Navigation And Tracking In Space Analysis And Algorithms Gnss Technology And Applications Biswas

Navigation And Tracking In Space Analysis And
Algorithms Gnss Technology And Applications
Biswas download
https://ebookbell.com/product/navigation-and-tracking-in-space-
analysis-and-algorithms-gnss-technology-and-applications-
biswas-54937346
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Intelligent Sensors For Positioning Tracking Monitoring Navigation And
Smart Sensing In Smart Cities Tiancheng Li
https://ebookbell.com/product/intelligent-sensors-for-positioning-
tracking-monitoring-navigation-and-smart-sensing-in-smart-cities-
tiancheng-li-50655466
Estimation With Applications To Tracking And Navigation Yaakov
Barshalom
https://ebookbell.com/product/estimation-with-applications-to-
tracking-and-navigation-yaakov-barshalom-2562412
Radiometric Tracking Techniques For Deepspace Navigation Deepspace
Communications And Navigation Series 1st Edition Catherine L Thornton
https://ebookbell.com/product/radiometric-tracking-techniques-for-
deepspace-navigation-deepspace-communications-and-navigation-
series-1st-edition-catherine-l-thornton-2088154
The Navigation Case Training Flying And Fighting The 1941 To 1945 New
Guinea War John E Happ
https://ebookbell.com/product/the-navigation-case-training-flying-and-
fighting-the-1941-to-1945-new-guinea-war-john-e-happ-51448434

The Handbook Of Trading Strategies For Navigating And Profiting From
Currency Bond And Stock Markets Mcgrawhill Financial Education Series
1st Edition Gregoriou
https://ebookbell.com/product/the-handbook-of-trading-strategies-for-
navigating-and-profiting-from-currency-bond-and-stock-markets-
mcgrawhill-financial-education-series-1st-edition-gregoriou-55478486
Navigation And Mis In Orthopedic Surgery 1st Edition J Kowal
https://ebookbell.com/product/navigation-and-mis-in-orthopedic-
surgery-1st-edition-j-kowal-4397964
Navigation And Robotics In Total Joint And Spine Surgery 1st Edition
James B Stiehl Md
https://ebookbell.com/product/navigation-and-robotics-in-total-joint-
and-spine-surgery-1st-edition-james-b-stiehl-md-4527610
Navigation And Guidance Of Orbital Transfer Vehicle 1st Edition
Xuefeng Li
https://ebookbell.com/product/navigation-and-guidance-of-orbital-
transfer-vehicle-1st-edition-xuefeng-li-6793294
Navigation And Control Of Autonomous Marine Vehicles Sanjay Sharma
https://ebookbell.com/product/navigation-and-control-of-autonomous-
marine-vehicles-sanjay-sharma-10451162

Biswas
Dempster
NAVIGATION AND TRACKING IN SPACE
ANALYSIS AND ALGORITHMS
Sanat K. Biswas
Andrew G. Dempster
E
Prime
Meridian
North
Pole
N
D
Equatorial plane
731813 - C: 31, M: 97, Y: 100, K: 44
ecb44d - C: 7, M: 30, Y: 81, K: 0
NAVIGATION AND
TRACKING IN SPACE
ANALYSIS AND ALGORITHMSN
E
D
ISBN: 978-1-63081-920-0
BOSTON I LONDON
ARTECH HOUSE
www.artechhouse.com
GNSS TECHNOLOGY AND APPLICATIONS
This book focuses on the navigation and tracking of artificial space
objects, with emphasis on modeling the dynamics in a wide range
of space missions, including earth-orbiting satellite missions, launch
and reentry missions as well as interplanetary missions. The book
guides you in designing suitable estimation algorithms for each type
of mission. It also helps you in addressing nonlinearity in designing
navigation algorithms for space missions and walks you through
the process of choosing estimators for the navigation and tracking of
space vehicles. You’ll find specific details on earth-orbiting satellite
tracking and navigation that help you determine precise orbit, and will
understand how to get navigation and tracking results using the least
square estimation and the unscented Kalman filters (EKF) for simulated
observations. You will also learn techniques for designing navigation
and tracking algorithms for spacecraft in interplanetary trajectories
that are affected by a diverse set of problems, such as low signal
power, intermittent observations, observations at low rates and delays.
Techniques for designing navigation and tracking algorithms to address
these problems are delineated. MATLAB
®
-based software is provided
for simulation and simulated data sets. This is an excellent reference and
practical tool for professionals in the field of guidance, navigation, and
control along with researchers and advanced students in the fields of
space vehicle navigation, tracking, guidance, and control.
Sanat K. Biswas is an assistant professor with IIIT Delhi. He received
his BE degree from Jadavpur University in 2010, his MTech degree in
aerospace engineering from IIT Bombay in 2012, and his PhD degree
in computationally efficient unscented Kalman filters for space vehicle
navigation from the University of New South Wales (UNSW), Sydney,
in 2017.
Andrew G. Dempster received his BE and MEngSc degrees from UNSW
Australia, in 1984 and 1992, respectively, and his PhD degree in efficient
circuits for signal processing arithmetic from the University of Cambridge,
Cambridge, U.K., in 1995. He is director of the Australian Centre for Space
Engineering Research (ACSER), UNSW Australia.

Navigation and Tracking in Space
Analysis and Algorithms
Biswas FM.indd iBiswas FM.indd i 11/7/2023 2:44:28 PM11/7/2023 2:44:28 PM

For a complete listing of titles in the
Artech House GNSS Technology and Applications series,
turn to the back of this book.
Biswas FM.indd iiBiswas FM.indd ii 11/7/2023 2:44:49 PM11/7/2023 2:44:49 PM

Navigation and Tracking in Space
Analysis and Algorithms
Sanat K. Biswas
Andrew G. Dempster
Biswas FM.indd iiiBiswas FM.indd iii 11/7/2023 2:44:49 PM11/7/2023 2:44:49 PM

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
A catalog record for this book is available from the U.S. Library of Congress.
British Library Cataloguing in Publication Data
A catalogue record for this book is available from the British Library.
Cover design by Joi Garron
ISBN 13: 978-1-63081-920-0
© 2024 ARTECH HOUSE
685 Canton Street
Norwood, MA 02062
All rights reserved. Printed and bound in the United States of America. No part of this book
may be reproduced or utilized in any form or by any means, electronic or mechanical, including
photocopying, recording, or by any information storage and retrieval system, without permission
in writing from the publisher.
All terms mentioned in this book that are known to be trademarks or service marks have been
appropriately capitalized. Artech House cannot attest to the accuracy of this information. Use of
a term in this book should not be regarded as aff ecting the validity of any trademark or service
mark.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Biswas FM.indd ivBiswas FM.indd iv 11/7/2023 2:44:49 PM11/7/2023 2:44:49 PM

Contents
Preface ix
Chapter 1 Introduction 1
1.1 Background
1.2 Scope of the Book
1.2.1 Objectives
1.2.2 Overview of the Book
1.3 Preliminaries
1.3.1 Linear Algebra
1.3.2 Three-Dimensional Rotation Matrices
1.3.3 Probability
1.3.4 Motion of an Object in Space
References
Chapter 2 Space Vehicle Dynamics 23
2.1 Overview
2.2 Reference Frames
2.2.1 Earth-Centered Inertial Frame
2.2.2 Earth-Centered Earth-Fixed Frame
2.2.3 Topocentric Frame
2.2.4 Solar Ecliptic Coordinate System
2.2.5 Reference Frame Conversion
2.3 Force Model
2.3.1 Perturbation Forces
2.3.2 Thrust
v

vi Contents
2.4 State Space Model of Space Vehicles
2.4.1 Earth Orbiting Satellites
2.4.2 Launch Vehicle
2.4.3 Reentry Vehicle
2.4.4 Interplanetary Spacecraft
References
Chapter 3 Observations 47
3.1 Overview
3.2 Ground-Based Observations
3.2.1 Active and Passive Radio Observations
3.2.2 Satellite Laser Ranging
3.2.3 Very Long Baseline Interferometry
3.3 Onboard Observations
3.3.1 Angular Measurements to Celestial Objects
3.3.2 Earth-Based Target Reference Measurement
3.3.3 Range Measurement to Known Beacon
3.3.4 GNSS Observations
3.3.5 Dilution of Precision
3.3.6 Inertial Navigation System
3.4 Summary
References
Chapter 4 Estimation Algorithms 65
4.1 Overview
4.2 Space Vehicle Navigation as an Estimation Problem
4.3 Least Square Estimation and Batch Processing
4.4 The Kalman Filter
4.4.1 The Kalman Filter for Discrete Linear Systems
4.4.2 Extended Kalman Filter
4.4.3 Unscented Kalman Filter
4.4.4 Computationally Efficient Unscented Kalman Filters
4.5 Particle Filter
4.5.1 Sequential Importance Sampling
4.5.2 Particle Filter Variants
4.6 Nonlinearity and Choice of Estimator
4.6.1 Nonlinearity Index
4.6.2 Nonlinearity and Estimator Performance
4.6.3 Choosing the Right Estimation Algorithm

Contents vii
4.7 MATLAB
®
Implementation of Estimation Algorithms
4.7.1 EKF Implementation
4.7.2 UKF Implementation
4.7.3 SPUKF Implementation
4.7.4 ESPUKF Implementation
4.7.5 Particle Filter Implementation
4.7.6 ESP-PF Implementation
4.8 Summary
References
Chapter 5 Navigation and Tracking of Satellites 103
5.1 Overview
5.2 Initial Position and Velocity Computation
5.3 Satellite Navigation and Tracking Using Sequential Estimation
5.3.1 System Model
5.3.2 Satellite Position and Velocity Estimation Using
Azimuth, Elevation, and Range Observation
5.3.3 Satellite Position and Velocity Estimation Using
Multi-GNSS Observation
5.3.4 Factors Affecting Estimation Performance
5.4 Example MATLAB Implementation of GPS-Based Satellite
Navigation
5.5 Precise Orbit Determination
5.6 Real-Time Onboard Navigation and Other Practical Consid-
erations
References
Chapter 6 Navigation and Tracking During Launch and Reentry 133
6.1 Overview
6.2 Ground-Based Tracking of Reentry Vehicle
6.3 Launch Vehicle Navigation Using GPS
6.3.1 Reference Trajectory Generation
6.3.2 Implementation of Sequential Estimator
6.4 Example MATLAB Implementation of Launch Vehicle and
Reentry Vehicle Position Estimation
6.4.1 Reentry Vehicle Tracking
6.4.2 GNSS-based Navigation of Launch Vehicle
6.5 Practical Considerations
References

viii Contents
Chapter 7 Navigation and Tracking in Lunar and Deep Space Missions 159
7.1 Overview
7.2 Challenges in Lunar and Deep Space Navigation
7.3 Ground-Based Tracking of Spacecraft in Lunar Transfer
Trajectory
7.3.1 State Transition Matrix
7.3.2 Partial Derivative of Measurements
7.4 Delay in Observation
7.5 Implementation of Navigation Algorithm
7.6 Example MATLAB Implementation for Tracking a Space-
craft in Lunar Transfer Trajectory
7.7 Summary and Future Directions
References
Appendix 177
A.1 Anomalies
A.2 Keplerian Elements to ECI Position and Velocity
A.3 ECI Position and Velocity to Keplerian Elements
A.4 Lambert Problem
Nomenclature 183
About the Authors 187
Index 189

Preface
This book is the culmination of a decade-long journey in the field of space vehicle
navigation, bringing together our experiences and research findings. Our goal is to
present the concepts and methods used in space vehicle navigation and tracking in
a concise manner, specifically targeting young engineers and scientists who aspire
to venture into this fascinating domain.
In recent years, the world has witnessed a renewed and invigorated interest in
space exploration, driven by a combination of technological advancements, inter-
national collaborations, and the quest for scientific discovery and human expansion
beyond Earth’s boundaries. Governments, private companies, and research institu-
tions are investing in ambitious missions to explore distant planets, asteroids, and
celestial bodies.
The space navigation and tracking landscape has changed significantly as a
result. With the launch of multiple mega-constellations and frequent interplanetary
missions, faster, a more accurate, and more frequent navigation and tracking so-
lution is now a requirement. One objective of this book is to address this require-
ment. The authors are recognized experts in space vehicle navigation and Global
Navigation Satellite Systems (GNSS). The computationally efficient estimators in-
cluded within these pages, namely the single propagation unscented Kalman filter
(SPUKF), extrapolated single propagation unscented Kalman filter (ESPUKF), and
extrapolated single propagation particle filter (ESP-PF), are the outcome of the au-
thors’ collaborative research.
The central part of this book adopts a tutorial approach, providing clear ex-
planations accompanied by example codes. The accompanied codes are essentially
end-to-end system and observation simulation as well as implementation of various
estimation algorithms for navigation and tracking of launch, reentry, Earth-orbiting
satellites, as well as interplanetary spacecraft. We believe that this approach will
empower our readers to construct their own navigation and tracking algorithms from
scratch and build upon existing codes. By providing a solid foundation, we aim
ix

x Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
to inspire innovation and foster the development of novel navigation and tracking
solutions.
Our focus throughout the book lies in the navigation and tracking of artificial
space objects. We explore a broad spectrum of space missions, encompassing earth-
orbiting satellite missions, launch and reentry missions, as well as interplanetary
missions. Each mission type necessitates the modeling of dynamics and the design
of estimation algorithms tailored to its specific requirements.
We delve into the intricacies of force models, accounting for perturbations
caused by nonuniform gravitational fields, tidal effects, atmospheric drag, solar
radiation pressure, and gravitational influences from other celestial bodies. Fur-
thermore, we discuss various reference frames utilized for navigation in space. To
facilitate the implementation of navigation filters, we provide state space models for
satellites, launch vehicles, reentry vehicles, and interplanetary spacecraft.
For earth-orbiting satellite tracking and navigation, we explore diverse ground
and space-based observations, accompanied by detailed error models. Furthermore,
we outline methodologies for achieving precise orbit determination. To illustrate
the practical application of these concepts, we present navigation and tracking
results using the extended Kalman filter (EKF) with simulated observations. We also
address the numerical challenges that arise during the implementation of navigation
algorithms.
The dynamics of launch and reentry vehicles exhibit extreme nonlinearity,
necessitating a distinct treatment in navigation and tracking. Within this context, we
include our recent research on the effects of nonlinearity on navigation performance
and describe methods for mitigating estimation errors within the framework of
the Kalman filter. Additionally, we introduce navigation and tracking techniques
employing the unscented Kalman filter, particle filter, and their computationally
efficient variants. Moreover, we discuss the selection of estimation algorithms
based on the nonlinearity of the dynamics and considerations for real-time onboard
navigation.
In crafting this book, we drew inspiration from the works of esteemed experts
in the field, such as David Vallado, Oliver Montenbruck, B. D. Tapley, Yaakov Bar-
Shalom, and many others. We owe much of our own understanding of astrodynam-
ics and orbit determination to their invaluable contributions. Within these pages, we
have consciously endeavored to blend the concepts of estimation theory with the
context of astrodynamics, focusing specifically on navigation and tracking.
Our hope is that this book will serve as a valuable resource, empowering
readers to:
•

Preface xi
•
sions.
•
•
ronments.
We trust that the information and insights presented within these chapters
will spark innovation, inspire further research, and enable the next generation of
engineers and scientists to embark on their own remarkable journeys in the realm
of space navigation and tracking.

