matematica-contato-3-ano-2016.pdf

Resumo
O PRESENTE ESTUDO TRATA DA ESCOLHA E ANÁLISE DO LIVRO CONTATO MATEMÁTICA DO TERCEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO DOS AUTORES JOAMIR SOUZA E JACQUELINE GARCIA, 1º EDIÇÃO, COM INTUITO DE IDENTIFICAR SE O MESMO ESTÁ EM CONFORMIDADE DO PNLD (PLANO NACIONAL DO LIVRO DIDÁTICO). PARA REALIZAÇÃO DA ANÁLISE ADOTOU-SE INVESTIGAÇÃO NO LIVRO DIDÁTICO, PESQUISAS BIBLIOGRÁFICAS E ENTREVISTA COM PROFESSORA DA INSTITUIÇÃO PADRE FABIO BERTAGNOLLI, LOCALIZADA NA CIDADE DE BALSAS/MA, A MESMA ADOTOU O LIVRO DESDE 2019, APÓS APROVAÇÃO DOS PROFESSORES QUE FAZEM PARTE DA EQUIPE DOCENTE DO ENSINO MÉDIO DA INSTITUIÇÃO. O LIVRO POSSUI 224 PÁGINAS, SEIS CAPÍTULOS, COM MÉDIA 31 PÁGINAS, NA APRESENTAÇÃO INICIAL EXIBE O TÓPICO “PARA CONHECER SEU LIVRO” ONDE É APRESENTADO CARACTERÍSTICAS DO MESMO, INFORMANDO AO ALUNO QUE O LIVRO POSSUI ATIVIDADES PREVIAMENTE RESOLVIDAS E OUTRAS PARA SEREM RESOLVIDAS, CHAMA ATENÇÃO PARA O TÓPICO CALCULADORA, ONDE É DISPONIBILIZADO ATIVIDADES QUE EXPLORAM MEIOS DA UTILIZAÇÃO DESTE RECURSO TECNOLÓGICO, OUTRO TÓPICO É O DESAFIO, QUE POSSIBILITA AOS ALUNOS BUSCAR MEIOS E ESTRATÉGIAS DE POSSÍVEIS SOLUÇÕES PARA O PROBLEMA PROPOSTO. DE MODO GERAL PREDOMINA A COR BRANCA, AO LONGO DOS CONTEÚDOS SÃO EXPOSTAS ILUSTRAÇÕES DA REALIDADE ESTABELECENDO RELAÇÃO COM O CONTEÚDO MATEMÁTICO ABORDADO. NO QUE TANGE O PNLD O LIVRO EXPÕE NA SUA CAPA O SELO COM AS REFERÊNCIAS DOS ANOS DE 2018, 2019 E 2020. AO LONGO DA PESQUISA NÃO SE IDENTIFICOU DIVERGÊNCIAS QUANTO AS OBRIGAÇÕES ESTABELECIDAS NO PNLD, PORTANTO O LIVRO APRESENTA QUALIDADE PARA O DESENVOLVIMENTO DO ENSINO DA MATEMÁTICA.

1. \
A
\
A

atica
à

contato

Matem

Joamir Souza
Jacqueline Garcia

3. contato
Matematica

Joamir Roberto de Souza
"cercado em Matemática pea Universidade
stadia de Londra (UEL-PR)

Mestre em Matemática pela Universidade
Estadual de Londra (UEL-PR)

‘tua como professor de Matemática da rede
pública de eine

Autor de rs dites para os anos finals do
nano Fundamental Enino Meda

Jacqueline da Silva

Ribeiro Garcia

"cercada em Matemática pea Universidade
Estadua de Londina (UEL PR).

Pés-gradunéa em Psicopedagogía pla
‘Universidade Estadual de Lonrina(UELPR)

Atuou come professor na rede parlar em
dodo Infanti Enno Fundamental e Eno
Médina estao do Paraná.

Realza plestraseassessois para profesores

em escoas prtkulares

ed \ So Paulo 2015,

Manual do Professor

4. ie

Rate men men Sara mens ttn OSA

8. 36

Opontoeareta

JEstudando geometria analítica 38
JDistáncia entre dois pontos 40

À depor
a à
JCondiçäo de alinhamento
en o
JÁrea de um triángulo. 48
Reta 52
=a JEquaçäo dareta sa
Matematica frire
financeira 8 duas retas 60

J estudando Matemática ingulo entre duasretas
fran 0 concoreentes 6
Porcentagem 0 Jistanciaentrepontoereta 69
J créscimos e descontos Ninequacio do grau

cestos 5 com uns vais n
Puro 2

Jaro funçées 2

a 7 /acrcunferéncs
Serconecente su Im) eascónicas 74

Consist ou consumidor?

I Circunferéncia 76
cónicas.

9. Aestatistica

$ J > yestudando estatstica m
Varitvesestatistkcas m
VPomiagio eamostra

estates m
JGráficosetabotas m.
J Medias de tendéncia central. 122
Meas dedispersio 130

[Distribuigdo de frequéncia 134

Serconsciente 142
Quero menos 6 mois

Os números
complexos 144

Jestudando os números.
complexos 146
Conjunto dos números
complexes 17
JOperagöes com números
complexes 151
1 Mödulo de um número.
complexo. 158
J Representacao trigonométrica
deumnimerocomplexo 160

INdmeros complexos
egeometria 166

Os polinómios
e as equacées

polinomiais 168
J Potinómios m
VOperagdes com polindmios 174
J Equagóes potinomiais 194
teorema fundamental

da algebra "es
J Relagdes de Girard vor
Jmuttplciade de umaralz 190
PRaizes complexes 12

J Pesquisando raízes racionais
de uma equagäo polinomial
¿e coeficientes inteiros. 193

Serconsciente 196

Acessando tecnologías 198
Ampliando seus.

‘conhecimentos 22
Respostas. zu
Bibliografia consultada 224

Lista desiglas. 224

10. M ática
financeira

11. Meio circulante

Vocé JA parou para pensar como eram as relagdes come
‘quando no existia o dinheiro?

Por muitos séculos, as pessoas ullizavam o escambo quando
precisavam de alguma mercadori. Na prática, para conseguir um
produto que necessitava, tinha de oferacer algo em troca ao outro
nogociante, que, por sua vez, tinha do estar intoressado naquilo
{que se estava dispondo. Essa necessidado mútua entre os nego:
antes tornava, em multas situagdes, complicadas as transagóes,
Foi de situag0es como essas que surgiram as primeiras moedas.

Atualmente, cada país 6 responsável e tem sua prépria moeda,
como o real no Brasil lena no Japáo e o dólar nos Estados Unidos.

No Bresll,afabricagdo das cédulas © moedas de real & de res:
ponsabiidade da Casa da Moeda do Brasil (CMB), que também
controla o melo circulante nacional, que corresponde ás cédulas e
moodas metálicas que esto em poder público e na rede bancária

É possivel consultar no site do Banco Central do Brasil <htpy/
tub.m/8gusjg> 0 valor do meio circulante om determinada data. No
dia 11 de novembro de 2015, por exemplo, 9 meio circulante nacio
nal era de RS 205 883 189 316,04, distribuidos da seguinte manelra

Cáculas em

pelou polímero Moedos metálicas comuns

E = PS
5

10
20

(2) Ares do surgimanto das mosdas, em geral, como eram
fos as vansacoes do mercadoras?

© que 6 0 moi circulante nacional

Em 1 de novembro de 2015, hava em crculagao no Eras
uma quantidade maior de códulas ou de moedas de real?
Em relacáo a valor monetário,nesse mesmo da, a quantia
fom circulado era maior em cödulas ou em moedas? Anar
lso o comparo suas respostes.

12. 10

4/Estudando Matemática financeira Sum 2202

"boa on sano as ade as pgs 20.0207 ca eg Rene

‘tar o dnhare de manera adequada, sabendo Gablar mensalmene Una
anta menor do que a que se gonna, poupar alguna parte ess remuneracdo
‘Sho importantes para uma vgs fnanctra equa. Ness sado, sed por
‘centagem,acréscimo, desconto e uo, que 280 alguns elementos que compoem a
<hamada Matemática Mnancera, 6 fundamental

Observe algumas stuacóes envolvendo a Matemática Inancaa

ua cameras On pogomentoo vtr
Sereno posers Fac toured corto ce

atric

Neste capitulo, remos ostudar vária situagdes envolvendo Matemática financoi-
a. Antes, porém, vamos relembrar alguns conceitos relacionados à parcentagem.

W/Porcentagem

Provavelmente vocd já estudou em anos anteriores assuntos envolvendo por
úcontagom. Leia a nformacáo a segui.

Segundo o Comité Gestor da Intomet no Brasil, otro outubro de 2014 ©
março de 2015, 50 em cada 100 domiclios brasiaros possulam computador.
N ten tm Amen on

A relaçäo "50 em cada 100" pode ser representada por uma fraglo cujo denomina-
(dor 6 igual a 100, sto 6, 5, que também pode se representada na forma decimal ou
om porcentagem.

tement

13. > Exemplo
Em uma sala de aula do 3* ano do Ensino Médio há 25 alunos, sendo que, des-
ses, 12 año do sexo masculino. Podemos determinar de diferentes maniras a
taxa percentual de alunos do sexo masculino da sala:

+ Gone 1 m oda 28 ion ao de as mast, ame a are 2

Escrevendo uma fraçäo equivalente a 32 com denominador gua 100, temos:

12.124 a8
2572547100
+ Utizando número decima:
E

ae
1007

48%

2
+ Utlizando regra de trás:
12%

Be 28021200 1-48

Portanto, a taxa percentual de alunos do sexo masculino dessa sala 6 48%.

> Exemplo 2
© tanque de combustivel de um carro, que tem capacidade para 451, estava
chelo. Desse total. foram consumidos 18L. Podemos determinar a taxa per-
Cental do combusielconsumido de seguine maneira: y
Como 181 de 451 fram consumidos, escrevemos a fraçäo 12. Asim: Pepe

ER tava percent
457 007% never cose també

Portanto, a taxa percentual do combustivel consumido 6 40%. fedeamos tiene

> Exemplo3 seras re

José rá pagar a taxa de condominio do prádio onde mora, que nesse más é etm}
RS 512,00, antes do vencimento, obtendo um desconto de 8% sobre esse va-

lor, Podemos calcular o valor do condominio que José irá pagar da seguinto

* Calculamos inicialment
‘domino:

quantos reais correspondem a 8% do valor do con-

zei =
an de 512 > ; 8 512=008:512=40.96

Subtraindo o valor obtido da taxa de condominio:
512-40.96=.47104
+ Outra mancira do ober a taxa da condominio com desconto 6 consderar RS 51200
‘como 100%. Com o desconte,o valor passou a ser 100% ~ 8% = 92%, Realzando
cálculo, tomos: E
92% de 512 > 251

Portanto, o valor da taxa de condominio com o desconto 6 RS 47104.

> Exemplo 4

Fernanda pagou RS 37800 om uma prestaçäo do financiamento do sua motoci-
Cleta, o que corresponde a 12% de seu saláio. Podemos calcula o valor do
salrio de Fernanda da soguinte maneira:

Nomeando o saláio de Fernanda de.
12
12% dos > 1293755 128=37500-8=
12% des > 1g = 976 12 97500

Portanto, o salério de Fornanda é R$ 312600.

temos:

27500
12

3923125

14. > Exemplos

‘Certo eltrodoméstico teve um reajuste de 9%, passando a custar RS 590,00. Pode-
‘mos calcular o valor esse oltrodoméstico antes do reajuste da soguinte manera:
Nomeando de x o prego do eletrodoméstico antes do reajuste esse prego era
100% de x. Após o reajuste de 3%, o prego passou a Ser 100% 3%=103% de x
Assim, tomos:

103 ‘i x 59000

$03 x = 600 = 1036 = 50000 x= 5900
Portanto, o prego do eletrodaméstico antes do reajuste or
monte AS57282.

