Metode Slope Deflection pada Balok sederhana

1. Analisis Struktur Statis Tak Tentu dengan Metode Slope-Deflection Pertemuan – 9

2. TIU : Mahasiswa dapat menghitung reaksi perletakan pada struktur statis tak tentu Mahasiswa dapat menghitung gaya-gaya dalam pada struktur statis tak tentu TIK : Mahasiswa dapat melakukan analisis struktur balok dengan metode Slope-Deflection Sub Pokok Bahasan : Persamaan Slope-Deflection Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

3. Perpindahan(displacement) merupakan variabel utama yang tak diketahui, disebut pula sebagai derajat kebebasan (degree of freedom) Jumlah Degree of Freedom yang dimiliki suatu struktur sering juga disebutkan sebagai derajat ketidaktentuan kinematik Perpindahan yang dimaksud selain lendutan dapat pula berupa sudut rotasi pada suatu titik Selanjutnya disusun pula persamaan kompatibilitas untuk mendapatkan perpindahan dari titik-titik kumpul, dan kemudian dapat digunakan untuk menghitung reaksi tumpuan Tiga metode analisis struktur berbasis displacement adalah : slope- deflection, distribusi momen dan metode matriks Persamaan Slope-Deflection

4. Persamaan Slope-Deflection 1 DOF 4 DOF 3 DOF

5. Persamaan Slope-Deflection Merupakan sebuah persamaan yang menghubungkan antara sudut rotasi (slope) dan lendutan (deflection) dengan beban yang bekerja pada struktur Perhatikan balok AB yang merupakan bagian dari struktur balok menerus dengan beban sembarang sebesar q . dan memiliki kekakuan seragam sebesar EI . Selanjutnya akan dicari hubungan antara momen ujung M AB dan M BA dengan sudut rotasi  A dan  B serta lendutan  yang mengakibatkan penurunan pada tumpuan B. Sesuai dengan perjanjian tanda yang dipakai, maka momen dan sudut rotasi bernilai positif apabila memiliki arah putar searah jarum jam. Sedangkan lendutan  dianggap bernilai positif apabila mengakibatkan balok berputar sebesar sudut  searah jarum jam .

6.  M B ’ = (1) (2)         Persamaan Slope-Deflection  M A ’ =  1  M AB  L  L   1  M BA  L  2 L  2  EI  3   2    EI 3         2     2 L  L  3 EI  1  M  L  3   2  EI  1  M   L A   L  AB BA

7. Persamaan Slope-Deflection  M B ’ = (3)          2  EI   3  2  EI   3  1  M  L  2 L   1  M  L  L   

8. Persamaan Slope-Deflection Dalam uraian sebelumnya telah diturunkan hubungan antara M AB dan M BA yang bekerja pada titik A dan B dengan perpindahan yang diakibatkan olehnya, yaitu  A ,  B dan  . Pada kenyataannya perpindahan yang terjadi, baik berupa sudut rotasi maupun lendutan pada balok terjadi bukan disebabkan oleh momen pada titik tersebut, namun disebabkan oleh beban luar yang bekerja pada bentangan balok. Supaya beban luar tersebut dapat diakomodasi dalam persamaan slope – deflection , maka beban luar tersebut harus ditransformasi menjadi momen ekuivalen yang bekerja pada titik ujung balok. Hal ini dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan menemukan reaksi momen yang timbul pada kedua ujung balok yang dianggap memiliki tumpuan jepit.

9. Persamaan Slope-Deflection Reaksi momen tersebut selanjutnya diistilahkan dengan sebutan Fixed- End Moment (FEM) Sesuai dengan perjanjian tanda, maka nilai FEM pada ujung A adalah negatif (berlawanan dengan jarum jam), dan nilai FEM pada ujung B adalah positif (searah jarum jam)

10. a home base to excellence Persamaan Slope-Deflection

11. Persamaan Slope-Deflection

12. Persamaan Slope-Deflection Selanjutnya persamaan-persamaan 1, 2 dan 3 dapat dijumlahkan beserta beban luar yang bekerja, dan dapat dituliskan menjadi : Atau secara umum bentuk persamaan slope-deflection adalah : (4) BA B A BA AB A B AB 3    L    L 3    L       M  2 E  I   2           FEM        L    M  2 E  I   2           FEM  M N  2 Ek  2  N   F  3    (FEM) N

13. Persamaan Slope-Deflection Dengan : M N E , k  N ,  F adalah momen internal pada ujung dekat adalah modulus elastisitas dan kekakuan balok k = I / L adalah sudut rotasi pada ujung dekat dan ujung jauh, memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam adalah rotasi balok akibat adanya penurunan pada tumpuan,  =  / L , besaran ini memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila searah jarum jam adalah Fixed End Moment pada ujung dekat, bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam  (FEM) N

14. Persamaan Slope-Deflection Persamaan 4 berlaku apabila ujung-ujung balok terjepit, apabila salah satu ujungnya sendi, maka persamaan slope-deflection menjadi : (5) M N  3 Ek   N     (FEM) N

15. Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 9 .1 Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan  FEM  CB  FEM  BC B B BA B B AB N N F N   L 2   8 4 dari persamaan slope - deflection 10,8kN  m 30 30  wL 2  6(6) 2  2 20 7,2kN  m   wL 2   6(6) 2     M  2 E  I   2    3(0)    EI    M  2 E  I   2(0)    3(0)    EI    8   M  2 E  I   2     3    (FEM)

16. Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 9 .1 Dengan meninjau keseimbangan titik B diperoleh :  M B = M BA + M BC = Akhirnya didapatkan  B = 6,17/EI Substitusikan  B ke persamaan-persamaan sebelumnya dan diperoleh : M AB = 1,54 kN  m M BC =  3,09 kN  m M BA = 3,09 kN  m M CB = 12,86 kN  m 3   6 3   6     B B CB M  2 E  I   2(0)    3(0)   10,8  EI   10,8 B B BC M  2 E  I   2    3(0)   7,2  2 EI   7,2

17. Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 9 .1 Free body diagram : A y = - (1,54/8) - (3,09/8) = - 0,579 kN (  ) B yL = (1,54/8) + (3,09/8) = 0,579 kN (  ) B yR = (3,09/6) - (12,86/6) + (0,5*6*6*2/6) = 4,37 kN (  ) C y = -(3,09/6) + (12,86/6) + (0.5*6*6*4/6) = 13,63 kN (  )

18. Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 9 .1 Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur :

19. Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 9 .2 Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan  FE M    6    120 6 dari persamaan slope - deflection   22,5kN  m 1 6 16 120kN  m 1 2 12 120kN  m  FEM  BA  FEM  AB 12 12  wL 2  40(6) 2    wL 2   40(6) 2             3 PL 3(60)(2) B B BA M  2 E  I   2    3(0)   120  0,667 EI   120 B B AB M  2 E  I   2(0)    3(0)   120  0,3333 EI  N N F N   L M  2 E  I   2     3    (FEM) BC Untuk balok AC gunakan persamaan slope - deflection     B B BC M  3 E  I       22,5  1,5 EI   22,5   2 N N N   L M  3 E  I        (FEM)

20. Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 9 .2 Dari keseimbangan gaya titik B :  M B = M BA + M BC = Dan nilai  B =  144/EI. Substitusikan  B ke persamaan-persamaan sebelumnya guna mendapatkan : M AB =  135 kN  m M BA = 90 kN  m M BC =  90 kN  m

21. Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 9 .3 Tentukan momen di A dan B pada balok, apabila tumpuan B mengalami penurunan sebesar 80 mm. E = 200 GPa, I = 5(10) 6 mm 4 Dari kesetimbangan titik B :  M B = M BA – 8000N(3m) =  B = 0,054 rad 4m 4  6 3 I 5(10) 6 mm 4 (10  12 )m 4 / mm 4 k AB  L   1,25(10) m M AB  2(200  10 9 N / m 2 )  1,25  10  6   2(0)   B  3(0,02)    500.000  B  30.000 M BA  2 ( 20  1 9 N / m 2 )  1 , 2 5  1  6   2  B   3 ( ,02 )    1.000.000  B  30.000 AB BA     0,08m  0,02rad

22. Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 9 .4 Tentukan momen internal pada tumpuan balok apabila titik C mengalami penurunan sebesar 30 mm. E = 200 GPa, I = 600(10) 6 mm 4  6 3 6 600  10 6  10  12  6 3 7,2 600  10 6  10  12  6 3 6 600  10 6  10  12  13 3 , 3 3 ( 1 ) m 4, 5  100 ( 1 ) m  8 3 , 3 3 ( 1 ) m 4, 5 86,4kN  m 1 2 12 86,4kN  m  FEM  BA  FEM  AB 12 12  wL 2  20(7,2) 2    wL 2   20(7,2) 2   CD    0,03   0,00667rad BC k CD  k BC  k AB    0,03  0,005rad

23. Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection M BA  M BC  M CB  M CD   M B   M C  Example 9 .4 Bentang AB: M AB  2[200  10 6 ][83,33  10  6 ][2(0)   B  3(0)]  86,4  33.333,3  B  86,4 M BA  2[200  10 6 ][83,33  10  6 ][2  B   3(0)]  86,4  66.666,7  B  86,4 Bentang BC : M BC  2[200  10 6 ][100  10  6 ][2  B   C  3(0,005)]   80.000  B  40.000  C  600 M CB  2[200  10 6 ][100  10  6 ][2  C   B  3(0,005)]   80.000  C  40.000  B  600 Bentang CD : M CD  2[200  10 6 ][133,33  10  6 ][2  C   3(  0,00667)]   106.666,7  C  1066,7 M DC  2[200  10 6 ][133,33  10  6 ][20   C  3(  0,00667)]   53.333,3  C  1066,7  B = 0,00444 rad  C = -0,00345 rad