Chapter1
Introduction
1.1 BACKGROUND
The launching of Sputnik marked the dawn of the space age in 1957. Apart from
achieving scientific goals and technology demonstration, the Sputnik mission cre-
ated scientific strides that resulted in lunar missions, earth observation satellites, the
global navigation satellite system (GNSS), and numerous interplanetary missions.
With time, the fleet of satellites deployed by various nations has become essential
for day-to-day life. Numerous space missions are conceived and executed every
year for navigation, communication, remote sensing, weather forecasting, resource
management, astronomical observation, and solar system exploration. With these
vital applications, space technology has proven to be the essential infrastructure of
human civilization. It is anticipated that future space missions will open endless
possibilities for technological advancements and shape the society of the coming
age.
The operation of a space vehicle relies on a collection of interdependent
functions: structure, power, navigation, attitude determination, guidance, control,
thermal, telemetry and command, propulsion, and data handling. Among these vital
functional segments, accurate navigation (i.e. determination of the position and
velocity) is often crucial for the success of a space mission.
Precise position and velocity information of a launch vehicle is required for
the insertion of a spacecraft into its orbit and for range safety. In-orbit position
determination is important for station keeping, guidance, and manoeuvring of earth-
orbiting artificial satellites and deep space-faring spacecraft. For reentry missions,
position and velocity information are even more vital for proper reentry procedures
and vehicle recovery.
1

2 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
Similar to navigation, tracking also involves the estimation of the position and
velocity of spacecraft. Although the mathematical framework is similar for both
navigation and tracking, they are often distinguished by where the observations and
decisions are being made. In navigation, the observations are made by the onboard
sensors, and the position and velocity estimation are also performed in the onboard
flight computer. On the other hand, in tracking the observations are made from the
ground station. The position and velocity estimation is done on the ground station
as well in the case of tracking. Essentially a space vehicle, some measurement
mechanism, and a processing unit to perform the estimation comprise a navigation
or tracking system.
Navigation and tracking of all types of space vehicles require some input
observations that are functions of the position and velocity of space vehicles. Dead-
reckoning, range, range rate, pointing angles, and angular measurements to known
celestial objects are widely used as measurements for space vehicle navigation
and tracking. The position and velocity of space vehicles are estimated from these
measurements using a suitable estimator.
Estimation techniques can be broadly segregated into two different categories:
batch and sequential estimators. Batch estimators process observations from multi-
ple epochs at once and provide navigation solutions. On the other hand, sequential
estimators process observations epoch-by-epoch; that provides an updated naviga-
tion solution when a new set of observations is recorded. Sequential estimators re-
quire only the current set of observations to be stored, hence memory requirement is
less. In addition, sequential estimators incorporate a priori information of the state
vector to be estimated and provide better accuracy. As a result, these are preferred
for real-time navigation and tracking.
Of several types of sequential estimators, the Kalman filter is designed for
the state estimation of stochastic dynamic systems. It is a very popular estimation
technique due to its computational efficiency and it is frequently used in space
vehicle navigation and attitude estimation. The extended Kalman filter (EKF) was
developed to apply the Kalman filter framework in nonlinear systems [1]. The
application of the EKF spans almost all engineering disciplines. However, this
algorithm provides suboptimal estimation for mildly nonlinear problems [2, 3]
due to the first-order Taylor series approximation of the mean and conditional
error covariance [4]. It has long been established that the degree of nonlinearity
of a dynamic system is one of the decisive factors for the accuracy of the EKF.
To address nonlinearity, several techniques involving analytical and numerical
computation of the Jacobian and Hessian were developed [3, 5]. Julier et al.
suggested a deterministic sampling approach to compute the a priori mean state

Introduction 3
vector and the error covariance to capture the nonlinearity of the dynamic system
[6, 7]. This approach is known as the unscented Kalman filter and is a popular
estimation technique for so-called highly nonlinear dynamic systems. Another
notable sequential estimator is the particle filter where the probability density
function (PDF) is represented as a set of random samples [8]. A large number
of samples ensures an equivalent representation of the PDF. The random sample
state vectors are propagated over the observation interval to obtain the a priori
information. Once observations are received, the weights of each propagated sample
state vector are computed using the likelihood function and a posteriori PDF of the
state vector is determined using the weights. The particle filter is more accurate
in nonlinear propagation of the PDF; however, it is also computationally very
expensive.
The cost of launching a spacecraft is high and depends on the type of mission.
For example, the cost of sending an artificial satellite into an LEO is around $2000
per kg. Hence, it is always desirable to minimize the mass of the space vehicle,
which results in limited availability of computational resources onboard. Hence
computationally expensive estimation algorithms often cannot be used for onboard
navigation. A designer of a space vehicle navigation system must consider this
major design constraint while choosing an estimation algorithm. An estimation
algorithm with high accuracy but fewer numerical operations is the prudent choice.
The EKF is utilized in precise position estimation by post-processing on the
ground [9–11] as well as for real-time onboard satellite position estimation [9, 12,
13] and formation flying of satellites using GNSS measurements [14]. Possible
application of the UKF has been explored in satellite navigation, attitude deter-
mination and control [15, 16], GPS/INS integration for unmanned aerial vehicles
[17], indoor positioning [18], target tracking [19], and in various other estimation
problems. Although the UKF and PF provide a more accurate estimation solution
than the EKF, these estimators are often not the preferred technique for real-time
estimation due to their computationally expensive nature. We have provided the
application of recently developed computationally efficient variants of the UKF and
PF in space vehicle navigation and tracking in the forthcoming chapters.
The general qualitative notion of so-called highly nonlinear and mildly non-
linear systems is not sufficient for designers to forecast the accuracy improvement
by the UKF over the EKF for a given set of system and measurement models. In
[20] it was demonstrated that for a reentry vehicle tracking problem using range
measurements, the UKF performance is superior to the EKF. In [21] the UKF was
applied in the low earth orbit (LEO) satellite navigation using Global Positioning
System (GPS) measurements. Despite being a nonlinear system with nonlinear

4 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
measurements, it was observed that the performance improvement by the UKF
compared to the EKF was not significant. Based on [22] we have discussed the
selection of the suitable estimator based on some quantitative notion of nonlinearity
in Chapter 4.
1.2 SCOPE OF THE BOOK
1.2.1 Objectives
The foremost objective of the book is to present the fundamental concepts, methods,
and tools that are used in the navigation and tracking of various space vehicles and
aid the readers to design and synthesis estimators for various space missions.
With this objective in mind, we have presented the mathematical framework
of navigation and tracking problems in the first few chapters. We have presented
the mathematical model of various space vehicles and observation models in the
subsequent chapters.
The book also presents applications of various estimation algorithms in
satellite navigation and tracking, launch vehicle and reentry vehicle tracking, and
tracking of interplanetary spacecraft. The book also provides the application of
recently developed computationally efficient variants of the conventional nonlinear
estimators in space vehicle navigation and tracking.
The example applications are constructed under certain assumptions and
simplifications to aid the readers to understand the application of the estimation
algorithms for diverse types of space missions. We hope that with the basic building
blocks and tutorial presented in the book, the readers will be easily able to explore
the application of the presented algorithms in more realistic scenarios.
We will pose the navigation and tracking problem as a stochastic estimation
problem which requires some preliminary background in linear algebra, vector
calculus, stochastic process, and probability.
Section 1.3.1 provides a brief overview of linear algebra and state space
method which provides the mathematical structure for posing estimation problems.
Section 1.3.2 introduces the readers to the rotation matrices that are used to trans-
form vectors from one reference frame to another. Section 1.3.3 reviews the basic
concepts of probability theory and stochastic processes that are required to under-
stand the stochastic estimation problem.
We assume the readers of the book are already familiar with these concepts.
However, for completeness, we present very selected concepts and definitions

Introduction 5
briefly in this chapter. Should the readers require a deeper understanding of these
topics, they can refer to books by Pierre Bremaud for probability theory and
stochastic processes, and Norman Nise for state space method.
Additionally, we will discuss Kepler’s Laws and orbital elements in Section
1.3.4 as preliminary before discussing the space vehicle dynamics in Chapter 2.
1.2.2 Overview of the Book
The rest of this chapter covers the preliminaries that are required to construct
estimation problems. Chapter 2 provides a detailed process of developing the
dynamic model of various space vehicles. The chapter starts by introducing the
readers to various reference systems and frames which are key components in
defining the position and velocity of space vehicles. Subsequently, the force model
and perturbations are introduced. Finally, the state space models of a satellite,
launch vehicle, reentry vehicle, and interplanetary spacecraft are provided. The
prerequisite for this chapter is Chapter 1.
Chapter 3 presents various observation models that are used in the navigation
and tracking of space vehicles. The chapter covers observation models for various
ground-based observations, onboard observations GNSS and INS. Chapter 2 is a
prerequisite for this chapter.
Chapter 4 presents various estimation algorithms that are used for navigation
and tracking. The chapter starts with the basic concepts of estimation theory and
then presents the Kalman filter and its variants. The chapter also presents the
particle filter and its variants. The chapter concludes by describing the impact of
nonlinearity in the estimator performance. Chapter 1 is the prerequisite for this
chapter.
Chapter 5 provides a step-by-step procedure to implement sequential esti-
mators for the navigation and tracking of a satellite. Two example applications
are provided. The first example is a geostationary satellite tracking problem us-
ing ground-based observations. The second example is a LEO satellite navigation
problem using GNSS measurements. The second example is further extended to
examine the estimator performance with a change in the orbit eccentricity. Chapters
1 through 4 are the prerequisites for this chapter.
Chapter 6 provides a sequential estimator implementation strategy for reentry
vehicle and launch vehicle tracking problems. An example of ground-based tracking
of reentry vehicles is provided in this chapter. Further, the GPS-based launch
vehicle navigation problem is presented in this chapter. Chapters 1 through 4 are
the prerequisites for this chapter.

6 Navigation and Tracking in Space: Analysis and AlgorithmsChapter 1: IntroductionChapter 2: Space
Vehcile Dynamics
Chapter 3:
Observations
Chapter 4: Estimation
Algorithms
Chapter 5: Navigation
and Tracking of Satel-
lites
Chapter 6: Navigation
and Tracking during
Launch and Reentry
Chapter 7: Navigation
and Tracking in Lunar
and Deep Space Mis-
sions
Figure 1.1:Book structure.
Chapter 7 presents the sequential estimator implementation strategy for track-
ing interplanetary spacecraft. The chapter starts with a description of the dynamics
of interplanetary spacecraft. The chapter then presents the sequential estimator im-
plementation strategy for tracking of interplanetary spacecraft using ground-based
observations. Chapters 1 through 4 are the prerequisites for this chapter.
The book structure indicating the prerequisites of each chapter is shown in
Figure 1.1.
1.3 PRELIMINARIES
1.3.1 Linear Algebra
Linear algebra forms the foundation of many mathematical and computational
techniques used in various fields, including navigation and tracking in space. In
this section, we will cover the key concepts and techniques of linear algebra that
are essential for a thorough understanding of advanced topics in space navigation.

Introduction 7
This section serves as a refresher for readers who are already familiar with linear
algebra. Readers who are not familiar with linear algebra are encouraged to refer to
the book by Gilbert Strang [23] for a detailed understanding of the subject.
1.3.1.1 Vector Space and Vector
A vector spaceVis a collection of objects called vectors that satisfy certain
properties. These vectors can be thought of as elements or points in the vector space.
The vector space is defined over a field, which is typically the real numbers (R) or
complex numbers (C). In this book, we denote a vector using bold font.
Formally, a vector space is a setVtogether with two operations: vector
addition and scalar multiplication. The vector addition operation takes two vectors
fromVand produces a new vector inV, while scalar multiplication takes a scalar
from the field and a vector fromVand produces a new vector inV.
For a vector space, the following additional properties must hold:
1.
grouping ; that is,(u+v) +w=u+ (v+w)for allu,v,w∈V.
2.
order ; that is,u+v=v+ufor allu,v∈V.
3.
denoted as0, which acts as an additive identity ; that is,v+0=vfor all
v∈V.
4. v∈V, there exists a vector
−v∈Vsuch thatv+ (−v) =0.
5.
multiplicative identity, denoted as1, which acts as a multiplicative identity ;
that is,1v=vfor allv∈V.
6. c
and any vectorsu,v∈V,c(u+v) =cu+cv.
7. c,d
and any vectorv∈V,(c+d)v=cv+dv.
8.
scalarsc,dand any vectorv∈V,(cd)v=c(dv).