4557282

de aproximada-

ATAN

jades resolvidas

RT. A mensalidade de um curso de inglés no més de setembro era de RS 360,00. No més se-
(Qunte, o valor da mensaldade sofreu um acréscimo de 9%. Qual o valor da mensaldade
ans acréscimo?

Resolugäo
Podemos calcular o valor da mensalidade apés o acréscimo de duas maneiras

+ 1° manelra: calculamos o valor correspondente a 9% da mensalidade antes do acrés
cimo o, om seguida, adicionamos o valor obtido ao da mensalidado d

9
9% de 360 À -360=0.09-360=32.4

360+324-3024

+2 maneira: consideramos o valor da mensalidade antes do acréscimo como 100%,
‘que, entdo, após o acréscimo passou a ser 100% +9% = 109%:

1009 de 260-19 00-100 0024

Portanto o valor da mensalidade após o acréscimo 6 RS 392.40.

RZ. Marcia paga mensalmente uma prestagáo correspondente a 5% do seu salério. Em
Certo més, a prestagdo teve um desconto de 4%, o salrio de Marcia, um acréscimo
de 8%. Nesse més, a qual porcentagem do salário correspondeu à prestado?

Resoluçäo
Nomeando de P, @ S, os valores da prestagao e do salir, antes do desconto e do
acröscimo, respectivamente.

P, corresponde a 5% de S,>P,

Seam P 0 $ os valores da prestaçäo e do salário, após o desconto o o acréscimo,
respectivamente. À prestagáo diminu 4%, o o salrio aumentou 8%; logo:

9
=P comesponde a 96% de P,-»P= hPa

28 canenponde a 100% 6 5,9105,

esse modo, a ra240 entre o valor da prestagdo e o do salrio é:
96

5
108 5, 757108 100
=

ENS

Portanto, nesse més, o valor da prestagdo correspondeu a 4 3% do salario de Marcia

15. 1. Escreva cada fraçäo na forma de porcentagem.

a 7 1
ago ou ja

7 24
yz oa
2. Escreva cada porcentagem em sua forma decimal
2) 736007
b) 48% 048
©) 90% ao
8) 45% a0%8
©) 613856 06138

3. Alessandra joga basquele polo time da escola, o
fom certo jogo arremessau 15 bolas à costa
(Qual fi a taxa de aproveltamento de Alessandra
sabendo que foram convenidos 6 dessos ar
mesos? 10%

& indice Geral de Pregos de Mercado (IGP-M) &
© Índice utlizado para o cálculo do reajuste de
aluguéis de Imöves. O aluguel do apartamento
em que Roberto mora será reajutado de acordo
(Com esse indice, que, no período considerado,
foi de 11,82%, Sabendo que Roberto paga
AS 825.00 de aluguel, qual deverá ser o novo
valor apés o reajuste? RS 60875

5. Emcerta oferta de um ste de compras coetvas,
foram vendidas 450 unidades de determinado
produto, que $ normalmente vendido por
AS 59,00, com desconto de 60%, sendo permi-
tida a compra do apenas uma unidado por pos-
0a. Por algum motivo, 8% das pessoas nao
Fotraram o produto no prazo estabelecido, por.
{endo o diraito ao produto, som a possibiidade
de reaver o valor pago.

2) Com quantos reas de desconto esse produto
estava sendo ofertado? Rs 250

1) Quantas pessoas deixaram de retirar o produ-
10.00 estabelecimento? 36 pessoas

6. Vimos nas páginas 8 e 9 que o valor do meio
cieulante no Brasil no dia 11 de novambro de
2015 ora do RS 205 883 189 31804. No día s0-
Quinto, o melo circulante brasilero contabilzou
RS 204 324 679 384,04,

Essa diforenca indica que entre esses dois dias
correu no valor do meio circulante: ©

2) um aumento entre 0,5% © 1%

1) um aumento entre 1% 02%

©) uma reducdo entre 0,5% e 1%

©) uma redugáo entre 1% e 2%

7. Guiherme tez a prova de um concurso públic,
mas nao tol aprovado. Veja a seguir seu de-
‘sempeno.

+) Quarts por conto ds ques da prova
oot on
©) Em au mate Guihorme obieveo motor
Gmsampennop& 0 por cesemgemer
Pe en
a se ocala pss rir heran
40 no próximo concurso? Por qui? Une passar
Pere lesan gob mad
Aie do col compra de um computador,
Mara ah ue psc de pres um
anne moa e Grate
Tio À FS120000 com dnscomo de 8% no
pagamant à veta
«Lon B 132000 com desconto de 1% no
pagament vata
Em ail ds dasa 6 mas vanne Marsa
venia à compra ava Ness a, quanos
teal la par poo computa

8
ir)
tengo dos consumidores, um co-
‘merciante, porcebendo que certo modelo de
tóris om sua loja custava RS 2000 mais caro que
a loja concorrente, realizou uma promogáo
‘oferecendo 8% do desconto, para que o prago
a sua loja icasse RS 100 mais barato quo na
loja concorrente. Qual 6 0 prago desse tenis na
loja concorrente? 5 25200

10.0 prego de uma motocicleta, que custava
FS 1200000, teve aumento de 25%. Devido à
‘queda nas vendas por causa do aumento, o pre-
0 dessa motocicota sole uma redugao, vol
ando a custar o mesmo que antes do aumento.
2) Qual fol o prego dessa motocicleta após 0
aumento? Rs 150000

1) Qual foi a taxa aplicada para que o prego da
motociieta voltasse a ser o mesmo de antes
86 aumento? 20%

©) As taxas de aumento o redugo foram iguais?

‘stiique. No. pls AS 300000 corespardien a una.

Savi
SAME 1

16. 1. Uma revendedora de automóveis usados tom um
lucro de 12% por automóvel vendido, sobre o
prego de venda. Supondo que em uma venda.

la obtenna lucro de AS252000, por quantos

‘was ol vendido esse automevel? F521 02000

12. Em uma nogociago salarial antro 9 sindicato de
uma categoria e as empresas, verificou-se que,
80. piso salarial aumentasse 7%, passara aser
RS 201160. Mas 80 0 aumento for do 13%, qual
será 0 piso salarial dessa categoria? ns 2 124.0

1. Em um pequeno municipio, foram computados.
10300 votos para a eligáo de preto. O can-
didato da stuagäo (do mesmo partido polico
‘do atual preteto) obteve 32% dos votos, e o
“candidato da oposiçao obteve 41% dos votos.
‘Quantos votos de dierenga houve entre esses
dos candidatos? 927

4. ditoronga entre dois números naturais 6 40.
"Adcionando 30% do maior número com 60% do
menor número obtemos 75. Quals s8o os

15. 0 logotipo de uma empresa pode ser formado por
um smb que presenta su marca, indicando

08 servigos ou produtos

‘que comercializa. Muto

utzado em anúncios, &
um modo de tomara em
presa conhecida. Veja 0
logotipo, em formato de
‘quadrado, de determina»
¿a escola infant,

8) Cuantos por cot o tal prete a parte
“amarela? E a parte verde? 125%: 25%

) Em relaçäo à parte azul, a parte vermetha
corresponde a quantos por cent a mis?

16. O gerente de uma loja concede um desconto de
10% em certa mercadoria que custava RS 4000.
Devido 20 grande volume de vendas dessa mer.
cadoria, o prago sofreu um acróscimo de 11%.
Podemos afirmar que © prago final dessa mar
adoria, om rolagáo ao prego inicial:

2) aumontou FS040 4) aumentou R$Q04
) nd sofrau ateragdo e) diminu F$ 040
©) diminuiu RS 004

TI. Lucas comprou um sofá, uma mosa de jantar ©
‘uma cama do casal gastando no total PS 478600.
O sotá custou AS 1 12500 a mais que a mosa do
jantar, o 0 prego da cama do casal 6 45% do
prego do sold. Qua 6.0 progo de cada mercado.
fia comprada por Lucas? sls: RS 240000: masa
ort B61 278.00; cama de casa AS 103000
1

18. Para produzir uma oncomenda de corto tipo de
paraluso, uma indústria colocou em funciona-
‘mento duas de suas máquinas. Da quantidado
total, a máquina A produz 60%, e a B, 40%,
Sabendo que as máquinas A o B produzem,
respectivamente, 1% e 3% de parafusos detal
1ucsos, determine a porcentagem de paralusos
defetuosos dessa encomenda. 10%

1. (Enom-MEC) O tabagismo (icio do fumo) 6 ros-
Poneävel por uma grande quantidade de doanças
mortes promaturas na atualiéade. O Instituto
Nacional do Cancer dwlgou que 90% dos casos
lagnosticados de cáncer de pulmo o 80% dos
cesos diegnosticados de enfisema pulmo
08180 associados a0 consumo de tabaco. Para-
lelamente, foram mostrados os resultados de
uma posquisa realizada om um grupo de 2000
pessoas com doongas de pulmáo, das quals
1500 so casos diagnosticados de cáncer e 500
sao casos diagnosticados ce ontisoma,

Com base nessas informagóos, pode-se estimar
que 0 número de umantes desse grupo de 2000
pessoas 6, aproximadamente: a

2) 740 4) 1620
8) 1100 170
1300

raced pl pr daria
Dre)

20. Nicolo Traga, também connacido como “o
600% cio n um mano no ou da Den,
ascos om Seti (150) falc um Venera
(Ian. sa nat. Creatas à Tota mo
de seo prima a liar Matenáic a bal
ta d amara Be tmb crea 0a
fe cones a menor Aimé do sécu X.
Che coo arts de operas rumanas
Aimé meca de Su tempo.

RES
Pesch 0pobna nur pros or ar,
Cue ence wanna Inn ete osas
Er

in

5210 rad Módena equal 15 ine
de Wena 100 in de Var vl 150 em
Ca» 20 Ms ds Care menam 0 ne
de Negra pt cut sde Mon e
canta 66 de Nogent”

[eprint

‘steer net ann ne Tan

17. W/Acréscimos e descontos sucessivos

No tópico anterior, vimos algumas situagdes envolvendo acréscimos e descon-
tos. Nola, tanto 08 acróscimos quanto os descontas incidlam sobre o valor inicial
Agora, Iremos estudar algumas situagoes envolvendo acréscimos e descontos su-
‘cessivos. Veja alguns exemplos

> Exemplo 1

Em um supermercado, 1L deleite custava RS 3,80. Em #2280 da baixa produt!-
vidade na ontressafra, o produto tavo, durante trös semanas, acróscimos de
5%, 2% 0 3%, respectivamente.

qe mes secs

# y 7 man

Podemos calcular © prego do to de lite nasse supermercado após os acrés-
cimos da seguinte maneira:

1 acróscimo: i 038 15.5.0

e acróscimo: 105% de 38 105.0,8-105.4.8-3,99
san e

2 acréscimo: 102% de a0 102.9,99-102-9,99:
on io

e acréscimo: 103% de 407 109.4,07= 109.4.0724.19

Outra maneira de calcular o prego do lire do lee $ obter uma única porcenta-
‚gem equivalente aos trás acréscimos. Para isso, basta multipicar os fatores de
atualzacto, sto 6:

porcentagem e.
resco encolado
Ds valores 105.102
10320 chamades
fatores de
state

105-102-103:
fetuamos o cálculo:

10319=110,319%
Ago

am

110313% desa > ASS 45 -110313.38=4,10

¡IA

Portanto, o prego de 1L de
ORS.410,

"supermercado após os tés acróscimos

Matemática nancein Y 15

18. 6

> Exemplo 2
Uma loja de eletrodomésticos est realizando uma iquidaçäo. Um teevisor de
LED, por exemple, que inicialmente custava R$2 0000, sofreu um desconto de
20%; se o cliente pagar à vista, hä mais 10% de desconto sobre o valor de I-
‘quidaçäo do produto. Podemos calcular © prego do televisor pago à vista na
liquidacdo da seguinte maneta:
úCalculamos o proge do televisor após cada desconte:

e desconto: 30% de 2 500 -> ¡yy 2 500-0,8:2500-2 000.
mu >
2: desconto: 90% de 2 00 > 82.2000

9.2000:

Note que a porcentagem de descontoé calculada sobre
valor obi anteriormente

0s valores 08 03 também so chamados fatores de
tumtzacio

‘Outra manoira de calcular o prego do televisor 6 obter uma única porcentagem,
equivalente aos dois descontos. Para isso, basta mullplica os fatores de atua-
lizao, isto 6:

08.09=072272%
Agora, elotuamos o seguinto cáculo:

72% de 2500 > 1%, 2500-072-2500=1900

Aporcentagem 26% € equivalente
ton dots escontos sucesivos.

