Matematika Teknik Matriks.pdfjsksisjsujzjz7

hhs

1. Matematika Teknik
Lanjut
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MATARAM

2. Matriks
HADY RASIKHUN, M.SI.

3. PengertianMatriks
HADY RASIKHUN, M.SI.
MatriksadalahSusunanbilanganberbentukpersegipanjangyang diaturdalam
barisdankolom, ditulisdiantarakurungkecilatausiku( ) atau[ ].
Nama matriks menggunakan huruf besar
Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil maupun angka
Digunakan kurung biasa atau kurung siku
Ordo matriksatau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal)
dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. 








675
231
A 










ihg
fed
cba
H

4. Notasi Matriks
HADY RASIKHUN, M.SI.
Jadi,suatumatriksyangmempunyaimbarisdannkolomdisebutmatriks
berordoatauberukuranmxn.
Memudahkanmenunjukanggotasuatumatriks
NotasiA = (a
ij)















mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
A =
Dengan
i= 1,2,...,m
j = 1,2,...,n

5. Contoh:MatriksAmerupakanmatriksberordo4x2
Bilangan-bilanganyangterdapatdalamsebuahmatriksdinamakanentridalam
matriksataudisebutjugaelemenatauunsur.













16
12
13
41
A
Matriks
HADY RASIKHUN, M.SI.

6. Bentuk Umum












mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211 Baris
Kolom
UnsurMatriks
Matriksberukuranm x n atauberordem x n
HADY RASIKHUN, M.SI.

7. Matriksbarisadalahmatriksyanghanyamempunyaisatubaris
Matrikskolomadalahmatriksyanghanyamempunyaisatukolom. 4121C 










4
3
1
E
Matriks Baris dan Kolom
HADY RASIKHUN, M.SI.

8. Kesamaan dua Matriks
DuabuahmatriksAdanBdikatakansama(A=B)apabilaAdanBmempunyai
jumlahbarisdankolomyangsama(berordosama)dansemuaunsuryang
terkandungdidalamnyasama.
aij=bijdimana
-aij=elemenmatriksAdaribarisidankolomj
-bij=elemenmatriksBdaribarisidankolomj
A=B
dan
A≠B
dan






10
42
A 






10
42
B 






510
242
A 






13
41
B
HADY RASIKHUN, M.SI.

9. Penjumlahan Matriks
ApabilaAdanBmerupakanduamatriksyangukurannyasama,makahasil
penjumlahan(A+B)adalahmatriksyangdiperolehdenganmenambahkan
bersama-samaentriyangseletak/bersesuaiandalamkeduamatrikstersebut.
Matriks-matriksyangordo/ukurannyaberbedatidakdapatditambahkan.
dan










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 










333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B 













333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
BA
HADY RASIKHUN, M.SI.

10. Penjumlahan Matriks
ContohSoal











22
31
24
A 












21
12
43
B 













2212
1321
4234
BA 












43
41
27
BA
HADY RASIKHUN, M.SI.

11. Pengurangan Matriks
AdanBadalahsuatuduamatriksyangukurannyasama,makaA-Badalah
matriksyangdiperolehdenganmengurangkanbersama-samaentriyang
seletak/bersesuaiandalamkeduamatrikstersebut.
Matriks-matriksyangordo/ukurannyaberbedatidakdapatdikurangkan.
dan










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 










333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B 













333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
BA
HADY RASIKHUN, M.SI.

12. Contoh:












043
322
101
A 










243
421
111
B 













204433
432212
111011
BA 













200
703
210
BA
Pengurangan Matriks
HADY RASIKHUN, M.SI.

13. JikakadalahsuatubilanganskalardanmatriksA=(a
ij)makamatrikskA=(ka
ij)
adalahsuatumatriksyangdiperolehdenganmengalikansemuaelemen
matriksAdengank.
Mengalikanmatriksdenganskalardapatdituliskandidepanataudibelakang
matriks.
[C]=k[A]=[A]k






15
83
A 






1*45*4
8*43*4
4A 






420
3212
4A
Perkalian Matriks dengan Skalar
HADY RASIKHUN, M.SI.

14. Perkalian Matriks dengan Skalar
Sifat-sifatperkalianmatriksdenganskalar:
k(B+C) =kB+kC
k(B-C) =kB-kC
(k1+k2)C=k1C+k2C
(k1-k2)C=k1C–k2C
(k1.k2)C=k1(k2C)
HADY RASIKHUN, M.SI.

15. Contoh:
dengank=2,maka
K(A+B)=2(A+B)=2A+2B







12
10
A 






11
43
B 




























06
106
03
53
*2)
11
43
12
10
(*2)(2BA 




































06
106
22
86
24
20
11
43
*2
12
10
*222 BA
TERBUKTI
Perkalian Matriks dengan Skalar
HADY RASIKHUN, M.SI.

