA
a. 5 b. 4 c. 3 d. 6
Nivel destacado
10. En un trapecio ABCD, BC // AD , M es punto
medio de AB . Se traza CN // AB, N ∈ AD , que
intersecta a DM en su punto medio Q. Halla
QN, si CQ = 6 u.
a. 1 u b. 2 u c. 3 u d. 4 u
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a a c a b b a b b b
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Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 179Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Circunferencia
Recordamos lo aprendido
Elementos asociados a la circunferencia:
H
O
T
N
R
C D
B
LS
LT
A
O: Centro
R: Radio
AB
: Diámetro
CD: Cuerda
CD
&
: Arco
NH: Flecha o sagita
LS: Recta secante
LT: Recta tangente
T: Punto de tangencia
Propiedades:
O
P
L1
P
A
α
β
O
B
Si L1es tangente
⇒ OP L1
a = b
AP = BP
Posiciones relativas entre circunferencias
R
R
Punto de tangencia
r
r
Distancia entre
los centros (d)
Distancia entre
los centros (d)
R
r
dd
O2O2O1O1
d = R + r d = R – r
Teorema de PitotTeorema de Poncelet
a b
c
d
a b
c
r
a + b = c + d a + b = c + 2r
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Sean A y B puntos de tangencia tal que
AP = 3x + 7 y BP = 2x + 16. Calcula el valor de AP .
P
A
B
2. Del siguiente gráfico, determina el valor de «x»,
si el arco AB
&
= (5x
2
− 3)° , CD
&
= 42° y AC //BD.
A
B
D
C
3. Calcula el perímetro del triángulo ABC si P, Q
y R son puntos de tangencia.
A C
B
R
Q
P
4 u
5 u
3 u
Como A y B son puntos de tangencia, en- tonces: AP
= BP
⇒ 3x + 7 = 2x + 16
⇒ x = 9
⇒ AP = 3(9) + 7 = 34 u
Como las medidas de los arcos son iguales, entonces:
(5x
2
− 3)°= 42° ⇒ 5x
2
= 45
x
2
= 9 ⇒ x = 3
Como P, Q y R son puntos de tangencia, se tiene:
PB
= BQ = 4 u; QC = RC = 5 u y
AP = AR = 3 u
Entonces:
2p = 7 + 9 + 8 = 24 u
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B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 180
Nivel intermedio
4. Del siguiente gráfico, halla α, si M es punto de
tangencia y O es centro.
α
A C
a a a
B
M
O
5. Calcula la longitud del radio de la circunferen-
cia inscrita en un triángulo rectángulo si la di-
ferencia entre el semi perímetro y la longitud
de la hipotenusa es 4u.
ba
c
r
6. Halla x + y en la siguiente figura.
5y+2
3x-6
2x-1
4y+3
Nivel avanzado
7. En el gráfico, A y C son puntos de tangencia en las circunferencias de igual radio.
Determina
la medida del ángulo CBA, si O y O
1
son los
centros de la circunferencias.
O
C
A D BO 1
8. Juan tiene un campo triangular rectangular de catetos 12 km y 16 km, si deja a una vaca dentro del campo sujeta a un árbol. ¿Cuánto debería medir la cuerda para que la vaca no salga del campo triangular permitido?
Como M es punto de tangencia, entonces OM
es perpendicular a MC .
Por lo tanto, el triángulo OMC es 30° y 60° donde OM
= a por ser radio.
Luego 2α = 60° ⇒ α = 30°
O
A D BO 1
C
r
r r
r
Del triángulo AOO
1
, tenemos un triángulo
notable de 30° y 60°:
m∠OO
1
A = 30° ⇒ m∠CBA = 15°
a=12 b=16
c
r
Por el teorema de Pitágoras:
c
2
= 12
2
+ 16
2
⇒ c =
144256+
⇒ c = 40020=km
Luego, por el teorema de Poncelet:
a + b = c + 2r
⇒ 12 + 16 = 20 + 2r
⇒ 28 − 20 = 2r ⇒ r = 4 km
Aplicando el teorema de Pitot:
3x − 6 + 5y + 2 = 2x − 1 + 4y + 3
3x + 5y − 4 = 2x + 4y + 2
3x + 5y − 2x − 4y = 4 + 2 ⇒ x + y = 6
Como el semi perímetro es:
ab c
2
++
Entonces tenemos que:
ab c
2
++
− c = 4
a + b + c − 2c = 8 ⇒ a + b − c = 8 ⋯ (∗)
Usaremos el teorema de Pitot:
a + b = 2r + c
Reemplazamos en (∗ ):
Tenemos: 2r + c − c = 8 ⇒ 2r = 8
⇒ r = 4 u
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Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 181Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. En el gráfico, calcula «x» si B y A son puntos de
tangencia.
P
B
A
40 - 3x
x
2
a. 7 b. 5 c. 8 d. 6
2. Del gráfico, calcula «x».
x
16 u
18 u
24 u
a. 17 u b. 20 u c. 13 u d. 22 u
3. En el gráfico, si AB + ED = 24 u, calcula AD si
B, E y C son puntos de tangencia.
B
A C D
E
a. 24 u b. 22 u c. 18 u d. 12 u
Nivel intermedio
4.
En el gráfico, si AB + BC + CD + AD = 48 u,
calcula el valor de AB + CD.
A D
C
B
a. 20 u b. 19 u c. 32 u d. 24 u
5. En el gráfico, AB = 15 cm, BC = 16 cm, CA = 17 cm.
Calcula PA si P, Q y R son puntos de tangencia.
Q
B
P
R CA
a. 7 cm b. 9 cm c. 8 cm d. 6 cm
6. En el gráfico, calcula el valor de «x».
32 cm
24 cm x
a. 9 cm b. 5 cm c. 8 cm d. 6 cm
Nivel avanzado
7.
Calcula «x» si OC es radio y, además, AB = BC
y DE = 2DB
D
x
B
C
E
30°
A
O
a. 17° b. 15° c. 12° d. 16°
8. Se requiere colocar una tubería en un túnel
trapezoidal isósceles como el de la figura.
Calcula el radio R.
2 2
R
8
a. 4 b. 5 c. 8 d. 6
9. Roberto tiene un campo que tiene la forma de un triángulo recto con catetos 15 km y 20 km. Si una oveja se encuentra atada al centro del cam- po con una soga, ¿cuál deberá ser la longitud de la soga, para que la vaca no salga del campo triangular permitido?
a.
4 km b. 5 km c. 8 km d. 6 km
Nivel destacado
10. De la siguiente gráfica, calcula BE si se sabe
que AO es bisectriz del triángulo BAD.
B
C
A
D
O
E
5
a. 4 b. 5 c. 8 d. 6
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b d a d c c b a b b
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B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 182
Ángulos asociados a la circunferencia
Recordamos lo aprendido
Ángulos en la circunferencia
a. Ángulo central
A
B
α
α
O
O: Centro de la circunferencia
m∢AOB = α
m∢AOB = mAB_i
%
⇒ α = mAB_i
%
b. Ángulo inscrito:
A
C
B
2α
α
Si m∢BAC = α
⇒ mBC_i
%
= 2α
c. Ángulo seminscrito:
B
A
T
2α
α
B: Punto de tangencia
BT: Recta tangente
BA: Recta secante
Si m∠TBA = α
⇒ mAB_i
%
= 2α
d. Ángulo interior:
B
θ
α α
ω
A D
P
C
α =
2
Δ−+
e. Ángulo exterior:
T
ω
φ
α
A
B
P
T
xθ
P
α =
2
Δ−-
x + θ = 180°

α
θ
x

x =
2
Δ−-
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Escribe la ecuación que se relaciona para cada
gráfico.
xα β
α
θ
x =
2
Δ−-a + q = 180°
2. En el siguiente gráfico, calcula «x», si O es cen-
tro de la circunferencia, y m∢ AOB = x + 30°.
A
80°O
B
Como O es centro de la circunferencia, en-
tonces por ángulo central:
x + 30° = 80°
x = 50°
3. Del siguiente gráfico, halla el valor de «x».
x + 20°
76°
Por la propiedad del ángulo inscrito se
tiene:
2(x + 20°) = 76°
2x + 40° = 76°
2x = 36°
x = 18°
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Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 183Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Calcula la medida del arco AE
%
.
A
B
C
E
80° 30°
D
Sabemos que:
30° =
mAEmDB
2
-
% &
⇒ 60° = mAEmDB-
% &
80° =
mAEmDB
2
+
% &
⇒ 160° = mAEmDB+
% &
∴ mAE
%
= 110°
5. Desde un punto P exterior a una circunferen-
cia se traza la tangente PC y la secante PAB; y
en la prolongación de CA se ubica el punto D.
Si se cumple que:
m∠CPA + m∠CBA = 80°
Halla m∠BAD.
Completando ángulos:
α + β + θ = 180°
B
C
A
ββ
β
α
θθ
P
D
80° + θ = 180°
⇒ θ = 100°
6. En el siguiente gráfico, calcula el valor del án-
gulo ∢ABC al que llamaremos «x».
M
C
B
F
A
45°45°
70°70°
Nivel avanzado
7. Siendo P y Q puntos de tangencia, a partir del
gráfico mostrado determina el valor de «x».
A
B
100°
x
P
Q
• En la circunferencia grande
m∠ABP ángulo inscrito
m∠ABP = 100° ⇒ AP
&
=200°
Complemento de la circunferencia 360° –
AP
&
= 160°
Luego: m∠AQP =
2
160°
= 80°
• En la circunferencia pequeña
m∠AQP ángulo semiinscrito 2m∠AQP =
PQ
&
⇒ PQ
&
= 2 × 80° = 160°
Por propiedad:
x + 160° = 180° ⇒ x = 20°
8. En la figura se cumple que mAB
%
= 50° y O es
centro de la circunferencia. Calcula la medida
del arco AQ
&
.
A
P
Q
MB
O
Como AB
&
= 50° y O centro, entonces el
ángulo central es 50°.
A
P
Q
MB
O
50°50°
Además m∠AOB = 50° es un ángulo
inscrito. Entonces
AQ
&
= 2(50°) = 100°.
M
C
B
F
x
2x
A
45°45°
70°70°
55°55°
55°55°
80°80°
100°100°
55°55°85°85°
40°40°
BC
%
+ 100° = 180°
BC
%
= 80°
⇒ ∠BAC = 40°
⇒ 2x = 2(85°)
⇒ x = 85°
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B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 184
Refuerzo en casa
Nivel básico
1.
Calcula la medida de la longitud de AD si E
es punto de tangencia.
A
B
6 cm
7 cm
C
D
E
a. 12 cm b. 14 cm c. 13 cm d. 15 cm
2. Determina el valor de «x» si OA = AB y T es
punto de tangencia.
T
R
O x
A
B
a. 60° b. 45° c. 30° d. 37°
3. Se tiene AD // BC además m∠ABC = 50°.
Calcula m∠ DAC
)
si A y C son puntos de tan-
gencia.
D
A
B
C
a. 65° b. 45° c. 35° d. 60°
Nivel intermedio
4.
Calcula «x» en el siguiente gráfico.
140°
15°15°
x
a. 80° b. 70 c. 73° d. 95°
5. Halla «x» en el gráfico mostrado.
B
E
A
130°
120°
C
x
D
F
a. 15° b. 75° c. 30° d. 70°
Nivel avanzado
6.
Si se verifica que: α + θ = 126°, calcula la longi-
tud del arco AD
&
.
A
α θ
B
C
D
a. 126° b. 86° c. 162° d. 68°
7. Si A y Q son puntos de tangencia, calcula «x».
P
A
x
40°
B
Q
C
a. 25° b. 75° c. 35° d. 50°
8. Del siguiente gráfico, determina «x».
A
B
C
QP
x
120° 140°
a. 50° b. 60° c. 70° d. 80°
Nivel destacado
9. Si O es el centro de la circunferencia y OA = AB,
calcula el valor de «x» en el gráfico.
C
x
O
A
B
a. 60° b. 45° c. 30° d. 37°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
c c a d d a d d c
Metacognición
••¿Qué aprendí? ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
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Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 185Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Proporcionalidad y semejanza
Recordamos lo aprendido
Los principales teoremas y propiedades a usar
en este tema son:
Proporcionalidad
AP
QA
BR
QB
=
Q
P
A B
L
R
Si L // PR , entonces:
AC
AB
DF
DE
=
AC
BC
DF
EF
=
A
a b
L1
L2
L3
D
B E
C F
Si L
1
// L
2
// L
3
, entonces:
a b
ααα
mm nn
b
a
n
m
=
vv
A
DB
β
β
b
c u
a
C
u
a
v
b
= v = c + u
Semejanza de triángulos
A
α θ
β
C
B
+
α θ
β
P R
Q
Los lados homólogos son:
AB y PQ ; BC y QR ; AC y PR
Se cumple:
PQ
AB
QR
BC
PR
AC
==
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Del gráfico, calcula «x» si L
1
// L
2
// L
3
.
L
1
L
2
L
3
5 x
6335
Por el teorema de Thales:
x
35
5
63
=
Por lo tanto x =
35
563#
= 9
2. Determina el valor de «x» en el siguiente gráfi-
co, si AB // DE.
A
E
B
3u
xx
28 u28 u
4u
D
C
Por el teorema de Thales:
x
287
4
=
Por lo tanto x =
7
284#
= 16 u
3. Halla el valor de k en el siguiente gráfico.
A
C E
B
12 cm
5 cm
α
α
2k + 12k + 1
5k + 15k + 1
Por el teorema de la bisectriz exterior:
kk21
5
51
12
+
=
+
⇒ 25k + 5 = 24k + 12
⇒ k = 7
UNIDAD 2 T6 - T11.indd 185 5/02/2020 15:44:16