Portanto, © prego do televisor após os dois descontos 6 RS1800.00.

19. l'Atividades resolvidas \

RA Corta loja concedeu 10% de desconto em um produto e logo apös, pelo pagamento à
vista, mais 40% de desconto no mesmo produto. Esses descontos correspondem a
um único desconto de quantos por cento?

Resoluçäo
Para calcular o desconto único, multipicamos os fatores de atualizagáo.

come
03 06-054=54%

a

Porto, descontos sucessivos de 10% e 40% correspondem a um único desconto
de 46%, pois 100%-54%=40%.

a. Uma loja vende produtos pea Internet 0, sobre progo do anúncio, so acroscidos 3% de
comissäo para o ste. Quanto um consumidor Irá pagar por um produto anunciado por.
RS 130,0 se elo recabor desconto de 10% sobre o prego acrescido da comissao do site?

Resolucao
© valor inicial 6 P,=130, a taxa de acréscimo 6,-0,09 e a taxa de desconto 6 j,=01.
Logo: ET ES

P-100 (1+009)(1-0)-190 103 00-12051
Portanto, © consumidor rd pagar RS 12051 pelo produto,

Para nacrtscmos em descontosapicados sucessivamente a um valor
ini, podemos caesar o vale ina Puttizando a formula

det a]

RS. Responda e ustfique à seguinte questäo:
Dado um valor inicial P, se aplicarmos, sucessivamente, um acréscimo e um descon-
to, ambos de 10%, entáo obteremos o pröprio valor P,?

Resoluçäo
No, pois P

CDN

as

i-)=Po(1+0,)-(1-0.)=P,1109-
© valor final 6 9956 do valor inicia. Portato, ndo 6 o proprio valor P,

Matemática tancia Y 17

20. 18

RS Sobre uma fatura, $ cobrado 0.19% de acréscimo sucessivo por di
fatura fol pago RS31124, com quatro das de atraso.
Determine o valor dessa fatura caso ela tivesse sido paga:

de atraso. Por essa

2) em dia ) com um dia de atraso,
Resolugäo
2) O valor final da fatura 6 P=31124. Assim, segue que:
31124 =P,. (140.00) - (140,001) - (1,0001) - (140,001) =
91124

=31124=P,-1001 =P, 310

proximadamente R$ 310,00.

1004
Portanto, o valor da fatura paga em día seri

O cáluto de 1001 pode ser realizado com uma calculadora científica:

50-00-0000

‘Boveosoo4 |

Emalgumas coleladoras,atecla EI substi» tects Y.

1) Do tem a, temos que o valor iniial 6 aproximadamente RS 310,00. Logo:
time satt
P-310: (1+0,00%) = 310-1001-310.31

Portanto, © valor da fatura paga com um dia de
RS 310,31.

150 seria aproximadamente

ML. (Enem-MEC) Um laboratérioroalza exames am que & possivel observar a taxa de gl-
cose de uma pessoa, Os resultados edo anaisados de acordo com o quadro a seguir

ETICA

Taxa de giose mao que 70 mg. menor ou ul 100 mg

“aa de gicoso motor qu 100 mg/dL. menor ou gun a 125 a/a

Tasa de gico maior que 125 mp menor os ua 260 a/a
To de gcose mas que 250 moi.

{Um paciente fez um exame de gicose nasse laboratério © comprovou que estava com
Hiperglicemia. Sua taxa de ghcose era de 300 mg/dl. Seu médico prescreveu um tra-
tamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguis reduzir sua taxa em 30% e
na segunda etapa om 10%.

Ao calcular sua taxa de gicose apés as duas redugóos, o paciente verificou que esta-
va na categoria de:

2) hipeglicemia 6) normal c) prö-dabetes 4) diabetes molto «) hiperglicemia
Resolugäo
À taxa de glcose T apés as redugoos 6:
T=300:(1-0.3)(1-0.1=189 >189 mg/dL.
Logo, ele está na categoria diabetes moto.
Portanto, a altenativa coreta 6a.

21. Atividades

ZU Escreva as taxes acumulatvas, de acréscimos ou
descontos sucesivos, e represente-as por uma
Única porcentagem.

2) acróscimos de 4% e 8% sréimo do 12328
b) desconto de 13% e 6% descoro d 18225

€) trés acréscimos de SEO u

©) is screen de 7%

22. Um pequeno produto ral vende um quiograma
a cat ral po 0.0 sum names,
dhe aver à una anal de sbaecneno
Som e tm Rena por uae, ence
‘im siperarcao, rand 108.00 supe
trac send as ro Ina com re
Ge 50% Gunton vn cororir ia pag
ane gens rose?

ER EN id de camita, ue cr
1008720000 armors e es pe o.
Cao rita ae ms dos made au
rota une ponla na compre lo:
Condo EN 0 sio ya pg
forum ces ue Corp esa mod deco
taut ad emo att

24, A8 ongo e dus anos, o sario de Roberta fol
aumentado em 2%, 63 0 4%. Sabondo que após
‘95898 reajustes 0 salário dela passou a ser
RS 2 102,72, om quantos reais aumentou o sa-
lao de Roberta pese gerade?

25. ox comprou cora mercadora por FS6Q00 0 a
colbcou à venda por um prego que val Me render
25% de lucro. Como nâo consegui vend la
rosolveu concedor um desconto de 12%, caso a
compra seja feta à vista
2) Quantos reais um consumidor ter do dosam-

bolsar caso efotue a compra a vsta?A e500
) Qual 6 a porcentagem que Alex luerar se a
marcadoria for vendida à vista? 10%

26. (Ener-MEC) Para aumentar as vendas no nico do
‘ano, uma ja de departamentos remarcou os pregos
de seus produtos 20% abro do prego origina.
(Quando chagam ao ca, os cientes que possuem
cart ka da Im arto a um descomo
“cional 10% sobre valor total de suas compras.
Um cliente deseja comprar um produto que cus
tava AS 60,00 antes da remarcagio de pregos.
Ele náo possul o certáofidalidade da oa.

Caso esse cliente possuisse o cartáo ideado
da loja, a economia adicional que obteria ao
efetuar a compra, em reais, seña de: «

2) 15.00 © 1000 © 400

©) 1400 8) 5.00

27. Em certo ano, em determinada regio, no més de
Tvero, choveu 18% a mais que no més de ja-
eto. Em contrapartida. choveu no més de margo
15% a menos que no más de fevriro. Em qual
mês choveu mais nessa regio, em janeiro ou em
‘argo? Quantos por canto? mage: 09%

28. Corta loja promoweu uma liqidagáo na qual o
consumidor poder oscolhor entre dois tipos de
desconto para pagamento à isa: dois descon-
tos svcessives de 35% ou um único desconto de
80%. Qual dos tipos de desconto 6 mais vanta-
Joso para consumidor? Ur pco desc

29. Umimestcocomprouumtareno por 260 000.0.
‘Supondo que esse imestido esse capital em um
banco, com juro de 15% ao més, durante 4 mesos
+, em seguida, realzasse a compra do mesmo
terreno, que apés esse tempo valorizou'se 4%, o
investido teria lucro ou prejuzo? De quarts reais?
No de apronmadamente 55457

30. A cotagdo do dólar am certo país aumentou x%
Om abri, 35% om malo o rocuou 24% em junto.
Sabendo que a porcentagem única dos trás
reajustes 6 equivalente a 304% de aumento,

‘determine a porcentagem de aumento em abr

31. Para aumentar em 50% a área de um triángulo
‘qualquer, quantos por conto devemos aumentar
a medida da altura, se a medida da base for
aumentada em 20% 20%

32. Uma empresa de transporte coltivo municipal

realustou 3 vezes a tara do Onibus nos úlimos.
‘quatro anos, Os
5% respectivament

justes foram de 5%, 4% ©
‘sendo que a tarita passou

nits

2) Qual sera taxa considerando apenas os dels
primeros reajustes? E 08 tbs reajustes?

1) Oia a valo da tarta antes dos us rats?

33. Determinado produto custava RS 60000 0 sofreu
dois descontos sucessivos, de 7% a x%, e, em
seguida, um aumento de 15%. Calculo o valor
do desconto de x%, sabendo que o valor atual
{do produto 6 de RS 577.53. 10%

Matemática marce 4 19

23. NT

mp

Na tentativa de combater a inagao surgiram alguns planos que alteraram a
mooda de circulagdo no pals: o Cruzado (1986), Cruzado Novo (1989). Cruzoro
(1980), Cruzeiro Real (1983) e o Real (1994),

Para garantir que a infagáo permanecesse dentro de um patamar máximo pros
tabelecido, em 1999, o Brasil adotou metas controladas peto Banco Central por
‘meio da chamada taxa Selle. Alm disso, passou a utlzar varios índices para
‘medi a intacdo, como o Indice de Pregos ao Consumidor Amplo (PCA) e 0

Indice Nacional de Pregos ao Consumidor (NPC).
Rosumidament, o INPC, calculado por melo do IPC Índico do Pregos ao Con-
aumidor regional, abrange as regibes metropolitanas de Belém, Belo Horizonte,
Curtiba, Fortaleza, Porto Alegre, Recio, Ro de Janeiro, Salvador, Sao Paulo ©
itera, alam de Brasilia 0 os municipios de Goiária o Campo Grande. Para de-
termina 0 IPC: de cada regiso é realizada a comparagio dos valores da costa
pacto (composta do fans referentes à almentacáo, à água, à Luz, a0 aluguel ©
à sale) em um determinado periodo. Por exemple, se uma familia eve o
gasto do RS 1 512,00 com a cesta no més de janeiro de 2017 e para a
‘mesma costa tove o gasto de AS 1563,00 em janoiro de 2018, tomos

‘que o aumento do custo de vida dessa famila 10 de:
1593-1812
1512

20054 > aproximacamente 54% WU

Ey

©) Pa

eses reajuste

De acordo com as Itormagdes apre-
sentadas, resoha as quesides.

2) O que vocß entende por Intap30?
1) Voc® acta importante o pals mantor
polaco controlada? Por qui?

