Materi Matematika ELIPS KELAS 12 SMA.pptx

Materi Elips Kelas 12 SMA

1. ELIPS

2. Elips Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap ( konstan ). Dua titik tertentu itu disebut fokus atau titik api (F 1 dan F 2 ), jarak (F 1 dan F 2 ) adalah 2c, dan jumlah jarak tetap 2a (a > 0)

3. Elips Perhatikan gambar A 1 (-a, 0) P A 2 (a, 0) (- c, 0) (c, 0) (0, b) (0, - b) F 2 F 1 E L K T D B 2 B 1

4. Elips Keterangan (F 1 dan F 2 ) disebut fokus . Jika T adalah sembarang titik pada elips maka : T F 1 + TF 2 = 2a. F 1 F 2 = 2c, dengan 2a > 2c A 1 A 2 merupakan sumbu panjang ( sumbu mayor) yang panjangnya sama dengan jarak tetap yaitu 2a. B 1 B 2 merupakan sumbu pendek ( sumbu minor) yang panjangnya sama dengan 2b. Karena itu a > b. Lactus rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips , tegak lurus sumbu mayor, dan melalui fokus (DE dan KL) Panjang lactus rectum DE = KL =  

5. Elips Keterangan 4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor 5. Titik puncak elips yaitu A 1 ,A 2 ,B 1 , dan B 2

6. Elips Persamaan Elips Berpuncak di O(0, 0) Pusat P(0, 0) Persamaan elips Fokus (-c, 0), (c, 0) (0, -c), (0, c) Puncak (-a, 0), (a, 0) (0, -a), (0, a) LR Sumbu mayor Sumbu X Sumbu Y Sumbu minor Sumbu Y Sumbu X Pusat P(0, 0) Persamaan elips Fokus (-c, 0), (c, 0) (0, -c), (0, c) Puncak (-a, 0), (a, 0) (0, -a), (0, a) LR Sumbu mayor Sumbu X Sumbu Y Sumbu minor Sumbu Y Sumbu X

7. Contoh soal 1 Tentukan persamaan elips dengan titik puncaknya (13, 0) dan fokus F 1 (-12, 0) dan F 2 (12, 0).

8. Penyelesaian Diketahui pusat elips (0, 0) Titik puncak (13, 0) ⇔ a = 13 Titik fokus (-12, 0) dan (12, 0) ⇔ c = 12 Ditanya : persamaan elips = ….? = = 169 – 144 = 25 ⇔ b = = 5 Sumbu utama adalah sumbu x, sehingga persamaan elipsnya adalah : atau  

9. Contoh soal 2 Tentukan persamaan elips dengan fokus F 1 (0, -4) dan F 2 (0, 4) dengan titik puncak (0, 5) dan (0, -5) !

10. Penyelesaian Diketahui pusat elips (0, 0) Titik puncak (0, 5) ⇔ a = 5 Titik fokus (0, -4) dan (0, 4) ⇔ c = 4 Ditanya : persamaan elips = ….? = = 25 – 16 = 9 ⇔ b = = 3 Sumbu utama adalah sumbu y, sehingga persamaan elipsnya adalah : atau  

11. Contoh soal 3 Tentukan persamaan elips dengan titik focus (-5, 0) dan (5, 0) serta panjang sumbu mayor = 26.

12. Penyelesaian Diketahui: Panjang sumbu mayor 2a = 26, maka a = 13 Titik focus (-5, 0) dan (5, 0), maka c = 5 Ditanya : persamaan elips = ….? = = 169 – 25 = 144 ⇔ b = = 12 Karena titik fokus terletak pada sumbu X, maka persamaan elipsnya adalah : atau  

13. SOAL Diketahui elips dengan persamaan . Tentukan fokus , titik puncak , Panjang sumbu mayor, Panjang sumbu minor dan Panjang lactus rectumnya !  

