MATRICES_TEORIA__2025_1_MATEMATICAS_II_V.pptx

Taller sobre función objetivo a través del método gráfico, en donde se requiere de la aplicación de las operaciones básicas, reglas de representación y planteamiento de cada restricción, así como su respectiva interpretación:

1. Realice una lectura completa de la actividad.
2. La actividad se desarrolla en hojas cuadriculadas.
3. Cada una de las hojas debe tener los datos básicos de identificación del estudiante (Nombre completo, numero de documento de identidad, asignatura).
En la solución de cada uno de los puntos propuestos en los talleres y evaluaciones siempre se debe mostrar el procedimiento planteado para poder realizar retroalimentación, además de poder determinar el o los posibles errores cometidos durante el desarrollo.
4. Solucione cada una de las situaciones planteadas de forma ordena y clara
5. De respuesta cada uno de los interrogantes planteados.
6. El formato de entrega del documento es en PDF
7. Se carga en la plataforma de Moodle en el espacio y fecha asignada.
8. Recuerde que usted cuenta con presentaciones anexas en cada una de las unidades de aprendizaje.
9. Revise el material de apoyo que se le pueda suministrar en cada caso.
La valoración de los talleres y evaluaciones se realizará de forma proporcional al número de ejercicios asignados los cuales tendrán el mismo porcentaje o valor.

1. ADMINISTRACIÓN PÚBLICA TERRITORIAL BOGOTA MATEMÁTICAS II MAGISTER RAÚL MONROY PAMPLONA

2. MATRICES Y DETERMINANTES Definición de matriz Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: Abreviadamente suele expresarse en la forma A =( a ij ), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo, el elemento a 25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. Fila Columna

3. mxn =3x3 mxn =4x3 mxn =3x1 mxn =3x4 ?

4. MATRICES Y DETERMINANTES ESPECIALES

5. MATRICES Y DETERMINANTES Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n . Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1 . Tipos de matrices :

6. MATRICES Y DETERMINANTES Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por La matriz La matriz es una matriz nula de orden 3 es una matriz nula de orden 2 x 4 Tipos de matrices :

7. MATRICES Y DETERMINANTES   La matriz La matriz opuesta de A Tipos de matrices :    

8. MATRICES Y DETERMINANTES Tipos de matrices: Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n . En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n , y no n x n . Los elementos a ij con i = j , o sea a ii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a ij con i + j = n +1 la diagonal secundaria. Diagonal principal Diagonal secundaria

9. MATRICES Y DETERMINANTES Aspectos de la matriz cuadrada : Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

10. MATRICES Y DETERMINANTES Aspectos de la matriz cuadrada : : Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a ij = 0 " i < j. Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a ij = 0 " j < i. matriz triangular inferior matriz triangular superior

11. Si una matriz es a la vez triangular superior y triangular inferior se llama matriz diagonal. La matriz identidad es una matriz diagonal.

12. MATRICES Y DETERMINANTES Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por A t , a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de A t , la segunda fila de A es la segunda columna de A t , etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n , entonces A t es de orden n x m . Tipos de matrices : Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A t , es decir, si a ij = a ji " i, j . Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si - A = A t , es decir, si a ij = – a ji " i, j . Las filas se convierten en columnas. La fila se deja caer

13. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Trasposición de matrices Suma y diferencia de matrices Producto de una matriz por un número Propiedades simplificativas Producto de matrices

14. MATRICES Y DETERMINANTES Trasposición de matrices Operaciones con matrices Dada una matriz de orden m x n, A = ( aij ), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por A t , a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir: Propiedades de la trasposición de matrices: 1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (A t ) t = A.

16. MATRICES Y DETERMINANTES La suma de dos matrices A=( a ij ), B=( bij ) del mismo orden, es otra matriz S=( sij ) del mismo orden (dimensión) que los sumandos y con término genérico sij= aij+bij . Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener el mismo orden. La suma de las matrices A y B se denota por A+B. (se suma término a término) Ejemplo Suma y diferencia de matrices Operaciones con matrices                                                         Sin embargo,                            no se pueden sumar. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

17. MATRICES Y DETERMINANTES 4ª. La matriz –A , que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A ) = 0 . (0 es la matriz nula) Suma y diferencia de matrices Operaciones con matrices Propiedades de la suma de matrices 1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa 2ª. A + B = B + A Propiedad conmutativa Matriz Nula 3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

18. MATRICES Y DETERMINANTES Producto de una matriz por un número Operaciones con matrices El producto de una matriz A = ( aij ) por un número real k es otra matriz B = ( bij ) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k , es decir, bij = k·aij . Ejemplo: El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A . Al número real k se le llama también escalar , y a este producto, producto de escalares por matrices