‘cafpansar a inlagao de
85% acumulada om certo pari
de, a empresa reajustou o salio
¿e Luiza nosso mosmo percent
al, passando a AS 2582,90. Qual

antes

4) Nos anos de 2012, 2013 e 2014 0
IPCA registrado no Brasi foi de
5.84%, 591% 0 6.41%, ospoct-

|
|
i

ere vamente. Qual é o IPCA único.
mi Seca nape

ee o
(Coordenaçho de Índices de a

aga uma pesquisa para vrticar
(Gren mr os valores mecidos nos úlimos

12 meses. Registre essasintorma-
(goes em uma tabela

24. Luro

Quando uma pessoa realiza um empréstimo no banco, ola deve pagar, alèm da
‘quantia emprestada, um valor a mais, correspondente ao Juro, isto 6, um tipo do.
"aluguel” pelo periodo em que o dinhero ficou emprestado.

(Qutra circunstancia envolvendo juro acontece quando uma pessoa faz uma apt
caçäo de certa quanti, seja em caderneta de poupanga ou em outro investimento.
Nesse caso, a pessoa recebe Juro de acordo com o período em que essa quantia
ficou aplicada,

Quando o pagamento de uma fatura¢ eletuado com atraso, esta & acrescida de
Juro correspondente ao tempo de atraso,

A seguir, veja alguns termos utilzados em situagdes que envolvem juro.

Au rendent

\
‘onan Prien i
SR Mental j

o juro compost.

» Juro simples
Simone lez uma aplicagdo no valor de RS 100900 durante 7 meses, à taxa de Juro
smpes de 165% am. (20 més. Podemos calcular o montante obio por Simone
20 final da aplcagäo da seguine maneta:
capital (alr de apicagáo). RS 100000 >
tempo (periodo da aplcagdo): 7 meses -> 1-7
{taxa de Juro: 085% am. > 12085-00085
Callan 0 jur simple ao final de cada més, temos:

065% de 1000 —> 955-1 00000065 100068 > 5650,

000

Como capita cou apicado por 7 meses, mutiicamos o Juro de um més por 7
657-455 > FS.4550

Note que, para determinar o valor do jur, muliplicamos o valor do inves

pola taxa de juro e pelo tempo da aplicagáo, où sea:

jacta
21000-00068 7455

‘Come queremos determinar o montante, aicionamos o capital © juro.
Mace)
M=1000+485=10485

Portanto, o montante obtido por Simone ao final de 7 meses & F$ 104550.

seno.

25. “Calculames o juro simples por meio da fórmula:
ject

Nessa fórmula:
«Euro c: capital +: taxa de juro simples +t: periodo de tempo
Para calcular o montante, utlizamos a seguint fórmula:

MecsiaMeeroitas Meli)
ess mus, 0 sutura xa ds po, des erw oma ceca

Ao utiizar as fórmulas apresentadas antoriormenta, tamos quo verificar se a taxa
de juro a 0 periodo de tempo estäo em uma mesma unidade de tempo. Por exom-
plo, se a taxa de juro 6 dada ao ano, o periodo de tompo também devo estar om
‘anos. Em casos om que isso ndo ocorra, devemos transformar a taxa ou o periodo,
à mesma unidade de tempo.

No juro simples, uma taxa de 219% a.m, por exemplo, 6 equivalente a 252% aa.

jo aay 1220252
poe Qe

De maneira semelhante, uma taxa de 36% a. é equivalente a 3% am. pois
9.36:12=0,03
=

Duas taxas 580
durante un mesmo
Produzem montantes
fava.

/mtividades resolvidas \

RB. Sérgio aplcou RS 12.000,00 no sistema de jur simples e, após 10 meses, retrou o montante
de R$ 12900,00. Qual fo a taxa mensal de juro que rendeu oinvestmento de Sergio?

Resoluçäo
Utlizando a fórmula M =e.(1+1.) para M=12900, c=12000 e t=10, temos:

12900 2.075,
12 80012 000:t+i10)=012 200 1410 = 1,075-1=10 ini 907
Portanto, a taxa de juro fo 75% am.

RD. Qual 6 o prazo necessário para que um capital de RS 450,00 dobre de valor, a juro
simples de 1% am?

i=0,0075=0,75%

Resoluçäo
Sa 0 capital dobra de va, entáo M=900. Subettuindo €=460 6 ¡=0.01 em M c.(1+1).
tomos Fes

00-10 (naar root too

Portanto, 280 necessérios 100 mesos ou 8 anos o 4 meses.

RIO. Para o ciento que atrasa o pagamento da fatura mensa, uma companhia de abastocimento
de Agua cobra muta ra de 0.4% sobre o valor da fatura do más. O fomacimento de água
6 intrrompido quando o valor da muta toma-sa maior que 20% do valor da fatura sobre o
qual incl a muta, Considerando o mis com 30 das, determino o número de mesas © ds
de araso at que a compania faga o corte do tomecimento de agua por fata de pagamento.

Resoluçäo
Tomos que 20% do valor de € dafatura 6 dado por:
20
ear
Assim, segue que: ae
PAZ € 1> 0.2 0 0004.1>0 2-2 0004t> 020 1> 291250

Logo o corte no fornecimento de dgua ser feito após 50 días de aras.

26. 35. Calculo quanto um capital de RS 55000 rende.
‘quando aplicado a regimo de jur simples a ume
taxa de:

2) Siam, durante 4 mososrsenon
b) AS%Am, durante 1 anors20700
©) 6% aa, durante 7 mesos né 1a2s
©) 005% a. lao da), durante 2 meses seso

36. Qual 6 0juro que um capital de AS 14000 rende
0 aplicado no regime de juro simples com taxa
de BK am. durante 9 meses? AS 1008

31. Sabendo que um capital , aplicado a juro sim-
ples, rende em 4 meses o equivalente a à de seu
var, determino a taxa de juro mensal 5%.

38. Jülo aplcou, ob regime do juro simples, a mpor-
táncia de RS 7 500,00, com taxa de 25% am, por
um periodo de dois trimestres
2) Qual era o montante ao fim desse periodo?
1) Bevido a pagamentos de impostos,

tante a ser retirado por Jülo so
redugäo de 3%. Qual será o valor líquido
retirado após esse investimento? #S 20225

33. Ao sor aplicado no regime de juro simples, um
‘capita rende, após 14 meses, uro de RS 65.44
rico

1. 2 montante obtido após um semestre?
jus ca recon va
Aplicado durante 2 anos? RS 27104

40. Um capital de R$88000, aplicado a juro simples
‘com taxa anual do 30%, após certo periodo de
tempo resulta em um montante de AS95000.
Determine quantos moses esto capital ficou

apicado para obtençäo desse montante 6 meses

‘4, De quanto tempo um capital necessita para sor
‘riplicado, se aplicado a uma taxa de jur sim-
plos do 8% ao mos? 25 meses

42. Cert loja de Informática vende uma impressora à
vista por RS27000, ou em parcela única de
529835, paga 90 das após a compra. Caso um
‘consumidor deseje comprar pegando após os 90
Ss, quese. tax mensa e juo simples paga?

3. Um agente fnenceroaplicou R$ 3000000 em um
‘undo de investimentos quo rende juro simples
de 21%am.So a retrada total acontocou 56 das
ap66 a apicago, calculo 0 rendimento, amine
30 que um més tena 30 dias. rs 117.00.

A. Corto investidor aplicou simultaneamente, om
regime de juro simples, durante 8 meses, dois
Capitals da seguinte mancira:

+ investimento A: RS 500000 com taxa de juro
de Sam
+ investimento 8: RS 4500.00 com taxa de juro
de 42% aa.
3) Qual dos imestimentos gorou o maior rend
‘mento? investment 8
b) Se 0 investidorfzesso aponas uma aplica-
lo, com todo o capital, qual devoria ser a
taxa de juro simples mensal para obtor a
‘mesma rentablidade? aproximadamente 224%

4S. Considero © investimento de certo capital duran-
te um periodo de tempo no regime de juro sim-
ples. Qual das taxas de juro oferece a maior
Fontabilidade após esse periodo de tempo:
006% 4, 14% am ou 18% 227 000500

6. Uma divida de RS35000 foi paga inograimente
apés ! mesos com juro de RS 10500, a uma taxa
mensal de jur simples. Determine posses va-
RUE mone

Li. Um ciento tome coma empréstimo a importancia
de RS350000 de uma insttuigao finance
Por determinado periodo, com taxa de juro sim
les de 888% aa. pagando ao final RS 531300.
Quantos meses durou esse empréstimo, cons
dorando que cada mös tom 30 dias? 7 maras

48. Em corta loja, Daniele comprou o rofrigorador

2) Qual 6 a taxa de juro monsal cobrada por
sa aja? 10%

b) Quantos reais Daniele economizaria sa pa-
‚93580 0 valor total à vista, sabendo que no
pagamento à vista o consumidor tem 8% do
descomo? As 200

27. » Juro composto

A Matemática primitiva comecou a ser desenvovida a partir de ambas
montos prátics, quando, ao longo dos rios Nil, Tigre, Eurats, entre ou.
‘ton, surgram sociedados desenvolvidas, como os bablénios e cs eípcios.
‘Apart de tareas como o controle de nundagdes doses rose da drena:
gem de pántanos, posslbltow-e 0 desenvolvimento de tecnologias e da
Matemático, originando-se a chamada Matematica primitiva. Essas prices
requeriam o etic de cslendários funcions, 0 desemolvimento de um si
tema de pesos e medidas, a crac de métodos de agrimensura, a institu
(030 de prátcas inancaras 6 comercais para 0 lançamento 6 a arrecadacáo
8 taxas et. Alguns dos documentos, registrados am tábulas, mostram que
3 sumérios, antiga civiizegao que ves na regido da Mesopotamia por vl. ni
{2 de 2100 aC., I ullzavam var tpos de conhecimentos tnanceitos, putero wore
ome os auaimente denominados juro simples e juro composto. LR ms

Para iniciarmos o estudo com juro composto, considere.
> Exemplo

Tata aplcou RS 2 580.00 a uma taxa de juro composto de 3% am. durante 3 meses.
Podemos cacular o montanteabtido ao nal desea aplcagao da seguinte manera:
© sistema de juro composto corresponde a um caso particular de acróscimos
sucessivos, cujas taxas de acréscimo sáo todas iguais. Para calcular os acrés-
<imos sucesivos, utlizamos a seguint fórmula:

PR
M=c-(1+1)(141)(144)-....(144)

Substtundo na formula pr 2500 e LL, por 00:

£80 (1:009)(1+008)(1:009)=281920

Porano, © montante oido o nai da aplcaco fo aproximadamente

seas

Fazendo P=Me

Calculamos o montante obtido ao aplicar um capital a Juro composto da se-
guint forma:
Mae.) (164) (145). (feu) om que Lai
¡Como as taxas de acréscimos estao associadas a um período de tempo, te=
mos que n=t. Logo:
Mee-(14) (12) (14) (12)
ca
Macia)

compost, ndo podemos mater cu dr ume
taxa dada em certo period bter uma exuvalete em
operado. como core no Juro simples. No caso do
Juro composta, ¢necessiio realizar outro ett.

Vtlzando sa fórmula para aber © montante da stvagdo apresetada anerio-
ment, temos:
(i!

590 (1+009)"=2560-105'-261024

28. determine o montante obtido ao final de cada um dos trés
‘um capital de R$ 235,00 a juro composto de 5% ao més

al do 18 més, 6 cbtido acrescentando-se 5% ao capital, ou soja, om
‘comum, mutiplicamos 1+0.05=105 por 235, nesta ordem. Para dé

terminar © montante do més seguite, cigtames novaments tec ©.
00202002 Hes cono most da escala,

29-009 ©

e
[o]

ee)
ee

Porno, os montantes obtidos ao final dos trés meses äo, aproximadamente, na
order: FS 246,75, RS 259,09 e RS 272.04.