8 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
1.3.1.2 Linear Independence
A set of vectors is said to be linearly independent if none of the vectors in the set can
be expressed as a linear combination of the others. In other words, a set of vectors
v1, v2, ..., vnis linearly independent if the only solution to the equation:
c1v1+c2v2+...+cnvn= 0 (1.1)
is the trivial solution; that is, all the scalarsc1, c2, ..., cnare zero (c1=c2=...=
cn= 0). If a set of vectors is not linearly independent, it is called linearly dependent.
In this case, at least one vector in the set can be expressed as a linear combination
of the others.
1.3.1.3 Matrix and Matrix Operations
A matrix is an array of numbers arranged in rows and columns. Formally, anm×n
matrixAis defined as a collection ofmnelements arranged inmrows andn
columns. The elements of a matrix can be real numbers, complex numbers, or other
mathematical entities. The element in thei-th row andj-th column is denoted as
aijorA[i, j], whereiranges from1tomandjranges from1ton. For example, a
2matrix can be represented as:
A=
»
a11a12a13
a21a22a23
–
(1.2)
here,Ahas2rows and3columns, anda11, a12, a13, a21, a22,anda23are the
elements of the matrix. It should be noted that a set of matrices with fixed size
or dimension forms (denoted asR
m×n
) is a vector space, which means all the
properties of vector space are applicable to matrices.
For anm×nmatrixA, then thetransposeofA, denoted asA
T
, is ann×m
matrix obtained by interchanging the rows and columns of A. The element in the
i-th row andj-th column of the transpose is the element in thej-th row andi-th
column of the original matrix; that is,A
T
[j, i] =A[i, j]. For the previously defined
matrixAthe transposeA
T
; that is:
A
T
=


a11a21
a12a22
a13a23

 (1.3)

Introduction 9
Given two matricesA∈R
m×n
andB∈R
n×p
, the matrix productAB,
denoted asC=AB, whereC∈R
m×p
and the elements ofCare given by:
cij=
n
X
k=1
aikbkj (1.4)
IfAis a square matrix (∈R
n×n
) and there exists another matrixA
−1
such
thatAA
−1
=A
−1
A=In×n, thenA
−1
is the inverse ofA. HereIn×nis the
identity matrix of sizen×nand is defined as:
In×n=





1 0· · ·0
0 1· · ·0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0· · ·1





(1.5)
The trace of a square matrixA∈R
n×n
, denoted astr(A), is the sum of the
diagonal elements; that is
tr(A) =
n
X
i=1
aii (1.6)
The trace of a matrix has some important properties:
1. AandBand a scalar
c,tr(A+B) =tr(A) +tr(B)andtr(cA) =c∗tr(A).
2. tr(ABC)
=tr(CAB) =tr(BCA), whereA,B, andCare compatible matrices.
The rank of a matrixA, denoted asrank(A), is defined as the maximum
number of linearly independent rows or columns in the matrix. It can also be
interpreted as the maximum number of nonzero rows or columns that can be
extracted from the matrix.
Given a square matrixA, an eigenvector is a nonzero vectorvsuch that when
Ais multiplied byv, the resulting vector is parallel tov, although it may be scaled
by a scalar value. This scalar value is called the eigenvalue corresponding to that
eigenvector.
Mathematically, we can represent this relationship as:
Av=λv (1.7)

10 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
Here,λis the corresponding eigenvalue. To find the eigenvalues and eigenvectors,
we solve the characteristic equation:
|A−λI|= 0 (1.8)
whereIis the identity matrix of the same size asA. The eigenvalues are the roots of
the characteristic equation. The eigenvectors are the vectors that satisfy the equation
Av=λvfor each eigenvalue. It can be shown that the trace of a matrix is equal
to the sum of its eigenvalues. Another important property of eigenvalues is that the
determinant of a matrix is equal to the product of its eigenvalues.
1.3.1.4 Gradient, Jacobian, and Hessian
Thegradientof a scaler valued functionf:R
n
→Rwith respect to a vector
x∈R
n
is defined as
∇xf(x) =






∂f(x)
∂x1
∂f(x)
∂x2
.
.
.
∂f(x)
∂xn






(1.9)
Thegradientof a vector valued functionf:R
n
→R
m
with respect to a vector
x∈R
n
is defined as
∇xf(x)
T
=




∂f1(x)
∂x1
∂f2(x)
∂x1
· · ·
∂fm(x)
∂x1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂f1(x)
∂xn
∂f2(x)
∂xn
· · ·
∂fm(x)
∂xn




(1.10)
TheJacobianoffis defined as the transpose of the gradient off. That means the
Jacobianoffis am×nmatrix:
∂f(x)
∂x
=




∂f1(x)
∂x1
∂f1(x)
∂x2
· · ·
∂f1(x)
∂xn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂fm(x)
∂x1
∂fm(x)
∂x2
· · ·
∂fm(x)
∂xn




(1.11)

Introduction 11
TheHessianof a scalar-valued functionf:R
n
→Rwith respect to a vector
x∈R
n
is defined as
∂
2
f(x)
∂x
2
=







∂
2
f(x)
∂x
2
1
∂
2
f(x)
∂x1∂x2
· · ·
∂
2
f(x)
∂x1∂xn
∂
2
f(x)
∂x2∂x1
∂
2
f(x)
∂x
2
2
· · ·
∂
2
f(x)
∂x2∂xn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂
2
f(x)
∂xn∂x1
∂
2
f(x)
∂xn∂x2
· · ·
∂
2
f(x)
∂x
2
n







(1.12)
The textitHessian for a vector-valued function is a tensor of order 3.
1.3.1.5 State Space Representation
Mechanical systems in general can be modeled using Newton’s law of motion or
the Euler-Lagrange equation, which eventually results in a differential equation.
Depending on the system in question, the order of the differential equation may
vary. State space representation of a system is nothing but reformatting an-th order
differential equation that represents the system tonfirst-order differential equations
and represents using a single first-order vector differential equation. For example,
consider the following linear differential equation:
...
y+α¨y+β˙y+γy= 0 (1.13)
wherey∈R. We can consider the state vector as[y˙y¨y]
T
. Then the state space
representation of the above differential equation becomes


˙y
¨y
...
y

=


0 1 0
0 0 1
−γ−β−α




y
˙y
¨y

 (1.14)
which is essentially a first-order differential equation. This can be extended to
nonlinear differential equations as well. We will use this state space representation
for modelling the space vehicle motion.
1.3.1.6 State Transition Matrix
Consider a state space representation of a system as
˙
X(t) =f(X, t) (1.15)

12 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
The state transition matrixΦis defined as
Φ(t) =
∂X(t)
∂X(t0)
(1.16)
From (1.15) one can write
∂
∂X(t0)
˙
X(t) =
∂f(X, t)
∂X(t0)
(1.17)
which implies
d
dt
∂X(t)
∂X(t0)
=
∂f(X, t)
∂X(t)
∂X(t)
∂X(t0)
(1.18)
Then from the definition of the state transition matrix
˙
Φ(t) =
∂f(X, t)
∂X(t)
Φ(t) (1.19)
For a small time intervalt0totwe can assume
∂f(X,t)
∂X(t)
to be constant and we can
write
Φ(t) =Φ(t0)e
∂f(X,t)
∂X(t)
(t−t0)
(1.20)
Note that by the definition of the state transition matrix,Φ(t0)is an identity matrix.
Hence for a small time intervalδtthe state transition matrix at time t is
Φ(t) =e
∂f(X,t)
∂X(t)
δt
(1.21)
1.3.2 Three-Dimensional Rotation Matrices
Rotation of vectors in three-dimensional space is essentially a linear transformation.
this rotation can be performed using rotation matrices, which are also known as
special orthogonal group SO(3). These rotation matrices are frequently used in
navigation and tracking to change reference frames described in Chapter 2. The
rotation matrices for rotation about thex,y, andzaxes are listed below:
• θ
about thex-axis is given by:
Rx(θ) =


1 0 0
0 cosθ−sinθ
0 sinθcosθ

 (1.22)

Introduction 13
• θ
about they-axis is given by:
Ry(θ) =


cosθ0 sinθ
0 1 0
−sinθ0 cosθ

 (1.23)
• θ
about thez-axis is given by:
Rz(θ) =


cosθ−sinθ0
sinθcosθ0
0 0 1

 (1.24)
For a rotation matrixR(θ)the following properties hold:
1.R(θ)
T
=R(θ)
−1
2.det(R(θ)) = 1
3.R(−θ) =R(θ)
−1
=R(θ)
T
1.3.3 Probability
As mentioned earlier, we pose the navigation and tracking problems as state
estimation problems under uncertainty in the dynamics of space vehicles and
uncertainty in the measurements. A solid understanding of probability and statistics
is crucial for developing robust state estimation algorithms. In this section, we will
cover the fundamental concepts of probability and statistics that are pertinent to
state estimation in navigation and tracking in space.
1.3.3.1 Probability Space
A probability space is a mathematical construct that consists of three elements:
a sample space, an event space, and a probability measure. It provides a formal
framework for studying and analyzing random experiments and events. The three
elements of a probability space are defined as follows:
• Ω): The sample space is the set of all possible outcomes of a
random experiment. It is denoted byΩand represents the entire set of possible
outcomes or states that the experiment can result in. For example, if we toss

14 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
a coin, the sample space isΩ ={H, T}, where H represents heads and T
represents tails. If we roll a die, the sample space isΩ ={1,2,3,4,5,6},
where each number represents the outcome of the die roll.
• F): The event space, also referred to as theσ-algebra or the
set of events, is a collection of subsets of the sample spaceΩ. It contains the
events or subsets that we are interested in studying or assigning probabilities
to. The event spaceFsatisfies certain properties, such as being closed under
complementation, countable union, and countable intersection.
• P): The probability measure is a function that assigns
probabilities to events in the event spaceF. It maps events to real numbers
between 0 and 1, representing the likelihood or chance of their occurrence.
A probability space is often denoted as(Ω,F, P).
1.3.3.2 Axioms of Probability
The probability measure mentioned above satisfies certain properties, known as the
axioms of probability. The axioms of probability is also known as Kolmogorov’s ax-
ioms. These axioms provide a mathematical framework for defining and analyzing
probability. There are three axioms:
1.
any event A, the probabilityP(A)is greater than or equal to zero:P(A)≥0.
2. Ωis equal to one;
that is,P(Ω) = 1.
3.
occur simultaneously), the probability of the union of these events is equal to
the sum of their individual probabilities. IfA1, A2, A3, ..., Anare mutually
exclusive events, then the probability of their union is given by:P(A1∪A2∪
A3∪...) =P(A1) +P(A2) +P(A3) +...+P(An).
1.3.3.3 Conditional Probability
The conditional probability of an eventAgiven another eventBis defined as
P(A|B) =
P(A∩B)
P(B)
(1.25)

Introduction 15
1.3.3.4 Independent Events
Two eventsAandBare said to be independent if
P(A∩B) =P(A)P(B) (1.26)
1.3.3.5 Random Variables
Consider a probability space(Ω,F, P). A random variableXin this probability
space is a function that maps each element in the sample spaceΩto a real number:
X: Ω→R (1.27)
For each outcomeω∈Ω,X(ω)represents the numerical value associated with
that outcome. The set of all possible numerical values thatXcan take is called the
range or the codomain of the random variable. There are two main types of random
variables:
•
a countable set of distinct values, it is called a discrete random variable.
The probabilities associated with each value of the random variable can be
represented using a probability mass function.
•
or a continuous set of values, it is called a continuous random variable. The
probabilities associated with intervals of values of the random variable are
represented using a probability density function.
A multivariate random variable refers to a collection of two or more random
variables that are defined on the same sample space. It represents a set of random
quantities that are observed or measured simultaneously and may be dependent
on each other. Essentially, a multivariate random variable is a vector of random
variables.
1.3.3.6 Probability Mass Function
The probability mass function of a discrete random variablexthat takes values from
a discrete setζ1, ζ2, ..., ζn, is defined as
fx(ζi) =P(x=ζi)fori= 1,2, ..., n (1.28)

16 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
1.3.3.7 Probability Density Function
The probability density function of a continuous random variablex∈Ratx=ζ
is defined as
p(x=ζ) = lim
dζ→0
P(ζ−dζ < x < ζ)
dζ
>0 (1.29)
where
P(α < x < β) =
Z
β
α
p(x)dx (1.30)
1.3.3.8 Expectation and Covariance of Random Variables
The expectation of a multivariate random variablex∈R
n
is defined as
E[x] =
Z
∞
−∞
xp(x)dx=¯x (1.31)
The covariance of a vector random variablexis defined as
Σ=E[[x−E[x]][x−E[x]]
T
] (1.32)
1.3.3.9 Gaussian Distribution
A multivariate random variablexhas a Gaussian distribution with meanµand
covarianceΣif the probability distribution function is given by
p(x;µ,Σ) =
1
p
(2π)
n
|Σ|
e
−
1
2
(x−µ)
T
Σ
−1
(x−µ)
(1.33)
1.3.3.10 Stochastic Process
A stochastic process (also referred to as a random process) describes the evolution
of a system over time in a probabilistic manner. It is a collection of random variables
indexed by time, where each random variable represents the state of the system at a
specific point in time.
Formally, a stochastic process can be defined as a family of random variables
X(t), t∈T, whereTrepresents the index set that can be discrete or continuous,
andX(t)is the random variable representing the state of the process at timet.
The index setTcan be thought of as a time parameter, but it can also represent

Introduction 17
other quantities such as spatial locations or any other parameter of interest. The
behavior of a stochastic process is characterized by its probability distribution or
probability density function, which provides information about the likelihood of
different values or trajectories of the process over time.
A stochastic process is called a discrete-time stochastic process if the time
variable takes only positive integer values. A continuous-time stochastic process
has a time variable that takes real values. For a system to be stochastic, one or
more parts of the system have randomness associated with it. Unlike a deterministic
system, for example, a stochastic system does not always produce the same output
for a given input.
1.3.3.11 Markov Process
A stochastic processX1,X2,X3, ....is called a Markov process if it has the
following property:
P(Xn+1|Xn,Xn−1, ...,X0) =P(Xn+1|Xn) (1.34)
This property is called the Markov Property which essentially implies that the future
state of the process only depends on the present state.
1.3.3.12 Process and Measurement Noise
The uncertainty in the system and the measurement is mathematically represented
by process and measurement noise. In the space vehicle navigation context, system
uncertainty arises due to various unmodeled forces that affect the position and
velocity of the space vehicle. This uncertainty is modeled by incorporating a
random variable term in the deterministic equation of motion and termed the
process noise. Similarly, any physical measurement is uncertain; it contains a
deterministic part and a random part. The randomness arises due to mechanical,
thermal, and other external fluctuations. This random component is mathematically
modeled by incorporating the measurement noise term in the measurement model
equation. Throughout the book, we will consider the additive Gaussian process and
measurement noise.
1.3.4 Motion of an Object in Space
Although we will describe the force model and the equations of motion in detail
in the next chapter, we will briefly discuss the motion of an object in space in this