19. MATRICES Y DETERMINANTES Producto de una matriz por un número Operaciones con matrices Propiedades del producto de una matriz por un escalar . 1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª 2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª Propiedad asociativa mixta 3ª. k [h A] = (k h) A Elemento unidad 4ª. 1 · A = A · 1 = A

20. MATRICES Y DETERMINANTES Propiedades simplificativas Operaciones con matrices Si A + C = B + C Û A = B Si k A = k B Û A = B si k es distinto de 0 Si k A = h A Û h = k si A es distinto de 0

21. MATRICES Y DETERMINANTES Producto de matrices Operaciones con matrices Dadas dos matrices A y B , su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B . De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B . Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p , la matriz P será de orden m x p , Es decir: no se pueden multiplicar Ejemplo: P ij = S a ik b kj

22. No se puede multiplicar

23. Primera fila por primera columna 1*2 + 0*0 + 0*1 = 2 Primera fila por segunda columna 1*1 + 0*3 + 0*0 = 1 Segunda fila por primera columna 3*2 + 4*0 + 2*1 = 8 Segunda fila por segunda columna 3*1 + 4*3 + 2*0 = 15 2x3 3x2 2x2

24. Primera fila por primera columna 1*1 + 2*1 + 3*0 = 3 Primera fila por segunda columna 1*2 + 2*1 + 3*1 = 7 Primera fila por tercera columna 1*3 + 2*1 + 3*(-1) = 2 Segunda fila por primera columna 1*1 + 1*1 + 1*0 = 2 3x3 3x3 3x3   …

25. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de matrices Propiedades del producto de matrices A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa) Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·I n = I n ·A = A. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = I n . Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A –1 . El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C El producto de matrices en general no es conmutativo.

26. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de matrices Consecuencias de las Propiedades Si A · B = 0 no implica que A = 0 ó B = 0 Si A · B = A · C no implica que B = C En general (A+B) 2 ¹ A 2 + B 2 +2AB, ya que A · B ¹ B · A En general (A+B) · (A–B) ¹ A 2 – B 2 , ya que A · B ¹ B · A

27. DETERMINANTE El determinante es una herramienta  matemática , se puede encontrar o extraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los  productos  elementales de la matriz. Antes de entrarnos en el estudio de los determinantes vamos a solucionar un sistema de tres por tres.

28.     Para determinantes de orden mayor a dos se puede emplear los métodos de: Regla de Sarros y Cramer Menor complementarios (menores adjuntos o cofactores)

29. DETERMINANTES DE TERCER ORDEN: Para resolver determinantes de tercer orden aplicaremos el  proceso  que se conocen como: La Regla de Sarrus. https://www.monografias.com/trabajos101/determinates-algebra-lineal/determinates-algebra-lineal.shtml REGLA DE SARRUS: La regla de sarrus es de f á cil memorizaci ó n para calcular el determinante de una matriz de 3x3. Lleva este nombre en honor a su inventor el matem á tico franc é s Pierre Frederic Sarrus. Ahora consideremos la siguiente matriz:           

30. Su determinante se puede calcular de la siguiente manera: 1) Aumentamos las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de esta matriz y así ahora quedaran cinco columnas. 2) Sumamos el producto de las diagonales descendientes, y restamos el producto de las diagonales ascendiente estas son: (a11x a22 a33) + (a12 x a23x a31) + (a13 x a21 xa32) – (a12 x a21 x a33) – (a11 x a23 x a32) – (a13 x a22 x a31) 3) Si la suma da un número diferente de cero el sistema tiene solución.

31. EJEMPLO     – (3*7*5 + 0*(-3)*(-2) + 2*6*4) -28-36+0 -64 105+0+48 153 -64-153= -217

32. DETERMINANTES DE TERCER ORDEN: Para resolver determinantes de tercer orden aplicaremos dos  proceso llamado el menor complementario (menores adjuntos o cofactores) . https://www.monografias.com/trabajos101/determinates-algebra-lineal/determinates-algebra-lineal.shtml Menor complementario: (cofactores) Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento a ij se denota por M ij y se define como el determinante de la submatriz que queda después de quitar el i- ésimo renglón y la j- ésima columna de A. El numero (–1) i+j M ij se denota por C ij y se denomina cofactor del elemento a ij . Si súmanos sus índices del elemento i+j y si esta suma da par se toma positivo pero si da impar se toma negativo.           

33. EJEMPLO   Tomamos cualquier elemento de la matriz por ejemplo -2, por lo tanto eliminamos la fila y la columna donde esta ubicado este elemento