B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 186
4. Del siguiente gráfico, calcula «x».
P
S R
Q
8k
3k
α
α
9 u9 u
xx
Por el teorema de la bisectriz exterior:
k
x
k
9
38
=
x =
()()
k
k
3
89
Por lo tanto x = 24 u
Nivel intermedio
5. De acuerdo al siguiente gráfico, calcula PQ .
B
A C
Q
θ
θ
15 u15 u
4 u4 u
8 u8 u
PP
Como el ángulo m∠BQP y m∠BCA son
iguales, entonces:
PQ // AC
Entonces por proporcionalidad:
PQ
12
4
15
= ⇒ PQ =
12
415:
= 5 u
6. En el paralelogramo ABCD se sabe que
BE = 6 cm, EC = 18 cm y AO = 12 cm. Calcula
la longitud de segmento OE.
B
A D
C
E
O
Los triángulos BEO y AOD son semejantes, entonces:
x
1224
6
=
⇒ x =
24
126:
⇒ x = 3 cm
7. En la siguiente figura calcula la longitud de TB
si AB = 12 cm y BC = 5 cm y T es punto de
tangencia.
A
B
T
OM
C
Por el teorema de Pitágoras, se tiene:
AC
2
= AB
2
+ BC
2
AC
2
= 144 + 25 = 169 ⇒ AC = 13 cm
A
B
T
OM13 – 2r r r
r
5
C
Por semejanza de triángulos:
r
r
13 13
5
-
=
13r = 65 – 5r ⇒ 18r = 65 ⇒ r =
18
65
cm
Y como
AT r
12 13
13
=
-
⇒ AT =
18
156
⇒ TB = 12 –
18
156
3
10
= cm
8. Del siguiente gráfico, calcula «x».
15 u15 u
5 u5 u
B
A
DN
M
x
C
En la figura:
1515
55
B
A
L
α β
y DN
M
x
C
∆CDA:
L
x
Ly
5
=
+
⇒ L + y =
x
L5
∆BAD:
y
x
Ly
15
=
+
⇒ L + y =
x
y15
De las dos igualdades anteriores: y =
L
3
Aplicando semejanza en el triángulo ABD,
se tiene:
LL
x
3
4
15
3
= ⇒ x =
4
15
u
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 187Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
9. Calcula el lado del cuadrado PQRS.
4 u4 u 16 u16 u
A
P S
C
B
Q R
44 1616
A
P
L
L
L
L
S
C
B
Q
α
α
β
β
R
Sea L el lado de dicho cuadrado, obser-
vamos que los triángulos AQP y RSC son
semejantes, entonces:
L
L4
16
=
⇒ L
2
= 64
⇒ L = 8 u
Nivel avanzado
10. En el siguiente gráfico calcula el valor de «x»,
si MB = MA .
A D
B C
4 u
9 u
Mxx
Sea MB = MA = L, entonces:
A
L
L
D
B C4
α
α
β
β
9
Mxx
Por semejanza de triángulos:
L
L9
4
=
L
2
= 36 ⇒ L = 6 u
Pero: x = 2L
Por lo tanto, x = 12 u.
11. En la figura, O es centro, OE = 9 cm, OF = 16 cm.
Calcula la longitud de OA .
A
T
O
F
E
Completando longitudes, tenemos:
A
T
O
F
E
rα
α
9
16
r
Los triángulos AEO y TOF son semejantes,
entonces:
r
r9
16
=
⇒ r
2
= 144
⇒ r = 12 cm
12. Calcula el perímetro del triángulo BTQ en la siguiente figura.
A
B
37°
5n
α
α
2n 8 cm
Q
T
C
Aplicando el teorema de Thales en el triángulo ABC se tiene:
n
nBT
2
5
8
=
⇒ BT =
n
n
2
58#
= 20 cm
Por el triángulo de 37° y 53° se tiene:
⇒ BQ = 25 cm y QT = 15 cm
Del triángulo BTQ tenemos:
BT + TQ + QB = 20 + 25 + 15 = 60 cm
Por lo tanto, el perímetro del triángulo
pedido es 60 cm.
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B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 188
Refuerzo en casa
Nivel básico
1.
En la siguiente figura las rectas son paralelas.
Calcula el valor de «x».
x
x – 3 3k
5k
L1
L2
L3
a. 6,7 b. 7,5 c. 5 d. 3
2. En la siguiente figura las rectas son paralelas;
además, AB = 6 cm, BC = 18 cm, PQ = 4 cm y
SQ = 2x + 3, halla el valor de x.
A
B
C S
Q
P
L1
L2
L3
a. 4 cm
b. 3 cm
c. 4,5 cm
d. 5,4 cm
3. Calcula AR, si AB = 6; BC = 8 cm y AC = 7 cm.
A
B
αα
R
C
a. 3 cm
b. 5 cm
c. 4 cm
d. 1,5 cm
Nivel intermedio
4.
Calcula CR si AP = 9 cm, PB = 3 cm y AC = 8 cm.
A
R
C
B
P
Q
a. 2 cm b. 4 cm c. 6 cm d. 8 cm
5. En un triángulo ABC se traza la bisectriz inte- rior BD
y la mediana BM . Calcula la relación
entre DM y AC; si:
BC
AB
5
3
=
a.
9
1
b.
8
1
c.
7
2
d.
5
1
6. En un triángulo ABC se traza la mediana AM y
la bisectriz interior BD , las cuales se cortan en
P, si AP =
PM
3
y AB = 4 cm, halla la longitud
del segmento MC .
a. 6 cm b. 8 cm c. 9 cm d. 12 cm
Nivel avanzado
7.
Calcula la longitud CP , si AB = 7 u y PQ = 3 u.
A
B O Q C
P
a. 6 u b. 7 u c. 7,5 u d. 8,59 u
8. Halla AB, si CD = 10 u, DE = 4 u y BC = 7,5 u.
(Aplique el teorema de Menelao)
A
B
C
D
F
E
a. 2,5 u b. 4 u c. 5 u d. 6 u
9. En un triángulo ABC de lados 3 u; 4 u y 5 u res- pectivamente se traza la bisectriz interior AD

hacia el lado BC . Determina la distancia del
punto D hacia el lado AC .
a. 2 u b. 1,8 u c. 1,5 u d. 1,3 u
Nivel destacado
10. Calcula RS = x, si AB = 12 cm y ABCD es un rom-
bo.
A C
B
M
x
D
a. 3 cm b. 4 cm c. 6 cm d. 2 cm
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b c a b b d c c c b
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Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 189Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Relaciones métricas en el triángulo
Recordamos lo aprendido
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
1. Teorema del cateto
bb
A
B
C
H
aacc
mm nn
c
2
= m × b a
2
= n × b
2. Teorema de la altura
A
B
C
H
h
mm nn
Se cumple:
h
2
= m × n
3.
bb
A
B
C
H
aacc
hh
Se cumple:
a × c = b × h
4.
A
P
xx
B
h R
m n
2R2R
Se cumple:
x
2
= m × 2R
Donde:
m + n = 2R
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Encuentra el valor de «x» en cada caso. a.

x
A B
C
3 cm3 cm 12 cm12 cm
Por propiedad se tiene:
x
2
= 3 × 12 = 36
x
2
= 36
⇒ x = 6 cm
b.
x
A B
C
1 cm1 cm 8cm8cm
Por propiedad, se tiene:
x
2
= 1 × (1 + 8) = 9
x
2
= 9
⇒ x = 3 cm
c.
A
B
C
15 cm15 cm
x
hh
20 cm20 cm
En el triángulo ABC:
h = 2015 625
22
+ = = 25 cm
Por propiedad:
15 × 20 = 25 • x
⇒ x =
25
1520#
= 12 cm
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B?sico Intermedio Avanzado
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 190
2. Relaciona mediante flechas la imagen con su
relación correcta.
h
mm n n
a b
cc
h
a b
cc
a
2
+ b
2
= c
2
a 3 b = c 3 h
h
2
= m 3 n
3. Calcula el valor de m en el siguiente gráfico.
2 cm2 cm 6 cm6 cm
mm
Por propiedad, se tiene:
m
2
= 2(2 + 6)
m
2
= 16
⇒ m = 4 cm
Nivel intermedio
4. Calcula la proyección de AB sobre la recta L
Δ−β
.
A
L
B
10 u10 u
18 u18 u
17 u
Realizando trazos auxiliares, tenemos:
A
L
B
1010
1818
17
8
x
17
2
= 8
2
+ x
2