18 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
section as preliminary. We will first describe Kepler’s laws of planetary motion and
then discuss the parameters that are used to describe the orbit of an object in space.
1.3.4.1 Kepler’s Laws of Planetary Motion
Johannes Kepler, a German mathematician and astronomer, formulated three fun-
damental laws that describe the motion of planets and other celestial bodies in
our solar system. These laws, known as Kepler’s laws of planetary motion, were
derived based on careful observations made by Kepler and previous astronomical
data collected by Tycho Brahe. They played a pivotal role in the development of
modern astronomy and our understanding of planetary motion. The three laws are
as follows:
1.
2.
as the planet travels around the ellipse.
3.
semi-major axis of its orbit.
Kepler’s laws provided crucial empirical evidence that influenced the development
of Isaac Newton’s laws of motion and universal gravitation. Newton was able to
mathematically explain the underlying principles governing planetary motion by
combining Kepler’s laws with his own laws of motion and the law of universal
gravitation. This resulted in a comprehensive understanding of celestial mechanics
and marked a major milestone in the history of science.
1.3.4.2 Classical Orbital Elements
One standard and widely used method of describing orbit in space is through a set
of six parameters which is also known as classical orbital elements or Keplerian
elements. These parameters provide a concise mathematical representation of the
shape, size, and orientation of an orbit.
The six orbital elements are:
•asemi major axis
•iinclination
•Ωright ascension (RA) of the ascending node

Introduction 19
•eeccentricity
•ωargument of perigee
•νtrue anomaly
The orbital elements are illustrated in Figure 1.2. These orbital elements are
defined as follows:
1. a) is half of the length of the major axis of an elliptical orbit.
2. i) refers to the angle of the satellite’s orbit plane with respect to
the equatorial plane of the Earth. It is also the angle between theZECIand
the angular momentum vectorh. Mathematically [24],
cosi=
ZECI·h
|ZECI| |h|
(1.35)
Orbits with0
◦
< i <90
◦
are called prograde orbits in which the satellites
move in the direction of the Earth’s rotation. Orbits withi= 90
◦
are
referred to aspolar orbitsin which the satellite travels over the poles. For
90
◦
< i <180
◦
the orbit is called aretrograde orbitin which the satellite
moves in the opposite direction of the Earth’s rotation. Fori= 0
◦
and
i= 180
◦
the orbits are calledequatorial orbits.
3. Ωis measured counter-
clockwise in the equatorial plane from the vernal equinox direction to the
ascending node (which is the point through which the orbit of the satellite
passes through the plane of reference; i.e., equatorial plane from south to
north direction).
4. e, points from the focus on the periapsis direction
defining the shape of the conic orbit.
5. ωis the angle between the eccentricity vectoreand
the node line vector shown in Figure 1.2, measured in the plane of the orbit
in the direction of the satellite’s motion.
6. νat an epoch is the sixth orbital element and it defines the
angular location of the satellite in its orbit at epochtrelative to the location
of periapsis [24].
The true anomalyθis frequently replaced by the mean anomalyM(see Appendix
A, Section 1 for details) [25]. An algorithm for computing the position vectorsr

20 Navigation and Tracking in Space: Analysis and AlgorithmsEquatorial planeΩXECIYECIZECIhvθrωeiPerigeeSatelliteAscending nodeNode line
Figure 1.2:The orbital parameters in an Earth-centered inertial coordinate system.
andvfrom the orbital elementsh,e,i,Ω,ω, andθis given in Appendix A, Section
2. A reverse algorithm for computing the orbital elements from the position vectors
is also given in Appendix A, Section 3. The detailed derivations of these algorithms
can be found in [24].
References
[1] Journal
of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series a Control, vol. 2, no. 1, pp. 19–32,
Jan. 1964.
[2] IEEE
Transactions on Automatic Control, vol. 9, no. 1, pp. 5–12, Jan. 1964.
[3]
nonlinear systems from discrete noisy measurements,”IEEE Transactions on Automatic Control,
vol. 13, no. 5, pp. 504–514, Oct. 1968.

Introduction 21
[4]
nongaussian noise and disturbances,”Journal of the Franklin Institute, vol. 281, no. 6, pp. 455–
480, 1966.
[5]
systems,”Automatica, vol. 36, no. 11, pp. 1627–1638, 2000.
[6] Proceedings of the 2003 American
Control Conference, 2003., vol. 3, Denver, CO, USA: IEEE, 2003, pp. 2430–2434.
[7] Proceedings of the
IEEE, vol. 92, no. 3, pp. 401–422, Mar. 2004.
[8]
state estimation,”IEE Proceedings F Radar and Signal Processing, vol. 140, no. 2, p. 107, 1993.
[9]
operations for small satellites,”Acta Astronautica, vol. 39, no. 9-12, pp. 917–922, Nov. 1996.
[10]
solutions,”Aerospace Science and Technology, vol. 4, no. 3, pp. 215–221, Apr. 2000.
[11]
using GPS measurement data,”Acta Astronautica, vol. 57, no. 9, pp. 747–753, Nov. 2005.
[12]
using GPS code and carrier measurements,”Aerospace Science and Technology, vol. 9, no. 3,
pp. 261–271, Apr. 2005.
[13]
status and perspectives,”In Proceedings of 6th IAA Symposium on Small Satellites for Earth
Observation, April 23-26, Berlin, 2007.
[14]
ing Global-Positioning-System Measurements,”Journal of Guidance, Control, and Dynamics,
vol. 28, no. 2, pp. 226–235, Mar. 2005.
[15]
Journal of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 26, no. 4, pp. 536–542, Jul. 2003.
[16]
Kalman Filter,”Journal of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 31, no. 1, pp. 245–251, Jan.
2008.
[17]
Unscented Particle Filter,”Journal of Navigation, vol. 63, no. 03, pp. 491–511, Jul. 2010.
[18]
Terrestrial Ranging Signals,”Journal of Navigation, vol. 68, no. 02, pp. 274–290, Mar. 2015.
[19]
Symmetric Measurement Equations,”IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 54, no. 2,
pp. 370–375, Feb. 2009.
[20]
of means and covariances in filters and estimators,”IEEE Transactions on Automatic Control,
vol. 45, no. 3, pp. 477–482, Mar. 2000.

22 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
[21]
GPS observations based on the unscented Kalman filter,”Advances in Space Research, vol. 46,
no. 11, pp. 1440–1450, Dec. 2010.
[22]
using the Unscented Kalman Filter in a non-linear application,”Automatica, vol. 122, p. 109 241,
Dec. 2020.
[23] Introduction to Linear Algebra. SIAM, 2022.
[24] Fundamentals of Astrodynamics and Applications. Springer Science & Business
Media, 2001, vol. 12.
[25] Orbital Mechanics for Engineering Students(Elsevier Aerospace Engineering
Series), 1. ed., reprinted. Amsterdam: Elsevier/Butterworth-Heinemann, 2008.

Chapter2
Space Vehicle Dynamics
2.1 OVERVIEW
From the navigation and tracking perspective, our interest is to estimate the position
and velocity of a spacecraft as accurately as possible. This is a challenging task
because the mathematical model of space vehicle dynamics is not exact, and
the measurements are noisy. Here the differential equation that governs the time
evolution of the position and velocity is referred to as the dynamics of the spacecraft.
This is often referred to as the system model as well. This mathematical model of
the spacecraft motion mismatches with the actual motion due to approximations and
unmodeled dynamics. This holds true for any physical system. Control theorists
have come up with an elegant way to account for these unmodeled dynamics
and approximation in control and estimation problems by expressing the system
dynamics using stochastic differential equations.
Following the conventional way of formulating the navigation and tracking
problem, we will combine the position and velocity vectors of a spacecraft in a six-
dimensional vector and refer to the state vector. The state vector is propagated using
the spacecraft dynamics to compute the a priori estimate of the position and velocity
of the spacecraft, which is required by a sequential estimator to estimate the a
posteriori position and velocity from the observations or measurements. Essentially,
a more accurate system model results in more accurate estimates of the position and
velocity of the spacecraft. The accuracy requirement determines the level of the
detailed model required in an estimation algorithm. In this chapter, we will discuss
the construction of the mathematical models of the launch vehicle, reentry vehicle,
and satellite dynamics.
23

24 Navigation and Tracking in Space: Analysis and AlgorithmsPrime
MeridianZECI
North
PoleZECEFEquatorial planeXECIXECEFYECIYECEFωEωE∆tNEDϕλ
N:North
E:East
D:Down
ϕ:Latitude
λ:Longitude
r
Figure 2.1:Reference frames.
2.2 REFERENCE FRAMES
Since the motion of a dynamic system is relative, a mathematical model of the
motion must be expressed in a rigorously defined reference frame. A multitude of
historical concepts in various reference frames is available. However, fundamentally
there are two types of reference frames: inertial and noninertial. Defining an
absolute inertial frame is a demanding task and not necessary most of the time.
In practice, the conventional inertial frames are not inertial in a strict sense, because
they are affected by the motion of the central body under consideration. Often these
frames are referred to as quasi-inertial frames. Furthermore, noninertial frames are
crucial because of the necessity of the knowledge of the position and velocity of
a space vehicle relative to a particular position on the Earth, which is moving in
three-dimensional space as the Earth rotates and follows a heliocentric orbit. Various
reference frames are shown in Figure 2.1 and are described in the following sections.
2.2.1 Earth-Centered Inertial Frame
The origin of the earth-centered inertial (ECI) frame is the center of the Earth. In
a strict sense, due to the motion of the Earth in space the ECI frame is a quasi-
inertial frame with fixed directions of theX,Y, andZaxes. Various realizations of

Space Vehicle Dynamics 25XJ2000YJ2000ZJ2000Equatorial planeEcliptic planeCenter of the EarthIntersection of the
equatorial and
ecliptic planes
Figure 2.2:J2000 reference frame.
the ECI frame are available, however, the J2000 frame is the most commonly used
ECI reference frame. In J2000 frame, as shown in Figure 2.2, theX-axis is defined
in the direction of the intersection of the Earth’s equatorial plane and the ecliptic
plane at 12:00:00 on January 1, 2000 (J2000 epoch), and theZ-axis is normal to
the mean equator at J2000 epoch. TheY-axis is defined by the cross-product of the
X-axis andZ-axis directions. Another realization of the ECI frame is the geocentric
celestial reference frame (GCRF) [1] and the axes of GCRF are closely aligned to
the J2000 frame. The rotation between these two realizations is less than 0.1 arc
second.
2.2.2 Earth-Centered Earth-Fixed Frame
The origin of the earth-centered earth-fixed (ECEF) frame is also the center of the
Earth. TheX-axis is aligned with the intersection of the equatorial plane and the
prime meridian, theZ-axis is to the north pole (i.e., aligned with the axis of rotation
of the Earth), and theY-axis completes the right-hand rule [2]. The ECEF frame is
a noninertial frame and continuously changes its orientation with respect to the ECI
frame due to the Earth’s rotation, precession, nutation, and polar motion. Earth’s

26 Navigation and Tracking in Space: Analysis and AlgorithmszECEFNutationPrecession
Figure 2.3:Precession and nutation of the Earth’s axis of rotation.
precession is a slow, gradual periodic motion of the planet’s axis of rotation. This
motion is caused by the gravitational torque experienced by the nonspherical Earth
due to the Sun and the Moon. The precession completes one full cycle every 26,000
years. Nutation is a small oscillation superimposed upon the precession motion
caused by the monthly and annual variation of the lunar and solar gravitational
torque. ConsiderZECEFin Figure 2.3 as the axis of rotation of the Earth. The
dashed circular path of the axis is due to the precession and the small oscillation on
the circular path depicted by the solid curve is due to the nutation.
In addition to precession and nutation the Earth’s axis changes its position
with respect to the Earth’s crust, which is referred to as polar motion. As a result,
the conversion of a position vectorrECEFfrom the ECEF frame to the ECI frame
requires four rotational transformation matrices as shown in (2.1).
rECI=TPTNTΩTpmrECEF (2.1)

Space Vehicle Dynamics 27
Here, the transformation matricesTP,TN,TΩ, andTpmcorresponds to precession,
nutation, the Earth’s rotation, and the polar motion, respectively. We will show a
detailed transformation for a particular realization of the ECI and ECEF frames.
In the context of the ECEF reference frame, it is important to mention the
World Geodetic System 84 (WGS84) reference system, which is a global standard
for navigation and geospatial application. The origin of this reference system is the
Earth’s center of mass. TheZ-axis of the WGS84 is the direction of the International
Earth Rotation Service (IERS) reference pole [3], and theX-axis is defined by the
intersection of the IERS reference meridian and the plane normal to theZ-axis and
passing through the origin. TheY-axis is defined by the cross product of theXand
Z-axes directions. WGS84 also defines the parameters for reference ellipsoid for
the Earth, the nominal angular velocity and the geocentric gravitational constant for
the Earth. These parameter values are provided in Table 2.1. Another commonly
used realization of the ECEF frame is the International Terrestrial Reference Frame
(ITRF). However, the difference between the WGS84 and the ITRF is less than 10
mm.
Table 2.1
WGS84 Parameters
Semi-Major Axis 6378137.0 m
Flattening Factor of the Earth 298.257223563
Nominal Mean Angular Velocity of the Earth7292115×10
−11
radian/s
Geocentric Gravitational Constant 3.986004418×10
14
m
3
/s
2
Expressing the location on the Earth using polar coordinates (i.e., latitude,
longitude, and altitude) is a common practice. Geodetic and geocentric coordinate
systems can be used to define latitude, longitude, and altitude. In the geodetic
coordinate system, the geodetic latitude is defined by the angle between the Earth’s
equatorial plane and the line normal to the reference ellipsoid at the location under
consideration. The geocentric latitude is the angle between the equatorial plane and
the line from the center of the Earth passing through the location. The geodetic and
geocentric latitudes are shown in Figure 2.4. The ellipsoid in the figure represents
the reference ellipsoid of the Earth and the horizontal line passing through the center
of the ellipsoid (i.e., the center of mass of the Earth denotes the equatorial plane).

