Matematica financeira capitalização simples

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1. Facilitador: Eduardo José Freire
Matemática Financeira e
suas aplicações

2. "Seja qual for o caminho escolhido, mesmo
o de palhaço, a pessoa tem que estudar
muito."
[ Renato Aragão]

3. BIBLIOGRAFIA
•ASSAF NETO, Alexandre. Matemática
financeira e suas aplicações. 11. ed. São
Paulo: Atlas, 2009.

4. Podemos conceituar matemática
financeira, de maneira simplista, como o
ramo da matemática que tem como
objeto de estudo o comportamento do
dinheiro ao longo do tempo.

5. A matemática financeira é estudada
desde os primórdios dos tempos, quando
o empréstimo de um bem era
acompanhado, por ocasião da sua
devolução, de uma parte chamada de
juro, que podia ser semente, trabalho
humano executado ou mesmo moeda.

6. Capital (PV)
Juro (J)
Taxa de juro (i)
Período de tempo (n)
Montante (FV)
Prestações ou Rendas (PMT)
Valor Presente Líquido (NPV)
Taxa Interna de Retorno (IRR)

7. Capital
É qualquer valor em moeda disponível de
imediato. É o dinheiro hoje. É o principal
em uma operação de empréstimo. É
chamado de valor presente. É
representado pela sigla PV.

8. Juro: Conceito
Define-se juros como sendo:
remuneração do capital emprestado em
atividades produtivas;
custo do capital de terceiros;
remuneração paga pelas instituições
financeiras sobre o capital nelas aplicado.

9. Taxa de Juros
É o coeficiente que determina o valor do juro.
As taxas de juros se referem sempre a uma
unidade de tempo (mês, semestre, ano etc.) e
podem ser representadas equivalentemente de
duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária.
Exemplo:
20%
0,20

10. •Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando
o período de formação e incorporação dos
juros ao Capital não coincide com aquele
a que a taxa está referida.
•Exemplos:
•12,0% ao ano com capitalização mensal.
•4,50% ao semestre com capitalização
mensal.
•3,00% ao ano com capitalização
trimestral.
•

11. •Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o
período de formação e incorporação dos
juros ao Capital coincide com aquele a
que a taxa está referida.
•Exemplos:
•12,0% ao mês com capitalização mensal.
•4,50% ao semestre com capitalização
semestral.
•1,30% ao ano com capitalização anual.

12. •Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva
corrigida pela taxa inflacionária do período
da operação.
•

13. Período de tempo (n)
É o tempo transcorrido entre o início de
uma operação financeira,e o vencimento
de uma prestação, um depósito bancário
de poupança etc.

14. Diagrama do fluxo de caixa
Representa entradas e saídas de caixa,
indicados por setas : para baixo significa saída e
para cima, entrada; dispostas em um eixo
horizontal, representam o tempo (em dias,
semanas, etc.)
Nas pontas das flechas são colocados os
valores representativos de entrada ou saída.

16. Regimes de Capitalização
Os regimes estudados na Matemática
Financeira são conhecidos como: Regime
de Capitalização Simples e Regime de
Capitalização Composta.

17. •Os regimes de capitalização demonstram
como os juros são formados e
sucessivamente incorporados no decorrer
do tempo. Existem dois regimes: simples
(ou linear) e composto (exponencial)

18. Regime de Capitalização Simples
Comporta-se como se fosse uma
progressão aritmética (PA), crescendo os
juros de forma linear ao longo do tempo.
Os juros incidem sobre o capital inicial da
operação (aplicação ou empréstimo)
Apenas o capital inicial, também chamado
de principal, rende juros.

19. Regime de Capitalização Composta
Incorpora ao capital não somente os juros
referentes a cada período, mas também
os juros sobre juros acumulados até o
momento anterior. É um comportamento
equivalente a uma progressão geométrica
(PG) no qual os juros incidem sempre
sobre o saldo apurado correspondente (e
não unicamente sobre o capital inicial)

20. PRINCIPAL JUROS MONTANTE
(Início do Ano) PRODUZIDOS (Final do Ano)
1 1.000,00 80 1.080,00
2 1.000,00 80 1.160,00
3 1.000,00 80 1.240,00
4 1.000,00 80 1.320,00
1 1.000,00 80 1.080,00
2 1.080,00 86,4 1.166,40
3 1.166,00 93,31 1.259,31
4 1.259,71 100,78 1.360,49
ANO

22. FÓRMULAS NA CAPITALIZAÇÃO
SIMPLES
•J = PV x n x i
•FV = PV (1 + i x n) = fator de capitalização
(ou de valor futuro – FCS)
•PV = FV / (1 + i x n) = fator de atualização
(ou de valor presente – FAS)

23. •01) Um capital de R$ 80.000,00 é
aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante
um trimestre. Pede-se determinar o valor
dos juros acumulados neste período.

24. •02) Um negociante tomou um empréstimo
pagando uma taxa de juros simples de
6% ao mês durante nove meses. Ao final
deste período, calculou em R$ 270.000,00
o total dos juros incorridos na operação.
Determinar o valor do empréstimo.

25. •03) Um capital de R$ 40.000,00 foi
aplicado num fundo de poupança por 11
meses, produzindo um rendimento
financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se
apurar a taxa de juros oferecida por esta
operação.

26. •04) Uma aplicação de R$ 250.000,00,
rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao
mês produz, ao final de determinado
período, juros, ao valor de R$ 27.000,00.
Calcular o prazo da aplicação.

27. Juros Simples ( J = PV x i x n)
Há basicamente três tipos de juros
simples: comercial, exato e bancário. A
seguir, uma pequena explicação sobre as
diferenças de cada um.

