Números algebraicos y trascendentes los 15 principales números mas especiales de la matemática.pptx

Los principales números trascendente

1. Números algebraicos y trascendentes Los 15 números trascendentes más famosos Prof. Cesar H. AGUILAR RAMOS

2. Números algebraicos y trascendentes Los números reales pueden subdividirse en conjuntos según muchos criterios de clasificación. En la entrada de hoy vamos a hablar de la subdivisión en  números algebraicos  y  números trascendentes .

3. Números algebraicos Los números algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vista de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son algebraicos, ya que si es un número racional (por tanto, ), entonces es solución de la ecuación polinómica . Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional es algebraico. Basta ver que es solución de la ecuación polinómica para darse cuenta de ello. Lo mismo ocurre con, por ejemplo, , que es solución de . Y con muchos más números irracionales.  

4. Números trascendentes Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Por lo que hemos visto antes todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Como ejemplos más representativos de este conjunto numérico tenemos al número y al número e . Viendo que en primera instancia es mucho más sencillo encontrar números algebraicos que números trascendentes uno podría pensar que hay muchos más del primer tipo que del segundo. Nada más lejos de la realidad. El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, es decir, tiene infinitos elementos, pero podemos contarlos, mientras que el conjunto de los números trascendentes es infinito no numerable, esto es, también tiene infinitos elementos, pero no los podemos contar. Conclusión: hay muchos más números reales trascendentes que algebraicos.  

5. A la vista de este hecho no se entiende demasiado bien que sea tan complicado encontrar números trascendentes, pero la realidad es esa. Demostrar que un cierto número real es trascendente suele ser bastante complicado. El primero que lo consiguió fue Liouville demostrando que el número: es trascendente. Más adelante Hermite demostró que el número e es trascendente y posteriormente Lindemann hizo lo propio con el número .   Matemático francés (1809-1882) Graduado de la  École Polytechnique   de París en 1827. Profesor en la École Polytechnique en el año 1838. Obtuvo la cátedra de Matemáticas en el  Collège de France  en 1850 y la de Mecánica en la Faculté des Sciences en 1857.

6. Dada la dificultad que tiene encontrar números trascendentes os dejo una lista con los 15 números trascendentes más famosos. Para algunos no existe demostración, pero se cree con gran firmeza que lo son: e Constante de Euler- Mascheroni : (no demostrado) Constante de Catalan : (no demostrado) Constante de Liouville: Constante de Chaitin : (que además es no computable) Número de Chapernowne :  

7. Ciertos valores de la función zeta de Riemann, como El número de Hilbert: (no demostrado) El número de Morse- Thue : 0, 01101001 . . . Los números de Feigenbaum (no demostrado):  

8. Bibliografía https://www.gaussianos.com/numeros-algebraicos-y-trascendentes-los-15-numeros-trascendentes-mas-famosos/

9. NÚMEROS TRASCENDENTES

10. Los griegos estaban firmemente convencidos de que una magnitud cualquiera, M, se podía medir con una magnitud de la misma especie, u, que se tomaba como unidad, y que la medida de M se podía expresar en función de u y partes alícuotas suyas. Así, podríamos expresar que la medida de M es de 4 u, 3 décimas de u de u y cuatro centésimas. Pero, hacia el siglo V antes de Cristo, los Pitagóricos descubrieron la existencia de las magnitudes inconmensurables, cuya medida no se podía expresar en términos de una unidad y sus partes alícuotas. El descubrimiento se produjo, seguramente, al intentar medir la diagonal del cuadrado tomando como unidad el lado y partes alícuotas del mismo. El hallazgo de este tipo de magnitudes despertó un recelo hacia los procesos infinitos que se acabó por expulsar de las matemáticas los procedimientos infinitos y a negar la existencia de infinito actual.

11. Y es que el hecho de que no pudiera medirse con partes alícuotas del lado unidad fue una sorpresa que rompía con la idea de que todo debía tener una medida exacta, de que cada medida debía ser un número y que, además ese número debía ser racional. Por otra parte, el descubrimiento cuestionaba la hipótesis de que la materia estuviera formada por átomos, al menos iguales, ya que no se concebía que la materia se pudiera dividir indefinidamente hasta desvanecerse en la nada sin llegar a encontrar una unidad indivisible de medida. A partir de la introducción del sistema de numeración decimal posicional, las operaciones con números, pero, sobre todo, al resolver ecuaciones algebraicas con coeficientes racionales, aparecieron como raíces de las ecuaciones, además de los números enteros positivos y los racionales, los números negativos, expresiones radicales y números complejos. Es decir, el conjunto de los números racionales se amplió a otro conjunto numérico con un conjunto de números (los números algebraicos) algunos de los cuales que no se no se podían expresar en forma de fracción, eran irracionales, pero empezaban a tomar sentido como números. Los números irracionales que se conocían eran los números algebraicos que habían surgido de la resolución de ecuaciones. Es cierto que habían aparecido otros números, como el número e o el número π, que no eran soluciones de las ecuaciones algebraicas, pero habían surgido en la Geometría o en el campo del Análisis y se consideraban como constantes numéricas, sin hacerse muchas preguntas sobre su procedencia.

12. El número π simplemente se consideraba como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. De hecho, el símbolo π procede del griego π εριφέρει α (periferia) y fue utilizado por primera vez en 1706 por W. Jones (1675-1749) y difundido en la obra de L. Euler (1707-1783). Igualmente, el número e se convirtió en un número importante, porque fue la base de los logaritmos neperianos, se utiliza en economía para el cálculo de interés continuo, interviene en el tiempo de la desintegración radiactiva, el desarrollo en serie de ex, permitió relacionar a la función exponencial con las funciones trigonométricas, … pero, a pesar de ser un número tan importante, no aparece como solución de ninguna ecuación algebraica. Los números que no son soluciones de ecuaciones algebraicas con coeficientes racionales se llaman trascendentes. Sabemos que hay muchos más números que trascendentes que algebraicos, sin embargo, no es fácil demostrar que un número es trascendente.

13. Se conocen relativamente pocos y algunos tienen nombre, algunos: 2√2, π, e, Ln2, Ω (constante de Chaitin ), número de Louiville , …, indudablemente, muchos otros que permanecen en el anonimato. Y es que los números algebraicos se pueden generar con un procedimiento general: la resolución de ecuaciones algebraicas, mientras que los números trascendentes son descubiertos uno a uno y si queremos saber si un número es trascendente tenemos que demostrar que no hay ecuación algebraica que lo tenga por solución. Es más fácil demostrar que hay infinitos números trascendentes y que el conjunto tiene la potencia del continuo que determinar si un número es trascendente o no lo es. De hecho, hasta 1873 no demostró Ch. Hermite (1822-1901) que el número e era trascendente. En realidad demostró que eα (α ≠ 0 ) eraun número trascendente. Está demostración fue generalizada por C.L.F. von Lindemann (1852-1939) y demostró, utilizando la fórmula de Euler eπi + 1 = 0, que π era un número trascendente. (ver https://www.gaussianos.com/como-demostrar-que-%CF%80-pi-es-trascendente/) El teorema de Hermite Lindeman demuestra que si un número α ≠ 0 es algebraico (sobre Q), entonces eα es trascendente. En particular, e y π son trascendentes.

14. Bibliografía https://vicmat.com/numeros-3-numeros-trascendentes/