Matematika Ekonomi_Deret_pertemuan_2.ppt

matematika

1. D E R E TD E R E T
MATEMATIKA EKONOMIMATEMATIKA EKONOMI
1

2. DEFINISIDEFINISI
Deret : Rangkaian bilangan yang tersusun secara
teratur dan memenuhi kaidah-kaidah
tertentu.
Suku : Bilangan-bilangan yang merupakan unsur
dan pembentuk deret.
 Macam-macam deret :
- Deret Hitung
- Deret Ukur
- Deret Harmoni
2

3. DERET HITUNGDERET HITUNG
Deret hitung : Deret yang perubahan suku-sukunya
berdasarkan penjumlahan terhadap
sebuah bilangan tertentu.
Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret
hitung dinamakan pembeda, yang tak lain adalah
selisih antara nilai dua suku yang berurutan.
Contoh :
5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5)
90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda -10)
3

4. SUKU KE-N DARI DERET HITUNGSUKU KE-N DARI DERET HITUNG
5, 10, 15, 20, 25, 30
S
1, S
2, S
3, S
4, S
5, S
6
S
1 = 5 = a
S
2 = 10 = a + b = a + (2 - 1)b
S
3 = 15 = a + 2b = a + (3 - 1)b
S
4 = 20 = a + 3b = a + (4 - 1)b
S
5
= 25 = a + 4b = a + (5 - 1)b
S
6 = 30 = a + 5b = a + (6 - 1)b
S
n
= a + (n - 1)b
a = suku pertama / s1
b = pembeda
n = indeks suku
4

5. 5
JUMLAH N JUMLAH N
SUKUSUKU
Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku
tertentu tidak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya.
654
6
1
3216
54
5
1
3215
4
4
1
3214
1
21 ...........
SSSSSSSJ
SSSSSSJ
SSSSSJ
SSSSJ
i
i
i
i
i
i
n
i
nin













6. Berdasarkan rumus suku ke-n  S
n = a + (n - 1)b,
maka dapat diuraikan
J
4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b
J
5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b)
= 5a + 10b
J
6
= a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b)
= 6a + 15b
6

7. 7
bn
n
naJ
babaJ
babaJ
babaJ
n
)1(
2
)16(
2
6
6156
)15(
2
5
5105
)14(
2
4
464
6
5
4













S
n
Masing-masing J
i
dapat ditulis
 bna
n
J
n )1(2
2
atau 
 
)(
2
)1(
2
n
Sa
n
bnaa
n



8. DERET DERET
UKURUKUR
Deret ukur : deret yang perubahan suku-sukunya
berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan
tertentu.
Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah
deret ukur dinamakan pengganda.
Contoh :
5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2)
512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0,5)
8

9. SUKU KE-N DARI DERET UKURSUKU KE-N DARI DERET UKUR
suku indeks
pengganda
pertamasuku

160
80
40
20
10
5
1
165
6
154
5
143
4
132
3
12
2
1


























n
p
a
apS
apapapppppS
apapappppS
apapapppS
apapappS
apapS
aS
n-
n
9

10. JUMLAH N JUMLAH N
SUKUSUKU
(2) .......
:maka , penggandabilangan dengan dikalikan jika
(1) .......
: maka rumusn berdasarka
...........
1432
1232
1
1
4321
nn
n
nn
n
n-
n
n
i
nin
apapapapapappJ
p
apapapapapaJ
apS
SSSSSSJ








10

11. 1
)1(
atau
1
)1(
)1()1(








p
pa
J
p
pa
J
papJ
apapJJ
n
n
n
n
n
n
n
nn
(2)persamaan dan (1)persamaan antaraselisih
1p 1p 
11

12. 12
CONTOH SOAL CONTOH SOAL
DERETDERET
Suku ke-4 dan suku ke-9 suatu barisan
aritmatika berturut-turut adalah 110 dan 150.
Suku ke-30 barisan tersebut adalah ...
JAWABJAWAB
U4 = a + 3b = 110 …(1)
U9 = a + 8b = 150 …(2)
Dengan dua persamaan di atas, kita dapat menentukan nilai suku
pertama (a) dan beda (b) barisan aritmatika tersebut dengan
metode eliminasi atau substitusi.
a + 3b = 110 → a = 110 - 3b
Substitusi ke persamaan (2). a + 8b = 150
110 - 3b + 8b = 150
110 + 5b = 150
5b = 40
b = 8
Substitusi b ke persamaan (1)
110- 3(8) = 110 - 24 = 86.
Jadi, suku ke-30 adalah: U30 = a + 29b U30 = 86 + 29(8)
⇒
U30 = 86 + 232 U30 =
⇒
318