289 = 64 + x
2

225 = x
2
⇒ x= 15 u
5. Encuentra el valor de «x» en:
xx
9 cm9 cm
7 cm7 cm
Por propiedad, se tiene:
x
2
= 9(9 + 7)
x
2
= 144
⇒ x = 12 cm
6. Determina el valor de «2x» en el siguiente caso.
4 cm4 cm9 cm9 cm
A
x
B
Por propiedad, se tiene:
x
2
= 9(4)
x
2
= 36
⇒
x = 6 cm
Entonces:
2x = 2(6) = 12 cm
7. Calcula «x» en la siguiente figura.
8 u8 u
4 u4 u
xx
8
2
= 4x
⇒ 64 = 4x
⇒ x = 16 cm
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 2
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 191Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
8. Si se cumple que:
HC
AH
3
1
=
Determina el valor de θ.
3k3kkk
B
H
A
θ
C
Del dato, sea AH = k, HC = 3k.
Por propiedad, se tiene:
BH
2
= AH × HC
BH
2
= K × 3K
BH
2
= 3K
2
⇒ BH = k3
Finalmente:
tgθ =
3
1
⇒ θ = 30°
Nivel avanzado
9. Encuentra el valor de «x» en la siguiente figura.
6 u
xx x + 6x + 6
Por propiedad, se tiene:
6
2
= (x)(x + x + 6)
36 = (x)(2x + 6)
2x
2
+ 6x = 36
Reduciendo esta ecuación:
x
2
+ 3x – 18 = 0
(x + 6)(x – 3) = 0
x = –6
∨ x = 3
Como la longitud debe ser positiva,
entonces:
x = 3 u.
10. Encuentra el valor de a si O es centro y el radio de la semicircunferencia es R = 5 u.
A
a
H
B
R
C
OO2 u2 u
Realizando el trazo auxiliar BC , tenemos:
A
H
B
C
22 OO33 55
a
Entonces:
a
2
= 2(5 + 3)
a
2
= 16
⇒
a = 4 u
11. Calcula HP , si AH = 4 u y HC = 9 u.
B
θ
θ
P
2θ
A C
H
Según la propiedad:
BH
2
= (AH )(HC)
BH
2
= (4)(9)
BH
2
= 36
⇒ BH = 6 u
B
θ
θ
P90 – θ
90 – θ
90 – θ
90 – 2θ
2θ
A C
H
Según el gráfico, BH = HP = 6 u.
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B?sico Intermedio Avanzado Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 192
Refuerzo en casa
Nivel básico
1.
Calcula el valor de «x» en el siguiente gráfico.
x
8 cm8 cm 4 cm 4 cm
a. 43 cm
b. 33 cm
c. 23 cm
d. 3 cm
2. Calcula el valor de «x».
x
5 cm5 cm 10 cm 10 cm
a. 33 cm
b. 43 cm
c. 53 cm
d. 63 cm
3. Determina «x» en el siguiente caso:
2
x cmx cm (x + 1) cm (x + 1) cm
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
Nivel intermedio
4.
Calcula h en el siguiente gráfico:
9 u
h
12 u
a. 4 u b. 6 u c. 7,2 u d. 3,4 u
5. Encuentra el valor de a si el radio R de la semi-
circunferencia es 8 u.
44
aR
O H
a. 43 u
b. 33 u
c. 23 u
d. 3 u
6. Si el radio de la semicircunferencia es 8 cm,
calcula el valor de «x».
11
xx
a. 1 cm b. 2 cm c. 3 cm d. 4 cm
Nivel avanzado
7.
Calcula el valor de x + y en el siguiente gráfico.
x
1 u 8 u
y 12 u
a. 20 u b. 18 u c. 21 u d. 24 u
8. Halla «x» si O es centro de circunferencia y T es punto de tangencia.
2 u2 u8 u8 u
OO
xx
A B
T
a. 1 u b. 2 u c. 3 u d. 4 u
Nivel destacado
9. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH
y la bisectriz interior AD
que se intersecan en E. Si númericamente
(AD)(ED) = 64, ¿cual es el valor numérico de BE ?
a. 22
b. 23
c. 42
d. 32
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
a c a c a d b d c
Metacognición
••¿Qué aprendí? ¿Cómo lo hice?
••¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo las superé?
••¿Para qué me sirve lo aprendido en este
tema?
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Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 3 UNIDAD
Pilares
Proyecto educativo
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
3Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
193
UNIDAD 3 T12 - T17.indd 193 5/02/2020 15:44:20

Básico Intermedio Avanzado 194Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Relaciones métricas en la circunferencia
Recordamos lo aprendido
Los principales teoremas a recordar en este
tema serán:
1. Teorema de las cuerdas
A F
BE
aa nn
mmccbb
EC × CF = AC × CB
2. T<> eorema de las secantes
bb
A
C
P
BB
DD
nn
mm
aa
a × b = m × n
3. Teorema de la tangente
A
O
B
C
nn
aa
mm
a
2
= m × n
4. Teorema de Ptolomeo
A
B
C
D
d
c
b
aa
xx
yy
x × y = a × c + b × d
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Calcula el valor de «x» en cada caso: a.

A
B
CD
99
33
xx66
Por el teorema de las cuerdas, tenemos:
9 × 6 = 3 × x
54 = 3x
x = 18
b.
3k3k
22kk
xx
A
B
C
D
Por el teorema de las cuerdas, tenemos: k × x = 3k × 2 kx = 6k
x =
k
k6
= 6
c.
A
B
C
D
E
aa
aa
66
44
88
xxaa
Por el teorema de las cuerdas, tenemos:
6 × 8 = a × 2a
48 = 2a
2
⇒ 24 = a
2
4 × x = a × 2a
4x = 2a
2
⇒ 4x = 48
x = 12
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 195
2. Determina el valor de «x» en el siguiente gráfico.
A
B
O
C
8 cm 1 cm
x
Por el teorema de la tangente:
x
2
= (8 + 1) × 1
x
2
= 9 × 1
x
2
= 9
⇒ x = 3 cm
Nivel intermedio
3. Calcula la longitud del segmento QC , si se tie-
ne que: AC = 20 cm, PC = 10 cm y BC = 50 cm.
A
B
Q
P
C
Por el teorema de las secantes:
20 × 10 = 50 × QC
200 = 50QC
QC = 4
4. Encuentra el valor de «2x» en el gráfico.
A
E
B
C
D
O
55
1010 y y
44
x
4
Primero aplicamos el teorema de las cuerdas:
5 × 4 = 10 × y ⇒ 20 = 10y ⇒ y=2
Luego aplicamos el teorema de la tangente:
x
2
= (14 + y) × 4
x
2
= 64
⇒ x=8
El valor de 2x es 16.
5. Halla el valor de «x» en las siguientes circun-
ferencias
O
A
B
C
D
F
E
77
55
xx
44
Colocando valores:
O
A
B
D
C
E
F
77
55
mm
nnxx
44
Por el teorema de las secantes:
(4 + x)(x) = (m + n)(m) = (5 + 7)(5)
Seleccionando la primera y la tercera
igualdad:
(4 + x)(x) = 60
x
2
+ 4x – 60 = 0
⇒ (x + 10)(x – 6) = 0
∴ x = 6
6. Calcula «x» en el gráfico
xx
22
mm
11
O
A
C
D
B
Para la circunferencia mayor:
x
2
= (m + 3)(m)
Para la circunferencia menor:
x
2
= (m + 1)
2
m
2
+ 3m = m
2
+ 2m + 1
3m = 2m + 1

⇒ m = 1
Luego:
x
2
= 4

⇒ x = 2
UNIDAD 3 T12 - T17.indd 195 5/02/2020 15:44:21

Básico Intermedio Avanzado 196Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel avanzado
7. Encuentra el valor de «2x».
A
B
E
D
C
O
x
+ y
x
y
2
10
5
Para la circunferencia mayor aplicamos el
teorema de las cuerdas:
(10)(2) = 5y ⇒ 20 = 5y ⇒ y = 4
En la circunferencia mayor aplicamos el
teorema de la tangente:
(x + y)
2
= (x + y + 5)(x)
(x + 4)
2
= (x + 9)(x)
x
2
+ 8x + 16 = x
2
+ 9x
x = 16
Entonces el valor de 2x es 32.
8. Calcula x + y en el siguiente gráfico.
A
B
C D
F
E
G
4
4y
x
5
2
Por el teorema de la tangente:
4
2
= (y + 2)(2)
16 = (y + 2)(2)
8 = y + 2

⇒ y = 6
Por el teorema de las secantes:
(y + 4)(4) = (x + 5)(5)
(6 + 4)(4) = 5(x + 5)
40 = 5x + 25
15 = 5x
⇒ x = 3
Luego
x + y = 3 + 6 = 9
9. Determina BC, si AB = 3 cm y CP = 4 cm.
A
F
B
Q
P
C
Para la circunferencia pequeña: (BC
+ 4)
2
= (FP)(PQ)
Para la circunferencia grande: (3 + BC
+ 4)(CP) = (FP)(PQ)
(7 + BC )(4) = (FP )(PQ)
Igualando se tiene: (BC
+ 4)
2
= 4BC + 28
BC
2
+ 8BC + 16 = 4BC + 28
BC
2
+ 4BC – 12 = 0
⇒ (BC + 6)(BC – 2) = 0
Por lo tanto BC = 2 cm
10. Calcula «x» en el siguiente gráfico.
E
A
G
F
DC
B
x
a b a
9
16
Por el teorema de la tangente: x
2
= (a + b)a
Además por las secantes: (16 + 9)(16) = (a + b)(a) 25 × 16 = (a + b)(a) Igualando las expresiones: x
2
= 25 × 16
x = 5 × 4 x = 20 cm
UNIDAD 3 T12 - T17.indd 196 5/02/2020 15:44:22

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 197
Refuerzo en casa
Nivel básico
1.
Calcula «x» del siguiente gráfico.
A
B
CD
22
xx
4488
a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
2. Encuentra el valor de «x»
B
C
D
A
88
2k2k
xx
kk
a. 2 b. 3 c. 4 d. 2,5
3. Determina el valor de «x» en el siguiente gráfico.
A
B
O
C
D
6
3
1
x
a. 12 b. 13 c. 24 d. 26
Nivel intermedio
4.
Halla el valor de «x» en el siguiente gráfico.
O
B
E
D
A
x
y
1
3
8
C
a. 2,5 b. 3 c. 9 d. 6
5. Calcula el valor de PC , si PD = DE, PA = 4cm y
AB = 5 cm
E D
P
A
B
C
a. 5 cm b. 6 c. 7 d. 16
Nivel avanzado
6.
Calcula BC, si BE = 3cm, EF = 9 cm y FD = 16 cm.
B
E
F
A
C
D
a. 20
b. 6
c. 26
d. 28
7. En el gráfico , O es centro de la circunferencia.
Además, BD = 16 y DE = 4. Halla el valor de AB
A B
T
D
E
O
C
a. 8
b. 16
c. 32
d. 20
8. En la figura, calcula el valor de x + y.
A
C
B
O
x
y
5
4
10
a. 36
b. 48
c. 12
d. 24
Nivel destacado
9. Determina el valor de DE , si se sabe que AB = 9,
2(BC)= 3 CD.
A
BCC
D
E
a. 6 cm
b. 7 cm
c. 12 cm
d. 3 cm
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
a c d b d c b a a
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Básico Intermedio Avanzado 198Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Área de regiones triangulares
Recordamos lo aprendido
Fórmulas para el cálculo del área de regiones
triangulares
1. Para un triángulo acutángulo
h
aa
S =
ah
2
#
2. Par<> a un triángulo obtuso
bb
h
S =
bh
2
#
3. Fórmula trigonométrica
a
bb
α
S =
ab
2
#
3 sena
4. Fórmula de Herón (en f unción del
semiperímetro p)
a b
c
p =
ab c
2
++
S = () () ()ppap bp c-- -
5. Área en función del inradio.
r
S = p × r
Donde: p es el semiperímetro del triángulo
6. Área de un triángulo equilátero
L L
L
60°
S =
L
4
3
2
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según co-
rresponda en cada caso.
• El área de la región de un triángulo
equilátero de lado b es igual a
b
4
2
2
( )
• El área de un triángulo es igual al
producto de su semiperímetro con su circunradio.
(
)
• La fórmula de Herón para calcular
áreas del triangulo, es válida solo en triángulos acutángulos.
(
)
2. Grafica el triángulo ABC y traza la altura BH . Sa-
biendo que AB = 6 cm, AH = 4 cm y AC = 10 cm.
Calcula el área de la región triangular ABC.
B
A C
H
6
h
4 6
Por Pitágoras:
36 = 16 + h
2
20 = h
2
⇒ h = 25
S
ABC
=
2
1025#
= 105 cm
2
3. Grafica el triángulo ABC la altura BH es
el lado del rectángulo BHCD y el área
de dicha región es 48 cm
2
; HC
= 8 cm y
AH = 2 cm. Calcula el área de la región trian-
gular ABC.
C
D
A
H2 8
h
B
Se tiene:
S
BHCD
= 8 × h = 48

⇒ h = 6 cm
Luego:
S
ABC
=
2
106#
= 30 cm
2
F
F
V
UNIDAD 3 T12 - T17.indd 198 5/02/2020 15:44:24