28 Navigation and Tracking in Space: Analysis and AlgorithmsGeodetic lattitudeGeocentric lattitude90
◦
Reference ellipsoid
Figure 2.4:Geodetic and geocentric latitudes.

Space Vehicle Dynamics 29
2.2.3 Topocentric Frame
The topocentric frame is another noninertial reference frame and is useful for
ground-based measurements. For a given point on the Earth, the topocentric frame
is aligned with the local horizontal plane. Generally, three orthogonal unit vectors
point in the east, north, and zenith direction, respectively, to define the reference
axes [4]. There can be various realizations of the topocentric frame based on which
direction is considered as thex-axis. In Figure 2.1 the North-East-Down (NED)
topocentric frame is shown where North is thex-axis, East is they-axis, and Down
is thezaxis. The North-East-Up (NEU) topocentric frame is also commonly used
where thez-axis is pointing upwards. The transformation between the ECEF and
the topocentric frame can be easily performed using the latitude and longitude of
the point of the Earth in the rotation matrices described in Chapter 1.
2.2.4 Solar Ecliptic Coordinate System
The solar ecliptic coordinate system (SE) is used in interplanetary trajectories. The
Z-axis of the SE is normal to the ecliptic plane, theX-axis is towards the vernal
equinox (conventionally at J2000 epoch), and theY-axis can be defined by the cross
product of theXandZdirections.
2.2.5 Reference Frame Conversion
Let us now consider particular realizations of the ECI and ECEF frames — GCRF
and ITRF. The positionr, velocityv, and accelerationain GCRF are converted
into ITRF using the following equations:
rIT RF=T
T
pmT
T
ΩT
T
NT
T
PrGCRF (2.2)
vIT RF=T
T
pm
Θ
T
T
ΩT
T
NT
T
PvGCRF−ωE×rP EF
Λ
(2.3)
aIT RF=T
T
pm
Θ
T
T
ΩT
T
NT
T
PaGCRF−ωE×ωE×rP EF−2ωE×vP EF
Λ
(2.4)
Conversely, the position, velocity, and acceleration in ITRF can be converted
using the equations provided below:
rGCRF=TpmTΩTNTPrIT RF (2.5)
vGCRF=Tpm[TΩTNTPvIT RF+ωE×rP EF] (2.6)

30 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
aGCRF=Tpm[TΩTNTPaIT RF+ωE×ωE×rP EF+ 2ωE×vP EF](2.7)
In the above conversions, vectors with subscript PEF refer to the intermediate
pseudo-Earth fixed (PEF) vectors. The polar motion matrix is defined as:
Tpm=


1 0 0
0 cosypsinyp
0−sinypcosyp




cosxp0−sinxp
0 1 0
sinxp0 cosxp


=


cosxp 0 −sinxp
sinxpsinypcosypcosxpsinyp
sinxpcosyp−sinypcosxpcosyp

 (2.8)
Using the trigonometric small-angle approximation gives:
Tpm=


1 0 −xp
0 1 yp
xp−yp1

 (2.9)
The time-dependent components of polar motion are represented as
xp=ax+bxt+caxcos
`
2πt
Pax
+ϕax
´
+ccxcos
`
2πt
Pcx
+ϕcx
´
(2.10)
yp=ay+byt+caycos
`
2πt
Pay
+ϕay
´
+ccycos
`
2πt
Pcy
+ϕcy
´
(2.11)
where parametersax, ay, bx, by, cax, cay, ccx, ccyare obtained from a least-squares
fit to six years of past polar motion data.
2.3 FORCE MODEL
The motion of a spacecraft can be described using Newton’s laws of motion and
the law of gravitation, which have been fundamental in understanding the behavior
of moving objects for over 200 years. However, Albert Einstein expanded upon
these classical theories with his theories of special and general relativity, which
provided a more comprehensive framework for incorporating gravity into the realm
of relativistic physics. The theory of general relativity accounts for several effects
that classical gravitation cannot explain.

Space Vehicle Dynamics 31
While the general relativistic equations are superior in describing the dynam-
ics of a spacecraft, it is often computationally more efficient to utilize classical
mechanics as a starting point for developing the spacecraft’s motion dynamics. In
this approach, the relativistic effects can be adjusted for in the measurement model,
if necessary, making it more manageable from a state estimation perspective.
Let’s begin by examining the gravitational force acting on a spacecraft.
According to Newton’s law of gravitation, when considering an artificial spacecraft
of massmpositioned atrrelative to the center of the Earth in an ECI frame, the
force experienced by the satellite can be expressed as:
F=−
GMm
r
3
r (2.12)
Here,Grepresents the universal gravitation constant andMdenotes the mass
of the Earth. The value ofGis approximately6.6743×10
−11
m
3
kg
−1
s
−2
. It is
important to note that this equation assumes the Earth is a perfect sphere with a
uniform density. While this assumption is idealistic, we will later explore methods
to account for deviations from this assumption. We will use the two-body problem
to describe the motion of the spacecraft.
The two-body problem involves the interaction of two point masses in an
isolated system, which interact through a central potential. In the context of orbital
mechanics, this problem refers to the dynamics of a spacecraft under the influence
of the gravitational force from a celestial body, typically the Earth. It is assumed
that both bodies are spherically symmetric, and no external or internal forces act on
the system except for the gravitational forces, which act along the line joining the
centers of the two bodies [2].
The magnitude of the gravitational forceFbetween two massesm1andm2,
with a distancerbetween their centers, can be given as:
F=G
m1m2
r
2
(2.13)
Letrbe the position vector ofm2relative tom1. We can definerasr2−r1
as shown in Figure 2.5. The gravitational force exerted onm2bym1can be written
as:
F21=−
Gm1m2
r
3
r (2.14)
The negative sign indicates that the force vectorF21is directed fromm2
towardsm1. Similarly, the force exerted onm1bym2can be given as:

32 Navigation and Tracking in Space: Analysis and AlgorithmsXYZr2r1rMm1m2rF12F21Inertial Reference FrameOM
Figure 2.5:Two masses located in an inertial frame.
F12=
Gm1m2
r
3
r (2.15)
Now let’s consider the equations of motion in an inertial frame for the two-
body problem. The position vector of the center of massMof the system is denoted
asRM. It can be defined as:
RM=
m1R1+m2R2
m1+m2
(2.16)
The absolute velocityvMand absolute accelerationaMofMare given by:
vM=
m1˙r1+m2˙r2
m1+m2
(2.17)
aM=
m1¨r1+m2¨r2
m1+m2
(2.18)
Applying Newton’s second law of motion to bodym2, we haveF21=m2¨r2,
where¨r2represents the acceleration ofm2measured relative to the ECI frame.
Therefore, we can write:

Space Vehicle Dynamics 33
−
Gm1m2
r
3
r=m2¨r2 (2.19)
Now form1, we have:
Gm1m2
r
3
r=m1¨r1 (2.20)
By adding (2.19) and (2.20), we obtain:
m1¨r1+m2¨r2= 0 (2.21)
This equation indicates that the acceleration of the center of massMof the
system is zero. Therefore,Mmoves with a constant velocityvM.
Now let’s consider the equation of relative motion. By multiplying (2.19) by
m1and (2.20) bym2, we can obtain:
−
Gm
2
1m2
r
3
r=m1m2¨r2 (2.22)
Gm1m
2
2
r
3
r=m1m2¨r1 (2.23)
By subtracting (2.23) from (2.22), we can derive the second-order differential
equation of the two-body problem:
¨r=−
G(m1+m2)
r
3
r (2.24)
For the system consisting of the Earth and a spacecraft with massesMand
mrespectively,M≫m. Then in the above equation,G(M+m)≈GM. Let us
defineµ=GM, which is referred as the gravitational parameter of the Earth. The
value ofµis3.986004418×10
−14
m
3
s
−2
. Note that the center of the mass of this
system is also approximately the center of mass of the Earth becausem1≫m2.
By using the gravitational parameterµin (2.24), we can express the second-
order differential equation for the two-body problem as:
¨r+
µ
r
3
r=0 (2.25)
Equation (2.25) is a fundamental equation used to model the motion of
satellites or spacecraft in the vicinity of a celestial body such as the Earth.

34 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
2.3.1 Perturbation Forces
As discussed in the previous section, (2.25) describes the motion of a spacecraft
orbiting around the Earth in an ideal scenario. Perturbation forces represent the
departure from this ideal model and account for the effect of the nonuniform
shape and density of the Earth, atmospheric drag, solar radiation pressure, and
the gravitational force due to other celestial bodies on the spacecraft. Fortunately,
our physical realization of force is additive in nature, and we can address these
perturbation forces by adding an acceleration termato our existing equation (2.25):
¨r=−
GM
r
3
r+a (2.26)
where
a=ag+ad+as+ac (2.27)
andag,ad,as,acare perturbations due to the nonuniform shape and density of
the Earth, the atmospheric drag, solar radiation pressure, and the gravitational force
due to other celestial bodies, respectively. Equation (2.26) is known as Cowell’s
formulation.
2.3.1.1 Nonuniform Gravitational Field of the Earth
Considering the nonuniform shape and density, the Earth’s gravity potential in the
ECEF frame can be defined as [1]
U=
µ
r
+U
′
(2.28)
where
U
′
=
mu
r
∞
X
l=1
l
X
m=0
`
Re
r
´
l
Plm(sinϕ)[Clmcosmλ+Slmsinmλ](2.29)
andReis the Earth’s mean equatorial radius,Plmis the associated Legendre
function of degree and orderlandm,ϕis the geocentric latitude, andλis the
longitude of the spacecraft.ClmandSlmare the mass coefficients of the Earth.
Terms withm= 0have no dependence on the longitude and corresponding
coefficientsCl0are called zonal coefficients. Coefficients forl̸=mandl=m
are called tesseral and sectoral coefficients, respectively. It should be noted that

Space Vehicle Dynamics 35
these coefficients cannot be calculated using mathematical formulations. The mass
coefficients are determined indirectly by satellite tracking, surface gravimetry, and
altimetry [5]. This mass coefficient information is referred to as the gravity model.
A standard gravity model is the Earth Gravity Model 2008 (EGM2008) published
by the National Geospatial-Intelligence Agency (NGA) of the United States. The
acceleration due to the Earth’s gravity potentialU
¨r=∇U (2.30)
The associated Legendre function:
Plm(sinϕ) = (cosϕ)
m d
m
d(sinϕ)
m[Pl(sinϕ)] (2.31)
with the Legendre polynomial:
Pl(sinϕ) =
1
2
l
l!
d
l
d(sinϕ)
l
(sin
2
ϕ−1)
l
(2.32)
The associated Legendre function and the mass coefficients are generally normal-
ized for the ease of implementation, because, without normalization, the mass co-
efficients span 10 or more orders of magnitude [4]. The normalized associated Leg-
endre function is
Plm(sinϕ) =
s
(l−m)!k(2l+ 1)!
(l+m)!
Plm(sinϕ) (2.33)
and the normalized mass coefficients:
ˇ
Clm
Slm
˘
=
s
(l+m)!
(l−m)!k(2l+ 1)!
ˇ
Clm
Slm
˘
(2.34)
where
k= 1;ifm= 0
k= 2;ifm̸= 0
(2.35)
Then the gravitational potential,
U(r, ϕ, λ)
=
µ
r
+µ
∞
X
l=1
l
X
m=0
`
RE
r
´
l
Plm(sinϕ)
Γ
Clmcos(mλ) +Slmsin(mλ)
∆
(2.36)

36 Navigation and Tracking in Space: Analysis and Algorithms
Note thatU
′
, the perturbation term in the gravitational potential is a function of
r, ϕ, andλand hence defined in the ECEF frame. Then the acceleration due to this
perturbation in the ECEF frame is
¨r
′
ECEF=



∂r
∂x
′
∂ϕ
∂x
′
∂λ
∂x
′
∂r
∂y
′
∂ϕ
∂y
′
∂λ
∂y
′
∂r
∂z
′
∂ϕ
∂z
′
∂λ
∂z
′






∂U
′
∂r
∂U
′
∂ϕ
∂U
′
∂λ


 (2.37)
wherex
′
, y
′
, andz
′
are in the spacecraft coordinate in the ECEF frame and
∂U
′
∂r
=−
µ
r
2
"
∞
X
l=1
(l+ 1)
`
RE
r
´
ll
X
m=0
Plm(sinϕ)
Γ
Clmcos(mλ) +Slmsin(mλ)
∆
#
(2.38)
∂U
′
∂ϕ
=
µ
r
∞
X
l=1
`
RE
r
´
ll
X
m=0
cosϕ
d
Γ
Plm(sinϕ)
∆
d(sinϕ)
Γ
Clmcos(mλ) +Slmsin(mλ)
∆
(2.39)
∂U
′
∂λ
=
µ
r
∞
X
l=1
`
RE
r
´
nl
X
m=0
Plm(sinϕ)m
Γ
−Clmsin(mλ) +Slmcos(mλ)
∆
(2.40)
The matrix in (2.37) is the transformation matrix from spherical to ECEF coordi-
nate. It can be shown that [6]



∂r
∂x
′
∂ϕ
∂x
′
∂λ
∂x
′
∂r
∂y
′
∂ϕ
∂y
′
∂λ
∂y
′
∂r
∂z
′
∂ϕ
∂z
′
∂λ
∂z
′


=


cosϕcosλ−sinϕcosλ−sinλ
cosϕsinλ−sinϕsinλcosλ
sinϕ cosϕ 0

 (2.41)