AZ Um investidor percebeu que, a partir de determinado capital, uma aplicagto, a Juro
simples, por dois meses, a uma taxa mensal de 4%, forma um montante de R$ 3200
à menos que uma outra aplicacdo, a Juro composto, na mesma taxa e polo mesmo
período de tempo. Qual o valor desse capital?
Resoluçäo
Chamamos de M, o montante obtido a juro simples. Para ¡=0,04 e t=2, tem
M,=c-(1+k1)>M,=0-(1+0,04-2)=108:0

Soja M, o montante obtido no sistema de
Loge:

ro composto, nas mesmas condigöas.

Met) >M.=0-(1+0.04) = 10816
Como o montante Mé RS 22,00 maior que o M, segue que
MM +32 10818:0=108-0+22=>00016:0=32=>c=20000

Portanto, o valor do capital 6 RS 20 000,00.

Ia. Resolva o item a da atvidade AS, da página 18, utilizando a fórmula M=c-(1+}
Resoluçäo
No item a da atividade R6, utlizamos acréscimos sucessivos para calcular o valor
inicial do uma fatura, ou soja, o valor sem acróscimos.
Utilizando a fórmula M=c({ti), para M=31124, i=0.001 0 t=4, tomos:
c(1+0001) >: .o: o A on
31124=0(19000 > 31124=0-1008 en 0- 310
Portanto, como concluimos na atividade RS, o valo da fatura paga em día sera apro-
imadamente RS 310,00.

29. 48. Luis aplicou F$ 260000 om um fundo de inves-
timento que Ihe rende juro composto de
18% aa. Qual será o montante obtido por Luís

após trás anos do investimonto?
Soumadamens 427 88

50. Fabiana tomou como empréstimo a mportáncia de
535000 de certa insituicao financeira que
cobra uma taxa ia de 4% am. 0 regime de Juro
composto. Sabendo que ela pretende pagar esca
vida am parcela única após 4 meses, quantos
reals de juro, aproximadamente, Fabiana pagará
por esse omprestimo? aproximadamente AS 100

ST Cto capt apnée à sa de as com-
poste team aunts ao 2 mem,
Sereno um mon SE
ts conato ana ach
DTC pecera ce

Sorento et plot

52 und sc ce eco Osma a cn
fest qv rc cot ite des come
fos Sune qu ain» aon o mora
Se" rr asco, sawn ata Goo mu
de cage

53. Quanto tempo seria necesséro para um capital
uadruplicar, o imestido à taxa de uro composto
de 2% m7 Lie g102=2008 log? = 0.201

Sa, Em corta loja, uma bola de futsal quo custa
FS12000 à vista pode ser paga em duas parco»
las, sendo uma de entrada, no ato da compra,
o valor de ASTODO, e outra dois meses após
à compra, no valor do R85408, capialzada a
juro composto. Qual 6 a taxa mensal de juro
Cobrada por essa loja? 4

55. (Enem-MEO) Joso deseja comprar um carro cujo
prego à vista, com todos os descontos pos:

6 de RS 21 000,00, e esse valor ndo ser
reajustado nos próximos meses. Ele tem
RS 20 000,00. que podem ser aplicados a uma
taxa de Juros compostos de 2% ao més, e
escolho deixar todo o seu dinheio aplicado até
que 0 montante atija o valor do carro.

Para tor o carro, Jodo devo esporar:¢

8) dois meses, e tera a quanta exa

b) trés meses, e teré a quanta exata

©) très meses, ainda sobrardo, aproximada-
mente, AS 22500

©) quatro meses, e tor a quantia oa

+) quatro meses, e ainda sobrarko, aproxima»
damente, RS 43000

aide 88. ambre-ce ds propicios Go logaıma.

56. Enem-MEO) Considere que uma pessoa decida
Invest uma determinada quanta € que he seam
‘aprosentadas ès possibiidades de invostimonto,
‘com rontabiidades Eqidas garantidas poo pario.
{do de um ano, conforme dascritas:

Investment A: 3% a0 más.

Investmento B: 36% ao ano

Investimento G: 18% ao semestre

As rontabilidades, para esses invostimontos,
incidem sobre o valor do período anterior. O
quadro fornece algumas aptoximagóes para à
‘naive das rentabiidades:

3 109
e ums

Para escother 0 investimento com a maior ren-

tablidade anual, essa pessoa deverá:

2) escaer qualquer um dos evestimentos A,B où
pois as suas rentablitadesanvais so igus.
336%.

b) escainer os inostimentos A ou C, pols suas
rentablidades anusis so iguais a 39%.

©) escalhor o invostimento A, pois a sua renta
lidade anual $ maior que as rentablidade
anunis dos investimentos 8 e €.

) escainer o investimento B.pols sua rentab
¡Sado de 36% 6 maior que as rentabilidades
¿e 3% do investimento A e de 18% do inves-
timento ©.

+) escohero Imestmmento C pos sua ratabiktade
(go 39% 20 ano 6 maior quo a rentabiidade do
36% ao ano dos instmentos AB.

7 3
Um investor po PS2 0000 em un undo
Irene gus ence hr copa de IP.
Passados à mesos, de epicou mas FS 10400
mes
‘Groce Imendmana Tndaram ft eos
2 aoloando comple att sree
©) See muses onde a PAR en SS!
to rorasse 900000, aul sra o mon.

tante 2 anos apés a 2 aplicagäo?
ee

Matemática marce 4 27

30. Muro e funçôes

Nest tópico, vamos relacionar o jur (simples e compost) e as fungdes. Para isso,
‘considere uma aphcaçäo de RS 120,00 a uma taxa de Juro de 19% aa.
Vamos analisar essa aplicagäo nos regimes de juro simples o de juro composto
no decorrer do tempo.
Inicialmonto, substituimos as informagóos apresentadas na fórmula do juro para
0 regime de juro simples
60-1200; in 15% 2015,
jet
200 0154
so ()

(0 joj está am fungäo do tempo 1. () corresponde a uma fungäo linear. Pode-
mes representar essa fungdo da seguinte manoir:

LR, 4R dada por 1180

o o

Agora, vamos substituir as informacóes apresentadas na fórmula do montante
para o regime de juro simples:
Meefteit)

M=1 200-(1+0,15:1)
M=1 2004 180€ (1)

© montante M est om fungdo do tempo 10 (I) corresponde a uma tungáo am.
Podemos representar essa ungdo da seguinte manoir:

9:R, +R dada por glt)=1200+ 1808

| H
ajena] i
2 [us | ]
3 mo | Tempo (anc)

De maneira semelhante, vamos substitu as Informagdes apresentadas na fr-
‘mula do montante para o regime de juro composto:

Mc (rs)
Mer 200.015)
= 200.18) (1)

31. (© montante M ostá om fungäo do tompo te Il) corresponde a uma fungáo do
‘ipo exponencial. Podemos representar essa fungáo da seguinte mansira:

PR, oR dada por 1200115)

/Rividades resolvidas \

Fa. Paulo aplicou RS 2000,00 a Juro simples de 11% a2. o, no mesmo dia, Roberto inves-
tu RS 280000 a juro composto de 10% 2. Represente graficamente, num mesmo
plano cartesiano, os montantes om cada aplicagäo e verifique qual tra o maior mon-
{ante ao final de 4 anos e ao final de 6 anos.

Resoluçäo
"Para
de Paulo:

900,

11, temos a fungáo afim que representa o montante da aplicaçao

M=2900 (1+0,111)=2900+319:1=1()-2900+319%
+ Para ¢=2800, 120,1 temos a fungáo do tipo exponencial que representa 0 montante
da aplicagdo de Roberto:

M-2800(1+03)-2800 (11) a)=2 800 (14)

Representando grafcamente as dues fungóes,temos:

o | 20% | zum
1 sa | ac
2 ome | am
3 | ser | orme
à ans | coms
RTE
OT

ares maman
Hot niet
GE ne eo PR
‘de Paulo será maior que o de Roberto, ou seja, 1(4)>g(4). Já ao final de 6 anos, o
montante da aplicaçäo de Roberto será maior que o de Paulo, ou seja, g(8)>1(6).

atemstca mancin Y 29

32. mn \_

58, Joice aplicou certa quanta em um investimento

a juro simples. Após dois anos, para a compra
{0 um oletrodoméstico, cup valor era igual ao
juro obtdo nesse periodo, elaresgatou todo o
montante e subtral © valor de que precisava,
Depois de um més, investi o dinheiro que so-
trou em outra apicacáo, agora no regime de juro
‘composto. Com esse novo Invastimento, juro
‘btido em 3 anos fo o dobro daquel do primer
ro investment.
Se 16. funçäo que representa o montante na
úaplcagdes de acordo com o tempo, contado a
partir do inicio do prmeiro Investimento, o grá-
ico que menor representa 16:0

+)

59. Uminvestidoroftuou uma apicacáo doRS 4 000.00
durante um semestre em um fundo que rende
25% am. no regime de juro composto
2) Escrova a oi de formagáo da fungáo f que 16-

presenta 6 montante om fungáo do tempo t,

Om moses. ()=4000(1029/
b) Esboco o gráfico def determine seu domini.
Resposta natal oo We.

60. Considere uma aplicagao de certo capital ¢ à
taxa constante de juro simples de 7%aa.
Escrova ali de lormagáo das fungóos 10.9 que
determinan, respectivamente, juro © © mon-
tanto om funcio do tempo t
or fee een)

1. O grfico apresenta duas modalidades de inves-
timentos oferecidos por determinada insttuigao
financeira, um com taxa de juro simples e outro
com taxa de juro composto.

+) Para um mestment com pedo de tempo
oc upp. Sun 6 mal venoso?
wy BE em ter mai rondes
{060 © pardo de eo? ran À
© Qua oro copa! most camente?

62 Ao comprar corto produto que custa FS 10000,
um conte podera scolner entre duas formas
de pagamente:

1) Uma entrada de RS2000 no ato da compre
+ restante om parcoa única acresciga à
taxa de juro compte de 4% am.

11) Uma entrada de FS 5000 no at da compra,
€ restante em parcoa única acrecida à
taxa de juro simples de Sam.

2) Escrova as fungoes Mal) © Mal). ave
ropresentam o valor pago polo produto 0

a Cty
tse domo, om er dea
©) Quel 9930 de pagamento será Mak valo:
sa para o consumir, 0 restante da dívda
lo pao ande 3 moses? E and © moses?

63. Considerando as tuncées 1[)=2000 (1+001) ©
9{t}=17 500 (1018) elabore o enunciado de uma
aividade e troquo-a com um colega, Depois,

verifiquem se as resolugóes estáo corretas,
Fesponta pessoa!

33. MSistema de amortizagäo

Em algumas situagóes, a indisponiblidade de capital para adquirir um bem pode
levar um individuo a realizar um empréstimo; para sanar o compromiso, elo pode
‘optar por diversas formas de pagamento. Ao efetuar os pegamentos parciais para.
saldar a diva, ocore sua amortizagáo.

