Matematica Discreta

Matematicas: Matematica Discreta

1. Enseñanza de la
Matemática Discreta
Diego de Pereda
Sebastián

2. ¿Qué es la Matemática Discreta?
Estudio de los conjuntos discretos:
–Finitos o infinitos numerables
Trata gran cantidad de temas:
–Teoría de conjuntos
–Combinatoria y nociones de probabilidad
–Teoría de grafos
–Etc.
Fuerte relación con el mundo real
–Gran importancia en la informática

3. Estado actual de la Educación
Matemática Universitaria
Estudio desde un punto de vista demasiado
formal y abstracto
Mala fama de la Matemática Aplicada
–Tímidamente aplicada
Desde la teoría a la posible aplicación
–Alternativa. Construir a partir del mundo real:
Lotka-Volterra para ecuaciones diferenciales
Cubo de Rubik para Álgebra
Juegos de azar y acertijos para Probabilidad

4. Motivación de la Investigación
Fuerte frustración por parte de los alumnos de
la carrera de Matemáticas
–Falta de elección
–Sin variedad en los métodos educativos
Alejada del ser humano (No imperfecta)
Estudio demasiado formal y abstracto
Estudio pormenorizado, pero poco global
Sin incentivar el pensamiento matemático
Falta de pensamiento crítico e ideas propias

5. Metodología de la Investigación
Grupo heterogéneo (12 personas)
–Estudios secundarios superados
Evaluación
–Preguntas previas sobre su concepción y relación
con las Matemáticas
–Pregunta inicial trivial para ‘entrar en calor’
–Seis problemas de distintos ámbitos de la
Matemática Discreta

6. Problemas elegidos
Varios tipos de cuestiones básicas
intercaladas:
–Conteo de posibilidades
–Probabilidad condicionada
Ambos tipos bastante relacionados
–La probabilidad consiste en el conteo del número de
los casos favorables entre los posibles
Evaluación:
–Dependencia de los sucesos aleatorios
–Diferencias en la obtención de los datos

7. Estrategia
Uso de la estrategia esgrimida por Platón en
su obra ‘Menón, o de la virtud’
–Si la respuesta es incorrecta, se realizan preguntas
que provoquen que el entrevistado se de cuenta de
su error inicial y pueda rectificarlo
Métodos de conseguirlo:
–Sentido lógico de la respuesta
–Sobredimensionar o simplificar el problema inicial
–Visualización del problema

8. Probabilidad: Problema 1
Evaluar: Cuestiones básicas de probabilidad
¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos
dados salgan un 1 y un 5?
¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un
dado azul y otro rojo, salga un 1 en el azul y un
5 en el rojo?
Estrategia: Paso a paso

9. Probabilidad 1: Resultados
2 / 3 6
1 / 3 6
( 2 )
2 / 3 6
1 / 3 6
( 5 )
1 / 3 6
1 / 3 6
( 5 )
R e s u l t a d o s
E x t r a ñ o s
( 3 )
R e s u l t a d o s
E x t r a ñ o s
( 3 )
P r o b l e m a 1
Preguntar paso a paso,
qué posibilidades hay
si tiras un dado antes
y otro después

10. Probabilidad: Problema 2 (I)
Evaluar: Obtención de los datos
Se encuentran dos viejos amigos:
–¡Cuánto tiempo! Lo mismo hasta tienes hijos.
–Sí, dos.
–¿Alguno es niña?
–Sí
¿Cuál es la probabilidad de que tenga dos
niñas?

