Ángulos trigonométricos

1. Bach. Juan Parraguez CapitánBach. Juan Parraguez Capitán
Bach. Oscar Parraguez CapitánBach. Oscar Parraguez Capitán

3. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
EL ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO SE
OBTIENE GIRANDO UN
RAYO ALREDEDOR DE
SU ORIGEN.
SENTIDO DE GIRO HORARIO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
OA : LADO INICIAL
)
O
A
B
<
)
<
qPOSITIVO
)
<
aNEGATIVO
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE

4. Son aquellos ángulos
trigonométricos que se
caracterizan por tener
su lado inicial sobre el
semieje positivo
abscisas, su vértice
coincide con el origen
del sistema de
coordenadas y sus
lados final se ubica en
cualquier parte del plano
cartesiano.
L.F.
L.F
YL.I :Lado inicial
L.F :Lado final
0 : Vértice
o
X
B
L.I
X :< en P.N (+)
B: < EN P.N. (-)

5. Dos o más ángulos en posición
normal son coterminales cuando
sus lados finales coinciden. Los
ángulos son coterminales cuando
su diferencia debe dar un número
entero de vueltas o revoluciones.

6. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
o
1
GRADO : MINUTO :
'
1
SEGUNDO :
"
1





'o
601
"'
601
"o
36001
1vuelta=
o
360

EQUIVALENCIAS

7. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden
expresar en grados ,minutos y segundos
o
AB'C''
o
AB'C''+ +
Los números B y C deben ser menores de 60
RELACIONES DE CONVERSIÓN
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 60 x 60
x 3600
: 60 : 60
: 3600
< <
<<
<
<
<
<
<
<
< <
Para convertir de grados a minutos se multiplica por 60
Para convertir de minutos a grados se divide entre 60
Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 60
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60
Para convertir de grados a segundos se multiplica por 3600
Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600

8. EJEMPLO :
o
2036'45''q
EXPRESAR EN GRADOS SEXAGESIMALESq
o ' ''
203645q + +
o o
o36 45
20
603600
q + +
o o
o3 1
20
580
 ++
o
1649
80
qCONCLUSIÓN:
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y
SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S
NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S
NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S
Al número 36 se le divide entre 60 y
Al número 45 se le divide entre 3600

9. EJEMPLO
Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,
sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el
doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S
Dato :
1555(31)
S
622(31)
 
60S2S155+  62S155
5
S
2

El ángulo mide :
5º4º60'
2
2 2
º30' 

10. ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR FAVOR

11. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)
g
1
GRADO : MINUTO :
m
1 SEGUNDO :
s
1





g m
1100
m s
1100
g s
110000
1vuelta=
g
400

EQUIVALENCIAS

12. En el sistema centesimal los ángulos se pueden
expresar en grados ,minutos y segundos
gms
ABC
g m s
AB C + +
Los números B y C deben ser menores de 100
RELACIONES DE CONVERSIÓN
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 100 x 100
x 10 000
: 100 : 100
: 10 000
< <
<<
<
<
<
<
<
<
< <
Para convertir de grados a minutos se multiplica por 100
Para convertir de minutos a grados se divide entre 100
Para convertir de minutos a segundos se multiplica por 100
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100
Para convertir de grados a segundos se multiplica por 10000
Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000

13. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS
y SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES = C
NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES ( n ) = 100C
NÚMERO DE SEGUNDOS CENTESIMALES ( q ) = 10 000C
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y
CENTESIMAL
gO
109
m'
5027
s"
25081
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
109
CS

5027
nm

25081
qp

SABEMOS QUE
SIMPLIFICANDO SE OBTIENE
g
180º200
g
9º10
SABES QUE :
g
9(1º)10(1)
' m
9(60)10(100)
g
9º10
' m
2750
SABES QUE :
g
9º10
g
9(1º)10(1)
'' S
9(3600)10(10000)
'' s
81250

14. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
UN RADIÁN ES LA
MEDIDA DEL
ÁNGULO CENTRAL
QUE SUBTIENDE
EN CUALQUIER
CIRCUNFERENCIA
UN ARCO DE
LONGITUD IGUAL
AL RADIO.
..1rad
1vuelta2radp
o ' ''
1rad571745
R
R
R)
EN ESTE SISTEMA LA
UNIDAD DE MEDIDA
ES EL RADIÁN.

15. RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS
0 g
180200 rad p
ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN
SISTEMA A OTRO.
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES
0
A)54q
O
54
o
rad
180
p￦
￨

3
rad
10
p
g
B)125f
g
rad
200
p￦
￨

5
rad
8
pg
125
EJEMPLOS
SABES QUE EL ÁNGULO DE UNA
VUELTA MIDE :
SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :
g
360º4002rad p

16. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
SEXAGESIMAL
A)
2
rad
3
p
...........
o
2(180)
3

o
120
g
B)70.................
g
70
o
g
9
10
￦
￨

o
63
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
CENTESIMAL
A)
3
rad
4
p
...........
g
3(200)
4

g
150
o
B)27................
o
27
g
o
10
9
￦
￨

g
30

17. FACTORES DE CONVERSIÓN
DE GRADOS SEXAGESIMALES
A RADIANES
DE GRADOS SEXAGESIMALES
A CENTESIMALES
DE GRADOS CENTESIMALES
A RADIANES
DE GRADOS CENTESIMALES
A SEXAGESIMALES
DE RADIANES A GRADOS
SEXAGESIMALES
DE RADIANES A GRADOS
CENTESIMALES
o
rad
180
p
g
o
10
9
g
rad
200
p
o
g
9
10
o
rad180p 
g
rad200p 

18. ESTAN
ENTENDIENDO ?
NO REPITE POR FAVOR

19. FÓRMULA DE CONVERSIÓN
S
180

C
200

R
p
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES
R : NÚMERO DE RADIANES
EJEMPLO
CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:
8R
3S2C 37- + 
p
EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE
CONVERSIÓN
SOLUCIÓN

20. S C R
180200
 
p
K
S k180
C k200
R kp
SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA
8(k)
3(180k)2(200k) 37
p
- + 
p
,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE
148k37
1
k
4

FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES :R
1
4
￦
p 
￨ 4
p
S k9
C k10
R
0
k
2
p

NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS
CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA
S
9

C
10

20R
p

21. OTRAS RELACIONES IMPORTANTES
* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN :
o g
90100 rad
2
p
ￚ ￚ
* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN :
O g
180200 radpￚ ￚ
* EQUIVALENCIAS USUALES:
o
rad60
3
p

o
rad30
6
p

o
rad45
4
p

SISTEMA
SEXAGESIMAL
CENTESIMAL
RADIAL
COMPLEMENTOSUPLEMENTO
S
C
R
90 - S 180 - S
100 - C 200 - C
R
2
p
- Rp-

22. EJERCICIOS
1. CALCULAR :
g
45º rad
12
E
5033º
p
+

-
SOLUCIÓN
Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno
de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el
SISTEMA SEXAGESIMAL
rad
12
p

180º
12
15º
g
50; 45º
Reemplazamos en E
45º15º
E
45º33º
+
 
-
60º
12º
5
g
9º
()
10


23. 2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más
el triple de su número de grados centesimales es 78,
calcular su número de radianes
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
C = número de grados centesimales
Sabes que :SC
910
 = K y
Dato : S + 3C = 78
S = 9KC = 10K
9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K = 2
El número de radianes es :
k
R
20
p

2
R
20
p
 
10
p

24. 3. Determinar si es verdadero o falso
A ) rad180p 
B )El complemento de es
g
30
g
70
C )
g g
24º2º
36 3

D )
radp
Los ángulos interiores de un triángulo
suman
E ) 180ºp
F )
g
1º1>
G )El número de grados sexagesimales de un ángulo es
igual al 90% de su número de grados centesimales

25. TAREA QUE TENDRAS QUE REALIZAR
1. Al convertir 16X/9π rad. al sistema sexagesimal, se obtuvo
640º. Hallar X
2
2. Hallar el ángulo en radianes que satisfacen: 1 + S/3 + C/2 =
160 R/ π + R
S: Sexagesimales C: Centesimales R: Radianes
3. Se ha medido un ángulo en los sistemas conocidos en grados
y radianes, resultando: S = 2R + X y C = 3 R + X. Hallar
X
4. Se mide un ángulo en grados sexagesimales y centesimales,
los números hallados al sumarlos resultan 180. Hallar el
ángulo en radianes
5. Se mide un ángulo en grados sexagesimales, centesimales y
radianes (resulta R ). Hallar lo que mide dicho ángulo en
radianes si: 2S – C = 2R
2