Amorizaçäo & o processo de reduçäo de uma divida por melo de pagamentos
parciais, que podem ser mensais, bimestrais, anuais, entre outros. Cada pagamer
to (ou prestaçäo) realizado corresponde ao juro e parte do capital valor da divida),
ondo o juro calculado sobre o saldo devedor.

said devedor corresponde diferenga entre o valor
Ga da eo que ol pago.
Pre=tacio=Amortizacao Juro

As manoiras de pagamento de uma divida estáo associadas
a diferentes sistemas de amorlizagän, sendo dois dos princi
pais o Sistema de Amortizagäo Constante (SAC), em que a
amortizagao da divida 6 constante, igual em cada periodo, 0 0
sistema Price ou Francés, com prestagóes fxas

Neste tópico iremos estudar o sistema Price, am que o dev
or paga o empréstimo em prostacóos fisas, sendo 0 número
¿e prostagses variäul, de acordo com o contrato entre as par-
tos (devedor a credo

Esse sistema fol deseavolvido o utlizado pela primeira vez
na Franga, no século XIX. No entanto ol concebido pelo eco-
nomista o matemático inglés Richard Price (1723-1791), que
incorporou a teoria de juro composto às amorizagées de em-
préstimes. Dessa maneira, receveu a denominagáo de sistema
Price ou, ainda, “Tabela Price” Rees

Para calcular o valor de cada prestaçäo de um empréstimo no sistema Price,
útlizamos a formula:

ry pagel

Nessa fórmula:
+ valor da prestagáo +b taxa de juro
+m: número de prostagdes

+ ©: valor do bem ou do ompr

> Exemplo
Paula ez um empröstimo de R$300000, que deve ser pago em 5 prestagóns
mensai taxa de juro de 25% am, no sistema Price. Utilizando fórmula apre-
sentada acima, podemos calcular o valor de cada prestacto:

ne EEE En
DE 30000028, use Hs
FT icones) BE ete

Portanto, o valor de cada prestagáo é aproximadamente RS 4574.

Matemáticafnancia 7 31

34. No denonstrawo.es Como no sistema Price os pagamentes sto parcelados, é conveniente construir
case's. um demonstrative indicando a stuagao da divida em cada periodo de tempo. Veja
Claros paran=Te come ficarla 0 demonstrative om relagáo ao empréstimo feto por Paula

DZ esta cados

Nas deme bas. 0%
Observando o
‘Seques quen

pois calculada sobre
também é cada vez

sistema Price de acordo com
as informagées. apresentadas.

Resolucáo

'nicialmonto, calculamos o valor do cada parcela utlizando a fórmula P=—°!

ETS

400: 1=2.5%=01025;n=0
1400.0025 95

RS se
(10025) ET en

Utiizando uma calculadora cieniica, temos:

0-0-0-0-0-50>0

Logo, o valor de cada parcela 6 aproximadamente RS 254 17.
Em seguido, construlmos © demonstrative,

2
a
+) mere
mer ass
6 25417 | em

35. atvdades NL

64. Para realzar empréstimos em certo banco que
cobra Juro no sistema Price, $ exigido que o
Valor da prestarao no utrapasse 25% do salé~
rio Kiquido do cmo. É possivel que uma pessoa
‘que ecebe RS 1150.00 de salario iqudo mensal
empreste R$300000 desse banco, para serem
pagos em um ano com prestagdes fis o Juro
de 19% am? Justique. Sm pos over a pasagao

3823190) 6 menor cue 25% do ao o (8 287.0)
65. Cero chante de um banco realzou um omprést-

Mo que será pago am 9 prestapdes mensals de
PS028.46 som entrada, com juro de 14% am. no
sistema Price, Quantos reais esse chante am-
Prostou do banco? sroxmadamente 5780000

66. Folie trocar sou automóvel usado por um novo,
‘que custa AS 48 000.00. Ele dará seu automovel
como entrada, no valor de RS 25 000,00, e pa
‚ra o restante em 48 parcelas mensais com Juro
de 1% am. no sistema Price.

8) Calado o valor

decada parcela paga por Folpo
2) Cuantos eas de juro

Sipe pagará? ns sors sa

62. Vos parte de um demonstratwo de amorizaçao
do sistema Price,

vas | 102854

Com base nos dados acima, determine a quan-
sad de prestagdes necessárias para pagar a
vida. Se necessáno, utliza 169109-20128 e
10974426716. 10 pratagser

68. Uma empresa tomou emprestado uma quartia de
FS7500000, a ser paga om 8 parcelas monsais
0 sistema Price. Admitido que a taxa de juro
6 de 2% a0 mis, determine 0 valor aproximado:
6) do juro embutido na 4* parcela rest
E) de amortizasdo da Se parcela RS 46028
©) do saldo devedor da Gl parcela Re 124700

63. Poupar é dir o consumo no momento presente,
a en de consumir mas no futuro. Tl ago garan-
te um acumulo de reservas a serem utlzadas
posteriormente o um consumo que náo ulrapasse,
arenga
‘Contudo, as pessoas costumam poupar eines:
tir pouco, Na práica, quando se compra a prazo,
poga-so muito mais poo produto, porque existom
acréscimos de juro e outros custos adiciona
Comprando à vista, essas despesas slo evita:
‘das, o que delxa o produto mais barato.

A questáo nao está entr comprar @ no com-

prar, mas entre recabar a mercadoria pagando.

rostagdos o juro, ou poupar e comprar a mor»

‘cadoria com desconto no futuro,

Portanto a molhor solugás nom sempre 6 alon-

(gana preso de pagana, por a conti

passa mais tempo pagando juro e amorizando

pouco. O segredo para a mahor compra, mus.
vezes, consiste na pesquisa de pragos © om
pagamentos à vista.

2) Com juro de 2% am, quando o consumidor
compra um televisor por FS262265, para
pagar em 5 prestacdes thas, poderia pagar
pelo mesmo produto RS 287827 à vista. Voce
concorda com essa afrmaçao? Justfique sua
resposta com o ausio do demonsiralwo de

ison

) Suponha que o consumidor queira comprar
um televisor que custa a vista RS297827,
em 12 parcelas iguas, com Juro de 2% am.
Calcule o valor de cada parce e 0 valor

total a ser pago. ders RATE

©) E vordade que, quanto malor a quantidade
de parcelas, maior 6 o valor pago pelo pro:
to? Justique. Repost no fal dira.

4) Faga uma pesquisa sobre o prego a vista ea
prazo de um produto, e 0 juro correspon-
ente ao prego a prazo. Construa uma t
bola indicando a situagáo da dvida am cada
periodo de tempo. Resporapessc

Matemática fnanceta 7 33

36. Ser consciente /“Consumista ou consumidor?

Pelo menos uma vez na vida, as pessoas ¡4 pagaram mais caro por uma roupa apenas.
porque estava na moda, Ou ainda compraram um produto por impuiso que tove uso pou-
Situagdes como estas 880 mals comuns do que se imagina. A grande variedade de
produtos, as faciidades nas formas de pagamento, a publicidade excessiva sto alguns
elementos que costumam mpuislonar as pessoas a comprarem de maneira impulsiva e
exagerada, mutas vezes sem avalar as consequéncias. Isso 6 0 que chamamos de
consumismo.
Uma idea básica para um consumidor consciente - o opos do consumista - 6, antes
de comprar fazer uma distingo entre necessidade desop. Por exemple: có precisa so
‘vests loge, comprar roupas 6 uma necessdade. Contudo, pagar muito mas cao por uma
terminada marca de qualidade simiar a out de prego mas acesivel apenas porque &
famosa ou está na moda 6 um deseo, o que nem sempre pode ser atoncido. Näo 6 que
funca podemos comprar algo que desajamos, mas tomos de fazer isso com conscióncia,
som desequitrar nosso orgamento.
0 consumista compra de forma exagerada impulsiva. A felciace momentánea 6 subs
tii por tisteza quando percebe que 0 orgamento para comprar tens esencias fo com-
prometido. Normalmente, ele & imecitista e compra um produ no momento que desea,
À jetez para pagar depois ago que podria espera. Multas vezes, so faz queno valoras o bem
in cor. aqui 6 que com mulas didas, tendo ifcukade para economizar o, assim, comprar
À BEF APT tons mais caros ou realizar sonhos que demoram mais tempo para serem conquistados.

O consumidor consciente ‘tuiessinpis podem sr tomatas ar consumir forma consciente

It

TX

Ac

37. Analisando com cidadania

Voce se consider una pessoa consumista cu um consumidor consclente? Po qué?
posa passos.
») Já Consegula economizar dinheiro para comprar algo que desejave muito?

‘Conte sua experióncia, Resposta pessoa

Analisando com Matemáti

Uma fami, com o objetivo de comprar um televisor novo, verificou que o
prego do modelo desejado em uma loja podia ser pago om seis parcelas fix
{de AS 209,00. Na compra à vista, havia um desconto de 10% sobre o valor

total do parcelamento, Calcule © prego a prazo e à vista do televisor
Génsidere que o prego à vista da televisdo, calculado no item c, aumente

mensaimente 1%. Qual o prego à vista do televisor após seis meses?
Esso valor 6 menor ou maior que 0 atual prego a prazo? ans, nanmene RE 1770.

Com a tinaldade de ndo endivdar-se e obter vantagens no momento 4
da compra, uma boa opçäo $ poupar e comprar à vista, Suponha | Mamarmemacessane \
que uma pessoa tonha pago RS 1 189,00 à vista por um smartphone | "voceros
culo progo a prazo 6 de RS 1450,00. Qual fi o percentual de des-

conto obtido nessa compra? 16%

39. Arco-fris

{Um arcos surge quando os rio solares incisor nas
gotas do áqua que aio no a e año decompostos nas sete
Cores que compöem alu branes: orme ra, amar.
Verde, au. ar o vista, Cada gota lua como um prima e
para que o fenómeno posse ser observado € nocessáro que
As goes de âgu da chva, da nuvem, ou de auto melo este.
Jam 0 ago opeso os ros solares

Apesar de cade gota refer as oe cores, um observador
10 as orcebo assim, pls elas S80 resida am angulagdes
diferentes. A cor vermela, por exemple, tem a mar incline
Glo, via plo obsenader a uma enguacáo de 42° A a cor
Violeta tem a menor ncinacáo, vista a una angulao de 40"

No esquema a segu, 6 pol percer que essa core
vistas plo observador esto om uma fia que varia entro 40°
+ 42. Am caso, se nd fosse Poronte, verames 0 rco-
“in em culs e nd em semictcuos

jenn
(® Para o acorta sor observa, qua dove ser à posi des
gotas de água em rela aos raos solares?

(8) A medida do änguo formado pola Inha de vo do observador ©
gis ras de cor verde $ menor ou maior que 42°? Jusque,

© Em Si pil, dla erden, um as lado do curo, ve
sualzam o mesmo arco-is?Justiioue

40. W/Estudando geometria analítica kein sauce gen canto

Se um pono

38

emplea avisa cas papa 100 200 ok aseo Acensand tecnologia.
Muttos estudiosos consideram o inicio do estudo do que hoje denominamos geo-

‘motria analitica como um dos maloros progressos da Matematica,

A geometria analtica tem entre suas características a realizagáo de conexdes
entre a Geometria a Álgebra, pois, por exemplo, permite compreender as solu-
es de um sistema linear de duas incógnitas por meio de retas em um plano, ou,
entäo. representar por melo de uma equacáo uma figura bidimensional ou tridimen-
sional

Näo há consenso sobre quando se deu inicio ao estudo da geometria analítica.
Enquanto alguns historiadores defendem que praticas que levam a esse ramo da
Matemática já eram do conhacimento de gregos, egipcios e romanos, outros credi-
tam aos franceses René Descartes (1596-1850) e Pierre de Fermat (1601-1685) 0
inicio do estudo sistemático dessa ciencia. A maior contibulgäo de Descartes fol
publicada em sua famosa obra Discurso sobre o método. Essa obra ora acompa-
hada de trés apóndicos, sendo que o último dele, ititlado La géométrie, apre-
senta as idelas que fundamentaram o estudo da geometria analica. JA Fermat,
‘que trabalhava paraelamonto 6 Independentomento de Descartes, ralizou estudos
relacionados a equaçôes que representavam curvas matemáticas em um plano.