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 199
Nivel intermedio
4. Dos lados de un triángulo miden 62 y 14 cm.
Si el área de la región de este triángulo es
42 cm
2
,
calcula la longitud del tercer lado.
B
cm
h
A C
H
14 cm14 cm
26
S =
h
2
14#
= 42 ⇒ h = 6 cm
Por Pitágoras en BHC:
HC = 6; AH = 8 cm
Por Pitágoras en ABH:
AB = 68
22
+ = 10 cm
5. Los lados de un triángulo rectángulo están en
progresión aritmética de razón igual al radio
de la circunferencia inscrita. Si el radio de di-
cha circunferencia es 3 cm,
determina el área
de dicho triángulo.
A C
B
a r a + r
a + 2r
Si r = 3, por el teorema de Poncelet:
a + a + r = a + 2r + r ⇒ a = 6 cm
S =
69
2
×
= 27 cm
2
6. En un triángulo, las longitudes de sus lados
miden 8; 15 y 17 cm. Calcula la longitud de su
inradio.
15 cm
8 cm
17 cm
Por la fórmula de Herón:
p =
2
81517++
= 20 cm
S = () () ()20 20820172015-- - = 60
Así: 60 = p×r ⇒ r = 3 cm
Nivel avanzado
7. En un cuadrante AOB (AO = OB = 5 cm) sobre
el arco AB se ubica el punto P y desde dicho
punto se traza PQ // AO, tal que PQ = 3 cm.
Halla el área de región triangular QPB.
Graficando, tenemos:
Por Pitágoras:
O B
Q
A
P
5 cm
5 cm
5
3
5
2
= 3
2
+ OQ
2
⇒ OQ = 4 cm
Por lo tanto QB
= 1 cm, así:
Luego:
S
PQB
=
2
13#
S
PQB
= 1,5 cm
2
8. La circunferencia inscrita en un triángulo rec-
tángulo determina sobre la hipotenusa dos
segmentos que miden 4 y 6 cm.
Calcula el
área de dicho triángulo rectángulo.
Graficando dicho triángulo:
R
4 cm4 cm 6 cm6 cm
Q
P
S
Por propiedad:
S = 4 × 6 = 24 cm
2
9. Determina el área de un triángulo de lados 4, 5
y 7 cm inscrito en una circunferencia de radio
r =
24
35
6cm
4 5
7
r
Por propiedad, se tiene:
S =
abc
r4
S =
4
24
35
6
45 7
46
#
##
= cm
2
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Básico Intermedio Avanzado 200Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Si el área de la región ABC es de 50 cm
2
calcu-
la el área de la región ABM.
A
B
M2a 3a
C
a. 20 cm
2
b. 30 cm
2
c. 40 cm
2
d. 25 cm
2
2. Según la figura, AC = 12, BH = 9, además
BE = 2EH. Halla el área de la región ABCE.
B
A C
H
E
a. 25 cm
2
b. 36 cm
2
c. 40 cm
2
d. 28 cm
2
3. Si AB = BC y CD = DE, halla el área de la re-
gión sombreada.
A E
C
B
D
10
a. 5 cm
2
b. 6 cm
2
c. 4 cm
2
d. 18 cm
2
Nivel intermedio
4. En el siguiente gráfico ABCD es un cuadrado
de lado 4 cm. Halla el área de la región som-
breada.
A B
D C
a. 5 cm
2
b. 6 cm
2
c. 4 cm
2
d. 18 cm
2
5. El perímetro de un triángulo equilátero es de 36 cm.
Calcula el área de su región.
a. 36 cm
2
b. 363 cm
2
c. 42 cm
2
d. 56 cm
2
Nivel avanzado
6. En la figura, ABC es un triángulo equilátero. Si:
BC = 12 cm, AQ = PB = 2 cm, determina el
área de la región sombreada.
A C
P
B
Q
a. 5<> cm
2
b. 10 c<> m
2
c. 53 cm
2
d. 103 cm
2
7. Calcula el área de la región de un triángulo rectángulo si la hipotenusa y su inradio miden 10u y 2u respectivamente.
a.
24 b. 20 c. 30 d. 18
8. Si el área del triángulo ABC es de 104 cm
2
, ha-
lla el área del triángulo AMN.
A C
B
M
a
a
b b
N
a. 20 c<> m
2
b. 78 c<> m
2
c. 52 c<> m
2
d. 26 c<> m
2
Nivel destacado
9. Del gráfico:
O
3
6
14
B
D
A C
33 77
S∆ABD = S
1
y S∆DBC = S
2
, calcula:
SS
SS
12
12
∙
∆

a. 9,45 u
2
b. 6,72 u
2
c. 8,95 u
2
d. 10 u
2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
a b a c b c a d a
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 201
Área de regiones cuadrangulares
Recordamos lo aprendido
1. Área del rombo
Donde:
AC: diagonal mayor
BD: diagonal menor
A
B
D
C
S =
ACBD
2
#
2. Área del paralelogramo
bb
aahb
ha
S = b × h
b
= a×h
a
3. Área de un trapecio
bb
BB
M Nhh
S =
()Bb
2
+
× h = MN × h
4. Para un cuadrilátero inscrito
ccaa
bb
dd
p: semiperímetro =
abcd
2
++ +
S = () () () ()papbpc pd-- --
5. Área de un cuadrilátero convexo
A
B
α C
D
S =
ACBD
2
#
× Senα
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. La base de un rectángulo es el doble de su
altura. Si el área de su región es de 72 cm
2
, calcula la suma de la base y la altura.
En el gráfico:
h
2h
S = (2h)h = 72
⇒ h
2
= 36
⇒ h = 6 cm
Base + altura = b + h = 12 + 6 = 18 cm
2. En un romboide, la base mide 10 cm y la altura
relativa mide 8,1 cm. Si el área de este cuadrilá-
tero es equivalente a la de un cuadrado,
calcula
la longitud del lado de dicho cuadrado.
En el gráfico:
10 cm
8,1 cm
S = 8,1 × 10 = 81 cm
2
Sea «l» la longitud del cuadrado equiva- lente, así:
l
2
= 81 ⇒ l = 9 cm
La longitud de cuadrado es de 9 cm.
3. Grafica el paralelogramo ABCD, de modo que: BD
= 6 cm y m+BDA = 30°. Traza la altura BH
(H ! AD), y calcula el área del paralelogramo
sabiendo, además, que AH =23.
Graficando dicho paralelogramo y usando el triángulo de 30° y 60°, se tiene:
A D
B
H
C
6 cm
30°
3
32 33
S = 23 33+`j × 3 = 153 cm
2
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Básico Intermedio Avanzado 202Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
4. Calcula el área de un trapecio rectángulo
ABCD, si: m∠A = m∠B = 90°; m∠D = 60°;
CD = 16 u y BC = 3u.
Graficando el trapecio, se tiene:
A
3
3
8
60°
16
B C
D
38
S =
2
113
83 563#
+
=
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
u
2
5. Halla el área de la región de un rombo si su
perímetro es 116 cm y una de sus diagonales
es 42 cm.
Graficando el rombo, se tiene:
Por el teorema

29 cm
21 cm21 cm
αα
αα
ββ ββ
21 cm21 cm
29 cm
E2
E1
d
29 cm29 cm
de Pitágoras:
d = 29 21
222
-
= 400 =20
El área viene dada por:
S =
2
40 42#
= 840 cm
2
6. Calcula el área de la región ABCD mostrada
en la figura.
A D
B
9
6
C
Colocando ángulos a la figura:
A D
B
9
α
α
6
C
117
2
3
117
S =
2
3
2
117
2
69
#
#
+ = 39 + 27 = 66 u
2
Nivel avanzado
7. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6 u,
E ! BC, el área de AECD es el doble del área de
ABE. Determina EC.
Graficando tenemos:
B
S
2S
E
C
6 – x
66
x
A D
Por condición:
x
2
6+
J
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
6 = 2 ∙
()x
2
66#-
3(x + 6) = 6(6 – x)
3x + 18 = 36 – 6x
9x = 18
⇒ x = 2
Finalmente, EC = 2 cm.
8. En el gráfico mostrado: AC = 2 cm y CF = 1 cm,
si los triángulos ABC y CEF son equiláteros,
calcula el área del cuadrilátero ABEF.
A F
B
E
C
Graficando de acuerdo a los datos, se
tiene:
60°
2
A F
B
E
C
1
2
2
60° 60° 60°
60°60°
Entonces:
S
ABEF
=
4
23
4
13
2
2
2
322 #
++
S
ABEF
= 3
4
3
2
3
4
73
++ = cm
2
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 203
Refuerzo en casa
Nivel básico
1.
En un rombo de lado 5u, una diagonal es el
doble de la otra. Encuentra su área.
a. 5 u
2
b. 20 u
2
c. 15 u
2
d. 25 u
2
2. En un trapecio rectángulo la base mayor mide 18 u, la base menor y su altura tienen la misma
medida y la diagonal menor mide
8u for-
mando un ángulo de 45° con la base mayor.
Halla su área.
a. 20 u
2
b. 2 u
2
c. 12 u
2
d. 16 u
2
3. ABCD es un trapecio. Si el triángulo ABD es
isósceles de área S, encuentra el área del tra-
pecio.
D
A
C
B
a. S b. 2S c. 3S d. 4S
4. Calcula el área de la región sombreada.
B
2n
n
Q R
P S
A C
33 1212
a. 16 u
2
b. 10 u
2
c. 12 u
2
d. 9 u
2
Nivel intermedio
5. Si ABCE es un rombo de área 32 cm
2
. Halla el
área del trapecio ABCD.
7 cm
A D
B C
E
15 cm
a. 44 cm
2
b. 45 cm
2
c. 46 cm
2
d. 47 cm
2
6. Grafica a la semicircunferencia de diámetro AB
, de centro O y radio igual a 12 cm. Traza la
cuerda PQ paralela al diámetro AB de modo
que el arco QB mida 30°. Calcula el área de la
región cuadrangular APQB.
a. 72 cm
2
b. 36 cm
2
c. 18 + 93 cm
2
d. 40 cm
2
7. Halla el área de la región COMN, si AB
y BC son tangentes a la circunferncia y
AB = (2 + 2 2) cm.
45°
A
C
M
N
BO
a. 42cm
2
b. 3 cm
2
c. 43cm
2
d. 6 2cm
2
Nivel avanzado
8. Grafica un triángulo ABC, traza la altura BH y
grafica el trapecio rectángulo BHCF, de modo
que AB y BF sean congruentes. Sabiendo que
AB = 6 cm, AH = 4 cm y AC = 14 cm, calcula
el área de la región trapecial BHCF.
a. 25
b. 10
c. 12 cm
2
d. 165 cm
2

9. En un trapecio isósceles ABCD, BC // AD, ade-
más M y N son puntos medios de AB y CD
respectivamente, luego se traza CH 9 AD
(H ! AD). Si el área de la región AMNH es 4 u
2
,
determina la suma de las áreas de las regiones
MBCN y HND.
a. 4 b. 6 c. 8 d. 1
Nivel destacado
10. En la figura, ABCD es un rectángulo, AB = 6 cm
y BC = 9 cm. Calcula el área de la región som-
breada.
A D
B
α
α
C
E
a.
5
98
cm
2
b.
5
97
cm
2
c.
5
101
cm
2
d.
5
99
cm
2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b a c a c c a d a d
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Básico Intermedio Avanzado 204Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Área de regiones circulares
Recordamos lo aprendido
Área de las regiones circulares
1. Área del círculo
O
r
S = πr
2
2. Área del sector circular
O
r r
r
A
B
α
S =
∙∆r
2
360−
3. Área de la corona circular
S
R
r
O
S = πR
2
– πr
2
= π(R
2
– r
2
)
4. Área del trapecio circular
A
O
r
R
E S
F
B
α
S = S
AOB
– S
EOF
S =
Rr
360°
22
∙∆-_i
5. Área del segmento circular
Or
A
α
B
S
S = S
sector ABO
– S
∆ABO
S =
∙∆r
2
360−
– S
∆ABO
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Calcula el área de la región sombreada.
60°
24 cm24 cm
O
Según la fórmula para el área tenemos:
A =
∙∆−−
∩
r
360

r = 24 cm; α = 60°
A =
360
2460
°
°##∙∆
= 4πcm
2
2. Calcula el área de la corona circular mostrada.
2cm
7cm
O
Para el cálculo del área de la corona:
A = ??????(R
2
– r
2
)
Donde:
R = 7 cm
r = 2 cm
A = π(7
2
– 2
2
) = π(49 – 4) = 45π cm
2
3. Encuentra el área del siguiente segmento cir-
cular, sabiendo que la medida del arco AB es
60° y el radio mide 8 cm.
A B
R
O
Como la medida del arco AB es 60°, por ángulo central m∠AOB = 60°,así:
Área =
()()
360
860
4
83
°
°
2 2
r
-
Área =
6
64
163
3
32
163
rr
-= - cm
2
UNIDAD 3 T12 - T17.indd 204 5/02/2020 15:44:32

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 205
Nivel intermedio
4. La figura muestra al triángulo equilátero ABC
de 12 cm de lado. Calcula el área de la región
sombreada.
A
M N
C
B
Como ABC es equilátero, m∠ABC=60°
S =
123
4
2
–
∙()()660
360
2
∆
∆

