Normalización de una función de Onda

A continuacion se muestra la normalizacion de una funcion de onda y algunas desmostraciones de algunas identidades trigonometricas

1. Universidad Pedagógica Nacional
Francisco Morazán
Física Moderna II
Normalización de una función de onda
Dr. Armando Euceda
Presentado por: Suany Herrera
Franclin Solano
Julio César Zúniga
Tegucigalpa M.D.C, Febrero de 2009
11

2. 2
cos
0
x
A
L
pæ ö
ç ÷
è ø
ì
ï
=í
ïî
4 4
L L
x- £ £Para
en caso contrario
Problema:
Una partícula es descrita por los valores de la función de onda:
•Determine la constante de normalización A.Determine la constante de normalización A.
b)¿Cuál es la probabilidad de que la partícula se encuentre entre b)¿Cuál es la probabilidad de que la partícula se encuentre entre

y si se mide su posicióny si se mide su posición??0x=
8
L
x=
y()x
4 4
L L
x- £ £
22

3. • Para encontrar la constante de normalización se obtiene la
función de densidad de probabilidad, mediante la ecuación:
Luego se sustituye la función de onda en la ecuación
anterior
( )
2
, 1x t dx
¥
-¥
Y =ò
()xy
4
2 2
4
2
cos
L
L
x
A dx
L
p
-
æ ö
ç ÷
è ø
ò
2
2
2
x
u
L
du dx
L
Ldu
dx
p
p
p
=
=
=
haciendohaciendo
derivandoderivando
sustituyendo sustituyendo
24
2
4
cos
2
L
L
LA
udx
p
-
ò
2x
u
L
p
=
33

4. Utilizando la identidad trigonométrica:
La integral se puede expresar como:
21 cos2
cos
2
u
u
+
=
24
4
1 cos2
2 2
L
L
LA u
du
p
-
+æ ö
ç ÷
è ø
ò
Luego se aplica la propiedad distributivaLuego se aplica la propiedad distributiva
24 4
4 4
cos2
4
L L
L L
LA
du udu
p
- -
é ù
ê ú
+
ê ú
ê ú
ë û
ò ò
44
Ver demostración

5. Después se resuelven las integrales
2
4
4
sin2
4 2
L
L
LA u
u
p
-
é ùæ ö
+
ç ÷ê ú
è øë û
4
2
4
2
sin2
2
4 2
L
L
x
LA x L
L
p
p
p
-
é ùæ ö æ ö
ç ÷ê úç ÷
è ø
ê úç ÷+
ê úç ÷
ç ÷ê ú
è øë û
2x
u
L
p
=
Seguidamente se sustituye el valor de Seguidamente se sustituye el valor de
55

6. Evaluando los limites de integración:
2 2
2 2
sin2 sin2
2 2 4 4
4 4 2 4 4 2
L L
LA L LA L L L
L L
p p
p p
p p
é ù é ùæ ö æ öæ ö æ ö
-
ç ÷ ç ÷ê ú ê úç ÷ ç ÷
è ø è ø
ê ú ê úç ÷ ç ÷+ - - +
ê ú ê úç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ê ú ê ú
è ø è øë û ë û
2 2
4 2 4 2
LA LAp p
p p
æ ö æ ö
= +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 2
8 8
LA LA
= +
2
4
LA
=
66

7. Por la ecuación se iguala:
( )
2
, 1x t dx
¥
-¥
Y =ò
2
4LA=
2
A
L
\ =
2
1
4
LA
=
77

8. ()x=y
2 2
cos
x
LL
pæ ö
ç ÷
è ø
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
O
Al sustituir la constante de normalización A en la función de onda, Al sustituir la constante de normalización A en la función de onda,
se obtiene:se obtiene:
y su gráfica:y su gráfica:
88

9. -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y
O
y su gráfica:y su gráfica:
24 2
cos
x
L L
pæ ö
ç ÷
è ø
r()x
=
Luego se obtiene:Luego se obtiene: ( )
2
,x tY
r()x
=
99

10. para
4
L
-
4
L
-
4
L
4
L
2 2
cos
0
x
LL
pæ ö
ç ÷
è ø
ì
ï
=í
ïî
y()x
4 4
L L
x- £ £
en caso contrarioen caso contrario
parapara
24 2
cos
0
x
L L
pæ ö
ç ÷
è ø
ì
ï
=í
ïî
r()x
4 4
L L
x- £ £
en caso contrarioen caso contrario
cuando L=2cuando L=2
cuando L=2cuando L=2
2
L
4
L
1010

11. a.Ahora se calculara la probabilidad de que la partícula se
encuentre entre: y
8
2 2
0
2
cos
L
x
A dx
L
pæ ö
ç ÷
è ø
ò
28 8
0 0
cos2
4
L L
LA
du udu
p
é ù
ê ú
+
ê ú
ê ú
ë û
ò ò
2x
u
L
p
=
0x=
8
L
x=
Se plantea nuevamente la integral y se modifican los limites de Se plantea nuevamente la integral y se modifican los limites de
integración:integración:
Luego se realiza el cambio de variable del inciso anterior y se Luego se realiza el cambio de variable del inciso anterior y se
obtiene:obtiene:
donde donde
1111

12. Después se resuelve la integral
2
8
0
sin2
4 2
L
LA u
u
p
é ùæ ö
+
ç ÷ê ú
è øë û
2x
u
L
p
=
8
2
0
2
sin2
2
4 2
L
x
LA x L
L
p
p
p
é ùæ ö æ ö
ç ÷ê úç ÷
è ø
ê úç ÷+
ê úç ÷
ç ÷ê ú
è øë û
Seguidamente se sustituye el valor de Seguidamente se sustituye el valor de
1212

13. Evaluando los limites de integración:
2 2
16 8
LA LA
p
= +
2 2
2 2 0
sin2 sin2
2 2 0 8 4
4 8 2 4 4 2
L
LA L LA L L
L L
p p
p p
p p
é ù é ùæ ö æ öæ ö æ ö
-
ç ÷ ç ÷ê ú ê úç ÷ ç ÷
è ø è ø
ê ú ê úç ÷ ç ÷+ - - +
ê ú ê úç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷ê ú ê ú
è ø è øë û ë û
2
1
0
4 4 2
LAp
p
æ ö
= + -
ç ÷
è ø
2 2
16 8
LA LAp p
p p
= +
2
4
LA
=
1313

14. Finalmente se sustituye el valor de A:
2 2
2 2
16 8
L L
L L
p
æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
= +
4 4
16 8
L L
L Lp
= +
1 1
4 2p
= + 0.4092= 0.41»
La probabilidad de que la partícula este entre y La probabilidad de que la partícula este entre y
es es
0x=
8
L
x=
0.41»
\
1414

15. Gráficamente se tiene:
4
L
-
8
L
4
L
0 0.41
8
L
P x
æ ö
£ £ »
ç ÷
è ø
1515

16. Esta identidad trigonométrica se puede verificar de la siguiente
manera:
Se considera la fórmula del ángulo doble:
2
cos2 1 2u sen u= -
2
2 1 cos2senu u= -
21 cos2
2
u
senu
-
\ =
Ver demostración
1616

17. Se expresa :
cos2 cos( )u u u= +
cos cosu u senusenu= -
2 2
cosu senu= -
( )
2 2
1sen u sen u= - -
2
cos2 1 2u senu\ = -
Luego por la identidad fundamental:Luego por la identidad fundamental:
2 2
cos 1sen u u+ =
Se obtiene:Se obtiene:
1717