N10 - Battle of the sexes (incomplete information).pdf

present

1. CUỘC CHIẾN GIỮA HAI GIỚI
THÔNG TIN KHÔNG ĐẦY ĐỦ
NHÓM 10
Phạm Hạnh Nguyên - Nguyễn Thị Trà - Dương Thị Hồng Viên
April 2, 2024
1 / 17

2. Nội dung
1
Nhắc lại Cuộc chiến giữa hai giới thông tin đầy đủ
2
Cuộc chiến giữa hai giới thông tin không đầy đủ
3
Bài tập ví dụ
2 / 17

3. Nhắc lại Cuộc chiến giữa hai giới thông tin đầy đủ
Nam
C B
Nữ
C2,10,0
B0,01,2
Cuộc chiến giữa hai giới thông tin đầy đủ
Có hai cân bằng Nash thuần túy: (C,C) và (B,B)
Chiến lược hỗn hợp của Nữ chọn (C,B) là (
2
3
,
1
3
), của Nam
chọn (C,B) là (
1
3
,
2
3
)
3 / 17

4. Cuộc chiến giữa hai giới thông tin không đầy đủ
Giả sử Nam và Nữ không chắc chắn về thu hoạch của nhau
Giả sử rằng thu hoạch của Nữ khi cả hai cùng chọn Ca nhạc
(C) là 2+tf, vớitflà giá trị chỉ Nữ biết
Thu hoạch của Nam khi cả hai cùng chọn Bóng đá (B) là
2+tm, vớitmlà giá trị chỉ Nam biết
Các tham sốtm,tfđộc lập, phân phối đều trên[0,x], trong đó
xđược coi là nhỏ đối với 2
Các thu hoạch còn lại là như bài toán thông tin đầy đủ
4 / 17

5. Cuộc chiến giữa hai giới thông tin không đầy đủ
Dạng chuẩn:G={Af,Am,Tf,Tm,pf,pm,uf,um}
Với
Tập người chơi:N={Nữ, Nam}
Không gian hành động:Af=Am={C,B}
Không gian kiểu:Tf=Tm= [0,x]
Xác suất:pf(tm) =pm(tf) =
1
x
với mọi giá trịtm,tf∈[0,x]
Thu hoạch của cả hai được biểu diễn dưới dạng ma trận như
sau:
Nam
C B
Nữ
C2+tf,1 0,0
B 0,0 1,2+tm
5 / 17

6. Cuộc chiến giữa hai giới thông tin không đầy đủ
Hai giá trị tới hạnfvàm:
Tập chiến lược:s
∗
= (s
∗
f
,s
∗
m)
Nữ chọn C nếutf>f; chọn B nếutf<f; bàng quan nếu
tf=f
s
∗
f
(tf) =





C t f>f
{C,B}tf=f
B t f<f
⇒Xác suất để Nữ chọn C làP(tf>f) =
x−f
x
6 / 17

7. Cuộc chiến giữa hai giới thông tin không đầy đủ
Tương tự, Nam chọn B nếutm>m; chọn C nếutm<m;
bàng quan nếutm=m
s
∗
m(tm) =





B t m>m
{B,C}tm=m
C t m<m
⇒Xác suất để Nam chọn B làP(tm>m) =
x−m
x
7 / 17

8. Cuộc chiến giữa hai giới thông tin không đầy đủ
Với mỗi giá trị x cho trước, ta có thể xác định giá trị củafvà
msao cho các chiến lược này đạt trạng thái cân bằng
Nash-Bayes
Với chiến lượcs
∗
mcủa Nam, thu hoạch kì vọng của Nữ khi
chọn C là:
uf(C,s
∗
m,tf) = (2+tf)(
m
x
) +0.(
x−m
x
) =
m
x
(2+tf)
Và khi chọn B là:
uf(B,s
∗
m,tf) =0.(
m
x
) +1.(
x−m
x
) =
x−m
x
C là phản ứng tốt nhất khi và chỉ khi:
m
x
(2+tf)≥
x−m
x
⇔tf≥
x
m
−3≡f
8 / 17

9. Cuộc chiến giữa hai giới thông tin không đầy đủ
Tương tự, với chiến lượcs
∗
f
của Nữ, thu hoạch kì vọng của
Nam khi chọn B là:
um(B,s
∗
f
,tm) =0.(
x−f
x
) + (2+tm)(
f
x
) =
f
x
(2+tm)
Và khi chọn C là:
uf(C,s
∗
f
,tm) =1.(
x−f
x
) +0.(
f
x
) =
x−f
x
B là phản ứng tốt nhất khi và chỉ khi:
f
x
(2+tm)≥
x−f
x
⇔tm≥
x
f
−3≡m
9 / 17