S = 363 – 6π cm
2
5. Encuentra el porcentaje que representa el área sombreada respecto al área mayor si A, O y B son colineales.
OAB
Sea r el radio del círculo mayor, entonces
r
2
es el radio del círculo menor, así:
A
mayor
= πr
2
A
menor
= π
r r
2 4
2 2
r
=
J
L
K
K
K
N
P
O
O
O
%S =
r
r
4
3
2
2
r
r
× 100% = 75%
6. AOB es un triángulo equilátero de 6 cm de
lado. Calcula el área de la región limitada por
la circunferencia y los dos arcos descritos tan- gentes a la circunferencia.
A B
M
O
Sea S el área de un sector formado interno al triángulo: Área
sombreada
= A
∆
– 3S
Área
sombreada
=
4
63
3
360
360
°
°
2 2
##r
-
= 93
2
9
- π cm
2

Nivel avanzado
7. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 10 cm.
Calcula el área de la región limitada por las circunferencias inscrita y circunscrita al cua- drado.
5
10 cm10 cm
25
O
B C
A D
A
inscrita
= π(5
2
) = 25π cm
2

A
circunscrita
= π
52
2
`j = 50π cm
2

⇒ A
corona
=
5025 25rrr-= cm
2
8. ABC es un triángulo inscrito en una semicir- cunferencia, si sus catetos miden 2 y 4 cm,
de-
termina el área del semicírculo.
A B
B
4
2r
22
Por Pitágoras:
4
2
+ 2
2
= (2r)
2
20 = 4r
2
⇒ r
2
= 5
Área
semicírculo
=
r
22
5
2
rr
= cm
2
9. Dadas dos circunferencias concéntricas, el
área de la corona circular que determinan es
el triple del área del círculo menor.
Calcula la
relación de radios.
R
rO
Se cumple:
π(R
2
– r
2
) = 3πr
2
πR
2
– πr
2
= 3πr
2
⇒ πR
2
= 4πr
2
r
R
2
2
= 4 ⇒
r
R
= 2
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Básico Intermedio Avanzado 206Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el área de la corona circular, si R = 4r
además r = 2 cm.
R
rO
a. 60π cm
2
b. 64π cm
2
c. 66π cm
2
d. 80π cm
2
2. ABCD es un cuadrado cuyos lados miden 4u.
Halla el área de la región sombreada.
B
O
A
C
D
a. π – 2
b. 10 – 2π
c. 8 – π
d. 4 + π
3. Si la medida del arco AB es 120° y R = 6 cm,
calcula el área del segmento circular som- breado.
A B
O
a. 12π
b. 93
c. 12π – 93
d. 8π
Nivel intermedio
4.
Un sector circular de radio r y ángulo central 60° tiene por área equivalente a la de un círcu-
lo de radio r
1
,
determina el cociente
r
r
1
a. 6 b.
6
1
c. 26 d. 6
5. En el gráfico, halla el área sombreada si:
AB = BC = 4u.
B
A
C
D
a. 4u
2
b. 8u
2
c. 12u
2
d. πu
2

6. En el gráfico, halla el área de la región som-
breada, si AO = OB = r. (B centro del arco OD

)
A
D
BO
a.
π
r
2
b.
πr
2
12
c.
1
r
d.
2
2
π
e

Nivel avanzado
7.
Calcula el área sombreada, si el lado del cua-
drado es “a”.
B
A
C
D
a.
a
24
2 b.
a
8
2 c.
a
2
2 d.
a
4
2
8. En la figura determina el área de la región
sombreada.
6 cm
x+3
A C
B
2x
a. (6‒??????) cm
2
b. 4(6‒??????) cm
2
c. 3(6‒??????) cm
2
d. 2(6‒??????) cm
2
Nivel destacado
9. Según la figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 2cm.
Calcula el área sombreada, si
AC
%
tiene su centro en “D” y “E” es punto de
tangencia.
B
A
C
E
D
a. 82 8r--
b. 82 r-
c. 8r-
d. 3π
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
a b c a a b d b a
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 207
Geometría del espacio
Recordamos lo aprendido
1. Plano: Es la superficie ilimitada formada
por puntos en la cual toda recta que pasan
por dos de sus puntos, está totalmente
contenida en el plano.
Un plano se puede formar por:
•
Tres puntos no colineales
• Dos rectas secantes
• Dos rectas paralelas
• Una recta y un punto exterior.
2. Posiciones relativas entre dos planos en el
espacio
a. Con intersección no vacía
Recta común
(Arista)
P
Q
A
B
▱P∩▱Q = AB",
b. Planos paralelos
∙P // ∙Q
P
Q
3. Recta perpendicular a un plano
L1
L3
L2
P
Si: L
3
9 L
1
y L
2
⇒ L
3
⊥ P
4. Teorema de las tres perpendiculares.

L1
L2
F
H
E
Q
Si L
1
9 Q y L
2
⊂ Q; además HE = L
2
, y si
F es cualquier punto de la recta L
1
entonces
EF = L
2

Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Grafica lo que se indica en cada caso:
a. Un plano y los puntos A y B situados en el
mismo semiespacio.
A
P
B
b. Un cubo y ubica dos rectas alabeadas de
modo que una sea la diagonal del cubo.
c. Un <> triángulo ABC, levante BH perpendicu-
lar al plano que contiene a dicho triángulo.
Luego sombrea la región triangular HAC.
P
H
A
C
BB
2. Indica verdadero (V) o falso (F) según corres- ponda.
•
Dos rectas alabeadas tienen un
punto en común. ( )
• Tres puntos no colineales siempre
determinan un plano. ( )
• La proyección de un segmento
sobre un plano es siempre otro segmento.
(
)
V
V
F
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Básico Intermedio Avanzado 208Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
3. AB es un segmento exterior a un plano, tal
que las distancias de A y B al plano miden 5
y 9 cm. Si AB = 7cm, calcula la longitud de la
proyección de AB sobre dicho plano.
A
PAB
PAB
B
7 cm
5 cm5 cm 55
44
9 cm9 cm
P
Por Pitágoras: 7
2
= 4
2
+ PAB
2
49 = 16 + PAB
2
33 = PAB
2
⇒ P
AB
= 33 cm
4. PQ es un segmento que forma 45° con un pla-
no. Si PQ = 22 cm, determina la proyección
de PQ sobre dicho plano.
Graficando:
P
45°
P
P
PQ
Q
2 cm2
Por el triángulo de 45°:
P
PQ
=
22 cos 45° = 22
2
1
# = 2 cm.
5. Grafica el triángulo ABC, tal que AC = 6 cm y su
altura BH = 3 cm, perpendicularmente al pla-
no de este triángulo, levante BS , de modo que
BS = 4 cm. Calcula el área de la región ASC.
A
S
B
4
H
C
66
33
Por Pitágoras: HS
2
= 3
2
+ 4
2
⇒ HS = 5 cm
Por el T. de las tres perpendiculares: HS 9 AC
Área
ASC
=
2
65#
= 15 cm
2
Nivel avanzado
6. Grafica un cubo de 4 cm de arista donde su
base sea el cuadrado ABCD y una de sus altu-
ras sea AF
. Halla el área del triángulo FBD.
Graficando y de acuerdo al teorema de las tres perpendiculares:
F
h
4 cm
4 cm
C
D
B
A
24
22
22
Por Pitágoras: h
2
+ 22 42
22
=``jj
h
2
+ 8 = 32
h
2
= 24
⇒ h =
26 cm
Área del triángulo FBD viene dada por:
Área
FBD
=
2
42 26#
= 83 cm
2
7. Grafica los cuadrados ABCD y ABPQ en planos
perpendiculares. Si el lado de estos cuadrados
mide 6 cm,
calcula la distancia entre sus cen-
tros.
Graficando dichos cuadrados, ubicando sus centros y realizando trazos auxiliares:
Q
P
6 cm
6 cm
3
c
1
c2
A
BB
33
D
C
Por el teorema de Pitágoras:
CC
12
2
_i = 3
2
+ 3
2
CC
12
2
_i = 18
Por lo tanto,
CC
12
= 32 cm
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 209
Refuerzo en casa
Nivel básico
1.
Si la figura mostrada es un cubo, encuentra la
medida del ángulo formado por LI y MA.
M
A
L I
a. 45° b. 30° c. 37° d. 60°
2. Se tienen dos cuadrados, ABCD y ABEF, ubi-
cados en planos perpendiculares y cuyos cen-
tros son P y Q respectivamente.
Calcula la dis-
tancia PQ si AB = 4.
a. 2 cm
b. 4 cm
c. 22 cm
d. 2,5 cm
3. Determina la proyección de AB sobre el pla-
no P si A pertenece al plano P, AB = 50 cm y
BH = 48 cm.
P
B
H
A
a. 11 cm b. 12 cm c. 13 cm d. 14 cm
Nivel intermedio
4.
Encuentra la longitud de la proyección de AC
sobre el plano Q si AN = 4 cm; MC = 6 cm y
AC = 26 cm.
Q
A
C
M N
B
a. 23 cm
b. 24 cm
c. 25 cm
d. 26 cm
5. Se tiene un segmento PQ secante a un plano
tal que las distancias de P y Q al plano miden 5 y 7 unidades; además, la proyección de PQ