11. Probabilidad: Problema 2 (y II)
Otros dos viejos amigos que se encuentran:
–¡Cuánto tiempo! Lo mismo hasta tienes hijos.
–Sí, dos.
–¿El mayor es una niña?
–Sí
¿Cuál es la probabilidad de que tenga dos
niñas?
Estrategia: Desglosar posibilidades

12. Probabilidad 2: Resultados
1 / 3
1 / 2
( 1 )
1 - > 1 / 3 2 - > 1 / 2
( 8 ) ( 4 d u d o s o s )
1 - > 1 / 2 2 - > 1 / 2
( 3 )
A A , O O , A O , O A
E q u i p r o b a b l e s
1 - > O O 2 - > O O , O A
( 1 1 )
1 / 2 ó 1 / 4
1 / 2
( 1 1 )
P r o b l e m a 2
Posibilidades con dos
hijos. ¿Equiprobables?
Casos descartados
Probabilidad de que
sean dos hijas

13. Probabilidad: Problema 3
Evaluar: Obtención de los datos
Problema:
–Estás en un concurso de televisión y tienes que
elegir entre 3 puertas (A, B y C), sabiendo que
detrás de una de ellas hay un coche, pero nada tras
el resto. Eliges una de ellas (la A). El presentador
abre otra distinta (la B), sabiendo que no hay nada
detrás. Te deja cambiar de puerta.
–¿Cambias? ¿Qué probabilidades tienes de ganar?
Estrategias: Sentido lógico, sobredimensionar
y analogía con un problema conocido

14. Probabilidad 3: Resultados
S í . 2 / 3
( 2 )
1 / 3
1 / 2
A r r e g l a
( 1 )
1 / 2
1 / 2
( 1 )
1 / 3
1 / 2
D e b e r í a
( 1 )
1 / 3
1 / 2
D e b e r í a
( 1 )
1 / 2
9 9 / 1 0 0
( 2 )
1 / 2
N o s a b e
( 1 )
1 / 2
1 / 2
-
( 3 )
1 / 2
9 9 / 1 0 0
( 1 )
1 / 3
1 / 2
D e b e r í a
( 1 )
9 9 / 1 0 0
( 1 )
1 / 3
1 / 3
N o
( 1 )
1 / 3
1 / 2
C a m b i a
( 5 )
1 / 2
9 9 / 1 0 0
( 1 )
1 / 2
1 / 2
-
( 1 )
9 9 / 1 0 0
( 1 )
1 / 3
1 / 3
N o
( 1 )
1 / 2
9 9 / 1 0 0
( 1 )
1 / 3
1 / 2
N o
( 1 )
1 / 3
1 / 3
-
( 3 )
D a i g u a l . 1 / 2
( 1 0 )
P r o b l e m a 3
Antes de abrir
Si no puedes cambiar
¿Cambia?
No cambiar nunca
Cambiar siempre
¿Suma 1 (100%)?
100 puertas
Adivina el número
que he pensado

15. Conteo: Problema 4
Evaluar: Aplicar fórmula sin pensar
Problema:
–En una carretera en obras pones un cono naranja
cada 100 metros. La carretera tiene 2,5 kilómetros.
–¿Cuántos conos necesitas?
Estrategia: Simplificar el problema y visualizar
la solución

16. Conteo 4: Resultados
2 6 ( 5 )
3 ( 1 )
3 ( 4 ) 2 ( 2 )
2 ( 6 )
5 ( 7 )
2 5 ( 7 )
P r o b l e m a 4
¿Y en una carretera de 500
metros?
¿Y en una de 200 metros?
¿En qué puntos habrá cono?
Dibuja la carretera y los conos

17. Conteo: Problema 5
Evaluar: Crear y evaluar reglas generales
Problema:
–En un congreso hay 10 personas. Si todos se dan la
mano con todos.
–¿Cuántos apretones de manos se dan?
Estrategia: Simplificar el problema, poniendo
en duda la regla utilizada

