Modular

dan

1. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
 
Módulo (ou valor absoluto) de um número
î
í
ì
<-
³
=
0 se  ,
0 se  ,
   
xx
xx
x
O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se
indica por | x | é definido da seguinte maneira:


Então:
 x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x.
Exemplos:  | 2 | = 2  ;  | 1/2 | = | 1/2 |  ;  | 15 | = 15.

 x é negativo, | x | é igual a –x.
 Exemplos:  |–2 | = –(–2) = 2  ;  |–20 | = –(–20) = 20.

2. Exemplos:
1)Calcular o valor dos módulos:
c)| | 4 – 3 | – | 6 – 8 | |
b) 4 – | 8 + 3 – 16 |
c) | | 2 | – | 10 | |
2) Simplificar as expressões:
c)E = | x – 3| + | x – 1|, para x = – 4.
b) E = | x³ + x| - | x² - 3x + 1|, para x = – 2.

3. FUNÇÃO MODULAR
Denomina-se função modular à função f(x) = |x| definida por:
î
í
ì
<-
³
= .,
,
,
)( realxtodopara
xsex
xsex
xf
0
0
GRÁFICOS
Exemplos:
01) Construir o gráfico da função f(x) = |x|.
1º passo: Construir o gráfico da função f sem o módulo.
para x = 0, y = 0 Þ (0,0)
 para x = 1, y = 1 Þ (1, 1)
0 x
y
1
1

4. 2º  passo: Conservamos os pontos de ordenadas positivas e
transformamos os de ordenadas negativas em seu simétricos em
relação ao eixo das abscissas, obtendo assim o gráfico de f(x).
0
x
y
1
1

5. 2) Construir o gráfico da função f(x) = |2x – 6|.
1º passo: Construir o gráfico
da função sem o módulo:
g(x) = 2x – 6 
2º passo:
Rebater os
valores
negativos da
ordenada.

6. 3) Construir o gráfico da função f(x) = |x² – 4x + 3|.

7. 04) Observe o gráfico da função g:Agora, observe o gráfico da
função f = |g|:

8. O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo
de um número real nunca é negativo.
Representando geometricamente, o módulo de um número real x é
igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x
ao ponto 0 de origem. Assim:
      
 Se | x | < a (com a > 0) significa que a distância entre x e a
origem é menor que a, isto é, x deve estar entre – a e a, ou seja,
| x | < a Û -a < x < a.
 Se | x | > a (com a > 0) significa que a distância entre x e a
origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda
de – a na reta real, ou seja: | x | > a Û x > a ou x < – a.
 

9. Equações modulares
 
Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num
dos membros será chamada equação modular .

Exemplos:
Resolver  as equações a seguir:
b)|x – 4| = 6
c)|2x – 6| = 2
d)| – x + 2| = – 3
d)|x – 4| = |2x + 1|
e)|2x – 6| = |x – 2|
f)|2x – 3| = x – 2
g)|4x + 5| = x + 1
h)|x|² – 5|x| + 4 = 0
i)|x|² – |x| – 2 = 0
j) |3x² – x – 1| = 1

10. Inequações modulares
 
Uma inequação é modular quando a incógnita se apresenta
em módulo.
Sendo a > 0, temos:
1) |x| > a Þ 
ï
î
ï
í
ì
-<
>
ax
ou
ax
2) |x| ³  a Þ 
ï
î
ï
í
ì
-£
³
ax
ou
ax

11. 3) |x| < a Þ  –a < x < a   
4) |x| £  a Þ  –a £  x £  a 
  
Exemplos:
1)Resolver as inequações em R:
•|2x – 1| > 3.
•|x – 4| £ 1.
•|2x – 4| ³ 1.
•|x – 7| < 0.
•|x|² – 4|x| + 3 ³ 0

12. Aprofundamento
Resolva a equação |x – 1| + |x – 2| = 4
Resolução:
Construir o quadro de sinais:

13. Analisando o quadro de sinais, temos:
para x ≥ 2 2x – 3 = 4 ® x = 7/2
para 1 ≤ x < 2 1 = 4 ® absurdo
para x < 1 – 2x + 3 = 4 ® x = – 1/2
Analisando as respostas, a 1ª e a 3ª satisfazem as suas respectivas condições de
contorno, a 2ª é um absurdo.
S = { –1/2; 7/2}