sobre el plano es igual a 5 unidades, calcula PQ.
a. 12 b. 14 c. 15 d. 13
6. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 7m don- de se levanta la perpendicular CE
a partir de C.
Si EB mide 25m, determina CE + ED.
a. 49 cm
b. 50 cm
c. 24 cm
d. 25 cm
Nivel avanzado
7.
En la figura mostrada, BP es perpendicular al
plano del cuadrado ABCD. Si: AB = BP = k,
además Q es punto medio de CD , encuentra
el área de la región sombreada.
A
B
P
C
Q
D
a.
k
8
11
2
b. k
2
2
c. k
2
5
d.
k
4
2
2
8. En la figura, el triángulo rectángulo ABC está con-
tenido en el plano H; m∠ ACB =
2
53°
y AB = 2 cm,
D es un punto que no pertenece al plano H y DB
es perpendicular al plano H, tal que DB = 2 cm.
Calcula el área de la región triángular ADC
D
C
B
A
H
a. cm23
2
b. cm32
2
c. cm6
2
d. cm30
2
Nivel destacado
9. Observa el siguiente cubo mostrado, luego
clasifica al triángulo ABC, si se sabe que A, B y
C son puntos medios de las aristas.
A
B
C
a. Isósc<> eles
b. Equilátero
c. Rectángulo
d. Escaleno
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9
a c d b d a a c a
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Básico Intermedio Avanzado 210Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Ángulos Poliedros
Recordamos lo aprendido
Ángulo diedro Ángulo triedro
arista
P
H
cara
y
x
B
A
O
u
cara
A C
a
a
u
O
B
b
bc
P − AB− H triedro O − ABC
Clasificación de ángulos triedros
• Triedro Isósceles
α = β , θ = α
• Triedro Equilátero
α = β = θ
• Triedro Escaleno
α ≠ β ≠ θ
O
A
B
C
b
a
u
Triedro birectángulo Triedro trirectángulo
A
C
B
O
A
C
B
O
Ángulos poliedros
f
u
b
a
B
C
E
ab
c
A
D
O
• V<> értice: O
• Aristas: ,, ,.yOA OB OC OD OE
• C<> aras: ,, .AOBBOCCODyDOEXX XX
• D<> iedros del ángulo poliedro: α , β, θ, ϕ
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Coloca (V) si es verdadero o (F) si es falso en las
siguientes proposiciones:
• Los ángulos diedros están formados por tres
planos.
• Los ángulos diedros suplementarios siempre
suman 180°.
• Los ángulos triedros son aquellos que están
formados por más de tres planos.
• El triedro birrectángulo tiene tres caras que
miden 90°.
2. Dado un ángulo triedro cuyos ángulos son 70°;
85° y x°, halla el menor y mayor valor entero
que puede tomar «x».
3. Dado un triedro cuyos ángulos son (a + 50)°; (3a + b)° y 70°,
halla el valor de (a + 3b) si dicho
triedro es equilátero.
• (F) Según la definición están formados
por 2 planos.
• (V) Por definición.
• (F) Los triedros son aquellos que están formados por tres planos.
•
(F) El triedro birrectángulo está forma-
do por dos caras que miden 90°.
Por las propiedades del triedro tenemos que:
85° – 70° < x° < 85° + 70°
⇒ 15° < x° < 155°
Y también debe cumplir:
x° + 70° + 85° < 360°
⇒ x° < 215°
Debe cumplir ambas condiciones luego
⇒ x
min
= 16°
⇒ x
max
= 154°
Como tenemos que el triedro es equilá- tero, entonces debemos tener en cuenta que:
a + 50° = 3a + b = 70°
⇒ a = 20° ⋀ b = 10°
⇒ a + 3b = 50°
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Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 3 Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial. 211
Nivel intermedio
4. Se tiene un ángulo diedro que mide 120° for-
mado por los planos R y S. Si un punto F situa-
do en el plano bisector dista 20 m de la arista
que une los planos R y S,
calcula la distancia
de F hacia una de las caras del diedro.
5. Dadas dos regiones rectangulares, ABCD y ABMN, que determinan un diedro que mide 74° y además tenemos que 2BM
= AB = 2BC = 10a,
halla la distancia de D al punto medio de MN .
Nivel avanzado
6. Dado triedro isósceles cuya tangente del ma-
yor ángulo es
4
3
y cuya tangente de menor
ángulo es
3
4
, halla la suma de los tres ángulos
si se sabe que el mayor de ellos es excedido en
21° por la suma de los otros dos ángulos que
son iguales.
7. Dado un ángulo triedro rectángulo donde se sabe que todos los ángulos son diferentes se cumple que si al menor de los ángulos desco- nocidos le duplicamos y al mayor de los ángulos desconocidos le quitamos 10°, entonces la suma de los tres ángulos suma 210°, y además la dife- rencia de los ángulos desconocidos es 40°.
Halla
los dos ángulos desconocidos.
120°
60°
20
plano bisectorF
x
Se sabe que el plano bisector divide en dos ángulos iguales al ángulo diedro.
Luego, el ángulo formado es 60°.
Por resolución de triángulos
⇒ x = 20sen60°
⇒ x =
20
2
3
J
L
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
⇒ x = 103
a°
b°
C
O
B
A
• 2α + (β ‒ 10°) + 90° = 210°
⇒ 2α + β = 130
• β – α = 40°
⇒ 3α = 90°
⇒ α = 30° ∧ β = 70°.
a°
b°
b°
C
O
B
A
Por hipótesis tenemos que
tgβ° =
3
4
y tgα° =
4
3
,
Luego:
Por ángulos notables
β° = 37° y α° = 53°,
Luego notamos que: 2
β° – α° = 74° – 53° = 21° (cumple)
La suma de los tres ángulos es 127°
5a 5a
ND
A
74°
En △DAN
En △DNR
Teorema de Pitágoras
(5a)
2
+ (6a)
2
= x
2
⇒ x =
61a
T.3.P •
DN = AB
• AN = NM
⇒ DN = NM
⇒ DN = 6a
5a
A
B
M
N
C
D
74°
5a
10a
R
x
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Básico Intermedio Avanzado 212Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Dado un ángulo triedro cuyos ángulos son
80°;100° y x°, halla la suma del menor y mayor
valor entero que puede tomar «x».
a. 200° b. 180° c. 45° d. 100°
2. Indica el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
I. La suma de las caras de un triedro está com-
prendida entre 0° y 360°
II. En un triedro a mayor cara se le opone ma-
yor diedro
III. En un triedro a caras de igual medida, se le
oponen diedros de igual medida.
a. VVV b. VFV c. FFF d. VVF
3. En un ángulo triedro, dos de sus caras miden
110° y 120°. Calcula el mayor valor entero que
puede tomar la medida de la tercera cara.
a. 60° b. 80° c. 129° d. 160°
4. En un ángulo triedro las caras miden 45°,45° y
60°. Calcula la medida del ángulo diedro de
mayor medida.
a. 80° b. 90° c. 60° d. 45°
Nivel intermedio
5.
Un ángulo diedro mide 37°. Halla la distancia
de un punto M hacia la arista si M se ubica en
el plano bisector y dista 2 de ambas caras.
a. 5m
b. 10m
c. 6m
d. 210m
6. En un triángulo ABC, recto en B los lados mi-
den AB = 12 y BC = 16 por el vértice B se traza
BF perpendicular al plano ABC, tal que BF =
9,6. Halla la medida del ángulo diedro que for-
man los planos ABC y AFC.
a. 37° b. 30° c. 60° d. 45°
7. Sea ABC un triángulo equilátero de lado
18 cm, y cuyo ortocentro es M. Si de M se levan-
ta la perpendicular (MD = 27 cm), al plano
ABC, entonces halla el ángulo diedro formado
por ABC y ABD.
a. 45° b. 60° c. 82° d. 75°
8. Las caras de un ángulo diedro son intercepta-
das por una recta en los puntos M y N, siendo
el punto A la proyección ortogonal de estos
puntos sobre la arista y la medida del ángulo
diedro es igual a la diferencia de las medidas
de los ángulos ANM y AMN. Si estos últimos
están en la razón de 3 a 1 y MN
= 6, calcula la
distancia de A a MN.
a. 2 b. 23 c. 4 d. 3
Nivel avanzado
9. Las caras de un triedro equilátero de vértice V miden 60°. En una de sus aristas se considera un punto R de tal manera que VR
= 10 cm. Por
R pasa un plano perpendicular a VR , que inter-
seca a las otras aristas en S y T. Halla el área del
triángulo VST (en cm
2
)
a.
2403 cm
2
b. 1003 cm
2

c. 240 cm
2
d. 180 c<> m
2
10. En un triedro trirrectángulo O – ABC, la
m∠CAB = x, OA = (OB)(OC). Calcula la
suma de las medidas de las caras de los
triedros C – AOB y B – AOC.
a. 360° – x
b. 180° – x
c. 360° + x
d. 270° – x
11. En un triángulo AMC se traza BM perpendi-
cular al plano que contiene al triángulo. De-
termina el diedro que forman AMC y ABC si
este último es un triángulo equilátero de área
43 cm
2
y BM = 3 cm.
a. 53° b. 45° c. 30° d. 37°
12. En un triedro trirrectángulo O – ABC,
OA = OB = OC = 6. Halla el área del triángulo
ABC.
a. 72 b. 183 c. 93 d. 73
Nivel destacado
13. En un triedro equilátero, el coseno de unos de
sus ángulos diedros es
1
3
. Calcula la medida
de la cara del triedro.
a. 45° b. 60° c. 75° d. 37°
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
a a c b d d a b b a c b b
UNIDAD 3 T12 - T17.indd 212 5/02/2020 15:44:40

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4 UNIDAD
4
Educación Secundaria
GEOMETRÍA
Pilares
Proyecto educativo
213Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
UNIDAD 4 T18 - T20.indd 213 5/02/2020 15:44:38

B?sico Intermedio Avanzado 214Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Sólidos geométricos
Recordamos lo aprendido
Clasificación de los poliedros regulares
• Tetraedro regular
aa
hh
h =
a
3
6
A
T
= a
2
3 V =
a
12
2
3
• H<> exaedro regular
DD
aa
A
T
= 6a
2
V = a
3
D = a3
• O<> ctaedro regular
aa
D = a2
A
T
= 23a
2
V =
a
3
2
3
• D<> odecaedro regular
aa
A
T
= 325105+ a
2
V = a
4
1
1575
3
+`j
• I<> cosaedro regular
aa
A
T
= a53
2
V = a
12
5
35
3
+`j
Teorema de Euler: En todo poliedro se cumple la siguiente re-
lación:
C + V = A + 2
C: n° de caras
V: n° de vértices
A: n° de aristas
Número de diagonales del poliedro (ND)
ND = C
v
2 – A – N°diagonales de las caras
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Determina el área total del siguiente tetraedro regular.
a u
u42
2. Sea un poliedro tal que el número de sus caras es igual al número de vértices aumentado en 5. Si la razón entre el número de aristas y el núme-
ro de caras es
3
2
, calcula la suma de C + V + A.
3. Determina el volumen del hexaedro regular
que se muestra
a u
203 u
hu42=
⇒ 42 =
a6
3
⇒ a = 4 3 u
Ahora calculamos su área total
A
T
= (4
3)
2
3 ⇒ A
T
= 48 ⋅ 3 u
2
Si C = V + 5
Además
A
C
=
3
2
⇒ A = 3k ∧ C = 2k
• Por el teorema de Euler
V + C = A + 2
⇒ 2k – 5 + 2k = 3k + 2 ⇒ k = 7
Nos piden: C + V + A = 7k – 5 = 7(7) – 5
⇒ C + V + A = 44
D = 20 3 u
⇒ 203 = a3 ⇒ a = 20 u
Ahora calculamos su volumen V = 20
3
V = 8000 u
3
UNIDAD 4 T18 - T20.indd 214 5/02/2020 15:44:40

Geometr?a
B?sico Intermedio Avanzado
Unidad 4 215Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
4. Halla el número de diagonales de un hexae-
dro regular.
5. Determina la razón entre el área total del te- traedro y el área total del octaedro mostrados.
2a
a
6. Si el volumen de un dodecaedro regular es

27
500
(15 + 7 5) m
3
, determina el valor de la
suma de sus aristas (el dodecaedro tiene 20 vértices y doce caras).
Nivel intermedio
7. Si el área total de un icosaedro regular de aris-
ta
a es igual a 90
3m
2
y se tiene un octaedro
cuya arista mide lo mismo que la arista del
icosaedro, calcula la diagonal del octaedro.
8. Si el área de una de las caras de un icosaedro
regular es 93 cm
2
, determina el volumen del
icosaedro.
9. Un camión posee contenedores en forma de
hexaedros regulares todos iguales, estos trans-
portan arena. Si cada contenedor se llena com-
pletamente, el volumen de arena que se trans-
porta es de 2058 m
3
.
Determina el número de
contenedores que posee el camión si el área total de cada uno de ellos es de 294 m
2
.
Tenemos en un hexaedro regular que
C = 6 ; A = 12 ; V = 8
Además, como las caras de un hexaedro re- gular son cuadrados, el número de diago- nales de cada cara es igual a 2.
N° diagonales de las caras = 6 × 2 = 12
Reemplazando:
ND = C
8
2
– 12 – 12
ND =
8!
2! ⋅ (8 – 2)!
– 24 ⇒ ND =
8 ⋅ 7
2
– 24 = 4
Por lo tanto, el número de diagonales del
hexaedro regular es igual a 4.
Calculamos su área total del tetraedro
A
tetraedro
= (2a)
2

3 = 43a
2
Calculamos el área total del octaedro
A
octaedro
= 2
3a
2
Entonces la razón será:
A
tetraedro
A
octaedro =
43a
2
23a
2
= 2
Sea
a la arista del dodecaedro.
Sabemos que el volumen es:
1
4
(15 + 7 5)a
3
=
27
500
(15 + 7 5)
a
3
=
27
125
⇒ a =
3
5
m
Euler: C + V = A + 2
12 + 20 = A + 2
A = 30
Suma de aristas = 30 ×
3
5
= 18 m
En el icosaedro:
⇒ 903 =53a
2
⇒ a
2
= 18
⇒ a = 3 2 m
En el Octaedro: sea D la diagonal del octaedro ⇒ D = (3
2) ∙ 2
⇒ D = 6 m
Sea ℓ la arista del icosaedro
93 =
ℓ
2
3
4
⇒ ℓ
2
= 36
ℓ = 6 cm
Calculamos su volumen
V =
5
12
(3 + 5)6
3
V = 90 (3 + 5) cm
3
Sea a la arista del hexaedro
⇒ A
T
= 6a
2
⇒ 6a
2
= 294 ⇒ a = 7 m
V = a
3