10. Cuộc chiến giữa hai giới thông tin không đầy đủ
Giải hệ phương trình:
x
m
−3=f (1)
x
f
−3=m (2)
Biến đổi hệ phương trình trên, ta có:
1+
3
m
=1+
3
f
hayg(m) =g(f)
Xét hàm số:g
′
(m) =0−
3
m
2
<0 với mọi m
⇒g
′
(m)là hàm nghịch biến với mọi m trên[0,x]
⇒Phương trình có nghiệm duy nhấtm=f
10 / 17

11. Cuộc chiến giữa hai giới thông tin không đầy đủ
Thaym=fvào phương trình(1), ta có:
x
m
−3=m⇔m
2
+3m−x=0
Giải phương trình bậc hai, ta có nghiệm:
m=f=
−3+
√
9+4x
2
(dom,f≥0)
Tối đa hóa kì vọng thu hoạch thì: Xác suất Nữ chọn C, Nam
chọn B là:
x−f
x
=
x−m
x
=1−
−3+
√
9+4x
2x
11 / 17

12. Cuộc chiến giữa hai giới thông tin không đầy đủ
Khi x→0 (tức là thông tin đầy đủ), áp dụng quy tắc
L’Hospital, ta có:
limx→0(1−
−3+
√
9+4x
2x
) =1−limx→0
(−3+
√
9+4x)
′
(2x)
′
=1−limx→0
2(9+4x)
−1
2
2
=
2
3
12 / 17

13. Cuộc chiến giữa hai giới thông tin không đầy đủ
Kết luận
Khi trạng thái thông tin không đầy đủ biến mất, hành vi của người
chơi trong trạng thái cân bằng Nash Bayes với chiến lược thuần
túy của trò chơi thông tin không đầy đủ sẽ tiến gần tới hành vi của
người chơi trong trạng thái cân bằng Nash với chiến lược hỗn hợp
của trò chơi thông tin đầy đủ ban đầu.
13 / 17

14. Bài tập ví dụ
Hai chị em lười biếng
A(1) B(2)
ngày, hai chị em phải cho chó ăn thức ăn, nếu không, con chó sẽ
đói và gặm nhấm đồ gia dụng, nội thất trong nhà, gây tổn thất
cho mỗi người là -2. Tuy nhiên, cả hai chị em đều lười biếng nên
cùng mong người khác sẽ làm. Nếu cho chó ăn, nó sẽ ngưng phá
phách, lợi ích mỗi người là như nhau và bằng 20. Bởi vì việc cho
chó ăn cần dậy sớm và xuống sân nên việc cho chó ăn sẽ tốn một
phần sức làcivớii=(1,2). Mỗi người sẽ biếtcicủa chính mình,
còn người còn lại thì không. Họ cho rằngcicủa đối phương là giá
trị bất kỳ, độc lập, phân phối đều trong khoảng[1,4]. Viết dạng
chuẩn của bài toán Bayes trên và tìm ra cân bằng Nash Bayes.
14 / 17

15. Bài tập ví dụ
Bài giải
Dạng chuẩn:
N={A,B}
A1=A2={Cho,Không}
T1=T2= [1,4]
Xác suất:p1(c2) =p2(c1) =
1
3
Thu hoạch của cả hai được biểu diễn dưới dạng ma trận như
sau:
B(2)
C K
A(1)
C20−c1,20−c220−c1,20
K 20,20−c2 −2,−2
15 / 17

16. Bài tập ví dụ
Bài giải
Hai giá trị tới hạna,b:
Achọn C nếuc1≤a, chọn K nếuc1>a
⇒Xác suất đểAchọn C là
a−1
3
Bchọn C nếuc2≤b, chọn K nếuc2>b
⇒Xác suất đểBchọn C là
b−1
3
Thu hoạch kì vọng củaAkhi chọn C là:
u1(C) = (20−c1)
b−1
3
+ (20−c1)(1−
b−1
3
) =20−c1
và khi chọn K là:
u1(K) =20.
b−1
3
+ (−2).(1−
b−1
3
) =
22b−28
3
C là phản ứng tốt nhất củaAkhi và chỉ khi:
20−c1≥
22b−28
3
⇔c1≤22.(
4−b
3
)≡a
16 / 17

17. Bài tập ví dụ
Bài giải
Chứng minh tương tự, C là phản ứng tốt nhất củaBkhi và
chỉ khi:
20−c2≥
22a−28
3
⇔c2≤22.
4−b
3
≡b
Giải hệ phương trình:
a=b=
41
25
Kết luận: Cân bằng Nash Bayes khi xác suấtAvàBchọn C
là
41
25
−1
3
=
16
75
17 / 17