MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CURSO ESTADISTICA APLICADA

LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAUNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
Facultad de Ciencias de la EducaciónFacultad de Ciencias de la Educación
ESTADISTICA APLICADA A LA INVESTIGACIÓN
CIENTÍFICA
I Unidad: Medidas de Resumen

2. ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN

8. ESTADÍSTICAS O MEDIDAS DE RESUMEN
El conjunto de datos que existe en una tabla de frecuencias puede ser
reducido a unas medidas de resumen llamadas estadísticas:
1. Medidas te tendencia central : Mo, Me y
2. Medidas de dispersión o variabilidad : R, s, C.V.
3. Medidas de posición individual: Q, D y P.
4. Medidas de asimetría : s=0, s<0 y s>0
Con estas medidas se puede describir el
comportamiento de variables cuantitativas
X

9. Medidas de tendencia central
Sean las siguientes edades en años: 2 7 4 5 7 8 3 4 7 9
Media o promedio : suma de valores entre el Nº de elementos

56 / 10 = 5,6
Moda : valor que se repite más veces en una serie
7
Mediana : valor que divide un conjuntos de datos ordenados en 2
partes iguales.
2 3 4 4 7 7 8 9
( 5 +7 ) / 2 = 6
5 7

10. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Son medidas estadísticas
calculadas con
informaciones de una
muestra o una población
que localizan el centro de
la distribución.
Son valores
representativos del
conjunto de datos.
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x
x
Media - Moda - Mediana

11. 1. Moda ( Mo )1. Moda ( Mo )
Es el valor de la variable que se repite con mayor frecuencia;
es decir es el dato que más veces se repite.
Se puede hallar también de datos cualitativos
Un conjunto de datos puede ser: unimodal, bimodal,
multimodal o no tener moda.
Ejemplos con notas y estado civil:
1.10 12 13 13 15 16 : Mo =13
2. 11 12 12 13 14 14 17 : Mo = 12 y Mo = 14
3. 12 13 15 16 19 : No hay moda
4. C S C D C S C V S : Mo = C

13. Mediana ( Me )Mediana ( Me )
Es un valor que se ubica en el medio del
conjunto ordenado de datos.
La mitad (50%) de los datos tendrá
valores menores o iguales que la Mediana
y la otra mitad (50%) son valores
mayores o iguales que la mediana.
Me
50 % de datos 50 % de datos
Xmin. X máx.

14. Se puede hallar “Me” de datos que están en escala ordinal,
de intervalo o de razón.
Localiza mejor el centro de la distribución de los datos.Localiza mejor el centro de la distribución de los datos.

15. Casos de MedianaCasos de Mediana
Para Nº impar de datos:
Es el dato que ocupa la posición central.
Ejm: 12 13 14 20 21 30
Me = 17
 Para Nº par de datos
Resulta de sumar los 2 datos centrales y
dividir entre 2.
12 13 14 20 20 50
Me = 17
17
16 18

16. 16
Robustez de la MedianaRobustez de la Mediana
Consideremos los siguientes edades:
3 3 4 5 7 8 9 11 13
La media = 7 y la mediana = 7
Si cambiamos el dato x
9 =13 por otro nuevo dato x
9 = 49
3 3 4 5 7 8 9 11 49
y calculamos de nuevo la media y la mediana, obtenemos:
• Nueva media: = 11
• Nueva mediana: Me = 7
x

17. Media o Promedio Media o Promedio X

18. Media ( )Media ( )
Es el valor promedio de un conjunto de datos cuantitativos.
Es un valor representativo del conjunto de datos; es decir, es aquel valor que
tendría cada uno de los datos observados, si todos ellos tuvieran igual medida.
Ejm: En las notas 13 15 17 12 18 ; =15 y esto significa:
15 15 15 15 15
Es el punto de equilibrio o centro de gravedad de un conjunto de datos.
n
x
x
n
1i
i


X
X
•Es útil cuando los datos tienen Es útil cuando los datos tienen
distribución normal. distribución normal.

19. Usos de la media, mediana y modaUsos de la media, mediana y moda
MEDIA
Nivel de Medición Tipo de distribución Objetivo de trabajo
- Por intervalos
- Por razones
Simétrica (no sesgada)Realizar inferencias o
pruebas de hipótesis
MEDIANA
Nivel de Medición Tipo de distribución Objetivo de trabajo
- Ordinal
- Por intervalos
- Por razones
Sesgadas Realizar pruebas de
hipótesis
MODA
Nivel de Medición Tipo de distribución Objetivo de trabajo
- Nominal
- Ordinal
- Por intervalos
- Por razones
unimodal y/o
bimodal
Solo para describir la
muestra

20. ¿¿Que medida de tendencia central usar en una Que medida de tendencia central usar en una
investigación?investigación?
Depende de siguientes factores
El nivel de medición que usa
La forma de distribución de los datos
(normal o asimétrica)
El objetivo de la investigación

21. ¿Cuál elegir?
Moda
Mediana
Media

22. Ejemplo controversialEjemplo controversial
Sean siguientes salarios semanales:
100, 100, 100, 100, 200, 400, 1200 y 2600
Luego: media = 600
moda = 100
Mediana = 150
Cada una de estos valores puede ser
manejado por 3 personas distintas de
acuerdo a su interés.

23. Estadísticos resistentes: Son aquellos que no se ven
influidos (o solo ligeramente) por pequeños cambios en
los datos.
Evidentemente, la media es un estadístico muy
poco resistente a cambios en los datos, dado que se
ve influida por todos y cada uno de ellos.
La mediana, en cambio, es un estadístico altamente
resistente.
Resistencia y robustez

24. La media no es un estimador robusto.
La mediana es un estimador más robusto
que la media, si bien hay otros estimadores
más robustos que veremos en el punto
siguiente del temario.
Robustez

25. OTRAS MEDIDAS DE POSICIÓNOTRAS MEDIDAS DE POSICIÓN
PERCENTILES
Si se divide el número de observaciones de una distribución
entre 100, cada uno de los centésimos obtenidos recibe el
nombre de PERCENTIL.
Una distribución tiene 100 percentiles. Siendo el menor el
percentil 1 y el mayor el percentil 100.
PESO de 5,000 niños
TALLA de 5,000 niños

26. Es posible dividir una distribución en tantas partes como lo
requiera su análisis, por ejemplo, pueden obtenerse:
10 partes = DECILES
5 partes = QUINTILES
4 partes = CUARTILES
OTRAS MEDIDAS DE POSICIÓNOTRAS MEDIDAS DE POSICIÓN

27. Cuartiles ( Q )
Son números que dividen un conjunto de datos en 4 partes
iguales, y ellos son:

• El cuartil uno ( Q1 ), es el punto por debajo del cual se ubica el 25 % de
los datos.
•El cuartil dos ( Q2 ), es el punto por debajo del cual se ubica el 50 % de
los datos. ES igual a la Me
• El cuartil tres ( Q3 ), es el punto por debajo del cual se ubica el 75 % de
los datos.
Q2
Q1
Q3
Xmín.
Xmáx
25%
50%
75%

28. 27N=
PESOS
160
140
120
100
80
60
40
20
0
5
27
9
26
Datos extremadamente
atípicos Nº 26 y 9
Dato atípico Nº 27
Bigote o patilla
superior
Cuartil 3
Cuartil 2
Cuartil 1
Bigote o patilla
inferior
Dato atípico Nº 5
Indica Nº datos
DIAGRAMA DE CAJA Y BIGOTEDIAGRAMA DE CAJA Y BIGOTE

29. Medidas robustas de tendencia central
1. Medias Recortada al 5 %:
Se define como la media de los datos que ha sido calculada con el 90% de
los valores intermedio. Es decir, se ha calculado, una vez de haber
separado
El 5% de los casos con mayor valor y el 5% de los casos con menor valor.
Comentario:
La media normal es 5225 soles, lo cual no es real y es
mayor a lo que cobra el 95% de las personas.
Pero si eliminamos el 5% de sueldos más altos y el 5%
de los más bajos y trabajamos sólo en base al 90%,
entonces la nueva media es 3000 soles, que representa
mejor la situación.
salario mensualfrecuencia
500 5
1000 10
1500 10
2000 10
2500 10
3000 10
3500 10
4000 10
4500 10
5000 10
5000 10
50000 5
Total 100

30. MEDIDAS DE DISPERSIÓNMEDIDAS DE DISPERSIÓN
• Rango
• Desviación estándar
• Varianza
• Coeficiente de variación

31. Medidas De DispersiónMedidas De Dispersión
¿En cual de los dos conjuntos de puntos A y B hay
mayor alejamiento de puntos respecto al rectángulo rojo ?
Algo de esto sucede con los datos cuantitativos

32. ¿Qué tan separados están entre sí los datos?
¿Qué tan "desparramados" están los datos?
Estas medidas nos permiten medir y/o
analizar la variación o variabilidad de las
distribuciones de datos cuantitativos
Medidas de Dispersión
Permite saber ¿cómo se distribuyen los datos
alrededor de un valor representativo?

33. Medidas de dispersión
40
6050
A A A A A
B B B B B
C C C C C

Permite conocer, cuán concentrados y homogéneos se encuentran o
qué tan variados (heterogéneos) son los datos cuantitativos.
Sean estos 3 conjuntos de puntos A, B y C:
A : 48 49 50 51 52 media = 50
B : 45 49 50 52 54 media = 50
C : 40 43 50 57 60 media = 50
Y ¿ Cómo es la dispersión o variación en los 3 conjuntos ?

34. Una medida de dispersión nos permite determinar Una medida de dispersión nos permite determinar
la menor o mayor concentración de los datos con la menor o mayor concentración de los datos con
respecto a una media aritmética.respecto a una media aritmética.
Se tiene dos conjuntos de notas:
A={06, 07, 12, 12, 12, 17, 18 }
B={11, 11, 12, 12, 12, 13, 13 }
Las medidas de tendencia central de ambos son
iguales:
Media = Mediana = Moda = 12
Entonces… ¿Cómo comparar estos 2 grupos?
¿Cuál de los grupos representa un mejor resultado?
¿Qué estadísticos nos ayudan a diferenciar mejor?

35. RangoRango (R)(R)
Diferencia entre los valores máximo y mínimo de un conjunto de datos.
R = Xmáx - Xmín
•El rango es la medida de dispersión más simple, porque toma sólo
los valores extremos.
•No dice nada acerca de cómo están separados o unidos los valores
que se encuentran entre estos dos extremos.
Sean las siguientes series de datos:
A : 1, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 9 Media = 5 y R = 8
B : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9 Media = 5 y R = 8
B tiene mayor variabilidad (heterogeneidad

36. Rango Intercuartil (RI)
Es la diferencia entre los cuartiles 3 y 1

El RI excluye el 25% más alto y el 25% más bajo de los datos,
y sólo opera con el 50% de los datos centrales. Por tanto,
no está afectado de valores extremos.,
RI = Q3 - Q1
Sean siguientes edades: 2 3 4 6 7 8 10 16 : n = 8 , luego los cuartiles
son:
Q1 = 3 ….. n / 4 = X 2 Q3 = 8 ……. 3n / 4 = X6
RI = 8 - 3 = 5; significa que 50% de los datos varía en el rango 5
Xmín Xmáx
Q2Q1 Q3

37. VARIANZA (SVARIANZA (S
22
) Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S)) Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S)
Interpretación del valor de “s”Interpretación del valor de “s”
Sean las siguientes estadísticas de un conjunto de notas: media =
14 y s = 2,5.
La dispersión media de las notas de los estudiantes respecto a la
media 14 es de 2,5 puntos, o bien así:
La variabilidad media de las notas de los alumnos en relación al
promedio 14 es de 2,5 puntos.

38. COEFICIENTE DE VARIACIÓN (C.V.)
Se usa para comparar variabilidad de 2 o más
conjuntos de datos expresados en distintas unidades
de medida o escalas.
Ejm.:Talla , pesos y edades o notas de 0-20 y 20-80.
Medida de dispersión que sirve para determinar la
homogeneidad o heterogeneidad de los datos.
S
CV
X
 %100.
x
S
CV
O bien en
%
• A > valor de C.V. > heterogeneidad
• A < valor de C.V. > homogeneidad de los datos.

39. En el ámbito educacional se usa como parámetro de En el ámbito educacional se usa como parámetro de
comparación respecto al cual se establece si un conjunto de comparación respecto al cual se establece si un conjunto de
datos es homogéneo o heterogéneo. Este parámetro tiene datos es homogéneo o heterogéneo. Este parámetro tiene
un valor de 33%. un valor de 33%.
- Si CV ≤ 33%
→
- Si CV ≤ 33%
→
los datos son relativamente homogéneos. los datos son relativamente homogéneos.

- Si CV > 33% - Si CV > 33% → los datos son relativamente → los datos son relativamente heterogéneos.heterogéneos.

0% 33% 100%
Ejemplo: Si de un conjunto de notas su C.V. = 25 %, entonces estas
notas se pueden considerar relativamente homogéneos.

40. 03
20

41. Medidas de Asimetría o sesgo

42. Medidas de asimetríaMedidas de asimetría
Aparte de las medidas de tendencia central
y variabilidad, existe otra medidas de
asimetría, lo cual ayuda a describir mejor
las variables.
Permiten analizar hasta qué punto los datos
se reparten de forma equilibrada por
encima y por debajo de la media.

43. Asimetría o Sesgo
Observa con detenimiento cada una de las figuras y
en base a ello, defina cuándo una curva es simétrica
y/o asimétrica.
Cola derechaCola izquierda

44. Distribución simétricaDistribución simétrica
Notas f
07 2
9 5
11 8
12 10
13 15
14 10
16 8
17 5
19 2
Nos indica que no son muy frecuente los puntajes extremos, la Nos indica que no son muy frecuente los puntajes extremos, la
mayoría se encuentra muy cerca de la media aritméticamayoría se encuentra muy cerca de la media aritmética
Media = 13Media = 13
Mediana = 13Mediana = 13
Moda = 13Moda = 13
2
5
8
10
15
10
8
5
2
0
5
10
15
20
07911121314161719
Notas
fr
e
c
u
e
n
c
ia
Una distribución de frecuencias es simétrica si :
Media = Mediana = Moda

45. Distribución asimétrica positivaDistribución asimétrica positiva
0
5
10
15
20
4 5 6 810152025
Moda < Mediana < MediaModa < Mediana < Media
Ejemplo: Las notas de una “examen difícil”, sueldo de una fábrica….
• Hay pocos valores que superan la media.
• Hay muchos valores en la parte inferior y pocos en la superior.
Ocurre si la mayoría de los puntajes se encuentran en el lado
izquierdo, es decir hacia valores inferiores, mientras que en derecho
hay frecuencias bajas.

46. Distribución asimétrica negativaDistribución asimétrica negativa
Ocurre cuando la mayoría de los puntajes Ocurre cuando la mayoría de los puntajes
tienden a ubicarse a la derecha, es decir, hacia tienden a ubicarse a la derecha, es decir, hacia
valores superiores.valores superiores.
0
5
10
15
20
25
30
35
4 5 6 810152025
Media < Mediana < ModaMedia < Mediana < Moda
Ejemplo:Ejemplo:
Las notas de un examen fácil, muchas notas son altas y pocas Las notas de un examen fácil, muchas notas son altas y pocas
bajas. bajas.
Nº de personas que entran al estadio en los minutos previos al Nº de personas que entran al estadio en los minutos previos al
partido….La mayor parte entra faltando pocos minutos.partido….La mayor parte entra faltando pocos minutos.

47. •Cuando realizamos un estudio descriptivo es altamente
improbable que la distribución de frecuencias sea totalmente
simétrica.
•En la práctica diremos que la distribución de frecuencias es
simétrica si lo es de un modo aproximado. Por otro lado, aún
observando cuidadosamente la gráfica, podemos no ver claro
de que lado están las frecuencias más altas, y para ello,
•Conviene definir entonces unos estadísticos que ayuden a
interpretar la asimetría, a los que llamaremos índices de
asimetría y que denotaremos mediante As. .
• As = 0, distribución simétrica : ( Media = Me = Mo )
•As > 0, distribución asimétrica (+) : ( media > Me > Mo )
•As < 0, distribución asimétrica (-) : ( media < Me < Mo )
.
Índices de asimetría