V = 7
3
⇒ V = 343 m
3
Sea n el numero de contenedores entonces
V
Total
= n ∙ V
2058 m
3
= n ∙ 343 m
3

n = 6
Hay 6 contenedores
UNIDAD 4 T18 - T20.indd 215 5/02/2020 15:44:41

B?sico Intermedio Avanzado 216Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
10. Calcula en cuánto excede el número de dia-
gonales de un dodecaedro regular al número
de diagonales de un icosaedro regular.
Nivel avanzado
11. En un poliedro, el número de caras, vértices y aristas forman una progresión aritmética de razón r respectivamente.
Determina el valor
de r si el número de caras es igual a 15.
12. Si el área total de un hexaedro regular es nu- méricamente igual al volumen de un octaedro regular y sus aristas miden lo mismo,
determi-
na el valor de la diagonal de los dos sólidos.
13. En la siguiente figura se muestra un cubo y la mitad de un octaedro regular.
Determina el
volumen de dicho sólido.
6
Dodecaedro regular:
C = 12 ; A = 30 ; V = 20
Como las caras de un dodecaedro son pentágonos, el número de diagonales será
N° diagonales =
5 ⋅ (5 – 3)
2
= 5
Entonces el número de diagonales de to-
das las caras es
N° diagonales de las caras = 12 × 5 = 60
Reemplazando en la fórmula tenemos
que:
ND
1
= C
20
2
– 30 – 60
ND
1
=
20!
2! ⋅ (20 – 2)!
– 90 ⇒ ND
1
= 100
Icosaedro regular:
C = 20 ; A = 30 ; V = 12
Como las caras son triángulos y estas figu-
ras no poseen diagonales entonces
N° diagonales de las caras = 0
Reemplazando en la fórmula tenemos
que:
ND
2
= C
12
2
− 30 −0
ND
2
=
12!
2! ⋅ (12 – 2)!
−30 ⇒ ND
2
= 36
Luego tenemos que
ND
1
– ND
2
= 100 – 36 = 64
C ; V ; A
+r +r
Como la razón es igual a r, entonces
V = C + r ⇒ A = C + 2r
Por la fórmula de Euler tenemos que
C + V = A + 2 ⇒ C + C + r = C + 2r + 2
⇒ C = r + 2
Por dato: C = 15
15 = r + 2
⇒
r = 13
Por dato las aristas de los sólidos miden lo
mismo entonces, sea
a la arista del hexae-
dro y octaedro regular
V
octaedro
=
a
3
2
3
∧ A
octaedro
= 6a
2
Del problema tenemos que:
V
octaedro
= A
octaedro
a
3
2
3
= 6a
2
⇒ a = 9 2
Calculando las diagonales de los sólidos
D
hexaedro
= (9
2) ∙ 3
⇒ D
hexaedro
= 9
6u
D
octaedro
= (9
2) ∙ 2
⇒ D
octaedro
= 18 u
Se sabe:
V
sólido
= V
cubo
+
V
octaedro
2
Calculamos el volumen del octaedro:
V
octaedro

=

a
3
2
3
=
6
3
2
3
⇒ V
octaedro

= 72
2 m
3
Calculamos el volumen del cubo:
V
cubo
= a
3
= 6
3
⇒ V
cubo
= 216 m
3
El volumen del sólido será:
⇒ V
sólido
= 216 m
3
+

72
2m
3
2
⇒ V
sólido
= (216 + 36 2) m
3
⇒ V
sólido
= 36(6+ 2)m
3
UNIDAD 4 T18 - T20.indd 216 5/02/2020 15:44:41

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4 217Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Halla la razón entre los valores númericos del
el área total y el volumen de un octaedro re-
gular cuya arista es igual a 3 m.
a.
2
b. 6
c. 2
d. 3
2. Calcula el volumen del cubo
42
a. 64 b. 32 c. 8 d. 16
3. Halla el número de diagonales de un octae-
dro regular.
a. 4 b. 6 c. 5 d. 3
4. Sea un poliedro cuyo número de caras es igual
al número de vértices aumentado en 12. Si la
razón entre el número de aristas y el número
de caras es
4
3
, calcula la suma de C + V + A.
a. 58
b. 56
c. 57
d. 64
Nivel intermedio
5.
Determina la razón entre el volumen del te-
traedro y el volumen del octaedro mostrados.
2a
a
a. 1
b. 4
c. 2
d. 3
6. Calcula el volumen del tetraedro regular.
43
a.
252
3
b.
1282
3
c.
162
3
d.
322
3
7. Si el perímetro de una de las caras de un ico- saedro regular es igual a 9 cm,
determina el
área total del icosaedro
a. 363 cm
2
b. 453 cm
2
c. 543 cm
2
d. 633 cm
2
Nivel avanzado
8. En la siguiente figura se muestra un cubo y la
mitad de un octaedro regular. Calcula su área
total si la arista del cubo mide 2 m.

a. 4(3 + 6) m
2
b. 4(3 + 5) m
2
c. 4(3 + 3) m
2
d. 4(3 + 4) m
2
9. A un cubo se le divide como se muestra en la figura
Si todos los cubos pequeños tienen la misma
arista y un área total de
3
2
m
2
, determina el
volumen del cubo más grande.
a. 16 m
3
b. 8 m
3
c. 32 m
3
d. 64 m
3
10. Si el volumen de un hexaedro regular es numé-
ricamente igual al área total de un octaedro re-
gular y sus aristas miden lo mismo,
halla el valor
de la diagonal de los dos sólidos.
a. 6 y 26
b. 6 y 23
c. 4 y 23
d. 4 y 26
Nivel destacado
11. En un poliedro se cumple que el número de sus
caras es el quíntuplo del número de vértices. Si
además se cumple que 42 < A < 49, donde A es el
número de aristas,
calcula la suma de C + V + A.
a. 90 b. 94 c. 100 d. 96
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
b a d a c b b b b a b
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B?sico Intermedio Avanzado 218Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prisma y pirámide
Recordamos lo aprendido
Prisma recto
h
Abase
AbaseAbase
A' C'
A C
B'
B
• Ár<> ea lateral:
A
L
= 2p
base
3 h
• Área total:
A
T
= A
L
+ 2A
base
• V<> olumen:
V = A
base
3 h
Usaremos 2p = perímetro de la base
Paralelepípedo rectangular o Rectoedro
bb
aa
dd
cc
• Ár<> ea total:A
T
= 2(ab + bc + ac)
• Volumen: V = abc
• Diagonal: d = ab c
22 2
++
Pirámide regular
O
C
DA
B
A
p
ap
H M
α
h
• Ár<> ea lateral: A
L
= p
base
× A
p
• Ár<> ea total: A
T
= p
base
× A
p
+ A
base
• Ár<> ea de la base: A
base
= A
L
× cosα
• Volumen: V = Ah
3
1
base
##
Usaremos:
p
base
= semiperímetro de la base.
Ap = apotema de la cara lateral.
α = diedro entre las caras y la base
Practica lo aprendido
Nivel básico
1.
Calcula el área total de un prisma recto cua-
drangular cuya arista básica mide 3 y su altura 6.
2. Determina el volumen de un prisma cuya base tiene un área igual a 7, y una altura de 8.
3. El ángulo diedro entre una cara y la base de una pirámide regular es 60°. Si su área lateral es de 24m
2
, halla el área total de dicha pirámide.
4. Calcula el área total de un rectoedro cuyas di- mensiones son: 2, 3 y 4.
Por dato:
A
base
= 7
h = 8
Luego
V = A
base
× h
⇒ V = 7 × 8
⇒ V = 56 u
2
A
base
= cosα ∙ A
L
⇒ A
base
=
2
1
∙ 24
⇒ A
base
= 12m
2
A
T
= A
L
+ A
base
⇒ A
T
= 24 + 12
⇒ A
T
= 36 m
2
3u
3u
6u
2p
base
= 4 × 3 = 12
A
base
= 3 × 3 = 9
Reemplazando los valores en la fórmula, tenemos:
A
T
= 12 × 6 + 2(9)
⇒ A
T
= 90 u
2
A
T
= 2(2 × 3 + 3 × 4 + 2 × 4)
2u
3u
4u
A
T
= 2(6 + 12 + 8)
A
T
= 2(26)
A
T
= 52 u
2
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Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4 219Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Al desarrollar un prisma cuadrangular, se ge-
nera un rectángulo formado por las caras late-
rales cuya diagonal mide 8m y su altura 43
m. Determina el área lateral de dicho sólido
6. La figura es el desarrollo de un prisma triangular
regular. Calcula el volumen del sólido en mención.
3cm
6cm
7. Halla el área lateral de la pirámide regular.
28 cm
16 cm
Ap
Nivel avanzado
8. Halla el área de AO'D, si O' es centro del cua-
drado ABCD, el apotema mide 8m y tgα = 3
α
A
B C
O
D
6
O'
Ap
9. De acuerdo a la figura, determina el volumen
de la pirámide regular si su apotema mide
82 y O' es centro.
H DA
B C
2
E
O'
Ap
10. Halla el volumen de una pirámide regular ins-
crita en un cubo cuya arista mide 6 cm
Por Pitágoras: 8
2
= (43)
2
+ x
2
34
x
8
⇒ x = 4 = 2p
base
⇒ A
L
= (4) × 4 3
⇒ A
L
= 163m
2
D
C
GF
E
A
B
O
H
6
6
A
base
= 36
h = 6
⇒ V = cm
3
366
72
3#
=
Se sabe que S
AO'D
=
S
4
ABCD
⇒ 4S
AO'D
= S
ABCD
= A
base
• A
L
= 12 × 8 = 96 m
2
• tgα = 3 ⇒ cosα =
2
1
• A
base
= A
L
× cosα
⇒ A
base
= 96 ×
2
1
= 48 m
2
⇒ 4S
AO'D
= 48 m
2
⇒ S
AO'D
= 12 m
2
Si se sabe que
⇒ OH = 1 ∧ EO = h
⇒ Ap
2
= (OH
)
2
+ h
2
⇒ 82 = 1 + h
2
⇒ h = 9
V = A
base
× h =
49
3
×
V = 12
El lado de la base triangular es 6 cm
⇒ A
base
=
cm
4
63
93
2
2
=
⇒ V = 93 3#
⇒ V = 27 cm
3
Por T. de Pitágoras: 28
2
= A
p
2
+ 8
2
⇒ A
p
=
cm125
2
⇒ A
L
= 163125##^h
⇒ A
L
= 5765 cm
2
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B?sico Intermedio Avanzado 220Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el área lateral de un prisma recto cuyo
perímetro de la base es 4 y cuya altura es 15.
a. 60u
2
b. 30u
2
c. 45u
2
d. 65u
2
2. Determina el área total de un prisma recto
cuadrangular regular de arista básica 5 y una
altura de 8.
a.
210u
2
b. 160u
2
c. 200u
2
d. 105u
2
3. Calcula el volumen de un prisma cuya base
tiene un área de 12 y cuya altura es igual a 5. a.
30u
2
b. 80u
2
c. 120u
2
d. 60u
2
4. Las dimensiones de un paralepípedo recto
son: 3, 4 y 5. Halla su área total.
a. 100u
2
b. 94u
2
c. 60u
2
d. 47u
2
Nivel intermedio
5. La figura muestra el desarrollo de un prisma triangular regular.
Calcula el volumen del só-
lido.
34
9
a. 27u
2
b. 48u
2
c. 20u
2
d. 100u
2
6. La base de un prisma regular es un triángulo
equilátero cuya área es de 163 cm
2
. Siendo
el área lateral del prisma de 240 cm
2
,
halla el
volumen del prisma.
a. 1603 cm
3
b. 803 cm
3
c. 903 cm
3
d. 1203 cm
3
7. Si a un rectoedro se le duplica el largo de la
base, su altura disminuye la mitad y su ancho
se triplica. ¿En qué relación queda el núevo vo-
lumen con respecto al primero?
a.
4 a 1
b. 3 a 1
c. 2 a 3
d. 6 a 7
8. Halla la relación de volúmenes entre el cubo y el
sólido AFBD.
A D
B
H
C
GF
E
a. 2 b. 6 c.
3
4 d.
3
1
Nivel avanzado
9. Determina el área lateral de un prisma hexa- gonal regular de 25 cm de altura cuyo apote-
ma de la base mide
43 m.
a. 450 cm
2
b. 900 cm
2
c. 750 cm
2
d. 1200 cm
2
10. El área total de un paralepípedo rectangular
es 160 m
2
. Si el largo es el doble del ancho y el
ancho es igual a la altura,
calcula la diagonal
del paralepípedo rectangular.
a. 5 m
b. 5m
c. 4 6m
d. 6m
11. En el cubo mostrado de diagonal igual a ,u6
determina el volumen del sólido DBFC
A D
B
H
C
GF
E
a. u2
2
b. u
3
2
2
c. 3u
2
d. u
2
32
Nivel destacado
12. La base de un prisma regular es un hexágono
cuya área es de 243cm
2
, siendo el área lateral
del prisma de 180 cm
2
.
Halla el volumen del pris-
ma.
a. 90cm3
3
b. 94cm3
3
c. 180cm3
3
d. 96cm3
3
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a b d b a a b b d c b c
UNIDAD 4 T18 - T20.indd 220 5/02/2020 15:44:45