13. 13
CONTOHCONTOH
1.Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-5
adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57. Suku ke-15
barisan ini adalah
2.Suku keempat dan suku ketujuh suatu barisan
aritmatika berturut-turut adalah 17 dan 29. Suku
barisan ke-25 adalah ...
3.Seri angka : -4 -3 0 5 12 selanjutnya …
4.Seri angka : 22 26 23 27 24 selanjutnya …

14. MODEL PERKEMBANGAN USAHAMODEL PERKEMBANGAN USAHA
Perkembangan variabel-variabel tertentu
dalam kegiatan usaha, misalnya : produksi,
biaya, pendapatan, penggunaan tenaga
kerja dll.
Perkembangan variabel-variabel tersebut
memiliki pola seperti deret hitung, maka
prinsip-prinsip deret hitung dapat
diterapkan dalam menganalisis
perkembangan vaiabel tersebut.
14

15. Sebuah perusahaan genteng menghasilkan
3000 buah genteng pada bulan pertama
produksinya. Dengan penambahan tenaga
kerja dan peningkatan produktifitas,
perusahaan mampu menambah produksinya
sebanyak 500 buah setiap bulan.
•Jika perkembangan produksinya konstan,
berapa buah genteng yang dihasilkannya pada
bulan kelima ?
•Berapa buah yang telah dihasilkan sampai
dengan bulan tersebut ?
CONTOHCONTOH

16. JAWABJAWAB
Diketahui : Deret hitung dengan a=S
1=3000, n=5
Berapa S
5
dan D
5
= ... ?
Rumus :
S
n = a + (n-1) b
D
n
= n/2 (a+ S
n
) = n/2 {2a + (n-1) b}
• Banyaknya genteng untuk 5 bulan pertama:
3000, 3500, 4000, 4500, 5000
Atau (untuk bulan ke-5): Sn = a + (n-1)b
S
5 = 3000 + (5-1)500
= 3000 + 4(500) = 3000 + 2000 = 5.000
• Genteng yang sudah diproduksi sampai bulan kelima:
D
5 = n/2 (a+Sn) = 5/2(3000+5000) = 20.000

17. 17
MODEL BUNGA MAJEMUKMODEL BUNGA MAJEMUK
Modal pokok PP dibungakan secara majemuk, suku bunga
perahun i, maka jumlah akumulatif modal FF setelah nn tahun
adalah:
n
n iPF
iPiiPiPF
iPiiPiPF
iPiPPF
)1( .)(......... )(......... :n tahun setelah
)1()1()1( : tahun 3setelah
)1()1()1( : tahun 2setelah
)1(. : tahun 1setelah
322
3
2
2
1




Konsep Bunga Majemuk
•Future Value
•Present Value

18. 18
NILAI YANG AKAN DATANG (FUTURE NILAI YANG AKAN DATANG (FUTURE
VALUE)VALUE)
Nilai sejumlah uang saat ini dari jumlah yang
diperoleh di masa datang.
Rumus:
FV = PV × (1+r)
n

Jika n tidak diterima/ dibayarkan dalam waktu
satu tahun, maka rumusnya:
FV = PV × (1+r/m)
n.m
PV: Present Value (Nilai uang sekarang)
FV: Future Value (Nilai yang akan datang)
n : tahun
r : tingkat bunga
m : jumlah pembayaran atau penerimaan/thn

19. CONTOHCONTOH
Ada uang sebanyak Rp.1.000, dibungakan
setahun dengan bunga majemuk sebesar 5
persen pertahun, maka berapakah jumlah uang
tersebut setelah 6 tahun ?
Diketahui : PV = 1000,r= 5% = 0,05, m=1, n=6
Rumus : FV = PV (1 + r )
n
FV = 1000 (1+ 0.05)
6
= 1000 (1,05)
6
= 1000 (1,34) = Rp.1.340
JAWABJAWAB