16. Contoh:
dengank1=2dank2=3,maka
(k1+k2)C=k1.C+k2.C







12
11
C 























510
55
12
11
*5
12
11
*)32(*)(
21 Ckk
TERBUKTI







































510
55
36
33
24
22
12
11
*)3(
12
11
*)2()**(
21 CkCk
Perkalian Matriks dengan Skalar
HADY RASIKHUN, M.SI.

17. Perkalian Matriks
Perkalianmatriksdenganmatrikspadaumumnyatidakbersifatkomutatif.
Syaratperkalianadalahjumlahbanyaknyakolompertamamatrikssama
denganjumlahbanyaknyabarismatrikskedua.
JikamatriksAberukuranmxndanmatriksBberukurannxpmakahasildari
perkalianA*BadalahsuatumatriksC=(c
ij)berukuranmxpdimana
HADY RASIKHUN, M.SI.

18. Contoh :










0
1
3
B    11)0*1()1*2()3*3(
0
1
3
*123* 










BA  123A  

































000
123
369
1*02*03*0
1*12*13*1
1*32*33*3
123*
0
1
3
*AB
Perkalian Matriks
HADY RASIKHUN, M.SI.

19. Latihan Soal
1. Sajikan data berikut dalam bentuk matriks:
Seorang pedagang selama 4 bulan melakukan pembelian hasil bumi sebagai
berikut :
Bulan januari membeli kopi sebanyak 4 ton, coklat 5 ton dan lada 2 ton
Bulan Februari membeli kopi sebanyak 3 ton, coklat 6 ton dan lada 8 ton
Bulan Maret membeli kopi sebanyak 2 ton, coklat 4 ton dan lada 3 ton
Bulan April membeli kopi sebanyak 5 ton, coklat 1 ton dan lada 3 ton
HADY RASIKHUN, M.SI.

20. Latihan Soal
Ditentukan
+ =
Nilai a + b + c + d = ....







31
82 









616
114b
2.







 cadc
ba
.3
3. Jika : 







03
2yx 







01
32 









34
21 









62
41
= +
Maka nilai x + y = ....
HADY RASIKHUN, M.SI.

21. Penyelesaian 1
BULAN
HASIL BUMI ( ton )
KOPICOKLATLADA
JANUARI 4 5 2
FEBRUARI 3 6 8
MARET 2 4 3
APRIL 5 1 3
HADY RASIKHUN, M.SI.

22. Jika data tersebut disajikan dalam bentuk matriks maka diperoleh :
452
368
243
513
A =
Matriks A adalah matrik yang terdiri atas
4 baris dan 3 kolom
Penyelesaian 1
HADY RASIKHUN, M.SI.

23. Penyelesaian 2
+ = 







 cadc
ba
3333
33
3 







31
82 









616
114b
=









616
114b 









333133
8323
cadc
ba 







31
82 









616
114b
+ =







 cadc
ba
3333
33
Skor 5
HADY RASIKHUN, M.SI.

24. 3a + 2 = b + 4 ..... 1
3b + 8 = 11 ..... 2
3c + 3d + 1 = 16 ..... 3
3a –3 c –3 = –6 ..... 4
=









616
114b 









333133
8323
cadc
ba
Penyelesaian 2
HADY RASIKHUN, M.SI.

25. 3a + 2 = 1 + 4
3a + 2 = 5
3a = 3  a = 1
Untuk nilai a = 1 4) didapat
–3c = –6 C = 2
3.1 –3 c –3 = –6
Dari persamaan 2
3b + 8 = 11 3b = 3
b = 1
Untuk nilai b = 1 1) didapat
3a + 2 = 1 + 4
HADY RASIKHUN, M.SI.

26. Untuk nilai a = 1 , b = 1 c = 2 dan d = 3
maka nilai :
Nilai a + b + c + d = 1 + 1 + 2 + 3
= 7
3.2 + 3d + 1 = 16
Untuk nilai c = 2 3) didapat
3d = 9
d = 3
HADY RASIKHUN, M.SI.

27. 









34
21 









62
41 = +







03
2yx 







01
32
-4x + y = -2 .....1
6x = 6 x = 1
Untuk x = 1 y = 2
Untuk x = 1 dan y = 2 maka
x + y = 3









0906
064 xyx
= 









96
62
Penyelesaian 3
HADY RASIKHUN, M.SI.

28. Jenis-jenis Matriks
Matriksbujursangkar(persegi)adalahmatriksyangberukurannxn
Matriksnoladalahmatriksyangsetiapentriatauelemennyaadalahbilangan
nol
Sifat-sifatdarimatriksnol:
-A+0=A,jikaukuranmatriksA=ukuranmatriks0
-A*0=0,begitujuga0*A=0.