Neste capítulo, estudaremos os conceitos de ponto e reta na geometria analítica.
Para isso, importante lembrar alguns conceitos sobre plano cartesiano ortogo-
al, que consiste em um plano com dois eixos porpendicuares, xe y, que o dividam
‘0m quatro regidos. O horizontal x 6 denominado olxo das abscissas, © 0 vertical y,
lxo das ordenadas. O ponto om que esses olxos se cruzam 6 denominado origem.

Para representar um ponto P em um plano cartesiano, utilzamos as coordenad:
cartesianas, que consistem em um par ordenado (ab), com acR e beR, em que.
‘abscissa, eb, a ordenada do pont

No plano cartesiano a seguir, estáo indicados os pontos A(4,2) B(-3,1), O(-2-3)
D(3-2) E(20) o FRA).

41. 1. Determine as coordenadas dos pontos indicados | 4. No sistema de mapeamento da Tera, as Inhas

o plano cartesiano orizontls säo os paralelos, que indicam a lat

Ah 8-80) Ol=t=>) Olla) El=a9) F(SO):G(-0=) | tudo, sendo o Equador a referencia, equvalondo

20 obo das abscissas. As Inhas vericalssáo os

meridianos, que indicam a longitude, com o

Meridiano de Greenwich sendo o elo das orde-
nadas.

|

E

2 Observe o quadridtero ABCD represontado no Do acordo com o mapa, escreva:
Plano cartesiano, 1) a longitude do ponto A 20"

) latitude do ponto C 40°

©) as coordenadas geográficas, longitude 6 lt
tude, dos pontos 8 0 E (100.0 E(-40: 40)

5. Construa um plano cartesiano o indique os pon-
tes AA 1) B( 4) O/-32), DIA), E(-2 4) ©
F(-10). esposa no tl do ro

6. As rotas ros so, respectivamente, a bissetiz do
120 do Se quadranes e do 20 do de quadrantes.

2.9 Uma posit resposta: (33. (4.96 (1,
2) Quai sdo as coordenadas dos vénices desso
quadriatero? Al) (2-2). 0/82) e D/A=9)
1) Escreva as coordenadas de trás pontos do
Plano, internos a esse quadriátero.

©) Quais dovem sor as coordenadas dos vértices
de um quadritero AB'CD' para que ele soja
úsimético ao quadtilétero ABCD om relacio

ee

A(-13), 8 (2.2) 0-52) 0-6-1) a) Escreva as coordenadas dos pontos:
A ee
bare b) Considerando os pontos P(7, y) e Q(x.9), de-

Mliorienade angel 6 y para que P portanga à bisotiz
©) abscissa negativa e ordenada post? do 3 quadrantes, e O, à bissetriz do

0 cn pst tor SR
Fans en en

42. S/Distäncia entre dois pontos

Fixando uma unidade de medida de comprimento, indicamos a distancia entre
dois pontos A e B por AB.
Veja, por exemplo, como podemos determinar AB quando a reta que contém A e

AB--(-2)-6

Para determinar a distancia entre dois pontos cua reta que os contém näo 6 para-
lela 20 eto x ou a0 0x y, ullizaremos o Teorema de Pitágoras. Observe, por exem-
lo, como determinar a distancia entre os pontes A(t2) e B(55).

Note que 0 AABP 6 retángulo om P, AP=[5-1/=4 0 BP=B-2=3, Utiizando o
Teorema de Pitágoras no BABE, tomos:
(Ra (AP) (BP) (AB) 247 +3" (au) =25= AB=5
Deduziromos uma fórmula por meio da qual soja possivel calcular a distancia
entr dois pontos quaisquer, Para isso, considere os pontos A(s,. y) e Blty¥4) em
‘um plano cartesiano.

Come AB paralela a elo x e EP 4 paalea o sio y, temos que AP-ky-x,| à
EP -|y,-Y,| Aplicando o Teorema de Piigoras no “ABP, temos:

(AB) (arr) (AB) (rer AB
> Exemplos
tancia entre os pontos ALA] e Ba -2)
IS

+ Distancia entre os pontos C(7,-3) e D(-52):

43. /Rividades resolvidas Ÿ

(20), 812.0), (0-213) 0(0,1) sao vérces dos triángulos indicados
fie cada triángulo em isésceles, equldtero ou escaleno.
») aan ©) Anco

Resolugáo

o
UE
a O
en
ernten

») Como AD=BD+AB, tomas que o ¿ABD 6 isöscels.
©) Como AG#AD, ACeCD e ADH CD, tomos que o BACD 6 escaleno.

RZ Determine as coordenadas do circuncentro © do triángulo de vértic
RG)

Resoluçao
© eireuncentro de um tángul 6 o centro da ckcunfrénia que passa por sou ver
tes. Caleuando a distancia de cada poto (, 0 0 A a0 centro Clx Y.) da count
(drei. tamos

NS
NI =6) = VRE VE ee Hay, AS
+ R= na (yo RS

Note que a medida do ralo da circunteréncia 6 dada por ¢=PC=OK
escrevemos e resolvemos o seguinte sistema:

po-ac NES 0
fer ee Jene a
ES
Fo 428 =x + vd 6e 120448

PIS). a(a6) ©

[xo +v2-10p.+25 2x7 +2 16x, 27065
6x, +2ye=20 (4) J24x. + Bye =80
fee oa fis ccc

40x, = 120 X= 3

‘Substituindo x por 3 na equagdo 6x, +2y.=20:

6:3+2.=20=2y,

Portanto, as coordenadas E

cancer dem
do creuncento do APOR rt
sao C8. mo earn ode

Opomoearets Y 41

44. 7. Calculo a distäncia entre os pontos:
+ A(t) 0 8(28) 2
= C-35)e0(-312)7 -Marz)engo)ıs

8. De acordo com os pontos indicados no plano
cartesiano resolve:

+
2) Quip trade pam wr rma?

) Nome 6 classique cada triángulo em esca-

lon, sósceles, oy equiatero, ABD: sóceles
lon. sóscals oy euler

9. Sabondo que a(x) 6 um ponto do a3 quadrante
que a distancia de Q 20 ponto P(a.4) 6 512,
Calcule 0 valor de 3

10. Em quais iens os pontos dados formam um
tenue
BIER aras) oc(a2 vo, AS, BC.
5) FENG). G(0) e. (10) son ce se
OURS MED en(ae) Soe Sere nr
PAS, 0188) era eww

1. Calcule o perímetro. área de um tiágulocujos
vértices sto A(-12). B(26) e (2).

12. Observe o esquema que representa atocalzagóo
das cidades À. B, C.D 0 E, 0 de uma antena de
‘ransmissao de sina de race. À.

2

A
is

Sabendo que 9 rao do transmissäo dessa anto-
na 6 de 220 km o que cada unidade representa
‘da no esquema corresponde a $0 km. quais cie
ados racobem o sinal transmitido? 5, D6 €

+ PS4) 0 0(-27), y

13. Consicerando o tidnguo do vértcos A(A 5), 8(42)
© O(15),retangulo om A, calcule s0n6. sen Cw:

a. aos os patos AQ) (20) 6-7-8), one
mine es coordonadas 60 pono D. para que
tes pomos ja visos det tang

Me]

15. Determine as coordenadas de P(x y), sabendo que
tie 6 austere os potos MAS), MA) o
ao)

(Enom-MEC) Nos últimos anos, a totovisdo tom
passado por uma verdadeir rovolugáo, om 1
mos de qualidade de imagem, som e interatvi-
ade com 0 telespectador. Essatranstormacáo
e dove à conversio do sial analógico para o
‘inal digital Enrotano, mulas cidados ainda ndo
Contam com assa nova tecnologia. Buscando
levar osses beneficios a tr cidades, uma is
sora de televisdo pretende consirir uma nova
torre de transmissdo, que enve sina ds antenas
‘A,B eC, jt existentes nessas cidades. As loca-
lizagoes das antenas estao representadas no
plano cartesiano:

e886 8 8 ak

À torr deve estar situada em um local og“
tante das trás antenas.

© local adequado para a construgäo dessa tor-
fe corresponde ao ponto de coordenadas:

2) (65; 35)

) 68; 90)

©) 5: 38)

©) (60; 20)

2) (60: 30)

45. 4 Coordenadas do ponto médio de um segmento

No plano cartesiano, os pontos A e B ropresentam duas casas de uma proprie-
‘dade rural. Deseja-se perfurar um pogo equidistante as casas, de manelra que essa
‘distancia soja a menor possivel. Quals devem ser as coordenadas do ponto 4 onde
0 pogo deve ser construido?

Para resolver essa problema, tomos de determinar o ponto möcio de A.
Vamos dedui as coordenadas do ponto mésio Mik, y. de AB, sonde Al y.)

Por semethanga de triangulos, tomos:

PI pa o
arde

AM Ya a +
DRE EE ES

M ne 2
Portanto, as coordenadas do ponto médio M de AB, om que Alte Y) 0 Blxe Ya) [rot ue at
th Var cons do
sto fn). eri oom
Le
Em rlagdo o problem apresantao, as coordenadas do porto em que o pogo ¿Sresondem a
dove sr perurado sto dadas por ine reia ds
ee Yate S44 ‘Govmacesdene®
rhone 28 she zu]

Assim, o pogo deve ser construido no ponte de coordenadas M2)

Opamsesrs Y 43

46. oeste

AS

arcano de um
‘wiingto ABC
corresponde à
‘nia mática des
Correspondents

® Baricentro de um triangulo

Em um triángulo, as medianas corresponde aos segmentos de reta cujas extre-
midades sño o ponte médio de um dos lados e o vértice oposto a esse lado, As
tds medianas do triángulo se cruzam em um único ponto denominado baricentro.
© baricentro divide cada mediana em dois segmentos. O segmento cujas extremi-
dades ado o vértice do triángulo e o baricentro tem o dobro do comprimento do.
‘outro, cujas extremidades sdo 0 bericentro e 0 ponto médio do lado oposto ao.
vérice considerado. No exemplo apresentado, AG=2 GD, BG=2 GE e CG=2 GF.

Dados rés pontos náo colineares A(x, y) Bl +)
8 coordenadas do baricentro G do ABC.

ls 1). deteminaramos

Se Mé 0 ponto médio de AB, temos CES ua), ou soin. ne

vu=}a53a, am disso, da propriedade apresentad

temas que CG=26M, où
ane 15-522 (2x) 0 Vera 2 (ru).
Assim, segue que:
A AHP Dye yh ye AA Ba
nee
"Ye Yar2Ya-Yu)>Ye-

ne

3
Portante, as coordenadas do baricentro do ABC, em que Al

ern (en)

nennen Dyn

lr) o

‘vamos determinar as coordenadas do baricentro G.

HER 25:1
3 3

Y

Porto com e tenso e an sto e

47. Jai les resolvidas Ÿ

RA Dados os pontos A[3 4) e C(1520), determine

as coordenadas do ponto 8 que divide AC na
AB_1

proporçao fe ==.

Resoluçäo
CGalculando a abscissa do ponto 8, tomos:

AB dl
Boat a3

dy -9=18- xy 2 = 24-9 =6

À ordenada do ponte B é dada por:

Portanto, B(6,8).

Se nt
nenn ech
Ee gM ea ri ms cn
tees ARTE, peer ug
az

a e
e

ts

+ coordnedes de Ma
8

rl

Portanto, M (1) Ma (2.6) e M(7.).
CCaleulamos o comprimento de cada meciana:
+ Meciana CM;

+ Maina Bi:
IS
+ Mediana AM;

raya: P+) = VIB

RS Determine as coordenadas do virtice B do
‘AABC, em que A(4,9) e C(-26), sabendo
que G[2.3) & o baricento do triángulo.

Resolugäo
Como G 6 0 baricentro do ABC, tomos:

Per

Portanto, 8(4,-6).

