MATEMATICA DERIVADAS PARCIALES ANALISIS M.

recomendado

1. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Docente
DANIEL ARTEAGA BLAS
DERIVADAS PARCIALES DE
FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
1

2. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
CASO 01: Supermercado "El Quinde "
En el supermercado el “EL QUINDE”, la leche gloria tiene como
ecuación de demanda a: y la leche ideal
a: .
indica la cantidad de tarros de leche gloria que se consume
cuando su precio es y el precio del tarro de la leche ideal.
indica la cantidad de tarros de leche ideal que se consume
cuando su precio es y el precio del tarro de la leche
gloria.
Si el precio de la leche ideal aumenta ¿ Su demanda aumenta o
disminuye? , ¿ En que porcentaje?
¿Y la demanda de la leche gloria, aumenta o disminuye?, ¿ En
que porcentaje?1 1 2
140 3 0.4= − +x p p 2 1 2
210 4 0.3x p p= + − 1
x 1
p 2
p 2
x 2
p 1
p

3. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Logros de la sesión:
Al terminar la sesión de aprendizaje deberás ser capaz de:
1.Calcular las derivadas parciales de una función de varias
variables.
2.Resolver problemas de ingeniería y gestión usando la
derivada parcial de funciones de varias variables.

4. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
•Las reglas de derivación de una variable
•La regla de la cadena de una variable
¿Qué necesitamos recordar?

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
1. Derivadas Parciales
1.1 definición
1.2 ejemplos
1.3 Interpretación Geométrica
2. Plano tangente
3. Derivadas Parciales de segundo orden
3.1 ejemplos
3.2 Teorema de Clairaut
Temario

6. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Definición 1. f D R R
2
:→
en el conjunto abierto D.
▪ La derivada parcial de con respecto a es la función
denotada porf x h
f x y f x h y f x y
xh 0
( , ) ( , ) ( , )
lim
→
 + −
=

▪ La derivada parcial de con respecto a es la función
denotada por k
f x y f x y k f x y
yk 0
( , ) ( , ) ( , )
lim
→
 + −
=

Sea f y una función definida
Derivadas Parciales

7. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
1) �(�,�)=�
2
+2��
2
+
2�
3�
Ejemplos:
2) �(�,�)=��
�
2
�
Calcular f
x y f
y , y evaluar cada una de ellas en el punto (1, 1)

8. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Las derivada parcialesjn
f f f f
..., , ...,
x x x x
12
,,
   
   
Son funciones definidas por 1 1 1
0
j n j n j n
h
j
f(x ,..,x ,..,x ) f(x ,..x h,..,x ) f(x ,..,x ,..,x)
lim
xh →
 + −
=

Definición 2. Sean
f D R R:→
en el conjunto abierto D.
una función definida

9. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Ejemplos:Calcular f
x
, f
y
y f
z , y evaluar cada una de ellas en el punto (1, 1,0)
1. ��,�,�=3�
5
�
2
+��
4
�+5
���
�
2
+ �
2
+�
2
2. �(�,�)=�
5
cos(3�
4
)
3. ��,�,�=(�
2
+2��+��
5
)�
�+2�−�+1

10. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
10
EJEMPLO
Si ��,�=6�
Τ13
�
Τ23
es una función de producción y se tiene �=64 y �=27,
entonces determine
•
????????????
????????????
;
????????????
????????????

•Interprete los resultados obtenidos

11. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Interpretación geométrica
f
x es la pendiente de la recta tangente
a la curva C
1 sobre el plano y = y
o.
Derivada en la dirección de x.

f
y es la pendiente de la recta tangente
a la curva C
2 sobre el plano x = x
o.
Derivada en la dirección de y.

12. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Ejemplo 5:Hallar la pendiente las tangentes a las curvas C
1 y C
2 de la
superficie dada por
en el punto (1/2, 1, 2) y en las direcciones x e y2
225
( , )
28
x
f x y y= − − +

13. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Plano tangente y Recta normal
(x
0, y
0 , f(x
0, y
0 ))

14. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
14
Se llama plano tangente a una superficie en un punto ??????∈??????�, al plano que contiene
todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
Si la superficie está definida de manera explícita por la ecuación Z=F(x,y), entonces la
ecuación del plano tangente en un punto �(�
0,�
0,�
0) de la superficie viene definido
por :
DEFINICIÓN
??????�
??????�
�
0�
0�
0�−�
0+
??????�
??????�
�
0�
0�
0�−�
0−�−�
0=0

15. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
15
En el caso que la superficie este definida en forma implícita por ??????(�,�,�)=??????
entonces la ecuación del plano tangente será:
??????�
??????�
(�
0,�
0,�
0)(�−�
0)+
??????�
??????�
(�
0,�
0,�
0)(�−�
0)+
??????�
??????�
(�
0,�
0,�
0)(�−�
0)=0
Y la ecuación de la recta normal en ambos casos será:
�(�,�,�)=0⇒ �??????:
�=�
0+�
????????????
??????�
(�
0,�
0,�
0)
�=�
0+�
????????????
??????�
(�
0,�
0,�
0)
�=�
0+�
????????????
??????�
(�
0,�
0,�
0)
;

16. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
16
Ejemplo.- Halla la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie de
ecuación �=3�
2
�
2
−�
3
+5��+2�+2�+4en el punto P(1,0,4 ).

17. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
17
EVALUACIÓN
Indicar la alternativa correcta
1.La pendiente de la recta tangente a la curva intersección de F
con el plano Y = constante es:
2. El vector normal al plano tangente de en ( , ) ( , )
a. b.
F x y F x y
xy

 ( , )z f x y= 0 0 0
( , , )p x y z= a. , , 1 , ,
PP
f f f f f
NN
x y x y z
       
= − =   
       

18. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
18

19. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Ejemplo 5
Una compañía fabrica dos tipos de esquíes, los modelos Relámpago y Alpino.
Supóngase que en la función de costos conjuntos de fabricar x pares del modelo
Relámpago y pares del modelo Alpino a la semana es:
??????=��,�= .006�
2
+65�+75�+1000
En donde c se expresa en dólares. Calcular los costos marginales
??????c
??????�
y
????????????
??????y

cuando x=100 y y=50 e interpretar los resultados.

20. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
20
Ejemplo 6
Un fabricante estima que la producción mensual de cierta fabrica está dada por la
función Cobb- Douglas
��,�=50�
0,4
�
0,6
Donde � es el capital en unidades de $ 1000 y � es la fuerza laboral medida en horas
trabajador.
a.Encuentre la productividad marginal del capital y la productividad del trabajo. Cuando
el capital es de $750 000 y el nivel de la fuerza laboral es 991 horas- trabajador
b.¿El fabricante debe considerar invertir capital o aumentar el nivel de la fuerza laboral
para aumentar la producción?

21. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Ejemplo 7
El fabricante de un juguete popular ha establecido que su función de
producción es P=��, en donde l es el número de horas de mano de obra a la
semana y k es el capital (expresado en centenares de dólares a la semana) que
se requieren para la producción semanal de P gruesas del juguete (una gruesa
son 144 unidades). Hallar las funciones de productividad marginal y evaluarlas
cuando l= 400 y k=16. Interpretar los resultados.

22. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
22
BIENES COMPLEMENTARIOS Y SUSTITUTOS
Supongamos que la demanda de un articulo es ??????
1(??????
1,??????
2) y la demanda de otro
bien es ??????
2??????
1,??????
2, cuando los precios unitarios de los artículos son ??????
1,??????
2,
respectivamente
Los bienes son complementarios si
????????????1
????????????2
<0 y
????????????2
????????????1
<0
Los bienes son sustitutos si
????????????1
????????????
2
>0 y
????????????2
????????????
1
>0

23. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
23
Ejemplo 8

24. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Ejemplos:
DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN
Hallar las derivadas parciales segundas de&#3627408467;(&#3627408485;,&#3627408486;)=3&#3627408485;&#3627408486;
2
−&#3627408485;
3
&#3627408466;
&#3627408486;
2
&#3627408467;
&#3627408485;&#3627408486;(−1,2)Y calcular el valor de

25. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
25
Definición

26. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
26

27. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Teorema de Clairaut
Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Tal que

son continuas en una región D, entonces
f
xy = f
yx en D .
Ejemplo:Hallar las derivadas cruzadas de2 2 2
( , ) 3 2 5f x y xy y x y= − +
??????&#3627408467;
??????&#3627408485;
;
??????&#3627408467;
??????&#3627408486;
;
??????
2
&#3627408467;
??????&#3627408485;
2
;
??????
2
&#3627408467;
??????&#3627408486;
2

28. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
28

29. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
29
Ejemplo 9:

30. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
30
MATRIZ HESSIANA: Si &#3627408467;:??????⊂&#3627408453;
??????
→&#3627408453; es una función escalar dos veces derivables respecto de
todas las variables respecto de todas las variables en el abierto ??????, definimos su matriz hessiana
como la matriz formada por sus derivadas parciales de orden 2 del modo siguiente:
&#3627408467;&#3627408485;
1,&#3627408485;
2,…,&#3627408485;
??????=
??????
2
??????
??????&#3627408485;
1
2⋯
??????
2
??????
??????&#3627408485;1??????&#3627408485;??????
⋮ ⋱ ⋮
??????
2
??????
??????&#3627408485;????????????&#3627408485;1
⋯
??????
2
??????
??????&#3627408485;
??????
2
EJEMPLO: Calcular la matriz Hessiana de la función &#3627408467;&#3627408485;,&#3627408486;=&#3627408485;
2
&#3627408486;&#3627408480;????????????(&#3627408485;&#3627408487;)

31. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
31

32. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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Ejemplo 10
Hallar la diferencial total de las funciones:
1. &#3627408467;&#3627408485;,&#3627408486;=&#3627408466;
&#3627408485;&#3627408486;
&#3627408480;????????????&#3627408485;+&#3627408486;, &#3627408485;=
??????
4
,&#3627408486;=0,∆=−
??????
4
,∆&#3627408486;=4??????
2f&#3627408485;,&#3627408486;,&#3627408487;=sin&#3627408485;+&#3627408486;−cos&#3627408485;−&#3627408487;+sin&#3627408486;+2&#3627408487;, &#3627408485;,&#3627408486;,&#3627408487;=
??????
3
,
??????
6
,0
∆&#3627408485;,∆&#3627408486;,∆&#3627408487;=
??????
4
,
??????
2
,2??????

33. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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Ejemplo 11
Una fábrica de muebles estima que si invierte &#3627408485; miles de dólares en maquinaria y &#3627408486; miles
de dólares en publicidad, podrá producir aproximadamente &#3627408452;(&#3627408485;,&#3627408486;) = 15&#3627408485;
2
3&#3627408486;
1
2 unidades
de muebles al mes. Actualmente, la fábrica invierte 8000 dólares en maquinaria y 4000
dólares en publicidad.
Utiliza el diferencial total para estimar el cambio en la producción si la inversión en
maquinaria aumenta en 200 dólares y la inversión en publicidad disminuye en 100
dólares.

34. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
34
MUY BIEN

35. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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