13
41
A 










00
00
00
23xO
HADY RASIKHUN, M.SI.

29. Jenis-jenis Matriks
MatriksDiagonaladalahmatrikspersegiyangsemuaelemendiatasdan
dibawahdiagonalnyaadalahnol.DinotasikansebagaiD.
Contoh:
MatriksSkalaradalahmatriksdiagonalyangsemuaelemenpadadiagonalnya
sama










500
020
001
33xD 










500
050
005
33xD
HADY RASIKHUN, M.SI.

30. Jenis-jenis Matriks
MatriksIdentitasadalahmatriksskalaryangelemen-elemenpadadiagonal
utamanyabernilai1.
Sifat-sifatmatriksidentitas:
A*I=A
I*A=A
MatriksSegitigaAtasadalahmatrikspersegiyangelemendibawahdiagonal
utamanyabernilainol
MatriksSegitigaBawahadalahmatrikspersegiyangelemendiatasdiagonal
utamanyabernilainol










100
010
001
D 










600
210
542
A 










152
043
001
B
HADY RASIKHUN, M.SI.

31. Determinan Matriks
Setiapmatrikspersegiataubujursangkarmemilikinilaideterminan
Nilaideterminandarisuatumatriksmerupakansuatuskalar.
Jikanilaideterminansuatumatrikssamadengannol,makamatrikstersebut
disebutmatrikssingular.
MisalkanmatriksAmerupakansebuahmatriksbujursangkar
Fungsideterminandinyatakanolehdet(A)
Jumlahdet(A)disebutdeterminanA
det(A)seringdinotasikan|A|
Notasi
HADY RASIKHUN, M.SI.

32. Notasi Determinan
Padamatriks2x2caramenghitungnilaideterminannyaadalah:
Contoh:








2221
1211
aa
aa
A 21122211
)det( aaaaA  








31
52
A 156)det( A 2221
1211
)det(
aa
aa
A 31
52
)det(A
HADY RASIKHUN, M.SI.

33. Metode Sarrus
Padamatriks3x3caramenghitungnilaideterminannyaadalahmenggunakan
MetodeSarrus
MetodeSarrushanyauntukmatrixberdimensi3x3122133112332132231322113312312332211
)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA  










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
HADY RASIKHUN, M.SI.

34. Contoh:
NilaiDeterminandicarimenggunakanmetodeSarrus
det(A)=(-2·1·-1)+(2·3·2)+(-3·-1·0)–(-3·1·2)–(-2·3·0)-(2·-1·-1)
=2+12+0+6-0-2
=18













102
311
322
A
Metode Sarrus
HADY RASIKHUN, M.SI.

35. Minor
YangdimaksuddenganMINORunsuraijadalahdeterminanyangberasaldari
determinanordeke-ntadidikurangidenganbariske-idankolomke-j.
DinotasikandenganMij
ContohMinordarielemena₁₁










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 3332
2322
11
aa
aa
M 














44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A 444342
343332
242322
11
aaa
aaa
aaa
M
HADY RASIKHUN, M.SI.

36. Minor-minordariMatrikA(ordo3x3)
Minor
HADY RASIKHUN, M.SI.

37. Kofaktor Matriks
Kofaktordaribariske-idankolomke-jdituliskandengan
Contoh:
Kofaktordarielemena112323
32
23
)1( MMc 

HADY RASIKHUN, M.SI.

38. Teorema Laplace
Determinandarisuatumatrikssamadenganjumlahperkalianelemen-elemen
darisembarangbarisataukolomdengankofaktor-kofaktornya
HADY RASIKHUN, M.SI.

39. Teorema Laplace
DeterminandenganEkspansiKofaktorPadaBaris
MisalkanadasebuahmatriksAberordo3x3
DeterminanMatriksAdenganmetodeekspansikofaktorbaris
pertama
|A|










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
131312121111
131312121111
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
MaMaMa
cacaca



HADY RASIKHUN, M.SI.

40. Teorema Laplace
DeterminanMatriksAdenganmetodeekspansikofaktorbariskedua
|A|
DeterminanMatriksAdenganmetodeekspansikofaktorbarisketiga
|A|3231
1211
23
3331
1311
22
3332
1312
21
232322222121
232322222121
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
MaMaMa
cacaca


 2221
1211
33
2321
1311
32
2322
1312
31
333332323131
333332323131
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
MaMaMa
cacaca



HADY RASIKHUN, M.SI.

41. Teorema Laplace
DeterminandenganEkspansiKofaktorPadaKolom
MisalkanadasebuahmatriksAberordo3x3
DeterminanMatriksAdenganmetodeekspansikofaktor
kolompertama
|A|










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 2322
1312
31
3332
1312
21
3332
2322
11
313121211111
313121211111
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
MaMaMa
cacaca



HADY RASIKHUN, M.SI.

