Matrices conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental y equivalente

1. DEFINICION: Sean las matrices A y B Є M n , A y B son conmutables si y solo si: A.B=B.A EJEMPLO: MATRIZ CONMUTABLE

2. DEFINICION: Una matriz A Є M n se le denomina idempotente si y solo si: A 2 = A EJEMPLO: MATRIZ IDEMPOTENTE

3. DEFINICION: Una matriz A Є M n se le denomina nilpotente de orden r, si r es el menor entero positivo tal que: A r = 0 EJEMPLO: MATRIZ NILPOTENTE

4. DEFINICION: Una matriz A Є M n se le denomina involutiva si y solo si: A 2 = I EJEMPLO: MATRIZ INVOLUTIVA

5. DEFINICION: Una matriz E Є M n , se dice que es una matriz elemental, si E se obtiene de I Є M n con una sola operación elemental de filas EJEMPLO: MATRIZ ELEMENTAL

6. TEOREMA 1.1: Sean A Є M mxn . A es equivalente a A , es decir, toda matriz es equivalente a si misma. EJEMPLO: MATRIZ EQUIVALENTE

7. TEOREMA 1.2: Sean A, B, C Є M mxn . Si A es equivalente a B y B es equivalente a C , entonces A es equivalente a C EJEMPLO:

8. COROLARIO : Sean A, B Є M mxn . A es equivalente a B si y solo si B = P.A, donde P es un producto de matrices elementales por A EJEMPLO: