Mekanika Teknik III (Simple beam) matrix.pdf

Matrix for direct stiffness

1. Matriks Struktur
Balok/ Batang
Mekanika Teknik III (PJJ4324)
DIV Perancangan Jalan dan Jembatan
56Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.

2. Kekakuan (Stiffness)
57Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Kekakuan pada elemen dipaengaruhi oleh:
•Panjang, L
•Area Penampang, A
•Modulus Elastisitas, E
•Perpindahan, u
•Regangan, ε
•Tegangan, σ
Hubungan Regangan dan Perpindahan
Hubungan Tegangan dan Regangan
Jika diasumsikan disepanjang balok perpindahan u linear
disepanjang balok, maka:

3. Kekakuan (Stiffness)
58Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Sehingga,
Kemudian,
Maka, Nilai Kekakuan (k) adalah

4. Matriks Kekakuan Elemen Balok / Batang
59Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Dengan matriks persamaan sebagai berikut,

5. Regangan dan Tegangan Elemen Balok/Batang
60Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Suatu pendekatan terhadap matriks kekakuan
Didenifisikan persamaan linear terhadap fungsi bentuk sebagai berikut
Dimana,
Dan dari persamaan sebelumnya bahwa,

6. Regangan dan Tegangan Elemen Balok/Batang
61Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Dimana B adalah element Matriks regangan – perpindahan,
dimana:

7. Regangan dan Tegangan Elemen Balok/Batang
Contoh Soal
62Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Tentukanlah tegangan pada dua buah batang yang disusun dan diberikan
gaya sebesar P dengan tumpuan jepit pada kedua ujungnya serta dititik 2
memiliki penghubung berupa pin seperti tergambar disamping

8. Regangan dan Tegangan Elemen Balok/Batang
Contoh Soal - Penyelesaian
63Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Matriks kekakuan elemen
Elemen 1
Elemen 2
Matriks Kekakuan Struktur

9. Regangan dan Tegangan Elemen Balok/Batang
Contoh Soal - Penyelesaian
64Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Matriks Kekakuan Struktur
Dengan syarat batas
Sehingga Matriks Persamaan,

10. Regangan dan Tegangan Elemen Balok/Batang
Contoh Soal - Penyelesaian
65Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Maka Tegangan pada elemen 1 adalah :
Tegangan pada elemen 2 adalah :
Dari hasil nilai tegangan
yang diperoleh maka
elemen 1 mengalami Tarik
(+) dan elemen 2
mengalami Tekan (-)

11. Tugas Terstruktur 3 | Regangan tegangan balok
66Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Dikumpul Rabu, 21 September 2020 pukul 23.59 WIB
Tentukanlah reaksi perletakan pada kedua ujung
batang pada gambar disamping dengan diketahui:

12. Matriks Struktur
Balok/ Batang
(Lanjutan 2)
Mekanika Teknik III (PJJ4324)
DIV Perancangan Jalan dan Jembatan
67Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.

13. Konsep 3 Dimensi pada Elemen Batang
68Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Lokal Global
x, y, z X, Y, Z
u
i’ , v
i’, w
i’ u
i , v
i , w
i
1 derajat kebebasan
pada satu titik
3 derajat kebebasan
pada satu titik
Matriks kekakuan elemen dihitung dalam koordinat
lokal dan nantinya ditransformasi kedalam koordinat
global (X, Y, Z)

14. Matriks Elemen Balok | Elemen Balok Sederhana
69Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
� = Panjang
?????? = Momen Inersia
� = Modulus Elastisitas
?????? = ??????(??????) defleksi (perpindahan
lateral) pada sumbu netral
θ =
????????????
????????????
Rotasi terhadap sumbu (axis)
� = �(??????) Gaya Geser
� = �(??????) Momen terhadap sumbu z (axis)
Teori dasar elemen balok

15. Matriks Elemen Balok | Metode Langsung (Direct
Method)
70Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.

16. Matriks Elemen Balok | Metode Langsung (Direct
Method)
71Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Kombinasi antara matriks kekakuan terhadap perpindahan dan matriks kekakuan elemen batang, sehingga memiliki
matriks kekakuan elemen sebagai berikut:

17. Matriks Elemen Balok | Contoh Soal
72Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Diketahui
Balok yang tergambar disamping memiliki tumpuan
jepit pada kedua ujungnya dengan gaya sebesar P dan
momen sebesar M di tengah bentang
Tentukan :
Perpindahan dan rotasi pada posisi tenah bentang
Reaksi perletakan dan momen pada kedua ujung
tumpuan

18. Matriks Elemen Balok | Penyelesaian
73Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Matriks kekakuan elemen 1
Matriks kekakuan elemen 2
Matriks kekakuan struktur

19. Matriks Elemen Balok | Penyelesaian
74Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Syarat Batas dan Pembebanan

20. Matriks Elemen Balok | Penyelesaian
75Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.

21. Tugas Mandiri
76Mekanika Teknik III | Andi Syukri, ST., M.Sc.
Dikumpul hari Jum’at, 20 Desember 2024
P
Diketahui:
Sebuah Balok Kantilever dengan beban P = 50 kN dan
memiliki bentang L = 2 meter terbuat dari sebuah beton
dengan penampang persegi 0,2 x 0,2 m dengan nilai
modulus elastisitas sebesar 2 x 10
5
MPa.
Tentukan:
1.Reaksi Perletakan yang terjadi di tumpuan
2.Tentukan besar momen yang terjadi di tumpuan
3.Tentukan besar rotasi di titik 3