28. •5)   (KUHNEN, 2008). Calcular os juros 
ordinários, juros, exatos e juros pela 
regra dos banqueiros de um capital de 
R$ 100.000,00 aplicados de 15/07/2008 
a 15/09/2008 em um banco que cobra 
juros simples de 30% ao ano.
•a) Pelo juro ordinário ou comercial;
•b) Pelo juro exato;
•c) Pela regra dos banqueiros.
•

29. •Com 31 dias (Janeiro , Março , Maio ,
Julho , Agosto , Outubro, Dezembro)
•Com 28 ou 29 dias (Fevereiro)
•Com 30 dias (Abril, Junho, Setembro,
Novembro)

30. •1. Juro comercial, ordinário e bancário:
nessa modalidade, todos os meses terão
30 dias, e o ano terá 360 dias.

32. •2. Juro exato: nessa modalidade, os
meses seguem a realidade (28, 29, 30 ou
31 dias, conforme o mês e o ano -
bissexto ou não). E o ano apresenta 365
ou 366 dias.

34. •3. Juro bancário: nessa modalidade, os
meses seguem a realidade (28, 29, 30 ou
31 dias, conforme o mês e o ano -
bissexto ou não). O ano possui 360 dias,
como o juro comercial.

36. •* para cálculo de juros, deve-se considerar o dia inicial
do intervalo, e desconsiderar o dia final.
•Formas de se resolver juros simples exato:
1. Descobrir se o ano é ou não bissexto (isso impacta no
mês de fevereiro, e na própria duração do ano);
•2. Realizar a contagem de quantos dias o capital foi
aplicado. Conta-se o primeiro dia de aplicação, e não
conta-se o dia do resgate;
•3. A taxa deve estar no período anual ou diário, para
facilitar o cálculo.

37. 05) Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à
taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses.
Determine o valor acumulado ao final
deste período.

38. 06) Uma dívida de R$ 900.000,00 irá
vencer em 4 meses. O credor está
oferecendo um desconto de 7% ao mês
caso o devedor deseje antecipar o
pagamento para hoje. Calcular o valor
que o devedor pagaria caso antecipasse a
liquidação da dívida.

39. Taxas Proporcionais.
•Para se compreender mais claramente o
significado destas taxas deve-se
reconhecer que toda operação envolve
dois prazos: (1) o prazo a que se refere à
taxa de juros; e (2) o prazo de
capitalização (ocorrência) dos juros.
(ASSAF NETO, 2001).

40. •A taxa proporcional de juros também é
chamada de taxa nominal ou linear.
•A aplicação de taxas proporcionais é
muito difundida, principalmente em
operações de curto e curtissimo prazo,
tais como: cálculo de juros de mora,
descontos bancários, créditos de
curtíssimo prazo, apuração de encargos
sobre saldo devedor de conta corrente
bancária, etc

41. •No regime de juros simples, taxas
proporcionais (nominais ou lineares) e
taxas equivalentes são consideradas a
mesma coisa, sendo indiferente a
classificação de duas taxas de juros como
proporcionais ou equivalentes.

42. •07) Calcular a taxa anual proporcional
a: (a) 6% ao mês; (b) 10% ao bimestre.
•Solução:
•

43. 08) Calcular a taxa de juros semestral
proporcional a:
a) 60% ao ano
b) 9% ao trimestre

44. 9) Demostre se 36% ao ano é
proporcional a 12% ao trimestre

45. 10) Calcular o montante de um capital de
R$ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao
mês pelo prazo de 1ano e 5 meses.

46. •11) Uma dívida de R$ 30.000,00 a vencer
dentro de um ano é saldada 3 meses
antes. Para a sua quitação antecipada, o
credor concede um desconto de 15% ao
ano. Apurar o valor da dívida a ser pago
antecipadamente.

47. •12) Um capital de R$ 500.000,00 se
aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao
semestre pelo prazo de um ano, produz o
mesmo montante linear de juros?

48. 12) Uma pessoa aplicou em uma
instituição financeira R$ 18.000,00
resgatando R$ 21.456,00 quatro meses
depois. Calcular a taxa mensal de juros
simples auferida nesta aplicação.

49. 13) Se uma pessoa necessitar de R$
100.000,00 daqui a 10 meses, quanto
deverá aplicar hoje num fundo de
poupança que remunera a taxa linear de
12% ao ano.

50. 14) Determinar a taxa bimestral de juros
simples que faz com um capital triplique
de valor após 2 anos.

51. 15) Um título com valor nominal de R$
7.200,00 vence em 120 dias. Para uma
taxa de juros simples de 31,2% ao ano,
pede-se calcular o valor deste título:
•Hoje
•Dois meses antes de seu vencimento
•Um mês após o seu vencimento

52. •16) Uma pessoa deve dois títulos no valor
de R$ 25.000,00 e R$ 56.000,00 cada. O
primeiro título vence de hoje a 2 meses, e
o segundo um mês após. O devedor
deseja propor a substituição destas duas
obrigações por um único pagamento ao
final do 5° mês. Considerando 3% ao mês
a taxa corrente de juros simples,
determinar o valor deste pagamento
único.

53. •17) Uma dívida no valor de R$ 48.000,00
vence daqui a 6 meses. O devedor
pretende resgatar a dívida pagando R$
4.800,00 hoje, R$ 14.000,00 de hoje a
dois meses, e o restante um mês após a
data de vencimento. Sendo o momento
deste último pagamendo definido como a
data focal da operação, e sabendo-se
ainda que é de 34,8% ao ano a taxa linear
de juros adotada nesta operação,
determinar o montante do pagamento.