Numeros complejos

Números Complejos
Matemática IV
Ing. Sistemas
Realizado por: Luis Díaz C.I: 30.078.405

1. Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación I.U.P “Santiago Mariño” Barcelona – Anzoátegui Matemática IV Ing. Sistemas Números Complejos Profesor: Alumno: Ing. Alexander Noriega Luis Díaz C.I:30.078.405 Barcelona, Junio 2020

2. Introducción Tenemos infinitos números: los naturales (los de contar), los enteros (positivos, negativos y el cero), racionales(fracciones y decimales) e irracionales(con infinitos decimales sin repetirse). Todos estos forman los números reales, sin embargo no los tenemos todos. Hay un conjunto de números que la mayoría de personas desconocen y aquí, vamos a hablar de ellos. Estamos hablando de los denominados Números Complejos. Ante la insuficiencia de los números reales para denotar raíces de polinomios como x²+1=0 o generalizando, x²+n=0, donde n puede ser cualquier número mayor o igual que 1. Se amplió el grupo de números creando el conjunto de Números Complejos siendo este una extensión de los números reales, En el sistema de los números reales no hay solución de la ecuación En esta lección estudiaremos un nuevo sistema numérico, en el cual la ecuación sí tiene solución. La columna vertebral de este nuevo sistema numérico es el número i , también conocido como la unidad imaginaria . Al tomar múltiplos de esta unidad imaginaria podemos crear un infinidad de nuevos números, como y Estas combinaciones se llaman números complejos .  

3. Números Complejos Al número se le llama número complejo en forma biónica o binomial. En general, cualquier número complejo se denota por la letra Al número ase llama parte real del número complejo y se denota por a=Re(z) , mientras que al número b se llama parte imaginaria del número complejo y se denota por b= Im (z) Si la parte imaginaria de un número complejo vale cero, esto es b = 0, se reduce a un número real a, ya que z =a + 0i = a. Si la parte real de un número complejo vale cero, esto es a = 0, el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro. En general, al conjunto de todos números complejos se le designa por el símbolo . De una manera más formal, utilizando notación de conjuntos, se le denota como :  

4. Los números complejos a + bi y − a − bi se llaman opuestos o contrarios. Los números complejos z = a + bi y se llaman complejos conjugados. Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria, es decir : con a=c o y b=d o

5. Operaciones Elementales Operaciones elementales de matrices son aquellas transformaciones que como resultado tienen guardada la equivalencia de matrices, o sea, las operaciones elementales no afectan las múltiples soluciones del sistema de ecuaciones algebraicas lineales representado por esta matriz . Sobre una matriz se pueden realizar tres tipos de operaciones muy importantes que preservan ciertas características de la matriz y que permiten obtener información útil a la hora de resolver sistemas de ecuaciones como veremos más adelante. Las operaciones elementales por fila son : Intercambiar dos filas paralelas Multiplicación de una fila por una constante no nula ; Adición a una fila otra fila paralela previamente multiplicada por una escalar distinto de cero . Ejemplo: Dada la matriz Si aplicamos la primera operación elemental -por ejemplo, intercambiando la fila1 con la fila 3-, obtenemos la matriz A*:

6. Si en la matriz A aplicamos la segunda operación elemental -por ejemplo, multiplicando a la fila 2 por una constante (-3)-, obtenemos la matriz A **: Si a la matriz A le aplicamos la tercer operación elemental, obtenemos la matriz A***; por ejemplo, a la fila 1 le sumamos la fila 3 previamente multiplicada por la constante 2 : Las matrices obtenidas A*, A** , A***no son iguales a la matriz A, pero sí son equivalentes por filas a la matriz A.

7. Representación grafica de los números complejos Los números complejos se representan gráficamente en el plano cartesiano (que en este caso de va a llamar plano complejo, PC por sus iniciales) en forma de vector posicional, es decir, un vector cuyo punto inicial es el origen y su punto final el punto ( a,b ), también llamado afijo del número complejo. El eje X se llama eje real y el eje Y, eje imaginario. Al plano complejo también se le conoce como plano de Argand . Representación gráfica de los números complejos

8. Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real. El eje Y se llama eje imaginario. El número complejo a+bi se representa: Por el punto ( a,b ), que se llama su afijo . Mediante un vector de origen (0,0) y extremo ( a,b ). Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Los afijos de los números  imaginarios  se sitúan sobre el  eje imaginario , Y.

9. Forma canónica La ecuación canónica o segmentaria de la recta, es la expresión algebraica de la recta que se determina conociendo a los valores dónde la recta corta a cada uno de los ejes coordenados. El valor donde la recta corta al eje X le llamaremos a, y el valor donde la recta corta al eje Y le llamaremos b, generando los dos puntos en el plano cartesiano (a, 0) y (0, b) respectivamente . En muchas ocasiones, tenemos la ecuación general de la recta, y partiendo de ahí necesitamos la ecuación canónica, por esta razón veamos el proceso algebraico a seguir, para que también de esta manera conozcamos la estructura de la ecuación canónica de la recta .

10. Ejemplo: y=2(x- +5  

11. Función Inversa Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). La función inversa (o función recíproca) de f (denotada por f-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X . Formalmente, diremos que f-1 es la inversa de f si : También podemos definir una función inversa a partir de la composición de funciones. f-1 es la inversa de f y f-1 si la composición de f da la función identidad . Para que una función f tenga inversa necesariamente debe ser inyectiva . Además, tanto f como f-1 deben de ser biyectivas

12. Modulo de un número complejo El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado y la distancia que hay entre el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|. El modulo sería: Y en la grafica se vería así:

13. Complejo Conjugado Dado un número complejo en su forma binómica z= a+bi , se define su conjugado como Si representamos un complejo y su conjugado, son simétricos respecto del eje horizontal : Tener en cuenta que la longitud de los vectores es la misma (tienen el mismo módulo) y los argumentos son iguales porque la arcotangente es una función impar: Ejemplos: El conjugado de 1+3i es 1-3i. El conjugado de 2-i es 2+i. El conjugado de 5 es 5. El conjugado de 3i es -3i. El conjugado de -1+2i es -1-2i .