No AARC, M6 ponto médo do lado BO e @
4 banesto do Wang. Sabendo que a
Csordenadas dos ponte E, e Maid. es.

5
prctramene, (5). (82) » (45)
ts coordensdes dos várices AC:

determino

Resolugäo
Como M 6 o ponte médio do lado BC, tomos:

Te un

url Eta
Er:

Como G 6 0 barcentro do AABG, tomos:
DEC

2420100 y,=4

DCS per

DORE
Yo" wat
ay t5=0> y,

Portanto, A(t’) e C(.4).

Oponteearets Y 45

48. 7: Dados os pontosA e, para cada tom. determi

e as ordenadas do onto méco de AB
2) A(43) © 8(47)($:5) ©) A(-7,~9) 0 8(-20)
1) AV) 8-45): A166) 08(-7.8)
ua

re =
ee
uses
np
2
Ren)
Rs.)
18, 4m p08 M (2228 A]
ee use
De ne
mediana em relaçäo ao lado PG. 5 uc.

20. Observe no esquema parte da rota de um Onbus.
Entro os pontos de
parada A 0 8, do-
Soja-coinstlar ou-
os dois pontos, ©
9D, tal que a dis-

9) Doria ge coordenadas dos pontos Ce D.
») Sabendo que cada unidade do esquema re-
presenta 120m, qual 6 a distancia, em me-

tros, entre 0s pontos A @ B? 100m

21. Soja M(a.4) 0 ponto médio de AB. Sabando que
A está sobre o al das abecissas, o B, sobre o
xo das ordenadas, determino as coordenadas
de À 6 B. AGO} 008)

22. Determine x y sabendo que M(-3.-2) é ponto
méd do segmento com extremidades A(-6 y)
ORIK-B).nediyas

23, Obtonha as coordenadas do ponte © que divide
o segmento de extremos P(-3.5) o R(L3) na

24. Dado o triángulo de vertices A(Q—1. B(-8-5) ©
O(-3.1, determine:
a) 0 comprimento das medianas fina Ss ive.
1) a condenadas o bacano
37

nas Ofntafoes para © professor

125 Sabando que G(2.-4) 8 0 barñcanto do triángulo
dern Plz), OÙ 0) 8} nue y
26. Soja A(-8.2) um dos wirics do ABC, Sabondo
aeM(22)e0(3:1) si espectrament, ospon-
tos médos dos lados AB o AO deseo vidngvo,
termino es coordenada de Be Cea) clo)

21. Observe 0 ABC em um plano cartesiano

den H
3) Datei 1 do been de
se mangue 2

) Calcule a distancia entre o baricentro e ©."
28. No ABO, de véricos A(4 10), B(14)0 7,4), fi
inscrito o triángulo POR, tal que P,Q e À sáo os
Pontos mécios de AC, AB e BC, respectvamente.

ug

de)
o on

i
4
2) Gus sos coordenadas dos ports 0. 17
+) Determine as coordenadas do pont G, bar
canto do ABC e do pente bacento do
‘POR Gta} 448)

25, Verifique numericamente
que 0 baricentro G do
‘GABC divide cada mo-
diana om dois 209: A,
mentos na proporçao
de 1 para 2.Faspcats

30. Os pontos A(2 m). B(4 1) o C(&m) so vérticos de
un triángulo. Calculo m para que 0 baricentro
0880 triángulo tenha coordenadas G(4 3) m-+

31.0 ponto C{-82) é um dos véricos do ABC.
Sabondo que AM ó uma das medianas, tal que
M(LS} © que G/24) 60 baricontro do triángulo,
determine as coordenadas dos pontos A e 8.
A]

49. 4/Condicáo de alinhamento de trés pontos

‘Quando trás ou mais pontos estáo alados, ou sea, quando 6 possivel constr
‘uma reta pasando por eles, dizemos que esses pontos sio colineares. Na figura
abaixo, os pontos A,B e C sto colneares. Já os pontos A, 8 8 D, por exemplo, ndo.
30 colinares.

+.

A parir das coordenadas de tts pontos,& possvlvericar se ees ao cotne-
ares. Para isso, considere os pontos A(x Y), Blt Yq) © Cl eh representados.
o plano cartesiano

traneversis 80
cortadas por um ele

Se os potes AB © © so cotos ee
Be eis clon
Den Baron
nos
Assim, segue que: =...
cree Um da traversa
A ler > Catton ee
Fea alee NEN Seat rae
III a
NANI AA pu
© 1 membro dessaigualade comesponde o determinate Dal, ya
ho Ye
Portanto, se tés pontos, A(x. Y.) B{x,Y.) e C(XY4),
so concave, eno: a
pes rs
Be Ya ne 2% nt
ok Ye A
Re Ye DIN

cel ahaa peace NINA

Se reazarmes 0 processo Inverso, verlcaremos que, se D=0, entdo Als, y}
Bly 4) e Cy.) 880 colneares.
> Exemplo

Vamos vriica se os pontos A(t ~
EN
a
had

| 8-1) e C(7.1) esto alınhados,

o:

106-1144:

Portanto, os pontos A, 8 © © esto alnhados,

Opamsesres 4 47

50. 48

Area de um triángulo
Dadas as coordenadas de potes ni co
do tango cos wires so esos poto
Para var come malzar ese Cto, consider 0 AABC a seul, am que
Axa). Ble Ye) 8 C{xe Ye).

res, 6 possivel calcula a área

A área do AABC 4 igual à soma das áreas do SACD o do ABCD.
Iniciaimente, determinaremos a abscissa x, do ponto D em fungäo das coord
nadas de A, B e C. Como AABG ~ AADF, temos:

ERBE WEL EN Den]
DF AF KK Yerya a YY

Agora, determinamos a medida CD:

ern

Por im, caleulamos a área do ABC.

(xo, ly Joly rev,
LEA

4 Lop weet
0.AF+ 3.00 FG] co (FF À co AG

re)

4
PRI A tM AYA
ie vs
be Ys
bye
> Exemplo

Para determinar a área do ABC, em que A(2-2), B(-3 1) e C(13), calculamos
inicialmente o determinante.

1
=F Hove mre AABN

Note que X.Y RV PK Y Ha Mate Corresponde a Di

Portanto, a âroa do ABC 6 dada por Su, =

-6-642-9-2=-22

Seue que:
peg
Sur haan 22

Portanto, a ra do ABC 6 11 u.a. (unidades de área.

51. 1(x)=x=4 0 glx)=-2+5.
Resolugäo

úCalculando 1(0)
das fungdos 1. g intersactam o eixo y

+10) 4 (0-4)

tam, igualamos 1.09.

»olo)
Para dotorminarmos a abscissa do ponto em que os gráficos das fungóos.

limitada pelo exo y o pelos gräficos das fungdes

0). obtemos as coordenadas (x y) dos pontos em que os gráficos

0+525 > (05)
intorsoo

1) =0(9)ox-4=-2x eS 30m
‘Substituindo x por 3 em uma das fungdes, obtemos a ordenada desse ponto.

1(8)=3-4=-1

Logo, os gráficos das funcóos f e g se intersectam no ponto de

coordenadas (31)

Finalmente, calculamos a área da regido triangular definida pelos.

pontes de coordenadas (0.4) (0,5) 0 (3-1)

jp -4 1
D-D 5 1--15+0+040-12-1
ls -1

1

1,2
por=jar- E

Foran rn ers nt 62

GEA ©

4
|

des

32. Vero em quis tons os pontos esto nados.
2) A(15).8(-3-7) o C(-1=1) “ud
b) D(S9), E(4 7) e F(3.6)
OP(AO). 0-23) en(-a0)
5182). 142.9) 47.4)

33. Dados os pontos A(-3.-2). B(-12). C(0.3) o
D(2 À. determine as coordenadas do ponto

Elxy), de modo que náo sea pay construe

06 triángulos do ABE o COE. e

34, Sabendo
880 colne

35. Calculo a roa da regio tangu-
lar comproondida entre os obo
cartsianos 0 0 gráfico da fun-
cdo ffx)=6-9e. 6 ua.

tos (4), B(17) e CAR)

8, determino o valor

36 Cala a rn do quedar ABCD, jas coor
nadas dos vrtews 880 A5), BL). (89)
ola ona

27 Cale ten de cada tingut cjos wre
testo indicados.

9) ACA3), B2~1) e (42) 108
8) DS) €(74) er(-2-0)/ ua
©) G(-3.0). H{-6.2) e {-1-4) 4u0,
4) AA), K(4-7) o LA) 3000,

30. Sabendo que o ponts 2-2) O(m 0) e(48)
toxmam um tränguo cla dog 619 ua. deter
o

38. No plan cartesano as reis r-
presenta as (ungds (x)= 24 ©
o(0)=9-3e. Calle a area da
{aie indicada. un

{
i

Opamsesres Y 49

52. do Sol, o que impos-

Essos planos de rotagáo p I pontos em comum, o

umme fazendo que um ombra no oto
ve a Terra projta na Lua durante um eclipse lunar fo, para

Luana
Terra fase creia

53. Eclipse solar

xi 6) como orgem

10 com as inormagdes apresentadas,

Oportonares Y 51

54. Em relaçäo ao exo horizontal, a reta forma um ánguio indicado por «, denomi-
‘nado ángulo de inclinacáo da ret,
(© ángulo « de incinagdo da reta 6 considerado no sentido anthorário, sendo

osacteo",

A tangente vigonomética do ánguo de ncinagáo a, ou seja tg a, $ denominada
coeficiente angular da reta. Na reta a seguir, por exemplo, o coeficiente angular &
dado por m=tg 60°= 43.

Podemos obter o cosfciente angular de uma reta a partir das coordenadas do
dois de seus pontos. Para isso, considere as retas a seguire 08 pontos A(X,.Y,) 8
ve) n

+ 1 caso (0"<«<90")

Em relagdo ao ABC, tomos:
a sigan aa
town to

55. + 2 ca80 (90"<a<160")

Em relagto a0 ABC, temos:

> Exemplo

Note que
Consideramos apenas
cacao
50°<a<180° pis
par a=30°temos

temos Bo.

Para detorminar o coeficiente angular m da reta que contém os pontos A(7.~3)

e BÍ4.-1) efetuamos o seguinte cálculo:

mart)

47 3

A. Determine o coeticionte angular de cada reta.
wed

seque (esp) = ESTED.
Lentes de ue ta BESTER,
A2. Cake o confiant angular d reta que posse:
a) pela origem do sistema cartesiano © pelo
porto A(-28)~«
») pelos ponios B(23) e O(-& 1-1
43. Sabondo que arta passa polos pontos A(Z3)

©B0x+2) e tem coeficiente angular m=-1, cal
ule © valor dx

Aa. Determine a medida do ángulo de incnagto de
cada reta.

2)
1)

a
Ej

4. No plano cartesiano estao representadas as res
118$, tal que o ángulo lormado entre elas ¢ eto.

+) owning co rent dca ua
cris am po 0 ono x 10

>) Qu 9 jante ana da ta E a
roa Sn

A6. Determine o coefclene angular da eta que pas-
sa pelo ponto A(-2.6) e pelo poto médio do
segmento com extremos B(-3 5) e O(7.3).-

7 Qual 6 0 coofiionto angular da rota bisseriz dos
‘quadrantes pares do plano cartesiano? E dos

ne

‘pique. como vocd fara para verficar 20 1188
Pontos A, B e C 530 colnoares utizando conhe-
‘imentos acerca de coeficiente angular da rt.
Em seguida, utizando a estratégia que vocé
doscrovou, veriique se os pontos A(2 1), B(4~3)
© 0(-15) sio coineares.

Opontsenren Y 53