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4 221Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Sólidos de revolución
Recordamos lo aprendido
Cilindro de revolución o cilindro circular recto
M
N
D
C
r
r
Eje de rotación
g
h
g
A
B
BaseBase
Base
• Ár<> ea lateral: A
L
= 2prg
• Área total:A
T
= 2prg + 2pr
2
= 2pr(r+g)
• Volumen: V = pr
2
h
Solo en este cilindro: g = h = altura
Cono de revolución o cono circular recto
g
h
r
VérticeVértice
Generatriz (g)Generatriz (g)
Altura (h)Altura (h)
basebase
g
h
r
• Ár<> ea lateral: A
L
= prg
• Área total:A
T
= prg + pr
2
= pr(r + g)
• Volumen: V =
3
1
pr
2
h
Esfera
Círculo
menor
Círculo
mayor
o máximo
R
R
R
2R2R
• Ár<> ea total:A = 4pR
2
• V<> olumen: V =
3
4
pR
3
Practica lo aprendido
Nivel básico
1. Un cono circular recto tiene como área de su base 12 cm
2
y su altura es 4 cm. Determina su
volumen.
2. Halla el área lateral que genera el siguiente triángulo al rotar 360° sobre su eje.
5 cm
12 cm
3. Un cono circular recto tiene 6 cm de radio y su altura es 8 cm.
Calcula la longitud de la genera-
triz y su área lateral.
4. La arista de un cubo es 4
3
rcm. Determina el
radio de una esfera que tenga el mismo volu- men del cubo.
Reemplazando en la fórmula:
V
Ah
cm cm cm
33
12 4
3
48base
23#
#
== =
V = 16 cm
3
Aplicando T. de Pitágoras
g
2
= 5
2
+ 12
2
= 169
⇒ g = 13 cm
Además:
A
L
= ??????rg
⇒ A
L
= ?????? × 12 × 13 = 156
?????? cm
2
V
cubo
= 4
3
3
r`j = 4?????? cm
3
V
esfera
=
3
4
× ?????? r
3
= 4?????? cm
3
⇒ r
3
= 3 cm
3
∴ r = cm3
3
g
8 cm
6 cm
Aplicando T. de Pitágoras
g
2
= 6
2
+ 8
2
= 100
⇒ g = 10 cm
Además: A
L
= ?????? × 6 × 10 = 60?????? cm
2
UNIDAD 4 T18 - T20.indd 221 5/02/2020 15:44:46

B?sico Intermedio Avanzado 222Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Nivel intermedio
5. Calcula el área de un cilindro de revolución cuyo
diámetro de la base es 12 y su generatriz es 8 .
6. Un cono recto de 5 cm de radio es cortado mediante un plano paralelo a su base, este de- termina una sección de 2 cm de radio.
Halla la
relación de las áreas laterales del cono menor determinado y del cono inicial.
7. Una esfera es cortada por un plano que dista 3 cm de su centro y determina un círculo de 8 cm de diámetro.
Determina el volumen de la esfera.
Nivel avanzado
8. Halla el volumen que se genera al rotar 360° la
región sombreada, sobre la recta L.
A
10
45°37°
C
L
B
9. La generatriz de un cono recto es de cm210
y el diámetro de la base es de 4 cm. Determi-
na el área lateral y el volumen del sólido.
10. Calcula el volumen que se genera al rotar 360°
la región sombreada.
5 u
3 u
Eje de rotación
L
h = g =8
d = 2r = 12 cm
⇒ r = 6 cm
A
Total
= 2??????r(r + g)
⇒
A
Total
= 2 × ?????? ×6 × (6 + 8)
A
Total
= 168 cm
2
45°
r
37°
10u
h1
h2
Aplicando ángulos notables:
r = 6u, h
1
= 8u, h
2
= 6u
V
3
68
3
66
22
## ##rr
=+
∴ V = 168 ?????? u
3
10 cm10 cm2
h
2 cm
Por T. de Pitágoras:
h 210 2
2
2
=-`j
⇒ h = cm4043 66-= =
⇒ A
L
= ?????? × 2 × 2 10
⇒ A
L
= 410?????? cm
2
⇒ Vc m
3
26
8
2
3##r
r==
⇒ V = 8pcm
3
Notamos que la figura generará un cilin- dro y una semiesfera, así:
⇒
V
TOTAL
= V
SEMIESFERA
+ V
CILINDRO

⇒ V
TOTAL
=
3
2
× ?????? × 3
3
+ ?????? × 3
2
× 5
⇒ V
TOTAL
= 18?????? + 45??????
⇒ V
TOTAL
= 63?????? u
3
G
2 cm
5 cm
g
Por semejanza de
triángulos:
G
g
5
2
=
A
A
cmG
cmg
5
2
5
2
5
2
Lmayor
Lmenor
##
##
#
r
r
==
A
A
25
4
Lmayor
Lmenor
` =
4 cm 4 cm
3 cm
M
0
r
Además, por T. de
Pitágoras:
r
2
= 3
2
+ 4
2

∴ r = 5 cm
Vc m
3
4
5
3
500
33
:r
r
==
UNIDAD 4 T18 - T20.indd 222 5/02/2020 15:44:47

Geometr?a
Básico Intermedio Avanzado
Unidad 4 223Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Prohibida la reproducci?n total o parcial de este libro por cualquier medio o procedimiento sin permiso expreso de la Editorial.
Refuerzo en casa
Nivel básico
1. Calcula el área total del cono si: VO = 24 cm y
VC = 26 cm.
V
A C
O
a. 340?????? cm
2
b. 360?????? cm
2
c. 260?????? cm
2
d. 300?????? cm
2
2. Se tiene un cono cuyo volumen es igual al de
un cubo de 24 p cm
2
de área total.
Determina
el radio del cono si este es a la altura como 1 a 3.
a. 2 cm
b. 4 cm
c. 6 cm
d. 9 cm
3. Los volúmenes de dos conos cuyas bases son
iguales están en la relación de 5 a 7. Si la altura
del cono mayor es de 14 cm, ¿Cuál será la altu-
ra del cono menor?
a.
70 cm
b. 5 cm
c. 10 cm
d. 140 cm
4. El volumen de un cono circular recto de 32 m
de diámetro es 1 024?????? m
2
.
Calcula el área total
del cono.
a. 576?????? m
3
b. 256?????? m
3
c. 460?????? m
3
d. 640?????? m
3
Nivel intermedio
5. Si la diagonal de un rectángulo es el doble de
su ancho y el largo es 63cm, entonces, halla
el volumen que se genera cuando el rectán-
gulo gira 360° sobre su lado mayor.
a. 162 cm3
3
r
b. 216 cm3
3
r
c. 324 cm3
3
r
d. 648 cm3
3
r
6. A 18 cm del vértice de un cono se traza un pla-
no paralelo a la base del cono cortándolo en
una sección circular de 81 ?????? cm
2
de área. Cal-
cula el volumen de dicho cono si su altura es de 30 cm.
a.
810?????? m
3
b. 2 250?????? m
3
c. 2 430?????? m
3
d. 540?????? m
3
7. Se tiene un tubo cuya generatriz mide L y diá-
metro
d. Si se triplican d y L,
determina la rela-
ción entre el área lateral del primer y segundo
tubo respectivamente.
a.
9
1 b.
3
1 c. 9 d. 3
Nivel avanzado
8.
La figura muestra a un cilindro recto de 12 cm de
altura y donde OB forma 53° con la base. Calcula
el área lateral y el volumen del sólido.
B
O1
O
a. 972?????? cm
2
y 216?????? cm
3
b. 216?????? cm
2
y 972?????? cm
3
c. 3072?????? cm
2
y 384?????? cm
3
d. 384?????? cm
2
y 3072 cm
3
9. En la figura BC =
4
5
m. Halla el volumen del
sólido que se obtiene al girar la región trian- gular ABC 360° alrededor de AC
.
A C
B
82°
53°
a. cm
11
8 3r
b. cm
5
6 3r
r
c. cm
12
7 3r
d. cm
9
4 3r
10. El diámetro de la base de un cono recto de revolución mide 20 cm. Si las generatrices for- man un ángulo de 60° con el plano de la base,
determina el área total del cono.
a. 1 200?????? cm
2
b. 800?????? cm
2
c. 500?????? cm
2
d. 300?????? cm
2
Nivel destacado
11. La base de un cono está inscrita a la cara de un
cubo. y en la cara opuesta está el vértice del cono.
Calcula el volumen y área lateral del cono si el área total del cubo es 216 m
2
.
a. 18?????? m
3
y 95??????m
2
b. 19?????? m
3
y 92?????? m
2
c. 32??????cm
3
y 9?????? m
2
d. 16?????? cm
3
y 92 m
2
Respuestas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
b a c a b b a b c d a
UNIDAD 4 T18 - T20.indd 223 5/02/2020 15:44:48

Aritmética
Referencias bibliográficas
• Dr A<> urelio Baldor (1985). Aritmética Teórico Practica. Madrid España
• Peterson, J. (2001). Matemáticas básicas. México D.F
• Gentile, Enzo. Aritmética Elemental. OEA. Washington
• Océano (2013). El Mentor de matemáticas. Barcelona España
Enlaces bibliográficos
• https://carc1975.files.wordpress.com/2018/07/aritmetica-de-baldor.pdf
• http://www.estalmat.org/archivos/TEORIA_de_conjuntos.pdf
• http://inst-mat.utalca.cl/tem/sitiolmde/temas/numeros/RazonesProporciones-res.pdf
Álgebra
Referencias bibliográficas
• G.M. Bruño. Algebra Curso Superior Ediciones Bruño Madrid.
• Dr. Aurelio Baldor (1992). Álgebra Publicaciones Cultural Madrid España.
• Rondon, Jorge Eliécer. Algebra, Trigonometria Y Geometria Analitica. Unad. Bogota 2010
• STANLEY, A Smith, Y Otros. Álgebra y Trigonometría. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana Colombia. 1997
Enlaces bibliográficos
• http://materosnelda.blogspot.com/2016/12/pagina-de-inicio.html
• https://www.academia.edu/8308121/Problemas_de_Matem%C3%A1tica_Elementar_-_V._B._Lidski_1
• http://www.educando.edu.do/Userfiles/P0001/File/algebrabaldor.pdf
• http://www.fi.unsj.edu.ar/descargas/ingreso/Unidad5.pdf
Geometría
Referencias bibliográficas
• Dr A<> urelio Baldor (1985). Álgebra. Madrid España
• Leithol, L. (2007). Álgebra, Trigonometría y Geometría analítica. Oxford. México.
• Ballester Sampedro, F., Ballester Sampedro, J. y Ballester Sampedro. S. Ejercicios Con Sucesiones,
Progresiones aritmeticas y geométricas en secundaria. Madrid. Editorial Liber Factory, 88 P.
• BARNETT, Raymond A. Uribe Calad Julio A. Álgebra Y Geometría, Mc. Graw Hill, Bogotá, 1989.
Enlaces bibliográficos
• http://www.educando.edu.do/Userfiles/P0001/File/algebrabaldor.pdf
• http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/pdf/Global.pdf
• http://www.acm.ciens.ucv.ve/main/GEOMETRIA-DarioDuran.pdf
• http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/pdf/Global.pdf
Bibliografía y páginas web
INICIALES MATS3 CT.indd 6 3/02/2020 18:45:30

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