Mencari Determinan pada Matriks Persegi

Determinan

1. DETERMINAN MATRIKS Eric Prakarsa Putra, S.Kom., M.T.I.

2. Definisi Misalkan A adalah matriks bujur sangkar berukuran 2x2. Determinan matriks A didefinisikan sebagai :

3. Definisi Jika matriks A berukuran 3x3, determinan matriks A didefinisikan sebagai :

4. Metode Sarrus Determinan dapat dihitung dengan menggunakan metode Sarrus, diilustrasikan sebagai berikut: Aturan Saruss hanya berlaku untuk matriks berukuran maksimal 3x3 - + - - - + + +

5. Latihan Hitunglah determinan dari matrik berikut ini ( dengan menggunakan aturan Sarrus ):

6. Penggunaan Kofaktor untuk Determinan Determinan suatu matriks A berukuran n x n bisa dihitung dengan mengalikan anggota-anggota pada sebarang baris (atau kolom) dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang didapatkan yaitu untuk setiap dan 1≤ i ≤ n dan 1≤ j ≤ n

7. Ekspansi kofaktor Jika A sebuah matriks bujursangkar nxn maka minor dari a ij dituliskan dengan M ij dan didefinisikan sebagai determinan sub- matriks yang masih tersisa setelah baris ke -I dan kolom ke -j dihilangkan dari A. Bilangan (-1) i+j M ij dinyatakan C ij dan disebut kofaktor anggota a ij .

8. Contoh  

9. Terdapat 2 cara yakni : Perluasan kofaktor disepanjang kolom ke -j Perluasan kofaktor disepanjang baris ke-i

10. Baris 1 . DET(A) 2x33 + 4x(-87) + 10x(-16) 66 + (-348) + (-160) (-442)     Baris 2 . DET(A) 7x(-54) + 1x62 + 9x(-14) (-378) + 62 + (-126) (-442) Baris 3 . DET(A) (-5)x26 + (-3)x52 + 6x(-26) (-130) + (-156) + (-156) (-442) Kolom 1 . DET(A) 2x33 + 7x(-54) + (-5)x26 66 + (-378) + (-130) (-442) Kolom 2 . DET(A) 4x(-87) + 1x62 + (-3)x52 (-348) + 62 + (-156) (-442) Kolom 3 . DET(A) 10x(-16) + 9x(-14) + 6x(-26) (-160) + (-126) + (-156) (-442)

11. Menentukan Determinan Matriks dengan Transformasi Baris Elementer Langkah : Dengan menggunakan TBE, ubahlah matriks yang ada menjadi matriks segitiga atas atau segitiga bawah Nilai determinannya adalah hasil perkalian dari elemen yang ada di diagonal utama

12. Contoh   1. K 21 ( -2 )(A)   2. K 31 ( -5 )(A)   3. K 32 (- 2 )(A)   DET = 2 x (-13) x 17 = ??? -442

13. Aplikasi Determinan Matriks A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) ≠ 0 Matriks yang mempunyai determinan ≠ disebut Matriks tak singular , sedangkan matriks yang mempunyai determinan = 0 disebut matriks singular.

14. Aplikasi Determinan (2) Jika A adalah sebarang matriks nxn dan C ij adalah kofaktor dari a ij maka matriks Disebut matriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut adjoin A dinyatakan adj (A).

15. Aplikasi Determinan Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik , maka :

16. Aplikasi Determinan Jika A dan B adalah matriks-matriks nxn yang tak singular, maka AB juga tak singular dan (AB) -1 = B -1 A -1

17. Aturan Cramer Jika Ax = b merupakan suatu sistem n persamaan linear dengan n peubah sedemikian sehingga A≠0 maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu: Dengan A i adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota-anggota pada kolom ke- j dari A dengan anggota-anggota pada matriks

18. Latihan Soal 1. Tentukan determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dan dengan cara hitung langsung lalu bandingkan hasilnya 2 . Tentukan determinan matriks dengan Transformasi Baris Elementer dan dengan cara hitung langsung lalu bandingkan hasilnya 3. Tentukan Penyelesaian Dari persamaan berikut menggunakan Aturan Crammer

19. Tentukan Matriks Minor, Kofaktor dan Determinan dari Matriks Berikut :