Space Vehicle Dynamics 37
Let us denote this matrix asT
xyz
rϕλ
. If the gradient ofUis taken in a nonrotating
inertial frame to obtain the acceleration of the spacecraft becomes [6]
¨r=−
GM
r
3
r+T
XY Z
xyzT
xyz
rϕλ
∇U
′
(2.42)
whereT
xyz
rϕλ
is the transformation matrix from spherical to ECEF coordinates, and
T
XY Z
xyzis the transformation matrix from ECEF to ECI coordinates. Note that the
gradient ofU
′
in the spherical coordinate has singularities at poles. This can be
avoided using Pine’s formulation [7] where a Cartesian coordinate system is used
without the requirement of changing the spherical harmonics coefficients. Lundberg
and Schutz suggested recursive computation of derived Legendre functions to obtain
a numerically stable and precise solution using Pine’s formulation [8].
2.3.1.2 Atmospheric Drag
A widely accepted model of the acceleration due to atmospheric drag is [9]
ad=−
1
2
CD
A
m
ρv
2
rˆuv (2.43)
which considers spherical spacecraft. HereCDis the drag coefficient of the space-
craft (range:1.5−3.0),Ais the cross-section area of the spacecraft,mis the mass
of a satellite,ρis the atmospheric density at the satellite’s altitude, andvris the
relative velocity of the spacecraft with respect to the atmosphere andˆuv=
vr
vr
.vr
can be defined as
vr=v−vatm (2.44)
wherevatmis the velocity of the atmosphere that is unknown [9].CDdepends on
the shape of the space vehicle as well as altitude [10]. For a specific satellite, the
two line element (TLE) contains a drag like parameterB
∗
which is defined as
B
∗
=
1
2
CDA
m
ρ0 (2.45)
where NOARD defines the atmospheric density at the perigee of the orbit:ρ0=
2.461×10
−5
kg/m
3
. Hence one can computeCDfrom theB
∗
coefficient. Gener-
ally,CDis treated as a random variable and estimated through the navigation filter.
It should be noted that the cross-sectional area of the satellite also varies due to
the change of attitude as most of the satellites are not spherical. For nonspherical

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

Talossa oli vanha verkko, jota joskus maailmassa oli käytetty
kalastuksessa. Se oli hyvin pahasti repeytynyt, ja kun ei herrasväki
sitä korjaillut, ei sillä tietysti oltu saatu kaloja, ja siksi se oli jäänyt
käyttämättä. Isä Kiljunen haki sen nyt esiin talon ylisiltä.
Verkko asetettiin Pullalle ansaksi sillä tavalla, että pojat pantiin
pitelemään sen kummastakin päästä kiinni ja isä ja äiti Kiljunen
lähtivät ajamaan Pullaa sitä kohden. Verkko asetettiin sille puolelle
pihaa, missä talli, navetta ja sikolätti olivat. Ja nyt alkoi jahti.
Isä ja äiti Kiljunen huusivat ja huitoivat. Pulla juoksi heidän
edellään pitäen yhä suussaan sitä, jota herrasväki luuli Plätän tutiksi.
— Pitäkää verkko kireällä! huusi isä Kiljunen pojille.
Pojat tottelivat.
Pulla juoksi kovaa kyytiä verkkoa kohden, äiti ja isä Kiljunen sen
jäljestä. Verkossa olevasta suuresta reiästä meni Pulla verkon toiselle
puolelle, mutta eiväthän isä ja äiti Kiljunen siitä mahtuneet, ja
seurauksena oli, että he lankesivat kireälle pingoitettuun verkkoon.
Verkko pääsi samassa poikien käsistä irti ja molemmat vanhemmat
kierivät maassa verkkoon sotkeutuneina.
Ja kyllä he sotkeutuivatkin yhä enemmän. On oikein häpeällistä
ajatella, että kaksi vanhaa ihmistä tällä tavalla meni verkkoon Pullan
kaltaisen koirapahasen tähden. Äiti potki kuin hullu ja silloin hän
sotkeutui yhä enemmän. Isä huitoi kuin hassu, verkko repeili ja hän
sotkeutui siihen entistä enemmän.
He nousivat pystyyn, äiti Kiljusen laihojen kinttujen pistäessä esiin
kahdesta suuresta repeämästä. He hyppäsivät kuin linnut

koettaessaan irtaantua, mutta kaatuivat uudelleen. Ja kun verkko oli
aivan lähellä sikokarsinaa, kaatuivat he täydellä voimalla karsinan
aidan päälle; se meni kumoon, ja isä sekä äiti Kiljunen ropsahtivat
karsinaan, menivät sinne mukkelismakkelis.
Kiljusilla oli porsas, jonka he olivat ostaneet keväällä ruokkiakseen
sitä kesän ja syksyn, saadakseen siitä joulupaistin. Kun porsas näki
herrasväen tulevan tällä tavalla karsinaansa, niin säikähtyihän se. Se
hyppäsi ensin karsinan toiselle puolelle, ja samassa
silmänräpäyksessä se oli jo mennyt Kiljusen isän ja äidin yli ja
karannut pihamaalle.
— Porsas karkaa! huusivat pojat.
Tämä tapaus antoi verkossa-olijoille jättiläisvoimat, he kiskaisivat,
verkko repesi aivan kokonaan ja he pääsivät vapaiksi. Ja nyt alkoivat
he ajaa porsasta takaa. He olivat aivan kokonaan unohtaneet Plätän
tutin, eikä heillä ollutkaan mitään syytä etsiä sitä Pullan hampaista,
sen Luru huomasi porsaan päästyä pakoon ja tarkastettuaan Pullan
suustaan pudottamaa esinettä. Se ei ollutkaan mitään muuta kuin
Plätän räsynuken pää.
Sanoin kuvaamaton oli voima ja vimma, jolla Kiljusen herrasväki
nyt läksi porsasta takaa-ajamaan. Se oli aivan toisenlaista jahtia kuin
Pullan ahdistaminen. Porsas ei nimittäin koskaan juokse aivan
suoraan, vaan tekee äkkiä kaikenlaisia mutkia, ja tämä seikka sai
merkillisiä selkkauksia aikaan.
Kun porsas meni täyttä laukkaa eteenpäin, niin pomppoili ja
harppaili Kiljusen herrasväki sen jäljestä ihan vimmatusti. Mutta kun
porsas äkkiä teki käännöksen, ei herrasväki voinutkaan yhtä nopeasti

kääntyä, vaan he töytäsivät toisiinsa ja olivat yhtenä läjänä
pihamaalla.
Tällä välin oli porsas tietysti jo pihamaan toisella puolella. Pulla oli
ryhtynyt auttamaan herrasväkeään ja koetti ajaa porsasta takaa.
Mutta ei siinä Pullakaan onnistunut. Sekin sai tehdä silloin tällöin
hyvin merkillisiä kuperkeikkoja, kun porsas äkkiä pysähtyi ja Pulla
meni sen yli ja kaatui maahan.
Tästä syntyi tietysti sellainen melu, että koko lähikylän väki riensi
apuun. Ja kun he olivat hyvin auttavaisia ihmisiä, niin ryhtyivät he
kaikki ottamaan porsasta kiinni.
Kaikki portit suljettiin, ja ihmisiä asettui pitkään riviin ajamaan
porsasta pihamaan nurkkaan. Porsas käveli rauhallisesti, vilkuen vain
silloin tällöin hiukan taakseen.
Juuri kun tultiin pihamaan nurkkaan, se mennä pujahti portin
alitse.
Ja nyt vasta oikein juoksu alkoikin. Kaikki oli tähän asti ollut vain
leikkiä sen rinnalla.
Porsas juoksi suoraan rantaan. Tietäähän jokainen, että porsas ui
hyvin. Tietysti Kiljusen herrasväen porsas vielä paremmin kuin
muiden.
Tämä lähti uimaan eteenpäin. Kaikki ihmiset ryntäsivät rantaan, ja
monet vauhdin vaikutuksesta mulskahtivat veteen.
Eihän siinä auttanut mikään muu kuin mennä veneeseen ja lähteä
soutamaan jäljestä.

Kaksikymmentä ihmistä meni veneeseen, jossa ei olisi saanut olla
muuta kuin korkeintaan kymmenen. Vähän matkaa rannasta päästyä
vene painui pohjaan ja ihmiset saivat lähteä uimaan. Vene kiskottiin
ylös, tyhjennettiin ja nyt läksi viisi miestä Kiljusen herrasväen kanssa
porsasta takaa ajamaan. Tämä oli sillä välin päässyt jo hyvin pitkälle
ja ui saarta kohden, jossa se viimein nousi maihin, ja niin kiire sillä
oli mennä puiden suojaan, ettei se joutanut edes ravistamaan vettä
päältään.
Mutta pian tulivat takaa-ajajatkin.
Kun heitä oli niin vähän, niin käytiin veneellä noutamassa koko
kylän väki sinne. Ja nyt alettiin järjestää oikein täydellinen jahti.
Kaikki ihmiset asettuivat suureen piiriin saaren rannoille, jokainen otti
karahkan käteensä ja läksi hitaasti astumaan eteenpäin. Tällä tavalla
koetettiin saada porsas saarretuksi. Viisi eri kertaa se pääsi tämän
kehän sisältä pois, tavallisesti livistäen jonkun kinttujen välistä.
Mutta ahkeruus kovankin onnen voittaa, sanoo sananlasku, ja niin
voittivat piirittäjätkin viimein porsaan. Ne pääsivät aivan sen lähelle
joka puolelta. Porsas ei enää välittänyt pakoonmenosta, istui vain
rauhallisesti kannon päässä ja kovasti ihmetteli, miksi hänen
tähtensä oli näin paljon vaivaa nähty.
Porsas tuotiin kotiin ja veneellä saatiin monta kertaa soutaa
saareen, ennenkuin koko kylän väki oli tuotu takaisin.
Vaikka kaikki nämä ihmiset olivat tulleet auttamaan kenenkään
pyytämättä, min nyt ne vaativat itselleen palkan. Ja isä Kiljusen
täytyi maksaa. Kylläpä se porsas tuli kovin kalliiksi hänelle.

Kun kyläläiset olivat menneet pois, syntyi perheen kesken
neuvottelu siitä, minkä tähden tämä kaikki oli tapahtunut, ja silloin
huomattiin, että Plätän tutin tähden oli nähty tämä vaiva. Ja tutti oli
yhä vielä kateissa.
— Missä ihmeessä se tutti on? sanoi äiti Kiljunen.
— Se ei voi olla missään muualla kuin täällä sisällä, sanoi isä
Kiljunen, joka kaikessa oli tavattoman viisas mies.
Ei auttanut silloin mikään muu keino kuin kantaa kaikki tavarat
pihalle, jotta päästäisiin selville siitä, missä tutti oli.
Olisi luullut, että herrasväki muutti jonnekin, kun he kuljettivat
tällä tavalla kampsujaan. Tietysti kylän väki taas tuli auttamaan
heitä.
Ihan kaikki tavarat tuotiin pihalle. Eihän kukaan voinut uskoa, että
tutti olisi kukkien keskellä tai että se olisi kattolampussa, mutta nekin
laahattiin pihalle. Viimeksi oli jäljellä enää vain Plättä ja hänen
kehtonsa. Kun herrasväki meni sitä nostamaan, niin mitä he
näkivätkään?
Niin, mitä he näkivätkään?
Plätän istumassa kehdossaan ja tuttinsa suussaan. Se oli pudonnut
kehtoon, mistä Plättä oli sen löytänyt ja pannut taas suuhunsa.
Plättä ihmeolentona

Vanhemmilla on usein tapana opettaa lapsiaan aivan kuin koiria
tekemään kaikenlaisia pikkuisia temppuja. Jos Kiljusen herrasväki
monessa suhteessa erosi kaikista muista ihmisistä, niin tässä
suhteessa he ainakin olivat aivan samanlaisia. Heidän suurin ilonsa
oli saada Plättä päästelemään kaikenlaisia ääniä ja tekemään
kaikenlaisia liikkeitä. On aivan turhaa niitä selittää, sillä ne olivat
juuri samoja, joita kaikki pikkulapset tekevät vanhempiensa
kehoituksesta.
Plättä oli hyvin oppivainen, siitä tuli oikein taitava. Juuri tämä
seikka herätti eräänä päivänä pojissa oivallisen tuuman. He eivät
olleet koskaan ennen nähneet pikkulapsia ja siis uskoivat, että
heidän sisarensa oli aivan merkillinen. Ja kun jokin olento oli
merkillinen, niin saattoi sen avulla ansaita rahaa.
Pojat päättivät lähteä Helsinkiin Plättää näyttämään.
Mutta kun he tiesivät, etteivät vanhempansa koskaan antaisi siihen
lupaa, päättivät he salavihkaa lähteä matkalle.
Eräänä päivänä sanoi Luru äidilleen:
— Saammeko viedä Plätän leikkimään kanssamme?
— Tietysti saatte, lausui äiti, joka muisti, miten hyvin pojat olivat
Plättää hoitaneet vanhempien poissaollessa.
Luru otti siis Plätän kainaloonsa ja läksi hänen kanssaan tallin
taakse. Täällä Mökö odotti häntä suuren kannellisen korin kanssa.
Tähän pantiin Plättä ja kansi sen päälle. Jotta lapsen olisi mukava
korissa olla, oli sinne pantu ruohoja.
— Ja nyt asemalle! sanoi Luru.

— Emme me jaksa roikottaa tätä lihaklönttiä sinne asti, sanoi
Mökö.
Ottakaamme hevonen.
He ottivat hevosen tallista, nousivat sen selkään molemmat ja
ottivat korin syliinsä. Ja nyt lähdettiin täyttä laukkaa ajamaan.
Heidän saapuessaan lähelle asemaa sanoi Luru:
— Kyllä ne arvaavat, että olemme tätä tietä menneet, ja tahtovat
pidättää meidät Lähdetäänkin maantietä myöten Helsinkiin koska
meillä kerran on hevonen.
— Lähdetään vain, sanoi Mökö.
Ja he lähtivät.
Tällä välin oli äiti Kiljunen kaivannu Plättää ja etsi sitä kaikkialta.
He huutelivat, ei mistään kuulunut vastausta. He etsivät, missään ei
ollut poikia eikä Plättää.
Palvelijatar silloin sanoi nähneensä poikien ratsastaneen pois.
— Meidän täytyy kiireimmän kautta lähteä asemalle! sanoi isä.
— Mutta meillä ei ole hevosta, sanoi äiti.
Isä Kiljunen muisti entisaikaan suomalaisten ajaneen paljon
härillä.
Heillä ei ollut härkää, mutta olihan lehmä.
Lehmä siis valjastettiin rattaitten eteen. Ja sitten lähdettiin.