14. Penyelesaian Diketahui persamaan elips = 81 ⇔ a = 9 = 25 ⇔ b = 5 = = ⇔ c = Fokus (0, - ) dan (0, ) Titik puncak (0, -9) dan (0, 9) Panjang sumbu mayor ⇔ 2a = 18 Panjang sumbu minor ⇔ 2b = 10 Panjang lactus rectum (LR) ⇔  

15. Elips Persamaan Elips Berpuncak di P(m, n) Pusat P(m, n) Persamaan elips Fokus (m - c, n), (m + c, n) (m, n - c), (m, n + c) Puncak (m - a, n), (m + a, n) (m, n - a), (m, n + a) LR Sumbu mayor Y = n X = m Sumbu minor X = m Y = n Pusat P(m, n) Persamaan elips Fokus (m - c, n), (m + c, n) (m, n - c), (m, n + c) Puncak (m - a, n), (m + a, n) (m, n - a), (m, n + a) LR Sumbu mayor Y = n X = m Sumbu minor X = m Y = n

16. Contoh soal 1 Tentukan persamaan elips fokus F 1 (1, 3) dan F 2 (7, 3), dan puncaknya (10, 3) !

17. Penyelesaian Fokus (1, 3) dan (7, 3) ⇔ m – c = 1; m + c = 7, dengan eliminasi diperoleh m = 4 dan c = 3 Pusat P(m, n) ⇔ P(4, 3) ⇔ n = 3 Pusat P(10, 3) ⇔ m + a = 10 ⇔ a = 6 = = 36 – 9 = 27 ⇔ b =  

18. Penyelesaian Sumbu utama y = 3, sehingga persamaan elipsnya menjadi : atau  

19. SOAL Sebuah elips mempunyai persamaan . Tentukanlah : Koordinat pusat , focus, dan puncak dari elips ! Panjang sumbu mayor dan sumbu minor!  

20. SOAL 2. Tentukan titik pusat , fokus , titik puncak dan Panjang lactus rectum dari elips yang mempunyai persamaan !  

21. Penyelesaian Diketahui ! Pusat elips P(-1, 5) = 36 ⇔ a = 6 = 9 ⇔ b = 3 = = 36 – 9 = 27 ⇔ c =  

22. Penyelesaian Fokus F 1 ( -1, 5 - 3 ) ⇔ F 1 ( -1, 5- 3 ) Fokus F 2 ( -1, 5 + 3 ) ⇔ F 1 (-1, 5 + 3 ) Puncak P ( -1, 5 - 6) ⇔ P (-1 , -1 ) Puncak P ( -1, 5 + 6) ⇔ P (-1, 11) Panjang lactus rectum = = = 3  

23. Bentuk Umum Persamaan Elips Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 Hubungan antara persamaan Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 dengan persamaan , adalah sebagai berikut : Jika A > B, maka A = a 2 , B = b 2 , C = -2a 2 m, D = -2b 2 n, E = a 2 m 2 +b 2 n 2 - a 2 b 2 Jika A <B, maka A = b 2 , B = a 2 , C = -2b 2 m, D = -2a 2 n, E = b 2 m 2 +a 2 n 2 - a 2 b 2  

24. Contoh soal Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki persamaan 4 x 2 + 9y 2 - 16x + 18y - 11 = 0 !

25. Penyelesaian Diketahui : 4 x 2 + 9y 2 - 16x + 18y - 11 = 0 A = 4, B = 9, C = -16, D = 18, E = -11 = A = 4 ⇔ b = 2 A < B = B = 9 ⇔ a = 3 C = -2b 2 m D = -2a 2 n C 2 = a 2 - b 2 -16 = -2.4.m 18 = -2.9.n = 9 - 4 -16 = -8m 18 = -18n = 5 2 = m -1 = n C = Pusat P(m, n) ⇔ P(2, -1) Karena > maka sumbu mayor elips sejajar sumbu X Fokus F 1 (m + c, n) ⇔ F 1 (2 + , -1) Fokus F 2 (m - c, n) ⇔ F 2 (2 - , -1)  

26. LATIHAN SOAL Tentukan titik pusat , dan titik fokus dari elips yang memiliki persamaan 9 x 2 + 16y 2 + 36x - 32y - 92 = 0 ! Tentukan titik pusat , dan titik fokus dari elips yang memiliki persamaan 25 x 2 + 9y 2 + 100x - 36y - 89 = 0 !

27. Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Elips A. Kedukan Titik Terhadap Elips A   P   B   C   Keterangan : Titik A terletak di dalam elips Titik B terletak pada Elips Titik C terletak diluar Elips

28. Menentukan kedudukan titik terhadap elips Menentukan kedudukan titik terhadap elips dapat dilakukan dengan cara mensubtitusi titik ke persamaan elips , kemudian bandingkan nilai ruas kiri dan nilai ruas kanan . Jika nilai ruas kiri lebih kecil dari nilai ruas kanan , maka titik terletak di dalam elips Jika nilai ruas kiri sama dengan nilai ruas kanan , maka titik terletak pada elips Jika nilai ruas kiri lebih dari nilai ruas kanan , maka titik terletak di luar elips

29. Contoh Soal 1: Tentukan kedudukan titik A(2, 3) terhadap elips  

30. Penyelesaian : Subtitusi nilai A(2,3) = A(x, y) ke ruas kiri persamaan elips : J adi , titik A(2, 3) terletak pada elips  

31. Contoh Soal 2: Tentukan kedudukan titik P(1, 1) terhadap elips  

32. Penyelesaian : Subtitusi titik P(1, 1) = P(x, y) ke ruas kiri persamaan elips : 1 + 2 – 10 + 8 + 29 = 30 > 0 J adi , titik P(1, 1) terletak diluar elips  

33. B. Kedukan Garis Terhadap Elips C Keterangan : Garis g menyinggung elips atau memotong elips tepat di satu titik , yaitu titik C Garis h memotong elips di dua titik , yaitu di titik A dan B Garis k tidak memotong dan tidak menyinggung elips g A B h k

34. Menentukan kedudukan garis terhadap elips Menentukan kedudukan garis terhadap elips dengan ketentuan sbb : Berdasar nilai diskriminan D ada 3 kemungkinan kedudukan garis terhadap elips , yaitu : Jika D > maka garis memotong elips pada dua titik Jika D = 0 maka garis menyinggung elips ( ada satu titik potong ) Jika D < 0 maka garis tidak memotong dan tidak menyinggung elips

35. Contoh Soal : Tentukan nilai m agar garis y = mx + 1 memotong elips  

36. Penyelesaian : Subtitusi y = mx + 1 ke persamaan elips : (4 + 9 ) + (-18 m – 24) x + 9 = 0 a = (4 + 9 ) , b = (-18 m – 24), c = 9  

37. Penyelesaian : Dari persamaan diperoleh nilai D D = = = = = m = -  

38. Penyelesaian : Diketahui garis y = mx + 1 memotong elips , maka nilai diskriminan D > 0 Jadi , garis y = mx + 1 akan memotong elips jika nilai  

39. Persamaan Garis Singgung Elips a. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik pada Elips 1. Persamaan garis singgung melalui titik pada elips adalah 2 . Persamaan garis singgung melalui titik pada elips adalah 3. Persamaan garis singgung melalui titik pada elips adalah 4. Persamaan garis singgung melalui titik pada elips adalah          

40. Persamaan Garis Singgung Elips a. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik pada Elips 5. Persamaan garis singgung melalui titik pada elips adalah      

41. Persamaan garis singgung elips di titik P(   Persamaan elips Persamaan garis singgung Melalui titik ( Dengan gradien p Persamaan elips Persamaan garis singgung Dengan gradien p

42. Persamaan garis singgung elips di titik P(m, n) Persamaan elips Persamaan garis singgung Melalui titik ( Dengan gradien p Persamaan elips Persamaan garis singgung Dengan gradien p

43. Contoh soal 1 Tentukan persamaan garis singgung elips berikut , a. , pada titik (4, 3) b. , pada titik (5, -3) c. , pada titik  

44. Penyelesaian Diketahui : (4, 3) ⇔ = 4 dan = 3 Persamaan garis singgung : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x + y = 7  

45. Penyelesaian Diketahui : Pusat (m, n) ⇔ (1, -2) (5, -3) ⇔ =5 dan = -3 Persamaan garis singgung : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2(x – 1) - (y + 2) = 9 ⇔ 2x – y = 13  

46. Penyelesaian Diketahui : = 3 dan = 16 (2, ) ⇔ = 2 dan = Persamaan garis singgung : ⇔ ⇔ ⇔ 6x + 24y = 48 ⇔ x + 4y = 8  

47. Contoh soal 2 Tentukan persamaan garis singgung elips berikut , , dengan gradien 1 , dengan gradien 2  

48. Solusi Diketahui : ⇔ = 22, = 3, dan p = 3 Persamaan garis singgung : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ y = x + 5 dan y = x - 5  

49. Solusi Diketahui : ⇔ m = -3, n = 4, = 15, = 4, dan p = 2 Persamaan garis singgung : ⇔ ⇔ ⇔ y =2x + 6 8 +4 ⇔ y = 2x + 18 dan y = 2x + 2  

50. Thank you [email protected]