18. Conteo 5: Resultados
4 5 ó
9 + 8 + . . . + 1
( 3 )
1 - 3 - 6
A r r e g l a
( 1 )
1 0 !
( 1 )
1 - 3 - 6
A r r e g l a
( 3 )
1 0 0
A r r e g l a
( 1 )
1 - 3 - 6
N o s a b e
( 1 )
9 0
( 4 )
1 0 0
A r r e g l a
( 1 )
1 0 0
N o s a b e
( 1 )
1 - 3 - 6
N o s a b e
( 2 )
8 1
( 2 )
1 0 0
N o s a b e
( 2 )
1 - 3 - 6
N o s a b e
( 2 )
1 0 0
( 2 )
P r o b l e m a 5
¿Con 2 personas?
¿Con 3? ¿Con 4?
Regla general
Si hay 100 personas que se han
dado la mano, ¿cuántos apretones
nuevos hay al llegar una más?
Regla general

19. Conteo: Problema 6
Evaluar: Asumir falsas hipótesis
Problema:
–En una habitación a oscuras, hay 20 bolas iguales
salvo el color: 10 son rojas y 10 azules. Tú quieres
coger dos del mismo color, te da igual cuál. Vas a
entrar en la habitación sin ver nada y coger las
bolas.
–¿Cuál es el número mínimo de bolas que necesitas
sacar para tener dos bolas del mismo color?
Estrategia: Paso a paso

20. Conteo 6: Resultados
3
( 3 )
3
( 2 )
S í
( 2 )
6
( 2 )
3
( 1 )
S í
( 1 )
1 0
( 1 )
3
( 4 )
S í
( 4 )
1 1
( 4 )
3
( 2 )
S í
( 2 )
1 2
( 2 )
P r o b l e m a 6
¿Estás seguro?
Ve sacando las bolas una a una
y preguntándote si tienes dos
del mismo color.

21. Análisis: Respuestas iniciales
Malos resultados
–5/12 (42%) como mejor respuesta
–23% de respuestas correctas
31% en problemas de conteo
15% en problemas de probabilidad
Errores generales:
–Multiplicación de probabilidades
–No considerar todos los casos
–Sucesos dependientes o independientes
–Forma de obtención de los datos

22. Análisis: Rectificaciones
Gran índice de rectificación
–84% de respuestas finales correctas (23% inicial)
De un 31% a un 92% en problemas de conteo [88%]
De un 15% a un 76% en problemas de probabilidad [72%]
–Mayor rectificación en problemas tangibles
–Grandes dudas sobre el resultado en problemas de
probabilidad condicionada (obtención de los datos)
Respuesta correcta pero insegura
Respuesta inicial, a pesar de las Matemáticas

23. Análisis: Estrategias (I)
Problemas de Probabilidad
Problema 1: Dados
–Desglose de casos
Problema 2: Niño-niña
–Desglose en casos
Problema 3: Concurso
–Sentido lógico (no funciona)
–Sobredimensionar (ligeramente)
–Sobredimensionar + Analogía con un problema real

24. Análisis Estrategias (y II)
Problemas de Conteo
Problema 4: Conos en la carretera
–Simplificar (no funciona)
–Visualización
Problema 5: Apretones de mano
–Simplificar + Sentido lógico
Problema 6: Bolas de colores
–Desglose de casos

25. Conclusiones (I)
Fuertes deficiencias en tareas básicas
–Respuestas rápidamente elegidas, pero difícilmente
modificables
–No considerar todas las posibilidades
–Aplicar directamente una regla sin comprobar si
funciona en casos sencillos
–No visualizar el problema, sino atacarlo como si de
algo abstracto se tratara
–No tener en cuenta la forma de obtener la
información del problema

26. Conclusiones (y II)
Estrategias
–El desglose por casos ayuda a obtener la respuesta
correcta, pero no siempre al entendimiento
–Sobredimensionar o simplificar por sí solos no
consiguen su efecto, pero acompañados (sentido
lógico, visualización, ...) consiguen convencer
Escasa enseñanza de Matemática Discreta
–Conocimientos para aplicar fórmulas, pero falta de
entrenamiento del pensamiento matemático
–Imposibilidad de afrontar problemas nuevos

27. THE END
Diego de Pereda
Sebastián