42. Teorema Laplace
DeterminanMatriksAdenganmetodeekspansikofaktorkolomkedua
|A|
DeterminanMatriksAdenganmetodeekspansikofaktorkolomketiga
|A|2321
1311
32
3331
1311
22
3331
2321
12
323222221212
323222221212
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
MaMaMa
cacaca


 2221
1211
33
3231
1211
23
3231
2221
13
333323231313
333323231313
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
MaMaMa
cacaca



HADY RASIKHUN, M.SI.

43. Determinan Matriks Segitiga
JikaAadalahmatrikssegitigabujursangkarberupasegitigaatasatau
segitigabawahmakanilaidet(A)adalahhasilkalidiagonalmatriks
tersebut
ContohdstaaaA 
332211
)det( 1296496)3(2)det( A
HADY RASIKHUN, M.SI.

44. Transpose Matriks
JikaAadalahsuatumatriksmxn,makatranposeAdinyatakanolehAͭdan
didefinisikandenganmatriksnxmyangkolompertamanyaadalahbaris
pertamadariA,kolomkeduanyaadalahbariskeduadariA,demikianjuga
dengankolomketigaadalahbarisketigadariAdanseterusnya.
Contoh:
matriksA: berordo2x3
transposenya: berordo3x2






314
131
A 










31
13
41
t
A
HADY RASIKHUN, M.SI.

45. Transpose Matriks
BeberapaSifatMatriksTranspose:TT
TTT
TT
TTT
kAkA
ABAB
AA
BABA




).(4
).(3
).(2
).(1
HADY RASIKHUN, M.SI.

46. Transpose Matriks
Pembuktianaturanno1:






















232322222121
131312121111
232221
131211
232221
131211
bababa
bababa
bbb
bbb
aaa
aaa
BA 






232221
131211
bbb
bbb
B 






232221
131211
aaa
aaa
A 










2313
2212
2111
aa
aa
aa
A
T 










2313
2212
2111
bb
bb
bb
B
T 



































23231313
22221212
21211111
2313
2212
2111
2313
2212
2111
baba
baba
baba
bb
bb
bb
aa
aa
aa
BA
TT
TERBUKTI













23231313
22221212
21211111
)(
baba
baba
baba
BA
T
HADY RASIKHUN, M.SI.

47. Transpose Matriks
Pembuktianaturanno2:






232221
131211
aaa
aaa
A 










2313
2212
2111
aa
aa
aa
A
T 

















232221
131211
2313
2212
2111
)(
aaa
aaa
aa
aa
aa
A
T
TT
TERBUKTI
HADY RASIKHUN, M.SI.

48. Sebuahmatriksdikatakansimetriapabilahasildaritranspose
matriksAsamadenganmatriksAitusendiri.
Contoh:
1. 2.





















002
003
231
002
003
231
T
A
A 













21
12
21
12
T
B
B AA
T

Matriks Simetri
HADY RASIKHUN, M.SI.

49. Invers Matriks
MatriksinversdarisuatumatriksAadalahmatriksByangapabiladikalikan
denganmatriksAmemberikansatuanI
AB=I
Notasimatriksinvers:
Sebuahmatriksyangdikalikanmatriksinversenyaakanmenghasilkanmatrik
satuan
Jika
ApabiladetA=0,makamatrikstersebuttidakmempunyaiinvers.1
A IAA
1 






dc
ba
A 










ac
bd
bcad
A
1
1
HADY RASIKHUN, M.SI.

50. Invers Matriks
AdjoinMatriks
Adjoinmatriksmerupakantransposedarimatrikskofaktor.Adjoinsering
disingkatdenganAdj.MisalkanmatriksA,makaadjoinAditulisAdj(A).Adjoin
matriksdigunakandalammenentukaninversmatriks.
InversMatriksordo3x3dimana
adalah
dengansyarat�≠0
HADY RASIKHUN, M.SI.

51. Invers Matriks
Contoh
Tentukaninversdarimatriks
Jawab:
Denganrumus, kitadapatkanDet(A) = -48
HADY RASIKHUN, M.SI.

52. Invers Matriks
InversA =�
−1
=
1
−48
0−12−4
−12−3−1
24−6−18
�
−1
=
0
1
4
1
12
1
4
1
16
1
48
−
1
2
1
8
3
8
HADY RASIKHUN, M.SI.

53. Tugas
HADY RASIKHUN, M.SI.
Tentukaninvers darimatriks
1. �=
123
0−1−2
034
2. �=
−451
03−2
21−1

54. 1.DiscreteMathematicsanditsApplications;
KennethH.Rosen;McGrawHill;sixthedition;
2007
2.http://p4tkmatematika.org/
3.http://www.idomaths.com/id/matriks.php
4.InformatikaUB
Referensi
HADY RASIKHUN, M.SI.