14. Desigualdad triangular En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante . Este hecho es una consecuencia de otro teorema de la geometría plana clásica que afirma que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta. Esto quiere decir que las medidas de los lados de un triángulo no pueden ser cualesquiera. Practica con la siguiente animación interactiva para comprobar esto.

15. Es fácil comprobar por qué sucede eso. Imagina que quieres ir del punto amarillo al azul. Si vas siguiendo la línea recta recorrerás una longitud "a", mientras que si vas pasando por el punto rojo recorrerás una longitud " b+c ". Pero sabemos que el camino más corto entre dos puntos es la línea recta, así que " b+c " tiene que ser mayor que "a": b + c > a Lo mismo pasará si queremos ir del punto amarillo al rojo ( a+b >c) o del azul al rojo ( a+c >b ). En esta actividad se puede familiarizar con las relaciones de los elementos del triángulo, observando con ayuda de la aplicación qué sucede en diversos casos. En la aplicación, puedes variar las longitudes de los lados a, b y c en la parte superior moviendo (en este orden) los puntos amarillo (derecha), azul y rojo. También puedes desplazar el triángulo con el punto amarillo o hacerlo girar con el punto azul.

16. Forma polar de un número complejo Si vemos los complejos como vectores, es lógico pensar en su módulo r=|z| (longitud del vector) y en el ángulo α que forma el vector con el eje real. La forma trigonométrica de un complejo z con módulo r y ángulo α es: La forma polar de un complejo es cualquiera de las siguientes :

17. Teorema de Moivre El teorema de Moivre establece lo siguiente: Si se tiene un número complejo en la forma polar z = rƟ , donde r es el módulo del número complejo z, y el ángulo Ɵ es llamado amplitud o argumento de cualquier número complejo con 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, para calcular su n– ésima potencia no será necesario multiplicarlo por sí mismo n-veces; es decir, no es necesario realizar el siguiente producto : Zn = z * z * z*. . .* z = rƟ * rƟ * rƟ *. . .* rƟ n-veces . Por el contario, el teorema dice que, al escribir z en su forma trigonométrica, para calcular la n- ésima potencia se procede de la siguiente forma: Si z = r ( cos Ɵ + i * sen Ɵ) entonces zn = rn ( cos n*Ɵ + i * sen n*Ɵ). Por ejemplo, si n = 2, entonces z2 = r2[ cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Si se tiene que n = 3, entonces z3 = z2 * z. Además: z3 = r2[ cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] * r [ cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r3[ cos 3(Ɵ) + i sen 3 (Ɵ)].

18. De esa manera pueden obtenerse las razones trigonométricas del seno y coseno para múltiplos de un ángulo, siempre y cuando las razones trigonométricas del ángulo sean conocidas. De igual manera puede ser utilizada para encontrar expresiones más precisas y menos confusas para la n - ésima raíz de un número complejo z, de modo que zn = 1. Para demostrar el teorema de Moivre se usa el principio de inducción matemática: si un número entero «a» tiene una propiedad «P», y si para cualquier número entero «n» mayor que «a» que tenga la propiedad «P» se cumple que n + 1 también tiene la propiedad «P», entonces todos los números enteros mayores o iguales que “a” tienen la propiedad «P ». Formula Global: ( cos x + i sin x)n = cos ( nx ) + i sin( nx )

19. Exponenciación Así como en la Notación Científica, la Exponenciación funciona de igual forma y más sencilla, la única diferencia es que las potencias se multiplican. Ejemplo : Tenemos la siguiente cantidad: ( 121000)² El Procedimiento a seguir será de la siguiente forma: Llevamos la cantidad a Notación Científica, es decir: ( 121000 ) ² = (1.21x105 ) ² Ahora aplicamos la Exponenciación (1.21x105)2, lo hacemos de igual forma para base y potencia, así: Base : (1.21 x 1.21) ó también (1.21)2 = 1.465 Ahora multiplicamos las Potencias ( 5 x 2) = 10 Obteniendo como resultado Exponenciación 1.46x10¹º En la mayoría de las Operaciones realizadas, se aplican los mismos procedimientos, lo único que cambia es la función que tiene la potencia en cada una de ellas.

20. Raíces de números complejos Una raíz n- ésima de un número complejo en forma polar es otro número complejo, tal que : Su módulo r' se obtiene de sacar raíz enésima del módulo de Su argumento se obtiene de dividir por n el argumento de y sumarle con Por lo tanto, existirán n soluciones distintas. Cada valor de k nos brinda una solución diferente .

21. Conclusión Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado.1​ El conjunto de los números complejos se designa con la notación C, siendo R el conjunto de los números reales se cumple que RcC ( R está estrictamente contenido en C) os números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar. Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros.

22. Bibliografía Wikipedia https:// es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo#Historia EcuRed https:// www.ecured.cu/Funci%C3%B3n_Inversa Superprof https:// www.superprof.es/diccionario/matematicas/aritmetica/modulo-complejos.html AulaFacil https:// www.aulafacil.com/cursos/fisica/general-i-notaciones-cientificas-funciones-trigonometricas/exponenciacion-l10036 ProblemasYEcuaciones https://www.problemasyecuaciones.com/complejos/numeros-complejos-imaginarios-forma-polar-trigonometrica-binomica-ejemplos-problemas.html