Kun lehmä ensi kertaa oli tällaisessa hommassa, niin se ihmetteli
aluksi, vaikka ei olisi luullut Kiljusen herrasväen lehmän mitään
ihmettelevän. Mutta kyllä tämä lehmä oli kovin kummastunut. Ja kun
lehmä on kummastunut, niin ei koskaan voi tietää, mitä se tekee.
Eikä Kiljusen isä ja äiti myöskään edeltäpäin tienneet, mitä
tapahtuisi heille matkallaan asemalle.
Vähän matkaa lehmä juoksi maantietä pitkin, mutta sitten se arveli
tarvitsevansa ruokaa ja kun tien vieressä oli ruohoja, niin se meni
sinne, kärryt jäljessä tietysti ja kärryillä ihmiset. Vähän ajan päästä
he olivat ojassa kumossa. Lehmä vain seisoi ja ihmetteli, miksi ne
sinne menivät eivätkä pysyneet rattailla.
Kun jälleen oli päästy maantielle ja kuljettu parikymmentä metriä,
pysähtyi lehmä ihmettelemään erästä aidanseivästä eikä mitenkään
tahtonut mennä eteenpäin.
Äiti Kiljunen meni vetämään sitä sarvista ja isä lykkäsi rattaitten
perästä. Näin päästiin taas vähän matkaa.
Mutta vähän ajan päästä lehmä pysähtyi aivan kokonaan.
Molemmat Kiljuset miettivät, mitä he nyt tekevät. Äiti muisti silloin,
millä tavalla hän ennen oli saanut lehmän seuraamaan itseään. Hän
otti tien vierestä heinätukon ja pitäen sitä lehmän suun edessä sai
tämän heti lähtemään liikkeelle. Mutta kun lehmä koko ajan siinä
astellessaan söi, niin täytyi yhtä päätä myös koota heiniä.
Jouduttaakseen matkaansa sopivat Kiljuset asiasta siten, että isä
keräili heiniä ja äiti piti niitä lehmän suun edessä.

Ja tällä tavalla he pääsivät eteenpäin. Lehmä ei enää kertaakaan
pysähtynyt. Mutta matkaan asemalle, jonka he kävellen olisivat
suorittaneet kahdessa tunnissa, tarvittiin nyt kuusi tuntia.
Vihdoin viimein he saapuivat asemalle ja kiiruhtivat heti
asemapäälliköltä tiedustamaan, olivatko Mökö ja Luru Plätän kanssa
matkustaneet junalla jonnekinpäin. Kukaan ei ollut heitä nähnyt. Isä
ja äiti Kiljusen suru oli hyvin suuri. Asemapäällikkö silloin keksi
keinon. Hän sähkötti Helsinkiin ja sieltä sähkötettiin kaikille asemille
ja kaikille maan nimismiehille, että jos jossain näkyisi kaksi hyvin
puettua poikaa kuljettamassa pikkuista tyttöä, heidät otettaisiin
kiinni. Isä ja äiti Kiljunen olivat laatineet itse sähkösanoman. Heidän
mielestään ei mitenkään voinut sanoa heidän pojistaan, että ne
olivat roivisen näköisiä, ja siksi pantiin sähkösanomaan: kaksi hyvin
puettua poikaa.
Tämän toimitettuaan he rauhallisella mielellä alkoivat pyrkiä
kotiaan kohden. Kyllä Mökö ja Luru ehdottomasti jostakin saataisiin
kiinni, koska kaikkialle maassa oli lähetetty heistä tiedonanto.
Jos he hitaasti olivat päässeet asemalle, niin se oli vielä tulista
kiirettä verrattuna kotimatkaan. Lehmä ei enää välittänyt ruohosta,
vaan tahtoi itse käydä naukkailemassa. Ja se meni minne se itse
halusi ja viipyi niin kauan kuin se itse tahtoi. Se kääntyi joka
tienhaarassa ja meni joka polkua myöten. Sarvista vetämälläkään ei
sitä saanut enää menemään sinne minne herrasväki tahtoi. Lopulta
Kiljuset nöyrinä alistuivat seuraamaan lehmänsä oikkuja. He
risteilivät kautta pitäjän ja saapuivat viimein kotiin.
He olivat tarvinneet kotimatkaa varten viisi päivää. Se on ihan
totta, he tarvitsivat todellakin viisi päivää.

Tällä välin Mökö ja Luru ajoivat hevosen selässä Helsinkiä kohden.
Plättä keinui mukavasti korissa ja nukkui koko ajan.
Heidän ajaessaan erään Helsingin lähellä olevan aseman ohi
katseli asemapäällikkö, joka oli saanut tiedon karanneista pojista,
pitkään heihin, mutta kun Mökö ja Luru eivät olleet hyvin puettuja ja
kun missään ei näkynyt pikkuista tyttöä heidän mukanaan, ei hän
näitä pidättänyt.
Pojat tulivat Helsinkiin ja menivät heti paikalla hevosineen
Senaatintorille, joka oli heille hyvin tuttu entisistä seikkailuista.
Väkeä oli kokoontunut heidän seuraansa suuri määrä. Torille
päästyään asettuivat pojat yliopiston rappusille, ottivat Plätän korista
ja sanoivat ihmisille, että he näyttävät näille ihmelasta, joka tekee
kaikenlaisia temppuja.
Plättä oli oppinut nousemaan jaloilleen seisomaan ja tässä
asennossa notkistelemaan polviaan, nytkytellen ruumistaan.
Luru komensi:
— Retku, Plättä!
Silloin Plättä alkoi ihmisten suureksi iloksi retkua.
Olihan jokainen nähnyt pikku lasten tekevän tällaista, mutta ei
kukaan vielä yliopiston portailla, sen vuoksi se herätti hyvin suurta
huomiota.
Toinen temppu oli se, johon Luru komensi Plätän sanomalla:
— Ruiskuta, Plättä!

Tämän Plättä suoritti siten, että otti maitopullonsa, joka hänelle oli
otettu mukaan, ja heiluttaen sitä käsissään ruiskutti siitä ihmisten
päälle maitoa. Lähinnä olevat saivat maitoa päälleen ja nauroivat
toisten taputtaessa käsiään.
Katselijat seurasivat suurella ihastuksella Plätän esiintymistä. Kyllä
hän olikin kaunis, pyöreä kuin isänsä, pystynenäinen ja
vääräsäärinen, silmät kuin kaksi suurta nappia päässä. Muuan
nainen kysyi:
— Syökö se?
Hän tarjosi Plätälle vehnäleipää. Ja Plättä tietysti söi. Tämäkin
huvitti kaikkia, sillä eihän oltu nähty kenenkään syövän sellaisella
paikalla, kuin yliopiston portaat ovat.
Kun Plättä alkoi väsyä, sanoi Luru:
— Huomenna kello seitsemän illalla me olemme taas täällä!
Silloin kaikki hurrasivat.
Yönsä viettivät lapset Kaisaniemessä, jossa he laskivat hevosensa
syömään nurmikolle, menivät keskellä lammikkoa olevaan joutsenien
ja ankkojen saareen lammen reunalla olevalla veneellä ja panivat
siellä lintujen suureksi harmiksi heidän joukkoonsa maata. Ihmisiä oli
kerääntynyt tavattoman suuri määrä lammen ympärille katsomaan
näitä merkillisiä lapsia.
Aamulla pojat miettivät, mistä he saisivat huoneuston, jossa
voisivat pitää näytöksiään, sillä he olivat huomanneet, että
ulkoilmassa ei kukaan maksanut heille mitään. Ja ansaitsemistahan
varten he olivat tulleet kaupunkiin.

Olihan Kansallisteatteri aivan lähellä. Siellähän he ennenkin olivat
olleet. He kävivät kysymässä, pääsisikö sinne näytäntöjä antamaan.
Heille vastattiin kieltävästi.
— Ei kai auta mikään muu, kuin olla Senaatintorilla, sanoi Luru.
Illalla he olivat siellä taas. Aivan ensiksi ilmoitti Luru, että hän oli
aikonut mennä Kansallisteatteriin, mutta sitä ei hänelle oltu annettu.
Tästä syntyi hirveä metakka. Joukossa oi muutamia kovin
innostuneita. He sanoivat että teatteri on rakennettu kansan varoilla
ja siis sinne täytyy jokaisen päästä. Ja riemukulussa vietiin Mökö,
Luru ja Plättä sinne, avattiin väkisin ovet ja näytäntö alkoi.
Ovella muutamat seisoivat kooten kymmenen penniä jokaiselta.
Sinä iltana annettiin yhteensä viisi näytäntöä, niin suuri oli uteliaiden
määrä.
Poliisit olivat koettaneet estää näytäntöjä, mutta Mökön ja Lurun
innokkaimmat kannattajat sanoivat, että se oli kansan tahto, joka
määräsi teatterin heidän näytäntöjään varten.
Seuraavana päivänä oli innostus niin suuri, että Mökön ja Lurun
täytyi antaa näytäntöjä jo aamupäivälläkin. Ja Plättä retkui ja
ruiskutti. On mahdotonta tarkkaan kuvata kaikkea sitä, mitä nämä
näytännöt saivat aikaan. Yhtenä seurauksena oli se, että kaikki
kaupungin kaupat suljettiin illalla jo kello seitsemältä [huomaa, että
tämä tapahtui jo ennen vapaussotaamme], jotta kauppa-apulaiset
pääsisivät katsomaan Plättää. Työväki, joka usein sai olla työssä
jälkeen seitsemän eikä siis päässyt näytäntöön, nosti hirveän
metakan ja vaati, että heidän työpäiväänsä on lyhennettävä. He
asettivat jyrkän vaatimuksen kahdeksantuntisesta työpäivästä, ja

uhkaava paperi jätettiin eduskuntaan, joka silloin oli koolla. Kun
täällä sanottiin, etteivät he nyt jouda päättämään asiaa, niin sanoi
lähetystö, joka oli paperin vienyt, että koko eduskunta oli vain yhtä
retkua, joka nyki ja hytkytti, mutta ei tehnyt mitään perusteellista
työtä.
Ja maata uhattiin suurlakolla, ellei kansa pääse katsomaan Plätän
retkutusta.
Teatterin johtaja oli maalla. Hänelle oli ilmoitettu, miten teatteri oli
anastettu. Hän saapui kiireimmän kautta estämään näytäntöjä,
mutta kansa kantoi hänet käsillään teatterista pois, eikä hän
uskaltanut tehdä muuta kuin seisoa Rautatientorilla ja väännellä
käsiään niin, että nikamat natisivat.
Senaatti piti täysi-istunnon tämän asian vuoksi, mutta kukaan ei
uskaltanut ryhtyä estämään Kiljusen poikien näytäntöjä, koska se oli
kansan tahto.
Ihmisiä alkoi maalta tulla niin paljon näytäntöihin rautatietä
myöten, että kaikki rautatieläiset vaativat itselleen palkankorotusta,
uhaten muuten lopettaa liikenteen rautatiellä.
Eduskunta hätääntyi ja huomasi, että sen täytyy, voidakseen
järjestää kaikki asiat, olla koolla paljoa kauemmin kuin alkujaan oli
määrätty. Sen vuoksi kiireimmän kautta pidennettiin eduskunnan
kokoontumisaikaa kahdella kuukaudella. Ja kun eduskunnan jäsenet
surusta ja murheesta alkoivat laihtua, pyysivät he palkankorotusta
valtiolta ja saivat sen.
Näiden näytäntöjen menestys riippui siitä, että ihmiset olivat
näkevinään Plätän esiintymisessä jotain hyvin syvällistä. Kun hän

retkui, niin se merkitsi eduskunnan työntekoa, kun hän ruiskutti, niin
se tarkoitti sanomalehtien tarpeetonta kirjoittelemista tärkeistä
asioista. Ja innostus nousi korkeimmilleen, kun pojat keksivät aivan
uuden tempun. Plätälle annettiin suuri kerä villalankaa. Se alkoi
purkaa sitä ja tätä tehdessään kietoutui itse siihen niin lujasti, ettei
lopulta voinut itseään edes liikuttaa. Ne, jotka pääsivät purkamaan
Plättää, saivat maksaa aivan eri maksun, ja niiden nimet mainittiin
aina seuraavana päivänä sanomalehdissä. Tätä lankoihin
takertumista sanottiin senaatin työksi, koska se aina sekaantui omiin
asioihinsa. Kun senaattorit saivat siitä kuulla, pyysivät he saada
erikoisen näytännön. Sellainen annettiin heille, ja he läksivät hyvin
alakuloisina pois teatterista.
Näin oli kulunut viisi päivää, ja kautta maan sanomalehdet
kertoivat näistä näytännöistä, ja mielet olivat hyvin kiihtyneet, sillä
toiset puolustivat näytäntöjä, toiset sanoivat, että ne pitää heti
lopettaa. Mutta ne, jotka koettivat estää, joutuivat uhkausten
alaisiksi, ja silloin he lakkasivat hommastaan.
Kiljusen isä ja äiti olivat tulleet lehmänsä ja rattaittensa kanssa
kotiin. Lehmä oli hyvissä voimissa, mutta rattaat olivat metsissä
ajellessa menneet aivan pilalle. Toisesta pyörästä ei ollut enää muuta
kuin pienat jäljellä.
Kotona he katsoivat sanomalehteen ja tunsivat heti kuvasta, joka
oli lehdissä, lapsensa.
He kiiruhtivat Helsinkiin, etsivät lapsensa ja veivät heidät kotiin.
Senaatin puheenjohtaja oli asemalla saattamassa, samoin suuri
joukko yhdistyksiä lippuineen.