20. 20
NILAI SEKARANG (PRESENT NILAI SEKARANG (PRESENT
VALUE)VALUE)
Nilai sejumlah uang saat ini dari jumlah yang
diperoleh di masa datang.
Rumus:
PV = FV × (1+r)
-n

PV = FV × [ 1/(1+r)
n
]
PV: Present Value (Nilai uang sekarang)
FV: Future Value (Nilai yang akan datang)
n : tahun
r : tingkat bunga
atau

21. 21
CONTOHCONTOH
Pada tahun 2019 Adi diprediksi akan mendapatkan
uang sebesar 1 Milyar. Dengan bunga 5 %. Berapakah
nilai uang Adi pada tahun 2014
FV= R 1.000.000.000
r = 5% = 0.05
n = 2014-2019 = 5 tahun
PV = FV × (1+r)
-n
PV = 1.000.000.000 × (1 + 0,05)
-5
= 1.000.000.000 × 0,7835
= 783.500.000
JAWABJAWAB

22. 22
CONTOHCONTOH
Setahun lagi Angel akan menerima keuntungan dari
hasil perkebunan teh sebesar Rp 1.000.000.
Berapakah nilai sekarang dari uang tersebut jika suku
bunganya 13 persen setahun ?
Diketahui :
FV = Rp.1.000.000
t = setahun1 tahun dan
r = 13 % = 0,13
Berapa nilai present valuenya (PV) .. ?
Rumus :
PV = FV × (1+r)
-n
PV = 1.000.000 x (1+ 0,13)
-1
= 1.000.000 x (0,88)
= Rp.884.955,75

23. MODEL PERTUMBUHAN MODEL PERTUMBUHAN
PENDUDUKPENDUDUK
P
t
= P
1
(1+r)
n-1
Dimana
P
1 = Jumlah pada tahun pertama (basis)
P
t
= Jumlah pada tahun ke-t
r = Persentase pertumbuhan per-tahun
n = Indeks waktu (tahun)
23

24. CONTOHCONTOH
Pada tahun 1990 penduduk Indonesia
jumlahnya 179 juta jiwa, tingkat per-tumbuhan
penduduk 1,98%. Berapakah jumlah penduduk
tahun 2000?
Pt = P
1
(1 + r)
n-1
= 179.000.000 (1 + 0,0198)
9

= 179.000.000 (1,0198)
9

= 179.000.000 (1,193) = 213.547.000 jiwa

Jadi tahun 2000 dengan diperkirakan
penduduk berjumlah 213.547.000 jiwa.
JAWABJAWAB

25. SOALSOAL
1. Sebuah Toko Textile menghasilkan 200
baju pada bulan pertama produksinya.
Dengan penambahan tenaga kerja dan
peningkatan produktivitasnya. Toko
textile mampu menambah produksinya
sebanyak 30 buah setiap bulan.
a.Jika
 perkembangan produksinya
konstan, berapa banyak baju yang
dihasilkan pada bulan ketujuh? B
b.Berapa banyak baju yang dihasilkan
sampai dengan bulan tersebut?

26. SOALSOAL
2. Pada tahun 2019 Adi diprediksi akan
mendapatkan uang sebesar 1 Milyar,
dengan bunga 5 %.
Berapakah nilai uang Adi pada tahun
2014?

27. 3. Ayah meminjam uang di sebuah bank
sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu
3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per
tahun.
a.Berapa jumlah uang yang dikembalikan
pada saat pelunasan?
b.Seandainya perhitungan pembayaran
bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap
semester, berapa jumlah yang harus
dikembalikan Ayah?
SOALSOAL

28. SOALSOAL
4. Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta
jiwa pada Tahun 1991. Tingkat
pertumbuhan nya 4 % per tahun.
a.Hitunglah jumlah penduduk kota
tersebut pada Tahun 2006 ?
b.Jika mulai Tahun 2006 pertumbuhannya
menurun menjadi 2,5 %, berapa jumlah
penduduk 11 tahun kemudian ?