Ja rahaa oli pojilla hyvin paljon mukanaan. Hevonen oli lihonut
kaupungin puistossa ja oli matkaansa kaikesta päättäen hyvin
tyytyväinen.
Mutta eduskunta oli säätänyt kahdeksantuntisen työpäivän kautta
maan.
Sen oli Plätän retkutus saanut aikaan.
Kiertue Plättä Kiljunen
Plätän Helsingissä saavuttama maine oli niin suuri, että isä
Kiljunen sanoi:
— Nyt meidän perheeseemme onkin tullut sellainen olento, että
hän tuottaa meille sekä rahaa että kunniaa.
— Millä tavalla? kysyivät pojat.
— Me perustamme kiertueen, vastasi isä.
— Mikä se kiertue on? kysyi Luru.
— Se on sellainen joukko ihmisiä, joka kiertää paikasta toiseen
näyttäen itseään jossain salissa ja saaden siitä rahaa.
— Meidän matkamme Helsinkiin oli siis jonkinmoinen kiertue,
sanoi
Mökö.

— Oli kyllä muuten, mutta teillä ei ollut mitään
näytelmäkappaletta. Ja näytelmäkappale kuuluu kiertueen
ohjelmaan. Minä kirjoitan kappaleen, ja sitten me kaikki lähdemme.
Ja isä Kiljunen kirjoitti näytelmän, jossa oli neljä näytöstä ja viisi
henkilöä, jos Pullakin lasketaan joukkoon, sillä poikien vaatimuksesta
piti Pullan päästä mukaan. Tietysti isä Kiljunen tahtoi ottaa
ainoastaan oman perheensä mukaansa, koska hän pelkäsi vieraitten
helposti pilaavan kaiken.
Näytelmän nimi oli: "Löydetty lapsi eli Sydämiä kukkaisnurmella."
Isä Kiljunen oli nimittäin lukenut elokuvien ohjelmia sanomalehdistä
ja niissä oli jokaisella kappaleella kaksi nimeä. Näytelmän nimi
"Löydetty lapsi" kuvasi kyllä sisältöä, sillä kappaleessa pieni lapsi
katosi joka näytöksen alussa ja löydettiin sen lopussa. Tämä osa oli
aiottu Plätälle, joka siis näytelmän aikana katoaisi neljä kertaa ja
löydettäisiin neljä kertaa. Näytelmän toinen nimi "Sydämiä
kukkaisnurmella" ei laisinkaan sopinut näytelmän sisältöön, mutta
eihän se mitään merkinnyt.
— Pääasia on, että näytelmän nimi vaikuttaa houkuttelevalta,
sanoi isä
Kiljunen.
Näytelmä oli tietysti, koska isä Kiljunen sen oli kirjoittanut, hyvin
vilkas ja siinä juostiin ja huudettiin kovasti paljon. Ensimmäisessä
näytöksessä Plättä meni tyhjään tynnyriin ja oli siellä piilossa siksi,
kunnes Pulla haisteli hänen jälkensä ja viimein löysi sieltä hänet.
Toisessa näytöksessä Plättä kiipesi pesään ja putosi sieltä esiin vasta
silloin, kun pantiin pesään tuli. Kolmannessa näytöksessä hän meni
vesisaaviin ja oli sinne hukkua. Tämä tietysti oli vain olevinaan, sillä
saavi oli tyhjä, ei siinä ollut yhtään vettä. Neljännessä näytöksessä

tuli suuri lintu, joka otti Plätän siivilleen ja aikoi hänet viedä ilmaan,
mutta viimeisessä hetkessä toiset riensivät apuun ja pelastivat
lapsen.
Plätällä oli siis tässä näytelmässä paljon tehtävää. Eihän
kenenkään muun lapsi olisi oppinut niin nuorella iällä sellaista
määrää kaikenlaisia temppuja kuin Kiljusen Plättä.
Hän oli paljon oppivaisempi kuin Pulla, joka ei tahtonut mitenkään
ensimmäisessä näytöksessä tehdä oikein. Kun Plättä oli kiivennyt
lautaa myöten tynnyrin suulle ja siitä sitten pudotti itsensä sinne
asetettuihin pehkuihin ja Pulla tuli näyttämölle, niin tahtoi se aina
aivan heti mennä tynnyrin luo, vaikka näytelmän mukaan sen piti
ensin haistella pitkin näyttämöä ja etsiä joka paikasta muualta. Viisi
päivää saatiin Pullaa vitsa kädessä opettaa, ennen kuin se oikealla
ajalla tuli tynnyrin luo.
— Muut kiertävät pitkin maata talvella, sanoi isä Kiljunen eräänä
päivänä, kun näytelmä oli valmiiksi harjoitettu. Me menemme
kesällä, sillä tarvitseehan ihmisten pitää hauskaa silloinkin.
He olivat päättäneet käydä melkein kaikissa Suomen
kaupungeissa, ja sanomalehtiin oli pantu suuria uutisia, joissa
huomautettiin tästä ihmeellisestä taidetilaisuudesta, joka oli
valmistettu kansalle.
— Alkakaamme maan sydämestä, sanoi isä Kiljunen.
Tämän tähden he ensimmäiseksi menivät Jyväskylään. Seminaarin
juhlasaliin oli valmistettu lava ja näyttämö, missä Kiljuset esiintyivät.
Kun herrasväki oli sinne saapunut aivan viime hetkessä, eivät he
ennättäneet tarkastaa kaikkia näyttämövehkeitä, ja sen vuoksi

tapahtuikin yhtä ja toista merkillistä. Ensimmäinen näytös ei
tuottanut muuta häiriötä kuin sen, että tynnyri, johon Plättä kiipesi,
oli niin ahdas, että kun hän pudotti itsensä sen ylälaidalta alas ja
putosi pehkuihin, ei hän päässytkään siellä kääntymään niinkuin piti,
vaan jäi päälleen pystyyn. Hänen kinttunsa räpyttelivät hyvin pahasti
ilmassa. Tiesi, miten hänen olisi käynyt, ellei muuan hyväsydäminen
rouva olisi tullut yleisön joukosta ja ottanut Plättää syliinsä saliin.
Kiljuset eivät tätä huomanneet laisinkaan. Kun siis tuli se hetki,
jolloin Plättä oli löydettävä tynnyristä, ei siellä ollutkaan ketään.
Mutta Pulla, joka aina oli viisas, osasi muuttaa näytelmän juonen
tapausten mukaan, se meni näyttämön reunalle ja alkoi siinä
vimmatusti haukkua.
Toisessa näytöksessä, jossa Plätän piti mennä pesään, ei uunissa,
joka oli paperista maalattu, ollutkaan mitään pesän aukkoa. Mutta
niin kekseliäs oli Plättä, että hän tyrkkäsi päällään uuniin, se meni
puhki ja siitä Plättä meni sisään.
Kolmannen näytöksen saavi oli tuotu näyttämölle täynnä vettä,
sillä isä Kiljunen oli sanonut, että hän tarvitsee vesisaavin ja tietysti
se käsitettiin sillä tavalla, että siinä piti olla vettäkin. Kun Plättä tuli
sen reunalle, katseli hän ensin vettä vähän aikaa, kiipesi sitten
takaisin ja tarttui sen laitaan. Ja hän kaasi sen. Eihän tämä olisi
käynyt päinsä, ellei saavia olisi pantu pienen rahin päälle seisomaan.
Vesi meni kaikki yleisön puolelle ja siitä syntyi sellainen hälinä
vähäksi aikaa, että Kiljuset tulivat näyttämön takaa katsomaan, mitä
oli tapahtunut. Pian oli kaikki kunnossa, tyhjä saavi jälleen pystyssä
ja Plättä kiivennyt sinne.
Neljännessä näytöksessä esiintyi äiti Kiljunen lintuna. Hän oli
ottanut jalkaansa isä Kiljusen alushousut ja ylleen ihopaidan, ja siivet

oli tehty vanhan pöytäliinan kappaleista, jotka olivat kiinnitetyt
käsivarsiin ja siiven ruodot oli tehty kahden vanhan sateenvarjon
raudoista. Pyrstönä hänellä oli metson pyrstö, joka oli pantu kiinni
nuorilla hänen vyölleen. Hän muistutti aivan elävästi Gallen-Kallelan
maalaamaa Louhen kuvaa "Sammon ryöstössä". Hänen
ilmestymisensä herätti suurta ihastusta.
Seuraava kaupunki oli Vaasa. Lyseon rehtori ja yhteiskoulun
johtajatar olivat päättäneet, etteivät lapset saa mennä katsomaan
Kiljusten kiertuetta, joka antoi näytäntönsä kaupungin
teatterihuoneella. Tämän vuoksi naulasivat he katujen kulmiin suuret
paperit, missä lapsia kiellettiin menemästä teatteriin. Tietysti kaikki
silloin menivät sinne. Rehtori ja johtajatar asettuivat teatterihuoneen
portaille vahtiin molempien koulujen vahtimestarit mukanaan,
kummallakin hiilihanko kädessään. Johtajatar huusi niin, että hänen
äänensä oli aivan käheä ja silmälasit tipahtivat aina vähän väliä
hänen nenältään. Ja he saivat lapset estetyksi pääsemästä sisään.
Teatterissa oli isä Kiljunen tarkastanut, ettei mitään sellaisia
häiriöitä kuin Jyväskylässä enää tapahtuisi, ja näytäntö sujui sen
vuoksi aivan rauhallisesti siksi, kunnes päästiin viimeiseen
näytökseen. Muutamat lyseon alaluokan pojista olivat pujahtaneet
näyttämölle, sillä he tahtoivat ainakin nähdä Plätän. Ja silloin parin
pahankurisen pojan mieleen juolahti kostaa johtajalle ja
johtajattarelle. He sieppasivat Plätän syliinsä ja läksivät juoksemaan
karkuun.
Teatterin luota johtaa kaupungin halki Puistokatu. Tätä myöten
pojat alkoivat juosta huutaen teatterin lähellä oleville koululaisille:
— Plättä on meillä!

Kaikki tietysti läksivät suurella riemulla jälestä. Johtaja kiljaisi
kauhusta, johtajatar oli pyörtyä. Molemmat menivät teatteriin ja
kiljuivat:
— Plättä on varastettu!
Aijai, mikä metakka siitä syntyi. Näyttämöllä oli isä Kiljunen etsinyt
Plättää. Ja kun hän tämän kuuli, niin hän ryntäsi heti näyttämöltä
katsomoon ja siitä suoraa päätä kadulle. Äiti Kiljunen, joka oli jo
pukeutunut linnuksi, tuli hänen jäljestään. Nyt juostiin pitkin
puistokäytävää kirkon ohitse, Plättää kantavat pojat edellä, toiset
lapset heidän jäljestään ja sitten Kiljuset koko yleisön keralla.
Puistokadun keskellä on Topeliuksen kuvapatsas. Pojat kiipesivät
sen päälle ja asettivat Plätän istumaan setä Topeliuksen hartioille.
Plättä piti Topeliuksen kaulasta kiinni ja hirnui ilosta, sillä tämä oli
kovin hauskaa Plätän mielestä.
Kun äiti Kiljunen pääsi patsaan luo, oli hän niin hätääntynyt, ettei
hän ensin aluksi tiennyt, mitä hänen piti tehdä. Hän vain juoksi
patsaan ympäri leksuttaen siipiään ja kiljui. Pojat kiipesivät patsaalle,
ottivat Plätän alas ja nyt he kaikki palasivat teatterihuoneelle.
Mutta yleisö ei enää tullutkaan sinne, sillä kaikki luulivat, että tämä
oli ollut viimeinen näytös. Seuraavana päivänä olivat lehdissä
arvostelut ja niissä sanottiin, että lyseon rehtori ja yhteiskoulun
johtajatar suorittivat tilapäiset osansa näytelmässä tavattoman
etevästi ja suurella antautumisella ja innostuksella.
Sitten Kiljuset tulivat Kokkolaan, missä näytäntö annettiin
yhteiskoulun juhlasalissa. Täällä Kiljuset näkivät kaupunkilaisten
noudattavan aivan samanlaista tapaa kadulla kävellessään kuin

hekin. Kukaan ei kävellyt nimittäin kaupungin pääkadun
katukäytävillä vaan aina keskellä katua.
Kiljuset olivat jo niin tottuneet näyttelemiseen, ettei esiintymisessä
tapahtunut mitään häiriötä. Ihastus olikin sen vuoksi tavattoman
suuri. Näytännön jälkeen muutamat pojat, jotka olivat kovasti
rakastuneet Plättään, tahtoivat, että hänelle oli osoitettava
kunnioitusta aivan samoin kuin suurille taiteilijoille osoitetaan. He
vaativat siis, että Plättä oli teatterista vietävä kotiin vaunuissa, joita
ihmiset vetävät. Ja vaunuja vetämään he tahtoivat asettaa
opettajansa. Nämä hankasivat kovasti vastaan ja sanoivat:
— Tästähän tulee oikeaa plättäntuuta, emmekä me sellaiseen
suostu!
Mutta erään tehtailijan pojat olivat kuulleet vanhempiensa
sanovan, että nykyään voi saada mitä tahansa, kun vain väittää, että
se on kansan tahto. He siis huusivat:
— Opettajien täytyy! Se on kansan tahto!
Ja silloin heti opettajat suostuivat. Kun siis Kiljusen herrasväki
meni asemalle, se oli juhlallista. Edellä kulki Pulla, sitten vetivät
opettajat rattaita, joilla Plättä istui äitinsä sylissä. Kiljusen pojat
kävelivät rattaitten vieressä ja isä niiden takana. Kaikki koulun
partiopojat ja -tytöt muodostivat kunniakujan, käsissään pitkät kepit.
Raahessa, jonne Kiljusen herrasväki sitten saapui, olisi näytäntö
sujunut aivan erinomaisesti, ellei heti alussa olisi tapahtunut pientä
selkkausta. Ja sen sai Pulla aikaan. Kun Raahe on vanha
merikaupunki, haisee siellä kaikki mereltä, siis suolaiselta. Ja tästä
hajusta ei Pulla ensinkään pitänyt. Rakennuksessa, missä näytännöt

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Navigation And Tracking In Space Analysis And Algorithms Gnss Technology And Applications Biswas

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Navigation And Tracking In Space Analysis And Algorithms Gnss Technology And Applications Biswas

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Tags

Categories